Temel Kavramlar

Temel Kavramlar
Giriş
Alıştırma
Sıfırdan Matematik kitabımızda kazanımlar; gerçekten sıfırdan başlayarak ve o ana dek anlatılan bilgiler
yeterli olacak şekilde, benzer bol örnek ve hiçbir kitapta
olmadığı kadar alt başlıklarla verilmiş ve kitabı bitirenlerin hem temel hem de orta-üst denilebilecek düzeyde matematik bilgi ve becerisine sahip hale gelmeleri
hedeflenmişti. Başaran öğrencilerimizi de görmekten,
haber almaktan gurur duyuyoruz.
Şekil ile, ifade edilişini eşleştiriniz.
Sıfırdan Geometri kitabında da geometriyi en baştan
kurarak aynı metodla ilerliycez. Ancak geometri yaparken
ön şartımız; temel ve orta düzey matematik bilgilerinin bilinmesidir. Dolayısı ile özellikle temel matematik
bilgilerinizde eksiklikler ver ise öncelikle Sıfırdan
Matematik kitabımızı çalışmanızı, en azından gerektikçe
ilgili konulara oradan bakmanızı tavsiye ediyoruz.
Y
^ XYh
X
Y
^ XY@
X
Y
6XY@
X
Y
6XYh
Doğru
Doğru parçasının, aynı doğrultu korunarak, yani
dümdüz bir şekilde iki yönden de sonsuza uzandığı varsayılan halidir. Bu sonsuza uzanma, doğru
parçasının uçlarına ok koymak sureti ile gösterilir.
İşaretleme için de üzerindeki herhangi iki farklı noktadan
yararlanılır.
Geometri
Matematiğin daha çok çizim ve şekillerle ilgilenen
alt bilim dalıdır. Yunanca “geo” (yer) ve “metro” (ölçüm)
kelimelerinden türetilmiştir.
X
Nokta
Doğru parçasının sadece bir yönde sonsuza uzanmış
hali gibi düşünülebilir. Sonsuza uzanan taraf ok ile
sonlandırılır. Sonsuza uzanmayan tarafın ucu başlangıç
noktası olarak isimlendirilir. Aşağıdaki ışının başlangıç
noktaları üstteki için X alttaki için Y dir.
Doğru Parçası
X
Y
X
Y
Işın
X
İki farklı nokta arasındaki en kısa yolun şeklidir. En
kısa yolun dümdüz olacağı açıktır. Uçlarındaki noktalarla
ifade edilirler. Noktaların içi dolu ise doğru parçasına
dahildir, boş ise dahil değildir.
Doğru parçası
İfade edilişi
Y
d
Işın
B
X
Y
Yukardaki doğruyu d harfi ile ifade edebileceğimiz gibi
XY ile de ifade edebiliriz. Parantez ile çevrelenmemiş
olmaları iki yönden sonsuz uzandığını ifade eder.
En temel geometrik birimdir. Noktayı bilgisayar
ekranındaki pikseller gibi düşünebiliriz.
Bu pikseller sayesinde ekranda şekiller, görüntüler
oluşur. Geometrik şekillerin de yapıtaşı nokta gibi
düşünülebilir. Büyük harflerle isimlendirilir ve boyutsuz
kabul edilirler. Aşağıda A ve B noktalarının gösterimini
görüyoruz.
A
X
X
6XY@
^ XY@ veya @ XY@
^XYh veya @ XY 6
1
İfade edilişi
Y
6XY
Y
6YX
X
Y
^XYh
X
Y
^ XY@
X
Y
6XY@
X
Y
6XYh
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Düzlem
Alıştırma
Kalınlığı yok farzedilen ancak, her yöne düz ve
sınırsız uzadığı varsayılan geometrik cisimdir. Mesela
bir masanın yüzeyini düşünelim, kalınlığı olmasın ve
sınırsız uzasın. Elimizde sınırsız, düz bir alan olacaktır.
Şekle göre boşlukları doldurunuz.
C
F
Aşağıda E düzlemi ve içindeki doğru parçası, ışın ve
noktayı görmekteyiz. Ayrıca bundan sonra bu kitapta
aynı düzlemde bulunan şekiller kullanılacaktır.
B
A
I
E
D
G
C
D
B
A
E
H
I. Şekilde bulunan doğru ...... dur.
II.Şekildeki doğru parçalarından F ile başlayıp H ile
biten ...... dır.
III.
IV.
İki Doğrunun Kesişmesi
V.
İki doğrunun kesişmesi, sadece bir noktalarının ortak
olması demektir. Şekilde d ve k doğruları A noktasında
kesişmektedirler. A iki doğruya da ait olan tek noktadır.
Benzer kesişmeler, doğru parçaları ve ışınlar için de söz
konusudur.
d
A
VI.
D ! 6E...
6FH + 6CD = ....
6GD + 6FH@ = ....
VII. 6GD + AB = ....
VIII. 6CD + 6H...@ = I
A ! d, A ! K
& d+k = A
k
AB + 6CD = .......
Açı
Açıyı tam tarif için üç nokta yeterlidir. Bu noktalardan
biri açının köşesi olur ve köşe noktası diğer iki nokta
ile doğru parçaları oluşturacak şekilde birleştirilirse bir
açı elde edilir. Keşisen doğru parçaları, ışınlar, doğrular
açılar belirtirler.
Aşağıdaki şekli ve şekille ilgili ifadeleri inceleyiniz.
Aşağıda üç noktadan açı şeklinin elde edilişini görelim,
B köşe olsun;
C
B
A
A
D
E
B
B
AB + 6CD@ = B
6EA + 6CD@ = D
AB + 6EA = A
D ! 6EA, B ! 6CD@
A
C
A
B
C
C
Açı ifade edilirken köşe noktasını simgeleyen harf ortada
%
olmalıdır; açımız ABC veya +ABC şeklinde gösterilir.
I.AB II. 6AB@ III.B IV. G, D, veya A V.I VI.G
VII.A VIII.I veya F
2
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Aşağıda kesişen iki doğruyu görüyoruz. Buradaki açıları
uygun harflendirmelerle, diğer kısımları silerek ifade
edebiliriz.
Alıştırma
Şekildeki açıları ifade ediniz.
D
E
C
Önce harflendirmeleri yapalım;
B
D
A
A
B
C
E
Açı Ölçümü
şimdi ise diğer kısımları silerek açıları tek tek ifade
edelim;
B
D
A
A
C
E
Açıyı üç noktaya bağlı tanımlamıştık, bu noktalardan biri
köşe idi ve köşe ile diğer iki noktanın belirttiği, doğru
parçası veya ışınlara açının kenarları denir.
%
DAB
Aşağıdaki iki açının arasındaki açıklık farkına dikkat
ediniz. Burada açıların ölçümü devreye girecektir, doğal
olarak açıklığı fazla olan açının ölçüsü de daha fazla
olacaktır.
%
EAC
F
B
A
D
A
%
DAE
B
D
Açının ölçüsünden bahsederken m harfi kullanılır yani açı
gösteriminin başında m harfi var ise açının ölçüsünden
bahsediliyor demektir.
%
Yukarda soldaki açının ifadesi BAC , ölçüsünün ifadesi
%
ise m ^BACh şeklinde olacaktır. Daha ölçüyü tanımla-
E
A
E
C
%
BAC
masak bile sağdaki açının aralığının daha büyük olması
ölçüsünün de daha büyük olduğunu bize anlatır, dolayısı
%
%
ile; m ^BACh < m ^FEDh yazabiliriz.
C
Örnek
Açı ölçümünde çemberden faydalanırız. Açının köşesi
merkezli bir çember düşünürüz ve açı aralığına tekabül
eden yay ile orantılı bir ölçüm kullanılır. Yukardaki
şekillerin tekabül ettiği çember yaylarını gösterelim.
Şekildeki açıları ifade ediniz.
C
E
F
B
A
D
E
C
D
Burada ölçüme etki eden kısım kollar arasındaki mavi
çember yayıdır. Ölçü ise oransal bir ölçüdür, yani; mavi
yayın tüm çember yayına oranıdır. dolayısı ile çemberin çapına bağlı değildir. Yukardaki açıları, çapı daha
büyük veya daha küçük çemberlerle de ölçse idik oran
korunacağı için ölçü değişmeyecekti.
B
A
Çözüm
Şekildeki açılar;
% % % % % % %
BAC, BAD, DAC, ABC, ACB, BDE, CDE
% % % % % %
AEC, EAB, ABC, BCE, CDA, ADE
3
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Şimdi bu oransal ölçümden bahsedelim. Değerlerin
kolay olması ve oranlarla uğraşmamak için değişik ölçü
birimleri kullanılagelmiştir. Biz bu kitapta derece diye adlandırılan birimi kullanıcaz. Herhangi bir çemberin 1/360
ının oransal ölçüsüne 1 derece denilir. Ölçü oransal
olduğundan yani herhangi bir çemberin tamamına oranı
olarak düşünüldüğünden, yarıçaptan bağımsız bir ölçümdür yani her çemberin 1/360 ı 1 derecedir.
Dolayısı ile çemberin tamamı 360 derece (tam açı),
yarısı 180 derece (doğru açı), 1/4 ü 90 derece (dik açı)
olur.
Ölçüsü 90 derece olan açıya dik açı denir.
A
%
m ^ ABCh = 90 0
B
Tabi açıları yaylar ile gösterirken çemberin tamamını
çizmeyiz sadece kollar arasındaki kısmını çizeriz. Aynı
açıları tekrar gösterelim;
Doğru Parçasının Uzunluğu
Doğru parçasının uzunluğunu uçlarındaki noktaları
arasındaki uzaklık gibi düşünebiliriz. Dolayısı ile uzaklığa bağlı tanımlanan mutlak değer sembolü ile göstermek son derece mantıklı olacaktır.
F
B
A
E
C
C
D
Açıların ölçüsünü yazarken her zaman uzun uzun
“derece” yazmayız, mesela 20 derece yerine 200 yazarız.
yandaki doğru parçası [AB] olarak
gösteriliyor idi, uzunluğu ise |AB|
olarak gösterilir.
B
A
900 lik açı yayla değil şekildeki gibi göstermek adet
olmuştur ve dik açı olarak isimlendirilir.
Doğrusal Noktalar
A
%
m ^ ABCh = 90 0
B
Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara doğrusal
noktalar denir. Şekilde A,B,E noktaları doğrusaldır.
Ayrıca C,D,A noktaları da doğrusaldır ama mesela
A,E,D noktaları doğrusal değildir. İki nokta her zaman
doğrusaldır.
C
D
A
Ölçüsü 360 derece olan açıya tam açı denir.
E
B
C
0
360
Artık elimizdeki bilgiler dahilinde biraz soru çözelim ve
konuya ısınalım.
Ölçüsü 180 derece olan açıya doğru açı denir.
0
180
4
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Örnekler: Doğruda açı
Verilen şekillerde x i bulunuz.
A
1.
4.
0
140
0
x
x
60
a
a
B
Çözüm
x ile 140 derecenin toplamı doğru açı olduğundan 180
derecedir o halde; x+140=180 ise x=400 bulunur.
C
Çözüm
60 + a = 90 & a = 30 & x = 60 0
2.
5.
A
0
160
x
y
0
x
140
0
60
B
C
Çözüm
Çözüm
x ile 90 derecenin toplamı dik açı olduğundan 90 derecedir o halde; x+60=90 ise x=300 bulunur.
x + 160 = 180 & x = 20 0 & y = 2
3 x
y + 140 = 180 & y = 40 0
A
3.
x
B
6.
x
x
x
y
C
2y = 7x & x = ?
Çözüm
Çözüm
x + x + x = 180 & 3x = 180 & x = 60 0
2y = 7x & x = 2k, y = 7k &
9k = 180 & k = 20 0 & x = 40 0
5
y
x =?
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Doğruda açı
Verilen şekillerde x i bulunuz.
6.
1.
0
0
120
130
x
x
0
130
Çözüm
2.
Tam açı 360 derece olduğundan şekildeki açıların
toplamı 360 derece olmalıdır.
x
0
80
x + 120 + 130 = 360 & x = 110 0
7.
3.
x
0
x
0
90
4.
x
140
0
150
x
8.
x
x
0
120
2x
5.
x
x
x
9.
0
50
2x
1) 50 0 2) 100 0 3) 90 0 4) 60 0 5) 65 0
2x
6) 110 0 7) 70 0 8) 80 0 9) 72 0
6
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Doğruda açı
Verilen şekillerde x i bulunuz. (ilk 5 soru)
6. Tam açı doğru açının ..... katıdır.
1.
5x = y
y
x
7. Açı ölçümünde ................. şeklinden faydalanılır.
8. Dik açı ...... derecedir.
9. Aynı doğru üzerinde bulunan noktalara ......................
.................... denir.
2.
2x = y
y
x
10.
0
140
7x = 2y
3.
y
y - x = 20 0 & y = ?
y
x
11.
x
4.
x
y
z
y
y
x
z
6 =9 =9
x
5x + 30 = y & y - x = ?
5.
y
x
12.
6y = 10x = 15z
z
z
y
x
x = y - 10 = z - 20 & z = ?
1) 30 0 2) 60 0 3) 90 0 4) 90 0 5) 108 0
6) 2 7) çember 8) 90 0 9) dogrusal 10) 120 0 11) 130 0 12) 70 0
7
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Eşit Açıların Gösterimi
Alıştırma
Şekil üzerindeki ölçüleri eşit açılar aynı sembollerle
gösterilirler.
D
D
A
Şekildeki komşu açı çiftlerini yazınız.
E
E
B
F
B
A
C
C
%
%
Şekilde m ^ ABDh = m ^EBCh ise bunu şekilde aşağıdaki
gibi gösteririz;
D
A
E
B
Açıortay
Bir açıyı iki eşit ölçülü komşu açıya bölen doğru,
doğru parçası veya ışına açıortay denir. Açıortay
olarak doğru alınmış ise açıortay doğrusu, ışın alınmış
ise açıortay ışını terimleri de kullanılır.
C
%
%
Aşağıdaki şekilde m ^ ABDh = m ^EBCh ve
%
%
m ^DBFh = m ^FBEh olduğuna dikkat ediniz.
F
D
A
A
D
C
E
B
A
C
B
%
Yukarıda ABC açısı açıortay ile iki eşit ölçülü komşu
açıya ayrılmıştır. Bu açılara da eş açılar denilir.
%
%
m ^ ABDh = m ^DBCh
Komşu Açılar
Bir kenarları ve köşeleri ortak olan, iç bölgeleri
kesişmeyen açılardır.
D
C
B
Ölçüsü eşit açılar aynı sembollerle gösterilirler.
E
F
D
A
B
E
C
A
%
%
%
%
Şekilde DBA ile DBE , DBE ile EBC komşu açılardır
%
%
%
%
ama DBA ile EBA , DBA ile EBC komşu açılar
değillerdir.
B
C
% % % % % % % %
ABD - DBE , DBE - EBF, EBF - FBC, FBC - CBA
8
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Açı Çeşitleri
Örnek
Açılar ölçülerine göre isimler alırlar.
%
%
ABD ve DBC açılarının açıortayların arasındaki açının
ölçüsünü bulunuz.
Dar Açı: Ölçüsü 90 dereceden küçük olan açıdır.
Dik Açı: Ölçüsü 90 derece olan açıdır.
D
Geniş Açı: Ölçüsü 90 derece ile 180 derece arasında
olan açıdır.
A
B
Doğru Açı: Ölçüsü 180 derece olan açıdır.
C
Tam Açı: Ölçüsü 360 derece olan açıdır.
Çözüm
Şekli soruda verilenlerle beraber çizip eşit ölçülü açıları
aynı harflerle ifade edelim;
D
a
a
A
b
dar açı
istenen açının a+b
olduğuna dikkat!
x < 90 0
x
b
B
C
2a + 2b = 180 & a + b = 90 0
dik açı
x = 90 0
Alıştırma
x
%
%
DBE ve EBC açılarının açıortayların arasındaki açının
ölçüsünü bulunuz.
doğru açı
E
D
x
0
30
A
B
A
C
B
C
x = 180 0
geniş açı
x
75 0
9
0 0 < x < 180 0
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Doğruda açı
1.
D
A
B
E
4.
F
B
Hangisi yanlıştır?
A
C
%
%
%
%
A) m ^ ABDh = m ^FBCh B) m ^DBEh = m ^EBFh
%
%
%
%
C) m ^ ABEh = m ^CBEh D) m ^DBCh = m ^ ABFh
%
%
E) m ^EBFh = m ^DBAh
D
2.
O
150
%
%
AOB ve BOC açılarının açıortayları arasındaki açının
ölçüsünü bulunuz.
E
F
Hangisi yanlıştır?
A
C
0
B
C
B
5.
0
120
%
%
%
%
A) m ^ ABDh = m ^EBFh B) m ^DBEh = m ^EBFh
%
%
%
C) m ^ ABEh = m ^DBFh D) m ^EBCh < 90 0
%
%
E) m ^DBEh = m ^FBCh
A
O
C
%
%
AOC ve BOC açılarının açıortayları arasındaki açının
ölçüsünü bulunuz.
D
E
F
3.
A
O
C
Komşu açı ikililerinde noktalı yerleri doldurunuz.
6. Ölçüsü 90 dereceden küçük olan açıya ....... açı denir.
%
%
%
%
I) m ^ AODh ile m ^...OFh II) m ^ AOEh ile m ^...OFh
%
%
%
%
III) m ^DOEh ile m ^...OCh IV) m ^DOCh ile m ^.......h
7. Ölçüsü 360 derece olan açıya ....... açı denir.
8. Öçüsü 180 derece olan açıya ....... açı denir.
1) E 2) D 3) I- D II- E III- E IV- AOD
4) 1050 5) 1200 6) dar 7) tam 8) doğru
10
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Doğruda açı
E
D
1.
F
A
B
F
A
B
E
3.
F
B
D
A
G
6.
D
C
B
0
30
%
m ^BGDh = ?
G
7. Eşleştiriniz.
doğru açı
90 0
geniş açı
40 0
tam açı
100 0
dar açı
180 0
dik açı
360 0
C
E
4.
%
m ^EBA h = ?
0
40
A
G
%
m ^BGEh = ?
0
A
%
m ^EBCh = ?
50
F
C
B
C
D
A
5.
C
E
D
2.
%
m ^DBFh = ?
E
D
G
0
60
B
%
m ^CBGh = ?
F
C
5) 750 6) 600
7)
1) 90 0 2) 90 0 3) 65 0 4) 60 0
11
doğru açı
90 0
geniş açı
40 0
tam açı
100 0
dar açı
180 0
dik açı
360 0
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Tümler ve Bütünler Açılar
Ölçüleri toplamı 90 derece olan açılara tümler açılar,
180 derece olan açılara bütünler açılar denir.
Mesela 30 derecelik açının tümleri 60 derece, bütünleri
ise 150 derece olur.
x in tümleri 90 - x , bütünleri ise 180 - x olur.
a ile b tümler ise a + b = 90
1. İki tümler açıdan büyüğü küçüğünün 2 katı ise küçük
açının ölçüsünü bulunuz.
Çözüm
Aradığımız küçük açı a ise büyük olan 2a olur ve tümler
olduklarından toplamları 90 derece olacaktır;
0
a ile b bütünler ise a + b = 180
Örnekler
a + 2a = 90 & a = 30
0
2. Tümler iki açıdan birinin bütünleri 120 derece ise
diğerinin ölçüsü kaçtır?
Alıştırma
Tabloyu doldurunuz.
açı
30
tümleri
bütünleri
Çözüm
Bütünleri 120 derece olan açı 60 derecedir dolayısı ile
aranan açı 30 derece olacaktır.
0
40 0
57 0
a
2a - 10
40 - b
3. Bütünler iki açının oranı 5/13 ise küçük açını tümlerinin ölçüsü kaçtır?
tümler açılar
a + b = 90 0
bütünler açılar
a + b = 180 0
açı
tümleri
bütünleri
30 0
60 0
150 0
40 0
50 0
140 0
57
33
57 0
0
0
a
90 - a
2a - 10
100 - 2a
190 - 2a
40 - b
50 + b
140 + b
Çözüm
Açıları 5k ve 13k alabiliriz ve toplamları 180 derece
olduğundan;
5k + 13k = 18k = 180 & k = 10
5k = 50 & tümleri 130 0
180 - a
12
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Tümler- Bütünler Açılar
1. Ölçüleri farkı 10 derece olan iki tümler açının
büyüğünün ölçüsü kaç derecedir?
6. Ölçüleri toplamı 50 derece olan iki açının tümlerleri
toplamı kaç derecedir?
2. Ölçüleri farkı 20 derece olan iki bütünler açının
büyüğünün ölçüsü kaç derecedir?
7. Bütünleri kendisinin 8 katı olan açının tümleri kaç
derecedir?
3. Ölçüleri oranı 2/3 olan iki tümler açıdan küçük olanın
bütünleri kaç derecedir?
8. Bütünleri kendisinin 5 katı olan açının tümleri kaç
derecedir?
4. Ölçüleri oranı 4/5 olan iki bütünler açıdan küçük
olanın tümleri kaç derecedir?
9. Bütünleri tümlerinin 3 katının 20 fazlası olan açı kaç
derecedir?
5. Ölçüleri toplamı 60 derece olan iki açının tümlerleri
toplamı kaç derecedir?
10.Bütünleri tümlerinin 2 katının 10 fazlası olan açı kaç
derecedir?
6) 1300 7) 700 8) 600 9) 550 10) 100
1) 50 0 2) 100 0 3) 144 0 4) 100 0 5) 120 0
13
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Ters Açılar
Alıştırma
Kesişen iki doğrudaki komşu olmayan açılar ters
açılardır. Ters açıların ölçülerinin eşit olduğu apaçıktır.
2
3
x, y, z açılarının ölçülerini bulunuz.
1
4
70
0
x
y
z
Sayılarla işaretlediğimiz açılardan 1 ile 3, 2 ile 4 numaralı
açılar ters açılardır ve ölçüleri eşittir.
Paralel Doğrular
Düzlemde çalıştığımız söylemiştik, buna dayanarak
aşağıdaki tanımı yapabiliriz;
Örnek
x, y, z açılarının ölçülerini bulunuz.
x
y
Birbirini kesmeyen iki farklı doğruya paralel doğrular
denir. AB ve CD doğruları paralel ise AB//CD şekilinde
gösterilir. Aşağıda paralel doğru çiftleri görüyoruz.
0
60
z
Çözüm
y ile 60 derecelik açı ters açı olduğundan y = 60 0 dir.
x + 60 = 180 0 & x = 120 0 , x ile z ters açı olduğundan z
açısının ölçüsü de 120 derecedir.
Ters açıların ölçüleri eşittir.
14
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Benzer şekilde doğru parçaları ve ışınlarda paralel olurlar. Parelel olmaları için gerek yeter şart içinde bulundukları, yani belirttikleri doğruların paralel olmasıdır.
Dolayısı ile aslında aslında aşağıdaki şekildeki gibi iki
farklı ölçüde açı vardır.
iki paralel doğru parçası
b
a
a
b
a
b
a
b
paralel doğru parçası ve ışın
O halde bu şekildeki açılarda sadece birinin ölçüsünü
bilsek hepsini bulabiliriz. Sağ üstteki açı 50 derece olsun.
0
50
Paralel Doğruların Bunları Kesen
Bir Doğru ile Yaptığı Açılar
Şekilde gördüğümüz ve sayılarla işaretlediğimiz sekiz
adet açının isimlerini ve eşit olanlarını belirtelim;
Şimdi diğer açıların ölçülerini de yazalım;
2
3
0
130
4
0
6
7
1
50
5
0
50
0
130
0
130
8
0
50
0
50
0
130
Yukarıdaki şekilde 1 ile 3, 2 ile 4, 5 ile 7 ve 6 ile 8 ters
açılardır ve eşit ölçüdedirler.
paralel doğrular ve bir kesenin belirttiği açılar
1 ile 5, 2 ile 6, 4 ile 8 ve 3 ile 7 ye yöndeş açılar denir ve
eşit ölçüdedirler.
b
1 ile 7, 2 ile 8 e dış ters açılar denir ve eşit ölçüdedirler.
a
3 ile 5, 4 ile 6 ya iç ters açılar denir ve eşit ölçüdedirler.
b
a
15
a
b
a
b
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Örnekler: Paralel Doğrular
Ters Açı
3.
1.
d1 //d2 & x = ?
d1
a+20
0
80
d1 //d2
d1
b=?
b
2a-40
d2
d2
x
Çözüm
Çözüm
a + 20 = 2a - 40 (yöndeş)
a = 60 0 & b = 120
0
80
x
2.
x=?
2x
x
x
3x
2x = 80 0 & x = 40 0
x
4.
d1
a+25
Çözüm
d2
6x = 180 & x = 30 0
2x
x 3x
d1 //d2
a=?
3a-35
Çözüm
x
a+25
a+25
3a-35
a + 25 = 3a - 35 & 2a = 60 & a = 30
16
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Paralel Doğrular Ters Açı
1.
4.
d1
a+30
d1 //d2
x
b=?
b
2.
d2
2a-10
3x
0
130
x=?
4x
x 2y
a+30
5.
d1
d1 //d2
a=?
2x
2a-50
6.
3.
0
d1
70
x
0
120
2x
d1 //d2
2x x
x=?
d2
1) 400 2) 200 3) 1450
4) 650 5) 800 6) 240
17
d2
x=?
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Hazine: İçters açılar
Hazine Kavrama
d1
d1 //d2
a
Verilen şekillerde x i bulunuz.
1.
0
50
a
x
d2
İspat
Şekilde uygun uzatmaları yaparsak, doğrularda tanımladığımız iç ters açılar olduklarını görürüz.
d1
a
d1 //d2
d2
a
0
120
2.
x
örnekleri inceleyiniz
x
0
60
3.
0
60
0
240
x
x
4.
0
70
x
x
x
x
1) 500 2) 600 3) 1200 4) 1100
18
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Hazine: Karşılıklı açılar
d1
d1 //d2
b
a + b = 180 0
a
Hazine Kavrama
Verilen şekillerde x i bulunuz.
1.
d2
x
0
50
İspat
Şekilde uygun uzatmaları yaparsak, bütünler açıları
görürüz.
a
b
0
a + b = 180 0
a
40
2.
x
örnekleri inceleyiniz
x-30
y
x + y = 180 0
3.
x
x
0
110
0
0
70
4.
40
x
0
50
a
180-a
1) 1300 2) 1400 3) 700 4) 900
19
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Hazine: M kuralı
Hazine Kavrama
Verilen şekillerde x i bulunuz.
b
0
a
a = b+c
40
1.
x
c
0
60
İspat
Uygun çizim ile ifadenin doğruluğu net bir şekilde
görülüyor.
0
40
2.
0
110
b
b
c
x
a = b+c
c
65
3.
0
0
100
örnekleri inceleyiniz
x
0
y
40
b
x+y = a+b
x
4.
a
0
130
95
65
0
40
0
0
x
0
90
1) 1000 2) 700 3) 750 4) 200
0
50
20
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Hazine: Paralel üçlü
Dolayısı ile bu kalıptaki şekilde açı sayısının 1 azı ile 180
derecenin çarpımı bize açıların toplam ölçüsünü veriyor
yani açı sayısı n ise istenen toplam;
^n - 1h $ 180 olacaktır.
a
a + b + c = 360 0
b
örnekleri inceleyiniz
c
a
b
İspat
c
a
d
e
b1
a + b + c + d + e = ^5 - 1h $ 180 = 720
b2
c
a + b1 = 180 0 , b2 + c = 180 0 &
a + b1 + b2 + c = 360 &
a + b + c = 360
0
110
110 + 120 + x = 360
& x = 130 0
x
Yukarıda uygun çizim ile iki tane 180 derece oluştuğunu
görüyoruz ve dolayısı ile tek bir çizim 2 tane 180 derece
oluşturdu, aynı tip dörtlü açıda da iki çizim ile 3 tane 180
derece oluşacaktır.
0
120
a
b
x
x
c
d
a
0
140
0
140
a + b + c + d = 3 $ 180 = 540
0
140
b1
b2
2x + 420 = 4 $ 180 = 720
& x = 150 0
c1
d
c2
21
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Hazine Kavrama
Verilen şekillerde x i bulunuz.
45
0
1.
140
5.
x
x
0
0
120
120
x
0
2.
0
150
6.
x
x
0
160
0
140
x
3.
0
30
0
150
x
7.
0
x
x
0
150
15
x
0
20
4.
x
x
0
120
0
140
8.
0
100
x
x
0
40
1) 1000 2) 1050 3) 1200 4) 1400
5) 1050 6) 1350 7) 107,50 8) 400
22
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Bir Daha Bakalım
doğru parçası
X
Y
açı ortay
A6XY@
x + y = 180 0
A
D
uzunluğu; XY
C
doğru
X
paralel doğrular ve bir
kesenin belirttiği açılar
C
B
B
Y
d
b
dar açı
XY
ışın
X
bütünler açılar
6XY
b
x < 90 0
x
Y
a
a
dik açı
a
b
a
b
d1
düzlem
d1 //d2
a
a
x = 90 0
d2
x
E
d1
Ölçüsü 360 derece olan açıya tam
açı denir.
x
A
0
360
b
doğru açı
tam açı
d1 //d2
a + b = 180 0
a
B
d2
C
x = 180 0
b
doğru açı
Ölçüsü 180 derece olan açıya doğru
açı denir.
a = b+c
geniş açı
a
0
180
c
x
dik açı
Ölçüsü 90 derece olan açıya dik açı
denir.
A
0 0 < x < 180 0
tümler açılar
x + y = 90
%
m ^ ABCh = 90 0
B
a
0
b
a + b + c = 360
0
c
C
23
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
1.
D
%
m ^DBEh = ?
E
A
B
E
2.
A
B
B
C
3.
F
D
A
G
0
B
açıortaylarının aralarındaki
0
açının ölçüsü kaç derecedir?
0
20
%
m ^EBCh = ?
60
%
%
ABD ve DBC açılarının
30
C
A
E
C
D
5.
B
%
%
C ABD
ve DBC açılarının
D
6.
0
70
30
A
1) 900 2) 900 3) 1500
B
4) 650 5) 800 6) 240
24
açıortaylarının aralarındaki
açının ölçüsü kaç derecedir?
0
C
%
m ^DBGh = ?
20
A
%
m ^DBEh = ?
G
0
D
C
D
F
E
4.
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
x + y = 220 0
z=?
x
1.
y
4.
z
2.
x
y
x=?
x
x + z = 100 0
y=?
x
5.
x=?
z
0
220
D
E
C
3.
A
%
m ^DFBh = ?
F
6.
5x
2x
x=?
2x
B
1) 1400 2) 800 3) 900
4) 900 5) 250 6) 200
25
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
1.
4.
x+20
45
0
x=?
x=?
85
3x-30
0
x
65
x+20
2.
5.
0
0
100
x=?
x=?
0
80
x
2x-70
55
0
45
3.
x=?
x
6.
0
0
x+30
0
70
0
50
x
1) 250 2) 900 3) 950
4) 400 5) 450 6) 47,50
26
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Tümler -Bütünler Açılar
1. 300 lik açının tümleri kaç derecedir?
8. 100 lik açının bütünleri kaç derecedir?
2. 400 lik açının tümleri kaç derecedir?
9. 400 lik açının bütünleri kaç derecedir?
3. Ölçüsü 2x derece olan açının tümlerinin ölçüsü nasıl
ifade edilir?
10.Ölçüleri farkı 30 derece olan iki tümler açının küçüğü
kaç derecedir?
4. Ölçüsü 40-x derece olan açının tümlerinin ölçüsü
nasıl ifade edilir?
11.Ölçüleri farkı 35 derece olan iki tümler açının büyüğü
kaç derecedir?
5. Ölçüsü x derece olan açının bütünlerinin ölçüsü nasıl
ifade edilir?
12.Ölçüleri farkı 110 derece olan iki bütünler açının
küçüğü kaç derecedir?
6. Ölçüsü x-100 derece olan açının bütünlerinin ölçüsü
nasıl ifade edilir?
13.Ölçüleri farkı 90 derece olan iki bütünler açının
büyüğü kaç derecedir?
7. Ölçüsü 350 olan açının bütünlerinin ölçüsü nedir?
14.Ölçüleri oranı 3/2 olan iki tümler açının küçüğünün
bütünleri kaç derecedir?
1) 600 2) 500 3) 90-2x 4) 50+x 5) 180-x 6) 280+x 7) 1450 8) 1700 9) 1400 10) 300 11) 27,50 12) 350 13) 450 14) 1440
27
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Tümler -Bütünler Açılar
6. Ölçüleri toplamı a derece olan iki açının tümlerleri
toplamı kaç derecedir?
1. Ölçüleri oranı 5/13 olan iki tümler açının büyüğünün
bütünleri kaç derecedir?
Çözüm
Açılarımızdan biri x ise diğeri a-x olacaktır tümlerlerini alır
toplarsak; 90 - x + 90 - ^a - xh = 180 - a
dolayısı ile örneğin toplamları 30 derece ise tümlerleri
toplamı 150 derece olur.
2. Ölçüleri oranı 7/11 olan iki bütünler açının küçüğünün
tümleri kaç derecedir?
7. Ölçüleri toplamı a derece olan iki açının bütünlerleri
toplamı kaç derecedir?
3. Ölçüleri toplamı 600 olan iki açının tümlerleri toplamı
kaç derecedir?
8. Ölçüleri oranı 2/7 olan tümler iki açının bütünlerlerinin
ölçüleri oranı kaçtır?
4. Ölçüleri toplamı 700 olan iki açının tümlerleri toplamı
kaç derecedir?
9. Ölçüleri oranı 3/2 olan tümler iki açının bütünlerlerinin
ölçüleri oranı kaçtır?
5. Ölçüleri toplamı 1000 olan iki açının bütünlerleri
toplamı kaç derecedir?
10.Bütünleyeninin ile tümlerinin ölçüleri toplamı 170
derece olan açının ölçüsünü bulunuz.
1) 1150 2) 1100 3) 120 4) 110 5) 260
6) 1000-a 7) 3600-a 8) 16/11 9) 7/8 10) 500
28
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
135
0
130
0
1.
x=?
4.
x=?
x
x
0
140
0
a+60
50
5.
2.
a=?
x=?
x
2a-30
0
130
3.
x
x=?
3a
6.
a+20
0
50
1) 850 2) 1000 3) 500
4) 500 5) 500 6) 400
29
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
1.
x
x=?
4.
x
0
140
2.
0
110
5.
0
130
50
x=?
x
x
0
3.
x=?
0
110
120
x
y =?
6.
80
0
0
130
x=?
0
0
x
x
140
y
1) 1000 2) 1550 3) 7/8
4) 400 5) 1000 6) 400
30
x=?
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
1.
x
70
0
140
4.
x=?
60
0
x=?
0
x
5.
2.
0
120
0
150
y
0
150
x=?
x
50
0
80
x
3.
0
120
6.
0
0
150
50
0
x
0
30
0
140
140
x=?
1) 1000 2) 1550 3) 7/8
x
4) 500 5) 500 6) 400
31
0
yy - xx =
= ??
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
4.
1.
0
30
x
x=?
2.
y
x=?
0
120
y
x
6.
y
x
5.
x
3.
x$y
10z = ?
0
40
0
60
x=?
0
100
x
x
x açısının ölçüsünü y cinsinden bulunuz.
1) 600 2) 450 3) x=2y
4) 320 5) 1 6) 900
32
z
x
y+z = ?
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
0
30
0
110
1.
4.
0
70
x
45
0
x=?
0
50
x-y = ?
x
y
25
0
0
80
2.
x=?
x
0
5.
140
x=?
0
50
x
3.
x=?
6.
0
150
0
300
y-x = ?
0
60
x
x
0
340
y
1) 400 2) 650 3) 600
4) 600 5) 1300 6) 100
33
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
0
20
1.
x=?
0
30
0
80
4.
x=?
x
x
2x
0
70
5.
2.
x=?
x-y
2 =?
x
0
60
x
y
x
x=?
3.
45
6.
x=?
0
x
0
40
1) 600 2) 600 3) 900
4) 200 5) 150 6) 1300
34
0 dan geometri
1. bölüm temel kavramlar ve doğruda açı
Alıştırmalar: Karma
0
0
60
1.
30
4.
x=?
x=?
0
50
0
80
x
0
70
x
0
20
0
60
2x+10
5.
2.
25
0
0
80
x
x=?
0
100
75
x=?
0
0
100
4x-30
0
30
0
60
0
60
3.
6.
x=?
x-y = ?
10x+10
x
y
x
6x-10
1) 100 2) 200 3) 100
4) 1100 5) 500 6) 400
35
x