Matematik 8

BÖLÜM 3
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
FONKSİYONLAR
3.1. FONKSİYON KAVRAMI
Tanım : A ve B boş olmayan iki küme a ∈ A ve b ∈ B olmak üzere (a, b) sıralı
eleman çiftine sıralı ikili denir. (a, b) sıralı ikilisinde a ya birinci, b ye de ikinci
bileşen adı verilir. İki sıralı ikilinin eşitliği demek,aynı bileşenlerin eşit olması demektir.
Yani (a, b) = (c, d ) ⇔ a = c ve b = d dir.
Örnek : ( x + 3, y − 2) = (4,3) ise x ⋅ y = ?
Çözüm :
x +3 = 4 ⇒ x =1
y−2 =3⇒ y =5
x ⋅ y = 1⋅ 5 = 5
Tanım : A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere birinci bileşeni A kümesinden ,
ikinci bileşeni B kümesinden alınarak oluşturulan sıralı ikililer kümesine A kartezyen
çarpım B kümesi denir ve A x B şeklinde gösterilir
A x B = {(x,y) | x ∈ A ve y ∈ B } dır.
Örnek : A ={a , b, c} ve B ={1,2} ise A × B ve B × A bulunuz.
Çözüm: A × B = {( a,1), ( a, 2), (b,1), (b, 2), (c,1), (c, 2)}
B x A = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi sıralı ikililerde sıra önem kazanacağından
A x B ≠ B x A dır.
Tanım : A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere , A x B kümesinin β gibi
herhangi bir alt kümesine A dan B ye bir bağıntı denir. Bağıntılar α ,β ... gibi
semboller ile gösterilir.
63
MATEMATİK
Örnek :
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
A = { a, b, c} ve B = {1, 2} kümeleri için A dan B ye üç bağıntı yazınınız.
Çözüm : A x B = {( a,1), ( a, 2), (b,1), (b, 2), (c,1), (c, 2)} kartezyen çarpım kümesinin
her bir alt kümesi A dan B ye bir bağıntıdır. Bu bağıntılardan üç tanesini yazarsak ,
β1 = {(a,1), (a, 2), (b, 2), (c,1)}
β 2 = {(a, 2)}
β 3 = {(c,1), (c, 2)}
Analitik düzlemde , x - ekseni üzerinde sağda büyük , solda küçük sayılar , y - ekseni
üzerinde de yukarıda büyük , aşağıda küçük sayılar bulunur.
Örnek : A = {1, 2,3} ve B = {2,3} kümeleri için A × B grafiğini analitik düzlemde
gösteriniz.
Çözüm : A x B ={(1,2) , (1,3), (2,2) , (2,3) , (3,2) , (3,3) } olup A x B kümesi düzlemde
noktaları oluşturur.
y (B kümesi)
3
2
•
•
•
•
•
•
A× B
x (A kümesi )
0
1
2
3
64
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek: A = { x −3 ≤ x < 2 ve x ∈
} ve
B = { x 1 ≤ x ≤ 3 ve x ∈
} kümeleri için
A x B bağıntısının grafiğini düzlemde gösteriniz.
Çözüm:
A = [−3, 2 ) yarı açık aralığındaki tüm reel sayılar, B = {1, 2,3} kümesindeki
tam sayılar olup A x B kümesi düzlemde doğruları oluşturulur.
Örnek: A × B = {( x, y ) | x, y ∈
,| x |≤ 1 ve | y |≤ 3} bağıntısının grafiğini düzlemde
gösteriniz.
Çözüm: | x |≤ 1 ⇒ −1 ≤ x ≤ 1
olup
| y |≤ 3 ⇒ −3 ≤ y ≤ 3 olup
x ∈ [ −1,1]
y ∈ [ −3,3]
O halde x ve y ‘nin oluşturacağı ikililerin kümesi düzlemsel bir bölgeyi oluşturur.
Bu bilgilerden sonra artık fonksiyon kavramını verebiliriz.
65
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Tanım : A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere f , A dan B ye bir bağıntı
olsun. Eğer A kümesinin her elemanı B kümesinin yalnız bir elemanı ile eşleşiyorsa
f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon denir. A dan B ye bir fonksiyon
genellikle f : A → B şeklinde gösterilir. Burada A kümesine fonksiyonun tanım
kümesi B kümesine de fonksiyonun değer kümesi denir.
Eğer f ( A )= C ⊂ B ise C kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi denir.
B
A
C
Görüntü Kümesi
Tanım Kümesi
Değer Kümesi
Bu halde f bağıntısının A dan
B ye bir fonksiyon olması için:
a) Tanım kümesinde açıkta eleman kalmayacak,
b) Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde birden fazla görüntüsü
olmayacaktır.
Örnek: A = {0,1,2 } dan B = {2,4,6,8} ye tanımlı aşağıdaki bağıntılarda hangisi
bir fonksiyondur?
f1 = {( 0, 2 ) , (1,8 )}
f1 fonksiyon değildir. Çünkü tanım
kümesinde 2 elemanı açıkta
kalmıştır.
66
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
f 2 = {(0,2 ), (1,4 ), (1,6 ), (2,8)}
f 2 fonksiyon değildir. Çünkü
tanım kümesindeki 1 elemanının
değer kümesinde iki görüntüsü
oluşmuştur.
f 3 = {(0,4), (1,6), (2,8)}
f3 , fonksiyon tanımına uygundur.
Örnek: Aşağıdaki bağıntılardan hangisi bir fonksiyondur?
1) f :
→
, f ( x) = x − 7 fonksiyon değildir.
için f (2) = 2 − 7 = −5 ∉
Çünkü 2 ∈
2) g :
→
x +1
fonksiyon değildir.
3
4 +1 5
için g (4) =
= ∉ dır.
3
3
, g ( x) =
Çünkü 4∈
h:
→
dır.
, h( x) = x3 fonksiyondur.
3) Çünkü ∀ x ∈
için
x3 ∈
dır.
67
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.1.1. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
1- Birim Fonksiyon
f : A → A , fonksiyonunda A kümesinin her elemanının görüntüsü yine kendisi
oluyorsa yani ∀ x ∈ A için f ( x) = x ise f fonksiyonuna A da birim(özdeşlik)
fonksiyon denir.
2- Sabit Fonksiyon
f : A → B , fonksiyonunda
A kümesinin her elemanı B de aynı eleman ile
eşleşiyorsa diğer bir ifadeyle, A kümesinin bütün elemanlarının görüntüleri aynı
ise yani b ∈ B olmak üzere ∀ x ∈ A için f ( x) = b ise f fonksiyonuna sabit
fonksiyon denir.
3- Diğer Fonksiyon Çeşitleri
f , A dan B ye bir fonksiyon olmak üzere,
a) Değer kümesinin en az bir elemanı görüntü kümesinin elemanı değilse
yani f ( A) ≠ B ise f ye içine fonksiyon denir.
b) Değer kümesi görüntü kümesine eşit ise yani f ( A) = B ise f ye
örten fonksiyon denir.
c) A kümesinin her elemanının görüntüsü farklı ise yani ∀ x1 , x2 ∈ A için
x1 ≠ x2 iken f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ise f ye birebir fonksiyon denir.
d) Hem birebir , hemde örten olan fonksiyona birebir örten fonksiyon denir.
Örnek: A = {0,1,2} , B = {1,3,5 } , C = {2,4 }, D ={2,4,6} kümeleri için
aşağıdaki fonksiyonların ne tür fonksiyon olduklarını inceleyelim.
68
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1)
2)
4)
5)
3)
6)
Tanım : f : → tanımlanan bir fonksiyon olsun.
a) ∀ x ∈ için f (− x) = − f ( x ) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon ,
b) ∀ x ∈ için f (− x) = f ( x) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon denir
Örnek: f ( x ) = x 2 , g ( x ) = x 3 + x
ve h ( x ) = x 3 − x 2 fonksiyonlarının tek veya çift
fonksiyon olup olmadığını inceleyelim.
Çözüm: f (− x) = (− x) 2 = x 2 = f ( x ) olduğundan f çift fonksiyondur
g (− x) = (− x)3 + (− x) = − x 3 − x = −( x3 + x) = − g ( x) olduğu için tek fonksiyon,
h( x ) = ( − x )3 − ( − x ) 2 = − x 3 − x 2
h( x), h(− x)ve − h( x) ’e eşit olmadığından ne tek ne de çift fonksiyondur.
O halde bir fonksiyon tek veya çift olmak zorunda değildir.
69
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.1.2. FONKSİYONLARLA YAPILAN İŞLEMLER
f :A→
, g:B→
fonksiyonları için A ∩ B boş olmayan küme olsun.
1) f ± g : ( A ∩ B) →
( f ± g )( x) = f ( x) ± g ( x)
2) f ⋅ g : A ∩ B →
( f ⋅ g )( x) = f ( x) ⋅ g ( x)
3) ∀ x ∈ A ∩ B için g ( x) ≠ 0 olmak üzere
f
: A∩ B →
g
 f 
f ( x)
  ( x) =
g ( x)
g
4) c ∈
olmak üzere
(c ⋅ f )( x) = c ⋅ f ( x) dır.
Örnek: f :
→
, f ( x) = x 2 − 4 x
ve
g:
− {4} →
, g ( x) = x − 4 fonksiyonları
veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz?
a) ( f + g )( x) = ?
b) ( f − 5 g )( x) = ?
c) ( f ⋅ g )( x) = ?
 f 
d)   ( x) = ?
g
Çözüm:
a) ( f + g )( x) = f ( x ) + g ( x) = ( x 2 − 4 x) + ( x − 4) = x 2 − 3 x − 4
b) ( f − 5 g )( x) = f ( x) − 5 ⋅ g ( x) = ( x 2 − 4 x) − 5 ⋅ ( x − 4) = x 2 − 9 x + 20
c) ( f ⋅ g )( x ) = f ( x) ⋅ g ( x ) = ( x 2 − 4 x) ⋅ ( x − 4) = x3 − 8 x 2 + 16
 f 
f ( x) x 2 − 4 x x ⋅ ( x − 4)
d)   ( x )=
=
=
= x dır.
g ( x)
x−4
x−4
g
70
MATEMATİK
Örnek: f : {1,3} →
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
, f ( x) = x 2 + 2 ve g : {−2,1} →
, g ( x) = 2 x − 1 fonksiyonları
veriliyor. 4 f + g fonksiyonunun görüntü kümesi nedir?
Çözüm : 4 f + g fonksiyonu {1,3} ∩ {−2,1} = {1} kümesinden
Yani 4 f + g : {1} →
ye tanımlıdır.
olup,
( 4 f + g )(1) = 4 ⋅ f (1) + g (1) = 4 ⋅ (12 + 2) + (2 ⋅1 − 1) = 4 ⋅ 3 + 1 = 13 bulunur.
3.1.3. BİR FONKSİYONUN TERSİ
f : A → B bir fonksiyon olduğu için
f ={( x, y ) x ∈ A , y ∈ B ve y = f ( x) }
bağıntısı yazılabilir. f fonksiyonunun tersi olan f −1 bağıntısı da benzer şekilde
f −1 ={( y, x ) y ∈ B , x ∈ A ve f −1 ( y ) = x } yazılır.
f fonksiyonu ancak 1-1 ve örten ise f −1 fonksiyonu vardır. Eğer f fonksiyonu
1-1 ve örten değilse f fonksiyonunun tersinden söz edilemez.
f −1
f
A
B
y
y
x
A
B
f ( x) = y
x
f −1 ( y ) = x
olup f ( x ) = y ⇔ f −1 ( y ) = x dir.
Örnek: A = {1, 2,3}, B = {a, b, c} kümeleri için f = {(1, a ) , ( 2, b ) , ( 3, c )} fonksiyonun
varsa tersini bulunuz.
A
1
2
3
f
B
f −1
B
a
b
c
a
b
c
71
A
1
2
3
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
f = {(1, a ), (2, c), (3, b)} 1-1 örten olduğu için f −1 vardır ve
f −1 = {(a,1), (c, 2), (b,3)} olup f de 1-1 ve örten fonksiyondur.
Örnek : A = {1, 2,3}, B = {a, b, c} kümeleri için g = {(1, a ) , ( 2, a ) , ( 3, b )} fonksiyonunun
varsa tersini bulunuz.
g
A
B
1
2
3
a
b
c
g = {(1, a ) , ( 2, a ) , ( 3, b )} 1-1 ve örten olmadığı için
g −1 = {(a,1), (a, 2), (b,3)} bağıntısı fonksiyon değildir
Fonksiyon
g −1
B
a
b
c
A
1
2
3
g −1 fonksiyon değildir(tanım kümesinde c elemanı
açıkta olup, a elemanının da 2 tane görüntüsü
vardır.)
Fonksiyon değil
Örnek: f :
→
, f ( x) = 5 x + 2 olduğuna göre varsa f −1 ( x) fonksiyonunu
bulunuz.
Çözüm: f , 1-1 ve örten olduğundan f −1 vardır. f ( x) = y ⇔ f −1 ( y ) = x
olduğundan
f ( x) = 5 x + 2 ⇒ y − 2 = 5 x ⇒ x =
f −1 ( y ) =
Yani
y−2
5
f −1 ( x) =
x−2
5
y−2
5
bulunur.
72
MATEMATİK
Örnek:
f:
− {8} →
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
− {4} , f ( x) =
4x + 1
olduğuna göre , varsa f −1 ( x )
x+8
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm : f ,1 − 1 ve örten olduğundan tersi vardır.
f ( x) = y ⇔ f −1 ( y ) = x olduğundan
4x + 1
= y ⇒ 4x + 1 = x ⋅ y + 8 y
x+8
⇒ 4x − x ⋅ y = 8 y − 1
⇒ x ⋅ (4 − y ) = 8 y − 1
8y −1
⇒ x=
4− y
↓
8y −1
8x − 1
⇒ f −1 ( x) =
bulunur.
f −1 ( y ) =
4− y
4− x
Örnek: f : → , f ( x) = x 2 fonksiyonunun tersi yoktur. Çünkü fonksiyon 1-1
değildir. –1 ve +1 ∈
Oysa f :
NOT: f :
+
→
→
+
sayıları için –1 ≠ +1 olduğu halde f (-1) = f (1) = 1 dır.
, f ( x) = x 2 fonksiyonun tersi var ve f
−1
( x) = x dir.
tanımlanan f ( x) ile f −1 ( x) fonksiyonlarının analitik düzlemdeki
görüntüleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Örnek: f :
→
, f ( x) = −2 x + 1 fonksiyonunun (varsa) tersini bulup kendisini ve
tersini aynı düzlemde gösteriniz.
Çözüm : f , 1-1 ve örten olduğundan tersi vardır.
f ( x) = y ⇔ f −1 ( y ) = x dır.
1− y
1− y
1− x
−2 x + 1 = y ⇒ x =
⇔ f −1 ( y ) =
⇒ f −1 ( x) =
bulunur.
2
2
2
73
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
f ve f −1 fonksiyonlarının grafikleri y = x
doğrusuna göre simetrik olup grafik yan
tarafta çizilmiştir.
Tanım : f : A → B , f ( x) = y ve g : B → C , g ( y ) = z olmak üzere
g
f : A → C , (g
f )( x) = z şeklinde tanımlanan g
fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir ve g
A
f
. x
B
f fonksiyonunun f ile g
f ile gösterilir.
g
C
.z
y=f(x)
g f
(g
Örnek :
f ve g :
f )( x) = g ( f ( x)) = g ( y ) = z
→
, f ( x) = 2 x − 5 ve g ( x) = x 2 fonksiyonları için
aşağıdakileri bulunuz.
a) ( f g )( x )
b) ( g f )( x )
74
MATEMATİK
Çözüm : a)
(f
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
g )( x ) = f ( g ( x)) = f ( x 2 ) = 2 x 2 − 5
b) ( g
f )( x ) = g ( f ( x )) = g (2 x − 5) = (2 x − 5) 2 = 4 x 2 − 20 x + 25 dır.
g) ≠ (g
Örnekte görüldüğü gibi ( f
Örnek :
f ve g :
→
f ) dır.
, f ( x) = x 3 − 8 ve g ( x) = 3 x + 1 ise ( g f )(2) nedir?
Çözüm : ( g f )(2) = g ( f (2)) olduğundan
f (2) = 23 − 8 = 0
g (0) = 3 ⋅ 0 + 1 = 1
( g f )(2) = g ( f (2)) = g (0) = 1 bulunur.
3.2. DOĞRUSAL FONKSİYONLAR
Tanım: a0 , a1 , a2 ,
, an ∈
ve an ≠ 0 olmak üzere
f : → , f ( x) = an x n + an −1 x n−1 + an − 2 x n − 2 + ...a1 x + a0 ile tanımlanan fonksiyona n.
dereceden polinom fonksiyonu denir. Polinom fonksiyonlarının tanım kümeleri
bütün reel sayılar kümesidir.
Tanım: a, b ∈ olmak üzere y = ax + b ifadesine doğrusal (lineer) fonksiyon denir.
y = ax + b doğrusal fonksiyonunda x ’in katsayısı olan a ‘ya doğrunun eğimi b′ ye
de kesen terim denir. y = f ( x) = ax + b fonksiyonu birinci dereceden bir polinom
fonksiyon olup düzlemde bir doğru belirtir.
Düzlemdeki bir doğru genel olarak ax + by + c = 0 şeklindedir. Bu doğru denkleminin
a
a
eğimi − olup eğim , m = −
şeklinde gösterilir.
b
b
Örnek: Aşağıdaki doğruların eğimlerini bulunuz.
1) y = 3 x − 5 ⇒ eğim = m = 3
2) y = −2 x + 1 ⇒ m = −2
75
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3) 3x + 4 y + 5 = 0 ⇒ m = −
4) 3 y = 2 x ⇒ m =
5) y = x ⇒ m = 1
3
4
2
3
3.2.1. DOĞRUSAL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
y = ax + b doğrusal fonksiyonunun grafiğini çizmek için en az iki noktanın
bulunması gerekir. Örneğin bunun için x =0 değerine karşılık y ’nin almış olduğu
değer, x = 0 değerine karşılık y ‘nin almış olduğu değer bulunur. Böylece y = ax + b
doğrusu x ve y ’nin almış olduğu bu noktalardan geçecek şekilde çizilir.
Örnek : Aşağıdaki doğruları çiziniz.
1)
2)
y
y = x +1
x = 0 ise y = 1
y = 0 ise x = −1 olup
doğru eksenleri (0,1) ve (− 1,0)
noktalarında keser.
1
y = x +1
-1
0
x
3x − 3 y = 6
y
3x − 2 y = 6
x = 0 ise y = −3
y = 0 ise x = 2 olup doğru,
eksenleri (0, −3) ve (2,0)
noktalarında keser.
0
2
x
-3
3) y = x doğrusu çizilirken x = 0 ise y = 0 olup, doğru (0,0) noktasından
geçer .
76
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Ancak bir nokta verilen bir doğruyu çizmek için yeterli değildir. Bu nedenle y = x
doğrusunda x ’in her değeri için y aynı değeri aldığından y = x doğrusu orijinden
geçen 1. açıortay doğrusudur.
4)
y
0
1
x
x=1 doğrusu
3.2.2. İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE PARALEL VE DİK OLMASI
y1 = m1 x + n1 ve y2 = m2 x + n2
iki doğru olmak üzere
1) Bu iki doğru biri birine paralel ise eğimleri eşittir ( m1 = m2 )
2) Bu iki doğru biri birine dik ise eğimleri çarpımı −1 dir.( m1 ⋅ m2 = −1 )
77
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek: y1 = 3 x + 4 doğrusu ile y2 = 3 x − 2 doğrusu biri birine paraleldir.
Çünkü m1 = m2 = 3 ( Eğimleri eşittir. )
Örnek: y1 =
1
x − 2 doğrusu ile y2 = −2 x + 1 doğrusu biri birine diktir.
2
Çünkü (Eğimleri çarpımı –1 dır.)
Örnek: y = 2 x − 5 ve kx − 3 y = 1 denklemleriyle verilen doğruların biri birlerine ,
a) Paralel olmaları için k ne olmalıdır?
b) Dik olmaları için k ne olmalıdır ?
78
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm :
a) y = 2 x − 5 ise m1 =2
kx − 3 y = 1 ⇒ 3 y = kx − 1
k
1
k
⇒ y = ⋅x− ⇒ m=
3
3
3
paralellik için m1 = m2 olduğundan 2 =
k
⇒ k =6
3
b) Diklik için m1 ⋅ m2 = −1 olduğundan 2 ⋅
k
3
= −1 ⇒ k = −
3
2
bulunur.
3.2.3.İKİ NOKTASI VERİLEN DOĞRUNUN EĞİMİ
Düzlemde A ( x1 , y1 ) ve B ( x2 , y2 ) noktaları verilsin. Bu iki noktadan geçen
doğrunun eğimi , m =
Örnek:
( 3,1)
y2 − y1
x2 − x1
bağıntısı ile bulunur.
ve ( 5, 2 ) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.
Çözüm : ( 3,1) ve ( 5, 2 )
noktaları için m =
y2 − y1 2 − 1 1
=
=
x2 − x1 5 − 3 2
3.2.4.BİR NOKTASI VE EĞİMİ BİLİNEN DOĞRU DENKLEMİ
Düzlemde A( x1 , y1 ) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi
y − y1 = m ⋅ ( x − x1 ) dir.
Örnek: A(1,3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm: A(1,3) , m = 2 olduğundan,
y − y1 = m ⋅ ( x − x1 ) ⇒ y − 3 = 2 ⋅ ( x − 1) ⇒ y = 2 x + 1
79
bulunur.
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.2.5. İKİ NOKTADAN GEÇEN DOĞRU DENKLEMİ
A( x1 , y1 ) ve B ( x2 , y2 ) noktalarından geçen doğrunun denklemi ,
x − x1
y − y1
=
bağıntısıyla bulunur.
x2 − x1 y2 − y1
Örnek : (1,2) ve (3,4) noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
Çözüm :
x −1 y − 2
=
⇒ x − 1 = y − 2 ⇒ y = x + 1 bulunur.
3 −1 4 − 2
3.2.6. İKİ DOĞRUNUN KESİM NOKTASI
y = a1 x + b1 ve y = a2 x + b2 doğrularının kesim noktası bu iki doğrunun oluşturduğu
lineer denklem sisteminin çözümü ile bulunur.
Örnek :
y1 = 2 x − 2 ve y2 = −2 x + 6 doğrularının kesim noktasını bulunuz.
Çözüm : Verilen doğru denklemlerinin sağ tarafları eşitlenirse,
Örnek :
2 x − y + 13 = 0 ve
x − 5 y + 20 = 0 doğrularının kesim noktasını
bulunuz.
Çözüm : Verilen doğru denklemlerinin çözüm kümesi bu iki doğrunun kesim
noktasıdır.
80
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2 x − y + 13 = 0 
 denklem sistemi çözülürse
x − 5 y + 20 = 0 
2/
2 x − y + 13 = 0 

− / 2 x − 10 y + 40 = 0 
9 y − 27 = 0 ⇒ y = 3 için birinci denklemde x ’i hesaplayalım.
2 x − 3 + 13 = 0 ⇒ 2 x + 10 = 0 ⇒ x = −5 olup bu iki doğru (–5,3) noktasında
kesişirler.
3.2.7.DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK
A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) noktaları arasındaki uzaklık şekildeki ABC üçgeninden
Pisagor teoremi ile bulunur.
d= AB = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) dir.
2
2
2
Örnek : A(1 ,2) ve B(3,4) noktaları arasındaki uzunluk kaç birimdir?
AB = ( 3 − 1) + ( 4 − 2 )
2
2
2
AB = 2 2 birim bulunur.
81
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.3 İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR ve PARABOL
Tanım : a, b, c ∈
ve a ≠0 olmak üzere f ( x) = ax 2 + bx + c fonksiyonuna ikinci
dereceden polinom fonksiyon
denir. İkinci dereceden polinom fonksiyonların
grafiklerine parabol denir.
PARABOLÜN ÇİZİMİ
f ( x) = ax 2 + bx + c parabolünü çizmek için aşağıdaki adımlar izlenir.
1) Parabolün eksenleri kestiği noktalar bulunur. ( x = 0 ⇒ y = ? , y = 0 ⇒ x = ?)
 b 4ac − b 2 
2) T (r , k ) = T  −
,
 noktasına parabolün tepe noktası adı verilir.
4a 
 2a
3) a >0 ise tepe noktası çukur (kollar yukarı). a <0 ise tepe noktası tümsek (kollar
aşağıdır).
Örnek : y = x 2 − 3 x + 2 parabolünü çiziniz.
Çözüm : y = x 2 − 3 x + 2
1) x = 0 ise y = 2 olup parabol y eksenini (0,2 ) de,
y = 0 ise 0 = x 2 − 3x + 2 ⇒ x = 1, x = 2 olup parabol x eksenini (1,0 ) ve (2,0 ) da
2
 −b 4ac − b 2   − ( −3) 4 ⋅1 ⋅ 2 − ( −3)   3 1 
2) T ( r , k ) =  ,
,
 = ,−
=
  2 4 
4a   2 ⋅1
4 ⋅1
 2a

3) a = 1 > 0 olup parabolün kolları yukarı doğrudur.
O halde verilen parabolün grafiği aşağıdaki gibidir.
82
keser.
MATEMATİK
Örnek :
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
y = 1 − x 2 parabolünü çiziniz.
Çözüm : y = 1 − x 2
1) x = 0 ise y = 1 , y = 0 ise 1 − x 2 = 0 ⇒ x = 1, x = −1 olup parabol
(0,1), (1,0), (− 1,0) noktalarından geçer.
2) a = −1, b = 0 ve c = 1 olup tepe noktası T ( 0,1) dir.
3) a = −1 < 0 olduğundan parabolün kolları aşağı doğrudur.
O halde verilen parabolün grafiği aşağıdaki gibidir.
83
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : y = ( x + 2) 2 parabolünü çiziniz.
Örnek: y = x 2 parabolünü çiziniz.
y
y
y = ( x + 2) 2
y = x2
4
−2 0
0
x
Örnek : y = x 2 − 3 x parabolünü çiziniz.
x
Örnek : y = − x 2 parabolünü çiziniz.
y
y
y = x 2 − 3x
0
0
3
x
x
y = −x2
3.4. RASYONEL FONKSİYONLAR
Tanım : P( x) ve Q( x) birer polinom fonksiyon ve S kümesi de Q( x) fonksiyonun
P( x)
gerçel köklerinin kümesi olsun. f : − S → , f ( x) =
şeklindeki fonksiyonlara
Q( x)
rasyonel fonksiyonlar denir.
1
x
3x − 1
g : → , g (x ) = 2
x +1
x3 + 1
h : − {−1,1} → , h( x ) = 2
fonksiyonları birer rasyonel fonksiyonlardır.
x −1
f:
− {0} → , f ( x) =
84
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Rasyonel fonksiyonların tanım kümeleri bazen açık olarak verilmez. Bu durumda
paydanın kökleri dışında kalan tüm gerçel sayıların kümesi bu fonksiyonun
tanım kümesi olarak alınır.
x
rasyonel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
2x + 1
1
Çözüm : Paydanın köklerini bulalım. 2 x + 1 = 0 ⇒ x = − olup, fonksiyonun tanım
2
1
 
kümesi T .K = − −  dir.
 2
1
Örnek : f ( x ) = fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x
Bu fonksiyon x = 0 için tanımlı olmayıp , fonksiyonun tanım kümesi − {0} dir.
Örnek : f ( x ) =
Bu tanım kümesine ait bazı noktaların f fonksiyonu altındaki görüntülerini bularak
aşağıdaki tabloyu oluşturalım.
 1
1
x x, f ( x ) =
x
 x
−5
−2
−1
1
−
2
1
−
5
1
2
1
5
1
−
2
−1
−
−2
−5
1
1
2
1

 − 5,− 
5

1

 − 2,− 
2

(− 1,−1)
 1

 − , −2 
 2

 1

 − ,−5 
 5

(1,1)
Tabloda görüleceği gibi (− ∞,0 ) ve (0,+∞ )
 1
 2, 
 2
aralığında x ’ ler büyüdükçe y ’ ler
küçülüyor.
O halde verilen fonksiyonun grafiği
aşağıdaki gibidir.
85
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : Aşağıdaki grafikleri de benzer şekilde çizebiliriz.
1
x
T .K . = − {0}
a) y = −
86
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
1
x −1
T .K . = − {1}
b) y =
Bu tip fonksiyonların grafiklerinin çizimini türevin uygulamaları konusunda daha
detaylı şekilde vereceğiz.
3.5. CEBİRSEL FONKSİYONLAR
Tanım : Toplama, çıkarma, çarpma, bölme gibi işlemlerin yanı sıra rasyonel
kuvvetleri de içeren ve kurallarla verilen fonksiyonlara cebirsel fonksiyon denir.
Polinom ve rasyonel fonksiyonlar da birer cebirsel fonksiyondur. Cebirsel
fonksiyonların tanım kümesi açıkça belirtilmediği zaman, fonksiyon altındaki
görüntüsü, bir gerçel sayı olan tüm gerçel sayıların kümesi tanım kümesi olarak alınır.
Bu fonksiyonların tanım kümelerinin bulunması genellikle bazı eşitsizliklerin çözümleri
ile bulunur.
Örnek : f ( x ) = − 2 x + 5 cebirsel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm: Ancak pozitif sayıların karekökü tanımlı olduğundan, bu fonksiyon
− 2 x + 5 ≥ 0 eşitsizliğini sağlayan x değerleri için tanımlıdır.
5
5

−2 x + 5 ≥ 0 ⇒ 5 ≥ 2 x ⇒ ≥ x olup f ’nin tanım kümesi T .K . =  −∞, 
2
2

aralığıdır.
87
MATEMATİK
Örnek :
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
f ( x ) = 3 x − 3x 2 cebirsel fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz.
Çözüm : Fonksiyonun köklü teriminin derecesi tek olduğu için f ( x ) , x ’in her değeri
için tanımlıdır. Dolayısı ile f ’in tanım kümesi T .K . =
dir.
Örnek : f ( x ) = x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x ≥ 0 olduğundan fonksiyonun tanım kümesi T .K . = [ 0, ∞ ) dır. Bu aralığa ait bazı
değerlerin f altındaki görüntülerini bularak aşağıdaki tabloyu oluşturup fonksiyonun
grafiğini çizelim.
x
0
1
4
9
(
f ( x ) = x x, x
0
1
2
3
)
(0,0)
(1,1)
(4,2)
(9,3)
y
y=
x
3
2
1
0
1
4
9
3.6. PARÇALI FONKSİYONLAR
Tanım : İki ya da daha çok fonksiyonun bir araya gelerek oluşturduğu koşullu
fonksiyona parçalı fonksiyon denir.
Şimdi bu tip fonksiyonların grafiklerini çizelim.
88
x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
 x2 , x < 0
, f ( x) = 
fonksiyonu parçalı fonksiyon olup grafiği iki ayrı
3
x
,
x
≥
0

aralıkta incelenir. (− ∞,0) aralığında y = x 2 parabolünün, [0,+∞ ) aralığında ise
Örnek: f :
→
y = 3 x doğrusunun grafiği çizilir.
y
y = 3x
y = x2
x
0
Örnek : f :
→
− x , x < 0
fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekildedir.
, f (x ) = 
 x, x ≥ 0
y
y= x
y = −x
x
0
Örnek :
 x 2 − 4, x < 2
f (x ) = 
fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekildedir.
− x + 2, x > 2
89
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : f ( x) = x fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekildedir.
 x, x ≥ 0
f ( x) = 
 − x, x < 0
y
y=x
y = −x
1
-1
0
x
1
Örnek : f ( x ) = x − 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekildedir.
 x − 2; x − 2 ≥ 0
 x − 2; x ≥ 2
f (x ) = 
⇒
− (x − 2); x − 2 < 0
− x + 2; x < 2
y = −x + 2
y
y = x−2
2
0
2
90
x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : y = x − 2 fonksiyonunun grafiği aşağıdaki şekildedir.
 x − 2, x ≥ 0
y=
− x − 2, x < 0
y
−2
2
0
x
−2
3.7. ÜSTEL FONKSİYONLAR
Tanım : a ∈
+
, a ≠ 1 verilsin. f :
→
+
, f ( x ) = a x şeklinde tanımlanan fonksiyona a
tabanlı üstel fonksiyon denir.
a ≠ 1 ve a ∈
+
olduğundan, üstel fonksiyonlar için iki ayrı durum vardır.
a x < 1, x > 0

2) 0 < a < 1 ise a x = 1, x = 0 ise
a x > 1, x < 0

a x > 1, x > 0

1) a > 1 ise a x = 1, x = 0 ise
a x < 1, x < 0

0 < a <1
a>0
y
Yukarıdaki tablolardan görüleceği gibi
a > 1 ise y = a x fonksiyonu artan,
1
0 < a < 1 ise y = a x fonksiyonu azalan
0
x
bir fonksiyondur.
91
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Şimdi bu tip fonksiyonların grafiklerini çizelim.
Örnek : y = 2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm: y = 2 x fonksiyonuna ait değerler tablosunu oluşturalım.
x
−∞
y = 2x
0
−2
−1
0
1
2
+∞
1
4
1
2
1
2
4
+∞
olup fonksiyonun grafiği aşağıdaki şekilde verilmiştir.
x
1
Örnek : y =   fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2
x
1
Çözüm : y =   fonksiyonuna ait değerler tablosunu oluşturup fonksiyonun
2
grafiğini çizelim.
0
x
1
y = 
2
x
+∞
−2
−1
0
1
+∞
4
2
1
1
2
0
92
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.7.1. ÜSTEL FONKSİYONLARIN ÖZELLİKLERİ
a, b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1 ve x, y ∈
olsun. Bu durumda
1)
a) a x a y = a x + y
b) ( a x ) = a xy
y
x
ax
a
c)   = x
b
b
x
a
d) y = a x − y
a
2) a x = a y ⇔ x = y
3) x ≠ 0 için a x = b x ⇔ a = b
3.7.2. ÜSTEL DENKLEMLER
Tanım: a > o, a ≠ 1, a ∈
ve b ∈
ise a x = b ifadesine üstel denklem
denir.
93
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Eğer b < 0 ise a x = b denkleminin çözümü yok.
Eğer b > 0 ise a x = b denklemin çözümü var. Bir üstel denklemi çözmek için
denklemin, her iki tarafındaki ifadeler aynı tabana göre yazılır. Üslü özellikler
kullanılarak sonuca gidilir.
Örnek : 4 x = 16 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x
Çözüm: 4 = 16
4 x = 42
x = 2 olup Ç.K . = {2} bulunur.
1
Örnek : 9 2 x −1 =  
 3
2 x +1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2 x +1
Çözüm: 9
2 x −1
34 x − 2
1
= 
3
= 3−2 x −1
( )
⇔ 32
2 x −1
( )
= 3−1
2 x +1
4 x − 2 = −2 x − 1
6x = 1
1
1 
x=
olup Ç.K . =   bulunur.
6
6
Örnek : 2 x + 4 ⋅ 2− x = 5 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: 2 x + 4 ⋅ 2− x = 5 denkleminde 2 x = a diyelim. (a > 0)
4
a + = 5 ⇒ a 2 + 4 = 5a ⇒ a 2 − 5a + 4 = 0 denkleminden a = 4 ve a = 1 bulunur.
a
2x = a
a = 4 ise
a = 1 ise
2x = 4
2 x = 22
x=2
2x = a
2x = 1
2 x = 20
x=0
Ç.K = {0, 2} bulunur.
94
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Not: f ( x) = a x üstel fonksiyonunda a yerine e alınırsa f ( x) = e x fonksiyonu elde
edilir. f ( x) = e x ve f ( x) = e − x fonksiyonlarının grafikleri aşağıdaki gibi olup buradaki
e sayısının değeri 2, 718281… şeklindedir.
3.7.3. ÜSTEL EŞİTSİZLİKLER
Tanım: a ≠ 1 , a > 0 , a ∈
ve b ∈
ise a x > b, a x < b, a x ≥ b, a x ≤ b ifadesine
üstel eşitsizlikler denir.
Şimdi bu tip eşitsizliklerin çözümünü aşağıdaki örneklerle verelim.
Örnek : (0,5)7 −3 x < 4 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
(0,5)7 −3 x < (0,5) −2
7 − 3 x > −2
3x < 9
x<3
olup Ç.K . = ( −∞,3) bulunur.
Örnek : 6 x
2
+2 x
> 216 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
6x
2
+2 x
> 216
6x
2
+2 x
> 63
x2 + 2 x > 3
x2 + 2 x − 3 > 0
95
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
olup Ç.K . = ( −∞, −3) ∪ (1, +∞ ) bulunur.
3.8. LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
Tanım: Herhangi bir a ≠ 1 , a > 0 , a ∈ sayısı verilsin. Bu durumda x′ in a tabanına
göre logaritması log a x = y ⇔ a y = x şeklinde tanımlanır.
Bu tanıma göre y = log a x fonksiyonu ile y = a x üstel fonksiyonu birbirlerinin tersi olan
fonksiyonlardır. Ayrıca y = a x her zaman pozitif olacağından eğer x ≤ 0 ise y = log a x
değerini hesaplama imkanı yoktur. Yani f : → + , f ( x) = a x üstel fonksiyonun tersi
olan logaritma fonksiyonu; f : + → , f ( x) = log a x şeklindedir.
y = log a x ifadesinde a = 10 ise buna bayağı (adi) logaritma, a = e ise buna da
doğal logaritma denir. Böylece adi logaritmayı y = log10 x = log x , doğal logaritmayı
da y = log e x = ln x şeklinde göstereceğiz.
Örnek: Aşağıdaki denklemleri çözünüz:
1) log 2 16 = x ⇒ 2 x = 16 ⇒ 2 x = 24 ⇔ x = 4
1
1
2) log5
= x ⇒ 5x =
⇒ 5 x = 5− 2 ⇔ x = −2
25
25
x
3) log 3 27 = x ⇒ 3 = 27 ⇒ 3x = 33 ⇔ x = 3
4) log 7 1 = x ⇒ 7 x = 1 ⇒ 7 x = 7 0 ⇔ x = 0 dır.
Örnek : Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz:
1
−15
 15 
−1 =
⇒ Ç .K =  − 
16
16
 16 
4
b) log3 (2x − 3) = 4 ⇒ 3 = 2x − 3 ⇒ 81+ 3 = 2x ⇒ 84 = 2x ⇒ x = 42 ⇒ Ç.K = {42}
a) log 2 ( x + 1) = −4 ⇒ 2−4 = x + 1 ⇒ x =
Örnek : Aşağıdaki değerleri hesaplayınız:
a) log10000 = log10 10000 = x ⇒ 10x = 10000 ⇒ 10x = 104 ⇔ x = 4 ⇔ log10000 = 4
b) log(0,01) = log10 10−2 = x ⇒ 10 x = 10−2 ⇔ x = −2 ⇔ log(0,01) = −2
c) ln e8 = ln e e8 = x ⇒ e x = e8 ⇔ x = 8 ⇔ ln e8 = 8
d) log1 = 0
96
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
e) log 2 2 = 1
Şimdide logaritmik fonksiyonların grafiklerini çizmeye çalışalım.
Örnek : y = log 2 x fonksiyonun grafiğini çiziniz.
y
Çözüm: Fonksiyonun önce değişim tablosunu oluşturup, sonra da grafiğini çizelim.
x
1 1
1 2 4
4 2
+∞
y = log 2 x
− 2 −1 0 1 2
+∞
Örnek : y = log 1 x fonksiyonun grafiğini çiziniz.
2
Çözüm: Fonksiyonun önce değişim tablosunu oluşturup, sonra da grafiğini çizelim.
x
y = log 1 x
1 1
1 2 4
4 2
2 1 0 −1 − 2
+∞
−∞
2
97
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Örnek : y = log 2 x ve y = 2 x fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde
gösteriniz.
Çözüm: y = log 2 x ve y = 2 x fonksiyonları birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır. Bu
durumda grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
y=x
x
1
Örnek : y = log 1 x ve y =   fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde
2
2
gösteriniz.
98
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
x
1
Çözüm: y = log 1 x ve y =   fonksiyonları birbirlerinin tersi olan fonksiyonlardır. Bu
2
2
durumda grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
 2x 
Örnek : y = 3 log 4   fonksiyonunun tersini bulunuz.
 7 
Çözüm: x ve y değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
x
x
x
2y
 2y 
 2y 
x = 3log 4   ⇒ = log 4   ⇒ 4 3 =
⇒ 2 y = 7 ⋅ 43
3
7
 7 
 7 
x
x
7
7
 2x 
⇒ y = ⋅ 4 3 ⇒ f ( x) = 3log 4   ⇒ f −1 ( x) = ⋅ 4 3 bulunur.
2
2
 7 
Örnek : y = 5 ⋅ ( 7 2 x −3 ) − 4 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm: x ve y değişkenlerinin yerlerini değiştirelim.
y = 5 ⋅ ( 7 2 x −3 ) − 4 ⇒ x = 5 ⋅ ( 7 2 y −3 ) − 4 ⇒ x + 4 = 5 ⋅ ( 7 2 y −3 )
x+4
1 
 x+4
 x+ 4 
= 7 2 y −3 ⇒ log 7 
 = 2 y − 3 ⇒ y = ⋅  log 7 
 + 3
5
2 
 5 
 5  
f ( x) = 5 ⋅ ( 7 2 x −3 ) − 4 ⇒ f −1 ( x) =
1 
 x+4 
⋅ log 7 
 + 3 bulunur.
2 
 5  
99
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.8.1. LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ
1) Yalnız pozitif sayıların logaritmaları alınabilir.
2) log a a = 1
3) log a 1 = 0
4) log a ( xy ) = log a x + log a y
 x
5) log a   = log a x − log a y
 y
6) log a m x n =
n
log a x
m
7) log a x =
log b x
dır.
logb a
8) log a b =
1
log b a
Örnek : log 1 8 = ?
2
1
Çözüm: log 1 8 = log 1  
2
2
2 
−3
= −3 ⋅ log 1
2
1
= −3 ⋅ 1 = − 3
2
Örnek : log 2 = 0,30103 ise log 8 = ?
Çözüm: log 8 = log 23 = 3log 2 = 3 ⋅ (0,30103) = 0,90309
Örnek : log 3 7 = 1,7712 ve log3 5 = 1,4650 ise log 3 35 = ?
Çözüm: log 3 35 = log 3 (5 ⋅ 7) = log 3 5 + log 3 7 = 1, 4650 + 1, 7712 = 3, 2362
100
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3.8.2. LOGARİTMİK DENKLEMLER
Tanım: a > 0, a ≠ 1 ve a, b ∈ , x > 0
ise
log a x = b ifadesine logaritmik
denklem denir.
Bu denklemlerin çözümünü aşağıdaki örneklerle verelim.
Örnek : 5 x = 20 ise x nedir?
Çözüm: 5x = 20 ise logaritmanın tanımından x = log 5 20 olup
Ç.K . = {log 5 20} bulunur.
Örnek : 35 x − 4 = 17 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: Logaritmanın tanımına göre 35 x − 4 = 17 denklemini
log 3 17 = 5 x − 4 yazabiliriz.
5 x = log 3 17 + 4
1
x = ⋅ ( log 3 17 + 4 ) olup
5
1

Ç.K =  ⋅ [ log 3 17 + 4] bulunur.

5
(
)
Örnek : y = log x 2 − 9 fonksiyonun tanım aralığını bulunuz.
Çözüm: Logaritma fonksiyonu sadece pozitif reel sayılar kümesinde tanımlı
olduğundan x 2 − 9 > 0 eşitsizliğinin çözüm aralığı istenen tanım aralığıdır.
x 2 − 9 = 0 ⇒ x 2 = 9 ⇒ x = ∓3
x
x2 − 9 > 0
−∞
−3
+
3
-
101
+∞
+
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
olup T .K . = (− ∞,−3) ∪ (3,+∞ ) bulunur.
Örnek : log 3 ( x + 1) + log 3 ( x + 3) = 1 denklemini çözünüz.
Çözüm : log 3 [ ( x + 1) ⋅ ( x + 3) ] = 1
( x + 1) ⋅ ( x + 3) = 3
x2 + 4 x + 3 = 3
x2 + 4 x = 0
x ⋅ ( x + 4) = 0
x1 = 0 ve x2 = −4
Ancak x + 1 > 0 ve x + 3 > 0 olduğundan,
x > −1
ve x > −3 eşitsizliklerinin ortak çözümü x > −1 olur.
x2 = −4 çözüm kümesine dahil olmayıp
Ç.K . = {0} bulunur.
3.8.3.LOGARİTMİK EŞİTSİZLİKLER
Tanım: a > 0, a ≠ 1 ve a, b ∈ , x > 0 ise loga x < b,loga x ≤ b,loga x > b,loga x ≥ b
ifadelerine logaritmik eşitsizlikler denir.
Örnek: log 1 (5 − 2 x) > −2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
3
1
Çözüm: log 1 (5 − 2 x) > log 1  
3
3 3
−2
x > −2 
5 − 2 x < 9  2 x > −4 

⇒
⇒
5  olup Ç.K . =  −2, 5  bulunur.
5 − 2 x > 0
2x < 5 
x< 


2

2
Örnek: log 4 ( x − 2) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
102
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
Çözüm: log 4 ( x − 2) < log 4 42
x − 2 < 16  x < 18
⇒

x−2 > 0 
x>2
olup Ç.K . = ( 2,18 ) bulunur.
BÖLÜM ALIŞTIRMALARI
1) f :
2)
→
, f ( x) = ax + b
fonksiyonu veriliyor
f (-2) = 9 ve f (2) = 1 ise a + b = ?
A = {−1, 0,1, 2,3} , B = {−1, 0, 2, 4,5} ve C = {−4, −3, −2, −1, 0,1, 2,3, 4}
kümeleri veriliyor. f : A → C , f ( x) = x + 1 ve
g : B → C , g ( x) = − x 2 + 3
fonksiyonları için aşağıdakileri bulunuz.
a) f ( A )
b) ( f + g ) ( x )
c) ( f ⋅ g ) ( x )
d) ( f ⋅ g ) ( −1)
3) f :
→
, f ( x) = 2 x − 7 ise f −1 (4 x + 3) = ?
4) Aşağıdaki fonksiyonların tersi olup olmadığını belirtiniz. Varsa tersini bulunuz.
a) f :
→
, f ( x) = 7 x − 5
b) f :
→
, g ( x) = x3
c) f :
→
, h( x ) =
x
x +1
5) Aşağıda verilen noktalar için, bu noktalar arasındaki uzaklıkları ve bu
noktalardan geçen doğru denklemlerini yazınız.
103
MATEMATİK
a) A(1,−5) ve
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
B(1,5)
b) A(− 1,1) ve B(2,−1)
c) A(0,−2 ) ve
B(− 1,−3)
6) Aşağıda verilen doğruları çiziniz.
a) y = x + 3
b) 3 y = 2 x − 6
2
1
c) y = − x +
3
3
d) y =
x−3
2
7) Aşağıda verilen parabolleri çiziniz.
a) y = −3x 2
b) y = 3x 2 − 9
c) y = −3( x − 3)
2
d) y = 3( x − 3) + 9
2
e) y = − x 2 + 4 x − 4
8) Aşağıda verilen,
→
tanımlanmış fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
− x 2 + 1, x ≤ 1
a) f ( x ) = 
 x − 1, x > 1
 x 2 − 4, x ≤ 0
b) f ( x ) = 
− x + 2, x > 0
104
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
3 x, x ≥ 2

c) g ( x ) =  x 2 ,1 ≤ x < 2
 −2 x, x < 1

 x + 3, x < 0

d) g ( x ) =  2 x + 5, 0 ≤ x < 1

 x, x ≥ 1
e) h ( x ) = 3 − x
f) f ( x ) =
1
,x ≠1
x −1
9) Aşağıda verilen üstel fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1
a) f ( x) =  
4
b) g (x ) = 3x
x
c) h( x ) = 4 x
1
d) k ( x ) =  
 3
x
10) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) 100 4 + 3 x = (0,0001)
2 x −1
1
b)  
9
5x
= 27 − 3
c) 3x − 81 ⋅ ( 3− x ) = 0
d) 2− x − 4 ⋅ ( 2 x ) = 0
( )
e) 2 x − 4 2 − x = 3
f) 5x − 5 ⋅ ( 3 ⋅ 5− x ) = 2
105
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
g) 9 x + 3x − 12 = 0
h) 25 x − 5 x +1 − 14 = 0
i) e 2 x − e x − 6 = 0
11) Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) y = log3 x
b) y = − log3 x
c) y = (log3 x ) − 2
d) y = (log3 x ) + 2
12) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a) ln e − (3 x − 4 ) = 5
b) eln (2 − 3 x ) = 3
c) log(0,1) 2 x − 3 = 4
d) 10log (3− 4 x ) = 9
e) (log x −1 9 )
log 2 16
(
= 16
)
f) log 3 x 2 + 4 x − log3 3 x = 1
13) Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
(
)
a) log x 2 − 9 = 4 + log( x − 3)
b) log 2 ( x − 1) = 3 − log 2 ( x + 3)
c) log 3 x + log3 ( x − 3) = 5
d) log 2 ( x − 4) + log 2 3 x = 3
106
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
e) log3 21 − log9 49 = log 2 x
f) log3 (log 2 (log x )) = 1
g) log 4 ( x + 1) + log 4 ( x − 3) = 2
14) Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini aynı düzlemde gösteriniz.
a) y = log 4 x ve y = 4 x
1
b) y = log 1 x ve y =  
4
4
x
15) Aşağıdaki eşitsizlikleri çözünüz.
a)
45− 2 x ≤ 0, 25
b)
0, 42 x+1 > 0,16
c)
32− x < 27
d)
log(2 x − 3) > log( x + 1)
e)
log 21 x − 4 > 0
3
107
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
BÖLÜM TESTİ
1) (2 x + 1, x + y ) = (5, −2) olduğuna göre x ve y aşağıdakilerden hangisidir?
A) x = −4 , y = 2
B) x =1 , y = 0
C) x = 2 , y = −2
D) x = 0 , y = −3
E) x = 2 , y = −4
2) ( x + y, x + 2 y ) = (3, 4) eşitliğini sağlayan ( x, y ) ikilisi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) (1, 1)
B) (2, 1)
C) (1, 3)
D) (1, 2)
E) (3, 1)
3) A = {2, 3}, B = {3, 4} olduğuna göre, A × B kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) {(2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}
B) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (3, 4)}
C) {(3, 2), (3, 4), (2, 4)}
D) {(2, 3), (3, 4)}
E) {(3, 4)}
108
MATEMATİK
4) α =
{( x, y )
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
}
x, y ∈ , x ≤ 2
bağıntısının grafiği aşağıdaki taralı bölgelerden
hangisidir?
A)
B)
C)
y
y
y
2
2
x
x
-2
2
x
-2
D)
E)
y
y
2
-2
0
x
-2
5) β =
{( x, y )
x ≤ 1 ve y ≥ 0, x, y ∈
}
bağıntısının grafiği aşağıdaki
taralı bölgelerden hangisidir?
6) Aşağıdaki grafikleri verilen ve [ −1,1] aralığında tanımlı olan bağıntılardan
hangisi fonksiyon değildir?
109
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
7) Aşağıda grafikleri verilen ve [ −2, 2] aralığında tanımlı olan bağıntılardan hangisi
fonksiyon değildir?
8) f ( x) =
A)
4
fonksiyonunun en geniş tanım kümesi hangisidir?
x −9
B) [ 0,9]
C) − {−3,3}
D) [ −3,3]
E) − {9}
2
9) f ( x) = 12 − 3x fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aşağıdaki
aralıklardan hangisidir?
A) ( −∞,4]
B) ( −∞,3]
C) ( −∞,0 )
D) [ −3,12]
ve g(x) = 1 + x olduğuna göre h( x) = ( f g )( x) bileşke
10) f ( x) = x + 5
fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A) h( x) = 6 + x
B) h( x) = x + x + 6
C) h( x) = x x + x + x + 5
D) h( x) = x 2 + x
E) h( x) = 1 + x + x 2
11) f ( x) = 3 x + 5 ve g(x) = x − 1 ise
f ( g ( x)) = ?
A) 3x + 5 − 1
B) 3 x + 2
C) 3x + x + 4
D) ( 3 x + 1)
(
E) [ −3,4]
)
x −1
E) x + x
110
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
12) f ( x) = 2 x + 3 ve
g ( x) = 5 x − 2 fonksiyonları için ( f g )(3) değeri
kaçtır?
A) 45
B) 43
C) 41
D) 36
E) 29
13) f ( x) = 2 x − 1 ve g ( x) = 1 − x ise ( g f )(2) nedir?
A) 1
B) 0
C) − 1
D) − 2
E) 2
14) Denklemi f ( x ) = 2 x 2 − 2 olan fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
y
A)
y
B)
2
-1
2
1
-2
0
x
D)
E)
1
2
x
y
-1
y
C)
y
-1
x
-1
1
x
-1
-2
15) y = − x + 3x parabolünün grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
2
A)
B)
y
D)
E)
y
3
3 x
0
-3
C)
3x
0
3 x
-3
y
y
3
0
2
111
x
y
0
3 x
x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
16) Yandaki şekilde görülen parabol aşağıdaki
4
fonksiyonlardan hangisinin grafiğidir?
A) f ( x ) = x
B) f ( x ) = 1 − x
2
C) f ( x ) = ( x − 1)
E) f ( x ) = ( x + 1)
17) f ( x ) =
D) f ( x ) = x − 2 x
2
A) −
1
2
2
x +1
fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
x2 − 4
A) [− 2,2]
D) − {−2, 2}
18) f ( x ) =
1
-1 0
2
y
B) {− 2,2}
E) {− 1,−2,2}
C)
2 x 2 − 3x
ise f (− 1) değeri nedir?
x3 − 2
5
3
B) −
2
3
C)
1
4
D)
4
5
E)
3
2
19) f ( x ) = 2 x − 7 + 3 x + 3 fonksiyonu için f (2 ) değeri kaçtır?
A)0
B)1
C)2
D)3
E)4
20) f ( x ) = − x 2 + 6 x fonksiyonunun en geniş tanım aralığı aşağıdakilerden
hangisidir?
A) [− 6,6]
D) [0,6]
21)
x2 − 2
x −1
A) [1,+∞ )
D) (− ∞,1)
B) [− 6,0)
E) (0,6 )
C) (− 6,0 )
fonksiyonunun tanımlı olduğu aralık nedir?
B) (− ∞,1]
E) (− 2,2)
C) (1,+∞ )
112
x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
2 x − 5, x ≥ 0
22) f ( x ) = 
olduğuna göre, f (− 1) + f (1) kaçtır?
 x + 1, x < 0
A) − 7
D) − 3
B) − 5
E) 6
 x + 3,

23) f ( x ) = 2 x + 5,

 x,
C) − 4
x<0
0 ≤ x < 1 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
x ≥1
B) f (4 ) = 2
A) f (0) = 5
D) f (2 ) = 2
C) f (1) = 1
E) f (− 3) = 11
− x , x < 0
24) f ( x ) =  2
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
x , x ≥ 0
A)
B)
y
y
4
4
1
1
-2 -1
1
C)
x
D)
y
0
-1
1
2
x
E)
y
1
-1
0
1
2
x
0
x
-1
y
1
0 1 2
-1
113
x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
− x , x ≥ 0
25) f ( x ) = 
parçalı fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
 x, x < 0
A)
B)
y
y
1
1
1
x
-1
C)
x
0
-1
D)
y
E)
y
y
1
-1
1
1
x
-1
1
x
0
-1
26)
y
2
1
2
-1
0
x
1
Yukarıdaki grafiği verilen fonksiyonun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A) f ( x ) = x( x + 2 )
x +1 ,
D) f ( x ) = 
2
2 x − x ,
B) f ( x ) = x + 1
x≤0
x>0
C) f ( x ) = x 2
 x + 1,
E) f ( x ) =  2
x ,
114
x<0
x≥0
x
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
27)
y
2
-4
x
0
Yukarıdaki grafiği verilen parçalı fonksiyonun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
x +1
x−4
A) f ( x ) = x
B) f ( x ) =
2 x + 2,
C) f ( x ) = 
,
x
x
2 + 2 ,

D) f ( x ) = 
2
,


2 ,
E) f ( x ) =  2
x ,
x≥0
x<0
x≤0
x>0
115
x≤0
x>0
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
28) f ( x ) = 1 + x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
1
1
-1
1
C)
-1
x
0
1
x
0
D)
y
E)
y
2
y
1
-1
1
-1
x
0
1
1
x
0
1
0
x
29) 2mx + 4 y = 13 doğrusunun eğiminin − 1 olması için m ne olmalıdır?
A) 3
B) 1
C) 0
D) 2
E) -1
30) Aşağıdakilerin hangisinde verilen iki doğru paralel değildir?
A)
2x − y = 0
2x + y = 0
B)
x + 2y =1
2x + 4 y = 0
D)
y =1
y =3
E)
x=2
x=5
C)
x+ y =2
x+ y =3
31) 3 x − 5 y + 4 = 0 ve ax + 6 y − 3 = 0 doğrularının birbirine dik olması için a sayısı kaç
olmalıdır?
A) 3
B) − 5
C) − 3
D) − 10
E) 10
116
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
32) (− 2,2 ) noktasından geçen ve eğimi − 1 olan doğrunun denklemi nedir?
A) x − y = 0
B) x + y = 0
D) 2 x − y + 1 = 0
E) 2 x + y − 1 = 0
33) (4,2) ve
hangisidir?
(4.8)
C) y − 2 x = 0
noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden
A) x − 4 = 0
B) 2 x − y + 4 = 0
D) 4 x − 8 y − 8 = 0
E) x + y = 0
C) 4 x − y = 0
34) f ( x) = 3 x + 1 fonksiyonunun ters fonksiyonu nedir?
x +1
3
3
C ) f -1 ( x) =
x +1
-1
E ) f ( x) = 3( x − 1)
A) f -1 ( x) =
35) f ( x) =
x +1
2
x −1
3
3
D) f -1 ( x) =
x −1
B) f -1 ( x) =
fonksiyonunun ters fonksiyonu olan f −1 ( x) aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 2 x − 1
2
C)
x +1
1
E)
2x + 1
B) 2 x + 1
1
D)
2x − 1
117
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
36) Denklemi y = 5 x olan fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
y
5
5
1
-2
x
0
C)
-1
x
0
D)
y
E)
y
y
5
5
1
0
1
1
-1
x
0
1
-1
x
0
x
y
4
Yandaki grafiği verilen fonksiyon
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
2
1
0 1 2
x
A) y = 4 x
B) y = 2 x
D) y = 2 x
1
E) y =  
2
C) y = x 2
x
38) Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) log ( mn ) = log m + log n
m
B) log   = log m − log n
n
C) log m n = n ⋅ log m
D) log ( m + n ) = log m − log n
1
E) log   = − log m
m
118
MATEMATİK
Taşkın, Çetin, Abdullayeva
39) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) log 25 = 2 ⋅ log 5
B) log 56 = log 7 + log 8
 1 
C) log 4  = −4
 10 
D) log 60 = 1 + log 6
E) log 50 = 2 ⋅ log 25
40) f ( x) = log 2 x
A) 1
1
olduğuna göre f   değeri kaçtır?
 16 
C) − 2
B) 2
D) − 4
E) 4
41) log5125 – log525 değeri kaçtır?
A) 0
B) 1
C) 3
D) 4
42) log 2 x − log 2
x
değeri kaçtır?
2
A) 1
C) 3
B) 2
D) 5
E) 5
E) 6
43) log10 x + log10 2 = 1 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
44) log2 = 0,3 ve log3 = 0,48 olduğuna göre, log18 in değeri kaçtır?
A) 1,26
B) 0,51
D) 0,288
E) 1,28
C) 0,99
119