Türevlenebilir Manifoldlara Giriş Sevgili anne ve babamın hatırasına

* Yardımcı olması amacıyla bu belgeye yerimleri eklenmiştir...
Sn. Prof. Dr. Yıldıray Ozan Hoca'mıza verdiği emeklerden ve yardımseverliğinden dolayı çook
ama çook tşk ederim...Sn. Prof. Dr. Yıldıray Ozan Hoca'mızın notu;
Kitabın yazımı büyük ölçüde tamamlanmış olsa da henüz basıma hazır hale
gelmedi. Buna rağmen isteyenlerin kullanıma açmanın uygun olduğuna karar
verdim. Bu nedenle internet sayfamda (http://www.metu.edu.tr/~ozan)
kitabın 'pdf' kopyası isteyenlerin kullanımına açıktır. Kitabın 'pdf' kopyalarını sayfama koyduğum tarih ile numaralandıracağım...
Ayrıca Tunceli Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Bilgisayar Mühendisliği Öğretim Görevlisi
Sn. İnan Ünal Hoca'mıza da yardımseverliğinden dolayı ayrıyetten tsk ederim.Hoca'mızın
matematiksel paylaşımlarını www.inanunal.com dan takip edebilirsiniz...
T ürevlenebilir M anifoldlara Giriş
Yıldıray Ozan
Orta Doğu Teknik Üniversitesi
Matematik Bölümü
6 Mart 2015
Sevgili anne ve babamın hatırasına
Önsöz
Eğriler ve yüzeyler tarih boyunca insanların zihnini meşgul etmiştir. Benzerleri
Neolitik çağlarda dahi bilinen Platonik cisimlerin sınıflandırılması Antik Yunan
uygarlığında yapılmıştı. Eğri ve yüzeylerin modern anlamda tanımlanıp temel
özelliklerinin ortaya konması ise Gauss ve Riemann gibi devleri bekledi. Riemann Gauss’un yüzey ve eğriler üzerine yaptığı çalışmaları mükemmelleştirip
yüksek boyutlara taşıyarak bugün artık diferansiyel geometri ve Riemann geo­
metrisi olarak bilinen alanların temellerini attı. Poincare topolojik uzayların
teorisine temel grup ve homoloji gibi cebirsel nesneleri katarak geometri ve
topoloji çalışmalarındaki matematiksel kesinlik düzeyini artırdı. Homoloji teo­
risi yüzeyler için bilinen Euler formülünün çok daha genel bir özellik olduğunu
ortaya koydu. Yüzeylerin cebirsel topolojik ve diferansiyel geometrik özellikleri
arasındaki ilişki, matematik tarihinin en güzel teoremlerinden biri olan GaussBonnet Teoremi’yle taçlandırıldı. Günümüz modern geometri ve topolojisinin
Riemann-Roch ve Endeks Teoremleri gibi en güzel ve kuvvetli sonuçları GaussBonnet Teoremi’nin derinleşmiş genellemeleri olarak görülebilir.
Bu kitabın yazımı yazarın Gauss-Bonnet Teoremi’nin anlaşılabilir bir kanı­
tını fazlaca diferansiyel geometri kullanmadan sadece türevlenebilir manifoldlar
teorisi dilinde yazma arzusu ile 2010 yılı Haziran ayında başlamıştır. İlk başta
sadece yazarın ODTU’de vermiş olduğu “Calculus on Manifolds” ve “Differentiable Manifolds” derslerine ait notların kapsamlı bir şekilde elden geçirilerek
yazılması amaçlanmıştı. Daha sonra ise Gauss-Bonnet Teoremi’nin genel hali
ve bunu yapmak için gerekli teorilerin de kitaba dahil edilmesine karar verildi.
Oluşturulan bu teorilerin diğer birçok sonucunu da kitaba eklememek olmazdı.
Böylece kitap vektör demetlerinin karakteristik sınıfları ve çeşitli uygulama­
larıyla son buldu. Şunu belirtelim ki Guillemin ve Pollack’m “Differential Topology” ([15]) adlı kitabı yazarın model aldığı kaynaklarından biridir. Bu kitap
sadece içeriği bakımından değil yazım üslubu açısından da vazgeçilmez. Özel­
likle birçok önemli teoremin kanıtlarının küçük parçalar halinde okuyucuya
yaptırılması eğitsel açıdan da çok doğru bir yaklaşımdır.
Birinci ünite bu kitabı okuyabilmek için gerekli olan topoloji, analiz ve
doğrusal cebir konularının bir özetini içermektedir. Her ne kadar bu konuların
hemen hemen hepsi lisans derslerinde görülmüş olsa da, öğrencilerin lisans üstü
eğitime birçok eksikle başladığı göze çarpmaktadır. Örneğin matematikteki en
önemli yapılardan biri olan bölüm kümeleri, grupları, uzayları gibi çok temel
konular doktora öğrencilerinin zihninde dahi tam oturmamış olabiliyor. Bunun
iii
IV
Ö n sö z
yanında lisans eğitiminin ilk yıllarında görülen doğrusal cebir konularının hızlı­
ca gözden geçirilmesi yerinde olabilir. Kitabın bütünlüğünü korumak amacıyla
bu ünitede, Diferansiyel Denklemlerin Varlık ve Teklik Teoremi, Ters Fonk­
siyon Teoremi ve Doğrusal Operatörlerin Temel Formları kanıtlarıyla veril­
miştir. Ünite içinde yer kalmadığı için bahsedemediğimiz bazı önemli detaylar
ise alıştırmalarda karşınıza çıkacaktır.
ikinci ünite ise kitabın temel unsurları olan manifoldlarm tanımı ile başlı­
yor. Teğet vektör ve teğet vektör demetinin yapısı verildikten sonra, manifoldların Oklit uzayına gömülmesi için hazırlık yapıyoruz. Bu kapsamda sonraki
ünitelerde de sürekli yararlanacağımız Sard Teoremi’ni kanıtı ile vereceğiz. Tı­
kız manifoldlarm gömülmesi işlemini bu ünite içinde yaparken, tıkız olmayan­
ların gömülmesi işlemini alıştırmalarda okuyucuya yaptıracağız. Bu işlemler
için gerekli olan Birimin Ayrışımı Teoremi’ni de kanıtıyla sunacağız. Daha son­
ra manifoldlar üzerinde türevlenebilir formları ve Stokes’ Teoremi’ni vereceğiz.
Bunu yaparken vektör uzaylarının ve manifoldlarm yönlendirilmesi konusunu
son derece dikkatle yapmaya çalışacağız. Bu bağlamda karmaşık manifoldlar
üzerindeki doğal yönlendirmeden bahsedecek ve bu doğal yönlendirmenin çar­
pıcı sonuçlarından bir iki örnek sunacağız. Oklit uzayı içindeki disk ve kürelerin
hacimlerini hesaplama işini de bu üniteye sıkıştıracağız.
Üçüncü ünite manifoldlarm Euler sınıfının manifold üzerindeki herhangi bir
Riemann metriğinin eğriliği cinsinden ifade edilebilmesi için gerekli alt yapıyı
oluşturmak amacıyla yazılmıştır. İlk önce manifold üzerinde verilen bir vektör
alanının integralinin varlığını gösterdik. Daha sonra bunu kullanarak Lie tü­
revini tanımladık ve Lie türevinin temel özelliklerini çıkardık. Diğer taraftan,
manifold üzerine Riemann metriği koyduktan sonra jeodeziklerden bahsetme­
mek olmazdı. Jeodezik eğri diferansiyel denkleminin Fourier Serileri yardımıy­
la standart olmayan bir kanıtını da bu üniteye koyduk. Ayrıca manifoldlar
üzerinde jeodezik-konveks komşulukların varlığını Spivak’m kitabındaki sunu­
mu ([31]) takip ederek yaptık. Daha sonra vektör demetlerini ve demetlerin arit­
metiğini tanımladık. Teğet vektör demetinde olduğu gibi bu demetler üzerine
de metrik koyarak demetlerin geometrisini bağlantı ve eğrilik formları yardı­
mıyla anlamaya çalıştık. Eğrilik formunu altıncı ünitede Euler sınıfını tanım­
lamak için kullanacağız. Bu ünite, Poincare Yarı Düzlemi’nin jeodeziklerinin
belirlenmesi ve jeodeziklerin bir uygulaması olan Tüp Komşuluk Teoremi ile
sona erdi.
Dördüncü ünite De Rham kohomolojinin tanımı ile başlıyor. Çemberin kohomolojisini doğrudan hesapladıktan sonra bunun uygulaması olarak sarılma,
dönme ve geçişme sayılarını tanımlayıp çeşitli hesaplamalar yapacağız. Daha
sonra iki boyutlu kürenin kohomolojilerini doğrudan hesaplayıp burada kul­
lanılan fikirleri homolojik cebirle birleştirerek Mayer-Vietoris dizisini oluştu­
racağız. Bu dizi yardımıyla kürelerin ve bazı diğer manifoldlarm kohomoloji
vektör uzaylarını belirledik. Poincare izomorfizmasmı kanıtlayabilmek için tı­
kız destekli kohomolojiyi tanımlayacağız ve bu kohomoloji teorisini kullanarak
manifoldlar arasındaki fonksiyonların derecesini tanımlayıp hesaplamalar ya­
V
pacağız. Bu hesaplamalardan birisi daha çok cebirsel topoloji kitaplarında bu­
lunan, bir küreden kendisine giden ve derecesi sıfır olan fonksiyonların sabite
homotopik olduğunun kanıtlanmasıdır. Bu kanıt oldukça teknik olduğu için,
bu sonucun çemberler için olan özel hali, aynı fikirler yardımıyla alıştırmalar­
da kanıtlanmaktadır. Bu ünite Poincare İzomorfizması ve bazı uygulamaları ile
bitecektir.
Beşinci ünite kesişim teorisinin kuruluşu ile başlayacaktır. Daha sonra alt
manifoldlarm Poincare dualini tanımlayıp, bunu alt manifoldlarm kesişimlerinden yararlanarak kohomoloji halkalarının hesaplanmasında kullanacağız. Ayrı­
ca alt manifoldlarm Poincare dualini kullanarak Gysin Tam Dizisi’ni oluştura­
cağız. Bu diziyi ise Leray-Hirsch ve Künneth teoremlerini kanıtlamakta kulla­
nacağız. Bu ünitede ayrıca Poincare-Hopf ve Lefschetz Sabit Nokta Teoremi’ni
kanıtlayacağız. Temel bazı örneklerde alt manifoldlarm kesişimlerini doğrudan
hesaplayacağız. Bunların içinde karmaşık projektif uzay içindeki alt manifoldlarm kesişimleri ve gerçel projektif düzlemin karmaşık düzlem içinde kendisi ile
kesişimi yer alacaktır. Cebirsel eğriler teorisinin en temel sonuçlarından olan
Bezout’s Teoremi, Riemann-Hurwitz Teoremi ve Hurwitz Teoremi’nin kanıt­
ları ile bu üniteyi bitireceğiz. Cebirsel eğriler ve yüzeyler cebirsel geometrinin
yanı sıra diferansiyel geometri ve topoloji açısından da çok zengin bir örnek
kaynağıdır.
Altıncı ve son ünite Euler karakteristik sınıfının kuruluşu ile başlayacak.
Gauss-Bonnet Teoremi’nin kanıtını verdikten sonra karmaşık vektör demetle­
rinin Chern karakteristik sınıflarını tanımlayacağız. Chern sınıflarının bir uygu­
laması olarak “yan yana gelme eşitliği”ni vereceğiz. Buradan da Derece-Genus
formülünü elde edeceğiz. Aslında değişik fikirler içerdiği için Derece-Genus
formülünün Chern karakteristik sınıflarını kullanmayan bir başka kanıtını da
sunacağız. Bu yaklaşım aynı dereceye sahip tüm cebirsel eğrilerin oluşturdu­
ğu uzayın (bir çeşit Moduli Uzayı) incelenmesine dayanır ve eğriler dışında­
ki diğer cebirsel (yüzeyler veya yüksek boyutlu) nesnelere de uygulanabilir.
Son olarak türevlenebilir manifoldlarm Pontryagin karakteristik sınıflarını ve
sayılarını tanımlayıp bu sayıların bazı topolojik uygulamalarını göreceğiz. Bu
uygulamalardan en dikkat çekici olanı Milnor’un 1962 yılında kendisine Fields
Madalyası kazandıran çalışmalarından biri olan 7-boyutlu egzotik küreler ile
ilgili 1956 tarihli çalışmasıdır ([24]). Annals of Mathematics dergisinde yayın­
lanan 6 sayfalık makale son derece anlaşılabilir olmakla beraber tekil homoloji
dilini kullandığı için kitaba doğrudan konulamadı. Milnor’un makalesini takip
ederken tekil homoloji içeren bölümlerini kitabın bütünlüğünü korumak adına
De Rham kohomoloji ile değiştireceğiz.
Dikkatli okuyucularımız Gauss-Bonnet Teoremi’nin yaygın olarak bilinen
ve Gauss’un jeodezik üçgenlerle ilgili sonucunu kullanan kanıtını vermediğimizi
fark edeceklerdir. Bunun önemli bir nedeni bu kanıtın tıkız yüzeylerin bir üçgenleme kabul ettiği gerçeğini kullanmasıdır. Bu sonuç ilk olarak 1925 yılında
Rado tarafından kanıtlanmıştır. Fakat Rado’nun vermiş olduğu kanıt oldukça
zordur ve içerik olarak bu kitabın alanının dışında kalır.
VI
Ö n sö z
Bu kitabın ele aldığı tüm konular klasik sayılabilir. Bu nedenle kitabın
içindeki muhtemel matematiksel hatalar ve yazım yanlışları dışındaki hiçbir
ifadenin özgünlüğü iddia edilmemektedir.
Son olarak, beni her zaman destekleyen sevgili eşime, ilham kaynaklarım
olan oğlum ve kızıma, yaklaşık otuz yıldır mensubu olmaktan gurur duyduğum
ve bana kattıkları için kendimi hep borçlu hissettiğim Orta Doğu Teknik Üniversitesi’ne minnettarım.
Yıldıray Ozan
O.D.T.Ü. Ankara
Kitabın Kullanımı ve Yazımı ile ilgili Notlar
Kitabı okumak isteyen veya derslerinde kullanmak isteyen akademisyenlere fay­
dalı olabilecek birkaç noktayı belirtmek istiyorum: Birinci ünite kitabı rahat şe­
kilde takip edebilmek için gerekli alt yapıyı oluşturmak için yazılmıştır. Dolayı­
sıyla, gerekli alt yapıya sahip okuyucular doğrudan bir sonraki bölüme geçebi­
lirler. Diğer taraftan lisans derslerinde pek zaman ayrılamayan Ters Fonksiyon
Teoremi ile Diferansiyel Denklemlerin Varlık ve Teklik Teoremi’ni kanıtlarıyla
sunuyoruz. Ayrıca boyutu sonlu olan vektör uzayları üzerinde tanımlı doğrusal
operatörlerin temel formları detaylarıyla okuyucuya sunulmuştur.
Bir dönemlik türevlenebilir manifoldlar dersi için şöyle bir yol izlenebilir:
Birinci ünitenin gerekli görülen yerleri hızlıca yapıldıktan sonra ikinci ünite
detaylarıyla yapılmalıdır. Üçüncü üniteden sadece 3.1 yapılarak yola devam
edilebilir. Dördüncü üniteden ise sadece 4.1, 4.2 ve 4.3.1 işlenerek ders bitirilebilir. Diferansiyel geometri derslerinden Gauss eğriliğini görmüş bir öğrenci
grubuna Sonuç 6.1.11 (Gauss-Bonnet Teoremi) ve bunu takip eden kanıt da
verilebilir.
Eğer iki dönemlik bir plan yapılmak isteniyorsa tüm kitap okunabilir. Yine
öğrencilerin diğer derslerde görmüş oldukları konular hızlı bir şekilde hatırlatı­
larak geçilebilir. Bu kitabı çalışan bir öğrenci türevlenebilir manifoldlarm temel
özelliklerinin yanı sıra vektör demetleri ve karakteristik sınıflar konusunda da
temel bilgilere kavuşmuş olacaklardır. Ayrıca cebirsel topolojinin konuları olan
tıkız destekli kohomoloji, derece teorisi, Leray-Hirsch ve Künneth teoremlerini
de görmüş olacaklardır. Diğer taraftan, cebirsel topoloji derslerinde önemli bir
yer tutan Temel Grup ve Örtü Uzayları ise kitabımızda yer almamaktadır.
Ülkemizdeki bir çok lisans üstü program cebir ve diferansiyel geometri alan­
larında oldukça kuvvetlidir. Diğer taraftan, diferansiyel topoloji, cebirsel to­
poloji ve cebirsel geometri konularında büyük eksiklikler vardır. Bu nedenle
üçüncü ünite birçok okulda hızlı bir şekilde işlenebileceğine kitabın geri ka­
lanı daha dikkatli okunmalıdır. Muhtemel zaman darlıklarından dolayı bazı
teoremlerin kanıtları öğrencilere bırakılabilir. Ayrıca alıştırmalar öğrencilerin
en fazla zaman harcaması gereken yerlerdir. Alıştırmalar öğrenci tarafından
konuları özümsemek adına birer fırsat olarak görülmelidir. Problem çözmeden
matematik öğrenmeyi beklemek, yüzmeyi veya bisiklete binmeyi iyi yüzebilen
veya bisiklete binebilen birini seyrederek öğrenmeyi beklemeye benzer. Bunun
ise pek mümkün olmadığı tecrübelerimizle sabittir.
IMjjK ile Türkçe M atem atik Kitabı Yazmak
vii
viii
K ita b ın K u lla n ım ı v e Y a z ım ı ile İlg ili N o tla r
Yaklaşık yirmi yıl önce ülkemiz matematikçileri tarafından da kullanılmaya
başlanan BT^K çok gelişmiş bir yazılım olmasına rağmen Türkçe makale veya
kitap hazırlama konusunda halen ciddi eksikliklere sahiptir. Bu kitabın yazımı
sırasında karşılaştıklarımdan bazıları şunlardır:
1. Türkçe karakterlerin yazımı konusundaki zorluklar;
2. Türkçe yazım hatalarının yazılım tarafından otomatik şekilde kontrol edi­
lememesi ve kelimelerin satır sonlarında doğru şekilde bölünmemesi;
3. Türkçe karakterlerin alfabetik sıralamada doğru yerde olmaması nede­
niyle dizin hazırlama konusuna yaşanan zorluklar;
4. Şekillerin kitaba yerleştirilmesi.
Bilgisayarlar ve BTgX alanında yeterli bilgi ve beceriye sahip olmayan biri
olarak yukarıda bahsettiğim zorlukların sistematik biçimde üstesinden gelme
konusunda fikir ortaya koyamam. Diğer yandan, benzer zorluklarla karşılaşan
meslektaşlarıma zaman kazandırabilir düşüncesiyle, uzun süren uğraşlar so­
nunda ulaştığım derme çatma çözümlerden bahsedebilirim.
Aslında birinci madde konusunda herhangi bir çözümüm yok. Bir cümle
içinde bile üç beş defa klavyenin dilini Türkçe’den İngilizce’ye ya da İngiliz­
ce’den Türkçe’ye değiştirerek yazmak elbette pek kolay olmadı. Benzer şekilde
ikinci madde için de bir çözüm bulamadım. Türkçe kelimelerin doğru hecelen­
mesi için hecelemeyi açıkça yazmak dışında bir yol görünmüyor. Örneğin, satır
sonuna gelen ve doğru şekilde bölünmeyen “dosyanın” kelimesini “dos\ —ya\ —
nın” olarak yazmalıyız. Ya da daha sistematik bir çözüm için ana dosyanın
içine \begin{document} komutundan önce “\hyphenation{dos —ya —nın}”
komutunu koyabiliriz. Bu durumda bütün doküman boyunca “dosyanın” keli­
mesi ancak gösterdiğimiz yerlerden bölünecektir. Bu işi kitabın en son halinin
çıktısını almadan yapmakta fayda olduğu açıktır. Bu kitap için hecelemesini
açıkça yazmak zorunda kaldığım kelime sayısı yaklaşık 120 oldu. Kitabın ya­
zımı tamamlandıktan sonra bazı editörlerin Türkçe sözlük ile çalışabildiğini
öğrendim. Bu sayede gözden kaçan sayısız yazım hatasını düzeltme fırsatım
oldu.
Üçüncü madde için makul bir çözüm bulduğumu söyleyebilirim. Burada
\index{A@ B }
komutunu kullandım. Bu komut şu şekilde çalışıyor: Program ilk önce dizin
içinde İngilizce karakterlerin alfabetik sıralamasına göre (sadece İngilizce ka­
rakterle yazılmış olan) A kelimesinin yerini buluyor ve daha sonra dizine A
kelimesi yerine B kelimesini yazıyor. Örneğin dizinde
Ters görüntü
ix
ifadesinin doğru yerde çıkması için bu ifadenin geçtiği yere
\index{Tevs gozruzzntuzz@Ters görüntü}
yazabiliriz. Benzer şekilde dizin içinde
Bölüm
' kümesi
ifadesinin gözükmesi için
\index {Bozluzzm@Bölüm !kuzzmesi@kümesi}
yazarız. Fikir gerçekten basit: Örneğin, dizine koymak istediğimiz bir kelimenin
içinde ç harfi geçiyorsa bu lıarf yerine cz yazıyoruz ve böylece alfabetik
sıralama yapılırken sıra cz İkilisine gelince, program bu kelimeyi c harfi
ile d harfinin arasına koyuyor. Aslında aşağıdaki tablo B kelimesi içindeki
Türkçe karakterlerin A içinde nasıl yazılması gerektiğini gösteriyor:
A
B
A
B
cz
Ç
CZ
Ç
Dizin Yazma Sözlüğü
gz
lız
i
oz
1
i
ö
ğ
GZ HZ HZZZ OZ
Ğ
I
i
Ö
sz
§
SZ
uzz
uzz
Ş
ü
ii
Gerekirse harflerin sonuna eklenen z harflerinin sayısını artırabilirsiniz.
Biraz da şekillerden bahsedelim. Şekilleri herhangi bir programda çizebi­
lirsiniz. İnternetten ücretsiz olarak indirip kullanabileceğiniz birçok program
var. Ben Graph isimli programı kullandım. Lisansta öğrendiğiniz analitik geo­
metriyi hatırlamak için oldukça iyi bir fırsat, sağlıyor. Şekilleri çizdikten sonra
“jpeg” uzantısı ile kaydedebilirsiniz. Daha sonra bu dosyayı bir resim editörü
ile açıp boş alanları mümkün olduğunca kırpmakta fayda var. Bu dosyayı yi­
ne internet üzerinde ücretsiz bulunan “on line” programlar yardımıyla “eps”
dosyasına çevirmeniz gerekiyor. Sonuçta, örneğin, “Figııre3.o.jpeg,! ve “Figure3-5.eps” isimli iki şekliniz olacak. Son olarak bunları kitabınızın DT[zX dos­
yasını içeren büyük dosyanın içine koyabilirsiniz. Program kitabın “pdf” çıktısı
için resimlerin “jpeg”, “dvi” çıktısı için de “eps” dosyalarını kullanacaktır.
Kitabın içine şekil yerleştirme konusunda da bir önerim olacak. Eğer ki­
tap yerine makale yazıyorsanız şekillerinizi istediğiniz ölçülerde metnin içine
yerleştirme konusunda bir zorluk çekmeyeceksiniz. Diğer taraftan doküman sı­
nıfınız {book} ise şeklin boyutlarını ayarlamak mümkün olmayacak, çünkü
DT}rX şekillerin altına yazılacak açıklamaların hangi dilde yazılacağı bilgisini
isteyecektir. Bu problemi çözmek için doküman sınıfını
\documentclass[llpt,a4paper,turkish]{book}
X
K ita b ın K u lla n ım ı v e Y a z ım ı ile İlg ili N o tla r
seçebilirsiniz. Fakat FTgX programının Türkçe yazım konusundaki yardımcı
unsurları içindeki bazı problemlerden dolayı sistem yine hata mesajı verecektir.
Diğer taraftan, doküman sınıfını başka bir dilde, örneğin
\documentclass[llpt,a4paper,kuşdili] {book}
olarak seçerseniz sistem hata vermeden çalışacaktır. Fakat bu durumda da şe­
killerin altında, örneğin, Şekil 3.2 yerine bunun Kuşdili karşılığı olan Cikfîg
3.2 yazacaktır. Bunu düzeltmek için ise
\Miktex2.??\tex\generic\babel\kuşdili.ldf
dosyasını uygun bir editör ile açıp Cikfîg yerine Şekil yazmanız gerekiyor.
Aynı şekilde Kaynakça ve Semboller kelimelerini de Kuşdili karşılıkları­
nın yerine yazmalısınız. Bu değişiklikleri yapabilmek için bilgisayar oturumunu
“Administrator” olarak açmanız gerekebilir.
Elektronik Kopyanın Kullanımı
Kitabın yazımı büyük ölçüde tamamlanmış olsa da henüz basıma hazır hale
gelmedi. Buna rağmen isteyenlerin kullanıma açmanın uygun olduğuna karar
verdim. Bu nedenle internet sayfamda (http : / / w ww.m etu.edu.tr/ ~ ozan/)
kitabın ‘pdf’ kopyası isteyenlerin kullanımına açıktır. Kitabın ‘pdf’ kopyaları­
nı sayfama koyduğum tarih ile numaralandıracağım. Yeni bir kopyasını koy­
duğumda eski versiyonlarını sayfamda bir süre daha tutmayı planlıyorum. Ki­
tapla ilgili öneri ve düzeltmelerinizi memnuniyetle karşılarım.
içindekiler
i
Ö nsöz
iii
K ita b ın K ullanım ı ve Yazım ı ile İlgili N o tla r
vii
1
Yardım cı B ilgiler
1.1 Genel Topoloji ................................................................................
1.1.1 K üm eler................................................................................
1.1.2 Topolojik Uzaylar ..............................................................
1.1.3 Tıkız, Bağlantılı U z ay la r....................................................
1.1.4 Metriklenebilir U zaylar.......................................................
1.2 A n a l iz ................................................................................................
1.2.1 Tür evlenebilm e....................................................................
1.2.2 Ters Fonksiyon T e o re m i....................................................
1.2.3 Diferansiyel Denklemlerin Varlık ve Teklik Teoremi . . .
1.3 Doğrusal C e b i r ................................................................................
1.3.1 Determinant Fonksiyonu....................................................
1.3.2 Tensörler .............................................................................
1.3.3 Temel Formlar ve Bazı U ygulam aları...............................
1.3.4 Örnek K a n ıtla r....................................................................
1.4 A lıştırm alar......................................................................................
1
1
1
2
6
10
16
16
18
25
28
28
32
35
38
43
2
T ü revlen ebilir M anifoldlar
2.1 Türevlenebilir M anifoldlar..............................................................
2.1.1 Temel T anım lar....................................................................
2.1.2 Teğet U z a y ı..........................................................................
2.1.3 Teğet D e m e ti.......................................................................
2.1.4 Bölüm M anifoldları..............................................................
2.1.5 Rank T e o rem leri.................................................................
2.2 Manifoldlarm Gömülmesi ..............................................................
2.2.1 Birimin A y rışım ı.................................................................
2.2.2 Sard T e o re m i.......................................................................
2.2.3 Manifoldlarm G ö m ü lm e si.................................................
2.3 Türevlenebilir Formlar veStokes T e o r e m i...................................
63
63
63
66
70
72
75
80
80
82
88
89
xı
İÇİNDEKİLER
90
2.3.1 Türevlenebilir F o rm la r.......................................................
2.3.2 Geri Ç e k m e .......................................................................... 91
2.3.3 Manifoldlar Üzerinde TürevlenebilirForm lar.................... 93
2.3.4 Dış T ü r e v ............................................................................. 94
2.3.5 Manifoldlarm Yönlendirilmesi........................................... 97
2.3.6 Stokes T e o re m i....................................................................... 103
2.3.7 Disk ve Kürenin H acim leri.....................................................112
2.3.8 Karmaşık Manifoldlar Üzerinde ÖzelF o r m la r .................... 114
2.4 A lıştırm alar.......................................................................................... 119
3
V ektör A lanları ve D em etleri
127
3.1 Vektör Alanlarının İntegraîleri ve LieT ü r e v le r i..............................127
3.1.1 Vektör Alanlarının İntegraîleri...............................................127
3.1.2 Lie T ü re v i................................................................................ 132
3.2 Jeodezikler ..........................................................................................140
3.2.1 Jeodezik D en k lem i................................................................. 140
3.2.2 Hacim Elemanı ve Yıldız Operatörü ...................................154
3.3 Vektör D em e tle ri................................................................................ 160
3.3.1 Temel T anım lar....................................................................... 160
3.3.2 Vektör Demetleri Üzerinde İşlem ler..................................... 163
3.3.3 Vektör Demetleri Üzerinde B ağ lan tılar............................... 171
3.3.4 Poincare Yarı D ü zlem i...........................................................181
3.3.5 Normal Demet ve Tüp Komşuluk T eo rem i.........................184
3.4 A lıştırm alar..........................................................................................189
4 D e R ham K ohom oloji
195
4.1 De Rham Kohomoloji ....................................................................... 196
4.1.1 De Rham Kohomolojinin T a n ım ı........................................ 196
4.2 Poincare Yardımcı Teoremi ..............................................................201
4.3 Hesaplamalar ve Uygulamalar...........................................................206
4.3.1 Sarılma, Dönme ve Geçişme S a y ıla rı.................................. 206
4.3.2 Mayer-Vietoris D izisi..............................................................214
4.3.3 Tıkız Destekli K ohom oloji.................................................... 221
4.4 Poincare İzomorfizması....................................................................... 240
4.5 A lıştırm alar......................................................................................... 248
5 K esişim Teorisi
253
5.1 Dik K e sişim ......................................................................................... 253
5.2 A lt Manifoldlarm Kesişimi ve PoincareDuali ................................ 258
5.3 Vektör Demetleri ve Poincare-Hopf T e o re m i.................................. 265
5.3.1 Vektör Demetlerinin Enler Karakteristiği .........................265
5.3.2 Gysin Tam D iz isi.................................................................... 270
5.3.3 Leray-Hirsch ve Künneth T eo rem leri.................................. 272
5.3.4 Poincare-Hopf Teorem i...........................................................275
5.3.5 Lefschetz Sabit Nokta T e o r e m i........................................... 279
5.3.6 Riemann-Hunvitz Teorem i.................................................... 280
5.4 A lıştırm alar...........................................................................................284
6 K a ra k te ristik Sınıflar
295
6.1 Enler Karakteristik Sınıfı .................................................................295
6.2 Chern Karakteristik Sınıfları..............................................................316
6.2.1 Chern Sınıflarının Özellikleri .............................................. 320
6.2.2 Uygulamalar .......................................................................... 322
6.3 Pontryagin Karakteristik S ın ıfla rı......................................................329
6.4 7-Boyutlu Egzotik K ü reler.................................................................334
6.5 A lıştırm alar......................................................................................... 344
Kaynakça
359
Semboller
362
Dizin
367
“Kendinizi balıkçı değil bahçıvan olarak görün.
Balıkçı balığı neyin çekeceğini bilir. Bahçıvan ise
gerekli ortamı hazırlar ve bitkilerin büyümesini
sağlar. Matematik takımı kurarken en iyi öğrenci­
leri alıp kazanmaya çalışmayın; bunun yerine ala­
bildiğiniz kadar çok öğrenci alıp onları matematik­
te daha iyi yapmak için elinizden gelen her şeyi
yapın.”
Ashley Reiter
Yardınıcı Bilgiler
Bıı ünitede türevleııebilir manifoldlarm genel teorisini anlayabilmek için gerekli
olan temel bilgiler sunulacaktır. Sırasıyla genel topoloji, analiz ve doğrusal cebir
başlıkları altında toplayacağımız bu bilgilere lıakiın olan okuyucular doğrudan
bir sonraki üniteye geçebilirler. Bu ünitenin amacı, genel topoloji, analiz veya
doğrusal cebir konularını dalıa önceden görmemiş olan okuyuculara öğretmek
değildir. Tersine bu konuları dalıa önce çalışmış olanlara biraz hatırlatmak,
varsa eksik bilgilerini kapatabilmeleri için fırsat, sunmaktır. Her matematik ders
kitabında olduğu gibi alıştırmalar kısmı öğrencilerin en fazla zaman harcaması
beklenen bölümdür. Genel topoloji ve analiz alanlarında dalıa kapsamlı ve
detaylı bilgi için [27, 29, 30, 33, 34| numaralı referanslara bakabilirsiniz.
1.1
1.1.1
Genel Topoloji
K ü m e le r
Topolojinin tanımını vermeden önce kümeler ve fonksiyonlara dair bazı temel
bilgileri hatırlayalım. Bir X kümesi ve onun bir A C X alt kümesini alalım.
X fark A kümesini X — A = {x € X | x € A} olarak tanımlayacağız.
Eğer f : X ^ Y, X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon ve B C Y
bir alt küme ise B alt kümesinin f fonksiyonu altındaki ters görüntüsü
f - 1 (B) = {x € X I f (x) € B } olarak tanımlanır.
{Aa}a£A X kümesinin bir alt kümeler ailesi olsun. Bu durumda
f (Ua^AA a) = u a£Af (Aa)
olduğu halde, söz konusu alt kümelerin görüntülerinin ara kesitleri olunca sa­
dece f (C\a£AAa) C n a&Af (A a) içermesi doğrudur. Başka bir deyişle, bir alt
1
2
Y a r d ım c ı B ilg ile r
kümeler ailesinin ara kesitlerinin görüntüsü görüntülerin ara kesitinin alt kü­
mesidir ve genelde bu iki küme farklı olabilir. Ters görüntü alına işlemi ise hem
arakesit hem de birleşim işlemi ile yer değiştirebilir: [B a }ae^ Y kümesinin
bir alt kümeler ailesi olsun. Bu durumda,
f 1(UaeABa) = ^a£Af 1 (Ba) ve f 1 (Ha£AB a) = Aa£Af 1 (B a)
olur.
X bir küme ve ~ bu küme üzerinde t e denklik bağmtısı olsun. P : X ^
X/
n
^ Y fonksiyonu
için f = f o P eşitliğini sağlayacak şekilde bir f : X /
Y fonksiyonun
var olması için gerek ve yeter şart her x , y € X , x ~ y, için f (x) = f (y)
f : X ^ Y fonksiyonu bölüm kümesinde tanımlanır
denir, f : X /
Y fonksiyonuna ise f : X ^ Y tarafından belirlenen
fonksiyon diyeceğiz.
f : X ^ Y örten bir fonksiyon olsun. Bu durumda her x ,y €
X için x ~ y ancak ve ancak f (x) = f (y) şeklinde tanımlanan bağıntı
bir denklik bağıntısıdır. Ayrıca, f : X ^ Y fonksiyonu bu bağıntının bölüm
kümesinden Y kümesine bire bir f : X /
Y eşlemesini verir.
Daha somut bir örnek için f : R ^ S \ f (t) = (cos2nt, sin2nt), t € R,
fonksiyonunu düşünelim. Burada S 1 düzlemdeki birim çemberi göstermekte­
dir. Bu örten fonksiyona karşılık gelen bağıntı, her s, t € R için s ~ t ancak
ve ancak s — t € Z şeklinde tanımlanır. Aslında aynı örnek bölüm gruplan
konusunda da verilebilirdi: R kümesi toplama işlemi ile değişmeli bir grup
oluşturur, f : R ^ S 1 fonksiyonu ise tam sayıların olüştürdüğü Z normal
alt grubuna karşılık gelen bölüm homomorfizmasıdır. Bölüm grubu, S 1 bi­
rim çemberi, üzerindeki işlemin karmaşık sayıların üzerindeki çarpma işlemi
olduğunun gösterilmesini okuyucuya bırakıyoruz (bkz. Şekil 1.1).
1.1.2
T op olojik U zaylar
T anım 1.1.2. X bir küme olmak üzere bu kümenin kuvvet kümesinin aşağıdaki
koşullan sağlayan herhangi bir t alt kümesine X üzerinde bir topolojidir denir:
3
G e n e l T o p o lo ji
1. ty € t ve X € t ,
2. A bir endeks kümesi olmak üzere her a € A için bir Oa € t var ise
l2 a£AOa € t ,
3. Her Oi € t , i = 1 ,... k, için f k=lOi € t .
Bu durumda (X , t ) İkilisine topolojik uzay, t topolojisinin elemanlarına
(bu topolojinin) açık kümeler, açık kümelerin tümleyenlerine de (bu topoloji­
nin) kapalı kümeler denir.
Bir küme üzerinde birden fazla topoloji tanımlanabileceği açıktır, ti ve t2
verilen bir X kümesi üzerinde iki topoloji olsun. Eğer ti Ç t2 ise t2 topolojisine
^ topolojisinden daha mce ya da daha kuvvetli den ir. Bu durumda t2 topolojisi
ti topolojisinden daha zayıf ya da daha kaba da denir.
Topolojik uzaylar kategorisinin gönderimleri sürekli fonksiyonlardır. Her­
hangi iki (X, t x ) ve (Y, t y ) topolojik uzayları arasında herhangi bir
f : (X, t x ) ^ (Y, t y )
fonksiyonu alalım. Eğer her açık U € ty kümesinin f altındaki ters görüntüsü
X içinde açık bir küme ise, f - l (U) € t x , f fonksiyonuna süreklidir denir.
Eğer, sürekli f fonksiyonunun sürekli bir ters fonksiyonu varsa bu fonksiyona
bir homeomorfizma denir. Bu durumda (X, t x ) ve (Y, t y ) topolojik uzaylarına
homeomorfik uzaylar denir.
H a tırla tm a 1.1.3. Süreklilik tanımındaki ‘açık kümeler’ ifadesi yerine ‘kapalı
kümeler’ yazarak sürekliliğin bir başka (denk) tanımını elde ederiz, çünkü her
B Ç Y alt kümesi için X — f - l (B) = f - l ( Y — B) dir.
Ö rn ek 1.1.4. M™, (n > 0), üzerindeki standart topolojinin açık kümeleri
şu şekilde tanımlanır: Bir U Ç M™ alt küme olmak üzere her x € U için
B( x, r ) = {y € M™ | \\y — x\\ < r} Ç U olacak şekilde bir r > 0 gerçel sayısı
var ise U alt kümesine açıktır denir. (\\x — y\\ = Q 2j™
=l(xi — y i ) 2) 1/2 ifadesi
x = (x]_,. . . , x n) ve y = (yl , . . . , yn) noktaları arasındaki Oklit uzaklığını gös­
termektedir). Aksi söylenmediği sürece Oklit uzayını her zaman bu topolojisi ile
beraber düşüneceğiz.
Ö rn ek 1.1.5. ( X , t ) bir topolojik uzay ve A Ç X bir alt küme olsun. Bu
durumda ta = {U fi A | U € t } koleksiyonu A alt kümesi üzerinde bir topoloji
belirler ve bu topolojiye alt uzay topolojisi veya (X, t ) uzayından miras kalan
topoloji denir.
Bu örnek elimizdeki bir topolojik uzaydan yeni topolojik uzaylar elde et­
menin bir yolu olarak da görülebilir.
4
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Verilen topolojik uzaylardan yeni bir topolojik uzay üretmenin bir yolu
çarpım topolojisidir. Çarpım topolojisini tanımlamadan önce bir topolojinin
tabanından bahsedelim: (X , t ) bir topolojik uzay ve fi Ç t bir alt aile olsun.
Eğer X = Uu çş U ve her V € t ve x € V için x € U Ç V olacak şekilde
bir U € fi açık kümesi varsa fi ailesine bu topolojinin bir tabanıdır denir.
Şimdi de fi bir herhangi bir X kümesinin alt kümelerinin bir ailesi ol­
sun. Bu aileye X, 0 ve fi ailesinin sonlu sayıdaki elemanlarının ara kesitlerinin
rastgele birleşimlerinden oluşan alt kümelerini de ekleyerek bir topoloji oluştu­
rabiliriz. Bu topolojiye fi tarafından üretilen topoloji denir.
(X, tx ) ve (Y, ty ) iki topolojik uzay olsun, fi = tx x ty ailesin in X x Y
kümesi üzerinde ürettiği topolojiye bu iki uzayın çarpım topolojisi denir. Daha
genel olarak eğer {(Xi, Ti)}içi bir topolojik uzaylar ailesi ise Ui € Ti ve I endeks
kümesinin sonlu sayıda elemanı dışındaki tüm elemanları için Ui = X i olacak
şekilde seçilen Ui açık kümelerinin Ç[ Ui direk çarpımlarının oluşturduğu fi
ailesinin ürettiği topolojiye Ç[ X i çarpım kümesi üzerindeki çarpım topolojisi
denir.
Hatırlatm a 1.1.6. 1) Çarpım, topolojisi, çarpım kümesinden çarpımı oluştu­
ran uzaylara tanımlanan her bir iz düşüm fonksiyonunu sürekli yapan en zayıf
(kaba) topolojidir.
2) Yukarıdaki tanımda topolojimizin tabanım tüm Ç[ Ui, Ui € Ti, çarpımları
da alabilirdik. Fakat bu durumda n X i çarpım kümesi üzerinde elde edilecek to­
poloji gereğinden fazla kuvvetli olacağı için kullanışlı olmayacaktır. (Bkz. Alış­
tırma 5) Kutu topolojisi olarak adlandırılan bu topoloji çarpım kümesi üzerin­
deki her bir iz düşüm fonksiyonunu sürekli yapan en kuvvetli (ince) topolojidir.
3) Gerçel sayılar kümesi üzerindeki standart topolojinin açık kümeleri sayı­
labilir çoklukta ayrık açık aralığın birleşimidir (Bağlantılı uzaylar bölümüne
bakınız). Dolayısıyla, bu şekildeki iki açık kümenin çarpımı da düzlemde yine
sayılabilir çoklukta ayrık açık dikdörtgen bölgenin birleşimi olacaktır. Bu ne­
denle düzlemdeki bir çok açık küme, örneğin yuvarlar, gerçel sayılar kümesinin
açıklarının bir çarpımı olamazlar. Diğer taraftan, düzlemdeki her açık küme
sayılabilir çoklukta açık dikdörtgen bölgenin birleşimi (genelde ayrık olmayan)
olarak yazılabilir.
Yeni topolojik uzaylar elde etmenin bir diğer yolu ise bölüm uzaylarıdır:
f : X ^ Y örten t e küme fonksiyonu ve tx X üzerinde bir topoloji olsun.
f : X ^ Y örten fonksiyonunun vermiş olduğu P : X ^ X / ~ bölüm kümesini
ve f : X / ^ Y bire bir eşlemesini düşünelim (bkz. Örnek 1.1.1). X / ~ bölüm
kümesi üzerine koyabileceğimiz ve P bölüm fonksiyonunu sürekli yapacak en
kuvvetli topolojiye bölüm topolojisi denir. Benzer şekilde Y kümesi üzerinde
f fonksiyonunu sürekli yapan en kuvvetli topolojiyi ty ile gösterelim. Bu
durumda f : X /
Y fonksiyonu bir homeomorfizma olur.
Önerme 1.1.7. P : X ^ X / ~ bir bölüm uzayı, f : X ^ Y ve f :
X / ^ Y , f = f o P, koşulunu sağlayan fonksiyonlar olsun. Bu durumda
5
G e n e l T o p o lo ji
f : X ^ Y fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart f : X /
fonksiyonunun sürekli olm,asıdır.
Y
Örnek 1.1.8. Bir önceki bölümde ele aldığımız
f : R ^ S 1 , f (t) = (cos2nt, sin2nt) ,t € R,
fonksiyonu bize f : R /
S 1 homeomofizmasım verecektir. Burada R / ~
ve dolayısıyla S 1 üzerindeki topoloji bölüm uzayı topolojisidir. S 1 üzerindeki
bu topoloji ile S 1 ’in düzlemden aldığı alt uzay topolojisinin aynı olduğunun
gösterilmesini okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz.
Bir ( X , t ) topolojik uzay olsun. Eğer her x , y € X için x € U, y € V ve
U fi V = 0 olacak şekilde U ve V açık kümeleri varsa bu uzaya Hausdorff (veya
T 2 uzayı) denir.
R™ standart topolojisiyle bir Hausdorff uzaydır. Hausdorff uzayların Kar­
tezyen çarpımları da Hausdorff uzaylardır. Bir Hausdorff uzayın tüm alt uzay­
ları da benzer şekilde Hausdorff’tur. Diğer taraftan Hausdorff olma özelliği
bölüm uzaylarına geçmeyebilir.
...
Örnek 1 1 9 X = {(x,y) € R 2 | x € R, y € { —1,1}} alt uzayını düşüne­
lim. R 2 üzerindeki standart topoloji Hausdorff olduğu için X uzayı da Haus­
dorff ’tur. X üzerinde bir ~ denklik bağıntısı tanımlayalım:
(x 1 ,y 1 ) ~ (x 2 ,y 2 )
ancak ve ancak (x 1 = x 2 ve y 1 = y 2 ) veya (x 1 = x 2 = 0). Bu denklik bağın­
tısından elde edilen bölüm uzayı Hausdorff değildir. Bunu görmek için bölüm
uzayında (0 , 1 ) ve (0 , —1) noktalarının denklik sınıflarının farklı olduklarını
fakat bu iki noktayı ayrı ayrı içeren herhangi iki açık kümenin ayrık olamaya­
cağını görmek yeterlidir.
Aşağıda bir topolojik uzay için Hausdorff olmanın kullanışlı bir karakterizasyonunu vereceğiz.
Önerme 1.1.10. X topolojik uzayının Hausdorff olması için gerek ve yeter
şart A = {(x,x) I x € X } köşegen alt kümesinin X x X çarpım uzayı içinde
kapalı olmasıdır.
Kanıt : İlk önce A = {(x, x) | x € X } köşegen ait kümesinin X x X çarpım
uzayı içinde kapalı olduğunu kabul edelim. x , y € X ve x = y olacak şekilde
iki nokta alalım. O halde (x, y) € A olur. A kapalı bir alt küme olduğu için
X içinde x € U y € V ve (U x V ) f A = 0 olacak şekilde U ve V açık alt
kümeleri bulabiliriz. Fakat (U x V ) f A = 0 tam olarak U f V = 0 anlamına
gelir. O halde, X uzayı Hausdorff’tur. Bu kanıtın tüm adımları kolayca ters
çevrilebileceği için diğer yönün kanıtını okuyucuya bırakacağız. □
6
Y a r d ım c ı B ilg ile r
1.1.3
T ıkız, B a ğ la n tılı U zaylar
(X, t ) bir topolojik uzay olsun. X = Ui&ıUi olacak şekilde X uzayının açık
kümelerinden oluşan bir {Ui }i€ı ailesine X ’in bir açık örtüsü denir.
T anım 1.1.11. Bir (X , t ) topolojik uzayının her açık örtüsünün sonlu bir alt
örtüsü varsa bu uzaya tıkızdır denir.
X bir topolojik uzay ve A C X bir alt uzay olsun. Eğer A alt uzayı tıkız
ise A’ya X ’in tıkız bir alt kümesidir denir.
Ö rnek 1.1.12. 1 ) Gerçel sayılar kümesi (standart topolojisi ile) tıkız değildir
çünkü, {(n — l ,n + l)}ngz açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü yoktur.
2) Benzer şekilde (0, l] C R aralığı tıkız değildir çünkü, {(l/n, l]}nez+ açık
örtüsünün sonlu bir alt örtüsü yoktur.
3)
X = {x € R | x = 0 veya x = l / n, n € Z+} alt kümesi tıkızdır çünkü,
0 noktasını içeren her açık küme bu kümenin sadece sonlu elemanım dışarıda
bırakır (lim l/n = 0 olduğundan dolayı) ve bu sebepten dolayı bu kümenin her
açık örtüsünün bir sonlu alt örtüsü vardır.
Yukarıdaki örnekler Oklit uzayının bir alt kümesinin tıkız olması için bu
alt kümenin sınırlı ve kapalı olması (yığılma noktalarını içermesi) gerektiği­
ni vurgulamaktadır. Heine-Borel Teoremi de aslında tam olarak bunu ifade
etmektedir.
Teorem 1.1.13 (Heine-Borel Teoremi). X C Rn olsun. X alt kümesinin Öklit
uzayından gelen topolojisi ile tıkız bir uzay olması için gerek ve yeter şart X
alt kümesinin sınırlı ve. kapalı olmasıdır.
Aşağıdaki önermelerin kanıtları okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır.
.. .
Ö nerm e 1 1 14 Tıkız bir uzayın her kapalı alt kümesi tıkızdır. Diğer taraftan,
Hausdorff bir uzayın her tıkız alt kümesi kapalıdır.
Ö nerm e 1.1.15. f : X ^ Y tıkız bir X uzayından Y uzayına sürekli bir
fonksiyon ise f (X ) C Y alt kümesi de tıkızdır.
Bu sonucu Heine-Borel teoremi ile birleştirirsek şu sonucu buluruz.
Sonuç 1.1.16. Tıkız bir X uzayında tanımlı her gerçel sayı değerli f : X ^ R
sürekli fonksiyonunun en büyük (maksimum) ve. en küçük (m,inim,um,) değeri
vardır.
Aşağıdaki örnek bire bir, örten ve sürekli bir fonksiyonun homeomorfizma
olmasının gerekmediğini göstermektedir.
.. .
Ö rnek 1 1 17 ti ile R üzerindeki standart topolojiyi, t2 ile de tabam aşağı­
daki aile olan topolojiyi gösterelim:
fi = {(a, b) I a, b € R, ab > 0} U {(a, b) U (c, x>) | a, b, c € R, a < 0 < b}.
G e n e l T o p o lo ji
7
Şimdi f : (R, r\)
— (R, t2 ),
f (x)
=
x,
x €
R,
fonksiyonunu düşünelim. f ’in
bire bir ve örten olduğu açıktır. Ş Ç t \ olduğundan dolayı f süreklidir. Diğer
taraftan (—1, 1) € t \ ve (—1, 1) € t2 olduğundan f ’in tersi sürekli değildir.
Diğer taraftan aşağıdaki sonuç bazı durumlarda ters fonksiyonun da sürekli
olacağını gösteriyor.
Ö nerm e 1.1.18. X , Y topolojik uzaylar ve f : X — Y bire bir sürekli bir fonk­
siyon olsun. Eğer X tıkız ve Y Hausdorff ise f fonksiyonu görüntüsü üzerine
bir homeomorfizmadır.
K a n ıt: A = f ( X ) ile f ’in görüntüsünü ifade edersek tek yapmamız gereken
f - 1 : A — X ters fonksiyonunun sürekli olduğunu göstermektir. O halde, bir
kapalı C Ç X alt kümesi alalım. X tıkız ve C de kapalı küme olduğundan
C kümesi de tıkız olur, f sürekli olduğu için ( f - 1 )- 1 (C) = f (C) kümesi Y
Hausdorff uzayı içinde tıkız ve dolayısıyla kapalı bir küme olur. O halde, f - 1
ters fonksiyonu süreklidir. □
Eğer bir f : X — Y fonksiyonu görüntüsü üzerine bir homeomorfizma ise
f ’ye topolojik gömme fonksiyonu denir.
.. .
Ö rn ek 1 1 19 X = R 3 — {(0, 0, 0)} uzayı (Öklit topolojisi ile) olsun ve X
üzerinde ~ denklik bağıntısı şu şekilde tammlansm: (x 1 , x 2 ,x 3 ) (y ı , V2, V3)
ancak ve ancak (y 1 ,y 2 ,y 3 ) = \ ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) olacak şekilde bir X € R+ sayısı
vardır. X uzayından iki boyutlu birim küreye, S 2, tanımlan an F (x) = x /||x ||,
x € X , ||x||2 = x 2 + x2 + x \, fonksiyonu bölüm uzayın a inerek F : X / ——S 2
fonksiyonunu verecektir. Bu fonksiyonun bire bir ve örten olduğu açıktır. Her
bir koordinat fonksiyonu sürekli olduğu için F ve dolayısıyla F süreklidir. P :
X — X / ~ bölüm fonksiyonu olsun. P ( X ) = P (S 2 ) olduğu iç in X / ~ = P (S 2 )
bölüm uzayı tıkızdır. O halde, yukarıdaki önerme gereğince F : X / ——S 2
fonksiyonu bir homeomorfizmadır (aslında bölüm uzayının R 3 ’e bir gömülme­
sini verir). (Bkz. Alıştırma 13)
f : X — Y topolojik uzayların sürekli bir fonksiyonu olmak üzere eğer
her tıkız C Ç Y alt kümesi için f - 1 (C) ters görüntüsü de tıkız oluyorsa f ’ye
düzgün bir fonksiyondur denir. Düzgün fonksiyonların en önemli özelliklerinden
biri aşağıdaki sonuçtur.
Ö nerm e 1.1.20. X bir Hausdorff topolojik uzay ve f : X — R™ düzgün ve
sürekli bir fonksiyon olsun. O zaman f kapalı bir fonksiyondur. Eğer f ayrıca
bire bir ise f : X — R™ bir topolojik gömme fonksiyonudur.
Kanıt : A Ç X içinde kapalı t e alt küme olsun, f (A) alt kümesinin ka­
panışında bir yo € f (A) Ç R™ noktası alalım. O halde, f (A) içinde yo nok­
tasına yakınsayan bir (y™), (n > 0), dizisi vardır. Örnek 1.1.12(3)’den dolayı
C = {y™ | n = 0 , 1, •••} alt kümesi tıkızdır. O halde f - 1 (C) ve dolayısıyla
f - 1 (C) fi A alt kümesi X içinde tıkızdır. Bu durumda (y™), (n > 0), dizisi
f ( f - 1 (C) f A) tıkız kümesinin içindedir. Bu tıkız küme aynı zamanda kapalı
Y a r d ım c ı B ilg ile r
olduğundan dolayı y 0 = lim yn € f (A) sonucunu elde ederiz. Diğer bir deyişle
f (A) kapalıdır.
ikinci kısmın kanıtı f ’nin kapalı bir fonksiyon olmasından kolayca elde edi­
lir. □
T anım 1.1.21. Bir ( X , t ) topolojik uzayı boş olmayan iki açık alt kümesinin
ayrık birleşimi olarak yazılamıyorsa bu uzaya bağlantılıdır denir. Bağlantılı ol­
mayan uzaylara bağlantısız uzaylar denir.
(X, t ) topolojik uzayının verilen her iki x ,y € X noktası için 7 (a) = x,
7 (b) = y olacak şekilde sürekli bir 7 : [a,b] ^ X fonksiyonu varsa bu uzaya yol
bağlantılıdır denir.
X t e topolojik uzay ve A C X bir alt uzay olsun. Eğer A alt uzayı bağlantılı
ise A’ya X ’in bağlantılı bir alt kümesidir denir.
Ö rnek 1.1.22. 1 ) Gerçel sayılar (standart topolojisi ile) uzayının her aralığı
bağlantılıdır. Örnek olarak X = [0,1] aralığının bağlantılı olduğunu gösterelim.
X içinde U = 0 = V , U fi V = $ ve X = U U V olacak şekilde açık kümelerin
var olduğunu kabul edelim.. 0 € U olsun ve a = sup{x | [0, x] C U} sayısını
göstersin, a € (0,1) olduğu kolayca görülür. Eğer a € U ise U açık bir küme
olduğu için a € (a —e, a + e) C U olacak şekilde pozitife gerçel sayısı vardır. O
halde, a + e/2 € U olacaktır ve bu a sayısının seçimiyle çelişir. Eğer a € U ise
a € V olur ve yine V açık bir küme olduğu için a — e/2 € V olacak şekilde bir
(başka) pozitif e sayısı vardır. Fakat bu durum da tekrar a sayısının seçimi ile
çelişir. O halde en başta yaptığımız kabul yanlıştır ve dolayısıyla [0 , 1] aralığı
bağlantılıdır.
2)
A C R boş kümeden farklı bir alt küme olsun. Eğer A bir aralık değilse
öyle bir a € R sayısı vardır ki A f (—m, a) = 0 = (a, m) f A olur ve dolayısıyla
A bağlantılı bir küme olamaz. O halde, R ’nin bağlantılı alt kümeleri sadece
aralıklardır.
Yukarıdaki örneğin ilk kısmını kullanarak yol bağlantılı bir uzayın aynı
zamanda bağlantılı olduğunu görebiliriz (bkz. Alıştırma 14).
Tıkızlık konusunda olduğu gibi kanıtları alıştırma niteliğinde olan aşağıdaki
sonuçların kanıtlarını okuyucuya bırakıyoruz.
Ö nerm e 1.1.23. Bağlantılı bir uzayın sürekli bir fonksiyon altındaki görüntüsü
de bağlantılıdır.
Teorem 1.1.24 (Ara değer teoremi), f : X ^ R bağlantılı bir X uzayında
tanımlanan gerçel sayı değerli sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer f (x) < c <
f (y) olacak şekilde x ,y € X elemanları ve c € R gerçel sayısı varsa, c = f (z)
olacak şekilde en az bir z € X elem,anı vardır.
Ö rnek 1.1.25. 1) { E \} \ € A, E \ C X bağlantılı alt kümelerin oluşturduğu
bir aile olsun. Eğer YIaE \ = 0 ise U \E \ bağlantılı bir kümedir.
9
G e n e l T o p o lo ji
Bağlantılı alt kümelerden ortak bir elemanları varsa bu alt kümelerin bir­
leşimi de bağlantılıdır.
2) E C X bağlantılı bir alt küme ve E C F C E ise F alt kümesi de
bağlantılıdır.
3) A topolojik X uzayının bağlantılı bir alt kümesi olmak üzere, A C B C A
koşulunu sağlayan her B alt kümesi de bağlantılıdır (kanıtı okuyucuya bırakıl­
mıştır). Topolojist sinüs eğrisi olarak bilinen
S = {(x, sin(1/x)) € R 2 | x > 0}
eğrisi yol bağlantılı olduğu için düzlemin bağlantılı bir alt kümesidir. Bu kü­
menin kapanışı {( 0 ,y) I — 1 < y < 1}
S eğrisinin
y-ekseni ile birleşiminden oluşan alt uzay, S, bağlantılıdır ama yol bağlantılı
değildir. Bunu şu şekilde görebiliriz.
Şekil 1.2: Topolojistin Sinüs Eğrisi. Sinüs fonksiyonunun her periyodu içinde
±1
değerlerini alması gerekirken bu grafikte en büyük değerler bazen birin altında, kalıyor.
Bir süre uğraştıktan sonra, bilgisayara, "doğru” grafiği çizdirmenin pek kola/y olmadığını
görd,üm ve grafikteki bu hatanın siz değerli okuyucuların hayal gücüyle düzeltilebile­
ceğine karar verdim.
Diyelim ki, Si = {(x, sin(1/x)) € R 2 | x > 0} U {(0,y) € R 2 | y € R}
Y(0) = (0 , 0) ve y ( 1) = (1 /^ , 0) olacak şekilde
sürekli bir y : [0,1] ^ S, t ^ y (t) = (x(t),y(t)), eğrisi alalım. x(t) sürekli
fonksiyonu için, x( 0) = 0 ve x ( 1) = 1/ ^ olduğundan x _ 1((0 , x>)) açık ters
görüntü kümesinin 1 noktasını içeren bileşeni (a, 1], 1 > a > 0 , şeklinde bir
aralıktır. Ayrıca, x(a) = 0 olmalıdır çünkü a € x _ 1((0, rc>)) olacak şekilde
seçilmiştir. Fakat her t € (a, 1) için x(t) > 0 olduğundan
y(a) = lim y(t) = lim sin (1/x (t)) = lim sin (1/x)
t^a+
t^a+
10
Y a r d ım c ı B ilg ile r
elde ederiz. Fakat en son yazdığımız limitin değeri yoktur, dolayısıyla bu bir
çelişkidir.
X bir topolojik uzay olmak üzere X üzerinde ~ denklik bağıntısını şu şe­
kilde tanımlayalım: x ~ y ancak ve ancak x ve y noktalarının her ikisini birden
içeren bir bağlantılı C Ç X alt kümesi vardır. (Aslında bu bağıntının geçişme
özelliği olduğunu göstermek için yukarıdaki örneğin ilk kısmını kullanmamız
gerekir.) Bu bağlantının denklik sınıflarına X uzayının bağlantılı bileşenleri de­
nir. Her denklik sınıfı, X uzayının, bu denklik sınıfının herhangi bir noktasını
içeren en büyük bağlantılı alt kümesidir.
Ö nerm e 1.1.26. X bir topolojik uzay olmak üzere, X ’in topolojik bileşenleri
birer kapalı alt kümedir. Diğer taraftan, bu uzayın hem açık hem de kapalı
her alt kümesi bir topolojik bileşendir. Ayrıca, X uzayı bağlantılı bileşenlerinin
ayrık birleşimi olarak tek bir şekilde yazılabilir.
Ö rnek 1.1.27. X topolojik uzayında gerçel sayı değerli bir f : X ^ R fonk­
siyonu alalım. Eğer her x € X için, f (x) = f (y), her y € Ux için, olacak
şekilde bir x € Ux Ç X açık kümesi varsa bu fonksiyona yerel olarak sabit
fonksiyon denir. Eğer fonksiyon sürekli ve yerel sabit ise X ’in her bağlantılı
bileşeninde sabit olmalıdır. Bunu şu şekilde görebiliriz: a € R alalım. {a} Ç R
kümesi kapalı olduğundan f - 1 (a) Ç X kapalıdır. Diğer taraftan yerel olarak
sabit fonksiyon olmanın tanımından f - 1(a) Ç X alt kümesi açık bir kümedir.
O halde f - 1 (a) Ç X alt kümesi X uzayının bağlantılı bir parçasıdır. Buna göre
~ aynı bağlantılı parçanın içinde olma bağıntısı ise (Önerme 1.1.26’in önce­
sindeki paragrafa bakınız) f : X ^ R fonksiyonu bize sürekli bir f : X /
R
sürekli fonksiyonu verecektir.
1.1.4
M etrik len eb ilir U zaylar
Boş olmayan bir X kümesi üzerinde yağıdaki koşulları sağlayan bir d : X x
X ^ R fonksiyonu alalım: Her x,y, z € X için
1. d(x,y) = d(y, x);
2 . d(x, z) < d(x, y) + d(y, z);
3. d(x,y) > 0 dır ve eşitlik ancak ve ancak x = y durumunda sağlanır.
Bu durumda d fonksiyonuna X üzerinde bir metrik ve (X, d) İkilisine ise metrik
uzay denir. Eğer her x ,y € X için, d(x, y) < C olacak şekilde bir C > 0 gerçel
sayısı varsa bu metriğe sınırlıdır denir. (X, d) bir metrik uzay ve x € X ve
r pozitif bir gerçel sayı olsun. B( x, r ) = {y € X | d(x,y) < r} alt kümesine
x merkezli ve r yarıçaptı yuvar denir. Bir metrik uzayın tüm açık yuvarlarının
ürettiği topolojiye metrik uzay topolojisi denir. X kümesi üzerindeki bir t to­
polojisi bu küme üzerindeki bir metrik tarafından üretilen topoloji ise (X, t )
topolojisine metriklenebilir topoloji denir.
G e n e l T o p o lo ji
11
dı ve d2 bir X kümesi üzerinde tanımlanan metrikler olmak üzere her
x ,y € X için
m dı (x,y) < d2 (x,y) < M dı (x,y) ,
koşulunu sağlayan m, M > 0 gerçel sayıları varsa bu iki metriğe denk metrikler
denir. Denk metriklerin aynı topolojiyi ürettiklerinin gösterilmesini alıştırma­
lara bırakıyoruz.
Ö rn ek 1.1.28. ilk bölümde ele aldığımız, M™ üzerindeki Oklit topolojisi Oklit
metriği tarafından üretilen topolojidir.
(X, d) bir metrik uz ay, y € X bir nokta ve (x n) bu uzay içinde bir dizi
olsun. Eğer verilen her e > 0 gerçel sayısı için, ( n > N ^ d(xn , y) < e ) olacak
şekilde bir N doğal sayısı varsa (xn) diziş i y noktasına yakınsıyor denir ve
lim x n = y olarak yazılır. Eğer verilen her e > 0 gerçel sayısı için (m, n > N ^
d(xm, x n) < e) olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa (xn) dizisine Cauchy
dizisi denir. Kolayca görüleceği gibi her yakınsak dizi bir Cauchy dizisidir.
(X, d) metrik uzayındaki her Cauchy dizisi aynı zamanda yakınsak ise bu uzaya
tam uzay denir.
Topolojik özellikler metrik uzaylarda sadece diziler yardımı ile ifade edile­
bilir. Aşağıdaki ifadelerin kanıtlarını okuyucuya bırakıyoruz.
Ö nerm e 1.1.29.
1. (X, d) bir metrik uzay ve A C X bir alt küme olsun.
A alt kümesinin kapalı olması için gerek ve yeter şart A ’mn içindeki her
yakınsak dizinin limitinin de A içinde olmasıdır.
2. (X, d) tam bir metrik uzay ve A C X olsun. Bu durumda A alt kümesi
kapalıdır ancak ve ancak A alt uzayı da tam bir metrik uzaydır.
3. Metrik uzaylar arasındaki bir f : (X, d x ) ^ (Y, d y ) fonksiyonun sürekli
olması için gerek ve yeter şart X içindeki her yakınsak (xn) dizisi için
( f (xn)) dizisinin ( Y, dy) içinde yakınsak olmasıdır.
(X, d) metrik uzayı içindeki her dizinin yakınsak bir alt dizisi varsa bu
metrik uzaya dizisel tıkız metrik uzay denir.
T eorem 1.1.30. (X,d) bir metrik uzay olsun.
A) (X, d) dizisel tıkız bir uzay ise sınırlı ve tamdır.
B) (X, d) metrik uzayının tıkız olması için gerek ve yeter şart bu uzayın
dizisel tıkız olmasıdır.
Bu teoremin kanıtını topolojik ve metrik uzaylara ait bir çok fikri ve tekniği
içerdiği için burada vereceğiz.
K a n ıt: A) X dizisel tıkız bir uzay olsun. Eğer X sınırlı değil ise her x € X
ve n € N için B( x, n) = X olacaktır. Buna göre sabit bir x € X için x n € X —
12
Y a r d ım c ı B ilg ile r
B(x, n) olacak şekilde seçilen (x n) dizisinin yakınsak alt dizisi olmayacaktır.
Çünkü limiti z 0 olan yakınsak bir (zn) dizisi için limn^ ^ d(zn , x ) = d(z 0 , x )
olacaktır fakat bizim durumumuzda d(xn , x ) > n ’dir. O halde X metrik uzayı
sınırlıdır.
Şimdi de X metrik uzayının tam olduğunu görelim. X uzayı içinde bir
(xn) Cauchy dizisi alalım. X dizisel tıkız olduğundan bu dizinin yakınsak bir
(xkn) alt dizisi vardır, lim xkn = x 0 olsun. Buna göre verilen her e > 0 gerçel
sayısı için, öyle bir no doğal sayısı vardır ki, her m , n > n 0 tam sayıları için
d(xm, x n) < e/2 ve d(xkn , x 0 ) < e/2 eşitsizlikleri sağlanır. Son olarak üçgen
eşitsizliğini kullanarak d(xn, x 0 ) < d(xn,xkn) + d(xkn, x 0 ) < e, n > n0, elde
ederiz. O halde, (xn) dizisi de x 0 noktasına yakınsamaktadır ve dolayısıyla
(X, d) metrik uzayı tam bir uzaydır.
B) ilk önce (X, d) uzayının tıkız olduğunu kabul edelim ve bu uzayın dizisel
tıkız olduğunu gösterelim. X içinde bir (xn) dizisi alalım. Şimdilik her x € X
elemanı için, {n € N | x n € B ( x , r x)} kümesi sonlu bir küme olacak şekilde
bir rx > 0 gerçel sayısının radığını kabu 1 edelim. {B(x, rx)}x€x ailesi X tıkız
uzayının açık bir örtüsü olduğu için bu ailenin sonlu elemanı da X uzayını
örtecektir. Bu ise doğal sayılar kümesinin sonlu olması çelişkisine yol açacaktır.
O halde, X öyle bir x 0 € X noktası vardır ki, her r > 0 gerçel sayısı için
{n € N | x n € B(x, r)} kümesi sonsuzdur. Bu d urumda (xn) dizisinin x 0
noktasına yakınsayan bir alt dizisi vardır. Başka bir deyişle (X, d) metrik uzayı
dizisel tıkızdır.
Şimdi de (X, d) metrik uzayının dizisel tıkız olduğunu kabul edelim ve bu
topolojik uzayın tıkız olduğunu gösterelim. Diyelim ki, X tıkız olmasın. O
halde, X uzayının sonlu alt örtüsü olmayan bir {Ua} örtüsü vardır. X uzayı
dizisel tıkız olduğu için X tam ve sınırlıdır. X sınırlı olduğu için X C B(x, R)
olacak şekilde x € X noktası ve R > 0 gerçel sayısı vardır. O halde,
A = {r > 0 | bazı xı, • • • , x k € X için X C B ( x 1 ,r) U • • • U B ( x k, r)}
gerçel sayıların boş olmayan alttan sınırlı bir alt kümesidir.
5 = inf A olsun. Eğer 5 = 0 olsaydı hiç bir alt dizisi Cauchy dizisi olmayan
bir diziyi şu şekilde kurabilirdik: e = 5/2 alalım. Buna göre e € A olur. x 1 € X
alalım ve B (x 1 , e) yuvarını düşün elim, e € A olduğu için X —B ( x 1 , e) = 0 olur.
O halde x 2 € X — B ( x 1 , e) seçebiliriz. Benzer şekilde x 3 € X — ( B( x 1 ,e) U
B ( x 2 , e)) ve tümevarım meto du ile x n € X — ( B( x 1 ,e) U ••• U B (xn - 1 ,e))
seçebiliriz. Her m = n doğal sayı çifti için d(xn, x m) > e olduğu için bu dizinin
hiç bir alt dizisi Cauchy değildir. Fakat bu durumda (X, d) metrik uzayının
dizisel tıkız olması ile çelişir. O halde, 5 = 0 olmalıdır.
İlk önce r = 1 alalım. O haide X C B ( x 1 , 1) U • • • U B ( x k , 1) olacak şe­
kilde bazı x 1 , • • • ,xk € X noktaları vardır. {Ua } örtüsünün hiç bir sonlu alt
örtüsü X ’i örtemediği için bir birim yarıçaplı bu yuvarlardan birini de örte­
meyecektir. Diyelim ki bu yuvar B ( x 1 , 1) olsun. Şimdi r = 1 / 2 alalım. Bu
durumda B ( x 1 , 1) C B( y 1 , 1/2) U • • • U B(yı, 1/2) olacak şekilde y 1 , • • • ,yı €
X noktaları vardır. Benzer şekilde B(yi, 1/2) yuvarlarından birisi, diyelim ki
13
G e n e l T o p o lo ji
B ( y 1, 1 /2 ) {Ua } örtüsünün hiç bir sonlu alt örtüsü tarafından örtülemeyecektir
ve B ( x 1, 1) fi B ( y 1, 1/2) = 0 olacaktır. Bu durumda üçgen eşitsizliğini kulla­
narak d(x 1 , y 1) < 1 + 1/2 = 3/2 eşitsizliğini elde ederiz. Daha sonra r = 1/4
alarak bir z 1 € X noktası bulabiliriz, öyleki B ( z 1 , 1/4) yuvarı {Ua } örtüsünün
hiç bir sonlu alt örtüsü tarafından örtülemez ve B( y 1 , 1/2) f B ( z 1 , 1/4) = 0.
Dolayısıyla d(y1, z 1) < 1/2 + 1/4 = 3/4 olur. Bu işleme devam ederek ve elde
ettiğimiz dizinin terimlerinin gerekirse isimlerini değiştirerek aşağıdaki özellik­
lere sahip bir (xn) dizisi elde ederiz:
1) B(xi, 1/ 2*) yuvarı {Ua } örtüsünün hiç bir sonlu alt örtüsü tarafından örtü­
lemez;
2) Her i için, d(xi,xm ) < 1/2 i - 1 + 1/2* < 1/2 i - 2 olur.
Üçgen eşitsizliğini kullanarak her n < m için, d(xn , x m) < 1/ 2n-3 ol­
duğunu kolayca görebiliriz. O halde, (xn) dizisi Cauchy’dir. Dizisel tıkızlık
tam uzay olmayı gerektirdiği için bu dizinin xo gibi bir limiti olacaktır.
Son olarak, x 0 € Uao olacak şekilde bir a 0 seçelim. Uao açık bir küme olduğu
için B( x 0 ,p) C Uao olacak şekilde bir p > 0 gerçel sayısı bulabiliriz. Yeterince
büyük bir n doğal sayısı için d(xn, x 0) < p/ 2 ve 1/ 2n < p/ 2 eşitsizliklerini elde
ederiz. Fakat bu bize B( x n , 1/2n) Ç B ( x 0 ,p) Ç Uao çelişkisini verecektir. Bu
çelişki kanıtı tamamlar. □
Örnek 1.1.31 (Lebesgue sayısı). {Ua }a^ \ tıkız (X,d) metrik uzayının bir
açık örtüsü olsun. Her x € X için B ( x , r x) Ç Uax olacak şekilde rx > 0
ve a x € A seçelim. X uzayı tıkız olduğu için {( B( x, r x/2)}xex açık örtü­
sünün, { B( x i, rXi/2)}n= 1 gibi sonlu bir alt örtüsü X uzayını örtecektir. ö =
min{rxi/2 \ i = 1,... ,n} olsun. Şimdi herha ngi bir y € X için B (y, ö) yuvarım
ele alalım, ilk önce, d(xi, y) < rxi / 2 olacak şekild e bir i € {1,... ,n} vardır. Bu­
na göre her z € B(y,ö) için üçgen eşitsizliğinden d(z,xf) < d(z,y) + d(y,xf) <
ö + rxi/2 < rxi elde ederiz. O haide, z € B ( x i,rxi) Ç Uaxi ve dolayısıyla
B(y,ö) Ç Uaxi olur. Başka bir deyişle rastgele bir noktanın etrafına çizilebilecek ö yarıçaptı yuvar açık örtünün elemanlarının birinin içinde kalacaktır. Bu
sayıya açık {Ua }a^ \ örtüsünün bir Lebesgue sayısı denir.
Lebesgue sayısının bir uygulaması olarak aşağıdaki önermeyi kanıtlayalım.
Önerme 1.1.32. Tıkız bir metrik uzaydan başka bir metrik uzaya giden her
sürekli fonksiyon düzgün süreklidir.
Kanıt: (X, d1) tıkız bir uzay olmak üzere sürekli bir f : (X, d1) ^ (Y, d2)
fonksiyonu alalım. Bir e > 0 sayısı verilsin. Bu durumda her x € X noktası
için,
d 1 (x,y) <öx ^ d2( f ( x ) , f (y)) < e/ 2
olacak şekilde bir pozitif öx > 0 gerçel sayısı vardır. Tıkız ( X , d 1) uzayının
{B(x, öx) \ x € X } açık örtüsünün bir Lebesgue sayısı A > 0 olsun. Şimdi
14
Y a r d ım c ı B ilg ile r
dı (x,y) < X olacak şekilde herhangi iki nokta alalım. O halde, y € B(x, X) Ç
B( z, öz) olacak şekilde bir z € X noktası bulabiliriz. Son olarak, x, y €
B( z, öz) olduğundan
d2( / (x), f (y)) < d2( f ( x ) , f(z)) + d2( / (z), f (y)) < e/2 + e/2 = e
elde ederiz. □
T anım 1.1.33. (X, d) metrik uzay ve f : X ^ X bir fonksiyon olsun. Her
x ,y € X için d(f ( x) , f ( y) ) < X d(x,y) olacak şekilde bir 1 > X > 0 gerçel
sayısı varsa f fonksiyonuna bir daraltma fonksiyonu, X katsayısına ise daraltma
katsayısı denir.
Bir daraltma fonksiyonunun sürekli olduğu açıktır.
Teorem 1.1.34 (Banach Daraltma Prensibi). (X,d) tam bir metrik uzay ve
f : X ^ X bir daraltma fonksiyonu ise f fonksiyonunun bir ve tek bir sabit
noktası vardır.
Kanıt: Bu teorem üçgen eşitsizliğinin basit bir uygulamasıdır. Herhangi bir
xı € X noktası seçelim ve x n+ı = f (xn), n > 1, ile tanımlanan diziyi göz
önüne alalım. 0 < X < 1 gerçel sayısı f fonksiyonunun daraltma sabiti ise, her
n > 1 tam sayısı için
d(xn, xn-l) < X d (x n - 1 ,x n - 2 ) < • • < Xn - 2 d(x 2 ,xı)
elde edilir. Diğer taraftan, üçgen eşitsizliğini kullanarak, her n > 1 tam sayısı
için
d(xn,xı) < d(xn,xn-l) + d (x n - 1 ,x n - 2 ) +------+ d(x 2 ,xı)
ve dolayısıyla
d(xn,xı) < (Xn - 2 + Xn- 3 +-------+ 1) d(x 2 ,x ı) < “ 1 y d(x 2 ,xı)
buluruz. Son olarak her m > n > 1 tam sayı çifti için,
d(xm, x n) < X d(xm—1 , x n - 1) < • • •
< Xn— d(xm-n + ı,xı) <
Xn- 1
d(x 2 ,xı)
elde edilir. Son eşitsizlik ve 0 < X < 1 olması (xn) ’nin bir Cauchy dizisi ol­
duğunu gösterir. (X, d) tam bir metrik uzay olduğu için (xn) Cauchy dizisinin
xo gibi bir limit noktası vardır: lim x n = x 0 f : X ^ X sürekli olduğu için
f (x 0 ) = f (lim x n) = lim f (xn) = lim x n+ı = x 0 elde ederiz. Dolayısıyla, x 0
noktası f : X ^ X fonksiyonunun bir sabit noktasıdır.
Son olarak, eğer f : X ^ X fonksiyonunun y 0 = x 0 € X gibi bir başka sabit
noktası daha olsaydı 0 < d(x 0 ,y 0 ) = d (f (x 0 ) , f (y0 )) < Xd(x 0 ,y 0 ) < d(x 0 , y 0 )
çelişkisini elde ederdik. Dolayısıyla, f fonksiyonunun sadece tek bir sabit
noktası vardır. □
15
G e n e l T o p o lo ji
H a tırla tm a 1.1.35. Yukarıdaki kanıt tekniği aynı zamanda sabit noktanın
nasıl bulunacağını da gösteriyor, istediğiniz x 1 € X noktasından başlayarak
x n+ı = f (x n), n > l, formülü ile tanımladığımız (x n) dizisi varlığını ve
tekliğini kanıtladığımız sabit noktaya yakmsayuçaktır.
Banach Daraltma Prensibi bir metrik uzay üzerinde tanımlanan denklem­
leri çözmek için kullanılabilir. Bu iş için ilk önce uygun metrik uzayların kurul­
ması gerekmektedir. (X, d) t e metrik uzay olmak üzere B ( X ) ile X uzayında
tanımlı gerçel (veya karmaşık) sayı değerli sınırlı fonksiyonlar kümesini düşüne­
lim. Bu küme üzerindeki supremum metriği şu şekilde tanımlanır: f, g € B ( X )
ise
dsup(f,g) = sup{ ||f (x) - g(x)\\ | x € X } .
B ( X ) kümesi M metrik ile tam metrik uzay olur. Ayrıca, B ( X ) içindeki sürekli
fonksiyonlar alt kümesi, C ( X ) n B ( X ), bu uzayın kapalı bir alt kümesidir ve
dolayısıyla da tam bir metrik uzay oluşturur. Eğer X uzayı tıkız ise C ( X ) C
B ( X ) (Sonuç 1.1.16) olacağından C ( X ) alt uzayının kendisi tam bir metrik
uzaydır. Bu paragraftaki iddiaların kanıtları okuyucuya bırakılmıştır.
Ö rn ek 1.1.36. (an), an > 0 topla mı a =
an < l olan yakınsak bir dizi
olsun. Supremum metrik ile donatılmış olan B(N) tam metrik uzayı üzerinde,
her (xn) € B(N) için,
tt
0 ((xn))(m) = l + £
a— • xu ,
k=m+l
ile tanımlanan 0 : B(N) ^ B (N) fonksiyonunu düşünelim.
tt
dsup(0((xn)), 0((yn))) = sup{I Y ] ak_ı • (xk - Vk)|}
™eN k=m+ı
< a dsup((xn), (Vn))
olduğundan bu bir daraltma fonksiyonudur. O halde, Banach daraltma teore­
minden, her n > 0 için, x n = l + Yİtt=n+ 1 ak_ 1 • xk koşulunu sağlayan tek bir
(xn) dizisinin var olduğunu görürüz. Diğer taraftan, bu örneği biraz değiştire­
rek, her n > 0 için,
tt
x n = l + 'y ^ ak—1 • x (n+1)k
k=n+1
koşulunu sağlayan tek bir (xn) dizisinin varlığını kanıtlayabiliriz. Bu dizinin
varlığını Banach daraltma teoremini kullanmadan kanıtlamayı deneyiniz!
16
Y a r d ım c ı B ilg ile r
1.2
A nalız
1.2.1
T ü r ev len eb ilm e
Tür evlenebilir bir manifold yerel olarak (herhangi bir noktasının bir komşu­
luğu) Oklit uzayına homeomorfiktir. Dolayısıyla, Oklit uzaylarına dair tüm
kavram ve bilgilerimizi manifoldlara taşımayı düşünebiliriz. Oklit uzayı üzerin­
de analiz yaparken kullanılan en önemli kavramlardan ikisi türev ve integraldir.
Bu iki kavramı manifoldlara taşıyabilmek için gerekli olan alt yapıyı bu bölüm­
de sunmaya çalışacağız.
V ve W ile gerçel ya da karmaşık sayı cismi üzerinde tanımlı Banach
uzaylarını (tam normlu vektör uzayı) gösterelim. Sonlu boyutlu olması du­
rumunda bu uzayları doğrudan Rn veya Cn (Oklit veya Hermityan normuyla
beraber) alacağız.
T anım 1.2.1. V ve W Banach uzayları, x 0 € V bir nokta ve F : V ^ W
bir fonksiyon olsun. L : V ^ W sürekli (sınırlı) bir doğrusal dönüşüm olmak
üzere her h € V için
F (xo + h) = F (xo) + L(h) + ||h|| a(xo, h)
ve lim a(x 0 ,h) = 0 olacak şekilde bir a(x 0 ,h) € W varsa F fonksiyonuna x 0
h—
—
0
noktasında türeulenebilir denir. Bu durumda L : V ^ W doğrusal dönüşümüne
de F ’nin x 0 noktasındaki türevi d enir ve D F (x 0 ) vey a F ' (x 0 ) ile gösterilir.
Yukarıdaki tanımın gösterimini kullanarak her noktada türevlenebilir bir
F : V ^ W fonksiyonu bize, her x 0 € V için, D F ( x 0 )(h) ile tanımlanan
D F : V ^ hom( V, W)
türev fonksiyonunu verir (burada hom(V, W ) ile Banach uzayları arasındaki
sınırlı doğrusal dönüşümlerin oluşturduğu Banach uzayını kastediyoruz). Eğer
bu fonksiyon sürekli ise F € C l ( V , W ) diye yazarız ve F C 1’dir diye okuruz.
Benzer şekilde, eğer D F € Ck(V, hom(V , W )), k € N, ise F € C k + 1 ( V , W )
diye yazarız. Eğer, her k € N için F € C k( V , W ) ise F € C™ (V,W) diye
yazarız ve F sonsuz türevlenebilirdir deriz.
Banach uzayları arasında tanımlı bir fonksiyonun türevi aynı uzaylar ara­
sında tanımlı sürekli bir doğrusal dönüşümdür. Aslında aşağıda göreceğimiz
gibi bir fonksiyonun türevi, eğer varsa, kendisine en yakın (sürekli) doğrusal
dönüşümdür.
H a tırla tm a 1.2.2. 1) Eğer F : V ^ W doğrusal sürekli bir fonksiyon ise L =
F ve a(x 0 , v) = 0 ularak F fonksiyonunun türeulenebilir olduğunu ve türevinin
kendisine eşit olduğunu görürüz.. Başka bir deyişle doğrusal bir dönüşümüne
en yakın doğrusal dönüşüm yine kendisidir.
17
A n a liz
2)
Eğer F : V ^ W bir x o noktasında türevlene bilirse F fonksiyonu x o
noktasında süreklidir:
lim \\F(xo + h) — F (xo)\\ < lim \\L(h) \\ + lim \\h\\\\a(xo, h)|| = 0.
h^ 0
h^ 0
h^ 0
Ö rn ek 1.2.3. 1) f : R ^ R, f (x) = x 2, ile verilen fonksiyonun herhangi bir
x 0 € R noktasında türevlenebilir olduğunu görelim,:
f (xo + h) = f (xo) + 2xoh + h 2
olduğundan L : R ^ R, L(h) = 2xoh, h € R, doğrusal dönüşümü ve
a(xo,h) = \h\ fonksiyonu alarak f ’nin türevlenebilir olduğunu görürüz.
2) Benzer şekilde g : R 2 ^ R, g(x, y) = x 2 + 3xy + 5y — 6 ifadesi ile veri­
len fonksiyonun herhangi bir (xo,yo) € R 2 noktasında türevlenebilir olduğunu
görebiliriz: L : R 2 ^ R,
L(hı, h 2 ) = ((2xo + 3yo) h ı, (3xo + 5) h 2 ), (hı, h-2) € R 2
doğrusal dönüşümü ve
a((xo,yo), (h ı,h 2))
h 2 + 3h 1h 2
\\(hı , h 2 ) \\
0
(h ı,h 2) = (0 , 0)
(h ı,h 2) = (0 , 0) ,
fonksiyonu olmak üzere
g(xo + hı, yo + h^) = g(xo,yo) + L( h ı , h 2 ) + ||(h ı,h 2)||a((xo, yo), (h ı,h 2))
olur ve dolayısıyla g ’nin türevlenebilir olduğunu görürüz.
3)
Supremum normu ile donatılmış, [0,1] aralığında tanımlı gerçel değerli
sürekli fonksiyonların oluşturduğu B = C °([0,1]) Banach uzayı üzerinde, her
f € B için $ ( f ) = f 2 ile tanımlanan $ : B ^ B fonksiyonunu düşünelim.
Bir fo € B fonksiyonu alalım. Yukarıdaki örneğe benzer şekilde L : B ^
B , L(h) = 2foh h € B, doğrusal dönüşümü sınırlı ve dolayısıyla süreklidir.
Aslında ||L(h)|| < 2||fo||||h|| olur. Yine benzer şekilde
a(fo,h)
h= 0
h= 0
sürekli dönüşümünü, alarak $ fonksiyonun un f o € B
bilir olduğunu görürüz.
4) f : B ı ^ B 2, g : B 2 ^ B 3, Banach uzayları
olsun ve x o € B ı olsun. Eğ er f fonksiyonu x o
yo = f (xo) noktasında türevlenebilir ise g o f : B ı ^
noktasında türevlenebilirdir ve türevi
noktasında türevlene­
arasında fonksiyonlar
ve g fonksiyonu da
B 3 fonksiyonu da x o
D(g o f ) : Bı ^ B 3, D(g o f ) = Dg(yo) o D f (xo)
18
Y a r d ım c ı B ilg ile r
bileşke fonksiyonudur: Bunu görmek için ilk önce tanımı kullanarak
f (xo + hı) = f (xo) + D f Xo(hı) + ||hı|| a(xo,hı) ve
g(yo + h 2) = g(yo)+ Dgy0(h 2) + ||h 2 İ b(yo,h 2 ) ,
yazalım. O halde, bileşke fonksiyon için
(g ◦ f)(xo + hı) = (g o f)(x o )+ Dgy0( Df Xo(hı) + ||hı|| a(xo,hı))
+ HDfXo(hı) + ||hı|| a(xo,hı)H b(yo,Dfx0(hı) + ||hı|| a(xo,hı))
=
(g ◦ f )(xo) + (Dgy0 o Df x 0)(hı) + ||hı|| c(xo,hı)
elde ederiz, öyle ki, hata terimi (hı = 0 için)
c(xo,hı) = Dgy0(a(xo,hı)) + HDfx0(hı/||h ı||) + a(xo,hı)||
b(yo,Dfxo(hı) + ||hı|| a(xo,hı))
ile verilir. Son olarak, D fx0 doğrusal dönüşümü sınırlı olduğundan kolayca
lim c(xo, h ı ) = 0 eşitliği elde edilir,
hı^o
H a tırla tm a 1.2.4. Eğer F : R™ ^ Rm herhangi bir x o noktasında türevlenebilir bir fonksiyon ise D F ( x o) : R™ ^ Rm türev fonksiyonunun standart
tabanlardaki matris gösterimini F fonksiyonunun x o noktasındaki Jakobiyen
matrisi olacaktır. Bunun kanıtını okuyucuya bırakıyoruz.
Sayfa 6 8 ’de manifoldlar arasında tanımlı fonksiyonların türevini ele ala­
cağız.
1.2.2
T ers F on ksiyon T eorem i
U Ç B ı, V Ç B 2 Banach uzayları içinde açık kümeler ve F : U ^ V bire
bir örten ve sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer F - ı : V ^
U fonksiyonu da sonsuz defa türevlenebilirse F : U ^ V fonksiyonu bir
difeomorfizmadır denir.
Analizin en temel sonuçlarından biri olarak kabul edilen Ters Fonksiyon
Teoremi türevlenebilir bir fonksiyonun türevinin bir izomorfizma olması duru­
munda fonksiyonun kendisinin de, en azından yerel olarak, bir difeomorfizma
olduğunu göstermektedir. Bu teoremi vermeden önce kanıt içinde kullanacağı­
mız şu sonucu kanıtlayalım. B ı; B 2 Banach uzayları ve T : B ı ^ B 2 doğrusal
bir dönüşüm olsun. Eğer ||T(v )Hb 2 < M
her v € B ı için, olacak şe­
kilde pozitif bir M gerçel sayısı varsa T operatörüne sınırlıdır denir. Ayrıca,
T dönüşümü sınırlı ise
inf{ M > 0 | UT(v)|| b 2 < M ||v ||b i , v € Bı }
gerçel sayısına dönüşümün normu denir ve ||T | ile gösterilir.
19
A n a liz
Ö nerm e 1.2.5. B bir Banach uzayı ve T : B A B sınırlı doğrusal bir
operatör olsun. Eğer, ||T || = A < l ise I d s — T : B A B operatörünün
sınırlı bir tersi vardır. Dolayısıyla, sınırlı ve tersi olan operatörlerin, tüm sınırlı
operatörler uzayı içinde oluşturduğu U alt kümesi açıktır.
Ayrıca, f : U A U , T A T - 1 , sonsuz kere türevlenebilir bir fonksiyondur.
Kanıt : T n = T o ■■■ o T operatörünün normu ||Tn || < Xn eşitsizliğini
sağladığından
L : B -A B, x a
T n(x)
n=0
||L|| < En=o Xn = l / ( l — X). Diğer
operatörü iyi tanımlıdır ve sınırlıdır:
taraftan,
L o (IdB —T) = I d s = (IdB —T) o L
olduğu kolayca görülür, ikinci iddianın kanıtı ilk adımdan dolayı açıktır.
f fonksiyonunun tersi kendisine eşit olduğundan bu fonksiyon aynı za­
manda bire bir ve örtendir. O halde, kanıtı tamamlamak için bu fonksiyonun
sonsuz kere türevlenebilir olduğunu söylemek yeterlidir. T : B A B tersi olan
bir operatör ise yeterince küçük bir h : B A B operatörü için
f ( T + h)
=
f ( T (IdB + T - 1 h))
=
(IdB + T - 1 h)- 1 T - 1
= (IdB — (T- 1 h) + (T- 1 h ) 2 — (T- 1 h ) 3 + ■■■] T - 1
= T - 1 —( T- 1 h) T - 1 + (T- 1 h ) 2 T - 1 —(T- 1 h ) 3 T - 1 + ■■■
= f ( T ) — (T- 1 h) T - 1 + (T- 1 h ) 2 T - 1 —(T- 1 h ) 3 T - 1 + ■■■
elde edilir. O halde, L t : B A B , L t (h) = —T 1 h T 1, ve
( T-1h) 2 T - 1 — ( T-1h) 3 T - 1 + ■■■
a(T, h) =
0
, h=0
, h=0
alarak f : U A U fonksiyonunun T operatöründe türevli olduğunu görürüz
(lim^ 0 a(T,h) = 0 olduğunun gösterilmesini okuyucuya bırakıyoruz). (Eğer
operatörler yer değiştirilebilseydi L t (h) = —T - 2 h olurdu. Bunu f (x) = l / x
fonksiyonunun türeviyle karşılaştırın!) f ’nin ikinci kez türevlenebilir olduğunu
görmek için
D f : U -A hom(hom(B, B ), hom(B, B )) ,
D f ( T ) = L t : hom(B, B) A hom(B, B) , LT(h) = —T - 1 h T - 1
dönüşümünün türevlenebilir olduğunu görmeliyiz. Doğrudan hesap yaparak bu­
nun türevinin
D 2f : U A hom(hom 2(B, B), hom(B, B)) ,
D 2 fT(h, k) = T -1 h (T -1 k )T - 1 + ( T-1k ) T- 1 h T - 1
olduğunu görürüz. Kanıtın geri kalanını okuyucuya bırakıyoruz. □
20
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Hatırlatm a 1.2.6. Eğer B Banach uzayı sonlu boyutlu ise yukarıda ele
aldığımız f ( T ) = T - 1 fonksiyonu Kramer kurahndan dolayı T ’nin matris
gösteriminin elemanlarının rasyonel bir ifadesidir ve dolayısıyla sonsuz kere
türevlenebilir olduğu açıktır.
Teorem 1.2.7 (Ters Fonksiyon Teoremi). B 1; B 2 Banach uzayları, x 0 € B 1
bir nokta ve F : B 1 ^ B 2 bir Ck, k > 0, fonksiyon olsun. Eğer D F (xo) : B 1 ^
B 2 bir izomorfizma ise x 0 € U Ç B 1; y 0 = F (x0) € V Ç B 2 olmak üzere öyle
açık kümeler vardır ki, F fonksiyonunun U kümesine kısıtlanışının tersi vardır
ve F - 1 : V
U ters fonksiyonu da Ck sınıfmdandır.
Kanıt : T 1 : B 1 B 1 , T 1 (x) = x + x 0 ve T 2 : B 2 ^ B2, T 2 (x) = y — y 0
afin öteleme fonksiyonları olmak üzere F fonksiyonunu T 2 o F o T 1 bileşke fonk­
siyonu ile değiştirerek, genellikten bir şey kaybetmeden ( T ^ e T 2 fonksiyonları
difeomorfizma olduklarından dolayı), x 0 = 0 ve y 0 = 0 olduğunu kabul edebi­
liriz. Benzer şekilde L = D F ( x 0) : B 1 ^ B 2 de bir difeomorfizma olduğu için
teoremi F yerine L - 1 o F : B 1 ^ B 1 bileşke fonksiyonu için kanıtlamak yeter­
li olacaktır. Bu bileşke fonksiyonun türevini x 0 noktasında zincir kuralından
hesaplarsak B 1 Banach uzayının birim fonksiyonunu buluruz. O halde, teoremi
F (0) = 0 ve D F (0) = I b 1 koşullarını sağlayan bir F : B 1 ^ B 1 fonksiyonu
için kanıtlamak yeterlidir.
D F (0) = I Bl olduğundan, her x € B[0,r\\ için, F(x) = x + ||x|| a(x) ve
||a(x)|| < 1/2 olacak şekilde bir r 1 > 0 gerçel sayısı ve a : B[0,r\\ ^ B 1
fonksiyonu bulabiliriz. Ayrıca yine D F (0) = I b 1 olduğu için, gerekirse r 1 > 0
sayısını küçülterek, her x € B [0 ,n \ için ||I b 1 —D F (x)|| < 1/2 olduğunu kabul
edebiliriz (burada HIb 1 —D F (x)|| < 1/2 ile Banach uzayından kendisine giden
I b 1 — D F (x) doğrusal operatörünün normunu kastediyoruz).
Şimdi y € B[0, r 1/2\
üz ere y = F (x) = x + ||x|| a(x) denklemini
göz önüne alalım. İlk önce bu denklemin her y € B [0,r 1/2\ için sadece tek
bir x € B [0, rf\
olduğunu göstereceğiz: Bunun için bir y € B[0,r 1 /2\
noktası sabitleydim ve 9(x) = y + x —F(x) = y —||x|| a(x) ifadesini düşünelim.
Bu durumda, her x € B[0, r 1 \ için
l|0(x)H < M + ||xyya(x)| < n / 2 + n / 2 = r 1 (*)
olur ve dolayısıyla
B[0 , rf\ yuvarından kendisine bir fonksiyon olarak düşü­
nebiliriz.
Şimdi de bu fonksiyonun bir daraltma fonksiyonu olduğunu görelim. 9(x) =
y + x — F(x) fonksiyonu tanımı gereği türevlenebilirdir ve türevi D9(x0) =
I b 1 — D F ( x 0) olur. r 1 > 0 gerçel sayısının seçiminden dolayı ||D9(x0)|| <
1/^^^^^.
olarak x 1 , x 2 € B [0 , r\\
ve j(t) = (1 —t)x 2 + t x 1 bu yuvarın
içinde kalan doğru parçası olmak üzere h(t) = 9(y (t)) olarak tanımlanan h :
[0,1\ B 1 fonksiyonunu düşünelim. Zincir kuralından h'(t) = D9(j(t))(x 1 —
x 2) yazabiliriz. Analizin Temel Teoremi’ni kullanarak
9(x1) — 9(x2) = h(1) — h(0) = f h'(t) dt
J0
21
A n a liz
ve buradan da
\\0 {xı) — 6 {x2 )\\<
\\DO{y (t))|| \\xı —x 21| dt <
eşitsizliğini buluruz. O halde, 0 bir daraltma fonksiyonudur. Bir daraltma
fonksiyonunun sadece bir sabit noktası olduğundan, her y € B [0 , n / 2] için
y = F(x) olacak şekilde tek bir x € B [0,rL] noktası vardır. Aslında yukarı­
daki (*) eşitsizliğine tekrar dönersek, her ||y|| < r 2 < r L/ 2 için y = F(x)
denklemini çözen x noktasın m ||x|| < r 2 + r 1 / 2 < r 1 eşitsizliğini sağladığını
görürüz. Dolayısıyla, V = B (0 ,r 1 /2) ve U = B (0 ,r 1) fi F - 1 (V ) açık kümeleri
için F : U A V bire bir ve örten bir C k fonksiyon olur.
Kanıtın bitmesi için son olarak F - 1 : V A U ters fonksiyonunun da Ck
olduğunu göstermeliyiz. Bunun için kanıtın başında yazdığımız y = x+||x|| a(x)
denklemine dönelim. Biliyoruz ki her ||y|| < r 1/2 için bu denklemi sağlayan
sadece tek bir ||x|| < rL vardır. Ayrıca bu iki nokta için y = F (x) ve x = F - 1 (y)
dir. O halde, x = y + x — F(x) = y — ||x|| a(x) denklemini kullanarak
İ N İ Ş İ M + »xHa(x)B<ByB + f î !
ve buradan da
1 Bx» < Uy»
elde ederiz. Ayrıca, y = F(x) = x + ||xB a(x) denkleminden
HyH < lİxB + ^
3BxB
2
buluruz. Buna göre
1) x = 0
ancak ve ancak y = 0 ’dır;
2 ) x ^ 0 ancak ve ancak y -A 0 ;
2
||x||
olur.
3) Eğer x = 0 = y ise, - ^
< 2 ve
3
y
2 < I|x|| < 2
Şimdi
—a(x)||x||
, y =0
b(0 , y ) =
0
, y = 0
fonksiyonunu düşünelim (x = F - 1 (y) olduğundan bu ifade gerçekten y’nin
bir fonksiyonudur). (1), (2) ve (3)’ü kullanarak kolayca b(0,y) fonksiyonunun
y = 0 noktasında sürekli olduğunu görebiliriz. Bu fonksiyonun tanımından
x = y + ||y|| b(0 ,y)
elde ederiz. O halde, F - 1 ters fonksiyonu y = 0 noktasında türevlidir.
Her x € B[0, r\] için ||I bi —D F (x)B < 1/2 olduğundan U kümesinin
her noktasında D F ’in izomorfizma olduğunu biliyoruz (bkz. Önerme 1.2.5). Do­
layısıyla aynı kanıt F - 1 ters fonksiyonunun V üzerinde türevlenebilir olduğunu
22
Y a r d ım c ı B ilg ile r
gösterecektir. Son olarak, zincir kuralını F (F 1 (y)) = y y € V, eşitliğine uy­
gulayarak
D F - 1 (y) = (DF (F - 1(y)))- 1
elde ederiz. Buradan kolayca F - 1 ters fonksiyonunun da C k olduğunu görürüz,
çünkü tersi var olan operatörler açık alt uzayında, tersini alma işlemi sonsuz
türevlenebilir bir fonksiyondur (bkz. Önerme 1.2.5). □
H a tırla tm a 1.2.8. F : Cn ^ Cn türevlenebilir (analitik) bir fonksiyon ve
z 0 € Cn bir nokta olsun. Eğer DF(zo) : Cn ^ Cn türev fonksiyonun tersi
varsa F analitik fonksiyonunun yine analitik yerel bir tersi olduğunu görürüz.
Aşağıda vereceğimiz Kapalı Fonksiyon Teoremi Ters Fonksiyon Teoremi’nin
bir sonucudur (aslında bu iki teorem birbirine denktir! Bkz. Alıştırma 26):
Sonuç 1.2.9 (Kapalı Fonksiyon Teoremi). B 1 , B 2 Banach uzaylan (x 0 ,y 0 ) €
B 1 x B 2 çarpım uzayı içinde nokta ve F : B 1 x B 2 ^ B 2 türevlenebilir ve türevi
sürekli olan bir fonksiyon olsun. F (x 0 ,y 0 ) = 0 olduğunu kabul edelim.. Eğer bu
noktada F ’nin ikinci değişkene göre türevi
dF
— (xo,yo) : {0 } x B 2 ^ B 2
bir izomorfizma ise x 0 € U Ç B 1 olacak şekilde bir açık küme ve bu küme
üzerinde tanımlı bir f : U ^ B 2 fonksiyonu vardır; öyle ki,
1 ) f(xo) = yo ve
2) her x € U için F(x, f(x )) = 0
olur. Başka bir deyişle, (x 0 ,y 0 ) noktasının bir komşuluğunda F (x,y) = 0
denkleminin y = f(x ) gibi bir çözümü vardır.
Kanıt : G : B 1 x B 2 ^
(x 0 ,y 0 ) noktasındaki türevi
B 1 x B 2, (x,y) ^
(x ,F (x,y)), fonksiyonunun
DG(xo,yo) : B 1 x B 2 ^ B 1 x B 2
her (u,v) € B 1 x B 2 için,
dF
dF
DG(xo,yo)(u,v) = (u, — (xo,yo)(u) + — (xo,yo)(v))
ile verilmektedir. Buna göre, eğer bir (u, v) € B 1 x B 2 vektörü için
DG(xo,yo)(u,v) = 0
ise u = 0 ve dolayısıyla da
— (xo,yo)(v) = 0
23
A n a liz
olmalıdır. Diğer taraftan,
dF
(xo, yo) : {0 } x B 2
dy
B2
bir izomorfizma olduğundan v = 0 olmalıdır. Başka bir deyişle, DG (x0, y0) bir
izomorfizmadır. O halde, Ters Fonksiyon Teoremi’nden G ’nin C 1 sınıfından
yerel bir ters fonksiyonu vardır:
G - 1 : U x V -a W
((x 0 , 0) € U x V). G 1 (x,y) = (&(x,y),&(x,y)) olsun. Her (x , y ) £ W için
(x, y) = G(G- 1 (x, y)) = G(V(x, y), $(x, y)) = (^ (x , y),F (V (x, y), $(x, y)))
olduğundan T (x , y ) = x ve y
her x £ U için F(x, $(x, 0))
olarak tanımlanırsa her x £
G- 1 (x 0 , 0) = (x 0 , T(x 0, 0)) =
= F(x, $(x, y)) elde ederiz. Şimdi y = 0 alarak
= 0 olduğunu görürüz. O halde f( x ) = $(x, 0)
U için F ( x ,f( x ) ) = 0 olur. Ayrıca (x 0 ,y 0 ) =
(x 0 , f ( x 0 )) olduğu için y 0 = f ( x 0 ) elde edilir. □
Bu bölümü daha sonra bir çok defa kullanacağımız Taylor Teoremi ile bitirelim.
f : Rn ^ R çok değişkenli bir fonksiyon x = (x 1, ■■■,x n) £ Rn ve a =
(a-\_, ■■■, an) £ Nn olmak üzere,
D af
kısmi türevini,
d\a\ f
d x f 1 ■■■dx nan
. ju
/Y>aı
—
1 1.
xa -
x an
xn
a! = a 1! ■■■ an
çarpımlarını ve son olarak
|a| —a 1 + ■■■+ a,n
toplamını göstersin.
Teorem 1.2.10 (Taylor Teoremi). I Q R açık bir aralık ve f : I ^ R,
(k +1) ’inci dereceden türevi sürekli olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda her,
x , x 0 £ I için,
f (x)
f (x 0 ) + (x - x 0 ) f '( x 0 ) +-------+
(x - x 0,)k f (k)(x 0 )
+ Rk (x)
k!
olur. Burada Rk (x) aşağıdaki formülle verilir:
rx (x - t)k f (k+1 )(t) dt
Rk (x) = /
k!
Jx 0
24
Y a r d ım c ı B ilg ile r
U Ç Rn konveks bir küme olmak üzere, f : U ^ R,
türevlenebilir bir fonksiyon ise, her x, x o € U için,
f (x)= £
(x - x0 r ( D V )(xo) +
|a |=0
(k + 1) sürekli
R (x)(x - x o )
£
|p|=k+1
olur. Yine burada
Rp(x) = ^ [ (Dp f )(xo + t(x - xo)) (1 - t ) ^ - 1 dt
P- J o
ile verilir.
Dolayısıyla, Rk(x) ve Rp(x) kalan fonksiyonları (x ,x 0 ) İkilisinin sürekli
fonksiyonlarıdır.
Teoremin ilk kısmının kanıtı tümevarım yöntemiyle yapılır. Tümevarımın geçiş
adımı kalan terime kısmi integral uygulayarak tamamlanabilir. Teoremin ikinci
kısmın kanıtı için ise
g : [0,1] ^ R , g(t) = f (tx + (1 - t)xo)
fonksiyonuna teoremin ilk kısmını uygulamak yeterlidir.
Son olarak kalan terim için aşağıdaki sonucu vereceğiz:
Önerme 1.2.11. Rk(x) yukarıda tek değişkenli fonksiyonlar için verilen Tay­
lor açılımının kalan terimi olmak üzere, sürekli bir C(x) > 0 fonksiyonu
için
\Rk(x)\ < C(x) \x - xo\k+l
eşitsizliği sağlanır.
Benzer şekilde çok değişkenli fonksiyonların k inci dereceden Taylor açılı­
mının kalanı için,
Rp(x) (x - x o)p
E
|p|=k+1
< C(x) \\x
xo ||k+1
eşitsizliğini sağlayan sürekli bir C(x) > 0 fonksiyonu vardır.
Kanıt : Sadece ilk kısmın kanıtını vereceğiz, ikinci kısmın kanıtını alıştırma
olarak size bırakıyoruz.
px (x - t)k f (k+1) (t) dt
Rk (x) = /
k!
Jx 0
olmak üzere C (x)
tanımlansın:
fonksiyonu aşağıdaki fonksiyonun mutlak değeri olarak
Rk (x)
r(r) = )
C (x)
)
(xt- xo ) k + 1
f (k+1 )(xo)
(k + 1)!
, x = xo
x = xo
25
A n a liz
f (k+1) : I ^ R fonksiyonu sürekli olduğundan (Taylor Teoremi’nin hipotezine
bakınız) C(x) fonksiyonunun x = x 0 durumunda sürekli olduğu açıktır. O
halde, kanıtı tamamlamak için aşağıdaki limiti hesaplamalıyız:
..
Rk(X)
x—
mo (X - Xo)k+1
£ 0 (X- t)k f (k+1)(t) dt
x™ 0
k! (x - X0)k + 1
'
Limit 0/0 belirsizlik durumunda olduğundan L’Hopital kuralını kullanabiliriz.
Bunun için ilk önce payın türevini hesaplamalıyız. Fonksiyonu iki değişkenli
fonksiyon gibi görerek türevini alabiliriz:
g(x ,y)
y (x - t)k f (k+1 )(t) dt
k!
xo
olmak üzere Rk(x) = g(x, x)
hesaplayalım. Eğer k > 1 ise
R k(x)
Şimdi y = y(x) = x alarak türevi
dx g(x ,y (x))
gx(x,x) + gy(x,x) y'(x)
rx (x - t)k- 1 f (k+1 )(t) dt
(k - 1)!
'X0
olarak hesaplanır, çünkü ikinci terim sıfırdır. Şimdi L’Hopital kuralını (k + 1)
defa ardı ardına kullanarak
Rk (x)
lim
X—
^X0 (x - xo)k+1
.. X ( x - t)k f (k+1)(t) dt
X—mo
k! (x - xo) k + 1
f (k+1\ x )
lim - t,-----V r
x—xo (k + 1)!
f (k+1) (xo)
(k + 1)!
buluruz. Böylece kanıt tamamlanır. □
1.2.3
D ifera n siy el D en k lem lerin V arlık v e T eklik T eorem i
Bu bölümde başlangıç değer problemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği ve
başlangıç değerlerine bağlılığı üzerine sonuçlar elde edeceğiz. Bir önceki bölüm­
de olduğu gibi yine Banach Daraltma Prensibi’ni kullanacağız.
B bir Banach uzayı, U Ç B bir açık ait küme ve f : U ^ B bir fonksiyon
olsun. Eğer her x ,y € U için ||f (x) - f (y)\\ < X \\x - y\\ olacak şekilde bir
A > 0 sabiti varsa f fonksiyonuna bir Lipschitz fonksiyonu ve X’ya da Lipschitz
sabiti denir.
26
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Teorem 1.2.12. B bir Banach uzayı, I Ç M açık bir aralık ve f : I x B
B
sürekli ve ikinci değişkene göre Lipschitz olan bir fonksiyon olsun. Bu durumda
her to € I ve yo € B için,
y '(t) = f (t,y ) >
y (to) = yo
başlangıç değer probleminin t 0 noktasını içeren bir (to—e, t0+e) Ç I alt aralığın­
da tanımlı tek bir çözümü vardır. Ayrıca eğer f fonksiyonu Ck sınıfından ise
çözüm fonksiyonu C k+ı sınıfmdandır.
Kanıt : y'(t) = f (t , y ), y(to) = y 0 başlangıç değer problemi
y(t) = yo + / f (s, y(s)) ds
Jt 0
integral denklemine denk olduğundan bundan sonra bu integral denkleminin
üzerinde çalışacağız. A > 0 ile f fonksiyonun Lipschitz sabitini gösterelim.
Ayrıca, eA = a < 1 olacak şekilde bir e > 0 gerçel sayısı seçelim. Bu durumda
[to —e,t 0 + e] aralığında tan imli B Banach uzayı değerli sınırlı ve sürekli fonk­
siyonlar uzayı B 1 = C 0 ([t0 — e,t 0 + ef], B) (supremum normu ile beraber) yine
bir Banach uzayıdır.
Şimdi B 1 Banach uzayı üzerinde şu fonksiyonu tanımlayalım:
t
0 : Bı
Bı
0 (y)(t) = yo + /
Jt 0
f (s,y(s)) ds,
y(t) € Bı.
Aslında 0 bir daraltma fonksiyonudur:
İ l / ( f (s,y ı (s)) — f (s,y 2 (s))) ds\\
Jt o
< \t —to| \\f ( s , y ı (s)) — f ( s ,y 2 (s))\\
< eA \\yı(t) — y 2 (t)\\
ll0 ( y ı)(t) —0 ( y2)(t)ll =
< a \\yı(t) —y 2 (t)\\
Bu daraltma fonksiyonunun sabit noktası olan fonksiyon aranan çözüm ola­
caktır.
Son olarak, eğer f fonksiyonu C k sınıfından ise y'(t) = f (t,y) bağıntısın­
dan çözüm fonksiyonunun C k+ı sınıfından olduğunu görürüz. □
Yukarıdaki kanıtın gösterimini kullanarak yine teoremin ifadesinde verilen
I açık arlığını yeterince küçük alarak verilen her (tı , y ı ) € I x B başlangıç
değer koşulu için elde edilen çözümün B ı = Co([to —e,to + e], B) Banach uzayı
içinde kaldığını kabul edebiliriz. Şimdi (to,yo), (to + h ı ,y o + h 2 ) € I x B gibi
iki başlangıç değer koşuluna karşılık gelen yo ve yh çözümlerinin arasındaki
farkı inceleyelim. Aslında, ^ : I x B ^ B ^ (tı ,y ı ) ^ 1^ ( t ı , yı) ifadesi (tı , y ı)
noktasındaki başlangıç değer koşuluna karşılık gelen çözümü veren fonksiyonu
gösterirse bu fonksiyonun sürekli olduğunu görebiliriz: İlk önce f fonksiyonun
27
A n a liz
normunun sonlu olduğunu kabul edelim (örneğin, eğer B Banach uzayı tıkız
ise bu koşul açık şekilde sağlanır).
ll*(to + hı,yo + h ) -
=
=
=
\y h - y°\l
«6 (yh) - e(y°)\|
f to+hı
\\h2 +
f (s,y°(s)) ds
Jt o
+ I
( f ( s , yh(s)) - f ( s , y0(s))) ds II
J to+hı
< İ M + Ihıl lif | + a ||yh - y°\|
ve buradan da
h - y 0 \\ < HM + |hı! \\f II
elde ederiz. O halde, ^ fonksiyonu başlangıç değer koşullarına göre düzgün
süreklidir. Şimdi de f fonksiyonun sınırlı olmadığını düşünelim. Bu durumda,
f (s, y 0 (s)) fonksiyonu I tıkız aralığında sınırlı olacağından
/•to+hı
f (s, y°(s)) ds
Jto
integralinin mutlak değeri yine M |hı| gibi pozitif bir sayıdan küçük olacaktır.
Başka bir deyişle, ^fonksiyonu (t 0 ,y 0 ) noktasında süreklidir.
H a tırla tm a 1.2.13. 1) Teoremin kanıtından elde edilen çözümün tanımlı ol­
duğu aralığın boyunun, 2e, tamamen X Lipschitz sabiti ile belirlendiğini gördük.
Dolayısıyla varlık teklik teoremini arka arkaya kullanarak çözümün I aralığının
tamamında tanımlı olduğunu görürüz.
2)
f = f (x, y) : R x Rfc ^ Rk sürekli bir fonksiyon olsun. Eğer bu fonk­
siyonun ikinci değişkene göre türevi de sürekli ise f fonksiyonu her sınırlı
bölgede ikinci değişkene göre Lipschitz fonksiyon olacaktır.
Ö rn ek 1.2.14. Bu teoremin bir uygulaması olarak gerçel sayılardan gerçel
sayılara giden fonksiyonlar için ters görüntü teoreminin (biraz zayıf bir hali­
nin) bir başka kanıtını verelim: f : R ^ R Ck, k > 2, sınıfından bir fonksiyon
ve a € R, f'(a) = 0 koşulunu sağlayan bir nokta olsun. Bu durumda x = a
noktasının açık bir komşuluğunda fonksiyonumuz hep artan veya hep azalan
olacaktır. Başka bir deyişle f fonksiyonu x = a noktasının açık bir komşu­
luğundan f (a) noktasının açık bir komşuluğuna bire bir örten bir fonksiyon
verir (bkz. Alıştırma 25). Şimdi bu ters fonksiyonun türevlenebilir olduğunu
görelim.. Bunun için aşağıdaki başlangıç değer problemini düşünelim: b = f (a)
olmak üzere
y' ix) = 7 W T ) '
y(b) = a
28
Y a r d ım c ı B ilg ile r
U=V
(a) iki vektörün belirlediği paralel­
kenarın alanı: A(u,v)
(b) Dejenere paralelkenarın alanı
sıfırdır: A(u, u) = 0
Şekil 1.3
f e Ck, k > 2 ve f'(a) = 0 olduğu için 1 / f ' (x)fonksiyonunun türevi x = a
noktasının kapalı bir komşuluğunda sürekli olacaktır. Dolayısıyla, 1 / f (x) fonk­
siyonu bu aralıkta Lipschitz olur. O halde, yukarıdaki başlangıç değer proble­
minin b noktası etrafında tanımlı tek bir y = y(x) yerel çözümü vardır. Diğer
taraftan, diferansiyel denklemi y ' ( x ) f (y (x )) = 1 veya (f (y (x )))' = 1 diye
yazarak f (y(x)) = x + C çözümünü buluruz. Ayrıca y(b) = a başlangıç koşu­
lundan b = f (a) = f (y(b)) = b + C eşitliği ve buradan da C = 0 bulunur. O
halde, x = b noktasının açık bir komşuluğundaki her x değeri için f (y(x)) = x
elde edilir. Başka bir deyişle x = b noktası etrafında f fonksiyonunun türevlenebilir yerel bir tersi vardır. Son olarak, y' (x) = 1 / f (y(x)) denkleminin
türevini alarak (ve tümevarım metodunu kullanarak) f - 1 fonksiyonunun da
C k sınıfından olduğunu görürüz.
1.3
D oğrusal C ebir
1.3.1 D e ter m in a n t F onksiyonu
Bir koordinat düzleminde verilen iki vektörün belirlediği paralelkenarın alanını
bulmaya çalışalım: A : R 2 x R 2 ^ R fonksiyonu u = ^ , y 1 ) ve v = (x 2 ,y 2 )
düzlemde vektörler olmak üzere
A(u, v) = “u ve v vektörlerinin belirlediği paralelkenarın alanı”
olarak tanımlansın (Şekil 1.3a).
Bu tür bir fonksiyonun sağlamasını beklediğimiz birkaç özeliği sıralayalım:
1) Aynı iki vektörün belirlediği paralelkenar aslında bir doğrunun içinde
kalacağından paralelkenarın alanı sıfır olsun: Her u e R 2 için A(u, u) = 0
(Şekil 1.3b).
2) Bir paralelkenarın kenarlarından birinin uzunluğunu A e R katma çı­
karırsak alanı da aynı oranda değişsin: A(Au, v) = AA(u, v) = A(u, Av) (Şe­
kil 1.4).
Bu fonksiyonun sağlamasını istediğimiz bir diğer özellik ise şudur:
29
D o ğ r u s a l C e b ir
A(Au, v) = AA(u, v)
3)
Verilen iki u ve v vektörleri ile belirlenen paralelkenarın kenarlarından
birinin herhangi bir A € R katını diğerine eklersek bu paralelkenarın yüksekliği
değişmeyeceğinden alanı da değişmeyecektir: A(u, v + Au) = A(u, v) = A(u +
Av, v)
Şekil 1.5: Bir kenarın skaler katının diğerine eklenmesi: A(u, v) = A(u, v + Au)
Şimdi de birer kenarları ortak iki paralelkenar alalım: (u, vı) ve (u,v2)•
Her ikisinin de yüksekliklerini (dolayısıyla alanlarını) değiştirmeden bu pa­
ralelkenarları dikdörtgen haline getirelim. Bunu yapmak için vi vektörlerinden
u vektörünün bunlar üzerine iz düşümlerini çıkartmak yeterlidir. Elde edilen
dikdörtgen bölgeler (u, v 1 —A1 u) ve (u, v 2 —A2 u) vektör çiftleriyle verilsin (Şe­
kil 1.6). Bu iki dikdörtgeni üst üste koyarak alanları toplamından
Şekil 1.6: Paralelkenar He eşit alana sahip dikdörtgen: A (u,v) = A (u ,v — Au)
A(u, v 1) + A(u, v2) = A(u, v 1 — A1 u) + A(u, v 2 — A2 u)
= A(u, v 1 + v2 —(A1 + A2 )u) = A(u, v 1 + v2)
30
Y a r d ım c ı B ilg ile r
sonucunu elde ederiz (Şekil 1.7). (Yukarıdaki son eşitlik (3) numaralı özelliğin
sonucudur.) O halde düzlemde verilen herhangi u, vı ve v 2 vektörleri için
Şekil 1.7: Ortak kena/rh iki paralelkenarın toplamı:
A(u, vı) + A(u, V2) = A(u, vı + V2)
A(u, vı + v 2 ) = A(u, vı) + A(u, v 2 )
olmalıdır. Benzer şekilde u ^ u 2 ve v vektörleri için
A(uı + u 2 ,v) = A(uı, v) + A(u 2 ,v)
olduğu görülür. Bunu (2) ile birleştirirsek A : R 2 x R 2 ^ R fonksiyonun
her iki değişkene göre de doğrusal (bilineer) olduğu sonucuna varırız: Her
u, u ı , u 2 , v, vı, v 2 vektörleri ve A € R gerçel sayısı için
A (u ı + Au2 ,v) = A (u ı , v) + AA(u 2 ,v)
ve
A(u, v ı + Av2) = A(u, v ı) + AA(u, v2)
eşitlikleri doğrudur. Diğer taraftan (2) numaralı özellikten
0 =
A(u + v ,u + v)
= A(u,u) + A(u,v) + A(v,u) + A(v,v)
= A(u,v) + A(v,u)
ve dolayısıyla A(u,v) = - A ( v ,u ) elde ederiz. Bu son eşitliği sağlayan bilineer
fonksiyonlara değişmeli fonksiyonlar denir. Aslında sıraladığımız diğer bütün
özellikler bu iki özellikten türetilebilir.
Şimdi eı = (1 ,0 ) e 2 = (0,1) olmak üzere u = (a,b) = aeı + be2 ve
v = (c, d) = ceı + de2 gibi iki vektörün belirlediği paralelkenarın alanını he­
saplayalım:
A(u,v)
= A(aeı + be2 ,ceı + de2)
= ad A(eı , e2) + bc A(e2, eı ) + ac A(eı , eı) + bd A(e2, e2)
=
(ad — bc) A(eı ,e 2)
31
D o ğ r u s a l C e b ir
olarak elde ederiz. O halde bu paralelkenarın alanı birim karenin alanının (ad—
bc) katıdır.
Eğer birim karenin alanını bir birim olarak alırsak, A(e\, e2) = 1, A(u, v) =
ad — bc olur. Dikkat edersek bu sayı satırları u ve v vektörlerinin fi = {e1, e2}
sıralı tabanındaki koordinat vektörleri olan
/ a b \
\ c d )
matrisinin determinantından başka bir şey değildir.
Başka bir deyişle, birim karenin alanının ne olduğuna karar verdikten son­
ra her paralelkenarın alanını hesaplayabiliriz. Paralelkenarın alanı birim kare­
nin alanı ile satırları, paralelkenarın kenarlarını oluşturan vektörlerin standart
tabandaki koordinat vektörleri olan matrisin determinantının çarpımıdır.
H a tırla tm a 1.3.1. Alan hesabım yukarıdaki gibi aksiyomatik bir şekilde yap­
manın bir bedeli olarak bazı paralelkenarların alanları negatif olacaktır. Aslında
A(u, v) = —A(v, u) eşitliği bize alan hesabı yaparken kenarların sıralamasının
önemli olduğunu göstermektedir. A(u, v) sayısı ilk kenarı u ikinci kenarı v olan
paralelkenarın işaretli alanı olacaktır. Kenarları sıralama (veya numaralandır­
ma) işlemine yönlendirme diyeceğiz. Buna göre kenarları u, v olarak sıralanmış
paralelkenar ile v, u olarak sıralanmış paralelkenarlar farklı yönlendirilmiş pa­
ralelkenarlardır.
işaretli uzunluk, işaretli alan veya hacim işaretsiz olanlara göre daha kul­
lanışlı ve doğal olanlarıdır. Bu temayı bütün kitap boyunca sık sık göreceğiz.
Şimdi de M™ içinden rastgele alman vı, ••• ,vn vektörlerinin belirlediği
paralel yüzlünün hacmini hesaplayalım:
fi = {eı, ••• ,en} , ei = (0 , • •• , 0 , 1, 0 , ••• , 0) ,
sıralı tabanında bu vi vektörünün koordinat vektörü [ai 1 , ••• ,ain] olsun. O
halde, her i = 1, • • • ,n için vi = ai 1 e 1 + • • •+ainen olur. Düzlemde yaptığımız
geometrik analiz tamamıyla bu durumda da geçerli olacaktır ve dolayısıyla eğer
A : Mn x Mn ^ M bir hacim fonksiyonu ise A n-doğrusal (her değişkene göre
doğrusal) ve değişmeli olacaktır. Bu iki özelliği defalarca kullanarak
A(vı, • • • ,vi, ••• v 0 = A ( S aU(
"y^. aij ej ,
( y ^ sgn(^') a 1 a(1 ) • • •aia(i) • • •ana(n) j A(e 1, • • • , ei, ' ' ' , en)
\a€Sn
)
32
Y a r d ım c ı B ilg ile r
elde edilir. Burada Sn n-elemanlı {1, • • • ,n} kümesinin tüm permütasyonlarının oluşturduğu grubu ve sgn(a) ise a € Sn permütasyonun işaretini göster­
mektedir. O halde, yine birim küpün hacminin ne olacağına karar verirsek her
paralel yüzlünün hacmini hesaplayabiliriz.
A(eı, • • • , Ci, • • • , en) = 1
koşulunu sağlayan forma Rn üzerindeki determinant fonksiyonu denir. Buna
göre Rn üzerinde tanımlı her değişmeli n-doğrusal form determinant fonksiyo­
nunun bir katı olacaktır.
Rn üzerinde tanımlı değişmeli n-doğrusal formların determinant ve bunun
katları olduğunu gördük. Diğer taraftan R 3 üzerinde (değişmeli) 2-form var
mı diye sorabiliriz. Bu sorunun cevabını vermek için önce tensörleri tanımla­
malıyız.
1.3.2
T eıısörler
R değişmeli bir halka, M, N P bu halka üzerinde tanımlı modüller ve F :
M x N ^ P bilineer bir fonksiyon olsun. F : M x N ^ P bilineer fonksiyonu
M x N çarpım kümesi üzerindeki çarpım modül yapısıyla bir modül homomorfizması değildir. Çünkü eğer öyle olsaydı her (m , n ) € M x N ve r € R
için r f (m ,n) = f (rm ,rn) = r f (m,rn) = r2f (m,n) olurdu ki bunun genelde
doğru olamayacağı açıktır. Diğer taraftan f (rm ,n) = r f (m ,n) = f (m,rn)
olur. Benzer şekilde f (m ı + m 2,n) = f (m ı ,n) + f (m2,n) dir. Bu durumda
istenilen modül yapısını bir bölüm modülü olarak kurabiliriz: M x N çarpım
kümesini taban olarak kabul eden serbest
n
F (M x N)
{
ai(mi, ni) | n € N, ai € R, mi € M, m € N
i=ı
R-modülü üzerinde ~ denklik bağıntısı, aşağıdaki bağıntının ürettiği denklik
bağıntısı olarak tanımlansın:
1. Her (m, n) € M x N ve r € R için
(rm, n) ~ r(m, n) ~ (m, rn);
2. Her m, m ly m 2 € M ve n, n l; n 2 € N için
(m l + m 2, n) ~ (m l ,n) + (m 2 ,n) ve (m, n l + n 2 ) ~ (m, n l ) + (m, n 2 ).
Çarpım modülünü bu denklik bağıntısına (bağıntının ürettiği alt modüle) bö­
lerek istediğimiz modül yapısını elde ederiz:
F (M x N ) / ~ .
33
D o ğ r u s a l C e b ir
Bu R-modül M ve N R-modüllerinin R-tensör çarpımı diye adlandırılır ve
M 0 r N ile gösterilir. Benzer şekilde (m, n) € M x N elemanının denklik
sınıfını m 0 n ile göstereceğiz. Bu durumda
r(m 0 n) = (r m ) 0 n = m 0 (rn),
(mı + m 2 ) 0 n = m 1 0 n + m 2 0 n
ve
m 0 (n 1 + n 2) = m 0 n 1 + m 0 n 2
olur. Aynı şekilde sonlu sayıda R-modülün tensör çarpımı tanımlanabilir:
Mı 0 r ■■■0 r Mn.
Alıştırma 30 ise tensör çarpımının kategorik bir şekilde yapılabileceğini göster­
mektedir.
V bir F cismi üzerinde tanımlı n-boyutlu bir vektör uzayı olsun. V®k, (k <
n), ile V ’nin kendisi ile k defa tensör çarpımını gösterelim, fi = {eı, ■■■,en}
^^^m bir tabanı ise 1 < i 1 , ■■■,ik < n olmak üzere
Tiı,— —eiı 0 ■■■0 eik
tensörü olsun. Bu durumda V®k vektör uzayı da sonlu boyutludur ve
{Tiı,••• ,ik I 1 < i 1 } ■■■, i k < n}
bu vektör uzayının bir tabanıdır. Dolayısıyla, V ®k’nın boyutu n k’dır.
{1, ■■■, k} kümesinin permütasyonlarmm oluşturduğu Sk grubu V®k vektör
uzayı üzerine etki eder: Taban elemanları üzerindeki etki, a € Sk için,
V(Ti1 ,- Ak )
Tia(1 ),••• Aa(k)
olarak tanımlanır ve doğrusal bir şekilde tüm vektör uzayına genişletilir. Bu
etkinin altında değişmez olan tensörlere simetrik k-tensörler denir. Simetrik
tensörlerin oluşturduğu Simk(V ) vektör uzayının boyutu n + k —1 elemanlı bir
kümenin k elemanlı alt kümelerinin sayısına eşittir:
( n + k —1 \
V
k
).
En az simetrik tensörler kadar önemli olan bir diğer tensör tipi, önceden
de görmüş olduğumuz değişmeli tensörlerdir: a € V®k olmak üzere, eğer her
a € Sk için a (a) = sgn(a) a oluyorsa, a tensörüne değişmeli k-tensörü de­
nir (burada sgn(a) ile a permütasyonun işareti gösterilmiştir). Değişmeli ktensörlerin oluşturduğu Altk(V ) vektör uzayının boyutunun da
ö)
34
Y a r d ım c ı B ilg ile r
sayısı olduğu kolayca görülür. Değişmeli k-tensörlere k-form da denir.
Aslında aşağıda verilen doğrusal fonksiyonların birer iz düşüm dönüşümü
(karesi kendisine eşit olan bir dönüşüm) olduğu kolayca gösterilir:
1 ) Sim : V®k V®k, her v € V 0k için,
1
V ^ k!
Y a(v)
J^Sk
olarak tanımlanan doğrusal fonksiyon bir iz düşüm dönüşümüdür ve görüntüsü
Sim(V ®k) = Simk(V ) ’dır.
2) Benzer şekilde Alt : V®k V®k, her v € V®k için,
1
Y sgn(o) a (v)
k!
J^Sk
V
olarak tanımlanan doğrusal fonksiyon yine bir iz düşüm dönüşümüdür ve görün­
tüsü Alt(V®k) = Altk(V ) alt uzayıdır.
V vektör uzayının dualini V * = hom( V, F) ile gösterelim. Eğer
P = {eı, ••• ,en}
tabanının dual tabanı da P* = { f 1 , • • • , f n } ise, her 1 < i , j < n için, f i(ej) =
öij olur. f i1 0 • • • 0 fik tensörünün k! Alt operatörü altındaki görüntüsünü
f iı
f ik = k! Alt(fiı
f ik) = Y sgn(a) f i*(ı) 0 ^ ^ 0 f i* (k)
J^Sk
ile göstereceğiz.
H a tırla tm a 1.3.2. Eğer vs = V j asj ej, s = 1, ••• ,k, V içinde vektörler
ise
(fiı A • • • A fik )(vı, ••• ,Vk) = det((asi;)s, ı=ı,-,k)
olur.
Yazım konusunda büyük kolaylık sağlayan bu gösterim şekli değişmeli tensörlerin dış çarpımının tanımlanabilmesi için de olanak sağlar: f iı A • • • A f ik
ve f j 1 A • • • A f j l gibi iki taban elemanının dış çarpımı
(fi1 A ^ ^ A f ik)
A
(fjı
A - ^ A f jı)
=
f iı
A ^ ^ A f ik
olarak tanımlanır. Bu tanımı doğrusal bir şekilde tüm ® kg^lt(V ® k) vektör
uzayına genişleterek bu vektör uzayını bir F -cebiri yapabiliriz. Bu cebire V
vektör uzayına ait dış cebir adı verilir ve A(V) ile gösterilir. Bu cebirin ele­
manlarına dış form da denir. Burada Alt(V®0) ile F cismi gösterilmektedir.
Aşağıdaki özelliklerin kanıtları okuyucuya bırakılmıştır:
A f jı
35
D o ğ r u s a l C e b ir
1. Yukarıda tanımladığımız dış cebirin bir cebir olduğunu gösteriniz.
2 . w bir fc-form ve v bir /-form ise w Av = (—1 )klv Aw olduğunu gösteriniz.
3. w bir fc-form ve v bir /-form ise w A v
gösteriniz.
(fc + /)!
A/t(w G v ) olduğunu
fc! /!
4. L : V ^ W F-vektör uzayları arasında doğrusal bir fonksiyon ve L* :
W * ^ V * ise bu fonksiyonun duali olsun. Bu durumda dual fonksiyon
dış cebirler arasında doğal bir doğrusal fonksiyon verir:
L* : A(W) ^ A(V) , w m - L*(w)
öyle ki her v\, ■■■,Vk € V için,
L*(w)(vı, ■■■ ,Vk) = w(L(vı), ■■■ , L(vk))
olur. L*(w) dış formuna w’nın L ile geri çekilmesi denir. Geri çekme
işleminin dış çarpım ile yer değiştirebileceğini ve dolayısıyla bir cebir
homomorfizması olduğunu gösteriniz:
L*(w A v ) = L*(w) A L*(v).
L örten (bire bir) ise L*’m bire bir (benzer şekilde, örten) olduğunun
gösterilmesini de okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz.
1.3.3
T em el Form lar ve B a zı U y g u la m a la rı
Temel formların en yaygın kullanılanı köşegenleştirmedir. Operatörlerin veya
matrislerin köşegenleştirilmesinin neden önemli olduğunu anlamak için aşağıda
verilen matrisin kuvvetlerini hesaplamaya çalışalım:
0 1
1 1
A2
1
1
1
2
A3
1 2
2 3
A4
2 3
3 5
bu işlemi on, yüz veya milyon kez yapmak bilgisayar yardımıyla bile oldukça
zor olabilir. Örnek vermek gerekirse, A 100 matrisinin bazı bileşenleri 21 ba­
samaklı sayılardır. Benzer şekilde, An matrisini sadece n değişkeninin açık bir
fonksiyonu ile ifade edebilir miyiz? Diğer taraftan, A köşegen bir matris olsaydı
bu işlem çok kolay olurdu:
Aı 0
0 A2
An
Al 0
0 Al
Sonlu bir vektör uzayı üzerinde tanımlı her operatör uzayın bir tabanı veril­
diğinde kare bir matris ile ifade edilebilir. Bu sebepten sadece matrislerin köşegenleştirilmesi üzerinde duracağız. Katsayıları F cisminden seçilmiş n x n ’lik
bir A matrisi alalım. Eğer sıfırdan farklı bir v € F n vektörü ve bir A € F için
36
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Av = Xv oluyorsa A sayısına A matrisinin bir özdeğeri ve v € F n vektörüne
de bu özdeğere karşılık gelen bir özvektör denir. Eğer Fn vektör uzayının A
matrisinin özvektörlerinden oluşan bir fi = {v 1 , ■■■ ,vn } tabanı varsa, öyle
ki her i için A v = Aivi, sağlanıyorsa, A matrisine köşegenleştirilebilir matris
denir. Bu durumda eğer P sütunları v ı, ■■■,vn vektörlerinden oluşan (taban
değiştirme) matris ise P - 1 A P çarpımı
1A P = D =
' A1 0 ■ ■ 0
0 A2 ■ ■ 0
0
■ ■ An
0
köşegen matrisini verir.
Devam etmeden önce çok sık kullanılan ve kanıtını okuyucuya bırakacağı­
mız bir sonucu hatırlatmak istiyoruz:
Teorem 1.3.3. 1 ) T : V ^ W vektör uzayları arasında doğrusal bir dönüşüm
olsun. Eğer V sonlu boyutlu bir uzay ise dim(V) = dim(ker T ) + dim(T(V));
başka bir deyişle V ’nin boyutu doğrusal fonksiyonun çekirdeğinin ve görüntü­
sünün boyutları toplamına eşittir.
2)
A € M(n, n) olmak üzere A : Fn ^ Fn, v ^ Av, v € Fn, ile tanımlanan
doğrusal fonksiyon için aşağıdaki koşullar birbirine denktir:
• det(A) = 0 ,
• A : Fn ^ Fn bir izomorfizmadır,
• ker(A) = (0).
Av = Av denklemini (AIn — A)v = 0 olarak yazarsak, v = 0 olmasından
det(AIn —A) = 0 denklemini elde ederiz. O halde, A matrisinin özdeğerleri
/ a (A) = det(AIn —A) polinomunun tekleridir. Derecesi n olan bu polinoma
A matrisinin karakteristik polinomu denir. Cayley-Hamilton Teoremi’ne göre
/ a (A) = 0 olur (bkz. Alıştırma 35)). Bu koşulu sağlayan en küçük dereceli
monik polinoma A matrisinin minimal polinomu denir (bkz. Sonuç 1.3.5).
Ö rnek 1.3.4. Bu bölümün başında ele aldığımız A =
0 1
1 1
rar dönelim, / a (A) = A2 —A —1 olduğundan özdeğerler A1,2
bulunur. Avi = Aivi denkleminden özvektörler
v1 =
1
1+V5
ve
v2 =
2
2
olarak bulunur. O halde,
P
1
1-V5
1
1+V5
2
1
1-V5
2
matrisine tek1
olarak
37
D o ğ r u s a l C e b ir
ve
lW5
2
O
O
P -1A P
O
O
—2^
olur. Son olarak
P - 1 AnP = (P - 1 A P )n
( 1+ f 5 )n
O
O
(— ^ )n
ve buradan da
(1+ f5 )n
O
O
(i^ )'
An = P
P- 1
elde edilir.
Bu bölümde şimdi de matrislerin üstel fonksiyonundan bahsedeceğiz. Üstel
matrisler doğrusal türevlenebilir denklem sistemleri teorisindeki kullanılışları­
nın yanı sıra, geometri ve topolojinin de vazgeçilmez konularından biri olan
Lie grupları ve Lie cebirleri konusuna da giriş yapma imkanı vermektedir. Her
x € R için,
2
X
v—> x k
eX
1 + Tİ + ! + ¥ +
= £ k!
k=0
İ
"
seri açılımı yardımıyla da tanımlanan üstel fonksiyonu matrisler üzerinde de
tanımlayabiliriz: F gerçel veya karmaşık sayı cismini ve M (m ,n ) bu cisim
üzerinde tanımlı (m x n)-lik matrislerin vektör uzayını göstersin. Her A €
M(n, n) matrisi ve t € F sayısı için,
Il(tA)kII , (|t| l|A^)k
k!
k!
olduğu açıktır. Diğer taraftan,
E
k=0
(|t| I|A |)k
k!
gerçel sayı dizisi yakınsak olduğundan Weierstrass M-testini kullanarak
r , tA + (_tAf , (tA ) 3
n + 1! + 2! + 3! + -
= E
k=0
serisinin de düzgün yakınsak olduğunu görürüz. Fakat,
D
Aı O • • •
O A2 • • •
O
O
O
O • • • An
(tA)k
k!
38
Y a r d ım c ı B ilg ile r
köşegen matrisi için kolayca
eXlt
etD =
0
0
eX2t
0
0
• •
• •
0
0
• . eXnt
olduğunu görürüz. Dolayısıyla A köşegenleştirilebilir bir matris ise
etA = eP(tD)P_1 = PetDP - 1
elde ederiz (yukarıdaki ikinci eşitlik, üstel fonksiyonun seri açılımından kolayca
görülür).
Bu seri sayesinde exp : R ^ M (n , n ), t ^ etA, şeklinde tanımlanan fonk­
siyon aslında C^ sınıfından bir fonksiyondur ve türevi t ^ AetA, ile verilir.
1.3.4
Ö rnek K an ıtlar
Bu bölümde yukarıda bahsettiğimiz kanonik formların teorisine dair bazı basit
gözlemlerde bulunacağız. Başlangıç olarak aşağıdaki sabit katsayılı doğrusal
denklem sistemini düşünelim:
a 11 a 12 a13
a 21 a 22 a23
a31 a32 a33
x
y
z
=
' 0 '
0
0
Alıştırma 33 içinde tanımlanan Ri o Rj, satır değiştirine ve Rj o rRi + Rj
bir satırın herhangi bir katını diğerine ekleme işlemleri, Gauss yok etme meto­
dundaki satır işlemlerinden ikisine karşılık gelir. Aynı işlemlerin sütunlara uy­
gulanması ise değişkenlerin doğrusal bir izomorfizma ile değiştirilmesine denk
olacaktır. Örneğin, (C 1 o C 1 +3C 2) işlemi (x, y, z) değişkenlerinin (x, y +3x, z)
değişkenleriyle değiştirilmesine karşılık gelir. Eğer amacımız çözüm uzayını bul­
mak değil de sadece boyutunu hesaplamak ise değişkenlerin nasıl değiştiğinin
takip edilmesine bile gerek yoktur.
Şimdi genel bir A kare matrisi için (XIn — A)v = 0 özdeğer-özvektör
problemini düşünelim:
XIn — A
\ — aıı —a i 2
—0-21 A —a 22
a 1n
a2n
(*)
an 1
an2
X — ann
sistemini yukarıda bahsettiğimiz satır ve sütun işlemleri yaparak çözmeye ça­
lışalım. Bu matrisi F[X] polinom halkası (esas ideal bölgesi) üzerinde düşünüp
39
D o ğ r u s a l C e b ir
satır ve sütun işlemleri yaparak d 1 | d2 | • • • | dn olacak şekilde bazı di € F[A]
polinomları için
dı 0 • • • 0
0 d2 ••• 0
(**)
D
0
• • • dn
0
matrisine dönüştürebiliriz. Bu matrise XIn — A matrisinin Smith Normal
Form’u denir. Uyguladığımız satır ve sütun işlemleri en fazla determinantın
işaretini değiştireceği için
dıd 2 ••• dn = ± det(AIn —A) = ± / a (A)
karakteristik polinomu olacaktır. O halde hiçbir di sıfır polinomu değildir.
d 1 d2 ••• dn = ±det(A In —A) = ± / a (A) ve d 1 | d2 | ••• | dn olduğundan
J'a (X) ile dn polinomları aynı asal çarpanlara sahiptirler. Aslında tüm di
polinomlarım monik seçerek
dıd 2 • • • dn = det(AIn —A) = / a (A)
elde ederiz. Bu durumda di polinomlarına A matrisinin değişmez çarpanları
denir.
Yukarıda elde ettiğimiz
D
d1
0
0
d2
••• 0
••• 0
0
0
• • • dn
matrisine A matrisinin temel formu denir. İlk önce her matrisin sadece bir ta­
ne temel formu olduğunu görelim (di polinomlarım monik seçmek kaydıyla):
Bunun için, Ai ile AIn —A matrisinin tüm i x i’lik alt matrislerinin determi­
nantlarından oluşan F[A] içindeki idealin monik üretecini gösterelim. Boyutları
i x i olan bir matrisin determinantını bir satır veya sütuna göre açtığımızda
(i —1) x (i —1) ’lik alt matrislerinin determinantlarının bir doğrusal birleşimini
elde edeceğimizden, her i = 1, • • • , n için, A i_ 1 | Ai olmalıdır.
Diğer yandan yukarıda kullandığımız satır ve sütun işlemleri sadece alt
matrislerin yerlerini değiştireceğinden bu satır ve sütun işlemleri Ai polinomlarını değiştirmeyecektir. O halde AIn — A ve D matrisi için aynı Ağler
elde edilecektir. Fakat D matrisi için Ai = d 1 • • • di, olduğu kolaylıkla görülür.
Buna göre di = Ai/A i_ 1 olur. Başka bir deyişle, Ağler tamam en A matrisi ile
tek bir şekilde belirlendiği için A matrisinin bir ve sadece tek bir temel formu
vardır.
Şimdi i = j için Ai =
Aj
olmak üzere, dn
= (A —A1) • • • (A —
doğrusal terimlerin çarpımı olduğunu kabul edelim. Bu durumda her di, farklı
Ak)
farklı
40
Y a r d ım c ı B ilg ile r
doğrusal terimlerin çarpımı olmalıdır. Ayrıca karakteristik polinomun derecesi
«olduğundan r\ + • • • + rk = n olacak şekilde bazı pozitif r tam sayıları
için
fA(A) = (A - Aı)rı ••• (A - Xk )rk
olacaktır. Buna göre her bir i = 1, ••• ,k, için tam olarak ri tane farklı
dj1, ••• , dj polinomu (A — Ai) doğrusal terimini içerecektir. (*) ve (**)
denklem sistemleri birbirine denk olduğu için (*) sisteminde A yerine Ai
koyarak Ai özdeğerine karşılık gelen özvektör uzayının boyutunun tam olarak
ri olduğunu görürüz. Son olarak, r 1 + • • • + Tk = n olduğundan A matrisinin
özvektörleri Fn vektör uzayı için t e taban oluşturur ve dolayısıyla A matrisi
köşegenleştir ilebilir.
Diğer taraftan, eğer A köşegenleştirilebilir bir matris ise bu adımları ters­
ten giderek dn polinomunun farklı doğrusal terimlerin bir çarpımı olduğunu
görürüz. O halde, aşağıdaki sonucu kanıtlamış olduk:
Sonuç 1.3.5. A kare matrisinin köşegenleştirilebilmesi için gerek ve yeter şart
dn polinomunun farklı doğrusal terimlerin bir çarpımı olmasıdır.
Aslında biraz daha dikkatli ilerleyerek kanonik formların teorisini kurabiliriz.
F bir cisim ve V = F™ olmak üzere
T :V
dönüşümünü ele alalım. V
modülü olarak görülebilir:
V, v ^ T(v) = Av, v € V ,
vektör uzayı doğal bir biçimde bir
R = F[x]
R x V ^ V, ( f (x),v) ^ f (x) • v = f (T)(v), ( f (x),v) € R x V .
Şimdi
f : Rn ^ V, eR = (0, •• • , 1, ••• 0) ^ e = (0, ••• , 1, ••• 0), i = 1, ••• ,n ,
ile tanımlanan örten R-modül homomorfizması bize Rn/ ker f = V izomorfizmasmı verir. Bu homomorfizmayı genel bir eleman üzerinde hesaplarsak
f(pı(x), ••• ,pn(x)) = p ı(T )(eı) +------+Pn(T)(e™)
elde ederiz. Ayrıca, V üzerinde seçtiğimiz modül yapısından dolayı izomorfizmanm sol tarafında bölüm polinom halkasının bir elemanını x ile çarpmak
sağ tarafta bir vektöre T ile etki etmeye denk gelecektir:
x • m = T (f(m )), m = (p1 (x), • • • ,pn (x)) € Rn / ker f .
Dolayısıyla, T operatörünün V üzerindeki etkisini anlamak için bölüm
halkasında x ile çarpmayı anlamak yeterli olacaktır.
Bu işe girişmeden önce ker f alt modülünün oldukça tanıdık bir nesne
olduğunu görelim.
41
D o ğ r u s a l C e b ir
Ö nerm e 1.3.6. ker 0 alt halkası xIn — A karakteristik matrisinin sütunları
tarafından üretilir.
Kanıt : Her i = 1, • • • ,n için, T(ef) = ŞY
( a 1 i , a2 ij • • • ,x
olduğundan
aiij • • • , ani, ) G ker 0
elde edilir. Dolayısıyla, x In — A karakteristik matrisinin sütunları ker 0 alt
modülünün içinde kalır. Yukarıda olduğu gibi, x In — A karakteristik matrisi­
nin Smith normal formunu köşegen Köşe(dı(x), • • • , dn(x)) matrisi ile göste­
relim. Bu durumda, ker 0 alt modülünün her (0, ••• ,di(x), ••• , 0) elemanını
içerdiğini kabul edebiliriz. O halde, W, (0, • • • ,di (x), • • • , 0) elemanlarının
ürettiği alt modül olmak üzere, çekirdeği ker 0 / W olan, örten bir
0 : Rn/ ker 0
Rn/ W
R-modül, dolayısıyla da F-vektör uzayı, homomorfizmasmı elde ederiz. Yu­
karıdaki paragraflardan dolayı, Rn/ ker 0 F-vektör uzayının V = Fn vektör
uzayına izomorfik olduğunu biliyoruz. Diğer taraftan, Rn/ W R-modülü (Fvektör uzayı) için ise
Rn/ W ® ®n= 1 R/Rdi(x) = ®n= 1F[x]/(di(x)) ® ®n= 1Fdeg(di(x))
yazabiliriz. Son olarak,
dıd 2 • • • dn = det(AIn —A) = / a (A)
karakteristik polinomu olduğundan
®n ıFdeg(.Mx)) ® F ^ i deg(di(x)) = Fn
elde ederiz. Buradan, örten
0 : Fn = Rn/ ker 0
R n/ W = Fn
F-vektör uzayı homomorfizmasmm bir izomorfizma olduğunu görürüz. O halde,
ker 0 = ker 0 / W = 0 olmalıdır. Böylece kanıt tamamlanır. □
Bu iddianın bir sonucu olarak
V = Rn/ ker 0 = ®f= 1 R/Rdi(x)
yazabiliriz. Ayrıca, her bir di(x) = d(x) = pP0(x) • • •
çarpanlarına ayırırsak
(x) polinomunu asal
R/d(x) = ®}=1F[x]/p? (x)
ayrışımını elde ederiz. Ayrıca,
(x) = b(x) = b0 + • • • + bm - 1 x m - 1 + x m
ise F[x]/pnj (x) = (l, x, ••• , x m-1) f vektör uzayı üzerinde x ile çarpma
42
Y a r d ım c ı B ilg ile r
operatörünün bu tabandaki matris gösterimi olarak p 1-1 (x) polinomunun eş
matrisi olan
—bo
' 0 0 ■■■
1 0
■■■
—bı
Cb(x)
1
0 0 ■■■ 1
bm - 1
matrisini elde ederiz. Eğer, d e g p (x )) > 1 ise bu matris T operatörünün
rasyonel kanonik formunu verir. Diğer taraftan, eğer d e g p ) = 1 ise, başka
bir deyişle b(x) = (x — X)m ise x ile çarpma operatörünün
{1,x — X, ■■■, (x — X)m-1}
1
sıralı tabanındaki matris gösterimi
o
J (X)m —
0 ■■■ ■■■ 0
1 X 0 ■■■ 0
1 X ■■■ 0
■■
_0
0
■■■
1
X
Jordan formu olur.
Yukarıda elde ettiklerimizden faydalanarak kanonik formların temel özel­
liklerini kolayca görebiliriz.
1) Eğer F-cismi cebirsel kapalı ise her kare matrisin Jordan formu vardır: As­
lında eğer fA polinomunu doğrusal çarpanlara ayrılabiliyorsa uygun bir taban
değiştirme sonunda
0
Jm2
■■■
■■■
0
0
■' o
P -1A P
Jmı
0
0
0
0
Xi
■' o
Jm — J (Xi)r
Xi
1
o ■■
Jordan bloklarının bir köşegen matrisi şeklinde yazılabildiğini gördük. Burada
J m’ler Jordan blok matrislerini göstermektedir,
■■■ 0
■■■ 0
1
Xi
Teorik önemlerinin yanı sıra köşegen matrisler kadar olmasa da Jordan
blokların kuvvetlerini veya üstel fonksiyonunu hesaplamak kolaydır ve bu sebe­
ple oldukça kullanışlıdır. Örneğin 2 x 2Tik bir Jordan blok matrisinin kuvvetleri
43
A lış tır m a la r
aşağıdaki gibidir:
J
X 0
1 X
, J2=
X2 0
2X X2
Jn
Xn
uXn - 1
0
Xn
‘
2) A ve B benzer iki matris olsun. O halde tersi olan bir P matrisi için,
B = P - 1 A P ve XIn — B = P - 1 (XIn — A )P olur ve dolayısıyla XIn — B
matrisi XIn —A matrisinden satır ve sütun işlemleriyle elde edilir. Bu durumda,
bu iki matrisin temel formları aynı olacaktır. (Aslında bir satır veya sütunu
bir sayı ile çarpmak determinantı da aynı sayıyla çarpmak anlamına gelir,
fakat Aği monik polinom olarak seçtiğimiz için bu durum bir soruna neden
olmayacaktır.)
Diğer taraftan, bu iddianın tersi de doğrudur: Temel formları aynı olan iki
kare matris benzerdir; başka bir deyişle, iki matrisin benzer olması için gerek
ve yeter şart bu matrislerin temel formlarının aynı olmasıdır. Bunu görmek
için temel formları aynı olan iki matrisin aynı operatörün farklı iki bazdaki
temsilleri olduğunu fark etmek yeterlidir. Bu ise yukarıda kanıtladığımız
V ^ Rn/ ker $ ^ ®n=ıR/R(k(x)
izomorfizmasmm açık bir sonucudur.
3) Yine
V ^ Rn/ ker $ ^ ®n= 1 R/Rdi(x)
izomorfizmasmm düşünelim. fA(X) = det(XIn —A) = d 1 d2 ■■■dn karakteristik
polinomu fA(x) ■(®n= 1 R /R d i(x)) = 0 eşitliğini sağladığı için fA(A) =
0 sonucuna varırız. Bu ise Cayley-Hamilton Teoremi’dir. Diğer taraftan her
di(x) | dn(x) olduğundan
dn(x) ■(®n= 1 R/Rdi(x)) = 0
elde ederiz. Buradan dn polinomunun A matrisinin minimal polinomu ol­
duğunu görürüz.
1.4
A lıştırm a la r
1. A bir küme ve < bu küme üzerinde tanımlı bir kısmi sıralama bağıntısı
olsun. Eğer her i , j € A için i < k ve j < k olacak şekilde bir k € A
varsa (A, <) kısmi sıralama kümesine bir yönlü küme denir. Bir {X i}i&A
topolojik uzaylar ailesi alalım, öyle ki,
1 ) her i < j için sürekli bir
f ij : X i ^ X j fonksiyonu verilsin, öyle ki f ii = 1xt sağlansın; ve
2 ) her i < j < k için fik = f j k ◦ fij eşitliği sağlansın.
Bu topolojik uzayların ayrık birleşimi üzerinde bir ~ denklik bağıntısı
tanımlayalım: x € X i ve y € X j için x ~ y’dir ancak ve ancak öyle
44
Y a r d ım c ı B ilg ile r
bir k € A ve z € Xk vardır ki i, j < k dir ve hem fik(x) = z hem de
fjk(y) = z olur. {X i}i^\ topolojik uzaylarının ayrık birleşimini bu denk­
lik bağıntısına bölerek elde edilen bölüm uzayına {X i}ieA ailesinin düz
limiti denir ve limieAX i ile gösterilir. Her bir X i için X i ^ limieAX İ 7
x ^ [x], x elemanının limit uzayındaki denklik sınıfına götüren fonksi­
yonunun sürekli olduğunu gösteriniz.
Ayrıca her bir f ij fonksiyonun bir topolojik gömme fonksiyonu olması
durumunda X i uzaylarının hangi özelliklerinin limit uzayına geçtiğini
inceleyiniz: Hausdorff’luk, tıkızlık, bağlantılılık, metriklenebilirlik, vs.
2. X bir topolojik uzay olmak üzere X ’in alt uzaylarının oluşturduğu aileyi
alt küme bağıntısı ile sıralayalım: A, B C X için A < B ancak ve ancak
A C B. Ayrıca bu durumda fAB : A ^ B, x ^ x, içerme fonksiyonu
olsun. limAcx A = X olduğunu gösteriniz.
3. X C Rn içinde açık bir küme olsun ve X ’in tüm tıkız alt kümelerinin
ailesini, A = { K C X | K tıkız t e alt uzay}, yine alt küme bağıntısı ile
sıralyalım. limieA A = X olduğunu gösteriniz.
4. Aşağıdaki ifadeleri kanıtlayın.
(a) Herhangi bir küme üzerinde tanımlı olan rastgele topolojilerin ara
kesitinin de bir topoloji olduğunu gösteriniz.
(b) X bir küme ve (3, X ’in ait kümelerinin bir ailesi olsun, 3 ailesi­
nin ürettiği topoloji /3’yı içeren X üzerindeki tüm topolojilerin ara
kesitidir. Dolayısıyla bu topoloji 3 ’yı içeren en küçük topolojidir.
5. n neN[°, 1] çarpım kümesinde (xk), x k = (a \,a 2k, ■■■,alk , ■■■),
aı = { 0 > l < k
k \ 1, k < l
’
dizisini ele alalım. Bu dizinin çarpım uzayında yakınsak olduğunu ama
kutu topolojisinde ıraksak olduğunu gösteriniz.
6 . {Xi}iej bir topolojik uzaylar a ilesi ve X = n ieı Xi bu ailenin çarpım
uzayı olsun. Bir topolojik uzaydan çarpım uzayına giden bir f : Y ^ X
fonksiyonunun sürekli olması için gerek ve yeter şart f ’nin her bileşen
fonksiyonunun fi : Y ^ X i sürekli olmasıdır. Bu sonucun kutu topolo­
jisi durumunda doğru olmadığını örnekle gösteriniz.
7. G hem grup hem de topolojik bir uzay osun. Eğer, G x G ^ G , (gı,g2) ^
g - V , işlemi sürekli ise G bir topolojik gruptur denir. G topolojik
grubunun Hausdorff olması için gerek ve yeter koşul birim elemandan
oluşan tek elemanlı {e} C G kümesinin kapalı olmasıdır. Benzer şekilde,
H < G bir alt grup olmak üzere G /H bölüm uzayının Hausdorff olması
için gerek ve yeter koşul H alt grubunun kapalı bir alt küme olmasıdır.
A lış tır m a la r
45
8 . Bu alıştırmada Önerme 1.1.10 yardımı ile bölüm uzaylarının hangi şart­
lar altında Hausdorff olduklarını inceleyeceğiz. X topolojik uzay ve P :
X ^ X / ~ bu uzay üzerinde bir bölüm uzayı olsun. Aşağıdaki ifadeleri
kanıtlayınız:
(a) P bölüm fonksiyonu açık bir fonksiyon olsun. Bu durumda P x P :
X x X ^ ( X / ~) x ( X / ~) çarpım fonksiyonunun ( X / ) x (X /
) kümesi üzerine koyduğu bölüm uzayı topolojisi, X / ~ uzayının
kendisi ile çarpımından elde edilen çarpım uzayı topolojisi ile çakışır.
(b) ( X / ) x ( X / ~) çarpım uzayının köşegeninin P x P : (X x X ) ^
( X / ) x ( X / ) bölüm fonksiyonu stordaki ters görüntüsü ~ Ç
X x X bağlantı alt kümesidir.
(c) P : X ^ X / ~ bölüm fonksiyonunun açık fonksiyon olması duru­
munda bölüm uzayının Hausdorff olması için gerek ve yeter şart ~
denklik bağıntısının X x X çarpım uzayı içinde kapalı bir alt küme
olmasıdır.
9.
(a) X topolojik uzay ve P : X ^ X / ~ bu uzay üzerinde bir bölüm
uzayı olsun. P fonksiyonunun açık olması için gerek ve yeter koşul
her U Ç X açık alt kümesi için U alt kümesinin ~ denklik bağın­
tısı ile genişlemesinin U^ = {x € X | x ~ y, bazı y € U} açık
olmasıdır.
(b) G, X uzayının tüm homeomorfizmalarmm oluşturduğu grubunun
bir alt grubu olsun. X üzerin de ~ denklik bağı ntısı x ~ y ancak ve
ancak bazı g € G için y = g(x), şeklinde tanımlasın. Bu durumda
X / bölüm uzayı G-yörüngelerinden oluşur ve X ’in yörünge uzayı
diye adlandırılır. P : X ^ X / ~ bölüm fonksiyonunun açık bir
fonksiyon olduğunu gösteriniz.
(c) Bir önceki alıştırmanın sonucunu kullanarak X / G bölüm uzayının
Hausdorff olması için {(x,g(x)) € X x X | x € X, g € G)} alt
kümesinin X x X çarpım uzayı içinde kapalı olmasının gerek ve
yeter koşul olduğunu gösteriniz.
(d) X Hausdorff bir uzay ve G sonlu bir grup ise X / ~ = X / G yörünge
uzayının da Hausdorff olduğunu gösteriniz.
10. P : X ^ Y ve Q : Y ^ Z iki bölüm fonksiyonu ise Q o P : X ^ Z
bileşke fonksiyonunun da bir bölüm fonksiyonu olduğunu gösteriniz.
11. f : R ^ S \ f (t) = (cos2nt, sin2nt), t € R, fonksiyonun bölüm uzayı
seviyesinde verdiği f : R /
S 1 fonksiyonunun bir homeomorfizma
olduğunu gösteriniz. Burada R / ~ üzerindeki topoloji bölüm uzayı to­
polojisidir. S 1 üzerindeki bu topoloji ise S 1,in düzlemden aldığı alt uzay
topolojisidir.
46
Y a r d ım c ı B ilg ile r
12. Tıkız bir X uzayından tanımlanan her sürekli f : X ^ Y fonksiyonun
düzgün olduğunu gösteriniz.
13. Bu alıştırmada önceden ele aldığımız bir örneği biraz daha derinlemesine
inceleyeceğiz (bkz. Örnek 1.1.19): X = R 3 —{(0, 0, 0)} uzayı (Öklit topo­
lojisi ile) olsun ve X üzerinde ~ denklik bağıntısı şu şekilde tanımlansın:
(x\, X2 , x 3 ) ~ (yı,V 2 ,V3 ) ancak ve ancak (vi ,V2,V3) = A(xı,X2,X3), ola­
cak şekilde bazı A € R sayıları vardır. X / ~ bölüm uzayı üç boyutlu
Öklit uzayındaki doğruların uzayıdır, gerçel projektif düzlem diye adlan­
dırılır ve R P 2 ile gösterilir.
(a) Bu uzayın iki boyutlu birim küre, S 2, üzerinde
(xı, X2, X3) ~ (—Xı, —X2 , —X3 )
ile tanımlanan denklik bağıntısından elde edilen bölüm uzayına homeomorfik olduğunu gösteriniz.
(b) F : S 2 ^ R 6, F ( x ı , x 2 , x 3) = (xıx 2 , x 2 x 3 , x 3 x ı , x \ , x 2 , x ‘2) fonksiyo­
nunun R P 2,nin R 6 içine topolojik bir gömme fonksiyonu verdiğini
gösteriniz.
(c) F ( x ,y ,z ) = (x 2 + yz, y 2, xy, zx) ile tanımlanan F fonksiyonunun
gerçel projektif düzlemin R 4 içine topolojik bir gömme verdiğini
gösteriniz. (Gerçel projektif düzlemin R 3 içine gömülmesi mümkün
değildir (bkz. Ünite 5, Alıştırma 16).)
14. Yol bağlantılı bir topolojik uzayın bağlantılı olduğunu gösteriniz. Diğer
taraftan Rra’nin bağlantılı her açık alt kümesinin yol bağlantılı olduğunu
gösteriniz.
15. A = (—1,0) U (0,1) Ç R alt uzayı olsun. Eğer f : A ^ R bire bir
sürekli bir fonksiyon ise f (A) görüntü uzayının da bağlantısız olduğunu
gösteriniz. Diğer taraftan, g(A) Ç R 2 bağlantılı olacak şekilde bire bir
sürekli bir g : A ^ R 2 fonksiyonu bulunuz.
16. Genellikle gerçel sayılar kümesinin her aralığının kardinalitesinin aynı
olduğunu lisans derslerinde işlenir. Diğer taraftan, [0,1) ve (0,1) gibi
verilen iki aralık arasında bire bir eşleme örneği lisans derslerinde nadiren
verilir:
A = {0, 1/ 2 ,1/3, ••• , 1/n, • • ^ ç [0,1)
ve
B = {1/2,1/3, ••• , 1/n, • • • } Ç (0,1)
olmak üzere f : [0,1) ^ (0,1) fonksiyonu şu şekilde tanımiansın: x € X —
A ise f (x) = x f (0) = 1/2 ve n > 1 için f ( 1 /n) = 1/ ( n + 1). Bu fonksiyon
istenilen eşlemeyi verir. Görüldüğü gibi bu eşleme fonksiyonunun sonsuz
noktada süreksizliği vardır. Aşağıda, bu durumdan kurtulmanın mümkün
olmadığını göreceğiz.
47
A lış tır m a la r
(a) R ’nin alt uzayları olarak [a, b) ve (a, b) aralıklarının homeomorfik
olmadıklarını gösteriniz.
(b) [0 , 1) ve (0 , 1) aralıkları arasındaki her bire bir eşlemenin sonsuz
noktada süreksizliği olduğunu gösteriniz.
17. f : X
X bağlantılı ve tıkız X uzayından kendisine açık ve sürekli bir
fonksiyon ise f ’nin örten olduğunu gösteriniz. Eğer f fonksiyonu ayrıca
bire bir ise f bir homeomorfizmadır.
18. Bir f : (X,d) ^ (X, d) fonksiyonu her x , y € X için d (f ( x ) , f (y)) =
d(x, y) koşulunu sağlıyorsa bu fonksiyona (X, d) metrik uzayının bir izometrisi denir. Her izometrinin bire bir ve sürekli olduğunu gösteriniz. Eğer
(X, d) tıkız bir metrik uz ay ise f izometrisinin ayrıca örten ve dolayısıyla
bir homeomofizma olduğunu gösteriniz.
19. M™ Öklit metrik uzayının her izometrisinin afin bir fonksiyon olduğunu
gösteriniz.
20.
(a) Örnek 1.1.17’de M üzerine koyduğumuz t2 topolojisinin metriklene­
bilir olduğunu bir metrik inşa ederek gösteriniz.
(b) f :. ([0, ^ ),T2 ) . _S \ , ,f (x)
v_, = (cos—
v— 1 + x sin — ) fonksiyonunun
1+ x
bir homeomorfizma olduğunu gösteriniz.
(c) M üzerindeki t3 topolojisi
(3 = {(a, b) | a,b € M, ab > 0}
U{(a, b) U (cı, to) U (-X ), c2) I a, b, cı, c2 € M, a < 0 < b}
tabanı ile üretilen topoloji olsun. Bu uzayın düzlemde çizilen sekiz
rakamına homeomorfik olduğunu gösteriniz.
21 .
(a) Denk metriklerin aynı topolojiyi ürettiğini gösteriniz.
(b) dı, X kümesi üzerinde tanımlanan bir metrik olmak üzere her x ,y €
X için
dı (x , y )
d2 (x,y)
1 + dı(x,y)
ile tanımlanan fonksiyonun da X üzerinde bir metrik olduğunu ve
bu iki metriğin aynı topolojiyi ürettiklerini gösteriniz. dı sınırlı bir
metrik ise bu iki metrik denktir.
(c) M kümesi üzerinde aynı topolojiyi veren ve birbirine denk olmayan
iki metrik bulunuz.
22. (X, d) herhangi bir metrik uzay ve (X ,d) bu uzayın bir tamlanışı
olsun. Eğer X sayılabilir bir küme ise, X = {rn | n = 1, 2, • • • }, (rn)
dizisinin, X —X içindeki her noktaya yakınsayan bir alt dizisi olduğunu
gösteriniz.
48
Y a r d ım c ı B ilg ile r
23. Bir metrik uzayın tıkız olması için gerek ve yeter şart o uzay üzerindeki
her gerçel değerli sürekli fonksiyonun en büyük (maksimum) değerinin
olmasıdır.
ANALİZ
24. z = x 1 + ix 2 = (x 1 , x 2)
w = y 1 + iy 2 = (y 1 ,y 2) alarak verilen bir
f : C ^ C, w = f (z) karmaşık sayılar fonksiyonunu R2’den R2’ye bir
fonksiyon olarak görebiliriz:
F (xı , x 2) = (R e(f (xı + ix 2 ) ) , I m ( f (xı + ix 2))).
Bu durumda f fonksiyonu bir p € C noktasında kompleks fonksiyon
olarak türevlenebilirdir ancak ve ancak F fonksiyonu aynı noktada türevlenebilirdir ve DF(p) : R 2 ^ R 2 doğrusal dönüşümü karmaşık vektör
uzayı dönüşümüdür. Kanıtlayın!
25. Bu alıştırmada Ters Fonksiyon Teoremi’nin özel halini Ortalama Değer
Teoremi ve temel topoloji bilgileri yardımıyla Banach Daraltma Prensi­
bini kullanmadan kanıtlayacağız: f : R ^ R C 1 sınıfından bir fonksiyon
ve xo € R, f '( x 0) = 0 , koşulunu sağlayan bir nokta olsun.
(a) Ortalama Değer Teoremi’ni kullanarak f fonksiyonun x 0 noktası
etrafında hep artan veya hep azalan olduğunu gösteriniz ve bunu
kullanarak f : (a, b) ^ (c, d) fonksiyonu bire bir ve örten olacak
şekilde x 0 € (a,b), y 0 = f (x0) € (c,d) aralıklarının varlığını kanıt­
layınız.
(b) f - 1 : (c, d) ^ (a, b) ters fonksiyonunun y 0 noktasında türevlenebilir
olduğunu gösteriniz.
26. Kapalı Fonksiyon Teoremi’ni kabul ederek Ters Fonksiyon Teoremi’ni
kanıtlayanız.
27.
(a) [0,1] aralığında tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayını supremum met­
riği ile düşünelim. Her x € [0,1] için
1 fx
T ( f )(x) = x + 2 J q f (t) sın t d t
ile tanımlanan T : C ([0,1]) ^ C ([0,1]) fonksiyonunun, her f , g €
C ([0,1]) için ||T( f ) —T(g)\\ < 0.5||f —g\\ sağladığını gösteriniz.
1 fx
(b) y(x) = x +—
y(t) sin t dt denklemini sağlayan tek bir sürekli
2 J0
y : [0,1] ^ R fonksiyonu olduğunu gösteriniz.
D OĞRUSAL CEBİR
49
A lış tır m a la r
28. Bu alıştırmada determinantı pozitif olan (n x n )’lik matrislerin oluşturdu­
ğu alt uzayın, GL+(n, R), yol bağlantılı olduğunu göstereceğiz. Herhangi
bir c £ R gerçel sayısı için şu elementer pozitif determinantlı matrisleri
düşünelim:
' 1
0
0
1
0
0
0
■
■
■■■ 0 ■
■■■ 0
c
■■ 1
■■■ 0
_0
0
' 1
0
,
1.
0
0
1
0
■■■ 0 '
■■■ 0
c
■■■ 0
_0
0
1_
(ikinci matris için c > 0 alacağız). Şimdi bir A £ GL+(n, R) alalım ve
her biri yukarıdaki iki tipten birinden olacak şekilde seçilen sonlu sayıdaki
Ei elementer matrisleri yardımıyla
E rEr- ı ■■■E 2 E 1 A = In
şeklinde yazalım öyle ki, In matrisi birim matristen satırlarının yer
değiştirmesi (bir permütasyonu) ve yine bazı satırlarının —1 ile çar­
pılmasıyla elde edilmiş olsun. Bu matrisin determinantının da pozitif ol­
duğunu gözlemleyiniz. Örneğin, (3 x 3)’lük bir I 3 matrisi şu olabilir:
0 1 0 '
—1 0 0 .
0 0 1
Her A £ GL+(n, R) matrisinin bu şekilde bir çarpım olarak yazılabile­
ceğini kanıtlayınız.
Şimdi de her bir Ei matrisinin ve In matrisinin, görüntüsü GL+(n, R)
içinde kalan sürekli bir eğri ile birim matrise bağlanabileceğini görelim,
ikinci tip elementer matris için eğrimiz
7 (t)
1 0
0 1
............ 0
0 ••• 0
0
ct
0
0
0
t £ [1, 1/c] ya da
t £ [1/c, 1],
1
olarak seçilebilir. Birinci tip elementer matris için eğri bulma işini size
bırakırken yukarıda verdiğimiz I 3 matrisini birim matrise bağlayan eğri
şu şekilde seçilebilir:
a(t)
cos tn / 2
-sin tn / 2
0
sin tn / 2
cos tn / 2
0
0
0
1
t £ [0 , 1].
50
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Genel durumun kanıtını size bırakıyoruz. K anıtta faydalı olacak bir ipucu
verelim: In matrisinin içindeki negatif bileşenlerin sayısı m olsun. Her
negatif sayıyı pozitife çevirdikten sonra elde edilen matrisin satırlarının
yerlerini değiştirerek birim matris etmemizi sağlayan permütasyon da
a olsun. Bu durumda, In matrisinin determinantı pozitif olduğundan
(—1)m sgn(a) = 1 olur. Dolayısıyla, GL+(n, R) grubu yol bağlantılıdır.
Determinantı pozitif bir matrisin ilk satırını —1 ile çarpmak GL+(n, R)
uzayından determinantı negatif olan matrisler uzayına, G L- (n, R), bir
homeomorfizma tanımlar. Dolayısıyla, GL(n, R) birbirine homeomorfik
iki bağlantılı bileşenden oluşmaktadır.
Determinantı sıfırdan farklı bir matrisin satırlarına Gram-Schmidt ope­
rasyonu uygulayarak genel doğrusal gruptan ortogonal matrisler gurubu­
na örten sürekli bir fonksiyon buluruz (bkz. ayrıca 237):
P : GL(n, R)
O(n) .
Bu fonksiyonun ortogonal matrisler grubuna kısıtlamasının birim dönü­
şüm olduğunu gözlemleyiniz. Bu özelliğe sahip fonksiyonlara küçültme
fonksiyonu adı verilir (bkz. Tanım 4.1.7). Son olarak, küçültme fonksiyo­
nu yardımıyla, O(n) ortogonal matrisler grubunun biri SO(n) olmak
üzere iki bağlantılı bileşenden oluştuğunu gösteriniz.
29. f : Rn ^ Rn C 1 sınıfından bir fonksiyon ve (xn) € Rn yakınsak bir
dizi olsun. Eğer her n > 0 için f (xn) = x n ise x 0 = lim x n noktasının
da f fonksiyonu için sabit nokta olduğunu ve A = +1 sayısının bu nok­
tadaki türev fonksiyonunun, D f (x0) : Rn ^ Rn , bir özdeğeri olduğunu
gösteriniz.
30. Aşağıdaki ifadeyi kanıtlayınız: R değişmeli bir halka, M ve N bu halka
üzerinde tanımlı modüller olsun. Bu durumda her P R-modülü ve F :
M x N ^ P bilineer bir fonksiyonu için F = G o n olacak şekilde sadece
tek bir A R-modülü, n : M
N ^ A R-modül homomorfizması ve
G : A ^ P R-modül homomorfizması vardır.
31. Bu alıştırmada tensörlerin geometrik bir uygulaması olarak Hilbert’in
üçüncü problemini ele alacağız. David Hilbert 1900 yılında Paris’te dü­
zenlenen Uluslararası Matematik Konferansında 20. Yüzyıl matematiğine
yön veren 10 problemden oluşan bir liste sundu. Daha sonra liste biraz
daha genişleyerek 23 probleme çıktı. Listenin 8 . problemi olan Riemann
Hipotezi, 12. problemi ve Gerçel Cebirsel Düzlem eğrilerinin konfigürasyonu problemini de kapsayan 16. problemi halen açık. Geri kalan pro­
blemlerin önemli bir kısmı tamamen veya kısmen çözülmüş durumda.
Listenin ilk çözülen problemi ise 3. problem. Bu problem Hilbert’in o za­
manlar öğrencisi olan Max Dehn (Dehn adıyla anılan, Dehn Tuıist, Dehn
Surgery gibi bir çok matematiksel araç ve teknik özellikle düşük boyutlu
51
A lış tır m a la r
topoloji alanında halen yoğun olarak kullanılmaktadır) tarafından aynı
yıl çözüldü. Bu alıştırmada bu problemi tanıtıp Dehn’in çözümünü sun­
acağız.
Düzlemde aynı alana sahip iki çokgen alalım. Bolyai-Gerwien Teoremi
olarak bilinen sonuca göre bunlardan birini, muhtemelen birden fazla,
doğru boyunca makas ile kesip farklı şekillerde yapıştırarak diğerini elde
etmek mümkündür. Hilbert’in 3. problemi aynı sonucun 3-boyutlu çok
yüzlü katı cisimler için doğru olup olmadığını sormaktadır: P\ ve P2
aynı hacme sahip çok yüzlü iki katı cisim olsun. Örneğin bir küp ile bir
düzgün dört yüzlü. Küpü bir bıçak yardımıyla düzlemler boyunca sonlu
sayıda parçaya ayırsak ve yüzleri boyunca tekrar yapıştırsak düzgün dört
yüzlüyü elde edebilir miyiz?
Dehn bunun mümkün olmadığını tanımladığı bir değişmez yardımıyla
gösterdi. Dehn’in kullandığı fikir gerçekten basit. Katı cismi bir düzlem
boyunca kestiğimizi düşünelim. Eğer kenarlardan biri bu düzlemin için­
de kalıyorsa bu kenarın uzunluğu değişmeyecek fakat bu kenara ait açı,
toplamı aynı kalacak şekilde, iki parçaya bölünecektir. Eğer bir kenar bu
düzlem ile kesişmiyorsa ne bu kenarın uzunluğu ne de bu kenara ait açı
değişecektir. Yine eğer bu düzlem bir kenarı köşeleri dışında bir noktada
kesiyorsa bu kenar, uzunlukları toplamı aynı kalmak üzere, iki parçaya
ayrılacaktır. Ayrıca bu durumda bu iki parçanın da açıları değişmeyecek­
tir. Son olarak, kesme işlemi sonunda bir yüz iki parçaya ayrılırsa, aynı
uzunluğa sahip iki yeni kenar ortaya çıkacaktır. Bu kenarlara ait açılar
toplamı ise n olacaktır.
Şimdi Dehn değişmezini tanımlayabiliriz: P sonlu sayıda ayrık çok yüzlü
katı cismin ve E bu cisimlerin tüm kenarlarının kümesi olsun. Herhangi
bir e € E kenarı için l(e) € R bu kenarın uzunluğunu ve 9(e) € R
bu kenara ait yüzler arasındaki açı olsun. Bu durumda, R
(R/(Qn))
Q-vektör uzayı içinde değer alan Dehn değişmezi
D (P ) = £ l(e)
e&E
(ö(e) + Qn) € R
(R /(Qn)),
olarak tanımlanır. Bu ifadenin P kümesi içinde kalan katı cisimlerin
düzlemler boyunca kesilmesi ile değişmediğini gözlemleyiniz.
Herhangi bir küp için bu değişmezin sıfır olduğunu gösteriniz. Son ola­
rak, herhangi bir düzgün dört yüzlü için bu değişmezin sıfırdan farklı
olduğunu ve dolayısıyla bir küpü kesip yapıştırarak düzgün dört yüzlü
elde edemeyeceğimizi gösteriniz. Bu konuda daha kapsamlı bir okuma
için Dehn-Hadwiger Teoremi ile Dehn-Sydler Teoremi’ne bakabilirsiniz.
Bu problemin yüksek boyutlu ( n > 5) genellemeleri henüz açık durum­
dadır.
Bu tarihi ve güzel problemi dikkatime sunan Beşiktaş Atatürk Anadolu
Lisesi öğrencisi sayın Baran Çetin’e teşekkür ederim (2014 Aralık ayı).
52
Y a r d ım c ı B ilg ile r
32. R değişmeli bir halka, (A, <) yönlü bir küme ve {Mİ}İça bir R-modülleri
ailesi olsun, öyle ki,
a) her i < j için bir f j : X i ^ X j R-modül homomorfizması olsun; ve
ayrıca
b) her i < j < k için fik = fjk ◦ fij eşitliği sağlansın.
Şimdi bu R-modüllerin direkt toplamı üzerinde bir ~ denklik bağıntısı
tanımlayalım: x € Mi ve y € Mj için x ~ y’dir ancak ve ancak öyle bir
k € A ve z € Xk vardır ki i, j < k’dir ve hem f ik(x) = z hem de fjk(y) =
z olur. ®İça M İ içinde x ~ y olmak üzere x — y tipindeki elemanların
ürettiği alt modülü D ile gösterelim. Bu durumda ®İça M İ/ D bölüm
modülüne {Mİ}İça ailesinin düz limiti d enir ve lim Mi ile gösterilir.
Buna denk bir başka tanım ise şudur: Bu modüllerin ayrık birleşimi
üzerinde yukarıdaki ~ denklik bağıntısını düşünelim. Toplama işlemini
de şu şekilde yapalım. x € Mi ve y € Mj rastgele iki eleman olmak üzere
i, j < k koşulunu sağlayan k endeksi için bu iki elemanın toplamını
Mk içinde bunlara denk olan elmanlarm toplamı olarak tanımlayalım:
x + y = fik(x) + fjk (y). Bu ikinci tanımın avantajı direkt limitin grup,
halka ve cisimler için de doğrudan tanımlanabilmesine olanak sağlaması­
dır. Bu sayede gruplar için sıkıntılı olan direkt toplam işinden kurtulmuş
oluruz.
(a) A = Z+ kümesi üzerinde m < n ancak ve ancak m\n kısmi sıralama
bağıntısını tanımlayalım. Her n € A için Mn = Zn devirli grubu­
nu ve her m\n için f mn : M m ^ Mnı [k] ^ [n k / m ], ile verilen
Z-modül homomorfizmasmı göstersin, lim Mn limit grubunun Q /Z
bölüm grubuna (toplama işlemi ile beraber) izomorfik olduğunu gös­
teriniz.
(b) Yukarıda ele aldığımız sorudaki modülleri Mn = Z ve homomorfizmaları f mn : M m ^ Mnı k ^ n k / m alırsak lim Mn limit
grubunun Q grubuna (toplama işlemine göre) izomorfik olduğu­
nu gösteriniz. Eğer M n modülünü { k /n \ k € Z} ~ Z alırsak
f mn : M m ^ Mn homomorfizmasmm rasyonel sayılardaki payda
eşitleme işlemine karşılık geldiğini görebiliriz.
33. M = Z 2 rankı iki olan değişmeli grup ve N bu grup içinde (2, 3) ve (1, 5)
elemanlarının ürettiği alt grup olsun. Bu durumda M / N bölüm grubu
nedir? Sonlu ise kaç elemanı vardır? Bu vektörleri satır olarak kabul eden
A
2 3
1 5
matrisinin determinantının bir anlamı var mı? Bu alıştırmada bu sorunun
cevabını bulmanın sistematik bir yolunu öğreneceğiz.
53
A lış tır m a la r
R bir esas ideal bölgesi, M sonlu üretilen serbest bir R-modül ve N Q M
bir alt modül olsun (R t e esas ideal bölgesi olduğundan M Noetherian’dır ve dolayısıyla her alt modülü sonlu üretilir), fi = {eı , ■■■ ,en}
M modülünün bir tabanı ve fi1 = { f ı , ■■■, f m} N ’nin bir üreteç kümesi
olsun. A = (aij ), fi = Yİj aije j i = 1, ■■■,m ve j = 1, ■■■,n , olacak
şekilde bir matris olsun.
(Ci o
C j)
: ei o ej ve
(Ri o R j) : f i o f j
yer değiştirme ve
(Ci o Ci — rC j)
:
ej
o
rei +
ej
ve
(Rj
bir üreteçin r € R katını diğerine ekleme işlemleri üreteçlerin değişiminin
A matrisini nasıl değiştirdiğini gösterir (Ci 1er A matrisinin sütunları, Ri
ler ise satırlarıdır). Örnek olarak,
(Ci o Ci — rC j) : ej o rei + ej
işlemi fi kümesinde ej ’nin rei + ej ile değiştirilmesi sonu cunda A matrisi­
nin i ’inci satırından j ’inci satırının r katının çıkarıldığını göstermektedir.
Taban değiştirme işlemlerinin gerçekten iddia edilen satır ve sütun işlem­
lerine karşı geldiğini gösteriniz.
Bu tür satır ve sütun işlemlerini kullanarak A matrisin sonlu adımda bir
D = (dij) matrisine dönüştürebiliriz; öyle ki, dıı | d22 \ ■■■ | dkk = 0
olacak şekilde bir k < min{m, n} vardır ve diğer tüm d j = 0’dır: dıı R
halkası içinde tüm a j ’lerin en küçük ortak bölenidir (halkamız bir esas
ideal bölgesi olduğu için bunu yapabiliriz). A matrisinde aıı yerine dıı
elemanını getirdikten sonra yine satır ve sütun işlemleriyle birinci satır
ve sütundaki diğer tüm elemanları sıfır yapabiliriz. Daha sonra matrisin
birinci satır ve sütununa dokunmadan aynı işlemleri diğer satır ve sütun­
lara yaparak devam ederiz. Bu işlemin sonlu adımda biteceği açıktır.
Bu işlemler sonucunda fi = {eı , ■■■, en} ve fi 1 = {dı ı eı , ■■■, dkk ek} ol­
duğunu kabul edebiliriz. O halde bölüm modülü
(®k=ıR/(diiR)) ® Rn-k
olur.
Son olarak R = % ve n = k ise bölüm grubu sonludur ve eleman sayısı
\ det(A)| = \ det(D)| = dıı ■■■dkk sayısıdır. En başta verdiğimiz örnek
için det(A) = 7 olduğundan bölüm grubu yedi elemanlı tek Z-modül olan
%/TL olmalıdır.
34. Bu alıştırmada gerçel (veya karmaşık) sayılar üzerindeki M (n ,n ) kare
matrisler uzayı içinde n-tane farklı özdeğeri olan matrislerin oluşturduğu
alt uzayın M (n ,n ) = Rn içinde açık bir yuvar içerdiğini göstereceğiz:
D = (dij), d j = iSij, (i,j = 1, ■■■,n), köşegen matrisini düşünelim.
o rRi + R j) :
fj
54
Y a r d ım c ı B ilg ile r
(a) D matrisinin karakteristik polinomunun
Î d (A) = (A - 1) ••• (A - n)
olduğunu gösteriniz. Bu polinomun
0.5, 1.5, ••• , n - 0.5, n + 0.5
noktalarında aldığı değerlerin işaretlerinin her seferinde değiştiğini
gözlemleyiniz.
(b) Katsayıları fD (A) polinomunun katsayılarına e kadar yakın olan
n ’inci dereceden her f (A) polinomunun n tane farklı gerçel kökü
olacak şekilde bir e > 0 sayısının varlığını gösteriniz.
(c) M (n, n) ~ M™ metrik uzayı için de her A € B (D, 6 ) matrisin in n ta­
ne farklı özdeğeri olacak şekilde bir B(D , 6 ) açık yuvarının varlığını
gösteriniz.
35. Bu alıştırmada Cayley-Hamilton Teoremi’nin bir başka kanıtını göre­
ceğiz.
(a) Doğrudan hesap yaparak her köşegen D € M (n, n) matrisi için
Î d (D) = 0, sıfır matrisi, olduğunu gösteriniz. Benzer şekilde her
köşegenleştirilebilir B € M (n,n) matrisi için Î b (B) = 0, olduğunu
gösteriniz.
(b) + : M (n ,n ) ^ M (n ,n ), +(A) = Î a (A), ile tanımlanan fonksiyonun
her bileşeninin A = (aij ) matrisin in aij bileşenlerinin birer polinomu
olduğunu gösteriniz.
(c) Alıştırma 34’in sonucunu kullanarak her A € M (n, n) için +(A) = 0
olduğunu gösteriniz.
36. A t e kare matris olmak üzere det(eA) = e}rA olduğunu gösteriniz (ilk
önce köşegen bir matris için gösteriniz ve daha sonra eşitliğin her iki
tarafının da A’nın analitik fonksiyonları olmasını ve köşegenleştirilebilir
matrislerin tüm matrisler içinde açık bir yuvar içerdiğini kullanınız). A
izi sıfır olan bir kare matris ise eA ’nm determinantı bir olan bir matris
olduğunu gösteriniz.
37. Bu alıştırmada karakteristik polinomu doğrusal terimlerin çarpımı şeklin­
de yazılabilen bir matrisin Jordan temel formunun nasıl bulunacağını gö­
receğiz. F cismi üzerinde tanımlı bir A € M (n, n) matrisinin karakteristik
polinomu, i = j için, Ai = Aj olacak şekiİde A\, • • • , Ak € F özdeğerleri
için
Î a (A) = (A - Aı )nı ••• (A - Ak )nk
olsun. V ile Fn vektör uzayını gösterelim.
55
A lış tır m a la r
(a) i = 1, 2 olmak üzere Ti : V ^ V doğrusal operatörleri için
T 1 T 2 = 0 ve ker(Tı) n ker(T2) = (0) ise V = ker(Tı) © ker(T2)
direkt toplamı olduğunu gösteriniz.
(b) gı(X), g2 (A) € F[A] aralarında asal iki polinom ve B € M (n ,n )
herhangi bir matris olmak üzere gi(B) : V ^ V operatörleri için
ker(g1(B)) n ker(g2(B)) = (0) olduğunu gösteriniz.
(c) Her i = 1, • • • , k için Vi = ker(XiIn —A)ni olmak üzere A(Vi) Ç Vi
ve V = V1 ©• • •© Vk olduğunu gösteriniz (ipucu : g 1 (X) = (A—A1)nı
ve g2 (A) = fA (A )/g 1 (A) alınız ve tümevarım metodunu kullanınız).
(d) Her i = 1, ••• , k için A’nm Vi alt uzayına kısıtlanışının, A\V :
Vi ^ Vi; karakteristik polinomunun (A —Ai)ni olduğunu gösteriniz.
Buradan Vi vektör uzayının boyu tunun ni olduğu sonucuna varı­
rız. (ipucu : A : V ^ V doğrusal operatörünün Vi ’lerin tabanlarının
birleşiminden oluşan bir tabandaki matris gösterimini kullanarak ka­
rakteristik polinomunu yazınız).
(e) B matrisinin karakteristik polinomunun (A —Ao)n olduğunu kabul
edelim. L = A0 In —B operatörü olmak üzere Wi = ker(Li) olarak
tanımlansın. O halde, L(Wi) Ç Wi-1 , W 0 = (0 ) W 1 = E \ 01 A0
özdeğerine karşılık gelen özvektör uzayı ve Wn = Fn olur. Eğer
V]_, ••• ,Vk € Wi vektörlerinin denklik sınıfları Wi/W i - 1 bölüm
uzayı içinde doğrusal bağımsız bir küme ise 0 < s < i, ve 1 < j <
k olmak üz ere {L s(vj)} kümesinin doğrusal bağımsız bir küme
olduğunu gösteriniz.
Şimdi Wi/W i - 1 = (0) olacak şekilde en büyük i sayısını seçelim.
Bu sayı l olsun. Wı uzayı içinde denklik smıfları W ı/W \- 1 bölüm
uzayının bir tabanı olacak şekilde v ^ • • • ,v ^1 vektörleri seçelim. O
halde L(v{), ••• ,L (v \ ) kümesi Wı- 1 /W ı - 2 bölüm uzayının içinde
doğrusal bağımsız bir küme verir. Şimdi de, öyle v 2 , ••• ,v 2k2 € Wi- 1
seçelim ki,
L(v ı1), ••• ,L (v kı),v k, ••• , v k 2
vektörlerinin denklik sınıfları W—1 /W ı-k bölüm uzayının bir tabanı
olsun (kk = 0 olması elbette mümkündür). Bu şekilde devam ede­
rek,
Lı - > î ) ,
L ı - 1 (vkı), Lı - 2 (vk)
Ll~ \ v i 2),
L(v—1), ••• ,L (v lk-\ ), v i , •
vı
vektörlerinin denklik sınıfları E \ 0 = W 1 /W 0 bölüm uzayı için bir
taban olacak şekilde
v ^ ••• ,v kı , v k, ••• , v k 2 ,
ı-1
, v1
vektörlerini elde ederiz. Bu durumda
ı-1
, vkı_ 1, v 1 , • • • ,v kı
56
Y a r d ım c ı B ilg ile r
{v 1 , L (v1), • •• , Ll ^ v l),
v2 , L(v^) , • • • , Ll - l (vj\),
vl , L(vkl) , • • , Ll - 1 ( v l )
v 2 , L (v2), • • • , Ll - 2 (v\ ),
vi , L(v2) , •• • , Ll - 2 (vl),
v l 2 , L ( v l ) , • • , Ll - 2 ( v l )
v- 1 , L(v[-1 ),
vİ - , L(v2_1),
Vlk- \ , L (vlk- \ )
v1,
vl2 ,
vk }
kümesinin V = Fn için bir taban oluşturduğunu ve A matrisinin
bu sıralı tabanda Jordan blokları şeklinde göründüğünü gösteriniz.
38. Bir matrisin karakteristik polinomu doğal bir şekilde matrisin sürekli bir
fonksiyonudur. Diğer taraftan, minimal polinomun matrisin sürekli bir
fonksiyonu olamayacağını gösteriniz.
39.
(a) a0 = a 1 = 1 ve n > 2 için an+ 2 = an + an+ 1 ile tanımlanan
(an) = (1,1, 2, 3, 5, 8, • • •), Fibonacci dizisinin genel teriminin sade­
ce n cinsinden ifadesini Örnek 1.3.4 yardımıyla hesaplayalım: vn =
[an an+ 1 ]T vektörü ise Avn - 1 = vn olduğunu gösteriniz. Buradan
vn = Anv 0 yazarak sonucu hesaplayınız.
(b) Bu metodu kullanarak (1, 2, 3,1, 2, 3,1, 2, 3, •••) periyodik dizisinin
genel teriminin sadece n cinsinden ifadesini bulunuz (bu dizi için
kullanacağınız matrisin özdeğerleri karmaşık sayılar olacaktır).
(c) Jordan temel formunu kullanarak, n > 0 için, an+ 2 = 4(an+1 —
an) ile verilen (an) dizisinin genel teri mini a0 , a 1 ve n cinsinden
hesaplayınız.
57
A lış tır m a la r
(d) (an) kinci dereceden indirgemeli bir dizi olsun. Başka bir deyişle öy­
le co, • • • , Ck- 1 sayıları vardır ki her n > 0 için an+k = Ck- 1 an+k-1 +
■■■+ c0 an olur. Yukarıda ki gibi vn = [an ■■■an+k-1]T vektörünü
gösterirse Avn - 1 = vn olacak şekilde seçilen A matrisinin karakte­
ristik polinomunun Ja (^) = —Ck- 1 Xk - 1 —■■■—c1X —c0 olduğunu
gösteriniz.
40. Bu alıştırmada rankı n > 1 olan serbest değişmeli G = Z grubu­
nun, endeksi verilen bir N > 1 doğal sayısına eşit olan alt gruplarının
sayısını, Smith Normal Form benzeri bir işlem kullanarak hesaplayaca­
ğız. Boyutları n x n olan tam sayı katsayılı bir A matrisi alalım.
Bu matrisin satırlarını üreteç kümesi kabul eden alt grubu H < G ile
gösterelim. Alıştırma 33’da görmüş olduğumuz satır işlemlerinin H alt
grubunu koruyacağı açıktır.
(a) A matrisine sadece satır işlemleri uygulayarak bu matrisi aşağıda
tarif edilen temel forma dönüştürebiliriz:
A =D
d,1
0
0
d,12 ■■■ d,1n
d2 ■■■ d2n
0
■■■ dn
D matrisinin köşegen elemanlarının pozitif seçilebileceğini ve bu
durumda N = d 1 ■■■dn koşulunu sağladığını gösteriniz. Ayrıca
0 < dij < dj koşulunu da eklersek D matrisinin A matrisi
tarafından tek bir şekilde belirlendiğini gözlemleyiniz.
(b) G serbest değişmeli grubunun endeksi N olan alt gruplarının
yukarıda tarif ettiğimiz D matrisleriyle bire bir eşlenebileceğim
gösteriniz. O halde, endeksi N olan alt grupları saymak yukarıdaki
koşulları sağlayan D matrislerini saymaya denktir.
(c) Verilen N ve n pozitif tam sayıları için, G = Zn grubunun
endeksi N olan ait gruplarının sayısını f n (N ) ile gösterelim. Bu
durumda aşağıdaki fonksiyonel bağıntının doğru olduğunu gösteri­
niz:
fn (N ) = £ dn - 1 f n - 1 (N /d) .
d\N
(d) h ( N ) = 1 Ye f 2 (N ) = E d olduğunu gösteriniz. (Bu konuda yazıld\N
mış oldukça geniş kapsamlı bir çalışma için [21] numaralı referansa
bakınız.)
41. Bu alıştırmada doğrusal cebir kullanarak Özel Görecelik Kuramı’nm önem­
li bir parçası olan Lorentz Dönüşümleri’ni elde etmeye çalışacağız.
58
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Bunun için ilk önce, düz bir yol boyunca sabit v hızıyla ilerleyen bir
tren düşünelim. Trenin dışında ve içinde iki ayrı gözlemci olduğunu varsa­
yalım. Trenin üzerinde hareket ettiği yolun ®-ekseni olduğunu ve trenin
pozitif eksen boyunca hareket ettiğini kabul edelim. Trendeki gözlem­
ci de uzunlukları ölçebilmek için bir ®'-ekseni kullansın. Ayrıca trenin
içinde ve dışında bulunan iki saat yardımıyla gözlemciler zaman dilimler­
ini ölçüyor olsunlar. Trenin dışındaki gözlemci zamanı t ile gösterirken
içindeki gözlemci t' ile göstersin.
Lorentz dönüşümleri trenin içinde geçen bir olay ile ilgili uzunluk ve
zaman ölçümlerinin dışarıdaki gözlemci tarafından nasıl göründüğünü
ifade eder: Trenin içinde ölçülen bir A®' uzunluğu ile A t 1 zaman dilimi
dışarıdaki gözlemci tarafından A® ve At olarak ölçülmüş olsun. O
halde, Lorentz dönüşümü (At', A®') İkilisinin (At, A®) İkilisi cinsiden
ifadesini vermeli:
(A t', A®') = L (A t, A®) .
Işık hızı ile ilgili bir deneyi grafik ile göstermeye çalıştığımızda gerçekçi
bir grafik çizmek çok zordur çünkü ışık hızı günlük hayatta karşılaştığı­
mız hızlara göre çok büyüktür. Bu nedenle zaman eksenini c ışık hızı
ile çarparak (t, ®) yerine (ct,®) ve (t', ®') yerine de (ct',®') koordi­
natları ile çalışalım. Yeni koordinatlarda eksenlerin her ikisinin de aynı
birime (metre veya kilometre) sahip olduğunu gözlemleyiniz. Daha fazla
ilerleyebilmek için iki kabul yapacağız: Birincisi matematiksel bir kabul.
A) (ct',®') = L(ct,®) fonksiyonu doğrusaldır.
Her iki koordinat sistemini de R2 ile eşlersek bu doğrusal dönüşümü R2
üzerinde bir doğrusal operatör olarak görebiliriz. Bu operatörün standart
tabandaki matris gösterimi
A (v)
aıı(v)
®2i(v)
ai 2 (v)
a 22(v)
olsun.
İkincisi ise deneylerde tescil edlilmiş fiziksel bir olgu.
B) Işık hızı seçilen koordinat sisteminden bağımsızdır.
Dolayısıyla, herhangi bir deney sonucunda her iki gözlemci de ışığın hı­
zını 1 olarak hesaplayacaktır (zamanı ışık hızı ile çarptığımız için artık
ışık hızı bir birimdir). Şimdi bir deney hayal edelim: Trenin içindeki bir
vagonun bir ucundan tutulan fenerin ışığının cAt' zaman aralığında
A®' kadar yol aldığını kabul edelim. Bu durumda dışarıdaki gözlemci
ışığın cAt zaman aralığında A® kadar yol aldığını ölçecektir. Işık hızı
her iki gözlemci için de 1 olacağına göre aşağıdaki eşitlik doğrudur:
A®'
cAt'
A®
cA t .
59
A lış tır m a la r
Bu eşitlikleri kullanarak [1 1]T vektörünün A(v) matrisinin bir özvektörü olduğunu gösteriniz. Ayrıca, aynı deneyi feneri negatif X- ekseni
yönünde vagonun diğer ucundan tutsaydık [1 —1]T vektörünün de bir
özvektör olduğunu görürdük. O halde,
A(v)
' 1'
' 1'
=
M
v)
1
1
A(v)
1 '
—1
= X2 (v)
1 '
—1
olacak şekilde Aı(v), X2 (v) gerçel özdeğerleri vardır. Bu bilgileri kulla­
narak
1
Aı + X2 X 1 — X 2
Y (v) a(v)
Xı — A 2 Xı + X2
2
a(v) y (v)
elde ederiz. Bu arada A(v)
olduk.
matrisinin simetrik olduğunu da görmüş
Her iki gözlemcinin durumları birbirine göre simetriktir. Başka bir deyişle,
trendeki gözlemciyi duruyor, dışarıdakini ise —v yönünde haraket ediyor
olarak düşünebiliriz. Dolayısıyla, A (v ) - 1 = A (—v) olmalıdır.
Şimdi dönüşümü matris gösterimini kullanmadan tekrar yazarsak,
cA t 1 = y (v ) cA î + a (v)A x
cA x’ = a(v)cA t + y (v )A x
ve benzer şekilde
cA t
cAx
= y (—v )c A t + a (—v)A x'
= a (—v)cAt' + y (—v )A x '
denklemlerini elde ederiz.
Şekil 1.8: Trenin tavanından çıkan ve yerden ya,nsıd,ıkta,n sonra, tekrar tavana çarpan
ışığın izlediği yolun dışarıdaki gözlemci ta,rafından algılanış şekli.
60
Y a r d ım c ı B ilg ile r
Einstein hayali bir deney tasarlayarak 7 (v) fonksiyonunu hesaplamıştır.
Deneyi size aktaralım. Vagonun yüksekliği h olsun. Tavandaki bir fener­
den çıkan ışık vagonun tabanındaki bir aynadan yansıyarak tekrar tavana
çarpsın. Bu durumda vagonun içindeki gözlemciye göre ışığın tavandaki
fenerden çıkıp tekrar tavana ulaşması A t' = 2h/c saniye sürecektir.
Diğer taraftan, dışarıdaki gözlemci ışığın yukarıdaki şekilde gösterilen
iki eğik doğru parçası boyunca hareket ettiğini görecektir. Her bir doğru
parçası kenar uzunlukları h ve v A t / 2 olan dik üçgenlerin hipotenüsü­
dür. O halde,
2 ^J h 2 + v 2(A t)2/4
2D
At
c
c
elde edilir. Şimdi bu iki denklemi kullanarak
At
A t'
y / 1 - (v/c) 2
eşitliğini bulunuz. Diğer taraftan, bu deneyde A x'
narak y (—v) = —.
=
0 olduğunu kulla-
sonucuna ulaşınız.
Şimdi, Y( - v ) =
== = y (v) ve I 2 = A (v)A (v) 1 = A (v)A ( - v )
V 1 - (v/c) 2
eşitliklerini kullanarak a (—v) = —a(v) ve det(A(v)) = 1 olduğunu
gösteriniz. Dolayısıyla, J 2 (v) — a 2 (v) = 1 ve buradan da fi(v) = v/c
olmak üzere a(v) = ± fî(v)j(v) eşitliğini elde ediniz.
Hangi işaretin doğru olduğunu tespit etmek için Einstein’m deneyine
tekrar dönelim. Deneyde A t' > 0 ve A x ' = 0 değerlerine karşılık A x >
0 ’dır, çünkü A x deney sırasında ışığın yatay olarak aldığı mesafenin
dışarıdaki gözlemci tarafından ölçülen büyüklüğüdür ve ışık dışarıdaki
gözlemciye göre pozitif yönde hareket etmektedir. Dolayısıyla, yukarıda
elde ettiğimiz
cAx = a (—v)cAt' + y (—v)A x'
eşitliğinden a (—v) > 0 olduğunu görürüz. Son olarak (trenin hızı) v > 0
olduğundan a(v) = —fi( v ) y (v) sonucuna varırız. O halde,
Y(v)
—P(v )y (v )
—fi(v)Y(v)
Y(v)
olur.
Bu matrisin özdeğerlerini ve bunlara karşılık gelen özvektörleri bulunuz.
Lorentz dönüşümlerinin trenin hızının her zaman ışık hızından küçük
kaldığını öngördüğünü gözlemleyiniz.
Bu alıştırmayı bir soruyla tamamlayalım: Hızı v olan trenin içinde, x'ekseni boyunca ve u hızında yürüyen birinin hızının dışarıdaki gözlemci
61
A lış tır m a la r
tarafından
u+v
1 + u v/c 2
olarak ölçülmesi gerektiğini kanıtlayınız.
2
Türevlen ebilir Manifoldlar
Bıı ünitede ilk önce tiirevlenebilir ınanifoldun tanımı, manifold örnekleri ve
manifoldlarm yapılarına dair temel özellikler verilecektir. Dalıa sonra tiirevlenebilir manifoldlarm teğet uzayları ve teğet demet yapılarını inceleyeceğiz.
Ardından raıık teoremlerini ve manifoldlarm Oklit uzayına gömülmesine dair
sonuçlar vereceğiz. Son olarak tiirevlenebilir formları ve St.okes Teoreıni’ni gö­
receğiz. [15], [2], [37] ve [6] tiirevlenebilir manifoldlar için yaygın kullanılan
kaynaklardan bazılarıdır.
2.1
2.1.1
T iirevlenebilir M anifoldlar
T em el T anım lar
X Hausdorff ve ikinci sayılabilir (sayılabilir bir tabana sahip olan) bir uzay
olsun. Eğer X her biri Rra’nin açık bir alt kümesine homeomorfik olan
açık alt kümelerinin birleşimi olarak yazılabiliyorsa, X ’e n-boyutlu topolojik
manifold, denir. X = U U ^ e p a : Ua ^ Va , Va C Rra, homeomorfizmalar
ise {p a : Ua ^ Va } ailesine X topolojik manifoldunun bir topolojik atlası
denir. Bu durumda boş kümeden farklı her Ua fi Up = 0 ara kesiti için
pp Op - 1 : pa (Ua f Up) ^ pp (Ua f Up)
bileşke fonksiyonu Rra’nin açık alt kümelerinin bir homeomorfizması olacak­
tır. Eğer X topolojik manifoldu için, M bileşke fonksiyonlarının hepsi Cksmıfmdan olursa (k € N U {to}) M atlasa X topolojik manifoldu üzerinde
C k-smıfmdan türevlenebilir yapı denir. Bu durumda X topolojik manifolduna da C k-smıfmdan türevlenebilir manifolddur denir. Eğer k = to ise X ’e
kısaca türevlenebilir manifold denir, n sayısına X manifoldunun boyutu ve her
63
64
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
bir p a : Ua ^ Va homeomorfizmasma (Ua üzerinde) bir koordinat siste­
mi denir, p € Ua olmak üzere p(p) = (x 1 (p), ■■■ ,x n(p)) fonksiyonunun
Xi(p) bileşenlerine de koordinat fonksiyonları denir. Manifoldları büyük harf­
lerle, boyutlarını ise manifoldu gösteren harfin üzerine küçük harf veya rakam
yazarak gösteririz: S n, M 4 R3 vs.
H a tırla tm a 2.1.1. U Ç Rn ve V Ç Rm açık kümeler ve f : U ^ V bir
difeomorfizma olsun. Bu durumda her p € U için D f (p) : Rn ^ R m türev
fonksiyonu doğrusal bir izomorfizma olduğundan n = m olmalıdır. Bundan
dolayı türevlenebilir manifoldun boyutu iyi tanımlanmıştır. Aslında f fonk­
siyonun sadece bir homeomorfizma olması durumunda bile n = m olur. Do­
layısıyla topolojik manifoldlarm boyutu da iyi tanımlıdır. Fakat bu sonucun,
birkaç özel durum dışında (bkz. Alıştırma 3), basit sayılabilecek bir kanıtı yok­
tur (tekil homoloji teorisi kullanılarak kanıtlanabilir).
Sıfır boyutlu her manifold yerel olarak R0 = {0} ’a homeomorfik olduğundan
ayrık topolojiye sahiptir. Diğer taraftan, her manifold ikinci sayılabilir olduğu
için bu ayrık küme sayılabilir bir kümedir. Aslında, sonraki bölümlerde göre­
ceğimiz gibi her manifold bir Oklit uzayının uygun alt uzayına homeomorfiktir
(bkz. sayfa 80) ve sayılamaz ayrık bir küme hiçbir Oklit uzayına gömülemez.
Dolayısıyla, manifold tanımındaki ikinci sayılabilirlik koşulu, manifoldları Oklit
uzayına gömmeyi amaçlıyorsak, vazgeçilemez bir koşuldur.
Ö rnek 2.1.2. Rn ya da herhangi bir açık alt kümesi n boyutlu türevlene­
bilir manifolddur. Aslında koordinat sistemini birim dönüşüm seçerek tek bir
elemanı olan atlas ile manifoldumuzu kaplayabiliriz. Ayrıca, Rn Hausdorff ve
ikinci sayılabilir olduğu için her alt uzayı da Hausdorff ve ikinci sayılabilirdir.
H a tırla tm a 2.1.3. Yukarıdaki tanımda Rn yerin e Cn yazarak n-boyutlu
karmaşık manifold tanımını elde ederiz. Fakat C 1 karmaşık fonksiyonlar aynı
zamanda C ^ oldukları için her karmaşık manifoldu C ^ kabul edebiliriz.
Diğer taraftan, türevlenebilir her f : Cn ^ Cn fonksiyonu C ^ bir f :
R2n ^ R2n fonksiyonu olarak görebileceğimiz için n-boyutlu karmaşık her
manifold aslında 2 n-boyutlu C <x bir manifolddur.
Ö rnek 2.1.4 (Birim Küre). Bu örnekte Rn+1 içindeki
n+1
S n = {(xı, ■■■ ,Xn+ı) € Rn+1 \ ^ 2 X2 = 1}
i=1
birim küresinin türevlenebilir bir manifold olduğunu göreceğiz. Küre Oklit uzayı­
nın bir alt kümesi olduğu için Hausdorff ve ikinci sayılabilirdir. Ayrıca kü­
re üzerindeki S = (0, ■■■ , 0, —1) ve N = (0, ■■■ , 0,1) noktaları etrafında
Un = S n — { N } ve Us = S n — {S} ile tanımlanan açık kümeleri birim
kürenin açık bir örtüsünü vermektedir. Şimdi
P n : Un ^ Rn ,
Fn (x 1 , ■■■ ,Xn+ 1 ) = ( -1
1
x1
>
xn+1
xn
)
1 xn+1
> -1
65
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
ve
V s : Us ^ M™ ,
X\
V s (xı, ••• , x ™+i ) = (:
' 1 + Xn+1
Xn
)
1 + Xn+1
fonksiyonlarım tanımlayalım. Bu fonksiyonların terslerinin
2yı
V N : Rn ^ Un , y = (yı, ••• ,y™) ^ (
•ı + llyN2’
2yn
M 22)
’ 1 + lly ir’ 1 + llyl
ve
v s : Rn ^ Us , y = (yı, ••• ,yn) ^ (
2yı
1+ M 2’
‘2 yn
1 -M
’ 1 + M 2 ’ 1 + llyll
2
2)
olduğu kolayca görülür. O halde, v n ve v s birim küre üzerinde iki elemanh
bir atlas oluşturur. Bu fonksiyonlar ve tersleri değişkenlerin rasyonel ifadeleri
olduklarından
V n ◦ v - 1 : Mn - {0} — >Rn - {0}
ve.
vs
◦ V~N : Mn - {0} - ^ Mn - {0}
koordinat dönüşüm fonksiyonları C ^ ’durlar. Dolayısıyla S n
türevlenebilir manifolddur.
birim küresi
Ö rn ek 2.1.5 (Projektif Uzay). Bir önceki bölümün Alıştırma 13’ünde ele
aldığımız gerçel projektif düzlemin doğrudan genellemesi olan gerçel projek­
tif uzayı tanımlayacağız. Rn+ı - {(0, ••• , 0)} uzayı üzerinde ~ denklik bağı­
ntısını şu şekilde tanımlayalım: (x 0 , ••• ,x n) ~ (y0 , ••• ,yn) ’dır ancak ve an­
cak (yo, ••• ,y n) = X(x 0 , ••• ,x n) olacak şekilde sıfırdan fa rkh bir X sayısı
vardır. R P n = Rn+ı - {(0, ••• , 0)}/
ile gösterilen bölüm uzayı n + 1boyutlu Oklit uzayında merkezden geçen doğruların uzayıdır ve gerçel projek­
tif uzay diye adlandırılır. Sıfırdan farklı bir (x 0 , ••• ,x n) noktasının bölüm
uzayındaki denklik sınıfını [x0 : • • • : x n] ile göstereceğiz. Bölüm fonksiyo­
nunu n : Rn+ı - {(0, ••• , 0)} ^ R P n ile gösterelim. Her i = 0, ••• ,n
için, Ui = {[xo, ••• ,xi, ••• ,x n] € R P n \ xi = 0} açık kümesini göstersin
(n s ı (Ui) ters görüntü küme sinin Rn+ı - {(0, • • • , 0)} içinde açık olduğu ko­
layca görülür). Yine R P n = U0 U • • • U Un olduğunu görmek kolaydır. Bu açık
kümeler üzerinde koordinat sistemleri şu şekilde tanımlanır:
TT ıran
Vi : Ui ^ R ,
(t
lx 0
Vi([xo : ••• : x ™]) = (—
, •••
rp
Jji
.
xi
xn ,
------).
rp .
rp .
Jji
Jji
'
(Bu gösterimde üzerinde şapka bulunan koordinat yok sayılmaktadır.) Bu fonk­
siyonun tersi
V - ı : Rn
Ui, (yı, • • • , yn) ^ [y0, • • • , yis ı, 1, yi+ı • • • , yn]
66
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
ile verilir. Aslında projektif uzay aynı denklik bağıntısı yardımıyla birim kürenin
bir bölüm uzayı olarak da görülebilir:
R P n = Sn/
ve dolayısıyla projektif uzay tıkızdır. Birinci Ünite'deki Alıştırma 9 ve Alıştır­
ma 13 sayesinde projektif uzay Hausdorff ’tur. Projektif uzayın ikinci sayılabilir
olduğu ise genel bir sonucun gereğidir: ikinci sayılabilir bir uzayın herhangi bir
bölüm, uzayı da ikinci sayılabilirdir (kanıtı tanımlardan kolayca görülür). Ayrı­
ca, küredekine benzer şekilde tüm koordinat sistemleri birer homeomorfizmadır
ve dönüşüm fonksiyonları C ^ olduğundan gerçel projektif uzay bir türevlene­
bilir manifolddur.
Yukarıdaki örnekte gerçel sayılar yerine karmaşık sayılar kullanılarak kar­
maşık projektif uzay C Pn elde edilir. Hemen hemen aynı şekilde tanımlanmış
olsalar da gerçel ve karmaşık projektif uzaylar sahip oldukları geometrik ve to­
polojik özellikler açısından çok farklı manifoldlardır.
Türevlenebilir manifoldlar kategorisinin morfizmaları türevlenebilir fonk­
siyonlardır: f : M ^ N türevlenebilir manifoldlar arasında bir fonksiyon
olsun. Eğer, sırasıyla, m ve n boyutlu M m ve N n manifoldları üzerindeki
her p : U ^ Rm ve f : V ^ Rn koordinat sistemi için f o f o p - 1 bileşke
fonksiyonu C ^ ise f : M ^ N fonksiyonuna türevlenebilirdir denir. Türevle­
nebilir fonksiyonların bileşkelerinin de türevlenebilir olduğunun gösterilmesini
okuyucuya bırakıyoruz.
2.1.2
T eğet U zayı
M türevlenebilir bir manifold, p € M bir nokta ve f : U ^ R, g : V ^ R
bu noktanın p € U ve p € V gibi iki açık komşuluğunda tanımlı fonksiyonlar
olsun. Eğer bu iki fonksiyon p € W Ç (U fi V ) gibi bir açık alt küme
üzerinde birbirine eşitse bu iki fonksiyona denktir diyeceğiz. Bu bağıntının
denklik sınıflarına p noktasındaki fonksiyon tohumları denir ve denklik sınıfları
kümesi Gp = {[f] | f : U ^ R} ile gösterilir. Aslında Gp gerçel sayılar cismi
üzerinde bir cebir oluşturur: [f], [g] € Gp rastgele fonksiyonların tohumları
olmak üzere toplama ve çarpma işlemleri
[f ] + [g] = [f\unv + g\unV]
ve
[f] ' [g] = [f\unv ' g\unv]
ile tanımlanır. Şimdi M manifoldunun bir p € M noktasındaki teğet vek­
törlerini Gp cebiri üzerindeki derivasyonlar olarak tanımlayacağız: Aşağıdaki
koşulları sağlayan bir D : Gp ^ R fonksiyonuna Gp üzerinde bir derivasyon
denir:
67
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
1. Her [f], [g] € Qp ve a,b € M için D (a[f] + % ]) = a D ([f]) + b D([g})
(Doğrusallık);
2. Her [f], [g] € Gp için D([f] • [g]) = f (p) D([g]) + g(p) D([f]) (Leibniz
kuralı).
Manifoldun p € M noktasındaki tüm teğet vektörlerinin (derivasyonlarm)
oluşturduğu küme toplama ve sabit ile çarpma işlemleri altında bir R-vektör
uzayı oluşturur. Bu uzaya manifoldun p € M noktasındaki teğet uzayı denir
ve TpM ile gösterilir.
Bu tanım herhangi bir koordinat sistemini kullanmadığı için teorik açıdan
daha avantajlı olsa da pratikte pek kullanışlı değildir. Şimdi bir koordinat
sistemi yardımıyla teğet uzayına bir taban bulacağız: p € U Ç M ve V Ç
Rn açık kümeler olmak üzere p : U ^ V bir koordinat sistemi olsun.
p(q) = (xı(q), ••• , x n (q) ) 1 q € U, ise her i = 1, ••• ,n için, Di : Gp ^ R
derivasyonu x i yönündeki yönlü türev yardımıyla şu şekilde tanımlansın:
p 0 = (aı , • • • , an) = p(p) olmak üzere
Di : Gp^ R ,
Di([f]) = d U °d P l) (po) ,
[f] € Gp.
Bunun iyi tanımlanmış bir derivasyon olduğunun gösterilmesini okuyucuya bı­
rakıyoruz.
Ö nerm e 2.1.6. {D ı , ••• , Dn} kümesi TpM teğet uzayının bir tabanıdır.
Kanıt : [f ] € Gp ise p 0 € Rn noktası etrafında g = f o p - 1 türevlenebilir
fonksiyonun Taylor açılımını göz önüne alalım,
n
dg
g ( x ı,••• , Xn) = g(po) +
(po)(xi — ai)
dxi
i=l
1 n
92g
(( )(xi — ai)(xj
d xi dxj
aj ) ,
i,j=l
(burada £, p 0 = (al , ••• ,an) ile (x-\_, ••• ,x n) noktalarını birleştiren doğru
üzerinde bir noktadır). D € TpM bir derivasyon olsun. D(1) = D(1 • 1) =
2D(1) olduğundan her sabit C € R fonksiyonu için D (C ) = 0 elde edilir.
Yine Leibniz kuralından dolayı
D((
d 2g
dxi dxj (0 (xi — ai))(xj
aj )) = 0
olduğu görülür (burada ( X gx . (0 (xi — aj) ifadesinin de türevlenebilir fonk­
siyon olduğunu kullanıyoruz; bkz. Alıştırma 6). Bu durumda,
D ([f ]) =
dg
(po) D ((xi — a ))
i=l dxi
68
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
olmalıdır. Diğer taraftan, Di([f ]) = g g (po) olduğundan
D = ^ 2 D ((xi — di)) Di
i=1
eşitliğini elde ederiz. Son olarak Di((xj — dj)) = öij eşitliğini kullanarak
{D 1, ■■■, Dn} kümesinin doğrusal bağımsız ve dolayısıyla teğet uzayı için bir
taban oluşturduğunu görürüz. □
Yukarıdaki sonuca göre, bir nokta etrafında koordinat sistemi seçmek bize
o noktadaki teğet uzayı için bir taban verecektir. Yukarıdaki teğet vektörü
gösteriminde vektörün ait olduğu teğet uzayı belirtilmemektedir; bu yüzden
Di € TpM teğet vektörünü
— I
dxi p
ile göstereceğiz. O halde, eğer V Ç Rn açık bir küme, p € V ve [f] € Gp ise
d
a x rM [f])
dxi (P)
olur (burada V açık kümesi için koordinat sistemini birim fonksiyon olarak
alıyoruz).
$ : Rn ^ Rm türevlenebilir bir fonksiyon, p € Rn ve q = $(p) olsun.
p € Rn noktasında bir D € TpRn teğet vektörü alalım. Bu d urumda, [f ] € Gq
için $*(D)([f]) = D ( f ($)) olarak tanımlanan ifade q € Rm noktasında bir
teğet vektör tanımlar. Aslında bu ifade bize bir doğrusal fonksiyon verir:
: TpRn ^ TqRm ,
D ^ $ g D ).
Şimdi bu doğrusal fonksiyonun matris gösterimini bulalım: İlk önce fonksiyo­
numuzun Rn üzerind e (x 1, ■■■ ,x n) ve Rm üzerind e (y1, ■■■ ,y m) ile verilen
rastgele koordinat sistemleri cinsinden ifadesini
$ (x i, ■■■ ,xn) = (Gl(xi, ■■■,xn), ■■■,g m (x 1 , ■■■,x,n))
olarak yazalım. Buradan
d
d
dg
\v)([yj
])
=
Y
T (p)
'dx,
dxTi \P(Vj ( $ ) ) ^dxi
ve dolayısıyla
*•< İ A > = ± d j (p) d ıq
j=1
elde edilir. Son olarak, bu açılımdan $* : TpRn ^ TqRm doğrusal fonksiyo­
nunun
3 “ {öte! U ■" 'Ö xn P }
''e
3 = {^
'
' ' S v J q.
69
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
sıralı tabanlarındaki matris gösteriminin $ fonksiyonunun p € Rn noktasın­
daki Jakobiyen matrisi,
d t± (P)
•>
dxi
. mxn
olduğunu görürüz (Ayrıca bkz. Hatırlatma 1.2.4).
Sonuç olarak, $ : Rn ^ Rm fonksiyonu bir uzaydan diğerine noktaları
taşırken bu fonksiyonun türevinin de o noktalardaki teğet vektörleri taşıdığı­
nı görmüş olduk. $* teğet fonksiyonunu $ l(p)1 (d$)p veya (D $)p ile de
gösterebiliriz.
Bazı durumlarda bir fonksiyonun türevini Jakobiyen matrisi kullanmadan
hesaplamak daha pratik olabilir. Bunu açıklamadan önce kolay bir gözlemde
bulunacağız, v € TpRn bir teğet vektör olsun. O halde
v
E ^ dxid ,p
olacak şekilde ai € R katsayıları bulabiliriz. Bu durumda 7 : (-e , e) ^ Rn,
j(t) = p + tv, fonksiyonun t = 0 noktasındaki türevi v vektörüdür:
d
n
d |
D ( y)( 0)( J t |o) = E
ai
d
x ilp
i= 1
Ayrıca zincir kuralından
v = Y(0).
(D$)p(v) = ($ ( 7 ))'(0)
buluruz. Bu metodun neden kullanışlı olduğunu bir örnek üzerinde görelim.
Ö rn ek 2.1.7. M (n ,n ) = Rn ve S(n) = Rn(n+1)/2 sırasıyla gerçel katsayılı
nxn-m atrisler ve n x n simetrik matrisler uzaylarım göstersin. $ : M (n ,n ) ^
S(n), $(Q) = Qt Q, fonksiyonunun Q = Id birim matrisindeki türev fonksiyo­
nunu hesaplayalım. Doğrusal bir uzayın bir noktasındaki teğet uzayını kendisi
ile eşleyebiliriz. Bu durumda TjdM (n,n) = M (n ,n ) ve TjdS(n) = S(n)
alabiliriz. Herhangi bir A € M (n, n) teğet vektörü, için 7 (t) = Id + tA
alarak
(D $)jd(A) = ($ (7))'(0) = lim $ (Y(t)) - $(y(0))
t^o
t
ve buradan da
Id + tA T + tA + t 2 A T A Id
(D $)jd(A)
lim
A + At
t^o
t
buluruz:
(D $)jd : M (n, n)
S(n) , A ^ A T + A.
(Bkz. Örnek 2.1.20)
Bundan sonra, tersi söylenmedikçe her manifold türevlenebilir bir manifold ve manifoldlar arasındaki her fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyon olarak
kabul edilecektir.
70
2.1.3
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
T eğet D e m e ti
Herhangi bir M manifoldunun teğet demeti teğet uzaylarının birleşimi olarak
tanımlanır:
T*M = Up&m TpM = {(p ,v ) | p € M, v € TPM }.
Teğet demetinden manifolda giden doğal iz düşüm fonksiyonu n : T*M ^ M,
(p ,v ) ^ p, ile tanımlanır. Eğer M boyutu n olan bir manifold ise T*M
boyutu 2n olan t e manifold olur. Aslında M Ck-smıfmdan bir manifold
ise T*M C k - ^sınıfından bir manifold olur. Teğet demeti üzerindeki mani­
fold yapısı Afonin koordinat sistemleri kullanılarak oluşturulur. M = û aUaı
{pa : Ua ^ Va}, M manifoldunun bir atlası olsun. Yukarıdaki gözlemlerimizin
ışığında (x\, ■■■, xn) Va Ç Rn üzerinde koordinat sistemi ise
pa : T*Ua ^ Va x Rn,
d
( p , ^ a i — İp) ^ (pa(p), (aı, ■■■,an))
fonksiyonu bire bir eşleme verir. T* Ua üzerine pa fonksiyonlarını homeomorfizma yapacak şekilde topoloji koyalım. M manifoldunu Ua açık kümelerinin
birleşimi olarak yazarsak manifoldu Rn’nin açık kümelerinin ayrık birleşiminin
bir bölüm uzayı olarak görebiliriz:
M = UaUa ^ û aVa /x ~ (pp Op - 1 )(x).
Burada
işareti ile homeomorfizma (aslında difeomorfizma) gösterilmek­
tedir. Diğer taraftan, bir (p,v) € T*M noktası için (p,v) € T*Ua fi T*Up
ve pa(p,v) = (ifia(p),Wa), pp(p,v) = (pp(p), w p) olmak üzere D(pp o
P—l)va(P)(wa) = wp olduğundan teğet demetini Va x Rn’larm ayrık birleşi­
minin bir bölüm uzayı olarak yazabiliriz:
T*M = ûa T* Ua ^ Ûa Va X Rn /(x,W a) ~ ((pp Op - 1 )(x),W p),
(henüz teğet demeti üzerinde türevlenebilir yapı koymadığımız için
ile
sadece homeomorfizma kastedilmiştir). Teğet demeti bu koordinat sistemlerinin
oluşturduğu {pa : T*Ua Va X Rn } atlası ile türevlenebilir bir manifold olur.
Bu atlası oluşturan koordinat sistemleri, manifoldun koordinat fonksiyonları ve
onların türevlerinden oluştuğu için C k-sımfmdan bir manifoldun teğet demeti
Ck -^sınıfından olur. Benzer şekilde, f : M ^ N türevlenebilir manifoldlarm
Ck-sınıfmdan bir fonksiyonu ise f* : T*M
T*N , (p,v) ^ ( f (p), (D f)p(v)),
fonksiyonu da C k - ^sınıfından olur.
Her W Ç Ua açık kümesi için n - 1 (W ) = W X Rn olmasına rağmen
genelde T*M = n - 1 (M ) M X Rn Kartezyen çarpımına difeomorfik değildir.
Alıştırma 17 de bir çarpım manifoldunun teğet uzayının, çarpmım oluşturan
manifoldlarm teğet uzaylarının kartezyen çarpımı olduğu gösterilmektedir.
71
T ü r e v le n e b ilir M a ııifo ld la r
T anım 2.1.8. 1) n : X ^ Y kümeler arasında örten bir fonksiyon ise n o s =
idy koşulunu sağlayan her s : Y ^ X fonksiyonuna n : X ^ Y bölüm
fonksiyonunun bir kesiti denir.
2) M bir manifold olmak üzere n : T*M ^ M teğet demeti iz düşüm
fonksiyonun her kesitine M manifoldu üzerinde bir uektör alanı denir.
M = R2 manifoldu üzerinde her uektör alanı A(p) = A(x, y)
ue B (p) = B (x,y ) türeulenebilir fonksiyonlar olmak üzere
d
d
X (P)= A (P) dX IP + B(P) Qy \p
şeklindedir. X (x ,y ) = x
—y
\p + y dy \p merkezcil uektör alanıyken Y (x ,y ) =
\p + x dy \P dönel bir uektör alanıdır.
Şekil 2.1: Düzlem üzerindeki alanların birim, çembere kısıtlanışları
Yukarıdaki örnek vektör alanlarının bir koordinat sisteminde nasıl görün­
düğünü göstermektedir. M = UaUaı { y a : Ua ^ Va}, M manifoldunun bir
atlası ve s : M ^ T*M bir kesiti (vektör alanı) olsun. sa : Va ^ T*Va bu
kesitin Va koordinat sistemindeki ifadesi ise her a, /3 için, f ij = yy o y - 1
olmak üzere
Sy (fij (x)) = (D fij )x(Sa(x))
eşitliği sağlanır. Diğer taraftan bu eşitlikleri sağlayan her {sa : Va ^ T*Va }
topluluğu manifold üzerinde bir vektör alanı belirler.
Ö rnek 2.1.10. 1) Örnek 2 .1.5'te ele aldığımız gerçel projektif doğru iki gerçel
sayı doğrusunun ayrık birleşiminin bir bölüm uzayı olarak yazılabilir:
R P 1 = R LJ R /x ~ f(x ) = 1/x,
x € R —{0}.
O halde, teğet demetini de
T*RP1 = T*R LJ T*R /(x ,v ) ~ (f(x ),f'(x )(v )) = (1 /x , —v / x 2),
72
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
(x ,v ) € R —{0} x R = T*(R —{0}), şeklinde ifade ede biliriz, n : T*RP1 ^
R P 1, [x, v] ^ [x], teğet demetinin iz düşüm fonksiyonu olsun. Birinci ve ikinci
koordinat sistemi üzerinde tanımlanan
sı(x) =
1 + x2
2
ve
S2 (x) = —
1 + x2
2
yerel kesitleri için
S2 ( 1 /x ) = — 2 sı(x)
x2
olduğundan bu iki yerel kesit R P 1 üzerinde bir s : R P 1 ^ T*R P 1 kesiti
verir. Dikkat edilirse bu kesitin hiçbir noktada sıfırı olmadığını görürüz.
Eğer P : R P 1 x R ^ R P \ ([x],w) ^ [x], ve
F : RP1 x R
T*RP1 ,
([x],w) ^ w s([x])
ile tanımlanan fonksiyonlar ise P ([x],w) = n(F ([x], w)) olur. Bura da F
fonksiyonu difeomorfizma olmakla beraber, her {[x]} x R lifine kısıtlanışı da
doğrusal bir izomorfizmadır. O halde, gerçel projektif uzayın teğet demeti bir
çarpım olarak ifade edilebilir.
2) Yukarıdakine benzer bir şekilde karmaşık projektif doğrunun (karmaşık)
teğet demetini de inşa edebiliriz
T*CP1 = T*C LJ T*C /(x ,v ) ~ (f(x ),f'(x )(v )) = (1/x, —v / x 2),
(x,v) € C — {0}x C = T*(C —{0}) (C yerine R2 yazarak gerçel teğet
demetinin ifadesini elde edebiliriz). Fakat bu sefer s : C P 1 ^ T*CP1 vektör
alanının iki tane sıfırı olacaktır (s 1 (x) = —s 2 (x) = 1+fi polinornlarınm i
ve —i olmak üzere iki tane ortak kökü vardır ve 1/i = —i dir). Dolayısıyla
bu teğet demetini, oluşturduğumuz vektör alanını kullanarak bir çarpım olarak
yazamayız. Aslında, S2 = C P 1 projektif uzayının teğet demetini bir çarpım,
olarak yazamamızm çok haklı sebepleri vardır. (Bkz. Hatırlatma 5.3.1 (2) ve
Örnek 5.3.2 (2))
Yukarıdaki örneğin ilk bölümünde olduğu gibi teğet demeti çarpım şeklinde
yazılabilen manifoldlara paralellenebilir manifoldlar denir.
2 .1 .4
B ö lü m M a n ifo ld la rı
X , Y topolojik uzay ve P : X ^ Y bu iki uzay arasında sürekli bir fonksiyon
olsun. Herhangi bir U Ç Y açık kümesinin P - 1 (U) ters görüntü kümesi,
her a € A için P\Va : Va ^ U bir homeomofizma olacak şekilde,
P - 1 (U) = UaeA Va
bir ayrık birleşimi olarak yazılabiliyorsa U açık kümesine P : X ^ Y
fonksiyonu ile tamamen örtülür denir. Eğer Y uzayı bu tür açık kümelerin
bir birleşimi ise X uzayına Y uzayının bir topolojik örtü uzayı (örtüsü) ve
P : X ^ Y fonksiyonuna da bir örtü fonksiyonu denir.
73
T ü r e v le n e b ilir M a ııifo ld la r
Şekil 2.2: Xı üzerin de 180° -döndürme
He Z 2 ve X 2 üzerinde de 120°döndürme ile Z3 etkisi vardır. Ayrıca
her iki etkinin de bölüm uzayı Y ’dir:
Xı /Z 2 - Y - X2/Z3
Şekil 2.3: Sağdaki örtü uzayı soldaki
örtü uzayından “şişirilerek” elde edilen
iki boyutlu nıanifoldlann bir örtü uzayı­
dır. Graflarm yüzeylere gömülmüş ol­
duğuna, dikkat ediniz!
H a tırla tm a 2.1.11. Yukarıdaki tanımdan kolayca görüleceği gibi eğer P :
X ^ Y bir örtü fonksiyonu ise, y ^ \P - 1 (y)\, y € Y , (y noktasının
üzerindeki lifin, P - 1 (y), kardinalitesi) fonksiyonu yerel sabit bir fonksiyondur.
Dolayısıyla, eğer Y bağlantılı bir uzay ise her noktanın üzerindeki lifin kar­
dinalitesi aynıdır. Eğer bu kardinalite sonlu bir sayı ise bu sayıya örtünün
derecesi denir.
Ö rnek 2.1.12. Şekil 2.2 ve Şekil 2.3'de iki çemberin tek nokta birleşiminin
derecesi iki ve üç olan örtü uzaylarına örnekler verilmiştir, ilk şekildeki örtü
uzayları bir grup etkisinin bölüm uzayı olarak yazılabilirse de ikinci şekilde­
ki örnekler için bu doğru değildir! Verilen topolojik bir uzayın örtü uzayları
tamamen bu uzayın temel grubu tarafından belirlenir ve cisim genişlemelerin­
in sınıflandırılması olarak görülebilecek Galois teoriye çok benzerdir (bkz. [18]
s. 56).
Herhangi bir M manifoldunun difeomorfizmalar kümesi
D i f f (M ) = { f : M ^ M \ f bir difeomorfizmadır}
fonksiyonların bileşke operasyonu altında bir grup oluştururlar. G bu difeomorfizma grubunun bir alt grubu olsun. Eğer her p € M için ide = g € G
olmak üzere g(U) fi U = 0 olacak şekiİde p € U Ç M bir açık komşuluğu
varsa G grubu M manifoldu üzerinde düzgün süreksiz etki ediyor denir (her
ne kadar her g € G için g : M ^ M , x ^ g(x), türevlenebilir bir fonksiyon
olsa da). Bu koşulu sağlayan açık komşuluklara iyi komşuluklar denir.
G Ç D i f f (M ) alt gurubunun M manifoldu
üzerindeki etkisi düzgün süreksiz ise bu etki serbest bir etkidir. Ayrıca hiç bir
yörüngenin yığılma noktası yoktur ve dolayısıyla, her yörünge manifold içinde
kapalıdır.
74
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
Kanıt: Etkinin serbest olduğu düzgün süreksiz etki tanımından açıktır.
Şimdi de önermede iddia edilenin tersine manifoldun bir q € M noktası­
nın G ■p gibi bir yörüngesinin yığılma noktası olduğunu kabul edelim. Etki
düzgün süreksiz olduğundan her g € G için, g (V ) fi V = 0 olacak şekil­
de bir q € V Ç M açık kümesi vardır. q € M noktasına yakınsayan bir
(gn(p)) Ç G ■p dizisi alalım. O halde, her n > no için gn {'p) € V olacak
şekilde bir no pozitif tam sayısı vardır. Bu d urumda, gn0 (p), gno+ 1 (p) € V
ve dolayısıyla gno+ı(p) = (gno+ı g—01)(gn()(p)) € V f (gno+ı g- 01 )(V ) olur. O
halde, V f (gno+ 1 g— )(V ) = 0 çelişkisini elde etmiş olduk. Yığılma noktası
olmayan her küme kapalı olacağından her yörünge kapalıdır. □
Yukarıdaki gösterimi kullanarak devam edelim. Eğer G grubu sonlu ise
Ünite 1, Alıştırma 9’un sonucuna göre M /G bölüm uzayı da Hausdorff’tur.
Eğer G grubunun etkisi düzgün süreksiz ve M /G bölüm uzayı Hausdorff
ise bölüm uzayı üzerinde doğal bir türevlenebilir manifold yapısı vardır (M
ikinci sayılabilir olduğu için her bölüm uzayı da ikinci sayılabilirdir): n : M ^
M /G x ^ n(x) = [x], bölüm uzayı fonksiyonu olsun. Eğer p € M ise bu
nokta etrafında bir p € U iyi komşuluğu alalım. Bu durumda n\U : U ^ n(U )
bir homeomorfizma olur. U komşuluğunu gerekirse biraz küçülterek p u : U ^
Rn gibi bir koordinat fonksiyonun tanım kümesi olduğunu kabul edebiliriz.
Eğer U ve V n(U ) f n (V ) = 0 koşulunu sağlayan iki iyi komşuluk ise
gu,v(U) f V = 0 ve n — o n\U = gu,v olacak şekilde tek bir gu,v € G vardır.
O halde, bileşke fonksiyonlardan oluşan {($n(u) = Pu ◦ n —1 : n(U ) ^ Rn)}
ailesi M /G bölüm uzayı üzerinde türevlenebilir bir atlas verir. Gerçekten de
yukarıdaki U, V açık kümeleri için <fin(u) ◦ <&—(V) = Pu ◦ n —1 o n\V o p - 1 =
Pu o gv,u o p —1 fonksiyonu C ^-sımfmdandır.
Ö rnek 2.1.14. 1) G = Z x Z değişmeli grubu düzlem üzerine şu şekilde etki
etsin: G x R2 ^ RÜ (m, n) ■(x, y) = (x + m ,y + n). Bu etkinin serbest, düzgün
süreksiz ve bölüm uzayının da Hausdorff olduğu kolayca görülür. Daha sonra
bu etkinin bölüm uzayı üzerinde vermiş olduğu doğal türevlenebilir manifold
yapısının torusa, T 2, difeomorfik olduğunu gösteriniz.
2) G = Z değişmeli grubu C2 —{(0, 0)} manifolduna şu şekilde etki etsin:
Her n € Z ve (z1, z 2 ) € C 2 — {(0, 0)} için
n ■(z 1 ,z 2 ) = ( 2 nz 1 , 2 nz 2 ) .
Bu etkinin de serbest ve düzgün süreksiz olduğu kolayca görülür. Ayrıca bölüm
uzayı doğal olarak bir karmaşık manifold olur. Ayrıca
C2
{(0,0)}/Z ^ S 3 x S 1, (z 1 ,z 2 ) ^ ( „(z1,z2)„ ,e 2nîlog2 M * !,^)
y(z1,z 2) y
fonksiyonu bu karmaşık manifolddan S 3 x S 1 manifolduna bir difeomorfizma
verir. Başka bir deyişle, S 3 x S 1 türevlenebilir manifoldu aynı zamanda bir
karmaşık manifolddur.
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
75
îleride bu karmaşık manifoldun CN içine karmaşık alt manifold olarak
gömülemeyeceğini göreceğiz (bkz. Örnek 2.3.24)- Diğer taraftan, bu manifol­
dun C P N içine karmaşık alt manifold olarak gömûlememesi ise. De Rharrı
kohomoloji bölümünde ele alınacaktır (bkz. Örnek 4-3.10’de).
2 .1 .5
R an k T eorem leri
f : M ^ N türevlenebilir manifoldlamı bir fonksiyonu ve p € M bir nok­
ta olsun. Eğer (D f )p : TpM ^ T f(p)N doğrusal fonksiyonu bire bir (aynı
şekilde, örten) ise f fonksiyonu p € M noktasında bir batırma (aynı şe­
kilde, örtme) fonksiyonudur denir. Eğer fonksiyon manifoldun her noktasında
batırma (örtme) fonksiyonu ise fonksiyona kısaca batırma (örtme) fonksiyonu­
dur denir. Eğer f : M ^ N fonksiyonu bire bir batırma fonksiyonu ise bu
fonksiyona bir alt manifold denir. Bu bire bir batırma fonksiyonu (alt mani­
fold) aynı zamanda görüntüsü üzerine bir homeomorfizma ise bu fonksiyona
(türevlenebilir ) gömme fonksiyonu denir. Başka bir deyişle, türevlenebilir bir
fonksiyon hem topolojik gömme fonksiyonu hem de batırma fonksiyonu ise
bu fonksiyon türevlenebilir gömme fonksiyonu olur. Gömme fonksiyonlarının
görüntüleri kapalı bir alt uzay olacağından f (M ) görüntü kümesine N alt
manifoldunun kapalı bir alt manifoldu da denir. Kapalı alt manifoldlarm bir
başka karakterizasyonunu Sonuç 2.1.18’de göreceğiz.
Eğer bir p € M noktasın d a (D f )p : TpM ^ T f (p)N türev fonksiyonu
örten değilse bu noktaya f : M ^ N fonksiyonunun bir kritik noktası ve
f (p) € N değerine de M fonksiyonun bir kritik değeri denir. N manifol­
du içinde bu fonksiyonun kritik değeri olmayan noktalara ise f : M ^ N
fonksiyonunun bir düzgün değeri denir.
H a tırla tm a 2.1.15. 1) Teğet uzaylarının boyutlarını karşılaştırarak bir f :
M ^ N bir batırma fonksiyonu için dim(M ) < dim (N) ve bir örtme fonk­
siyonu için dim(M ) > dim (N) olduğunu görürüz.
2) N herhangi bir manifold ve M tıkız bir manifold ise her sürekli bire
bir f : M ^ N fonksiyonu bir topolojik gömme fonksiyonudur.
Ö rn ek 2.1.16. 1) m > n € Z iki tamsayı olmak üzere
F : Rm ^ Rn , (xı, ■■■ , x m) ^ (xı ■■■ ,x n) ,
ile verilen fonksiyona standart örtme fonksiyonu, n > m olması durumunda
ise (xı, ■■■, x m) ^ (xı ■■■, x m, 0 ■■■, 0) ile verilen fonksiyona da standart
batırma fonksiyonu denir.
2) f : R ^ M2, t ^ f (t) = (t 2 , t 3 ) topolojik bir gömme fonksiyonudur
fakat t = 0 noktasında ne batırma ne de örtme fonksiyonudur.
3) f : R ^ R2, t ^ f (t) = (e* cos t, e1 sin t) bire bir batırma fonksiyonudur
fakat bir gömme fonksiyonu değildir, çünkü görüntü kümesi düzlemin kapalı bir
alt kümesi değildir.
76
T ü r e v le n e b ilir M a ııifo ld la r
4)
Aşağıda görüntüsü ile verilen f : R ^ R2 fonksiyonu yine bire bir
batırma fonksiyonudur fakat bir (topolojik) gömme fonksiyonu değildir. (Bu
fonksiyonu bir homeomorfizma yapacak şekilde tanım kümesi üzerine konan
R üzerine koyduğu muz t2 topolojisi
olduğunu gösteriniz. Dolayısıyla bu topoloji metriklenebilirdir. (Bkz. Bölüm 1,
Alıştırma 20.))
Şekil 2.4: Gömme fonksiyonu olmayan 1-1 batırma, fonksiyonu
F(x, y, z) =
(x 2 + y z ,y 2 ,xy, z x ), aslında projektif düzlemin R4 içine türevlenebilir bir gö­
mülmesini verir.
6) M B Möbius Şeridi’ni bir bölüm manifoldu olarak görebiliriz:
R x (0 ,1 )/(x,y) ~ (x + 1,1 - y).
Bu durumda, eğer P : R x (0,1) ^ M B bölüm fonksiyonu ise, her türevlene­
bilir g : M B ^ R2 fonksiyonu için f = g o P : R x (0,1) ^ R2 türevlenebilir
fonksiyonu şunu sağlar: Her (x, y) € R x (0,1) için
f (x,y) = f (x + 1,1 - y) .
Başka bir deyişle, f fonksiyonu ve
L : R2 ^ R2, (x,y) ^ (x + 1,1 — y),
dönüşümü için f = f o L olur. det(DL) = —1 olduğundan her (x,y) için
det(D f(xy)) = —det(D f(x+11_y)) olur. Bu duru m,da, R x (0,1) bağlantılı
olduğundan det(D f(x y)) fonksiyonunun sıfır olduğu noktalar vardır. O halde,
g bir batırma fonksiyonu olamaz. Başka bir deyişle Möbius Şeridi düzleme batırılamaz ve dolayısıyla düzleme gömiilemez. Diğer taraftan, Alıştırma 9 Möbius
Şeridi’nin R3 içine bir gömülmesini verir.
7) Tıkız bir uzay üzerindeki gerçel değerli her fonksiyonun bir en büyük
ve bir de en küçük değeri vardır. Dolayısıyla, türevlenebilir tıkız bir manifold
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
77
üzerindeki her türevlenebilir gerçel değerli fonksiyonun en az iki tekil noktası
vardır (aslında bu noktalarda türev fonksiyonu tamamen sıfırdır). Bu durumda
n-boyutlu tıkız türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde tanımlı türevlenebilir
her f : M ^ R™ fonksiyonunun da en az iki tekil noktası vardır. Bunu
görmek için ilk önce bu fonksiyona sabit bir v € R™ vektörü, ekleyerek f (M )
kümesinin orijini içermediğini kabul edelim, (manifoldun tıkız olduğunu burada
da kullanıyoruz). Şimdi
M ^ R, p ^ \ \ f ( p ) \ \ 2, p € M,
bileşkesini düşünelim. Bu fonksiyonun türevini yazarsak bileşke fonksiyonunun
en büyük ve en küçük değerlerini aldığı noktaların, aslında f : M ^ R™
fonksiyonunun da tekil noktaları olduğunu görürüz. Sonuç olarak f : M ^ R™
fonksiyonu bir batırma fonksiyonu olamaz ve dolayısıyla M kendisi ile aynı
boyutlu Oklit uzayına batırılamaz.
Aşağıdaki teorem her batırma ve örtme fonksiyonun uygun bir koordinat
sisteminde standart hale geldiğini göstermektedir.
T eorem 2.1.17. f : M ^ N , sırasıyla m ve n boyutlu, manifoldlarm bir
fonksiyonu olsun. Eğer f fonksiyonu bir p € M noktasında örtme fonksiyonu
ise p € M ve q = f (p) € N noktaları etrafında öyle
p 1 : Uı ^ Vı
ve
p 2 : U2 ^ V2
koordinat sistemleri bulabiliriz ki (Vı Ç Rm ve V2 Ç R™ olmak üzere)
p2 0 f 0 V -1 :
Vı
^
V2
fonksiyonu
(x 1, • • •
,x m)
standart örtme fonksiyonu olur.
Benzer şekilde, eğer f fonksiyonu p € M noktasında bir batırma fonk­
siyonu ise p 2 0 f 0 p - 1 : V1 ^ V2 bileşke fonksiyonu (x^_, ••• ,x m) ^
(x 1 • • • , x m, 0, • • • , 0) ile verilen standart batırma fonksiyonu olacak şekilde
koordinat sistemleri seçebiliriz.
Kanıt : Her iki kısmın kanıtları benzer olduğu için sadece birinci kısmın
kanıtını vereceğiz. İlk önce p € M ve q = f (p) € N noktaları etrafında
rastgele p 1 : U1
V1 ve p 2 : U2 ^ V2 gibi iki koordinat sitemi seçelim.
Bu koordinat sistemlerinin, sırasıyla, R m ^ Rm, x ^ x — p, ve R™ ^ R™,
y ^ y — q doğrusal öteleme fonksiyonları ile uygun şekilde bileşkesini alarak
p 1 (p) = 0 € Rm ve p 2 (q) = 0 € R™ olduğunu kabul edebiliriz, g = p 2 0 f 0 p - 1
fonksiyonu olsun. (Dg)0 : T0Rm ^ ToR™ matrisi kabul gereği örten olduğu için
bu matrisi uygun taban değiştirme matrisleriyle çarparak (dolayısıyla doğrusal
koordinat değişiklikleri yaparak) (Dg)0 (ei) = fp i = 1, • • • ,n, ve (Dg)0 (ei) =
0 i = n + 1, ••• ,m olduğunu kabul edebiliriz. Burada {e 1 , • • • , em}, Rm’nin,
ve { f 1 , • • • , f™}, R™’nin standart tabanını göstermektedir. O halde x 1 , • • • , x m
ve y 1 , • • • , y™ elde edilen yeni koordinat sistemleri oİmak üzere i = 1 , • • • ,n
için
(Dg)o(ddxi
~ M = dyi
d- \o
^
(x 1
•••
78
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
ve i = n + 1, • • • ,m için de
( « 9)0(
d
=0
olur. G : Rm ^ Rn+(m-n); G (xı, ••• ,x m) = (g(xı, ••• ,x m),Xn+ı, ••• ,x m)
ile tanımlanan fonksiyon olsun. Bu durumda (DG ) 0 = Id , birim matrisi olur
ve dolayısıyla Ters Fonksiyon Teoremi’ne göre G fonksiyonu x = 0 noktası
etrafında bir difeomorfizmadır. O halde, G (x1, • • • ,x m) = (g1, • • • ,gm) fonk­
siyonu Rn+(m-n) üzerinde (sıfır noktası etrafında yerel) yeni bir koordinat si­
stemi verir. Bu yeni koordinatları tekrar yi ile gösterelim: yi = gi(x1, • • • , x m),
ve i = n + 1, • • • , m için yi = gi(x 1, • • • , x m) = x ^ Son olarak p 1 koordinat
sistemini 0 = G o p 1 ile değiştirirsek
p 2 o f o 0 - 1 = p 2 ◦ f o p - 1 o G - 1 = g o G- 1
elde ederiz. Buna göre
P 2 o f O0 - 1 (y 1 , ••• ,yn, ••• ,ym) = g(G- 1 (y 1 , ••• ,y m))
—g (x 1 , • • • , x m) — (y 1 , • • • , yn)
elde edilir. □
Yukarıdaki teorem bize alt manifold elde etmenin iki yolunu sunmaktadır.
Sonuç 2.1.18. f : L ^ N n bir gömme fonksiyonu ve dolayısıyla M = f (L)
görüntü kümesi N ’nin l-boyutlu kapalı bir alt manifoldu olsun. Bu durumda
her p € M noktası etrafında,
M n U = {q € U | x i+1 (q) = ••• = xn(q) = 0}
olacak şekilde bir p € U Ç N açık kümesi ve
P : U ^ V Ç Rn , q ^ (x 1 (q), • • • ,xn(q)),
bir koordinat sistemi vardır. Ayrıca, M l-boyutlu türevlenebilir bir manifolddur
ve f : L ^ M bir difeomorfizmadır.
Diğer taraftan, yerel olarak yukarıdaki şekilde ifade edilebilen her kapalı
M Ç N alt kümesi l-boyutlu bir manifolddur ve bu durumda M ^ N içerme
fonksiyonu bir gömme fonksiyonudur.
Kanıt : Batırma fonksiyonunun tanımını kullanarak verilen herhangi bir
p0 € L ve p = f (p0 ) € N noktaları etrafında öyle p 0 € U0 Ç L ve p € U Ç N
açık kümeleri ve p : U ^ V Ç Rn , q ^ (x 1 (q), • • • ,x n(q)), koordinat sistemi
bulabiliriz ki
f (Uo) = {q € U I x i+1 (q)
x n (q) = 0} Ç M n U
79
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
olur. Diğer taraftan, f : L — M bir homeomorfizma olduğundan f (U0 ) alt
kümesi M alt uzayı içinde açık bir kümedir. Dolayısıyla, alt uzay topolojisinin
tanımından öyle bir W Ç N açık kümesi vardır ki f (Uo) = W n M olur. Başka
bir deyişle,
f (Uo) = {q e U | xı+ı(q) = ■■■ = x,n(q) = 0 } = M n (U n W )
elde ederiz ve böylece ilk kısmın kanıtı tamamlanır. Diğer iddiaların doğruluğu
tanımlardan kolayca görülür. □
Sonuç 2.1.19. Herhangi bir f : M m — N n fonksiyonunun q e N gibi
bir düzgün değerini alalım. Bu durumda L = f - 1 (q) ters görüntü kümesi
M ’nin l = (m — n)-boyutlu bir alt manifoldudur. Aynca her p e L için
TpL = ker((D f )p : TPM — TqN ) olur.
Kanıt : Yukarıdaki teoremi (ve kanıtını) kullanarak p e M ve f (p) =
q e N noktaları etrafında öyle koordinat sistemleri seçelim ki f bu yerel
koordinatlarda (xı, ■■■, x n, ■■■, x m) — (xı, ■■■, x n) ile verilsin. O halde, bu
koordinat sistemlerinde f - 1 (q) kümesi {(0, ■■■ , 0,xn+1, ■■■ ,x m)} olarak
gözükür ve teğet uzayı da iddia edildiği gibidir. □
Ö rn ek 2.1.20. Burada Örnek 2.1.7’de ele aldığımız $ : M (n ,n ) — S(n),
$(Q) = Q t Q fonksiyonunun her Q e GL(n, R) noktasında bir örtme fonk­
siyonu olduğunu göstereceğiz. Bu fonksiyonun birim matristeki türevi (D $ )ıd :
M (n, n) — S(n) , A — A T+ A olarak hesaplanmıştı. Bu türev fonksiyonun ör­
ten olduğu kolayca görülür, çünkü her simetrik C matrisi C = C / 2 + CT/2 =
(D $)id(C /2) olarak yazılır. Benzer şekilde bu fonksiyonun herhangi bir Q
noktasındaki türevi
(D $ ) q : M (n ,n ) — S(n) ,
A — QTA + A TQ
ile verilir. Bunun, Q e GL(n, R) olmak üzere, örten olduğunun gösterilmesini
okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz. Dolayısıyla, $ fonksiyon un GL(n, R)
açık alt kümesine kısıtlanışı, $| : GL(n, R) — S(n), bir örtme fonksiyonudur.
O halde, n x n-ortogonal matrisler kümesi, O(n) = $ - 1 (Id), tüm n x nmatrisler uzayı içinde ki, bu Rn den başka bir şey değildir, dim(GL(n, R)) —
dim(S(n)) = n 2 —n(n + 1 ) / 2 = n(n —1)/2-boyutlu bir alt manifolddur ve birim
matristeki TidO(n) teğet uzayı,
ker((D $)Id) = {A e M (n ,n ) | A T + A = 0},
ters simetrik matrisler uzayı ile eşlenebilir. Birinci bölümün sonunda yer alan
Alıştırma 28 bu manifoldun biri SO(n) olan iki bağlantılı bileşenden oluştuğu­
nu göstermektedir.
80
2.2
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
M anifoldlarm G öm ülm esi
Oklit uzayı ve her alt uzayı Hausdorff ve ikinci sayılabilirdir. Bu bölümde boyu­
tu n olan türevlenebilir bir M manifoldunun, temelde Hausdorff ve ikin­
ci sayılabilir olmasını kullanarak, M2n+1 içine gömülebileceğini göstereceğiz.
Sard teoreminin etkili bir şekilde kullanıldığı kanıt ayrıca aşağıda bahsedeceği­
miz birimin ayrışımını da kullanmaktadır. Aslında n boyutlu bir manifold
M2™ içine de gömülebilir fakat bunun kanıtı bu kitabın kapsamı dışında kalan
topolojik fikirler gerektirmektedir.
2.2.1 B irim in A yrışım ı
{Ua }aeA ailesin e M manifoldunun bir açık örtüsü olsun. Aşağıdaki koşulları
sağlayan bir {p\ : M ^ [0,1] }asA türevlenebilir fonksiyonlar ailesine M
manifoldunun {Ua}a€A açık örtüsü ile uyumlu bir birimin ayrışımı denir:
1) Her A € A için {p € M | p\(p) = 0} Ç Ua olacak şekilde bir a € A
vardır;
2) Her p € M noktasının öyle bir p € V açık komşuluğu vardır ki
V fi {p € M I p\(p) = 0 } = 0 olacak şekilde sadece sonlu sayıda A € A
elemanı vardır;
3) Her p € M noktası için
J 2 px (p ) = 1AeA
Yukarıdaki toplamın endeks kümesi sonsuz dahi olsa (2) koşulundan dolayı
aslında bu bir sonlu toplamdır.
Aşağıdaki sonuç kendi başına da anlamlı olmakla beraber birimin ayrışımı­
nın varlık teoreminin önemli bir parçasıdır.
Y ardım cı Teorem 2.2.1. Bağlantılı her M manifoldu K n Ç Int(K n+1),
n € N, olacak şekilde sayılabilir bir (Kn) tıkız alt kümeler dizisinin birleşimi
olarak yazılabilir:
M = un=ıKn.
Kanıt : fi ile M manifoldunun sayılabilir bir tabanını gösterelim. Her
p € M noktası etrafında bir p € U € i açık komşuluğu seçelim. Manifoldlar
yerel olarak bir Oklit uzayı olduğundan gerekirse bu komşuluğu daha küçük bir
komşuluk ile değiştirerek U açık kümesinin kapanışının, Un, tıkız olduğunu
kabul edebiliriz, i sayılabilir bir küme olduğu için bu şekilde elde edilen açık
kümeleri bir dizi olarak görebiliriz: (Un) . Bu durum da M = UnUn olur. Şimdi
(Kn) tıkız ait küme dizisini kurabiliriz: K 1 = U 1 alalım. K 1 U U 2 tıkız
kümesini sonlu sayıda Un ı, ■■■, Unkı açık kümesi ile örtelim. Bu kümelerin
kapanışlarının birleşimi K 2 olsun: K 2 = Unı U- ■U U nkı. Benzer şekilde K m + 1
tıkız kümesi K m U Um tıkız kümesini örten sonlu sayıdaki Unm, ■■■, Unkm
M a n ifo ld la rııı G ö m ü lm e si
81
açık kümelerinin kapanışlarının birleşimi olsun. Bu dizinin istenilen koşulları
sağladığı kolayca görülür. □
H a tırla tm a 2.2.2. Eğer M manifoldu tıkız ise K 0 = 0 ve her n > 1 € N
için K n = M alabiliriz.
T eorem 2.2.3. Bağlantılı bir M nıanifoldunun verilen her {Ua]a€A açık
örtüsü ile uyumlu bir birimin ayrışımı vardır.
Kanıt :
- 1+__=1^
e xX (x-r>
f (x) = | 0
x € (0,1)
x € (0,1)
ile tanımlanan f : R ^ R fonksiyonun C ^
f (t) dt olmak üzere
1
9(x) = m K
olduğu kolayca görülür. M =
*
f (t) dt
şeklinde tanımlanan fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. Son olarak
n(x) = g(x) g(3 - x)
ile tanımlanan fonksiyon için 0 < n(x) < 1, x € R, n(x) = 0 x € (0, 3), ve
n(x) = 1 , x € [1, 2] olur.
Şekil 2.5: y=g(x) fonksiyonunun grafiği
B r = {x € Rn | ||x||2 < r} ile yarıçapı r > 0 olan açık yuvarı gösterelim.
O halde, p : Rn ^ R, p(x) = n(||x||2 + 1 ) ile tanımlanan C^-fonksiyonu Bı
üzerinde sabit bir değerini alırken, B 2
Şimdi {Ua}a€A
önce bu örtünün elemanlarını koordinat komşuluklarıyla kesiştirerek lıer birinin
bir koordinat komşuluğu kaldığını kabul edebiliriz. Ayrıca yukarıdaki yardımcı
teoremde verilen şekilde
M = U ^ ıK n
82
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
olduğunu kabul edebiliriz, p € M olsun. O halde, p € K n — K n -ı olacak
şekilde tek bir n € N sayısı vardır (Ko = 0 alabiliriz). Şimdi bu nokta
etrafında p € Vp Ç Int(K n+ı) —K n -ı olacak şekilde bir Vp açık komşuluğu
seçelim. Bu komşuluğu gerekirse küçülterek bazı a € A için p € Vp Ç Ua
olduğunu kabul edebiliriz. Ua üzerinde tanımlı olan koordinat fonksiyonunu
biraz değiştirerek ve Vp açık kümesini küçüİterek 0p : Vp ^ Rn olacak şekilde
yeni bir koordinat fonksiyonu seçelim. Op = 0- ı (B 2 ) açık kümesini göstersin.
Bu durumda, pp = po0p : Vp ^ R bileşke fonksiyonu [0,1] aralığında değerler
alacaktır. Ayrıca bu fonksiyon Op üzerinde pozitif değerler alırken Vp — Op
üzerinde de tamamen sıfır olacaktır. O halde, bu fonksiyonu M — Vp dışında
sıfır olarak tanımlayarak tüm manifold üzerinde tanımlı C^-smıfmdan bir
fonksiyon elde ederiz.
İlk önce K 3 tıkız kümesi için K 3 Ç Opı U • • • U Op2 olacak şekilde
sonlu sayıda p 1 , ••• ,p 2 noktası seçelim. Bu kümelerin tanımından dolayı
her birinin Int(K 4) kümesinin içinde kaldığını kabul edebiliriz. Daha sonra,
K 4 — Int(K 3) Ç Op3 U • • • U Op4 Ç Int(K 5) —K 2 olacak şekilde sonlu sayıda
p 3 , ••• ,p 4 noktası seçelim. Tümevarım yont emiyle her n > 5 doğal sayısı
için, Kn —Int(K n-ı) Ç Op2n_5 U • • • U Op2n_A Ç Int (Kn+ı) —K n - 2 olacak
şekilde sonlu sayıda p2n- 5 , • • • ,p2n-4 noktasının var olduğunu görebiliriz.
Vpı, ••• , Vp2 , vp3 , ••• , Vp4 , ••• , Vp2n- 5 , ••• , Vp2n- 4 , • •' aÇlk kümeleri manifoldun yerel sonlu bir açık örtüsünü verir. Başka bir deyişle manifoldun her
noktası etrafında bu listeden sadece sonlu tanesi ile kesişen bir açık komşuluk
bulabiliriz. Bu sayılabilir listeyi tekrar adlandırarak Vı, • • • , Vn , • • • ve üze­
rilerinde tanımlı fonksiyonları da pn : Vn ^ R ile gösterelim. L : M ^ R
L(p) = Yİn pn(p), p € M, ile verilen fonksiyon olsun (her p € M için bu top­
lam sonlu bir toplamdır). Son olarak pn fonksiyonlarmı Pn ke değiştirerek
L
istenilen birimin ayrışımını elde ederiz. □
H a tırla tm a 2.2.4. Yukarıdaki hamtta M marıifoldunun verilenher[Ua }a€a
açık örtüsünün
Vpi , ••• , Vp2 , Vp3 , ••• , Vp4 , ••• , Vp2n-5 , • " , Vp2n-4 , • "
gibi yerel sonlu bir açık inceltilmişi olduğunu gördük. Aslında aynı kanıt to­
polojik manifoldlar için de geçerlidir. Dolayısıyla, her topolojik manifold paratıkızdır.
2.2.2
Sard T eorem i
Q Ç Rn açık t e küm e ve F : Q ^ Rm türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
Türevlenebilir bir fonksiyonun türevleri de sürekli olduğu için kritik noktalar
kümesi her zaman kapalı bir kümedir.
Her a € Rn ve öi > 0 i = 1, • • • ,n, ve ö = (51, • • • , ön) için
R(a,ö) = {(xı, ••• ,xn) € Rn | ai — öi < Xi < ai + öi}
83
M a n ifo ld la r m G ö m ü lm e s i
açık kutusunu göstersin. R[x,
ile de bu kümenin kapanışı olan
{(x 1 , • • • , x n) £ R | ai 5i — x i — ai + 5 i }
kümesini gösterelim.
C Ç Rn t e alt küme olsun. Eğer her gerçel e > 0 sayısı için
C Ç ^ =lR k
ve
^ vol (Rk) < e
k=1
olacak şekilde (Rk) sınırlı kutular dizisi varsa bu alt kümeye ölçümü sıfırdır
denir. Burada vol(Rk) ile kutunun hacmi gösterilmiştir:
n
d x 1 •••dxn
vol (Rk)
Rk
2n n &ii= 1
T eorem 2.2.5. Q Ç Rn açık bir küm e ve F : Q ^ R m türevlenebilir bir
fonksiyon olsun. Eğer C Ç Q bu fonksiyonun kritik noktalarının kümesi ise
F (C ) kritik değerler kümesinin ölçümü sıfırdır.
Kanıt : Q açık kümesi sayılabilir çoklukta açık yuvarın birleşimi olarak
yazılabilir. Her açık yuvar Rn’e difeomorfik olduğundan ve sayılabilir çok­
lukta ölçümü sıfır kümenin birleşiminin de ölçümü sıfır olacağından Q = Rn
alabiliriz. Kanıtı üç ayrı durumda vereceğiz.
D u ru m 1) n = m Yukarıda verdiğimiz tanıma benzer şekilde, her a £ Rn
ve 5 > 0 için
R(a, 5) = {(x]_, • • • , xn) £ Rn | ai — 5 < x i < ai + 5}
açık kutusunu ve R[x, 5] ile de bu kümenin kapanışı olan
{(xı, • • • ,xn) £ Rn | ai — 5 — xi — ai + 5}
kümesini gösterelim.
iddia: Bir e > 0 gerçel sayısı verilsin. Her a £ C için öyle bir 5a > 0
sayısı vardır ki, her R[b, r] Ç R[a, 5a] için
vol(F(R[b,r])) — e vol(R[b, r])
olur.
Kanıt: F (x) = ( f 1 (x), • • • , f n (x)) olsun. a £ C bir kritik nokta olduğun­
dan F fonksiyonunun koordinatlarından birinin bu noktadaki gradyan vektörü
84
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
diğer koordinatların gradyan vektörlerinin bir doğrusal birleşimi olacaktır. Ge­
nellikten hiçbir şey kaybetmeden bazı c 1 , ■■■, cn - 1 gerçel sayıları için
V fn(a) — c ıV fı(a ) +------+ c,n- ı V f n - 1 (a)
olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda F fonksiyonunun hacimleri koruyan
L (X\, ■■■, Xn—1, x n) — (x1, ■■■, x n - 1 , x n
c1x 1
■■■ cn - 1 x n - 1 )
doğrusal fonksiyonu ile birleşimini alarak, L o F, V f n(a) — 0 olduğunu kabul
edebiliriz. Öteleme fonksiyonları da hacimleri koruduğu için a — 0 ve F (0) —
0 olduğunu kabul edebilir iz. Her x € R[0,1] için, ||Vfi(x)|| < M olacak
şekilde bir M > 0 gerçel sayısı seçelim. Şimdi de her x € R[0, ö0] için,
llVfn (x)ll < tj( M n - 1\/rin) olacak şekilde bir 1 > ö0 > 0 sayısı seçelim.
Her x, b € R[0, ö0] noktaları için, t ^ fi(tx + (1 —t)b), t € [0,1],
fonksiyonuna Analizin Temel Teoremi’ni uygulayarak
ve buradan da
elde ederiz. O halde, x € R[b, r] Ç R[0, ö0 ] olmak üzere her i — 1, ■■■,n — 1
için,
\fi(x) — fi(b)\ < r M ^ n
ve
\fn(x) — fn(b)\ < r t ^ n j ( M n - 1 ^ ^ )
olur. Başka bir deyişle F(R[b,r]) görüntü kümesi
F(b) + ([—rM y/n,rM y/u]n-1 x [—r t ^ n j ( M n - 1 Vrin) ,r € ^ n j(M n - 1 Vrin)])
çarpım kutusunun içinde kalır. Bu kutunun hacmi ise tam olarak
t 2nrn — e vol(R[0,r])
sayısıdır. Dolayısıyla iddianın kanıtı tamamlanmış oldu.
Şimdi tekrar teoremin kanıtına dönelim. I n — [0,1] x ■■■x [0,1] ile Rn
içindeki birim küpü gösterelim. Rn birim küpün sayılabilir çoklukta ötelenmiş
kopyasının birleşimi olarak yazılabileceği için, f (In fi C) kümesinin ölçümünün
sıfır olduğunu göstermek teoremi kanıtlamak için yeterli olacaktır. Kritik nok­
talar kümesi kapalı olduğundan I n f C kümesi tıkızdır. Rastgele bir e > 0
sayısı alalım. Yukarıdaki iddianın koşullarını sağlayan sonlu tane açık küp ile
I n f C tıkız kümesini örtelim. Bu sonlu açık örtünün bir A > 0 Lebesgue sayısı alalım. Birim küpü paralel hiperdüzlemler ile her bir kenar uzunluğu
85
M a n ifo ld la r m G ö m ü lm e s i
X/ ( ^ / n ) ’den daha küçük olan küplere ayıralım. Bu durumda bu küçük küpler­
den kritik küme ile boş kümeden farklı bir şekilde kesişen her biri yukarıda
bulduğumuz sonlu adet açık küplerden birinin içinde kalacaktır. O halde, elde
ettiğimiz yeni küplerin hacimleri toplamı birim küpün hacminden fazla olamaz
ve dolayısıyla v o l(/(In fiC )) < e olur. Başka bir deyişle, f (In fiC ) kümesinin
ölçümü sıfırdır.
D u ru m 2) n < m. Bu durumda F : Rn ^ Rm fonksiyonunun tüm
görüntüsü kritik değerlerden oluşacaktır. Diğer bir deyişle, F (Rn) C Rm alt
kümesinin ölçüsünün sıfır olduğunu göstermeliyiz.
G : Rm ^ Rm,
G (xı, • • • ,Xn,Xn + 1 , • • • ,x m) = F ( x ı, ••• ,Xn)
ile verilen fonksiyonu düşünelim. Bir önceki durumdan G fonksiyonunun kritik
değerler kümesinin ölçüsü sıfırdır. Diğer taraftan, bu fonksiyonun türevi hiç bir
noktada örten değildir ve bundan dolayı G(Rm) = F (Rn) görüntü kümesinin
ölçümü sıfırdır.
D u ru m 3) n > m. ilk önce n = m durumunda kanıtladığımız iddianın
bir benzerinin bu durumda da doğru olduğunu göstereceğiz. Yukarıda olduğu
gibi F fonksiyonunun hacimleri koruyan
L (x 1 , • • • , x m- 1 , x m) — (x 1 , • • • , x m- 1 , x m
Cıx ı
•••
Cm- 1 Xm- 1 )
doğrusal fonksiyonu ile bileşkesini alarak, L o F , V f m(a) = 0 olduğunu kabul
edebiliriz. Öteleme fonksiyonları da hacimleri koruduğu için a = 0 ve F (0) =
0 olduğunu kabul edebiliriz.
Fonksiyonumuzun son koordinatı olan f m fonksiyonunu yeterince küçül­
tebilmek için Ortalama Değer Teoremi yerine Taylor açılımı kullanacağız, k >
n — m + 1 olacak şekilde bir pozitif k tek sayısı seçelim ve 0 (x 1 , • • • , x n) =
(x1, • • • , x nk ) ile tanımlan an 0 : Rn ^ Rn fonksiyonunu düşünelim. Bu fonk­
siyon B [0,1] küpünün türevlenebilir bir homeomorfizmasıdır. Ayrıca zincir
kuralından F : B [0,1] ^ Rm fonksiyonun kritik d eğerlerinin kümesi F o 0
bileşke fonksiyonun kritik değerler kümesinin bir alt kümesidir. Dolayısıyla F
yerine F o 0 ile çalışabiliriz. Bu sayede f m fonksiyonunun x = 0 noktasında
derecesi en fazla k olan tüm kısmi türevleri sıfır olacaktır.
Şimdi yine her x € R[0,1] için, ||Vfi(x)y < M olacak şekilde bir M > 0
gerçel sayısı seçelim. Her x, b € R[0,1] noktaları için
t ^ fi(tx + (1 —t)b) , t € [0,1] ,
fonksiyonuna Analizin Temel Teoremi’ni uygulayarak
fi(x) — fi(b) = [ (x — b) • Vf i ( s x + (1 —s)b) ds
J0
ve buradan da
\f i(x) — f i(b)\ < [ Ilx —bMV f i(sx + (1 —s)b)l ds
J0
86
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
elde ederiz. O halde, her x,b € R[0,1] ve i = 1, • • • m — 1 için,
\f i(x) - f i (b)\ < M \x - b\\
olur.
f m fonksiyonuna xo = 0 noktasında Taylor Teoremi’ni uygulayarak her
x € B [0,1] için \fm(x)\ < C(x)\\x\\k olacak şekilde bir C(x) > 0 sayısı
bulabiliriz. Aslında C(x) fonksiyonunu, C (0) = 0 koşulunu sağlayan sürekli
bir fonksiyon olarak seçilebilir (bkz. Önerme 1.2.11). Diğer taraftan C (0) = 0
olduğundan öyle bir ö0 > 0 sayısı seçebiliriz ki, her 0 < ö < ö0 ve her
x € B[0, ö] için,
^n-m e
C (x) <
ök-n+m- 1 M m —\yj~nfc
olur. O halde, her x € B [0,ö] için,
2 'n-m+l e
2 \fm(x)\ < 2 C(x)\\x\\k <
ök-n+m- 1 M m —l ^ j n k
ök V n
olur.
Son olarak bu sınırlamaları kullanarak Rn içindeki hacmi 2nön olan
B[0, ö] küpünün görüntüsünün Rm içindeki hacmi için
e 2 n-m + 1 ö'n-m+ 1
vol(F(B[0, ö])) < 2m-1 M m - 1 öm - 1
e 2 n ön
Mm -1
elde edilir. Böylece iddianın kanıtı tamamlanmış oldu. Kanıtın geri kalanı yine
n = m durumuna benzer şekilde yapılabilir: n = m durumunun ispatının
sonunda elde edilen, her bir kenar uzunluğu A /(^ /n )’den daha küçük olan
küplerden kritik küme ile boş kümeden farklı bir şekilde kesişen küpleri, bu
küpleri içeren, merkezi kritik küme üzerinde bulunan ve her bir kenar uzunluğu
\ / y / n olan küplerle değiştirelim. Bu son değişiklik küplerin hacimlerini 2n
katma çıkartacaktır. Dolayısıyla, başlangıçta bize verilen e sayısını e/2n ile
değiştirerek ispatı tamamlarız. □
Yukarıda verilen kanıta göre değişik yöntemlerin kullanıldığı Sard Teore­
mi’nin n = 2 > 1 = m durumunda bir başka kanıtını ayrıca vereceğiz: Verilen
bir f : R2 ^ R fonksiyonunun kritik noktalarının oluşturduğu C kümesin­
den bir p € C noktası alalım. Yukarıda yaptığımız gibi öteleme kullanarak
p = (0, 0) ve f (0, 0) = 0 olduğunu kabul edelim. Ayrıca fonksiyonun bu nok­
tadaki gradyan vektörünün türevinin de örten olmadığını kabul edelim. Başka
bir deyişle,
« « w <«> = <f
( « ) . ^ <q»
fonksiyonunun p = (0, 0) noktasındaki
D V ( f )(p)
L f (p)
(p)
dXıdx2 (p) \ = ( A(p) B(p) )
u (p) )
V B (p)
C (p) )
M a n ifo ld la r m G ö m ü lm e s i
87
türev fonksiyonu bir izomorfizma olmasın. Bu tipteki kritik noktaların küme­
sini C ile gösterelim. Rank koşulu kapalı bir koşul olduğundan C kü­
mesi kapalıdır. Alanları koruyan ortogonal bir koordinat değişiminden sonra
B('p) = C(p) = 0 olduğunu kabul edebiliriz. Ayrıca her q € B[0,1] için,
|A(q)| < M olacak şekilde bir M > 0 sayısı seçelim. Rastgele bir e > 0
sayısı alalım, a/b < e/(3M ) olacak şekilde pozitif a/b oranı seçelim. Her
q = (q1 ,q2) € B [0,5] için lB(q)l < e/ 6 ve IC(q)l < e a/(3b) olacak şe­
kilde 0 < 5 < 1 sayısı seçelim. 5 > 0 sayısı p noktasına bağlı görünse
de A, B, C fonksiyonları sürekli olduğundan, tıkız bir bölgede noktadan
bağımsız bir şekilde belirlenebilir.
Oranını yukarıdaki gibi sabitlediğimiz ve 0 < a, b < 5 olacak şekilde
seçilen a ve b sayılarının belirlediği Rp = {(x 1 , x 2 ) | lx1l < a, lx2l < b}
dikdörtgenini düşünelim. Bu durumda her q = (x 1 , x 2) € Rp noktası için,
Taylor Teoremi’nden p ve q noktalarını birleştiren doğru parçası üzerinde
öyle bir q' noktası vardır ki
f (q) = f (p) + V f (p) ■( x ı , x 2 ) + A(ql)x\ + 2 B (q ')xıx 2 + C(q')x2
olur. Buradan
lf (q)l
< M |x i |2 + 2lB(q' )|| xix 2İ + C (q' )|| x2|
< e ab/ 3 + e ab/ 3 + e ab/ 3
= e ab
elde ederiz. O halde, f (Rp) kapalı aralığının boyu en fazla 2e ab = e vol(Rp)/2
olur.
Rp dikdörtgenin her kenarını N eş parçaya bölerek kenar uzunlukları
oranı halen a/b olan N 2 adet dikdörtgen elde ederiz. Bu dikdörtgenlerden
C kümesi ile kesişen her biri için yukarıdaki hesabı yapabiliriz. Aslında kritik
nokta bu dikdörtgenlerin merkezi yerine herhangi bir yerinde olabileceği için
bu küçük dikdörtgenlerden herhangi bir R dikdörtgeninin f fonksiyonu
altındaki görüntüsünün uzunluğu en fazla 2e vol(R) olacaktır.
Şimdi fonksiyonu tıkız [0,1] x [0,1] ait kümesine kısıtlayalım. Her p € C
noktası etrafına çizdiğimiz bu Rp dikdörtgenlerinin iç bölgeleri C tıkız
kümesinin açık bir örtüsünü verecektir ve dolayısıyla bu dikdörtgenlerden son­
lu tanesi, R 1 , ■■■, Rp C tıkız kümesini örtecektir. Diğer taraftan C — C
kümesindeki kritik noktalar izole noktalardan oluşmaktadır. O halde C — C
kümesinin bu dikdörtgen bölgeler dışında kalan nokta sayısı sonlu olmalıdır.
Başka bir deyişle bu dikdörtgen bölgeler dışında kalan kritik noktaları ihmal
edebiliriz.
R 1 , ■■■,Rı dikdörtgenlerin çevrelerinin toplamı sonlu bir sayı olacaktır. Bu
durumda dikdörtgenlerin çevrelerini oluşturan doğru parçalarının bir p > 0
komşuluğunun, diyelim ki U olsun, f altındaki görüntüsünün ölçümünün e
sayısından küçük olduğunu kabul edebiliriz. O halde, R 1 U ■■■U Rı — U kü­
mesinin her topolojik birleşeni bu dikdörtgenlerden birinin içinde kalacaktır.
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
Her topolojik bileşen için bu bileşeni içeren bir dikdörtgen seçelim ve daha
sonra bu dikdörtgeni yeterince küçük eş parçalara bölelim, öyle ki bu küçük
eş dikdörtgenlerin köşegen uzunluğu p sayısından da küçük olsun. Bu sayede
bu küçük dikdörtgenlerden büyük dikdörtgenin kenarlarıyla kesişenler U kü­
mesinin içinde kalacaktır. O halde, R 1 U • • • U Rı — U kümesinin, iç bölgeleri
ayrık olan dikdörtgen bölgelerin birleşiminin içinde kaldığını kabul edebiliriz.
Son olarak, f (U) kümesinin ölçümünün en fazla e olacağını kullanarak
kanıtı m = n durumundaki gibi tamamlayabiliriz. □
2.2.3
M an ifold larm G ö m ü lm esi
Bu bölümde birimin ayrışımı ve Sard Teoremi yardımıyla n-boyutlu bir manifoldun M2™+1 içine gömülebileceğini göstereceğiz. Aşağıdaki teoremde bu
sonuç tıkızlık koşulu altında kanıtlanmaktadır. Alıştırma 7 ise genel durum
için bir kanıt sağlamaktadır.
Teorem 2.2.6. M n-boyutlu türevlenebilir tıkız bir manifold ise düzgün bir
fonksiyon ile M2™ içine bire bir batınla bilir ve M2™+1 içine gömülebilir.
Kanıt : İlk önce bu manifoldun yeterince büyük bir N doğal sayısı için
Mn içine gömülebildiğini gösterelim. Bunun için her p € M noktası etrafında
bir
: Up ^ M™ koordinat sistemi seçelim öyle ki f p(Up) Ç B ( 0 ,1) olsun.
Ayrıca p € Vp Ç Up koşulunu sağlayan bir Vp açık kümesi üzerinde bir
değerini, Up kümesi dışında sıfır değerini ve Up — Vp üzerinde de birden
küçük pozitif değerler alan türevlenebilir bir pp : M ^ [0,1] fonksiyonu
seçelim. Bu durumda
: M ^ B (0,1) Ç M™ , p ^ p(p)f(p) ,
fonksiyonu Vp açık kümesi üzerinde görüntüsüne bir difeomorfizmadır. M
manifoldu tıkız olduğundan sonlu tane p 1 , ••• ,pk € M noktası için M =
Vpı U • • • U VPk olacaktır. N = kn + k olmak üzere
F :. M ^ r N , p ^ (Tpx(p), ••• , %k (P) , Pn (P), ••• , Ppk (P)) ,
ile tanımlanan F fonksiyonu bir batırma fonksiyonudur. Bu fonksiyonun bire
bir olduğu ise kolayca görülür. M tıkız olduğu için elde ettiğimiz bire bir
batırma fonksiyonu aynı zamanda topolojik ve dolayısıyla türevlenebilir bir
gömme fonksiyonudur. O halde, artık M™ Ç MN olduğunu kabul edebiliriz.
N > 2n + 1 olduğunu kabul edelim ve şu fonksiyonları düşünelim:
' f 1 : M x M x M ^ MN , (x 1 , x 2 , X) ^ X(x 1 —x 2 )
ve
^2 : K M ^
MN
,
(x,
v)
^ v,
(x, v)
^ TXM Ç
T xMN ^
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
89
N doğal sayısı dim(M x M x R) = 2n + 1 ve dim(T*M ) = 2n sayılarından
büyük olduğu için bu fonksiyonların görüntü kümelerinin R N içindeki ölçüm­
leri sıfır olacaktır. O halde, bu iki fonksiyonun görüntü kümelerinin dışında
bir v € R n vardır. r ile bu vektörü normal vektör kabul eden hiperdüzlemi gösterelim. Fonksiyonların ve v vektörünün seçiminden dolayı RN’in r
hiperdüzlemine dik iz düşümü M manifoldunun r = RN- 1 içine bire bir
batırma verecektir. Ayrıca manifold tıkız olduğu için bu bire bir batırma aslın­
da bir gömülmedir. Aynı şekilde devam ederek N —(2n + 1) adımda manifoldu
R2n+1 içine gömebiliriz. N = 2n + 1 olduğunda da v € RN vektörünü 'f 2
fonksiyonunun görüntüsü dışından seçerek R2n içine bir batırma fonksiyonu
elde ederiz. Böylece teoremin kanıtı tamamlanmış oldu. □
Yukarıda verilen kanıtın ilk kısmı tıkız olmayan manifoldlar için genelde
çalışmaz çünkü böyle bir manifold sonlu tane koordinat sistemi ile örtülemeyebilir. Ayrıca aşağıdaki örnekte olduğu gibi herhangi bir RN içine gömülmüş
tıkız olmayan bir manifoldun hiçbir hiperdüzleme dik iz düşümü (bire bir batır­
ma verse dahi) gömülme olmayabilir.
Diğer taraftan, Alıştırma 7 tıkızlık koşulu olmadan manifodlarm gömülebileceğini göstermektedir.
Örnek 2.2.7. Her N > 2 doğal sayısı için düzgün öyle bir f : R ^ R N
gömülmesi vardır ki bu gömülmenin hiçbir r hiperdüzlemine dik iz düşümü
P o f : R ^ r = R n - 1 düzgün bir fonksiyon değildir. Bunun için R N için­
deki tüm tam sayı koordinattı noktaları po,pı, ■■■,pn , ■■■ olarak sıralayalım
öyle ki her n € N için ||pn+1|| > \\pn \\ olsun. Daha sonra p 0 noktasını
pı ve p 2 noktalarına birer eğri ile bağlayalım. Bundan sonra p 1 noktasını
p 3 noktasına, p 3 noktası m p 5 noktasına bağlayıp devam ederek tüm tek sayı
endeksli noktaları bu şekilde birbirine bağlayalım. Benzer şekilde p 2 noktasını
p 4 noktasına ve bu noktayı da p 6 noktasına bağlayarak çift sayı endeksli tüm
noktaları birbirine bağlayalım. Diğer taraftan, pn noktası m pn+ 2 noktasına
bağlayan eğriyi yarıçapları ||pn || — 1 ve ||pn+2|| + 1 olan yuvarların arasında
kalacak şekilde seçelim. Uç uca eklenen bu eğrileri türevlenebilir bir eğri olarak
seçebiliriz. Dahası bu eğri gerçel eksenin R N içine düzgün bir gömülmesini
verir. Bu eğrinin hiçbir hiperdüzleme dik iz düşümünün düzgün olmadığının
gösterilmesini okuyucuya bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 11). Diğer taraftan yu­
karıda verilen kanıta göre bu eğrinin hemen hemen her hiperdüzleme dik iz
düşümü bire bir batırma fonksiyonudur. Dolaysıyla, yukarıda verdiğimiz kanıt
tıkız olmayan manifoldlarda geçerli olmayacaktır. Tıkız olmayan manifoldlarm
gömülmesi işlemi farklı teknikler gerektirmektedir.
2.3
T ürevlen ebilir Form lar ve Stokes Teoremi
Bu bölümde manifoldar üzerindeki en temel nesnelerden biri olan türevlenebilir
formları inceleyeceğiz. Türevlenebilir formların türev ve integrallerini tanım­
ladıktan sonra Analizin Temel Teoremi’nin manifoldlar üzerindeki genellemesi
90
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
olan Stokes Teoremi’ni vereceğiz. Stokes Teoremi’nin geometrik ve topolojik
sonuçlarını ise kitabın ilerleyen bölümlerinde ele alacağız.
2.3.1
T ü rev len eb ilir Form lar
U Ç Rn içinde açık bir küme olmak üzere U üzerinde X (p) gibi bir vektör
alanını T*U ^ U teğet demetinin bir kesiti olarak tanımlamıştık: A 1, ■■■, An,
U üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere
d
x
(p) = Aı (p)
d
p
+■■■+ An(,p)
lp'
Verilen bir p € U noktası için V = TpU teğet uzayının dualini V * = T*U
ile gösterelim. Eğer Xi, ■■■,x n U açık kümesi üzerinde bir koordinat sistemi
ise
\p teğet vektörünün Kronecker dualini dxk\p ile gösterelim. O halde,
her 1 < i, j < n için
dxiip(dx~-p) = ^ij
olur. Bu vektör uzayını koteget uzayı diye adlandıracağız. Teğet demetinde
olduğu gibi koteğet uzaylarının birleşimi koteget demetini verecektir. T*U =
UpçuTp*U ile göstereceğimiz koteğet demetinin türevlenebilir bir
w(p) = aı(p) dxııp +------+ an(p) dxn\v
kesitine U üzerinde bir türevlenebilir 1-form diyeceğiz.
Benzer şekilde değişmeli fc-tensörlerin oluşturduğu Altfc(T*U) vektör uzay­
larının birleşimlerini değişmeli k-tensör demeti olarak adlandıracağız. Bu de­
metin türevlenebilir
u(P )=
Yİ
aiı>•" ,ik (P) dxiı\p ^■■■A dxik\p
1<iıO-<ifc<n
kesitine U üzerinde türevlenebilir bir k-form denir. Tüm fc-formlarm uzayı
ise Qk(U) ile gösterilir. Değişmeli sıfır tensörler uzayı ise U üzerindeki türev­
lenebilir fonksiyonların oluşturduğu Q°(U) = C™(U) vektör uzayı olacaktır.
Noktasal olarak her Altk(T*U) vektör uzayı sonlu boyutlu olsa da Qk(U)
uzayı sonsuz boyutlu olacaktır.
d
Bu noktadan itibaren gösterimi basitleştirmek için
\p ve dxk\p yerine
dxk
d
sadece
ve dxk yazacağız.
dxk
Ö rnek 2.3.1. R3 üzerinde türevlenebilir
w ( x ,y ,z ) = x 2y dx A dy + (z —x) dy A dz + dz A dx
91
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
2-formunu ele alalım. Bu forma iki tane türevlenebilir vektör alanı yedirelim:
d
d
d
d
d
X (x ,y ,z ) = 3(x + y ) — - ex — + — ve Y ( x , V, z) 2 x z —----sın x — olmak
dy
dz
üzere R3 üzerinde
u (X , Y)(x, y, z) = 6x3yz(x + y) + (z — x)(ex sinx — 2xz) + 3(x + y) sinx,
türevlenebilir fonksiyonunu elde ederiz.
Türevlenebilir formların dış çarpımları doğrusal cebir kısmında (Bölüm 1.3)
vermiş olduğumuz noktasal çarpım ile tanımlanır: Her u € Qk(U) ve v €
Ql(U) için u A v € Qk+l(U) (u A v)(p) = u(p) A v(p), p € U, ile tanımlanır.
Eğer u ve v U üzerinde birer k ve l form ise
u A v = ( —1)klv A u
olduğu kolayca görülür.
Ö rn ek 2.3.2. u (x ,y ,z ) = (x + y) dx + y3 dy — dz
z2 dx + dy — 5xyz dz olsun. Bu durumda
ve v (x ,y ,z ) =
(u A v)(x, y, z) = (x + y — y 3 z 2) dx A dy +
(l —5xy 4 z) dy A dz + (5xyz(x + y) — z 2) dz A dx
olur. Aslında R3 üzerindeki her iki form iki tane bir formun dış çarpımına
eşittir (bkz. Alışltırma 12).
Türevlenebilir bir manifold üzerinde türevlenebilir formları tanımlamadan
önce formların fonksiyonlar altında nasıl davrandığını görelim.
2 .3 .2
G eri Ç ek m e
L : W\ ^ W 2 vektör uzayları arasında doğrusal bir fonksiyon olmak üzere
bu fonksiyonun dualini L* : W2* ^ W1* gösterelim. O halde, her f € W2*
ve v € W 1 için L*(f)(v) = f(L (v)) olur. Bu durumda U Ç Rra ve
V Ç Rm açık kümeler ve f : U ^ V türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere
bu fonksiyonun bir p € U noktasındaki türevinin, D f p : TpU ^ T^(p)V,
dualini ( D fp)* : T*(p)V ^ T*U ile gösterelim. Şimdi V üzerinde tanımlı bir
u € ü k(V ) k-formu alalım. Bu durumda
f *(u)(P)(v) = u ( f ( P))( ( D fP)(v)) ,
p € U ve v € TpU, ile R n üzerinde tanımlanan k-forma u formunun f ile
geri çekmesi denir ve f*(u) ile gösterilir. Ayrıca, geri çekme ve dış çarpım
noktasal işlemler oldukları için doğrusal cebir bölümünde görmüş olduğumuz
özelliklerden dolayı f* (u A v ) = f*(u) A f* (v ) olur.
92
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
U Ç M™ açık t e ait küme olmak üzere ve f : U ^ R türevlenebilir bir
fonksiyon olsun. Her (x\, ■■■,x n) € U için y = f (x\, ■■■,x n) ise (y ile R
üzerindeki koordinatı gösteriyoruz) v = Yİi vi
€ TpU olmak üzere
(f ’ m > ( v ) = d y ((D f )p(v)) = £
ğ fv i
i
olur. Bu 1-forma f ’nm diferansiyeli denir ve df ile gösterilir.
Bunu kullanarak geri çekme işlemini pratik bir hesaba dönüştürebiliriz:
Şimdi F : U -A V Ç Rm, x ^ F(x) = y = (fı(x), ■■■, f m(x)) türevlenebilir
bir fonksiyon ve w =
aı(y) dyı € Qk(V ) bir fc-form olsun. Bu
I=(iı <—<ik)
durumda yukarıdaki açıklamalardan dolayı
aı (y)dyı = aı (y)dyh A ■■■A dyk
ise
F*(aı(y)dyı) =
=
(aı o F)(x) F*(dyh ) A ■■■A F*(dyik)
(aı o F)(x) dfiı A ■■■A dfik
elde ederiz. Dolayısıyla, F*(w) =
aı(F(x)) dfı olur.
I=(iı< —<ik)
H a tırla tm a 2.3.3. Son olarak, eğer U, V Ç Rn ve
w = a(y)dy 1 A ■■■A dyn € Qin(V )
ise dyi
dfi = E
f
dxj ve dolayısıyla
4>*(w) = a(F(x)) J (
)
d(xı, ■■■ ,x™)
dx 1 A ■■■A dxn
olur.
Ö rnek 2.3.4. 5 1 = {(x,y, 0) € R3 x2 + y2 = 1} düzlemdeki birim çember
x dy — y dx
olmak üzere w =
€ Q(R2 —{(0,0)}) ve
2 n (x 2 + y 2)
F : R3 — S 1 ^ R2 —{(0,0)}, (x, y, z) ^ (x 2 + y 2 — 1, z)
şeklinde tanımlanan fonksiyon olsun. Bu durumda
F *(w) = (x 2 + y 2 —^ dz — z ( 2 x dx + 2 y dy) € Q(R3
2 n [(x2 + y 2 — 1 ) 2 + z 2]
S 1)
elde ederiz.
Geri çekme işleminin tanımından kolayca görüleceği gibi herhangi iki fonk­
siyonun bileşkesi için (F o G)*(w) = G*(F*(w)) olur.
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
2 .3 .3
93
M an ifold lar Ü zerin d e T ü rev len eb ilir Form lar
M atlası { ç a : Ua ^ Va } olan türevlenebilir bir manifold olsun. Bu durumda,
manifoldu
M = Ua Ua - ûa Va / x - (<fip O 1 )(x)
ve teğet demetini de
T*M
= Ua T U
-
Ua Va X M™ / ( x ,V) ~ ((<fp OÇ - 1 )(x), D (Çp OÇ - 1 )X(V))
şeklinde ifade edebiliriz. Benzer şekilde manifoldun geçiş fonksiyonlarının tü­
revlerinin duallerini kullanarak koteğet demetini
T* M
= Ua T*Ua
-
Ua Va X M™/ ( x , (D(Çp ◦ Ç - 1 ) x)*(u)) ~ U /3 OÇ - 1)(X),U)
ve geri çekme işlemini kullanarak manifold üzerindeki fc-formlarm demetini,
denklik bağıntısını benzer şekilde
(x, (D (Çp OÇ - 1 )x)*(u)) ~ ((Çp ◦ Ç - 1 )(x),w)
alarak
A ltk (M)
= U aAlÜ (Ua)
-
Ua Altk(Va)/ -
şeklinde yazabiliriz. Bu vektör demetinin türevlenebilir kesitlerine manifold
üzerindeki türevlenebilir k-formlar denir ve bu formların oluşturduğu vektör
uzayı Qk(M ) ile gösterilir.
Ö rn ek 2.3.5. f : M2 ^ M4, f ( t 1 , t 2) = (cos t 1} sin t 1} cos t2, sin t 2 ) ile tanım­
lansın. Bu fonksiyonun görüntüsünün torus olduğu kolayca görülür:
') = T 2 = { (x 1 , y 1 , x 2 ,y 2 ) G M4 | x \ + y\ = 1 = x 2 + yi,}.
xi dyi — yi dxi
i = 1 , 2 , ifadeleri T 2 üzerinde türevleriebilir 1 -formlar
2 n ( x 2 + y 2)
dt 1 A dt 2
dti
verir. Diğer taraftan, f*(ui) = —— ve dolayısıyla f* ( u 1 A u 2) =
4n 2
2n
olur. Aşağıda üç boyutlu uzay içinde çizilen torus
Ui
[(x2 + y 2 + z 2 ) + 3}2 = 16(x2 + y 2 )
denklemi ile verilir. F ( x ,y ,z ) = (y/ x 2 + y 2 —2 ,z,
) ve
\ / x 2 + y 2’ \ / x 2 + y 2
F - 1 (x 1 , y 1 , x 2 ,y 2 ) = (x 2 (2 + x{), —y 2 ( 2 + x { ),y 1 ) fonksiyonları M3 ve M4
içinde yukarıdaki denklemlerle verilen iki ayrı torus arasında bir difeomorfizmadır. F*(ui) geri çekme işlemlerini okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz.
94
T ü r e v le n e b ilir M a n ifo ld la r
Şekil 2.6: [(x2 + y2 + z2) + 3]2 = 16(x2 + y2)
S2 ü,ç boyutlu uzaydaki birim küreyi göstersin. Bu küre üzerinde
u 2-formu şu şekilde tanımlansın: Eğer u ,v € TpS 2 ise
u(p)(u, v) = (u X v) • p .
Eğer p = (x ,y ,z), u = (u 1 ,u 2 ,u 3) ve v = (v 1 ,v 2 ,v 3) olarak verilirse
u(p)(u, v) = (u2 v 3 - u 3 v 2 ,u 3 vı - u ıv 3 ,urü 2 - ^ v ı ) • (x, y, z)
olur. Bu durumda
u = x dy A dz + y dz A dx + z dx A dy
olduğunu kolayca görürüz.
2.3.4
D ış T ü rev
V C Rra açık bir küme ve u = ^
aı(x)dxı € Qk(V ) bir fc-form olsun.
I
du = E daI (x) A dxI € Qk+ 1 (V )
I
tanımlanan k + 1-forma u ’nm dış türevi denir. Dış türev işleminin sıkça
kullanılan bazı özellikleri aşağıdaki önermede verilmiştir.
Ö nerm e 2.3.7. V C Rm açık bir küm e ve k,l € N olsun.
1) Eter u 1 , u 2 € ü k(V )
d(u 1 + u 2 ) = du 1 + du 2 ’dir.
u € Qk(V )
v € Ql(V )
d(u A v) = du A v + (—1)ku A dv
eşitliği sağlanır,
dod = 0.
Kanıt : Sadece üçüncü ifadenin ispatını vereceğiz. Geri kalanını alıştırma
olarak okuyucuya bırakıyoruz. Birinci ifadeden dolayı formun
u = f (x) d x 1 A ■■■A dxk
95
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
şeklinde olduğunu kabul edebiliriz. O halde,
dw =
dx.
Z— / n 'V z
dxi A d x 1 A ■■■A dxk
olur. Bu durumda doğrudan hesap yaparak
d2 (u)
= d(du)
df
= d ( ^ d f dxi A dx 1 A ■■■A dxk J
\ i dxi
)
d2 f
= > ——-— dxj A dxi A d x 1 A ■■■A dxk
oxiox
i,j
Q2 f
> ——-— dxj A dxi I A dx 1 A^ ■■A dxk
oxiox
i,j
, i>j
q2 f
——- — dxj A dxj, | A dx 1 A —■A dxk
dxidxj
q2 f
+ I > t;— ~— dxj A dxi 1 A d x 1 A^ ■■A dxk
' ^ d xidx
i^-^j
, i<j
q2 f
> ——-— dxj A dxi 1 A dx 1 A^ ■■A dxk
^ dxidx
i^-^j
. i>j
q2 f
> ——-— dxj A dxi 1 A d x 1 A^ ■■A dxk
^ d xidx
i^-^j
, i>j
0
elde edilir ve böylece kanıt tamamlanır. □
Dış türevin tanımından Rra’nin açık bir U alt kümesi üzerinde tanımlı
bir F : U -A V Ç Rm, x A F(x) = y = (fı(x), ■■■, f m(x)) türevlenebilir bir
fonksiyon için
F*(dw) = F d a ı
I
A dyı) = J ^ F*(daı) A F*(dyı)
I
m
elde ederiz. Diğer taraftan daI =
F *(daI) =
F *(
i= 1
daI
dyi olduğundan
i= 1 dyi
daI
daI
◦ F ) F*(dyi)
dyi)
=
(
dyi
i= 1 dyi
J2
96
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
= B
daI
dyi
O
daı
F) (dfi) = Y (
—F
i=1 dyi
dxj
E
j=1 dxj
= Y d(aI—— dxj = d(aı —F ) = d(F*(aj))
j=ı
j
elde ederiz. O halde,
F *(du)
Y , d ( —*(aj)) A F*(dyı)
I
Y d(F*(aı)) A dfi
i
Y d (F*(aı )dfı)
(Önerme 2.3.7)
Y d (F*(aı dyi))
i
d(F » )
olur. Başka bir deyişle, formlar üzerindeki geri çekme ve dış türev işlemleri yer
değiştirebilir.
Dış türev, bu özelliği sayesinde manifoldlar üzerindeki formlar için de ta­
nımlanabilir: u € Qk(M ) M manifoldu üzerinde verilen bir form olsun. Eğer
fi : U1 ^ V1 ve fi : U2 ^ V2 bu manifold üzerinde iki koordinat sistemi ise
fi*(d((fi- 1 )*u)) = (fi ◦ fi - 1 ◦ fi)*(d((fi- 1 )*u))
= (fi- 1 —fi)*(fi*(d((fi- 1 )*u)))
= ( f i - 1 ◦ fi)*(d((fi ◦ f i - 1 )*u))
= ( f i - 1 ◦ fiY (du) = fi*(d ((fi- 1 )*u))
olur. Başka bir deyişle manifold üzerindeki formları herhangi bir koordinat
sistemi ile Öklit uzayına indirip, burada dış türevini aldıktan sonra tekrar aynı
koordinat sistemi ile manifolda geri çekmek iyi tanımlı bir işlemdir.
H a tırla tm a 2.3.8. Bu Önerme 2.3.7 herhangi bir manifold üzerindeki formlar
için de doğrudur (bkz. Alıştırma 15.)
M türevlenebilir n-boyutlu bir manifold ve u € Qk(M ) bu manifold
üzerinde bir k-form olsun. Eğer du = 0 ise u kapalı bir k-formdur denir.
Eğer dv = u olacak şekilde bir v € Qk - 1 (M ) (k —1)-form varsa u formuna
bir tam formdur denir. Formlar üzerinde d2 = 0 olduğundan her tam form
kapalıdır.
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
2 .3 .5
97
M an ifold larm Y ö n len d irilm esi
Vektör uzaylarının yönlendirilmesi: V sonlu boyutlu gerçel bir vektör
uzayı olsun. Bu uzayın fi 1 = {v 1 , ■■■, vn } ve fi2 = {w 1 , ■■■, wn } gibi iki sıralı
tabanı için, eğer A = [I]^ taban değiştirme matrisinin determinantı pozitif
bir sayı ise bu iki sıralı tabana denktir denir ve fi 1 ~ fi2 ile gösterilir. Eğer
fis M uzayın bir üçüncü sıralı t abanı ise [I]^ = [I [I
ve dolayısıyla
det([I]^1) = d e t([I]^ ) d e t([I]^ ) olduğundan bu bağıntı bir denklik bağıntısı­
dır. Bu bağıntının her bir denklik sınıfına vektör uzayının bir yönlendirilmesi
denir.
Yine det([I ] ^ ) = det([I]^ )d e t([I]^ ) w her bir fi = {v ı,v 2, ■■■ ,Vn}
tabanı için fi ve fi' = { - v 1 ,v 2, ■■■ ,vn} tabanları denk olmadıklarından her
gerçel vektör uzayının tam olarak iki tane yönlendirilmesi vardır.
V = {0} bir noktadan oluşan sıfır boyutlu bir vektör uzayı üzerinde de
''+ '' ve ''- '' olmak üzere iki yönlendirme tanımlayacağız. Yapay bir tanım
gibi görünse de bu tanımın çok haklı geometrik bir gerekçesi vardır: V sonlu
boyutlu gerçel vektör uzayı ve W 1 , W 2 bu uzayın V = W 1 + W 2 olacak
şekilde alt uzayları olsun. Her üç uzayın da yönlendirilmiş olduğunu düşünelim.
W 1 fi W 2 ara kesit vektör uzayının doğal bir yönlendirilmesi var mıdır?
İlk önce W 1 f W 2 ara kesit vektör uzayının en az bir boyutlu olduğunu
ve W 1 = V = W 2 kabul edelim. Bu ma kesit uzayının bir {v 1 ,v 2 ■■■ ,vk}
sıralı tabanını alalım. Bu tabanı W 1 ve W 2 yönlendirilmiş vektör uzaylarının
tabanlarına genişletelim:
{m , ■■■ ,uı ,v 1 , ■■■ ,vk }
W 1 uzayının ve
{v 1 , ■■■ ,v k,u l+1 , ■■■ ,un-k }
de W2 uzayının yönlü ta b a la rı olsun (bu durumda V n-boyutlu bir uzaydır).
Eğer
{U1 , ■■■ ,Uı,v 1 , ■■■ ,vk ,Uı+1 , ■■■ ,Un-k}
tabam V uzayı üzerindeki yönlendirmeyle uyumlu ise arakesit vektör uzayını
{v1, ■■■,vk} sıralı tabanı ile yönlendirelim. Aksi halde yine
{ - U 1 , ■■■ ,u ı, - v 1 , ■■■ ,vk}
W 1 uzayının ve
{ v 1 , ■■■ ,v k, ul+1 , ■■■ , un-k }
de W 2 uzayının aynı yönlendirmeyi veren tabanları olacaktır. Fakat bu sefer
{ - U 1 , ■■■ ,Uı, - v 1 , ■■■,vk ,Uı+1 , ■■■ , -U n -k }
tabanı V uzayı üzerindeki yönlendirmeyle uyumlu olacaktır. Bu durumda ara
kesit vektör uzayını { - v 1 ,v 2, ■■■, vk} sıralı tabanı ile yönlendireceğiz.
98
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
Eğer W ı veya W 2 alt uzayı V ’ye eşit ise (diyelim ki W 2 = V olsun,
V’nin yönlendirmesiyle beraber) Wı fi W 2 = W ı olacaktır. Dolayısıyla önceki
paragrafta yazdığımız şeyler yine geçerli olacaktır.
Son olarak W 1 = V = W 2 ve dim(W1) + dim(W2) = n durumu­
nu inceleyelim. Bu durumda W 1 f W 2 = {0} veya başka bir deyişle V =
Wı ® W2 dir. Yine {uı, ••• ,uı} Wı uzayının ve {uı+ı, ■■■ ,un } de W2
uzayının yönlü tabanları olsun. Ara kesit uzayının bir tabanı olmadığı için,
{uı , ■■■, uı ,Uı+ı, ■■■, un} sıralı tabanı V uzayının yönlendirmesiyle uyumlu
değilse bu durumdan kurtulmak mümkün olmayacaktır. İşte tam da bu du­
rumu ifade etmek amacıyla tek bir noktadan oluşan vektör uzayının yönünü
tanımlamak için //+ // ve //—// işaretlerini kullanacağız: Eğer
{uı, ■■■,uı,uı+ı, ■■■,un}
sıralı tabanı V uzayının yönlendirmesiyle uyumlu ise W ı alt uzayı W 2 ile
pozitif, uyumlu değilse negatif olarak kesişiyor diyeceğiz.
Son olarak, arakesit uzayı üzerine bu şekilde koyduğumuz yönlendirme
(W]_,W2) sıralı vektör alt uzaylarının bir fonksiyonudur. Başka bir deyişle,
bu iki alt uzayın sırasını değiştirirsek ara kesit üzerindeki yön değişebilir. Do­
layısıyla, W ı ® W 2 = V durumunda W ı f W 2 = + (artı) olduğu halde
W 2 f W ı = — (eksi) olabilir. Aslında, eğer dim V = n = l + (n — l) =
dim W ı + dim W 2 ise
W2 f Wı = (—l ) ı(n-ı) Wı f W2
çünkü {u,ı+ı ■■■, un, u ı , ■■■,u ı} sıralı tabanından {uı , ■■■,uı, uı+ı ■■■, un}
sıralı tabanına geçmek için tam olarak l(n —l) tane ardışık ikilinin yer değiştir­
mesi gerekir.
Örnek 2.3.9. Her karmaştk vektör uzayının gerçel uzay olarak ele alındığında
doğal bir yönlendirilmesi vardır ve bu sayede karmaşık manifoldlar türevlene­
bilir manifoldlar içinde özel bir yere sahiptirler. Bunu şöyle açıklayalım: V
sonlu boyutlu bir karmaşık vektör uzayı olsun. /3 = {vı , ■■■,vn } uzayın sıralı
karmaşık bir tabam ise Ş r = {vı ,iv ı , ■■■ ,vn ,ivn} aynı uzayın sıralı gerçel
bir tabanı olur. Ş / = {uı , ■■■,un } aynı uzayın sıralı başka bir karmaşık tabam
at
olsun. A = [I]■a karmaşık taban değiştirme matrisinin her a j bileşeni yerine
2 x 2-lik
( Re(aij) —Im (aij)
a ij
V Im (aij) Re(aij)
a matrisine eşit
matrisi yazarak elde edeceğimiz 2 n x 2 n-lik matris Ar = [I]aR
olacaktır. Bu matrisin determinantının || det(A)||2 olduğunu şu şekilde göre­
biliriz. Yukarıdaki verdiğimiz 2 x 2-lik matrislerin oluşturduğu halka, diyelim ki
R ile gösterilsin, karmaşık sayılar halkasına izomorfiktir. Ayrıca, bu halkanın
(0
° )
- aeR
99
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
tipindeki elemanlarının oluşturduğu alt halkası ise gerçel sayılar halkasına izo­
morfiktir. A matrisinin determinantım hesaplamak için satır ve sütun işlemleri
yapalım. Matrisin tersi olduğu için sonunda bu matrisi
(
1 0
0 1
...
...
y 0 0 ...
0\
0
det(A) )
matrisine dönüştürebiliriz. Bu matris işlemlerinin karşılıklarım 2n x 2n-lik
Ar matrisine uygularsak sağ alt köşedeki 2 x 2 -lik kısmı
( Ee(det(A))
Im(det(A))
-Im (d e t(A )) )
Ee(det(A)) J
ve geri kalan kısmı birim matris olan matrisi elde ederiz. Dolayısıyla, Ar
matrisinin determinantı || det(A )||2 > 0 olur.
Sonuç olarak V karmaşık vektör uzayının herhangi bir sıralı karmaşık fi =
{ v ı , ... ,vn } tabanına karşılık gelen [Ör = { v \,iv ı , ... ,vn,ivn } gerçel sıralı
tabanının gerçel vektör uzayına verdiği yönlendirme başlangıçta seçtiğimiz fi =
{vı , ... ,vn } tabanından bağımsızdır. Bu nedenle bu yönlendirmeye karmaşık
yapının verdiği kanonik yönlendirme diyeceğiz. Karmaşık bir vektör uzayının
her karmaşık alt uzayının da kanonik bir yönlendirmesi olacaktır. Bunun bir
sonucu olarak da V = W ı ® W 2 koşulunu sağlayan her Wı, W 2 karmaşık
alt uzayları pozitif olarak kesişecektir.
M anifoldların yönlendirilmesi:
Verilen bir manifoldun yönlendirilmesi ile, bu manifoldun her noktasındaki
teğet uzayının, noktaya göre değişimi sürekli olan, bir yönlendirmesini seçmek
olarak tanımlayabiliriz. Teğet uzayları üzerindeki yönlendirmenin noktaya göre
sürekli olmasını ise şu şekilde ifade edeceğiz: M türevlenebilir bir manifold
olsun. Eğer bu manifold üzerinde her a, fi € A ve her p € p a (Ua fi Uş) için
det(D(p—1 o pş)p) > 0 olacak şekilde bir {p a : Ua
Va }a&^ atlası varsa
M manifolduna yönlendirilebilir manifold denir. M bu atlası ile yönlendiri­
lebilir manifold olsun ve p € M bir nokta olsun, p € Ua olacak şekilde bir
koordinat sistemi seçelim. p a : Ua ^ Va Ç Rn, p a (p) = (xı (p),... ,x n(p)),
d
d
ise {— , ... , — } onan
sıralı tabanı
hauanı TpM
Tpı
için bir yönlendirme verir. Koordidx ı
dXn
nat değişim fonksiyonlarının pozitif determinantlı olmasından dolayı p € M
noktasını içeren her koordinat sistemi bu noktada aynı yönlendirmeyi verecek­
tir. Rn ’nin her açık kümesi sadece tek bir koordinat sistemi örtülebileceği için
yönlendirilebilir manifoldlardır.
Bağlantılı her manifold en fazla iki farklı yönlendirmeye sahiptir (bkz. Alış­
tırma 16).
100
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
Ö rnek 2.3.10. Tüm küreler yönlendirilebilir manifoldlardır. Aslında türevle­
nebilir bir manifoldu hem kendileri hem de ara kesitleri bağlantılı iki koordinat
sistemi ile örtülebiliyorsa bu manifold yönlendirilebilirdir. Çünkü eğer koordi­
nat değişim fonksiyonunun türevinin determinantı negatif ise (ara kesit bağlan­
tılı olduğu için her noktada negatif olacaktır) koordinat sistemlerinden birinin
bir koordinat fonksiyonunu — 1 ile çarpmak koordinat değişim fonksiyonunun
türevinin determinantını pozitif yapacaktır.
Yönlendirilebilir manifoldlarm çarpımlarının da yönlendirilebilir olduğu­
nun gösterilmesini okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 20).
Dolayısıyla, sonlu tane kürenin çarpımı da yönlendirilebilir bir manifolddur.
Ö rnek 2.3.11. Karmaşık manifoldlarm doğal yönlendirmeleri vardır ve do­
layısıyla her karmaşık manifoldlar yönlendirilebilirdir (bkz. Örnek 2.3.9).
Diğer taraftan gerçel projektif uzaylar içinde sadece tek boyutlu olanlar
yönlendirilebilir manifoldlardır. Bunu kanıtlayabilmek için biraz hazırlık yap­
mamız gerekiyor. Aşağıdaki sonuç yönlendirilebilen manifoldlarm bir karakterizasyonunu vermektedir.
Teorem 2.3.12. Boyutu n olan türevlenebilir bir M manifoldunun yönlen­
dirilebilir olması için gerek ve yeter koşul M üzerinde hiç bir noktada sıfır
olmayan bir w € Qn(M ) formunun var olmasıdır.
Kanıt : İlk önce M manifoldunun yönlendirilebilir olduğunu kabul edelim
ve {p a : Ua ^ VOjagA yönlendirmeyi veren bir ati as olsun. Rn üzerinde
v = d x 1 A ••• A dxn formunu düşünelim. Bu durumda her p € Ua fi Uş
noktası ve bu noktadaki teğet uzayının her {v1, ■■■ ,vn} sıralı tabanı için
T*a iv ı ■ ■■
, vn)
ve
p*ş (v )(vı ■■■ , vn)
aynı işaretli olacaktır. Bu
T*a(v) diferansiyel formlarını bu atlas ile uyumlu bir birimin ayrışımı, {pa :
M ^ [0,1]} ile toplayarak elde edeceğimiz w =
pa wa formu manifoldun
a
hiç bir noktasında sıfır olmayacaktır.
Şimdi de manifold üzerinde hiç bir noktada sıfır olmayan bir w n-formu
olduğunu kabul edelim. Manifoldun verilen her p € M noktası etrafındaki
küçük bir yuvarda tanımlı öyle bir
q ^ f(q) = (xı(q), ■■■ ,x,n(q))
•
•
,. , d
d
koordinat sistemi seçelim kı w(—— , ■■■, —— ) > 0 olsun. Bu şekilde oluştu­
dxı
oxr
rulan atlas M üzerinde bir yönlendirme verecektir. □
i t
Aslında yukarıdaki kanıt yönlendirilebilir bir manifold üzerinde yönlendir­
me seçmek ile bu manifold üzerinde sıfırı olmayan en yüksek boyutlu bir form
seçmenin aynı şey olduğunu göstermektedir, w sıfırı olmayan bir form ise
her teğet uzayının bu form altında pozitif sayı veren sıralı tabanını seçerek
d urumda
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
101
manifold üzerinde yönlendirme seçebiliriz. Yönlendirilebilir ve bağlantılı her
manifold üzerinde tam olarak iki tane yönlendirme olduğu açıktır (bkz. Alış­
tırma 16). Üzerinde bir yönlendirilme seçilmiş manifoldlara yönlendirilmiş manifoldlar diyeceğiz. M yönlendirilmiş bir manifold ise —M ile aynı manifoldu
diğer yönlendirmesiyle göstereceğiz.
M ve N yönlendirilebilen n -boyutlu iki manifold olsun. Bu manifoldlar
arasındaki bir 0 : M ^ N fonksiyonun yerel difeomorfizma olması için gerek
ve yeter koşul M üzerinde hiç bir noktada sıfırı olmayan bir w € Qn (N ) formu
için 0*(w) € Qn (M ) formunun hiç sıfırı olmamasıdır. (Bkz. Alıştırma 19).
İki yönlendirilmiş manifold arasındaki bir 0 : M ^ N yerel difeomorfizması M üzerindeki yönlendirmeyi N üzerindeki yönlendirmeye taşıyorsa
0 : M ^ N yerel difeomorAzmasına yön koruyan denir. Eğer manifoldlarm
üzerindeki yönlendirmeler vm € Qn (M ) ve vn € Qn (N ) gibi iki tane 2-form
yardımı ile veriliyorsa 0 bu yerel difeomorfizmanm yön koruyan olması için
gerek ve yeter şart 0*(v n ) = f (x ) vm olacak şekiİde f : M ^ (0, rc>) bir
fonksiyonun var olmasıdır.
Örnek 2.3.13. Möbius Şeridi, M B , yönlendirilemez bir manifolddur. Bunu
görmek için, M B üzerinde bir w 2-formu alalım. M B bir bölüm manifoldu
olarak görebiliriz:
R x (0 ,1)/(x, y) ~ (x + 1,1 —y) , (x,y) € R x (0,1).
Bu durumda, eğer F : R x (0,1) ^ M B bölüm fonksiyonu ise F*(w) bir
2-form olacaktır. F*(w) = f (x,y) dx A dy formu şeklinde yazalım. Diğer
taraftan F *(w) 2 -formu (x,y) ^ (x + 1,1 —y) dönüşümü altında değişmez
olacağı için f (x,y) fonksiyonu f (x + 1,1 —y) = —f (x,y) simetrisine de
sahip olmalıdır. Dolayısıyla, bu fonksiyon bir (a,b) noktasında pozitif (veya
negatif) değer alıyorsa (a + 1,1 —b) noktasında da negatif (veya pozitif) değer
alacaktır, f (R x (0,1)) bağlantılı olacağından sıfır noktasını içeren bir aralık
olmak zorundadır. Dolayısıyla, w formunun en az bir sıfırı vardır. O halde,
M B yönlendirilemez bir manifolddur. Elemen hemen aynı kanıt M B x Rn
çarpım manifoldunun da yönlendirilemez olduğunu gösterir.
Aslında biraz daha fazlasını kanıtlamış durumdayız: Eğer türevlenebilir nboyutlu bir M manifoldu M B x Rn-2,yi bir alt manifold olarak içeriyorsa
bu manifold üzerindeki her n-formunun bu alt manifold üzerinde en az bir sıfı­
rı olacaktır. Dolayısıyla, M yönlendirilemez bir manifolddur. Örneğin, gerçel
projektif uzay Möbius şeridini bir alt manifold olarak içerdiği için yönlendiri­
lemez bir manifolddur.
Benzer bir şekilde, M yönlendirilemez bir manifold olmak üzere her M x N
çarpım manifoldu da yönlendirilemez bir manifolddur (bkz. Alıştırma 20).
Örnek 2.3.14 (Örtü Uzayları). G grubu türevlenebilir ve yönlendirilmiş M
manifoldu üzerinde difeomorfizmalarla serbest ve düzgün süreksiz bir şekilde
etki etsin, öyle ki bölüm uzayı da manifold olsun (bölüm uzayı Hausdorff ise
102
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
üzerinde doğal bir türevlenebilir yapı olacaktır). Eğer G grubunun içinde­
ki her difeomorfizma M üzerindeki yönü korursa bölüm manifoldu üzerinde
doğal bir yönlendirme vardır ve bölüm fonksiyonu bu yönlendirmeyi korur. Eğer
bazı g € G elemanları yönü korumazsa (ters çevirirse) bölüm manifoldu yönlendirilemez bir manifold olur (bkz. Alıştırma 21).
F : Rn ^ Rn F (xı, ••• ,x n) = (—x 1, ■■■ , - x n) ters kutupsal difeomorfizmasmı düşünelim, w = d x 1 A ■■■ A dxn formu olmak üzere F*(w) =
(—l)n w olduğu kolayca görülür. Dolayısıyla bu fonksiyon sadece çift boyutlu
Oklit uzaylarında yönü korur.
Benzer şekilde, Rn — {0} üzerinde tanımlı kapalı (bkz. Alıştırma 22 ve
Ünite 5, Alıştırma 8 )
Wgn—l
formunun
re üzerinde
olduğu için
Dolayısıyla
foldlardır.
E ( —ı y - l x<
i= 1
d x 1 A ■■■A dxi - 1 A dxi+ 1 ■■■A dxn
(xf +— + x ‘nyn/2
S n - 1 küresine kısıtlanışının hiç sıfırı yoktur ve dolayısıyla kü­
bir yönlendirme verir. Fakat bu sefer, F*(wSn -ı) = (—1)n wSn-ı
ters kutupsal fonksiyon sadece tek boyutlu kürelerde yönü korur.
sadece tek boyutlu gerçel projektif uzaylar yönlendirilebilir mani-
Ö rnek 2.3.15 (Lens Uzayları). Üç boyutlu küreyi iki boyutlu karmaşık birim
kürenin sınırı olarak görelim: S 3 = {(z 1 ,z 2 ) € C2 \ ||(z1,z 2)|| = 1} p ve q
aralarında asal pozitif tam sayılar ve f = e2m/p olsun. Bu durumda W =<
g > sonlu devirli grubu S 3 üzerinde serbest bir şekilde etki eder: g(z 1 , z 1 ) =
(fz 1 , f qz 2 ). Grup sonlu olduğu için bölüm uzayı türevlenebilir bir manifolddur.
Grup etkisinin yönü koruduğu kolayca görülebilir. Dolayısıyla, bölüm manifoldu
da S 3 üzerindeki yönlendirme sayesinde yönlü bir manifold olur. Aslında,
g*(wS 3 ) = wS 3 olur ve dolayısıyla bu form bölüm uzayı üzerinde de hiç bir
noktada sıfırı olmayan bir üç form verir. Bu yönlendirilmiş üç boyutlu bölüm
manifolduna Lens uzayı denir ve L(p, q) ile gösterilir.
F : S 3 ^ S 3, (z 1 ,z 2 ) ^ (z 1 ,z 2 ) difeomorfizması yönü ters çevirir ve
ayrıca (F o g o F - 1 )(z 1 , z 2 ) = ( fz 1 , f p-q z 2 ) olur. Başka bir deyişle, üç boyutlu
küre üzerindeki F difeomorfizması —L(p,q) ile L(p,p — q) arasında yönü,
koruyan bir difeomorfizma verir.
Bu bölümü aşağıdaki sonuçla bitireceğiz.
Teorem 2.3.16. M n-boyutlu yönlendirilebilir bir manifold, f : M ^ N
türevlenebilir bir fonksiyon ve p € N bir düzgün değer ise f - 1 (p) yönlendi­
rilebilir alt manifolddur.
Kanıt : L = f - 1 (p) boş küme olmasın. Her q € L için D ( f ) q : TqM ^
TpN türev fonksiyonun çekirdeği TqL teğet uzayıdır. Manifoldun teğet de­
metini uygun N q C TqM bir
uzay olmak üzere TqM = TqL ® N q
şeklinde yazalım (örneğin, TqM vektör uzayı üzerine bir iç çarpım koyup
103
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
N q Ç TqM alt uzayını TqL alt uzayının dik tümleyeni olarak seçebiliriz). Bu
durumda ( D f) q : Nq ^ TpN bir izomorfizma olacaktır. TpN teğet uzayı­
nın {uk+ı, ■■■ ,un } gibi bir yönlendirmesini seçelim. O zaman, bu izomor­
fizma yardımıyla N q vektör uzayı üzerine {vk+ı = ( D f) q(Uk+ı), ■■■ ,vn =
( D f) q(un)} yönlendirmesini koyabiliriz. Son olarak TqL uzayı üzerine bir
{vı , ■■■,vk} yönlendirmesi koyalım öyle ki, {vı , ■■■, Vk,Vk+ı, ■■■, vn} sıralı
tabanı da TqM = TqL ® Nq üzerindeki yönlendirme olsun. Bu işlem noktasal
olsa da aslında bir koordinat komşuluğunda sürekli bir şekilde de yapılabilir:
Uygun koordinat değişimleri altında
f : Rn ^ Rn_k, (xı, ■■■ ,Xn) ^ (xk+l, ■■■ ,Xn)
şeklinde görülecektir. Bu durumda Ui
— I ve vi
Oxi p
—— Iq alarak kanıtı
dxi
bitirebiliriz. □
2 .3 .6
S tok es T eorem i
Stokes Teoremi en kaba anlamıyla, bir manifoldun içinde olanları anlamak için
bu manifoldun sınırında olanları anlamanın yeterli olduğunu ifade etmektedir.
Bu teoreminin en çok bilinen hali Analizin Temel Teoremi’dir: f : [a, b] ^ R
türevi sürekli bir fonksiyon ise
f f '(x) dx = f (b) - f (a)
Ja
olur. Başka bir deyişle, dw = f ' (x) dx 1-formunun yine 1-boyutlu I =
[a, b] yönlendirilmiş manifoldu üzerindeki integrali, w = f (x) 0-formunun bu
manifoldun sınırını oluşturan 0-boyutlu d I = {b+,a- } manifoldu üzerindeki
integraline eşittir:
[ dw = t f (x) dx = f (b) - f (a) = V f (x) = t w .
Jl
Ja
xeQI
Jdl
İfadesini yukarıda vermiş olduğumuz Stokes Teoremi’nin özü ifadesinde geçen
terimleri doğru tanımlamaktan ibarettir. Şimdi bu işi dikkatli bir şekilde yap­
maya çalışacağız.
M anifold ü zerinde İn teg ral: U Ç Rn açık t e küme ve w € Qn (U) olsun.
Eğer bu formun sıfırdan farklı olduğu noktalar kümesi,
supp(w) = {p € U I w(p) = 0} ,
tıkız bir kapanışa sahipse bu forma tıkız bir kümede desteklenen form denir.
Bu formların Qn (U) içinde oluşturduğu küme bir alt uzaydır ve &n(U) ile
gösterilir. U üzerindeki her n-form w = f (p) dxı /\ ■■■A.dxn olarak yazılabildiği
104
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
için sup(w) = {p € U | f (p) = 0} olacaktır. Bu durumda w formunun U
açık kümesi üzerindeki integrali
w
I f (p) dxı A ■■■A dxn =
f (x\, ■■■, x n) d xı dx 2 ■■■dxn
U
JU
U
Riemann integrali olarak tanımlanır. Formun sıfırdan farklı olduğu küme tıkız
bir kümenin içinde kaldığı için bu bir belirli integraldir ve sonuç sonlu bir sayı
olacaktır.
Integralin bu şekilde tanımlanmasının nedeni Rn üzerinde standart yön­
d
} sıralı tabanı ile verilmesidir. Başka bir deyişle,
lendirmenin {— ■
dxn
{ 9xı ’
formlar değişkenlerin sıralamasına duyarlı oldukları için integralleri de ancak
yönlendirilmiş manifoldlarda tanımlanabilir.
H a tırla tm a 2.3.17. Riemann integralinde değişkenlerin sırasını istediğimiz
gibi değiştirebiliriz: {iı , ■■■, in } = {1, ■■■,n} olmak üzere
/ f(p) dxı ■■■dxn = / f(p) dxh ■■■dxin .
JU
Ju
Diğer taraftan, yukarıdaki tanımda kullanılan w formunun
w = f (p) d xı A ■■■A dxn
açılımındaki koordinatlarının sırası önemlidir. Örneğin, w € ^ ( R 2) durumun­
da
( - f (xı , x 2 )) dxı A dx 2
f (xı , x 2) dx 2 A dx\
R2
R2
/
f (xı , x 2) dxı dx 2
olur.
U, V Ç Rn açık kümeler, f = ( f ı , ■■■, f n) : U ^ V yönü koruyan bir
difeomorfizma ve w = f (p) dxı A ■■■A dxn € Qn (V ) olsun. Bu durumda
Hatırlatma 2.3.3’den dolayı
f *(w)
f ( f( p))
d ( f ı, ■■■, f n)
d xı A ■■■A dxn
d (xı, ■■■ ,xn)
olacağından
{ f *(w) = f w
U
JV
eşitliğini elde ederiz. Başka bir deyişle yönü koruyan bir difeomorfizma ile formu
geri çekmek (koordinat sistemini değiştirmek) integralin değerini değiştirmez.
105
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
T anım 2.3.18. M n-boyutlu yönlendirilmiş bir manifold ve w € &n(M)
olsun. Ayrıca { v a : Ua ^ Va Ç Rra}aeA bu yönlendirmeyi veren bir atlas ve
{pa : M ^ [0,1]} bu açık örtü ile uyumlu bir birimin ayrışımı olsun. w ’nm
M manifoldu üzerindeki integrali
w=
( ^ a 1)*(pa(p) w)
aeA JVa
olarak tanımlanır.
Integralini aldığımız formun sıfırdan farklı olduğu kümenin kapanışı tıkız
olduğu için yukarıdaki toplam aslında sonlu bir toplamdır. Yine aynı neden­
den toplamın her terimi sonlu bir sayıdır. Integralin iyi tanımlı olabilmesi için
bu tanımın seçilen atlas ve onunla uyumlu birimin ayrışımından bağımsız ol­
duğunun gösterilmesi gerekmektedir. Aynı yönlendirmeyi veren başka bir atlas
verildiğinde bu iki atlasın açık kümelerini içeren atlası göz önüne alalım. Bu
iki atlasın açık örtüleriyle uyumlu olan birimin ayrışımları bu yeni atlasın açık
örtüsüyle de uyumlu olacaktır. O halde, integralin iyi tanımlı olduğunu göster­
mek, { v a : Ua ^ Va Ç Rn }a eA atlasıyla uyumlu bir başka {ga : M ^ [0,1]}
birimin ayrışımı için
Y
[ (V— )*(Pa(p) w) = Y
[ (V- 1 )*(Qa(p) w)
aeA ^ Va
aeA ^ Va
olduğunu kanıtlamaya denk olacaktır:
(V- 1 )*(Pa(p) w)
Y
/ (V-1 )*(E ^ (P)) Pa(P) W)
aeA • Va
fieA
Y
/
Y (V - 1 )*(Qö(p) Pa (p) w)
aeA , Va fieA
Y İ
(V - l )*(Qp(p) Pa(p) w)
a,fieA JVa
Y
l (V - l)*(Qp(p) Pa(p) w)
a,/3eA J Vs
Y
l
Y (V- 1 Y (Q/İ (p ) Pa(p) w)
t Y JVs
PeA
Vs aeA
(V- 1 )*((Y Pa(p))
aeA
(V - l Y (Qp(p) w)
(p) w)
106
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
Bu çıkarımdaki ilk (benzer şekilde son) eşitlik
Qf (p) = 1 ifadesinin
sonucudur, ikinci ve altıncı eşitlik geri çekme işleminin toplamsal olmasından
elde edilmiştir. Benzer şekilde üçüncü ve beşinci eşitlikler integralin toplamsallığmm sonucudur. Dördüncü eşitlik ise integrali alman formun yönü koruyan
(<pa ◦ P- 1 ) :Pf(UaH Uf) ^ Pa (Ua H Uf) difeomorfizması ile geri çekmesi ile
elde edilmiştir (Qf (p) pa (p) w formu sadece Ua H Uf açık kümesi içinde
sıfırdan farklı değer alabilir).
Sıfır B o y u tlu M anifold Ü zerin d e İntegral: Sıfır boyutlu bir manifold
ayrık noktalar kümesidir (bkz. Hatırlatma 2.1.1). Böyle bir manifold üzerinde
yönlendirme ise her noktaya "+" veya " —" işareti koymak dem ektir: a :
M ^ {+, —}. Eğer a(p) = + ise p+ (veya a(p) = — ise p~) yazacağız.
Bu manifoldun sadece tıkız bir kümesi üzerinde sıfırdan farklı değerler alan bir
f : M ^ R 0-formunun (fonksiyonunun) integrali ise
/ f = ^ a (p) f (p)
Jm
p&m
olarak tanımlanır. Ayrık bir kümenin tıkız alt kümeleri sonlu olduğundan bu
toplam da sonlu bir toplamdır.
Ö rnek 2.3.19. iki elemanh M = {a, b} kümesi üzerine dört farklı yönlen­
dirme koyabiliriz: M 1 ={a+,b+}, M 2 = {a+,b~}, M 3 = {a~,b+} ve son
olarak M 4 = {a~,b~}.
Sınırlı M anifoldlar:
Boyutu n olan yarı Öklit uzayı
H™ = {(xı,X 2 , ■■■,Xn) e Rn I Xı < 0}
olarak tanımlanır. Bu alt uzayın Rn içindeki sınırı ise
9H”- = {(xı, X2 , ■■■ , Xn) e Rn I Xı = 0 }
ile gösterilir.
Topolojik manifold tanımına benzer bir şekilde, Hausdorff ve ikinci sayıla­
bilir bir M uzayı, her biri Hra’nin açık bir alt kümesine homeomorfik olan
açık alt kümelerinin birleşimi olarak yazılabiliyorsa M ’e n-boyutlu sınırlı to­
polojik manifold denir. Bu homeomorfizmalar kümesini yine {pa : Ua ^ Va}
ile göstereceğiz ve M topolojik sınırlı manifoldunun bir topolojik atlası diye
adlandıracağız. Eğer bu atlasın her p a: Ua ^ Va ve P f : Uf ^ Vf koordinat
sistemi için, geçiş fonksiyonu
P f OP - 1 : Pa(Ua H U f) ^ P f (Ua H Uf),
Rn ’nin açık kümelerinin bir türevlenebilir fonksiyonuna genişletilebiliyorsa bu
atlasa türevlenebilir bir atlastır diyeceğiz. M manifoldunun sınırı
{p e M | bazı a için p e Ua ve Pa(p) = (0, X2 , ■■■, Xn)}
kümesi olarak tanımlanır ve d M ile gösterilir.
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
107
Ö nerm e 2.3.20. Boyutu n olan sınırlı bir manifoldun sının iyi tanımlıdır
ve n — 1-boyutlu bir manifolddur.
Kanıt : Önce önermenin ilk kısmının doğru olmadığını kabul edelim. Diğer
bir deyişle, bir koordinat komşuluğuna göre sınırda olan bir nokta bir başka
koordinat komşuluğunda sınır noktası olmasın. O halde elimizde şunlarm ol­
duğunu kabul edebiliriz: U,V Ç Rn iki açık küme olmak üz ere bir f : U nH n ^
V n Hn homeomorfizma olsun. Ayrıca, F : U ^ V ve G : V ^ U gibi iki
türevlenebilir fonksiyon vardır öyle ki F\UnHn = f ve G\VnHn = f -1 ’dir. Son
olarak
f (p)= q = (yı,V 2 , • • ,yn) £ V n dHn
olacak şekilde p = (0, x 2, • • • , x n) £ U n d Hn bir noktası vardır. O halde, y 1 <
0 olmalıdır. Diğer taraftan, U n Hn üzerinde G o F = id olduğu için DF(p)
türev fonksiyonu bir izomorfizmadır. Dolayısıyla, Ters Fonksiyon Teoremi bize
F fonksiyonunun p noktası etrafında bir difeomorfizma olduğunu söyler.
Fonksiyon sürekli olduğu için p noktasının bir açık komşuluğu F altında
V n dHn kümesinin iç bölgesine gönderilir. Başka bir deyişle, f - 1 fonksiyonu
ilk koordinatı negatif olan bazı noktaları ilk koordinatı pozitif olan noktalara
gönderir. Bu çelişki önermenin ilk kısmının kanıtını tamamlar.
Sınırın bir manifold olduğunu ise şu şekilde görebiliriz. Türevlenebilir F ve
G fonksiyonlarının sınırdaki noktalar etrafında birer difeomorfizma olduğunu
yukarıda gördük. Ayrıca F(U n dHn) = f (U n dHn) Ç V n dHn olduğu­
nu da biliyoruz. O halde, F\Unmn fonksiyonu manifoldun sınırı için ihtiyaç
duyduğumuz koordinat fonksiyonlarını verir. □
Bu önerme hem manifoldun sınırının iyi tanımlı olduğunu hem de bu kümenin
(n — 1)-boyutlu bir manifold olduğunu gösterir. Bu manifolda M ’nin sınırı
denir ve d M ile gösterilir.
Ö rn ek 2.3.21. Rn içindeki birim yuvarın sının S n - 1 küresidir.
Ö rn ek 2.3.22. Bir manifoldun sınırı, sınırı olmayan bir manifolddur.
Sınırlı manifoldlarm sınırlarındaki noktaların da teğet uzayları vardır. Bunu
şu şekilde görebiliriz. Aslında teğet uzayının iyi tanımlı olması konusunda pro­
blem olabilecek tek konu, sınırdaki noktaların koordinat sistemleri arasındaki
geçiş fonksiyonu dHn uzayının bir açık kümesinde tanımlıyken, bu fonksiyo­
nun tüm Öklit uzayı içindeki bir açık kümeye genişlemesinin alınarak teğet
uzayının bu genişleme yardımıyla tanımlanıyor olmasıdır. Fakat bir geçiş fonk­
siyonunun birden fazla genişlemesi olsa da, bunların dHn içinde kalan her
noktadaki türevleri aynı olacaktır. Açıkça söylemek gerekirse, genişlemelerin
herhangi bir sınır noktasındaki türevi sınırın üzerindeki ve ilk koordinatın ne­
gatif olduğu noktalardaki değerleri tarafından tamamen belirlenir. Başka bir
deyişle, geçiş fonksiyonun ilk koordinatının pozitif olduğu noktalara nasıl genişletildiği fonksiyonun sınır noktalarındaki türevini etkilemez.
108
T ü r e v le n e b ilir M a ııifo ld la r
Sınırı olan ınanifoldlarm yönlendirilmesi de sınırı olmayan manifoldlardaki
gibi yapılır. Yönlendirilmiş sınırlı bir ınanifoldım sınırı doğal bir yönlendirmeye
X = [a, b\ kapalı aralığı bir boyutlu ve sınırlı bir manifolddıır. Analizin Temel Teoremi’nin bize önerdiği üzere bu ınanifoldım üzerindeki
yönlendirme lıer noktada —— vektörü ile verilirse bu ınanifoldım sınırındaki
dx
yönlendirme {a , b+}
p € d M ve bu
p : U N V Ç Hn
N (p) ile TpM
teğet uzayındaki dış normal vektörü gösterelim: Başka bir deyişle, q = p(p)
olmak üzere
N (P) = (D p 1)(q)( - X )
olsun. Ş = {v 1 , ■■■, vn - 1 } Tpd M vektör uzayının bir sıralı tabanı olmak üzere
eğer Ş = [îN(p),v 1 , ■■■,vn - 1 } TpM vektör uzayının yönlendirmesi ise sınır
manifoldunun p noktasındaki yönlendirme Ş = {v 1 , ■■■ ,vn - 1 } sıralı tabanı
ile tanımlanacaktır.
Şekil 2.7: Manifoldurı iki ucundaki yönlendirmelerin ters yönlü olduğuna dikkat edi­
niz!
Stokes Teorem i: Artık teoremi ifade ve kanıtlamak için yeterli alt yapıyı
oluşturmuş durumdayız.
Teorem 2.3.23 (Stokes Teoremi). M türevlenebilir , n-boyutlu yönlendirilmiş
bir manifold ve u € &n- 1 (M ) tıkız destekli bir (n — 1 )-form ise
M
dw =
dM
u
eşitliği sağlanır.
Kanıt : M üzerindeki yönlendirmeyi veren {p a : Ua N Va Ç Mn }a€A
atlası ve bununla uyumlu bir {pa : M N [0,1]} birimin ayrışımı seçelim, u
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
109
formunun M manifoldu üzerindeki integrali
E
u
M
(P- 1 )*(Pa(P) u)
aeA JV°
olarak tanımlanmıştı. Şimdi u a = pa u ile ifade edilen formu tanımlayalım.
O halde, u = Yİ «e Au a ve du = Yİ agA dua olur. Integral işlemi toplamsal
olduğundan, sadece keyfi bir a € A için
/ dua = 1 Ua
JM
JdM
olduğunu göstermek teoremi kanıtlamaya yeterli olacaktır. Ayrıca, formlar bir
koordinat sistemi içinde yaşadıkları için sadece şu özel durumu incelemek yeterlidir: p : U ^ V bir koordinat sistemi, u U açık kümesi içinde kalan
tıkız bir küme dışında sıfır değeri alan bir (n — 1)-form olsun. Ayrıca, V açık
kümesini Rn veya Hn olarak seçebiliriz. O halde,
n
(p - l )*u = E ai d x 1 /\- ■■A dxi /\- ■■A dxn
i= 1
ve dolayısıyla
düi ,
(p- 1 )’ (du) = d ( ( p - 1 )'u ) = Ş 2 ( —1 )i- 1 —— d x 1 A ■■■A dxi A ■■■A dxn
dxi
i= 1
elde ederiz.
Durum 1) p(U ) = V = Rn olsun.
İM
du
=
İU
du
düi
E (—1)i 1 ~vrL dx 1 A ■■■A dxi A ■■■A dxn
n i= 1
dxi
E ( —d
i=1
n
E ( —i)
i=1
i-1
Jn dxi
i-1
în-l
(
dx 1 ■■■dxi ■■■dxn
—— dxi) d x 1 ■■■dxi ■■■dxn
™ dxi
/ (—1)i 1 /
( lim üi(x) — lim üi(x)) dx 1 ■■■dxi ■■■dxn
i~ 1
JRn- 1 xi ——
xXi —
-y—
-oo
0 .
Yukarıdaki limitlerin sıfır çıkmasının nedeni u ve dolayısıyla a(x) fonk­
siyonun tıkız bir küme dışında sıfır olmasıdır. Diğer taraftan, V kümesi dHn
110
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
ile kesişmediği için U fi d M = 0 olacaktır ve bu nedenle
dM
w
0
integrali de sıfırdır.
Durum 2) p(U ) = V = Hn olsun.
İM
dw =
dw
lu
f J\
da ■
y ' ' (—1)i-1 —— dx\
■■A dxi A ■■■A dxn
J Hn ~ 1
dxi
n
dx 1 ■■■dxi ■■■dxn
E (—ı r '
i=1
- d xi
(—1)1-1 /
d
d 1 dxı) dx 2 ■■■dxn
JRn-l J - ^ d x 1
/
( - 1 (0 , x 2, ■■■ , x n) — lim - 1 (x)) dx 2 ■■■dxn
jRn—1
x ı ^ - <x
/
-1(0, x2, ■■■ ,xn) dx 2 ■■■dxn
J Rn—1
/
- 1 (x) dx 2 A ■■■A dxn
JdHn
^
n
/
- i dx 1 A ■■■A dxi A ■■■A dxn
JdHn i = 1
IdM
w
elde edilir ve dolayısıyla kanıt tamamlanır. Sondan ikinci eşitlikteki toplamın
ilk terimi dışındaki formların tamamen sıfır olduğunu gözlemleyiniz. □
Stokes Teoremi’nin Bazı Özel Halleri ve Uygulamaları: Bu bölümün
girişinde Analizin Temel Teoremi’ni Stokes Teoremi’nin bir özel hali olarak
vermiştik.
Green Teoremi: R düzlemde sınırlı t e bölge ve bu bölgenin sınırı C =
dR olsun. R bölgesini düzlemin /3 = { -jX, gy} sıralı tabanının verdiği
yönlendirme ile düşünürsek, bu bölgenin sınırı üzerinde verdiği yönlendirme
saat yönünün tersi olan yönlendirme olacaktır. R bölgesi üzerinde tanımlı
bir w = f (x,y) dx + g(x,y) dy formunu düşünelim. Bu durumda dw =
(gx (x,y) — f y(x,y)) dx A dy olacağından Stokes Teoremi Green Teoremi’ne
111
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r ve S to k e s T e o re m i
dönüşecektir:
C
f (x , y ) dx + g(x,y) dy
=
C
R
R
u
(gx(x,y) - f y (x , y )) dx A dy
(gx(x,y) - fy(x,y)) dxdy
R bölgesi ve sınırı düzlemin standart yönlendirmesine sahiptir.
K lasik Stokes Teorem i: S
sınırı C = d S olsun. S yüzeyi üzerinde seçilen bir i t normal vektörü
ile yönlendirilsin ve bu yönlendirmeyi kullanarak sınırını da yönlendirelim. S
bölgesi yüzeyinde tanımlı bir
u = f (x, y, z) dx + g(x, y, z) dy + h(x, y, z) dz
1-formunu düşünelim. Bu durumda
du = (gx - fy ) dx A dy + (hy - gz) dy A dz + ( fz - hx) dz A dx
olacağından Stokes Teoremi klasik Stokes Teoremi’ne dönüşecektir:
C
f dx + g dy + h dz
=
C=dS
S
+
u
du
(gx - fy ) dx A dy
S
(hy - gz ) dy A dz + ( f z - hx) dz A dx .
112
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
D ivergence Teorem i: D üç boyutlu Öklit uzayında sınırı, S = d D , türevled d d
nebilir bir yüzey olan bir bölge olsun. D bölgesi uzayın standart { — , dy, d Z }
sıralı tabanı ile ve sınır yüzeyi de bununla uyumlu şekilde yönlendirilsin.
w = f (x, y, z) dy A dz + g(x, y, z) dz A dx + h(x, y, z) dx A dy
2-formunu düşünelim. Bu durumda
dw = (f x + gy + hz) dx A dy A dz
olacağından Stokes Teoremi Divergence Teoremi’ne dönüşecektir:
/ f dy A dz + g dz A dx + h dx A dy
JS
=
JSS=dD
w
/ dw
'd
/ (fx + gy + hz) dx A dy A dz
Jd
/ (fx + gy + hz) dxdydz .
Jd
2 .3 .7
D isk ve K ü ren in H acim leri
Küre ve diskin hacim formülleri iyi bilinse de pek fazla kaynakta bulunma­
maktadır. Bu nedenle bu bölümde bu hacimleri hesaplayacağız. Dn(r) ile R n
içindeki r > 0 yarıçaplı yuvarı gösterelim. Bu durumda Dn(r) yuvarının
hacmi
Hac (Dn(r)) = /
dx\ A ■■■A dxn = /
dx\ ■■■dxn
J Dn(r)
JDn(r)
olacaktır. Şimdi bu integrali hesaplayalım: ilk önce her n > 0 doğal sayısı için
Hac(Dn (r)) = An rn
olacak şekilde bir An gerçel sayısının olduğunu gösterelim. Aı = 2 (hatta,
4n
A 2 = n ve A 3 = — ) olduğunu biliyoruz. Tümevarım metodu ile kanıtı
3
yapmak için An- 1 sayısının var olduğunu kabul edelim ve bir sonrakinin
varlığını gösterelim: Aşağıdaki şekilden dolayı
pr
Hac(Dn (r))
2
J0
Hac(Dn -1 ^ r 2 - s2)) ds
pr
2An-1 /
Jo
r2
s 2) n - 1 ds
113
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r ve S to k e s T e o re m i
A(n) ile A(n —1) arasındaki ilişki
olur, s = r sin 9 değişken değişimini yaparsak
Hac(Dn(r)) = 2rn A n _ 1
rn/ 2
(cos9)n d9
0
eşitliğini elde ederiz. 0 halde,
rn/2
An = 2 A n _ 1
(cos 9)n d9
0
rn/ 2
olarak tanımlarsak kanıtı bitirmiş oluruz. Şimdi de B n =
(cos 9)n d9
0
sayısını hesaplayalım. Kolayca, B 1 = 1 ve B 2 = n/4 olduğunu görürüz.
Diğer taraftan, n > 2 için v = (cos 9)n _ 1 ve du = cos 9 d9 alarak kısmi
iııtegral hesabı yaparsak
çn/2
0
çn/2
(cos9)n d9 = (n — 1)
0
(cos 9)n_2(sin9)2 d9
elde ederiz. Son olarak (sin 9)2 = 1 —(cos 9)2 yazarak
Bn =
n —1
Bnn—2
n
bağıntısını buluruz. Bu bağıntıyı kullanarak kolayca
B 2n+1 =
(2nn!)2
(2n + 1)!
ve
B 2n =
(2n)! n
(2nn!)2 2
olduğunu görürüz. Hacimleri bulmak için An/A n _ 1 = 2Bn bağıntısını kul­
lanırsak
2 n+1nn
,
n
ve
A2n = --p
A2n+1
n!
1 • 3 • • • (2n + 1)
114
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
elde ederiz.
S n - 1 (r) ile Rn içindeki yançapı r > 0 olan küreyi gösterirsek bu
kürenin hacmi Hac(Dn(r)) fonksiyonunun r ’ye göre türevi olacaktır. Örneğin,
n 2 r4
Hac(D4(r)) =
ve Hac(S3(r)) = 2n 2 r 3 olur. Yine n-boyutlu birim diskin
2
hacmi An l n = An olurken (n — l)-boyutlu birim kürenin hacmi ise n A n
olacaktır.
Örnek 2.3.14’te ele aldığımız, S n 1 küresi üzerindeki
WSn- 1 =
22( —1T
i= 1
1xi
d x 1 A ■■■A dx i - 1 A dx i + 1 ■■■A dxn
(x 2 +------ + x n2 ) n/2
formuna tekrar dönelim. Bu form herhangi bir A € SO(n) matrisi altında
değişmezdir (bkz. Alıştırma 22):
A (Uşn- 1 ) —İXgn- 1 .
d
} sıralı tabanın­
1d x 2 ’
dxn
da +1 değerini alır. Bu noktayı ve bu sıralı tabanı SO(n) grubunun elem­
anlarıyla kürenin herhangi bir noktasına taşıyabileceğimiz için,
Ayrıca bu form T(1,0,... ,0 )Sn 1 teğet uzayının
Sn 1
&Sn—ı
Hac(Sn 1) = n A n
olacaktır. Dolayısıyla,
Wo,Rn
. l^Sn- 1
e Qn-1
nAn
n
10})
formunun birim küre üzerindeki integrali (yönlendirmeye bağlı olarak) ±1
değerini alacaktır. Aslında Stokes Teoremi’nden dolayı Rn —10} içinde kalan
her tıkız (yönlendirilmiş) M n - 1 manifoldu için
/ Wo,R n
JM
integrali sıfır veya ±1 değerini alır. Daha açıkça söylemek gerekirse, integral,
eğer orijin manifoldun sınırladığı tıkız bölgenin içindeyse ±1, dışındaysa sıfır
olur. Bu nedenle w0,R n formun a 10} C Rn alt manifoldunun geçişme formu
denir. (Bkz. sayfa 212 ve Ünite 5, Alıştırma 8.)
2.3.8
K arm aşık M an ifold lar Ü zerin d e Ö zel Form lar
K arm aşık D oğrusal U zay: zk
= x k + iyk ve
zk
=
ile beraber ele aldığımız Cn = R2n karmaşık vektör uzayı üzerinde
n
n
w = 2 ^ 2 dzk A dZk = ^2, dxk a dyk
k= 1
k= 1
xk
—
iyk
115
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r v e S to k e s T e o r e m i
türevlenebilir formunu düşünelim. Kolayca, her 0 < l < n için
^ = (2 y i -
y
dz* ı a dzkı A " ~ a dzk a dzk‘
l<kı<---<kı<n
olduğu görülür. Bu karmaşık vektör uzayı içinde l < n boyutlu bir V alt
uzayı alalım. (w 1 , ■■■, wı) V alt uzayı üzerinde doğrusal bir koordinat sistemi
olsun. L : V ^ Cn
(zı, ■■■ ,Zj, ■■■ ,Zn)
= L(wı, ■■■ ,wı)
=
(a ııwı + ■■■+ aııwı, ■■■, ainw 1 + ■■■+ alnwl)
içerme fonksiyonunun bu koordinatlardaki ifadesi olsun. Aklt... ,kl de A = ( a j )
matrisinin k ı , ■■■ , kı ’inci satırlarının oluşturduğu alt matrisi gösterelim. Bu
durumda
L*(dzj) = aıj dwı + ■■■+ aıj dwı
ve
L*(dzj) = aıj dwı + ■■■+ aıj dwı
olduğundan
L*(dzk1 A dzk1 A ^ - A dzkl A dzkl)
=
det(Ak1,... ,kl)det(Ak1,... ,kl)
dwı A dwı A ■■■A dwı A dwı
=
ıı det(Akı,... ,kl ) y2
dwı A dwı A ■■■A dwı A dwı
elde edilir. Ayrıca A matrisinin rankı l olduğundan bu alt matrislerden en
az biri için || det(Ak1;... ,kl ||2 > 0
^^^^^ılarak, bir pozitif C v > 0
sayısı için
L*(wl) = C v (^ )ı l! dwı A dwı A ■■■A dwı A dwı
elde ederiz. V karmaşık vektör uzayının koordinatlarını
wı = uı + ivı, ■■■ ,wı = uı + ivı
şeklinde yazarak 2l-boyutlu gerçel vektör uzayı olarak görebiliriz. Diğer taraf­
tan, Örnek 2.3.9’dan dolayı
{( —
duı ’ ■■■’ d—
u ı}}
V karmaşık vektör uzayının teğet uzayının bir tabanı olduğundan
d .d
d u ı ’. d u ı ’
d , d
’ duı ’. duı
116
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
kümesi aynı uzayın karmaşık yapı ile yönlendirilmiş gerçel bir tabanı olur. Ay­
rıca karmaşık türevlenebilir fonksiyonlar Cauchy-Riemann denklemlerini sağla­
dıkları için bu sıralı taban
. 0 0
{ dUı ’ dVı
d d
’ dUfl d v ı}
ile aynıdır (ayrıca bkz. Önerme 6.3.1). Sonuç olarak
d
d
d
d
L *(ul) (' duı
* - ’T
s
-’
'
’
is::,
ı
r
r)
dv
d u dvT
1
=
Cv (2 )l i!
=
dw 1 A dw 1 A • • • A dwl A dwl
( d
d
d d )
( dUı’ dVı ’ ■" ’ öUfl d V *
CV i! du 1 A dv 1 A • • • A duı A dvl
( d
d
d d )
( dUfl dVı ’ ■" ’ öUfl d V *
Cv i! > 0
=
olduğunu görürüz. Sadece doğrusal cebir kullanarak elde ettiğimiz bu bilgi­
nin karmaşık manifoldlarm geometri ve topolojisine dair çok önemli sonuçları
olacaktır. Bunun basit bir örneği aşağıdaki örnekte sunulmaktadır.
Ö rnek 2.3.24. Elde ettiğimiz pozitiflik sonucu ve Stokes Teoremi sayesinde
Cn içindeki her tıkız ve. karmaşık alt manifoldun sıfır boyutlu olduğunu göste­
receğiz: M C Cn karmaşık tıkız ve pozitif boyutlu, diyelim ki karmaşık boyutu
0 < i < n olan, bir alt manifold olsun. Bu alt manifoldu karmaşık yapısından
gelen yönlendirme ile düşünelim. Bu durumda u l formu alt manifoldun her
noktasındaki karmaşık yönlü tabanında pozitif değer alacaktır. Dolayısıyla,
Jm
ul > 0
olur. Fakat diğer taraftan u = Yön= 1 dxk A dyk = d(Yön= 1 Xk dyk) olarak
yazılabildiği için, v = YÖn= 1 Xk dyk olmak üzere, u 1 = d(v A u 1-1 ) formu
tamdır (burada i > 0 kullanılmıştır). Şimdi Stokes Teoremi’ni kullanırsak
0<
Jm
u l = i d(v A u l - 1 ) =
v A u l-1 = 0
Jm
JdM=0
çelişkisine ulaşırız. O halde, alt manifoldun boyutu 2i = 0 olmalıdır. Dolayı­
sıyla, Örnek 2.1.14 içinde incelediğimiz tıkız ve karmaşık S 1 x S3 manifoldu
karmaşık bir alt manifold olarak doğrusal karmaşık uzaya gömülemeyecektir.
K arm aşık P r o je k tif U zay: Yukarıda Cn karmaşık vektör uzayı üzerin­
de oluşturduğumuz u formunu doğrudan karmaşık projektif uzaya taşımak
117
T ü r e v le n e b ilir F o rm la r ve S to k e s T e o re m i
mümkün değildir. Karmaşık projektif uzay üzerinde doğal bir form yakalamak
için ilk önce iki boyutlu küre üzerindeki hacim formuna bakalım. Örnek 2.3.14
içinde oluşturduğumuz S 2 = C P 1 küresinin
w = x dy A d( + y d( A dx + Z dx A dy
hacim formunu
P -1 : R 2 * S 2 - { ( 0 ,0 ,- 1 ) } ,
2r
2s
1 —r 2 —s2
(r,s) * (x ,y ,Z ) = (
' 1 + r 2 + s 2 1 + r 2 + s2 ’ 1 + r 2 + s2 )
steryografik iz düşüm fonksiyonun tersiyle düzleme geri çekelim:
,
2(1 —r 2 + s2) dr — 4rs ds
2(1 — s 2 + r2) ds — 4rs dr
dx = ------- tt————— --------- , dy = —
(1 + r 2 + s 2 ) 2
(1 + r 2 + s 2 ) 2
ve
4r dr + 4s ds
(1 + r 2 + s 2 ) 2
dZ
elde ederiz. Buradan kolayca,
(P -1 ) > ) = 4
dr A ds
(1 + r 2 + s 2 ) 2
dz A dz
2 i _________
(1 + l|z||2)2
olduğunu görürüz (z = r + is yazarak). Bu form S 2 = C P 1 üzerindeki diğer
koordinat sisteminde de aynı ifadeyle verilecektir: z = 1 /w koordinat değişimi
, ı r
dw A dw
altında formumuz 2i------n—r - ^ olacaktır. Dolayısıyla karmaşık projektif
(1 + ||w||2)2
doğru üzerinde bir 2-form elde etmiş olduk. Bu formun 1/4 katma Fubini-Study
formu denir ve wfs ile gösterilir. Dolayısıyla, Fubini-Study formu yarıçapı
1/2 olan küre üzerindeki alan formudur ve
WFS
= 1
IS2 n
Karmaşık fonksiyonlar için holomorfik ve antiholomorfik dış türev dönüşüm­
leri aşağıdaki şekilde tanımlanır:
df = E
1 “ dzı
ve
df
d f = 5 2 dz^
dzi dzi ■
Bu tanım doğal bir şekilde karmaşık formlara genişletilir. Doğrudan hesap
yaparak kolayca
i
dz A dz
2 d<91og(1 + |z |2 )
WFS = 2(1 + ||z||2)2
118
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
olduğunu görürüz. Fubini-Study formunu homojen koordinatlarda da yazabi­
liriz. z = z ı / z 0 alarak
i _
i _
UFS = 2 ö91og(l + ||z ||2) = 2 dd log(l + I l zı /z 0 I I 2)
= 2 dd [1og l l (zo,zı)|2 - 1og I
N I
2].
Son olarak d<9(1og ||z0||2) = d ( ) = 0 olduğundan
zo
u fs
i _
= 2 d d log ||(zo,zı)||2
olarak yazabiliriz. Bu formu Cn+ı —{0} üzerinde yazarak
ufs
i _
= 2 dd log ||(zo,zı, ••• ,z„)||2
C P n üzerindeki Fubini-Study formunu elde ederiz. Bu ifadenin kanıtını hesap­
lamalar benzer olduğundan detayları okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz
(bkz. Alıştırma 23).
Şimdi M k C C P n karmaşık boyutu k olan bir karmaşık alt manifold
olsun. O halde, uygun bir holomorfik koordinat değişimi altında alt manifoldumuz yerel olarak, örneğin U0 içinde (z0 = 1 alarak) zi = 0 i = k + 1, • • • , n ,
eşitlikleriyle ifade edilir. Geri çekme işlemi dış türev ile yer değiştirebildiğin­
den Fubini-Study formunun M manifoldunun bu koordinat sistemi üzerindeki
ifadesi
4* (u f s ) = 2 d<91og(1 + II(zı, ••• ,zk )||2)
olacaktır.
H a tırla tm a 2.3.25. Fubuni-Study formunu n = 2 için yerel koordinat siste­
minde hesaplayalım,:
UFS
2 dm °g (l + 1|(zı , • • • , z2) ||2)
ı_
<9(1 + ||(zı, ••• ,z 2)||2) )
2 ( 1 + || (z ı, ••• , z 2 ) ||2 j
1 „ ,zı dzı + z 2 dz 2 ,
- d (-------- =--------—)
2
1 + zızı + z2z2
1 (1 + z 2 z 2 ) dzı A dzı + (1 + zızı ) dz 2 A dz 2
2
(1 + zızı + z2z2)2
i
z ı z 2 dzı A dz 2 + z2zi dz 2 A dzı
+2
(1 + zızı + z2^2)2
120
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
gösteriniz: Taylor açılımı
n
dg
g ( x ı , ••• , Xn) = g(P0) + Y
(po)(xi - ai)
i= 1 dxi
92g
+ 2 E d xi dxj (0 (xi — ai)(xj
i,j= 1
aj ) ,
olan türevlenebilir fonksiyon için
d 2g
(0 (xi - ai)
dxi dxj
ifadesi de türevlenebilir bir fonksiyondur.
7. Bu alıştırmada Teorem 2.2.6 >ı tıkız olmayan manifoldlara genişleteceğiz.
Biz kanıtın ana hatlarını sunacağız; detayları okuyucuya bırakacağız. Bu­
nu dört adımda yapacağız. Türevlenebilir n-boyutlu bir M manifoldu
alalım.
(a) Bu kısımda Poincare İzomorfizması olarak bilinen sonucun (Teo­
rem 4.4.1) kanıtının dördüncü adımındaki iddiayı ve kanıtını takip
edeceğiz. Manifold Ue ve Uo gibi iki açık kümenin birleşimi olarak
yazılabilir öyle ki,
i. Ue = UkU2 k+ 1 ve Uo = UkU2k koordinat komşuluklarının
birleşimidir;
ii. Her k = l > 0 tam sayıları için,
U2k+ı n U2 i+ı = 0 = U2k n U2 i, olur;
iii. Her k > 0 tam sayısı için, bir Vk Ç Uk ve M = UkVk
olacak şekilde bir Vk açık kümesi vardır;
iv. Her k > 0 tam sayısı için, bir 0k : M ^ Rn türevlenebilir bir
fonksiyon vardır, öyle ki 0 k\V görüntüsüne bir difeomorfizma
ve 0k(M — Uk) = {0}’dır. Ayrıca, her k = l > 0 tam sayıları
için, 0 k(Vk) n 0 ı(Vı) = 0’dir;
v. 0e = Y .k 0 2 k : M ^ Rn ve 0o = Y .k 0 2 k+ 1 : M ^ Rn olmak
üzere 0 = (0e, 0o) : M ^ R2n bir batırma fonksiyonudur.
(b) M üzerinde tanımlı, gerçel değerli türevlenebilir düzgün bir p :
M ^ R fonksiyonu vardır. Bunu şu şekilde görebiliriz: M = UnVn,
V n C Un Ç M, yerel sonlu {Un } açık kümeler ailesi için pn : M ^
[0,1], türevlenebilir fonksiyonları bulabiliriz öyle ki, p - 1 (1) = V n
ve p - 1(0) = M — Un olsun. Bu durumda p = Yİn n pn istenilen
fonksiyonu verir.
121
A lış tır m a la r
(c) ae = Yİk P2k
durumda,
= Yİk P2fc+ı fonksiyonlarını tanımlayalım. Bu
f : M ^ R2n+3 , f (p) = (0(pp),p(p),Ve(p), ao{'P)) ,
fonksiyonu bir gömme fonksiyonudur. (İpucu: Yukarıda yaptıkları­
mızdan dolayı bu fonksiyonun düzgün bir batırma fonksiyonu ol­
duğu açıktır. Fonksiyonun bire bir olduğunu ise şu şekilde göstere­
biliriz. f (p) = f (q) olsun. Eğer, bazı k 0 ,lo için, p € V2k0 ve
q € V2ı0 ise kolayca k 0 = l0 olduğu görülür. Dolayısıyla, p = q
elde edilir. Benzer şekilde p € V2k0+ 1 ve q € V2ı0 + 1 durumu da
yapılır. O halde, (p €
Vn
^ n = 2k0) ve
(q
€
olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda da, son iki koordinatı kul­
lanarak kanıtı tamamlarız.
(d) Son olarak f : M ^ R2n+3 gömme fonksiyonunun, ardı ardına
iki kere, uygun hiper alt uzayların dik iz düşüm fonksiyonları ile
bileşkesini alarak kanıtı tamamlarız. (Dik iz düşümler, bileşkeler­
inin çekirdeği (0, 0, • • • , 0,1, 0, 0) vektörünü içermeyecek şekilde
seçilmelidir.)
8. Örnek 2.1.20’de ele aldığımız $ : M (n ,n ) ^ S(n), $(Q) = QTQ, fonk­
siyonunun herhangi bir Q noktasındaki türevi
(D $ ) q : M (n ,n ) ^ S(n) ,
A ^ QTA + A TQ
ile verilir. Bunun örten olduğunu gösteriniz.
9. Möbius şeridinin R3 içine bir gömülmesini veriniz. Möbius şeridinin R2
içine gömülemeyeceğini gösteriniz.
10. Determinatı bire eşit olan n x n-matrisler kümesinin, SL(n) Ç M (n , n ),
(n 2 — 1)-boyutlu bir alt manifold ve bu alt manifoldun birim matristeki
teğet uzayının da izi sıfır olan matrislerin oluşturduğu vektör uzayı, sl(n),
olduğunu gösteriniz.
11. Örnek 2.2.7’de ele aldığımız eğrinin hiç bir alt uzaya dik iz düşümünün
düzgün bir fonksiyon olmadığını gösteriniz.
12. R3 üzerindeki her 2-formun iki tane 1-formun dış çarpımı olarak yazılabildiğini gösteriniz. R4 üzerindeki
w = dx 1 A dx 2 + dx 3 A dx 4
2-formunun iki tane 1-formun dış çarpımı olarak yazılamayacağını göste­
riniz.
13. Örnek 2.3.5’de verilen geri çekme işlemlerini tamamlayınız.
Vn
^ n = 2l0 +
122
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
14. Örnek 2.1.10 içinde R P 1 için oluşturduğumuz vektör alanının Ör­
nek 2.1.4’te verilen koordinat sistemleri yardımıyla düzlemdeki birim
çembere taşındığında çember üzerinde birim uzunlukta bir vektör alanı
oluşturduğunu gösteriniz.
15. Önerme 2.3.7’in kanıtını tamamlayınız. Bu önermenin manifoldlar üzerin­
deki türevlenebilir formlar için de doğru olduğunu gösteriniz.
16. Yönlendirilebilir ve bağlantılı her manifoldun iki farklı yönlendirmesi ol­
duğunu gösteriniz.
17. Sonlu sayıda manifoldun Kartezyen çarpımının herhangi bir noktasın­
daki teğet uzayının, çarpımı oluşturan manifoldlarm teğet uzaylarının
kartezyen çarpımına doğal olarak izomorfik olduğunu gösteriniz.
18. Her kürenin yönü ters çeviren bir difeomorfizması olduğunu gösteriniz.
Diğer taraftan, C P 2 karmaşık projektif düzleminin yönü ters çeviren
bir difeomorfizması yoktur. Bu iddiayı kanıtlamak için karmaşık projektif
düzlemin kohomoloji halka yapısını kullanabiliriz. Bunu ise 4. Ünite’de
işleyeceğimiz Poincare İzomorfizması yardımıyla yapabiliriz.
19. M ve N yönlendirilebilen n-boyutlu iki manifold ve 0 : M ^ N
herhangi bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyonun yerel difeomorfizma olması
için gerek ve yeter koşulun M üzerinde hiç bir noktada sıfırı olmayan bir
w € Qn(M ) formu için 0 *(w) € Qn (M ) formunun hiç sıfırı olmaması
olduğunu kanıtlayınız.
20. M m ve N n iki manifold olmak üzere M x N çarpım manifoldunun
yönlendirilebilir olması için gerek ve yeter koşul her ikisinin de yönlendi­
rilebilir olmasıdır. (İpucu: Herhangi bir q € N n noktası etrafında Rn’e
difeomorfik bir q € U Ç N koordinat komşuluğu alalım. Eğer M x N
yönlendirilebilir ise M x U açık kümesi de yönlendirilebilir bir manifolddur. Bu durumda M x U üzerinde hiç sıfır olmayan bir m + n form
bize M = M x {q} üzerinde hiç sıfırı olmayan bir m form verecektir.)
21. G grubu türevlenebilir ve yönlendirilmiş M manifoldu üzerinde difeomorfizmalarla serbest ve düzgün süreksiz bir şekilde etki etsin, öyle ki
bölüm uzayı da manifold olsun. Bu durumda M /G bölüm manifoldu­
nun yönlendirilebilir olması için gerek ve yeter şart G grubunun içindeki
her difeomorfizmanm M üzerindeki yönü korumasıdır.
22. Örnek 2.3.14’de Rn
Wgn—1
{0} manifoldu üzerinde tanımlanan
dx 1 A ■■■A dx i - 1 A dx i + 1 ■■■A dxn
J 2 ( - r)‘- ' x ‘
i= 1
(x2 + ■■■+ x ‘n)'n/2
formunun kapalı olduğunu ve herhangi bir A € SO(n) matrisi altında
değişmediğini gösteriniz. (Bkz. ayrıca Ünite 5, Alıştırma 8)
123
A lış tır m a la r
23. Karmaşık projektif uzay üzerindeki Fubini-Study formunun, karmaşık
projektif doğru durumunda olduğu gibi,
wfs
i _
= ^ d d log ||(zo,zı, • • • ,zn)\\2
olduğunu gösteriniz.
24. Karmaşık projektif uzay C P n’nin karmaşık boyutu m olan bir M m C
CPn karmaşık alt manifoldunu alalım. Bu durumda, wfs karmaşık
projektif uzay üzerindeki Fubini-Study formu olmak üzere
JM
m
wFS
integrali pozitif bir sayıdır. Kanıtlayınız. Ayrıca, beşinci ünitede
1
n m M wFS
pozitif sayısının bir tam sayı olduğunu göreceğiz (bkz. Ünite 5, Alıştır­
ma 15).
25. Bu alıştırmada verilen bir manifoldun yönlendirme (ikili) örtü uzayım
kuracağız: Tür evlenebilir ve bağlantılı bir M manifold için
M = {(p,Op) | p € M ve Op, TpM teğet uzayının bir yönlendirmesi}
kümesini tanımlayalım. Her gerçel vektör uzayının iki yönlendirmesi ol­
duğu için
P : M — M, (p, Op) — p,
örten fonksiyonunun her lifi iki noktadan oluşur. Yine M üzerindeki
her 0 : Rn — U C M koordinat komşuluğu görüntüleri ayrık olan iki
fonksiyon verir:
Üı : Rn - M ,
Ü2 : Rn - M ,
9 | X)
p - (p•{ d T ı ^ ' " 'd X n lp} ) ™
p - (p, { - d p 1”’ - ■■
M kümesinin bu fonksiyonları koordinat komşulukları olarak kabul eden
türevlenebilir manifold yapısı taşıdığını gösteriniz. Ayrıca bu türevlenebilir yapı ile P : M — M iz düşüm fonksiyonunun türevlenebilir ikili örtü
uzayı olduğunu gözlemleyiniz. Son olarak aşağıdaki ifadeleri kanıtlayınız:
(a) a : M — M , (p,Op) — (p, - O p) , fonksiyonu M üzerinde türevle­
nebilir bir < a
Z2-etkisi tanımlar ve P : M — M bu etkinin
bölüm fonksiyonudur.
124
T ü r e v le n e b ilir M a tıifo ld la r
(b) M manifoldu yönlendirilebilirdir.
(c) M manifoldunun yönlendirilebilir olması için gerek ve yeter şart
M manifoldunun bağlantılı olmamasıdır.
(d) P : M ^ M ve Q : İV ^ N türevlenebilir manifoldlarm yön­
lendirme örtü uzayları ve f : M ^ N türevlenebilir bir fonksiyon
olsun. Bu durumda Q o F = f o P olacak şekilde tam olarak iki
F : M ^ N türevlenebilir fonksiyonu vardır.
(e) N yönlendirilebilir bir manifold, p € N, f : N ^ M türevlenebilir
bir fonksiyon, q = f (p) ve q € P - 1 (q) ise f = P o F ve F (p) = q
olacak şekilde tam olarak tek bir F : N ^ M türevlenebilir
fonksiyonu vardır.
(f) P : M ^ M örtü uzayı (e) şıkkında verilen koşulu sağlayan ve
derecesi iki olan tek örtü uzayıdır. Kanıtlayınız. R P 2 x R P 2 dört
manifoldunun dört tane bağlantılı örtü uzayını bulunuz. Hangisi
yönlendirme ikili örtü uzayıdır? (Bu şık Turgut Önder tarafından
önerilmiştir.)
(g) Klein Şisesi’nin ikili yönlendirme örtü uzayı nedir?
26. Bu alıştırmada Sard Teoremi’nin bir uygulaması olarak Morse fonksiyon­
larını vereceğiz. Daha kapsamlı bir okuma için [15, 25, 35] numaralı
kaynaklara bakabilirsiniz. Özellikle [35] aşağıdaki sonuçlar için ayrıntı­
lı kanıtlar içeren ilk Türkçe kaynaktır.
Öklit uzayının açık bir U Ç Rn alt kümesi üzerinde tanımlı ve türev­
lenebilir bir f : U ^ R fonksiyonunun herhangi bir p € U kritik
noktasında
H (f)(p ) =
(
(r t) „
Hessian matrisinin tersi varsa bu kritik noktaya soysuzlaşmamış kritik
nokta denir. Eğer f fonksiyonunun tüm kritik noktaları soysuzlaşmamış
ise bu fonksiyona Morse Fonksiyonu denir.
, df ,
d i
Rn x ^ ( - — (x),(X)),
dxı
9Xn
türev fonksiyonunun türevinin yukarıdaki Hessian matrisi ile veril­
diğini gözlemleyiniz: D ( D ( f)) = H ( f ). Daha sonra Ters Fonksiyon
Teoremi’ni kullanarak f fonksiyonunun soysuzlaşmamış kritik nok­
talarının kümesinin U içinde ayrık bir küme olduğunu gösteriniz.
D f : Rn
(b) Soysuzlaşmamış kritik nokta tanımının koordinat değişimi altında
korunduğunu gösteriniz. Başka bir deyişle, eğer p € U noktası
f : U ^ R fonksiyonunun soysuzlaşmamış bir kritik noktası ve
$ : V
U bir difeomorfizma ise $ - 1 (p) noktası d a f o 0 :
125
A lış tır m a la r
V ^ R fonksiyonunun soysuzlaşmamış bir kritik noktasıdır. Bu
sonucu kullanarak manifoldlar üzerinde soysuzlaşmamış kritik nokta
ve Morse fonksiyonu kavramlarını tanımlayınız.
(c) Tıkız bir manifold üzerinde tanımlı her Morse fonksiyonunun sonlu
sayıda kritik noktası olduğunu gösteriniz.
(d) M n C R n bir alt manifold ve f : X ^ R herhangi bir türevlenebilir fonksiyon olsun. Bu durumda Lebesgue ölçümü sıfır olan bir
C C RN kümesi dışından alın an her a = (a 1 } • • • , ün ) € RN —C
vektörü için
f a : X ^ R , x ^ f (x) + a 1 x 1 + • • • + aNx N,
fonksiyonu bir Morse fonksiyonudur.
(e) Morse Yardımcı Teoremi: f : U ^ R türevlenebilir fonksiyonunun
soysuzlaşmamış bir p € U kritik noktasını alalım. Bu durumda bu
nokta etrafında öyle bir koordinat sistemi vardır ki, fonksiyon bu
koordinat sisteminde
f (x) = f (P) + X )
xixi
ile verilir. Burada H ( f )(p) = ( h j ) matris i f fonksiyonunun p
noktasındaki Hessian matrisidir.
Bu sonucu sadece f : R ^ R durumunda kanıtlayınız. Genellikten
bir şey kaybetmeden p = 0 = f (0) olduğunu kabul edelim. O halde,
Taylor Teoremi’nden yeterince küçük bir (—e, e) aralığında
f (x) = ax 2 + C (x)x3
olacak şekilde bir a = 0 gerçel sayısı ve C (x) sürekli fonksiyonu
bulabiliriz. Aslında, C(x) fonksiyonu da türevlenebilir seçilebilir.
Bu durumda x ^ x = x^J 1 + x C (x)/a bir koordinat dönüşümü­
dür ve bu dönüşüm altında fonksiyonumuz f(x ) = ax 2 ile verilir.
Detayları doldurunuz. Genel durum için [25, 35] numaralı kaynak­
lara bakabilirsiniz.
3
Vektör Alanları ve Demetleri
Bıı ünitede ilk önce vektör alanlarının tanımladığı akışları inceleyeceğiz. Dalıa
sonra bu akışları kullanarak manifoldlarda çeşitli türev alına metotlarını gö­
receğiz. Bunu yaparken jeodezikleri tanımlayıp temel özelliklerinden bazılarını
inceleyeceğiz. Teğet demeti ile ilgili birçok kavramı vektör demetlerine taşıya­
rak karakteristik sınıfların tanımlanabilmesi için gerekli alt. yapıyı oluşturmaya
çalışacağız. Bu ünite konularını içeren temel kaynaklar için [31], [32], [8], [37],
[2] ve [9] numaralı referanslara bakabilirsiniz.
3.1
3.1.1
V ektör A lanlarının İntegralleri ve Lie T ürevleri
V ek tör A la n ların ın İn teg ra lleri
M bir manifold ve ( - a , a) gerçel sayı doğrusu üzerinde bir aralık olmak üzere
p : (-a , a) x M
M,
(t,p ) ^ p(t,p),
aşağıdaki koşulları sağlayan tiirevlenebilir bir fonksiyon olsun:
1. Her t € ( - a, a) sabit değeri için, p t : M
difeomorfizmadır;
M
Pt (p) = p(t,p), bir
2. Her p € M için, p 0 (p) = p dir;
3. Herhangi s, t € (—a, a) değerler i için s + 1 € ( - a , a) ise p s+t = Ps ◦ p t
eşitliği sağlanır.
Bu durumda p^ t € (-a , a), difeomorfizmalar ailesine bir parametreli difeornorfizrna ailesi denir. Sadece ilk koşulu sağlayan tiirevlenebilir fonksiyonlar
ailesine ise manifold üzerinde bir izotopi denir.
127
128
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
H a tırla tm a 3.1.1. Yukarıdaki difeomorfizma ailesi için, eğer (-a , a) = R
ise bu aileyi (R, +) grubundan M manifoldunun difeomorfizmalarmm oluş­
turduğu grubuna bir homomorfizma olarak görebiliriz:
$ : (R, +) ^ D i f f (M ), t ^ (fat : M ^ M ) .
Eğer bu grup etkisi periyodik ise, başka bir deyişle her t € (R, + ), için fat+T =
(p>t, olacak şekilde bir T > 0 gerçel sayısı varsa bu etki bir çember etkisine
dönüşür:
$ : (R, + ) /T • Z ~ S 1
D i f f (M ), t ^ (fat : M
M) .
Her fa : (-a , a) x M ^ M, (t,p) ^ fat (p), difeomorfizma ailesi manifold
üzerinde bir vektör alanı belirler:
X : M ^ T,M , X (p) = fao(p) .
Burada fa)0 (p) ile t ^ fat (p), t € (-e , e), eğrisinin t = 0 anındaki teğetini
gösteriyoruz. Eğer difeomorfizma ailesi aslında bir (R, +) etkisi ise, bu vektör
alanı, her (t,p) € (-a , a) x M için
X (fat(p)) = fat(p)
koşulunu sağlar:
d
X ( fat(p)) = fa0 (fat (p)) = ds U= 0 (fas(fat(p)))
d
ds |s=0(fas+t(p)) = fat (p) .
X(p) vektör alanına fat izotopisini üreten vektör alanı ve fat difeomorfizma
ailesine de X(p) vektör alanının akışı da denir.
Şimdi bir vektör alanının integralini alarak bu alanın ürettiği izotopiyi ya
da akışı bulmaya çalışacağız. Aşağıdaki örnek her vektör alanının integralinin
almamayabileceğini göstermektedir.
..
d
Ö rnek 3.1.2. R üzerindeki sabit x ^ X (x ) = —
vektör alanının ürettiği
akışın fa(t, x) = x + t olduğu kolayca görülür. Dolayısıyla, bu vektör alanının
R - {0} üzerine katlanışı bir akış üretmez. Diğer taraftan, yine R - {0}
d
üzerindeki Y(x) = x — vektör alanının integrali bize f t(x) = etx akışını
dx
verir:
d
Y (M.x)) = Y (etx) = e x — = ğ)t(x)
Aşağıdaki teorem tıkız manifoldlarda her vektör alanının integrallenebileceğini göstermektedir.
Teorem 3.1.3. M tıkız bir manifold ise M üzerindeki her X(p) türevlenebilir bir vektör alanının tek bir
fa : R x M ^ M,
türevlenebilir akışı vardır.
(t,p) ^ fa(t,p),
129
V e k tö r A la n la r ın ın İ n te g r a lle r i v e L ie T ü r e v le r i
Kanıt : Manifold üzerinde herhangi bir p € M noktası alalım. Bu nokta
etrafında bir koordinat sistemi alarak problemi Oklit uzayına taşıyabiliriz. O
halde,
X (Pt(p)) = Vti'p
denklemini R x R™ içinde çözmek isti yor uz. (0,p) € R x R™ noktasının
etrafında kapanışı tıkız olan bir açık dikdörtgen alalım. Bu tıkız bölge içinde
X (p) fonksiyonu ikinci değişkenine göre Lipschitz olacaktır. Bu dikdörtgeni
gerekirse küçülterek denklemin (—ep,ep) x U açık bir kümesi üzerinde
:
( - e p,ep) x U ^ M şeklinde, her p € U için <p(0,p) = p koşulunu sağlayan
tek bir çözümü olduğunu görürüz. Manifold tıkız olduğu için bu tipteki sonlu
tane açık U kümesi manifoldu örtecektir. Bu sonlu sayıdaki açık kümeye
karşılık gelen yine sonlu sayıdaki ep > 0’ların en küçüğünü alarak denklemin
p 0 = idM başlangıç değerini sağlayan tek
p : (—e, e) x M ^ M
çözümünü elde ederiz.
Şimdi de çözümün sadece (-e, e) aralığı değil tüm gerçel eksende tanımlı
olduğunu göstereceğiz. Bunu yaparken çözümleri birbirine yapıştıracağız: Bir
p € M noktası, —e < t 1 < e gerçel sayısı ve (fı —ö,t 1 + ö) C (-e, e) aralığı
seçelim. Bu durumda
f :. (—ö, ö) ^ M , f(f) = ^ t 1 +t(p) ,
ve q = p tl (p) olmak üzere,
g : ( —ö,ö) ^ M,
g(t) = <pt(q),
fonksiyonlarının ikisi de aynı başlangıç değer probleminin çözümü olacaklardır:
y (t) = X ( y ( t ) ) ,
y (0) = q-
O halde, her t € (t 1 — ö, t 1 + ö) ve p € M için
<Pt+tı (p) = Vt(Xtı (p))
elde edilir. Buradan, —e < Si,tj < e ve E *
i
sonlu sayıda gerçel sayı için
= E tj koşulunu sağlayan
j
Psı o ■■■o <pSk = ıpt 1 O ■■■o ^tt
sonucuna varırız. Şimdi bu sonucu kullanarak çözümü tüm gerçel eksene ge­
nişletebiliriz.
Teorem 1.2.12’in kanıtının altındaki paragrafın sonucunu kullanarak her
t 0 € R için, p t0 : M ^ M fonksiyonunun sürekli olduğunu söyleyebiliriz.
Ayrıca, p to o p - t 0 = (p0 = idM olduğundan
<Pt0 : M ^ M
130
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
fonksiyonunun aslında bir homeomorfizma olduğu sonucuna varırız. Denklem­
den çözümün t değişkenine göre sonsuz türevlenebilir olduğu kolayca görülür.
Denklemi
X (p(t,p)) = p(t,p)
şeklinde yazıp çözümün p
edersek
dp
dp
değişkenine göre türevlenebilir olduğunu kabul
•t
exp I D X (p(s,p)) ds
0
elde ederiz. Buradan da çözümün türevlenebilir (her değişkene göre sonsuz defa
türevlenebilir) olduğu sonucuna varırız. O halde, sadece çözümün p değişkeni­
ne göre türevlenebilir olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için yine yerel bir
koordinat sisteminde, dolayısıyla Oklit uzayında olduğumuzu kabul edebiliriz.
Şimdi bir (t 0 , x 0 ) € R x R™ noktası ve v € Tx0R™ birim vektörü seçelim ve
her s = 0 için
p(to,xo + sv) - p(to,xo)
A(to,s)
s
bölümünü tanımlayalım. İlk önce, p(t, x) fonksiyonunun v vektörü boyunca
türevlenebilir olduğunu görelim. Bunun için
lim A(to, s)
limitinin varlığını göstermeliyiz. X (x ) vektör alanının türevlenebilir olduğunu
kullanarak limx^ x0 a(x) = 0 olacak şekilde bir a(x) için
p(to,x) = p(to,xo) + D X (p (to ,xo)) • (p(to,x) - p(to,xo))
+a(p(to,x)) \\p(to,x) - p(to,xo)\\
olduğunu biliyoruz. Aslında, X (x ) vektör alanı türevlenebilir olduğu için
Taylor Teoremi’ni kullanarak (Önerme 1.2.11) a(x) fonksiyonun, her tıkız
T C RxR™ bölgesi için ||a(x)|| < Ct ||x—x o \ (to, x o), (to,x) € T, eşitsizliğini
sağlayacak şekilde bir Ct sabitine sahip olduğunu görür üz. Şimdi x = x o + sv
alalım ve yukarıdaki denklemi s = 0 ile bölerek
A(to,s) = D X(p(to,xo))A(to,s) + \\A(to, s)\| a(p(to,xo + sv))
(*)
elde edelim. Bu denklemin A(to,s) ile iç çarpımını alırsak
1d
2 dt (\A \2) = ATD X A + ||A\ a • A
elde edilir. Bu durumda öyle r, K, e > 0 sayıları bulabiliriz ki, her 0 = s €
(—r,r) ve t € (—e, e) için,
d
d t (l|A||2) < K (1 + \\A\\2)
131
V e k tö r A la n la r ın ın İ n te g r a lle r i v e L ie T ü r e v le r i
eşitsizliği sağlanır. Buradan
d
Jt (ln(1 + ||A||2)) < K
bulunur. Şimdi integral alarak ve her s = O için
olduğunu kullanarak
||A||2 < 2eKt - 1
||A(0, s)|| = ||v|| = 1
eşitsizliğini elde ederiz. O halde, A ( t, s) fonksiyonu
( - e,e) x ( ( - r,r) - {0})
üzerinde sınırlıdır. Buradan yukarıdaki (*) doğrusal diferansiyel denkleminin
H(t) = D X ( p ( t , x 0 )) ve v(t,s) = ||A (t,s)|| a (p (t,x 0 + sv)) katsayı fonksiyon­
larının (-e, e) x (- r , r) üzerinde sürekli olduğu sonucuna varırız (türevin tanı­
mından dolayı t yeterince küçük olduğunda a(<p(t, x)) fonksiyonun x = x 0
olduğu durumda sürekli olduğu açıktır). Bu denklemin Y (0, s) = v başlangıç
değerini sağlayan, (-e, e) x ( - r ,r ) kümesi üzerinde tanımlı tek çözümünü
Y(t, s) ile gösterelim (s = 0 sabit tutulurken). Çözümün her iki değişkene
göre de sürekli olduğunu görmek için
Y (t,s ) = D X ( ıp (t,xo)) • Y(t, s) + | | A (t,s)|| a(t,<p(t,xQ+ sv))
denklemini
Y (t,s) - n(t) • Y(t, s) = v(t, s)
şeklinde yazalım. Denklemi e $0 ^ (t) dT integral çarpanı yardımıyla çözersek
Y (t, s) = eti ^ (T) dT ^v + £
v(t1, s) e- ti' A t) dT
(**)
elde ederiz, v (t, s) sürekli olduğun dan Y (t, s) fonksiyonu da (-e, e) x ( - r ,r )
üzerinde süreklidir. Son olarak, her (t, s) € (-e, e) x ( ( - r ,r ) - {0}) için
Y(t, s) = A(t, s) olduğundan
lim A(t, s) = lim V(t' x ° + sv) - if(t' xo) = Y (t. 0)
s^ 0
s^ 0
s
elde edilir. Dolayısıyla, ^ ( t , x) fonksiyonunun yönlü türevleri vardır. O hal­
de, bu fonksiyonun türevlenebilir olduğunu kanıtlamak için yönlü türevlerinin
sürekli olduğunu göstermek yeterli olacaktır. Bunun için ise, Y(t, s) fonksiyo­
nunun (**)’da verilen ifadesinden dolayı /ı(t) = D X ( t , ^ ( t , x 0)) ve v(t, s) =
HA(t, s)|| a(p(t,xo + sv)) katsayı fonksiyonlarının (t,x 0) İkilisine göre sü­
rekli olduğunu görmeliyiz. D X türevlenebilir ve ^ ( t , x 0) sürekli olduğundan
^(t), (t, x 0) İkilisinin fonksiyonu olarak süreklidir. Diğer taraftan, A(t,s) =
—— fonksiyonunun s = 0 olduğu durumda sürekli olduğu
132
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
açıktır. Taylor Teoremi’nden dolayı a (p (t,x 0 + sv)) fonksiyonu da (t,Xo,s)
üçlüsüne göre süreklidir (bkz. Teorem 1.2.10). Ayrıca,
lim a(p(t, x 0 + sv)) = 0
s^0
ve A(t, s) sınırlı olduğun dan v (t,s) = ||A (t,s)|| a (p (t,x 0 + sv)) fonksiyonu
(t, x 0 ) İkilisinin sürekli bir fonksiyonu olacaktır. Böylece kanıt tamamlanır. □
H a tırla tm a 3.1.4. 1) Manifoldun tıkız olması koşulu vektör alanının tıkız
destekli olması koşulu ile değiştirilebilir.
2) I Ç R açık bir aralık olmak üzere
X : I x M -A T*M, (t,p) A X (t,p),
zamana bağlı bir vektör alanı I x M
alanı tanımlar:
çarpım manifoldu üzerinde bir vektör
d
Y : I x M A T ,( I x M ), (t,p) A (— + X (t,p)) .
Bu vektör alanının akışı bir J Ç R aralığı için
p : J x I x M A I x M, (s,t,p) A ($(s, t,p),9(s, t,p))
ile veriliyorsa
Q : J x I x M A M, (s,t,p) A Qs,t(p) = d(s,t,p)
zamana bağlı bir akış verir. Bu akışın aşağıdaki özelliklerinin kanıtları okuyu­
cuya bırakılmıştır (bkz. Alıştırma 1):
a) Her t\ € J, t 2 € J fi I ve t 3 € I için @t3 ,t2 ◦ ®t2 ,t1 = ©t3,tı ’dir.
b) Her s, t € J f I için Qs>t o Qt,s = IdM olur.
3.1.2
L ie T ü r e v i
Oklit uzayı üzerinde türevlenebilir bir f : R™ A R fonksiyonunun herhangi
bir p € R™ noktasındaki, verilen bir v € R™ vektörü boyunca yönlü türevi,
D . ( f )(p) = Um f (p + tv) - f (p),
limiti ile tanımlanır. Bu tanımda kullanılan, t A p + tv , eğrisi Oklit uzayında,
p noktasından v vektörü boyunca hareket etmemizi sağlayan en doğal yolu
verir. Diğer taraftan aynı eğri, integrali
p : R x R™ A R™,
p(t,p) = p + tv,
fonksiyonu olan X(p) = v, (t,p) € R x R™, sabit vektör alanının akışından
başka bir şey değildir. O halde, yukarıdaki yönlü türev
lim f (P (t,p)) - f (p ) ,
t^o
'
t
133
V e k tö r A la n la rın ın İn te g ra lle ri ve L ie T ü r e v le r i
limitine eşittir.
Bu tanım doğrudan manifoldlara taşınabilir: M türevlenebilir bir manifold
ve X : M ^ T*M M manifold üzerinde integrali <p(t,p) olan bir vektör
alanı olmak üzere, türevlenebilir bir f : M ^ R fonksiyonunun X vektör
alanı yönündeki Lie türevi
CX (f)(p) = İm, f
t^o
t
- f
,
ile tanımlanır. p(0,p) = p olduğundan bu limit p € M noktasındaki X(p)
derivasyonunun f fonksiyonundaki değerine eşittir:
lx
( f )(p) = X ( f )(p) •
Benzer şekilde vektör alanlarının ve diferansiyel formların bir vektör alanı
boyunca Lie türevini tanımlayabiliriz. Fakat vektör alanları ve türevlenebilir
formlar gerçel değerli fonksiyonlar olmadıkları için bunların p ve p (t,p )
noktalarındaki değerlerini
D p t(p) : TpM ^ T^(t,p)M
izomorfizması yardımıyla karşılaştıracağız. Y : M ^ T*M bir vektör alanı
olmak üzere Y ’nin X boyunca Lie türevi
LX (Y)(p) = lim \ [ D p - t (p (t,p)) • Y(^ (t,p)) - Y (p)],
t^o t
ile tanımlanır.
Y vektör alanının X vektör a,lamı boyunca, Lie türevi
Şimdi de M üzerinde bir u € Qk(M ) türevlenebilir fc-form alalım. Bu
formun X vektör alanı boyunca Lie türevi, q = p(t,p) olmak üzere
LX (u)(p) = lim0 1 [p*t (q)(u) - u ](p) ,
t^o t
şeklinde tanımlanır. Tanımladığımız bu Lie türevlerinin temel özelliklerine
geçmeden önce bir iki tanını vermemiz gerekiyor. Yukarıdaki gösterimi kullana­
rak, X ve Y vektör alanlarını f : M ^ R fonksiyonuna sırayla uygulayalım:
134
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Bu vektör alanlarını yerel bir koordinat sisteminde X(p) = ^ i ai(p) -ğpp ve
Y ( p ) = Yİj bj(p)
°larak yazalım. Bu durumda kolayca
dbj d f
,
d2f
X o Y ( f ) = X (Y ( f )) = £ ai ö— «----+ ai bj 7— ö—
dxi dxj
dxi dxj
i,j
elde edilir. X o Y bileşkesi bir vektör (derivasyon) alanı değildir (bkz. Alıştır­
ma 2). Diğer taraftan,
db ■ b d j ) df_
(X o Y - Y o X ) ( f ) = Y p a i dj
i d xi dxj
i,j
i
olduğundan X o Y — Y o X farkı bir vektör alanıdır. Bu vektör alanını
[ X ,Y ] = X o Y — Y o X
köşeli parantezi ile göstereceğiz.
Türevlenebilir formların Lie türevleri ile ilgili sonuçlara geçmeden önce
türevlenebilir formların vektör alanları boyunca daraltılmasını tanımlayalım:
u € Qk(M ) bir fc-form ve X, Y 1 , ■■■, Yk- 1 vektör alanları olmak üzere
ix u(Yı, ■■■ , Y k - ı ) = u (X ,Y ı, ■■■ ,Yk-ı)
denklemi yardımıyla M üzerinde i x u € Qk - 1 (M ) olarak tanımlanan forma
u ’mn X vektör alam boyunca daraltılması denir. Lie türevi beklediğimiz
şekilde çarpım (Leibniz) kuralına uyar:
Önerme 3.1.5. X
ve Y vektör alanları ve u bir form olmak üzere,
L x (iy u) = icXy u + İy (L x u).
Kanıt : p t manifold üzerindeki X vektör alanının akışı olsun (manifold
tam olmasa da t ’nin sıfır etrafındaki küçük bir aralığında tanımlı bir akış
mutlaka vardır). Şimdi manifold üzerinde herhangi bir p noktası alalım ve
q = p t (p) olsun. Tanımları kullanarak
P t(iY u)(p)
p*t(u(q)(Y (q) , ■■■))
p*t (u(q))(D p - t (Y (q)), ■■■)
iDV-t(Y (vt(p]]]p t (u(q))
ve dolayısıyla,
L x (iy u)
d
J t |t=0 (pt(İYu))
dt |t=0 (i-DV-t(Y (Mp]]X*tu )
135
V e k tö r A la n la r ın ın İ n te g r a lle r i v e L ie T ü r e v le r i
elde ederiz. Eşitliğin son teriminde çarpım şeklinde bulunan her iki ifade de p
noktasında tanımlı zamana bağlı ifadelerdir. Dolayısıyla, bu ifadenin türevini
almak için çarpım kuralını kullanabiliriz. O halde,
LX (İrw)
=
— |t=0 {İDv_t(Y(Vt(p)))] ^0w + İDv_o(Y(Vo(p)))
dt
= İl x y w + i r (L x w)
olur ve böylece kanıt tamamlanır. □
Aşağıdaki sonuç oldukça teknik olmakla beraber hem başka teoremlerin ka­
nıtında hem de bir çok geometrik sonucun elde edilmesinde önemli bir yere
sahiptir.
Ö nerm e 3.1.6. X
ve Y vektör alanları ve w bir form olmak üzere,
d(ixİ y w) + ix (d İy w) — ir (d ix w) — ir ix dw —İ[x ,y ]W = 0.
Kanıt : Kanıt yerel bir hesaplamadan ibarettir, ifadedeki tüm terimler vek­
tör alanlarının bilineer fonksiyonları olduğu için
d
X = a—
dxi
ve
d
Y = b—
dxj
olduğunu kabul edebiliriz. Takip edilmesini kolaylaştırmak için ayrıca b = 1
ve w = f dxi A dxj alacağız. Genel durumun kanıtını okuyucuya alıştırma
olarak bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 3). Şimdi önermenin ifadesinde yer alan tüm
terimleri hesaplayalım.
İlk terim
d ( a f)
d(ixİY w) = —d (a f) = — ^ 2
dxk
dxk
olur, ikinci terim ise
ix(d İY w) = İXd(—f dxi) = —İ X ^ 2
k=i
df
dxk A dxi = ^
df
a j ^ dxk
k=i dxk
olarak hesaplanır. Benzer şekilde üçüncü terim
....
. .
,
. . v-^ d ( a f)
d ( a f)
i r (d iX w) = iY d (af dxj) = iY > —--- dxk A dxj = — > —----- dxk
k=j d xk
k=j' dxk
olur. Diğer taraftan, dördüncü terim
. . .
. . v-^ d f
df
iYiX dw = iYiX y v— dxk A dxi A dxj = > a —— dxk
z-^ d x k
dx,.
dxk
k=i,j
k=i,j
136
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
da d
olduğundan beşinci terim
dxj dxi
olacaktır. Son olarak [X, Y ]
i_
i[X,Y]X
dxj dxi
f d x i A dxj
f d a . dxj
dxj
olur. Buradan önermenin doğru olduğu kolayca görülür. □
Şimdi bu kavramları kullanarak Lie türevinin daha pratik şekillerini vere­
biliriz.
Teorem 3.1.7. M türevlenebüir bir manifold, X, Y bu manifold üzerinde
vektör alanları ve x € Qk(M ) türevlenebilir k-form olsun. Bu durumda,
aşağıdaki eşitlikler sağlanır:
1. L x ( Y ) = [X, Y ]
2. L x x = i x (dx) + d (ix x) (Cartan’m Sihirli Formülü).
Kanıt : X , Y vektör alanlarının yerel bir koordinat sistemindeki açılımları
aşağıdaki gibi olsun:
X = £
a
d
‘dxi
ve Y
d
E bi dxi '
Ayrıca, X vektör banının akışı p(t,p) ile verilsin. İlk önce aşağıdaki türevi
hesaplayalım:
d
dlt
( Y ( V (t ,p ) ) )
dt |t=o
d
d
dt |t=o J 2 bj (F(t,P)) dxj
d
£ x (bj)
dxj
j
dbj d
dxi d x j
ij
d2
X o Y —^ ai bj
dxjdxi
i,j
Şimdi teoremin birinci bölümündeki Lie türevini hesaplayabiliriz: q = p(t,p)
olmak üzere,
137
V e k tö r A la n la r ın ın İ n te g r a lle r i v e L ie T ü r e v le r i
L x (Y )(p)
i™ 1 ( D P ( —t ,q ) • Y ( q) — Y (p ))
dt |t=o
( P 2 ( —t ,q )
<P2 ( 0 ,p )
• Y (q ))
•d
( Y ( V ( t , V) ) ) + d ( ^2 ( - t , ^ ( t , P))) • Y (p )
dt |t=o
dt |t=o
U (X ° Y ) - £
a bt j
-
—fi 2(0 , p) • Y ( p )+ ^ 22(0, p) • fi( 0 ,p) • Y(p)
X o Y —E * b j
— D X <Y)
X o Y - Y o X.
Son üç eşitliğin elde edilmesinde, bir önceki bölümde verdiğimiz kanıtın içinde
kullandığımız
dp
exp I D X (s,p (s,p )) ds
dp
o
eşitliği kullanılmıştır. İlk önce her p € M noktası için p 2 (0,p) = Id olduğu
ve bundan elde edilen fi 22 (0,p) = 0 sonucu kullanılmıştır. Son eşitlik için de,
bu eşitliğinin zamana göre türevini (0 ,p) noktasında hesaplayarak elde edilen
) = D X (p )( y ) = £ bi g - A
i,j
% j
bağıntısı kullanılmıştır.
İkinci ifadenin kanıtını
ile yapacağız. İlk önce, w
d
Ebi
X = E a ' dxi Y
kuralını kullanarak
d2
Y o X —^ ai bj
dxj dxi
ij
w formunun derecesi üzerine tümevarım metodu
= Yİ Ci dxi birinci dereceden bir form ve yine
d
vektör alanları olsun. Lie türevi için çarpım
dxi
L x (w(Y)) = (L x w )(Y) + w (Lx (Y))
ve buradan, yukarıda kanıtladığımız, bu teoremin ilk kısmını kullanarak
(L x w)(Y ) = X (w(Y)) —w ([X ,Y ])
eşitliğini elde ederiz. Doğrudan hesap yaparak
X (w(Y ) ) = X E
dc'
dbc b ) = E aj (~X. bi + ci TET)
i,j
138
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
ve
u (ix ,y d = ^
cz( - b3 ^
+a da)
sonucuna varırız. Bu durumda
L x (u)(Y) = J 2 biaj
da
dci_
. + cibj dxj
j
eşitliğini buluruz.
Şimdi de d (ix u )(Y ) ve ix (d u )( Y ) terimlerini hesaplayalım:
d( ix u)(Yr) = ( £ Z
i,j
j
j
d x j)(Y) = £ ( « d i + c
i,j
j
)b
j
ve benzer şekilde
ix (d u )( Y ) = du(X, Y ) = ^ 2
i,j
dci
(ajbi — a b )
elde ederiz. O halde,
(d(ixu) + i x (du))(Y) = ^ 2 b i a j + C i b j = L x u ( Y )
i,j
bulunur ve dolayısıyla tümevarımın birinci adımını göstermiş olduk.
Tümevarım adımını tamamlamak için derecesi k > 1 olan bir u formu
alalım. Bu durumda iy u (k —1) form olacağı için sonucun bu form için doğru
olduğunu kabul edebiliriz:
L x (iyu) = d(ix(iyu)) + i x (d (iyu)) .
Diğer taraftan bu teoremin kanıtladığımız ilk kısmı ile Önerme 3.1.5’i kullana­
rak
L x (iy u) = i[x,y \u + iy L x u
eşitliğini elde ederiz. Bu iki eşitlikten de
iy L x u = d (ix (iyu)) + i x (d (iyu)) —i[x,y]u
bulunur. Kolayca görüleceği üzere, L x u = d(ixu) + i x (du) eşitliği, her Y
vektör alanı için, L x u ( Y ) = d (ix u )(Y ) + i x (du)(Y ) eşitliğinin sağlanmasına
denktir. O halde, teoremin kanıtını tamamlamak için aşağıdaki eşitliğin göste­
rilmesi gerek ve yeterlidir:
d(ix iy u) + ix (d iy u) —iy (d ix u) — iy ix du —i[x,y]u = 0.
Fakat bu eşitlik zaten Önerme 3.1.6’dan başka bir şey değildir. □
Bu bölümü kanıtını alıştırmalara bırakacağımız vektör alanlarının bazı te­
mel özellikleriyle bitireceğiz.
139
V e k tö r A la n la r ın ın İ n te g r a lle r i v e L ie T ü r e v le r i
Önerme 3.1.8. M manifoldu üzerinde integralleri, sırasıyla, p t ve t olan
X (p) ve Y (p) vektör alanları alalım. Bu durumda bu iki difeomorfizmanm
yer değiştirmesi için gerek ve yeter koşul [X, Y ] köşeli parantezinin manifold
üzerinde sıfır olmasıdır. Başka bir deyişle, her t, s € R için
Pt ◦ ^s = ^s ◦ Pt
olması [ X ,Y ] = 0
koşuluna denktir.
Vektör alanları üzerindeki ters değişmeli köşeli parantez işlemi birleşme
özelliğe sahip değildir. Yine de bu işlem aşağıdaki özelliğine sahiptir.
Önerme 3.1.9 (Jacobi Eşitliği). M
Y (p) ve Z(p) vektör alanları için
manifoldu üzerinde alman her X(p),
[X, [Y,Z]] + [Y, [ Z ,X ]] + [Z, [X, Y ]] = 0
eşitliği sağlanır.
Jacobi eşitliğini ve Cx ( Y ) = [ X ,Y ] (Teorem 3.1.7) Cartan formülünü
kullanarak şu hesapları yapalım:
(L x Cy - C yL x )Z
= L x [Y, Z ] - C y [X, Z ]
[X, [Y,Z]] - Y [X, Z]]
[X, [Y,Z]] + [Y, [Z,X]]
-[Z , [X, Y ]]
[[X, Y ] ,Z ]
=
C[x,y]Z ■
Diğer taraftan, manifold üzerindeki herhangi bir fonksiyon için de
C{x ,y ] (f) = [ X ,Y ] (f) = X (Y ( f )) - Y (X ( f )) = (Cx Cy - Cy Cx ) ( f )
elde edilir. Lie türevinin en genel durumda da bu özelliğe sahip olduğunun
kanıtını okuyucuya bırakıyoruz:
Sonuç 3.1.10. M
vektör alanı için
manifoldu üzerinde alman herhangi iki X(p)
ve Y(p)
C [x y ] = Cx Cy - CyC x
eşitliği sağlanır.
Bir V vektör uzayı üzerinde verilen herhangi bir [ , ] : V x V ^ V
değişmeli (başka bir deyişle, her v € V için [v, v] = 0) bilineer işlemi ayrıca
Jakobi eşitliğini de sağlıyorsa (V, [ , ]) İkilisi Lie cebiri olarak adlandırılır.
Dolayısıyla, bir manifold üzerindeki vektör alanları doğal olarak bir Lie cebiri
oluştururlar. Manifold üzerine koyduğumuz geometrik yapılar bu Lie cebirinin
bazı alt cebirlerini belirler. Aşağıda bunun tipik bir örneğini vereceğiz.
140
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
.. .
Ö rnek 3 1 11 w türevlenebilir n-boyutlu tam M manifoldu üzerindeki kapalı
bir k-form ve X , akışı bu formu koruyan bir vektör alanı olsun: Her t € R
için, ^[(w) = w. Bu koşul Lie türevinin tanımın dan dolayı L x (w) = 0 koşu­
luna denktir. Ayrıca form kapalı olduğundan bu son koşul d ix w = 0 olmasına
denktir. Bu koşulu sağlayan vektör alanları bir vektör uzayı oluştururlar. Ayrıca
Önerme 3.1.6’dan dolayı bu vektör uzayı Lie köşeli parantezi altında kapalıdır.
Başka bir deyişle w formunu koruyan vektör alanları bir Lie alt cebiri oluş­
tururlar.
Çift boyutlu bir M 2n türevlenebilir manifoldunun her p € M noktasında
wn(p) = 0 olacak şekilde kapalı bir w € Q2 (M ) formuna manifold üzerinde
bir simplektik yapı, (M, w) İkilisine ise simplektik manifold denir. Simplektik
yapıyı koruyan vektör alanları ise w-simplektik alanlar adını alır. Simplektik
manifoldlar geometri ve topolojinin en zengin çalışma alanlarından birisidir.
Bu konudaki en yaygın kaynaklardan birisi [23] numaralı referanstır. Simplektik
manifoldlar hem üç hem de dört boyutlu manifoldlar teorilerinde çok önemli
bir paya sahiptir (bkz. [13]).
3.2
Jeodezikler
3.2.1
J e o d e zik D en k lem i
Bu bölümde her manifoldun üzerine Riemann metriği konulabileceğini göre­
ceğiz ve bu metrik yardımıyla bir takım geometrik hesaplamalar yapacağız. M
türevlenebilir bir manifold olmak üzere { f a : Ua ^ Va Ç Rn }aeA bu mani­
fold üzerinde yerel sonlu bir atlas ve {p\ : M ^ [0, 1]}asA bu açık örtü ile
uyumlu bir birimin ayrışımı olsun. Rn üzerindeki her noktanın teğet uzayını
yine Rn ile eşleyerek her bir teğet uzayına bir iç çarpım koymuş oluruz. Bu
iç çarpımı D f p : TpM ^ T^pRn doğrusal izomorfizması ile TpM teğet
uzayına çekelim. ga ile Ua üzerindeki bu iç çarpım ailesini gösterelim. İki iç
çarpımın negatif olmayan bir doğrusal birleşimi yine bir iç çarpımdır. Bundan
dolayı g = Y)a ga manifoldun her noktasında bir iç çarpım verir. Ayrıca bu iç
çarpımın katsayıları manifold üzerinde türevlenebilir fonksiyonlar verir. Açıkça
söylemek gerekirse, (x\, • • • x n) manifold üzerinde yerel bir koordinat sistemi
d
ise { —— } yerel tabanı için Riemann metriğinin bileşenleri
*İp
gn (p) = g (p)(
d
d
)
d— ip d—j P
olarak tanımlanır. Bu durumda g*j : Ua ^ R türevlenebilir bir fonksiyondur.
g = (g*j) iç çarpımına manifold üzerinde bir Riemann metriği, (M, (g*j))
İkilisine de bir Riemann manifoldu denir.
141
J e o d e z ik le r
Türevlenebilir bir y : [a, b] ^ M bir eğrisi için,
E (7)
g n (y (s )) i i (s¥ ij(s) ds
gerçel sayısına bu eğrinin enerjisi,
L(Y)
/.‘A
gij(Y(s)) i i (s¥ ij(s) ds
gerçel sayısına ise bu eğrinin uzunluğu denir. Aşağıdaki teorem bir Riemann
manifoldu üzerinde enerji fonksiyonelinin kritik noktası olan bir eğrinin, i =
1, • • • , n , olmak üzere
7i = - 2 S gim j
m,l,j
+ glm —gm) i * Y = —S r j
l,j
Y
denklem sistemini sağladığını göstermektedir. Bu denklemi sağlayan eğrilere
jeodezik denir, F j = \ m gim (glj m + ffjm — gjfl) fonksiyonları Riemann
metriğinin ikinci tip Christoffel sembolleri olarak adlandırılır.
Aşağıdaki teoremin kanıtında birçok kitapta bulunan Birinci Varyasyon
Formülü (First Variation Forumla) yaklaşımı yerine Fourier serilerini kullana­
cağız. Daha sonra enerji fonksiyonelinin kritik noktaları ile uzunluk fonksiyo­
nelinin kritik noktalarını karşılaştırarak geometrik sonuçlar elde edeceğiz. Bu
bölümde aşağıdaki teorem hariç Spivak’m (birinci cildindeki bazı alıştırmaları
yaparak) kitabını ([31]) takip edeceğiz.
T eorem 3.2.1. (M,g) n-boyutlu bir Riemann manifoldu ve 7 = (71, • • • , j n)
bu manifold üzerinde enerji fonksiyonelinin kritik noktası olan eğri ise, her
i = 1, • • • ,n için,
Y + E r jı y * Yı = 0
j,ı
olur.
Kanıt : Eğrimiz enerji fonksiyonelinin bir kritik noktası olduğundan eğri­
nin sadece herhangi bir koordinat sistemi içinde kalan parçasının değişimini
incelemek yeterlidir. Başka bir deyişle, M = Rn olarak alabiliriz. Metriği
g = (gij) ile gösterelim. 7 = (71, • • • , Yu), s € [0,1] için, y (0) = (0, • • • , 0)
ve y (1) = (1, 0, • • • , 0) noktalarını birleştiren bir eğri olsun. Yı(s) fonksiyonu­
nun [0,1] aralığının bir difeomorfizması olduğunu kabul edelim (türevlenebilir
her eğri için bu tür bir yerel koordinat sistemi vardır; çünkü verilen herhangi
bir so € [0,1] değeri için en az bir Yi(so) = 0 olduğuna göre so etrafındaki
bir aralık üzerinde Yi kR difeomorfizma olur).
X bu eğrinin açık bir komşuluğunda desteklenen ve eğrinin uç noktalarında
sıfır değeri alan bir vektör alanı ve t : Rn ^ Rn bu vektör alanının akışı
142
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
olsun. Bu durumda Yt (s) = y t (Y(s)) Y(s) = Y0(s) eğrisinin bir değişimi
olacaktır. Şimdi bu değişimin enerjisini yazalım:
E (Y)
E
9ii (Y t(s)) d
) ds-
Bu durumda
İ
=0 d
« w
= l M d
= d X W » » = D X (7(s))
olduğundan enerji fonksiyonelinin türevi aşağıdaki gibi olur:
dd
e1
“Ut
17 \i:—0 2 E (Yt) = J o E . . X (9 j )(Y(s)) Yi y J) ds
t=0
./o
9ij(Y(s)) {(D X )i • Y YJ + (D X )j • Y Yn}) ds.
+
Burada ( D X )i • Y ile (D X ) • Y vektörünün f’inci terimini gösteriyoruz.
Herhangi iki k € N ve 1 < l < n sabit pozitif tem sayıları için X
vektör alanını X (x ) = X (x 1, • • • , x n) = (a1, • • • , an) olarak seçelim, öyle ki
aı(x) = sin k n x 1 ve her m = l için am = 0 olsun. Bu durumda birinci
integralin içindeki terim için
Y X ( gij)(Y(s)) Yi YJ
i,j
dgij
Y am(Y(s)) d xm (Y(s)) Y Yj
i,j,m
Y aı(Y(s)) d J ı (Y(s)) Yi YJ
i,j
Y sin(knY ı(s)) gij Yi yj ,
i,j
elde ederiz. Diğer taraftan, ikinci integraldeki köşeli parantezin içindeki ifade
ise
(D X )i ■Y Y j + (D X )j • Y Yi
= 2 E
ga( y (s)) (kn cos(knYı) Yı Yi)
olur.
Enerji fonksiyoneli t = 0 noktasında kritik değere ulaştığı için
0
=
=
d
d
2E (t)
dt \t=o
f (Y
J° i,j
+2
J0
sin(knY ı(s)) gij Yi Y ) ds
( Y gii(y (s )) (kn cos(knYı) Yı Yi)) ds
;
143
J e o d e z ik le r
elde ederiz. Terimlerden birini diğer tarafa atıp ikinci integrale kısmi türev
uygularsak
ı
sin(fc^7 ı ( s ) ) ( ^ g j ^ â j )ds = - 2
(E ga (Y(s))(kn cos{kn Y ı)îıîi))d s
0
i,j
fı
d
2 Jo E
ds g ( Y(s)) Yi]) (sin(knYı) ds
bulunur. Bu eşitlik her k € N doğal sayısı için doğru olduğundan Fourier
teorisi bize
E gij "n î j = 2 E d s [ga(l(s))
i,j
i
sonucunu verir (bkz. Alıştırma 5). Şimdi türevi alıp terimleri düzenlersek
E gij Y
i,j
= 2(Y y gu + E gm Ym Yi)
i
i,m
ve buradan da
1
E
i
7 ga = - E (gji - 2 g j ) Y Y
i,j
elde ederiz. Riemann metriğinin tersini (gtj) ile gösterirsek
7i = - E
gim (gjm - 2 gm) y y
ifadesine ulaşırız. Bu toplamdaki j ve l endekslerinin yerlerini değiştirirsek
toplam değişmez. O halde,
7i = - 2 E gim (g jm + gjm - gfı) î j îi = - E Tj ı Y Y
m,i,j
l,j
jeodezik denklemini elde ederiz. □
M manifoldu üzerind e bir (xı, • • • , x n) koordinat sistemi seçeli m. Eğer yi =
olarak tanımlanırsa (x ı , ••• , x n, y ı , ••• , yn) manifoldun T^M teğet
demeti üzerinde bir koordinat sistemi oluşturur. M üzerindeki türevlenebilir
her y (s ) eğrisi teğet demeti üzerinde doğal bir eğri verir: s ^ (7 (s),j(s)).
Bu durumda ikinci derece jeodezik denklem sistemi aşağıdaki birinci derece
sisteme denktir:
f x i — yi,
l yi = - E ı,j r jı yj yı ; i = 1, ••• ,n
Aslında, T^M manifoldu üzerindeki
X ( x , y ) = (y ^ ••• , yn, - E j
l,j
yj yı>••• >- E r n yj yı)
ı,j
144
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
vektör alanının akışı p s(x,y) = (7 (s ,x ,y ) ,Y ( s ,x ,y )) olacaktır. Dolayısıyla,
Expp : TpM -A M, v ^ j ( l , p , v )
ile tanımlanan üstel fonksiyon türevlenebilir bir fonksiyondur. Vektör alanları­
nın teorisinden her (x, y) € T^M noktasından başlayan bir çözüm eğrisinin var
olduğunu biliyoruz fakat bu eğri tüm ger çel eksende tanımlı olmayabilir (bkz.
Alıştırma 6). Dolayısıyla, Expp fonksiyonu TpM teğet uzayının tamamında
tanımlı olmayabilir. Fakat, eğer manifold tıkız ise tüm teğet uzayında tanımlı
olacaktır.
Şimdi jeodeziklerin geometrik özelliklerini inceleyeceğiz. Bunun için ilk önce
jeodeziklerin eğri uzunluğu ile parametrize edildiğini göstereceğiz.
Y ardım cı T eorem 3.2.2. Eğer 7 : [a, b] ^ M bir jeodezik ise
s € [a,b], sabittir. Başka bir deyişle jeodezikler sabit hızlı eğridirler.
||y (s)||,
Kanıt : Doğrudan türev alarak ve
gij
(diş + 9ıj
■9a) + 2 { j + 9li - 9jı]
eşitliğini kullanarak
d
IIy (s) II2
ds
d
ds
Y 9ij(Y(s)) İi İ j
i,j
Y 9ij(Y(s)) İl Afi İj
i,j,l
+ Y 9kj(Y(s)) İh İj + Y 9ik(Y(s)) ik ii
k,j
k,i
Y İ j f e 9kj (Y(s)) ik + Y 22 (•
[gij + gij j
\ k
i,l
(y
gji + 9 li
+ Y ii
9ik(y (s )) ik + Y 2 {gj
i
\ k
j,l
0
elde ederiz. Son adımda eğrinin jeodezik olduğunu kullandık. O halde, |İ7 (s)||,
teğet vektörünün boyu eğri boyunca sabittir. Bu kanıtı tamamlar. □
Ö rnek 3.2.3. Bu örnekte GL(n, R) Ç M(n, R) = R™ Lie grubunun üze­
rine homojen bir Riemann metriği koyacağız ve daha sonra bu metriğin jeodezikleri ile üstel fonksiyonunu hesaplayacağız. Manifoldun birim matristeki
TidGL(n, R) = M(n, R) teğet uzayı üzerinde standart iç çarpımı alalım:
(• , •)id : TIdGL(n, R) x TIdGL(n, R) ^ R , (A ,B ) ^ t r ( A tB ).
145
J e o d e z ik le r
Herhangi bir P € GL(n, R) noktasındaki teğet uzayı üzerindeki iç çarpımı da
P • : GL(n, R) — GL(n, R), Q — PQ
difeomorfizmasınm
P • : TIdGL(n, R) — TpGL(n, R), A — P A
türevinin verdiği doğrusal izomorfizma ile tanımlayalım. Dolayısıyla, P nok­
tasındaki iç çarpımı (• , i)p ile gösterirsek, her u ve v € TidGL(n, R)
vektörleri için
(u,v)id = (Pu, Pv)p
olur. Başka bir deyişle, GL(n, R) Lie grubu üzerine homojen bir Riemann
metriği koymuş olduk. Diğer taraftan,
f : TIdGL(n, R) = M (n, R) — GL(n, R),
^ An
A — eA = V —
n=0n n!
fonksiyonu birim matris etrafında bir koordinat sistemi verir fdet(eA) = etrA >
O olduğundan eA matrisinin tersi vardır; bkz. Ünite 1, Alıştırma 36). Bunu
görmek için bu fonksiyonun türevini hesaplayalım: A € TidGL(n, R) ve B €
TA(TIdGL(n, R)) ~ TIdGL(n, R) için
D fA (B ) = dt\t=o(eA+tB) = eA B
elde ederiz. eA matrisinin tersi olduğundan bu fonksiyon bir izomorfizmadır.
Dolayısıyla, bu fonksiyon her nokta etrafında yerel bir difeomorfizma verir.
Ayrıca, bu koordinat sisteminde Riemann metriğini yazarsak
9 a (u , v) = (D<pA(u),D<pA(v))eA = (eAu ,eAv)eA = (u , v )m
eJde ederiz. Başka bir deyişle, TIdGL(n, R) = M(n, R) koordinat sisteminde
standart Oklit metriğini eJde etmiş oluruz. O halde, bu uzay üzerindeki jeo­
dezikler doğrulardır. Dolayısıyla, merkezden geçen t — tA doğrularının f
altındaki görüntüleri, etA eğrileri de GL(n, R) Lie grubunun birim ele­
manından geçen jeodeziklerdir. O halde, f fonksiyonu Riemann metriğinin
vermiş olduğu üstel fonksiyondur.
Örnek 2 . 1 .2 0 ’de ortogonal grubun birim matristeki teğet uzayının
TidO(n) = {A € M(n, n) \ A T + A = 0}
ters simetrik matrisler vektör uzayı olduğunu görmüştük. O(n) manifoldunu
GL(n, R) manifoldundan aldığı Riemann metriği ile düşünelim. Bu durumda
ExpId : TIdO(n) — O(n)
146
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
üstel fonksiyonu yine
Expid(A) = eA =
^ An
An
~T
n=0„ n!
gibi tanımlanır. Aslında Q = eA matrisinin ortogonal olduğunu şu şekilde
görebiliriz. A matrisi ters simetrik olduğundan
üzerine koyduğumuz metrik homojendir. Başka bir deyişle, herhangi bir noktayı
birim matrise o matrisin tersi ile taşıyarak o noktayı birim matris olarak göre­
biliriz. Dolayısıyla, her jeodezik birim matristen geçen bir jeodeziğin bir matris
ile ötelemesidir.
Şimdi de genel bir (M ,g ) Riemann manifoldunun üstel fonksiyonunun
türevini hesaplayalım. Jeodezik denklemi s-değişkenine göre homojendir; başka
bir deyişle, eğer 7 (s) bir jeodezik ise j(as), a = 0 , eğrisi de bir jeodeziktir.
Aslında, her a = 0 için, j ( s , p , v ) ve j(a s,p ,v ) jeodezikleri aynı başlangıç
değerlerine sahip olduklarından j(a s,p ,v ) = 7 (s,p,av) olur. Bunu kullanarak
D(Expp)o = IdTpM
olduğunu görürüz (bkz. Alıştırma 13). Buradan, Expp : TpM a M fonk­
siyonun sıfır vektörünün bir açık komşuluğundan görüntüsüne difeomorfizma
olduğu sonucuna varırız.
Benzer şekilde,
F : T*M -a M x M, (p, v) a (p, Expp(v))
fonksiyonunun (p, 0) noktasındaki türevi de birim dönüşümdür. Diğer taraf­
tan, F(p, 0) = (p,p) olduğundan F fonksiyonunun (p, 0) noktası etrafında
bir difeomorfizma olduğunu görürüz. Başka bir deyişle, p € M noktasının
yeterince küçük her U komşuluğu için, bu komşuluktaki herhangi iki noktayı
birbirine bağlayan bir jeodezik vardır. Bu jeodezik bir başlangıç değer proble­
minin çözümü olduğundan aynı zamanda tektir. Son olarak jeodeziklerin hızı
sabit olduğundan jeodeziğin uzunluğu ilk hızı ile tanımlandığı aralığın boyunun
çarpımı kadar olacaktır. Dolayısıyla, aşağıdaki sonucu kanıtlamış olduk.
Sonuç 3.2.4. Herhangi bir (M, g) Riemann manifoldu üzerinde bir p € M
noktası alalım. Bu durumda öyle bir p € U açık komşuluğu ve r > 0 gerçel
sayısı vardır ki, U içinde aldığımız herhangi iki noktayı birbirine bağlayan tek
bir jeodezik vardır ve bu jeodeziğin uzunluğu r gerçel sayısından küçüktür.
Daha fazla ilerleyebilmek için Gauss’un aşağıdaki sonucuna ihtiyacımız var.
147
J e o d e z ik le r
Y ardım cı Teorem 3.2.5 (Gauss’un Yardımcı Teoremi). Yukarıdaki sonucun
koşullarım sağlayan p € U Ç M ve r > 0 alalım. Bu durumda p € U
noktasından geçen jeodezikler her C < r için
S c = {Expp(v) \ IHI = C < r }
hiper yüzeylerine diktir.
Kanıt : v : R ^ TpM, ||v(t)|| = C, her t € R için, türevlenebilir bir eğri
olmak üzere,
f (s, t) = Expp(sv(t)) , s € (-1 ,1 ),
fonksiyonunu tanımlayalım. O halde, kanıtlamamız gereken sonuç tam olarak
d f . . df
< d S is' t:>’ u (M ) > = 0
iç çarpımının sıfır olduğudur. Yardımcı Teorem 3.2.2’in kanıtına benzer şekilde
d2f k
^ 9 i k dsdt
ds
i,k
d < dl dl
d s < ^ s , dt
d fj d fl d fi
+ 5 2 1 (9 lp + 9u - gjı) ds dt ds
i,j,l
l < dl dl > = o J L < f f >
d t < d s , ds >
ds < d s , dt >
elde ederiz. Diğer taraftan, d f / d s vektörü s ^ f (s, t) jeodeziğinin s anın­
daki teğet vektörü olduğundan bu vektörün uzunluğu tüm jeodezik boyunca
sabittir. Dolayısıyla, yukarıdaki her iki türev de sıfırdır. Bu durumda,
ve
f
<
, df . ,
l T s (s’t) >
iç çarpımı s değişkeninden bağımsızdır. Son olarak s = 0 başlangıç anında,
f (0 ,t) = p ve dolayısıyla d f /d t (0 ,t) = 0 olduğundan kanıt tamamlanır. □
H a tırla tm a 3.2.6. Gauss Yardımcı Teoremi şu şekilde genelleştirilebilir (bkz.
[31], s.489, Alıştırma 28 ): c(s) (M , g) Riemann manifoldu içinde dc/ds = 0
koşulunu sağlayan herhangi bir eğri olsun.
N = {Expc(s)(v) \ ||v|| = sabit, v € Tc{s)M, gc{s)(v, dc/ds) = 0}
ile tanımlanan M ’nin alt manifoldu olsun. Bu durumda, eğer
0 = v € Tc(s) M, gc(s)(v, dc/ds) = 0
koşulunu sağlayan bir vektör ise j(t) = Expc(s)(tv) jeodeziği N alt manifoldunu dik keser. Bu sonucun kanıtı alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır
(bkz. Alıştırma 14).
148
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Bu önemli yardımcı teoremin iki geometrik sonucu aşağıdaki gibidir.
Sonuç 3.2.7. u : [a,b] ^ (0,r) ve v : [a,b] ^ TpM , ||v(s)|| = 1, parçalı
türevlenebilir fonksiyonlar olmak üzere
c :[a,b] ^ M , c(s) = Expp(u(s)v(s))
parçalı türevlenebilir eğrisini tanımlayalım.
fb
Lba( c ) =
Ja
llc(s)ll ds
bu eğrinin uzunluğu olmak üzere Lba(c) > \u(b) — u(a)\ eşitsizliği sağlanır.
Eşitlik sadece ve sadece u fonksiyonun artan (veya azalan) ve v fonksiyonun
sabit olması durumda elde edilir. Bu durumda, c(s) p-noktasmdan geçen
merkezcil bir jeodeziğin bir parçasıdır.
Kanıt : Önceki teoremin gösterimini kullanarak yine
f (s, t) = Expp(sv(t)) , s e (—1,1),
fonksiyonunu tanımlayalım. O halde, c(s) = f (u(s),s) ve dolayısıyla
ds= ^
% •ı
elde ederiz. Gauss Yardımcı Teoremi’nden
df df
..öf,,
< dv.’ d i > = 0 Y e 11» , 11 ^
olduğundan
İlf İl2 = \u'(s)!2 + İl% İl2 > w (s)|2
ds
dt
df
elde edilir. Ayrıca eşitlik sadece — = 0 ve dolayısıyla v'(s) = 0 olması
durumunda sağlanır. O halde,
dc
fb
rb de
rb
II- r || ds >
\u'(s)\ ds > \u(b) — u(a)\ ,
ds
Ja
buluruz. Ayrıca, eşitlik sadece v(s) sabit ve u(s) artan veya azalan olması
durumunda sağlanır. □
Bu sonuçtan kolay bir şekilde aşağıdaki sonuca varırız.
Sonuç 3.2.8. p e Up ç M , v e TpM , ||v|| < r, ve y(s) = Expp(sv),
s e [0,1ğ uzunluğu r sayısından küçük olan bir jeodezik olsun (Sonuç 3.2.4 ’ün
gösterimini kullanıyoruz), c : [0,1] ^ M p noktasını p 1 = y(1) noktasına
bağlayan parçalı türevli bir eğri ise
l 1 (y )
< L ( (c)
eşitsizliği sağlanır. Eşitlik sadece c(s) eğrisi y jeodeziğinin bir başka parametrizasyonu olması durumunda sağlanır.
149
J e o d e z ik le r
Bu sonuçlar bize jeodeziklerin yerel olarak uzaklığı en aza indiren eğriler
olduğunu gösterir. Bir (M ,g ) Riemann manifoldu üzerindeki her jeodezik
tüm gerçel eksene genişletilebilirse bu manifolda jeodezik tam manifold denir.
Riemann metriği manifold üzerinde de bir metrik tanımlar: d : M x M ^ R,
d(x, y) = inf {Lba(c) | c : [a,b] ^ M, c(a) = x, c(b) = y},
(c parçalı türevlenebilir eğri olmak üzere). Bu metriğin ürettiği metrik topo­
lojinin manifoldunun üzerindeki topoloji olduğu Alıştırma olarak okuyucuya
bırakılmıştır (Alıştırma 15). (Bkz. [31], s. 428, Teorem 7). Yukarıdaki yerel
sonucu kullanarak kolayca aşağıdaki sonuca varırız (Alıştırma 16):
Sonuç 3.2.9. Y : [a, b] ^ (M, g) bir Riemann manifoldu üzerinde parçalı
türevlenebilir bir eğri olsun. Eğer d(y(a),Y(b)) = Lba(Y) ise Y eğrisi bir
jeodeziktir.
Daha fazla ilerlemeden uzunluk ve enerji fonksiyonellerinin kritik noktaları­
nı karşılaştıran bir sonuç vereceğiz:
Ö nerm e 3.2.10. 1) Her parçalı türevlenebilir y : I ^ (M,g) eğrisi için
Lba(Y) < (b - a) E ba(Y) , a,b e 1 ,
eşitsizliği doğrudur. Eşitlik sadece ve sadece y eğrisi eğri uzunluğu ile parametrelendirilmiş ise sağlanır.
2) Y :[a,b] ^ (M,g) L( y ) = d(Y(a),Y(b)) koşulunu sağlayan bir jeodezik
olsun. Herhangi bir c : [a,b] ^ (M, g) eğrisi c(a) = Y(a), c(b) = Y(b)
koşulunu sağlıyorsa
E (y )
L( y )2 < L(c)2
< E(c)
b — a ~ b —a
olur. Dolayısıyla, E ( y ) < E(c) eşitsizliği sadece ve sadece c eğrisinin
L(c) = L( y ) koşulunu sağlayan bir jeodezik olması durumunda sağlanır. A y­
rıca, yeterince küçük jeodezik parçaları enerji fonksiyonelinin en küçük değeri
aldığı noktalar olur.
Kanıt : f, g : [a, b] ^ R sürekli fonksiyonlar olmak üzere Schwarz eşitsiz­
liğini hatırlayalım (bkz. Alıştırma 17):
d f
» î <
a f 2) ( f
g)
■
öyle ki, eşitlik sadece ve sadece f ve g fonksiyonlarının doğrusal bağımlı
olduğu durumda sağlanır. Bu durumda, f (s) = ||y (s)|| ve g(s) = 1 fonk­
siyonları için
(L ba (Y)) < (b - a)(E'a(y})
150
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
elde ederiz. Eşitlik ise sadece f (s) = |İ7 (s)|| fonksiyonun sabit olması duru­
munda sağlanır. O halde, ilk kısmın kanıtı tamamlanmış oldu.
İkinci kısmın ilk eşitsizliği 7 ve c eğrilerinin seçiminden dolayıdır. Bu­
radaki ikinci eşitsizlik ise bu önermenin ilk kısmının sonucudur. Ayrıca yine
ikinci eşitsizlik sadece c eğrisi eğri uzunluğu ile parametrize edilmişse doğru­
dur. Dolayısıyla, E (7 ) < E(c) eşitsizliği her zaman doğrudur ve eşitlik sadece
c eğrisi L(c) = d(c(a),c(b)) koşulunu sağlayan bir jeodezik ise sağlanır.
Son olarak, jeodezikler eğri uzunluğu ile parametrelendirilmiş ve yerel ola­
rak uzunluk fonksiyonun en küçük değerini aldığı eğriler oldukları için enerji
fonksiyonelinin de yerel olarak en küçük değerini aldığı eğrilerdir. □
Yukarıdaki sonuçlar iki noktayı bileştiren en kısa eğrinin var olması duru­
munda bunun bir jeodezik olduğunu gösteriyor. Aşağıdaki teorem ise jeodeziklerin tam manifoldlarda var olduğunu göstermektedir. Bu teoremin kanıtını
burada vermeyeceğiz (bkz. [31], s. 462, Teorem 18).
Teorem 3.2.11 (Hopf-Rinow-De Rham). (M,g) Riemann manifoldunurı jeo­
dezik tam olması için gerek ve yeter şart manifoldun üzerindeki Riemann met­
riği tarafından üretilen (bkz. Sayfa lf9 ) metriğin tam olmasıdır.
Ayrıca jeodezik tam bir manifold üzerinde, verilen herhangi iki noktayı bir­
birine bağlayan en kısa uzunluğa sahip bir jeodezik vardır.
Diğer taraftan herhangi bir U Ç M açık kümesi içindeki rastgele seçilen
qı,q 2 € U noktalarını birbirine bağlayan en kısa jeodezik U açık kümesinin
içinde kalmayabilir. Eğer bir alt küme, herhangi iki noktasını birbirine bağlayan
en kısa uzunluğa sahip jeodeziği de içeriyorsa bu kümeye jeodezik konveks
denir. Gauss Yardımcı Teoremi bize şu sonucu verir:
Teorem 3.2.12. (M, g) bir Riemann rnanifoIdu ve p € M bir nokta olsun.
Bu durumda öyle bir p > 0 sayısı vardır ki, TpM teğet uzayındaki p yarıçaptı
B (0, p) yuvarının Expp : TpM ^ M üstel fonksiyonu altındaki görüntüsü
jeodezik konvekstir. Başka bir deyişle, U = Expp(B(0, p)) açık kümesinde
herhangi iki noktayı birbirine bağlayan ve tamamen U içinde kalan tek bir
jeodezik vardır. Ayrıca bu jeodezik bu iki noktayı birbirine bağlayan (M,g)
manifoldu içindeki en kısa eğridir.
Teoremin kanıtı birçok adımdan oluşmaktadır. Aslında kanıt Spivak I. cil­
dindeki bir problemin çözümünü içermektedir (bkz.[31], s. 490, Alıştırma 32).
Spivak’m kitabı bu çözümü içermediği için burada vereceğiz.
Kanıt : Adım 1) p € M noktasının bir U komşuluğunda üstel fonksiyonun
tersinin vermiş olduğu koordinat sistemini alalım. Başka bir deyişle, /3 =
{v 1 , ••• , vn} kümes i TpM için bir sıralı taban ise (p noktasının yeterince
yakınındaki) her q € M noktası için
Expp 1 (q) = ^ 2 Xi(q)vi
151
J e o d e z ik le r
eşitliği ile tanımlanan Xi(q) fonksiyonlarının oluşturduğu koordinat sistemini
düşünelim.
îddia: Bu koordinat sisteminde tüm r kij Christoffel sembolleri p noktasında
sıfır değerini alır.
iddianın kanıtı : Herhangi bir u = (u \ , ■■■,un) € TpM vektörü için j(s ) =
Expp(su) jeodeziğini ele alalım. x i(j(s)) = sui olacağından
dxi(j(s))
s=°
ds
elde edilir. Bu durumda
(u\, ■■■, un) € TpM için
d2 x i(l (s)),
ds2 |s=°
ve
ui
0
için jeodezik denklemini yazarsak, her u =
7
0 = Y l rk3(p) uiui
i,j
bulunur ve böylece iddianın kanıtı tamamlanır.
A dım 2) Yukarıdaki koordinat sistemini kullanırsak, r : U ^ R, r(q) =
d(p, q) fonksiyonu olmak üzere r(j(s )) 2 = Yİk Yk(s) olduğu açıktır. Şimdi
Y(s) eğrisinin bir jeodezik olduğunu kabul edelim ve bu eşitliğin ikinci türevini
hesaplayalım:
d(r(Y(s)) 2 ) = d(E k Yk) = \ ^ 2 ~; dlk
ds
ds
k ds
k
ve buradan da
d2(r(Y(s)) 2 )
ds 2
2ç
{ d k Y k + ( d ; ? ) 2)
2 l ST' (
2
V ds )
\ k
v
7
rk Yk Çji (h i
^i,j,k liJ Y ds ds
buluruz.
A dım 3)
e
0* (
\ k
A
J
=E
i,j
dYi d j
ds ds
eşitsizliğinin orta terimine Schwarz eşitsizliğini uygularsak
0 * E
i,j
dji dn1
$ds $ds * ( e
2
ıj
(e
( £ ) ’) * » e
( £ )
152
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
ve dolayısıyla
1
d j <
0< n 7—^ ds ds < Ç
i,j
2
C D
elde ederiz. Gerekirse U kümesini küçülterek (bu ||'y(0) ^ vektörünü yeterince
küçük seçmek anlamına gelecektir) öyle bir pozitif K gerçel sayısı bulabiliriz
ki, verilen her 7 : [0, 1] ^ Expp(U) jeodeziği ve her k, s için j (s )| <
olur. r kj Christoffel sembolleri p noktasında sıfır olduğundan gerekirse
kümesini daha da küçülterek
1
K m a x { rj (q) \ q e U} <
n2
ı,3,k
olduğunu kabul edebiliriz. O halde, Expp(U) içinde kalan her 7 jeodeziği
için
V - r k Y d ji d jj
E r j Yk 1 7 1 7
< n K m ax{rkj (q) \ q e U} s--,dYi dYi
4-^ ds ds
i,j,k
1
<
1
n
n2
1
n
_
“
i,j
dji d jj
7—^ ds ds
i,j
d ji d jj
ds ds
1
Y
n ^ ds ds
1,3
eşitsizliği sağlanır. Şimdi yukarıdaki sonuçları kullanarak
d2(r(Y(s))2)
ds2
>
2 (ç
\ k
k Y k d ji d jj
( K ) 2 - ç r ij
ds ds
v
7
i,j,k
" (ç
( î ) ’
E
i,j,k
>
■(
Ç
( 'd k )
' -
n Ç
k Yk d ji d jj
ds ds
r ij
i Y
djj d j
ds ds
> 0
d2 (r (j (s))2)
elde ederiz. Dolayısıyla, s _ 0 noktasının etrafmda ----- d_2----- > 0 olur.
d (r (j (s))2)
Başka bir deyişle, ----- d------- bu aralıkta kesin artan bir fonksiyondur.
153
J e o d e z ik le r
A dım 4) iddia: e > O olmak üzere B e = {v € T pM | \\v \\ < e } ve
S e = { v € T pM \ ||v|| = e } olsun. Bu durumda e > O yeterince küçükse
ve y (s ), Y(O) € E x p p(S e) ve d (r (j )) 2/ d s \s=0 = O koşullarını sağlayan
bir jeodezik ise sadece y ’ya bağlı bir ö > O sayısı vardır öyle ki, her
O = s € (—ö, ö) için y (s ) € E x p p(B f) olur.
d ( r ( Y ( s ) ) 2)
iddianın kanıtı : Adım 3’den dolayı ------ -------- bu aralıkta kesin artan bir
ds
fonksiyon olduğu için öyle bir ö > O sayısı vardır ki, ( - ö, O) aralığında
d(r(Y)) /ds\s=0 < O ve (O, ö) aralığmda d(r( 7 )) /ds\s=0 > O olur. Aslında
aynı sonuç d (r(j))/d s için de doğrudur. Böylece iddianın kanıtı tamamlanır.
A dım 5) iddia: q, q' , r (q ) , r (qr) < e 0 koşulunu sağlayan iki nokta ve 7
bu iki noktayı birbirine bağlayan (uzunluğu 2e o ’dan küçük olan) bir jeodezik
olsun. Eğer e0 yeterince küçü kse r (j ) fonksiyonu en büyük d eğerini q ya
da q' noktasında alır.
iddianın kanıtı : e yukarıdaki gibi olmak üzere B(q, 3e0) Ç Expp(Bf) olacak
şekilde bir e0 > O seçelim. Bu duru mda 7 jeodeziği Expp(Bf) küresinin
içinde kalır. Şimdilik, r (j) fonksiyonun en büyük değerini uç değerlerde alma­
dığını kabul edelim. Eğrinin tanımlandığı aralığı gerekirse öteleyerek en büyük
değerin s = O noktasında ulaşıldığını kabul edelim. O halde,
O
d(r(Y(s)))
\s=0
ds
d(r(Y (s)))2
s=0
ds2
olur. Diyelim ki, l = r(j(O)) olsun. Bu durumda, y (O) € Expp(Sı) olur.
Şimdi l < e olduğundan Adım 4’den dolayı, j(s ) € Bı, O = s € (-ö , ö) olacak
şekilde bir ö > O sayısı vardır. Başka bir deyişle, s = O için r(j(s)) > l
çelişkisini elde etmiş olduk. O halde, r (j) fonksiyonu en büyük değerini iki
uç noktasından birinde almalıdır.
Son olarak p = e0 alırsak B(p, p) = Expp(Bp) yuvarı jeodezik konveks
olur. Böylece kanıt tamamlanır. □
H a tırla tm a 3.2.13. 1) p € (M, g) sabit bir nokta olsun. Eğer p noktasından
geçen her jeodezik tüm gerçel eksene genişletilebiliyorsa M manifoldu (jeode­
zik) tamdır (bkz.[31j, s. 498, Alıştırma 43). Bunu görmek için ilk önce manifoldun her noktasının (uzunluğu en küçük olan) bir jeodezik ile p noktasına bağla­
nabildiğini gösterebiliriz (bkz. Alıştırma 18). Dolayısıyla, Expp : TpM ^ M
üstel fonksiyonu örtendir ve M içindeki her sınırlı bölge TpM içindeki sı­
nırlı bir bölgenin görüntüsü içindedir. O halde, M içindeki her sınırlı bölge
TpM içindeki tıkız bir bölgenin görüntüsü içindedir. Buradan M içindeki her
Cauchy dizisinin yakınsak olduğunu görürüz. Böylece kanıt tamamlanır.
2) (M ,g) tam ama tıkız olmayan bir Riemann manifoldu olsun. Bu du­
rumda öyle bir 7 : [O, x>) M jeodeziği vardır ki, bu jeodezik, üzerinde verilen
her nokta çiftini birbirine bağlayan en kısa eğridir. Bunu görmek için ilk önce
154
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
(M, g) manifoldunun sınırsız olduğunu göstermeliyiz. Bunu kanıtladıktan son­
ra bir p € M noktası sabitleyelim ve her pozitif n tam sayısı için d(p, qn) > n
olacak şekilde bir qn € M noktası ve bu noktadan geçen ve en kısa uzunluğa
sahip bir j n (svn) : R ^ M jeodeziği seçelim, öyle ki, vn € S € Ç TpM ,
yeterince küçük bir kürenin içinde kalsın. Şimdi v0 € S€ vektörü, (vn) dizi­
sinin bu tıkız küre içindeki bir alt dizisinin limiti olsun. Aradığımız jeodeziğin
Y(s ) = Expp(sv0) eğrisi olduğunun gösterilmesini Alıştırma 19’de okuyucuya
bırakıyoruz. (Ayrıca bkz.[31j, s. 498, Alıştırma 44-)
3.2.2
H acim E lem a n ı v e Y ıldız O p era tö rü
R ie m a n n m e tr iğ i e ğ rile r in u z u n lu k la r ın ı h e s a p la m a n ın d ış ın d a d a ç o k k u lla n ış lı­
d ır. Ö rn e ğ in ,
gp = (
,
) : TpM x TpM ^
R
te ğ e t u z a y ı ü z e rin d e s im e trik ve
p o z itif b ilin e e r fo rm o ld u ğ u n d a n R ie m a n n m e tr iğ i te ğ e t d e m e tin d e n k o te ğ e t
d e m e tin e d o ğ a l b ir iz o m o rfiz m a v e rir:
u TpM - ^ U t ; m ,
p£M
p£M
v ^ v* : TpM ^
Ö rn e ğ in
R,
v*(w) = gp(v,w), w € TpM .
w = ^fii bi(x) dxi f o r m u n a k a r ş ı l ı k g e le n v e k t ö r
X = i ai Şfi, is e h e r v € TpM iç in
a la n ın ı h e s a p la y a lım :
B u v e k tö r a la n ı
w(p)(v) = gp (X (p),v)
o la c a k tır .
O
h a ld e ,
v = fijf i
a lırs a k
d
d
bj (p) = w( dXj ) = gp(X (p')ı dXj ) = Y l, gn (p)ai (p)
o lu r . B u r a d a n ,
ai = Yİj bj gij
X
v e d o la y ıs ıy la ,
d
E b j gij dxi
i,j
o la ra k b u lu n u r .
Ö rnek 3.2.14. f : (M ,g) ^ R türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bu durum­
da, yukarıdaki izomorfizma altında df 1-formuna karşılık gelen vektör alanına
f fonksiyonun gradyan vektörü, denir ve grad(f) veya V f ile gösterilir:
Vf = E g
ij
Öklit uzayında g j
d fd _
dxj dxj, ’
dij olduğundan V f =
d fd
E d xi dxj,
olur.
155
J e o d e z ik le r
Metrik ile elde edilen
d
T*M —m U M , dxj m X j = V gij —
3
dxi
i
vektör uzayı izomorfizması T *M üzerinde de bir metrik verecektir:
(dxj ,dxk ) t *m = (X j , X k) t *m =
i
g13 d~., ^ 2 glk
i l
)T*M
ve buradan
( dx j , d x k) t *m = ^
i,l
g ij g lk g ii = ^
g ij k
k = g kj
i
elde ederiz. Başka bir deyişle, koteğet vektör demeti üzerindeki metrik teğet
demeti üzerindeki Riemann metriğinin tersinden başka bir şey değildir.
Bir vektör uzayı üzerindeki iç çarpım bu uzayın tensör çarpımlarına doğal
olarak genişletilebilir. (V, • ) iç çarpım uzayı ise V ® V üzerindeki iç çarpım
şu şekilde tanımlanır:
(v\ ® Uı) •(V2 ®U2 ) = ^ ( v ı • V2 ) (u\ • U2 ) .
Bu tanımı tüm V®k tensör
ve dolayısıyla değişmeli fc-formlara
genişletebiliriz. Bir örnek vermek gerekirse, w = f dxi Adxj ve v = h d xk Adxl
olmak üzere
w •v
=
( f (dxi ® dxj — dxj ® dxj)) • (h (dxk ® dxl — dxl ® dxk))
=
f h (gikgjl —gilgjk)
ve
w • w = ( f (dxi ® dxj — dxj ® dxi)) • ( f (dxi ® dxj — dxj ® dxi))
=
f 2 (giigjj — (gij)2)
elde edilir (giigjj — (gij)2 > 0 olduğu açıktır, çünkü koteğet uzayındaki iç
çarpımın {dxi,d x j} kümesinin gerdiği alt uzaya kısıtlaması da bir iç çarpım
verir). Genel durumu alıştırmalara bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 20).
H a tırla tm a 3.2.15. Bu tanım, V x V çarpım uzayında bir iç çarpım vermez.
Şimdi dış formlar üzerinde tanımladığımız iç çarpımı kullanarak yıldız ope­
ratörünü tanımlayacağız. (V,< • , • >) n-boyutlu yönlendirilmiş bir iç çarpım
uzayında alman herhangi V]_, ••• ,v n (sıralı) vektörlerinin belirlediği paralel
yüzlünün işaretli hacmi şu şekilde tanımlanır: Bu vektör uzayının sıralı ortonormal bir {e1, • • • , en } tabanını alalım ve vi = Yİj aij ej yazalım, i = 1, • • • ,n.
156
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Daha önce bu vektörlerin belirlediği cismin işaretli hacmini d e t (a ij ) olarak
tanımlamıştık, (a j ) matrisi {v 1, ■■■, vn} sıralı tabanından {eı, ■■■, e n } sıralı
tabanına geçiş matrisidir. Eğer (bj = < Vi ,Vj >) bu iç çarpım in v 1, ■■■, v n
sıralı tabanındaki matris gösterimi ise det(bij ) = det(aij) 2 olduğu kolayca
görülür (bkz. Alıştırma 21).
Buna göre, eğer x 1 ■■■, x n koordinat sisteminde Riemann metriği g = (g ij )
matrisi ile veriliyorsa hacim formu
dvol( M,g) =
v d e t ( g ij ) d x 1 A^ ■■A d x n
şeklinde tanımlanır. Aynı açık küme üzerinde bir başka yönlendirilmiş koordi­
nat sistemi (y1, ■■■, yn) = 0 (x 1 ■■■, x n) ise, metriği 0 yardımıyla y 1, ■■■,y n
koordinat sisteminde yazarsak
h ■■
hij
1
| det(D0)| gij
elde ederiz. Diğer taraftan,
dy1 A ■■■A dyn = det(D0) dx1 A ■■■A dxn
olduğundan
^J~det{ğîj) dx1 A ■■■A dxn = y^det~{hîj) dy1 A ■■■A dy,,
olur. Dolayısıyla, hacim formu iyi tanımlıdır.
Ö rnek 3.2.16. R3 içinde türevlenebilir bir fonksiyonun grafiği olarak z =
f (x, y) ile verilen yüzeyi, içinde bulunduğu Oklit uzayının Riemann metriği
ile düşünelim. Yüzenin üstünde (x,y) ^ ( x , y , f (x,y)) koordinat sistemini
alalım. Bu durumda, {(1, 0, f x (x,y)), (0,1, f y(x,y))}, kümesi yüzenin her­
hangi bir noktasındaki teğet uzayının bir tabanı olacaktır. Metriği bu tabanda
yazarsak
fx fy
(gij) = ( \ + f
\ Jx Jy 1 + f2
matrisini elde ederiz. O halde, hacim elemanı
dvol = J 1 + fX + f f dx A dy
formu olur (genel durum için Alıştırma 22’e bakınız).
Benzer şekilde iki boyutlu ve r > 0 yançaph kürenin hacim formunu
(Q,4>) ^ (r cos d sin 0 ,r sin d sin 0 ,r cos 0 , ) ,
(0,4>) € [0,2n] x [0,n],
küresel koordinatlarında yazarsak
dvolS 2 = r 2 sin 0 dd A d0
elde ederiz.
157
J e o d e z ik le r
Şimdi Riemann metriğinin formlar üzerinde verdiği doğal iç çarpımı kul­
lanarak yıldız operatörünü tanımlayacağız. (M n , g) Riemann manifoldunun
herhangi bir u € Qk ( M ) formunu alalım. Bu formun yıldızı olarak adlandı­
racağımız *u € Qn -k ( M ) formu
V
A * u = ( u ■ v) dvol (M,g) , V € ü k ( M ),
eşitliği ile tanımlanır. Yıldız işlemi bir vektör uzayı homomorfizması verir:
* : Ük( M )
Ün -k ( M ) .
Bu operatör Riemann metriğine bağlı olsa da her metrik için
*( *u ) = ( - 1) k(n-k) u ,
u
€ Qk ( M )
eşitliği sağlanır. Bunu görmek için verilen p € M noktam daki TpM teğet
uzayının ortonormal bir tabanını alalım ve bu vektörleri teğet uzayının koor­
dinat eksenleri olarak görelim, x 1 ■■■, x n . E x p p : T pM ^ M yerel difeomorfizmasmm p noktası etrafında vermiş olduğu koordinat sisteminde Riemann
metriğini yazarsak g ij (p) = öij elde ederiz. Buradan, Riemann metriğinin hem
koteğet demetinde hem de türevlenebilir formlarda verdiği metriğin p nokta­
sındaki matris gösterimlerinin birim matrisler olduğunu görürüz. Bu durumda,
*(dxı A ■■■A dxk) = dxk+1 A ■■■A dxn
ve
*(dxk+1 A ■■■A dxn) = (—ı ) k(n-k) d x1 A ■■■A dxk
elde edilir. Diğer taban elemanları için de aynı hesaplamayı yapabiliriz. Do­
layısıyla, *(*u) = (—l) k(n-k) u eşitliğini kanıtlamış olduk.
Ö rn ek 3.2.17. R4 Oklit uzayında yıldız operatörünü yazalım. Bu uzay üzerin­
de {
, dx3, dx4 } tabanının verdiği yönlendirmeyi alalım. Yukarıdaki
paragraftan dolayı
*(dx1 A dx2) =
dx3 A dx4
*(dx1 A dx3) =
*(dx1 A dx4) =
- d x 2 A dx4
dx2 A dx3
elde edilir. Benzer şekilde
*dx1 = dx2 A dx3 A dx4
*dx2 = - d x 1 A dx3 A dx4
*dx4 =
olur.
- d x 1 A dx2 A dx3
158
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Şimdi de genel bir metrik için 1-formlarm yıldızını yerel koordinat siste­
minde hesaplayalım, w = i ai dxi formunun yıl dizi *w = ^ i ci dxi olsun
(dxi ile, daha önceden olduğu gibi, dx1 A ••• A dxi-1 A dxi+1 A ■■■ A dxn
n — 1-formunu gösteriyoruz). Tanımdan dolayı, her v = ^ f i bi dxi 1-formu
için
V A*W = (w ■ V) dvol(M,g)
sağlanacaktır. Buradan
( ^ ( - 1 ^ l bi Ci) d x ı A ■■■A dx n = ( ğ d e t( g j) ^ a i bj g ij) d x ı A ■■■A d x n
i
i,j
elde ederiz. Bu eşitlik her v için geçerli olduğundan
ci = (-1 )i-1 Ç d e tgij E
aj gij)
j
olmalıdır. O halde, *w formunu hesaplamış olduk. Bu eşitliği ai için çözersek
verilen bir (n — 1)-formun yıldızı olan 1-formu da hesaplamış oluruz:
ai = ç det gij (Y ^ (—1)j-1 cj gij) ■
j
Son olarak w = df = Y1i dhö dxi alırsak
*(d f ) = e
d e t g ij
Y İ (—1)i 1 E
i
j
f
i
g ij) d x i
elde edilir.
Ö rnek 3.2.18 (E. Hopf’un Teoremi). Türevlenebilir bir f : M ^ R fonk­
siyonun Laplace’ı A f = *d * d ( f) fonksiyonu olarak tamrnlamr. M = R n
manifoldunu Oklit metriği ile düşünürsek (gij = öij ) Laplace operatörünün
△ f = *d * d(f ) = ^
^
i
i
şeklinde verildiği görülür. H opf’un teoremi, yönlendirilebilen bağlantılı tıkız bir
M manifoldu üzerinde, A f > 0 koşulunu sağlayan fonksiyonların sabit
fonksiyonlar olduğunu söyler. Bu örnekte bu teoremin bir kanıtını vereceğiz
(bkz. [8j, s. 85). ilk önce, Stokes TeoremÂ’nden her f : M ^ R fonksiyonu
için,
İM
A f dvol(M,g)
f d(*df) = t
M
JâM=0
(*df) = 0
159
J e o d e z ik le r
olduğunu görürüz. Diğer taraftan, bize A f > O verilmiş olduğundan A f = 0
elde ederiz. Şimdi de f 2/2 fonksiyonunun Laplace’ım hesaplayalım:
A ( f 2/2)
=
*d * d (f 2/2)
=
*d(f * d f)
=
*(df A *df + f d * d f)
=
*(df A *df) + f (*d * d f)
=
||V f ||2 + f A f .
Aslında, son eşitliğin ilk teriminin hesabını biraz daha detaylı yapabiliriz: Gradyan vektörünün norm karesi
IV f II2 = ( v f , V f )
g
E
ijdf d
dxj d xi
E
9
“ dxk dxı
d fd f
E 3tj 9kl 9il dxj d xk
i,j,k,l
d fd f
J ^ g ij Sik
dxj d xk
E g
d fd f
1
d xi dxj
olarak hesaplanır. Diğer taraftan, yukarıda elde ettiğimiz 1-formlarm yıldızının
ifadesini kullanarak
df A *df
=
(
Ef
dxi) A ^ / d e t ^
\ / det(gij) (E f
k
E (-1 )i *E fd f
dxk) A (J 2 (-1 )i 1f
gij dxi)
i,j
j
\J det(gij) (E d xif dxj gij) d xı A ^ ^ A dx'
i,j
=
IlV f ||2 dvol(M,g)
elde ederiz. Şimdi teoremin kanıtım bitirebiliriz:
O =
=
g i dxi)
/ A ( f 2/2)
Jm
f f ( A f) dvol(M,g) + / I V f ||2 dvol(M,g)
Jm
Jm
= O+ / I V f II2 dvol(M,g) ,
Jm
160
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
eşitliği bize V f = 0 olduğunu gösterir. Ayrtca,
0= Vf = Ç g
ij
d fd
dxj dxi
denklemindeki (g ij) matrisinin tersi olduğundan, her i için d f / d x i = 0
sonucuna varırız. Son olarak manifold bağlantılı olduğundan f : M ^ R
fonksiyonunun sabit olması gerektiğini görürüz.
3.3
3.3.1
V ektör D em etleri
T e m e l T a n ım la r
Bu bölümde ele alacağımız vektör demetleri lıerrı geometrinin lıeırı de topoloji­
nin temel konularmdandır. Tür evlenebilir bir manifoldun teğet demeti en doğal
vektör demeti örneğidir. Yine teğet demetinden doğrusal cebir yöntemleri ile
elde edilen koteğet demeti de vektör demetlerinin teorisinde çok önemli bir yer
tutar. Vektör demetlerinin tanımını vermeden önce (ko)teğet demetinin tanı­
mını hatırlayalım: M atlası { ç a : Ua ^ Va} olan türevlenebilir bir manifold
olsun. Bu durumda, manifoldu
M =
Ua Ua - ü a Va / x - (Ç ş OÇ - l ) ( x)
şeklinde yazarsak teğet demetini de geçiş fonksiyonlarının türevlerini kullana­
rak aşağıdaki şekilde ifade etmiştik:
TM
=
Ua T U
-
Ua Va X R™/ ( x , V) ~ ( ( Ç ş ◦ Ç - l ) ( x ) , D ( Ç ş ◦ İÇ- l ) x (v))
Şekil 3.2: Teğet demetinin koordinat fonksiyonlarıyla kuruluşu:
(x,v) - (y,u) = ((Çf ◦ ç - 1)(x ), d (çş Oç - v)x(v))
161
V e k tö r D e m e tle r i
B e n z e r ş e k ild e
T* M
= Ua T*Ua
-
Ua Va X M™/{ X, (D(<pp ◦ p - 1)x)*{W)) ~ {{<fiŞ O^ - 1){X),u)
k o t e ğ e t u z a y ı n ı m a n i f o l d u n g e ç iş f o n k s i y o n l a r ı n ı n t ü r e v l e r i n i n d u a l l e r i n i k u l l a ­
n a r a k y a z m ış tık . S o n o la r a k , f o r m la r ın g e ri ç e k m e iş le m in i k u ll a n a r a k m a n ifo ld
ü z e rin d e k i
f c - f o r m la r m d e m e t i n i n
A ltk {M ) =
U«Al t fc{T *Ua)
-
Ua Altk(Va) / -
ş e k lin d e v e rild iğ in i g ö r m ü ş tü k . B u y a p ıla r ın h e p s i a ş a ğ ıd a ta n ım la y a c a ğ ım ız
v e k tö r d e m e tle r in e b ir e r ö rn e k tir.
T anım 3.3.1. P : E m+k ^ M m aşağıdaki özellikleri sağlayan türevlenebilir
manifoldlarm türevlenebilir bir fonksiyonu olsun:
1. Her p € M için, Ep = P -1 {p) k-boyutlu gerçel vektör uzayıdır;
2. M manifoldunun yerel sonlu ve sayılabilir bir {Ua } açık örtüsü vardır
öyle ki,
a) Her a için, bir f a : P -1 {Ua) ^ Ua X Rk difeomorfizması vardır,
b) Her a ve p € Ua için,
fia\Ep : Ep ^ {P} X Rk
kısıtlanışı bir vektör uzayı izomorfizmasıdır.
Bu durumda P : E m+k ^ M m M-manifoldu üzerinde k-boyutlu bir gerçel
vektör demeti olarak adlandırılır. M manifolduna vektör demetinin tabam,
E m+k manifolduna vektör demetinin topla m uzayı ve Ep ters görüntüsüne
vektör demetinin bir lifidir denir. Ayrıca, P : E m+k ^ M m fonksiyonuna
vektör demetinin iz düşüm fonksiyonu ve
fa : P -1 {Ua) ^ Ua X Rk
difeomorfizmalarma da yerel çarpım fonksiyonları denir.
Herhangi bir V vektör uzayı için, E = M X V ^ M, {p, v) ^ p şeklinde
tanımlanan vektör demetine lifi V olan aşikar vektör demeti denir.
P1 : E 1 ^ M
ve P2 : E 2 ^ M
g i b i ik i v e k t ö r d e m e t i a r a s ı n d a lif le r i
k o r u y a n v e h e r lif ü z e r in d e d o ğ r u s a l b ir iz o m o rfiz m a o la n b ir
d if e o m o rf iz m a s m a
F : E 1 ^ E2
vektör demeti izomorfizması
F : E 1 ^ E2
d e n i r . E ğ e r lif le r i k o r u y a n b i r
tü r e v le n e b ilir f o n k s iy o n u h e r b ir lif ü z e r in d e b ir e b ir d o ğ r u s a l
b ir d ö n ü ş ü m v e rirs e
P2 : F {E 1 ) ^ M
b ir v e k tö r d e m e ti o lu r v e b u d e m e t
162
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
P1 : E 1 ^ M d e m e t i n e izomorfiktir. Bu vektör demetine P2 : E 2
vektör demetinin bir alt vektör demeti denir.
Herhangi bir vektör demetinin
M
&a&/3-1 (P,v) = (P,ta/3 (p)(v)), (P,V) € (Ua H Ufi) X R k
yerel çarpım fonksiyonlarını kullanarak tanımlanan
ta p : ( Ua H U i) ^ G L ( k, R )
fonksiyonlarını düşünelim. Bu fonksiyonlar her a, fö, 7 için, bir çeşit kohomoloji koşulu olan
t a/3 0 t f3j = t aj
çember koşulunu sağlar. Bu fonksiyonlara vektör demetinin bir yapı fonksiyon­
ları ailesi denir. Diğer taraftan, çember koşulunu sağlayan
t a i : ( Ua H Up) ^ G L ( k, R )
fonksiyonlarını kullanarak bir başka vektör demeti kurabiliriz:
E = \ J ( Ua X R k) / (p ,v ) ~ (p ,ta p (p ) ( v )) .
Yerel çarpım fonksiyonlarını kullanarak bu vektör demetinin P : E ^ M
vektör demetine izomorfik olduğunu görebiliriz (bkz. Alıştırma 24).
Herhangi bir P : E ^ M v e k t ö r d e m e t i için P 0 s = idM koşulunu
sağlayan fonksiyona vektör demetinin kesiti denir. Şimdi bu demetin bir s :
M ^ E k e s i t i n i a l a l ı m . Bu kesitin yerel f a : P -1 ( Ua) ^ Ua X R k çarpım
fonksiyonu altındaki yerel ifadesini sa : Ua ^ Ua X R k ile gösterirsek, her
a, fö iç i n , t ap ( sa ) = sp eşitliği sağlanır. Bir vektör demetinin kesitlerinin
oluşturduğu küme doğal bir şekilde vektör uzayıdır (aslında bu küme, manifold
üzerinde tanımlı türevlenebilir fonksiyonların oluşturduğu halka üzerinde bir
modül oluşturur, bkz. Alıştırma 23) ve r ( E ) ile gösterilir.
P : E ^ M v e k t ö r d e m e t i n e ait bir t ap : ( Ua H Up) ^ G L ( k, R ) yapı
ailesi için t ap ( Ua H Up) Ç H < G L ( k, R ) o l a c a k ş e k i l d e bir H < G L ( k, R ) alt
grubu varsa vektör demetinin yapı grubu H grubuna indirgenmiştir denir. Bir
vektör demetinin grubu determinantı pozitif olan matrisler alt grubuna indirgenebiliyorsa bu vektör demetine yönlendirilebilir vektör demeti denir. Yönlen­
dirilebilir bir manifoldun teğet demeti de yönlendirilebilir (bkz. Alıştırma 25).
Yukarıdaki tanımda R k yerin e C k alırsak karmaşık
vektör demetlerinin tanımını elde ederiz. Karmaşık vektör demetlerinin doğal
bir yönlendirmesi vardır (bkz. s. 166)
H a t ı r l a t m a 3 .3 .2 . 1 )
163
V e k tö r D e m e tle r i
2)
P : T*M — M
teğet ve P : T*M — M
boyutlu, ve P : AUk (M ) — M
koteğet demetleri k = m-
ise ( m ) -boyutlu gerçel vektör demetidir.
Ayrıca, M karmaşık manifold olduğunda bu vektör demetleri de doğal olarak
karmaşık vektör demetleri olurlar.
3) Herhangi bir manifold üzerine Riemann metriği koymak için kullandığımız
metottan yararlanarak verilen bir vektör demeti üzerine iç çarpım koyabiliriz.
Bu durumda vektör demetinin yapı grubunu ortogonal grup O(k) ’ye indir­
geyebiliriz: Vektör demetinin
fa : P -1 (Ua) — Ua X R*
gibi bir yerel çarpım fonksiyonunu ele alalım. Vektör demetinin liflerdeki doğru­
sal izomorfizma ile her {p} X R k lifine taşıyalım:
gp( , ■) : Rk X Rk — R .
Her i = 1, ■■■,k için,
Si : Ua — Ua X R k , Si(p) = (p, (0, ••• , 0,1, 0, ••• , 0))
türevlenebilir kesitlerini tanımlayalım. Bu kesitlere Gram-Schmidt yöntemini
uygulayarak her lifte ortonormal taban veren {r\, ■■■, r*} kesitlerini elde ede­
lim.. Şimdi yeni bir yerel çarpım fonksiyonu yazalım:
f°a : P -1 (Ua) —
Ua
x
R k,
(p,v)
—
(p, gp(v, rı(p )), ■■■
Gram-Schmidt yönteminin ifadesi analitik olduğundan bu fonksiyon bir difeomorfizma ve çarpım fonksiyonudur. Bu çarpım fonksiyonlarına karşılık gelen
yapı fonksiyonları O(k) değerli olacaktır. Eğer manifold aynı zamanda yön­
lendirilebilir bir manifold ise yapı grubunu SO(k) grubuna da indirgeyebiliriz.
Benzer şekilde, karmaşık bir vektör demeti üzerine de her zaman Herm.ityan bir yapı konabilir. Üzerinde metrik olan bir gerçel vektör dem,etinin yapı
grubunu GL(k, R) ’den O(k) ’e indirgeyen m,etot, benzer şekilde, üzerinde Herrnityan metrik olan bir karmaşık vektör dem,etinin yapı grubunu GL(k, C) ’den
U(k) ’e indirger.
Son olarak bu söylediklerimizin basit bir uygulamasını verelim,: U(1) =
S 1 = SO(2) olduğundan her karmaşık doğru demeti yönlendirilmiş bir gerçel
düzlem demeti olarak görülebilir. Tersine, her yönlendirilmiş bir gerçel düzlem
demeti de bir karmaşık doğru demeti olarak görülebilir.
3 .3 .2
V ek tör D e m e tle r i Ü zerin d e İşlem ler
Bu alt bölümde vektör demetleri üzerindeki işlemleri inceleyeceğiz. Bir mani­
fold üzerindeki vektör demetlerini parametrize edilmiş (manifoldun noktaları
,gp(v,rk (p))) .
164
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
ile) vektör uzayları olarak görebiliriz. O halde, vektör uzayları üzerindeki tüm
işlemleri vektör demetlerine taşıyabiliriz. Bu bölümde genelde gerçel vektör
demetleri ile çalışsak da aşağıdaki tanımladığımız tüm yapılar karmaşık vektör
demetleri için de geçerlidir.
Rankları sırasıyla k 1 ve k 2 olan E 1 ^ M ve E 2 ^ M iki vektör demeti
alalım. Bu demetlerin ortak bir açık örtü üzerinde verilen yapı fonksiyonları
(i = 1, 2)
C f : Ua n Uf ^ G L ( k i , R)
olsun.
V ektör D e m etlerin in Toplam ı : Bu iki vektör demetinin E ı ® E 2 M
toplamı, herhangi bir p € M noktasındaki lifi E 1p ® E 2p toplam uzayı olan
ve
t a f : Ua n Uf ^ G L(kı + k2 , R) ,
p^
^ 0 (p) ^ 0 (p)
yapı fonksiyonları ile verilen vektör demeti olarak tanımlanır.
Ö rnek 3.3.3. Geometri ve topolojide çok önemli bir yer tutan normal demeti
tanımlayalım: (M, g) bir Riemann rnanifoIdu ve L C M bir alt manifold ise
bu alt manifoldun normal demeti
v(L) = {(p,v) € T*M | p € L, gp(v,u) = 0 , for ali u € TpL} ,
ile tanımlanır. Şimdi, v ( L ) ’nin T*M\l ^ L vektör demetinin bir alt de­
meti olduğunu görelims. Yerel bir (x]_, ■■■ ,xı, ■■■ ,x m) koordinat sisteminde
L alt manifoldu xı+1 = ■■■ = x m = 0 denklem sistemiyle verilsin. Bu
d
d
durumda (x 1, ■■■ ,x ı , —— , ■■■ , —— ) fonksiyonları T * M ı. üzerinde bir kodx ı
dxm
ordinat sistemi verirler. Yukarıdaki uyarıda yaptığımız gibi bu vektör demetinin
d
Si(p) = d— kesitlerine Gram-Schmidt yöntemini uygulayarak r 1, ■■■,r m ortogonal kesitlerini elde edelim.. Gram-Schmidt yönteminin ifadesinden dolayı
{r1, ■■■ ,r ı} taban ı T*L ’nin geri kal an {rı+1, ■■■ ,r m} kısmı da v (L) nor­
mal demetin tabanını verir. Dolayısıyla,
v (L)ua ^ Ua x Rm-1, (p,v) ^ (p,gp(v,rı+ 1 (p)), ■■■ ,gp(v,rm(p)))
istenilen çarpım fonksiyonunu verir.
Aslında,
T*M\l ^
Ua X
Rı
® R m-1,
(p,v)
^
(p,gp(v,r 1 (p)), ■■■
çarpım fonksiyonu T*M\l = T*L ® v(L) olduğunu gösterir. Başka bir deyişle,
ve B v(L) sırasıyla T*L ^ L ve v(L) ^ L vektör demetlerinin yapı
matrisleriyse T*M\l vektör demetinin yapı matrisi
( A t ^l
0
V 0
B V(L)
şeklindedir.
,gp(v, r
165
V e k tö r D e m e tle r i
H om om orfizm alar D em eti : Herhangi bir p € M noktasındaki lifi E 1
ve E 2 demetlerinin o noktadaki liflerinin hom(E1p,E 2p) homomorfizmalar
uzayı olan vektör demetini hom(E1,E 2) ^ M ile göstereceğiz. Bu vektör
demetinin yapı fonksiyonları
i t 7 {El,E2) : Ua n Uf ^ GL(hom(Rfcl, Rfc2) , R)
7 7 7 {El,E2) (p) ( L ) = 0Ef (p ) 0 L 0 (0E1 (p ) ) -1
ile verilir. Bunu şu şekilde görebiliriz: u = 0 ^ (p ) ( v )
(p ) ) ( v )) =
ve w = L ( v ) ise
^ 5 (p ) ( w )
olacaktır.
Tensör çarpımını oluşturan demetlerden İkincisini E 2 = M x R aşikar
vektör demeti alırsak hom(E1;E 2) ^ M demeti E 1 ^ M vektör demetinin
dual demeti olarak adlandırılır ve kısaca E1 ^ M olarak yazılır.
Vektör D em etlerinin Tensör Çarpımı : E 1 0 E 2 M tensör çarpımı,
herhangi bir p € M noktasındaki lifi E 1p 0 E 2p tensör çarpım uzayı olan ve
0 af
: Ua n Uf ^ G L ( k 1k 2, R )
,
p
^ 7 af (p) 0 0 l f (p)
yapı fonksiyonları ile verilen vektör demeti olarak tanımlanır.
Karmaşık sayıları gerçel sayılar üzerinde iki boyutlu gerçel vektör uzayı
olarak görebiliriz. O halde, E 2 = M x C ^ M, (p, z) ^ p, iki boyutlu aşikar
vektör demeti ise bu demetin yapı fonksiyonları birim matris ile verilir:
0 i f : Ua n Uf ^ G L ( 2 , R),
p^
Bu özel halde, E 1 0 E 2 ^ M 2k1-boyutlu karmaşık vektör dem eti olur, E 1 ^
M vektör demetinin karmaşıklaştırması olarak adlandırılır ve kısaca E 10 C ^
M ile gösterilir.
1 x 1-lik matrislerin tensör çarpımı da 1 x 1-lik olduğundan gerçel (ya
da karmaşık) bir boyutlu iki vektör demetinin tensör çarpımı yine bir boyutlu
olacaktır. Bu işlem bir manifold üzerindeki doğru demetlerinin kümesini bir
monoid yapar. Diğer taraftan, yapı fonksiyonları
0 a f : Ua n Uf ^ GL(1, F), (F = R/C )
ile verilen herhangi bir L ^ M gerçel veya karmaşık doğru demetinin dualinin
yapı fonksiyonları
0 - 1 : Ua n Uf ^ GL(1, F), (F = R/C)
166
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
ters matrisler ile verileceğinden her doğru demetinin duali ile tensör çarpımı
aşikar doğru demeti olacaktır. Dolayısıyla, doğru demetleri kümesi tensör çar­
pımı altında bir değişmeli grup oluştururlar (çarpma işlemi 1 x 1-lik matrisler
üzerinde değişmeli bir işlemdir). 0(1) = Z2 ve 5 0 (1 ) = {1} olduğundan
gerçel her L ^ M doğru demeti için L 0 L aşikar doğru demetidir. Dolayı­
sıyla, bir manifold üzerindeki gerçel doğru demetlerinin oluşturduğu değişmeli
grup bir 2-gruptur (birim eleman dışındaki her elemanın mertebesi ikidir).
D e te rm in a n t D oğru D em eti: E ^ M rankı k-olan bir gerçel vektör demeti
olsun. Bu demetin
^ap : Ua n Up ^ G L ( k, R) ,
yapı fonksiyonlarının det : G L ( k, R) ^ R = GL(1, R) determinant fonksiyonu
ile bileşkeleri,
î>a/3 = det o^ap : Ua n Up ^ G L ( k, R) ,
rankı bir olan bir vektör demeti tanımlar. Bunu görmek için
^ap o ^P y —^aY
çember koşulunun determinantını almak yeterlidir. Determinant fonksiyonu bir
grup homomorfizması olduğundan
'ipaP o '^PpY —VtaY
eşitliği elde edilir. Bu vektör demetine E ^ M demetinin determinantı denir
ve genellikle det(E) ^ M ile gösterilir. Aynı şekilde karmaşık vektör de­
metlerinin determinantlarını tanımlayabiliriz. Bir gerçel vektör demetinin yön­
lendirilebilir olması yapı grubunun GL+ ( k, R) alt grubuna indirgenmesine
denk olduğundan yönlendirilebilir vektör demetlerinin determinantları aşikar
doğru demetleridir (bkz. Alıştırma 28). Örnek 2.3.9’de her karmaşık matrisi de­
terminantı pozitif olan gerçel bir matris olarak ele alabileceğimizi görmüştük.
Başka bir deyişle G L ( k, C) grubu GL+ (2 k, R )’nin bir alt grubudur. O halde,
bir karmaşık vektör demetinin yapı fonksiyonlarının G L ( k, C) ^ G L (2 k, R)
içerme homomorfizması ile bileşkesini alarak bu vektör demetini gerçel rankı
karmaşık rankınm iki katı olan yönlendirilmiş gerçel bir vektör demeti olarak
görebiliriz.
V ektör D em etleri Ü zerin d e K arm aşık Y apılar: Şimdi de gerçel bir vek­
tör demetin ne şekilde karmaşık bir demete dönüştürülebileceğini göreceğiz.
Başka bir deyişle, rankı 2 k olan yönlendirilmiş gerçel bir vektör demetinin
GL+ (2 k, R) yapı grubunun
G L ( k, C) C GL+ (2 k, R)
alt grubuna indirgenebilmesini sağlayan bir kriter vereceğiz. R2fc üzerinde bir
karmaşık yapı ile karesi J 2 = - I d olan bir J : R2fc ^ R2fc endomorfizmasını anlayacağız. Her çift boyutlu vektör uzayı üzerinde sayılamaz çoklukta
167
V e k tö r D e m e tle r i
karmaşık yapı olduğu açıktır (bkz. Alıştırma 29). Bir vektör demetinin her lifi
üzerine, noktaya göre değişimi türevlenebilir olan, karmaşık yapılar koyabil­
diğimizi düşünelim. Başka bir deyişle, E ^ M rankı 2k olan bir vektör
demeti olmak üzere
hom(E, E) ^ M
demetinin her p € M için, Jp = -IĞ e koşulunu sağlayan bir
J : M ^ hom(E, E ) , p ^ Jp : E ^ E
kesitinin varlığını kabul edelim. Böyle yapılara vektör demeti üzerinde bir karmaştk yapı denir. Karmaşık yapıların varlığı genellikle cevabı zor olabilen (ce­
birsel) topolojik bir problemdir.
Şimdi bir karmaşık yapının GL+(2k, R) yapı grubunu GL(k, C) grubuna
indirgediğini görelim. Yerel bir $a : P -1 (Ua) ^ Ua x R2fc çarpım fonksiyonu
altında demetin hiç bir noktada sıfır olmayan bir
X1 : Ua ^ Ua x R2fc
kesitini alalım. y 1(p) = J(p) o x 1(p) şeklinde tanımlanan kesiti düşünelim.
Jp = —Id olduğundan her p € Ua için, { x 1(p), y 1(p)} kümes i Ep vektör
uzayı içinde doğrusal bağımsızdır. Çünkü c1x 1(p) + d1y 1(p) = 0 olacak şekilde
c1, c2 € R gerçel sayıları varsa, bu denkleme Jp uygulayarak —d1x 1(p) +
c1y 1(p) = 0 denklemini elde ederiz. Bu iki denklemden kolay bir şekilde (c2 +
d2) x 1 = 0 elde ederiz. x 1(p) = 0 şeklinde seçilmiş olduğundan c1 = d1 =
0
varırız. Şimdi bir üçüncü x 2 : Ua ^ Ua x R2fc kesiti seçelim
öyle ki, yine her noktada { x 1(p), y 1(p), x 2(p)} kümesi Ep vektör uzayı
içinde doğrusal bağımsız olsun (bu kolayca yapılabilir). Benzer şekilde, y2(p) =
J(p) o x 2(p) ile tanımlanan kesit bize yine her noktada doğrusal bağımsız
{ x 1(p), y 1(p), x 2(p), y2(p)} kümesini verecektir. Bunu görmek için bazı cp di
1 = 1, 2, gerçel sayıları için
c1x1(p) + d1y1 (p)1 + c2x2(p) + d2y2(p) = 0
olduğunu varsayalım. Bu denkleme önce Jp uygulayarak
—d1x1(p) + cpy1(p) — d2x2(p) + c2y2(p) = 0
denklemini elde ederiz. Daha sonra ilk denklemi c2l ikinci denklem i de —d2
ile çarpıp toplarsak
( c c + d d )x 1 (p ) + (c2d1 — c d )y 1 (p )
x2{p) = ------------------- 4 + 4 --------------------elde ederiz (bir önceki paragraftan dolayı
+ dp = 0 olduğunu biliyoruz).
Fakat bu { x 1(p),y1(p),x2(p)} kümesinin doğrusal bağımsız olmasıyla çelişir.
168
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Bu şekilde devam ederek, her noktada doğrusal bağımsız ve yi = J o xi olan
x ı ,y ı , ■■■, Xk, yk kesitlerinin varlığını kabul edebiliriz.
Şimdi bu kesitleri kullanarak vektör demetimiz için yeni bir çarpım fonk­
siyonu yazabiliriz:
tâ
: P - l (Ua) A Ua x R2k = C k ,
(p , v ) A (p , (a ı( p , v ) + ib ı( p , v ) , ■■■ , a k (p , v ) + ibk (p , v ))) ,
öyle ki a i(p , v ) , bi(p , v ) gerçel sayıları
v
= a ı( p , v ) x ı( p ) + bı( p, v ) y ı( p ) +--------- + a k(p , v ) x k(p ) + bk(p , v ) y k(p )
eşitliğinin tek çözümüdür (a i (p , v ) ve bi(p , v ) fonksiyonlarının türevlenebilir olduğu bu katsayıların Kramer kuralı kullanılarak yazılabilmesinin bir
sonucudur). Bu çarpım fonksiyonları her noktada karmaşık doğrusaldır: Eğer
tâa(P , v ) = (p, w ) ise tâ ( P , J p(v )) = (p, iw ) olur. Çarpım fonksiyonlarının
vereceği yapı fonksiyonlarının G L (k, C) değerli olacağının kanıtını okuyucuya
bırakıyoruz. Böylece kanıt tamamlanır.
Vektör Demetinin Geri Çekmesi:
f : M -A N türevlenebilir bir fonksiyon
ise N üzerindeki her vektör demetini bu fonksiyon yardımıyla M üzerine
taşıyabiliriz: P : E A N bir vektör demeti olsun. Bu demetin f ile geri
çekmesi f *(E ) A M
f
*(E ) = {(p , v ) & M x E | P (v ) = f (p )}
ile tanımlanır, f *(E ) A M demetinin çarpım ve yapı fonksiyonları E A N
demetinin çarpım fonksiyonlarının uygun şekilde f : M A N ile bileşkesi ola­
caktır. Ayrıca geri çekme işlemi yukarıdaki tüm yapılarla uyumludur. Örneğin,
f *(E ı ® E 2 ) = f *(E ı) ® f *(E 2 ) olur; E A N üzerinde metrik veya karmaşık
yapılar varsa bu yapılar geri çekme işlemi ile f *(E ) demetinde de var olur
(bkz. Alıştırma 30).
Evrensel Demetler: Her gerçel veya karmaşık vektör demeti evrensel demet
denilen bir demetin bir fonksiyon ile geri çekmesi ile elde edilebilir. Şimdi bu­
nu ayrıntılarıyla açıklayalım: F gerçel veya karmaşık sayı cismini göstersin.
Bu durumda F ™ vektör uzayının tüm fc-boyutlu (k < n ) alt uzaylarının
kümesini G ^ ( n , k ) ile göstereceğiz. Grassmann manifoldu olarak bilinen bu
küme üzerinde doğal bir manifold yapısı vardır. Aslında, tanımından dolayı
G r F(n, 1) = F P ™-1 manifoldu olduğu açıktır. Genel durumda ise bu küme
üzerine topolojik yapıyı şu şekilde koyacağız: V = F ™ vektör uzayının bir W
k-boyutlu alt uzayını ele alalım. V uzayı üzerine standart iç çarpımı koyalım
ve uzayın bir /3 = {v ı , ■■■, v™} ortonormal tabanını seçelim öyle ki, tabanın
ilk k-vektörü { v ı , ■■■ , v k} W alt uzayının bir tabanı olsun. Şimdi F = R
olsun. Ş = {v ı , ■■■, v ™} ortonormal tabanını bir ortogonal matrisin sütunları
169
V e k tö r D e m e tle r i
olarak görebiliriz. Diğer taraftan, hem W alt uzayının hem de bu uzayın W ±
ortogonal tümleyeninin ayrı ayrı tabanlarını değiştirmek, W alt uzayının,
O(n) ortogonal matrisler uzayı içinde farklı temsilcilerini verecektir. O halde,
C tr (u , k) kümesi ile O (n)/ (O(k) x O(n —k)) bölüm uzayı arasında bire bir
eşleme vardır. Burada herhangi bir (A, B ) € O(k) x O(n — k) matris İkilisini
O (n) içinde
"A 0 '
0 B
‘köşegen’ matrisi olarak görüyoruz. Bu eşleme sayesinde C tr (n, k) kümesini
bir topolojik uzay olarak görebiliriz. Aslında C tr (n, 1) durumunda olduğu
gibi bu topolojik küme üzerinde türevlenebilir bir yapı vardır ve bu yapıyla
O(n) ^ GrR(n,k) fonksiyonu türevlenebilir bir bölüm fonksiyonudur.
Grassmann manifoldu üzerinde doğal bir k-boyutlu vektör demeti vardır:
£k = { (v ,V ) | V € GrR(n,k), v € V } ^ GrRf n ,k ) , (v ,V ) ^ V .
Projektif uzay özelinde olduğu gibi, Rn ~ Rn x {0} Ç Rn+1 gömmesi yardı­
mıyla, Grassmann manifoldlarım iç içe düşünebiliriz:
GrR(n, k) ^ GrR(n + 1,k), V ^ V x {0} .
Son olarak n üzerinden limit alarak
GrR(k) = lim GrR(n,k)
Grassman uzayını ve onun üzerindeki (doğal) evrensel £ ^ GrR(k) k-boyutlu
vektör demetini tanımlayabiliriz. Benzer yapıyı karmaşık C-cismi üzerinde de
kurabileceğimiz açıktır.
Herhangi bir X topolojik uzayı üzerinde verilen k-boyutlu E ^ X vektör
demeti uygun bir f : X ^ GrR(k) fonksiyonu için f *(£) demetine izomor­
fiktir. Buradaki f : X ^ GrR(k) fonksiyonuna E ^ X vektör demetinin
bir sınıflandırma fonksiyonu denir. Demetler ile demetlerin sınıflandırma fonk­
siyonlarının homotopi sınıfları arasında bire bir eşleme vardır. Bu alt bölümde
ifade ettiğimiz sonuçların kanıtlarını burada sunmayacağız. Bu bilgilerin da­
ha kapsamlı ve açık halini [26] nolu referansın 5. Bölümü’nde bulabilirsiniz.
Diğer taraftan, k = 1 ve F = C durumunda 6. Ünite’nin sonunda bulunan
Alıştırma 9 buradaki sonuçların kısmi kanıtlarını sunmaktadır.
Ö rn ek 3.3.4. Bu örnekte C P 1 Ç C P 2 alt manifoldunun normal demetini
hesaplayacağız, v(C P 1) = C P 2 —{[ 0: 0: 1] } olmak üzere
P : v(C P 1) ^ C P 1, [zo : zı : Z2 ] ^ [zo : zı]
iz düşüm fonksiyonunu ele alalım.
Uo = C P 1 —{[0:1]}
ve
U1 = C P 1 —{[1:0]}
170
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
olmak üzere
P - 1 (U o ) ^
Uox C ,
[2 0 : zı : Z2 ] ^ ([zo : z ı ], — )
zo
ve
P - 1 (U ı ) ^
Uıx
C,
[zo : z ı : Z2 ] ^ ([zo : z ı ], — )
z 1
difeomorfizmalam rankı bir olan bir karmaşık vektör demeti tanımlar. Bu deme­
tin toplam uzayı v(C P ı ) olduğundan bu demet projektif doğrunun projektif
düzlem içindeki normal demetidir. Bu alt manifoldun tüp komşuluğu olarak
normal demetin toplam uzayım alabiliriz. Normal demetin ^ oı : Uo fi Uı ^
GL(1, C) = C* yapı fonksiyonu ^ oı([zo : z ı : z 2]) =
ile verilir. O halde,
Uo f Uı açık kümesi üzerinde z = Z0 fonksiyonunu koordinat olarak seçersek
yapı fonksiyonumuz ö oı(z) = ^ olacaktır.
Ö rnek 3.3.5. Örnek 2.1.10’da ele aldığımız karmaşık projektif doğrunun kar­
maşık teğet demetinin inşasını hatırlayalım:
T*CP ı = T*C LJ T*C /(x ,v ) ~ ( f( x ) ,f\x ) ( v ) ) = (1/x, - v / x 2),
(x,v) e C — {0} x C = T*(C — {0}).
Buna benzer olarak, her k e Z için, O(k) ^ C P ı bir boyutlu karmaşık
vektör demeti
O(k) = C x C LJ C x C /(x ,v ) ~ ( 1 /x ,v /x k),
(x, v) e C —{0} x C şeklinde tanımlanır. Bu durumda teğet demeti, T*CPı =
O(2) olur. Diğer taraftan, koteğet demeti ise.
T *CPı = (T*CPı )* = O(2)* = O (—2)
olacaktır. Ayrıca O(k) ^ C P ı vektör demetinin analitik kesitlerinin oluş­
turduğu karmaşık vektör uzayının boyutunun k tam sayısı olduğu kolayca
görülür. Dolayısıyla, negatif k tam sayılan için bu demetin hiç analitik kesiti
yoktur. Son olarak, O(0) = C P ı x C aşikar demetinin kesitleri s : C P ı ^ C
şeklindeki fonksiyonlar olduğu için analitik kesitler sadece sabit fonksiyonlardır.
Pozitif k tam sayıları için ise O(k) ^ C P ı karmaşık doğru demetinin
bir kesiti
~k
zk
s : C P ı ^ O ( k ) , so([zo : zı])
ve
sı
([zo
:
zı])
=
1
+
-k
1 + fk
zk
zo
yerel kesitleri ile verilir (aslında derecesi k-olan her homojen polinom bir kesit
verir; bkz. Alıştırma 31).
Son olarak yukarıdaki örnekte ele aldığımız normal demet O(1) ^ C P ı
demetidir. Beşinci ünitede inceleyeceğimiz kesişim teorisi, bu normal demeti
belirleyen k = 1 sayısı ile projektif düzlemde herhangi iki farklı doğrunun tek
bir noktada kesişmesi arasındaki ilişkiyi açıklayacaktır. (Bkz. Örnek 5.2.4-2 ve
Örnek 5.2.11.2.)
171
V e k tö r D e m e tle r i
3 .3 .3
V ek tör D e m e tle r i Ü zerin d e B a ğ la n tıla r
Önceki kısımlarda M manifoldu üzerinde tanımlı bir Y vektör alanının bir
başka X vektör alanı boyunca L x Y Lie türevini tanımlamıştık. Şimdi Y
vektör alanının tek bir p € M noktasındaki herhangi bir v € TpM vek­
törü boyunca türevini tanımlamaya çalışalım. Lie türevinin tanımını doğrudan
kullanamayız, çünkü Lie türevi her iki vektör alanının da p € M noktasının
açık bir komşuluğunda tanımlı olmasını gerektirir. Oysa v € TpM vektörü
sadece bir noktada tanımlanmıştır ve bu vektörü, tanım kümesi bu noktanın
açık komşuluğu olan bir vektör alanına genişletmenin doğal bir yöntemi yoktur.
Diğer taraftan, manifold üzerinde Riemann metriği gibi fazladan bir yapı ve­
rilirse bu zorluğun üstesinden gelebiliriz: Bu noktadaki teğet uzayında tanımlı
yerel Expp : TpM ^ M difeomorfizmasını düşünelim. Her v € TpM vektörü
için,
D(Expp)(v) : Tv(TpM) ~ TpM ^ TqM , q = Expp(v) ,
türev izomorfizmasım kullanarak Y vektörünün p noktasının etrafındaki
değerlerini birbiriyle karşılaştırabiliriz. Y vektörünün q = Expp(v) noktasın­
daki Y(q) € TqM değerini bu izomorfizma ile p noktasındaki
Y (v) = [D(Expp)(v)]- l (Y (q))
vektörüne taşıyalım. Şimdi Y vektör alanının p € M noktam da ve v € TpM
vektörü boyunca türevini
Vv Y
d
Y (tv)
dt |t=o
ile tanımlayabiliriz.
T eorem 3.3.6. (M, g) bir Riemann manifoldu, (x l , • • • ,x n) bir yerel koor­
dinat sistemi ve Tkj metriğin bu koordinatlardaki Christoffel sembolleri olsun,
d
ei ile —— vektör alanım gösterirsek, ej vektör alanınm p € M noktasında
dx%
ve ei(p) vektörü, boyunca türevi
Vei e j ^
V
k
l3 e k
k
ile verilir.
K a n ıt: Y (tv) = [D(Expp)(tv)] l (Y(q)) denklemini
[D(Expp)(tv) (Y(tv)) = (Y(Expp(tv)))
şeklinde yazalım ve her iki tarafın t ’ye göre türevini alalım. Bunun için ilk önce,
Y = ej ve v = ei(p) olduğundan Teorem 3.1.7’in kanıtının ilk paragrafından
d
dolayı — (Y (E xpp(tv))) = 0 olduğu kolayca görülür. O halde,
dt |t=o
d
d
[D(Expp)(tv)] (Y(0)) + [D(Expp)(0)] (
(Y(tv)))
0
dt |t=o
dt |t=o
172
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
elde ederiz. D ( E x p p)(0) = id ve dolayısıyla y(0) = Y ( p ) olduğundan
d
~
d
( Y (tv)) = - ( T
[ D ( E x p p)(tv)]) ( Y ( p ) )
dt |t = Q
dt |t = Q
sonucuna ulaşırız. O halde, kanıtı tamamlamak için — [D(Expp)(tv)] tüdt |t=o
revini hesaplamalıyız. Bunu yapmak için p € M noktasından başlayan ve
y € TpM vektörü boyunca ilerleyen jeodeziği
Y (t , P , y )
: R ^ M,
t ^ Y (t , P , y ) = (Y ı( t ) , ••• , Y n( t ))
ile gösterelim. O halde,
Y ( t , P , y ) = Y ( 1, P , t y) = E x p p (ty)
denkleminin t ’ye göre türevini alarak
d
Y (t,p,y) = dt(Expp(ty)) = D(Expp(ty)) • y
elde edilir. Tekrar türev alırsak
d
Y(t,p ,y ) = dt [D(ExPp(ty ))] • y
(*)
buluruz. D (E xpp(ty)) matrisini D(ty) = [dim(ty)] ile gösterelim. Bu du­
rumda
d
d
— [D (E xPp(ty ))\ = —
(D (ty )) = [V dim • y\
dt |t=o
dt |t=o
olur. Diğer taraftan, Vdım = (djm, ••• ,dnm) gradyan vektörü olmak üzere
yukarıdaki eşitliği
d
[D(ty)]
dt |t=o
Y
_k
d lm y k
(l,m)
şeklinde yazabiliriz. O halde yukarıdaki (*) eşitliğini, t = 0 alarak,
Y(0,p,y) =
Y'., dlm yk ym
. km
J
(l)
şeklinde yazıp daha sonra jeodezik denklemini kullanıp, her l için,
'Y , r km yk ym
km
' dlm yk ym
km
elde ederiz. Bu eşitlik her y = (y\, ••• , y n ) € TpM
duğundan dfm = - r lkm elde ederiz. Son olarak
vektörü için doğru ol­
d
d
(Y(tv)) = - ( [ D ( E x p p)(tv)]) ( Y ( p ) )
dt |t = Q
dt |t = Q
173
V e k tö r D e m e tle r i
denkleminde Y = e j = [0,..., 0,1, 0, • • • , 0j* ve y = v = ei(p) alarak
V ei ej
= d L & ite‘m
d
- ( ğh [D(ExPp)(tei(P))}) (ej )
dt |t=o
[rf;}(t.n [0 , . . . , 0 , ı , 0 , • • • , 0}‘
=
=
=
E 4
k
ek ,
buluruz ve böylece kanıt tamamlanır. □
Yukarıda
Y (v) = [D(Expp)(v)} 1(Y (q))
olmak üzere
Vv Y
d
dt |t=o
ile tanımladığımız türev alma işlemine
mann bağlantısı denir. Bu tanımı Y
tanımlı bir f : M ^ R fonksiyonuna
tasında ve v € TpM vektörü boyunca
Y(tv)
(M, g) Riemann manifoldunun Rie­
vektör alanı yerine manifold üzerinde
uygularsak fonksiyonun p € M nok­
türevini elde ederiz:
Vvf = v ( f ) .
Tanımlardan ve kanıtın içindeki ifadelerden yararlanarak aşağıdaki sonucu ko­
layca elde ederiz.
Sonuç 3.3.7. X , Y, X i ve Yi (M ,g) Riemann manifoldu üzerinde vektör
alanları ve f : M ^ R türevlenebilir bir fonksiyonu olsun. Bu durumda
aşağıdakiler doğrudur:
1. V x (f Y ) = f V x Y +
X
( f) Y,
2. V f x Y = f V x Y ,
3. V x i +x 2Y = V xı Y + V x 2Y , ve
4- V x (Y ı +
Y2 )
=
V x Yı
+
V x Y2 .
(M, g) manifoldunun r j Christoffel sembollerine ayrıca Riemann bağlantı­
sının Christoffel sembolleri de denir.
H atırlatm a 3.3.8. (M ,g) Riemann manifoldu üzerindeki Riemann bağlantı­
sını E = T* M ^ M vektör demetinin kesitlerinin olüştürdüğü r ( E ) vektör
uzayından E Y T *M vektör demetinin kesitlerinin olüştürdüğü r ( E Y T *M)
vektör uzayına bir doğrusal fonksiyon olarak görebiliriz:
V : r(E )
r ( E Y T*M ), Y ^ (V Y : X ^ V x Y)
174
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
öyle ki, her Y € r ( E ) ve f € C™( M ) için,
V ( f Y ) = f V Y + Y ® df
Leibniz kuralı sağlanır.
Riemann bağlantısını bu şekilde ifade etmek teğet demeti üzerinde tanım­
ladığımız Riemaıııı bağlantısını çok daha genel bir kavramın özel hali yapar:
E ^ M herhangi bir vektör demeti olmak üzere yukarıdaki hatırlatmada
verilen Leibniz kuralını sağlayan her doğrusal
V : r(E ) ^ r ( E ® T*M )
homomorfizmasma E ^ M demeti üzerinde bir bağlantı denir. Vektör de­
metinin, manifoldun bir U açık kümesinde x \, ■■■ ,x n koordinat sisteminde
verilen bir {sa} çatısını (manifoldun U açık kümesi üzerinde tanımlı ve
her noktada doğrusal bağımsız olan yerel kesitler) alalım. ei(p)
—— vektör
dxi
alanları için
V ei sa = r ia sfi
eşitliğini sağlayan
r a :u ^ r
fonksiyonlarına bağlantının bu koordinat sistemindeki Christoffel sembolleri
denir. X = ^ i ai(p) ei ve s(p) = Yİa f a(p) sa (p) gibi rastgele bir vektör
alanı ve kesit alalım. Bağlantının özelliklerini kullanarak bu kesitin türevini
VXs
=
V £ i ai(p)
f a sa
a
=
^~^ ai ( fa V ei sa + saei (fa)')
ia
=
S ai ( fa S r ™ sÖ + sa f
ia
fi
=
Y i rfia ai f a s fi + ^ X (fa)sa
iafi
a
)
olarak hesaplayabiliriz. Dolayısıyla, vektör demeti üzerindeki bağlantı Chris­
toffel sembolleri ile tamamen belirlenir.
Bu hesaplamaların bir sonucu olarak aynı demet üzerindeki iki bağlantının
farkının bir tensör olduğunu görürüz:
(V X - V x2 )(fs ) = f ((VX - V x2 )(s)) .
Dolayısıyla, bir vektör demeti üzerindeki tüm bağlantıları, bir tanesini taban
bağlantı olarak seçerek, bir afin uzay olarak görebiliriz.
175
V e k tö r D e m e tle r i
Teğet demetinde olduğu gibi, çarpım fonksiyonlarını ve birimin ayrışımını kul­
lanarak her vektör demetine bir Riemann metriği koyabiliriz. Yine benzer şe­
kilde bu metriğin Christoffel sembollerini yazarak vektör demeti üzerinde bir
bağlantı inşa edebiliriz.
€ O1(U) 1-formları için,
Yukarıdaki gösterimi kullanarak bazı
vsa =
0
sp
yazabiliriz. Aslında bağlantıyı vektör demetinin kesitlerinin oluşturduğu vektör
uzayının homomorfizmalarmda değer alan bir 1-form olarak yazabiliriz:
C=
^ VL s *a 0 sa 0 dxi ■
Bu forma bağlantı 1-formu denir.
Vektör demetinin U açık kümesi üzerinde bir baş ka yerel {s1, ••• ,s'r}
çatısını alalım. Bu iki çatı arasındaki doğrusal taban değiştirme matrisini g :
U ^ GL(r, R) ile gösterelim:
s'j = s 1 g1j + • • • + sr grj = ^ ^ sl glj ■
l
Bu durumda bu iki çatıya karşılık gelen bağlantı formları arasındaki ilişki aşağı­
daki gibidir.
Ö nerm e 3.3.9. Bağlantının {sİ, ••• ,s'r} çatışma karşılık gelen C = [ek]
1-formu için o = g-1cg + g-1 dg eşitliği sağlanır (dg ile g fonksiyon
matrisinin her elemanının dış türevi alınarak elde edilen matrisi gösteriyoruz).
Kanıt : Doğrudan tanımları kullanarak
V sj
= V
El
sı gij)
= ^2 (g ij Vsl + sl 0 dglj)
l
= J 2 (glj E ck sk) + sl 0 dglj)
l
k
=
Yİ g l j ck
=
Yİ
g l j ck E sm g-m) + S sm g-m 0 dg j
lk
m
lm
lk
sk + S sl 0 dglj
l
= Y İ g-m ck glj sm E ] g-m 0 dg j sm
lkm
lm
=
E £ g -m ck g lj+ E g-m 0 dg j ) sm
m kl
l
eşitliğini elde ederiz. Bu kanıtı bitirir. □
176
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Ö rnek 3.3.10. Bir manifoldun teğet demeti üzerinde verilen bir V bağlantısı
ve X = Yİ i ai (p ) ei ve Y = ^ö j bj (p ) ej gibi iki vektör alanı verilsin. Bu
durumda
Vx Y - V yX
=
£ r j (ai bj - aj b ) ek + £ ( X ( bj) - Y ( aj ) ) ej
ijk
j
=
[X ,
Y]
r
kj ( ai bj - aj bi) ek
ijk
=
[X
, Y ] + Y , ( r k3 - r ki) ai bj ek ,
ijk
elde ederiz. Bu eşitliği kullanarak
T (X , Y ) = V x Y - V yX - [X, Y] = ^ ( r j - j
ijk
ai bj ek
ile tanımlanan T ( X ,Y ) tensörüne bağlantının burulma tensörü denir (bkz.
Alıştırma 32). Eğer bağlantı simetrik, başka bir deyişle, her i , j , k için, r j =
r ^ , ise T = 0 olduğu açıktır. Özel halde, tüm Riernann bağlantıları simetrik
olduğundan bu bağlantıların burulma tensörü sıfırdır.
Burulma tensörünün geometrisini bir örnek üzerinde inceleyelim.. Koor­
dinatları x 1, x 2 olan M = R2 düzleminin teğet demetinde aşağıdaki
Christoffel sembolleri ile verilen bağlantıyı alalım: r = x 2 + x2 olmak üzere
r} 2(x ı,x 2) = cosr2, r 22(x ı,x 2) = sinr2, ve tüm diğer semboller sıfır olsun,
d
Yine ei ile - — vektör alanını düşünürsek, X = e1 ve Y = e2 vektör
dxj,
alanları olmak üzere
T (X , Y ) (x 1,x 2) = (cosr2) e1 + (sinr2) e2
olarak hesaplanır. O halde, bu iki vektör alanının burulma tensörü merkezden
geçen doğrular boyunca dönen bir vektör alanı verir. Ayrıca bu iki vektör alanı
için, [X ,Y ] = 0 olduğundan T ( X ,Y ) = V x Y - V y X olur ve dolayısıyla
düzlemin her noktasında V x Y = V y X ’dir.
H a tırla tm a 3.3.11. V , E ^ M vektör demeti üzerinde herhangi bir bağlantı
olsun. Eğer bu bağlantı bir Riernann bağlantısı olsaydı fonksiyonlar üzerinde
de tanımlı olurdu ve f : M ^ R olmak üzere V ( f ) = df ile verilirdi (bkz.
sayfa 173). Şimdi bize verilen V bağlantısının da fonksiyonlar üzerinde bir
Riernann bağlantısı gibi tanımlanmış olduğunu kabul edelim, (bkz. Alıştırma 33).
Bu durumda V bağlantısı m E * ^ M dual vektör demetine taşıyabiliriz.
Gösterim kolaylığı açısından bağlantıyı dual demet üzerinde de yine V ile
göstereceğiz: Eğer s € r ( E ) ve a € r(E * ) birer kesit iseler f = a(s)
manifold üzerinde türevlenebilir bir fonksiyondur. Bağlantının Leibniz kuralını
sağlamasını beklediğimizden dolayı
df = V ( f ) = V (a(s)) = (V a)(s) + a(V s)
177
V e k tö r D e m e tle r i
eşitliğinden dual vektör demeti üzerindeki bağlantının Christoffel sembollerini
şu şekilde hesaplayabiliriz. Yine (x\, • • • ,x n) manifold üzerinde yerel bir ko­
d
ordinat sistemi, ei = - — . (s ı , ••• ,Sk) vektör demetinin yerel bir çatısı ve
dxi
(a 1, ••• ,a k ) dual vektör deme tinin aı (sj) = öji koşulunu sağlayan bir çatı­
sı olsun. Eğer r k vektör demetinin bu çatıdaki Christoffel sembolleri ise,
Vet sj =
Erj
Sk, yukarıdaki eşitlikten
k
O = ei(aı (sj ))
( V ei a l ) ( s j )
+ a ı ( V eHs j )
( Vei a ı ) ( s j ) + a ı
^ T kj s k)
k
a ı) ( s j )
+ £ rkj Sik
k
( V eia ı ) ( s j ) + Y lij ,
V
elde ederiz. O halde,
V ei a ı =
jr
demetin Christoffel sembolleri f j
j
aj
olur. Başka bir deyişle, dual
ise, V eiaj = E r j ak,
k
rk
1 ij
- r jik
olur. Çarpım kuralını tekrar kullanarak bağlantıyı bu vektör demetlerinin tensör
çarpımlarına da genişletebiliriz. Bunun bir uygulamasını aşağıda görelims.
Ö nerm e 3.3.12. V bir (M ,g) Riemann manifoldunun (Riemann) bağlantı­
sı ise Vg = O’dır. Diğer taraftan, bu koşulu sağlayan simetrik tek bağlantı
Riemann bağlantısıdır.
Kanıt : V Riemann bağlantısı olmak üzere {e1 = d ff, ••• ,en =
yerel çatısı için bağlantı formunun Christoffel sembolleri r j olsun:
V ei e j =
£
}
r £j e k .
Bu durumda, dual vektör demetinin Christoffel sembolleri r j = —rjk ola­
caktır. Önermenin kanıtını yapmak için her ek için
Vek ( ^ gij dxi ® d xj) = 0
ij
178
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
olduğunu göstermeliyiz. Çarpım kuralını uygulayarak
Vek ( £ gij dxi 3 d xj) =
v
^ 2 i(V e kgij) dxi 3 dxj
ij
+gij (Vekdxi) 3 dxj + gij dxi 3 (Vek d xj)]
=
2 2 gijj dxi 3 dxj
gij r ji dxı 3 dxj +
+
ijl
gij f jj dxi 3 dxx
ijl
=
2 2 gij dxi 3 dxj
i]
22g ij r ijl d x ı 3 dx j ~ 22g ij T h
ijl
dxi
3 dxı
ijl
elde ederiz. Bu durumda kanıtın birinci bölümünü tamamlamak için
gij = 2 2 gij r ki + ga
r jj
olduğunu göstermek yeterlidir.
22 gij
r ki + ga r kj
=
lmf i + gj _ gm)
'jm + gim gj i )
2 2 g j (ö 2 2 g
+ 2 2 g ı (ğ E glm(g jm + gjm - gm))
2 2 Öjm (gjm + gim - Okfi)
^ 2 2 Öim (gjm + gjm - gkj)
1
1, ,
2 (gkj + gij - gji) + 2 (gji + gji - gkj)
gj ■
Kanıtın ikinci bölümü okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır (Alıştırma 34).
□
Bu kanıtın açık bir sonucu aşağıdaki gibidir.
Sonuç 3.3.13. P : E ^ M türevlenebilir manifold üzerinde bir vektör de­
meti, {xi}, i = 1, ■■■ ,n , manifold üzerinde yerel bir koordinat sistemi ve
| s a }, a = 1, ■■■,r, demetin bu koordinat sistemi üzerindeki bir çatısı olsun.
179
V e k tö r D e m e tle r i
Demet üzerinde bir g metriği ve bir T bağlantısı alalım. Bu durumda T
bağlantısının metriği koruması için gerek ve yeter şart, her i, a, fi için,
gaŞ =
gYP
+ SoiY ^İŞ
Y
olmasıdır.
Ayrıca,
r . =1
e
g it
ş
bu denklemin bir çözümünü verdiğinden demet üzerinde seçilen her iç çarpım
için bu iç çarpımda uyumdu bir bağlantının var olduğunu görürüz.
Kanıt : ikinci ifadenin kanıtını tamamlamak için bağlantı formu için ver­
diğimiz
r L = 1 E gYŞ gU
ş
ifadesinin koordinat ve çarpım fonksiyonlarının seçiminden bağımsız olduğunu
göstermeliyiz. Bunun için E manifoldu üzerine bir Riemann metriği koyalım
ve bu metrik yardımıyla teğet demetini ker(D P) ve bunun direkt tümleyeninin
toplamı şeklinde yazalım:
T E = ker(DP : T E ^ T*M) ® H ~ E ® H .
Bu yazımda E ile ker(D P) demetini doğal şekilde yer değiştiriyoruz. Daha
sonra E manifoldu üzerine koyduğumuz Riemann metriğini bir g metriği
ile değiştirelim, öyle ki ğ\E = g olsun ve her (u, v) € ker(D P) x H için
ğ(u,v) = 0 eşitliği sağlasın. Buna göre her i ve a için, gla = 0 olur.
M manifoldunun koordinat seçimi ve demetin bir çarpım fonksiyonu E manifoldunun bir koordinat sistemi seçimine karşılık gelecektir. Dolayısıyla, bu
metriğin belirlediği metrik bağıntısı, diyelim ki V olsun, M üzerindeki ko­
ordinat sistemi ile E demetinin çarpım fonksiyonu seçiminden bağımsızdır.
Bu bağıntının ker(D P) ~ E üzerine dik iz düşüm fonksiyonu ile birleşi­
mi E üzerinde bir bağlantı tanımlayacaktır (bkz. Alıştırma 35). Eğer r Y.
bu bağıntının yukarıda bahsedilen şekilde seçilmiş bir koordinat sistemindeki
Christoffel sembolleri ise
fı = 1E P
( s # + gi-t -
ş
= 1 E gYŞ g it
ş
olacaktır. Dolayısıyla, kanıt tamamlanır. □
Vektör demetleri üzerindeki metriklerin ve bağlantıların eğriliklerini ve kohomolojik özelliklerini Bölüm 6’da ele alacağız. Fakat daha önce türevlenebilir
formlarda tanımladığımız dış türevi, üzerinde bir bağlantı formu verilmiş olan
180
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
tensör değerli formlara taşımamız gerekiyor. Eğer v € Qr (M ) türevlenebilir
bir form ve s € r(E ), üzerinde b ir V bağlantısı ver ilmiş olan, E ^ M
vektör demetinin bir kesiti ise, bu kesitin dış türevi şu şekilde tanımlanır:
dv :
dv (v
r(Q r ( M ) g E) ^ r ( Ü r+l( M ) g E) ,
g s) = dv g s + ( —1)r v A ^
dx j
gVj s .
j
Şimdi de bu tanımı kullanarak herhangi bir s = Yk f k s k kesiti için (dv o V )(s)
bileşkesini hesaplayalım.
(dv
o V )( s)
=
dv ( V s)
=
dv (df k
=
d
v
g s k + f k V s k)
( dfk
ı
l
d x i g s k + f k r ik d x i g s ı
dxi
dv ^ f
dV
g s ı + f k rik d x i g s ^
( (' d fx i + f kr ik) d x i g s *)
t a 2f ı + d i k
\ d x iö x ( d x j
—^
fk
dxj
dxj
r
ik
+ fk r
— ) dx. A dxi g sı
k dxj J
k ) dxi A dxj g j
A d x i g sı
- f k rik j
( dd rr jk
jk do rril, \
2 (- j - j
dxi
A dxj g sm
fk
dxi A dxj g
r ı m _r-Lm4 E r-Lı m
jk -Lr 4im
r ik r jm
fk (1 r-L m
dE
+f O
sn
sı
dxi A dxj g sı
= F v (s)
olarak bulunur. En son adımdaki terim eğrilik (formudur),
F v € r(Q 2(M ) g no(M) hom(E, E)) ~ T(Q2(M ) g E * g E)
ve
ak = İ2
eij
d r jk
dxi
(\
ori
- + E r m r im - rm r j j
dx 1
m
/
olmak üzere
F v = J ] Q İ sk g sı
kı
ile verilir.
dxi A dxj
181
V e k tö r D e m e tle r i
3 .3 .4
P o in ca re Yarı D ü z le m i
Bu alt bölümde Poincare Yarı Düzlemi’ni tanımlayıp bu manifoldun jeodeziklerini belirleyeceğiz. Poincare Yarı Düzlemi üzerindeki Riemann metriği
dx ® dx + dy <g>dy
g{x,y)
y2
ile verilen
H = {(x,y) € R 2 | y > 0}
yarı düzlemidir. Bu yüzeyin jeodeziklerini incelemeden önce genel bir sonuç
kanıtlayacağız (bkz. [31], s. 488, Alıştırma 27 ve 41).
Y ardım cı Teorem 3.3.14. 7 : [a,b] ^ (M n,g ) türevlenebilir bir eğri ve
p : [a, [5] ^ [a,b] , t ^ s = p(t) bir difeomorfizma oIsun. 7 eğrisinin bir
jeodezik olması için gerek ve yeter şart c = 7 o p eğrisinin yerel bir koordinat
sisteminde
d2ck +
r k ( (t)) dci dcj = dck p"(t)
dt2 + 2 ^ l i j (c(t)) dt
dt
= dt pf(t)
i,j=l
v’
denklemini sağlamastdtr. Ayrıca c eğrisi
d2ck
dt2 + E r kj
i,j=l
dg dcj
dt dt
dck
p (t)
dt
denklemi sağlayan herhangi bir eğri ise c bir jeodeziğin tekrar parametrize
edilmiş halidir.
Kanıt : 7 = (xı, • • • , x n) ve ci = x i o p olmak üzere c = (c\, ■■■ , cn )
ile verilsin. İlk önce s = p(t) fonksiyonun bir difeomorfizma olduğunu ve
Y(s) ’in bir jeodezik olduğunu kabul edelim. O halde aşağıdaki jeodezik denkle­
mi sağlanır:
d2x k
dxi { \ dxj
(s) 0 .
ds2 (s) + E r kj(Y(s)) d , (s) ds
i,3
Diğer taraftan, p'(t) = 0 olduğunu kullanarak (p(t) bir difeomorfizma
olduğu için türevi her noktada sıfırdan farklıdır)
dxk
ds
1 dck
p (t) dt
elde ederiz. Tekrar türev alarak
d2x k
ds2
1
f d2ck
(p (t))2 \ dt2
dck p '(t)
dt p (t)
bulunur. Bu ifadeleri yukarıdaki jeodezik denkleminde yerine koyarsak teore­
min ifadesindeki denklemi elde ederiz. Diğer taraftan, c teoremin ifadesindeki
denklemi sağlıyorsa 7 eğrisinin bir jeodezik olduğu kolayca görülür.
182
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
İkinci ifadenin kanıtı için, M '(y) = n(y) olmak üzere (başka bir deyişle,
M (y) fonksiyonu y(y) için bir ters türev fonksiyonu olsun)
p(t) = ( eM
Jto
dy
olarak tanımlayalım. Ayrica, p (t) = 0 olduğu için p(t) bir difeomorfizmadır.
Artık birinci kısmı kullanarak kanıtı bitirebiliriz. □
Şimdi bu yardımcı teoremi kullanarak Poincare Yarı Düzlemi’nin tüm jeodeziklerini belirleyebiliriz. Bunu üç adımda yapacağız.
A dım 1) İlk önce bu metriğin Christoffel sembollerini hesaplayalım, fi =
{eı = ,e 2 = dy} olmak üzere
1
2(Veıe ı,eı) = V eı(eı,eı) = V a -y = 0
dx y 2
olduğundan r ı ı = 0 bulunur. Benzer şekilde
2(V e 2 eı, eı) = V e 2 (eı, e ı) = V d
dy y2
3
y3
olduğundan r ı2 = r2 ı = —1/y elde ederiz. Yine
0 = V e ı (eı,e 2) = (V eı eı,e2) + (eı, V eı e2)
eşitliğinden r 2ı = —r ı 2 = 1/y olarak bulunur. Son olarak benzer şekilde,
r 22 = —1/y ve r2 2 = r 22 = r2 ı = 0 olarak hesaplanır. Eğrilik tensörünün
bileşenleri ise aşağıdaki gibidir:
^L2ı = R2ı2 = —y2 , R ıH = R222 = 0 •
Ricci tensörü ise şöyledir (Bölüm 6.1.):
1
R ı ı = R \ı ı + r 22ı = r 22ı = —y2
R ı2 = 0
R2ı = 0
1
R22 = R2ı 2 + R222 = R2ı 2 =
y2 •
Son olarak sayısal eğrilik ve Gauss eğrilikleri
5 = E
ij
R j = —2 , K
-1
183
V e k tö r D e m e tle r i
sabitleri olarak hesaplanır.
A dım 2) C merkez i (c, 0) noktam da ve yarıçapı R > 0 olan yarı çember
olsun. Bu eğrinin t ^ (t,Y(t)) = ( t ^ / R 2 — (t — c)2) parametrizasyonunu
düşünelim. Türev alarak
İy
dt
(t — c)
J R 2 — (t — c)2
R2
d2Y
dt2
ve
Y(t)3
eşitliklerini elde ederiz. 0 halde,
Y'(t)
t —c
—1
(t — c)2
Y(t)
Y(t)3
Y(t)2 + (t — c)2
Y(t)3
- R2
Y'(t)2
Y(t)
Y(t)3
d2Y
dt2
elde ederiz. Şimdi bu eğrinin bir jeodezik olduğunu göstereceğiz. Bunun için
yukarıdaki yardımcı teoremin ikinci kısmını kullanacağız. Şimdi
d-(t) = -
alalım ve eğrimizin c(t)
( c1( t ) , c 2(t))
d2ct
^
dt2 + E Y
i,j=1
denklemlerini sağladığını gösterelim:
2Y (t)
Y(t)
= (t,Y(t)) koordinatlarının
d j = d-ğ - v (t) , k = 1,2,
2
d2c
dt2ı
+ E r j ( c (t )) ddtc dc
dtj
i,j=1
—
y ' (t)
- Y-1 Y
Y
-2 —
Y
dcı u \
ıtt >A t)
Benzer şekilde diğer koordinat için de
d"c2
dt2 + E r j (c(t)) ddtc dcj
dt
i,j=1
Y
t —c
(Y ? + 1 - ( j T
Y
Y
Y
1 __ (2Y J? + 1
Y
= y ' l^(t)dcı u \
= İ T " (t)
Y
Y
184
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
elde ederiz. Başka bir deyişle uygun şekilde parametrize edildiklerinde bu yarı
çemberler birer jeodeziktir. Benzer şekilde y-eksenine paralel doğrular da,
t ^ (a, bt), (b > 0), birer jeodeziktir.
A dım 3) p € H herhangi bir nokta ve v € TpH herhangi bir teğet vektörü
olsun. Eğer v = (v 1 ,v 2 ) = (0, v 2 ) şeklinde t e vektör ise, bu d urumda t ^
(0, v 2 t) jeodeziği (p, v) İkilisinden geçen tek jeodeziktir. Diğer taraftan, vı =
0 ise merkezi ^-ekseni üzerinde bulunan bir yarı çember (p, v) İkilisinin
üzerinden geçecektir. Son olarak, her (p, v) İkilisi tek bir jeodezik belirlediği
(a, b) açık aralığında
olan ve p noktasından geçen tüm jeodezikler 71 jeodeziğine paraleldir.
için Poincare Yarı Düzlemi’nin tüm jeodezikleri yarı çemberler ve y-eksenine
paralel doğrulardır.
Bu jeodeziklerin uzunluklarının sonsuz olduğu kolayca görülebilir (bkz.
Alıştırma 36). O halde, Hatırlatma 3.2.13.rden dolayı Poincare Yarı Düzle­
mi tam bir metrik uzaydır.
Alıştırma 37 bu düzlemde Oklit’in beşinci kabulünün sağlanmadığını gös­
termektedir.
3.3.5
N orm a l D e m e t ve T ü p K om şu lu k T eorem i
(M, g) bir Riemann manifoİd ve L C M
Aşağıdaki ifade ile tanımlanan
kapalı bir alt manifold olsun.
v(L) = {(p, v) € T*M | p € L, gp(v, u) = 0, f a ali u € TpL}
teğet vektörler kümesine L alt manifoldunun M içindeki normal demeti
denir ve v(L) ile gösterilir. Normal demet T^M teğet demetinin bir alt
manifoldudur. Ayrıca normal demetin {(p,v) € v(L) | v = 0} alt kümesi
L
alt. manifolda normal demetin sıfır kesiti de denir.
Teorem 3.3.15 (Tüp Komşuluk Teoremi). (M ,g), L C M ve v(L) yu­
karıdaki gibi olsun. Bu durumda L sıfır kesitinin öyle bir L C U C v(L)
185
V e k tö r D e m e tle r i
açık komşuluğu vardır ki, Exp : T*M ^ M üstel fonksiyonun bu komşuluğa
kısıtlanışı L C V C M gibi bir açık komşuluğa bir difeomorfizma verir:
E xp : U — >V, (p,v) ^ Expp(v), (p,v) € v (L) .
Eğer L tıkız bir manifold ise yeterince küçük e > 0 sayılan için,
U = {(p ,v) € v(L) I M < e}
şeklinde seçilebilir.
Kanıt : Örnek 3.3.3’den dolayı v(L) manifoldunun (p, 0) noktasındaki
teğet uzayını TpM teğet uzayı ile eşleyebiliriz:
T(p,0)v(L) — * TpL ® vp(L) — TpM ■
Ayrıca yine daha önceki bölümlerden
D(Expp)o = IdTpM
olduğunu biliyoruz (bkz. s. 146). O halde, her (p, 0) € v(L) noktası için
D E xp (p,0) = IdTpM olacaktır. Bu durumda Ters Fonksiyon Teoremi’nden
E xp : v(L) ^ M fonksiyonunun her (p, 0) € v(L) noktası etrafında bir
difeomorfizma olduğu sonucuna varırız.
iddia: L manifoldunun verilen her tıkız K alt kümesi için öyle bir ex > 0
sayısı vardır ki, Exp : v(L) ^ M fonksiyonunun
U,k = {(p,v) € v(L) I p € K, ||v ||
<
eK}
alt kümesine kısıtlanışı bire birdir.
Kanıt: Böyle bir sayının var olmaması durumunda x n, yn € K olmak üzere
lim ||v n|| = 0 = lim ||u n||
n
n
ve
E x p ( x n , v n ) = E x p ( y n ,Un )
koşullarım sağlayan ( x n , v n ) = (yn , u n ) € v ( L ) dizileri vardır. Tıkızlık koşu­
lundan dolayı ( x n) dizisini bir alt dizisi ile değiştirerek bu dizinin yakınsak
olduğunu kabul edebiliriz, limn x n = x 0 € K . Diğer taraftan, (yn ) dizisinin
bu alt diziye karşılık gelen alt dizisinin başka bir alt dizisi de yakınsak ola­
caktır. O halde, tekrar alt dizilere geçerek hem limn x n = x 0 € K hem de
limn yn = y0 € K olduğunu kabul edebiliriz. Fakat, E x p fonksiyonu sürekli
olduğundan
xo
= E x p ( x o , 0) = lim E x p ( x n , vn ) = lim E x p ( y n , Un ) = E xp (y o, 0) =
n
n
yo
186
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
elde ederiz. Bu ise Exp fonksiyonunun yerel olarak bire bir olması ile çelişir
ve böylece iddianın kanıtı tamamlanır.
Şimdi de L sıfır kesitini tıkız alt kümelerinin bir birleşimi olarak yazalım:
L = Un>ıKn , K n Ç In t(K n+ı), n > 1.
n = 1 için bir eı > 0 sayısı seçelim, öyle ki
Uı = {(p,v) £ v (L) | p £ K ı, ||v|| < eı }
alt kümesi üzerinde Exp fonksiyonu bire t e olsun. Daha sonra, n = 2 için
e2 > 0 sayısı seçelim öyle ki, bu sefer Exp fonksiyonu U1 U U2 üzerinde
bire bir olsun (burada Ui alt kümesi benzer şekilde Ui = {(p,v) £ v(L) | p £
Ki, ||v|| < ei} olarak tanımlanmıştır). Bunun yapılabileceği yukarıdaki id­
dianın kanıtına benzer şekilde görülebilir. Bu şekilde devam ederek öyle bir
en > 0 sayısı seçelim ki Exp fonksiyonu U1 U • • • U Un üzerinde bire bir
olsun. Dolayısıyla, E xp fonksiyonu
Uo = Un>ı Un Ç v(L)
açık alt kümesi üzerinde bire birdir. Ne Ui alt kümeleri ne de U0 birleşimi
açık alt kümelerdir. Diğer taraftan, her n > 1 için, K n Ç In t(K n+1) ol­
duğundan U = Int(Uo) açık ait kümesi L Ç v(L) alt manifoldunu içerir.
Son olarak, Exp fonksiyonu sıfır kesit üzerindeki her nokta etrafında yerel
olarak bir difeomorfizma olduğundan, Exp fonksiyonu U açık kümesinden
görüntüsüne istediğimiz difeomorfizmayı verecektir. □
Şekil 3.4: Tüp Komşuluk
Teorem 3.3.15’in gösterimi kullanarak biraz daha ilerleyebiliriz, n : T*M ^ M
iz düşüm fonksiyonunun U Ç v(L) ait manifolduna kısıtlanışını yine n : U ^
L ile gösterelim. Bu durumda P = n o E xp - 1 : V ^ L bileşke fonksiyonu
şu şekilde karakterize edilebilir: Her q £ V için, L üzerinde tek bir P(q)
noktası vardır, öyle ki, q noktası L alt manifoldunu dik şekilde p noktasında
kesen ve tamamen V içinde kalan tek bir jeodezik eğri üzerinde bulunur. Bu
gözlem P iz düşüm fonksiyonunun aşağıdaki geometrik yorumunu verir.
V e k tö r D e m e tle r i
187
Sonuç 3.3.16. L Ç M alt manifoldu aynı zamanda kapak bir alt küme olsun.
Bu durumda her q € V ve p € L için, d(p,q) > d(q,P(q)) olur ve eşitlik
sadece p = P(q) olması durumunda sağlanır. Başka bir deyişle, L üzerinde
q noktasına en yakın tek bir nokta vardır ve o nokta P(q) noktasıdır.
Kanıt: ilk önce q noktası etrafındaki R = d(q,P(q)) yançaplı kapalı
jeodezik yuvan düşünelim: B = E xpq(B[0, R]), (burada B[0,R] ile TqM
teğet uzayındaki orijin merkezli ve R yançaplı kapalı yuvarı gösteriyoruz).
Bu durumda P(q) € B olur. L n B kapalı kümesinin q noktasına en yakın
noktası p olsun. Şimdi kanıtın anlaşılmasını kolaylaştırmak için M manifoldunun düz metriğe sahip Rn Oklit uzayı olduğunu kabul edelim. O halde,
eğer R ı = d(p,q) ise B ı = E xpq(B[0, R ı ]) yuvarı L alt manifolduna p
noktasında teğet olacaktır. Dolayısıyla, p noktasını q noktasına bağlayan
doğru parçası (jeodezik) L alt manifolduna dik olur. Fakat, P fonksiyonunun
tanımından dolayı L üzerinde bu özelliğe sahip tek nokta P(q) noktası­
dır. Diğer bir deyişle, p = P(q) olmalıdır ve dolayısıyla, bu özel durumda
kanıt tamamlanır. Genel durumda ise E xp - 1 difeomorfizması ile TqM teğet
uzayına geri gidelim. Bu durumda p noktasını q noktasına bağlayan jeode­
zik yine bir doğru parçası olacaktır. O halde, yine B[0, R 1 ] Ç TqM yuvarı
E xp- 1 (L) Ç TqM alt manifolduna teğet olur. Başka bir deyişle, orijinden çı­
kan doğru E xp- 1 (L) Ç TqM alt manifolduna dik olacaktır. Son olarak Gauss
Yardımcı Teoremi uygulayarak p noktasını q noktasına bağlayan jeodeziğin
L alt manifolduna dik olduğunu görürüz ve kanıt özel durumda olduğu şekilde
tamamlanır. □
Ö rn ek 3.3.17. L Ç M = R N Oklit uzayının bir alt manifoldu olsun. Me­
trik düz olduğundan M ’nin jeodezikleri sadece doğrulardır. Dolayısıyla, tüp
komşuluktan L ’ye giden P = n o E xp - 1 : V ^ L iz düşüm fonksiyonu
aslında dik iz düşüm fonksiyonudur.
Teorem 3.3.15’in bir uygulaması olarak ileride çokça kullanacağımız türevlenebilir fonksiyonlarla yaklaşım teoremini kanıtlayacağız. Tür evlenebilir manifoldlar Oklit uzaylarına gömülebildiği için manifoldlarm topolojisi metriklenebilirdir. Dolayısıyla, iki manifold arasındaki sürekli fonksiyonların arasındaki
uzaklıktan bahsedebiliriz.
T eorem 3.3.18. M ve N türevlenebilir manifoldlar olmak üzere C (X(M ,N )
türevlenebilir fonksiyonlar uzayı C 0 (M ,N ) sürekli fonksiyonlar uzayı içinde
yoğundur. Her sürekli f : M ^ N fonksiyonuna homotopik olan bir türevlene­
bilir g : M ^ N fonksiyonu vardır. Ayrıca iki türevlenebilir fonksiyon sürekli
bir fonksiyon ile homotopik ise bu fonksiyonlar türevlenebilir bir fonksiyon ile
de homotopiktir.
Kanıt : M Ç Rm ve N Ç Rn olduğunu kabul edelim. M Ç p Ç Rm ve
N Ç v Ç Rn tüp komşuluklar ve P : v
N iz düşüm fonksiyonu olsun. Bu
tüp komşuluğun verilen bir q € N noktasındaki kalınlığı en az 2eq olsun.
188
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
Başka bir deyişle, M™ Öklit uzayında B(q, 2tq) Ç v olacak şekilde eq > 0
seçelim. M manifoldunun her birinin kapanışı tıkız olan yerel sonlu bir açık
örtüsünü ve bu örtü ile uyumlu bir birimin ayrışımını alalım:
M Ç UaUa ,
pa : M ^ M ,
pa(p) = 1 , p e M.
^
a
f : M ^ N sürekli bir fonksiyon olsun. Stone-Weierstrass Teoremi’ni kulla­
narak her a için bir ga : Mm ^ M™ polinom fonksiyonu seçelim öyle ki, her
p e Ua için ||f(p) —ga(p)\\ < t f (p) olsun (Ua kümesinin kapanışının tıkız
olduğunu kullanıyoruz) (bkz. s. 109, [33]). g : M ^ M™, g(p) = J2a p(p) ga (p)
toplam fonksiyonu olsun. Üçgen eşitsizliğinden
lf(p ) —g(p)ll = « E Pa(p)(f(p) —g * m i < ( E pa (p)) t f (p) = t f (p)
a
a
elde ederiz. O halde, g(M ) Ç v olur ve dolayısıyla h = P og : M ^ N türevlenebilir bileşke fonksiyonundan bahsedebiliriz. P fonksiyonun geometrik özel­
liklerinden ||f (p) — h(p)\\ < 2 tf(p) olduğu gıktır (bkz. Sonuç 3.3.16). tq > 0,
q e N, sayılarını istediğimiz kadar küçük seçebildiğimiz için, C ™ (M ,N ) türevlenebilir fonksiyonlar uzayının C 0 (M, N ) sürekli fonksiyonlar uzayı içinde
yoğun olduğunu kanıtlamış olduk. Diğer taraftan, her t e [0,1] için
\\f (p ) —[(1 —t ) f (p ) + th(p)]ll = \\t ( f (p ) —h(p)) \ < 2tf(p)
olduğundan
F : M x [0,1] ^ v,
F(p, t) = (1 —t ) f (p) + th(p) ,
çizgisel homotopisini tanımlayabiliriz. Bu durumda, (P o F)(p, 0) = f (p) ve
(P o F)(p, 1) = h(p) olduğundan P o F : M x [0,1] ^ N bileşke fonksiyonu
istenilen sürekli homotopiyi verir.
Teoremin ikinci kısmı için, sürekli bir G : M x [0,1] ^ N fonksiyonu
ile homotopik olan türevlenebilir hi : M ^ N , i = 1,2, fonksiyonları
alalım. Kanıtı tamamlamak için bu iki türevlenebilir fonksiyonun türevlenebilir
bir H : M x [0,1] ^ N fonksiyonu ile homotopik olduğunu göstermemiz
gerekiyor. G(p,i) = hi(p) fonksiyonları türevlenebilir olduğuna göre öyle açık
bir M x {0,1} Ç U Ç M x [0,1] kümesi ve türevlenebilir 0 : U ^ N
fonksiyonu vardır ki, her (p, t) e U için, G(p, t) = 0(p, t) olur. Teoremin
ilk bölümünde verdiğimiz kanıtı kullanarak G homotopisine istenildiği kadar
yakın ve homotopik olan türevlenebilir bir ^ : M x [0,1] ^ N homotopisi
bulabiliriz. V = M x [0,1] —M x {0,1} açık kümesi olmak üzere M x [0,1]
manifoldunun {U ,V } açık örtüsü ile uyumlu bir {pu, p v } birimin ayrışımı
seçelim. Bu durumda
P o (pu G + pv Ü) : M x [0,1] ^ N ,
(p, t) ^ P(pu(p, t) G(p, t) + pv(p, t) Ü(p, t)) , (p,t) e M x [0,1],
istenilen türevlenebilir homotopiyi verecektir. □
Bu teoremin bir uygulaması için Sayfa 234’e bakınız.
189
A lış tır m a la r
3.4
A lıştırm a la r
1. Hatırlatma 3.1.4’de verilen vektör alanlarının akışları hakkmdaki ifadeleri
kanıtlayınız.
2. İki vektör alanının bileşkesinin her zaman bir vektör alanı olmadığını
örnekle gösteriniz.
3. Önerme 3.1.6’nm kanıtını genel durum için veriniz.
4. Önerme 3.1.8 ve Önerme 3.1.9’u kanıtlayınız.
5. Sürekli bir f : [0,1] ^ R fonksiyonu her k > 1 tam sayısı için
rı
/ f (x) sin knx dx
0
Jo
eşitliğini sağlıyorsa bu fonksiyon sabit sıfır fonksiyonudur.
6. Standart Riemann metriği ile düşündüğümüz gerçel eksenden sıfır nok­
tasını çıkaralım. Bu manifold üzerindeki hiçbir j( t) jeodeziğinin tüm
t € R değerleri için tanımlı olamayacağını gösteriniz.
7. Türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde bir g-Riemann metriği alalım.
Bu metriği koruyan vektör alanlarına Killing vektör alanları denir. İki
Killing vektör alanının Lie parantezinin de bir Killing vektör alanı ol­
duğunu Sonuç 3.1.10’u kullanarak gösteriniz.
8. Tıkız bir M n manifoldu üzerinde sadece iki tane ve soysuzlaşmamış kri­
tik noktası olan bir fonksiyon varsa bu manifoldun S n küresine homeomorfik olduğunu gösteriniz ( ikinci Ünite’de yer alan Alıştırma 26’yı ve
Teorem 3.1.3’ü kullanınız). Aslında bu homeomorfizma bir nokta haricin­
de difeomorfizma olarak da seçilebilir. Bu sonuç 6. Ünite’de ele alacağımız
Milnor’un egzotik küreleri konusunun son adımı olacak. (İki farklı çözüm
için [24] ve [35] (sayfa 23) numaralı kaynaklara bakınız.) Bu sonuç Reeb ’in
Küre Teoremi diye anılır ve Georges Reeb’in 1946 yılında yayınladığı [28]
makalesinin bir sonucudur.
9. Sayfa 117’deki hesaplamaları kullanarak birim küre üzerindeki (R3’den
gelen) standart Riemann metriğinin stereografik koordinatlarda
dx ® dx + dy ® dy
(1 + x2 + y2)2
ile verildiğini gösteriniz. Bu metriğin merkezden geçen jeodeziklerinin
doğrular olduğunu gösteriniz. Döndürmelerin (SO(3)’ün elemanlarının)
metriği koruduğunu kullanarak kürenin verilen bir noktasından geçen her
joedeziğin bir büyük çember olduğunu kanıtlayınız. Son olarak yarıçapı
r > 0 olan kürenin Gauss eğriliğinin her noktada 1 /r olduğunu göste­
riniz.
190
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
10. Karmaşık düzlemin alt uzayları olan H = {z € C | Im (z) > 0} Hiperboiz + 1
lik yarı düzlem ile D = {w € C | lwl < 1} birim diski z ^ w = —+ —
holomorfik dönüşümü altında izomorfiktir. Analitik fonksiyonlar türev­
lerinin sıfırdan farklı olduğu yerde açı koruyandır (konformal). Dolayı­
sıyla, bu dönüşüm açıları korur. Hiperbolik yarı düzlemdeki metriği bu
dönüşüm ile birim diske taşırsak
4
dx 0 dx + dy 0 dy
(1 —x 2 —y 2 ) 2
metriğini elde ederiz. Hiperbolik düzlemin bu modeline Poincare Disk
Modeli denir. Bu modelde jeodeziklerin birim çemberi dik açılarda kesen
çemberler olduğunu gösteriniz. Karmaşık analizden hatırladığınız Möbius transformasyonları kullanırsanız jeodezik denklemini çözmenize gerek
kalmaz. Poincare Diski üzerindeki metriğin alan formunu hesaplayınız.
11. S üzerinde standart düz metrik (dx 0 dx + dy 0 dy) olan düzlemi veya
Alıştırma 9’da üzerindeki metriğin açık ifadesini yazdığımız birim küreyi
ya da hiperbolik yarı düzlemi (bkz. Bölüm 3.3.4) göstersin. Bu yüzeyin
k s (p) Gauss eğriliği, yüzeyin her noktasında, sırasıyla 0 1 ve —1’dir.
Yüzey üzerindeki alan formunu dA ile gösterelim. Bu durumda yüzey
üzerinde alman ve iç açıları ap i = 1, 2, 3, olan her T jeodezik üçgen
için (kenarları jeodeziklerin parçaları olan üçgen) için
/ k (p ) d A =
JT
aı
+ a 2 + a 3 —n
olduğunu gösteriniz. Bu sonucu jeodezik çokgenlere genişletiniz.
Gauss bu sonucu yüzey üzerindeki herhangi bir mtrik için kanıtlamıştır.
12. Örnek 3.2.3’dekine benzer şekilde özel doğrusal grup S L (n ) manifoldunun jeodeziklerini belirleyiniz.
13. Herhangi bir (M , g ) Riemann manifoldu üzerindeki bir noktada tanım­
lanan üstel fonksiyonun sıfır vektöründeki türevinin birim dönüşüm ol­
duğunu gösteriniz: D (E x p p) 0 = Idr vM (bkz. s. 146).
14. Hatırlatma 3.2.6’da verilen genelleştirilmiş Gauss Yardımcı Teoremi’ni
kanıtlayınız.
15. Öklit uzayındaki herhangi bir U kapalı yuvarı üzerinde bir g Riemann
metriği alalım. Bu durumda öyle M , m > 0 pozitif gerçel sayıları vardır
ki, bu yuvar içindeki her 7 : [a ,b ] ^ U eğrisi için
m L e(Y )
< L g(y ) < M L c (y )
olur. (Burada L e(j ) ve L g(7 ) ile 7 eğrisinin Öklit ve g metriklerine
göre uzunlukları gösterilmiştir. Ayrıca bkz. Teorem 7, s. 428 [31].) Bunun
191
A lış tır m a la r
bir sonucu olarak bir manifold üzerindeki her Riemann metriğinin aynı
(jeodezik) topolojiyi ürettiğini gösteriniz.
16. Sonuç 3.2.9’u kanıtlayınız.
17. Aşağıdaki ifade gerçel sayıların bir [a, b] kapalı aralığında sürekli olan
fonksiyonların oluşturduğu, C ([a , b ]), vektör uzayı üzerinde bir iç çarpım
tanımlar:
/
f ( t ) g(t) dt, f , g e C ([a ,b ]) .
Ja
Bu iddianın kanıtında açık olmayan tek nokta
(f , g ) =
(f,f)
= 0^ f = 0
önermesidir. Bunu görmek için
F(s) =
f
Ja
f
2(t) dt, s e [a, b],
fonksiyonunun da sabit sıfır fonksiyonu olduğunu gözlemleyip Analizin
Temel Teoremi’ni kullanmak yeterlidir. Şimdi Önerme 3.2.10’da kullanı­
lan Schwarz eşitsizliği iç çarpım uzaylarının genel bir özelliği olur.
18. Herhangi bir ( M , g) Riemann manifoldunun sabit bir p e M noktasını
alalım. Bu noktadan geçen her jeodeziğin tüm gerçel eksende tanımlan­
dığını kabul edelim. Bu durumda, manifoldun her q e M noktasının bu
noktaya uzunluğu en kısa olan bir jeodezik ile bağlanabildiğini gösteriniz.
Bu birkaç adımda yapılabilir. İlk önce, Riemann metriğinin manifold
üzerinde verdiği metriği d : M x M ^ R ile gösterelim ve bu metrikte
p ’den q’ya olan uzaklık r = d(p, q) > 0 olsun. Ayrıca p e M noktasın­
daki üstel fonksiyonun B[0, e] C TpM yuvarına kısıtlanışı, görüntüsüne
bir difeomorfizma olacak şekilde bir e > 0 seçelim. Bu yuvarın sınırı,
S ( e ) = d B [ 0, e] C T pM , tıkız olduğu için
d(po,q) = d ( E x p p( S (e) ), q)
olacak şekilde bir p 0 e S (e) noktası seçebiliriz. Ayrıca E x p p (ev) = p 0
olacak şekilde bir v e TpM birim vektörü seçelim. Son olarak 7 (t) =
E x p p (tv), t e R jeodeziği için d ( j ( t ) , q ) = r — t olduğunu gösteriniz.
Böylece, d ( j ( r ) , q) = 0 olacağı için q = j ( r ) elde edilecektir.
Son adım için biraz ipucu verelim:
to = s u p { t e [0 , r] | d(Y(t), q) = r —t }
sayısını tanımlayalım. Eğer t 0 = r ise kanıt tamamlanır. Eğer t 0 < r ise
pı = y(t0) olsun ve öyle bir ö > 0 seçelim ki B [ p \ ,ö] içindeki herhangi
192
V e k tö r A la n la r ı v e D e m e tle r i
iki nokta en küçük uzunluğa sahip bir jeodezik ile birbirine bağlanabilsin.
Bu durumda y([to — 5,t 0 + 5]) en kısa uzunluğa sahip bir jeodeziktir.
Eğer p 2= j ( t 0 + 5) noktası ise d(p,p2) < t 0 + 5 olacaktır, çünkü
Y([0, to + 5]) jeodeziğinin uzunluğu t 0 + 5 kadardır. Ayrıca, d(p,q) = r
olduğu için d(p2, q) > r — t 0 — 5 olur.
Diğer taraftan, d(pı,q) = r — to eşitliğini ve d metriği için üçgen
eşitsizliğini kullanarak
r — to — 5 > d(p2 ,q)
elde edilir. Bu ise t0’ın seçimi ile çelişir. Böylece kanıt tamamlanır.
19. Hatırlatma 3.2.13.2’nin kanıtını tamamlayınız.
20. Hatırlatma 3.2.1-Ve bir örnek veriniz. Ayrıca bu hatırlatmanın üstünde
iddia edildiği üzere bir vektör uzayı üzerinde verilen bir iç çarpımın tensör
çarpımlara doğal olarak taşınabileceğini gösteriniz.
21. Hatırlatma 3.2.15’in altındaki paragraftaki iddiayı kanıtlayınız.
22. Örnek 3.2.16’ya benzer şekilde M™ içinde türevlenebilir bir fonksiyonun
grafiği olarak x n = f ( x \, ■■■ ,x n - ı) ile verilen hiper yüzeyi, içinde
bulunduğu Öklit uzayının Riemann metriği ile düşünelim. Bu metriğe
karşılık gelen hacim elemanının
dvol =
dx\ A ■■■A dxn -l
olduğunu gösteriniz.
23. Verilen bir P : E ^ M vektör demetinin tüm kesitlerinin oluşturduğu
r(E ) kümesinin C™(M) halkası üzerinde bir modül oluşturduğunu
gösteriniz.
24. Verilen bir vektör demetinin yapı fonksiyonlarını kullanarak elde edilen
vektör demetinin başlangıçtaki demete izomorfik olduğunu gösteriniz.
25. Yönlendirilebilir bir manifoldun teğet vektör demetinin yönlendirilebilir
bir demet olduğunu gösteriniz.
26. Yönlendirilebilir vektör demetlerinin toplamlarının da yönlendirilebilir
olduğunu gösteriniz.
27. Herhangi bir P : E ^ M vektör demeti için E ® E ^ M demetinin
doğal bir yönlendirmesi olduğunu şu şekilde gösteriniz: Eğer Q : F ^ M
bir başka vektör demeti ve H : E ^ F vektör demetleri izomorfizması
ise H ® H : E ® E ^ F ® F yön koruyan bir izomorfizmadır (bu­
rada E ve F demetlerinin yönlendirilebilir olması gerekmemektedir!).
A lış tır m a la r
193
Benzer fikirler ile her türevlenebilir M manifoldu için, M manifoldu yönlendirilemez olsa dahi, M x M ve T*M manifoldlarmm doğal
yönlendirmeleri olduğunu gösteriniz.
28. Yönlendirilebilir bir vektör demetinin determinantının aşikar doğru de­
meti olduğunu gösteriniz.
29. İki ve dört boyutlu gerçel vektör uzayları üzerindeki tüm karmaşık yapı­
ları belirleyiniz. Boyutu 2n > 4 olan bir gerçel vektör uzayı üzerinde
sayılamaz çoklukta karmaşık yapı olduğunu gösteriniz.
30. Vektör demetleri üzerinde incelediğimiz tüm işlem ve yapıların geri çekme
işlemi ile yer değiştirebileceğini gösteriniz. Örneğin, yönlendirilebilir bir
demet geri çekildiğinde yine yönlendirilebilir bir demet elde edilir. Ben­
zer şekilde, demetlerin toplam veya tensör çarpımlarının geri çekmesi de
demetlerin geri çekmelerinin toplam veya tensör çarpımlarıdır.
31. Örnek 3.3.5 içinde yaptığımız tüm iddiaları kanıtlayınız.
32. Burulma tensörünün gerçekten bir tensör olduğunu gösteriniz.
33. Hatırlatma 3.3.11’i göz önünde bulundurarak şunu kanıtlayınız: V manifold üzerindeki M x R aşikar vektör demeti üzerinde bir bağlantı
olsun. Bu durumda bir A € R sayısı vardır öyle ki, her f € C™(M)
için
V ( f ) = df + A f
olur. (Eğer bağlantı bir Riemann metriğinden elde edilmişse A = 0 ol­
duğunu görmüştük; bkz. s. 173.)
34. Önerme 3.3.12’nin kanıtını tamamlayınız.
35. Sonuç 3.3.13’ün kanıtının içinde bahsedilen dik iz düşüm yardımıyla
tanımlanan ifadenin gerçekten bir bağlantı olduğunu gösteriniz.
36. Poincare Yarı Düzlemi’nin jeodeziklerinin sonsuz uzunlukta olduğunu
gösteriniz.
37. Poincare Yarı Düzlem geometrisinin Öklit’in beşinci kabulünü sağlama­
dığını gösteriniz (bkz. Şekil 3.3).
38. (M, g) bir Riemann manifoldu ve L C M kapalı bir alt manifold olmak
üzere v (L) normal demet inin T M içinde bir alt manifold olduğunu
gösteriniz. Ayrıca normal demetin sıfır kesitinin L manifolduna difeomorfik bir alt manifold olduğunu gösteriniz.
39. (M, g) bir Riemann manifo ldu ve L C d M , manifoldun sınırının bir
tıkız ve bağlantılı bir bileşeni olsun. Tüp Komşuluk Teoremi’nin kanı­
tını takip ederek aşağıdaki ifadeyi kanıtlayınız: Öyle bir e > 0 sayısı
194
V e k tö r A la n la rı ve D e m e tle r i
vardır ki, Riemann metriğinin vermiş olduğu Exp : v(L) ^ M üstel
fonksiyonunun U = L x (-e , 0] alt kümesine kısıtlanışı V = Exp(U )
görüntüsüne bir difeoınorfiktir.
Exp : U ^ V c M
Bu sonucu kullanarak birer sınır bileşenleri difeomorfik olan iki ınaııifoldıı bu sınır bileşenleri boyunca birbirine yapıştırarak bir başka manifold
elde ederiz. Aşağıdaki şekle (Şekil 3.6)bakarak detayları yazma işini size
bırakıyoruz.
Şekil 3.6: M D L x (-e, e) ~ L x (-e, e) c N, (x,t) ~ (x, -t)
4
De ilham Kohonıoloji
B ıı ü n i t e d e t ü r e v l e ı ı e b i l i r ı n a ı ı i f o l d l a r ü z e r i n d e k i t i i r e v l e n e b i l i r f o r m l a r ı n o l u ş ­
tu r d u ğ u D e R lıa ın k o h o n ıo lo ji g r u p la r ın ı h e s a p la y a r a k b u n la r ın b a z ı g e o m e trik
v e t o p o l o j i k s o n u ç l a r ı n ı i n c e l e y e c e ğ iz . H o ı n o l o j i v e k o h o n ı o l o j i t e o r i l e r i m o d e r n
g e o m e t r i v e t o p o l o j i n i n e n e t k i l i a r a ç l a r m d a n d ı r . A s l ı n d a h o ı n o l o j i v e k o lı o m o lo jiy i to p o lo jik u z a y la r k a te g o r is in d e n d e ğ iş m e li g r u p l a r (v e y a h a lk a la r ) k a te ­
g o r i s i n e b i r e r f u n k t o r o l a r a k e le a l ı n a b i l i r . H o ı n o l o j i g e n e l l i k l e s a d e c e d e ğ iş m e l i
b ir g r u p y a d a v e k tö r u z a y ı ik e n k o h o n ıo lo ji d o ğ a l b ir ş e k ild e h a lk a (c e b ir)
y a p ı s ı n a s a h i p t i r v e b u s e b e p l e d a h a e t k i l i b i r a r a ç t ı r . B a z ı d u r u m l a r d a k o lıo rn o lo ji, ın a ııif o ld la r v e d a h a g e n e ld e to p o lo jik u z a y la r ü z e r in d e b e lir li to p o lo jik
v e y a g e o m e tr ik y a p ıla r ın v a r lığ ın a e n g e l o la r a k k a r ş ım ız a ç ık a r . B u n u n d ış ın d a
k o h o n ıo lo ji v e h o ın o lo ji s ın ıf la n d ır m a p r o b le m le r in d e d e ç o k k u lla n ış lıd ır . Ş ö y ­
le k i , t o p o l o j i k n e s n e l e r i k a r ş ı l a ş t ı r m a k c e b i r s e l n e s n e l e r e n a z a r a n g e n e l d e d a h a
z o r b ir iş tir . B u n e d e n le h o ın o lo ji v e k o h o n ıo lo ji f u n k to r la r ı o ld u k ç a y a r a r lıd ır .
B ir ö r n e k v e rm e k g e re k irs e ,
R
2
ve
R
3
to p o lo jik u z a y la rın ın h o m e o m o rfik
o lm a d ık la r ın ı (k o ) h o ın o lo ji k u lla n m a d a n k a n ıtla m a y ı d e n e y e b ilir s in iz (b k z . S o­
n u ç 4 .3 .1 5 ) . B u v e s o n r a k i ü n i t e l e r d e b u n u n b i r ç o k ö r n e ğ i n i a y r ı n t ı l ı b i ç i m d e
e le a l a c a ğ ı z .
D e R l ı a ı n k o h o ı n o l o j i n i n t o p o l o j i k ı n a n i f o l d l a r d a k i k a r ş ılı ğ ı t e k i l k o lı o m o l o j i d i r . D e R l ı a ı n k o h o n ı o l o j i ile ilg ili o l a r a k e le a l a c a ğ ı m ı z h e m e n h e m e n h e r
k o r ı u n u n t e k i l k o l ı o ı n o l o j i d e k a r ş ılı ğ ı v a r d ı r . T e k il ( k o ) h o r n o l o j i k o n u s u n d a e n
k a p s a m l ı v e y a y g ı n k u l l a n ı l a n k i t a p l a r d a n b a z ı l a r ı [ İ S J , [6 ], [27] v e [12] n u m a r a l ı
re f e ra n s la rd ır .
İk i, ü ç v e d ö r t b o y u tlu tü r e v le ııe b ilir ın a ııifo ld la rm to p o lo ji v e g e o m e trile ri
a y rı a y rı ç a lış ın a a la n la r ı o lu ş tu r m a k ta d ır . B u k o n u la rı k a p s a y a n k a y n a k la rd a n
b i r k a ç ı [1 3 ], [20] v e [4] n u m a r a l ı r e f e r a n s l a r d ı r .
195
196
D e R h a m K o h o m o lo ji
4.1
D e R ham K ohom oloji
4.1.1
D e R h a m K o h o m o lo jin in T anım ı
Her bir A k (k € Z) değişmeli bir grup (ya da vektör uzayı) olmak üzere
/t
ı\
(A *, d *) :
dk—2 A
dk—ı
du .
dk+1
■■■------ >A k -ı ----- >A k — >Ak+ı ----- h ■■■
şeklindeki bir grup (vektör uzayı) homomorfizmaları dizisinde herhangi ardışık
iki homomorfizmanm bileşkesi sıfır oluyorsa, d k+ı ◦ d k = 0 A k ’lere zincir
gruplan ve bu diziye de bir zincir yapısı denir. Bir zincir yapısı için
Im(dk-ı : Ak-ı h A k) ç ker(dk : A k h A k+ı)
olduğu kolayca görülür. Bu zincir yapısının kohomolojisi
H k (A* ,d*)
ker(d k : A n h A fc+ı )
Im( d k-ı : A k -ı h A k)
bölüm grubu olarak tanımlanır.
Sayfa 96’de türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde tanımlı bir u € Qk(M )
^^^^^rnmun du = 0 olması durumunda kapalı form ve dv = u olacak şekilde
bir v € Qk - ı (M ) (k —1)-formunun var olması durumunda da tam form olarak
adlandırıldığını görmüştük. Yine d2 = 0 olduğundan her tam formun aynı
zamanda kapalı olduğunu söylemiştik. Buna göre M manifoldunun üzerindeki
(Q*(M),d*) : ■■■ ——
n k - ı (M ) ——
n n(M ) —h n k+ı (M ) ——
■■■
vektör uzayı zincir yapısına manifoldun De Rham zincir yapısı ve yapının
k’inci kohomolojisine de manifoldun k ’inci De Rham kohomolojisi denir. Bu
kohomoloji vektör uzayı HD,r (M ) ile gösterilir. Tanımından anlaşılacağı gibi
H jjR(M ) manifold üzerindeki kapalı k-formlarm oluşturduğu vektör uzayının
tam k-formlarm oluşturduğu vektör uzayına bölümüdür. Başka bir deyişle,
Hk
(M)=
DR(
)
k e r ( d k : Q k( M )
I m ( d k-
h Qk+ı ( M ) )
ı : Ü k- ı ( M ) h Ü k ( M ) )
manifold üzerinde kapalı olup tam olmayan türevlenebilir formların uzayıdır.
Dolayısıyla, eğer bu vektör uzayı sıfır vektör uzayı ise manifold üzerindeki her
kapalı k-form tamdır. Kapalı bir u k-formunun kohomolojide belirlediği sınıf
[u] € H k)R ( M ) ile gösterilir.
Ö nerm e 4.1.1. Her bağlantılı M
manifoldu için H 0 r ( M ) = R olur.
Kanıt : [f ] € H 0 r (M ) olsun. f : M h R kapalı bir 0-form olduğundan
her yerel koordinat sisteminde
d im (M )
0 = df =
>
^i
—— d x i
dxi
197
D e R h a m K o h o m o lo ji
olacaktır. O halde, 0 : M ^ R fonksiyonu yerel olarak sabittir. Fakat, M
manifoldu bağlantılı olduğundan 0 bir sabite eşit olmalıdır. Diğer taraftan,
manifold üzerindeki her sabit fonksiyon kapalı bir 0-form verecektir. □
M manifoldunun sonlu tane topolojik bileşeni varsa, M = Ui=\Mi kolayca
her n > 0 için, H * r (M ) = ®İ= 1 H'Dr (Mİ) olduğunu görürüz. Dolayısıyla,
sıfırına kohomoloji manifoldun bağlantılı bileşenlerinin sayısını verir. Böylece kohomolojinin manifoldlarm topolojik özellikleri yansıtan cebirsel nesneler
olduğunun ilk örneğini görmüş olduk.
F : M ^ N türevlenebilir manifoldlarm türevlenebilir bir fonksiyonu
olsun. F * o d = d o F * olduğundan F * kapalı formları kapalı, tam formları
da tam formlara geri çekecektir. Ayrıca F * formlar üzerindeki vektör uzayı
yapısını koruduğundan, F * kohomoloji vektör uzayları arasında bir doğrusal
homomorfizma verir:
F * : H nDR(N ) ^ HDr (M ) ,
[w] ^ [F*(w)] .
Diğer taraftan, F * dış çarpımı koruduğu için
F * : H * r (N ) = ®HDr (N) ^ ®HDr (M ) = H * r (M )
bir R-cebir homomorfizmasıdır: [w], [v] € H r ( N) olmak üzere
F*([w] A [v]) = F *([w]) A F*([v]) .
Aşağıdaki önermenin kanıtını okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz (bkz.
Alıştırma 1).
Ö nerm e 4.1.2. F : M ^ N ve G : N ^ L türevlenebilir manifoldlarm tü­
revlenebilir fonksiyonları olsun. Bu durumda, (G o F )* = F *o G* olur. Ayrıca,
eğer İ m : M ^ M manifoldun birim fonksiyonu ise 1*M homomorfizması da
H * r (M ) kohomoloji cebirinin birim fonksiyonu olur.
Bu önermenin içeriği De Rham kohomoloji cebirleri türevlenebilir manifoldlar kategorisinden gerçel sayılar üzerindeki cebirlere bir funktor verir şeklinde
ifade edilebilir.
Ö rn ek 4.1.3. 1) M n-boyutlu bir manifold ise M üzerindeki her n-form
kapalı olacaktır, çünkü, M üzerinde sıfırdan başka (n + 1)-form yoktur.
2) I Ç R açık bir aralık ve w = f (x) dx I üzerinde bir 1-form olsun.
O halde, eğer F(x) f ’nin bir ters türevi ise (örneğin, a € I olmak üzere,
F (x) =
f (t) dt olarak alabiliriz) dF = w olacağından w tamdır ve
dolayısıyla H*)r ( I ) = 0 olur.
3) U düzlemin açık bir alt kümesi ve
w = f (x,y) dx + g(x,y) dy € Ül (U)
198
D e R h a m K o h o m o lo ji
bu küme üzerinde bir 1-form, olsun. du = (g x — f y) dx A dy olduğundan bu
form,un kapalı olması f y = g x koşuluna denktir. Diğer taraftan, bu form,un tam
olması d f = f x dx + f y dy = u olacak şekilde bir f € Q° ( U ) fonksiyonun
var olmasına denktir. Şimdi bu türevlenebilir formu U kümesi üzerinde bir
diferansiyel denklem gibi görelim:
f x dx
+ g y dy = 0 .
DiferansiyeJ denklemler dersinden hatırlayacağımız gibi eğer u formu kapalıy­
sa ve U açık kümesi basit bağlantılı (U bölgesinin içinde hiç boşluk yoksa) ise
bu diferansiyel denklem tam diferansiyel denklem olarak adlandırılır ve çözümü
de f ( x , y) = C şeklinde verilir. Dolayısıyla, eğer U basit bağlantılı bir küm,e
ise H Dr ( U ) = 0 olacaktır. Daha sonra tekrar ele alacak olsak da, f ( x , y)
fonksiyonunun nasıl bulunduğunu gösterelim: U içinde sabit bir p 0 € U nok­
tası seçelim. Verilen herhangi p € U noktası için f ( p ) şu şekilde tanımlanır:
Y : [a, b] ^ U, y(a) = p 0 ve y(b) = p olacak şekilde bir eğri alalım,.
Şimdi
f ( p) =
Y * ( u)
a
olarak tanımlansın. Green Teoremi’nden (bkz. s. 110) dolayı, u kapah 1 -form
olduğu için bu integral bu iki noktayı birleştiren eğrinin seçiminden bağımsızdır.
Son olarak eğriyi aşağıdaki şekildeki gibi seçerek Analizin Temel Teoremi’nden
f x = f ve f y = g olduğunu kolayca görürüz (f x = f için y ı (t) ve f y = g
için Y2(t)
Şekil 4.1: f x = f ve f y = g olduğunu görmek için kullanılan eğriler
4) Daha önceki bölümlerde de ele aldığımız
u =
x dy — y dx
x2 + y 2
^ - ı /m 2
€ n 1(K2 —{(°.O)})
formu kapalıdır (d u = 0 ) fakat tam değildir. Çünkü eğer d f = u ise
f = tan -1 (y/x) + C olur, fakat bu fonksiyon R2 — {(O, 0)} kümesinin her
noktasında tanımlı değildir. O halde, H Dr (R2 —{(0, 0)}) kohomoloji vektör
uzayı sıfırdan farklıdır (bkz. Önerme 4-1.5 ve Örnek 4-2.5).
199
D e R h a m K o h o m o lo ji
Aşağıdaki önerme kapalı formlar için bir tam olmama kriteri oluşturur.
Önerme 4.1.4. M sının olmayan tıkız yönlendirilebilirn-boyutlu, bir manifold
ve w € Qn (M ) olsun. Eğ er w bir tam form ise
w
M
0
olur. Dolayısıyla, M üzerinde integrasyon
H d r (m ) —+ R ,
M ^
f v
JS 1
iyi tanımlı bir vektör uzayı homomorfizması verir.
bir
Kanıt : w € Qn ( M ) t e tam
v € Qn - 1 ( M ) formu vardır.
M
form olsun. O halde w = dv olacak şekilde
Şimdi Stokes Teoremi’nden
w = / dv = / v
JM
JdM
v = 0
elde ederiz.
ikinci kısmın kanıtını okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz (bkz. Alıştır­
ma 2). □
Buraya kadar verdiğimiz bilgilerin ışığında bir boyutlu manifoldlarm kohomolojilerini hemen hemen hesaplamış durumdayız:
HD r (R) = HD r (S d) = R;
her k > 1 için h Dr (R) = H lf R(S 1 ) = 0 ve H 1 DR(R) = 0 olur. O
halde, şu ana kadar hesaplanmamış tek kohomoloji grubu çemberin birinci
kohomolojisidir: H ^ r (S 1).
Önerme 4.1.5. Çemberin birinci kohomolojisinden gerçel sayıları tanımlanan
1
: h d r (s
1
) —^ R ,
[v ]
^ fJ
v ,
s1
integral homomorfizması bir izomorfizmadır.
x dy — y dx
Kanıt : w = ---- - — ----- €
2n
P
_ ,ı,
ü 1( S 1)
: R ^ S d,
d
„
formunu
^ (cos d, sin d) ,
fonksiyonu ile geri çekersek P*(w) = dd/(2n) elde ederiz. Bu durumda
Is 1
w
r 2n dd
L 2n
1
200
D e R h a m K o h o m o lo ji
olduğundan I : HDr (S Ö ^ R homomorfizması örtendir. Şimdi de bu homomorfizmanm çekirdeğini hesaplayalım: v € Q1(S1) için I ([v]) = 0 ol­
sun. P*(v) = f (9) d9 olacak şekilde bir f : R ^ R fonksiyonu seçelim.
v (P (9)) = v (P (9 + 2n)) olduğundan f fonksiyonu 2n ile periyodiktir: Her
re
9 € R için, f (9 + 2n) = f (9). F : R ^ R , F (9) = / f (t) dt fonksiyonu f
J0
için bir ters türevdir: dF = F 1 (9) d9 = f (9) d9 = P*(v). Diğer taraftan,
ç2 n
0
= 1 ([ v ]) =
f (t) dt
J0
olduğundan
r0+2n
F (9 + 2n)
=
f(t) dt
f0
f0
r0 +2 n
f (t) dt W
10
r2 n
= F (9) + /
>e
f (t) dt
f (t) dt
J0
=
F (9)
elde ederiz. Başka bir deyişle, F (9) fonksiyonu F = F o P olacak şekilde bir
F : S 1 ^ R fonksiyonu verir. Buna göre,
P*(dF) = d(P *(F)) = d(F o P ) = dF = P*(v)
ve dolayısıyla P*(v —dF) = 0 olur. Son olarak, P : R ^ S 1 yerel olarak her
nokta yakınında bir difeomorfizma olduğundan son eşitlik ancak v — dF = 0
olması durumunda sağlanır. Başka bir deyişle [v] = [dF] = 0 olmalıdır.
Böylece kanıt tamamlanır. □
H a tırla tm a 4.1.6. ileride her boyuttaki küre için aynı sonucu kanıtlayacağız:
n > 0 olmak üzere HDR(Sn) = H n R(Sn) = R ve her k = 0 ,n için
HD
k R(Sn) = 0 ’dır. Fakat kanıt oldukça farklı olacaktır (bkz. Örnek 4-3.8).
Örnek 4.1.3’den dolayı H\-ir (D ‘2) = 0 olduğunu biliyoruz. Bu sonucu
yukarıdaki önerme ile birleştirirsek ilginç geometrik ve topolojik sonuçlar elde
ederiz.
T anım 4.1.7. X topolojik bir uzay ve A C X alt uzay ve r : X ^ A sürekli
bir fonksiyon olsun. Eğer her x € A için, r(x) = x oluyorsa A alt uzayına
X ’in bir küçültmesi ve r : X ^ A fonksiyonuna da küçültme fonksiyonu denir
Teorem 4.1.8. Öklit uzayındaki iki boyutlu yuvardan sınırına hiçbir türevlenebilir r : D 2
S 1 küçültme fonksiyonu yoktur.
201
P o in c a re Y a rd ım c ı T e o re m i
Kanıt : Kanıtlamak istediğimiz iddianın tersine bir r : D 2 ^ S 1 küçültme
fonksiyonunun var olduğunu kabul edelim. Bu durumda, eğer i : S 1 ^ D 2
içerme fonksiyonunu gösterirse r o i : S 1 ^ S 1 bileşke fonksiyonu S 1 çem­
berinin birim fonksiyonu olur. O halde, kohomoloji seviyesinde verilen
(r o i )* : H Dr (S 1) = R
R= HD
l r (S 1 )
homomorfizması da birim dönüşümdür. Fakat H Dr (D 2 ) = 0 olduğundan
i * : H Dr (D 2 ) ^ H Dr (S 1) homomorfizması da aşikar olacaktır. Bu durum
yukarıdaki bileşke homomorfizmasmm birim dönüşüm olması ile açık bir şekilde
çelişir. Sonuç olarak böyle bir küçültme fonksiyonu yoktur. □
Şekil 4.2: Teorem 4-1.8 sayesinde davulun derisi gergin bir şekilde kalabiliyor!
Sonuç 4.1.9. Her türevlenebilir f : D 2
noktası vardır.
D 2 fonksiyonun en az bir sabit
Kanıt : Diyelim ki f : D 2 ^ D 2 sabit noktası olmayan bir fonksiyon
olsun. O halde, her x € D 2 için, f (x) = x olur. Her x € D 2 için f (x)
noktasından başlayan ve x noktasından geçen ışının diskin sınırını kestiği
noktayı r(x) ile gösterelim. Bu şekilde tanımlanan r : D 2 ^ dD 2 = S 1
fonksiyonun türevlenebilir olduğu kolayca görülür (bkz. Alıştırma 3). Ayrıca bu
fonksiyonun tanımından dolayı her x € dD 2 için, r(x) = x olacaktır. Başka
bir deyişle, r : D 2
S 1 bir küçültme fonksiyonudur. Fakat bu yukarıdaki
teoremle çelişir. Dolayısıyla, f (x) = x olacak şekilde en az bir x € D 2 noktası
vardır. □
H a tırla tm a 4.1.10. iki boyutlu disk için kanıtladığımız bu sonuç aslında her
boyuttaki disk için doğrudur. Üst boyutlardaki kanıt yukarıda verdiğimiz kanıtın
aynısıdır. Bir boyutlu disk için ise kanıt Ara Değer Teoremimin basit bir uygu­
lamasıdır. Aslında yukarıdaki iki sonuç sürekli fonksiyonlara da genellenebilir
(bkz. Örnek 5.1.8).
4.2
Poincare Yardım cı Teoremi
Bu bölümde Poincare Yardımcı Teoremi diye bilinen aşağıdaki sonucu kanıtla­
yacağız ve daha sonra da bu sonucun bir kaç uygulamasını vereceğiz.
202
D e R h a m K o h o m o lo ji
Y ardım cı Teorem 4.2.1. I Q R bir aralık olmak üzere türevleriebilir her M
manifoldu için
HDr (M x I) = H*DR(M )
olur.
Karnt : P r : M x I — M ilk bileşene iz düşüm fonksiyonu ve a € I
herhangi bir sabit nokta olmak üzere
ia : M — M x I , x — (x,a), x € M,
içerme fonksiyonu olsun. Kanıtın yerel yapısından dolayı manifoldu bir koor­
dinat komşuluğu olarak alacağız: M x I = U x I , xı, • • • ,x nı U üzerindeki
koordinatlar ve t de I aralığı üzerindeki koordinat olsun. Bu durumda U x I
çarpım manifoldu üzerindeki her H o rm şu iki tipteki terimlerin sonlu bir top­
lamıdır: I ve J uzunlukları sırasıyla k — 1 ve k olan toplu endeksler olmak
üzere
f (x, t) dxı A dt
ve
g(x, t) d x j .
Şimdi
P ( f (x, t) dxı A dt)
(—1)
k- 1
f( x ,s ) ds'j d x ı
ve P (g(x,t) d x j) = 0 ile tanımlanan
P : n k(M x I) — n k - 1 (M x I)
doğrusal dönüşümünü düşünelim (bu dönüşümün koordinat sisteminin seçimin­
den bağımsız olduğunun gösterilmesini alıştırmalara bırakıyoruz; bkz. Alıştır­
ma 4). Bu dönüşüm dış türev dönüşümünün tam tersi bir şekilde formların
derecesini bir azaltmaktadır. Bu integral dönüşümü dış türev dönüşümünün
tersi gibi gözükse de formlardaki hesaplamalar biraz farklı sonuçlar verir. As­
lında doğrudan basit bir hesapla
(d o P + P o d )(f (x, t) dxı A dt) = f (x, t) dxı A dt
ve
(d o P + P o d)(g(x, t) dxJ) = (g(x, t) —g(x, a)) dxJ
olduğunu görürüz. Son olarak bu formları ia o P r : M x I — M x I bileşkesi
ile geri çekelim:
(Pr* o i*a) ( f (x, t) dxı A dt) = 0
ve
(Pr* o i*0)(g(x, t) dxJ) = g(x, a) dxJ .
O halde her w € ü k(M x I ) için,
(d o P + P o d)(w )= w — (Pr* o i*a)(w)
203
P o in c a r e Y a r d ım c ı T e o re m i
olur.
Şimdi w € ü k(M x I ) kapalı bir form olsun. Bu durumda
M - (Pr* o Q[w] = [d(P(w))] + [P(dw) = 0
olduğundan Pr* o i*a bileşke homomorfizması birim dönüşümdür. Diğer ta­
raftan, (Pr o ia) : M ^ M fonksiyonu birim fonksiyon olduğu için i*a o Pr*
bileşke homomorfizması da birim dönüşümdür. Başka bir deyişle,
Pr* : H D
k R(M x I) ^ H kDR(M )
ve
i*a : H kDR (M ) ^ H kDR(M x I)
homomorfizmaları birbirlerinin tersidir ve dolayısıyla her ikisi de izomorfizmadır. □
Bu sonucu art arda kullanarak aşağıdaki sonucu buluruz.
Sonuç 4.2.2. Her k > 0 tam sayısı ve türevlenebilir M manifoldu için
H** r (M x Rk) = H * r (M )
olur. Ayrıca her i > 0 için, H 1 Dr (Rk) = 0 ’dır.
Ö nerm e 4.2.3. I Ç R herhangi bir aralık olmak üzere
i*a : HDr (M x I) ^ HDr (M )
homomorfizması a € I noktasının seçiminden bağımsızdır.
Kanıt : w =
^
fi( x ,t) dxı A dt + ^ g j(x ,t)d x j € ü k(M x I )
\\I\\=k-1
l=k
kapalı bir form olsun. O halde
0 = dw =
Yİ
İlil = k -
Y
1
i
d fı (x,t)
dxı A dxI A dt +
dxi
EE
l= k
i
+ £
J A
dt
\\=k
dgj (x,t)
dxi A dxJ
dxi
dt A d x j
d
elde ederiz. Şimdi bu formu — vektör alanı ile daraltırsak
dt
( - l ) k-1
Y Y
\\I\\=k-1 i
d fı (x,t)
dxi A dxI
dxi
E
\\J\\=k
dgj (x,t)
dxJ
dt
204
D e R h a m K o h o m o lo ji
eşitliğini buluruz. Diğer taraftan, w formunu it fonksiyonu ile geri çekip
t-değişkenine göre t = a noktasında türevini alırsak
E
||J||=k
d g j(x , a)
dxJ
dt
( _ l ) k- ı
E E
m = k -ı i
d fı (x ,a )
dxi A dxı
dxi
( _ 1 )k 1 d ( ^ 2 fi(x , a) d x ı)
||/||=k-1
ifadesine ulaşırız. Başka bir deyişle, il (w) formunun t-değişkenine göre türevi
bir tam formdur. Dolayısıyla, [il (w)] kohomoloji sınıfı t-değerinden bağımsız­
dır. □
M ve N türevlenebilir manifoldlar, I bir aralık, a,b € I, ve F :
M x I 4 N türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Bu fonksiyona f (x) = F(x, a)
ve g(x) = F(x, b) fonksiyonları arasında bir homotopi denir. Bazen sadece f
ve g homotopiktir de denir ve f ~ g ile gösterilir, f = F o ia ve g = F o ib
olduğu için yukarıdaki önermenin bir sonucu olarak
f * = g* : H*d r (N ) ^ H DR(M )
olduğunu görürüz. X , E topolojik uzaylar, f : X ^ Y ve g : Y ^ X sürekli
fonksiyonlar olsun. Eğer g o f ~ 1x ve f og ~ ly birim dönüşümlerine homotopikler ise bu uzaylara homotopi denk uzaylar denir. Yukarıda kanıtladığımız
sonuçlara göre M ve N türevlenebilir fonksiyonlar aracılığıyla homotopi
denk türevlenebilir manifoldlar ise bu manifoldlarm kohomoloji grupları izo­
morfiktir.
Rastgele seçilen a < c < d < b € R gerçel sayılan için
her biri içerme fonksiyonun ürettiği homomorfizma olan şu homomorfizmalar
dizisini düşünelim:
H a t ı r l a t m a 4 .2 .4 .
HDr (R X M ) 4 HDR([a, b] x M ) 4 H*DR((a, b) x M ) 4 HDr ([c, d] x M )
Yukarıda elde ettiğimiz sonuçlara göre g o f ve hog bileşkeleri izomorfizmadır,
çünkü, her ikisi de difeomorfizmalara homotopiktir. Dolayısıyla, g homomorfizması hem örten hem de bire birdir. Başka bir deyişle, g bir izomorfizmadır.
O halde, bu dizideki tüm homomorfizmalar birer izomorfizmadır.
I herhangi bir aralık ve P : S 1 x I 4 S 1 iz düşüm fonksiyonu
olmak üzere, yukarıda kanıtladığımız sonuçları kullanarak,
Ö r n e k 4 .2 .5 .
P * : H * r (S 1) 4 H * r (S 1 x I)
205
P o in c a r e Y a r d ım c ı T e o re m i
homomorfizmasmm bir izomorfizma olduğunu görürüz. Ayrtca her n € N için
f : S n x (0, ro ) ^ Rn+1 —{0} , ( x, t) ^ (tx ) ,
bir difeomorfizma olduğundan H r r (Rn+1 —{0}) = H 1 flR ( S n ) elde edilir.
Şimdi de Örnek 2.3.13’de ele aldığımız Möbius Şeridi’nin, M B , kohomolojisini hesaplayalım:
M B = R x [0,1]/(x, y ) ~ ( x + 1,1 —y ) .
C = { ( x ,y ) € M B | y = 1/2} alt manifoldunun çembere difeomorfik olduğu
kolayca görülür, f : C ^ M B ( x, 1/2) ^ ( x, 1 / 2) içerme ve g : M B ^ C ,
( x ,y ) ^ ( x, 1/2) iz düşüm fonksiyonu olsun. Bu durumda g o f = 1c ve
f o g ~ 1 m b olduğu görülür:
F : M B x [0,1] ^ M B , F((x, y),t) = (x, t/2 + (1 —t)y),
olarak tanımlanırsa F ((x,y), 0 ) = (x,y) ve F ((x,y), 1) = (x, 1/2) olacağın­
dan f og Möbius Şeridi’nin birim fonksiyonuna homotopik olacaktır. O halde,
f * : H * r (M B )
H r r (C) bir izomorfizmadır.
Bu bölümde son olarak iki boyutlu kürenin kohomolojisini hesaplayacağız.
Kullanacağımız hesaplama yöntemi bir sonraki bölümün temel konusu olacağı
için bu kanıt ayrıca önemlidir.
T eorem 4.2.6. Kürenin ikinci kohomolojisinden gerçel sayılara tanımlanan
1 : h d r (s 2) —* R ,
[v] ^
f v ,
■JS2
integral hom,om,orflzm,ası bir izomorfizmadır.
Kanıt : Bir önceki bölümde
üzere
= x dy A dz —y dx A dz + z dx A dy olmak
/ wo = 4n
JS 2
olduğunu görmüştük. Dolayısıyla, integral homomorfizması örtendir. Şimdi de
/ w = 0 olacak şekilde bir w € Q2 (S 2) (kapalı) 2-formu alalım. Kanıtın
JS 2
tamamlanması için bu formun tam olduğunu göstermek yeterlidir. Bunun için
N = { ( x ,y ,z ) € S 2 İz > —1/2} ve S = { (x ,y ,z) € S 2 İz < 1/2} alt
kümelerini düşünelim. Her iki alt küme de iki boyutlu yuvara difeomorfiktir
ve H 2d r (D 2 ) = 0 olduğundan w formunun bu açık kümelere kısıtlamaları
tam formdur. Başka bir deyişle, W|N = d v^ ve W|s = dvs olacak şekilde
vn € Ü1(N ) ve vs € D1(S) 1-formları vardır. R t = { ( x ,y ,z ) € S2 İz > t}
kümesi olmak üzere her t € (—1/2,1/2) için
0
w=
w+
JRt
dvN +
w=
S2 -Rt
Rt
S2 -Rt
dvS
206
D e R h a m K o h o m o lo ji
olduğundan Stokes Teoremi’ni kullanarak
/ vn - vs = 0
J z=t
eşitliğini elde ederiz. Diğer taraftan, z = t çemberinden N fi S silindirine
giden içerme fonksiyonu kohomolojide izomorfizma verdiği için vn — vs = df
olacak şekilde bir f : N f S ^ R 0-formu vardır. Bu fonksiyonu tüm S alt
manifoldunun türevlenebilir bir fonksiyonuna genişletelim. Şimdi
vn (p)
= | vs (p) + df (p)
v (p )
p£N
p£S ,
formunu tanımlayalım. N f S ara kesit kümesi üzerinde
vs
+ df = vs + (vn — vs ) = vn
olduğundan v küre üzerinde iyi tanımlanmış bir 1-formdur. Son olarak
dv (p)
(p)
f
=
dvN (p )
{ dvs (p) + d2 f (p)
=
f
(p)
\ W|s (p)
p£N
p£S
, p£N
, p£S
= w(p)
olduğundan kanıt tamamlanır. □
4.3
H esaplam alar ve U ygulam alar
Bu bölümde ilk önce, sadece çemberin ve bir delikli düzlemin kohomolojisini
kullanarak bazı topolojik değişmezler tanımlayıp hesaplamalar yapacağız. Da­
ha sonra, manifoldlarm kohomolojilerini hesaplamakta çokça kullanılan MayerVietoris dizisi yardımıyla bazı temel manifoldlarm kohomolojilerini hesaplaya­
cağız.
4.3.1
Sarılm a, D ö n m e v e G eçişm e Sayıları
Poincare Yardımcı Teoremi’nin sonucu olarak
HD
k R(R 2 — {0}) = H kDR(S1 x R 1) - H kDR(S 1)
olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, bir boyutlu
h
Dr (r 2 —{0}) - h Dr (s 1)
x dy —y dx
^ ^ 2
, „
kohomoloji grubu w = ---- --------- öv £ “ (R 2 —{0}) kapalı formuyla üretilir.
2n (x 2 + y 2)
f : S 1 ^ R2 — {0} türevlenebilir bir fonksiyon ise bu fonksiyonun sarılma
207
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
sayısı
f»
ile tanımlanır ve w (f) ile gösterilir. Bu sayı her zaman
bir tam sayıdır ve aslında f (S : ) eğrisinin düzlemin merkezi etrafında kaç
defa sarıldığını gösterir. Saat yönünün tersi istikametinde sarılma pozitif, saat
yönünde ise sarılma negatif tam sayılara karşılık gelir. Aslında
P : R2
(x, y)
i
\\(x,y)\\
(x,y) ^
{0} ^ S 1
iz düşüm fonksiyonu olmak üzere f fonksiyonunun sarılma sayısı, P o f :
S 1 ^ S 1 bileşkesinin derecesinden başka bir şey değildir, çünkü f ile P o f
fonksiyonları homotopiktir (bkz. Teorem 4.3.22). Ayrıca Alıştırma 19 kullanı­
larak f fonksiyonun homotopi sınıfının sadece sarılma sayısı ile belirlendiği
kolayca gösterilebilir. Şekil 4.3 Stokes Teoremi’ni kullanarak bu sayının nasıl
hesaplanabileceğini göstermektedir. Şekil 4.3a sarılma sayısı iki olan bir eğri­
nin görüntüsüdür. Bu eğrinin sarılma sayısının gerçekten iki olduğunu taralı
bölgelere Stokes Teoremi’ni uygulayarak görebiliriz: Taralı bölgeler orijini içer­
mediği için
dR,
w
J R,
dw = 0
olduğu açıktır. Buradan
I
Js1
w
f ‘ (w)
w
C=f (Sİ)
elde edilir. Son iki integral orijin C 3 ve C4 eğrilerinin dışında kaldığı için sıfıra
eşit olur. Diğer taraftan ilk iki integral Stokes teoreminden dolayı yarıçapı ye­
terince küçük S 1 çemberi boyunca integraline eşit olacaktır. O halde, sarılma
sayısı
Is 1
f ‘ (w) = E
i= 1
w=2
C,
JSİ
w
2
olarak bulunur.
Örnek 4.3.1. Herhangi bir n € Z tam sayısı için,
f :S 1
S 1 Ç R2 —{0} , f (cos d, sin d) = (cos nd, sin nff) ,
ile tanımlanan fonksiyonun sarılma sayısı n olacaktır: Doğrudan hesap yapa­
rak f ‘ (w) = nw olduğu kolayca görülür ve dolayısıyla,
w (f)
olarak elde edilir.
f ‘ (w)
n
w
s1
n
208
D e R h a m K o h o m o lo ji
t G [0, 2n] olmak üzere
x(t) = (3 + sin(t + 10)) cos 2t , y(t) = —(4 + cos(t + 3)) sin 2t
(b) Sarılma, sayısının Stokes (Greens’J Teorenvi’nin yardımıyla hesaplanması
Şekil 4.3
209
H e sa p la m a la r ve U yg u la m a la r
Y : S 1 ^ R2 bir batırma fonksiyonu olsun. Bu fonksiyonun teğet doğrusunu
veren
u : S 1 ^ R2 - {0} , u(6) = y(6)
Gauss gönderiminin sarılma sayısına y eğrisinin dönme sayısı denir ve Rot(^)
ile gösterilir. Dolayısıyla, bir batırma fonksiyonun dönme sayısı bu eğrinin
teğetinin eğri üzerinde hareket, ederken saat yönünün tersi istikametinde kaç tur
döndüğünü söyler. Aşağıdaki örnekte çeşitli eğrilerin dönme sayıları verilmiştir.
Y : S 1 ^ R2 , y (p ) = P batırma fonksiyonun dönme sayısı
birdir (bkz. Şekil 2.1).
2) y : S 1 ^ R2 , y (x , d) = (y , xy) batırma fonksiyonun dönme sayısı sıfır
olduğu şekilden görülür (Şekil f . f ) . Bu sayıyı doğrudan tanımım kullanarak da
hesaplayabiliriz: Fonksiyonu y (6) = (sin 0, sin 6 cos 9) , 9 € [0, 2n], olarak
yazarsak u ( 6 ) = Y( 0 ) = (cos 6 , cos 26), buluruz ve dolayısıyla
u *(w)
cos 26 sin 6 — 2 cos 6 sin 26
2n (cos2 6 + cos2 26)
elde ederiz.
Şekil 4.4: Teğet vektörler pozitif y-eksenine hiçbir zaman paralel olmadığı için dönme
sayısı sıfırdır.
O halde, eğrinin dönme sayısı
Rot(Y)
S1
u *(w)
2n
cos 26 sin 6 — 2 cos 6 sin 26
d6
2n (cos2 6 + cos2 26)
0
n cos 26 sin 6 — 2 cos 6 sin 26
d6
—n 2n (cos2 6 + cos2 26)
0
olur. En son eşitlik integrali alman ifadenin tek fonksiyon olmasının sonucudur.
3) Kutupsal koordinatlarda r = sin 36 , 6 € [0, n], ile verilen eğrinin parametrik ifadesi
Y
: [0, n] ^ R2 , y (6) = (sin 36 cos 6 , sin 36 sin 6)
210
D e R h a m K o h o m o lo ji
gibidir ve Şekil ğ.ö'den dönme sayısının iki olduğu kolayca görülür. Hesap ya­
parsak
a (9) = Yj(ff) = (2 cos 49 + cos 29,2 sin 49 — sin 29)
olarak buluruz ve dolayısıyla
a * (w)
1 14 + 4 cos 69 ^ 9
2n 5 + 4 cos 69
elde ederiz. Bu durumda, eğrinin dönme sayısı
Rot(Y)
Js1
1
2n
1
12n
3
12n
1
4n
a*(w)
n 14 + 4cos69
0 5 + 4 cos 69
f 6n 14 + 4 c o s |
0 5 + 4cos |
f 2n 14 + 4 cos i
0 5 + 4cos |
f n 14 + 4 cos i
-n 5 + 4 cos |
d9
di
di
di
f~
18 + 1 0 u 2
2n - ^ (9 + u2)(1 + u2)
2
olarak hesaplanır. Sondan ikinci eşitlik u = ta n (|/2 )
yardımıyla elde edilmiştir.
değişken dönüşümü
Şekil 4.5: Dönme sayısı iki olan bir eğri: r = sin 39, 9 £ [0, n], Eğrinin, düzlemde
verilen hemen hemen her vektöre paralel olan ta,m olarak iki teğet vektörü olduğuna
dikkat ediniz!
3) Kutupsal koordinatlarda r = sin 29 , 9 £ [0, 2n], ile verilen eğrinin dönme
sayısının üç olduğu Şekil ğ.ö'den kolayca görülür. Integral ile dönme sayısının
hesaplanması ise alıştırma olarak sizlere bırakılmıştır (bkz. Alıştırma 6 ).
211
H e sa p la m a la r ve U yg u la m a la r
Şekil 4.6: Dönme sayısı üç olan bir eğri: r = sin 20, 6 £ [0, 2n],
Şekil 4.7: Trefoil düğümü:
x(t) = (4 + cos3t)cos2t,
y(t) = (4 + cos3t)sin2t
z(t) = sin 3t, t £ [0, 2n]
[(x2 + y2 + z2) + 15]2 =
64(x2 + y2)
ile verilen
torusun içinde oturmakta­
dır (bkz. Örnek 2.3.5). İki
boyutlu resim ise düğümün
(x,y,z) ^
(x,y + 0.5z)
doğrusal dönüşümü altındaki
görüntüsüdür.
Aşağıdaki önerine dönme sayısının batırma fonksiyonun topolojik özelliklerini
yansıttığının bir delilidir. Kanıtı için Do Carıno’ya bakabilirsiniz ([9|, s. 460,
Teorem 2).
Ö nerm e 4.3.3. Eğer herhangi bir batırma fonksiyonu aslında bir gömme fonk­
siyonu ise bu fonksiyonun dönme sayısı her zaman ±1 olur.
HDr (R2 —{0}) —R kohomolojisinin son bir uygulaması olarak S 3 içindeki
iki düğümün geçişme sayısından bahsedeceğiz, i : S 1 ^ S3 türevlenebilir bir
gömme fonksiyonu olsun. Bu gömme fonksiyonunun K = i (S1) görüntüsüne
bir düğüm denir. K C S 3 alt manifoldu f : S3 ^ R ve g : S3 ^ R gibi iki
türevlenebilir fonksiyonun ortak sıfırı olsun,
K = {p £ S3 | f (p) = 0 = g(p)} ,
öyle ki, her p £ K için, { V f (p), Vg ( p ) , T(p) == i(t 0 )} (i(t0) = p) kümesi
TpS 3 vektör uzayı için pozitif bir taban olsun (bu üçlü sağ el kuralına uysun).
Bu durumda
f dg - g df
£ Q1(S3 K )
Wk
2 n ( f 2 + g2)
212
D e R h a m K o h o m o lo ji
formuna K düğümünün geçişme formu denir. Şimdi küreden bir nokta çıkar­
tarak düğümün R3 içinde kaldığını kabul edelim, p € K herhangi bir nokta
olmak üzere, r p bu noktadan geçen ve V f (p), V g(p) vektörlerine paralel
olan düzlem olsun. Bu düzlem üzerindeki her bir q €
noktasını
q —p = u V f (p) + v Vg(p)
şeklinde yazarak r p düzlemi üzerinde u, v doğrusal koordinat sistemini elde
ederiz. Bu doğrusal koordinat sistemini f, g : r p ^ R fonksiyonlarının ver­
diği koordinat sistemi ile değiştirelim. Bu fonksiyonların doğrusal koordinatlara
göre türevlerinden oluşan Jakobiyen matrisi
J
d(f,g)
d(x,y)
V f (p) • V f (p)
V f (p) • Vg(p)
Vg(p) • V f (p)
Vg(p) • Vg(p)
şeklinde olacaktır. Bu matrisin determinantı 0 < 9 < n iki gradyan vektörü
arasındaki açı olmak üzere
d e t(J ) = \\Vf (p)\\2 \\Vg(p) \\2 — ( V f (p) •Vg(p)) 2 = \\Vf (p)\\2 \\Vg(p)\\2 sin2 9
olarak elde edilir. Dolayısıyla, x = f ve y = g, doğrusal u, v koordinat­
larıyla aynı yönlendirmeye sahip bir başka koordinat sistemi verir. Ayrıca, u k
formunun bu düzleme kısıtlanışı ise
uk
x dy — y dx
€ n \r p
2 n (x 2 + y2)
formu olacaktır.
Eğer j : S 1 ^ S3, L = j ( S 1)
yönlendirilmiş düğüm ise
{p})
L n K = 0, olacak şekilde bir başka
L uk
gerçel sayısına bu iki yönlendirilmiş düğümün geçişme sayısı denir ve l(K, L)
ile gösterilir. Şekil 4.8 ve Stokes Teoremi’ni kullanarak bu sayının her zaman
bir tam sayı olduğunu görürüz. Bu sayı L düğümünün K düğümü etrafında
saat yönünün tersi istikametindeki dönme sayısından başka bir şey değildir.
Yönlendirilmiş düğümlerin geçişme sayısının simetrik olduğu kolayca görülür:
l(K, L) = l(L, K ) .
Gauss geçişme sayısını farklı bir şekilde tanımlamıştır: i, j : S 1 ^ R3 yukarı­
daki ayrık düğümler olsun. Bu durumda
f : S 1 x S 1 ^ R3 —{0}, (s, t) ^ i(s) —j(t)
ve
U3
x dy A dz + y dz A dx + z dx A dy
4n (x 2 + y 2 + z 2) 3/2
213
H e sa p la m a la r ve U yg u la m a la r
Şekil 4.8: L düğüm,ü ile Trefoil’in geçişme sayısını Stokes
Teoremi ’ni yardımıyla bula,bili­
riz. Bunun için L
belli bölümlerini R3 —K için­
de hareket ettirerek yandaki şe­
kildeki gibi
düzleminin içine
itebiliriz. Geçişme sayını veren
integralin bu düzlem içinde ka­
lan kısmı ise düzlemin merkezi
etrafındaki sarılma, sayısı ola­
caktır.
olmak üzere
±
S1 xS 1
<P*{U3)
gerçel sayısı bu iki düğümün geçişme sayısıdır (bkz. Alıştırma 7).
H a tırla tm a 4.3.4. 1) Bir düzlem ile birbirinden ayrılan iki düğümün geçiş­
me sayısının sıfır olduğu kolayca, görülür. Şekil 4.9'd.a. verilen örnek ise bunun
tersinin doğru olmadığını gösterir.
(K, L) = 0.
2) K = {p e S3 | f (p) = 0 = g(p)} ve yeterince küçük e2 + v 2 > 0 sayılan
için K €yV = {p e S3 | f (p) = e, g(p) = v } ile veriliyorsa (K €yV düğümü
K ’nm bir ötelemesi ise) l(K€>v, K ) geçişme sayısını hesaplayalım.
\(K €,v ,K ) =
K
WKe,v
( f — e) dg — (g — v) df
K 2n ( ( f — e) 2 + (g — v)2)
integrali açık bir şekilde sıfıra eşittir, çünkü K üzerinde df = dg = 0 ’dtr. Bu
düğümü kendisini kesmeyecek şekilde itince geçişme sayısı sıfırdan farklı değer­
ler alabilir. Aslında, geçişme sayısı istediğimiz tam sayıya eşit olacak şekilde
düğümü itebiliriz (bkz. Alıştırma 8 ).
214
D e R h a m K o h o m o lo ji
3) Son olarak geçişme sayısını hesaplamanın bir diğer yolunu daha verelim/.
K = {p e S 3 | f (p) = 0 = g ( p ) } c S3
düğümünün L düğümünü, kesmeyen yeterince küçük bir tüp komşuluğunun
sınırı T 2 = d N olsun (N = {p e S 3 | f 2(p) + g 2 (p) = e2 }). Bu durumda
1(K, L) = ±
Jt 2
uk
A ul
olur. Bunu görmek için T 2 torusunu T 2 = K e,0 x S 1 şeklinde yazalım.
l(Ke,o ,L ) = l(K, L) ve l ( K , S 1 ) = ±1 olduğundan
I u k A ul = ± I
ul
Jt 2
J Ke,o
I u k = ±1 (K, L) ■1 = ±1 (K, L)
Js1
elde edilir (bkz. Alıştırma 8 ).
Geçişme sayısının bir genellemesi için 5. Ünite’deki Alıştırma 8’e bakabilir­
siniz.
4.3 .2
M a y e r-V ie to ris D izisi
A An - 1
( A *, d* )
A A„
A
dn+ 1 ^
An+1 ' -
şeklindeki bir grup (vektör uzayı) zincir yapısı olsun. Eğer herhangi bir n tam
sayısı için, Im(dn -1 :
An-1 — An) = ker(dn :
An
— An + 1 )
ise bu yapıya n ’inci seviyede tamdır denir. Eğer her n için H n(A*,d*) = 0
ise bu zincire tam zincir denir.
0 -► A ^ B -+ C ->■ 0
şeklinde bir tam zincire kısa tam dizi veya yapı denir.
H a tırla tm a 4.3.5. Yukarıda verdiğimiz dizinin daha kısası sadece bir izomorfizmadır. Başka bir deyişle,
0 — A -- B — 0
dizisinin tam olması için gerek ve yeter şart f : A — B homomorfizmasmm
bir izomorfizma olmasıdır. Benzer şekilde,
■■■
dn- 2
a
- An - 1
dn- 1
a dn a
dn+1
- An —An+1
' - ■■■
tam dizisinde dn - 1 = 0 = dn+ 1 olması için gerek ve yeter koşul dn homomorfizmasımn bir izomorfizma olmasıdır.
(H n ( A d *)
215
H e sa p la m a la r ve U yg u la m a la r
Verilen iki (A *, d fj) ve (B *, d f ) zincir yapıları arasındaki bir
f
* = ( f n : A n A B n)
homomorfizmalar dizisi her n için,
dB
o f n = f n+ ı o d A
koşulunu sağlıyorsa bu homomorfizmalar dizisine zincir fonksiyonu (homomorfizması) denir.
f * : (A *, d A) A
(B *, d B)
ve
g*
:
(B *, d B)
A (C *, d (f )
olsun. Eğer her n için
0 A An A B n - A C n ^ 0
bir kısa tam dizi oluyorsa
0 A A* A B* - A C* A 0
zincir fonksiyonları dizisine kısa tam zincir yapılan dizisi denir.
Her f * : (A*,dA) A (B*,dB) zincir fonksiyonu kohomoloji seviyesinde
homomorfizma verir: f * : H n(A*) A H n (B*). Burada tek dikkat edilmesi
gereken nokta her n için
dB o fn = fn+ı o dA
olduğundan kohomoloji seviyesinde f *([aj) = [f*(a)j şeklinde tanımlanan
homomorfizmanm iyi tanımlı olduğudur. Bu basit alıştırmayı okuyucuya bı­
rakıyoruz (bkz. Alıştırma 9). Şimdi bu bölümde çokça kullanacağımız cebirsel
bir sonucu verelim.
T eorem 4.3.6.
0 A A* - A B* - A C* A 0
bir kısa tam zincir yapıları dizisi olsun. Bu durumda kohomoloji seviyesinde
■■■A H n(A*) - A H n (B*) A H n(C*) A H n+ı (A*) - A ■■■
şeklinde bir uzun tam dizi vardır.
Kanıt : Kanıtın büyük bir bölümü aşağıdaki şekilde bulunan okları takip
etmekten ibarettir, f * ve g* homomorfizmalarmm neden iyi tanımlı olduğu
ve dizinin tam dizi olduğunun gösterilmesi okuyucuya bırakılmıştır. Kanıtın
içinde açık olmayan tek kısım
5 : H n (C*) A H n+ı (A*)
iki zincir fo
216
D e R h a m K o h o m o lo ji
bağlantı homomorfizmasmm tanımlanmasıdır. Bu kısmın kanıtı teoremin geri
kalanın kanıtlanmasında izlenebilecek yolu da göstermektedir. Aşağıdaki değiş­
meli şekli düşünelim.
A n-1 f r Bn-1 r Cn-1
0
l d
l d
A
An f r Bn r
0
l d
A n+1
0
l d
0
l d
Cn -
0
l d
r Bn+1 r Cn+1
0
Herhangi bir [c] € H n-1(C*) elemanı alalım. g : Bn-1
Cn-1 örten ol­
duğu için g(b) = c olacak şekilde bir b € B n-1 vardır. Diyagramın sağ üst
dikdörtgeni değişmeli olduğundan g(d(b)) = d(g(b)) = d(c) = 0 elde edilir. O
halde, f (a) = d(b) olacak şekilde bir a € An vardır, a € An elemanının ka­
palı olduğunu (d(a) = 0) şu şekilde görebiliriz: f (d(a)) = d (f (a)) = d2(b) = 0
ve f : A n+1 r Bn+ı bire bir olduğundan d(a) = 0 elde edilir. Son olarak
S(M) = [a] şeklinde tanımlanır. Elbette bunun iyi tanımlı bir homomorfizma olduğunun gösterilmesi de gerekmektedir. Bunu da kanıtın geri kalanı gibi
okuyucuya bırakıyoruz. □
Bu cebirsel sonucu manifoldlarm De Rham kohomolojilerini hesaplamak için
kullanacağız. Mayer-Vietoris dizisi diye adlandırılan bu sonuç iki açık küme­
sinin birleşimi olarak ifade edilen bir manifoldun kohomoloj isini bu alt küme­
lerinin kohomoloji grupları cinsinden ifade etmektedir: M türevlenebilir bir
manifold ve M = U U V bu manifoldun iki açık kümenin birleşimi olarak ya­
zılımı olsun, iu : U r M , iv : V r M ve ju : U fi V r U, j v : U fi V r V
ile içerme fonksiyonlarını gösterelim.
Teorem 4.3.7. Her k > 0 tam sayısı için
0
n k(m )
n k(u ) ® n k(V )
n k(u n v )
0
dizisi tamdır ve dolayısıyla
r HD
k n (M )
r®il
+ H k R(U) ® H kDR(V ) jU—j V>h D>r ( u n V )
şeklinde bir uzun tam dizi vardır.
Kanıt : Bir önceki teoremden dolayı tek yapmamız gereken
0
n k(m )
n k(u ) ® Qk(V ) -
dizisinin tam olduğunu göstermektir.
n k(u n v )
0
217
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
M = U U V olduğundan M üzerindeki bir formun hem U hem de V
alt kümelerine kısıtlamaları sıfır ise bu form M üzerinde de sıfır olacaktır.
Dolayısıyla, i j ®
homomofizması bire birdir.
( i j , İV) 0 j j = (i j , i v ) o j v
eşitliğinden dolayı Im (ij ® iV) Ç k er(jj —jV ) olduğu kolayca görülür. Diğer
taraftan, j j ( u u ) —jV (wv ) = 0 olacak şekilde w j £ Qk(U) ve wv £ Qk(V )
varsa
u(v) = { u j p
• p£ U
ile tanımlanan w £ ü k(M ) formu için ( i j ® iv)(u ) = ( u j ,w v ) olacaktır.
Dolayısıyla, k er(jj —j v ) Ç Im( i j ® i v ) ve ker(jj> —j v ) = Im (ij ® i v ) elde
edilir. Son olarak j j — j v homomorfizmasmm örten olduğunu gösterelim.
Bunun için bir w £ Qk(U fi V ) formu alalım. M = U U V açık örtüsü ile
uyumlu bir { p j , p v } birimin ayrışımı a lalım, p j fonksiyonu U dışında
sıfırdır. Bu durumda, p j w £ Qk(U f V ) formunun tanım kümesini bu formu
V — (U f V ) üzerinde sıfır tanımlayarak genişletirsek p j w formunu Qk (V )
içinde düşünülebiliriz. Benzer şekilde pv w £ Qk(U) olacaktır. O halde,
( j j — jv )(p v w, —p j w) = (p j + p v ) w = w eşitliğini elde ederiz. Başka bir
deyişle, j j —j v homomorfizması ör tendir. □
Bu kanıtın ana fikrini bir önceki bölümde verilen HDr (S 2) = R sonucunun
kanıtında da görmüştük.
Ö rn ek 4.3.8. Bu örnekte n-boyutlu S n küresinin kohomoloji gruplarım he­
saplayacağız. Aslında n endeksi üzerine tümevarım yöntemi ile
Hk ( Sn)
DR( )
f R
\ 0
> k = 0 veya n
, diğer hallerde
olduğunu kanıtlayacağız. Aslında Örnek 4-1.5’de n = 1 durumunu zaten gör­
müştük. Fakat kanıtın bütünlüğünü bozmamak için bu bilgiyi kullanmayalım.
U = Sn
— {(0, • • •
, 0, —1)}
ve V = S n
—
{(0, • • •
U U V olarak yazalım. Bu durumda U ve V alt uzaylan Rn ’e ve U f V ara
kesiti de S n-1 x R manifolduna difeomorfik olacaktır. O halde, her k > 0 için
H kDR(U) = 0 = H D
k R (V) ve HDr (Uf V ) = H kDR(Sn-1 xR) = H kDR(Sn-1) ol­
duğunu görürüz (son eşitlik Poincare Yardımcı Teoremi’nden elde edilir). Şimdi
Mayer- Vietoris dizisinin bir parçasını yazalım:
1( ) ® Hrk—
1 V) ^ HD
k—
1/ nn—
1\ ^ HDr (S n)
H or (Sn) ^ Hrk—
D -(U
D -p
-pSn
~‘)
H kDR(U) ® h Dr (V )
ilk önce, k = 1 durumuna bakalım:
0 ^ HDR(Sn) ^ HDr (U) ® h Dr( V )
H Dr S
- 1)
ö
H Dr S
)
0.
, 0,1)} olmak üzere
218
D e R h a m K o h o m o lo ji
Buradan açık bir şekilde HDr ( S = R ve n > 1 için H Dr (S ' ) = 0
olduğunu görürüz. Yukarıdaki diziyi n = 1,k > 1 için tekrar yazarsak
0 A h Dr (s 1) A 0
ve dolayısıyla H Dr (S : ) = 0 elde ederiz. O halde, tüme varımın n = 1
başlangıç koşulunun sağlandığını göstermiş olduk.
Şimdi n > 1 durumunu ele alalım. S n bağlantılı olduğundan HDr (Sn) =
R olduğunu biliyoruz; dolayısıyla k > 0 alabiliriz. Bu durumda k = n olduğu
zaman, tümevarım hipotezinden dolayı, yukarıdaki dizi
h D~r
(U) © Hrh—
D -1( V ) A 0 A H kDR(Sn) A 0 •
haline gelecektir. Başka bir deyişle H ^ r (Sn) = 0 olur. Diğer taraftan k =
n > 1 ise dizi
0 A h 1d
~r 1( .s n- 1) A h ^ rI S ' ) A 0 ■■■
haline geleceğinden h Dr ( S n - 1) A HDr ( S n) homomorfizması bir izomorfizma olacaktır. Başka bir deyişle, n > 1 için H ' r (Sn) = R olduğunu görürüz.
Böylece kanıt tamamlanır.
Daha önce HDr (S 1) = R olmasının bazı topolojik sonuçlarını görmüştük
(bkz. Teorem 4-1.8, Sonuç 4-1.9). Bu sonuçların n-boyutlu küre S n için ge­
nellemeleri alıştırmalarda verilmiştir (bkz. Alıştırma 10 ve 11).
Ö rnek 4.3.9. Bu örnekte yine tümevarım yöntemiyle
h (CPn) = |
H DR
R , k = 0, 2, • • • , 2n
0 , diğer hallerde
olduğunu göstereceğiz. C P 1 = S 2 için bu sonucu yukarıdaki örnekte gördük.
Şimdi n > 1 olduğunu kabul edelim, p = [0 : • • • : 0 : 1] € C Pn noktasının
U = {[^o : z 1 : • • • : zn] € CPn | zn = 0} komşuluğu ve V = C Pn — {p }
kümeleri açık bir şekilde tüm projektif uzayı örter. U açık kümesinin Cn = R 2 n
manifolduna
[zo : ••• : Zn] A (z o/zn, ••• , Zn- 1 /Zn)
fonksiyonu ile difeomorfik olduğunu zaten biliyoruz. O halde, U fi V ara kesit
kümesi de R 2 n — {(0, ••• , 0)} = S 2n - 1 x R manifolduna difeomorfiktir. V
kümesinin kohomolojisini hesaplayabilmek için
Pt([zo : ••• : z n ]) = [zo : • • • : z n - 1 : tz,n], t € [0, 1],
ile verilen Pt : V A V homotopisini düşünelim, t = 1 değeri için P1 = 1y,
birim dönüşümdür. Diğer taraftan,
Po(V) = H = {[zo : • • • : zn] € CPn | zn = 0} = C P n-1
219
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
olur. Eğer i : H A V içerme fonksiyonunu gösterirse P0 o i = 1H olacaktır.
Ayrıca Pt : V A V fonksiyonu P1 = 1v birim dönüşümünden P0 =
i o P0 fonksiyonuna bir hornotopi verir. Başka bir deyişle, V ile H = CPn-1
hornotopi denk manifoldlardır ve dolayısıyla, her k için i* : HDr (V ) A
H d r (H ) bir izomorfizmadır.
Şimdi, CPn = U U V için Mayer- Vietoris dizisini yazalım:
H kD~Rl (S 2n-1) A H Dr (CPn) A H dD
r (U) ® H k
DR(V)
H kDR(S2n-1) A ^
.
Yine H 0 r (C Pn) = R olduğu iç in k > O alabiliriz. O halde, 0 < k < 2n —2
ise dizi
• • • ^ O A H Dr (CP n) ^ O® H Dr (H ) ^ O•••
haline gelecektir. Dolayısıyla, HDR(CPn) A H Dr (H ) = H D>r (CPn-1) bir
izomorfizma olur. Benzer şekilde k = 2n — 1 için dizi
T j 2n— 2/ n2n—
1\
H DR (S
)
h 2 d- 1 ( c p
n)
O® H 2Dn-1(CPn-1)
şeklinde olacaktır. Fakat boyutu aşmasından dolayı HD—1(CPn-1) = O olduğu
için HDn-1(CPn) vektör uzayı da sıfır olmalıdır. Son olarak k = 2n alırsak
dizi
O A H 2D- 1 (S 2n-1) A HDnR(CPn) A O® O A •••
olacağından HDflR (<
E Pn) = H D - 1(S 2n-1) = R elde ederiz. Böylece kanıt
tamamlanmış oldu. Aslında i : CPn-1 = H A CPn içerme fonksiyonun
kohomolojide, k = 0 ,1, • • • , 2n — 2 için, izomorfizma verdiğini de gördük.
Örnek 2.3.25’den dolayı
/
u nFs > O
J cp n
olacağından, her O < k < n için, u ,f s kohomoloji grubunun üreteci olacaktır.
Aslında aynı nedenlerden dolayı, eğer i : M n A C P N bir tıkız karmaşık alt
manifold ise her O < k < n için,
i* : H 2 d— (C P n ) A H 2Dr (M )
homomorfizması bire bir olacaktır. Dolayısıyla, her O < k < n için, H D r (M )
kohomoloji grubu sıfırdan farklıdır.
Ö rn ek 4.3.10. Bu örnekte S3 x S 1 çarpım manifoldunun kohomolojisini
hesaplayacağız (S 1 ’i düzlemdeki birim çember olarak alalım). U = S 3 x (S 1 —
{(—1, O)}) ve V = S 3 x (S 1 —{(1, O)}) açık kümeleri olmak üzere S 3 x S 1 =
U U V yazabiliriz. Bu durumda U ve V kümeleri S 3 manifolduna ve U fi V
220
D e R h a m K o h o m o lo ji
kümesi de S 3 x {(0, —1), (0,1)} manifolduna homotopi denktir. O halde, her
k için,
h
Dr ( U )
= H kDR( S 3) = H kDR( V ) ve H kDR( U n V) = H kDR( S 3) ® H kDR( S 3)
olur. Şimdi Mayer-Vietoris dizisini kullanahm; örneğin ikinci kohomoloji gru­
bunu hesaplamak için,
•••^
h
Dr (u
n V) ^
h
Dr (s
3 x s 1) ^
h
Dr ( u
) ® h Dr ( v ) ^ •••
yazarsak dizinin bu kısmının ilk ve son terimleri sıfır olduğu için
HDr (S 3 x
s
1) = 0
olduğunu görürüz. Benzer şekilde,
H k R(S3 x & ) = { R
k = 0, 1, 3, 4
diğer hallerde
olduğunun gösterilmesini alıştırma olarak okuyucuya bırakıyoruz.
Örnek 2 . 1 . 1 4 ’de tanımlamış olduğumuz bu karmaşık ve tıkız manifoldun
karmaşık doğrusal uzaya gömülemeyeceğini görmüştük (bkz. Örnek 2.3.24). Şim­
di ise bu manifoldun ikinci kohomoloji grubunun sıfır olduğunu gördük. O halde,
bir önceki örnekten dolayı bu manifold aynı zamanda hiç bir karmaşık projektif
uzayın da bir alt manifoldu olamaz!
Yukarıda kullandığımız tekniği kullanarak, m = n için
HD
k R(Sn x S m) = { R
, k = 0, m, n, m + n
, diğer hallerde
ve
R , k = 0, 2n
H kDR(Sn x S n) = | R2 , k = n
0
, diğer hallerde
olduğunu görebiliriz (bkz. Alıştırma 12). Bir sonraki ünitede göreceğimiz Künneth Formülü (bkz. Sonuç 5.3.5) çarpım manifoldlarının kohomolojilerini he­
saplamanın oldukça pratik bir metodudur.
H a tırla tm a 4.3.11. Bir önceki ünitede gördüğümüz Tüp Komşuluk Teore­
m i’ni ve Mayer-Vietoris kohomoloji dizisini kullanarak tıkız manifoldlarm kohomolojilerinin sonlu boyutlu olduğunu gösterebiliriz (bkz. Alıştırma 13 ve So­
nuç 4 4 4 ).
221
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
4 .3 .3
Tıkız D e ste k li K oh om o lo ji
Herhangi bir M manifoldunun üzerinde tanımlı tüm tıkız destekli türevlenebilir fc-formlar Qk(M ) vektör uzayı içinde bir alt uzay oluştururlar. Bu
alt uzayı Q/k (M ) ile göstereceğiz. Diğer taraftan, M manifoldunun tıkız
destekli her u € Q/k (M ) formunun dış türevi de tıkız destekli olacağından
bu vektör uzayları dış türev dönüşümü ile birlikte (Q*(M ),d*) zincir yapısı­
nı verir. Bu yapının kohomolojisine tıkız destekli De Rham Kohomoloji denir
ve H *(M ) ile gösterilir. Eğer manifoldun kendisi tıkız ise Q/k (M ) = Qk(M )
ve dolayısıyla H *(M ) = H fiR(M ) olacağından bu kohomoloji sadece tıkız
olmayan manifoldlar açısından önem taşır. Örneğin, De Rham kohomolojinin
birbirinden ayıramadığı farklı boyutlardaki Öklit uzaylarını bu kohomoloji ile
ayırabiliriz.
H a tırla tm a 4.3.12. f : M ^ N türevlenebilir manifoldlarm türevlenebilir
düzgün bir fonksiyonu ise her tıkız kümenin ters görüntüsü tıkız olacaktır. Do­
layısıyla, f * : H k (N ) ^ Hjk (M ) iyi tanımlı bir homomorfizma olur. Benzer
şekilde, eğer
ft : M x [0,1] ^ N
türevlenebilir düzgün bir homotopi ise fo ve f \ fonksiyonlarının kohomolojide
verdikleri homomorfizmalar aynı olacaktır.
Ö rn ek 4.3.13. M = R manifoldunun tıkız destekli kohomolojisini hesapla­
yalım. Gerçel eksen üzerinde dış türevi sıfır olan fonksiyonların sadece sabit
fonksiyonlar olduğunu biliyoruz. Diğer taraftan tıkız bir bölgenin dışında sıfır
olan tek sabit fonksiyon sıfır fonksiyonudur. Başka bir deyişle, H f R ) = 0
olur. Birinci kohomolojiyi hesaplamak için ise
l : H 1(R) ^ R,
[w] ^
t u ,
integral homomorfizmasım düşünelim. Bu homomorfizmanın iyi tanımlı ol­
duğunu şu şekilde görebiliriz: R üzerinde tıkız destekli bir u = f (x) dx
formu alalım. Eğer bu form için dF = F'(x) dx = f (x) dx = u olacak
şekilde bir F € D°(R) varsa yeterince büyük her m gerçel sayısı için
F(m ) = 0 = F ( - m ) olacaktır. O halde,
I f (x) dx = 0
JR
olacaktır. Dolayısıyla, integral horrıomorfizması iyi tanımlıdır. Diğer taraftan
eğer
u =
f (x) dx = 0
■
jR
jR
ise F(x) =
f (t) dt fonksiyonu dF = u koşulunu sağlayan tıkız destekli
bir fonksiyon olacaktır. Dolayısıyla, integral homomorfizması bire birdir. Bu
homomorfizmanın örten olduğu ise kolayca görülür. O halde, H f(R ) = R
olur.
222
D e R h a m K o h o m o lo ji
Teorem 4.3.14. M
sayısı için
türevlenebilir bir manifold olmak üzere her k > 0 tam
H k+1(M x R) = H k(M )
eşitliği sağlanır.
Kanıt : Poincare Yardımcı Teoremi’nin kanıtında olduğu gibi M manifoldunun her U Ç M koordinat sistemi için U x R açık küme si M x R
manifoldu için bir koordinat sistemi verecektir. Ayrıca M x R üzerindeki her
form bu tip koordinat sistemlerinde tıkız olarak desteklenen formların bir top­
lamıdır. Dolayısıyla, bu tipteki koordinat sistemlerinde desteklenen formlarla
çalışarak genellikten hiçbir şey kaybetmeyiz.
p : R ^ R tıkız destekli ve gerçel eksen üzerindeki integrali bire eşit olan
türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Şimdi iki tane vektör uzayı homomorfizması
tanımlayalım:
^ : D (M ) ^ Qk+1(M x R), ty (f (x) dxK) = p (t)f (x) dt A dxK ,
ve
$ : Dkc+1(M x R)
$ ( f (x, t) dt A dxK)
Dkc (M),
f (x,t) d tj dxK ve $ ( f( x ,t) dxK) = 0.
Burada M manifoldu üzerindeki yerel koordinat sistemi x ile gösterilirken,
t gerçel eksen üzerindeki koordinatı göstermektedir. Poincare Yardımcı Teore­
mi’nde olduğu gibi bu homomorfizmalarm iyi tammlıhğı gösterilmelidir (bkz.
Alıştırma 4).
p : R ^ R fonksiyonun seçiminden dolayı $ o ^ = 1^ (m ) olduğu kolayca
görülür.
Herhangi bir v = g (x ) d x K € D (M ) formu için,
^ (d v ) =
=
^(dg A dxK)
p(t) dt A dg A dxK
ve buradan da
d(^ (v))
= d(p(t)g(x) dt A dxK)
=
p(t) (dg A dt A dxK)
=
=
-p (t) (dt A dg A dxK)
—^(d v)
elde edilir. Başka bir deyişle, d o ^ = —^ o d olur ve dolayısıyla bu homomorfizma kohomoloji seviyesinde ^ H (M ) ^ Hk+1(M x R) homomorfizmasmı
verir.
223
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
Şimdi de herhangi bir w = f (x , t ) dt A dxK € Ülk+1(M x R) formu için,
$(dw)
=
$ (d (f (x,t) A dt A dxK))
=
$ (d f A dt A dxK)
=
—
(df A dxK) dt
ve benzer şekilde
d($(w))
(/
d V (J R
f (x,t) dt) dxK
)
(df A dxK) dt
R
—$(dw)
elde ederiz. Son olarak eğer w = f (x,t) İ x k €
dolayı $(w) = 0 olacaktır. Ayrıca,
f dt A dxK + ^
dt
dw
j
(M x R) ise, tanımdan
df
—— dxj A dxK
dxj
olur. Buradan da
$(dw)
U.f ) ,İxk 0
elde edilir (son eşitlik f (x,t) fonksiyonun
dur). Sonuç olarak yine, d o $ = —$ o d
kohomoloji seviyesinde $ : H k(M, xR) ^
O halde, kohomoloji seviyesinde de $ o ^
tıkız destekli olmasının bir sonucu­
olduğundan bu homomorfizma da
H k(M ) homomorfizmasım verir.
= 1Hk(M) eşitliği korunur.
Şimdi de ^ o $ = 1Hk+i(M xr) eşitliğini göstermeye çalışalım:
w
=
f ı (x , t ) dt
a
dxı
\\ı\\=k
g j (x , t ) d x j
+
€ Ük+1(M x R)
ııj n=k+ı
kapalı bir form olsun. O halde
w
— ( ^ o $ )( w ) =
^
fi(x , t) — P(t) ( J fi(x , t) d tj
\\I\\=k
+
dt A dxI
^
g j( x ,t ) dxj
\\j\\=k+ı
elde ederiz, h ı( x , t ) = f i( x , t ) — p (t )
durumda her x € M için,
( J . f i( x , t ) dt )
hI (x, t) dt = 0
olarak tanımlansın. Bu
224
D e R h a m K o h o m o lo ji
olduğundan
HJ(x , t ) =
hJ(x ,s ) ds
J — OO
fonksiyonu tıkız destekli olacaktır. Ayrıca du = 0 olduğundan
\\=k
nx.
(x , t ) dxj A dxj =
dt
£—'
(x , t ) d x j
ll=k + 1
olacaktır. Biraz hesap yaparak
d I E H j(x ,t) dxj I
\l|j|l=fc
/
E
fj( x ,t) - p(t) ( ( fj( x ,t) dt]
IIJII=k
=
dt A dxj +
E ff
^hI^ x, s) d s
||JH=^ ^ ^ - ı
xj
'
= u - (^ O$)(u) -
E
j dxj A dxj
g j(x ,t) d x j
||=fc + 1
/ r d h j(x ,s) \
+ E (
dx.
d s ) dxj A dx J
jw=k \ J - ^
j
/
elde ederiz. İkinci toplamı ayrıca inceleyelim:
v
( / ı
^
j
||j | = ^ v J - 1
a
^
e
||j||= k
7
( / :
V 7-1
j
j
„7jj=k V J - ı
JR
dxj
/
t
e
—
=k
P (‘
) (
f ( jE
\jR \\\ n= k
J-ı
/
— M
dxj
j
^
a
d xj | ds
d f ı (x, r)
dxj A dxJ 1 dr 1 ds
öxd
(
E
~ g J (x ,s)d x j j ds
||= k + 1
+
p(s)
/
J-
ı
7
( f ‘ p ( s ) ( f f h l l dr)ds) dxj A dxj
dxj A d x J + e
+/
)
( / ( E
(x,r) d xj)dr j ds
\ J k ||j ||= k + ı öt
J
=
j
E
||= k + 1
gj ( x , t ) d x j
225
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
olur. Bunu bir önceki paragraf ile birleştirirsek
u —
o $)(u)
formunun tanı olduğunu görürüz. Başka bir deyişle,
^ 0 ^ = 1Hk+1(MxR)
eşitliğini kanıtlamış olduk. Böylece teoremin kanıtı tamamlanır. □
Örnek 4.3.13’deki fikirleri de kullanarak bu teoremin kolay bir sonucunu hemen
yazabiliriz.
Sonuç 4.3.15. Her n doğal sayısı için,
:
HCn( Rn ) —^ R
Rn
integral homomorfizması bir izomorfizmadır. Ayrıca, her m = n doğal sayısı
için
HCm( Rn ) = 0
olur.
Sonuç 4.3.16. Yönlendirilebilir, bağlantılı her n-boyutlu M nıanifoldu için,
:
HCn( M ) — >R
M
M
H d r (M ) =
tıkız ise
R
K a n ıt: Manifoldu her biri Rn difeomorfik yönlendirilmiş koordinat sistem-
Şekil 4.10: Sonuç Jt.3.16’nın kanıtında, kullandığımız koordinat sistemleri zinciri.
leri ile kaplayarak manifold üzerindeki her formu bu koordinat sistemleri içinde
tıkız olarak desteklenen formların toplamı olarak yazabiliriz. Şimdi iki farklı ko­
ordinat sistemi içinde tıkız olarak destekle nen iki n -form alalım: u i € ^ n( Vi),
i = 0, 1, Vi = Rn J m
= 1 olsun. Bu iki kümeden seçilen iki noktayı sürekli
bir eğri ile bağlayalım. Daha sonra bu eğriyi U0 = Vq, Um = V y Ui fi Ui+\ = 0,
226
D e R h a m K o h o m o lo ji
i = 0, ••• ,m — 1, olacak şekilde koordinat sistemleriyle örtelim (eğri tıkız ol­
duğu için sonlu tane koordinat komşuluğu ile bunu yapabiliriz). H 'n(U0) = R
olduğu için U0 fi Uı içinde tıkız olarak destekle nen bir v formu vardır ki
[wo] = [v ] € H n ( M ) olur. Bu şekilde devam ederek [wo] = [j ] olacak şekilde
Uı içinde desteklenen bir j formu vardır. O haide, [wo] = (f M w0) [wı] olur.
Böylece kanıt tamamlanır. □
Sonuç 4.3.17. U Ç R n yıldız şeklinde açık bir küme ise
H k( U )
c (U )
= J R , k=n
\ 0 , diğer hallerde
olur.
Kanıt : Yukarıdaki sonuçtan dolayı sadece 0 < k < n olduğu durumu
incelemek yeterlidir. U içinde bir noktayı başlangıç noktası seçelim ve bu
nokta etrafında yarıçapı sonlu bir B(0, r) yuvarı alalım. Herhangi bir w €
Qk (U) kapalı formu alalım. 1 > a € R, bu formun desteklendiği tıkız K Ç U
kümesi için, a • K = {ax | x € K } Ç B (0,r) koşulunu sağlayan bir pozitif
sayı olsun.
$ : U x [a, 1] ^ U,
$t(x) = tx, (x,t) € U x [a, 1],
homotopisi düzgün bir fonksiyon olduğundan $a(x) ve $ 1(x) = idu difeomorfizmaları U kümesinin tıkız destekli kohomoloji grupları arasında aynı
homomorfizmayı verecektir. Bu durumda, $a(K ) Ç B (x, r) olduğundan w
formunun desteğinin B (0,r) yuvarı içinde kaldığını kabul edebiliriz. Fakat,
bu yuvar Rn ’e difeomorfik olduğundan w tam form olmalıdır. □
Tıkız D estekli Y erel K ohom oloji Dizisi. U Ç M açık bir alt küme ise
U içinde tıkız desteklenen her türevlenebilir fonksiyon M — U üzerine sıfır
olarak genişletilerek M üzerinde tıkız olarak desteklenen bir fonksiyon olarak
görülebilir. Dolayısıyla, ^ ( U ) vektör uzayını &fk(M ) ’nin bir alt uzayı olarak
görebiliriz. O halde, her k için
0 ^ n k ( u ) ^ n k( m ) ^ n k( m ) / n k ( u ) ^ 0
bir tam dizisi vardır. Şimdi Teorem 4.3.6T kullanarak kohomoloji seviyesinde
•• • -^ H nc ( u ) ^ H n (M ) ^ H n (M ,U ) ^ Hn+1( u ) ^ • • ^
şeklinde bir uzun tam dizi elde ederiz. Bu dizinin içindeki H *(M ,U ) terimi
(n*(M )/n*(U ),d*) zincir kompleksinin kohomolojisidir ve tıkız destekli yerel
kohomoloji olarak adlandırılır. Bu dizi özellikle, L C M bir alt manifold olmak
üzere, U = M —L , olduğu durumda ilginç topolojik sonuçlar verir. Bu topolojik
sonuçlara geçmeden önce H ]j(M , M — L) kohomolojisini hesaplayalım.
227
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
T eorem 4.3.18. M
k > 0 için,
manifold ve L Ç M
H k ( M, M — L) -
bir alt manifold olmak üzere, her
Hk (L)
geri çekme homomorfizması bir izomorfizmadır.
Kanıt : L Ç U Ç M ile L alt manifoldunun bir açık tüp komşuluğunu
gösterelim ve P : U — L bu komşuluğun iz düşüm fonksiyonu olsun (bkz.
Teorem 3.3.15 ve Sonuç 3.3.16). p : M — [0,1ğ U içinde desteklenen ve L ’nin
bir kapalı K komşuluğunda bire eşit olan türevlenebilir bir fonksiyon olsun.
Bu kapalı komşuluğun tümleyenini V = M — K ile gösterelim.
Şimdi herhangi bir [v] € Hjk( L ) sınıfı alalım. Bu durumda
w = p p * (v ) € n k ( M )
L alt manifolduna kısıtlaması v olan bir k-form olur. Bu formun kendisi
kapalı bir form olmasa da V açık kümesinin dışında kapalı bir form olacaktır,
çünkü bu küme üzerinde p fonksiyonu bire eşittir. O halde,
w = p w + (1 —p) w
yazarsak [w] € Hjk( M, M — L ) olacağından, i : L
M içerme fonksiyonu
olmak üzere, i* : H k ( M, M — L ) — H k ( L ) homomorfizması örtendir.
Bu homomorfizmanm bire bir olduğunu göstermek için, L alt manifoldu­
na kısıtlaması sıfır olan bir [w] € Hjk(M, M — L) kohomoloji sınıfı alalım.
Gerekirse U silindirik komşuluğunu küçülterek w € Qk(U) olduğunu kabul
edebiliriz. P * : H ^ r (U) ^ HDr (L) t e izomorfizma olduğundan dv = P*(w)
olacak şekilde bir v € Qk-1(U) formu vardır. Bu durumda pv € Qk(Int(K))
formu Int(K) açık kümesi üzerinde halen d(p v ) = w eşitliğini sağlayacaktır.
Başka bir deyişle, Hk (M, M — L) kohomoloji grubu içinde [w] = 0’dır ve
böylece teoremin kanıtı tamamlanmış olur. □
Şimdi tıkız destekli kohomolojinin bir sonucu olarak Jordan Kapalı Eğri
Teoremi’nin genel halini kanıtlayabiliriz.
T eorem 4.3.19. M Ç Rra+1 içinde n-boyutlu, bağlantılı, yönlendirilebilir ve
tıkız bir alt manifold olsun. Bu durumda Rra+1 —M biri sınırlı diğeri sınırsız
iki bileşenden oluşur. Her iki bileşenin de kapanışları sının M olan sınırlı
manifoldlardır.
Kanıt : U = Rra+1 —M olmak üzere
------>H k ( Rn+1)
H f ( Rn+1, U ) -+ H k+1( U )
H k+1( Rn+1) ^
H'k+1( R n+1,U ) — ■■■
tam dizisini düşünelim. Daha önceki hesaplamaları kullanarak
HCf( Rn+1) = o, Hn+1( Rn+1) = R
228
D e R h a m K o h o m o lo ji
ve
H'n (Rn+1, U) = H'n (M ) = R, H'n+1(Rn+1, U) = H'n+1 (M ) = 0
olduğunu görürüz. O halde,
H™
+l( U )
= R2
olmalıdır. Başka bir deyişle, U = Rn+ 1 —M a ç ı k k ü m e s i n i n Vı ve V0 gibi
iki bağlantılı bileşeni vardır. M manifoldu tıkız olduğundan yarıçapı sonlu bir
yuvarın içinde kalacaktır. Diğer taraftan bu yuvarın dışı, bağlantılı olduğundan,
bu iki bileşenden birinin içinde kalacaktır, diyelim ki Vı o l s u n . O halde, Vı
sınırsız ve Vo ise sınırlı olacaktır. Teoremin son bölümünün kanıtını okuyucuya
alıştırma olarak bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 14). □
Yukarıdaki teoremde n = 1 alalım. O halde, her türevleneb il ir kapalı C Ç R 2
eğrisi düzlemi iki parçaya ayırır. Bunlardan biri sınırlı diğeri ise sınırsızdır. Bu
klasik sonuç Jordan Kapalı Eğri Teoremi olarak bilinir.
4 .3 .2 0 . L = K 1 U
düğüm ün birleşim i olsun. U
Ö rn e k
••• U K r C R3 = M
= M — L alalım ve
r -tane ayrık türevlenebüir
••• A H 'n ( U ) A H C
n (M ) ^ H Cğ(M , U ) ^ H 'n+1( U ) ^ •••
tıkız destekli yerel kohomoloji dizisini yazalım. B asit bir şekilde şu sonuca varı­
rız:
H 0 (R 3 —L ) = 0;
H İ (R 3 —L ) = H °dr (L ) = Rr ;
Hc2(R3 —L ) = H Dr (L ) = Rr ;
H 3 (R 3 —L ) = Hc3(R 3 ) = R;
H İ (R 3 —L ) =
0 , i > 3.
K C Rn i ç i n d e t ı k ı z b i r a l t m a n i f o l d olsun. Bu durumda dim (K ) < k — 1
olur, çünkü eğer dim (K ) = n is e K C Rn açık bir alt küme olur. Diğer
taraftan, K t ı k ı z o l d u ğ u iç i n a y n ı z a m a n d a kapalı bir alt kümedir. Fakat Rn
bağlantılı olduğundan K = Rn e l d e ederiz ki, bu da K ’nm tıkızlığı ile çelişir.
Şimdi tıkız destekli yerel kohomoloji dizisini kullanarak aşağıdaki sonucu
kolayca kanıtlayabiliriz.
T e o r e m 4 .3 .2 1
2,
(Alexander Dualite Teoremi). K C Rn ~ S n —{p} C S n , n >
içinde tıkız bir alt manifold olsun. O halde,
H 0 (Rn —K ) = 0;
HC(Rn —K ) = H D İ ( K ), i = 1, ••• , n — 1;
229
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
H n(Rn - K ) = H D - İ K ) ® R;
ve benzer şekilde
H 0(Sn - K ) = 0;
H İ S - K ) = H°d r (K )/R;
H i(Sn - K) = H— (K), i = 2, ■■■ ,n - 1;
H'n(Sn - K ) = H'D~r (K ) ® R.
Tıkız D estekli Kohom oloji için M ayer-Vietoris Dizisi. Bu bölümü tı­
kız destekli kohomoloji için Mayer-Vietoris dizisini vererek bitireceğiz. Bu dizi
daha önce De Rham kohomolojisi için verdiğimiz Mayer-Vietoris dizisinden
farklılık gösterir. Bunun nedeni açık bir kümeyi bir manifolda gömen fonksiyo­
nun düzgün bir fonksiyon olmayabileceği ve dolayısıyla da herhangi bir U Ç M
açık kümesi için
i* : Qcfc(M ) ^ Dkc (U)
kısıtlanış fonksiyonunun iyi tanımlı olmayacağıdır. Diğer taraftan, eğer bir manifold M = U U V şeklinde açık kümelerinin birleşimi olarak yazılabiliyorsa
o ^ Dkc (U n V) -
-
Dkc (U) ® Dkc (V ) -
-
Dkc (m ) ^ o
dizisinin tam olduğu kolayca görülür (ip , i v , j u , j v homomorfizmaları içerme
fonksiyonlarının doğal olarak verdikleri homomorfizmalardır). Aslında sadece
son homomorfizmanm örten olduğunun gösterilmesi çok kolay olmayabilir. Bu­
nu göstermek için M = U U V açık örtüsüyle uyumlu bir {pu, p v } birimin
ayrışımını seçelim. Şimdi her w € D^ (M ) için w = pu w + pv w, pu w € D^ (U)
ve pv w € D^ (V ) olacağından homomorfizma örtendir.
Bu dizi bize aşağıdaki uzun tıkız destekli kohomoloji tam dizisini verir:
------►h c ( u n V)
h c (u )
® h c (V) -+ h c (m ) ^ h C+1(u n V)
- .
Bu dizi de fonksiyonlar ile bu fonksiyonların tıkız destekli kohomolojide verdik­
leri homomorfizmalar aynı yönde gitmektedirler. Bundan dolayı tıkız destekli
Rham kohomoloji kovaryant funktordur. Diğer taraftan, homomorfizmalarm
fonksiyonların tersine gittiği De Rham kohomoloji ise kontravaryant bir funk­
tordur. Her iki kohomolojinin Mayer-Vietoris dizilerini kullanarak bir sonraki
bölümde Poincare Izomorfizması’nm bir kanıtını vereceğiz (bkz. Teorem 4.4.1).
D üzgün Fonksiyonların D erecesi, f : M
N n-boyutlu, türevlenebilir, yönlendirilmiş bağlantılı manifoldlarm düzgün bir fonksiyonu olsun. Bu
durumda
f * : H n (N ) ^ H n (M )
bir boyutlu gerçel vektör uzaylarının homomorfizması olacaktır. Manifoldlarm
üzerinde [wm ] € H n(M ) ve [w«] € H'n(N) gibi integralleri bire eşit olan
230
D e R h a m K o h o m o lo ji
kohomoloji sınıflan seçelim, f *([ u n ]) = A [u m ] olacak şekilde seçilen A € R
sayısına f : M ^ N fonksiyonun derecesi d enir ve deg(f) ile gösterilir. Eğer
f : M ^ M ise her a € H ff(M ) için f *(a) = deg(f) a olacaktır.
Aslında düzgün fonksiyonların derecesi tamamen geometrik bir şekilde de
tanımlanabilir: f : M ^ N fonksiyonu düzgün olduğu için N içindeki her
noktanın ters görüntüsü tıkız bir küme olacaktır. Sard Teoremi’ni kullanarak
bu fonksiyonun q € N gibi t e düzgün değerini alalım. Bu durumda f -1 (q)
M manifoldunun sıfır boyutlu bir alt manifoldu olacaktır. Bu alt manifold
tıkız olduğu için sonlu sayıda noktadan ibarettir.
f -1 (q) = {Pı, ••• ,Pk}
olsun, f : M ^ N fonksiyonunun türevi her Pi noktasında izomorfizma ola­
cağından bu türev fonksiyonun pi € M noktasındaki (M ’nin yönü sayesinde)
yönlendirilmiş tabanı q € N noktasının yönlendirilmiş bir tabanına gönde­
recektir. Bu yönlendirme N manifoldunun bu noktasındaki yönlendirmesiyle
uyumlu ise f fonksiyonun pi noktasındaki yerel derecesi " + 1", eğer uyumlu
değilse " — 1"dir denir ve deg(f)Pi = + 1 veya deg(f)Pi = —1 olarak yazılır.
Şimdi, bu iki derece kavramının aslında aynı olduğunu gösterelim.
Teorem 4.3.22. f : M ^ N n-boyutlu, türevlenebilir, yönlendirilmiş bağlantıh manifoldlarm düzgün bir fonksiyonu, q € N noktası bu fonksiyonun
düzgün bir değeri ve f -1 (q) = {p1, • • • ,Pk} olsun. Bu durumda
k
deg(f) = ^ 2 deg( f ) pi
i=1
olur ve dolayısıyla deg(f) bir tam sayıdır.
Kanıt : Her pi noktası etrafmda bir Ui komşuluğu alalım öyle ki
f : Ui ^ f (Ui) = Vi
bir difeomorfizma olsun. q € V Q V 1 fi • • • fi Vk bağlantılı açık bir komşuluk
olmak üzere Ui ^^^elerini f - 1 ( V ) f Ui ara kesiti ile yer değiştirerek her
i = 1, ••• ,k için, f : Ui ^ V kısıtlamasının bir difeomorfizma olduğunu
kabul edebiliriz. Her Ui kümesi de bağlantılı olacaktır. u € Qf ( V ) Ç Qf ( N )
integrali bire eşit olan bir form olsun. Bu durumda her i = 1, • • • ,k için,
f
*(u) = deg( f ) P i ( f v ^
= deg( f *pi
)
olacaktır. Son olarak,
k
deg(f)
M
f *(u ) =
£i=1
l
,
SJU,i f * < " 0/
k
= i=ı
E
deg(f) Pi
kanıtı bitirir. □
Aşağıdaki teoremin kanıtını okuyucuya alıştırma olarak bırakıyoruz (bkz. Alış­
tırma 15).
231
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
T eorem 4.3.23. f : M ^ N ve g : N ^ K bağlantılı, yönlendirilmiş, türevlenebilir manifoldlarm düzgün fonksiyonları olsun. O halde, aşağıdaki iddialar
doğrudur.
1. Düzgün homotopiler fonksiyonların derecesini korur. Dolayısıyla, eğer h :
M ^ M birim fonksiyona homotopik ise deg(h) = 1 olur.
2. deg(g o f ) = deg(f) deg(g)
3. Eğer f
örten değilse deg(f) = 0 ’dır.
4- Eğer f : M ^ N
deg(f) = n ’dir.
yönü koruyan n-kath bir örtü uzayı foksiyonu ise
Yukarıdaki teoremde eğer manifoldlardan herhangi biri yönlendirilebilir
değilse tam sayı değerli derece yerine mod 2 değerli dereceden bahsedebi­
liriz. Detaylar Ünite 5 Alıştırma 17’da okuyucuya bırakılmıştır.
Ö rn ek 4.3.24. 1) f : R ^ R f (t) = nt, n € Z, fonksiyonu için
deg(f) = sgn(n)
olduğu halde bu fonksiyonun S 1 = R /Z çemberi üzerinde verdiği
f : S 1 ^ S 1, eit ^ eint
fonksiyonun derecesi n ’ye eşittir, çünkü bu fonksiyon yönü koruyan n-kath bir
örtü uzayı fonksiyonudur.
Benzer şekilde A € M (n, Z) tam sayı katsayılı bir matris ve
w = d x1 A - ■■A dxn
ise kolayca A* (w) = det(A) w olduğu görülür. Başka bir deyişle,
A : Rn ^ Rn
doğrusal dönüşümü hacim formunu det(A) katma çıkarır. Bu dönüşümün,
n-boyutlu torus T n = Rn/Z n üzerinde vermiş olduğu dönüşümün derecesi de
det(A) ’ya eşittir (bkz. Alıştırma 16).
2) P : R ^ R derece si n olan bir polinom fonksiyonu olsun:
P (x) = x n + ■■■+ a1x + a0 .
Eğer n bir çift sayı ise
lim P (x) =
olduğu için, P (x) fonksiyonu örten değildir ve yukarıdaki teoremden dolayı
derecesi sıfırdır. Şimdi de P (x) polinomunun derecesinin tek olduğunu kabul
edelim.. Bu durumda
lim P (x) =
X—
^+^0
ve
lim P (x) = —to
x ^ —tt
232
D e R h a m K o h o m o lo ji
f 0(x) = x(x + 4)(x —3) /10
fonksiyonu grafiği hafifçe çekişti­
rilerek düzgün bir honıotopi ile
fı(x) = x homeomorfizmasına dönüştürülebilir: f t(x) = (1 —
t)fo(x) + tfı(x), t G [0,1],
f (x) = (x4 — 12x2 + 3x)/10.
Cebirsel derecesi çift sayı olan bir
polinom fonksiyonu örten olmaya­
cağı için sıfır topolojik derecesine
sahiptir.
Şekil 4.11
olduğu için P(x) polinom,u örtendir. Diğer taraftan, P'(x) türev fonksiyonu
derecesi çift olan bir polinom,dur. [—C ,C ] arahğı P '( x ) = 0 denkleminin tüm
çözümlerini içeren bir aralık olsun. O halde, her x G [—C, C] için P'(x) > 0
olur. Dolayısıyla, bu aralığın dışında P(x) kesin artan bir fonksiyöndür. P(x)
polinomunun tüm yerel maksimum ve minimum değerleri P([—C, C ]) aralığın­
da olacaktır. Dolayısıyla, her L G P([—C ,C ]) değeri için P (x 0) = L olacak
şekilde tek bir x 0 G R sayısı vardır. Son olarak, P '(x0) > 0 olduğundan
deg(P) = 1 elde edilir. Başka bir deyişi e, monik P (x) polinomunun fonk­
siyon derecesi bu polinom,un derecesinin (mod 2) ’deki değerine eşittir. Monik
polinomu —1 ile çarparsak derecesini de —1 ile çarpmış oluruz (bkz. Alış­
tırma 17).
3) F : C ^ C F (z) = zn, fonksiyonun sıfır dışında hiçbir kritik noktası
yoktur. Dolayısıyla, F (0) = 0 dışındaki her değer bu fonksiyonun düzgün bir
değeridir.
2nik
F 1(1) = {Zk = e n | k = 0, ••• ,n — 1}
ve karmaşık doğrusal fonksiyonlar yönü koruduğundan bu fonksiyonun her bir
Zk noktasındaki yerel derecesi +1 olacaktır. O halde, deg(F) = n olmalıdır.
Şimdi de P : C ^ C dereces i n olan bir karmaşık polinom fonksiyonu
olsun:
P(z) = zn + • • • + a\z + ao .
Eğer
lzl P R = 2(1 + M + • • • + |an - 1|)
233
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
ise
1 \Zn > 1 m
n -'
> (1 + İOGİ + ••• + |On-l|) \zn - '\
>
\an - 1 Zn 11 + • • • + \a ı z\ + \aG\
>
\an- ı zn - 1 +------+ aız + ao \
olur. Bu durumda,
Pt : C x [0,1] ^ C, Pt(z) = zn + t(a n - ı zn - 1 +-------+ aız + ao)
homotopisi, her \z\ > R için,
\Pt\z)\ > 1 \z\n
eşitsizliğini sağlar. Başka bir deyişle,
\Pt (z)\ < C ^ \z\ < max{R, yj2C}
önermesi doğrudur. Bu durumda Pt, PG = F ile Pı = P arasında düzgün
bir homotopi olur. Dolayısıyla, deg(P) = deg(F) = n elde edilir.
Polinomun derecesi pozitif ise yukarıdaki teoremden dolayı P (z) örten
olmalıdır. Dolayısıyla, Cebirin Temel Teoremi’ni kanıtlamış olduk.
Benzer bir sonuç kuaterniyon cebiri için Eilenberg ve Niven tarafından 1944
yılında kanıtlanmıştır (bkz. Bölüm 6, Alıştırma 20 ve. [11]).
H a tırla tm a 4.3.25. Karmaşık f (z) = z ve g(z) = z2 polinomlarınm
dereceleri farklı olduğu için Pt (z) = tz 2 + (1 —t)z çizgisel homotopisi düzgün
bir fonksiyon olamaz. Gerçekten de, P - ı (0) ters görüntüsü sınırsız
{(z, t) e C x [0,1] \ t(1 — z) = 1}
kümesini içerir.
Eğer g(z) = z 3 seçseydik yukarıdaki küme
{(z, t) e C x [0,1] \ t(1 — z2) = 1}
olurdu ki, bu küme de tıkız değildir. Fakat polinomları gerçel sayılara kısıtlarsak
aynı küme tıkız olacaktır.
Ö rn ek 4.3.26. 1) t : S n ^ S n, t (x) = —x, ters kutupsal difeomorfizması
sadece tek boyutlu kürelerde yönü korur. Dolayısıyla,
deg(T) = (—1)n+ı
eşitliği sağlanır.
2) (0, z) küre üzerindeki kutupsal koordinatlar ve n e Z olmak üzere
f : S 2 ^ S 2, (x, y, z) ^ (Re((x + iy)n), Im ((x + iy)n), z),
234
D e R h a m K o h o m o lo ji
fonksiyonunun derecesi n olur. Bunu görmek için, u = dO A dz hacim formu
olmak üzere f *(u) = nu olduğunu görmek yeterlidir.
Benzer şekilde her m ,n € Z tam sayı çifti için, deg(f) = m olacak
şekilde bir f : S n — S n fonksiyonu vardır. Aslında yönlendirilmiş ve tıkız her
manifolddan aynı boyuttaki küreye derecesi bir olan bir fonksiyon vardır (bkz.
Alıştırma 18).
3) Her n > 1 tam sayısı için, türevlenebilir her f : S 2n — CPn fonksiyo­
nunun derecesi sıfırdır: u f s karmaşık projektif uzay üzerindeki Fubini-Study
form ise u'fis projektif uzay üzerinde bir hacim formudur. Diğer taraftan,
HDR(S 2n) = 0 olduğu için
f *([uFs ]n) = ( f *([uFs ]))n = 0
elde ederiz. Dolayısıyla, deg(f) = 0 sonucuna varırız.
Aslında bu örnek bize derecesi sıfırdan farklı her f : M 2n — C P n fonk­
siyonun kohomolojide bire bir homomorfizma verdiğini gösterir. Dolayısıyla,
eğer deg(f) = 0 ise, her 0 < k < n için, H rÎr (M ) = 0 olmalıdır.
Bir önceki ünitede gördüğümüz Teorem 3.3.18 sayesinde türevlenebilir tı­
kız manifoldlar arasındaki sürekli fonksiyonların derecesini de tanımlayabiliriz.
Boyutları aynı olan tıkız M ve N türevlenebilir manifoldları arasında sürekli
bir f : M — N fonksiyonu alalım. Teorem 3.3.18 bu fonksiyonun türev­
lenebilir bir g : M — N fonksiyonuna homotopik olduğunu ve böyle iki
fonksiyonun da türevlenebilir bir homotopi ile birbirine bağlanabileceğini gös­
termişti. Dolayısıyla, sürekli f : M — N fonksiyonun derecesini homotopik
olduğu herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun derecesi olarak tanımlayabiliriz:
deg(f) = deg(g) •
Ö nerm e 4.3.27. Yukarıdaki f : M — N sürekli fonksiyonu yönlendirilmiş
tıkız manifoldlarm bir homeomorfizması ise derecesi ±1 ’dir. Örten olmayan
sürekli bir fonksiyonun derecesi ise sıfırdır. Dolayısıyla, bu homeomorfizmaya
homotopik her sürekli fonksiyon örten olmalıdır.
Kanıt : Bu homeomorfizmaya ve tersine homotopik olan iki türevlenebilir
fonksiyon alalım,
f ~ g :M
N ve f -1 ~ h : N ^ M •
O halde, türevlenebilir h o g : M — M fonksiyonu M manifoldunun birim
fonksiyonuna sürekli ve dolayısıyla türevlenebilir bir homotopi ile homotopiktir. Şimdi Teorem 4.3.23’ü kullanarak
1 = deg(h o g )= deg(h) deg(g)
ve dolayısıyla deg(g) = deg(h) = ±1 elde ederiz. Böylece ilk kısmın kanıtı
tamalanır.
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
235
İkinci kısmın kanıtını şu şekilde yapabiliriz. Eğer bir k : M — N sürekli
fonksiyonu örten değilse her iki manifold da tıkız olduğundan N —k (M ) boş
olmayan açık bir kümedir. Bu açık küme bir yuvar içerdiği için (manifoldları
Oklit uzaylarına gömülü alabiliriz ve dolayısıyla onları metrik uzay olarak kabul
edebiliriz) k fonksiyonuna homotopik olan ama örten olmayan bir l : M —
N türevlenebilir fonksiyonu bulabiliriz. Dolayısıyla, Teorem 4.3.23’den dolayı
deg(k) = deg(l) = 0 elde ederiz ve böylece kanıt tamamlanır. □
H a tırla tm a 4.3.28. Şimdi yukarıdaki önermenin bir uygulamasını görelim,.
Türevlenebilir manifoldlarm sürekli fonksiyonlarını türevlenebilir fonksiyonlara
dönüştürme işlemi bazı kayıplara neden olabilir. Bunu bir örnek ile açıklama­
ya çalışalım: Birbirine homeomorfik olup difeomorfik olmayan dört boyutlu tıkız
türevlenebilir manifoldlarm var olduğunu biliyoruz (bkz. Örnek 3.33, s. 160, [Ij.
Ayrıca bkz. [13]). O halde, M \ ve M 2 homeomorfik ama difeomorfik olmay­
an tıkız, bağlantılı, yönlendirilmiş türevlenebilir iki manifold ve f : M \ — M 2
bu manifoldlar arasında bir homeomorfizma olsun, g : M \ — M 2 bu homeomorfizmaya homotopik türevlenebilir bir fonksiyon ise deg(g) = deg(f) = ±1
olacağından g fonksiyonu da örten olmalıdır. Eğer g bir batırma fonksiyonu
ise Ters Fonksiyon Teoremi’nden dolayı g her nokta etrafında yerel bir difeomorfizma olmalıdır. Fakat f bire bir olduğundan ve g fonksiyonu da f ’e
istenildiği kadar yakın seçilebileceğinden g fonksiyonu da bire bir olmalıdır.
Başka bir deyişle, g bir difeomorfizma olmalıdır. O halde, g fonksiyonun
batırma olmadığı noktalar her zaman vardır.
Bu bölümü aşağıdaki iki önerme ile bitireceğiz.
Ö nerm e 4.3.29. f : (Dn ,dD n) — (Dn,d D n) türevlenebilir bir fonksiyon
olsun Öyle kt, f - l (dDn) = dDn koşulu sağlansın. In t(D n) = Dn —dDn & Rn
difeomorfizması altında
deg(df : dD n — dDn) = d e g (In t(f) : Rn — Rn)
olur.
Kanıt : İlk önce f - l (dDn) = dD n koşulundan dolayı
I n t ( f ) : In t(D n) ^ In t(D n)
fonksiyonun iyi tanımlı ve düzgün bir fonksiyon olduğunu belirtelim. Şimdi,
U = In t(D n) C Dn açık alt kümesi için tıkız destekli kohomoloji dizisini
yazalım:
0 = H f - l (Dn)
H f - l (Dn, In t(D n)) ^ H f(In t(D n)) ^ H f(D n) = 0 .
Yukarıda yaptıklarımızdan dolayı H ))(Int(D n)) = H n(Rn) ~ R olduğu için
H'n- l (D n, In t(D n)) ~ R elde ederiz. O halde bu dizi bize aşağıdaki değişmeli
diyagramı verir:
236
D e R h a m K o h o m o lo ji
0
Hn -1 (dDn)
Hn (In t(D n))
i (d f )*
0
0
i I n t ( f )*
Hn -1 (dDn)
H'n (In t(D n))
0.
Son olarak (d f )* = x deg(df) ve I n t ( f )* = x d e g (In t(f)) olduğundan
kanıt tamamlanır. □
Hatırlatm a 4.3.30. Herhangi bir f : (Dn ,d D n)
alalım. Bu durumda
(Dn,d D n) fonksiyonu
gt : Dn x [0,1] — Dn, (x, t) — (1 - t + t||x ||2) f (x)
homotopisi aşağıdaki özellikleri sağlar:
1- go = f ;
2. Her t € [0,1] için, gt\dD™ = f\dD™;
3. g-1 (dDn) = dDn .
O halde, yukarıdaki önermeden dolayı g1 : (Dn ,d D n) — (Dn ,d D n) fonksiyo­
nu için
deg(df : dD n — dD n) = deg(dgı : dDn — dD n)
= deg(Int(gı) : Rn — Rn)
elde ederiz. Aslında bu üç koşulu sağlayan her gt homotopisi için aynı sonucu
elde ederiz.
Önerme 4.3.31. Derecesi sıfır olan her f : S n — S n fonksiyonu bir sabite
homotopiktir.
Kanıt : N ve S harfleri birim kürenin kuzey ve güney kutuplarını
göstersin. Genellikten hiç kaybetmeden N € S n noktasının bir düzgün değer
olduğunu kabul edelim, f fonksiyonunun derecesi sıfır olduğundan f -1 (N ) =
{p1, ■■■,pk, q1, ■■■, Qk} olduğunu kabul edebiliriz öyle ki, f fonksiyonu her
bir pi noktası etrafında yönü koruyan, qi etrafında da yönü ters çeviren
bir difeomorfizma olur. Küre üzerinde standart Riemann metriğini alalım, p €
{p1, ■■■ ,pk ,q1, ■■■ ,qk} olmak üzere
g = Exp~Nl o f o Expp : Rn ~ TpS n — Rn ~ TNS n
orijin etrafında bir difeomorfizma verecektir (her iki teğet uzayı üzerindeki
iç çarpım da Rn üzerindeki standart iç çar pimdir), g fonksiyonun tanımlı
237
H e s a p la m a la r v e U y g u la m a la r
olduğu bir B(0, r0) yuvarı alalım. p([0,r0/4]) = {0} ve p([3r0/4, r 0]) = {1}
koşullarını sağlayan azalan ve türevlenebilir bir p : [0, r0] ^ [0,1] fonksiyonu
seçelim. L = Dg(0) merkezdeki türev fonksiyonu, t € [0,1] ve bt (x) =
p(t + (1 —t)||x||) olmak üzere,
gt : B(0, ro) ^ M™, x ^ bt(x) g(x) + (1 —bt(x)) L(x)
homotopisini tanımlayalım. Homotopinin uç noktaları, gı = g ve g0 =
p(||x||) g(x) + (1 —p(||x||)) L(x) şeklindedir. Her t € [0,1] ve ||x|| > 3/4 için
gt (x) = g(x) olduğundan bu homotopi f fonksiyonunu B [0,3r0/4] yuvarı
dışında değiştirmeyecektir. Diğer taraftan, eğer ||x|| < 1/4 ise g0(x) = L(x)
olur. Başka bir deyişle, g ve dolayısıyla f bu küçük disk içinde homotopi
yardımıyla L doğrusal fonksiyonuna dönüşmüştür.
Sabit bir t € [0,1] değeri için Dgt türevini hesaplayalım:
Dgt(x) = L + (g(x) — L) V(bt(x)) + bt(x) (Dg(x) — L) .
||x|| yeterince küçük olduğun da hem g (x )—L hem de Dg(x) —L fonksiyonları
çok küçük değerler alacaktır, çünkü L = Dg(0) türev fonksiyonudur. O halde,
L doğrusal bir izomorfizma olduğundan gt fonksiyonu orijin etrafında halen
bir difeomorfizmadır.
Şimdi, türevin tanımını kullanarak g fonksiyonunu
g(x) = D g(0)(x)+ a(x) ||x||
şeklinde yazalım. Aslında lim ^^0 a(x) = 0 olduğundan r0 > 0 yarıçapını
her x € B (0,r0) için, L(x) > 2||a(x)||||x|| olacak şekilde seçebilirdik. Bu
durumda, yuvarın herhangi bir x 0 noktası için gt (x0) = 0 olursa
\bt(x0)| ||a(x0)|| ||x0İ| > 2 ||a(x0)|| IKH
elde ederiz. Diğer taraftan, \bt (x)\ < 1 olduğundan x 0 = 0 veya a(x0) = 0
olmalıdır. Fakat, a(x0) = 0 olması durumunda da L (x0) = 0 olacağından
yine x 0 = 0 elde ederiz. Başka bir deyişle, her t € [0,1] için 0 değeri gt
için düzgün bir değerdir ve g - 1(0) = f -1 (0) eşitliği sağlanır.
Tüm bunların sonucu olarak, f fonksiyonunu bir homotopi ile değiştirerek
her bir p € {p1, ■■■,Pk,qı, - - - ,Qk} noktasının etrafındaki bir yuvarda doğru­
sal bir fonksiyon ile verildiğini kabul edebiliriz (p € S™ ve N € S™ noktaları
etrafında Exp (jeodezik sprey) fonksiyonlarının verdiği koordinat sistemlerini
alıyoruz).
Şimdi doğrusal L : R™ ^ R™ operatörünü ortogonal bir operatör ile
değiştireceğiz: Bunun için ilk önce L operatörünün
L = [Cı C2 ■■■ C™]
matris gösteriminin sütunlarına homotopiler yardımıyla Gram-Schmidt işlemi
uygulayacağız. Örneğin, matrisin ilk sütununu
^
t
C i
+ (1 —t) Cı , t € [0,1]
238
D e R h a m K o h o m o lo ji
homotopisi ile birim vektör yapacağız. Daha sonra ikinci sütunu
t ^ C 2 - t < C ı,C 2 > Cı , t e [0,1]
homotopisi ile değiştirerek birinci sütun ile dik konuma getireceğiz. Daha son­
ra tekrar ikinci sütunu birim vektöre dönüştüreceğiz ve bu şekilde devam ede­
rek L operatörünü GL(n, R) grubu içinde ortogonal bir matrise homotopi ile bağlayacağız. Önceki paragraflarda yaptığımıza benzer şekilde ilerleye­
rek f fonksiyonunu bir homotopi ile değiştirerek, fonksiyonun her bir p e
{pı, ■■■,pk ,ql , ■■■,qk} noktasının etrafındaki bir yuvarda ortogonal doğru­
sal bir dönüşüm ile verildiğini kabul edebiliriz. Bu noktaların etrafında ay­
rı ayrı seçtiğimiz r 0 ’larm ra küçüğünü rı ile gösterelim. O halde, her bir
p e {pı, ■■■ ,pk,qı, ■■■ ,qk} noktası için
f \B [0n]: B [0, r ı ] ^ S n
kısıtlanışı izometrik şekilde p noktasından geçen jeodezik çemberleri N nok­
tasından geçen jeodezik çemberlere gönderir. Başka bir deyişle, bu kısıtlanış
fonksiyonları O(n) izometri grubunun elemanları ile temsil edilirler.
Bu arada f fonksiyonunu homotopi ile değiştirmeye devam edelim öyle ki,
1) B[p, r ı ] yuvarları üzerinde f hiç değişmesin;
2) B[p, 2r ı ] - B[p, r ı ] arasında f fonksiyonu jeodezikler boyunca yeterince
hızlı giderek B[p, 2r ı ] yuvarlarının sınırında S e S n değerini alsın: Her bir
p e {pı, ■■■ ,pk ,qı, ■■■ ,qk} için, f (dB[p, 2r ı ]) = {S} olsun (r ı sayısını
yeterince küçük seçerek bu yuvarların ayrık olduğunu kabul ediyoruz);
3) f fonksiyonu bu yuvarlar dışında hiç bir zaman N e S n değerini
almadığından ve S n — { N } ~ Rn ait uzayı S noktasına büzülebileceğinden
f fonksiyonun, yuvarların dışındaki bölgede bir homotopi ile değiştirilerek
B[p, 2r ı ] yuvarları İş ın d a sabit S değeri aldığını kabul edebiliriz.
Bu durumda f : S n ^ S n fonksiyonu bir noktaya bazı Yi eğrileri ile
bağlanmış fc-tane küreden oluşan bir X bölüm uzayından S n,e giden sürekli
bir fonksiyon verir (bkz. Şekil 4.12). Ayrıca n : S n ^ X bölüm fonksiyonu
ve f : X ^ S n ise f ’nin bölüm uzayında ürettiği fonksiyonu göstersin. O
halde, f = f o n olur. Bölüm uzayındaki her bir küre ters işaretli iki diski
simetrik şekilde içermektedir, f fonksiyonu kürenin alt ve üst yarısında, D'n_
ve Dn+, birbirine göre ters işaretli olduğundan
f D— = f Dn+ o A i
olacak şekilde bir A i e O(n) — SO(n) matrisi bulabiliriz. Fonksiyon ekvator
üzerinde sabit S değerini aldığından A i matrisini türevlenebilir bir eğri ile
(x 0 , x ı , ■■■, x n) 1 ^ ( x 0 , x ı , ■■■, x n)
dönüşümünün matrisine bağlayarak f fonksiyonunu homotopi ile öyle değişti­
rebiliriz ki
f (Xo , x ı, ■■■, Xn) — f ( x 0 , x I} ■■■, x n)
239
H e sa p la m a la r ve U yg u la m a la r
Yl(t)
Şekil 4.12: Bölüm uzayının temsili resmi
olur. Bu durumda, t € [0,1] ve (x o,y ) = (xo, x 1, • • • ,x n) olmak üzere
f ( x o,y )
f ( t , y)
f ( t , y)
f ( x o,y )
, t < Xo < 1
, 0 < xo < t
, —t < xo < 0
, —1 < x o < t
homotopisi f
N değerini
alan fonksiyona dönüştürür. Bu sırada f fonksiyonun Yi eğrileri üzerindeki
S noktasından N noktasına giden eğrilere
dönüşürler. Sonuç olarak f ve dolayısıyla f fonksiyonu sürekli bir homotopi
altında görüntü kümesi küre üzerinde S noktasını N noktasına bağlayan
fc-tane eğri olan bir sürekli fonksiyona dönüşür. Bu homotopiyi kendisine ye­
terince yakın türevlenebilir bir homotopi ile değiştirerek f fonksiyonun örten
olmayan bir fonksiyona lıoınotopik olduğunu görürüz. O halde, son bir türevle­
nebilir homotopi yardımıyla fonksiyonun sabite lıoınotopik olduğunu görürüz.
□
Bu kanıtın daha iyi anlaşılabilmesi için f : S 1 ^ S 1 durumunu ipuçları
vererek alıştırmalara bırakacağız (bkz. Alıştırma 19).
H a tırla tm a 4.3.32. 1) f : M ^ S n bağlantılı, tıkız ve yönlendirilmiş bir
manifolddan küreye derecesi sıfır olan türevlenebilir bir fonksiyon ve p € S n bu
fonksiyonun düzgün bir değeri olsun. Fonksiyonu bir homotopi ile değiştirerek
f - 1 (p) kümesinin bir D n C M diskinin içinde kaldığım kabul edebiliriz
(uygun tıkız destekli vektör alanlarının ürettiği akışlarla ters görüntüdeki sonlu
noktayı ortak bir diske taşıyarak yapılabilir). Bu durumda F (M — D n) = S n
olacağından fonksiyon bu diskin dışında bir sabite homotopik olur. O halde,
f fonksiyonu M / ( M — D n) & S n bölüm uzayından küreye bir fonksiyon
verir. Şimdi yukarıdaki teoremi kullanarak bu son fonksiyonun ve dolayısıyla
f fonksiyonunun bir sabite hommtopik olduğunu görürüz.
240
D e R h a m K o h o m o lo ji
2) f : M ^ S n bağlantılı, tıkız ve yönlendir ilemeyen bir manifolddan kü­
reye türevlenebilir bir fonksiyon ve p € S n bu fonksiyonun düzgün bir değeri
olsun. Yine fonksiyonu bir homotopi ile değiştirerek f - 1 (p) kümesinin bir
Dn C M diskinin içinde kaldığım kabul edebiliriz. Ayrıca ters görüntü küme­
sindeki noktaların işaretlerini istediğimiz gibi seçebiliriz, çünkü her noktadan
geçen türevlenebilir ve yönü ters çeviren bir kapalı eğri vardır. Dolaysıyla, dis­
kin içindeki noktaların işaretlerini uygun şekilde seçip fonksiyonu homotopi ile
değiştirerek verilen herhangi q\, q2 € f - 1 (p) ters görüntü çiftini eleyebiliriz.
O halde, fonksiyonun derecesi f - 1 (p) kümesinin eleman sayısı çift ise sıfır,
tek ise bir olmalıdır.
3) Yukarıdaki kanıtlan biraz daha ilerleterek derecesi aynı olan iki f \ : M ^
S n ve f 2 : M ^ S n fonksiyonun homotopik olduğunu gösterebiliriz (bkz.
Alıştırma 20).
Yukarıda bahsettiğimiz sonuçlar için en iyi kitaplardan birisi [15] numaralı
kaynaktır.
4.4
Poincare İzoıııorûzm ası
Bu bölümde ilk olarak, Poincare izomorfizma Teoremi olarak bilinen ve yönlen­
dirilebilir manifoldlarm, tümleyen boyutlu De Rham kohomoloji vektör uzayla­
rı arasında doğal bir izomorfizmanm varlığını gösteren teoremi vereceğiz. Daha
sonra, bu izomorfizmayı kullanarak manifoldlarm topolojilerine dair önemli
sonuçlar kanıtlayacağız.
M bağlantılı, yönlendirilmiş, n-boyutlu türevlenebilir bir manifold olsun ve
0 < k < n bir tam sayı olsun. Bu durumda, her w € Ü ( M ) ve v € ü n -k (M )
formları için w A v € ü'n(M) formu da tıkız destekli olacağından
/ wAv
JM
integrali iyi tanımlı olacaktır. Aslında bu integral bize bilineer bir form verir:
Hk(M) x HD
n -Rk(M )
R,
([w], [v]) ^
/ w Av .
JM
Bu form sayesinde kohomoloji vektör uzayları ve dualleri arasında aşağıdaki
doğal doğrusal fonksiyonu yazabiliriz:
Dm
: H kDR (M ) - ^ ( H f - k ( M ))*,
(D m ([v])) ([w]) =
JM
w A v.
Aşağıda D m Poincare homomorfizmasmm bir izomorfizma olduğunu göste­
receğiz.
Eğer vektör uzayları sonlu boyutlu ise, D m ’in izomorfizma olmasının
Hk ( M ) x HD-k ( M ) - ^ R,
([w], [v])
M
wAv
241
P o in c a r e İz o m o r fiz m a s ı
bilineer formunun soysuzlaşmamış (dejenere olmayan) olmasına denk olduğu
kolayca görülür.
T eorem 4.4.1 (Poincare İzomorfizması). M yönlendirilmiş, bağlantılı, türevlenebilir n-boyutlu bir manifold olmak üzere, her 0 < k < n için,
D m : H kDR(M )
( H f~k(M ))*,
(D m (M)) ([w]) = / w A v
Jm
doğrusal homomorfizması bir izomorfizmadır. Eğer manifold tıkız ise Poincare
izomorfizması
D m : h Dr (M ) - ^ (H'DRk(M ))*
halini alır.
Kanıta geçmeden önce sık sık başvuracağımız aşağıdaki cebirsel sonucu
verelim (kanıtı kolay olduğu için okuyucuya bırakılmıştır, bkz. Alıştırma 21).
Y ardım cı T eorem 4.4.2 (Beşli Yardımcı Teorem). Satırları tam dizi ve için­
deki her bir dikdörtgeni değişmeli olan
A ı ^ A2 ^ A3 ^ A4 ^ A5
4- f ı
4 f2 4 h
4 f4 4 f5
B ı ^ B 2 ^ B3 ^ B4 ^ B5
vektör uzay ve homomorfizmalarının oluşturduğu diyagramı düşünelim. Eğer,
f ı , f 2, f 4 ve f 5 birer izomorfizma ise. f 3 ’te bir izomorfizmadır.
Teorem f . f . l ’in Kanıtı : Kanıt beş adımdan oluşmaktadır.
A dım 1) Teorem M = R n için doğrudur: k = n olduğu zaman H fk( M ) =
0 = (H D— ( M ))* olacağından sadece k = n durumunu incelememiz yeterlidir.
Manifold üzerinde tıkız destekli ve integrali bire eşit bir w formu seçelim.
Bu durumda 0 = [w] € H f ( M ) ~ R elemanı kohomolojinin bir üreteci
olacaktır. [1] € H Dr ( M ) ~ R grubunun üreteci olan ve sabit bir değerini alan
fonksiyonun kolıomoloji sınıfı ise
/
wA1= 1
İR "
olacağından bu adımın kanıtı tamamlanmış olur. Rn ile bu küme içindeki açık
ve yıldız biçimindeki bir kümenin kolıomoloji grupları izomorfik olacağından
bu adım Rn içindeki her konveks açık küme için de kanıtlanmış olur (bkz.
Sonuç 4.3.17).
242
D e R h a m K o h o m o lo ji
Adım 2) L k( M ) ile (Hjk(M ))* dualini gösterelim. U, V Ç M açık kümeler
olmak üzere U U V tıkız destekli kohomoloji ve De Rham kohomolojisinin
duali için Mayer-Vietoris dizilerinin oluşturduğu şu diyagramı düşünelim:
^ H kDR(U U V ) ^ H D
k R(U ) ® H kDR(V ) ^ H kDR(U n
i D
i D®D
Ln-k (U U V )
V)
i D
Ln-k (U) ® Ln-k (V)
^ H kD+R(U U V ) ^
i D
Ln-k (U n V )
Ln -k -1 (U U V ) ■■■ .
Tüm düşey homomorfizmalar Poincare homomorfizmalarmı göstermektedir.
Bu adımda diyagramdaki tüm dikdörtgenlerin işaretli-değişmeli olduğunu gö­
stereceğiz. İlk iki dikdörtgen için kanıt çok açıktır, çünkü tüm yatay fonksiyon­
lar içerme fonksiyonlarından elde edilmiştir.
Son dikdörtgenin işaretli-değişmeli olduğunu görebilmek için bağlantı homomorfizmalarmm nasıl tanımlandığını hatırlamamız gerekmektedir: İlk önce
^ : H n- k - l (U u V ) ^ H n- k (U n V )
homomorfizmasmm nasıl tanımlandığını görelim, [w] € H£n-k -1 (U U V ) olsun.
Teorem 4.3.6’daki Zig-Zag homomorfizmasmm tanımından w = £ —j olacak
şekilde sırasıyla U ve V içinde tıkız destekli £ ve j formları vardır, öyle
ki 5 ([w ]) = [d£] = [dj] olur.
Diğer taraftan,
5 : H kD
R( U n V ) ^ H D
k Rl (U U V )
ise şu şekilde tanımlanır. Herhangi bir [a] € HD,r (U n V ) sınıfı alalım. Bu du­
rumda, a = b —c olacak şekilde, b € ü n -k -1 (U ) ve c € ü n-k-1 ( V ) formları
vardır. Aslında De Rham kohomolojinin Mayer-Vietoris dizisinin kanıtından bu
formların sadece U n V açık kümesinde desteklendiğini görürüz. Son olarak,
bağlantı homomorfizması
5( ) .
(a)
\
( db , U üzerinde
dc , V üzerinde
ile tanımlanır. Bu durumda,
ö *(D ([a ]))([w }) =
[
5(w) A a = j
d£ A (b — c)
Junv
Junv
olur. Diğer taraftan,
D ([ö([a])])([w}) =
Juuv
w A d(a) =
/
Juuv
(£ — j ) A 5 (a )
243
P o in c a r e îz o m o r B z m a s ı
olur. Ayrıca, b ve c formlarının aslında
aklımızda tutarak son integrali açarsak
U
fi V
içinde desteklendiğini
elde ederiz. Şimdi de, U f V manifoldunun sınırının olmamasını, integralleri
alman Ş A db , i A dc formlarının U f V içinde tıkız destekli olduklarını ve
d(Ş
A b) = dŞ A b + ( —1 ) k Ş A db, d ( i A c) = d i A c + ( —1)k i A dc
eşitliklerini Stokes Teoremi’nde kullanarak, son integralin
( - 1 ) k+1 [
dŞ
J unv
A b — ( - 1 ) k+1 l
d i A c = ( - 1 ) k+1 [
dŞ A (b — c)
J unv
J unv
olduğunu görürüz. Bu kanıtı bitirir. □
O halde, Poincare homomorfizması U, V ve U f V açık kümeleri için birer
izomorfizma ise, Adım 2 ve Beşli Yardımcı Teorem sayesinde U U V açık
kümesi için de bir izomorfizma olduğunu görmüş olduk.
Adım 3) Teorem ayrık bir {Ua Ç M } açık küme koleksiyonunun her bir
elemanı için doğru ise bu kümelerin U = U Ua birleşimi için de doğru­
dur: H k R ( U) = n aH D
1)R ( Ua ) direkt çarpımına izomorfiktir. Diğer taraf­
tan, Hjk ( U) = ®aHjk( Ua) direkt toplamına ve dolayısıyla, duali de yine
L k ( U) = n a Lk( Ua ) direkt çarpımına eşittir.
Adım 4) Teorem her
Ç M™ açık kümesi için doğrudur. Bunun için önce
topolojik bir sonuç kanıtlayacağız.
İddia: M™
U
içindeki h er açık küme
U
ve V
gibi iki açık küm enin birleşimi
olarak yazılabilir öyle ki, U , V ve U f V h er biri sonlu tane M™ içindeki
dikdörtgen bölgenin birleşimi olan açık küm elerin ayrık, bir birleşimidr.
İddianın kanıtı: Yardımcı Teorem 2.2.1’den dolayı her manifold, dolayısıyla
da M™ içindeki her açık küme K ™ Ç Int(K™+ı), n € N, koşulunu sağla­
yan bir ( K ™) tıkız alt kümeler dizisinin birleşimi olarak yazılabilir. Şimdi
K 1 tıkız kümesini sonlu tane açık dikdörtgen ile örtelim öyle ki her bir dik­
dörtgen I n t ( K 2) içinde kalsın. Bu dikdörtgenler R 1 , ■■■ , R il olsun. Daha
sonra, K 2 —I n t ( K 1 ) tıkız bölgesini ört en ve I n t ( K 3 ) içinde kalan sonlu tane
5ı, ■■■, S j 1 açık dikdörtgeni seçelim. Bu şekilde devam edelim. Son olarak, U
244
D e R h a m K o h o m o lo ji
ve V kümelerini U = URi ve V = USj olarak tanımlarsak iddianın kanıtı
tamamlanmış olur.
İddiayı kabul ederek bu adımın kanıtını bitirelim. Rı açık bir dikdörtgen
ise M™’e difeomorfik olacağından teorem R 1 için doğrudur (Adım 1). Şimdi
teoremin k tane açık dikdörtgenin birleşimi için doğru olduğunu kabul edelim.
Bu birleşimi A ile gösterelim ve B = Rk+1 bir başka açık dikdörtgen olsun.
Bu durumda A n B yine k-tane açık dikdörtgenin birleşimi olacaktır. O halde
teorem A, B ve A n B için doğrudur. Son olarak, Adım 2’den dolayı teorem
A U B için de doğru olur. Dolayısıyla, tümevarımdan dolayı teorem her sonlu
sayıda açık dikdörtgenin birleşimi için kanıtlanmış olur. Bu durumda Adım 4,
İddia’nm ve Adım 3’ün bir sonucudur.
Adım 5) Önceki adımın içindeki iddianın kanıtını takip ederek şunu göste­
rebiliriz: M manifoldu U ve V gibi iki açık kümenin birleşimi olarak
yazılabilir öyle ki, U, V ve U n V her biri sonlu tane M™ içindeki açık
kümenin birleşimi olan açık kümelerin ayrık bir birleşimidir. Bu durumda ön­
ceki adımlardan dolayı, teorem U, V ve U n V için doğru olacağından
M = U U V için de doğru olacaktır. Böylece kanıt tamamlanır. □
H atırlatm a 4.4.3. Teoremin topolojik sonuçlarına geçmeden önce doğrusal
cebire ait bir önermeyi hatırlayalım: Herhangi bir V vektör uzayının ikinci
dualine izomorfik olması için gerek ve yeter şart bu uzayın sonlu boyutlu ol­
masıdır (bkz. Alıştırma 22). O halde, tıkız her M manifoldu için Poincare
izomorfizmasından dolayı
HD
k n (M ) - (HD- ( M ))* - ((H kDR(M ))*)* - (H kDR(M ))**
sağlanacağından bu manifoldun tüm kohomoloji vektör uzaylarının sonlu boyut­
lu olması gerektiğini görürüz (Tüp Komşuluk Teoremi ve Mayer-Vietoris ko­
homoloji dizisi bu sonucun başka bir kanıtını verir; bkz. Hatırlatma 4-3.11 ve
Alıştırma 13).
Sonuç 4.4.4. Bağlantılı tıkız bir manifoldun tüm De Rham kohomoloji vektör
uzayları sonlu boyutludur.
Sonuç 4.4.5.
™ bağlantılı bir manifold olmak üzere HD>r (M ) = M olması
için gerek ve yeter şart manifoldun sınırsız, tıkız ve yönlendirilebilir olmasıdır.
Eğer manifold tıkız değilse ya da yönlendirelebilir değilse HD,r (M ) = 0 olur.
M
Kanıt : Sonuç 4.3.16’ten dolayı tıkız ve yönlendirilebilir manifoldlar için
) = M olduğunu biliyoruz. Manifold yönlendirilebilir ama tıkız değilse
H 0(M ) = 0 olduğundan Poincare izomorfizması bize H 'Dr (M ) = 0 sonucunu
verir. Eğer manifold yönlendirilebilir değilse, yönü ters çeviren bir eğri boyunca
ilerleyerek bir koordinat diski üzerinde tanımlı bir formun ters işaretlisi ile
aynı kohomoloji sınıfını temsil ettiğini görürüz. Bu durumda yine H ^fi-(M ) =
H 'Dr (M
245
P o in c a r e îz o m o r B z m a s ı
0 elde edilir. Son olarak, eğer manifold yönlendirilebilir sınırlı ve tıkız ise,
yönlendirilebilir tıkız ve sınırsız W = M UdM (—M ) manifoldu için (bkz.
Ünite 3, Alıştırma 39) Mayer-Vietoris dizisini yazarsak
^ HD~Rl (dM ) ^ H Dr ( W ) ^ H Dr (M ) ® H Dr (—M ) ^
H Dr (dM ) = 0
elde edilir. Fakat, H n R(W ) ~ R ve H n R( M ) ~ H n R(—M ) olduğundan
H r r ( M ) = 0 olması gerektiğini görürüz. □
Ö rn ek 4.4.6. Tıkız olmayan M = R2 —Z2 manifoldunun birinci De Rham
kohomolojisi sonsuz boyutludur. Her (m, n) € Z2 için
x dy —y dx
€ Q1(M)
2n ((x — m )2 + (y — n)2)
wm,n
şeklinde tanımlanan formlar kapalıdır ve doğrusal bağımsız bir küme oluşturur­
lar. Aslında daha fazlasını söyleyebiliriz. Bu manifold için H f ( M ) sayılabilir
bir tabana sahip sonsuz boyutlu bir vektör uzayı iken, H 1 r (M ) ve bunun
duali tabanı sayılamaz büyüklükte bir vektör uzayıdır. Dolayısıyla, tıkız olma­
yan manifoldlar için Hjk(M) ve ( H ^ R ( M ))* izomorfik olmayabilir (bkz.
Alıştırma 23).
M = R2 — {(0, 0)} bir delikli diskin birinci kohomolojisinin
x dy — y dx
üretecinin w =
olduğunu görmüştük. Bu elemanın Poincare
x 2 + y2
dualini veren v = D m (w) € H ) ( M ) formu, r = x2 + y2 ve p : (0, rc>)
Ö rn ek 4.4.7.
p(r) dr = 1 koşulunu sağlayan tıkız destekli bir fonksiyon olmak
[0,1],
üzere aşağıdaki gibidir:
v
p(r) dr = p(r)
x dx + y dy
R x 2 + y2
Gerçekten de
M
v Aw
0
f 2n p(r)
(x dx + y dy) A (x dy
0 2nr3
y dx)
1
olur. Benzer şekilde K
- { f = 0, g = 0} Ç S 3 ile verilen bir düğümünün
f d g _ g df
€ H 1 r (S3 —K ) Poincare duali
geçişme formunun wk - —
2 n ( f 2 + g2)
DRK
v
p(V f 2 + g2)
formunun skaler katıdır. Buradaki
çarpımının metrik dualidir.
ds
f df + g dg
A ds
V f 2 + g2
1-formu
V ( f ) x V(g)
vektör dış
246
D e R h a m K o h o m o lo ji
T anım 4.4.8. H 1f R(M ) De Rham kohomoloji vektör uzayı sonlu boyutlu olan
bir M türevlenebilir manifoldunun k ’mcı Betti sayısı bk(M ) = di m( H^ R( M ))
olarak tanımlanır. Eğer M manifoldunun tüm kohomoloji gruplan sonlu
boyutlu ise manifoldun Euler karakteristiği Betti sayılarının
d im (M )
X(M) =
( - 1)k bk (M)
k=0
değişmeli toplamı olarak tanımlanır.
Betti sayıları ve dolayısıyla Euler karakteristiği manifoldun difeomorfizma
değişmezleridir. Mayer-Vietoris tam dizisi kullanılarak elde edilen aşağıdaki
sonuç Euler karakteristiğinin aslında bir çeşit ölçüm olduğunu göstermektedir.
(Ayrıca bkz. Alıştırma 25)
Sonuç 4.4.9. M türevlenebilir bir manifold ve U ve V bu manifoldun tüm
Betti sayılan sonlu olan iki açık kümesi olsun. Eğer U fi V ve U U V açık
kümelerinin tüm Betti sayıları da sonlu ise
X(U U V ) = x ( U) + x ( V ) - x(U f V )
olur.
Kanıt : Her terimi sonlu boyutlu ve sadece sonlu tanesi sıfır vektör uzayın­
dan farklı olan vektör uzaylarının bir
BT>i
fi
r Ci
-T- AAi +1 f i+1
' .r
tam dizisini alalım. Her A i (benzer şekiİde
Ci ) için
dim(Ai) = dim(Imfi) + dim(ker fi)
olduğu açıktır. x(A ) = ^2i( - 1)i dim(Ai) olarak tanımlansın (benzer şekilde
X(B) ve x (C ) ’yi de tanımlayalım). Yukarıdaki dizinin tamlığmdan dolayı
Imöi = ker f i+1 , ker öi = Im gi7 ve I m f i = kergi olduğunu biliyoruz. Bu
durumda
x (C
) + x (A )
+
^ ( —1)i [(dim Im ö i + dim ker öf )
i
(dim I m f i + dim ker f i)]
+
^ ( —1)i [(dim ker f i+1 + dim I m g i )
i
(dim ker g i + dim ker f i)]
=
^ ( —1)i(dim I m g i + dim ker g i)
i
+
=
^ ( —1)i(dimker f i + dim ker f m )
i
x (B ) + 0 = x (B )
P o in c a re Izo rn o rfizm a s ı
247
elde ederiz. Son olarak U ve V açık kümelerinin Mayer-Vietoris dizisinde
A = H D r (U u V ) Bi = H D r ( U ) ® H D r (V ), ve C = H İDr ( U n V ), alarak
kanıtı tamamlarız. □
H a tırla tm a 4.4.10. Oklit düzleminin aşağıdaki şekilde verilen açık alt küme­
leri için x(U ) = 1 = x ( V ) olduğu hal de U n V ve U U V açık kümelerinin
Evler Karakteristikleri iyi tanımlı değildir, çünkü HDr (U n V ) ve HDr (UUV)
sonsuz boyutludur (bkz. Şekil ğ.l'S).
Şekil 4.13: U ve V basit bağlantılı oldukları halde birleşim ve kesişimleri oldukça
karmaşık bir topolojiye sahip ola,bilirler.
Diğer taraftan U, V, U n U, U U V açık kümelerinin herhangi üçünün
Evler karakteristikleri iyi tanımlı ise dördüncünün Evler karakteristiği de iyi
tanımlıdır.
Poincare izoınorfizınasmm kolay bir sonucunu aşağıda veriyoruz (bkz. Alış­
tırma 24).
Sonuç 4.4.11. M tek boyutlu yönlendirilebilir tıkız bir manifold ise x (M ) = 0
olur.
Bu sonuç yönlendirileıneyen tıkız tek boyutlu manifoldlar için de doğrudur.
Kanıtı için biraz dalıa beklememiz gerekiyor (bkz. Sonuç 5.3.10).
Diğer taraftan M 4n+2 boyutlu yönlendirilebilir tıkız bir manifold ise kolayca
X(M) = b2k+ı(M ) olduğunu görebiliriz. Poincare izomorfizmasmm sonucu
olarak
H 2n+l(M ) x H 2n+l(M )
R,
([w], [v]) ^
M
w Av
bilineer formunun soysuzlaşmamış (dejenere olmayan) olduğunu biliyoruz. Ay­
rıca (2n +1) tek sayı olduğu için bu bilineer form ters simetriktir. Son olarak,
sadece çift boyutlu gerçel vektör uzayları soysuzlaşmamış ters simetrik bili­
neer form taşıyabildikleri için b2n+\(M ) çift sayı olmalıdır. O halde aşağıdaki
sonucu kanıtlamış olduk:
248
D e R h a m K o h o m o lo ji
Sonuç 4.4.12. M boyutu 4n + 2 olan yönlendirilebilir tıkız bir manifold ise
bir çift sayıdır.
X (M )
H a tırla tm a 4.4.13. Yukarıdaki sonucun hipotezindeki dim(M ) = 4n + 2
koşulu kaldırılamaz çünkü (gerçel) dört boyutlu C P 2 karmaşık projektif düz­
lemin Euler sayısı üçtür.
4.5 A lıştırm a la r
1. Önerme 4.1.2’yi kanıtlayınız.
2. Önerme 4.1.4’ün kanıtını tamamlayınız.
3. Sonuç 4.1.9’un kanıtında tanımlanan r : D 2 ^ dD 2 = S 1 fonksiyonun
türevlenebilir olduğunu gösteriniz.
4. Yardımcı Teorem 1.2.1 'in kanıtında tanımlanan
P : Qk(M x R) ^ Qk-1(M x R)
doğrusal dönüşümünün manifold üzerinde seçilen yerel koordinat siste­
minden bağımsız olduğunu ve dolayısıyla iyi tanımlı olduğunu gösteriniz.
5. R2 —{(0, 0)} üzerinde kapalı bir u = f (x,y)dx + g(x,y)dy 1-formu
alalım, öyle ki her (x,y) € R2 —{(0, 0)} için
1
\f ( x , y ) \ <
4 x 2 + y2
ve
1
\g( x , y)\ <
4 x 2 + y2
eşitsizlikleri sağlansın. Stokes Teoremi’ni kullanarak bu formun tam ol­
duğunu gösteriniz.
6. Kutupsal koordinatlarda r = sin 20, 6 € [0, 2n], ile verilen eğrinin dönme
sayısının üç olduğunu gösteriniz.
7. İki ayrık düğümün geçişme sayısının sayfa 212’de Gauss’un tanımladığı
sayı ile aynı olduğunu kanıtlayınız.
8. Hatırlatma 4.3.4.2 ve 4’deki iddiaları kanıtlayınız.
9. Verilen bir f * : (Â*,dA) ^ (B * ,d f) zincir fonksiyonunun kohomoloji
seviyesinde homomorfizma verdiğini gösteriniz (bkz. s. 215):
f * : H n (A*)
H n (B*) , f *([aj) = [f» ] , a € An
10. Öklit uzayındaki n-boyutlu yuvardan sınırına hiçbir türevlenebilir r :
Dn S n-1 küçültme fonksiyonu yoktur (bkz. Teorem 4.1.8).
249
A lış tır m a la r
11. Her türevlenebilir f : Dn ^ Dn fonksiyonun en az bir sabit noktası
vardır (bkz. Sonuç 4.1.9).
12. Mayer-Vietoris kohomoloji dizisini kullanarak S n x S m manifoldunun
kolıomolojilerini hesaplayınız.
13. Tüp Komşuluk Teoremi’ni ve Mayer-Vietoris kohomoloji dizisini kulla­
narak tıkız manifoldlarm tüm kohomolojilerinin sonlu boyutlu olduğunu
kanıtlayabiliriz. Bunun için manifoldu, diyelim ki M m olsun, bir Öklit uzayına gömelim: M m C Rn . Manifoldu sonlu tane Rn içinde açık
konveks alt küme ile örtelim, öyle ki bu kümelerin birleşimi manifoldun
bir tüp komşuluğunu oluştursun: M C U1 U • • • U Un C Rn. O halde, bu
konveks kümelerin birleşiminin kohomolojisi manifoldun kohomolojisine
eşittir. Son olarak, Mayer-Vietoris dizisini ve tümevarım metodunu kulla­
narak sonlu tane açık konveks kümenin birleşiminin kohomoloj isinin son­
lu boyutlu olduğunu gösteriniz. (Bkz. Hatırlatma 4.3.11 ve Sonuç 4.4.4.)
14. Teorem 4.3.19’un kanıtını tamamlayınız.
15. Teorem 1.3.23'i kanıtlayınız.
16. Örnek 4.3.24.l ’in içindeki iddiayı kanıtlayınız.
17. Sıfırdan farklı gerçel
p(x) = anxn +------ + ao
ve q(x) = bmx m +------ + bo
polinomlarmm doğrusal f t (x) = (1 —t)p(x) + tq(x), t € [0,1], homotopisini düşünelim. Bu homotopinin düzgün olması için gerek ve yeter
koşulun deg(p(x)) = deg(q(x)) (mod 2) ve anbm > 0 olduğunu kanıt­
layınız.
18. Yönlendirilmiş ve tıkız her manifolddan aynı boyuttaki küreye derecesi
bire eşit olan bir fonksiyonun varlığını kanıtlayınız.
19. Derecesi sıfır olan türevlenebilir her f : S 1 ^ S 1 fonksiyonunun bir sabi­
te homotopik olduğunu gösteriniz. Bunu fonksiyonun düzgün bir değerin­
in ters görüntüsünü ele alarak şu şekilde yapınız: Fonksiyonun bir p € S 1
düzgün değeri etrafında küçük bir p € U C S 1 aralığı alalım. Bu aralığın
ters görüntüsü her biri bu aralığa f fonksiyonu ile difeomorfik olan sonlu
sayıdaki V1, ••• ,Vk aralıklarından oluşacaktır. Ayrıca aralıkların çember
üzerinde ardışık şekilde dizildiğini kabul edebiliriz. Ardışık Vi ve Vi+1
aralıklarının arasında kalan aralığın, diyelim ki [ai,bi] olsun, tam orta
noktasını qi olarak adlandıralım. Şimdi f fonksiyonunu hem her bir
Vi hem d e [ai,bi] aralığında doğrusal bir fonksiyona homotopi edelim.
Elde ettiğimiz fonksiyona yine f diyelim. Bu fonksiyon, eğer ardışık Vi
ve Vi+1 aralıklarında ters yerel derecelere sahipse, [ai, ai+1] aralığında
250
D e R h a m K o h o m o lo ji
sabit olacaktır. Bu durumda fonksiyonu Vi U [ai, ai+1] U V+1 birleşimin­
de yine bir sabite homotopi edebiliriz, öyle ki, homotopinin lıer adımı
bu aralığı U kümesinin kapanışının içine gönderir. Fonksiyonun derece­
si sıfır olduğu için bu işlemi tekrar ederek sonunda sabit, bir fonksiyona
ulaşırız. Bu sonucu kullanarak çemberden çembere giden fonksiyonların
Yi ve V+ı açık küm,deri üzerindeki yerd derecelerinin
sırasıyla —1 ve +1 olduğu d,urum,.
lıoınotopi sınıflarının bir grup oluşturduğunu ve grubun tanı sayılar gru­
buna, [f : S 1 ^ S 1 ^ deg(f), derece fonksiyonu ile izomorfik olduğunu
kanıtlayınız.
20. Boyutu n > 0 olan bir manifold üzerinde tanımlı ve dereceleri eşit
herhangi iki türevlenebilir (sürekli) f 1 : M ^ S n ve f 2 : M ^ S n
fonksiyonlarının lıomotopik olduklarını gösterebiliriz.
21. Beşli Yardımcı Teorem olarak bilinen Yardımcı Teorem 4.4.2’yi kanıtla­
yınız.
22. Herhangi bir F cismi üzerinde tanımlı V vektör uzayının dualine
izomorfik olması için sonlu boyutlu olması gerektiğini gösteriniz. İpucu:
Vektör uzayının sonsuz elemanlı bir fi =
| A € A} Hamel tabanı
varsa, her A C A alt kümesi için taban elemanları üzerinde
fA --V ^ f ,
f A(»») ^
0
: A€ A ,
ile tanımlanan fonksiyonellerin oluşturduğu sayılamaz kümenin dııal uzay
içinde doğrusal bağımsız olduğunu gösteriniz.
23. Örnek 4.4.6’ıım içinde geçen iddiaları kanıtlayınız.
24. Tek boyutlu tıkız ve yönlendirilebilir bir manifoldun Enler karakteristiği­
nin sıfır olduğunu gösteriniz.
25. M herhangi bir manifold ve {Li} bu manifoldun kapalı alt manifoldlarmın sonlu bir ailesi olsun, öyle ki, bu aile kesişimler altında kapalı
olsun ve yine bu ailenin birbirini içermeyen herhangi iki L^ Lj elemanı
251
A lış tır m a la r
dik kesişsin (dik kesişimin tanımı için 5. Ünite’ye bakınız). Bu ailenin
ürettiği en küçük Boolean cebirinin (başka bir deyişle B kümesinin
elemanları ile onların tümleyenlerinin sonlu birleşimleri) elemanlarının
topolojik bileşenlerinin oluşturduğu ailenin ürettiği Boolean cebirini de
B gösterelim.
Bu yapıyı bir örnekle açıklayalım: M = R2 ve L = ^-ekseni olsun. Tek
elemanlı B = {L} ailesinin ürettiği Boolean cebiri {^,L , R2 —L, R2}
olduğu halde B üst ve alt yarı düzlemleri de içermektedir.
(a) M = S2 birim küresi ve B = {S° , S 1} olmak üzere B cebirinin
tüm elemanlarını listeleyiniz. İki boyutlu küre için oluşturduğunuz
yapıyı S n, R P ” ve C P n manifoldlarma genişletiniz.
(b) Euler karakteristiği açık kümeler üzerinde toplamsal olsa da genelde
toplamsal değildir. Örneğin, M = R ve L = {0} alt manifoldunu
düşünelim. M = L U (M —L) ayrık birleşimi için
X (M
) = 1 = 3 = 1 + 2 = x (L )+ X (M — L)
olur ve dolayısıyla Euler karakteristiği toplamsal değildir.
(c) Herhangi bir M manifoldun tıkız destekli Euler karakteristiği
Xc(M ) = Yİ i (—1)i H (M ) ile tanımlanır (toplamın sonlu olması
koşulu altında). U Ç M açık bir alt küme olmak üzere
X c(M — U )
=Y
(—1)i H C(M ,U )
İ
ile tanımlanır. Şimdi yukarıdaki örneği tekrar ele alalım:
Xc(M
) = —1 = 1 —2 = x (L )+ X (M — L ) .
Aslında tıkız destekli yerel kohomoloji dizisi sayesinde kolayca
X c(M
) = X c(U ) + Xc(M — U )
olduğu gösterilebilir.
(d) Eğer Xc fonksiyonu B cebirinin her elemanı üzerinde sonlu bir
değer alıyorsa, Xc fonksiyonun bu cebir üzerinde toplamsal olduğu­
nu gözlemleyiniz.
(e) A değişmeli bir grup ve 0 : M ^ A herhangi bir fonksiyon olsun.
Eğer her a € A için 0 -1 (a ) € B oluyorsa bu fonksiyonun M
üzerinde (tıkız destekli) Euler karakteristiğine göre integrali
M
0 d Xc
Y İ Xc(0 1(a)) a ,
a£Â
toplamı olarak tanımlanır (yine toplamın sonlu olduğu durumda).
A = Z olması durumu uda fM 1 dXc = Xc(M ) olduğunu gösteriniz.
252
D e R h a m K o h o m o lo ji
(f)
M
m a n ifo ld u
gerçel cebirsel
b ir k ü m e (h e rh a n g i b ir
d e s o n l u t a n e p o l i n o m u n o r t a k s ı f ı r l a r ı n ı n k ü m e s i ) is e
M
RN
B
iç in ­
c e b irin i
k ü m e s i n i n y a r ı c e b i r s e l a l t k ü m e l e r i n i n ( p o l i n o m e ş i t s i z l i k l e r i ile
t a n ı m l a n a n a l t k ü m e l e r ) a il e s i o l a r a k s e ç e b i l i r i z . T ık ı z d e s t e k i k o h o ­
m o l o j i a il e ü z e r i n d e t o p l a m s a l o l a c a k t ı r . B u n u k u l l a n a r a k c e b i r s e l
g e o m e tr ik b ir ç o k s o n u c u e ld e e tm e k m ü m k ü n d ü r .
E u l e r k a r a k t e r i s t i ğ i n i n b i r ö l ç ü m o l a r a k k u l l a n ı l a b i l e c e ğ i ü z e r i n e ilk
m a k a l e O le g
Viro
ta r a f ın d a n y a z ılm ış tır
([36]).
B u fik irle rin b ir ç o k
u y g u la m a s ın ı d a iç e re n ö n e m li b ir k a y n a k o la r a k
[16]
n u m a r a lı re ­
f e r a n s ı d a v e rm e liy iz . B u m a k a le le r d e b a h s e d ile n in te g r a l te k n iğ in in
b ir ç o k u y g u la m a s ın ı b u la b ilirs in iz .
(g ) B i r a z c e b i r s e l t o p o l o j i b i l e n o k u y u c u l a r ı m ı z a ş u h a t ı r l a t m a y ı y a ­
p a l ı m : T ık ı z d e s t e k l i t e k i l k o h o m o l o j i k u l l a n a r a k y u k a r ı d a y a p t ı k l a ­
rım ız ı C W -k o m p le k s y a p ıs ın a s a h ip to p o lo jik u z a y la r a g e n iş le te b i­
li r i z .
5
Kesişim Teorisi
Bıı ünitede türevleııebilir ınanifoldlarm topolojik özelliklerini alt. manifoldları
yardımıyla anlamaya çalışacağız. Bunu yapmak için alt. ınanifoldlarm kesişim
teorisini kullanacağız. Alt. ınanifoldlarm kesişim teorisini de Sard Teorerni’nin
bir uygulaması olan dik kesişim teorisi ile kuracağız. Alt. ınanifoldlarm kesişiırıini kolıomoloji sınıfları yardımıyla ifade edeceğiz ve bunu kullanarak Enler
karakteristik sınıfını tanımlayacağız. Enler sınıfını vektör alanlarının sıfırları
ile ilişkileııdireceğiz. Bu konularla ilgili en iyi kaynaklardan birisi [15] numaralı
kitaptır. Enler sınıfının Rieınannn yüzeylerine uygulaması olarak RieınaıınHunvitz ve Hıırwit.z teoremlerini vereceğiz. Bu teoremler cebirsel eğriler ko­
nusunun da. klasik sonuçlarıdır. Cebirsel geometri konusunda, dalıa kapsamlı
kaynaklar için [14], [17] ve [12] numaralı referanslara bakabilirsiniz.
5.1
D i k K e s iş im
T anım 5.1.1. f : K ^ M ve g : L ^ M türevlenebilir manifoldlarm
türevlenebilir fonksiyonları olsun. Eğer f (p) = g(q) koşulunu sağlayan her
(p,q) € K x L İkilisi için
(D f )p(TpK ) + (Dg)q(Tq L) = Tf p M
koşulu sağlanıyorsa bu iki fonksiyon dik kesişiyor deriz ve bunu f ıtı g şeklinde
gösteririz.
H a tırla tm a 5.1.2. 1) Eğer dim (K )+ dim (L ) < dim M ise f t g olması
için gerek ve yeter şart f ve g fonksiyonlarının görüntülerinin ortak noktası
olmamasıdır:
f t g & f (K ) n g(L) = 0 .
253
254
K e s iş im T e o risi
2) Eğer L = {q\, ■■■ ,qk} sonlu noktadan oluşan bir man ifold ise, f ıtı g
olması her g(qi) € M noktasının f için düzgün bir değer olmasına denktir.
Dolayısıyla, bu durumda f t g ise {p € K | f (p) € g(L)} kümes i K içinde
bir alt manifolddur.
Sard Teoremi’nin bir sonucu olan aşağıdaki teorem, dik kesişimin temel
özelliklerini taşıması açısından önemlidir. Kısaca söylemek gerekirse teorem
fonksiyonların dik kesişmesinin kararlı bir durum olduğunu göstermektedir.
Teorem 5.1.3. f : K ^ R™ ve g : L ^ R™ türevlenebilir manifoldlarm
türevlenebilir fonksiyonları olsun. Bu durumda ölçümü sıfır olan öyle bir C Ç
R™ kümesi vardır ki, her w € R™ —C için,
fw (x) = f (x) + w, x € K,
olmak üzere f w t g olur.
Eğer K tıkız bir manifold ve g : L ^ R™ düzgün bir fonksiyon ise
C kümesi ölçümü sıfır olan kapalı bir küme olur. Ayrıca, bu durumda eğer
başlangıçta f t g ise, öyle bir ö > 0 sayısı vardır ki, her w € R™, ||w|| < ö
için, yine f w t g olur.
Kanıt : g — f : K x L ^ R™, (g — f )(x, y) = g(y) — f (x), ile tanımlanan
fonksiyonunun kritik değerlerinin kümesini C ile gösterelim. Bu durumda,
herhangi bir w € R™ noktasının bu fonksiyonun bir kritik değeri olması tam
olarak,
D (g — f )(p,q) : T(p,q)K x L ^ TwR™,
türev fonksiyonunun örten olmadığı, fakat w = g(q) —f (p) koşulunu sağlayan
bir (p,q) € K x L İkilisinin varlığına denktir. O halde, w € R™ —C ise
w = g(q) — f (p) koşulunu sağlayan her (p,q) € K x L İkilisi için
D (g — f w) (p,q) = (Dg)q — (D fw)p = (Dg)q — (D f )p = D (g — f ) (p,q)
türev fonksiyonu örtendir. Diğer bir deyişle, w € R™ —C koşulu f w t g
koşuluna denktir.
Eğer K tıkız t e manifold ve g : L ^ R™ düzgün bir fonksiyon ise
g — f fonksiyonu da düzgün olur. Diğer taraftan, g — f fonksiyonunun
kritik noktalar kümesi kapalıdır, çünkü her türevlenebilir fonksiyonun kritik
noktalarının kümesi kapalı bir kümedir. O halde, bu kapalı kümenin g — f
düzgün fonksiyonu altındaki görüntüsü olan C kritik değerler kümesi de
kapalıdır. Son olarak, eğer başlangıçta f t g ise 0 € R™ vektörü kap alı C Ç
R™ alt kümesinin dışındadır. O halde, sıfır vektörünün bir B(0, ö) komşuluğu
da C ’nin dışında kalacaktır. □
Hatırlatm a 5.1.4. Yukarıdaki teoremin ikinci kısmındaki sonucu biraz daha
kuvvetlendirebiliriz, w : K ^ R™ aşağıdaki koşullan sağlayan bir fonksiyon
olsun:
255
D ik K e sişim
1) C kümesi yine g — f fonksiyonunun kritik değerler kümesi olmak üzere
w (K ) fi C = 0
2) N (f (K )), f (K ) görüntü kümesinin tıkız bir komşuluğu olmak üzere, her
(p,q) € K x ( L f N ( f (K ))) için, ||Dw||p < \\D(g—f)\\(p,q) eşitsizliği sağlansın.
(Aslında f t g olduğunu kabul ettiğimiz için sıfır sabit fonksiyonuna yeterince
C h e r fonksiyon bu şartı sağlar.) Bu durumda, f w = f + w fonksiyonu
g fonksiyonuna yine dik olacaktır.
f : S 1 ^ M3, g : S 1 ^ M3 iki türevlenebilir fonksiyon ve K =
f (S 1) L = g (S 1) görüntü kümeleri olsun. O halde, yukarıdaki önermeden
dolayı ölçümü sıfır olan tıkız bir C Ç M3 kümesi dışındaki her, w € M —C ,
vektörü, için K + w = {x + w | x € K } olmak üzere
(K + w) f L = 0
olur. C kümesinin ölçümü sıfır olduğundan w vektörü, istenildiği kadar küçük
seçilebilir. Başka bir deyişle, K ve L kümelerinden birini istediğimiz kadar
küçük bir vektör boyunca öteleyerek bu, iki kümenin kesişmemesini sağlayabili­
riz.
Şekil 5.1: K ve L dört ayrı noktada kesişirken K + w ve L kesişmiyor.
Teorem 5.1.3’de M™ yerine herhangi bir türevlenebilir manifold alındığında
da doğrudur.
Sonuç 5.1.6. f : K ^ M
ve
g : L ^ M tü r e v le n e b ilir
g : L ^ M d ü z g ü n b ir
tü r e v le n e b ilir f o n k s i y o n l a r ı o ls u n . E ğ e r
f
f :K ^ M
f o n k s i y o n u v a r d ır k i
f t g
f
fo n k s iy o n u da
f t g
f ıtı g
ise ,
m a n ifo ld la r m
f o n k s i y o n ise,
o lu r.
f
fo n k s i y o n u n a y e te r in c e y a k ın h e r
k o ş u lu n u sa ğ la r.
K a n ı t : M manifoldunu Mm’e difeomorfik { fi : Vi ^ Mm} koordinat
komşulukları ile örtelim. Daha sonra, K manifoldunu her bir elemanının
kapanışı tıkız olan yerel sonlu ve sayılabilir bir {Uk}, k € N açık örtüsü ile
örtelim öyle ki, her bir f (Uk) bir V^k)’nin içinde kalsın. Yine her bir k
için aşağıdaki koşulları sağlayan türevlenebilir pk : M ^ [0, 1] fonksiyonları
seçelim:
256
K e s iş im T e o risi
1. Her k için, pk(Uk) = {1} ve
2. f (Supp(pk)) kapanışı tıkız olan ve Vi(k) içinde kalan bir alt küme olsun.
Şimdi k = 1 için,
f ı = f wı (p)
^k(i)(0k(i)( f (P)) + Pl(p)Wl)
f (P)
p e Supp(pl ),
p e S u p p (p ı),
şeklinde tanımlanan fonksiyon g ile Ul üzerinde dik kesişecek şekilde iste­
diğimiz kadar küçük bir w l e R m vektörü seçelim. Yukarıdaki hatırlatmadan
dolayı öyle bir 5 > 0 sayısı vardır ki, \\f l — h \\u < 5 koşulunu sağlayan her
h : K ^ M fonksiyonu Ul üzerinde g ’ye dik olur. O halde, f l fonksiyonu­
nu U 2 üzerinde yeterince küçük bir vektör ile öteleyerek elde edeceğimiz f 2
fonksiyonu Ul U U 2 üzerind e g ’ye dik hale gelecektir. Ul U U 2 tıkız olduğu
için aynı oyunu tekrar ederek tanımlayacağımız f 3 fonksiyonu Ul U U2 U U 3
üzerinde g’ye dik olacaktır. Tümevarım yöntemi ile her n için, Ul U — U Un
üzerinde g’ye dik olan ve f ’ye istediğimiz kadar yakın bir f n bulabiliriz.
Elde ettiğimiz ( f n) fonksiyon dizisinin kuruluşundan dolayı, her Un için öyle
bir kn doğal sayısı vardır ki, her k > kn ve p e Un için, f n (p ) = fk (p )
olur. O halde,
f = lim fk
k
fonksiyonu aradığımız fonksiyondur.
ikinci kısmın kanıtı benzer fikirlerle yapılabileceğinden okuyucuya alıştırma
olarak bırakılmıştır (bkz. Alıştırma 1). □
Hatırlatma 5.1.2.2’nin bir genellemesi olan aşağıdaki teoremde g : L ^ M
fonksiyonunu bir gömme fonksiyonu olarak alacağız. Ayrıca bu durumda, f ıtı g
yerine f t L yazacağız.
Teorem 5.1.7. f : K ^ M türevlenebilir bir fonksiyon ve L C M kapalı bir
alt manifold olsun. Eğer f t L ise f - l (L) C K ters görüntüsü dim (K ) +
dim(L) —dim(M ) boyutlu bir alt manifolddur.
Ayrıca K sırım olan bir manifold ve f\eK t L ise f - l (L) C K ters
görüntüsü sınırı olan bir manifold olur öyle ki,
d f - l (L) = (d K ) n f - l (L)
olur.
K a n ıt : L l C M m kapalı bir ait manifold olduğu için her q e L noktası
etrafında M için öyle bir (y l , ■■■,y ı ,y ı+ l , ■■■,y m) koordinat sistemi seçe­
biliriz ki, L alt manifoldu yı+ l = ■■■= y m = 0 denklem sisteminin çözümü
olur. Şimdi de U C K k üzerinde b ir ( x l} ■■■ ,X k) koordinat sistemi seçelim
öyle ki
(y l , ■■■ ,y m) = ( f l( X l , ■■■ ,X k) , ■■■ , f m(X l , ■■■ ,X k)) = f (X l , ■■■ ,X k)
257
D ik K e s iş im
olsun. O halde, bu koordinat sisteminde
f
-1
(L) = {x
=
(x ı , ••• ,Xk)
|
fı + ı (x) = ••• = f m(x) = 0}
ile verilir. Aynı koordinat sisteminde tanımlı
g : U y Rm— ,
x y g(x) = ( f ı + ı( x ) , • •• , f m(x)),
fonksiyonunu düşünelim, f ıtı L dik kesişme koşulu 0 € R m -1 noktasının
g : U y R m— fonksiyonu için bir düzgün değer olmasına denktir. Son olarak,
f - 1 (L) manifoldu M koordinat sisteminde tam olarak g - 1(0) ters görüntü­
süne eşit olduğundan f - 1 (L) C K boyutu k — (m —l) = k + l —m olan bir
alt manifolddur. Böylece ilk kısmın kanıtı tamamlanır.
Teoremin ilk kısmından dolayı, f - 1 (L) n (K —d K ) ve f - 1 (L) n d K ara
kesitleri sırasıyla (k + 1—m) ve (k + 1—m — 1)-boyutlu manifoldlardır. Yine
de f - 1 (L) n d K manifoldunun f - 1(L)’nin sınırı olduğunu göstermeliyiz.
Bunun için herhangi bir p € d K n f - 1 (L) sınır noktası etrafında koordinat
sistemi seçelim:
H k = {(x 1 ,x 2 , • • • , x k) € R k | x 1 < 0}
.
f \eK t L ^^^ ^m d an fı +] _(x), ••• , f m(x) fonksiyonlarının x 2 , ••• ,xk değiş­
kenlerine göre kısmi türevlerinden oluşan matrisin rankı m —l’dir. Genellikten
bir şey kaybetmeden bu matrisin son (m —l) x (m —l) Tik alt matrisinin tersinin
var olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda
(x 1, • • • , x k)
y (x 1 j • • • j x l+ k-m ) f l+1 , • • • , f m)
fonksiyonu bir difeomorfizma olur ve dolayısıyla da yeni bir koordinat sistemi
tanımlar. Bu yeni koordinat sisteminde f - 1 (L) ~ g - 1(0) ters görüntüsü tam
olarak
{(x 1, ••• , xı + k- m, 0 ••• , 0) € H k } ~ Hl+ k- m
olduğundan kanıt tamamlanır. □
Ö rn ek 5.1.8. Bu örnekte Dn diskinden sınırına sürekli bir küçültme fonk­
siyonunun var olmadığını göstereceğiz. Tersine böyle bir küçültme fonksiyonun
varlığını kabul edelim: r : Dn dD n = S n- 1 . Bu fonksiyonun türevlenebilir
bir f : Dn y S n- 1 yaklaşımını alalım. Küçültme fonksiyonu diskin sını­
rında birim fonksiyon olduğundan türevlenebilirdir ve dolayısıyla türevlenebilir
yaklaşımının da sınırda birim fonksiyon olduğunu kabul edebiliriz. Ayrıca bu
türevlenebilir yaklaşımın da bir küçültme fonksiyonu olduğunu kabul edebiliriz.
Şimdi bu türevlenebilir küçültme fonksiyonun bir düzgün p € S n- 1 değer­
ini seçelim. Bu durumda C = f - 1 (p) sınırı olan tıkız ve 1-boyutlu bir alt
manifolddur. Yukarıdaki teoremi ve f ’nin sınırda birim fonksiyon olmasını
kullanarak, dC = f - 1 (p) n S n - 1 = {p} elde ederiz. Fakat bir boyutlu tıkız
bir manifoldun sınırı tek bir noktadan oluşamaz; dolayısıyla bu bir çelişkidir.
O halde, r : Dn y dD n = S n - 1 gibi bir küçültme fonksiyonu yoktur.
258
5.2
K e s iş im T e o risi
A lt M anifoldlarm K esişim i ve Poincare Duali
Bu bölümde alt manifoldlarm kesişim teorisini kuracağız. Daha sonra bu teoriyi
kohomoloji ve Poincare dualliği ile ilişkilendireceğiz ve son olarak bu teorinin
bir uygulaması olarak bazı manifoldlarm kohomoloji cebirlerinin çarpım yapı­
larını alt manifoldlarm kesişimleri yardımıyla inceleyeceğiz.
Manifoldlarm kesişim teorisini bir önceki bölümde incelediğimiz dik kesişim
ve Alt Bölüm 2.3.5 yardımıyla oluşturacağız. Alt Bölüm 2.3.5’de incelediği­
miz vektör uzaylarının kesişim teorisini doğrudan teğet uzaylara uygulayarak
alt manifoldlarm kesişimlerinin yönünü belirleyeceğiz: Ll, K k C M m yön­
lendirilmiş bir manifoldun yönlendirilmiş kapalı alt manifoldları olsun. Eğer
f : L ^ M ve g : K ^ M içerme fonksiyonları dik kesişiyorsa L n K ara
kesiti M manifoldunun ( k + l —m)-boyutlu yönlendirilmiş bir alt manifoldu
olur. Eğer yönlendirmeleri dikkate almazsak L n K sadece ( k + 1—m)-boyutlu
bir alt manifold olur.
Eğer bu iki alt manifold dik kesişmiyorsa ikisinden birini hafifçe oynata­
rak dik kesişir pozisyona getirebiliriz. Farklı oynatmalardan elde edilecek dik
kesişimlerin temel değişmezini aşağıdaki önermede açıklayacağız.
Ö nerm e 5.2.1. f : L ^ M ve g : K ^ M iki kapalı alt manifold, olsun.
Ayrıca fi : L ^ M , i = 0,1, f içerme fonksiyonuna homotopik ve g ’ye dik
olan iki fonksiyon olsun. Bu durumda (k + l — m)-boyutlu f o (L) n g (K ) ve
fı (L) n g (K ) alt manifoldları (k + l —m + 1) boyutlu bir W manifoldunun
sınırı olurlar. Eğer L, K ve M yönlendirilmiş manifoldlar ise W manifoldu
da yönlendirilmiş olarak seçilebilir öyle ki,
dW = ( f ı ( L ) n g ( K )) U —(f o (L) n g ( K ))
olur.
Kanıt : Kanıt önceki bölümün sonuçlarından kolayca elde edilir, ikinci
kısmın kanıtı için, f 0 ve f 1 fonksiyonlarını birbirine bağlayan ve g ’ye
dik olan bir F : K x [0,1] ^ M homotopi fonksiyonu seçelim. Bu durumda
W = F - 1 ( g ( K )) olacaktır. Yönlendirmelerle ilgili ifadenin kanıtını okuyucuya
bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 2). □
Kapalı K ve L alt manifoldlarından birinin tıkız ve k + l = m olması
durumunda ara kesiti sayısal bir değişmez ile ifade edebiliriz: Bir boyutlu,
tıkız, bağlantılı sınırlı bir manifoldun sınırı iki noktadan oluşur. Eğer mani­
fold yönlendirilmiş ise sınır noktaları da ters işaretli olarak yönlendirilir. Bu
durumda önceki önermeden şu sonucu elde ederiz.
Sonuç 5.2.2. Bir önceki önermede olduğu gibi L ve K kapalı alt manifoldlanmn boyutlarının toplamı k + 1 = m ve ikisinden biri tıkız ise, f 0 ( L ) n g ( K )
ve f ı ( L ) n g ( K ) dik kesişimleri sonlu sayıda nokta dan oluşur. W ise bir
boyutlu tıkız bir manifolddur. Ayrıca eğer manifoldlar yönlendirilmiş ise W
259
A l t M a n ifo ld la r m K e s iş im i v e P o iııc a r e D u a li
ve dolayısıyla sının da yönlendirilmiş olacaktır. I n t( fi(L), g (K )), i = 0 ,1,
ile hu ara kesiti oluşturan noktaların işaretli toplamını gösterirsek
Int(fo(L ), g(K )) = I n t( fı(L ),g (K ))
olur. Yönlendirmeleri dikkate almazsak (örneğin, manifoldlardan biri yönlendirilemiyorsa)
In t(fo (L ),g (K )) = In t(fı(L ), g (K )),
(Mod 2)
(Z2 değerli kesişim sayısı) elde ederiz.
Yukarıdaki sonuçla iyi tanımlı olduğunu gösterdiğimiz I n t( fi(L), g (K ))
sayısına f (L) ve g (K ) alt manifoldlarmm kesişim sayısı denir ve kısaca
In t(K , L) ile gösterilir.
H a tırla tm a 5.2.3. 1) Eğer K, L veya M manifoldu yönlendirilemez ise
bazı özel durumlar dışında sadece (Mod 2) kesişim sayısından bahsedebiliriz
(hkz. Hatırlatma 5.3.1.3 ve Örnek 5.3.2.3).
2) Eğer K = L ise In t(K , K ) sayısın a K alt manifoldunun kendisi ile
kesişim sayısı denir.
3) Vektör uzaylarının yönlendirmelerini hatırlayarak
In t(K , L) = ( - 1 ) klI n t( L ,K )
elde ederiz (m = k + l olduğunu kabul ediyoruz). Dolayısıyla, eğer m = 2k
ve k tek sayı ise In t(K , K ) = 0 olur.
Ö rn ek 5.2.4. 1) M = T 2 = S 1 x S ı , L = S 1 x {p} ve K = {q} x S 1
alt manifoldlar olmak üzere L ıtı K = {(p,q)} tek noktada dik kesişirler.
O halde, I n t( L ,K ) = ±1 olur (yönlendirmelere bağlı olarak işaret değişir).
In t(L ,L ) = 0 olduğu da kolayca görülür (ayrıca hkz. Alıştırma 3).
2) M = CP 2 karmaşık projektif düzlemde bir L = C P 1 doğrusu alalım.
L alt manifoldunun kendisi ile kesişimini almak için bu doğruyu biraz oyna­
tarak başka bir doğru elde edelim.. iki farklı doğru tek bir noktada dik kesişecektir. Tüm doğruları karmaşık yönlendirmeleriyle düşünürsek kesişimin işa­
reti pozitif olacaktır. Dolayısıyla, In t(L ,L ) = 1 olacaktır. Örnek 5.2.11.3’de
karmaşık homojen polinomların sıfırları olarak ifade edilen alt manifoldlarm
kesişim sayısını hesaplayacağız.
3) Şimdi de gerçel projektif uzayı ele alalım: M = R P 2 ve L = R P 1 olsun.
M yönlendir ilemeyen bir manifold olduğu için sadece Z2 değerli kesişimden
bahsedebiliriz. Bir önceki örneğe benzer şekilde In t(L , L) = 1 olur. (Bkz.
Ayrıca Alıştırma 16)
4) M = S2 iki boyutlu kürenin üzerindeki herhangi iki tıkız eğrinin kesişimi her
zaman sıfırdır! Aslında bu Hj->r (S 2) = 0 kohomolojisinin ve Teorem 5.2.6’nm
bir sonucudur.
260
K e s iş im T e o risi
T anım 5.2.5. Ll Ç M m yönlendirilmiş bir manifoldun yönlendirilmiş ve
kapalı bir alt manifoldu olsun. Bu durumda Stokes Teoreminden dolayı
f : H lc(M ) ^ R, [w] ^ J w ,
bir homomorfizma verir (w tıkız destekli olduğu için bu formun kapalı L alt
manifolduna kısıtlanışı da tıkız desteklidir). O halde,
D m : H ^ 1(M ) —^ (H lc(M ))*,
(D m ([v])) ([w]) = / w A v ,
Jm
Poincare izomorfizmasmdan dolayı bir ve yalnız bir [vl ] € H ) —1(M ) sınıfı
vardır, öyle ki, her [w] € H lc(M ) için,
JL
u = f([w]) = / w A VL
JM
olur. Bu forma L Ç M alt manifoldunun Poincare duali denir.
Teorem 5.2.6. M m yönlendirilmiş bir manifold ve Ll yönlendirilmiş kapalı
bir alt manifold olsun. Bu durumda [v l ] € H ff— M ) bu alt manifoldun
Poincare duali olmak üzere, her yönlendirilmiş tıkız K m-1 Ç M alt manifoldu
için
I n t ( L, K ) = f
Jk
vl
olur.
Kanıt : K k Ç M yönlendirilmiş tıkız bir alt manifold olsun (k = m — l ).
Şimdi M manifoldu üzerine bir Riemamı metriği koyalım ve K Ç M alt
manifoldunun normal demetine bu metriği kısıtlayalım. Tüp Komşuluk Teore­
minden normal demetin sıfır kesitinin bir K Ç V Ç N ( K ) açık komşuluğunun
K Ç U Ç M alt manifoldunun bir açık komşuluğuna difeomorfik olduğunu
biliyoruz. K ait manifoldu tıkız olduğundan sıfır kesitinin uygun bir e > 0
komşuluğunun V içinde kalmasını sağlayabiliriz. Normal demeti aşağıdaki
gibi yazalım:
N ( K ) = \ J a ( Ua X Rm-k ) / ( x ,y ) ~ ( x ,g aŞ ( x ) ( y ) ) , ( x ,y ) € Ua x Rm-k
,
öyle ki, her iki manifold da yönlendirilmiş olduğu için geçiş fonksiyonları gaş :
Ua fi Uş ^ SO (m — k), şeklinde olsun. Her a için, Ua X Rm-k üzerindeki
(x, y) = (x ı , • • • , x k , yı, ■ ■ ■ , ym- k ) koordinat sistemini kullanarak wa = dyı A
■■ -Adym -k formunu oluşturalım. Geçiş fonksiyonları S O (m - k) değerli olduğu
için gfş(w ş) = wa olacaktır. Dolayısıyla, bu formlar bize N ( K ) normal
demeti üzerinde bir w (m — k )-formu tanımlar. Bu formun kapalı olduğu
kolayca görülür. Şimdi aşağıdaki koşulları sağlayan bir p : [0, rc>) ^ [0, 1]
fonksiyonu seçelim:
A l t M a n ifo ld la r m K e s iş im i v e P o iııc a r e D u a li
261
1) Her t € [0, e/2] için p(t) = 1, ve
2) her t > e için p(t) = 0, olsun.
O halde, p(||y||2) : N ( K ) ^ [0,1] türevlenebilir bir fonksiyondur (||y|| ile
y = (yı, ••• ,y m -k) vektörünün normal demetin üzerindeki iç çarpıma göre
normunu gösteriyoruz). Ayrıca bu fonksiyon sadece y değişkenine bağlı ol­
duğundan p(||y||2) w formu N ( K ) üzerinde kapalıdır. Form V dışında
tamamen sıfır olduğundan bu formun difeomorfizma altındaki görüntüsü de,
U dışında sıfır tanımlanarak, tüm M manifolduna genişletilebilir. Formun
normal demetin bir {x0} x Rm-k lifi üzerindeki integralinin değeri
a= /
p( lly|l2) w
J{x0}xRm-k
olsun. Şimdi j k = - p(||y||) w € QJn -k (M ) kapalı formunu ele alalım ve
In t(K , L) = J n K
olduğunu gösterelim. K manifoldunun tıkız olmasından ve p fonksiyonunun
seçiminden dolayı bu form tıkız desteklidir: /j-k € Qnn- k (M )•
*0 : L ^ M
fonksiyonunu küçük bir : [0,1] x L ^ M homotopisi
ile değiştirelim öyle ki, K ıtı i1(L) olsun. Stokes Teoremi’nden dolayı
Jl
Jk =
i
Jk =
*o(j K ) = i i*ı ( j K ) = i
Jk
Ji0(L)
JL
Jl
Jiı(L)
olacaktır. L ve i 1( L ) alt manifoldlarmm Poincare duallerinin de aynı olacağı
açıktır (bkz. Tanım 5.2.5). Dolayısıyla, K ve L alt manifoldlarmm dik
kesiştiklerini kabul edebiliriz. Diğer taraftan, L kapalı ve K tıkız olduğundan
L t K = { x 1, • • • , x s}
kümesi sonlu olacaktır. İntegralini aldığımız j k formu K alt manifoldu­
nun U komşuluğu dışında sıfır değeri alacağı için integrali difeomorfizma
yardımıyla normal demetin sıfır kesitinin V komşuluğuna taşıyabiliriz. Her
bir kesişim noktası bir dik kesişim olduğundan e > 0 sayısını yeterince küçük
seçerek L n V manifoldunun her bir Vj topolojik bileşenini, { x j } x R m-k n V
lif parçasında tanımlı türevlenebilir bir fonksiyonun grafiği olarak görebiliriz.
Ayrıca,
Vj ^ { x j } x R n -k n V
difeomorfizmasmm yönlendirmeyi koruması için gerek ve yeter şart xj ke­
sişim noktasının sgn(xj) işaretinin pozitif olmasıdır. O halde, yine Stokes
262
K e sişim T eorisi
Şekil 5.2: L ve K manifoldlannm Xj- \, Xj ve Xj+ı noktalarındaki kesişim,
işareti sırasıyla —, +, —’dir.
Teoremi’nden
L
Vk =
Lnü
Vk =
(xj )
{xj }xRm-k nv
VK
elde ederiz. Son olarak
'{xj }xW,m-k nv
Vk = 1
olduğıından
j
Vk =
(Xj) = I n t( K ,L )
sonucuna varırız. Bu eşitliği L alt manifoldunun vl Poincare dual formu
yardımıyla
In t(K , L) =
L
vk
=
Vk A vl =
M
Vk A vl
V
olarak yazalım. Son olarak, V komşuluğu yerel olarak W x R l şeklinde
yazılabildiği (W Ç K açık bir ^ ^ ^ e olmak üzere) ve yine her x € W için
{x}xR m-k nv
Vk = 1
olduğundan
Vk A vl = (—1)kl vl
v
K
elde ederiz. Böylece kanıt, tamamlanır:
Int(L , K ) = (—1)kl In t(K , L) =
□
vl
K
.
A l t M a n ifo ld la r m K e s iş im i v e P o in c a r e D u a li
263
H a tırla tm a 5.2.7. Yukarıdaki teoremde oluşturduğumuz [p l \ sınıfının da
her [w] € H lc(M ) için,
fi([w\) = / w =
w A pL
JL
JM
eşitliğini sağladığını görmek zor değildir. Dolayısıyla, [pl \ = [vl ] olmalıdır.
Buna rağmen Teorem 5.2.6’da verilen
I n t( L ,K ) = f vl
Jk
özelliğinin [vl ] sınıfını tamamen belirlediğini göstermiş değiliz. Kolayca görü­
leceği üzere bunun için şu ifadeyi kanıtlamak yeterli olurdu: Kapalı bir w €
Qk(M ) fomunun tam olması için gerek ve yeter koşul h er tıkız K k C M yön­
lendirilmiş alt manifoldu için Jk w = 0 integralinin sıfır olmasıdır. Fakat bu
iddia doğru değildir. Diğer taraftan her f : K k ^ M türevlenebilir fonksiyonu
için J k f *(w) = 0 ise w formu tamdır (burada K k sadece yönlendirilmiş
tıkız bir manifolddur; M içinde bir alt manifold olması gerekmiyor). En son
yazdığımız iddia tekil homolojinin bir konusudur ve Steenrod Temsil Teoremi
(Representability Theorem.) olarak bilinir (bkz. Corollary 15.3, s.49, [7]).
Bundan sonra L C M alt manifoldunun Poincare dualini [p l \ ile göste­
receğiz.
H a tırla tm a 5.2.8. F : K x [0,1] ^ M sürekli fonksiyonu F0 : K ^ M
ile Fı : K ^ M türevlenebilir gömme fonksiyonları arasında bir homotopi
olsun. Bir önceki bölümün sonuçlarını kullanarak, homotopinin uç fonksiyon­
larını değiştirmeden, homotopiyi türevlenebilir hale getirebiliriz. O halde, ho­
motopinin uç fonksiyonlarının verdiği F0(K ) ve F1(K ) alt manifoldlar için
Pf0(k ) = T f i (k ) olur.
Ö rn ek 5.2.9. 1) M = Rn veya S n ise, her 1 < k < n için H k R(M ) = 0
olduğundan, boyutlarının toplamı n olan pozitif boyutlu biri tıkız diğeri kapalı
herhangi yönlendirilmiş iki alt manifoldun kesişim sayısı her zaman sıfırdır.
2) M tıkız ve yönlendirilmiş bir manifold ve p € M olmak üzere K = {p}
tek noktadan oluşan bir alt manifold ise p k € H ^ r ( M ) formu için J M Pk =
1 olur, çünkü, K ile L = M alt manifoldlan sadece p noktasında kesişirler.
Aşağıdaki teoremin kanıtını, yukarıdaki sonuçların kanıtlarına benzer ol­
duğundan, okuyucuya bırakıyoruz.
T eorem 5.2.10. K k, Ll C M m dik kesişen iki kapalı alt manifold ve p k €
Qm -k ( m ) ne p l € Qm -l(M ) bu alt manifoldlarm Poincare dualleri olsun. Bu
durumda p k A p l € Q2m -k-l(M ) formu da K n L alt manifoldunun Poincare
duali olur. Diğer taraftan, i : K ^ M içerme fonksiyonu ise İ*( p l ) €
H d r 1( K ) kohomoloji sıntft K n L C K alt manifoldunun Poincare duali
olur.
264
K e sişim T eorisi
Bıı sonuçları kullanarak bazı ınanifoldların kohomoloji halkalarını hesaplaya­
biliriz .
Yıg ile aşağıdaki resimde verilen g-cinsli (genusu g olan)
yönlendirilebilen yüzeyi gösterelim. Yüzey bağlantılı olduğundan b0(Yg) = 1
ve yönlendirilebilir olduğundan b2(Yg) = 1 olur. Yüzey dış normal vektör ile
yönlendirilmiş olsun. Bu durumda, yüzeyin oklarla yönlendirilmiş bir boyutlu
ai ve föi, i = 1, • • • , g, alt manifoldlarmm Poincare dualleri ai = D (ai), ve
bi = D (fi), olmak üz ere aiaj = bibj = 0 olur, çünkü bu sınıflara karşılık gelen
alt manifoldlar hiç kesişmiyorlar. Benzer şekilde, [v] G HDr (Xg) ~ R manifold üzerindeki integrali bire eşit olan bir üreteç ise., her i , j = 1, • • • ,g için,
aibj = 6 jv elde ederiz. O haide, [ai] ve [bi] kohomoloji sınıfları doğrusal
bağımsızdırlar. Başka bir deyişle, b1(Yg) > 2k olur. Aslında, b1(Yg) = 2g ’dir.
Bunu tümevarım, He hesaplayabiliriz: g = 1 için bı(£ı) = b1(T2) = 2 ol­
duğunu biliyoruz. Tümevarım adımı için Yg+1 yüzeyini Yg ve S 1 = T 2
yüzeylerinin bağlantılı toplamı olarak yazalım. Mayer-Vietoris dizisi yardımıyla
kanıtı bitirebiliriz (bkz. Alıştırma j). Bu durumda yüzeyin kohomoloji cebiri
H*d R(Zg) = R [xi,yi; i = 1, ••• ,g]/(xiX j, yiyj ,xiyj - 6ij)
değişmeli bölüm cebirine izomorfiktir.
g2
2) H = {z0 = 0} ile C Pn
2n —2 boyutlu alt
manifoldunu gösterelim. H = CP n-1 olduğu kolayca görülür. a G H 2 R(CPn)
bu H
H alt manifoldunun kendisi
ile dik kesişimi H ıtı H = C P n-2 olur. Benzer şekilde bu alt manifoldun
kendisi ile k-defa dik kesişimi de
H t ••• t H = CPn-k
olacaktır. C P 0 = {pt} tek noktadan oluşan bir alt manifold olacağından
an
cp n
1
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
265
elde edilir. O halde, [a]k € HDr (CPu) ~ R kohomoloji grubunun bir üreteci­
dir. Başka bir deyişle, kohomoloji cebiri
H*d r (CP n ) = R[a]/(an+1)
polinom cebirine izomorfiktir.
3) f (z0,z 1,z 2) € C[zo,Zı,Z2] derecesi d > 1 olan homojen bir polinom
olsun. Eğer 0 € C bu polinomun bir düzgün değeri ise f _1(ü) ters görüntüsü
C3 içinde karmaşık iki boyutlu ve tıkız olmayan bir alt manifold olacaktır.
Diğer taraftan, bu manifoldun projektivasyonu
C = {[zo : zı : Z2] € C P 2 | f (zo, zı, Z2) = 0}
karmaşık projektif düzlem içinde bir boyutlu bir alt manifold olur (bkz. Alış­
tırma 5). Bu durumda C ’ye tekil noktası olmayan derecesi d olan karmaşık
projektif eğri denir. Altıncı Ü n ite’de bu karmaşık eğrinin cinsi (genusu)
= (d — 1)(d - 2)
g=
2
olan yönlendirilebilir yüzey olduğunu göreceğiz. Manifold karmaşık olduğundan
doğal bir yönlendirmesi vardır. Bu karmaşık eğrinin rastgele bir karmaşık pro­
jektif doğru, diyelim ki H olsun, ile kesişimi d noktadan oluşacaktır (çünkü
derecesi d olan karmaşık bir polinomun genelde tam olarak d tane kö­
kü vardır). Bu durumda, karmaşık kesişimler her zaman pozitif olduğundan
C ıtı H = d olur. O halde, Teorem 5.2.6’i kullanarak, H alt manifoldunun
Poincare duali a € H fi r (CP2) olmak üzere, C alt manifoldunun Poin­
care dualinin da € H fi r (CP2) olduğunu görürüz. Bu ise dereceleri d1 ve
d2 olan iki eğrinin kesişiminin d1d2 olmasını gerektirir (Teorem 5.2.6). Son
yazdığımız sonuç cebirsel geometride Bezout Teoremi olarak anılır.
5.3
5.3.1
V ektör D em etleri ve P oin care-H opf Teoremi
V e k tö r D e m e tle r in in E u le r K a r a k te r is tiğ i
M manifoldu üzerinde rankı fc-olan yönlendirilmiş bir E m+k ^ M m vektör
demetinin sıfır kesitini L ~ M ile gösterelim. Sıfır kesitinin kendisi (aslında,
hafif oynatılmış hali olan L) ile dik kesişimi
K =Lt L CL =M CE
olsun. Boyutu 2m —(m + k) = m — k olan K manifoldunu L = M ’nin bir
alt manifoldu olarak görürsek bu alt manifoldun [p k ] € HD)r (M ) Poincare
dualine vektör demetinin Euler karakteristik sınıfı denir ve e(E ) ile gösterilir.
Aslında, s : M ^ E vektör demetinin türevlenebilir bir kesiti ise bu kesi­
tin s (M ) görüntüsü ile sıfır kesitinin dik kesişimini K alt manifoldu olarak
alabiliriz (Sonuç 5.1.6’dan dolayı s kesiti hafifçe oynatılarak bu her zaman
yapılabilir). Bu tanımdan yönlendirilmiş izomorfik vektör demetlerinin Euler
sınıflarının aynı olacağı açıktır.
266
K e s iş im T e o risi
H a tırla tm a 5.3.1. 1) Eğer M tıkız, yönlendirilebilir bir manifold ve E ^
M rankı k = m olan bir vektör demeti ise e(E) £ Hffr (M ) ~ R Enler
karakteristik sınıfım bu sınıfın manifold üzerindeki integrali ile eşleyebiliriz:
e(E ) o
f e(E) .
JM
Bu integralin değeri olan sayı vektör demetinin sıfır kesitinin kendisi ile dik
kesişimi olacağından bir tam sayı olmalıdır. Bu tam sayı vektör demetinin
Euler sayısı olarak adlandırılır. Eğer k = m bir tek sayı ise Euler sayısı
kesitin kendisi ile dik kesişimi olduğundan bu sayı sıfır olmalıdır.
2) Bir vektör demetinin hiç sıfırı olmayan bir kesiti varsa Euler sınıfı sıfırdır.
0 halde, paralellenebilir her manifoldun teğet demetinin Euler sınıfı (sayısı)
sıfırdır.
3) Ll C M 21 yönlendirilmiş bir manifoldun yönlendirilemeyen bir tıkız alt
manifoldu olsun. Bu alt manifoldun başka bir alt manifold ile kesişim sayısı
tanımlı olmasa da kendisi ile kesişim sayısı iyi tanımlıdır. Bunu görmek için
bu alt manifoldu, her adımı bir gömme fonksiyonu olan bir Ft : L ^ M ,
t £ [0, e], homotopisi ile çok az hareket ettirerek elde edilen Fe(L) = L mani­
foldu ile sonlu sayıda noktada dik kesiştirelim. F0(p) = Fe(q) £ M bir kesişim
noktası olsun. Homotopi manifoldu çok az hareket ettirdiği için p £ L ve
q £ L noktalarının aynı koordinat sisteminde kaldığım kabul edebiliriz. Bu du­
rumda bu koordinat sistemi üzerine konulan her yönlendirme bu iki noktadaki
TpL ve TqL teğet uzaylarını yönlendirecektir. Koordinat komşuluğu üzerin­
de konan yönlendirmeyi değiştirince her iki teğet uzayının yönlendirmesi aynı
anda değişeceği için
TPL ® TqL
toplam vektör uzayı üzerindeki yönlendirme değişmeyecektir. Başka bir deyişle
TpL ® TqL
toplam vektör uzayı koordinat sisteminin yönlendirmesinden bağımsız olarak
bir yönlendirmeye sahiptir. Bu yönlendirmeyi TFo(p)M teğet uzayının yönlen­
dirmesi ile karşılaştırarak kesişim noktasının işaretini belirleriz. Bu işaretlerin
toplamı kesişim sayısını verecektir.
Ö rnek 5.3.2. 1) M = T 2 = S 1 x S 1 ve E = T*T2 -£ T 2 teğet demeti olsun.
X (91, 02) =
vektör alanı sıfır olma yan bir s : T 2 ^ T*T2 kesiti verecektir.
0 halde, bu vektör demetinin Euler sınıfı (ve dolayısıyla Euler sayısı) sıfırdır.
Aslında her T n-torusu paralellenebilir olduğundan teğet demetlerinin Euler
sınıfları sıfırdır.
2) Örnek 2.1.10.2’de ele aldığımız karmaşık projektif doğrunun, C P 1 = S 2,
(karmaşık) teğet demetinin Euler sayısını hesaplayalım. Daha önce, teğet de­
metinin
T*CP1 = T*C LJ T*C /(x ,v ) ~ (1/x, - v / x 2),
267
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
olduğunu ve sı(x) = —s2(x) =
ifadesi ile verilen s : C P 1 ^ T*CP1
vektör alanının i ve —i olmak üzere iki tane sıfırı olduğunu görmüştük. Bu
fonksiyonların sıfırlarının olduğu noktalardaki türevleri sıfırdan farklı olduğu
için teğet dem,etinin sıfır kesiti bu kesit ile dik kesişir. Ayrıca, bu dem,etin sıfır
kesiti ile yine aynı demetin yukarıdaki fonksiyonlar ile verilen kesiti T C P 1
karmaşık manifoldunun karmaşık alt manifoldları olduğundan, her iki kesişim
noktasının işareti de pozitiftir. O halde, S2 = C P 1 iki boyutlu küresinin teğet
dem,etinin Euler sayısı ikidir. Benzer şekilde, Örnek 3.3.5 ’de tanımladığımız
O(k) = C x C Û C x C /(x , v) ~ (1/x, v /x k),
(x, v) € C —{0} x C, karmaşık doğru dem etinin, k > 0 olmak üzere her ho­
mojen polinom kesitinin k-tane karmaşık kökü vardır ve dolayısıyla bu dem,etin
Euler sayısı k ’dir.
3) Uyarı 5.3.1.3’te tanımladığımız yönlendir ilemeyen manifoldlarm kendisi ile
kesişim sayısına bir örnek verelim. Eler M manifoldunun T M teğet dem,eti­
nin doğal bir yönlendirmesi vardır (manifold yönlendirilemez olsa bile): Bunu
görmek için manifold üzerinde bir (x]_, ■■■ ,x n) koordinat sistemi alalım, ve
T M teğet demeti üzerinde, yi = ^
olmak ü,zere (x 1, ■■■ ,x n ,y 1, ■■■ ,y n)
fonksiyonlarının verdiği koordinat sistemini düşünelim. Manifold üzerindeki
(x]_, ■■■, xn) koordinat sistemini değiştirsek dahi (x]_, ■■■, x n, y 1} ■■■, yn) ko­
ordinat sisteminin verdiği yönlendirme değişmez (bkz. Alıştırma 11).
Şimdi R P 2 gerçel projektif uzayını S 2 küresinin ters kutupsal simetriye
bölümü olarak görelim,. Bu durumda bir önceki örnekte verdiğimiz teğet demeti
kesiti gerçel projektif uzayın teğet dem,etinin bir kesitini verir. Küre üzerindeki
vektör alanının iki sıfırı projektif uzayda tek bir sıfır noktasına indirgenir. Son
olarak, bölüm fonksiyonu yerel bir difeomorfizma olduğundan kesişimin işareti
korunur. Başka bir deyişle, gerçel projektif düzlemin Euler sayısı e(R P2) =
1 ’dir.
Dolayısıyla, bu örnek bize yönlendir ilemeyen manifoldlarm Euler sınıfları
olmasa da Euler sayılarının iyi tanımlı olduğunu göstermektedir.
4) Şimdi de R P 2 Ç C P 2 alt manifoldunun kendisi ile kesişim sayısını bu­
lalım. Karmaşık projektif düzlemi karmaşık yapısından elde ettiğimiz yönlen­
dirme ile düşüneceğiz. (z1 = x 1 + iy1, z2 = x 2 + iy2) yerel koordinat sisteminde
bulunan herhangi bir p € R P 2 noktasında karmaşık düzlemin teğet uzayını
karmaşık yönlendirmesiyle düşünelim:
TpCP 2
/
d
d
d
d
\dx~ 1 ' d y l ’ o x 2 , öy~2
Bu durumda bir alt uzay olarak
TpRP 2
/
d
d
\ d x fl d x2
268
K e s iş im T e o risi
olacaktır. Karmaşık projektif düzlemin her bir teğet uzayı aslında bir karmaşık
vektör uzayı olduğundan gerçel projektif düzlemin teğet vektörlerini karmaşık
i-sayısıyla çarparak normal demetin vektörlerini elde ederiz. Aslında bu bize
teğet demetinden normal demete bir izomorfizma verir:
T RP2
(p,v
VR P 2 !
d
d
a - ---- + b
) ^ (p , iv
dx\
dX2
d
d
aA----+
bA—)
dy 2
dy ı
Bu vektör demetler izomorfizmasını Tüp Komşuluk Teoremi ile birleştirerek
gerçel projektif uzayın teğet demetinden R P 2 Ç C P 2 alt manifoldunun bir
komşuluğuna difeomorfizma elde ederiz. Yönlendirmeleri karşılaştırarak bunun
yönü değiştirdiğini görürüz. O halde, R P 2 Ç C P 2 alt manifoldunun kendisi
ile kesişim sayısı —1 ’dir. (Alıştırma 12 yönlendir ilemeyen yüzeylerin kendileri
ile negatif sayıda kesiştiği örnekler verecektir).
5) B ir önceki örnekteki hesabı bir de alt manifoldu hareket ettirip kendisiyle
doğrudan kesiştirerek yapalım.
f
t : CP 2 ^
C P 2,
[zo
:
z\
:
z f\
^
difeomorfizma ailesi (bu bir vektör alanı akışıdır)
R P 2 = {[z o : z ı : z 2\ € C P 2 | I m (zi) = yi = 0 , i = 0 , 1, 2}
gerçel projektif uzayı
R P t ={[x 0: e itx ı : e 2itx 2\ € C P 2 | x i € R , i = 0 , 1, 2}
alt m anifolduna gönderir. B u iki manifold
[ 1 : 0 : 0 ] , [ 0 : 1 : 0 ] , [ 0 : 0 : 1]
noktalarında dik kesişirler. Şim di çok küçük ve pozitif t-değerleri için, bu üç
noktadaki kesişim sayılarını ayrı ayrı hesaplayalım:
[1:0:0]: U0 = { z0 = 0} koordinat komşuluğunda parametrizasyonları
(x ı / x o, x 2/ x o)
ve
(e i t x ı / x o, e 2i t x 2/ x o)
ile verilen bu iki alt manifold, üzerindeki koordinatlar (z ı / z 0 , z 2 / z 0) olan
karmaşık düzlemde kesişirler, iki m anifoldun bu noktadaki teğet uzaylarını yan
yana koyarsak
(x ı / x o , x 2/x o , eltx ı / x o , e 2itx 2/ x o)
koordinatlarına karşılık gelen vektörleri buluruz. Oysa, aynı noktadaki karmaşık
yönlendirm e
(x ı / x o , eltx ı / x o , x 2/x o , e 2itx 2/ x o)
ile uyum ludur. B u iki yönlendirm e ters olduğundan bu noktadaki kesişim in işa­
reti — 1 ’dir.
[z o
: e ltzı
V e k tö r D e m e tle r i v e P o in c a r e -H o p f T e o re m i
269
[0:1:0]: U1 = {z 1 = 0} koordinat komşuluğunda ise bu iki alt manifold
(x o/ x 1 ,x 2/ x \)
ve
(e-itx o/ x 1 ,e ltx 2/ x \)
ile parametrelendirilirler. iki manifoldun bu noktadaki teğet uzaylarım yan yana
koyarsak
(x o/ x 1 ,x 2/ x 1 , e-itx o/ x 1 ,eitx 2/ x 1 )
koordinatlarına karşılık gelen vektörleri buluruz. Diğer taraftan, aynı noktadaki
karmaşık yönlendirme
(x o/ x 1 , —e-itx o/ x 1 , x 2/ x 1 ,eltx 2/ x f )
ile uyumludur. Bu iki yönlendirme aynı olduğundan bu noktadaki kesişim 1 ’dir.
[0:0:1]: Benzer şekilde U2 = {z 2 = 0} koordinat komşuluğunda bu iki alt
manifold
(x o / x 2 ,x 1 /x 2 ) ve (e- 2üx o/ x 2 ,e üx 1 / x 2)
ile parametrilendirilir ve üzerindeki koordinatlar (z0/ z 2 , z 1 / z 2) olan karmaşık
düzlemde kesişirler, iki manifoldun bu noktadaki teğet uzaylarını yan yana
koyarsak
(x o/ x 2 , x 1 / x 2 , e-itx o/ x 2 , eftx 1 / x 2f)
koordinatlarına karşılık gelen vektörleri buluruz. Bu noktadaki karmaşık yön­
lendirme
(x o/ x 2 , —e- 2itx o/ x 2 , x 1 / x 2 , —e-itx 1 / x 2)
ile uyumludur. Bu iki yönlendirme yine ters olduğundan bu noktadaki kesişim
—1 ’dir.
O halde, kesişim sayısı —1 + 1 —1 = —1 ’dir.
Pozitif yerine negatif (küçük) t-değeri için kesişimden hesaplarsak bu üç
noktanın işaretleri sırasıyla 1, —1 ve —1 olurdu, dolayısıyla toplam yine
—1 olarak kalırdı.
Yukarıdaki örneklerin hepsinde teğet demetlerin Euler sayılarının, manifoldlarm Euler karakteristiklerine (Bkz Tanım 4.4.8) eşit olduğunu gördük.
Poincare-Hopf Teoremi olarak bilinen Teorem 5.3.9 bunun bir tesadüf olma­
dığını gösterecektir. Bu teoremin kanıtını Bott ve Tu’nun Differential Forms in
Algebraic Topology ([5]) adlı kitabındaki kanıtı model alarak yapacağız. Morse
teoresini (bkz. [25, 35]) kullanan bir kanıt için Madsen ve Tornehave’nin From
Calculus to Cohomology ([22]) adlı kitabına bakabilirsiniz. Bu teorem ayrıca,
türevlenebilir manifoldlarm üçgenlenebilir olmasından faydalanılarak da kanıt­
lanabilir. Fakat bizim alt yapımız bu iki yöntem için de uygun değildir. Bir
sonraki bölümde Poincare-Hopf Teoremi’ni kanıtlamak için ihtiyaç duyacağı­
mız bir takım sonuçları göreceğiz.
270
5.3.2
K e s iş im T e o risi
G y sin T am D izisi
Bu bölümde önceki bölümlerin bir uygulaması olarak verilen yönlendirilmiş
bir n : E m+r A M m vektör demetinin tabanının, lifinin ve toplam uzayının
kohomolojilerinden oluşan ve Gysin tam dizisi olarak bilinen tam diziyi ku­
racağız. Bu diziyi kurmak için, ilk önce tıkız destekli kolıomoloji bölümünde
kanıtladığımız
H k+1(M x R) = H k(M )
izomorfizmasım hatırlayalım (bkz. Teorem 4.3.14). Bu izomorfizma, tıkız des­
tekli ve gerçel eksen üzerindeki integrali bire eşit olan türevlenebilir p : R A R
bir fonksiyon yardımıyla ,
1. T : Ü (M ) A Qk+1(M x
2. T : ü k+l (M x R)
R),
T ( f(x ) dxK)
=
p (t)f (x)
ü kc (M),
T ( f( x ,t) dt A dxK) = ( / / (x,t) dt) dxK ve T ( f (x,t) dxK) = 0,
JR
homomorfizmaları tarafından verilir. R üzerindeki tıkız destekli p(t) dt 1formunu Rr üzerindeki tıkız destekli p(tf + • • • + t)?) dt\ A - ■■A dtr r-formu
ile değiştirerek
Hk+r (M x Rr ) = HC(M)
izomorfizmasım elde ederiz.
Aslında bu kanıt bize, bu vektör demetinin dikey tıkız destekli kohomolojisi
ile demetin tabanının De Rham kohomolojisi arasında da bir izomorfizma verir:
Hk+r(M x Rr ) = H C
DR(M ).
(Dikey tıkız destekli kohomoloji grubu, desteğinin her bir lif ile kesişimi tıkız
olan w € ü (E ) formlarının oluşturdukları alt uzay olarak tanımlanır.)
Şimdi M manifoldunu bu demetin sıfır kesiti ve dolayısıyla bir alt manifoldu olarak görelim ve [h m ] € H ^ r (E ) ile bu alt manifoldun Poincare
dualini gösterelim (bkz. Teorem 5.2.6). Hm € ü r(E ) formu kuruluşu itibarıy­
la tıkız desteklidir ve demetin her bir lifi boyunca integrali bire eşittir. Başka
bir deyişle hm formuyla dış çarpım almak bize Thom İzomorfizması olarak
bilinen
h Dr (M ) A h Dr (E)
HC+r(E)
izomorfizmasım verir. Yukarıdaki tanımdan dolayı bu izomorfizmanm tersi de
lifler boyunca integral alma homomorfizmasma karşılık gelecektir:
HC+r(E) —
h
Dr (M ) .
Daha detaylı bir kanıt şu şekilde verilebilir. İlk önce bu homomorfizmalarm
demetin her
: n 1(Ua) A Ua x R'
dt A
dxK ,
ve
271
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
= Ua Ua v e
Mayer-Vietoris d i z i s i n i
ç a r p ım ın d a b ir iz o m o rfiz m a v e rd iğ in i g ö rü r ü z . D a h a s o n r a M
E = Ua Ua = Ua (Ua x R r )
b ir le ş im in e a y n ı a n d a
u y g u la r ız :
• A H kDR(U n
A HD
k R(U )
V)
i A p u nV
•••a H V+ (U n
® H kDR( V )
i Apu ® A pv
Hk
DR(U
A
i A puuV
U) A H V+ (U ) ® H V+ (U) A H ku+ ( U U U) A •••
B u r a d a n , t ü m e v a r ı m m e t o d u ile h e r s o n l u a d e t
U a ’n ı n
.
b i r l e ş i m i iç i n s o n u ç
k a n ıtla n m ış o lu r . D iğ e r t a r a f t a n , h e r tık ız d e s te k li tü r e v le n e b ilir f o r m b ö y le
M
b ir s o n lu b ir le ş im in iç in d e d e s te k le n e c e ğ in d e n s o n u ç
m a n i f o l d u iç i n d e
k a n ıtla n m ış o lu r .
Ş i m d i d e b u i z o m o r f i z m a y ı k u l l a n a r a k v e k t ö r d e m e t l e r i iç i n G y s i n T a m
D i z i s i ’n i k u r a l ı m .
V e k t ö r d e m e t i ü z e r i n e b i r m e t r i k k o y a lı m v e
n : P
A M
ile b u d e m e t i n b i r i m k ü r e d e m e t i n i g ö s t e r e l i m :
p = { (p ,v ) e E
E0 =
| \\v\\p = 1}
.
E —M
açık ait kümesi is e ( M ’yi E d e m e t i n i n s ı f ır k e s i t i o l a r a k
E 0 = P x R o ld u ğ u n d a n d ü ş e y h o m o m o r f iz m a la r ı iz o m o r f iz m a la r
a lıy o ru z )
o la n a ş a ğ ıd a k i d ia g r a m d e ğ iş m e lid ir:
H k+ ( E )
—a
Hk+r (E o )
f i-
- i
JR
T 1(
h D+
p
)
— A
f
JRr
H kDr (M)
Ş i m d i G y s i n T a m D i z i s i ’n i v e r e b i l i r i z :
T eorem 5.3.3. n : E A M türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde yönlen­
dirilmiş rankı r-olan bir gerçel vektör demeti olsun, n : P A M bu demetin
birim küre demeti olmak üzere aşağıdaki dizi tamdır:
Ae(E)
n*. htt-İ—
l /n \
b u i—r
R ( p ) —— h d r ( m ) — —
h
Dr ( m ) —a
h
fsr-l
Dr ( p ) — —
Burada H lD R(P ) —----AH lDR( M ) He lifler üzerinde integral alma işlemine
karşılık gelirken, H fflR(M ) ——
A H D r (M ) vektör demetinin Evler sınıfı ile
dış çarpım homomorfizmasıdır.
Kanıt :
D ö r d ü n c ü Ü n i t e ’d e g ö r m ü ş o l d u ğ u m u z t ı k ı z d e s t e k l i k o h o m o l o j i
d i z i s i n i n k u r u l u ş u n d a k i f i k i r l e r i n b e n z e r l e r i n i k u l l a n a r a k ( b k z . s . 2 2 6 ) ( E 0,E
)
U
V
)
272
K e s iş im T e o risi
İkilisinin dikey tıkız destekli kohomoloji dizisini yazalım (ayrıca bkz. Alıştır­
ma 6):
^ H lc(Eo) ^ H lc(E ) ^ HDr (M ) ^ H U 1(E q) ^ ••• .
H lvc(E0) ~ H l—^ ( P )
Şimdi yukarıdaki değişmeli diagramı kullanarak
H luc(E ) ~ H]-R(M ) yazarsak dizimiz
• •—
H ]R (P ) - -
H ]R (M )
ve
Hİc(E) ^
H'd r (M )
H<d r (P)
•••
haline dönüşür. Son olarak, hm kohomoloji sınıfı
Hlc(E) ^ H ] r (M )
homomorfizması altında E ^ M demetinin Euler sınıfına gittiği için (Teo­
rem 4.3.18 ve kanıtına bakınız) bu dizinin
H — (M )
H İC(E ) ^ H I r (M )
kısmı
H — (M )
H Dr (M )
ile değiştirilebilir ve böylece kanıt tamamlanır. □
5.3.3
L eray-H irseh v e K ü n n e th T eorem leri
Bu bölümde De Rham kohomoloji için Leray-Hirseh Teoremi’ni ve bunun özel
hali olan Künneth Teoremi’ni vereceğiz. Kohomolojileri sonlu boyutlu vektör
uzayları olan, türevlenebilir bir F manifoldunu lif olarak kabul eden türevlenebilir bir n : P ^ M M demeti alalım. Bu durumda, H* r (P ) kohomoloji
halkasını
n* : H * r (M ) ^ H * r (P )
halka homomorfizması yardımıyla bir H * r (M )-modülü olarak görebiliriz.
Teorem 5.3.4 (Leray-Hirseh Teoremi). Lifi türevlenebilir bir F manifoldu
olan türevlenebilir bir n : P ^ M lif demeti alalım. Eğer her bir life kısıtlanışı
H* r (F ) vektör uzayının tabanı olan sonlu bir { x 1, • • •x n } E H * r (P ) kümesi
varsa, H * r (P ) taban ı {xı, ••• x n } olan serbe st H* r (M )-modülüdür.
Kanıt : Kanıt Poincare Izomorfizması’nm kanıtına çok benzerdir ve yine adım­
lardan oluşur.
A dım 1) U E M lif demetinin üzerine kısıtlanışı çarpım şeklinde yazılan,
noktaya homotopi denk olan bir açık alt küme olsun. Bu durumda Pu =
273
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
n -1 (U) ^ U kısıtlanışı için P u — U x F açık kümesi F manifolduna
homotopi denk olacağından teorem U için doğrudur (burada Xi kohomoloji
sınıflarının U kümesine kısıtlanışlarını alıyoruz).
A dım 2) Şimdi bir Mayer-Vietoris dizisi yardımıyla şunu kanıtlayacağız: Eğer
teorem U, V Ç M ve U fi V açık kümeleri için doğru ise U U V açık kü­
mesi için de doğrudur. İlk önce Mayer-Vietoris dizilerini tam üçgenler şeklinde
yazarak aşağıdaki değişmeli prizmayı düşünelim.
H Dr (Pu uv )
Öp f
I
HDR(Pun v )
\ ip
H*Dr (Pu ) ® H*Dr (Pv )
£
I
i
I
I
HDr ( u u v )
I
i
ö
\ i
f
HD R (U f V)
£
i
HD r ( u ) ® HD r ( v )
Prizmanın alt ve üst tabanındaki tam üçgenler Mayer-Vietoris dizilerinin di­
rekt toplamları alınarak oluşturulmuştur (bkz. Alıştırma 7). Ayrıca düşey homomorfizmalar lif demetinin iz düşüm fonksiyonu tarafından belirlenen homomorfizmalardır.
Şimdi w = Yİ aix i E HDR(Pu UV), ai E HDR(U U V ), şeklinde bir
sınıf alalım ve w = 0 olduğunu kabul edelim. O halde, ai = 0 olduğunu
göstermeliyiz. 0 = ip (w) = Yİ i(ai)xi olduğu için hipotezden dolayı i(ai) = 0
elde ederiz. Bu durumda bazı bi E HDr (U f V ) sınıfları için ai = Ö(bi) olur.
Buradan, v = ^D bix i E HDr (Pu nv ) olmak üzere
öp(v) =
^2 Ö(bi)xi = ^2 aiXi = w = 0
elde ederiz. Diyagramdaki üçgenlerin tam olmasını kullanarak v = Jp(p) ola­
cak şekilde bir p E HDr (Pu ) ® HDr (Pv ) sınıfı buluruz. Yine hipotezden
dolayı, bi = J(ci) olacak şekilde ci E HDr (U) ® HDr (V ) sınıfları vardır. O
halde,
ai = Ö(bi) = J (Ö(ci)) = 0
elde ederiz ve böylece bu adımın kanıtının ilk yarısını bitirmiş oluruz.
Kanıtın ikinci yarısı için herhangi bir w E HDr (Pudv ) sınıfı alalım. Bu
durumda, bazı ai E HD r (U) ® HD r (V ) sınıfları için ip (w) = Yİ aix i olur.
Buradan,
0 = Jp (ip (w) ) = ^ 2 J(ai)xi
274
K e s iş im T e o risi
ve dolayısıyla J(ai) = 0 elde ederiz. O halde, üçgenin tamlığını tekrar kulla­
narak bazı bi € HDr (U U V ) sınıfları için ai = i(bi) yazabiliriz. Bu durumda,
v = J2 biXi € H*Dr (Puuv) sınıfı için
ip (v ) = 2 2 i(bi)Xi = 2 2 aix i = ip (w)
olduğundan ip (w —v ) = 0 elde ederiz. O haide, w —v = öp (^ i cix i) olacak
şekilde ci € HDr (U fi V ) sınıfları bulabiliriz. Son olarak,
w = v + öp( ^ CiXi) = 2 2 biXi +
i
ö(ci)Xi = 22(bi + ö(ci))xi
yazarak ikinci adımın kanıtını bitiririz.
A dım 3) Kolayca görülebileceği gibi, eğer teorem ayrık bir {Ua Ç M } açık
kümeler ailesinin her bir elemanı için doğru ise bu kümelerin U = U Ua
birleşimi için de doğrudur. Ele aldığımız {xı, • • •x n } kümesinin sonlu olması
bu adım için gereklidir! (bkz. Alıştırma 9)
Son olarak, M manifoldunu U ve V gibi iki açık kümenin birleşimi
olarak yazabiliriz öyle ki, U, V ve U f V kümeleri, her biri birinci adımda
ele aldığımız açık kümelerin sonlu birleşimi şeklinde yazılabilen açık kümelerin
ayrık bir birleşimidir (Poincare Izomorfizması’nm, Teorem 4.4.1, kanıtının 4.
Adım’mdaki iddianın kanıtına bakınız). Bu durumda önceki adımlardan dolayı,
teorem U, V ve U f V için doğru olacağından M = U U V için de doğru
olacaktır. Böylece kanıt tamamlanır. □
Şimdi bu teoremin bir sonucu olarak Künneth Formülü’nü verelim: P =
M x N ^ M iz düşüm fonksiyonunu aşikar bir lif demeti olarak görüp LerayHirsch Teoremi’ni buna uygularsak aşağıdaki teoremi elde ederiz.
Sonuç 5.3.5 (Künneth Formülü). M ve N türevlenebilir manifoldlar olsun.
Eğer HDr (N ) vektör uzayı sonlu boyutlu ise her k € N için,
HD
k R(M x N ) - ®i+]=k h Dr (M ) ® H 3Dr (N )
izomorfizması vardır.
T anım 5.3.6. Tüm kohomoloji vektör uzayları sonlu boyutlu olan bir M manifoldunun Poincare serisi
Pm (t) =
22bk (M ) t k
k=0
olarak tanımlanır.
V e k tö r D e m e tle r i v e P o in c a r e -H o p f T e o re m i
275
Örnek 5.3.7. M m ve N n tüm kohomoloji vektör uzayları sonlu boyutlu olan
iki manifold ise M x N çarpım manifoldunun Poincare serisi, Künneth For­
mülü’nden, iki çarpanın Poincare serilerinin çarpımı olarak hesaplanır. Özel
halde, T n = S 1 x • • • x S 1 çarpım manifoldunun Poincare serisi Ppn (t) =
(1 + t)n olacaktır.
Künneth Formulü’nde M x N ^ M iz düşüm fonksiyonu bize aşikar lif demeti
yapısı verir ve bu yüzden Leray-Hirsch Teoremi’nin ihtiyaç duyduğu kohomo­
loji sınıfları M x N ^ N ikinci iz düşüm fonksiyonu ile liflerden geri çekilerek
kolayca elde edilir. Karmaşık bir vektör demetinin projektivasyonunun kohomolojisini ifade eden aşağıdaki sonucun kanıtında ise karmaşık projektif uzayın
kohomolojisini veren Fubini-Study formundan yararlanacağız (bkz. Alt Bölüm
2.3.8): E ^ M rankı k > 0 olan bir karmaşık vektör demeti olsun. Bu
vektör demetinin her bir lifinin projektivasyonunu alalım:
P (E ) = E — {0} /u ~ \u , \ £ C* .
Bu durumda P : P (E ) ^ M lifi C P k-1 olan bir lif demetidir (bkz. Alıştır­
ma 10). E ^ M demetinin üzerine Hermityan bir iç çarpım koyarak demetin
yapı fonksiyonlarının U(k — 1) değerli olduğunu kabul edebiliriz. Dolayısıyla,
demetin bir U x C P k-1 yerel çarpımı üzerinde
i _
UFS (p, [zo : Z1 : ••• : z— ]) = ^ ddlog ||(zo,Z1, ••• ,Z k-ö \\2
şeklinde tanımlanan Fubini-Study formu tüm demet üzerinde kapalı bir 2-form
verir. Bu formun kuvvetlerinin oluşturduğu
{1, [^ f s ], • • • , [^Fs]k-1}
kümesi her bir lifin kohomolojisinin bir tabanını verdiği için Leray-Hirsch Teoremi’ni kullanarak aşağıdaki sonucu buluruz.
Sonuç 5.3.8. H*DR(P(E)) halkası tabanı
{1, [u f s ], ••• , [u f s ]k-1} c H * r (P (E))
alt kümesi olan serbest bir H * r (M ) -modüldür.
5 .3 .4
P o in c a r e -H o p f T e o rem i
Teorem 5.3.9 (Poincare-Hopf). Türevlenebilir yönlendirilebilir ve tıkız her
manifoldun Euler sayısı Euler karakteristiğine eşittir.
Kanıt : Göstermemiz gereken eşitlik teğet demetinin Euler sınıfının mani­
fold üzerindeki integralinin manifoldun Euler karakteristiğine eşit olduğudur:
X ( M) = I
Jm
e(T*M) .
276
K e s iş im T e o risi
İlk önce, sağ taraftaki integrali başka bir integral ile değiştireceğiz. Aşağıdaki
f : M ^ M x M, x ^ (x , x ),
fonksiyonu görüntüsü olan
A — {(x , x ) € M x M | x € M }
köşegenine bir difeomorfizmadır. Dolayısıyla,
D f : T*M ^ T*A C T*(M x M )
bir izomorfizmadır. Diğer taraftan, eğer v (A ) A C M x M alt manifoldunun
normal demeti ise,
T*A ^ v (A), (v, v) ^ (v, —v)
fonksiyonu yine bir vektör demeti izomorfizmasıdır. (Bunu görmek için M üze­
rine herhangi bir g Riemann metriği koyalım. Bu durumda, (g,g) çarpımı
M x M üzerinde bir metrik verir. Şimdi, köşegenin her (v,v) teğet vektörünün
normal demetin (w, —w) vektörüne dik olduğu kolayca görülür.) O halde, M
manifoldunun teğet demeti içinde kendisi ile kesişimi A C M x M alt manifol­
dunun kendisi ile kesişimine eşittir. Başka bir deyişle, eğer w € H ^ r M x M )
sınıfı A C M x M alt manifoldunun Poincare duali ise
/
JM
e (T * M )
—
w ,
JA
olur. Şimdi, w € HD}r (M x M ) sınıfını hesaplayalım: H DR(M ) vektör
uzayının bir { a i} tabanını alalım. Poincare izomorfizmasım kullanarak aynı
vektör uzayının öyle bir { bj } tabanını bulabiliriz ki, her i , j içinI
I ai A bj —öij
JM
olur. Şimdi ise ni : M x M ^ M , i — 1, 2, koordinatlara iz düşüm fonksiyon­
ları olmak üzere, cebirsel topolojide köşegen yaklaşımı olarak bilinen sonucu
kanıtlayacağız.
İddia: Yukarıdaki gösterimi kabul edersek
w —^
( - 1 ) deg(ai) n \(ai) A n 2*(bi) ,
olur.
İddianın kanıtı: Künneth Teoremi’nden dolayı bazı cij gerçel sayıları için
w —^
cij n *l(ai) A n *2(bj )
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
277
olduğunu biliyoruz. Ayrıca f : M ^ M x M köşegen difeomorfizması olmak
üzere,
n*ı (bı) A n * (ak) =
İA
f
f * (n * (bı) A n * (ak))
Jm
=
bı A ak
İM
( _ 1)deg(“fc)deg(fy) ğkı
eşitliğini elde ederiz. Diğer taraftan u, A C M x M alt manifoldunun Poincare
duali olduğundan
/ n *(bı) A n 2 (a k) =
/
n *(bı) A n *(a k) A u
JMxM
JA
=
=
Cin J m xM(< (bı) A n *(ak)) A (n *(ai) A
c .. ( _ 1)deg(ai) (deg(afc)+deg(fy))
=
[
((nl(ai) A n*(bı) A n*(ak)) A n*(bj))
J m xm
c .j (_l)deg(«i) (deg(afc)+deg(fy))
/
n*(ai A bı) A n*(ak A bj)
J m xM
=
Y , cij (_1)deg(a) (deg(“fc)+deg(bl)) ğiı ğkj
= Cık ( 1)deg(ai) (deg(«fc)+deg(fy))
buluruz. Son olarak, bu iki sonucu karşılaştırarak
Cij = ( - ı ) de' (“'A j
elde ederiz ve böylece iddianın kanıtı tamamlanır.
Şimdi teoremin kanıtını bitirebiliriz:
İM
e(T *M )
=
u
İA
^
( E
(_1) d " (“‘) < (a i) A n m
Y ^ (-y f« A -“ > f
f *(n;(<*) A n ( b i))
V ( _ 1 ) deg( ai) /
ai A bi
Jm
y ^ (_ 1 ) deg K )
=
)
X(M)
))
278
K e s iş im T e o risi
□
Bu teoremi kullanarak örtü uzaylarının Euler karakteristiklerine dair aşağıdaki
sonucu kanıtlayabiliriz.
Sonuç 5.3.10. f : M ^ N tıkız bağlantılı manifoldlarm mertebesi k pozitif
tam sayısı olan bir örtü uzayı iz düşümü olsun. Bu durumda manifoldlarm
Euler karakteristikleri arasında x ( M ) = k x ( N ) eşitliği vardır.
Kanıt : Yukarıdaki teoremden dolayı e (T , M ) = k e (T , N ) olduğunu
göstermek yeterlidir. n : T , N ^ N teğet demeti iz düşüm fonksiyonu olmak
üzere
f *(T , N) = {(p ,w ) € M x T , N | f (p) = n (w ) }
M
teğet demetinin geri çekmesini düşünelim. Örtü uzayı iz düşümü yerel bir difeomorfizma olduğundan
f : T,M
- ^ f *(T , N ), (p ,v ) ^ ( p ,D f p (v )),
vektör demeti fonksiyonu bir izomorfizmadır, çünkü her (p, v) € T , M için,
f (p)’dir ve D f p : TpM ^ T f (p) N bir vektör uzayı izomorfizmasıdır. Şimdi, eğer s : N ^ T , N sıfır kesitini dik kesen bir kesit ise,
s : M ^ f *(T , N ) = T , M , p ^ ( p , s ( f (p ))) yine sıfır kesitine dik olan bir
kesit verir, f : M ^ N derecesi k olan yerel bir difeomorfizma olduğundan,
s kesitinin her bir sıfırına karşılık s kesitinin tam ol arak k tane aynı işarete
sahip sıfırı olacaktır. Son olarak, manifoldlarm Euler sayıları bu kesitlerin sı­
fırlarının işaretli toplamı olduğundan e (T , M ) = k e (T , N ) olduğunu görürüz.
□
n ( D f p (v )) =
Hatırlatma 6.1.9.2 bu sonucun bir genellemesini verir.
H a tırla tm a 5.3.11. Sonlu bir G grubu türevlenebilir bir M manifoldu
üzerine difeomorfizmalar yardımıyla serbest olarak etki ediyorsa f : M ^
M / G = N bölüm uzayı aslında mertebesi k = |G| olan bir örtü uzayı olur.
Bu durumda x ( M ) = k x ( N ) olacağmdan x ( M ) tam sayısın m k = |G|
bölünebildiğini görürüz. Bunun bir sonucu olarak çift boyutlu bir küre üzerinde
serbest etkisi olan tek grubun iki elemanlı grup olduğu sonucuna varırız, çünkü
x ( S 2n) = 2 ’dir (Z2 grubunun küre üzerindeki p ^ —p ters kutupsal etkisi
serbest bir etkidir).
Bir başka çarpıcı örnek daha verelim/. Türevlenebilir tıkız bir M manifoldunun serbest bir S 1 (çember) etkisine sahip olduğunu kabul edelim. Her sonlu
devirli grup çemberin bir alt grubu olduğundan manifoldun Euler karakteristiği
tüm pozitif tam sayılara kalansız bölünebilmelidir. Bu ise ancak x ( M ) = 0
olması halinde mümkündür. Bu gözlemin bir sonucu olarak şunu söyleyebiliriz:
Her pozitif boyutlu tıkız Lie grubu bir çember içerdiğinden Euler karakteristiği
sıfırdır.
279
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
5 .3 .5
L e fs c h e tz S a b it N o k ta T e o rem i
Tür evlenebilir tıkız bir M manifoldunun türevlenebilir f : M ^ M fonksiyo­
nunu ele alalım. Bu fonksiyonu homotopi sınıfı içinde değiştirerek 1m : M ^
M , p ^ p birim dönüşümüne dik hale getirelim. Bu durumda, f fonksiyo­
nun sabit noktaları, M x M içinde A C M x M köşegeni ile f : M ^ M
fonksiyonun
r f = {(p , f (p)) e M x M | p e M }
grafiğinin dik kesişim noktalarına karşılık gelecektir. Bu nedenle, f ’nin sabit
noktalarının işaretli sayısı sonlu f ıtı 1m sayısı olarak tanımlanabilir. Bu
sayıyı Af ile gösterelim. Aslında f : M ^ M fonksiyonunun homotopi sınıfı
ile belirlenen işaretli sabit nokta sayısı bu fonksiyonun kohomoloji seviyesinde
verdiği homomorfizma yardımıyla da hesaplanabilir: Teorem 5.3.9’ün kanıtının
bir sonucu olarak aşağıdaki teoremi elde ederiz. Teoremin ifadesindeki T r ( f *)
terimi kohomoloji seviyesinde tanımlanan f * doğrusal homomorfizmasmm
izini göstermektedir.
Teorem 5.3.12.
Af =
(“ I)" T r ( f * : H kDR(M ) ^ H kDR(M ))
E
k
Kanıt : Teorem 5.3.9’ün gösterimini kullanmaya devam edeceğiz.
w
=
E
( - l ) deg K ) n*(ai) A n**(bi) ,
köşegenin Poincare duali ve 0 : M ^ M x M , p ^ (p, f (p)), olmak üzere
r f t A = ( - l ) d im MA t r f = ( - l ) dim M
/
JYf
w = ( - l ) d im M
/
0*(w)
JM
sayısının A f’ye eşit olduğunu göstermek teoremin kanıtını bitirecektir.
f *(bi) =
Xij bj
E
j
olmak üzere
E (—l ) k T r ( f * : H D
k R (M ) ^ H kDR (M )) = E ( “ l) d e g ^
k
i
olduğu açıktır. O halde doğrudan hesap yaparak,
280
K e s iş im T e o risi
(- 1 ) dimM [ f î (u)
JM
V
i
^
( - 1 ) dimM-des( ai) f
M
( - 1)
^ 1
0 * ( n î ( a z)
A n*2 ( k ))
M n î f a ) ) A r ( n î ( b >))
Jm
i
E ( - 1 ) deS(6i) f
1M (a i ) A / ^fc)
Jm
i
Y , ( - 1 ) des( bi) [ a i A / î (bi )
i
Jm
E
( - 1 ) deS(bî)
/
Jm
a i A Xij b,
£ ( - 1)des(bl) A ,
ai A b,
i,
Jm
Ş M
i
A/ •
) ^
Ai, Sij
elde edilir ve böylece kanıt tamamlanır. □
Ö rnek 5.3.13. M Euler karakteristiği sıfır olmayan bir tıkız manifold olsun.
Bu durumda manifoldun özdeşlik fonksiyonuna homotopik olan her fonksiyonun
en az \x(M )| tane sabit noktası olacaktır.
5.3.6
R ie m a n n - H u r w itz T e o r e m i
Bu üniteyi tıkız Riemamı yüzeylerinin arasındaki analitik fonksiyonlarının yü­
zeylerin topolojik değişmezleriyle nasıl etkileştiğini gösteren Riemann-Hurwitz
Teoremi ve tıkız Riemamı yüzeylerinin otomorfizma gruplarının eleman sayı­
larını sınırlayan Hurwitz Teoremi ile bitireceğiz. İlk önce analitik fonksiyonlara
dair bir gözlemde bulunacağız: / : U ^ V, 0 € U fi V Ç C, açık kümeleri
arasında / (0) = 0, koşulunu sağ lay a bir fonksiyon olsun. Fonksiyonun z = 0
noktasındaki sıfırının derecesi d > 1 olsun. Bu durumda
/(z ) = adz<l + ' ' ' + anzU + ' ' ' )
olacak şekilde an € C, ad = 0, sayıları vardır. Diğer taraftan,
g(z) = ad +------ + anzn-d +-----,
analitik fonksiyonu g(0) = 0 koşulunu sağladığı için bu fonksiyonu, sıfırın
etrafındaki daha küçük bir açık küme üzerinde, bir h(z) analitik fonksiyonu
için, g(z) = eh(z) şeklinde yazabiliriz. O halde,
h(z) j
/ (z) = (z e ^ T )d
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
281
olur. Elde edilen bu d sayısına fonksiyonun bu noktadaki ramifikasyon endeksi
denir ve e0 ile gösterilir. Aslında bu sayı fonksiyonun z = 0 noktasındaki
h(z)
d e g 0 ( f ) yerel derecesidir. Burada w = z
e fonksiyonu analitik bir izomorfizma olduğundan şu sonuca varırız: Her analitik fonksiyon, yerel olarak uygun
bir analitik koordinat dönüşümü altında, w —■z —■wd şeklinde ifade edilebilir.
Ramifikasyon endeksinin birden büyük olduğu noktaların izole noktalar olacağı
açıktır. Dolayısıyla, 0 : S ı — S 2 iki tıkız Riemann uzayı arasında analitik bir
dönüşüm ise, bu dönüşüm sonlu nokta dışında yerel bir izomorfizmadır. Başka
bir deyişle, öyle bir R = { p 1, ■ ■ ■ , p k } Ç S 2 sonlu nokta kümesi vardır ki,
0 : S ı —0 - 1 (R) — S 2 —R bir örtü uzayıdır. Şimdi bir p € R noktası alalım
ve bu noktanın ters görüntüsü { q 1, ■ ■ ■ , qr } = 0 -1 (p) olsun. Seçtiğimiz bu p
noktasının etrafındaki küçük bir açık kümede desteklenen bir hacim formunu
yukarı çekerek integralini alalım. Fonksiyonun yerel ifadesi z — z d şeklinde
olacağından
N = deg 0 = ^ deg(0)qi = ^ e"qt
i=1
i= 1
elde ederiz.
Şimdi S 2 Riemann yüzeyi üzerinde bir X vektör alanı alalım, öyle
ki, izole noktalardan oluşan sıfırları (vektör alanı teğet demetin sıfır kesiti ile
dik kesişsin) R kümesini içersin ve bu kümenin her noktasındaki endeksi
+1 olsun, istenilen vektör alanını şu şekilde kurabilir iz. İlk önce her p € R
noktası etrafında bu noktayı merkez kabul eden ve birbirinden ayrık (x, y)
koordinat sistemleri seçelim. Ayrıca, koordinat sistemlerinin yönü Riemann
yüzeyinin karmaşık yönü ile aynı olsun. Her bir koordinat sisteminin içinde
tanımlanan
(x,y) — (1 —(x2 + y 2))(x,y)
vektör alanını birim yuvarın dışında tamamen sıfır olacak şekilde tüm Rie­
mann yüzeyine genişletelim (bkz. Şekil 5.4). Elde ettiğimiz bu vektör alan­
larının toplamını R kümesinin küçük bir komşuluğu dışında hafifçe oynatarak
teğet demetin sıfır kesitine dik hale getirelim. Bu vektör alanı her bir p € R
noktasında isteğimiz özelliklere sahiptir. O halde, aradığımız vektör alanını
elde etmiş olduk.
0 : S 1 —0 -1 (R) — S 2 — R bir örtü uzayı fonksiyonu olduğundan, her q €
S 1 —0 -1 (R) noktasın da D 0q(X(q)) = X (0(q)) koşulunu sağlayan bir
X : S 1 — 0 -1 (R)
T*(S1 —0 -1 (R))
vektör alanı vardır. Ayrıca X vektör alanının S 2 — R içinde kalan her
sıfırına karşılık X alanının S 1 —0 -1 (R) içinde aynı işarete sahip tam olarak
N = deg(0) adet sıfırı vardır. Şimdi de X alanının tüm Riemann yüzeyine
genişletilebileceğini gösterelim. Bunun için herhangi bir q € 0 -1 (R) noktası
alalım. Fonksiyonun yerel ifadesinin z — w = zd şeklinde ve X vektör
alanın da, bu koordinat sisteminde, X (w) = w ile verildiğini kabul edebiliriz
282
K e sişim T eorisi
Şekil 5.4: Birim, disk üzerinde tammh (x ,y ) ^ (1 —(x2 + y2))(x, y) vektör alanı
(bu noktalarda endeksi +1 olarak seçmiştik). O halde, z = 0, olduğu
durumda, X (z ) = z / d olduğunu görürüz, çünkü z ^ z d fonksiyonun teğet
uzayda verdiği doğrusal fonksiyon
D0z
: T z C ^ T zdC
,
(z, v ) ^ (z d, dz d- 1 v )
ile verilir. Şimdi lıer iki vektör alanının sıfırlarının endekslerini sayarak
X (Xı )
—\0 - 1 ( R ) \ = deg(0 ) (x (^2 ) — \R |)
denklemini elde ederiz. Bu sonuç aşağıdaki haliyle Riemann-Hunvitz Teoremi
olarak bilinir:
Teorem 5.3.14 (Riemann-Hurwitz Teoremi). 0 : S 1 ^ S 2 iki tıkız Riemann
yüzeyi arasında analitik bir dönüşüm olsun. Bu durumda,
X (X ı )
= deg(0 )
X (^ 2 )
—^
(e q — 1)
ç eS ı
eşitliği her zaman doğrudur.
Şimdi de bu teoremin bir sonucu olarak Hunvitz’in bir başka teoremini
vereceğiz.
Teorem 5.3.15 (Hurwitz Teoremi). £ g, g > 2 , tıkız bir Riemann yüzeyi ve
G < AutÇE g) yüzeyin analitik otomorfizmalarmm sonlu bir alt grubu olsun.
Bu durumda grubun mertebesi \G\ < 84(g —1) eşitsizliğini sağlar.
Kanıt : Tıkız £ g yüzeyinin herhangi bir f : £ g ^ £ g homeomorfizmasının sonsuz tane sabit noktası olsaydı bu sabit noktaların bir p € £ g yığılma
noktası olurdu. Eğer bu horneornorfizrna aslında bir analitik difeomorfizma ise
p € £ g noktası etrafında alacağımız karmaşık bir komşuluk bize sıfırlarının
yığılma noktası olan bir analitik fonksiyon verirdi (örneğin g (z ) = f (z) —z
fonksiyonu). Bu ise f otomorfizmasmm bu komşuluk üzerinde ve dolayısıyla
tüm yüzey üzerinde birim fonksiyon olduğunu gösterir. O halde, eğer f € G
283
V e k tö r D e m e tle r i v e P o itıc a r e -H o p f T e o re m i
sonlu grubunun birim elemanı dışında bir elemanı ise f otomorfizmasmm
ancak sonlu sayıda sabit noktası olabilir. Diğer taraftan, G grubunun kendisi
de sonlu olduğundan öyle bir sonlu C C I g kümesi vardır ki, G grubu
I g —C açık yüzeyi üzerinde serbest olarak etki eder. G grubunun C kümesi
üzerindeki etkisinin yörüngeleri O\, ■■■ , On olsun. Grup her bir yörüngeye
transitif etki ettiği için G grubunun yörüngenin tüm noktalarındaki davranışı
benzer olacaktır. Başka bir deyişle, eğer bir f € G elemanı, herhangi bir
pı € Oi noktasının bir komşuluğunda f (z) = z k ile veriliyorsa, f fonksiyo­
nu bu yörüngedeki tüm noktalarda aynı şekilde davranacaktır. Buradan I g/G
bölüm uzayının da bir tıkız karmaşık türevlenebilir bir yüzey olduğunu görürüz
(bkz. Alıştırma 13). Diyelim ki, I h = I g/G olsun. Bu durumda, yukarıdaki
teoremden dolayı, N = \C|, C kümesinin eleman sayısı olmak üzere,
2 —2g — N = \G\ (2 —2h — n)
eşitliğini elde ederiz. Teoremin hipotezindeki g > 2 koşulundan dolayı 2 —2h —
n = 0 olduğunu görürüz. Ayrıca, ki = \G\/\Oi ğ i = 1, ■■■, n , sayıları olarak
tanımlanırsa (yörüngedeki herhangi bir noktanın sabitleyicisinin mertebesi)
yukarıdaki eşitlikten
G l = 2(g —1)2(h —1) + En_.(1 —1/ki)
elde edilir. Grubun bu yörüngedeki etkisi serbest olmadığından ki > 2 olmalı­
dır. Amacımız G grubunun mertebesi için bir üst sınır bulmak olduğundan,
n
2(h — 1) + £ ( 1 —1/ki)
i=1
ifadesinin, h > 0 ve ki > 2, tam sayılar olmak üzere, alabileceği en küçük
pozitif değeri bulmalıyız. Eğer n > 4 ise bu değer (ancak h = 0 ve n = 4
olması durumunda)
1 1 1 2
1
"2+2+ 2+ 2+ 3
6
ve 0 < n < 3 için ise (ve yine ancak h = 0 ve n 3 olmak üzere)
1 2 6
—2 + 2 + 3 + 7
1
42
olarak bulunur. Böylece ispat biter. □
Ö rn ek 5.3.16. Karmaşık projektif düzlemde dördüncü dereceden
x 3y + y 3z + z3x = 0
homojen polinomu cinsi (genusu)
2 (4 —1)(4 —2) = 3
285
A lış tır m a la r
C * = ®nCn F-- B* = ®nB n
Bu üçgenin tam olduğunu gösteriniz. Başka bir deyişle, her bir homomorfizmanm çekirdeğinin bir önceki homomorfizmanm görüntüsü olduğunu
gösteriniz.
8. Bu alıştırmada sayfa 114’da
U0,Rn
USn—
1
nAn
e Qn-1
,n
{0})
ve sayfa 212’de
f dg —g df
e n 1( S 3
2n ( f 2 + g2)
uk
K)
şeklinde tanımladığımız geçişme formlarının arasındaki ilişkiyi ortaya çı­
kartacağız. İlk önce w 0;Rn formunun H D -l(Rn — {0}) = R kohomoloji
grubunun üreteci olduğunu hatırlayalım.
Orijinin aşağıdaki türevlenebilir
F : Rk+n
A Rn
,
x =
(xı, ■■■,x,n+k) A
( f ı (x), ■■■
, fn(x)),
fonksiyonunun bir düzgün değeri olduğunu kabul edelim ve bu düzgün
değerin F -1 (0) ters görüntüsü olan manifoldu K k ile gösterelim. Bu
durumda u KRk+n = F *(w0,Rn) e Qn-1(Rk+n —K ) kapalı formu
1
nAn
^
(
j^ (
1)i_ 1 f df 1 A ---A df i- 1 A df i+ 1 ■■■A df n
' fi
( f 2 + ■■■ + f n2) n/2
ile verilir ve 4. Ünite’de olduğu gibi K C Rk+n alt manifoldunun geçişme
formu olarak adlandırılır. Aşağıdaki ifadeleri kanıtlayınız.
(a) Bu alıştırmanın başında bahsettiğimiz 1-form
uk
f dg —g df
e Q1(S3
2n ( f 2 + g2)
K ),
F : R3 A R2 , (x ,y ,z) A ( f (x,y, z), g (x,y, z)) fonksiyonu olmak
üzere F *(u 0,r2) formuna eşittir.
(b) Ln-1 C Rk+n —K tıkız yönlendirilebilir alt manifold ve n > 1
olsun. Eğer L manifoldunu iç K manifoldunu ise dış bölgesin­
de barındıran bir S n+k-1 küresi varsa l(K ,L ) sayısı sıfırdır.
Bunu göstermek için L alt manifoldunu S n+k-1 küresi içinde
bir $ : L x [0,1] -A S n+k-1 homotopisi ile kürenin merkezine
sıkıştıralım. Homotopinin gömme fonksiyonu olmayan diğer ucu sa­
bit fonksiyon olduğundan Stokes Teoremi kanıtı tamamlar, n > 1
kabulünü nerede kullandık?
x e Rn+k,
286
K e s iş im T e o risi
(c) L yine tıkız yönlendirilebilir ve pozitif boyutlu olmak üzere
J
wK,Rk+n
integralinin bir tam sayı olduğunu gösteriniz. Bu sayı geçişme sayısı
olarak adlandırılır ve l (K , L ) ile gösterilir. Bunu göstermek için
yine bir 0 : L x [0,1] ^ Rk+n —K homotopisi alalım, öyle ki
0 (x , 0) fonksiyonu L alt manifoldunun gömme fonksiyonu olsun
ve homotopinin diğer ucu, 0 (L, 1 ) K alt manifoldunu dışında bıra­
kan bir S n+k-1 küresinin içinde kalsın. Böyle bir kürenin varlığını
K = F -1 (0) alt manifoldunun kapalı olmasından söyleyebiliyoruz.
Yine aynı nedenden 0 homotopisini uçlarını hiç değiştirmeden K
ile dik kesişecek şekilde hafifçe oynatabiliriz. O halde, homotopinin
görüntüsü K ile uçlarının dışında kalan sonlu noktada kesişecektir. Her bir kesişim noktası geçişme sayısını ±1 ile değiştirecektir.
Homotopinin 0 (L, 1) ucu bir kürenin içinde kaldığından bir önceki
bölümden dolayı kanıt tamamlanır.
(d) K k ve L n-1 geçişme formları tanımlı tıkız alt manifoldlar ise
aşağıdaki eşitlik doğrudur.
/ wK , Rk+n = ±
^L,Wk +"
JL
JK
(e) K = {0} C R alt manifoldunun geçişme formu
x
lüa-R1 = 2 H
fonksiyonudur (0-formudur). S0 = { —1- , 1+} = d — 1,1] sınır ma­
nifoldunu aralıktan aldığı yönlendirme ile düşünerek f s 0 w0 Rı = 1
olduğunu gösteriniz. Diğer taraftan, L = {1+} C R yönlendirilmiş
alt manifoldu üzerindeki JL w0 ri = 1/2 integraei bir tam sayı değil­
dir. Neden? K = d[a,b], ab = 0 olmak üzere, Jk w0 ri integralini
hesaplayınız.
(f) K = S 0 C R alt manifoldunun geçişme formunun
x2 —1
Us 0’r 1 = 2 x —i!
fonksiyonu olduğunu gösteriniz. Bu formun çeşitli sıfır boyutlu yön­
lendirilmiş tıkız L C R alt manifoldları üzerinde integralini hesap­
layınız ve bulduğunuz sonuçları yorumlayınız.
9. Teorem 5.3.4’ün kanıtının üçüncü adımındaki F manifoldunun kohomolojinin sonlu boyutlu olmaması durumunda doğru olmayacağını gösteriniz:
287
A lış tır m a la r
F aşağıda resmi verilen ve cinsi (genusu) sonsuz olan yüzey v e P = R x F
aşikar demet olsun. O halde, {Ui = (i — 1,i + 1)} sonsuz ailesi olmak
üzere w =
iez y.ai kohomoloji sınıfı {yai, y.bi I i G N } Ç HDR(P ) kü­
mesinin gerdiği R ~ H * R(M )-modülünün bir elemanı değildir. Neden?
(Burada yip de L Ç F alt manifoldunun Poincare dualini gösteriyoruz.)
10. E ^ M rankı k > 0 olan bir karmaşık vektör demeti olsun. Bu vektör
demetinin lıer bir lifinin projektivasyonunu alarak elde edilen
P (E ) = E — {0} /u ~ \u , \ G C*
bölüm uzayının, lifi C P k-1 olan bir P : P (E ) ^ M lif demeti ol­
duğunu gösteriniz. Bu demetin geçiş fonksiyonları ile karmaşık vektör
deınetininkileri karşılaştırınız.
11. Örnek 5.3.2.3’de ifade edilen iddiayı kanıtlayınız. Diğer taraftan, eğer
(x 1, ■ ■ ■ , x n, y 1, ■ ■ ■ , yn) fonksiyonlarının vermiş olduğu yönlendirme ye­
rine (x 1,y 1, ■ ■ ■ ,x n ,yn)
gerçel projektif düzlemin Euler sayısının e(R P2) = 1 yerine —1 ola­
cağını gözlemleyiniz. Bu nedenle teğet demeti üzerindeki ‘doğru’ yönlen­
dirmenin (x]_, ■ ■ ■ , x n, y 1 , ■ ■ ■ , yn) fonksiyonlarının verdiği yönlendirme
olduğu sonucuna varıyoruz.
12. Cinsi en az iki olan bir yüzey alalım. Bu yüzeyi aşağıdaki şekilde verilen
Z2-grup etkisine bölersek yönlendirilemeyen bir yüzey elde ederiz. Bu
yüzeyin Euler sayısının da negatif olduğunu gösteriniz (Şekil 5.6).
13. Teorem 5.3.15’ım kanıtının ilk kısırımı kullanarak, tıkız bir Riemann yü­
zeyinin sonlu bir analitik otoınorfizına grubuna bölümünün de tıkız bir
Riemann yüzeyi olduğunu gösteriniz.
Şekil 5.6: Yüzey üzerindeki Z2-grup et­
kisi 4>(x,y,z) = (—x, —y, —z) ters
kutupsal fonksiyonu ile verilsin; bu du­
rum,da, bölüm uzayı cinsi 2g + 1 olan
yönlendirilemeyen yüzey olur.
288
K e s iş im T e o risi
14. Fermat eğrisi olarak bilinen ve karmaşık projektif düzlem içinde z q +
z 1 ± Zn = 0
(n > 4) denklemiyle tanımlanan yüzeyin tüm karmaşık
analitik otomorfizmalarım bulunuz. Karmaşık eğrinin (Riemann yüzey­
inin) derecesinin n < 3 olduğu durumlarda otomorfizma gurubu sonlu
olur mu? Bu yüzeylerin yönü korumayan gerçel analitik otomorfizmaları
var mıdır? Bu yüzeyleri elde ettiğiniz otomorfizma gruplarına bölünce ne
elde ederiz (n > 4)?
15. Ünite 2, Alıştırma 24’de iddia edilen aşağıdaki ifadeyi kanıtlayınız: Kar­
maşık projektif uzay C P n ’nin karmaşık boyutu m olan bir M m C C P n
karmaşık alt manifoldunu alalım. Bu durumda, u fs karmaşık projektif
uzay üzerindeki Fubini-Study formu olmak üzere
1
nm
M
WF s
integrali pozitif bir tam sayıdır.
16. Bu alıştırmada gerçel projektif düzlemin R3 içine gömülemeyeceğini
kanıtlayacağız. Vereceğimiz kanıt [3] numaralı referanstan esinlenilerek
elde edilmiştir. Yüzeylerin R3 içine batırmaları ile ilgili daha kapsamlı
bir okuma için bu makaleye bakabilirsiniz. İlk önce gerçel projektif düz­
lemin R3 içine gömüldüğünü kabul edelim ve bu gömülmüş R P 2 C R3
gerçel projektif düzlemin içindeki
R P 1 = {[x0 : x 1 : 0] | [x0 : x 1 : 0] € R P 2}
gerçel projektif doğrusunu ele alalım. Örnek 5.2.4’de R P 1 alt manifoldunun R P 2 içindeki kendisi ile kesişiminin 1 € Z2 olduğunu görmüştük.
Aslında R P 1 ait manifoldunun R P 2 içindeki tüp komşuluğunun Möbius Şeridi olduğu gösterilebilir. Bu Möbius Şeridi’ni MB ile gösterelim.
Diğer taraftan, hem R P 1 hem de R3 manifoldları yönlendirilebilir
oldukları için R P 1 alt manifoldunun R3 içindeki N tüp komşuluğu
R P 1 üzerinde yönlendirilmiş bir disk demeti olarak görülebilir:
D 2 ^ N ->• R P 1 .
Tüp komşuluğu yeterince küçük seçersek M B = R P 2HN olacaktır. Disk
demeti içindeki diskleri yönlendirmelerini kullanarak 90° döndürelim.
Bu döndürme işleminin sonucunda M B alt manifoldunun görüntüsü bir
başka, diyelim ki M B 1 olsun, Möbius Şeridi’dir ve M B 1H R P 2 = R P 1
alt manifoldudur. Şimdi M B ' içinde R P 1 ile tek noktada dik kesişen
bir C çemberi alalım. O halde, R3 manifoldunun C ve R P 2 alt
manifoldları bu tek noktada dik kesişirler. Başka bir deyişle, bu iki alt
manifoldun Z2 kesişim sayısı birdir. Fakat her iki alt manifold da tıkız
olduğu için bunlardan birini herhangi bir vektör boyunca yeterince uzak
289
A lış tır m a la r
(a) R P2 içindeki R P1’in komşu­
luğu olan MB Möbius Şeridi.
90°
M B'
ve onun içinde R P 1 ve RP2 ’yi
tek noktada kesen C eğrisi.
Şekil 5.7
bir yere ötelersek bu iki ınaııifold kesişmeyecektir ve dolayısıyla kesişim
sayısı aslında bir değil, sıfırdır. Bu çelişki kanıtı tamamlar. Kanıtın (eksik
bulduğunuz muhtemel) detayları okuyucuya bırakılmıştır.
Aynı kanıt. Möbius Şeridi’ni içeren iki boyutlu tıkız ınanifoldlarm, başka
bir deyişle yönlendirilemeyen tıkız yüzeylerin, R3 içine gömülemeyeceği­
ni gösterir. Özel durumda Klein Şişesi’de R3’e gömülemez.
Açıkça görüldüğü üzere R P 3 ve R P 2 x R 3-boyutlu manifoldları gerçel
projekt.if düzlemi bir alt ınaııifold olarak kabul ederler ve dolayısıyla yu­
karıdaki kanıtta R3 yerine bu iki manifolddan birini koyamayız. Neden?
Son olarak, S 3 ve R P 3 manifoldlarmm difeomorfik olmadığını kanıtla­
yınız.
17. Sayfa 231’de aynı boyuta sahip yönlendirilmiş ınanifoldlar arasındaki
fonksiyonlar için tanımlanan tanı sayı değerli derecenin özelliklerini ver­
miştik. Bu alıştırmada ise bu sonuçları yönlendirilemeyen manifoldlara
genişleteceğiz, f : M ^ N n-boyutlu bağlantılı tıkız türevlenebilir manifoldlarm fonksiyonu olsun. N manifoldu içinde alman herhangi bir p
noktasını sıfır boyutlu bir alt. ınaııifold olarak alarak bu fonksiyonun mod
2 derecesini fonksiyonun bu alt manifold ile Mod 2 kesişim sayısı ola­
rak tanımlayalım: deg2( f ) = I n t ( f (M ),p) (Mod 2) (bkz. Sonuç 5.2.2).
Aşağıdaki iddiaları kanıtlayınız.
(a.) Hoınot.opiler fonksiyonların Mod 2 derecesini korur. Dolayısıyla, eğer
h : M ^ M birim fonksiyona homotopik ise deg2(h) = 1 olur.
(b) deg 2(g ◦ f) = deg 2(f) deg2(g)
(c) Eğer f örten değiİse deg2( f ) = 0’dır.
(d) Eğer f : M ^ N yönlendirilmiş manifoldlarm bir fonksiyonu ise,
290
K e s iş im T e o risi
bu fonksiyonun tam sayı değerli derecesi ile Mod 2 değerli derecesi
Mod 2’de birbirine denktir: deg2( / ) = d eg (/) (Mod 2).
Bu ve sonraki iki alıştırmada Arf değişmezini ve bir topolojik uygulaması­
nı vereceğiz. Arf değişmezini Dye’nm makalesini takip ederek sunacağız
(bkz. [10]). Aslında Dye’nm makalesini de basitleştireceğiz. Dye karakte­
ristiği iki olan herhangi bir mükemmel (perfect) cisim üzerinde çalışırken
biz kendimizi sadece iki elemanlı F2 cismine kısıtlayacağız.
18.
(a) İki elemanlı F2 cismi üzerinde boyutu çift sayı olan bir V vektör
uzayı alalım. Eğer Q : V ^ F2 bir kuadratik form (derecesi iki olan
bir homojen polinom fonksiyon) ise bu form yardımıyla aşağıdaki
şeklide tanımlanan
B
: V x V ^ F 2 , B (u, v ) = Q (u + v ) + Q (u ) + Q (v ) , u , v e V,
fonksiyon (ters) simetrik ve bilineerdir, gösteriniz. (Cismin karak­
teristiği iki değil ise B (u , v ) bu ifadenin yarısı olarak tanımlanır.
Örneğin bkz. s. 335.) Bu form hem simetrik hem de ters simetriktir.
Ayrıca bilineer form soysuzlaşmamış ise (dejenere değilse) kuadratik
forma da soysuzlaşmamış diyeceğiz.
(b) Eğer bilineer form soysuzlaşmamış ise, V uzayının öyle bir Ş =
{ e ı , / ı , ■■■, e n , / n} tabanı vardır ki, her i , j = 1 ■■■, n , için
B (ei , e j )
= B (/ i , / ) = 0
ve
B (e h / j )
= öj
olur. Bu özelliğe sahip tabana bilineer formun bir simplektik tabanı
denir. Her soysuzlaşmamış bilineer formun bir simplektik tabanı ol­
duğunu gösteriniz. B bilineer formunu koruyan doğrusal dönüşüm­
lere simplektik dönüşümler denir:
S
: V ^ V , B (u, v ) = B (S (u ) , S (v )) , her u , v e V için.
Bir dönüşümün simplektik olması için yeter ve gerek şart dönüşü­
mün verilen bir (her) simplektik tabanı yine bir simplektik taba­
na götürmesidir. Gösteriniz. Ayrıca simplektik dönüşümler G L ( V )
içinde bir alt grup oluşturur.
(c) Her w e V vektörü için,
Tw : V
V , u
^ T w(u ) = u + B (u , w ) w, u e V,
ile tanımlanan doğrusal fonksiyona bir transveksiyon denir. Transveksiyonlarm simplektik dönüşümler olduğunu gösteriniz. Bu alıştır­
manın geri kalanında her simplektik dönüşümün transveksiyonlarm
sonlu bir çarpımı (bileşkesi) olduğunu göreceğiz. Bunu verilen her­
hangi bir diğer simplektik tabanı uygun transveksiyonlarla değişti­
rip Ş tabanını elde ederek yapacağız.
291
A lış tır m a la r
(d) Ş' bilineer formun bir başka simplektik tabanı olsun. Bu tabanın
her elemanı J2i(aiei + bi.fi), a ,b i € F2 = {0, 1}, şeklinde olacaktır.
Bu tabanın içinde e1 terimini içeren bir eleman vardır (neden?).
Başka bir deyişle, a ı = 1 olacak şekilde bir taban elemanı var­
dır. Bu eleman için aynı zamanda b1 = 1 ise Ş ' tabanın a Tfı
transveksiyonunu uygulayalım. Tf1(e1+ f 1) = e1 olacağı için içinde
e1+ f ı toplamı olan taban elemanının görüntüsü e1 elemanını içe­
rip (a 1 = 1) f 1 elemanını içermeyen (b 1 = 0) bir eleman olacaktır.
Bu elemanı u olarak adlandıralım.
Daha sonra elde ettiğimiz taban (muhtemelen Tf1(Ş') tabanı) için­
den B(u, v) = 1 olacak şekilde bir v taban elemanı seçelim (taban
simplektik olduğunu için bu şekilde tek bir eleman vardır). Bu v
elemanı Ş tabanına göre yazıldığında f 1 elemanını içermek zorun­
dadır. Eğer v elemanı aynı zamanda e 1’i de içeriyorsa bu tabana
Teı o T f1 çarpımını uygulayalım:
Tf\
e1
e1
+
—
f
—
,
,
> e1 + f 1
►
e1
T\
T^
f1
e1
olduğu için { u , v } kümesinin transveksiyonlar altındaki görüntü­
sünün { e 1 + v!, f 1 + v1} kümesi olduğunu kabul edebiliriz, öyle ki,
u! ve v ' vektörleri ne e 1 ne de f 1 terimini içerirler. Ayrıca,
B (u , v ) = 1 olduğu için B (u ' , v ' ) = 0 olmalıdır.
Son olarak bu tabana
Teı o Teı+v' o Tfı o Tfı+u'
çarpımım uygularsak elde edilen simplektik taban
{e1, f 1, u 1, v 1, ' ' ' , un-1, vn-1}
şeklinde olur, öyle ki hiçbir ui,v i ne e1 ne d e f 1 terimini içerir.
(e) B formunun {u1,v 1, ■■■ ,u n -1,vn -1 } kümesinin gerdiği alt uza­
ya kısıtlaması da simplektik olacaktır. Dolayısıyla, tümevarım me­
toduyla, Ş' tabanına sonlu tane transveksiyon uygulayarak Ş =
{e1, f1, ■■■,en , f n } tabanını elde ederiz.
(f) Verilen herhangi bir simplektik tabanı, bu tabana sonlu tane trans­
veksiyon uygulayarak Ş tabanına dönüştürme işleminin bir algo­
ritması olduğunu gördük. Dolayısıyla, sıralı simplektik tabanlar ile
simplektik matrisler arasında bire bir eşleme olduğuna göre verilen
herhangi bir simplektik matrisi transveksiyonlarm sonlu çarpımı şe­
klinde yazmanın bir algoritmasını yazabiliriz.
(g) Şu ifadeleri kanıtlayınız: Her transveksiyonun karesi birim dönü­
şümdür. Sıfırdan farklı her vektörü elemanı olarak kabul eden bir
292
K e s iş im T e o risi
s im p le k tik ta b a n v a rd ır.
Dolayısıyla,
tü m
transveksiyonlar,
sim p -
le k tik g r u p iç in d e , b ir b ir in e e ş le n ik tir . S im p le k tik g r u b u n h e r h a n g i
transveksiyon
b ir
iç e r e n t e k n o r m a l a l t g r u b u k e n d i s i d i r . B u g r u b u n
y a p ıs ı h a k k ın d a n e le r s ö y le y e b ilirs in iz ? K ü ç ü k b ir ü r e t e ç lis te s i n a s ıl
k u ru la b ilir?
Q :V ^ F2
s o y s u z l a ş m a m ı ş k u a d r a t i k f o r m u n u n Arf d e ğ i ş m e z i B : V x V ^ F 2
f o r m u y a r d ı m ı y l a ş u ş e k i l d e t a n ı m l a n ı r : fi = {el , f l , ■■■,en, f n} k ü m e s i
B iç i n s i m p l e k t i k b i r t a b a n o l m a k ü z e r e
19. B ir ö n c e k i a lı ş t ır m a n ın g ö s te r im i k u ll a n a r a k d e v a m e d e lim .
A r f ( Q ) = J 2 Q ( ei) Q ( f i ) i= l
(a )
İ l k ö n c e d e ğ i ş m e z i n iy i t a n ı m l ı o l d u ğ u n u g ö r e l im . B u n u n iç i n
fi =
fo r m u n u n b ir b a ş k a
{ u l ,v l , ■ ■ ■
,u n,v n }
B
s im p le k tik ta b a n ın ı
a la lım . B u d u r u m d a ,
Y
i= l
Q(e%
) Q ( f i) =
Y
i= l
Q ( u i ) Q( v i )
e ş itliğ in i k a m tla m a lıy ız . B ir ö n c e k i a lı ş t ır m a d a n d o la y ı b a z ı
f i = Tq( fi )
i = 1 , ■ ■ ■ ,n iç i n ,
iç i n
qE V
o l d u ğ u n u k a b u l e d e b i l i r i z . B a ş k a b i r d e y iş le , h e r
Ui = Tq(ei) = ei + B(ei,q) q ve Vi = Tq(fi) = fi + B (fi,q ) q
olur. O halde,
Q(ui)
= Q(ei + B(ei, q) q)
= Q(ei) + Q(B(ei, q) q) + B(ei, B(ei, q) q)
= Q(ei) + (B(ei, q))2 Q(q) + (B(ei, q))2
= Q(ei) + (1 + Q(q)) (B(ei, q))2
ve aynı şekilde Q(vi) = Q (fi) + (1 + Q(q)) (B (fi, q))2 elde ederiz.
Dolayısıyla, eğer Q(q) = 1 ise bu adımın kanıtı tamamlanır. O
halde, Q(q) = 0 olduğunu kabul edelim. Eğer q = ^ i(aiei + bif i)
ise Q(ui) = Q(ei) +
b2
ve
Q(vj) = Q (fj) +
a2
olarak he
293
A lış tır m a la r
B u ra d a n d o ğ ru d a n h e sa p y a p a ra k ,
2 2 Q (u ) Q(vi)
i=1
2 2 (Q (e i) + bi ) (Q (f i) + a i )
i= 1
n
2 2 Q (e i) Q ( f i) + a i Q (e i) + b2Q (f i) +
a 2 b2
i= 1
n
2 2 Q (e i) Q ( f i) + a 2Q (e i) + b2Q (f i) + a A
i= 1
n
2 2 Q (e i) Q ( f i) + Q (a i e i + bi f i)
i=1
n
n
2 2 Q (e i) Q ( f i) + 2 2 Q (a i e i + bi f i)
i=1
i=1
v e so n o la ra k
J^ n=1 Q(aiei + bif i) = Q(q) = 0
o ld u ğ u n u k u lla n a ra k
d e ğ i ş m e z i n iy i t a n ı m l ı o l d u ğ u n u g ö s t e r m i ş o l u r u z .
(b )
Ş i m d i d e A r f d e ğ i ş m e z i n i n d e n k k u a d r a t i k f o r m l a r iç i n a y n ı k a l d ı ğ ı n ı
g ö r e l im :
Q1
ve
Q2 aynı V
v e k t ö r u z a y ı ü z e r i n d e ik i d e n k f o r m
L : V ^ V d o ğ r u s a l iz o m o rfiz m a s ı
v € için Q2(v) = Q 1(L(v)) e ş i t l i ğ i s a ğ l a n ı r . B u
o l s u n . D o l a y ı s ı y l a , ö y le b i r
v a r d ı r k i, h e r
d u r u m d a b u ik i f o r m a k a r ş ı l ı k g e le n s i m p l e k t i k f o r m l a r iç in
B 2(u, v) = B 1(L(u), L(v)) , u ,v € V,
e ş i t l i ğ i s a ğ l a n ı r . D o l a y ı s ı y l a , e ğ e r /3 = { e1} f
1, ■ ■ ■ ,en, f n }
B1
iç i n
b i r s i m p l e k t i k t a b a n is e
P' = L -1 ( P) = { L -1 ( e1) , L -1 (f ) , ■ ■ ■ , L -1 ( en) ,L -1 f
küm esi de
B2
)}
iç i n b i r s i m p l e k t i k t a b a n o l u ş t u r u r . O h a l d e ,
A r f(Q 2 ) =
n
2 2 Q 2 (L-1 (ei)) Q 2 (L-1 ( f) )
i=1
n
Q 1 (L L -1 (ei)) Q 1 (L L-1 (fi))
i=1
n
=
22
=
22
Q 1 (ei) Q 1 (fi)
i=1
= A r f (Q 1 )
(c )
Y u k a r ıd a v e rd iğ im iz s o n u c u n te r s i d e d o ğ r u d u r :
ü z e r in d e v e rile n v e A r f d e ğ iş m e z le ri a y n ı o la n
Q1
V
ve
v e k tö r u z a y ı
Q2
k u a d ra tik
f o r m l a r ı n ı n d e n k o l d u k l a r ı n ı n g ö s t e r i l m e s i n i s iz e b ı r a k ı y o r u z .
“Yanlış bir nota çalmak önemsizdir, tutkusuz çal­
mak ise affedilemez.”
Ludıuig van Beethoven
6
Karakteristik Sınıflar
B ıı ü n i t e d e i l k ö n c e E n l e r s ı n ı f ı n ı n g e o m e t r i k b i r t a m ı n ı m v e r e c e ğ i z . D a l ı a s o n r a
E n le r s ın ıfın ı k u ll a n a r a k k a r m a ş ık v e k tö r d e m e tle r in in C lıe r n s ın ıfla rı t a n ı m ­
l a y ı p t e m e l b a z ı ö r n e k l e r i i n c e l e y e c e ğ iz . S o n o l a r a k C l ı e r n s ı n ı f l a r ı y a r d ı m ı y l a
g e rç e l v e k tö r d e m e tle r in in P o ııtr y a g in s ın ıfla rım ta n ım la y ıp b u s ın ıfla rın to ­
p o l o j i k ö z e l l i k l e r i n e d a i r ö r n e k l e r v e M i l n o r ’ım 7 - b o y ı ı t l u e g z o t i k k ü r e l e r i ile
ü n it e y i b itir e c e ğ iz .
6.1
E u le r K a r a k t e r is t ik S ın ıfı
B ir ö n c e k i ü n it e d e E u le r s ın ıfın ın y ö n le n d ir ile b ilir v e k tö r d e m e tle r in in b ir d e ğ iş ­
m e z i o ld u ğ u n u g ö r m ü ş tü k . Ş im d i d e v e k tö r d e m e tle r i ü z e r in e k o y d u ğ u m u z
b a ğ la n t ı f o r m la r ın ın e ğ riliğ in i ta n ım la y a c a ğ ız . D a lıa s o n r a e ğ rilik y a r d ım ıy la
v e k t ö r d e m e t l e r i n i n k a r a k t e r i s t i k s ı n ı f l a r ı m e le a la c a ğ ı z .
E
r^
M
b ir v e k tö r d e m e ti v e
b ir b a ğ la n t ı o ls u n . A y rıc a
X,
V : r ( E ) ^ r ( E ® T *M )
Y
b u d e m e t ü z e rin d e
m a n ifo ld ü z e rin d e v e k tö r a la n la rı ve
v e k tö r d e m e t in i n b ir k e s iti o ls u n . S o n o la r a k
f
:M ^
R
tiir e v le n e b ilir b ir fo n k s iy o n o lm a k ü z e re
R (X , Y
)( f s ) = (V x V y - V y V x - V [x ,Y] )( f s )
if a d e s in i h e s a p la y a lım :
V x V y (f s )
=
=
( f V y s + Y (f ) s )
f V x V y s + X (f ) V y s +
Vx
295
X
s
m a n ifo ld ü z e rin d e
(Y (f )) s +
Y (f ) V x s .
296
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Buradan da
f (V x V y - V y V x )s + [X( Y ( f )) - Y ( X ( f ))]s
f (V x V y - V y V x )(s) + [X, Y ] ( f) s
(V x V y - V y V x )(fs )
elde ederiz. Ayrıca,
V {x,r]( f s ) = f V [x,y](s ) + [X , Y ](f ) s
olduğundan
(V x V y - V y V x - V[x,y])( f s ) = f (V x V y - V y V x - V[x,y])(s)
buluruz ki, bu bize R ( X , Y ) : r ( E ) ^ r ( E ) fonksiyonun bir tensör ol­
duğunu gösterir. Bu tensöre V bağlantısının eğrilik tensörü denir. Şimdi
de eğrilik tensörünün bileşenlerini eğriliğin Christoffel sembolleri cinsinden
hesaplayalım: Vektör demetinin, manifoldun bir U açık kümesi üzerindeki
x \ , ■■■, x n koordinat sisteminde ver ilen bir sı, ■■■, s r çatısını alalım. Bu dud
rumda e i(p ) = - — vektör alanları ve bağlantının r j Christoffel sembolleri
dxi
iJ
için
V ei s k = ^ik s l
eşitliği sağlanır. Ayrıca R (e i , e j)( s k) = ^2r=1 R k j s ı eşitlikleri ile tanımlanan
R kij
:U ^ R
fonksiyonlarına eğrilik tensörünün bileşenleri denir. Bu bileşenleri Christoffel
sembolleri cinsinden hesaplamak için ilk önce
(Vei Ve, ) s k =
E
Vei ( J s m)
m
=
Y , (e i(rmk) s m
+j
Ve i s m)
m
dr
^2 ~ğX7 sm + ^2
j
ml
r im sı
türevini buluruz. Son olarak, [ei,e j] = 0 eşitliğini kullanarak,
R (ei,ej )sk
=
dJ
Ş^(- ' jk
dxi
drm
ik) s + \ rpm ri — rm ri ) s
dx ) sm + / mly (r Jk r im r ik r Jm) sl
E f ( ed J - §
)+ E
l \
i
J
m
r im - r m r Jm)) * .
)
elde ederiz. Başka bir deyişle, eğriliğin bileşenleri
dr
( jk
R kij = ( dx i
ri
drl
dr ik) i \
dx ■ +
'
(rm r l
rm r )
(r Jk r im r ik r Jm)
297
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
ifadesiyle verilir. Eğrilik tensörü tanımı gereği ters simetriktir:
rI
rI
R kij
R kji .
Dolayısıyla, eğrilik tensörünü kesitler uzayının endomorfizmalarmda değer alan
bir 2-form olarak görebiliriz:
R : r(E ) ^ T(Ü2(M ) 0 E), s ^ Ü 0 s .
Bu durumda,
R(sk) _ Y İ Ülk 0 sı
şeklinde yazarsak
Ük _ 2 ^ 2 R kij dxi A dxj
i,j
elde ederiz.
Eğrilik tensörünün bu ifadesini Hatırlatma 3.3.8’in sonucu ile birleştirerek,
w bağlantı formu olmak üzere,
Ü _ dw + w A w
eşitliğini elde ederiz. Bunu görmek için ilk önce
wk
^ ^r ik dxi
i
bağlantı formunun dış türevini hesaplayalım.
dwk _
d(J 2 Tik dxi)
_
d(Tik dxi)
_
Y , ( d x j A dxi)
dxj
d r lik
y - ! ( d r jk
) dxi A dx j ■
^ 2 ( d xi
dxj
Diğer taraftan w A w terimi w _ [wk] matris değerli 2-formun kendisi ile
matris çarpımıdır. Matrislerin bileşenleri form dış çarpımı ile çarpılır:
wAw _
: \
w[ wl2 • • wı
wr
•
; )
{
"
• wk
• w2 •
v •• • wk
"
^
■• • )
298
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
matris çarpımının bileşenleri
(w A w)k =
E
wlm A wkf
E
(E
Tim d x i)
1 E (Tlm j
ijm
a
(E
- rm j )
r m dxj )
dxt a dx3
olarak bulunur.
Hatırlatm a 6.1.1. 1) Bazı yazarlar w 1-formlar matrisini bizim kullandığı­
mız formun devriği olarak alır (bkz. Milnor-Stasheff [26], ve Madsen-Tornehave
[22]). Bu durumda
(w A w)k = E Wm A Wm
m
ve dolayısıyla
ü = dw —w A w
olur.
2) Tanımından dolayı eğrilik tensörü vektör alanları bileşenlerine göre ters
simetriktir:
R (X , Y )s = -R (Y , X )s.
Dolayısıyla R ( X ,X ) s = 0 olduğundan bir boyutlu manifoldlar üzerindeki
vektör demetlerinin eğrilik tensörleri her zaman sıfırdır.
3) Yine aynı nedenden dolayı iki boyutlu bir manifold için eğrilik tensörü,
tensörün Rk 12 terimleri ile tamamen belirlenir.
Örnek 6.1.2. Karmaşık projektif doğru üzerindeki
O(k) = C x C Û C x C /(z , v) ~ (1/z, v / z k),
(z, v) € C —{0} x C karmaşık doğru demetini yönlendirilmiş düzlem demeti
olarak görelim, ve bu demet üzerine koyacağımız bir metriğin eğriliğini hesap­
layalım. Yukarıdaki her iki yerel çarpım üzerine de
g(z)(u,v)
Re(u*v)
(1 + z*z)k
metriğini koyalım (Hermityan metriğin gerçel kısmını Riemann metrik olarak
alıyoruz). Bu metrik
u v
g (z)(w) = g ( 1 ) (
zk ’ zk)
299
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
koşulunu sağladığından vektör demeti üzerinde bir iç çarpım verir. Metriğin
bileşenleri
1
ve gi2 = 921 = 0
g ı ı = 922
(1 + x 2 + y 2)k
olduğundan metrikten elde edilen bağlantı formunun katsayıları da aşağıdaki
gibidir:
2
1
9 ıl r 2
g j2
g iı
r ı = _ g 22
r
2
r ıı ı
", 1 22
1 ıı
2g 2 2 ’ 22 = 2g ı ı
2gı 1
2922’
ve
r1 1ı2
r1 21ı
g ıı
t^2
t^2
022_
r ı2 = F 21
2g22
olur. Doğrudan hesap yaparak bağlantı matrisinin elemanlarını aşağıdaki gibi
W
„ , B = ------ ^
hesaplarız: A = ------ ^
1+ x2 + y2
1+ x2 +
„ olmak üzere
y2
u>ı
=
dx + r2 ı dy = A dx + B dy
w2
= r ı dx + r 2ı dy = —B dx + A dy
w2
= r ı 2 dx + r2 2 dy = B dx — A dy
w2
= r 22 dx + r2 2 dy = A dx + B dy
olarak hesaplanır. O halde, eğrilik formu
o =
nı ^2 )
V ^2 o2 )
(
= dw + w A w
(Bx — A y) dx A dy
(Ax + B y) dx A dy
—(Ax
x
+* B
y) dx A dy
J-’y)
(Bx — A y) dx A dy
( ı + x 2k
2+ y 2)2
0
—2k
( ı + x 2+ y 2)2 dx A dy
dx A dy \
0
olarak hesaplanır. Eğer
F = —(Ax + B y) dx A dy =
ise
F
2k
(1 + x2 + y2)2
dx A dy
ik (dz A dz)
€ 0 2(C P ı)
2n (1 + z*z)2
kapalı formunun C P ı üzerindeki integrali k tam sayısına eşittir (bkz. s.
117). 0 halde, Örnek 5.3.2.2’den dolayı bu form O(k) ^ C P ı yönlendirilmiş
iki boyutlu vektör demetinin Euler sınıfını temsil eder.
Y ö n le n d ir ilm iş b ir v e k tö r d e m e tin in E u le r s ın ıfın ın , v e k tö r d e m e t i ü z e r in d e k i
b i r b a ğ l a n t ı f o r m u n u n e ğ r i l i k t e n s ö r ü il e t e m s i l e d i l m e s i k a r a k t e r i s t i k s ı n ı f l a r
300
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
teorisinin temel öğelerinden birisidir. Yukarıdaki örnekte bulduğumuz ü for­
mu boyut koşullarından dolayı kapalıdır. Sonraki kısımlarda vektör demetleri
için oluşturacağımız benzeri formların kapalı olduğunu ve bu formların temsil
ettiği kolıomoloji sınıfının da vektör demeti üzerinde seçilen bağlantı formun­
dan bağımsız olduğunu göstereceğiz.
Bağlantı formunun, demetin çatısı Sj = g sj ile değiştiği zaman
w' = g-1w g + g-1 dg
bağıntısı ile değiştiğini biliyoruz. Aşağıdaki önerme bağlantı eğriliğinin nasıl
değiştiğini göstermektedir.
Ö nerm e 6.1.3. Bir bağlantının eğrilik formunun yerel gösterimi çatının deği­
şimi altında aşağıdaki gibi davranır:
ü' = g 1 ü g .
K a n ıt: g-1g = Id = gg-1 eşitliklerinin türevlerini alarak
dg-1g + g-1 dg = 0 = dg g-1 + g dg-1
eşitliklerini elde ederiz. Diğer taraftan, w' = g-1wg + g-1 dg olduğundan
w' A w'
=
g-1wg A g-1 wg + g-1w A dg + g-1 dg A g-1wg
+ g-1 dg A g -1 dg
= g-1w gg-1 A wg + g-1w A dg + g-1 dg A g-1wg
— dg-1 g A g-1 dg
=
g-1w A wg + g-1w A dg + g-1 dg A g-1wg — dg-1 A dg
elde ederiz. Benzer şekilde,
dw'
= dg-1w g + g-1 dw g —g-1w A dg + dg-1 A dg
olur. Dolayısıyla,
ü ' = w' A w' + dw'
= g-1 (w A w) g + g-1 dg A g-1w g + dg-1 A w g + g-1 dw g
= g-1 (w A w) g + (g-1 dg g-1 ) A w g + dg-1 A w g + g-1 dw g
= g-1 (w A w) g — dg-1 A w g + dg-1 A w g + g-1 dw g
= g-1 (w A w + dw) g
= g-1 ü g
bulunur. □
301
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
Ö nerm e 6.1.4. Yukarıdaki vektör demetinin ortonormal yerel bir çatısı {s a }
ise bu çatıya karşılık gelen Christoffel sembolleri, bağlantı ve eğrilik formu için
v i = - t ^ , »a = —» a , na = —na
eşitlikleri sağlanır.
K a n ıt: Çatı ortonormal olduğundan (sa ,sg ) = öaş olur. Buradan,
0 =
=
Vei (Sa,Sş)
(VeiSa ,SŞ) + (sa, V eisf3)
=
r la (sY, Sö)
Y
_ T-ö ı "pa
= r ia + LiŞ
ve dolayısıyla, Töa = —
kolayca görülür. □
(sa , SY)
elde ederiz. Kanıtın geri kalanı eğriliğin ifadesinden
Bu önermenin sonucu olarak eğrilik formunun ortonormal bir çatıda manifold üzerindeki 2-formlarm ters simetrik matrisi olduğunu görürüz. Derecesi
çift sayı olan formlar değişmeli bir halka oluşturduğundan bu matrisin determi­
nantı iyi tanımlıdır. İki ortonormal çatı arasındaki g taban değiştirme matrisi
ortogonaldir. Ayrıca çatılar, yönlendirilmiş bir demetin yönlendirilmiş çatıları
ise her x € M için, g(x) € SO(r) olacaktır.
T ers S im etrik M a trisle rin Pfaffianı: Bir önceki örnekteki F 2-formu Q
eğrilik tensörünün yukarıdaki yerel çatı seçiminden bağımsız olan bir değişme­
zidir. Aslında F, n eğrilik formunun Pfaffian’ı olarak bilinen bir değişmezi­
dir. Şimdi bunu biraz daha detaylı olarak görelim: Q = [wij ] ters simetrik bir
matris ise P f a f f (Q) ters simetrik matrisin bileşenlerinin bir polinomudur.
Kabaca det(Q)’nin kareköküdür: ( P f a f f (n ))2 = det(Q). Tek boyutlu ters
simetrik bir matrisin determinantı sıfır olduğundan PfafRan’ı da sıfır olarak
tanımlanır (A (2r —1) x (2r —1)-boyutlu ters simetrik bir matris olmak üzere
det(A) = det(AT) = det(—A) = (—1)2r_1 det(A) = —det(A) olduğundan
det(A) = 0 olur).
A (2n x 2n)-lik ters simetrik bir matris olsun. Bu matrisin bir A karmaşık
özdeğerini ve bu özdeğere ait bir v özvektörünü alalım: Av = Av. Diğer
taraftan, A gerçel katsayılı t e matris olduğundan Av = Av olur .Ayrıca A
ters simetrik olduğundan her özdeğer tamamen sanal bir sayıdır:
A < v ,v > =
< Av,v >
< Av, v >
< v, A*v >
< v, —Av >
< v, —Av >
—A < v ,v >
302
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
olduğundan A+ A = 0 elde ederiz. O haide, A € Ri olmalıdır. Diğer taraftan,
yine A ters simetrik olduğundan farklı özdeğerlere ait özvektörler birbirine dik
olacaktır:
Al < V ı,V 2 >
< A1 V1 , V2 >
< Avı, V2 >
=
< Vı, A*V2 >
< Vı, -AV 2 >
< Vı, - A 2 V2 >
—A2 < Vı, V2 >
A2 < V ı,V 2 >
elde ederiz. Son olarak, Aı = A2 ise < v 1, v 2 >= 0 olmalıdır. Benzer bir
şekilde, A matrisinin, Cn vektör uzayı içinde {v 1, v 2 } vektörlerinin gerdiği
uzayın dik tümleyeni üzerinde bir operatör tanımladığını görürüz. Buradan
tümevarım yöntemiyle A matrisini köşegen hale getirebiliriz. Herhangi bir v
karmaşık özvektörünün gerçel ve sanal kısımları v = £ + in ve A = ia ise
Av = Av denkleminden
—an + ia £ = ia(£ + in) = A(£ + in) = A£ + iAn
elde ederiz. O halde, A£ = —an ve A n = a£ olur. Son olarak, A matrisinin
{£ ı , n ı , ■■■, £ n , n n } gerçel tabanındaki gösterimi
(
0
—a 1
a1
0
0
0
■■■
■■■
0 \
0
0
0
0
an
0
0
—an 0 /
V
ters simetrik matrisi olur. Bu durumda A matrisinin Pfaffian’ı a1 ■■■an gerçel
sayısı olarak tanımlanır.
0 a
ters simetrik matrisinin Pfaf—a 0
fian’ı a ’dır ve bu P f a f f (A) = a şeklinde yazılır. Genel olarak A = [aij]2rx2r
ters simetrik bir matris ve w = Yİi<j aij ei A ej ({e1, ■■■ ,e 2r} herhangi bir
vektör uzayının bir tabam olmak üzere) ise P f a f f (A) aşağıdaki eşitlik yardı­
mıyla da tanımlanır:
H a tırla tm a 6.1.5. Örneğin, A =
r! wr = P f a f f (A) (eı A ■■■A e2 r).
Ters simetrik bir matrisin Pfaffian’ı, karesi determinant polinomu olan bir baş­
ka polinomdur. Bunu görmek için aynı satır ve sütun işlemlerini yaparak matri­
sin a12 = —a21 bileşenleri hariç ilk iki satır ve sütunu tamamen sıfır yapalım.
Elde edilen matris yine ters simetrik olacaktır. Şimdi tümevarım metodunu
kullanarak kanıtı bitirebiliriz (bkz. Alıştırma 1).
303
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
D = [Qlk] ortonormal bir çatıda yazılan eğrilik formu olsun. Aynı tensörü
bir başka ortogonal çatıda yazarsak elde edilen matris,
g:M
S O (r)
türevlenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
D' =
g-1 Dg
olacağından P f a f f ( D ) = P f a f f (D) elde ederiz. Başka bir deyişle, P f a f f (D)
yerel ortonormal çatının seçiminden bağımsızdır.
Örnek 6.1.6. O ( ki ) ^ C P \
i = 1, • • • ,n vektör demetlerini
Pi : M = C P 1 x ••• x C P 1 ^ C P 1,
(pı, •••
,pn ) ^ Pi ,
iz düşüm fonksiyonları ile geri çekelim/. Li = P*( O (kj)). Karmaşık yapıları
göz ardı edersek, E = L 1 ® • • • ® Ln ^ M rankı 2n olan yönlendirilmiş
(karmaşık yönlendirme ile) bir gerçel vektör demeti olur. Her i = 1, ••• ,n
için, Si : C P 1 ^ O (ki) demetin sıfır kesiti ile dik kesişen bir kesiti ise
s = (s 1 , ••• ,s n) : M
E fonksiyonu da sıfır kesiti ile dik kesişen bir ke­
sit verir ve dolayısıyla E ^ M demetinin Euler sayısı k 1 •••kn çarpımıdır.
Diğer taraftan, Örnek 6 . 1 . 2 ’de verilen metriğin uygun çarpımını E üzeri­
ne koyalım. Metrik çarpım şeklinde olduğundan bağlantı formu ve eğriliği de
çarpım şeklinde olacaktır:
P f a f f ( n E ) = P f a f f ( D O(k1))
P f a f f ( ^ O(kn)) .
Yine Örnek 6 . 1 . 2 ’den dolayı
(J ^
j M P f a f f ( ^ e ) = k 1 ••• kn
olacaktır.
Eğrilikle ilgili çalışmamızı biraz daha ilerletelim: E ^ M rankı iki olan
yönlendirilmiş bir vektör demeti olsun. Demet üzerine bir iç çarpım ve bununla
uyumlu bir bağlantı formu koyalım. Yerel bir koordinat sistemi üzerinde seçilen
ortonormal bir çatıda bağlantı matrisi ve eğrilik matrisi aşağıdaki gibidir:
n
( n\
v n
n l2 \ = ( o
j
v —n
n
2
)
du + u A u
f
0 du1
—du^
0
Dolayısıyla, P f a f f (De ) = du2 formu kapalı bir formdur. (Bu form, her
kapalı form gibi, yerel olarak tamdır. Diğer taraftan, önceki örnekte bu formun
tam olmayabileceğini gördük.)
304
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Şimdi aşağıdaki teoremi kanıtlamak için son bir hazırlık yapacağız. Yukarı­
da elde ettiğimiz ü = dw + w A w eşitliğin dış türevini alalım
dü = d2w + dw A w —w A dw = dw A w —w A dw
ve burada dw yerine
dw = ü —w A w
koyalım. Böylece aşağıdaki sonucu kanıtlamış olduk.
Teorem 6.1.7 (Bianchi Özdeşliği).
dü = ü A w —w A ü.
Şimdi bu bölümün, Genelleştirilmiş Gauss-Bonnet Teoremi ya da ChernGauss-Bonnet Teoremi olarak bilinen, ana sonucunu verebiliriz.
Teorem 6.1.8 (Genelleştirilmiş Gauss-Bonnet Teoremi). E ^ M türevlenebilir bir manifold üzerinde yönlendirilmiş r-boyutlu bir vektör demeti olsun, ü
vektör demeti üzerinde verilen herhangi bir metrik ile uyumlu bir bağlantı for­
munun ortonormal bir tabandaki eğrilik formu olmak üzere P f a f f (ü) kapalı
bir formdur ve vektör dem,etinin Euler sınıfı
e(E ) = ( - 2 ^
[ P f a f f (ü)]
ile temsil edilir.
Kanıt : Kanıtı üç adımda yapacağız.
A dım 1) Önce Milnor-Stasheff’in sunumunu takip ederek P f a f f (ü) formu­
nun kapalı olduğunu göstereceğiz. Gösterimi basitleştirmek için, herhangi bir
A = [Alk] € M (r, ü 2( M )) matrisi için P f a f f (\Alk]) ifadesini kısaca P (\A lk])
olarak yazalım. Bu ifadenin kısmi türevlerinden oluşan matrisin devriğini şu
şekilde gösterelim:
T
dP
P'(A) =
dÂÎ
Doğrudan hesap yaparak
ü (H)
.w « n ) »
E
k,l '
d
a
dülk
k'
eşitliğini buluruz. Dolayısıyla, dP (ü) = T r (P '(ü) A dü) matris çarpımının
izine eşittir (bkz. Alıştırma 2). Bu sonucu Bianchi Özdeşliği ile birleştirirsek
dP (ü) = T r (P (ü ) A ü A w — P '(ü ) A w A ü)
(*)
305
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
eşitliğini elde ederiz. Şimdi de O A P ' (Q) = P'(O) A O olduğunu göstereceğiz.
Bunun için ilk önce, F lk = [Ej] = [öikSjt] matrisini tanımlayalım (diğer bir
deyişle, [Flk] ile Z’inci satır ve kinci sütundaki elemanı bire eşit olan ve diğer
tüm elemanları sıfır olan matrisi gösteriyoruz). (I + tFk) matrisinin yeterince
küçük t € R değerleri için tersi olduğundan
P ((I + tFk )O) = P (O(I + tFk))
eşitliği sağlanır. O halde, bu eşitliğin zamana göre türevini alıp t = 0 değerini
yerine koyarsak
Tr(P'(O ) A F lk O) = Tr(P'(O ) A OFlk)
elde ederiz. Açık bir şekilde yazmak gerekirse, izlerini aldığımız matrisler şu
şekilde olacaktır: P'(O) A Fk O çarpımı
/ Pl
• • • Plr \
P'(O) A Fk O
v pr1 •••
/ p i i Ok
0
l
( 0 •••
: 1
prr ) V ° •••
0
N
0 N
0 /
( Ol
• • oi N
v Ol
• • o r)
p'l
• • • Pr O k )
olur. Dolayısıyla,
Tr(P'(O ) A F lk O) = E P' Ok
i
elde ederiz. Benzer şekilde ikinci terimini de hesaplayarak
r
Y , p ' 1 Ok
i=1
E
Pk
Oi
eşitliğini elde ederiz. Bu ise tam olarak
O A P'(O) = P'(O) A O
özdeşliğine denktir. Son olarak eğer X = P'(O) A w olarak tanımlanırsa yu­
karıdaki (*) eşitliğinden
dP(O)
= T r(P ' (O) A O A w - P'(O) A w A O)
= Tr(O A P'(O) A w - P'(O) A w A O)
= Tr(O A X - X A O)
=
£ Olk A X k - X k A Ok
k,l
= 0
306
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
e ld e e d e r i z ( e n s o n e ş i t l i k
Q^mn 2- f o r m
o l m a s ı n d a n e ld e e d i l m i ş t i r ) .
Böylece
b u a d ım ın k a n ıt ı t a m a m l a n m ı ş o ld u .
A dım 2) P f a f f (Q)
k a p a l ı f o r m u n u n k o h o m o l o j i s ı n ıf ı v e k t ö r d e m e t i ü z e r i n d e
s e ç i le n m e t r i k t e n b a ğ ı m s ı z d ı r : B u n u g ö r m e k iç i n ,
0,1,
E ^ M
ü z e rin d e
gp i =
g i b i ik i m e t r i k v e b u m e t r i k l e r ile u y u m l u b a ğ l a n t ı l a r a l a l ı m ( S o n u ç 3 . 3 . 13 ).
B u b a ğ la n t ıl a r ı n e ğ rilik te n s ö r le r i d e , s ır a s ıy la ,
Q0
ve
Qı
o ls u n . İ lk ö n c e
P : M x (—1, 2) ^ M, (p, t) ^ p ,
f o n k s i y o n u y a r d ı m ı y l a v e k t ö r d e m e t i n i g e r i ç e k e lim :
F = P * (E) ^ M x (—1, 2)
M x (—1, 2)
.
U = M x (—1, 3/ 4) , V = M x (1/ 4, 2)
pu, pv b i r i m i n a y r ı ş ı m ı n ı a l a l ı m . Ş i m d i b u n u
F ^ M x (—1, 2) d e m e t i ü z e r i n e a ş a ğ ı d a k i iç ç a r p ı m ı k o y a lı m :
ç a rp ım m a n ifo ld u n u n
a ç ı k ö r t ü s ü ile u y u m l u b i r
k u lla n a ra k
g(p,t) = pu(p,t) go(p)+ pv(p,t) gı(p) .
M x (—1,1 / 4) ü z e r i n d e go v e M x (3/ 4, 2) üzerinde d e g1 ile
v e r i l e c e k t i r . F ^ M x (—1, 2) d e m e t i ü z e r i n d e k i b u m e t r i ğ i n e ğ r i l i k f o r m u
da
Q ile g ö s t e r e l i m . S o n o l a r a k i0 : M
M x (—1,2), p ^ (p, 0) v e
i1 : M
M x (—1, 2), p ^ (p, 1) f o n k s i y o n l a r ı h o m o t o p i k v e P f a f f (Q)
B u m e trik
k a p a lı o ld u ğ u n d a n
[ P f a f f (Qo )j = i * ( [ P f a f f (V)]) = i * ( [ P f a f f (Q)j) = [ P f a f f (Qı )j
e ld e e d e r i z v e b ö y l e c e b u a d ı m ı n k a n ı t ı t a m a m l a n ı r .
A dım 3)
"
K ü)
T
o l s u n . D e m e t i n s ı f ır k e s i t i ile d i k
N m- r =
s-1
(0) Ç M
P f a f f <n >
k e sişe n b ir s : M ^ E
k e s itin i a la lım v e
a lt m a n ifo ld u o la r a k ta n ım la n s ın . O h a ld e , te o r e m in
k a n ı t ı n ı t a m a m l a m a k iç i n ,
[v]
k o h o m o lo ji s ın ıfın ın
N
a lt m a n ifo ld u n u n
P o in c a r e d u a li o ld u ğ u n u g ö s te r m e liy iz . B u n u n iç in h e r h a n g i b ir
y ö n le n d irilm iş tık ız
K ^ M
K
N
m a n ifo ld u v e
m a n ifo ld u
ile
r-b o y u tlu
d ik k e s iş e n b ir
i :
t ü r e v l e n e b i l i r f o n k s i y o n u a l a l ı m . B u d u r u m d a , H a t ı r l a t m a 5 . 2 . 7 ’d e n
d o l a y ı k a n ı t ı t a m a m l a m a k iç in
I n t ( N, i ( K )) = f i * v
JK
o l d u ğ u n u g ö s t e r m e l i y i z , i : K ^ M f o n k s i y o n u ile v e k t ö r d e m e t i n i v e ü z e r i n ­
d e k i y a p ı l a r ı g e r i ç e k e l im . O h a l d e , i * ( E) ^ K v e k t ö r d e m e t i n i n e ğ r i l i k f o r m u
i * (Q) , v e d o l a y ı s ı y l a d a
i*(v)
(ty
ç
( P f a f f {t*{ m
307
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
olmalıdır. Ayrıca,
E ^
M
demetini i* ( E ) ^
olduğunu kabul edebiliriz. Bu durumda
K
ile değiştirerek
m =
sonlu sayıda
işaretli noktadan oluşacaktır, m = r sayının tek olması durumunda kanıtlamak
istediğimiz eşitliğin her iki tarafı da sıfır olduğundan m = r sayısının çift
olduğunu kabul edeceğiz. Demetin Euler sayısı e ( E ) olsun.
Şimdi bir p € D m Ç M disk komşuluğu seçelim öyle ki, disk üzerinde
kesitin sıfırı olmasın ve vektör demeti disk üzerinde çarpım şeklinde verilsin.
Şimdi bu disk üzerinde bir homotopi kullanarak metriği standart metrik ha­
line getirelim. Ayrıca yine metrikle uyumlu olacak şekilde bağlantı formunu
bu disk üzerinde değiştirelim öyle ki, diskin sınırından merkeze olan uzaklığın
yarısına gelene kadar bağlantı formu da türevlenebilir bir şekilde sıfıra dönüş­
sün (Sonuç 3.3.13’un sabit katsayılı metrik için vermiş olduğu bağlantı sıfır
bağlantısıdır). Bağlantı formunun sıfır olduğu diskin üzerinde v formu da
sıfır olacaktır. Ayrıca bu disk üzerinde kesitin sıfırı olmadığından, diskin sını­
rına kısıtlandığında, kesiti homotopi ile sabit bir fonksiyona dönüştürebiliriz
(Önerme 4.3.31).
Şimdi de Örnek 6.1.6’da oluşturduğumuz
r
Eo ^
S =
N = s _ 1 (0) Ç M
(C P 1) m/2
vektör demetini ele alalım: k 1 = e ( E ), k2 = ••• = k m/ 2 = 1 olarak seçilsin.
Bu manifold üzerinde de yukarıdaki paragraftaki gibi bir q € D ™ Ç S diski
alalım. Bu disk üzerinde bağlantı formunun sıfır olduğunu kabul edelim. Her
iki vektör demeti de bu diskler üzerinde
D m x Rm
D m , (x,v) ^ x,
aşikar çarpım şeklindedir. Bu iki diskin iç noktaları üzerindeki (merkez nok­
talarını atalım) lifleri aşağıdaki gibi birbirine yapıştıralım:
In t(D m — {p}) x
Rm ( J I n t ( D m — {q}) x R m/ ( x , v ) - ( 0 ( x ) , v ) ,
öyle ki, uygun öteleme fonksiyonları yardımıyla p = q = 0 olduğunu kabul
ederek 0 : I n t ( D m — {0}) ^ I n t ( D m — {0}) aşağıdaki bileşke fonksiyonu
olarak tanımlansın,
Int(D m — {0}) —^ Rm —{0} —^ Rm —{0} —^ In t(D m — {0}) ,
y i_y nn —
z
___
—______
İMİ2
ı + IZII '
1 —M
O halde, —S ile S manifoldunun ters yönlendirilmişini gösterirsek bu yapıştır­
ma fonksiyonu bize M§ — S toplam manifoldu üzerinde bir E 1 ^ M§ — S
vektör demeti verecektir. Bu demetin M — D 1 üzerine kısıtlanışı E ve
S —D2 üzerine kısıtlanışı ise E0 olacaktır. Ayrıca, her iki manifold üzerindeki
kesitleri yapıştırarak elde edilen kesitin sıfırlarının cebirsel toplamı sıfır olacak­
tır, çünkü x ^ 0(x) yapıştırma fonksiyonu yönü ters çevirir. Şimdi sıfırları
x ^
y
x
Z
308
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
a y r ı a y r ı iç e r e n k ü ç ü k d i s k l e r a l a l ı m v e d a h a s o n r a b u d i s k l e r i b i r b i r i n e i n c e
tü p l e r l e b a ğ la y a r a k y e n i b ir d is k e ld e e d e lim . D is k in ü z e r in d e v e k tö r d e m e t i­
n i b i r ç a r p ı m ş e k l i n d e y a z a l ı m . D a h a s o n r a d i s k i n h e r b i r n o k t a s ı n d a k i lif in i
d i s k i n s e ç t i ğ i m i z b i r n o k t a s ı n d a k i lifi ile e ş l e y e li m . D i s k k e s i t i n t ü m s ı f ı r l a r ı n ı
i ç e r d i ğ i iç i n , d i s k i n s ı n ı r ı n d a k e s i t i k ü r e d e n k ü r e y e d e r e c e s i s ı f ır o l a n b i r f o n k ­
s i y o n o l a r a k g ö r e b i l i r i z ( Ö n e r m e 4 . 3 . 29 ) . B u f o n k s i y o n b i r s a b i t e h o m o t o p i k
o l d u ğ u n d a n v e k t ö r d e m e t i n i n h i ç s ı f ır ı o l m a y a n b i r k e s i t i n i e l d e e t m i ş o l u r u z
( Ö n e r m e 4 . 3 . 3 1 ). B u k e s i t d e m e t i n b i r i a ş i k a r d o ğ r u d e m e t i o l m a k ü z e r e ik i
v e k t ö r d e m e t i n i n t o p l a m ı ş e k l i n d e y a z ı l a b i l m e s i a n l a m ı n a g e li r . B u n u g ö r m e k
iç i n v e k t ö r d e m e t i ü z e r i n d e h e r h a n g i b i r iç ç a r p ı m a l a l ı m v e d e m e t i h i ç s ıf ır ı
o l m a y a n k e s i t i n g e r d i ğ i d o ğ r u d e m e t i il e b u k e s i t e d i k v e k t ö r l e r d e n o l u ş a n d e ­
m e t i n d i r e k t t o p l a m ı o l a r a k y a z a l ı m . B u t o p l a m d e m e t i n ü z e r i n d e s e ç t i ğ i m i z iç
ç a r p ı m a k a r ş ı l ı k g e le n e ğ r i l i k h e r b i r t o p l a m ı n e ğ r i l i ğ i n i i f a d e e d e n m a t r i s l e r i n
d i r e k t t o p l a m ı o l a c a k t ı r . F a k a t ( a ş i k a r ) b i r d o ğ r u d e m e t i n i n e ğ r i li ğ i h e r z a m a n
s ı f ı r d ı r . B u d u r u m d a e ğ r i l i k m a t r i s i n i n P f a f f i a n ’ı d a s ı f ır o l a c a k t ı r . D o l a y ı s ı y ­
la , t o p l a m v e k t ö r d e m e t i ü z e r i n d e b i r b i r i n e y a p ı ş t ı r ı l a r a k e l d e e d i l e n b a ğ l a n t ı
f o r m u n u n e ğ riliğ in in v e rd iğ i
0 =
m - f o r m u n u n i n t e g r a l i s ı f ır o l m a l ı d ı r . O h a l d e ,
I
f- = )
JM\\-S \ V 2n J
P f a f f (^ ) m İ - s
=
Jm ( j n )
p M ! <n)M + ı x
=
İm (
P M ! (n )M - I X M
=
I X ~ k ) p f a f f (n )M - e(E >
)
v b y p M f <n)s
p f a f f iü )s
e ld e e d i l i r v e k a n ı t t a m a m l a n ı r . E n s o n a d ı m d a k i
IX w
e ş itliğ i
E 0 ^ S = (C
P
J
P ! a s s (n )s = eiE)
1')m/2 vektör demetinin seçiminin
b ir s o n u c u d u r.
□
H a tırla tm a 6.1.9. Euler sınıfının önceki bölümde verilen topolojik tanımın­
dan ya da yukarıdaki teoremin kanıtında kullanılan fikirlerden yararlanarak
aşağıdaki sonuçları kolayca kanıtlayabiliriz.
1) Ei ^ M , i = 1, 2, yönlendirilmiş vektör demetleri ise
e(Eı © E 2 ) = e (E ı ) e(E2)
olur.
2) f : M ^ N türevlenebilir bir fonksiyon ve E ^ N yönlendirilmiş bir
vektör demeti ise e (f *(E)) = f *(e(E)) olur. Bu bilgiyi kullanarak şu ilginç
309
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
sonuca varırız: M 2n yönlendirilmiş bağlantılı tıkız bir manifold ise, her k
tam sayısı için, derecesi k olan türevlenebilir bir f : M ^ S 2n fonksiyonu
vardır. O halde, e(T*S2n) = 2 olduğundan
f *(T*S2n) ^ M
Euler sayısı 2k olan bir vektör demetidir.
3) Herhangi bir yönlendirilmiş E ^ M vektör demetinin duali E* ise
e(E*) = irank(E) e(E)
olur.
4) Herhangi bir yönlendirilmiş E ^ M vektör demetinin ters yönlüsü —E
ise
e(—E) = —e(E )
olur. Yönlendirilebilir bir manifoldun Euler sınıfı manifoldun yönlendirmesine
duyarlı olduğu halde Euler sayısı yönlendirmeden bağımsızdır:
I
■ J-M
e(T*(—M )) = /
J -M
e(—T*(M)) = /
—e(T*M) = / e(T*M) .
J -M
JM
R icci Eğriliği ve Sayısal Eğrilik:
Riemann tensöründen başka tensörler elde edebiliriz. Bunlardan birincisi Ricci eğrilik tensörüdür ve şu şekilde
tanımlanır:
Ric = ^ Rij dxi dxj , Rij = ^ R kkj .
ij
k
Bu tensör simetriktir. Bu tensörün metrik izi şu şekilde tanımlanır ve Riemann
manifoldunun sayısal eğriliği adını alır:
5 = Trg Ric = J 2 d İj Rij .
İj
Ö rn ek 6.1.10. E C R3 yüzeyi yerel olarak türevlenebilir bir f : U ^ R
fonksiyonun grafiği olsun:
E = {(x , y , f (x , y )) | (x , y ) € U} .
Bu durumda yüzeyin teğet demeti üzerinde
g
( 1 + f X f xf y
V f xf y
ı + fy2
Öklit uzayından gelen metrik
310
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
matrisi ile verilir. Doğrudan hesap yaparak Christofel sembolleri aşağıdaki gibi
elde edilir:
r
1
12
r
1
11
r
1
22
f xf x
1+ fx + fy
f xf yy
1+ fX+ fy
f xf xy
1 + f2 + f2
1
r 21
f yyjf xx
1+ fx + fy
f y f yy
1+ /i + fy
f y f xy
r 221
1 + f2 + f2
r 211
r 222
r
2
12
Buradan Ricci eğrilik tensörünü hesaplayabiliriz:
K=
f xxf yy f X:y
ö + f + fF
olmak üzere
R 11 = R m + R 121 = r 221 = k(1 + f x )
R 12 = r 112 + R 222 = RU2 = K(fxf y)
R 21 = R 211 + R 221 = R 221 = K(fxf y)
R 22 = R 212 + R 222 = R 212 = k(1 + f y ) ■
Son olarak sayısal eğrilik
S = £ gij Rij = 2k
ij
olarak elde edilir. Aslında, k yüzeyin Gauss eğriliğidir ve dolayısıyla yüzeyler
için, sayısal eğrilik Gauss eğriliğinin tam olarak iki katıdır (bkz. Alıştırma 4)Eğer teğet demeti için {e1 = (1, 0, f x), e2 = (0,1, f y)} çatısını seçersek eğrilik
tensörü aşağıdaki gibi olur:
«2 ) = ^
!î= ( « î
+ w a u = k ( —1 ’+ ®
- + f y ) dxa dy■
Bu çatıyı a = 1 + f f + fy2 olmak üzere
{ fy
fx
fx
,
fy
}
1I VI---a —T1e1 ----\/a1---— 1T e2, y /a 22 —a e 1 + y/a 22 —a e2 )f
ortonormal çatısı ile değiştirirsek yeni eğrilik formu
g 1« g
/a
k ^
0
-1
1
0
dx A dy
ile verilir. Dolayısıyla, yüzeyin teğet demetinin Euler sınıfı
e(T*X)
1
2n
P f a f f (g-1 «g)
f xxf yy
f xy
2n (1 + f x + f y03/2
dx A dy
311
E u le r K a r a k te r is tik S ın ıfı
(b) Düzlemin üzerindeki standart
Riemann metriği ötelemeler altın­
da, korunduğu için T 2 = R2/Z 2 bö­
lüm uzayı üzerinde, Gauss eğriliği
her noktada, sıfır olan bir Riemann
metriği, verir. Fakat bu metriği,
torusun üzerine yukarıdaki şekil­
de gösterilen yöntemle koyamayız!
(Bkz. Alıştırma, 7 ve Alıştırma, 8)
(a) Yukarıdaki tek kulplu kürenin,
d/iğer bir deyişle torusun yüzeyinin
büyük bölümünde eğrilik pozitif ol­
duğu ha,ide, Gauss-Bonnet Teore­
m i’ne göre eğriliğin yüzey üzerin­
deki integrali sıfırdır.
Şekil 6.1
ile temsil edilir.
Bu yüzeyin Gauss eğriliğinin
fxxfyy
fxy
( i+ f2+ fyr
ile verildiğini söylemiştik. Aslında doğrudan hesap yaparak,
a : U ^ R3 - {(0, 0, 0)} , a( x , y ) = ( f x , f y , --1 )
yüzeyin Gauss gönderimi ve dS =
1 + f 2 + fy2 dx A dy yüzeyin üç boyutlu
uzaydan aldığı alan formu (bkz. Örnek 3.2.16) olmak üzere
w=
x dy A dz + y dz A dx + z dx A dy
e Q2
(x2 + y2 + z 2)3/2
3
{(0,0,0)})
kapalı 2-formu için
a* (w) = k dS
"E, Euler sayısı e(E) = 2 -2 g
olan tıkız bir yüzey ise (bkz. Örnek 5.2.11) bir önceki örnek bize Gauss-Bonnet
Teoremi olarak bilinen sonucu verir.
Sonuç 6.1.11 (Gauss-Bonnet Teoremi).
k
s
dS = 2n x(E) = 4n(1 - g) .
312
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Şimdi yukarıda verdiğimiz sonucun değişik fikirler içeren bir başka kanıtını
vereceğiz.
Kanıt : Kanıt dört adımdan oluşmaktadır.
A dım 1)
dolayı
Yukarıdaki gösterimi kullanarak devam edelim. Alıştırma 5’den
a : U ^ R3 - { ( 0 , 0, 0)}
yüzeyin Gauss gönderimi, dS =
uzaydan aldığı alan formu ve
1
, a (x , y
) = ( f x , fy , -1 )
+ fX + fy dx A dy yüzeyin üç boyutlu
x dy A dz + y dz A dx + z dx A dy
“
--------- E n2(R3 - {{0' 0-0)})
=
kapalı 2-formu olmak üzere yüzeyin Gauss eğriliği için
a *( w) = k dS
olduğunu biliyoruz.
A dım 2) Uzaydaki S C R3 yüzeyinin a : S ^ R3 — {(0, 0, 0)} Gauss
gönderimini yüzeyin her noktasına o noktadaki teğet uzayını karşılık getiren
gönderim olarak görebiliriz. a(p) vektörünü boyuna bölersek Gauss gönderimi
a : S -»■ S2
şeklinde de ifade edebiliriz. Aslında üç boyutlu uzaydaki yönlendirilmiş düz­
lemleri, yönlendirilmiş normal vektörleri ile eşleyerek, S 2 küresini üç boyutlu
uzaydaki yönlendirilmiş düzlemlerin uzayı olarak görebiliriz. C t r (u , 2) ile Rn
içindeki yönlendirilmiş düzlemlerin uzayını gösterelim (bkz. Sayfa 168). Bu
durumda GrR(3, 2) = S2 = C P 1 olur. Kolayca görüleceği üzere
GrR(2,n) = {(u,v) E S n-1 x S n-1 | u ± v } / ~ ,
bölüm kümesi olarak yazılabilir. Buradaki ~ bağıntısı
(uı,vı)
(uy, Vy) &
Uy
Vy
cos 0 u 1 — sin 0 v 1
,0 E R ,
sin 0 u 1 + cos 0 v1
ile verilir. GrR(n, 2) boyutu 2(n —2) olan türevlenebilir bir manifolddur.
Bu manifolddan (n —1)-boyutlu karmaşık projektif uzaya doğal bir fonksiyon
vardır:
$ : GrR(n, 2) ^ Cn —{0}/ ~ = C P n-1 , [(u, v)] ^ [u + iv] .
n = 3 olduğu durumda bu fonksiyon bir difeomorfizmadır. Bu fonksiyonun açık
bir fonksiyon olduğu kolayca görülür. Diğer taraftan GrR(n, 2) tıkızdır, çünkü
313
E u le r K a r a k te r i s tik S ın ıfı
tıkız bir uzayın bölüm uzayıdır. Son olarak karmaşık projektif uzay bağlantılı
olduğundan $ örten bir fonksiyondur.
Şimdi, F : S x [0,1] ^ R™ türevlenebilir bir fonksiyon olsun, öyle ki, her
t € [0,1] için
f t = F (—,t) : S ^ R™ , p ^ F (p , t ) ,
bir batırma fonksiyonu olsun. Dolayısıyla, bu fonksiyon S yüzeyin in R™ içine
batırmalarının türevlenebilir bir ailesidir. f t batırmasının Gauss gönderimini
a t ile gösterirsek
a t : S x [0,1] ^ G t r (u , 2)
türevlenebilir homotopisini elde ederiz. Bu fonksiyonun $ ile bileşkesinden
$ o a t : S x [0,1] ^ C P ™-1
homotopisini elde ederiz, a €
r (C P ™
-1 ) karmaşık doğru üzerindeki integrali bir olan 2-form ve S C R3 birinci adımdaki yüzey ise
k
dS
= a*(w) = 4n($ o a 0)*(a)
(fo = id olduğunu kabul ediyoruz) olur. Dolayısıyla, her t € [0,1] için
/
Js
k
dS
=
/
Js
a *(w) =
( 4n($ o a t)*(a )
Js
olur.
Sonuç olarak, S yüzeyinin R™ içine iki farklı batırılması homotopik ise
bu farklı batırmalara karşılık gelecek olan
Js
k
dS
integrali değişmeyecektir. Bir sonraki adımda herhangi iki batırmanın her za­
man homotopik olduğunu göreceğiz (içine batırılan uzayın boyutunun artırıl­
masına izin verilmesi kaydıyla).
A dım 3) Bu adımda üç boyutlu uzaydan yedi veya daha büyük boyutlu
Oklit uzayına derecesi en fazla d > 1 olan polinom batırmaların oluşturduğu
uzayın (yol) bağlantılı olduğunu göstereceğiz. Derecesi en fazla d > 1 olan üç
değişkenli polinomlarm oluşturduğu vektör uzayının boyutu
s
( 3+ d
V d
sayısıdır. Aslında bu sayı derecesi s olan monomiyallerin sayısıdır. Dolayısıyla,
derecesi en fazla d olan üç değişkenli bir polinomu Rs içinde bir nokta olarak
görebiliriz. Şimdi bir P = (x0,y 0,z 0) € R3 noktası alalım. (x, y, z) koordinat
sistemini (x —x 0,y —y0,z —z0) ile değiştirerek P = (0, 0, 0) € R3 olduğunu
314
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
kabul edebiliriz. f 1, ■■■, fk+3 € Rs (k + 3)-tane polinom olsun. Bu durumda,
P = (0, 0, 0) noktasının
0 : ( fı, ■■ ,fk+3): R3 ^ Rk+3
fonksiyonu için bir kritik nokta olup olmaması bu polinomlarm sadece doğru­
sal terimleri ile belirlenir. Kritik nokta olma koşulu polinomlarm katsayıları
üzerine (k + 1)-tane doğrusal bağımsız koşul koyar. Dolayısıyla, bu noktayı
kritik nokta kabul eden ( f 1, ■■■, fk+3) fonksiyonların oluşturduğu alt uzayın
Rs(k+3) içindeki ters boyutu k + 1 olur. Eğer,
E = {((x, y , z ) , h , ■■■ , fk + 3 ) € R3 x Rs(k+3) |
rk(D (fı, ■■■ , fk+3)(x,y,z)) < 2}
olarak tanımlanırsa
n : E ^ R3 , ( ( x ,y ,z ) ,fı, ■■■ , fk + 3 ) ^ (x ,y ,z)
iz düşüm fonksiyonu örtendir. Bütün lifler eşyapılıdır ve ters boyutları k +
k+3
3,ün
1 olan ^ 2 J-tan e doğrusal alt uzayın birleşimidir. Dolayısıyla,
herhangi bir noktasını kritik nokta olarak kabul eden tüm
0 : ( fı, ■ ■f k +3) : R3 ^ Rk+3
fonksiyonlarının oluşturduğu kümenin Rs(k+3) içindeki ters boyutu (k +
1) —3 = k — 2 olur. O halde, eğer k > 4 ise R3 uzayının Rk+3 içine
polinom batırmalarının oluşturduğu açık küme yol bağlantılıdır. Dolayısıyla,
R3 uzayının R7 içine tüm polinom batırmalarının oluşturduğu uzay yol
bağlantılıdır.
E C R3 aşağıdaki yüzey olsun, n : E -+ R3 lif demetini E yüzeyine
kısıtlayarak
n :n
1 (E)
^ E
,
( ( x ,y ,z ) ,fı, ■■■ f k
+3)
^ (x ,y ,z)
lif demetini elde ederiz. Bu durumda, yüzey iki boyutlu olduğu için yukarı­
da söylediklerimizden dolayı, bu yüzeyin R 6 içine tüm polinom batırma­
larının oluşturduğu uzayın yol bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz. Herhangi iki
fi : E ^ R m , i = 1, 2, batırma fonksiyonu alalım, n = max{6 , m} olmak üzere
Rm C R n bir alt uzay olarak düşünelim ((x 1, ■■■, x m) ^ (x 1, ■■■, x m, 0 , ■■■, 0)
içermesiyle). Stone-Weierstrass Yaklaşım Teoremi’nden bu iki batırma fonk­
siyonuna istenildiği kadar (C 2 )-yakm gi : E ^ R™, i = 1, 2, polinom batır­
malar bulabiliriz, öyle ki, her t € [0, 1] için, (1 —t) fi + tgi fonksiyonu da
yüzeyin bir batırması olur. Bu iki homotopi sayesinde fi yerine gi polinom
batırmalarıyla çalışabiliriz. Son olarak g1 ve g2 polinom batırmaları da
homotopiktir. Başka bir deyişle, bu adımı tamamlamış olduk.
315
E u le r K a r a k te r is tik S ın ıfı
A dım 4) Bu adımda ise S yüzeyinin üç boyutlu uzaya özel bir gömülmesi
için
k
dS
s
integralini hesaplayacağız. Bu özel gömülmenin görüntüsünü S g ile gösterelim.
Şekil 6.2: a-1(p) ters görüntüsü g + 1 noktadan oluşmaktadır.
H Dr (S2) =
R olduğu için sadece p = (0,1, 0) € S 2 noktası etrafındaki küçük
p € U C S 2 komşuluğunda desteklenen ve [w] = [v] koşulunu sağlayan bir
v € Q2( S 2) formu seçebiliriz. Bu durumda a *(v ) formu
V\ U • • • U Vg+ı Ç S q
açık kümesinde desteklenen bir form olacaktır. Her bir a\ : Vi ^ U kısıtlanışı­
nın bir difeoınorfizına olduğu kolayca görülür. Ayrıca bu difeoınorfizınalardan
sadece birincisi yön koruyandır ve diğer g tanesi ise yönü ters çevirir (bkz.
Alıştırma 6).
Şekil 6.3: Şekildeki dört yüzey parçası da pozitif z-ekseni ile yönlendirilmiştir. o\ :
Vı ^ U 1 ve 2 numaralı eğrileri yine aynı yönlü 1 ve 2 numaralı eğrilere gönderdiği
için yön koruyandır. Diğer taraftan, a\ : Vi ^ U 2 numaralı eğrinin yönünü korurken
1 numaralı eğrinin yönünü ters çeviriyor. Dolayısıyla, i > 2 için a| : Vi ^ U yönü
ters çevirir.
316
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Dolayısıyısla,
/ ^ * (V)
J^O
g+1 r
JZo
E
i=1
[.
< ? »
■'V
g
IU
=
v — E
v
İ=1 ^
4n(1 - 5 )
elde ederiz. Böylece kanıt tamamlanır. □
Gauss-Bonnet Teoremi’nin farklı kanıtları için [9], [4] ve [22] numaralı refe­
ranslara da bakabilirsiniz. Özellikle ilk iki kaynak çok daha geometrik kanıtlar
sunmaktadır.
6.2
Chern K a ra k teristik Sınıfları
Chern sınıflarını tanımlamanın birden fazla yöntemi vardır. Biz Bott ve Tu’nun
Differential Form s in Algebraic Topology adlı kitabındaki yaklaşımı kullanaca­
ğız ([5]). Kullanacağımız yöntem Leray-Hirsch Teoremi’nden yararlanmaktadır.
n : E ^ M türevlenebilir bir M manifoldu üzerinde rankı r olan bir karmaşık
bir vektör demeti olsun. Bu demetin Chern sınıflarını Euler sınıfı yardımıyla
tanımlayacağız. Hatırlatma 3.3.2’de bir manifold üzerindeki karmaşık doğru
demetleri ile yönlendirilmiş R 2 demetleri arasında bire bir eşleme olduğunu
görmüştük. Eğer r = 1 ise vektör demeti asim da bir L ^ M karmaşık doğru
demetidir. Bu karmaşık doğru demetinin birinci Chern sınıfı bu yönlendirilmiş
gerçel düzlem demetinin Euler sınıfı olarak tanımlanır ve
cı(L) = e (L R)
ile gösterilir.
Verilen bir n : L ^ M n karmaşık doğru demetinin, herhangi iki tanesi
birbiri ile dik kesişen so, ■ ■ ■ , Sk kesitlerini alalım. Dolayısıyla, eğer 2(k + 1) >
n ise bu kesitlerin ortak sıfırı yoktur. Başka bir deyişle,
f :M ^
C P k , p ^ f (p) = [so(p) : ■ ■ ■ : Sk (p)],
iyi tanımlı bir fonksiyondur. Ayrıca, her i = 0, ■■■, k için
Ui = { p e M
| Si (p) = 0}
açık kümeleri M manifoldunu örter. Bu kesitler L ^ ^ Ui kısıtlanışını Ui x C
çarpımı şeklinde yazabilmemize olanak verir. Kesitleri bu çarpım üzerinde de
317
C h e rıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
yine Si : Ui ^ Ui x
kısıtlanışı üzerinde
C
o la r a k if a d e e d e lim .
Demetin her bir Ui açık kümesine
L k ~ Ui x C ^ Ck+l - {0},
(p v) _ ( So(p)
si- ı (p)
si+ı(p)
sk (p).
(p’ J ( Si(p) ’ "■ ’ S i ( p y ’ Si(p)
’ s^
’
ile tanımlanan fonksiyonlar tüm demet üzerinde iyi tanımlı bir
$ : L ^ f *(&)
karmaşık doğru demeti izomorfizması verecektir. Burada Ck ^ C P k karmaşık
projektif uzay üzerinde
Ck = {(Z 0 : ••• :
Zk],(zo, • • •
,Zk))
|
(zo,
•••
,Zk)
€
C k +1 -
(0 , • • • ,0)}
ile tanımlanan kanonik karmaşık doğru demetidir (demetin iz düşüm fonksiyo­
nu ([z0 : • • • : Zk], (z0, • • • , Zk)) ^ [z0 : • • • : Zk] ile verilmektedir). Dolayısıy­
la, M manifoldu üzerindeki her karmaşık doğru demeti, kesitleri yardımıyla
tanımlanan f : M ^ C P k fonksiyonu ile tamamen belirlenmektedir. Bu fonk­
siyona n : L ^ M n d e m e t i n i n b i r sınıflandırma fonksiyonu, C P k uzayına ise
karmaşık doğru demetlerinin bir sınıflandırma uzayı denir.
Diğer taraftan, [x0 : • • • : Xk] € C P k, [y0 : • • • : yı] € C P l olmak üzere
k+l
k
l
Y , z i t i = ( £ Xi f ) (
yiti)
i=0
i=0
i=0
J2
polinom eşitliği yardımıyla tanımlanan
0 : C P k x C Pl
C P k+l,
([X0 : • • • : Xk], [y0 : ••• : yı}) ^ [z0 : • • • : Zk+ı],
fonksiyonu ele alalım. Sıfırdan farklı iki polinomun çarpımı da sıfırdan farklı
olacağı için bu fonksiyon iyi tanımlıdır.
CPk ^
CPk x CP1 ,
[X0
: ••• :
Xk]
M-
([x0
: ••• : Xk], [ 1 : 0 : ••• : 0]),
gömme fonksiyonunun 0 ile bileşkesini alırsak
C P k ^ C P k+l , [X 0 : ••• : Xk] ^ ([X 0 : ••• : Xk : 0 : ••• : 0]),
gömme fonksiyonunu elde ederiz. O halde, her a € H lDR(CPk+l) kohomoloji
elemanı için 0* (a ) = a ® 1 + 1 ® a € H İDR (CPk x C Pl) elde edilir (bkz.
Sonuç 5.3.5).
Eğer J : M ^ M x M, p ^ (p , p ) , p € M , şeklinde verilen içerme
fonksiyonu ise, her u ,v € H lDR(M ) iç i n , J * : H lDR(M x M ) ^ H lDR(M )
kohomoloji homomorfizması olmak üzere,
J*(u ® 1 + 1 ® v ) = u + v
318
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
eşitliği sağlanır.
Şimdi M manifoldu üzerinde L ı ^ M ve L 2 ^ M gibi iki karmaşık
doğru demeti alalım. Eğer si : M ^ L ^ i = 1, 2, bu demetlerin birer kesiti
ise
s : M ^ L ı 0 L 2 , p ^ s ı (p)s 2 (p)
fonksiyonu karmaşık doğru demetlerinin tensör çarpımının bir kesiti olacaktır.
Dolayısıyla, Li ^ M , i = 1, 2, karmaşık doğru demetlerinin sınıflandırma
fonksiyonları, sırasıyla, f : M ^ C P k ve g : M ^ C P 1 ise 0 o (f , g ) o J :
M ^ C P k+ l fonksiyonu da L 1 0 L 2 tensör çarpımının bir sınıflandırma
fonksiyonu olur.
Son olarak x = cı (fr) = e(fr) kohomoloji sınıfı f r ^ C P r kanonik
demetin birinci Chern sınıfı ise Chern (Euler) sınıfının doğallığından dolayı
cı(Lı 0 L 2)
(0 o (f,g ) o J)*(x)
(J * o (f*,g*))(0*(x))
(J * o ( f *,g*))(x 0 1 + 1 0 x))
J *( f *(x) 0 1 + 1 0 g*(x))
f *(x) + g*(x)
f *(cı(tk))+ g*(cı(b))
c ı( f *(Ck)) + cı(g*(b))
c1(L1)
+ cı (L2)
elde edilir.
H a tırla tm a 6.2.1. Li ^ M , si : M ^ Li; i = 1, 2, ve
s : M ^ Lı 0 L 2 , p ^ sı(p)s 2 (p),
yukarıdaki gibi olsun. Eğer bu kesitler hem sıfır kesitine hem de birbirlerine dik
iseler s- ı (0) = s - 1(0) U si-1(0) alt manifoldlarımn birleşimlerinin Poincare
duali her iki parçanın Poincare duallerinin toplamı olacaktır. Başka bir deyişle
herhangi bir alt manifoldun bu iki alt manifoldun birleşimi ile kesişimi ayrı ayrı
kesişimlerinin birleşimidir. Bu ise, cı (L ı 0 L 2) = e(Lı 0 L 2) = e(Lı) + e(L2) =
cı (L ı)+ cı (L2) eşitliğinin daha geometrik bir açıklamasıdır. Ayrıca L ve L*
demetlerinin geçiş fonksiyonları sırasıyla p ag ve p ap ise L 0 L* tensör
çarpımının geçiş fonksiyonu p aş ■p ap gerçel ve pozitif değerli bir fonksiyon
olacaktır. Bu durumda L 0 L* aşikar karmaşık doğru demeti olur. Dolayısıyla,
L (M ) ile M üzerindeki karmaşık doğru demetlerinin izomorfizma sınıflarının
oluşturduğu değişmeli grubu gösterirsek
cı : L (M ) ^ HDr (M ), [L] ^ cı(L) ,
bir grup homomorfizması olur. Ayrıca bu grup içinde L elemanın tersi L*
ile verilir.
319
C h e rıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
Ö nerm e 6.2.2. Eğer k ,n pozitif tam say ilan 2 ( k + 1) > n + 1 koşulunu
sağlıyorsa n -boyutlu M manifoldu üzerindeki karmaşık doğru demetlerinin izomorfizma sınıflarının oluşturduğu L ( M ) değişmeli grubu, M manifoldundan
C P k karmaşık projektif uzayına giden fonksiyonların homotopi sınıflarının
oluşturduğu gruba izomorfiktir:
[M,
C P k] —^ L ( M ) , [f : M ^ C P k] ^ f * ( & ) •
[M, C P k] homotopi sınıflarının bir grup oluşturduğunun kanıtı, bu önermenin
kanıtıyla birlikte Alıştırma 9’de yapılacaktır.
Şimdi 1 < r-boyutlu bir n ° : E ^ M vektör demeti alalım ve bu demetin
pr oj ekti vasyonunu
C P r- 1 P (E )
M
oluşturalım (bkz. Sonuç 5.3.8 ve üzerindeki paragraf), n : P ( E ) ^ M iz
düşüm fonksiyonu yardımıyla vektör demetini geri çekelim: Her p € M için,
Ep = (n°)-1 (p) vektör uzayı olmak üzere
n * ( E ) = { ( lp, v ) € P ( E ) x E | n ° ( v ) = p, p € M, lp € Ep - |0 } /( C *)}
P (E ) •
Bu r-boyutlu karmaşık vektör demetinin doğal bir alt doğru demeti vardır:
L = { ( lp, v ) € n * ( E ) I v € lp} •
Son olarak ( r — 1)-boyutlu Q ^ M
bölüm demeti olarak tanımlayalım:
0
L
n * (E )
karmaşık vektör demetini aşağıdaki
Q
0•
Şimdi a €
r (P ( E )) sınıfı aşağıdaki doğru demetinin birinci Chern sınıfı
olarak tanımlansın:
a = c ı ( L *) •
Euler sınıfının ve dolayısıyla birinci Chern sınıfının doğallığının bir sonucu
olarak L doğru demetinin P ( Ep) lifine kısıtlanışının birinci Chern sınıfı
—a kohomoloji sınıfının P ( Ep) lifine kısıtlanışı olacaktır. Diğer taraftan,
{ 1 ,a, ■■■, ar- 1} C H fi r (P (E)) sınıflarının her P ( Ep) lifine kısıtlanışları bu
lifin kohomolojisinin bir vektör uzayı tabanını verdiği için {1,a, ■■■ ,ar- 1} kü­
mesi H * r (P ( E )) cebirinin bir H * r (M )-modül tabanını verir (Sonuç 5.3.8).
Dolayısıyla, ar€ H * r ( P (E)) sınıfı, bazı c1( E ) , ■■■ ,cr ( E ) € H * r ( M ) ko­
homoloji sınıfları için,
ar + C1 (E)ar-1 + ■■■ + Ci(E)ar-i + ■■■ + Cr (E ) = 0
320
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
olmak üzere tek bir şekilde ifade edilir. Bu şekilde ci(E ) sınıflarını tanımlamış
olduk. P (E ), L ve Q demetleri doğal şekilde elde edildiğinden Chern sınıfları
iyi tanımlanmıştır. Sadece r = 1 durumunda birinci Chern sınıfı için vermiş
olduğumuz iki tanımın denk olduğunu görmeliyiz: E ^ M bir karmaşık doğru
demeti ise P (E) = M olacaktır. Buradan yine n*(E) = E = L elde ederiz.
O halde,
a = e((L*)R) = -e(L R ) = -e(E R )
ve buradan da
a + e ( E R) =
0
denklemini buluruz. O halde, ikinci tanımımızdan yine
C1 ( E ) = e ( E R )
buluruz.
Hatırlatm a 6.2.3. Eğer E ^ M aşikar bir karmaşık vektör demeti ise
P (E ) = M x C Pr-1 olur ve dolaytstyla da ar = 0 elde edelir. O halde,
aşikar bir vektör demetinin tüm Chern sınıflan sıfırdır.
6.2.1
C h ern Sın ıflarının Ö zellikleri
Bu bölümde ilk önce toplam Chern sınıfını tanımlayacağız. Verilen herhangi
bir E r ^ M karmaşık r -boyutlu vektör demetinin sıfırıncı Chern sınıfı her
zaman
Co(E) = 1 e H °dr ( M )
olarak (manifoldun her noktasında 1 değerini alan sabit fonksiyon) ve toplam
Chern sınıfı ise aşağıdaki şekilde tanımlanır:
c(E) = Co(E) + • • • + cr(E) e H Dr ( m ) •
Önerme 6.2.4. Chern sınıfları doğal kohomoloji sınıflarıdır. Başka bir deyişle,
f : M ^ N türevlenebilir bir fonksiyon ve E ^ N karmaşık bir vektör demeti
olmak üzere, her i e N için, ci(f*(E )) = f*(ci(E)) eşitliği sağlanır.
Bu önermenin kanıtı okuyucuya alıştırma olarak bırakılmıştır (bkz. Alıştır­
ma 11). Bir sonraki teorem Dağılım Prensibi (Splitting Principle) olarak bilinen
ve kanıtlarda oldukça kolaylık sağlayan bir sonuçtur.
Teorem 6.2.5 (Dağılım Prensibi). Eler n : E ^ M r-boyutlu karmaşık bir
vektör demeti için aşağıdaki özelliklere sahip bir türevlenebilir F (E ) manifoldu
ve f : F (E ) ^ M türevlenebilir fonksiyonu vardır:
321
C h e rıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
1. E
M demetinin F (E ) üzerine geri çekilmesi karmaşık bazı doğru
demetlerinin toplamı olarak yazılabilir:
4>*(E) = L\ ® • • • ® Er ;
2. $* : HDr (M ) ^ HDr (F (E )) homomorfizması bire birdir.
Chern sınıflarının doğallığı ve Dağılım Prensibi sayesinde Chern sınıflarının polinomlarıyla ilgili bir ifadeyi kanıtlamak istersek ele aldığımız vektör demetinin
karmaşık doğru demetlerinin bir toplamı olduğunu kabul edebiliriz. Yukarıdaki
teorem tam olarak bu sebepten dolayı Dağılım Prensibi (Splitting Principle)
adını alır. Bu teoremin kanıtı için gerekli alt yapıyı oluşturmuş durumdayız.
Kanıt alıştırma olarak okuyucuya bırakılmıştır (bkz. Alıştırma 12).
T eorem 6.2.6 (Whitney Çarpım Formülü). Ei ^ M , i = 1, • • • ,r karmaşık
vektör demetleri olmak üzere her zaman
c (E ı ^ • • • E E r)
= c(Eı) • • • c (E r)
eşitliği sağlanır.
K anıt : Teoremi ilk önce her bir E ğ nin bir karmaşık doğru demeti olduğu
durumda kanıtlayalım. O halde, E = L 1 ©• • •®L rı doğru demetlerinin toplamı
olsun, n : P (E ) ^ M projektivasyon iz düşümü olmak üzere yine
E
= n *(E ) ={( lp, v ) & P (E ) x E | n °(v ) = p, p & M , lp e E p - {0}/(<C*)}
P (E ) ,
L = {( lp , v ) & n *(E ) | v & lp} E E ve îj i = n *(L ğ) olsun. Ayrıca s i : L ^ Lj İ
i ’inci koordinata iz düşüm fonksiyonunu göstersin. O halde, s i & hom(L, L ğ) =
L * ® L i demetinin bir kesiti olacaktır. Bu kesitin sıfırdan farklı olduğu açık
kümeyi Vi ile gösterelim:
Vi
= { q & P (E ) I Si( q) = 0} .
L ^ P (E) doğru demeti E = L 1 ® • • • ® L r demetinin bir boyutlu alt demeti
olduğundan her q & P (E ) noktası için en az bir s i(q ) = 0 olacaktır. Başka
bir deyişle { V1, ••• ,V r} kümesi P (E ) manifoldu için bir açık örtü olacaktır.
Şimdi
L * ® E = (L * ® Lı) ® - ^ ® (L * ® L r)
karmaşık demetini yönlendirilmiş (karmaşık yapısı yardımıyla) gerçel bir vektör
demeti olarak görelim. O halde,
s : P (E) ^ L* ® E, s(q) = (sı(q), ••• , Sr (q))
322
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
bu gerçel demetin hiç bir noktada sıfır değerini almayan bir kesiti olacaktır.
Başka bir deyişle, bu demetin Euler sınıfı sıfırdır. O halde,
0 =
e (( L * 0 E
)r )
= e (( L * 0 L i ) r ® — ® (L * 0 L r) r )
=
e (( L * 0
=
=
=
c ı( L
L i ) r ) ••• e ((L * 0 L r ) r )
* 0 L ı) ••• c ı( L * 0 L r)
(c ı (L *) + c ı( L ı)) • • • (c ı( L *) + c ı( L r))
(a + c ı( L ı)) ••• (a + c ı( L r ))
elde edilir. Burada yine a = c ı (L *) sınıfını göstermektedir. Bu eşitlik doğallık­
tan dolayı H Dr (M ) halkası içinde
0 = (a + c ı(L i )) • •• (a + c ı( L r ))
haline dönüşecektir. Şimdi Chern sınıflarının tanımını hatırlarsak bu son eşit­
liğin tam olarak
c (E ) = n (1 + c ı( L i )) = Ui c (L i)
ifadesi olduğunu görürüz. Dolayısıyla, bu özel halin kanıtını bitirmiş olduk.
Şimdi de genel durumu kanıtlayalım. Aslında, sadece E = E ı ® E 2 duru­
munu kanıtlamak yeterlidir. Bu iki demetin boyutları sırasıyla k ve l olsun.
Dağılım prensibi uyarınca
Eı — L ı ®
® Lk
ve
E 2 —Lı ® • • • ® L[
olduğunu kabul edebiliriz. O halde,
c(Eı ® E 2)
c(Lı ® • • • ® Lk ® L'ı ® • • • ® Li)
(Bi c(Li)) (Uj c(Lj))
c(L ı ® - ^ ® Lk) c(L'ı ® - ^ ® L\)
c(Eı) c(E 2 )
elde ederiz ve böylece kanıt tamamlanır. □
6.2.2
U ygu lam alar
İlk önce Dağılım Prensibi ile Whitney Çarpım Kuralı’nm bir sonucunu verelim:
Eğer bir karmaşık vektör demeti
E = Lı ® • • • ® Lr
şeklinde karmaşık doğru demetlerinin direkt toplamı olarak yazılabiliyorsa bu
vektör demetinin i’inci Chern sınıfı c^L Ç ’lerin f’inci elementer simetrik polinomu olur:
ci(E) = Gi(cı (Lı), • •• , cı (Lr)) .
323
C h e rıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
Dolayısıyla,
Cı (E) = c\(Lı) + • • • + C\{Lr),
C2(E) = ^ 2 Cl (Li) • Cl (Lj ')’
i<j
ve son olarak
Cr(E) = Cl(Lı) • • • Cl(Lr )
olur.
Whitney Çarpım Kuralı’nm bir diğer uygulaması da şu şekildedir:
Önerme 6.2.7. E ^ M r -b o y u tlu
Cr (E ) = e(ER)
b ir k a r m a ş ık v e k tö r d e m e ti o lm a k ü ze re
e ş itliğ i v a r d ır . B a ş k a b ir d e y iş le , b ir k a r m a ş ık v e k tö r d e m e ­
t i n i n e n y ü k s e k d e re c e li C h e r n s ın ı f ı d e m e tin
a lın d ığ ın d a k i
Euler
gerçel
v e k tö r d e m e ti o la ra k ele
s ı n ı f ı n a e ş ittir .
: Hem Chern sınıfları hem de Euler sınıfı doğal olduğundan vektör
demetinin bazı doğru demetlerinin bir direkt toplamı olduğunu kabul edebiliriz:
K a n ıt
E = Lı © • • • © Lr .
Bu durumda, Whitney Çarpım Kuralı’nı kullanarak
Cr (E)
= Cı(Lı) ••• Cı(Lr )
=
e(Lı) ••• e(Lk)
=
e(Lı © • • • © Lk)
=
e(E)
elde edilir ve böylece kanıt tamamlanır. □
Rankı r > 0 olan bir E ^ M karmaşık vektör demeti alalım. Bu demetin
fiap ■Ua R Up ^ GL(r, C) geçiş fonksiyonlarının
fiaŞ ■Ua n Up ^ G L(r, C) , İfiap (P) = fiaŞ (P) ,
karmaşık eşlenikleri alınarak elde edilen vektör demetine E ^ M demetinin
eşleniği denir ve E ^ M ile gösterilir.
Önerme 6.2.8. E ^ M r-boyutlu bir karmaşık vektör demeti ve. E ^ M
bu demetin eşleniği olsun. O halde, her i > 0 için,
Ci(E) = (- 1 ) i Ci(E)
e ş itliğ i s a ğ la n ır .
324
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Kanıt : Sonucun ilk önce herhangi bir E = L karmaşık doğru demeti
için doğru olduğunu görelim. L = L* olduğundan cı (L) = —c ı (L) olduğu
açıktır. Genel durumda ise Dağılım Prensibi’ni kullanarak vektör demetininin
bazı doğru demetlerinin bir direkt toplamı olduğunu kabul edebiliriz:
E = Lı © • • • © Lr .
Bu durumda, ai i ’inci elementer simetrik polinom olmak üzere
Ci(E)
elde ederiz ve
b ö y le c e
= Ci (Lı © • • • © Lr)
=
ai(c1(L 1 ) , • • • , C1 (Lr))
=
=
ai(—C1(L 1), ••• , C1 (Lr))
(—1)i ai(C1 (L 1 ), • • • , C1(Lr))
=
( —1)i Ci(L1 © • • • © Lr)
=
(—1)i Ci(E)
kanıtı tamamlarız. □
Örnek 5.2.11.2’de karmaşık projektif uzayın kohomolojisini hesaplamıştık:
H = {z0 = 0} ile CPn k a r m a ş ı k p r o j e k t i f uz ayının 2n — 2 boyutlu alt
manifoldunu ve a € HDR(CPn) bu alt manifoldun Poincare dualini göstersin.
Bu durumda, [a]k € H ^ r (CPn) ~ R kohomoloji grubunun bir üretecidir.
Diğer bir deyişle, kohomoloji cebiri
H*d r (CP n) = R[a]/(an+ 1 )
(değişmeli) polinom cebirine izomorfiktir.
Önerme 6.2.9. Yukarıdaki gösterimi kabul edersek, CPn karmaşık projektif
uzayın toplam Chern sınıfı
c ( T * C P n)
He verilir. Dolayısıyla, Ci (T*CPn)
= (1 + a )n+1
( n+ ^
a
kohomoloji sınıfıdır.
: Kanıtı n ü z e r i n d e n t ü m e v a r ı m yöntemiyle yapalım: n = 1 du­
rumunda c 1( T * C P 1 ) = e ( T * S 2 ) = 2a olduğundan sonuç doğrudur. Şimdi
C(T* C P n ) = (1 + a )n+1 olduğunu kabul edelim. O halde, kanıtı tamamlamak
için C(T*C P n + 1 ) = (1 + a)n+ 2 eşitliğini göstermemiz gerekiyor. Bunun için,
C P n+ 1 içinde zn+ 2 = 0 d e n k l e m i ile verilen C P n alt manifoldunu ele alalım.
Bu alt manifoldun normal demetini N ile gösterelim; bu bir karmaşık doğru
demetidir. Normal demetin birinci Chern sınıfı demetin Euler sınıfı olacaktır.
Dolayısıyla, bu Chern sınıfı alt manifoldun kendisi ile dik kesişiminin Poincare
duali olacaktır. C P n a l t manifoldunun kendisi ile kesişimi H = { z 0 = 0} alt
manifoldu olarak alınabilir ve buradan da C1( N ) = a elde edilir.
K anıt
325
C h e rıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
Diğer taraftan, T*CFn+1 teğet demetinin bu alt manifolda kısıtlanışı
T*C F n+l\Cpn = N ® T*CFn
şeklinde yazabiliriz. O halde, i : CFn ^ CFn+1 içerme fonksiyonu olmak
üzere
i*(c(T*CFn+1)) = c(T*CFn) c(N ) = (1 + a)n+2
eşitliğini elde ederiz. Dolayısıyla, i* kohomoloji homomorfizması bire bir ol­
duğundan, her 0 < k < n + 1 için,
Ck(T*CFn+1) = ^ n + 2 ^ ak
olduğunu göstermiş olduk. Kanıtın tamamlanabilmesi için, son olarak
Cn+ı(T*CFn+1) = (n + 2) an+1
eşitliğini göstermeliyiz. Fakat yine en yüksek dereceli Chern sınıfı Euler sınıfına
eşit olacağından
Cn+ı(T*CFn+1) = e(T*CFn+1) = x (C F n+1) an+1 = (n + 2) an+1
buluruz. Böylece kanıtı tamamlarız. □
Ö rn ek 6.2.10 (Yanyana Gelme Eşitliği). Örnek 5.2.11’de karmaştk projektif
uzay içinde derecesi d > 1 olan bir karnı aşık C = { f = 0} Ç C F 2 eğrisi
alalım. Yukarıdaki teoremin kanıtına benzer şekilde
T*CF2\c = N ® T*C
ayrışımım düşünelim. N normal demeti bir karmaşık doğru demeti olduğundan
c1(N ) = e(NR) bulunur. Buradan
[ ® ( N ) = / e(Nv) = C
Jc
Jc
C = d2
eJde edilir. (C üzerinde karmaşık yönlendirme alınarak integrali hesaplıyoruz;
ayrıca kohomoloji sınıfının integrali ile bu sınıfın bir temsilcisinin integralini
kastediyoruz). Benzer şekilde eğrinin teğet demetinin birinci Chern sınıfının
eğri üzerindeki integrali, g > 0 karmaşık eğrisinin cinsi olmak üzere,
[ c1 (T*C) = f e(T*C) = x (C ) = 2 - 2g
Jc
Jc
elde edilir. Diğer taraftan karmaşık projektif düzlemin teğet demetinin birinci
Chern sınıfının eğri üzerindeki integrali
[ ®(T*CF2) = / 3a = 3 / a = 3(C
Jc
Jc
Jc
H ) = 3d
326
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
olarak hesaplanır. Son olarak, Whitney Çarpını. Formülüne göre
c ı ( T*CP 2 |C ) = cı ( N ) + c ı (T* C )
olacağından
3d = d2 + 2 —2 g
eşitliğini elde edilir. Buradan eğrinin cins sayısının (genusunun) eğrinin dere­
cesi ile ifade edildiği
( d — l)(d —2)
g=
2
Derece Genus Formülü’nü elde edilir.
Benzer bir formül C P 1 x C P 1 içindeki cebirsel eğriler için de doğrudur:
ikili derecesi ( d 1,d 2) olan bir f € C [z 0 , z 1,w 0 ,w 1] polinomu alalım, öyle ki
C = {([zo ,Z1 ], [wo ,W1 ]) € C P 1 x C P 1 | f ( z o ,Z 1,w o ,w 1) = 0}
karmaşık cebirsel eğrisinin tekil noktası olmasın.
ni : C P 1 x C P 1 ^ C P \ i = 1, 2, koordinat iz düşüm fonksiyonları olmak
üzere
T* (C P 1 x C P 1 ) = nÇTSCP 1 ) ® n*2( T ,C P 1 )
olduğu açıktır. O halde, Chern sınıflarının doğallığından dolayı
d
(T* (C P 1 x C P 1 ))
=
n l ( c 1 ( T*CP 1 )) +
=
=
2(n ı (a) + n 2 (a))
2a 1 + 2 a2
(d (T*C P 1 ))
elde edilir. Poincare duali
{po} x C P 1 C C P 1 x C P 1
(po € C P 1 herhangi bir nokta olmak üzere) alt manifoldu olan de Rham kohomoloji sınıfının a1 olduğu kolayca görülür. Benzer şekilde, a2 de Rham
kohomoloji sınıfı da
C P 1 x {po} C C P 1 x C P 1
altmanifoldunun Poincare dualidir. O halde,
/
a1
= C ^ {p o } x C P 1
Jc
d2
ve benzer şekilde
I a2 = C ıtı C P 1 x {po} = d1
C
bulunur. Dolayısıyla,
/ c 1(T*(CP1 x C P 1))
Jc
2(d1 + d2)
327
C h e rıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
olur.
Diğer taraftan yukarıdaki örneğe benzer şekilde
T *(CP
1 x CP %
= N ® T*C
ayrışımım düşünelim. N normal (karmaşık doğru) demeti için yine c1(N ) =
e(NR) olduğundan
/ cı(N )
■JC
JC
c(N r )
= C t C = 2dıd2
elde ederiz. Yine yukarıdaki örneğe benzer şekilde
cı(T*(CP1 x CP % ) = cı(N ) + cı(T*C)
olacağından
2(dı + d2) = 2dı d2 + 2 —2g
eşitliğini buluruz. O halde, eğrinin cinsi
g = (dı
— l)( d 2 —1)
olur. (Detaylar için Alıştırma 13 bakınız.)
Derece-G enus (Cins) Formülünün Bir Başka Kanıtı: Bu bölümü
Derece-Genus Formülleri’ni hesaplamanın bir başka yöntemine ayıracağız. Bu­
nu yapmak için karmaşık projektif düzlem içindeki derecesi d > 0 olan bütün
cebirsel eğrilerin uzayını inceleyeceğiz. Bu sayede aynı dereceye sahip eğril­
erden türevlenebilir olanların birbirine difeomorfik olduğu göstereceğiz. Da­
ha sonra özel bir eğrinin cinsini Riemann-Hurwitz formülü ile hesaplayarak
Derece-Genus formülünü elde edeceğiz.
Derecesi d > 0 olan f ( z 0 , z ı , z 2) homojen polinomlarm oluşturduğu
vektör uzayının boyutunun
n
= (
”
+ k —1 )
olduğunu biliyoruz. Bir polinomu sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmak polinomun
sıfır kümesini değiştirmediğinden C P 2 içindeki derecesi d olan her eğriyi
B = C P N - ı projektif uzayı içinde bir nokta olarak görebiliriz. Her bir cebirsel
eğriyi denklemiyle beraber yazarsak
E =
{(f , [z o : z ı : Z 2]) € B x C P 2 | f (zo, zı, Z2 ) = 0}
cebirsel kümesini elde ederiz, n : E ^ B ilk koordinata iz düşüm fonksiyonu
ise her f € B polinomunun ters görüntüsü bu polinomun projektif düzlem
içinde belirlediği n - ı ( f ) = { f (z) = 0} Ç C P 2 eğrisidir. Bu eğrinin tekil
328
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
noktasının varlığı eğriyi veren homojen polinomun katsayılarının bir polinom
denklem sisteminin çözümü olmasına denktir (bkz. Alıştırma 15). O halde, B
içinde en az bir tekil noktası olan eğrilerin oluşturduğu A C B alt kümesi
cebirseldir ve dolayısıyla A ’nın karmaşık boyutu B ’nin karmaşık boyutundan
düşük olan alt manifoldlarm bir birleşimidir. O halde, B —A kümesi bağlan­
tılı ve açık bir alt manifolddur (cebirsel kümeler denklem sistemlerinin çözüm
kümeleri oldukları için kapalıdırlar).
B — A içinden herhangi iki f o, f ı noktası seçelim. O halde, Ei = {fi =
0}, i = 0,1, cebirsel eğrilerinin tekil noktaları yoktur. Başka bir deyişle bu
cebirsel eğriler türevlenebilir ve yönlendirilebilir yüzeylerdir. Bu iki noktayı
türevlenebilir bir, f t t € [0,1], eğrisi ile birleştirelim. Bu eğrinin teğetler­
inin oluşturduğu vektör alanını eğrinin bir tüp komşuluğuna taşıyıp ve vektör
alanını manifoldun geri kalanına sıfır olarak genişleterek manifold üzerinde tı­
kız destekli bir X ( f ) vektör alanı elde edelim. X ( f ) vektör alanın akışını
f ( t , f ) ile gösterirsek f(0 , Eo) = Eo ve f(1 , Eo) = Eı olur.
Şimdi E 0 = n -1 (B — A) türevlenebilir manifoldu üzerine bir Riemann
metriği koyalım ve her noktasındaki teğet uzayın
T(f,p)Eo = ker(Dn(f,p) : T(f,p)Eo ^ Tf B) ® H (f,p)
dik ayrışımını düşünelim. D n(fp) doğrusal fonksiyonunun H(f,p) yatay bi­
leşenine kısıtlanışı bir izomorfizma olduğundan D n(fp)(X o( f )) = X (f,p ) ola­
cak şekilde Eo üzerinde bir X o vektör alanı vardır. Iz düşüm fonksiyonu
düzgün olduğundan X o vektör alanı da tıkız desteklidir. Bu vektör alanı­
nın akışını &(t, (f,p )) ile gösterelim. Her (f,p ) € E o ve t € R için,
n($(t, (f,p ))) = f ( t , f ) olacağından $(1, Eo) = E 1 elde ederiz. Sonuç ola­
rak, Eo ve Eı yüzeylerinin difeomorfik olduklarını kanıtladık. Başka bir
deyişle, f € B —A olmak üzere Ef = { f = 0} yüzeylerinin topolojisi yüzeyi
tanımlayan polinomdan bağımsızdır. O halde, özel bir polinom için bu yüzeyin
cins sayısını (genusunu) belirlersek kanıtı bitirmiş olacağız.
Ed = {zd + z f — z 2 = 0 } Fermat eğrisinin cins sayısını hesaplayalım.
P : Ed ^ C P 1, [zo : zı : Z2] ^ [zo : zı] ,
iz düşüm fonksiyonu, f € C, 1’in dinci dereceden ilkel bir kökü olmak üzere,
C = {[zo : zı] € C P 1 | zd + zd = 0} = {[1 : f], ■■■ , [1 : f d-1]}
kümesi dışında d : 1 tipinde bir fonksiyondur. Ayrica, her p € C için,
P - ı (p) tek noktadan oluşur. O halde, Riemann-Hurwitz formülünü kullana­
rak, g(Ed) = g olmak üzere,
(2 —2g) —d = d (2 —d)
ve buradan da
(d —1)(d —2)
2
329
P o ııtr y a g iıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
elde ederiz.
Derece-Genus formülü cebirsel eğri ve yüzeylerin topolojileri ile bu eğri
ve yüzeyleri ifade eden polinomlarm dereceleri arasındaki ilişkinin tipik bir
örneğidir. Bu konuda daha kapsamlı bilgi edinmek için [1], [14] ve [17] numaralı
referanslara bakabilirsiniz.
6.3
P oııtryagiıı K a ra k teristik Sınıfları
Türevlenebilir bir manifold üzerindeki gerçel bir E ^ M vektör demeti­
nin Pontryagin sınıfları bu demetin komleksifikasyonun Chern sınıfları olarak
tanımlanır. E ^ M rankı k > 0 olan gerçel bir demet ise bu demetin aşikar
karmaşık doğru demeti ile tensör çarpımı F = E Gr C ^ M karmaşık rankı
k olan bir karmaşık vektör demeti olur. E demetinin
Paş : Ua n Up ^ GL(k, R) ç GL(k, C)
geçiş fonksiyonları gerçel değerli olduğundan, E, F karmaşık ve F eşlenik
demetlerin yapı fonksiyonları aynı olacaktır. Dolayısıyla, F ve F karmaşık
vektör demetleri izomorfiktir. Bu durumda,
C2 i + l (F
) = C2i+l(F) = ( - l ) 2 i + 1 C2 i + l (F ) = -
C2 i + l (F
)
olacağından c2i+1(F ) De Rham kohomoloji sınıfının sıfır olduğu görülür.
Dolayısıyla, F demetinin sadece çift Chern sınıfları sıfırdan farklı olabilir.
E ^ M demetinin Pinci Pontryagin sınıfı F = E Gr C ^ M karmaşık
demetinin 2i ’inci Chern sınıfının (—1)i katı olarak tanımlanır:
Pi(E) = ( —1)i C2i(E
Gr
c) •
GL(r, C) ç GL(2r, R) bir alt grup olduğundan her karmaşık vektör deme­
tini gerçel bir demet olarak görebiliriz: Açıkça söylemek gerekirse eğer E ^ M
karmaşık rankı r > 0 olan bir vektör demeti ise bu demetin E r ^ M gerçel
karşılığı boyutu 2r olan gerçel bir demettir. E r ^ M gerçel demetinin Pon­
tryagin sınıfları E ^ M karmaşık demetinin Chern sınıfları cinsinden ifade
edilebilir. Bunun için ilk önce aşağıdaki sonucu kamtlamalıyız:
Ö nerm e 6.3.1. E ^ M r-boyutlu bir karmaşık vektör demeti ise bu demetin
gerçel karşılığının kompleksifikasyonu karmaşık vektör demeti olarak E ve E
demetlerinin direkt toplamına izomorfiktir:
Er
Gr
C ~ E ®E •
Kanıt : Cr karmaşık vektör uz ayını, (Uk, Vk gerçel sayılar olmak üzere)
w = (u1 + iv1, ■■■,u r + ivr) ^ (u1,v 1, ■■■,u r ,v r)
330
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
dönüşümünü kullanarak gerçel C R = R2r u z a y ı o l a r a k g ö r e l i m . Karmaşık w
vektörünü bir z = reid ile çarpmak her bir (Uk ,Vk) gerçel İkilisini
Az
( cos 0
\ sin 0
sin 0
cos 0
matrisi ile çarpmaya karşılık gelir. Bu matrisin özdeğerleri z v e z karmaşık
sayılarıdır. Dolayısıyla, A z m a t r i s i n i ancak CR®r C karmaşık vektör uzayında
köşegenleştirebiliriz. Bu durumda bu özdeğerlere karşılık gelen özaltuzaylarm
tabanları
f
= {eı - i f ı , ■■■
,e r
— i f r } ve f = { e i
+ i f l , ■■■
,e r
olur (burada { e 1, f 1, ■■■ , e r , f r} ile C R vektör uzayının standart sıralı tabanı­
nı gösteriyoruz). Diğer taraftan, z k a r m a ş ı k s a y ı s ı değiştikçe A z matrisinin
özdeğerleri değişse de ö z a l t u z a y l a r değişmemektedir, çünkü { A z }zec matris
ailesi değişmeli matrislerden oluşmaktadır.
C R ®r C ~ < f > ® < f >
ayrışımında sol taraftaki uzayın bir vektörünü karmaşık i sayısı ile çarpmak
bu vektörün sağ taraftaki iki bileşenini sırasıyla i v e —i ile çarpmaya denk
geldiğinden bu ayrışım
C R ®r C ~ Cr ® Cr
olarak yazılır. Bir noktadaki lifte yaptığımız bu ayrışımın demet üzerindeki
karmaşık yapı kullanılarak tüm demet üzerinde de yapılabileceği açıktır. Do­
layısıyla kanıt tamamlanır. □
Her karmaşık vektör demetinin sıfırmcı Chern sınıfı 1 olarak tanımlandığı
için p o( E ) = 1 olur. Chern sınıfında olduğu gibi toplam Pontryagin sınıfı
P( E ) =
^ Pi ( E )
i>0
ile tanımlanır. Eğer
P(E) = £ (—1)i Pi(E)
i>0
şeklinde tanımlanırsa aşağıdaki sonucu elde ederiz.
Sonuç 6.3.2. Her E ^ M karmaştk vektör demeti için
P(E r ) = c(E) c(E)
eşitliği sağlanır.
+
i f r}
P o ııtr y a g iıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
331
Ö rn ek 6.3.3. M karmaşık boyutu 2 olan tıkız bir manifold olsun. Ci( M )
pi ( M ) sırasıyla bu manifoldun teğet demetinin Chern ve Pontryagin sınıfları
olmak üzere
1 - pı(M ) = c( M ) c (M ) = (1 + cı(M ) + C2(M))(1 - cı(M ) + c2( M ))
elde edilir. Dolayısıyla,
p ı ( M ) = c\( M ) - 2 c2 (M ) = c2( M ) - 2 e ( M )
olarak hesaplanır. Örnek olarak, M = C P 2 alırsak, bir önceki bölümün so­
nuçlarından,
Pı ( C P 2) = c2(CP2) - 2e(CP2) = 9a2 - 6a2 = 3a2
bulunur (burada a € HD>r (CP2) sınıfı yi ne C P ı alt manifoldunun Poincare
dualidir).
Chern sınıfları doğal oldukları için Pontryagin sınıfları da doğaldır ve Whitney Çarpım Kuralı’na uyarlar:
Ö nerm e 6.3.4. f : M ^ N türevlenebilir manifoldlarm türevlenebilir bir
fonksiyonu olsun. Bu durumda her E ^ N gerçel vektör demeti için
P( f *( E )) = f *(p ( E ))
eşitliği sağlanır. Ayrıca E i ^ M , i = 1 , 2 , gerçel vektör demetleri ise
p ( E ı ® E 2) = p ( E ı) p ( E 2)
olur.
H a tırla tm a 6.3.5. Yönlendirilmiş bir gerçel vektör demetinin Euler ve Pon­
tryagin sınıfları ya da karmaşık bir demetin Chern sınıfları aslında tam sayı
katsayılı tekil kohomolojinin elemanlarıdır (bkz. [18, 25, 6, 5j). Bir X to­
polojik uzayının tam sayı katsayılı tekil kohomolojisi değişmeli bir gruptur ve
Hi( X , Z) ile gösterilir. Değişmeli bir grup mertebesi sonlu elemanlar içerebilir.
Aslında Euler sınıfı veya Chern sınıfları mertebesi sonlu kohomoloji elemanları
olan vektör demetleri vardır. Mertebesi sonlu elemanların yaratabileceği karışı­
klıklara bir örnek olarak şunu verebiliriz: Tekil kohomolojinin elemanları olarak
ele alındığında yukarıda verdiğimiz Whitney Çarpım Kuralı ancak
2p(Eı ® E 2) = 2p(Eı) p(E2)
şeklinde yazıldığında doğru olur.
Türevlenebilir bir M manifoldunun tekil kohomolojisi ile De Rham koho­
molojisi arasındaki ilişki De Rham Teoremi olarak bilinen
H Dr (M ) ~ H i(X , Z) ®Z R
332
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
izomorfizmast ile verilir. Bu ünitede ele aldığımız karakteristik sınıflar bu tekil
kohomoloji grubunun elemanları olarak tanımlanan sınıfların De Rham izomorfizması altındaki görüntüleridir. Dolayısıyla, bizim incelediğimiz karakteristik
sınıfların mertebesi sonlu olan kısımları kırpılmıştır ve muhtemel bir bilgi kay­
bı mevcuttur.
Şimdi bu önermenin bir uygulamasını verelim. M m Ç R™ bir alt manifold
olsun. Bu alt manifoldun normal demetini N ile göstererek,
T ^
= TM ®N
vektör demet toplamının toplam Pontryagin sınıfını hesaplayalım: Sol taraftaki
demet aşikar olduğundan
1 = p ( T R M) = p (M ) p(N)
elde edilir. Başka bir deyişle, Hfl R(M ) halkası için de p (M ) ve p (N ) eleman­
ları birbirinin çarpmaya göre tersidir. Bunu kullanarak normal demet hakkında
oldukça fazla bilgi edinebiliriz. Bunu bir örnek üzerinde açıklayalım.
Ö rnek 6.3.6. Önceki örnekte p l (CP 2 ) = 3a 2 olduğunu görmüştük. O halde,
eğer C P 2 Ç R™’nin bir alt manifoldu ise normal demetin Pontryagin sınıfının
H d r (C P 2 ) = R [a]/(a3) halkası içinde şu eşitliği sağladığını görürüz: 1 =
(1 + 3a 2 ) p (N ). Başka bir deyişle, p (N ) = 1 olmalıdır. Diğer taraftan, eğer
n = 5 olsaydı N demeti bir boyutlu yönlendirilebilir bir vektör demeti olurdu.
Fakat böyle bir demet aşikar olacağından p (N ) = 1 elde ederdik. O halde,
n > 6 olmalıdır. Alıştırma 16 karmaşık projektif düzlemin R 6 içine bir
gömülmesini vermektedir.
Tamamen benzer bir şekilde, C P 4 manifoldunu alt manifold olarak ka­
bul eden bir R™ Öklit uzayının en az 12-boyutlu olduğu gösterilebilir (bkz.
Alıştırma 18).
Bir sonraki önerme Pontryagin sınıflarının bazılarının Euler sınıfından doğ­
rudan hesaplanabileceğini göstermektedir.
Ö nerm e 6.3.7. Rankı 2k olan bir E ^ M
demeti için pk(E) = e(E )2 eşitliği sağlanır.
yönlendirilmiş gerçel vektör
Kanıt : E ® C (karmaşık) vektör demetinin gerçel vektör demeti ola­
rak E ® E demetine izomorfik olduğu açıktır. Fakat yönlendirmeyi hesaba
katmak için yerel çatılarla çalışalım. Yönlendirilmiş E gerçel demetinin yön­
lendirmeyi veren sıralı bir yerel {e\, ■■■ ,e 2k} çatısını alalım. Bu durumda
E ® C karmaşık vektör demetinin kanonik yönlendirmesini veren gerçel çatı
{el ,ie l , ■■■ ,e 2k ,ie 2k} olacaktır (bkz. Örnek 2.3.9). Bu çatıyı yönlendirilmiş
E ® E demetinin çatısı olan {el} ■■■, e2k, ieı , ■■■, ie2k} ile karşılaştırırsak
yönlendirmeler arasındaki fark (—1)k(2 k - 1) = (—1)k olur. Dolayısıyla, yönlü
333
P o ııtr y a g iıı K a r a k te r i s tik S ın ıfları
gerçel vektör demetleri olarak şu eşitlik sağlanır: E 0 C ~ ( - 1 ) kE ® E . Bu
durumda tanımlardan ve Hatırlatma 6.1.9’dan
p k(E
) =
=
( - 1 ) k C2k(E 0 C)
( - 1 ) k e (E 0 C)
= ( - 1 ) k e ((-1 )kE 0 E )
= e (E 0 E )
= e (E ) e (E )
elde edilir ve böylece kanıt tamamlanır. □
Bu bölümü Pontryagin sayıları ile bitireceğiz. Yönlendirilmiş tıkız 4nboyutlu bir M manifoldu alalım. Eğer k ı , k 2, ■ ■ ■ , k r > 0 tam sayıları
k \ + 2k2 ■■■+ r k r = n koşulunu sağlıyorsa
V0M
, - 0 r (M ) = / p k1(M ) p k2(M ) ■ ■ ■ p k (M )
Jm
integrali ile tanımlanan sayıya manifoldun bir Pontryagin sayısı denir. Pontrya­
gin sayıları Euler sayısı gibi birer tam sayıdır (bkz. Alıştırma 17). Şimdi bu
manifoldun (4n + 1)-boyutlu yönlendirilmiş t ikiz bir W manifoldunun sınırı
olduğunu kabul edelim: M = d W . Ş ^ M bir boyutlu aşikar gerçel vektör
demeti olmak üzere T *W \M = T *M 0 Ş olduğundan, Pi( W )\M
İM = Pi( M ) (W
manifoldunun karakteristik sınıfının içerme fonksiyonu ile M manifolduna
geri çekilmesi) olacaktır. Bu durumda Stokes teoreminden
pkl,k2 ,■■■,kr (M)
—
/
pk1(M ) pk2(M ) ■■■ pkr(M )
M=dW
f
pk1(W) pk2(W) ■■■ pkr(W)
İM=dW
‘ d p 1(M ) pk2(M ) ■■■ pkr(M ))
!W
JW
= 0
0
elde ederiz. Başka bir deyişle, yönlendirilmiş tıkız bir manifoldun sınırı olan
bir manifoldun tüm Pontryagin sayıları sıfırdır. Aslında bu teoremin tersi de
doğrudur. Fakat kanıtın içeriği bu kitabın kapsamını aştığı için, burada ver­
meyeceğiz.
T eorem 6.3.8 (Rene Thom). M yönlendirilmiş tıkız 4n-boyutlu bir manifold
olsun. Bu manifoldun tüm Pontryagin sayılan sıfır ise sının, M manifoldu­
nun sonlu sayıdaki kopyasının ayrık birleşimi olan, tıkız yönlendirilmiş bir W
manifoldu vardır.
Karakteristik sınıflar hakkında yazılmış ve en fazla kabul görmüş kaynaklar
[26] ve [5] numaralı referanslardır.
334
6.4
K a r a k te r is tik S ın ıfla r
7-B oyutlu E gzotik K üreler
Kitabın son bölümünü Milııor’un ünlü 7-boyutlu egzotik kürelerine ayıracağız.
Milııor 1956 yayınladığı [24J numaralı makalesinde 7-boyutlu standart küreye
lıomeomorfik olan ama difeomorfik olmayan ınanifoldlarm varlığını kanıtladı ve
bu küreleri egzotik olarak adlandırdı (bu kürelerden tam olarak 28 tane olduğu
Miclıel Kervaire ile beraber yaptığı 1963 tarihli bir başka makalede gösterildi).
Milııor’a Fields Madalyası kazandıran bu çalışına diferansiyel topolojinin de
doğumu olarak kabul edilir.
Bu bölümün tamamında M = M 7 türevlenebilir yönlendirilmiş 7-boyutlu
tıkız ve sınırı olmayan bir manifoldu gösterecek. Bu manifoldım
HD r (M ) = 0 = HD r (M )
koşulunu sağladığını kabul edeceğiz. Ayrıca eğer d B 8 = M 7 olacak şekilde
türevlenebilir ve yönlendirilebilir bir tıkız B 8 manifoldu varsa bu manifoldun
sınırındaki yönlendirme ile uyumlu olacak şekilde yönlendirilmiş olduğunu ka­
bul edeceğiz. Milııor inşa ettiği kürelerin birbirlerine difeomorfik olmadıklarını
tanımlamış olduğu \ ( M ) değişmezi yardımıyla göstermiştir.
Y ardım cı T eorem 6.4.1. M ve B yukarıdaki gibi olmak üzere
h Dr (B)
^ R
)
M ^
a 2 )
B
M ^ h Dr (B ),
kuadratik formu, [a ] kohomoloji sınıfım temsil eden kapalı form,un seçim,inden
bağımsızdır ve dolayısıyla iyi tanımlıdır.
Şekil 6.4: Tıkız destekli Mayer-Vietoris kohomoloji dizisinin açık kümeleri
Kanıt : Kanıt, üç adımdan oluşmaktadır. Kanıtın ana hatlarını yazıp boş­
lukları okuyucuya bırakacağız:
335
7 -B o y u tlu E g z o tik K ü r e le r
A dım 1) [a ] = [a'\ € HDr (B ) olmak üzere a — a ' = dfi, fi € Q3(B ),
şeklinde yazalım. O halde,
a2=
a 12
İB
JB
eşitliğini göstermeliyiz. Şimdi Stokes Teoremi’ni kullanarak
/ a 2 — / a'2 =
(2a1+ dfi) A fi
JB
JB
JM
olduğunu kolayca gösterilir. Bu durumda yardımcı teoremin kanıtını tamam­
lamak için fi formunun M üzerinde sıfır olduğunu göstermek yeterlidir.
Adım 2) B manifolduna tıkız destekli kohomoloji Mayer-Vietoris dizisini
uygulamak için yukarıdaki şekilde görüldüğü üzere U ve V = M x (0,1]
seçelim. O halde, UHV = M x (0,1/2) olur. Şimdi Teorem 4.3.14’ü kullanarak
Hk(U H V ) = H k(M x (0,1/2)) —H k-1 (M ) = H kD— (M )
elde ederiz. Ayrıca, H ck (U
U
V)
=
Hk (B) =
H f R(B )
M ) olduğu açıktır. (Aslında sonuncu eşitlik için U ile B — M arasında
düzgün (proper) bir difeomorfizma olduğunun gösterilmesi gerekir. Bu detay
okuyucuya bırakılmıştır.) Şimdi de Teorem 4.3.18’i kullanarak
Hk (V, V — M ) - Hk (M ) = H kDR (M )
olduğunu gözlemleyiniz.
Tıkız destekli kohomoloji için yerel kohomoloji dizisini (bkz. sayfa 226)
(V, V — M ) İkilisi için yazalım ve yine H[d(V — M ) — H ^ ^ M ) olduğunu
kullanarak H^k(V) = 0 sonucuna ulaşalım.
Adım 3) Bu adımda ise tıkız destekli kohomoloji Mayer-Vietoris dizisini (bkz.
sayfa 229) B = U U V birleşimi için yazalım ve daha önceki adımlarda elde
ettiğimiz sonuçları kullanarak
• ^ h Dr (m ) ^ H4(B — M ) ^ h Dr (B) ^ h Dr (m ) ^
^
tam dizisini elde edelim. Şimdi H ^ r (M ) = 0 = H ^ r (M ) koşulunu kullanırsak
Hf. (B —M ) —H r r (B ) izomorfizmasmı elde ederiz. Bu izomorfizma sayesinde
birinci adımda ele aldığımız tüm türevlenebilir formların M = dB sınırına
kısıtlanışlarının sıfır olduğunu kabul edebiliriz. Son olarak, birinci adımdan
dolayı kanıt tamamlanır. □
B = B 8 manifoldu üzerinde tanımladığımız bu formun endeksini t (B)
ile göstereceğiz. Kuadratik formun endeksini şu şekilde hesaplayabiliriz. Bu
form bize H f r (B) gerçel vektör uzayı üzerinde aş ağıdaki eşitlik yardımıy­
la tanımlanan bir simetrik bilineer form verir: < [a], [fi] > =
Q([a]) = < [a], [a] > olmak üzere
Q ([a] + [fi]) = Q ([a]) + Q ([fi]) + 2 < [a/ [fi] > •
JB
a A fi ve
ve
Hk (U) —
336
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Bu simetrik formun herhangi bir tabandaki matris gösterimi simetrik olacağın­
dan gerçel sayılar üzerinde köşegenleştirilebilir. Bu durumda formun endeksi,
t (B), elde edilen köşegen matrisin pozitif özdeğerlerinin sayısı ile negatif özdeğerlerinin sayısının farkı olarak tanımlanır. Tanımı gereği t (B) bir tam
sayıdır ve manifoldun yönlendirmesine duyarlıdır:
t ( —B) = - t (b ) •
Yine aynı kuadratik form kullanılarak B manifoldunun Pontryagin sayısı
şu şekilde tanımlanır:
q(B) = Q(p ı (B)) =
p j (B) •
Jb
(Hem birinci Pontryagin sınıfını hem de bu sınıfı temsil kapalı formu p ı (M ) ile
gösteriyoruz.) Sonuç 6.4.7’den dolayı q(B) bir tam sayıdır. Milnor’un \ ( M )
değişmezi aşağıdaki teorem sayesinde 2q(B) — t (B) tam sayısının (mod 7)
denklik sınıfı olarak tanımlanır:
X(M ) = 2q(B) —t (B) (mod 7) •
Teorem 6.4.2. 2q(B) —t (B ) tam sayısının (mod 7) denklik smıfi B ma­
nifoldunun seçiminden bağımsızdır ve sadece M ile belirlenir. Dolayısıyla,
X(M ) değişmezi iyi tanımlıdır.
Teoremim kanıtına geçmeden önce iki önemli sonucunu ele alalım. Diyelim
ki M dördüncü Betti sayısı sıfır olan türevlenebilir yönlendirilmiş tıkız bir
B manifoldunun sınırı olsun: M = dB ve
r (B) = 0. Bu durumda
2q(B) —t (B) tam sayısı sıfır olacağından X(M ) = 0 elde edilir. O halde,
aşağıdaki sonucu kanıtlamış olduk.
Sonuç 6.4.3. Eğer X(M ) değişmezi sıfırdan farkh ise M manifoldu dördün­
cü, Betti sayısı sıfır olan türevlenebilir yönlendirilmiş tıkız bir B manifoldunun
sınırı olamaz.
B manifoldunun (ya da sınırı olan M manifoldunun) yönlendirmesini
değiştirirsek, t (M ) değişmezine benzer şekilde, X(M ) değişmezinin de işare­
tinin değişeceği açıktır: X(—B) = —X(B). Başka bir deyişle aşağıdaki sonucu
elde etmiş olduk.
Sonuç 6.4.4. Eğer X(M ) değişmezi sıfırdan farklı ise M
yönü değiştiren bir difeomorfîzması yoktur.
manifoldunun
Teorem 6-4-2’in Kanıtı: Kanıt iki adımdan oluşmaktadır.
A dım 1) B 8 ve B | yönlendirilmiş sınırları M 7 olan türevlenebilir yönlen­
dirilmiş tıkız manifoldlar olsunlar. B 2 manifoldunun yönünü ters çevirerek bu
337
7 -B o y u tlu E g z o tik K ü r e le r
iki manifoldu ortak sınırları boyunca yapıştırarak türevlenebilir tıkız ve sınırı
olmayan C = B 1Ua—B 2 manifoldunu elde edelim. Bu manifoldun kesişim for­
munun endeksi manifoldun Pontryagin sayıları cinsinden şu şekilde ifade edilir
(bu formülün kanıtı kitabımızın kapsamını oldukça aşmaktadır; bkz. [19], s. 12,
86):
T (C )
= 45 j c 7P2(C) - p l(C )
.
Buradan
45r (C ) + q(C) = 45r (C ) + / pj(C ) = 7 I p2(C) = 0
Jc
Jc
(mod 7)
.
En sondaki denklik Pontryagin sayılarının tam sayı olmasının sonucudur. Öner­
me 6.2.7’den dolayı p2(C) = c4(T*C ® C) = e((T*C ® C) r ) olur. Başka bir
deyişle, bu Pontryagin sayısı gerçel bir demetin Euler sayısıdır ve her Euler
sayısı bir alt manifold kesişimine eşit olduğu için tam sayıdır. Diğer Pontrya­
gin sayısı p \(C ) için ise bir sonraki paragrafta kanıtlayacağımız p \(C ) =
p 2(B ı) —p \(B 2) eşitliğini ve Sonuç 6.4.7’yi kullanabiliriz. Buradan da
2q(C) —t (C) = 0
(mod 7)
elde edilir.
Adım 2) Bu adımda yukarıda ele aldığımız manifoldlar için
t
(C) = t (B ı ) — t (B 2)
ve
q(C) = q(B ı ) —q(B 2 )
olduğunu kanıtlayacağız. Bunun için C = B 1 U—B 2 manifoldunun bileşenleri­
nin ortak sınırı olan M = d B 1 = —d B 2 alt manifoldunun bir tüp komşuluğunu
N = M x (—1,1) ele alalım ve U = B 1 U N , V = —B 2 U N açık kümeleri
için tıkız destekli Mayer-Vietoris dizisini yazalım:
-------- ►
Hk (U
n V)
Hk (U) ® Hk (V) ^ Hk (U U V)
H k + 1 (U n V) ^ • • ^ .
Şimdi yine Yardımcı Teorem 6.4.1’de olduğu gibi H k(Bi U N ) ~ H k (Bi —M ),
i = 1, 2, ve B i manifoldlarmm üçüncü ve dördüncü De Rham kohomolojile­
rinin sıfır olduğunu hatırlayarak aşağıdaki değişmeli diagramı elde ederiz:
H 4 (C)
^
HDR(C)
H 4 (B ı — M ) ® H 4 (B 2 — M )
^
^
> H DR (B 1)
®
H DR(B 2)
Bu diagramdaki tüm oklar birer izomorfizmadır. Aslında yukarıdaki yatay izomorfizmayı yukarıdaki Mayer-Vietoris dizisinden elde etmeyi size alıştırma
olarak bırakıyoruz. Diğer taraftan, soldaki düşey izomorfizam ise bir eşitlik.
Son olarak, diğer iki düşey izomorfizma da Yardımcı Teorem 6.4.1’in kanıtının
338
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
üçüncü adımının bir sonucudur. Ayrıca, yatay izomorfizmalar içerme fonksiyon­
larının ürettiği homomorfizmalardır. Bu değişmeli diyagram bize
r (C ) =
Hf.(C) içinden alacağımız her a s ı n ı f ı n ı n Pi € Hf.(Bi —M ), i = 1, 2, olmak
üzere a = Ş 1 + P2 t e k b i r ş e k i l d e y a z ı l a b i l e c e ğ i n i ve Pi sınıflarını temsil eden
kapalı formların desteklerinin birbirinden ayrık seçilebileceğini göstermektedir.
Dolayısıyla, a 2 = P2 + P | y a z a b i l i r i z . O h aide, t (C ) = t (B 1) — t (B2) eşit­
liği kanıtlanmış oldu. q(C) = q(B1) —q(B2) eşitliği için ise ayrıca Pontryagin
sınıfının doğal olduğunu kullanmalıyız. Başka bir değişle, p 1(C) sınıfını içer­
me fonksiyonu yardımı ile B i üzerine geri çektiğimizde p1(Bi) sınıfını elde
ederiz. Böylece kanıt tamamlanır. □
S 4 Küresi Üzerindeki R4-demetleri: Bu alt bölümde S4 birim küresi
üzerinde, kuaterniyon çarpımı yardımıyla tanımlayacağımız R4-demetlerinin
Euler ve Pontryagin karakteristik sınıflarını hesaplayacağız. Bu ve bundan son­
raki bölümde H = R4 ile kuaterniyonlar vektör uzayını (doğrusunu) göste­
receğiz. Bu uzayı standart yönlendirmesiyle düşünelim: {e1,e2,e 3,e4} veya
{1, i, j, k}. Bu doğrunun tipik bir elemanı p = (a,b,c,d) = a + ib + jc +
kd, a,b,c,d € R şeklinde olup R-vektör uzayı yapısına sahiptir. Aslında
kuaterniyonlar bir cebir oluşturur. İki kuaterniyonun çarpımı
i2 = j 2 = k2 = —D e ij = k, j i = —k, j k = i, k j = —i, ki = j, ik = —j,
çarpım tablosu ile tanımlanır. Karmaşık sayılarda olduğu gibi p = (a, b, c, d) =
a + ib + jc + kd kuaterniyonun eşleniği p = (a, —b, —c, —d) = a — ib —jc —kd
ve boyu (uzunluğu veya normu) ||p|| = \/pp = Va2 + b+c2 + d2 şeklinde
tanımlanır. Birim boylu karmaşık sayılar S 1 birim çemberini oluştururken
birim uzunluğa sahip kuaterniyonlarm kümesi S 3 birim küresidir. Sıfırdan
farklı her kuaterniyonun çarpma işlemine göre tersi vardır ve
p-1 = - = T p 2 , P € H* = H —{0},
p IIp II2
ile verilir. Ayrıca, oldukça kullanışlı olan şu eşitliği de görelim: Her p,q € H
için, pq = q p.
Dört boyutlu küreyi iki kuaterniyon doğrunun birleşimi olarak şu şekilde
yazalım: S 4 = H LJ H /p p(p) = 1/p , p € HA p fonksiyonu yönü koruduğu
için k a u t e r n i y o n l a r üzerine koyduğumuz yönlendirme küreyi de yönlendirecek­
tir. Örnek 2.1.10 içinde birim küreyi
S 2 = C P 1 = C LJ C / z ~ p(z) = 1/z , z € C —{0},
ve teğet demetini de
T*CP1 = T*C LJ T*C /(z ,w ) ~ (p(z), p (z)(w )) = (1/z, —w /z 2),
(z,w ) € C — {0} x C = T*(C — {0}), şeklinde ifade etmiştik. Dört boyutlu
kürenin teğet demeti için yine p(p) = 1/p, fonksiyonun türevini hesaplayalım:
339
7 -B o y u tlu E g z o tik K ü r e le r
Sıfırdan farklı bir p € H* noktası ve herhangi bir v € TpH* ~ H teğet vektörü
alalım. İşlemler sırasında kuaterniyon cebirinin değişmeli olmadığını göz önüne
alarak dikkatli olmaya çalışacağız. Bu durumda,
lim ^(P + hv) P)
h—
—
—
0
h
lim (P + hv)/\\p + h v \\2 - p/\\p\\2
h—
—
—
0
h
0 '(p)(v)
h—Î0 \\p + hv\\2
1
lim
h—0 p + hv
(p + hv)
2
l i m ----- -— (—vp)
h—0 p + hv
2 —(P + hv)p]
— \\p\\2 —hvp]
1
1
h \\p\\
2
1
MF
1
l i m ----- -— v h—0 p + hv p
1
1
— v p p
elde ederiz. O halde, teğet demetini
T* S 4
T*H LJ T*H / (p, v) ~ (1 /p ,1 v ^)
p p
p € H*,
şeklinde yazabiliriz (türevin önündeki eksi işaretini kaldırdığımızda yine aynı
demeti elde ettiğimizi gözlemleyiniz; çünkü H* için d e 1 ve —1 noktalarını
birbirine bağlayan bir eğri vardır).
Şimdi Milnor’un S4 üzerinde ele aldığı £h,j ^ S4 demetinin tanımını
verebiliriz: Herhangi iki h ,j tam sayısı için
£h,j = H x H LJ H x H /(p ,v) ~ (1/p,phvpj ) , p € H*.
Bu durumda T*S4 = Ş -ı,-ı demetidir (bizim tanımlarımız ve gösterimimiz
Milnor’m orijinal makalesindekilerden biraz farklıdır fakat bu durum herhangi
bir karışıklığa yol açmayacaktır). Hem lif hem de taban kuaterniyon vektör
uzayını standart yönlendirmesiyle düşünelim.
H a tırla tm a 6.4.5. Eğer h + j < 0 ise, her iki yerel koordinat sisteminde de,
Si : H ^ T*H, p ^ (p, 1 + p- h - j ), i = 1, 2,
ifadesi ile verilen yerel kesitler pj s 1(p)ph = s2(1/p) eşitliğini sağladığı için
£h,j demetinin bir kesitini verir. Bu kesiti ve Alıştırma 20’in sonucunu kulla­
narak demetin Euler sayısının —(h + j ) olduğunun gösterilmesini size alıştır­
ma olarak bırakıyoruz (bkz. Alıştırma 22). Bu sonucun e(S4) = 2 gerçeğiyle
uyumlu olduğunu gözlemleyiniz.
340
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Diğer taraftan, h + j > 0 durumunda ise küçük bir hileye başvurmak
yardımcı olabilir. fh,j demetini belirleyen (p ,v ) ^ (1/p,phvpj ) yapıştırma
fonksiyonu
(t, (p ,v )) ^ (1/p,
ph
t + (1 —
pj
h t + (1 —
j ) , t e [0,1],
pp
homotopisi yardımıyla (p,v) ^ (1/p, pp v || || j ) yapıştırma fonksiyonuna
homotopiktir. Homotopik yapıştırma fonksiyonlarının izomorfik demetler ver­
diği kolayca gösterilebilir. (Alıştırma 9, Adım 2 istenilen izomorfizmanın nasıl
kurulacağının ip uçlarını verir; alıştırmadaki manifoldu M = S4 almak an­
lamak için yeterli olacaktır. Ayrıca sayfa 168 ’de bulunan Evrensel Demetler
başlığı altındaki açıklamaya da bakınız.) Yapıştırma fonksiyonunu bu şekilde
seçmek bize p kuaterniyonunun birim vektör alınabilmesi avantajını vere­
cektir. Şimdi her bir lifin üzerindeki yönlendirmeyi v ^ u = v koordinat
değişikliğiyle tersine çevirelim. Artık p birim boylu olduğu için p-1 = p ve
phvpj = p j’vp
vp h eşitlikleri sağlanır. Dolayısıyla, vektör demetinin (sadece
liflerin) yönünü ters çevirmek yapıştırma fonksiyonunu
(p,u) ^ (1/p,p j up h)
fonksiyonuna homotopik yapacaktır. Başka bir deyişle, fh,j demetinin yönünü,
değiştirince İ - j~ h demetini elde ederiz: —^h,j = İ - j-h - O halâ e, h + j > 0
durumunda da dem,etin Euler sayısı yine
e(İh,j) = —e(—İh,j) = —e(İ-j,-h ) = —(h + j)
olur.
Yukarıdaki hatırlatmada kullandığımız tekniği bu sefer hem taban manifol­
du S 4,ün hem de lifin yönünü değiştirerek tekrar uygulayalım. Bu durumda,
(p,v) e H* x H değişkenler ini (q,v) = (p,v) değişkenleri ile değiştirmek,
Şh,j demetini belirleyen (p,v) ^ (1/p,phvpj ) yapıştırma fonksiyonunu, fj,h
demetini belirleyen (q,v) ^ (1/q,qj vqh) yapıştırma fonksiyonuna homoto­
pik olan bir fonksiyona dönüştürecektir. Dolayısıyla, hem tabanın hem de lifin
yönünü değiştirmek fh,j demetin i İ jp a dönüştürür. Şimdi de bu değişi­
min p 1 karakteristik sınıfını nasıl etkilediğini görelim. H = R4 lifinin yönünü
değiştirmek bu lifin karmaşık sayılarla tensör çarpımının doğal yönlendirmesini
değiştirmez (bkz. Örnek 2.3.9). Dolayısıyla, fh,j ®r C ^ S4 demetini
f : S4 = H Û H / ------ > H Û H / ~ = S4 , p ^ p,
fonksiyonu ile geri çekersek fj,h ®r C ^ S 4 demetini elde ederiz. Doğrudan
hesap yaparak f * :
r (S4) ^ H ^ r (S4) , f *(a) = —a olduğu kolayca
341
7 -B o y u tlu E g z o tik K ü r e le r
görülebilir ( / *(dx\ A dx 2 A dx3 A dx4 ) = —dx ı A dx 2 A dx 3 A dx4 olduğunu
gözlemlemek yeterlidir). O halde,
Vı((j,h) = Pı( / *(h
)) = f *(p ı (h )) = —Pı{(h,j)
elde ederiz.
Sonuç 6.4.6. Her k € Z tam sayısı için p ı (^k,k) = 0 olur. Dolayısıyla,
Pı(S4) = pı(£_ı _ı) = 0 ’dır.
Aslında yukarıda yaptıklarımızı bir adım daha ileri götürebliriz: Her p,q €
H için, pq = q p olduğundan sabit bir p = 0 değeri için, aşağıdaki gibi
tanımlanan
: R4 = H
H = R4 , v ^ vp,
ve
-02 : R4 = H
H = R4 , v ^ vp = p v ,
fonksiyonları doğrusal izomorfizmalar uzayı içinde homotopik olmasalar da (de­
terminantlarının işaretleri terstir) bu doğrusal fonksiyonların kompleksifikasyonları
0 ı ® idC : C4 = H ®R C ^ H ®R C = C4 , v ^ vp,
ve
0 2 ® idC : C4 = H ®R C ^ H ®R C = C4 , v ^ vp = p v ,
karmaşık doğrusal izomorfizmalar uzayı içinde homotopik olacaklardır, çün­
kü C* için d e 1 noktasım —1 noktasına bağlayan bir eğri vardır (bu eğri
kullanılarak homotopi yazılabilir). O halde, idC ile tensör edildikten sonra,
(p,v) ^ (1/p,phvpj ) yapıştırma fonksiyonu (p, v) ^ (1/p, ||p||2ph - ıvpj-:L)
ve dolayısıyla (p,v) ^ (1/p,ph-1vpj-1 ) yapıştırma fonksiyonuna homoto­
pik olacaktır. Ayrıca, demetin herhangi bir yarısında lifin yönünü değiştirmek
kompleksifikasyonu değiştirmeyeceği için, bu yapıştırma fonksiyonu da (idC ile
tensör edildikten sonra)
(p,v) ^ (1/p,ph ıvpj l )
yapıştırma fonksiyonuna homotopik olacaktır. Başka bir deyişle,
p ı (İh,j) = p ı (İh -ı,j-ı)
olur. Son olarak bu formülü defalarca uygulayarak p ı (^h,j) = pı (£,h- j,o) elde
ederiz. İşimizi bir parça daha kolaylaştırmak için derecesi h olan
gh : S 4 = H Û H / -------> H Û H / ~ = S 4 , p ^ ph,
fonksiyonu için gh(£ ı ,o) —Ch,o olduğunu gözlemleyiniz (bkz. Alıştırma 21). Bu
durumda, p ı( £ h , o) = p ı( g h ( 6 ,o)) = g*h(p ı ( 6 ,o)) = deg(g h )p ı( £ ı ,o) = h p ı ( 6 ,o)
elde ederiz.
342
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
Şimdi, p ı (£ı,0) sınıfını hesaplamak için yine küçük bir hileye başvuracağız.
Genelde £h,j
S 4 demetleri karmaşık yapı kabul etmeseler de (bkz. Alıştır­
ma 22) £ı,o ^ S4 demeti üzerinde karmaşık yapı vardır. Bunu görmek için
p ,v € H kuarterniyonlarmı
p = a + ib + jc + kd = A + j B , A = a + ib, B = c — di
ve
v = e + i f + jg + kh = C + jD , C = e + if, B = g — hi,
şeklinde C2 içinde karmaşık vektörler olarak yazalım. Bu durumda p ■v
kuaterniyon çarpımı
p ■v <— >
' A
B
—B
A
C
D
karmaşık matris çarpımına dönüşecektir. Bu durumda demetin vektörleri üzerin­
deki karmaşık yapı
(v, z) ^
skaler çarpımı ile
formun sınıfını v
Pontryagin sınıfı
Dolayısıyla, £h,j
C
D
Cz
Dz
z
z € C,
verilebilir. S 4 küresi üzerinde integrali bire eşit olan bir 4ile gösterelim. O halde, bu karmaşık vektör demetinin birinci
p1(£1,0) = —2e(£1;0) = 2v olacaktır (bkz. Sonuç 6.3.2).
demetinin birinci Pontryagin sınıfı ise
Pı(£h,j} = P ı(£h-j,o} = 2(h —j }v
olarak hesaplanır.
Sonuç 6.4.7. Taban ve lifler yukarıdaki şekilde yönlendirildiğinde
Pı(£h,j} = 2(h —j) v
ve
e(£h,j} = —(h + j) v
olur.
M ilnor’un Egzotik Küreleri: Verilen herhangi bir k tek tam sayısı için
h + j = —1 ve h —j = k olacak şekilde, h, j tam sayıları seçelim. £h,j ^ S 4
demetinin birim disk demetinin toplam uzayını B f = Bk ve bu manifoldun
sınırını oluşturan S 3 demetinin toplam uzayını da Mk = Mk = d B f ^ S 4
ile gösterelim. Her iki demet daha önce ele aldığımız şekilde yönlendirilmiş
olsunlar. Bu durumda, Mk manifoldunun A değişmezi aşağıdaki gibidir:
Yardımcı Teorem 6.4.8. Yukarıdaki gösterimi kullanırsak
A(Mk} = k2 —1
olur.
(mod 7)
343
7 -B o y u tlu E g z o tik K ü r e le r
Kanıt : Herhangi bir vektör demetinin toplam uzayının bir noktasındaki
teğet uzayı o noktayı içeren lifin teğet uzayı ile o noktanın üzerinde bulunduğu
taban noktasının teğet uzaylarının direkt toplamıdır. Dolayısıyla, herhangi bir
(p , [v]) € B k noktası için T (pv ) = TpS 4 ® T v]( f h,j) p olur. Başka bir deyişle,
n : B k ^ S 4 demet projeksiyonun olmak üzere
= n *(T *S 4)
T B
® n *( h
) .
O halde, Whitney Çarpım Kuralı’ndan, a = n *(v) olmak üzere,
P ı ( B k)
= n*(pı (T *S 4)) + n *(p ı (£ h,j)) = 0 + 2(h —j )a = 2 k a
olarak hesaplanır. Diğer taraftan, h + j = —1 olduğundan fh,j demetinin
Euler sımfi —(h + j) v = v olur.
İddia:
/ a 2 = 1.
JB
iddianın kanıtı: n * :
r (S4) ^
R(B k) homomorfizması bir izomorfizma
oluğu için a € H f)R(B k) kohomolojinin bir üretecidir. Bu disk demetinin
sıfır kesitini S4 C B k ile gösterelim. Bu alt manifoldun Poincare duali ise
P € Hd
4 r (B k) olsun. O halde, fi = a a olacak şekilde bir a € R sayısı
vardır, n : B k ^ S4 ^^^^^^^^Euler sayısı 1 olduğu için bu kesit kendisini
bir noktada keser. Başka bir deyişle
1 = S4 Ç S4 = / f = t f 2
JS4
J Bk
olur. Diğer taraftan, tanımı gereği / a
S4
a
1 elde eder iz. □
1 olduğund an f = a ve dolayısıyla
Bk
Bu durumda, t (Bk) = 1, q(Bk) = / p2(Bk) = 4k2 ve dolayısıyla
JBk
^(M k) = 2q(Bk) —t (Bk) = 8k2 — 1 = k2 — 1 (mod 7) elde edilir ve kanıt
tamamlanır. □
Artık ana sonucu vererek bu bölümü bitirebiliriz.
Teorem 6.4.9. Her tek k € % tam sayısı için Mk manifoldu standart
S 7 küresine homeomorfiktir. Diğer taraftan, eğer k € % tam sayısı k 2 —
1 = 0 (mod 7), koşulunu sağltyorsa Mk manifoldu standart S 7 küresine
difeomorfik değildir.
Kanıt : Mk manifoldu, fh,j demetinin içindeki birim küre demetinin
toplam uzayı olduğu için
Mk = H x
S
3ÛH x
S
3 /(p, v) - (1/ p , j p h + f P V
) ,P € H*,
344
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
şeklinde ifade edilebilir. Fakat bizim durumumuzda h + j = —1 olduğundan
denklik bağıntısı (p, v) ~ (q, u) = (1/p, ||p|| phvpj ) halini alır. Milnor manifold
Re(v')
üzerinde F : Mk ^ R fonksiyonunu şöyle tan imliyor: (p,v) ^
V I + IİP İI2
ve diğer koordinat sisteminde ise
w = q u, = p , M p q p " ■ ||w|| = u s
olmak üzere
Re(w)
Re
pP v ph^j
V I + ||w ||2
1
1+
2
||p|| R e ( ^ p
V î + M
v ph^j
2
Re (pj+1 v ph
2
y ır
p ‘+j+1 y \
Re ( p'
V1 + ||p ||2
Re (p0 v)
2
p 1+
Re(v)
p 1+
2
Bu fonksiyonun sadece iki tane ve soysuzlaşmamış kritik noktasının olduğunun
kanıtını size bırakıyoruz. O halde, Bölüm 3’deki Alıştırma 8, Mk manifoldunun
S 7 küresine homeomorfik olduğunu kanıtlar.
Teoremin ikinci kısmı için şu şekilde ilerleyeceğiz. S7 küresi birim diskin
sınırı olduğu için Sonuç 6.4.3’den dolayı X(S7) = ü’dır. Diğer taraftan, yukarı­
daki yardımcı teoremden \(M k ) = ü olduğunu biliyoruz. Dolayısıyla, kanıt
tamamlanır. □
6.5
A lıştırm a la r
1. Hatırlatma 6.1.5’in son kısmında bulunan tümevarım adımını tamam­
layınız.
2. Teorem 6.1.8’in kanıtının birinci adımındaki
dp
] > = £
(d p )
a
d n 'k
345
A lış tır m a la r
eşitliğini kanıtlayınız.
3. Herhangi bir £ yönlendirilebilir yüzeyi üzerinde verilen ( xı , x2) sıralı
koordinat sisteminde ifade edilen bir g Riemann metriği alalım ve Dbu metriğin Clıristoffel sembollerini göstersin. Bu durumda yüzeyin Enler
sınıfı
1 d r2 2 d r} 2
F
dx\ A d x 2
dx\
dX2
)
ile verilir. Hiperbolik varı düzlem ve Poiııcare Diski için yukarıdaki for­
mu hesaplayınız. Şimdi genusu iki olan tıkız ve yönlendirilebilir bir yüzey
alalım. Bu yüzeyi Poiııcare Diski’ııin içinde merkezi diskin merkezinde
ve kenarları jeodezikler olan eşkenar bir sekizgenin bölüm uzayı olarak
görebiliriz. Bunun için sekizgenin büyüklüğünü öyle ayarlayalım ki iç açı­
ların toplamı 2n olsun. Bu durumda kenarları okların gösterdiği yönde
yapıştırırsak sekizgenin köşeleri bize yüzey üzerinde bir iç nokta verir.
Bölüm 3, Alıştırma 10 ve 11 bize yüzeyin Euler sayısının 2 —2g = —2
olduğunu söyler. Bu örneği hangi tıkız yüzeylere genişletebilirsiniz?
Şekil 6.5: Poincare Diski’nin içinde her bir iç açısı n/4 radyan olan düzgün sekizgen;
aynı harflerle gösterilen kenarları oklar yönünde yapıştırırsak genusu iki olan yüzeyi
elde ederiz. Sekizgenin alanı 4n ’dir!
Aslında bu yaklaşım Gauss-Bonnet Teoreıni’nin bir başka kanıtını verir:
Bunun için iki sonuca ihtiyacımız var. Birincisi Bölüm 3, Alıştırma l l ’de
özel bir metrik için verilen açı-alaıı ilişkisinin her Riemann metriği için
doğru olduğunu söyleyen ve Gauss tarafından kanıtlanan teorem. Diğeri
ise her yüzeyin bir üçgenlerne kabul ettiğini söyleyen ve Rado tarafından
1925 yılında kanıtlanan sonuç.4
4. Yüzeyler için sayısal eğriliğin Gauss eğriliğinin iki katı olduğunu gösteri­
niz.
346
K a r a k te r is tik S ın ıfla r
Ş e k il 6 . 6 : Torus kenarları oklar yönünde yapıştırılan d/ikdörtgenin bölüm uzayıdır.
Dikdörtgenden disk çıkartmak torustan disk çıkartmaya karşılık gelir.
(a ) iki dikdörtgenden birer disk
çıkartılarak oluşan bölgelerin, (e)
ile gösterilen sınırları boyunca,
yapıştırılmasıyla, elde edilen sekiz­
gen.
(b ) Sekizgenin kenarları oklar
yönünde yapıştırılınca, elde edilen
genus iki yüzey.
Ş e k il 6 .7
5.
Ö r n e k 6 . 1 . 1 0 ’ıı n i ç i n d e y e r a l a n
a * (u ) =
k
dS
e ş itliğ in i k a n ıtla y ın ız .
6 . S o n u ç 6 . L l l ’in k a n ı t ı n ı n 4 . a d ı m ı n d a k i G a u s s g ö n d e r i m i n i n y e r e l o l a r a k
y ö n ü k o r u m a s ı v e y a y ö n ü d e ğ i ş t i r m e s i ile ilg ili i d d i a y ı k a n ı t l a y ı n ı z .
7 . U ç b o y u t l u Ö k lit. u z a y ı n a g ö m ü l m ü ş l ı e r t ı k ı z y ü z e y i n G a u s s e ğ r i li ğ i p o ­
z itif o la n b ir n o k ta s ı m u tla k a v a rd ır, k a n ıtla y ın ız .
8.
P : M ^
N
tü r e v le n e b ilir m a n ifo ld la rın b ir ö r t ü u z a y ı o ls u n . E ğ e r
N
ü z e r i n d e b i r R i e m a n n m e t r i ğ i v a r s a b u m e t r i ğ i P y e r e l d i f e o m o r f i z m a s ı ile
M
ü z e r in e ç e k e b iliriz . B u d u r u m d a
P
b ir y e re l iz o m e tr i o lu r. G a u s s -
B o n n e t T e o r e r n i ’n i k u l l a n a r a k ik i b o y u t l u k ü r e v e y a t o r u s u n h e r h a n g i
347
A lış tır m a la r
sonlu bir örtü uzayının yine küre veya torus olduğunu gösteriniz. Diğer
taraftan, h > 2 o l m a k üzere P : I g A I h yönlendirilmiş tıkız yü­
zeylerin derecesi deg(P) = n olan bir örtü uzayı olsun. Alıştırma 3’de
önerildiği gibi I h ü z e r i n e e ğ r i li ğ i her noktada —1 olan hiperbolik
metrik koyalım. P : I g A I h y e r e l difeomorfizmasmı kullanarak I g
üzerinde de eğriliği ker noktada —1 olan metriği oluşturalım. O halde,
Gauss-Bonnet Teoremi’nden dolayı
2 —2h = X( I h) = 2 ^ f s
Ks h dS s h = —2n
dS ^h = —2n
A l a n ( I h)
ve
2 —2g = x ( I g )
1
1
2n
KSg d S Sg
sg
sg
dSsg
1
A lan (Ig)
elde ederiz. Ayrıca, yukarıdaki metrik aşağıdan P ile geri çekilen metrik
olduğundan, P y e r e l d i f e o m o r f i z m a s ı alan koruyandır. Son olarak, Ih
içinde alman yeterince küçük her diskin üzerinde aynı alana sahip tam
olarak deg(P) = n t a n e d i s k o l a c a ğ ı n d a n A lan(Ig) = n A l a n ( I h ) elde
edilir. Bu durumda, daha önce elde ettiğimiz
2
—2g = n(2 — 2 h )
g
ya da
= 1 +
n(h — 1 )
formülünü tekrar elde etmiş olduk.
Şimdi M üzerinde bir G-grup etkisi olduğunu ve örtü uzayının bir bölüm
uzayı olduğunu kabul edelim:
P
: M -A M / G = N .
Bu durumda N üzerindeki her metrik M üzerinde G-grubunu izometrilerinin bir alt grubu kabul eden bir metrik verir. Diğer taraftan,
M üzerindeki bir metrik G-grubu altında değişmez ise N üzerinde bir
metrik verir, öyle ki bu metriği tekrar M üzerine çekersek yine M
üzerindeki metriği elde ederiz.
Son olarak, G-grubunun s o n l u olması durumunda M üzerindeki her
metriğin G- e t k i s i a l t ı n d a o r t a l a m a s ı n ı alarak M ü z e r i n d e G-değişmez
bir metrik bulabiliriz. Aslında R (M ) ile M manifoldu üzerindeki
tüm Riemann metriklerinin uzayını ve R (M )G ile de bu metriklerden
G-grubunu izometrileri olarak kabul edenleri gösterirsek
R (M
) —A R (M ) G , g A G
E
0*(g)> g G R (M ) ,
gönderimi bir küçültme fonksiyonudur (R (M ) , M üzerinde tanımlı Rie­
mann metrikler kümesinin uygun bir topoloji ile donatıldığını kabul edi­
yoruz) .
348
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
9. $ : C Pr x C P s ^ C P r+s, ve J : M ^ M x M, p ^ (p,p),p € M,
sayfa 317 ve sonrasında tanımlanan fonksiyonlar olsun.
C P ~ = lim C P r = Ur C P r
r>0
sonsuz birleşimi göstersin. Burada limiti doğal C Pr ^ C P r+1 içerme
fonksiyonları yardımıyla kuruyoruz (bkz. Bölüm 1, Alıştırma 1). Eğer
f :M
C P r C C P ~ ve g : M
C P s C C P ~ iki fonksiyon ise bu
iki fonksiyonun çarpımı
f • g = $ ( f , g)
ile tanımlanır. Yine n = dim M ve s,r < k olsun. Bu durumda,
f • g çarpım fonksiyonu Önerme 6.2.2’nin 2(k + 1) > n + 1 koşulun­
dan dolayı C P k içine giden bir fonksiyona homotopiktir; kanıtlayınız.
Bu işlemin homotopi sımfarı üzerinde değişmeli bir grup oluşturduğunu
gösteriniz, [f : M ^ C P homotopi sınıfının grup işlemine göre ter­
si [f : M ^ C P ^] eşlenik fonksiyonunun homotopi sınıfı ile verilir.
Son olarak Önerme 6.2.2’i aşağıda verilen adımları izleyerek kanıtlayınız
(ayrıca bkz. sayfa 168):
Adım 1) f : M ^ C P N , p ^ f(p) = [so(p) : ••• : s n (p)] ve g :
M ^ C P N , p ^ g(p) = [r0(p) : • • • : rN (p)], verilen bir n : L ^ M n
karmaşık doğru demetinin iki sınıflandırma fonksiyonunu olsun. Demeti
L\v. ~ Ui x C
yerel çarpımları şeklinde yazalım. Kesitleri si : Ui ^ C şeklinde fonk­
siyonlar olarak görelim.
: Ui ^ CN+1 - {0} , p ^ (so(p), ••• , s n (p)), p € Ui, ve
: Ui ^ CN+1 - {0} , p ^ (ro(p), ••• , rN (p)), p € Ui,
fonksiyonlarının doğrusal homotopisi, (p) = - $ g(p) eşitliğinin sağlan­
dığı noktalarda iyi tanımlı olmayacaktır. Bu zorluğu aşmak için sınıflan­
dırma fonksiyonlarını sıfır kesitleriyle genişletelim:
f : M ^ C P 2N+1 , p ^ f (p) = [so (p') : ••• : s n (p) : 0 : • •• : 0]
ve
g : M ^ C P 2N+1 , p ^ g(p) = [r0(p) : • • • : rN (p) : 0 : • • • : 0] .
Ayrıca
h : M ^ C P 2N+1 , p ^ f(p) = [0 : •• • : 0 : so(p) : ••• : s n (p)
sınıflandırma fonksiyonu tanımlayalım. Şimdi
fonksiyonunun hem
fonksiyonuna hem de $g fonksiyonuna homotopik olduğu açıktır.
349
A lış tır m a la r
Son olarak bu homotopilerin &N+ı ^ C P 2N+1 demet iz düşüm fonk­
siyonu ile bileşkesini alarak / ve g fonksiyonlarını birbirine bağlayan
h o m o t o p i y i elde ederiz. Dolayısıyla, her bir karmaşık doğru demeti tek
bir (sınıflandırma fonksiyonu) homotopi sınıfı belirler.
Adım 2) Homotopik / : M ^ C P N ve g : M ^ C P N fonksiyonlarının
belirlediği / *(^n ) ve g *(^ N) demetlerinin izomorfik olduğunu görelim.
Homotopiyi
/t
: M ^ C P N , (p ,t ) ^ [So(p ,t ) : ••• : s n (P ,t )],
/ o = /,
/ ı = g ş e k l i n d e y a z a l ı m . İlk önce M manifoldunun tıkız
olduğunu kabul edelim. Manifold tıkız olduğu için [0 ,1 ] aralığını son­
lu sayıdaki [ai, bi] aralıklarının birleşimi olarak yazabiliriz, öyle ki bu
aralıklardan herhangi birisi için
M x [a, b] = Ui Ui x [a, b],
şeklinde yazılır ve her (p ,t ) € Ui x [a, b] iç i n Si(p ,t ) = 0 eşitsizliği
sağlanır. Kanıtı bitirmek için / a (^ N ) ve /£(£ n ) demetlerinin izomorfik
olduğunu göstermek yeterlidir. Bu iki demet arasındaki izomorfizmayı
her bir Ui açık kümesi üzerinde şu şekilde tanımlayalım:
^
i(P) : / a (( N)p ^ / b (( N)p , v ^ ^ i(p )( v ) = ^ Ü ) • V ■
Diğer taraftan herhangi bir t € [a, b] değeri için, f t (Ş,N) demetinin
Ui x {t} ve Uj x {t} açık kümelerine kısıtlanışları arasındaki geçiş
fonksiyonu
v~ <
p v (p ’ t) ( v > = S
ğ
1t) •v
ile verilir. Son olarak
^ j (P ^ i j (P,a)(v))
Sj PPÜ • v = ^ i j (P’ b)(^ i (P)(v))
olduğundan kanıt tamamlanır. Manifoldun tıkız olmadığı durumun kanı­
tını okuyucuya bırakıyoruz.
10. Yukarıdaki alıştırmayı gerçel projektif uzay için tekrar ediniz. Bu durum­
da R P ^ uzayı gerçel doğru demetlerinin sınıflandırma uzayı olacaktır.
[M, R P ^] homotopi sınıflarının kümesi bir 2-grup oluşturur. Başka bir
deyişle birim eleman dışındaki her elemanın mertebesi ikidir.
11. Önerme 6.2.4’ü kanıtlayınız.
350
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
12. Teorem 6.2.5’i kanıtlayınız. Bunun için ilk önce sayfa 319’de oluşturduğu­
muz yapıları hatırlayalım: n° : E ^ M 1 < r-boyutlu bir vektör demeti
olmak üzere ve bu demetin projektivasyonunu
C Pr - 1 ^ P (E ) ^ M
ile gösterelim. Ayrıca n : P ( E ) ^ M 'm düşüm fonksiyonu yardımıyla
n° : E ^ M vektör demetinin geri çekmesinin
0
Lı
n*(E)
Qı
0
şeklinde bir tam diziye oturduğunu görmüştük. Başka bir deyişle,
n*(E) ~ L ı ® Q ı
karmaşık vektör demeti izomorfizmasım elde ederiz. Burada Q 1 rankı
r — 1 olan bir karmaşık vektör demetidir. Ayrıca n : P ( E ) ^ M iz
düşüm fonksiyonunun kohomolojide verdiği bire bir
n* : H*Dr ( M ) ^ H*DR(P (E ))
homomorfizması yardımıyla HDr (P (E )) cebirinin bir serbest HDr ( M )modülü olduğunu görmüştük. Şimdi de n 1 : P ( Q 1) ^ P ( E ) projekti­
vasyonunu kullanarak benzer şekilde
(n o m )* (E ) ~ n*(L 1 ® Q 1) ~ n*(L 1) ® L 2 ® Q 2
ayrışımını elde ederiz. Aynı nedenlerden dolayı kohomoloji seviyesindeki
( n o ^ 1)* : HDr ( M ) ^ HDr ( P (Q1)) homomorfizmasmm bire bir olduğu
açıktır. Bu şekilde ilerleyerek elde edeceğimiz Qr - 1 manifoldu n° :
E ^ M demetini doğru demetleri toplamına dönüştürecek aradığımız
uzay olacaktır: 0k = n 1 o ■■■o
k = 1, ■■■,r — 1, olmak üzere
(n o 0 r - 1)*(E) ~ 0*- 1(L 1) ® 0*- 2 (L 2) &■■■& 0*(Lr- 1) ® Lr .
13. Örnek 6.2.10’da C P 1 x C P 1 içindeki cebirsel eğriler için verilen DereceGenus Formülü’nü kanıtlayınız.
14. Bu alıştırmada şu ana kadar iki farklı kanıtını sunduğumuz Derece-Genus
Formülü’nün bir diğer kanıtının ana hatlarını göreceğiz. Şekil 6.8a’daki
dört doğrunun denklemleri h ( x , y ), i = 1, 2, 3, 4 olsun. Bu durumda
aynı şekildeki dört doğru,
f (x,y) = h (x ,y ) h(x ,y ) I3 (x,y) h(x,y )
çarpım polinomu olmak üzere f (x, y) = 0 denkleminin çözüm kümesidir.
Bu polinomu aynı zamanda f : R 2 ^ R fonksiyonu olarak görelim ve
351
A lış tır m a la r
R2 C C2 C CP2 (x,y) ^
(x ,y ) ^ [x : y : 1], içinde rastgele dört doğrudan oluşan dejenere
kuartik eğri.
(x,y) ^ (x,y) ^ ([x : 1], [y : 1]),
içinde ikili derecesi (4, 3) olan de­
jenere eğri.
Şekil 6.8
Sard Teoremi’ni kullanarak bu fonksiyon için bir e > 0 düzgün değeri
seçelim. O halde, f (x , y) — e = 0 denkleminin çözümü bir boyutlu
tiirevleııebilir bir ınanifold olacaktır. Şimdi bu poliııoınun homojen halini
F ( z o ,z ı ,Z 2 ) = z2 f (z o /z 2 ,Z ı /z 2 ) — ez%
olarak yazılır. Hemen hemen her e > 0 için, F (z0,z ı,z 2) = 0 eğri­
sinin C P 2 karmaşık projektif düzlemi içinde türevlenebilir bir yüzey
olduğunu gösteriniz. Diğer taraftan, z \ f (z0/ z 2, z 1/ z 2) = 0 dört kar­
maşık doğrunun birleşimidir. Bu doğrular R2 C R P 2 C C P 2 içinde
yukarıdaki şekilde kesişirler. Şekildeki dejenere eğriyi türevlenebilir yap­
mak için kullandığımız e > 0 sayısını yeterince küçük seçerek eğrinin
tekil noktalarının küçük bir komşuluğu dışında değişmediğini kabul ede­
biliriz. Diğer taraftan, sadece kesişim noktalarından oluşan tekilliklerin
hepsi denklemin yerel olarak
z0 z 1 = 0 ^ z0 z 1 = e1 = 0
şeklinde değişmesi ile yok olurlar. Eğrinin topolojisi şu şekilde değişir:
Her kesişim noktasının her iki küreden birer disk komşuluğu çıkarılır ve
oluşan iki sınır çemberi bir silindir (z0 z 1 = e' denklemi karmaşık düz­
lem içinde bir silindir belirler) ile birbirine bağlanır. Başka bir deyişle,
Şekil 6.Saldaki dört küre (gerçel doğruların karmaşık projektifikasyonları) kesişim noktaları yakınında birbirine tüplerle bağlanır. Oluşan yeni
yüzeyin cins sayısı üç olan yüzey olduğu açıktır! Aslında Enler sayısı
hesabından da oluşan yüzeyin cins sayısının üç olduğu görülebilir. Dört
kürenin birleşiminden tekil noktaların küçük komşuluklarını atarsak ge­
riye her biri üç sınır bileşenine sahip dört ayrık küre kalır ve bu topolojik
uzayın Euler sayısı 4 • (2 —3) = —4 olur. Silindirin Euler sayısı sıfır
olduğu için bu delikli küreleri tüplerle bağlamak Euler sayısını değiştir­
meyecektir. O halde, deforınasyon sonucunda oluşan yüzeyin Euler sayısı
352
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
—4 ve dolayısıyla cins sayısı —4 = 2 —2g denkleminden g = 3 olarak
bulunur.
Hesaplamış olduğumuz g = 3 sayısının l1,l2,l3 ve l4 doğruları­
nın düzlemde ayırmış oldukları sınırlı bölgelerin sayısı olduğuna dikkat
ediniz.
Şekil 6.8b’de ise R2 C C P 1 x C P 1 düzleminde koordinat eksenle­
rine paralel toplam yedi doğru verilmiştir. Doğruların denklemlerinin
çarpımlarının hafifçe deforme edilmesi ile elde edilecek (ikili derecesi
(m , n ) = (4, 3) olan) eğrinin cins sayısı yine (m —1)(n —1) = 6 ola­
caktır. Şekil 6.8a’dakine benzer şekilde kanıtlayınız. Tahmin edeceğiniz
üzere eğrinin cins sayısı bu doğruların düzlemde ayırdığı sınırlı bölgelerin
sayısına eşittir.
15. Karmaşık (projektif) düzlemde derecesi d > 1 olan genel bir eğri denkle­
mi alalım. Bu eğrinin tekil noktaları, eğriyi veren polinomun katsayılarını
değişken olarak kabul eden bir polinom denklem sisteminin çözümüdür.
Kanıtlayınız.
16. Karmaşık projektif düzlemin, C P 2, altı boyutlu R6 Öklit uzayına gömülebileceğini gösteriniz. Bunun için karmaşık projektif düzlemin
\zi\2 = 1}/ -
C P 2 = 5 7 ~ = {(*0, *1, *2) e C3 I ^
i
((zo,Zı ,Z2) rr X(z0, z 1, z2), X e S 1) bölüm uzayı modelini kullanabiliriz.
İlk önce ifadesi aşağıda verilen F : S5 ^ R6,
F(zo,z 1,z 2) = (|zo|2, |zı|2,Re(zoZı ),Im(zoZ 1 ), R e(z 1 Z2 ) , I m ( z 1 Z2 )),
fonksiyonunun kürenin her (zo,z 1,z 2) noktasında
F(zo, z 1 , z2) = F ([zo : z 1 : z 2])
eşitliğini sağlayan bir F : C P 2 ^ R6 fonksiyonu verdiğini gözlemle­
yiniz. Daha sonra bu fonksiyonun bire bir batırma fonksiyonu olduğunu
kanıtlayınız.
17. M 2n tıkız yönlendirilmiş bir manifold ve E
M karmaşık bir vektör
demeti olsun. Pontryagin sayılarına benzer şekilde k 1, k 2, ■■■ ,k r > 0
tam sayıları k1 + 2k2 ■■■+ rkr = n koşulunu sağlıyorsa
Ckl M , •,kr(E)= I ck1(E) ck2(E) ■■■ ckr(E)
Jm
integrali ile tanımlanan sayıya E ^ M demetinin bir Chern sayısı denir.
Dolayısıyla, Pontryagin sayıları o manifoldun teğet demetinin karmaşık
cisim ile tensör çarpımının Chern sayılarından başka bir şey değildir.
353
A lış tır m a la r
Üzerinde karmaşık yapı bulunan çeşitli vektör demetlerinin Chern sayı­
larını hesaplayınız.
Chern sayılarının birer tam sayı olduğu bilinmektedir. Bazı Chern sayı­
larının tam sayı olduğu açıktır; örneğin karmaşık doğru demetlerinin top­
lamı olan demetlerin Chern sınıfları aslında Euler sınıflarının bir polinomudur ve dolayısıyla bu demetlerin Chern sayıları birer kesişim sayısı
olarak hesaplanabilir. Başka hangi demetler için Chern sayılarının tam
sayı olduğu kolayca gösterilebilir?
18. C P 4 karmaşık manifoldunu bir alt manifold olarak kabul eden bir M™
Oklit uzayının en az 12-boyutlu olduğunu gösteriniz.
19. Bu alıştırmada SO(3) ve SO(4) gruplarının topolojisine dair basit
gözlemleri sunacağız. İlk iki şık için [5] (s.195) numaralı kaynaktan ya­
rarlandım.
(a) Bir A € SO(3) matrisi alalım. Matrisin satırlarını R 1, R 2, R 3 ile
gösterelim. Matrisin determinantı 1 olduğundan R 3 = Rı x R 2
dış çarpımına eşittir. Dolayısıyla, matris Rı ve R 2 ile tamamen
belirlenir. Rı vektörünü S2 üzerinde bir nokta olarak alırsak,
buna dik olan R 2 vektörünü kür enin R 1 noktasındaki teğet uzayda
birim uzunlukta bir vektör olarak düşünebiliriz. Başka bir deyişle,
kürenin teğet uzayının birim vektör demetinin toplam uzayı SO(3)
manifoldudur:
U(T,S2) = {(p,v) € S 2 x TPS 2 \\\v\\ = 1}
= {(p,v) € M3 x M3 \
= 1 = \\v\\ , p • v = 0}
=
{(p,v,p x v) € (M3)3 \ \\p\\ = 1 = \\v\\ , p • v = 0}
=
SO(3) .
Dolayısıyla, SO(3) manifoldunun R6 içine bir gömüllesini elde
etmiş olduk.
(b) Her A € SO(3) dönme hareketi merkezden geçen bir doğrunun
etrafında olur. Bu doğrunun etrafındaki dönme açısını doğrunun
üzerindeki noktaların merkeze olan uzaklığı ile belirleyelim. Dolayı­
sıyla, doğrunun üzerinde alman [—n,n] aralığı, bu doğruyu eksen
olarak kabul eden tüm dönmeleri verecektir. Aslında, aralık üzerin­
deki herhangi bir noktaya karşılık gelen dönme şu şekilde belirlenir:
Alman noktanın merkeze olan uzaklığı 9 € [0, n] ise bu noktayı
merkeze bağlayan ışın etrafında ve saat yönünün tersi istikametinde
9 radyanlık dönme aradığımız dönmedir. Böylece n-yarıçaplı kü­
renin iç bölgesinde kalan her nokta tek bir dönme belirler. Ayrıca,
bu kürenin üzerindeki —n ve n ile verilen karşılıklı noktalar aynı
dönmeyi verir. Başka bir deyişle, SO(3) ile
D 3/(p ~ —p , p € OD3)
354
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
bölüm uzayı arasında bire bir eşleme vardır. Fakat bu bölüm uzayı
R P 3 gerçel projektif uzayıdır. Bu işlemin bir 0 : SO(3) ^ R P 3
difeomorfizması belirlediğini gösteriniz.
(c) S 3 küresini birim kuaterniyonlar uzayı olarak ele alalım. Bu durum­
da f : S 3 ^ S O (3) fonksiyonu şu şeklide tanımlansın: Herhangi
bir v = (a, b, c) £ R 3 vektörünü gerçel kısmı sıfır olan bir birim
kuaterniyon olarak v = ai + bj + ck şeklinde yazalım. Bu durumda,
p £ S 3 birim kuaterniyon olmak üzere f (p) rotasyon matrisi
f (P)(v) = pvp-1
ile tanımlansın. Bunun çekirdeği ker(f) = {±1} olan iyi tanımlı
bir grup homomorfizması olduğunu gösteriniz. Ayrıca
g : S 3 ^ R P 3 = S 3/p ~ - p , p £ S 3,
bölüm uzayını göstermek üzere 0 o f = g olduğunu kanıtlayınız.
Bunun sonucu olarak, f : S 3 ^ S O (3) fonksiyonu derecesi iki olan
bir örtü uzayıdır.
(d) Sayfa 341’da kuaterniyon çarpımını karmaşık matris çarpımı olarak
yazmıştık. Bu bilgiyi kullanarak S 3 = S U (2) olduğunu gösteriniz.
(e) SO (4) grubunun herhangi bir A = [ C1 C2 C3 C4 ] elemanını
sütunları ile ifade edelim. Bu durumda, 0 : SO(4) ^ S3 , A ^
Cı, iyi tanımlı örten bir türevlenebilir fonksiyondur. Ayrıca, her
v £ S 3 vektörünün 0 - 1 (v) ters görüntüsü bu vektöre dik olan
üç boyutlu Oklit uzaydaki tüm sıralı ortonormal çatılardan oluşur.
Dolayısıyla, 0 : SO(4) ^ S 3 fonksiyonu her bir lifi SO(3) grubuna
izomorfik olan bir lif demetidir. Aslında bu demet aşikar demettir.
Bunu görmek için her bir Ci = [a b c d]T sütununu a + ib + cj + dk
kuaterniyonu olarak görelim. Ci = a —ib —jc —kd kuaterniyonun
eşleniğini göstermek üzere
: SO(4) ^ S 3 x SO(3),
A = [ C ı C2
C3 C4 ] ^ (C ı , [ C 1 C 2 C 1 C 3 C 1 C4 ]),
istenilen demet izomorfizmasmı verir. Burada C 1C ^ s = 2, 3, 4,
kuaterniyon çarpımlarının gerçel kısımları sıfırdır ve dolayısıyla bu
kuaterniyonları R 3 içinde birim vektörler olarak görebiliriz. Elde
edilen 3 x 3’lük matrisin ortogonal olduğunun gösterilmesini, diğer
detaylarla beraber, size bırakıyoruz.
(f) Yukarıdaki (c) şıkkında ele aldığımız f : S 3 ^ S O (3) fonksiyonunu
kullanarak derecesi yine iki olan bir örtü uzayı yazabiliriz:
F : S 3 x S 3 ^ S 3 x SO(3) , (p, q) ^ (p, f (q)) .
tf- 1 o F : S 3 x S 3 ^ SO(4) fonksiyonunun açık ifadesini yazınız.
355
A lış tır m a la r
20. Karmaşık sayılarda olduğu gibi kuaterniyon cebirinde tanımlanan
f
: H ^ H, x ^ x n , x e H,
fonksiyonunun topolojik derecesinin n olduğunu gösteriniz. Aslında
bu sonuç 1944 yılında Eilenberg ve Niven tarafından daha genel haliyle
kanıtlanmıştır (bkz. [11]). Bunun için ilk önce i e H kuaterniyon sayı­
sının bu fonksiyonun bir düzgün değeri olduğunu ve ters görüntüsünün
tam olarak n noktadan oluştuğunu gösteriniz. Daha sonra her bir ters
görüntü noktasında fonksiyonun yön koruyan (Jakobyen’in pozitif işaret­
li) olduğunu gösteriniz.
Eilenberg ve Niren bu sonucu şu şekilde genelliyor: ao, ■ ■ ■ ,a n e H* sı­
fırdan farklı kuaterniyon sayılar olmak üzere
g
: H ^ H, x ^ aox a 1 ■ ■ ■ x a n + h (x ) , x e H,
fonksiyonunu düşünelim öyle ki, h (x ) derecesi n ’den küçük ’monomiyallerden’ oluşsun. Bu fonksiyonun f fonksiyonuna düzgün bir homotopi
yardımıyla homotopik olduğunu göstererek deg(f) = deg(g) = n eşit­
liğini kanıtlayınız.
21. g h : S4 = HU H ^ H U H = S4 , p ^ p h , fonksiyonu için g h(£ı,o) —£h,o
olduğunu kanıtlayınız.
22. Dört boyutlu kürenin teğet demetinin üzerinde karmaşık yapı bulunma­
dığını gösteriniz. Küre üzerinde tanımladığımız £h,j demetinin Euler
sayısının - (h + j ) olduğunu kanıtlayınız? Bu demetlerden hangileri
üzerinde karmaşık yapı olabilir?
23. Karmaşık projektif düzlemden 4-boyutlu küreye aşağıdaki ifade ile tanım­
lanan £ : C P 2 ^ S4,
£ ([* o : Z ı : Z2 ])
(2Z oZı 2ZoZ2
|z ı|2 + İZ2İ2 |zo |2)
( ||z ||2 ’ ||Z||2 ’
||z ||2
fonksiyonunu düşünelim. Burada z = (zo, z 1, z2) e C3 karmaşık vek­
törünün boyunu ||z ||2 =
^ 1 12 + |z2 |2 ile gösteriyoruz. Ayrıca
küreyi aşağıdaki gibi ifade edeceğiz:
S4 = { (w 1,w 2, t ) e C x C x R |
+ 12 = 1}.
Fonksiyonun £ ([0 : z 1 : z 2]) = (0,0,1) koşulunu sağladığını ve de­
recesinin ±1 olduğunu gösteriniz. Karmaşık projektif düzlem üzerinde
verilen her n tam sayısını birinci Pontryagin sayısı olarak kabul eden bir
dört boyutlu gerçel vektör demeti vardır, kanıtlayınız. Bu demetlerden
hangileri üzerinde karmaşık yapı olabilir?
356
K a r a k te r i s tik S ın ıfla r
£go ^
2 4 . Y u k a r ı d a e le a l d ı ğ ı m ı z
S4
d e m e tin in b irin c i
Pontryagin
s ı n ıf ı n ı
h e s a p l a m a k iç i n d o ğ r u d a n t a n ı m l a r ı k u l l a n m a y ı d e n e y e b i l i r i z . H e r h a n g i
b ir
n0 : E ^
S4
I 4- d e m e t i n i n b i r i n c i P o n t r y a g i n s ı n ı f ı n ı n d e m e t i n
n 1 : E c ^ S 4, ikinci C h e r n s ı n ı f ı n ı n —1 k a t ı
p 1(E) = —c2(Ec) , E c = E ® | C . C h e r n s ı n ı f l a r ı n ı
h e s a p l a m a k i ç i n is e il k ö n c e n 1 : E c ^ S 4 demetinin h e r b i r lifi C P 3
o l a n projektivasyonunu d ü ş ü n m e l i y i z : n : P (E c ) ^ S 4 . D a h a s o n r a
n*(E c ) d e m e t i n i n L ^ P (E c ) k a n o n i k a l t d o ğ r u d e m e t i n i o l u ş t u r u p ,
b u d e m e tin d u a lin in b ir in c i C h e r n s ın ıfın ı
a = c1(L*) = —c1(L) €
HDr (P(E c )) olarak y a z a l ı m . S 4 k ü r e s i ü z e r i n d e i n t e g r a l i b i r e e ş i t o l a n
b i r 4- f o r m u n s ı n ı f ı n ı n : P ( E c )
S 4 ile g e r i çekelim v e h e r ik i s ı n ıf ı d a v
ile g ö s t e r e l i m . L e r a y - H i r s c h T e o r e m i ’n d e n HDr (P(E c )) k o h o m o l o j i s i n i n
k o m p le k s ifik a s y o n u n u n ,
o ld u ğ u n u b iliy o r u z :
a ş a ğ ıd a k i ş e k ild e v e rild iğ in i g ö s te rin iz :
HDr (P(E c )) =< 1 >^
H Dr ( P ( E c )) = < a2,v >
H Dr (P(E c ))
1
- I 2
HDr (P(E c )) =< a > -
,
I,
HDr (P(E c )) =< a3, a v > - I 2,
= < a2v > - I
H d r ( P ( E c )) = < a3v > - I .
D e m e tin C h e rn s ın ıfla rı ta m a m e n
a 4 + c ı ( E c )a 3 + C2 ( E c )a 2 + c:i( E c )a + C4( E c ) = 0
S4
d e n k le m iy le t e k b ir ş e k ild e b e lir le n ir . T a b a n m a n if o ld u
duğundan
c 1( E c ) = c3( E c ) = c4 ( E c ) =
k ü r e s i o l­
v e d o la y ıs ıy la
0
a 4 + c 2 ( E c )a 2 = 0
d e n k le m in i e ld e e d e riz .
n * (c2( E c ))
= \v, X €
, olarak yazılsın. E ğ e r a4 = 0 ise c2 (E c) = 0
a4 = 0 ise c2 (E c) = 0 olur. Ayrıc a a3
e d e n f o r m u y i n e a ile gösterirsek f cp 3 a3 = 1 o l d u ğ u n u
o l a r a k a5 = —c2 (E c ) a3 = —Xva3 = 0 d e n k l e m i n d e n
I
o lm a lıd ır . D iğ e r ta r a f t a n , e ğ e r
s ın ıfın ı te m s il
b iliy o ru z . S o n
X= —
JP (Ec)
a5
e ld e e d e riz . D o la y ıs ıy la ,
P 1 (E ) = —c 2 (E c )
Xv
(f A
\ J P(.Ec)
v
)
o la r a k h e s a p la n ır . A s lın d a b u in te g ra li h e s a p la m a k y e rin e , d a h a g e o m e t­
rik b ir y a k la ş ım la ,
a € HDr ( P ( E c ))
s ın ıfın ın P o in c a r e d u a li n in k e n d is i
357
A lış tır m a la r
ile beş defa dik kesişimini hesaplamayı düşünebiliriz. Bunun için aşağıda­
ki ifade ile verilen P (E c) ^ C P 7 fonksiyonunun bu karmaşık doğru de­
metinin bir sınıflandırma fonksiyonu olduğunu gözlemleyiniz (bkz. Öner­
me 6.2.2):
p
v
[
ı
^
v«Pk
i
1
(Q, [v])
: t +
ı ^
^
«ı
II
[« :
| |q112(h+j)
qj vqk1
1 + \\q\\2(h+j)
( - , [P « p k])
P
Bunu görmek için C P 7 uzayının ikinci kohomolojisinin üreteci olan bir
sınıfın Poincare dualinin z 7 = 0 denklemi ile verildiğini biliyoruz. O
halde, bu kohomoloji sınıfını ve Poincare dualini geri çekip P (E c) ^ S 4
demetinin lifi olan C P 3 ) ile k e s i ş t i r i r s e k bu lifin içindeki « 3 = 0 hiper düzlemini buluruz. Başka bir deyişle, C P 7 uzayının ikinci koho­
molojisinin üretecini geri çekip C P 3 lifine kısıtlarsak bu lifin ikinci
kohomolojisinin üreticini buluruz. Diğer taraftan, P (E c) uzayının ikin­
ci kohomolojisinin her elemanı herhangi bir life (dolayısıyla her bir life)
kısıtlanışı ile tek bir şekilde belirlenir. Dolayısıyla, bu fonksiyon gerçek­
ten de aradığımız sınıflandırma fonksiyonudur. Şimdi P (E c ) ^ C P 7
sınıflandırma fonksiyonunun bir gömme fonksiyonu olduğunu gösteriniz.
Ayrıca, bu durumda hesaplamak istediğimiz Pontryagin sayısı bu fonk­
siyonun görüntüsü ile C P 7 i ç i n d e k i b ir C P 2 düzleminin dik kesişimi
olacaktır. Bu kesişimin ±2 olduğunu gösteriniz.
25. Gerçel ve karmaşık projektif uzaylar, iki boyutlu tıkız manifoldlar, küre­
lerin birbirleriyle çarpımları, iki boyutlu küre üzerindeki karmaşık doğru
demetlerinin birim çember demetleri gibi kitapta sıkça adı geçen mani­
foldlar üzerinde Morse fonksiyonları bulunuz. Bu fonksiyonların kritik
noktalarındaki Hessian matrislerinin endekslerini hesaplayınız, indeksler
ile manifoldun Betti sayıları arasında bir ilişki görebiliyor musunuz?
Kaynakça
[lj Dimca Alexandru. Singularities and Topology of Hypersurfaces. SpringerVerlag New York, Inc., 1992. Universitex Series.
[2] Thierry Aubin. A Course in Differential Geometry. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 2000. Graduate Studies in
Mathematics, no. 27.
[3] Thomas F. Banchoff. Triple points and surgery of immersed surfaces.
Proc. Amer. Math. Soc., 46(3):407-413, December 1974.
[4] Ethan D. Bloch. A First Course in Geometric Topology and Differential
Geometry. Birkhauser, Boston, 1997.
[5] Raoul Bott ve Loring W. Tu. Differential Forms in Algebraic Topology.
Springer-Verlag New York, Inc., 1986. Graduate Texts in Mathematics,
no. 82.
[6] Glen E. Bredon. Topology and Geometry. Springer-Verlag New York, Inc.,
1995. Graduate Texts in Mathematics, no. 139.
[7] Pierre E. Conner. Differentiable periodic maps. Lecture Notes in Math.,
Springer Berlin, 1979, no.738.
[8] Manfredo P. do Carmo. Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston, 1992.
[9] Manfredo P. do Carmo. Diferansiyel Geometri: Eğriler ve Yüzeyler. TU­
BA, Türkiye Bilimler Akademisi, Şenol Form Matbaacılık, Ankara, 2012.
TUBA Ders Kitapları no. 8, Birinci Baskı, Çeviren: Belgin Korkmaz.
[10J R. H. Dye. On the Arf invariant. J. Algebra, 53:36-39, 1978.
[11] Samuel Eilenberg ve Ivan Niven. The fundamental theorem of algebra for
quaternions. Bull. Amer. Math. Soc., 50:246-248, 1944.
[12] William Fulton. Algebraic Topology, A First Course. Springer-Verlag New
York, Inc., 1995. Graduate Texts in Mathematics, no. 153.
[13] Robert E. Gompf ve Andrâs I. Stipsicz. ffManifolds and Kirby Calculus.
American Mathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999. Gra­
duate Studies in Mathematics, no. 20.
359
360
KAYNAKÇA
[14] Phillip Griffiths ve Joseph Harris. Principles of Algebraic Geometry. John
Wiley and Sons, Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1994.
[15] Victor Guillemin ve Alan Pollack. Differential Topology. AMS Chelsa
Publishing, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island,
2010.
[16] S. M. Gusein-Zade. Integration with respect to the Euler characteristic
and its applications. Russian Math. Surveys, 65(3):399 432, 2010.
[17] Robin Hartshorne. Alg ebraic Geometry. Springer-Verlag New York, Inc.,
1977. Graduate Texts in Mathematics, no. 52.
[18] Ailen Hatcher. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002.
[19] Friedrich Hirzebruch. Topological Methods in Algebraic Geometry. Classics
in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1995. 3.
Edisyonun 2. düzeltilmiş baskısı.
[20] L. Christine Kinsey. Topology of Surfaces. Springer-Verlag New York,
Inc., 1997. Undergraduate Texts in Mathematics.
[21] Alexander Lubotzky. Group s ’93 Galmay / S t Andrevjs Galmay 1993,
volüme 2. London Mathematical Society Lecture Note Series, 1993.
[22] Ib Madsen ve Jprgen Tornehave. From Calculus to Cohomology, De Rham
cohomology and characteristic classes. Cambridge University Press, 1997.
[23] Duşa McDuff ve Dietmar Salamon. Introduction to Symplectic Topology.
Clarendon Press, Oxford, 1997.
[24] John W. Milnor. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of
Mattı., 64(2):399-405, September 1956.
[25] John W. Milnor. Morse Theory. Princeton University Press, Princeton,
New Jersey, 1973. Annals of Mathematical Studies, no. 51.
[26] John W. Milnor ve James D. Stasheff. Characteristic Classes. Princeton
University Press and University of Tokyo Press, Princeton, New Jersey,
1974. Annals of Mathematical Studies, no. 76.
[27] James R. Munkres. Elements of Algebraic Topology.
Publishing Company, Inc., 1984.
Addison-Wesley
[28] Georges Reeb. Sur les points singuliers d ’une forme de pfaff completement
integrable ou d ’une fonction numerique. C. R. Acad. Sci. Paris, 222:847849, 1946.
KAYNAKÇA
361
[29] Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, Inc., New York,
1987. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics, 3. Baskı.
[30] Michael Spivak. Calculus on Manifolds. Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1965.
[31] Michael Spivak. Differential Geometry. Publish or Perish, Inc., Huston
Texas, 1970. 1. Cilt.
[32] Michael Spivak. Differential Geometry. Publish or Perish, Inc., Huston
Texas, 1975. 2. Cilt.
[33] Tosun Terzioğlu. Fonksiyonel Analizin Yöntemleri. Matematik Vakfı:
ODTÜ, Ankara, 1998. no. 9.
[34] Tosun Terzioğlu. An Introduction to Real Analysis. Matematik Vakfı:
ODTÜ, Ankara, 2008. no. 3.
[35] Sina Türeli ve Ferit Oztürk.
M örse Kuramı Ders notlan.
2009 Matematik Köyü Yaz Okulu, (http://www.math.boun.edu.
tr / instructors / ozturk / acikders / morse.htm).
[36] Oleg Y. Viro. Some integral calculus based on Euler characteristic. Lecture
Notes in Mattı., Springer Berlin, 1979, no. 1346, pages 127-138, 1988.
[37] Frank W. Warner. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie
Groups. Springer-Verlag New York, Inc., 1983. Graduate Texts in Mathe­
matics, no. 94.
Semboller
, d*)
D ) p , T » , (d^)p
(■M , g )
(M 2n,w)
(V, [ , ])
(X,t)
(X,d)
( ü *( m ),d*)
B(x, r)
C 0([0,1])
C ™(V,W)
Ck( V , W )
DF
Dm
D i f f (M)
E (7)
Eı ® E 2 ^ M
Eı ® E 2 —^ M
Expp : TpM —• M
Fv
F -1
G ■p
GrF(n, k)
H*(X, z )
H k (A*,d*)
HD
k R( M )
Hk ( M )
Hk (M, U)
Int(K, L)
J : M — hom(E, E )
Jm
l
(Y )
L(p, q)
L*(u)
zincir yapısı, 196
fonksiyonun noktadaki türevi, 69
Riemann manifoldu, 140
simplektik manifold, 140
Lie cebiri, 139
topolojik uzay, 3
metrik uzay, 10
de Rham zincir yapısı, 196
formun yıldızı, 156
x-merkezli, r > 0 yarıçaplı yuvar, 3
aralıkta tanımlı sürekli fonksiyonlar uzayı, 17
sonsuz türevlenebilir fonksiyonlar, 16
k-ıncı türevi sürekli olan fonksiyonlar, 16
fonksiyonun türevi, 16
Poincare İzomorfizması, 241
difeomorfizmalar grubu, 73
eğrinin enerjisi, 140
vektör demetlerinin toplamı, 164
vektör demetlerinin tensör çarpımı, 165
üstel fonksiyon, 144
eğrilik, 180
fonksiyonun tersi, 18
noktanın grup etkisi altındaki yörüngesi, 73
Grassmann manifoldu, 168
Tekil kolıomoloji, 331
zincir yapısının kolıomolojisi, 196
k’inci de Rham kohomoloji, 196
tıkız destekli kohomoloji, 220
tıkız destekli yerel kohomoloji, 226
iki alt manifoldun kesişim sayısı, 259
vektör demeti üzerinde karmaşık yapı, 166
m x m boyutunda Jordan blok matrisi, 42
eğrinin uzunluğu, 140
Lens uzayı, 102
formun geri çekmesi, 35
363
364
Sem boller
Möbius
MB
M
N
O (n )
P (E )
P : E m+ k
PM ( t )
P f a f f (fi)
R (X , Y )
ş e r id i,
76
R - m o d ü lle r in te n s ö r ç a r p ım ı, 32
( n x n ) -lik o r t o g o n a l m a t r i s l e r
v e k tö r d e m e tin in
Mm
uzayı, 79
projektivasyonu, 2 8 7
v e k tö r d e m e ti, 161
P o i n c a r e s e r is i , 2 7 4
e ğ r i l i k f o r m u n u n P f a f f i a n ’ı, 3 0 1
e ğ rilik te n s ö r ü , 2 9 6
rI
e ğ rilik te n s ö r ü n ü n b ile ş e n le ri, 296
R kij
Ric
Rot (Y )
S (n )
S L (n )
Sn
Sk
T ( X, Y )
T *M
T *M
TpM
T r ( f *)
V*
X (p )
X/ ~
X/ ~
X x Y
Y - B
[X, Y ]
R i c c i e ğ r i li ğ i, 3 0 9
d ö n m e s a y ı s ı, 2 0 7
s i m e t r i k ( n x n ) -lik m a t r i s l e r u z a y ı ,
69
özel d o ğ ru sa l g ru p , 121
n-boyutlu
b ir im k ü re , 64
p e r m ü ta s y o n g r u b u , s i m e t r ik g r u p , 33
b u r u l m a te n s ö r ü , 175
k o te ğ e t d e m e ti, 93
te ğ e t d e m e ti, 70
b ir n o k ta d a k i te ğ e t u z a y ı, 67
f*
d o ğ r u s a l d ö n ü ş ü m ü n ü n iz i, 2 7 9
d u a l v e k tö r u z a y ı, 34
te ğ e t v e k tö r a la n ı, 71
b ö lü m k ü m e s i, 2
b ö lü m u z a y ı, 4
ik i t o p o l o j i k u z a y ı n ç a r p ı m ı , 4
ik i k ü m e n i n f a r k ı , 3
L ie k ö ş e l i p a r a n t e z i , 1 3 4
a lt m a n ifo ld u n P o in c a r e d u a li, 262
[P l ]
[vl ]
r (E)
a lt m a n ifo ld u n P o in c a r e d u a li, 260
v e k tö r d e m e tin in k e s itle ri, 162
C h ris to ff e l s e m b o lle ri, 140
r jı
Af
fo n k s iy o n u n s a b it n o k ta la r ın ın (iş a re tli) s a y ı­
s ı, 2 7 9
fi k ( U )
U
fi n ( u )
tık ız d e s te k li k - f o r m la r u z a y ı, 103
fik
El
fi
X(M )
e ğ rilik fo r m u , 180
deg(f)
d ü z g ü n f o n k s iy o n u n d e re c e s i, 229
d e g ( f ) pi
d ü z g ü n f o n k s iy o n u n y e re l d e re c e s i, 230
d e t( A )
A
d e t(E ) ^
ü z e r in d e k i k - f o r m la r u z a y ı, 90
k a r m a ş ı k d e m e t i n e ş l e n iğ i , 3 2 3
to p o lo jin in ta b a n ı, 4
E u le r k a r a k te ris tiğ i, 245
M
m a tr is in in d e te r m in a n tı, 36
v e k tö r d e m e tin in d e te r m i n a n tı , 166
365
S em b o ller
dim(V )
d
.
"ö , i = 1, ••• ,n
dxi
hom(E p E 2) ^ M
hom(v , W)
M u
k
ker
T
lim ig A
li m
Xi
xn
Lx
5
Altk (V )
Hac (Dn(r))
Hac (Sn(r))
S i m fc( V )
ir A
V
Vf
v (L)
u (f)
Ur
Uf s
dM
P (u )
n ^ i
△ f
6
bk ( M )
c(E)
Ci (E)
Ckl,k2,- ,kr (M)
d(x,y)
du
dv
dsup( f , g )
dvol(M,g)
dxj,
dxil A • • • A dxik
e(E )
eA
ep
vektör uzayının boyutu, 36
teğet vektörlerin taban vektörleri, 69
homomorfizmalar demeti, 164
Banach uzayları arasındaki sınırlı doğrusal
dönüşümler uzayı, 16
formun manifold üzerinde integrali, 105
Gauss eğriliği, 310
homomorfizmanm çekirdeği, 36
topolojik uzayların düz limiti, 43
bir dizinin limiti, 7
Lie türevi, 132
sayısal eğrilik, 309
değişmeli tensörler uzayı, 33
diskin hacmi, 112
kürenin hacmi, 112
simetrik tensörler uzayı, 33
matrisin izi, 54
vektör demeti üzerinde bağlantı, 174
fonksiyonun gradyan vektörü, 154
alt manifoldun normal demeti, 184
sarılma sayısı, 207
geçişme formu, 211, 285
Fubini-Study form, 117
manifoldun sınırı, 106
formun fonksiyon ile geri çekilmesi, 91
bir topolojik uzay ailesinin çarpımı, 4
Laplace operatörü, 158
izotopi, 127
Betti sayısı, 245
toplam Chern sınıfı, 320
Chern sınıfı, 320
Chern sayısı, 352
iki nokta arasındaki uzaklık, 10
formun dış türevi, 94
vektör demeti üzerinde dış türev, 179
supremum metriği, 15
hacim formu, 155
1-form, koordinatın diferansiyeli, 90
koordinat sisteminde k-form, 90
Euler karakteristik sınıfı, 265
matrisin üstel fonksiyonu, 38
ramifikasyon endeksi, 280
366
Sem boller
f ^ L
f ^ g
f *(E) ^ M
f - 1 (u )
fA
f îtr(1) h • • • A f ia(£)
p(E )
Pi(E)
Pkl £ 2 ,—,kr (M)
Altk (M )
l(K,L)
CP n
C
D
Hn
Q
RPn
R
Z
Gp
fonksiyon ve alt manifold dik kesişiyor, 256
dik kesişen fonksiyonlar, 253
vektör demetinin geri çekmesi, 168
bir kümenin ters görüntüsü, 3
A matrisinin karakteristik polinomu, 36
dış çarpım, 34
toplam Pontryagin sınıfı, 330
Pontryagin sınıfı, 329
Pontryagin sayısı, 333
k-formlar demeti, 93
geçişme sayısı, 212, 285
karmaşık projektif uzay, 65
karmaşık sayılar cismi, 16
Poincare Disk Modeli, 189
yarı Oklit uzayı, 106
rasyonel sayılar cismi, 52
gerçel projektif uzay, 65
gerçel sayılar cismi, 2
tam sayılar halkası, 2
fonksiyon tohumlarının cebiri, 66
Dizin
Açık
fonksiyon, 45
küme, 3
örtü, 6
yuvar, 10
Akış
vektör alanı, 128
Alan
işaretli, 31
vektör, 128
Alexander Dualite Teoremi, 228
Alt
manifold, 75
vektör demeti, 161
Alt dizi
yakınsak, 11
Alt küme
tıkız, 6
topolojisi, 3
Alt manifold
kapalı, 75
Alt örtü, 6
Analitik
fonksiyon, 22
karmaşık vektör demetinin kesitleri, 170
Annulusun kohomolojisi, 204
Ara Değer Teoremi, 8
Arf Değişmezi, 292
Aşikar
demet üzerinde bağlantı, 176
demetin Christoffel sembolleri, 176
vektör demeti, 161
Atlas
topolojik, 63
türevlenebilir, 63
Bağıntı
sıralama, 43
Bağlantı
aşikar demet üzerinde, 176
demetlerin tensör çarpımları üzerinde,
180
dual demet üzerinde, 176
metrik ile belirlenen, 178
Bağlantılı
bileşen, 10
uzay, 8
Banach
Daraltma Prensibi, 14
uzayı, 16
Basit grup, 283
Batırma fonksiyonu, 75
Beşli Yardımcı Teorem, 241
Betti sayıları, 246
Bezout Teoremi, 265
Bianchi Özdeşliği, 304
Bileşen
bağlantılı, 10
eğrilik tensörü, 296
Bilineer fonksiyon, 30
Birim küre, 65
Birimin ayrışımı, 80
Birinci Varyasyon Formülü, 141
Boyut
manifold, 64
Bölüm
fonksiyonu, 2
kümesi, 2
manifoldu, 72
topolojisi, 4
uzayı, 4, 74
Burulma tensörü, 176
Cartan’m Sihirli Formülü, 136
Cauchy dizisi, 11
Cayley-Hamilton Teoremi, 36, 43, 54
Cebir”
Lie, 138
Cebirin Temel Teoremi, 233
Chern
eşlenik demetin sınıfları, 323
karakteristik sınıfları, 316, 329
karmaşık projektif uzayın sınıfları, 324
sayıları, 352
sınıfları, 295
Christoffel sembolleri, 140, 296
Aşikar demetin, 176
Dual demetin, 176
vektör demeti üzerindeki bağlantının, 171,
174
Çarpım
dış, 34
tensör, 33
topolojisi, 4
367
368
Çember koşulu, 161
Çemberin kohomolojisi, 199
Çift boyutlu manifoldun Euler karakteristiği,
247
Dağılım Prensibi, 320
Daraltma
fonksiyonu, 14
katsayısı, 14
Davul, 201
De Rham Teoremi, 331
Değer
düzgün, 75, 254
kritik, 75
Değişmeli
bilineer fonksiyon, 30
tensör, 34
Değişmez
Arf, 292
Değişmez çarpan, 39
Dehn Değişmezi, 51
Dehn-Hadwiger
Teoremi, 51
Dehn-Sydler
Teoremi, 51
Demet
eşlenik, 323
karmaşık doğru, 317
normal vektör, 164, 184
teğet, 70
vektör, 160, 265
Denk metrikler, 11
Denklem
integral, 26
jeodezik, 140
Derece
diskten kendisine fonksiyonun, 235
düzgün fonksiyonun, 229
fonksiyon, 207
genus formülü, 325, 327, 350
kuaterniyon polinomlar, 233, 355
küreden küreye derecesi sıfır olan fonk­
siyonların, 236
mod 2, 231, 289
örtünün, 73
polinomlarm topolojik, 231
ters kutupsal fonksiyon, 233
Derivasyon, 67
Determinant, 28
vektör demetlerinin, 166
Dış
çarpım, 34
form, 34
form (geri çekme), 35
d iz in
türev, 94
Difeomorfizma, 18
ailesi, 127
Diferansiyel Denklemlerin Varlık Teklik Teo­
remi, 25
Dik kesişim, 253
Disklerin hacmi, 112
Divergence Teoremi, 112
Dizi
Cauchy, 11
Fibonacci, 56
indirgemeli, 56
kısa tam, 214
tam, 214
tıkız destekli yerel kohomoloji, 226
yakınsak, 11
Dizisel tıkız, 11
Doğal yönlendirme, 100
Dönme sayısı, 206
Dönüşüm
dual, 35
Dual
demet üzerinde bağlantı, 176
demetin Christoffel sembolleri, 176
dönüşüm, 35
Poincare, 265
uzay, 35
vektör demeti, 165
Düğüm, 211
geçişme sayısı, 211
Düz limit, 43, 52
Düzgün
değer, 75, 254
fonksiyon, 7
fonksiyonun derecesi, 229
nokta, 75
sürekli fonksiyon, 13
süreksiz etki, 73
Egzotik küreler, 334
Eğri
enerjisi, 140
genus-g karmaşık, 265
sabit hızlı, 144
uzunluğu, 140
Eğrilik
formu, 180, 299, 301, 304
Gauss, 310
Ricci, 309
sayısal, 309
tensörü, 296
tensörünün bileşenleri, 296
Enerji
eğrinin, 140
369
d iz in
fonksiyoneli, 140
E şitlik
Ja c o b i, 138
Y an y a n a G elm e, 325
E şitsizlik
Ü çgen, 10
E şlenik
d e m e tin C h e rn sınıfları, 323
v e k tö r d e m e ti, 323
E tk i
d ü z g ü n süreksiz, 73
E u ler
gerçel p ro je k tif u zay ın sayısı, 267
k a ra k te ristiğ i, 246, 265
k a ra k te ristiğ i, çift b o y u tlu m an ifo ld u n ,
247
k a ra k te ristiğ i, te k b o y u tlu m an ifo ld u n ,
247
k a ra k te ristiğ in in v erdiği ölçüm , 246, 250
k a ra k te ristik sınıfı, 295
ö rtü u zay ın ın k a ra k te ristiğ i, 278
sayısı, 267
sınıfı, 316
sınıfı (to ru s), 266
F ark
k üm e, 1
F ib o n acc i dizisi, 56
Fonksiyon
sın ıfın d an , 16
C k sın ıfın d an , 16
açık, 45
a n a litik , 22
b a tırm a , 75
bilin eer, 30
d a ra ltm a , 14
değişm eli bilin eer, 30
derece, 207, 229
d e te rm in a n t, 28
d ü zg ü n , 7
d ü z g ü n sürekli, 13
göm m e, 7, 75
h o m o to p ik , 204
k o o rd in a t, 64
k ü çü ltm e , 50, 200
Lie tü re v i, 133
M örse, 124
ö rtm e , 75
ö rtü , 72, 73
sın ıflan d ırm a, 317
s t a n d a r t b a tırm a , 75
s t a n d a r t ö rtm e , 75
sürek li, 3
to h u m u , 67
to p o lo jik göm m e, 75
tü re v i, 16
tü re v le n e b ilir, 16, 66
ü ste l, 144
v e k tö r d e m e ti y ap ı, 161
yerel çarp ım , 161
yerel d erece, 230
yerel sa b it, 10
zincir, 215
F orm
dış, 34
eğrilik, 180, 299, 301, 304
F u b in i-S tu d y , 117
geçişm e, 102, 114, 122, 285
kapalı, 96, 140, 196
m an ifo ld ü zerin d e tü re v le n e b ilir, 93
ta m , 96, 196
te m e l, 35
tü re v le n e b ilir, 89
v e k tö r a la n ı b o y u n c a d a ra ltm a , 134
v e k tö r d e m e ti ü zerin d ek i b a ğ la n tı, 175
Form ül
C a r ta n ’m Sihirli, 136
d erece genus, 325, 327, 350
K ü n n e th , 274
R ie m a n n -H u rw itz , 328
W h itn e y Ç a rp ım , 321
F o u rier serileri, 141
F u b in i-S tu d y form u, 117
G au ss
eğriliği, 310
g ö n d erim i, 209
Y ard ım cı T eorem i, 146
G a u ss-B o n n e t T eorem i, 304, 311
G eçişm e
form u, 102, 114, 122, 211, 285
sayısı, 206
G enel d o ğ ru sa l g ru p , 144
G en u s fo rm ü lü , 325, 327
G erçel
p ro je k tif d ü zlem , 267
G erçel p ro je k tif uzay, 65
E u le r sayısı, 267
y ö n len d irm e, 102
G eri çekm e
dış form , 35
tü re v le n e b ilir form , 91
v e k tö r d e m e tin in , 168
G öm m e fonksiyonu, 7, 75
G ra d y a n v e k tö rü , 154
G reen T eorem i, 110
G ru p
b a sit, 283
370
difeomorfizmalarm oluşturduğu, 128
Gysin Tam Dizisi, 270, 271
Hacim
diskin, 112
elemanı, 154
işaretli, 31
kürenin, 112
Hausdorff uzay, 5
Hermityan
metrik, 298
norm, 16
Hilbert’in 3. Problemi, 50
Homeomorfik, 3
Homeomorfizma, 3, 6
Homoloji
tekil, 64, 263
Homomorfizma
vektör demeti, 165
Homotopi
denk uzaylar, 204
fonksiyonların, 204
Hurwitz Teoremi, 282
İnce topoloji, 3
İç çarpım
vektör demeti üzerinde, 163
İndirgemek dizi, 56
İntegral
denklemi, 26
formların manifold üzerindeki, 103
lif boyunca, 270
sıfır boyutlu manifold üzerinde, 106
vektör alanının, 128
İşaretli
alan, 31
hacim, 31
uzunluk, 31
İyi komşuluk, 73
İzomorfizma
Thom, 270
vektör demeti, 161
İzotopi, 127
vektör alanının ürettiği, 128
Jacobi eşitliği, 138
Jakobiyen
matrisi, 18, 69
Jeodezik
denklemi, 140
en kısa eğri, 149
konveks küme, 150
matris gruplarında, 144
Jordan
Kapalı Eğri Teoremi, 227
d iz in
temel form, 42, 54
Kaba topoloji, 3, 4
Kapalı
alt manifold, 75
Fonksiyon Teoremi, 22
form, 96, 140, 196
formun kohomoloji sınıfı, 196
küme, 3
Karakteristik
Chern sınıfları, 329
Euler, 246, 265
polinom, 36
Pontryagin sınıfları, 329
sınıf, 295
Kardinalite, 46
Karmaşık
doğru demeti, 317
genus-g eğriler, 265
manifold, 64
manifold üzerinde özel formlar, 114
manifoldun doğal yönlendirmesi, 100
projektif doğru, 298
projektif düzlem, 267
projektif uzay, 65, 116
projektif uzayın Chern sınıfları, 324
projektif uzayın kohomolojisi, 264
vektör demetleri, 166
vektör uzayında yönlendirme, 98
yüzeylerin Pontryagin sınıfları, 331
Kesişim
kendisi ile, 259
sayısı, 259
vektör uzayı, 98
Kesit
vektör demeti, 162
Kısmi sıralama, 43
Killing
vektör alanı, 189
Klein kuartik, 283
Kohomoloji
annulus, 204
çemberin, 199
De Rham, 196
grubu, 196
iki boyutlu küre, 205
karmaşık projektif uzay, 264
Mayer-Vietoris dizisi, 214
Möbius Şeridi, 204
sınıfı, 196
tekil, 331
tıkız destekli, 221, 270
tıkız destekli yerel, 226
tıkız manifold, 220, 244
371
d iz in
v e k tö r d e m e ti, 270
K om şulu k
iyi, 73
K o o rd in a t
fonksiyonu, 64
sistem i, 64
K öşegen, 5
m a tris, 36
y aklaşım ı, 276
K öşegenleştirm e, 35
K ritik
değer, 75
n o k ta , 75
n o k ta (so y su zlaşm am ış), 124
K u a d ra tik F orm
m o d 2, 290
K u ra l
L eibniz, 67
K u tu to p o lo jisi, 4
K u v v etli to p o lo ji, 3
K ü ç ü ltm e F onksiyonu T eorem i, 200, 201
K üm e
açık, 3
fark , 1
k apalı, 3
ölçü m ü sıfır, 83
yön lü , 43
K ü n n e th
F orm ü lü , 274
T eorem i, 272, 274, 276
K ü re
b irim , 65
egzotik, 334
kohom oloji, 205
K ü relerin h acm i, 112
L ’H o p ita l k u ra lı, 25
L aplace o p e ra tö rü , 158
L ebesgue sayısı, 13
L efschetz S a b it N o k ta T eorem i, 279
L eibniz k u ra lı, 67
L ens u zay la rı, 102
Leray-Hirsch T eorem i, 272, 316
Lie
a lt cebiri, 138
cebiri, 138
Lie tü re v i, 132
fonksiy o n u n , 133
v e k tö r a la n ın ın , 133
L if b o y u n c a in te g ra l, 270
L im it
d üz, 52
to p o lo jik , 43
M anifold
C fc-sın ıfın d an , 63
a lt, 75
b o y u t, 64
b ö lü m , 72
in te g ra l, 103
k arm aşık , 64
p aralelle n e b ilir, 72
R ie m a n n , 140
sınırı, 106
sınırlı, 106
sim p lek tik , 140
to p o lo jik , 63
tü re v le n e b ilir, 63
ü zerin d e tü re v le n e b ilir form , 93
y ö n len d irileb ilen , 99
y ö n len d irilem ey en , 266
y ö n len d irilm iş, 101
M an ifo ld larm göm ülm esi, 80, 88
M a tris
g ru p la rı ü zerin d e je o d ez ik ler, 144
Jakobiyen, 18, 69
köşegen, 36
sim e trik , 69
ü ste l, 37
Mayer-Vietoris
k o h om oloji dizisi, 214
ta m dizisi, 273
M etrik
b a ğ la n tı, 178
d en k , 11
Hermityan, 298
Ö k lit, 11
R ie m a n n , 140
sınırlı, 10
su p re m u m , 15
uzay, 10
M e trik uzay
ta m , 11
tık ız, 11
M e trik len eb ilir
to p o lo ji, 10
uzay, 10
M inim al p o lin o m , 36
M orse Fonksiyonu, 124
M öbius Şeridi, 76, 101
kohom olojisi, 204
n -d o ğ ru sal, 31
N o k ta
d ü z g ü n , 75
k ritik , 75
so y su zlaşm am ış k ritik , 124
N o rm
372
D İZ İN
Oklit, 16
Normal
demetin sıfır kesiti, 184
vektör demeti, 164, 184
Normal demet
Projektif doğrunun düzlem içinde, 169
manifoldu, 140
metriği, 140
Riemann metriğinin tersi, 155
Riemann-Hurwitz
formülü, 328
Teoremi, 280
Ortogonal grup, 144
Öklit metriği, 11
Ölçüm
Euler karakteristiği, 246, 250
Ölçümü sıfır küme, 83
Örtme fonksiyonu, 75
Örtü
açık, 6
derece, 73
fonksiyonu, 72, 73
uzayı, 73, 101
uzayının Euler karakteristiği, 278
Örtü uzayı
topolojik, 72
yönlendirme, 123
Özdeğer, 36
Özdeşlik
Bianchi, 304
Özel doğrusal grup, 144
Özvektör, 36
Sabit nokta, 14
Sabit Nokta Teoremi, 201
Sard Teoremi, 83, 230
Sarılma sayısı, 206
Sayı
Betti, 246
Chern, 352
dönme, 206
Euler, 267
geçişme, 206
kendisi ile kesişim, 259
kesişim, 259
Lebesgue, 13
sarılma, 206
Sayısal eğrilik, 309
Sembol
Christoffel, 296
Seri
Poincare, 274
Taylor, 24
Sınırlı metrik, 10
Sıfır boyutlu manifold, 64
üzerinde integral, 106
Sıfır kesit
normal demetin, 184
Sınıf
Chern karakteristik, 295, 316
Euler karakteristik, 295, 316
karakteristik, 295
Pontryagin karakteristik, 295
Sınıflandırma
fonksiyonu, 317
uzayı, 317
Sınır manifoldu, 106
Sınırlı manifold, 106
Sıralama
bağıntı, 43
kısmi, 43
Simetrik
matrisler uzayı, 69
tensör, 33
Simplektik group
mod 2, 290
Simplektik manifold, 140
Sistem
koordinat, 64
Standart
Paralellenebilir manifold, 72
Pfaffian, 301
Poincare
Disk Modeli, 190
duali, 265
İzomorfizması, 229, 240
serisi, 274
Yardımcı Teoremi, 201
Yarı Düzlemi, 181, 190
Poincare-Hopf Teoremi, 275
Polinom
derecesi, 231
karakteristik, 36
minimal, 36
Pontryagin
karakteristik sınıfları, 329
karmaşık yüzeylerin sınıfları, 331
sınıfları, 295
Projektif uzay, 65
karmaşık, 116
Ramifikasyon endeksi, 281
Rasyonel temel form, 42
Ricci eğriliği, 309
Riemann
bağlantısı, 173, 174
d iz in
batırma fonksiyonu, 75
örtme fonksiyonu, 75
topoloji, 3
Stokes Teoremi, 103, 108, 111
Supremum metriği, 15
Sürekli fonksiyon, 3
Taban
teğet uzayı, 67
topoloji, 4
Tam
(metrik) uzay, 11
form, 96, 196
üçgen, 273
Tam dizi
(ivsin. 270, 271
Mayer-Vietoris, 273
Taylor
açılımı, 24
serisi, 24
Teoremi, 24
Teğet
demeti, 70
uzayı, 67
vektörü, 67
Tek boyutlu manifoldun Euler karakteristiği,
247
Tekil
homoloji, 64, 263
kohomoloji, 331
Temel form, 35
Jordan, 42, 54
rasyonel, 42
Tensörler, 32
Tensör
çarpımı, 33
değişmeli, 34
eğrilik, 296
simetrik, 33
Tensör çarpımı
vektör demetlerinin, 165
Teorem
Alexander Dualitesi, 228
Ara Değer, 8
Beşli Yardımcı, 241
Bezout, 265
Cayley-Hamilton, 36, 43, 54
Cebirin Temel, 233
De Rham, 331
Dehn-Hadwiger, 51
Dehn-Sydler, 51
Diferansiyel Denklemlerin Varlık Teklik,
25
Divirgence, 112
373
E. Hopf, 158
Gauss’un Yardımcı, 146
Gauss-Bonnet, 311
Genelleştirilmiş Gauss’un Yardımcı, 147
Genelleştirilmiş Gauss-Bonnet, 304
Green, 110
Ilunviız. 282
Jordan Kapalı Eğri, 227
Kapalı Fonksiyon, 22
Küçültme Fonksiyonu, 200, 201
Künneth, 272, 274, 276
Lefschetz Sabit Nokta, 279
Leray-Hirsch, 272, 316
Poincare İzomorfizma, 229, 240
Poincare Yardımcı, 201
Poincare-Hopf, 275
Reeb’in Küre, 189
Riemann-Hurwitz, 280
Sabit Nokta, 201
Sard, 83, 230
Stokes, 103, 108, 111
Taylor, 24
Ters Fonksiyon, 18
Tüp Komşuluk, 184
Ters Fonksiyon Teoremi, 18
Ters görüntü, 1
Ters kutupsal fonksiyonun derecesi, 233
Thom izomorfizması, 270
Tıkız
alt küme, 6
destekli De Rham kohomoloji, 221
destekli form, 103
destekli kohomoloji, 270
destekli yerel kohomoloji, 226
destekli yerel kohomoloji dizisi, 226
dizisel, 11
manifoldlarm kohomolojisi, 220, 244
metrik uzay, 11
topolojik uzay, 6, 11
uzay, 6
Tohum
fonksiyon, 67
Toplam vektör demeti, 164
Topoloji, 3
alt küme, 3
bölüm, 4
çarpım, 4
ince, 3
kaba, 3, 4
kutu, 4
kuvvetli, 3
metriklenebilir, 10
miras kalan, 3
standart, 3
DİZİN
374
tabam, 4
üretilen, 4
zayıf, 3, 4
Topolojik
atlas, 63
gömme fonksiyonu, 7, 75
limit, 43
manifold, 63
örtü uzayı, 72
tıkız uzay, 11
uzay, 3
Topolojist sinüs eğrisi, 9
Torus, 93
Euler sınıfı, 266
Türevlenebilme, 16
Tüp Komşuluk Teoremi, 184
Türev
dış, 94
Lie, 132
yönlü, 132
Türevlenebilir
atlas, 63
fonksiyon, 16, 66
form, 89
k-form, 89
manifold, 63
yapı, 63
Türevlenebilir form
geri çekme, 91
Uzay
bağlantılı, 8
Banach, 16
bölüm, 4
dual, 35
gerçel projektif, 65
Hausdorff, 5
homotopi denkliği, 204
karmaşık projektif, 65, 116
Lens, 102
metriklenebilir, 10
örtü, 73, 101
projektif, 65
sınıflandırma, 317
teğet, 67
tıkız, 6
yol bağlantılı, 8
yönlendirme örtü, 123
yörünge, 45
Uzunluk
eğrinin, 140
fonksiyoneli, 140
işaretli, 31
Üçgen eşitsizliği, 10
Üretilen topoloji, 4
Üstel
fonksiyon, 144
matris, 37
Vektör
alanı, 71, 128
alanının akışı, 128
alanının integrali, 128
demeti, 160, 265
demetinin kesiti, 162
homomorfizmalarmm demeti, 165
gradyan, 154
teğet, 67
Vektör alanı
Killing, 189
Vektör alanı boyunca
formların daraltılması, 134
Lie türevi, 133
Vektör demeti
alt, 161
analitik kesitleri, 170
aşikar, 161
determinantı, 166
dual, 165
geri çekme işlemi, 168
izomorfizması, 161
kohomoloji, 270
tensör çarpımı, 165
tensör çarpımları üzerinde bağlantı, 180
toplam, 164
üzerinde bağlantılar, 171
üzerinde burulma tensörü, 176
üzerinde Christoffel sembolleri, 171, 174
üzerinde iç çarpım, 163
üzerinde metrik bağlantı, 178
üzerinde Riemann bağlantısı, 173, 174
üzerindeki bağlantı formu, 175
üzerindeki karmaşık yapılar, 166
yapı fonksiyonları, 161
yönlendirilebilir, 162
Vektör uzayı
kesişim, 98
yönlendirilebilen, 97
Whitney Çarpım Formülü, 321
Yakınsak
alt dizi, 11
dizi, 11
Yaklaşım
köşegen, 276
Yanyana Gelme Eşitliği, 325
Yapı grubunun indirgenmesi, 162
d iz in
Yerel çarpım fonksiyonu, 161
Yerel derece, 230
Yerel sabit fonksiyon, 10
Yıldız operatörü, 154, 157
Yönlendirilebilir
manifold, 99
vektör demeti, 162
vektör uzayı, 97
Yönlendirilemeyen manifold, 266
Yönlendirilmiş manifold, 101
Yönlendirme
doğal, 100
gerçel projektif uzay, 102
karmaşık vektör uzayı, 98
Yönlü
küme, 43
türev, 132
Yörünge uzayı, 45
Yuvar
açık, 10
Zayıf topoloji, 3, 4
Zincir
fonksiyonu, 215
grupları, 196
yapısı, 196
375