9. sınıf matematik konu özeti

2012
9. SINIF MATEMATİK KONU
ÖZETİ
TOLGA YAVAN
Matematik Öğretmeni
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
oluşturmada, aralarında ilişki kurmada ve onları
yorumlamada mantıklı düşünme öne çıkar. Mantıklı
düşünce ile en iyi uyum sağlayan bilim dalı
matematik olarak bilinir. Ünlü fizikçi Einstein
(Aynştayn)’ın “Matematik mantıklı düşünce
yoludur.” sözü de bilinen bu gerçeği
vurgulamaktadır.
Eğer bir birey mantık kavramını tam olarak öğrenir
ve sembolik mantığı doğru kullanabilirse
matematiği öğrenmede de büyük kolaylık sağlar
düşüncesi vardır. O nedenle bireye mantıklı
düşünme yollarını kazandırma matematik
öğretiminin genel amaçları arasında yerini almıştır.
1. ÜNİTE: MANTIK
İnsan diğer canlılardan ayıran en önemli
özelliklerden biri düşünebilme yeteneğidir. Bireyler
karşılaştıkları günlük olayları akıl süzgecinden
geçirerek anlamlı kılarken, analiz ederken ya da
olası sonuçları tahmin ederken düşünce üretirler.
Dolayısı ile bireyler arası yarışmalarda problemlerin
çözümünde düşünce üretiminin öne çıkarılması
önemli bir göstergedir.
Hemen her olguda olduğu gibi doğru düşünme
kurallarının ortaya çıkması da tarih içinde bir
gelişim izlemiştir. Buna bir başlangıç noktası
seçilemez. Ancak, Antik Çağ’dan günümüze gelen
kanıtlarda mantık ile uğraşan düşünürlerin var
olduğu görülmektedir. Bunlar arasında, mantık
biliminin oluşmasında en etkili olanı Aristoteles
(Aristo)’dur. MÖ 600-300 yıllarında ortaya çıkan
usa vurma kurallarını Aristoteles sistemleştirmiştir.
Organon (Alet) adlı 14 “usa vurma kuralı, syllogism
(selocizm)” ortaya koymuştur. Bu kurallar,
bugünkü biçimsel mantığın temellerini
oluşturmaktadır ve 2000 yılı aşkın bir zaman dilimi
içinde insanoğlunun düşünme ve doğruyu bulma
eylemini etkilemiştir. Organon, insanlığa bırakılmış
en büyük miraslardan biridir. Kısacası yaşamımız
boyunca düşünme, hepimiz için çok önemlidir.
Ancak ondan da önemlisi oluşturulan düşüncenin
dayanaklarının doğru, kanıtlanmış, bilinen, görülen
ve elde edilen doğrulardan yola çıkılarak üretilmiş
olmasıdır. Düşüncenin bir başka özelliği
karşısındakini de düşünce üretmeye yöneltmesidir.
Böylesine anlamlı düşünme ve akıl yürütme yoluna
“Mantık” dendiği bilinmektedir.
Öyleyse mantık, temelleri yaklaşık 2500 yıl önce
Aristo tarafından atılan, günümüze kadar
sürekli geliştirilen, anlamlı ve sistemli düşünce
üretme kurallarına dayanan bir yapıdır, denebilir.
Günümüzde mantık, “Aristo Mantığı” ve “Sembolik
Mantık” adlı iki ana başlık altında işlenmektedir.
Yine bilindiği gibi “Sembolik Mantık” da kendi
içinde iki alt başlığa ayrılmaktadır.
Terim ve Tanım
Bir bilim dalıyla ilgili özel anlam içeren sözcüklere,
o bilim dalının terimleri denir.
Bir terimin anlamını belirlemeye o terimi
tanımlamak denir. Matematikte herhangi bir terim
kendisinden önce tanımlanmış olan terimlerden
yararlanılarak tanımlanırsa bu terime tanımlı terim
adı verilir.
Bazı terimleri ise tanımlayamayız, sezgi yoluyla
kavrarız. Bu terimlere tanımsız terimler adı verilir.
Nokta terimi tanımsız bir terimdir. Buna karşılık
eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları eşit olan
üçgen şeklinde tanımlanan bir tanımlı terimdir.
Tanımın Özellikleri
1. Tanım, tanımsız terimlere ya da daha önce
tanımlanmış terimlere dayanmalıdır.
2. Tanım, daha önce (başka terimler İçin)
yapılan tanımlarla çelişmemelidir.
3. Tanım, terimi hiçbir şüphe bırakmayacak
kadar kesin olarak tanımlamalıdır.
Önerme: Doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren
ifadelere önerme adı verilir.
Önermeler p, q, r, s, t… gibi harflerle isimlendirilir.
Matematiksel mantık önermelerle
uğraşır. Her önerme bir yargı, bir bildirim, bir
bilgidir.
Önermelerin Doğruluk Değeri
Bir önermenin doğru ya da yanlış olması, bu
önermenin doğruluk değeridir. Önerme doğru ise
doğruluk değeri “1” ya da “D” ile, yanlış ise
doğruluk değeri “0” ya da “Y” ile gösterilir.
Doğruluk değerleri genellikle doğruluk tablosu
denilen bir tablo ile gösterilir.
Matematikçilerin çok kullandığı bu alt başlıklardan
biri Önermeler Mantığı diğeri de Niceleyiciler
Mantığı’dır.
Bilim dallarının tümünde ana dayanak olarak
mantıklı düşünce kullanılır. Bilimin kavramlarını
1
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
Birbirinden bağımsız n tane önermenin doğruluk
tablosunda 2n tane farklı değer satırı bulunur.
p q Böyle bir tablo oluşturmak için:
1. Önce bağımsız önerme sayısı tespit
1 1
edilir. Bağımsız önerme sayısı n ise
1 0
tabloya
tane değer satırı ve önerme
0 1
sayısı kadar sütun çizilir. İlk n sütuna
0 0
bağımsız değer alan önermeler yazılır.
2. İlk sütunda satırların ilk yarısı 1, diğer yarısı 0 ile
doldurulur.
3. İkinci sütunda, ilk sütunda 1 olan satırların ilk
yarısı 1, ikince yarısı 0; ilk sütunda 0 olan satırların
ilk yarısı 1, ikinci yarısı 0 olarak doldurulur.
4. Bağımsız değer alan önermelere ait satırlar bir
önceki sütuna bakılarak 3. adıma benzer şekilde
doldurulur.
5. Bağımsız değer alamayan önermelere ait satırlar
bağlaç ve değilleme kurallarına göre doldurulur.
“VE” İLE “VEYA” BAĞLAÇLARININ
ÖZELLİKLERİ
Her p, q, r önermesi için,
1. p ∨ p ≡ p ve p ∧ p ≡ p (Tek kuvvet özelliği)
2. p ∨ q ≡ q ∨ p ve p ∧ q ≡ q ∧ p (Değişme
özelliği)
3. (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) ve (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧
(q ∧ r) (Birleşme özelliği)
4. p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ve p ∨ (q ∧ r)
≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (Soldan dağılma özelliği)
özellikleri vardır.
De Morgan Kuralları
Her p ve q önermesi için,
(p ∨ q)ˊ ≡ pˊ ∧ qˊ ve
(p ∧ q)ˊ ≡ pˊ ∨ qˊ dir.
Bu denklikleri ilk bulan Augustus De Morgan
(Ogust Dö Morgın) olduğu için, bu kurallara
De Morgan Kuralları denir.
Denk Önermeler
Doğruluk değeri aynı olan önermelere denk
önermeler adı verilir. Denklik ≡ şeklinde gösterilir.
"Senenin dokuzuncu ayındayız" önermesi ile "Eylül
ayındayız" denk önermelerdir.
İSE BAĞLACI (Koşullu Önerme) “⇒”
İse bağlacı ⇒ sembolü ile gösterilir. İse bağlacı ile
bağlanmış p ile q önermeleri p ⇒ q biçiminde
yazılır. p ise q diye okunur. p ⇒ q bileşik
önermesine koşullu önerme denir.
p ⇒ q önermesinde verilen p ve q önermelerinin;
Yerleri değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q
önermesinin karşıtı denir. p ⇒ q önermesinin karşıtı
q ⇒ p olarak gösterilir.
Olumsuzları alınarak elde edilen önermeye p ⇒ q
önermesinin tersi denir. p ⇒ q önermesinin tersi
pˊ ⇒ qˊ olarak gösterilir.
Hem olumsuzları alınıp hem de yerleri
değiştirilerek elde edilen önermeye p ⇒ q
önermesinin karşıt tersi denir. p ⇒ q önermesinin
karşıt tersi qˊ ⇒ pˊ olarak gösterilir.
 p ve q önermeleri için p ⇒ q ≡ pˊ ∨ q dur.
Bir Önermenin Olumsuzu (Değili)
Hükmünün olumsuzu alınarak oluşturulan yeni
önerme, bu önermenin olumsuzu (değili) olarak
adlandırılır. p önermesinin değili veya olumsuzu ve
p' şeklinde gösterilir.
( )
Bir önerme ile değilinin değili denktir:
"Ev sıcak" önermesinin değili, "ev sıcak
p pˊ
değil";
1 0
"a = 5" önermesinin değili “a≠5”
0 1
önermesidir.
BİLEŞİK ÖNERMELER
İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ise, ancak
ve ancak gibi bağlaçlarla birleştirilmesinden elde
edilen önermelere bileşik önerme adı verilir.
Bileşik olmayan önermelere basit önerme denir.
p q p∧q p∨q p⇒q p⇔q
1 1
1
1
1
1
1 0
0
1
0
0
0 1
0
1
1
0
0 0
0
1
1
0
0∨0≡0 diğer hallerde 1
1∧1≡1 diğer hallerde 0
1⇒0≡0 diğer hallerde 1
1⟺1≡1 veya 0⟺0≡1 diğer hallerde 0
ANCAK VE ANCAK BAĞLACI (İki Yönlü
Koşullu Önerme) “⇔”
Ancak ve ancak bağlacı ⇔ sembolü ile gösterilir.
Ancak ve ancak bağlacı ile bağlanmış p ile q
önermeleri p ⇔ q biçiminde yazılır. p ancak ve
ancak q diye okunur.
 Her p ve q önermeleri için,
p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) dir.
TOTOLOJİ VE ÇELİŞKİ
Bileşenlerinin doğruluk değerlerinden bağımsız
olarak, her zaman doğru olan bileşik önermelere
2
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
totoloji; bileşenlerinin doğruluk değerlerinden
bağımsız olarak, her zaman yanlış olan bileşik
önermelere ise çelişki denir.
Teoremin hipotezinin doğruluğundan yola çıkarak
hükmünün de doğru olduğunun gösterilmesine
doğrudan ispat yöntemi denir.
Hükmün olumsuzundan hareketle hipotezin
olumsuzunu elde etmeye olmayana ergi yöntemi
ile ispat denir.
Hipotezin doğru olduğu kabul edilip hükmün
olumsuzunun hipotez ile çeliştiğinin gösterilmesine
çelişki yöntemi ile ispat denir.
Bir önermenin yanlışlığı için olumsuz bir örnek
bulunarak ispatlama yöntemine aksine örnek
vererek ispat yöntemi denir.
AÇIK ÖNERMELER
İçinde en az bir değişken bulunduran ve bu
değişkenin aldığı değerlere göre doğru ya da yanlış
hüküm bildiren önermelere açık önerme denir.
Değişkenin açık önermeyi doğrulayan değerlerinin
kümesine açık önermenin doğruluk kümesi denir.
Denklem ve eşitsizlikler de birer açık önermedir.
“HER” VE “BAZI” NİCELEYİCİLERİ “∀” VE
“∃”
Bazı niceleyicisi ∃ sembolü ile gösterilir, en az bir
anlamına da gelir. Bu niceleyiciye varlıksal
niceleyici denir.
Her niceleyicisi ∀ sembolü ile gösterilir. Bu
niceleyiciye evrensel niceleyici denir.
Bazı niceleyicisinin olumsuzu her niceleyicisi, her
niceleyicisinin olumsuzu da bazı niceleyicisidir.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
İSPAT YÖNTEMLERİ, TANIM, AKSİYOM
VE TEOREM
Doğruluğu ispatsız kabul edilen önermelere
aksiyom adı verilir.
p≡1 olmak şartıyla, p⇒q koşullu önermesi doğru ise
bu önermeye teorem denir.
p⇒q teoreminde, p önermesi hipotez, q önermesi
hüküm olarak isimlendirilir.
0⇒1 koşullu önermesi doğru olmasına karşın bir
teorem değildir.
Çünkü bir koşullu önermenin teorem olabilmesi için
hem kendinin hem de hipotezinin doğru olması
gerekir.
Bir teoremin hükmünün, hipotezinden elde
edilebileceğini, veya başka bir deyişle hükmün,
hipotezin bir sonucu olduğunu göstermeye ispat adı
verilir.
Bir teoremin ispatlanması için kullanılan çeşitli
yöntemler vardır.
Önemli Kurallar:
p∨1≡1
p∧1≡p
p∨0≡p
p∧0≡0
∨
∧
⇒
∨
p⇒q≡q'⇒p'
p⟺q≡(p⇒q)∧(q⇒p)
2. ÜNİTE: KÜMELER
Kümeler, matematiğin nesnelerden oluşan, iyi
tanımlanmış toplulukların özelliklerini inceleyen
dalıdır. Söz konusu nesneler matematiksel nitelikli
(ör. sayılar ya da fonksiyonlar) olabileceği
gibi böyle bir niteliği taşımıyor da olabilir. Kümeler
kuramı günlük yaşamda da kullanılmaktadır.
Ancak kuramın, karmaşık matematiksel
kavramların oluşturulmasında bir araç olarak
kullanımı daha önemlidir. Sezgisel olarak küme
kavramı, sayı kavramından daha önce
geliştirilmiştir. Bir sürüdeki hayvanların, hiçbir
sayma işlemi yapmaksızın bir torbadaki taş
parçalarıyla ya da bir çubuğa açılan çentiklerle
eşleştirilmesi buna bir örnek oluşturur. Matematik
dilinde uluslararası birlik sağlama gereksinimi on
dokuzuncu yüzyıl sonlarına doğru zorunlu hâle
geldi. Alman matematikçi George Cantor (Corç
Kantor) (1845 - 1918) sonlu ve sonsuz kümeleri
oluşturmak amacıyla ilk çalışmaları yapanlardan
biridir. Cantor matematiksel küme kavramı ile
uğraşmıştır. Aynı dönemlerde Bernard Bolzano
(Bernart Balzano) (1851), sayılabilme problemini
ortaya koyan sonsuz kümeler üzerine çalışmalar
yapmış ve yayımlamıştır.
Frege (Frek) 1893 yılında Aritmetiğin Temel
Yasaları isimli yapıtının ilk cildinde Cantor’unkine
3
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
çok yakın bir küme kavramı oluşturmuştur. Frege
çalışmalarında sayıların tanımını küme kavramına
dayalı olarak yeniden vermeyi denemiştir.
Küme, matematiğin en temel terimlerinden birisi
olmasına rağmen tanımsız bir terimdir.
Kümeleri göstermek için üç farklı yöntem vardır:
1. Liste Yöntemi: Liste yönteminde; küme adı
büyük harfle yazılır, küme parantezi
oluşturulur ({ >), kümenin elemanları
aralarına virgül koymak suretiyle parantez
içine sıralanır.
2. Venn Şeması yöntemi: Venn şeması
yönteminde; Venn şeması adı verilen kapalı
eğri çizilir, küme adı eğrinin dışına büyük
harfle yazılır, küme elemanları irice
noktalarla belirtilir, bu noktaların yanına
adları yazılır.
3. Ortak Özellik Yöntemi: Ortak özellik
yönteminde; küme adı büyük harfle yazılır,
küme parantezi oluşturulur ({ >), küme
elemanlarını temsil eden değişken yazılır ve
"öyle ki" şeklinde okunan “:” konur, küme
elemanlarının ortak özelliklerinin tamamı
yazılır.
Bir a elemanının, bir A kümesine:
1. Ait olduğunu göstermek için sembolü
kullanılır: a  A
2. Ait olmadığını göstermek için de  sembolü
kullanılır: a  A
Bir kümenin kendisinden farklı alt kümelerine öz alt
kümeleri adı verilir.
Bir A kümenin bütün alt kümelerinin kümesine
A’nın kuvvet kümesi denir ve P(A) ile gösterilir.
Alt Küme Sayısına Ait Temel Değerler
1. n elemanlı bir kümenin k elemanlı alt
kümelerinin sayısı C(n,k) kombinasyonuna
eşittir.
(
)
( )
(
)
2. Eleman sayısı n olan bir kümenin toplam 2n
tane alt kümesi, 2n − 1 tane öz alt kümesi
vardır.
Özellikleri
1. ( )
( )
2. ( )
(
3. ( )
( )
)
( )
Özel Alt Küme Sayılarının Bulunmasına Dair
Teoremler
1. n elemanlı herhangi bir A kümesinin
herhangi bir a elemanı, kümenin tüm alt
kümelerinin yarısında bulunur, diğer
yarısında bulunmaz.
2. n elemanlı herhangi bir A kümesinin
herhangi bir a elemanının bulunduğu alt
kümelerin yarısında herhangi bir b elemanı
bulunur, diğer yarısında bulunmaz.
3. n elemanlı herhangi bir A kümesinin
herhangi bir a elemanı, k elemanlı alt
kümelerin ( ) kadarında bulunur,
gerisinde bulunmaz (n > k).
4. s(A) = k, s(B) = n ve k < n olmak üzere,
AKB olacak şekilde
tane farklı K
kümesi yazılabilir.
SONLU VE SONSUZ KÜME
Sonlu sayıda elemandan oluşan kümelere sonlu
küme, sonlu sayıda elemandan oluşmayan
kümelere de sonsuz küme denir. Sonlu bir A
kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.
BOŞ KÜME
Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve
veya {} şeklinde gösterilir. Boş küme asla {0}
şeklinde gösterilmez.
ALT KÜME
Bir A kümesinin her elemanı, bir B kümesinin de
elemanı ise A kümesi B kümesinin alt kümesidir. A
kümesi, B kümesinin alt kümesi olduğunda B
kümesinin A kümesini kapsadığı söylenir.
A  B işareti A kümesinin B kümesinin alt kümesi
olduğu; B  A işareti ise B kümesinin A kümesini
kapsadığı anlamına gelir.
Her küme kendinin bir alt kümesidir. Boş küme her
kümenin alt kümesidir.
Örnek: 5 elemanlı A = {1,2,3,4,5} kümesinin
toplam
alt kümesinin yarısında, yani 16
tanesinde 1 elemanı bulunur, 16 tanesinde ise
bulunmaz.
A kümesinin 1 elemanını bulunduran 16 alt
kümesinin yarısında, yani 8 tanesinde 2 elemanı
bulunur, 8 tanesinde ise bulunmaz.
4
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
A kümesinin 1 elemanını bulundurup 2 elemanını
bulundurmayan 8 alt kümesinin yarısında, yani 4
tanesinde 3 elemanı bulunur, 4 tanesinde bulunmaz.
4 elemanlı A = {a, b, c, d} kümesinin c elemanı 3
elemanlı alt kümelerin
( )
(
3. Birleşme özelliği
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C ve
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
4. Dağılma özelliği
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ve
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
)
tanesinde bulunur; C(4,3)-3=1 tanesinde bulunmaz.
Boş küme ilişkileri
A∪ = ∪A=A ve A∩ = ∩A=
Örnek: A = {a, b, c, d, e} kümesinin kaç tane alt
kümesinde a ve c elemanlarından en az birinin
bulunacağını bulalım.
A kümesinin
tane alt kümesi vardır. Buna
göre, 32:2 = 16 alt kümede a elemanı; 16:2 = 8 alt
kümede a ve c elemanı bulunmaz. Öyleyse 32-8=24
alt kümede a ve c elemanlarından en az biri
bulunur.
Kapsama ilişkileri
1. A∪B=B⟺A⊂B
2. A∩B=A⟺A⊂B
3. A⊂A∪B ve B⊂A∪B
4. A∩B⊂A ve A∩B⊂B
BİRLEŞİM KÜMESİNİN ELEMAN SAYISI
A ve B kümesinin birleşim kümesinin eleman
sayısı,
s(A∪B)=s(A)+s(B) – s(A∩B)
A, B ve C kümelerinin birleşim kümesinin eleman
sayısı,
s(A∪B∪C)= s(A)+s(B)+s(C) – s(A∩B) – s(A∩C) –
s(B∩C)+s(A∩B∩C) bağıntıları ile bulunur.
Örnek: A = {1,2,3} ve B = {1,2,3,4,5} olmak
üzere, ACB şartını sağlayan kaç farklı C kümesi
yazılabileceğini bulalım.
s(A) = 3, s(B) = 5 olduğuna göre, C kümesi
farklı şekilde oluşturulabilir.
DENK VE EŞİT KÜMELER
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler;
eleman sayıları aynı olan kümelere denk kümeler
denir.
Herhangi A ve B kümesinin eşitliği A = B, denkliği
ise A ≡ B biçiminde ifade edilir.
Eşit iki küme daima denktir.
EVRENSEL KÜME VE TÜMLEME
Kümelerle yapılan işlemlerde işleme katılan, tüm
kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme
denir ve E ile gösterilir.
A kümesinde olmayan fakat E kümesinde olan
elemanların oluşturduğu kümeye A kümesinin
tümleyeni denir ve bu küme A' ile gösterilir. A
kümesi ve A' kümesinin hiç ortak elemanı yoktur.
A kümesi ile A' kümesinin eleman sayıları ile E
kümesinin eleman sayıları arasında s(A)+s(A')=s(E)
bağıntısı vardır.
KÜMELERDE İŞLEMLER
A ve B kümelerinin elemanları ile oluşturulabilen
en geniş kümeye A ve B kümelerinin birleşim
kümesi adı verilir ve A∪B şeklinde gösterilir.
A∪B={x: x A ∨ x B}
A ve B kümelerinin ortak elemanları ile oluşturulan
kümeye A ve B kümelerinin kesişim kümesi adı
verilir ve A∩B şeklinde gösterilir.
A∩B={x: x A ∧ x B}
İkiden fazla kümenin kesişimi benzer şekilde
tanımlanır. Kesişim kümeleri boş olan kümeler
ayrık kümeler olarak adlandırılır.
Evrensel kümenin özellikleri
1. E'= ve '=E
2. A∪E=E ve A∩E=A
Tümleyen Küme
A kümesinin elemanı olmayan evrensel küme
elemanlarının oluşturduğu kümeye A kümesinin
tümleyen kümesi denir ve A' şeklinde gösterilir.
Kümelerde Birleşim ve Kesişim İşleminin
Özellikleri
1. Tek kuvvet özelliği
A∪A=A ve A∩A=A
2. Değişme özelliği
A∪B=B∪A ve A∩B=B∩A
A'={x : x
5
E ˄ x∉A}
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
Tümleyen kümenin özellikleri
1. (A') = A
2. A∪A'=E s(A) + s(A') = E
3. A∩A'=
SIRALI İKİLİ
(a, b) sıralı ikilisinde a ya sıralı ikilinin birinci
bileşeni, b ye ise ikinci bileşeni denir. (a, b) sıralı
ikilisi ile (b, a) sıralı ikilisi birbirinden farklıdır.
Sıralı ikililerin eşitliği,
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ∧ b = d biçiminde ifade
edilir.
De Morgan kuralları
1. (A∪B)'=A'∩B'
2. (A∩B)'=A'∪B'
İKİ KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI
Boş kümeden farklı A ve B kümeleri için 1. bileşeni
A kümesinden, 2. bileşeni B kümesinden olmak
üzere yazılan tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B
kümelerinin kartezyen çarpım kümesi denir ve
A x B ile gösterilir.
Bu durum, A x B = { (x, y) | x A ∧ y B }
biçiminde ifade edilir.
Ayrıca s(A x B) = s(A).s(B) dir.
İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olan fakat B kümesinde olmayan
elemanların kümesine A fark B kümesi denir ve
A – B biçiminde gösterilir. B kümesinde olan fakat
A kümesinde olmayan elemanları n kümesine de B
fark A kümesi denir ve B – A biçiminde gösterilir.
3. ÜNİTE: BAĞINTI - FONKSİYON – İŞLEM
Fonksiyon terimi, “bir çokluğun bir başkasına bağlı
olarak değişmesi” anlamıyla ilk kez 1673 yılında
Leibniz (Laybniz) tarafından kullanıldı. Leibniz
buna örnek olarak,
• Dairenin alanının r yarıçapına bağlı olarak r nin
bir fonksiyonu,
• Serbest düşen bir topun hızının yere değinceye
kadar geçen t zamanına bağlı olduğunu, hızın
zamanının fonksiyonu olduğunu göstermiştir. Aynı
yıllarda Euler (Öylır), fonksiyonu harflerle
göstermek için formüller arıyordu. Sonunda, f
fonksiyonu göstermek üzere, y = f(x) bağıntısını
uygun buldu. Bunun “y, x in bir fonksiyonudur.”
biçiminde okunmasını istemiştir. Buradaki x e “f
nin bağımsız değişkeni” ve y ye “f nin bağımlı
değişkeni” denir.
Dirichlet (Dirihle) de fonksiyonu, bir kural içermesi
ve bir kümenin her bir elemanını, diğer kümenin
sadece bir elemanı ile eşleme olarak tanımladı.
1939’da fonksiyon ile ilgili matematik
programlarında kullanılan en iyi tanım Bourbaki
(Burbek)’in küme teorisi anlamında düzenlediği bir
tanımdır. Bu tanım şöyle idi:
“A ile B ayrık olan ya da ayrık olmayan ve boş
olmayan iki küme olsun. Eğer A kümesindeki
tüm x lerin her birine, f ile verilen bağıntı ile B
kümesindeki sadece bir tek y karşılık geliyorsa
verilen bağıntı, A nın x değişken elemanları ile B
nin y değişken elemanları arasındaki fonksiyon
olarak adlandırılır.” Günümüzde kullandığımız
fonksiyon tanımı Dirichlet - Bourbaki tanımı olarak
bilinmektedir.
Kartezyen çarpımının özellikleri:
A, B ve C boş kümeden farklı kümeler olmak üzere,
1. A x B ≠ B x A
2. A x = x A =
3. A x (B ∪ C) = (A x B) ∪ (A x C)
4. A x (B ∩ C) = (A x B) ∩ (A x C)
5. A x B = ⇒ A = veya B = özellikleri
vardır.
BAĞINTI
A x B kümesinin alt kümelerinin her birine A dan B
ye bir bağıntı denir. β kümesi A dan B ye bir
bağıntı ise β ⊂ (A x B) olarak ifade edilir. (x, y) β
ise y elemanı β bağıntısı ile x e bağlıdır ve bu
durum y β x şeklinde gösterilir.
Eğer β, A x A nın bir alt kümesi ise β ya A dan A
ya bağıntıdır veya β, A da tanımlı bir bağıntıdır
denir.
A x B kümesinin alt kümelerinin her biri A dan B
ye bağıntı sayısı, AxB kümesinin alt küme sayısına
eşittir. O hâlde A dan B ye bağıntı sayısı: 2s(A).s(B)
dir.
BİR BAĞINTININ TERSİ
A ve B boş kümeden farklı olmak üzere β, A dan B
ye bir bağıntı olsun. β bağıntısındaki elemanların
bileşenlerinin yerleri değiştirilerek elde edilen yeni
bağıntıya β bağıntısının tersi denir ve β−1 ile
gösterilir. β−1 bağıntısı B den A ya tanımlıdır. Bu
durumda,
β = { ( x, y) | x A ∧ y B } ⊂ A x B
β−1 = { ( y, x) | x A ∧ y B } ⊂ B x A olur.
6
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
Her β bağıntısının grafiği aynı düzlemde y = x
doğrusuna göre simetriği β−1 bağıntısının grafiğidir.
FONKSİYONLAR
A ≠ ve B ≠ olmak üzere, A kümesinin her
elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına
eşleyen f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyondur
denir.
BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
A ≠ olmak üzere, β ⊂ A x A olsun.
1. Yansıma özelliği: ∀x A için (x, x) β
oluyorsa β bağıntısına yansıyan bağıntı veya
β bağıntısının yansıma özelliği vardır denir.
Analitik düzlemde y=x doğrusu üzerinde
bulunan tüm elemanlar β bağıntısına ait ise
β yansıyandır.
s(A)=n ise A’ da ( ) tane yansıyan,
(
)
tane yansıyan olmayan
bağıntı vardır.
Yukarıdaki şemada verilen A dan B ye f
fonksiyonu, f : A → B, A → veya f : x → y
biçiminde gösterilir. y = f(x) yazılır.
x A ve y = f(x) B dir.
A kümesine fonksiyonun tanım kümesi,
B kümesine fonksiyonun değer kümesi ve
f(A) kümesine de fonksiyonun görüntü kümesi
denir.
2. Simetri özelliği: ∀(x, y) β iken (y , x) β
oluyorsa β bağıntısına simetrik bağıntı veya
β bağıntısının simetri özelliği vardır denir.
Analitik düzlemde β simetrik ise β ve β-1
aynı kümededir. Analitik düzlemde β ;
köşegene göre simetrik ise β simetriktir.
(
s(A)=n ise A’ da
(
UYARI: Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için
gerekli şartları akılda tutmak için aşağıdaki yöntem
düşünülebilir.
Bir anaokulunda anne ve çocukları arasında bir
eşleme yapılmaktadır. Çocuklar tanım, anneler
değer kümesinde olmak üzere.
 Bir çocuğun iki annesi olamaz.
 Annesiz çocuk olmaz.
f : A → B ve g : A → B iki fonksiyon olmak üzere,
∀x A için f(x) = g(x) ise f ile g fonksiyonlarına
eşit fonksiyonlar denir. f = g şeklinde gösterilir.
)
tane simetrik,
)
tane simetrik olmayan
bağıntı vardır.
3. Ters simetri özelliği: ∀(x, y) β iken (y ,
x) ∉ β ve y ≠ x ise β bağıntısına ters simetrik
bağıntı veya β bağıntısının ters simetri
özelliği vardır denir.
β simetrik değilse ters – simetriktir
denilemez. Ters – simetrik bir bağıntının
grafiğinde köşegene göre simetrik elemanlar
bulunamaz. Köşegen üzerinde eleman
bulunması ise ters simetri özelliğini bozmaz.
(
Dikey doğru kriteri: Bir fonksiyonun grafiğinde y
eksenine çizilen her paralel doğru, eğriyi yalnız ve
yalnız bir noktada keser. Verilen bir grafiğin
fonksiyon grafiği olup olmadığını anlamak için, y
eksenine paralel çizilen doğruların bu grafiği kaç
noktada kestiğine bakmak yeterlidir.
)
s(A)=n ise A’ da
tane
ters – simetrik bağıntı vardır.
4. Geçişme özelliği: ∀(x, y) β ve ∀(y, z)
iken (x, z) β oluyorsa β bağıntısına
geçişken bağıntı veya β bağıntısının
geçişme özelliği vardır denir. (a, b) β
olmasına karşılık, β bağıntısında b ile
başlayan bir eleman yoksa β bağıntısı
geçişken olmaya devam eder.
Denklik Bağıntısı
1. Yansıma
2. Simetri
3. Geçişme
β
Sıralama Bağıntısı
1. Yansıma
2. Ters - Simetri
3. Geçişme
7
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
FONKSİYON ÇEŞİTLERİ
BİRE BİR FONKSİYON (1 - 1)
Tanım kümesinin farklı elemanlarını görüntü
kümesindeki farklı elemanlara eşleyen fonksiyona
bire bir fonksiyon denir.
f : A → B fonksiyonu 1-1 ise bu durum,
∀x1, x2 A için,
x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) veya f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
dir.
DOĞRUSAL FONKSİYON
Elemanları bir doğru üzerinde bulunan fonksiyona
doğrusal fonksiyon denir. Doğrusal fonksiyon
m, n R olmak üzere f: R → R, f(x) = mx + n
biçiminde ifade edilir.
Yatay Doğru Kriteri: f:A→B fonksiyonunun,
örten, içine veya bire bir olduğunu anlamak için,
değer kümesindeki elemanlardan OX eksenine
paralel doğrular çizilir.
a) ∀a B için, denklemi y=a olan doğrular,
fonksiyonun grafiğini daima keserse
fonksiyon örtendir.
b) ∀a B için, denklemi y=a olan doğrular,
fonksiyonun grafiğini bazen keser bazen
kesmezse fonksiyon içinedir.
c) ∀a B için, denklemi y=a olan doğruların
eğriyi kesmesi durumunda, kesim noktası
daima bir tane ise fonksiyon bire bir, birden
fazla ise bire bir değildir.
UYARI: s(A)=n, s(B)=m olmak üzere;
 A’dan B’ye fonksiyon sayısı mn dir.
 A’dan B’ye fonksiyon olmayan bağıntı
sayısı 2n.m − mn dır.
 A’dan B’ye birebir fonksiyonların sayısı
i) n ≤ m ise P(m,n)
ii) n > m ise 0 dır.
 A’dan A’ya tanımlanan birebir ve örten
fonksiyonların sayısı n! dir.
 A’dan A’ya tanımlanan içine fonksiyonların
sayısı nn − n! dir.
 A’dan B’ye tanımlanan sabit fonksiyonların
sayısı m dir.
ÖRTEN FONKSİYON
Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan
fonksiyona örten fonksiyon denir.
f:A→B, ∀y B için, f(x)=y olacak biçimde ∃x A
dır.
Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.
İŞLEM
A ≠ olmak üzere A x A nın boş olmayan bir β alt
kümesinden herhangi bir B kümesine tanımlı her
fonksiyona bir ikili işlem veya kısaca işlem denir.
A x A nın boş kümeden farklı bir β alt kümesinden
A kümesine tanımlı her fonksiyona da A da bir ikili
işlem ya da kısaca A da işlem denir.
BİRİM (ÖZDEŞLİK) FONKSİYONU
A boş kümeden farklı bir küme olmak üzere, A dan
A ya (A da) tanımlı her elemanı kendine eşleyen
fonksiyona birim fonksiyon denir.
I: A → A, I(x) = x biçiminde ifade edilir.
SABİT FONKSİYON
Görüntü kümesi bir elemanlı olan fonksiyonlara
sabit fonksiyon denir.
f sabit fonksiyon ise f: R→R, ∀x R için f(x) = c
(c R) şeklinde ifade edilir.
UYARI: a, b, c, d R ve a≠0, c≠0 için
( )
sabit fonksiyon ise
dir.
İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
1. Kapalılık Özelliği: Herhangi bir A
kümesinde Δ işlemi tanımlandığında, ∀x, y
A için x Δ y A oluyorsa Δ işleminin A
kümesinde kapalılık özelliği vardır ya da A
kümesi Δ işlemine göre kapalıdır denir.
2. Değişme Özelliği: Herhangi bir A
kümesinde � işlemi tanımlandığında,
∀x, y A için x � y = y � x oluyorsa A
kümesinde � işleminin değişme özelliği
vardır denir.
8
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
3. Birleşme Özelliği: Herhangi bir A
kümesinde Δ işlemi tanımlandığında,
∀x, y, z A için (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z)
oluyorsa A kümesinde Δ işleminin birleşme
özelliği vardır denir.
4. Dağılma Özelliği: Herhangi bir A
kümesinde Δ ve � işlemleri
tanımlandığında,
∀x, y, z A için
x Δ (y � z) = (x Δ y) � (x Δ z) oluyorsa A
kümesinde Δ işleminin � işlemi üzerine
soldan dağılma özelliği vardır denir.
∀x, y, z A için
(y � z) Δ x = (y Δ x) � (z Δ x) oluyorsa A
kümesinde Δ işleminin � işlemi üzerine
sağdan dağılma özelliği vardır denir.
5. Etkisiz (Birim) Eleman Özelliği: Boş
olmayan bir A kümesinde Δ işlemi verilsin.
∀x A için x Δ e = e Δ x = x koşulunu
sağlayan e A sayısına Δ işleminin etkisiz
(birim) elemanı denir. İşlemin varsa etkisiz
elemanı bir tanedir. İşlemin birleşme
özelliği yoksa etkisiz elemanı yoktur.
6. Ters Eleman Özelliği: Boş kümeden farklı
bir A kümesinde Δ işlemi verilsin. İşlemin
etkisiz elemanı e olsun.
∀x A için x Δ x−1 = x−1 Δ x = e koşulunu
sağlayan x−1 sayısına x in tersi denir. Bir
elemanın tersi varsa bir tanedir.
7. Yutan Eleman Özelliği: Boş kümeden
farklı bir A kümesinde � işlemi
tanımlandığında eğer,
∀x A için x � m = m � x = m olacak
şekilde m A varsa bu m elemanına �
işleminin yutan elemanı denir. Yutan
elemanın tersi yoktur.
Sonuçlarda görünen baş sütun ile baş satırın
kesiştiği noktadaki eleman etkisiz elemandır.
Bir b elemanının � işlemine göre tersi bulunurken
baş sütundaki b den satırca hareketle etkisiz eleman
c ye ulaşılır. Buradan sütunca hareketle baş satıra
çıkıldığında b nin tersi elde edilir. b−1 = d dir.
A = { a, b, c, d } kümesinde tanımlı � işlemi tablo
ile verildiğinde,
Tablodaki elemanlar köşegene göre simetrik ise
işlemin değişme özelliği, işlemin sonuçlarının
tamamı A kümesinin elemanı ise işlemin kapalılık
özelliği vardır.
9
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ
f: A→B, g: B→C tanımlı fonksiyonlar olmak üzere
A→C yazılabilecek fonksiyona g bileşke f
fonksiyonu denir ve gof biçiminde gösterilir ve
(gof )(x) = g [ f(x) ] dir.
Kuralı verilen bir fonksiyonun tersini bulmak için
y = f(x) denkleminden x çekilip sonra y nin yerine x
yazılır.
Özel olarak; a, b, c, d R ve a≠0, c≠0 olsun.
( )
( )
⇒
dır.
f ve g fonksiyonlarını gerçek sayılar üzerinde işlem
yapan makineler olarak düşünürsek girdi x, çıktı
(gof )(x) olur.
UYARI:
1. (fog)–1 = g–1of–1
2. fof–1 = f–1of = I ( I: birim fonksiyon )
3. fog = h ⟹ f = hog–1 ve g = f–1oh
GRAFİĞİ VERİLEN BİR FONKSİYONUN
BAZI DEĞERLERİNİ BULMA
y = f(x) fonksiyonunun grafiği üzerindeki bir nokta
(a , b) ise b = f(a) dır.
UYARI:
1. fog ≠ gof
2. fo(goh) = (fog)oh
A sonlu veya sonsuz aralık olmak üzere f: A→R
fonksiyonu verilsin.
Eğer ∀ x1, x2 A, x1 < x2 için f(x1) < f(x2) ise f
fonksiyonuna kesin artan fonksiyon denir.
Eğer ∀ x1, x2 A, x1 < x2 için f(x1) > f(x2) ise f
fonksiyonuna kesin azalan fonksiyon denir.
Kesin artan ve kesin azalan fonksiyonlar bire bir ve
örtendir.
BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE
GÖRE TERSİ
Genel olarak f: A→B, 1-1 ve örten fonksiyonunun
görüntü kümesindeki elemanları A kümesindeki
aynı elemanlara eşleyen g: B→A, 1-1 ve örten
fonksiyona f fonksiyonunun tersi denir ve g = f −1
biçiminde gösterilir.
Buna göre aşağıdaki şemadan da görülebileceği
gibi, f(x) = y ⇔ f −1(y) = x ve (f −1)−1 = f olur.
Bir f fonksiyonunun grafiği ile f−1 fonksiyonunun
grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
10
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
Babilliler, 59’dan büyük sayıları da basamak
düşüncesinden yararlanarak yazdılar. 60 sayısını
taban olarak kullandılar. Gruplamalarını 60’lık
olarak yani 60x2=120 ... şeklinde yaptılar.
Böylece ilk kez sayılarda basamak düşüncesini
geliştirmiş oldular. Babilliler, sayıları yazarken iki
tane sembol ve bulunmayan basamakların yerini
doldurmak için de (( : )) işaretini kullanmışlardır.
Babil rakamları arasında da sıfır rakamını gösteren
bir sembol yoktur. Buradan Babillilerin rakamları
sağdan sola doğru yazarak ifade ettikleri
anlaşılmaktadır.
Bilindiği gibi günümüzde, sayıları belirten standart
hâlde rakam ve sözcükler vardır. Sayılar, hem 1, 2,
3, ... gibi sembollerle hem de bir, iki, üç, ... gibi
kelimelerle ifade edilebilmektedir. Dört adet
kalemi, “dört kalem” kelimesi ile belirtip “4”
rakam› ile gösterebiliyoruz.
4. ÜNİTE: SAYILAR
Matematik öğrenirken gelişme sağlayabilmek için
kavramlardan birini diğeri ile ilişkilendirmek çok
önemlidir. Sayı kavramı, matematiksel kavramların
başında yer alır. Eğer sayı kavramı tam olarak
algılanır ise sonraki öğrenmelerde karşılaşılacak
pek çok sıkıntı başlangıçta giderilmiş olacaktır.
Sayılar ilk çağlardan beri insanların yaşamında çok
önemli bir yer tutmuştur. İlk Çağ insanları, sayılar
için kil tabletler üzerine çizikler kazımaya ya da
kesilmiş ağaç dalına çentik yapmaya başlamakla ilk
kez sayıları yazılı olarak ifade etmiş oluyorlardı.
Kullanılan bu işaretler, rakam ve sayıların ilk yazılı
ifadeleridir. Bunların yanında, sayıları belirtmek
için değişik ses ve kelimeler de kullanmışlardır.
Bilinen en eski sayma sistemlerinden biri, Eski
Mısırlılara aittir. Eski Mısırlıların kullandıkları
resim yazısının (hiyeroglif) başlangıç tarihi, MÖ
3300 yılına kadar gider. Bir başka deyişle Mısırlılar
yaklaşık 5300 yıl önce, milyona kadar olan sayıları
kapsayan bir sistem geliştirmişlerdir. Mısırlılara ait
sayma sistemi, İlk Çağ mağara insanının önceleri
kullandığı sayma sisteminin gelişmiş şeklidir.
Eski Mısır aritmetiği hakkındaki bilgilerimiz,
zamanımıza kadar ulaşmış papirüs tomarlarından
elde edilmektedir. Bugün bu papirüsler bilim
tarihinde, MÖ 1900-1800 yılları için adlandırılan,
Kahun (Kaun) ve Berlin papirüsleri ile MÖ 1700 ile
1600 yılları için adlandırılan, Hiksoslar devrinden
(MÖ 1788-1580) kalma Rhind (Rind) ve Moskova
papirüsleridir.
Mezopotamyalılarda rakamlar, çivi yazısında
görülen çivi ya da oduncu kamasına benzeyen
şekillerden oluşmaktadır. Bu işaretlerin
(sembollerin) uygun biçimde, yan yana ya da büyük
sayıları gösterebilmek için toplu olarak yazılması
suretiyle 60’a kadarki sayıların gösterimi
yapılabiliyordu. Bu tür yazım biçiminde, 0.1 ile
0.01 gibi rakamların arasındaki farkı anlamak bir
hayli güçtü. Bunu anlayabilmek için metin ve konu
yardımıyla sonuç çıkarma yollarına gidilirdi.
Mezopotamyalılar, sıfır sembolünü
kullanmamışlardır. Ancak astronomide bu amaçla
özel bir sembol kullandıkları anlaşılmaktadır.
MÖ 2000 yıllarında Mezopotamya’da yaşayan
Babillilerin, bilimin birçok dalında oldukça ileri bir
seviyeye ulaşmış oldukları bilinmektedir. Öyle ki
Babil şehrini zamanın bilim merkezi hâline
getirmişlerdir. Özellikle matematik ve astronomide
çok ilerlemişlerdir.
DOĞAL SAYILAR
Doğal sayılar, N={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …} şeklinde
sıralanan tam sayılardır. Negatif değer almazlar.
Bazı kaynaklarda "0" doğal sayı olarak alınmaz.
Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp
alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer
cebirsel yapılar yapılmak isteniyorsa "0" sayısının
doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir.
Matematiğin diğer dallarında da problem hangi
durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal
sayılar kümesi de o şekilde alınır.
Doğal sayının Peano belitleri tanımı;
 Sıfır bir doğal sayıdır.
 Her doğal sayının, yine bir doğal sayı olan
bir ardılı vardır.
 Ardılı sıfır olan hiç bir doğal sayı yoktur.
 Ardılları eşit olan doğal sayılar da birbirine
eşittir.
 Doğal sayılardan oluşan bir küme, sıfırı ve
her doğal sayının ardılını içeriyorsa o küme
doğal sayılar kümesine eşittir.
Rakam: Sayıları yazmaya yarayan sembollerdir.
Onluk sayma sisteminde 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
rakamları kullanılır.
Sayı: Bir çokluğu ifade edecek şekilde, rakamların
tek başına ya da birlikte kullanılmasıyla oluşturulan
ifadelerdir. 2, –5, 19, 0, ,
, √ , π, e, √ ifadeleri
birer sayıyı gösterir.
11
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
Sayma Sayıları Kümesi (N+ )
N+ = S = {1, 2, 3, ..... }
BİR DOĞAL SAYININ HERHANGİ BİR
TABANA GÖRE YAZILMASI
Doğal Sayılar Kümesi (N)
N = {0, 1, 2, 3, ..... }

Tam Sayılar Kümesi (Z)
Z– = {..., –3, –2, –1} negatif tam sayılar kümesi,
Z+ = {1, 2, 3, ... } pozitif tam sayılar kümesidir.
Z = Z– ∪ {0 } ∪ Z+ = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ... }
132 sayısının 5 tabanındaki yazılışını bulalım.
Rasyonel Sayılar Kümesi (Q)
Q = { : a Z, b Z ve b ≠ 0 }
132 = (1012)5 bulunur.

İrrasyonel Sayılar Kümesi (Q' )
Rasyonel olmayan sayılar kümesidir.
√ √ , π, e , ..... gibi
Reel (Gerçel) Sayılar Kümesi (R)
Rasyonel sayılarla irrasyonel sayıların birleşimine
reel (gerçel) sayılar kümesi denir.
R = Q ∪ Q'
N+ ⊂ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Q' ⊂ R
a N+ − {1}, x ≠ 0 ve x, y, z N olmak
üzere a tabanındaki (xyz)a sayısının 10
tabanındaki eşiti x.a2 + y.a1 + z.a0 dır.
(xyz)a sayısı için x < a, y < a ve z < a dır.
5 tabanındaki (1423)5 sayısının basamaklarını
yazarak çözümleyelim.
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF DOĞAL
SAYI KUVVETİ
a N ve n N+ olmak üzere n tane a nın çarpımı,
an biçiminde yazılır. a üssü n veya a nın n. kuvveti
diye ifade edilir. an ifadesinde a ya taban, n ye üs
denir.
Özel olarak;
a2 : “a nın karesi”
a3: “a nın küpü” diye okunur.
UYARI: x, y, m ve n
1) xm.xn = xm + n
10 tabanında verilen bir sayı bölme
işleminden faydalanarak değişik tabanlarda
yazılabilir.
(1423)5 = 1.53 + 4.52 + 2.51 + 3.50=
125 + 100 + 10 + 3 = 238 olur.
 Herhangi bir tabanda toplama işlemi
yapılırken birler basamağındaki rakamlar
toplamı, tabana bölünür. Kalan, birler
basamağına yazılır. Bölüm ise bir sonraki
basamaktaki rakamlar toplamına eklenir ve
toplama işlemine bu şekilde devam edilir.
N+ olmak üzere,
2) xn.yn = (x.y)n
3) (xm)n = (xn)m = xm.n dir.
O hâlde, sonuç (3112)4 olur.
12
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

FAKTÖRİYEL
n N+ olmak üzere, 1 den n ye kadar olan tüm
doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve n!
biçiminde gösterilir.
n! = 1.2.3 ....... n
0! = 1 ve
1! = 1 olarak kabul edilir.
2! = 1.2 = 2
3! = 1.2.3 = 6
4! = 1.2.3.4 = 24
5! = 1.2.3.4.5 = 120
.......................................
n! = (n – 1)!.n
n! = (n – 2)!.(n – 1).n
Çarpma işleminin her adımında rakamların
çarpımı tabana bölünerek kalan, basamağa
yazılır. Bölüm ise bir sonraki çarpıma “elde
var” diyerek eklenir.
Benzer işlem basamakları takip edilerek, f = 3, e = 2
ve d = 1 olur.
UYARI: n N+ , m N+ m<n olmak üzere n!
içindeki m çarpanlarının sayısını bulmak için;
a) m asal sayı ise, n, m sayısına bölünür.
Bölüm m sayısından küçük oluncaya kadar
bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin
toplamı n! içindeki m çarpanlarının
sayısıdır.
b) m asal sayı değilse, m’ nin en büyük asal
çarpanı k olsun. n, k sayısına bölünür.
Bölüm k sayısından küçük oluncaya kadar
bölme işlemine devam edilir. Bölümlerin
toplamı n! içindeki m çarpanlarının
sayısıdır.
bulunur.
ASAL SAYILAR
1 den büyük, 1 ve kendisinden başka pozitif tam
böleni olmayan doğal sayılara asal sayı denir.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...... asal sayılardır.
En küçük asal sayı 2 dir.
2 den başka çift asal sayı yoktur.
Herhangi Bir n Doğal Sayısına Kadar Olan Asal
Sayıları Bulmak
1 den n ye kadar olan doğal sayılar yazılır. √
sayısından küçük olan bütün asal sayıların katları
ile 1 çizilir. Çizilmemiş olan sayılar asal sayılardır.
Örnek: 25! = 3n.A eşitliğinde A ve n doğal
sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük
değeri bulalım.
n doğal sayısı en çok 25! içindeki 3 çarpanlarının
sayısı kadardır. 25 sayısını 3 e böleriz. Bölüm tekrar
3 e bölünür. Bu işleme bölüm 3 ten küçük çıkana
kadar devam edilir. Bölümlerin toplamı 25! içindeki
bütün 3 çarpanlarının sayısını verir.
BİR DOĞAL SAYININ POZİTİF BÖLENLERİ
İLE İLGİLİ FORMÜLLER
Herhangi bir A sayısı A = an.bm şeklinde asal
çarpanlarına ayrılmış olsun.
 A nın pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı
(n + 1).(m + 1) dir.
(Negatif bölenlerinin sayısı da aynıdır.
Bölenlerinin sayısı iki katıdır.)
 A nın pozitif tam sayı bölenlerinin
toplamı
(a0 + a1 + ... + an).(b0 + b1 + ... + bm) dir.
 A nın pozitif tam sayı bölenlerinin
çarpımı A
(
)(
25! de 8+2=10 tane 3 çarpanı vardır.
Yani n nin en büyük değeri 10 dur.
Örnek: 24! = 6n.A eşitliğinde A ve n doğal
sayılardır. Buna göre, n nin alabileceği en büyük
değeri bulalım.
6n = (2.3)n = 2n.3n olduğundan, 24! sayısının içinde
kaç tane 6 çarpanı olduğunu bulmak için 3
çarpanlarının sayısını bulmak yeterlidir. Çünkü 3
çarpanı 2 çarpanından daha azdır. Belirleyici olan 3
çarpanıdır.
)
dir.
Ortak doğal sayı bölenleri yalnız 1 olan doğal
sayılara aralarında asal sayılar denir.
13
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
4 İle Bölünebilme
Son iki rakamı (onlar ve birler basamağı) 00 ya da 4
ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür.
Son iki rakamının 4 ile bölümünden elde edilen
kalan, sayının 4 ile bölümünden elde edilen
kalanına eşittir.
24! de 8+2=10 tane 6 çarpanı vardır.
Yani n nin en büyük değeri 10 dur.
Örnek: 73! sayısının sondan kaç basamağı sıfırdır?
Verilen soru;
“A, n N, 73! = 10n.A ise n en çok kaçtır?”
şeklinde de sorulabilirdi.
10n = (2.5)2 = 2n.5n olduğundan, 5 çarpanlarının
sayısı kadar sondan basamağı sıfırdır.
5 İle Bölünebilme
Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile tam
bölünür. Birler basamağındaki rakamın 5 ile
bölümünden kalan, sayının 5 ile bölümünden elde
edilen kalanına eşittir.
7 ile bölünebilme: Sayının son rakamının 2 katı bir
önceki rakamdan çıkarılır. Elde edilen sayının 2 katı
gene bir önceki rakamdan çıkarılır. Son basamağa
kadar işleme devam edilir. Elde edilen sayı 7 ile
bölünürse, bu sayı 7 ile bölünür.
73! sayısının sondan 14+2=16
basamağı sıfırdır.
Örnek: 35! – 1 sayısının sonunda kaç tane 9 rakamı
vardır?
35! sayısının sondan kaç basamağı sıfırsa,
35! – 1 sayısının da sonunda o kadar 9 rakamı
vardır.
8 İle Bölünebilme
Bir doğal sayının son üç (yüzler, onlar, birler)
basamağındaki üç basamaklı sayı 8 ile tam
bölünürse bu doğal sayı 8 ile tam bölünür. Bir doğal
sayının 8 ile bölümünden kalan bu doğal sayının
son üç basamağındaki üç basamaklı sayının 8 ile
bölümünden kalana eşittir.
35! – 1 sayısının sondan 7+1=8
basamağında 9 rakamı vardır.
Örnek: 24! = 4a.B eşitliğinde B bir tam sayı ise a
nın alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?
4a = (22)a = 22a
9 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 un katı olan
sayılar 9 ile tam bölünebilir.
Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının
rakamlarının sayı değerleri toplamının 9 ile
bölümünden kalana eşittir.
11 İle Bölünebilme
Sayının rakamları birler basamağından başlanarak
+ ve – işaretleri ile sınıflandırılır. + lı rakamların
toplamı ile – li rakamların toplamının farkı 11 in
katı ise sayı 11 ile tam bölünür.
Sayı 11 ile tam bölünemiyorsa, kalanı bulmak için,
+ lı rakamlar ile – li rakamların farkının 11 ile
bölümünden kalan bulunur.
12 + 6 + 3 + 1 = 22
2a = 22 ⟹ a = 11 dir.
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
2 İle Bölünebilme
Birler basamağındaki rakamı çift olan doğal sayılar
2 ile tam bölünür.
2 ile tam bölünemeyen sayılar 1 kalanını verirler.
UYARI: Aralarında asal iki sayıya tam bölünebilen
bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür.
2 ve 3 ile bölünebilen sayı 6 ile bölünür.
2 ve 5 ile bölünebilen sayı 10 ile bölünür.
3 ve 4 ile bölünebilen sayı 12 ile bölünür.
3 ve 5 ile bölünebilen sayı 15 ile bölünür.
2 ve 9 ile bölünebilen sayı 18 ile bölünür.
5 ve 9 ile bölünebilen sayı 45 ile bölünür.
3 İle Bölünebilme
Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 ün katı olan
sayılar 3 ile tam bölünebilir.
Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, o sayının
rakamlarının sayı değerleri toplamının 3 ile
bölümünden kalana eşittir.
14
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
2) a.b = b.a (Çarpma işleminin değişme
özelliği)
3) (a.b).c = a.(b.c) (Çarpma işleminin birleşme
özelliği)
4) a.1 = 1.a = a (Çarpma işlemine göre etkisiz
(birim) eleman özelliği)
5) a.0 = 0.a = 0 (Çarpma işleminin yutan
eleman özelliği) dir.
EN KÜÇÜK ORTAK KAT (EKOK) VE EN
BÜYÜK ORTAK BÖLEN (EBOB)
İki veya daha çok doğal sayının en küçük ortak
katları bulunurken, verilen sayılar asal çarpanlarına
ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal
çarpanlardan üssü en büyük olanlar ile ortak
olmayan asal çarpanların çarpımı, en küçük ortak
kat olur.
İki veya daha çok doğal sayının en büyük ortak
böleni bulunurken verilen sayılar asal çarpanlarına
ayrılır ve üslü biçimde yazılır. Ortak asal
çarpanlardan üssü en küçük olanların çarpımı en
büyük ortak bölen olur.
∀a, b
dir.
Z olmak üzere a – b = a + (−1).b = a + (−b)
Aynı işaretli iki tam sayının bölümünün sonucu
pozitif, ters işaretli iki tam sayının bölümünün
sonucu negatif işaretlidir.
TAM SAYILAR
Doğal sayılar kümesi ile 0 sayısının solundaki
noktalara eşlenen { −1, −2, −3, … } kümesinin
birleşimine tam sayılar kümesi denir.
Pozitif tam sayılar kümesi Z+ = { 1, 2, 3, … }
Negatif tam sayılar kümesi Z− = { −1, −2, −3, … }
Çift tam sayılar kümesi Ç = {… , −4, −2, 0, 2, 4,…}
Tek tam sayılar kümesi T = { … , −3, −1, 1, 3, … }
ve
Tam sayılar kümesi Z = Z− ∪ {0} ∪ Z+ biçiminde
ifade edilir.
(+ . + = +)
(+ : + = +)
(+ . − = −)
(+ : − = −)
(− . − = +)
(− : − = +)
MODÜLER ARİTMETİK
Yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağlayan
bağıntıya denklik bağıntısı denir. β denklik
bağıntısına göre aynı kümede bulunan elemanlar
birbirine denktir. Bu durumda,
{ 0, 2, 4 } kümesinden 0 ≡ 2 ≡ 4
{ 1, 3, 5 } kümesinden 1 ≡ 3 ≡ 5 tir.
x e bağlı olan denk elemanların kümesi x in denklik
sınıfı (kalan sınıfı) diye adlandırılır ve ̅ ile
gösterilir.
Genel olarak x in denklik sınıfı: β, A da bir denklik
bağıntısı olmak üzere, ̅ = { y | (x, y) β ve y A }
biçiminde gösterilir.
Buna göre incelediğimiz örnekteki denklik bağıntısı
için ̅ = { 0, 2, 4 } ve ̅ = { 1, 3, 5 } olur.
Bu durumu,
Pozitif iki tam sayının toplamı pozitif; negatif iki
tam sayının toplamı negatiftir. Ters işaretli iki tam
sayının toplamında ise mutlak değerce büyük
olandan küçük olan çıkarılır, sonucun önüne
büyüğün işareti yazılır.
∀a, b, c Z için,
1) (a + b) Z (Toplama işleminin kapalılık
özelliği)
2) a + b = b + a (Toplama işleminin değişme
özelliği)
3) (a + b) + c = a + (b + c) (Toplama işleminin
birleşme özelliği)
4) a + 0 = 0 + a = a (Toplama işlemine göre
etkisiz (birim) eleman özelliği)
5) a + (−a) = (−a) + a = 0 (Toplama işlemine
göre ters eleman özelliği) dir.
biçiminde gösteririz.
A kümesindeki sayıları 2 ile böldüğümüzde 0
kalanını veren sayılar ̅ nda; 1 kalanını veren
sayılar da ̅ nda bulunurlar.
Aynı işaretli iki tam sayının çarpımının sonucu
pozitif, ters işaretli iki tam sayının çarpımının
sonucu negatif işaretlidir.
m Z+ olmak üzere denklik sınıflarının kümesi
Z/m = { ̅ , ̅ , ... , ̅̅̅̅̅̅̅̅ } dir.
∀a, b, c Z için,
1) (a.b) Z (Çarpma işleminin kapalılık
özelliği)
x, y, n
15
Z ve m
Z+ olmak üzere
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
Q için
ise x = m.n + y dir.
Dolayısıyla x − y = m.n olur.
O hâlde, x − y sayısı m sayısına tam bölünür. Bu
durum (x ile y aynı denklik sınıfında olduğundan)
x ≡ y (mod m) biçiminde ifade edilir.
Kısaca x ≡ y (mod m) ⇔ m ⎪ (x – y) dir.
İki rasyonel sayının çarpımında, payların çarpımı
paya, paydaların çarpımı da paydaya yazılır.
Verilen iki rasyonel sayının çarpımı;
Q için
olarak ifade edilir.
rasyonel sayısının sıfırdan farklı rasyonel
MODÜLER ARİTMETİKTE İŞLEMLER
∀a, b, c, d Z ve m Z+ için,
a ≡ b (mod m)
c ≡ d (mod m)
ise
a + c ≡ b + d (mod m) ve a.c ≡ b.d (mod m) dir.
sayısına bölümü
RASYONEL SAYILARDA TOPLAMA VE
ÇARPMA İŞLEMLERİNİN
ÖZELLİKLERİ
∀
Q için,
Z/m için ̅ ⊕ ̅ = ̅̅̅̅̅̅̅ ve ̅ ⊗ ̅ = ̅̅̅̅ dir.
1) (
m Z+ olmak üzere Z/m kümesinde,
∀ ̅, ̅ , ̅ Z/m için,
1. ̅ ⊕ ̅ Z/m, ̅ ⊗ ̅ Z/m (kapalılık
özelliği)
2. ̅ ⊕ ̅ = ̅ ⊕ ̅, ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅ (değişme
özelliği)
3. ̅ ⊕ ( ̅ ⊕ ̅) = ( ̅ ⊕ ̅ ) ⊕ ̅,
̅ ⊗ ( ̅ ⊗ ̅) = ( ̅ ⊗ ̅ ) ⊗ ̅ (birleşme
özelliği)
4. ̅ ⊕ ̅ = ̅ ⊕ ̅ = ̅, ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅ = ̅
(etkisiz eleman özelliği)
5. ̅⊕ ̅ = ̅ ⊕ ̅= ̅ , (ters eleman özelliği) ( ̅
ile ̅ , ⊕ işlemine göre birbirinin tersi)
̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅= ̅ (ters eleman özelliği) ( ̅
ile ̅ , ⊗ işlemine göre birbirinin tersi)
6. ̅ ⊗ ̅ = ̅ ⊗ ̅= ̅ (yutan eleman özelliği)
dir.
)
Q (Kapalılık özelliği)
(Değişme özelliği)
2)
3) (
)
(
)
(Birleşme özelliği)
4)
(Etkisiz eleman özelliği)
5)
( ) ( )
(Ters eleman özelliği)
∀
Q içi
1) (
)
3) (
Q (Kapalılık özelliği)
(Değişme özelliği)
2)
RASYONEL SAYILAR
a, b Z, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere
biçimindeki sayıya rasyonel sayı denir.
a, b, c, d Z, b ≠ 0 ve d ≠ 0 olmak üzere
b.c = a.d dir.
olarak yazılır.
Bu durum;
Q, ( c≠ 0) olmak üzere
olarak ifade edilir.
a, b, n, x, m Z+ olmak üzere, (ab) ≡ 1 (mod m) ise
(ab)n ≡ 1 (mod m) dir.
a, b
olarak ifade edilir.
)
(
) (Birleşme özelliği)
4)
(Etkisiz eleman özelliği)
5)
(Ters eleman özelliği)
6)
(Yutan eleman özelliği)
RASYONEL SAYILARDA SIRALAMA
 Payları eşit olan rasyonel sayılarda paydası
küçük olan daha büyüktür.
 Paydaları eşit pozitif rasyonel sayılardan
payı büyük olan daha büyüktür.
 Payları eşit negatif rasyonel sayılar
sıralanırken (−) işareti paydaya taşınır.
Paydalar karşılaştırılır ve paydası küçük
olan daha büyüktür, denir.
ise
Verilen iki rasyonel sayının toplamı;
Q için
olarak ifade edilir.
İki rasyonel sayının farkı ise;
16
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ




GERÇEK SAYILARDA EŞİTSİZLİĞİN
ÖZELLİKLERİ
∀a, b, c, d R için,
1) a < b ⇒ a + c < b + c
2) (a < b ∧ c > 0) ⇒ a.c < b.c
3) (a < b ∧ c < 0) ⇒ a.c > b.c
4) a < b ∧ b < c ⇒ a < c
5) (a < b ∧ c < d) ⇒ a + c < b + d
6) a, b, c, d R+ için
(a < b ∧ c < d) ⇒ a.c < b.d
7) a ve b aynı işaretli iki gerçek sayı ve
a<b⇒
dir.
Paydaları eşit negatif rasyonel sayılar
sıralanırken (−) işareti paya taşınır. Paylar
karşılaştırılır ve payı büyük olan daha
büyüktür, denir.
Birbirinden farklı iki rasyonel sayı arasında
en az bir rasyonel sayı bulunur. Bu durum
bize rasyonel sayılar kümesinin yoğun
olduğunu gösterir.
Her bir rasyonel sayının bir devirli ondalık
açılımı vardır.
Her devirli ondalık açılım bir rasyonel
sayıdır.
GERÇEK SAYILAR
Rasyonel olmayan sayılara irrasyonel (rasyonel
olmayan) sayılar denilmekte ve Q' ile
gösterilmektedir. Buna göre sayı doğrusunda
rasyonel olmayan sayılar da bulunmaktadır.
Rasyonel sayılar kümesi ile irrasyonel sayılar
kümesinin birleşimi, gerçek (reel) sayılar kümesini
oluşturur. Böylece sayı doğrusu üzerindeki her
noktaya bir gerçek say›, her gerçek sayıya da sayı
doğrusunda bir nokta karşılık gelir, diyebiliriz. Bu
durum gerçek sayılar kümesinin elemanları ile sayı
doğrusunun noktaları arasında bire bir ve örten bir
eşleme olduğunu gösterir.
Bir sayının irrasyonel olduğuna ondalık açılımına
bakarak karar verilir.
AÇIK, KAPALI VE YARI AÇIK ARALIKLAR
a, b R olmak üzere,
{ x | a < x < b, x R } kümesi a ve b den açık aralık
denir ve (a, b) biçiminde gösterilir.
{ x | a ≤ x ≤ b, x R } kümesi a ve b den kapalı
aralık denir ve [a, b] biçiminde gösterilir.
{ x | a < x ≤ b, x R } kümesi a dan açık, b den
kapalı aralık denir ve (a, b] biçiminde gösterilir.
{ x | a ≤ x < b, x R } kümesi a dan kapalı, b den
açık aralık denir ve [a, b) biçiminde gösterilir.
MUTLAK DEĞER
Bir x gerçek sayısının sayı doğrusu üzerinde
eşlendiği noktanın başlangıç noktasına (sıfıra) olan
uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve | x | ile
gösterilir.
i
∀x R için, | | {
olur.
i
GERÇEK SAYILARDA TOPLAMA VE
ÇARPMA İŞLEMLERİNİN
ÖZELLİKLERİ
∀ x, y, z R olmak üzere,
1) (x + y) R (Kapalılık özelliği)
2) x + y = y + x (Değişme özelliği)
3) (x + y) + z = x + (y + z) (Birleşme özelliği)
4) x + 0 = 0 + x = x (Etkisiz eleman özelliği)
5) x + (−x) = (−x) + x = 0 (Ters eleman
özelliği)
Mutlak değer içindeki ifade pozitifse, dışarıya
aynen çıkar; negatifse işaret değiştirerek çıkar.
MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLERİ
∀ x, y R, a, b R+ için
1) | x | ≥ 0 , | f(x) | ≥ 0 ise | x | ve | f(x) |
ifadelerinin en küçük değeri sıfırdır.
2) | x | ≥ 0
3) −| x | ≤ x ≤ | x |
4) | x | = | –x | , | x – y | = | y – x |
5) | x.y | = | x |.| y |
| |
6) | | | | , (y ≠ 0)
∀ x, y, z R olmak üzere,
1) (x.y) R (Kapalılık özelliği)
2) x.y = y.x (Değişme özelliği)
3) (x.y).z = x.(y.z) (Birleşme özelliği)
4) x.1 = 1.x = x (Etkisiz eleman özelliği)
5)
(x≠0) (Ters eleman özelliği)
6) x.0 = 0.x = 0 (Yutan eleman özelliği)
7) | xn | = | x |n , (n N+)
8) | x | = a ⟹ (x = a veya x = –a) , (a ≥ 0)
9) | x | ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
10) | x | ≥ a ⇔ ( x ≥ a ∨ x ≤ −a )
11) a ≤ | x | ≤ b ⇔ ( a ≤ x ≤ b ∨ −b ≤ x ≤ −a )
12) | f(x) | + | g(x) | = 0 ⟺ f(x) = 0 ve g(x) = 0
17
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
n, 1 den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, xn = a
denklemini sağlayan x sayısına, a nın n. dereceden
kökü denir ve x = √ şeklinde gösterilir.
13) | | x | – | y | | ≤ | x + y | ≤ | x | + | y |
(üçgen eşitsizliği)
14) | x | < | y | ⟹ – | y | < x < | y |
ÜSLÜ İFADELER
a R ve n Z+ olmak üzere, n tane a nın çarpımı
olan an ye üslü ifade denir.
an = a.a........a
n tane
an ifadesinde, a ya taban, n ye üs veya kuvvet denir.
xn = a ⟹ x
a, b R, b ≠ 0 ve a ile b aralarında asal olmak üzere
biçiminde yazılamayan sayılara irrasyonel
sayılar denir.
7)
( )
8) Negatif sayıların tek kuvvetleri negatif, çift
kuvvetleri pozitiftir. Pozitif sayıların ise tüm
kuvvetleri pozitiftir.
Köklü İfadelerin Özellikleri
1) √
2) √
i
| | çi i
(√ )
√
√
(k Z+)
√
( n çift ise a > 0 olmalıdır. )
√
√
√ √
√
{
3) √
ÜSLÜ DENKLEMLER
1) a R – {−1, 0, 1}, m, n Z+ için am = an ⇔
m = n dir.
2) an = 1 denkleminde,
a) n = 0 dır. (a ≠ 0 ise)
b) a = 1 dir. (n R ise)
c) a = –1 dir. (n çift ise)
⇒{
çi i
√
n Z+ ve a R+ için √
R dir.
n pozitif tek tam sayı ve b R– için √
R dir.
–
n pozitif çift tam sayı ve c R için √ ∉ R dir.
6)
R ve n
i
√
√
√ 2. dereceden (kare) kök a
√ 3. dereceden (küp) kök a
√ 4. dereceden kök a diye okunur.
Üslü İfadelerin Özelikleri
a, b R ve m, n Z+ olmak üzere,
1) a1 = a , a0 = 1 , 0n = 0 dır. ( 00 belirsizdir. )
2) a.an + b.an – c.an = (a + b – c).an
3) an.am = an+m
4) an.bn = (a.b)n
5) (an)m = an.m = (am)n
3) a, b
{
4)
5)
6)
7)
8)
Z+ için, an = bn
i
çi i
√
√ (y≠0)
√
√
√
10) √ √
√
9)
√
(
) √
Paydanın Rasyonel Yapılması
Çarpımları rasyonel sayı olan iki reel sayıdan her
birine diğerinin eşleniği denir.
(√
olduğundan
√ ) (√
√ )
(√
√ ) ile (√
√ ) eşlenik ifadelerdir.
Aşağıdaki tabloda sıklıkla kullanacağımız bazı
ifadeler ve eşlenikleri verilmiştir.
x
y
x.y
a
√
√
a−b
√
√
√
√
a+b
√
√
√
√
√
ÜSLÜ İFADELERDE EŞİTSİZLİK
1) a > 1 iken an < am ⟹ n < m dir.
2) 0 < a < 1 iken an < am ⟹ n > m dir.
KÖKLÜ İFADELER
Kök sembolünün kullanılması çok eski dönemlere
dayanmaktadır. Mısırlılar, Babilliler, Çinliler ve
Hintliler bunun için özel işaretler kullanmışlardır.
Bugün kullanılan kök işareti, kök anlamına gelen
“radix” sözcüğünün baş harfi olan “r” den
gelmektedir. Bu yüzden Latin yazarlar da kök için
“R” harfini kullanmışlardır. Bu işaret zamanla
bugünkü şeklini almıştır.
√
18
√
√
√
√
a−b
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
√
√ veya √
} olacak şekilde m, n
√
√
ifade edebiliriz.
⟺
√ ifadeleri verildiğinde
,√
R+ varsa
√
5)
6) n
biçiminde
1) √ √ √
2) √
√
3) √ (
)
√
√ (
dir.
Doğru Orantı
Herhangi bir şekilde birbirlerine bağlı olan iki
büyüklükten birisi değiştirildiğinde, ikisindeki
değişme oranı da aynı ise bu iki büyüklüğe doğru
orantılıdır ya da kısaca orantılıdır denir.
Doğru orantılı iki büyüklükten biri artarken diğeri
de orantılı olarak artar veya biri azalırken diğeri de
orantılı olarak azalır.
Doğru orantılı iki büyüklüğün oranı sabittir. k > 0
olmak üzere,
ise x ile y doğru orantılıdır.
x ile y doğru orantılı ve k R+ ise
veya y = k.x tir.
√
√
⟹ a = b.k , c = d.k , e = f.k
N olmak üzere,
+
⟹
Sonsuz Kökler
dır.
)
ORAN - ORANTI
ORAN
Birimleri aynı olan iki çokluğun bölümüne
(karşılaştırılmasına) oran denir. En az biri sıfırdan
farklı olan a ve b büyüklükleri verildiğinde a nın b
ye oranı a : b veya biçiminde gösterilir. Oran bir
sayı belirtmekte olup birimi yoktur. Kesirlerde de
olduğu gibi oranın payı ve paydası sıfırdan farklı bir
sayı ile genişletilebilir veya sadeleştirilebilir.
ORANTI
İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
veya a : b = c : d ikili orantısında b ve c ye
içler, a ve d ye dışlar denir.
y = k.x doğru orantı denkleminin grafiği
x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile doğru
orantılı ise
dir.
Ters Orantı
x ve y herhangi iki büyüklük olsun. Eğer x ile
orantısında k orantı sabitidir.
biçimindeki üçlü orantı
doğru orantılı ise x ile y ters orantılıdır denir.
k R+ olmak üzere; x ile y ters orantılı ise
x. y = k veya
dir.
Ters orantılı iki büyüklükten biri arttıkça diğeri
azalır.
biçiminde de gösterilebilir. Bu gösterimde a ile b, c
ile d ve e ile f doğru orantılıdır.
Orantının Özelikleri
1) İçler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir.
⟺ b.c = a.d
2) İçler veya dışlar yer değiştirebilir.
⟺
⟺
3) m ≠ 0, n ≠ 0 olmak üzere,
⟺
dır.
4) m, n, p aynı anda sıfır olmamak üzere,
ters orantı denkleminin grafiği
19
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ
x, y, z sayıları sırası ile a, b, c sayıları ile ters
orantılı ise a.x = b.y = c.z = k dır.
bilinmeyenleri bir biri cinsinden yazmaya
çalışmalıyız.
Bileşik Orantı
Bir orantının içinde hem doğru hem de ters orantı
varsa bu orantıya bileşik orantı denir.
x ile y doğru orantılı, x ile z ters orantılı ise
Örneğin; herhangi bir sayı x olsun.
 Bir sayının 5 fazlası: x + 5
 Bir sayının üç katı: 3x
 Bir sayının üçte ikisi :
 Bir sayının karesi: x2
 Bir sayının karesinin üç katı: 3x2
 Bir sayının 3 katının karesi: (3x)2
 Bir sayının 2 katının 1 eksiği: 2x – 1
)
 Bir sayının 2 eksiğinin ü : (
dır.
ARİTMETİK ORTALAMA
a1, a2, a3 ...... an reel sayılar olmak üzere,
A
sayısına a1, a2, a3 .......an sayılarının aritmetik
ortalaması ya da kısaca ortalaması denir.
a ve b nin aritmetik ortalaması:
dir.
a, b ve c nin aritmetik ortalaması:



tür.

GEOMETRİK ORTALAMA
a1, a2, a3, ...., an gibi n tane pozitif sayının geometrik
ortalaması;
dir.
√
ifadesine a ve b nin geometrik ortası veya orta
√
orantısı denir.
ifadesine a, b ve c nin geometrik ortası
√
denir.
YAŞ PROBLEMLERİ
 Bir kişinin yaşı x ise;
k yıl sonraki yaşı: x + k,
k yıl önceki yaşı: x − k
 İki kişinin yaşları toplamı x ise;
k yıl sonraki yaşları toplamı: x + 2k
k yıl önceki yaşları toplamı: x − 2k
 a tane kişinin yaşları toplamı A ise;
k yıl sonraki yaşları toplamı: A + a.k
k yıl önceki yaşları toplamı: A − a.k
 İki kişinin yaşları arasındaki fark sabittir.
HARMONİK ORTALAMA
a1, a2, a3,...,an gibi n tane pozitif sayının harmonik
ortalaması H ile gösterilirse
(
) dir.
a ve b nin harmonik ortalaması,
(
)⟹
Bir sayının karesinin 3 eksiğinin yarısı:
İki sayının toplamı 5 ise bu sayılar:
x ve 5 – x
İki sayıdan birinin 2 katı diğerinin 3 katına
eşitse bu sayılar sırasıyla, 3x ve 2x tir.
Bir sayının karesinin 6 eksiği kendisine
eşitse, x2 – 6 = x şeklinde denklemler
kurulur.
dir.
YÜZDE VE KÂR-ZARAR PROBLEMLERİ
Yüzde deyimi, paydası 100 olan kesirler için
kullanılır.
Bir A sayısının % x i: A
İki sayının aritmetik ortalaması A, geometrik
ortalaması G, harmonik ortalaması H ise
G2 = A.H dir.
% x i a olan sayı:
dir
Bir malın satışındaki kâr-zarar durumu alış
(maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır. Zam ya da
indirim ise satış fiyatı üzerinden hesaplanır.
Kâr = Satış fiyatı – Alış fiyatı
Zarar = Alış fiyatı – Satış fiyatı
PROBLEMLER
DENKLEM KURMA
Bu konuyu sayı, kesir, yaş, işçi-havuz, yüzde,
karışım ve hareket problemleri gibi alt başlıklar
altında örneklerle inceleyeceğiz. Bir problemi
çözebilmek için, verilen ifadenin matematiksel
olarak yazılmasına denklem kurma denir. Semboller
kullanılarak kurulan denklemlerin çözülmesi ile
problemde istenen bulunur.
Bilinmeyen sayısı ne kadar az olursa, çözüm o
oranda kolay olacağından eğer mümkünse
F: faiz miktarı
A: ana para
n: faiz yüzdesi
t: zaman olmak üzere;
20
9. SINIF MATEMATİK KONU ÖZETİ

Yıllık faiz:

Aylık faiz:

Günlük faiz:

Bileşik faiz:
4) Akıntı problemlerinde; Hareketlinin hızı VH,
Akıntının hızı VA olsun.
Akıntıya zıt yönde hız = VH − VA dır.
Akıntı yönünde hız = VH + VA dır.
A(
)
A dır.
İŞÇİ VE HAVUZ PROBLEMLERİ
 İşçi ve havuz problemlerinde birim zamanda
yapılan iş üzerinden işlem yapılır.
 Birim zaman problemde kullanılan birimdir.
(1 dakika, 1 saat, 1 gün, 1 ay,... gibi)
 Bir işçi işin tamamını x günde yapıyorsa bir
günde bu işin ini yapar.
 Bir işçi bir işi a günde, ikinci işçi aynı işi b
günde, ikisi birlikte x günde yapıyorlarsa;
bağıntısı yazılır.
 Havuz problemleri de işçi problemleri gibi
yorumlanarak çözülür.
 Havuz problemlerinde dolduran muslukların
birim zamanda yaptıkları işin toplamından
boşaltan muslukların yaptığı iş çıkarılır.
Örneğin; birinci musluk bir havuzu a saatte
dolduruyor, ikinci musluk b saatte boşaltıyor
ve ikisi birlikte x saatte dolduruyorsa,
bağıntısı yazılır.
UYARI: t her zaman yıl olarak alınmalıdır.
KARIŞIM PROBLEMLERİ
 Tuz oranı % x olan A litrelik tuzlu su
karışımındaki tuz miktarını bu karışıma saf
su ilave ederek veya karışımdan su
buharlaştırarak değiştiremeyiz. Her iki
durumda değişen tuzun yüzdesidir.

Çapraz Kuralı:

oranı karışımdaki madde miktarlarının
oranıdır.


İşlem yaparken denklem kurma ve yüzde
hesaplarındaki metotlardan faydalanırız
x miktar maddenin % a sı tuz,
y miktar maddenin % b si tuz,
z miktar maddenin % c si tuz
Bu maddelerin karıştırılmasıyla oluşan
karışımın tuz yüzdesi
dir.
SAAT PROBLEMLERİ
 Saat bir çember oluşturduğu için tamamı
360° lik bir yaydır.
 12 eşit aralıktan oluştuğu için her aralık
360 : 12 = 30° dir.
 Yelkovan 1 saatte bir tam tur yaptığından
dolayı 360° lik yol alır.
 1 dakikada ise 360 : 60 = 6° lik yol alır.
 Akrep 1 saatte 30° lik,
1 dakikada ise 30 : 60 = (0,5)° lik yol alır.
HAREKET PROBLEMLERİ
Yol = Hız.Zaman
Yol = X, Hız = V, Zaman = t ⟹ X = V.t
veya V1, V2 hızları
için
UYARI: Yelkovan 1 dakikada 6° lik, Akrep 1
dakikada (0,5)° lik yol aldığından 1 dakikada
Yelkovan, akrepten (6 − 0,5) = (5,5)° lik fazla yol
almış olur. 10 lik fazla yolu : dakikada alır.
1) Aynı yöndeki hareketliler için hızların farkı
alınır. (V1 − V2)
2) Zıt yöndeki hareketliler için hızların toplamı
alınır. (V1 + V2)

3) Giderken alınan yol dönerken alınan yola
eşittir.
21

Saat problemlerinin çözümünde yelkovanı
12 ye getirmekle kolaylık sağlanır.
Yelkovanın akrepten kaç derece fazla yol
aldığı bulunur ve fazla açı çarpılarak

dakikaya çevrilir.
Bilinmeyeni (x, y, z, a, ....) gibi sembollerle
ifade ederek denklem çözümü yapılır.