Geometri Notları

www.matematikclub.com, 2006
Geometri Notları
Gökhan DEMĐR, [email protected]
Uzay Geometrisi
Tanım :
Üzerinde çalışma yaptığımız noktaların kümesine uzay
denir.
Örneğin tek nokta üzerine çalışıyorsa uzayınız bu noktadır. Buna koşutsuz uzay, eğer doğru üzerinde çalışıyorsa
uzayınız bir boyutlu uzay, düzlem üzerinde çalışıyorsa bu
uzayınız iki boyutlu uzaydır.
Đçinde yaşadığımız uzay üç boyutlu uzaydır.
Uzay Aksiyomlarını Verelim :
1.
AKSĐYOM :
Doğrusal olmayan üç nokta bir ve yalnız bir düzlem belirtir.
Sonuçları :
1.
Doğrusal olmayan üç
noktadan yalnız bir düzlem
geçer.
E
C
A
2.
Bir doğru ve dışındaki bir
nokta bir tek düzlem belirtir.
B
E
A
d
5.
Bir E düzleminin içinde bir
doğru alınsa, doğrunun iki yanında kalan düzlemin noktalarının kümesi konvekstir.
Eğer A, doğrunun bir yanında,
B diğer yanında alınan iki nokta ise [AB], bu doğruyu bir
noktada keser.
E
E
A
M
B
d
P
H2
H1
H1 ∪ d ∪H2 = P
AKSiYOM (Uzay Ayırma Aksiyomu) :
Düzlemin iki yanında kalan uzayın noktaları şu iki koşulu
sağlar.
1.
A
4.
Paralel iki doğru bir ve yalnız
bir düzlem belirtir.
d
Tanım : Düzlemin içinde alınan bir doğru düzlemi farklı iki
bölgeye ayırır. Bu bölgelerin
her birine yarı düzlem, doğruya ise, kenar doğrusu denir.
Kenar doğrusu hiç bir yarı
düzleme ait değildir.
H1 , H2 yarı düzlem
6.
3.
Kesişen iki doğru bir ve yalnız bir düzlem belirtir.
AKSĐYOM : (Düzlem Ayırma Aksiyomu)
Bu kümelerin her biri konvekstir.
2.
A düzlemi bir yanı B diğer yanında alınan iki nokta
ise [AB] düzlemi keser.
A
Tanım :
2.
AKSĐYOM :
Bir doğrunun iki noktası düzlemin içinde ise doğrunun her
noktası da düzlemin içinde olur.
Sonuç :
d
Bir doğru içinde bulunmadığı
bir düzlemi keserse ara kesit
bir noktadır.
3.
Bir düzlemin her iki yanında
kalan uzay noktalarına yarı
uzay ve düzleme de yarı uzayın yüzü denir. Bu yüz hiçbir
yarı uzaya ait değildir.
E
C
B
E
Sonuçları :
A
1.
Farklı iki doğru düzlemi en az üç en çok dört farklı
bölgeye ayırır.
I
AKSĐYOM :
Farklı iki düzlemin ara kesiti bir
doğrudur.
II
III
d
d2
d1
I
d1
IV
A
II
III
d2
d1 // d 2
d1∩ d 2=A
P ∩Q = ∆
2.
Farklı üç doğru düzlemi en az dört, en çok 7 farklı
bölgeye ayırır.
4.
AKSĐYOM :
P
Uzayın düzlemsel olmayan en az dört noktası vardır.
Q
I
II
III
IV
d1
d2
d3
VII
VI
V
I
IV
II
III
www.matematikclub.com
3.
Uzayda, bir doğrunun
üzerindeki bir noktadan,
bu doğruya birden fazla
dikme çizilebilir. (Şekli
inceleyeniz. Dikmelerin
sonsuz sayıda olacağını
görünüz)
Farklı n doğru bir düzlemi en az n + 1, en çok
n2 + n + 2
farklı bölgeye ayırır.
2
Örneğin :
8 doğru bir düzlemi en az 9, en çok
82 + 8 + 2
= 37 farklı bölgeye ayırır.
2
d1
•
A
d2
•
•
d
d3
d ⊥ d1 , d⊥ d2 , d ⊥ d3
Tanım :
4.
Farklı iki düzlem uzayı en az 3, en çok 4 bölgeye
ayırır.
I
P
P
I
II
Bir doğru düzlemi kestiği noktasından geçen düzlemin her doğrusuna dik ise düzleme diktir.
d ⊥ d1, d ⊥ d2, d ⊥ d3
O
d1
d2
P
d3
d ^ p
II
q
Bir doğrunun düzleme dik
olma koşulu :
III
IV
en çok dört bölge
D
P
IV
II
III
a
d ⊥ d2
I
R
D1
D2
VIII
VII
IV
en az dört bölge
→d⊥P
ÖRNEK SORULAR
VI
R
d2
P
II
a
III
A
P
Yani d doğrusu A dan geçen
düzlemin her doğrusuna da
dik olur.
d1 ↔ d2 = A , d ⊥ d1
5.
Farklı üç düzlem uzayı en az 4, en çok 8 bölgeye
ayırır.
I
d1
Bir doğrunun bir düzleme dik
olması için gerek ve yeter koşul, düzlemin kesişen iki doğrusuna dik olmasıdır.
III
en az üç bölge
d
V
en çok sekiz bölge
1.
Şekilde ABC üçgeninin A
köşesinden
AK ⊥ AC ve
AK ⊥ AB olacak biçimde,
bir AK doğrusu çiziliyor.
D BC ise m (DAK
^ ) açısının ölçüsü kaç derecedir?
A) 30
B) 60 C) 75
K
E
A
B
D
C
D) 80 E) 90
Tanım :
Aynı düzlemde olmayan ve kesişmeyen doğrulara aykırı
doğrular denir.
Çözüm :
AK ⊥ AB
AK ⊥ AC
AK ⊥ ABC düzlemi (kesişen iki doğrusuna dik)
AK ⊥ ABC düzlemi olduğu için bu düzlemin A dan geçen her doğrusuna diktir.
O halde AK ⊥ AD dir.
m (DAK
^ ) = 90° bulunur.
YANIT "E"
UZAYDA DĐK DOĞRULAR :
DOĞRU VE DÜZLEM ĐLE ĐLGĐLĐ
www.matematikclub.com
BAZI TEOREMLER
1.
Bir doğruya üzerindeki bir noktadan, bu doğruya dik
olan bir ve yalnız bir dik düzlem çizilir.
d
4.
Bir doğru bir düzleme
dikse, o düzleme paralel her düzleme de dik olur.
E
(Şekli inceleyiniz.)
2.
Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir ve yalnız bir
dik düzlem çizilebilir.
3.
Bir düzleme içindeki bir noktadan bir ve yalnız bir
dik doğru çizilebilir.
4.
Bir düzleme dışındaki bir noktadan bir tek dik doğru
çizilebilir.
5.
Aynı düzleme dik iki doğru düzlemseldir ve paraleldir.
F
5.
Karşıt olarak, aynı doğruya dik düzlemler pareleldir.
d1
6.
Uzayda aynı doğruya
parelel doğrular, birbirine parelel
olurlar. Çünkü aynı düzlem dik
doğrular olurlar. Şekli inceleyiniz.
d1 // d2
d2
d3
E
B
A
C
d1 // d3 → d2 // d3
UZAYDA PARALEL :
Đki düzlem veya bir doğu ile düzlem kesişmezse, bunlara
paralel denir.
d1
d
7.
Paralel iki düzlem arasındaki uzaklık değişmez.
E
A
C
E
E
E // F
d2
F
|AB| = |CD| = |EF|
E
B
F
F
D
ÜÇ DĐKME TEOREMĐ :
d∩E = ∅ ⇒ E // d
1.
Bir E düzleminin dışındaki bir A noktasından bu
düzleme bir AH dikmesi çizilirse,
E∩F = ∅ ⇒ E // F
1.
Đki düzlemin paralel olması için gerek yeter koşul,
birinin içinde kesişen iki doğrunun diğer düzleme paralel
olmasıdır.
2.
E düzleminin dışındaki bu A noktasından E düzleminin içindeki bir d doğrusuna AK dikmesi de çizilirse,
2.
Paralel iki düzlemin herhangi bir düzlemle arakesitleri
paralel olur.
3.
Bu iki dikme ayağını birleştiren HK doğrusu, düzlemin içindeki d doğrusuna diktir.
P
d1
E
A
(Şekli inceleyiniz.)
II
I
d2
E // F, P ↔ E = d1 ve
H
••
F
P ↔ F = d2 ♠ d1 // d2
d
III
K
E
Şekli inceleyerek 3 tane dikme olduğunu görürüz.
3.
Bir doğrunun bir düzleme parelel olması için gerek ve yeter koşul, düzlemin içindeki bir doğruya
parelel olmasıdır. (Şekli inceleyiniz.)
d2 ℘ E ve d1 // d2 ise d1 // E dir.
d1
E
d2
Bu üç dikmeden herhangi ikisi alınsa üçüncüsüde dik olur.
Uzayda A ve B noktalarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri [AB] nın orta noktasından AB ye
çizilen dik düzlemdir.
|OA| = |OB| = O
E ve
M
E ⊥ AB →
(∀m ∈ E, ∀N ∈ E için
A
dir.
B
O
|MA|=|MB|, |NA|=|NB|
N
E
www.matematikclub.com
E
Şekilde ABCD kare,
AE ⊥ ABCD düzlemi
|DC| = 6 2 br,
|AE| = 5 br ise
|EC| = x kaç birimdir?
A) 12
2 13
B)
•
D
x
B
Q
E
6¦2
C
H
C) 13
D) 4
P
A
5
••
A
E)
AH ⊥ E çizilirse, AH den geçen her düzlem E düzlemine
diktir.
Çözüm :
AE ⊥ ABCD düzlemi
AD ⊥ DC (karenin kenarları)
EA ⊥ AC (diklik tanımı)
O halde AC karenin köşegeni
|AC| = a 2 = 6 2 . 2 = 12 dir.
Tanım :
Bir noktadan bir düzleme dikme çizildiğinde, dikme ayağına bu noktanın izdüşümü, düzleme de izdüşüm düzlemi denir .
|EC|2 = |EA|2 + |AC|2 = 52 + 122 = 169
|EC| = 13 bulunur.
YANIT "C"
ĐKĐ DÜZLEMLĐ AÇILAR :
Kenar doğruları aynı, düzlemsel olmayan
iki yarı düzlemin birleşimine iki düzlemli
açı, R ve Q düzlemlerine de iki düzlemli
açının yüzleri denir.
BAC
^
≅ P;Q
^ (iki düzlemli aç›s›)
Bu tanıma göre, izdüşüm düzlemine dik olan doğrunun
izdüşümü bir noktadır.
d
d⊥E
Q
P
Đki düzlemli açının arakesiti üzerinde alınan bir A noktasından, her yüz içerisinde
arakesit doğrusuna dik [AB, [AC ışınlarının belirttiği açıya iki düzlemli açının ölçek açısı denir.
Bir şeklin her noktasının izdüşümlerinin oluşturduğu şekle, o şeklin izdüşümü denir.
Đzdüşüm düzlemine dik olmayan her doğrunun izdüşümü
yine bir doğrudur.
D
A
••
C
P
D
E
D
nin E düzlemindeki izdüşümü A noktasıdır.
A•
d
B
Q
d doğrusunun E düzlemindeki
izdüşümü d' doğrudur.
d1
şeklinde belirlenir.
E
α
•
DÜZLEMLERĐN DĐKLĐĞĐ
Tanım : Ölçek açıları dik açı
olan düzlemlere dik düzlemler
denir.
Đki düzlemin dik olması için gerek ve yeter koşul, birinin içindeki bir doğrunun diğer düzleme dik olmasıdır.
Not : Bir doğrunun bir düzlemle yaptığı açı, doğrunun bu düzlem üzerindeki kendi izdüşümü ile yaptığı dar açıdır.
Q
y
P
••
2.
•
A
x
m (XAY
^ ) = 90°
DĐKKAT : Bir düzleme, dışındaki bir noktadan çizilen dik
düzlem birden çoktur.
Aşağıdaki şekli inceleyiniz.
Şekilde d doğrusu E düzlemi ile α açısı yapmaktadır.
KATI CĐSĐMLER ALAN VE HACĐMLERĐ
Katı cisimlerin tanımlarını v ebunların alan ve hacim formüllerini aşağıda vereceğiz. Problem çözebilmek için formülleri hatırda tutmak gerekir.
www.matematikclub.com
Boyutları a, b, c ise,
b
c
a
2 = 3 = 4 = P ise
a = 2P, b = 3P ve c = 4P dır.
Cisim köşegeni k = a2 + b2 + c2
PRĐZMA :
E // F düzlemlerinden E
düzleminde alınan bir çokgensel bölgenin her noktasından verilen bir D doğrultusuna çizilen paralel
[PP'] doğru parçalarının
birleşiminden oluşan katı
cime prizma denir.
A
B
P
E
K = 4P2 + 9P2 + 16P2 = P 29 dur.
K = 5 29 verildiği için P = 5 tir.
a = 10, b = 15, c = 20 olduğu için,
V = 10x| 5x 20 = 3000 br3 bulunur.
şan çokgensel bölgelerin her birini taban, köşelerden geçen [AA'] , [BB']YANIT
gibi doğru
"C" parçalarına y
A'
F
D
C
P'
E de verilen ve F de olu
C'
Prizmalar tabanlarına göre, adlandırılır. Yukarıda oluşan
prizma bir üçgen prizmadır.
Yan ayrıtlar, taban düzlemine dikse, prizmaya dik prizma,
dik değilse, eğik prizma denir.
4.
Taban düzlemine paralel düzlemlerle prizmanın kesitlerine enine kesit, yan ayrıtlara dik düzlemlerle kesitine
dik kesit denir.
Şekilde bir O noktasında kesişen ikişer ikişer birbirlerine dik olan üç doğru verilmiştir.
O
2¦5
3
E
DĐKDÖRTGENLER PRĐZMASI :
Bütün yüzleri dikdörtgen olan
prizmaya dikdörtgenler prizması
denir. Karşılıklı yüzleri eştir. Yan
ayrıt uzunlukları a, b, c ise
A
D'
A'
B'
D
Bunların bir E düzlemi ile arakesitleri,
A, B,C dir.
|AO| = 3,
|BO| = 4,
|OC| = 2 5 ise ABC
∆
nin çevresi kaç birimdir?
C
Cisim Köşegeni
β
b
α
a2 + b=2 + c2
A
Bir cisim köşegeninin a, b, c kenarları ile yaptığı açılar sıra ile α, β, γ ise,
a
cos α =
,
a2 + b2 + c2
cos γ =
c
γ
Hacim = V = abc
cos β =
b
a2 + b2 + c2
c
a2 + b2 + c2
a
B
b2 + c2
a2 + b2 + c2
sin β =
a2 + c2
a2 + b2 + c2
sin γ =
a2 + b2
a2 + b2 + c2
D) 16
32 + 42 = 5
BOC
∆
dik üçgeninde |BC| = 16 + 20 = 6
AOC
∆ dik üçgeninde |AC| = 9 + 20 = 29
ABC
∆
nin çevresi 5 + 6 + 29 = 11 + 29
bulunur.
YANIT "A"
,
ve
ÖRNEK :
Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları 2,3, 4 ile orantılı ve cisim köşegeni K = 5 29 dir.
Bu dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç birim küptür?
A) 1500
B) 2000
C) 3000
Çözüm :
B) 11 + 30
C) 11 + 31
Çözüm :
AOB
∆
dik üçgeninde |AB| =
,
sin2 α = sin2 β = sin2 γ = 2 dir.
D) 3500
A) 11 + 29
E) 18
cos2 α + cos2β + cos2γ = 1 dir.
sin α =
C
C'
B
Alan = A = 2 (ab + ac + bc)
K=
4
E) 4000
5.
A
Bir E düzlemine göre aynı
B
yarı uzayda bulunan A ve B
6
noktaları veriliyor.
2
AA' ⊥ E,
•
•
A'
B'
BB' ⊥ E,
P
|AA'| = 6,
E
|BB'| = 2,
|A'B'| = 6 ise,
P E de |PA| + |PB| nin en küçük değeri kaçtır?
A) 7
Çözüm :
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
www.matematikclub.com
A
ÖRNEK :
B
6
2
A'
P
2
B'
2
E
D
6
C
|BB'| dikmesini kendisi kadar öbür yarı uzayda uzatırız.
AA' ve BB' aynı düzleme dik oldukları için paralel ve
dolayısıyla düzlemseldir.
|AA'| de |B'B| kadar uzatılarak D noktası bulunur. E
düzlemi [BC] nin orta dik düzlemidir. ∀p E için |PB|
= |PC| dir.
|PA| + |PB| = |PA| + |PC| , bunun en küçük olması
hali, |AC| ye eşit olması halidir. [AC] nin E düzlemini
kestiği nokta aranılan P noktası ve en küçük toplam da
|AC| dir.
ADC dik üçgeninde |AD| = 8,
|DC| = 6 olduğu için, |AC| = 62 + 82 = 10 birim bulunur.
YANIT "D"
6.
Bir doğrunun izdüşüm düzlemi ile yaptığı açı 60° dir.
Bu doğru üzerinde 10 cm uzunluğunda alınan bir
doğru parçasının izdüşümünün uzunluğu kaç cm
dir?
A) 5
B) 5,5
C) 5 3
D) 6
E) 6,5
Bir dikdörtgenler prizmasının yüksekliği değiştirilmeden
1
tabanın kısa kenarı 4 ü kadar kısaltılsa, uzun kenarı
1
5 i kadar uzatılsa, hacmi ilk prizmaya göre ne kadar
değişir?
1
1
A) 20 artar
B) 9 artar
1
1
D) 10 azalır
C) 20 azalır
E) Değişmez
Çözüm :
Đlk prizmanın boyutları a, b, c ise,
Hacim : V1 = a. b . c dir.
Değişimde hacim
1
1
V2 = (a + 4 a ) (b – 5 a) . c
5a
4b
= 4 . 5 . c = abc
bulunur. V1 = V2 o halde hacim değişmez.
YANIT "E"
KÜP :
D'
Bütün yüzleri kare olan dikdörtgenler prizmasına küp
denir.
Alan = A = 6a2
a
A'
E izdüşüm düzlemin-de,
|AB| = 10 ise,
m ADA'
^ = 60° ise
|A'B'| = x izdüşümünü
bulmak için
AK ⊥ BB' alırsak AB'B' K
E
dik dörtgeninden
|A'B'| = AK dır.
AKB dik üçgeninde m (^
B )
= 30° olduğu için,
|AB|
10
|AK| = 2
= 2 = 5 bulunur.
Đzdüşüm |A'B'| = 5 cm bulunur.
B
A
K
cos α =
O
2
60° x
A' B'
1
, sin α =
3
2
3
=
C
a
α
Cisim köşegeni = K = a 3
Bir cisim köşegeninin kenarlarla yaptığı açılar eştir. Bu
açı α ise,
B'
a
K
D
Hacim = V = a3
Çözüm :
C'
α
a
α
A
a
B
2
3
dür.
ÖRNEK :
Alanı sayıca hacmine eşit olan bir küpün cisim köşegeninin uzunluğu kaç birimdir?
E) 8 2
A) 6
B) 7
C) 8 D) 6 2
YANIT "A"
Çözüm :
A = V → 6a2 = a3 den a = 6 bulunur.
Cisim köşegeni k = a 2 = 6 2 olarak bulunur.
YANIT "D"
www.matematikclub.com
noktası, çokgensel bölgeye taban, tepeden tabana indirilen dikmeye yükseklik denir.
Yükseklik ayağı tabanın ağırlık merkezine gelen piramitler dik piramittir.
Tabanı düzgün şekil olan dik piramitlere de düzgün piramit denir.
Bir piramitin hacmi aynı taban ve yükseklikli prizmanın
1
hacminin 3 üne eşittir.
1
V = 3 T. k
Alanı ; her yüz alanı ayrı ayrı hesaplanır. Bunların toplamı tüm alanı verir.
Düzgün piramitlerde yan yüzlerin alanı, taban çevresi ile
bir yan yüksekliğinin çarpımına eşittir.
D
Bir piramitin tabana paralel düzlemlerle kesitleri (enine kesitleri) birbirh'
A'
C'
lerine benzer oldukları piramitin
T'
yüksekliği h, enine kesit ise enine
kesitte oluşan şeklin taban düzlemih B'
A
C
h'
T
ne benzerlik oranı
h dır. Enine
kesit alanının taban alanına oranı
B
benzerlik oranının karesine eşit olacağından
T'
h' 2
T = ( h ) dir.
HERHANGĐ BĐR PRĐZMA :
A'
A'
B'
C'
B'
•
•
B'
l h
l=h
T'
••
A
A
C
T
α
T
•
C
B
B
Y = dik kesit çev. x l
A = Y + 2T
V = T. h
= T'. l
= T. l . sin α
Y = taban çev x h
A = Y + 2T
V = T. h
(Y = yan yüzlerin alanı,
T = taban alanı,
l = yan ayrıt
T' = dik kesit alanı,
yan ayrıtın taban düzlemi ile yaptığı açı α,
T' = T. sin α dır. )
ÖRNEK :
Tabanı bir kenarı 16 cm ve yüksekliği 6 cm olan dik
kare piramitin alanın hacmine oranı nedir?
A) 576
B) 898
C) 988
D) 796
E) 916
ÖRNEK :
Tabanın bir kenarı 4 cm olan eşkenar üçgen eğik prizmanın yan ayrıtı 10 cm ve taban düzlemi ile yaptığı açı
60° ise, hacmi kaç cm3 dür?
A) 40
B) 50
D
E) 120
60 3
Çözüm :
a2 3
T= 4
3
sin 60 = 2
=
C) 60
162 3
= 4 3 dür.
4
dir. O halde hacim
3
V = T. l . sin α = 4 3 . 10 . 2
= 60 cm3
bulunur.
YANIT "C"
PĐRAMĐTLER :
E düzleminin içinde bir çokgensel bölge, dışında bir P
noktası alınsa, çokgensel
bölgenin her M noktası için
[PM] doğru parçalarının birleşiminden oluşan katı cisim
piramittir. P noktasına tepe
Çözüm :
P, ABCD kare piramitin tabanın bir kenarı 16 cm,
yükseklik h = 6 cm ise,
1
Hacim = V = 3 a2. h
1
= 3 162. 6 = 512 cm3
Yan yükseklik PHK dik üç- A
geninden h' yüksekliği
h'
= 62 + 82 = 10
16 x 4 . 10
Yan yüzler alanı : Y =
2
C
B
h'
C
H
K
16
B
= 320
YANIT "A"
E
A'
6
Taban alanı : T = 162 = 256
Alan = A = Y + T = 320 + 256 = 576 cm2
bulunur.
P
A
P
DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ :
www.matematikclub.com
A
Bütün yüzleri eşkenar üçgen olan
üçgen piramitlere düzgün dörtyüzlü
denir.
a3 2
Hacmi : V = 12 ;
Alanı : A = a2
a
a
h
D
B
3
E
a 6
Yüksekliği : h = 2
Alanı 50 3 olan bir düzgün sekizyüzlünün hacmi
kaç br3 tür?
G
dır.
a
ÖRNEK :
Bir düzgün dört yüzlünün tüm alanı 256 3 birim karedir. Bu dört yüzlünün yanal yüksekliği kaç birimdir?
D) 9 3
E) 10 3
D)
125 3
25 2
E) 3
3
B) 25 3
C) 36 3
A = 2a2 3 → 2a2 3 = 50 3 ; a = 5
bulunur.
125 3
a3 2
→V=
bulunur.
V= 3
3
a 3
Yanal yükseklik : h' = 2
B) 7 3
16 3
3
Çözüm :
C
A) 6 3
A)
YANIT "D"
KESĐK PĐRAMĐT :
Bir piramiti tabana parelel bir düzlemle kesip üst kısmı
çıkarırsak geriye kalan piramit parçasına kesik piramit
denir.
C) 8 3
P
Çözüm :
Alan a2 3 = 256 3
16 3
h' = 2
= 8 3
V1
♠ a = 16 bulunur.
V 2 A' h'
B'
h
YANIT "C"
A'
h
V
A
DÜZGÜN SEKĐZ YÜZLÜ :
C
T
C
A
C'
T'
B'
C'
B
Kesik piramit
B
Kesik piramitin hacmi V, üst kısmın hacmi V1, yüksekliği
Aynı tabanlı yan yüzleri eşkenar
üçgen olan iki kare piramitin taban
tabana getirilmesinden oluşan
cisme düzgün sekizyüzlü denir.
Yandaki cisim bir düzgün sekiz
yüzlüdür.
Burada karşılıklı köşelerden oluşan ABCD, DPBQ, APCQ dörtgenleri birer karedir.
Hacmi : V =
h1, Tüm piramitin hacmi V2, yüksekliği h2, kesik piramitin
P
yüksekliği h ise,
h
C
D
A
B
a
a
c)
V1
V2
=
3
=
 |B' C' | 
 |BC| 
3
Kesik piramitin hacmi
h
V = 3 (T + TT' + T')
V1
h13
= h23 – h13
V
3
Bir kare piramitin yüksekliği : h =
a 2
2
dir.
14. (P, ABC)
ÖRNEK :
Hacmi 18 2 cm3 olan bir düzgün dörtyüzlünün alanı kaç cm2 dir?
A) 16 3
B) 25 3
C) 32 3
D) 36 3
Çözüm :
a3 2
V = 12
b)
Q
a3 2
3
Alanı : A = 2a2
a)
 h1 
 h2 
E) 49 3
olduğu için
a3 2
12 = 18 2
piramitinin yüksekliğinin ortasından geçen ve
tabana paralel bir düzlemle
kesiti alınıyor. Üstleri piramitin
hacmi
V1,
alttaki
kesik
V1
piramitin hacmi V2 ise,
V2
oranı nedir?
1
1
1
A) 2
B) 4
C) 7
a3 = 18. 12 = 216 → a = 6 cm bulunur.
Alan : A = a2
3
→A = 36 3 tür.
YANIT "D"
ÖRNEK :
Çözüm :
V1
1
= ( 2 )3 olduğundan
V1 + V
P
V1
A'
C'
K
B'
A
V
C
P'
B
1
1
D) 8 E) 9
www.matematikclub.com
16. Bir dikdörtgenin kısa kenarı 2 cm uzun kenarı 6 cm dir.
V1
1
V1 + V = 8 → 8V1 = V1 + V
1
V1
V = 7 bulunur.
YANIT "C"
15. Yandaki kesik piramitin taban a-
9
lanları 9 ve 25 yüksekliği 3 birimdir.
Hacmi ne kadar birim küptür?
A) 42
B) 45
C) 46
D) 49
3
25
Bu dikdörtgenin uzayda, uzun kenarı etrafında 360°
dönmesinden oluşan cisim hacmi kaç birim küptür?
A) 18π
B) 20π C) 22π
D) 24π E) 25π
Çözüm :
Uzayda oluşan cisim taban yarıçapı r = 2
cm ve yüksekliği h = 6 cm olan bir silindir olur.
V = π r2 h = π. 22 . 6 = 24π cm3 bulunur.
2
6
E) 64
YANIT "D"
17. Taban yarıçapı r = 4 cm ve yük-
O
sekliği 8 cm olan bir silindirin [AB]
ana doğrusunun A ucundan başlayan ve silindiri bir kez dolanarak B
ucuna varan ipin en kısa uzunluğu
kaç cm dir?
Çözüm :
Kesik piramitin hacmi
1
V = 3 h (T + TT + T') olduğu için,
1
V = 3 3 (9 + 9. 25 + 25)
V = 1. (9 + 15 + 25) = 49 br3 dür.
YANIT "D"
SĐLĐNDĐR :
4
B
8
O'
A) 8 π2 + 1
B) 8 π + 1
C) 12 π2 + 1
D) 12 π + 1
4
A
E) 8π
Tabanı daire olan prizmalara silindir denir.
O'
A
a
h
α
O
B
•
A'
O'
A
h
a
O
B
Dik silindir
(Dönel silindir.)
E¤ik silindir
Çözüm :
Silindiri [AB] ana doğrusu
boyunca açarak, A, B noktaları arasında en kısa uzaklık [AB] köşegenidir.
O halde
A
Dik silindir : OABO' dikdörtgeninin [OO'] kenarı etrafından 360° dönmesi ile oluşan bir cisimdir |OO'|= h
yükseklik, [AB] = a silindirin ana doğrusudur.
(a' = h) ; taban yarıçapı r ise,
Hacmi : V = πr2h ,
Yanal alan : Y = 2πrh
r
B
y= 2šrh
|AB| = (18π)2 + 82
8
•
A
4
= 8 π2 + 1 cm bulunur.
YANIT "A"
B
h
Tabanı daire olan piramite koni denir. Eğer yükseklik ayağı tabanın merkezine geliyorsa buna dik koni (dönel
koni ) denir.
P
Koninin tepesi P
Yükseklik (PO) = h,
Taban yarıçapı : r dir.
1
Koni hacmi : V = 3 π r2 h
Yanyüz alanı : Y = π r a
B
2+1
KONĐ :
Tüm alan : A = 2πrh + 2πr2
= 2πr (h + r) dir.
Bir silindiri ana doğrusu boyunca keserek aşağıdaki şekil
elde edilir.
r
8¦š
B
2š.4=8š
(Eğik silindir konumuzun dışındadır.)
A
4
A
2šr
A
A
Tüm alan : A = π r a + π
h
A
r2
= π r(a + r)
r
O
a
B
www.matematikclub.com
Bir koni [PA] ana doğrusu boyunca kesilerek açılırsa,
yan yüz bir daire dilimi (kesmesi) ve tabanı bir daire olur.
P
P
α
a
a
r
B
A
A
A
B
r
Bu daire diliminin kesme açısı α ya koninin tepe açısı
denir.
α
r
= orantısı ile bulunur.
360 a
18. Taban yarıçapı 4 cm ve anadoğrusu 10 cm olan bir
koni bir ana doğrusu boyunca açılsa kesme açısı
kaç derece olur?
A) 72
B) 108
C) 144
D) 176
YANIT "C"
A) 27π
21
P
ha
B
k
P
yükseklikleri P ve k
dır. Đstenen hacim bu
iki koninin toplamıdır.
C
A'
a. ha
2A
2 fi ha = a
1
1
V = 3 ha2 p + 3 π ha2 te
1
= 3 π ha2 (p + k)
2A
p + k = a ve ha = a yerine konularak
A2
4
bulunur.
V= 3 π a
10
KESĐK KONĐ :
A
B
Bir koniyi tabana paralel bir düzlemle kesersek elde edilen kısıma kesik koni denir.
Üst taban yarıçapı r'
r'
B
Alt taban yarıçapı r,
E) 3π 91
Çözüm :
a
r
= a dan
360
108
r
360 = 10 ♠ r = 3 cm bulunur.
POA dik üçgeninden
h = 102 – 32
= 91
1
1
Hacim : V = 3 π . r2. h = 3 π
32 . 91 den
A
YANIT "A"
108°
B)
2π
C) 27π + 91
D) 27π 71
Çözüm :
ABC üçgeni uzayda a
kenarı etrafında 360°
dönmesinden,
taban
tabana yapışık iki koni
oluşur. Bu konilerin taban yarıçapları ha ve
Üçgenin alan› : A =
α = 144° bulunur.
108° lik bir daire kesmesi B
ile A çakışacak şekilde yuvarlanarak bir koni oluşturuluyor. Bu koninin hacmi
kaç birim küptür?
A ise, bu üçgenin uzayda a kenarı etrafında 360°
dönmesinden oluşan cismin hacmi kaç birim küptür?
4
A2
4
4
A) 3 π a
B) 3 π a
C) 3 π A3
4
4
a2
D) 3 π a3
E) 3 π A
E) 180
Çözüm :
a
r
a
4
= a ♠ 360 = 10
360
19. Yanda, yarıçapı 10 cm olan
20. Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c ve alanı
Yükseklik h,
a
h
AB] ana doğrusu a ile gösterirsek
r
P
1
Hacim = V = 3 π h (r2 + r. r' + r'
)
10
h
A
2
Yanal Alan : Y = π (r + r') . a
r
O
A
V = 3 π 91 cm3 bulunur.
YANIT "E"
Tüm Alan : A = π (r + r' ) a + π r2 + π r' 2
dir.
NOT : Bir koni tabana paralel bir
düzlemle kesildiğinde oluşan
kısmın hacmi V1, ilk koninin
hacmi Vz ise
D
h' V 1
V2
A'
r'
B'
h
 r' 
V1
 r
V2 =
3
=
 h' 
h
3
A
dür.
r
O
B
www.matematikclub.com
P
21. Bir koni tabana paralel düzlem-
KÜRE :
V1
lerle, yüksekliği üç eş parçaya
ayrılacak şekilde kesiliyor ve
oluşan parçaların hacimleri sıra ile V1, V2, V3 ise
V2
K
V3
V2
V3 oranı neye eşittir?
B
2
A) 3
8
B) 27
Bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan
noktaların uzayda oluşturduğu yüzeye küre yüzeyi cisme ise küre
denir.
L
7
C) 27
r
H
1
D) 18
A
7
E) 19
R
Bir kürenin herhangi bir düzlemle
kesiti bir dairedir.
Bu kesit dairenin merkezi küre mer
r=
kezinden küre düzlemine indi
R2 – d2
dir.
Çözüm :
Hacimlerin oranı yüksekliklerin
oranının küpüne eşittir.
V1
h1 3 1
V1 + V2 = ( 2h1 ) = 8
8V1 = V1 + V2
Şekilde O küresi P düzlemi
ile kesilmiştir.
4
Küre hacmi V = 3 π R3
P
V1
h
r
O'
d
P
R
O
Küre alanı A = 4π R2 dir.
h1
V2
V2 = 7V1 dir.
V3
h2
Diğer yandan
V1
h1 3
1
V1 + V2 + V3 = ( 3h1 ) = 27
27 V1 = V1 + V2 + V3 ♠27V1 + V1 + 7V1 + V3
23. Yarıçapı 3 cm olan bir küre hacmi kaç cm3 tür?
A) 8π
B) 25π
C) 34π
D) 36π E) 72π
V3 = 19V1
ς2
V2
7V1
V3 = 19V2 ♠ ς3
7
= 19
bulunur.
YANIT "E"
22. Tabanları 12 ve 6
birim,
yüksekliği h = 4 birim olan
ikizkenar yamuk tabanların
orta noktalarından geçen xx'
doğrusu
etrafında
180°
döndürülüyor.
Oluşan cismin hacmi kaç
birim küptür?
A) 84π
B) 92π
D
E) 112π
110π
D
x'
Çözüm :
4
V = 3 π R3 olduğundan
4
V = 3 π . 33 buradan
V = 36π bulunur.
YANIT "D"
x
C
h
A
Çözüm :
Bu ikizkenar yamuğun XX' etrafında dönmesinden bir kesik koni
oluşur.
Hacim
1
V = 3 π 4 (62 + 3. 6 + 32 )
= 84π birim küp bulunur.
K
B
y
24. Hacmi sayıca alanına eşit bir kürenin yarıçapı kaç
birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4 E) 6
C) 100π
Çözüm :
4
V = 3 π R3 ; A = 4π R2 eşitlenirse,
4
3
2
3 H R = 4π R ♠ R = 3 birim bulunur.
x
O'
3
YANIT "C"
r'
h=4
6
r
x'
YANIT "A"
25. Yarıçapı 5 cm olan bir küre merkezden 3 cm uzaklıkta
bir düzlem ile kesiliyor. Tepesi küre üzerinde ve tabanı bu kesit alan konilerden hacmi en büyük olanın hacmi kaç birim küptür?
128π
46π
A)
B) 3
C) 36π
3
D) 28π
E) 42π
www.matematikclub.com
Çözüm :
Elde edilen koninin taban yarıçapı
r = 52 – 32 = 4 br
Yüksekliği (en büyük)
h = 5 + 3 = 8 birim
1
V = 3 π h . r2 =
1
128
V = 3 π . 8 . 42 = 3 π bulunur.
4.
R3 de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
A) Parelel iki doğrudan birine paralel olan doğru diğerine de paraleldir.
B) Birbirine paralel üç doğru aynı düzlemde olmayabilir.
C) Kesişen iki doğrudan geçen yalnız bir düzlem vardır.
D) Paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini
de keser.
E) Đki noktadan geçen ve bir düzleme dik olan bir düzlem vardır.
5.
Şekilde
AB ⊥ E,
CD ℘ E ve
m (BCD
^ ) = 90° dir.
Buna göre aşağıdaki açılardan hangisi kesinlikle
dik açıdır?
P
O
5
3
O'
4
YANIT "A"
1.
2.
P ve E iki düzlem olduğuna göre, aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A) P // E olabilir.
B) P ⊥ E olabilir.
C) P ∩E bir doğru olabilir.
D) P ∩E yalnız bir nokta
E) P ∩E = ∅ olabilir.
6.
Aşağıdaki beş önermeden hangileri doğrudur?
I. Aynı doğruya parelel iki doğru pareleldir.
II. Parelel iki düzlemden birini kesen bir düzlem diğerini keser.
III. Paralel iki doğrudan birini kesen bir doğru diğerini
de keser.
IV. Kesişen iki doğruya da paralel bir düzlem çizilebilir.
V. Aykırı iki doğruya parelel bir doğru çizilebilir.
A) I, II
B) I, II, IV
C) I, III, V
D) II, V
E) Hepsi
A) ADC
^
B) ACB
^
D) ACD
^
E) ADB
^
R3 de aşağıdaki önermelerden kaç tanesi doğrudur?
I. Farklı iki düzlemin ortak bir noktası varsa bu noktadan geçen ortak bir doğruda vardır.
II. Bir doğru ve dışındaki bir noktadan yalnız bir düzlem geçer.
III. Bir düzlem aykırı iki doğruyu içine alabilir.
IV. Bir doğruya dışındaki bir noktadan bir tek paralel
doğru çizilebilir.
V. Bir doğru bir düzleme paralelse, düzlemdeki her
doğruya da paralel olur.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8.
C) CBD
^
C) 9
B
A
•
D
3 3
D) 12 E) 2
7 doğru içinde bulunduğu düzlemi ençok kaç tane
farklı bölgeye ayırmıştır?
A) 29
3.
B) 8
D
E
[BC] kenarı E düzleminde
bulunan ABC eşkenar üçgeninin bir kenarı 6 cm dir.
Bu eşkenar üçgenin E düzE C
lemi içindeki izdüşümü, D
açısı dik olan DCB üçgenidir.
Buna göre Alan (DCB) kaç cm2 dir?
A) 6
7.
B
C
•
KONU TESTĐ – 1
UZAY GEOMETRĐ
A
B) 28
C) 27
D) 26
E) 25
P ve Q kenarı iki düzlemin ölçek açıları 60° dir.
A ┴ P alınıyor. A nın Q ya uzaklığı 8 cm ise, A nın
düzlemlerin arakesitine uzaklığı kaç cm dir?
16 3
3
A) 16 3
B)
D) 8 3
8
E) 3
16
C) 3
www.matematikclub.com
9.
R3 de aşağıdaki önermelerden hangisi yanlıştır?
KONU TESTĐ – 2
UZAY GEOMETRĐ
A) Paralel iki düzlemden eşit uzaklıkta bulunan noktalar bir düzlem üzerindedir.
B) Đki noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar bir
doğru üzerinde bulunur.
1.
C) Doğrusal olmayan üç noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar bir doğru üzerinde bulunurlar.
Bir küpün cisim köşegen uzunluğu 3 3 ise bu
küpün alanının hacmine oranı hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4 E) 6
D) Đki noktadan eşit uzaklıkta bulunan bir düzlem, bu
iki noktanın orta noktasından geçen bir düzlem olabilir.
E) Düzlemsel olmayan 4 noktadan eşit uzaklıkta bulunan tek nokta vardır.
10.
2.
Bir dikdörtgenler prizmasının boyutları a, b, c sıra ile
3: 4 : 5 ile orantılıdır.
Cisim köşegeninin uzunluğu 10 2 olduğuna göre,
bu dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç birim küptür?
R3 de d1, d2 , d3 doğruları veriliyor. Aşağıdakilerden
hangisi kesinlikle doğru olamaz?
A) d1 // d2,
d2 // d3,
d1 // d3
A) 480
B) 520
D) 720
E) 960
C) 640
B) d1 ⊥ d2, d2 ⊥ d3, d1 ⊥ d3
C) d1 // d2, d1 ⊥ C,
d2 ⊥ C
D) d1 // d2, d2 // d3,
d1 ⊥ d3
11.
3.
C) 60° lik bir açıdır.
Bir dikdörtgenler prizmasının yüksekliği değişmeme
1
koşulu ile tabanın uzun kenarı 5 i kadar küçültülüyor,
1
kısa kenarı 4 ü kadar büyütülüyor.
Hacmi ne kadar değişir?
1
1
A) 20 artar
B) 20 azalır
4
1
C) 5 artar
D) 5 azalır
D) 45° lik bir açıdır.
E) Değişmez
E) d1 // d2, d1 ⊥ d3, d2 ∩d3 = ∅
Bir kenarı izdüşüm düzlemine paralel, diğer kenarı
ise izdüşüm düzlemine dik olmayan bir dik açının
izdüşümü nedir?
A) Dar açıdır.
B) Geniş açıdır.
E) Bir dik açıdır.
12.
Aşağıdaki önermelerden hangisi R3 de yanlıştır?
4.
A) Kesişen iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine dik olamaz.
B) Kesişen iki doğrudan birine dik olan doğru diğerine
de dik olabilir.
Bir küpün alanı A cm2, Hacmi V cm3 dür.
A = V ise bu küpün cisim köşegeni kaç birimdir?
A) 6
B) 6 3
D) 3 3
E)
C) 4 3
3
C) Aykırı iki doğrudan birine dik olan düzlem diğerine
dik olamaz.
D) Aykırı iki doğrunun her ikisine de dik olan bir doğru
vardır.
E) Kesişen iki düzlemin her ikisine de dik olan bir
düzlem yoktur.
5.
Bir dikdörtgenler prizmasının kenarlarının 2 katı alınsa cisim köşegeni ilk köşegenin kaç katı olur?
A) 2
B)
2
C) 4
D) 4 2
E) 2 3
www.matematikclub.com
6.
Şekildeki küpün B köşesindeki ayrıtlarının orta
noktaları F, E, K dır. B tepe
EFK
∆ ni
taban
alan
piramitin hacminin küpün
hacmine oranı nedir?
D'
C'
A'
10.
B'
K
D
C
D'
Bir kenar uzunluğu 4 cm
olan tahtadan birküp yontularak en büyük yarıçaplı
bir küre elde ediliyor.
Yontulan kısım hacmi
kaç cm3 tür?
C'
4 cm
A'
H
D
C
E
1
A) 8
1
C) 24
7.
A
1
B) 12
1
D) 36
B
F
1
E) 48
Şekilde yapışık ve yükseklikleri aynı iki dikdörtgenler
prizmasının birinin taban
kenarları diğerinin yarısı
kadardır. Büyük prizma su
ile dolu iken tabana yakın
bir yerden delinerek suyun
küçük prizmaya geçmesi
sağlanıyor. Su dengelenince yüksekliği prizmalar yüksekliğinin kaçta
kaçı olur?
2
4
3
A) 3
B) 5
C) 4
D'
C'
b
A'
4
C
D
A
B
2
D) 5
a
2
11.
F
K
a
b
2
E
3
E) 5
Tabanın bir kenarı 6 ve yüksekliği 4 birim olan kare
dik piramitin tüm alanı kaç br2 dir?
A) 96
9.
B) 108
C) 112
D) 120
E) 192
D)
81
2
B) 27 3
E)
27 3
2
ha
C
B
A'
B) 1000π
C) 1200π
D) 1400π
E) 1500π
Yandaki üçgen piramit yüksekliği 4 eş parçaya ayrılarak uç
noktalarından tabana çizilen
paralel düzlemlerle 4 parçaya
ayrılıyor. Hacimleri sıra ile V1,
V2, V3, V4 olduğuna göre,
V2
ün eşiti hangisidir?
V4
A
V1
V2
V3
V4
B
D
H
D
Tabanın bir kenarının uzunluğu 6 cm olan eşkenar üçgen prizmanın yan ayrıtının uzunluğu 8 cm ve yan ayrıtının taban düzlemi ile yaptığı açı 60° dir.
Bu prizmanın hacmi kaç cm3 tür?
A) 81 3
A
Dik kenarları 15 cm ve
20 cm olan bir dik üçgen, uzayda hipotenüsü
etrafında 360° döndürülüyor.
Elde edilen cismin
hacmi kaç cm3 tür?
A) 600π
12.
8.
B
F'
B'
b
A
A) 64 – 32π
32
B) 3 (6 –π)
32π
C) 3
8π
D) 64 – 3
16π
E) 64 – 3
19
A) 37
7
B) 19
7
C) 37
19
D) 64
17
E) 37
C) 81
13.
Hacmi V olan bir küpün cisim köşegeni ne kadardır?
A)
D)
6
27V2
3 V
3
B)
3
3
E)
3V
V
3
C) 3
3
V
www.matematikclub.com
14.
Bir dik silindirin hacmi sayısal olarak yan yüz alanının 3
katıdır. Bu silindirin taban yarıçapı kaç birimdir?
A) 3
15.
B) 4
C) 6
D) 9
E) 12
Yandaki kesik koninin üst taban
yarıçapı 2, alt taban yarıçapı ve
ana doğrusu 10 birimdir.
Hacmi kaç br3 tür?
2
10
10
16.
A) 124π
C) 248π
B)
184π
D) 256π
E) 320π
A
Taban yarıçapı 6 ve yüksekliği
8 birim olan bir koninin içine
yan yüzlü ve tabana teğet olan
bir küre çizilmiştir. Bu kürenin
hacmi kaç br3 tür?
B
A) 16π
17.
B) 18π
C) 28π
D) 32π
C
O
E) 36π
Yüksekliği h olan bir koni tepeden
h1 kadar uzakta tabana paralel bir
düzlemle kesilerek hacmi iki eşit
h1
parçaya ayrılıyor.
h oranı nedir?
1
A) 4
1
B) 2
1
C) 8
3
4
D) 2
h1
h
E)
3
2