01. 8.sinif 1.ünite

Çarpanlar ve Katlar
2
Afla¤›daki say›lar› asal çarpanlar›na ayr›lm›fl biçimde yaz›n›z.
ÖRNEK :
360 say›s›n› asal çarpanlar›na ayr›lm›fl biçimde yaz›n›z.
360
180
90
45
15
5
1
ÇÖZÜM:
2
2
2
3
3
5
2 · 2 · 2 = 23
360 = 23 · 32 · 5
3·3=
32
5 = 51
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
360 = 22 · 2 · 32 · 5
360 = 8 · 9 · 5
eflitlikleri de do¤ru olmas›na ra¤men bu sorunun cevab› de¤ildir. Çünkü; bir say›n›n asal çarpanlar›na ayr›lm›fl biçimi demek; bu say›y› farkl› asal say›lar›n kuvvetlerinin çarp›m› fleklinde yazmak
demektir.
12
1. 24 = 23 · 3
2. 144 = 24 · 32
3. 72 = 23 · 32
4. 108 = 22 · 33
5. 6 = 22 · 3 · 5
6. 48 = 24 · 3
7. 36 = 22 · 32
8. 120 = 23 · 3 · 5
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
1. Ünite
3
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
1. EBOB (24, 36) = 12
7. EKOK (4, 6) = 12
2. EBOB (72, 120) = 24
8. EKOK (12, 15) = 60
3. EBOB (40, 50) = 10
9. EKOK (24, 36) = 72
4. (48, 120)EBOB = 24
10 . (60, 80)EKOK = 240
5. (84, 126)EBOB = 42
11 . (35, 70)EKOK = 70
6. (15, 16)EBOB = 1
12 . (15, 16)EKOK = 240
Ortaokul 8. S›n›f
15
Çarpanlar ve Katlar
4
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
1.
2.
3.
EBOB (12, 36) = 12
4. (24, 72)EBOB = 24
EKOK (12, 36) = 36
(24, 72)EKOK = 72
EBOB (3, 111) = 3
5. (18, 54)EBOB = 18
EKOK (3, 111) = 111
(18, 54)EKOK = 54
EBOB (50, 200) = 50
6. (16, 80)EBOB = 16
EKOK (50, 200) = 200
(16, 80)EKOK = 80
5
1.
‹ki do¤al say›n›n en büyük ortak bölenleri 12 ve en küçük ortak katlar› 72’dir. Bu say›lardan biri
24 ise di¤eri kaçt›r?
36
2.
‹ki do¤al say›n›n çarp›m› 1250 dir. Bu say›lar›n EBOB’u 25 ise EKOK’u kaçt›r?
50
3.
‹ki do¤al say›n›n EKOK’u 48 ise toplamlar› en çok kaç olur?
96
4.
‹ki farkl› do¤al say›n›n EKOK’u 48 ise toplamlar› en çok kaçt›r?
72
5.
EBOB’lar› 12 olan iki do¤al say›n›n toplam› en az kaç olur?
24
6.
EBOB’lar› 12 olan iki farkl› do¤al say›n›n toplam› en az kaç olur?
36
7.
EKOK’lar› 30 olan iki do¤al say›n›n toplam› en az kaç olur?
11
16
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
1. Ünite
ARALARINDA ASAL SAYILAR
1’den baflka ortak pozitif tam say› böleni olmayan pozitif tam say›lara aralar›nda asal say›lar denir.
ÖRNEK
4’ün bölenleri 1 , 2, 4
9’un bölenleri
1 , 3, 9
4 ve 9’un ortak bölündü¤ü 1’den baflka pozitif tam say› olmad›¤›ndan 4 ve 9 aralar›nda asal say›lard›r.
ÖRNEK
12’nin bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 12
15’in bölenleri 1, 3, 5, 15
12 ve 15’in ortak bölenleri 1 ve 3 olup her ikisi de 1 d›fl›nda 3’e bölündü¤ünden 12 ve 15 aralar›nda
asal de¤ildir.
A ve B aralar›nda asal iki say› olmak üzere,
OBEB (A, B) = 1
OKEK (A- B) = A · B olur.
1. 1, her say› ile aras›nda asald›r.
2. Ard›fl›k iki do¤al say› daima aralar›nda asald›r.
3. Ard›fl›k iki tek do¤al say› daima aralar›nda asald›r.
4. Farkl› iki asal say› daima aralar›nda asald›r.
6
Afla¤›daki say›lardan hangileri aralar›nda asald›r?
15 ve 16
1 ve 10
14 ve 16
20 ve 21
12 ve 1
20 ve 25
25 ve 27
7 ve 13
36 ve 48
9 ve 11
19 ve 31
Ortaokul 8. S›n›f
10 ve 15
25
Çarpanlar ve Katlar
7
1)
Ard›fl›k iki do¤al say›n›n EBOB’lar› ile EKOK’lar›n›n toplam› 73’tür. Bu say›lar›n toplam› kaçt›r?
17
2)
Aralar›nda asal iki do¤al say›n›n EKOK’lar› ile EBOB’lar›n›n fark› 11’dir. Bu say›lar›n toplam› en az
kaç olur?
7
3)
Aralar›nda asal iki do¤al say›n›n EKOK’lar› ile EBOB’lar›n›n toplam› 31’dir. Bu say›lar›n toplam› en
çok kaç olur?
31
4)
A ve B ard›fl›k iki tek do¤al say›d›r. OBEB(A, B) + OKEK (A, B) = 144 ise A + B toplam› kaçt›r?
24
5)
F ve B ard›fl›k iki çift do¤al say›d›r. OKEK (F, B) – OBEB (F, B) = 58 ise F + B toplam› kaçt›r?
! Yol Gösterme: Ard›fl›k iki çift do¤al say›n›n 2n ve 2 · (n + 1) fleklinde gösterilebildi¤ini
OKEK(x, y) · OBEB(x, y) = x · y oldu¤unu hat›rlay›n›z.
22
6)
G ve S üçün kat› olan ard›fl›k do¤al say›lard›r. OKEK (G, S) + OBEB (G, S) = 273 ise G + S toplam›
kaçt›r?
! Yol Gösterme: Üçün kat› olan ard›fl›k iki do¤al say›n›n 3n ve 3 · (n + 1) fleklinde gösteri-
lebildi¤ini hat›rlay›n›z.
57
26
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
1. Ünite
3
KAREKÖKLÜ ‹FADELER
a ve n pozitif say› olmak üzere, a2 = n eflitli¤ini sa¤layan a say››na, n say›s›n›n karekökü veya kökü
denir. n =
a biçiminde gösterilir.
TAM KARE DO⁄AL SAYILAR
Bir kenar uzunlu¤u a br olan karenin alan›n›n a2 oldu¤unu biliyoruz.
ÖRNEK-1: Afla¤›da kenar uzunluklar› (a) verilen kareleri ve alanlar›n› (A) inceleyiniz.
A = 25 br2
A = 4 br2
A = 9 br2
a = 3 br
a = 5 br
a = 2 br
A =1 br2
a = 1 br
ÖRNEK-2: Afla¤›da alanlar› (A) verilen karelerin kenar uzunluklar›n› (a) inceleyiniz.
A = 81 br2
A = 36 br2
A = 49 br2
A = 16 br2
a = 16
a = 4 br
a = 36
a = 6 br
a = 49
a = 7 br
a = 81
a = 9 br
16
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
3
1 =1
3
81 = 9
3
16 = 4
3
900 = 30
3
4 =2
3
9 =3
3
225 = 15
3
361 = 19
3
100 = 10
3
49 = 7
3
400 = 20
3
625 = 25
3
25 = 5
3
196 = 14
3
256 = 16
3
121 = 11
3
36 = 6
3
169 = 13
3
324 = 18
3
1600 = 40
3
9 =3
3
64 = 8
3
289 = 17
3
144 = 12
Ortaokul 8. S›n›f
79
Kareköklü ‹fadeler
17
Afla¤›da verilen denklemlerin köklerini bulunuz.
ÖRNEK:
a2 = 9 denkleminin köklerini bulunuz.
ÇÖZÜM
a2 = 9 denklemini sa¤layan a de¤erleri a =
9 = 3 ve a = – 9 = – 3 olur.
Karekökün daima pozitif oldu¤una dikkat ediniz.
1.
a2 = 1
-1 ve 1
2.
2
x = 25
-5 ve 5
3.
y2 = 4
-2 ve 2
4.
2
n = 100
-10 ve 10
5.
a2 = 16
-4 ve 4
80
6.
b2 = 9
-3 ve 3
7.
m2 = 121
-11 ve 11
8.
x2 = 81
-9 ve 9
9.
c2 = 64
11. a2 = 400
-20 ve 20
12. b2 = 225
-15 ve 15
13. n2 = 196
-14 ve 14
14. x2 = 49
-8 ve 8
-7 ve 7
10. y2 = 169
15. m2 = 36
-13 ve 13
-6 ve 6
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Kareköklü ‹fadeler
GERÇEK (REEL) SAYILAR
a
fleklinde yaz›labilen say›lara rasyonel
b
say›lar denir. Her rasyonel say›, say› do¤rusu üzerinde bir noktaya karfl›l›k gelir.
a bir tam say› ve b s›f›rdan farkl› bir tam say› olmak üzere,
2
9
, – , 0,1, 0, 2 , –1,3,
7
3
gibi say›lar rasyonel say›lard›r.
0, 5, –7,
4 =2,
– 2, 9 ,
25 = 5, 3 16 = 3 · 4 = 12,
4 2
=
9 3
Say› do¤rusu üzerinde, bir rasyonel say›ya karfl›l›k gelmeyen noktalar da vard›r. Bu noktalara kar›fl›l›k
gelen rasyonel olmayan say›lara irrasyonel say›lar denir.
5 , 2 3 , – 7 , –4 10 ,
2
,
3
7
,
5
6
, π gibi say›lar irrasyonel say›lard›r.
11
π = 0,31415926535... say›s› düzenli devretmedi¤i için irrasyonel say›d›r.
Say› do¤rusu üzerindeki noktalara karfl›l›k gelen say›lar›n tamam›na gerçek (reel) say›lar denir.
18
Afla¤›daki say›lardan rasyonel olanlar› iflaretleyiniz.
3 3
–2 7
3
5
3 5, 7
3
8
13
3 11
2
84
12
π
10
2
4
8
24
6
–π
3 3 25
3 – 45
3 – 169
3 –12,4
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
1. Ünite
19
Afla¤›daki devirli ondal›k aç›l›mlara karfl›l›k gelen rasyonel say›lar› bulunuz.
P R AT‹K B‹L G ‹
say›n›n tamam› - devreden d›fl›ndaki say›
virgülden sonra; devreden kadar 9 ve devretmeyen kadar 0
2,312 =
Devirli
Say›
Rasyonel
Aç›l›m›
2312 − 23 2289
=
990
990
0,52 =
52
99
0,5 =
5
9
Bulunan
Say›
Devirli
Say›
Rasyonel
Aç›l›m›
Bulunan
Say›
325 – 3
990
322
990
241
999
241
999
6,75
675 – 67
90
608
90
0,325
5,7
57 - 5
9
52
9
0,241
6,24
624 - 62
90
562
90
4,245
4245 - 42
990
0,324
324 - 3
990
321
990
5,006
5006 - 500
900
4506
900
0,32
32 - 3
90
29
90
0,205
205 - 20
900
185
900
0,62
62
99
62
99
0,23
23 - 2
90
21
90
0,6
6
9
6
9
24,5
245 - 24
9
221
9
4203
990
4,5
45 - 4
9
41
9
12,14
1214 - 12
99
1202
99
5,12
512 - 5
99
507
99
6,024
6024 - 60
990
5964
990
Ortaokul 8. S›n›f
87
Kareköklü ‹fadeler
KAREKÖKLÜ ‹FADELERDE ÇARPMA ‹fiLEM‹
a ve b pozitif gerçel say›lar olmak üzere;
a · b = a · b olur.
a pozitif gerçel say› olmak üzere,
a · a = a·a =
a2 = a
oldu¤una dikkat ediniz.
20
Afla¤›da istenen çarp›mlar› bulunuz.
ÖRNEK:
90
a.
12 · 3 = 12 · 3 = 36 = 6
b.
3 · 5 = 15
c.
7 · 7 = 7· 7 =7
1.
2· 3=
2.
5 · 20 = 10
10.
71 · 71 = 71
3.
4 · 9 =6
11.
11 · 2 =
4.
10 · 20 = 10 2
12.
3 · 27 = 9
5.
6 · 24 = 12
13.
3 · 75 = 15
6.
7· 3 =
21
14.
15 · 60 = 30
7.
10 · 40 = 20
15.
13 · 13 = 13
8.
6· 5 =
30
16.
17 · 2 =
6
9.
8· 8 =8
22
34
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
1. Ünite
TAM KARE OLMAYAN SAYILARIN KAREKÖKLER‹
Tam kare olmayan say›lar›n karekökleri bulunurken say›n›n içinde tam kare çarpan varsa kök d›fl›na
ç›kar, tam kare olmayanlar kök içinde kal›r. Örne¤in;
8 = 23 olup
23 =
8=
22 · 2 = 2 2
2
18 = 2 · 3 olup
3
24 = 2 · 3 olup
24 =
3
2
72 = 2 · 3 olup
72 =
23 · 3 =
18 =
2 · 32 = 3 2
22 · 2 · 3 = 4 6
23 · 32 =
22 · 2 · 32 = 6 2
21
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
ÖRNEK:
216 =
63 =
62 · 6 = 6 6
1.
48 = 4 3
7.
32 = 4 2
2.
12 = 2 3
8.
90 = 3 10
3.
128 = 8 2
9.
60 = 2 15
4.
300 = 10 3
10.
40 = 2 10
5.
50 = 5 2
11.
27 = 3 3
6.
75 = 5 3
12.
192 = 8 3
Ortaokul 8. S›n›f
91
Kareköklü ‹fadeler
22
Afla¤›daki sorular› tek kök kullanarak ifade ediniz.
ÖRNEK:
ÇÖZÜM:
3 5 =?
3 5=
3 2 · 5 = 9 · 5 = 45
32
1.
2 3 =
12
9. 5 3 =
75
2.
4 5 =
80
10. 4 3 =
48
3.
5 2 =
50
11. 7 2 =
4.
6 3 =
108
12. 5 5 =
5.
2 10 =
40
13. 6 10 =
360
6.
3 7 =
63
14. 10 2 =
200
216
15. 11 3 =
363
16. 12 2 =
288
7. 6 6 =
8. 2 5 =
92
20
98
125
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Kareköklü ‹fadeler
24
Afla¤›daki sorular› yan›tlay›n›z.
ÖRNEK:
12 say›s› afla¤›daki say›lardan hangisi ile çarp›ld›¤›nda sonuç bir do¤al say›ya eflit
olmaz?
A.
B. 5 3
3
ÇÖZÜM:
12 = 2 3
ve
C.
D.
12
18
3 · 3 = ( 3 )2 = 3 olup,
2 3 · 3 = 2 · 3 = 6 do¤al say› olur.
2 3 · 5 3 = 10 · 3 = 30 do¤al say› olur.
12 = 2 3 & 2 3 · 2 3 = 4 · 3 = 12 do¤al say› olur.
18 = 3 2 & 2 3 · 3 2 = 6 6 do¤al say› olamaz.
1.
24 say›s› afla¤›daki say›lardan hangisi ile çarp›ld›¤›nda sonuç bir do¤al say›ya eflit olmaz?
A.
2.
24
C. 5 6
D.
48
12
B. 7 3
C. 3 6
D.
75
4
B.
8
C.
6
D.
27
45 say›s› afla¤›daki say›lardan hangisi ile çarp›ld›¤›nda sonuç bir do¤al say›ya eflit olur?
A.
94
B.
32 say›s› afla¤›daki say›lardan hangisi ile çarp›ld›¤›nda sonuç bir do¤al say›ya eflit olur?
A.
4.
6
48 say›s› afla¤›daki say›lardan hangisi ile çarp›ld›¤›nda sonuç bir do¤al say›ya eflit olmaz?
A.
3.
Cevap: d
20
B.
30
C.
40
D.
50
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
1. Ünite
KAREKÖKLÜ ‹FADELERDE BÖLME ‹fiLEM‹
Köklü s›yal›rla bölme ifllemi yapmak asl›nda payday› kökten kurtarmakt›r.
b s›f›rdan farkl› pozitif bir gerçel say› olmak üzere,
a
=
b
a b
a b
=
b
b· b
a
=
b
a· b
=
b· b
a·b
b
25
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
ÖRNEKLER:
6
=
3
6 3
6 3
=
=2 3
3
3· 3
5
=
2
5· 2
=
2· 2
10
2
3 3 3 3 · 5 3 15
=
=
5
5
5· 5
7 7
7
7 7
7
=
=
=
2
2 7 2 7 · 7 2· 7
1.
2
= 2 5
5
5
6.
2.
7
=
3
7.
2 15
2 3
= 25
5 5
8.
5 30
25
=
6
30
9.
12
=
6
3.
21
3
2 10
=2 5
2
4.
11
=
11
5.
6
3
= 2
6
Ortaokul 8. S›n›f
11
10.
5
=
10
2
2
2 6
20
= 4 5
5
97
Kareköklü ‹fadeler
28
1. Afla¤›daki ifllemleri yap›n›z.
a.
7v5 – 3v5 = 4 5
e. v5 + 7v5 + 4v5 = 12 5
b.
6v2 + v2 = 7 2
f. v2 – 3v2 – 5v2 = -7 2
c.
5v3 – v3 = 4 3
g. 3v3 + 4v3 – 2v3 = 5 3
ç.
7va + 3va = 10 a
¤. 5v2 – 7v2 – v2 = -3 2
d.
5vm – 2vm = 3 m
h. 6c11 – c11 – 2c11 = 3 11
2. Afla¤›daki ifllemleri yap›n›z.
100
3 2+ 5 7 − 2 − 7= 2 2 +4 7
5 3+
7 2−
6 5 − 7 3 +
3 −2 2 = 5 2 − 3
5+ 3 =6 3+ 5
5 = 7 5 − 7 3
a.
3 +5 2 +7 3 + 2 =
8 3 +6 3
f.
7−2 3 + 7 =
2 7 -2 3
b.
7−3 3 −4 7− 3 =
- 3 7 -4 3
g.
2 + 3 −2 2 =
3- 2
c.
6 2 − 5 + 2 −7 5 =
7 2 -8 5
¤.
5 −2 5 + 2 =
2- 5
ç.
3 2 − 2 + 3 −7 3 =
2 2 -6 3
h.
3 +2 3 − 7 =
3 3- 7
d.
6 −7 3 +2 6 − 3 =
3 6 -8 3
›.
2 −7 5 + 5 =
2 -6 5
e.
10 + 2 10 − 3 − 4 3 = 3 10 - 5 3
i.
6 +2 6 −3 2 = 3 6 -3 2
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Üçgenler
1
Afla¤›daki kenar uzunluklar› cm cinsinden verilen üçgenlerde x in alabilece¤i tam say› de¤erlerini
bulunuz.
ÖRNEK:
fiekildeki ABC üçgeninde
A
|AB| = 5 cm ve |AC| = 6 cm ise
5
6
B
|BC| = x in alabilece¤i tamsay› de¤erlerini bulunuz.
C
x
ÇÖZÜM: Üçgen eflitsizli¤inden;
|6 – 5| < x < 6 + 5
1 < x < 11
olup, x in alabilece¤i tamsay› de¤erleri 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 olur.
a.
d.
A
g.
D
E
7
3
4
6
B
C
x
S
5,6,7,8,9
E
4
e.
F
R
3
F
2,3,4,5,6
3,4,5,6,7,8,9
b.
x
x
h.
K
H
7
x
10
13
x
11
S
B
C
x
L
4,5,6,7,8,9,10,11,12,
13,14,15,16,17,18,19
,20,21,22
c.
f.
T
M
4
6,7,8,9,10,11,12,13,
14,15,16,17,18
8,9,10,11,12,13,
14
›.
Z
K
2
x
7
8
7
N
N
x
Y
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13
150
Y
12
x
9
D
R
8
R
7,8,9
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,
12,13,14,15,16
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
2
Afla¤›daki kenar uzunluklar› cm cinsinden verilen flekillerde x in alabilece¤i tam say› de¤erlerini bulunuz.
A
ÖRNEK
fiekilde
|AB| = 7 birim
5
7
|BC| = 8 birim
x
D
B
|CD| = 10 birim
|AD| = 5 birim ve
10
8
|BD| = x birim oldu¤una göre,
x in alabilece¤i tam say› de¤erlerini bulunuz.
C
ÇÖZÜM : ABD ve BCD üçgenleri için ayr› ayr› üçgen eflitsizli¤i yaz›l›p, ikisini beraber sa¤layan
tamsay› de¤erleri sorunun çözümü olacakt›r.
ABD üçgenine göre:
BCD üçgenine göre:
7–5<x<7+5
10 – 8 < x < 10 + 8
2 < x < 12
2 < x < 18
x; 3,4,5,6,7,8,9,10,11
x; 3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
x; 3,4,5,6,7,8,9,10,11 bulunur.
A
A
5
3
x
D
B
6
4
4
C
A
x
B
5
5
4
6
C
7
D
x
B
3
4
C
D
3,4,5,6,7
Ortaokul 8. S›n›f
3,4,5,6,7,8,9
3,4,5,6,7
151
Üçgenler
3
Afla¤›daki flekillerde verilenlere göre a + b + c + d nin en küçük tam say› de¤erlerini bulunuz.
ÖRNEK:
c
D
d
C
fiekilde verilenlere göre,
a + b + c + d toplam›n›n alabilece¤i en küçük tam say›
b
8 cm
de¤eri kaç olur?
a
A
B
ÇÖZÜM:
ADB ve BCD üçgenlerinin ortak kenar› olan [BD] do¤ru parças›ndan yararlan›l›r.
ADB üçgeninde a + d > 8 ⎪⎫
⎬
DCB üçgeninde b +c > 8 ⎪⎭
a+d>8
+ b+c>8
a + b + c + d > 16 olur.
16 say›s›ndan büyük olan en küçük tam say› 17 dir.
c
D
d
A
C
11
m
7c
d
b
a
15
152
c
D
C
B
A
a
cm
b
B
23
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
4
Afla¤›daki flekillerde verilenlere göre istenenleri bulunuz.
ÖRNEK:
fiekildeki ABC üçgeninde ,
D
A
7
4
y
|AB| = 4 cm, |AC| = 7 cm ve |BC| = x cm,
6
DEF üçgeninde |DF| = 6 cm,
B
C
x
E
F
10
|EF| = 10 cm ve |DE| = y cm dir.
l.
x ve y tam say› oldu¤una göre, x + y toplam›n›n alabilece¤i en küçük ve en büyük tam say›
de¤erlerini bulunuz.
ll.
x ve y gerçel say› say› oldu¤una göre, x + y toplam›n›n alabilece¤i, en küçük ve en büyük tamsay› de¤erlerini bulunuz.
ÇÖZÜM: ABC üçgeninden; 7 – 4 < x < 7 + 4
3 < x < 11
DEF üçgeninden; 10 – 6 < y < 10 + 6
4 < y < 16
l.
x tam say› oldu¤undan en küçük 4, en büyük 10 ve y tam say› oldu¤undan en küçük 5, en büyük
15 olur. Buradan x + y toplam›n›n alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri 4 + 5 = 9 ve en büyük
tam say› de¤eri 10 + 15 = 25 bulunur.
ll.
x ve y gerçel say› oldu¤undan;
olup x + y toplam›n›n alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri 8 ve en
büyük tam say› de¤eri 26 bulunur.
3 < x < 11
4 < y < 16
+
7 < x + y < 27
1.
A
8
5
B
x ve y tamsay› ise
D
y
C
x
x + y toplam›n›n alabilece¤i en küçük tam
7
say› de¤eri ....................
4
x ve y gerçel say› ise
E
F
6
2.
x + y toplam›n›n alabilece¤i en büyük tam
6
say› de¤eri ....................
b ve f tamsay› ise
D
A
b
5
B
b + f toplam›n›n alabilece¤i en küçük tam
13
say› de¤eri ....................
12
f
C
E
Ortaokul 8. S›n›f
14
10
F
b ve f gerçel say› ise
b + f toplam›n›n alabilece¤i en büyük tam
12
say› de¤eri ....................
153
Üçgenler
5
1.
Afla¤›daki flekillerde verilenler yard›m›yla x + y + z nin alabilece¤i en küçük tam say› de¤erlerini
bulunuz.
ÖRNEK
Yandaki flekilde verilenlere göre x + y + z toplam›n›n alabilece¤i en küçük tam say› de¤eri kaçt›r?
A
y
8 cm
ÇÖZÜM
9 cm
D
x
2u = 8 + 9 + 11
z
2u = 28 ve u = 14 olup
B
C
11 cm
en uzun iki kenar›n toplam› 11 + 9 = 20 dir.
Bu durumda; 14 < x + y + z < 20 olup toplam›n alabilece¤i en küçük tamsay› de¤eri 15’tir.
A
y
7 cm
x
15 B
2.
A
D
9 cm
x
10 cm
z
C
z
D
y
13 cm
12 cm
B
19
C
14 cm
Afla¤›daki flekillerde verilenler yard›m›yla ABC üçgenlerinin çevrelerinin alabilece¤i en büyük tam
say› de¤erlerini bulunuz.
ÖRNEK: Yandaki flekilde verilenlere göre ABC üçgeninin çevresinin alabilece¤i en büyük tam say›
A
de¤eri kaçt›r?
6
c
ÇÖZÜM
D
5
u<5+6+7
B
u < 18
2u < 36 olup
Çevre (ABC) nin alabilece¤i en büyük do¤al say› de¤eri 35 tir.
b
7
C
a
A
A
4
c
6
3
b
D
b
c
8
5
7
D
29
35
154
B
a
C
B
a
C
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Üçgenler
6
1.
Afla¤›daki üçgenlerin kenar uzunluklar›n› büyükten küçü¤e do¤ru s›ralay›n›z.
A
A
b
110°
40°
60°
C
B
a
B
30°
b
c
c
a
. .a. .2
. .b. 2
. . .c
C
. .c. 2
. . .b. 2
. .a
.
A
A
b
c
80°
a
B
b
c
40°
C
.b
. .2
. .a
. .2
. . c.
40°
a
B
C
b2a2c
..........
A
c
b
A
b
C
c
a
60°
55°
a
B
C
B
.c. 2
. . .b. 2
. .a
..
2.
.a
. .2
. .b. .2
. .c.
Afla¤›daki üçgenlerin aç›lar›n›n ölçülerini büyükten küçü¤e do¤ru s›ralay›n›z.
A
A
8 cm
5 cm
B
12 cm
th
t. .h .2. .m
t. h 2 m ^C
m ^.A
. . ^.B
B
C
A
10 cm
8 cm
156
t h 2 m ^C
t h 2 m ^A
th
m ^B
6 cm
C
t h 2 m ^B
t h 2 m ^C
th
m ^A
14 cm
8 cm
B
C
6 cm
t h 2 m ^A
t
t
m ^B
. . . . . . . . . h. 2 m ^ C h
A
B
7 cm
4 cm
15 cm
C
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
7
1.
Afla¤›daki dörtgenlerde verilenlerden yararlanarak en uzun kenarlar›n› bulunuz.
ÖRNEK: Yandaki flekildeki dörtgende verilenlere göre
A
a
80°
en uzun kenar hangisidir?
b
ÇÖZÜM
B
ABD üçgeninde e > a > b (I)
40°
55°
e
60°
D
75°
BCD üçgeninde d > c > e (II)
d
c
(I) ve (II) den d > c > e > a > b olur.
50°
En uzun kenar: d olur.
C
A
A
c
B
30°
80°
60°
D
e
d
2.
B
a
70°
C
d
b
A
70°
80°
45°
d
c
e
B
D
c
50°
e
D
80°
a
a
b
b
40°
75°
b
C
a
C
c
Afla¤›daki örnekleri inceleyiniz. Verilen üçgenlerin en uzun kenarlar›n› bulunuz.
ÖRNEKLER
A
ABD dik üçgeninde |BD| < |AB|, |AD| < |AB|
ADC dik üçgeninde |AD| < |AC|, |CD| < |AC|
ABC dik üçgeninde |AB| < |BC|, |AC| < |BC|
B
olup en uzun kenar [BC] dir.
C
D
A
A
6BC@
6AB@
D
C
C
D
B
B
P
K
N
6KM@
T
6PS@
L
Ortaokul 8. S›n›f
M
R
S
157
2. Ünite
8
Afla¤›daki dik üçgenlerdeki x uzunluklar›n› bulunuz.
4 cm
A
ÖRNEK-2:
B
4
cm
A
cm
3
5 cm
ÖRNEK-1:
x
B
x
C
C
x 2 = 42 + ( 5 ) 2
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
x2 = 16 + 5
x2 = 9 + 16
2
x = 21
x2 = 25
x = 21 cm
a.
7 cm
x = 5 cm
c.
2 cm
A
x2 = 32 + 42
C
D
C
x
ABCD karedir.
x
A
B
5 cm
5 2
3
b.
B
C
d.
D
C
x
x
8 cm
A
A
6 cm
B
Ortaokul 8. S›n›f
B
6 cm
ABCD dikdörtgendir.
10
a. 3
4 cm
2 13
b. 10
c. 5 2
d. 2 13
165
Dik Üçgen ve
Pisagor Ba¤›nt›s›
‹K‹ NOKTA ARASINDAK‹ UZAKLIK
|AB|2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
y
B(x2, y2)
y2
|AB|
y1
A(x1, y1) ve B(x2, y2) noktalar› aras›ndaki uzakl›k;
y2 – y 1
A(x1, y1)
|AB| =
x2 – x 1
x1
x2
P R AT‹K B‹L G ‹LER
(x 2 – x 1)2 + (y 2 – y 1)2
x
‹ki nokta aras›ndaki uzakl›k formülü Pisagor Ba¤›nt›s›ndan geldi¤inden
özel üçgenleri kullanabilece¤inizi unutmay›n›z.
3 2 + (–4)2 = 5
(–2)2 + 4 2 = 2 5
12 2 + 5 2 = 13
(–8)2 + (–6)2 = 10
15
Afla¤›da verilen noktalar aras›ndaki uzakl›klar› bulunuz.
ÖRNEK: A(3, –7) ve B(6, –11) noktalar› aras›ndaki uzakl›k kaç birimdir?
ÇÖZÜM : |AB| =
(3 – 6)2 + (–7 – (–11))2 =
3 2 + 4 2 = 5 birim
2 5
1. A(–1, 5) ve B(3, 7) ⇒ |AB| = ....................................................................................................
29
2. F(4, 1) ve B(2, 6) ⇒ |FB| = ......................................................................................................
2 5
3. G(–10, –12) ve S(–8, –16) ⇒ |GS| = ........................................................................................
13
4. K(1, 2) ve Y(6, –10) ⇒ |KY| = ..................................................................................................
15
5. M(4, –7) ve N(–5, 5) ⇒ |MN| = ................................................................................................
12
6. D(3, 5) ve E(3, –7) ⇒ |DE| = ....................................................................................................
8
7. L(–2, –6) ve M(–10, –6) ⇒ |LM| = ...........................................................................................
17
8. T(15, 7) ve N(7, –8) ⇒ |TN| = ................................................................................................
172
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
16
ÖRNEK:
A(1, a) ve B(–2, 6) noktalar› aras›ndaki uzakl›k 5 birim ise a n›n alabilece¤i de¤erleri bulunuz.
ÇÖZÜM:
|AB| = 5
^1 – (–2)h2 + (a – 6)2 = 5
32 + (a – 6)2 = 52 (3 – 4 – 5 üçgeni)
(a – 6)2 = 42
a – 6 = 4
a = 10
1. A(2, a),
B(5, –2),
veya
veya
a – 6 = –4
a=2
|AB| = 5 br ⇒ a = ?
-6 veya 2
2. F(–1, 7),
B(4, b),
|FB| = 13 br ⇒ b = ?
-5 veya 19
3. G(3, –5),
S(s, 3),
|GS| = 10 br ⇒ s = ?
-3 veya 9
4. K(k, 6),
L(2, –9),
|KL| = 15 br ⇒ k = ?
2
5. Z(4, z),
D(4, 3),
|DZ| = 10 br ⇒ z = ?
-7 veya 13
Ortaokul 8. S›n›f
173
Dönüflüm Geometrisi
4
DÖNÜfiÜM GEOMETR‹S‹
YANSIMA (S‹METR‹)
Öncelikle yans›ma kavram›n› daha iyi anlayabilmek için verilen bir fleklin aynadaki görüntüsünü inceleyelim.
17
ÖRNEK:
G
G
flekildeki gibi “G” harfinin taban›na ayna yerlefltirirsek fleklin aynadaki görüntüsü
bu flekilde olur.
Afla¤›daki sorular› örnekten yararlanarak siz çözünüz.
a.
Elif
“Elif” kelimesinin taban›na flekildeki gibi ayna konuldu¤unda ifadenin aynadaki görüntüsü afla¤›dakilerden hangisidir?
i
El f
c.
i
Elif
b.
El f
d.
El
i
a.
f
b.
fieklin taban›na flekilde gösterildi¤i gibi ayna yerlefltirildi¤inde fleklin aynadaki görüntüsü
afla¤›dakilerden hangisidir?
a.
182
b.
c.
d.
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
18
1.
Yandaki flekilde A(–5, –4), B(3, –4), noktalar› veriliyor. Buna
göre A noktas›n›n x eksenine göre, B noktas›n›n önce y eksenine göre, sonra bu noktan›n x eksenine göre yans›mas›
al›nd›¤›nda hangi noktalar elde edilir?
y
7
6
5
4
3
2
1
x
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
A
–11 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
B
–5
–6
–7
ÖNEML‹ B‹LG‹: Önce x eksenine sonra y eksenine
veya önce y eksenine sonra x eksenine göre simetri
almak; orijine göre simetri almak demektir.
|
A(x, y) noktas›n›n orijine simetri¤i olan nokta A (y, x)
noktas› olur.
A ^ - 5, - 4 h " A l ^ - 5, 4 h
B ^3, -4h " Bl ^-3, 4h
2.
Koordinat düzleminde x in pozitif, y nin negatif oldu¤u bölgeye ADIM yaz›l›p y eksenine göre yans›mas› al›nd›¤›nda afla¤›daki görüntülerden hangisi elde edilir?
a.
b.
3.
c.
d.
y
D
A
C
B
7
6
5
4
3
2
1
fiekilde verilen ABCD dörtgeninin önce x eksenine göre,
sonra da y eksenine göre simetri¤i al›nd›¤›nda elde edilen
dörtgenin koordinatlar› toplam› kaçt›r?
x
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
1. A|(–5, 4), B|(–3, –4) ⇒ B||(–3, 4)
Ortaokul 8. S›n›f
2. c
3. 4
185
2. Ünite
19
ÖRNEK
A(–1, 3) noktas› koordinat düzleminde gösterilmifltir.
Bu A noktas›;
y
A
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
7
6
5
4
3
2
1
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
a. x ekseni boyunca 3 birim sa¤a ötelenirse elde edilen
noktan›n koordinatlar›n› bulunuz.
x
b. y ekseni boyunca 2 birim afla¤› ötelenirse elde edilen
noktan›n koordinatlar›n› bulunuz.
ÇÖZÜM
a. A(–1, 3) noktas›n› x ekseni boyunca 3 birim sa¤a ötelenirse A`(2, 3) noktas› elde edilir.
b. A(–1, 3) noktas›n› y ekseniboyunca 2 birim afla¤› ötelenirse A`(–1, 1) noktas› elde edilir.
1.
y
A
C
B
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
7
6
5
4
3
2
1
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
x
Köflelerinin koordinatlar› A (–6, 7), B(–6, 3), C(–4, 5) olan
ABC üçgeni x ekseni boyunca 8 birim sa¤a, y ekseni
boyunca 3 birim afla¤› ötelenirse; oluflan üçgenin koordinatlar›n› bulunuz.
Al ^2, 4h
Bl ^2, 0h
Cl ^4, 2h
Ortaokul 8. S›n›f
187
Dönüflüm Geometrisi
20
1.
B
A
Yandaki flekil, birim karelerden oluflmufltur. Afla¤›dakilerden hangisi bu flekil üzerinde uygulan›rsa
bir dikdörtgen elde edilir?
A cismi 1 birim yukar› do¤ru, B cismi 1 birim afla¤› do¤ru ötelenirse
3 A cismi 6 birim sa¤a do¤ru, B cismi 3 birim afla¤› ve 5 birim sola do¤ru ötelenirse
A cismi 6 birim sa¤a do¤ru, B cismi 3 birim afla¤› do¤ru ötelenirse
A cismi 1 birim yukar›, B cismi 2 birim afla¤› do¤ru ve B cismi 6 birim sa¤a do¤ru ötelenirse
2.
Köflelerinin koordinatlar› A(1, 2), B(3, 5), C(6, 5), D(9, 2) olan ABCD yamu¤u x ekseninde 1 birim
› › › ›
sola, y ekseninde 3 birim afla¤› do¤ru ötelenirse A B C D yamu¤u oluflturuluyor. Bu yamu¤un koordinatlar›n› bulunuz.
A’ (0, -1)
B’ (2, 2)
C’ (5, 2)
D’ (8, -1)
3.
Köflelerinin koordinatlar› K(–1, 2), L(–3, 5), M(–6, 5), N(–9, 2) olan KLMN yamu¤u x ekseninde 2
birim sa¤a, y ekseninde 1 birim yukar› do¤ru ötelenirse K›L›M›N› yamu¤u oluflturuluyor. Bu yamu¤un koordinatlar›n› bulunuz.
K l ^ 1, 3 h
L l ^ - 1, 6 h
Ml ^-4, 6h
Nl ^-7, 3h
4.
Köflelerinin koordinatlar› P(–2, –2), R(–5, –2), S(–6, –5), T(–2, –5) olan PRST yamu¤u x ekseninde
› › › ›
3 birim sola, y ekseninde 2 birim afla¤› do¤ru ötelenirse P R S T yamu¤u oluflturuluyor. Bu yamu¤un x eksenine göre yans›mas›n›n koordinatlar›n› bulunuz. Pm ^-5, 4h
Rm ^-8, 4h
Sm ^-9, 7h
T m ^ - 5, 7 h
188
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
21
1.
Pozitif yönde 90° döndürünüz.
2.
Pozitif yönde 180° döndürünüz
3.
Pozitif yönde 270° döndürünüz
4.
Pozitif yönde 360° döndürünüz
5.
Yanda verilen flekle negatif yönde 180° dönme hareketi uyguland›¤›nda afla¤›daki flekillerden hangisi elde edilir?
3
6.
Yanda verilen flekil saatin ters yönünde 180° dönme hareketi uyguland›¤›nda afla¤›daki flekillerden hangisi elde edilir?
3
Ortaokul 8. S›n›f
191
Dönüflüm Geometrisi
KOORD‹NAT S‹STEM‹NDE DÖNME HAREKETLER‹
Koordinatlar› A(x, y) olan nokta
Orijin etraf›nda pozitif yönde (saatin ters yönünde) 90° veya negatif yönde (saat yönünde) 270° döndürüldü¤ünde A›(–y, x)
Poztif veya negatif yönde 180° döndürüldü¤ünde A›(–x, –y)
Pozitif yönde 270° veya negatif yönde 90° döndürüldü¤ünde A›(y, –x)
Pozitif veya negatif yönde 360° döndürüldü¤ünde A(x, y) (360° döndmede koordinatlar›n de¤iflmedi¤ine dikkat ediniz.)
olur.
22
ÖRNEK
A(1, 3) noktas› orijin etraf›nda
a. Negatif yönde 90° döndürüldü¤ünde A›(3, –1) noktas› elde edilir.
b. Negatif yönde 180° döndürüldü¤ünde A›(–1, –3) noktas› elde edilir.
c. Pozitif yönde 90° döndürüldü¤ünde A›(–3, 1) noktas› elde edilir.
d. Negatif yönde 270° döndürüldü¤ünde A›(–3, 1) noktas› elde edilir.
y
1.
C`
A`
B`
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
192
7
6
5
4
3
2
1
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
Yandaki flekilde ABC üçgeninin orijin etraf›nda pozitif yönde
90° döndürülmesiyle oluflan A›B›C› üçgeninin görüntüsü vex
rilmifltir. Buna göre, ABC üçgeninin koordinatlar› toplam›
kaçt›r?
A (2, 4)
B (2, 2)
C (4, 3)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
2. Ünite
2.
ABC üçgeninin orijin etraf›nda 180° döndürülmesiyle oluflan A›B›C› üçgeninin köflelerinin koordinatlar› toplam› –12 oldu¤una göre, ABC üçgeninin köfle noktalar›n›n koordinatlar› toplam› kaçt›r?
12
3.
y
7
6
5
4
3
2
C
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
A
B
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
x
fiekilde köflelerinin koordinatlar› verilen ABC üçgeninin orijin etraf›nda 180° döndürülmesiyle oluflan üçgenin köflelerinin apsisleri toplam› kaçt›r?
-9
y
4.
7
6
5
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
B
C
A
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
x
fiekilde köflelerinin koordinatlar› verilen ABC üçgeninin orjin
etraf›nda 180° döndürülmesiyle oluflan üçgenin köflelerinin
ordinatlar› toplam› kaçt›r?
18
y
5.
A
B
C
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
Ortaokul 8. S›n›f
7
6
5
4
3
2
1
1
–1 2 3 4 5 6 7 8 9
–2
–3
–4
–5
–6
–7
x
fiekilde köflelerinin koordinatlar› verilen ABC üçgeninin orijin etraf›nda 180° döndürülmesiyle oluflan üçgenin köflelerinin apsisleri toplam› kaçt›r?
10
193
3. Ünite
3. ÜN‹TE
1. Cebirsel ‹fadeler ve Özdefllikler
2. Efllik ve Benzerlik
1
CEB‹RSEL ‹FADELER ve ÖZDEfiL‹KLER
CEB‹RSEL ‹FADELER
Bir say›n›n de¤erinin bilinmedi¤i durumlarda, bu say›n›n yerine yaz›lan sembol veya harflere de¤iflken
veya bilinmeyen denir. x, y, a, b gibi.
En az bir bilinmeyen ve en az bir ifllem içeren ifadelere cebirsel ifade denir.
3x + 5, 2y – 7, 4a – 5b, 7c – 9d + 1, 2ab + 3 gibi.
Bir cebirsel ifadede bir say› ile bir veya birden fazla de¤iflkenin çap›m›na terim denir. Terimlerin ayr›t
edilebilmesi için ifade toplama ve ç›karma ifllemlerinden bölünebilir. Her bir terimde, de¤iflkenle veya
de¤iflkenlerle çarp›m durumunda bulunan say›ya da bu terimin katsay›s› denir. De¤iflken bulunmayana
terime de sabit terim denir.
Örne¤in; 7x – 4y + 1 cebirsel ifadesinde; 7x / – 4y/ 1 olmak üzere, üç tane terim vard›r. Bu terimlerin
katsay›lar› s›ras›yla 7, –4 ve 1 dir. Bu ifadedeki sabit terim 1 olur.
1
Tablodaki boflluklar› doldurunuz.
Cebirsel ifade
Terim Say›s›
Katsay›lar Toplam›
Sabit Terim
10x – 5y – 3
3
10 + (–5) + (–3) = 2
–3
xy + 6
2
1+6=7
6
12a + 9
2
12 + 9 = 21
9
8 – 18a
2
8 + (-18) = -10
8
17 + a – b
3
17 + 1 + (-1) = 17
17
2c – 4d + 5
3
2 + (-4) +5 = 3
5
x+y
2
1 + 1 =2
0
5y – 2
2
5 + (-2) =3
-2
x
1
1
0
ab
1
1
0
5 – xy
2
5 + (-1) =4
5
15 – 3b
2
15 + (-3) = 12
15
Ortaokul 8. S›n›f
201
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
CEB‹RSEL ‹FADELER‹N ÇARPIMI
2
Afla¤›da cebir karolar› ile oluflturulan modelleri, çarpma ifllemleri ile efllefltiriniz.
y
x
x
(x + y) · (x + 2y) = x2 + 3xy + 2y 2
y
x
y
y
x
(x + y) · (x + y) = x2 + 2xy + y 2
y
x
y
y
x
(x + 2) · (x + 3y) = x 2 + 3xy + 2x + 6y
1
x
y y y
x
(x + 3y) · (x + 2y) = x2 + 5xy + 6y 2
1
1
x
x
y y y
(x + 1) (x + 2y) = x 2 + 2xy + x + 2y
y
y
202
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
3
Afla¤›da modellerle aç›klanan çarpma ifllemlerini noktal› yerlere yaz›n›z.
ÖRNEKLER
x2
x x x x
x2
x x
x
x
1 1 1 1
1 1 1 1
x
x
1 1
1 1
(x + 4) (x + 2) = x2 + 6x + 8
x2
x x x
x
x
1 1 1
1 1 1
x2
x x
x
x
1 1
1 1
x2
x x x
(x + 2) (x + 2) = x2 + 4x + 4
(x + 3) (x + 2) = x2 + 5x + 6
(x + 2) (x + 2) = x2 + 4x + 4
(x+3) (x + 3) = x2 + 6x + 9
x
x
x
1 1 1
1 1 1
1 1 1
x2
x x x
x
x
x
x
1
1
1
1
Ortaokul 8. S›n›f
1
1
1
1
1
1
1
1
(x + 3) (x + 4) = x2 + 7x + 12
203
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
4
Afla¤›da çarpma ifllemlerini aç›klayan modelleri oluflturunuz.
ÖRNEK -1:
ÖRNEK-2:
(2a + 1) · (b + 2) = 2ab + 4a + b + 2
(2x + 3) · (x + 2) = 2x2 + 7x + 6
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
ab
ab
b
a
a
1
a
a
1
b+2
x2
x2
x
x
x
x
x
1
1
1
x
x
1
1
1
2a + 1
2x + 3
(a + 1) · (2a + 2) = 2a2 + 4a + 2
a2
a
a2
a
x+2
a
1
a
1
a+1
2a + 2
(3x + 1) · (x + 2) = 3x2 + 7x + 2
x2
x2
x2
x
x
x
x
1
x
x
x
1
x+2
3x + 1
(2b + 1) · (b + 3) = 2b2 + 7b + 3
(x + 2) · (x + 3) = x2 + 5x + 6
b2
b2
b
x2
x
x
b
b
1
x
1
1
x+3
b+3
b
b
1
x
1
1
b
b
1
x
1
1
2b + 1
204
x+2
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
5
Afla¤›da verilen çarpma ifllemlerini aç›klayan modellerdeki karelerin içine, “a2”, “a” veya “1” den
uygun olanlar› yaz›n›z.
ÖRNEK :
a2
a
a
1
a2 a2
a
a
a2 a2
a
a
a
a
1
1
a
a
1
1
2a+2
a+1
(a +
1.
1)2
=
a2
(2a + 2)2 = 4a2 + 8a + 1
+ 2a + 1
4.
a2
a
a
a
a
1
1 1
1 1
1
1
a
1
a
1
1
a
1
a2
a2
a
a2
a2
a
a
a
1
a2
a2
a2 a2
a2 a2
a2
a
a2 a2
a a
a
a
1
1
(3a + 1) = 9a2 + 6a + 1
Ortaokul 8. S›n›f
a
1 1
(a + 3)2 = a2 + 6a + 9
5.
2
a2 a a2 a
2
a2 a a2 a
2
a2 a a2 a
a a a 1
a a a 1
a
a
a
1
1
(3a + 2)2 = 9a2 + 12a + 4
(2a + 1)2 = 4a2 + 4a + 1
3.
a
a
(a + 2)2 = a2 + 4a + 4
2.
a2
6.
a2 a2
a2 a2
a a
a a
a a
a
a
1
1
1
a
a
1
1
1
a
a
1
1
1
(2a + 3)2 = 4a2 + 12a + 9
205
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
6
Afla¤›daki çarpma ifllemlerini yap›n›z.
ÖRNEK : (3x + 2) (5x – y – 4) ifadesinin eflitini bulunuz.
ÇÖZÜM:
(3x + 2) (5x – y – 4) = 3x · 5x + 3x · (–y) + 3x · (–4) + 2 · 5x + 2 · (–y) + 2 · (–4)
= 15x2 – 3xy – 12x + 10x – 2y – 8
= 15x2 – 3xy – 2x – 2y – 8
1.
(2x – 7) (4x + 1) =
8x2 - 26x - 7
2.
(5 – 3x) (x + 10) =
-3x2 - 25x + 50
3.
(a – b) (a + 2b)
4.
6 · (2x – 3y) =
5.
(8x – 5) (x – 7y) =
6.
(12 – a) (a – 4) =
206
= a2 + ab - 2b2
12x - 18y
8x2 - 56xy - 5x + 35y
-a2 + 16a - 48
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
ÇARPANLARA AYIRMA
Cebirsel ifadeleri, iki veya daha fazla ifadenin çarp›m› fleklinde yazmaya bu cebirsel ifadeyi çarpanlara
ay›rma denir.
7
Afla¤›daki tabloda verilen cebirsel ifadelerin verilmeyen di¤er çarpanlar›n› yaz›n›z.
cebirsel ifade
1. çarpan›
2. çarpan›
cebirsel ifade
1. çarpan›
2. çarpan›
8a3 b2
2ab
4a2 b
3a5 b6
3a
a4 b6
7x2 y3
7xy
x y2
15x6 y4
5xy2
3x5 y2
6a4 b7c
3ab2
x6y2
xy2
10x6 y4
2xy
x5y6
x2y3
(x –
y)4
(x –
2a3b5c
5x5y3
y)3
(x + y)5
(x + y)2
7x2y4
xy2
2 2 3
ab
3
1 2
ab
3
7 6 5
x y
10
1 2
xy
10
3 8 3
ab
4
3 a4b
x-y
(x + y)3
7xy2
2ab
(x –
4)5
(x –
x5
x3y3
4)2
3y4
6x6
5(x + 2)
6(x – 1)4
2(x – 1)3
m6n7p
m5p
x7
x2
x8
x5
a6b5
a4b
12x8
2x5
6x3
15x6
3 .x2
5x4
3x2y4
x2
12x6
2
15x10
5x4
24x7
4x2
6x5
–12x4
–2 . x
32x6 . y10
2x . y5
16x5y5
–9x14y5
3x2y
Ortaokul 8. S›n›f
3x6
(x + 2)6
5(x + 2)7
7x5y3
1 4 2
a b
4
(x - 4)3
3(x - 1)
m · n7
x5
x3
a2b4
6x3
-3x12y4
217
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
ORTAK ÇARPAN PARANTEZ‹NE ALMA
8
Afla¤›daki ifadeleri ortak çarpan parantezine al›n›z.
2x + 2y = 2(x + y)
5x – 5 = 5(x – 1)
9x2y3 – 6xy5 = 3xy3 (3x – 2y2)
a2 + a = a(a + 1)
a.
j.
3a – 6 =
xy (5x - 10y + y4)
3(a - 2)
b.
2x2 – x =
k.
x ( 2x - 1)
c.
3x3 + x2 =
l.
m – m3 =
m.
4a2b4 – 2a6b5 + a7 =
n.
3x6 – 15x8 + 6x5 =
o.
a6 – a4 + a3 =
a3
g.
(a3
ö.
x6 – 2x7 + x5 =
p.
(x – 2)4 – 3(x – 2)3 =
r.
x2y2 – xy3 + x4y =
xy (xy i.
s.
(4xy -
2y3
fl.
+ x)
a5 + a3b2 =
a3 (a2 + b2)
x3)
8x3y2 – 4x2y4 + 2x3y =
2x2y
218
+
x2y3 – x =
x (xy3 - 1)
(a2 – b3)5 + (a2 – b3)2 =
y2
x3 – x7 =
x3 (1 - x4)
3
(a2 - b3)2 6^a 2 - b 3h + 1@
›.
a5 + a2 =
a (5 + a)
- a + 1)
(x - 2)3 (x - 5)
h.
3m – m2 =
m (3 - m)
x5 ( x - 2x2 + 1)
¤.
5 + 20x2 =
5 (1 + 4x2)
3x5 (x - 5x3 + 2)
f.
2 – 12x =
2 (1 - 6x)
a2 (4b4-2a4b5 + a5)
e.
12x6 – 4x4 + 2x5 =
2x4 (6x2 - 2 + x)
m (1 - m2)
d.
6a3b + 3a2b – 9a3b =
3a2b (1 -a)
x2 (3x + 1)
ç.
5x2y – 10xy2 + xy5 =
2a3 + 3a2 =
a2 (2a + 3)
t.
15x2 – 5x9 =
5x2 (3 - x7)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
10
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
ax + by + ay + bx = a(x + y) + b(x + y) = (a + b) (x + y)
x2 – xy + 2x – 2y = x(x – y) + 2(x – y) = (x – y) (x + 2)
ax2 – a + x2 – 1 = x2(a + 1) – (a + 1) = (x2 – 1) (a + 1) = (x + 1) · (x – 1) · (a + 1)
mx2 – x + 1 – mx = x(mx – 1) + 1 – mx = x(mx – 1) – (mx – 1) = (mx – 1) (x – 1)
1. mx + my + nx + ny =
(m + n) (x + y)
2. x3 – x2 + x – 1=
(x2 + 1) (x - 1)
3. 3a + 3b + ax + bx =
(3 + x) (a + b)
4. x2 – 1 + mx – m =
(n - 1) (n + 1 + m)
5. a2 – b2 + bc – ac =
(a - b) (a + b - c)
6. ma + mb – an – bn =
(a + b) (m - n)
7. xy + 5x + 5 + y =
(5 + y) (x + 1)
220
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
‹K‹ KARE FARKI OLAN ‹FADELER‹ ÇARPALARA AYIRMA
12
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
x2y2 – 36 = (xy – 6) (xy + 6)
⎛2
⎞⎛2
⎞
4
− x2 = ⎜ − x⎟ ⎜ + x⎟
9
⎝3
⎠⎝3
⎠
x4 – y2 = (x2 – y) (x2 + y)
a.
25x2 – 36y2 =
(5x - 6y) (5x + 6y)
b. x2y2 – 1 =
m2 – 1 = (m – 1) (m+ 1)
4 – x2 = (2 – x) (2 + x)
(x – y)2 – z2 = (x – y – z) (x – y + z)
g.
(ab - c) (ab + c)
h.
(xy - 1) (xy + 1)
c.
x2 – 9 =
a2b2 – c2 =
(a + b)2 – c2 =
(a + b - c) (a + b + c)
1 2 1 2
x −
y =
16
49
›.
(x - 3) (x + 3)
1
1
1
1
a x - yk a x + yk
7
7
4
4
d. (x + y)2 – 9 =
(x + y - 3) (x + y + 3)
e. (x – y)2 – 16 =
-4xy
k.
(x - y - 4) (x - y + 4)
f.
16 – (x – y)2 =
(4 - x + y) (4 + x - y)
222
(x – y)2 – (x + y)2 =
j.
(x + y)2 – (x – y)2 =
4xy
l.
(2a – 1)2 – b2 =
(2a - 1 - b) (2a - 1 + b)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
13
1.
2.
Afla¤›daki ifllemleri yaparak en sade biçimde gösteriniz.
a.
x2 − 4
x+2
=
a
ax − 2a
f.
x2 − 9
=
x+3
b.
a2 − b 2
=
ax − bx
a+b
x
g.
x 2 − 16
=
4−x
c.
a3 + a2
=
a5 + a4
1
a2
h.
2a − 5
1
=
4a2 − 25 2a + 5
d.
x2 − 1
=
x −1
›.
x3 − x
=
x +1
e.
m2 − m
=
m−1
i.
ax − a
= a
b
bx − b
x+1
m
x-3
-x - 4
x · (x - 1)
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
a. x + y = 10 ise
ax + 2x + ay + 2y
ifadesinin de¤eri kaçt›r? 5
2a + 4
b. a – b = 7
ax + 3a – bx – 3b
ifadesinin de¤eri kaçt›r?
7 x+3 7
c. x + 4 = 2 2
Ortaokul 8. S›n›f
ise
ise
7
ax + 4a + bx + 4b
ifadesinin de¤eri kaçt›r? - 2
– 2a – 2 b
223
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
TAM KARE OLAN ‹FADELER‹ ÇARPALARA AYIRMA
14
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
x2 + 12x + 36 = (x + 6)2
a.
x2 – 2x + 1 =
b.
4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)3
(6x - 1)2
(x - 1)2
f.
36x2 – 12x + 1 =
x2 + 2x + 1 = (x
+ 1)2
g.
x2 + 14x + 49 = (x
c.
x2 + 10x + 25 =
(x + 5)2
h.
x2 – 16x + 64 =
d.
x2 – 8x + 16 = (x
- 4)2
›.
9x2 + 12x + 4 = (3x
e.
25x2 – 10x + 4 = (5x
j.
16x2 + 24x + 9 =
- 2)2
+ 7)2
(x - 8)2
+ 2)2
(4x + 3)2
20x
224
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
17
1.
2.
Afla¤›daki ifllemleri yaparak en sade biçimde gösteriniz.
a.
x+3
x2 + 6x + 9
= x-3
2
x −9
ç.
x2 − 2x + 1 1- x
= 1+ x
1 − x2
b.
x 2 − 12 x + 36
=
2 x − 12
x-6
2
d.
x 2 + 8 x + 16 x + 4
=
3
3 x + 12
c.
x 2 − 49
=
x 2 + 14 x + 49
x-7
x+7
e.
x 2 − 100
= x - 10
x + 10
x 2 + 20 x + 100
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
ÖRNEK - 1:
(a + b)2– c2 = (a + b – c) (a + b + c)
ÖRNEK - 2:
x2 + 6x + 9 – y2 = (x + 3)2 – y2
= (x + 3 – y) (x + 3 + y)
ÖRNEK - 3:
a2 – 10ab + 25b2 – c2 = (a – 5b)2 – c2
= (a – 5b – c) (a – 5b + c)
a. x2 + 8x + 16 – y2 =
c.
(x + 4 - y)(x + 4 + y)
(a + 5 - b)(a + 5 + b)
b. x2 – 2xy + y2 – 9 =
ç.
(x - y - 3)(x - y + 3)
(a - 4 - b)(a - 4 + b)
Ortaokul 8. S›n›f
a2 + 10a + 25 – b2 =
a2 – 8a + 16 – b2 =
227
3. Ünite
18
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
x2 + 3x + 2 = (x + 2) · (x + 1)
x
x
a.
2
1
2x
x2 + 6x + 5 =
x2 + 5x + 6 =
(x + 3)(x + 2)
c.
x2 + 7x + 6 =
(x + 6)(x + 1)
d.
x2 + 8x + 7 =
(x + 7)(x + 1)
e.
x2 + 14x + 24 =
(x + 12)(x + 2)
Ortaokul 8. S›n›f
x
x
+ x
3x
(x + 5)(x + 1)
b.
x2 + 7x + 12 = (x + 3) · (x + 4)
f.
3
4
3x
+ 4x
7x
x2 + 10x + 21 =
(x + 7)(x + 3)
g.
x2 + 8x + 12 =
(x + 6)(x + 2)
h.
x2 + 12x + 35 =
(x + 7)(x + 5)
›.
x2 + 13x + 40 =
(x + 8)(x + 5)
j.
x2 + 13x + 36 =
(x + 9)(x + 4)
229
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
19
1.
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
x2 – 3x + 2 = (x – 2) · (x – 1)
x
x
–2x
–2
–1
–x
+
–3x
a.
x2 – 5x + 4 =
(x - 4)(x - 1)
b.
x2 – 7x + 12 =
(x - 4)(x - 3)
x2 – 7x + 6 =
(x - 6)(x - 1)
2.
ç.
d.
x2 – 8x + 12 =
(x - 6)(x - 2)
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
x2 – 3x – 10 = (x + 2) · (x – 5)
x
x
a.
2
–5
2x
+ –5x
–3x
x2 – x – 12 =
(x - 4)(x + 3)
b.
x2 + x – 12 =
(x + 4)(x - 3)
c.
x2 – x – 42 =
(x - 7)(x + 6)
230
ç.
x2 + 3x – 10 =
(x + 5)(x - 2)
d.
x2 – 5x – 24 =
(x - 8)(x + 3)
e.
x2 + 5x – 24 =
(x + 8)(x - 3)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
20
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›yla efllefltiriniz.
1.
2x2 + 5x – 3
(2x – 1) (x + 3)
2.
12x2 + x – 1
(3x – 2) (x – 1)
3.
6x2 – 8x + 2
(5x + 4) (x – 3)
4.
6x2 + 5x – 6
(2x – 2) (3x – 1)
5.
10x2 + 12x + 2
(4x – 1) (3x + 1)
6.
3x2 – 5x + 2
(2x + 3) (3x – 2)
7.
6x2 + x – 2
(5x + 1) (2x + 2)
8.
3x2 + 14x + 8
(3x + 2) (2x – 1)
9.
4x2 + 7x – 2
(4x – 1) (x + 2)
10.
5x2 – 11x – 12
(3x + 2) (x + 4)
Ortaokul 8. S›n›f
231
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
21
Afla¤›daki ifllemleri yaparak en sade biçimde gösteriniz.
x2 − 3x − 4 x
=
1.
x−4
x2 − 3x + 2
=
2. (2 − x )(1 − x )
+1
1
x-2
x+3
9.
a2 + 7a + 12
=
(a + 4)
a+3
3.
25 − x 2
= - x+5
x+4
x − x − 20
10.
ax – 7a
= a
x-8
x 2 – 15x + 56
4.
a3 − 9a
=
a2 + 3a
11.
2 x 2 − 50
=
x+5
12.
3x2 − 3
=
ax + a
13.
x3 + x2 − 6x
=
x2 − 2x
14.
x 3 − 16 x
x-4
= x+5
3
2
x + 9 x + 20 x
2
a-3
x−2
1
5. 3 x 2 − 12 = 3 (x + 2)
6.
x3 + x2 − 6x
x+3
= x+5
x 3 + 3 x 2 − 10 x
3
2
7. x + 2 x − 35 x = x - 5
2
2
2 x + 14 x
232
8.
x2 − 5x + 6
=
x2 − 9
2 (x - 5)
3 ( x - 1)
a
x+3
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
31
Afla¤›daki ifadeleri çarpanlar›na ay›r›n›z.
1. x2 – 2x + 1 – y2 =
7.
(a - 6b - c)(a - 6b + c)
(x - 1 - y)(x - 1 + y)
2. a2 + 2ab + b2 – c2 =
(a + b - c)(a + b + c)
3. x2 + 10x + 25 – y2 =
(x + 5 - y)(x + 5 +y)
4. 4x2 – 20x + 25 =
(2x - 5)2
5.
4 2 20
x –
x + 25 =
9
3
2
2
a x - 5k
3
6. 16x2 + 8xy + y2 =
(4x +
242
y)2
a2 – 12ab + 36b2 – c2 =
8.
y2 + 20y + 100 – x2 =
(y + 10 - x)(y + 10 - x)
9.
a2 – 8a + 16 – b2 =
(a - 4 - b)(a - 4 + b)
10. 9x2 – 12x + 4 =
(3x - 2)2
2
11. x −
ax -
2
1
x+ =
3
9
1 2
k
3
12. 9x2 – 6xy + y2 =
(3x - y)2
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
33
Afla¤›daki ifadeleri en sade halleriyle efllefltiriniz.
1.
244
x 2 + xy − 2 x − 2 y
=
x 2 − xy − 2 x + 2 y
b(b – 1)
6.
xy + xz + y + z
=
ax + a
x+y
x–y
7.
b3 − b
=
1 – b2
1
mn
8.
3 x 2 − 75
=
5−x
y+z
a
( x 2 − 1)( x 2 − 9 )
=
x2 − 4x + 3
–b
2.
b3 − b
=
b +1
3.
x2 – 2x + 1
=
x3 − x2
x+1
4.
3x + 3
=
2
x + 4x + 3
3
x+3
9.
5.
( x + 1)3
=
x2 + 2x + 1
x–1
x2
x2 + 5x + 6
=
10.
(mx + 2m)(nx + 3n)
–3(x + 5)
(x+1) (x+3)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
34
Afla¤›daki ifadeleri en sade halleriyle efllefltiriniz.
2
2
1. x − 3 x − 4 . x − x − 6 =
x2 − 2x − 8 x2 − 2x − 3
⎛
⎞
y⎞ ⎛
8
2. ⎜ x + ⎟ . ⎜
=
2 ⎠ ⎝ 2ax + ay ⎟⎠
⎝
1
x
x–3
(2x + 1) (3x – 2)
3. x − y − x − y + x − y = ?
6
3
2
4
a
4. x − 1 − x − 2 =
x
x
1
5
2x − 1 3x + 2
−
=
4 x 2− 1 9 x 2− 4
Ortaokul 8. S›n›f
x–y
3
3
7. 2(m − m) . (nx − mx ) =
nx − mx mx − x
8. x − y − 2 x + y =
4
8
9.
x − 2 x −1 x + 2
−
+
=
9
6
3
10.
x−2
− 1=
x+3
11.
x
x+3
=
− 2
x −x
x + 2x − 3
2
–3y
8
–5
x+3
0
2m ( m + 1 )
x
5x + 11
18
245
Cebirsel ‹fadeler
ve Özdefllikler
37
Afla¤›daki ifadeleri en sade halleriyle efllefltiriniz.
1.
x2 + 6x + 9
=
mx + nx + 3m + 3n
x+5
x–5
6.
ax + bx − 7a − 7b
=
x 2 − 14 x + 49
a
x+3
a+b
x-7
2.
mx − my + mz
=
x−y+z
x+3
m+n
7.
x2 − 2x − x3
=
x − x2 − 2
x
–m
x
3.
x3 + 6x2 + 5x
=
x3 − 4x2 − 5x
m
8.
ax 2 − ax
=
x + 2x2 − 3x
3
a+b
x–7
a
x+3
4.
(m + 3 )2 − 16 mn4 − mp4
:
=
m2 + 6m − 7 4mn4 − 4mp4
3x
9.
( x − 2 )2 − 9 x − 2 + 3
=
:
x−2−3
5
5
5
18
5.
a2 − b 2 . 6 x 3 . 1
=
2a − 2b 3a + 3b
x2
4
10.
x3 − x2 . y − x . x + 1
=
mx − my x 2 − 1 x
x
x
-m
248
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
38
1.
2.
3.
Δ
Δ
∧
∧
∧
∧
∧
∧
ABC ≅ KL M m(A) = 53° ve m(M) = 77° ise m(B), m(C), m(K), m(L) kaç derecedir?
t ) = 77° , m (Kt ) = 53°, m(Lt ) = 50°
m (Bt ) = 50° , m (C
Δ
Δ
∧
∧
∧
∧
∧
∧
DE F ≅ PR S m(E) = 70° ve m(P) = 50° ise m(D), m(F), m(R), m(S) kaç derecedir?
t ) = 60°
t ) = 50° , m (Ft ) = 60 ° , m (R
t ) = 70° , m (S
m (D
Δ
Δ
DE F ≅ PR S veriliyor. Afla¤›daki eflitlikleri buna göre tamamlay›n›z.
∧
m (Pt )
m(D) = . . . . .
∧
t
m(E) = . m
. .(R
. ).
4.
DE
|PR| = . . . . .
|RS| = . .EF
...
|PS| = . .DF
...
Δ
Δ
AB C ≅ KL M , |AB| = 7 cm ve |BC| = 5 cm, |KM| = 6 cm ise |KL|, |LM| ve |AC| uzunluklar› kaçar
KL = 7 cm, LM = 5 cm, AC = 6 cm
cm dir?
5.
∧
t. ).
m(F) = . m
. .(S
Δ
Δ
Afla¤›daki flekillerde AB C ≅ DE F dir. Verilenlerden yararlanarak istenenleri bulunuz.
A
D
60°
8cm
B
6cm
50°
E
C
F
7cm
6.
∧
m(C) = .70°
....
∧
m(A) = .60°
....
|BC| = . .7. . . cm
∧
m(E) = . 50°
....
∧
m(F) = .70°
....
|DE| = . 8. . . cm
Afla¤›daki üçgenlerde verilenlerden yararlanarak istenenleri bulunuz.
K
P
55°
80°
5cm
R
5cm
6cm
55°
45°
7cm
7cm
80°
S
L
45°
6cm
M
Δ
3
....
PRS ≅ . LKM
Δ
3
LMK ≅ . PSR
....
Δ
3
LKM ≅ .PRS
....
Δ
3
SRP ≅ . MKL
....
3
Δ
PSR ≅ . LMK
....
3
Δ
MKL ≅ .SRP
....
Ortaokul 8. S›n›f
257
Efllik ve Benzerlik
39
Afla¤›daki üçgen lerden ikifler tanesi efltir. Efl üçgenleri bularak yaz›n›z.
A
a.
7
D
K
E
3
8
6
B
6
C
7
D
M
6
7
K
3
ABC , FDE
7
L
F
A
b.
8
8
L
3
7
3
ABC , KLM
B
C E
A
c.
F
7
M
4
D
K
E
3
4
6
8
6
3
ABC , MKL
4
8
M
B
C
8
F
D
A
ç.
6
L
3
K
L
3
3
ABC , LKM
3
B
C E
5
F
2
M
D
A
d.
4
5
4
3
4
K
3
3
4
B
e.
2
4
3
C E
2
3
F L
M
5
K
A
D
3
258
3
C E
3
ABC , FDE
3
B
3
ABC , DFE
4
F L
3
M
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Efllik ve Benzerlik
40
Afla¤›daki üçgenlerin birer aç›lar› birbirine efl olup flekilde gösterilmifltir. Siz de bu üçgenlerdeki di¤er
efl aç›lar› bularak benzer üçgenleri benzerlik tan›m›na uygun olarak yaz›n›z.
A
A
1.
5.
E
B
D
B
C
D3
3
(................
DBE
ABC ~ ................)
2.
3
E
C
3
ABC
EDC
(................
~ ................)
6.
A
A
D
D
E
B
3
E
C
3
B
3.
C
3
3
(................
ADE
ABC ~ ................)
EDC
ABC
(................
~ ................)
7.
A
A
D
E
B
3
3
D
C
DEC
ABC
(................
~ ................)
B
C
3
3
(................
~ ................)
ADE
ABC
E
4.
8.
A
A
E
D
B
262
3
3
D
(................
DBE
ABC ~ ................)
C
B
3
3
DEC
ABC ~ ................)
(................
C
E
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
3. Ünite
41
Afla¤›daki üçgenlerde verilen paralelliklerden yararlanarak benzer üçgenleri, benzerlik tan›m›na uygun
olarak yazarak gösteriniz.
1.
4.
A
A
[ED] // [BC]
E
B
[AB] // [ED]
D
D
C
3
3
B
AED
ABC ~ ................)
(................
2.
C
E
3
3
DEC
ABC
(................ ~ ................)
5.
A
A
B
[AC] // [ED]
[AB] // [DE]
E
C
B
E
D
C
D
3
EDC
ABC ~ ................)
(................
EBD
ABC
(................
~ ................)
3.
D
A
3
3
3
6.
A
[AB] // [DE]
[AB] // [DE]
B
3
B
3
3
E
D
C
C
3
EDC
ABC
(................
~ ................)
E
EDC
ABC
(................ ~ ................)
Ortaokul 8. S›n›f
263
Do¤rusal Denklemler
E⁄‹M
Bir do¤runun x ekseniyle pozitif yönde (saatin ters yönünde)
y
yapt›¤› aç›ya e¤im aç›s› denir.
Örne¤in; flekildeki d do¤rusunun e¤im aç›s› α ve l do¤rusunun
d
l
β
e¤im aç›s› β d›r.
α
x
Do¤runun e¤im aç›s› dar aç› ise e¤imi pozitif, e¤im aç›s› genifl
aç› ise e¤imi negatif, e¤im aç›s› 0° ise (y = b fleklindeki
do¤rular) e¤im 0 ve e¤im aç›s› 90° ise (x = a fleklindeki
do¤rular) e¤im tan›ms›zd›r.
y
y2
y1
fiekildeki d do¤rusunun e¤im aç›s› α ve bu do¤ru üzerindeki
B(x2, y2)
d
α
x2 – x1
y2 – y1
A(x1, y1)
α
x1
x
x2
iki nokta A(x1, y1) ve B(x2, y2) olsun.
Bu durumda; d do¤rusunun e¤imi
y –y
md = mAB = x 2 – x 1 olur.
2
1
1
ÖRNEK : A(2, 3) ve B(–1, –2) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi kaçt›r?
ÇÖZÜM
m=
y1 − y 2
x1 − x 2
m=
3 − (−2)
2 − (−1)
m=
3+2
2 +1
m=
5
3
a. A (2, 3) ve B (3, 4) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi kaçt›r?
1
b. A (–1, –3) ve B (–2, –4) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi kaçt›r? 1
c. A (2, –4) ve B (–3, –1) noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi kaçt›r? - 3
5
304
ç. A (0, 5) ve B (2, –4)
noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi kaçt›r? - 9
2
d. A (2, 4) ve B (0, –3)
7
noktalar›ndan geçen do¤runun e¤imi kaçt›r? 2
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
y = mx + n denklemiyle verilen do¤runun e¤imi m dir.
Do¤ru denlemi ax + by + c = 0 fleklinde verilirse bile bu eflitlikte y, x e ba¤l›
yaz›ld›¤n›da (yani; y tek bafl›na b›rak›ld›¤›nda)
a
c
a
by = –ax – c ⇒ y = – x –
olup do¤runun e¤iminin m = – oldu¤u kolayca bulunabilir.
b
b
b
2
1.
Afla¤›daki do¤rular›n e¤imlerini bulunuz.
ÖRNEK -1
y=
ÖRNEK- 2
2
x
5
y= −
ÇÖZÜM
m=
m=–
b.
y=x
m=-
ÇÖZÜM
3
7
y =−
m = -2
2.
3
x
7
ÇÖZÜM
2
3
a. y = –2x
ÖRNEK - 3
m=1
1
x
4
1
4
c.
y = v5x
m= 5
Afla¤›daki do¤rular›n e¤imlerini bulunuz.
ÖRNEK-1
ÖRNEK-2
2x + 3y = 6
x – 2y –1 = 0
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
2x + 3y = 6
x – 2y – 1 = 0
3 y = –2x + 6
3
3
3
2
y=–
x+2
3
2
m= −
3
–2y = –x + 1
–2
–2 –2
1
1
y= x–
2
2
1
m=
2
a. 2x – 3y – 4 = 0
m=
2
3
Ortaokul 8. S›n›f
b.
m=
x y
− − 1= 0
2 3
3
2
ÖRNEK-3
x y
=
2 5
ÇÖZÜM
x y
=
2 5
2y = 5x
2
2
5
y= x
2
5
m=
2
c.
5x – 4y + 3 = 0
m=
5
4
305
Denklem Sistemleri
2
DENKLEM S‹STEMLER‹
x ve y bilinmeyen, a, b, c gerçel say›lar a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere, ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.
‹ki tane birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem birlikte iki bilinmeyenli do¤rusal denklem sistemi
oluflturur.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli do¤rusal denklem sistemleri yok etme veya yerine koyma metodu
ile çözülür.
1. YOK ETME METODU
O
Bilinmeyenlerden birisinin katsay›s›n›n di¤erinin toplama ifllemine göre tersi olmas› gerekir. E¤er
bu durum bafllang›çta yoksa denklemlerden birisinin her iki taraf› (–1) ile çarp›l›r.
O
Katsay›lar› farkl› ise birisinin katsay›s› s›f›rdan farkl› bir say› ile geniflletilir veya sadelefltirilir.
O
Taraf tarafa toplanarak birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem elde edilir.
O
Bir denklemden bilinmeyenlerden birinin de¤eri bulunur.
O
Bulunan bir de¤er sisteme ait denklemlerin herhangi birisinde yerine konularak di¤er bilinmeyen
bulunur.
3
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK: x + y = 5
x–y=3
ÇÖZÜM: x + y = 5
+ x–y=3
–––––––––––
2x = 8
x=4
}
denklemlerini ortak çözünüz.
1. ad›m
Verilen denklem sisteminde “y” lerin katsay›lar› toplama ifllemine
göre birbirlerinin tersi olup katsay›lar› eflittir. Eflitlikler taraf tarafa
toplan›r.
2. ad›m: Bulanan x de¤eri verilen denklemlerden birinde yerine yaz›larak y de¤eri bulunur.
x+y=5⇒4+y=5⇒y=1
(x , y) = (4, 1) bulunur.
a. a – b = 7
}
a+b=5
(a, b) = (6, -1)
326
b.
x + y = 10
x–y=4
(x, y) = (7, 3)
}
c.
3x – 2y = – 7
x + 2y = 3
}
(x, y) = (-1, 2)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
4
1.
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK: 2x + y = 5
x+y=3
} denklemleri ortak çözünüz.
⇒
⇒
ÇÖZÜM: 2x + y = 5
–/ x+y=3
2x + y = 5
–x–y=–3
+
––––––––––––––––
x=2
⇒ 2+y=3
⇒ y=1
(x, y) = (2, 1)
a. 3x – 2y = – 10
x – 2y = – 6
b.
}
a–b=3
}
(a, b) = (1, -2)
(x, y) = (-2, 2)
2.
3a – b = 5
c.
2x – y = 4
2x – 4y = 10
}
(x, y) = (1, -2)
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK: 2x – 3y = 1
5x + y = 11
} denklemleri ortak çözünüz.
ÇÖZÜM: 2x – 3y = 1
3 / 5x + y = 11
⇒
⇒
2x – 3y = 1
15x + 3y = 33
+
––––––––––––––––
17x = 34
⇒ x=2
⇒ 2 · 2 – 3y = 1 ⇒ y = 1
(x, y) = (2, 1)
a. 2a – 3b = – 1
5a + 4b = 9
(a, b) = (1, 1)
Ortaokul 8. S›n›f
}
b.
3x – y = 4
}
x + 2y = –1
(x, y) = (1, -1)
c.
x + 2y = 4
3x – y = 5
}
(x, y) = (2, 1)
327
Denklem Sistemleri
5
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK: 3 (x + 2y) = 15
2x + y = 4
} denklemleri ortak çözünüz.
ÇÖZÜM: 3x + 6y = 15 ⇒
3x + 6y = 15
–6 / 2x + y = 4
⇒ + –12x – 6y = –24
––––––––––––––––––
– 9x = – 9
⇒ x=1
(x, y) = (1, 2)
a. 3(x – y) – 2(x + y) = – 3
}
2x – 3 (x + y) = – 5
⇒ 2·1+y=4 ⇒ y=2
b.
2(x + 1) + 4y = 14
}
2(x – 2y) + 3y = 0
(x, y) = (-1, -2)
328
}
(x, y) = (4, 1)
(x, y) = (2, 1)
c. 2x – 3 – (x + 2y) = 0
2x – 3 (x – y) = – 1
d.
3 · (x + 5) –2 · (y –1) = 33
x + 4 · (y + 7) = 24
}
(x, y) = (4, -2)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
6
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK: x2 – y2 = 16
x–y=2
} ise x ve y
kaçt›r?
ÇÖZÜM: x – y = 2 ve (x – y) (x + y) = 16 oldu¤undan 2(x + y) = 16 ⇒ x + y = 8 olur.
x–y=2
5+y=8
+ x+y=8
–––––––––––––––
2x = 10
y=3
x=5
(x, y) = (5, 3)
x–y=2
x+y=8
(x, y) = (5, 3)
(x, y) = (7, 5)
3x + y = 7
5. 9x2 – y2 = 35
2. x2 – 4y2 = 5
x – 2y = 1
4. x2 – y2 = 16
1. x2 – y2 = 24
(x, y) = (2, 1)
(x, y) = (3, 1)
2a – 7b = 13
4a + b = 6
(a, b) = (10, 1)
Ortaokul 8. S›n›f
6. 16a2 – b2 = 12
3. 4a2 – 49b2 = 351
(a,b) = (1, 2)
329
Denklem Sistemleri
7
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK
1
−
x
1
+
x
1
=
y
1
=
y
1⎫
⎪
6⎪
⎬
5⎪
6 ⎪⎭
denklemleri ortak çözünüz.
ÇÖZÜM
Taraf tarafa toplan›r.
1
−
x
1
+
x
+
1
=
y
1
=
y
1
6
5
6
1 1 1 5
+ = +
x x 6 6
2 6
=
x 6
2
=1
x
x=2
1 1 5
+ =
x y 6
denklemdeki x yerine 2 yaz›l›r.
1 1 5
+ =
2 y 6
1 5 1
= −
y 6 2
(1)
(3)
1 5−3
=
y
6
1 2
=
y 6
2y = 6
y=3
(x, y) = (2, 3)
1.
1 1 9 ⎫
+ =
⎪
a b 20 ⎪
⎬
1 1
1
− =− ⎪
a b
20 ⎪⎭
(a, b) = (5, 4)
330
2.
1
−
x
1
+
x
1 2 ⎫
=
⎪
y 35 ⎪
⎬
1 12 ⎪
=
y 35 ⎪⎭
(x, y) = (7, 5)
3.
⎫
2 2
− =2⎪
x y
⎪
⎬
1 1
+ =0⎪
⎪⎭
x y
(x, y) = (2, -2)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
8
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK: 4x2 – 12xy + 9y2 = 16
2x + 3y = 8
} denklemleri ortak çözünüz.
ÇÖZÜM
4x2 – 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2 dir.
(2 x − 3 y )2 = 16
ise
2x – 3y = 4
veya
2x – 3y = – 4 olabilir.
2x – 3y = 4
veya
2x – 3y = – 4
+ 2x + 3y = 8
–––––––––––––––
+ 2x + 3y = 8
–––––––––––––––
4x = 12
4x = 4
x=3
x=1
2x + 3y = 8
2x + 3y = 8
6 + 3y = 8
2 + 3y = 8
3y = 2
3y = 6
y=
2
3
(x, y) = a 3,
y=2
2
k
3
a. x2 – 10xy + 25y2 = 36
x + 5y = 2
2
^x, yh = a 4, - 5 k
Ortaokul 8. S›n›f
(x, y) = (1, 2)
veya
}
b. x2 + 6xy + 9y2 = 25
x – 3y = 1
(x, y) = a 3,
}
2
k
3
331
Denklem Sistemleri
9
Afla¤›daki denklemleri ortak çözünüz.
ÖRNEK
⎫
4 3
− = 1⎪
⎪
a b
⎬
2 6
+ = 3⎪
⎪⎭
a b
ÇÖZÜM
2
denklemleri ortak çözünüz.
2 6
+ =3
a b
2 6
+ =3
2 b
6
1+ = 3
b
6
=2
b
2b = 6
b=3
4 3
− =1
a b
2 6
+ =3
a b
8 6
− =2
a b
2 6
+ =3
a b
10
=5
a
5a = 10 ⇒ a = 2
denkleminde a = 2 yaz›l›r.
(a, b) = (2, 3)
1.
1 1 1⎫
− = ⎪
x y 6⎪
⎬
2 3
+ =0⎪
⎪⎭
x y
3.
(a, b) = (5, 10)
(x, y) = (10, -15)
2.
3 1 5 ⎫
+ = ⎪
x y 4 ⎪
⎬
1 2
1
+ =1 ⎪
x y
4 ⎪⎭
(x, y) = (4, 2)
332
2 1 3 ⎫
− =
⎪
a b 10 ⎪
⎬
1 3
1
− =− ⎪
a b
10 ⎪⎭
4.
4 1 3 ⎫
+ =
⎪
x y 4 ⎪
⎬
1 3
5
− =− ⎪
x y
8 ⎪⎭
(x, y) = (8, 4)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
2. YER‹NE KOYMA METODU
‹ki bilinmeyenli denklem sisteminde bilinmeyenlerden herhangi birisi di¤eri cinsinden yaz›l›r ve di¤er
denklemde yerine koyularak çözüm kümesi bulunur.
10
Afla¤›daki denklem sistemlerinin çözüm kümelerini yerine koyma metodu ile bulunuz.
ÖRNEK - 1
x–y=7
x+y=5
}
ÇÖZÜM:
x – y = 7 denkleminde x, y cinsinden yaz›l›r.
x=y+7
x + y = 5 denkleminde x yerine, y cinsinden efliti yaz›l›r.
y+7+y=5
y=–1
x = –1 + 7 = 6
(x, y) = (6, –1)
1. x + 2y = 3
3.
}
3x + y = 4
x + 2y = – 1
(x, y) = (1, 1)
2. 2a + 3b = 1
a+b=1
}
(a, b) = (2, -1)
Ortaokul 8. S›n›f
3x + y = 2
}
(x, y) = (1, 1)
4. x = 2y – 4
y = 3x – 3
}
(x, y) = (2, 3)
333
4. Ünite
11
Afla¤›da verilen do¤rular›n kesiflim noktalar›n› bulunuz.
ÖRNEK: 2x + 3y – 1 = 0 ve 3x – y + 4 = 0 do¤rular›n›n kesiflti¤i noktaya bulunuz.
ÇÖZÜM
Denklemler ortak çözülerek,
2x + 3y – 1 = 0
2x + 3y – 1 = 0 ⇒
3 / 3x – y + 4 = 0
⇒ + 9x – 3y + 12 = 0
–––––––––––––––––––––
11x + 11 = 0
kesiflim noktas› (–1, 1) bulunur.
⇒ x = –1
⇒ –2 + 3y – 1 =0 ⇒ y = 1
a. x + y – 5 = 0
b. 2x – y + 3 = 0
x–y+1=0
x + 4y + 6 = 0
(2, 3)
(-2, -1)
c. x – 5y – 11 = 0
d. 5x – 2y + 3 = 0
4x + y – 2 = 0
x+y+2=0
(1, -2)
Ortaokul 8. S›n›f
(-1, -1)
347
Denklem Sistemleri
12
ÖRNEK: y = 0, x – y = 4 ve x + y = 6 do¤rular›n›n aras›nda kalan üçgensel bölgenin alan› kaç br2
dir?
ÇÖZÜM
x–y=4
y
x
y
6
1
x′
6
x
+
y
=
4
0
x+y=6
x
0
6
y
6
0
6
–4
x
–
y
=
4
4
x
0
–4
y′
Taral› üçgenin; taban uzunlu¤u 6 – 4 = 2br Yüksekli¤i bulmak için iki do¤runun kesifltikleri noktan›n
ordinat› bulunmal›d›r. Bu durumda, iki do¤runun denklemi ortak çözülerek y bulunur.
–/x–y=4 ⇒
–x+y=–4
+ x+y=6
+ x+y=6
2y = 2 ⇒ y = 1
Alan› :
1.
2 ·1
= 1 br2 olur.
2
x + y = 1, x – y = 5, y = 0 do¤rular›n›n s›n›rlad›¤› üçgensel bölgenin alan› kaç br2 dir?
4
2.
x + y = 8, x – y = 0, y = 0 do¤rular›n›n s›n›rlad›¤› üçgensel bölgenin alan› kaç br2 dir?
16
3.
x + y = – 8, x – y = 2, y = 0 do¤rular›n›n s›n›rlad›¤› üçgensel bölgenin alan› kaç br2 dir?
25
348
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
x ≤ a eflitsizli¤ini sa¤layan x de¤erleri
a
x < a eflitsizli¤ini sa¤layan x de¤erleri
a
x ≥ a eflitsizli¤ini sa¤layan x de¤erleri
a
x > a eflitsizli¤ini sa¤layan x de¤erleri
a
13
1.
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x de¤erlerini say› do¤rusunda gösteriniz.
ÖRNEK : 2x – 1 ≥ 5
ÇÖZÜM : 2x – 1 ≥ 5
→
a. 3x – 1 < 8
2x ≥ 5 + 1
3
c. 4x – 3 > 2x + 4
7
2
5
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x de¤erlerini say› do¤rusunda gösteriniz.
ÖRNEK:
x−3
>2
4
ÇÖZÜM: 4·
a.
x–3
>2·4
4
x−5
>2
3
→ x – 3 > 8 → x > 8 + 3 → x > 11
b.
11
3.
→ x≥3
b. 4x – 7 ≥ 13
3
2.
2x 6
≥
2
2
→
2x + 1
≥ −1
2
-
11
c.
x−4
<3
2
3
2
10
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x de¤erlerini say› do¤rusunda gösteriniz.
ÖRNEK: 5(x – 1) ≥ 3(x – 7)
ÇÖZÜM : 5x – 5 ≥ 3x – 21 → 5x – 3x ≥ –21 + 5 → 2x ≥ – 16 →
2x –16
→ x≥–8
≥
2
2
–8
a. 5 · (2x – 3) ≥ 6 · (x + 1)
21
4
Ortaokul 8. S›n›f
b. 7 · (x + 3) ≤ 4 · (x – 2)
-
29
3
c. 2(x – 1) > 3(1 – x)
1
355
Eflitsizlikler
14
1.
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x de¤erlerini bulunuz.
ÖRNEK - 1
ÇÖZÜM
ÖRNEK - 2
ÇÖZÜM
2x – 5 > 3x + 4
2x – 5 > 3x + 4
x – 1 ≤ 3(x – 5)
x – 1 ≤ 3(x – 5)
2x – 3x > 4 + 5
x – 1 ≤ 3x – 15
(–1) · (–x) < 9 · (–1)
x – 3x ≤ – 15 + 1
−2 x −14
≥
−2
−2
x < –9
x≥7
a. 3x – 6 > 4x – 7
x 11
b. 2(x – 2) > 4(x + 6)
x 1 x 1
− < +
4 2 2 4
c.
x 1 -14
x 2 -3
2.
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x de¤erlerinibulunuz.
ÖRNEK - 1
a.
x−2
>4
−3
b.
2x + 1
≤ −5
−2
ÇÖZÜM
x−2
(–3 )
< 4 · (–3 )
−3
x – 2 < – 12
2x + 1 ≥ 10
x < –12 + 2
2x ≥ 10 – 1
x < –10
2x ≥ 9 → x ≥
a.
x−4
>2
−5
x 1 -6
356
ÖRNEK - 2
ÇÖZÜM
2x + 1
(–2 )·
≥ ( −5 ) · (–2 )
−2
b.
2x − 1
<1
−2
x2-
1
2
9
2
c.
x−2 3
>
−2
2
x 1 -1
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
15
1.
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x de¤erlerini bulunuz.
ÖRNEK - 1
a.
ÖRNEK - 2
x 1 x 1
− < +
3 3 2 2
x 1
1
+ ≥x−
3 4
2
ÇÖZÜM
x
3
x
3
1
−
3
−
<
x
x
2
<
2
2x − 3x
6
(−6)
ÇÖZÜM
−x
<
>
6
+
1
2
1
x
2
3
+
1
x
3
3
b.
−
x
1
3
5
x
1
−3≥ x+
2
4
13
2
≥−
1
2
1
−
2
1
4
≥ −2 − 1
4
⎛ 3 ⎞ −2x
3 ⎛ 3⎞
≤ − ⎜− ⎟
⎜− ⎟
⎝ 2⎠ 3
4 ⎝ 2⎠
( −6)
6
Ortaokul 8. S›n›f
4
6
9
x ≤ ––
8
c.
15
8
x #-
≥x−
x − 3x
x 1 x 1
+ < +
5 2 3 4
x2
1
3+2
x > –5
a.
+
2x
1
− 1≤ x +
3
2
x$-
d.
9
2
x 1
x 1
–
≤
+
5 10 10 2
x#6
357
Eflitsizlikler
16
1.
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x gerçel say›lar›n› say› do¤rusunda gösteriniz.
a. x > 3
c. x ≥ 1
3
2
2.
c.
b. –x ≥ –2
2
2
x
>4
−2
e. –4x < 20
-5
-8
d.
x
≤1
−3
f. –5x ≤ 10
-2
-3
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x gerçel say›lar›n› say› do¤rusunda gösteriniz.
a. x – 1 > 7
8
b. x + 8 > 5
-3
c. x + 2 < 10
e. x + 6 ≥ 2
8
-4
d. x + 8 < 5
f. x + 5 ≤ 2
-3
-3
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x gerçel say›lar›n› say› do¤rusunda gösteriniz.
a. 3(x – 1) > 2x + 2
5
b. 5(x – 1) < 4(x + 1)
9
358
f. x ≤ 2
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x gerçel say›lar›n› say› do¤rusunda gösteriniz.
-3
4.
2
3
2
3
a. –x > 3
3.
4
1
d. x >
b. x ≥ 2
e. x < 4
c. 7(x – 1) + 3 ≥ 5x
e.
x −1 x − 2
−
<0
2
5
2
d. 4x – 3 ≤ 2x + 7
5
1
3
f.
x x +1
+
≤0
3
2
-
3
5
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
17
1.
Afla¤›daki eflitsizlikleri sa¤layan x gerçel say›lar›n› say› do¤rusunda gösteriniz.
ÖRNEK - 1
ÖRNEK - 2
x – 3 > 1 ve x + 2 < 10
2x + 2 ≥ 4 ve 3x – 1 < 11
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x–3>1
x + 2 < 10
2x + 2 ≥ 4
3x – 1 < 11
x>1+3
x < 10 – 2
2x ≥ 4 – 2
3x < 11 + 1
x>4
x<8
2x ≥ 2
3x < 12
x≥1
x<4
4<x<8
1≤x<4
4
1
8
a. x + 5 > 7 ve x – 2 < 7
2
2.
b.
4
x
x
≤ 1 ve
> –2
–3
–2
9
-3
4
Afla¤›daki eflitsizlikleri birlikte sa¤layan tam say›lar› bulunuz.
ÖRNEK - 1
ÖRNEK - 2
x + 3 > 1 ve x – 2 ≤ 3
2x + 5 ≥ 1 ve 3x – 4 ≤ 2
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x+3>1
x–2≤3
2x + 5 ≥ 1
3x – 4 ≤ 2
x>1–3
x≤3+2
2x ≥ 1 – 5
3x ≤ 2 + 4
x > –2
x≤5
2x ≥ –4
3x ≤ 6
–2 < x ≤ 5 olup eflitsizli¤i sa¤layan
x ≥ –2
x≤2
tam say›lar –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 olur.
–2 ≤ x ≤ 2 olup eflitsizli¤i sa¤layan
tam say›lar –2, –1, 0, 1, 2 olur.
a. x + 5 > 2 ve x – 2 ≤ 1
-2, -1, 0, 1, 2, 3
Ortaokul 8. S›n›f
b.
x−2
x +1
≥ −1 ve
<1
3
2
-1, 0
359
Eflitsizlikler
18
1.
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
a. 3x – 1 > 11 eflitsizli¤ini sa¤layan en küçük x do¤al say›s› kaçt›r? 5
b. 5x + 2 < –18 eflitsizli¤ini sa¤layan en büyük x do¤al say›s› kaçt›r? -5
c. m > 312 : 3 eflitsizli¤ini sa¤layan en küçük m do¤al say›s› kaçt›r?
d. 2x + 1 < 7 eflitsizli¤ini sa¤layan kaç tane do¤al say› vard›r? 3
105
tane
e. 3x + 7 > –2 ve 2x + 1 ≤ 5 eflitsizliklerini birlikte sa¤layan x tamsay› de¤erleri kaç tanedir?
4 tane
2.
Afla¤›da verilen eflitsizlikleri birlikte sa¤layan x gerçel say›lar›n› bulunuz.
ÖRNEK - 1
ÖRNEK - 2
x – 3 < 0 ve x + 2 > 0
2x + 1 ≤ 7 ve 3x – 2 > 1
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
x–3<0
x+2>0
2x + 1 ≤ 7
3x – 2 > 1
x<3
x > –2
2x ≤ 7 – 1
3x > 1 + 2
2x ≤ 6
3x > 3
x≤3
x>1
–2 < x < 3
1<x≤3
a. x + 2 > 0 ve x – 2 < 0
-2 1 x 1 2
c.
x
x
> −3 ve ≤ 1
2
3
-6 1 x # 3
b. 3x – 1 ≥ –10 ve 2x + 1 ≤ 7
-3 # x # 3
d.
x −1
x+2
≥ −1 ve
<5
3
2
-2 # x 1 8
360
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
4. Ünite
19
1.
Afla¤›daki problemlere uygun eflitsizlikleri yazarak çözümünü yap›n›z.
a. 3 kat›n›n 1 eksi¤inin yar›s›, 5 ten büyük olan say›lar› bulunuz. 3x - 1 2 5 & x 2 11
2
3
b. Ahmet’in yafl›n›n 3 kat›n›n 5 eksi¤i 25 ten büyüktür. Buna göre Ahmet en az kaç yafl›ndad›r?
3x - 5 2 25 & Ahmet, en az 11 yafl›ndad›r.
c. Ozan’›n yafl›n›n 3 kat›n›n 1 eksi¤i 14 ten küçüktür. Buna göre Ozan en fazla kaç yafl›nda ola3x - 11 14 & Ozan, en fazla 4 yafl›ndad›r.
bilir?
d. 1 fazlas›n›n
1
1
i, kendisinin 7 fazlas›n›n
inden küçük olan en büyük do¤al say› kaçt›r?
3
6
1
1
^x + 1h · 3 1 ^x + 7h · 6
2.
en büyük 4 olabilir.
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
a. A = 3x + 2 ifadesi veriliyor. A n›n –7 den büyük olmas› için x yerine yaz›labilecek kaç tane
negatif tam say› vard›r?
2 tane
b. B = 2x – 1 ifadesi veriliyor. B nin 5 ten küçük olmas› için x yerine yaz›labilecek kaç tane do¤al
say› vard›r?
3 tane
c. C = 4x + 1 ifadesi veriliyor. C nin –11 den büyük ve 19 dan küçük olmas› için x yerine yaz›labilecek kaç tane tam say› vard›r?
7 tane
3.
Afla¤›daki sorular› cevaplay›n›z.
a. –3 < x ≤ 5 aral›¤›ndaki tam say›lar için (x – 3)2 nin en büyük de¤eri kaçt›r? 35
b. –4 ≤ x < 4 aral›¤›ndaki tam say›lar için (x – 2)2 nin en küçük de¤eri kaçt›r? 0
c. –2 < x < 5 ve –3 ≤ y ≤ 4 x ve y tam say› olmak üzere,
1. x – y nin en büyük de¤eri kaçt›r? 7
2. x – y nin en küçük de¤eri kaçt›r? -5
d. 3x – 1 > 11 ve 5y + 2 < 32 veriliyor. Buna göre en küçük x ve en büyük y do¤al say›lar›n›n toplam› kaç olur?
Ortaokul 8. S›n›f
10
361
5. Ünite
1
Afla¤›daki ayr›tlar›n›n uzunluklar› (a, b, c) verilen dikdörtgenler prizmalar›n›n alan›n› (A) , hacmini (V) , yü zey köflegenlerinin uzunluklar›n› (e1, e2, e3) ve cisim köflegeninin uzunlu¤unu (f) bulunuz.
ÖRNEK: a = 3 cm b = 2 cm c = 4 cm ise Ya = ? A = ? V = ? e1 = ? e2 = ? e3 = ? f = ?
ÇÖZÜM:
A = 2(ab + ac + bc) = 2(6 + 12 + 8) = 2 · 26 = 52 cm2
V = a · b · c = 3 · 2 · 4 = 24 cm3
e1 =
a2 + b2 =
32 + 22 =
e2 =
b2 + c2 =
22 + 42 = 4 + 16 = 20 = 2 5 cm
e3 =
a2 + c2 =
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 cm
f=
a2 + b2 + c2 =
1.
a = 5 cm, b = 3 cm, c = 2 cm
62
9 + 4 = 13 cm
32 + 22 + 42 =
9 + 4 + 16 =
29 cm
30
A = .......... cm2, V = .......... cm3
38
29
13 cm, e = ..........
34 cm, e = ..........
e1 = ..........
cm, f = .......... cm
2
3
2.
1
cm
2
, b = 1 1 cm
, c = 1 cm
4
2
15
13
2
16 cm3
2
A = ..........
cm , V = ..........
a=1
29 cm, f = ..........
65 cm
61 cm, e2 = ..........
10 cm, e3 = ..........
e1 = ..........
4
4
4
2
3. a = 5 br , b = 3 br , c = 2 br
2 · ^ 15 + 6 + 102h
30 cm3
A = .......... cm , V = ..........
10 cm
8 cm, e = ..........
5 cm, e = ..........
7 cm, f = ..........
e1 = ..........
2
3
Ortaokul 8. S›n›f
367
5. Ünite
KARE D‹K PR‹ZMANIN ÖZELL‹KLER‹, ALANI VE HACM‹
H
G
Tabanlar› karesel bölge, yan yüzleri dikdörtgensel bölgelerden oluflan dik
prizmaya kare prizma denir.
h
E
Taban alan› = Ta = a2
F
D
C
a
A
a
Yanal alan› = Ya = 4ah
Yüzey Alan› = A = 2a2 + 4ah
Hacmi = V = a2h
B
2
1.
Afla¤›daki ayr›tlar›n›n uzunluklar› (a ve h) verilen kare dik prizmalar›n alanlar›n› (A) , yanal alanlar›n›
(Ya) ve hacimlerini bulunuz.
ÖRNEK: a = 4 cm h = 10 cm olan kare dik prizmada,
Ya = .......... cm2 A = .......... cm2 V = .......... cm3
ÇÖZÜM
Ya= 4ah = 4 · 4 · 10 = 4 · 40 = 160 cm2
A = 2a2 + 4 · a · h = 2 · 42 + 4 · 4 · 10 = 32 + 160 = 192 cm2
V = a2 · h = 42 · 10 = 16 · 10 = 160 cm3
a.
b.
2.
a = 3 cm
h = 6 cm
Ya =72
... cm2
A = 90
... cm2
a = 4 cm
h = 5 cm
... cm2
Ya =80
112
A=
... cm2
V =54
... cm3
V =80
... cm3
Afla¤›da kare dik prizmaya ait verilen bilgilere göre istenilenleri bulunuz.
a. A = 192 cm2 ve a = 4 cm ise h kaç cm dir? 10
b. V = 250 cm3 ve a = 5 cm ise h kaç cm dir? 10
c. V = 160 cm3 ve h = 10 cm ise a kaç cm dir? 4
Ortaokul 8. S›n›f
371
5. Ünite
KÜPÜN ÖZELL‹KLER‹, ALANI ve HACM‹
H
G
Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› birbirine eflit olan kare dik prizmaya küp denir.
Küpün bütün yüzeyleri efl karesel bölgelerden oluflmufltur.
E
f
Tüm alan› = A = 6a2
F
D
C
e
A
Hacmi = V = a3
a
a
B
Bir yüzey köflegeninin uzunlu¤u = e = a 2
Bir cisim köflegeninin uzunlu¤u = f = a 3
3
Afla¤›daki tabloda bir küpün verilen elemanlar›ndan yararlanarak verilmeyen elemanlar›n› bulunuz.
a
3 cm
A
54 cm2
e
3 3 cm
27 cm3
5 2 cm
5 3 cm
125 cm3
6 3 cm
216 cm3
150 cm2
6 cm
216 cm2
2 cm
24 cm2
2 2 cm
600 cm2
10 2 m
10 m
3 cm
54 cm2
Ortaokul 8. S›n›f
6 m2
V
3 2 cm
5 cm
1m
f
8 cm3
10 3 m
1000 cm3
3 2 cm
3 3 cm
27 cm3
2 cm
3 cm
1 m3
373
5. Ünite
ÜÇGEN D‹K PR‹ZMANIN ALANI ve HACM‹
Taban› üçgensel bölge olan prizmaya üçgen dik prizma denir.
b
D
Üçgen dik prizma, eflkenar üçgen dik prizma, ikizkenar üçgen dik prizma ve çe-
F
c
flitkenar üçgen dik prizma gibi tabanlar›ndaki üçgenlerin çeflidine göre adland›r›-
a
E
A
h
l›r.
C
Yanal alan› = Ya = (a + b + c) . h
Tüm alan› = A = Yanal Alan + 2 · (Taban Alan›)
Hacmi = V = (Taban Alan›) · (Yükseklik)
B
4
1.
Afla¤›da elemanlar› verilen üçgen dik prizmalar›n tüm alan ve hacimlerini bulunuz.
ÖRNEK: Taban ayr›tlar› a = 5 cm,
b = 6 cm, c = 4 cm, tabandaki üçgenin a kenar›na ait yük-
sekli¤i ha = 4 cm ve cisim yüksekli¤i h = 8 cm olan üçgen dik prizman›n alan›n› ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
A = Ya + 2 . Ta
V = Ta . h
A = h · (a + b + c) + 2 ·
a · ha
2
A = 8(5 + 6 + 4) + 5 · 4
V=
1
· ah a · h
2
V=
1
·5·4·8
2
A = 8 · 15 + 20
A = 120 + 20 = 140 cm2
a.
a = 6 cm
V = 80 cm3
b = 8 cm
c = 9 cm
ha = 5 cm
h = 10 cm
b = 7 cm
c = 8 cm
hc = 6 cm
h = 20 cm
A = 260 cm2
V = 150 cm3
b.
a = 10 cm
2
A = 548 cm
V = 480 cm3
Ortaokul 8. S›n›f
375
Geometrik Cisimler
2.
Afla¤›da elemanlar› verilen eflkenar üçgen dik prizmalar›n alan ve hacimlerini bulunuz.
ÖRNEK: Bir kenar uzunlu¤u 4 cm ve cisim yüksekli¤i 10 cm olan eflkenar üçgen dik prizman›n
alan ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
A = Ya + 2 · Ta
V = Ta · h
1 a2 3
A = h · ( a + a + a) + 2 ·
4
2
A = 10 · 12 +
V=
42 3
· 10 = 40 3 cm3
4
16 3
2
A = (120 + 8 3 ) cm2
a.
Bir taban kenar›n›n uzunlu¤u 2 cm ve cisim yüksekli¤i 6 cm
A = ^36 + 2 3 h cm 2
V = 6 3 cm 3
b.
Bir taban kenar›n›n uzunlu¤u 6 cm ve cisim yüksekli¤i 20 cm
A = ^360 + 18 3 h cm
V = 180 3 cm 3
3.
2
Afla¤›daki dik üçgen dik prizmalar›n alan ve hacimlerini bulunuz.
ÖRNEK: Bir dik üçgen dik prizman›n taban›n›n dik kenar›n›n uzunluklar› 3 cm ve 4 cm dir. Cisim
yüksekli¤inin uzunlu¤u 10 cm ise alan ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
A = Ya + 2 Ta
A = 10 ·(3 + 4 + 5 ) + 2 ·
V = Ta · h
3 ·4
2
V=
3 ·4
·10
2
A = 10 · 12 + 12
V = 6 · 10
A = 120 + 12
3
V = 60 cm
2
A = 132 cm
a.
Taban dik kenar uzunluklar› 6 cm ve 8 cm, cisim yüksekli¤i 20 cm
A = 528 cm2
V = 480 cm3
b.
Taban dik kenar uzunluklar› 9 cm ve 12 cm, cisim yüksekli¤i 30 cm
A = 1188 cm2
376
V = 1620 cm3
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
5. Ünite
DÜZGÜN ALTIGEN D‹K PR‹ZMANIN ÖZELL‹KLER‹, ALANI ve HACM‹
Tabanlar› efl düzgün alt›gensel bölgeler olan dik prizmaya düzgün alt›gen dik prizma denir. Taban kenarlar› eflit uzunluktad›r.
N a
üst
taban
M
a
G
L
a
I
H a
yükseklik
alt
taban
Taban alan› = Ta = 6 .
a
a
Yanal alan› = Ya = 6 · a · h
h
F
E
a
a
A
a
a
D
a
B
a
a2 3
4
Alan = A = 2Ta + Ya
Hacmi = V = Ta · h
C
5
ÖRNEK: Taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 2 cm ve cisim yüksekli¤inin uzunlu¤u 6 cm olan düzgün
alt›gen dik prizman›n tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
A =2Ta + Ya
a.
A = 2·
6a2 3
+ 6 · a ·h
4
A = 2·
6 · 22 3
+ 6 ·2 ·6
4
V = Ta · h
A = (12 3 + 72 ) cm2
V = 6.
a2 3 .
h
4
V = 6.
22 3 .
6
4
V = 36 3 cm3
Taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 4 cm ve cismin yüksekli¤inin uzunlu¤u 10 cm olan düzgün alt›gen dik prizman›n tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.
A = ^240 + 48 3 h cm 2
V = 240 3 cm 3
b.
Taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 2 cm ve cismin yüksekli¤inin uzunlu¤u 8 cm olan düzgün alt›gen
dik prizman›n›n tüm alan›n› ve hacmini bulunuz.
A = ^96 + 12 3 h cm 2
V = 48 3 cm 3
Ortaokul 8. S›n›f
377
Geometrik Cisimler
2.
Afla¤›daki sorular› yan›tlay›n›z.
3
a. Hacmi 480 3 cm ve taban›n›n bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 4 cm olan düzgün alt›gen dik prizma-
n›n yüksekli¤i kaç cm dir?
20 cm
b. Hacmi 12 3 cm3 ve cisim yüksekli¤i 8 cm olan düzgün alt›gen dik prizman›n bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u kaç cm dir?
1 cm
c. Taban alan› 6 3 cm2 olan düzgün alt›gen dik prizman›n bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u kaç cm
dir?
2 cm
d. Bütün alan› (12 3 + 240 ) cm2 ve cisim yüksekli¤i 20 cm olan düzgün alt›gen dik prizman›n
bir taban ayr›t›n›n uzunlu¤u kaç cm dir?
2 cm
S‹L‹ND‹R‹N ÖZELL‹KLER‹, ALANI ve HACM‹
üst taban
r
h
yükseklik
r
h
2πr
r
r
alt taban
Silindirin tabanlar› efl daireler ve yan yüzü dikdörtgendir.
2
Taban alan› = Ta = π r
Yanal alan› = Ya = 2 π r h
378
Tüm alan› = A = 2π r 2 + 2 π r h
Hacmi = V = π r 2 · h
= 2π r (r + h)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
5. Ünite
6
1.
Afla¤›da taban yar›çaplar› ve yükseklikleri verilen dik silindirlerin yanal alanlar›n›, bütün alanlar›n›
ve hacimlerini bulunuz.
ÖRNEK: Taban yar›çap› 4 cm ve yüksekli¤i 10 cm olan bir dik silindirin yanal alan›n›, bütün alan›n› ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
D
Ya = 2πrh
A
a.
C
Ya = 2 π r h
h
Ya = 2 · π · 4 · 10
B
Ya = 80 π cm2
Bütün alan = 2 · π r 2 + Ya
r = 5 cm h = 10 cm (π türünden) Ya
(π =
= 2 · π 42 + 80π
= π 42 · 10
= 32 π + 80π
= 160 π cm3
2
= 112 π cm
= 100 π cm2
A = 150 π cm2
V = 250 π cm3
22
)
7
b.
r = 7 cm h = 6 cm
c.
r = 10 cm h = 20 cm (π = 3,14)
Ya = 1256 cm2
Hacmi = V = π r 2 h
Ya = 264 cm2
A = 572 cm2
V = 1848 cm3
A = 1884 cm2
V = 6280 cm3
2.
3.
Afla¤›da hacimleri ve taban yar›çaplar› verilen silindirlerin yüksekliklerinin uzunluklar›n› bulunuz.
a.
V = 400 π cm3 ve r = 10 cm ise h kaç cm dir?
4 cm
b.
3
V = 75 π cm ve r = 5 cm
ise h kaç cm dir?
3 cm
c.
3
V = 360 π cm ve r = 6 cm
ise h kaç cm dir?
10 cm
Afla¤›da hacimleri ve yükseklikleri verilen silindirlerin taban yar›çaplar›n› bulunuz.
a.
3
V = 40 π cm ve h = 10 cm ise r kaç cm dir? 2
b.
3
V = 314 m ve h = 1 m ise r kaç cm dir? (π = 3,14)
c.
V = 1540 cm ve h = 10 cm ise r kaç cm dir?
Ortaokul 8. S›n›f
3
cm
10 cm
(π =
22
)
7
7 cm
379
5. Ünite
7
Afla¤›da taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› ve yan yüz yükseklikleri verilen kare dik piramitlerin alan ve
hacimlerini bulunuz.
ÖRNEK: Taban ayr›tlar›ndan birinin uzunlu¤u 3 cm ve yan yüz yüksekli¤i 10 cm olan bir kare dik
piramitin bütün alan›n› ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM
Taban Alan› = 32 = 9 cm2
10 · 3
Yanal Alan› = 4 ·
= 60 cm2
2
P
Yüzey Alan› = 69 cm2
Cisim yüksekli¤i; Pisagor ba¤›nt›s›ndan
3 2
2
2
h + b l = 10
2
10
h
cm
D
C
h2 = 100 –
3 cm
2
A
V=
a.
a = 3 cm
B
1
1 2
1 2
T ·h=
a ·h=
3 ·
3 a
3
3
391
cm olur.
2
h=
3912
9 391
=
4
4
=
3
2
391 cm3
Taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 2 cm ve yan yüz yüksekli¤i 4 cm
A = 20 cm 2
4 15
V=
cm 3
3
b.
Taban ayr›t›n›n uzunlu¤u 3 cm ve yan yüz yüksekli¤i 5 cm
A = 39 cm 2
3 91
V=
cm 3
2
Ortaokul 8. S›n›f
383
Geometrik Cisimler
8
1.
Bütün ayr›tlar›n›n uzunluklar› eflit olan afla¤›daki kare dik piramitlerin bütün alanlar›n› bulunuz.
ÖRNEK: Bir kare dik piramidin her ayr›t›n›n uzunlu¤u 3 cm dir. Bu piramidin bütün alan›n› bulunuz
ÇÖZÜM: Taban› kare ve yanlar› eflkenar üçgendir.
A = a 2 + 4.
a.
a2 3
= a2+ a2 3 = (9 + 9
4
3 ) cm2
Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 2 cm
^4 + 4 3 h cm 2
b.
Bir ayr›t›n›n uzunlu¤u 4 cm
^16 + 16 3 h cm 2
2.
Afla¤›daki hacimleri ve bir taban ayr›tlar›n›n uzunluklar› verilen kare dik piramitlerin cisim yüksekliklerini bulunuz.
a.
3
V = 360 cm ve a = 6 cm
30 cm
b.
3
V = 30 cm ve a =
3 cm
30 cm
3.
Afla¤›daki hacimleri ve cisim yükseklikleri verilen kare dik piramitlerin taban ayr›tlar›n›n uzunluklar›n› bulunuz.
a.
3
V = 120 cm
ve h = 10 cm
6 cm
b.
V = 36 cm
3
ve h = 12 cm
6 cm
384
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
5. Ünite
D‹K KON‹N‹N ÖZELL‹KLER‹, ALANI ve HACM‹
P
P
tepe
tepe
tepe aç›s›
α
cisim yüksekli¤i
a
ana do¤ru
ana do¤ru
l
h
O
yanal yüz
yüz
r
yarݍap
taban
C
taban
yar›çap›
r
Dik koninin taban› daire, yan yüzü daire dilimidir.
2
Taban alan› = Ta = π r
Yanal alan› = Ya = π · r · l (l ana do¤ru uzunlu¤u)
2
Bütün alan› = A = Ta + Ya = π r + π r l = π r (r + l)
Hacmi = V =
1 2
πr h
3
Yan yüzdeki daire diliminin, taban›ndaki dairenin çevresini sard›¤›na ve bu
durumda 2πl ·
α
α
r
= 2πr ⇒ l =
oldu¤una dikkat ediniz.
360°
360
9
1.
Ana do¤rusunun uzunlu¤u, taban yar›çap›n›n uzunlu¤u ve yükseklik uzunlu¤u verilen dik konile rin yanal alan lar›n›, bütün alanlar›n› ve hacm ler ini bulunuz.
ÖRNEK: Ana do¤rusunun uzunlu¤u l = 10 cm, taban yar›çap›n›n uzunlu¤u r = 8 cm ve yüksekli¤inin uzunlu¤u 6 cm olan dik koninin yanal alan›n›, bütün alan›n› ve hacmini bulunuz.
ÇÖZÜM: Ya = π · r · l = π · 8 · 10 = 80π cm2
V=
1 2
1
π r h = · π · 82 · 6 = 128 π cm3
3
3
A = Ta + Ya = π r2 + π · r · l
2
2
= π · 8 + π · 8 · 10 = 144π cm
a
Ana do¤rusunun uzunlu¤u l = 6 cm
Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u r = 3 cm
Ya = 18 π cm2
A = 27 π cm2
V=9 3
Ortaokul 8. S›n›f
π cm3
385
Geometrik Cisimler
b.
Ana do¤rusunun uzunlu¤u l = 10 cm
Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u r = 6 cm
Ya = 60 π cm2
A = 96 π cm2
V = 96 π cm3
2.
ÖRNEK: Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u 6 cm ve yüksekli¤inin uzunlu¤u 8 cm olan dik koninin bütün alan›n› hesaplay›n›z.
ÇÖZÜM: PHA dik üçgeninde:
2
2
2
a =8 +6
h = 8 cm
P
H
l
r = 6cm
A = Ta + Y a
a2 = 64 + 36
= π r 2 + πrl
2
a = 100
= π · 62 + π · 6 · 10
a = 10 cm
2
= 96π cm
A
a. Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u 3 cm ve yüksekli¤i 4 cm olan dik koninin bütün alan›n› bulunuz.
21 π cm2
b. Taban yar›çap›n›n uzunlu¤u 5 cm ve yüksekli¤i 12 cm olan dik koninin bütün alan›n› bulunuz.
85 π cm2
3.
ÖRNEK: Ana do¤rusunun uzunlu¤u 10 cm ve yar›çap›n›n uzunlu¤u 6 cm olan dik koninin hacmi
kaç cm3 tür?
ÇÖZÜM: PHA dik üçgeninde;
2
2
h + 6 = 10
P
a = 10 cm
h
2
h2 + 36 = 100
V=
1 2
πr h
3
V=
1 2
π 6 ·8
3
2
h = 64
H
r = 6cm
A
h = 8 cm
3
V = 96 π cm
a. Ana do¤rusunun uzunlu¤u 13 cm ve yar›çap uzunlu¤u 5 cm olan dik koninin hacmi kaç cm3 tür?
100 π cm3
b. Ana do¤rusunun uzunlu¤u 15 cm ve yar›çap uzunlu¤u 9 cm olan dik koninin hacmi kaç cm3 tür?
324 π cm3
386
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
Veri Analizi
12
Afla¤›daki histogramlardan yararlanarak her histogram için veri grubu aç›kl›¤›n›n en çok ve en
az kaç olabilece¤ini, grup geniflli¤ini, grup say›s›n› ve ö¤renci say›s›n› bulunuz.
1. Bir s›n›ftaki ö¤rencilerin 1 dönem boyunca okuduklar› kitap say›lar› verilmifltir.
Ö¤renci Say›s›
Veri grubu aç›kl›¤› en çok
Veri grubu aç›kl›¤› en az
Grup geniflli¤i
Grup say›s›
Ö¤renci say›s›
15
9
6
Kitap say›s›
15 - 18
3-6
7 - 10
11 - 14
4
15
12
4
4
34
1. Bir s›n›ftaki ö¤rencilerin 1 hafta boyunca çözdükleri test say›lar› verilmifltir.
Ö¤renci Say›s›
Veri grubu aç›kl›¤› en çok
Veri grubu aç›kl›¤› en az
Grup geniflli¤i
Grup say›s›
Ö¤renci say›s›
13
9
8
5
27 – 31
22 – 26
7 - 11
408
12 - 16
17 – 21
3
24
20
5
5
38
Çözülen Test Say›s›
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik
5. Ünite
13
1. Bir firmada çal›flan elemanlar›n ayl›k gelirleri afla¤›daki gibidir.
300, 350, 500, 600, 550, 420, 480, 600, 640, 760,
800, 850, 900, 950, 880, 920, 500, 700, 450, 650,
550, 340, 580, 670, 870, 550, 680, 730, 880, 850
Bu verileri kullanarak siz de bir histogram oluflturunuz.
Eleman say›s›
8
7
562-692
693-823
824-954
431-561
300-430
4
Ayl›k Gelir
2. Bir markette sat›lan ürünlerin adetleri afla¤›daki gibidir.
25, 15, 42, 47, 30, 17, 15, 25, 13, 32, 21, 17,
19, 20, 20, 19, 30, 35, 27, 24, 24, 22, 16, 18
Bu verileri kullanarak siz de bir histogram oluflturunuz.
Ürün say›s›
12
8
Ortaokul 8. S›n›f
40 -48
31 -39
22 -30
13 - 21
2
Ürün adetleri
409
Veri Analizi
14
1.
Sayfa Say›s›
Ö¤renci Say›s›
16 - 20
21 - 25
26 - 30
31 - 35
36 - 40
Bir s›n›ftaki ö¤rencilerin 1 dakikada okuduklar› sayfa say›s›n›n çetele tablosu verilmifltir.
Bu tabloya göre histogram› oluflturunuz.
Ö¤renci say›s›
8
1.
31 - 35
36 - 40
21 -25
26 - 30
16 - 20
6
5
4
3
Sayfa Say›s›
Arpa (Ton)
300
250
200
150
100
50
0
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Y›llar
Bir çiftçinin elde etti¤i arpa miktar›n›n y›llara göre da¤›l›m› çizgi grafi¤i ile verilmifltir.
Bu tabloya göre histogram› oluflturunuz.
Y›l say›s›
410
253-303
202-252
151-201
100-150
4
3
2
Arpa (Ton)
Ad›m Ad›m Ifl›kl› Matematik