29.05.2012 GEOMETR˙IK TOPOLOJ˙I ˙IK˙INC˙I Ö ˘GRET˙IM F˙INAL

29.05.2012
GEOMETRİK TOPOLOJİ İKİNCİ ÖĞRETİM FİNAL CEVAP ANAHTARI
1. X = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} ve Y = {(x, y) ∈ R2 | x = y} olmak üzere X ∪ Y , R2 de bir
topolojik manifold mudur ? Gösteriniz.
Çözüm:
X ∪ Y üzerinde p = (− √12 , − √12 ) ve q = ( √12 , √12 ) noktaları dışındaki her nokta açık aralık veya açık
yay olan komşuluklara sahiptir ve bu yaylar R deki açık aralıklara homeomorftur. İncelenmesi gereken
p ve q noktalarıdır. X ∪ Y nin q = ( √12 , √12 ) noktasında yerel Öklid olduğunu kabul edelim. O halde, q
bir U komşuluğuna sahiptir ve bu U , R nin V açık aralığına homeomorf olur.
Yani h : U −→ V homeomorfizmadır. h ın kısıtlanışı da homeomorfizma olacağından
U − {q} −→ V − {h(q)}
homeomorfizmadır. U − {q} ≈ h(U − {q}) ≈ V − {h(q)} olmalıdır. Fakat U − {q} dört bileşene
sahipken V − {h(q)} iki bileşene sahiptir. Yani bu bir çelişkidir. O halde; X ∪ Y , q noktasında yerel
Öklid değildir. Dolayısıyla X ∪ Y , topolojik bir manifold değildir.
2. Uygun indirgeme işlemlerinden yararlanarak xyttx−1 y −1 zz ve dabca−1 b−1 c−1 d−1 kelimelerinin
hangi yüzeyi belirttiklerini bulunuz. Bu yüzeylerin yönlendirilebilir olup olmadıklarını belirleyiniz ve
Euler karakteristiklerini hesaplayınız.
Çözüm: xyttx−1 y −1 zz ∼cember tx−1 y −1 zzxyt ∼silindir tty −1 x−1 z −1 z −1 yx ∼mobius tty −1 z −1 x−1 z −1 yx
∼mobius tty −1 z −1 z −1 xyx ∼mobius tty −1 z −1 z −1 xxy −1 ∼mobius tty −1 y −1 x−1 x−1 zz = 4RP 2
1
olur. RP 2 yönlendirilemez olduğundan bu yüzey yönlendirilemezdir. Bu yüzeyin Euler karakteristiği
χ(mRP 2 ) = 2 − m formülünden dolayı
χ(4RP 2 ) = 2 − 4 = −2
bulunur.
dabca−1 b−1 c−1 d−1 ∼cember d−1 dabca−1 b−1 c−1 ∼kure abca−1 b−1 c−1 ∼silindir aba−1 cb−1 c−1 ∼cember
b−1 c−1 aba−1 c ∼silindir b−1 c−1 ba−1 ac ∼kure b−1 c−1 bc = T
olur. Tor yönlendirilebilir olduğundan bu yüzey yönlendirilebilirdir . Bu yüzeyin Euler karakteristiği
χ(nT ) = 2 − 2n formülünden dolayı
χ(T ) = 2 − 2 = 0
bulunur.
3. Bağlantılı bir topolojik grupta birim elemanın herhangi bir komşuluğu tüm grup için üreticilerin bir
kümesidir. Gösteriniz.
Çözüm: G bir topolojik grup ve V , e birim elemanının herhangi bir komşuluğu olsun. H = hV i, G nin
V tarafından üretilen altgrubu olsun. V , e nin komşuluğu ve Lh homeomorfizm olduğundan her h ∈ H
için hV = Lh (V ), h nin bir komşuluğudur. H = hV i olduğundan hV ⊂ H dır. O halde H açıktır.
H c nin de açık olduğunu gösterelim. g ∈ G\H için gV kümesini ele alalım.
gV ∩ H 6= ∅ ⇒ ∃x ∈ gV ∩ H
⇒ x ∈ gV ve x ∈ H
⇒ ∃v ∈ V için x = gv
⇒ g = xv −1 ∈ H
g ∈ G\H olduğundan bu bir çelişkidir. gV ∩ H = ∅ olmalıdır. g elemanının Lg (V ) = gV komşuluğu için gV ⊂ G\H olur. G\H kendi noktalarının komşuluğu olduğundan açıktır. Bu koşullar altında
G = H ∪ (G\H) ayrık açıkların birleşimi şeklinde yazılır fakat bu G nin bağlantısızlığı ile çelişir. O
halde G\H = ∅ olmalıdır. G = H dır. V , G yi üretir.
4. G bir Lie grup ve H, G’nin alt grubu olsun. U ∩ H = {e} olacak şekilde e nin bir U açık komşuluğu var ise H grubunun diskret olduğunu gösteriniz.
Çözüm: G Lie grup, H ≤ G ve U ∩ H = {e} olacak şekilde e nin bir U açık komşuluğu var olsun.
2
h ∈ H alalım. Uh = hU , h ın komşuluğudur. U açık ve
Lh : G −→ G
g 7−→ hg
diffeomorfizma olduğundan hU , G de açıktır.
⇒ Uh = hU , h ın G’de açık komşuluğu olur.
H ⊆ G olduğundan alt uzay topolojisinden Uh ∩ H, H da açıktır.
Uh ∩ H = hU ∩ H = h(U ∩ h−1 H) = h(U ∩ H) = h{e} = {h}
⇒ H diskrettir.
5.
Yukarıda verilen düğümün Jones polinomunu hesaplayınız.
Çözüm:
Bu düğümün writhe sayısı : w(L) = −5 dir.
X(L) = (−A)−3w(L) < L >= (−A)−3.(−5) < L >= (−A)15 < L >= −A15 < L >
Şimdi uygun Bracket polinomu kurallarını uygulayarak < L > yi hesaplayalım :
3
< III >= 1 − A4
< IV >= −A−4
< I >= 2A8 − A4 + A − A−4 + 1
< II >= −A−2 − A−10
< L >= 2A9 − A5 + A − 2A−3 − A−11
X(L) = −A15 (2A9 − A5 + A − 2A−3 − A−11 ) = −2A24 + A20 − A16 + 2A12 + A4
1
bulunur. X(L) de A = t− 4 alınırsa bu düğümün Jones polinomu
V (L) = −2t−6 + t−5 − t−4 + 2t−3 + t−1
şeklinde bulunur.
6.
Reidemeister hareketlerini uygun şekilde kullanarak solda verilen düğümden sağda verilen düğümü elde
ediniz.
Çözüm: Reidemeister hareketlerinden R1 , R2 ve R3 uygun şekilde ilk düğüme uygulanırsa
istenilen düğüm elde edilir.
4