tc trakya üniversitesi fen bilimleri enstitüsü silindir geometride

T.C.
TRAKYA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
SİLİNDİR GEOMETRİDE CASİMİR ETKİ
DEMET ÖLMEZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
FİZİK ANABİLİM DALI
Tez Yöneticisi : Doç. Dr. Mustafa ÖZCAN
2010
EDİRNE
iii
ÖZET
Bu çalışmada silindir geometride elektromagnetik alanın Casimir etkisi yeniden göz
önüne alınmıştır.
Sonsuz katı silindirdeki elektromagnetik alanın Casimir enerjisi öz
frekansların kompleks düzlemdeki kontur integrali ile doğrudan modların toplamı
kullanılarak elde edilmiştir. ε 1 ve μ1 ’den yapılmış silindir ve onun çevresini oluşturan
malzemenin ε 2 ve μ 2 dielektrik ve magnetik özelliklere sahip olduğu varsayılmıştır.
ε 1μ 1 = ε 2 μ 2 =
1
c2
( c ortamdaki ışık hızıdır.)
koşulu sağlandığında içerdeki ve dışardaki modlardaki tüm ıraksamalar birbirlerini yok
eder. Bu ıraksamalar Zeta fonksiyon teknikleri kullanılarak regülarize edilir. a yarıçaplı
silindirik kabuk için elektromagnetik alanın Casimir enerjisini negatif işaretli olarak
bulunur. Silindir geometri için Casimir enerji hem etki ve işareti arasındaki karşılığının
anlaşılmasında hem de eş merkezli iki silindir arasındaki alanın Casimir enerjisini
doğrulamada anahtar oluşturacağından ilginç kabul edilir.
iv
ABSTRACT
We reconsider the electrodynamic Casimir effect for the cylindrical geometry. The
Casimir energy of a electromagnetic field subject to the infinite solid cylinder are
calculated by using a direct mode summation with contour integration in the complex plane
of eigenfrequencies. It is assumed that the dielectric and magnetic characteristics of the
material which makes up the cylinder ( ε 1 , μ1 ) and surrounding of the cylinder has ( ε 2 , μ 2 )
material. When ε1μ1 = ε 2 μ 2 =
1
(where c is the speed of the light in media) this condition
c2
is satisfied, all divergences cancel between interior and exterior modes. Those divergences
are regulated by employing the Zeta function techniques. We have obtained the negative
sign of the Casimir energy of the electromagnetic field for the cylindirical shell of radius a .
The Casimir energy for cylindirical geometry is regarded as interesting both to understand
the correspondance between the sign of the effect and as a key to confirming the Casimir
energy between two concentric cylinders.
v
TEŞEKKÜRLER
Bu tez çalışmasının her adımında tecrübelerinden yararlandığım, yönlendirme ve
bilgilendirmeleriyle çalışmamı bilimsel temeller üzerinde şekillendiren sayın hocam
Doç. Dr. Mustafa ÖZCAN’a ve manevi desteklerini esirgemeden her zaman yanımda olan
sevgili aileme sonsuz teşekkürlerimi sunarım.
vi
İÇİNDEKİLER
ÖZET
iii
ABSTRACT
iv
TEŞEKKÜRLER
v
1. GİRİŞ
1
2. ELEKTROMANYETİK ALANIN MODLARI
9
2.1 Hertz Vektörü
10
3. SİLİNDİR GEOMETRİDE CASİMİR ETKİ
23
SONUÇ
47
KAYNAKLAR
50
EK-A
52
EK-B
67
ÖZGEÇMİŞ
1
1.GİRİŞ
İlk defa 1948’de Hollandalı fizikçi H.G.B Casimir yüksüz ideal iletken iki paralel
düzlemle
sınırlandırılmış
elektromagnetik
alanın
kuantum
sıfır
nokta
enerjisini
hesapladı [Casimir ,1948]. Casimir’in bulduğu sonuç: evrenin herhangi bir yerinde madde
veya parçacığın ya da hiçbir şeyin olmadığı yerde, boş uzayın her hacminde büyük
miktarda enerji içerdiğinin kuantum mekaniksel öngörüsünün sonucuydu. Casimir
düzlemlerle sınırlandırılmış elektromanyetik alanın kuantum boşluk enerjisinin çekici
kuvvet ürettiğini buldu. Bu çekici kuvvet h Planck sabiti, c ışık hızı ve a levhalar
arasındaki uzaklık olmak üzere
F =−
π 2 hc
(1.1.1)
240a 4
şeklindedir. Bu çekici kuvvet elektrik yükü gibi değerlerden bağımsızdır. Daha sonra M.J.
Sparnaay [Sparnaay,1958] ve D. Tabor [Tabor ve Win terton,1969] , 1958’de bu çekici
kuvveti
deneysel
[Lamoreaux,1997]
olarak
gözlemlediler.
Son
zamanlarda
yapılan
deneylerde
yüksüz paralel levhalarla sınırlandırılmış alanın boşluk enerjisinin
çekici kuvvet ürettiği yeniden gözlemlenmiştir. Çekici kuvvetin büyüklüğü yapılan
deneylerde görüldüğü gibi 1cm2 alan başına 1 μ m uzaklıkta 1.3 × 10 −7 N’dur. Bu kuvvetin
büyüklüğü her ne kadar küçük olsa bile günümüz modern laboratuvarlarında ölçümler
yapılmaktadır. Bu durum Casimir etkinin nanoteknoloji ve nano elektro mekaniksel
aletlerin uygulama alanları için seçkin bir yer hazırlamaya adaydır.
Casimir etki: bize aslında boşluğun boş olmadığını, hiçbir şeyin olmadığı yerde
gerçekte geri zeminde elektromanyetik alanın bulunduğu ve bu alanın enerjisinin sonsuz
olduğu ve bu boşluğa paralel iki düzlemi bandırdığımızda geri zemindeki elektromanyetik
alanın modları bu boşluğu bölen paralel düzlemler aracılığı ile yeniden şekillendiğini, kimi
modların düzlemlerin arasında yer aldığını, kimi modların ise düzlemleri delerek
salınımlarına
devam
ettiğini
söyler.
Bu
noktada
düzlemlerle
sınırlandırılmış
2
elektromagnetik alanın sıfır-noktasındaki ışınım basıncı Casimir kuvvetin kaynağını teşkil
eder. Bu aynı zamanda kuantize edilmiş alanların boşluk enerjisi ya da vakum enerjisinin
ölçülebilir sonucudur. Bu etki ciddiye alınacak ölçüde önemlidir.
Casimir etki temelde kuantize edilmiş alanların boşluk enerjisinin polarizasyonu
olarak da söylenir. Boşluk enerjisinin farkının değeri alandan alana, geometriden
geometriye ve boyuttan boyuta değişmektedir
[Özcan, 2006] .
Casimir’in elde ettiği
sonuçların hemen ardı sıra küresel kabukla sınırlandırılmış elektromagnetik alanın sıfır
nokta enerjisi T.H. Boyer [Boyer ,1970] tarafından pozitif değerli ve küresel kabuğun
yarıçapına bağlı olarak elde edilmiştir. Bu pozitif enerjinin anlamı küresel kabuğun
üzerinde itici bir kuvvet ürettiğidir. Boyer’in sonuçları eksponansiyel kesici fonksiyonların
seçimine bağlı olduğundan, ortaya çıkan kimi sonsuzlukların yok edilmesi için Boyer’in
[Boyer,1970]
çalışmasında oldukça karmaşık yollar geliştirilmiştir. Daha sonra K.A.
Milton ve arkadaşları [Milton vd .,1978] Boyer’in küresel kabuğun Casimir enerjisini
Green’s fonksiyon yöntemini kullanarak Boyer’in hesaplarından tamamen bağımsız olarak
yeniden pozitif enerjiyi elde edilmişlerdir. Milton’ın bulduğu sonuç kesici fonksiyonlardan
bağımsızdır. 1998-99 yıllarında Nesterenkove Hagen
[Bowes veHagen ,1999]
[Nesterenko ve Pirozhenko,1998]
çalışmalarında görüleceği gibi elektromagnetik alanın küresel
kabuk için kuantum boşluk enerjisi, modların toplamı metodunu kontur integrasyonu ile
yeniden K.A. Milton [Milton vd .,1978] bulduğu sonuç elde edilmiştir.
Bu sonuçlardan anlaşılacağı gibi paralel düzlemler ve küresel kabuğun Casimir
enerjisi işareti birbirinden farklıdır. Casimir enerji, paralel düzlemlerde çekici kuvvet,
küresel kabukta ise itici kuvvet üretmektedir. Bu işaret farkı Casimir’in öngördüğü elektron
modeli ile tamamen çelişmektedir. Casimir paralel levhalarda üretilen çekici kuvvetin
aynısını küresel kabuk için de öngörerek elektron modeli kuracağını ümit etmişti. Kimi
bilim adamaları ise paralel levhalarda negatif, küresel kabukta pozitif Casimir enerji
üretiliyorsa silindir kabukta da sıfır olacağını öngördüler. Fakat yapılan çalışmalar bize
ideal küresel iletken silindir kabuğun Casimir enerjisinin işaretinin paralel düzlemde olduğu
3
gibi negatif olduğunu gösterdi [DeRaad ve Milton,1981, DeRaad ,1985 ] . Şöyle ki oluşan
kuvvetler
F
=−
levha
F
=
küre
0.0411
a4
0.003674
a4
F
=−
silindir
(1.1.2)
0.003674
(2a )4
olarak bulunmuştur. Casimir enerjinin değerinin geometriden geometriye, topolojiden
topolojiye, boyuttan boyuta bağlı olarak şekillendiği anlaşılmaktadır.
Casimir boşluk enerjisi hesaplarında genel anlamda ortak kabul görmüş bir yönteme
sahip değiliz. Dolayısıyla farklı sistemlerde farklı sonuçlar üreten Casimir boşluk enerjisi
çalışmaları çok hassas bir zeminde ve herkes tarafından kabul gören matematiksel teknikler
kullanılarak elde edilmelidir.
Casimir enerji hesaplarında doğası gereği ürettiği sonlu ifadeleri matematiksel
olarak sonsuz ifadelerin içinden elde ederiz. Sonsuzlukları belirlemeye regülarizasyon,
sonsuzlukları dışarı çıkarmaya da renormalizasyon denir. Matematiksel olarak yegane
regülarizasyon
yöntemine
sahip
değiliz.
Bu
bize
regülarizasyon
yöntemlerinin
sorgulanmasını da beraberinde getirir.
Bu çalışmada elektromagnetik alanın silindir simetriye sahip geometrilerde kuantum
boşluk enerjisini, kontur integrali ile modların toplamı yöntemi kullanılarak yeniden elde
edeceğiz. Öncelikle bir biçim ortamın içerisine gömülmüş sonsuz uzunluktaki katı silindirin
Casimir enerjisini çıkartacağız. Dielektrik ve magnetik geçirgenlik katsayıları ε 2 ve μ 2
olan bir biçim sistemin içerisine dielektrik ve magnetik geçirgenlik katsayıları ε1 ve μ1
olan silindir gömülerek elde edilen yapıyla sınırlandırılmış elektromagnetik alanın kuantum
boşluk enerjisinin integral temsilleri çıkartacağız. Burada
4
ε 1 μ1 = ε 2 μ 2 =
1
c2
(1.1.3)
kabul edeceğiz. Bu koşul sağlandığı zaman sistemin bütününde ortaya çıkan sonsuzluklar
iç ve dıştaki modların ürettikleri sonsuzluklar aracılığıyla yok olur. Sonsuzluklar da Zeta
fonksiyon tekniği uygulanarak regülarize edilir. Ayrıca özel bir uygulama olarak
ε1 = ε 2 = ε
ve
μ1 = μ 2 = μ
seçimi yapılarak silindir kabuğun Casimir enerjini
hesaplayacağız. Silindir simetriye sahip geometrinin seçilmesi sonsuzlukların regülarize
edilmesi ve onların atılması konusunda bize oldukça önemli bir yöntem örneği
sunmaktadır. Bununla beraber Casimir enerji için silindir simetriye sahip geometrinin
seçilmesi birbirlerine çok yakın iki düzlem arasına sıkıştırılmış elektromagnetik alanların
Casimir
enerjisinin
hesaplanmasında
ve
tanımlanmasında
anahtar
rol
teşkil
edecektir [Özcan, 2005] .
Silindir simetride karşımıza çıkan sonsuzlukların ayıklanma tecrübesi diğer
yöntemlerde elde edilen sonsuzlukların ayıklanması ve sonlu çözümlerin bulunması için bir
yöntem oluşturacaktır. Silindir geometride kontur integral yöntemiyle modların toplamı
kullanılarak göz önüne aldığımız Casimir enerji hesapları teknik olarak bize yeni regülarize
teknikleri geliştirmeyi sunmaktadır.
Şimdi kuantum boşluk enerjisi çalışmalarımızda alanların temel yapılanmasını
oluşturan ifadeleri göz önüne alarak elektromagnetik alanın sıfır nokta enerjisini tartışalım.
Elektromagnetik alan bileşenlerinin 2. dereceden antisimetrik tensör şekli Fμν ile
r
tanımlanır. Fμν ’nin A μ = (φ, A) vektör potansiyeli ile arasındaki ilişki
r r r r
r
r
E = −∇φ − A& , B = ∇ × A
(1.1.4)
5
şeklinde verilir.
r
⎛ r& dA ⎞
⎜A=
⎟
⎜
⎟
dt
⎝
⎠
Buradan da
r
r r
r r
∇ × E = − B& ve
Ş
⋅B = 0
Maxwell
denklemlerinden ikisini elde ederiz. Diğer iki Maxwell denklemleri yük ve akım
kaynağının olmadığı bir ortamda
r
r r
r r
Fİ μν
&
veya
=
0
ve
Ş
×
B
=
−
E
Ş
⋅
E
=
0
xİν
(1.1.5)
denklemleriyle ifade edilirler. Ayrıca tüm alan bileşenlerini kapsayan denklem de
□F
μν
= 0 şeklinde yazılır. Ayar dönüşümleri altında verilen herhangi bir Fμν alan kuvveti
birbirinden farklı bir çok potansiyelden meydana gelir. Vektör potansiyelinin serbest ayar
seçimi
Λİ
~
Aμ = Aμ + μ
xİ
(1.1.6)
denklemiyle ifade edilir. Burada Λ ; uzaysal koordinatlara bağlı keyfi bir fonksiyondur.
Eğer Aμ ,
Fμν =
Aİμ
xİν
Aİν
xİμ
−
Fİ μν
~
denklemini sağlıyorsa Aμ de bu denklemi sağlamalıdır.
=0
xİν
denkleminden Lagrange’yi türetmek için; bu denklemi δAμ değeri ile çarpıp (t1 ,t 2 )
aralığında tüm uzay üzerinden integralini alarak elde ederiz [Bjorken ve Drell ,1965] . Bu
durumda kaynaksız alanın Lagrange yoğunluğu
1
1
L = − Fμν F μν = (E 2 − B 2 )
4
2
(1.1.7)
olarak bulunur. Hamiltonyen ifademiz
Ĥ =
(
1 3
d çx E 2 − B 2
2
)
şeklindedir. Lagrangeden oluşan birleşik alanlar
(1.1.8)
6
Πμ =
Lİ
denkleminden türetilir.
(İ 0İAμ )
(1.1.9)
Uzayın zaman bileşeni Π 0 = 0 şeklinde iken diğer uzaysal bileşenler elektrik alanla
çakışır. Bu durumda eşlenik momenti
Πk =
Lİ
=
&İ
A
k
İA k − kİA 0 = E k
0
(1.1.10)
şeklinde yazabiliriz. Şimdi A μ ve Π k arasındaki komütasyon bağıntılarını yazalım.
[Â (x, t), Â (x' , t)] = [Π̂
i
[Π̂
k
j
k
( x , t ), Π̂ j ( x ' , t )] = 0
]
( x' , t ), Aˆ 0 ( x, t ) = 0
(1.1.11)
eşlenik moment Π̂ k ( x, t ) ve Aˆ j ( x' , t ) potansiyelleri arasındaki eş zamanlı komütatörler için
[Π ( x, t ), Aˆ ( x' , t )] = −[E ( x, t ), Aˆ ( x' , t )] = -iδ δ ( x - x' )
i
3
i
j
j
(1.1.12)
ij
şeklinde bir ifade yazabiliriz. Bu denklemdeki son ifademiz Maxwell denklemleriyle
uyumlu olmadığından − iδ ij δ 3 ( x − x' ) yerine − iδ ij δ 3 ( x − x' ) = iδ trij ( x − x' ) denklemindeki
karşılığı kullanılır.
r̂
r̂
Şimdi A ve ∏ alanlarını Fourier serisiyle ifade edelim
r r
A( x,t ) =
‡” 1
k ,λ
Ω
r r
ε k( λ ) qˆ k( λ ) (t )e ik . x ve ¡Ç(x,t ) = ‡”
k ,λ
1
Ω
r r
ε k( λ ) qˆ -(kλ ) (t )e ik . x
(1.1.13)
r
r
r
r
ε (k , λ) ve k , λ = 1,2 için iki ortogonal birim vektördür. Yani ε (k , λ ) ⋅ k = 0 ’dır. Aynı
r
zamanda her bir k birim vektörü için
r̂
r
r
r
ε ( k , λ ) ⋅ ε ( k , λ' ) = δ λλ ' şeklinde yazılır. Yüksüz skaler alan durumunda A ve ¡Ç ’nin
hermityeni
7
+
+ r
r
r
r
ε -(kλ ) qˆ -(kλ ) (t ) = ε k( λ ) qˆ k( λ ) , ε -(kλ ) pˆ k( λ ) (t ) = ε k( λ ) pˆ -(kλ )
(1.1.14)
bağıntılarını sağlar. Buradaki q̂ k( λ ) ve p̂ k( λ ) operatörleri için komütasyon bağıntılarını
yazalım.
[qˆ
(λ)
k
(t ), pˆ k'( λ ') (t ) ] = [ pˆ k( λ ) (t ), pˆ k'( λ ') (t ) ] = 0
[qˆ
(λ)
k
(t ), pˆ k'( λ ') (t ) ] = iδ λλ δ kk'
(1.1.15)
Şimdi elektromagnetik alanın Hamiltonyenini yeniden yazarsak
1 3
1
Hˆ =
d çx( E 2 + B 2 ) = ‡”{pˆ k( λ ) + pˆ k( λ ) + ω 2 qˆ k( λ ) + qˆ k( λ ) }
2 k ,λ
2
(1.1.16)
cˆk( λ )+ ve cˆ k( λ ) yaratıcı ve yok edici operatörlerimiz
ĉ k( λ ) =
{
i (λ )+
1
ω k q̂ k(λ ) +
p̂ k
ωk
2
}
(1.1.17)
şeklinde tanımlıdır. Bu ifadenin [ĉ k( λ ) ,ĉ k( λ ) + ] = δ λλ' δ kk' şeklindeki komütasyon bağıntısı, foton
sayı operatörlerindeki n̂k( λ ) = ĉ k( λ ) + ĉ k( λ ) tanımını ortaya çıkarır.
⎧
1⎫
Böylece Ĥ = ‡”ω k ⎨n̂k( λ ) + ⎬ olur.
2⎭
⎩
k ,λ
(1.1.18)
Kuantize edilmiş elektromagnetik alan boşluğu ĉk(λ ) 0⟩ olarak tanımlıdır. Sonuç olarak ,
kuantize edilmiş kaynaksız elektromagnetik alan aynı zamanda sonsuz sıfır nokta enerjisi
taşır. Bu durumda enerjiyi
E 0 = ⟨ 0 Hˆ 0⟩ =
1
∑ ωk
2 k
şeklinde tanımlarız [Plunien vd .,1986] .
(1.1.19)
8
Bu çalışmada ilk olarak silindir geometride yeniden normalleştirilmiş Casimir
enerjiyi modların toplamı yöntemi ile elde etmek için Casimir enerjiyi oluşturan modların
nasıl hesaplanacağı tartışılacak. Dielektirik ve magnetik geçirgenlik katsayıları ε 2 ve μ 2
olan ortamın içerisine
ε1
ve
μ1
malzemelerinden yapılmış katı bir silindiri
yerleştirdiğimizde oluşan bu yeni geometrinin modlarının dağılımını veren öz frekansları
Hertz vektörü tanımı kullanılarak elde edilecek. Bununla beraber silindir geometrinin
simetrik yapısından dolayı boş uzayda yazılmış Maxwell denklemlerinde elektrik ve
magnetik alanı tanımlayarak sistemin özfrekansları EK-A’da hesaplanacak. Ayrıca silindir
ve dışındaki ortam arasında ε1 μ1 = ε 2 μ 2 =
1
c2
şartı göz önüne alınarak öz frekans
denklemleri ve a yarıçaplı silindir kabuğun öz frekansların dağılımı yine ikinici bölüm
başlığı altında yer alacaktır.
Üçüncü bölümde ise bir önceki bölümde elde ettiğimiz modların dağılımını veren
denklemlerden hareketle geçirgenlik katsayıları farklı olan ancak modların hızlarının
değişmediği ( ε1 μ1 = ε 2 μ 2 =
1
) bir ortamda silindir simetriye sahip geometride kuantum
c2
boşluk enerjisini kontur integral ile modların toplamı yöntemi kullanılarak elde edilmesi
tartışılacaktır. Daha sonrada da bu sonuçları kullanarak a yarıçaplı silindir kabuğun
enerjisi
yeniden
elde
edilecek
[Milton vd .,1999, Nesterenko ve Pirozhenko,1998]
[DeRaad ve Milton,1981].
Not: Bu çalışmada geçen h Planck sabiti h = 1 olarak alınmıştır.
9
2. ELEKTROMANYETİK ALANIN MODLARI
Yeniden normalleştirilmiş Casimir enerji ((1.1.19) denkleminin öngörüsü ile)
E=
1
‡”(ω p − ω p )
2 { p}
(2.1)
şeklinde ifade edilir. Buradaki ω p gözönüne aldığımız geometrideki elektromagnetik
alanın klasik öz frekanslarını temsil eder. ωp ise hiç bir sınır koşulu olmadan diğer bir
deyişle sistemin şeklini belirleyen sınırın sonsuz limitindeki ortamın modlarını temsil eder.
Yeniden normalleştirilmiş Casimir enerjiyi hesaplayabilmemiz için (2.1) nolu denklemde
ifade edilen öz frekansları bulmamız gerekir. Bu bölümde Casimir enerji hesaplarının ana
direğini belirleyen modların hesaplanmasını tartışacağız. Öncelikle silindir simetriye sahip
a yarıçaplı ve elektrik ve magnetik geçirgenliği ε1 ve μ1 olan katı bir cismi, dielektrik ve
magnetik geçirgenliği ε 2 ve μ 2 olan bir biçim ortamın içine bandırarak elde edilen
sistemin modlarının dağılımını veren öz frekans denklemleri elde edilecek. Elde edilen öz
frekans denklemlerinden hareketle, silindir ve dışındaki ortamın geçirgenlik katsayıları
arasında ε1 μ1 = ε 2 μ 2 =
1
bağıntısını gözönüne alarak öz frekansları veren denklemleri
c2
bulacağız. Bu bağıntı ortamın farklı malzemeden yapılmasına rağmen elektromagnetik
alanın yayılım hızını değiştirmeyecektir. Son olarak; iç ve dış ortamların aynı geçirgenlik
katsayılarına sahip silindir kabuğun elektromagnetik modlarının dağılımını veren ifadeleri
elde edeceğiz.
10
2.1 Hertz Vektörü
Şimdi silindir simetriye sahip geometride kaynaksız Maxwell denklemlerini göz
önüne alarak alanın dinamiklerini veren vektör denklemlerin çözümlerini Hertz vektörü
tanımlarını kullanarak çözelim. Kaynaksız boş uzayda Maxwell denklemleri:
r r
1) ∇ × E +
r
Bİ
=0
tİ
r r ∂Dr
=0
2) ∇ × H −
∂t
(2.1.1)
r r
3) ∇ ⋅ B =0
r r
4) ∇ ⋅ D =0
şeklinde ifade edilir. Burada;
r r r r
r r 1 r
B = ∇ × A , D = εE , H = B
μ
(2.1.2)
r
r
r
D deplasman vektör, ∏ ise Hertz vektör ve A vektör potansiyelidir. Vektör potansiyelin
Hertz vektörü ile ifadesi
r
r
r
r
∏
İ
olarak tanımlanır. H ve E alanlarını Hertz vektörü cinsinden yeniden
A = εμ
tİ
yazarsak
r
H =ε
r r
İ
∇×∏
tİ
r
r r⎛ r r ⎞
∂2 ∏
E = ∇⎜ ∇ ⋅ ∏ ⎟ − με 2
⎝
⎠
∂t
(2.1.3)
(2.1.4)
11
denklemlerini elde ederiz [Stratton,1941] . Elektrik ve magnetik alanı veren Hertz vektörü
r
r r
∂2 ∏
2
∇ ∏ − με 2 = 0
(2.1.5)
∂t
denklemini sağlamalıdır. Şimdi Hertz vektörü tanımlarını kullanarak elektromagnetik
alanın silindir geometrideki bileşenlerini hesaplayalım.
r
r
z-yönü boyunca yönlendirilmiş ∏ Hertz vektörü ∏ = (0 ,0 , Ψ ) ’dir. Burada sıfırdan farklı
Hertz vektör bileşenleri
r
r
r
r
∏1 = ∏ 2 = 0 , ∏ z ≠ 0 , ∏ z = Ψ
(2.1.6)
dir. (2.1.6) denklemini, Hertz vektörü şartını sağlayan denklemde yerine yazarak Hertz
vektörünün bileşeni olan
r
2
∇ 2 Ψ − με ∂ Ψ2 = 0
(2.1.7)
∂t
skaler alan denklemini elde ederiz. Şimdi silindir koordinatlar kullanılarak
⎡1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ 2
∂2
∂2 ⎤
r
+
+
−
με
Ψ (r , φ , z, t ) = 0
⎜
⎟
⎢
2
2
2
2 ⎥
r
r
r
∂
∂
r
z
t
∂
∂
φ
∂
⎝
⎠
⎣
⎦
(2.1.8)
şeklinde yazılmış (2.1.7) denklemini değişken ayırma yöntemi ile çözüm
r
Ψ ( r , t) = Ψ (r , φ, z ,t )
=
R(r )
λ
2
Φ (φ ) Z ( z )T (t )
( λ2 = sabit )
(2.1.9)
olacak şekilde düzenleriz. ((2.1.8) denk. çözümleri ve Bessel fonksiyonlarının özellikleri
EK-A(i)’de ayrıntılarıyla incelenmiştir). Burada Φ (φ) , Z(z) ve T(t) ’yi sağlayan
denklemlerin ayrı ayrı çözümlerinin sonucunda
Fn = einφ eikz e − iωt bulunur.
12
(2.1.9) denkleminin radyal kısmına ait olan çözüm
R (r ) = [a n J n ( λr ) + bn N n ( λr )] olarak bulunur. Böylece (2.1.8) denkleminin çözümü
⎧ ∞ i
⎪ ∑ an
⎪n =−∞
Ψ ( r , φ , z ,t ) = ⎨ ∞
⎪
a ne
⎪⎩n∑
= −∞
1
J n (λr ) Fn ,
λ2
1 (1)
H n (λr ) Fn ,
λ2
r<a
(2.1.10)
r>a
şeklinde a yarıçaplı silindirin iç ve dış bölge çözümlerini verecek şekilde elde ederiz.
− ∞ < k < ∞ , n = 0,±1,±2,... ve λ 2 = ω 2 εμ − k 2 ’dir.
(2.1.11)
Burada ω ’nın ne olduğunu hala bilmiyoruz çünkü ω ’yı belirleyecek herhangi bir sınır
şartını henüz uygulamadık.
(2.1.10) denklemindeki a ni ve a ne birer sabit olmak üzere J n Birinci tür n’inci mertebeden
Bessel fonksiyonu H n(1) ise Üçüncü tür Bessel fonksiyonu ya da Birinci tür Hankel
fonksiyonudur.
Hertz vektörü çözümlerini gözönüne alarak TE ve TM durumları için elektrik ve magnetik
alanın bileşenlerini elde edelim.
r ∂ ∏r
r
r r r r
r
E = ∇ × ∇ × ∏ ve H = ε∇ ×
denklemlerinde ∏ = (0,0, Ψ ) ’yi yerine yazdığımızda
∂t
Er =
∂ ∂Ψ
∂z ∂r
Eφ =
1 ∂ ∂Ψ
r ∂z ∂φ
1 ∂ ∂Ψ
1 ∂ 2Ψ
(r
)− 2
= λ2 Ψ
Ez = −
2
r ∂r ∂r
r ∂φ
(2.1.12)
13
H r = −ε
iω ∂Ψ
r ∂φ
H φ = iωε
∂Ψ
∂r
Hz = 0
elde edilir. H z = 0 olması bu bileşenleri TM modunda olduğunu gösterir. Çünkü TM
(Transverse Electric) enine magnetik alan modudur. Elektromagnetik alanlar enine dalgalar
üretirler bu sebeple silindir geometride z yönünde ilerleyen elektrik alan, z yönünde salınım
yapamaz. TM durumunda magnetik alanın ilerleme yönü ile salınım yönü birbirlerine dik
olmalıdır. Bu nedenle H z = 0 seçilir. Benzer düşünceyle alanların simetrik özelliğinden
dolayı
r ∂ ∏r
r
r
r r r r
ve H = ∇ × ∇ × ∏ denklemlerini yazabiliriz. Burada yine ∏ = (0,0, Ψ ) ’yi
E = μ∇ ×
∂t
yerine yazdığımızda bu kez de
Er =
iωμ ∂Ψ
r ∂φ
E φ = −iωμ
∂Ψ
∂r
Ez = 0
H r = ik
Hφ =
(2.1.13)
∂Ψ
∂r
1 ∂ ∂Ψ
r ∂z ∂φ
Hz = −
1 ∂ ∂Ψ
1 ∂2Ψ
(r
)− 2
= λ2 Ψ
2
r ∂r ∂r
r ∂φ
14
denklemlerini buluruz. Burada E z = 0 olması bu bileşenlerin TE modunda olduğunu
gösterir. TE (transverse electric) modu enine elektrik alan modudur. TE durumda elektrik
alan yönü ile salınım yönü birbirlerine dik olmalıdır. Bu sebeple E z = 0 seçilir.
Şimdi (2.1.12) ve (2.1.13)’da verilen alanların bileşenlerini ile (2.1.10)’daki Hertz
vektörünün bileşenini göz önüne alarak r < a için λ → λ 1 , ε → ε1 ve μ → μ1 ve r > a için
λ → λ 2 , ε → ε 2 ve μ → μ 2 olacak şekilde, geometrik durumlara göre, içerdeki ve
dışardaki ortamın dielektrik ve magnetik geçirgenlik katsayılarını farklılaştırarak alanın
bileşenlerini yazalım. (2.1.14) ve sonrası için yazacağımız tüm denklemlerde
− ∞ < k < ∞ , n = 0,±1,±2,... ., λ 2 = ω 2 εμ − k 2
λ21 = ε1 μ1ω 2 − k 2
λ22 = ε 2 μ 2 ω 2 − k 2
λ21 = k12 − k 2
λ22 = k 22 − k 2
k12 = ε1 μ1ω 2
k 22 = ε 2 μ 2 ω 2
olarak tanımlıdırlar. Şimdi TM modları için elektrik ve magnetik alan bileşenlerini yazalım.
r<a
r>a
H ri =
nk12 i
a J (λ1 r ) Fn
∑
2 n n
n = −∞ rμ 1 ωλ 1
H re =
n k 22 e ( 1 )
a n H n (λ 2 r ) Fn
∑ 2
n = −∞ rλ 2 μ 2 ω
H φi =
ik12 i '
a n J n (λ 1 r ) Fn
∑
n = −∞ λ 1μ 1 ω
H φe =
i k 22 e ( 1 ) '
a n H n (λ 2 r ) Fn n
∑
n = −∞ λ 2 μ 2 ω
∞
∞
H zi = 0
E ri =
∞
∞
H ze = 0
ik
∑λa
n = −∞
∞
1
i
n
J n' (λ 1 r ) Fn
E re =
∞
ik
∑λ
n = −∞
2
'
a ne H n( 1 ) (λ 2 r ) Fn
15
∞
nk 1 i
a J (λ 1 r ) Fn
2 n n
n = −∞ r λ 1
E φi = − ∑
E zi =
∞
∑a
n = −∞
i
n
J n (λ 1 r ) Fn
∞
nk e ( 1 )
a n H n (λ 2 r ) Fn
2
n = −∞ λ 2 r
E φe = − ∑
E zi =
∞
∑a
n = −∞
e
n
H n( 1 ) (λ 2 r ) Fn
(2.1.14)
Denklemlerdeki üssü argümana göre türevi ifade eder. Yani
∂
∂
J n (λr) = λ
J n (λr) = λJ n' (λr) ve
∂r
∂ (λr)
'
∂ (1)
∂
H n (λr) = λ
J n H n(1) = λH n(1) (λr) ’dir.
∂r
∂ (λr)
TE modları için elektrik ve magnetik alan bileşenlerini yazarsak,
r<a
r>a
μ 1 nω i
b J (λ 1 r ) Fn
2 n n
n = −∞ r λ 1
E re = − ∑
E φi = − ∑
μ 1 iω i '
bn J n (λ 1 r ) Fn
n = −∞ r λ 1
E φe = − ∑
E zi = 0
E ze = 0
∞
E ri = − ∑
∞
H ri =
∞
ik i '
bn J n (λ 1 r ) Fn
∑
n = −∞ λ 1
∞
n k i
b J (λ 1 r ) Fn
2 n n
n = −∞ r λ 1
H φi = − ∑
H zi =
∞
∑ bni J n (λ1r ) Fn
n = −∞
denklemlerini buluruz. Her iki mod durumunda
μ 2 nω e ( 1 )
b H n (λ 1 r ) Fn
2 n
n = −∞ r λ 2
∞
μ 2 iω e (1) '
bn H n (λ 2 r ) Fn
n = −∞ r λ 2
∞
H re =
∞
ik
∑λ
n = −∞
'
bne H n(1) (λ 2 r ) Fn
2
∞
n k e (1)
b H n (λ 2 r ) Fn
2 n
n = −∞ r λ 2
H φe = − ∑
H ze =
∞
∑b
n = −∞
e
n
H n( 1 ) ( λ 2 r )Fn
(2.1.15)
16
− ∞ < k < ∞ , n = 0,±1,±2,... ve λ i2 = ω 2 ε i μi − k 2 ( i = 1,2 )’dir.
Hertz vektörü ile elde ettiğimiz bu sonuçları EK-A’da kaynaksız Maxwell
denklemlerini silindirik simetriyi kullanarak elde edilmiştir. Alan bileşenlerimizi geometrik
durumuna göre TE ve TM modlarını birlikte göz önüne alarak yeniden yazalım.
r < a için elektrik ve magnetik alana ait tüm bileşenler,
E =
i
r
⎧ ik
∞
∑ ⎨λ
n = −∞
⎩
a ni J n' (λ 1 r ) −
1
⎫
ω nμ 1 i
b
J
(
r
)
λ
⎬ Fn
1
n
n
λ21 r
⎭
∞
⎧n k
⎫
iω
E φi = − ∑ ⎨ 2 a ni J n (λ 1 r ) + μ1bni J n' (λ 1 r )⎬ Fn
λ1
n = −∞ ⎩ λ 1 r
⎭
E zi =
∑ [a
∞
n = −∞
i
n
]
J n (λ1r ) Fn
(2.1.16)
⎫
⎧ k12 n
i
H = ∑⎨ 2
a ni J n (λ 1 r ) + kbni J n' (λ 1 r )⎬Fn
λ1
n = −∞ ⎩ λ 1 rωμ 1
⎭
∞
i
r
H φi =
⎫
⎧ i k12 i '
n k
a n J n (λ 1 r ) − 2 bni J n (λ 1 r )⎬ Fn
⎨
∑
λ1 r
n = −∞ ⎩ ωμ 1 λ 1
⎭
H zi =
∑ [b J
∞
∞
i
n
n = −∞
n
]
(λ 1 r ) Fn
( λ12 = k12 − k 2 , λ22 = k 22 − k 2 )
şeklini alırlar. Şimdi r > a durumunda E e , H e bileşenleri yazalım.
E re =
⎧ ik
∞
∑ ⎨λ
n = −∞
⎩
'
a ne H n( 1 ) (λ 2 r ) −
2
⎫
ω nμ 2 e ( 1 )
bn H n (λ 2 r )⎬ Fn
2
λ2 r
⎭
⎫
⎧n k
'
i
E φe = − ∑ ⎨ 2 a ne H n( 1 ) (λ 2 r ) +
ωμ 2 bne H n( 1 ) (λ 2 r )⎬ Fn
λ2
n = −∞ ⎩ λ 2 r
⎭
∞
E ze =
∞
∑ ⎡⎢⎣a H
n = −∞
e
n
(1) '
n
(λ 2 r )⎤ Fn
⎥⎦
(2.1.17)
17
H re =
⎫
⎧ k 22 n 1 e ( 1 )
'
i
a n H n (λ 2 r ) +
kbne H n( 1 ) (λ 2 r )⎬Fn
⎨ 2
∑
λ2
n = −∞ ⎩ λ 2 ωμ 2 r
⎭
H φe =
⎫
⎧ i k 22 e ( 1 )'
n k
a n H n ( λ 2 r ) − 2 bne H n( 1 ) ( λ 2 r )⎬ Fn
⎨
∑
λ2 r
n = −∞⎩ ωμ 2 λ 2
⎭
H ze =
∑ [b H
∞
∞
∞
n = −∞
e
n
(1)
n
]
(λ 2 r ) Fn
(2.1.16) ve (2.1.17) ifadelerinde a ni ve ane ( bni ve bne ) TM ve (TE) katsayılarını ifade eder.
İçerdeki ve dışarıdaki alanın teğetsel bileşenleri r = a ’da süreklilik şartını sağlaması
gerekir. Bu süreklilik şartları
(E )
= (E ze )r = a
(H )
= (H ze )r = a
(E )
= (E φe )r =a
(H )
= (H φe )r = a
i
z r =a
i
φ r =a
i
z r =a
i
φ r =a
(2.1.18)
denklemlerini verir. Görüldüğü gibi modların dağılımını veren denklemler teğetsel
denklemlerdir. Süreklilik şartları uygulandığında katsayılar ile bileşenler arasında
a ni J n (λ1 a) − a ne H n(1) (λ2 a) = 0
iωμ1 '
iωμ 2 ( 1 ) '
kn
kn
J n (λ 1 r )a ni − 2 H n( 1 ) (λ 2 r )a ne +
J n (λ 1 r )bni −
H n (λ 2 r )bne = 0
2
λ1
λ2
λ1a
λ2a
bni J n (λ 2 r ) − bne H n( 1 ) (λ 2 r ) = 0
ik 22
'
i k12 i '
n k
n k
a n J n (λ 1 r ) −
H n( 1 ) (λ 2 r )a ne − 2 J n (λ 1 r )bni + 2 H n( 1 ) (λ 2 r )bne = 0
μ1ω λ1
μ 2 ωλ 2
λ1 a
λ2 a
(2.1.19)
şeklinde bağıntılar elde edilir. Bu denklemler
18
⎛
⎞
− H n( 1 ) (λ 2 r )
J n (λ 1 r )
0
0
⎜
⎟⎛ i ⎞
a
iωμ 2 (1) '
n k (1)
i
'
⎜ nk J (λ r )
− 2 H n (λ 2 r )
ωμ1 J n (λ 1 r ) −
H n (λ 2 r ) ⎟⎜ ne ⎟
1
n
2
⎜ λ1
⎟⎜ a n ⎟
λ1
λ2
λ2 a
⎜
⎟⎜ i ⎟ = 0
(1)
λ
−
λ
J
r
H
r
0
0
(
)
(
)
1
2
n
n
⎜
⎟⎜ bn ⎟
2
2
k
ik
'
i
n
k
n
k
⎜
⎟⎜ e ⎟
'
(1)
1
2
H n( 1 ) (λ 2 r ) ⎟⎝ bn ⎠
2
⎜ μ ω λ J n (λ 1 r ) − μ ωλ H n (λ 2 r ) − λ2 a J n (λ1 r )
λ2 a
1
2
2
1
⎝ 1
⎠
(2.1.20)
şeklinde matris yapısına getirilir. a ni , ane , bni ve bne katsayıları sıfırdan farklı olduğundan
buradaki dörde dörtlük matrisin determinantı sıfır olmalıdır.
− H n( 1 ) (λ 2 r )
J n (λ 1 r )
0
0
ωμ
i
'
nk
n k
i
2
− 2 H n( 1 ) (λ 2 r )
ωμ 1 J n' (λ 1 r ) −
H n(1) (λ 2 r )
J n (λ 1 r )
2
λ1
λ2
λ1
λ2 a
=0
− H n( 1 ) (λ 2 r )
J n (λ 1 r )
0
0
ik 22
'
i k12 '
n k
n k (1)
J n (λ 1 r ) −
H n( 1 ) (λ 2 r ) − 2 J n (λ 1 r )
H n (λ 2 r )
μ1ω λ1
μ 2 ωλ 2
λ1 a
λ22 a
Böylece,
(
)
n 2 k 2 ω 2 ( μ1ε1 − μ 2 ε 2 ) 2 J n ( λ1 a )H n( 1 ) ( λ 2 a )
2
{
}
'
− λ21λ22 aε1λ 2 J n' ( λ1a )H n( 1 ) ( λ 2 a ) − aε 2 λ1 J n ( λ1a )H n( 1 ) ( λ 2 a )
{
}
'
× aμ1λ 2 J n' (λ 1 r ) H n( 1 ) (λ 2 r ) − aμ 2 λ 1 J n (λ 1 r ) H n( 1 ) (λ 2 r ) = 0
(2.1.21)
modların dağılımını veren denklemi buluruz. (2.1.21) denklemini f n fonksiyonu olarak
yeniden yazdığımızda
TM
f n = λ12 λ22 ΔTE
n (λ1 a , λ 2 a ) Δ n (λ1 a, λ 2 a )
− n 2 k 2ω 2 ( μ1ε 1 − μ 2 ε 2 ) 2 (J n (λ1 a ) H n(1) (λ 2 a) )
2
(2.1.22)
19
f n ( k , ω , a ) = 0 yapan ω ’lar modların öz frekanslarını verir. Burada
'
'
(1)
(1)
(λ 2 r )
ΔTE
n (λ1 a, λ 2 a ) = aμ 1 λ 2 J n (λ 1 r ) H n (λ 2 r ) − aμ 2 λ 1 J n (λ 1 r ) H n
'
'
(1)
(1)
(λ 2 a ) ’dir.
ΔTM
n (λ1 a, λ 2 a ) = aε 1 λ 2 J n (λ 1 a ) H n (λ 2 a ) − aε 2 λ 1 J n (λ 1 a ) H n
(2.1.23)
(2.1.24)
− ∞ < k < ∞ , n = 0,±1,±2,... ., λ21 = ε1 μ1ω 2 − k 2 ve λ22 = ε 2 μ 2 ω 2 − k 2
Böylece ( ε 2 , μ 2 ) geçirgenliklerine sahip ortama ( ε 1 , μ1 ) geçirgenliklerinden oluşan silindiri
gömdüğümüzde geri zemindeki elektrik ve magnetik alan modlarını veren dağılım
denklemlerini ((2.1.22), (2.1.23) ve (2.1.24)) elde etmiş olduk.
f n ( k , ω , a ) = 0 denklemlerine transzendental denklemler denir. Bu denklemin köklerini
bulmak oldukça zordur. Burada amaç f n ( k , ω , a ) = 0 yapan ω ’ları elde etmektir. Çünkü ω
Casimir enerji yani kuantum boşluk enerjisi hesaplarında öz frekansların dağılımını verir.
İçerdeki ve dışardaki modlar aynı hızla yani ışık hızıyla ilerliyorsa diğer bir deyişle
ε 1μ1 = ε 2 μ 2 =
1
( ε 1 ≠ ε 2 ve μ1 ≠ μ 2 )
c2
(2.1.25)
bağıntısını sağlıyorsa bu durumda modların dağılımını veren (2.1.22), (2.1.23) ve (2.1.24)
denklemlerini yeniden (2.1.25) bağıntısına göre düzenleyelim.
λ12 = k12 − k 2 = μ1ε 1ω 2 − k 2
λ22 = k 22 − k 2 = μ 2 ε 2ω 2 − k 2
olarak tanımladığımız denklemleri μ1ε 1 = μ 2 ε 2 durumu için
λ1 = λ2 = λ yazabiliriz. Bu durumda (2.1.23) ve (2.1.24) nolu denklemler
[
'
]
(2.1.26)
'
]
(2.1.27)
'
(1)
(1)
ΔTE
n ( λ , a ) ≡ λ a μ 1 J n ( λ a ) H n (λ a ) − μ 2 J n ( λ a ) H n ( λ a )
[
'
(1)
(1)
ΔTM
n ( λ , a ) ≡ λ a ε 1 J n (λ a ) H n ( λ a ) − ε 2 J n ( λ a ) H n ( λ a )
20
olur. Benzer şekilde (2.1.22) denklemi de
TM
f n ≡ λ4 ΔTE
n (λ , a ) Δ n (λ , a ) olur.
(2.1.28)
Şimdi a yarıçaplı silindir kabuktaki modların dağılımın tartışalım. (2.1.12) ve
(2.1.13) denklemlerine yeniden dönersek, sonsuz uzunluktaki silindir kabuk için r < a ve
r > a için elektrik ve magnetik alanın bileşenlerini genel haliyle,
r < a için;
r > a için;
∞
∞
ωμ n i
Er = − ∑
b J (λr) Fn
2 n n
n = −∞ r λ
ωμ n e (1)
b H n (λr) Fn
2 n
n = −∞ r λ
Er = − ∑
iωμ e (1) '
bn H n (λr) Fn
n = −∞ λ
∞
∞
iωμ i '
bn J n (λr) Fn
n = −∞ λ
Eφ = − ∑
Eφ = − ∑
Ez = 0
Hr =
Ez = 0
∞
ik i '
bn J n (λr) Fn
∑
n = −∞ λ
Hr =
∞
∞
ik e (1) '
bn H n (λr) Fn
n = −∞ λ
∑
∞
k n i
b J (λr) Fn
2 n n
n = −∞ r λ
k n e (1)
b H n (λr) Fn
2 n
n = −∞ r λ
Hφ = − ∑
Hφ = − ∑
∞
∞
H r = − ∑ bni J n (λr) Fn
H r = − ∑ bne H n(1) (λr) Fn
n = −∞
şeklinde ifade ederiz. TE modları için elde ettiğimiz bileşenlere
(n̂ ⋅ B )
r
Eφ
r =a
r =a
(2.1.29)
n = −∞
(n̂ × E )
r
r =a
= 0 ve
= 0 [Stratton,1941, Gosdzinsky ve Romea,1998] sınır koşulları uygulandığında,
= 0 , Ez
r =a
= 0 ve H r(1)
r =a
sınır koşulları altında TE modlarını
= 0 buluruz. Böylece r < a ve r > a için uygulanan
21
J n' (λa) = 0
'
H n( 1 ) (λa ) = 0
r<a
r>a
n = 0,±1,±2,... ., λ 2 = ω 2 − k 2 ( εμ =1)
(2.1.30)
olarak elde ederiz. Benzer şekilde (2.1.12) ve (2.1.13) denklemlerini gözönüne alarak TM
modlarının elektrik ve manyetik alan bileşenleri
r < a için
∞
ik
E r = ∑ a ni J n' (λr) Fn
n = −∞ λ
∞
k n i
a J (λr) Fn
2 n n
n = −∞ r λ
Eφ = − ∑
∞
r > a için
Er =
∞
ik e '
a n H n (λr) Fn
n = −∞ λ
∑
∞
k n e
a H n (λr) Fn
2 n
n = −∞ r λ
Eφ = − ∑
∞
∑ ani J n (λr) Fn
Ez =
Hr =
∑
ωε n i
a J (λr) Fn
2 n n
n = −∞ r λ
Hr =
ωε n e
a H n (λr) Fn
2 n
n = −∞ r λ
Hφ =
iωε i '
a n J n (λr) Fn
∑
n = −∞ λ
Hφ =
iωε e '
a n H n (λr) Fn
n = −∞ λ
Ez =
n = −∞
∞
∞
Hz = 0
∑a
n = −∞
e
n
H n (λr) Fn
∞
∑
∞
∑
Hz = 0
buluruz. a yarıçaplı sonsuz silindir için (2.1.31) denklemlerine E φ
H r(1)
r =a
= 0 sınır koşulları uygulandığında
denklemleri
(2.1.31)
r =a
= 0 , Ez
r =a
= 0 ve
r < a ve r > a için TM modlarını veren
22
J n (λa ) = 0
r<a
H n(1) (λa) = 0
r>a
şeklinde elde ederiz.
n = 0,±1,±2,... ., λ 2 = ω2 − k 2 ( εμ =1)
(2.1.32)
23
3. SİLİNDİR GEOMETRİDE CASİMİR ETKİ
Bu bölümde modların dağılımını veren denklemlerden hareketle kontur integral
yöntemi ile elektromagnetik alanın silindir simetriye sahip geometride kuantum boşluk
enerjisi hesaplanacaktır. Öncelikle geçirgenlik katsayıları farklı iki ortamda, yani silidirin
içi ε1 , μ1 ve dışı ε 2 , μ 2 elektrik ve magnetik geçirgenlik katsayılarına sahip ilerleyen
modların hızının değişmediğini diğer bir deyişle
ε 1μ1 = ε 2 μ 2 =
1
( ε 1 ≠ ε 2 ve μ1 ≠ μ 2 )
c2
(3.1.1)
denkliğini göz önüne alarak elektromagnetik alanın kuantum boşluk enerjisini
hesaplayacağız. Sonrasında farklı geçirgenlik katsayılarına sahip ortam için elde ettiğimiz
modların dağılım sonuçları kullanarak a yarıçaplı silindir kabuğun kuantum boşluk
enerjisini yeniden elde edeceğiz.
E=
1
∑ (ω p − ω p )
2 { p}
(3.1.2)
olarak tanımlanan ifade yeniden normalleştirilmiş Casimir enerjidir. Burada {p} → n ve
k ’lerden oluşan kuantum sayılarıdır.
n = 0,±1,±2,....
s = 1,2,.... olarak bilindiğine göre (3.1.2) denklemini
∞
1 dk ∞ ∞
E= ∫
∑ ∑ (ωn,s − ωn,s )
2 −∞ 2π n =−∞ s =1
(3.1.3)
şeklinde yazabiliriz. Yeniden normalleştirilmiş Casimir enerji ifadesindeki toplamları
hesaplamak için Cauchy teoreminin integral temsilini kullanacağız. Herhangi iki f (z) ve
φ(z) fonksiyonları kapalı bir C yolu üzerinde ve içinde analitik olsun ve f (z) de izole
24
edilmiş x1 , x 2 , x3 ,..., x j gibi sıfır yapan noktalara sahip olsun. Bu durumda Cauchy
teoreminin integral temsilini
1
d
dzφ( z ) ln f n ( z ) = ∑ φ(x j )
∫
2πi C
dz
j
şeklinde yazarız [Denney ve Krzywichi,1995] . Böylece (3.1.3) denklemi
[
∞
]
d
c dk ∞ 1 1
~
E= ∫
dωω ln f n (λ , a ) − f n (λ , a → ∞ )
∑
∫
2 −∞ 2π n = −∞ 2πi 2 c
dω
(3.1.4)
şekline gelir. Burada
TM
f n (= f (λ , a) ) ≡ λ4 ΔTE
n (λ, a ) Δ n (λ, a ) (bkz. denk. (2.1.22))
~
TM
ve f n ≡ λ4 ΔTE
n (λ , a → ∞ ) Δ n (λ , a → ∞ ) ’dir.
denklemde bütünlüğü sağlamak için ω ’yı da λ cinsinden ifade edelim.
λ = μεω 2 − k 2 için ω = ±c λ2 + k 2 olur. Bu durumda
dω =
(λ
2
cλ
+ k2
)
1
dλ ve
2
(
λ2 + k 2
d
dλ d
d
=
=
⇒
dω
cλ
dω dω dλ
)
1
2
d
olur. Böylece (3.1.4) denklemi
dλ
∞
f
d
c dk ∞ 1 1
ln ~n
dλ λ2 + k 2
E= ∫
∑
∫
2 −∞ 2π n = −∞ 2πi 2 C
dλ f n
(3.1.5)
~
şeklini alır. Şimdi f (λ , a ) ve f (λ , a → ∞) fonksiyonlarını TM ve TE cinsinden ifalerini
(3.1.5)’te yerlerine yazarsak, ε 1μ1 = ε 2 μ 2 =
1
c2
şartını sağlayan ( ε1 ,μ1 ) geçirgenlik
katsayılarına sahip ( ε 2 ,μ 2 ) geçirgenlik katsayılı ortamla çevrilmiş a yarıçaplı silindirin
26
g ( z ) = ( z − ik )( z + ik ) = r1 r2 e
⎛ θ +θ ⎞
i⎜ 1 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
olur.
y
z-düzlemi
r1
θ1
ik
r2
x
-ik
θ2
Şekil.2
Şimdi her bir θ1 ve θ 2 değeri için x ’in sıfıra sağdan ve soldan yaklaşma durumları
gözönüne alınarak g ( z ) ’nin alabileceği değerleri bulalım.
i)
x → 0 + ( x sıfıra sağdan yaklaşırken) y < k için θ1 = −
g ( z ) fonksiyonumuzun nasıl davranacağını gösterelim.
g ( z) = z 2 + k 2
g ( z ) = ( z − ik )( z + ik ) = r1 r2 e
⎛ θ +θ ⎞
i⎜ 1 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
z − ik = r1e iθ1 ve z + ik = r2 e iθ2 olur.
θ1 = −
π
2
⇒ z − ik = −ir1
için
π
π
alınarak
ve θ 2 =
2
2
27
θ2 =
π
2
⇒ z + ik = ir2 olur.
z − ik = −ir1 denklemi z = x + iy için;
x + iy − ik = ir1
⇒ r1 = k − y
x = +0
z + ik = ir2 denklemi z = x + iy için;
x + iy + ik = ir2
x = +0
g ( z ) = r1 r2 e
⇒ r2 = k + y şeklini alır. Bu durumda g (z ) ;
⎛ θ +θ ⎞
i⎜ 1 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
(y < k )
g ( z) = k 2 − y 2
ii )
= ( y + k )( y − k ) e
⎛ π π⎞
⎜− + ⎟
i⎜ 2 2 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
olur.
Şimdi benzer işlemlerle y > k için açılarımızı θ1 =
π
2
ve θ 2 =
değiştirdiğimizde x → 0 + için
g ( z ) = ( z − ik )( z + ik ) = r1 r2 e
g ( z ) = r1 r2 e
⎛π π⎞
i⎜ + ⎟
⎝2 2⎠
2
⎛ θ +θ ⎞
i⎜ 1 2 ⎟
⎝ 2 ⎠
= i r1 r2
z − ik = r1e iθ1 ve z + ik = r2 e iθ2 ise
r1 = y − k ve r2 = y + k bulunur. Bu durumda g (z ) fonksiyonumuz
g ( z) = i y 2 − k 2
(y > k )
bulunur.
π
2
olacak şekilde
28
iii )
Aynı şekilde y < −k ve x → 0 − için θ1 =
( y < −k )
g ( z ) = −i y 2 − k 2
iv)
Yine θ1 =
3π
3π
, θ2 =
alırsak
2
2
olur.
3π
π
, x → 0 − ve θ 2 = , x → 0 + seçimleri için
2
2
g ( z) = − k 2 − y 2
( y < k ) elde edilir.
i ) ve iv ) sonuçlarından gördüğümüz gibi y < k için g ( z ) = k 2 − y 2 ve
g ( z ) = − k 2 − y 2 sonuçlarını elde ettik. Bu durumda g (z ) ’yi genelleştirirsek;
g ( z) = ± k 2 − y 2
( y < k ) yazabiliriz.
x eksenini sağdan ve soldan sıfır değerleri için ele aldığımızda z = x + iy için x = 0 ise
z = iy olur. Bu durumda g ( z ) = g (iy ) yazabiliriz. Şimdi θ1 ve θ 2 ’nin farklı değerleri için
bulduğumuz g (iy ) sonuçlarını en genel haliyle bir arada yazalım.
⎧ i y2 − k 2
⎪⎪
g (iy ) = ⎨ ± k 2 − y 2
⎪
2
2
⎪⎩− i y − k
y>k ⎫
⎪⎪
y <k⎬
⎪
y < −k ⎪
⎭
(3.1.8)
Şimdi de C ' kontur integralini inceleyelim. Kontur integralimizin yönünü saatin tersi
yönünde alalım (bkz. Şekil.1). Bu integralin çözümünü basitleştirmek için harflerle
belirttiğimiz her bir kontur parçasının integralini ayrı ayrı hesaplayalım. Yani C ' kontur
integralini
⎤
⎡
⎢ + + + + + + + ⎥
l
im
=
∫ Λ→∞ ⎢ AB∫ BC∫ CD∫ ∫ JH∫ HG∫ GF∫ ∫ ⎥
C'
C+'
C−' ⎦
⎣
(3.1.9)
29
şeklinde yazalım. Öncelikle (3.1.7) denklemindeki kontur integraline ait kısımı göz önüne
z 2 + k 2 = g ( z ) olmak üzere,
alarak
∫ dz
z2 + k 2
C'
f ( z, a )
d
ln ~
dz f ( z , a → ∞ )
yazarız. z = Λ e i θ için dz = Λ i e i θ dθ ve
∫
durumda
C+
π
ve
∫
C−
2
C+
−π
π
∫ → lim
C−
Λ →∞
2
2
2 2 iθ
2
∫ dθ Λ e + k
−3 π
1 d
d
=
dönüşümünü uygulayalım. Bu
dz i Λe i θ dθ
integrallerini yarıçap sonsuz yaklaşımı için sırasıyla hesaplarsak
2 2 iθ
2
∫ → lim ∫ dθ Λ e + k
Λ →∞
(3.1.10)
2
f (Λe iθ , a )
d
ln ~
=0
dθ
f (Λe iθ , a → ∞)
(3.1.11)
f ( Λ e iθ , a )
d
ln ~
=0
dθ
f ( Λ e iθ , a → ∞ )
(3.1.12)
buluruz. (3.1.10) ve (3.1.11) denklemlerinde elde ettiğimiz sonuçlardan da anlaşıldığı gibi
∫
C+
∫
ve
integrallerinden gelen katkı sıfırdır.
C−
Şimdi (3.1.10) denkleminde z = y dönüşümünü yaparak yarıçap sonsuz limitinde
ik
∫ = lim ∫ dy g ( y)
AB
Λ →∞
iΛ
d
f ( y, a)
ln ~
dy
f ( y, a → ∞)
(g ( y) =
)
y2 + k 2 )
olur. Burada tekrar y = iy değişkeni tanımlarsak g ( y ) → g (iy ) olur. g (iy ) fonksiyonu
yerine (3.1.8)’de bulduğumuz y > k durumundaki değeri yazılır. Böylece (3.1.13)
denklemi yarıçap sonsuz limitinde
∞
2
2
∫ = −i ∫ dy y − k
AB
k
d
f ( y, a)
ln ~
dy
f ( y, a → ∞)
(3.1.13)
30
olur. Benzer işlemleri
∫
integrali için yaptığımızda
JH
∞
d
f (iy, a)
ln ~
dy
f (iy, a → ∞)
2
2
∫ = −i ∫ dy y − k
JH
k
(3.1.14)
buluruz. Bu durumda (3.1.13) ile (3.1.14) denklemlerinde aynı sonuçları elde ederiz. Bu
durumu Şekil.1’de de görebiliriz. O halde
∫= ∫
AB
− iΛ
d
f ( y, a)
∫ = lim ∫ dy g ( y) dy ln ~f ( y, a → ∞)
Λ →∞
CD
deriz.
JH
integralinin çözümü için y = iy tanımlayarak g (iy )
−ik
fonksiyonu yerine (3.1.8) denklemindeki y < −k için ifadesini yazarız. Böylece
∫
∞
CD
d
f (−iy , a )
ln ~
dy
f (−iy, a → ∞)
= −i ∫ dy y 2 − k 2
k
∫
olur. Son olarak
(3.1.15)
integralinin çözümü elde edelim.
GF
∫
GF
− iΛ
= lim
Λ →∞
d
f ( y, a)
∫ dy g ( y) dy ln ~f ( y, a → ∞)
denkleminde (3.1.15) denklemindeki işlem sırasını
− ik
takip ederek sonuç olarak
∫
GF
∞
= −i ∫ dy y 2 − k 2
k
buluruz.
O halde
∫
ve
∫
d
f (−iy, a )
ln ~
dy
f (−iy, a → ∞)
(3.1.16)
integral sonuçları (3.1.15) ve (3.1.16)’da görüldüğü gibi aynı çıkmıştır.
CD
GF
∫= ∫
diyebiliriz. Şimdi bulduğumuz tüm sonuçları toplayarak kontur
CD GF
integralimizi yazarsak
∫ = 4∫ dy(-i)
C'
y2 − k 2
f
d
ln ~n
dy
fn
(3.1.17)
31
buluruz. Bu sonucu kullanarak (3.1.7) denklemini yeniden yazdığımızda
E=−
∞
c
2π
2
∞
∞
∑ ∫ dk ∫
n = −∞ 0
y 2 − k 2 dy
k
f (iay )
d
ln ~ n
dy
f n (iy, a → ∞ )
(3.1.18)
yeniden normalleştirilmiş Casimir enerjiyi elde ederiz. Bundan sonraki adım olarak
∞
∞
0
k
∫ dk ∫ dy integralinin sınırlarını yeniden düzenlediğimizde (3.1.18) denklemi
y
y
y =k
y =k
dy
k
dk
Şekil.3
E=−
Şekil.4
∞
c
2π
2
y
∑∫
n = −∞ 0
∞
y − k dk ∫ dy
2
2
0
f (iay )
d
ln ~ n
dy
f n (iy, a → ∞ )
şekline dönüşür. Bu durumda
y
∫ dk
0
y 2 − k 2 integralinin çözümü için
(3.1.19)
32
k
= cos θ
y
seçelim. Böylece dk = − y sin θ dθ olur. Gerekli işlemler ve düzenlemeler
yapıldığında
y
∫ dk
π
y2 − k 2 =
4
0
E=−
∞
∞
c
∑∫
2π 2
π
n = −∞ 0
y 2 sonucunu elde ederiz. Böylece (3.1.19) denklemi
TM
ΔTE
d
n (iay ) Δ n (iay )
y dy ln TE
dy
4
Δ n (i∞)ΔTM
n (i∞)
2
olur. ay = z ve dy =
(3.1.20)
dz
d
d
=a
ve
a
dy
dz
dönüşümlerini yaparak (3.1.20) denklemini bir adım daha ileriye taşıyalım. Böylece
E=−
c
8π
∞
TM
ΔTE
dz z 2 d
n (iz ) Δ n (iz )
a
n
l
∑ ∫ 2 dz ΔTE (i∞)ΔTM (i∞)
n = −∞ 0 a a
n
n
∞
(3.1.21)
ve yeniden z → y alırsak
E=−
c
8πa 2
∞
∑
∞
2
∫ dy y
n = −∞ 0
TM
ΔTE
d
n (iy ) Δ n (iy )
n
l
TM
dy ΔTE
n (i∞) Δ n (i∞ )
(3.1.22)
şeklini alır. Şimdi (3.1.22) denklemindeki integrali kısmi integral yöntemini kullanarak
çözelim.
∞
∫ UdV = U .V
0
∞
0
∞
− ∫ VdU kısmi integral tanımından hareketle
0
∞
TM
ΔTE
d
n (iy ) Δ n (iy )
∫0 dy y dy ln ΔTEn (i∞)ΔTMn (i∞)
2
denkleminde y 2 = U ve dy
f
d
ln ~n = dV olsun. Bu durumda
dy
fn
(3.1.23)
33
f
2 ydy = U ve V = ln ~n olur. Böylece (3.1.23) denklemi
fn
∞
fn
fn
d
2
∫0 dy y dy ln ~f = y ln ~f
n
n
∞
2
0
∞
f
− ∫ ln ~n 2 ydy şekline gelir. Sınır koşulları altında denklemin
fn
0
sağındaki ilk terimi sıfır olur. Böylece
∞
∞
fn
fn
d
∫0 dy y dy ln ~f = − ∫0 ln ~f 2 ydy
n
n
2
(3.1.24)
sonucunu elde etmiş oluruz. Dolayısıyla (3.1.22) denklemini
E=
c
4πa 2
∞
∞
∑
∫ dy yln
n = −∞ 0
TM
ΔTE
n (iy ) Δ n (iy )
TM
ΔTE
n (i∞ ) Δ n (i∞ )
(3.1.25)
şekline getirmiş oluruz. Şimdi (3.1.25) integralindeki ΔTE
ve ΔTM
fonksiyonlarının açık
n
n
TM
ifadelerini elde edelim. (2.1.26)’da verilen ΔTE
n ve Δ n ifadelerinde
I n ( y ) = i n J n (iy )
K n ( y ) = i n +1
π (1)
H n (iy )
2
tanımlarını kullanarak modifiye Bessel fonksiyonlar cinsinden
yeniden yazalım.
[
]
(3.1.26)
[
]
(3.1.27)
ΔTE
n (iy ) ≡
2y
μ1 I n' ( y )K n ( y ) − μ 2 I n ( y )K n' ( y )
π
ΔTM
n (iy ) ≡
2y
ε1 I n' ( y )K n ( y ) − ε 2 I n ( y )K n' ( y )
π
denklemlerini elde ederiz. Şimdi (3.1.25) denklemlerindeki
ΔTE
ve ΔTM
n (i∞ )
n (i∞ )
ifadelerini elde etmek için (3.1.26) ve (3.1.27) denklemlerinde n ’i sabitleyip y → ∞ için
modifiye Bessel fonksiyonlarının
34
I n ( y) ≅
ey
2πy
K n ( y) ≅
,
I n' ( y ) ≅
π −y
e ,
2y
ey
2πy
K n' ( y ) ≅ −
π −y
e
2y
asimtotik davranışlarını göz önüne alarak
ΔTE
n (i∞ ) ≡
μ1 + μ 2
π
ΔTM
n (i∞ ) ≡
ε1 + ε 2
π
(3.1.28)
modların dağılımını asimtotik biçimini elde ederiz. Böylece (3.1.25) içindeki modların
dağılımı
ΔTE
2y
n (iy )
=
μ1 I n' ( y )K n ( y ) − μ 2 I n ( y )K n' ( y )
TE
Δ n (i∞ ) μ1 + μ 2
[
]
ΔTM
2y
n (iy )
=
ε1 I n' ( y )K n ( y ) − ε 2 I n ( y )K n' ( y )
TM
Δ n (i∞ ) ε1 + ε 2
[
]
(3.1.29)
olur. Bu durumda (3.1.25) denklemi
E=
c
4πa 2
(
∞
)
2
⎧ 4y2 ⎡
ε1μ1 I n' ( y )K n ( y )
dy
y
l
n
⎨
∑
∫
n = −∞ 0
⎩ (μ1 + μ 2 ) ⎢⎣
∞
(
)
(
)
2
− (μ1ε 2 + μ 2 ε1 ) I n' ( y )K n ( y )I n ( y )K n' ( y ) + ε 2 μ 2 I n ( y )K n' ( y ) ⎤ ⎫⎬
⎥⎦ ⎭
(3.1.30)
şeklini alır. (3.1.30)’in içindeki köşeli parantezli terimi daha sade biçime getirebilmek için
Ω=
(
)
(
)
(
)
2
2
4y2 ⎡
ε1 μ1 I n' ( y )K n ( y ) − ( μ1ε 2 + μ 2 ε1 ) I n' ( y )K n ( y )I n ( y )K n' ( y ) + ε 2 μ 2 I n ( y )K n' ( y ) ⎤
⎥⎦
( μ1 + μ 2 ) ⎢⎣
35
tanımlayalım. ε =
ε1
olmak üzere (3.1.30) denklemini düzenleyelim.
ε2
1
= μ1ε 1 = μ 2 ε 2 ⇒
c2
Ω=
μ1
(
ε1
μ
= μ 2 ⇒ 2 = ε olur. Bu durumda yeniden düzenlenmiş Ω
ε2
μ1
) (
) (
)(
)
4y2
⎡ I ' ( y )K ( y ) 2 + I ( y )K ' ( y ) 2 − ε + ε −1 I ' ( y )K ( y )I ( y )K ' ( y ) ⎤
n
n
n
n
n
n
n
−1 ⎢ n
⎥⎦
2+ε+ε ⎣
(
)
(3.1.31)
olur. Ω ’yı (3.1.30) denkleminde yerine yazıp düzenlediğimizde
c
E=
4πa 2
∞
(
) (
)
⎧
4y2
⎡ I ' ( y )K ( y ) 2 + I ( y )K ' ( y ) 2
dy
y
l
n
⎨
∑∫
n
n
n
n
−1
n = −∞ 0
⎩ 2 + ε + ε ⎢⎣
∞
(
)
)]
(
− (ε + ε −1 ) I n' ( y )K n ( y )I n ( y )K n' ( y )
(3.1.32)
buluruz. Şimdi modifiye Bessel fonksiyonlarının Wronskian bağıntısını
I n ( y )K n' ( y ) − I n' ( y )K n ( y ) = −
1
y
(3.1.33)
ve toplam türev açılımını
I n ( y )K n' ( y ) + I n' ( y )K n ( y ) = (I n ( y )K n ( y ))
'
(3.1.34)
kullanarak Ω yeniden yazılırsa
[
Ω = y 2 (I n ( y )K n ( y ))
'
]
2
(2 − ε − ε ) + 1
(2 + ε + ε )
−1
−1
[
ifadesine dönüşür.
2
⎤
⎡
ε1
2 (ε 1 − ε 2 )
(I n ( y )K n ( y ))'
ε=
⇒ Ω = 1− y ⎢
2 ⎥
ε2
⎣ (ε1 + ε 2 ) ⎦
[
]
]
2
⎛ ε − ε2
' 2
O halde, lnΩ = ln ⎧⎨1 − (I n ( y )K n ( y )) ξ 2 ⎫⎬ olur. Burada ξ 2 = ⎜⎜ 1
⎭
⎩
⎝ ε1 + ε 2
2
⎞
⎟⎟ ’dir.
⎠
36
Şimdi (3.1.32) denklemini son düzenlemelerle yeniden yazarsak
∞
c
E=
4πa 2
(
∞
)
⎧1 − ξ 2 y[I ( y )K ( y )] ' 2 ⎫
dy
y
l
n
⎬
⎨
∑∫
n
n
⎭
⎩
n = −∞ 0
(3.1.35)
şeklinde daha sade bir biçime indirgemiş oluruz. Böylece regülarize edilmemiş yeniden
normalleştirilmiş Casimir enerji modifiye Bessel fonksiyonları ve n ’ler üzerinden toplam
şeklinde ifade etmiş oluruz.
∞
E=
∑E
n = −∞
n
ise bu durumda (3.1.35) göz önüne alındığında Casimir enerjiyi bulmak için
(3.1.35) ifadesindeki ıraksak serinin içindeki sonsuz olan kısmın ayırılması ve
sınıflandırılmasını gerekmektedir. Iraksak ifadelerin tanımlanması için
∞
En =
(
)
c
' 2
dy yln ⎧⎨1 − ξ 2 y[I n ( y )K n ( y )] ⎫⎬
2 ∫
4πa 0
⎭
⎩
(3.1.36)
yazılır. Aslında (3.1.36) nolu denklemdeki Bessel fonksiyonları y ’nin artan kuvvetlerine
göre bir seri oluştururlar. Bu seri bütün y değerleri için yakınsak karakterdedir. Eğer y ’yi
çok büyük seçersek seri yavaşça yakınsak davranır. Bu da başlangıçtaki kimi terimlerin
taşıdığı bilgiyi görmemizi engeller. Bu güçlüğü ortadan kaldırmak için Bessel
fonksiyonlarının çok hızlı şekilde yakınsak yapılması gerekir. Bunu da ancak Bessel
fonksiyonlarının uniform asimtotik açılımı ile yapabiliriz. Böylece y = nz değişkenini
tanımlayarak Bessel fonksiyonlarının uniform asimtotik açılım ifadelerini kullanalım.
Değişmeyecek olan sınır koşulları altında En ’yi
∞
En =
(
)
n 2c
' 2
zdz.ln ⎧⎨1 − ξ 2 nz[I n (nz )K n (nz )] ⎫⎬
2 ∫
4πa 0
⎭
⎩
(3.1.37)
şeklinde yazarız.
Not:
ln(1 + x) = x −
x2 x3 x4
+
−
+ ... ,
2
3
4
x ≤ 1 , x ≠ −1
37
her iki tarafta x → − x alınırsa
ln(1 − x) = − x −
x2 x3 x4
−
−
+ ... elde edilir.
2
3
4
(
)
' 2
ln ⎧⎨1 − ξ 2 nz[I n (nz )K n (nz )] ⎫⎬ = ln(1 − x ) şeklinde de ifade edebiliriz. O halde burada
⎭
⎩
(
x = ξ 2 nz[I n (nz )K n (nz )]
'
) ’dir. (3.1.37) ifadesinde ln(1 − x) açılımını kullandığımızda ilk
2
terim n ’den bağımsız olur. Bu bize ilk ıraksak ifadeyi verir. Bu durumda En ’yi
∞
En ≅
c
n 2 zdz (− x)
2 ∫
4a π 0
(3.1.38)
şeklinde yazabiliriz. Şimdi Bessel fonksiyonlarının uniform asimtotik açılım ifadelerini
bulalım ( Bkz. EK-B Denk. (5.1.11)(5.1.12)). İlk olarak I n (nz ) K n (nz ) çarpımını elde edip
daha sonra bu iki çarpımın türevini aldığımızda
I n (nz ) K n (nz ) =
1
1
2n 1 + z 2
(I n (nz ) K n (nz ) )' =
⎡
⎛ 1
⎞⎤
⎢1 + O⎜ n 2 p ; p ≥ 2 ⎟⎥
⎝
⎠⎦
⎣
d
[I n (nz ) K n (nz )] olmak üzere
d (nz )
(I n (nz ) K n (nz ) )' = −
1
z
⎛ 1
⎞
+ O⎜ 2 p ; p ≥ 2 ⎟ buluruz. x ’teki işlem sırasını takip
2
3
2
2n (1 + z ) 2
⎝n
⎠
edersek şimdi de elde ettiğimiz bu son ifadeyi nz ile çarpıp karesini aldığımızda
x =ξ2
z4
1
buluruz. Burada ıraksayan terimi ortaya çıkarmak için 2 terimini
2
2 3
4n (1 + z )
n
gözönüne aldık diğer terimler sonlu bir ifade üretmektedir.Böylece
∞
cξ 2
z5
En ≅ −
dz.
≡ E∞
2 ∫
2 3
16a π 0
(1 + z )
(3.1.39)
38
sonucunu elde etmiş oluruz. E ∞ dememizin nedeni içinde ıraksak ifadeleri barındırmasıdır.
Bu enerji ifademiz sonusuza gideceğinden bu sonsuzluğu ayıklamak için çeşitli adımları
takip edeceğiz. Enerji ifademizi
∑ (E
− E∞ + E∞ )
∞
E=
n = −∞
n
∑ (E
∞
=
n = −∞
n
) ∑E
− E∞ +
∞
∞
∞
∑ En + E ∞
=
n = −∞
n = −∞
∞
∑n
0
(3.1.40)
n = −∞
şeklinde gösterebiliriz. Böylece
(
En = En − E ∞
)
(3.1.41)
ifadesi sonsuzluktan ayıklanmış ifadeyi temsil eder. Burada önemli olan
∞
E∞
∑n
0
ifadesindeki ıraksak ifadelerin uygun matematiksel analizle ayıklanması ve dışarı
n = −∞
atılmasıdır. Sonsuzlukların ayıklanıp atılması için Riemann Zeta Fonksiyonu kullanalım.
Rieman Zeta fonksiyonu
∞
1
s
n =1 n
ζ(s) = ∑
Re s > 1
(3.1.42)
şeklinde verilir [Titchmarsh,1986] . Şimdi bu tanımı kullanarak
∞
∑n
0
ıraksak toplamını
n = −∞
yazalım.
∞
∑ n −s =
n = −∞
−1
∞
n = −∞
n =1
∑ n −s + (n = 0) −s +∑ n −s
Enerji ifadesindeki n ’ler çift kuvvetli olduklarından
(3.1.43)
39
∞
∑n
−s
n = −∞
∞
= 2∑ n − s + 1
n =1
= 2ζ ( s ) + 1
(3.1.44)
buluruz. Böylece
∞
∞
∑ n 0 = lim+ ∑ n −s
s →0
n = −∞
(3.1.45)
n =1
olur. (3.1.40) denklemindeki ayıklanmak istenilen ıraksak ifadeler
E∞
∞
∑
∞
n0 = −
n = −∞
cξ 2
z 5− s dz
[2ζ(s) + 1]
l
im
16πa 2 s →0+ ∫0 (1 + z 2 )3
(3.1.46)
şeklini alır. Şimdi [2ζ (s) + 1] ifadesini hesaba katalım. ζ (s) Riemann Zeta Fonksiyonunu
s = 0 ’de Taylor serisine açalım.
ζ (s) = ζ (0) +
s dζ (s)
1! ds
+
s =0
s 2 d 2 ζ (s)
2! ds 2
(3.1.46) denklemindeki integral
+ ...
(3.1.47)
s =0
1
gibi davranış gösterdiğinden Taylor seri açılımının ilk
s
iki terimini gözönüne alalım. Yani
ζ (s) ≅ ζ (0) +
s dζ (s)
1! ds
(3.1.48)
s =0
Bu yaklaşımla (3.1.46) denklemini yeniden yazarsak
cξ 2
dζ (s)
⎛ 1 3 ⎞⎡
E ∑n =−
im
l
⎜ − ⎟ ⎢2ζ (0) + 2 s
2
+
ds
16πa s →0 ⎝ s 4 ⎠ ⎣
n = −∞
∞
∞
0
ifadesini elde ederiz. Burada
s =0
⎤
+ 1⎥
⎦
(3.1.49)
40
∞
z 5− s dz
∫ (1 + z )
2 3
0
⎛1 3⎞
=⎜ − ⎟
⎝ s 4⎠
(3.1.50)
olur. Ayrıca Riemann Zeta fonksiyonunun ve türevinin s = 0 ’da değerlerini alarak
1
ζ (0) = − ,
2
dζ (s)
ds
s =0
1
= − ln 2 π
2
∞
cξ 2
⎛1
E ∞ ∑ n0 = −
lim ⎜ −
n=−∞
16πa 2 s→0+ ⎝ s
=
(3.1.51)
3⎞
⎟( −)sln(2π)
4⎠
cξ 2
ln(2π)
16πa 2
(3.1.52)
bulunur. Böylece Casimir enerjiyi sonsuz kılan kısmı Riemann Zeta fonksiyonu ile
ayıkladığımızda ıraksak olmayan ifadeleri elde etmiş oluruz. Böylece renormalize Casimir
enerji
cξ 2
E = ∑ En +
ln(2π)
16πa 2
n = −∞
∞
(3.1.53)
şekline gelmiş olur. (3.1.40) denklemindeki tanımlardan hareketle
∞
c ⎧
ξ2
2 2
1
(
)
En =
ydy
n
y
l
−
ξ
σ
+
⎨
n
4
4πa 2 ⎩∫0
[
]
z 5 dz ⎫
∫0 (1 + z 2 ) 3 ⎬⎭
∞
(3.1.54)
σ n ( y ) = y (I n ( y ) K n ( y ) )
'
şeklinde ifade ederiz. Şimdi bu noktada (3.1.53) denklemindeki sonlu terimlerin neler
içerdiğinin analizini yapalım. (3.1.53) denklemindeki ilk terimi göz önüne aldığımızda
∞
∞
n = −∞
n =1
∑ E n = 2∑ E n + E 0
(3.1.55)
41
şeklinde hesaba katarız. (3.1.54) denkleminin içinde ıraksak ifadeler bulunmamaktadır.
Daha açık deyişle üstteki ifadenin ilk terimi olan integralin içindeki ıraksak ifadelerini
ikinci terim yok etmektedir. Bu durumda n = 0 ifadesini
∞
c ⎧
ξ2
2 2
E0 =
⎨ ydyln 1 − ξ σ 0 ( y ) +
4
4πa 2 ⎩∫0
[
]
z 5 dz ⎫
∫0 (12 + z 2 ) 3 ⎬⎭
∞
(3.1.56)
şeklinde yeniden yazarız. (3.1.56) denklemindeki integraller y → 0 ve çok büyük y ’ler
söz konusu olduğunda yakınsakdırlar.
(3.1.55) ifadesindeki ilk terimi yani hesaplamak için hızlı bir şekilde yakınsaklık
ifadesini veren modifiye Bessel fonksiyonlarının uniform asimtotik açılımını kullanalım.
Uniform asimtotik
açılımı
kullanmak için (3.1.54) denkleminde
y → nz olarak
tanımlayalım (ıraksak ifadeleri belirlemek için aynı yöntemi gündeme getirmiştik).
Uniform asimtotik açılımıyla y ’yi sabit tutup n ’i sonsuza götürdüğümüzde modifiye
Bessel fonksiyonları
I n (nz ) ≈
K n (nz ) ≈
1
1
2nπ (1 + z 2 )
π
∞
U ⎤
⎡
e ⎢1 + ∑ kk ⎥
⎣ k =1 n ⎦
nη
1
4
1
2n (1 + z 2 ) 14
∞
U ⎤
⎡
e −nη ⎢1 + ∑ (−) k kk ⎥
n ⎦
⎣ k =1
şeklinde ifade edilir. Burada η = 1 + z 2 + ln
Uk
(3.1.57)
denklemindeki
U k +1 (t ) =
1 2
1
t (1 − t 2 )U k' (t ) + ∫ (1 − 5t 2 )U k dt
2
80
(3.1.57)
z
1+ 1+ z2
ifadelerinin
açılımı
ve t =
için
1
1+ z2
’dir.
U 0 (t ) = 1
olmak
üzere
t
(3.1.58)
genel formülünü kullanarak elde ederiz. Burada k = 0,1,2,3,..., değerlerini alır. Bu durumda
42
k = 0 için; U1 (t ) =
1
(3t − 5t 3 )
24
k = 1 için; U 2 (t ) =
1
(81t 2 − 462t 4 + 385t 6 )
1152
k = 2 için; U 3 (t ) =
1
(30375t 3 − 369603t 5 + 765765t 7 − 425425t 9 )
414720
k = 3 için; U 4 (t ) =
1
(4465125t 4 − 94121676t 6
39813120
+ 349922430t 8 − 446185740t 10 + 185910725t 12 )
(3.1.59)
tüm U k değerleri elde edilir. (3.1.57) denklemlerindeki toplam
şeklinde istenilen
ifadelerini açarsak her bir ifademiz
I n (nz ) ≈
K n (nz ) ≈
1
1
2nπ (1 + z )
2
1
4
U
⎡ U U
⎛ 1
⎞⎤
e nη ⎢1 + 1 + 22 + 33 + O⎜ p ; p ≥ 4 ⎟⎥
n n
n
⎝n
⎠⎦
⎣
U
⎡ U U
1
π
⎛ 1
⎞⎤
e − nη ⎢1 − 1 + 22 − 33 + O⎜ p ; p ≥ 4 ⎟⎥
1
2n (1 + z 2 ) 4
n n
n
⎝n
⎠⎦
⎣
(3.1.60)
şeklini alacaktır. Bu durumda
[
]
[
]
1
1
t ⎧
2
2
⎨1 + 2 2U 2 − U 1 + 4 2U 4 − 2U 3U 1 + U 2
2n ⎩ n
n
1
1
+ 6 2U 6 − 2U 5U 1 + 2U 4U 3 − U 32 + 8 2U 8 − 2U 7U 1 + 2U 6U 2 − 2U 5U 3 + U 42
n
n
1
+ 10 2U 10 − 2U 9U 1 + 2U 8U 2 − 2U 7U 3 + 2U 6U 4 − U 52
n
1
⎛ 1
⎞⎫
+ 12 2U 12 − 2U 11U 1 + 2U 10U 2 − 2U 9U 3 + 2U 8U 4 − 2U 7U 5 + U 62 + O⎜ p ; p ≥ 4 ⎟⎬ (3.1.61)
n
⎝n
⎠⎭
I n (nz ) K n (nz ) =
[
[
[
]
[
]
]
]
43
denklemini elde ederiz .Burdadaki (parantez içerisindeki) her bir U k değerini (3.1.58)
denkleminden elde ederek (3.1.61)’de yerine yazarız ve buradan da
[nz(I (nz)K (nz)) ]
n
z 4 t 6 z 4 ⎛ 3 8 15 10 35 12 ⎞
+ ⎜ t − t + t ⎟
8
16 ⎠
n 2 4 n 4 ⎝ 16
'
2
+
z 4 ⎛ 9 10 265 12 645 14 2037 16 1015 18 ⎞
1
t −
t +
t −
t +
t ⎟ + O( 2p ; p ≥ 4)
6 ⎜
16
8
16
16
n ⎝ 16
n
⎠
n
=
(
buluruz. x = ξ 2 nz[I n (nz ) K n (nz )]
'
)
2
tanımlarsak
x2 x3 x4
ln(1 − x) = − x −
−
−
+ ... , x ≤ 1 , x ≠ 1
2
3
4
(3.1.62)
denklemini kullanarak kolaylıkla seriye açarız.
ln(1 − x) = −
ξ2
z4
ξ2 z 4
+
4n 2 (1 + z 2 ) 3 16n 4
ξ2 z 4
−
16n 6
−
⎛
3
30
35
⎜⎜
−
+
2 4
2 5
(1 + z )
(1 + z 2 ) 6
⎝ (1 + z )
⎞
ξ2
z8
⎟⎟ −
4
2 6
⎠ 32n (1 + z )
⎛
9
265
1290
2037
1015
⎜⎜
−
+
−
+
2 5
2 6
2 7
2 8
(1 + z )
(1 + z )
(1 + z )
(1 + z 2 ) 9
⎝ (1 + z )
ξ4 z8
64n 6
⎛
3
30
35
⎜⎜
−
+
2 7
2 8
(1 + z )
(1 + z 2 ) 9
⎝ (1 + z )
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
ξ6
z 12
1
⎟⎟ −
+ O( 2p ; p ¡İ 4)
6
2 9
n
⎠ 192n (1 + z )
(3.1.63)
(3.1.62) ve (3.1.63) ifadelerini y → nz şekliyle değişkeni değiştirilmiş durumuyla (3.1.54)
En =
En
n=
c
4πa 2
⎛∞ 2
ξ2
⎜ ∫ n zdzln(1 - x) +
⎜
4
⎝0
z 5 dz ⎞
∫0 (1 + z 2 ) 3 ⎟⎟⎠ denkleminde yerine yazarsak
∞
c ⎧10 − 3ξ 2 28224 − 7344ξ 2 + 720ξ 4
≈
‡ 4πa 2 ⎨ 960n 2 −
15482880n 4
⎩
44
+
⎫
6820 − 1008ξ 2 + 120ξ 4 − 7ξ 6
1
− O( 2p ; p ≥ 4)⎬
6
7096320n
n
⎭
(3.1.64)
ifadesini elde ederiz. Böylece Casimir enerji
c ⎧10 − 3ξ 2 28224 − 7344ξ 2 + 720ξ 4
−
2
2 ⎨
15482880n 4
n =1 2πa ⎩ 960n
∞
E ≅ E0 + ∑
+
⎫
cξ 2
6820 − 1008ξ 2 + 120ξ 4 − 7ξ 6
1
ln 2 π
+
−
(
;
p
≥
4)
O
⎬
2
7096320n 6
n 2p
⎭ 16πa
olur
[Milton vd .,1999].
(3.1.65)
∞
Özel durumlar için buradan hareketle
1
∑n
n =1
2s
Riemann Zeta
fonksiyonlarının sayısal değerleri kullanılarak uygulamada örnek durumlar için sayısal
sonuçlar bulunur.
Şimdi (3.1.65) denkleminde elde ettiğimiz sonucu a yarıçaplı silindir kabuğun
renormalize Casimir
enerjiye örnekleyerek hesaplayalım. Başlangıç ifademiz (3.1.25)
denklemi ile aynı biçimdedir böylece (3.1.25) yardımıyla Renormalize Casimir enerji
ε1 = ε 2 = ε ve μ1 = μ 2 = μ durumunda εμ =
E=
1
4πa 2
∞
∑
∞
∫ dy y ln
n = −∞ 0
yazılır. Burada
1
= 1 olacağından c =1 için
c2
TM
ΔTE
n (iy ) Δ n (iy )
TM
ΔTE
n (i∞ ) Δ n (i∞ )
(3.1.66)
ΔTE
ve ΔTM
ifadeleri a yarıçaplı silindirin modlarının dağılımını veren
n
n
denklemlerdir. (2.1.30) ve (2.1.32) denklemini modifiye Bessel fonksiyonları ve modife
Bessel fonksiyonlarının asimtotik açılımlarını kullanarak
TM
ΔTE
n (iy ) Δ n (iy )
= − 4 y 2 I n ( y ) I n' ( y ) K n ( y ) K n' ( y )
TE
TM
Δ n (i∞)Δ n (i∞)
(3.1.67)
45
şeklinde elde edilir. Modifiye Bessel fonksiyonunun Wronskianını kullanarak (3.1.67)
denklemindeki ifadeyi daha sade bir
[
TM
ΔTE
'
n (iy ) Δ n (iy )
= 1 − y (I n ( y ) K n ( y ) )
TE
TM
Δ n (i∞)Δ n (i∞)
]
2
(3.1.68)
şekline getiririz. Böylece (3.1.66) denklemi
E=
1
4πa 2
∞
[
∞
dy y ln ⎡1 − y (I n ( y ) K n ( y ) )
∑
∫
⎢⎣
n = −∞ 0
'
] ⎤⎥⎦
2
(3.1.69)
olur. Bu ifadeyi katı silindir için elde ettiğimiz denklem ile katşılaştırdığımızda a yarıçaplı
silindirin
renormalize enerjisi (3.1.35) denkleminde ξ 2 = 1 ve c = 1 alınırsa elde
edilebileceği kolayca görülebilir. Böylece katı silindir için yaptığımız hesaplarla ξ 2 = 1 ve
c = 1 alırsak a yarıçaplı silindir kabuğun renormalize Casimir enerjisi
E = E0 +
1
4πa 2
5 ∞ 1 ⎞
⎛ 7 ∞ 1
−
⎜
⎟
∑ 2 1792 ∑
4
n =1 n ⎠
⎝ 480 n =1 n
(3.1.70)
elde edilir. Sayısal olarak
E 0 = −0.05186
E kabuk =
=
sonucu
1
ve
a2
1
π2
=
,
∑
2
6
n =1 n
∞
1
π4
=
tanımlarını kullanarak
∑
4
90
n =1 n
∞
1
(−0.1704)
4πa 2
1
(−0.01356)
a2
bulunur [Milton vd .,1999] .
[DeRaad ve Milton,1981]
Bu
sonuç
ilk
defa
DeRaad
ve
Milton
tarafından elde edilmiş ifade ile büyük bir uyum içerisindedir.
DeRaad ve Milton Green’s fonksiyon yöntemi ile silindirik kabuğun Casimir enerjisini
46
buldular. Burada ise kontur integral ile modların toplamı regülarizasyon yöntemi
kullanılarak aynı sonuç elde edilmiştir.
47
SONUÇ
Klasik alan teorisinden farklı olarak kuantum alan teorisinde zaman zaman enerji,
kuvvet, yük ve kütle gibi fiziksel büyüklüklerin ıraksak seriler olarak ortaya çıktıkları
görülmüştür. Enerji, yük ve kütle gibi fiziksel büyüklüklerin doğada sonlu değerler aldığı
bilinmektedir. Teoride sonsuz değerlerin çıkması teorilerimizin bir takım bozukluklarından
kaynaklanmaktadır. Daha gelişmiş teorilerde bu sorunların giderilmesi beklenmektedir.
Ancak mevcut teorilerimizin içinde bile bazı yöntemlerle bu ıraksak ifadelerden deneylerle
yüksek seviyede uyum sağlayan sonlu sonuçlar elde etmek olasıdır [Bayin, 2004] .
Casimir enerji hesaplarında ortaya çıkan ıraksak enerji büyüklüklüğü regülarizasyon
ve renormalizasyon ile sonlu ve deneylerle çok yüksek uyum sağlayan sonuçlar üretilmiştir.
Burada regülarizasyon ile ıraksak ifadelerin içindeki sonsuz olan kısmın ayrışmasını ve
sınıflandırılmasını yaparız. Renormalizasyon ise bu sonsuzlukları fiziksel bir değişkenle
ayıklanması ve atılmasıdır. Casimir enerji alandan alana, geometriden geometriye,
topolojiden topolojiye ve boyuttan boyuta farklılıklar gösterdiği için hepsini kapsayacak
yegane regülarizasyon ve renormalizasyon tekiniğine sahip değiliz. Casimir etki için farklı
yöntemler uygulandığında, örneğin Green’s fonksiyon formalizmi, stress tensör method,
çoklu saçılma açılımı, Zeta fonksiyon regülarizasyon tekniği, Heat Kernal serileri ve kontur
integral ile direkt modların toplamı yöntemi, bu yöntemlerin farklı hesap yaklaşımları ve
farklı fiziksel yorumlar sunmaktadır. Böylece Casimir etki tartışmalarında uygulanan
regülarizasyon yöntemlerinin seçiminde ve sonuçlarında dikkat etmek gerekir. İşte bu
noktada herhangi bir geometriyi göz önüne aldığımızda farklı yöntemlerle aynı fiziksel
sonlu sonucu bulmak zorundayız.
Bu çalışmada silindir geometride elektromagnetik alanın Casimir etkisi göz önüne
alınmıştır. Öncelikle dielektrik ve magnetik geçirgenlik katsayısı ε 1 ve μ1 ’den yapılmış
materyalin ε 2 ve μ 2 ile yapılmış malzeme ile çevrelenerek elde edilen geometri için kontur
integral tekniği ile modların toplamı yapılarak elektormagnetik alanın kuantum vakum
48
enerjisi hesaplanmıştır. Çıkan sonusuzluklar içerdeki ve dışardaki modlar aracılığı ile
birbirlerini yok ettiği görülmüştür. Matematiksel olarak renormalize Casimir enerji içindeki
ıraksak ifadeler Riemann Zeta fonksiyonu aracılığı ile ayıklanmıştır. Farklı ortamla
çevrelenmiş katı silindirin hesaplarından hareketle sonsuz uzunluktaki silindir kabuğun
Casimir enerjisi kontur integral ile direkt modların toplamı yöntemi kullanılarak elde
edilmiştir. Her ne kadar küresel kabuğun Casimir enerjisi pozitif işaretli olmasına rağmen,
silindir kabuğun Casimir enerjinin işareti ideal iletken paralel levhalarla uyumlu olduğu
görülmüştür. Paralel düzlemlerle ve silindir geometride Casimir enerji çekici kuvvet üretir.
Silindir geometride kontur integral yöntemi ile modların toplamı kullanılarak göz önüne
aldığımız Casimir enerji sonuçları Green’s Fonksiyon ve Zeta fonksiyon düzenleme
teknikleriyle de uyumlu olduğu gözlemlenmiştir [DeRaad veMilton,1981].
Silindir geometri için yapılan Casimir enerji hesaplarında hala bir takım zayıf
noktalar bulunmaktadır. Skalar alan için yarı çembersel sonsuz silindirin Casimir enerji
ifadeleri
içermektedir [Nesterenko vd ., 2001] .
tekillikler
Mevcut
bilinen
bütün
renormalizasyonlar uygulandığında bu tekilliklerden kurtulunamamıştır. Sonlu fiziksel
kuantum boşluk enerjisi elde edilmesi için farklı renormalizasyona ihtiyaç bulunmaktadır.
Bununla beraber geçirgenlik katsayısı ε 2 ve μ 2 ’den oluşan ortamın içine ε1 ve μ1 silindiri
bandırdığımızda
⎛ ε − ε2
ξ = ⎜⎜ 1
⎝ ε1 + ε 2
2
2
⎞
⎟⎟ << 1 ,
⎠
ε 1μ 1 = ε 2 μ 2 =
1
c2
şartını sağlayan durumlarda silindirin Casimir enerjisinin sayısal yaklaşıklıkla elde edilen
çözümü Nesterenko
çalışmaları
da
[Nesterenko ve Pirozhenko,1999]
birbirleri
renormalizasyonlardan
ile
çelişmektedir.
kaynaklanmamaktadır
ile Milton’un
Bu
çelişki
[Milton vd .,1999]
regülarizasyon
ve
[Nesterenko ve Pirozhenko, 2000] ,
[Pelaez ve Milton, 2005] .
Burada geliştirmiş olduğumuz öz frekansların kompleks düzlemdeki kontur
integrali ile modların toplamı yöntemi kullanarak eş merkezli iki silindirin arasındaki
49
elektromagnetik alanın Casimir enerjisinin işaretini anlamak oldukça ilginç bir problem
olarak çözüm beklemektedir. Biz de burada edindiğimiz tecrübeyi geliştirerek bu problemi
gelecekte çözeceğiz.
50
KAYNAKLAR
Abromowitz, M., Stegun I. A., 1964 ‘‘Handbook of Mathematical Functions’’, National
Bureau of Standarts, Washington, D.C.20402, Tenth printing.
Bayın, S., 2004, ‘‘Fen ve Mühendislik Bilimlerinde Matematik yöntemler’’ Ders kitapları
A.Ş., 2.baskı.
Bjorken, J.D., Drell, S.D., 1965 ‘‘Relativistic Quantum Fields’’
Bowers, M.E., Hagen, C.R., 1999, Phys. Rev. D59, 025007
Boyer, T.H., 1970, Phys. Rev. 174, 1764
Casimir, H.B.G., 1948, Proc. K. Mod. Acad. Wet., 51, 793
Dennery, P., Krzywichi, A., 1995, Mathematics for Physics, Dover
DeRaad, L.L., Jr., Milton, K., 1981, Ann. Phys. (N.Y.) 136, 229
DeRaad, L.L., Jr., 1985, Fortschr. Phys., 33, 117
Gosdzinsky, P., Romea, A., 1998, Phys. Letter B441, 265
Lamoreaux, S.K., 1997, Phys. Rev. Lett. 78, 5
Milton, K.A., DeRaad, L.L., Jr. ve Schwinger J., 1978, Ann. Phys. 115, 388
Milton, K.A., Nesterenko, A.V., Nesterenko, V.V., 1999, ‘‘Mode by Mode Summation
For The Zero Point Electromagnetic Energy of An Infinite Cylinder’’, Phys. Rev. D59,
105009
Nesterenko, V.V., Pirozhenko, L.G., 1998, Phys. Rev. D57, 1284
Nesterenko, V.V., Pirızhenko, I. G., 1999, Phys. Rev. D 60, 125007
Nesterenko, V.V., Pirozhenko, I.G., 2000, J of Math Physics 41, 4521
51
Nesterenko, V.V., Lambiase, G., Scarpella G., 2001, J of Math. Phys. 42, 1974
Özcan, M., 2005, Physics letters A 344, 307
Özcan, M., 2006, Class. Quantum Gravity 23, 5531
Pelaez, I.C., Milton, K.A., 2005, Annals of Physics 320, 108
Plunien, G., Muller, B., Greiner, W., 1986, ‘‘The Casimir Effect’’, Phys. Reports
(Review Section of Physics Letters)
Sparnaay, M.J., 1958, Physica 24, 751
Stratton, J.A., 1941, ‘‘Electromagnetic Theory’’
Tabor, D., Winterton, R.H.S., 1969, Proc. R. Soc. London, A312, 435
Titchmarsh, E.C., 1986, ‘‘ The Theory of the Riemann Zeta-Function’’, 2ed., Oxford
52
EK-A
2. KÜTLESİZ SKALER ALAN
Ψ skaler alanın uzay-zaman içerisinde noktadan noktaya değişimini veren dinamik
denklem □ Ψ = 0 şeklindedir. Burada
r
□= ∇
2
−
1 ∂2
c 2 ∂t 2
(4.1)
olarak tanımlanır. Buna Klein-Gordon denklemi de denir. Aynı zamanda bu denklemi göz
önüne alarak öncelikle silindir geometride çözümlerini inceleyeceğiz. Kütlesiz skaler alanın
silindir geometrisindeki çözümlerinin Bessel fonksiyonlarıyla nasıl ifade edildiğini yeniden
elde edeceğiz.
i)
2.1. Silindir Geometride Kütlesiz Skaler Alan
Ψ kütlesiz skaler alan olmak üzere alan denklemimiz
□ Ψ = 0 olmak üzere □’yi
açık haliyle yazarsak;
⎧ r 2 1 ∂2 ⎫ r
⎨∇ − 2 2 ⎬Ψ (r , t ) = 0 olur.
c ∂t ⎭
⎩
(4.1.1)
Silindir geometriye ait değişkenlerimiz
r r
r = r ( r ,φ, z )
0 ≤ r < ∞ , 0 ≤ φ ≤ 2π , − ∞ ≤ z < ∞
denklemimizi yazarsak
dir. Silindirik koordinatları kullanarak alan
53
⎡1 ∂ ⎛ ∂ ⎞ 1 ∂ 2
∂2
1 ∂2 ⎤
r
+
+
−
⎜
⎟
⎢
⎥ Ψ (r , φ , z, t ) = 0 .
2
2
∂z 2 c 2 ∂t 2 ⎦
⎣ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r ∂φ
(4.1.2)
olur. Burada değişken ayırma yöntemini uygulayalım.
Ψ (r , t ) = R(r )Φ(φ ) Z ( z )T (t )
(4.1.3)
için (4.1.2) denklemi gerekli düzenlemeler sonucunda
1 1 d ⎛ dR(r ) ⎞ 1 1 d 2 Φ(φ ) d 2
1 1 d 2T (t )
r
+
+
−
=0
⎜
⎟
R(r ) r dr ⎝ dr ⎠ r 2 Φ(φ ) dφ 2
dz 2 c 2 T (t ) dt 2
(4.1.4)
şeklini alır. Burada Φ (φ) , Z(z) ve T(t) ’yi sağlayan denklemlerin ayrı ayrı çözümlerinin
sonucunda
Fn = e inφ e ikz e − iωt
(4.1.5)
bulunur.
k +
2
r2
ω2
c
2
= β 2 olmak üzere (4.1.4) denklemimiz
d 2 R(r )
dR(r )
+r
− (β 2 r 2 + n 2 )R(r ) = 0
2
dr
dr
(4.1.6)
şeklini alır. Burada radyal denklemin çözümünü elde etmek için yeni bir değişken
tanımlayalım.
βr = x için (4.1.6) nolu denklem
d 2 R( x)
dR( x)
x
+x
− (x 2 + n 2 )R ( x) = 0
2
dx
dx
2
(4.1.7)
şekline dönüşür. Bu denklemin çözümü için EK-B’deki Bessel fonksiyonlarının
çözümlerinden yararlanırız. Böylece βr = x olmak üzere
54
R(r ) = An I n ( β r ) + Bn K n ( β r )
⎛
⎛
ω2 ⎞
ω2 ⎞
R (r ) = An I n ⎜ k 2 + 2 r ⎟ + Bn K n ⎜ k 2 + 2 r ⎟
⎜
⎜
c ⎟⎠
c ⎟⎠
⎝
⎝
(4.1.8)
bulunur. Bu durumda genel çözüm:
⎡
⎛
⎛
ω2 ⎞
ω 2 ⎞⎤
Ψ (r , t) = ⎢ An I n ⎜ k 2 + 2 r ⎟ + Bn K n ⎜ k 2 + 2 r ⎟⎥ e ikz e inφ e −iωt
⎜
⎜
c ⎟⎠
c ⎟⎠⎥
⎢⎣
⎝
⎝
⎦
(4.1.9)
olur. Burada k − ∞ < k <+ ∞ aralığında tanmlıdır.
n = 0,±1,±2,±3,... ,
ii)
Silindir Geometride Elektromanyetik Alan Denklemleri
Silindir geometrinin simetrik yapısından dolayı 2. Bölümde elde ettiğimiz sonuçları
bu kez de kaynaksız boş uzayda yazılmış Maxwell denklemlerinde elektrik ve magnetik
alanı tanımlayarak elde edelim.
Kaynaksız boş uzayda yazılmış Maxwell denklemleri;
1)
r r
∇⋅E = 0
2)
r r
∇⋅B = 0
3)
r r ∂Br
∇× E = −
4)
r
r r
∂E
∇ × B = με
∂t
∂t
55
Maxwell denklemlerini, bunların vektör özelliklerini kullanarak yazarsak;
r
⎛ r 2 1 ∂ 2 ⎞⎧⎪ E ⎫⎪
⎜⎜ ∇ − 2 2 ⎟⎟⎨ r ⎬ = 0
c ∂t ⎠⎪⎩ B ⎪⎭
⎝
(4.2.1)
denklemini elde ederiz. Bu denklemlere matematiksel olarak vektör alan denklemleri denir.
r
r
Burada E elektirik alanı ve B de magnetik alanı temsil eder. Burada vektör alanın
sağladığı diferansiyel denklemi çözelim. Her bir vektörel büyüklük, seçilen geometriye
göre bağımsız bileşenlerden oluşur. Öncelikle seçtiğimiz geometri silindir geometri
r r
olduğundan vektörel alanımızı ( E , B ) bileşenleri cinsinden tanımlayalım.
Elektrik alan için;
Manyetik alan için;
r ~
~
~
E = E r rˆ + E φ φˆ + E z kˆ
r ~
~
~
B = Br rˆ + Bφ φˆ + B z kˆ
r r
E = E (r , φ, z ) f (t )
(4.2.2)
r r
B = B (r , φ, z ) f (t )
(4.2.3)
olarak tanımlı olsun. Burada r̂ , φ̂ ve kˆ silindir koordinatların birim vektörleridir. Şimdi
r r
E = E (r , φ, z ) f (t ) ’yi (4.2.1) denkleminde yazalım.
⎛ r 2 1 ∂2 ⎞ r
⎜⎜ ∇ − 2 2 ⎟⎟ E (r , φ, z ) f (t ) = 0
c ∂t ⎠
⎝
(4.2.4)
ϖ 2 c 2 = ω 2 için f (t ) = e −iωt elde edilir.
Böylece elektrik ve magnetik alanı zamansal ve uzaysal olarak iki fonksiyonun çarpımı
şeklinde ifade etmiş olduk.
r
E = ( E r rˆ + E φ φˆ + E z kˆ)e −iωt olur.
(4.2.5)
Manyetik alan için (4.2.4) denklemini oluşturduğumuz şekilde işlem yapıldığında
r
B = ( Br rˆ + Bφ φˆ + B z kˆ)e −iωt
(4.2.6)
56
olarak hesaplanır. Şimdi Maxwell denklemlerinin üçüncüsünü göz önüne alarak sağladığı
büyüklükleri inceleyelim.
r r ∂Br
∇× E = −
denklemini silindir koordinatlar için yazarsak
∂t
r r ⎧⎛ 1 ∂E
z
∇ × E = ⎨⎜⎜
⎩⎝ r ∂r
=−
−
∂E φ ⎞ ⎛ ∂E r ∂E z ⎞ ˆ 1 ⎛ ∂
∂E
⎟⎟rˆ + ⎜
−
⎟φ + ⎜⎜ (rE φ ) − r
r ⎝ ∂φ
∂r ⎠
∂φ
∂z ⎠ ⎝ ∂z
(
⎞ ˆ ⎫ −iωt
⎟⎟k ⎬e
⎠ ⎭
)
∂
Br rˆ + Bφ φˆ + B z kˆ e −iωt
∂t
(4.2.7)
olur. Ortak birim vektörler birbirleriyle eşleştirildiğinde
1 ∂E z ∂Eφ
−
= i ωB r
r ∂φ
∂z
∂E r ∂E z
−
= iωBφ
∂r
∂z
(4.2.8)
∂Eφ 1 ∂E r
1
Eφ +
−
= i ωB z
r
∂r
r ∂φ
denklemlerini buluruz. Aynı işlemleri Maxwell denklemlerinin dördüncüsüne uygularsak;
r r ⎧⎛ 1 ∂B
z
∇ × B = ⎨⎜⎜
⎩⎝ r ∂φ
= με
−
∂Bφ ⎞ ⎛ ∂Br ∂B z
⎟rˆ + ⎜
−
∂r
∂z ⎟⎠ ⎝ ∂z
(
∂B
⎞ˆ 1 ⎛ ∂
⎟φ + ⎜⎜ (rBφ ) − r
r ⎝ ∂φ
∂φ
⎠
⎞ ˆ ⎫ −iωt
⎟⎟k ⎬e
⎠ ⎭
)
∂
E r rˆ + E φ φˆ + E z kˆ e −iωt için;
∂t
1 ∂B z ∂Bφ
−
= −iμεωE r
r ∂φ
∂z
∂Br ∂B z
−
= −iμεωEφ
∂z
∂r
(4.2.9)
57
∂Bφ 1 ∂Br
1
Bφ +
−
= −iμεωE z
r
∂r r ∂φ
sonuçlarını elde ederiz. (4.2.8) ve (4.2.9) denklemlerini bir adım daha ilerletirsek
(1)
1 ∂Eˆ z
− (ik ) Eˆ φ = iωBˆ r
r ∂φ
(2) ikEˆ r −
∂Eˆ z
= iωBˆ φ
∂r
(3)
∂Eˆ φ 1 ∂Eˆ r
1 ˆ
Eφ +
−
= iωBˆ z
∂r r ∂φ
r
(4)
1 ∂Bˆ z
− (ik ) Bˆ φ = −iμεωEˆ r
r ∂φ
(5) ikBˆ r −
∂Bˆ z
= −iμεωEˆ φ
∂r
∂Bˆ φ 1 ∂Bˆ r
1 ˆ
−
= −iμεωEˆ z
(6) Bφ +
∂r r ∂φ
r
( Ê ve B̂ bileşenleri r ve φ ’lere bağlı fonksiyonlardır.)
şeklinde altı tane denklem elde ederiz. Amacımız B̂φ , B̂r , Ê r ve Êφ ’yi Ê z ve B̂ z cinsinden
yazmaktır. Bu denklemlerden yola çıkarak
⎛ k ∂Eˆ z
∂Bˆ z
⎜
−
+
ω
∂r
( μεω 2 − k 2 ) ⎜⎝ r ∂φ
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.2.10)
⎛ ∂Bˆ z
1 ∂Eˆ z
⎜
−
k
μεω
r ∂φ
( μεω 2 − k 2 ) ⎜⎝ ∂r
⎞
⎟
⎟
⎠
(4.2.11)
Eˆ φ = −
Bˆ r =
i
i
58
Bˆφ =
⎛
∂Eˆ z k ∂Bˆ z ⎞
⎜
⎟
+
μεω
∂r r ∂φ ⎟⎠
( μεω 2 − k 2 ) ⎜⎝
(4.2.12)
Eˆ r =
⎛ ∂Eˆ z ω ∂Bˆ z ⎞
⎜k
⎟
+
r ∂φ ⎟⎠
( μεω 2 − k 2 ) ⎜⎝ ∂r
(4.2.13)
i
i
dört bileşeni iki bileşen cinsinden yazmış oluruz.
Şimdi Maxwell denklemlerinin birincisini göz önüne alalım.
(
)
r
E = Eˆ r rˆ + Eˆ φ φˆ + Eˆ z kˆ e ikz e − iωt için
r r ⎧
∇ ⋅ E = ⎪⎨ 1
∂ ˆ
1 ∂Eˆ φ ∂Eˆ z ⎫⎪ ikz −iωt
rE r +
=0
+
⎬e e
r ∂φ
∂z ⎪⎭
⎪⎩ r ∂r
( )
şeklini alır. Burada (4.2.10) ve (4.2.13) denklemleri kullanılarak
λ2 = μεω 2 − k 2 = sabit olmak şartıyla gerekli düzenlemeler yapılırsa
1 ∂ ⎛ ∂Eˆ z
⎜r
r ∂r ⎜⎝ ∂r
⎞ 1 ∂ 2 Eˆ z
2 ˆ
⎟+ 2
⎟ r ∂φ 2 + λ E z = 0 bulunur.
⎠
(4.2.14)
Eˆ z = R(r )Φ (φ ) şeklinde yeni değişkenleriyle yazarsak bu durumda (4.2.14);
1 d ⎛ dR(r ) ⎞ 1
d 2 Φ (φ )
Φ (φ )
+ λ2 R(r )Φ (φ ) = 0
⎜r
⎟ + 2 R(r )
2
r dr ⎝ dr ⎠ r
dφ
(4.2.15)
şekline dönüşür. Gerekli düzenlemeler yapıldığında
r2
1 d 2 R(r )
1 d 2 Φ (φ )
r dR (r )
+
+
+ r 2 λ2 = 0 olur.
2
2
Φ (φ ) dφ
R(r ) dr
R(r ) dr
(4.2.16)
59
b
1 d 2 Φ (φ )
= −n 2 seçimi için Φ (φ ) = e inφ sonucunu buluruz. Bu durumda (4.2.16)
Φ (φ ) dφ 2
denklemini
r2
[
]
d 2 R(r )
dR(r )
+r
+ r 2 λ2 − n 2 R ( r ) = 0
2
dr
dr
(4.2.17)
olarak buluruz. Bu denklemin çözümünü EK-B’de ayrıntılarıyla tartıştık. Dolayısıyla
R (r ) = a n J n (λr ) + bn N n (λr ) yazabiliriz. Böylece
Eˆ z (r , φ) = [a n J n (λr ) + bn N n (λr )]e inφ
(4.2.18)
sonucunu buluruz.
Aynı işlemleri şimdi Maxwell’in ikinci yasası için yaptığımızda
(
)
r
B = Bˆ r rˆ + Bˆ φ φˆ + Bˆ z kˆ e ikz e −iωt için
Bˆ z (r , φ ) = [a n J n (λr ) + bn N n (λr )]e inφ çözümlerini elde ederiz.
(4.2.19)
Şimdi elektrik ve manyetik alana ait tüm bileşenleri son halleriyle bir arada yazalım.
i ⎛ ∂Eˆ
ω ∂Bˆ z ⎞⎟ ikz −iωt
~
E r = 2 ⎜⎜ k z +
e e
λ ⎝ ∂r r ∂φ ⎟⎠
∂Bˆ
i ⎛ k ∂Eˆ z
~
−ω z
Eφ = 2 ⎜⎜
∂r
λ ⎝ r ∂φ
~ ⎧ J n (λr )
E z = ⎨ (1)
⎩ H n (λ r )
⎞ ikz −iωt
⎟e e
⎟
⎠
r < a ⎫ ikz −iωt inφ
⎬e e e
r> a ⎭
1 ∂Eˆ z
i ⎛ ∂Bˆ
~
Br = 2 ⎜⎜ k z − μεω
r ∂φ
λ ⎝ ∂r
⎞ ikz −iωt
⎟e e
⎟
⎠
(4.2.20)
60
∂Eˆ
i ⎛
k ∂Bˆ z ⎞⎟ ikz −iωt
~
e e
b Bφ = 2 ⎜⎜ μεω z +
∂r r ∂φ ⎟⎠
λ ⎝
~ ⎧ J n (λr )
B z = ⎨ (1)
⎩ H n (λr )
r < a ⎫ ikz −iωt inφ
⎬e e e
r>a ⎭
içerdeki çözümlerde ikinci tür Bessel fonksiyonlarını alamayız çünkü r → 0 için
N n (λr ) → ∞ olur. Böylece içerdeki çözümler Birinci Tür Bessel fonksiyonları, dışarıdaki
çözümler üçüncü tür Bessel fonksiyonlarıyla yani diğer bir deyişle Henkel fonksiyonlarıyla
(Üçüncü Tür Bessel Fonksiyonları) tanımlanırlar.
Şimdi TE ve TM durumda bileşenleri en genel haliyle yazalım.
TE bileşenleri
TM bileşenleri
i ⎛ ω ∂Bˆ z ⎞ ikz −iωt
~
⎟e e
Er = 2 ⎜⎜
λ ⎝ r ∂φ ⎟⎠
i ⎛ ∂Eˆ
~
E r = 2 ⎜⎜ k z
λ ⎝ ∂r
i ⎛ ∂ Bˆ z ⎞⎟ ikz − i ω t
~
E φ = − 2 ⎜⎜ ω
e e
λ ⎝ ∂ r ⎟⎠
i ⎛ k ∂Eˆ z ⎞⎟ ikz −iωt
~
Eφ = 2 ⎜⎜
e e
λ ⎝ r ∂φ ⎟⎠
~
Ez = 0
~
E z = [a n J n (λr )]e ikz e − iωt e inφ
i ⎛ ∂Bˆ
~
Br = 2 ⎜⎜ k z
λ ⎝ ∂r
i ⎛
1 ∂Eˆ z
~
Br = 2 ⎜⎜ − μεω
r ∂φ
λ ⎝
⎞ ikz −iωt
⎟e e
⎟
⎠
i ⎛ k ∂Bˆ z ⎞⎟ ikz −iωt
~
Bφ = 2 ⎜⎜
e e
λ ⎝ r ∂φ ⎟⎠
r < a ⎫ ikz −iωt inφ
⎧ J n (λr )
~
B z (r , φ) = ⎨ (1)
⎬e e e
⎩ H n (λr ) r > a ⎭
⎞ ikz −iωt
⎟e e
⎟
⎠
∂Eˆ
i ⎛
~
Bφ = 2 ⎜⎜ μεω z
∂r
λ ⎝
(4.2.21)
~
Bz = 0
⎞ ikz −iωt
⎟e e
⎟
⎠
⎞ ikz −iωt
⎟e e
⎟
⎠
(4.2.22)
61
~
~
Şimdi de elde ettiğimiz bu alan bileşenlerini E ve H elektrik ve magnetik şiddet
durumunda yazalım. Burada λ , ε ve μ genel ifade olarak yazılmıştır. Özellikle Casimir
enerji hesaplamada oldukça önemli bir yere sahip olan modların davranışlarını farklı
ortamlara göre nasıl değiştiğini belirlemek istiyoruz. Örneğin ε 2 , μ 2 değerlerine sahip bir
ortamın içine ε 1 , μ1 değerleri ile tanımlanan silindiri bandırdığımızda alanın bileşenlerinin
nasıl değiştiğini belirleyebiliriz. (4.2.20) hesaplarını kullanarak içerdeki ve dışarıdaki alanın
bileşenlerini TE ve TM modlarının çizgisel toplamı şeklinde yazabiliriz.
r < a (içerideki noktalar) için;
Fn = e ikz e inφ e − iωt olmak üzere
∑ [a J
∞
~
Ez =
~
Bz =
n = −∞
i
n
∑ [a J
∞
n = −∞
i
n
n
n
]
(λ1r ) Fn
(4.2.23)
]
(λ1r ) Fn
r r
μH = B dönüşümünden de
~
Hz =
∑ [b J
∞
i
n
n = −∞
n
]
(λ1r ) Fn bulunur.
(4.2.23) ve (4.2.24) denklemlerini (4.2.20) denklemlerinde yerlerine yazdığımızda
r < a için elektrik ve magnetik alana ait tüm bileşenleri yazalım.
~
E ri =
∞
⎧ ik
∑ ⎨λ
n = −∞
⎩
1
a ni J n' (λ1 r ) −
⎫
ω nμ 1 i
bn J n (λ1 r )⎬ Fn
2
λ1 r
⎭
∞
⎧n k
⎫
iω
~
μ1bni J n' (λ1 r )⎬ Fn
Eφi = − ∑ ⎨ 2 a ni J n (λ1 r ) +
λ1
n = −∞ ⎩ λ1 r
⎭
(4.2.24)
62
Eˆ zi =
∑ [a J
∞
i
n
n = −∞
n
]
(λ1r ) e inφ
(4.2.25)
⎧ k12 n
⎫
i
a ni J n (λ1 r ) + kbni J n' (λ1 r )⎬Fn
⎨ 2
∑
λ1
n = −∞ ⎩ λ1 rωμ1
⎭
∞
~
H ri =
~
H φi =
⎧ i k12 i '
⎫
n k
a n J n (λ1 r ) − 2 bni J n (λ1 r )⎬ Fn
⎨
∑
λ1 r
n = −∞ ⎩ ωμ1 λ1
⎭
~
H zi =
∑ [b J
∞
∞
n = −∞
i
n
n
]
(λ1r ) e inφ
( λ12 = k12 − k 2 , k12 = μ1ε1ω 2 )
a ni ( bni ) TM ve TE katsayılarını ifade eder
TE ve TM bileşenlerini r < a için ayrı ayrı ifade edelim.
TM (Bz= 0) bileşenleri
~
E ri =
TE (Ez= 0) bileşenleri
∞
⎧ω n
⎫
~
E ri = − ∑ ⎨ 2 bni J n (λ1r )⎬ Fn
n = −∞ ⎩ λ1 r
⎭
⎧ ik
⎫
a ni J n' (λ1r )⎬ Fn
n = −∞ ⎩ 1
⎭
∞
∑ ⎨λ
∞
⎧n k
⎫
~
Eφi = − ∑ ⎨ 2 a ni J n (λ1r ) J n' (λ1r )⎬ Fn
n = −∞ ⎩ λ1 r
⎭
~
E zi =
∑ [a
∞
n = −∞
]
~
E zi = 0
J n (λ1r ) Fn
⎧ k12 n
⎫
a ni J n (λ1 r )⎬Fn
⎨ 2
∑
n = −∞ ⎩ λ1 rωμ 1
⎭
∞
~
H ri =
~
H φi =
i
n
⎧ i k12 i '
⎫
a n J n (λ1 r )⎬ Fn
⎨
∑
n = −∞ ⎩ ωμ1 λ1
⎭
~
H zi = 0
∞
⎧ iω n i '
⎫
~
Eφi = − ∑ ⎨
bn J n (λ1r )⎬ Fn
n = −∞ ⎩ λ1 r
⎭
∞
(4.2.26)
~
H ri =
⎧ ik
⎫
bni J n' (λ1 r )⎬Fn
n = −∞ ⎩ 1
⎭
∞
∑ ⎨λ
∞
⎧n k
⎫
~
H φi = − ∑ ⎨ 2 bni J n (λ1 r )⎬ Fn
n = −∞ ⎩ λ1 r
⎭
~
H zi =
∑ [b J
∞
n = −∞
i
n
n
]
(λ1r ) e inφ
(4.2.27)
63
~
bulunur. H n(1) ( x) şeklindeki üçüncü tür Bessel fonksiyonu olarak da bilinen Henkel
~
~
~
fonksiyonu H n(1) ( x) = J n ( x) + iN n ( x) biçiminde gösterilir. Şimdi r > a için E ve H ’nin
bileşenlerini yazarken Henkel fonksiyonunun gösteriminden yararlanacağız. Çünkü r → 0
~
iken H n(1) ( x) → ∞ olacağından r < a için yaptığımız tartışmada Henkel fonksiyonu dahil
değildir.
~
~
E z = [a n J n (λr ) + bn N n (λr )]Fn ve B z = [a n J n (λr ) + bn N n (λr )]Fn ’dir.
r > a için;
~
E z = [a n J n (λr ) + bn N n (λr )]Fn denklemleri üzerinde gerekli işlemler yapılarak Henkel
fonksiyonlarına benzetilir. Bu durumda
~
Ez =
~
Bz =
∞
∑a
n = −∞
n
H n(1) (λr ) Fn
∞
∑a H
n = −∞
n
(1)
n
(4.2.28)
(λr ) Fn olur.
~
~
B = μH eşitliği kullanırsak
~
Hz =
∞
∑b H
n = −∞
n
(1)
n
(λr ) Fn dönüşür.
(4.2.29)
~
~
E ve B ’nin r > a için tüm bileşenleri
~
Er =
∞
⎧ ik
∑ ⎨⎩ λ a
n = −∞
'
n
H n(1) (λr ) −
ωμ n
⎫
bn H n(1) (λr )⎬ Fn
2
λ r
⎭
∞
'
iω
~
⎧n k
⎫
Eφ = − ∑ ⎨ 2 a n H n(1) (λ1 r ) +
μbn H n(1) (λr )⎬ Fn
λ
⎭
n = −∞ ⎩ λ r
~
Ez =
∑ [a
∞
n = −∞
n
]
H n(1) (λr ) Fn
(4.2.30)
64
~
Hr =
'
ik
⎧ωε n
⎫
a n H n(1) (λr ) + bn H n(1) (λr )⎬Fn
2
λ
r
⎭
n = −∞
~
Hφ =
∞
∞
∑ ⎨⎩ λ
⎧ ωε
∑ ⎨⎩i
n = −∞
λ
∑ [b H
∞
~
Hz =
n = −∞
n
(1)
n
'
a n H n(1) (λr ) −
n k
⎫
bn H n(1) (λr )⎬ Fn
2
λ r
⎭
]
(λr ) Fn
elde etmiş oluruz. Burada da a n katsayıları TM bileşenlerini bn katsayıları ise TE temsil
eder. Şimdi r > a için TM ve TE durumlarını ayrı ayrı yeniden yazalım.
~
TM için ( Bz = 0 ) bileşenleri
~
Er =
∞
⎧ ik
⎫
(1) '
⎨ a n H n (λr )⎬ Fn
∑
⎭
n = −∞ ⎩ λ
∞
~
⎧n k
⎫
Eφ = − ∑ ⎨ 2 a n H n(1) (λ1r )⎬ Fn
⎭
n = −∞ ⎩ λ r
~
Ez =
∑ [a
∞
n = −∞
]
H n(1) (λr ) Fn
⎧ ωε n
⎫
a n H n(1) (λr )⎬Fn
2
r
⎭
n = −∞
∞
~
Hr =
~
Hφ =
n
∑ ⎨⎩ λ
'
⎧ ωε
⎫
a n H n(1) (λr )⎬ Fn
⎨i
∑
⎭
n = −∞ ⎩ λ
∞
~
Hz = 0
(4.2.31)
~
TE için ( E z = 0 ) bileşenleri
~
Er =
⎧ ω nμ
⎫
bn H n(1) (λr )⎬ Fn
2
r
⎭
n = −∞
∞
∑ ⎨⎩− λ
∞
'
~
⎧ iωμ
⎫
Eφ = − ∑ ⎨
bn H n(1) (λr )⎬ Fn
⎭
n = −∞ ⎩ λ
~
Ez = 0
~
Hr =
~
Hφ =
~
Hz =
∞
⎧ ik
∑ ⎨⎩ λ b H
n
n = −∞
∞
⎧
(1) '
n
⎫
(λr )⎬Fn
⎭
n k
⎫
bn H n(1) (λr )⎬ Fn
2
r
⎭
∑ ⎨⎩− λ
n = −∞
∑ [b H
∞
n = −∞
n
(1)
n
]
(λr ) Fn
(4.2.32)
Bulduğumuz bu sonuçlar λ , μ ve ε için genel ifade edilmiş denklemlerdir. Şimdiki
problemimiz r > a
için ε 2 , μ 2
değerlerine sahip silindirin bu ortamdaki alanın
65
r>a
bileşenlerini, TE ve TM modlarını hesaplamaktır. Şimdi
~ ~
E e , H e bileşenleri yazalım.
~
E re =
⎧ ik
∞
∑ ⎨λ
⎩
n = −∞
'
a ne H n(1) (λ 2 r ) −
2
durumunda
⎫
ω nμ 2 e (1)
b
H
(
λ
r
)
⎬ Fn
n
n
2
λ22 r
⎭
⎧n k
⎫
'
i
~
Eφe = − ∑ ⎨ 2 a ne H n(1) (λ 2 r ) + ωμ 2 bne H n(1) (λ 2 r )⎬ Fn
λ2
n = −∞ ⎩ λ 2 r
⎭
∞
~
E ze =
∑ [a H
∞
(1) '
n
e
n
n = −∞
]
(λ2 r ) Fn
(4.2.33)
⎧ k 22 n 1 e (1)
⎫
'
i
a n H n (λ 2 r ) +
kbne H n(1) (λ 2 r )⎬Fn
⎨ 2
∑
λ2
n = −∞ ⎩ λ 2 ωμ 2 r
⎭
2
∞
⎧ i k 2 e (1) '
⎫
n k
~
H φe = ∑ ⎨
a n H n (λ 2 r ) − 2 bne H n(1) (λ 2 r )⎬ Fn
λ2 r
n = −∞ ⎩ ωμ 2 λ 2
⎭
∞
~
H re =
~
H ze =
∑ [b H
∞
n = −∞
e
n
(1)
n
]
(λ2 r ) Fn
( λ22 = k 22 − k 2 , k 22 = μ 2 ε 2 ω 2 )
a ne ( bne ) TM ve TE katsayılarını ifade eder )
İçerdeki ve dışarıdaki alanın teğetsel bileşenleri r = a ’da süreklilik şartını
sağlaması gerektiğini Bölüm 2’de tartışmıştık. Bu durumda
(E~ )
i
z r =a
( )
~
= E ze
r =a
( )
~
, Eφi
r =a
( )
~
= Eφe
( )
~i
H
ve
z
r =a
r =a
( )
~
= H ze
r =a
( )
~
, H φi
r =a
( )
~
= H φe
r =a
denklemlerini elde ederiz. Süreklilik şartları uygulandığında katsayılar ile bileşenler
arasında
a ni J n (λ1 a ) − a ne H n(1) (λ2 a) = 0
iωμ1 '
iωμ 2 (1) '
kn
kn
J n (λ1 a )a ni − 2 H n(1) (λ 2 a )a ne +
J n (λ1 a )bni −
H n (λ 2 a )bne = 0
2
λ1
λ2
λ1 a
λ2 a
66
a ni J n (λ1 a) − a ne H n(1) (λ2 a) = 0
i k12
μ1ω λ1
a ni J n' (λ1 a) −
ik 22
μ 2ωλ2
'
H n(1) (λ2 a)a ne −
n k
n k
J n (λ1 a)bni + 2 H n(1) (λ2 a)bne = 0
2
λ1 a
λ2 a
şeklinde ilişkiler elde edilir. Matris ve determinant yöntemiyle bu denklemlerin çözümünü
(Bkz. Bölüm 2 denk. (2.1.20))
f n (k z , ω , a) = 0 olmak üzere
TM
f n = λ12 λ22 ΔTE
n (λ1 a , λ 2 a ) Δ n (λ1 a, λ 2 a )
− n 2 k 2ω 2 ( μ1ε 1 − μ 2 ε 2 ) 2 (J n (λ1 a ) H n(1) (λ 2 a) )
2
(4.2.34)
'
'
(1)
(1)
ΔTE
n (λ1 a, λ 2 a ) = aμ1λ2 J n (λ1a ) H n (λ2 a ) − aμ 2 λ1 J n (λ1a ) H n (λ2 a )
'
'
(1)
(1)
ΔTM
n (λ1 a, λ 2 a ) = aε 1λ2 J n (λ1a ) H n (λ2 a ) − aε 2 λ1 J n (λ1a ) H n (λ2 a ) ’dir.
(4.2.35)
(4.2.36)
Bu sonuçlar Bölüm 2’de Hertz vektörü yardımıyla elde ettiğimiz (2.1.22), (2.1.23) ve
(2.1.24) sonuçlarıyla aynıdır. Aynı sonuçları farklı yöntemlerle elde etmemiz silindirin
simetrik özelliğinden kaynaklanır.
67
EK-B
BESSEL FONKSİYONLARI
Silindirik koordinatlarda yazılmış ν . mertebeden verilmiş
x2
d2y
dy
+ x + (x 2 − ν 2 )y ( x) = 0
2
dx
dx
(5.1.1)
şeklindeki Bessel Diferansiyel denkleminin çözümünü Frobenius yöntemini kullanarak
buluruz. Öncelikle bu denklemin düzgün tekil noktalarını belirleyelim.
x2
d2y
dy
+ x + (x 2 − ν 2 )y ( x) = 0 ise
2
dx
dx
(5.1.2)
x 2 =0 ise x1, 2 = 0 → denklemin tekil noktalarıdır. (5.1.2)’i aynı zamanda
y ' ' ( x) + y ' ( x) +
1 2
(x −ν 2 )y( x) = 0 kanonik formda da gösterilebilir.
2
x
d2y
dy
P ( x) 2 + R( x) + Q( x) y ( x) = 0
dx
dx
d2y
dy
+ p ( x) + q ( x) y ( x) = 0 ise
2
dx
dx
p ( x) =
(
1
1
; q ( x) = 2 x 2 − ν 2
x
x
)
⎧ xp( x) ⎫
lim ⎨ 2
⎬
x →0 x q ( x )
⎭
⎩
limiti sonlu kalıyorsa, x = 0 noktası düzgün tekil noktadır. Yani analitiktir. Bu denklemde
limitimiz sonlu kaldığından x = 0 noktası düzgün tekil noktadır. Bu durumda Frobenius
yöntemi gereğince
68
∞
y ( x) = ∑ a s x s + r ( a0 ≠ 0 ) çözüm olsun.
s =0
∞
y ' ( x) = ∑ ( s + r )a s x s + r −1
s =0
∞
y ' ' ( x) = ∑ ( s + r )( s + r − 1)a s x s + r − 2 olur.
s =0
y ( x) , y ' ( x) ve y ' ' ( x) ’yi (2.2.12)’de yerlerine yazıp düzenlersek
∞
(r − ν )(r + ν )a 0 x r + (r + 1 − ν )(r + 1 + ν )a1 x r +1 + ∑ [( s + r − ν )( s + r + ν )a s + a s − 2 ]x s + r = 0
s=2
buluruz. Şimdi indis köklerini hesaplayalım,
(r − ν )(r + ν )a 0 = 0 denkleminde a 0
‚0 için r = ±ν bulunur.
(r + 1 − ν )(r + 1 + ν )a1 = 0 denkleminde ise r = ±ν için a1 = 0 olur. Katsayılar arasındaki
ilişkiyi incelediğimizde
as =
−1
a s − 2 bulunur. ( s ≥ 2 )
( s + r − ν )( s + r + ν )
r = ν için; s ’nin s = 2,4,6... (çift) değerlerini saydırıp gerekli düzenlemeler yapıldığında
a2s =
( −) s ν !
a 0 bulunur. Bu durumda r = ν için y ( x) ’in çözümü
2 2 s s!( s + ν )!
( −) s ν ! a 0 2 s
y ( x) = x ∑ 2 s
x
s = 0 2 s!( s + ν )!
ν
∞
(5.1.3)
olacaktır. y ( x) ’i bir yerden kesmek zorunda kalmadık. Çünkü a0 > a2 olduğundan ifademiz
küçülüyor.
69
a0 =
1
seçersek (5.1.3) denklemi
ν
2 ν!
( −) s
⎛ x⎞
⎜ ⎟
2s
s = 0 2 s!( s + ν )!⎝ 2 ⎠
∞
Jν ( x) = ∑
2 s +ν
şeklinde
ν
üncü
mertebeden
birinci
tür
Bessel
fonksiyonuna dönüşür. Bu durumda genel çözüm
y ( x) = An J ν ( x) + Bn N ν ( x) ’dir.
(5.1.4)
Burada J ν ( x) ν üncü mertebeden Birinci tür Bessel fonksiyonu ve N ν ( x) de İkinci tür
Bessel fonksiyonudur [Abromowitz ve Stegun,1964] . x ’in kompleks değerleri için
I n ( x) = i n J n (ix)
K n ( x) = i n +1
π (1)
H n n (ix)
2
(5.1.5)
modifiye Bessel fonksiyonlar ifadesi göz önünde alındığında (5.1.4) denklemi
y ( x) = An I n ( x) + Bn K n ( x)
(5.1.6)
bulunur.
Modifiye Bessel fonksiyonlarının çok büyük argümanlar için asimtotik açılımları
n sabit ve x → ∞ durumunlar için μ = 4n 2 olmak üzere,
I n ( x) ≈
K n ( x) ≈
⎧ μ − 1 (μ − 1)(μ − 9) (μ − 1)(μ − 9)(μ − 25)
⎫
...
+
−
+
⎨1 −
⎬
8z
2!(8 z ) 2
3!(8 z ) 3
2πx ⎩
⎭
ex
1 ⎞
⎛
, ⎜ arg x < π ⎟
2 ⎠
⎝
⎫ ⎛
π − x ⎧ μ − 1 (μ − 1)(μ − 9) (μ − 1)(μ − 9)(μ − 25)
3 ⎞
e ⎨1 +
+
+
+ ...⎬ , ⎜ arg x < π ⎟
2
3
2x
8z
2 ⎠
2!(8 z )
3!(8 z )
⎩
⎭ ⎝
(5.1.7)
70
I n' ( x) ≈
⎧ μ + 3 (μ − 1)(μ + 15) (μ − 1)(μ − 9)(μ + 35)
⎫
+
−
+ ...⎬
⎨1 −
2
3
8z
2!(8 z )
3!(8 z )
2πx ⎩
⎭
ex
K n' ( x) ≈ −
1 ⎞
⎛
, ⎜ arg x < π ⎟
2 ⎠
⎝
⎫ ⎛
3 ⎞
π − x ⎧ μ + 3 (μ − 1)(μ + 15) (μ − 1)(μ − 9)(μ + 35)
e ⎨1 +
+
+
+ ...⎬ , ⎜ arg x < π ⎟
2
3
2x
8z
2 ⎠
2!(8 z )
3!(8 z )
⎩
⎭ ⎝
(5.1.8)
denklemlerine sahibiz. Bunların birbirleriyle çarpım ifadeleri ise
I n ( x) K n ( x) ≈
⎫
1 ⎧ 1 μ − 1 1.3 (μ − 1)(μ − 9)
...
+
−
⎨1 −
⎬,
2 z ⎩ 2 (2 z ) 2 2.4
(2 z ) 4
⎭
I n' ( x) K n' ( x) ≈ −
⎫
1 ⎧ 1 μ − 3 1.1 (μ − 1)(μ − 45)
−
+ ...⎬ ,
⎨1 +
2
4
2 z ⎩ 2 (2 z )
2.4
(2 z )
⎭
1 ⎞
⎛
⎜ arg x < π ⎟
2 ⎠
⎝
1 ⎞
⎛
⎜ arg x < π ⎟
2 ⎠
⎝
(5.1.9)
(5.1.10)
olarak elde edilir [Abromowitz ve Stegun ,1964].
x = sabit ve n
t=
1
1+ z
I n (nz ) ≈
K n (nz ) ≈
'
I n (nz ) ≈
2
¨ ‡için modifiye Bessel fonksiyonlarının uniform asimtotik açılımları ise
ve η = 1 + z 2 + ln
1
eν η
2nπ (1 + z 2 )
1
e −ν η
π
2n (1 + z 2 ) 14
(1 + z 2 )
z
2nπ
1
1
π (1 + z 2 )
K n (nz ) ≈ −
z
2n
'
4
4
1
z
1+ 1+ z2
olmak üzere
∞
U k (t ) ⎫
⎧
⎨1 + ∑ k ⎬
⎩ k =1 n ⎭
(5.1.11)
∞
⎧
k U k (t ) ⎫
1
+
⎬
⎨ ∑ ( −)
nk ⎭
⎩ k =1
(5.1.12)
∞
U (t ) ⎫
⎧
e ν η ⎨1 + ∑ k k ⎬
⎩ k =1 n ⎭
(5.1.13)
4
∞
U (t ) ⎫
⎧
e −ν η ⎨1 + ∑ (−) k k k ⎬
n ⎭
⎩ k =1
(5.1.14)
71
[Abromowitz ve Stegun ,1964] .
şeklindedir
Hankel fonksiyonları ( Üçüncü Tür Bessel
Fonksiyonları) ise
H n(1) ( x) = J n ( x) + iN n ( x)
(5.1.15)
şeklindedir. İkinci tür Hankel fonksiyonu da
H n( 2) ( x) = J n ( x) − iN n ( x)
(5.1.16)
olarak yazılır.
Küresel koordinatlarda yazılmış
(
)
d2y
dy
x
+ x + k 2 x 2 − l(l + 1) y ( x) = 0
2
dx
dx
2
şeklindeki Bessel diferansiyel denkleminin çözümü
(5.1.17)
yine Frobenius yöntemiyle
yapıldığında sonuç olarak
y ( x) = An x
−1
2
J l + 1 (kx) + Bn x
2
−1
2
N l + 1 (kx)
2
(5.1.18)
denklemini elde ederiz. Bu denklem aynı zamanda
y ( x) = A j l (kx) + B y l (kx)
(5.1.19)
olarak da yazabiliriz. Burada
jl (kx) küresel koordinatlarda Birinci Tür Bessel fonksiyonu ve yl (kx) de İkinci Tür
Bessel fonksiyonudur. Küresel Bessel fonksiyonlarının Hankel fonksiyonları türünden
ifadeleri ise
hl(1) ( x) = j l ( x) + iy l ( x)
(5.1.20)
hl( 2) ( x) = j l ( x) − iy l ( x)
(5.1.21)
şeklindedir.
72
ÖZGEÇMİŞ
1987 yılında Sivas’ta doğdum. İlköğretimimi birincilikle bitirdikten sonra 2004
yılında 75. Yıl Cumhuriyet Lisesi (YDA)’den mezun oldum. Aynı yıl içerisinde Trakya
Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Fizik Bölümünü kazandım. Bölümü % 10’luk başarı
diliminde tamamladıktan sonra 2008 yılında aynı üniversitede başlamış olduğum yüksek
lisans eğitimimi 2010 yılında tamamlamış oldum. Akademisyen olma hedefimi
gerçekleştirebilmek için bundan sonraki adımda da doktora programına başlayarak
eğitimime devam edeceğim.