Kuyruk Teorisi - Ankara Üniversitesi Açık Ders Malzemeleri

Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Kuyruk Teorisi
Bölüm 1: Temel Kavramlar
KONU 8
Kuyruk Teorisi’nin Bileşenleri
Varışlar:
Müşteriler sisteme belirli bir varış yapısında girerler
Kuyrukta Bekleme :
Müşteriler sırada veya sıralarda hizmet almak için
beklerler
Hizmet :
Mülşterilerin hizmeti alması ve müteakiben sistemi
terk etmeleri gereklidir
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
2
1
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
İşletmelerde Kuyruk Sistemi
Hizmeti alanlar sistemi
terk eder
Müşterilerin Varışı
Hizmet
Sunucu
Mülteri
Müşteriler sırada bekler
Hizmet
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
3
Varış Süreci
1. Deterministik Varış Süreci
2. Rassal Varış Süreci
Poison Dağılımı
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
4
2
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Poison Dağılımına Bağlı Olan Varışlar için Koşullar
Düzenlilik – Müşteri hizmet imkanından heran
faydalanabilir
Durağanlık– Bekleme hattı her müşteri için aynı
zaman ve uzuluktadır, durağandır
Bağımsızlık
ğ
– Müşteriler
ş
birbirinden bağımsız
ğ
olarak
sisteme giriş yaparlar
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
5
Poison Dağılıma Bağlı Varışlar
t süresinde k
varışın olma
olasılığı
(t ) k e  t
P( X  k ) 
k!
 = birim zamanda ortalama varış hızı
t = zaman
e = 2.7182818
k! = k (k-1) (k-2) (k-3) . . . (3) (2) (1)
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
6
3
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi
Müşteriler Poison dağılıma uygun varış yapmaktadır.
Salı 8:00-9:00 = 6 müşteri (ortalama) ise;
8:00-8:30 Saatleri arasında varış yapma olasılığı
nedir ?
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
7
Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi
 = 6 müşteri varışı / saat
t = 30 dk. = 0.5 saat
 t = 6(0.5) = 3 müşteri
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
8
4
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi
(t ) k e  t
P( X  k ) 
k!
P(X=0) = 30 e-3 / 0! = e-3 = 0.049787
P(X=1) = 31 e-3 / 1! = 3e-3 = 0.149361
P(X=2) = 32 e-3 / 2! = 9e-3/2 = 0.224042
P(X=3) = 33 e-3 / 3! = 27e-3/6 = 0.224042
P(X=4) = 34 e-3 / 4! = 81e-3 /24= 0.168031
1 - 0.049787
0 049787 - 0.149361
0 149361 = 0.800852
0 800852 (~80.1
( 80 1 %)
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
9
Bekleme Hattı
Hat şekli (bir tane uzun bekleme hattı veya birkaç tane kısa hat)
A
B
C
D
Hizmet
sunucu
Müşteriler
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
10
5
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Bekleme Hattı
Kuyruk Atlama (Müşteriler arası kuyruk atlama yapısı)
Sunucu A
Sunucu B
Sunucu A
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
Sunucu B
11
Bekleme Hattı
Katılmama (kuyruk yeterince uzun olduğunda müşterinin hatta girmekten
vazgeçmesi)
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
12
6
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Bekleme Hattı
Öncelik (müşterilerin hizmet görme sıraları farklılık gösterebilir)
İlk gelene, hizmet ilk olarak verilir (FCFS)
Son gelene, hizmet en son verilir (LCFS)
Rassal gelen, hizmeti rassal olarak alır
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
13
Bekleme Hattı
Atlamalı Bekleme Hatları (ikinci bir hat gerekli olduğunda kullanılır, araç
muayene istasyonları)
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
14
7
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Bekleme Hattı
Homojen sıralar (Tüm müşteriler aynı seviyede hizmet ihtiyacındadır)
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
15
Hizmet Süreci
1. Deterministik Hizmet Süreci
2.Rassal Hizmet Süreci
Üssel Olasılık Dağılımı
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
16
8
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Üssel Hizmet Dağılımının Süreye Bağlılığı
f ( X )  e  X
 = ortalama servis hızı (birim zamanda hizmet
sunulabilen ortalama müşteri sayısı)
1 /  = ortalama servis zamanı
“t” süresinde
hizmetin
tamamlanma olasılığı
P ( X  t )  1  e  t
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
17
Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi
Hizmet süresi = 4 dk.
Üssel dağılım
Servis zamanının < 3 dk.’dan kısa olma olasılığı ?
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
18
9
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek - Bilgisayar Donanım Problemi
Ortalama servis zamanı = 1/ = 4 dk.
Ortalama servis hızı =  = 1/4 müşteri / dakika
Bir hizmetin 3 dk.’dan kısa verilme olasılığı ;
3 dk.’yı saate çeriverelim, 3/60 = 0.05 saat
(
) = 1 - e-15 x 0.05 = 1 - e-0.75
P(X<0.05)
= 1- 0.47237 = 0.52763
P( X  t )  1  e t
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
19
Modeldeki Formüllerin Özeti
Varışlar
Arrivals
Arrival
rate = Average
Varış hızı
number of arrivals per
unit
it ti
time
“t” sürede “k” varışını
olma olasılığı
Probability of k arrivals
in t time
Varışlar arasındaki
Average
between
ortalamatime
zaman
arrivals
Herhangi bir varışın “t”
süre.inde gerçekleşme
Probability
that an arrival
olasılığı
will
occur within t time
Probability
that the
Müteakip varışın
“t” next
zamanı
içinde
arrival
will
not occur
oluşmama
within
t timeolasılığı
Hizmet

(t ) k e  t
k!
1/ 
1  e  t
e  t
Services
Service
rate
=
Average
Hizmet hızı
number of services per
unit
it ti
time
“t” sürede “k” hizmetin
verilme olasılığı
Probability
of k services
in t time
Ortalama hizmet
zamanı
Avergae service time
Probability
service
Hizmetin “t”that
süresinde
will
be completed
within
tamamlanma
olasılığı
t time
Servis süresinin “t”
Probability
service
süresindenthat
büyük
olma
time
will be grater than t
olasılığı
time
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

( t ) k e  t
k!
1/ 
1  e  t
e  t
20
10
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Kesikli ve Sabit Durum Süreleri
Kesikli Süreç :Başlangıçtaki kesikli sistem yapısı uzun vadede
sistemi temsil edememektedir.
Sabit Süreç :Uzun vadeli olasılıklar durağan bir hal sürecinde
gerçekleşmektedir. Diğer ifadeyle, sistemde “n” müşteri bulunma
olasılığı zamana karşı uzun vadede sabittir.
# (müşteri sayısı)
zaman
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
21
Durağan Hale Ulaşmak için Bazı Gereklilikler
Sistem
Gereklilik
Tekli hizmet sunucu
k sunucu, farklı hizmet hızları
k sunucu, aynı hizmet hızı
<
 <   k
<k
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
22
11
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Durağan Hal Performans Ölçütleri
P0: Sistemde müşteri olmama olasılığı
Pn: sistemde “n” müşteri olma olasılığı
L: Sistemdeki ortalama müşteri sayısı
Lq: Sıradaki ortalama müşteri sayısı
W: Sistemde bir müşteri tarafından harcanan ortalama zaman
ş
tarafından harcanan ortalama zaman
Wq: Sırada bir müşteri
Pw: Varış yapan müşterin hizmet almak için bekleme olasılığı
 : Hizmet hattının kullanım hızı (hatların meşguliyet oranı, %)
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
23
Little Modeli
Kuyruk teroisi kapsamındaki
arasında
karşılıklı
ilişkileri
çözümlemek mümkündür.
performans kriterleri
“Little”
formülleriyle
L=W
Lq =  Wq
L = Lq +  
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
24
12
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Kuyruk Sistemlerinin Gösterimi
Varış Süreci / Hizmet Süreci/ Sunucu Sayısı
M Markoviyan
D Deterministik
G Genel
M/D/5
M / D / 5 / 10 / 20
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
25
M / M / 1 Kuyruk Sistemi
Özellikler
Gelişler Poison dağılımdadır
Hizmet süresi Üssel dağılım sergiler
Tekli hizmet sunucu vardır
K
Kuyruk
k potansiyel
t
i l olarak
l k sonsuz uzunluktadır
l kt d
Gelen müşteri sayısı sonsuzdur
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
26
13
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Performans Ölçütleri
P0 = 1- ( / )
Pn = [1 - ( / )] ( / )n
L =  / ( - )
Lq =  2 / [( - )]
W = 1 / ( - )
Wq =  / [( - )]
Pw =  / 
 =/
Bir müşterinin, sistemde “t” süresinden fazla
bekleme olasılığı ;
P(X>t)=
e-( )t
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
27
Örnek – Ayakkabı Şirketi
Müşteriler, 12 dakikada bir ortalama hızda ve
posion
i
d ğl
dağılıma
uygun olarak
l k varış yapmaktadır.
kt d
Servis hızı ortalama 8 dk. / müşteri
Şirket yönetimi; bu hizmet için performans
düzeyinin belirlenmesini istemektedir.
istemektedir
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
28
14
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek – Ayakkabı Şirketi - Çözüm
Veriler
 = 1/ 12 müşteri / dk. = 60/ 12 = 5 müşteri/saat
= 1/ 8 müşteri / dk. = 60/ 8 = 7.5 müşteri/saat
Performans Hesaplamaları
P0 = 1- () = 1 - (5 / 7.5) = 0.3333
Pn = [1 - = (0.3333)(0.6667)n
L =  / ( ) = 2
Lq = 2/ [  = 1.3333
W = 1 / (
( ) = 0.4 saat = 24 dk.
Wq = l / [ )] = 0.26667 saat = 16 dk.
Pw =  / = 0.6667
=  = 0.6667
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
29
Kuyruk Teorisi
Bölüm 2 : Modeller
15
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
M / M / k kuyruk Sistemi
Özellikler
Gelişler Poison dağılımdadır
Hizmet süresi Üssel dağılım sergiler
“k” tane sunucu vardır ve bunların müşteri hizmet
hızı “ “ ‘dır
Kuyruk potansiyel olarak sonsuz uzunluktadır
Gelen müşteri sayısı sonsuzdur
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
31
Performans Ölçütleri
P0 
1
1   




n0 n ! 
k1
Pn 
Pn 
n
k
1     k 

 


k !     k   
  
 
n!
 


 
k !k n k
n
P0
for n  k.
P0
for n > k.
n
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
32
16
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
k
W
   
 
Performans Ölçütleri
P 
2 0
k  1 !k
1

Little Formülünden; diğer performans ölçütleri olan
L, Lq, Wq, hesaplanabilmektedir.
1    k  k 
 
Pw  
 P0
k !     k   

Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ

k
33
Örnek – Posta Ofisi
Postane cumartesileri 9:00 ile 13:00 saatleri arasında açık
kalmaktadır.
Veriler
- Bu
B sürede,
ü d sisteme
i t
ortalama
t l
olarak
l k 100 müşteri
ü t i gelmekte
l kt
ve bu kişilere 3 adet personel hizmet vermektedir.
- Varışlar Poison dağılımına, hizmet süreleri ise Üssel
dağılıma uygun olmaktadır.
Postane Yöneticisi aşağıdaki
ş ğ
hususları öğrenmek
ğ
istemektedir ;
- Mevcut hizmetin seviyesinin değerlendirilmesi
- Tek personele düşüldüğü takdirde bu durumun hiztmete
olan etkileri
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
34
17
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek – Posta Ofisi - Çözüm
Problemdeki veriler incelendiğinde sistemin M / M / 3 kuyruk
sistemi olduğu anlaşılmatadır.
Veriler
  100 müşteri / saat
  40 müşteri / saat (60 / 1.5)
Durağan durum var mıdır  ( < k 
  100 < k  (40) = 120
“Durağanlık söz konusudur”
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
35
M / G / 1 kuyruk Sistemi
Özellikler
Müşteriler Poisson dağılıma uygun olarak ve
 ortalama
debisinde varış yapmaktadır.
Hizmet süresi ortalama hizmet hızı  olan genel dağılım
sergilemektedir.
Tekli hizmet sunucu mevcuttur.
mevcuttur
Kuyruk potansiyel olarak sonsuz uzunluktadır
Gelen müşteri sayısı sonsuzdur
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
36
18
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
L için Pollaczek – Khintchine Formülü
  
2
L 
   
 
2  1   


2



Dağılımın yalnızca ortalaması ve standart sapması
belirli ise yukarıdaki formül kuyruk uzunluğunun
tespitinde kullanılabilmektedir.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
37
Örnek – TV Tamir Şirketi
Veriler
Bir Tv veya setin tamiri ortalama 2.25
2 25 saattir.
saattir
Tamir süresinin standart sapması 45 dk.’dır.
Müşteriler Poison dağılım ile varış yaparlar, ortalama varış hızı
2.5 müşteri / saat’tir.
Tek çalışan günde 9 saat çalışmaktadır.
Yeni alınacak tamir ekipmanı ile; yeni tamir süresinin 2 saat,
standart sapmasının ise 40 dk.’ya düşmesi beklenmektedir.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
38
19
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek – TV Tamir Şirketi
İstenenler:
1)Tamirat için bekleyen ortalama set miktarı
2) Bir müşterinin ortalama bekleme süresi
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
39
Örnek – TV Tamir Şirketi - Çözüm
Bu verilerden sistemin M / G / 1 olduğu anlaşılmaktadır.
Veriler
Mevcut sistem (yeni ekipman olmadan)
 = 1/ 2.5 = 0.4 müşteri / saat
 = 1/ 2.25 = 0.4444 müşteri / saat
 = 45/ 60 = 0.75 saat
Yeni sistem (yeni ekipman oluduğu takdirde)
 = 1/2 = 0.5 müşteri / saat
 = 40/ 60 = 0.6667 saat
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
40
20
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Kuyruk Teorisi
Bölüm 3 : Ekonomik Analiz
Kuyruk Sistemlerinin Ekonomik Analizi
Servis Sistemlerinde Maliyetler

Servis süreci yatırım maliyeti

Sistemin İşletim maliyeti
İşletim Maliyeti = Bekleme Maliyeti + Servis Maliyeti
Bekleme Maliyeti = f (Servis debisi, Geliş debisi)
Servis Maliyeti = h (Servis debisi)
Maliyetler
Toplam Maliyet (TM)
Hizmet Maliyeti (C2)
Bekleme Maliyeti (C1)
Servis Debisi
Hizmet Seviyesi
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
42
21
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Optimal Hizmet Hızı
TM
Maliyeti
Rassal Değişken ise; TM = Bekleme Maliyeti + Servis
B (TM) = C1


+ C2 μ
C1
μ * = λ + C2
μ * = Servis hızının optimum değeri
λ = Ortalama varış hızı
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
43
Optimal Hizmet Hızı
Örnek:
Bir depoya araçların gelişi Poison olup, saatte ortalama 10
araç gelmektedir.
6 kişilik bir boşaltım ekibi bir aracı ortalama 5 dakikada
boşaltabilmektedir.
Boşaltım süresinin üssel dağılım sergilemektedir.
Bir aracın bir saat bekleme maliyeti 25.000 birimdir.
Ekipteki kişilere saat başı 5.000 birim ödenmektedir. Bu
veriler ışığında, en iyi ekip sayısını bulunuz.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
44
22
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Optimal Hizmet Süresi
λ = 10 araç/saat
C1 = 25.000 birim
C2 = ?
C2 = 6 x 5.000
5 000 / 12 = 2.500
2 500 birim
bi i
x : Ekipteki kişi sayısı (ortalama debiden bulunacaktır)
1 saatte 6 kişi 12 araç
1 saatte x kişi μx araç (lineer ilişki olsun)
μx = 12x / 6 = 2x
μ*x = 20 araç / saat (formülden bulunur)
20 = 2x ise; x= 10 kişilik ekip
Not: μx kesikli değişken ise, farklı μx’ler bulunarak en düşük
toplam maliyetlisi seçilir.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
45
Kuyruk Sistemlerinin Ekonomik Analizi
Daha
önceki
bölümlerde
açıkladığımız
performans
ölçütlerinin tanıtılmasındaki temel amaç, söz konusu
ölçütlerin “minimal maliyetli” kuyruk sistemlerinin
geliştirilebilmesidir.
Bu kapsamda, aşağıda sunulan maliyetlerin tahmini
gerekmektedir :
Sunucu başına saatlik maliyet
Müşterinin bekletilmesine yönelik maliyet (şerefiye)
Müşteriye bekleme hattında hizmet sunulmasının
maliyeti
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
46
23
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Örnek – Gıda Şirketinin Müşteri Hattı
Bir gıda şirketi, müşterilerinin sorularına cevap verebilmek için 800
numaradan hizmet vermektedir.
Veriler
Saatte ortalama 225 çağrı alınmaktadır.
Her görüşme ortalama 1.5 dk. sürmektedir.
Müşterinin hatta bekleme süresi 3 dk.’dır.
Müşteri hizmetleri temsilcisi saatte 16 $ kazanmaktadır.
Gıda şirketi, telefon operatörüne müşteriler hatta kaldığında veya
hizmet verildiğinde dakkada 0.18 $ ödemektedir.
Mü t i i hatta
Müşterinin
h tt kalmasının
k l
maliyeti
li ti 0.2
0 2 $/dk.’dır.
$/dk ’d
Müşterilere hizmet sunulmasının maliyeti 0.05 $/dk.’dır
Bu kapsamda, saatlik faaliyet maliyetini minimize edebilmek için Gıda
Şirketi’nin kaç adet müşteri hizmetleri temsilcisi istihdam etmesi
gerektiğini bulunuz.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
47
Çözüm - Toplam Maliyet Modeli
“k” adet müşteri
temsilcisi istihdam
etmenin saatlik
toplam ortalama
maliyeti
Saatlik toplam
ortalama telefon
gideri
Hizmet sunulan
müşterilerin saatlik
ortalama şerefiye
maliyeti
TC(k) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)
Toplam
p
saatlik maaşş
Beklemedeki
müşterilerin
ortalama saatlik
şerefiye maliyeti
TC(k) = Cwk + (Ct + gs) L + (gw – gs) Lq
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
48
24
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Çözüm - Toplam Maliyet Modeli
Veriler
Cw= $16
Ct = $10.80 /saat
gw= $12 /saat
gs = $0.05 /saat
[0.18(60)]
[0.20(60)]
[0.05(60)]
Toplam Saat Başı Ortalama Maliyet :
TC(k) = 16k + (10.8+3)L + (12 - 3)Lq
= 16k + 13.8L + 9Lq
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
49
Çözüm - Toplam Maliyet Modeli
Gelişlerin Poisson, servis zamanının ise Üssel dağılım
sergilediği varsayılırsa, M / M / k kuyruk sistemi üzerinden
gerekli hesaplamalar yapılabilir.
 = 225 çağrı /saat
 = 40 / saat (60 / 1.5)
Durağan durumun oluşması için ( < k mümkün olan
minimal k değeri 6 olacaktır.
L, Lq, and Wq parametreleri için gerekli işlemler yapıldığında
aşağıdaki sonuçlara ulaşılmaktadır.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
50
25
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Değişik Müşteri Sayılarının Maliyete Etkisi
k = 6, 7, 8, 9, 10 için hesaplamalar yapılamalıdır.
k
6
7
8
9
10
L
18.1249
7.6437
6.2777
5.8661
5.7166
Lq
12.5
2.0187
0.6527
0.2411
0.916
Wq
0.05556
0.00897
0.0029
0.00107
0.00041
TC(k)
458.62
235.62
220.50
227.12
239.70
Sonuç : bu veriler ışığında 8 adet müşteri
temsilcisinin istihdamı önerilebilir.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
51
Atlamalı Kuyruk Sistemleri
Atlamalı kuyruk sisteminde, müşteri belirli bir hizmet
sunucusunda hizmetini temin ettikten sonra diğer
ğ sunucuları
da ziyaret etmektedir.
Müşterilerin Poison dağılımına uygun olarak varış yaptıkları
ve sunulan hizmetin zamanının ise üssel dağılım sergilediği
dikkate alındığında;
Sistemdeki
Toplam Ortalama
Zaman
=
Her Sunucu
İstasyonundaki
Ortalama Hizmet
Sürelerinin Toplamı
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
52
26
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Ödev 8 – Müzik Aletleri Satıcısı Bölüm - 1
Müzik ekipmanları satışı gerçekleştiren bir şirketin satış süreci
aşağıdaki gibidir :
- Müşteriler siparişlerini satış temsilcisi kanalıyla vermektedir.
- Müşteri daha sonra kasaya giderek siparişinin ödemesini gerçekleştirir.
- Ödemeyi müteakiben,
müteakiben müşteri ürünü alabilmek için teslimat masasına
yönlendirilmektedir.
Normal bir Cumartesi günü için veriler:
a) Personel:
8 satış görevlisi, 3 kasiyer, 2 işçi teslimat alanında görevlidir.
b) Ortalama Hizmet Süreleri :
Satış
S
t görevlisinin
ö li i i bir
bi müşteri
ü t i için
i i beklediği
b kl diği ortalama
t l
süre
ü 10 dk.
dk
Ödeme süreci için gereken ortalama süre 3 dk.
Teslimat işlemi için gereken ortalama süre 2 dk.
c) İstatistiksel Dağılımlar :
Tüm hizmet birimlerinde hizmet süreleri Üssel dağılım sergiler
Müşterilerin sisteme varışları
Poison
dağılımda olup, varış hızı 53
40
Y. Doç. Fazıl
GÖKGÖZ
müşteri/saat’tir.
Ödev 8 – Müzik Aletleri Satıcısı Bölüm - 1
Varış yapan müşterilerin %75’i satın alma gerçekleştirilyor ise;
1) Verileri dikkate alarak soruya uygun olan kuyruk sisteminin
türünü belirleyiniz.
2) Müzik aletleri satış merkezinde bir müşterinin satın alma işlemi
için harcadığı ortalama süreyi bulunuz.
3) Hizmet istasyonlarına ilişkin akım şemasını çiziniz ve ilgili kuyruk
sitemi notasyonlarını da belirterek tüm sonuçlarınızı gösteriniz.
Bu kapsamda gerekli açıklama ve yorumları yapınız.
Teslim Tarihi : 24 Mayıs 2006
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
54
27
Y.Doç.Dr. Fazıl GÖKGÖZ
11.05.2009
Ödev 8 – Bölüm - 2
B (TM) = C1
μ*= λ+


C1
C2
+ C2 μ
(Eşitlik 1)
(Eşitlik 2)
Toplam
p
maliyet
y fonksiyonu
y
((Eşitlik
ş
1)) dikkate alarak,, optimal
p
hizmet debisinine ilişkin Eşitlik 2’nin nasıl elde edilebileceğini
gerekli matematiksel işlemleri yaparak açıklamalar ile
gösteriniz.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
55
Çözüm
Bu sorudaki veriler üç istasyonlu atlamalı kuyruk sistemidir.
M/M/8
M/M/3
 = 30
W = 3.47
M/M/2
 = 30
W = 2.67
 = 40
W = 14
Toplam süre = 20.14 dk.
Y. Doç. Fazıl GÖKGÖZ
56
28