matematik 6.indd - Beni Hafife Alma

T.C.
MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI
AÇIK ÖĞRETİM OKULLARI
(AÇIK ÖĞRETİM ORTAOKULU)
MATEMATİK
6
DERS NOTU
YAZAR
Ebru ARSLANTAŞ - Yurdagül GÜNGÖR
ANKARA-2014
ANKARA 2012
MEB HAYAT BOYU ÖĞRENME GENEL MÜDÜRLÜĞÜ YAYINLARI
AÇIK ÖĞRETİM ORTAOKULU DERS /05LARI DİZİSİ
Copyright © MEB
Her hakkı saklıdır ve Millî Eğitim Bakanlığına aittir. Tümü ya da bölümleri izin
alınmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz, basılamaz ve dağıtılamaz.
Yazar
:
Ebru ARSLANTAŞ - Yurdagül GÜNGÖR
Grafik
:
Nuh ARLIER
Kapak
:
Güler ALTUNÖZ
TTK İnceleyen
:
Gülşen ARSLAN
İÇİNDEKİLER
1. ÜNİTE
A. KÜMELER _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15
1. Kümeler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 15
2. Kümelerle İşlemler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 20
a) Birleşim ve Kesişim İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 20
b) İki Kümenin Farkı ve Tümleme İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 21
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 24
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 27
TEST I - I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 28
B. DOĞAL SAYILAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 30
1. Doğal Sayılar _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 30
2. Üslü Doğal Sayılar _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 33
3. Doğal Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 36
4. Doğal Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 37
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 39
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 41
TEST I - II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 42
C. TAM SAYILAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 45
1. Tam Sayıları Tanıyalım _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 45
2. Mutlak Değer _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 46
3. Tam Sayılarla Sıralama _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 47
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 50
TEST I - III _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 51
2. ÜNİTE
A. CEBİRSEL İFADELER, EŞİTLİK VE DENKLEM _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 55
1. Cebirsel İfadeler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 55
2. Denklemler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 58
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 62
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 63
TEST II - I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 64
B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 67
1. Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 67
2. Bölünebilme Kuralları _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 70
3. Asal Sayılar _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 74
4. EBOB ve EKOK _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 77
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 91
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 92
TEST II - II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 93
3. ÜNİTE
A. KESİRLER _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 99
1. Kesirlerle Karşılaştırma _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 99
2. Denk Kesirlerden Yararlanma _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 101
3. Kesirlerle Toplama İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 102
4. Kesirlerle Çıkarma İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 104
5. Kesirlerle Çarpma İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 106
6. Kesirlerle Bölme İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 107
B. ONDALIK KESİRLER _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 109
1. Ondalık Kesirlerin Gösterilmesi ve Ondalık Açılım _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 109
2. Ondalık Kesirlerde Basamak ve Sayı Değerleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 112
3. Ondalık Kesirlerde Çözümleme _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 113
4. Ondalık Kesirlerde Karşılaştırma _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 114
a) Bir Ondalık Kesre Eşit Ondalık Kesirler Yazma _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 114
b) İki Ondalık Kesri Karşılaştırma_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 115
5. Ondalık Kesirleri Yuvarlama _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 116
6. Ondalık Kesirlerle Toplama İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 116
7. Ondalık Kesirlerle Çıkarma İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 117
8. Ondalık Kesirlerle Çarpma İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 118
9. Ondalık Kesirlerle Bölme İşlemi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 120
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 124
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 125
TEST III-I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 126
C. ORAN-ORANTI _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 130
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 135
D. YÜZDELER _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 136
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 140
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 142
TEST - III-II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 143
4. ÜNİTE
A. DOĞRU, DOĞRU PARÇASI VE IŞIN _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 149
1. Doğru, Doğru Parçası ve Işın _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 149
2. Aynı Düzlemdeki İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 151
3. Bir Doğru ve Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 152
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 153
B. AÇILAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 154
1. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 154
2. Koşmu Tümler, Bütünler ve Ters Açılar _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 156
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 161
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 163
TEST IV - I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 164
C. ÇOKGENLER _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 169
1. Kare _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 170
2. Dikdörtgen _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 170
3. Üçgenler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 171
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 173
D. EŞLİK VE BENZERLİK _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 175
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 179
E. DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 180
1. Öteleme Hareketi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 180
2. Çokgenler ve Çokgensel Bölgelerin Örüntüleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 182
3. Süslemeler _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 183
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 184
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 186
TEST IV - II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 187
5. ÜNİTE
A. OLASILIK_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 195
1. Saymanın Temel İlkeleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 195
2. Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 197
3. Olay Çeşitleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 200
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 204
TEST V - I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 205
B. İSTATİSTİK _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 209
1. Araştırmalar İçin Sorular Oluşturma ve Veri Toplama _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 209
2. Tablo ve Grafikler_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 210
3. Aritmetik Ortalama ve Açıklık _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 214
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 217
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 218
TEST V - II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 219
6. ÜNİTE
A. UZUNLUKLARI ÖLÇME _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 225
1. Uzunluk Ölçme Birimleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 225
2. Çokgenlerin Çevre Uzunluğu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 228
a) Üçgenin Çevre Uzunluğu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 228
b) Karenin Çevre Uzunluğu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 229
c) Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 229
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 236
B. ALAN ÖLÇME _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 238
1. Alan Ölçüsü Birimleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 238
2. Arazi Ölçüleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 239
3. Dikdörtgenin Alanı_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 240
4. Karenin Alanı _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 242
5. Üçgenin Alanı _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 244
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 257
TEST VI - I _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 258
GEOMETRİK CİSİMLER _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 262
1. Prizmalar _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 262
2. Prizmaların Yüzey Alanı _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 266
a) Dikdörtgenler Prizması _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 266
b) Kare Dik Prizma _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 269
c) Küp _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 270
D. HACİM ÖLÇME _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 271
1. Küpün Hacmi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 272
2. Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 273
3. Kare Dik Prizmanın Hacmi _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 275
4. Hacim Ölçme Birimleri _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 276
E. SIVILARI ÖLÇME _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 278
ALIŞTIRMALAR _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 280
ÖZET _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 281
TEST VI - II _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 282
1. ÜNİTE
A. KÜMELER
1. Kümeler
2. Kümelerle İşlemler
a) Birleşim ve Kesişim İşlemi
b) İki Kümenin Farkı ve Tümleme İşlemi
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
DEĞERLENDİRME SORULARI
B. DOĞAL SAYILAR
1. Doğal Sayılar
2. Üslü Doğal Sayılar
3. Doğal Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
4. Doğal Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
DEĞERLENDİRME SORULARI
C. TAM SAYILAR
1. Tam Sayıları Tanıyalım
2. Mutlak Değer
3. Tam Sayılarla Sıralama
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
DEĞERLENDİRME SORULARI
13
MATEMATİK 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
Bu üniteyi çalıştığınızda;
1. Bir kümeyi modelleri ile belirleyecek, farklı temsil biçimleri ile gösterecek,
2. Kümelerle birleşim, kesişim, fark ve tümleme işlemlerini yapacak ve bu işlemleri problem çözmede kullanacak,
3. Doğal sayılarla işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözecek,
4. Doğal sayılar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin özelliklerini uygulayacak,
5. Tam sayıları açıklayacak,
6. Mutlak değerin anlamını açıklayacak,
7. Tam sayıları karşılaştıracak ve sıralayacak,
NASIL ÇALIŞMALIYIZ?
Bu ünitedeki konuları kavrayabilmek için;
1. Açıklamaları dikkatle okuyunuz.
2. Örnekleri dikkatli inceleyiniz ve 6. sınıf matematik ders kitaplarından çözülmüş örnekleri anlamaya çalışınız.
3. Uyarıları dikkate alınız.
4. Konularla ilgili değişik kaynaklardan sorular çözünüz.
5. Çözemediğiniz sorular için çevrenizdeki bilenlerden yardım alınız.
14
MATEMATİK 6
A. KÜMELER
1. Kümeler
Çeşitli nesnelerin bir araya getirilmesiyle oluşturulan gruplar küme olarak adlandırılır. Nesnelerin her biri ise ait oldukları kümenin bir elemanıdır.
Kümeler liste, ortak özellik ve venn şeması yöntemi olmak üzere üç farklı
biçimde gösterilir. Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz.
ÖRNEK
1 ile 20 arasındaki çift sayıların kümesini yazalım.
Liste yöntemiyle
A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18} biçiminde gösteririz. Bu liste yöntemiyle gösterimdir.
Kümenin elemanlarını, küme parantezi içinde yazarak gösterme şeklidir.
Küme parantezinin içine yazılan elemanlar virgül ile birbirinden ayrılır.
Her eleman bir kez yazılır.
Küme parantezi “{ }” dir.
Şema yöntemiyle
Bu gösterime venn şeması ile gösterim denir.
15
MATEMATİK 6
Ortak Özellik Yöntemiyle
A = {1 ile 20 arasındaki çift sayılar}
Bu gösterim kümenin ortak özellik yöntemiyle gösterimidir. Bu yöntem kümenin tüm elemanına ait ortak özellikten yararlanılarak yapılır.
A kümesinin eleman sayısını sembolle “s(A)” biçiminde gösteririz.
ÖRNEK
9 elemanlı kümenin eleman sayısı s(A) = 9 biçiminde gösterilir.
Kümeler isimlendirilirken büyük harflerle, elemanları da küçük harflerle
gösterilir.
Örneğin 1 ile 20 arasındaki çift sayıların kümesini “A” harfi ile gösterelim.
2 sayısı bu kümenin elemanı olduğu için “2 A “ biçiminde gösterilir. “2, A kümesinin elemanıdır” şeklinde okunur. 5, sayısı bu kümenin elemanı değildir. "5 A"
biçiminde gösterilir. “5, A kümesinin elemanı değildir” şeklinde okunur. Burada “ ”
sembolü “ait olma (elemanı)” anlamını ifade eder.
ÖRNEK
P = {p harfi ile başlayan aylar} kümesini inceleyelim.
P kümesinin özelliğine uygun bir ay olmadığından P kümesinin elemanı yoktur.
Bu durum, P = Ø veya P = { } biçiminde gösterilir.
s(P) = 0 dır.
Elemanı olmayan küme “boş küme”dir. Boş küme Ø veya { } sembolleri ile
gösterilir.
A= {Ø} kümesi boş küme değildir. A kümesi elemanı, boş küme olan bir
kümedir. s(A) = 1 dir.
ÖRNEK
A = {7 ile 9 arasındaki tek sayılar} kümesi olsun.
Böyle bir tek sayı olmadığından A kümesi boş kümedir.
16
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Liste yöntemiyle matematik kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazalım.
Bu kümeyi M harfi ile adlandırırsak;
M = {m, a, t, e, i, k} olur.
s(M) = 6’ dır. M kümesinin eleman sayısı 6'dır.
Belirli bir alandaki nesnelerin tümünü içerdiği varsayılan küme “evrensel
küme”dir. Evrensel küme “E” sembolü ile gösterilir.
ÖRNEK
E kümesi sesli harflerin tümünü içermektedir. Bu nedenle E kümesi evrensel
kümedir.
E
i
B
Õ
u
a
o
ü
c
ö
E = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü} dür.
s(B) = 3, B kümesinin eleman sayısı 3’tür.
17
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda venn şeması ile verilen kümeleri, liste yöntemi ve ortak özellik yöntemiyle
gösteriniz.
2. Liste yöntemiyle pazartesi kelimesinin harflerinden oluşan kümeyi yazınız. Bu
kümenin eleman sayısı kaçtır?
3. T = {20’ den küçük tek doğal sayılar} kümesini şema ve liste yöntemiyle gösteriniz.
4. A ve B kümelerinin eleman sayısını bulunuz?
18
MATEMATİK 6
Alt Küme
ÖRNEK
Yanda verilen şemaya göre,
A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B = {3, 5, 7}’ dir.
A kümesinin bazı elemanları B kümesinin de elemanıdır. Başka bir deyişle
B kümesinin her elemanı, A kümesinin de elemanıdır. Bu durum; “B kümesi, A kümesinin alt kümesidir” şeklinde ifade edilir.
B
A şeklinde sembolle gösterilir.
B
A B kümesi A nın alt kümesidir.
A
B A kümesi B kümesini kapsar.
Boş küme her kümenin alt kümesidir.
Her küme kendisinin alt kümesidir.
ÖRNEK
A = {1, 3, 5} kümesinin bütün alt kümelerini yazalım.
"1 , 1 A
A kümesinin 1 elemanlı alt kümeleri; " 3 , 1 A
"5 , 1 A
" 1, 3 , 1 A
A kümesinin 2 elemanlı alt kümeleri; " 1, 5 , 1 A
" 3, 5 , 1 A
A kümesinin 3 elemanlı alt kümeleri; " 1, 3, 5 , 1 A
Boş Küme;
?
{ }
A
K = {a, b, c, d} kümesinin bütün alt kümelerini yazınız.
19
MATEMATİK 6
2. Kümelerle İşlemler
a) Birleşim ve Kesişim İşlemi
ÖRNEK:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ve B = {1, 3, 5, 7} kümelerinin;
a) Bütün elemanlarının oluşturduğu kümeyi,
b) Ortak elemanların oluşturduğu kümeyi bulalım.
a) A ve B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan küme bu iki kümenin birleşim kümesidir. Bu küme A B biçiminde gösterilir.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
B = {1, 3, 5, 7}
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
{1, 3, 5, 7}
A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
b) A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme bu iki kümenin
kesişim kümesidir. Bu küme A B biçiminde gösterilir.
A B = {1, 3, 5}
20
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki kümelerin kesişimIeri gösterilmiştir. İnceleyiniz.
b) İki Kümenin Farkı ve Tümleme İşlemi
ÖRNEK
A = {2, 3, 4, 5, 6} ve B = {1, 3, 5} kümelerini şema ile gösterelim.
A kümesinin B kümesinden farkı, A kümesinde olup B kümesinde olmayan
elemanlardan oluşur. Bu küme “A – B” veya “A \ B” biçiminde gösterilir.
A \ B = {2, 4, 6 }
B \ A = { 1 } 'dir.
21
MATEMATİK 6
Bir kümede olmayıp evrensel kümede olan elemanlar bu kümenin
tümleyenidir. Bir A kümesinin tümleyeni A' biçiminde gösterilir.
ÖRNEK
Verilen şemada K kümesine ait olmayan elemanların oluşturduğu kümeyi yazınız.
K
K' = {e, b, g, r, n}
K K' = {d, i, u}
{e, b, g, r, n}
= {d, i, u, e, b, g, r, n}
E = K K' olduğundan bir kümenin tümleyeni ile kendisinin birleşimi evrensel kümedir.
ÖRNEK
Bir sınıftaki öğrencilerin tümü İngilizce veya Almanca kurslarından en az birine katılmaktadır. Bu öğrencilerin 25’i Almanca, 23’ü İngilizce kursuna gidiyor. Bunlardan 15’i her iki kursa da gittiğine göre, sınıfta kaç öğrenci vardır?
ÇÖZÜM:
22
İngilizce kursuna giden öğrenci sayısı
s( İ ) = 23
Almanca kursuna giden öğrenci sayısı
s(A) = 25
Her iki kursa gidenlerin sayısı
s (İ
A) = 15'tir.
MATEMATİK 6
ÖRNEK
6/B sınıfının mevcudu 40’tır. Bu sınıfta 8 öğrenci spor yapmamaktadır. Spor
yapanların 18’i futbol, 20’si basketbol oynamaktadır. Hem futbol hem de basketbol
oynayan öğrenci sayısı kaçtır? Yalnız futbol oynayan, yalnız basketbol oynayan kaç
öğrenci vardır?
ÇÖZÜM
40 kişilik sınıfta,
40 - 8 = 32 öğrenci spor yapmaktadır.
18 + 20 = 38 öğrenci futbol veya basketbol oynamaktadır.
38 - 32 = 6 öğrenci hem futbol hem basketbol
oynamaktadır.
18 - 6 = 12 öğrenci yalnız futbol oynamaktadır.
20 - 6 = 14 öğrenci yalnız basketbol oynamaktadır.
?
1. Bir turist kafilesinde 15 kişi kahve, 9 kişi kola içmektedir. Hem kahve
hem kola içenler 5 kişi, hiçbir şey içmeyenler 3 kişi olduğuna göre, bu
turist kafilesi kaç kişidir?
2. Bir apartmanda oturan 20 aileden 12’si A gazetesini, 16’sı B gazetesini
almakta, 10 aile de hem A hem de B gazetesini almaktadır. Bu
apartmanda A ve B gazetelerini almayan kaç aile vardır?
23
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen kümelerin eleman sayılarını bulunuz ve sembolle gösteriniz.
a.
b.
c.
d.
{haftanın günleri}
{ilkbahar mevsiminin ayları}
{karesi 36’dan küçük doğal sayılar}
{15’ten büyük, 30 küçük tek sayılar}
2. Verilen F kümesine göre, “ ” ve “ ” sembollerinden uygun alanını noktalı yerlere
yazınız.
i...F
t...F
d...F
a...F
g...F
n...F
3. A = {a, e, o, u}
B = { b, n, r}
C = {m, t} kümeleri veriliyor.
Buna göre aşağıdaki kümelerin elemanlarını yazınız.
a.
b.
c.
d.
24
A B
B C
A C
(A B)
C
MATEMATİK 6
4.
L
M
Yukarıda verilen şemaya göre aşağıdaki kümeleri liste biçiminde yazınız.
a. L'
ç. M\L
b. M'
d. L
M
c. L \ M
e. L
M
5. A = {a, b, c, d, e, f }, B= {c, d, e, f } ise A
biçiminde yazınız.
B, A
B, A\B ve B\A kümelerini liste
6. Aşağıdaki verilen kümeleri liste biçiminde yazınız. KesişimIerini venn şemasıyla
gösteriniz.
A = {1 ile 25 arasındaki çift sayılar}
B = {1 ile 25 arasındaki 5’in katı olan sayılar}
7. “kayak” kelimesindeki harflerden oluşan kümenin bütün alt kümelerini yazınız.
8. Aşağıda verilen şemaya göre (A
B)
C kümesini liste yöntemi ile yazınız.
B
A
e
a
C
b
d
m
h
k
c
f
25
MATEMATİK 6
9.
T
Y
Yukarıdaki şema 15 kişilik bir spor kulübünde T ve Y harfleri sırasıyla bu kulüpte
tenis ve yüzme derslerine katılanları göstermektedir. Buna göre aşağıdaki
soruları cevaplayınız.
a. Tenis ve yüzme derslerine katılmayan kaç kişi vardır?
b. Yalnız tenis derslerine katılan kaç kişi vardır?
c. Hem tenis ve hem yüzme derslerine katılan kaç kişi vardır?
10. Bir sınıftaki öğrencilerin 18’i matematik kursuna, 15’i İngilizce kursuna, 8’i de
hem matematik hem İngilizce kursuna katılıyor. Bu sınıftaki öğrencilerin her biri
kurslardan en az birine katıldığına göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
a. Sınıfta kaç öğrenci vardır?
b. Yalnız İngilizce kursuna katılan kaç öğrenci vardır?
c. Yalnız matematik kursuna katılan kaç öğrenci vardır?
26
MATEMATİK 6
ÖZET
Kümeler liste, ortak özellik ve venn şeması yöntemi olmak üzere üç farklı biçimde gösterilir. Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz.
Elemanı olmayan küme “boş küme”dir. Boş küme Ø veya { } sembolleri ile gösterilir. Boş küme her kümenin alt kümesidir. Her küme kendisinin alt kümesidir.
A ve B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan küme bu iki kümenin birleşim kümesidir. Bu küme A B biçiminde gösterilir.
A ve B kümelerinin ortak elemanlarının oluşturduğu küme bu iki kümenin kesişim kümesidir. Bu küme A B biçiminde gösterilir.
Bir küme de olmayıp evrensel kümede olan elemanlar bu kümenin tümleyenidir. Bir A kümesinin tümleyeni A' biçiminde gösterilir.
27
MATEMATİK 6
TEST I - I
1. Aşağıdakilerden hangisi boş kümedir?
A.
B.
C.
D.
Haftanın günleri
Dört ayaklı tavuklar
4’ten küçük tek doğal sayılar
Yaz mevsiminin ayları
2. A = {b, e, r, k} kümesinin alt küme sayısı aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
4
8
16
32
3. A= {a, b} kümesinin tüm alt kümeleri aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
{a}, {b}
Ø, {a}, {b}
{a}, {b}, {a,b}
Ø, {a}, {b}, {a, b}
4. A ve B iki küme olmak üzere, s(A
s(A) + s(B) kaçtır?
A.
B.
C.
D.
B) = 15 ve s(A
B) = 7'dir. Buna göre,
6
8
14
22
5. A ve B iki küme olmak üzere, s(A \ B) = 4, s(B \ A) = 7 ve s(A
s(A B) kaçtır?
A.
B.
C.
D.
8
10
11
14
6. A ve B iki küme olmak üzere, A \ B = {2, 3, 4} ve A
B kümesinin elemanları aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
28
B) = 3 ise
{4, 5, 6}
{6, 7}
{5, 6, 7}
{2, 3}
B = { 2, 3, 4, 5, 6, 7} ise
MATEMATİK 6
7. A= {4, 5, 6} , B = {3, 5, 6, 7} ve C = {3, 4} olduğuna göre, A
elemanlıdır?
A.
B.
C.
D.
(B
C) kümesi kaç
5
6
7
10
8. “kalemlik” sözcüğünün harflerinin kümesi kaç elemanlıdır?
A.
B.
C.
D.
3
5
6
8
9. A = {1, 4, 7} ve B kümesi de “4007323147” sayısının rakamlarından oluştuğuna
göre, A B kümesi kaç elemanlıdır?
A.
B.
C.
D.
6
7
10
13
10. 30 kişilik bir sınıfta bulunan öğrencilerden 15’i basketbol, 17’si futbol
oynamaktadır. 6 öğrenci hem futbol hem de basketbol oynadığına göre, bu iki
sporu da yapmayan kaç öğrenci vardır?
A.
B.
C.
D.
2
4
6
8
29
MATEMATİK 6
B. DOĞAL SAYILAR
1. Doğal Sayılar
Eski Çağlarda Sayma
Eski çağlarda yaşayan toplumlarda sayı fikri gelişmemişti. İnsanların etrafında
gördüğü ve devamlı olarak temasta bulundukları nesneleri sayma ihtiyacından sayılar doğmuştur.
İlk sayma sistemleri birebir eşlemeye dayanıyordu. Bu yöntem küçük sayılar
için kullanışlıydı. Örneğin, 3 sayısı “!!!” ile gösteriliyordu. Sayılar büyüyünce yüzlerce
‘!’ arka arkaya sıralanmaya başlandı. Bu şekilde yazılan iki sayının aynı sayı olup olmadığını anlamak bile zordu.
Zamanla bilinen sayılar ihtiyacı karşılayamaz durumda kalınca yeni sayı kümeleri geliştirmişlerdir.
Rakam: Sayıları yazmaya yarayan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerine rakam
denir.
Doğal sayı: Sıfırdan başlayıp sonsuza kadar devam eden sayıların her birine
doğal sayı denir.
Doğal sayılar kümesi “N” ile gösterilir. N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Çarpma işleminde “ x ” veya “ . ” sembolü, bölme işleminde “ ” veya “ : ”
sembolü kullanılır.
ÖRNEK
Nalan, her gün harçlığının 3 TL’sini biriktirdi. 20 günde kaç TL biriktirmiştir?
ÇÖZÜM
3 x 20 = 60 TL biriktirmiştir.
1. İki sayının toplamı 1250 ve farkı 550’dir. Buna göre küçük sayı kaçtır?
?
2. Burçin’in parası Beril’in parasından 10 TL fazladır. Burçin, Beril’e
2 TL verirse Beril’in 37 TL’si oluyor. Buna göre, Burçin’in kaç TL’si
kalmıştır?
30
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Bir babanın yaşı, oğlunun yaşının 2 katından 3 fazladır. Babanın şimdiki yaşı
45 olduğuna göre, oğlunun 3 yıl önceki yaşı kaçtır?
ÇÖZÜM
Babanın şimdiki yaşı = 45
Oğlunun şimdiki yaşı =
45 - 3 =
21
2
Oğlunun 3 yıl önceki yaşı = 21 - 3 = 18’dir.
ÖRNEK
“Beril, 120 sayfalık bir kitabın 6 günde aynı sayıda sayfasını okuyor. 7. gün
12 sayfa okuyarak kitabı bitiriyor. 1. gün kitabın kaç sayfasını okumuştur?”
Bu probleme uyan matematik cümlesini yazınız.
ÇÖZÜM
120 - 12 = 108
108 : 6 = 18
ÖRNEK
Berk bir hikâye kitabının ilk gün 5 sayfasını okuyor. Diğer günlerde ise ilk gün
okuduğu sayfa sayısından 10 sayfa fazla okuyarak 5 günde kitabı bitirmiştir.
a) Bu hikâye kitabı kaç sayfadır?
b) Berk’in bu hikâye kitabını 3 günde bitirmesi için günde kaç sayfa okuması
gerekirdi?
ÇÖZÜM
a) 1. gün
5 sayfa
2. gün
5 sayfa + 10 sayfa = 15 sayfa
3. gün
15 sayfa
4. gün
15 sayfa
5. gün
+ 15 sayfa
Kitap 75 sayfadır.
31
MATEMATİK 6
b) 75 : 3 = 25
Günde 25 sayfa okuması gerekirdi.
ÖRNEK
825 : 25 işlemi hesap makinesinde yapılmak isteniyor. Fakat hesap makinesinin bölme tuşu bozuk, ne yapabiliriz?
ÇÖZÜM
825 sayısını 4 ile çarparız
825.4 = 3300
Sonucu 100’e böleriz
3300 : 100 = 33
Bir sayıyı kısa yoldan 25’e bölmek için, verilen sayı 4 ile çarpılır, sonuç
100’e bölünür.
32
MATEMATİK 6
2. Üslü Doğal Sayılar
32 ve 23 sayılarının değerlerini bulalım.
32 sayısında 3 sayısı taban, 2 sayısı üs (kuvvet) olarak adlandırılır. 32 ifadesinde
2 sayısı, 3 ‘ün kaç kez yanyana yazılıp çarpılacağını gösterir.
32 = 3 x 3 = 9
2 tane 3’ün çarpımı
23 = 2 x 2 x 2 = 8
3 tane 2’nin çarpımı
43 = 4 x 4 x 4 = 64
54 = 5 x 5 x 5 x 5 = 625
25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32
Üslü sayma sayılarında taban ile üssün yeri değiştirildiğinde sayının değeri
değişir.
32 ile 23 sayılarını karşılaştırdığımızda;
32 = 9, 23 = 8’dir.
a, b ve n birer doğal sayı olmak üzere; an = b üslü niteliğinde a’ya “taban”,
a’nın kaç kez kendisiyle çarpıldığını belirten sayı olan n’ye “kuvvet” veya
“üs” ve “b’ye de değer” denilir.
11
=1
41
=4
71
=7
81
=8
101 = 10
Üssü 1 olan doğal sayılar, kendisine eşittir.
2
10 = 10 . 10 = 100
3
10 = 10 . 10 . 10 = 1000
104 = 10 . 10 . 10 . 10 = 10 000
}
102 103 ve 104 sayıları incelendiğinde,
102 sayısından 2 tane sıfır,
103 sayısından 3 tane sıfır,
104 sayısında 4 tane sıfır vardır.
33
MATEMATİK 6
10’un herhangi bir sayma sayısı olan kuvvetinin değerini bulmak için 1’in sağına 10’un kuvveti kadar sayıda sıfır yazılır.
105 = 100 000
106 = 1 000 000
ÖRNEK
10, 100, 1000, 10 000, 100 000 sayılarını 10’un kuvveti olarak yazınız.
ÇÖZÜM
10 = 101
100 = 102
1000 = 103
10 000 = 104
100 000 = 105
ÖRNEK
103 sayısı kaç basamaklıdır?
ÇÖZÜM
103 = 1000
1 + 3 = 4 basamaklıdır.
?
107 ve 106 sayıları kaç basamaklıdır?
ÖRNEK
102 + 251 + 42 işleminin sonucu kaçtır?
ÇÖZÜM
102 = 100
251 = 25
42 = 16
34
}
100 + 25 + 16 = 141
MATEMATİK 6
ÖRNEK
25, 34, 43 sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
ÇÖZÜM
25 = 32
34 = 81
43 = 64
?
81 > 64 > 32
34 > 43 > 25
73, 35, 26 sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayınız.
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki üslü ifadelerin değerlerini hesaplayınız.
a.
b.
c.
d.
35
26
54
122
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
2. Aşağıdaki çarpımları üslü nicelik olarak yazınız.
a.
b.
c.
d.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 ...........................................
5 x 5 x 5 ........................................................
3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 ....................................
10 x 10 x 10 x 10 x 10 ...............................
3. Aşağıdaki sayılan üslü nicelik olarak yazınız.
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
f.
g.
ğ.
h.
8
10
25
27
36
64
81
100
121
1000
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
...............................................................
4. Aşağıdaki işlemlerin sonucu kaçtır?
a. 103 + 25 + 53
b. 23+32+18
35
MATEMATİK 6
3. Doğal Sayılar Kümesinde Toplama İşleminin Özellikleri
Toplama Tablosu
+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
8
2
2
3
4
5
6
7
8
9
3
3
4
5
6
7
8
9
10
4
4
5
6
7
8
9
10
11
5
5
6
7
8
9
10
11
12
6
6
7
8
9
10
11
12
13
7
7
8
9
10
11
12
13
14
6 N ve 7 N’dir.
6 + 7= 13 ve 7 + 6 = 13’tür.
Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır.
3 N , 2 N ve 7 N dir.
(3+2) + 7 = 12 ve 3 + (2+7) = 12’dir.
Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır.
ÖRNEK
Tabloya bakıldığında, hangi sayı ile toplama yaparsak toplam sayının kendisi
olur?
0 + 4 = 4,
4 + 0 = 4,
0 + 5 = 5,
5 + 0 =5,
7 + 0 = 7,
0 + 7 = 7,
8+0=8
0+8=8
0 ile bir doğal sayının toplamı, sayının kendisine eşittir. “0” (sıfır) toplama işleminin sonucunu etkilememektedir.
Bir sayı kümesindeki bir işlemi etkilemeyen elemana etkisiz eleman denir.
Doğal sayılar kümesinde toplama işleminin etkisiz elemanı “0” (sıfır) dır.
36
MATEMATİK 6
4. Doğal Sayılar Kümesinde Çarpma İşleminin Özellikleri
Çarpma Tablosu
x
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
8
10
12
14
3
0
3
6
9
12
15
18
21
4
0
4
8
12
16
20
24
28
5
0
5
10
15
20
25
30
35
6
0
6
12
18
24
30
36
42
7
0
7
14
21
28
35
42
49
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
3 N ve 5 N’dir.
3 x 5 = 15 ve 5 x 3 = 15’tir.
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.
2 N, 4 N ve 7 N’dir.
(2 x 4) x 7 = 56 ve 2 x (4 x 7) = 56’dır.
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminde 1 sayısı etkisiz elemandır.
1 x 5 = 5,
1 x 7 = 7,
1 x 3 = 3,
1x8=8
5 x 1 = 5,
7 x 1 = 7,
3 x 1 = 3,
8x1=8
37
MATEMATİK 6
Bir doğal sayının “0” (sıfır) ile çarpımı sıfıra eşittir.
Çarpma işleminde 0 sayısı yutan elemandır.
0 x 6 = 0,
0 x 7 = 0,
0 x 9 = 0,
0x5=0
6 x 0 = 0,
7 x 0 = 0,
9 x 0 = 0,
5x0=0
Çarpma İşleminin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
3 x (5 + 4) = 3 x 9
3 x (5 + 4) = (3 x 5) + (3 x 4)
= 27
= 15 + 12
= 27
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma
özelliği vardır.
?
7 x (6 + 3) = (7 x 6) + (7 x ) eşitliğinde
kaçtır?
ÖRNEK
x (9 + ) = (10 x 9) + (10 x 6) ise
+
kaçtır?
ÇÖZÜM
= 10
=6
}
+
= 10 + 6 = 16
Çarpma İşleminin Çıkarma İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
7 x (10 - 4) = 7 x 6
= 42
7 x (10 - 4) = (7 x 10) - (7 x 4)
= 70 - 28
= 42
Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma
özelliği vardır.
38
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. (45 x 5) x 4 işlemi ile 45 x (5 x 4) işlemini yapıp sonuçları karşılaştırınız?
2. Aşağıdaki işlemleri toplama işleminin değişme ve birleşme özelliğinden
yararlanarak yapınız.
a.
b.
c.
d.
238 + 22 + 73
988 + 47 +112
575 + 24 +125
713 + 275 + 125
3. Aşağıda verilen eşitliklerde şekillere karşılık gelen sayıları bulunuz.
a. 47 + (13 + 5) = (47 + ) + 5
b. 18 + ( + 4) = (18 + 9) + 4
+ (25 + 28) = (15 + 25) + 28
c.
4. Aşağıdaki işlemleri çarpma işleminin değişme ve birleşme özelliğinden
yararlanarak yapınız.
a.
b.
c.
d.
125 x 32 x 8
12 x 5 x 4
25 x 5 x 8
250 x12 x 4
5. Aşağıda verilen eşitliklerde şekillere karşılık gelen sayıları bulunuz.
x 7 = 25 x 7
a.
b. 9 x 4 = 4 x
c. 122 x = 5 x 122
d. 625 x 8 = x 625
6. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a.
b.
c.
ç.
d.
815 x 1
2154 x 0
0 x 915
1 x 2165
718 x 1
39
MATEMATİK 6
7. Aşağıdaki işlemleri, çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma
özelliğinden yararlanarak yapınız.
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
12 x (7 + 4)
10 x (15 + 7)
8 x (4 + 3)
9 x (12 - 4)
12 x (10 - 4)
5 x (4 - 2)
8. Aşağıdaki eşitliklerde şekillere karşılık gelen sayıları bulunuz.
a. 4 x (8 + 17) = (5 x 8) + (4 x )
b. 13 x (28 - 5) = ( x 28) - ( x 5)
9. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y”
yazınız.
t
t
t
t
t
t
Doğal sayılarla toplama işleminin etkisiz elemanı 0’dır. ( )
Doğal sayılarla çarpma işleminin yutan elemanı 1’ dir. ( )
Doğal sayılarla çarpma işleminin etkisiz elemanı 0’dır. ( )
Doğal sayılarla toplama işleminin değişme özelliği yoktur. ( )
Doğal sayılarla çarpma işleminin değişme özelliği vardır. ( )
Doğal sayılarla çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği
vardır. ( )
t Doğal sayılarla çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği
yoktur. ( )
t Doğal sayılarla toplama işleminin bileşme özelliği vardır. ( )
t Doğal sayılarla çarpma işleminin birleşme özelliği yoktur. ( )
10. 9 x (8 - 3) = (9 x 8) - ( x 3) eşitliğinde " " kaçtır?
40
MATEMATİK 6
ÖZET
Sayıları yazmaya yarayan 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sembollerine rakam denir.
Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir. N= {0,1, 2, 3 ………….}
a, b ve n birer doğal sayı olmak üzere, an = b üslü niceliğinde a’ya “taban”, a’nın
kaç kez kendisiyle çarpıldığını belirten sayı olan n’ye “kuvvet” veya “üs” ve b'ye de
“değer” denilir.
Doğal sayılar kümesinde toplama ve çarpma işleminin değişme ve birleşme
özelliği vardır. Toplama işleminin etkisiz elemanı 0 sayısı, çarpma işleminin etkisiz
elemanı 1 sayısıdır. Çarpma işleminde yutan eleman 0 sayısıdır. Doğal sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama ve çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
41
MATEMATİK 6
TEST I - II
1. Nuray ile Hale’nin toplam 110 TL’si vardır. Hale, Nuray’a 15 TL verirse ikisinin
paraları eşit oluyor. Buna göre Hale’nin kaç TL’si vardır?
A.
B.
C.
D.
40
50
70
80
2. Nalan ve Burçin’in yaşları farkı 12’dir. 2 yıl sonra Nalan’ın yaşı Burçin’in yaşının
2 katı olacağına göre, Burçin’in şimdiki yaşı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
8
10
12
20
3. Pınar, kırtasiyeden 2 defter, 3 kalem alarak 14 TL ödüyor. Bir defterin fiyatı, bir
kalemin fiyatının 2 katı olduğuna göre, bir defter kaç TL’dir?
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
4. Ardışık iki tek doğal sayının farkı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
5. Ardışık üç doğal sayının toplamı 675’tir. Büyük sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
224
225
226
227
6. Dört kardeşin şimdiki yaşları toplamı 28’ dir. Beş yıl sonra kardeşlerin yaşları
toplamı kaç olur?
A.
B.
C.
D.
42
33
36
45
48
MATEMATİK 6
7. Ardışık iki doğal sayının toplamı 25’tir. Bu sayıların çarpımları kaçtır?
A.
B.
C.
D.
132
144
154
156
8. İki doğal sayının toplamı 500, farkı 150 olduğuna göre, büyük sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
125
175
325
375
9. (20 x 40 x 30) + 4 işleminin sonucu kaçtır?
A.
B.
C.
D.
10. 52
A.
B.
C.
D.
244
2404
24 004
24 040
(32 + 22) işleminin sonucu kaçtır?
1
2
3
4
11. 10 + (30 : 10) - 6 işleminin sonucu kaçtır?
A.
B.
C.
D.
10
12
14
16
12. 20 + (3 x 6) - 5 işleminde ilk hangi işlem yapılmalıdır?
A.
B.
C.
D.
20 - 3
3x6
6–5
20 – 5
13. 105 sayısı kaç basamaklıdır?
A.
B.
C.
D.
5
6
7
8
43
MATEMATİK 6
14. 7 x 7 x 7 x 7 x 7 çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
7x5
57
75
7+5
15. ( x 25 ) + (13 x ) = 3 x (25 + 13) eşitliğinde “ ” yerine yazılması gereken sayı
aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
3
13
25
38
16. 35 x (10 - ) = 35 eşitliğinde “ “ yerine yazılması gereken sayı aşağıdakilerden
hangisidir?
A.
B.
C.
D.
17.
10
9
8
7
x (7 x 5) = (4 x ) + (4 x 5) eşitliğinde
A.
B.
C.
D.
+ kaçtır?
3
4
7
11
18. İki doğal sayının toplamı 1500, farkı 150 olduğuna göre büyük sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
325
375
825
875
19. 375 + 75 = + 375 eşitliğinde “ ” yerine yazılması gereken sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
75
300
375
450
20. 650 x = 35 x 130 eşitliğinde “
hangisidir?
A.
B.
C.
D.
44
5
7
12
35
” yerine yazılması gereken sayı aşağıdakilerden
MATEMATİK 6
C. TAM SAYILAR
1. Tam Sayıları Tanıyalım
10
5
0
0
-5
-10
-15
-20
Termometreyi incelediğimizde sıfırın altında ve üstüne sayılar vardır. “Bugün
hava sıcaklığı 12 °C’dur” dediğimizde sıfırın üstündeki sayılardan söz etmiş oluruz.
Bunu “+ 12 °C” şeklinde gösteririz.
“Bugün hava sıcaklığı sıfırın altında 17 °C'dur” dediğimizde ise sıfırın altındaki
sayılardan söz etmiş oluruz. Bunu da “-17 °C” şeklinde gösteririz.
Yükseklik veya derinlikleri ölçmede; deniz seviyesi “0” olarak kabul edilmiştir.
Deniz seviyesinin üstündeki yerler için “yükseklik” altındaki yerler için “derinlik” sayılarla ifade edilir. Yükseklikler pozitif (+) sayılarla, derinlikler ( - ) negatif sayılarla
gösterilir.
Deniz seviyesinin 40 m altı: - 40 m
Deniz seviyesinden 70 yükseklikte: + 70 m
+1, +2, +3, ...... gibi sayılara pozitif tam sayılar denir. Bu sayıların oluşturduğu
küme “Z+” ile gösterilir. Z+ = {+1, +2, ...... }
-1, -2, -3, ...... gibi sayılara negatif tam sayılar denir. Bu sayıların oluşturduğu
küme “Z-” ile gösterilir. Z- = { ............... -4, -3, -2, -1 }
Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşan kümeye,
tam sayılar kümesi denir ve “Z“ ile gösterilir.
Z = { ............... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ............... }
45
MATEMATİK 6
Sıfır bir tam sayıdır. Fakat pozitif veya negatif değildir.
Pozitif tam sayıları “+” işareti ile yazmaya gerek yoktur.
+15 = 15
+14 = 14
ÖRNEK
-8 ile -3 arasındaki tam sayıların kümesi, {-7, -6, -5, -4} dir.
?
-11 ile +2 arasındaki tam sayıların kümesini yazınız.
2. Mutlak Değer
Verilen sayı doğrusunda;
|OA| = |OA'| olup |-7| = |+7| = 7
|OB| = |OB'| olup |-4| = |+4| = 4’tür.
Bir tam sayının sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünün başlangıç noktasına
olan uzaklığına, bu tam sayının mutlak değeri denir. “| |” sembolü ile gösterilir, mutlak değer diye okunur. Örneğin; “|-1|”, -1'in mutlak değeri diye okunur.
|-1| = |1| = 1
|-15| = |15| = 15
-12, +25, 0, -3, -8, +12, +3, -25, +15, -15
?
Yukarıda verilen tam sayıların mutlak değerlerini bulunuz. Mutlak
değerleri eşit olan tam sayılar hangileridir?
46
MATEMATİK 6
3. Tam Sayılarla Sıralama
Sayı doğrusu üzerinde “0” sıfır başlangıç noktası (orijin) dır. Sayı
doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe
sayılar küçülür.
+4 > + 2
-1 < +3
-4 < -3
-1 > -2
0 tam sayısı pozitif tam sayılardan küçük, negatif tam sayılardan büyüktür.
0 > -7
0 < +11
ÖRNEK
+5, -3, 0, +1, -6, +4, tam sayılarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
+5 > + 4 > + 1 > 0 > -3 > -6
?
1. -14, +12, +9, 0, -5, +3, -7, tam sayılarını küçükten büyüğe doğru
sıralayınız.
2. -12, +8, -13, +15, +21, -5, +1, tam sayılarını büyükten küçüğe doğru
sıralayınız.
47
MATEMATİK 6
ÖRNEK:
Tabloda verilen hava raporuna göre illeri soğuktan sıcağı doğru sıralayalım.
Tablo: İllerin Hava Sıcaklıkları
İller
Sıcaklık °C
Erzurum
-20°C
Kars
-17°C
Ankara
-5°C
Ağrı
-22°C
-22°C < -20°C <-5°C
Tabloda verilen sıcaklıklara göre soğuktan sıcağa doğru iller, Ağrı, Erzurum,
Kars ve Ankara’dır.
ÖRNEK:
|-7|, |-4|, |+3|, |+13| mutlak değerleri verilen sayıları büyükten küçüğe doğru
sıralayalım.
ÇÖZÜM
|-7| = 7
|-4| = 4
|+3| = 3
|+13| = 13
48
}
13 > 7 > 4 > 3
|+13| > |-7| > |+3| > |-4|'tür.
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki sayılar arasına “<” veya “>” işaretlerinden uygun olanını yazınız.
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
f.
g.
ğ.
h.
-8
5
|-8|
|-21|
|10|
-5
-19
|38|
-5
|-52|
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
-3
-2
0
|81|
|-10|
-15
-20
-97
18
|-32|
2. Mutlak değerleri verilen sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
a.
b.
c.
d.
|-14|,|-5|, |-7|, |-2|
|+17|, |+12|, |+4|, |+5|
|-12|, |+ 14|, |+5|, |+2|
|-13|, |-7|, |+4|, |-12|, |-8|
3. Aşağıda verilen ifadelerde doğru olanların yanına “D”, yanlış olanların yanına “Y”
yazınız.
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
f.
Tam sayılar kümesi doğal sayılar kümesinin alt kümesidir. (…)
Negatif tam sayılar sıfırdan küçüktür. (…)
En küçük pozitif tam sayı 1’dir. (…)
Her doğal sayı bir tam sayıdır. (…)
Pozitif tam sayılar sıfırdan büyüktür. (…)
(-10) tam sayısının mutlak değeri 10’dur. (…)
En küçük negatif tam sayı -1’dir. (…)
49
MATEMATİK 6
ÖZET
Pozitif tamsayılar, Z+ = {+1, 3, +3, +4 ……}
Negatif tam sayılar, Z- = {….. -4, - 3, -2, -1}'dir.
Pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırın birleşiminden oluşan kümeye,
tam sayılar kümesi denir ve "Z" ile gösterilir.
Z = Z- U {0} UZ+
Z ={….. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …..}
Bir tam sayının sayı doğrusu üzerindeki görüntüsünün başlangıç noktasına
olan uzaklığına, bu tam sayının mutlak değeri denir. “| |” sembolü ile gösterilir.
|+15| = |-15| = 15
Sayı doğrusunda negatif tam sayılar sıfırın solunda, pozitif tam sayılar sıfırın
sağındadır.
Sayı doğrusunda sola doğru gidildikçe sayıların değerleri küçülür, sağa doğru
gidildikçe sayıların değerleri büyür.
50
MATEMATİK 6
TEST I - III
1. Aşağıdakilerden hangisi pozitif tamsayılar kümesidir?
A.
B.
C.
D.
{…. -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4…}
{1, 2, 3, 4, 5 …}
{… -4, -3, -2, - 1}
{0, 1, 2, 3, 4 …}
2. Tam sayılar kümesinin liste şeklindeki yazılışı aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
{…, -3, -2, -1, 0}
{0, 2, 3, 4, …}
{… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}
{-3, -2, -1, 0, 2, 3 }
3. Sayı doğrusunda -2 ile +7 arasında kaç tam sayı vardır?
A.
B.
C.
D.
5
8
9
10
4. Sayı doğrusunda, aşağıdaki sayılardan hangisine karşılık gelen nokta, 0 (sıfır)
başlangıç noktasına en uzakta yer alır?
A.
B.
C.
D.
11
7
-10
-12
5. Aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A.
B.
C.
D.
-11 < -17 < 0 < + 14
-18 < -16 < +15 < +13
0 < +8 < -15 < + 18
-16 < -13 < 0 < + 7
6. Aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A.
B.
C.
D.
|-118| > -115 > 114
|- 118| > 114 > -115
114 > |- 118| > -115
114 > -115 > |-118|
51
MATEMATİK 6
7. Ufuk’un 80 TL’si vardır. 18 TL’ye kravat, 25 TL’ye gömlek ve 60 TL’ye takım elbise
almak istiyor. Bunları alabilmesi için en az kaç TL’ye daha ihtiyacı vardır?
A.
B.
C.
D.
13
23
27
37
8. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A.
B.
C.
D.
|+18| > |-8|
|+21| = |-21|
|-140| < 140
|-18| < |-20|
9. Aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A.
B.
C.
D.
52
En büyük negatif tam sayı -1 ‘dir.
En küçük pozitif sayı + 1’ dir.
-8 sayısının mutlak değeri 8’ dir.
Tam sayılar kümesi N ile gösterilir.
2. ÜNİTE
A. CEBİRSEL İFADELER, EŞİTLİK VE DENKLEM
1. Cebirsel İfadeler
2. Denklemler
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST II-I
B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR
1. Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları
2. Bölünebilme Kuralları
3. Asal Sayılar
4. EBOB ve EKOK
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST II-II
MATEMATİK 6
BU BÖLÜMÜN AMAÇLARI
Bu bölümün konularını çalıştığınızda;
1. Sayı örüntülerini modelleyecek,
2. Örüntülerdeki ilişkiyi harflerle ifade edecek,
3. Doğal sayıların kendisiyle tekrarlı çarpımını üslü biçimde gösterecek,
4. Üslü sayının değerini belirleyecek,
5. Probleme uygun cebirsel ifade yazacak,
6. Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözecek,
7. Doğal sayıların çarpanlarını ve katlarını belirleyecek,
8. Bölünebilme kurallarını açıklayacak,
9. Asal sayıları belirleyecek,
10. Doğal sayıların ortak bölenlerini ve ortak çarpanlarını problem çözümünde
uygulayacaksınız.
NASIL ÇALIŞMALIYIZ?
Bu bölümün konularını kavrayabilmek için;
1. Örnekleri dikkatle inceleyiniz ve anlamaya çalışınız.
2. Örneklerle ilgili açıklama ve uyarıları dikkate alınız.
3. Değişik kaynaklardan edindiğiniz problemleri denklem kurarak çözmeye
gayret ediniz.
4. Anlamadığınız konularda çevrenizden yardım isteyiniz.
54
MATEMATİK 6
A. CEBİRSEL İFADELER, EŞİTLİK VE DENKLEM
1. Cebirsel İfadeler
ÖRNEK:
“Esra’nın yaşı, Leyla’nın yaşından 2 fazladır.” Buna göre, her ikisinin yaşlarının
kaç olabileceğini bulalım.
Esra 1 yaşındaysa, Leyla’nın yaşı 1+2=3’tür.
Esra 2 yaşındaysa, Leyla’nın yaşı 2 + 2 = 4’tür.
Esra ve Leyla’nın yaşını veren aşağıdaki gibi bir tablo oluşturabiliriz.
Tablo: Esra ve Leyla’nın Yaşları
Esra’nın Yaşı
Leyla’nın Yaşı
1
1+2=3
2
2+2=4
3
3+2=5
4
4+2=6
5
5+2=7
...
...
...
...
...
...
a
a+2
Esra’nın yaşı arttıkça Leyla’nın yaşı da artmaktadır. Buna göre, Esra’nın yaşını
bir sembolle gösterirsek, Leyla’nın yaşını daha kolay ifade ederiz.
Esra’nın yaşına “a” dersek, Leyla’nın yaşı “a + 2” olur.
Burada, a harfine “değişken” ya da “bilinmeyen” adı verilir. a + 2 ifadesi ise içinde değişken olduğundan “cebirsel ifade” olarak adlandırılır.
En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler” denir.
55
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki tabloda yer alan sözlü ifadeleri cebirsel ifade olarak yazalım.
Sözlü ifade
Cebirsel ifade
Ela’nın oyuncakları, Mert’inkinden 5 fazla
a+5
Ayşe’nin yaşı Filiz’in yaşının 2 katı
2.m
30 dakikalık bir sınavda kalan süre
30 - b
Bir sayının 3 katının 4 fazlası
Eşkenar üçgenin çevre uzunluğu
3.x+4
3.y
Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir değişken veya birden fazla değişkenin çarpımına “terim”, terimlerin sayısal çarpımına ise “kat sayı” denir.
ÖRNEK
Aşağıda verilen her bir modele karşılık gelen cebirsel ifadeyi yazınız.
ÖRNEK
3 - 6 - 9 - 12 - 15 - ... sayı örüntüsüne göre;
a) Örüntünün 10. ve 16. adımlarındaki sayıları bulalım.
Örüntüyü incelediğimizde her bir adımdaki sayının, adım sayısının 3 katına
eşit olduğu görülmektedir. Buna göre;
10. adımdaki sayı 3 x 10 = 30
16. adımdaki sayı 3 x 16 = 48 şeklinde bulunur.
56
MATEMATİK 6
b) Örüntüye uygun cebirsel ifadeyi elde etmek için tablo oluşturalım.
Sayının
örüntüdeki sıra
numarası
Sayı için
kullanılan kare
sayısı
1
Sayı ile kullanılan kareler arasındaki
sayısal ilişkiler
1. seçenek
2. seçenek
3
1+1+1=3
3.1=3
2
6
2+2+2=6
3.2=6
3
9
3+3+3=9
3.3=9
4
12
4 + 4 + 4 = 12
3 . 4 = 12
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
n
...
n+n+n
3n
"n" harfi verilen örüntüdeki sayıların sırasını veya yerini belirten bir işaret, sembol veya notasyondur. Bu yüzden "n" örüntünün "n. sayısı", “temsilci sayısı” veya “genel sayısı” olarak adlandırılır.
57
MATEMATİK 6
2. Denklemler
Bilinmeyeni Bulalım
ÖRNEK
Şekildeki terazi dengededir. Kefelerdeki birim kütleleri inceleyelim.
3+1 = 1+1+1+1
4 = 4
Dengedeki terazinin sağ kefesine iki birim eklediğimizde ne olur?
?
Dengedeki terazinin kefelerine üç birim eklediğimizde ne olur?
Dengedeki terazinin kefelerini birinden bir birim alındığında,
dengenin bozulmaması için ne yapılmalıdır?
Denge durumu, eşitliğin bir modelidir. Bu model “=” sembolü ile gösterilir.
ÖRNEK
Denge durumundaki terazinin kefelerinde bulunan
kütleyi, sembolü ise bilinmeyeni temsil etmektedir.
sembolü 1 kilogramlık
Terazinin denge konumunu gösteren cebirsel ifadeyi yazalım.
58
MATEMATİK 6
Terazinin sağ kefesinde bulunan sembolünü “x” harfi ile gösterelim.
Terazinin sol kefesinde bulunanların cebirsel ifadesi “x + x + x + 1 + 1” dir.
Terazisinin sağ kefesinde bulunan kütlelerin cebirsel ifadesi “x + x + x + x + x”
dir.
Denge durumu için “=” sembolünü kullanarak denge durumuna ait cebirsel
ifadeyi,
x+x+x+1+1=x+x+x+x+x
3x + 2 = 5x şeklinde yazabiliriz.
Bilinmeyen içeren eşitlikler “denklem” olarak ifade edilir.
ÖRNEK
Dengedeki terazinin kefelerindeki sembolü 1 birim kütleyi temsil etmektesembolü ile gösteridir. Buna göre, dengede olan teraziye ait denklemi yazarak,
len bilinmeyeni bulalım.
Dengede olan teraziye ait eşitlik x + 4 = 7 olarak yazılır.
Terazinin her iki kefesinden bilinmeyenin yanında bulunan miktarda kütlesini
çıkaralım.
Böylece
sembolünün,
cinsinden eş değerini buluruz.
59
MATEMATİK 6
Çözümü kontrol etmek için, bulduğumuz x = 3 değerini, x + 4 = 7 denkleminde yerine yazalım.
x+4=7
3+4=7
7=7
olduğundan bulduğumuz sonuç doğrudur.
ÖRNEK
“Kendisinin 6 fazlası 21 olan sayı kaçtır ?” sorusuna ait denklemi yazalım ve
çözelim.
Bilinmeyeni (değişkeni) x ile gösterirsek, x + 6 = 21 denklemi elde edilir.
x’ i yalnız bırakmak için her iki tarafa (-6) ekleyelim
x + 6 + (-6) = 21 + (-6)
x = 15
Çözümü kontrol edelim;
x + 6 = 21 denkleminde,
x = 15 için
15 + 6 = 21
21 = 21 olduğundan bulduğumuz sonuç doğrudur.
İçinde bilinmeyen bulunan eşitliklere denklem, denklemi doğru yapan değişkenin (bilinmeyenin) değerine denklemin çözümü, bu doğru değeri bulma işlemine
denklemi çözme denir.
60
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Ardışık üç sayının toplamı 63 ise bu sayıların en büyüğü kaçtır ?
ÇÖZÜM
Ardışık üç sayı : 1. sayı
x
Bu sayıların toplamı;
2. sayı
x+1
3. sayı
x+2
x + x + 1 + x + 2 = 63
3x + 3 = 63
3x + 3 + (-3) = 63 + (-3)
3x = 60
3
3
x = 20
En büyük sayı;
x + 2 = 20 + 2 =22’ dir.
ÖRNEK
Nazlı ile annesinin yaşlan toplamı 56’dır. Annesinin yaşı Nazlı’nın yaşının 3 katından 4 fazladır. Buna göre Nazlı’nın yaşını bulunuz.
ÇÖZÜM
Nazlı'nın yaşına x dersek, annesinin yaşı 3x + 4 olur.
Nazlı ile annesinin yaşları toplamı x + 3x + 4 = 56
4x + 4 = 56
4 x + 4 + (-4) =
4x =
4
x=
56 + (- 4)
52
4
13
Nazlı’nın yaşı 13’tür.
61
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. 10 - 20 - 30 - 40 - 50 ... sayı örüntüsündeki ilişkiye karşılık gelen cebirsel ifadeyi
değişken kullanarak yazınız. Elde ettiğiniz cebirsel ifade yardımıyla örüntünün
12. ve 20. adımdaki sayıları bulunuz.
2. 5n - 2 cebirsel ifadesinde 8. ve 16. sayıları bulunuz.
3. a = 4 için 6a - 1 cebirsel ifadesinin değerini bulunuz.
4. “Hangi sayının 5 katının 2 eksiği 43 ‘ tür ?” Bu sayıyı bularak çözümün doğruluğunu
kontrol ediniz.
5. Aşağıdaki denklemleri çözünüz ve çözümün doğruluğunu kontrol ediniz.
a) x + 7 = 11
b) a - 8 = 25
c) -12 + m = 20
ç) 3b = 21
d) 3y-11 = 70
e) 5x - 2(3-x) = 15
6. Ardışık beş çift sayının toplamı 105’tir. Bu sayıların en büyüğü ile en küçüğünün
toplamı kaçtır?
7. Özlem pazardan aldığı 3kg şeftali, 2kg üzüm için 12 TL ödemiştir. Üzümün kg’ı
1,5 TL olduğuna göre, şeftalinin kg’ı kaç TL’dir?
8. Bir top kumaşın, 1 'i ile 3 'ünün toplamı 140 metredir. Bu toptaki kumaş kaç
4
2
metredir?
9. Ayla, Leyla’dan 4 yaş büyüktür. Ayla ile Leyla’nın yaşları toplamı 48’dir. Her ikisinin
yaşını hesaplayınız.
10. 6/A sınıfının mevcudu 33'tür. Kızların sayısı, erkeklerin sayısının 2 katının
6 fazlasıdır. Kız ve erkek öğrenci sayısını bulunuz.
62
MATEMATİK 6
ÖZET
En az bir bilinmeyen ve işlem içeren ifadelere “cebirsel ifadeler” denir.
Bir cebirsel ifadede bir sayı ile bir ya da birden fazla değişkenin çarpımına
“terim”, terimlerin sayısal çarpımına ise “kat sayı” denir.
“n” harfi, verilen örüntüdeki sayıların sırasını veya yerini belirten bir işaret,
sembol veya notasyondur. Bu yüzden “n” örüntünün “n. sayısı”, “temsilci sayısı” veya
“genel sayısı” olarak adlandırılır.
İçinde bilinmeyen bulunan eşitliklere denklem, denklemi doğru yapan bilinmeyene denklemin çözümü, bu doğru değeri bulma işlemine denklemi çözme denir.
63
MATEMATİK 6
TEST II - I
1. 1-3-5-7-9... sayı örüntüsündeki 15. sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
25
27
29
31
2. Genel terimi 2 n + 3 olan sayı örüntüsünde 4. terim ile 2. terim arasındaki fark
kaçtır?
A.
B.
C.
D.
2
3
4
5
3. “Buzdolabındaki yumurtaların 3 tanesini kullandım. Geriye 12 yumurta kaldı.”
Verilen duruma uygun denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
12 - 3 = x
x - 3 = 12
12 - x = 3
3 - x = 12
4. “Bir kavanozdaki kırmızı bilyelerin 1 fazlasının 3 katının yarısı kadar beyaz bilye
vardır.” Beyaz bilyelerin sayısını veren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A. x + 3
2
B. 3x + 1
2
+
C. x 1
2
D. 3(x + 1)
2
5. 2x - 15 = -25 denklemini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
64
-20
-5
10
15
MATEMATİK 6
6. Bir sayının 2 katının 1 fazlası ile aynı sayının 3 katının 2 fazlasının toplamı 78’dir.
Buna göre, bu sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
-20
-5
10
15
7. Uzun kenar, kısa kenarın 2 katından 1 fazla olan dikdörtgenin çevresi 38 cm’dir.
Bu dikdörtgenin uzun kenarının uzunluğu kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
6
7
11
13
8. Hangi sayının 3 katının 3 fazlası 63 ‘tür?
A.
B.
C.
D.
20
21
22
23
9. “Hangi sayının 3 katıyla 2 eksiğinin toplamı 30’dur?”
Yukarıdaki problemin çözümünü veren denklem aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
3x - 2 = 30
3x + 2 = 30
3x + x - 2 = 30
3x - x + 2 = 30
10. 5 ` x + 1 j cebirsel ifadesinin sözel karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?
2
A. Bir sayının 1 fazlasının yarısının 5 katı
B. Bir sayının 5 katının yarısının 1 fazlası
C. Bir sayının 5 katının 1 fazlası
D. Bir sayının yarısının 1 fazlasının 5 katı
11. Serkan’ın bilyelerinin sayısının 3 fazlasının 4 katı Orkun’un bilyelerinin sayısına
eşittir. Orkun’un 28 bilyesi olduğuna göre, Serkan’ın bilyelerini bulmak için
aşağıdaki denklemlerden hangisi kullanılır?
A.
B.
C.
D.
4x + 3 = 28
4(x - 3) = 28
4(x + 3) = 28
4x - 3 = 28
65
MATEMATİK 6
12. Ardışık 5 tek sayının toplamı 165 ‘tir. Ortadaki sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
31
33
35
37
13. Bir babanın yaşı 45, iki çocuğunun yaşları toplamı 15’ tir. Kaç yıl sonra babanın
yaşı, çocukların yaşları toplamının 2 katı olur?
A.
B.
C.
D.
3
4
5
6
14. İki sayıdan biri diğerinden 5 fazladır. Küçük sayının 4 katı ile büyük sayının
3 katının toplamı 155’tir. Büyük sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
66
15
20
25
30
MATEMATİK 6
B. ÇARPANLAR VE ASAL SAYILAR
1. Doğal Sayıların Çarpanları ve Katları
ÖRNEK
12 sayısının bölenlerini yazalım.
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
12 sayısının bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12’dir.
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayılara, o sayının bölenleri denir.
?
36 ve 48 sayılarının bölenlerini yazınız.
ÖRNEK
12 sayısının çarpanlarını yazalım.
12 sayısının çarpanları 12, 6, 4, 3, 2, 1’dir. Dikkat edilecek olursa bu sayıların her
biri 12 ‘yi kalansız böler.
?
24 sayısının çarpanlarını yazınız.
67
MATEMATİK 6
ÖRNEK
36 sayısının çarpanlarını yazalım.
36 sayısının çarpanları 36, 18, 12, 9, 6, 4, 3, 2, 1'dir.
Bir sayının çarpanı aynı zamanda bölenidir. Bir sayının çarpanları ve
bölenleri sayıdan küçük veya eşittir. Sayının katları ise sayıdan büyük veya
eşittir.
Tek ve çift doğal sayılar
Birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılara çift doğal sayılar denir.
34 756, 12 290, 213 454, 32, 678, ...
Birler basamağı 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılara tek doğal sayılar denir.
127, 359, 9763, 2521, 2345, ...
Örneğin,
36 sayısının çarpanlarının 8 tanesi çift sayı 3 tanesi tek sayıdır.
2 x 3 = 6 çarpanlardan biri tek, biri çiftse çarpım çifttir.
4 x 5 = 20
2 x 6 = 12 çarpanlardan ikisi de çiftse çarpım çifttir.
8 x 4 = 32
3 x 5 = 15 çarpanların ikisi de tekse çarpım tektir.
7 x 9 = 63
68
MATEMATİK 6
Tek sayıları “T” ile çift sayıları “Ç” ile gösterelim.
ÇxT=Ç
Ç+T=T
TxÇ=Ç
T+Ç=T
ÇxÇ=Ç
Ç+Ç=Ç
TxT=T
T+T=Ç
ÖRNEK
12, 13 ve 18’in katlarını yazalım.
12 sayısının katları: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, ...
13 sayısının katları: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91, 104, ...
18 sayısının katları: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, ...
ÖRNEK
5 arkadaş ellerindeki cevizleri torbaya koyuyorlar. Birinci 2 ceviz, ikinci birincinin 2 katı, üçüncü birincinin 3 katı, dördüncü birincinin 4 katı, beşinci birincinin
5 katı kadar ceviz torbaya koyuyor.
a) Torbada kaç ceviz vardır?
b) Torbadaki ceviz sayısı, birincinin torbaya koyduğu cevizin kaç katıdır?
ÇÖZÜM
a)
1.
2
2.
2.2=4
3.
2.3=6
4.
2.4=8
5.
2 . 5 = 10
Torbadaki toplam ceviz sayısı = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
b) Torbadaki ceviz sayısı, birincinin torbaya koyduğu ceviz sayısının 15 katıdır.
69
MATEMATİK 6
2. Bölünebilme Kuralları
2 ile kalansız bölünebilme
18 : 2 = 9, 24: 2 = 12, 32: 2 = 16, 46: 2 = 23, 10: 2 = 5
Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biri bulunan sayılar 2 ile kalansız
bölünür. Yani çift doğal sayılar 2 ile kalansız bölünür.
3472, 6234, 4350, 326, 4258 sayıları 2 ile kalansız bölünür.
Aşağıdaki doğal sayılardan hangileri 2 ile kalansız bölünebilir?
?
3457,1324, 6370, 425, 28, 4
ÖRNEK
32n sayısı, üç basamaklı doğal sayıdır. Bu sayının 2 ile kalansız bölünebilmesi
için “n” yerine yazılabilecek rakamları bulunuz.
ÇÖZÜM
32n sayısının 2 ile kalansız bölünebilmesi için birler basamağının çift sayı olması gerekir. Dolayısıyla, n yerine 0, 2, 4, 6, 8 rakamları yazılabilir.
5 ile kalansız bölünebilme
10 : 5 = 2
25: 5 = 5
Birler basamağında “0” veya “5” rakamı olan doğal sayılar 5 ile kalansız bölünür.
34 070, 2575 sayıları 5 ile kalansız bölünür.
Aşağıdaki doğal sayılardan hangileri 5 ile kalansız bölünebilir?
?
35 790, 72 670, 4343, 6892, 435, 37
70
MATEMATİK 6
ÖRNEK
435n dört basamaklı doğal sayısının 5 ile kalansız bölünebilmesi için, “n” yerine yazılabilecek rakamları bulunuz.
ÇÖZÜM
Bir doğal sayının 5 ile kalansız bölünebilmesi için, birler basamağındaki rakamlar “0” veya “5” olmalıdır. Dolayısıyla 435n sayısında, n yerine 0, 5 rakamları yazılmalıdır.
3 ile kalansız bölünebilme
Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ‘ün katı ise bu sayı 3 ile
kalansız bölünür.
Örneğin, 27 sayısı 3 ile kalansız bölünür. Çünkü rakamları toplamı 2 + 7 = 9’dur.
9’ da 3 ‘ün katıdır.
ÖRNEK
942 ve 725 sayıları 3 ile kalansız bölünebilir mi?
942 sayısında 9 + 4 + 2 = 15’dir. 15’te 3’ün katıdır. 942 sayısı 3 ile kalansız bölünür.
725 sayısında 7 + 2 + 5 = 14 ‘tür. 14 ‘te 3’ün katı değildir. 725 sayısı 3 ile kalansız
bölünemez.
?
Aşağıdaki doğal sayılardan hangileri 3 ile kalansız bölünebilir?
369, 1200, 3249, 275, 62, 156,
ÖRNEK
34n2 dört basamaklı doğal sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi için, “n” yerine yazılabilecek rakamları bulunuz.
ÇÖZÜM
34n2 = 3 + 4 + 2 + n = 9 +n’ in 3 ün katı olması için n yerine 0, 3, 6, 9 rakamları
yazılabilir.
9+0=9
9 + 3 = 12
9 + 6 = 15
9 + 9 = 18
9, 12, 15, ve 18 sayıları 3’ün katıdır.
71
MATEMATİK 6
4 ile kalansız bölünebilme
Birler ve onlar basamağı 0 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile kalansız bölünür.
2100,
3504,
672,
956
6 ile kalansız bölünebilme
3 ile kalansız bölünebilen her çift sayı 6 ile kalansız bölünür.
36, 702, 8154, ...
ÖRNEK
Aşağıdaki tablodaki sayılardan hangileri 6 ile kalansız bölünür?
ÇÖZÜM
Tabloda 3 ile kalansız bölünenleri mavi, 2 ile kalansız bölünenleri kırmızıyla
gösterelim.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Tablodan da görüldüğü gibi 3 ile kalansız bölünebilen her çift sayı 6 ile kalansız bölünür.
Siz de 3 ‘ün katı olan sayıları yeşil, 9’un katı olan sayıları pembe ile boyayınız.
9 ile kalansız bölünebilme
Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9’un katı ise bu sayı 9 ile
kalansız bölünür.
2709 sayısında 2 + 7 + 0 + 9 = 18’dir. 18’de 9’un katıdır. 2709 sayısı 9 ile kalansız
bölünür.
72
MATEMATİK 6
9 ile kalansız bölünebilen her doğal sayı 3 ile de kalansız bölünür.
?
Bir A doğal sayısının 3’e bölümü 11’dir. Bu A sayının 9 ile bölümünden
kalan kaç olur?
10 ile kalansız bölünebilme
Birler basamağında “0” bulunan her doğal sayı 10 ile kalansız bölünür.
720, 4790, 92 750, 6 273 540,
ÖRNEK
12, 27, 36, 45, 52, 60, 81 sayılarından hangilerinin 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 ile kalansız
bölünebileceğini bulunuz.
ÇÖZÜM
Tabloda bu sayılara kalansız bölünebilenleri +, kalansız bölünemeyenleri - ile
gösterelim.
Tablo: Sayılar ve Bölenleri
Sayılar
12
27
36
45
52
60
81
100
2
+
+
+
-
+
+
-
+
3
+
+
+
+
-
+
+
-
4
+
-
-
-
-
+
-
+
5
-
-
-
+
-
+
-
+
6
+
-
+
-
-
+
-
-
9
-
+
+
+
-
-
+
-
10
-
-
-
-
-
+
-
+
Bölenler
Tabloda 4’e, 6’ya ve 9’a kalansız bölünebilen sayıların başka hangi sayılara kalansız bölünebildiğine dikkat ediniz.
73
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Dört basamaklı 34ab sayısı 6 ile kalansız bölünebildiğine göre a + b’nin en
büyük değeri kaçtır?
ÇÖZÜM
32ab sayısının 6 ile kalansız bölünebilmesi için 2 ve 3 ile bölünebilmesi gerekir.
34a0
34a2
34a4
34a6
34a8
2
0
1
2
0
5
3
4
5
3
8
6
7
8
6
9
9
a’nın en büyük değeri 9, b’nin en büyük değeri 8’dir.
a+b = 9 + 8
= 17’dir.
3. Asal Sayılar
1’den ve kendisinden başka böleni olmayan 1’den büyük sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11 sayıları asal sayılardır.
6, 12, 18, sayılarının çarpanlarının sayısı 2’den fazla olduğu için asal sayı değildir.
74
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki tabloda 100’e kadar olan asal sayılar işaretlenmiştir. Tabloyu inceleyiniz.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
En küçük asal sayı 2’dir. 2 çift olan tek asal sayıdır.
?
1. 34 ile 49 arasındaki asal sayıları yazınız.
2. 1 doğal sayısı neden asal sayı değildir? Araştırınız.
3. 17, 23, 37 sayılan asal mıdır? Nedenini açıklayınız.
Asal Çarpanlarına Ayırma
Asal çarpan ağacı
54’ün asal çarpanları 2 ve 3’tür.
Bir doğal sayının bölenleri, aynı zamanda çarpanlarıdır.
75
MATEMATİK 6
Bir doğal sayının asal sayıların çarpımı biçiminde yazılmasına sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
ÖRNEK
18 ve 34 sayılarını asal çarpanlarına ayıralım.
18
2
9
3
3
3
18 = 2 . 3 . 3
= 2 . 32
34
2
17
17
34 = 2 . 17
1
ÖRNEK
Asal çarpanlara ayrılmış hali 3 x 5 x 7 olan doğal sayıyı bulalım.
ÇÖZÜM
3 x 5 x 7 = 105'tir.
ÖRNEK
Asal çarpanlarına ayrılmış hali 2³ x 3 x 5 olan doğal sayıyı bulalım.
ÇÖZÜM
2³ x 3 x 5 = 8 x 3 x 5 = 120'dir.
1. Aşağıda verilen sayıları asal çarpanlarına ayırarak yazınız.
32, 42, 49, 60
?
2. Aşağıda asal çarpanlarına ayrılmış doğal sayıları bulunuz.
2x3x5
2³ x 3²
2² x 3 x 5
76
MATEMATİK 6
4. EBOB ve EKOK
En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
12 ve 18 in bölenlerini bulalım.
12 : 1 = 12
18 : 1 = 18
12 : 2 = 6
18 : 2 = 9
12 : 3 = 4
18 : 3 = 6
12 : 6 = 2
18 : 9 = 2
12 : 12 = 1
18 : 18 = 1
12 nin bölenleri = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }
18 in bölenleri = { 1, 2, 3, 6, 9, 18, }
12 ve 18 in ortak bölenleri = {1, 2, 3, 6}
12 ve 18 sayılarının ortak bölenlerinin en büyüğü 6’dır. 6 sayısına, 12 ve 18
sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) denir. EBOB (12, 18) = 6
İki veya daha fazla sayma sayısının ortak bölenleri arasında en büyük olanına
bu sayıların en büyük ortak böleni denir. En büyük ortak bölen kısaca EBOB biçiminde yazılır.
12 ve 18 sayılarının ortak olan asal çarpanları aynı zamanda bölenleri olduğundan 12’nin ve 18’in en büyük ortak bölenini asal çarpanlar yardımıyla bulalım.
12
18
2*
6
9
2
3
9
3*
1
3
3
12 ve 18’in ortak çarpanlarını işaretleyiniz.
İşaretli ortak çarpanların çarpımı EBOB’u verir.
EBOB (12, 18) = 2 . 3 = 6
1
Sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Ortak çarpanlar işaretlenir.
İşaretlenen ortak çarpanların çarpımı verilen sayıların EBOB’u dur.
77
MATEMATİK 6
ÖRNEK
24 ve 36 sayılarının EBOB ‘unu bulalım.
24
36
2*
12
18
2*
6
9
2
3
9
3*
3
3
EBOB (24, 36) = 2 . 2 . 3 = 12’dir.
?
18 ve 48 sayılarının EBOB'unu bulunuz.
ÖRNEK
15 ve 30 sayılarının EBOB ‘unu bulalım.
15
30
2
15
15
3*
5
5
5*
1
1
EBOB (15, 30) = 3 . 5 = 15’tir.
Biri diğerinin katı olan iki sayma sayısının EBOB’u bu sayılardan küçüğüne
eşittir.
Aşağıda verilen sayıların EBOB'larını zihinden bulunuz.
EBOB (15, 60) =
?
EBOB (20, 40) =
EBOB (12, 72) =
EBOB (10, 50) =
78
MATEMATİK 6
ÖRNEK
14 ve 15 sayılarının EBOB’unu bulunuz.
14
15
2
7
15
3
7
5
5
7
1
7
1
EBOB (14, 15) = 1’dir.
14 ve 15 sayıları asal değildir. Ancak 1’ den başka ortak böleni yoktur.
1’ den başka ortak böleni olmayan sayılara aralarında asal sayılar denir.
Aralarında asal sayıların EBOB’u 1’ dir.
ÖRNEK
12, 24 ve 48 sayılarının EBOB ‘unu bulunuz.
18
24
36
2*
9
12
18
2
9
6
9
2
9
3
9
3*
3
1
3
3
1
EBOB (18, 24, 36) = 2 . 3 = 6’dır.
1
1. 36, 48 ve 64 sayılarının EBOB'unu bulunuz.
2. Aşağıda verilen sayıların EBOB'unu zihinden bulunuz.
?
EBOB (10, 20,30) =
EBOB (12, 48, 72) =
EBOB (5, 35, 40) =
79
MATEMATİK 6
Aralarında Asal Sayılar
14 ve 15 sayılarının bölenlerini yazalım.
14 ‘ün bölenleri, 1, 2, 7, 14’ tür.
15’in bölenleri, 1, 2, 3, 5, 15’tir.
14 ve 15 sayıları asal olmadıkları halde ortak bölenleri 1’dir.
Asal sayı olup olmadıklarına bakılmaksızın, 1’den başka ortak böleni olmayan
sayılara aralarında asal sayılar denir.
Aşağıda verilen sayılardan hangileri aralarında asaldır? Neden?
3 ve 9
?
7 ve 24
12 ve 25
8 ve 27
Doğal Sayılarda En Küçük Ortak Kat (EKOK)
3 ve 4 sayılarının katlarını yazalım.
3’ün katları 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ...dır.
4’ün katları 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...dır.
3 ve 4’ün ortak katları, 12, 24, 36, ... dir.
3 ve 4’ün en küçük ortak katı 12’dir.
EKOK (3, 4) = 12 biçiminde yazılır.
İki veya daha fazla sayma sayısının ortak katları içinde en küçük olanına, bu
sayıların en küçük ortak katı denir. En küçük ortak kat kısaca EKOK biçiminde yazılır.
80
MATEMATİK 6
ÖRNEK
3 ve 4 sayılarının en küçük ortak katlarını asal çarpanlar yardımıyla bulalım.
3
4
2
3
2
2
3
1
3
EKOK (3, 4) = 2 . 2 . 3 = 12’dir.
1
Sayılar birlikte asal çarpanlarına ayrılır. Asal çarpanların hepsi birbiri ile
çarpılır o çarpım, verilen sayının EKOK’udur.
ÖRNEK
12 ve 45 sayılarının EKOK’unu bulalım.
12
45
2
6
45
2
3
45
3
1
15
3
5
5
1
EKOK (12, 45) = 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 180’dir.
Aşağıdaki sayılarının EKOK’larını bulunuz.
?
EKOK (30, 36) =
EKOK (50, 90, 12) =
81
MATEMATİK 6
ÖRNEK
12 ve 36 sayılarının EKOK’unu bulalım.
12
36
2
6
18
2
3
9
3
1
3
3
1
EKOK (12, 36) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36’dır.
Birbirinin katı olan sayıların EKOK’u büyük sayıya eşittir.
ÖRNEK
18 ve 54 sayılarının EKOK’u kaçtır?
54 sayısı 18’in katıdır. EKOK (18,54) = 54’tür.
Aşağıda verilen sayıların EKOK’unu zihinden bulunuz.
EKOK (30, 60) =
?
EKOK (25, 50, 75) =
EKOK (18, 75) =
EKOK (12, 60) =
ÖRNEK
12, 18 ve 36 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
82
12
18
36
2
6
9
18
2
3
9
9
3
1
3
3
3
1
1
EKOK (12, 18, 36) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36’dır.
MATEMATİK 6
ÖRNEK
15 ve 8 sayılarının en küçük ortak katını bulalım.
15
8
2
15
4
2
15
2
2
15
1
3
5
1
5
EKOK (15, 8) = 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 120’dir.
1
Aralarında asal iki sayının EKOK’u bu sayıların çarpımına eşittir.
ÖRNEK
12 ve 25 sayılarının EKOK’u kaçtır?
12 ve 25 aralarında asaldır.
12 ve 25’ in EKOK’u, 12 x 25 = 300’ dür.
ÖRNEK
Ortak katlarının en küçüğü 65 olan iki asal sayının toplamı 18’dir. Bu asal sayıları bulalım.
ÇÖZÜM
65 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
65
13
5
1
13
13
1
EKOK (5, 13) = 5 . 13 = 65’dir.
Bu asal sayılar 5 ve 13’tür. Toplamları 18, EKOK’ları 65’tir.
Bu sayılar asal oldukları için çarpımları EKOK’u verir.
83
MATEMATİK 6
1. 14 ve 9 sayılarının EKOK’ u kaçtır?
?
2. Aralarında asal olan iki sayının EKOK’u 900’dür. Sayılardan biri
25 olduğuna göre, diğeri kaçtır?
EBOB ve EKOK’u Ayın İşlemle Bulma
ÖRNEK
48 ve 60 sayılarının EBOB ve EKOK’larını bulunuz.
İşaretli asal çarpanların çarpımı EBOB ‘u, bütün asal çarpanların çarpımı EKOK’u
verir.
48
60
2*
24
30
2*
12
15
2
6
15
2
3
15
3*
1
5
5
1
EBOB (48, 60) = 2 . 2 . 3 = 12’dir.
EKOK (48, 60) = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 5 = 240’tır.
İki sayının EKOK’u ile EBOB’unun çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir.
A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B)
48 x 60 = EKOK (48, 60) x EBOB (48, 60)
84
2880
= 240 x 12
2880
= 2880
MATEMATİK 6
ÖRNEK
En büyük ortak böleni 15 ve en küçük ortak katı 525 olan iki sayıdan biri 75’tir.
Buna göre diğer sayı kaçtır?
ÇÖZÜM
A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B)
A x 75 = 525 x 15
A = 7875
75
A = 105'tir.
ÖRNEK
A ve B birer doğal sayı olmak üzere, EKOK (A, B) = 23 . 52 ve EBOB (A, B) = 22 . 5
olduğuna göre, A x B kaçtır?
ÇÖZÜM
A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B)
= 23 . 52 x 22 . 5
= 200 x 20
= 4000'dir.
?
1. İki sayının çarpımı 432’dir. Bu sayıların EBOB’u 12 olduğuna göre,
EKOK’u kaçtır?
2. Aralarında asal iki sayının EBOB’u ile EKOK’unun toplamı 145’tir.
Bu sayılardan biri 16 olduğuna göre, diğer sayı kaçtır?
85
MATEMATİK 6
EBOB ve EKOK Problemleri
ÖRNEK
30, 40 ve 51 sayılarını böldüğünde, sırasıyla 3, 4 ve 6 kalanını veren en büyük
sayı kaçtır?
ÇÖZÜM
Bölen sayı “ ” olsun. Bu sayıların, kalansız bölünebilmeleri için bölünenlerden
kalanlar çıkarılır.
sayısı, 27, 36 ve 45 sayılarının bölenlerinin en büyüğü olmalıdır.
Bu nedenle, bu sayıların EBOB ‘unu bulmalıyız.
27
36
45
2
27
18
45
2
27
9
45
3*
9
3
15
3*
3
1
5
3
5
5
1
1
EBOB (27, 36, 45) = 3 . 3 = 9’dur.
30, 40, ve 51 sayılarını böldüğünde; sırasıyla 3, 4, ve 6 kalanını veren en büyük
sayı 9’ dur.
86
MATEMATİK 6
ÖRNEK
96 kg ve 84 kg’lık torbalardaki toz şekerler eşit miktarda ve hiç artmayacak
şekilde en az sayıda torba kullanılarak paylaştırılmak isteniyor.
a) Torbalar kaç kg’lık olmalıdır?
b) Kaç tane torba gereklidir?
ÇÖZÜM
96 kg ve 84 kg’lık şekerleri eşit miktarda ve hiç artmayacak şekildeki torbaların
en büyüğü olmalıdır. Bunun için 96 ve 84 sayılarının EBOB’u bulmalıyız.
96
84
2*
48
42
2*
24
21
2
12
21
2
6
21
2
3
21
3*
1
7
7
a) EBOB (96, 84) = 2 . 2 . 3 = 12’dir.
Torbaların herbirinde 12 kg toz şeker olmalıdır.
b) 96 : 12 = 8 torba
84 : 12 = 7 torba
}
8 + 7 = 15 torba gereklidir.
1
?
Bir satıcının elinde 36 kg ve 48 kg lık iki torba pirinç vardır. Satıcı
torbalardaki pirinçleri eşit miktarlarda paketlemek istemektedir.
Kaçar kilogramlık paketler hazırlayabilir?
Bu torbalardan en az kaç tane gerekir?
ÖRNEK
Üç ayrı ülkeden 24, 30 ve 48 kişilik üç öğrenci grubu gezi için ülkemize geliyorlar. Bir odada sadece aynı ülke öğrencilerinin ve her odada eşit sayıda öğrenci
olması isteniyor. Bu öğrenciler için en az kaç oda ayrılması gerekir?
87
MATEMATİK 6
ÇÖZÜM
24
30
48
2*
12
15
24
2
6
15
12
2
6
15
6
2
3
15
3
3*
1
5
1
5
1
EBOB (24, 30, 48) = 2 . 3 = 6’dır.
Odalarda 6 kişi kalabilir.
24 : 6 = 4
30 : 6 = 5
48 : 6 = 8
}
4 + 5 + 8 = 17 tane oda ayrılması gerekir.
Dikdörtgen biçimindeki bir arsanın uzun kenarı 75 m kısa kenarı
45 m'dir. Bu arsanın çevresine eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.
?
Aralıklar en çok kaç metre olmalıdır?
Bu arsa için en çok kaç ağaç gereklidir?
ÖRNEK
Boyutları 560 cm ve 160 cm olan dikdörtgen biçimindeki bir banyonun tabanına kare biçiminde fayans döşenecektir. Fayanslar en büyük boyutlu olacak ve
kırılmadan döşeneceklerine göre bu banyo için kaç tane fayans gereklidir?
ÇÖZÜM
Kare biçimindeki fayansların en büyük boyutlu olması ve hiç kırılmaması gerekmektedir. Bu durumda fayansın boyutu 560 cm ve 160 cm ‘yi bölen en büyük sayı
yani, EBOB’u bulunmalıdır?
560
160
2*
280
80
2*
140
40
2*
70
20
2*
35
10
2
35
5
5*
7
1
7
1
88
EBOB (560, 160) = 2 . 2 . 2 . 2 . 5 = 80’dir.
Kare biçimindeki fayansın bir kenarının uzunluğu 80 cm olmalıdır.
Fayans sayısı =
Banyonun taban alanı = 560 x 160 =
14
80 x 80
Fayansın alanı
14 fayans gereklidir.
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Boyutları 4 cm, 10 cm ve 12 cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki kibrit
kutuları kullanılarak en küçük hacimli bir küp yapılacaktır.
Buna göre, en az kaç kibrit kutusu gerekir?
ÇÖZÜM
4, 10, 12 sayılarının en küçük ortak katının bulunması gerekiyor.
4
10
12
2
2
5
6
2
1
5
3
3
5
1
5
1
EKOK (4, 10, 12) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60’dır.
Kibrit kutularının sayısı =
Küpün hacmi
Kibrit kutusunun hacmi
15
6
5
Kibrit kutularının sayısı = 60 x 60 x 60 = 450’dir.
4 x 10 x 12
ÖRNEK
Belli aralıklarla çalan üç zilden birinci zil 20 dakikada, ikinci zil 25 dakikada ve
üçüncü zilde 30 dakikada bir çalmaktadır. Bu üç zil saat 11.00 de çaldıktan sonra
tekrar üçü birlikte ilk kez saat kaçta çalar?
ÇÖZÜM
20
25
30
2
10
25
15
2
5
25
15
3
5
25
5
5
1
5
1
5
EKOK (20, 25, 30) = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 300 dakika
300 : 60 = 5 saat
Bu ziller 10.00'da çaldıktan sonra tekrar üçü birlikte,
11.00 + 5.00 = 16.00'da birlikte çalar.
1
ÖRNEK
Faruk bilyelerini dörder, beşer ve altışar saydığında her seferinde 3 bilyesi artıyor. Faruk’un 100'den fazla bilyesi olduğuna göre, en az kaç bilyesi vardır?
89
MATEMATİK 6
ÇÖZÜM
4
5
6
2
2
5
3
2
1
5
3
3
5
1
5
EKOK (4, 5, 6) = 2 . 2 . 3 . 5 = 60
Faruk’un bilyelerinin sayısı 60 ve 60’ın katıdır.
Yani 60 - 120 - 180 ...
100’den fazla en az 60 x 2 = 120 + 3 = 123 tanedir.
1
ÖRNEK
Bir sınıf ta bulunan öğrenciler Beden eğitimi dersinde, altışarlı, dokuzarlı ve on
ikişerli gruplara ayrılınca her seferinde 5 öğrenci artıyor. Bu sınıfın mevcudu en az
kaçtır?
ÇÖZÜM
Sınıftaki öğrenciler altışar gruplandığına göre 6’nın katı olmalı, dokuzar gruplandığına göre 9’un katı olmalı, on ikişer gruplandığına göre 12’nin katı olmalıdır.
6, 9 ve 12’nin EKOK’unu bulalım.
6
9
12
2
3
9
6
2
EKOK (6, 9, 12) = 2 . 2 . 3 . 3 = 36
3
9
3
3
1
3
1
3
Her seferinde 5 öğrenci arttığı için,
sınıf mevcudu en az 36 + 5 = 41 kişidir.
1
Boyutları 6 cm, 8 cm ve 12 cm olan dikdörtgen prizması şeklindeki
tuğlalar kullanılarak en küçük hacimli bir küp yapılmak isteniyor.
?
Bu küpün bir ayrıtının uzunluğu kaç cm’dir?
Bu küp için kaç tuğla gerekir?
90
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki doğal sayıları asal çarpanlarına ayırınız.
a.
b.
c.
d.
72
108
240
400
2. 36 sayısının çarpanlarını yazınız 36’nın kaç tane tek, kaç tane çift sayı olan çarpanı
vardır.
3. Aşağıda asal çarpanlarına ayrılmış doğal sayıları bulunuz.
a.
b.
c.
d.
2 x 3²
2³ x 3²
2 x 3² x 5
2 x 3² x 7
4. 75, 373, 4300, 5274 sayılarından hangileri 2 ile kalansız bölünür?
5. 14 ile 46 arasındaki doğal sayılardan 3 ile kalansız bölünenlerin kümesini yazınız.
6. 48, 100, 72, 864, 612 sayılarından hangileri 4 ile kalansız bölünür?
7. 36 ile 67 arasındaki asal sayıları yazınız.
8. Aşağıdaki seçeneklerde verilen sayıların en büyük ortak bölenini bulunuz.
a.
b.
c.
d.
14, 45
12, 32
24, 36, 48
100, 200, 300
9. Aşağıdaki seçeneklerde verilen sayıların en küçük ortak katını bulunuz.
a.
b.
c.
d.
12, 35
24, 36
12, 24, 36
25, 35, 75
10. Aralarında asal iki sayının EKOK’ u 360’dır . Bu sayılardan biri 8 ise diğeri kaçtır?
91
MATEMATİK 6
ÖZET
Bir doğal sayıyı kalansız olarak bölen sayılara, o sayının bölenleri denir. Bir doğal sayının bölenleri aynı zamanda çarpanlarıdır.
Birler basamağı; 0, 2, 4, 6, 8 olan sayılara çift doğal sayılar, 1, 3, 5, 7, 9 olan sayılara tek doğal sayılar denir.
2 ile kalansız bölünebilme: Birler basamağında 0, 2, 4, 6, 8 rakamlarından biri
bulunan sayılar 2 ile kalansız bölünür.
5 ile kalansız bölünebilme: Birler basamağındaki rakamı 0 veya 5 olan sayılar
5 ile kalansız bölünür.
3 ile kalansız bölünebilme: Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 3’ ün katı ise bu sayı 3 ile kalansız bölünür.
9 ile kalansız bölünebilme: Bir doğal sayının rakamlarının sayı değerleri toplamı 9’un katı ise bu sayı 9 ile kalansız bölünür.
4 ile kalansız bölünebilme: Birler ve onlar basamağı 0 veya 4’ün katı olan
doğal sayılar 4 ile kalansız bölünür.
6 ile kalansız bölünebilme: 3 ile bölünen her çift sayı 6 ile kalansız bölünür.
10 ile kalansız bölünebilme: Birler basamağında 0 (sıfır) rakamı olan sayılar
10 ile kalansız bölünür.
1’den ve kendisinden başka böleni olmayan, 1’den büyük sayılara asal sayı denir.
Asal sayı olup olmadıklarına bakılmaksızın 1'den başka ortak böleni olmayan
sayılara, aralarında asal sayılar denir.
Bir doğal sayının asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmasına sayının asal çarpanlarına ayrılması denir.
İki veya daha fazla sayma sayısının ortak bölenleri arasında en büyük olanına,
bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) denir. Aralarında asal sayıların EBOB’u
1’dir.
İki veya daha fazla sayma sayısının ortak katları içinde en küçük olanına, bu
sayıların en küçük ortak katı (EKOK) denir.
Birbirinin katı olan sayıların EKOK’ u, büyük sayıya eşittir.
Aralarında asal iki sayının EKOK’ u bu sayıların çarpımına eşittir.
İki sayının EKOK’ u ile EBOB’ unun çarpımı bu sayıların çarpımına eşittir.
A x B = EKOK (A, B) x EBOB (A, B)
92
MATEMATİK 6
TEST II - II
1. Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile kalansız bölünür?
A.
B.
C.
D.
746
985
1294
1392
2. 4a1 üç basamaklı sayısı 3 ile kalansız bölünüyor. Buna göre, a yerine yazılabilecek
sayıların değerleri toplamı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
12
14
15
18
3. Beş basamaklı a6740 sayısının 9 ile kalansız bölünebilmesi için a yerine hangi
rakam gelmelidir?
A.
B.
C.
D.
1
3
5
9
4. Aşağıdaki sayılardan hangisi 3 ile kalansız bölünemez?
A.
B.
C.
D.
3679
4806
8292
9534
5. Beş basamaklı 2a3b5 sayısının 9 ile kalansız bölünebilmesi için a + b’nin
alabileceği en büyük değer kaçtır?
A.
B.
C.
D.
8
9
17
18
6. 88a üç basamaklı sayısı hem 2 hem de 3 ile bölünebildiğine göre, a yerine kaç
farklı rakam yazılır?
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
93
MATEMATİK 6
7. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 2 hem de 3 ile bölünemez?
A.
B.
C.
D.
12
21
36
54
8. Beş basamaklı 267a0 sayısı 4 ile kalansız bölünebildiğine göre a kaç farklı değer
alır?
A.
B.
C.
D.
2
3
4
5
9. Dört basamaklı 3a7b sayısı 10 ile kalansız bölünebilmektedir. Bu sayının 3 ile
kalansız bölünebilmesi için a’nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
12
14
15
18
10. Aşağıdaki sayılardan hangisi hem 3 hem de 5 ile kalansız bölünebilir?
A.
B.
C.
D.
8052
8210
8304
8460
11. 2, 3, 6, 8, 11, 15, 17, 21, 29 sayılarından kaç tanesi asal sayıdır?
A.
B.
C.
D.
3
4
5
6
12. En küçük asal sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
94
1
2
3
4
MATEMATİK 6
13. Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayı değildir?
A.
B.
C.
D.
13
23
47
65
14. Aşağıdaki sayılardan hangisi 108 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şeklidir?
A.
B.
C.
D.
2³ x 3³
2² x 3³
2 x 3³
24 x 3
15. 288 sayısının kaç farklı asal çarpanı vardır?
A.
B.
C.
D.
2
3
4
5
95
3. ÜNİTE
A. KESİRLER
1. Kesirleri Karşılaştırma
2. Denk Kesirlerden Yararlanma
3. Kesirlerle Toplama İşlemi
4. Kesirlerle Çıkarma İşlemi
5. Kesirlerle Çarpma İşlemi
6. Kesirlerle Bölme İşlemi
B. ONDALIK KESİRLER
1. Ondalık Kesirlerin Gösterilmesi ve Ondalık Açılım
2. Ondalık Kesirlerde Basamak ve Sayı Değerleri
3. Ondalık Kesirlerde Çözümleme
4. Ondalık Kesirlerde Karşılaştırma
a. Bir Ondalık Kesre Eşit Ondalık Kesirler Yazma
b. İki Ondalık Kesri Karşılaştırma
5. Ondalık Kesirleri Yuvarlama
6. Ondalık Kesirlerle Toplama İşlemi
7. Ondalık Kesirlerle Çıkarma İşlemi
8. Ondalık Kesirlerle Çarpma İşlemi
9. Ondalık Kesirlerle Bölme İşlemi
ÖZET
ALIŞTIRMALAR
TEST III - I
C. ORAN ORANTI
ALIŞTIRMALAR
D. YÜZDELER
ALIŞTIRMALAR
TEST III-II
MATEMATİK 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
Bu bölümün konularını çalıştığınızda;
1. Kesirleri karşılaştıracak, sıralayacak ve sayı doğrusunda gösterecek,
Kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri yapacak,
2. Kesirlerle işlemler yapmayı gerektiren problemleri çözecek, Ondalık kesirleri çözümleyecek,
3. Kesirlerin ondalık açılımını belirleyecek,
4. Ondalık kesirleri karşılaştıracak ve sıralayacak,
5. Ondalık kesirleri belirli bir basamağa kadar yuvarlayacak,
6. Ondalık kesirlerle toplama ve çıkarma işlemleri yapacak,
7. Ondalık kesirlerle işlem yapmayı gerektiren problemleri çözeceksiniz.
NASIL ÇALIŞMALIYIZ?
Bu bölümün konularını kavrayabilmek için;
1. Açıklamaları dikkatle okuyunuz.
2. Örnekleri dikkatli inceleyiniz ve 6. sınıf matematik ders kitaplarından çözülmüş örnekleri anlamaya çalışınız.
3. Örneklerle ilgili uyarıları dikkate alınız.
4. Konu ile ilgili değişik kitaplardan sorular çözünüz.
5. Çözemediğiniz sorular için çevrenizde bilenlerden yardım alınız.
98
MATEMATİK 6
A. KESİRLER
Yukarıdaki şekli inceleyerek sarı boyalı kısmın nasıl gösterileceğini düşünelim.
Şeklin tamamını bütün olarak düşünürsek, bir bütün 4 eş parçaya bölünmüş
ve bir parçası boyanmıştır.
Bu sarı boyalı parça 1 olarak gösterilir. Bir bütünün çeyreği demektir ve
4
“1 bölü 4” veya “4'te 1” biçiminde okunur.
1 olarak gösterilir. Bir bütünün yarısı demektir.
2
1 “1 bölü 2” veya “2'de 1” biçiminde okunur.
2
2
6 “2 bölü 6” veya “6'da 2” biçiminde okunur.
1. Kesirlerle Karşılaştırma
Bütüne yakınlık
ÖRNEK
1 , 3 , 8 kesirlerinin bütüne yakınlıklarını karşılaştıralım.
4 6 9
Bütün kesrin, payının ve paydasının aynı olması gerekir.
Örneğin; 4 , 6 , 9 ...
4 6 9
1 'üne bütüne uzaklığı 3 'tür. _
b
4
4
b
1
3 'nın bütüne uzaklığı 3 'tür. b Bu bilgilere göre bütüne en uzak olan 4 ,
`
6
6
en yakın olanı ise 8 'dur.
b
9
8 'un bütüne uzaklığı 1 'dur. b
9
9
a
99
MATEMATİK 6
Buna göre;
Bütüne en yakın olan kesir büyük, en uzak olan kesir ise küçüktür.
Küçükten büyüğe doğru sıralarsak; (“<” küçüktür işareti)
1 1 3 1 8 olur.
4 6 9
Yarıma yakınlık
1 ve 7 kesirlerini inceleyelim:
10
6
1 yarımdan küçük, 7 ise yarımdan büyüktür. Bu durumda 1 1 7 olur.
10
6
6 10
ÖRNEK
1 , 3 , 8 kesirlerini payda eşitleyerek karşılaştıralım:
4 6 9
1 , 3 , 8 & 9 , 18 , 32
4 6 9
36 36 36
paydası eşitlenen kesirleri küçükten büyüğe doğru
sıralayalım.
(9) (6) (4)
9 < 18 < 32 olur.
36 36 36
ÖRNEK
2 , 5 , 3 kesirlerini karşılaştırırken aynı kesrin birimleri biçiminde yazmalıyız.
7 14 4
Bunun için ortak paydayı elde etmeliyiz.
2 , 5 , 3 & 8 , 10 , 21 kesirlerini büyükten küçüğe doğru sıralayalım.
7 14
4
28 28 28
(4)
(2)
(7)
21 > 10 > 8 olur. (">" büyüktür işareti)
28 28 28
Paydaları eşit olan iki kesirden, payı küçük olan kesir daha küçüktür.
Payları eşit olan iki kesirden, paydası büyük olan kesir daha küçüktür.
100
MATEMATİK 6
2. Denk Kesirlerden Yararlanma
ÖRNEK
3
4
6
8
Yandaki iki eş bütünde 3 ile 6 kesirlerine karşılık ge4
8
len yeşil boyalı kısımlar aynı büyüklüktedir.
3 ile 6 kesirleri aynı büyüklükleri gösterdiği için denk kesirlerdir.
4
8
ÖRNEK
1
2
2
4
2 2
3 1
3
1
denktir, , denktir , denktir
4 4
6 2
6
2
1 2 3
/ /
2 4 6
3
6
Aynı büyüklüğü gösteren kesirlere denk kesirler denir.
1. 3 , 1 , 5 , 4 kesirlerinin okunuşlarını yazınız.
?
4 3 7 6
2. 8 , 5 , 4 kesirlerini karşılaştırınız.
16 6 9
3. 2 , 4 , 3 kesirlerini sayı doğrusunda gösteriniz.
7 5 6
4. Hepsi çeyrek olan kesirler birbirine denk midir?
5. 1 , 2 , 3 , 4 kesirlerini şekil çizerek karşılaştırınız.
4 8 12 16
101
MATEMATİK 6
3. Kesirlerle Toplama İşlemi
ÖRNEK
3
2
1
3 + 2 +1
6
+
+
=
=
10 10 10
10
10
Aynı kesrin birimi biçimindeki yani paydaları eşit kesirler toplanırken
paylar toplanır paya yazılır. Ortak paydalardan bir tanesi ise paydaya
yazılır.
ÖRNEK
1 + 3=?
2 4
2
4
3
4
biçiminde gösterilir.
1 3 2 3 2+3 5
+ = + =
=
2 4 4 4
4
4
(2)
(1)
Kesirlerle toplama işlemini yapabilmek için paydaları eşitleyerek aynı
kesrin birimleri haline getirmeliyiz.
ÖRNEK
2 + 3 1 = 3 3 'dir.
8
8
8
Tam sayılı kesirler toplanırken tam sayı kısımları toplanır tamsayı olarak
yazılır. Paylar toplanır paya yazılır. Ortak paydalardan bir tanesi paydaya
yazılır.
ÖRNEK
3 + 2 işlemini yapınız.
5
ÇÖZÜM
3 + 2 = 15 + 2 = 17 = 3 2 olarak bulunur.
5
1 5 5 5 5
(5)
102
(1)
MATEMATİK 6
Bir tam sayı ile bir kesirli sayıyı toplarken; tam sayının paydasını 1 kabul
ederiz. Kesir haline getirdiğimiz sayıların paydalarını eşitleriz. Sonra
paylar toplanır paya yazılır. Ortak paydalardan bir tanesi paydaya yazılır.
Birleşik kesri tam sayılı kesre çevirmek için pay paydaya bölünür. Bölüm tam
kısım, kalan pay ve bölen paydadır.
ÖRNEK
2 1
+ toplama işlemini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
8 4
ÇÖZÜM
2 + 1 = 2 + 2 = 4 dir.
8 4 8 8 8
(1)
(2)
1. Aşağıdaki toplama işlemlerini yapınız.
?
b. 4 + 5
a. 2 + 3 + 4
8
5 7 5
1
4
1
c. 2 + 1
d. + 2 3 + 3
6
6
7
7
2
1
2. + işlemini sayı doğrusu üzerinde gösteriniz.
9 3
3. Sayı doğrusunda gösterilen toplama işlemini kesir sayıları ile
gösteriniz.
103
MATEMATİK 6
4. Kesirlerle Çıkarma İşlemi
ÖRNEK
5 - 6 çıkarma işlemini yapalım.
8 16
5 - 6 = 10 - 6 = 10 - 6 = 4
8 16 16 16
6
16
(2)
(1)
Kesirlerle çıkarma işlemi yaparken paydalar eşit değilse ortak payda
bulunur ve eşitlenir. Paylar çıkarılır paya yazılır. Ortak paydalardan biri
payda olarak yazılır.
ÖRNEK
(7 x 4) + 5 6 28 + 5 6 33 6 33 - 6 27
45 - 6 =
- =
- =
- =
=
=36
7 7
7
7
7
7
7 7
7
7
7
Tam sayılı kesirlerle çıkarma işlemi yaparken; tam sayılı kesir bileşik kesre
çevrilir. Sonra, paylar çıkarılır paya yazılır, ortak paydalardan bir tanesi
paydaya yazılır.
ÖRNEK
3 - 2 çıkarma işlemini yapalım.
5
3 - 2 = 15 - 2 = 15 - 2 = 13 = 2 3
1 5
5 5
5
5
5
(5)
(1)
Bir tam sayıdan bir kesirli sayıyı çıkarırken; tam sayının paydasını 1 kabul
ederiz. Kesir haline getirdiğimiz sayıların paydalarını eşitleriz. Sonra
paylar çıkarılır paya yazılır. Ortak paydalardan bir tanesi paydaya yazılır.
ÖRNEK
5 - 2 işlemini sayı doğrusunda gösterelim.
6 6
5 - 2 = 5-2 = 3
6 6
6
6
104
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Sayı doğrusunda gösterilen çıkarma işlemini kesir sayısı ile yapalım.
(5 x 1) + 3 4 5 + 3 4 8 4 8 - 4 4
13 - 4 =
- =
- = - =
=
5 5
5
5
5
5 5 5
5
5
1. Aşağıdaki çıkarma işlemlerini yapınız.
?
a. 9 - 4
10 5
b. 5 14 - 2 8
20
20
3
c. 4 5
2
d. 2 - 1 5
5
6
8
3
2.
işlemini sayı doğrusunda gösteriniz.
10 10
3. Sayı doğrusunda gösterilen çıkarma işlemini yapınız.
105
MATEMATİK 6
5. Kesirlerle Çarpma İşlemi
ÖRNEK
1 x 2 = 1x 2 = 2
4 7 4 x 7 28
ÖRNEK
2 x 1 = 2 x 1 = 2 x1 = 2
3 1 3 1x 3 3
ÖRNEK
2 1 x 2 4 = 7 x 14 = 7 x 14 = 98 = 6 8
3
5 3
5
3x5
15
15
Kesirlerde çarpma işlemi yaparken tam sayılı kesirler önce bileşik kesre
çevrilir. Paylar çarpılır paya, paydalar çarpılır paydaya yazılır.
Kesirlerle çarpma işlemi yapılırken payda eşitlenmez.
ÖRNEK
Gülsüm arkadaşlarına ikram etmek için, 4 kg unun 3 ‘ü ile pasta yapmıştır. Gül4
süm ne kadar un kullanmıştır?
4 x 3 = 4 x 3 = 12 = 3 kg un kullanmıştır.
4 1x 4
4
1. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a. 3 x 5
8 7
c.2 1 x 1 4
3
5
3
2. 25’in ’ü kaçtır?
5
?
106
b. 1 2 x 3
5 5
d. 8 x 2
7
MATEMATİK 6
6. Kesirlerle Bölme İşlemi
ÖRNEK
5 : 3 = 5 x 4 = 5 x 4 = 20 : 4 = 5
8 4 8 3 8 x 3 24 : 4 6
ÖRNEK
5 : 2 = 5 : 2 = 5 . 3 = 15 = 7 1
3 1 3 1 2
2
2
ÖRNEK
2 3 = 1 4 = 19 : 11 = 19 x 7 = 19 x 7 = 133 = 1 45
8
7
8
7
8
11 8 x 11
88
88
Kesirlerde bölme işlemi yaparken tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.
Tam sayı varsa paydasına 1 yazılır. Sonra, birinci kesir aynı kalır ikinci
kesir ters çevrilir ve iki kesir çarpılır. İşlemin sonunda gerekli sadeleştirme
yapılır.
ÖRNEK
a x 1 = 2 eşitliğinde a yerine yazılması gereken kesir sayısını bulalım.
2 3
a kesir sayısını bulmak için;
a = 2 : 1 işlemini yaparız
3 2
a = 2 : 1 = 2 . 2 = 4 =1 1
3 2 3 1 3
3
a = 1 1 'tür.
3
ÖRNEK
3 : 1= 3 x 1 = 3
5
5 1 5
Kesir sayısının 1’ e bölümü kesrin kendisine eşittir.
107
MATEMATİK 6
ÖRNEK
1: 2 = 1 x 7 = 7
7 1 2 2
1 ‘in sıfırdan farklı kesir sayısına bölümü, o kesir sayısının çarpma işlemine
göre tersine eşittir.
ÖRNEK
2 0 3 0x3 0
0: = x =
= =0
3 1 2 1x 2 2
Sıfır (0)’ın sıfırdan farklı bir kesir sayısına bölümü sıfırdır.
ÖRNEK
3
3 0 3 1 3 x1 3
:0 : = x =
= (tanımsız)
4
4 1 4 0 4x0 0
Bir sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.
ÖRNEK
Merve, Gözde ve Ece muzlu pastanın pastanın 1 'ini eşit olarak paylaştıkların2
da her biri pastanın ne kadarını yer?
1 : 3= 1 : 3 = 1 . 1 = 1
2
2 1 2 3 6
Her biri bir pastanın 1 'ini yer.
6
1. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
b. 2 5 : 1
a. 3 : 2
6 3
7 5
c. 4 : 1 2
d. 5 2 : 4
3
3
2. Arkadaşlardan her birine bir ekmeğin 1 'i verilirse 2 ekmeği kaç
4
arkadaş eşit olarak paylaşır?
?
108
MATEMATİK 6
B. ONDALIK KESİRLER
1. Ondalık Kesirlerin Gösterilmesi ve Ondalık Açılım
1 = 0,1
10
1 = 0,01
100
Yukarıdaki şekillerden birincisi 10 eş parçaya bölünmüş ve 1 parça boyanmıştır. Boyalı kısım kesir olarak 1/10 biçiminde gösterilir. Paydası 10 olan bu ondalık kesir virgül kullanılarak 0,1 biçiminde gösterilir ve “sıfır tam onda bir” şeklinde okunur.
İkinci şekil 100 eş parçaya bölünmüş ve 1 parça boyanmıştır. Boyalı kısım kesir olarak
1/100 biçiminde gösterilir. Paydası 100 olan bu ondalık kesir virgül kullanılarak 0,01
biçiminde gösterilir ve “sıfır tam yüzde bir” şeklinde okunur. Paydası 10, 100, 1000...
10’un kuvveti biçiminde olan kesirlere ondalık kesir denir.
5
= 0, 5 ondalık kesrini şekille gösterelim.
10
1
9
= 1, 09 ondalık kesrini şekille gösterelim.
100
ÖRNEK
3 2 13 2 4 7
,
,
, , , kesirlerinin ondalık açılımlarını bulalım.
5 25 10 3 9 6
ÇÖZÜM
Kesirleri, paydaları 10, 100, 1000 olacak şekilde genişletelim.
3 3x2
6
=
=
= 0, 6
5 5 x 2 10
2
2x4
8
=
=
= 0, 08
25 25 x 4 100
13
= 1, 3
10
Ondalık kesirler virgül (,) kullanılarakta yazılır.
109
MATEMATİK 6
mez.
2, 7 , 7
3 9 6 kesirlerini, paydaları 10 veya 10’un kuvveti olacak şekilde genişletileBu kesirlerin ondalık açılımını bölme işlemi yaparak bulabiliriz.
2 = 0,6666 ...
3
4 = 0,4444 ...
9
7 = 1,1666 ...
6
Paydası 10 veya 10’un kuvveti olacak şekilde genişletilemeyen kesirlerin, ondalık açılımlarının kesir kısımlarında tekrar eden rakamlar bulunur. Bu tür ondalık
kesirler devirli ondalık kesir olarak adlandırılır.
0,645 devirli ondalık kesrinde 45’in üzerindeki çizgi 45’in devrettiği anlamına
gelir.
2 = 0,6666 ... = 0,6
3
4 = 0,4444 ... = 0,4
9
7 = 1,1666 ... = 1,16
6
ÖRNEK
Aşağıdaki ondalık kesirlerin virgül kullanılarak yazılışını ve okunuşunu (ondalık açılımını) inceleyiniz.
Yazılışı
2 = 0,2
10
Sıfır tam onda iki
8 = 0,8
10
Sıfır tam onda sekiz
8 = 0,08
100
Sıfır tam yüzde sekiz
75 = 0,75
100
Sıfır tam yüzde yetmiş beş
19 = 0,019
1000
2 25 = 2,25
100
4 5 = 4,5
10
110
Okunuşu
Sıfır tam binde on dokuz
İki tam yüzde yirmi beş
Dört tam onda beş
MATEMATİK 6
1. Aşağıdaki ondalık kesirlerin okunuşunu ve ondalık açılım olarak
karşılığını yazınız.
b. 135
a. 17
1000
10
c. 75
d. 175
100
100
2. Okunuşu verilen sayıları kesir ve ondalık açılım olarak yazınız.
?
a. İki tam onda üç
b. Sıfır tam onda yedi
c. Sıfır tam yüzde doksan
d. İki tam yüzde on
3. Aşağıdaki devirli ondalık açılımları kısaltarak yazınız.
a. 0,3333...
b. 0,7777...
c. 0,2727...
d. 0,354454...
4. 3,745 kesrinde, devreden sayı kaçtır ?
111
MATEMATİK 6
2. Ondalık Kesirlerde Basamak ve Sayı Değerleri
27,3045
Onlar basamağı
Onbinde birler basamağı
Birler basamağı
Binde birler basamağı
Yüzde birler basamağı
Onda birler basamağı
ÖRNEK
52 317 = 52,317 ondalık açılımını çözümleyerek basamak değerlerini yazalım.
1000
52,317
7x
1
7
=
= 0, 007
1000 1000
1x
1
1
=
= 0, 01
100 100
3x
1
3
=
= 0, 3
10 10
2x1=2
5 x 10 = 50
+
52,317
ÖRNEK
3 25 = 3,025 ondalık açılımını çözümleyerek basamak değerlerini yazalım.
1000
3,025
1
5
=
= 0, 005
1000 1000
1
2
2x
=
= 0, 02
100 100
5x
0x
+
1
0
=
= 0, 000
10 100
3x1=3
3,025
112
MATEMATİK 6
Bir ondalık kesrin basamaklarındaki rakamların basamak değeri, her basamak
için soldan sağa doğru 10 kat küçülür.
3. Ondalık Kesirlerde Çözümleme
ÖRNEK
14,213 ondalık kesrini çözümleyelim.
14, 213 = 1 tane onluk + 4 tane birlik + 2 tane onda birlik + 1 tane yüzde birlik
+ 3 tane binde birlik
1
1
1
14, 213 = (1x 10) + (4 x 1) + (2 x
) + (1x
) + (3 x
)
10
100
1000
= 10 + 4 +
2
1
3
+
+
veya
10 100 1000
= (1x10) + (4 x 1) + (2 x 0,1) + (1 x 0,01) + (3 x 0,001) şeklinde çözümlenir.
ÖRNEK
(7 x 100) + (2 x 10) + (5 x 1) + (3 x 0) + (3 x 0,01) + cı x 0,001) + (2 x 0,0001) biçimde çözümlenmiş ondalık kesri bulalım.
7x100
=
700
2x10
=
20
5x1
=
5
3x0
=
0,0
3x0,01
=
0,03
1x0,001 =
0,001
2x0,0001 = +
0,0002
725,0312
Sayının rakamla yazılışı 725,0312’dir ve “yedi yüz yirmi beş tam on binde üç
yüz on iki” şeklinde okunur.
113
MATEMATİK 6
ÖRNEK
215, 37 ondalık kesrini çözümleyelim.
Onlar basamağı
Birler basamağı
Onda birler basamağı
Yüzde birler basamağı
Kesir Kısmı
Yüzelr basamağı
Tam Kısım
Sayı Değeri
2
1
5
3
7
Basamak Değeri
200
10
5
0,3
0,07
(2 x 100) + (1x 10) + (5 x 1) + (3 x 1 ) + (7 x 1 ) = 215,37
100
10
(2 x 100) + (1 x 10) + (5 x 1) + (3 x 0,1) + (7 x 0,01) = 215,37
4. Ondalık Kesirlerde Karşılaştırma
a) Bir Ondalık Kesre Eşit Ondalık Kesirler Yazma
7 kesrin pay ve paydasını 10’un kuvvetleri ile genişletelim.
10
7
7 x 10
70 7
7 x 100
700 7
7 x 1000
7000
;
;
; ...
=
=
=
=
=
=
10 10 x 10 100 10 10 x 100 1000 10 10 x 1000 10000
Bu kümenin her elemanı, aynı ondalık kesri göstermektedir. O halde;
7 = 70 = 700 = 7000 = ...
10 100 7000 100 000
0,7 = 0,70 = 0,700 = 0,7000 = ... yazılır.
Virgül kullanarak yazılan ondalık kesiderde kesir kısmının sağına eklenen
sıfır, ondalık kesrin değerini değiştirmez.
114
MATEMATİK 6
b) İki Ondalık Kesri Karşılaştırma
ÖRNEK
35,25 ve 21,75 ondalık kesiderini karşılaştıralım.
35 > 21 olduğundan
35,25 > 21,75 veya 21,75 < 35,25 olur.
İki ondalık kesirden tam kısmı büyük olan ondalık kesir diğerinden
büyüktür.
ÖRNEK
18,35 ve 18,41 ondalık kesiderini karşılaştıralım.
Tam kısımlan eşit olduğundan kesir kısımları karşılaştırılır.
35 < 41 olduğundan
18,35 < 18,41 veya 18,41 < 18,35 olur.
İki ondalık kesrin tam kısmı eşitse, virgülün sağ tarafı yani ondalıklı kısmı
büyük olan ondalık kesir diğerinden büyüktür.
1. Aşağıdaki ondalık kesirleri çözümleyiniz.
a. 14,025
b. 7,35
c. 0,04
2. Aşağıda çözümlenmiş şekli verilen ondalık kesirleri virgül
kullanarak gösteriniz.
?
1 +
1 +
1
a. (1 x 100) + ( 0 x 10) + (2 x 1) + (0 x 10
) (4 x
) (4 x
)
100
1000
b. (2 x 10) + (3 x 1) + (7 x 0,1) + (3 x 0,001)
1 +
1
c. (1 x 1) + (5 x 10
) (5 x
)
1000
3. Aşağıdaki ondalık kesideri küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
a. 0,18; 0,08; 0,108
b. 3,401; 3,04; 3,4
c. 12,35; 12,035; 12,355
115
MATEMATİK 6
5. Ondalık Kesirleri Yuvarlama
ÖRNEK
2,08 ondalık kesrini onda birler basamağına yuvarlayalım.
8 > 5 olduğu için 2,1 olarak yuvarlanır.
ÖRNEK
17,627 ondalık kesrini yüzde birler basamağına yuvarlayalım. 7 > 5 olduğu için
17,63 olarak yuvarlanır.
ÖRNEK
28,2 ondalık kesrini birler basamağına yuvarlayınız.
2 < 5 olduğu için 28 olarak yuvarlanır.
Ondalık kesri istenilen basamağa göre yuvarlarken, bu basamağın sağındaki
rakam ile 5 arasında karşılaştırma yapılır. Bu rakam, 5 ‘ten büyük veya
eşitse verilen basamaktaki rakam 1 artırılır, sağındaki diğer basamaklar
atılarak ondalık kesir yazılır. 5 ‘ten küçükse verilen basamaktaki rakam
değişmez, sağındaki diğer basamaklar atılarak ondalık kesir yazılır.
Aşağıdaki ondalık kesirleri, onda birler basamağına yuvarlayınız.
?
a. 1,12
b. 3,74
c. 4,09
d. 5,462
6. Ondalık Kesirlerle Toplama İşlemi
ÖRNEK
15,73 + 20,32 işleminin sonucunu tam kısma göre tahmin edelim. İşlemi yaparak bulduğumuz sonucu tahminimizle karşılaştıralım.
15,73
7 > 5 olduğu için 15,73 ≈16
20,32
3 < 5 olduğu için 20,32 ≈ 20
16 + 20 = 36 olarak tahminimizi yapmış oluruz.
116
MATEMATİK 6
Şimdi 15,73 + 20,32 işlemini yapalım
15,73
+ 20,32
36,06
Tahminimiz 36, işlem sonucumuz ise 36, 06 olduğu için yerinde bir tahmin
yapmış olduğumuzu söyleyebiliriz.
ÖRNEK
Aşağıdaki toplama işlemlerini inceleyiniz.
a)
+
2,075
18,1204
240,37
260,5654
b) 10,1005
2,003
745,62
+
7,0174
764,7409
Ondalık kesideri toplarken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır.
Basamaklar hizalanarak toplama işlemi yapılır.
7. Ondalık Kesirlerle Çıkarma İşlemi
ÖRNEK
14, 84 - 6, 93 işleminin sonucunu önce tahmin edelim, sonra işlemi yaparak
tahminimizi kontrol edelim.
14,82
6,93
8 > 5 olduğu için 14,82 ≈ 15
9 > 5 olduğu için 6,93 ≈7
15 - 7 = 8 olarak tahminimizi yapmış oluruz.
+
14,82
7,89
6,93
işlem sonucumuz.
Tahminimiz 8, işlem sonucumuz ise 7, 89 olduğu için yerinde bir tahmin yapmış olduğumuzu söyleyebiliriz.
117
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki çıkarma işlemlerini inceleyiniz.
a)
-
35,894
10,52
25,374
b)
-
17,75
4,91
12,84
Ondalık kesirleri çıkarırken, virgüller alt alta gelecek şekilde yazılır.
Basamaklar hizalanarak çıkarma işlemi yapılır.
8. Ondalık Kesirlerle Çarpma İşlemi
ÖRNEK
3,32 x 4,6 işleminin sonucunu önce tam kısma göre tahmin edelim, sonra işlemimizi yapalım.
3, 32 c 3 3 x 5 = 15
3
4, 6 c 5
3,32 x 4,6 işleminin yaklaşık sonucu 15’tir.
3,32 x 4,6 = 15, 272'dir.
Bulduğumuz sonuçla tahminimizi karşılaştıralım.
Tahminimiz 15
Çarpım 15,272 ≈ 15’tir.
3 İşlemimizin sonucu 15,272 olduğundan, uygun bir
tahmin yaptığımızı söyleyebiliriz.
Bu çarpma işlemini bir de kesirleri kullanarak yapalım.
3, 32 x 4, 6 =
118
332 46 15272
x
=
= 15, 272
100 10
1000
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki çarpma işlemlerini inceleyiniz.
x
+
25,18
3,45
12590
10072
7554
86,8710
208,075
2,4
x
832300
+ 416150
499,3800
Aşağıda verilen işlemlerin sonucunu önce tahmin ediniz. Sonra işlemi
yapıp, işlem sonucu ile tahminlerinizi karşılaştırınız.
?
a) 8 x 0,3
b) 70 x 2,6
c) 0,25 x 9
ç) 0,9 x 2,5
d) 15 x 0,1
e) 72 x 1,6
f) 20,4 x 1,3
g) 0,4 x 0,5
h) 2,6 x 5,2
ı) 70 x 1,02
i) 95 x 1,92
j) 15 x 1,3
Ondalık kesirlerde çarpma işlemi yaparken, doğal sayılarda olduğu gibi
çarpma işlemi yapılır. Çarpanlardaki virgülün sağ tarafındaki basamak
kadar çarpımın sağından virgülle ayrılır.
ÖRNEK
a) 4,5 x 10 = 45
b) 18,217 x 100 = 1821,7
c) 3,2074 x 1000 = 3207,4
ç) 3,25 x 1000 = 3250
Ondalık kesirleri 10, 100 ve 1000 ile çarpmak için virgül sırasıyla 1 basamak,
2 basamak ve 3 basamak sağa kaydırılır. Eksik basamaklar yerine sıfır yazılır.
119
MATEMATİK 6
9. Ondalık Kesirlerle Bölme İşlemi
ÖRNEK
42 : 5 bölme işlemini yapınız.
Bölünen
42
5
Bölen
40
8
Bölüm
02
Kalan
Yaptığımız bölme işlemini tam sayılı kesir olarak yazalım.
42 : 5 =
42
2
=8
5
5
Yazmış olduğumuz tam sayılı kesrin kesir kısmını ondalık kesir olarak yazalım.
8
2
4
=8
= 8 + 0, 4 = 8, 4
5
10
(2)
Bölme işlemimizin sonucunu ondalık kesir olarak yazalım,
42 : 5 = 8,4
ÖRNEK
30 : 12 işlemini yapalım.
30 12
24 2,5
060
60
00
120
MATEMATİK 6
ÖRNEK
3 : 0,6 işleminin sonucunu önce tahmin edelim.
Sonra işlemi yaparak sonuçları karşılaştıralım.
0,6 ≈ 1
3:1=3
Şimdi işlemi yapalım
3 : 0, 6 =
3 6
30 6
30 10
:
:
x
=
=
1 10 10 10 10
6
(10)
30 x 10 30
=
=5
10 x 6
6
ÖRNEK
8,4 : 0,12 işlemini 3 farklı yöntemle yapalım.
1. Yöntem: Ortak payda algoritması
84 12
840 12
:
:
=
= 840 :12 = 70
10 100 100 100
2. Yöntem: Virgül kaydırarak
8,4 : 0,12 = 84 : 1,2 = 840 : 12 = 70
3. Yöntem: 1. kesir aynı kalır. 2. kesir ters çevrilip çarpılarak işlem yapılır.
7
10
8,4 : 0,12 = 84 : 12 = 84 . 100 = 7 . 10 = 70
10 100 10 12
1
1
ÖRNEK
41,8 : 7,21 işleminin sonucunu önce tahmin edelim, sonra işlemi yaparak tahminimizi kontrol edelim.
41, 8 . 42 42 : 7 = 6
3
7, 21 . 7
418 721 4180 721
:
:
=
= 4180 : 721 . 5, 79
10 100
100 100
121
MATEMATİK 6
ÖRNEK
a) 24,75: 15 işlemini yapalım.
24,75
15 00
1500
1,65
9750
9000
07500
7500
0000
b) 11,4 : 12 işlemini yapalım.
1140
1080
120
0,95
00 600
600
000
Ondalık kesri doğal sayıya bölerken virgülün sağındaki basamak kadar
bölene sıfır eklenir. Bölünen ondalık kesirdeki virgül kaldırılır. Sonra bölme
işlemi yapılır.
ÖRNEK
30 : 2,5 işlemini yapalım.
300 2,5
25
12
050
50
00
30 : 2,5 = 12 olarak bulunur.
Doğal sayıyı ondalık kesre bölerken virgülün sağındaki basamak kadar
bölünene sıfır eklenir. Bölenden virgül kaldırılır. Sonra bölme işlemi yapılır.
ÖRNEK
609,5: 2,3 bölme işlemini yapalım.
6095 23
46
265
149
138
0115
115
000
122
MATEMATİK 6
Ondalık kesri, ondalık kesre bölerken her iki tarafı da virgülden kurtardıktan sonra bölme işlemini yaparız.
ÖRNEK
Aşağıdaki bölme işlemlerini inceleyiniz.
a) 5 : 10 = 0,5
b) 32,5 : 100 = 0,325
c) 32,5 : 1000 = 0,0325
ç) 127 : 10 = 12,7
d) 127 : 100 = 1,27
Ondalık kesirleri 10, 100, 1000 ile bölmek için virgül, sırayla 1 basamak, 2
basamak ve 3 basamak sola kaydırılır.
123
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki toplama işlemlerinin sonucunu tahmin ediniz. Sonra işlemi yaparak
tahmininizi kontrol ediniz.
a.
b.
c.
d.
1,015 + 10,184 + 25,007
0,24 + 1,050 + 11,111
4010,005 + 1,010
3,78 + 6,18
2. Aşağıdaki çıkarma işlemlerinin sonucunu tahmin ediniz. Sonra işlemi yaparak
tahmininizi kontrol edeniz.
a.
b.
c.
d.
78 - 3,25
5,207 - 0,298
50 - 0,75
37,74 - 12,35
3. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a.
b.
c.
d.
5 x 0,75
6 x 2,4
9 x 3,42
2,1 x 1,4
4. Aşağıdaki çarpma işlemlerini kısa yoldan yapınız.
a.
b.
c.
d.
25,156 x 100
2,8 x 10
3,12 x 10
62,4 x 1000
5. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
a.
b.
c.
d.
124
8 : 10
0,75 : 0,5
129,50 : 100
54,384 : 2,16
MATEMATİK 6
ÖZET
Kesirleri karşılaştırırken çeşitli stratejiler kullanılır.
Paydaları eşit olan iki kesirden, payı küçük olan kesir daha küçüktür.
Payları eşit olan iki kesirden, paydası büyük olan kesir daha küçüktür.
Paydaları eşit kesirler toplanırken paylar toplanır paya, ortak payda da paydaya yazılır.
Kesirlerle çıkarma işlemi yapılırken paydalar eşit değilse ortak payda bulunur
ve eşitlenir. Paylar çıkarılır paya ortak payda da paydaya yazılır.
Kesirlerle çarpma işlemi yapılırken tam sayılı kesirler varsa bileşik kesre çevrilir.
Paylar çarpılır paya, paydalar çarpılır paydaya yazılır.
Kesirlerle çarpma işlemi yapılırken payda eşitlenmez.
Kesirlerle bölme işlemi yapılırken tam sayılı kesirler varsa bileşik kesre çevrilir.
Birinci kesir aynen yazılır. İkinci kesir ters çevrilip çarpılır.
Paydası 10’ un kuvveti olan kesirlere ondalık kesir denir.
Ondalık kesirleri istenilen basamağa göre yuvarlarken verilen basamağın sağındaki ilk rakam ile 5 arasında karşılaştırma yapılır. Bu rakam 5 ya da 5’ten büyükse,
verilen basamaktaki rakam 1 artırılır. Sağındaki diğer basamaklar atılarak ondalık
kesir yazılır. 5 ‘ten küçükse ve verilen basamaktaki rakam değişmez, sağındaki diğer
basamaklar atılarak ondalık kesir yazılır.
125
MATEMATİK 6
TEST III-I
1. Aşağıdakilerden hangisi 3 kesrine karşılık gelir?
7
A. 2
6
B. 1 3
6
C. 12
28
D. 2 3
6
2.
Sayı doğrusunda m noktasına karşılık gelen kesir aşağıdakilerden hangisidir?
A. 16
6
B. 5
6
C. 1 5
6
D. 2 5
6
2
3.
kesrine denk olan kesir aşağıdakilerden hangisidir?
3
A. 1
3
B. 2
4
C. 4
6
D. 6
4
126
MATEMATİK 6
4. 1 1 + 2 + 1 işleminin sonucu kaçtır?
4
2
3
A. 1
4
B. 3 1
4
C. 2 1
4
D. 3 3
4
O + 2 = 4 eşitliğinde O yerine kaç gelmelidir?
5.
5 5 5
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
1
1
'ini, Mehmet 'ini yediğine göre, Ayşe ile Mehmet
3
2
pastanın kaçta kaçını yemiştir?
6. Bir yaş pastanın Ayşe
A. 2
5
B. 2
6
C. 5
6
D. 1
6
1 3
7. 2 - işleminin sonucu kaçtır?
8 4
A. 1 3
8
B. 2 1
8
C. 3
8
D. 7
8
127
MATEMATİK 6
8.
O-2=3
7
A.
B.
C.
D.
7
7
eşitliğinde O yerine kaç gelmelidir?
2
3
4
5
9. Sayı doğrusundaki çıkarma işlemi hangisidir?
A. 19 - 10 = 9
22 22 22
B. 10 - 9 = 1
19 19 19
C. 10 - 9 = 1
22 22 22
D. 9 - 2 = 7
10 10 10
10. Bir pastanın Hatice
2
1
'sini, Mustafa 'ini yedi. Geriye pastanın kaçta kaçı kaldı?
5
5
A. 1
5
B. 2
5
C. 3
5
D. 4
5
3 4
11. 2 x işleminin sonucu kaçtır?
5 8
A. 1 12
40
B. 12
40
C. 7
40
D. 7
13
128
MATEMATİK 6
12. 25 kişilik sınıfın 2 'si erkek olduğuna göre, sınıfta kaç erkek öğrenci vardır?
5
A. 20
B. 15
C. 10
D. 5
13. 2 : 4 işleminin sonucu kaçtır?
3 5
A. 5
6
B. 8
15
C. 5
12
D. 2
5
2
14. 7 :1 işleminin sonucu kaçtır?
3
A. 15
21
B. 4 1
5
C. 7
3
D. 6
7
15. Gülsüm ‘ün bademlerinin 3 'ü 12 tanedir. Gülsüm bademlerinin 1 'ini annesine
7
4
verirse geriye kaç tane badem kalır?
A.
B.
C.
D.
7
14
21
28
129
MATEMATİK 6
C. ORAN-ORANTI
ÖRNEK
Aşağıdaki tabloda, Burak’ın bilyelerinin renkleri ve sayıları verilmiştir.
Tablo: Burak’ın Bilyeleri
Bilyeler
Renk
Sayı
Kırmızı
9
Sarı
10
Mavi
17
Kırmızı bilyelerin, sarı bilyelere oranı 9 'dur.
10
Sarı bilyelerin, mavi bilyelere oranı 10 'dir.
17
Mavi bilyelerin, tüm bilyelere oranı 17 'dır.
36
ÖRNEK
Nalan’ın boyunun uzunluğu 165 cm, babasının boyunun uzunluğu 185 cm’dir.
Nalan’ın boyunun, babasının boyunun uzunluğuna oranı nedir?
165 cm = 33 'dir.
185 cm 37
Aynı cins ya da aynı birimle ölçülen iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir. Oran bir sayıdır ve birimi yoktur. Bir oranın terimleri sıfırdan farklı bir
sayı ile çarpılır veya bölünürse oranı değişmez.
ÖRNEK
Aylin 5 dakikada 350 sözcük okumaktadır. Aylin 1 dakikada kaç sözcük okur?
350 sözcük = 70 sözcük
5 dakika
1dakika
Aylin 1 dakikada 70 sözcük okur.
130
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki tabloda verilen ürünlerin birim fiyatlarını bulunuz.
Ürün
Fiyat
Miktar
Birim
Birim Fiyat
Şeker
4,50 TL
3 kg
1 kg
1,50 TL
Yumurta
80 Kr
4 tane
1 tane
20 Kr
Süt
3 TL
1,5 L
1L
...
Peynir
4 TL
500 g
...
...
Zeytin
2,75 TL
250 g
...
...
ÖRNEK
Elif’ in parasının, Emrah’ın parasına oranı 3 ‘tir. İkisinin toplam 80 TL’si olduğu5
na göre, Emrah’ın kaç TL’si vardır.
Elif’in parası
3
=
Emrah’ın parası 5
3+5=8
80 : 8 = 10
5 x 10 = 50 TL Emrah’ın 50 TL’si vardır.
ÖRNEK
40
oranın terimleri 10'a bölünürse; 40 : 10 = 4 olur.
90
90 : 10 9
40 x 2
80
40
oranın terimleri 2 ile çarpılırsa;
olur.
=
90 x 2 180
90
Bu durumda;
4
80
şeklinde gösterilir.
=
9 180
İki oranın eşitliğine orantı denir.
a = c
, ad = bc
b d
131
MATEMATİK 6
ÖRNEK
4
80
bir orantıdır.
=
9 180
Bu orantı, 4 ' 9 = 80 ' 180 şeklinde de yazılır.
Bu orantıda, 9.80 = 4.180 ilişkisi vardır. Bu çarpım orantının bir özelliğidir.
ÖRNEK
Aşağıda verilen oranların orantı oluşturup oluşturmadığını belirleyelim.
a) 3 ile 15
b) 3 ile 9
c) 2 ile 6
5
25
4
12
3
12
ÇÖZÜM
a) 3
5
15
25
3 x 25 = 5 x 15
75 = 75 olduğundan bu iki oran eşittir.
3 = 15 orantısı yazılabilir.
5 25
b) 3
9
12
3 x 12 = 4 x 9
36 = 36 olduğundan bu iki oran eşittir.
4
3 = 9 orantısı yazılabilir.
4 12
c) 2
6
12
3
?
3x6 = 2x12
çarpımlarını karşılaştıralım.
2
6
2
6
oranları eşit değildir. O halde
bir
ve
ile
18 ! 24 olduğundan,
3
12
3
12
orantı değildir.
ÖRNEK
3
a
orantısında a kaçtır?
=
8 24
ÇÖZÜM
Bir orantıda içler dışlar çarpımı eşit olduğundan
3
8
a
24
8 . a = 3 . 24
8 . a = 72
8 . a = 72
8
8
a= 9 olarak bulunur.
132
MATEMATİK 6
Aşağıdaki orantılarda verilmeyen terimi bulunuz.
?
5 = 30
m 36
n 8
b. =
7 3
6 = 18
c.
13
t
a.
ÖRNEK
Verilen açının ölçüsünün bütünlerine oranı nedir?
45° nin bütünleri 180° - 45° = 135° dir.
45° lik açının ölçüsünün bütünlerinin ölçüsüne oranı 45 = 1 'tür.
135 3
Aşağıda verilen açıların ölçülerinin her birinin bütünlerine oranını
bulunuz?
?
a.
b.
133
MATEMATİK 6
ÖRNEK
6 tane kalemin satış fiyatı 7,2 TL’dir. Mert bu kalemlerden 24 tane alırsa kaç TL
öder?
ÇÖZÜM
Kalem sayısı
6
24
;
=
?
Ödenen para 7, 2
6 x ? = 7,2 x 24
6 x ? = 172,8
?=
172,8
6
? = 28,8
Aynı sonucu tablo ile gösterelim.
Kalem Sayısı
6
12
18
24
TL
7,2
14,4
21,6
28,8
Kalem sayısı 4 katına çıkarsa ödeme de 4 katına çıkar.
İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artarsa yada biri azalırken diğeri de aynı oranda azalırsa böyle çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.
134
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki oranlara eşit iki tane oran yazınız.
a. 3 = ... = ...
5 ... ...
20
b.
= ... = ...
30 ... ...
= ... = ...
c. 24
48 ... ...
d. 50 = ... = ...
100 ... ...
2. Aşağıdaki oran çiftlerinden hangileri orantı oluşturur?
a. 3 , 12
7 28
b. 45 , 9
20 4
c. 3 , 9
2 6
d. 8 , 32
3 9
3. Aşağıdaki orantılarda verilmeyeni bulunuz.
a. a = 12
3 18
b. h = 12
13 52
c. 35 = 7
30 x
d. 10 = 2
m 30
4. Bir sınıfta 15 kız, 25 erkek öğrenci vardır. Bu sınıftaki kızların sayısının, erkeklerin
sayısına oranını yazınız.
5. Bir ağacın boyu 5 yılda ortalama 75 cm büyürse, 8 yılda kaç santimetre büyür?
6. Ortalama hızla giden bir otomobil 2 saatte 160 km yol giderse, 5 saatte kaç
kilometre yol gider?
135
MATEMATİK 6
D. YÜZDELER
Yukarıdaki şekil 100 tane eş karesel bölgeden oluşmaktadır. Bunlardan 33 tanesi boyanmıştır.
33
= 0, 33 = % 33 "yüzde otuz üç"
100
ÖRNEK
ÖRNEK
55 = 0,55 = % 55
100
1,32 = 132 = % 132
100
ÖRNEK: Aşağıda verilen kesirleri yüzde (%) sembolü ile yazalım.
a) 47 = 0,47 = % 47
100
b) 32 = 0,32 = % 32
100
c) 13 = 13 x 5 = 65 = % 65
20 20 x 5 100
0,4 =
% 0,4
d) 2 = 2 : 5 =
500 500 : 5 100
Aşağıdaki boyalı bölgeleri yüzde sembolü kullanarak yaklaşık olarak
ifade ediniz.
?
136
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Çocukların sevdikleri yiyeceklerin araştırma sonuçları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tablo: Sevilen Yiyecekler
Yiyecekler
Yüzde (%)
Dondurma
75
Şeker
15
Çikolata
30
Cips
25
Tabloda, yüzde sembolü İle verilen oranları ondalık kesir olarak yazalım.
% 75 = 75 = 0,75
100
% 15 = 15 = 0,15
100
% 30 = 30 = 0,3
100
%25 = 25 = 0,25
100
ÖRNEK
Yüzde sembolü ile verilen sayıları ondalık kesir olarak yazınız.
32,7 =
0,327
a) % 32,7 =
100
b) % 225 = 225 = 2,25
100
0,24 =
0,0024
c) % 0,24 =
100
d) % 125 = 125 = 1,25
100
137
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Tabloda boş bırakılan kutuları uygun sayılarla tamamlayınız.
Kesir
Ondalık kesir
Yüzde (%)
2
5
0,40
% 40
1,24
% 0,74
23
4
ÖRNEK
6/ A sınıfındaki öğrencilerin 4 'ü kız öğrencidir. Bu sınıfın yüzde kaçı erkek öğ5
rencidir?
ÇÖZÜM
4 'ü kız öğrenci,
5
5 -4 1
= 'i erkek öğrencidir.
5 5 5
1 1x 20
20
=
=
= % 20
5 5 x 20 100
Sınıfın % 20’si erkek öğrencidir.
ÖRNEK
50 kişilik 6/B sınıfı öğrencileri, sınıf başkanı seçiyorlar. Adayların aldığı oy sayısı
aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre, her bir adayın aldığı oy yüzdesini bulunuz.
138
Aday
Oy sayısı
Oy yüzdesi (%)
Özlem
20
40
Dilek
12
Mete
8
Onur
10
MATEMATİK 6
ÖRNEK
45kg elmanın % 40’ı kaç kg elmadır?
ÇÖZÜM
40 180
45 .
=
= 18 kg elmadır.
100
10
ÖRNEK
% 30’u 60 cm olan çubuğun tamamı kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
60 : 30 = 60 . 100 = 200 cm'dir.
30
100
Aşağıdaki tabloda verilenlere göre boş kutuları doldurunuz.
?
% 10
% 20
% 40
% 70
% 10
500 TL
200 TL
139
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki yüzlük kartlar üzerinde modellenen ondalık kesirleri, yüzde sembolü
kullanarak yazınız.
2. Aşağıda yüzde sembolü ile verilen ifadeleri ondalık kesir olarak yazınız.
a. % 34
b. % 70
c. % 85
ç. % 126
d. % 0,12
e. % 520
f. % 3
g. % 3,2
3. Aşağıda verilen kesideri yüzde sembolü kullanarak yazınız.
b. 1
2
a. 3
4
c. 8
5
ç. 9
10
4. 28 kişilik bir sınıfın % 25’ i erkek öğrencidir. Buna göre, sınıftaki kız öğrenci sayısı
kaçtır?
5. Verilenlere göre aşağıdaki tabloyu tamamlayınız.
Kesir
Ondalık kesir
Yüzde
13
50
0,26
% 26
0,15
% 15
1
20
6. % 8’ i 240 TL olan paranın tamamı kaç TL’dir?
140
MATEMATİK 6
7. 260 kişilik bir okulun kantininden sabah 136 öğrenci simit almıştır.
a. Sabah simit alan öğrencilerin sayısını kesir olarak gösteriniz?
b. Sabah simit alan öğrencilerin sayısı, tüm öğrencilerin yüzde kaçıdır?
c. Sabah simit almayan öğrenci sayısını yüzde sembolü kullanarak gösteriniz.
8. Bilgi yarışması için 6. sınıf öğrencileri arasında seçim yapılacaktır. Bu seçim için
aşağıdaki tablodaki 5 öğrenci aday gösteriliyor. Buna göre oluşturulacak grupları
yazınız.
Tablo: Aday öğrenciler
İsimler
Oy oranı
Esra
% 25
Saliha
% 10
Murat
% 21
Serkan
% 40
Sercan
%4
9. Aşağıdaki menüye göre, belirtilen her hesap için kaç TL bahşiş ödenmesi
gerektiğini bulunuz.
a.
b.
c.
ç.
d.
Bir çorba ve 1 tatlı
Bir çorba, 1 sebze yemeği ve 1 tatlı
İki çorba ve 2 sebze yemeği
Bir köfte, 1 meşrubat ve 1 tatlı
2 köfte, 1 su ve 1 tatlı
Tablo: Menü
Yemekler
Fiyatlar (TL)
Çorba
4 TL
Sebze yemeği
5 TL
Köfte
6 TL
Meşrubatlar
3 TL
Su
1 TL
Tatlılar
2 TL
Hesaba % 10 bahşiş ücreti eklenir.
141
MATEMATİK 6
ÖZET
Aynı cinsten iki çokluğun birbirine bölünerek karşılaştırılmasına oran denir.
Oranda birim yoktur.
İki oranın eşitliğine orantı denir.
a = c , a. d = b. c
b d
Bir orantıda içler çarpımı dışlar çarpımına eşittir. İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artarsa ya da biri azalırken diğeri de aynı orana azalırsa böyle
çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.
142
MATEMATİK 6
TEST - III-II
1. Zehra 15 TL’sinin 5 TL’sini harcıyor. Harcadığı paranın tüm parasına oranı nedir?
A. 2
B. 2
3
C. 1
2
D. 1
3
2. 5 L benzinle 45 km yol giden bir otomobil, 12 L benzinle kaç km yol gider?
A.
B.
C.
D.
80
90
96
108
3. 7 kg vişneden 4kg vişne reçeli yapılıyor. 24 kg vişne reçeli, yapmak için kaç kg
vişne gereklidir?
A.
B.
C.
D.
28
32
36
42
4. Bir sınıftaki kızların sayısının, erkeklerin sayısına oranı 3 ’tir. Sınıf mevcudu
5
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A.
B.
C.
D.
16
24
30
32
5. 48 ceviz iki arkadaş arasında 3 oranında paylaştırılacaktır. Az alan kaç ceviz alır?
5
A. 6
B. 12
C. 18
D. 30
143
MATEMATİK 6
6. % 37’si ile % 22’sinin farkı 75 olan sayı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
400
475
500
525
7. 25 kişilik bir sınıfta 13 kız öğrenci vardır. Bu sınıfın % kaçı erkek öğrencidir?
A.
B.
C.
D.
24
26
48
52
8. 30 kişilik bir sınıfın % 40’ı erkek öğrencidir. Buna göre, sınıftaki kız öğrenci sayısı
kaçtır?
A.
B.
C.
D.
6
12
18
24
9. 42 dakika, bir saatin yüzde kaçıdır?
A.
B.
C.
D.
42
56
60
70
Yanda verilen kareli kâğıdın % 32’si pembe renkle boyanmıştır. Kaç tane
daha boyanırsa kâğıdın % 60’ı boyanmış olur?
10.
A.
B.
C.
D.
7
14
21
28
11. Bir otobüs gideceği yolun önce % 20'sini gidiyor. Sonra 140 km daha gidince
yolun % 55'ini gitmiş oluyor. Buna göre, otobüsün kaç km yolu kalmıştır?
A.
B.
C.
D.
144
108
166
180
220
MATEMATİK 6
12.
Yanda verilen şeklin % kaçı pembe renge boyanmıştır?
A.
B.
C.
D.
15
30
45
70
13. % 40 indirimle 90 TL’ye satılan elbisenin indirimden önceki fiyatı kaç TL’dir?
A.
B.
C.
D.
120
130
140
150
14. Elif cebindeki parasının % 20’si ile kitap, % 60 ile CD almıştır. Cebinde 10 TL
kaldığına göre, Elif CD’yi kaç TL'ye almıştır?
A.
B.
C.
D.
10
15
20
30
15. Barış 50 soruluk bir sınavda soruların 41’ini doğru yanıtlamıştır. Buna göre Barış’ın
başarı yüzdesi kaçtır?
A.
B.
C.
D.
40
41
80
82
145
4. ÜNİTE
A- DOĞRU, DOĞRU PARÇASI VE IŞIN
1. Doğru, Doğru Parçası ve Işın
2. Aynı Düzlemdeki İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
3. Bir Doğru ve Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumu
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
DEĞERLENDİRME SORULARI
B- AÇILAR
1. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
2. Komşu Tümler, Bütünler ve Ters Açılar
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST IV - I
C- ÇOKGENLER
1. Kare
2. Dikdörtgen
3. Üçgenler
ALIŞTIRMALAR
D- EŞLİK VE BENZERLİK
ALIŞTIRMALAR
E- DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
1. Öteleme Hareketi
2. Çokgenler ve Çokgensel Bölgelerin Örüntüleri
3. Süslemeler
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST IV - II
MATEMATİK 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
Bu ünitenin konularını çalıştığınızda;
1. Doğru ile nokta arasındaki ilişkiyi açıklayacak,
2. Doğru parçası ve ışını sembolle gösterecek,
3. Aynı düzlemdeki iki doğrunun birbirlerine göre durumlarını belirleyecek,
4. Bir doğru ile bir düzlemin birbirlerine göre durumlarını belirleyecek,
5. Açının düzlemde ayırdığı bölgeleri belirleyecek,
6. Komşu, tümler, bütünler ve ters açıların özelliklerini açıklayacak,
7. Üçgenleri kenarlarına ve açılarına göre sınıflandıracak,
8. Kare ve dikdörtgenin açıları, kenarları ve köşeleri arasındaki ilişkileri belirleyecek,
9. Eş ve benzer çokgenlerin kenar ve açı özelliklerini belirleyecek,
10. Bir şeklin öteleme sonunda oluşan görüntüsünü inşa edecek,
11. Çokgenler ve çokgensel bölgelerin eş ve benzerlerini kullanarak öteleme
ve süsleme yapacak,
12. Bir açıya eş bir açı inşa edecek ve bir açıyı iki eş açıya ayıracak,
13. Öteleme hareketini açıklayacaksınız.
NASIL ÇALIŞMALIYIZ?
Bu ünitenin konularını kavrayabilmek için;
1. Açıklamaları dikkatle okuyunuz.
2. Örnekleri dikkatli inceleyiniz ve 6. Sınıf matematik ders kitaplarındaki örnekleri anlamaya çalışınız.
3. Örneklerle ilgili uyarıları dikkate alınız.
4. Şekilleri cetvel, pergel ve iletki kullanarak çizmeye çalışınız.
5. Konu ile ilgili değişik kitaplardan sorular çözünüz.
148
MATEMATİK 6
A. DOĞRU, DOĞRU PARÇASI VE IŞIN
1. Doğru, Doğru Parçası ve Işın
Doğru:
Doğru sonsuz sayıdaki noktaların birleşmesinden meydana gelir.
Doğru, üzerinde herhangi iki nokta veya küçük harfle isimlendirilir.
ÖRNEK
MN doğrusunu gösterelim.
Doğru Parçası:
Doğru parçasının başlangıç ve bitiş noktası bellidir.
ÖRNEK
RS doğru parçası “[RS]” biçiminde gösterilir. Doğru parçasının uzunluğu bellidir.
149
MATEMATİK 6
ÖRNEK
[AB] = 2 cm olan doğru parçasına eşit bir doğru parçası çizelim.
Bir doğru çizeriz. Doğrunun üzerinde herhangi bir nokta işaretleriz. Pergelimizi cetvel üzerinde 2 cm açarız. Pergelin sivri ucunu işaretlediğimiz nokta üzerine
koyar, pergel ile doğruyu kestiği yeri belirleriz. Böylece |AB| = 2 cm olan doğru parçasına eşit bir doğru parçası çizmiş oluruz.
Işın:
Başlangıç noktası belli olan ancak bitiş noktası belli olmayan doğrulara ışın
denir.
ÖRNEK
DF ışını denir ve “[DF” biçiminde gösterilir.
Şekiller sembolle iki farklı biçimde gösterilebilir. Kitabınızda II. sütundaki gösterimleri kullanacağız.
Tablo: Şekillerin sembolle gösterimi.
150
Şekiller
I.
II.
AB Doğrusu
AB
AB
AB Doğru Parçası
AB
[AB]
AB Işını
AB
[AB
AB Doğru parçasının uzunluğu
AB
|AB|
MATEMATİK 6
2. Aynı Düzlemdeki İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
Aynı düzlemde doğrular üç değişik biçimde bulunur.
1- İki doğru birbirini keser.
Bu durumdaki doğrulara kesişen doğrular denir.
c= d = M (c ve d doğruları M noktasında dik olarak kesişir.)
2- İki doğru birbirine paraleldir.
Bu durumdaki doğrulara paralel doğrular denir.
s//r biçiminde gösterilir.
3- İki doğru çakışıktır.
Bu durumdaki bütün noktalarda birleşen doğrulara çakışık doğrular denir.
m+k = k
m=k
151
MATEMATİK 6
3. Bir Doğru ve Bir Düzlemin Birbirine Göre Durumu
1.
a doğrusunun bütün noktaları E düzleminin de noktalarıdır. Bu durumdaki
doğru ve düzem çakışıktır. Doğru düzlemin içindedir. a 1 E’ dir.
2.
y doğrusu ile E düzleminin hiç bir ortak noktası yoktur. Bu durumdaki doğru
düzlem ile paraleldir. y // E'dir. Doğru düzlemi kesmez.
3.
t doğrusu E düzlemini B noktasında keser. t=E = B (t doğrusu E düzlemini B
noktasında dik keser.)
152
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1.
2.
3.
Aşağıdaki doğruları yandaki örnekte olduğu gibi sembolle gösteriniz ve
okunuşlarını yazınız.
Aşağıdaki doğru parçalarını yandaki
örnekte olduğu gibi sembolle gösteriniz
ve okunuşlarını yazınız.
Aşağıdaki ışınları yandaki örnekte
olduğu gibi sembolle gösteriniz ve okunuşlarını yazınız.
4. İki doğru kaç noktada kesişir?
5.
Y düzlemi ile çakışan bir
doğru çiziniz.
153
MATEMATİK 6
B. AÇILAR
İki ışının kesişmesi ile bir ortak nokta oluşur. Bu iki ışın ve köşenin oluşturduğu
şekle açı denir.
Açı, kenarları üzerindeki birer nokta ve köşeye verilen harflerle isimlendirilir.
BAC açısı veya CAB açısı denir.
“BAC”, “<BAC” veya “A” ile gösterilir.
1. Açının Düzlemde Ayırdığı Bölgeler
Açının İç Bölgesi
BAC'nın [AB ve [AC ışınlarından oluşan kenarları içerisinde kalan bölgeye açının iç bölgesi denir.
AB ve AC ışınları ve bu ışınlar üzerindeki noktalar BAC'nın iç bölgesine ait değildir.
Açının Dış Bölgesi
Düzlemde BAC'nın AB ve AC ışınlarından oluşan kenarları dışında kalan bölgeye açının dış bölgesi denir.
AB ve AC ışınları ve bu ışınlar üzerindeki noktalar BAC'nın dış bölgesine ait
değildir.
154
MATEMATİK 6
Pergel kullanarak A açısına eş bir açı çizelim;
Başlangıç noktası K olan bir ışın çizelim. Pergelin ucu A noktasına yerleştirilir.
Pergel B noktası kadar açılır. Pergelin açıklığı değiştirilmeden ışının K başlangıç noktasına konularak ışını kesen büyükçe bir yay çizilir. Pergelin ucu B noktasına konularak BC yayının uzunluğu kadar açılır. Bu açıklık bozulmadan K ışınını kesen M noktasına konularak diğer yayla kesişen bir yay çizilir ve kesişim noktası L K ile birleştirilir.
BAC açısı ile LKM açısı birbirine eşit olur.
BAC = LKM olur.
Aynı açıyı iletki ile de çizebiliriz. İletkinin “0” orta noktasını A açısının köşesine
denk getirerek AC ışını üzerine yerleştirip BA ışınının iletki üzerinde denk geldiği
dereceyi tespit ederiz. Sonra iletkimizin “0” orta noktasını K noktasına denk getirerek
KM ışını üzerine yerleştiririz ve BAC’nin derecesi kadar işaretleriz. Bu noktaya L dersek L ile K noktalarını birleştirerek BAC eş LKM’nı çizeriz.
Açıortay
Bir açıyı iki eş açıya ayırırken de pergel ve iletkiden faydalanılır.
Bir A açısı ve bu açının her iki kolunu kesen bir yay çizilir. Kesim noktası B ve C
olsun. Pergelin ucu, B noktasına konularak C kadar açılır. C noktasından geçen büyükçe bir yay çizilir. Sonra pergelin ucu C noktasına konularak B noktasından geçen
büyükçe bir yay çizilir. Her iki yayın kesiştiği D noktası A köşesi birleştirilir.
BAC’nı iki eş açıya ayıran AD ışınına BAC’nın açıortayı denir.
AD ışını BAC açısının açıortayıdır.
155
MATEMATİK 6
?
a. ADE açısına eş bir HTL açısı da siz çiziniz.
b. ADE açısının açıortayını çizerek iki eş açıya bölünüz.
2. Koşmu Tümler, Bütünler ve Ters Açılar
Komşu Açılar:
Köşeleri ve birer kenarları ortak, diğer kenarları ortak kenarın farklı yanlarında
bulunan açılara komşu açılar denir.
Şekilde AOC ve COB komşu açılardır.
Tümler Açılar:
Ölçüleri toplamı 90° olan iki açıya tümler açılar denir.
s(ABC) = 70° ve s (DEF) = 20° dir.
s(ABC) + s(DEF) = 70° + 20° = 90° dir.
ABC ile DEF tümler açılardır.
156
MATEMATİK 6
MNR ve RNP komşu tümler açılardır.
Hem komşu hem de tümler olan açılara komşu tümler açılar denir.
Bütünler açılar:
Ölçüleri toplamı 180° olan iki açıya bütünler açılar denir.
s(AOE) = 135° ve s(FOB) = 45°’dir.
s(AOE) + s(FOB) = 135° + 45° = 180° dir.
AOE ve FOB bütünler açılardır.
AOC ve COB komşu bütünler açılardır.
Hem komşu hem de bütünler olan açılara komşu bütünler açılar denir.
157
MATEMATİK 6
ÖRNEK
40° lik açının tümleyeninin ve bütünleyeninin ölçüsü kaç derecedir?
ÇÖZÜM
40° lik açının tümleyeni, 90° - 40° = 50° dir.
40° lik açının bütünleyeni, 180° - 40° = 140° dir.
ÖRNEK
Şekildeki A, O ve B noktaları doğrusaldır.
s(COB) 58° olduğuna göre,
s(AOC) kaç derecedir?
ÇÖZÜM
AOC ve COB komşu bütünler açılardır.
180° - 58° = 122° dir.
s(AOC) = 122° dir.
ÖRNEK
Tümler açılardan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 5 katıdır. Bu açılar kaçar
derecedir?
ÇÖZÜM
1 kat + 5 kat = 6 kat
90° : 6 = 15°
90° - 15° = 75°
Bu açılar 15° ve 75° dir.
158
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Bütünler açılardan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 3 katıdır. Bu açılar kaçar
derecedir?
ÇÖZÜM
1 kat + 3 kat = 4 kat 180° : 4 = 45°
180° - 45° = 135°
Bu açılar 45° ve 135° dir.
1. Aşağıda ölçüsü verilen açıların bütünleyeninin ölçüsünü bulunuz.
a.
b.
c.
d.
120°
40°
85°
175°
2. Aşağıda ölçüsü verilen açıların tümleyenlerinin ölçüsünü bulunuz.
?
a.
b.
c.
d.
30°
45°
15°
75°
3.
DOC’nın ölçüsü, DOA’nın
ölçüsünün 5 katıdır. Buna
göre, DOC’nın bütünlerinin
ölçüsü kaç derecedir?
159
MATEMATİK 6
Ters açılar
Köşeleri ortak ve kenarları aynı doğrultuda birbirlerinin zıt ışınları olan açılara
ters açılar denir.
AOB ile COD
AOC ile BOC
}
Ters açılardır.
Ters açıların ölçüleri birbirine eşittir.
s(AOB) = s(COD)
s(AOC) = s(BOD)
ÖRNEK
Şekilde, O noktasında kesişen MR ve NP doğrularının oluşturduğu açılardan
s(MON) = 40° olduğuna göre, s(MOP), s(POR) ve s(NOR) ölçüleri kaçar derecedir?
ÇÖZÜM
Komşu bütünler açıların ölçüleri toplamı 180° olduğundan;
s(MON) + s(MOP)= 180°
s(MOP) = 180° - 40° = 140°
Ters açıların ölçüleri eşit olduğundan
s(MON) = s(MOR) = 40° dir.
s(MOP) = s(MOR) =140° dir.
160
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1.
Şekilde O noktasında kesişen DL ve
EK doğrularının oluşturduğu açılardan s(DOK) = 115° olduğuna göre,
diğer açılar kaçar derecedir?
2.
Şekilde AB ve CD doğruları O noktasında kesişmektedir. s(COB) = 47°
olduğuna göre, s(AOD) kaç derecedir?
3.
Şekilde s(EOA) = 137° olduğuna
göre s(EOD) kaç derecedir?
4.
s(ABC) = 90° s(DBC) = 35° olduğuna
göre, s(ABD) kaç derecedir?
5.
AB ve DC doğruları O noktasında
kesişmektedir. s(BOC) = 58° olduğuna göre, ölçüsü verilmeyen açıları bulunuz.
161
MATEMATİK 6
6.
Verilen şekilde, E, O ve C noktaları
doğrusaldır. Buna göre, s(AOB) kaç
derecedir?
7.
Şekilde verilenlere göre MON'nın
ölçüsü kaç derecedir?
162
MATEMATİK 6
ÖZET
Doğru: Sonsuz sayıdaki noktanın yan yana dizilmesiyle oluşur. Başlangıç ve
bitiş noktası belli değildir.
Doğru Parçası: Başlangıç ve bitiş noktası belli olan doğrudur.
Işın: Belli bir noktadan başlayıp sonsuza kadar uzanır.
İki doğru bir noktada kesişirse bunlara kesişen doğrular denir.
İki doğrunun hiç ortak noktası yoksa bunlara paralel doğrular denir.
İki doğrunun bütün noktaları ortaksa bunlara çakışan doğrular denir.
Doğru ile düzlemin bütün noktaları ortaksa düzlem ile doğru çakışıktır denir.
Doğru ile düzlemin hiç ortak noktası yoksa düzlem ile doğru paraleldir denir.
Doğru düzlemi bir noktada kesiyorsa düzlem ile doğru kesişiyor denir.
Bir düzlemde açının kenarları arasında kalan parçaya iç bölge, açının kenarları
dışında kalan bölgeye ise dış bölge denir.
Köşeleri ve birer kenarları ortak, diğer kenarı ortak kenarların farklı yanlarında
bulunan açılara komşu açılar denir.
Ölçülerinin toplamı 90° olan açılara tümler açılar denir. Bu açıların birer kenarı
ortak ise komşu tümler açı denir.
Ölçülerinin toplamı 180° olan açılara bütünler açılar denir. Bu açıların birer kenar ortak ise komşu bütünler açı denir.
Köşeleri ortak ve kenarları aynı doğrultuda birbirlerinin zıt ışınları olan açılara
ters açılar denir.
163
MATEMATİK 6
TEST IV - I
1. Aşağıdakilerden hangisi doğru parçasıdır?
A.
B.
C.
D.
2.
Verilen şeklin sembolle gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
AB
[AB
[AB]
[BA
3. Bir doğru parçasına eş bir doğru parçası çizmek için aşağıdakilerden hangisinden
faydalanırız?
A.
B.
C.
D.
Cetvel, gönye
Cetvel, iletki
Cetvel, pergel
Cetvel, cetvel
4. Aşağıdaki sembollerden hangisi dikliği gösterir?
A.
B.
C.
D.
//
=
[]
<
5. k ve e doğrularının bütün noktaları ortak ise aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A.
B.
C.
D.
6. m ve y doğrularının hiçbir ortak noktaları yok ise aşağıdakilerden hangisi
164
MATEMATİK 6
doğrudur?
A.
B.
C.
D.
m
m
m
m
y
y
y
7.
t doğrusu ile E düzleminin durumunu sembol ile nasıl gösterebiliriz?
A.
B.
C.
D.
t // E
t =E
t=E
t <E
8. Aşağıdakilerden hangisi birbiri ile kesişen doğru ile düzlemi gösterir?
A.
B.
C.
D.
165
MATEMATİK 6
9.
Y noktası BAC’nın hangi bölgesindedir?
A.
B.
C.
D.
Dış bölge
İç bölge
Açının ışınları üzerinde
A noktasında
10. 30° lik açının tümlerinin ölçüsünün yarısı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
15°
30°
45°
60°
11. 70° lik açının bütünlerinin ölçüsünün 4 katı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
280°
360°
400°
440°
12. Tümler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 3 katından 10° fazladır.
Küçük açı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
10°
15°
20°
25°
13. Ölçüsü, bütünlerinin yarısına eşit olan açı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
166
30°
60°
90°
120°
MATEMATİK 6
14. Ölçüsü, tümlerinin 8 katına eşit olan açı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
5°
10°
15°
20°
15.
Verilen şekilde BOC ile AOD açılarının ölçülerinin toplamı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
56°
60°
68°
76°
16.
Şekle göre KAL’nın ölçüsü kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
20°
30°
40°
60°
167
MATEMATİK 6
17.
Şekilde s(POR) = 64° ve PT = [OS olduğuna göre, s(ROS) kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
24°
26°
34°
36°
18. Bir A açısının tümleri ile bütünlerinin toplamı 120° ise A açısının ölçüsü kaç
derecedir?
A.
B.
C.
D.
30°
40°
60°
75°
19. Tümleri ile bütünlerinin toplamının yarısı 50° olan açının ölçüsü kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
85°
95°
105°
115°
20. Bir açının ölçüsü ile bu açının bütünlerinin ölçüsünün toplamı kaç derecedir?
A.
B.
C.
D.
168
90°
180°
270°
360°
MATEMATİK 6
C. ÇOKGENLER
Çokgenler ikişer ikişer kesişen doğru parçalarından oluşur. Çokgen çeşitleri
kenar sayısına göre, üçgen, dörtgen, beşgen, altıgen, ... olarak belirlenir. Çokgenler
köşesine gelen harflerle ardışık olarak isimlendirilir. Çokgenlerin iç kısmında kalan
bölge iç bölge, dış kısmında kalan bölge ise dış bölge olarak adlandırılır.
A
Kenar
B
.|úH
Çokgenin
F
$oÕ
C
LoE|OJHVL
E
dRNJHQLQGÕúE|OJHVL
D
ÖRNEK
Aşağıdaki çokgenleri isimlendirelim.
K
L
S
KLMN
.DUHVL
N
T
M
B
Y
PRSTY
%HúJHQL
R
P
C
BCDE
3DUDOHONHQDUÕ
E
D
Tüm açıları ve kenarları eş olan çokgenlere düzgün çokgen diyoruz.
Yandaki şekil bir düzgün çokgendir.
ÖRNEK
Aşağıdaki düzgün çokgenleri inceleyiniz.
169
MATEMATİK 6
1. Kare
Bütün kenarları eşit uzunlukta ve dört açısı da 90° olan çokgene kare denir.
Köşegenler ait oldukları köşe açılarını 45°’lik iki eşit açıya böler. Köşegenler
birbirlerini 90° ile keser.
2. Dikdörtgen
Karşılıklı kenarları eşit uzunlukta ve dört açısı 90° olan çokgene dikdörtgen
denir.
Köşegenler karesel, dikdörtgensel ve paralel kenarsal bölgeleri iki eş parçaya
ayırır.
170
MATEMATİK 6
3. Üçgenler
Üçgenlerde üç kenar vardır. Köşenin karşısındaki kenar o köşenin adını alır ve
küçük harfle yazılır.
Verilen üçgende;
A
A köşesinin karşısındaki kenar a kenarı,
c
B
b
a
B köşesinin karşısındaki kenar b kenarı,
C köşesinin karşısındaki kenar c kenarıdır.
C
Üçgen Çeşitleri
Üçgenler kenar uzunluklarına göre üçe ayrıIır:
1. Çeşit kenar üçgen; her kenarı farklı uzunlukta olan üçgenlerdir.
D
F
E
2. İkiz kenar üçgen; iki kenar uzunluğu eşit olan üçgenlerdir.
A
C
B
İkiz kenar üçgende taban açıları eşittir. C = B
3. Eşkenar üçgen; bütün kenarları aynı uzunlukta olan üçgenlerdir.
K
M
L
Eşkenar üçgenin bütün açıları eşittir. K = L = M
171
MATEMATİK 6
Bir üçgenin kenarları belli bir açı ile kesişir. Üçgende üç açı vardır. Açılar ait
oldukları köşenin adını alır. Üçgenin iç açıları toplamı 180° dir.
R
Z
Y
Üçgenler açılarına göre 3’e ayrılır.
1. Dar açılı üçgen; bütün açıları 90° den küçük olan üçgenlerdir.
A
60°
70°
C
50°
B
2. Dik açılı üçgen; bir açısı 90° olan üçgenlerdir.
K
60°
30°
M
L
3. Geniş açılı üçgen; bir açısı 90° ile 180° arasında olan üçgenlerdir.
R
40°
T
172
120°
20°
S
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1.
D
Yandaki DEF üçgeninde kenarların adını sembolle yazınız.
F
E
2.
A
S
ABC üçgeni ile SOR'nın kesişim kümesini yazınız.
R
C
L
O
T
B
3. Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenleri, kenarlarına göre sınıflandırınız?
K
4 cm
M
E
4 cm
3 cm
P
5 cm
N
L
5 cm
7 cm
F
5 cm
S
6 cm
10 cm
4. Aşağıdaki üçgenlerde verilmeyen açı ölçülerini bulunuz.
50°
A
K
P
?
?
?
50°
?
50°
B
C L
60°
T
?
140° 30°
60°
M R
S
Z
Y
5. Aşağıdaki üçgenleri açılarına göre sınıflandırınız.
N
R
D
40°
45°
F
45°
75°
E
R
34°
120°
65°
P
T
26°
S
173
MATEMATİK 6
6. Aşağıda açı ölçüleri verilen üçgenleri açılarına ve kenar uzunluklarına göre
sınıflandırınız.
a.
b.
c.
d.
90°, 45°, 45°
90°, 30°, 60°
60°, 60°, 60°
120°, 40°, 20°
7. Bir kenarı 4 cm olan kareyi çiziniz.
8.
Yukarıda E düzleminde verilen beşgenin iç ve dış bölgelerinde bulunan noktaların kümesini ayrı ayrı yazınız.
9. Aşağıda noktalı bölümde verilen kare ve dikdörtgenlerin köşegenlerini çiziniz.
B
A
D
K
C
P
M
R
T
T
V
Z
Y
S
10. Aşağıdaki kare ve dikdörtgenlerde verilmeyen açıları bulunuz. Bu dörtgenlerde
eş olan üçgenleri belirleyerek sembolle gösteriniz?
M
B
N
T
V
D
45°
C
35°
G
E
D
75°
R
174
E
45°
P
Z
Y
F
MATEMATİK 6
D. EŞLİK VE BENZERLİK
Eşlik ve Benzerlik Arasındaki İlişki
Benzerlik kavramı
Bir şekil fotokopi ile belli bir oranda büyütülerek veya küçültülerek elde edilen
yeni şekillerin benzer olduklarını söyleyebiliriz.
Farklı ölçeklerde çizilen haritaların, bir insanın farklı boyutlardaki fotoğrafların
birbirine benzer olduğunu söyleyebiliriz.
Belli bir oranda büyütülmüş veya küçültülmüş şekillere benzer şekiller denir.
İki çember, iki kare her zaman birbirine benzerdir. Fakat herhangi iki
dikdörtgen ve iki üçgen için aynı şeyi söyleyemeyiz.
ÖRNEK
,ùHNLO
,,ùHNLO
,,,ùHNLO
,9ùHNLO
I. ve II. şekillerdeki çokgenleri karşılaştırdığımızda bu çokgenlerin açı ölçülerinin ve kenar uzunluklarının birbirine eşit olduğunu görürüz. Bu nedenle bu iki çokgen birbirine eştir.
175
MATEMATİK 6
Eş şekiller, aynı biçim ve eşit ölçülere sahiptirler.
I ve IV. şekillerdeki çokgenleri karşılaştırdığımızda bu çokgenlerin açı ölçülerinin eşit fakat kenar uzunluklarının birbirinden farklı olduğunu görürüz. Bu nedenle
bu iki çokgen birbirine benzerdir.
Birbirine eş olan şekiller aynı zamanda benzerdir. Fakat benzer şekiller eş
değildir.
III ve IV. şekillerdeki çokgenlerin açı ölçüleri ve kenar uzunlukları birbirinden
farklıdır. Bu nedenle bu iki çokgen eş veya benzer değildir.
ÖRNEK
Aşağıdaki kareli kâğıt üzerine çizilen çokgenleri inceleyelim.
A
D
T
Z
U
G
H
K
J
I S
N
M
N
R
P
C
B
Y
F
G
B
C
F
E I
H
E
D
U
T
L
M
ABC üçgeni UTS üçgenine,
MNPR karesi TUYZ karesine,
FGHI dikdörtgeni BCED dikdörtgenine eştir.
Eşlik için “ b ” sembolü kullanılır.
Bu eşlikler;
ABC b STU
MNPR karesi b TUYZ karesi
FGHI dikdörtgeni b BCED dikdörtgeni biçiminde gösterilir.
UTS üçgeni DEF üçgenine, MNRP karesi KLMN karesine, BCDE dikdörtgeni
GHIJ dikdörtgenine benzerdir.
176
MATEMATİK 6
Benzerlik için “~” sembolü kullanılır.
Bu benzerlikler;
STU ~ DEF
TUYZ karesi ~ KLMN karesi
BCDE dikdörtgeni ~ GHIJ dikdörtgeni
ÖRNEK
Aşağıdaki iki fotoğraf birbirinin aynısıdır. Bu iki fotoğraf eş şekillere örnektir.
Aşağıdaki fotoğraflar biçim olarak aynıdır. Fakat farklı büyüklüktedirler.
177
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki noktalı kâğıt üzerinde verilen, HAVUZ beşgenin BAHÇE beşgeni
üzerinde iki kenar ve bir köşesi üst üste gelecek şekilde gezdirip açı ve kenar uzunluklarını inceleyelim.
B
H
A
H
V
Z
U
A
E
Ç
HAVUZ beşgeni ile BAHÇE beşgenin, üst üste gelen açıları eş ancak kenar
uzunlukları birbirinden farklıdır.
HAVUZ beşgeni ile BAHÇE beşgeni benzer beşgenlerdir.
“HAVUZ beşgeni ~ BAHÇE beşgeni” biçiminde gösterilir.
Benzer çokgenler aynı biçimdedir. Ancak açıları eş, kenar uzunlukları
farklıdır.
178
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki çokgenlere eş olan birer çokgen çiziniz.
A
P
B
K
F
L
C
E
N
D
M
T
R
2. Aşağıdaki çokgenlerin benzeri olan birer çokgen çiziniz.
M
K
N
T
U
R
F
T
S
Z
Y
L
N
3. Aşağıdaki çokgenlerden benzer olanları bulunuz.
I
II
III
IV
VIII
VI
X
IX
VII
V
4. Aşağıdaki şekillerde kalın çizgiler simetri doğrularıdır. Şekilleri simetri doğrularına
göre tamamlayınız.
179
MATEMATİK 6
E. DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ
1. Öteleme Hareketi
Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde kayma hareketi öteleme olarak adlandırılır.
Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür.
ÖRNEK
ùHNLO,
ùHNLO,,
Yukarıda, noktalı kâğıt üzerine çizilmiş çokgenlerden, Şekil I'deki çokgen
7 birim sağa, Şekil II'deki çokgen 5 birim sağa, 2 birim aşağıya ötelenmiştir.
Ötelemede bir şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır. Bir şeklin kendisi ile
öteleme altındaki görüntüsü eş ve simetriktir. Fakat bu simetri doğruya göre alınan
simetriden farklıdır. Bu tür simetriye öteleme simetrisi adı verilir.
ÖRNEK
ùHNLO,
ùHNLO,,
Yukarıda bulunan Şekil I ve Şekil II’yi incelediğimizde;
Şekil I’de doğruya göre simetri uygulanmıştır. Şekil II’de ise çokgen 6 birim sola
ötelenerek öteleme simetrisi uygulanmıştır.
180
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki noktalı kâğıt üzerinde verilen çokgenlerin hangi yönde ve kaç birim
ötelendiğini bulunuz.
2. Noktalı kâğıt üzerine bir üçgen çiziniz ve aşağıdaki ötelemeleri yaparak öteleme
simetrilerini oluşturunuz.
A.
B.
C.
D.
3 birim sağa
4 birim sola
5 birim sola, 4 birim aşağıya
2 birim sağa, 3 birim yukarıya
3. Aşağıda verilen çokgenleri, önce 2 birim sağa sonra 4 birim aşağıya öteleyerek
görüntülerini çiziniz.
4.
d
Yukarıda verilen şeklin,
A. 3 birim sola öteleyerek görüntüsünü çiziniz.
B. d doğrusuna göre simetriğini çiziniz.
181
MATEMATİK 6
2. Çokgenler ve Çokgensel Bölgelerin Örüntüleri
El sanatları insanoğlu varolduğundan beri tabiat şartlarına bağlı olarak ortaya
çıkmıştır. Anadolu, el sanatlarının çeşitliliği bakımından önemli bir medeniyet beşiğidir.
El sanatlarının çoğunun temeli olan motif oluşturulurken eş çokgenlerde kullanılmaktadır.
Örüntü Oluşturma
ÖRNEK
,DGÕP
,,DGÕP
,,,DGÕP
,9DGÕP
Aşağıdaki örüntüde 5. ve 6. adımda olması gereken şekilleri çiziniz. Bu şekiller
kaç tane karesel bölgeden oluşturulur?
ÇÖZÜM
5. adımda 10 tane, 6. adımda 12 tane karesel bölge kullanılmıştır. Yani, 5. ve 6.
adımı oluşturabilmek için 10 + 12 = 22 tane karesel bölge kullanılmıştır.
,DGÕP
182
,,DGÕP
,,,DGÕP
,9DGÕP
9DGÕP
9,DGÕP
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki örüntü eş üçgensel bölgelerden oluşturulmuştur. Bu örüntünün ilk
üç adımı verilmiştir. IV. adımdaki şekil kaç tane üçgensel bölgeden oluşur?
,DGÕP
,,DGÕP
,,,DGÕP
Aşağıdaki örüntüleri inceleyiniz. Siz de eş ve benzer çokgenler kullanarak
farklı örüntüler oluşturunuz.
?
3. Süslemeler
Aşağıdaki model üçgensel bölgelerden oluşturulmuştur. Bu üçgensel bölgeler istenildiği kadar tekrarlanabilir. Şekiller sıralı olarak farklı renklerde boyanarak
süsleme yapılır.
Süsleme, bir düzlemin boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü
oluşturacak şekilde döşenmesidir. Şekiller öteleme hareketi ile döşenirse ötelemeli
süsleme yapılmış olur.
183
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen eş karelerden oluşan örüntü modelini iki adım daha ilerletiniz?
,DGÕP
,,DGÕP
,,,DGÕP
2. Aşağıda eş ve benzer çokgenlerle oluşturulan örüntülerdeki ilişkiyi belirleyiniz.
Örüntüyü devam ettiren üç şekil daha çiziniz.
184
MATEMATİK 6
3. Aşağıdaki örüntüde, 4. adımdaki üçgen sayısını bulunuz?
,$GÕP
,,$GÕP
,,,$GÕP
4. Aşağıdaki örüntülerde hangi düzgün çokgenlerin kullanıldığını yazınız.
185
MATEMATİK 6
ÖZET
Aynı biçim ve büyüklükteki şekiller eştir.
Belli bir oranda büyütülmüş veya küçültülmüş şekillere benzer şekiller denir.
Benzerlik için “~” veya ”.” sembolü kullanılır.
Eş şekiller aynı biçim ve eşit ölçülere sahiptirler. Eşlik için ”b” sembolü kullanılır.
Birbirine eş olan şekiller aynı zamanda benzerdir. Fakat benzer şekiller eş değildir.
Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde yaptığı
kayma hareketi ötelemedir.
Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür.
Ötelemede bir şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır. Bir şeklin kendisi ile
öteleme altındaki görüntüsü eş ve simetriktir.
Süsleme, bir düzlemin boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü
oluşturacak şekilde döşenmesidir. Şekiller öteleme hareketi ile döşenirse öteIemeli
süsleme yapmış oluruz.
186
MATEMATİK 6
TEST IV - II
1. Aşağıdaki şekillerden hangisi yanda verilen şekle benzerdir?
A.
B.
C.
D.
2. Aşağıdaki üçgenlerden hangisi yanda verilen üçgene eştir?
A.
B.
C.
D.
3. Bir ABCD dörtgeninde AC köşegeni çizilerek iki eş üçgen oluşturuluyor.
ABCD dörtgeni aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A.
B.
C.
D.
Kare
Dikdörtgen
Eşkenar dörtgen
Yamuk
187
MATEMATİK 6
4. Aşağıdaki verilen şekil ikililerinin hangisi verilen doğruya göre simetriktir?
A.
B.
C.
D.
5. Aşağıdaki I numaralı şekil ötelenerek II numaralı görüntüsü elde edilmiştir. Buna
göre, I numaralı şekil hangi yönde ve kaç birim ötelenmiştir?
I
II
A.
B.
C.
D.
188
2 birim sağa, 3 birim aşağı
3 birim sağa, 4 birim aşağı
6 birim sağa, 3 birim aşağı
5 birim sağa, 2 birim aşağı
MATEMATİK 6
6. Aşağıdaki şekil ikilileri için verilen ifadelerden hangisi yanlıştır?
A
C
D
B
I.
A.
B.
C.
D.
II.
A şekli 3 birim sola, 5 birim aşağı ötelenerek B şekli oluşturulmuştur.
II. kareli bölümdeki şekiller birbirine eştir.
I. kareli bölümdeki iki şeklin de yönü aynıdır.
D şekli 5 birim sola, I. birim yukarı ötelenerek C şekli oluşmuştur.
7.
$GÕP
$GÕP
$GÕP
$GÕP
Yukarıdaki örüntünün ilk 4 adımı verilmiştir. Bu örüntü devam ettirildiğinde
6. adımda aşağıdaki şekillerden hangisi yer alır?
A.
B.
C.
D.
189
MATEMATİK 6
8.
$GÕP
$GÕP
$GÕP
$GÕP
Yukarıdaki örüntünün ilk 4 adımı verilmiştir. Buna göre 8. adımda kaç tane nokta
bulunur?
A.
B.
C.
D.
8
9
10
11
9.
$GÕP
$GÕP
$GÕP
$GÕP
Yukarıdaki örüntünün ilk 4 adımı verilmiştir. Bu örüntü devam ettirildiğinde 5.
adımda aşağıdaki şekillerden hangisi yer alır?
A.
190
B.
C.
D.
MATEMATİK 6
10.
$GÕP
$GÕP
$GÕP
$GÕP
$GÕP
Yukarıda, eş karelerden oluşturulan örüntünün ilk 5 adımı verilmiştir. Bu eş karelerden 75 tane daha kullanılarak verilen örüntü en fazla kaç adım daha devam
ettirilebilir?
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
191
5. ÜNİTE
A. OLASILIK
1. Saymanın Temel ilkeleri
2. Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar
3. Olay Çeşitleri
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST V - I
B. İSTATİSTİK
1. Araştırmalar İçin Sorular Oluşturma ve Veri Toplama
2. Tablo ve Grafikler
3. Aritmetik Ortalama ve Açıklık
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST V - II
MATEMATİK 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
Bu ünitenin konularını çalıştığınızda;
1. Saymanın temel ilkelerini karşılaştırabilecek ve problemlerde kullanabilecek,
2. Olasılıkla ilgili temel terimler hakkında bilgi edinecek,
3. Olasılık temel terimlerini bir durumla ilişkilendirecek,
4. Bir olayı ve bu olayın olma olasılığını açıklayacak,
5. Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklayabilecek,
6. Bir sorunla ilgili araştırma soruları üretecek,
7. Tablo oluşturabilecek,
8. Tablo yorumlayabilecek,
9. Grafik ve tabloyu doğru yorumlamanın önemini kavrayacak,
10. Bir olayın olma olasılığı ile ilgili problemleri çözebileceksiniz.
NASIL ÇALIŞMALIYIZ?
Bu ünitenin konularını kavrayabilmek için;
1. Açıklamaları dikkatle okuyunuz.
2. Örnekleri ilgili uyarıları dikkate alarak çözünüz.
3. Günlük hayatta karşılaştığınız olaylar ve çevrenizdeki eşyalarla ilgili problem oluşturmaya çalışınız.
4. Kitaplarda ve çevrenizde gördüğünüz grafik ve tabloları inceleyiniz.
5. Günlük gazetelerdeki istatistiksel tablo ve grafikleri yorumlayınız.
6. Anlamadığınız konularda çevrenizdeki bilenlerden yardım isteyiniz.
194
MATEMATİK 6
A. OLASILIK
1. Saymanın Temel İlkeleri
ÖRNEK
Serkan arkadaşına doğum gününde hediye almak için gittiği mağazada 2 kitap, 4 kırtasiye malzemesi beğeniyor.
a) Serkan bu malzemelerden birini hediye olarak almak isterse kaç farklı şekilde alabilir?
Toplama Kuralı
Kitap
Kırtasiye malzemesi
Şiir
Defter
Hikâye
Kalemlik
Pastel boya
Resim çantası
}
}
2
+
4
=
6
b) Serkan 1 kitap ve 1 kırtasiye malzemesi almak isterse kaç farklı şekilde alabilir?
Çarpma Kuralı
Defter
Kalemlik
Şiir kitabı
Pastel boya
Resim çantası
Defter
Kalemlik
Hikâye kitabı
Pastel boya
Resim çantası
2x4=8
195
MATEMATİK 6
?
Yalçın evlilik yıl dönümünde eşine hediye olarak 3 çeşit çiçek, 4 çeşit takı
beğeniyor.
a. Yalçın eşine bir hediye almak isterse kaç farklı şekilde alabilir?
b. 1 çeşit çiçek ve 1 çeşit takı almak isterse kaç farklı şekilde alabilir?
ÖRNEK
Ankara’dan İstanbul’a kara yolu, demir yolu ve hava yolu ile gidilebilmektedir.
İstanbul’dan Samsun’a kara yolu, hava yolu, demir yolu ve deniz yolu ile gidilebilmektedir. Ankara’da oturan bir kişi İstanbul’a uğramak koşuluyla Samsun’a kaç farklı
yoldan gidebilir?
ÇÖZÜM
Ankara
Kara yolu
İstanbul
Hava yolu
Hava yolu
Demir yolu
Demir yolu
Deniz yolu
Samsun
Kara yolu
3 . 4 = 12
ÖRNEK
A ve B kentleri arasında 2 farklı, B ve C kentleri arasında 4 farklı yol vardır. A’dan
hareket eden bir kişi B ‘ye uğramak üzere C’ye kaç farklı yoldan gidebilir?
A
B
C
2 . 4 = 8 farklı yoldan gidebilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki menüden bir çeşit çorba ve bir çeşit sebze yemeğe seçilecektir. Kaç
farklı seçim yapılabilir?
196
MATEMATİK 6
Tablo: Menü
Çorbalar
Sebze yemekleri
Tarhana
Patates
Mercimek
Patlıcan
Yayla
Fasulye
3 . 5 = 15
15 farklı seçim yapabilir.
Kabak
Biber dolması
ÖRNEK
Mustafa 4 pantolon, 3 gömlek ve 2 kravatını kaç farklı şekilde giyebilir?
Pantolon
Gömlek
Kravat
4
3
2
4 . 3. 2 = 24
O hâlde, Mustafa 4 pantolon, 3 gömlek ve 2 kravatı 24 farklı biçimde giyebilir.
2. Olasılıkla İlgili Temel Kavramlar
Günlük yaşantımızda şu ifadeleri çok sık kullanırız:
“Bu gün yağmur yağma olasılığı var.”
“Bir yıl içinde zengin olma olasılığım var.”
“Bizim takımın bu yıl şampiyon olma olasılığı var.”
“Bu yıl turizmde patlama yaşanma olasılığı var.”
Bu ifadelerde, kesin olarak emin olmadığımız durumlar anlatılmaktadır. İşte
bunlar ve benzeri türden sorular olasılık konusunda incelenir ve sonuçları ile ilgili
bilgilere ulaşılır.
Günümüzde, olasılık hesapları büyük önem taşır. Örneğin, meteoroloji tahminlerinde, bütçelerin yapımında, istatistik çalışmalarında, ticarette, tarımda, sağlıkta, eğitimde, şans oyunlarında v.b durumlarda olasılık hesapları yapılır.
197
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Nuray 1‘den 20’ye kadar numaralandırılmış aynı büyüklükte 20 topu boş bir
torbaya koyuyor. Faruk, torbadan rastgele bir top çekiyor. Çekilen topun numarasının tek sayı olması olasılığı nedir?
ÇÖZÜM
Deney: Eş özelliklere sahip top üzerine yazılmış numaralardan birinin seçilmesi
Örnek Uzay
Ö = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14,15, 16, 17, 18, 19, 20}
s (Ö) = 20
Olay
H = { Tek sayının çekilmesi} veya H = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 13, 15, 17, 19}
s(H) = 10
Olayın Çıktıları
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Eş olasılıkla olma: Her bir sayının çekilme olasılığı eşittir.
Bir olayın olma olasılığı =
O(H) =
İstenen olayın çıktısı
Mümkün olan tüm olaylar
s (H) = 10 = 1
s (Ö) 20 2
ÖRNEK
Üç metal para atıldığında her üçünün yazı ya da her üçünün tura gelme olasılığı nedir?
198
MATEMATİK 6
ÇÖZÜM
Deney: Üç metal paranın atılması
Örnek uzay: Üç metal para atıldığında çıkabilecek tüm sonuçlar.
Ö = {YYY, YYT, YTY, TYY, TTY, TYT, YTT, TTT}
s(Ö) = 8
Olay: Üç metal paranın aynı gelmesi
H = {YYY, TTT}
s(H) = 2
Olayın çıktıları: YYY, TTT
Eş olasılıkla olma: Her paranın yazı ya da tura gelme olasılığı eşittir.
Bir olayın olma olasılığı =
O(H) =
İstenen olayın çıktısı
Mümkün olan tüm olaylar
s (H) = 2 = 1
s (Ö) 8 4
Evrensel kümede her eleman bir kez yazılır. Fakat örnek uzayda çıktılar kaç
tane ise o kadar yazılır.
ÖRNEK
“matematik” kelimesinin harflerinden oluşan evrensel küme
E= {m, a, t, e, i, k}
“matematik” kelimesinin her bir harfi aynı özellikteki kâğıtla yazılarak torbaya
atılmıştır. Torbaya bakmadan bir kâğıt çekildiğinde çıkan harfin “m” olma olasılığı
nedir?
Örnek uzay
Ö = {m, a, t, e, m, a, t, i, k} s(Ö) = 8
Olayın çıktısı = m
s(H) = 2
199
MATEMATİK 6
Bir olayın olma olasılığı =
O(H) =
İstenen olayın çıktısı
Mümkün olan tüm olaylar
s (H) = 2 = 1
s (Ö) 8 4
3. Olay Çeşitleri
Kesin olay: Her zaman gerçekleşen olaylara kesin olay denir.
Örnek uzay kesin olayıdır. Kesin olayın olasılığı 1’dir.
ÖRNEK
Bir torbada 7 tane kırmızı top vardır. Torbadan rastgele bir top çekildiğinde
topun kırmızı renkte olma olasılığı 1’dir. Çünkü torbada sadece kırmızı top vardır.
Örnek uzay; s(Ö) = 7
Olay; s(B) = 7,
Topun kırmızı renkte olma olasılığı O(B) = 7 = 1'dir.
7
İmkânsız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkânsız olaylar
denir.
İmkansız olayın olma olasılığı 0 (sıfır) dır.
Herhangi bir H olayının olasılığı, O ≤ O(H) ≤ 1’dir.
ÖRNEK
Alfabemizdeki bütün harfler aynı özelliklere sahip kâğıtlara yazılarak boş bir
torbaya konuluyor. Torbadan rastgele bir kâğıt çekiliyor.
a) Çekilen kâğıtta ünlü harf olma olasılığı nedir?
b) Çekilen kâğıtta “W” harfi olma olasılığı nedir?
200
MATEMATİK 6
ÇÖZÜM
Örnek uzay
Ö = {a, b, c,...}, s (Ö) = 29
Olay
H = {a, e, ı, i, o, ö, u, ü}
s(H) = 8
O(H) = 8
29
b) Alfabemizde “W” harfi yoktur.
A={
O(A) =
}, s(A) = 0
s (A) = 0 =
0'dır.
s (Ö) 29
A olayına imkânsız olay denir.
1'den 18'e kadar sayıların yazıldığı eşit bölmeli bir çark hazırlanmıştır.
Çark çevrildiğinde;
?
a.
b.
c.
ç.
d.
e.
f.
Çift sayı gelme olasılığı nedir?
Tek sayı gelme olasılığı nedir?
19’dan küçük bir sayı gelme olasılığı nedir?
21 gelme olasılığı nedir?
12’den büyük sayı gelme olasılığı nedir?
14’den küçük sayı gelme olasılığı nedir?
Asal sayı gelme olasılığı nedir?
201
MATEMATİK 6
Tümleyen olay:
Aşağıdaki tabloyu inceleyiniz. Bir olayın olmama olasılığı ile tümleyen olayın
olma olasılığını düşününüz.
Olay
Olayın
olma
olasılığı
Tümleyen olay
Tümleyen
olayın
olma
olasılığı
{1, 2, 3, 4, 5 }'ten tek sayı
çekme olasılığı
3
5
{1, 2, 3, 4, 5 }'ten tek sayı
çekme olasılığı
2
5
Madeni para atılınca tura
gelme olasılığı
1
2
Madeni para atılınca yazı
gelme olasılığı
1
2
15
29
Bir sınıftaki 15 kız, 14 erkek öğrenci arasından sınıf başkanı seçilecektir. Sınıf başkanının erkek olma
olasılığı
14
29
Bir sınıftaki 15 kız, 14 erkek öğrenci arasından
sınıf başkanı seçilecektir.
Sınıf başkanının kız olma
olasılığı
ÖRNEK
Bir torbada aynı özelliğe sahip 5 mavi, 8 sarı, 4 kırmızı ve 3 pembe renkte bilye
vardır. Torbadan rastgele bir bilye çekiyor.
Çekilen bilyelere ait olasılıkları inceleyelim.
Torbada; 5 + 8 + 4 + 3 = 20 tane bilye vardır.
a) Kırmızı renkte olma olasılığı : 4 = % 20
20
b) Pembe renkte olma olasılığı : 3 = % 15
20
c) Sarı renkte olma olasılığı : 8 = % 40
20
ç) Mavi renkte olma olasılığı : 5 = % 25
20
d) Pembe renkte olmama olasılığı : 1 - 8 = 12 = % 60
20 20
8
e) Sarı renkte olmama olasılığı : 1 = 12 = % 60
20 20
f ) Mor renkte olma olasılığı : 0 = 0 = % 0
20
202
MATEMATİK 6
Olasılık değerlerinden anlaşıldığı gibi, olasılık değerleri 0 ile 1 arasında
değişir. (%0 ile % 100 arasında değişir.)
Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’dir.
ALIŞTIRMALAR
1. Soner’in 3 kırmızı, 2 mavi ve 4 yeşil kravatı vardır. Bu kravatlardan bir tanesini
takmak istediğinde kaç farklı seçim yapabilir?
2. Pelin’in alışveriş yaptığı büfede 5 çeşit dergi ve 9 çeşit gazete satılmaktadır. Bu
büfeden 1 dergi ve 1 gazete almak isterse kaç farklı şekilde alabilir?
3. Gülşen, kitapçıdan 6 farklı hikâye kitabı, 3 farklı şiir kitabı aldı.
a. Gülşen, hafta sonu kaç farklı kitap okuyabilir?
b. Gülşen, hafta sonu 1 tane hikâye ve 1 tane şiir kitabı okumak isterse, bu
kitapları kaç farklı şekilde seçer?
4. Öznur, kalem kutusundaki aynı büyüklükte 2 kırmızı, 6 siyah ve 3 mavi
kalemlerden rastgele bir kalem seçiyor. Öznur'un seçtiği kalemin;
a. Kırmızı renkte olma olasılığı,
b. Siyah renkte olma olasılığı,
c. Mavi renkte olma olasılığı nedir?
203
MATEMATİK 6
ÖZET
Saymanın temel ilkeleri toplama kuralı ve çarpma kuralıdır.
Günümüzde olasılık hesapları büyük önem taşır.
ÖRNEK
İki metal para atıldığında her ikisini de yazı gelme olasılığı nedir?
Deney: İki metal paranın atılması
Örnek uzay: İki metal para atıldığında çıkabilecek tüm sonuçlar
Ö = {YY, YT, TY, TT}
s(Ö) = 4
Olay: İki metal paranın yazı gelmesi
H = {YY}, s(H) = 1
Olayın çıktıları: YY
Eş olasılıkla olma: Her paranın yazı ya da tura gelme olasılığı eşittir.
O(H) =
s (H) = 1
s (Ö) 4
Her zaman gerçekleşen olaylara kesin olay denir. Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara imkânsız olay denir.
204
MATEMATİK 6
TEST V - I
1. Eda, 3 etek ve 4 bluzu ile kaç farklı takım kıyafet yapabilir?
A.
B.
C.
D.
3
4
7
12
2.
A
B
C
A şehrinden C şehrine gidecek bir kişi B şehrine uğramak koşuluyla kaç farklı
şekilde gidebilir?
A.
B.
C.
D.
4
7
11
12
3. Bir kesin olayın olma olasılığı kaçtır?
A. 0
B. 1
4
C. 1
2
D. 1
4. Bir imkânsız olayın olma olasılığı kaçtır?
A. 0
B. 1
4
C. 1
2
D. 1
205
MATEMATİK 6
5. Olabilecek tüm olasılıklar hangi sayılar arasındadır?
A.
B.
C.
D.
-1 ile 0
0 ile 1
-2 ile 1
1 ile 2
6. 6/A sınıfındaki 16 kız ve 19 erkek öğrenci arasından sınıf başkanı seçilecektir.
Seçilen başkanın, kız öğrenci olma olasılığı kaçtır?
A. 3
19
B. 16
35
C. 19
35
D. 16
19
7. Gülden tebeşir kutusundaki 8 kırmızı ve 7 mavi tebeşirden rastgele birini seçiyor.
Seçilen tebeşirin kırmızı renkte olma olasılığı kaçtır?
A. 1
8
B. 7
15
C. 8
15
D. 7
8
8. Altuğ bir zar atıyor. Bu zarda üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı kaçtır?
A. 1
6
1
B.
3
C. 1
2
D. 5
6
206
MATEMATİK 6
9. Bir torbada 1’den 17’ye kadar numaralandırılmış aynı özelliğe sahip 17 top vardır.
Bu torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun 3 ile bölünebilen bir sayı
olma olasılığı kaçtır?
A. 3
17
B. 4
17
C. 5
17
D. 6
17
10. Asiye, pazardan içinde 15 tane limon olan bir file limon aldı. Filedeki limonlardan
4 tanesinin çürük olduğunu gördü. Asiye, bu file içerisinden rastgele bir limon
aldığında, alınan limonun çürük olmama olasılığı kaçtır?
A. 4
15
B. 7
15
C. 8
15
D. 11
15
11. Bir madeni para atıldığında tura gelme olasılığı yüzde kaçtır?
A.
B.
C.
D.
% 25
% 50
% 75
% 100
12. Bir zar atılıyor zarın üst yüzüne gelen sayının 3 ile bölünebilen sayı olma olasılığı
kaçtır?
1
6
B. 1
3
C. 2
3
D. 5
6
A.
207
MATEMATİK 6
13. Üç madeni para atılıyor. Bu madeni paraların ikisinin yazı, birinin tura gelme
olasılığı kaçtır?
A. 1
8
1
B.
4
C. 3
8
D. 3
4
14. Aşağıdaki torbalarda farklı sayıda pembe ve mor bilyeler vardır. Bu torbaların
hangisinden rastgele bir bilye çekildiğinde pembe olma olasılığı en fazladır?
A.
B.
4 pembe
5 mor
C.
3 pembe
6 mor
D.
3 pembe
7 mor
6 pembe
3 mor
15. Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 5 ‘ten büyük tek sayı olması olasılığı
kaçtır?
A. 0
B. 1
6
1
C.
3
D. 1
2
208
MATEMATİK 6
B. İSTATİSTİK
1. Araştırmalar İçin Sorular Oluşturma ve Veri Toplama
İstatistik nedir?
İstatistik, çeşitli alanlarda planlı ve programlı çalışmayı sağlayan, verimi artırmayı amaçlayan bir bilim dalıdır. İstatistik, gözlem yoluyla elde edilen bilgilerden
oluştuğundan matematikten yararlanarak sonuçlara varılır. Ülkemizde resmi istatistik bilgilerini Devlet İstatistik Enstitüsü (DİE) toplar ve sonuçlandırır.
İstatistik için bilgi toplama
Bir konuda istatistik hazırlanırken ilgili konu hakkında araştırma yapılarak bilgi
toplanır. Bu bilgiler belli bir kurala göre yazılarak düzenlenir.
İstatistikte bilgi toplamada kullanılan yöntemlerden bazıları; anket yapma,
rastgele seçme ve örneklemdir.
Anket yapma
Anket, bilimsel araştırma çalışmasının sadece veri toplama kısmıdır. Anket yaparken bilinmesi gereken konuyla ilgili çeşitli soruları kapsayan bir form hazırlanır.
Hazırlanan form uygulanarak soruların cevapları toplanır. Verilen cevaplar gruplandırılır.
Rastgele seçme
Yapılacak araştırma ile ilgili olarak hazırlanan sorular, gelir ve kültür düzeyleri
farklı kesimlerden rastgele seçilen kişilere sorulup yanıtlar aranır. Doğruya yakın sonuç elde edilmeye çalışılır.
Örneklem
Üzerinde araştırma veya deney yapılacak grup, örneklem olarak isimlendirilir.
Bütünü anlamak için bütünden seçilen araştırma tekniklerinin uygulanacağı
grup dikkatli seçilmelidir.
Örneğin; Türkiye’deki kişi başına düşen gelir hesaplanırken sadece İstanbul’un
zengin semtlerinden seçilen bir örneklem üzerinde araştırma yapılması yanlı sonuçlar doğurur.
209
MATEMATİK 6
2. Tablo ve Grafikler
ÖRNEK
Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) verilerine göre, 2004 ve 2005, 2006 ve 2007
Temmuz ayında ulaşım yoluyla ülkemize giriş yapan yabancı ziyaretçi sayısı aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Tablo: Temmuz Ayında Türkiye’ye Gelen Yabancı Ziyaretçiler
YILLAR ( TEMMUZ AYI)
Ulaşım Yolu
2004
2005
2006
2007
Havayolu
1 917 463
3 327 576
2 225 363
2 627 764
Karayolu
478 247
643 697
601 560
731 322
Denizyolu
189 508
196 706
240 472
258 137
Demiryolu
12 216
12 823
12 335
9 933
Toplam
2 597 432
3 180 802
3 109 727
3 624 156
Tablo incelendiğinde, Türkiye’ye gelen yabancı ziyaretçi sayısında her yıl artış
olduğu görülmektedir.
2004-2005 yıllarında % 19,7’lik bir artış,
2006-2007 yıllarında %16’lık bir artış görülmüştür.
Grafik: İstatistik çalışmaları sonucu elde edilen bilgilerin şekil, resim ve çizgilerle gösterilmesine grafik denir. Çizilen grafikler, istatistiksel bilgilerin kolayca görülüp anlaşılmasını, kısa sürede karşılaştırma ve yorumlama yapılmasını sağlar.
210
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Tabloda mayıs ayının ilk haftasındaki ortalama sıcaklıkları göstermektedir.
Tablo: Hava Sıcaklığı
Günler
Sıcaklık (°C)
Pazartesi
20
Salı
18
Çarşamba
19
Perşembe
22
Cuma
24
Cumartesi
26
Pazar
25
Grafik: Hava Sıcaklığı
Pazar
Cuma
&XPDUWHVL
*QOHU
3HUúHPEH
Pazar
Cuma
5
&XPDUWHVL
10
5
3HUúHPEH
15
10
6DOÕ
20
15
dDUúDPED
25
20
3D]DUWHVL
25
6ÕFDNOÕNƒ&
6DOÕ
30
dDUúDPED
6ÕFDNOÕNƒ&
3D]DUWHVL
30
Grafik: Hava Sıcaklığı
*QOHU
Grafiğe göre; haftanın en yüksek sıcaklığı cumartesi günüdür.
En düşük sıcaklığı salı günüdür.
Hava sıcaklığında en çok düşüş salı günü olmuştur.
Hava sıcaklığında en çok artış perşembe günü olmuştur.
Her bir verinin miktarını göstermek ve veriler arası karşılaştırma yapmak
için sütun grafiği, veriler arasındaki değişimi göstermek için çizgi grafiği
daha uygundur.
211
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Tablo: Sevilen Meyveler
Meyve adı
Kişi sayısı
Kiraz
10
Kayısı
6
Şeftali
5
Elma
3
Muz
12
Verilen tabloda bir sınıftaki öğrencilerin en çok sevdiği meyveler verilmiştir. Bu
tabloya göre sütun grafiğini yatay ve dikey olarak çiziniz.
Grafik: Sevilen Meyveler
Grafik: Sevilen Meyveler
15
0H\YHOHU
.LúL6D\ÕVÕ
Muz
10
(OPD
ùHIWDOL
.D\ÕVÕ
5
Muz
(OPD
ùHIWDOL
Kiraz
.LúL6D\ÕVÕ
.D\ÕVÕ
15
10
5
Kiraz
0H\YHOHU
Tablo: Türkçe Dersinden Alınan Notlar
?
212
Öğrenci sayısı
Notlar
25
5
15
4
30
3
20
2
10
1
Verilen tablo bir okuldaki
6. sınıf öğrencilerinin Türkçe
dersinden aldığı notları göstermektedir. Bu tabloya göre sütun grafiğini ve çizgi grafiğini
çiziniz.
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Grafik: Öğrencilerin Matematik Ders Notları
g÷UHQFL6D\ÕVÕ
10
8
6
4
2
1
2
3
4
5
1RWODU
Verilen grafik, bir sınıfta matematik dersinde alınan notların dağılımını göstermektedir. 3,4 ve 5 alanlar başarılı olduğuna göre, sınıfın yüzde kaçı başarısızdır?
Sınıf mevcudu = 2 + 4 + 10 + 8 + 6 = 30
Başarısız öğrenci sayısı = 2 + 4 = 6
Başarısız öğrenciler
Sınıf mevcudu
=
6
1
20
= =
= % 20
30 5 100
Sınıfın % 20’si başarısızdır.
ÖRNEK
Aşağıda bir firmanın araba satışlarının aylara göre dağılımını gösteren iki grafik verilmiştir. Verilen grafikleri inceleyiniz.
Grafik 1: Aylara Göre Araba Satışı
Grafik 2: Aylara Göre Araba Satışı
$\ODU
$\ODU
6DWÕú0LNWDUÕ
100
200
300
400
500
600
600
500
400
300
200
(\OO
$÷XVWRV
Temmuz
Haziran
0D\ÕV
1LVDQ
Mart
ùXEDW
Ocak
100
(\OO
$÷XVWRV
Temmuz
Haziran
0D\ÕV
1LVDQ
Mart
ùXEDW
Ocak
6DWÕú0LNWDUÕ
Grafikleri sütun boylarını dikkate alarak yorumlarsak yanlış yaparız. Çünkü
grafiklerin yatay eksenlerinin ölçekleri farklıdır.
213
MATEMATİK 6
Grafik çizilirken ölçek değiştirilirse grafik yorumu da değişir.
En fazla araba hangi ay satılmıştır?
Grafik 1 ve Grafik 2‘ye bakıldığında görsel olarak en fazla araba satışının
Grafik 1’deki Temmuz ayında yapıldığı düşünülmektedir. Halbuki her iki grafik aynıdır. Dolayısıyla temmuz ayındaki satışlarda aynıdır.
Dolayısıyla grafik çiziminde ölçek de yorumu etkilemektedir.
3. Aritmetik Ortalama ve Açıklık
Aritmetik Ortalama: Aritmetik ortalama, bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Bir dizideki sayıların toplamının dizinin eleman sayısına bölümüne, bu dizinin aritmetik
ortalaması denir.
Aritmetik ortalama =
Dizideki sayıların toplamı
Dizinin eleman sayısı
ÖRNEK
2, 3, 5, 8, 9, 12, 15, 18 sayılarının aritmetik ortalamasını bulunuz.
ÇÖZÜM
2 + 3 + 5 + 8 + 9 + 12 + 15 + 18 = 72 = 9’dur.
8
8
ÖRNEK
14 sayının aritmetik ortalaması 25 olduğuna göre, bu sayıların toplamı kaçtır?
ÇÖZÜM
Aritmetik ortalama tanımına göre, sayıların toplamı 14 . 25 = 350’dir.
214
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Faruk’un matematik dersinden aldığı notlar 85, 77, 98, 75, 80’dir. Faruk’un not
ortalamasını ve açıklığını hesaplayınız.
ÇÖZÜM
Aritmetik ortalama = 85 + 77 + 98 + 75 + 80 = 415 = 83
5
5
Faruk’un matematik dersinin notlarının ortalaması 83’dür.
Açıklık = En büyük değer - en küçük değer
= 98 - 75
= 23
Verilen açıklık bulunurken, önce veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır.
Daha sonra en büyük değerden en küçük değer çıkartılır. Açıklık, bir
merkezi yayılma ölçüsüdür.
ÖRNEK
Tablo: Satılan Meyveler
Meyveler
Kilogram (Kg)
Kiraz
40
Kayısı
45
Şeftali
60
Erik
75
Karpuz
80
Kavun
60
Tabloda bir manavda 1 günde satılan meyveler miktarları ile verilmiştir.
Bu manavda 1 günde satılan meyvenin aritmetik ortalamasını bulunuz.
ÇÖZÜM
Aritmetik ortalama = 40 + 45 + 60 + 75 + 80 + 60 = 360 = 60
6
6
Aritmetik ortalama, bir merkezi eğilim ölçüsüdür.
Aralık bir merkezi dağılım ölçüsüdür.
215
MATEMATİK 6
Ankara’nın haziran ayının ilk haftasındaki sıcaklık ölçümlerini gösteren
tablo verilmiştir. Tabloya göre, Ankara’da Haziranın ilk haftasındaki
ortalama sıcaklık kaç °C dur?
Tablo : Sıcaklık Ölçümleri
?
Günler
Sıcaklık (°C)
Pazartesi
19
Salı
17
Çarşamba
18
Perşembe
20
Cuma
24
Cumartesi
23
Pazar
26
ÖRNEK
8 kişilik bir grubun yaş ortalaması 32’dir. Bu gruptan bir kişi ayrıldığında kalan
kişilerin yaş ortalaması 33 oluyor. Buna göre, gruptan ayrılan kişi kaç yaşındadır?
ÇÖZÜM
8 kişinin yaşları toplamı = 8. 32 = 256
7 kişinin yaşları toplamı = 7 . 33 = 231
Ayrılan kişinin yaşı = 256 - 231 = 25’dir.
Gruptan ayrılan kişi 25 yaşındadır.
ÖRNEK
Pelin, Selin, Leyla ve Burcu arkadaşları Berna’ya süpriz doğum günü partisi hazırlayacaklardır. Doğum günü partisi için 25 TL’ye pasta, 10 TL’ye meyve suyu
65 TL’ye hediye aldılar. Doğum günü partisi kişi başına kaç TL’ye mal olmuştur?
ÇÖZÜM
25 + 10 + 65 = 100 = 25'tir. Kişi başı 25 TL’ye mal olmuştur.
4
4
216
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. 8 tane sayının aritmetik ortalaması 60'tır. Bu sayılara hangi sayı eklenmelidir ki
aritmetik ortalama 70 olsun?
2. Bir sınıftaki 15 erkek öğrencinin boy ortalaması 170 cm, 10 kız öğrencinin boy
ortalaması 155 cm’dir. Buna göre sınıftaki tüm öğrencilerin boy ortalaması kaçtır?
3.
Tablo: Ağacın Yıllara Göre Boyu
Yıl
Boy (cm)
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
6
?
Yukarıdaki tabloda bir ağacın yıllara göre boyu verilmiştir. Verilen tabloya göre,
sütun grafiğini çiziniz. 6. yıl sonunda yaklaşık olarak kaç santimetre olabileceğini
tahmin ediniz.
4.
Grafik: Meyve Ağaçları Sayısı
$÷Do6D\ÕVÕ
60
Yanda verilen grafik bir bahçedeki meyve
ağaçlarının sayısını göstermektedir. Buna göre
vişne ağaçlarının sayısının, toplam meyve
ağaçlarının sayısına oranı nedir?
50
40
30
20
9LúQH
.D\ÕVÕ
(OPD
Armut
Kiraz
10
$÷DoODU
5. Okul kantininde 5 günde satılan tost sayıları tabloda verilmiştir.
Tablo: Tost Sayıları
Gün
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
Tost sayısı
150
163
176
145
121
Tabloya göre, okul kantininde bir günde ortalama kaç tost satılmıştır?
217
MATEMATİK 6
ÖZET
İstatistik çeşitli alanlarda planlı ve programlı çalışmayı sağlayan, verimi artırmayı amaçlayan bir bilim dalıdır.
İstatistikte bilgi toplamada kullanılan yöntemlerden bazıları; anket yapma,
rastgele seçme ve örneklemdir.
Aritmetik ortalama, bir merkezi eğilim ölçüsüdür. Bir dizideki sayıların toplamının dizinin eleman sayısına bölümüne bu dizinin aritmetik ortalaması denir.
Açıklık bulunurken, önce veriler küçükten büyüğe doğru sıralanır. Sonra en
büyük değerden en küçük değer çıkartılır. Açıklık, bir merkezi yayılma ölçüsüdür.
218
MATEMATİK 6
TEST V - II
1. Aşağıdaki çizgi grafiğinde bir şehrin bir haftalık sıcaklık ölçümleri verilmiştir.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Grafik: Haftalık Sıcaklık Ölçümleri
6ÕFDNOÕNƒ&
32
31
30
29
28
27
26
A.
B.
C.
D.
Pazar
Cuma
&XPDUWHVL
3HUúHPEH
6DOÕ
dDUúDPED
3D]DUWHVL
25
*QOHU
Haftanın en sıcak günü çarşambadır.
Salı ve cuma günleri sıcaklık aynıdır.
Cumartesi, pazar gününden 2°C daha sıcaktır.
Pazartesi, perşembe gününden 4°C daha sıcaktır.
2. 25 sayının aritmetik ortalaması 40’tır. Bu sayılardan 10 ve 24 sayıları çıkarılırsa,
geriye kalanların aritmetik ortalaması kaç olur?
A.
B.
C.
D.
34
36
42
46
3. Verilen grafik bir mağazanın 4 aylık satışını göstermektedir. Buna göre 4 aylık
satış ortalaması kaç TL’dir?
Grafik: Aylara Göre Satış
6DWÕú7/
A.
B.
C.
D.
5000
4000
3000
2000
Mart
1LVDQ
Ocak
ùXEDW
1000
2500
3000
3500
4000
$\ODU
219
MATEMATİK 6
4. Meltem, matematik dersinin birinci sınavından 85, ikinci sınavından 70 almıştır.
Not ortalamasının 85 olabilmesi için üçüncü sınavdan kaç almalıdır?
A.
B.
C.
D.
85
90
95
100
5. Bir gruptaki 6 kişinin yaş ortalaması 14’tür. Bu gruptan iki kişi ayrılınca yeni yaş
ortalaması 12 olduğuna göre, ayrılan kişilerin yaş ortalaması kaçtır?
A.
B.
C.
D.
16
18
20
22
6. Bir sınıfta 10 kız ve 14 erkek öğrenci vardır. Bu sınıftaki öğrencilerin boylarının
ortalaması 165 cm’dir. Erkeklerin boy ortalaması 170 cm olduğuna göre kız
öğrencilerin boylarının ortalaması kaçtır?
A.
B.
C.
D.
155
156
158
160
7. Güzin altı öğünde 200, 250, 300, 125, 150, 25 kalorilik yiyecek yedi. Güzin’in bir
öğünde aldığı ortalama kalori aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
140
150
165
175
8. Aşağıdaki grafik Saliha’nın 5 gün boyunca okuduğu kitabın sayfa sayılarını
göstermektedir. Grafiğe göre, Saliha’nın 5 günde okuduğu sayfa sayısı
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Grafik: Kitap Sayfa Sayısı
6D\ID6D\ÕODUÕ
150
A.
B.
C.
D.
125
100
75
50
220
Cuma
3HUúHPEH
6DOÕ
dDUúDPED
3D]DUWHVL
25
*QOHU
300
375
380
400
MATEMATİK 6
9. 30, 25, 27, 13, 14,28 sayılarının açıklığı aşağıdakilerden hangisidir?
A.
B.
C.
D.
1
12
15
17
10. Ardışık 5 tek sayının aritmetik ortalaması 25’tir. Bu sayıların açıklığı kaçtır?
A.
B.
C.
D.
4
6
8
10
221
6. ÜNİTE
A. UZUNLUKLARI ÖLÇME
1. Uzunluk Ölçme Birimleri
2. Çokgenlerin Çevre Uzunlukları
a) Üçgenin Çevre Uzunluğu
b) Karenin Çevre Uzunluğu
c) Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu
ALIŞTIRMALAR
B. ALAN ÖLÇME
1. Alan Ölçüsü Birimleri
2. Arazi Ölçüleri
3. Dikdörtgenin Alanı
4. Karenin Alanı
5. Üçgenin Alanı
ALIŞTIRMALAR
ÖZET
TEST VI - I
C. GEOMETRİK CİSİMLER
1. Prizmalar
2. Prizmaların Yüzey Alanı
a) Dikdörtgenler Prizması
b) Kare Dik Prizma
c) Küp
ALIŞTIRMALAR
D. HACİM ÖLÇME
1. Küpün Hacmi
2. Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi
3. Kare Prizmanın Hacmi
4. Hacim Ölçme Birimleri
ALIŞTIRMALAR
E. SIVILARI ÖLÇME
ÖZET
TEST VI - II
MATEMATİK 6
BU ÜNİTENİN AMAÇLARI
Bu ünitenin konularını çalıştığınızda;
1. Uzunluk ölçme birimlerini açıklayarak ve birbirine dönüştürecek,
2. Uzunluk ölçme birimleri ile ilgili problemleri çözecek,
3. Atatürk’ün önderliğinde ölçme birimlerine getirilen yeniliklerin gerekliliğini nedenleriyle açıklayacak,
4. Çokgenlerin çevre uzunlukları ile ilgili problemleri çözecek ve kuracak,
5. Çokgenlerin kenar uzunlukları ile çevre uzunluğu arasındaki ilişkiyi açıklayacak,
6. Alan ölçme birimlerini açıklayacak ve birbirine dönüştürecek,
7. Alan ölçmede uygun birimleri belirleyecek, bunlarla ilgili problemleri çözecek ve
kuracak,
8. Kenar uzunluğu ile alan arasındaki ilişkiyi açıklayacak,
9. Çevre uzunluğu ile alan arasındaki ilişkiyi açıklayacak,
10. Dikdörtgensel, karesel ve üçgensel bölgelerin alanları ile ilgili problemleri çözecek,
11. Dikdörtgenler prizması ve kare dik prizmaların hacim bağlantılarını oluşturacak,
12. Dikdörtgenler prizması, kare prizma ve küpün hacmi ile ilgili problemleri çözecek,
13. Hacim ölçme birimlerini açıklayacak ve birbirine dönüştürecek,
14. Hacim ölçme birimleriyle ilgili problemleri çözecek,
15. Dikdörtgenler prizması, kare prizma ve küpün yüzey alanı ile ilgili problemleri çözecek,
16. Sıvı ölçme birimlerini açıklayacak ve birbirine dönüştürecek,
17. Hacim ölçme birimleri ile sıvı ölçme birimleri arasında ilişkiyi açıklayacak,
18. Sıvı ölçme birimleri ile ilgili problemleri çözecek,
19. Zaman ölçme birimleriyle ilgili problemleri çözeceksiniz.
20. Düzlemsel şekillerin çevre uzunluklarını strateji kullanarak tahmin edecek,
21. Düzlemsel şekillerin çevre uzunlukları ile ilgili problemleri çözeceksiniz.
NASIL ÇALIŞMALIYIZ?
Bu ünitenin konularını kavrayabilmek için;
1. Açıklamaları dikkatle okuyunuz.
2. Örnekleri dikkatle inceleyiniz ve 6. sınıf matematik ders kitaplarındaki örnekleri
anlamaya çalışınız.
3. Konularla ilgili çevrenizdeki eşyaları inceleyiniz.
4. Atatürk’ün ölçülerde yaptığı yenilikleri araştırınız.
5. Ölçme birimleri ile ilgili bol bol alıştırma yapınız.
6. Anlamadığınız konular hakkında çevrenizdeki bilenlerden yardım isteyiniz.
224
MATEMATİK 6
A. UZUNLUKLARI ÖLÇME
1931 tarihinde çıkarılan 1782 sayılı Kanunla, eski ağırlık ve uzunluk ölçüleri
değiştirilmiştir. Arşın, endaze, okka, çeki gibi hem belirli olmayan hem de bölgelere
göre değişen eski ölçüler kaldırılmıştır. Bunların yerine uzunluk ölçüsü olarak metre,
kütle ölçüsü olarak kilogram kabul edilmiştir. Yapılan değişiklikler, ülkede kütle ve
uzunluk ölçülerinde tek bir sistemin uygulanmasını sağladığı gibi uluslararası ticari
ilişkilerde de yararlı olmuştur.
1. Uzunluk Ölçme Birimleri
Uzunluk ölçüsünün temel birimi metredir. Kısaca “m” ile gösterilir.
ÖRNEK
a) 8 cm
= 80 mm
b) 1,5 dm = 150 mm
c) 3,2 m = 0,32 dam
ç) 12 m
= 12 000 mm
d) 420 m = 4,2 hm
e) 1300 m = 1,3 km
Aşağıda verilen uzunlukları istenilen birimlere çeviriniz.
?
14m
=
... mm
3 cm
=
... m
29 km
=
... m
92 km
=
... m
350 mm =
... m
225
MATEMATİK 6
?
45 m
=
... cm
0,12 m
=
... mm
40 mm
=
... cm
647 cm
=
... m
3,8 m
=
... cm
212 m
=
... km
345 mm =
... m
ÖRNEK
a) 425 m’yi dam, hm ve km birimleri cinsinden yazalım.
425 m = 42,5 dam = 4,25 hm = 0,425 km
b) 8 m’yi dm, cm ve mm birimleri cinsinden yazalım.
8 m = 80 dm = 800 cm = 8000 mm
Aşağıda verilen uzunlukları istenilen birimlere çeviriniz.
?
813 mm = ... cm = ... dm = ... mm
1,174 km = ... hm = ... dam = ... m
ÖRNEK
Aşağıda verilen uzunlukları istenilen birim cinsinden yazalım.
7 m 4 dm 6 cm = 746 cm
+
7m
= 700 cm
4 dm
=
40 cm
6 cm
=
6 cm
746 cm
226
MATEMATİK 6
5 hm 4 dam 3m = 5430 dm
+
5 hm
=
5000 dm
4 dam
=
400 dm
3m
=
30 dm
5430 dm
Aşağıda verilen uzunlukları istenilen birim cinsinden yazınız.
?
7 dam 4 m 3 dm = ... m
9 hm 3 dam 8m = ... cm
ÖRNEK
45 m uzunluğundaki bir top kumaş 15 cm’lik parçalara ayrılacaktır. Bu top kumaştan kaç parça elde edilir?
ÇÖZÜM
45 m = 4500 cm
4500 ' 15 = 300
15 cm’lik 300 parça kumaş elde edilir.
ÖRNEK
Bir meyve bahçesini çevirmek için 75 m uzunluğunda çit yapmaları gerekiyor.
Bu çit için 3 m aralıklarla kazık çakılırsa kaç kazığa ihtiyaç olur?
ÇÖZÜM
75 ' 3 = 25 tane
227
MATEMATİK 6
2. Çokgenlerin Çevre Uzunluğu
a) Üçgenin Çevre Uzunluğu
Bir üçgenin çevresinin uzunluğu, üç kenarının uzunlukları toplamına eşittir.
Çevre uzunluğu kısaca “Ç“ harfi ile gösterilir.
Ç=a+b+c
ÖRNEK
Kenar uzunlukları IAB I = 8 cm, IACI = 6cm ve IBCI = 10 cm olan ABC üçgeninin
çevresinin uzunluğu kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
Ç = 8 + 6 + 10 = 24 cm
ABC üçgeninin çevresinin uzunluğu 24 santimetredir.
ÖRNEK
Bir kenarının uzunluğu 12 m olan eşkenar üçgenin çevresi kaç metredir?
ÇÖZÜM
Eşkenar üçgenin bütün kenar uzunlukları eşittir.
Ç = 12 + 12 + 12 = 36 m veya Ç = 12.3 = 36 m’dir.
228
MATEMATİK 6
b) Karenin Çevre Uzunluğu
Karenin çevresinin uzunluğu bir kenarının uzunluğunun 4 ile çarpımına eşittir.
Ç=4.a
c) Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu
Dikdörtgenin çevresinin uzunluğu uzun kenarı ile kısa kenarının uzunlukları
toplamının iki katına eşittir.
229
MATEMATİK 6
Verilen çokgenlerin çevrelerinin uzunluklarını bulunuz.
a.
?
b.
ÖRNEK
Verilen çokgenin çevre uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Ç = 21 + 20 + 36 + 25 = 102 m
230
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıda verilen çokgenlerin çevre uzunluklarını bulalım.
a)
Ç = 2 .7 + 2 . 5
= 14 + 10
= 24 cm
b)
Ç = 13 + 13 + 10
Ç = 36 cm
Çokgenlerin çevre uzunlukları bütün kenarların toplamına eşittir.
231
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Verilen çokgenin çevre uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Ç = 19 + 25 + 2 + 18 + 15 + 18 + 2 + 25 = 124 cm’dir.
Verilen çokgenin çevre uzunluğunu bulunuz?
?
ÖRNEK
Bir kenar uzunluğu 15 cm olan düzgün altıgenin çevresinin uzunluğu kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
a= 15 cm
Ç = 15 + 15 + 15 + 15 + 15 + 15
Ç = 6 . 15 = 90 cm’dir.
232
MATEMATİK 6
Düzgün bir çokgenin çevre uzunluğu hesaplanırken, kısaca bir kenar
uzunluğu ile kenar sayısı çarpılır.
ÖRNEK
Verilen çokgenlerin çevre uzunluklarını bulalım.
a)
Ç=3.a
Ç=3.5
Ç = 15 cm
b)
Ç=4.6
Ç = 24 cm
c)
Ç=5.8
Ç = 40 cm
233
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Çevre uzunlukları 24 cm olan bir kare ile bir düzgün sekizgenin kenar uzunlukları kaçar santimetredir?
ÇÖZÜM
Ç = 24 cm
Ç = 24 cm
24 ' 4 = 6
24 ' 8 = 3
a = 6 cm
a = 3 cm
ÖRNEK
Taban uzunluğu 16,4 cm, ikizkenarlardan birinin uzunluğu 10,2 cm olan ikizkenar üçgenin çevresinin uzunluğunu bulalım.
ÇÖZÜM
Ç = 10,2 . 2 + 16,4 = 20,4 + 16,4 = 36,8 cm’dir.
?
Taban uzunluğu 6,4 m ve çevre uzunluğu 16,8 m olan ikizkenar üçgenin
ikizkenarlarından birinin uzunluğu kaç metredir?
234
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki dikdörtgensel bölge şeklindeki bahçenin çevresi 3 sıra tel ile çevrilecektir. Kaç metre tel gerekir?
25 m
30 m
ÇÖZÜM
Bahçenin çevresinin uzunluğu;
25. 2 + 30 . 2 = 50 + 60 =110 m’dir.
3 sıra tel ile çevrileceği için;
110 . 3 = 330 m
Bu bahçe için 330 m tel gerekir.
235
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen çokgenlerin çevrelerinin uzunluklarını hesaplayınız.
a.
b.
c.
ç.
236
MATEMATİK 6
d.
e.
2. Çevresinin uzunluğu 75 cm olan bir eşkenar üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç
santimetredir?
3.
Aşağıda verilen şeklin bir kenarı 7 cm olan eşkenar üçgen ile bir kareden
oluşturulmuştur. Bu şeklin çevresi kaç santimetredir?
4. Çevresinin uzunluğu 32 m olan karenin bütün kenarları 4 cm uzatılırsa karenin
bir kenarının uzunluğu kaç metre olur?
5. Verilen şekil, bir kenar uzunluğu 5 mm olan eşit karelerden oluşturulmuştur. Bu
şeklin çevresinin uzunluğu kaç santimetredir?
237
MATEMATİK 6
B. ALAN ÖLÇME
1. Alan Ölçüsü Birimleri
Kenar uzunluğu 1 birim olan karenin belirttiği düzlemsel bölgeye birimkare
denir.
Bir yüzeye yerleştirilebilen birim karelerin sayısına, o yüzeyin alanı adı verilir.
Alan ölçüsünün temel birimi metrekaredir. Metrekare kısa m2 sembolü ile gös-
0,000001 Metrekare
0,000000001 Metrekare
1 000 000 000 Metrekare
0,001 Metrekare
1 Metrekare
1 000 000 000 Metrekare
1 000 000 Metrekare
terilir.
x100
km2
0LOLPHWUHNDUH
1 Santimetrekare
'HVLPHWUHNDUH
1 Metrekare
.LORPHWUHNDUH
.LORPHWUHNDUH
1 Hektometrekare
:100
x100
hm2
x100 x100
dam2
:100
:100
m2
:100
x100
dm2
:100
x100
cm2
mm2
:100
$ODQ |OoOHUL ELULPOHUL \]HU NDW \]HU NDW E\U \]HU NDW
\]HUNDWNoOU
ÖRNEK
7 m2 x 100= 700 dm2
12 m2 x 100= 120 000 cm2
425 m2 : 100= 4,25 dam2
8720 m2 : 10 000= 0,872 hm2
ÖRNEK
Aşağıda verilen alan ölçüleri farklı birimler cinsinden yazılmıştır, inceleyiniz.
a) 3,475 m2
238
= 347,5 dm2
b) 72,43 cm2 = 7243 mm2
c) 3 120 000 m2 = 3,12 km2
ç) 720 dam2 = 7,2 hm2
d) 0,15 km2
e) 0,25 m2
= 150 000 m2
= 2500 cm2
MATEMATİK 6
Aşağıda verilen alan ölçülerini istenilen birimlere çeviriniz.
?
a. 200 m2
= ... dam2
ç. 84,8 cm2
= ... m2
b. 680 000 m2 = ... km2
d. 43 740 mm2 = ... m2
c. 412,53 m2 = ... mm2
e. 10 000 mm2 = ... m2
2. Arazi Ölçüleri
Bağ, bahçe, tarla ve orman gibi büyük arazilerin alanlarını ar, dekar ve hektar
ile ölçeriz. Aşağıdaki tabloda arazi ölçme birimleri verilmiştir. Her birim sağındaki
birimin 10 katı büyüklüğündedir.
1 a = 100 m2 eşitliğini kullanarak arazi ölçme birimlerini alan ölçme birimlerine
çevirebiliriz. 1 dekarlık alan, 1 dönüm olarak da adlandırılır.
1 dönüm = 1 daa
1a
= 1 dam2
1 daa
= 1000 m2
1 ha
= 1000 m2
1 km2
= 10 hektar
= 1 a = 1000 m2
= 100 m2
1 hektar = 10 dekar
239
MATEMATİK 6
Aşağıda verilen alan ölçülerini istenilen birimlere çeviriniz.
?
a. 2 a
= ... m2
c. 12 daa = ... a
b. 3,8 dönüm = ... m2
ç. 32 a
= ... daa
ÖRNEK:
3 dönüm arazinin 1 a’lık bölümüne mısır, 3 a’lık bölümüne patates ve geri kalan alana da buğday ekilecektir. Buğday ekilecek alan kaç metrekaredir?
ÇÖZÜM
3 Dönüm = 3000 m2
1 a = 100 m2
+
3 a = 300 m2
100 m2
3000 m2
300 m2
400 m2
400 m2
2600 m2’ lik alana buğday ekilecektir.
3. Dikdörtgenin Alanı
Yukarıdaki dikdörtgende her biri 1 cm2 olan karelerden 32 tane vardır. Bu dikdörtgenin alanı 32 cm2 dir. Bu alan farklı iki kenarın uzunluklarının çarpımı ile bulunur.
Alan = A = 4 x 8 = 32 cm2
Dikdörtgensel bölgenin alanı bir uzun kenarı ile bir kısa kenarının
uzunlukları çarpımına eşittir.
240
MATEMATİK 6
Birimkare kısaca br2 sembolüyle gösterilir.
ÖRNEK
Aşağıdaki dikdörtgensel bölgelerin alanlarını bulalım.
a.
A=5x4
A = 20 br2
b.
A=9x4
A = 36 cm2
241
MATEMATİK 6
Aşağıdaki dikdörtgensel bölgelerin alanlarını bulunuz.
a.
?
b.
4. Karenin Alanı
Karenin alanı bir kenar uzunluğunun kendisiyle çarpımına eşittir.
A=axa
A = a2
242
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Bir kenar uzunluğu 5 cm olan karesel bölgenin alanının, çevre uzunluğuna
oranı nedir?
A = 5 x 5 = 25 cm2
Ç = 5 . 4 = 20 cm
A = 25 = 5 'tür.
Ç 20 4
3 br
3 br
3 br
6 br
6 br
?
,,ùHNLO
,ùHNLO
Yukarıda verilen I ve II. şekillerin yüzeyi a ve b şıklarında verilen karelerle
kaplanmak isteniyor. Buna göre her birinden kaç tane kare gerekir?
1 br
1/2 br
1/2 br
1 br
a. I. şekil...
II. şekil...
b. I. şekil...
II. şekil...
243
MATEMATİK 6
5. Üçgenin Alanı
Paralelkenarsal bölgenin alanı
A(ABCD) = Taban x Yükseklik
A = IABI . h = IDCI . h
ABCD paralel kenar bir köşesinden katlandığında 2 tane eş üçgensel bölge
oluşur. Bu üçgenler, BCD ve DAB'leridir.
Bu üçgenlerden BCD’nin alanı ABCD paralel kenarının alanının yarısına eşittir.
A(BCD) =
|DC |. h
dir.
2
ABCD karesel bölgesini köşelerinden katladığımızda;
İki kenarı birbirine eşit 2 eş dik üçgen elde ederiz. Bu ikizkenar dik üçgenin
alanı karenin alanının yarısına eşittir.
244
MATEMATİK 6
2
A(ABD) = a . a = a
2
2
Aynı şekilde EFGH dikdörtgensel bölgesini köşesinden katladığımızda; 2 tane
eş dik üçgen elde ederiz. Bu dik üçgenin alanı dikdörtgensel bölgenin alanının yarısına eşittir.
A(EFG) = a . b
2
Üçgenin alanı =
Taban uzunluğu x tabana ait yükseklik
2
A(ABC) =
|AB |. h
2
A(DEF) =
|DE |. h
2
245
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıdaki üçgenlerin tabanlarını ve bu tabana ait yüksekliklerini inceleyelim.
Bu üçgenlerin alanlarını bulalım.
a.
H
A (ABC) =
|AB | . | AH | 25 . 16
=
= 200 cm 2
2
2
A (DEF) =
|DE | . | FD | 9 . 12
=
= 54 cm 2
2
2
A (KLM) =
|KM | . h 14 . 8
=
= 56 cm 2
2
2
A (PRS) =
|RS | . h 30 . 8
=
= 120 cm 2
2
2
b.
c.
ç.
246
MATEMATİK 6
Aşağıdaki üçgenlerin alanlarını bulunuz.
a.
A(ABC) = ?
b.
?
A(MNR) = ?
c.
A(KLM) = ?
247
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Taban (t) ve tabana ait yükseklikleri (h) verilen üçgenlerin alanlarını bulalım.
a. t = 7,2 m
h = 6m
b. t = 48 mm
h = 18 mm
ÇÖZÜM
t . h 7, 2 . 6
a. A =
=
= 21, 6 m 2
2
2
b. A =
?
t . h 48 .18
=
= 432 m 2
2
2
Taban (t) ve tabana ait yükseklikleri (h) verilen üçgenlerin alanlarını
bulunuz.
a. t = 21,6 cm
h = 18,2 cm
b. t = 14 m
h = 7m
ÖRNEK
Verilen ABC’nin de |AB| = 6 cm ve A (ABC) = 48 cm2 ise [AB]'nın yüksekliği kaç
santimetredir?
248
MATEMATİK 6
ÇÖZÜM
A(ABC) =
|AB |. h
2
3
48 = 6 . h
2
1
48 = 3. h
3 13
h = 16 cm’dir.
ÖRNEK
Alanı 60 cm2 ve yüksekliği (h) 12 cm olan üçgensel bölgenin taban (t) uzunluğu kaç santimetredir?
ÇÖZÜM
A=
taban x yükseklik
2
60 = t x 12
2
10
120 = t x 12
12
12
t = 10 cm’dir.
249
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Şekildeki tarlanın A bölümüne mısır, B bölümüne buğday ekilecektir. Buğday
ve mısır ekili alan kaç metrekaredir?
ÇÖZÜM
A bölgesinin alanı
B bölgesinin alanı
= 8 . 6 = 24 m 2
2
= 7 . 6 = 42 m2
5 cm
Buğday ve mısır ekili alan = 24 + 42 = 66 m2 dir.
?
15 cm
13 cm
Verilen boyalı şeklin alanını hesaplayınız.
250
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Yukarıda ABCD dikdörtgeni verilmiştir. BCD üçgeninin alanı 72 cm2 ve
|DC| = 18 cm olduğuna göre kenarının uzunluğu 18 cm olduğuna göre;
a) |CB| = ?
b) ABCD dikdörtgenin alanını kaç santimetrekaredir?
ÇÖZÜM
a) BCD üçgeninin alanı 72 cm2
A(BCD) =
72 =
|DC |. | CB |
2
18 . | CB |
2
|CB | = 8 cm’dir.
b) ABCD dikdörtgeninin alanı = |DC | . |BC | = 18 . 8 = 144 cm2 dir.
ABCD dikdörtgenin alanı, DCB üçgenin alanının 2 katıdır.
Yani, 72 . 2 = 144 cm2 dir.
251
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Yukarıda verilen şekilde PRST dikdörtgeninin alanını, pembe boyalı bölgenin
alanını ve NRS üçgeninin alanını hesaplayalım.
ÇÖZÜM
PRST dikdörtgeninin alanı = |RS | . |ST | = 20 . 12 = 240 cm2
NRS üçgeninin alanı; A(NRS) =
Taban x yükseklik
2
Bu üçgenin yüksekliği [TS ] uzunluğuna eşittir.
Dolayısıyla, A = 20 . 12 = 120 cm2
2
Pembe boyalı bölgenin alanı = PRST dikdörtgenin alanı - NRS üçgenin alanı
= 240 - 120
= 120 cm2
252
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıda verilen boyalı şekillerin alanlarını hesaplayınız.
a.
b.
c.
ç.
253
MATEMATİK 6
d.
e.
15 m
f.
5m
20 m
5m
30 m
g.
12 mm
5 mm
10 mm
ğ.
254
10 mm
MATEMATİK 6
2. Aşağıdaki üçgenlerin alanlarını bulunuz.
a.
b.
15 cm
D
E
F
18 cm
c.
K
10 br
L
7 br
M
ç.
255
MATEMATİK 6
3.
Yukarıdaki KLMN dikdörtgeninin alanı 144 cm2 olduğuna göre, KLE üçgeninin
alanı kaç santimetrekaredir?
4.
Yukarıdaki şekilde; BCDE dikdörtgen ve |AB| = |BC| = |BF|= |FE| = 6m’dir. Buna
göre verilen şeklin alanı kaç metrekaredir?
5. Çevresinin uzunluğu 44 cm olan karesel bölgenin alanı kaç santimetrekaredir?
6. Bir kenarının uzunluğu 20 cm olan BCDE karesinin alanı bulunuz. Karenin alanı
ile FCD üçgeninin alanını karşılaştırınız.
256
MATEMATİK 6
ÖZET
Uzunluk ölçüsünün temel birimi metredir. Çokgenlerin çevre uzunlukları bütün kenarları toplamına eşittir.
Düzgün bir çokgenin çevresi hesaplanırken kısaca bir kenar uzunluğu ile kenar sayısı çarpılır.
Alan ölçüsünün temel birimi metrekaredir. Metrekare kısaca "m2" sembolü ile
gösterilir.
Alan ölçüsü birimleri yüzer kat yüzer kat büyür, yüzer kat yüzer kat küçülür.
Arazi ölçme birimleri, ar, dekar ve hektardır.
1 dekarlık alan, 1 dönüm olarak da adlandırılır.
Dikdörtgenin alanı;
Karenin alanı;
Üçgenin alanı;
257
MATEMATİK 6
TEST VI - I
1. Çevresinin uzunluğu 120 cm olan karenin alanı kaç santimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
400
900
1000
1600
2. Taban uzunluğu 15 mm ve yüksekliği 16 mm olan bir üçgenin alanı kaç
milimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
60
120
160
240
3.
Yukarıdaki şekilde mavi boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç metrekaredir?
A.
B.
C.
D.
7,5
12
13
16
4.
Yukarıda verilen şeklin çevresinin uzunluğu kaç milimetredir?
A.
B.
C.
D.
258
45
60
75
80
MATEMATİK 6
5.
Yukarıdaki şekil, çevresinin uzunluğu 30 cm olan eşkenar üçgenlerin birleştirilmesiyle oluşturulmuştur. Oluşan şeklin çevresi kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
60
80
100
120
6. Çevresinin uzunluğu 120 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın uzun kenarı,
kısa kenarının 2 katıdır. Bu arsanın alanı kaç metrekaredir?
A.
B.
C.
D.
400
800
1200
1600
7. Tuz Gölü’nün alanı 1500 km2 dir. Van Gölü’nün alanı, Tuz Gölü’nün alanından
2213 km2 fazladır. Van Gölü’nün alanı kaç kilometrekaredir?
A.
B.
C.
D.
2713
2926
3013
3713
8. Üçgen şeklindeki bir bahçenin taban uzunluğu 42 m, bu tabana ait yüksekliği
20 m’dir. Bu bahçenin alanı kaç metrekaredir?
A.
B.
C.
D.
210
420
630
843
259
MATEMATİK 6
9. Çevresinin uzunluğu 75 cm olan eşkenar üçgenin bir kenar uzunluğu kaç
santimetredir?
A.
B.
C.
D.
15
20
25
30
10.
Eş karesel bölgelerden oluşan şeklin çevre uzunluğu 84 cm’dir. Buna göre, şekli
oluşturan eş karesel bölgelerden birinin alanı kaç santimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
16
25
36
49
11.
A
B
C
Şekildeki üçgenin çevresinin uzunluğu 22 cm olduğuna göre, IABI kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
260
5
6
7
8
MATEMATİK 6
12.
Şekildeki ABC üçgenin alanı 30 cm2 dir. Buna göre, ABCD dikdörtgenin alanı aşağıdaki işlemlerden hangisi ile bulunur?
A.
B.
C.
D.
30.2
30.4
30.30
30.15
13.
A
B
D
C
F
E
Şekildeki ABC üçgeninin alanı 4 mm2 olduğuna göre, ADEF karesinin alanı kaç
milimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
36
54
63
72
261
MATEMATİK 6
GEOMETRİK CİSİMLER
1. Prizmalar
'LNG|UWJHQOHU
SUL]PDVÕ
Üçgen dik
prizma
Kare dik
prizma
$OWÕJHQGLN
prizma
Tabanları birbirine eş birer çokgensel bölge; yan yüzleri tabanlara dik birer dikdörtgensel bölge olan kapalı şekillere dik prizma denir.
Yan yüzleri tabana dik olmayan (eğik olan) prizmalara eğik prizma denir.
Dik prizmaların yanal ayrıtlarının uzunluğu bu prizmanın yüksekliğine
eşittir.
Prizmalar tabanlarına göre adlandırılır. Tabanı; kare, dikdörtgen, üçgen, eşkenar dörtgen, paralelkenar olmasına göre sırasıyla kare, dikdörtgen, üçgen, prizma
olarak adlandırılır. Ayrıca bütün yüzleri dikdörtgensel bölge olan prizmaya dikdörtgenler prizması denir.
Bir dik prizmanın kısımlarını aşağıdaki kare dik prizmada inceleyelim.
Yukarıdaki prizmada K köşesinden B köşesine çizilen [KB] cisim köşegenidir.
262
MATEMATİK 6
Bir dik prizmanın yanal ayrıtının uzunluğu prizmanın yüksekliğine eşittir.
Bir prizmada, aynı yüzde olmayan karşılıklı iki köşeyi birleştiren doğru parçasına cisim köşegeni denir.
Prizmanın adı
Köşe sayısı
Yüzey sayısı
Ayrıt sayısı
Üçgen Dik Prizma
6
5
9
Dikdörtgen Dik Prizma
8
6
12
Kare Dik Prizma
8
6
12
Küp
8
6
12
Beşgen Dik Prizma
10
7
15
Altıgen Dik Prizma
12
8
18
?
Verilen prizmaların isimlerini yazıp tabanlarını, yan yüzlerini ve
yüksekliğini belirleyiniz. Köşe sayısını, yüz sayısını ve ayrıt sayısını
yazınız.
263
MATEMATİK 6
Yapı Çizimleri
Bir nesneye baktığımız zaman tamamını göremeyiz. Nesnenin bir kısmı görüş
alanımızın dışında kalır.
ÖRNEK
Yukarıda eş küplerle oluşturulmuş yapının önden, sağdan, soldan, üstten, alttan ve arkadan görünümlerini çizelim.
Önden
6D÷GDQ
6ROGDQ
hVWWHQ
Arkadan
Aşağıdaki yapı kaç küpten oluşmuştur?
Bu yapının önden, sağdan, soldan, arkadan ve üstten görünümlerini
kareli kâğıda çiziniz.
?
264
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Farklı yönlerden görünümünün çizimleri verilen yapıyı birim küplerle oluşturalım.
Önden
Arkadan
6D÷GDQ6ROGDQ
hVWWHQ
İlk önden görünümdeki çizimde belirlediğimiz 8 küpü yerleştirelim. Sonra üstten görünümüne göre en sağdaki birim küpün arkasına bir birim küp daha ekleyelim. Diğer yönlerden görünümleri kontrol ettiğimizde yapı tamamlanmış olur.
1. 5 tane birim küp kullanarak oluşturulabileceğiniz farklı yapıların
önden görünümlerini çiziniz.
2. Tüm yönden görünümü aynı olan prizma hangisidir?
?
3.
Yukarıda verilen yapıyı inceleyiniz. Bu yapının farklı yönlerden
görünümlerini çiziniz.
265
MATEMATİK 6
2. Prizmaların Yüzey Alanı
Prizmaların yüzey alanı, yüzleri oluşturan bölgelerin alanları toplamına eşittir.
Prizmaların karşılıklı yüzlerin alanları birbirine eşittir.
Dikdörtgenler prizması, kare prizma ve küpün yüzey alanı hesaplanırken de
benzer olarak altı yüzünün alanları toplanır.
a) Dikdörtgenler Prizması
Tabanları dikdörtgensel bölge olan dik prizmaya, dikdörtgenler prizması denir.
c
b
a
a.b
b
c b.c
a.c
b.c
a.c
c
h
a
a.b
Dikdörtgenler prizmasının taban ayrımlarının uzunlukları a, b ve yüksekliğini
c ile gösterirsek alan;
A= 2ab + 2bc + 2ac
A= 2 (ab + bc + ac) olur.
ÖRNEK
Verilen dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını hesaplayalım.
266
MATEMATİK 6
ÇÖZÜM
1 ve 4 numaralı dikdörtgenin alanı;
15 . 5 = 75 cm2
3 ve 6 numaralı dikdörtgenin alanı,
15 . 10 = 150 cm2
2 ve 5 numaralı dikdörtgenin alanı,
5 . 10 = 50 cm2
A = 75 + 75 + 150 + 150 + 50 + 50
= 2 x 75 + 2 x 150 + 2 x 50
= 2 . (75 + 150 + 50)
= 2 . 275
= 550 cm2
Verilen dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı 550 cm2 dir.
267
MATEMATİK 6
1. Aşağıdaki dikdörtgenler prizmalarının yüzey alanlarını bulunuz.
8 cm
3 cm
6 cm
15 cm
5 cm
?
4 cm
2.
6 cm
9 cm
12 cm
Verilen dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun bütün yüzeyleri
paket kâğıdı ile kaplanacaktır. Bu kutu en az kaç cm kâğıt ile kaplanır?
3. Taban ayrıtlarının uzunlukları 5 cm ve 8 cm yüksekliği 15 cm olan
dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını bulunuz.
268
MATEMATİK 6
b) Kare Dik Prizma
Tabanları karesel bölge, yan yüzleri dikdörtgensel bölge olan dik prizmaya
kare dik prizma denir.
a2
h
a.h
a.h
a.h
a.h
a
a
a karenin bir kenar uzunluğu,
a2
h yükseklik
Kare dik prizmanın yüzey alanı; A = 2a2 + 4 . h
ÖRNEK
Taban ayrıtı 6 cm ve yüksekliği 10 cm olan kare dik prizmanın yüzey alanını
hesaplayalım.
ÇÖZÜM
A = 2a2 + 4a . h
= 2 . 62 + 4 . 6 . 10
= 2 . 36 + 6 . 40
= 72 + 240
= 312 cm2
?
1. Yüksekliği 15 cm ve yan yüzlerinden birinin alanı 60 cm2 olan kare
dik prizmanın yüzey alanını bulunuz.
2. Taban ayrıtı 5 cm ve yüksekliği 12 cm olan kare dik prizma
şeklindeki bir tahtanın tüm yüzü boyanacaktır. Boyanacak alan kaç
santimetrekaredir?
269
MATEMATİK 6
c) Küp
Bütün ayrıtIarı birbirine eş olan prizmaya küp denir.
a2
a
a2
a2
a2
a2
a
a
a2
Küpün alanı; A = 6. a2 dir.
ÖRNEK
Bir ayrıtının uzunluğu 10 cm olan küpün yüzey alanı kaç santimetrekaredir?
ÇÖZÜM
Alan = 6. a2 = 6. 102 = 6. 100 = 600 cm2
?
Bir ayrıtının uzunluğu 15 m olan küpün yüzey alanı kaç metrekaredir?
ÖRNEK
Taban alanı 25 cm2 olan küpün tüm alanı kaç santimetrekaredir?
ÇÖZÜM
A = 6 . a2 = 6 . 25 = 150 cm2 dir.
?
Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpü ve küpün açık şeklini çiziniz ve
yüzey alanını hesaplayınız.
270
MATEMATİK 6
D. HACİM ÖLÇME
Kenar uzunluğu 1 birim olan küpün uzayda kapladığı boşluğa birimküp denir.
“H“ veya “V“ ile gösterilir.
Bir cismin uzayda kapladığı yeri dolduran birim küplerin sayısına cismin hacmi
denir.
Dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun içine birim küpler yerleştirelim.
Bu dikdörtgenler prizmasında 40 tane birim küp var.
Bu 40 küp dikdörtgenler prizmasının hacmini verir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi = uzun kenar x kısa kenar x yükseklik
H=axbxc
ÖRNEK
64 birim küple çeşitli prizmalar yapalım.
271
MATEMATİK 6
1. Küpün Hacmi
Altı yüzü de karesel bölge olan geometrik cisme küp denir.
Küpün hacmi üç ayrıtının çarpımına eşittir.
Bir ayrıtının uzunluğu 3 cm olan küpün hacmi;
H=3x3x3
H = 27 cm3
Bir ayrıtının uzunluğu “a” olan küpün hacmi H olsun.
H = a x a x a = a3 tür.
ÖRNEK
Bir ayrıtının uzunluğu 8 cm olan küpün hacmi kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM
H = 8 . 8 . 8 = 512 cm3 tür.
272
MATEMATİK 6
1. Bir ayrıtının uzunluğu 15 m olan küpün hacmi kaç m3 tür?
?
2. Hacmi 512 cm3 olan küp şeklindeki bir kutunun içine bir ayrıtının
uzunluğu 2 cm olan küplerden en fazla kaç tane yerleştirilebilir?
2. Dikdörtgenler Prizmasının Hacmi
<NVHNOLN
*HQLúOLN
1 cm3
8]XQOXN
Ayrıt uzunlukları 7 cm, 4 cm ve 3 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmini
bulalım.
H = 7 . 3 . 4 = 84 cm3 tür.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi bir köşede birleşen üç boyutunun
çarpımına eşittir.
Ayrıt uzunlukları a, b ve c birim olan dikdörtgenler prizmasının hacmi;
H = a . b . c dir.
Dikdörtgenler prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin
uzunluğunun çarpımına eşittir.
ÖRNEK
Boyutları 5 cm, 6 cm ve 9 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulalım.
ÇÖZÜM
H = 5 . 6 . 9 = 270 cm3
273
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Verilen dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun hacmini bulalım.
2 cm
7 cm
6 cm
ÇÖZÜM
H = 7. 6 . 2 = 84 cm3 tür.
ÖRNEK
Taban alanı 180 cm2 ve yüksekliği 5 cm olan dikdörtgenler prizmasının hacmini bulalım.
ÇÖZÜM
H = Taban alanı x yükseklik = 180 . 5 = 900 cm3
1. Dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kutunun taban alanı 48 cm2
ve yüksekliği 9 cm'dir. Bu kutunun hacmi kaç santimetreküptür?
2. Bir dikdörtgenler prizmasının bir kenarının uzunluğu 5 katına çıkarılırsa hacmi kaç katına çıkar?
?
3. Aşağıda verilen dikdörtgenler prizmalarının hacimlerini hesaplayınız?
3 cm
10 cm
8 cm
12 cm
4 cm
5 cm
4. Kenar uzunlukları 3 m, 15 m ve 8 m olan dikdörtgenler prizması şeklindeki havuzun 32 'si su ile doludur. Havuzun kaç metreküpü boştur?
274
MATEMATİK 6
3. Kare Dik Prizmanın Hacmi
Tabanı kare olan prizmaya kare dik prizma denir.
Kare dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Taban ayrıtları a, yüksekliği h olan kare prizmanın hacmi;
H = a2 x h’dır.
ÖRNEK
Tabanının bir kenarının uzunluğu 7 cm, yüksekliği 10 cm olan kare prizmanın
hacmini bulalım.
ÇÖZÜM
H = 72 . 10
H = 49 . 10
H= 490 cm3 tür.
12 cm
?
8 cm
8 cm
Verilen kare dik prizmaların hacmini hesaplayınız.
275
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Taban alanı 144 m2 yüksekliği 15 m olan kare dik prizma şeklindeki bir su deposunun hacmini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
H = Taban alanı x Yükseklik
= 144 . 15
= 2160 m3
4. Hacim Ölçme Birimleri
0,000000001 Metreküp
0LOLPHWUHNS
0,000001 Metreküp
0,001 Metreküp
'HVLPHWUHNS
1 Santimetreküp
1 000 000 000 Metreküp
1 Metreküp
1 Metreküp
.LORPHWUHNS
1 000 000 000 Metreküp
.LORPHWUHNS
1 000 000 Metreküp
Hacim ölçüsü temel birimi metreküptür. Metreküp kısaca “m3“ sembolü ile
gösterilir.
1 Hektometreküp
?
Taban alanı 100 cm2, yüksekliği 25 cm olan kare dik prizmanın hacmini
bulunuz.
x1000 x1000
km3
x1000 x1000 x1000 x1000
dam3
:1000 :1000
m3
:1000 :1000
dm3
cm3
mm3
:1000 :1000
+DFLP |OoV ELULPOHUL ELQHU NDW ELQHU NDW
E\UELQHUNDWELQHUNDWNoOU
ÖRNEK
12,35 m3 x 1000 = 12 350 dm3
0,312 cm x 1000 = 312 mm3
41 345 hm3 : 1000 = 41,345 km3
31 207 m3 : 1000 = 31, 207 dam3
276
hm3
MATEMATİK 6
ÖRNEK
Aşağıda verilen hacim ölçüleri diğer hacim ölçü birimleri cinsinden yazılmıştır
İnceleyiniz.
a) 42 543 dm3 = 42,543 m3
b) 1 250 000 dm3 = 1250 m3
c) 7 245 300 m3 = 7, 2453 hm3
ç) 0,000813 m3 = 813 cm3
d) 18 cm3 = 0,018 dm3
e) 72 000 cm3 = 72 dm3
Aşağıda verilen hacim ölçülerini istenilen birimlere çeviriniz.
a. 0,00073 km3 = ...............................dm3
?
b. 16 000 dm3
= ...............................km3
c. 0,018 km3
= ...............................m3
ç. 12 cm3
= ...............................m3
d. 825 dm3
= ...............................m3
e. 0,6 m3
= ...............................dm3
ÖRNEK
Hacmi 24 m3 olan dikdörtgenler prizmasının içine, hacmi 8 dm3 olan küplerden kaç tane yerleştirilebilir?
ÇÖZÜM
24 m3 = 24 000 dm3
Küp sayısı =
Dikdörtgenler prizmasının hacmi
24 000
=
= 3000
Küpün hacmi
8
Hacmi 24 m3 olan dikdörtgenler prizmasının içine, hacmi 8 dm3 olan 3000
tane küp yerleştirilebilir.
277
MATEMATİK 6
E. SIVILARI ÖLÇME
Su, süt, zeytinyağı, benzin gibi sıvı maddeleri ölçmek için kullanılan temel ölçü
birimi litre’dir. Litre kısaca “L” sembolüyle gösterilir.
0,001 Litre
0,01 Litre
1 L = 1 dm3
+HNWROLWUH
1 Litre
100 Litre
100 Litre
0,1 Litre
+HNWROLWUH
+HNWROLWUH
.LOROLWUH
'HNDOLWUH
+HNWROLWUH
.LOROLWUH
1000 Litre
Hacim ölçüsü birimlerinden 1 dm3 lük hacim litreye, 1 cm3 lük hacim 1 mililitreye karşılık gelmektedir.
x10
kL
x10
hL
:10
x10
daL
:10
x10
L
:10
x10
dL
:10
x10
cL
:10
mL
:10
6ÕYÕ|OoOHULELULPOHULRQDUNDWRQDUNDWE\URQDUNDWRQDUNDWNoOU
1mL = 1 cm3 tür.
Sıvı ölçme birimleri, hacim ölçme birimlerinin özel olarak adlandırılmış şeklidir. Yani bir kabın hacmi, aynı zamanda onun alabileceği sıvı miktarını gösterir.
ÖRNEK
Aşağıda verilen sıvı ölçüsü birimlerindeki çevirmeleri inceleyiniz.
a) 210 cL = 2,1 L
b) 4,5 cL = 45 mL
c) 250 mL = 0,25 L
ç) 12 L = 12 000 mL
d) 0,5 L = 500 mL
e) 0,125 L = 12,5 cL
278
MATEMATİK 6
Aşağıda verilen birimleri istenilen birimlere çeviriniz.
a. 0,13 cL = .... mL
b. 0,5 mL= .... L
c. 14,3 cL = .... mL .... L
ç. 412,73 dm3 = .... L .... mL
d. 325 mL = .... L
?
e. 24,6 L= .... mL
f. .... L= 195 mL
g. 0,2 L = .... mL
ğ. .... mL= 0,25 L
h. .... L= 800 mL
ı.
7,122 L = .... mL
i. 176 mL = .... L
279
MATEMATİK 6
ALIŞTIRMALAR
1. Dikdörtgenler prizması şeklindeki su deposunun boyutları 15 dm, 10 dm ve
5 dm’dir. Bu depo kaç litre su alır?
2. Aşağıdaki tabloda dikdörtgenler prizması ile ilgili veriler bulunmaktadır. Bu
verilere göre boş bırakılan yerleri tamamlayınız.
Uzun kenar
Kısa kenar
Yükseklik
Hacim
Yüzey alan
10 cm
5m
6m
300 m3
280 m2
6 cm
3 cm
.....
0,182
..... cm2
.....
8 cm
4,5 cm
52,5 cm
..... cm2
14 mm
2 mm
5 mm
..... mL
..... mm2
3. Su ile dolu bir bidonun hacmi 1200 cm3 tür. Bidondaki suyu artırmadan, her biri
1,5 L su alan kaç şişeye doldurabiliriz?
4. Aşağıda verilenleri ölçmek için kullanabilecek uygun birimleri yanlarına yazınız.
a.
b.
c.
ç.
d.
Bir şişe süt ...
Bir sürahi su...
Tuz Gölün’deki su miktarı...
Bir bardak kola...
Bir küp şekerin hacmi...
5. Bir benzin deposunun hacmi 60 000 cm3 tür. Deponun kaç litre benzin alabileceğini bulunuz.
6. Kare prizma şeklindeki bir yağ tenekesinin boyutları 3 dm, 2 dm ve 5 dm’dir. Yağ
tenekesine yaklaşık kaç litre yağ konulabilir?
7. Boyutları 5 cm,12 cm, 6 cm olan bir margarin kalıbı eritildiğinde kaç mL hacminde
olur?
280
MATEMATİK 6
ÖZET
Prizmalar tabanlarına göre adlandırılır. Tabanı, kare, dikdörtgen, üçgen olmasına göre sırasıyla kare, dikdörtgen, üçgen prizma olarak adlandırılır.
Prizmalar, tabanlarının karşılıklı köşelerini birleştiren ayrıt1ar tabanlara dik ise
dik prizma, eğik ise eğik prizma olarak adlandırılır.
Prizmaların yüzey alanları;
Dikdörtgenler Prizması
Kare Prizma
Küp
a: Uzun kenar
b: Kısa kenar
c : Yükseklik
A= 2 ab + 2 ac + 2bc
A = 2 (ab + ac + bc)
a: Karenin bir kenar uzunluğu
h: Yükseklik
a: Karenin bir
kenar uzunluğu
A = 2a2 + 4ah
A = 6a2
Bir dik prizmada bulunan tüm yüzeylerin alanları toplamı, bu prizmanın yüzey
alanını verir.
Prizmaların hacimleri
c
H=a.b.c
b
a
Bir dik prizmanın hacmi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Sıvı ölçme birimi litredir ve kısaca “L” ile gösterilir. Litre, 1 dm3 lük hacme eşittir.
1 dm3 = 1 L,
1 cm3 = 1 mL
281
MATEMATİK 6
TEST VI - II
1. Hacmi 48 cm3 yüksekliği 12 cm olan kare prizmanın taban ayrıtının uzunluğu kaç
santimetredir?
A.
B.
C.
D.
1
2
3
4
2. Taban alanı 49 cm2 ve yüksekliği 10 cm olan kare prizmanın hacmi, kaç santimetre
küptür?
A.
B.
C.
D.
245
490
510
700
3. Bir ayrıtının uzunluğu 4 cm olan küpün taban alanı kaç santimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
8
16
20
24
4. Yüzey alanı 384 cm2 olan küpün bir ayrıtının uzunluğu kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
6
7
8
9
5. 120 cm3 lük bir şişenin yarısı kaç mL sıvı alır?
A.
B.
C.
D.
282
60
6
0,6
0,06
MATEMATİK 6
6.
m 4 cm
4c
10 cm
8 cm
8 cm
Yukarıda kare prizma şeklindeki tahtadan, taban ayrıtlarından birinin uzunluğu
4 cm, yüksekliği 10 cm olan tahta parçası çıkarılıyor. Kalan parçanın hacmi kaç
santimetreküptür?
A.
B.
C.
D.
320
360
480
560
7.
12 cm
a
9 cm
2 cm
a
a
Yukarıdaki dikdörtgenler prizması ile küpün hacimleri eşittir. Buna göre küpün
bir ayrıtının uzunluğu kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
3
4
6
8
8. 10 litrelik sıvı yağ, 500 cm3 lük hacimli teneke kutulara doldurulacaktır. Bu sıvı
yağı doldurmak için kaç kutu gereklidir?
A.
B.
C.
D.
20
40
200
400
283
MATEMATİK 6
9. Dikdörtgenler prizması şeklindeki akvaryumun su seviyesi 10
cm aşağıdadır. Akvaryumda kaç
litre su vardır?
A.
B.
C.
D.
12
24
48
60
10. Hacmi 210 dm3 olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kolinin uzun kenar
10 dm, kısa kenar 3 dm’dir. Bu prizmanın yüksekliği kaç desimetredir?
A.
B.
C.
D.
30
21
10
7
11. Hacmi 64 cm3 olan küpün bir ayrıtının uzunluğu kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
2
4
6
8
12.
Yukarıda açınımı verilen kare dik prizmanın yüzey alanı kaç santimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
284
200
225
250
300
MATEMATİK 6
13. Yukarıda verilen yapı 12 eş küpten oluşmuştur. Eş küplerden birinin ayrıtı 2 cm
olduğuna göre oluşan yapının hacmi kaç santimetreküptür?
A.
B.
C.
D.
48
72
84
96
14. 10 limondan ortalama 20 cL limon suyu elde ediliyor. 1000 limondan kaç litre
limon suyu elde edilir?
A.
B.
C.
D.
10
20
100
200
15.
Yukarıdaki yapı kenar uzunluğu 1 m olan eş küplerden oluşturulmuştur? Bu
yapının yüzey alanı kaç metrekaredir?
A.
B.
C.
D.
16
18
20
22
285
MATEMATİK 6
16. Hacmi 540 cm3 olan dikdörtgenler prizmasının taban alanı 90 cm2 ise yüksekliği
kaç santimetredir?
A.
B.
C.
D.
5
6
7
8
17.
Yukarıda açılımı verilen küpün çevre uzunluğu 70 cm olduğuna göre, yüzey alanı
kaç santimetrekaredir?
A.
B.
C.
D.
286
125
150
180
216
MATEMATİK 6
DEĞERLENDİRME SORULARI
CEVAP ANAHTARI
1. ÜNİTE TEST I - III
1. ÜNİTE TEST I - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
B
C
D
D
D
C
A
C
A
B
1. ÜNİTE TEST I - II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
C
B
D
B
C
D
D
D
C
D
D
B
B
C
A
B
D
C
A
B
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
B
C
B
D
D
B
B
C
D
2. ÜNİTE TEST II - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
C
C
B
D
B
D
D
A
C
D
C
B
C
B
2. ÜNİTE TEST II - II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
D
A
A
A
C
B
B
D
C
D
B
B
D
B
A
287
MATEMATİK 6
3. ÜNİTE TEST III - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
C
D
C
D
B
C
A
D
D
B
A
C
A
B
C
3. ÜNİTE TEST III - II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
288
D
D
D
C
C
C
C
C
D
A
C
B
D
D
D
4. ÜNİTE TEST VI - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
C
B
C
B
C
A
A
B
B
B
D
C
B
B
D
D
B
D
A
B
4. ÜNİTE TEST VI - II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
A
D
D
D
C
D
A
C
A
B
MATEMATİK 6
5. ÜNİTE TEST V - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
D
D
D
A
B
B
C
C
C
D
B
B
C
D
A
5. ÜNİTE TEST V - II
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
B
C
C
D
B
C
D
C
D
C
6. ÜNİTE TEST VI - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
D
B
A
D
C
B
D
B
C
C
A
A
D
6. ÜNİTE TEST VI - I
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
B
B
B
C
A
C
C
A
D
D
B
C
D
B
B
B
B
289
MATEMATİK 6
C-Ç
: En az bir değişken
A
ve işlem içeren ifadeler.
Açı
: Başlangıç noktaları
aynı olan iki ışının Cisim köşegeni
: Bir prizmada tabirleşimi.
banlardan birinde
bulunan
köşeyi,
Açıortay
: Bir açıyı, ölçüleri
diğer
tabana
ait
birbirine eşit olan
köşeye birleştiren
iki açısal bölgeye
doğru parçası.
ayıran doğru.
: Bir doğal sayıyı kaAlan
: Bir düzlem bölge- Çarpan
lansız bölen sayısinin büyüklüğü.
lardan her biri.
Algoritma
: Belirli bir kurala
: Bir sayının asal çarbağlı bulunan her Çarpan ağacı
panlarını bulmak
türlü hesap işlemi.
için çizilen şema.
Alt küme
: Bir kümenin bazı
elemanları ile oluş- Çıktı
: Bir olaydaki olası
turulan küme.
sonuçlar.
Ar
: Yüz metrekarelik
D
alan ölçme birimi.
Daire
: Çember ile çembeAsal sayı
: 1 ve kendisinden
rin sınırladığı düzbaşka böleni olmalem parçası.
yan, 1’den büyük
Dar
açı
:
Ölçüsü 90° den küdoğal sayılardır.
çük olan açı.
Asır
: Yüz yıl
Dekar (dönüm)
: 1000
metrekare
değerinde yüzey
B
ölçü birimi.
Basamak
: Bir sayının rakam: Bilinmeyen içeren
larının bulunduğu Denklem
eşitlik.
yer.
Basamak tablosu : Bir sayıdaki rakam- Denklem çözme : Denklemde değişkeni (bilinmeyeni)
ların konumlarınbulma işlemi.
dan dolayı aldıkları
değerleri gösteren Denklem çözümü : Denklemi doğru
tablo.
yapan değişkenin
(bilinmeyenin) deBenzer şekiller
: Biçimleri aynı fakat
ğeri.
büyüklükleri farklı
olan şekiller.
Devirli ondalık
: Kesir kısmında tekBoş küme
: Elemanı olmayan kesir
rar eden rakamlaküme
rın bulunduğu onBütünler açılar
: Ölçülerinin topladalık kesir.
mı 180° olan açılar.
SÖZLÜK
Cebirsel ifade
290
MATEMATİK 6
Dik açı
Doğrudaş
noktalar
Dönüm
Eğik prizma
En Büyük Ortak
Bölen (EBOB)
En Küçük Ortak
Bölen (EKOK)
Eleman
Eş olasılık
: Ölçüsü 90° olan Hektar
açı.
: 10 000 metrekarelik alan ölçme birimi.
: Aynı doğru üzerinde bulunan noktaİmkânsız olay
lar
: 1000 metrekarelik
İstatistik
alan ölçme birimi.
İ
: Gerçekleşme olasılığı olmayan olay.
: Bir sonuç çıkmak
için olguları bir
yönteme göre toplayıp sayı olarak
belirtme işlemi.
E
: Tabanların karşılıklı
köşelerini birleştiren ayrıtın tabana
eğik olmasıyla olu- Kesin olay
şan prizma.
Komşu açılar
: En az iki sayma
sayısının ortak bölenlerinin en büyüğü.
Köşegen
: En az iki sayma sayısının ortak katlarının en küçüğü.
Küme
: Bir kümeye ait olan
öğelerin her biri.
: Deneydeki her bir
çıktının olma olasılıklarının eşit olma- Litre
sı.
Geniş açı
G
: 90° ile 180° arasında bir ölçüye sahip Milenyum
olan açı.
Hacim
H
Olasılık
: Bir cismin uzayda
doldurduğu boşluk.
K
: Olma olasılığı 1
olan olay.
: Köşeleri ile birer
kenarları
ortak
olan, fakat ortak iç
noktaları olmayan
açılar.
: Bir çokgende ardışık olmayan iki
köşeyi birleştiren
doğru parçası
: Belirli nesnelerden
oluşan bir topluluk.
L
: Sıvıları ölçme de
kullanılan, bir desimetreküp hacminde ölçü birimi.
M
: 1000 yıl.
O-Ö
: Bir şeyin olabilmesi
durumu, olabilirlik,
ihtimal. İstenen bir
durumun müm-
291
MATEMATİK 6
Olay
Orantı
Örneklem
Örnek uzay
Örüntü
Öteleme
Rastgele seçim
Süsleme
Tahmin
292
kün olan tüm durumlara oranı.
: Örnek uzayın herhangi bir alt kümesi.
: İki veya daha çok
oranın eşitliği.
: Üzerinde araştırma
veya deney yapılacak grup.
: Deney
sonunda
tüm çıkabileceklerin kümesi.
: Belirli bir kurala
göre düzenli bir
şekilde tekrar eden
veya genişleyen
şekil ya da sayı dizisi.
: Bir nesnenin bir
yerden başka bir
yere belirli bir doğrultu ve yönde kayma hareketi.
R
: Herhangi bir seçim
yapılmadan rastgele ortaya çıkan
çıktı.
S
: Çokgenlerin boşluk kalmadan üs
üste gelmeden belirli bir kurala göre
düzlemi kaplaması.
T
: Gözlem, çıkarım
veya
deneylere
Ters açı
Tümler açı
Tümleyen
Yüz
Yüzey alanı
dayanarak geleceğe yönelik olası
sonuçlar hakkında
fikir öne sürülmesi.
: Birinin
kenarları
öbürünün kenarlarının uzantısından
oluşan açılardan
her biri.
: Ölçülerinin toplamı 90° olan açılar.
: Bir kümede bulunmayan fakat evrensel kümede bulunan elemanlar.
Y
: Üç boyutlu bir cismin
düzlemsel
yüzeylerinden her
biri.
: Üç boyutlu bir cismin tüm yüzeylerin alanlarının toplamı.
MATEMATİK 6
KAYNAKÇA
Altun, M. Matematik Öğretim, Alfa Yayınlan, Bursa, 2002.
Alsan,Selçuk, Düşünme Kutusu, 1, 2, Gün Yayıncılık, Ankara, 1993.
Glencool Mc Graw- Hill, Mathematics, Columbus, 2001.
İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu 6. Sınıf, Milli Eğitim Bakanlığı Ankara, 2006.
Matematik Terimleri Sözlüğü, Türk Dil Kurumu, Ankara, 2000.
Özçelik, D. A. ve Busbridge. J., İlköğretim Matematik Öğretimi, YÖK Dünya Bankası
Yayınlan, Ankara, 1996.
Türkçe Sözlük Türk Dil Kurumu, Ankara, 2005.
293
MATEMATİK 6
KISALTMA VE SEMBOLLER
294
AB
: AB doğrusu
[AB]
: AB doğru parçası
[AB
: AB ışını
IABI
: AB doğrusu parçasının uzunluğu
//
: Paralellik işareti
=
: Diklik işareti
.
: Benzerlik işareti veya yaklaşık değer
,
%
ABC
: Eşlik işareti
: ABC açısı
A
: A açısı
s(A)
: A açısının ölçüsü
N
: Doğal sayılar kümesi.
Z
: Tam sayılar kümesi
lal
: a’nın mutlak değeri
%
: Yüzde
EBOB
: En büyük ortak bölen
EKOK
: En küçük ortak kat
=
: Eşittir
!
: Eşit değildir
Ø
: Boş küme
E
: Evrensel küme
!
: Elemanıdır
z
: Eleman değildir
+
: Kesişim
,
: Birleşim
MATEMATİK 6
/
: Fark
A’
: A’nın tümleyeni
s(A)
: A kümesinin eleman sayısı
1
: Alt küme
1dA
: 1 A kümesinin elemanıdır.
m2
: Metrekare
br2
: Birimkare
a
: Ar
daa
: Dekar
haa
: Hektar
m3
: Metreküp
L
: Litre
mL
: Mililitre
295
GÜNEY KIBRIS
RUM YÖNET‹M‹
NÖC: Nahcivan Özerk Cumhuriyeti
(Azerbaycan)
İl merkezleri
Başkent (Ankara)
(A
ZE N
RB .Ö
AY .C
CA
N)