Parametrik Yer Eğrileri

Parametrik Yer Eğrileri
Haldun Gürmen
Özgür Cemal Özerdem
Yakın Doğu Üniversitesi
Elektrik ve Elektronik Mühendisliği Bölümü
Bir daireyi çizmek için:
1- Merkezinin ve bir noktasının veya,
2- Merkezinin ve yarı-çapının veya,
3- Üç noktasının
bilinmesi kafidir. İleride görüleceği üzere
diyagramın ölçeklenmesi bakımından
s=∞
noktasının bilinmesi gerekli
olduğundan yukarıdaki (3) çözüm şekline
uyularak σ = 0, σ = 1, σ = ∞ noktalarını
tayin ederek daireyi çizmek yolu tercih
edilmelidir. Bu şekilde çizilen dairenin
doğruluk derecesini (2)
çözümü
uygulayarak kontrol etmekte fayda vardır.
Basit bir örnek olarak şekil 1 de görülen
devreyi alırsak I akımının parametrik
ifadesi
Alernatif akım devrelerinde parametrik
empedans veya admitanslara sık rastlanır.
Bunun neticesinde devrenin değişik
kollarındaki akımlar değiştiği gibi düğüm
noktaları arasındaki potansiyel farkları da
değişir. Bu potansiyel farkları ve
akımların, parametrenin değişik değerleri
için hesaplanması uzun zaman alır. Yer
eğrileri kullanılmak sartı ile bu hesap
sonuçlarına erişmek için harcanan vakit
çoğu
zaman
bir
kaç
saniyeye
iner.Parametrik devrelerde aranan akım
veya gerilim
en genel halde:
s ( a + jb ) + ( c + jd )
K& =
s ( e + jf ) + ( g + jh )
I
10 Ω
kompleks sayı ifadesi şekline sokulabilir.
Ekte gösterildiği üzere K& fazörünün
ucunun yer eğrisi, merkez koordinatları
xo =
yo =
j 20Ω
bg+cf −ah−de
2( fg−eh)
şekil 1 Örnek devre
ce+df −ag−bh
2( fg−ch)
I = 100
σ (10 + j 20) + j 200
=
σ 10 + j 200
σ (1 + j 2) + j 20
a=10, b=0, c=0, d=200, e=1, f=2, g=0,
h=20
ve yarı çapı
r 2 = x 2o + y 2o +
σ + j 20
ad − bc
fg − eh
olan bir dairedir.
7
xo =
− 200 − 200
= 10
2(−20)
yo =
400
= −10
− 40
R 2 = 200 +
2000
= 100
− 20
suretle daire üzerinde σ nın herhangi bir
değerine ait bir noktayı daire üzerindeki
σ = ∞ noktasına birleştirilip ölçekleme
hattı ile kesiştirilirse kesişme noktası,
ölçekleme hattı üzerinde σ nın o değerine
tekabül eden noktayı verir.
R = 10
Merkez koordinatları ve yarı çap
bilindiğine göre bu daire şekil 2 de
görüldüğü gibi çizilebilir.
Ölçekleme hattı üzerinde σ nın dağılımı
doğrusaldır. Bu nedenle ölçekleme birimi
ölçekleme doğrusu üzerinde σ = 0 a
tekabül eden nokta ile ikinci σ ya tekabül
eden arasındaki mesafe σ ile bölünürse
ölçekleme hattı üzerinde σ nın birim
değerine tekabül eden uzunluk bulunur ve
ölçekleme hattı ölçeklenir. Parametrik
ifadenin σ nın herhangi bir değerine
tekabül eden değerini bulmak için σ = ∞
noktasını ölçekleme hattı üzerindeki σ
noktasına birleştiren hattın daireyi direyi
kestiği nokta aradığınız fazörü verir.
Yer eğrilerini kullanmak sureti ile akla
gelen her soruya derkhal cevap alınabilir
örnek olarak aşağıdaki soruları alabiliriz:
şekil 2 örnek devreden elde edilen yer
eğrisi
1- σ nın verilen bir değeri için parametrik
fazörün modülü ve faz açısı ne kadardır?
2- Faz açısı 30º lan fazörün modülü ne
kadardır?
3-Modülü verilen bir değerde olan fazörün
faz açısı ne kadardır?
4-Modülü
verilen
bir
fazör
mümkünmüdür?
ve akla gelebilecek diğer sorular.
Ancak bu yer eğrisini σ ya göre
ölçeklemek için σ = 0, σ = 1, σ = ∞ veya
σ nın uygun bir değerine tekabül eden
noktaların daire üzerinde işaretlenmesi
gerekir.
Ölçekleme geometride bir doğrunun kendi
üzerinde olmayan bir kutba nazaran
bulunan tersinin bir daire olması hususuna
dayanır. Buna göre, ölçekleme doğrusunun
daireye σ = ∞ noktasında alınan teğete
paralel herhangi uygun bir doğrudur.
Uygundan amaç, yer eğrisinin çizildiği
kağıdın boyutları
ve hedef alınan
σ =∞
presizyondur. Daire üzerindeki
noktası ayni zamanda ölçekleme kutbudur.
Bu kutuptan daire üzerindeki σ = 0
noktasından geçen bir hat çizilir bu hattın
ölçekleme doğrusunun kestiği nokta
σ = 0 a tekabül eden noktadır. Aynı
8
EK:1
s(a + jb) + (c + jd)
&
K=
= x + jy
s(e + jf ) + (g + jh)
s(a+ jb)+(c+ jd) = xs(e+ jf )+x (g+ jh)+ jy s(e+ jf )+ jy (g+ jh)
sa + c = x se + xg + y sf + yh
s (a − xe + yf ) = xg − c − yh
yg − c − xh
s=
a − xe + yf
j ( sb + d ) = sxf + xh + + yse + yg ) j
xh + yg − d
s=
b − xf − ye
( yg − c − xh)(b − xf − ye) = (a − xe + yf )( xh + yg − d )
x2 (eh − gf ) + y2 (eh − gf ) + x(−ch − de + gb + cf ) + y(−ag + df + ce − bh) = cb − ad
x2 + y2 + x
(−ch − de + gb + cf )
(− ag + df + ce − bh) cb − ad
+y
=
(eh − gf )
(eh − gf )
(eh − gf )
x 2 − 2 xx0 + x0 2 + y 2 − 2 yy0 + y0 2 = R 2
x 2 − 2 xx0 + y 2 − 2 yy0 + = R 2 − ( x0 2 + y0 2 )
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 = R 2
x2 + y 2 + x
(−ch − de + gb + cf )
(− ag + df + ce − bh) cb − ad
+y
=
− x0 2 − y0 2
(eh − gf )
(eh − gf )
(eh − gf )
x0 2 + y0 2 +
cb − ad
= R2
eh − gf
9
EK2:
Çemberin yarıçapını hesapayan MATLAB Programı
a=10;
b=0;
c=0;
d=200;
e=1;
f=2;
g=0;
h=20;
y=(c*e+d*f-a*g-b*h)/2*(f*g-e*h);
x=(b*g+c*f-a*h-d*e)/2*(f*g-e*h);
r=sqrt((x.^2)+(y.^2)-(20*x)+(20*y)+200)
ve çemberin koordinatlarını hesaplyan MATLAB Programı
for x=0:.0001:21
for y=0:-.0001:21
if 10==sqrt((x.*x)+(y.*y)+(-20*x)+(20*y)+200)
s=x
r=y
end
end
10