Java Printing - WordPress.com

Kavrama (Clutching) Fonksiyonları
k
Bu bölümde taban uzayı bir çember olan E / S vektör demetlerinin inşa edilmesi üzerinde çalışacağız.
D khDKk = Sk K 1 olmak üzere Sk yı alt ve üst yarı küreleri D C k ve DKk nın birleşimi şeklinde yazalım.
C
f:S
kK1
/ GLn = dönüşümü verilsin ve Ef ,
k
k
x, v 2vDK # =n lerin x, f x v
k
2vD C # =n ile
k
k
tanımlanması ile elde edilen D C # =n kDK # =n ayrık birleşiminin bölümü olsun.Öyleyse Ef / S
doğal projeksiyonu mevcuttur ve bu bir nKboyutlu vektör demetidir.Bunun nKboyutlu bir vektör demeti
olduğu, Sk nın iki yarıküresinin açık toplara genişletildiği ve tanımlamanın kesişimleri, yani her bir
kK1
kK1
S
# {t} için f dönüşümünün kullanıldığı S
# Kε, ε çarpımı üzerinde gerçekleştiği benzer bir
tanım alarak görülebilir. Ef in bu şekilde inşa edilmesi vektör demetlerinin tensör çarpımları konusunda
belirtilen çarpımlarla inşa edilmesinin özel bir halidir.
f dönüşümüne Ef in kavrama (clutching) fonksiyonu denir.Aynı inşa benzer şekilde = yerine C için de
yapılabilir,yani bir f : Sk K 1 / GLn C dönüşümü bir kompleks Ef / Sk vektör demeti üretir.
Ef / Sk demetlerini f : Sk K 1 / GLn = kavrama (clutching) fonksiyonları ile inşa etmenin temel bir
özelliği f ve g homotopik ise Ef z Eg olmasıdır.f den g ye bir F : S
k
k
kK1
# I/GLn = homotopisi
k
mevcutsa, Ef i S # {0} a , Eg yi S # {1} e kısıtlayan EF / S # I vektör demetini elde etmek için
kavrama (clutching ) yapısının aynı şekli kullanılabilir.Çünkü Ef ve Eg izomorfiktir.Böylece X / Y
dönüşümlerin homotopi sınıflarının kümesini X, Y ile gösterecek olursak f / Ef iyi tanımlı bir
kK1
n
Φ: S
, GLn = / Vect S
dönüşümü tanımlanabilir.
k
dönüşümü verir.Kompleks vektör demetleri için de benzer bir Φ
Önerme
Bir f kavrama (clutching) dönüşümünü bir Ef vektör demetine gönderen
Φ: S
kK1
, GLn C
n
C
/ Vect
S
k
dönüşümü bir bijeksiyondur.
İspat:
Φ nın tersi olan bir ψ inşa edelim.p : E / Sk bir vektör demeti olmak üzere,bu demetin kısıtlanışları olan
D C k üzerindeki E C ve DKk üzerindeki EKaşikardır çünkü D C k ve DKk büzülebilirdir.
h G : E G / D G k # Cn aşikarlaştırmalarını seçelim.Öyleyse h C hKK1 , bir Sk K 1 / GLn C dönüşümü
tanımlar ve tanımdan bu dönüşümün homotopi sınıfı ψ E 2 Sk K 1, GLn C
dir. ψ E nin iyi tanımlı
k
olduğunu görmek için öncelikle herhangi iki h G seçiminin D G / GLn C dönüşümüne bağlı olarak
değiştiğini belirtelim.D G k büzülebilir olduğundan,böyle bir dönüşüm bir sabit dönüşüme homotopiktir.
Şimdi GLn C nin yol-bağlantılı olduğu gerçeğine ihtiyaç duyuyoruz.GLn C deki bir matris için temel
satır işlemi olan bir satırın bir skaler katının başka bir satıra eklenmesi işlemi GLn C de bir yol olarak
ele alınabilir,bunu yapmak için skaler katın önüne bir t çarpanının yerleştirilmesi ve t nin 0 dan 1 e
gitmesi yeterlidir.Bu tarz işlemlerle GLn C deki her matris diagonallaştırabilir.GLn C deki diagonal
matrislerin kümesi yol bağlantılıdır çünkü bu küme CK{0} ın n kopyasının çarpımına homeomorfiktir.
Buradan h C ve hKnin homotopiye bağlı olarak tek oldukları sonucunu çıkartırız.
K1
h C hK : S
/ S
kK1
kK1
n
C
/ GLn C bileşkesi de homotopiye bağlı olarak tek olacağından ψ : Vect
, GLn C
S
k
iyi tanımlı bir dönüşümdür.ψ ve Φ nın birbirlerinin tersi oldukları açıktır.
□
kK1
k
f, g : S
/ GLn C kavrama (clutching) fonksiyonları olmak üzere S üzerindeki Ef ve Eg n-boyutlu
vektör demetleri için Efg 4n z Ef 4Eg formulunu gösterelim.Burada fg , noktasal matris çarpımı ,
fg x = f x g x ile elde edilen kavrama (clutching) fonksiyonudur.
Ef 4Eg demeti üst sol n # n bloğunda f x matrisleri, sağ alt n # n bloğunda g x matrisleri,diğer iki
bloğunda ise sıfırlardan oluşan f 4g : Sk K 1 / GL2n C kavrama (clutching) fonksiyonuna sahiptir.
GL2 n C yol bağlantılı olduğundan , birim matristen Cn # Cn in iki çarpımını birbirine götüren
transformun matrisine bir αt 2 GL2 n C yolu mevcuttur.Öyleyse f 41 αt 1 4g αt matris çarpımı
f 4g den fg 41 e bir homotopi verir ve bu Efg 4n için kavrama(clutching) fonksiyondur.
Burada yaptığımız analiz GLn = yol bağlantılı olmadığından reel vektör demetleri için pek geçerli
değildir.Determinant fonksiyonu GLn = / =K{0} ,iki yol bileşenli bir uzaya sürekli surjeksiyon
olduğundan en az iki yol bileşeni olduğunu görebiliriz.Aslında şimdi göstereceğimiz gibi GLn = iki yol
bileşenine sahiptir.Kompleksler için yaptığımız gibi GLn = deki keyfi bir matristen diagonal bir
matrise bir yol inşa edebiliriz.Diagonal matrislerin bir yolundan tüm diagonal girdileri +1 veya -1
yapabiliriz.İki -1 bir düzlemin 180 derecelik bir rotasyonunu ifade eder,bu nedenle GLn = deki bir yol
vasıtasıyla +1 ile yer değiştirebilirler.Bu ise pozitif determinantlı matrislerden oluşan GLn C = alt
grubunun yol bağlantılı olduğunu gösterir.Bu altgrubun indeksi 2 dir, ve α , K1 determinantlı bir sabit
matris olmak üzere GLn = , GLn C = ve GLnK = cosetlerinin ayrık birleşimidir.β / αβ dönüşümü
K1
tersi β / α β olmak üzere GLn = nin bir homeomorfizması olduğundan bu iki coset homeomorfiktir.
Böylece iki coset de yol bağlantılıdır ve GLn = iki yol bileşenine sahiptir.
Kompleks duruma en yakın analog yapı, yönlendirilmiş reel vektör demetlerinin ele alınmasıyla elde
edilebilir.Lineer cebirden hatırlayacağımız gibi bir reel vektör uzayının yönlendirilmesi (orientation)
sıralı bazların bir denklik sınıfıdır,iki sıralı baz eğer ilk bazı ikinci baza götüren tersinir matrisin
determinantı pozitif ise denktir.Bir p : E / B reel vektör demetinin yönlendirilmesi (orientation) , B nin
her bir noktasının yakınında pK1 U daki liflerin orientasyonunu =n in U # =n liflerindeki standart
K1
orientasyonuna taşıyan h : p U / U # =n yerel aşikarlaştırması olacak şekilde,bir orientasyonu her
bir life atayan bir fonksiyondur.Bu koşulu açıklamanın bir diğer yolu olarak E nin liflerinin
orientasyonları bağımsız yerel bölümlerin(sections) sıralı n-lileri ile tanımlanabildiği ifade edilebilir.
Tüm vektör demetleri için bir orientasyon verilemez,örneğin Mobius şeridi yönlendirilemezdir.Bunun
nedeni bir parakompakt baz üzerindeki yönlendirilmiş doğru demetinin pozitif orientasyona sahip birim
vektör tarafından formlandırılmış kanonik bölüme(section) sahip olduğu için aşikar olmasıdır.
VectCn B , B üzerindeki yönlendirilimiş n-boyutlu reel vektör demetlerinin izomorfizm sınıflarının
kümesini göstersin,burada izomorfizmler orientasyonları korurlar.Kavrama (clutching) inşası
kK1
n k
, GLn C = / Vect C S dönüşümünü tanımlar ve GLn C = yol bağlantılı olduğundan ,
Φ: S
kompleks durumdaki akıl yürütme aracığıyla aşağıdaki önermeyi sunabiliriz;
Önerme:
Φ: S
kK1
, GLn C =
n
/ Vect C S
k
dönüşümü bir bijeksiyondur.