TOPOLOJ TEST B

1
TOPOLOJ TEST B
1.
{(−1)n n1 : n > 0}
dizisi için a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a) Dizinin limiti
−1
ve
+1
dir; y§lma noktas
(b) Dizinin limiti
−1
ve
+1
dir; y§lma noktas yoktur.
(c) Dizinin limiti
0
dr; y§lma noktas
0
−1
ve
+1
dir.
dr.
(d) Dizinin limiti yoktur; y§lma noktas yoktur.
(e) Dizinin limiti
2.
{(−1)n +
1
n
0
: n > 0}
(a) Dizinin limiti
dr; y§lma noktas
−1
dir.
dizisi için a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
−1
ve
+1
dir; y§lma noktalar
(b) Dizinin limiti yoktur; y§lma noktalar
(c) Dizinin limiti
+1
ve
0
dr; y§lma noktas
0
−1
ve
−1
ve
+1
dir.
+1
dir.
dr.
(d) Dizinin limiti yoktur; y§lma noktas yoktur.
(e) Dizinin limiti
0
dr; y§lma noktas
−1
ve
+1
dir.
3. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Sabit dizinin limiti yoktur ama y§lma noktas vardr.
(b) Bir dizinin hem bir limiti hem de bir y§lma noktas varsa çak³rlar.
(c) Bir dizinin limitinin olmas, o dizinin y§lma noktasnn da olmasn gerektirmez
(d) Bir dizinin hem limiti hem de y§lma noktas olmayabilir.
(e) Bir dizinin limiti olmad§ halde y§lma noktalar olabilir.
4. Dizisel süreklilik hangi uzaylarda süreklili§e denktir?
(a) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan uzaylarda.
(b) Ayrlabilir uzaylarda.
(c) Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan uzaylarda.
(d) Ayrk uzaylarda..
(e) Her uzayda.
5. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Ayrk olmayan uzaydaki bir dizi, uzayn hiç bir noktasna yaknsamaz.
(b) Ayrk bir uzayda bir
(an )
dizisinin bir
belli bir damgadan sonraki bütün
an
a
noktasna yaknsamas için gerekli ve yeterli ko³ul
terimlerinin
a
ya e³it olmasdr
(c) Yaknsak bir dizinin her alt dizisi de yaknsaktr ve ayn limite sahiptir.
(d) Her gerçel say rasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktasdr.
(e)
6.
R
(Λ, )
üzerindeki salt topolo jiye göre
N
do§al saylar kümesinin hiç bir y§lma noktas yoktur.
sisteminin yönlenmi³ bir küme olmas için hangi ko³ul gerekmez?
(a) Her
λ∈Λ
(b) Her
λ, µ, ν ∈ Λ
(c) Her
λ, µ ∈ Λ
çiftine kar³lk öyle bir
(d) Her
λ, µ ∈ Λ
için
için
λλ
için
(e) Hepsi gereklidir.
7. Hangisi yanl³tr?
dr.
λµ
ve
µν
olmas
ν∈Λ
λν
olmasn gerektirir.
ö§esi vardr ki
(λ µ) ∧ (µ λ) ⇒ (µ = λ)
λν
ve
µν
olur.
2
(a) Her dizi bir a§dr.
(b) Her a§ bir dizidir.
(c) Bir topolo jik uzayda bir
(xv )
(d)
x
ö§esinin her
V
kom³ulu§undan bir
xv
ö§esi seçilerek olu³turulan
kümesi bir a§dr.
X, T )
uzaynda
x
noktasnn
B(x)
kom³uluklar ailesinin yönlenmi³ bir sistemdir.
(e) Hiçbiri.
8. Hangisi do§rudur?
(a) Her gerçel say, rasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktasdr.
(b) Her rasyonel say, rasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktasdr.
(c) Her irrasyonel say, rasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktasdr.
(d) Her gerçel say, irrasyonel saylar kümesinin bir y§lma noktasdr.
(e) Hepsi.
9. Hangisi do§rudur?
(a) Ayrk olmayan uzayda her dizi her noktaya yaknsar.
(b) Ayrk olmayan uzayda hiç bir dizi yaknsamaz.
(c) Ayrk uzayda her dizi her noktaya yaknsar.
(d) Ayrk uzayda hiç bir dizi yaknsamaz.
(e) Hepsi.
10. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Üzerindeki salt topolo jiye göre gerçel eksen ayrlabilir bir topolojik uzaydr.
(b) Mutlak topolo jiye göre rasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo§undur.
(c) Mutlak topolojiye göre irrasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo§undur.
(d) Mutlak topolo jiye göre tam saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo§undur.
(e) Hiçbiri
11. A³a§dakilerden hangisi kom³uluk aksiyomlarndan birisidir?
(a)
B(x)
ailesine ait her hangi bir kümeyi kapsayan her küme
(b)
B(x)
ailesine ait iki kümenin arakesiti yine
(c)
B(x)
ailesine ait her küme
(d) E§er
V ∈ B(x)
ise, öyle bir
x
B(x)
B(x)
ailesine aittir.
ailesine aittir.
noktasn içerir.
W ∈ B(x)
vardr ki her
y∈W
için
V ∈ B(y)
olur.
(e) Hepsi
X kümesi ile bir Y = {(Y ı, T ı) : ı ∈ I} topolojik uzaylar ailesi veriliyor. Her
fı : Y ı → X fonksiyonu tanmlanyor. A³a§dakilerden hangisi {T ı : ı ∈ I} topolojiler
12. Bo³ olmayan bir
ı∈I
için bir
ailesinin,
13.
F
fonksiyonlarna göre, tümel (inductive) topolojisidir?
(a)
F = {fı : ı ∈ I}
fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin bile³imidir.
(b)
F = {fı : ı ∈ I}
fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en ince dokulusudur.
(c)
F = {fı : ı ∈ I}
fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en kaba dokulusudur.
(d)
{T ı : ı ∈ I}
topolojiler ailesinin bile³imine e³ittir.
(e)
{T ı : ı ∈ I}
topolojiler ailesinin arakesitine e³ittir.
S
ailesi
X
(a)
∅∈
/S
(b)
∅∈S
kümesi üzerinde bir süzgeç ise, a³a§dakilerden hangisi sa§lanmaz?
3
(c)
X∈S
(d)
A, B ∈ S ⇒ A ∩ B ∈ S
(e)
(V ∈ S ) ∧ (V ⊂ W ) ⇒ W ∈ S
14. A³a§dakilerden hangisi bir süzgeç de§ildir?
(a) Bir topolo jik uzayda bir noktann yerel kom³uluklar ailesi.
(b) Bir topolo jik uzayda bir noktann yerel kom³uluklar taban.
X
(c)
sonsuz bir küme olsun.
X
içinde tümleyenleri sonlu olan bütün alt kümelerin olu³turdu§u
aile.
(d) Sonsuz bir
X
kümesi içindeki bütün sonlu alt kümelerin tümleyenlerinin olu³turdu§u aile.
S∞ = {(a, ∞) : a ∈ R
(e)
ailesi.
15. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Gerçel saylar kümesinde salt topolojiye göre her
(b) Bir Bir
(X, T )
[a, b]
aral§ tkzdr.
Hausdor uzaynda her sonlu küme tkzdr.
(c) Gerçel saylar kümesinde salt topolojiye göre her
(a, b)
aral§ tkzdr.
(d) Tkz bir uzayn tkz her alt kümesi kapaldr.
(e) Tkz bir uzayn kapal her alt kümesi tkzdr.
16. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Her tkz uzay yerel tkzdr.
(b) Yerel tkz her uzay tkzdr.
(c) Her küme, üzerindeki sonlu tümleyenler (conite) topolojisine göre tkzdr.
(d) Tkz kümelerin sürekli bir fonksiyon altndaki görüntüleri de tkzdr.
(e) Sonsuz bir küme üzerindeki ayrk topolo jiye göre tkz olamaz.
17. Bir
(X, T )
Hausdor uzay için a³a§dakilerden hangisi ötekilere e³de§er de§ildir?
(a) Uzay tkzdr.
(b) Uzayn her alt uzay tkz dr.
(c) Kapal alt kümelerden olu³an ve sonlu arakesit özeli§ine sahip olan bir ailenin arakesiti bo³
olmaz.
(d) Kapal alt kümelerden olu³an ve arakesiti bo³ olan her ailenin, arakesiti bo³ olan sonlu bir alt
ailesi vardr.
(e) Hiçbiri.
18. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
(X, T )
tkz ve
T ≤S
ise
(X, S )
uzay da tkzdr.
(b)
(X, T )
tkz ve
T ≥S
ise
(X, S )
uzay da tkzdr.
(c) Tkz bir uzayn sonsuz sayda tkz alt kümelerinin bile³imi de tkzdr.
(d) Salt topolo jiye göre gerçel saylarn snrl alt kümeleri tkzdr.
(e) Salt topolojiye göre gerçel saylarn kapal olmayan tkz alt kümeleri vardr.
p
19. E§er
fonksiyonu
X
vektör uzay üzerinde bir yar-norm ise a³a§dakilerden hangisi sa§lanmaya-
bilir?
(a)
p(0) = 0
(b)
| p(x) + p(y) | ≤ p(x + y)
(c)
p(x) ≥ 0
(d)
{x : p(x) = 0}
kümesi
X
uzaynn bir alt vektör uzaydr
4
(e)
B = {x : p(x) < 1}
kümesi d³bükeydir.
20. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
R
üzerinde
x → |x|
(b)
R
üzerinde
(x, y) →
(c)
C
üzerinde
z → |z|
dönü³ümü bir metriktir.
p
|x|2 + |y|2
dönü³ümü bir metriktir.
dönü³ümü bir metriktir.
(d) Her metrik bir normdur.
(e) Hiçbiri.
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ `1
x → kxksup = sup |xn | : n ∈ N
P∞
x → kxk1 = n=1 kxn k
x → kxkinf = inf |xn | : n ∈ N
x → kxkmin = min |xn | : n ∈ N
21. A³a§dakilerden hangisi bir normdur? Her
(a)
`1
üzerinde
(b)
`1
üzerinde
(c)
`1
üzerinde
(d)
`1
üzerinde
için
(e) Hepsi
22.
X
herhangi bir küme ise, a³a§dakilerden hangisi bir metrik de§ildir?
(a)
δ :X ×X
(b)
X
üzerinde sonlu sayda metri§in toplam da metriktir.
(c)
X
üzerinde sonlu sayda metri§in maksimumu da metriktir.
(d)
(X, ρ)
den
R,x=y
metrik uzay ise
δ(x, y) = 1
ise
ve
x 6= y
ise
δ(x, y) = ρ(x, y)/(1 + ρ(x, y))
δ(x, y) = 0
olmak üzere
(X, δ)
da bir metrik uzaydr.
(e) Hepsi metriktir.
x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ `∞
x → kxksup = sup |xn | : n ∈ N
x → kxkmax = max |xn | : n ∈ N
x → kxkinf = inf |xn | : n ∈ N
x → kxkmin = min |xn | : n ∈ N
23. A³a§dakilerden hangisi bir normdur? Her
(a)
`∞
üzerinde
(b)
`∞
üzerinde
(c)
`∞
üzerinde
(d)
`∞
üzerinde
için
(e) Hepsi
24.
(X, ρ)
metrik uzay ve
A, B ⊂ X
veriliyor.
A
ile
B
kümeleri arasndaki
d(A, B)
uzakl§ için a³a§-
dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
d(A, B) = min{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
(b)
d(A, B) = max{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
(c)
d(A, B) = sup{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
(d)
d(A, B) = inf{ρ(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}
(e)
d(A, B) = ρ(A) − ρ(B)
25. Hangi uzaylarda Cauchy dizileri var olabilir?
(a) Herhangi bir topolo jik uzay.
(b) Birinci Saylabilme Belitini sa§layan topolojik uzay.
(c) kinci Saylabilme Belitini sa§layan topolojik uzay.
(d) Metrik uzay.
(e) Hepsi.
26.
(X, ρ)
ile
(a) Her
(X, µ)
metrik uzaylar ise,
x, y ∈ X
için
ρ
ile
ρ(x, y) = µ(x, y)
µ
metriklerinin denk iki metrik olmas ne demektir?
olmasdr.
5
(b) Tanmladklar topolojilerin e³it olmasdr.
(c) Her ikisinin kapal birim yuvarlarnn e³it olmasdr.
(d) Her ikisinin açk birim yuvarlarnn e³it olmasdr.
(e) Hepsi.
27.
F : (X, ρ) → (X, µ)
(a) Her
x, y ∈ X
metrik uzaylarnn e³metrel (isometric) olmas ne demektir?
için
ρ(x, y) = µ(f (x), f (y))
olmasdr.
(b) Tanmladklar topolojilerin e³it olmasdr.
(c) Her ikisinin kapal birim yuvarlarnn e³it olmasdr.
(d) Her ikisinin açk birim yuvarlarnn e³it olmasdr.
(e) Hepsi.
28. Cauchy dizisi ne demektir?
(a) Topolo jik uzayda yaknsak bir dizidir.
(b) Metrik uzayda yaknsak bir dizidir.
(c) Normlu uzayda yaknsak bir dizidir.
(d) Metrik uzayda, indisleri yeterince büyük alnd§nda terimleri birbirlerine istenildi§i kadar
yaknla³an dizidir.
(e) Hepsi.
29. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a) Bir metrik uzayda her Cauchy dizisi yaknsaktr.
(b) Bir metrik uzayda yaknsak her dizi bir Cauchy dizisidir.
(c) Bir metrik uzayda snrl her dizi yaknsaktr.
(d) Üst uzayda yaknsak her dizi alt uzayda da yaknsaktr.
(e) Hepsi.
30. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a) Bir metrik uzayda her Cauchy dizisi uzayn bir noktasna yaknsyorsa uzay tamdr.
(b) Bir topolo jik uzayda her Cauchy dizisi uzayn bir noktasna yaknsyorsa uzay tamdr.
(c) Bir metrik uzayda her Cauchy dizisi yaknsyorsa uzay tamdr.
(d) Bir topolo jik uzayda her Cauchy dizisi yaknsyorsa uzay tamdr.
(e) Normlu bir uzayda her Cauchy dizisi yaknsyorsa uzay tamdr.
31. A³a§dakilerden hangisi topoloji tanmlama yöntemi de§ildir?
(a) Açk kümeleri belirleme
(b) Kapal kümeleri belirleme
(c) Alt-kümeleri belirleme
(d) Kaplamlar belirleme
(e) çlemleri belirleme
32.
f : (X, T ) → (Y, S )
dönü³ümünün e³yap dönü³ümü olmas için hangisi gerekmez?
(a)
f
özde³lik dönü³ümüdür
(b)
f
bire-bir örtendir
(c)
T ∈ T ⇒ f (T ) ∈ S
(d)
S∈S ⇒f
(e)
f
−1
dir
(S) ∈ T
dir
kapal kümeleri kapal kümelere resmeder
6
33.
(X, T )
(a)
nin bir topolo jik uzay olmas için hangisi gerekmez?
∅, X ∈ T
dir
(b) Açk kümelerin her bile³imi açktr
(c) Kapal kümelerin her arakesiti kapaldr.
(d) Kapal kümelerin her bile³imi kapaldr.
(e) Hepsi gerekir
34.
(X, T )
(a)
(b)
(c)
(d)
topolojik uzay ve
Ao
A
o
A
o
A
o
kümesi
A
A⊂X
ise a³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
nn bütün açk alt kümelerinin bile³imine e³ittir.
kümesi açktr.
kümesi
A
nn en büyük açk alt-kümesidir.
kümesi
A
nn en küçük açk alt-kümesidir.
(e) Hiçbiri
35.
(X, T )
topolojik uzay ve
A, B ⊂ X
(a)
(A ∩ B)o = Ao ∩ B o
(b)
(A ∪ B)o = Ao ∪ B o
(c)
∂(A ∪ B) = ∂A ∪ ∂B
(d)
(A ∩ B) = Ā ∩ B̄
ise a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(e) Hepsi
36.
(X, T )
(a)
A
bir topolojik uzay ve
A
olsun. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
X uzay içinde yo§un
T ∩ A = ∅ olmasdr.
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul bo³ olmayan her
T
açk
X uzay içinde yo§un
T ∩ A 6= ∅ olmasdr.
olmas için gerekli ve yeterli ko³ul bo³ olmayan her
T
açk
kümesinin
kümesi için
(b)
A, T ⊂ X
kümesinin
kümesi için
(c) Bir topolojik uzayn saylabilir yo§un bir alt-kümesi varsa, bu uzay ayrlamaz bir uzaydr
(d) Bir topolo jik uzayn saylamaz yo§un bir alt-kümesi varsa, bu uzay ayrlabilir bir uzaydr
(e) Hiçbiri
37.
X
kümesinin
P(X)
kuvvet kümesi üzerinde tanml
β : P(X) → P(X)
fonksiyonunun bir topolo-
jinin açk kümelerini belirlemesi için a³a§dakilerden hangisi gereklidir? Her
(a)
β(X) = X
(b)
β(A) ⊂ A
(c)
β(β(A)) = β(A)
(d)
β(A ∩ B) = β(A) ∩ β(B)
A ∈ P(X)
(e) Hepsi
38.
(X, T )
(a)
Ā = Ã ∪ A
(b)
(A ∩ B)∼ = Ã ∩ B̃
(c)
A ∪ Ã
(d)
A
(e)
39.
topolojik uzay ve
(a)
dr.
nn kapal olmas için
(A ∪ B) = Ã ∪ B̃
ise,
A
à ⊂ A
olmas gerekli ve yeterlidir.
dir.
bir topolo jik uzay ve
B ⊂ Ā
ise a³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
kapaldr.
∼
(X, T )
A, B ⊂ X
kümesi
B
A, B ⊂ X
olsun. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
içinde yo§undur.
için
7
(b)
B ⊃ Ā
ise,
A
kümesi
B
içinde yo§undur.
(c)
B = Ā
ise,
A
kümesi
B
içinde yo§undur.
(d)
o
(Ā) 6= ∅
ise
A
kümesi
X
uzaynn hiçbir yerinde yo§un de§ildir
(e) Hepsi
40.
B
ve
S
iki aile ise
(a) Her
S∈S
(b) Her
B∈B
(c) Her
S∈S
(d) Her
B∈B
B∗ = S∗
ve her
x∈S
ve her
için
için
olmas için gerekli ko³ullardan birisi hangisidir?
için
y∈B
S∈B
B∈S
için
x∈B⊂S
olacak ³ekilde bir
y∈B⊂S
olacak ³ekilde bir
B∈B
vardr.
S∈S
vardr.
dir.
dir.
(e) Hepsi
41. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
(X, T )
ayrk bir uzay ve
larndan en az birisi
(b)
(X, T )
A
ayrlabilir bir uzay ve
noktalarndan en az birisi
(c)
A⊂X
saylamayan bir alt küme ise,
A
kümesinin y§lma nokta-
ya aittir.
A
A ⊂ X
saylamayan bir alt küme ise,
A
kümesinin y§lma
ya aittir.
(X, T ) Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan bir uzay ve A ⊂ X
A kümesinin y§lma noktalarndan en az birisi A ya aittir.
saylamayan bir alt küme
ise,
(d)
(X, T ) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan bir uzay ve A ⊂ X
ise, A kümesinin y§lma noktalarndan en az birisi A ya aittir.
saylamayan bir alt küme
(e) Hiçbiri
42. A³a§dakilerden hangisi
R
üzerinde bir topolo ji için alt-tabandr?
(a) Gerçel eksen üzerindeki bütün açk aralklardan olu³an
R = {(a, b) : a, b ∈ R}
(b) Gerçel eksen üzerindeki bütün soldan açk aralklardan olu³an
(c) Gerçel eksen üzerindeki bütün sa§dan açk aralklardan olu³an
(d) Gerçel eksen üzerindeki yar-sonsuz aralklardan olu³an
ailesi.
U = {(a, b] : a, b ∈ R}
ailesi.
A = {[a, b) : a, b ∈ R}
ailesi.
K = {(a, ∞), (−∞, b) : a, b ∈ R} ailesi.
(e) Hepsi
43. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a) E§er
T
nun saylabilir bir taban varsa,
(X, T )
uzay kinci Saylabilme Aksiyomunu sa§lyor
denilir.
(b) E§er
T
nun saylabilir bir taban varsa,
(X, T ) uzay Birinci Saylabilme Aksiyomunu
sa§lyor
denilir.
(c) Birinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan her
(d) kinci Saylabilme Aksiyomunu sa§layan her
(X, T )
(X, T )
topolojik uzay ayrlabilir bir uzaydr.
topolojik uzay ayrk bir uzaydr.
(e) Hepsi
44.
(X, T )
bir topolo jik uzay ise a³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a)
T∗=T
(b)
T
∗
(c)
T
∗
(d)
T
∗
dir.
ailesi bir topolo ji de§ildir, ama
T
topolojisi için bir tabandr.
ailesi bir topolo ji taban de§ildir, ama
ailesi
T
T
topolojisi için bir alt-tabandr.
topolojisinden kesinlikle daha ince bir topolo jidir.
(e) Hiçbiri
45. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Üzerindeki salt topolo jiye göre gerçel eksen ayrlabilir bir topolojik uzaydr.
8
(b) Mutlak topolo jiye göre rasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo§undur.
(c) Mutlak topolojiye göre irrasyonel saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo§undur.
(d) Mutlak topolo jiye göre tam saylar kümesi gerçel saylar kümesi içinde yo§undur.
(e) Hiçbiri
46. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Ayrlabilir bir uzayn ikinci saylabilme aksiyomunu sa§lamas gerekmez.
(b) Her iki ucu rasyonel olan bütün açk aralklarn ailesi
R
üzerindeki salt topolo ji için bir ta-
bandr.
(c)
ξ = {[p, q] : p, q ∈ Q,
(d)
V = {[p, q] : p, q ∈ Q, p ≤ q}
p < q}
ailesi
ailesi
R
R
üzerinde bir topolo ji taban de§ildir.
üzerinde bir topolo ji tabandr
(e) Hiçbiri
47. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a)
Zo = ∅
(b)
Z=Z
(c)
Z̃ = ∅
(d)
Zo = Z
(e) Hiçbiri
48.
Q
rasyonel saylar kümesi ise a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
Qo = ∅
(b)
Q=Q
(c)
Q̃ = ∅
(d)
Qo = Q
(e) Hiçbiri
49.
F=R−Q
irrasyonel saylar kümesi ise a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
(F)o = ∅
(b)
F =F
(c)
F̃ = ∅
(d)
Fo = F
(e) Hiçbiri
50.
A = (0, 1)
aral§ için, salt topolo jiye göre a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
Ao = ∅
(b)
A=A
(c)
à = A
(d)
A = Ã
(e) Hiçbiri
51. A³a§dakilerden hangisi kom³uluk aksiyomlarndan birisidir?
(a)
B(x)
ailesine ait her hangi bir kümeyi kapsayan her küme
(b)
B(x)
ailesine ait iki kümenin arakesiti yine
(c)
B(x)
ailesine ait her küme
(d) E§er
V ∈ B(x)
(e) Hepsi
ise, öyle bir
x
B(x)
B(x)
ailesine aittir.
ailesine aittir.
noktasn içerir.
W ∈ B(x)
vardr ki her
y∈W
için
V ∈ B(y)
olur.
9
52.
(X, T ) ve (Y, S ) topolojik uzaylar ile f : X → Y
fonksiyonu verilsin. A³a§daki ifadelerden hangisi
ötekilere e³de§er de§ildir?
(a) Her
T ∈T
(b) Her
A⊆X
alt-kümesi için
(c) Her
K∈S
0
(d) Her
S∈S
f
(e)
için
f (T ) ∈ S
için
için
fonksiyonu
X
f
f
−1
−1
dir.
f (Ā) ⊆ f (A)
(K) ∈ T
(S) ∈ T
0
dr;
dür;
dur.
üzerinde süreklidir;
53. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a) Bir topolo jik uzaydan kendisine olan özde³lik dönü³ümü süreklidir.
(b) Her hangi bir topolo jik uzaydan ba³ka bir topolo jik uzaya olan sabit fonksiyonlar süreklidir.
(c) Bir ayrk uzaydan her hangi bir topolojik uzaya olan fonksiyonlar süreklidir.
(d) Her hangi bir topolo jik uzaydan ayrk olmayan bir uzaya olan fonksiyonlar süreklidir.
(e) Hiçbiri.
54.
(X, T ) ve (Y, S ) topolojik uzaylar ile f : X → Y
fonksiyonu verilsin. A³a§daki ifadelerden hangisi
ötekilere e³de§er de§ildir?
f
(a)
fonksiyonu
X
üzerinde süreklidir,
(b) Her
A⊆Y
alt kümesi için
f −1 (A◦ ) ⊂ f −1 (A)
(c) Her
A⊆Y
alt kümesi için
f −1 (Ā) ⊃ (f −1 (A))
A⊆Y
(d) Her
alt kümesi için
f
−1
(Ā) ⊂
◦
(f −1 (A))
dr,
dr.
dr.
(e) Hepsi birbirine e³de§erdir.
f :X→Y
55. Bire-bir ve örten
bir fonksiyonunun bir topolo jik e³yap resmi (homeomorphism) olmas
için gerekli ve yeterli olmayan ko³ul hangisidir?
(a)
f
nin sürekli ve açk olmasdr.
(b)
f
nin sürekli ve kapal olmasdr.
(c)
f
ve
f −1
fonksiyonlarnn sürekli olmasdr.
A⊂X
(d) her
alt-kümesi için
f (Ā) = f (A)
olmasdr.
(e) Hepsi birbirine e³de§erdir.
56. Bir
X
kümesi üzerinde
T
ve
S
topolojileri verilsin.
T
topolojisinin
S
topolojisinden daha ince
dokulu olmas için gerekli ve yeterli ko³ul hangisidir?
(a)
I:X→X
(b) Her
özde³lik dönü³ümünün
x ∈ X
için,
S
T −S
topolojisine göre
x
sürekli olmasdr.
ö§esinin her kom³ulu§u
T
topolojisine göre de bu
noktann bir kom³ulu§udur.
(c) Her
A⊂X
alt-kümesi için,
T
topolojisine göre
A
kümesinin kaplam
S
topolojisine göre
A
kümesinin kaplam tarafndan kapsanr;
(d)
S
topolojisine göre kapal olan her alt-küme
T
topolojisine göre de kapaldr.
(e) Hepsi.
X kümesi ile bir Y = {(Y ı, T ı) : ı ∈ I} topolojik uzaylar ailesi veriliyor. Her
fı : X → Y ı fonksiyonu tanmlanyor. A³a§dakilerden hangisi {T ı : ı ∈ I} topolojiler
57. Bo³ olmayan bir
ı∈I
için bir
ailesinin,
F
fonksiyonlarna göre, izdü³el (projective) topolojisidir?
(a)
F = {fı : ı ∈ I}
fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin bile³imidir.
(b)
F = {fı : ı ∈ I}
fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en ince dokulusudur.
(c)
F = {fı : ı ∈ I}
fonksiyonlarnn herbirisini sürekli klan topolojilerin en kaba dokulusudur.
(d)
{T ı : ı ∈ I}
topolojiler ailesinin bile³imine e³ittir.
10
(e)
{T ı : ı ∈ I}
topolojiler ailesinin arakesitine e³ittir.
58. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a) Çarpm topolojisi bir izdü³el (projective) topolojidir.
(b) Çarpm topolojisi bir tümel (inductive) topolojidir.
(c) Bölüm topolojisi bir izdü³el (projective) topolojidir.
(d) Bir topoloji ailesinin en küçük üst snr bir tümel (inductive) topolojidir.
(e) Bir topoloji ailesinin en büyük alt snr bir izdü³el (projective) topolojidir.
59. A³a§dakilerden hangisi yanl³tr?
(a)
T
topolojisi inceldikçe
(X, T ) uzayndan
herhangi bir
(Y, S ) uzayna
tanml sürekli fonksiy-
onlar ço§alr.
(b)
T
topolojisi kabala³tkça
(X, T ) uzayndan herhangi bir (Y, S ) uzayna tanml sürekli fonksiy-
onlar ço§alr.
(c)
S
topolojisi inceldikçe herhangi bir
(X, T ) uzayndan (Y, S ) uzayna tanml sürekli fonksiy-
onlar azalr.
60.
(d)
T
topolojisi kabala³tkça
(e)
T
topolojisi inceldikçe
{ n1 : n > 0}
(X, T )
(X, T )
uzay üzerindeki yaknsak diziler ço§alr.
uzay üzerindeki yaknsak diziler azalr.
dizisi için a³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a) Dizinin limiti
0
dr; y§lma noktas
0
(b) Dizinin limiti
0
dr; y§lma noktas yoktur.
(c) Dizinin limiti yoktur; y§lma noktas
dr.
0
dr.
(d) Dizinin limiti yoktur; y§lma noktas yoktur.
(e) Hiçbiri.
61.
(X, T )
topolojik uzaynda
A, B ⊂ X
(a)
Ā ∩ B 6= ∅
∨
A ∩ B̄ 6= ∅
(b)
Ā ∩ B 6= ∅
∧
A ∩ B̄ 6= ∅
(c)
Ā ∩ B = ∅
∧
A ∩ B̄ = ∅
(d)
Ā ∩ B = ∅
∨
A ∩ B̄ = ∅
(e)
Ā ∩ B 6= ∅
∧
A∪B =X
alt kümelerinin ba§lantl olmas ne demektir?
62. A³a§dakilerden hangisi do§rudur?
(a)
R
(b)
R
gerçel saylar kümesinde her aralk ba§lantldr.
gerçel saylar kümesinde ba§lantl her alt küme bir aralktr.
3
(c)
R
uzaynda simit yüzeyi (torus), salt topolo jiye göre, ba§lantldr.
(d)
f : [a, b] → [a, b]
sürekli bir fonksiyon ise,
f
fonksiyonunun bir sabit noktas vardr.
(e) Hepsi.
63.
f :X→Y
fonksiyonunun sürekli olmas için
xn → x ⇒ f (xn ) → f (x)
uzaylar hangileridir?
(a) Birinci Saylabilme Belitini (axiom) sa§layan uzaylar.
(b) Metrik uzaylar.
(c) Normlu uzaylar
(d) kinci Saylabilme Belitini (axiom) sa§layan uzaylar.
(e) Hiçbiri.
ko³ulunun yeterli olmad§