Çokgenler - Google Groups
advertisement
www.mustafayagci.com.tr, 2012 Geometri Notları U Mustafa YAĞCI, [email protected] Çokgenler Peki sizce şu an oldu mu? Bakalım: Tanıma göre ben A, B, C noktalarını aynı düzlemde alıp D noktasını bu düzlemin dışında alabilirim. Yani aşağıdaki de bir dörtgen midir? Yazımıza elbette çokgenin tanımıyla başlamamız gerekiyor ama tanımın neden öyle yapıldığını daha rahat kavrayabilmek için taa üçgenin tanımına gideceğiz. Hatırlayacağınız üzere üçgenin tanımı şuydu: A, B, C doğrudaş olmayan (aynı doğru üzerinde bulunmayan) üç nokta ise [AB], [BC] ve [CA] doğru parçalarının birleşimine ABC üçgeni denir. D A B A b c a B C Evet, bu tanıma göre dörtgendir ama şu an düzlem geometrisiyle uğraştığımızdan yani geometrik nesnelerin aynı düzleme ait olmalarını istediğimizden tanıma ‘’düzlemdeş’’ kelimesini de ekleyebiliriz. Yok eğer böyle bir derdimiz yoksa yani her türden dörtgeni masaya yatırmak istiyorsak yukardaki tanım bizi amacımıza ulaştıracaktır. Şimdi, madem üçgenler böyle tanımlanıyor, buradan kopya çekerek dörtgenleri tanımlayabilir miyiz? Bakalım: Üçgen tanımında kullandığımız A, B ve C harflerine D harfini de eklesek yeter mi acaba? Yani ‘A, B, C, D doğrudaş olmayan dört nokta ise [AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçalarının birleşimine ABCD dörtgeni denir’ desek hayal ettiğimiz şeyi anlatmış olur muyuz? Benzer şekilde her türlü beşgeni ‘A, B, C, D, E herhangi üçü doğrudaş olmayan beş nokta ise [AB], [BC], [CD], [DE] ve [EA] doğru parçalarının birleşimine ABCDE beşgeni denir.’ şeklinde tanımlayabiliriz. Şimdi size gerçekten doğrudaş olmayan A, B, C, D noktalarıyla bir dörtgen çiziyorum. Böylelikle altıgen, yedigen, sekizgen de tanımlanabilir. Bunların hepsine birden geometride çokgen denir. Eğer çokgende ilk alınan nokta sayısı n ise özel olarak n-gen dendiği de olur. n-geni tanımlarken A, B, C, D, E, … harflerini kullanmak sıkıntı doğurur. Çünkü n’inci harfi nasıl bulacağız? Bunun yerine noktaları A1, A2, A3, … , An olarak tanımlamak kaçınılmaz sonuç olacaktır. A B C C D Yukardaki çizim size nerede hata yaptığımızı anlatmış olmalı. Çünkü yukardaki şekil bir dörtgen değil, düpedüz üçgendir. Sorun B, C, D noktalarının doğrudaş olmasından kaynaklanmaktadır. (A, B, C), (A, B, D) veya (A, C, D) noktaları kendi aralarında doğrudaş olsalardı da aynı sorunla yüz yüze olacaktık. O halde hatamızı şöyle giderebiliriz: n-genin tanımı. A1, A2, A3, … , An herhangi üçü doğrudaş olmayan n farklı nokta olsun. [A1A2], [A2A3], [A3A4], … , [An-1An] ve [AnA1] doğru parçalarının birleşimine A1A2A3…An n-geni denir. A, B, C, D herhangi üçü doğrudaş olmayan dört nokta ise [AB], [BC], [CD] ve [DA] doğru parçalarının birleşimine ABCD dörtgeni denir. [A1A2] [A2A3] [A3A4] … [AnA1] = A1A2A3…An 7 Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr A1A2A3…An n-genini oluşturduğumuz bu A1, A2, A3, … , An noktalarına çokgenin köşeleri, bu doğru parçalarına çokgenin kenarları ve böylece oluşan A1A2A3, A2A3A4, A3A4A5,…, An-1AnA1 açılarına da çokgenin iç açıları, bu açıların bütünleyenlerine de çokgenin dış açıları denir. Çokgen A4 ‘’Ardışık köşe’’ kavramını kullanarak çokgenin kenarlarını şöyle de tanımlayabiliriz: Bir çokgenin ardışık köşelerini birleştiren doğru parçalarına çokgenin kenarları denir. Dışbükey (Konveks) Burada doğal olarak ardışık olmayan köşeleri birleştiren doğru parçalarına ne dendiği sorusu akla gelir. Söyleyelim, onlara da çokgenin köşegenleri denir. Üçgenin herhangi iki köşesi daima ardışık olduğundan, yani başka deyişle; üçgenin ardışık olmayan iki köşesi olmadığından, köşegeninin olmadığına dikkatinizi çekerim. A B C A A E B B C D F C B C İçbükey (Konkav) Yukardaki şekillerden ne demek istediğimizi daha rahat anlayabilirsiniz. Konveks ve konkav olmanın bu tanımı matematiksel olarak eksiksiz olsa da olaya yabancı birinin bu tanıma riayet ederek çokgenin cinsini anlaması vakit alabiliyor. Çünkü çokgensel bölgeye ait tüm nokta çiftlerinin belirttiği tüm doğru parçalarını incelemeye kalkanlar gördüm! Konkavlığı-konveksliği anlamak için şöyle bir metod önerebilirim: Çokgenin tanımına göre dönüp dolaşıp başlangıç noktasına gelmemiz gerekiyor. Buradan anlıyoruz ki, çokgenler kapalı şekillerdir. D Çokgenin Dış Bölgesi Eğer böyle çizilen bir doğru parçasının tek bir noktası bile dış bölgeye aitse o çokgene içbükey veya konkav denir. Köşeleri A1, A2, A3, … , An ile isimlendirilmiş bir çokgende A1 ile A2, A2 ile A3, genel olarak An−1 ile An köşe çiftlerine ardışık köşeler denir. A Çokgenin İç Bölgesi Bir çokgenin iç bölgesinde alınan rastgele iki noktayı birleştiren doğru parçasının tüm noktaları daima çokgensel bölgede kalıyorsa o çokgene dışbükey veya konveks denir. A2 A3 Çokgensel Bölge Çokgenin kendisi ile iç bölgesinin birleşimine de çokgensel bölge denir. (A1A2A3…An) ile gösterilir. A1 köşesi A1'e ait dış açı A1'e ait iç açı [A1 A2] kenarı A1 Çokgenler D Dışbükey (Konveks) E Çokgenler köşelerine göre okunup, kenar sayısına göre adlandırılırlar (ABC üçgeni, ABCD dörtgeni, ABCDE beşgeni, ABCDEF altıgeni gibi). İçbükey (Konkav) Bir çokgenin tüm köşegenleri çokgensel bölgeye aitse çokgen dışbükeydir, bir köşegeninin en az bir noktası dış bölgeye aitse çokgene içbükeydir. Çokgenler üzerinde bulundukları düzlemi, çokgenin iç bölgesi, çokgen ve çokgenin dış bölgesi diye adlandırılan üç ayrık kümeye ayırır. İç bölge çokgenin sınırladığı bölgedir. Çokgeni zaten tanımından biliyoruz. Dış bölge ise iç bölge ile çokgenin birleşiminde bulunmayan noktalar kümesidir. Yalnız bu metodla, üçgenin dışbükey mi içbükey mi olduğuna cevap veremezsiniz. Çünkü üçgenlerin köşegeni yok! Bunun için verilen tanımı kullanarak, tüm üçgenlerin konveks yani dışbükey olduklarını söyleyebiliriz. 8 Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Çokgenler Teorem. n kenarlı bir çokgende bir köşeden n – 3 tane farklı köşegen geçer. Teorem. Bir n-genin iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 2)180o dir. Kanıt: Çokgen dendiğine göre n ≥ 3 olduğunu anlamalıyız. Şimdi n tane nokta düşünelim. Herhangi üçü doğrusal olmasın. Bunun en iyi yolu (dışbükeyler için) noktaları çembersel düşünmektir. Kanıt: Bir köşeden çizilebilecek tüm köşegenlerin, çokgeni n – 2 tane üçgene ayırdığını söylemiştik. Bu üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamı çokgenin iç açıları ölçüleri toplamını verecektir. Dolayısıyla iç açıların ölçüleri toplamının (n – 2)180o olduğunu kanıtlamış olduk. Şimdi noktalardan herhangi birini seçin. O noktadan kendine, en yakın soldakine ve en yakın sağdakine çizilen doğru parçaları köşegen olmayacaktır. Anlayacağınız 1 noktadan 3 noktaya gidiş yasak, geriye kalan n – 3 noktaya ise gidiş serbesttir. Bu yüzden bir köşeden n – 3 tane köşegen geçer. İçbükeyler için benzer kanıtı da siz yapınız. Örnek. Bir ongenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? A) 1080 A E D Örnek olarak üstteki beşgeni ele alalım. Tanım gereği köşegen ardışık iki kenardan geçemez. Yani A köşesinden kendisine, B’ye ve E’ye çizilemez. Bu kuralın sanırım beşgen için değil tüm çokgenler için sağlanması gerektiği aşikar. Yani üç noktaya köşegen çizilemediğinden cevabımız n – 3. Kanıt: Bir n-genin n tane iç açısı, n tane de dış açısı vardır. Bunlar da n tane doğru açı yapar. n tane doğru açının toplamı 180n’dir. İç açıların ölçüleri toplamı (n – 2)180o yani 180on – 360o olduğuna göre dış açıların ölçüleri toplamı 360o olmalıdır. Örnek. Bir köşesinden geçen tüm köşegenler çizildiğinde 6 üçgene parçalanan konveks çokgen kaç kenarlıdır? C) 10 E) 1800 Teorem. Bir n-genin dış açılarının ölçüleri toplamı 360o dir. Bir köşeden çizilebilecek n – 3 köşegen de çizildiği zaman çokgen n – 2 tane üçgene ayrılır. B) 9 D) 1620 Görüldüğü üzere, bir n-genin iç açı ölçüleri toplamı n’ye bağlıdır. n arttıkça iç açıların ölçüleri toplamı da artmaktadır. İlginçtir ki, n kaç olursa olsun bir ngende dış açıların ölçüleri toplamı sabit bir sayıdır, n değiştikçe değişmez. Hemen bunu verip kanıtlayalım: Buradan şu sonucu da çıkarmak mümkün: Şekildeki iki köşegen beşgeni 3 üçgene ayırdığından bunu genelleyebiliriz: A) 8 C) 1440 Çözüm: Hemen formülümüzü uygulayalım. (10 – 2)180 = 1440 olarak bulunur. Doğru cevap: C. B C B) 1260 D) 11 E) 12 Örnek. Dışbükey bir çokgenin en çok kaç tane iç açısı dar olabilir? Çözüm: Yukardaki açıklamalarımızda, oluşan üçgen sayısının n – 2 olduğunu bulmuştuk. n – 2 = 6 olduğuna göre n = 8 olmalıdır. Doğru cevap: A. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) Sonsuz çoklukta Çözüm: Dar iç açı, geniş dış açı demektir. Dış açıların toplamı her çokgende 360 olduğundan bir çokgenin 3’ten fazla geniş dış açısı olamaz, zira olursa toplamı 360’ı geçer. Bu yüzden en çok 3 tane dar iç açıya sahip olabilir. Doğru cevap: C. Bir çokgenin köşegenlerle üçgenlere parçalanması, iç açı ölçüleri toplamını bulmamıza yarar. Çünkü üçgenlerin iç açı ölçüleri toplamı, çokgenin iç açı ölçüleri toplamını verir. 9 Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Çokgenler Örnek. İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının ölçüleri toplamının 10 katı olan çokgen kaç kenarlıdır? Örnek. İç açılarının ölçüleri toplamı 8 dik açı ölçüsünün toplamı olan bir çokgenin kaç köşegeni vardır? A) 15 A) 6 B) 16 C) 18 D) 22 E) 24 Çözüm: Dış açıların ölçüleri toplamı her çokgende 360 olduğundan, sorudaki çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 3600 olduğunu anlıyoruz. Yine formüle başvuralım: (n – 2)180 = 3600 (n – 2)180 = 20180 n – 2 = 20 olduğundan n = 22 bulunur. Doğru cevap: D. C) 8 D) 9 E) 10 Çözüm: 8 dik açı ölçüsünün toplamı 890 = 720 yapar. Bunu, iç açıların ölçüleri toplamına eşitleyerek kenar sayısını bulalım. (n – 2)180 = 720 = 4180 (n – 2)180 = 4180 n–2=4 n=6 Şu durumda çokgenin bir altıgen olduğu anlaşıldı. Köşegen sayısı formülünden cevabımız 6 (6 3) 9 2 olur. Doğru cevap: D. Şimdi de bir çokgenin toplam kaç köşegeni olduğunu hesaplamaya geldi sıra… Teorem. n kenarlı bir çokgenin B) 7 n( n 3) tane kö2 Örnek. Köşegen adediyle kenar adedinin toplamı 45 olan çokgen kaç kenarlıdır? şegeni vardır. A) 4 Kanıt 1: Herhangi üçü doğrusal olmayan düzlemdeş n farklı nokta alalım. Köşegenler doğru parçası olduğundan bu n tane noktanın kaç değişik doğru parçası belirtebileceğini bulacağız. n tane nokta en çok C(n, 2) tane doğru parçası belirtir. Fakat ardışık köşeleri simgeleyen iki noktanın belirttiği doğru parçaları köşegen değil kenar olduğundan köşegen sayısı C(n, 2) – n dir. Hesaplanırsa n(n 3) 2 bulunur. B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 Çözüm: Kenar adedine n dersek, köşegen adedinin n(n 3) olacağını bulmuştuk. O halde 2 n(n 3) n 45 2 n(n 3) 2n 90 n 2 n 90 0 (n 10)(n 9) 0 eşitliğinden ve n’nin negatif olamayacağını bildiğimizden n = 10 olarak bulunur. Doğru cevap: E. Bahis konusu çokgen olduğundan, n ≥ 3 olması gerektiğini biliyoruz. n = 3 için bu sayının 0 olduğuna dikkat ediniz. Yani üçgende köşegen möşegen yoktur! Yıldızıl. Konveks bir çokgenin kenarlarının uzatılması ile elde edilen şekle yıldızıl denir. Çokgenin köşe sayısı ile yıldızılın köşe sayısı eşittir. Kanıt 2: Bir köşeden n – 3 tane köşegen çizilebiliyorsa, n köşeden toplam n(n – 3) tane çizilebilir. Fakat burada her köşegen 2 kere sayılmış olur. Örneğin; A’dan çizilebileceklerin içinde A’dan B’ye gideni saymıştık ama B’den çizilebilenlerin içinde de B’den A’ya gideni bir daha saydık (sanki farklıymış gibi). Dolayısıyla bulduğumuz sayıyı ikiye bölmeliyiz. n(n – 3) çarpımının 2’ye bölümü köşegen sayısıdır. Yıldızıl Beşgen 10 Yıldızıl Altıgen Yıldızıl Yedigen Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Üst şekillerden de görüleceği üzere, yıldızıl bir çokgenin kenarları birbirlerini köşe dışında da kesmektedir. Yıldızıl bir n-gen daima n tane üçgen ve ortada konveks bir n-genden oluşur. ÇOKGEN ÇİZİMLERİ MY GEO 1 kitabında Üçgen Çizimleri başlığında bir üçgenin çizilebilme şartlarını incelemiştik. Çıkan sonuç şuydu: Şimdi bir yıldızıl çokgenin iç açı ölçüleri toplamının kaç olduğunu söyleyen bir teorem vereceğiz. Bir üçgenin belirlenebilmesi için en az 3 bilgiye ihtiyaç vardır. Bu üç bilginin en az 1 tanesi uzunluk, en fazla 2 tanesi açı ölçüsü olmalıydı. Bunun nedenini tekrar hatırlatalım. Bir üçgenin iç açı ölçüleri toplamı sabit ve 180 olduğundan herhangi iki iç açısının ölçüsü bilindiğinde üçüncüsünün verilmesine gerek yoktur, onu biz de bulabiliriz. Diğer yandan, illa bir uzunluk ölçüsü bilmeliyiz. Zira, verilen açı ölçülerinden üçgenin eşkenar üçgen olduğunu bulduk diyelim. Sonsuz farklı boyutta eşkenar üçgen çizilebileceğinden, herhangi bir uzunluk ölçüsü bilmeden istenen eşkenar üçgeni çizemeyiz. Teorem. n > 4 olmak şartıyla, n köşeli bir yıldızılın iç açılarının ölçüleri toplamı (n – 4)180o dir. Kanıt: Konveks bir n-gen çizip kenarlarını uzatıp alt şekildeki gibi bir yıldızıl n-gen elde edelim. Şimdi üçgen için yaptığımız yorumları dörtgen için yapalım. Dörtgenin de iç açı ölçüleri toplamı bellidir. O halde dört açı ölçüsünün verilmesine gerek yok, üçü bilinirse dördüncüsünü biz bulabiliriz. Demek ki en fazla üç açı ölçüsü verilmelidir. Peki üçgendeki gibi, tüm açı ölçüleri bilindiğinde sadece tek bir uzunluk ölçüsü dörtgeni bulmamıza yeter mi? Buna cevabımız: Hayır! Taralı olan üçgenlerin iç açılarının ölçüleri toplamının (T olsun), yıldızın köşe açılarının ölçüleri toplamı (Y olsun) ve ortadaki taranmamış çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamının 2 katı (2360o) ile oluştuğuna dikkat edersek; T = Y + 2360o o olur. T = n180 olduğundan Y = n180o – 2360o = (n – 4)180o olduğu kanıtlanmış olur. Örnek. ACEBD bir yıldızıl beşgen olduğuna göre şekilde x, y, z, m, n ile belirtilen ölçülerin toplamı kaç derecedir? A) 360 B) 450 Sözgelimi ABCD dörtgeninin A, B, C, D iç açılarının ölçüleri sırasıyla 90, 120, 30, 120 olsun. Herhangi bir kenar uzunluğunu da biliyor olalım, sözgelimi |AB| = 4 br olsun. Bakalım dörtgeni inşa edebilecek miyiz? A x B n y Çokgenler C E z C) 540 30o D D) 720 30 C m C o D E) 900 D 120o o 120 o o 120 A Çözüm: Ölçüleri x, y, z, m, n olan açıların köşelerine sırasıyla X, Y, Z, M, N diyelim. XYZMN beşgeninin iç A açılarının ölçülerinin x n de ters açılar gereği E B x n x, y, z, m, n olduğunu m y y z m fark ediniz. O halde z beşgenin iç açılarının C D ölçüleri toplamından cevap (5 – 2)180 = 540º bulunur. Doğru cevap: C. 4 B 120 A 4 B Üst şekillerden de görüldüğü üzere, aynı verilere sahip iki farklı ABCD dörtgeni çizilebilmektedir. Yani bu veriler belli bir dörtgeni işaret etmemektedir. Halbuki, sözgelimi |AD| değeri verilseydi, tek bir tane ABCD dörtgeni belirecekti. |AD| yerine |BC| veya |CD| de olabilirdi tabii ki… Demek ki bir dörtgenin belirlenebilmesi için en az 2 uzunluk ölçüsüne ihtiyaç vardır. 11 Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr Bir de beşgene göz atalım: Bir beşgenin de, diğer tüm çokgenler gibi iç açı ölçüleri toplamı bilinmektedir. Bu yüzden en fazla 4 tane açı ölçüsü bize yeter. Bizi bekleyen soruyu tahmin etmişsinizdir: En az kaç tane uzunluk ölçüsü verilmelidir? Örnek. Bir yedigenin belirlenebilmesi için en az kaç uzunluk veya açı ölçüsü bilgisine gerek vardır? A) 7 D D E o E o A o a C) 9 D) 11 E) 13 Örnek. Bir sekizgenin belirlenebilmesi için gereken en fazla açı ölçüsü bilgisi sayısı a, en az uzunluk ölçüsü bilgisi sayısı b olduğuna göre 3a + 2b toplamı kaçtır? c c o B) 8 Çözüm: Bir n-genin belirlenebilmesi için yeter sayının en az 2n – 3 olduğunu bulmuştuk. O halde bir yedigenin belirli olabilmesi için en az 27 – 3 = 11 bilgiye ihtiyaç vardır. Doğru cevap: D. Tüm açı ölçüleri belli ama sadece iki kenar uzunluğu belli olan beşgen belli midir, ona bakalım: o Çokgenler C b A) 37 B B) 35 C) 33 D) 31 E) 29 Çözüm: Bir n-genin belirlenebilmesi için gereken en az 2n – 3 bilginin, en fazla n – 1 tanesinin açı ölçüsü, en az n – 2 tanesinin uzunluk ölçüsü olması gerektiğini söylemiştik. O halde sekizgen için a = 7 ve b = 6 olur. O halde 3a + 2b = 37 + 26 = 33 olarak bulunur. Doğru cevap: C. Yukardaki şekilden de görüldüğü üzere, c kenarı belli olmadığında aynı verilere sahip iki farklı ABCDE beşgeni çizilebilmektedir. İki beşgende de iç açı ölçüleri aynı olup iki kenar uzunluğunun da aynı olduğuna dikkat ediniz. Demek ki; bir beşgenin belirlenebilmesi için en az 3 uzunluk ölçüsüne ihtiyaç vardır. Örnek. Belli olabilmesi için biri diğerinden elde edilemeyen 15 bilgiye ihtiyaç duyulan çokgenin toplam köşegen sayısı kaçtır? Şimdi buradan bir genelleme yapacağız. 3-gen, 4gen ve 5-genin belirlenebilmesi için sırasıyla en fazla 2, 3 ve 4 açı ölçüsüne ihtiyaç duyulmuştu, o halde n-genin belirlenebilmesinde de en fazla n – 1 tane açı ölçüsü lazımdır. A) 14 B) 20 C) 27 D) 35 E) 44 Çözüm: Hemen 2n – 3 = 15 diyerek çokgenin 9 kenarlı olduğunu bulalım. Toplam köşegen sayısı n(n 3) formülü de olduğundan, cevabımız 27 2 olmalıdır. Doğru cevap: C. Diğer yandan, 3-gen, 4-gen ve 5-genin belirlenebilmesi için sırasıyla en az 1, 2 ve 3 uzunluk ölçüsü verilmeliydi, o halde n-genin belirlenebilmesi için de en az n – 2 tane uzunluk ölçüsü verilmelidir. Şu durumda denebilir ki; Örnek. En az 10 tane uzunluk ölçüsüyle belli olabilen bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç dik açı ölçüsüne bedeldir? bir n-genin belirlenebilmesi için en fazla n – 1 tanesi açı ölçüsü ve en az n – 2 tanesi uzunluk ölçüsü olmak üzere en az 2n – 3 tane bilgiye ihtiyaç vardır. A) 40 Son kullandığımız en az cümlesi, verilen bilgilerin birbirinden bağımsız olup olmadığının bilinmediğindendir. Demek istediği şu ki, verilen birkaç bilgiden bir diğer bilgi zaten çıkarılıyorsa fazla bilgi verilmiş demektir. Bu da çizim için yeterli olmayacaktır. Yani, verilen herhangi bir bilgi, eldeki diğer bilgilerden elde edilemiyorsa 2n – 3 tane bağımsız bilgi n-geni çizmeye, çizemesek de varlığına delil olmaya yeterdir. B) 29 C) 24 D) 22 E) 20 Çözüm: Bir n-genin belirlenebilmesi için gereken bilgilerden en az n – 2 tanesi uzunluk ölçüsü bilinmeliydi. Demek ki n = 12. Diğer yandan bir n-genin iç açı ölçüleri toplamı da n – 2 tane 180, diğer deyişle 2n – 4 tane 90 olduğundan sorumuzun cevabı 212 – 4 = 20 olmalıdır. Doğru cevap: E. 12 Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr 1. 20 kenarlı bir çokgenin kaç köşesi vardır? A) 10 B) 19 C) 20 D) 21 E) 40 2. 20 köşesi olan bir çokgen kaç kenarlıdır? A) 19 B) 20 C) 21 D) 40 E) 41 3. Bir yirmigenin herhangi bir köşesinden kaç köşegen geçer? A) 10 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 4. Bir yirmigenin tek bir köşesinden geçen tüm köşegenler çizilirse, yirmigen kaç üçgene parçalanmış olur? A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20 5. Bir yirmigenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? A) 3960 B) 3780 C) 3600 D) 3420 E) 3240 6. Bir yirmigenin dış açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? A) 180 B) 360 C) 3240 D) 3420 E) 3600 7. İç açılarının ölçüleri toplamı dış açılarının ölçüleri toplamının 2 katı olan çokgen kaç kenarlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 13 Çokgenler Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr 8. İç açılarının ölçüleri toplamı 20 tane dik açı ölçüsü olan çokgenin kaç kenarı vardır? A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 9. Aşağıdakilerden hangisi n kenarlı bir çokgenin köşegen sayısına eşittir? n A) 2 n C) 1 2 2n B) 2 n D) n 2 n E) n 2 10. Köşegen sayısı kenar sayısına eşit olan çokgen kaç kenarlıdır? A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 11. Köşegen sayısı, kenar sayısının 3 katı olan çokgenin toplam kaç köşegeni vardır? A) 54 B) 44 C) 35 D) 27 E) 20 12. Köşegen sayısı, kenar sayısından 12 fazla olan çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? A) 360 B) 540 C) 720 D) 900 E) 1080 13. Aşağıdaki ifadelerden hangisi bir n-genin köşegen sayısının kenar sayısına oranını verir? B) n2− 3n A) n − 3 D) n3 2 C) E) n3 2 n2 3 2n 14 Çokgenler Mustafa YAĞCI www.mustafayagci.com.tr 14. Köşegen sayısıyla kenar sayısının toplamı 28 olan çokgen kaç kenarlıdır? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 15. Bir konveks çokgenin iç açılarından en çok kaç tanesi dar olabilir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 16. Bir yıldızıl altıgenin köşe açılarının toplamı kaç derecedir? A) 360 B) 540 C) 720 D) 900 E) 1080 17. Köşe açılarının toplamı 7 doğru açı ölçüsünün toplamına eşit olan yıldızıl çokgen kaç köşelidir? A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13 18. Bir beşgenin çizilebilmesi için en az kaç uzunluk veya açı ölçüsü bilgisine ihtiyaç vardır? A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9 19. Çizilebilmesi için 21 bağımsız bilgiye gerek duyulan çokgenin kaç köşegeni vardır? A) 20 B) 27 C) 35 D) 44 E) 54 20. Bir yirmigenin çizilebilmesi için gereken bilgilerden en az kaç tanesi uzunluk ölçüsü olmalıdır? A) 18 B) 19 C) 20 D) 35 E) 37 15 Çokgenler
