KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE
advertisement
I KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI GĠZEM ġEN Tez Yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN EDĠRNE – 2011 II T.C TRAKYA ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ KUANTUM KUYULARINDA BAĞLANMA ENERJĠSĠ VE POLARĠZEBĠLĠTE GĠZEM ġEN YÜKSEK LĠSANS TEZĠ FĠZĠK ANABĠLĠM DALI Tez yöneticisi: Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN EDĠRNE 2011 III IV i Yüksek Lisans Tezi Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Polarizebilite Trakya Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Fizik Anabilim Dalı ÖZET Elektrik alan altında, Bir kuantum kuyusunun subband bağlanma ve yabancı atom enerjileri, etkin kütle yaklaĢımı göz önüne alınarak ve varyasyonel yöntem kullanılarak hesaplanmıĢtır. Taban durum dalga fonksiyonlarını kullanarak, polarizasyon ve polarizabilite yabancı atom konumu elektrik alan Ģiddeti ve kuyu geniĢliğinin bir fonksiyonu olarak hesaplanmıĢtır. Polarizasyon ve polarizabilite‟nin yabancı atomun konumuna ve hapsedilmenin derecesine bağlı olduğu bulunmuĢtur. Sonuçlar literatürle uyumludur. Yıl:2011 Sayfa:62 Anahtar Kelimeler: Kuantum Kuyuları, Elektrik Alan, Dönor, Polarizasyon, Polarizebilite ii M. S. Thesis Binding Energy And Polarizebilite Quantum Wells Trakya University, Graduate School of Natural and Applied Science Department of Physics SUMMARY Subband, binding and impurity enerjies of a GaAs quantum well under an applied electric field have been investigated within a variational procedure and considering the effective mass approximate. Using ground state wave functions, polarization and polarizability have been calculated as a function of the impurity position, electric field strenght and well width. It is found that the polarization and polarizability depend on the impurity position and degree of confinement. The resuts are in agreementwith the lirature. Year:2011 Pages: 62 Keywords: Quantum Well, Electric Field, , Impurity,, Polarization, Polarizability iii TEġEKKÜR Tez yöneticiliğimi üstlenerek çalıĢmalarım sırasında desteğini esirgemeyen, Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç. Dr. Okan AKANKAN‟ a teĢekkür ederim. ÇalıĢmalarım esnasında aydınlatıcı bilgilerini ve desteğini esirgemeyen Trakya Üniversitesi Fen Fakültesi Fizik Bölüm BaĢkanı Prof. Dr. Hasan AKBAġ ve Fizik Bölümü Öğretim Üyesi Yrd. Doç.Dr. Ġlhan ERDOĞAN‟ a yardımlarından dolayı teĢekkür ederim. Bu çalıĢma süresince her türlü desteğini esirgemeyen Faik GÜNDOĞDU „ya teĢekkür ederim. iv ĠÇĠNDEKĠLER ÖZET.................................................................................................................................i SUMMARY.....................................................................................................................ii TEġEKKÜRLER...........................................................................................................iii ĠÇĠNDEKĠLER..............................................................................................................iv SĠMGELER DĠZĠNĠ......................................................................................................vi ġEKĠLLER DĠZĠNĠ……………………………………………………………....…..vii 1. GĠRĠġ……………………………………………………………………………….1 2. KUANTUM KUYULARININ OLUġUMU………………..……………………..3 3. SĠMETRĠK SONSUZ POTANSĠYEL KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ …………….…………..5 3.1. Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi……………………………………………………………………….11 3.2. Donor Etkisindeki Simetrik Sonsuz Kuantum Kuyusuna Düzgün Elektrik Alan Etkisi………...…………………………………………………………………15 4. YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ ……………………………………………….22 4.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi………..………….29 v 4.2. Donor Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusuna Düzgün Elektrik Alan Etkisi…………………………………………………………………………...33 5. POLARĠZASYON VE POLARĠZEBĠLĠTE….…………………………………41 5.1. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite…………………………………………………………………...42 5.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite.…………….51 SONUÇLAR VE TARTIġMA……………………...………………………………...60 KAYNAKLAR...............................................................................................................61 ÖZGEÇMĠġ...................................................................................................................62 vi SĠMGELER DĠZĠNĠ m* Elektronun etkin kütlesi a0 Bohr yarıçapı a* Etkin Bohr yarçapı R* Etkin Rydberg enerjisi λ Varyasyonel Parametre ψ Dalga fonksiyonu ε Dielektrik sabiti β Varyasyonel Parametre η Hamiltonien „ deki elektrik alan terimi ξ DeğiĢken zi Yabancı atomun konumu ρ Koordinat değiĢkeni vii ġEKĠLLER DĠZĠNĠ ġekil 1: Kuantum kuyularının oluĢumu…………………………………………………3 ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu…………………………………………...5 Grafik 3.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre elektronun enerjisinin değiĢimi………………………………………………………...10 ġekil 3: Yabancı atom etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu……………………….11 Grafik 3.2 : Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………………………14 ġekil 4: Donor etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi…………………………………………………………………………………….15 Grafik 3.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda donor enerjisinin enerjisinin zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………….18 Grafik 3.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………..…….19 Grafik 3.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………..…………………20 Grafik 3.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………………...21 ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu……………………………….…………………..22 Grafik 4.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu………………...……………………………………………………………27 Grafik 4.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100, 200 Å kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin değiĢimine göre enerjinin değiĢimi…………………………...28 viii ġekil 6: Yabancı atom etkisi altındaki yarı sonlu kuantum kuyusu……………...…….29 Grafik 4.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi…...………………………...32 ġekil 7: Elektrik alan altında ve donor etkisinde –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyusu………………………………….33 Grafik 4.4: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu……………...…………………………...36 Grafik 4.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………….……………………………...37 Grafik 4.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………………………...38 Grafik 4.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………..39 Grafik 4.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………………….40 Grafik 5.1.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………..43 Grafik 5.1.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………………..44 Grafik 5.1.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………………………………………...45 Grafik 5.1.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizebilitenin yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………..…………………….46 ix Grafik 5.1.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………………..47 Grafik 5.1.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………..…………………………..48 Grafik 5.1.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi…………………………………………...…49 Grafik 5.1.8: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………………….50 Grafik 5.2.1: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………….………………………………………………..52 Grafik 5.2.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………………………………..……………..53 Grafik 5.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………….………………………………………………..54 Grafik 5.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi………………………..…………………………………..…55 Grafik 5.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi……………….……………………………….………….……56 x Grafik 5.2.6: Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………………………………57 Grafik 5.2.7: : Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi………………………….……………….………58 Grafik 5.2.8: Antisimetrik yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi……………………………………..…………59 1 1.) GĠRĠġ Farklı tür yarıiletkenlerin bir araya getirilmesiyle oluĢturulan düĢük boyutlu yapıları kuantum fiziği yardımı ile araĢtırmak mümkündür. DüĢük boyutlu yarı iletken sistemler nanometre (10-9 m) boyutunda elektronik ve optoelektronik cihazlardan oluĢmaktadır. Bu nanometre boyutlarında elde edilen cihazlar günümüz bilgisayar ve haberleĢme endüstrisinde kullanılan devrelerin temellerini oluĢturmaktadır. Günümüz teknolojisinde Moleküler Demet Büyütme: MBE (Molecular-beam epitaxy) , Kimyasal Buhar Depolama (CVD) ve Sıvı Faz Büyütme: LPE (Liquid Phase Epitaxy) gibi deneysel teknolojiler ile potansiyel kuyu üretmek mümkün kılınmıĢtır. Günümüzde bu deneysel teknolojilerle üretilen elektronik devre elemanlarının fiziği; fizik ve elektronik dünyasında çok büyük ilgi görmektedir. DüĢük boyutlu yapıları; kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum kutuları (noktaları) olarak sınıflandırmak mümkündür. Bu sınıflandırılma yapılırken elektronun serbestlik boyutu göz önüne alınır. Elektron; kuantum kuyularında bir boyutta, kuantum tellerinde iki boyutta ve kuantum kutularında ise her üç boyutta sınırlandırılmıĢtır. Sınırlandırma boyutu göz önüne alınarak, kuantum kuyuları iki boyutlu, kuantum telleri bir boyutlu ve kuantum kutuları sıfır boyutlu yarıiletken sistemler olarak adlandırabilmek mümkündür. DüĢük boyutlu yapıların iletkenliği, malzemeye yabancı atom katılması ile arttırılabilir. Bu nedenle bir yabancı atomun yapıya eklediği ilave elektronun enerji öz durumları ve bağlanma enerjileri yapıyı karakterize eder. Kuantum kuyularında elektrik alanın uygulanması, elektronun dağılımında değiĢimlere yol açar. Polarizasyon oluĢur ve enerji düzeylerinde kaymalar olur. Bu etkiler düĢük boyutlu yapının kullanıldığı aygıtın çıkıĢ yoğunluğunun kontrol edilmesinde ve ayarlanmasında kullanılabilir. Ayrıca kuantum enerji durumlarının değiĢimi ile yabancı atom bağlanma enerjisi de değiĢtiği için elektrik alan etkisinin incelemesi önemlidir. Yapılan çalıĢmalarda etkin kütle yaklaĢımında varyasyonel bir yöntem kullanılarak kuantum kuyularında dıĢarıdan uygulanan bir elektrik alanın yabancı atom bağlanma enerjileri üzerindeki etkileri araĢtırılmıĢtır. Bu çalıĢmalarda bağlanma 2 enerjisinin kuyunun geometrik biçimine, yabancı atom konumuna ve uygulanan elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak artma veya azalma gösterdiği gözlenmiĢtir. Bu çalıĢmada bir boyutlu kuantum kuyularına hapsedilen elektronların davranıĢları incelenmiĢtir. Kuantum kuyularına hapsedilen bir elektronun taban durum dalga fonksiyonu ve enerjileri bulunmuĢtur. Elektronun düzgün ve sabit elektrik alana bağlı olarak; simetrik sonsuz ve yarı sonlu kuantum kuyularında nümerik çözümlerde Varyasyonel yöntem kullanılarak hesaplanmıĢtır. Elektrik alan ve donor etkisinin sistemin Hamiltonyen‟ine getirdiği katkılar da verilmiĢtir. Kuyu içinde bulunan elektrona çeĢitli konumlardaki yabancı atomun etkisi ve bağlanma enerjileri araĢtırılmıĢtır. Düzgün ve sabit elektrik alan etkisi altında ve donor etkisi sonucunda sahip olduğu enerjileri, deneme dalga fonksiyonları ile yaklaĢık olarak bulunmuĢtur. DüĢük boyutlu yapılarda elektronun enerji durumlarının incelenmesi Schrödinger denkleminin çözümü ile mümkün olmaktadır. Bu yapılarda analitik çözümlerin bulunması yabancı atom varlığında veya elektrik alan uygulandığında zorlaĢtığı için nümerik yöntemler kullanılmaktadır. Bu nümerik yöntemler; sonlu farklar yöntemi, varyasyon yöntemi vs.‟dir. Biz bu çalıĢmada varyasyon yöntemini kullandık. Elektrik alan etkisi altındayken kartezyen koordinatlar, donor etkisinde ise iĢlem kolaylığı açısından silindirik koordinatlar kullanılarak hesaplamalar yapılmıĢtır. Son bölümde; tartıĢma ve sonuçlar verilmiĢtir. TartıĢma ve sonuçlar bölümünde incelediğimiz kuantum kuyularında bağlanma enerjisini; yabancı atomun konumuna, V0 potansiyel yüksekliğine ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak incelenmiĢtir. Daha sonra elektrik alanın taban durum dalga fonksiyonunu nasıl etkilediği incelenmiĢtir. Bu tezdeki nümerik hesaplamalarda, Fortran 77 ile kendi yazdığımız programlar kullanılmıĢtır. 3 2.) KUANTUM KUYULARININ OLUġUMU DüĢük boyutlu yapılar kuantum kuyuları, kuantum telleri ve kuantum noktalarıdır. Kuantum kuyusunda elektron tek boyutta potansiyel duvar arasına hapsedilir ve diğer iki boyutta serbestçe hareket eder. Kuantum tellerinde ise elektron iki boyutta potansiyel duvarlar arasında kalır ve tek yönlü hareketi serbesttir. Kuantum noktalarında ise elektron üç boyutta da potansiyel duvarlarla karĢılaĢır. Bu tanımladığımız yapılar farklı tür yarı iletkenlerin bir araya getirilmesi ile oluĢturulurlar. ġekil 1: Kuantum kuyularının oluĢumu 4 Tek boyutlu bir sistemde Ga1−x Alx As ve GaAs malzemeleriyle bir yapı oluĢturulduğunda, oluĢan yapı için “z” yönündeki potansiyel değiĢimi Ģekil-1‟ de gösterildiği gibi olur. Buradaki x ifadesi mol kesridir ve yapının oluĢtuğu malzemelerin Ga, Al oranını belirler. Buradaki x‟ i kısaca malzemede bulunan alüminyum miktarını belirleyen bir değiĢken olarak tanımlayabiliriz. Ġletkenlik ve Valans bandındaki potansiyeller için V0 , Vh aĢağıdaki bağıntılar kullanılabilir. Eg = 1,555 x + 0,37 x 2 V0 = %60 Eg Vh = %40Eg Ga1−x Alx As malzemesinde mol kesri x = 1 olursa sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu elde edilir. 5 3.) SĠMETRĠK KUYUSU SONSUZ ĠÇĠNE POTANSĠYELLĠ HAPSEDĠLEN BĠR KUANTUM ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Tek boyutlu, L geniĢliğindeki sonsuz potansiyelli bir kuantum kuyusu içindeki m* etkin kütleli elektronun dalga denklemi çözülecektir. Böyle bir kuyu için potansiyel dağılımı; 0, L z ≤2 V z = (3.1) ∞, L z >2 Ģeklindedir. Bu ifadeye göre sonsuz potansiyel kuyusu aĢağıdaki gibidir; ġekil 2: Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu 6 Kuyunun dıĢındaki 1. ve 3. bölgelerde m* etkin kütleli elektron sonsuz potansiyelli enerji duvarlarını aĢamayacağından daima kuyu içinde kalacaktır. Yani elektronu temsil eden dalga fonksiyonu ψ z sıfır olacaktır. Schrödinger denklemi yalnızca kuyu içinde çözülmelidir. Kuyunun içinde Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi: H0 ψ z = E n ψ z −ℏ2 d 2 2m ∗ dz 2 (3.2) ψ z = En ψ z (3.3) dir. Uzunluk olarak etkin bohr yarıçapı a* ve enerji birimi olarak Rydberg enerjisi ℏ2 alınırsa 2m ∗ = 1 olacağından elektron sonsuz potaniyelli kuantum kuyusuna hapsedildiğinde Schrödinger denklemi: −d 2 dz 2 ψ z = En ψ z Ģeklini alır. Burada k = −d 2 dz 2 − En ψ z = 0 En olmak üzere dalga fonksiyonu; ψ z = A cos kz + B sin kz Ģeklinde elde edilir. Bu genel çözüme sınır Ģartlarını uygularsak: L L z = − 2 ‟ de V z = ∞ olduğundan ψ2 z = − 2 ψ − = 0 olmalıdır. L kL kL = A cos − + B sin − =0 2 2 2 ve A cos L kL kL − B sin 2 2 =0 L z = 2 ‟de V z = ∞ olduğundan ψ2 z = 2 = 0 olmalıdır. (3.4) 7 ψ L kL kL = A cos + B sin =0 2 2 2 ve A cos kL kL + B sin 2 2 =0 elde edilir. Bu denklemleri çözmek için katsayılar determinatına bakılır. kL 2 kL − sin 2 sin sin 2sin kL 2 kL cos 2 cos =0 kL kL kL kL cos + sin cos 2 2 2 2 kL kL cos 2 2 =0 sin 2 kL 2 =0 =0 kL = nπ kn = nπ n=0,1,2,..... L (3.5) Burada k n ifadesini yerine yazarak; ψ z = A cos nπ L z + B sin nπ L z (3.6) Elde edilen bu dalga fonksiyonu için tek ve çift olmak üzere iki tür çözümü vardır. n çift durum için: A = 0, B ≠ 0 ψn + z = A cos nπ L z n=1,3,5,… (3.7) n=2,4,6,… (3.8) n tek durum için: B = 0, A ≠ 0 ψn − z = B sin nπ L z 8 Burada A ve B normalizasyon sabitleridir. Bu sabitler dalga fonksiyonunun normalize edilmesi ile elde edilir. L/2 ψ∗ −L/2 z ψ z dz = 1 (2.9) Dalga fonksiyonlarının normalize edildikten sonraki ifadeleri: ψn + z = 2 ψn − z = 2 L cos sin L nπ z n=1,3,5,… (3.10) z n=2,4,6,… (3.11) L nπ L elde edilir. Elektronun enerji özdeğeri ise: En = ψn z H0 ψn z ψn z ψn z (3.12) bağıntısından hesaplanır, burada sistemin H Hamiltonieni; H0 = − d2 dz 2 dir. Bu sonuçlar doğrultusunda sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna hapsedilen parçacığın alabileceği enerji özdeğerleri n tamsayısına bağlı değiĢir. Yani enerji değerleri tam sayı katları Ģeklinde kuantize olmuĢtur. Parçacığın taban durum enerjisi hesaplanmıĢ ve kuyu geniĢliğine bağlı olarak Grafik 3.1 „ de verilmiĢtir. 9 GaAs bölgesine hapsedilmiĢ elektronun etkin kütlesi m*=0,067m0‟dır. burada m0=9,11.10-31kg serbest elektron kütlesidir. AlAs / GaAs / AlAs kuantum kuyusunda bulunan böyle bir elektronun taban durum enerjisi hesaplanmıĢ ve kuyu geniĢliğine bağlı olarak Grafik 3.1‟ de verilmiĢtir. 10 Grafik 3.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda kuyu geniĢliğine göre elektronun enerjisinin değiĢimi 11 3.1. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Etkisi ġekil 3:Yabancı atom etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusu Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusuna yabancı bir atom bulunduğunda, bu atomla elektron arasında bir coulomb etkileĢmesinden dolayı bir coulomb potansiyeli oluĢur. Buna göre sonsuz kuantum kuyusu içindeki bir elektrona yabancı bir atomun etkisinin olması durumunda Hamiltonyeni; ћ2 e2 Hi = − 2m ∗ ∇2 − ε (3.1.1) 0r Ģeklindedir. Burada; ∇2 = kartezyen koordinatlardaki ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 ifadesidir. ĠĢlem kolaylığı koordinatlardan silindirik koordinatlara geçildiğinde; x = ρ cos θ y = ρ sin θ ρ2 = x 2 + y 2 z=z açısından kartezyen 12 r2 = x2 + y2 + z2 r= x − xi 2 + y − yi 2 + z − zi 2 xi , yi , zi yabancı atomun konumu olmak üzere tek boyutlu bir sistem için xi =yi = 0 olduğundan; x 2 + y 2 + z − zi r= r= ρ2 + z − zi 2 2 alınırsa ћ2 ∂ 2 ћ2 1 ∂ e2 ∂ Hi = − 2m ∗ ∂z 2 − 2m ∗ ρ ∂ρ ρ ∂ρ − ε ρ 2 +(z−z i )2 ћ2 e2 Uzunluklar a∗ ve enerjiler R∗ biriminde alındığında 2m ∗ = 1 ve dielektrik sabitini ve r = ε0 (3.1.2) = 2 olur. ε0 ortamın ρ2 + (z − zi )2 yabancı atomun konumunu göstermektedir. Bu durumda; ∂2 1 ∂ ∂ Hi = − ∂z 2 − ρ ∂ρ ρ ∂ρ − 2 ρ2+ z−z i 2 (3.1.3) ve Schrödinger Denklemi Hi ψi ρ, z = Ei ψi ρ, z dir. ∂2 1 ∂ ∂ − ∂z 2 − ρ ∂ρ ρ ∂ρ − 2 ρ 2 +(z−z i )2 ψi ρ, z = Ei ψi ρ, z (3.1.4) 13 Bu diferansiyel denklemin analitik çözümü yoktur. Bu nedenle yaklaĢık çözüm yöntemlerinden olan varyasyonel yöntemi kullanıyoruz. Taban durum için deneme dalga fonksiyonu ψi ρ, z = N cos π L z e − ρ 2 +(z −z i )2 (3.1.5) λ N normalizasyon katsayısı, λ varyasyon parametresidir. Bu durumlar göz önüne alınarak taban durum enerjisi için, E1 = ψ i ρ,z H i ψ i ρ,z ψ i ρ,z ψ i ρ,z (3.1.6) min ifadesi yazılır. Bu durumda elektron için bağlanma enerjisinin tanımı yapılabilir. E0 yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, E1 yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere: Eb = Eo − E1 (3.1.7) olur. Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 3.2 „de verilmiĢtir. 14 Grafik 3.2 :Simetrik sonsuz kuantum kuyusunda bağlanma enerjisinin kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 15 3.2. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Donor Yabancı Atomuna Düzgün Elektrik Alanın Etkisi Ġçinde yabancı atom bulunan simetrik sonsuz kuantum kuyusuna “+z” yönünde bir elektrik alan uygulandığında, “F” elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyunun Ģekli aĢağıdaki gibi olur. ġekil 4: Donor etkisi altındaki sonsuz kuantum kuyusuna elektrik alan etkisi Düzgün elektrik alan altında donorlu kuantum kuyusu için sistemin Hamiltonieni ћ2 Hfi = − 2m ∗ ∇2 − e2 ε 0 ρ 2 +(z−z i )2 + eFz + V z (3.2.1) olur. Burada zi yabancı atomun konumunu göstermektedir. Hamiltonien ћ2 2m ∗ = 1 alındığında a∗ ve R∗ biriminde η = eF olmak üzere silindirik koordinatlarda Schrödinger Denklemi: 16 Hfi ψfi ρ, z = Efi ψfi ρ, z ∂2 1 ∂ ∂ − ∂z 2 − ρ ∂ρ ρ ∂ρ − 2 ρ 2 +(z−z i )2 (3.2.2) + ηz + V z ψfi ρ, z = Efi ψfi ρ, z (3.2.3) Ģeklinde yazılır. Sonsuz potansiyel kuyusuna hapsedilmiĢ elektron için V z = 0 olduğundan denklem; ∂2 1 ∂ ∂ − ∂z 2 − ρ ∂ρ ρ ∂ρ − 2 ρ 2 +(z−z i )2 + ηz ψfi ρ, z = Efi ψfi ρ, z (3.2.4) olur. Bu diferansiyel denklemin analitik çözümü yoktur. Taban durum deneme dalga fonksiyonu; ψfi ρ, z = N2 cos π L z e −βz − e ρ 2 +(z −z i )2 λ (3.2.5) olur. Bu denklemlerde β ve λ varyasyonel parametrelerdir. Donor enerjisi: E fi = ψ fi ρ,z H fi ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z ψ fi ρ,z (3.2.6) min λ,β formülünden hesaplanır. Silindirik koordinatlarda hacim elemanı; 𝑑𝑉 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝑧𝑑𝜑 dir. Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 3.3 ve Grafik 3.5 ‟ te verilmiĢtir. 17 Sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A0 kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 3.4 ve Grafik 3.6 ‟ da verilmiĢtir. Grafiklerden taban durum enerjilerinin artan elektrik alan ve artan kuyu geniĢliklerinde azaldığı görülmektedir. 18 Grafik 3.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda donor enerjisinin enerjisinin zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 19 Grafik 3.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi. 20 Grafik 3.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 21 Grafik 3.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda enerjisinin zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 22 4.) YARI SONLU KUANTUM KUYUSU ĠÇĠNE HAPSEDĠLEN BĠR ELEKTRONUN ÖZELLĠKLERĠ Tek boyutlu simetrik yarı sonlu bir kuantum kuyusunda m kütleli bir parçacık için Schrödinger denklemi çözülecektir. Bu kuyuya ait olan potansiyel enerji dağılımı; V x = L ∞, z≤−2 0, −2 <z<2 V0 , L L L z≥2 Ģeklindedir. Kuyunun Ģekli aĢağıdaki gibi olur. ġekil 5: Yarı sonlu kuantum kuyusu (4.1) 23 Parçacık yarı sonlu bir kuyuda bulunduğundan tamamen kuyu içine hapsolmayacaktır, kuyunun sağındaki engel olan bölgede de bulunabilecektir. Sonsuz kuyuda olduğu gibi yine parçacık kuyunun sol tarafındaki bölgede bulunamayacaktır. Zamandan Bağımsız Schrödinger Denklemi: H0 ψ(z) = E0 ψ(z) (4.2) −ℏ2 d2 + V(z) ψ(z) = E0 ψ(z) 2m∗ dz 2 ℏ2 Etkin kütle yaklaĢımı altında bu denklem a* ve R* biriminde 2m ∗ = 1 olur. 1.Bölge de a*, R* birim sisteminde Schrödinger denklemi: −d 2 dz 2 olur. Burada; k1 = −d 2 + 0 ψ1 (z) = E0 ψ1 z dz 2 − E0 ψ1 z = 0 (4.2) E0 „dir. ψ1 z = A cos k1 z + B sin k1 z (4.3) Ģeklinde elde edilir. II.Bölge de Schrödinger denklemi: −d 2 dz 2 −d 2 + V0 ψ2 z = E0 ψ2 z olur. Burada; k 2 = dz 2 + V0 − E0 ψ2 z = 0 (4.4) V0 − E0 „dir. ψ2 (z) = Cek 2 z + De−k 2 z (4.5) Ģeklinde dalga fonksiyonları elde edilmiĢ olur. II. bölgede ψ2 (z) dalga fonksiyonu z = ∞ için ψ2 z = ∞ = 0‟dır ve C katsayısı 0 olmalıdır. Dalga fonksiyonunun yeni hali; ψ2 (z) = De−k 2 z 24 olur. Bu dalga fonksiyonlarına sınır Ģartları uygulanırsa; L L z ≤ − 2 bölgesinde V z = ∞ olduğundan dalga fonksiyonu ψ1 z = − 2 = 0 olmalıdır. Acos − k1L 2 + Bsin − A = Btan k1L 2 =0 (4.6) k1 L 2 Bu durumda ψ1 z dalga fonksiyonu Denklem (3.7)‟deki gibi olur. k1L ψ1 z = Btan ψ1 (z) L 2 z= = ψ2 (z) cos(k1 z) + Bsin(k1 z) 2 (4.7) L ; z = 2 ‟de dalga fonksiyonunun sürekliliğinden; L 2 z= L L L L Btan k1 2 cos(k1 2 ) + Bsin(k1 2 ) = De−k 2 2 dψ 1 (z) dx L z= 2 = dψ 2 (z) dx ; L z= 2 L z = 2 ‟de dalga (4.8) fonksiyonlarının türevlerinin sürekliliğinden; L −Bk1 tan k1 2 sin k1 L 2 L L + Bk1 cos(k1 2 ) = −Dk 2 e−k 2 2 (4.9) olur. Denklem (4.8) ve Denklem (4.9) oranlanırsa; L L L L Btan k1 2 cos(k1 2 ) + Bsin(k1 2 ) De−k 2 2 = L L L L −Bk1 tan k1 2 sin k1 2 + Bk1 cos(k1 2 ) −Dk 2 e−k 2 2 k 2 tan k1 Burada k1 = E0 ve k 2 = V0 − E0 tan L 2 + k1 = 0 (4.10) V0 − E0 „olmak üzere Denklem (4.10); E0 L + E 0 = 0 (4.11) 25 bulunur. Bu denklemi sağlayan enerji değerleri nümerik olarak FORTRAN programı yardımı ile hesaplanmıĢtır. Buna göre dalga fonksiyonları: k1L ψ1 z = Btan 2 cos(k1 z) + Bsin(k1 z) (4.12) ve ψ2 x = De−k 2 z (4.13) olur. Bu denklemlerdeki B ve D sabitleri dalga fonksiyonun normalizasyonu ile elde edilir. L 2 ψ ∗ −L 2 1 z ψ1 z dz + ∞ ψ ∗ L 2 2 z ψ2 z dz = 1 (4.14) Denklemi kullanılırsa dalga fonksiyonları; Btan ψ z = B k1L 2 cos k1 z + Bsin k1 z sin k 1 L cos L k1 2 e L k2 2 e−k 2 z − L 2 <𝑧< z> L L 2 (4.15) 2 olarak elde edilir, burada B katsayısı: L B −2 = 2 1 − sin k 1 L 2k 1 L + sin 2 (k 1 L) k2L (4.16) „dir. Elektronun taban durum dalga fonksiyonu nümerik olarak hesaplanmıĢ ve V0=200,400 meV potansiyel engelli kuyu için; Denklem (4.10), Denklem (4.14) ve 26 Denklem (4.15) kullanılarak hesaplanmıĢ ve hesaplanan dalga fonksiyonları Grafik 4.1 „ de çizilmiĢtir. L=100,200 A0 için taban durum enerjinin V0 engel potansiyeline bağlı olarak hesaplanmıĢ ve V0 engel potansiyeline bağlı değiĢimi Grafik 4.2‟ de verilmiĢtir. Artan engel potansiyeli ile elektronun enerjinin arttığı ve onsuz kuantum kuyusundaki enerji değerine yaklaĢtığı görülmektedir. 27 Grafik 4.1: Yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu 28 Grafik 4.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunun L=100, 200 Å kuyu geniĢliklerinde basamak potansiyelinin değiĢimine göre enerjinin değiĢimi 29 4.1. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Yabancı Atom Problemi ġekil 6:Yabancı atom etkisi altındaki yarı sonlu kuantum kuyusu Yarı sonlu kuantum kuyusu içindeki bir elektrona yabancı bir atomun etkisinin olması durumunda Hamiltonyeni; ћ2 e2 Hi = − 2m ∗ ∇2 − ε (4.1.1) 0r Burada ∂2 ∂2 ∂2 ∇2 = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2 (4.1.2) dir. Kartezyen den silindirik koordinatlara geçilirse; x = ρ cos θ y = ρ sin θ ρ2 = x 2 + y 2 r= x2 + y2 + z2 z=z 30 zi yabancı atomun konumunu göstermek üzere sistemin Hamiltonieni genel olarak: 𝜕2 𝐻𝑖 = − 𝜕𝑧 2 − 2 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝑉(𝑧) (4.1.3) Ģeklindedir. Hamiltonien ifadesini iki bölge için yazacak olursak; 𝜕2 2 𝜌 2 + 𝑧−𝑧 𝑖 2 𝐻𝑖1 = − 𝜕𝑧 2 − 𝜕2 2 𝐻𝑖2 = − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 (4.1.4) + 𝑉(𝑧) (4.1.5) Silindirik koordinatlar kullanılarak Schrödinger Denklemi; 𝐻𝑖 𝜓𝑖 ρ, 𝑧 = 𝐸𝑖 𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 𝜕2 1 𝜕 𝜕 2 − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜌 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 (4.1.6) + V(z) 𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑖 𝜓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.1.7) Ģeklinde yazılır. Bu denklemin tam çözümü olmadığı için varyasyon çözüm yöntemi ile çözülecektir. Ġki bölge için taban durum deneme dalga fonksiyonları: 𝜓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑡𝑎𝑛 𝑘1 𝐿 𝜓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁 2 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝐿 2 𝑒 𝑘2 𝐿 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 − 𝑒 𝑒 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 (4.1.8) 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 Ģeklindedir. N normalizasyon katsayısı, 𝜆 varyasyon parametresidir. (4.1.9) 31 Taban durum elektronun enerjisi için, 𝐸1 = 𝜓 𝑖1 𝜌,𝑧 𝐻i1 𝜓 𝑖1 𝜌,𝑧 + 𝜓 𝑖2 𝜌,𝑧 𝐻i2 𝜓 𝑖2 𝜌,𝑧 𝜓 𝑖1 𝜌,𝑧 𝜓 𝑖1 𝜌,𝑧 + 𝜓 𝑖2 𝜌,𝑧 𝜓 𝑖2 𝜌,𝑧 (4.1.10) 𝑚𝑖𝑛 ifadesi yazılır. 𝐸0 yabancı atomun yokluğundaki elektronun taban durum enerjisi, 𝐸1 yabancı atomun varlığındaki elektronun taban durum enerjisi olmak üzere bağlanma enerjisi: 𝐸𝑏 = 𝐸𝑜 − 𝐸1 (4.1.11) olur. Farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 4.3 „ te verilmiĢtir. Kuyu geniĢliği arttıkça bağlanma enerjisinin azaldığı görülmektedir. 32 Grafik 4.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda farklı yabancı atom konumlarında bağlanma enerjisinin kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 33 4.2. Donor Etkisindeki Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Elektrik Alan Etkisi ġekil 7: Elektrik alan altında ve donor etkisinde –L/2 „de sonsuz ,+L/2 „de Vo potansiyel engeline sahip olan bir potansiyel kuyusu Ġçinde donor bulunan yarı sonlu kuantum kuyusuna “+z” yönünde bir elektrik alan uygulandığında, F elektrik alan Ģiddeti olmak üzere kuyu içine hapsedilmiĢ olan elektron için silindirik koordinatlarda, a* ve R* birimlerinde Hamiltonyen aĢağıdaki Ģekilde ifade edilir. 𝜕2 1 𝜕 𝜕 𝐻𝑓𝑖 = − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜌 − 2 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 (4.2.1) ve Schrödinger Denklemi: 𝐻𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.2.2) 34 𝜕2 1 𝜕 𝜕 − 𝜕𝑧 2 − 𝜌 𝜕𝜌 𝜌 𝜕𝜌 − 2 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 + 𝜂𝑧 + 𝑉 𝑧 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 = 𝐸𝑓𝑖 𝜓𝑓𝑖 𝜌, 𝑧 (4.2.3) olur. Bu denklemin tam çözümü olmadığından varyasyonel yöntem ile çözülecektir. Taban durum deneme dalga fonksiyonları; 𝜓𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑡𝑎𝑛 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑘1 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 2 𝑒 𝑘2 𝐿 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 − 𝑒 −𝛽𝑧 − 𝑒 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 (4.2.4) 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝑒 𝜆 (4.2.5) Burada 𝛽 ve 𝜆 varyasyonel parametrelerdir. Böyle bir elektronun enerjisi ise, 𝐸 𝑓𝑖 = 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝐻𝑓𝑖 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 𝜓 𝑓𝑖 𝜌,𝑧 (4.2.6) min 𝛽 𝜆 Ģeklinde olur. F=0,100 kV/cmı elektrik alan Ģiddetleri için antisimetrik basamak engelli sonsuz kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu Grafik 4.4 „ de verilmiĢtir. Bu grafikten elektrik alanın dalga fonksiyonunu sola kaydırdığı ve basamak içindeki tünellemeyi azalttığı görülmektedir. Yarı sonlu kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm elektrik alan Ģiddetleri altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 4.5 ve Grafik 4.7 ‟ te verilmiĢtir. 35 Yarı sonlu kuantum kuyusunda taban durum enerjisinin zi=L/4 ve zi=-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 Å kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 4.6 ve Grafik 4.8 ‟ te verilmiĢtir. 36 Grafik 4.4: Ġki farklı elektrik alan altında yarı sonlu kuantum kuyusuna hapsedilen elektrona ait taban durumu dalga fonksiyonu 37 Grafik 4.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda enerjisinin zi=L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 38 Grafik 4.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atom zi=L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 39 Grafik 4.7: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 40 Grafik 4.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda donor enerjisinin donor yabancı atomu zi=-L/4 konumundayken elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 41 5.) POLARĠZASYON VE POLARĠZEBĠLĠTE Kuantum kuyularına elektrik alanın uygulandığında, elektronun dağılımında değiĢimlere yol açması ile polarizasyon oluĢur ve enerji düzeylerinde kaymalar olur. Bu etkiler düĢük boyutlu yapının kullanıldığı aygıtın çıkıĢ yoğunluğunun kontrol edilmesinde ve ayarlanmasında kullanılabilir. Donor etkisi altında kuyuda elektrik alanın etkisi ile oluĢan polarizasyon ; P= 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z −e z−z i 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z donor var F≠0 − 𝜓 𝑖 ρ,z −e z−z i 𝜓 𝑖 ρ,z 𝜓 𝑖 ρ,z 𝜓 𝑖 ρ,z donor var F=0 (5.1) veya, P e =− 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z z 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z 𝜓 𝑓𝑖 ρ,z donor var F≠0 + 𝜓 𝑖 ρ,z z 𝜓 𝑖 ρ,z 𝜓 𝑖 ρ,z 𝜓 𝑖 ρ,z donor var F=0 (5.2) ifadelerinden hesaplanır. Bu denklemlerde; 𝜓𝑓𝑖 ρ, z yabancı atom ve elektrik alan etkisi altındaki taban durum dalga fonksiyonu, 𝜓𝑖 ρ, z yabancı atom etkisi altında taban durum dalga fonksiyonudur. Birim elektrik alan baĢına polarizasyona polarizabilite denir. Polarizabilite; P α=F Ģeklindedir. (5.3) 42 5.1. Simetrik Sonsuz Potansiyelli Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon Denklem (5.2) kullanılarak hesaplanacaktır. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusu için taban durum dalga fonksiyonu ifadeleri; ψi ρ, z = N cos π ψfi ρ, z = N2 cos L z e π L − z e ρ 2 +(z −z i )2 (5.1.1) λ −βz − e ρ 2 +(z −z i )2 (5.1.2) λ olmak üzere polarizasyon ve polarizebilite hesaplanır. ψi ρ, z yabancı atom etkisindeki dalga fonksiyonu ve ψfi ρ, z yabancı atom ve elektrik alan etkisi altındaki dalga fonksiyonudur. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilitenin zi=+L/4 ve zi=-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 Å kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 5.2.1, Grafik 5.2.5, Grafik 5.2.3 ve Grafik 5.2.7 „da verilmiĢtir. Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilitenin zi=+L/4 ve zi=-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 kV/cm düzgün elektrik alan etkisi altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 5.2.2 ve Grafik 5.2.6 Grafik 5.2.4 ve Grafik 5.2.8 „de verilmiĢtir. 43 Grafik 5.1.1: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 44 Grafik 5.1.2: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 45 Grafik 5.1.3: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 46 Grafik 5.1.4: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizebilitenin yabancı atom zi=L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 47 Grafik 5.1.5: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 48 Grafik 5.1.6: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizasyonun yabancı atom zi= - L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 49 Grafik 5.1.7: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 50 Grafik 5.1.8: Simetrik sonsuz potansiyelli kuantum kuyusunda polarizabilitenin yabancı atom zi=-L/4 konumundayken farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 51 5.2. Yarı Sonlu Kuantum Kuyusunda Polarizasyon Ve Polarizebilite Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyon Denklem (5.2) yardımıyla hesaplanacaktır. Yarı sonlu potansiyelli kuantum kuyusu için taban durum dalga fonksiyonu ifadeleri; 𝜓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑡𝑎𝑛 𝜓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁 𝑘1 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 2 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝑒 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 2 𝑘2 𝐿 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 − 𝑒 − 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 (5.2.1) 𝜆 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝑒 (5.2.2) 𝜆 ve 𝜓𝑓𝑖1 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑡𝑎𝑛 𝜓𝑓𝑖2 𝜌, 𝑧 = 𝑁1 𝑘1 𝐿 𝑠𝑖𝑛 𝑘 1 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑘 1 𝑐𝑜𝑠 𝑘1 𝑧 + 𝑠𝑖𝑛 𝑘1 𝑧 2 𝐿 2 𝑒 𝑘2 𝐿 2 𝑒 −𝑘 2 𝑧 𝑒 −𝛽𝑧 − 𝑒 𝑒 −𝛽𝑧 − 𝑒 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 (5.2.3) 𝜌 2 +(𝑧−𝑧 𝑖 )2 𝜆 (5.2.4) dir. . Birim elektrik alan baĢına polarizasyon olarak tanımlanan polarizabilite ise; P α=F (5.2.6) bağıntısından hesaplanır. Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyonun ve polarizeblite zi =+L/4 ve zi =-L/4 konumundayken L=100,150,200,250 A0 kuyu geniĢliklerinde elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi Grafik 5.3.1 ve Grafik 5.3.5 „te verilmiĢtir. Yarı sonlu kuantum kuyusunda polarizasyon ve polarizebilite zi=+L/4 ve zi =-L/4 konumundayken F=0,50,100,150 Kv/cm düzgün elektrik alan etkisi altında kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi Grafik 5.3.2 ve Grafik 5.3.6 „te verilmiĢtir. 52 Grafik 5.2.1: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 53 Grafik 5.2.2: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 54 Grafik 5.2.3: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizabilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 55 Grafik 5.2.4: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi=L/4 konumundayken polarizabilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 56 Grafik 5.2.5: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 57 Grafik 5.2.6: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizasyonun farklı elektrik alan değerleri (F=0,50,100,150 kV/cm) için kuyu geniĢliğine bağlı değiĢimi 58 Grafik 5.2.7: : Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı kuyu geniĢlikleri (L=100,150,200,250 Å) için elektrik alan Ģiddetine bağlı değiĢimi 59 Grafik 5.2.8: Yarı sonlu kuantum kuyusunda yabancı atom zi= - L/4 konumundayken polarizebilitenin farklı elektrik alan değerleri (F=50,100,150 kV/cm) için kuyunun geniĢliğine bağlı değiĢimi 60 SONUÇLAR VE TARTIġMA Bu çalıĢmada düzgün elektrik alan altında 𝐴𝑙𝑥 1 𝐺𝑎1−𝑥 1 𝐴𝑠 𝐺𝑎𝐴𝑠 𝐴𝑙𝑥 2 𝐺𝑎1−𝑥 2 𝐴𝑠 sonsuz, 𝑥1 = 𝑥2 = 1, ve yarı sonlu, 𝑥1 = 1 𝑣𝑒 0 < 𝑥2 < 1, kuantum kuyularında donor yabancı atomuna ait bağlanma enerjisi, donor yabancı atomuna ait enerji ve donor elektronunun polarizebilitesi hesaplanmıĢtır. Bağlanma enerjisinin, donor yabancı atom enerjisinin ve polarizebilitenin kuyu geniĢliğine, yabancı atomun konumuna ve elektrik alan Ģiddetine bağlı olarak değiĢtiği bulunmuĢtur. Yapılan hesaplamalarda, genel kural olarak, yabancı atom kuyu kenarlarına yaklaĢtıkça ve elektrik alan arttıkça bağlanma enerjisinin ve donor yabancı atom enerjisinin azaldığı, polarizebilitenin de Ģiddetli bir Ģekilde sıfıra yaklaĢığı bulunmuĢtur. Aynı zamanda elektrik alan ve kuyu geniĢliği arttırıldıkça polarizasyonun da arttığı gözlemlenmiĢtir. BaĢka bir deyiĢle hapsedilme ve simetri azaldıkça bağlanma enerjisinin ve donor yabancı atom enerjisinin azaldığı, polarizasyonun arttığı sonucuna ulaĢılmıĢtır. Bu sonuçlar literatürle uyum içindedir. 61 KAYNAKLAR 1. AKANKAN O., ERDOGAN I., AKBAS H., 2006, “Spatial electric field effect on the self-polarization in GaAs/AlAs square quantum-well wires”, Physica E, 35, 217–221 2. AKANKAN O., OKAN S.E., AKBAS H., 2005, “Spatial electric field effect in GaAs–AlAs quantum wires”, Physica E , 25 ,535–538 3. AKBAġ H.,EKMEKÇĠ S.,AKTAġ ġ.,TOMAK M., 1995, ”Electric field effect on shallow impurity states in mıltiple quantum –well structures”, Tr. J. of Physics, 19, 381. 4. AKTAġ ġ.,BOZ F., 2004, “The binding energy of a hydrogenic impurity in triple GaAs/AlxGa1-xAs quantum well-wires under applied electric field”, Trakya Univ. J. Sci., 5(2), 159. 5. CHAO HT, TRAN THOAI DB., 1995 “Effect of the electric field on a hydrogenic impurity in a quantum-well wire”, Physica B, 205, 273. 6. ILAIWI K.F., TOMAK M., 1990, “Polarizabilities of shallow donors in finitebarrier quantum wires”, Phys. Rev. B, 42, 3132. 7. KARAOĞLU B., 1994, “Kuantum Mekaniğine GiriĢ”, Bilgitek yayıncılık, Ġstanbul. 80 8. KASAPOGLU E., SARĠ H., SOKMEN I.,2003, “Binding energies of shallow donor impurities in different shaped quantum wells under an applied electric field”, Physica B, 339, 17–22 9. KITTEL C, 1996, “Katıhal Fiziğine GiriĢ”( Bekir Karaoğlu), 6.basım,224, BilgiTekyayın.,Ġst. 10. MANUK G., BARSEGHYAN, ALBERT A. KĠRAKOSYAN, 2005,” Electronic states in a step quantum well in a magnetic field”, Physica E , 28, 471–481 11. PACHECO M., BARTICEVIC Z., LATGÉ A., 2001, “Electronic and impurity states in triple quantum wells” Physica B, 302-303, 77. 12. SARI H., KASAPOĞLU E., SÖKMEN I., 2003, “Shallow donors in a triple graded quantum well under electric and magnetic field” Physica B, 325, 300. 13. SARI H., SÖKMEN I., YESILGÜL U., 2004, “Photoionization of donor impurities in quantum wires in a magnetic field” J. Phys. D: Appl. Phys., 37, 674. 14. XIAO Z., ZHU J., HE J., 1995, “Impurity binding energy of a cylindrical quantum wire in a magnetic field” Phys. Status Solidi (b), 191, 401 62 ÖZGEÇMĠġ Adı Soyadı : Gizem ġEN Doğum Yeri ve Yılı : Ġstanbul-1988 Medeni Hali : Bekar Öğrenim Durumu: 2004-2008 : T. Ü. Fen-Edebiyat Fakültesi, Fizik Bölümü (Lisans) 2008-2011 :T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans) Konu: Kuantum Kuyularında Bağlanma Enerjisi Ve Polarizebilite. 2008-2011 : T. Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü, Fizik Anabilim Dalı (Yüksek Lisans). Yayınlar: 1-“Simetrik Ve Antisimetrik Kuantum Kuyularında Elektrik Alan Etkisi: Polarizasyon Ve Polarizabilite” Sunum, Türk Fizik Derneği 27. Fizik Kongresi, Ġstanbul, 2010. 63
