b˙ıt˙ırme ödev˙ı 1 f˙ınal soruları aaaaaaa

AKDENI·Z ÜNI·VERSI·TESI·
MATEMATI·K BÖLÜMÜ
BI·TI·RME ÖDEVI· 1
FI·NAL SORULARI
2015 - 2016 GÜZ DÖNEMI·
ADI SOYADI : ...............................................................
NO : ......................................
A A A A A A A
SINAV TARI·HI· VE SAATI· :
Bu s¬nav 40 sorudan oluşmaktad¬r ve s¬nav süresi 90 dakikad¬r.
SINAVLA I·LGI·LI· UYULACAK KURALLAR
1. Cevap ka¼
g¬d¬n¬za soru kitapç¬g¼¬n¬z¬n türünü işaretlemeyi unutmay¬n¬z.
2. Her soru eşit de¼
gerde olup, puanlama yap¬l¬rken do¼
gru cevaplar¬n¬z¬n say¬s¬ndan yanl¬ş cevaplar¬n¬z¬n
say¬s¬n¬n dörtte biri düşülecektir.
3. S¬navda pergel, cetvel, hesap makinesi gibi yard¬mc¬araçlar ve müsvedde ka¼
g¬d¬kullan¬lmas¬yasakt¬r. Tüm işlemlerinizi soru kitapç¬g¼¬üzerinde yap¬n¬z.
4. S¬nav süresince görevlilerle konuşulmayacak ve onlara soru sorulmayacakt¬r. Yanl¬ş oldu¼
gunu
düşündü¼
günüz sorularla ilgili, görevlilere soru sormay¬n¬z. Bu çok küçük bir olas¬l¬k olsa da, jüri bu
tür durumlar¬daha sonra de¼
gerlendirecektir.
5. Ö¼
grencilerin birbirlerinden kalem, silgi vb. şeyler istemeleri yasakt¬r.
6. D¬şar¬ya ç¬kan bir aday tekrar s¬nava al¬nmayacakt¬r.
7. Cep telefonuyla s¬nava girmek yasakt¬r. Cep telefonunuzu görevliye teslim ediniz.
8. Soru kitapç¬klar¬toplanacakt¬r.
S¬nav sorular¬ dönemin ders içeriklerine göre sorulmaktad¬r. Verilen döneme ait kapsam d¬ş¬
soru yüzdesi maksimum %20’dir.
1
¼ I·
GÜZ DÖNEMI· BI·TI·RME ÇALIŞMASI DERS I·ÇERI·G
1. Limit - Süreklilik
2. Türev, Geometrik Anlam¬ve Teoremleri
3. Türevin Uygulamalar¬
4. I·ntegral, Belirli I·ntegral, Temel Belirsiz I·ntegraller
5. K¬smi I·ntegrasyon, I·ntegralin Alan ve Hacim Uygulamalar¬
6. Seriler ve Yak¬nsakl¬k Testleri
7. Kuvvet Serileri, Yak¬nsakl¬k Yar¬çap¬, Aral¬g¼¬
8. Taylor Aç¬l¬m¬ve Serilerle I·lgili Problemler
9. Vektörler, I·ç Çarp¬m, Vektörel Çarp¬m, Karma Çarp¬m ve Uygulamalar¬
10. Diferansiyel Denklemlerin S¬n¬‡and¬r¬lmas¬, Ayr¬labilir Dif. Denklemler. Lineer Diferansiyel
Denklemler
11. Olas¬l¬k, Olas¬l¬k Fonksiyonu
12. Grup, Devirli Grup, Alt Grup, Normal Alt Grup
13. Lineer Ba¼
g¬ms¬zl¬k, Alt Uzay, Boyut, Rank, Taban
¼ I·
BAHAR DÖNEMI· BI·TI·RME ÇALIŞMASI DERS I·ÇERI·G
1. Fonksiyonlar, Fonksiyonlar¬n Örten, 1-1, Periyodik, Çift, Tek olmas¬. Tersinin varl¬g¼¬, Gra…kler üzerinde 1. 2. türevin yorumlanmas¬.
2. I·ki ve üç katl¬integral, s¬n¬r de¼
gişimi, kutupsal ve silindirik koordinatlara geçişler
3. E¼
grisel I·ntegral ve Uygulamalar¬
4. 2 ve 3 katl¬integrallerin alan ve hacim hesaplamalar¬na uygulanmas¬
5. Temel Diferensiyel Denklemler (Lineer, Homojen, Bernoulli-Tam)
6. Temel Diferensiyel Denklemler 2 (Yüksek Mertebeden Diferensiyel Denklemler)
7. Uzayda Do¼
gru ve Düzlem Denklemi
8. Matrisler, Elemanter Sat¬r Operasyonlar¬, Matrisin Tersi, Simetrik, Ters simetrik, Ortogonal
matris, Lineer denklem sistemleri, Homojen Denklem Sistemi, Determinant
9. Lineer Dönüşüm, Lineer Dönüşüme Karş¬l¬k Gelen Matris, Özde¼
ger, Özvektör, Karakteristik
Polinom, Cayley-hamilton teoremi ve uygulamalar¬
10. Önermeler, Kümeler, Say¬labilirlik, Kardinalite, Say¬çeşitleri
11. Cisim-Halka-I·deal-Taml¬k Bölgesi
12. Olas¬l¬k - I·statistik, Standart Sapma, Medyan, Rastgele De¼
gişken Fonksiyonu
13. Elips, Hiperbol, Parabol, Parametrik ve Kutupsal Denklemleri, Te¼
get Denklemleri, Temel
Yüzeyler ve Gra…kleri
14. I·ki de¼
gişkenli fonksiyonlarda limit süreklilik, yöne göre Türev, Gradiyent, Yüzeyin Normali
15. Dönme, Öteleme, Yans¬ma, Simetri, I·zdüşüm Dönüşümleri ile bunlar¬n uygulamalar¬
2
A
A
2
e¼
grisi üzerindeki hangi nokta orijine en yak¬nd¬r?
x
p p
p p
A) (2; 1)
B) (1; 2)
C) ( 2; 2)
D)
6; 6=3
E) (1; 1)
r
4
Çözüm : Bu noktaya P (x; y) dersek, f (x) = x2 + x2 fonksiyonunun en küçük de¼gerini
bulmam¬z gerekir.
1. y =
8
2x + 3
x
=0
f 0 (x) = r
4
2 x2 + 2
x
eşitli¼
ginden 2x
edilir. cevap C
p
p
8
4
2
=
0
)
x
=
4
)
x
=
2;
x
=
2
bulunur
ve
buradan
da
y
=
2 elde
x3
2. y = f (x) fonksiyonu ( 1; 0) aral¬g
guna göre
¼¬nda artan bir fonksiyon oldu¼
aşa¼
g¬dakilerden hangisi ayn¬aral¬kta artand¬r?
A) x2 f (x)
B)
f (x)
x
C) f (x3 )
E) f 2 (x)
D) x2 +f (x)
Çözüm : ( 1; 0) aral¬g¼¬nda f 0 (x) > 0 d¬r. f (x) pozitif veya negatif oldu¼gunu iddia edemeyiz.
Bundan dolay¬sadece
(f (x3 ))0 = f 0 (x3 )3x2
0
seçene¼
gi do¼
grudur. Cevap C .
3. Yar¬çap uzunlu¼
gu 4 cm olan bir küre içine yerleştirilen maksimum hacimli dik
silindirin yüksekli¼
gini bulunuz?
8
4
8
7
8
A) p
B) p
C) p
D) p
E) p
2
3
2
7
7
Çözüm : Silindirin yüksekli¼gi 2x;taban yar¬çap¬y olsun. Buna göre,
x2 + y 2 = 16 ) y 2 = 16
x2
eşitli¼
ginden, silindirin hacmi
V = y 2 2x =
16
x2 2x = 2
16x
x3
4
8
olacakt¬r. Maksimum hacim için, V 0 = 0 dan x = p ve yükseklik p bulunur. Yan¬t B.
3
3
3
4. Yanda, bir f fonksiyonunun türevinin gra…¼
gi verilmiştir.
Buna göre, aşa¼
g¬daki gra…klerden hangisi f fonksiyonunun
gra…¼
gi olabilir?
A)
B)
D)
E)
C)
Çözüm : f 0 (x) < 0 oldu¼gu aral¬kta f azalan, f 0 (x) > 0 oldu¼gu aral¬kta f artand¬r. f 0 (x)
in işaretine (pozitif, negatif) uygun gra…k E) de verilmiştir.
5. A =
1
X
( 1)n+1
n
olmak üzere, cos
n=1
A) 0
B) 1
C)
1
A=
n
= ( 1)
Z4 p
6.
x 16
1
A
n
= ( 1)
n=1
n=1
oldu¼
gundan,
1
X
( 1)n
1=
ve cos
1
A
1
1
2
D)
Çözüm :
1
X
( 1)n+1
1
1 ’in de¼
geri aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
A
"
1+
1
X
E)
1
n=0
= cos
=
n
#
1
2
1
=1
1+
1
=
1
+1
1 olur.
x2 dx =?
4
A) 8
B) 16
C) 0
D) 4
E) 8
Çözüm : I·ntegrali al¬nacak fonksiyon tek fonksiyondur, fonksiyonun gra…¼gi orjine göre
simetriktir. Bu nedenle intgralin sonucu s¬f¬rd¬r. Do¼
gru yan¬t C ş¬kk¬d¬r.
4
7. f (x) =
A) 1
Çözüm :
R
ln x2 dx ve f (1) = 0 ise f (e) kaçt¬r?
B) 4e3
C) e
D) 2
R
f (x) = 2 ln xdx integrali k¬smi integrasyonla çözülür.
dx
ve dx = dv ) x = v
x
u = ln x ) du =
R
için, f (x) = 2 ln xdx = 2 x ln x
ve f (1) = c
8.
1
X
R
E) 4
dx
= 2 (x ln x x) + c olur. f (x) = 2 (x ln x
x
2 = 0 ) c = 2 oldu¼
gundan, f (e) = c = 2 olur.
x
x) + c
x2n+1 serisi yak¬nsakl¬k aral¬g
geri için aşa¼
g¬dakilerden hangi¼¬ndaki bir x de¼
n=0
sine eşittir?
x
1
B)
A)
2
1+x
1 + x2
1
1
X
X
2n+1
x
=x
x2n =
Çözüm :
n=0
n=0
C)
x
1
x2
1
1
x
x
D)
2
1
x
E)
2
x
x2
1
(jx2 j < jxj < 1 için)
9. f (x) = (1 + x)e x fonksiyonu x in kuvvetlerine göre seriye aç¬l¬rsa, x10 ’un katsay¬s¬aşa¼
g¬dakilerden hangisi olur?
9
9
10
10
11
A)
B)
C)
D)
E)
10!
10!
11!
11!
10!
Çözüm :
f (x) = (1 + x)e
x
=e
x
+ xe
x
oldu¼
gundan,
1
1
n
X
X
xn+1
nx
( 1)n
f (x) =
( 1)
+
n! n=0
n!
n=0
( 1)10 ( 1)9
9
oldu¼
gundan, x ’un katsay¬s¬
+
=
olur.
10!
9!
10!
10
p
12. y = x 1 e¼
grisi, y = 0 ve x = 5 do¼
grular¬ile s¬n¬rl¬bölgenin y = 3 do¼
grusu
boyunca döndürülmesi ile oluşan dönel cismin hacmi aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
A)
B) 12
Çözüm :
V =
Z5
1
C) 2
D) 10
E) 3
I·stenilen hacim
3
p
x
1
2
dx =
Z5
8
p
6 x
1 + x dx =
1
olur.
5
x2
8x +
2
4 (x
1)
3
2
5
1
!
= 12
11. x + 1 = 2(y 1)2 e¼
grisi ve x + 6y = 7 do¼
grusu ile s¬n¬rl¬bölgenin alan¬ne olur?
2
4
5
1
B)
C) 1
D)
E)
A)
3
3
3
3
Çözüm : E¼grilerin kesişim noktalar¬
2)2
2 (y
6y ) 2y 2
1=7
2y = 0 ) 2y (y
1) = 0 ) y = 0 ve y = 1
olur. 0 6 y 6 1 için x + 6y = 7 do¼
grusu x + 1 = 2 (y
istenilen alan
A=
Z1
(7
6y)
2 (y
1)
2
1
dy =
0
Z1
2y
1)2 e¼
grisinin sa¼
g¬nda oldu¼
gundan
2y
2
dy = y
2 3
y
3
2
0
1
=
0
1
3
olur.
i
h
aral¬g
12. 0;
¼¬nda, yanda gra…kleri verilen y = x sin2 x ile
2
y = x e¼
grileri aras¬ndaki bölgenin alan¬n¬ aşa¼
g¬dakilerden
hangisi verir?
A)
R
u sin2 u du
u
0
D)
R2
B)
R2
0
x sin2 x
x dx
0
xZ
sin2 x
dxdy
C)
0
x
1R
E)
u
40
R2
Zx
y
3
2
1
dydx
0
1
0
-1
2
x
u
du
u sin2
2
Çözüm : E¼grilerin kesişim noktalar¬
x sin2 x = x ) x
olur. 0 6 x 6
A=
2
Z2
1 + sin2 x = 0 )
x cos2 x = 0 ) x = 0 ve x =
2
için y = x do¼
grusu y = x sin2 x e¼
grisinin üstünde oldu¼
gundan istenilen alan
x
u
du
1
x sin x dx ) x = ) dx =
)A=
2
2
4
2
0
Z
u
u sin2
u
du
2
0
bulunur.
13. Yar¬çap¬5 metre olan çembersel bir dik silindir şeklindeki su deposunun içinde
bulunan su dakikada 5000 litre h¬zla boşalt¬l¬rsa, su seviyesi dakikada kaç metre
düşer? (1 m3 = 1000 litre)
1
1
1
1
1
A)
B)
C)
D)
E)
5
10
25
125
20
6
Çözüm : Yar¬çap 5 m verilmiş. Su seviyesinin yüksekli¼gi, h (de¼gişken) ve hacmi de V
dV
dh
(de¼
gişken) olsun.
= 500 litre/dakika olarak verilmiş. Bizden istenen,
de¼
gişimidir. Buna
dt
dt
dV
dV dh
göre,
=
eşitli¼
gini kullanaca¼
g¬z. V =
52 h 1000 = 25 000 h litre oldu¼
gundan,
dt
dh dt
dh
dh
5000
1
5000 = 25000
)
=
=
metre/dakika
dt
dt
25000
5
elde edilir.
14. Aşa¼
g¬da serilerden kaç tanesi ¬raksakt¬r?
1
1
1
n
X
X
X
1
1
III)
3n
I)
cos 3 II)
1+
n
n
n=1
n=1
n=1
A) 1
B) 2
n
IV)
1
X
n=1
C) 3
1
1
+
n2
n
D) 4
V)
E) 5
1
X
1
nn
n=1
Çözüm : I ve II de genel terimin limitleri s¬f¬r olmad¬g¼¬ndan ¬raksakt¬rlar. IV’de ise
1
X
1
= 1 oldu¼
gundan, bu seri de ¬raksakt¬r. III ve V yak¬nsak serilerdir. Yan¬t C.
n
n=1
15.
Zx
e
t2
dt ifadesi x in kuvvetlerine yaz¬l¬rsa, x5 ’in katsay¬s¬kaç olur?
0
A)
1
3
Çözüm :
3
21
B)
C) 1
8x 2 R için e
Zx
0
e
t2
x2
=
1
X
D)
1
10
E)
2n
( 1)n xn! oldu¼
gundan
n=0
dt =
Zx
0
1
X
x2n
( 1)n
n!
n=0
!
elde edilir. Buradan, x5 in katsay¬s¬: n = 2 için,
16. f (x) =
Z0
5
21
dt =
1
X
( 1)n
n=0
x2n+1
n!(2n + 1)
( 1)2
1
=
olur.
2! (2 2 + 1)
10
dt
oldu¼
guna göre, f 0 (100) de¼
geri kaçt¬r?
1 + t2
tan x
A) tan2 100
B) sec2 100
C) 1
D)
1
dy
Çözüm : u = tan x dersek dx sorulmaktad¬r. Analizin Temel Teoreminden
0
dy
d @
=
du
du
dir.. Buna göre,
Z0
u
1
0
dt A
d @
=
2
1+t
du
Zu
0
dt A
1
=
2
1+t
1 + u2
dy
dy du
1
=
=
(1 + tan2 x) =
dx
du dx
1 + tan2 x
7
1
1 elde edilir.
E) 0
g¬dakiler17. (y 000 )5 (sin x) ey +8y cos x = 0 diferansiyel denklemi hakk¬nda aşa¼
den hangisi ya da hangileri dog̃rudur?
0
I) 3. mertebeden
A) Yaln¬z I
II) 5. dereceden
B) Yaln¬z II
C) I ve III
III) homojen
D) II ve III
E) I, II ve III
Çözüm : Diferansiyel denklemde, en yüksek türev 3 oldu¼gundan mertebe 3, diferansiyel den0
gildir.
klem türevlerine göre polinom olarak yaz¬lamad¬g¼¬ndan (ey den dolay¬) dereceye sahip de¼
Diferansiyel denklemde ba¼
g¬ms¬z de¼
gişkenli terim var (cos(x)) oldu¼
gundan homojen olmayan.
Böylece, Yaln¬z I do¼
grudur.
18. y 00 2y 0 +3y = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümü aşag̃¬dakilerden hangisidir? (c1 ve c2 : key… sabit)
p
p
p
A) y = e 2x [c1 sin( 2x) + c2 cos( 2x)]
B) y = e x [c1 sin(2x) + c2 cos(2x)]
p
p
p
D) y = ex [c1 sin( 2x) + c2 cos( 2x)]
C) y = e 2x [c1 sin(x) + c2 cos(x)]
E) y = ex [c1 sin(2x) + c2 cos(2x)]
Çözüm : Diferansiyel denklemin karakteristik polinomu olan L(m) = m2
2m + 3 polip
p
nomunun kökleri m1 = 1 + 2i ve m2 = 1
2i’dir. Karakteristik polinomunun kökleri
m1 = a + ib ve m2 = a ib olan 2. mertebeden sabit katsay¬l¬ homojen denklemin genel
çözümününpy(x) = eax [c1 cos bx + c2 sin bx] şeklinde oldug̃unu hat¬rlayal¬m. Bu problemde
a = 1; b = 2 oldug̃undan genel çözüm
p
p
y = ex [c1 sin( 2x) + c2 cos( 2x)]
bulunur.Cevap: D
19. (2x cos y + 3x2 y + 2xy)dx + (x3 x2 sin(y) + x2 )dy = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümü aşag̃¬dakilerin hangisidir?(c: key… sabit)
A) x2 sin y + x3 y 2 +xy 2 = c
B) x2 cos y + 2x3 y 2 = c
C) x2 cos y + x3 y + x2 y = c
D)
E) x2 cos y
x2 sin y + x3 y + xy 2 = c
2x3 +2y 2 = c
Çözüm : M (x; y) = 2x cos y + 3x2 y + 2xy; N (x; y) = x3
x2 sin(y) + x2 olmak üzere
My = 2x sin y + 3x2 + 2x = Nx oldu¼
gundan denklem tam diferansiyel denklemdir. Grupland¬rma yöntemi ile çözelim:
2x cos y dx
x2 sin y dy + 3x2 y dx + x3 dy + [2xydx + x2 dy] = 0:
I·lk terim x2 cos y’nin, ikinci terim ise x3 y’nin ve üçüncü terim ise x2 y’nin tam diferansiyelidir,
dolay¬s¬yla d(x2 cos y) + d(x3 y) + d(x2 y) = 0 yaz¬labilir. I·ntegral al¬nmas¬yla
x2 cos y + x3 y + x2 y = c
genel çözümü elde edilir.
8
20. X rastgele de¼
gişkeninin olas¬l¬k yo¼
gunluk fonksiyonu,
3x2 ;
0;
f (x) =
0<x<1
x2
= (0; 1)
olarak veriliyor. Buna göre, X’in beklenen de¼
geri kaçt¬r?
2
4
2
3
1
A)
B)
C)
D)
E)
3
9
3
4
2
1
1
Z
Z
3
Çözüm : Beklenen de¼ger, E (x) = xf (x) dx = 3x3 dx = 4 bulunur.
0
0
1
21) Bir hastal¬ktan kurtulma olas¬l¬g
oldu¼
gu bilinmektedir. Bu hastal¬g
¼¬n¬n
¼a
3
yakalanm¬ş 10 kişiden iki veya daha fazlas¬n¬n kurtulma olas¬l¬g
¼¬nedir?
A)
1
9
B)
4
9
C)
45 28
310
D)
39 210
39
E)
39 211
39
Çözüm : Bu soruda her hasta için kurtulma ve kurtulamama şeklinde tan¬mlanm¬ş iki sonuç
olup, kurtulma olas¬l¬g¼¬sabittir. Ayr¬ca, hastalar¬n birinin durumu di¼
gerini etkilememekte ve
toplam 10 hasta incelemeye konu olmaktad¬r. X, 10 hasta içinde kurtulan hasta say¬s¬olarak
tan¬mland¬g¼¬nda binom rastgele de¼
gişkeni olur ve bunun olas¬l¬k fonksiyonu
f (x) =
10
x
1
3
x
2
3
10 x
;
x = 0; 1; 2; : : : ; 10
şeklindedir. O halde iki veya daha fazlas¬n¬n kurtulma olas¬l¬g¼¬
P (X
2) = 1
P (X = 1)
10
= 1
1
10:29
= 1
3:39
39 211
=
39
P (X = 0)
2
1
3
3
10
2
=1
310
9
10
0
1
3
0
2
3
10
211
39
olarak hesaplan¬r. Cevap E.
22) X rastgele de¼
gişkeninin olas¬l¬k fonksiyonu
( x
; x = 1; 2; 3
f (x) =
6
0;
di¼
ger
şeklinde verilmiştir. X ’in 3. mertebeden beklenen de¼
gere göre (merkezi) momenti
nedir?
3
7
7
49
49
7
A)
B)
C)
D)
E)
27
27
3
3
3
9
Çözüm : Öncelikle 0 ’a göre m1 ; m2 ve m3 momentlerini bulal¬m:
m1 = E (X) =
3
X
x2
6
x=1
3
X
m2 = E X 2 =
m3 = E X
3
=
x=1
3
X
x=1
=
1 4 9
7
+ + =
6 6 6
3
x3
1 8 27
36
= + +
=
=6
6
6 6
6
6
x4
1 16 81
98
49
= +
+
=
=
6
6
6
6
6
3
Buradan,
3
= m3
3m1 m2 + 2m31 =
49
3
7
3: :6 + 2
3
7
3
3
=
7
27
olur.
23) Kenar uzunlu¼
gu r birim olan karelerden oluşan zemine; yar¬çap¬
r=5 birim olan daire şeklinde bir para at¬l¬yor. Herhangi bir karenin
bir köşesinin at¬lan daire parças¬taraf¬ndan örtülmüş olma olas¬l¬g
¼¬n¬
bulunuz.
4
2
B)
C)
D)
E)
A)
5
10
125
125
25
Çözüm : Daire şeklindeki paran¬n merkezini; tamkarenin köşesine yerleştirelim. Bu durumda;
(x; y) noktas¬ zemindeki bir noktay¬ göstermek üzere; (x; y) noktas¬; köşelerdeki daire
parçalar¬n¬n içinde ise; köşe daire taraf¬ndan kapat¬lacak; aksi halde kapat¬lamayacakt¬r. Buna
göre; bir karenin bir köşesinin at¬lan daire parças¬taraf¬ndan örtülmüş olma olas¬l¬g¼¬:
r2
4 çeyrek dairenin alan¬
= 25
=
Karenin alan¬
r2
25
olacakt¬r.
24. Aşa¼
g¬daki lineer dönüşümlerden kaç tanesi 1-1’dir?
I. T : R3 ! R3 ; T (x; y; z) = (x + y; z; x + y + z)
II. T : R3 ! R3 ; T (x; y; z) = (2x + y; x; z)
III. T : R3 ! R2 ; T (x; y; z) = (2x + y; y
2
x)
3
IV. T : R ! R ; T (x; y) = (x; y; x + y)
V. T : R3 ! R2 ; T (x; y; z) = (x + y; x + z)
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 5
n o
Çözüm : T nin 1-1 olmas¬için, ÇekT = ~0 olmal¬d¬r. Ya da, tan¬m kümesinin boyutu, T ’nin
rank¬yla çekirde¼
gin boyutunun toplam¬ oldu¼
gundan, T ’nin rank¬, tan¬m kümesinin boyutuna
eşit olmas¬gerekir. (T : V ! W için, Boy(V) = rankT + Boy (ÇekT ) oldu¼
gunu hat¬rlay¬n¬z.)
10
Buna göre, R3 ’den R2 ’ye birebir bir dönüşüm olamaz. Çünkü RankT en fazla 2 olabilir. Yani,
III ve V birebir de¼
gildir. I’deki T dönüşümünün rank¬n¬n 3 olmad¬g¼¬aç¬kt¬r.
2
3
1 1 0
Rank4 0 0 1 5 = 2
1 1 1
O halde, I’de birebir de¼
gildir. II ve IV lineer dönüşümleri birebirdir.
25. Aşa¼
g¬daki dönüşümlerden kaç¬lineerdir?
I. R2 de öteleme Dönüşümü
II. R2 de orjin etraf¬nda dönme dönüşümü
III. R3 de bir noktan¬n x = y = z do¼
grusuna göre simetri¼
gini veren dönüşüm
IV. R3 de bir noktan¬n xy düzlemine göre simetri¼
gini veren dönüşüm.
V. R3 de bir noktan¬n x = 2 düzlemi üzerine izdüşümünü veren dönüşüm.
VI. R2 de bir noktan¬n x = y do¼
grusu üzerine izdüşümünü veren dönüşüm.
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
E) 5
Çözüm : Öteleme dönşümü lineer de¼gildir. Di¼ger dönüşümlerin lineer olabilmesi için 0 noktas¬n¬ya da vektörünü yine 0 noktas¬ya da vektörüne dönüştürmeleri gerekir. Buna göre, II,
III, IV ve VI dönüşümleri s¬f¬r¬, s¬f¬ra götüren dönüşümlerdir ve lineerdir. V dönüşümü (0; 0; 0)
noktas¬n, (0; 0; 0) noktas¬na götürmez.
26. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi S 3 ün normal altgrup say¬s¬d¬r?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
Çözüm : S3 grubunun normal altgruplar¬, kendisi, birim ve A3 tür
27. G bir grup ve H onun bir normal alt grubu olsun. Aşa¼
g¬dakilerden hangisi G
nin bir normal altgrubu olamaz?
A) G
B) feg
C) M (G)
D) xHx
1
E) G=H
Çözüm : G=H, yeni bir gruptur, Sol eşkümeler kümesidir. Denklik s¬n¬‡ar¬kümesidir. G’nin
normal altgrubu de¼
gildir.
28. Aşa¼
g¬daki gruplar¬n hangisinin mertebesi di¼
gerlerinden farkl¬d¬r?
A) Z6
B) Z12
C) Z4
D) Z8
E) Z5
Çözüm : A haricindeki seçeneklerin eleman say¬s¬ 4’tür. ', Euler fonksiyonu olmak üzere,
'(12) = '(8) = '(5) = 4 oldu¼
gunu hat¬rlay¬n¬z.
11
29. P 2 ikinci dereceden polinomlar¬n kümesi olmak üzere aşa¼
g¬daki vektör
kümelerinden hangileri P 2 için bazd¬r ?
A) ft2 + t; 2t2 + t + 3; 4t2 + 1g
C) ft2 + t; 2t2 + t + 3; 4t2 + 12g
E) ft2 + 2t
1; 4t2 + 6t
B) ft2 + 2t
1; 2t2 + t
2g
D) ft2 + t; 2t2 + t + 3; t2 + 3g
4g
Çözüm : E) ve B) baz olamaz. En az üç polinom gerekli. A, C de dikka edilirse sadece son
polinom vektörlerin sabit terimleri farkl¬. Bu ikisinden biri baz olmak zorunda. Polinomlar¬n
katsay¬lar¬ndan elde edilen matrisin determinantlar¬na bakal¬m.
2
3
1 1 0
det 42 1 35 = 11 6= 0o
4 0 1
ldu¼
gu için A taband¬r.
2
3
2
3
1 1 0
1 1 0
C) de det 42 1 3 5 = 0 ve E) de det 42 1 35 = 0
4 0 12
1 0 3
oldu¼
gu görülebilir.
30. R3 vektör uzay¬nda {(2; 3; 1) ; (3; b; 2)g kümesinin do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z olmas¬için
b’nin ait olabilece¼
gi en büyük küme aşa¼
g¬dakilerden hangisidir ?
A) ( 2; 2)
B) R
C)
1
;1
2
D)
1;
7
3
E) ( 5; 1)
Çözüm : Her reel say¬s¬için bu iki vektör birbirinin kat¬olamaz. I·stenilen küme bütün reel
say¬lar kümesidir.
31. Aşa¼
g¬dakilerden hangileri do¼
grudur?
I) Rn ’de n elemanl¬do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z bir kümenin oluşturdu¼
gu matrisin determinant¬s¬f¬r olabilir.
II) Rn ’de n
1 elemanl¬bir küme Rn için do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z olabilir.
III) Rn ’de n + 1 elemanl¬bir küme ile Rn üretilemez (germez).
IV) Do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z küme, do¼
grusal ba¼
g¬ml¬bir küme kapsar.
V) Do¼
grusal ba¼
g¬ml¬bir küme, her zaman do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z bir küme kapsar.
A) I
III
Çözüm : II-Rn ’de n
B) II-V
C) III-V-IV
D) III-IV
E) I-II
1 elemanl¬bir küme Rn için do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z olabilir.
V-Do¼
grusal ba¼
g¬ml¬bir küme, her zaman do¼
grusal ba¼
g¬ms¬z bir küme kapsar.
ifadeleri do¼
grudur.
12
32. Düzlemde verilen ABC üçgeninde, 5 jBDj = 4 jDCj ola!
cak şekilde bir D noktas¬ al¬n¬yor. Bu düzlemin AC = u
~
!
!
; AB = ~
v ile oluşturulan B = f~
u; ~
v g taban¬na göre, 9 AD vektörünün koordinatlar¬ aşa¼
g¬dakilerden hangisidir? (Örne¼
gin,
!
!
!
BC = BA + AC =~
u ~
v = (1; 1)B dir.)
A) (4; 5)
Çözüm :
B) (5; 4) C) ( 4; 5) D) (4; 5) E) (5; 4)
!
!
!
!
!
!
!
!
BD = 4~
x ise DC = 5~
x diyelim. AB + BD = AD ve AC + CD = AD eşitlik-
lerinden,
!
(5) ~
v + 4~
x = AD
!
(4) u
~ 5~
x = AD
!
olur ki, 9 AD = 4~
u + 5~
v = (4; 5) bulunur.
33. Yandaki şekilde, A(7; 5), B(1; 1) ve C(4,1) ise jEBj
uzunlu¼
gu kaçt¬r?
p
p
p
p
p
A) 7 B) 11 C) 3 2 D) 10 E) 2 3
A
3m
Çözüm : A, B noktalar¬n¬ birleştiren AB do¼grusunu alal¬m.
C 2 AB için, C noktas¬n¬n koordinatlar¬
C; A ile B aras¬nda ve
E
m
B
2k
D
k
jACj
m
nA + mB
=
ise, C =
jBCj
n
n+m
C; A ve B’nin d¬ş¬nda ve
ile bulunur. Buna göre,
jACj
m
nA
=
ise, C =
jBCj
n
n
mB
m
B + 2C
(1; 1) + 2 (4; 1)
A + 3D
(7; 5) + 3 (3; 1)
=
= (3; 1) ve E =
=
= (4; 2)
3
3
4
4
q
p
oldu¼
gundan, jEBj = (4 1)2 + (2 1)2 = 10 bulunur.
D=
34. Yandaki şekilde verilen do¼
gruya, aşa¼
g¬daki vektörlerin
hangisi diktir?
A) (4; 3)
B) (3; 4)
C) ( 4; 3)
3
;1
4
D)
E)
2;
4
3
Çözüm : Verilen do¼grunun do¼grultman¬:
x y
x
y
+ =1) =
+ 1 ) ~u = (3; 4) veya ~u = ( 3; 4)
3 4
3
4
oldu¼
gundan ve ~v = (4; 3) vektörü için h~u; ~v i = 0 olaca¼
g¬ndan ~v = (4; 3)
bu do¼
gruya dik olur.
13
C
35. Yandaki şekilde verilen kenarlar¬12; 12; m olan dikdörtgenler prizmas¬nda, G noktas¬n¬n üst kenarlara dik izdüşüm
noktalar¬ şekilde E ve T olarak belirtilmiştir. T; [CB]’nin
orta noktas¬ ve E ise, jECj = 2 jEDj koşulunu sa¼
glayan bir
!
!
noktad¬r. N G vektörü ile DL vektörü birbirine dik oldu¼
guna
göre m kaçt¬r?
p
p
p
p
B) 9 2
C) 9
D) 2 10
E) 8 3
A) 17
C
T
E
G
D
B
12
A
12
L
M
N
m
K
Çözüm : M noktas¬n¬orjin kabul edip, N; D; L ve G noktalar¬n¬n koordinatlar¬n¬bulal¬m.
N (12; 0; 0) ; D (12; 0; 12) ; L (0; m; 0) ve G 8;
m
; 12
2
oldu¼
gundan,
!
NG =
4;
!
m
; 12 ve DL = ( 12; m; 12)
2
D ! !E
!
!
bulunur. N G ? DL ise, N G; DL = 0 olmal¬d¬r. Buna göre,
D ! !E
m2
N G; DL = 48 +
2
144 = 0
p
eşitli¼
ginden, m = 8 3 bulunur.
36. R2 de ~
x = (x1 ; x2 ), y
~ = (y 1 ; y 2 ) için,
f : R2
R2 ! R; f (~
x; y
~ ) = x1 y 1
x2 y 1
x1 y 2 +3x2 y 2
şeklinde tan¬mlanan fonksiyon bir iç çarp¬m fonksiyonudur. Bu iç çarp¬mla birlikte R2 iç çarp¬m uzay¬nda verilen u
~ = (1; 2) vektörünün normu aşa¼
g¬dakilerden
hangisidir? (I·ç çarp¬mdan elde edilen standart norm tan¬m¬n¬kullan¬n¬z.)
p
p
p
A) 10
B) 11
C) 9
D) 3
E) 2 3
p
p
~ i = f (~
u; u
~ ) şeklinde tan¬mland¬g¼¬ndan,
Çözüm : k~uk = h~u; u
k~
uk = k(1; 5)k =
p
1 1
2 1
1 2+3 2 2=3
bulunur.
37. Aşa¼
g¬dakilerin kaç tanesi h~
x
I) h~
x; ~
z
A) 1
y
~ i II) h~
y; ~
z
B) 2
y
~; ~
z i çarp¬m¬na eşittir?
~
xi III) h~
x; y
~
C) 3
Çözüm : h~x
~
z i IV) h~
z
y
~; ~
xi V) h~
z
D) 4
E) 5
~
x; y
~i
y
~; ~
z i = h~
x; y
~ ~
z i = det (~x; ~y ; ~z) oldu¼
gundan, ~x; ~y ; ~z dairesel s¬ras¬ayn¬olanlar birbirine eşit olacakt¬r. Buna göre, h~
x y
~; ~
z i çarp¬m¬na eşit olanlar sadece II, III ve V’tir.
14
38. Köşelerinin koordinatlar¬A (1; 1; 1),B (1; 2; 3),C (2; 3; 4),D (1; 4; 2) olan üçgensel
piramidin hacmi aşa¼
g¬dakilerden hangisidir?
1
3
5
5
4
A)
B)
C)
D)
E)
6
5
6
3
3
!
!
!
Çözüm : AB = (0; 1; 2) ; AC = (1; 2; 3) ; AD = (0; 3; 1) oldu¼gundan, istenen hacim :
V = Hacim (ABCD) =
1
6
0 1 2
1 2 3
0 3 1
=
5
6
bulunur.
39. V = f(x; y; z) : 2x + y + z = 0g uzay¬ ile aşa¼
g¬daki uzaylardan kaç¬ ayn¬ uzay¬
gösterir?
I) V1 =Spf(1; 1;
3) ; (1; 1;
II) V2 =Spf(1; 1;
2)g
3) ; (1; 0;
2) ; (0; 0; 0)g
III) V3 =Spf(1; 1;
3) ; (1; 0;
IV) V4 =Spf(1; 1;
3) ; ( 1; 1; 1)g
V) V5 =Spf(1; 1;
A) 1
2) ; (0;
1; 1)g
3) ; ( 1; 1; 1) ; (1; 2; 1)g
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Çözüm : V) haricindekilerin tamam¬, 2 boyutlu bir uzay¬gererler. V) üç boyutlu bir uzay¬
gerece¼
ginden, V uzay¬na eşit olamaz. Di¼
ger yandan, V1 uzay¬ndaki, (1; 1; 2) vektörü, 2x + y +
z = 0 eşitli¼
gini sa¼
glamad¬g¼¬ndan, V uzay¬n¬de¼
gil, başka bir iki boyutlu uzay¬(düzlemi) gerer.
Bu nedenl, I ve V haricindekiler V ile ayn¬uzay¬gösterirler.
40. Aşa¼
g¬dakilerin kaç tanesi do¼
grudur?
I. ~
x
y
~ bir say¬d¬r.
II. h~
x; y
~ i de¼
geri bir vektör olabilir.
III. h~
x; y
~ i = k~
xk k~
y k cos
IV. ~
x
V. h~
x; y
~
VI. ~
x
VII. k~
x
A) 5
y
~ = k~
xk k~
y k sin
~
z i = det (~
x; y
~; ~
z)
y
~?~
x ’tir.
y
~ k, ~
x ve y
~ ile oluşturulan paralelkenar¬n alan¬n¬verir.
B) 1
C) 2
D) 3
Çözüm : I, II ve IV yanl¬ş, di¼gerleri do¼grudur.
15
E) 4