Örnek

1
Bölüm Özeti
 Kümeler
 Kümelerin Dili
 Küme İşlemleri
 Küme Özdeşlikleri
 Fonksiyonlar
 Fonksiyon Tipleri
 Fonksiyonlar Üzerindeki İşlemler
 Hesaplanabilirlik
 Diziler ve Toplamlar
 Dizilerin Tipleri
 Toplamları Formülleştirme
 Bir Kümenin Büyüklüğü
 Sayılabilir Kümeler
 Matrisler
 Matris Aritmetiği
2
3
Özet
 Kümelerle İlgili Tanımlar
 Kümelerin Gösterimi
 Listeleme Yöntemi
 Küme Kurma Gösterimi
 Matematikteki Bazı Önemli Kümeler
 Boş Küme ve Evrensel Küme
 Alt Kümeler ve Küme Eşitliği
 Kümelerin Büyüklükleri
 Demetler (Tuples)
 Kartezyen Çarpım
4
Giriş
 Kümeler Ayrık Matematiğin en temel konularından
biridir
 Sayma problemleri için önemli
 Programlama dillerinin kümelerle ilgili fonksiyonları
bulunur
5
Kümeler
 Bir küme, nesnelerin sırasız bir topluluğudur
 sınıftaki öğrenciler
 odadaki sandalyeler
 Bir kümedeki nesnelere elemanlar ya da üyeler denir.
Bu kümeye de bu elemanları içeriyor denir.
 a ∈ A gösterimi a nesnesinin A kümesinin bir elemanı
olduğunu ifade eder.
 Eğer a nesnesi A kümesinin elemanı değilse a ∉ A
yazılır
6
Bir kümeyi tanımlama: Listeleme
Yöntemi
 S = {a,b,c,d}
 Sıra önemli değil
S = {a,b,c,d} = {b,c,a,d}
 Her bir ayrık nesne üyedir ya da değildir. Birden fazla
yazmak birşeyi değiştirmez.
S = {a,b,c,d} = {a,b,c,b,c,d}
 Eğer bir kümenin deseni biliniyorsa bazı elemanları
göstermek için (…) kullanılabilir
S = {a,b,c,d, ……,z }
7
Listeleme Yöntemi
 İngiliz alfabesindeki sesli harflerin kümesi:
V = {a,e,i,o,u}
 10’dan küçük tek pozitif tamsayıların kümesi:
O = {1,3,5,7,9}
 100’den küçük bütün pozitif tamsayıların kümesi:
S = {1,2,3,……..,99}

0’dan küçük bütün tamsayıların kümesi:
S = {…., -3,-2,-1}
8
Bazı Önemli Kümeler
N = doğal sayılar = {0,1,2,3….}
Z = tamsayılar = {…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}
Z⁺ = pozitif tamsayılar = {1,2,3,…..}
R = gerçek sayılar kümesi
R+ = pozitif gerçek sayılar kümesi
C = karmaşık sayılar kümesi
Q = rasyonel sayılar kümesi
9
Küme Kurma Gösterimi
 Her bir üyenin sağlaması gereken özellikleri belirt:
S = {x | x 100’den küçük pozitifi tamsayıdır}
O = {x | x 10’dan küçük pozitif tek tamsayıdır}
O = {x ∈ Z⁺ | x tektir ve x < 10}
 Bir yüklem de kullanılabilir:
S = {x | P(x)}
 Örnek: S = {x | Asal(x)}
 Pozitif rasyonel sayılar:
Q+ = {x ∈ R | x = p/q, bazı pozitif tamsayılar p,q için}
10
Aralık Gösterimi
[a,b] = {x | a ≤ x ≤ b}
[a,b) = {x | a ≤ x < b}
( a , b ] = {x | a < x ≤ b }
( a, b ) = {x | a < x < b }
Kapalı aralık [a,b]
Açık aralık (a,b)
11
Evrensel Küme ve Boş Küme
 Evrensel küme U, üzerinde çalışılan bütün nesneleri
içeren kümedir.
Venn Diagram
U
 Hiçbir elemanı olmayan küme
Boş kümedir. ∅ ile gösterilir, bazen
{} kullanılır.
V
aei
ou
John Venn (1834-1923)
Cambridge, UK
12
Unutulmaması gerekenler
 Kümeler bir başka kümenin elemanı olabilir
{{1,2,3},a, {b,c}}
{N,Z,Q,R}
 Boş küme, boş kümeyi içeren bir küme ile aynı şey
değildir.
∅ ≠{∅}
13
Küme Eşitliği
Tanım: Ancak ve ancak iki küme aynı elemanlara
sahipse eşittir.
 A ve B iki küme olsun,
 A ve B eşit kümelerse A = B yazılır.
{1,3,5} = {3, 5, 1}
{1,5,5,5,3,3,1} = {1,3,5}
14
Alt küme
Tanım: A kümesinin bütün elemanları B kümesinin
de elemanıysa, A kümesi B kümesinin alt kümesidir.
 Gösterim A ⊆ B
ise
 A ⊆ B gösterimi sağlanır

1.
2.
Because a ∈ ∅ is always false, ∅ ⊆ S ,for every set S.
Because a ∈ S → a ∈ S, S ⊆ S, for every set S.
15
Bir kümenin diğer bir kümenin alt
kümesi olduğunu ya da olmadığını
göstermek
 A kümesinin B kümesinin alt kümesi olması: A
kümesinin bütün elemanlarının B kümesinin de elemanları
olduğunu göstermek yeterli.
 A kümesinin B kümesinin alt kümesi olmaması : A
kümesinin elemanı olup, B kümesinin elemanı olmayan en
az bir eleman bulmak yeterli. (x ∈ A  x ∈ B) önermesi
için ters örnek bulmak gibi
16
Küme eşitliğine bir başka bakış
 İki kümenin eşitliğinin gösterimi
A = B, iff
 Mantıksal denklikleri kullanalım
 Sonuç:
A⊆B
and
B⊆A
17
Öz alt küme
Tanım: Eğer A ⊆ B ise, fakat A ≠B ise A kümesi B
kümesinin öz alt kümesidir denir ve A ⊂ B ile gösterilir.
A ⊂ B ise
B
Venn Diagram
U
A
18
Küme Büyüklüğü
Tanım: n, negatif olmayan tamsayı olmak üzere eğer S
kümesinde n adet farklı eleman varsa S kümesi sonludur.
Diğer durumda ise sonsuzdur.
Tanım: Sonlu bir A kümesinin büyüklüğü, |A|, A
kümesindeki farklı elemanların sayısıdır.
Örnekler:
1. |ø| = 0
2. S kümesi İngiliz alfabesinin harflerinin kümesi olsun.
|S| = 26
1. |{1,2,3}| = 3
2. |{ø}| = 1
3. Tamsayılar kümesi sonsuzdur.
19
Kuvvet Kümeleri
Tanım: Bir A kümesinin bütün alt kümelerini içeren
küme. P(A) ile gösterilir ve A’nın kuvvet kümesi olarak
okunur.
Örnek: A = {a,b}
P(A) = {ø, {a},{b},{a,b}}
 Eğer bir küme n elamana sahipse kuvvet kümesinin
büyüklüğü 2ⁿ olur.
20
Demetler (Tuples)
 Sıralı n-demet (a1,a2,…..,an) a1 ‘in ilk eleman olduğu,
a2 ‘nin ikinci eleman olduğu ve an ‘in n. eleman
olduğu sıralı bir yapıdır.
 İki n-demet ancak ve ancak ilgili bütün elemanları
eşitse birbirine eşittir.
 2-demet sıralı çift olarak anılır.
 Sıralı çiftler(a,b) ve (c,d) ancak ve ancak a = c ve b = d
ise eşittir.
21
René Descartes
(1596-1650)
Kartezyen Çarpım
Tanım: A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı A × B ile
gösterilir ve (a,b) sıralı çiftlerinin kümesidir. Burada
a ∈ A ve b ∈ B .
Örnek:
A = {a,b} B = {1,2,3}
A × B = {(a,1),(a,2),(a,3), (b,1),(b,2),(b,3)}
 Tanım: A × B kartezyen çarpımının bir alt kümesi olan
R A kümesinden B kümesine bir ilişki olarak tanımlanır.
22
Kartezyen Çarpım
Tanım: A1,A2,……,An kümelerinin kartezyen çarpımı
A1 × A2 × …… × An şeklinde gösterilir ve sıralı (a1,a2,……,an)
n-demetlerin bir kümesidir. Burada ai nesnesi i = 1, … n
için Ai kümesinin bir elemanıdır
Örnek: A × B × C kartezyen çarpımını bulunuz.
A = {0,1}, B = {1,2} and C = {0,1,2}
Çözüm: A × B × C = {(0,1,0), (0,1,1), (0,1,2),(0,2,0), (0,2,1),
(0,2,2),(1,1,0), (1,1,1), (1,1,2), (1,2,0), (1,2,1), (1,1,2)}
23
Doğruluk Kümeleri ve Niceleyiciler
 P yüklemi ve D alanı için, P’nin doğruluk kümesi D’nin
içinde P(x)’in doğru olduğu x elemanlarının kümesi
olarak tanımlanır. P(x)’in doğruluk kümesi şu şekilde
gösterilir.
 Örnek: D alanı bütün tamsayılarsa ve P(x) “|x| = 1”
ise P(x)’in doğruluk kümesi {-1,1} olur.
24
25
Bölüm Özeti
 Küme İşlemleri
 Birleşim
 Kesişim
 Tümleme
 Fark
 Küme Büyüklüğü
 Küme Eşitlikleri
 Eşitliğin İspatı
 Üyelik Tabloları
26
Birleşim
 Tanım: A ve B iki küme olsun. A ve B kümelerinin
birleşimi A ∪ B ile gösterilir.
 Örnek: {1,2,3} ∪ {3, 4, 5}?
Venn Diagram for A ∪ B
Çözüm: {1,2,3,4,5}
U
A
B
27
Kesişim
 Tanım: A veB, kümelerinin kesişimi A ∩ B ile
gösterilir
 Note if the intersection is empty, then A and B are said
to be disjoint.
 Örnek: {1,2,3} ∩ {3,4,5} ?
Çözüm: {3}
 Örnek:
{1,2,3} ∩ {4,5,6} ?
Çözüm : ∅
Venn Diagram for A ∩B
U
A
B
28
Tümleyen
Tanım: A bir küme ise, A kümesinin tümleyeni (U’ya
göre), Ā ile gösterilir ve U – A’ya eşittir.
Ā = {x ∈ U | x ∉ A}
Örnek: Eğer U 100’den küçük pozitif tam sayılar ise,
{x | x > 70} kümesinin tümleyeni nedir?
Venn Diagram for Complement
Çözüm: {x | x ≤ 70}
U
Ā
A
29
Fark
 Tanım: A ve B iki küme olsun. A’nın B’den farkı, A – B
şeklinde gösterilir; ve A kümesinde olup, B kümesinde
olmayan elemanların kümesi olarak tanımlanır.
A – B = {x | x ∈ A  x ∉ B} = A ∩B
U
A
Venn Diagram for A − B
B
30
Birleşim Kümesinin Büyüklüğü
• |A ∪ B| = |A| + | B| - |A ∩ B|
U
A
B
Venn Diagram for A, B, A ∩ B, A ∪ B
31
Sorular
Örnek: U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5},
B ={4,5,6,7,8}
A∪B
Çözüm: {1,2,3,4,5,6,7,8}
2. A ∩ B
Çözüm : {4,5}
3. Ā
Çözüm : {0,6,7,8,9,10}
1.
4.
Çözüm : {0,1,2,3,9,10}
5. A – B
Çözüm : {1,2,3}
6. B – A
Çözüm : {6,7,8}
32
Simetrik Fark
Tanım:
Örnek:
U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3,4,5} B ={4,5,6,7,8}
 Çözüm: {1,2,3,6,7,8}
U
A
B
Venn Diagram
33
Küme Eşitlikleri
 Identity laws
 Domination laws
 Idempotent laws
 Complementation law
Continued on next slide 
34
Küme Eşitlikleri
 Commutative laws
 Associative laws
 Distributive laws
Continued on next slide 
35
Küme Eşitlikleri
 De Morgan’s laws
 Absorption laws
 Complement laws
36
Küme Eşitliklerini İspatlamak

Farklı yollar var:
1.
2.
3.
Eşitliğin her iki tarafının, diğer tarafın alt kümesi
olduğunu göster.
Küme kurma gösterimini ve önermeler mantığını
kullan.
Üyelik Tabloları
37
İkinci De Morgan Kuralının İspatı
Örnek:
eşitliğini ispatlayın
Çözüm: Birbirlerinin alt kümeleri olduğunu göster:
1)
ve
2)
Continued on next slide 
38
İkinci De Morgan Kuralının İspatı
1. AŞAMA:
Continued on next slide 
39
İkinci De Morgan Kuralının İspatı
2. AŞAMA:
40
Küme Kurma Gösterimi İle İkinci De
Morgan Kuralının İspatı
41
Üyelik Tablosu
Örnek:
Dağıtım kuralının doğru olduğunu göstermek için üyeli tablosu
oluşturun.
Çözüm:
A B C
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0 1
0
1
1
1
1
1
0 0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0 1
0
0
0
1
0
0
0 0
0
0
0
0
0
42
Genelleştirilmiş Birleşim ve Kesişim
 A1, A2 ,…, An indekslenmiş bir küme grubu olsun.
43
44
Bölüm Özeti
 Bir Fonksiyonun Tanımı
 Tanım kümesi, Değer kümesi
 Görüntü, Ön görüntü
 birebir, örten, birebir örten
 Ters fonksiyon
 Fonksiyonların bileşimi
 Fonksiyonların gösterimi
 Taban, Tavan, Faktöriyel
45
Fonksiyonlar
Tanım: A ve B boş olmayan kümeler. A’dan B’ye bir f
fonksiyonu f: A → B ile gösterilir ve A’nın her bir
elemanını B’nin sadece bir elemanı ile eşleştirir.
f(a) = b
Students
Grades
 Fonksiyonlara
A
haritalama veya
Carlota Rodriguez
B
dönüşüm de denir.
Sandeep Patel
Jalen Williams
Kathy Scott
C
D
F
46
Fonksiyonlar
 f: A → B fonksiyonu A×B çarpımının bir alt kümesi
olarak da tanımlanabilir. Bu alt kümedeki hiçbir sıralı
ikilinin ilk elemanı aynı olamaz.
47
Fonksiyonlar
f: A → B için:
 f A’yı B’ye haritalar denir
 A f’nin tanım kümesidir.
 B f’nin değer kümesidir.
 Eğer f(a) = b ise
 b a’nın f altındaki görüntüsüdür.
 a b’nin ön görüntüsüdür.
 İki fonksiyon, tanım ve değer kümeleri aynı ise ve aynı zamanda
tanım kümesindeki her bir elemanı değer kümesindeki aynı
elemanla eşleştiriyorsa aynıdır.
48
Fonksiyonların Gösterimi
 Farklı gösterimler var:
 Eşleştirme durumlarının açıkça gösterilmesi.
Öğrenciler ve notlar gibi.
 Bir formül ile.
f(x) = x + 1
 Bir bilgisayar programı ile
49
Sorular
f(a) = ?
A
z
d’nin görüntüsü?
a
z
Tanım kümesi?
Değer kümesi?
y’nin ön görüntüsü?
z’nin ön görüntüleri?
B
x
b
A
y
B
b
c
d
z
{a,c,d}
50
Sorular
 Eğer
ise ve S, A’nın bir alt kümesi ise
A
f {a,b,c,} is ?
f {c,d} is ?
{y,z}
{z}
B
a
x
b
y
c
d
z
51
Birebir (Injections)
Tanım: Ancak ve ancak f(a) = f(b) eşitliği bütün a ve b
elemanları için a = b eşitliğini gerektiriyorsa f
fonksiyonu birebirdir.
A
B
a
x
b
v
y
c
d
z
w
52
Örten (Surjections)
Tanım: Ancak ve ancak bütün
yapan en az bir
örtendir.
elemanları için
varsa f fonksiyonu
A
B
a
x
b
y
c
d
z
53
Birebir Örten (Bijections)
Tanım: Bir fonksiyon aynı anda birebir ve örten
özellikleri gösteriyorsa.
A
a
b
B
x
y
c
d
z
w
54
Ters Fonksiyonlar
Tanım: f A’dan B’ye birebir ve örten bir fonksiyon
olsun. f’nin tersi
ile gösterilir ve B’den A’ya tanımlı
bir fonksiyondur.
Birebir ve örtenlik yoksa neden fonksiyonun tersi
olamaz?
55
Ters Fonksiyonlar
A
a
f
B
V
b
W
c
d
A
B
a
V
b
W
c
X
Y
d
X
Y
56
Sorular
Örnek: f {a,b,c} kümesinden {1,2,3} kümesine bir
fonksiyon olsun. f(a) = 2, f(b) = 3, and f(c) = 1 ise f
fonksiyonunun tersi alınabilir mi?
57
Sorular
Örnek: f: Z  Z ve f(x) = x + 1 ise f fonksiyonunun
tersi alınabilir mi? Alınabilirse neden? Tersi nedir?
Çözüm: Evet. Birebir örten olduğu için.
Tersif-1 (y) = y – 1.
58
Sorular
Örnek:
f: R → R
Çözüm: Tersi yoktur. Birebir değil.
59
Bileşim
 Tanım: f: B → C, g: A → B.
Bileşke fonksiyon
:A→C
60
Bileşim
A
a
g
B
V
b
c
d
f
C
h
i
W
X
A
C
a
h
b
i
j
c
d
j
Y
61
Bileşim
Örnek1:
ise
ve
,
ve
62
Bileşke Fonksiyonlarla İlgili Sorular
Örnek 2: g, {a,b,c} kümesinden kendine bir
fonksiyon olsun. Yani, g(a) = b, g(b) = c, and g(c) = a.
f, {a,b,c} kümesinden {1,2,3} kümesine bir fonksiyon
olsun. Yani, f(a) = 3, f(b) = 2, and f(c) = 1.
f ve g bileşke fonksiyonu ile g ve f bileşke fonksiyonu
nedir?
Çözüm: The composition f∘g is defined by
f∘g (a)= f(g(a)) = f(b) = 2.
f∘g (b)= f(g(b)) = f(c) = 1.
f∘g (c)= f(g(c)) = f(a) = 3.
g∘f tanımlanabilir mi?
63
Fonksiyonların Grafiksel Gösterimi
 f A kümesinden B kümesine bir fonksiyon olsun. F
fonksiyonunun «grafı» sıralı çiftlerin bir kümesidir.
{(a,b) | a ∈A and f(a) = b}.
Z’den Z’ye tanımlı
f(n) = 2n + 1 ‘in grafiği
Z’den Z’ye tanımlı f(x) = x2
fonksiyonunun grafiği
64
Bazı Önemli Fonksiyonlar
 Taban fonksiyonu
x’e eşit veya x’den küçük en büyük tam sayı.
 Tavan fonksiyonu
x’e eşit veya x’den büyük en küçük tam sayı.
Örnek:
65
Taban ve Tavan Fonksiyonları
Taban (a) ve Tavan (b) fonksiyonların grafikleri
66
Faktöriyel Fonksiyon
Tanım: f: N → Z+ , f(n) = n! İlk n pozitif tamsayının
çarpımı.
f(n) = 1 ∙ 2 ∙∙∙ (n – 1) ∙ n,
f(0) = 0! = 1
Örnekler:
f(1) = 1! = 1
Stirling’s Formula:
f(2) = 2! = 1 ∙ 2 = 2
f(6) = 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3∙ 4∙ 5 ∙ 6 = 720
f(20) = 2,432,902,008,176,640,000.
67
68
Bölüm Özeti
 Seriler
 Örnekler: Geometrik İlerleme, Aritmetik İlerleme
 Özyineli İlişkiler
 Örnek: Fibonacci Dizisi
 Toplamlar
69
Giriş
 Seriler, elemanların sıralı listeleridir
 1, 2, 3, 5, 8
 1, 3, 9, 27, 81, …….
 Seriler botanikten müziğe, bilgisayar bilimine kadar
birçok yerde karşımıza çıkar.
 Serilerin gösterimi için temel terminoloji ve serideki
elemanların toplamı ile ilgili konular üzerinde
duracağız.
70
Seriler
Tanım: Bir Seri, tam sayıların bir alt kümesinden
(genellikle {0, 1, 2, 3, 4, …..} ya da {1, 2, 3, 4, ….} gibi)
bir S kümesine tanımlanan bir fonksiyondur.
 an terimi, n sayısının görüntüsü için kullanılır. an ‘I
f(n) fonksiyonunun sonucu gibi düşünebiliriz. Burada
f {0,1,2,…..} kümesinden S kümesine bir fonksiyondur.
an ‘e serinin bir elemanı denir.
71
Seriler
Örnek:
serisini göz önünde bulunduralım.
72
Geometrik İlerleme
Tanım: Bir geometrik ilerleme,
şeklindeki bir seridir. Başlangıç terimi olan a ve ortak oran
r reel sayılardır.
Örnekler:
1.
a = 1 ve r = −1. ise:
2.
a = 2 ve r = 5. ise:
3.
a = 6 ve r = 1/3. ise:
73
Aritmetik İlerleme
Tanım : Bir aritmetik ilerleme
şeklindeki bir seridir.
Başlangıç terimi olan a ve ortak fark d reel sayılardır.
Örnek:
1.
a = −1 ve d = 4:
2.
a = 7 ve d = −3:
3.
a = 1 ve d = 2:
74
Strings (Dizi, Katar)
Tanım: Bir string sonlu bir kümedeki (bir alfabe)
sonlu karakterlerin serisidir.
 Karakter serileri veya bit serileri bilgisayar bilimi için
önemlidir.
 Boş string λ ile gösterilir.
 abcde stringinin uzunluğu 5’tir.
75
Özyineli İlişkiler
Tanım: {an} serisi için bir özyineli ilişki, an terimini
seride kendinden önce gelen bir ya daha fazla terimle
gösteren bir eşitliktir. Yani, a0, a1, …, an-1, bütün n
tamsayıları için; n ≥ n0, ve n0 pozitif bir tamsayı.
 Eğer bir serinin elemanları bir özyineli ilişkiyi
sağlıyorsa, bu seriye özyineli ilişkinin çözümü denir.
 Bir seri için başlangıç koşulları, ilk elemandan önce
gelen ve özyineli ilişkiyi başlatan terimlerdir.
76
Özyineli İlişkilerle İlgili Sorular
Örnek 1: {an} , an = an-1 + 3 for n = 1,2,3,4,…. Özyineli
ilişkisini sağlayan bir seri olsun ve a0 = 2 olsun. a1 , a2 ve a3
nedir?
[Burada a0 = 2 başlangıç koşuludur.]
Çözüm: Özyineli ilişkinin şöyle olduğunu görürüz:
a1 = a0 + 3 = 2 + 3 = 5
a2 = 5 + 3 = 8
a3 = 8 + 3 = 11
77
Özyineli İlişkilerle İlgili Sorular
Örnek 2: {an} , an = an-1 – an-2 özyineli ilişkisini sağlayan
bir seri olsun. Burada n = 2,3,4,…. ve a0 = 3 ve a1 = 5.
a2 ve a3 nedir?
[Burada başlangıç koşulları a0 = 3 ve a1 = 5. ]
Çözüm: Özyineli ilişkinin şöyle olduğunu görürüz:
a2 = a1 - a0 = 5 – 3 = 2
a3 = a2 – a1 = 2 – 5 = –3
78
Fibonacci Serisi
Tanım: Fibonacci serisi, f0 ,f1 ,f2,…, :
 Başlangıç koşulları: f0 = 0, f1 = 1
 Özyineli ilişki: fn = fn-1 + fn-2
Örnek: f2 ,f3 ,f4 , f5 ve f6 elemanlarını bulunuz .
Cevap:
f2 = f1 + f0 = 1 + 0 = 1,
f3 = f2 + f1 = 1 + 1 = 2,
f4 = f3 + f2 = 2 + 1 = 3,
f5 = f4 + f3 = 3 + 2 = 5,
f6 = f5 + f4 = 5 + 3 = 8.
79
Özyineli İlişkileri Çözmek
 Bir özyineli ilişki tarafından oluşturulmuş olan bir
serinin n. elemanını bulmak, özyineli ilişkiyi çözmek
olarak adlandırılır.
 Böyle bir formüle kapalı formül denir.
 Bölüm 8’de özyineli ilişkilerle ilgili kapsamlı bilgi
bulunmakta.
 Burada, iterasyon yöntemi ile düzen çıkarmaya
çalışacağız.
80
İteratif Çözüm Örneği
Yöntem 1: Yukarıya doğru çalışma, ileriyi doğru yerine
koyma.
{an} , an = an-1 + 3 for n = 2,3,4,…. İlişkisini sağlayan bir seri
olsun ve a1 = 2 olsun.
a2 = 2 + 3
a3 = (2 + 3) + 3 = 2 + 3 ∙ 2
a4 = (2 + 2 ∙ 3) + 3 = 2 + 3 ∙ 3
.
.
.
an = an-1 + 3 = (2 + 3 ∙ (n – 2)) + 3 = 2 + 3(n – 1)
81
İteratif Çözüm Örneği
Yöntem 2: Aşağıya doğru çalışma, geriye doğru yerine
koyma.
{an} , an = an-1 + 3 for n = 2,3,4,…. İlişkisini sağlayan bir
seri olsun ve a1 = 2 olsun.
an = an-1 + 3
= (an-2 + 3) + 3 = an-2 + 3 ∙ 2
= (an-3 + 3 )+ 3 ∙ 2 = an-3 + 3 ∙ 3
.
.
.
= a2 + 3(n – 2) = (a1 + 3) + 3(n – 2) = 2 + 3(n – 1)
82
Finansal bir uygulama
Örnek: Bir kişi bir bankaya yıllık %11 bileşik faiz ile
$10,000 yatırıyor. 30 yıl sonunda ne kadar parası olur?
Pn 30 yıl sonraki para olsun. Pn aşağıdaki özyineli
ilişkiyi sağlar:
Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = (1.11) Pn-1
başlangıç koşulu P0 = 10,000
Devam 
83
Finansal bir uygulama
Pn = Pn-1 + 0.11Pn-1 = (1.11) Pn-1
başlangıç koşulu P0 = 10,000
Çözüm: İleriye doğru yerine koyma
P1 = (1.11)P0
P2 = (1.11)P1 = (1.11)2P0
P3 = (1.11)P2 = (1.11)3P0
:
Pn = (1.11)Pn-1 = (1.11)nP0 = (1.11)n 10,000
Pn = (1.11)n 10,000 (Tümevarım ile ispat edilebilir. Bölüm 5)
P30 = (1.11)30 10,000 = $228,992.97
84
Faydalı Seriler
85
Toplamlar

serisindeki
toplamı
 Gösterim:
terimlerinin
şunu ifade eder:
 j değişkeni, toplamın indeksi olarak isimlendirilir. Alt sınır
olan m’den başlar ve n’ye kadar ilerler.
86
Toplamlar
 Daha genel olarak bir S kümesi için:
 Örnek:
87
Geometrik Serileri
Bir geometrik ilerlemedeki terimler toplamı
İspat:
Let
Sn ‘i hesaplamak için ilk olarak eşitliğin her iki
tarafını r ile çarpın ve daha sonra çıkan toplam
sonucunu şu şekilde yazın
Devam 
88
Geometrik Serileri
Önceki slayttaki ifade
Toplamın indeksini bir kaydır. k = j + 1.
k = n + 1 . Terimi çıkar ve
k = 0 terimini ekle.
∴
Toplam formülünü elde etmek için S’yi
yerine koy.
eğer r ≠1
eğer r = 1
89
Bazı Faydalı Toplam Formülleri
90
91
Bölüm Özeti
 Büyüklük (Nicelik/Eleman Sayısı)
 Sayılabilir Kümeler
92
Büyüklük
Tanım: A kümesinin büyüklüğü B kümesinin
büyüklüğü ile aynı ise bu şu şekilde gösterilir:
|A| = |B|,
Ancak ve ancak A’dan B’ye birebir-örten ilişki varsa bu
durum doğrudur.
 Eğer A’dan B’ye birebir ilişki varsa A’nın eleman sayısı
B’nin eleman sayısından küçüktür ya da ona eşittir.
|A| ≤ |B|.
 |A| ≤ |B| durumunda, A ve B kümeleri farkı
büyüklüklere sahipse, |A| < |B| durumu oluşur.
93
Kolaylıkla görülebilecek bazı durumlar:
1. S kümesi S kümesinin alt kümesi ise ve sonsuzsa S
kümesi de sonsuzdur.
2. Sonlu bir kümenin bütün al kümeleri sonludur.
3. Eğer f : S  T birebirse ve S sonsuzsa, bundan dolayı T de
sonsuzdur.
4. Eğer S sonsuz bir küme ise P(S) de sonsuzdur.
5. Eğer S ve T sonsuz kümelerse, S  T sonsuzdur.
6. Eğer S sonsuzsa ve T  , ise S  T sonsuzdur.
7. Eğer S sonsuzsa ve T  , ise T’den S’ye tanımlanabilecek
fonksiyonların kümesi de sonsuzdur.
94
95
Bölüm Özeti
 Bir matrisin tanımı
 Matris Aritmetiği
 Transpoz ve Aritmetik Üs
 Sıfır-Bir Matrisleri
96
Matrisler
 Matrisler kullanışlı ayrık yapılardır. Örneğin, şunlar
için kullanılabilirler:
 Lineer dönüşümlerin tanımlanması.
 Graf düğümlerinin tanımlanması
 Matrisleri şunlar için kullanacağız:
 Ulaştırma sistemleri
 Haberleşme ağları
 Bu bölümde matrislerin temellerini göreceğiz.
97
Matris
Tanım: Bir matris, sayılardan oluşan dikdörtgen bir
dizidir. m tane satır ve n tane sütundan oluşan bir
matris mxn matris olarak anılır.
 Satır ve sütun sayıları eşitse kare matris adını alır.
 Aynı satı ve sütun sayılarına sahip olup, ilgili hücreleri eşit olan
matrisler birbirlerine eşittir.
3 2 matrix
98
Gösterim
 m ve n pozitif tamsayılar olsun.
 A matrisinin i. Satırı 1xn bir matrisdir. [ai1, ai2,…,ain].
 j. sütunu mx1 bir matrisdir:
 Bir matrisi şu şekilde gösterebiliriz: A = [aij ]
99
Matris Aritmetiği: Toplama
Tanım: A = [aij] ve B = [bij] olsun
A + B = [aij + bij] olur
Örnek:
100
Matris Çarpımı
Tanım: A mxk matris ve B kxn matris olsun. Çarpımları:
AB = [cij] then cij = ai1b1j + ai2b2j + … + akjb2j. olur
Örnek:
İlk matrisin sütun sayısı ikinci matrisin satır sayısına eşit
değilse matris çarpımı tanımsızdır.
101
Matris Çarpımının Gösterimi
 A = [aij] ve B = [bij] matrislerinin çarpımı
102
Matris Çarpımının Değişme Özelliği
Yoktur
Örnek:
AB = BA?
Çözüm:
AB ≠ BA
103
Birim Matris ve Matrislerin Kuvveti
Tanım: n boyutlu bir birim matris mxn bir matristir
In = [ij], burada ij = 1 eğer i = j ve ij = 0 eğer i≠j.
AIn = ImA = A
A mxnbir matris
Kare matrislerin kuvvetleri tanımlanabilir. A n  n bir
matris olsun:
A0 = In
Ar = AAA∙∙∙A
r defa
104
Matrislerin Transpozu
Tanım: A = [aij] mxn bir matris olsun. A’nın
transpozu, At ile gösterilir, nxm bir matristir ve A
matrisinin sütun ve satırlarının yer değiştirmesi ile
elde edilir.
Eğer At = [bij], ise bij = aji bütün i =1,2,…,n için
ve j = 1,2, ...,m. için
105
Matrislerin Transpozu
Tanım: A bir kare matris olsun. Eğer A = At ise A
matrisine simetrik matris denir.
Yani A = [aij] simetriktir, eğer aij = aji ise, i ve j
1≤ i≤ n and 1≤ j≤ n.
106
Sıfır-Bir Matrisler
Tanım: Bütün elemanları sıfır ve birlerden oluşan
matrislerdir.
Sıfır ve birler mantıksal değerler oldukları için bu tip
matrisler üzerinde mantıksal işlemler yapılabilir.
107
Sıfır-Bir Matrisler
Tanım: A = [aij] ve B = [bij] m  n sıfır-bir matrisler
olsun.
 A ve B matrislerin join işlemi aij ∨ bij olarak tanımlanır
ve A ∨ B şeklinde gösterilir.
 A ve B matrislerin meet işlemi aij ∧ bij olarak tanımlanır
ve A ∧ B şeklinde gösterilir.
108
Sıfır-Bir Matrisler Üzerinde join ve meet
işlemleri
Örnek: Aşağıdaki matrislerin join ve meet sonuçlarını
bulunuz.
Çözüm: A ve B join işlemi
A ve B meet işlemi
109
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı
Tanım: A = [aij] mxk sıfır-bir matris ve B = [bij] kxn
sıfır-bir matris olsun. A ve B matrislerinin ikili
çarpımı, A ⊙ B ile gösterilir; (i,j). elemanı aşağıdaki
şekilde hesaplanan mxn sıfır-bir matristir.
cij = (ai1 ∧ b1j)∨ (ai2 ∧ b2j) ∨ … ∨ (aik ∧ bkj).
Örnek: A ve B matrislerinin ikili çarpımını bulunuz
110
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı
Çözüm:
111
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Çarpımı
Tanım: A sıfır-bir kare matris olsun. r pozitif bir
tamsayı. A matrisinin r. İkili çarpımı A[r] şeklinde
gösterilir.
112
Sıfır-Bir Matrislerin İkili Kuvvetleri
Örnek:
An bütün pozitif n tamsayıları için hesaplayınız.
Çözüm:
113