bir kompozit malzeme modelinde bünye teorisi

Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
Tekirdağ
140
BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ
BİR KOMPOZİT MALZEME MODELİNDE BÜNYE TEORİSİ
The constitutive theory for a model of the composite materials
N.ÖNTÜRK1
A.ÖNEN2
A.SARI3
ÖZET
Bu çalışmada fiber takviyesi ile anizotrop duruma getirilmiş bir ortamın "belli
bir" deformasyona maruz kalması durumunda malzeme içinde oluşan gerilme dağılımı
bulunmuştur. Bunun için de fiber takviyeli, homojen, elastik bir sürekli ortam
gözönüne alınmış ve böyle bir ortamın bünyesel ve topolojik özelliklerine göre ,
tanımlanan gerilme potansiyeli  'nın argümanları tespit edilmiştir.
Gerilme-deformasyon bağıntıları termodinamik denge denklemleri ve bünye
teorisi kullanılarak buklunmuştur. Bu durum ; önce şekil üzerinde hiç bir kısıtlama
yapmadan genel olarak incelenmiş, daha sonra dikdörtgenler prizması şeklinde fiber
takviyeli, yapay anizotrop, elastik bir cisme uygulanmıştır.
ABSTRACT
In thıs study; the stress distribution which was obtained for into the
composite continous medium, is supposed to be strongly anisotropic due to fiber
distribution only and anisotropic otherwise under the determined deformation. At the
same time, the composite medium is an elastic and homogenous medium.
The arguments of the defined stress potential, , was obtained for such a
composite medium due to the constitutive and topolojik characteristic.
The stress-deformation equations were obtained using the laws of
thermodynamics, the mechanical balance laws and the constitutive equations.
This situation, was first studied by not making restriction on the figure. Then,
it was applied on the body in the form of a rectangular parallelepiped.
GİRİŞ
Bu çalışmada; dikdörtgenler prizması şeklinde fiber takviyesi ile anizotrop
duruma getirilmiş bir cismin "belli bir" deformasyona maruz kalması durumunda
,malzeme içinde oluşan gerilme dağılımının bulunması amaçlanmaktadır.Bunun
bulunması için de gerilme-deformasyon bağlantılarının bulunması gerekir.
Bu durumu incelemeden önce ,cismin şekli üzerinde herhangi bir kısıtlama
yapmadan genel bir formülasyonla işe başlanır.Daha sonra bu, dikdörtgenler prizması
şeklinde fiber takviyeli,elastik bir cisme uygulanır.
Bunun için de; gözönüne alınan fiber takviyeli,elastik bir sürekli ortam,
aşağıdaki parametrelerle temsil edilmektedir:
  ( X , t )
(1)
 =Yoğunluk
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
A  A( X , t ); B  B( X , t )
Tekirdağ
141
A, B  Fiber vektör alanları
Burada; t zamanı , X maddesel noktaların başlangıç konumundaki yer vektörünü
göstermektedir.Kolaylık olsun diye , A nın büyüklüğüde bir seçilir.
Cisim
fiber
takviyeli
olduğu
için
her
noktasında
bir
P
A  A( X , t ); B  B( X , t ) fiber vektör alanları vardır.Fiber vektör alanlarının cismin
her noktasında tanımlandığı, böylece bir fiber sürekliliği oluşturduğu ve de fiberlerin
matris malzemesiyle birlikte deforme olduğu varsayılır.Buna göre deformasyondan
önce ve sonraki fiber vektör alanları arasındaki bağıntılar:
a k  x k , K AK
,
bk  x k , K BK
veya
a  F A,
b  FB
(2)
şeklinde olur.
Bu bağıntılar ; dx k  x k , K dX K veya dx  FdX
bağlantılarınının fiber
deformasyonuna uygulanmasıdır.
Gerilme-deformasyon bağıntıları termodinamik ve bünye teorisi kullanılarak
bulunacağından, genel formülasyon için "Denge Denklemleri"nden başlayarak model
formüle edelir:
DENGE DENKLEMLERİ:
1.Kütlenin Korunumu:

t
 . (  )  0
(3)
Kütlenin korunumu:   .   0
türevi,  :hız dır.
şeklini alır.Burada:  :yoğunluğun maddesel
2.Lineer Momentum Dengesi:
 a   f  . t
(4)
3.Açısal Momentum Dengesi:
 jkl t kl  0
(5)
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
Tekirdağ
t kl  t lk
Burada:
:simetrik
 jkl  lkj   klj  lkj  ljk   jlk olduğundan
142
tansör,
 jkl :Antisimetrik bir tansördür.
4.Enerjinin Korunumu:
  h  t kll ,k  q k ,k
(6)
.
5.Entropi eşitsizliği:
  
h

 (
q

)0
(7)
Bu eşitsizlikte;
q
1

.( )  . q  q. 2



(8)
ifadesi yerine yazılır.
  
h


1

. q  q.

2
0
(9)
Burada  ; Birim kütle başına entropi üretimini gösterir.
5'.Entropi eşitsizliği ile enerji denkleminin birleştirilmesinden;
 ( 
1

) 
1

t kl ( l ,k ) 
1
2
qk ,k  0
(10)
(10) denklemi elde edilir.Bu denklemde; termodinamik prosesin değişkenleri;
 
 


( l ,k ) 


,k 


şeklindedir.Entropi eşitsizliği ile (6) enerji denkleminin birleştirilmesi sonucu elde
edilen (10) eşitsizliğinde,  terimi (entropi yoğunluğu) bulunmaktadır.Ancak, entropi
yoğunluğu, bağımsız termodinamik değişken olarak kullanılmağa uygun olmadığından,
entropi yerine sıcaklığı bağımsız değişken seçmek gerekir..Bunun için de aşağıdaki
gibi bir "Legendre Transformasyonu" yapılır.
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
Tekirdağ
143
    
(11)
 nin türevi alınıp:
(10) eşitsizliğinde yerine yazalırsa:
      
       
1

     



1
(12)


(  ) 
1

t kl( l , k ) 
1
2
qk ,k  0
(13)
eşitsizliği elde edilir.Buradaki termodinamik değişkenler;
 
 
 
 
olur.Bu eşitsizlikte;   0 / j , t kl d lk 
1
X X t C , jX K , k X L ,l t kl  TKL ve
2 K ,l L ,k kl KL
jX K , k q k  QK değerleri yerine yazılı©rsa
 0

(  ) 
1
1
TKL C KL  2 QK , K  0
2

(14)
eşitsizliği elde edilir.(14) eşitsizliğinde ,termodinamik prosesi karakterize eden
bağımsız hal değişkenleri olarak  , ,C KL yer alacaktır.Beklemekte olduğumuz tüm
neticelerin kaynağı bu son bulunan (14) eşitsizliği olacaktır.Ancak bu eşitsizliği
kullanabilmek için  nin maddesel türevinin alınıp, eşitsizlikte yerine konması
gerekir.Bunun için de 
fonksiyonunun hangi büyüklüklerin (hangi bağımsız
termodinamik değişkenlerin) fonksiyonu olduğu ve nasıl bir fonksiyon olduğunun
bilinmesi gerekir.  nasıl bir fonksiyon olursa olsun, yeterli süreklilik şartlarını
sağlaması halinde bir kuvvet serisiyle temsil edilebilmelidir.Bizim için şimdilik önemli
olan  nin nelere bağlı olduğudur.Bu da gözönüne alınan ortamın ,bünyesel ve
topolojik (fiber takviyesi nedeniyle) yönden termodinamik davranışı tarafından
belirlenir.
O
halde  nin bağımsız değişkenleri tespit edilmelidir.Bünye teorisi
aksiyomlarına göre  ;
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
Tekirdağ
144
   ( x, K ; ;, K ; AK ; BK ; X )
(15)
şeklinde olacaktır.
Fiber vektör alanlarının yönü keyfi seçilebildiğinden A ve
B nin yönleri aşağı yada yukarı doğru olabilir.Bunun için
de  nin bağımsız değişkenleri:
   ( x, K ; ;, K ; AK AL ; BK BL ; X )
(16)
AK AL  PKL , BK BL  SKL
   ( x, K ;;, K ; PKL ; SKL ; X )
(17)
(18)
şeklinde olur.
Cauchy'nin bir teoremine göre  nin tek değerli bir fonksiyon olabilmesi
için,  nin değişken vektörlerinin ikişer ikişer skaler ve üçer üçer karışık
çarpımlarına bağlı olması gerekir.Diğer taraftan ortam homojen, fiberler tarafımızdan
birbirine dik seçildiğinden ve ortamda ısı iletimi olmadığından, sonuçta  nin
bağımsız değişkenleriı aşağıdaki gibi belirlenir:
   ( CKL ;  ; PKL ; SKL )
(19)
 nin maddesel türevi alınıp (14) de yerine konursa ve eşitsizlik CKL , ,, K ya göre
düzenlenirse;

1


1
( TKL  2 0
) C KL  0 ( 
)  2 QK , K  0
2
CKL



(20)
eşitsizliği elde edilir.Buradaki bağımsız değişkenler:
C KL 


 
 , K 
şeklindedir.
(20) eşitsizliğinin , herhangi bir termodinamik proses için geçerli olması için,
bu büyüklüklerin katsayılarının sıfıra eşit olmaları gerekir.
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
1
2
QK  0,   0,


 0,

Tekirdağ
145
QK  0



(21)
TKL  2 0

 0,
C KL
TKL  2 0

E KL
   (C KL ; ; PKL ; S KL )
Böylece; ısı,entopi ve gerilme için elde edilen bünye denklemleri ,  nin
deformasyon ölçülerine (C KL , ... ) göre kısmi türevleri cinsinden elde edilmiş olur.
 bilinmediğine göre ,bu türevler nasıl alınır ve gerilme,entropi,.... de nasıl
hesaplanır?  yi belirlemek için ,ilk önce
  0 
(22)
şeklinde gerilme potansiyeli tanımlanır.Bu tanımdan sonra (örneğin) gerilme ,  nın
deformasyon ölçüsüne göre türevine eşit olacaktır.
  0 
TKL  2 0

 E KL
,

0
 

TKL  2

 E KL
(23)
 

,

  
   ( E KL ; ; PKL ; S KL )
1 
0 
,
   ( E KL ; ; PKL ; S KL )
 fonksiyonunun bağımsız değişkenlere ne şekilde bağlı olacağı bilinmediği
için fonksiyon Taylor Serisi ile temsil edilir ve E KL civarında seriye açılırsa gerilme
potansiyelinin türevi:
   ( E KL ; ; PKL ; S KL )
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
   (0; PKL ; S KL ; ) 

Tekirdağ
146
  (0; PKL ; S KL ; )
E KL
 E KL
1  2  (0; PKL ; S KL ; )
E KL E MN 
2
 E KL  E MN
.
(24)
Burada:
   (0; ; PKL ; S KL )   0
(25)
  (0; PKL ; S KL ; )
  KL ( P; S ; )
 E KL
(26)
1  2  (0; PKL ; S KL ; )
  KLMN ( P; S ; )
2
 E KL  E MN
.
şeklinde tanımlanırsa,  gerilme potansiyeli:
(27)
   0   KL E KL   KLMN E KL E MN ......
(28)
elde edilir.
Eğer; malzeme izotrop olsaydı,  KL ve  KLMN malzeme tansörleri biliniyor
demektir.
(örneğin:  KL ( P; S ;  )   ( P; S ;  ) KL şeklinde olacaktı).
Fakat malzeme tarafımızdan,fiber takviyeli, yapay anizotrop (fiber takviyesinden
dolayı) olarak imal edildiğine göre, izotrop değildir ve yukarıdaki ifade de geçersizdir.
Ancak ;  nın bağımsız değişken tansörlerinin tamlık bazlarının oluşturduğu
uzayda , izotrop olduğunu düşünmek süretiyle malzeme tansörlerinin (  KL ve  KLMN )
hangi formda olması gerektiği bulunabilir.Buna göre;
   0   KL E KL   KLMN E KL E MN ......
TKL  2

 E KL
=
2

 E KL
(29)
şeklinde olur.Türev alma işlemi gerçekleştirilirse:
(  0   KL E KL   KLMN E KL E MN )
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi

TRS  2  RS ( P; S ; )   RSMN ( P; S ; ) E MN
Tekirdağ
147

(30)
elde edilir.Burada
fonksiyonudur.
görülüyor
ki,
gerilme
tansörü
deformasyon tansörünün
TRS  TRS ( E )
(31)
=0
olduğunda:
E
TRS ( 0 )  2
(32)
dır.Bu da malzemenin öngerilmesiz olduğunu gösterir.
Böylece ;
TRS   RSMN E MN
(33)
 RS  0
  RS  0
eşit olur.Burada: TRS  TKL
 RSMN   KLMN ( P; S;  )
şeklinde yazılırsa gerilme tansörü;
TKL   KLMN ( P; S ;  ) E MN
(34)
şeklinde bulunur.
 KLMN tansörü 4. dereceden bir tansör olduğundan 81 tane bilinmeyeni
vardır.Ancak simetrik olduğundan dolayı bilinmeyenlerin sayısı 21'e düşer.
KLMN NİN ÖZEL FORMUNUN BULUNMASI:
 KLMN ( P; S ;  )
P
S
,
ve
T
( P   QPQ , S   QSQ , Q  Q ,det Q  1 ) şeklindeki dönüşümü
form-invaryant olabilmesi için ;"cebrik invaryantlar teorisi" ne göre :
T
T
1
in
altında
 KLMN ( P' ; S ' )  QKA QLB Q MC QND  ABCD ( P; S )
(35)
bağlantısını sağlaması gerekir.Bu bağlantıyı sağlayan  KLMN ( P; S ) fonksiyonunun
 K L M N( P' ; S ' )  QKA QLB Q MC QND  A B C D( P; S )
(36)
nin her iki tarafı  KLMN
 ( X  ) ile çarpılır.
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
Tekirdağ
148
 K L M N( P ' ; S ' )  QKA QLB Q MC QNDKLMN ( X )  A B C D( P; S )
 K L M N( X  )
(37)
Burada:
f ( P; S ;  ) 
 K L M N( X  )
 K L M N( P ' ; S ' )
(38)
f ( P; S ;  )   ABCD ( P; S ) ABCD ( X )
(39)
f ( P; S ;  )   ABCD ( P; S ) ABCD ( X )
f ( P; S ;  ) 
(40)
şeklinde tanımlanır ve aşağıdaki gibi türevi alınır.
 A B C D( P; S ) 
 f ( P; S ;  )
 ABCD
(41)
 ABCD nin simetrik bir tansör olması nedeniyle türevi aşağıdaki ifadeye eşittir.
 
 

1   f
f   f
f 
 ABCD ( P; S )   



6   ABCD BACD    ABCD  ABDC 

 



 
  f
f  
 


  ABCD CDAB  

 


(42)
Buradaki f skaler fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
N
f ( P; S ;  )   f
 1
( )
( J 1 , J 2 ,..., J N )K (  ) ( I 1 , I 2 ,..., I N )
(43)
f (  ) : P ve S invaryantlarının fonksiyonudur.
K (  ) :Hem P, S ,  nin invaryantlarının fonksiyonu hem de  ye göre lineerdir.
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi

1 N 
  f
 ABCD ( P; S ) 
6  1 

( )


 K (  )  K (  ) 

 f (  )



ABCD
CDAB









 KLMN ; K, L, M , N ye


( )
 K(  ) 
 K

 f
  ABCD
 BACD 


( )
Tekirdağ
149


( )
 K(  ) 
 K

  ABCD
 ABDC 


(44)
göre hem de KL, MN indis çiftine göre simetrik bir
tansördür.
 KLMN  J KL DMN şeklinde yazılırsa: 
 ABCD   ABCD ( P; S ; J ; D )
(45)
bağlı olur.
Bu dört tansörün bazı invaryantları aşağıda gösterilmiştir.
trP, trP 2 , trP 3
trS , trS 2 , trS 3
trJ , trJ 2 , trJ 3
trD, trD 2 , trD 3
trPS , trP 2 S , trPS 2 , trP 2 S 2
trSJ , trS 2 J , trSJ 2 , trS 2 J 2
trJD, trJ 2 D, trJD2 , trJ 2 D 2
trPJ , trP 2 J , trPJ 2 , trP 2 J 2
trSD, trS 2 D, trSD 2 , trS 2 D 2
trPD, trP 2 D, trPD2 , trP 2 D2
trPSJ , trPSD, trSJD, trJDP
trS 2 DJ , trP 2 DJ
trPSJD, trJDPS , trJPD2 P, trSJD2 P
trJDP 2 S 2 , trSPJDP 2 , trJSDPS 2
(46)
İnvaryantlardan bir kısmı sabit,bir kısmı sıfır,bir kısmı da yukarıdakiler
cinsinden ifade edilebilir.Bütün invaryantlar içinden  ye göre lineer olanları seçilip
f ( P; S ;  ) fonksiyonu bulunur ve
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
 ABCD ( P; S ) 
Tekirdağ
150
 f ( P; S ;  )
  ABCD
ifadesinde f fonksiyonu yerine konularak,malzeme tansörü  ABCD bulunur.Bulunan
 KLMN malzeme tansörü TKL   KLMN E MN
ifadesinde yerine konularak,gerilme
tansörü TKL bulunur.Daha sonra bu TKL ifadesi; t kl  j 1 x k , K xl , L TKL ifadesinde
yerine konularak gerilmenin uzaysal koordinatlarındaki bileşenleriyle deformasyon
ölçüleri, ( C , P , S ), arasındaki bağlantı bulunmuş olur.
Gerilme -deformasyon bağlantısı bu şekilde bulunduktan sonra ,deformasyonu
x  x( X ) şeklindeki uygun bir denklemde verilen kompozit bir cismin içinde oluşan
gerilme dağılımını bulma imkanı olacaktır.Bu arada bu tür kompozit malzemeden
yapılmış kiriş,plak,vs. gibi elemanların titreşim ve çökme problemlerini de inceleme
imkanı bulunacaktır.
KAYNAKLAR
1 , ERINGEN, A.C., Nonlinear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill Book
Company, Inc., New York, 1962.
2 , ERINGEN, A.C., Mechanics of Continua (genişletilmiş 2. baskı), Robert E.
Krieger Publishing Company, Inc., New York, 1980. I.baskı John Wiley
Sons
Inc., New York, 1967.
3 , ERINGEN, A.C., Deformation and Motion,Part I. Basic Principles, Continuum
Physics II. Continuum Mechanics of Single-Substance Bodies, Ed. A.C.
Eringen,
Academic Press, New York,1975.
4 , SPENCER, A.J.M., Theory of Invariants, Part III, Continuum Physics I, Ed.
.C.
Eringen, Academic Press, New York, 1971.
5 , SPENCER, A.J.M., Deformations of Fibre-reinforced Materials, Clarendon Press
Oxford, 1972.
6 , SPENCER, A.J.M., Continuum Mechanics, Longman Group Limited,
London,1980
7 , N.ÖNTÜRK, "İki fiber ailesi ile takviyeli Viskoelastik kompozit ortamlarda
bünye denklemlerinin modellenmesi", Doktora Tezi, Gazi Üniv., 1993.
Tarımsal Mekanizasyon 18. Ulusal Kongresi
Tekirdağ
8 , ŞUHUBİ, E.,"Sürekli Ortamlar Mekaniği, İ.T.Ü., Fen Edebiyat Fakültesi,
İstanbul,1994.
151