…ÇOKLU REGRESYON MODELİ… Bir bağımlı değişkene etki eden çok sayıda bağımsız değişkeni analize dahil ederek çoklu regresyon modeli uygulanabilir. Y=b1 + b2 X2 + b3 X3 + u Y=b1 + b2 X2 + b3 X3 +...+ bk Xk + u EKKY varsayımları çoklu regresyon analizinde de geçerlidir. …ÇOKLU REGRESYON MODELİ… Tütün Miktarı Gelir Fiyat 59.20 65.40 62.30 64.70 67.40 64.40 68.00 73.40 75.70 70.70 76.2 91.7 106.7 111.6 119.0 129.2 143.4 159.6 180.00 193.0 23.50 24.40 32.10 32.40 31.10 34.10 35.30 38.70 39.60 46.70 …ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ… Ŷi b̂1 b̂ 2 X2 b̂ 3 X3 Katsayıların Tahmini Normal Denklemler ile, Ortalamadan Farklar ile, …NORMAL DENKLEMLER… Y nb̂ X b̂ X b̂ YX X b̂ X b̂ X X b̂ YX X b̂ X X b̂ X b̂ 1 2 2 3 3 2 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 1 2 3 2 3 3 SY=? , n , SX2=? , SX3=? ,SYX2= ? , SYX3= ?, SX2X3= ? , SX22=? , SX32=? Tütün Miktarı Gelir Fiyat Y X2 X3 YX2 YX3 59.20 76.2 23.50 4511.04 1391.20 65.40 91.7 24.40 5997.18 1595.76 62.30 106.7 32.10 6647.41 1999.83 64.70 111.6 32.40 7220.52 2096.28 67.40 119.0 31.10 8020.60 2096.14 64.40 129.2 34.10 8320.48 2196.04 68.00 143.4 35.30 9751.20 2400.40 73.40 159.6 38.70 11714.6 2840.58 75.70 180.0 39.60 13626.0 2997.72 70.70 193.0 46.70 13645.1 3301.69 SY=671.20 SX2=1310.40 SX3=337.90 SYX2=89454.17 SYX2=22915.64 X2X3 1790.70 2237.48 3425.07 3615.84 3700.90 4405.72 5062.02 6176.52 7128.00 9013.10 SX2X3=46555.35 X22 5806.44 8408.89 11384.89 12454.56 14161.00 16692.64 20563.56 25472.16 32400.00 37249.00 SX22=184593.14 X32 552.2 595.3 1030.41 1049.76 967.2 1162.81 1246.09 1497.69 1568.16 2180.89 SX32=22915.64 …NORMAL DENKLEMLER… 671.20 10 b̂1 1310.40 b̂ 2 337.90b̂ 3 89454.17 1310.40 b̂1 184593.14b̂ 2 46555.35b̂ 3 22915.64 337.90 b̂1 46555.35b̂ 2 11850.63b̂ 3 …NORMAL DENKLEMLER… -131.04/ 671.20 10 b̂1 1310.40 b̂ 2 337.90b̂ 3 89454.17 1310.40 b̂1 184593.14b̂ 2 46555.35b̂ 3 - 87954.05 1310.40 b̂1 171718.82 b̂ 2 44278.42b̂ 3 89454.17 1310.40 b̂1 184593.14b̂ 2 46555.35b̂ 3 1500.12 12874.32b̂ 2 2276.93b̂ 3 …NORMAL DENKLEMLER… -33.79/ 671.20 10 b̂1 1310.40 b̂ 2 337.90b̂ 3 22915.64 337.90 b̂1 46555.35b̂ 2 11850.63b̂ 3 - 22679.85 337.90 b̂1 44278.42 b̂ 2 11417.64b̂ 3 22915.64 337.90 b̂1 46555.35b̂ 2 11850.63b̂ 3 235.79 2276.93b̂ 2 432.99b̂ 3 …NORMAL DENKLEMLER… 1500.12 12874.32b̂ 2 2276.93b̂ 3 -5.26 / 235.79 2276.93b̂ 2 432.99b̂ 3 ˆ 2276.93b ˆ 1500.12 12874.32b 2 3 ˆ 2276.93b ˆ 1240.26 11976.65b 2 259.86 897.67b̂ 2 ˆ 0.2895 b 2 3 …NORMAL DENKLEMLER… 1500.12 12874.32(0.2895) 2276.93bˆ 3 1500.12 3727.12 2276.93b̂ 3 2227 2276.93b̂ 3 ˆ 0.9781 b 3 …NORMAL DENKLEMLER… 671.20 10 bˆ 1 1310.40 (0.2895) 337.90(0.9781) 671.20 10 bˆ 1 379.36 330.50 622.34 10 bˆ 1 ˆ 62.23 b 1 …ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ… ˆ 62.23 0.2895X 0.9781X Y i 2 3 …ORTALAMADAN FARKLAR YOLUYLA… 2 ˆ ˆ yx b x b 2 2 2 3 x2x3 2 ˆ ˆ yx 3 b 2 x 2 x 3 b 3 x 3 bˆ 1 Y bˆ 2 X2 bˆ 3 X3 Y ? X 2 ? X 3 ? y=? , x2=?, x3=? Syx2=?, Syx3=?, Sx2x3=?, Sx22=?, Sx32=? …ORTALAMADAN FARKLAR… Tütün Miktarı Gelir Fiyat X2 X3 Y 59.20 76.2 23.50 65.40 91.7 24.40 62.30 106.7 32.10 64.70 111.6 32.40 67.40 119.0 31.10 64.40 129.20 34.10 68.00 143.4 35.30 73.40 159.6 38.70 75.70 180.0 39.60 70.70 193.0 46.70 SY=671.20 SX2=1310.40 SX3=337.90 Y 67.12 X 2 131.04 X 3 33.79 y -7.92 -1.72 -4.82 -2.42 0.28 -2.72 0.88 6.28 8.58 3.58 x2 -54.84 -39.34 -24.34 -19.44 -12.04 -1.84 12.36 28.56 48.96 61.96 x3 -10.29 -9.39 -1.69 -1.39 -2.69 0.31 1.51 4.91 5.81 12.91 …ORTALAMADAN FARKLAR… yx2 434.3 67.66 117.3 47.04 -3.37 5.00 10.88 179.3 420.0 221.8 yx3 x2x3 81.50 16.15 8.15 3.36 -0.75 -0.84 1.33 30.83 49.85 46.22 564.3 369.4 41.13 27.02 32.39 -0.57 18.66 140.2 284.4 799.9 x22 3007.43 1547.64 592.4 377.9 144.9 3.39 152.7 815.6 2397.08 3839.04 x32 105.8 88.17 2.86 1.93 7.24 0.10 2.28 24.11 33.76 166.67 Syx2=1500.12 Syx3=235.79 Sx2x3=2276.93 Sx22=12878.32 Sx32 =432.99 …ORTALAMADAN FARKLAR… -5.26 / ˆ 2276.93b ˆ 1500.12 12878.32b 2 3 ˆ 432.99b ˆ 235.79 2276.93b 2 3 ˆ 2276.93b ˆ 1500.12 12878.32b 2 3 ˆ 2276.93b ˆ 1240.26 11976.65b 2 259.86 897.67b̂ 2 ˆ 0.2895 b 2 3 …ORTALAMADAN FARKLAR… 1500.12 12878.32(0.2895) 2276.93bˆ 3 1500.12 3727.12 2276.93b̂ 3 2227 2276.93b̂ 3 ˆ 0.9781 b 3 …ORTALAMADAN FARKLAR… bˆ 1 67.12 (0.2895)(131.04) (0.9781)( 33.79) ˆ 62.23 b 1 …ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ… ˆ 62.23 0.2895X 0.9781X Y i 2 3 Tütün miktarı Gelir Fiyat …ELASTİKİYETLERİN HESAPLANMASI… E yxi Y / Y Y X i lim . x i 0 X / X i X i Y •Nokta Elastikiyet •Ortalama Elastikiyet …NOKTA ELASTİKİYET… X20 = 140 X30 = 38 ˆ 62.23 0.2895X 0.9781X Y i 2 3 ˆ 62.23 0.2895(140) 0.9781(38) Y 0 ˆ Y0 65.59 …NOKTA ELASTİKİYET… E YX 20 E YX 20 Y X 2 . ˆ X 2 Y 0 X 20 ˆ b2 . ˆ Y 140 0.2895 65.59 Tütünün gelir elastikiyeti 0 0.62 …NOKTA ELASTİKİYET… E YX 30 E YX 30 Y X 3 . ˆ X 3 Y 0 X 30 ˆ b3 . ˆ Y 38 0.9781 65.59 Tütünün fiyat elastikiyeti 0 -0.57 …ORTALAMA ELASTİKİYET… ˆ 62.23 0.2895X 0.9781X Y i 2 3 E YX i E YX 2 E YX 3 Xi Y X i b ˆ . i . Y X i Y 131.04 = 0.57 0.2895. 67.12 33.79 0.9781. = -0.49 67.12 Y 67.12 ; X 2 131.04; X 3 33.79 …ÖRNEK REGRESYON DENKLEMİ… Ŷi b̂1 b̂ 2 X2 b̂ 3 X3 ˆ 62.23 0.2895X 0.9781X Y i 2 3 …ÇOKLU REGRESYON MODELİNDE TAHMİNİN STANDART HATASI… s 2 Se i nk ˆ ) 2 Se 2 ? ˆ ? S(Y Y Y i i i i ˆ Yi 62.23 0.2895X 2 0.9781X3 …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… Y b1 b2 X 2 u 1) Tek açıklayıcı değişkenli model var bˆ2 u2 1 2 x Y b1 b2 X 2 b3 X 3 u 2) İki açıklayıcı değişkenli model 2 ˆ var b2 u var bˆ3 u2 2 x 3 x x x x x x x x x 2 2 2 2 3 Bu ifadeler determinantla şöyle yazılabilir. 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… Sapmalar biçiminde yazılmış iki açıklayıcı değişkenli modelin normal denklemleri şöyledir. 2 ˆ x y b ( x 2 2 2 ) bˆ3 ( x2 x3 ) (1) x y bˆ ( x x ) bˆ ( x ) (2) 3 2 2 3 3 2 3 Parantez içindeki terimler, örnek gözlemlerinden hesaplanmış determinantlardır bˆ2 ve bˆ3 ise bilinmeyenlerdir. …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… (1) ve (2) nolu denklemin sağ tarafında yer alan bilinenler, determinant kalıbında yazılabilir. 2 x 2 x x 2 3 x x x 2 3 2 3 A Her bir parametrenin varyansı, bu parametreye ilişkin minör determinantının (bütün) determinanta bölümünün u2 İle çarpımıdır. Yani… …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… x y bˆ ( x ) bˆ ( x x ) x y bˆ ( x x ) bˆ ( x ) 2 3 var bˆ2 için var bˆ2 u2 2 2 2 2 2 3 2 x 2 x2 x3 x x x 2 2 2 3 Ve.. 3 3 x x x x x x 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 (1) 2 3 (2) u2 2 x 3 x x x x x x 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x 2 3 u A …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… var bˆ3 var bˆ3 u2 için 2 x 2 x2 x3 x x x 2 2 2 3 x x x x x x 2 3 2 3 2 3 2 3 u2 2 x 2 x x x x x x 2 2 2 3 2 3 2 3 2 x 2 2 u A …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… 3) Üç açıklayıcı değişkenli model Y b1 b2 X 2 b3 X 3 b4 X 4 Normal denklemin sağ tarafında görülen bilinen terimlerin determinantı şöyledir: x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 3 2 3 2 3 2 4 3 4 2 4 3 4 2 4 B …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… Y b1 b2 X 2 b3 X 3 b4 X 4 Daha önce iki açıklayıcı değişkenli model için açıklanan işlemleri burada da yenilersek varyansları determinant cinsinden şöyle yazabiliriz. var bˆ2 için: var bˆ2 u2 2 x 2 x2 x3 x2 x4 x x x x x x x x x x 2 3 2 3 3 4 B 2 4 3 4 2 4 u2 2 x 3 x3 x4 x x x 3 4 2 4 B …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… var bˆ3 u2 2 x 2 x2 x3 x2 x4 x x x x x x x x x x 2 3 2 3 3 4 B 2 4 3 4 2 4 x x x x x x 2 2 2 u 2 4 2 4 2 4 B …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… x x x x x x x x x x x x x x x 2 2 var bˆ4 u2 2 3 2 3 2 3 2 4 3 4 B 2 4 3 4 2 4 x x x x x x 2 2 2 u 2 3 2 3 2 3 B …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… Katsayı tahminlerinin varyanslarını gösteren daha önceki ifadeler incelenecek olursa, şu genelleme yapılabilir. k sayıda açıklayıcı değişken içeren bir tahminlerinin varyansı iki determinantın oranından hesaplanabilir. modelin birbirine …VARYANS FORMÜLLERİNİN GENELLEŞTİRİLMESİ… Örneğin bˆk nın varyansı aşağıdaki ifadedir. var bˆk 2 u x12 x1 x2 x x 1 k x12 x1 x2 x x 1 k x x x x 1 2 1 2 x x x x x x 2 k 1 2 1 2 x 2 xk x x x x 2 k 2 x k x1 xk x2 xk 2 xk 1 k …Çoklu Regresyon Modelinde Tahminin Standart Hatası… Tütün Gelir Y X2 59.20 76.2 65.40 91.7 62.30 106.7 64.70 111.6 67.40 119.0 64.40 129.2 68.00 143.4 73.40 159.6 75.70 180.0 70.70 193.0 SY=671.20 Fiyat X3 23.50 24.40 32.10 32.40 31.10 34.10 35.30 38.70 39.60 46.70 Ŷ 61.30455 64.91151 61.72264 62.84776 66.26159 66.28019 69.21737 70.58173 75.60724 72.42623 SŶ 671 .16 e -2.10 0.49 0.58 1.85 1.14 -1.88 -1.22 2.82 0.09 -1.73 e2 4.429131 0.238622 0.333345 3.430793 1.295977 3.535114 1.48199 7.942646 0.008604 2.97987 Se = 0.040 Se2 = 25.68 …Çoklu Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları… s Se 25.68 nk 10 3 s(bˆ2 ) s 1.9154 2 i 3.6686 =1.9154 Sx 2 2 2 Sx2 Sx3 (Sx2 x3 ) 2 3 432.99 (12878.38)( 432.99) (2276.93) 2 =0.0637 …Çoklu Regresyon Modelinde Tahmincilerin Standart Hataları… s(bˆ3 ) s 1.9154 Sx 2 2 2 Sx2 Sx3 (Sx2 x3 ) 2 2 12878.38 (12878.38)( 432.99) (2276.93) 2 2 2 2 2 X x X x 2 3 3 2 x2 x3 2 1 Var (b1 ) s . 2 2 2 n x2 x3 ( x2 x3 ) =0.3473 …Çoklu Belirlilik Katsayısı… 2 RBD S ŷ R 2 TD Sy 2 b 2 Syx 2 b 3Syx 3 Sy 2 0.2895(1500.12) (0.9781)( 235.79) = 0.8879 0.89 228.90 R 2 HBD 1 TD 1 R 2 1 HBD Se 2 TD Sy 2 Se 2 Sy 2 25.68 1 = 0.8879 0.89 228.90 25.68 = 0.11 228.90 …Düzeltilmiş Belirlilik Katsayısı… R2 değeri yeni bağımsız değişken eklendiğinde daima artar, R2 de payın değeri artarken payda aynı kalır. Bu sakıncayı ortadan kaldırabilmek için aşağıdaki düzeltilmiş belirlilik katsayısı hesaplanabilir: 10 1 2 n 1 R 1 (1 R ) 1 (1 0.89) = 0.86 n k 10 3 2 R R 2 2 Çoklu korelasyon katsayısı (R) : Y bağımlı değişkeni ile X bağımsız değişkenleri arasındaki ilişkinin derecesini göstermektedir. …Basit Korelasyon Katsayıları… ryx2 r12 ryx3 r13 rx 2 x 3 r23 rx 3x 2 r32 Syx 2 1500.12 (12878.38)( 228.90) 2 2 Sx 2 Sy Syx 3 2 Sx 3 Sy 2 Sx 2 x 3 Sx 32 Sx 22 235.79 (432.99)( 228.90) 2276.93 = 0.7490 = 0.9642 (12878.38)( 432.99) Sx 22 Sx 32 Sx 3 x 2 = 0.8737 2276.93 (432.99)(12878.38) = 0.9642 …Kısmi Korelasyon Katsayıları… yx yx 2 b̂ 2 x b̂3 x 2 x 3 3 b̂ 2 x 2 x 3 b̂3 x yx b̂ 2 x b̂3 x 2 x 3 2 2 2 2 2 2 ˆ b2 x2 yx2 bˆ3 x2 x3 İfadenin her iki yanı x 2 2 bölünürse 2 3 …Kısmi Korelasyon Katsayıları… b̂ 2 yx x 2 2 2 b̂3 x x x 2 3 2 2 b̂ 2 b̂12 b̂3b̂32 X2’nin Y’ye Toplam Etkisi = X2’nin Y’ye Doğrudan Etkisi - X2’nin Y’ye Dolaylı Etkisi 0.2895 0.1165 (0.9781)(0.1768) 0.2895 0.2894 …Kısmi Korelasyon Katsayıları… r12.3 r13.2 r23.1 r12 r13r23 0.8737 (0.7490)(0.9642) =0.8623 2 2 (1 r )(1 r ) [1 (0.7490) ][1 (0.9642) ] 2 13 2 23 r13 r12r23 (1 r )(1 r ) 2 12 2 23 r23 r12r13 0.7490 (0.8737)(0.9642) = -0.7242 [1 (0.8737) ][1 (0.9642) ] 2 2 0.9642 (0.8737)(0.7490) =0.9612 2 2 (1 r )(1 r ) [1 (0.8737) ][1 (0.7490) ] 2 12 2 13 …Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi… 1.Aşama H0: b 2 = 0 H1 : b 2 0 2.Aşama a=? = 0.05 ; S.d.=? = n-k =10-3 = 7 ta,sd =? t0.05,7=? =2.365 3.Aşama 4.Aşama t hes b̂ 2 b * 2 s(b̂ 2 ) ? 0.2895 0 0.0637 |thes= 4.5447 | > |ttab= 2.365 | H0 hipotezi reddedilebilir =4.5447 …Kısmi Regresyon Parametrelerinin Ayrı Ayrı Testi… 1.Aşama H0: b 3 = 0 H1 : b 3 0 2.Aşama a=? = 0.05 ; S.d.=? = n-k =10-3 = 7 ta,sd =? t0.05,7=? =2.365 3.Aşama 4.Aşama t hes b̂3 b * 3 s(b̂ 3 ) ? 0.9781 0 0.3473 |thes=- 2.8163 | > |ttab= 2.365| H0 hipotezi reddedilebilir =-2.8163 …Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi… Y=b1 + b2 X2 + b3 X3 + u (Sınırlandırılmamış Model)(SM) Y=b1 + u (Sınırlandırılmış Model)(SR) (SR) H0: b 2 = b 3 = 0 1.Aşama H1: b i 0 2.Aşama a=? = 0.05 ; f1=? f2=? Fa,f 1,f2 =? F0.05,2,7=? =4.74 = k-1 = 3-1=2 = n-k =10-3=7 …Regresyon Parametrelerinin Topluca Testi… 3.Aşama Fhes R /( k 1) 0.8879 /(3 1) =27.7221 ? 2 (1 0.8879) /(10 3) (1 R ) /( n k ) 4.Aşama 2 Fhes= 27.7221 > Ftab= 4.74 H0 hipotezi reddedilebilir …Varyans Analiz Tablosu… Değişkenlik SKT RBD HBD 203.2235 3-1 25.6725 10-3 TD 228.8960 10-1 sd SKTO 101.6117 3.6675 Fhes 27.7060 F-Anlamlılık [0.0005] …Güven Aralıkları… b̂ 2 t a / 2s(b̂ 2 ) = 0.2895 2.365 (0.0637) 0.1370 < b2 < 0.4381 b̂3 t a / 2s(b̂3 ) = -0.9781 2.365 (0.3473) -1.7887 < b3 < -0.1466 Sabit Terimsiz Bağlanım(Regresyon) Modeli Yi b1 b 2 X i ui Yi b 2 X i ui YX b X Sabit Terimsiz Bağlanım Modeli i 2 i 2 i s s(b ) X 2 0<b2<1 2 i Sabit Terimsiz Bağlanım Modeli Sabit Terimsiz Bağlanım Modelinin Özellikleri 1) Sabit terimsiz regresyonda Σei lerin sıfıra eşit olması şart değildir. 2) Sabit terimsiz regresyonda r2 belirlilik katsayısı uygun bir ölçü değildir. Çünkü bu katsayının sabit terimsiz regresyonda negatif değer alması söz konusu olabilmektedir. Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri İmalat Sanayi Mamülleri Üretim Fonksiyonları Üretim faktörleri girdileri sıfırken çıktı yani üretim de sıfır olmalıdır. Orijinden Geçen Uzun Dönem Tüketim Fonksiyonu b1 sabitinin pozitif değeri bize ekonomik birimlerin gelir seviyeleri sıfırken daha önce yaptıkları tasarrufları tükettiklerini ve daha önceki dönemlerde üretilmiş mallardan faydalandıklarını ifade etmektedir. Kapalı bir ekonominin daha önce ürettiği tüketim malları stoku yoksa, b1 değeri sıfırdan büyük olamaz. Bu halde gelir seviyesi sıfıra indiğinde tüketim geliri aşacak, bu da negatif bir tasarrufa karşılık gelecektir. Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Gelirden bağımsız ve kısıtlanması mümkün olmayan tüketim seviyesi b1'e bağımsız tüketim harcamaları denir. Bu durum kısa dönemde söz konusu olur. Buna karşılık, daha önceki birikmiş tasarruflara bağlı olarak belli bir tüketim seviyesi b1 in varlığının kabulünün uzun dönemde hiç bir anlamı olmaz. Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Portföy Teorisi Bir yatırım projesinin toplam riski, iki riskten oluşur: Sistematik risk veya piyasa riski ve sistematik olmayan risk. Sistematik olmayan risk firmanın yönetim şartları, firmalar arası rekabet, grevler ve tüketici davranışlarındaki değişmeler gibi faktörlere bağlıdır. Sistematik risk , Piyasa faiz oranlarının değişmesi, enflasyon riski, finansal piyasalardaki değişmeler gibi faktörlere bağlıdır Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Finansal Varlıkları Fiyatlama Modelinin Beta Katsayısı, projelerin sistematik riskini ölçmeye yarar. Finansal Varlıklar Fiyatlama Modeli : Ri - rf = ßi (Rm - rf) + ui Ri = i finansal varlığı verim oranı Rm = Piyasa portföyü verim oranı (riskli varlıklardan oluşan) rf = Risksiz piyasa verim oranı (hazine bonosunun 90 günlük verim oranı gibi) ßi = Finansal varlığın sistematik riski (Beta katsayısı) ui = hata terimi Sabit Terimsiz Bağlanım Model Örnekleri Yi = ai + ßi Xi + ui Yi = Şirketin yıllık verimlilik oranı (%) Xi = Piyasa portföyü yıllık verimlilik oranı (%) ßi = Eğim katsayısı, portföy teorisinde Beta katsayısı (Sistematik Risk) Yi = 1.0899 Xi s (bi): (0.1916) , Se2 = 3425.285 t (5.6884) Yi= 1.2797 + 1.0691 Xi s (bi) (7.6886) (0.2383) t = (0.1664) (4.4860) …DOĞRUSAL OLMAYAN REGRESYON MODELLERİ… Tam Logaritmik Modeller Yarı-Logaritmik Model *Log-Doğ Model(Üstel Model) *Yarı-Logaritmik Model Doğ - Log Model Polinomial Model …Tam Logaritmik Model… X3 Y b2>1 0<b2<1 Y2 b2<0 Y1 X2 X2 (X3 sabit tutulduğunda) …Tam Logaritmik Model(Üslü model-log-log Modeller-Sabit Elastikiyetli Modeller)… Y b1. X b2 veya log Y log b1 b2 log X log u logY Y log X X * Y b b2 X * * 1 * log b1 b1* * b̂ ve b̂ 2 tahminler i sapmasızdır b̂ 2 tahmini eğrinin heryerinde aynıdır. * 1 b1 anti log b̂ tahmini sapmalıdır. * 1 Y b1. X b2 Y X dY X E yx lim . X 0 X Y dX Y dY b2 1 Y ' b1.b2 X dX Y’nin eşiti üstteki denklemde yerine konursa EYX 1 X b1.b2 X . . b 2 b2 X b1 X b2 …Tam Logaritmik Model… Birden fazla bağımsız değişken olduğunda Y b1. X . X X .eu b3 3 b2 2 bk k lnY =lnb1 + b2 lnX2+ b3 lnX3 + ... + bk lnXk + u lne Y* =b1 *+ b2 X2*+ b3 X3* + ... + bk Xk* + u Y* b̂1* b̂ 2 X* e SY* nb̂1* b̂ 2 SX* SY X SX b̂ b̂ 2 SX * * b̂ ? * 1 * * 1 b̂ 2 ? *2 Y b1. X X b2 2 Y ' b1.b2 . X b3 3 b2 1 2 X b3 3 1 1 b2 .Y b2 .(b1. X X ) X2 X2 b2 2 b3 3 Y Y X 2 1 X2 E yx b2 .Y X 2 Y X2 Y b2 Y Uygulama 4.3 (207-210) 80 60 40 20 0 0 100 200 300 400 X LNY Uygulama 4.3 (207-210) 4.4 4.2 4.0 3.8 3.6 3.4 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 LNX Uygulama 4.3 (207-210) Hanehalkı 1 2 3 4 5 3.8140 3.8091 3.8317 3.5225 3.8801 21 22 23 24 25 Y*=lnY 4.0646 4.2921 4.1454 4.2841 4.2214 X*=lnX 3.9570 4.3623 4.4859 3.9905 4.7135 X*Y*=ln(X) ln(Y) X*2=[ln(X)]2 Y*2=[ln(Y)]2 15.0920 15.6578 14.5466 16.6164 19.0297 14.5092 17.1886 20.1233 14.6819 14.0565 15.9241 12.4080 18.2889 22.2171 15.0552 5.2029 5.9216 5.2554 5.5099 5.5969 21.1477 25.4161 21.7857 23.6050 23.6268 27.0702 35.0653 27.6192 30.3590 31.3253 16.5210 18.4221 17.1843 18.3535 17.8202 101.1449 124.0374 504.5211 622.8097 410.3199 Uygulama 4.3 (207-210) * Y Y* n * * X X n 101.1449 = 4.0458 25 124.0374 = 4.9615 25 1 Σx = ΣX (ΣX)2 n 2 Sx*2 2 1 = 622.8097 25 (124.0374)2 =7.3986 1 Σxy = ΣXY (ΣX) (ΣY) n Sy*x* = 504.5211 - 1 25 (124.0374) (101.1449) =2.6911 Uygulama 4.3 (207-210) x * y* 2.6911 = 0.3637 b̂ 2 *2 7.3986 x b1* = Y * - bX 2 * = 4.0458 - (0.3637) 4.9615 = 2.2413 Ŷ* = 2.2413 + 0.3637 X* ln Ŷ = 2.2413 + 0.3637 ln X Ŷ = 9.4056 X0.3637 [ln(9.4046) = 2.2413] …Üretim Fonksiyonu… Y b1X .X b2 2 b3 3 Y= Üretim X2=Emek ; X3=Sermaye Y Y = Emeğin Marjinal Verimliliği b2 X 2 X2 Y Y = Sermayenin Marjinal Verimliliği b3 X 3 X3 lnY = -3.4485 + 1.5255 lnX2 + 0.4858 lnX3 (t) (-1.43) (2.87) n=15 Düz-R2= 0.8738 (4.82) …Yarı-Logaritmik Model… Log-Doğ Model(Üstel Model) Ye b1 b 2 X e e b1 b 2 X Y Ae b2X Y b X Y = Ae 2 b X Y = Ae 2 A b 2>0 b <0 2 A (a) X (b) X …Yarı-Logaritmik Fonksiyon… Log-Doğ Model(Üstel Model) lnY = b1 +b2 X+ u d ln Y d Y/Y Y' deki nisbi değişme 1 dY b2 . X' deki mutlak değişme dX dX Y dX dY X E yx dX Y = ( b2 Y ) X Y = b2 X Artış Hızı Modeli Log-Doğ Model(Üstel Model) lnY = b1 +b2 t + u r = (Antilog b2 - 1) . 100 Y= İş hacmi(1983-1988) ln Y = 4.638 + 0.131 t r = (Antilog 0.131 - 1) . 100 = (1.13997 - 1) . 100 = (0.139971) . 100 = % 14 Örnek 1969-1983 yıllarına ait GSMH verileri aşağıdadır. Buna göre büyüme hızını bulunuz. Y t logY logY*t t2 Ytahmin e GSMH YIL LOGGSMH LOGGSMH_YIL YILKARE YTAHMIN HATA 1969 1088.000 1.000000 6.992096 6.992096 1.000000 6.990414 0.001682 1970 1086.000 2.000000 6.990257 13.98051 4.000000 7.017268 -0.027012 1971 1122.000 3.000000 7.022868 21.06860 9.000000 7.044122 -0.021254 1972 1186.000 4.000000 7.078342 28.31337 16.00000 7.070976 0.007365 1973 1254.000 5.000000 7.134094 35.67047 25.00000 7.097830 0.036263 1974 1246.000 6.000000 7.127694 42.76616 36.00000 7.124685 0.003009 1975 1231.000 7.000000 7.115582 49.80907 49.00000 7.151539 -0.035957 1976 1298.000 8.000000 7.168580 57.34864 64.00000 7.178393 -0.009813 1977 1370.000 9.000000 7.222566 65.00309 81.00000 7.205247 0.017319 1978 1438.000 10.00000 7.271009 72.71009 100.0000 7.232101 0.038907 1979 1479.000 11.00000 7.299121 80.29034 121.0000 7.258955 0.040166 1980 1475.000 12.00000 7.296413 87.55696 144.0000 7.285809 0.010604 1981 1512.000 13.00000 7.321189 95.17545 169.0000 7.312663 0.008525 1982 1480.000 14.00000 7.299797 102.1972 196.0000 7.339518 -0.039720 1983 1535.000 15.00000 7.336286 110.0443 225.0000 7.366372 -0.030086 obs lnY = b1 +b2 t + u LOG(GSMH)= 6.963560+ 0.026854YIL t (461.0034) (16.16401) Prob (0.0000) (0.0000) = (Antilog b2 - 1) . 100 r = (Antilog 0.02685- 1) . 100 Ücret Modeli Log-Doğ Model(Üstel Model) Aşağıdaki ücret modeli Uygulama 9.3’den alınmıştır.(s.427) Modelde: Y:Haftalık Kazanç ($) ; X2: Tecrübe ; X3 : Eğitim Kategorisi lnY = 1.19 + 0.033 X2 + 0.074 X3 …Yarı-Logaritmik Fonksiyon… Doğ - Log Model Y = b1 +b2 lnX+ u Y Y Y = b1+ b l nX 2 Y = b1+ b l nX 2 b >0 2 b <0 2 (a) X (b) X …Yarı-Logaritmik Fonksiyon… Doğ - Log Model Y = b1 +b2 lnX+ u dY 1 dY d Y Y' deki mutlak değişme b2 X' deki nisbi değişme d lnX d X (1 / X) d X/X d Y X b2 X b2 E yx dX Y XY Y Hedonik Model Doğ - Log Model Y = b1 +b2 lnX2+ b3 lnX3 + u Fiyat = -1.749.97 + 299.97 ln(m2) - 145.09 ln(YatakOda) (t) (-6.8) (7.5) Prob. Düz-R2= 0.826 (-1.7) [0.1148] sd=11 Polinomial Fonksiyonlar Y = b1 + b2 X + b3 X2 + b4 X3 + ... + bk+1 Xk + u Kuadratik Model: Y = b1 + b2 X + b3 X2 + u dY = b2 + 2b3 X = 0 X0= -b2 / 2b3 dX d 2Y = 2b3 2 d X Eğer b3<0 ise X0 noktası maksimumdur Eğer b3>0 ise X0 noktası minimumdur Polinomial Fonksiyonlar Kuadratik Model OM= Ortalama Maliyet ; Çıktı =Üretimİndeksi GMİ= Girdi Maliyetleri İndeksi OM = 10.52 - 0.175 Çıktı + 0.0009 (Çıktı)2 + 0.02 GMİ (t) (14.3) (-9.7) Düz-R2=0.978 (7.8) sd=16 (14.45) Polinomial Fonksiyonlar Kübik Model TM= Toplam Maliyet ;Q =Üretim Miktarı TM Q (adet) 450 193 1 226 2 240 3 244 4 257 5 260 6 274 7 350 9 420 10 Y (To p lam M al iy et) • 400 • 350 300 250 • 200 297 8 • • • • • • • 150 X ( Üret im) 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Polinomial Fonksiyonlar Kübik Model Y = b1 + b2 X + b3 X2 + b4 X3 + u b1 > 0, b2 > 0 b3 < 0 b32 < 3b2 b4 TM = 141.76 + 63.47 Q - 12.96 Q2 + 0.94 Q3 s(bi) (6.37) (4.78) R2 =0.998 sd=6 (0.98) (0.059) En Yüksek Olabilirlik Yöntemi İstatistikte, tüm anakütleler kendilerine karşılık gelen bir olasılık dağılımı ile tanımlanırlar. Basit(sıradan) en küçük kareler yöntemi, özünde olasılık dağılımları ile ilgili herhangi bir varsayım içermez. Bu yüzden, çıkarsama yapmada BEK tek başına bir işe yaramaz. BEK, genel bir tahmin yaklaşımından çok regresyon doğrularını bulmada kullanılabilecek bir hesaplama yöntemi olarak görülmelidir. 86 BEK yönteminden daha güçlü kuramsal özellikler gösteren bir başka nokta tahmincisi EYO, yani “en yüksek olabilirlik” (maximum likelihood) yöntemidir. En yüksek olabilirlik yönteminin ardında yatan temel ilke şu beklentidir: “Rassal bir olayın gerçekleşmesi, o olayın, gerçekleşme olasılığının en yüksek olay olmasındandır.” Bu yöntem, 1920’li yıllarda˙Ingiliz istatistikçi Sir Ronald A. Fisher (1890-1962) tarafından bulunmuştur. Ki-kare testi, bayesgil yöntemler ve çeşitli ölçüt modelleri gibi birçok istatistiksel çıkarım yöntemi, temelde EYO yaklaşımına dayanmaktadır. 87 EYO yöntemini anlayabilmek için, elimizde dağılım katsayıları bilinen farklı anakütleler ve rassal olarak belirlenmiş bir örneklem olduğunu varsayalım: Bu örneklemin farklı anakütlelerden gelme olasılığı farklı ve bazı ana kütlelerden gelme olasılığı diğerlerine göre daha yüksektir. Elimizdeki örneklem, eğer bu anakütlelerden birinden alınmışsa, “alınma olasılığı en yüksek anakütleden alınmış olmalıdır” diye düşünülebilir. 88 Kısaca: 1. Anakütlenin olasılık dağılımı belirlenir veya bu yönde bir varsayımda bulunulur. 2. Eldeki örneklem verilerinin, hangi katsayılara sahip anakütleden gelmiş olma olasılığının en yüksek olduğu bulunur. YALTA (2007 – 2008 Ders Notları) 89 Regresyon Katsayılarının En Yüksek Olabilirlik Tahminleri Y b1 + b2Xi b1 Xi X Y = b1 + b 2X + u modelinde katsayıların en yüksek olabilirlik tahminleri yapılmadan önce modelde hata terimi olmadığını ifade edelim. Nokta ile gösterilen yerde Y değerine karşılık gelen X değerinin Xi değerine eşit olduğu görülmektedir. 90 Y b1 + b2Xi b1 Xi X Eğer modele hata terimini eklersek hataların belli bir ortalama ve varyansa bağlı olarak normal dağıldığını varsayabiliriz. 91 Y b1 + b2Xi b1 Xi X Şekilde gösterilen dağılış hata teriminin önceden tahmin edilen dağılışıdır. Gerçekte hata teriminin dağılışının belli bir değere bağlı olarak modelde normal dağıldığını varsayabiliriz. 92 Y b1 + b2Xi b1 Xi X Ayrıca yatay eksene göre bakıldığında; şekilde gösterilen dağılış X=Xi durumunda Y’nin tahmini dağılımını da ifade etmektedir. 93 Y b1 + b2Xi b1 Xi X Y değeri b1 + b2Xi e yaklaştıkça göreceli olarak daha yüksek yoğunluğa sahip olmaktadır. 94 Y b1 + b2Xi b1 Xi X Bununla birlikte b1 + b2Xi den uzaklaştıkça yoğunluk azalmaktadır. 95 Y b1 + b2Xi b1 Xi X Yi ‘nin ortalama değeri b1 + b2Xi ve hata terimlerinin standart sapması da s, olduğunu varsayarsak. 96 Y 1 f (Yi ) e 2 1 Y b b X i 1 2 i 2 2 b1 + b2Xi b1 Xi X Yi ’lerin olasılık yoğunluk fonksiyonları f(Yi) fonksiyonu ile ifade edilebilir. 97 İki Değişkenli Basit Regresyon Modelinin En Yüksek Olabilirlik Yöntemi İle Tahmini Tek denklemli ekonometrik modellerin tahmininde EKKY dışında kullanılan alternatif yöntem En Yüksek Olabilirlik Yöntemidir. Büyük örneklerde her iki yöntemde yakın sonuçlar vermektedir. Küçük örneklerde ise EYOBY’de s e / n 2 2 olup sapmalıdır. EKKY’de ise s e / n 2 2 2 sapmasızdır. 98 EYOBY’’nin regresyon modeline uygulanışı şöyledir: Yi b1 b2 X i ui Y bağımlı değişkeninin E (Yi ) b1 b2 X i ortalamalı var(Yi ) s 2 varyanslı normal ve Yi değerlerinin bağımsız dağıldığı varsayılmaktadır. Yani Yi N(b1 b 2 Xi , s ) 2 (1) 99 Bu ortalama ve varyansla Yi nin Y1, Y2,…,Yn değerlerinin bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir: f (Y1, Y2 ,..., Yn | b1 b2 X i , s ) 2 Y’ler birbirinden bağımsız olduğundan, bu bileşik olasılık yoğunluk fonksiyonu, n tane bireysel yoğunluk fonksiyonunun çarpımı olarak yazılabilecektir. f (Y1 ,Y2 ,...,Yn | b1 b2Xi ,s ) f (Y1 | b1 b 2X1,s ).f (Y2 | b1 b 2X 2 ,s ) 2 (2) ...f (Yn | b1 b 2X n ,s ) 2 2 2 (2) deki f(Yi), (1) deki ortalama ve varyanslı normal dağılımlı yoğunluk fonksiyonu olup şöyle ifade edilir: 100 1 f (Yi ) e 2 1 Y b b X i 1 2 i 2 2 (3) (3)’ü (1) deki her Yi yerine koyarak aşağıdaki ifadeyi elde ederiz: 1 f (Y1 ) ... f (Yn ) e 2 1 Y1 b1 b 2 X 1 2 2 1 ... e 2 1 Yn b1 b 2 X n 2 2 (4) Ortak yoğunluk fonksiyonları her bir yoğunluk fonksiyonunun çarpımına eşittir. (4) de Yi ler bilindiğinde ve b1,b2 ve s2 ler bilinmediğinde (4) ifadesine en yüksek olabilirlik fonksiyonu adı verilir ve L(b1,b2,s2) şeklinde gösterilir. 101 1 L β1 ,β2 ,σ | Y1,...,Yn e σ 2π 2 1 Y1 β1 β2 X1 2 2 σ 1 2 L b1 , b 2 , n e n ( 2 ) 1 2 ( 1 ... e σ 2π Yi b1 b 2 X i 1 Yn β1 β2Xn 2 2 σ (5) )2 En yüksek olabilirlik yöntemi bilinmeyen bi parametrelerinin, verilen Y’nin gözlenme olasılığının ençok(maksimum) olacak tarzda tahmini esasına dayanır. Bu sebepten b’lerin EYOBY’ ile tahmin için (5) fonksiyonunun maksimumunun araştırılması gerekir. Bu türevdir, türev için en kısa yol (5) in log. nın alınmasıdır. 102 1 Y1 b1 b 2 X1 2 1 Yn b1 b 2 X n 2 1 1 2 2 ... ln L ln e e 2 2 2 n 1 Yi b1 b 2 X 2 n ln L ln ln 2 2 2 2 ln L 1 Yi b1 b 2 X *2 1 0 b1 2 2 Yi nb1 b 2 Xi 2 ln L 1 Yi b1 b 2 X i X Y b X b X Xi 0 i i 1 i 2 i *2 2 b 2 2 103 ln L 2 ln L 2 2 Y b b X n 1 1 i 1 2 *2* 2 2 2 4 n Yi b1 b 2 X 2 2 3 0 2 Y b b X i 2 1 2 n 104