DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR

DİFERENSEYELLENEBİLİR MANİFOLDLAR
M herhangi bir küme olsun.
1−1
i) x : M → R n
ii) V = Rng ( x ) ⊂ R n açık
cümle olmak üzere; Dom ( x ) = U için
x
U
Rn
Pi
x = Pox
i
i
R
1
1≤ i ≤ n
(U , x ) ikilisine
n-boyutlu harita, x ( m ) = ( x1 ( m ) ,..., x n ( m ) ) ’ye m ∈ U nin (U , x ) haritasına göre
lokal koordinatları, U’ya koordinat komşuluğu, xi fonksiyonlarına da lokal koordinat fonksiyonları
denir.
Örnek1: M = R32
⎛
⎡ a11
x : M → R , x⎜ A = ⎢
⎣ a21
⎝
6
a12
a22
a13 ⎤ ⎞
⎟ = ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )
a23 ⎥⎦ ⎠
şeklinde tanımlı fonksiyon 1 − 1 dir. V = Rng ( x ) = R 6 ve R 6 açık olduğundan ( R32 , x ) , R32 de bir
haritadır.
( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )
altılısına A ∈ R32 noktasının
koordinatları denir.
2
( R , x)
2
3
haritasına göre lokal
⎛ p
p ⎞
Örnek 2: x : S 2 → R 2 , x ( p ) = ⎜ 1 , 2 ⎟
⎝ 1 − p3 1 − p3 ⎠
fonksiyonu U = Dom ( x ) = S 2 − {( 0, 0,1)} da 1 − 1 dir. Rng ( x ) = R 2 ve R 2 açık olduğundan
( S − {( 0, 0,1)} , x ) ikilisi S
2
2
∀p ∈ U noktasına; x1 ( p ) =
karşılık tutabiliriz. Bu
üzerinde iki boyutlu bir haritadır.
p1
p2
, x2 ( p ) =
şeklinde
1 − p3
1 − p3
( x ( p ) , x ( p ))
1
2
( x ( p ) , x ( p ))
1
2
reel sayı ikilisini
reel sayı ikilisi (U , x ) haritası için p noktasının lokal
koordinatları olur.
3
Birinci örnekte olduğu gibi M = R32 kümesinin tamamını bir haritayla(yani bir koordinat
komşuluğu ile) koordinatlandırmak mümkündür. İkinci örnekte ise M = S 2 nin tamamını tek bir
haritayla koordinatlandırmak mümkün değildir. Bu örnekte S 2 yi koordinat komşulukları ile
örtmeliyiz. Bu durumda bir diğer (V , y ) haritasını;
⎛ p
p ⎞
y : S 2 → R2 , y ( p ) = ⎜ 1 , 2 ⎟
⎝ 1 + p3 1 + p3 ⎠
şeklinde alabiliriz. Bu dönüşümün 1-1, Dom ( y ) = S 2 − {( 0, 0, −1)} ve Rng ( y ) = R 2 özelliğinde
olduğunu görebiliriz. O zaman U ∩ V kümesinin her bir p noktasına;
⎛ p
⎛ p
p ⎞
p ⎞
x ( p ) = ⎜ 1 , 2 ⎟ ve y ( p ) = ⎜ 1 , 2 ⎟
⎝ 1 − p3 1 − p3 ⎠
⎝ 1 + p3 1 + p3 ⎠
4
gibi iki koordinat komşuluğu karşılık getirmiş oluruz. Bu durum her bir noktaya bir tek reel sayı
ikilisi karşılık getirmeye( R 2 deki tek türlü koordinatlamaya) ters bir durumdur. O zaman bu
durumu ortadan kaldırmak için lokal koordinat fonksiyonları arasında bir tür uyumluluk istenmesi
doğaldır.
y =
1
(x
)
1 2
x1
+(x
)
2 2
, y =
2
x2
( x1 ) + ( x 2 )
2
2
birinciden ikinciye geçiş bağıntılarıdır.
{
}
Tanım 1: A = (U i , xi ) i ∈ I M nin haritalarının bir koleksiyonu olsun.
i) ∪ U i ⊃ M (örtü aksiyomu)
i∈I
ii) ∀ (U , x ) , (V , y ) ∈ A, U ∩ V ≠ ∅ ⇒ yο x −1 : x (U ∩ V ) → y (U ∩ V )
(haritaların uyumluluk aksiyomu)
Özellikleri sağlanıyorsa A ya M nin bir atlası denir.
5
dönüşümü diffeomorfizm
M
Uα
Vα
Uα ∩ Vα
xα
yα
yα (U α ∩ Vα )
xα (U α ∩ Vα )
yα ο xα−1
6
Örnek 2 deki (U , x ) , (V , y ) koordinat komşulukları için U = S 2 − {( 0, 0,1)} , V = S 2 − {( 0, 0, −1)}
{
}
olmak üzere; U ∩ V = p ∈ S 2 p3 ≠ ∓1
yο x −1 : x (U ∩ V ) → R 2
( yο x ) ( x ( p ) ) = y ( x ( p ) )
−1
−1
q ∈ x (U ∩ V ) için
⎛
2q1
2q2
q12 + q22 − 1 ⎞
,
,
x (q) = ⎜
2
2
2
2
2
2 ⎟
+
+
+
+
+
+
1
1
1
q
q
q
q
q
q
1
2
1
2
1
2 ⎠
⎝
−1
⎛ q1
q2 ⎞
−1
y
ο
x
q
,
=
(
) ( ) ⎜ q2 + q2 q2 + q2 ⎟
⎝ 1
2
1
2 ⎠
7
olup 1-1 örten ve dif.bilirdir. Tersi kendisi olduğundan tersi de dif.bilirdir. O halde yο x −1
diffeomorfizmdir.
Örnek 3: U =
{( cos 2π s,sin 2π s ) 0 < s < 1} ⊂ S
1
x : U → R , x ( p ) = s, p = ( cos 2π s,sin 2π s )
olarak tanımlayalım. O zaman P = ( cos 2π s1 ,sin 2π s1 ) ve Q = ( cos 2π s2 ,sin 2π s2 ) olsun.
x ( P ) = x ( Q ) ⇒ s1 = s2
⇒ P=Q
olduğundan x 1-1 dir. x (U ) = ( 0,1) ve R nin topolojisine göre açık olduğundan (U , x ) , S 1 için 1boyutlu haritadır.
8
1
1⎫
⎧
U ′ = ⎨( cos 2π s,sin 2π s ) − < s < ⎬ ⊂ S 1
2
2⎭
⎩
(
)
(
)
y : U ′ → R , y ( p ) = s ∈ − 1 , 1 de 1-1 ve y (U ′ ) = − 1 , 1 açık olduğundan S 1 için bir
2 2
2 2
diğer 1-boyutlu haritadır.
9
(0,1)
(-1,0)
(1,0)
x
y
(0,-1)
0
1
2
1
−
1
2
10
0
1
2
{
}
U ∩ U ′ = p ∈ S 1 p ∈ S 1 − {(1,0), (− 1,0)}
x(U ∩ U ′) = {s ∈ (0,1)(cos 2πs, sin 2πs ) ∈ U ∩ U ′}
(cos 2πs, sin 2πs ) = (1,0) ve (cos 2πs, sin 2πs ) = (− 1,0) olacak şekilde s değerlerini bulalım.
cos 2πs = 1⎫
⎬ ⇒ 2πs = 2kπ
sin 2πs = 0⎭
⇒s=k
0 < s = k < 1 olacak şekilde tam sayı yoktur. O halde çıkacak s değeri yoktur.
11
cos 2π s = −1⎫
⎬ ⇒ 2π s = 2 ( k + 1) π
sin 2π s = 0 ⎭
2k + 1
2
2k + 1
⇒0<
<1
2
⇒ 0 < 2k + 1 < 2
⇒s=
... (*)
⇒ −1 < 2k < 1
−1
1
<k<
2
2
⇒ −1 < 2k < 1
⇒
k = 0 ve bunu (*) da yerine yazarsak s =
1
1
bulunur. O halde s = değeri atılacak, yani;
2
2
⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞
x(U ∩ U ′) = ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟
⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠
⎧ ⎛ 1 1⎞
⎫
y (U ∩ U ′) = ⎨s ∈ ⎜ − , ⎟ (cos 2πs, sin 2πs ) ∈ U ∩ U ′⎬
⎩ ⎝ 2 2⎠
⎭
12
(cos 2πs, sin 2πs ) = (1,0) ⇒ s = k
1
1
<k<
2
2
⇒k =0
⇒−
⇒s=0
s = 0 değeri atılacak.
(cos 2πs, sin 2πs ) = (− 1,0) ⇒ s = 2k + 1
2
1 2k + 1 1
⇒− <
<
2
2
2
⇒ −1 < 2 k + 1 < 1
⇒ −2 < 2 k < 0
⇒ −1 < k < 0
olacak şekilde k yoktur. Dolayısıyla atılacak s değeri de yoktur.
13
⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞
y (U ∩ U ′) = ⎜ − ,0 ⎟ ∪ ⎜ 0, ⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞
yοx −1 : ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟ → ⎜ − ,0 ⎟ ∪ ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2⎠
⎛ 1⎞ ⎛1 ⎞
s = x( p ) ∈ ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟ olmak üzere;
⎝ 2⎠ ⎝2 ⎠
⎧
⎛ 1⎞
∈
s
,
s
⎜ 0, ⎟
⎪⎪
⎝ 2⎠
(x( p )) = ⎨
⎪s − 1 , s ∈ ⎛⎜ 1 ,1⎞⎟
⎪⎩
⎝2 ⎠
(yοx )
−1
14
0 < x( p ) <
1
⇒ y ( p ) = x( p )
2
1
< x( p ) < 1 ⇒ y ( p ) = x( p ) − 1
2
olduğundan yox −1 : x(U ∩ U ′) → y (U ∩ U ′) dönüşümü 1-1, örten ve dif.bilir bir dönüşümdür. Bu
fonksiyonun tersi xoy −1 : y (U ∩ U ′ ) → x (U ∩ U ′ ) , olup
⎧
⎛ 1⎞
,
∈
t
t
⎜ 0, ⎟
⎪
⎪
⎝ 2⎠
−1
=
ο
x
y
t
(
)( ) ⎨
⎪1 + t , t ∈ ⎛ − 1 , 0 ⎞
⎜
⎟
⎪⎩
⎝ 2 ⎠
dönüşümü dif.bilirdir.
15
Örnek 3: M = {(s,0 ) − 1 < s < 1}∪ {(s, s ) 0 < s < 1}, U =
{( s, 0 ) − 1 < s < 1} ve
V = {(s,0 ) − 1 < s ≤ 0}∪ {(s, s ) 0 < s < 1} olsun.
x : U → R,
x ( s, 0 ) = s ∈ ( −1,1)
y : V → R,
y ( s, 0 ) = s ∈ ( −1, 0 )
y ( s, s ) = s ∈ ( 0,1)
olarak tanımlanırsa (U , x ) ve (V , y ) M nin birer haritası olurlar. Halbuki
yο x −1 : x (U ∩ V ) = ( −1, 0] → y (U ∩ V ) = ( −1, 0]
dönüşümü dif.bilir değildir. Çünkü tanım kümesi R de açık olmadığından sürekli değildir. O halde;
{(U , x ), (V , y )}
M için bir atlas değildir.
16
Tanım: İki atlasın birleşimi de yine bir atlas ise bu iki atlasa denk atlaslar denir.
{
}
Örnek: U 1 = (z1 , z 2 ) ∈ S 1 z1 > 0
x1 : U 1 → R,
x1 (z1 , z 2 ) = z 2
dönüşümü 1-1 dir. Gerçekten;
x1 ( z1 , z2 ) = x1 ( z1′, z2′ ) ⇒ z2 = z2′
⇒ z12 + z22 = 1,
z1′2 + z2′2 = 1
⇒ z1 = z1′
⇒ ( z1 , z2 ) = ( z1′, z2′ )
17
olur. −1 < x1 ( z1 , z2 ) = z2 < 1 ⇒ Rng ( x1 ) = ( −1,1) ve x1 S 1 için bir haritadır.
J : S1 → R2 ,
x1 = ( P2ο J ) U
1
olur.
U2 =
{( z , z ) ∈ S
1
z2 > 0
U3 =
{( z , z ) ∈ S
1
z1 < 0
U4 =
{( z , z ) ∈ S
1
z2 < 0
1
1
1
2
2
2
}
}
}
18
x2 : U 2 → R,
x2 ( z1 , z2 ) = z1 , x2 = ( P1ο J ) U
x3 : U 3 → R,
x3 ( z1 , z2 ) = z2 , x3 = ( P1ο J ) U
x4 : U 4 → R,
x4 ( z1 , z2 ) = z1 , x4 = ( P1ο J ) U
2
3
4
U 1 , U 2 , U 3 ve U 4 kümeleri S 1 ’i örterler.
19
y
S1
(0,1)
(-1,0)
(1,0)
(-1,0)
20
x
(
1 − s2 , s
(
)
)
x1−1 : ( −1,1) → S 1 ,
x1−1 ( s ) =
x2−1 : ( −1,1) → S 1 ,
x2−1 ( t ) = t , 1 − t 2
x3−1 : ( −1,1) → S 1 ,
x3−1 ( u ) = u, 1 − u 2
(
)
x4−1 : ( −1,1) → S 1 ,
x4−1 ( v ) = v, 1 − v 2
(
)
U1 ∩ U 2 =
{( z , z ) ∈ S
1
2
x1 (U1 ∩ U 2 ) = ( 0,1)
1
}
z1 > 0, z2 > 0
x2 (U1 ∩ U 2 ) = ( 0,1)
21
x2ο x1−1 : x1 (U1 ∩ U 2 ) → x2 (U1 ∩ U 2 )
( x ο x )(s) = x
2
−1
1
2
(
1 − s2 , s
)
= 1 − s2
diffeomorfizmdir. x3ο x1−1 dönüşümüne U1 ∩ U 3 = ∅ olduğundan bakmaya gerek yoktur.
U1 ∩ U 4 =
{( z , z ) ∈ S
1
4
1
}
z1 > 0, z2 < 0
x1 (U1 ∩ U 4 ) = ( −1, 0 )
x4 (U1 ∩ U 4 ) = ( 0,1)
22
x4ο x1−1 : x1 (U1 ∩ U 4 ) → x4 (U1 ∩ U 4 )
( x ο x )(s) = x
4
−1
1
4
(
1 − s2 , s
)
= 1 − s2
diffeomorfizmdir.
x3ο x2−1 : x2 (U 2 ∩ U 3 ) → x3 (U 2 ∩ U 3 )
( x ο x ) (t ) = x (t,
3
−1
2
3
1− t2
)
= 1− t2
diffeomorfizmdir. x4ο x2−1 dönüşümünü U 2 ∩ U 4 = ∅ olduğundan incelemeye gerek yoktur.
23
x4ο x3−1 : x3 (U 3 ∩ U 4 ) → x4 (U 3 ∩ U 4 )
( x ο x ) (u ) = x
4
−1
3
4
(− 1− u ,u)
2
= 1− u2
diffeomorfizmdir. A1 = {(U1 , x1 ) , (U 2 , x2 ) , (U 3 , x3 ) , (U 4 , x4 )} S 1 için diferensiyellenebilir atlastır.
{
}
S 1 için A2 = {(U , x ) , (U ′, y )} , U = ( sin 2π s, cos 2π s ) 0 < s < 1 ve
1
1⎫
⎧
U ′ = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) − < s < ⎬ olmak üzere;
2
2⎭
⎩
24
x : U → ( 0,1) , x ( sin 2π s, cos 2π s ) = s
⎛ 1 1⎞
y : U ′ → ⎜ − , ⎟ , y ( sin 2π s, cos 2π s ) = s
⎝ 2 2⎠
dönüşümleri tanımlanıyor. A1 ve A2 atlasları denktir. Gerçekten;
{
}
U 1 = (z1 , z 2 ) ∈ S 1 z1 > 0
25
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U1 ∩ U ⇒ sin 2π s > 0 ve 0 < s < 1
⇒ sin 2π s > 0 ve 0 < 2π s < 2π
⇒ 0 < 2π s < π
⇒0 < s <
1
2
1⎫
⎧
U1 ∩ U = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) 0 < s < ⎬
2⎭
⎩
U2 =
{( z , z ) ∈ S
1
2
1
}
z2 > 0
26
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U 2 ∩ U ⇒ cos 2π s > 0 ve 0 < s < 1
⇒ cos 2π s > 0 ve 0 < 2π s < 2π
⇒ 0 < 2π s <
⇒0 < s <
π
2
veya
3π
< 2π s < 2π
2
1
3
veya < s < 1
4
4
⎧
⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞⎫
U 2 ∩ U = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) s ∈ ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟ ⎬
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎭
⎩
27
U3 =
{( z , z ) ∈ S
1
1
2
}
z1 < 0
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U 3 ∩ U ⇒ sin 2π s < 0 ve 0 < 2π s < 2π
⇒ π < 2π s < 2π
1
⇒ < s <1
2
1
⎧
⎫
U 3 ∩ U = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) < s < 1⎬
2
⎩
⎭
U4 =
{( z , z ) ∈ S
1
2
1
}
z2 < 0
28
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U 4 ∩ U ⇒ cos 2π s < 0 ve 0 < s < 1
⇒ cos 2π s < 0 ve 0 < 2π s < 2π
⇒
π
2
< 2π s <
3π
2
1
3
⇒ <s<
4
4
1
⎧
U 4 ∩ U = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) < s <
4
⎩
3⎫
⎬
4⎭
29
⎛ 1⎞
x (U1 ∩ U ) = ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
x1 (U1 ∩ U ) = ( −1,1)
( x ο x ) ( s ) = cos 2π s
−1
1
dönüşümü diffeomorfizmdir.
30
x2 (U 2 ∩ U ) = ( −1,1)
⎛ 1⎞ ⎛3 ⎞
x (U 2 ∩ U ) = ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟
⎝ 4⎠ ⎝4 ⎠
⎛ 1⎞ ⎛3 ⎞
x2ο x −1 : ⎜ 0, ⎟ ∪ ⎜ ,1⎟ → ( −1,1)
⎝ 4⎠ ⎝4 ⎠
( x ο x ) ( s ) = sin 2π s
−1
2
dönüşümü diffeomorfizmdir.
31
x3 (U 3 ∩ U ) = ( −1, 0 )
⎛1 ⎞
x (U 3 ∩ U ) = ⎜ ,1⎟
⎝2 ⎠
⎛1 ⎞
x3ο x −1 : ⎜ ,1⎟ → ( −1, 0 )
⎝2 ⎠
( x ο x ) ( s ) = cos 2π s
−1
3
dönüşümü diffeomorfizmdir.
32
x4 (U 4 ∩ U ) = ( −1,1)
⎛1 3⎞
x (U 4 ∩ U ) = ⎜ , ⎟
⎝4 4⎠
⎛1 3⎞
x4ο x −1 : ⎜ , ⎟ → ( −1,1)
⎝4 4⎠
( x ο x ) ( s ) = sin 2π s
−1
4
diffeomorfizmdir.
33
1
1⎫
⎧
U ′ = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) − < s < ⎬
2
2⎭
⎩
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U1 ∩ U ′ ⇒ sin 2π s > 0 ve −
1
1
<s<
2
2
⇒ sin 2π s > 0 ve − π < 2π s < π
⇒0<s<
1
2
34
1⎫
⎧
U1 ∩ U ′ = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) 0 < s < ⎬
2⎭
⎩
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U 2 ∩ U ′ ⇒ cos 2π s > 0 ve −
1
1
<s<
2
2
⇒ cos 2π s > 0 ve − π < 2π s < π
⇒−
π
2
< 2π s <
1
1
⇒− <s<
4
4
35
π
2
1
1⎫
⎧
U 2 ∩ U ′ = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) − < s < ⎬
4
4⎭
⎩
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈ U 3 ∩ U ′ ⇒ sin 2π s < 0 ve − π < 2π s < π
⇒ −π < 2π s < 0
1
⇒− <s<0
2
1
⎧
⎫
U 3 ∩ U ′ = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) − < s < 0 ⎬
2
⎩
⎭
( sin 2π s, cos 2π s ) ∈U 4 ∩ U ′ ⇒ cos 2π s < 0 ve −
1
1
<s<
2
2
⇒ cos 2π s < 0 ve − π < 2π s < π
36
⇒ −π < 2π s < −
π
2
∨
π
2
< 2π s < π
1
1 1
1
⇒− <s<− ∨ <s<
2
4 4
2
1
1 1
1⎫
⎧
U 4 ∩ U ′ = ⎨( sin 2π s, cos 2π s ) − < s < − ∨ < s < ⎬
2
4 4
2⎭
⎩
x1 (U1 ∩ U ′ ) = ( −1,1)
⎛ 1⎞
y (U1 ∩ U ′ ) = ⎜ 0, ⎟
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
x1ο y −1 : ⎜ 0, ⎟ → ( −1,1) ,
⎝ 2⎠
( x ο y ) ( s ) = cos 2π s
−1
1
37
diffeomorfizmdir.
x2 (U 2 ∩ U ′ ) = ( −1,1)
⎛ 1 1⎞
y (U 2 ∩ U ′ ) = ⎜ − , ⎟
⎝ 4 4⎠
⎛ 1 1⎞
x2ο y −1 : ⎜ − , ⎟ → ( −1,1) ,
⎝ 4 4⎠
( x ο y ) ( s ) = sin 2π s diffeomorfizmdir.
−1
2
x3 (U 3 ∩ U ′ ) = ( −1,1)
⎛ 1 ⎞
y (U 3 ∩ U ′ ) = ⎜ − , 0 ⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞
x3ο y −1 : ⎜ − , 0 ⎟ → ( −1,1) ,
⎝ 2 ⎠
( x ο y ) ( s ) = cos 2π s diffeomorfizmdir.
−1
3
38
x4 (U 4 ∩ U ′ ) = ( −1,1)
⎛ 1 1⎞ ⎛1 1⎞
y (U 4 ∩ U ′ ) = ⎜ − , − ⎟ ∪ ⎜ , ⎟
⎝ 2 4⎠ ⎝4 2⎠
⎛ 1 1⎞ ⎛ 1 1⎞
x4ο y −1 : ⎜ − , − ⎟ ∪ ⎜ − , ⎟ → ( −1,1)
⎝ 2 4⎠ ⎝ 4 2⎠
( x ο y ) ( s ) = sin 2π s
−1
4
diffeomorfizmdir.
O zaman A1 ∪ A2 de S 1 in bir dif.bilir atlasıdır. O halde A1 ≈ A2 olur.
39
{
}
Örnek: E = ( sin 2 s,sin s ) s ∈ R , sekiz eğrisi
{
}
U = ( sin 2 s,sin s ) 0 < s < 2π = E
x : U → R,
x ( sin 2 s,sin s ) = s
x (U ) = ( 0, 2π ) açık olup A1 = {(U , x )} E için bir atlastır.
{
V = ( sin 2s,sin s ) − π < s < π
y : V → R,
}
y ( sin 2 s,sin s ) = s
y (V ) = ( −π , π ) açık olup A2 = {(V , y )} E için bir atlastır.
40
1−1
yο x : x (U ) → y (V )
−1
örten
s ∈ ( 0, 2π ) için ( yο x −1 ) ( s ) ∈ y (V ) = ( −π , π ) olmalıdır.
⎧ s
( yο x −1 ) ( s ) = ⎪⎨ s − π
⎪ s − 2π
⎩
lim− ( yο x −1 ) ( s ) = π
s →π
s ∈ ( −π , π )
s =π
s ∈ (π , 2π )
lim+ ( yο x −1 ) ( s ) = −π olduğundan s = π de fonksiyon sürekli değildir.
s →π
O halde A1 ve A2 denk atlaslar değildir.
41
Tanım: M cümlensin bir A atlası hiçbir atlas tarafından ihtiva edilmiyorsa A ya tam atlas denir.
Teorem: M den R n içine her bir dif.bilir atlas bir tek tam atlas içindedir.
{
}
İspat: A bir atlas olsun. A+ = (U , x ) xο xα −1diffeomorfizm ∀ (U α , xα ) ∈ A tanımlayalım. A+ , M nin
bir dif.bilir atlasıdır. Gerçekten; (U , x ) , (V , y ) ∈ A+ olsun. A+ tanımından xο xα −1 ve xα ο y −1
diffeomorfizmlerdir. O halde x ∈ U ∩ V , z ∈ U α olmak üzere
( xο x )ο ( x ο y ) = xο y
−1
α
α
−1
−1
bir lokal diffeomorfizmdir.(z nin bir komşuluğu olduğundan)
42
Böylece (x, y nin koordinat fonksiyonları olması nedeniyle xο y −1 1-1 dir.) xο y −1 lokal
diffeomorfizm ve 1-1 olduğundan diffeomorfizmdir. Bu ise A+ nın bir C ∞ atlas olduğunu gösterir.
Diğer taraftan A ⊂ A+ A+ nın tanımından A yı kapsayan herhangi B atlasını göz önüne alalım.
(W , ϕ ) ∉ A
ve (W , ϕ ) ∈ B olacak şekilde B nin bir (W , ϕ ) haritası göz önüne alınarak A+ nın
tanımı kullanılıp B ⊂ A+ olduğu görülebilir.
Tanım: M nin bir tam dif.bilir atlasına M de bir dif.bilir manifold yapısı denir.
Yukarıdaki teorem gereğince M de bir dif.bilir yapıyı yani bir tam atlası verilen herhangi bir
atlastan daima elde edebiliriz. O halde M de bir dif.bilir yapıdan bahsedebilmek için bir dif.bilir
atlas(tam olması gerekmez) almak yeterlidir. Atlasların aynı tam atlasta olmaları bu dif.bilir yapının
tek türlülüğünü gösterir. Daha açık olarak ∀A tam atlası için bir tek dif.bilir yapı vardır.
43
S 1 de A1 ve A2 olarak tanımlanan ve denk olan iki atlas görmüştük. O halde bu atlasların ikisi de
tam değildir.
Tanım: Verilen bir dif.bilir manifold yapısıyla birlikte bir M cümlesine diferensiyellenebilir
manifold denir.
M
Örnek:
{
ve
M′
iki
diferensiyellenebilir
manifold
olsun.
M ×M′
de
}
A × A′ = (U × U ′, x × x′ ) (U , x ) ∈ A ve (U ′, x′ ) ∈ A′ de bir dif.bilir yapı tanımlar. Gösteriniz.
x (U ) ve x (U ′ ) R n ve R m de açık olduklarından x (U ) × x (U ′ ) de R n × R m de çarpım topolojisine
göre açıktır.
44
( x × x′ )( u, u′ ) = ( x ( u ) , x′ ( u′) )
( x × x′ )( v, v′) = ( x ( v ) , x′ ( v′) )
( x × x′)( u, u′ ) = ( x × x′)( v, v′ ) ⇒ ( x ( u ) , x′ ( u′ ) ) = ( x ( v ) , x′ ( v′ ) )
⎧⎪ x ( u ) = x ( v )
⇒⎨
⎪⎩ x′ ( u ′ ) = x′ ( v′ )
⎧ x, x′ 1 − 1 olduğundan
⇒⎨
⎩ u = v ve u ′ = v′
⇒ ( u , u ′ ) = ( v, v′ )
ve x × x′ 1-1 dir.
45
( x × x′,U × U ′ ) ∈ A × A′
( y × y′,V × V ′ ) ∈ A × A′
olacak şekilde iki harita alalım.
( y × y′ ) ο ( x × x′) : ( x × x′ )(U × U ′ ) → ( y × y′ )(V × V ′)
−1
( y × y ′ ) ο ( x × x′ )
−1
= ( y × y′ ) ο ( x −1 × x′−1 )
( x ( u ) , x′ ( v′) ) ∈ ( x × x′)(U × U ′)
46
(( y × y′)ο ( x × x′) ) ( a, b ) = ( y × y′) ( x−1 ( a ) , x′−1 (b ))
−1
(
= y ( x −1 ( a ) ) , y′ ( x′−1 ( b ) )
( y × y ′ ) ο ( x × x′ )
−1
)
=
(( yο x ) ( a ) , ( y′ο x′ ) ( b ))
=
(( yο x ) , ( y′ο x′ )) ( a, b )
−1
−1
−1
−1
= ( yο x −1 ) × ( y′ο x′−1 )
olduğundan diffeomorfizmdir. O halde A × A′ uyumluluk aksiyomu sağlar. Buradan A × A′
M × M ′ de bir atlastır. A × A′ nün belirlediği C ∞ yapı ile M × M ′ bir diferenesiyellenebilir
manifoldtur. M × M ′ monifolduna M ile M ′ manifoldlarının çarpım manifoldu denir.
47
Örnek: Ai M i manifoldları için birer atlas ise A1 × ... × An de M 1 × ... × M n için atlastır. M i = R
alınırsa; Ai = {( I , R )} R × ... × R bir manifoldtur.
n tan e
Örnek: T n = S 1 × ... × S 1 manifoldtur bu çarpım manifolduna n-boyutlu tor denir.
48
MANİFOLD ÜZERİNDE DİFERENSİYELLENEBİLİR FONKSİYONLAR
M , M ′ iki dif.bilir manifold olsun. f : M → M ′ bir fonksiyon olsun.
M
f
x′
x
Rn
M′
F
R n′
(1)
F = x′ο f ο x −1 : R n → R n′ fonksiyonuna f nin bir koordinat temsili denir.
(2)
x ( m ) de F dif.bilir ise f ye m de dif.bilirdir denir.
Teorem: f : M → M ′ fonksiyonunun m ∈ M de diferenesiyellenebilir olması M ve M ′ deki
harita seçiminden bağımsızdır.
49
İspat:
M
M′
f
U
x
U′
V
x′
y
y′
y′ο x′−1
yο x −1
Rn
V′
R n′
Rn
50
R n′
R
F = x′ο f ο x −1
n
R n′
x′
x
yο x −1
f
M
M′
y′
y
Rn
F dif.bilir ise ( y′ο f ο y −1 ) = G,
y′ο x′−1
R n′
G = y′ο f ο y −1
( y′ο x′ )ο Fο ( yο x )
−1 −1
−1
de dif.bilirdir. Yani M deki ( x, U ) ve
M ′ deki ( x′, U ′ ) haritaları için f dif.bilir ise ( y, V ) , ( y′, V ′ ) haritaları içinde dif.bilirdir.
51
Örnek: M = R32 ,
M ′ = R23
x : M → R 6 , x ( A ) = ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )
{( M , x )} M nin atlasıdır.
x′ : M ′ → R 6 , x′ ( A ) = ( a11 , a12 , a21 , a22 , a31 , a32 )
{( M ′, x′)} M nin atlasıdır.
f : M → M ′,
f ( A ) = AT
F = x′ο f ο x −1 : R 6 → R 6
52
⎛⎡x
F ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) = ( x′ο f ) ⎜ ⎢ 1
⎝ ⎣ x4
⎛ ⎡ x1
⎜
= x′ ⎜ ⎢⎢ x2
⎜ ⎢x
⎝⎣ 3
x3 ⎤ ⎞
⎟
x6 ⎥⎦ ⎠
x2
x5
x4 ⎤ ⎞
⎟
x5 ⎥⎥ ⎟
x6 ⎥⎦ ⎟⎠
= ( x1 , x4 , x2 , x5 , x3 , x6 )
diferensiyellenebilir olduğundan f diferenesiyellenebilirdir.
53
Örnek: f : R22 → R,
x:R → R ,
2
2
{( x, R )} ,
2
2
4
f ( A ) = det A
⎛ ⎡ x11
x⎜⎢
⎝ ⎣ x21
x12 ⎤ ⎞
⎟ = ( x11 , x12 , x21 , x22 )
x22 ⎥⎦ ⎠
M = R22 nin bir atlasıdır.
{( I = x′, R )} de M ′ = R
F = x′ο f ο x −1 = R 4 → R
⎛ ⎡ x1
′
F ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = x ο f ⎜ ⎢
⎝ ⎣ x3
x2 ⎤ ⎞
⎟
x4 ⎥⎦ ⎠
= x1 x4 − x2 x3
54
nin bir atlasıdır.
dönüşümü
diferensiyellenebilir
olduğundan
f : R22 → R
determinant
fonksiyonu
diferensiyellenebilirdir.
Tanım: M , M ′ diferensiyellenebilir manifoldlar f : M → M ′ 1-1, f , f −1 diferensiyellenebilir ise f
ye bir diffeomorfizm denir.
M , M ′ gibi iki dif.bilir manifold verildiğinde bunlar arasında global bir diffeomorfizm varsa
M , M ′ manifoldları diffeomorfiktir denir.
{
}
Örnek: E = ( sin 2 s,sin s ) s ∈ R , sekiz eğrisi
{
U = ( sin 2s,sin s ) 0 < s < 2π
x : U → R,
}
x ( sin 2 s,sin s ) = s
A1 = {( x, U )} M = ( E , A1 ) manifoldunu ve
55
{
V = ( sin 2 s,sin s ) − π < s < π
y : V → R,
}
y ( sin 2 s,sin s ) = s
A2 = {( y, V )} M ′ = ( E , A2 ) manifoldunu göz önüne alalım.
f ( sin 2 s,sin s ) = ( sin 2 ( s − π ) ,sin ( s − π ) )
E
f
E′
y
x
R
F = yο f ο x −1
56
R
F = yο f ο x −1 : ( 0, 2π ) → ( −π , π )
( yο f ο x ) ( s ) = s − π
−1
diffeomorfizmdir. E , E ′ tek haritalı olduğundan f global diffeomorfizmdir. O halde E , E ′
manifoldları diffeomorfiktir.
( J ( F , s ) = [1], det J ( F , s ) ≠ 0 ve F 1-1 olduğundan F diffeomorfizmdir.)
57
BİR MANİFOLDUN İNDİRGENMİŞ TOPOLOJİSİ
Teorem 2.4.1: ( M , A ) bir manifold (U , x ) ∈ A, W ⊂ U ve x (W ) ⊂ R n açık ise (W , x W ) ∈ A dır.
1−1
İspat: x : U → R n ise x W : W → R n 1-1 dir. Ayrıca hipotezden x (W ) ⊂ R n açık olarak verildiğinden
(W , x )
W
M nin bir haritasıdır. Şimdi bu haritanın A ya ait olduğunu gösterelim. Bunun için
∀ (V , y ) ∈ A ve V ∩ W ≠ ∅ ⇒ yο ( x W ) , x W ο y −1 dönüşümlerinin dif.bilir olduğunu göstermek
−1
yeterlidir.
V ∩ W ≠ ∅, W ⊂ U ⇒ V ∩ U ≠ ∅
olur. O zaman
yο x −1 : x (V ∩ U ) → y (V ∩ U )
58
dönüşümü diffeomorfizmdir(x, y harita olduğundan). Buradan yο ( x W )
−1
dönüşümü yο x −1
difeomorfizminin bir açık alt cümleye kısıtlanmışı olduğundan diffeomorfizmdir.
yο x −1
x (W ∩V )
: x (W ∩ V ) → y (W ∩ V )
dönüşümü diffeomorfizmdir. O zaman
(W , x ) ∈ A
W
olur. Çünkü herhangi
(V , y ) ∈ A
ile
uyuşabilirlik aksiyomu sağlıyor.
Teorem: M dif.bilir manifold ve M nin bir tam atlası A+ olsun. A+ daki koordinat bölgelerinin
cümlesi M deki topolojinin bazıdır.
59
İspat: ( X ,τ ) topolojik uzayında B ⊂ τ nun
i) ∪ Bi ⊃ X
i∈I
ii) ∀B1 , B2 ∈ B için B1 ∩ B2 ⊂ ∪ Bi
i∈I
özellikleri sağlanıyorsa B ye τ nun bir bazı diyorduk, A+ bir atlas olduğundan i) aksiyomu
sağlanır. ii) aksiyomunun sağlandığını göstermek için (U , x ) , (V , y ) ∈ A+ alalım. U ∩ V ≠ ∅ ise
yο x −1 diffeomorfizm ve bunun tanım kümesi x (U ∩ V ) R n de açık olmak zorundadır. Önceki
teoremden (U ∩ V , x U ∩V ) bir haritadır. Yani (U ∩ V , x U ∩V ) ∈ A+ olur. O halde ii) aksiyomu
sağlanır.
Yukarıdaki teorem nedeniyle aşağıdaki tanımı verebiliriz.
60
Tanım: M nin bir atlası A olsun. A nın tam atlasının koordinat bölgelerinin baz olduğu topolojiye M
nin A dan (dif.bilir yapısından) indirgenmiş topolojisi denir.
Sonuç: U ⊂ M açık ⇔ ∀m ∈ U için (U m , xm ) , m ∈ U m haritası vardır.
İspat: ( ⇒ ) U ⊂ M açık ⇒ (U i , xi ) , haritaları U = ∪ U i yazılabilir. ∀m ∈ U , ∃i0 için m ∈ U i0 ⊂ U ,
i∈I
(U
i0
)
, xi0 bir haritadır.
( ⇐) U m
Ödev:
ler açık olduğundan birleşimleri de açık yani ∪U m = U açık
{( R , x = I )} nin indirgediği R
n
n
deki topoloji ile R n in standart topolojisi aynıdır. Gösteriniz.
61
Teorem 2.4.4.: Manifold topolojisine göre M dif.bilir manifoldunun her haritası bir
homeomorfimdir.
İspat: x in M den indirgenmiş topolojiye göre sürekli ve açık dönüşüm olduğunu göstermeliyiz.
1−1
(U , x ) ∈ A ⇒ x : U → R n , x (U ) = V açıktır.
V1 ⊂ R n ve x −1 (V1 ) = W ⊂ U olacak şekilde V1 açık cümlesini seçelim.
x1−1old .
W ∩ U = W ⇒ x (W ) = x (W ) ∩ x (U )
= x (W ) ∩ V
= V1 ∩ V
62
V1 , V açık olduğundan x (W ) açıktır ve Teorem 2.4.1 den (W , x W ) ∈ A olur. M nin koordinat
komşulukları M nin indirgenmiş topolojisine göre açık olduğundan W M den indirgenmiş topolojiye
göre açıktır. O halde x (bir V açığının ters resmini M deki indirgenmiş topolojiye göre M deki açığa
dönüştürdüğünden) M deki indirgenmiş topolojiye göre süreklidir.
U ′ ⊂ U , (U ′, y ) ∈ A
olsun. yο x −1 R n de diffeomorfizm olduğundan bu dönüşümün tanım kümesi x (U ∩ U ′ ) = x (U ′ )
R n de açıktır. M nin U da yatan herhangi açık alt kümesi bazdaki temel kümelerin birleşimi
olduğundan ve bu temel kümelerin görüntüleri R n de açık olduğundan bu açık kümenin görüntüsü
de açıktır. O halde x, M den indirgenen topolojiye göre açık dönüşümdür.
63
Teorem: M , M ′ iki dif.bilir manifold f : M → M ′ m ∈ M de dif.bilir ise f ; M , M ′ üzerindeki
indirgenmiş topolojiye göre m ∈ M de süreklidir.
İspat: x, x′ sırasıyla m ∈ M ve f ( m ) ∈ M ′ de iki harita olsun.
M
f
x′
x
R
(
F : x (U m ) → x′ V f ( m )
M′
n
x′ο f ο x −1
F
)
64
R n′
dönüşümünü göz önüne alalım. x, x′ de dfibilirdir. O halde F x ( m ) de süreklidir. x, x′
dönüşümleri indirgenmiş topolojiye göre homeomorfizm olduklarından(Teorem 2.4.3. den)
f = x′−1ο Fο x
indirgenmiş topolojiye göre süreklidir.
Teorem 2.4.4. den ( M , M ′ üzerindeki indirgenmiş topoloji kullanılarak) f : M → M ′ dif.bilir
fonksiyonu süreklidir. Bu nedenle f : M → M ′ dif.bilir foksiyonunun tanım kümesi M nin açık alt
cümlesi olmalıdır.
Şimdi Öklid uzayında geçerli olan dif.bilir fonksiyonların bazı özelliklerin daha genel olan
manifoldlar üzerindeki fonksiyonlar içinde geçerli olduğunu göstereceğiz.
65
Teorem 2.4.5: f : M → M ′ dif.bilir fonksiyon ve U da f nin tanım kümesiyle arakesiti boş olmayan
M nin herhangi açık alt cümlesi olsun.
i) f
U
dif.bilirdir
ii) f diffeomorfizm ise f
U
de diffeomorfizmdir.
İspat: f nin tanım kümesinin V olduğunu kabul edelim. O zaman f
U
fonksiyonunun tanım kümesi
U ∩ V de açıktır. Çünkü f dif.bilir olduğundan V tanım kümesi açık ve U açık olduğundan U ∩ V
de açıktır. Bu nedenle m ∈ U ∩ V , U ∩ V de yatan W koordinat komşuluğuna sahiptir.
66
f
U ⊂M
U
M′
x′
x
FU
x (U ∩ V ) ⊂ R n
R n′
x, tanım kümesi W olan M nin bir haritası x′ de M ′ nün tanım kümesi f ( m ) yi kapsayan haritası
olsun. f
U
, f fonksiyonları W üzerinde aynı olduklarından bu haritalara göre aynı gösterime
sahiptirler. Gerçekten ∀p ∈ W için
( x′ο f ο x ) ( x ( p ) ) = ( x′ο f )( p )
−1
= x′ ( f ( p ) )
67
( x′ο f
−1
ο
x
) ( x ( p ) ) = ( x′ο f
U
= x′ ( f
U
U
)( p)
( p ))
= x′ ( f ( p ) )
olur. f, m de dif.bilir olduğundan f
U
da m de dif.bilirdirdir.
Şimdi de f diffeomorfizm olsun. O zaman f −1 dif.bilir fonksiyon olduğundan sürekli ve bu nedenle
f (U ) , M ′ de açıktır. O zaman f, 1-1, örten olduğundan f
dif.bilirdir.
(f
U
)
−1
= f −1
f (U )
olduğundan(gösteriniz), ( f
U
)
−1
dif.bilirdir.
68
U
: U → f (U ) 1-1, örtendir ve
Teorem: M , M ′, M ′′ dif.bilir manifoldlar, f : M → M ′, g : M ′ → M ′′ dif.bilir fonksiyonlar ise gο f
bileşke fonksiyonu da dif.bilirdir. f, g diffeomorfizm ise gο f de diffeomorfizmdir.
İspat: gο f nin tanım cümlesinden herhangi m noktasını seçelim ve x, y, w, m, f ( m ) , g ( f ( m ) )
noktasındaki haritalar olsunlar. O zaman; F = yο f ο x −1 ve G = wο gο y −1 sırasıyla f ve g nin koordinat
gösterimleri olur ve
gof
M
Rn
f
g
M′
F
R n′
G
M ′′
R n′′
Gο F de gof nin wο ( gο f ) ο x −1 koordinat gösteriminin kısıtlaması olur. Öklid uzayları arasındaki iki
fonksiyon difbilir ise bunların bileşkesi de difbilirdir. O halde f , g sırasıyla m, f ( m ) de dif.bilir
olduğundan Gο F x ( m ) de difbilirdir. Bu nedenle de wο ( gο f ) ο x −1 de x ( m ) de difbilirdir. Buradan
gof m de difbilirdir.
Eğer f, g diffeomorfizmler ise gof de difbilir ve 1-1 örtendir. ( gο f ) = f −1ο g −1 olduğundan ( gο f )
−1
de difbilirdir. O halde gof diffeomorfizmdir.
−1
DİFERENSİYELLENEBİLİR VARYETELER
Teorem: f : R n → R difbilir S = f −1 ( 0 ) olsun. O zaman ∀z ∈ S için rankJ f ( z ) = 1 ise S de bir difbilir
(n-1)-boyutlu manifold yapısı tespit edilebilir.
İspat: Herhangi z 0 ∈ S noktasını seçelim. f,r =
∂f
olmak üzere, o zaman en az bir r tamsayısı için
∂z r
f,r ( z 0 ) ≠ 0 olur. Kapalı fonksiyon teoremi m = 1, n → n − 1 özel halinde (^’yı atılmış anlamında
kullanırsak) R deki zr0 nin komşuluğunun; ( z0 , z1 ,..., zˆr ,..., zn ) için f ( z0 , z1 ,..., zn ) = 0 olacak şekilde bir
tek zˆr ∈ V noktasının var olduğunu gösterir. Ayrıca aynı teoremden ;
ψ r : R n −1 → R
şeklindeki W üzerinde tanımlanan fonksiyon difbilirdir.
Hatırlatma:
[ F : Ω ⊂ R n × R m → R m , dom( F ) = Ω, F = ( F 1 ,..., F n ) ,
açık
z = ( z1 ,..., z n , z n +1 ,..., z n + m )
bir
Ck −
x = ( x1 ,..., x n ) , y = ( y1 ,..., y n )
dönüşümünün
olsun.
Eğer
olmak
üzere
( x0 , y0 ) ∈ Ω
için
⎡ ∂F i
⎤
F ( x0 , y0 ) = 0; det ⎢ l ( x0 , y0 ) ⎥ ≠ 0 1 ≤ i, l ≤ m olsun. Bu durumda her bir ( x, y ) ∈ U × V ⊂ R için
⎣ ∂y
⎦
F ( x0 , y0 ) = 0 ⇔ y = f ( x )
olacak şekilde
x0
ve
y0
ın sırasıyla U ⊂ R n
f : U → V , domf = U , C k − dönüşümü vardır.
ve V ⊂ R m
açık komşulukları ile bir tek
⎡ ∂F i
Df ( z ) = ( Df )( z ) = ⎢ j
⎣ ∂x
T , R n nin zr ∈ V ve
1≤ i ≤ m
∂F i ⎤
m
∈ R( n + m ) 1 ≤ j ≤ n
∂x t ⎥⎦
1≤ t ≤ m
( z1 ,..., zˆr ,..., zn ) ∈W
olacak şekildeki açık altcümlesi olsun. θ r : R n → R n −1
fonksiyonunun R n üzerinde z → ( z1 ,..., zˆr ,..., zn ) , θ r (T ) = W
olacak şekilde tanımlanmış difbilir
dönüşüm olarak alalım. O zaman; θ r nin U = S ∩ T üzerine kısıtlanmışı olan dönüşümüngörüntü kümesi
R n −1 in W açık alt cümlesi olan R n → R n −1 1-1 örten dönüşümdür.
Bu nedenle j , S nin R n içine doğal gömmesi olmak üzere,
x = (θ rο j ) U : S → R n −1
de z 0 ı içine alan U tanım kümesine sahip bir haritadır.
Bu yolla elde edilen haritaların tanım kümeleri S yi örter. Şimdi bu haritaların S nin R n −1 içine difbilir
atlası olduğunu gösterelim.
Kabul edelim ki x′ de U ′ tanım kümesi U ile kesişen bir diğer harita olsun. Böyle bir haritayı f s z′0 ≠ 0
olacak şekilde z′0 noktasını seçerek elde edebiliriz.
jο x −1 : R n −1 → R n
( z1 ,..., zˆr ,..., zn ) → ( z1 ,...,ψ r ( z1 ,..., zˆr ,..., zn ) ,..., zn )
fonksiyonu tanım cümlesi W olan difbilir fonksiyondur. x′ο x −1 fonksiyonun tanım cümlesi x (U ∩ U ′ ) ve
bu cümle üzerinde difbilirdir ve θ sο ( jο x −1 ) fonksiyonuyla çakışır.
“Eğer U, R n nin f : R n → R l difbilir fonksiyonunun tanım cümlesi ile çakışan açık altcümlesi ise f
U
da
difbilirdir.” önermesinden x′ο x −1 fonksiyonunun x (U ∩ U ′ ) tanım kümesinin R n −1 de açık olduğunu
göstermek ispat için yetecektir.
A ⊂ R n kümesi için; A nın jο x −1 altındaki ters görüntüsünün x −1 altında A ∩ S nin ters görüntüsü ile
aynı olduğu açıktır. x (U ∩ U ′ ) , x −1 altında U ′ nün ters görüntüsüdür. Fakat T ′; T ye karşılık gelen R n
nin açık alt cümlesi ise U ′ = T ′ ∩ S olur. Bu nedenle x (U ∩ U ′ ) kümesi T ′ nün jο x −1 altındaki ters
görüntüsüdür ve bunun içinde R n −1 in açık alt cümlesidir.
O halde x′ο x −1 koordinat değişimi difbilirdir ve aynı şeylerin xο x′−1 koordinat değişimi için de doğru
olduğunu görebiliriz. x′ο x −1 , xο x′−1 dönüşümlerinin 1-1 ve örten olduğu; x ve x′ in harita olmasından
görülebilir.
Tanım: Yukarıdaki difbilir yapıyla belli S manifolduna ( n − 1) − boyutlu difbilir varyete denir.
Örnek: f : R n +1 → R , f ( z ) = z12 + z22 + ... + zn2+1 − 1 fonksiyonu difbilirdir.
f,i z = 2 zi ,
⎡ ∂f ⎤
⎢ ⎥ = [ 2 z1 2 z2 ... 2 zn +1 ]
⎣ ∂zi ⎦
∃zi ≠ 0 dır. Çünkü z = 0 ise f ( z ) = 1 ≠ 0 olduğundan z ∉ f −1 ({0} ) = S olur. O halde ∃zi ≠ 0 olmalıdır.
O zaman;
⎡ ∂f ⎤
rank ⎢ ⎥ = 1
⎣ ∂zi ⎦
o halde
f −1 ( 0 ) = S n
n-boyutlu difbilir varyetedir.
Bu S n üzerine bir difbilir yapı verir. Bu yapı 2 ( n + 1) tane haritadan oluşan bir atlasla şöyle
tanımlanabilir.
Ui =
{( z ,..., z
1
U n +1+i =
n +1
) zi > 0}
{( z ,..., z
1
n +1
) zi < 0}
olmak üzere;
xi = θiο j : U i → R n ,
x( n +1)+i = θiο j : U ( n +1)+i → R n
xi ( z1 ,..., zi ,..., zn +1 ) = ( z1 ,..., zˆi ,..., zn +1 ) , z ∈ U i
x( n +1)+i ( z ) = ( z1 ,..., zˆi ,..., zn +1 ) , z ∈ U ( n +1)+i
{
(
)
}
A = (U i , xi ) , U ( n +1)+i , x( n +1)+i , i = 1,..., n + 1 S n nin C ∞ atlasıdır. Gerçekten;
U i ∩ U ( n +1) +i = ∅
(U i , xi )
olduğundan
(U(
ve
(
n +1) + i
, x( n +1)+i
)
haritaları atlas için uyumluluk aksiyomunu sağlarlar.
)
i ≠ j , (U i , xi ) ve U ( n +1) +i , x( n +1)+i için
U i ∩ U ( n +1) +i ≠ ∅
olduğundan bu haritalar için, uyumluluk aksiyomunun sağlandığını göstermeliyiz.
( x ο x(
( x ο x(
j
−1
n +1) + i
j
−1
n +1) + i
) : x( ) (U ( )
) ( z ,..., zˆ ,..., z
n +1 + i
1
n +1 + i
i
n +1
)
(
∩ U j → xi U ( n +1)+ i ∩ U j
)
) = x j ( z1 ,..., z j ,..., zi ,..., zn +1 )
= ( z1 ,..., zˆ j ,..., zn +1 )
dönüşümü difbilir olduğundan. A atlası difbilir yapı tanımlar.
S n nin yukarıdaki atlasına denk (stereografik) iki haritalı atlasını kullanmak daha uygundur.
U = S n − {{0,..., 0,1}} , U ′ = S n − {{0,..., 0, −1}}
1
( z1 ,..., zn )
1 − zn +1
y :U → Rn ,
y ( z1 ,..., zn ) =
y′ : U ′ → R n ,
y′ ( z1 ,..., zn ) =
1
( z1 ,..., zn )
1 + zn +1
dönüşümleri örtendir, gerçekten;
u ∈ R n ⇒ ( u1 ,..., un ) =
1
( z1 ,..., zn )
1 − zn +1
⇒ ui =
zi
⇒ zi = (1 − zn +1 ) ui
1 − zn +1
n
⇒ ∑ zi2 = (1 − zn +1 )
i =1
2
n
∑u
⇒ 1 − zn2+1 = (1 − zn +1 )
2
i
i =1
2
∑ u = (1 − z )
n
i =1
⇒ 1 + zn +1 = (1 − zn +1 ) u
⇒ 1 − u = − zn +1 1 + u
zn +1 =
zi =
2ui
1+ u
2
u
2
2
)
2
2ui
1+ u
2
n +1
2
(
2
2
i
2
,
1 − zn +1 =
2
1+ u − u +1
1+ u
i = 1,..., n
2
⎛ 2u
u −1 ⎞
2un
1
z =⎜
,...,
,
⎟ ∈ R n +1
2
2
2
⎜ 1+ u
1 + u 1 + u ⎟⎠
⎝
2
=
2
1+ u
2
bulunur.
O halde y örtendir. O zaman y (U ) = R n ve R n açık olduğundan (U , y ) , S n için bir haritadır. Benzer
şekilde y′ nün de harita olduğu gösterilebilir.
2
⎛ 2u
2un − u + 1 ⎞
1
y′ = ⎜
,...,
,
⎟ ∈ R n +1
2
2
⎜ 1+ u 2
1+ u
1 + u ⎟⎠
⎝
−1
yο y′−1 : y′ (U ′ ∩ U ) → y (U ′ ∩ U )
yο y′−1 : R n → R n
( yο y′ ) ( u ) = y ( y′ ( u ) )
−1
−1
2
⎛ 2u
2un 1 − u ⎞
1
= y⎜
⎟
,...,
,
2
2
⎜ 1+ u 2
⎟
+
+
1
u
1
u
⎝
⎠
1
=
1−
( yο y′ ) ( u ) =
−1
1− u
2
1+ u
2
⎛ 2u
2un
1
⎜
,...,
2
⎜ 1+ u
1+ u
⎝
2
⎞
⎟
⎟
⎠
u
u
2
bulunur. Bu dönüşüm y′ (U ′ ∩ U ) üzerinde u ∈ y′ (U ′ ∩ U ) ⇒ u ≠ 0 olduğundan difbilirdir. Bu dönüşüm
halde;
A′ = {(U , y ) , (U ′, y′ )}
S n için bir diğer haritadır.
Ödev: A ve A′ nün denk haritalar olduğunu gösteriniz.
ÖrnekGemici Halkası(Anchor Ring): R 3 de
( z1 − A)
2
+ z32 = B 2 ,
z2 = 0, A > B > 0
çemberinin z3 − ekseni etrafında dönmesinden meydana gelen dönel yüzeydir. Bu yüzeyin denklemini
analitik geometriden;
⎧⎪ F ( x1 , x2 , x3 ) = 0
C... ⎨
⎪⎩G ( x1 , x2 , x3 ) = 0
eğrisinin bulunduğu düzlemdeki
(x ,x , x )
0
1
0
2
0
3
noktasından geçen ve doğrultman vektörü
doğru etrafında dönmesinden meydana gelen dönel yüzeyin denklemi
( a , b, c )
olan
F ( x1 , x2 , x3 ) = 0
G ( x1 , x2 , x3 ) = 0
ax1 + bx2 + cx3 = λ
(x − x ) +(x
1
0 2
1
2
− x20 ) + ( x3 − x30 ) = µ 2
2
2
denklemlerinden x1 , x2 , x3 yok edilerek bulunur. Buna göre z3 − ekseni ( 0, 0, 0 ) = ( z10 , z20 , z30 ) dan geçen ve
doğrultman vektörü ( 0.0,1) olan doğru olduğundan
⎧ z3 = λ
⎪ 2
2
2
2
⎪ z1 + z2 + z3 = µ
⎨
2
2
2
⎪ F ( z1 , z2 , z3 ) = ( z1 − A ) + z3 = B ,
⎪G z , z , z = z = 0
⎩ ( 1 2 3) 2
A> B>0
µ 2 = z12 + z22 + λ 2 ⇒ z12 + z22 = µ 2 − λ 2
⇒ z12 = µ 2 − λ 2
⇒ z1 = µ 2 − λ 2
)
(
2
µ 2 − λ 2 − A − B2 = 0 = ϕ ( λ, µ )
)
(
ϕ z3 , z12 + z22 + z32 = 0
(
)
2
z12 + z22 − A + z32 = B 2
dönel yüzeyin denklemi olur.
f : R 3 → R,
f ( z1 , z2 , z3 ) = ( z12 + z22 + z32 + A2 − B 2 ) − 4 A2 ( z12 + z22 )
2
şeklinde tanımlı difbilir fonksiyonunun sıfır yerlerinin cümlesidir.
∂f
= 2 ( z12 + z22 + z32 + A2 − B 2 ) 2 z1 − 8 A2 z1
∂z1
(
)
= 4 ( z12 + z22 + z32 + A2 − B 2 − 8 A2 ) z1 = 0
∂f
= 2 ( z12 + z22 + z32 + A2 − B 2 ) 2 z2 − 8 A2 z2 = 0
∂z2
∂f
= 2 ( z12 + z22 + z32 + A2 − B 2 ) 2 z3 − 8 A2 z3 = 0
∂z3
z1 = z2 = z3 = 0
( 0, 0, 0 ) ∉ f −1 ( 0 ) = { z ∈ R3 f ( z ) = 0}
olduğundan Denizci Halkası bir difbilir varyetedir.
f ( x, y ) = x 2 + y 2 + 1
Örnek: f : R 2 → R,
S = f −1 ( 0 ) =
{( x, y ) ∈ R
2
}
x2 + y2 + 1
=∅
olduğundan difbilir varyete değildir.
Örnek: f : R 2 → R,
f ( x, y ) = x 2 − y 2
⎧ ∂f
⎪⎪ ∂x = 2 x = 0
⇒ x= y=0
⎨ ∂f
⎪ = −2 y = 0
⎩⎪ ∂y
ve ( 0, 0 ) ∈ f −1 ( 0 ) olduğundan f cebirsel varyete değildir.
Örnek: fα : R 2 → R,
fα ( x , y ) = y − α x 3 − x 2 , α ∈ R
⎧ ∂fα
2
⎪⎪ ∂x = −3α x − 2 x
⎨ ∂f
⎪ α =1
⎩⎪ ∂y
rankJ ( fα , ( x, y ) ) = 1
olduğundan reel cebirsel varyetedir. Herhangi ( x0 , y0 ) ∈ S için y0 ın V komşuluğu ve x0 ın W komşuluğu
ψ 2 :W → V
ψ 2 ( x ) − α x3 − x 2 = 0
ψ 2 ( x ) = α x3 − x 2
difbilir dönüşümü vardır. V=W=R alınabilir.
Örnek: f : R 3 → R, f ( x, y, z ) = x 2 + y 2 − z 2
∂f
= 2x
∂x
∂f
= 2y
∂y
∂f
= −2 z
∂z
( 0, 0, 0 ) ∈ f −1 ( 0 )
ve rankJ f
( ( 0, 0, 0 ) ) = 0 olduğundan ( 0, 0, 0 ) noktasında kapalı fonksiyon teoremi
uygulanamaz. O halde dif.bilir varyete değildir.
Örnek: f : R 2 → R, f ( x, y ) = x 2 + 5 y 3 + x
S = f −1 ( 0 ) =
Jf
{( x, y ) ∈ R
( ( x, y ) ) = ⎡⎢ ∂∂fx
⎣
∂f ⎤
∂x ⎥⎦
2
}
x2 + 5 y3 + x = 0
= ⎡⎣ 2 x + 1 15 y 2 ⎤⎦
rankJ f = 1
( 0, 0 )
noktasının civarında
rankJ f
( ( 0, 0 ) ) = [1 0] ,
z10 = 0, z20 = 0
0 ın W komşuluğundan 0 ın V komşuluğuna;
ψ 1 :W → V
y →ψ1 ( y ) = x
Kapalı Fonksiyon Teoreminin
(i ) ψ 1 ( y0 ) = x0
(ii ) f (ψ 1 ( y ) , x ) = 0
(iii ) ψ 1 difbilir
özellikleri kullanılarak
f (ψ 1 ( y ) , y ) = 0
ψ 12 ( y ) + 5 y 3 + ψ 1 ( y ) = 0
∆ = 1 − 20 y 3
ψ1 ( y ) =
−1 ± 1 − 20 y 3
2
ψ 1 ( 0 ) = 0 özelliğini sağlayan ψ 1 ( y ) =
f,r ( z 0 ) =
∂f
( z0 ) ≠ 0 olacak şekilde z0 = ( 0, 0 ) noktası için, W = (1, −1) olmak üzere
∂xr
{(W ,ψ )} ,
1
−1 ± 1 − 20 y 3
dönüşümü olur.
2
S = f −1 ( 0 ) manifoldu için bir atlastır.
BİR MANİFOLD ÜZERİNDE DİFERENSİYEL
Modern ileri analizde f : R n → R l dif.bilir fonksiyonunun, tanım cümlesinin herhangi bir z noktasındaki
türevi ( Df ) z : R n → R l lineer fonksiyonu olarak tanımlandığını biliyoruz. Doğal bazları kullanarak, bu
fonksiyonun matrisi J f ( z ) nin nasıl tanımlanacağını da bu dersin birinci döneminde görmüştük.
Bu düşünceleri Φ : M → M ′ genel dif.bilir fonksiyona genişletmek için şimdide bir manifoldun her bir
noktasında tanjant vektör uzayının nasıl tanımlanacağını göreceğiz. Ayrıca M , M ′ manifoldları
arasındaki Φ dönüşümüne karşılık gelen p ∈ M noktasında tanjant uzaylar arasındaki türetilmiş lineer
fonksiyonları vereceğiz.kavramına gireceğiz.
Kısmi Türevler:
x in bir M difbilir manifoldunun U tanım kümeli bir haritası olduğunu kabul edelim. Bu haritaya ve R
üzerindeki özdeşlik haritasına göre tanım kümesi V = domf olan
f :M → R
difbilir fonksiyonu
M
f
R
f = I ο Fο x
x
I
x (U )
F
= Fο x
R
U ∩ V üzerinde f = Fο x koordinat gösterimine sahiptir. f : R n → R fonksiyonu difbilir ve bunun
F,i =
∂F
∂y i
kısmi türevleri de difbilirdir. Şimdi
∂f
= F,iο x : M → R
∂y i
şeklinde tanımlayalım. Bu
fonksiyonlar tanım kümesi U ∩ V olan difbilir fonksiyonlardır.
M = R n ve x de özdeşlik haritası olduğunda böyle fonksiyonlar kısmi türevler olurlar. Özel olarak R
üzerindeki özdeşlik haritası genellikle t ile belirtilecek ve f : R → R dif.bilir fonksiyon ise
türevi olacaktır.
∂f df
adi
,
∂t dt
Genelde
∂f
fonksiyonları kısmi türevlere benzer durumdadır. Mesela bir (V , x ) haritasının x1 , x 2 lokal
∂x i
koordinatları ile verilmiş
f ( x1 , x 2 ) = sin x1 + cos x 2
fonksiyonunun koordinat gösterimi, p ∈ V
F = f ο x −1 ,
F ( x ( p ) ) = ( f ο x −1 ) ( x ( p ) ) = f ( p )
= sin x1 ( p ) + cos x 2 ( p )
(
f ( x1 , x 2 ) ( p ) = F r1 ( x ( p ) ) , r 2 ( x ( p ) )
olduğundan
)
x
V
U οx = x
i
R2
Ui
i
R
olduğundan
(
)
(
F ( x ( p ) ) = sin ( u1ο x ) ( p ) + cos ( u 2ο x ) ( p )
(
)
(
= sin u1 ( x ( p ) ) + cos u 2 ( x ( p ) )
= ( sin u1 + cos u 2 ) ( x ( p ) )
)
)
F ( u1ο x ( p ) , u 2ο x ( p ) ) = ( sin u1 + cos u 2 ) ( x ( p ) )
F ( u1 , u 2 ) ( x ( p ) ) = ( sin u1 + cos u 2 ) ( x ( p ) )
iki fonksiyonun eşitliği tanımından
F ( u1 , u 2 ) = sin u1 + cos u 2
∂F
= cos u1
∂u1
∂F
= − sin u 2
∂u 2
( F ) ο x = ∂∂uF ο x = cos ( u ο x ) = cos x
1
,1
1
1
( F ) ο x = ∂∂uF ο x = − sin ( u ο x ) = − sin x
2
,2
olur.
2
2
{
}
Örnek: E = ( sin 2s,sin s ) s ∈ R
{
U = ( sin 2s,sin s ) 0 < s < 2π
}
x ( p ) = x ( sin 2 s,sin s ) = s = y′ ( s )
f : E → R,
olduğuna göre
f ( sin 2 s,sin s ) = f ( p ) = s 3
df
türevini hesaplayınız.
dx
F = f ο x −1 ⇒ F ( x ( p ) ) = F ( y′ ( s ) ) = ( f ο x −1 ) ( x ( p ) )
= f ( sin 2 s,sin s )
= s3
= ( y1 ( s ) ) = ( y1 ) ( s )
3
3
(
)
⇒ F ( y1 ) ( s ) = ( y 1 ) ( s )
3
2
∂F
= 3 ( y1 )
1
∂y
⇒ F ( y 1 ) = ( y1 ) ,
3
2
∂F ∂F
= 1 ο x = 3 ( y1 ) ο x
1
∂x ∂y
= 3 ( y1ο x )
= 3 ( x1 )
2
2
Örnek: (V , x ) haritasına göre lokal koordinat fonksiyonları xi olmak üzere;
x
M
y οx = x
i
Rn
yi
i
R
f i = x i : M → R fonksiyonunun kısmi türevlerini hesaplayınız.
F i = xiο x −1 : x (U ) → R
( x ο x ) ( x ( p )) = x ( p ) = ( y ο x ) ( p )
i
−1
i
F i ( x ( p ) ) = ( y iο x ) ( p )
F i = yi ,
∂F i ∂y i
=
= δ ij
∂y j ∂y j
i
Önerme 4.1.1. f , g M üzerinde reel değerli dif.bilir fonksiyonlar ve α , β ∈ R ise
a)
b)
∂
∂f
∂g
α f + β g) =α i + β i
i (
∂x
∂x
∂x
∂
∂f
∂g
( f .g ) = i .g + f . i
∂xi
∂x
∂x
dir.
İspat: (U , x ) M’nin bir haritası ve F, G de M nin (U , x ) ve R’nin ( R, I ) haritalarına göre
f , g fonksiyonlarının koordinat gösterimi olsunlar. O zaman;
a) h = α f + β g
fonksiyonunun koordinat gösterimi,
hο x −1 = (α f + β g ) ο x −1
H
= α ( f ο x −1 ) + β ( gο x −1 )
= α F + βG
olur. R n ’nin koordinat fonksiyonları ( y1 ,..., y n ) olmak üzere;
∂H
∂
∂F
∂G
= j (α F + β G ) = α j + β j
j
∂y
∂y
∂y
∂y
⎛ ∂F
⎞
⎛ ∂G ⎞
∂H
∂h
οx = j = α ⎜ j οx⎟ + β ⎜ j οx⎟
j
∂y
∂x
⎝ ∂y
⎠
⎝ ∂y
⎠
∂
∂f
∂g
(α f + β g ) = α j + β j
∂x j
∂x
∂x
bulunur.
b) h = f .g olsun.
H = ( f .g ) ο x −1
= ( f ο x −1 ) . ( gο x −1 )
∂H ∂F
∂G
= j .G + F . j
j
∂y
∂y
∂y
⎛ ∂F ⎞
⎛ ∂G ⎞
∂H
ο x = ⎜ j .G ⎟ ο x + ⎜ F . j ⎟ ο x
j
∂y
⎝ ∂y
⎠
⎝ ∂y ⎠
⎞
⎛ ∂G ⎞
∂h ⎛ ∂F
= ⎜ j ο x ⎟ . ( Gο x ) + ( Fο x ) . ⎜ j ο x ⎟
j
∂y
⎝ ∂y
⎠
⎝ ∂y
⎠
∂f
∂g
= j .g + f . j
∂x
∂x
TANJANT VEKTÖRLER
M, n-boyutlu dif.bilir manifold ve m ∈ M olsun. m ∈ M noktasını tanım kümesinde kapsayan
bütün dif.bilir fonksiyonların kümesini F ∞ ( m ) ile belirtelim. Yani;
F ∞ ( m ) = { f f : M → R, m ∈ domf }
olsun.
O
zaman
∀f , g ∈ F ∞ ( m )
ve
a, b ∈ R
için
af + bg ∈ F ∞ ( m )
ve
dom ( af + bg ) = domf ∩ domg olur. F ∞ ( m ) kümesi, ∀f ∈ F ∞ ( m ) için f + 0 = f olacak
şekilde bir tek 0 fonksiyonunu da kapsar. Bu fonksiyona M üzerindeki sıfır fonksiyonu denir.
Fakat, genel olarak ∀f ∈ F ∞ ( m )
fonksiyonu yoktur. Çünkü;
için
f + (− f ) = 0 M
olacak şekilde − f ∈ F ∞ ( m )
f + (− f ) U = 0 U
dir. Bu nedenle;
⊕ : F ∞ ( m) × F ∞ ( m) → F ∞ ( m)
( f ⊕ g )( p ) = f ( p ) + g ( p ) ,
: : R × F ∞ ( m) → F ∞ ( m)
( λ : f )( p ) = λ f ( p ) ,
∀p ∈ domf ∩ domg
∀λ ∈ R ve f ∈ F ∞ ( m ) için
∀p ∈ domf
olmak üzere ( F ∞ ( m ) , ⊕, :, R, +,.) altılısı bir vektör uzayı değildir. F ∞ ( m ) üzerindeki Rlineer fonksiyona F ∞ ( m ) üzerinde bir lineer operatör denir.
Önerme 4.2.1. Λ : F ∞ ( m ) → R bir lineer operatör ve f , g ∈ F ∞ ( m ) fonksiyonları m’nin bir
komşuluğu üzerinde çakışan fonksiyonlar ise
Λf = Λg
dir.
İspat: f , g ∈ F ∞ ( m ) , f
edelim. O zaman; f − f
U
U
= g U olacak şekilde m’nin U komşuluğunun var olduğunu kabul
sıfır fonksiyonu olduğundan;
(
Λ f−f
U
) = Λf − Λ ( f )
U
(
= Λ 0{ f − f
= 0.Λ ( f − f
U
U
})
)
=0
olur. Buradan;
Λf = Λ ( f
bulunur.
U
) = Λ ( g ) = Λg
U
( Λ lineer olduğundan)
Tanım:
Λ ( f .g ) = Λ ( f ) g ( m ) + f ( m ) Λ ( g )
özelliğine sahip bir lineer operatöre F ∞ ( m ) üzerinde derivasyon denir.
Önerme 4.1.4. den x, M üzerinde m ∈ M noktasını kapsayan tanım kümeli bir haritaysa;
⎛ ∂ ⎞
⎛ ∂ ⎞
⎛ ∂f ⎞
∞
⎜ i ⎟ : F ( m ) → R, ⎜ i ⎟ ( f ) = ⎜ i ⎟
⎝ ∂x ⎠ m
⎝ ∂x ⎠ m
⎝ ∂x ⎠ m
şeklinde tanımlı kısmi türevler F ∞ ( m ) üzerinde birer derivasyondur.
Önerme 4.2.2. Λ , F ∞ ( m ) üzerinde bir derivasyon ve f ∈ F ∞ ( m ) m’nin en az bir
komşuluğu üzerinde sabit değere sahip ise Λ f = 0 ’dır.
İspat: f fonksiyonunun m ∈ M ’nin bir komşuluğu üzerinde c değerine sahip olduğunu kabul
edelim. 1, M üzerindeki 1 sabit değerli fonksiyonu belirtmek üzere Önerme 4.2.1.’den,
Λf = Λ ( c.1) = c ( Λ.1)
( Λ lineer olduğundan)
Λ1 = Λ (1.1) = 1( Λ.1) + ( Λ.1)1
olduğundan Λ1 = 0 bulunur. Bu nedenle Λf = 0 bulunur.
Eğer Λ , Ω F ∞ ( m ) üzerinde derivasyonlar ve a, b ∈ R olsun.
aΛ + bΩ : F ∞ ( m ) → R,
( aΛ + bΩ )( f ) = a ( Λf ) + b ( Ωf )
şeklinde tanımlı fonksiyonunda derivasyon olduğu kolayca gösterilebilir. O halde F ∞ ( m )
üzerindeki bütün derivasyonların cümlesi de R-lineer yapıya sahiptir. Yani; bütün
derivasyonların cümlesini Tm M ile gösterirsek (Tm M , ⊕, :, R, +,.) altılısı bir vektör uzayı
olur. Bu uzaya m ∈ M noktasındaki tanjant uzay denir. F ∞ ( m ) üzerindeki her bir
derivasyona( Tm M ’nin elemanına) m noktasında bir tanjant vektör denir.
Klasik vektör analizdeki benzer vektörlere bu açıdan bakmak önemlidir. R 3 ’de z noktasındaki
G
v vektörü
G
f → v . ( gradf )
şeklinde tanımlı F ∞ ( z ) üzerinde bir derivasyon belirler. Aşağıdaki Önerme 4.2.3’den
F ∞ ( z ) üzerinde bu yolla elde edilen derivasyon z noktasındaki bir tek vektörden ortaya çıkar.
Genel hale dönersek şimdi Tm M tanjant uzayının boyutunun n-olduğunu gösterelim.
Lemma 4.2.1. x, M’nin x ( m ) = a olacak şekildeki bir haritası olsun. f ∈ F ∞ ( m ) ise m nin
en az bir komşuluğu üzerinde f nin
f ( m ) + ∑ ( x i − a i ) hi
i
fonksiyonuyla çakışacak şekilde h1 ,..., hn ∈ F ∞ ( m ) fonksiyonları vardır.
İspat: y = x − a ile tanımlanan M’nin bir haritası y olsun. f ο y −1 ’in tanım bölgesinde
kapsanan orjin merkezli B açık yuvarına kısıtlanmışı F olsun. z ∈ B için;
1
F ( z1 ,..., zn ) − F ( 0,..., 0 ) = ∫
0
d
⎡ F ( sz1 ,..., szn ) ⎤⎦ds
ds ⎣
1
= ∑ ∫ Fi , ( sz1 ,..., szn )zi ds
i
0
= ∑ zi H i ( z1 ,..., zn )
i
1
⎛
⎞
⎜ H i ( z1 ,..., zn ) = ∫ Fi , ( sz1 ,..., szn )ds ⎟
0
⎝
⎠
bulunur.
Hi
fonksiyonları dif.bilir olduğundan
hi = H iο y
istenen özelliğe sahip
fonksiyonlardır.
Önerme 4.2.3. x, verilen bir m noktasını içine alan tanım kümeli M’nin bir haritasıysa
⎛ ∂ ⎞
⎜ i ⎟ ( i = 1,..., n ) Tm M ’nin bir bazıdır.
⎝ ∂x ⎠ m
İspat: x ( m ) = a olsun. Λ ∈ Tm M ise f ∈ F ∞ ( m ) için Lemma 4.2.1., Önerme 4.2.1. ve
Önerme 4.2.2.’den;
⎛
⎞
Λf = Λ ⎜ f ( m ) + ∑ ( xi − a i ) hi ⎟
i
⎝
⎠
(
)
= ∑ Λ ( xi − a i ) ( Λhi ) + ∑ ( x i ( m ) − a i ) ( hi ( m ) )
n
i =1
n
i =1
= ∑ ( Λx i ) ( hi ( m ) )
n
i =1
⎛ ∂ ⎞
özel olarak; Λ = ⎜ j ⎟ alınarak
⎝ ∂x ⎠ m
n
⎛ ∂x i ⎞
⎛ ∂ ⎞
=
f
(
)
∑
⎜ j ⎟ ( hi ( m ) ) = h j ( m )
⎜ j⎟
⎝ ∂x ⎠ m
i =1 ⎝ ∂x ⎠ m
ve bunu yerine yazarak;
n
⎛⎛ ∂ ⎞
⎞
Λf = ∑ ( Λx i ) ⎜ ⎜ i ⎟ ( f ) ⎟
i =1
⎝ ⎝ ∂x ⎠ m
⎠
veya iki fonksiyonun eşitliği tanımından;
n
⎛ ∂ ⎞
Λ = ∑ ( Λx i ) ⎜ i ⎟
⎝ ∂x ⎠m
i =1
(4.2.1)
⎛ ∂ ⎞
bulunur. O halde ⎜ i ⎟ vektörleri Tm M uzayını gererler.
⎝ ∂x ⎠ m
n
⎛ ∂ ⎞
=0
i ⎟
⎠m
∑ a ⎜⎝ ∂x
i
i =1
n
⎛ ∂ ⎞
x = 0( xj ),
i ⎟ ( j)
⎠m
∑ a ⎜⎝ ∂x
i
i =1
n
⎛ ∂x j ⎞
a j = ∑ a i ⎜ i ⎟ = 0,
i =1
⎝ ∂x ⎠ m
1≤ j ≤ n
1≤ j ≤ n
⎧⎪⎛ ∂ ⎞
⎫⎪
olduğundan lineer bağımsızdırlar. O halde ⎨⎜ i ⎟ 1 ≤ i ≤ n ⎬ Tm M
⎩⎪⎝ ∂x ⎠ m
⎭⎪
uzayının bazıdır.
⎪⎧⎛ ∂ ⎞
⎪⎫
⎨⎜ i ⎟ 1 ≤ i ≤ n ⎬ bazına Tm M uzayının x haritasıyla eşleşmiş Kanonik(Doğal) bazı denir.
⎩⎪⎝ ∂x ⎠ m
⎭⎪
Eğer y, M’nin m noktasını kapsayan tanım kümeli bir diğer haritasıysa bu haritayla
eşleştirilmiş diğer baz da (4.2.1) eşitliğinden;
n
⎛ ∂xi ⎞ ⎛ ∂ ⎞
⎛ ∂ ⎞
=
∑⎜ j ⎟ ⎜ i ⎟
⎜ j⎟
⎝ ∂y ⎠ m i =1 ⎝ ∂y ⎠ m ⎝ ∂x ⎠ m
(4.2.2)
şeklinde verilir. Burada verdiğimiz tanjant uzay tanımı diğer tanımlara göre basit ve
adaptasyonu daha kolaydır. Daha başka tanjant uzay tanımları da vardır.
TÜRETİLMİŞ LİNEER FONKSİYONLAR
m, φ : M → M ′ dif.bilir fonksiyonunu tanım kümesinin bir noktası ve m′ = φ ( m ) olsun.
f ∈ F ∞ ( m′ ) ise f οφ ∈ F ∞ ( m ) ve (U m , x ) , (Vm , y ) olmak üzere;
φ
M
M′
f
f οφ
R
φ
M
x
Rn
yοφο x
−1
M′
f
y
f ο y −1
R
R n′
f οφ nin koordinat gösterimi;
f οφ = ( f ο y −1 ) ο ( yοφο x −1 )
= ( f οφ ) ο x −1
olur. Her bir v ∈ Tm M vektörü f → v ( f οφ ) = θ v ( f ) şeklinde
θ v : Tm′ M ′ → R,
θ v ( f ) = v ( f οφ )
fonksiyonu F ∞ ( m′ ) üzerinde derivasyondur. Gerçekten; ∀a, b ∈ R , f , g ∈ F ∞ ( m′ ) için,
( af
+ bg ) οφ = a ( f οφ ) + b ( gοφ )
( f .g ) οφ = ( f οφ ) . ( gοφ )
olduğundan;
θ v ( f .g ) = v ( ( f .g ) οφ ) = v ( ( f οφ ) . ( gοφ ) )
= v ( ( f οφ ) ) ( gοφ ( m ) ) + ( f οφ ( m ) ) v ( gοφ )
= θ v ( f ) ( gοφ ( m ) ) + ( f οφ ( m ) )θ v ( g )
= θ v ( f ) g (m′) + f (m′)θ v ( g )
O halde θ v , Tm′ M ′ ’nin bir vektörüdür. Bu vektörü φ*m ( v ) = θ v şeklinde belirteceğiz.
φ*m : Tm M → Tm′ M ′
v → φ*m ( v ) = θ v : Tm*′ M ′ → R
φ*m ( v )( f ) = θ v ( f ) = v ( f οφ )
şeklinde tanımlı θ v fonksiyonu lineerdir. Gerçekten;
φ*m ( av + bw )( f ) = θ av +bw ( f ) = ( av + bw )( f οφ )
= av ( f οφ ) + bw ( f οφ )
= a φ*m ( v )( f ) + bφ*m ( w )( f )
= ( a φ*m ( v ) + bφ*m ( w ) ) ( f )
φ*m ( av + bw ) = a φ*m ( v ) + bφ*m ( w )
θ av +bw = aθ v + bθ w
olur. Buradaki φ*m fonksiyonuna türetilmiş lineer fonksiyon denir. w = φ*m ( v ) ∈ Tm′ M ′
olduğundan ve (4.2.1) eşitliğinden x, y sırasıyla M ve M ′ ’nin m ve φ ( m ) noktalarındaki
haritaları ise
n′
⎛ ∂ ⎞
w = φ*m ( v ) = ∑ w ( yα ) ⎜ α ⎟
α =1
⎝ ∂y ⎠ φ ( m )
dir.
w ( yα ) = φ*m ( v ) ( yα )
= v ( yα οφ )
⎛ ∂ ⎞
olur. Bu nedenle φ*m lineer fonksiyonu φ*m ’nin Tm M ’nin x haritasıyla eşleştirilmiş ⎜ i ⎟
⎝ ∂x ⎠ m
bazı üzerine etkisiyle;
⎛ ⎛ ∂ ⎞ ⎞ n′ ∂ ( y οφ )
⎛ ∂ ⎞
⎛ ∂ ⎞
φ
→
=∑
( m ) .⎜ α ⎟
*m ⎜ ⎜
⎜ i⎟
i ⎟ ⎟
i
⎝ ∂x ⎠ m
⎝ ∂y ⎠φ ( m )
⎝ ⎝ ∂x ⎠ m ⎠ α =1 ∂x
α
(4.3.1)
şeklinde tanımlanır. Jφ , φ fonksiyonunun Φ = yοφο x −1 koordinat gösteriminin Jakobianı
⎡⎛ ∂ ( yα οφ ) ⎞ ⎤
⎟ ⎥ şeklindedir.
olmak üzere bu dönüşüme karşılık gelen matris Jφ ( x ( m ) ) = ⎢⎜
⎢⎜⎝ ∂x i ⎟⎠ ⎥
m⎦
⎣
Önerme 4.3.1. A bir reel vektör uzayı {e1 ,..., en } de herhangi baz olsun.
⎛ n
⎞
x : A → R n , x ⎜ ∑ α i ei ⎟ = (α 1 ,..., α n )
⎝ i =1
⎠
şeklindeki dönüşüm örten olduğundan x ( A ) = R n ve R n açık olduğundan
haritadır.
( A, x )
A için bir
{( A, x )} atlası dif.bilirdir. {e′,..., e′ } diğer bir baz iken;
1
n
⎛ n
⎞
y : A → R n , y ⎜ ∑ α i′ei ⎟ = (α1′,..., α n′ )
⎝ i =1
⎠
ve
{( A, y )}
{( A, x )}
da diğer dif.bilir atlastır. Bu iki atlasın birbirine denkliği gösterilebilir. Bu
atlasıyla belli dif.bilir yapıya A vektör uzayı üzerindeki standart dif.bilir yapı denir.
a ∈ A vektörü için;
J a : A → Ta A
kanonik izomorfizmini tanımlayalım. (t,R) özdeşlik haritası olmak üzere v ∈ A vektörü
c = α + tv : R → A
dif.bilir fonksiyon belirler.
⎛∂⎞
J a ( v ) = c*0 ⎜ ⎟
⎝ ∂t ⎠0
n
olarak alalım. y, {e1 ,..., en } standart bazına karşılık gelen harita olsun. v = ∑ v i ei ise
i =1
c*0 : T0 R → Ta A
⎛⎛∂⎞ ⎞
⎛∂⎞
⎜ ⎟ → c*0 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟
⎝ ∂t ⎠0
⎝ ⎝ ∂t ⎠0 ⎠
⎛ ∂ ( yα ο c ) ⎞ ⎛ ⎛ ∂ ⎞ ⎞
⎟ο ⎜ ⎜ α ⎟ ⎟
= ∑⎜
⎟ ⎜ ∂y ⎠c( 0) ⎟
∂t
α =1 ⎜
⎝
⎠ ⎝⎝
⎠
n
⎛ ∂ ( yα ο c ) ⎞ ⎛ ∂ ⎞
⎟⎜
= ∑⎜
⎟
⎟ ⎝ ∂yα ⎠ a
∂t
α =1 ⎜
0
⎝
⎠
n
n
⎛∂
⎞⎛ ∂ ⎞
= ∑ ⎜ ( aα + tvα ) ⎟ ⎜ α ⎟
0
⎠ ⎝ ∂y ⎠a
α =1 ⎝ ∂t
n
⎛ ∂ ⎞
= ∑ vα ⎜ α ⎟
α =1
⎝ ∂y ⎠ a
O halde;
n
⎛ ∂ ⎞
La ( v ) = ∑ vα ⎜ α ⎟
α =1
⎝ ∂y ⎠ a
n
olur. ei = ∑ δ iα eα olmak üzere;
α =1
n
⎛∂
⎞ ⎛ ∂ ⎞
La ( ei ) = ∑ ⎜ ( aα + tvα ) ⎟ ⎜ α ⎟ ,
⎠ t =0 ⎝ ∂y ⎠ a
α =1 ⎝ ∂t
i = 1,..., n
n
⎛∂
⎞ ⎛ ∂ ⎞
= ∑ ⎜ (δ iα ) ⎟ ⎜ α ⎟ ,
⎠ t =0 ⎝ ∂y ⎠ a
α =1 ⎝ ∂t
i = 1,..., n
⎛ ∂ ⎞
=⎜ i ⎟ ,
⎝ ∂y ⎠ a
i = 1,..., n
Önerme 4.3.2. A, B kendi standart didf.bilir standart yapılarıyla reel vektör uzayları ve
φ : A → B de dif.bilir fonksiyon olsun. Eğer a, φ ’nin tanım kümesinin bir noktası ise
φ*a : Ta A → Tφ ( a ) B şeklinde lineer fonksiyon tanımlarız. Bu
( Dφ )a = Lφ−1( a )οφ*aο La : A → B
Şeklindeki lineer fonksiyonu verir. Bu fonksiyona a noktasında φ nin türevi denir. {ei } , { Eα }
sırasıyla A, B vektör uzaylarının bazları ve x, y de bu bazlarla eşletirilmiş standart haritalar ise
( Dφ )a ( ei ) = ( Lφ−1( a )οφ*aο La ) ( ei )
⎛⎛ ∂ ⎞ ⎞
= Lφ−1( a )οφ*a ⎜ ⎜ i ⎟ ⎟
⎝ ⎝ ∂x ⎠ a ⎠
(
)
⎛ ⎛ ∂ ⎞ ⎞
= Lφ−1( a ) ⎜ φ*a ⎜ i ⎟ ⎟
⎝ ⎝ ∂x ⎠ a ⎠
⎛ n′ ∂
⎛ ∂ ⎞ ⎞
= Lφ−1( a ) ⎜ ∑ i ( yα οφ ) ( a ) ⎜ α ⎟ ⎟
⎜ α =1 ∂x
⎝ y ⎠ φ ( a ) ⎟⎠
⎝
n′
=∑
α =1
n′
=∑
α =1
∂ ( yα οφ )
∂x
i
∂ ( yα οφ )
∂x i
⎛ ∂ ⎞
α ⎟
⎝ y ⎠ φ (a)
( a ) Lφ−1( a ) ⎜
( a ) Eα
olur. ( Dφ )a lineer dönüşümüne yukarıda seçilen bazlara karşılık gelen matris Jφ ( a ) olup
Φ = yοφο x −1 dir. Özel olarak f : R n → R l dif.bilir fonksiyon ise doğal bazları kullanarak
( Df ) z : R n → Rl
matrisi J f ( z ) olan lineer dönüşümdür. x R n +1 özdeşlik haritası Örnek 4.3.1 deki
⎛ ∂ ⎞
Lz z = ∑ z i ⎜ i ⎟ ,
⎝ ∂x ⎠ z
Lz : R n +1 → Tz R n +1
Şeklindeki izomorfizmi ve S n üzerindeki;
ui =
{( z ,..., z
1
n +1
) zi > 0} ,
un +1+i =
{( z ,..., z
1
n +1
) zi < 0}
xi : θ iο j : U i → R n ,
xi ( z1 ,..., zi ,..., zn +1 ) = ( z1 ,..., zˆi ,..., zn +1 )
xn +1+i : U n +1+i → R n ,
xn +1+ i ( z1 ,..., zi ,..., zn +1 ) = ( z1 ,..., zˆi ,..., zn +1 )
atlasını alalım. y bu atlastaki ilk haritayı göstermek üzere;
⎛ ∂ ( yα οσ ) ⎞ ⎛ ∂ ⎞
⎟ ⎜ α⎟
σ * z ( Lz z ) = ∑ z ⎜
⎜ ∂x i
⎟ ⎝ ∂y ⎠
i ,α
⎝
⎠z
z
i
yα οσ sıfırıncı dereceden homojen fonksiyon olduğundan Euler Teoremi’nden bu vektörün
kendisi sıfırdır. Bu nedenle σ * z ’nin çekirdeği Tz R n +1 ’in alt uzayıdır ve Lz z vektörü tarafından
gerilir.
Bütün Tm M tanjant uzaylarının birleşimine (m, M üzerinde değişirken) tanjant demet denir.
Bu M manifoldunun bütün tanjant vektörlerinden oluşur. TM
π : TM → M , π ( v ) = m ⇔ v ∈ Tm M
bir izdüşüm ortaya çıkarır.
φ :M → M′
dif.bilir fonksiyonu bir
φ* : TM → TM ′,
φ*m ( v ) = m = π v
şeklinde bir fonksiyon tanımlar. Bu fonksiyona φ fonksiyonunun diferensiyeli denir.
Ψ : M ′ → M ′′
diğer dif.bilir fonksiyon iken Ψοφ dönüşümü de ( Ψοφ )* = Ψ *οφ* dir.