ZAMAN SKALALARI ÜZERĠNDE ÜSTEL FONKSĠYONUN ÖZELLĠKLERĠ VE BAZI UYGULAMALARI Hülya BĠÇĠCĠOĞLU YÜKSEK LĠSANS TEZĠ MATEMATĠK GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ MAYIS 2009 ANKARA Hülya BĠÇĠCĠOĞLU tarafından hazırlanan Zaman Skalaları Üzerinde Üstel Fonksiyonun Özellikleri ve Bazı Uygulamaları adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım. Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR Tez DanıĢmanı, Matematik Anabilim Dalı Bu çalıĢma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek Lisans tezi olarak kabul edilmiĢtir. Prof. Dr. Bahri TURAN Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi Yrd. Doç. Dr. , Adil MISIR . Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi Yrd. Doç. Dr. , A. Feza GÜVENĠLĠR Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi Tarih: 14/05/2009 Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini onamıĢtır. Prof. Dr. Nail ÜNSAL Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü TEZ BĠLDĠRĠMĠ Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranıĢ ve akademik kurallar çerçevesinde elde edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalıĢmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm. Hülya BĠÇĠCĠOĞLU v ZAMAN SKALALARI ÜZERĠNDE ÜSTEL FONKSĠYONUN ÖZELLĠKLERĠ VE BAZI UYGULAMALARI (Yüksek Lisans Tezi) Hülya BĠÇĠCĠOĞLU GAZĠ ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ Mayıs 2009 ÖZET Zaman skalası ortaya çıkmasından bugüne matematik dünyasında büyük bir ilgi odağı olmuĢtur. Ayrıca bu çalıĢma sahası geniĢ bir uygulama alanına sahiptir. Öncelikle zaman skalası kavramı ve zaman skalaları üzerinde delta türev, delta integral ve üstel fonksiyon kavramları analiz edildi. Daha sonra belli baĢlı istenen cebirsel özellikleri koruyan bir zaman skalası logaritması geliĢtirildi. Özellikle zaman skalası üsteli için tersi rol oynayan ve doğrusal olmayan operatör çalıĢıldı. Ġlk olarak skaler durum iĢleme kondu, onu matris durumu takip etti. Son olarak bazı uygulamalara yer verilmiĢtir. Bilim Kodu : 204.1.138 Anahtar Kelimeler : Zaman Skalası, Zaman Skalasında Üstel Fonksiyon Sayfa Adedi : 42 Tez Yöneticisi : Yrd. Doç. Dr. Adil Mısır vi THE PROPERTIES AND SOME APPLICATIONS OF EXPONENTIAL FUNCTIONS OVER THE TIME SCALES (M.Sc. Thesis) Hülya BĠÇĠCĠOĞLU GAZI UNIVERSITY INSTITUTE OF SCINCE AND TECHNOLOGY May 2009 ABSTRACT The time scale has been a focus of interest in the world of mathematics since it was discovered. Moreover, it has a large field of application. Firstly the concept of time scale and delta differential and delta integral on the time scale, and the concept of exponential functions are defined. After then we develop a time scale logarithm that preserves certain desirable algebraic properties. In the particular, a nonlinear operator is developed that acts as an inverse for the time scale exponential in a certain sense. The scalar case is treated first, with a treatment of matrix case following. Finally we present several applications. Science Code : 204.1.138 Key Words : The Time Scale, Exponential Function on the Time Scale Page Number : 42 Adviser : Asst. Prof. Dr. Adil Mısır vii TEġEKKÜR Bu çalıĢmayı yürütebilmem için değerli yardımlarını esirgemeyen tez yöneticim Sayın Yrd. Doç. Dr. Adil MISIR‟a teĢekkür ederim. viii ĠÇĠNDEKĠLER Sayfa ÖZET ………………………………………………………………………………..iv ABSTRACT ………………………………………………………………………….v TEġEKKÜR …………………………………………………………………………vi ĠÇĠNDEKĠLER ……………………………………………………………………..vii ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ ……………………………………………………………..ix ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ …………………………………………………………..x SĠMGELER …………………………………………………………………………xi 1. GĠRĠġ ……………………………………………………………………………...1 2. TEMEL KAVRAMLAR ………………………………………………………….3 2.1.Zaman Skalası …………………………………………………………………3 3. DELTA TÜREV VE TÜREVLENEBĠLĠRLĠK …………………………………8 3.1.Türevlenebilirlik …….………………………………………………………...8 4. ĠNTEGRAL ……………………………………………………………………...12 4.1. rd-Süreklilik ve Özellikleri ………………………………………………….12 5. BĠRĠNCĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠNAMĠK DENKLEMLER ……………...17 5.1. Hilger Kompleks Düzlemi …………………………………………………..17 5.2. Yeni Toplama Grubu ……………....………………………………………..20 5.3. Üstel Fonksiyon ……………………………………………………………..24 6. ZAMAN SKALASI LOGARĠTMASI …………………………………………..32 ix Sayfa 6.1. Skaler Durum ……………………………………………………………….....32 6.2. Matris Durum ………………………………………………………………...36 KAYNAKLAR ……………………………………………………………………..41 ÖZGEÇMĠġ ………………………………………………………………………...42 x ġEKĠLLERĠN LĠSTESĠ ġekil Sayfa ġekil 2.1. Noktaların Ģematik sınıflandırılması ………………………………………5 ġekil 2.2. Bazı zaman skalaları ……………………………………………………....7 ġekil 5.1. Hilger kompleks düzlemi ………………………………………………...18 ġekil 5.2. Hilger kompleks sayıları …………………………………………………19 xi ÇĠZELGELERĠN LĠSTESĠ Çizelge Sayfa Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması …………………………………………….4 Çizelge 2.2. Zaman skalasına örnekler ………………………………………………7 Çizelge 5.1. Toplamsal tersler ……………………………………………………...22 xii SĠMGELER VE KISALTMALAR Bu çalıĢmada kullanılmıĢ bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aĢağıda sunulmuĢtur. Simgeler Açıklama 𝕋 Zaman Skalası ℝ Reel Sayılar Kümesi ℤ Tam sayılar Kümesi ℕ Doğal Sayılar Kümesi ∑ Toplam Sembolü ∏ Çarpım Sembolü 𝐶𝑟𝑑 (𝐴, 𝐵) A kümesinden B kümesine rd-sürekli fonksiyonların kümesi ℛ 𝐴, 𝐵 A kümesinden B kümesine regresif fonksiyonların kümesi ∈ Elemanıdır. O BileĢke .∆ Delta türev 𝑏 ∫𝑎 . ∆ a noktasından b noktasına Delta integral 1 1. GĠRĠġ Fark denklemler teorisi, matematiğin sistematik olarak geliĢmesiyle birlikte ortaya çıkan ilk teorilerden birisidir. Bu teori, zamana bağlı ayrık olayların matematiksel ifadesinde kullanılmıĢtır. Fark denklemler birçok doğa olayını ifade etmekte kullanılır. Bununla birlikte fark denklemler diferansiyel denklemlerin nümerik çözümlerinin incelenmesinde de kullanılır. Yani, verilen bir diferansiyel denklemin, ayrık benzeri olan fark denklem ifade edilir ve bu fark denklem, diferansiyel denklemin çözümünün yapısını araĢtırmak için incelenir. Bu nedenledir ki fark denklem teorisi ve diferansiyel denklem teorisi birbirine çok yakın ve paralel olarak geliĢmektedir. Fark denklem teorisi ile diferansiyel denklem teorisi arasında çok fazla benzerlikler olduğu kadar çok önemli farklılıkları da vardır. Örneğin, birinci mertebeden bir diferansiyel denklemin salınımlı olan çözümleri yok iken bu denkleme iliĢkin fark denklemi salınımlı çözümlere sahip olabilmektedir. Fark denklemler teorisi yaklaĢık olarak sekiz asırlık çalıĢmalar sonunda sistematik bir hale gelmiĢken, diferansiyel denklemler teorisi dört asırdır çalıĢılmaktadır. Diferansiyel denklemler teorisinin daha kısa süredir çalıĢılmasının sebebi, doğa olaylarının kesiksiz olduğunun var sayılmasıdır. Bu yüzden, diferansiyel denklemler teorisi; fizik, kimya, biyoloji, astronomi, ekonomi ve diğer bilimlere ait matematiksel ifade yöntemi olarak kullanılır. Ancak zaman sürekli olarak ilerlese de, olaylarının kendi içinde süreklilik ve süreksizlik hallerinin aynı anda varlığı bir gerçektir. Dolayısıyla, her matematiksel olayı diferansiyel denklemlerle ve fark denklemlerle ifade etmek mümkün değildir. Fark denklemler Fibonacci tarafından çalıĢma konusu olarak dikkate alınmıĢtır ve onun çok baĢarılı çalıĢmaları sonucunda birçok matematikçi daha sonralarda bu ilginç alana yönelmiĢtir. Örneğin, Laplace sabit katsayılı homojen doğrusal fark denklemleri, Guichard ise aynı denklemin homojen olmayan özel hallerini ve Gelgrum bu denklemlerin çözümlerinin asimptotik davranıĢını inceleme konusu olarak seçmiĢtir. 2 Diferansiyel denklemler teorisi ise Leibnitz ve Newton tarafından baĢlatılıp, Claurit, Frobenious, Euler ve diğer birçok matematikçi tarafından geliĢtirilmiĢtir. Bu teoriye adını veren Leibnitztir. Yukarıda değinildiği gibi, doğa olayları ne tam olarak sürekli ne de tam olarak kesiklidir. Dolayısıyla, olaylara iliĢkin denklemlerin modellemelerinde yeni bir teoriye ihtiyaç duyulmaktadır. ĠĢte bu teorinin adı Zaman Skalasıdır. Zaman skalası teorisi ile birlikte, hem süreklilik hem de süreksizlik içeren olayların denklemlerinin matematiksel modellemesi formülize edilebilmektedir. Zaman skalası üzerinde tanımlı bu denklemlere dinamik denklemler denir. Dinamik denklemler zaman skalasının özel durumlarında, fark denklem ya da diferansiyel denklem haline dönüĢür ve Kuantum fiziğinde ortaya çıkan kuantum fark denklemine de dönüĢür. Böylece fark denklem ve diferansiyel denklem için ayrı ayrı sonuçlar vermek yerine, keyfi zaman skalaları için geçerli birleĢtirilmiĢ sonuçlar verilebilir. 3 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1. Zaman Skalası 2.1. Tanım ℝ reel sayılar kümesinin herhangi bir kapalı alt kümesine bir zaman skalası denir[2] ve 𝕋 ile gösterilir. Bu küme üzerindeki metrik ℝ′ deki alıĢıldık metrik olarak alınacaktır, yani s,t∈ 𝕋 d(s,t)=|s-t| olarak alınacaktır. 2.1. Örnek ℝ,{a},[a,b],ℤ, Cantor kümesi ve 𝑞 ℤ = 𝑞 ℤ ∪ 0 kümeleri kapalı kümelerdir. Bu kümeleri zaman skalalarına örnek olarak verebiliriz. Q ,(a,b],(a,b) zaman skalası olmayan kümelerdir. 2.2. Tanım 𝕋 bir zaman skalası olsun. t ∈ 𝕋 için 𝜍: 𝕋 → 𝕋 𝑡 → 𝜍 𝑡 = inf{𝑠 ∈ 𝕋; 𝑠 > 𝑡} ile tanımlı 𝜍 operatörüne ileri sıçrama operatörü denir[2]. 2.2. Örnek 𝕋=ℤ, 𝜍: ℤ → ℤ 𝑛 → 𝜍 𝑛 = inf{𝑠 ∈ ℤ ; 𝑠 > 𝑛} = inf 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, 𝑛 + 3, … … = 𝑛 + 1 (n ‟den n+1‟e sıçramıĢ oldu) 2.3. Tanım 𝕋 bir zaman skalası ,𝑡 ∈ 𝕋 olsun 𝜌: 𝕋 → 𝕋 t → 𝜌(t)=sup{s∈ 𝕋 ; 𝑠 < 𝑡} ile tanımlı 𝜌 operatörüne geri sıçrama operatörü denir[2]. 2.3. Örnek 𝕋= ℤ 𝜌 𝑛 = sup 𝑠 ∈ ℤ; 𝑠 < 𝑛 4 = sup . . , 𝑛 − 3, 𝑛 − 2, 𝑛 − 1, =𝑛 − 1 (n‟den n-1‟e geri sıçramıĢ oluyoruz) 2.4. Örnek 𝕋 = ℝ , 𝜍: ℝ → ℝ 𝑡 → 𝜍 𝑡 = inf 𝑠 ∈ ℝ ; 𝑠 > 𝑡 = inf 𝑡, ∞ = 𝑡 biçiminde olur ki bu operatörüyle özdeĢtir. 2.4. Tanım Tanım2.2 ve Tanım2.3‟e göre zaman skalasının elemanları aĢağıdaki gibi sınıflandırılır: (i) 𝜍 (t) =t ise, t ∈ 𝕋 elemanına sağ yoğun denir. (ii) 𝜍 (t)> 𝑡 ise, t ∈ 𝕋 elemanına sağ saçılımlı denir. (iii) ρ (t)= 𝑡 ise, t ∈ 𝕋 elemanına sol yoğun denir. (iv) ρ (t)< 𝑡 ise, t ∈ 𝕋 elemanına sol saçılımlı denir [2]. Ayrıca hem sağ saçılımlı hem sol saçılımlı noktalara ise izole noktalar denir. Noktaların sınıflandırılması Çizelge 2.1 de, Noktaların Ģematik gösterimi ise ġekil 2.1 de gösterilmiĢtir. Çizelge 2.1. Noktaların sınıflandırılması t sağdan saçılımlı 𝜍 (t)> 𝑡 t sağdan yoğun 𝜍 (t) =t t soldan saçılımlı ρ (t)<t t soldan yoğun ρ (t)= 𝑡 t izole ρ (t)<t< 𝜍 (t) t yoğun ρ (t)=t= 𝜍 (t) birim 5 t1 sağdan yoğun ve soldan yoğun t1 t2 soldan yoğun ve sağdan saçılımlı t2 t3 sağdan yoğun ve soldan saçılımlı t3 t4 sağdan ve soldan saçılımlı(izole) t4 ġekil 2.1. Noktaların Ģematik sınıflandırılması 2.5. Tanım 𝜇:𝕋 → [0, ∞) 𝑡→𝜇 𝑡 =𝜍 𝑡 −𝑡 ile tanımlı 𝜇 fonksiyonuna grainess(granül) fonksiyonu denir[2]. 2.5. Örnek AĢağıdaki dört durumu inceleyelim (i) Eğer 𝕋 = ℝ alınırsa her 𝑡 ∈ ℝ için 𝜍 𝑡 = inf s ∈ ℝ: s > 𝑡 = inf t, ∞ = t benzer Ģekilde 𝜌 𝑡 = sup s ∈ ℝ: s < 𝑡 = sup −∞, t = t olur. Burada her t ∈ ℝ noktası yoğundur. µ fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için, 𝜇 𝑡 = 0 olarak bulunur. (ii) Eğer 𝕋 = ℤ alınırsa her 𝑡 ∈ ℤ için 𝜍 t = inf s ∈ ℤ: s > 𝑡 = inf t + 1, t + 2, t + 3, … = t + 1 benzer Ģekilde 𝜌 t = sup s ∈ ℤ: s < 𝑡 = sup t − 1, t − 2, t − 3, … = t − 1 olarak bulunur. Burada her t ∈ ℤ noktası izole noktadır. 𝜇 fonksiyonu Her t ∈ 𝕋 için, 𝜇(𝑡) = 1 olur. 6 (iii) 𝕋 = 2n : n ∈ ℤ ⋃ 0 kümesini düĢünelim. Yığılma noktası olan 0 kümeye dahil olduğu için kapalı kümedir. t = 2n olacak Ģekilde ∂n ∈ ℤ vardır . O halde ς t = 2n+1 = 2t olarak bulunur. Benzer Ģekilde 1 ρ t = 2n−1 = 2 t olur. Burada her t ∈ 𝕋 noktası izole noktadır. 𝜇 fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için μ t = ς t − t olduğundan 𝜇 𝑡 = 𝑡 olarak bulunur. (iv) 𝕋 = n: n ∈ ℕ0 olsun. t = n olacak Ģekilde ∂n ∈ ℕ0 vardır. O halde 𝜍 𝑡 = n + 1 = t 2 + 1 olur. Benzer Ģekilde n = 0 için ρ 0 = 0 n ≥ 1 için ρ t = t 2 − 1 olur. 2.6. Tanım 𝕋 zaman skalası verildiginde 𝕋𝐾 , 𝕋′nin m‟de sol-saçılımlı bir maximumu varsa 𝕋𝐾 = 𝕋\ 𝑚 diğer hallerde 𝕋𝐾 = 𝕋 ile tanımlanır. Bu tanımı kısaca 𝕋𝐾 = 𝕋 − 𝑠𝑢𝑝𝕋 , 𝕋 , 𝑠𝑢𝑝𝕋 < ∞ 𝑠𝑜𝑙𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑎çı𝑙ı𝑚𝑙ı 𝑠𝑢𝑝𝕋 = ∞ 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑑𝑢𝑟𝑢𝑚𝑙𝑎𝑟𝑑𝑎 ile de verebiliriz[2]. AĢağıdaki ġekil 2.2 de bazı zaman skalaları gösterilmiĢtir. Çizelge 2.2 de zaman skalasına örnekler verilmiĢtir. Burada farklı zaman skalası alındığında, buna karĢılık 𝜇(𝑡) granül fonksiyonu, 𝜍(𝑡) ileri fark operatörü ve 𝜌(𝑡) geri fark operatörü hesaplanmıĢtır. 7 ℝ ℤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ℤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ġekil 2.2. Bazı zaman skalaları Çizelge 2.2. Zaman skalasına örnekler 𝕋 𝜇(𝑡) 𝜍(𝑡) 𝜌(𝑡) ℝ 0 t t ℤ 1 t+1 t-1 ℤ h t+h t-h 𝑞ℕ (q-1)t qt 𝑡 2ℕ T 2𝑡 𝑡 ℕ20 2 𝑡+1 ( 𝑡 + 1)2 𝑞 2 𝑡 − 1)2 8 3. DELTA TÜREV VE TÜREVLENEBĠLĠRLĠK 3.1. Türevlenebilirlik 3.1. Tanım 𝑓: 𝕋 → ℝ fonksiyonu verilsin. 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 olsun. Verilen her ℰ > 0 sayısı için t‟nin bir 𝑈 (∂𝛿 > 0 𝑖ç𝑖𝑛 U= 𝑡 − 𝛿, 𝑡 + 𝛿 ∩ 𝕋 𝑜𝑙𝑎𝑐𝑎𝑘 ş𝑒𝑘𝑖𝑙𝑑𝑒) komĢuluğu var ve her 𝑠 ∈ 𝑈 için |f(𝜍(t))-f(s)-𝑓 ∆ 𝑡 𝜍 𝑡 − 𝑠 ≤ ℰ 𝜍 𝑡 − 𝑠| eĢitsizliği sağlanıyorsa 𝑓 ∆ (𝑡)‟ye f‟nin t-noktasındaki Hilger türevi (∆-delta türevi) denir[2]. 3.1. Sonuç f :𝕋 → ℝ fonksiyonunun her t ∈ 𝕋𝐾 için lim 𝑠→𝑡 𝑠≠𝜍 (𝑡) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) 𝜍 𝑡 −𝑠 Limiti mevcut ise bu limite f fonksiyonunun Delta türevi veya Hilger türevi denir ve 𝑓 ∆ ile gösterilir[2]. Ayrıca her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için 𝑓 ∆ 𝑡 mevcut ise f fonksiyonu 𝕋𝐾 da delta(Hilger) türevlenebilirdir denir. Biz bundan sonra buna kısaca türevlenebilir diyeceğiz. Tezde aksi belirtilmedikçe, türev terimi ile delta türev kastedilecektir ve 𝑓 ∆ : 𝕋𝐾 ⟶ ℝ ile de f nin delta türevini göstereceğiz. 3.1. Örnek Eğer f:𝕋 → ℝ fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için f(t)= 𝛼 ise f ∆ t ≡ 0 olur. Burada 𝛼 ∈ ℝ sabittir. Gerçekten her 𝜀 > 0 ve 𝑠 ∈ 𝕋 için |f ς t − f s − 0. ς t − s | ≤ ε|ς t − s|, olması sebebiyle doğrudur. Yani sabitin türevi 0 dır. 3.2. Örnek Eğer f:𝕋 → ℝ fonksiyonu her t ∈ 𝕋 için f t = t ise f ∆ t ≡ 1 olur. Gerçekten her 𝜖 > 0 ve her 𝑠 ∈ 𝕋 için 9 f ς t − f s − 1. (ς t − s) = ς t − s − (ς t − s) = 0 ≤ ε ς t − s , olması sebebiyle doğrudur. 3.1. Teorem Kabul edelim ki; f : 𝕋 → ℝ bir fonksiyon ve t Є 𝕋K olsun. O zaman, aĢağıdakiler geçerlidir: (i) f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise f fonksiyonu t noktasında süreklidir. (ii ) f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktası sağ saçılımı ise f fonksiyonu t noktasında türevlenebilirdir ve f ς t −f t f Δ (t)= µ t sağlanır. (iii) t sağ yoğun olmak üzere f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir olması için gerek ve yeter koĢul lim f s→t t ‒f(s) t‒s limitinin var olmasıdır. Bu durumda f ∆ (t) = lim f(t)−f(s) s → t t−s dir. (iv)f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ise f(ς(t)) = f (t) + µ(t)f ∆ (t) elde edilir[2]. Ġspat: (i) f fonksiyonu t‟de türevlenebilir ve 0<𝜀<1 olsun. 𝜀 ∗ = 𝜀. [1 + 𝑓 ∆ 𝑡 + 2𝜇 𝑡 ]−1 olarak tanımlansın. 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓 𝑠 − 𝑓 ∆ 𝑡 (𝜍 𝑡 − 𝑠) ≤ 𝜀 ∗ 𝜍 𝑡 − 𝑠 olacak Ģekilde t noktasının U komĢuluğu vardır. Böylece her 𝑠 ∈ 𝑈 ∩ (𝑡 − 𝜀 ∗ , 𝑡 + 𝜀 ∗ ) için 𝑓 𝑡 −𝑓 𝑠 = 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓 𝑠 − 𝑓∆ 𝑡 𝜍 𝑡 − 𝑠 ) − 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓 𝑡 − 𝜇 𝑡 𝑓∆ 𝑡 + 𝑡 − 𝑠 𝑓∆ 𝑡 | ≤ 𝜀 ∗ 𝜍 𝑡 − 𝑠 + 𝜀 ∗𝜇 𝑡 + 𝑡 − 𝑠 𝑓∆ 𝑡 ≤ 𝜀 ∗ 1 + 2𝜇 𝑡 + 𝑓 ∆ 𝑡 =𝜀 elde edilir. Bu sonuç f fonksiyonunun sürekli olduğu sonucunu verir. (ii) f fonksiyonu t noktasında sürekli ve t noktasında sağdan saçılımlı olsun. Süreklilik tanımından; 10 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡) = = 𝑠→𝑡 𝜍 𝑡 −𝑠 𝜍 𝑡 −𝑡 𝜇(𝑡) lim yazılır. 𝜀 > 0 için 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡) − ≤𝜀 𝜍 𝑡 −𝑠 𝜇(𝑡) olur. Her 𝑠 ∈ 𝑈 olacak Ģekilde t noktasının bir U komĢuluğu vardır. Her 𝑠 ∈ 𝑈 için 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) − 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡) 𝜍 𝑡 −𝑠 ≤𝜀 𝜍 𝑡 −𝑠 𝜇(𝑡) elde edilir. Böylece; 𝑓∆ 𝑡 = 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑡) 𝜇(𝑡) yazılır. (iii) f fonksiyonu t noktasında türevlenebilir ve t noktasında sağda yoğun olsun. Bu taktirde 𝜀 > 0 için her 𝑠 ∈ 𝑈 olacak Ģekilde t noktasının bir U komĢuluğu vardır. Böylece 𝑓 𝜍 𝑡 − 𝑓(𝑠) − 𝑓 ∆ (𝑡) 𝜍 𝑡 − 𝑠 ≤ 𝜀 𝜍 𝑡 − 𝑠 yazılabilir. 𝜍 𝑡 = 𝑡 olduğundan, 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑠) − 𝑓 ∆ 𝑡 (𝑡 − 𝑠) ≤ 𝜀 𝑡 − 𝑠 , ∀𝑠 ∈ 𝑈 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑠) − 𝑓 ∆ (𝑡) ≤ 𝜀 𝑡−𝑠 elde edilir. Böylece aranan 𝑠 ∈ 𝑈 , 𝑠 ≠ 𝑡 için 𝑓 𝑡 − 𝑓(𝑠) 𝑠→𝑡 𝑡−𝑠 𝑓 ∆ 𝑡 = lim olur. (iv) Eğer 𝜍 𝑡 = 𝑡 ise 𝜇 𝑡 = 0 olur ve 𝑓 𝜍 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 0. 𝑓 ∆ 𝑡 yazılır. Diğer taraftan eğer 𝜍(𝑡) > 𝑡 ise; (ii)‟nin yardımıyla 𝑓 𝜍 𝑡 =𝑓 𝑡 +𝜇 𝑡 elde edilir[2]. 𝑓 𝜍 𝑡 −𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑓 ∆ (𝑡) 𝜇 𝑡 11 3.2. Teorem Kabul edelim ki; f,g : 𝕋 → ℝ fonksiyonları t ∈ 𝕋K noktasında türeve sahip olsunlar. O zaman, aĢağıdakiler geçerlidir: (i) 𝑓 + 𝑔 ∶ 𝕋 → ℝ toplamı t noktasında türevlenebilirdir ve (𝑓 + 𝑔 ) ∆ (t)=𝑓 ∆ (t) +𝑔∆ (t) dır. (ii) fg : 𝕋 → ℝ çarpımı t noktasında türevlenebilirdir ve (𝑓𝑔)∆ (t) = 𝑓 ∆ (t) g (t) +f (𝜍(t)) 𝑔∆ (t) dır. Burada, fg = gf olduğuna da dikkat edilmelidir. (iii)𝑓 𝑡 𝑓 (𝜍 𝑡 ) ≠ 0 olmak üzere, 1/f fonksiyonu t noktasında türeve sahiptir ve 1 ∆ 𝑓 (t) = − 𝑓∆ 𝑡 𝑓 𝑡 𝑓 𝜍 𝑡 dır[2]. 12 4. ĠNTEGRAL 4.1. rd-Süreklilik ve Özellikleri 4.1. Tanım Bir f : 𝕋 → ℝ fonksiyonunun sağ yoğun noktalarındaki sağdan limiti var (sonlu) ve sol yoğun noktalarındaki soldan limiti var(sonlu) ise f fonksiyonuna düzenlidir denir [2]. 4.2. Tanım Bir f:𝕋 → ℝ fonksiyonu sağ yoğun noktalarında sürekli ve sol yoğun noktalarındaki soldan limiti var ise f fonksiyonuna rd-sürekli denir. f : 𝕋 → ℝ Ģeklindeki rd-sürekli fonksiyonların kümesi 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ile gösterilir. f ∈ 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ve 𝑓 ∆ ∈ 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ifadelerini sağlayan fonksiyonların oluĢturdukları küme ise 1 𝐶𝑟𝑑 (𝕋 , ℝ) ile gösterilir[2]. 4.3. Tanım Bir f :𝕋 → ℝ fonksiyonu, bir D ⊂ 𝕋𝐾 bölgesi için, her t ∈D noktalarında türevlenebilir ve 𝕋𝐾 \𝐷 bölgesi sağ saçılımlı nokta içermeyen sayılabilir bir küme ise f fonksiyonuna D bölgesinde ön-türevlenebilir denir[2]. 4.1. Teorem (Ortalama değer teoremi) f,g fonksiyonları 𝕋 üzerinde tanımlanmıĢ reel değerli fonksiyonlar ve ikisi de aynı D bölgesinde ön-türevlenebilir olsun. O zaman her t ∈ D için f ∆ (t) ≤ g ∆ (t) eĢitsizliği sağlanırsa, t ≥ s olmak üzere her t, s ∈ 𝕋 için f t −f s ≤g t − g s eĢitsizliği geçerlidir [2]. 4.1. Sonuç f,g :𝕋 → ℝ fonksiyonları aynı D bölgesinde ön-türevlenebilir ve U ⊂ 𝕋, baĢlangıç ve bitiĢ noktaları sırasıyla t,s ∈ 𝕋 olan kompakt bir aralık olsun. O zaman, sup f t − f (s) ≤ f ∆ (η) t − s ηϵU K ∩ ℝ 13 sağlanır [2]. 4.2. Teorem f düzenli olsun. Bu takdirde her t ∈ D için D türevlenebilir bölgesiyle ön-türevlenebilir ve F ∆ (t) = f (t) olacak biçimde bir F fonksiyonu vardır[2]. 4.4. Tanım f : 𝕋 → ℝ fonksiyonu düzenli olsun. O zaman, Teorem 4.2‟ deki gibi olan her F fonksiyonuna f „ nin ön-antitürevi denir. Bu durumda, c keyfi bir sabit olmak üzere, 𝑓 𝜂 ∆𝜂 = 𝐹 𝑡 + 𝑐 Ģeklinde tanımlanan ifadeye düzenli f fonksiyonunun belirsiz integrali denir. Cauchy integrali ise 𝑡 𝑓(𝜂)∆𝜂 = 𝐹 (𝑡) − 𝐹 (𝑠) 𝑒𝑟 𝑡, 𝑠 ∈ 𝕋 𝑠 ile tanımlıdır[2]. 4.3. Teorem Her rd-sürekli fonksiyonun bir anti-türevi vardır. Özel olarak, bir t 0 ∈ 𝕋 ve her t ∈ 𝕋 için t F (t)=∫to f (η)∆η ile tanımlı fonksiyon, f fonksiyonunun anti-türevidir [2]. 4.4. Teorem f ∈ ∁rd 𝕋 ve t ∈ 𝕋K olmak üzere, ς t f η Δη = μ t f t t sağlanır [2]. 4.5. Teorem f Δ ≥ 0 ise f fonksiyonu azalmayandır[2]. 14 4.6. Teorem r,s,t ∈ 𝕋, ⋋∈ ℝ ve f,g ∈ ∁rd (𝕋) olsun. O zaman, aĢağıdaki özellikler doğrudur: 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 𝑡 (i) ∫𝑠 𝑓 + 𝑔 𝜂 Δ𝜂 = ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 + ∫𝑠 𝑔 𝜂 Δ𝜂 (ii) ∫𝑠 ⋋ 𝑓 𝜂 Δ𝜂 =⋋ ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 (iii) ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 = − ∫𝑡 𝑓(𝜂)Δ𝜂 (iv) ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ 𝜂 = ∫𝑠 𝑓 𝜂 Δ𝜂 + ∫𝑟 𝑓(𝜂)Δ𝜂 (v) ∫𝑠 𝑓 𝜍 𝜂 𝑔Δ 𝜂 Δ𝜂 = 𝑓𝑔 𝑡 − 𝑓𝑔 𝑠 − ∫𝑠 𝑓 Δ 𝜂 𝑔 𝜂 Δ𝜂[2]. 𝑡 𝑠 𝑡 𝑟 𝑡 𝑡 𝑡 4.7. Teorem t,s ∈ 𝕋 ve f ∈ ∁rd (𝕋) olsun. AĢağıdakiler doğrudur. 𝕋 = ℝ ise (i) t t f η Δη = s f η dη s dır. (ii) 𝕋 sadece izole(hem sağ hem sol saçılımlı) noktalardan oluĢuyorsa, t f η η= f η μ(η) η∈[t,s) s olur[2]. 4.5. Tanım t 0 ∈ 𝕋 sup𝕋=∞ ve f ∈ ∁rd ([t 0 , ∞)𝕋 ) olsun. O zaman, [t 0 , ∞)𝕋 üzerindeki belirsiz integral t ∞ f η Δ𝜂 ≔ lim t0 t→∞ f(τ)Δτ t0 15 ile tanımlıdır. Eğer bu limit mevcut ise belirsiz integral yakınsaktır, aksi halde de ıraksaktır denir[2]. 4.6. Tanım 𝕋 bir zaman skalası ve 𝜈: 𝕋 → ℝ kesin olarak artan bir fonksiyon ve 𝕋 = 𝜈 𝕋 bir zaman skalası olsun. 𝜍 ile 𝕋 üzerindeki sıçrama fonksiyonunu ve ∆ ile 𝕋 üzerindeki türevi gösterelim. Bu durumda 𝜈 ∘ 𝜍 = 𝜍 ∘ 𝜈 olur[2]. 4.8. Teorem 𝜈: 𝕋 → ℝ kesin olarak artan bir fonksiyon ve 𝕋 = 𝜈 𝕋 bir zaman skalası olsun. 𝑤: 𝕋 → ℝ alalım. Eğer 𝜈 Δ (t) ve 𝑤 Δ 𝜈 𝑡 𝑡 𝜖 𝕋𝐾 için varsa, (𝑤 ∘ 𝜈)Δ = (𝑤 Δ ∘ 𝜈)𝜈 Δ olur[2]. 4.9. Teorem Kabul edelim ki, f: 𝕋 → ℝ kesin artan bir fonksiyon ve 𝕋:=f(𝕋) bir zaman skalası olsun. Bu durumda g∈ ∁rd (𝕋, ℝ) ve f ∈ ∁1rd (𝕋, ℝ) olmak üzere, her t,s∈ 𝕋 için 𝑓 (𝑡) 𝑡 𝑔 ∘ 𝑓 −1 (𝜁)Δ 𝜁 𝑔 𝜂 𝑓 Δ 𝜂 Δ𝜂 = 𝑠 𝑓(𝑠) olur [2]. 4.10. Teorem Teorem 2.28 deki Ģartlar altında 𝕋 = 𝕋 ise f(t) t g ∘ f −1 (η)∆ η g η f Δ η Δη = s f(s) olur [2]. 4.11. Teorem (Ara değer teoremi). f : 𝕋 → ℝ fonksiyonu sürekli olsun. t,s∈ 𝕋 ve t,s∈ 𝕋 ve t > s olmak üzere, 16 f (s) f (t) < 0 sağlanıyorsa f(r)=0 veya f(r)f(ς(r)) < 0 olacak Ģekilde r ∈ [s, t) 𝕋 vardır [2]. 4.12. Teorem (Leibnitz kuralı). s ∈ 𝕋K ve f : 𝕋 × 𝕋K → ℝ fonksiyonu, her r> s ve r∈ 𝕋K olmak üzere (r,r) noktasında sürekli ve f Δ (r, ∙) ∈ ∁rd ([s, ς r ]𝕋 ) olsun. O zaman; t 𝑔 𝑡 = f t, n Δη s ile tanımlanırsa 𝑡 ∆ 𝑓 𝛥 𝑡, 𝜂 𝛥𝜂 + 𝑓 𝜍 𝑡 , 𝑡 𝑔 𝑡 = 𝑠 sağlanır [2]. Yukarıdaki teoremde türev birinci mertebeden uygulanmaktadır. 17 5. BĠRĠNCĠ MERTEBEDEN LĠNEER DĠNAMĠK DENKLEMLER 5.1. Hilger Kompleks Düzlemi 5.1.Tanım 𝑓: 𝕋 × ℝ2 ⟶ ℝ bir fonksiyon olsun. Birinci mertebeden dinamik denklem 𝑦 ∆ = 𝑓(𝑡, 𝑦, 𝑦 𝜍 ) (5.1) Ģeklinde tanımlanır. Eğer 𝑓1 ve 𝑓2 fonksiyonları için 𝑓 𝑡, 𝑦, 𝑦 𝜍 = 𝑓1 𝑡 𝑦 + 𝑓2 (𝑡) veya 𝑓 𝑡, 𝑦, 𝑦 𝜍 = 𝑓1 𝑡 𝑦 𝜍 + 𝑓2 (𝑡) Ģeklinde tanımlanırsa, bu taktirde EĢ.5.1. dinamik denklemine lineer denklem denir. Eğer 𝑦: 𝕋 ⟶ ℝ fonksiyonu EĢ.5.1. in çözümü ise, bu takdirde her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için 𝑦 ∆ 𝑡 = 𝑓(𝑡, 𝑦 𝑡 , 𝑦 𝜍 𝑡 ) denklemini sağlar[2]. ġimdi Hilger kompleks düzleminin tanımı verilecektir. 5.2. Tanım h>0 olmak üzere, Hilger karmaĢık sayıları, Hilger ekseni, Hilger yedek ekseni ve Hilger sanal çemberi sırasıyla aĢağıdaki gibi tanımlıdır. 1 ℂ := 𝑧 ∈ ℂ: 𝑧 ≠ − , 1 ℝ ≔ 𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 ∈ ℝ 𝑣𝑒 𝑧 > − , 1 𝔸 ≔ 𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 ∈ ℝ 𝑣𝑒 𝑧 < − , 1 1 𝕀 ≔ 𝑧 ∈ ℂ : 𝑧 + = . h=0 için ℂ0 ≔ ℂ, ℝ0 ≔ ℝ, 𝕀0 ≔ 𝑖ℝ 𝑣𝑒 𝔸0 ≔ ∅ ile tanımlıdır[2]. 18 Ah 1 0 Rh h Ih ġekil 5.1. Hilger kompleks düzlemi 5.3. Tanım h>0 ve z ∈ ℂh olsun. z‟nin Hilger reel kısmı; 𝑅𝑒 𝑧 ≔ 𝑧 +1 −1 z‟nin Hilger imajiner kısmı; 𝐼𝑚 𝑧 ≔ 𝐴𝑟𝑔 𝑧 +1 ile tanımlıdır[2]. Burada Arg(z), z‟nin esas argümentidir.(−𝜋 < 𝐴𝑟𝑔 𝑧 < 𝜋) Ayrıca 𝑅𝑒 𝑧 ve 𝐼𝑚 𝑧 1 − < 𝑅𝑒 𝑧 < ∞ ve − 𝜋 𝜋 < 𝐼𝑚 𝑧 ≤ eĢitsizliklerini sağlar. 5.4. Tanım 𝜋 𝜋 − < 𝑤 ≤ olsun. Hilger‟in pür imajiner sayısı 𝑖𝑤 𝑖𝑤 = 𝑒 𝑖𝑤 −1 ile tanımlanır[2]. 𝑧 ∈ ℂ için 𝑖𝐼𝑚 𝑧 ∈ 𝕀 olur. (5.2) 19 iR z iImhz 1 Rehz R h ġekil 5.2. Hilger kompleks sayıları 5.1. Teorem 𝜋 𝜋 Eğer − < 𝑤 ≤ ise 𝑖𝑤 2 4 = 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑤 2 Ġspat: EĢ. 5.2 yi kullanarak 𝑖𝑤 = 2 = (𝑖𝑤)(𝑖𝑤) 𝑒 𝑖𝑤 −1 𝑒 𝑖𝑤 −1 2−𝑒 𝑖𝑤 −𝑒 −𝑖𝑤 = 2 2 = 2 (1 − cos 𝑤 ) olur[2]. (5.3) 20 4 = 2 𝑠𝑖𝑛2 𝑤 2 sonucunu elde ederiz. 5.2. Yeni Toplama Grubu 5.5. Tanım ℂ üzerindeki “circle plus” toplama ⨁ iĢlemi 𝑧 ⊕ 𝑤 ≔ 𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤 ile tanımlanır[2]. 5.2. Teorem (ℂ ,⊕) bir Abel grubu olur[2]. Ġspat: 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ ve 𝑧 ⊕ 𝑤 karmaĢık sayılardır. 𝑧⊕𝑤 ≠ − 1 1 + 𝑧 ⊕ 𝑤 = 1 + (𝑧 + 𝑤 + 𝑤𝑧) = 1 + 𝑧 1 + 𝑤 ≠0 ℂ ⊕ iĢlemi altında kapalıdır. 𝑧 ⊕ 0 = 0 ⊕ 𝑧 = 𝑧 olduğundan 0, ⊕ için toplamsal özdeĢ olur. 𝑧 ∈ ℂ için 𝑧 nin ⊕ altında ters toplamını bulmak için 𝑧⊕𝑤 = 0 𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤 = 0 Böylece; 𝑤=− 𝑧 1 + 𝑧 ⊕ iĢlemi altında z‟nin toplamsal tersi olur. (ℂ ,⊕) gruptur. Aynı zamanda 𝑧 ⊕ 𝑤 = 𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤 =𝑤 + 𝑧 + 𝑤𝑧 = 𝑤 ⊕ 𝑧 değiĢme özelliği olduğundan (ℂ ,⊕) Abel gruptur. 21 5.3. Teorem 𝑧 ∈ ℂ için 𝑧 = 𝑅𝑒 𝑧 ⊕ 𝑖𝐼𝑚 𝑧 olur[2]. Ġspat: 𝑧 ∈ ℂ 𝑅𝑒 𝑧 ⊕ 𝑖𝐼𝑚 𝑧 = 𝑧 + 1 − 1 𝐴𝑟𝑔(𝑧 + 1) ⊕𝑖 = 𝑧 + 1 − 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 1 ⊕ −1 = 𝑧 + 1 − 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 1 + −1 + 𝑧 + 1 − 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 1 = 1 𝑧 + 1 − 1 + exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 1 + 𝑧 + 1 − 1 (exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 1 = = 1 𝑧 + 1 exp 𝑖𝐴𝑟𝑔 𝑧 + 1 −1 −1 − 1) −1 𝑧 + 1 − 1 =𝑧 5.6. Tanım 𝑛 ∈ ℕ ve 𝑧 ∈ ℂ üzerinde ⊙ iĢlemi 𝑛 ⊙ 𝑧 = 𝑧 ⊕ 𝑧 ⊕ 𝑧 ⊕ 𝑧 ⊕ … ⊕ 𝑧 Ģeklinde tanımlanır. Bu son denklemde sağ tarafta n tane terim vardır. Bu nedenle 𝑛⊙𝑧= (𝑧 + 1)𝑛 22 Ģeklinde olur[2]. 5.7. Tanım ⊕ iĢlemi altında z ∈ ℂ ‟nin toplamsal tersi −𝑧 ⊝ 𝑧 ≔ 1+𝑧 olur. Bu durumda ℂ üzerindeki “circle minus” çıkarma ⊝ iĢlemini 𝑧 ⊝ 𝑤 ≔ 𝑧 ⊕ (⊝ 𝑤) ile tanımlarız[2]. (5.4) 5.4. Teorem 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ ve ≥ 0 için aĢağıdaki özellikler sağlanır. (𝑖) 𝑧 ⊝ 𝑧 = 0 𝑧−𝑤 (ii) 𝑧 ⊝ 𝑤 = 1+𝑤 (iii) Eğer = 0 ise 𝑧 ⊝ 𝑤 = 𝑧 − 𝑤 (iv) 𝑧 ∈ ℂ ise 𝑧 =⊝ 𝑧 (𝑣) ⊝ 𝑖𝑤 = 𝑖𝑤 AĢağıdaki Çizelge 5.1 de bazı toplamsal ters örnekleri verilmiĢtir. Çizelge 5.1. Toplamsal Tersler 𝑧 ⊝𝑧 0 1 − 0 1 1+ i 1 𝑖− 1 1 − 2 2 2 − − 𝑖−1 𝑖+1 − 5.8. Tanım Eğer 𝑧 ∈ ℂ ise z nin genelleĢtirilmiĢ karesi z 𝑧2 := −𝑧 ⊖ 𝑧 = 1+𝑧 Ģeklinde tanımlanır[2]. (5.5) 23 5.9.Tanım π π h 0 olmak üzere, ξ:ℂh → ℤh ≔ z ∈ ℂ: − h < Im(z) ≤ h silindir dönüĢümü ξh z ≔ z ,h = 0 1 log 1 + zh , h > 0 h (5.6) ile tanımlıdır. Ters silindir dönüĢümü ξh−1 : ℤh → ℂh ise ξ−1 h z ≔ z, 1 h ,h = 0 (ezh − 1), h > 0 (5.7) Ģeklindedir[2]. Burada Log esas logaritma fonksiyonudur. h=0 için 𝜉0 𝑧 = 𝑧 olur[2]. h>0 olduğunda ℤ silindir olur. Sınır çizgileri 𝜋 𝐼𝑚 𝑧 = − ve 𝜋 𝐼𝑚 𝑧 = Ģeklindedir. 5.10. Tanım ℤ üzerindeki toplama iĢlemi 𝑧, 𝑤 ∈ ℤ 𝑧 + 𝑤: = 𝑧 + 𝑤 𝑚𝑜𝑑 2𝜋𝑖 ile tanımlanır[2]. 5.5. Teorem Silindir dönüĢümü ξh , (ℂ , ⨁) dan (ℤ , +) ya bir grup homomorfizmasıdır. Buradaki + iĢlemi ℤ üzerinde EĢ. (5.8) de tanımlanan iĢlemdir. Ġspat: > 0 ve 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ olsun. (5.8) 24 𝜉 𝑧⨁𝑤 = 1 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑧⨁𝑤 ) 1 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑧 + 𝑤 + 𝑧𝑤2 ) 1 = 𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑧 1 + 𝑤 1 1 = 𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑧 + 𝐿𝑜𝑔(1 + 𝑤) = = 𝜉 (𝑧) + 𝜉 (𝑤) Bu > 0 durumunu ispatlar. h=0 için aĢikardır. 5.3. Üstel Fonksiyon Üstel fonksiyonu tanımlamadan önce bazı gerekli tanımlamaları verelim. 5.11.Tanım 𝑝: 𝕋 → ℝ bir fonksiyon olsun. Eğer her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için 1 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 ≠ 0 özelliği sağlanıyorsa 𝑝 fonksiyonuna regresifdir denir. Bütün regresif ve rd-sürekli 𝑓: 𝕋 → ℝ fonksiyonların kümesini ℛ = ℛ 𝕋 = ℛ(𝕋, ℝ) ile göstereceğiz[2]. 5.6. Teorem ℛ, her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 , 𝑝, 𝑞 ∈ ℛ için ⊕ iĢlemi altında Abel gruptur. 𝑝 ⊕ 𝑞 = 𝑝 𝑡 + 𝑞 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 𝑞(𝑡) Bu grup regresif grup olarak adlandırılır. 5.12. Tanım 𝑝, 𝑞 ∈ ℛ için ⊖ 𝑝 ve 𝑝 ⊖ 𝑞 fonksiyonları her 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 için ⊝ 𝑝 𝑡 := − 𝑝(𝑡) 1 + 𝜇 𝑡 𝑝(𝑡) 𝑝⊖𝑞 𝑡 ≔ 𝑝⊕ ⊖𝑞 Ģeklindedir[2]. (5.9) 𝑡 (5.10) 25 5.7. Teorem 𝑝, 𝑞 ∈ ℛ için EĢ.5.10 da tanımlanan ⊖ iĢlemi aĢağıdaki özellikleri sağlar. (𝑖) 𝑝 ⊖ 𝑝 = 0 (ii) ⊖ ⊖ 𝑝 = 𝑝 (iii) 𝑝 ⊖ 𝑞 ∈ ℛ 𝑝−𝑞 (iv) 𝑝 ⊖ 𝑞 = 1+𝜇𝑡 (v) ⊖ 𝑝 ⊖ 𝑞 = 𝑞 ⊖ 𝑝 (vi) ⊖ 𝑝 ⊕ 𝑞 = ⊖ 𝑝 ⊕ (⊖ 𝑞) 5.13. Tanım p ∈ ℛ 𝕋, ℝ olmak üzere zaman skalası üzerinde üstel fonksiyon her t,s ∈ 𝕋 için 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 ≔ 𝑒𝑥𝑝 𝜉𝜇 𝜏 (𝑝 𝜏 )Δτ (5.11) 𝑠 ile tanımlıdır[2]. Buradaki ξh z EĢ. 5.6 da tanımlanan silindir dönüĢümüdür. 5.1.Yardımcı Teorem Eğer 𝑝 ∈ ℛ ise her 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑒𝑝 𝑡, 𝑟 𝑒𝑝 𝑟, 𝑠 = 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠) semigroup(yarı grup) özelliği sağlanır[2]. Ġspat: 𝑝 𝜖 ℛ 𝑣𝑒 𝑟, 𝑠, 𝑡 ∈ 𝕋 olsun. EĢ. 5.11 den 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑟 𝑒𝑝 𝑟, 𝑠 = exp 𝑟 𝜉𝜇 𝑟 𝜏 𝑝 𝜏 Δτ exp 𝜉𝜇 𝑠 𝜏 𝑝 𝜏 Δτ 26 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 𝑟 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 Δτ + 𝑟 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 Δτ 𝑠 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 𝜉𝜇 𝑝 𝜏 Δτ 𝜏 𝑠 = 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠) Teorem 4.6‟ nın (iv) Ģıkkından yararlandık. 5.14. Tanım 𝑝 ∈ ℛ ise birinci basamaktan dinamik denklem, 𝑦∆ = 𝑝 𝑡 𝑦 (5.12) regresif olarak tanımlanır. 5.8. Teorem 𝑒𝑝 (. , 𝑡0 ) 𝑦∆ = 𝑝 𝑡 𝑦 𝑦 𝑡0 = 1 𝑡0 ∈ 𝕋 (5.13) baĢlangıç değer probleminin çözümüdür. Ġspat: 𝑡0 ∈ 𝕋𝐾 ve 𝑦 ∆ = 𝑝 𝑡 𝑦 denklemi regresif olduğundan 𝑒𝑝 𝑡0 , 𝑡0 = 1 olur. 𝑒𝑝 𝑡 , 𝑡0 , 𝑦 ∆ = 𝑝 𝑡 𝑦 𝑡 𝑡 ∈ 𝕋𝐾 dinamik denklemini sağlar. Ġki durum vardır. 1.Durum: 𝜍 𝑡 > 𝑡 Yardımcı Teorem 5.1 den 𝜍 𝑡 𝑒𝑝∆ 𝑡, 𝑡0 = exp (∫𝑡 0 𝜉𝜇 𝑟 𝑡 (𝑝 𝜏 )∆𝜏) − exp(∫𝑡 𝜉𝜇 0 𝜇 𝑡 𝑟 (𝑝 𝜏 )∆𝜏) 27 𝜍 𝑡 = = exp (∫𝑡 𝜉𝜇 (𝑝 𝜏 )∆𝜏) − 1 𝑟 𝜇 𝑡 𝑒 𝜉𝜇 𝑟 𝑝 𝑡 𝜇 (𝑡) −1 𝜇(𝑡) = 𝜉𝜇−1𝑡 (𝜉𝜇 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝑝 𝑡 . 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) = 𝑝 𝑡 . 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 2. Durum: 𝜍 𝑡 = 𝑡 Yardımcı Teorem 5.1 i kullanarak 𝑦 𝑡 −𝑦 𝑠 −𝑝 𝑡 𝑦 𝑡 𝑡−𝑠 = 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡0 − 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝑡 − 𝑠 = 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 1 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡0 − 𝑝 𝑡 𝑡 − 𝑠 = 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 1− 𝑡 𝑠 𝑡 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡 + 𝑠 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑝 𝑡 (𝑡 − 𝑠) 𝑡 ≤ 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 1− 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡 𝑠 𝑡 + 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑝 𝑡 (𝑡 − 𝑠) 𝑠 𝑡 ≤ 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 1− 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 𝑠, 𝑡 𝑠 𝑡 + 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 [𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 − 𝜉0 (𝑝 𝑡 )∆𝜏 𝑠 ifadesi elde edilir. 𝜀 > 0 olsun. Burada U, t‟nin komĢuluğudur. Böylece en son eĢitsizliğin sağ tarafı 𝜀 𝑡 − 𝑠 den küçük olur. 𝜍 𝑡 = 𝑡 ve 𝑝 ∈ 𝐶𝑟𝑑 olduğundan, lim 𝜉𝜇 𝜏→𝑡 𝜏 𝑝 𝜏 = 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) olur. Bu 𝑈1 in t komĢuluğunu gösterir. 𝜀 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 − 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) < 3 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝑠 ∈ 𝑈1 olduğunda, ∀𝜏 ∈ 𝑈1 28 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) . 𝜉𝜇 𝑝 𝜏 𝜏 − 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) ∆𝜏 < 𝑠 𝜀 𝑡−𝑠 3 (5.14) Daha sonra L‟Hospital kuralı ile 1 − 𝑧 − 𝑒 −𝑧 =0 𝑧→0 𝑧 lim Elde edilir. Eğer s∈ 𝑈2 ise t nin 𝑈2 komĢuluğu vardır 𝑡 1 − ∫𝑠 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝑡 ∫𝑠 𝜉𝜇 𝜏 𝜀 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 1, 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 (𝑠, 𝑡) (𝑝 𝜏 )∆𝜏 < 𝜀∗ 𝜀 1 + 3 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝑠 ∈ 𝑈 = 𝑈1 ∩ 𝑈2 EĢ. 5.14 ü kullanarak 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) . 1 − 𝑡 𝜉𝜇 𝑝 𝜏 ∆𝜏 − 𝑒𝑝 (𝑠, 𝑡) < 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝜀 ∗ 𝜏 𝑠 𝜉𝜇 𝜏 (𝑝 𝜏 )∆𝜏 𝑠 𝑡 ≤ 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) . 𝜀 ∗ 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 − 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) ∆𝜏 + 𝑝(𝑡) 𝑡 − 𝑠 𝑠 𝑡 ≤ 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) . 𝜉𝜇 𝜏 𝑝 𝜏 − 𝜉0 (𝑝 𝑡 ) ∆𝜏 + 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝜀 ∗ 𝑝(𝑡) 𝑡 − 𝑠 𝑠 𝜀 𝑡 − 𝑠 + 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝜀 ∗ 𝑝(𝑡) 𝑡 − 𝑠 3 𝜀 𝜀 ≤ 𝑡−𝑠 + 𝑡−𝑠 3 3 ≤ = 2𝜀 3 𝑡 − 𝑠 bulunur. 5.9. Teorem Eğer EĢ.5.12 regresif ise EĢ.5.13‟ün tek çözümü 𝑒𝑝 . , 𝑡0 olur[2]. Ġspat: y EĢ.5.13‟ün çözümü olsun. Teorem 3.2 ile 𝑦 𝑒𝑝 . , 𝑡0 ∆ 𝑡 = 𝑦 ∆ 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 − 𝑦 𝑡 𝑒𝑝∆ (𝑡, 𝑡0 ) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝑒𝑝 (𝜍 𝑡 , 𝑡0 ) 29 = 𝑝 𝑡 𝑦 𝑡 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 − 𝑦 𝑡 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) =0 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 𝑒𝑝 (𝜍 𝑡 , 𝑡0 ) Elde edilir. Böylece 𝑦(𝑡) 𝑦(𝑡0 ) 1 ≡ = =1 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡0 ) 𝑒𝑝 (𝑡0 , 𝑡0 ) 1 ve 𝑦 = 𝑒𝑝 . , 𝑡0 olur. 5.10. Teorem 𝑝, 𝑞 ∈ ℛ ise (i) 𝑒0 𝑡, 𝑠 ≡ 1 ve 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑡) ≡ 1 (ii) 𝑒𝑝 𝜍 𝑡 , 𝑠 = 1 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠) (iii) 1 𝑒𝑝 (𝑡,𝑠) = 𝑒⊝𝑝 (𝑡, 𝑠) (iv) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 = 𝑒 1 𝑝 (𝑠,𝑡) = 𝑒⊝𝑝 (𝑠, 𝑡) (v) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 𝑒𝑝 𝑠, 𝑟 = 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑟) (vi) 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 𝑒𝑞 𝑡, 𝑠 = 𝑒𝑝⊕𝑞 (𝑡, 𝑠) 𝑒 (𝑡,𝑠) (vii) 𝑒𝑝 (𝑡,𝑠) = 𝑒𝑝⊝𝑞 (𝑡, 𝑠) 𝑞 (viii) 1 ∆ 𝑒𝑝 (.,𝑠) 𝑝(𝑡) = − 𝑒 𝜍 (.,𝑠) [2] 𝑝 olur. 5.11. Teorem 𝑝 ∈ ℛ ve 𝑡0 ∈ 𝕋 olsun. (i) Eğer 𝕋𝐾 üzerinde 1+𝜇 𝑡 𝑝(𝑡) > 0 ise her 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 > 0 olur. (ii) Eğer 𝕋𝐾 üzerinde 1+𝜇 𝑡 𝑝(𝑡) < 0 ise her 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑒𝑝 𝑡, 𝑡0 = 𝛼 𝑡, 𝑡0 (−1)𝑛 𝑡 olur. 30 Burada 𝑡 𝛼 𝑡, 𝑡0 : = 𝑒𝑥𝑝 𝑡0 𝑙𝑜𝑔 1 + 𝜇 𝜏 𝑝(𝜏) ∆𝜏 > 0 𝜇(𝜏) ve 𝑛𝑡 = [𝑡0 , 𝑡) [𝑡, 𝑡0 ) 𝑒ğ𝑒𝑟 𝑡 ≥ 𝑡0 𝑒ğ𝑒𝑟 𝑡 < 𝑡0 olacaktır[2]. 5.15. Tanım ℛ′nin tüm pozitif regresif elementlerinin kümesi ℛ + ℛ + = ℛ + 𝕋, ℝ = 𝑝 ∈ ℛ: 1 + 𝜇 𝑡 𝑝 𝑡 > 0 𝑒𝑟 𝑡 ∈ 𝕋 𝑖ç𝑖𝑛 ile tanımlanır[2]. 5.2. Yardımcı Teorem ℛ + ℛ ′ nin bir alt grubudur[2]. Ġspat: ℛ + ⊂ ℛ ve 0 ∈ ℛ + olduğu açıktır. Buradaki 0 bir her 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑓(𝑡) ≡ 0 olacak Ģekilde bir fonksiyondur. 𝑝, 𝑞 ∈ ℛ + olsun. 𝕋 üzerinde 1 + 𝜇𝑝 > 0 𝑣𝑒 1 + 𝜇𝑞 > 0 olduğundan, 1 + 𝜇 𝑝 ⊕ 𝑞 = 1 + 𝜇𝑝 1 + 𝜇𝑞 > 0 olur. Dolayısıyla 𝑝 ⊕ 𝑞 ∈ ℛ + dır. ġimdi 𝑝 ∈ ℛ + olsun. 𝕋 üzerinde 1 + 𝜇𝑝 > 0 dir. Böylece 𝕋 üzerinde 1+𝜇 ⊖𝑝 =1− 𝜇𝑝 1 = >0 1 + 𝜇𝑝 1 + 𝜇𝑝 olduğundan ⊖ 𝑝 ∈ ℛ + olur. Bu hesaplamalar ℛ + nın ℛ ′ nin bir alt grubu olduğunu gösterir. 31 5.12. Teorem (Üstel fonksiyonun iĢareti). f ∈ ℛ ve t 0 𝕋 olsun. O zaman, (i) f ∈ ℛ + ise, her t ∈ 𝕋 için ef t, t 0 > 0 olur. (ii) 1+ μ(t) f(t)<0 ifadesini sağlayan t ef t, t 0 ef ς t , t 0 ) < 0 olur[2]. 𝕋K noktaları için 32 6. ZAMAN SKALASI LOGARĠTMASI 6.1. Skaler Durum Zaman skalası logaritması geliĢimi uzun bir süredir açık bir problemdir. Bu alandaki bazı araĢtırmacıların olasılıkları kısaca göz önünde bulundurmalarına rağmen, definitif logaritma ve onun seçimi ile ilgili çok az Ģey ortaya konuldu. 𝕋=ℝ üzerindeki adi logaritmayı göz önüne aldığımızda, ele almaya değer ilk mantıklı soru, zaman skalası logaritmasının hangi istenilir özellikleri almasıdır. Özellikle, biz logaritmanın bilinen cebirsel özelliklerini mi veya bilinen kalkülüs özelliklerini mi korumasını isteyip istemediğimize karar vermeliyiz. Zaman skalası üzerindeki kalkulüsün doğal yapısından dolayı her iki özelliğinde korunabilmesine pek olanak yoktur. Amacımız bu çalıĢmada A(t) matrisi için 𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 = 𝐵 matris eĢitliğini çözmek ve cebirsel logaritma özelliklerini koruyan logaritma geliĢtirmeye çalıĢmak olacaktır. Diğer bir deyiĢle üstelin tersi olarak rol oynayan logaritma geliĢtirmek olacaktır. Elbette ki, özellikle ters ile ne demek isteniyor bunu belirlemeliyiz. Ne de olsa 𝑓 𝑡 = 𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 fonksiyonunun genellikle örten olmasına gerek yoktur. Buna ek olarak bizim motivasyonumuz yukarıda bahsedildiği gibi üsteli bir fonksiyon almaktansa ℛ (𝕋,ℝ) üzerinde rol oynayan operatör olarak ele almamız avantajlı olacaktır. Yani p ∈ ℛ (𝕋,ℝ) için biz Ϝ: ℛ (𝕋,ℝ) ⟶ 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ) operatörü(doğrusal olmayan) tanımlarız. (Burada ℛ (𝕋,ℝ) ⨁ altında regresif olarak sağ yoğun sürekli fonksiyonların kümesi ve 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ)‟ da sıfırdan farklı delta diferansiyellenebilen fonksiyonların kolleksiyonudur.) Üstelik bu terimler ıĢığında düĢünmek bize bu operatörün sözde tersini araĢtırma olanağı sağlar. Bütün bunların ıĢığında aĢağıdakiler ortaya çıkar. 6.1. Tanım 𝑔: 𝕋 ⟶ ℝ bir diferansiyellenebilen sıfırdan farklı fonksiyon için, g‟nin logaritma tanımı (Gerçekte, g üzerinde bir doğrusal olmayan operatör), log 𝕋 𝑔(𝑡) 33 𝑔 ∆ (𝑡) log 𝕋 𝑔(𝑡)= ile tanımlanır[5]. 𝑔 (𝑡) (6.1) Logaritmanın bu tanımı aslında bize üstel bir sol tersini log 𝕋 𝑒𝑝 𝑡, 𝑠 = (𝑒𝑝 (𝑡,𝑠))∆ 𝑒𝑝 (𝑡,𝑠) = 𝑝𝑒𝑝 (𝑡,𝑠) 𝑒𝑝 (𝑡,𝑠) = 𝑝(𝑡) olarak verir. Bizim logaritma tanımımız 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ) üzerinde doğrusal olmayan operatör meydana getirir. AĢağıdaki teoremin gösterdiği gibi logaritma bir bakımdan sağ ters olarak rol oynar. Böylece yukarıda iddia edildiği gibi üstel için biz aslında yalancı ters meydana getirdik. 6.1. Teorem Eğer f(t) bir sıfırdan farklı diferansiyellenebilen fonksiyon ise f(s)=fs olmak üzere 𝑒log 𝕋 𝑓 𝑡, 𝑠 = 1 𝑓𝑠 𝑓 𝑡 (6.2) olur [5]. Ġspat. 𝑔 𝑡 = log 𝕋 𝑓 𝑡 = 𝑓 ∆ (𝑡) 𝑓(𝑡) ve 𝑓 𝑠 = 𝑓𝑠 olsun. Bu iki eĢitlik ODE(Adi Dinamik Denklem) baĢlangıç koĢulu ile 𝑓(𝑡) içinde yazılabilir. IVP(BaĢlangıç Değer Problemi) 𝑓 ∆ = 𝑔𝑓, 𝑓 𝑠 = 𝑓𝑠 „nin çözümü; 𝑓 𝑡 = 𝑓𝑠 𝑒𝑔 𝑡, 𝑠 = 𝑓𝑠 𝑒𝑓 ∆ 𝑡, 𝑠 = 𝑓𝑠 𝑒log 𝕋 𝑓 (𝑡, 𝑠) 𝑓 olur. Böylece teorem ispatlanır. 6.2. Teorem Sıfırdan farklı, diferansiyellenebilir 𝑓: 𝕋 ⟶ ℝ ve 𝑔: 𝕋 ⟶ ℝ fonksiyonları için log 𝕋 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 = log𝕋 𝑓(𝑡) ⊕ log 𝕋 𝑔(𝑡) ve 𝑓(𝑡) log 𝕋 𝑔(𝑡) = log 𝕋 𝑓(𝑡) ⊖ log 𝕋 𝑔(𝑡) 34 olur[5]. Ġspat. Ġlk iddia Ģöyledir; log 𝕋 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 = = (𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 )∆ 𝑓 ∆ 𝑡 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝜍 𝑡 𝑔∆ (𝑡) = 𝑓 𝑡 𝑔(𝑡) 𝑓 𝑡 𝑔(𝑡) 𝑓∆ 𝑡 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑓∆ 𝑡 𝑔∆ 𝑡 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 = 𝑓 ∆ 𝑡 𝑔 𝑡 + 𝑓 𝑡 𝑔∆ 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑓 ∆ 𝑡 𝑔∆ 𝑡 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 = 𝑓 ∆ (𝑡) 𝑔∆ (𝑡) 𝑓 ∆ 𝑡 𝑔∆ 𝑡 + +𝜇 𝑡 = log 𝕋 𝑓(𝑡) ⊕ log 𝕋 𝑔(𝑡) 𝑓(𝑡) 𝑔 𝑡 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 Ġkinci iddia; 1 ∆ ( ) 1 𝑔∆ (𝑡) 𝑔 𝑡 log 𝕋 = =− 1 𝑔(𝑡) 𝑔(𝜍 𝑡 ) 𝑔(𝑡) 𝑔∆ (𝑡) 𝑔 (𝑡) 𝑔(𝑡) =− =− =⊖ log𝕋 𝑔(𝑡) ∆ 𝑔∆ (𝑡) 𝑔 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝑔 (𝑡) 1 + 𝜇(𝑡) 𝑔(𝑡) ∆ Böylece ikinci iddia birinciden sonra gelir, oran 𝑓(𝑡) 𝑔(𝑡) 1 „yi 𝑓(𝑡) ve 𝑔(𝑡) fonksiyonlarının çarpımı olarak düĢündük. Bir önceki teoremi ispatlamak için neden cebirsel argüman kullanılmadığı merak edilebilir. Fakat , (ℛ (𝕋,ℝ),⊕) 𝑣𝑒 (𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ),∙) her ikisi de bir gruptur. Yinede unutmamalıyız ki yukarıda tanımlanan operatör F için F‟nin görüntü kümesi 𝐶𝑛1 𝕋, ℝ nin codomaini değildir, fakat bu yerin bir alt sınıfıdır. Böylece 35 𝐶𝑛1 𝕋, ℝ kümesi fonksiyonların bir alt grubuna kısıtlandığı zaman Ϝ: ℛ (𝕋,ℝ) ⟶ 𝐶𝑛1 (𝕋,ℝ), 𝐹 𝑝 𝑡 = 𝑒𝑝 (𝑡, 𝑠) ve 𝐺: 𝐶𝑛1 ⟶ ℝ 𝕋, ℝ , 𝐺 𝑝 𝑡 = log 𝕋 𝑝 𝑡 operatörleri grup izomorfizmi olacaktır. Belki önceki teoremin kanıtı 𝐶𝑛1 (𝕋, ℝ)‟ de ki fonksiyonların tüm alt sınıfı için geçerlidir ve bu daha genel bir sonuçtur. (Aslında bu gerçeğin ıĢığında G‟nin domainini gereksiz yere sınırlamaya gerek yoktur.) Operatörü bu Ģekilde tanımladığımız için, eğer 𝑔 ve 𝑔∆ reel değerli ise logaritma reel değerlidir, eğer 𝑡 ∈ 𝕋 için 𝑔 𝑡 = 0 olursa logaritma tanımsızdır ve 𝑔 𝑡 iki kez diferansiyellenebilir ise logaritma diferansiyellenebilirdir. Sıfırdan farklı her sabit fonksiyonun logaritması sıfırdır, dolayısıyla birçok fonksiyon aynı logaritmaya sahip olacağından logaritma fonksiyonu birebir değildir. Bu da bize logaritmanın fonksiyonların sabit çarpanları arasında ayrım göstermediğini bildirir. Yani 𝑓 𝑡 ve 𝑔 𝑡 = 𝑐𝑓(𝑡) fonksiyonları aynı logaritmaya sahiptir. log 𝕋 𝑐𝑓 𝑡 = log𝕋 𝑐 ⊕ log 𝕋 𝑓 𝑡 = 0 ⊕ log 𝕋 𝑓 𝑡 = log 𝕋 𝑓 𝑡 Matris durumunu incelemeden önce, logaritmanın gerçekten ne temsil ettiğini düĢünelim. Bu soruya cevap vermek için 𝕋 = ℝ „de logaritmanın ne olduğunu belirleyelim. Bu zaman skalası üzerinde log 𝕋 𝑔 𝑡 = 𝑔 ∆ (𝑡) 𝑔 (𝑡) = 𝑔 ′ (𝑡) 𝑔(𝑡) 𝑑 = 𝑑𝑡 𝑙𝑛 𝑔(𝑡) , olduğundan zaman skalası logaritması ℝ‟deki logaritmanın rolünü oynamaz, fakat onun türevidir. 36 6.2. Matris Durum 𝐴 𝑡 matrisi için 𝑒𝐴 (𝑡, 𝑠) = 𝐵 denklemini çözmek için matrise odaklanalım. [2] ve [3] numaralı kaynaklarda tanımlandığı gibi 𝑒𝐴 (𝑡, 𝑠) matrisi 𝑋∆ = 𝐴 𝑡 𝑋 , 𝑋 𝑠 = 𝐼 (6.3) lineer diferansiyel denklem sistemini çözer. Burada A(t) 𝑛 × 𝑛 tipinde sürekli regresif bir matristir. Üstel operatörün tersini tanımlamak için aĢağıdaki tanıma bakalım. 6.2. Tanım Diferansiyellenebilir ve tersinir olan(invertible) B(t) için, B(t)‟nin logaritmasını log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝐵∆ 𝑡 . 𝐵−1 𝑡 (6.4) ile tanımlanır[5]. Tanımdan görmek kolaydır ki matris logaritması 𝕄𝔪 𝐶𝑛1 𝕋, ℝ olmayan bir operatördür, 𝐶𝑛1 𝕋, ℝ için doğrusal içinde m×m diferansiyellenebilir ve tersi alınabilir(invertible) matrislerin sınıfıdır. Üstel matris tanımımızdan, log 𝕋 𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 = 𝑒𝐴∆ 𝑡, 𝑠 𝑒𝐴−1 𝑡, 𝑠 = 𝐴(𝑡) olduğunu görürüz. Böylece logaritma sol terste rol oynamaz. Sağ terse gelince o da aĢağıda ki gibidir. 6.3. Teorem B(t) diferansiyellenebilir ve tersinir bir matris(invertible), B(s)=𝐵𝑠 olsun. Eğer 𝐵𝑠 log 𝕋 𝐵(𝑡) ise 𝑒𝑙𝑜𝑔 𝕋 B(t,s)=𝐵𝑠−1 𝐵(𝑡) olur[5]. Ġspat. C(t)=log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 (𝑡) ve 𝐵 𝑠 = 𝐵 𝑠 olsun. Önceden olduğu gibi, bu iki denklem B(t) de birinci basamaktan bir lineer ODE sistemi olarak yazılabilir. IVP de 𝐵∆ = 𝐶𝐵, 𝐵 𝑠 = 𝐵𝑠 37 olur. Bu IVP‟ nin çözümü; 𝐵 𝑡 = 𝐵𝑠 𝑒𝐶 𝑡, 𝑠 = 𝐵𝑠 𝑒𝐵∆𝐵 −1 𝑡, 𝑠 = 𝐵𝑠 𝑒log 𝕋 𝐵 (𝑡, 𝑠) olur. Böylece iddia önceden olduğu gibi gösterilmiĢ olur. 6.4. Teorem A(t) ve B(t) diferansiyellenebilir ve tersinir matrisler olsun. Eğer A(t), B(t) ve𝐵 ∆ (𝑡) ile değiĢimli(commuttative) iseler ; log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 = log𝕋 𝐴(𝑡) ⊕ log 𝕋 𝐵(𝑡) ve biz eğer 𝐵(σ(t)) ve 𝐵∆ (𝑡) ile değiĢebileceğini düĢünürsek, log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵−1 𝑡 = log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊖ log𝕋 𝐵(𝑡) elde ederiz[5]. Ġspat: A(t) ile B(t) ve 𝐵∆ (𝑡)‟nin komütatiflik varsayımından ilk eĢitlik aĢağıda ki gibi yazılabilir. log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 = 𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 ∆ = 𝐴∆ 𝑡 𝐵 𝜍 𝑡 = 𝐴∆ 𝑡 (𝐴 𝑡 𝐵 𝑡 )−1 + 𝐴 𝑡 𝐵∆ 𝑡 𝐵 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝐵∆ 𝑡 (𝐵−1 𝑡 𝐴−1 𝑡 ) 𝐵−1 𝑡 𝐴−1 𝑡 + 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 = 𝐴∆ 𝑡 𝐴−1 𝑡 + 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝐴∆ 𝑡 𝐴 𝑡 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 (𝑡) = log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊕ log𝕋 𝐵(𝑡). Ġkinci eĢitlik ise birinci eĢitlik yardımıyla; log 𝕋 𝐴 𝑡 𝐵−1 𝑡 = log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊕ log𝕋 𝐵−1 (𝑡) = log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ ((𝐵−1 𝑡 )∆ 𝐵(𝑡)) = log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ (−(𝐵 𝜍 𝑡 )−1 𝐵∆ (𝑡)) = log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ −𝐵∆ 𝑡 𝐵 𝑡 + 𝜇 𝑡 𝐵∆ 𝑡 = log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊕ −𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 = log 𝕋 𝐴 𝑡 ⊝ 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 −1 (𝐼 + 𝜇 𝑡 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 )−1 = log 𝕋 𝐴(𝑡) ⊝ log 𝕋 𝐵(𝑡) 38 olarak yazılabilir. Skaler durumda doğru olduğu gibi, cebirsel argümanları kullanabileceğimiz mevcut matrisin bileĢenleri olan fonksiyonların sınıfını kısıtlayabilirdik. Fakat böyle yaparak sonucun genelliğinin bir kısmını kaybedecektik. Matris logaritmasının henüz bir matris ile sabitin çarpımı için incelenmediğini belirtelim. Bu gösterir ki sabit matris logaritması Teorem 6.3 den ve log 𝕋 𝜆𝐵 𝑡 = log 𝕋 𝜆𝐼𝐵 𝑡 = log𝕋 𝜆𝐼 ⊕ log 𝕋 𝐵 𝑡 = 0 ⊕ log 𝕋 𝐵 𝑡 = log 𝕋 𝐵(𝑡) olmasından dolayı sıfırdır. Eğer 𝕋 = ℝ ise log𝕋 𝐵(𝑡) sıradan matris logaritması değil, onun türevidir. Yani, 𝑑 log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝐵∆ 𝑡 𝐵−1 𝑡 = 𝐵′ 𝑡 𝐵−1 𝑡 = 𝑑𝑡 log𝕋 𝐵(𝑡), 𝑡 ile son denklem 𝕋 = ℝ için, eğer A(t) ve∫𝑠 𝐴 𝜏 𝑑𝜏 yer değiĢtirirse(commute), EĢ.6.3 𝑡 denkleminin çözümü 𝑋 𝑡 = 𝑒 ∫𝑠 𝐴 𝜏 𝑑𝜏 olur. ġimdi matris logaritmasının bir baĢka hoĢ cebirsel yapısını vereceğiz. Yani, benzeĢik dönüĢümlerin muhafaza etme yeteneğini. 6.5. Teorem Eğer 𝐵 𝑡 = 𝑃𝐶(𝑡)𝑃−1 ile 𝑃 𝑣𝑒 𝑃−1 sabit matrisler ise; log 𝕋 𝐵 𝑡 = 𝑃 log 𝕋 𝐶(𝑡)𝑃−1 olur[5]. Ġspat: log𝕋 𝐵 𝑡 = log 𝕋 𝑃𝐶 𝑡 𝑃−1 = (𝑃𝐶 𝑡 𝑃−1 )∆ (𝑃𝐶 𝑡 𝑃−1 )−1 = 𝑃𝐶 ∆ 𝑡 𝑃−1 𝑃𝐶 −1 𝑡 𝑃−1 = 𝑃𝐶 ∆ 𝑡 𝐶 −1 𝑡 𝑃−1 = 𝑃 log 𝕋 𝐶 𝑡 𝑃−1 . Birkaç örneğe bakmadan önce önemli diğer bir sonuca da değinmek gerekir. Direk matris logaritmasının tanımından sonra gelen diagonal matris logaritması, köĢegende her bir fonksiyonun logaritmasının matrisi olarak tanımlanır. Bu gerçekten hareketle Teorem 2.3 ile birleĢince hesaplanabilen faydalı bir araç oluĢturur. 39 6.1. Örnek 3 B=𝑒𝐴 𝑡, 𝑠 = 1 1 1 𝑒 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0) 4 1 − 4 𝑒1 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0) − 4 𝑒1 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0) 𝑒 𝑡, 0 + 4 𝑒5 (𝑡, 0) 4 1 3 3 1 3 matrisini düĢünelim. B‟nin özdeğerleri 𝜆1 𝑡 = 𝑒1 𝑡, 0 ve 𝜆2 𝑡 = 𝑒5 𝑡, 0 𝑣1 = özvektörleri −1 1 1 ve 𝑣2 = 3 1 dır. Bu durumda, 3 −4 log 𝕋 𝑒1 (𝑡, 0) 0 3 3 0 log 𝕋 𝑒5 (𝑡, 0 1 4 1 −1 A=log 𝕋 𝐵= 1 1 −1 3 1 = 1 1 0 3 0 −4 3 5 4 1 4 3 = 4 2 3 1 4 3 4 1 4 olarak bulunur. 6.2. Örnek B = 𝑒𝐴 𝑡, 0 𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠 = 2 1−3𝜇 𝑡, 0 + 𝑠𝑖𝑛 −𝑒−3 𝑡, 0 𝑠𝑖𝑛 2 1−3𝜇 𝑡, 0 ) 2 (𝑡, 0) 1−3𝜇 2𝑒−3 𝑡, 0 𝑠𝑖𝑛 𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠 2 1−3𝜇 B‟nin özdeğerleri 𝜆1 𝑡 = 𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠 𝑡, 0 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝜆2 𝑡 = 𝑒−3 𝑡, 0 (𝑐𝑜𝑠 𝑡, 0 − 𝑖 𝑠𝑖𝑛 2 1−3𝜇 2 1−3𝜇 özvektörleri Bu durumda 𝑣1 = −1 − 𝑖 1 ve 𝑣2 = −1 + 𝑖 dır. 1 2 1−3𝜇 2 1−3𝜇 2 (𝑡, 0) 1−3𝜇 𝑡, 0 − 𝑠𝑖𝑛 (𝑡, 0) (𝑡, 0) 2 1−3𝜇 𝑡, 0 ) 40 𝐴= log 𝕋(𝑒−3 𝑡, 0 𝑒 log 𝕋 𝐵= 𝑡, 0 ) 2𝑖 1−3𝜇 0 1 𝑖 2 log 𝕋(𝑒−3 𝑡, 0 𝑒 −2𝑖 𝑡, 0 ) − 1 𝑖 2 0 1−3𝜇 2𝑖 1 −3 ⊕ 1−3𝜇 0 0 −3 ⊕ 1−3𝜇 −1 − 𝑖 = 1 −1 + 𝑖 1 −1 − 𝑖 = 1 −1 + 𝑖 −3 + 2𝑖 1 0 −2𝑖 1 𝑖 0 2 −3 − 2𝑖 − 1 𝑖 2 2 1 𝑖 2 1 1 −2𝑖 1 2 1 2 2 1 +2𝑖 1 −2𝑖 1 +2𝑖 1 −2𝑖 = −1 −2 4 −5 1 1 +2𝑖 2 1 2 1 −2𝑖 41 KAYNAKLAR [1] Agarwal,R.P., Bohner,M., O'Regan,D., Peterson,A.,”Dynamic equations on time scales”, A survey, J. Comput. Appl. Math., 4:1-26(2002). [2] Bohner, M. and Peterson, A., ”Dynamic equations on time scales: An introduction with applications”, Birkhäuser Boston, 1-78 (2001). [3] Bohner, M. ve Peterson, A., ”Advances in dynamic equations on time scales”, Birkhäuser, Boston, 1-80 (2003). [4] Hilger, S.,”Ein Maßkettenkalkül mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten”, Ph.D. Thesis, Universitat Würzburg, 3-28 (1998) [5] Jackson, B. “The Time Scale Logarithm” , Department of Mathematics,Baylor University, USA, 1-7 (2007) 42 ÖZGEÇMĠġ KiĢisel Bilgiler Soyadı, adı : BĠÇĠCĠOĞLU, Hülya Uyruğu : T.C. Doğum tarihi ve yeri : 02.04.1976 Daday Medeni hali : Evli Telefon : 0(366) 215 21 81 e-mail : [email protected] Eğitim Derece Eğitim Birimi Lisans Balıkesir Ün./ Necatibey Eğitim Fak./ Mezuniyet tarihi 1997 Matematik Öğretmenliği Lise Göl Anadolu Öğretmen Lisesi/Kastamonu Yabancı Dil Ġngilizce Hobiler Santranç, Bilgisayar teknolojileri 1993