D7 ELEKTRIK POTANSIYELI

FİZK 104-202
Ders 7
ELEKTRIKSEL
POTANSIYEL
Dr.AliÖVGÜN
DAÜFizikBölümü
Kaynaklar:
-Fizik 2. Cilt (SERWAY)
-Fiziğin Temelleri 2.Kitap (HALLIDAY & RESNIK)
-Üniversite Fiziği (Cilt 2) (SEARS ve ZEMANSKY)
www.aovgun.com
1
2
3
4
5
6
7
8
Elektrikpotansiyelenerji
qİki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi
• r uzaklığındaki deneme yükü üzerindeki kuvvet
b
rb
ra
+
a
Fr =
qq0
4πε 0 r 2
1
• Deneme yükü üzerinde yapılan iş
q0
r
!
E
rb
rb
ra
ra
Wa→b = ∫ Fr dr = ∫
qq0
qq0 1 1
dr
=
( − )
2
4πε 0 r
4πε 0 ra rb
1
!
E
q
9
Elektrikpotansiyelenerji
qİki nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi
• Daha genel durumda
Yolun eğimi
!
E
!
F
!
dr
"
d!
φ
b
Wa→b = ∫
rb
ra
r
" " rb
rb 1
qq0
F ⋅ d ! = ∫ F cos φ d! = ∫
dr
2
ra
ra 4πε
0 r
dr
qq0 ⎛ 1 1 ⎞
⎜⎜ − ⎟⎟ = U a − U b
=
4πε 0 ⎝ ra rb ⎠
a
U≡
qq0
4πε 0 r
1
Elektrik potansiyelin doğal ve uygun ifadesi
10
Elektrikpotansiyelenerji
q İki
nokta yükün elektrik potansiyel enerjisi
•Elektrik potansiyel enerji ifadesi
qq0
U≡
4πε 0 r
1
•Elektrik potansiyel enerjinin referans noktası
Potansiyel enerji her zaman U=0 olduğu referans noktasına bağlı olarak
ifade edilir. R sonsuza gittiğinde, U sıfıra gider.Bu yüzden
r= ∞ referans noktasıdır. Bunun anlamı U ,deneme yükünü başlangıç
uzaklığı r den sonsuza hareket ettirmek için yapılan iş olarak tasvir edilir.
0
Şayet q ve q0 aynı işarete sahipse, bu iş POZİTİF ; değilse
İş NEGATİF tir.
U
U
0
qq0>0
qq0<0
11
ElektrikPotansiyelEnerji
q Birçok
nokta yükle elektrik potansiyel enerji
•Deneme yükü bir çok parçacığın elektrik alanı içine yerleştirilir.
• Konfigürasyondaki parçacıkların elektrik potansiyel enerjileri toplamı
12
Elektrikpotansiyel
qÖrnek 23.2: Nokta yükler sistemi
q1=-e
q2=+e
q3=+e
-
+
+
x=0
x=a
x=2a
q3 ⎛ q1 q2 ⎞ + e ⎛ − e + e ⎞ + e 2
⎜⎜ + ⎟⎟ =
W =U =
+
⎜
⎟=
4πε 0 ⎝ r13 r23 ⎠ 4πε 0 ⎝ 2a a ⎠ 8πε 0 a
1 ⎛ q1q2 q1q3 q2 q3 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
U=
=
+
+
∑
4πε 0 i < j rij
4πε 0 ⎝ r12
r13
r23 ⎠
1 ⎛ (−e)(e) (−e)(e) (e)(e) ⎞
−e
=
+
+
⎜
⎟=
4πε 0 ⎝ a
2a
a ⎠ 8πε 0 a
1
qi q j
13
14
ElektrikPotansiyel
q Elektrik
potansiyel veya potansiyel
• Elektrik potansiyel V birim yük başına potansiyel enerjidir.
U
V=
or U = q0V
q0
1 V = 1 volt = 1 J/C = 1 joule/coulomb
Wa →b = U a − U b = q0 (Va − Vb ) ≡ q0Vab
a ile b arasındaki potansiyel
Birim yük a dan b ye hareket ettiğinde elektrik kuvvet
tarafından iş yapılır.
Birim yükü b den a ya yavaş bir şekilde hareket ettirmek için
elektrik kuvvete karşı bir iş yapılması gerekir.
15
Elektrikpotansiyel
q Elektrik potansiyel veya potansiyel
•Tek bir nokta yükten dolayı elektrik potansiyel;
U
1 q
V= =
q0 4πε 0 r
• Nokta yükler yığınından dolayı elektrik potansiyel;
U
1
V= =
q0 4πε 0
qi
∑i r
i
• Sürekli yük dağılımından dolayı elektrik potansiyel;
U
1
dq
V= =
q0 4πε 0 ∫ r
16
Elektrikpotansiyel
qE
den V ye
•Çoğu zaman bilinen bir elektrik alandan potansiyeli hesaplamak daha kolaydır.
Wa→b = ∫
b
a
" " b " "
F ⋅ d ! = ∫ q0 E ⋅ d !
a
" "
b
Va − Vb = ∫ E ⋅ d ! = ∫ E cos φ d!
a
a
"
a "
Va − Vb = − ∫ E ⋅ d !
b
b
Elektrik alan birimi şu şekilde ifade edilir:
1 V/m = 1 volt/meter = 1 N/C = 1 Newton / Coulomb
17
Elektrikpotansiyel
qÖrnekler 23.6:
! !
V f − Vi = − ∫ E ⋅ ds
f
i
R r ile yer değiştirmiştir
18
ElektrikPotansiyel
qÖrnekler 23.7:
+
m, q0
a
b
q2
-
=0
q1
1
2
K = mυ ,U = qV
2
1
0 + q0Va = mυ 2 + q0Vb
2
2q0 (Va − Vb )
υ=
m
19
ElektrikPotansiyel
qBirim: Elektron volt (atomik ve nükleer fizikte kullanışlı)
• Potansiyeli Va olan noktadan Vb olan noktaya hareket eden q yüklü parçacığı
düşünelim, yükün potansiyel enerjisi:
U a − U b = q (Va − Vb ) = qVab
• Şayet q yükü e yükü ile eşit büyüklüğe sahipse
(1.602 x 10-19 C) ve potansiyel fark Vab= 1 V ise, yükün enerjisi:
U a − U b = (1.602 ×10 −19 C)(1 V) = 1.602 ×10 −19 J
≡ 1 eV
meV, keV, MeV, GeV, TeV,…
20
Elektrikpotansiyelinhesaplanması
q
Örnek 23.8: Yüklü iletken bir küre
Gauss kanununu kullanarak örnek 22.5 deki elektrik
alanı hesaplarız.Şimdi potansiyeli hesaplamak için
bu sonucu kullanabiliriz ve sonsuzda V=0
alabiliriz.
+
+
R +
+ +
+
+
+
E
E=
E=0
0
1
q
4πε 0 R 2
1 q
E=
4πε 0 r 2
V=
1
q
4πε 0 R
q
V=
4πε 0 r
r
Nokta yükün potansiyeline
benzer olarak
q
R = r :V =
4πε 0 R
1
0
q
R < r :V =
4πε 0 r
1
r
V
1
R > r :V =
1
q
4πε 0 R
İletken içinde
E sıfırdır. Bu yüzden
potansiyel sabit kalır ve
yüzeydeki kadardır
21
Eşpotansiyelyüzey
q Eş
potansiyel yüzey
• Bir eş potansiyel yüzey, elektrik potansiyeli her noktada aynı olan 3-d
yüzeydir.
• İki farklı potansiyelde olan nokta yoktur, bunun için farklı potansiyeller için
Eş potansiyel yüzeyler hiçbir zaman kesişmez.
• Bir eş potansiyel yüzey boyunca hareket eden deneme yükü için potansiyel
enerji değişmediğinden,elektrik alan iş yapmaz.
• E her noktada yüzeye diktir.
• Alan çizgileri ve eş potansiyel yüzeyler her zaman karşılıklı olarak diktir.
22
Eşpotansiyelyüzey
q Eş
potansiyel yüzey örnekleri
23
Eşpotansiyelyüzey
q Eş
potansiyeller ve iletkenler
•İletken içinde her yerde E = 0
- İletken içinde herhangi bir noktada E nin yüzeye teğet bileşeni sıfırdır.
- Aynı zamanda E nin teğetsel bileşeni yüzey dışındada sıfırdır.
E⊥
vakum
!
E
E//
iletken
!
E=0
Şayet böyle olmasaydı, bir yük dikdörtgen yol etrafında
bir kısmı içerde bir kısmı dışarda olacak şekilde hareket
ederdi üzerine yapılan net bir iş miktarıyla başladığı
noktaya geri dönerdi.
•Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletken dışındaki elektrik alan
her noktada yüzeye dik olmalıdır.
• Bütün yükler hareketsiz olduğunda, iletkenin yüzeyi her zaman eş
potansiyel yüzeydir.
24
Eşpotansiyelyüzey
q Eş
potansiyeller ve iletkenler
•İçerisinde herhangi bir yük olmayan oyuklu iletkeni düşünelim
- İletken oyuk yüzeyi eş potansiyel bir A yüzeyidir.
- Farklı potansiyelde oyuk içinde bir P noktası alalım ve bu B
potansiyelinden farklı potansiyelde olsun
Gauss yüzeyi
- Alan yüzey B den A ya ya da A dan B ye ilerler.
- Oyuk içindeki B yüzeyini çevreleyen bir gauss yüzeyi çizilir.
B
A
P den geçen eş potansiyel yüzey
- Bu gauss yüzeyinden geçen net akı sıfır değildir
çünkü elektrik alan yüzeye diktir.
- Gauss kanunu içerisinde herhangi bir yük olmadığından bu
İletken
akının, sıfır olduğunu söyler.
Oyuk yüzeyi
- Bundan A ve B potansiyelleri aynı potansiyeldedir.
• Elektrostatik konumda, şayet bir iletken bir oyuk içeriyorsa ve oyuk içerisinde
yük mevcut değilse, oyuk yüzeyi üzerinde herhangi bir yerde net yük
olmayabilir.
P
25
Eşpotansiyelyüzey
q Elektrostatik
Ekranlama
26
Potansiyelgradyent
q Potansiyel
gradyent
• Potansiyel fark ve elektrik alan
b
a
a
b
Va − Vb = ∫ dV = − ∫ dV
•Potansiyel fark ve elektrik alan
Va − Vb = ∫
b
a
b
b
a
a
− ∫ dV = ∫
" "
E ⋅ d!
" "
E ⋅ d!
"
E = E x iˆ + E y ˆj + E z kˆ
"
d ! = dxiˆ + dyˆj + dzkˆ
" "
− dV = E ⋅ d ! = E x dx + E y dy + Ez dz
27
Potansiyelgradyent
q Potansiyel gradyent(cont’d)
∂f
f ( x + Δx) − f ( x)
= lim
...
Δ
x
→
0
∂x
Δx
• V den E
∂V
Ex = −
∂x
∂V
Ey = −
∂y
∂V
Ez = −
∂z
!
⎛ ∂V ˆ ∂V ˆ ∂V
E = −⎜⎜
i+
j+
∂y
∂z
⎝ ∂x
⎞
ˆ
k ⎟⎟
⎠
•Fonksiyon f nin gradyenti
!
⎛ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂ ⎞
∇f ≡ ⎜⎜ i
+ j + k ⎟⎟ f
∂y
∂z ⎠
⎝ ∂x
!
!
E = −∇V
Nokta yada eksende E radyalsa
∂V
Er = −
∂r
28
ELEKTRİKALANINELEKTRİKSELPOTANSİYELDENELDEEDİLMESİ
Belirli bir yerde elektriksel potansiyel biliniyorsa bu bölgede elektrik alanı
hesaplanabilir.
SÜREKLİYÜKDAĞILIMININOLUŞTURDUĞUELEKTRİKSELPOTANSİYEL
Eğer toplam yük bir yüzeye, hacme veya uzunluğa dağılmışsa öncelikle küçük dq
elamanının istenilen noktada oluşturduğu potansiyel bulunur ve dq elamanı tüm yüzey,
hacim veya uzunluk üzerinden taranarak (integral) toplam potansiyel elde edilir.
29
Potansiyelgradyent
q Potansiyel
gradyent
30
31
Alıştırmalar
qAlıştırma 1
32
Alıştırmalar
q Alıştırma1
33
Alıştırmalar
q
Alıştırma 1
34
35
Alıştırmalar
qAlıştırma 2
36
37
38
Alıştırmalar
qAlıştırma 3
39
Alıştırmalar
qAlıştırma 4
40
Alıştırmalar
qAlıştırma 4
41
42
43
44
Alıştırmalar
q
Alıştırma 5
45
Alıştırmalar
q
Alıştırma 5
46
Alıştırmalar
q
Alıştırma 5: Sonsuz bir çizgi yük ve iletken silindir
Q
-Q
Metal şeritin dışı
r
r
Va − Vb = ∫
b
a
=
" " b
λ
E ⋅ d ! = ∫ Er dr =
a
2πε 0
∫
b
a
r
λ
ln b
2πε 0 ra
Sinyal teli
Çizgi yük yoğunluğu λ
47
dr
r