REEL ANALİZ

REEL ANALİZ
Tunç Mısırlıoğlu
 Ocak 
Bu notlar
Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES)
lisansı altındadır. Ders notlarına erişim için:
http://udes.iku.edu.tr
C
\
$
CC
BY:
°
°
Tunç Mısırlıoğlu °
°
Matematik-Bilgisayar Bölümü
İstanbul Kültür Üniversitesi
Bakırköy  İstanbul
[email protected]
Cezir’de kuma bir satır yazdım
O satıra aklımı, ruhumu koydum
Medd’de okumak için geri döndüm
O vakit cehaletimi gördüm.
−HALİL CİBRAN
İçindekiler
Önsöz
 Ön
.
.
.
.
vii
Bilgiler
Kümeler ve fonksiyonlar . . . . . . . .
Sayılabilirlik . . . . . . . . . . . . . . .
R içinde kümelerin topolojik özellikleri
Riemann integrali . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.





. . . .
. . . .
ölçüsü
. . . .
. . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.






 Ölçülebilir Fonksiyonlar
. Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . .



 Lebesgue İntegrali
. Tanım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Monoton yakınsaklık teoremleri . . . . . . . . .
. İntegrallenebilir fonksiyonlar . . . . . . . . . . .
. Sınırlı yakınsaklık teoremi . . . . . . . . . . . .
. Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki
. Çeşitli Problemler . . . . . . . . . . . . . . . .







.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
 Ölçü Kavramı
. Ölçüsü sıfır olan kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . .
. Dış ölçü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve Lebesgue
. Lebesgue ölçüsünün özellikleri . . . . . . . . . . . . . .
. Borel kümeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Kaynakça

Dizin

v
Önsöz
İstanbul Kültür Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi’nin - Güz yarıyılında başlattığı Örgün Öğretimde Uzaktan Öğretim Desteği (UDES) projesi kapsamında, örgün öğretimde kullanılan ders notlarının internet ortamına aktarılması amaçlanmaktadır. Özellikle temel bilimler alanında nitelikli Türkçe ders
notu sıkıntısı çekilen Türkiye’de, UDES projesiyle, sadece İstanbul Kültür Üniversitesi öğrencilerine değil, Türkiye’deki tüm üniversitelerin lisans öğrencilerine
ulaşılma hedefi güdülmektedir. - Güz yarıyılından bu yana İstanbul
Kültür Üniversitesi, Fen-Edebiyat Fakültesi, Matematik-Bilgisayar Bölümü’nde
vermekte olduğum Reel Analiz dersinin Kaynakça kısmında belirtilen eserler
temel alınarak oluşturulmuş notlarından oluşan ve bundan ötürü özgün olma
iddiası taşımayan bu derleme, her türlü eleştiri ve yoruma açık bir denemedir.
Okuyucunun ilgisini ölçü teorisinin temel kavramlarına yönlendirebilirse, bu notlar amacına ulaşmış olacaktır.
Bu ders notunda Teoremler ve Önermeler ispatsız olarak verilmektedir. Bunun
amacı, hem ispatların derste yapılacak olması ve hem de öğrenciyi dersten önce
kendi kendilerine ispatlamalaya teşvik etmesidir. Ayrıca okuyucunun bu notlar
içerisindeki Problemleri çözmeye çalışması konuları pekiştirmek açısından çok
yararlı olacaktır.
İstanbul, Ekim 
Tunç Mısırlıoğlu
vii
 Ön Bilgiler
Ölçü teorisinde, verilen keyfi bir kümenin alt kümelerinin aileleri ve reel sayıları
bu ailelere ait kümelere götüren fonksiyonlar ile uğraşılır. Dolayısıyla bu bölümde
kümelerin bazı temel yapıları ve bunların üzerinde tanımlı fonksiyonların özellikleri, sonsuz kümelerin sayılabilirliği ve sayılamazlığı, yine analizden bildiğimiz R
(reel sayılar) de dizilerin yakınsaklığı, seriler, açık ve kapalı kümeler gibi topolojik kavramlar, ve ayrıca Riemann integralinin tanımı ve temel özelliklerini hatırlayacağız.
. Kümeler ve fonksiyonlar
Tüm kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel kümeyi E ile
göstereceğiz. Hiç bir elemanı olamayan kümeye boş küme denir ve ∅ ile gösterilir.
E ye ait herhangi bir A alt kümesinin tüm alt kümelerinin ailesine A nın kuvvet
kümesi denir ve P(A) ya da 2A ile gösterilir.
A, B ∈ E olsun.
A ile B nin arakesiti : A ∩ B = {x : x ∈ A ve x ∈ B}
A ile B nin birleşimi : A ∪ B = {x : x ∈ A veya x ∈ B}
A ile B nin farkı : A r B = {x ∈ A : x ∈ B} = B ∩ Ac
A nın tümleyeni : Ac = E r A
A ile B nin simetrik farkı : A4B = (A r B) ∪ (B r A)
• A4B = ∅ olması için gerek ve yeter koşul (gyk) A = B olmasıdır.
Λ herhangi bir indeks kümesi olsun.
\
Aα = {x : x ∈ Aα , ∀α ∈ Λ} ,
α∈Λ
[
Aα = {x : x ∈ Aα , ∃α ∈ Λ}
α∈Λ
Aşağıdaki iki özellik, de Morgan kuralları olarak bilinir.
(
[
α∈Λ
Aα )c =
\
α∈Λ
Acα ,
(
\
α∈Λ
Aα )c =
[
Acα
α∈Λ


 Ön Bilgiler
A ∩ B = ∅ ise, A ile B kümelerine ayrıktır denir. Eğer α, β ∈ Λ olmak üzere,
α 6= β iken Aα ∩ Aβ = ∅ ise, (Aα )α∈Λ küme ailesine ikişer ikişer ayrıktır
denir.
A ile B nin kartezyen çarpımı : A × B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}
A × B nin herhangi f : A → B alt kümesi, "(a, b), (a, c) ∈ f iken b = c"
koşulunu sağlarsa, f ye bir fonksiyon denir. f nin tanım kümesi Df = {a ∈
A : (a, b) ∈ f, ∃b ∈ B} ve değer kümesi Rf = {b ∈ B : (a, b) ∈ f, ∃a ∈ A}
şeklinde tanımlanır. Herhangi bir X ⊂ A alt kümesinin görüntüsü f (X) =
{b ∈ B : bf (a), ∃a ∈ X} ve herhangi bir Y ⊂ B alt kümesinin ters görüntüsü
f −1 (Y ) = {a ∈ A : f (a) ∈ Y } şeklindedir.
Bir g fonksiyonunun bir f fonksiyonunu genişletmesi , Df ⊂ Dg ve Df
üzerinde g = f olması demektir. Bir başka ifade ile, f , g yi Df ye kısıtlıyor
demektir.
A kümesinin işaret fonksiyonu,
§
A (x) =
1 ;
0 ;
x∈A
x∈
/A
şeklinde tanımlanır. Bu fonksiyona ait bazı özellikler aşağıdaki şekildedir:
A∩B = A .B , A∪B = A + B − A .B , ve Ac = 1 − A .
Herhangi bir A ⊂ E kümesi verilsin. A × A nın bir R alt kümesine bir bağıntı
denir. Notasyonel olarak (x, y) ∈ R elemanını x ∼ y ile ifade edeceğiz. ∼ bağıntısı
aşağıdaki  özelliği de sağlıyorsa bu bağıntıya eşdeğerlik bağıntısı denir.
. (Yansıma) ∀x ∈ A, x ∼ x
. (Simetrik) x ∼ y ise, y ∼ x
. (Geçişme) x ∼ y ve y ∼ z ise, x ∼ z
A üzerinde bir ∼ eşdeğerlik bağıntısı A yı (ayrık) eşdeğerlik sınıflarına parçalar.
Verilen bir x ∈ A elemanının eşdeğerlik sınıfı x̂ = {z : z ∼ x} şeklindedir
(yani, A nın x
Se eşdeğer olan tüm elemanlarının kümesi). Şu halde, x ∈ x̂ dir ve
böylece A = x∈A x̂ dir. Bu birleşim ayrık bir birleşimdir (Göster!). Bu şekilde
elde edilen tüm eşdeğerlik sınıflarının kümesi A/ ∼ ile gösterilir.
. Sayılabilirlik
Herhangi bir A kümesi ile N doğal sayılar kümesinin bir alt kümesi arasında birebir bir tekabül kurulabiliyorsa A ya sayılabilirdir denir. Böyle bir tekabül kurulamıyorsa kümeye sayılamaz denir. Sayılabilir kümelerin sayılabilir birleşimleri
de sayılabilirdir (Göster!). Dahası, Q rasyonel sayılar kümesi sayılabilirdir. Buna
karşın Cantor, R nin sayılamaz olduğunu göstermiştir. Bunu göstermek için [0, 1]
. R içinde kümelerin topolojik özellikleri

kapalı aralığının sayılamazlığını göstermemiz yeterlidir (Neden?). Gerçekten,
[0, 1] aralığı sayılabilir olsaydı, bu aralığın elemanlarını xn = 0.an1 an2 an3 ...ann ...
olacak şekilde bir (xn ) dizisi şeklinde gözönüne alabilirdik. Burada aij ler rakamlardan oluşmaktadır. Bu durumda,
x1 = 0.a11 a12 a13 ...
x2 = 0.a21 a22 a23 ...
x3 = 0.a31 a32 a33 ...
...........................
olur. Şimdi bn rakamlarını ann lerden farklı olacak şekilde seçersek, y = 0.b1 b2 b3 ...
şeklinde [0, 1] aralığına ait bir y eleman bulurduk ki bu eleman xn lerden farklıdır
ve dolayısıyla çelişki elde ederiz.
Q sayılabilirdir ve sayılabilir kümelerin birleşimi de sayılabilir olduğundan,
R r Q sayılamazdır.
. R içinde kümelerin topolojik özellikleri
Bir A ⊂ R alt kümesi verilsin. Eğer A, S
açık aralıkların bir birleşimi ise, yani
açık aralıkların (Iα )α∈Λ ailesi için, A = α∈Λ Iα ise, A ya açık küme denir.
Bütünleyeni açık olan kümeye kapalı küme denir. Rn (n > 1) deki açık kümeler,
aralıkların n defa çarpımlarının birleşimi şelindedir.
Sonlu sayıda açık kümenin arakesiti de açıktır. Bununla birlikte, sayılabilir
sayıda açık kümenin arakesiti açık
T∞ olmak zorunda değildir. Örneğin, n > 1
olmak üzere, An = (− n1 , 1) için, n=1 An = [0, 1) açık değildir.
f : R → R bir fonksiyon olmak üzere, her açık A ⊂ R alt kümesi için,
f −1 (A), R de açık ise f fonksiyonuna süreklidir denir. Kapalı ve sınırlı bir küme
üzerinde tanımlı her sürekli reel fonksiyon, bu küme üzerinde bir maksimum ve
bir minimum değere sahiptir (Göster!). Örneğin, eğer f : [a, b] → R fonksiyonu
sürekli ise, öyle xmax , xmin ∈ [a, b] noktaları vardır ki, M = sup{f (x) : x ∈
[a, b]} = f (xmax ) ve m = inf{f (x) : x ∈ [a, b]} = f (xmin ) dir. Ara değer
teoreminden bildiğimiz gibi, her sürekli fonksiyon tüm ara değerlerini uç noktalar
arasında alır. Yani, her y ∈ [m, M ] için öyle bir θ ∈ [a, b] vardır ki y = f (θ) dır.
(xn ) ⊂ R herhangi bir dizi olsun.
(xn ) nin üst limiti
lim sup xn := inf{ sup xm : n ∈ N}
n→∞
m>n

 Ön Bilgiler
(xn ) nin alt limiti
lim inf xn := sup{ inf xm : n ∈ N}
n→∞
m>n
şeklinde tanımlanır. (xn ) dizisinin yakınsak olması için gyk alt ve üst limitlerin
birbirine eşit olmasıdır (Göster!) ve bunların ortak değeri bu dizinin limitidir.
Eğer her ε > 0 sayısına karşılık öyle bir N ∈ N vardır ki her n > N için
|xn − x| < ε oluyorsa, (xn ) dizisi yakınsaktır denir. x noktasına bu dizinin
limiti denir ve limn→∞ xn = x yazılır.
Pn
(xn ) dizisinin kısmi toplamlar dizisi olan sn =
k=1 xk yakınsak ise
PEğer
∞
x
serisine
yakınsaktır
denir
ve
bu
durumda
kısmi
toplamlar dizisinin
n
n=1
limiti bu serinin toplamıdır.
. Riemann integrali
Bu kısımda Analiz’den bildiğimiz Riemann integralinin kısa bir tekrarını yapıp
bazı (daha ileri) durumlarda neden yatersiz kaldığına dair sebepleri göreceğiz.
f : [a, b] → R sınırlı bir fonksiyon olsun.
[a, b] aralığının, a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b olmak üzere, sonlu bir
P = {x0 , x1 , x2 , ..., xn } alt kümesini gözönüne alalım. Bu P alt kümesine [a, b]
aralığının bir parçalanışı denir.
P parçalanışı, sırasıyla,
U (P, f ) =
n
X
i=1
Mi 4xi ve L(P, f ) =
n
X
mi 4xi
i=1
üst ve alt Riemann toplamlarını doğurur. Burada 4xi = xi − xi−1 , her
1 6 i 6 n için, alt aralıkların uzunlukları, ve her bir i 6 n için, Mi =
supai−1 6x6ai f (x) ve mi = inf ai−1 6x6ai f (x) dir. (Not: Mi ve mi ler daima
mevcutturlar zira f , her bir [ai−1 , ai ] aralığı üzerinde sınırlıdır.)
f nin Riemann integralini tanımlamak için öncelikle verilen herhangi bir P
parçalanışı için L(P, f ) 6 U (P, f ) olduğunu ve daha sonra P yi kapsayan herhangi bir P 0 parçalanışı için L(P, f ) 6 L(P 0 , f ) ve U (P 0 , f ) 6 U (P, f ) olduğunu
göstermemiz gereklidir. Sonunda, herhangi iki P1 ve P2 parçalanışları için P1 ∪P2 ,
P1 ve P2 yi kapsayan bir parçalanış olduğundan herhangi iki P ve Q parçalanışları
için L(P, f ) 6 U (Q, f ) olduğu görülür. Böylece {L(P, f ) : P, [a, b] nin bir parçalanışı}
kümesi R de üstten sınırlıdır, ve bu kümenin supremumuna f nin [a, b] üzRb
erinde a f alt integrali denir. Benzer şekilde, üst toplamların kümesinin infimumuna
Rb
af
üst integrali denir. Eğer bu iki sayı eşit oluyorsa, bu durumda
. Riemann integrali

f fonksiyonuna [a, b] üzerinde Riemann anlamında integrallenebilir denir.
Rb
Bu sayıların ortak değerine f nin Riemann integrali denir ve a f (x)dx ile
gösterilir.
Bu tanım, bazı fonksiyonların integrallenebilirliğini kontrol etmek için uygun
bir kriter değildir ancak aşağıda bunun için uygun bir kriter vardır.
Teorem (Riemann kriteri). f : [a, b] → R fonsiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk her ε > 0 için öyle bir Pε parçalanışı
vardır ki U (Pε , f ) − L(Pε , f ) < ε olmasıdır.
√
R1
Örnek. f (x) = x için 0 f (x)dx integralini hesaplayalım.
[0, 1] aralığının parçalanışlarının bir dizisi olarak Pn = {0, ( n1 )2 , ( n2 )2 , ..., ( ni )2 , ..., 1}
dizisini seçelim. Bu durumda,
U (Pn , f ) =
L(Pn , f ) =
n
X
i
n
i
i−1 2
1 X 2
( )[( )2 − (
) ]= 3
(2i − i)
n n
n
n i=1
i=1
n
X
i−1
(
i=1
n
i
i−1 2
1 X 2
)[( )2 − (
) ]= 3
(2i − 3i + 1)
n
n
n
n i=1
U (Pn , f ) − L(Pn , f ) =
n
1
1 X
(2i − 1) =
n3 i=1
n
bulunur. n yi yeterince büyük seçerek bu farkı verilen herhangi bir ε > 0 sayısından küçük yapabiliriz. Bu ise bize f nin integrallenebilir olduğunu gösterir.
Ayrıca integralin sonucu 23 tür çünkü kolayca görülebileceği gibi U (Pn , f ) ve
L(Pn , f ) bu değere yakınsarlar.
Not. Her sınırlı monoton fonksiyon ve her sürekli fonksiyon Riemann integrallenebilirdir. (Göster!)
Teorem (İntegral Hesabın Esas Teoremi). f : [a, b] → R fonksiyonu
sürekli olsun. Eğer F : [a, b] → R fonksiyonunun türevi (a, b) de f ise, F (b) −
Rb
F (a) = a f (x)dx dir.
Rx
Burada F fonksiyonuna f nin ilkeli denir ve F (x) = −a f (x)dx yazılır.
Sınırlı f : [a, b] → R fonksiyonunu [a, b] deki sonlu sayıdaki nokta dışında
sürekli olarak alırsak, f Riemann anlamında integrallenebilir olur. Gerçekten,
aralığı f nin sürekli olduğu alt aralıklara parçalarsak, f her bir aralıkta integrallenebilir olur ve dolayısıyla bütün aralıkta integrallenebilir olur. Buna bir örnek
olarak,
§
1 ; x = a1 , ..., an
f (x) =
0 ; x ∈ [0, 1] r {a1 , ..., an }

 Ön Bilgiler
fonksiyonu gösterilebilir. Bu fonksiyon [0, 1] üzerinde integrallenebilirdir ve integrali 0 a eşittir.
Bununla birlikte, ileride, Lebesgue ölçüsünü ve "hemen hemen her yerde"
kavramlarını tanımlayarak, "Sınırlı bir f : [a, b] → R fonksiyonunun Riemann anlamında integrallenebilir olması için gyk f in, [a, b] aralığının Lebesgue ölçüsüne
göre hemen hemen her noktasında sürekli olmasıdır" şeklindeki sonucu kanıtlayacağız. Bu sonuçtan yararlanarak, örneğin Dirichlet fonksiyonu olarak bilinen
§
f (x) =
1
n
;
0 ;
x= m
n ∈Q
x∈RrQ
fonksiyonunun [0, 1] aralığında Riemann anlamında integrallenebilir olduğunu
gösterebileceğiz. Burada şunu belirtmek gerekir ki, f nin rasyonel olmayan noktalarda sürekli ve her rasyonel noktada süreksiz olduğu (Göster!) aşikar olmakla
birlikte bu fonksiyonun, Riemann integralinin tanımını kullanarak integralini
almak mümkün değildir (Lütfen deneyiniz).
Şimdi, bu dersin amacının integrasyon kavramının Lebesgue teorisini ortaya
koymak olduğundan, yeni bir integrasyon teorisine neden ihtiyaç duyduğumuzu
ortaya koymamız gerekir. Yani yukarıda anlattığımız Riemann integralinin yetersiz kaldığı durumu anlamamız gerekiyor. Bunun için bir çok sebep sayılabilir.
Biz bunlardan birini anlatmağa çalışalım.
Öncelikle Riemann integrali aralıklara bağlıdır. Ancak daha genel kümeler üzerinde ya da dağınık duran ayrık olmayan bir çok aralığın birleşimi veya başka
bir şekli üzerinde integrali almak her zaman mümkün olmayabilir. Örneğin, [0, 1]
aralığındaki rasyonel sayılar kümesinin Q işaret fonksiyonu için alt ve üst Riemann toplamlarını gözönüne alalım. [0, 1] aralığını parçaladığımızda herbir alt
aralık mutlaka rasyonel ve irrasyonel noktalar içerir. Şu halde, herbir üst toplam
 ve herbir alt toplam da  olur. Böylece bu fonksiyonun [0, 1] aralığı üzerinde
Riemann anlamında integrali yoktur.
Ölçü, R de uzunluk kavramının, R2 de alan kavramının, R3 te ise hacim
kavramının, genelleştirilmesidir. Bu dersin amacı Lebesgue integrali kavramını
tanımak olacaktır. Bu kavramı  aşamada tanıyacağız: Öncelikle ölçü kavramı
ve ölçülebilir kümeleri, daha sonra ölçülebilir fonksiyonları ve nihayet ölçülebilir
fonksiyonların integralini vereceğiz.
Riemann integralinde [a, b] aralığı aralıklara ayrılırken ve nokta seçerken fonksiyon
hiç kullanılmıyor. Buna karşın Lebesgue integralinde aralığı verilen fonksiyona
göre ayrı ayrı kümelere ayırıyoruz. Yani Riemann integralinde aralığın parçalanması fonksiyondan bağımsız olarak yapılmaktadır. Ayrıca bu parçalanış herhangi
alt kümeler olarak değil sıralanmış alt aralıklar olarak seçilmektedir. Buna karşın
. Riemann integrali

Lebesgue integralinde aralık, fonksiyonun değerlerine bağlı olarak, sıralanmış alt
aralıklara değil, kümelere ayrılır. Örneğin, aralık, [a, b] = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An
şeklinde kümelerin bir ayrışımına sahip olsun. Her bir
PnAi kümesinden rasgele ci
noktalarını seçelim. Bu durumda Riemann toplamı, i=1 f (ci )4Ai şeklinde olacaktır. Burada 4Ai , Riemann ile karşılaştırdığımızda Ai kümelerinin uzunluğu
olmalıdır. Ancak bir kümenin uzunluğunun ne olduğu hakkında hiç bir bilgimiz
bulunmamaktadır. Bilindiği gibi uzunluk kavramı sadece aralıklar için tanımlıdır. Bu nedenle uzunluk kavramının genelleştirilmesi olarak ölçü kavramını
vereceğiz.
§
D(x) =
1 ;
0 ;
x∈Q
x∈RrQ
fonksiyonunu
Pngözönüne alalım. Bu fonksiyonun hiç bir yerde sürekli değildir
(Göster!).
i=1 D(ci )4xi toplamının limiti ci noktalarının seçimine bağlıdır.
Gerçekten,
ci ∈ Q ⇒
n
X
D(ci )4xi =
i=1
n
X
Z
D(ci )4xi = 1 ⇒
i=1
ci ∈ R r Q ⇒
n
X
i=1
Z
D(ci )4xi = 0 ⇒
1
D(x)dx = 1
0
1
D(x)dx = 0
0
olur. Sonuçta integral toplamının limiti ci lerin seçimine bağlıdır. Dolayısıyla
tanımdan dolayı D(x) fonksiyonunun Riemann integrali yoktur. Bu fonksiyonun
Lebesgue integralini vermek için aralığın başka türlü bir parçalanışını seçmeliyiz.
Örneğin bu aralığı, bu aralığa ait rasyonel irrasyonel noktaların birleşimi olarak
alalım. Bu durumda integral toplamı, c1 irrasyonel ve c2 rasyonal olmak üzere,
D(c1 ).4(R r Q) + D(c2 ).4(Q)
şeklinde olur. Burada 4(R r Q) ve 4(Q) yerine ne yazacağımızı bilmiyoruz.
Dolayısıyla, rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin ölçülerini belirlememiz gerekir.
Sonuç olarak bir kümenin ölçüsü ne demektir, öncelikle bunu tanımlamamız
gerekir.
 Ölçü Kavramı
Önceki bölümde sözünü ettiğimiz gibi, örneğin Q ya da R r Q gibi kümeler
aralıklardan çok daha farklı kümelerdir ve bunların uzunluklarını nasıl ölçebileceğimiz pek açık değildir. Bu bölümün amacı herhangi bir küme üzerinde ölçü
kavramını vermek olacaktır. Bunun için öncelikle reel sayılardaki sınırlı aralıklarının uzunluğunu verme
R de ölçü, uzunluk kavramının genelleştirilmesi olduğundan R deki kümeleri
iki sınıfa ayırabiliriz:
. Uzunluğu belli olan kümeler sınıfı -ki bunlar aralıklardır-. Bu gruptaki
kümelerin ölçüsünü uzunluğuna eşit kabul ediyoruz.
. Aralıklar sınıfının dışındaki kümeler. Bu gruptaki kümelerin ölçüsünü aralıklar yardımıyla buluyoruz.
I, R de herhangi bir sınırlı aralık (yani I = [a, b], (a, b], [a, b) veya (a, b)) olmak
üzere, I aralığının uzunluğu `(I) = b − a olarak tanımlanır.
Her nokta bir aralıktır ve uzunluğu sıfırdır. Gerçekten, [a, b] aralığında a = b
seçersek aralık {a} noktasına denk gelir. Dahası, `({a}) = `([a, a]) = 0 elde
edilir. Dolayısıyla sonlu kümelerin de uzunluğu sıfırdır.
R de bir kümeyi aşikar olmayan bir takım aralıklara bölmemiz her zaman
mümkün olmayabiliyor. Bu nedenle bu kümeyi örten bir takım (hatta sayılabilir sayıda) aralıkların bir sistemini gözönüne alabiliriz. Buradan yola çıkarak,
aşağıda verilen tanım ile ölçü yolculuğumuza başlayabiliriz.
. Ölçüsü sıfır olan kümeler
Tanım ... A ⊆ R alt kümesi verilsin. Verilen herhangi bir ε > 0 sayısına
karşılık,
A⊆
∞
[
n=1
In ve
∞
X
`(In ) < ε
n=1
olacak şekilde aralıkların bir {In : n > 1} dizisi bulabiliyorsa A kümesine ölçüsü
sıfır olan küme ya da kısaca sıfır kümesi denir.


 Ölçü Kavramı
Açıklama ... Üstteki tanımda aralıklar olarak açık, kapalı ya da yarı-açık
aralılar alınabilir.Ayrıca, aralıkların ayrık olmaları gerekmez. Şu halde, tanımdan
boş kümenin bir sıfır kümesi olduğu kolaylıkla görülebilir.
Örnek ... Tek-elemanlı kümeler sıfır kümesidir. Gerçekten, εP> 0 verilsin.
∞
I1 = (x − 4ε , x + 4ε ) ve n > 2 için In = [0, 0] alalım. Bu durumda, n=1 `(In ) =
ε
`(I1 ) = 2 < ε bulunur.
Daha genel olarak, herhangi bir sayılabilir A = {x1 , x2 , ...} kümesi sıfır kümesidir. Aslında, aralıkları In = [xn , xn ] alarak bunu göstermek mümkündür. Ancak biz bunu, A kümesini örten aralıkları açık aralıklar alarak göstereceğiz.
Şimdi, ε > 0 verilsin ve A kümesini örten aralıların dizisini aşağıdaki şekilde
alalım:
ε
ε 1
ε
I1 = (x1 − , x1 + ) , `(I1 ) = . 1
8
8
2 2
ε
ε 1
ε
I2 = (x2 − , x2 + ) , `(I2 ) = . 2
16
16
2 2
ε
ε
ε 1
I3 = (x3 − , x3 + ) , `(I3 ) = . 3
32
32
2 2
...
...
ε
ε 1
ε
In = (xn −
, xn +
) , `(In ) = . n
2.2n
2.2n
2 2
P∞
1
n=1 2n
= 1 olduğundan,
P∞
n=1
`(In ) =
ε
2
< ε bulunur.
Yukarıdaki örnekteki A kümesi, sayılabilir sayıda tek-elemanlı kümenin birleşimi şeklindedir. Tek-elemanlı kümeler sıfır kümelerdir ve A kümesi de sıfır
kümesi olmaktadır. Bu durumu aşağıdaki teorem ile genelleştirebiliriz.
Teorem
S∞ ... {Nn }n>1 sıfır kümelerin bir dizisi ise, bunların birlesimi olan
N = n=1 Nn kümesi de sıfır kümesidir.
Sayılabilir kümeler sıfır kümeler olmakla birlikte, sayılamayan kümeler için
aynı şeyi söyleyemeyiz. Buna karşın, sayılamayan sıfır kümeleri mevcuttur. Bununla
ilgili Cantor kümesi olarak bilinen aşağıdaki örneği verebiliriz.
Örnek ... [0, 1] aralığını üç eşit parçaya bölelim ve ortadaki ( 31 , 23 ) aralığını
atarak elde ettiğimiz kümeye C1 diyelim. Bu durumda, C1 = [0, 13 ] ∪ [ 23 , 1] olur.
Daha sonra C1 deki iki aralığı da üçer eşit parçaya bölelim ve ortalarındaki
aralıkları atalım ve geri kalan kümeye C2 diyelim. Bu durumda C2 , uzunlukları
1
9 olan dört tane aralıktan oluşur. Bu şekilde devam ederek, herbirinin uzunluğu
1
n
3n olan 2 tane ayrık kapalı aralıkların birleşimi olan Cn kümesini elde ederiz.
. Dış ölçü

Kolayca görülebileceği gibi, Cn kümesinin toplam uzunluğu ( 23 )n dir. Cn lerin
arakesiti olan
C=
∞
\
Cn
n=1
kümesine Cantor kümesi denir. Cantor kümesi sayılamazdır (Göster!) ve sıfır
kümesidir. Gerçekten, verilen herhengi bir ε > 0 sayısına karşılık yeterince büyük
n için ( 32 )n < ε dur. C ⊆ Cn ve Cn kümeleri, toplam uzunlukları ε dan küçük
olan aralıkların sonlu bir dizisi olduğundan, C nin sıfır kümesi olduğu görülür.
. Dış ölçü
Tanım ... A ⊆ R alt kümesi verilsin.
∞
X
ZA = {
`(In ) : In ler aralıklar, A ⊆
n=1
∞
[
In }
n=1
olmak üzere, m∗ (A) = inf ZA sayısına A kümesinin (Lebesgue) dış ölçüsü
denir.
Herhangi bir A ⊆ R alt P
kümesi için m∗ (A) > 0 dır. Bazı A alt kümeleri için, A
∞
nın her örtülüşüne karşın n=1 `(In ) serisi ıraksak olabileceğinden, m∗ (A) = ∞
olabilir.
ZA kümesi 0 ile alttan sınırlıdır. Dolayısıyla, sözü edilen infimum daima mevcuttur. Eğer r ∈ ZA ise, [r, +∞] ⊆ ZA dır. Şu halde ZA , ya {+∞} ya da bir
x real sayısı için (x, +∞] veya [x, +∞] aralığıdır. Dolayısıyla, ZA nın infimumu
sadece x olur.
Teorem ... A ⊆ R alt kümesinin sıfır kümesi olması için gyk m∗ (A) = 0
olmasıdır.
Üstteki teoremdem, m∗ (∅) = 0, her x ∈ R için m∗ ({x}) = 0, m∗ (Q) = 0,
ve daha genel olarak, X sayılabilir bir küme olmak üzere, m∗ (X) = 0 olduğu
görülür.
Aşağıdaki teoremden görülebileceği gibi dış ölçü monotondur.
Teorem ... A ⊂ B ise, m∗ (A) 6 m∗ (B) dır.
Teorem ... Bir aralığın dış ölçüsü uzunluğuna eşittir.

 Ölçü Kavramı
Teorem ... Dış ölçü sayılabilir alttoplamsaldır; yani, herhangi bir {En }
kümeler dizisi için,
m∗ (
∞
[
n=1
En ) 6
∞
X
m∗ (En )
n=1
dir.
Problem ... m∗ (A) = 0 ise, her B için, m∗ (A∪B) = m∗ (B) dir. Gösteriniz.
Problem ... Eğer m∗ (A4B) = 0 ise, m∗ (A) = m∗ (B) dir. Gösteriniz.
Önerme ... Her A ⊆ R alt kümesi ve her t ∈ R reel sayısı için,
m∗ (A) = m∗ (A + t)
dir.
. (Lebesgue anlamında) Ölçülebilir kümeler ve
Lebesgue ölçüsü
Tanım ... E ⊆ R alt kümesi verilsin. Her A ⊆ R için,
m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c )
ise, E kümesine (Lebesgue anlamında) ölçülebilirdir denir ve E ∈ M
yazılır.
Herhangi A ve E kümeleri için daima A = (A ∩ E) ∪ (A ∩ E c ) dır. Şu halde,
dış ölçünün alttoplamsallık özelliğinden (bkz. Teorem ..),
m∗ (A) 6 m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c )
olur. Dolayısıyla, bir kümenin ölçülebilirliğini aşağıdaki şekilde test etmemiz
yeterli olacaktır:
"E ∈ M olması için gyk her A ⊆ R için m∗ (A) > m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E c )
olmasıdır."
Teorem ...
(i) Her sıfır kümesi ölçülebilirdir.
(ii) Her aralık ölçülebilirdir.
Teorem ...
(i) R ∈ M dir.
. Lebesgue ölçüsünün özellikleri

(ii) E ∈ M ise, E c ∈ M dir.
S∞
(iii) Her n = 1, 2, ... için, En ∈ M ise, n=1 En ∈ M dir.
Dahası, her n = 1, 2, ... için, En ∈ M ve j 6= k için Ej ∩ Ek = ∅ ise,
m∗ (
∞
[
En ) =
n=1
∞
X
m∗ (En )
(..)
n=1
dir. (Sayılabilir toplamsallık özelliği)
Açıklama ... Üstteki teorem bu bölümün en önemli teoremidir ve bundan
sonrakilere de temel teşkil etmektedir. X herhangi bir küme olmak üzere X in alt
c
kümelerinin bir alt ailesi
S∞ C olsun. Eğer (i) X ∈ C, (ii) C ∈ C için C ∈ C ve (iii)
C1 , C2 , ... ∈ C için n=1 Cn ∈ C ise, C ailesine bir σ-cismi denir. Dolayısıyla,
teoremdeki (i), (ii) ve (iii) özelikleri ile birlikte M ailesi bir σ-cismidir. Bir σcismi üzerinde tanımlı [0, ∞]-değerli µ fonksiyonu, ikişer ikişer ayrık kümeler
için sayılabilir toplamsallık özelliğine sahip (yani (..) eşitliğini sağlıyor) ise,
bu fonksiyona bir ölçü denir. Bu durumda, (X, C, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı
denir. Şu halde, (R, M, m∗ ) bir ölçü uzayıdır.
Önerme ... k = 1, 2, ... için Ek ∈ M ise, E =
T∞
k=1
Ek ∈ M dir.
Tanım ... Herhangi bir E ∈ M için, m∗ (E) yerine m(E) yazacağız ve m(E)
ye de Lebesgue ölçüsü diyeceğiz.
Dolayısıyla, m : M → [0, ∞] Lebesgue ölçüsü, ölçülebilir M σ-cismi üzerinde
tanımlı sayılabilir toplamsal küme fonksiyonudur. Bir aralığın Lebesgue ölçüsü
uzunluğuna eşittir. Bir sıfır kümenin Lebesgue ölçüsü sıfırdır.
. Lebesgue ölçüsünün özellikleri
Lebesgue ölçüsü dış ölçünün kümelerin özel bir sınıfına kısıtlanışı olduğundan,
dış ölçünün bazı özellikleri Lebesgue ölçüsü için de geçerlidir:
Önerme ... A, B ∈ M olsun.
(i) A ⊂ B ise, m(A) 6 m(B) dir.
(ii) A ⊂ B ve m(A) sonlu ise, m(B r A) = m(B) − m(A) dır.
(iii) Her t ∈ R için, m(A + t) = m(A) dır.

 Ölçü Kavramı
∅ ∈ M olduğundan, (..) de her i > n için Ei = ∅ alarak, Lebesgue
ölçüsünün toplamsal olduğu sonucunu çıkarabiliriz: Ei ∈ M ler ikişer ikişer
ayrık kümeler ise,
m(
n
[
Ei ) =
n=1
n
X
m(Ei )
n=1
dir.
Problem ... m(A ∪ B) ve m(A ∪ B ∪ C) için birer formül çıkarınız.
Önerme ... A ∈ M ve m(A4B) = 0 ise, B ∈ M ve m(A) = m(B) dir.
Bilindiği gibi R deki her açık küme sayılabilir sayıda açık aralıkların birleşimi olarak yazılabilir. Dolayısıyla, R deki açık kümeler, Lebesgue anlamında
ölçülebilirdir çünkü M ailesi aralıkları içerir ve sayılabilir birlerşimler altında kapalıdır. Aşağıdaki theorem yardımı ile,herhangi bir A ∈ M kümesinin Lebesgue
ölçüsüne, A kümesini içeren açık kümeler dizisinin ölçüleri ile üstten yaklaşabiliriz.
Teorem ... (i) A ∈ M olsun. Herhangi bir ε > 0 sayısına karşılık A
kümesini kapsayan öyle bir O açık kümesi vardır ki m(O) 6 m∗ (A) + ε
dur. Şu halde, herhangi bir E ∈ M için E kümesinin kapsayan öyle bir O
açık kümesi vardır ki m(O r E) < ε dur.
(ii) Herhangi bir A ∈ M için, açık kümelerin On dizisi vardır ki
A⊂
\
On ,
\
m(
On ) = m∗ (A)
n
n
dır.
Teorem ... Her n > 1 için An ∈ M olsun. Bu durumda,
(i) Eğer her n > 1 için An ⊂ An+1 ise,
[
m(
n
An ) = lim m(An )
n→∞
dir.
(ii) Eğer her n > 1 için An+1 ⊂ An ve m(A1 ) sonlu ise,
\
m(
n
dir.
An ) = lim m(An )
n→∞
. Borel kümeleri

Teorem ... (i) m
Yani, ikişer ikişer ayrık (Ai )ni=1
Snsonlu toplamsaldır.
Pn
kümeleri için, m( i=1 Ai ) = i=1 m(Ai ) dir.
(ii) m, boş kümede süreklidir. Yani (Bn ), boş kümeye doğru azalan bir dizi ise,
m(Bn ), sıfıra doğru azalır.
. Borel kümeleri
Teorem ... σ-cisimlerinden oluşan bir ailenin elemanlarının arakesiti de
bir σ-cismidir.
T
Tanım ... B = {F : F , tüm aralıkları içeren bir σ -cismi} ailesi tanımlansın. Bu durumda B, üstteki teoremden, tüm aralıklar tarafından üretilen σcismidir. B ailesinin elemanlarına Borel kümeleri denir. B ailesi, tüm aralıkları içeren en küçük
T σ-cismidir. Daha genel olarak, A kümelerin bir ailesi olmak
üzere, eğer G := {F : F , A ailesini kapsayan bir σ -cismi} ise, G ailesine A
tarafından üretilen σ-cismi denir.
Örnekler . Aşağıdaki örnekler, B σ-cisminin kapanış özelliklerinin, R deki
bilinen kümelerin B ye ait olması ile ilgili, nasıl kullanılabileceklerini göstermektedir.
(i) Tüm aralıklar B ye aittir ve B bir σ-cismi olduğundan, tüm açık kümeler
B ye aittir çünkü herhangi bir açık küme (açık) aralıkların sayılabilir bir
birleşimidir.
(ii) Sayılabilir kümeler Borel kümeleridir çünkü her sayılabilir küme [a, a] şeklindeki kapalı aralıkların sayılabilir bir birleşimidir. Dahası, Doğal sayılar
ve rasyonel sayılar Borel kümeleridir. Şu halde, Borel kümelerinin tümleyenleri de Borel kümeleri olduğundan, irrasyonel sayılar da Borel kümesidir.
Benzer şekilde, sonlu ve tümleyeni sonlu olan kümeler de Borel kümeleridir.
Teorem ... Eğer tüm aralıkların ailesi
kapalı aralıkların, (a, ∞) (veya [a, ∞) veya
aralıkların, tüm açık kümelerin, ya da tüm
bunlar tarafından üretilen σ-cismi B ile aynı
yerine tüm açık aralıkların, tüm
(−∞, b) veya (−∞, b]) şeklindeki
kapalı kümelerin ailesini alırsak,
olur.
Problem ... (a, b] (veya [a, b)) şeklindeki aralıkların ailesinin de Borel kümelerin
σ-cismini ürettiğini gösteriniz.

 Ölçü Kavramı
Açıklama ... M, tüm aralıkları içeren bir σ-cismi olduğundan ve B, bu
şekildeki en küçük σ-cismi cismi olduğundan, B ⊂ M dir. Yani, R deki her
Borel kümesi Lebesgue anlamında ölçülebilirdir. Dolayısıyla, bu şekildeki σcisimlerinin aynı olup olmadığı sorusu ortaya çıkar. Aslında B, M nin öz alt
kümesidir. Teorem .. (ii)Tden, verilen herhangi bir E ∈ M için, On ler açık
kümeler olamak üzere B = n On olacak şekilde öyle bir B ⊃ E Borel kümesi
bulabiliriz ki m(E) = m(B) olur. Dahası, m(B4E)m(B r E) = 0 dır. Böylece
m, ölçülebilir E kümesi ve inşa ettiğimiz B Borel kümesi arasındaki farkı ayırt
edemez. Gördüğümüz gibi, verilen bir Lebesgue anlamında ölçülebilir E kümesine karşılık daima bir B Borel kümesi bulabiliriz ki E4B simetrik farkı sıfır
kümesi olur. E4B ∈ M olduğunu biliyoruz. Ayrıca, açıktır ki, sıfır kümelerin
alt kümeleri de sıfır kümelerdir ve dolayısıyla ölçülebilirdirler yani M dedir.
Bunula birlikte, buradan, her sıfır kümesinin bir Borel kümesi olduğu sonucunu
çıkaramayız (eğer B tüm sıfır kümelerini içermiş olsaydı, Teorem .. (ii) den,
B = M olurdu).
Tanım ... (X, F, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer µ(F ) = 0 olan her F ∈ F ve
her N ⊂ F için N ∈ F (ve dolayısıyla µ(N ) = 0) ise, bu ölçü uzayına tamdır
denir.
Tanım ... Verilen bir µ ölçüsüne göre bir G σ-cisminin tamamlanışı, G yi
içeren en küçük F σ-cismidir öyle ki eğer N ⊂ G ∈ G ve µ(G) = 0 ise, N ∈ F
dir.
Bu tanımlardan yola çıkarak, M, R üzerindeki en küçük σ-cismi olup, m
ölçüsüne göre B nin tamamlanışı olur. Ayrıca, (R, M, m) ölçü uzayı tam olmakla
birlikte, (R, B, m) ölçü uzayı tam değildir.
Önerme ... Bir G σ-cisminin tamamlanışı,
{G ∪ N : G ∈ F, N ⊂ F ∈ F, µ(F ) = 0}
şeklindedir.
Bu Önermeden yola çıkarak, µ ölçüsünü F üzerindeki bir µ ölçüsüne, G ∈ G
için µ(G ∪ N ) = µ(G) yardımıyla, tek bir şekilde genişletebiliriz.
Teorem ... M, B nin tamamlanışıdır.
Teorem ... E ∈ M ise, herhangi bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı
F ⊂ E alt kümesi vardır
ki m(E r F ) < ε olur. Böylece, Fn ler kapalı kümeler
S
olmak üzere, B = n Fn olacak şekilde öyle bir B ⊂ E alt kümesi vardır ki
m(E r B) = 0 olur.
. Borel kümeleri

Problem ... E ∈ M olsun. Aşağıdakilerin eşdeğer olduğunu gösteriniz.
(i) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir açık O ⊃ E kümesi vardır ki m∗ (O r
E) < ε olur.
(ii) Verilen bir ε > 0 sayısı için öyle bir kapalı F ⊂ E kümesi vardır ki m∗ (E r
F ) < ε olur.
Tanım ... µ, B üzerinde tanımlı negatif olmayan sayılabilir toplamsal
küme fonksiyonu olsun. Eğer her B Borel kümesi için
µ(B) = inf{µ(O) : B ⊂ O (açık)}
ve
µ(B) = sup{µ(F ) : F (kapalı) ⊂ B}
ise, µ fonsiyonuna düzenli Borel ölçüsü denir.
Teorem .. ve Teorem .. de, bu ilişkilerin Lebesgue ölçüsü için sağlandığını gösterdik. Düzenli Borel ölçüleri ile ilgili diğer örnekleri daha ileride
göreceğiz.
 Ölçülebilir Fonksiyonlar
. Lebesgue ölçülebilir fonksiyonlar
Tanım ... E ölçülebilir bir küme olsun. f : E → R fonksiyonu verilsin.
Herhangi bir I ⊆ R aralığı için f −1 (I) = {x ∈ R : f (x) ∈ I} ∈ M ise, f fonksiyonuna (Lebesgue-) ölçülebilir denir. Eğer f −1 (I) ∈ B ise, f fonksiyonuna
Borel (ölçülebilir) fonksiyonu denir.
Daha önceden bildiğimiz gibi B ⊂ M olduğundan, her Borel fonksiyonu
ölçülebilirdir.
Teorem ... Aşağıdakiler eşdeğerdir:
(i) f ölçülebilir fonksiyon,
(ii) Her a ∈ R için f −1 ((a, ∞)) ölçülebilirdir,
(iii) Her a ∈ R için f −1 ([a, ∞)) ölçülebilirdir,
(iv) Her a ∈ R için f −1 ((−∞, a)) ölçülebilirdir,
(v) Her a ∈ R için f −1 ((−∞, a]) ölçülebilirdir.
Örnekler . Aşağıdaki fonksiyonlar ölçülebilirdir:
(i) Sabit fonksiyonlar.
(ii) Sürekli fonksiyonlar.
(iii) Bir A kümesinin işaret fonksiyonu.
Problem ... Her monoton fonksiyonun ölçülebilir olduğunu gösteriniz.
Problem ... f ölçülebilir bir fonksiyon ise, her a ∈ R için {x : f (x) = a}
(seviye kümesi) kümesinin ölçülebilir olduğunu gösteriniz.


 Ölçülebilir Fonksiyonlar
. Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri
Teorem ... Ölçülebilir bir E kümesi üzerinde tanımlı reel-değerli tüm ölçülebilir
fonksiyonların kümesi bir vektör uzayıdır ve çarpma işlemi altında kapalıdır.
Yani, f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ise, f + g ve f g ölçülebilirdirler.
Üstteki teoremin basit bir ispatını aşağıdaki lemma yardımı ile kolayca yapabiliriz. Bunun için, F (u, v) = u + v ve F (u, v) = uv almamız yeterlidir.
Lemma ... F : R × R → R sürekli bir fonksiyon olsun. f g sürekli fonksiyonlar ise, h(x) = F (f (x), g(x)) ölçülebilirdir.
Üstteki teoremin bir uygulaması olarak f A çarpımını gözönüne alabiliriz. f
ölçülebilir bir fonksiyon ve A ölçülebilir bir küme ise, f A çarpımı da ölçülebilirdir.
Ayrıca f A fonksiyonu,
§
f A (x) =
f (x) ; x ∈ A
0 ;
x∈
/A
şeklindedir. Bu fonksiyonu A = {x ∈ E : f (x) > 0} kümesine uygularsak,
ölçülebilir bir fonksiyonun pozitif kısmı olan f + fonksiyonunun da ölçülebilir
olduğu görülür; burada
f + (x) =
§
f (x) ; f (x) > 0
0 ;
f (x) 6 0
şeklindedir. Benzer şekilde, ölçülebilir f fonksiyonunun negatif kısmı olan f −
fonksiyonu da ölçülebilirdir; burada
−
f (x) =
§
0 ;
f (x) > 0
−f (x) ; f (x) 6 0
şeklindedir.
Önerme ... E ⊂ R ölçülebilir olsun.
(i) f : E → R fonksiyonunun ölçülebilir olması için gyk f + ve f − fonksiyonlarının ölçülebilir olmasıdır.
(ii) f ölçülebilir ise, |f | ölçülebilirdir; ancak tersi her zaman doğru değildir.

. Ölçülebilir fonksiyonların özellikleri
Problem ... f ölçülebilir fonksiyon ise, f nin trankasyonu olan
f a (x) =
§
a ;
f (x) ;
f (x) > a
f (x) 6 a
fonksiyonun da ölçülebilir olduğunu gösteriniz.
Problem ... Karesi ölçülebilir olup kendisi ölçülebilir olmayan bir fonksiyon
örneği veriniz.
Tanım ... f : E → R ölçülebilir fonksiyon olsun.
(i) Esaslı supremum: ess sup f = inf{z : f 6 z h.h.}
(ii) Esaslı infimum: ess inf f = sup{z : f > z h.h.}
ess sup f = +∞ olabilir. Eğer ess sup f = −∞ ise, f = −∞ h.h. olur çünkü
esaslı supremum tanımından her n ∈ N için f 6 −n h.h. dir. Eğer ess sup f < ∞
ve A = {x : ess sup f < f (x)} ise, n ∈ N için An = {x : ess sup f < f (x) − n1 }
tanımlansın.
Bu durumda, her n için An ler sıfır kümeleridir, ve dolayısıyla
S
A = n An de sıfır kümesidir. Şu halde, f 6 ess sup f h.h. bulunur. Buradan
yola çıkarak aşağıdaki önermeyi kolaylıkla ispatlayabiliriz.
Önerme ... f ve g ölçülebilir fonksiyonlar ise,
ess sup(f + g) 6 ess sup f + ess sup g
dir.
Problem ... f fonksiyonu ölçülebilir ise, ess sup f 6 sup f olduğunu gösteriniz. Ayrıca, f sürekli ise, bunların eşit olacağını ispatlayınız.
 Lebesgue İntegrali
. Tanım
ϕ : R → R, en fazla sayılabilir sayıda değere sahip yani değer kümesi {a1 , a2 , ...}
biçiminde olan bir fonksiyon olsun. Eğer
Ai := ϕ−1 ({ai }) = {x : ϕ(x) = ai } ,
i>1
kümeleri ölçülebilir ise, ϕ fonksiyonuna basit fonksiyon denir. Burada dikkat
edilecek olursa Ai ∈ M kümeleri ikişer ikişer ayrıktır ve birleşimleri R dir.
Açıktır ki,
ϕ(x) =
∞
X
ai Ai (x)
i=1
biçimde yazılabilir ve dolayısıyla, Teorem .. den, her basit fonksiyon ölçülebilirdir.
Tanım ... Basit ϕ fonksiyonunun ölçülebilir bir E kümesi üzerinde Lebesgue
integrali
Z
ϕdm =
E
∞
X
ai m(Ai ∩ E)
i=1
biçimindedir. Burada, m(Ai ) = +∞ olabileceğinden dolayı, 0 × ∞ = 0 olduğu
kabul edilmektedir.
Örnek ...
§
Q (x) =
1 ;
0 ;
x∈Q
x∈RrQ
işaret fonksiyonu basit fonksiyondur. Ayrıca, Q sıfır kümesi olduğundan,
Z
R
Q dm = 1.m(Q) + 0.m(R r Q) = 0
bulunur. Daha önceden bilidiğimiz gibi bu fonksiyon Riemann integrallenebilir
değil idi. Benzer şekilde, C Cantor kümesi olmak üzere, C fonksiyonunun integrali yine sıfırdır.


 Lebesgue İntegrali
Problem ... Aşağıdaki fonksiyonların E üzerinde integrallerini hesaplayınız.
(a) ϕ(x) = [|x|], E = [0, 10],
(b) ϕ(x) = [|x2 |], E = [0, 2],
(c) ϕ(x) = [| sin x|], E = [0, 2π],
 yılında Henri Lebesgue, basit fonksiyonlar için verilen integral kavramını
daha genel fonksiyonlara genişletmek için, sınırlı bir f fonksiyonunun tanım
bölgesini çok sayıda küçük aralıklara parçalamak yerine, f in değer bölgesini
Ai = [ai−1 , ai ) biçiminde sonlu sayıda aralığa parçaladı ve f in grafiği olan
eğrinin altında kalan alana, sırasıyla,
S(n) =
n
X
ai m(f −1 (Ai ))
i=1
üst toplamı ve
s(n) =
n
X
ai−1 m(f −1 (Ai ))
i=1
alt toplamı ile yaklaştı; bu durumda, integrallenebilir fonksiyonlar, Riemann
integralinde olduğu gibi, tüm üst toplamların infimumunun tüm alt toplamların
supremumuna eşit olması özelliğine sahip olmuş oldu.
Tanım ... Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonunun E ∈ M
kümesi üzerinde Lebesgue integrali
Z
f dm = sup Y (E, f )
E
ile tanımlanır. Burada,
Z
Y (E, f ) = {
ϕdm : 0 6 ϕ 6 f, ϕ basit fonksiyon }
E
dir.
Eğer E = [a, b] ise, bu durumda integrali
Z
Z
b
a
Z
b
f dm,
f (x)dm(x), veya
a
b
f (x)dx
a
. Tanım

R
R
şeklinde yazarız. f dm notasyonu, R f dm anlamında kullanılacaktır.
Açıktır ki, A ∈ M ve g negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere,
eğer Ac üzerinde g = 0 ise, g den küçük kalan negatif olmayan her basit fonksiyon
Ac üzerinde yine sıfırdır. Bu durumu g = f.A eşitliğine uygularsak, aşağıdaki
önemli eşitliği elde ederiz:
Z
Z
f dm =
f A dm.
A
Problem ... f : [0, 1] → R fonksiyonu, Cantor kümesi üzerinde f (x) = 0 ve
[0, 1] aralığından çıkarılarak elde edilen herbirinin uzunluğu 31k olan aralıklardaki
R1
her x için f (x) = k olacak şekilde tanımlansın. 0 f dm integralini hesaplayınız.
Önerme ... Basit fonksiyonlar için, Tanım .. ve Tanım .. tanımları
birbirine denktir.
Teorem ... ϕ ve ψ basit fonksiyonlar olsun.
(i) Eğer ϕ 6 ψ ise,
R
E
R
ϕdm 6
E
ψdm,
(ii) Eğer A, B ∈ M ve A ∩ B = ∅ ise,
Z
Z
Z
ϕdm =
ϕdm +
A∪B
(iii) Her a > 0 sabiti için,
R
E
ϕdm,
A
aϕdm = a
B
R
E
ϕdm.
Teorem ... f ve g negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olsun.
(i) Eğer A ∈ M ve A üzerinde f 6 g ise,
R
A
f dm 6
R
A
gdm.
(ii) Eğer A, B ∈ M ve B ⊆ A ise,
Z
Z
f dm 6
B
(iii) a > 0 için,
R
A
af dm = a
(iv) Eğer A sıfır kümesi ise,
R
A
f dm.
A
f dm = 0.
R
f dm.
A
(v) Eğer A, B ∈ M ve A ∩ B = ∅ ise,
Z
Z
f dm =
A∪B
Z
f dm +
A
f dm.
B

 Lebesgue İntegrali
Problem ... Lebesgue integrali için ortalama
değer teoremini ispatlayınız.
R
Yani, x ∈ A için a 6 f (x) 6 b ise, a.m(A) 6 A f dm 6 b.m(A).
Teorem ...
R f negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon olsun. f = 0 h.h.
olması için gyk R f dm = 0 olmasıdır.
Önerme ... f ve g ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda,
Z
f 6 g h.h. ⇒
Z
f dm 6
gdm.
Önerme ... f : R → R fonksiyonunun ölçülebilir olması için gyk f + ve
f − fonksiyonlarının ölçülebilir olmasıdır.
. Monoton yakınsaklık teoremleri
Teorem ... (Fatou Lemması) {fn } ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi ise,
Z
lim inf
n→∞
E
Z
fn dm >
E
(lim inf fn )dm.
n→∞
Örnek ... fn = [n,n+1] olsun. Her n için
0(= limn→∞ fn ) olduğundan,
Z
R
fn dm = 1 ve lim inf n→∞ fn =
Z
( lim fn )dm 6= lim
n→∞
fn dm
n→∞
olur. Yani Fatou lemmasındaki eşitsizlik kesin büyük olabilir!
Örnek ... Üstteki örnekte olduğu gibi, kesin büyük olacak şekilde öyle bir
fn fonksiyon dizisi inşa ediniz ki her bir fn , [0, 1] aralığının dışında sıfır olsun.
Teorem ... (Monoton Yakınsaklık Teoremi) {fn } ler negatif olmayan
ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun. Eğer {fn (x) : n > 1}, f (x) fonksiyonuna doğru her x için monoton olarak artıyorsa; yani, noktasal olarak fn % f
ise,
Z
Z
lim
n→∞
dir.
E
fn (x)dm =
f dm
E

. İntegrallenebilir fonksiyonlar
Sonuç ... {fn } ler ve f negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar olsun. Eğer
fRn ler f e doğru
hemen hemen her yerde artıyorsa, her ölçülebilir E kümesi için
R
f
dm
%
f
E n
E dm olur.
Önerme ... Herhangi bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonu için basit
fonsiyonların negatif olmayan bir sn dizisi vardır ki sn % s dir.
. İntegrallenebilir fonksiyonlar
R
E ∈ M ve f herhangi bir ölçülebilir fonksiyon olsun. Eğer E f + dm ve
integralleri sonlu ise, f fonksiyonuna integrallenebilir denir ve
Z
Z
+
f dm =
E
Z
f − dm
E
f − dm
f dm −
E
R
E
ile tanımlanır. E ∈ M kümesi üzerinde integrallenebilir tüm fonksiyonların
kümesi L1 (E) ile gösterilir.
Problem ... (a) E = (0, 1) ve (b) E = (1, ∞) kümeleri üzerinde hangi α
lar için f (x) = xα fonksiyonu L1 (E) dedir?
Problem ... Ölçülebilir f fonksiyonunun integrallenebilir olması için gyk
|f | fonksiyonunun integrallenebilir olduğunu gösteriniz. Ayrıca,
Z
Z
|f |dm =
E
f + dm +
E
Z
f − dm
E
olduğunu gösteriniz.
Problem ... f ve g integrallenebilir fonksiyonlar olsun. Bu durumda,
Z
f 6g⇒
Z
f dm 6
gdm.
Teorem ... f ve g integrallenebilir fonksiyonlar ise, f + g ölçülebilirdir.
Ayrıca,
Z
Z
Z
gdm
f dm +
(f + g)dm =
E
E
E
dir.
Önerme ... f integrallenebilir fonksiyon ve c ∈ R ise,
dir.
R
E (cf )dm
=c
R
E
f dm

 Lebesgue İntegrali
Teorem ... Herhangi bir ölçülebilir E kümesi için, L1 (E) bir vektör uzayıdır.
R
R
Teorem ... Her A
R ∈ M içinR E f dm 6 E gdm ise, f 6 g h.h. dir. Dahası,
eğer her A ∈ M için E f dm = E gdm ise, f = g h.h. dir.
Önerme ... Aşağıdakiler doğrudur:
(i) İntegrallenebilir bir fonksiyon hemen hemen her yerde sonludur.
(ii) A ∈ M ve ölçülebilir f fonksiyonu için,
Z
m(A). inf f 6
A
f dm 6 m(A). sup f
A
A
dir.
(iii) |
R
f dm| 6
(iv) f > 0 ve
R
R
|f |dm dir.
f dm = 0 ise, f = 0 h.h. dir.
Teorem ... f > 0 ise, A 7→
R
A
f dm bir ölçüdür.
. Sınırlı yakınsaklık teoremi
Örnek ... fn (x) = n.[0, n1 ] (x) ise, her x için fn (x) → 0 ve fakat
1 dir.
R
fn (x)dx =
Teorem ... (Sınırlı Yakınsaklık Teoremi) E ∈ M ve {fn } ler ölçülebilir
fonksiyonların bir dizisi olsun öyle ki g, E üzerinde integrallenebilir fonksiyon
olmak üzere, E üzerinde |fn | 6 g h.h. olsun. Eğer f = limn→∞ fn h.h. ise, f ,
E üzerinde integrallenebilirdir ve
Z
Z
lim
n→∞
E
fn (x)dm =
f dm
E
dir.
Örnek ... Üstteki örneğe geri dönersek, fn (x) = n.[0, n1 ] (x) ise, fn den daha
büyük kalacak integrallenebilir bir g fonksiyonu bulunumaz. supn fn (x) = g(x)
1
olup, ( k+1
, k1 ] üzerinde g(x) = k olacağından,
Z
g(x)dx =
∞
X
k=1
∞
k(
X 1
1
1
−
)=
= +∞
k k+1
k+1
k=1
. Sınırlı yakınsaklık teoremi

bulunur.
Buna karşın, 0 < x < 1 için
fn (x) =
n sin x
√
1 + n2 x
R
fonksiyonunu gözönüne alalım. Açıktır ki, fn (x) → 0 dır. limn fn dm = 0
olduğunu gösterebilmemiz için, fn yi domine eden integrallenebilir bir g fonksiyonu bulmamız gereklidir.
|
n sin x
n
n
1
1
√ |6
√ 6 √ 6 √ 6 √ =: g(x)
x
1 + n2 x
1 + n2 x
n2 x
n x
Burada g(x) =
√1
x
fonksiyonunun [0, 1] üzerinde integrallenebilir olduğu açıktır.
Önerme ...
f integrallenebilir;
gn = f.[−n,n] ; hn = min(f, n) olsun. Bu
R
R
durumda, |f − gn |dm → 0 ve |f − hn |dm → 0 olur.
Problem ... Sınırlı yakınsaklık teoremini kullanarak, fn (x) =
üzere,
Z
√
x
1+nx3
olmak
∞
lim
n→∞
fn (x)dx
1
limitini hesaplayınız.
Problem ...
Z
∞
a
2
2
n2 xe−n x
dx
1 + x2
integralinin yakınsaklığını a > 0 ve a = 0 için ayrı ayrı inceleyiniz.
Problem ...
Z
∞
0
1
1
(1 + nx )n x n
dx
integralinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Önerme ... fn ler negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olmak
üzere,
Z X
∞
n=1
dir.
fn dm =
∞ Z
X
n=1
fn dm

 Lebesgue İntegrali
P∞ R
P∞
Teorem ... (Beppo-Levi Teoremi) k=1 |fk |dm sonlu ise, k=1 fk (x)
serisi hemen hemen her x için yakınsak olup, bu toplam integrallenebilirdir ve
Z X
∞
fk dm =
k=1
∞ Z
X
fk dm
k=1
dir.
P∞
R1
log x 2
1
Örnek ... Analiz’den k=1 kxk−1 = (1−x)
2 olduğunu hatırlarsak, 0 ( 1−x ) dx
integralini hesaplayabilmek için Beppo-Levi teoremini kullanabiliriz. n > 1 ve
0 < x < 1 için
fn (x) = nxn−1 (log x)2
dizisini tanımlayalım. Bu durumda, fn > 0 ve fn ler sürekli olup ölçülebilirdirler
ve
∞
X
log x 2
fn (x) = (
) = f (x)
1
−x
n=1
sonlu olur. Beppo-Levi teoreminden bu toplam integrallenebilirdir ve
Z
1
f (x)dx =
0
∞ Z
X
n=1
1
0
fn (x)dx = 2
∞
X
1
n=1
n2
=
π2
3
bulunur.
Problem ... Aşağıdakiler problemleri çözünüz.
P∞
a n
(a) a ∈ R nın hangi değeri için
n=0 n x kuvvet serisi [−1, 1] aralığında
integrallenebilir bir fonksiyon tanımlar?
(b)
R∞
0
x
ex −1 dx
=
π2
6
olduğunu gösteriniz.
. Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki
ilişki
Bu kısımda Riemann integrali ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki irdelenecektir.
Önerme
R x... f : [a, b] → R fonksiyonu sürekli ise, f integrallenebilirdir ve
F (x) = a f dm biçiminde tanımlanan F fonksiyonu a < x < b için türevlenebilir
olup, F 0 = f dir.
. Riemann ile Lebesgue integrali arasındaki ilişki

Önerme ... f : [a, b] → R fonksiyonu sınırlı olsun.
(i) f fonksiyonunun Riemann-integrallenebilir olması için gyk f fonksiyonunun
[a, b] aralığı üzerinde Lebesgue ölçüsüne göre hemen hemen her yerde sürekli
olmasıdır.
(ii) [a, b] aralığı üzerinde Riemann-integrallenebilir fonksiyonlar, [a, b] aralığı
üzerinde Lebesgue ölçüsüne göre integrallenebilirdir ve bu integraller birbirine eşittir.
Örnek ... [0, 1] aralığı üzerinde,
§
f (x) =
1
n
x= m
n ∈Q
x∈
/Q
;
0 ;
Dirichlet fonksiyonu hemen hemen her yerde süreklidir, dolayısıyla Riemannintegrallenebilirdir ve böylece f in Riemann integrali Lebesgue integraline eşittir.
Ayrıca integralin sonucu sıfırdır zira f , Q sıfır kümesi dışında sıfırdır. Buna
karşın, [0, 1] aralığı üzerinde,
§
g(x) =
1 ;
0 ;
x∈Q
x∈
/Q
fonksiyonunun Riemann integrali hiçbir aralıkta yoktur zira bu fonksiyonun
süreksizlik noktalarının kümesi [0, 1] aralığıdır ve bu aralığın ölçüsü > 0 dır.
Bununla birlikte, hatırlanacağı gibi, g(x) fonksiyonunun Lebesgue integrali vardır
ve değeri sıfıra eşittir.
Örnek ... (Birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri) Analizden hatırlanacağı gibi birinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri, aşağıda
sağdaki limitler var olduğu sürece,
Z
Z
∞
f (x)dx :=
−∞
b
lim
a→−∞,b→∞
f (x)dx
a
biçiminde tanımlanır.
Şimdi f : R → R fonksiyonu
için birinici tür genelleştirilmiş Riemann integrali
Rb
var olsun. Bu durumda a f (x)dx Riemann integrali her sınırlı [a, b] aralığı için
var olur, dolayısıyla f , her bir [a, b] aralığı üzerinde (ve böylece R üzerinde)
hemen hemen her yerde sürekli olur. Ancak bunun tersi doğru değildir örneğin,
§
f (x) =
1 ;
−1 ;
x ∈ [n, n + 1) ve n çift
x ∈ [n, n + 1) ve n tek

 Lebesgue İntegrali
fonksiyonu hemen hemen her yerde süreklidir (ve böylece R üzerinde Lebesgue
integrallenebilirdir) fakat üstteki limitler yoktur ve dolayısıyla genelleştirilmiş
Riemann integrali yoktur.
Daha genel olarak, f ∈ L1 (R) ise, üstteki limitler vardır ancak bunun tersi
her zaman doğru değildir. Örneğin,
f (x) =
(−1)n
n+1
0 ;
; x ∈ [n, n + 1), n > 0
x<0
fonksiyonunu gözönüne alalım. f fonksiyonunun genelleştirilmiş Riemann integrali vardır çünkü
Z ∞
∞
X
(−1)n
f (x)dx =
n+1
−∞
n=0
serisi yakınsaktır. Buna karşın,
f∈
/ L1 (R) dir.
R
R
|f |dm =
P∞
1
n=0 n+1
serisi ıraksak olduğundan
Teorem ... f > 0 ve f in birinci tür genelleştirilmiş Riemann integrali
varsa, f in R üzerinde Lebesgue integrali vardır ve bu integral genelleştirilmiş
integrale eşittir.
Problem ... f (x) = sinx x (x 6= 0) fonksiyonunun R üzerinde genelleştirilmiş
Riemann integralinin var olduğunu ancak Lebesgue integralinin var olmadığını
gösteriniz.
Örnek ... (İkinci tür genelleştirilmiş Riemann integrali) Yine Analizden hatırlanacağı gibi ikinci tür genelleştirilmiş Riemann integralleri, aşağıda
sağdaki limitler var olduğu sürece,
Z
Z
b
a
ε→0−
Z
b
f (x)dx := lim
a+ε
Z
b
f (x)dx ve
ε→0+
a
biçiminde tanımlanır.
. Çeşitli Problemler
.
a) Her t > 0 için
lim n ln(1 +
n→∞
olduğunu gösteriniz.
b−ε
f (x)dx := lim
t
)=t
n
f (x)dx
a
. Çeşitli Problemler

b)
Z
n
lim
(1 +
n→∞
0
t n −2x
) e
dx = 1
n
olduğunu gösteriniz.
.
a)
Z
1
(
0
ln x 2
π2
) dx =
1−x
3
olduğunu gösteriniz.
b) p > −1 ise,
Z
X
xp ln x
1
dx = −
1−x
(p + n)2
n
1
0
olduğunu gösteriniz.
. f : [0, 1] → R fonksiyonu,
§
f (x) =
0 ;
n ;
x∈Q
x∈RrQ
ile tanımlansın. Burada n sayısı, 0 ile 1 arasında yer alan x irrasyonel
sayısının virgülden sonraki sıfır sayısını göstermektedir. Açıkça görülmektedir ki bu fonksiyon basit değildir. Bu fonksiyona basit ölçülebilir fonksiyonların artan bir dizisi ile yaklaşılabileceğini gösteriniz.R Buradan, f fonksiy1
onunun ölçülebilir olduğunu gösteriniz. Daha sonra, 0 f (x)dx integralini
hesaplayınız.
. f , (X, F, µ) ölçü uzayı üzerinde tanımlı
negatif olmayan ölçülebilir bir
R
fonksiyon olsun. A ⊆ F için, φ(A) = A f dµ tanımlansın. {En }∞
n=1 ⊂ F,
ikişer ikişer ayrık kümelerin bir dizisi olsun.
§
fn (x) =
tanımlansın. Her x ∈
S∞
n=1
f (x) ;
0 ;
x ∈ En
x∈
/ En
En için, f (x) =
φ(
∞
[
n=1
En ) =
∞
X
P
n
fn (x) olsun. Bu durumda,
φ(En )
n=1
olduğunu, yani φ nin σ-toplamsal olduğunu, gösteriniz.

 Lebesgue İntegrali
. Fatou lemmasında,
§
gn (x) =
1 ;
0 ;
x6n<n+1
diğer durumlar
olarak alındığında eşitsizliğin kesin olacağını gösteriniz.
.
a) a, b ∈ R için aşağıdakileri gerçekleyiniz.
(i) max(a + b, 0) 6 max(a, 0) + max(b, 0).
(ii) min(a + b, 0) > min(a, 0) + min(b, 0).
b) f, g : X → R fonksiyonları için aşağıdakileri gerçekleyiniz.
(i) (f + g)+ 6 f + + g + .
(ii) (f + g)− 6 f − + g − .
. Aşağıdaki her iki durum için de f fonksiyonunun
Z
Z
∞
n
f dµ = lim
n→∞
0
f dµ
0
eşitliğini gerçeklediğini gösteriniz.
a) f ∈ L1 ([0, ∞)) ise;
b) f , [0, ∞) aralığı üzerinde negatif olmayan ölçülebilir fonksiyon ise;
. Her x > 0 için, e−t tx−1 ∈ L1 ((0, ∞)) olduğunu gösteriniz.
. Gamma fonksiyonu , x > 0 için
Z
Γ(x) =
∞
e−t tx−1 dµ
0
biçiminde tanımlanır. Gauss Formülü olarak bilinen, −x ∈
/ N ∪ {0} için,
Z
n
Γ(x) = lim
n→∞
(1 −
0
t n x−1
n! nx
) t
dµ = lim
n→∞ x(x + 1)...(x + n)
n
eşitliğinin gerçeklendiğini gösteriniz. [Yol gösterme: . sorudaki fikirleri
kullanabilirsiniz.]
. a > 1 için,
Z
0
olduğunu gösteriniz.
∞
∞
X 1
xa−1
dµ
=
Γ(a).
ex − 1
na
n=1
. Çeşitli Problemler
.

a)
Z
∞
lim
(1 +
n→∞
0
b)
Z
∞
lim
n→∞
.
a)
R∞
0
2
e−x dµ =
√
π
2
0
x −n
x
) sin( )dµ =?
n
n
1 + nx
dµ =?
(1 + x)n
olduğu bilindiğine göre,
Z
∞
sec hx2 dµ =
0
∞
√ X
(−1)n
√
π
2n + 1
n=0
olduğunu gösteriniz.
b)
Z
∞
0
∞
X (−1)n−1 n
cos x
dµ =
x
e +1
n2 + 1
n=1
olduğunu gösteriniz.
. 0 < b < a için,
Z
∞
0
sinh bx
dµ =?
sinh ax
n
. Bir A ⊂ R kümesinin Dirac ölçüsü
§
δ(A) =
1 ;
0 ;
0∈A
0∈
/A
ile tanımlanır. Bu ölçüye göre Rn de her kümenin ölçülebilir olduğunu
gösteriniz. Bu ölçüye göre her fonksiyonun sıfırdaki değerine denk olduğunu
gösteriniz.
§ 2 −x
x e
; x∈
/C
f (x) =
x2 ;
x∈C
fonksiyonu tanımlasın. C Cantor
R kümesini, µ RLebesgue ölçüsünü ve δ
Dirac ölçüsünü göstermek üzere, [0,1] f (x)dδ ve [0,1] f (x)dµ integrallerini
hesaplayınız.
. f (x) =
1
x2
fonksiyonu ölçülebilir midir?

 Lebesgue İntegrali
.
§
f (x, y) =
ise,
.
R
[0,1]×[0,1]
R
[0,1]×[0,1]
x2 ; xy ∈ Q
ex ; xy ∈ R r Q
f (x, y)dµ integralini hesaplayınız.
xdµ =?
. µ Lebesgue ölçüsü ve f (x) > 0 olmak üzere, bir A kümesinin RadonNikodyn ölçüsü
Z
µ1 (A) =
ile tanımlanır.
f (x)dµ
A
Z
µ1 (A) =
ise,
x2 dµ
A
Z
[−1,2]
sgn x dµ1
integralini hesaplayınız.
. Bir A ⊂ R kümesinin Kardinal ölçüsü
§
µK (A) =
ile tanımlanır.
A nın eleman sayısı ; A sonlu elemanlı
∞ ;
A sonsuz elemanlı
∞
X
(−1)n
n=1
n
serisini (Kardinal ölçüye göre) integral şeklinde ifade ediniz.
Kaynakça
[] R. G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure, John
Wiley & Sons, Inc., .
[] M. Capinski and E. Kopp, Measure, Integral and Probability, nd Edition,
Springer, .
[] G.B. Folland, Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications,
nd Edition, John Wiley & Sons, Inc., .
[] S. Lang, Real Analysis, nd Edition, Addison-Wesley Publihing, .
[] W. Rudin, Real and Complex Analysis, rd Edition, McGraw-Hill, Inc.,
.
[] M. R. Spiegel, Theory and Problems of Real Variables, Schaum’s Outline
Series, McGraw-Hill, Inc., .
[] E. M. Stein and R. Shakarchi, Real Analysis: Measure Theory, Integration,
and Hilbert Spaces, Prentice Lectures in Analysis III, Princeton University
Press, .
[] A. J. Weir, Lebesgue Integration and Measure, Cambridge University Press,
.
[] R.L. Wheeden and A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to
Real Analysis, Marcel Dekker, Inc., .
[] J. Yeh, Real Analysis: Theory of Measure and Integration, nd Edition,
World Scientific Publishing, .

Dizin
σ-cismi, 
ölçü, 
ölçü uzayı, 
ölçülebilir fonksiyon, 
ölçülebilir küme, 
üst Riemann toplamı, 
üst integral, 
üst limit, 
üst toplam, 
açık küme, 
alt integral, 
alt limit, 
alt Riemann toplamı, 
alt toplam, 
arakesit, 
ayrık, 
bağıntı, 
basit fonksiyon, 
birleşim, 
Borel fonksiyonu, 
Borel kümesi, 
Dirichlet fonksiyonu, 
dış ölçü, 
eşdeğerlik bağıntısı, 
eşdeğerlik sınıfı, 
esaslı infimum, 
esaslı supremum, 
fark, 
fonksiyon, 
Gamma fonksiyonu, 
Gauss formülü, 
geçişme, 
genişletme, 
işaret fonksiyonu, 
ikişer ikişer ayrık, 
integrallenebilir fonksiyon, 
kapalı küme, 
Kardinal ölçü, 
kartezyen çarpım, 
kısıtlama, 
Cantor kümesi, 
düzenli Borel ölçüsü, 
de Morgan kurallrı, 
değer kümesi, 
Dirac ölçüsü, 
Lebesgue ölçüsü, 
Lebesgue integrali, , 
limit, 
parçalanış, 


Radon-Nikodyn ölçüsü, 
Riemann anlamında integrallenebilir,

Riemann integrali, 
süreklilik, 
sayılabilir, 
sayılamaz, 
seviye kümesi, 
simetrik, 
simetrik fark, 
sıfır kümesi, 
tümleyen, 
tam, 
tamamlanış, 
tanım kümesi, 
trankasyon, 
yakınsak, 
yansıma, 
Dizin