binom açılımı

BİNOM AÇILIMI
Binom Açılımı
n
n doğal sayı olmak üzere, (x+y) ifadesinin açılımını pascal üçgeni yardımıyla öğrenmiştik. Pascal üçgenindeki katsayılar;
n
n
(x+y) ifadesi
(x+y)
0
(x+y)
1
(x+y)
2
(x+y)
3
n
1. Sütun: (x+y) açılımındaki katsayılar
2. Sütun: (x+y) açılımındaki katsayılar
1
æ 0ö
çç ÷÷÷ = 1
çè0÷ø
1
1
1
4
2
3
æç1 ö÷
÷
ççè0÷ø÷ = 1
1
æ 2ö
çç ÷÷÷ = 1
çè0÷ø
1
3
æç3ö÷
÷
ççè0÷ø÷ = 1
1
æç1ö÷
÷
ççè1÷ø÷ = 1
æç2ö÷
ç ÷÷ = 2
çè1 ø÷
æç3ö÷
÷
ççè1 ÷ø÷ = 3
æç2ö÷
ç ÷÷ = 1
çè2÷ø
æç3ö÷
÷
ççè2÷ø÷ = 3
æç3÷ö
÷
ççè3÷ø÷ = 1
5
Yukarıdaki tablo (x+y) , (x+y) , .... kuvvetleri için devam ettirildiğinde birinci sütun da elde edilen katsayılar ile ikinci sütunda elde
n
edilen katsayıların aynı olduğu görülür. O halde; (x+y) ifadesinin açılımındaki katsayıları pascal üçgeni yerine,
æçnö÷ æçn÷ö çæn÷ö
çæ n ÷÷ö çæn÷÷ö
÷
÷
÷
ççè0÷÷ø , ççè1÷÷ø , ççè2÷÷ø ........... ççèn - 1÷÷ø , ççèn÷÷ø ifadeleri ile bulabiliriz. Birinci terim x in kuvvetin den başlayıp azalarak, ikinci terim
y nin kuvveti sıfırdan başlayıp artarak yukarıda yerleştirildiğinde,
ænö
ænö
ænö
æ n ÷ö 1 n-1 æçnö÷ o n
÷÷ x y + ç ÷÷ x y elde edilir.
(x + y)n = ççç ÷÷÷ xn .yo + ççç ÷÷÷ xn-1 y1 + ççç ÷÷÷ xn-2 y2 + ..... + ççç
è0÷ø
è1ø÷
è2ø÷
èn - 1÷ø
èçnø÷
çözüm
kavrama sorusu
2
2
(x+y) açılımını bulunuz.
(x+y) ifadesinde n=2 dir.
æ 2ö
æ2ö
æ2ö
÷
÷
÷
2
(x+y) açılımında çç ÷÷÷ , ççç ÷÷÷ , ççç ÷÷÷ katsayılardır.
èç0ø è1 ø è2ø
x ve y nin kuvvetleri yukarıdaki ifadede yerlerine yerleştirildiğinde,
æ 2ö
æ2ö
æ2ö
(x + y)2 = çç ÷÷÷ x 2 yo + çç ÷÷÷ x1y1 + çç ÷÷÷ x o y2
çè2÷ø
0÷ø
1 ÷ø
èç
èç

2
1
1
2 o
o 2
=1.x y +2.xy+1.x y
2
2
=
x +2xy+y 2
2
Cevap: x +2xy+y
çözüm
kavrama sorusu
3
3
(2x – 3y) açılımını bulunuz.
(2x – 3y) ifadesinde n=3 tür.
æ3ö÷ æ3ö÷ æ3ö÷ æ3ö÷
3
(2x – 3y) açılımında çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ işareti belirlenmemiş
èç0ø èç1 ø èç2ø èç3ø
katsayılardır.
2x ve 3y nin kuvvetlerini açılımda yerleştirelim.
æ3ö
æ3ö
(2x - 3y)0 = çç ÷÷÷ (2x)3 (-3y)0 + ççç ÷÷÷(2x)2 (-3y)1
çè0÷ø
1 ÷ø
è

1
3
æ3ö
æ3ö
+ çç ÷÷÷(2x)1.(-3y)2 + çç ÷÷÷(2x)0 (-3y)3
2ø÷
3ø÷
èç
èç
3
4
1
3
2
1
2
3
=1.8x +3.4x (– 3y) +3.2x.9y +1.1(–27y )
3
2
2
3
=8x – 36x y+54xy – 27y
3
2
2
3
Cevap: 8x – 36x y+54xy – 27y
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
4
3
(x+y) ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden
hangisidir?
(3x+1) ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
3
A) x +3x +3x+1
çæ4÷ö æç4ö÷ æç4ö÷
A) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
çèç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷
çæ4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷
B) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
çèç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷
æç4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷
C) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
ççè0÷ø èçç1 ø÷ èçç2ø÷
æç4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷
D) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
ççè0÷ø ççè1 ÷ø èçç2ø÷ èçç3ø÷
3
2
B) 9x +9x +3x+1
2
3
C) 27x +9x +3x+1
2
D) 27x +27x +3x+1
3
2
E) 27x +27x +9x+1
æç4÷ö æç4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷ æç4ö÷
E) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
ççè0÷ø èçç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷
soru 2
soru 6
5
3
(a+b) ifadesinin açılımında katsayılar aşağıdakilerden
hangisidir?
(a – 2b) ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
3
2
2
3
A) a +3a b+3ab +b æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷
B) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
èçç0ø÷ èçç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷ èçç5ø÷
æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷
C) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
çèç1 ÷ø èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷ èçç5ø÷
æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷
D) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
èçç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷
æç5ö÷ æç5ö÷
E) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
çç0÷ çç5÷
è ø è ø
soru 3
3
soru 4
5
B) (x+y)
4
C) (a – b)
3
3
7
D)(x – y)
4
3
2
4
3
2 4
3
E) (x+y)
4
3
4
3
2
B) 16x – 32x +24x – 8x+1
2
D) 16x +4x +6x +4x+1
3
2 E) x – 4x +6x – 4x+1
soru 8
8
(5x+2y) ifadesinin açılımındaki son terim aşağıdakilerden hangisi olabilir?
æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷ æç8ö÷
çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
èçç0ø÷ èçç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷ èçç5ø÷ èçç6ø÷ èçç7ø÷ èçç8ø÷
C) 8
D) 9
æç8ö÷
A) çç ÷÷÷(5x)7 (2y)1
èçç8ø÷
E) 10
æç8ö÷
B) çç ÷÷÷(5x)6 (2y)2
èçç8ø÷
æ ö
ç 8÷
D) çç ÷÷÷(5x)1(2y)7
çèç8ø÷
2 – B
2 C) 16x – 32x – 24x – 8x – 1
olduğuna göre, n kaçtır?
1 – E
2
A) 16x +32x +24x +8x+1
B) 7
2
(2x – 1) ifadesinin açılımı aşağıdakilerden hangisidir?
(x+y) açılımındaki katsayıları
A) 6
2
3
4
n
3
2
D) a – 6a b+12ab – 8b
E) a – 6a b – 12ab – 8b
soru 7
6
3
3
Açılımındaki katsayıları yukarıdaki gibi olan ifade aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) (a+b)
2
C) a +6a b+12ab +8b æç6ö÷ æç6ö÷ æç6ö÷ æç6ö÷ æç6ö÷ æç6ö÷ æç6ö÷
çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷ , çç ÷÷
ççè0÷÷ø ççè1 ÷÷ø ççè2÷÷ø ççè3÷÷ø èçç4÷÷ø ççè5÷÷ø èçç6ø÷÷
2
2
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷ æç5ö÷
A) çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷ , çç ÷÷÷
ççè0÷ø èçç1 ø÷ èçç2ø÷ èçç3ø÷ èçç4ø÷
3
B) a +6a b+6ab +8b
3 – A
4 – C
5 – E
5
6 – D
æç8ö÷
C) çç ÷÷÷(5x)0 (2y)8
èçç8ø÷
æ ö
ç 8÷
E) çç ÷÷÷(5x)2 (2y)6
çèç8ø÷
7 – B
8 – C
Binom Açılımı
æçnö÷
æçnö÷
çæ n ö÷÷ 1 n-1 ççænö÷÷ 0 n
(x + y)n = çç ÷÷÷ xn y0 + çç ÷÷÷ xn-1y1 + .......... + çç
÷ x y + ç ÷÷ x y
çèç0÷ø
ççè1÷ø
ççèn - 1÷÷ø
ççènø÷

n+1 tane
n
Yukarıdaki açılımda görüldüğü gibi (x+y) ifadesinin açılımında n+1 tane terim vardır.
Ayrıca açılımdaki x ve y nin kuvvetleri sırasıyla incelendiğinde,
æçnö÷
çç ÷÷ xn y0 ® kuvvetler toplamı n+0=n
ççè0ø÷÷
ænö÷
ç ÷ n-1 1
ççç ÷÷ x y ® kuvvetler toplamı n – 1+1=n
çè1ø÷
æn÷ö
ç
çç ÷÷÷ xn-2 y2 ® kuvvetler toplamı n – 2+2=n
ççè2÷ø
.
.
.
ænö÷
ç
çç ÷÷÷ x 0 yn
ççènø÷
® kuvvetler toplamı 0+n=n olduğu görülür.
n
(x+y) açılımında her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı n dir.
çözüm
kavrama sorusu
7
n
(x+y) ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz.
7
(x+y) ifadesinin açılımında n+1 terim olduğundan (x+y)
ifadesinin açılımında,
7+1=8 terim vardır.
çözüm
kavrama sorusu
6
6
(2x – 3y) ifadesinin açılımında kaç terim olduğunu bulunuz.
(2x – 3y) ifadesinde n=6 dır.
6+1=7 terim vardır.
4
3
n
(x+y) =.........+A.x .y +..........
(x+y) açılımındaki her terimdeki x ve y nin kuvvetleri toplamı
n olduğundan,
olduğuna göre, n kaçtır bulunuz.
4 3
Ax y den n=4+3=7
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
10
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
n
Cevap: 8
5
m
10
(a+2b) =.........+K.a .b +..........
(a+b) açılımında her terimdeki a ve b nin kuvvetleri toplamı
10 olduğundan,
olduğuna göre, m kaçtır bulunuz.
5 m
K.a b den 5+m=10
6
m=5
Cevap: 5
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
(x – y) ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
A) 3
B) 4
soru 2
C) 5
D) 6
C) 10
E) 12
C) 12
D) 13
B) 4
soru 7
2 – B
3 – D
C) 9
E) 7
D) 10
E) 11
5 – m
(6x+y) =.....+K.x
A) 11
1 – C
D) 6
4 6
B) 8
n
(5x+7y) ifadesinin açılımında 11 terim olduğuna göre, m
kaçtır?
D) 12
C) 5
A) 7
E) 14
soru 8
C) 11
E) 9
(4a+3b) =...+B.a b +.... olduğuna göre, n kaçtır?
B) 10
D) 7
5 2
n
m
A) 9
C) 5
A) 3
ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
B) 11
soru 4
D) 11
A) 10
B) 4
(x+y) =...+Ax y +.... olduğuna göre, n kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 9
ççæ x + y ÷÷ö
çè 3 4 ÷ø
A) 3
n
(a+b) ifadesinin açılımında kaç terim vardır?
12
ifadesinin açılımında 9 terim olduğuna göre,
soru 6
8
soru 3
(2a+10b)
n kaçtır?
E) 7
A) 8
n2 – 1
4
m+7
.y
B) 12
+..... olduğuna göre, n kaçtır?
C) 13
D) 14
E) 15
E) 13
4 – B
5 – A
7
6 – E
7 – D
8 – B
Binom Açılımı
n
n
(ax+by) gibi ikili ifadelerin açılımında katsayılar toplamını bulmak için x ve y ye 1 değerleri verilip (ax+by) ifadesinin aldığı değer
bulunur. Bu yöntem ikili, üçlü ifadelerin tümünde uygulanabilir.
çæn÷ö
çæn÷ö
çæ n ÷÷ö 1 n-1 ççæn÷ö÷ 0 n
+ y)n = çç ÷÷÷ xn y0 + çç ÷÷÷ xn-1y1 + ............. + çç
(x
÷ x y + ç ÷÷ x y olduğundan,
çèç0ø÷
çèç1ø÷
çèçn - 1ø÷÷
èççnø÷
n
n
x=1 ve y=1 için (1+1) =2 katsayılar toplamını verir.
Polinom tipindeki ifadelerin n. kuvvetlerinin açılımlarındaki sabit terimi bulmak için ise değişkenlere sıfır(0) değeri verilir.
çözüm
kavrama sorusu
7
(2x+3y) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bulunuz.
æç7÷ö
æç7ö÷
æç7ö÷
(2x + 3y)7 = çç ÷÷÷(2x)7 .(3y)0 + çç ÷÷÷(2x)6 (3y)1 + ... + çç ÷÷÷(2x)0 (3y)0
çèç0ø÷
çèç1 ø÷
èçç7ø÷
açılımından katsayıları bulup toplamlarını hesaplamak güç olduğundan,
x=1 ve y=1 değerlerini ifadede yerlerine yazalım.
7
7
(2.1+3.1) =5 katsayılar toplamıdır.
Cevap: 5
7
Cevap: – 2
9
Cevap: 4
5
çözüm
kavrama sorusu
x=1, y=1 için,
æç 2 5 ö÷9
÷
ççè3x - y ÷ø÷ ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını bu-
æç 2 5 ö÷9
9
9
9
çç3.1 - ÷÷ = (3 - 5) = (-2) = -2
è
1ø
lunuz.
9
Katsayılar toplamı – 2 dur.
çözüm
kavrama sorusu
2
5
(2x +3y – z) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamını
bulunuz.
x=1, y=1 ve z=1 için,
2
5
5
5
(2.1 +3.1 – 1) =(2+3 – 1) =4
5
Katsayılar toplamı 4 dir.
çözüm
kavrama sorusu
6
(5x – 2) ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz.
x=0 için,
6
6
6
(5.0 – 2) =(– 2) =2
6
Sabit terim 2 dır.
6
Cevap: 2
8
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
5
(x+2y) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
5
A) 1
B) 2
soru 2
5
5
C) 3
D) 4
(x+y – 3z) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
5
E) 5
A) – 1
12
soru 3
(4x – 3y)
10
15
16
D) 2
18
E) 2
A) 3
ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
10
A) 1
B) 3
soru 4
C) 2
10
10
C) 4
D) 7
10
E) 8
1 – C
10
15
B) 1
59
2 – E
C) 1
D) 0
3 – A
8
6
D) 3
E) 3
ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
B) 2
soru 8
C) 3
A) 0
9
B) 3
soru 7
15
C) 3
15
15
D) 5
E) – 1
8
(5x+3y – 4) ifadesinin açılımındaki sabit terim kaçtır?
A) – 4
9
E) 3
12
(5x – 2y)
æç 2 5 ö÷9
ç5a - ÷÷ ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
èç
bø
A) 5
7
D) 2
(2x+y+6z) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 2
7
C) 1
5
(5a+3b) ifadesinin açılımındaki katsayılar toplamı kaçtır?
6
B) 0
soru 6
6
A) 2
7
8
B) 0
C) 1
D) 3
8
8
E) 4
E) – 1
4 – D
5 – A
9
6 – B
7 – A
8 – E
Binom Açılımı
æçnö÷
æçnö÷
æç n ö÷
ænö
÷÷ x1 yn-1 + çç ÷÷÷ x 0 yn açılımında,
(x + y)n = çç ÷÷÷ xn y0 + çç ÷÷÷ xn-1 y1 + ........ + çç
çç ÷
÷
ççè1÷ø
ççè0÷ø
ççèn - 1÷ø
çènø÷
Baştan
1. terim
ænö÷ n 0
çç ÷ x y
çè0÷÷ø
Baştan
2. terim
Terimlerin katsayıları ile kuvvetleri arasındaki ilişki dikkatle incelendiğinde,
æçnö÷ n-1 1
ç ÷÷ x y
çè1÷ø
ænö÷
çè2÷ø
çç ÷ x
y
3. terim
ç ÷
Baştan
.
.
.
.
.
.
Baştan n+1. terim
n-2
Baştan r+1. terimin
2
ænö÷ n-r r
ççç ÷÷ x .y ifadesi ile bulunduğu görülür.
èr ø÷
.
.
.
æçnö÷ 0 n
ç ÷÷ x y
çèn÷ø
çözüm
kavrama sorusu
7
7
(x+y) ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz.
(x+y) ifadesinde n=7 dir.
Baştan 3. terim istendiğinden,
r+1=3 ise r=2 bulunur.
æçnö÷ n-r r
ç ÷÷ x y ifadesinde n=7 ve r=2 değerleri yerlerine konulçèr ÷ø
duğunda,
7!
çæç7÷÷ö x 7-2 .y2 =
. x 5 .y2 = 21x 5 y2
÷
(7 - 2)! .2!
èç2ø÷
5 2
Cevap: 21x y
çözüm
kavrama sorusu
6
6
(x – y) ifadesinin açılımında baştan 4. terimi bulunuz.
(x – y) ifadesinde n=6 dır.
Baştan 4. terim istendiğinden,
r+1=4 ise r=3 bulunur.
ænö n-r
æ 6ö 6 - 3
6!
r
3
x 3 .(-y 3 )
çç ÷÷÷ x .(-y) = ççç ÷÷÷ x .(-y ) =
çèr ÷ø
(6 - 3)! . 3!
è3÷ø
= -20x 3 y 3
3 3
Cevap: – 20x y
çözüm
kavrama sorusu
8
8
(2a+3b) ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz.
(2a+3b) ifadesinde n=8 dir.
r+1=3 ise r=2 bulunur.
æçn÷ö
æ 8ö
çç ÷÷(2a)n-r .(3b)r = ççç ÷÷÷(2a)8-2 .(3b)2
÷
÷
èçr ÷ø
èç2÷ø
=
8!
.(2a)6 .(3b)2 = 28.26.a 6 .32.b2
(8 - 2)! . 2!
= 28 .26 .32 .a 6 .b2
6
2
6
Cevap: 28.2 .3 .a .b
10
2
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
5
(x+y) ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
2 3
4
A) 5x y
B) 5x y
3 2
2 3
C) 5x y
D) 5x y
6
(x+3y) ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
4
E) 5xy 2 4
3 3
A) 540x y
soru 2
7
3 4
4 3
B) 21a b
3 4
C) 28a b
4 3
D) 35a b
3
(x – 2y) ifadesinin açılımındaki baştan 5. terimin katsayısı
aşağıdakilerden hangisidir?
4
E) 35a b 5
4
A) – 21.2 8
(x – y) ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
7
A) 8x y
7
B) 28x y
7
7
C) – 8x y
6 2
D) – 28x y
E) – 56x y
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
3
soru 7
4
E) 35.2
8
(5a+2b) ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
æ 8ö
A) çç ÷÷÷ 55.23
èç3ø÷
soru 8
9
æ 8ö
B) çç ÷÷÷ .53.25
èç3ø÷
8
2 7
B) 9a b
8
C) 36ab
8
D) – 36ab
E) – 9ab
æ 8ö
C) çç ÷÷÷ 56.22
èç2ø÷
æ 8ö
E) ççç ÷÷÷ 54.24
è2ø÷
10
(a – b) ifadesinin açılımındaki baştan 9. terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) 9ab
C) 21.2
D) – 35.2 æ 8ö
D) ççç ÷÷÷ 55.23
è2ø÷
soru 4
3
B) 21.2 soru 3
E) 135x y
7
(a+b) ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir?
A) 21a b
C) 540x y
4 2
D) 135x y soru 6
4 2
B) 540x y 3 3
(3a+4b) ifadesinin açılımındaki baştan 5. terim aşağıdakilerden hangisidir?
8
æ10÷ö
A) ççç ÷÷÷ 38 42 a 8 .b2
çè 4 ÷ø
æ10÷ö
B) ççç ÷÷÷ 36 4 4 a 6 .b4
çè 4 ÷ø
æ10ö÷
C) ççç ÷÷÷ 37 4 3 a 7 .b3
çè 4 ÷ø
æ10ö÷
D) ççç ÷÷÷ 35 4 5 a 5 .b5
çè 5 ÷ø
æ10ö÷
E) ççç ÷÷÷ 34 46 a 4 .b6
çè 5 ø÷
1 – B
2 – D
3 – C
4 – A
5 – E
11
6 – E
7 – C
8 – B
Binom Açılımı
çözüm
kavrama sorusu
2
5
2
(x +y) ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimi bulunuz.
5
(x +y) ifadesinde n=5 dir.
r+1=3 ise r=2
æçnö÷
æ5ö
çç ÷÷(x 2 )n-r .(y)r = ççç ÷÷÷(x 2 )5-2 .y2
çè2÷÷ø
çèr ÷÷ø
=
5!
.(x 2 )3 .y2
(5 - 2)! .2!
= 10x 6 .y2
6 2
Baştan 3. terim 10x y dir. çözüm
kavrama sorusu
3 6 2
Cevap: 10x y
2 6
3 (x – y ) ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimi bulunuz.
2 6
(x – y ) ifadesinde n=6 dır.
r+1=4 ise r=3
æçnö÷
æ 6ö
çç ÷÷(x 3 )n-r .(-y2 )r = ççç ÷÷÷(x 3 )6-3 .(-y2 )3
÷
çè3÷÷ø
èçr ø÷
=
6!
.(x 3 )3 .(-y6 )
(6 - 3)! .3!
= -20x 9 y6
9
6
Baştan 4. terim – 20.x .y tür.
6
2
5
çözüm
kavrama sorusu
2
9
Cevap: – 20.x .y
3 7
2
(2x +5y ) ifadesinin açılımındaki baştan 6. terimin katsayısını bulunuz.
3 7
(2x +5y ) ifadesinde n=7 dir.
r+1=6 ise r=5
æçnö÷
æ 7ö
çç ÷÷(2x 2 )n-r .(5y 3 )r = ççç ÷÷÷.(2x 2 )7-5 .(5y 3 )5
çè5÷÷ø
çèr ÷÷ø
=
7!
.(2x 2 )2 .(5y 3 )5
(7 - 5)! .5!
= 21.22.x 4 .55.y15
= 21.22.55.x 4 .y15
Baştan 6. terimin katsayısı 21.22.55 tir.
çözüm
kavrama sorusu
3
Cevap: 21.2 .5
2 8
3
(x – 3y ) ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısını bulunuz.
2 8
(x – 3y ) ifadesinde n=8 dir.
r+1=4 ise r=3
æçnö÷
æ 8ö
çç ÷÷.(x 3 )n-r .(-3y2 )r = ççç ÷÷÷(x 3 )8-3 .(-3y2 )3
÷
çè3÷÷ø
èçr ø÷
æ8÷ö
æ8÷ö
= ççç ÷÷÷(x 3 )5 (-3y2 )3 = ççç ÷÷÷ x15 .(-3)3 .y6
çè3ø÷
çè3ø÷
æ8ö÷
= -ççç ÷÷÷.33.x15 y6
çè3÷ø
æ 8ö
Baştan 4. terimin katsayısı: -ççç ÷÷÷.33
çè3÷÷ø
12
æ 8ö
Cevap: -ççç ÷÷÷ 3 3
çè 3÷ø÷
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
2 4
2
(x+y ) ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
3
3 2
A) 4x y
2
E) x y
3
(a +b ) ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
6 4
D) 10.a .b
soru 3
9
4
B) 6.a .b 6
C) 10.a .b
6
7
E) 10a .b
9
(a – b ) ifadesinin açılımındaki baştan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
5
4
4
D) 35.a .b
soru 4
3
6
3
B) 21.a .b 5
C) 21.a .b
4
4
E) 35a .b
8
6
1 – B
soru 7
2 6
9
3
12
B) – 5a .b 9
3
D) 5a .b 2 – D
C) – 5a .b
12
E) 5a .b
3 – A
E) 25.2
3 8
(x – 4y ) ifadesinin açılımındaki baştan 3. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
soru 8
4 (a – b ) ifadesinin açılımındaki baştan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
D) 25.2 æ 8ö
B) ççç ÷÷÷ 24
è2ø÷
æ 8ö
C) ççç ÷÷÷ 25
è2÷ø
æ 8ö
D) - çç ÷÷÷ 23
èç2ø÷
3 5
9
10
C) 50.2
11
æ 8ö
A) ççç ÷÷÷ 23
è2ø÷
6
A) – 5a .b 9
B) 50.2 9
2 7
A) 21.a .b
2 10
A) 50.2 6
8 4
E) 20x y
(5x +2y ) ifadesinin açılımındaki baştan 10. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
6
C) 20.3 x y
D) 20x y soru 6
2 6 6
B) 20.3 x y 4 8
3 5
A) 6.a .b
3 4 8
A) 20.3 x y
3 4
D) x y soru 2
3 6 6
C) 4x y
4 2
(3x +y ) ifadesinin açılımındaki baştan 4. terim aşağıdakilerden hangisidir?
3 3
B) 4x y 2 6
æ 8ö
E) - çç ÷÷÷ .24
çè2÷ø
2 12
(3x – 5y ) ifadesinin açılımındaki baştan 4. terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
3
æ12ö
A) ççç ÷÷÷ 39.53
è 4 ÷ø
3
æ12ö
B) ççç ÷÷÷ 38.54
è 4 ÷ø
æ12ö
D) - ççç ÷÷÷ 310.52
è 3 ø÷
4 – C
5 – A
13
6 – B
æ12ö
C) - ççç ÷÷÷ 38.54
è 4 ÷ø
æ12ö
E) - ççç ÷÷÷ 39.53
è 3 ø÷
7 – B
8 – E
Binom Açılımı
5 terim var


æ
ö
æ
ö
æ
æ 4ö
æ 4ö
4
4
4ö÷ 2 2
4
4 0
3 1
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
(x + y) = çç ÷ x y + çç ÷ x y + çç ÷ x y + ççç ÷÷÷ x1y 3 + ççç ÷÷÷ x 0 y 4
2÷ø
3÷ø
è0÷ø
è 1÷ø
è
è
è4÷ø

ortadaki terim
7 terim var


æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
æ6 ö
æ6ö
æ6ö
6
6
6
6ö÷ 3 3
6
6 0
5 1
4 2
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
(x + y) = ç ÷÷ x y + ç ÷÷ x y + ç ÷÷ x y + ç ÷÷ x y + çç ÷÷÷ x 2 y 4 + çç ÷÷÷ x1y 5 + çç ÷÷÷ x 0 y6
ç3ø÷
ç4ø÷
ç5ø÷
èç0ø÷
èç 1ø÷
èç2ø÷
è
è
è
èç6ø÷

ortadaki terim
Yukarıdaki örneklerde görüldüğü gibi, (x+y)
2n
æ2nö÷ n n
÷÷ . x y ifadesi ile bulunur.
èç n ø÷
ç
ifadesinin açılımındaki ortadaki terim çç
çözüm
kavrama sorusu
8
8
(x+y) ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz.
(x+y) ifadesinde 2n=8 ise n=4
æç2nö÷ n n
ç ÷÷ x y ifadesinden,
èç n ø÷
æç8ö÷ 4 4
8!
4 4
4 4
÷
ççè4÷ø÷ x y = (8 - 4)! . 4! . x y = 70x y
4 4
70x y açılımda ortadaki terimdir.
4 4
Cevap: 70x y
çözüm
kavrama sorusu
6
6
(2x+3y) ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz.
(2x+3y) ifadesinde 2n=6 ise n=3
æç2nö÷
æç6ö÷
æç6ö÷ 3 3 3 3 æç6ö÷
n
n
3
3
3 3
÷
÷
÷
÷
ççè n ÷÷ø(2x) (3y) = èçç3ø÷÷(2x) (3y) = èçç3ø÷÷ 2 x 3 y = èçç3ø÷÷ 8.27.x y
æ6 ö
Cevap: ççç ÷÷÷ 8.27.x 3 y 3
è 3ø÷
çözüm
kavrama sorusu
3
2 10
3
(x +y ) ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz.
2 10
(x +y )
ifadesinde 2n=10 ise n=5
çæç10÷÷ö(x 3 )5 .(y2 )5 = ççæ10÷÷ö .x15 .y10
çè 5 ÷ø÷
çè 5 ÷÷ø
çözüm
kavrama sorusu
2
4 2n
(x +y ) ifadesinin açılımında ortadaki terimde x
olduğuna göre, n kaçtır, bulunuz.
æ10ö
Cevap: çç ÷÷÷ x15 . y 10
çè 5 ÷ø
12
2
li terim
4 2n
(x +y )
ifadesinin ortadaki terimi,
æç2nö÷ 2 n 4 n æç2nö÷ 2n 4n
çç ÷÷(x ) .(y ) = çç ÷÷ x .y dir.
è n ø÷
è n ø÷
2n
x =x
12
ise 2n=12 ve n=6
Cevap: 6
14
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
4
2
6
(a+b) ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?
(x +y) ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?
æ 4ö
A) ççç ÷÷÷ ab2
è2÷ø
æ 6ö
A) ççç ÷÷÷ x 3 y 3
è3ø÷
æ 4ö
B) ççç ÷÷÷ a 2b2
è2ø÷
æ 4ö
D) çç ÷÷÷ a 3b
çè2÷ø
soru 2
æ 4ö
C) ççç ÷÷÷ a 2b
è2ø÷
æ 6ö
B) ççç ÷÷÷ x 6 y 3
è3÷ø
æ 4ö
E) çç ÷÷÷ ab
çè2÷ø
æ 6ö
D) çç ÷÷÷ x 6 y6
èç3ø÷
soru 6
6
2
æ 6ö
C) ççç ÷÷÷ x 3 y6
è3÷ø
æ 6ö
E) çç ÷÷÷ x 6 y
èç3ø÷
3 10
(x – y) ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?
(x +y ) ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakilerden hangisidir?
æ 6ö
A) çç ÷÷÷ x 4 y 4
èç3ø÷
æ10ö
A) ççç ÷÷÷ x 8 y12
è 5 ÷ø
æ 6ö
B) çç ÷÷÷ x 2 y2
çè3÷ø
soru 3
æ 6ö
E) - ççç ÷÷÷ x 4 y 4
è3ø÷
8
(3x+5y) ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı
aşağıdakilerden hangisidir?
æ8 ö
A) çç ÷÷÷ 34 54
çè4÷ø
æ8 ö
B) çç ÷÷÷ 33 53
èç4ø÷
æ 8ö
D) ççç ÷÷÷ x 3 y 3
è6ø÷
soru 4
soru 7
3
12
(x +y ) ifadesinin açılımında ortadaki terimde x
olduğuna göre, n kaçtır?
B) 5
soru 8
ççæ2x + x ÷÷ö ifadesinin açılımında ortadaki terimin katsayısı
çè
2 ÷ø
aşağıdakilerden hangisidir?
C) 6
li terim
D) 7
E) 8
4
2 n
(x +2y ) ifadesinin açılımında ortadaki terimde y
rim olduğuna göre, n kaçtır?
A) 5
æ12ö
B) ççç ÷÷÷ 24
è 6 ø÷
B) 8
C) 10
D) 11
10
lu te-
E) 12
æ12ö
C) ççç ÷÷÷ 22
è 6 ø÷
æ12ö
D) çç ÷÷÷ 2
èç 6 ø÷
2 – D
æ10ö
E) çç ÷÷÷ x10 y12
çè 5 ÷ø
æ 8ö
E) ççç ÷÷÷ x 4 y 4
è6ø÷
12
1 – B
æ10ö
C) ççç ÷÷÷ x10 y15
è 5 ÷ø
4 2n
A) 4
æ8 ö
C) çç ÷÷÷ 32 52
èç4ø÷
æ12ö
A) ççç ÷÷÷ 26
è 6 ø÷
æ10ö
B) ççç ÷÷÷ x 6 y9
è 5 ÷ø
æ10ö
D) çç ÷÷÷ x 8 y9
çè 5 ÷ø
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
æ 6ö
D) - ççç ÷÷÷ x 3 y 3
è3ø÷
æ 6ö
C) çç ÷÷÷ x 3 y 3
çè3÷ø
æ12ö
E) çç ÷÷÷
èç 6 ø÷
3 – A
4 – E
5 – B
15
6 – C
7 – A
8 – C
Binom Açılımı
Baþtan 4. terim


æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ 4ö
æ 4ö
4
4
4
(x + y)4 = ççç ÷÷÷ x 4 y0 + ççç ÷÷÷ x 3 y + ççç ÷÷÷ x 2 y2 + ççç ÷÷÷ x1y 3 + ççç ÷÷÷ x 0 y 4 (5 terim var)
3÷ø
è0ø÷
è1 ÷ø
è2÷ø
è
è4÷ø

Sondan 2. terim
Baþtan 5. terim


æ
ö
æ
ö
æ
ö
æ
ö
æç5ö÷ 1 4
æ5ö
5
5
5
5
4 1
3 2
2 3
5
5 0
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
÷
(x + y) = çç ÷ x y + çç ÷ x y + çç ÷ x y + çç ÷ x y
+ ççç ÷÷÷ x 0 y 5 (6 terim var)
çç4ø÷÷ x y
5ø÷
è0ø÷
è1 ÷ø
è2÷ø
è3ø÷
è
è

Sondan 2. terim
ænö÷ n-r r
Yukarıdaki örneklerden de görüleceği gibi sondan (n – r+1).terim, çç ÷÷÷ x .y dir.
çèr ø
çözüm
kavrama sorusu
6
6
(x+y) ifadesinin açılımında sondan 3. terimi bulunuz.
(x+y) ifadesinde n=6 dır.
Sondan 3. terim istendiğinden,
n - r + 1= 3
¯
6 - r + 1= 3
r=4
æçnö÷ n-r r
ç ÷÷ x y ifadesinde n=6 ve r=4 değerleri yerlerine konulduèçr ø÷
ğunda,
æç6ö÷ 6-4 4
6!
. x 2 y 4 = 15x 2 y 4 bulunur.
ç ÷÷ x .y =
çè4÷ø
(6 - 4)! .4!
2 4
Cevap: 15x y
çözüm
kavrama sorusu
7
7
(3x – 2y) ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz.
(3x – 2y) ifadesinde n=7 dir.
Sondan 2. terim istendiğinden, n – r+1=2 ise
7 – r+1=2
r=6
æçnö÷
æ 7ö
n-r
r
7- 6
6
1
6
ç ÷÷(3x) (-2y) = çç ÷÷÷(3x) .(-2y) = 7.(3x) (-2y)
çèr ÷ø
çè6÷ø
6
6
=7.3.2 x.y bulunur.
6
6
3
36
Cevap: 7.3.2 x.y
çözüm
kavrama sorusu
3 4 10
(5x – y )
3 ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz.
4 10
(5x – y ) ifadesinde n=10 dur.
Sondan 2. terim istendiğinden, n – r+1=2 ise
10 – r+1=2
r=9
ænö 3 n-r
æ10ö
4 9
3 10-9
.(-y 4 )9
çç ÷÷÷(5x ) .(-y ) = ççç ÷÷÷.(5x )
çèr ø÷
è 9 ÷ø
= -10 . 5x 3 y 36 = -50 .x 3 y 36
Cevap: – 50.x .y
16
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
5
3
(x+y) ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
2 3
4
A) x y
(a +b ) ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
3 2
B) 5x y
D) 5x y C) 5x y
2 3
E) 5xy
3 9
æ 9ö
A) çç ÷÷÷ a 3 .b6
èç8ø÷
4
æ 9ö
B) çç ÷÷÷ a 3 .b12
èç8ø÷
æ 9ö
D) ççç ÷÷÷ a 6 .b12
è7ø÷
soru 2
soru 6
6
2
(x – y) ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
5
2 4
A) – 6xy
2 10
(2x +3y ) ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakilerden hangisidir?
C) – 6x y
æ10ö
A) ççç ÷÷÷ x 2 y16
è 8 ÷ø
2 2
D) 6xy E) 6x y
æ10ö
B) ççç ÷÷÷ 28 .3x 2 y16
è 8 ÷ø
7
(a+2b) ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
æ7 ö
B) çç ÷÷÷ 24.a 3 .b4
èç4ø÷
æ 7ö
D) ççç ÷÷÷ 25.a 2b5
è5ø÷
soru 4
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
æ10ö
D) çç ÷÷÷ 29.3.x 2 y18
çè 9 ÷ø
æ 7ö
A) çç ÷÷÷ 24.a 4 .b3
èç3ø÷
æ 9ö
E) ççç ÷÷÷ a 9 .b9
è7ø÷
3 3
B) – 6x y
5
soru 3
æ 9ö
C) çç ÷÷÷ a 3 .b24
èç8ø÷
æ 7ö
C) çç ÷÷÷ 27.a 2b5
èç5ø÷
soru 7
4
æ10ö
C) ççç ÷÷÷ 29 x 2 y18
è 9 ÷ø
æ10ö
E) çç ÷÷÷ 2.39.x 2 y18
çè 9 ÷ø
5 11
(x – y ) ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
æ11ö
æ11ö
æ11ö
A) - çç ÷÷÷ x 8 y 45
B) - çç ÷÷÷ x 8 y 30
C) - çç ÷÷÷ x12 y15
çè 9 ÷ø
çè 9 ÷ø
çè 9 ÷ø
æ11ö
æ11ö
D) ççç ÷÷÷ x 8 y 45
E) ççç ÷÷÷ x 8 y 30
è 9 ÷ø
è 9 ÷ø
æ 7ö
E) ççç ÷÷÷ 25 a . b6
è5ø÷
soru 8
8
3
5 12
(5a – b) ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
(4x +2y ) ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıdakilerden hangisidir?
æ 8ö
A) ççç ÷÷÷ 5.a.b7
è7ø÷
æ12ö
A) ççç ÷÷÷ x 6 y 50
è10÷ø
æ 8ö
B) ççç ÷÷÷ 52.a 2 .b6
è6ø÷
æ 8ö
D) - çç ÷÷÷ 52.a 2b6
èç6ø÷
1 – E
2 – A
æ 8ö
C) ççç ÷÷÷ 53.a 3 .b5
è5ø÷
æ 8ö
E) - çç ÷÷÷ 5.a . b7
èç7ø÷
3 – D
æ12ö
B) ççç ÷÷÷ 214 x 6 y 50
è10÷ø
æ12ö
D) çç ÷÷÷ 212 x 9 y 45
èç 9 ø÷
4 – B
5 – C
17
6 – E
æ12ö
C) ççç ÷÷÷ x 6 y25
è10÷ø
æ12ö
E) çç ÷÷÷ x 9 y 4
èç 9 ø÷
7 – A
8 – B
Binom Açılımı
çözüm
kavrama sorusu
6
4
6
(a+b) ifadesinin açılımında b lü terimin katsayısını bulunuz.
(a+b) ifadesinde n=6 dır.
ænö÷ n-r r æ6ö÷ 6-r r
çç ÷ a .b = çç ÷ a .b
÷
çèr ÷÷ø
èçr ø÷
r
4
b =b ise r=4 olur.
æç6ö÷ 6-4 4
6!
. a 2b4
ç ÷÷ .a .b =
çè4÷ø
(6 - 4)! .4!
2 4
=15a b
4
b lü terimin katsayısı 15 dir.
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
8
2
8
(2a+5b) ifadesinin açılımında a li terimin katsayısını bulunuz.
(2a+5b) ifadesinde n=8 dir.
æçnö÷
æ 8ö
n-r
r
8-r
r
ç ÷÷(2a) . (5b) = ççç ÷÷÷(2a) . (5b)
çèr ÷ø
èr ÷ø
æ 8ö
= çç ÷÷÷ 28-r.a 8-r .5r.br
çèr ÷ø
æ 8ö
= çç ÷÷÷ 28-r.5r.a 8-r .br olduğundan,
çèr ÷ø
8 – r
2
=a ise 8 – r=2
a
r=6 dır.
n=8 ve r=6 olduğundan,
æç8ö÷ 8-6 6 8-6 6 æç8ö÷ 2 6 2 6
÷
÷
ççè6÷ø÷ .2 .5 .a .b = ççè6÷÷ø .2 .5 .a .b
æ 8ö
2
a li terimin katsayısı çç ÷÷÷ 22.56 dır.
çè6ø÷
çözüm
kavrama sorusu
2 3 10
(x – y )
lunuz.
ifadesinin açılımında y
æ8ö
Cevap: ççç ÷÷÷ .2 2 .56
è6ø÷
12
2 li terimin katsayısını bu-
3 10
(x – y )
ifadesinde n=10 dur.
ænö 2 n-r
æ10ö 2 10-r
3 r
.(-y 3 )r
ççç ÷÷÷(x ) .(-y ) = ççç ÷÷÷(x )
èr ø÷
è r ÷ø
æ10ö
= ççç ÷÷÷ x 20-2r . (-1)r .y 3r olduğundan,
è r ÷ø
3r
12
y =y
ise 3r=12
r=4 tür.
n=10 ve r=4 olduğundan,
çæç10÷÷ö .x 20-2.4 .(-1)4 .y 3.4 = çæç10÷÷ö x12 .y12
÷
çè 4 ÷ø÷
èç 4 ø÷
18
æ10÷ö
Cevap: çç ÷÷÷
çè 4 ø
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
5
3
(x+y) ifadesinin açılımında y lü terimin katsayısı kaçtır?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 15
7
2
(3a+2b) ifadesinin açılımında b li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
E) 20
æ7 ö
A) çç ÷÷÷ 33.24
çè4÷ø
æ7 ö
B) çç ÷÷÷ 34.23
èç4ø÷
æ7ö
D) çç ÷÷÷ 35.22
çè2÷ø
soru 2
soru 6
8
6
B) 21
C) 28
D) 35
soru 3
æ 8ö
A) çç ÷÷÷ 55.73
çè5÷ø
3
(x – y) ifadesinin açılımında x lü terimin katsayısı kaçtır?
B) 38
C) 42
D) 45
(a +b ) ifadesinin açılımında b
tır?
B) 15
soru 8
5
3
(a – b) ifadesinin açılımında a li terimin katsayısı kaçtır?
A) – 6
B) – 15
C) – 20
D) 20
C) 18
2 – C
3 – A
li terimin katsayısı kaç-
D) 20
E) 24
2 7
8
æ7 ö
A) ççç ÷÷÷ 23.34
è4÷ø
æ7 ö
B) ççç ÷÷÷ 24.33
è4ø÷
(2x +3y ) ifadesinin açılımında y li terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
E) 6
æ 7ö
D) ççç ÷÷÷ 22.35
è5ø÷
1 – B
12
E) 48
6
æ 8ö
C) - çç ÷÷÷ 54.74
çè5÷ø
æ 8ö
E) - ççç ÷÷÷ 53.75
è5ø÷
4 6
A) 10
soru 4
æ 8ö
B) çç ÷÷÷ 53.75
çè5÷ø
æ 8ö
D) - ççç ÷÷÷ 55.73
è5ø÷
soru 7
3
A) 35
3
E) 56
7
(5x – 7y) ifadesinin açılımında x lü terimin katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 14
æ7ö
E) çç ÷÷÷ 34.23
çè2÷ø
8
(a+b) ifadesinin açılımında b lı terimin katsayısı kaçtır?
æ7ö
C) çç ÷÷÷ 32.25
èç2ø÷
4 – A
5 – D
19
6 – E
æ 7ö
C) ççç ÷÷÷ 25.32
è5÷ø
æ 7ö
E) ççç ÷÷÷ 23.34
è6ø÷
7 – D
8 – A
Binom Açılımı
çözüm
kavrama sorusu
n
4 4
(x+y) =.........+A.x y +........
æçnö÷ n-r r
ç ÷÷ x .y olduğundan,
çèr ÷ø
n
Yukarıda (x+y) ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz.
4 4
4
A.x y teriminde, x =x
4
n – r
4
r
ve y =y olur.
r
y =y ise r=4
4=n – 4
8=n
n=8 ve r=4 olduğundan,
8!
ççæ8÷÷ö.(x)8-4 .(y)4 =
.x 4 .y 4
÷
(8 - 4)! .4!
èç4ø÷
4 4
4 4
A.x y =70.x y
A=70 bulunur.
Cevap: 70
çözüm
kavrama sorusu
n
3 6
(2x – 3y) =.........+A.x y +........
ænö
ænö n-r n-r
n-r
r
r r
çç ÷÷÷(2x) .(-3y) = ççç ÷÷÷ 2 .x (-3) .y
çèr ø÷
èr ø÷
n
Yukarıda (2x – 3y) ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz.
ænö
= çç ÷÷÷ 2n-r.(-3)r .xn-r .yr
çèr ÷ø

A katsayýsý
3 6
3
A.x y teriminde, x =x
6
r
3
n – r
n – r
6
r
ve y =y olur.
y =y ise r=6
x =x
ise 3=n – r
3=n – 6
9=n
n=9 ve r=6 olduğundan A katsayısı,
æç9ö÷ 9-6
æ 9ö 3 6
6
ç ÷÷ 2 .(-3) = çç ÷÷÷ 2 .3
çè6ø÷
èç6ø÷
çözüm
kavrama sorusu
3
2 n
15
6
(x +y ) =.........+A.x .y +........
3
æ9ö
Cevap: çç ÷÷÷ 2 3 .36
çè6ø÷
æçnö÷ 3 n-r 2 r æçnö÷ 3n-3r 2r
.y olduğundan,
ç ÷÷(x ) .(y ) = çç ÷÷ x
çèr ÷ø
èr ÷ø
2 n
Yukarıda (x +y ) ifadesinin açılımındaki A katsayısını bulunuz.
15 6
15
A.x y teriminde, x =x
6
2r
y =y
3n – 3r
6
2r
ve y =y
olur.
ise 6=2r
r=3
15
x =x
3n – 3r
ise 15=3n – 3r
15=3n – 3.3
24=3n
n=8
n=8 ve r=3 olduğundan,
æç8ö÷ 3 8-3 2 3
15 6
ç ÷÷(x ) .(y ) = 56.x .y
èç3ø÷
15
6
15
6
Ax .y =56x .y
A=56 dır. 20
Cevap: 56
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
n
3 2
(a+b) =........+K.a b +.........
B) 8
C) 10
D) 15
Yukarıda (x+3y) ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
E) 20
3
4
A) 20.3
soru 2
6
(x+y) =........+A.xy +.........
B) 7
C) 21
D) 28
n
5
E) 35
4 5
n
A) 84
soru 4
B) 96
C) 108
D) 115
E) 126
2 9
(a – b) =........+K.a b
1 – C
2 – B
D) – 44
3 – E
2 n
2
2 n
6
B) 15
6
C) 20
D) 24
E) 30
4
3 n
4
3 n
12
12
(x +y ) =.....+A.x .y +.....
C) – 33
2
(x +y ) =.....+A.x .y +.....
soru 8
B) 55
æ12ö
E) - çç ÷÷÷.216
èç 7 ø÷
A) 6
n
æ12ö
C) çç ÷÷÷.215
èç 7 ø÷
Yukarıda (x +y ) ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır?
ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır?
A) 11
soru 7
Yukarıda (x+y) ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır?
æ12ö
B) çç ÷÷÷.216
èç 7 ø÷
æ12ö
D) - çç ÷÷÷.217
èç 7 ø÷
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
n
7
Yukarıda (4x – 2y) ifadesinin açılımındaki A katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?
(x+y) =........+A.x y +.........
3
E) 10.3
æ12ö
A) çç ÷÷÷.217
èç 7 ø÷
soru 3
2
D) 10.3
n
Yukarıda (x+y) ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır?
A) 1
C) 20.3
(4x – 2y) =.....+A.x .y +.....
n
6
B) 20.3
soru 6
n
3 3
n
Yukarıda (a+b) ifadesinin açılımındaki K katsayısı kaçtır?
A) 6
n
(x+3y) =.....+A.x y +.....
n
Yukarıda (x +y ) ifadesinin açılımındaki A katsayısı kaçtır?
E) – 55
A) 21
4 – E
5 – A
21
B) 35
C) 42
6 – D
D) 48
7 – C
E) 56
8 – B
Binom Açılımı
çözüm
kavrama sorusu
7
ççæ x + 1 ÷÷ö ifadesinin açılımında baştan 3. terimi bulunuz.
÷
çè
xø
7
æç
1ö
-1 7
çç x + ÷÷÷ = (x + x ) dir.
è
xø
Baştan 3. terim istendiğine göre, r+1=3 ise r=2 dir.
æçnö÷ n-r
æ7ö 7-2
-1 r
. (x-1)2
ç ÷÷(x) . (x ) = ççç ÷÷÷ x
çèr ÷ø
è2÷ø
=
7!
.x 5 .x-2 = 21.x 5-2 = 21.x 3
(7 - 2)! .2!
Cevap: 21.x
3
çözüm
kavrama sorusu
8
ççæ x 2 - 1 ÷÷ö ifadesinin açılımında ortadaki terimi bulunuz.
çè
x ÷ø
æç 2 1ö÷8
2
-1 8
çç x - ÷÷ = (x - x ) dir.
è
xø
2n=8 ve n=4 ise ortadaki terim
æç2n÷ö 2 n
æç8÷ö 2 4
-1 n
-1 4
÷
÷
ççè n ÷÷ø(x ) .(-x ) = ççè4÷÷ø.(x ) . (-x )
=
8!
.x 8 .x-4 = 70 .x 8-4 = 70 .x 4
(8 - 4)! .4!
4
-1) .(x-1)4 = x-4 olduğuna dikkat ediniz.
(-x-1)4 = (
1
Cevap: 70.x
4
çözüm
kavrama sorusu
9
æç
1ö
çç x + 3 ÷÷÷ ifadesinin açılımında sondan 2. terimi bulunuz.
è
x ø
9
æç
1ö
-3 9
çç x + 3 ÷÷÷ = (x + x ) dir.
è
x ø
n – r+1=2 ⇒ 9 – r+1=2 ve r=8
æçnö÷ n-r -3 r æç9ö÷ 9-8 -3 8
ç ÷÷ x . (x ) = çç ÷÷ x . (x )
çèr ÷ø
è8÷ø
1
– 24
=9.x .x
1 – 24
=9.x
– 23
=9.x
=
9
x 23
Cevap:
9
x 23
çözüm
kavrama sorusu
æç 2 1 ö÷10
2
ifadesinin açılımında x li terimin katsayısını
ç x + ÷÷
èç
xø
æç 2 1ö÷10
x + ÷÷ = (x 2 + x-1)10
ççè
xø
bulunuz.
ænö÷ 2 n-r -1 r æ10ö÷ 2.10-2r -r
.x
çç ÷÷.(x ) .(x ) = çç ÷÷ x
çè r ÷ø
èçr ø÷
æ10ö
æ10ö
= çç ÷÷÷.x 20-2r-r = ççç ÷÷÷ x 20-3r
çè r ÷ø
è r ÷ø
2
x li terimin katsayısı istendiğinden
20 – 3r
2
x
=x ise 20 – 3r=2 ve r=6
çæç10÷÷ö x 20-3.6 = ççæ10÷÷ö x 2
çè 6 ÷÷ø
çè 6 ÷÷ø
æ10ö
Cevap: çç ÷÷÷
çè 6 ÷ø
22
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
8
æç
1ö
ç x - ÷÷÷
èç
xø
ifadesinin açılımında baştan 3. terim aşağıdaki-
lerden hangisidir?
æ 8ö
A) ççç ÷÷÷ x 4
è2ø÷
lerden hangisidir?
æ 8ö
B) ççç ÷÷÷ x 3
è2ø÷
æ 8ö
D) - çç ÷÷÷ x 4
èç2ø÷
soru 2
æç 3 1 ö÷8
ç x + ÷÷ ifadesinin açılımında sondan 2. terim aşağıdakièç
xø
A)
æ 8ö
C) ççç ÷÷÷ x 2
è2ø÷
8
x2
B)
8
x3
C)
8
x4
D) 8x 3
E) 8x 4
æ 8ö
E) - çç ÷÷÷ x 3
èç2ø÷
soru 6
7
ççæ x + 1 ÷÷ö ifadesinin açılımında baştan 4. terim aşağıdaki÷
çè
xø
9
ççæ x 2 + 1 ÷÷ö ifadesinin açılımında sondan 3. terim aşağıda3÷
çè
x ø
lerden hangisidir?
kilerden hangisidir?
æ 7ö
B) çç ÷÷÷ x 4
èç3ø÷
æ 7ö
D) ççç ÷÷÷ x 2
è3ø÷
soru 3
æ 7ö
E) ççç ÷÷÷ x
è3ø÷
10
æ
1ö
ççç2x + ÷÷÷
è
xø
æ 9ö
A) çç ÷÷÷ x15
èç7ø÷
æ 7ö
C) çç ÷÷÷ x 3
èç3ø÷
ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdaki-
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
æ 7ö
A) çç ÷÷÷ x 5
èç3ø÷
æ 9ö
B) çç ÷÷÷ x16
èç7ø÷
æ 9ö 1
D) çç ÷÷÷ 17
èç7ø÷ x
soru 7
æ 9ö 1
C) çç ÷÷÷ 18
èç7ø÷ x
æ 9ö 1
E) çç ÷÷÷ 16
èç7ø÷ x
7
æç
1ö
çç x + 3 ÷÷÷ ifadesinin açılımında x3 lü terimin katsayısı kaçtır?
è
x ø
lerden hangisidir?
æ10ö
A) ççç ÷÷÷ 24 x
è 5 ÷ø
æ10ö
B) ççç ÷÷÷ 25
è 5 ÷ø
æ10ö
D) çç ÷÷÷ 24
çè 4 ÷ø
soru 4
æ7ö
A) çç ÷÷÷
çè1 ÷ø
æ10ö 25
C) ççç ÷÷÷
è 5 ÷ø x
æ7ö
B) çç ÷÷÷
çè2÷ø
æ 7ö
C) çç ÷÷÷
çè3÷ø
æ7 ö
D) çç ÷÷÷
çè4÷ø
æ 7ö
E) çç ÷÷÷
çè5÷ø
æ10ö
E) çç ÷÷÷ 24 x
çè 4 ÷ø
soru 8
12
æç
1ö
x + 2 ÷÷÷ ifadesinin açılımında ortadaki terim aşağıdakiçèç
x ø
12
æç 4
1ö
6
çç x + 3 ÷÷÷ ifadesinin açılımında x lı terimin katsayısı kaçtır?
è
x ø
lerden hangisidir?
æ12ö
A) çç ÷÷÷ x 6
çè 6 ø÷
æ12ö 1
B) çç ÷÷÷ 6
çè 6 ø÷ x
æ12ö
D) ççç ÷÷÷ x 4
è 4 ø÷
1 – A
2 – E
æ12ö
A) çç ÷÷÷
èç 7 ø÷
æ12ö
C) çç ÷÷÷ x 3
çè 6 ÷ø
æ12ö
B) çç ÷÷÷
èç 6 ø÷
æ12ö
C) çç ÷÷÷
èç 5 ø÷
æ12ö
D) çç ÷÷÷
èç 4 ø÷
æ12ö
E) çç ÷÷÷
èç 3 ø÷
æ12ö 1
E) ççç ÷÷÷ 4
è 4 ø÷ x
3 – B
4 – B
5 – C
23
6 – D
7 – A
8 – B
Binom Açılımı
n
æ
1ö
Polinom tipinde olmayan çççè x + ÷÷÷ø gibi ifadelerde sabit terimi bulmak için x lerin kuvvetleri toplamını sıfır yapan değerler araştırılır.
x
çözüm
kavrama sorusu
6
æ
1ö
ççç x + ÷÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz.
è
ø
x
6
æç
1ö
ç x + ÷÷÷ ifadesinde n=6 dır.
èç
ø
x
6
æç
1ö
-1 6
çç x + ÷÷÷ = (x + x )
è
xø
Uyarı
ænö÷ n-r -1 r æ6÷ö 6-r -1 r æç6ö÷÷ 6-r -r æç6ö÷÷ 6-2r
çç ÷ x .(x ) = çç ÷.x .(x ) = çç ÷ x .x = çç ÷ x
÷
çèr ÷÷ø
èr ø÷
èr ø÷
èçr ø÷
æç6ö÷ 6-2r
ç ÷÷ x
ifadesinde x'li terimin olmaması için
çè r ÷ø
x
6 – 2r
6 – 2r=0 ise r=3
0
=x =1 olması gerektiğine dikkat ediniz!
æç6ö÷ 6-2.3
6!
. x 0 = 20 sabit terimdir.
=
çç ÷÷ x
(6 - 3)! .3!
è3ø÷
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
æç 2 3 ö÷9
ç x + ÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz.
èç
xø
9
ççæ x 2 + 3 ÷÷ö ifadesinde n=9 dur.
÷
çè
xø
æç 2 3 ö÷9
2
-1 9
çç x + ÷÷ = (x + 3 .x )
è
xø
ænö÷ 2 n-r
æ9ö 2 9-r r -r
-1 r
çç ÷÷(x ) .(3.x ) = ççç ÷÷÷(x ) .3 .x
çèr ÷ø
è r ÷ø
æ 9ö
æ 9ö
= çç ÷÷÷ x18-2r .x-r .3r = ççç ÷÷÷ x18-3r .3r
çè r ø÷
è r ø÷
18 - 3r = 0 Þ r = 6
æç9ö÷ 18-3.6 6
9!
.3 =
.36 = 84.36
ç ÷÷ .x
çè6÷ø
(9 - 6)! .6!
Cevap: 84.3
6
çözüm
kavrama sorusu
15
æç
1 ö
çç x + 3 ÷÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulunuz.
èç
x ÷ø
15
ççæ x + 1 ÷÷ö
÷ ifadesinde n=15 dir.
3
ççè
x ÷ø
x = x1/ 2 ve
1
3
x
= x-1/ 3
15
æç
1 ö
çç x + 3 ÷÷÷ = (x1/ 2 + x-1/ 3 )15
çè
x ÷ø
1
r
1
1
ççænö÷÷(x 2 )n-r .(x 3 )r = æçç15÷÷ö(x 2 )15-r .x 3
çè r ÷÷ø
çèr ø÷÷
æ15ö 15-r - r æ15ö 15-r - r æ15ö 45-3r-2r æç15ö÷ 45-5r
= çç ÷÷ x 6
= ççç ÷÷÷ x 2 .x 3 = ççç ÷÷÷ x 2 3 = ççç ÷÷÷ x 6
è r ÷ø
è r ÷ø
è r ø÷
è r ø÷
45 - 5r
= 0 ise r = 9
6
æç15ö÷ 45-5.9 æç15÷ö
çç ÷÷ x 6 = çç ÷÷
è 9 ÷ø
è 9 ÷ø
æ15÷ö
÷÷
è 9 ÷ø
Cevap: ççç
24
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
8
æ
1ö
ççç x + ÷÷÷
è
xø
9
æ 2
1ö
ççç2x - 4 ÷÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiè
x ø
ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiler-
den hangisidir?
æ 8ö
A) çç ÷÷÷
èç 1ø÷
lerden hangisidir?
æ 8ö
B) çç ÷÷÷
èç2ø÷
æ 8ö
C) çç ÷÷÷
èç3ø÷
æ8 ö
D) çç ÷÷÷
èç4ø÷
æ 9ö
A) ççç ÷÷÷ 23
è3ø÷
æ 8ö
E) çç ÷÷÷
èç5ø÷
æ 9ö
B) ççç ÷÷÷
è3ø÷
æ 9ö
D) - çç ÷÷÷ 23
èç3ø÷
soru 2
soru 6
æ 9ö
C) ççç ÷÷÷ 26
è3ø÷
æ 9ö
E) - çç ÷÷÷ 26
çè3÷ø
10
ççæ3x + 2 ÷÷ö ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiler÷
çè
xø
16
æ
1 ö÷
÷ ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiççç x ÷
÷
è
xø
den hangisidir?
lerden hangisidir?
æ10ö
B) çç ÷÷÷ 35
çè 5 ÷ø
æ10ö
D) ççç ÷÷÷
è 5 ÷ø
soru 3
æ10ö
C) çç ÷÷÷ 25
çè 5 ÷ø
æ16ö
D) - ççç ÷÷÷
è 8 ÷ø
6
æç
1ö
x + 2 ÷÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakilerçèç
x ø
den hangisidir?
æ 6ö
B) ççç ÷÷÷
è2ø÷
æ16ö
B) çç ÷÷÷
çè 9 ÷ø
æ10ö 3
E) ççç ÷÷÷ 5
è 5 ÷ø 2
æ 6ö
A) ççç ÷÷÷
è 1ø÷
æ16ö
A) çç ÷÷÷
çè10÷ø
æ 6ö
C) ççç ÷÷÷
è3ø÷
æ 6ö
D) ççç ÷÷÷
è5ø÷
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
æ10ö
A) çç ÷÷÷ 6 5
çè 5 ÷ø
soru 7
æ16ö
E) - ççç ÷÷÷
è 9 ÷ø
12
æç
1ö
x - ÷÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakiçèç
xø
lerden hangisidir?
æ12ö
A) çç ÷÷÷
èç 5 ø÷
æ 6ö
E) ççç ÷÷÷
è6ø÷
æ12ö
B) çç ÷÷÷
èç 4 ø÷
æ12ö
D) - ççç ÷÷÷
è 3 ø÷
soru 4
æ12ö
E) - ççç ÷÷÷
è 4 ø÷
20
æç 3
ö
1
ç x + 3 ÷÷÷ ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdakièçç
x ø÷
10
ifadesinin açılımındaki sabit terim aşağıdaki-
lerden hangisidir?
æ10ö
A) çç ÷÷÷
çè 4 ÷ø
lerden hangisidir?
æ10ö
B) çç ÷÷÷
çè 5 ÷ø
2 – A
æ20ö
A) çç ÷÷÷
èç10 ø÷
æ10ö
C) çç ÷÷÷
çè 7 ÷ø
æ10ö
D) çç ÷÷÷
çè 8 ÷ø
1 – D
æ12ö
C) çç ÷÷÷
èç 3 ø÷
soru 8
ççæ x 2 + 1 ÷÷ö
çè
x 3 ÷ø
æ16ö
C) çç ÷÷÷
çè 8 ÷ø
æ10ö
E) çç ÷÷÷
çè 9 ÷ø
3 – B
æ20ö
B) çç ÷÷÷
çè12 ÷ø
æ20ö
D) çç ÷÷÷
çè16 ø÷
4 – A
5 – E
25
æ20ö
C) çç ÷÷÷
çè15 ÷ø
æ20ö
E) çç ÷÷÷
çè18 ø÷
6 – C
7 – B
8 – E
Binom Açılımı
çözüm
kavrama sorusu
æ 8ö
æ 8ö
æ8 ö
( 2x + y)= çç ÷÷÷( 2x)8 y0+ ...+ çç ÷÷÷( 2x)6 .y2+ ... + çç ÷÷÷( 2x)4 y 4+
çè0÷ø
çè2÷ø
çè4÷ø
( 2 x + y)8 ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz.
æ 8ö
æ 8ö
+ çç ÷÷÷( 2x)2 y6 + ... + çç ÷÷÷( 2x)0 y6
èç6ø÷
èç8ø÷
( 2 x + y)8 açılımındaki terimlerin katsayısı rasyonel
olabilmesi için ( 2)2n biçiminde yani birinci terimin
kuvvetlerinin çift olması gerekir.
Katsayısı rasyonel olan terimlerdir.
æç8ö÷
8 0
4 8
÷
® katsayısı
ççè0÷ø÷.( 2x) .y = 1.2 x
æç8ö÷
6 2
3 6 2
çç ÷÷.( 2x) .y = 28.2 x y ® katsayısı
è2ø÷
æç8ö÷
4 4
2 4 4
ç ÷÷.( 2x) .y = 70.2 x y ® katsayısı
çè4÷ø
æç8ö÷
2 6
2 6
ç ÷÷.( 2x) .y = 28.2.x y
çè6÷ø
® katsayısı
æç8ö÷
0 8
8
® katsayısı
ç ÷÷.( 2x) .y = 1.y çè8ø÷
4
2 =16
3
28.2 =224
2
70.2 =280
28.2=56
1=1
+
577
Cevap: 577
çözüm
kavrama sorusu
æ 6ö 3
æ 6ö 3
æ 6ö 3
3
(x + 2y)6 =ççç ÷÷÷ x 6( 2y)0+ ...+ççç ÷÷÷ x 3 ( 2y)3+ ... +ççç ÷÷÷ x 0 ( 2y)6
è0ø÷
è3ø÷
è6ø÷
3
(x + 2y)6 ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan
terimlerin, katsayıları toplamını bulunuz.
Katsayısı rasyonel olan terimlerdir.
3
(x + 2y)6 ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel
3
olabilmesi için ( 2)3n biçiminde yani ikinci terimin kuvvetlerinin 3'ün katı olması gerekir.
æç6ö÷ 6 3
0
6
6
÷
ççè0ø÷÷ x ( 2y) = 1.x = x
® katsayısı
1
æ 6ö 3 3
3
3
3
3 3
çç ÷÷÷ x ( 2y) = 20.x .2y = 40x y ® katsayısı
çè3ø÷
40
æç6ö÷ 0 3
6
2 6
6
ç ÷÷ x ( 2y) = 1.2 y = 4.y
çè6ø÷
® katsayısı
4
+
45
Cevap: 45
çözüm
kavrama sorusu
3
3
( 2 + 2)10 ifadesinde terimlerin katsayısının rasyonel
3
olabilmesi için ( 2)3k ve ( 2)2m olmalı. Aynı zamanda
3k+2m=10 olmalıdır.
( 2 + 2 )10 ifadesinin açılımında katsayısı rasyonel olan
kaç terim vardır bulunuz.
3k+2m=10 şartını sağlayan,
(0,5) ve (2,2) ikilileri olduğundan 2 tane rasyonel katsayılı terim vardır.
Cevap: 2
26
Binom Açılımı
soru 1
soru 5
3
( 3 +1)6 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir?
( 5x + y)8 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların
toplamı kaçtır?
A) 2
A) 981
B) 3
soru 2
C) 4
D) 5
E) 6
B) 970
soru 6
C) 954
D) 928
E) 916
4
(1- 5 )8 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir?
2 b)6 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayıların
toplamı kaçtır?
A) 1
A) 27
soru 3
C) 3
D) 4
E) 5
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 2
(a +
3
B) 28
soru 7
C) 30
D) 31
E) 32
3
( 2 + 3)7 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir?
7 )8 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir?
A) 2
A) 1
B) 3
soru 4
C) 4
D) 5
( 3+
E) 6
B) 2
soru 8
C) 3
D) 4
E) 5
4
4
5 )10 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir?
( 2 + 5 )12 ifadesinin açılımındaki rasyonel katsayılı terimler kaç tanedir?
A) 1
A) 1
(3 -
1 – C
B) 2
2 – E
C) 3
D) 4
3 – B
E) 5
4 – C
B) 2
5 – A
27
C) 3
6 – D
D) 4
7 – B
E) 5
8 – D
BİNOM AÇILIMI
OLASILIK
OLASILIK
İSTATİSTİK
OLASILIK
Olasılık (İhtimal)
Günlük hayatta olasılık kavramıyla ilgili, bir madeni paranın tura gelme olasılığı, bir zarın 3 gelme olasılığı, şans oyunlarında kazanma olasılığı gibi ifadelerle çok sık karşılaşırız. Şimdi bu olasılıkların değerlerini bulmayı öğreneceğiz. İlk önce bazı kavramları
(matematiksel deney, çıktı ve örneklem uzay) açıklayalım. Bir madeni paranın havaya atılması, tavla oyununda zarın atılması,
sayısal lotoda 49 tane numaralı toptan 6 top çekilmesi için yapılan işlemlerden her birine matematiksel deney, gelebilecek sonuçlara da deneyin çıktıları denir. Bir deneyde elde edilebilecek tüm çıktılar kümesine örneklem uzay denir ve E ile gösterilir.
Örneklem uzayın herhangi bir elemanına ise örneklem nokta denir.
Deney
Örneklem Uzay
Örneklem Nokta
Bir madeni paranın atılması
{Y, T}
Y, T
Bir zarın atılması
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
1, 2, 3, 4, 5, 6
1'den 8'e kadar numaralandırılmış bilyeler
arasından bir bilye çekilmesi
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
çözüm
kavrama sorusu
İki madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzay
İki tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz.
E={(Y, Y), (Y, T), (T, Y), (T, T)}
ve s(E)=4 bulunur. Örneklem uzayı elemanlarını yazmadan
genel çarpım kuralı kullanarak bulabiliriz.
Bir madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem
uzayın eleman sayısı 2 ise, iki madeni paranın havaya
atılmasında 2.2=4 üç madeni paranın havaya atılmasında 2.2.2=8 ve n tane madeni paranın havaya atılması
n
deneyinde s(E)=2 dir.
s(E) = 2
¯
. 2 = 4 bulunur.
¯
{Y,T} {Y,T}
Cevap: 4
çözüm
kavrama sorusu
İki tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın
eleman sayısını bulunuz.
Bir zarın havaya atılma deneyinde {1, 2, 3, 4, 5, 6} olmak üzere 6 durum vardır. O halde iki zarın havaya atılma deneyinde
örneklem uzay s(E)=6.6=36 bulunur.
Cevap: 36
Bir tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 6 ise n tane zarın havaya atılması den
neyinde s(E)=6 dir.
çözüm
kavrama sorusu
7 kişinin yanyana fotoğraf çektirme deneyinde örneklem
uzayın eleman sayısını bulunuz.
7 kişi yanyana 7! kadar değişik poz verir. O halde örneklem
uzay s(E)=7! dir.
Cevap: 7!
çözüm
kavrama sorusu
İçerisinde 4 kırmızı ve 5 siyah bilye bulunan bir torbadan
rastgele iki bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısını bulunuz.
æ9ö 9.8
Torbadaki 4+5=9 bilyeden 2'si çç ÷÷÷ =
= 36 değişik şekilçè2÷ø 2.1
de seçilebileceğinden örneklem uzay s(E)=36 bulunur.
Cevap: 36
30
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır?
6 farklı matematik kitabını yanyana bir rafa dizme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır?
A) 1
A) 6
soru 2
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8
soru 6
Üç tane madeni paranın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır?
soru 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 16
B) 6
C) 12
D) 18
soru 7
B) 10!
soru 8
C) 36
D) 108
2 – D
3 – B
E) 13!
B) 12
C) 10
D) 6
E) 4
İçerisinde 5 mavi ve 3 kırmızı bilye bulunan bir torbadan
rastgele üç bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır?
E) 216
A) 10
1 – B
D) 12!
E) 36
B) 18
C) 11!
İçerisinde 4 mavi ve 6 sarı bilye bulunan bir torbadan rastgele bir bilye seçme deneyinde örneklem uzayın eleman
sayısı kaçtır?
Üç tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın
eleman sayısı kaçtır?
A) 6
E) 7!
A) 24
soru 4
D) 6!
A) 6!
Bir tane zarın havaya atılma deneyinde örneklem uzayın
eleman sayısı kaçtır?
A) 2
C) 5!
12 kişilik bir ailenin yuvarlak masa etrafında oturma deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 2
B) 4!
4 – E
5 – D
31
C) 36
B) 21
6 – C
D) 45
7 – C
E) 56
8 – E
Olasılık
Olay, İmkansız olay, Kesin olay ve Ayrık olaylar
Örneklem uzayın herbir alt kümesine olay denir. Boş kümeye imkansız olay, E örneklem uzayına kesin olay denir. Bir örneklem
uzayında iki olayın kesişimi boş küme ise bu iki olaya ayrık olaylar denir.
çözüm
kavrama sorusu
Bir zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzay E, tek
sayı gelmesi olayı A, çift sayı gelmesi olayı B, 6'dan büyük
gelmesi olayı C, 0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı
D olsun A, B, C, D, E olaylarını yazınız.
Örneklem uzay: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}
Tek sayı gelmesi olayı: A={1, 3, 5}
Çift sayı gelmesi olayı: B={2, 4, 6}
A ∩ B=∅ olduğu için A ve B ayrık iki olaydır.
6'dan büyük gelmesi olayı: C=∅
C=∅ olduğu için imkansız olay
0'dan büyük 7'den küçük gelmesi olayı: D={1, 2, 3, 4, 5, 6}
D={1, 2, 3, 4, 5, 6}=E olduğu için kesin olaydır.
çözüm
kavrama sorusu
İki zar havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması olayı,
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması olayının eleman sayısını bulunuz.
A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} için s(A)=6 bulunur.
Cevap: 6
çözüm
kavrama sorusu
Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor.
En az bir yazı gelmesi olayı A={(Y, T), (T, Y), (Y, Y)} için s(A)=3
bulunur.
Cevap: 3
En az birinin yazı gelmesi olayının eleman sayısını bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor.
Paranın iki kez yazı ve bir kez tura gelmesi olayı A olsun.
A={(Y, Y, T), (Y, T, Y), (T, Y, Y)} ve s(A)=3 bulunur. Tekrarlı
permütasyon kullanarak da eleman sayısını bulabiliriz. Y, Y, T
Paranın iki kez yazı, bir kez tura gelmesi olayının eleman
sayısını bulunuz.
arasındaki sıralama 3! = 3 bulunur.
2!
32
Cevap: 3
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın asal sayı gelmesi olayının elemanları aşağıdakilerden hangisidir?
Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor.
A) {1,2,3,5}
A) {(Y,T), (T,Y), (T,T)}
B) {2,3,5} D) {1,3,5} En çok birisinin yazı gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir?
C) {3,5}
E) {1,2,3}
B) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y)}
C) {(Y,T), (T,T)}
D) {(T,Y), (T,T)}
E) {(Y,T), (T,Y), (Y,Y), (T,T)}
soru 2
soru 6
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor.
Bir zarın havaya atılması deneyinde zarın 4 den büyük gelmesi olayı A, 4 den küçük gelmesi olayı B, 7 gelmesi olayı
C ve 7 den küçük gelmesi olayı D olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Paranın bir kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman
sayısı kaçtır?
A) 1
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) s(A)=2
B) s(B)=3
C) C imkansız olaydır.
D) D kesin olaydır.
E) A ve B ayrık iki küme değildir.
soru 3
B) 2
soru 7
C) 3
D) 4
E) 5
İki zar havaya atılıyor.
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olma olayı
aşağıdakilerden hangisidir?
Paranın bir kez yazı iki kez tura gelmesi olayı aşağıdakilerden hangisidir?
A) {(1,5), (2,4), (3,3)}
A) {(Y,T,T)}
B) {(3,3)}
B) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,Y,Y)}
C) {(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}
C) {(Y,T,T), (Y,Y,T), (T,T,T)}
D) {(5,1), (4,2), (3,3)}
D) {(Y,T,T), (T,Y,T), (T,T,Y)}
E) {(1,5), (2,4), (5,1), (4,2)}
E) {(Y,T,T), (T,Y,T)}
soru 4
soru 8
İki zar havaya atılıyor.
Bir madeni para 4 kez havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olma olayının eleman sayısı kaçtır?
Paranın iki kez yazı, iki kez tura gelmesi olayının eleman
sayısı kaçtır?
A) 4
A) 12
1 – B
B) 5
2 – E
C) 6
D) 7
3 – C
E) 8
4 – B
5 – A
33
B) 10
C) 8
6 –C
D) 6
7 – D
E) 4
8 – D
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Birbirinden farklı 3 gömlek ile 5 pantolon bir askıya asılıyor.
Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısını bulunuz.
Gömlekler yanyana olacağına göre 1 eleman olarak düşünülürse 5 pantolonla birlikte 6 eleman olduğundan 6! şeklinde
sıralanabilirler. Gömlekler kendi aralarında 3! şekilde yer değiştirebilir. O halde gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı 6!.3! bulunur.
Cevap: 6!.3!
çözüm
kavrama sorusu
5 kız, 5 erkek yuvarlak masa etrafında oturacaktır.
İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısını
bulunuz.
Yuvarlak masa etrafında 1 kişi sabit tutulduğunda erkek
(5 – 1)!=4!, kızlar 5! şekilde yer değiştirebilir. O halde iki erkek
arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı 5!.4! bulunur.
Cevap: 5!.4!
çözüm
kavrama sorusu
A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç
basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor.
4
¯
.
5
¯
.
2
¯
= 40
{1,2,3,4} {0,1, 2,3,4} {1,3}
Seçilen sayının tek sayı olması olayının eleman sayısını
bulunuz.
O halde üç basamaklı tek sayı olma olayının eleman sayısı 40
bulunur.
Cevap: 40
çözüm
kavrama sorusu
"MARMARA" kelimesindeki harflerle yazılan 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin M ile başlayıp M ile bitmesi olayının eleman sayısını
bulunuz.
M ile başlayıp M ile biteceğinden geriye kalan A, R, A, R, A
5!
= 10 değişik şekilde yer deharfleri kendi aralarında
3! .2!
ğiştirebilir.
O halde M ile başlayıp M ile bitme olayının eleman sayısı 10
bulunur.
Cevap: 10
34
Olasılık
soru 1
soru 5
Birbirinden farklı 2 gömlek ile 6 pantolon bir askıya asılıyor.
A={0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç
basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor.
Gömleklerin yanyana gelme olayının eleman sayısı kaçtır?
Seçilen sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 8!
B) 2!6!
C) 2!7!
D) 7!
E) 2!.6!.2!
A) 52
soru 2
soru 6
B) 60
C) 72
D) 90
E) 180
Birbirinden farklı 5 matematik ile 4 geometri kitabı bir rafa yanyana diziliyor.
A={0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç
basamaklı sayılardan rastgele bir sayı seçiliyor.
Aynı tür kitapların yanyana gelme olayının eleman sayısı
kaçtır?
Seçilen sayının rakamları farklı olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 9!
A) 36
C) 4!6!
D) 5!5!
E) 4!5!2!
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
B) 4!5!
6 erkek, 6 kız yuvarlak masa etrafında oturacaktır.
B) 5!5!
C) 6!6!
D) 11!
B) 6
soru 8
1 – C
2 – E
D) 2!.4!
3 – A
D) 18
E) 24
arasından seçilen bir sayının çift sayı olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 10
C) 2!.4!.2!
C) 12
111223 sayısının rakamlarıyla yazılan 6 basamaklı sayılar
Anne ile babanın yanyana oturma olayının eleman sayısı
kaçtır?
B) 5!
E) 100
E) 12!
Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında oturacaktır.
A) 6!
D) 60
A) 4
soru 4
C) 52
"SERDAR" kelimesindeki harflerle yazılan 6 harfli anlamlı
ya da anlamsız kelimeler arasından seçilen bir kelimenin
S ile başlayıp D ile bitmesi olayının eleman sayısı kaçtır?
İki erkek arasına bir kız gelme olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 5!.6!
soru 7
B) 48
B) 15
C) 20
D) 30
E) 60
E) 2!5!
4 – D
5 – D
35
6 – B
7 – C
8 – C
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor.
6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı
æç6ö÷ 6.5.4
= 20 dir.
ç ÷÷ =
çè3÷ø 3.2.1
Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 3
elemanlı olması olayının eleman sayısını bulunuz.
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbaya 5 kırmızı ve 6 sarı bilye vardır.
æ5ö÷
5 kırmızı bilyeden 2 si çç ÷÷÷ , 6 sarı bilyeden 1 i
çè2ø
seçilir.
Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısını bulunuz.
æç6ö÷
ç ÷÷ değişik şekilde
èç1 ø÷
O halde 2 sinin kırmızı 1 inin sarı gelme olayının eleman sayısı
æç5öæ
6ö
çç ÷÷÷ççç ÷÷÷ = 10.6 = 60 bulunur.
è2÷øè1 ø÷
Cevap: 60
çözüm
kavrama sorusu
Aralarında Ümit'in de bulunduğu 7 kişi arasından seçilen
4 kişinin içinde, Ümit'in bulunması olayının eleman sayısını bulunuz.
Grupta Ümit olacağına göre geriye kalan 6 kişi arasından 3
æ6ö 6.5.4
kişi çç ÷÷÷ =
= 20 farklı şekilde seçilebilir.
çè3÷ø 3.2.1
O halde Ümit'in bulunduğu olay sayısı 20 dir.
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
Doğrusal 3 noktadan üçgen meydana gelmez. O halde 7 noktadan seçilen 3 nokta ile oluşan üçgen sayısından, doğrusal
noktalardan oluşturduğumuz üçgen sayısını çıkartırsak istenilen üçgen sayısını buluruz.
æç7ö÷ æç4ö÷ æç3ö÷ æç3ö÷
÷
÷
÷
÷
ççè3÷ø÷ - ççè3÷÷ø - èçç3÷ø÷ - èçç3÷ø÷ = 35 - 4 - 1- 1 = 29
Cevap: 29
Yukarıdaki şekilde üzerindeki 7 noktadan üç tanesi seçiliyor.
Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman
sayısını bulunuz.
36
Olasılık
soru 1
soru 5
7 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor.
Aralarında Billur'un da bulunduğu 8 kişi arasından seçilen
4 kişinin içinde Billur'un bulunması olayının eleman sayısı
kaçtır?
Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin 2
elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 15
soru 2
B) 21
C) 28
D) 35
A) 70
soru 6
6 elemanlı bir kümenin tüm alt kümeleri küçük kartlara yazılarak bir torbaya atılıyor.
D) 63
Bir torbada 4 kırmızı ve 5 sarı bilye vardır.
Torbadan çekilen 2 bilyeden birinin kırmızı birinin sarı bilye olması olayının eleman sayısı kaçtır?
C) 20
D) 28
A) 28
soru 7
B) 15
E) 35
B) 36
C) 56
D) 70
E) 84
E) 64
A) 9
D) 45
E) 36
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
C) 58
C) 56
Aralarında Özgür ile Nilüfer'in bulunduğu 10 kişi arasından
seçilen 4 kişinin içinde Özgür'ün bulunduğu Nilüfer'in bulunmadığı olayın eleman sayısı kaçtır?
Torbadan rastgele bir kart seçildiğinde karttaki kümenin
en az 2 elemanlı olması olayının eleman sayısı kaçtır?
B) 57
B) 63
E) 36
A) 55
Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 8 noktadan 3 tanesi seçiliyor.
Seçilen bu noktaların üçgen oluşturması olayının eleman
sayısı kaçtır?
A) 47
soru 4
C) 49
D) 51
E) 56
soru 8
Bir torbada 6 mavi ve 5 sarı bilye vardır.
Torbadan çekilen 3 bilyenin ikisinin mavi birinin sarı bilye
olması olayının eleman sayısı kaçtır?
A) 20
B) 48
B) 45
C) 60
D) 75
E) 90
Yukarıdaki şekil üzerinde bulunan 9 noktadan 4 tanesi seçiliyor.
Seçilen bu noktaların dörtgen oluşturması olayının eleman
sayısı kaçtır?
A) 126
1 – B
2 – B
3 – C
4 – D
5 – E
37
B) 84
C) 75
6 – C
D) 60
7 – A
E) 40
8 – D
Olasılık
Olasılık Fonksiyonu
Bir E örneklem uzayının tüm alt kümelerinin kümesi EA olsun.
Tanım kümesi EA, değer kümesi [0,1]={x:0 ≤ x ≤ 1, x∈R} olmak üzere,
P: EA→ [0,1] biçiminde tanımlanmış ve aşağıdaki özellikleri sağlayan fonksiyona olasılık fonksiyonu denir. A∈EA ise P(A) reel
sayısına A olayının olasılığı denir.
1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
2) P(E)=1 (Kesin olay)
3) A, B∈EA ve A ∩ B=∅
ise
P(A ∪ B)=P(A)+P(B) dir.
çözüm
kavrama sorusu
Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A olayının olma olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1 dır.
A olayının olma olasılığı P(A) =
A)
1
8
B)
2
3
C)
3
4
D)
4
5
E)
7
olamaz.
6
7
> 1 olduğu için
6
7
6
Cevap: E
çözüm
kavrama sorusu
E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor.
E={a,b,c} örneklem uzayında P(a)+P(b)+P(c)=P(E)=1 olmalıdır.
Aşağıdakilerden kaç tanesi bir olasılık fonksiyonu belirtir?
A) P(a) + P(b) + P(c) =
1 1 1
+ + =1
3 2 6
A) P(a) =
1
1
1
, P(b) =
, P(c) =
3
2
6
B) P(a) + P(b) + P(c) =
B) P(a) =
2
1
1
, P(b) =
, P(c) =
3
4
12
2 1
1
+ +
=1
3 4 12
C) P(a) + P(b) + P(c) =
C) P(a) =
1
1
1
, P(b) =
, P(c) =
3
3
3
1 1 1
+ + =1
3 3 3
D) P(a) + P(b) + P(c) =
D) P(a) =
2
1
3
, P(b) =
, P(c) =
5
2
4
2 1 3 33
+ + =
¹1
5 2 4 20
O halde A, B, C şıkları olasılık fonksiyonu belirtir.
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır.
Örneklem uzay E={a,b} dir.
Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 7 katı olduğuna göre, P(a) ve P(b) kaçtır, bulunuz.
P(a)=7P(b) ve P(a)+P(b)=1 için
P(a)+P(b)=7P(b)+P(b)=1
8P(b)=1
1
dir.
8
1
1 7
P(b) = için P(a) = 7.P(b) = 7. = bulunur.
8
8 8
P(b) =
Cevap: P(a) = 7 , P(b) = 1
8
8
38
Olasılık
soru 1
soru 5
E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor.
Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtmez?
Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden
hangisi olamaz?
A)
1
6
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
4
A) P(a) =
1
1
2
, P(b) = , P(c) =
4
6
3
B) P(a) =
1
1
7
, P(b) =
, P(c) =
5
10
10
C) P(a) = P(b) =
soru 2
Bir deneye ait A olayının olma olasılığı aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
soru 3
B) -
1
2
C)
3
5
D)
3
2
E) P(a) =
1
2
4
, P(b) =
, P(c) =
15
15
5
x -1
Bir deneye ait A olayının olma olasılığı P(A) =
dir.
5
x tamsayısı kaç farklı değer alır?
B) 4
C) 5
P(a) =
D) 6
A)
1
10
E) 7
2
1
1
, P(b) = , P(c) =
5
2
5
B) P(a) =
1
1
5
, P(b) = , P(c) =
4
3
12
C) P(a) =
1
1
2
, P(b) = , P(c) =
3
3
3
D) P(a) =
1
1
3
, P(b) = , P(c) =
4
4
4
E) P(a) =
1
1
1
, P(b) = , P(c) =
6
3
3
2 – C
C)
3
10
D)
2
5
E)
1
2
1
5
B)
1
4
C)
1
3
D)
3
4
E)
4
5
Bir deney için a, b ve c gibi üç ayrık sonuç olasıdır.
Sonucun a veya b olma olasılığı 7 , b veya c olma ola12
3
sılığı
olduğuna göre, sonucun b olma olasılığı kaçtır?
4
A)
3 – D
1
5
Bir deney için a ve b gibi iki ayrık sonuç olasıdır.
soru 8
A) P(a) =
B)
Sonucun a olma olasılığı b olma olasılığının 4 katı olduğuna göre sonucun b olma olasılığı kaçtır?
E={a,b,c} ayrık örneklem uzayı veriliyor.
Aşağıdakilerden hangisi bir olasılık fonksiyonu belirtir?
1 – E
3
1
, P(b) = olduğuna göre, P(c) kaçtır?
10
5
soru 7
A)
soru 4
E) 2
A) 3
1
3
1
, P(b) = , P(c) =
8
8
2
F={a,b,c} ayrık örneklem uzayı ve P olasılık fonksiyonudur.
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) - 1
D) P(a) =
soru 6
2
3
, P(c) =
7
7
4 – B
1
4
5 – A
39
B)
1
3
C)
6 – E
5
12
D)
7 – A
1
2
E)
7
12
8 – B
Olasılık
Olasılık Fonksiyonu Özellikleri
1) P(∅)=0 (imkansız olay)
ı
ı
2) A nın tümleyeni A olmak üzere, A olayının gerçekleşme olasılığı P(A), A olayının gerçekleşmeme olasılığı P(A ) ise
ı
P(A)+P(A )=1 dir.
3) A ∩ B ≠ ∅ ise P(A ∪ B)=P(A)+P(B) – P(A ∩ B) dir.
4) A ⊂ B ise P(A) ≤ P(B) dir.
çözüm
kavrama sorusu
6 kırmızı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
6 kırmızı, 4 mavi bilye arasında siyah bilye olmadığından siyah
bilye seçme olayı imkansız olaydır.
O halde P(∅)=0 bulunur.
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
ı
P(A)+P(A )=1 olduğundan
1
olduğuna
4
ı
göre gerçekleşmeme olasılığı P(A ) kaçtır, bulunuz.
Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A)=
1
+ P(A ý ) = 1
4
P(A ý ) = 1-
1 3
= bulunur.
4 4
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır.
P(A ý =)
2
, P(B)=
3
1
5
ve P(A Ç B)=
4
12
3
4
ı
P(A)+P(A )=1 ise P(A) + 2 = 1 ⇒ P(A) = 1
3
3
P(A ∪ B)=P(A)+P(B) – P(A ∩ B)
olduğuna göre,
P(A ∪ B) kaçtır, bulunuz.
P(A È B) =
1
1
5
4 + 3-5
2
1
+ =
=
=
3
4 12
12
12 6
(4)
(3)
(1)
Cevap: 1
6
çözüm
kavrama sorusu
A ve B ayrık iki olay olduğuna göre,
A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır.
P((A È B)ý ) =
1 ,
3 olduğuna göre, P(B) kaçtır,
P(A) =
10
10
A ∩ B=∅ ve P(A ∩ B)=0 dır.
ı
P(A ∪ B)+P((A ∪ B) )=1
bulunuz.
P(A È B) +
1
= 1 için P(A È B) = 9
10
10
P(A ∪ B)=P(A)+P(B) – P(A ∩ B)
9
3
=
+ P(B) - 0
10 10
9-3
= P(B)
10
ise P(B) = 6 = 3 bulunur.
10 5
Cevap:
40
3
5
Olasılık
soru 1
soru 5
A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır.
6 sarı, 4 mavi bilye arasından rastgele seçilen bir bilyenin
siyah olma olasılığı kaçtır?
A) 0
B)
1
6
C)
1
4
D)
2
5
E)
P(A) =
ı
2
olduğuna göre,
7
B)
3
7
C)
4
7
P(A ý ) =
D)
5
7
E)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Bir A olayının gerçekleşme olasılığı, gerçekleşmeme olasılığının 9 katı olduğuna göre, gerçekleşmeme olasılığı kaçtır?
1
10
B)
1
9
C)
1
8
D)
8
9
E)
9
10
1 – A
B)
5
11
2 – D
3
16
C)
1
8
D)
1
4
3
4
E)
1
5
11
, P(B) =
ve P(A È B) =
olduğuna göre,
12
4
12
1
12
soru 8
B)
5
6
E)
P(A \ B) kaçtır?
B)
1
6
C)
1
4
1
3
D)
E)
1
2
E)
3
4
A ve B, E örneklem uzayında ayrık olaylardır.
P((A È B)ý ) =
olma olasılığı kaçtır?
4
11
2
3
D)
A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır.
4
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin kız olma olasılığı
11
olduğuna göre, aynı sınıftan seçilen bir öğrencinin erkek
A)
1
3
5
1
7
, P(B) =
ve P(A È B) =
olduğuna göre,
16
8
4
soru 7
A)
soru 4
C)
5
16
P(A ý ) =
A)
1
4
P(A ∩ B) kaçtır?
6
7
A)
soru 3
B)
A ve B, E örneklem uzayında iki olaydır.
gerçekleşmeme olasılığı P(A ) kaçtır?
2
7
1
6
soru 6
Bir A olayının gerçekleşme olasılığı P(A) =
A)
1
1
1
, P(B) = ve P(A Ç B) = olduğuna göre, P(A ∪ B)
3
6
2
kaçtır?
6
10
A)
soru 2
1
1
, P(A) = olduğuna göre,
8
2
P(B) kaçtır?
C)
6
11
D)
3 – A
7
11
E)
8
11
A)
4 – D
1
4
5 – C
41
B)
3
8
C)
6 – B
1
2
D)
5
8
7 – E
8 – B
Olasılık
Eş Olumlu Örneklem Uzay ve Olasılık Hesabı
Bir deneyde tüm çıktıların olasılıkları birbirine eşit ise bu şekildeki örneklem uzaylara eş olumlu örneklem uzay denir.
E={e1, e2, ... ,en} sonlu bir eş örneklem uzay olsun. O halde P(e1)=P(e2)=P(e3)=.....=P(en) dir.
Örneğin; bir zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzay E={1, 2, 3, 4, 5, 6} ve zarın her bir yüzünün üste gelme olasılığı
birbirine eşit olduğundan E eş olumlu örnek uzaydır. Yani P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6) dır. Bir madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem uzay E={Y, T} ve paranın tura veya yazı gelme olasılığı birbirine eşit olduğundan E eş olumlu örnek
uzaydır. Yani P(Y)=P(T) dir.
Olasılık Hesabı
A ⊂ E, s(A): A olayının eleman sayısı, s(E): E örneklem uzayın eleman sayısı olmak üzere, P(A): A olayının olma olasılığı
A olayının eleman sayısı (istenen durumların sayısı)
s(A)
=
dir.
P(A)=
E örneklem uzayın eleman sayısı (tüm durumların sayısı) s(E)
çözüm
kavrama sorusu
Bir zar havaya atılıyor.
Örneklem uzay: E={1,2,3,4,5,6} ve s(E)=6
Zarın üst yüzüne gelen sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Zarın tek sayı olması olayı yani
İstenen Olay: A={1,3,5} ve s(A)=3
O halde, tek sayı gelme olasılığı P(A) = s(A) = 3 = 1 bulunur.
s(E) 6 2
1
Cevap:
2
çözüm
kavrama sorusu
Bir madeni para havaya atılıyor.
Örneklem uzay: E={Y,T} ve s(E)=2
Paranın tura gelmesi olayı yani İstenen Olay: A={T} ve s(A)=1
Paranın tura gelme olasılığı kaçtır, bulunuz.
O halde, tura gelme olasılığı P(A) =
s(A) 1
= bulunur.
s(E) 2
Cevap: 1
2
çözüm
kavrama sorusu
3 mavi, 4 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bir
bilye çekiliyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=3+4=7
Bilyenin kırmızı gelme olayı yani istenen olayın eleman sayısı
s(A)=4
O halde, bilyenin kırmızı gelme olasılığı P(A) = s(A) = 4
s(E) 7
Çekilen bilyenin kırmızı gelme olasılığı kaçtır, bulunuz.
Cevap:
4
7
çözüm
kavrama sorusu
20 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin 8'i gözlüklüdür.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=20
Öğrencinin gözlüklü olma olayı yani istenen olayın eleman
sayısı s(A)=8
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
O halde, öğrencinin gözlüklü olma olasılığı P(A) = 8 = 2
20 5
bulunur.
2
Cevap:
5
42
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir zar havaya atılıyor.
4 mavi, 6 kırmızı bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bir
bilye çekiliyor.
Zarın üst yüzüne gelen sayının çift sayı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
soru 2
B)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
Çekilen bilyenin mavi olma olasılığı kaçtır?
5
6
A)
1
3
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
6
Bir madeni para havaya atılıyor.
A)
Paranın yazı gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
8
soru 4
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
2
1 – C
C)
2 – B
1
4
D)
3 – D
B)
2
3
4
5
E)
2
9
C)
3
10
D)
1
3
E)
4
9
2
3
soru 8
1
8
D)
30 kişilik bir sınıftaki öğrencilerin 12'si kızdır.
A)
B)
3
5
1
9
soru 7
E) 1
1
2
E)
B)
3
5
C)
2
5
D)
1
3
E)
1
30
20 kişilik bir sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü
1
olduğuna göre, bu sınıfta kaç tane gözlükolma olasılığı
5
süz öğrenci vardır?
Paranın ikisinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
3
8
C)
Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?
Bir madeni para 2 kez havaya atılıyor.
A)
2
5
Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
B)
B)
4 mavi, 3 kırmızı, 2 siyah bilyenin bulunduğu bir torbadan rastgele bir bilye çekiliyor.
Zarın üst yüzüne gelen sayının 4'den büyük olma olasılığı
kaçtır?
1
6
1
10
soru 6
Bir zar havaya atılıyor.
A)
3
4
A) 16
4 – C
5 – B
43
B) 14
C) 12
6 – D
D) 8
7 – B
E) 4
8 – A
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
4 erkek ve 3 kız yanyana bir sırada rastgele oturduğunda,
erkeklerin bir arada olma olasılığını bulunuz.
4+3=7 kişi yanyana 7! şekilde oturabilir. O halde örneklem
uzayın eleman sayısı s(E)=7! dir. Erkeklerin bir arada olacağına göre 1 eleman olarak düşünülürse 3 kızla birlikte 4 eleman
olduğundan 4! şeklinde sıralanabilirler. Erkekler kendi aralarında 4! şekilde yer değiştirebilir. O halde erkeklerin bir arada olması olayının eleman sayısı s(A)=4!.4! dir. Erkeklerin bir
arada olma olasılığı P(A) = s(A) = 4! .4! = 4.3.2.1.4! = 4
s(E)
7!
7.6.5.4!
35
dir.
4
Cevap:
35
çözüm
kavrama sorusu
A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç
basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor.
4
¯
{1,2,3,4}
Seçilen sayının rakamlarının farklı olma olasılığını bulunuz.
5
¯
.
5
¯
.
{0,1,2,3,4}
= 100 tane üç basamaklı sayı yazıla-
{0,1,2,3,4}
bilir. O halde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=100 dür.
4
¯
{1,2,3,4}
4
¯
.
{0,1, 2 ,3,4}
3
¯
.
= 48 tane rakamları farklı üç ba-
{0,1, 2 ,3,4}
samaklı sayı yazılabilir.
O halde rakamların farklı olma olasılığı P(A) = s(A) = 48 = 12
s(E) 100 25
dir.
Cevap:
12
25
çözüm
kavrama sorusu
ZELZELE kelimesinin harfleri yer değiştirilerek yedi harfli kelimeler yazılıyor.
ZELZELE
kelimesindeki
harflerin
yer
değiştirmesiyle
7!
= 210 kelime yazılır. O halde örneklem uzayın e2! .3! .2!
leman sayısı s(E)=210 dur. İstenilen kelime Z ile başlayıp
Z ile biteceğinden geriye kalan E, L, E, L, E harflerinden
Yazılan kelimelerden biri seçildiğinde seçilen kelimenin Z
ile başlayıp Z ile bitme olasılığını bulunuz.
5!
= 10 değişik kelime yazılır. O halde seçilen kelime2!3!
nin Z ile başlayıp Z ile bitme olasılığı P(A) = s(A) = 10 = 1
s(E) 210 21
dir.
1
Cevap:
21
s(A) =
44
Olasılık
soru 1
soru 5
6 öğretmen ve 2 öğrenci yanyana bir sırada rastgele oturduğunda öğretmenlerin bir arada olma olasılığı kaçtır?
A={0,1,2,3,4,5,6} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan
üç basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor.
Seçilen sayının tek sayı olma olasılığı kaçtır?
3
A)
28
soru 2
1
B)
4
1
C)
3
3
D)
4
25
E)
28
A)
1
7
soru 6
4 Matematik ve 3 Fizik kitabı yanyana rastgele bir rafa dizildiğinde aynı tür kitapların bir arada olma olasılığı kaçtır?
B)
2
7
3
7
C)
D)
4
7
E)
6
7
A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan üç
basamaklı sayılardan rastgele biri seçiliyor.
Seçilen sayının rakamlarının farklı olma olasılığı kaçtır?
soru 3
2
B)
35
4
C)
35
3
D)
7
4
E)
7
Anne, baba ve dört çocuk yuvarlak masa etrafında rastgele oturduğunda anne ile babanın yanyana gelme olasılığı
kaçtır?
A)
1
5
soru 4
B)
2
5
C)
1
3
D)
3
5
E)
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
1
A)
35
4
5
5
126
soru 7
1
3
C)
4
9
D)
5
9
E)
2
7
B)
4
21
C)
1
7
D)
2
21
E)
soru 8
B)
2
63
C)
1
42
D)
1
63
E)
Yandaki şekilde çizgiler dik
kesişen yolları göstermektedir.
2 – B
3 – B
4 – E
15
56
5 – C
45
B)
13
28
C)
6 – D
1
21
A'dan B'ye en kısa yoldan
rastgele giden bir kişinin
C'den geçerek B ye gitme
olasılığı kaçtır?
1
126
2
3
Yazılan kelimelerden biri seçildiğinde seçilen kelimelerin
A ile başlayıp A ile bitme olasılığı kaçtır?
A)
1 – A
B)
PARABOL kelimesinin harfleri yer değiştirilerek yedi harfli kelimeler yazılıyor.
A)
5 kız ve 5 erkek yuvarlak masa etrafında rastgele oturduğunda her iki erkek arasında bir kız olma olasılığı kaçtır?
A)
2
9
1
2
D)
7 – E
15
28
E)
4
7
8 – D
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
A={a,b,c,d,e,f} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin arasından rastgele bir küme seçiliyor.
æ 6ö
6 elemanlı kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı çç ÷÷÷ = 20 dir.
çè3÷ø
Seçilen kümenin içinde "a" nın eleman olarak bulunma
olasılığı kaçtır, bulunuz.
O halde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=20 dir. Seçilen
kümenin içinde "a" nın eleman olarak bulunduğu küme sayısı
æ5ö
çç ÷÷÷ = 10 dur. O halde seçilen kümenin içinde "a" nın bulunma
çè2÷ø
olasılığı P(A) = 10 = 1 dir.
1
20 2
Cevap:
2
çözüm
kavrama sorusu
4 evli çift arasından iki kişi seçiliyor.
æ 8ö
4+4=8 kişiden 2 kişi çç ÷÷÷ = 28 değişik şekilde seçilebileceçè2÷ø
Seçilen iki kişinin birbiriyle evli olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
ğinden örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=28 dir. 4 evli çiftæ 4ö
ten 1 çift çç ÷÷÷ = 4 değişik şekilde seçilebilir. O halde seçilen iki
çè1 ÷ø
4
1
kişinin evli çift olma olasılığı P(A) =
=
dir.
28 7
1
Cevap:
7
çözüm
kavrama sorusu
3 öğretmen, 5 öğrenci arasından üç kişilik bir ekip oluşturuluyor.
æ 8ö
3+5=8 kişiden 3 kişi ççç ÷÷÷ = 56 değişik şekilde seçilebileceè3÷ø
Oluşturulan bu ekipte iki öğrenci olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
ğinden örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=56 dır. Seçilen
æ5ö æ3ö
ekipte 2 öğrenci 1 öğretmen ççç ÷÷÷ . ççç ÷÷÷ = 30 değişik şekilè2÷ø è1 ø÷
de bulunur. O halde seçilen ekipte iki öğrenci olma olasılığı
P(A) =
30 15
=
dir.
56 28
Cevap:
15
28
çözüm
kavrama sorusu
3 doktor, 6 hemşirenin bulunduğu bir gruptan 3 kişilik bir sağlık ekibi oluşturuluyor.
æ 9ö
3+6=9 kişiden 3 kişi çç ÷÷÷ = 84 değişik şekilde seçilebileceçè3ø÷
Oluşturulan bu ekipte en az bir doktorun olma olasılığı
kaçtır, bulunuz.
ğinden örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=84 dür. Seçilen
üç kişilik ekipte en az bir doktorun olması olayına A olayı
ı
dersek, A olayı üç kişilik ekibin tümünün hemşire olmasıdır.
æ 6ö
6 hemşireden 3 hemşire çç ÷÷÷ = 20 değişik şekilde seçilir. O
çè3÷ø
halde seçilen ekipte en az bir doktorun olma olasılığı P(A);
ı
P(A)+P(A )=1
P(A) +
20 64 16
20
=
=
= 1 ise P(A) = 184 84 21
84
Cevap:
46
16
21
Olasılık
soru 1
soru 5
A={a,b,c,d,e,f,g} kümesinin 3 elemanlı alt kümelerinin arasında rastgele bir küme seçiliyor.
3 öğretmen, 6 öğrenci arasından iki kişilik bir ekip oluşturuluyor.
Oluşturulan bu ekipte bir öğretmen, bir öğrenci olma olasılığı kaçtır?
Seçilen üç elemanlı kümenin içinde "c" nin eleman olarak
bulunma olasılığı kaçtır?
1
A)
2
soru 2
1
B)
7
2
C)
7
3
D)
7
A)
4
E)
7
2
7
C)
3
7
D)
4
7
E)
2
3
1
2
C)
D)
1
3
E)
1
6
Bu sayıların çarpımların negatif olması olasılığı kaçtır?
A)
4
35
B)
12
35
C)
16
35
D)
4
7
E)
5
7
5
7
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
B)
B)
3 pozitif, 4 negatif sayı arasından rastgele 2 sayı seçiliyor.
Seçilen dört elemanlı kümenin içinde "a" ve "b" nin birlikte
bulunma olasılığı kaçtır?
1
7
3
4
soru 6
A={a,b,c,d,e,f,g} kümesinin 4 elemanlı alt kümelerinin arasında rastgele bir küme seçiliyor.
A)
5 evli çift arasından iki kişi seçiliyor.
Seçilen iki kişinin birbiriyle evli olma olasılığı kaçtır?
soru 7
4 erkek, 5 kızın bulunduğu bir gruptan 3 kişilik bir ekip oluşturuluyor.
Oluşturulan bu ekipte en az bir erkek olma olasılığı kaçtır?
A)
1
3
soru 4
B)
1
4
C)
1
5
D)
1
6
E)
1
9
A)
5
42
soru 8
B)
5
21
C)
16
21
D)
36
42
E)
37
42
Farklı 4 çift çoraptan rastgele seçilen dört tek çorabın birbirinin eşi olma olasılığı kaçtır?
A)
3
35
B)
1
7
C)
6
35
D)
1
5
E)
32
35
Yukarıdaki şekildeki 7 noktadan rastgele üç nokta seçiliyor.
Seçilen üç noktanın üçgen oluşturma olasılığı kaçtır?
A)
1 – D
2 – B
3 – E
4 – A
6
35
5 – C
47
B)
29
35
C)
6 –D
6
7
D)
31
35
7 – E
E)
32
35
8 – B
Olasılık
n
n tane madeni paranın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı 2 dir.
çözüm
kavrama sorusu
3
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=2 =8 dir. İkisinin yazı,
birinin tura gelme olayı A ise A={(T,T,Y), (T,Y,T), (Y,T,T)} ve
s(A)=3 dür. O halde ikisinin tura birinin yazı gelme olasılığı
İkisinin tura, birinin yazı gelme olasılığı kaçtır, bulunuz.
P(A) =
3
dir.
8
Cevap: 3
8
çözüm
kavrama sorusu
3
3 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=2 =8 dir. En çok birinin
tura gelmesi, üç paranında yazı gelmesi veya sadece birinin
tura diğer ikisinin yazı gelmesi durumudur. Bu durumu A ile
gösterirsek A={(Y,Y,Y), (T,Y,Y), (Y,T,Y), (Y,Y,T)} ve s(A)=4 dür.
4 1
O halde en çok birinin tura gelme olasılığı P(A) = = dir.
8 2
En çok birinin tura gelme olasılığı kaçtır, bulunuz.
Cevap:
1
2
çözüm
kavrama sorusu
4
4 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=2 =16 dır. En az birinin yazı gelme olayının gerçekleşmemesi yani üçününde tura
1
ı
ı
ı
gelme olayı A ise A ={(T,T,T)} ve s(A )=1 ve P(A ý ) =
dir.
16
ı
O halde en az birinin yazı gelme olasılığı P(A)+P(A )=1 ise
En az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır, bulunuz.
P(A) +
1
15
= 1 ve P(A) =
dir.
16
16
Cevap:
15
16
çözüm
kavrama sorusu
5
5 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=2 =32 dir. İkisinin yazı
üçünün tura gelme olayı yani Y, Y, T, T, T arasındaki yer deği-
İkisinin yazı, üçünün tura gelme olasılığı kaçtır, bulunuz.
5!
= 10 farklı şekildedir. O halde ikisinin yazı üçünün
2!3!
10
5
tura gelme olasılığı P(A) =
dir.
=
5
32 16
Cevap:
16
şikliği
48
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor.
4 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
İkisinin yazı, birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
En az birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
A)
1
8
soru 2
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
5
8
A)
15
16
soru 6
B)
7
8
C)
3
4
D)
1
4
5 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
Üçünün tura gelme olasılığı kaçtır?
En az birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
1
8
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
5
8
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
B)
63
64
soru 7
B)
31
32
C)
15
16
D)
29
32
5 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
En çok birinin yazı gelme olasılığı kaçtır?
Birinin yazı, dördünün tura gelme olasılığı kaçtır?
1
8
soru 4
B)
1
4
C)
3
8
D)
1
2
E)
5
8
A)
5
16
soru 8
B)
1
4
C)
5
32
D)
1
8
6 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
En çok birinin tura gelme olasılığı kaçtır?
İkisinin yazı, dördünün tura gelme olasılığı kaçtır?
5
8
1 – C
B)
1
16
2 – A
C)
3
16
D)
3 – D
1
4
E)
5
16
A)
4 – E
1
64
5 – A
49
1
32
E)
1
32
E)
49
64
4 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
A)
E)
3 tane madeni para aynı anda havaya atılıyor.
A)
1
16
Bir madeni para 3 kez havaya atılıyor.
A)
E)
B)
15
64
C)
6 – B
5
16
D)
15
32
7 – C
8 – B
Olasılık
2
İki tane zarın havaya atılması deneyinde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=6 =36 dır. Örneklem uzayın elemanları aşağıdaki
tablodaki gibidir.
çözüm
kavrama sorusu
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=36 dır. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olması olayının kümesi
A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} ve s(A)=6 dır. O halde
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
P(A) =
s(A)
6
1
=
= bulunur.
s(E) 36 6
Cevap:
1
6
çözüm
kavrama sorusu
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=36 dır. Zarların üst
yüzüne gelen sayıların çarpımlarının 12 olması olayının kümesi A={(2,6), (3,4), (4,3), (6,2)} ve s(A)=4 dür. O halde
Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının 12 olma
olasılığı kaçtır, bulunuz.
P(A) =
s(A)
4
1
=
= bulunur.
s(E) 36 9
Cevap:
1
9
çözüm
kavrama sorusu
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=36 dır. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının 9 dan büyük yani 10, 11,
12 olması olayının kümesi A={(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5),
(6,6)} ve s(A)=6 dır. Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının 4 ile bölünebilmesi yeni 4, 8, 12 olması olayının kümesi B={(1,3), (2,2), (3,1), (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2),(6,6)}
ve s(B)=9 dur.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının 9'dan büyük veya 4 ile bölünebilme olasılığı kaçtır, bulunuz.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamları 9'dan büyük ve 4
ile bölünebilme olayının kümesi A ∩ B={(6,6)} ve s(A ∩ B)=1
dir. O halde toplamlarının 9'dan büyük veya 4 ile bölünebilme
olasılığı P(A ∪ B)=P(A)+P(B) – P(A ∩ B)
=
6
9
1
14
7
+
=
=
bulunur.
36 36 36 36 18
Cevap:
50
7
18
Olasılık
soru 1
soru 5
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 olma olasılığı kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının tek sayı
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
36
soru 2
B)
1
18
C)
1
12
D)
1
9
E)
5
36
A)
1
6
soru 6
B)
2
9
C)
1
4
D)
5
18
E)
1
3
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 olma olasılığı kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının çift sayı
olma olasılığı kaçtır?
5
36
soru 3
B)
1
9
C)
1
12
D)
1
18
E)
1
36
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
1
6
soru 7
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
3
4
E)
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı olma olasılığı kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının 5'den küçük olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
soru 4
B)
5
36
C)
1
9
D)
1
12
E)
1
36
A)
5
18
soru 8
B)
1
4
C)
2
9
D)
7
36
E)
1
6
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının 6 olma
olasılığı kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamlarının 10'dan
büyük veya 3 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?
A)
1
36
1 – E
B)
1
18
2 – B
C)
1
12
D)
3 – A
1
9
E)
5
36
A)
4 – D
1
12
5 – C
51
B)
1
9
C)
6 – E
1
3
D)
7
18
7 – E
E)
5
12
8 – D
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 3 beyaz, 5 kırmızı top vardır.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=5+3=8 dir. Torbadan
beyaz top çekme olayının eleman sayısı s(A)=3 dür. O halde
s(A) 3
çekilen topun beyaz olma olasılığı P(A) =
= bulunur.
s(E) 8
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun beyaz olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Cevap:
3
8
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 4 beyaz, 2 kırmızı, 3 siyah top
vardır.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=4+2+3=9 dur. Torbadan kırmızı top çekme olayının eleman sayısı s(A)=2 dir. O
s(A) 2
halde çekilen topun kırmızı olma olasılığı P(A) =
=
s(E) 9
bulunur.
2
Cevap:
9
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 6 beyaz, 3 kırmızı, 5 siyah top
vardır.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=6+3+5=14 tür. Torbadan kırmızı top çekme olayı K ve s(K)=3, torbadan siyah top
çekme olayı 5 ve s(S)=5 dir. O halde torbada çekilen topun
kırmızı veya siyah olma olasılığı
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı veya siyah
olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
P(K È S) = P(K) + P(S) =
3
5
8
4
+
=
= bulunur.
14 14 14 7
Cevap:
4
7
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte x tane kırmızı, 2x+3 tane siyah
top vardır.
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=x+2x+3=3x+3 dür.
Torbadan kırmızı top çekme olayının eleman sayısı s(K)=x dir.
2
O halde P(K) = s(K) = x
=
s(E) 3x + 3 7
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı 2 olduğuna göre, x kaçtır, bulunuz.
7
7x=6x+6
x=6 bulunur.
Cevap: 6
52
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir torbada aynı büyüklükte 4 siyah, 6 beyaz top vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 3 beyaz, 4 kırmızı, 5 mavi top vardır.
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun beyaz olma olasılığı kaçtır?
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı veya beyaz
olma olasılığı kaçtır?
A)
1
10
soru 2
B)
1
6
C)
2
5
D)
3
5
E)
2
3
A)
soru 6
Bir torbada aynı büyüklükte 5 siyah, 10 beyaz top vardır.
2
3
1
2
C)
1
3
D)
1
5
E)
1
10
1
3
C)
5
12
D)
7
12
E)
3
4
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı veya siyah
olma olasılığı kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
B)
B)
Bir torbada aynı büyüklükte 5 kırmızı, 6 siyah, 4 beyaz top
vardır.
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun siyah olma olasılığı
kaçtır?
A)
1
4
A)
11
15
soru 7
B)
2
3
C)
3
5
D)
2
5
1
3
E)
Bir torbada aynı büyüklükte 3 sarı, 4 mavi, 5 kırmızı top vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte x siyah, 3x+2 mavi top vardır.
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı
kaçtır?
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun siyah olma olasılığı
3
olduğuna göre, x kaçtır?
13
A)
1
4
soru 4
B)
1
3
C)
5
12
D)
7
12
E)
3
4
A) 8
B) 6
soru 8
C) 5
D) 4
E) 3
Bir torbada aynı büyüklükte 5 sarı, 4 mavi, 6 kırmızı top vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte x+1 siyah, 2x+5 mavi top vardır.
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
Bu torbadan rastgele çekilen bir topun mavi olma olasılığı
A)
4
15
1 –D
B)
1
3
2 – C
C)
2
5
D)
3 – B
3
5
E)
5 olduğuna göre, torbada kaç mavi top vardır?
7
2
3
A) 5
4 – C
B) 6
5 – D
53
C) 10
6 – A
D) 12
7 – B
E) 15
8 – E
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 6 sarı, 3 siyah bilye vardır.
æ 9ö
6+3=9 bilyeden 2 bilye çç ÷÷÷ = 36 değişik şekilde seçilebilir.
çè2÷ø
Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olma
olasılığı kaçtır, bulunuz.
O halde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=36 dır. Torbadan
çekilen iki bilyenin farklı renkte olması yani birinin sarı diğeriæ6öæ3ö
nin siyah olma olayının eleman sayısı s(A) = çç ÷÷÷çç ÷÷÷ = 18 dir.
çè1÷øèç1ø÷
s(A)
18
1
O halde istenen olasılık P(A) =
=
= bulunur.
s(E) 36 2
1
Cevap:
2
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 4 sarı, 3 kırmızı bilye vardır.
æ7ö
4+3=7 bilyeden 2 bilye ççç ÷÷÷ = 21 değişik şekilde seçilebilir. O halè2ø÷
Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin ikisininde sarı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
de örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=21 dir. Torbadan çekilen
æ 4ö
iki bilyeninde sarı olma olayının eleman sayısı s(A) = çç ÷÷÷ = 6
çè2ø÷
s(A)
6
2
=
= bulunur.
dır. O halde istenen olasılık P(A) =
s(E) 21 7
Cevap:
2
7
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 4 mavi, 5 sarı bilye vardır.
æ 9ö
4+5=9 bilyeden 3 bilye çç ÷÷÷ = 84 değişik şekilde seçilebilir.
çè3÷ø
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin ikisinin mavi, birinin sarı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
O halde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=84 tür. Torbadan çekilen üç bilyenin ikisinin mavi, birinin sarı olma olayının
æ4öæ5ö
eleman sayısı s(A) = çç ÷÷÷çç ÷÷÷ = 30 dur. O halde istenen olasılık
֍1 ֿ
çè2øè
s(A) 30
5
P(A) =
bulunur.
=
=
s(E) 84 14
5
Cevap:
14
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 6 siyah, 4 beyaz bilye vardır.
æ10ö
6+4=10 bilyeden 3 bilye çç ÷÷÷ = 120 değişik şekilde seçè 3 ÷ø
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin üçününde aynı
renkte olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
çilebilir. O halde örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=120
dir. Torbadan çekilen üç bilyenin aynı renkte olması yani
üçünün siyah veya üçünün beyaz olma olayının eleman
æ 6ö æ 4ö
sayısı s(A) = çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ = 24
èç3ø÷ èç3÷ø
P(A) =
54
tür. O halde istenen olasılık
s(A)
24
1
=
= bulunur.
s(E) 120 5
Cevap:
1
5
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir torbada aynı büyüklükte 2 sarı, 4 siyah bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 3 mavi, 5 sarı bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olma
olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin birinin mavi, ikisinin sarı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
15
soru 2
B)
2
15
C)
4
15
D)
2
5
8
15
E)
A)
5
28
soru 6
B)
13
56
C)
15
56
D)
15
28
E)
3
4
Bir torbada aynı büyüklükte 3 sarı, 5 siyah bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 4 mavi, 6 sarı bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin farklı renkte olma
olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin ikisinin mavi, birinin sarı olma olasılığı kaçtır?
15
28
soru 3
B)
5
14
C)
2
7
D)
5
28
3
28
E)
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
Bir torbada aynı büyüklükte 6 sarı, 3 kırmızı bilye vardır.
1
2
B)
5
12
C)
1
3
D)
1
4
E)
soru 7
1
6
C)
3
10
D)
1
3
E)
1
2
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin farklı renkte olma
olasılığı kaçtır?
1
12
A)
soru 4
B)
Bir torbada aynı büyüklükte 2 mavi, 3 kırmızı, 4 beyaz bilye
vardır.
Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin ikisininde sarı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
10
1
14
soru 8
B)
3
28
C)
1
7
D)
2
7
E)
3
7
Bir torbada aynı büyüklükte 3 sarı, 4, kırmızı bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 4 siyah, 3 beyaz bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen iki bilyenin aynı renkte olma
olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin aynı renkte olma
olasılığı kaçtır?
A)
1
7
1 – E
B)
2
7
C)
2 – A
3
7
D)
3 – B
5
7
E)
6
7
A)
4 – C
1
35
5 – D
55
B)
4
35
C)
6 – C
1
7
D)
6
35
7 – D
E)
1
5
8 – C
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 sarı bilye vardır.
æ12ö
3+4+5=12 bilyeden 3 bilye çç ÷÷÷ = 220 değişik şekilde seçiçè 3 ÷ø
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin üçününde sarı
olmama olasılığı kaçtır, bulunuz.
lebilir. O halde, örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=220 dir.
Torbadan çekilen üç bilyenin üçününde sarı renkle olmama
olayının tümleyeni yani üçününde sarı olma olayının eleman
æ5ö
sayısı s(A ý ) = çç ÷÷÷ = 10
çè3÷ø
æ5ö÷
çç ÷
çè3÷ø÷
P(A)+P(A )=1, P(A) +
=1
æ12÷ö
ççç ÷÷
è 3 ø÷
ı
10
= 1 ise
P(A) +
220
10
210 21
P(A) = 1=
=
bulunur.
220 220 22
Cevap: 21
22
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 4 beyaz, 5 kırmızı bilye vardır.
æ 9ö
4+5=9 bilyeden 3 bilye çç ÷÷÷ = 84 değişik şekilde seçilebilir.
çè3÷ø
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin en az birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
O halde, örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=84 tür. Torbadan çekilen üç bilyenin en az birinin kırmızı olma olayının tümæ 4ö
ı
leyeni A üç topunda beyaz olma durumudur. s(A ý ) = çç ÷÷÷ = 4 tür.
çè3÷ø
ı
P(A)+P(A )=1 ve P(A) +
P(A) = 1-
4
= 1 ise
84
4
80 20
=
=
bulunur.
84 84 21
Cevap:
20
21
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 6 beyaz, 4 kırmızı bilye vardır.
æ10ö
6+4=10 bilyeden 3 bilye çç ÷÷÷ = 120 değişik şekilde seçilebiçè 3 ÷ø
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyeden en çok birinin
beyaz olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
lir. O halde, örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=120 dir. Torbadan çekilen üç bilyeden en çok birinin beyaz olma yani bir
beyaz, iki kırmızı veya üçününde kırmızı olma olayının eleman
æ 6ö æ 4ö æ 4ö
sayısı s(A) = çç ÷÷÷ çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ = 40 dır. O halde, istenen olasılık
çè1÷ø çè2÷ø çè3÷ø
P(A) =
56
s(A)
40
1
=
= bulunur.
s(E) 120 3
Cevap:
1
3
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 5 sarı bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 sarı, 5 mavi bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin üçününde kırmızı
olmama olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin en az birinin mavi
olması olasılığı kaçtır?
A)
1
21
soru 2
5
42
B)
C)
37
42
D)
25
28
20
21
E)
A)
7
44
soru 6
B)
33
44
C)
35
44
D)
37
44
E)
39
44
Bir torbada aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 beyaz, 4 sarı bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 3 beyaz, 5 kırmızı bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin üçününde sarı
olmama olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyeden en çok birinin
beyaz olma olasılığı kaçtır?
20
21
soru 3
B)
25
28
C)
37
42
D)
5
42
E)
1
21
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
5
28
soru 7
B)
15
28
C)
9
14
D)
5
7
E)
6
7
Bir torbada aynı büyüklükte 4 beyaz, 6 kırmızı bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 5 beyaz, 4 kırmızı bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin en az birinin kırmızı olması olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyeden en çok birinin
kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A)
1
30
soru 4
B)
1
15
C)
9
10
D)
14
15
E)
29
30
A)
17
42
soru 8
B)
1
2
C)
23
42
D)
4
7
E)
25
42
Bir torbada aynı büyüklükte 6 beyaz, 5 sarı bilye vardır.
Bir torbada aynı büyüklükte 7 beyaz, 4 sarı bilye vardır.
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyenin en az birinin sarı
olması olasılığı kaçtır?
Bu torbadan art arda çekilen üç bilyeden en çok ikisinin
beyaz olma olasılığı kaçtır?
A)
30
33
1 – E
B)
29
33
2 – A
C)
28
33
D)
3 – E
27
33
E)
26
33
A)
4 – B
28
33
5 – D
57
B)
26
33
C)
6 – D
25
33
D)
7 – E
8
33
E)
7
33
8 – B
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Örneklem uzayın eleman sayısı s(E)=360° dir. C dilini bilme
olayının eleman sayısı s(C)=360° – 120° – 80°=160°
Yandaki dairesel grafik bir
topluluktaki A, B ve C dillerini
bilenlerin sayısının dağılımını
göstermektedir.
O halde seçilen bir kişinin C dilini bilme olasılığı
Bu topluluktan rastgele seçilen bir kişinin C dilini bilme olasılığı kaçtır, bulunuz.
P(C) =
s(C) 160° 4
=
=
bulunur.
s(E) 360° 9
Cevap:
4
9
çözüm
kavrama sorusu
Sayı doğrusu üzerinde [– 3,5] aralığında alınan bir noktanın [2,4] aralığında olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Örneklem uzay [AB] doğru parçasının uzunluğudur.
O halde s(E)=|AB|=5 – (– 3)=8 dir.
Noktanın [2,4] aralığında
olma olayı [CD] doğru
parçasının uzunluğunda-
dır. O halde s(A)=|CD|=4 – 2=2 dir.
İstenilen olasılık P(A) =
s(A) 2 1
= = bulunur.
s(E) 8 4
Cevap:
1
4
çözüm
kavrama sorusu
Yarıçapı 4 birim olan bir çemberin içinde alınan bir noktanın çemberin merkezine 1 birimden fazla uzakta olma
olasılığı kaçtır, bulunuz.
Çember içinde alınan bir noktanın merkeze olan uzaklığının
1 birimden fazla olması için ta
ralı daire halkası içinde olmalı
dır. Örneklem uzay yarıçapı 4
birim olan dairenin alanıdır.
2
s(E)=π4 =16π dir. Noktanın
çemberin merkezine 1 birim den fazla uzakta olma olayı daire
2 2
halkasının alanıdır. s(A)= π4 – π1 =15π dir.
s(A) 15π 15
İstenilen olasılık P(A) =
=
=
bulunur.
s(E) 16π 16
15
Cevap:
16
çözüm
kavrama sorusu
Bir kenarı 6 birim olan kare şeklindeki bir levha üzerinde
rastgele işaretlenen bir noktanın levhanın köşelerinden en
çok 1 birim uzakta olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Levha içinde alınan bir noktanın levhanın köşelerinden en
çok 1 birim uzakta olması için
taralı çeyrek dairelerin içinde
olması gerekir. Örneklem u2
zay, karenin alanı s(E)=6 =36
dır. Noktanın levhanın köşele
rinden en çok 1 birim uzakta
olma olayı çeyrek dairelerin
æ π .12 ö÷
÷÷ . 4 = π dir.
alanıdır. s(A) = ççç
çè 4 ÷ø
İstenilen olasılık P(A) =
58
s(A)
π
=
bulunur.
s(E) 36
Cevap:
π
36
Olasılık
soru 1
soru 5
Yandaki dairesel grafik bir
topluluktaki A, B ve C dillerini bilenlerin sayısının dağılımını göstermektedir.
Yarıçapı 6 birim olan bir çemberin üzerinde alınan bir noktanın çemberin merkezine olan uzaklığının 1 birim veya
daha küçük olma olasılığı kaçtır?
Bu topluluktan rastgele
seçilen bir kişinin A dilini bilme olasılığı kaçtır?
1
4
soru 2
B)
5
18
C)
11
36
1
3
D)
A)
E)
soru 6
Yandaki dairesel grafik bir
topluluktaki A, B ve C dillerini bilenlerin sayısının dağılımını göstermektedir.
5
9
soru 3
B)
4
9
C)
7
18
D)
1
3
E)
2
9
1
5
soru 4
B)
3
10
C)
2
5
D)
1
3
E)
2
3
A)
B) 7
D) 9
E) 12
A)
1 – E
2 – A
3 – C
1
12
1
18
D)
E)
1
36
B)
19
25
C)
3
5
D)
6
25
E)
4
25
π
16
B)
π
8
C)
π
4
D)
8-π
8
E)
16 - π
16
Boyutları 3 ve 4 birim olan dikdörtgen şeklindeki bir levha
içerisinde rastgele işaretlenen bir noktanın levhanın köşelerinden en çok 1 birim uzakta olma olasılığı kaçtır?
1 olduğuna göre, x kaçtır?
2
C) 8
C)
21
25
soru 8
[1,x – 2] aralığında olma olasılığı
1
9
Bir kenarı 4 birim olan kare şeklindeki bir levha içerisinde
rastgele işaretlenen bir noktanın levhanın köşelerinden en
çok 1 birim uzakta olma olasılığı kaçtır?
Sayı doğrusu üzerinde [– 3,x] aralığında alınan bir noktanın
A) 6
A)
soru 7
Sayı doğrusu üzerinde [– 2,8] aralığında alınan bir noktanın [– 1,3] aralığında olma olasılığı kaçtır?
A)
B)
Yarıçapı 5 birim olan bir çemberin üzerinde alınan bir noktanın çemberin merkezine 2 birimden fazla uzakta olma
olasılığı kaçtır?
Bu topluluktan rastgele
seçilen bir kişinin B dilini bilmeme olasılığı kaçtır?
A)
1
6
13
36
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
4 – D
π
48
5 – E
59
B)
π
36
C)
6 – A
π
24
D)
7 – A
π
12
E)
π
3
8 – D
Olasılık
A ve B, E örneklem uzayında iki olay olsun. B olayının gerçekleşmesi halinde, A olayının gerçekleşmesi olasılığına, A olayının B
ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) biçiminde gösterilir. Koşullu olasılık P(B) ≠ 0 olmak üzere, P(A \ B) =
ile hesaplanır.
s(A Ç B)
P(A Ç B)
s(A Ç B) olduğuna göre, örneklem uzay B kümesine (koşul) indirgenmiştir.
s(E)
=
=
P(A \ B) =
s(B)
P(B)
s(B)
s(E)
P(A Ç B)
, bağıntısı
P(B)
çözüm
kavrama sorusu
Bir zar atılıyor.
Üst yüze 3'den büyük sayı gelmesi olayı B ve çift sayı olma olayı
Üst yüze 3'den büyük sayı geldiğine göre bu sayının çift
sayı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
A olsun. A={2,4,6} ve B={4,5,6} ise A ∩ B={4,6} dır. O halde,
P(A \ B) =
P(A Ç B) s(A Ç B)
2
=
= bağıntısından bulunur.
P(B)
s(B)
3
2
Cevap:
3
çözüm
kavrama sorusu
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Zarlardan birinin üst yüzüne gelen sayının 3 gelmesi olayı B ve
Zarlardan birinin üst yüzüne gelen 3 olduğuna göre zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 7 olma olasılığı
kaçtır, bulunuz.
toplamlarının 7 olması olayı A olsun.
A={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
B={(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (1,3), (2,3), (4,3), (5,3), (6,3)}
ise A ∩ B={(3,4), (4,3)} dür.
O halde, P(A \ B) =
P(A Ç B) s(A Ç B)
2
=
=
bulunur.
P(B)
s(B)
11
2
Cevap:
11
çözüm
kavrama sorusu
A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan
üç basamaklı sayılar arasından rastgele biri seçildiğinde
rakamlarının farklı olduğu bilindiğine göre tek sayı olma
olasılığı kaçtır, bulunuz.
Seçilen sayının rakamlarının farklı olması olayı B ve tek sayı
olma olayı A olsun. O halde A ∩ B rakamları farklı tek sayı olma olayıdır. Rakamları farklı 4 . 4 . 3 = 48 sayı vardır. O halde
s(B)=48 dir. Rakamları farklı tek sayı 3 . 3 . 2 = 18 sayı vardır.
¯
O halde, s(A ∩ B)=18 dir.
{1,3}
P(A Ç B) s(A Ç B) 18 3 dir.
=
=
=
P(A \ B) =
P(B)
s(B)
48 8
3
Cevap:
8
çözüm
kavrama sorusu
6 pozitif, 4 negatif sayı arasından rastgele seçilen iki sayının çarpımının pozitif olduğu bilindiğine göre sayıların
ikisinin de negatif olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Seçilen iki sayının çarpımının pozitif sayı olması yani ikisinin
pozitif veya ikisinin negatif olması olayı B, ikisinin negatif olma olayı A olsun. O halde A ∩ B ikisinin negatif olma olayıdır.
æ 6ö æ 4ö
æ 4ö
O halde, s(B) = ççç ÷÷÷ + ççç ÷÷÷ = 21 ve s(A Ç B) = ççç ÷÷÷ = 6 dır.
è2ø÷ è2÷ø
è2ø÷
P(A \ B) =
60
s(A Ç B)
6
3 bulunur.
=
=
s(B)
21 7
Cevap: 3
7
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir zar atılıyor.
A={0,1,2,3,4,5} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan
üç basamaklı sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının
rakamlarının farklı olduğu bilindiğine göre tek sayı olma
olasılığı kaçtır?
Zarın üst yüzüne 4'ten küçük sayı geldiğine göre bu sayının çift olma olasılığı kaçtır?
A)
1
6
soru 2
1
4
B)
C)
1
3
D)
1
2
2
3
E)
A)
Bir zar atılıyor.
2
3
C)
1
2
D)
1
3
E)
1
6
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B)
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
Zarlardan birinin üst yüzüne gelen sayının 4 olduğu bilindiğine göre zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının
9 olma olasılığı kaçtır?
1
11
soru 4
B)
2
11
C)
3
11
D)
4
11
E)
1 – C
B)
1
6
2 – B
C)
1
5
D)
3 – B
1
3
E)
1
6
B)
5
9
D)
12
25
E)
9
25
C)
1
4
1
3
D)
E)
1
2
5
18
soru 8
B)
3
8
C)
1
2
D)
5
8
E)
3
4
Aralarında 2 doktorun bulunduğu 8 kişiden 3 kişilik grup oluşturuluyor.
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 8 olduğu bilindiğine göre üst yüze gelen sayıların aynı olma olasılığı
kaçtır?
5
36
C)
5 tek, 4 çift tamsayı arasından rastgele seçilen iki sayının
toplamlarının çift tam sayı olduğu bilindiğine göre ikisininde tek tam sayı olma olasılığı kaçtır?
5
11
İki zar aynı anda havaya atılıyor.
A)
3
5
1
8
soru 7
A)
A)
B)
A={0,1,2,3,4} kümesinin elemanları kullanılarak yazılan
üç basamaklı sayılar arasından rastgele seçilen bir sayının
rakamlarının farklı olduğu bilindiğine göre 300'den büyük
olma olasılığı kaçtır?
Zarın üst yüzüne tek sayı geldiğine göre bu sayının asal
sayı olma olasılığı kaçtır?
soru 3
16
25
soru 6
A) 1
Doktorlardan birinin grupta olduğu bilindiğine göre, her
ikisininde grupta olma olasılığı kaçtır?
2
5
A)
4 – C
2
9
5 – D
61
B)
3
14
C)
6 – E
2
7
D)
7 – D
8
21
E)
5
7
8 – C
Olasılık
Bağımsız Olaylar
İki olaydan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilemiyorsa, bu olaylara bağımsız olaylar denir. A ve B bağımsız iki
olay ise A ve B olayının olasılığı P(A Ç B) = P(A) . P(B) bağıntısıyla bulunur.
A veya B olayının olasılığı P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A) . P(B) bağıntısıyla bulunur.
çözüm
kavrama sorusu
Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor.
Zarın tek sayı gelme olayı A, paranın tura gelme olayı B olsun.
Zarın tek sayı gelme ve paranın tura gelme olasılığı kaçtır,
bulunuz.
A={1,3,5} ve P(A) =
3 1
1
= dir. B={T} ve P(B) = dir.
6 2
2
O halde zarın tek sayı ve paranın tura gelme olasılığı
P(A Ç B) = P(A).P(B) =
1 1 1 bulunur.
. =
2 2 4
Cevap: 1
4
çözüm
kavrama sorusu
Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor.
Zarın 4'den büyük gelme olayı A, paranın yazı gelme olayı B
Zarın 4'den büyük veya paranın yazı gelme olasılığı kaçtır,
bulunuz.
olsun. A={5,6} ve P(A) =
2 1
1
= dür. B={Y} ve P(B) = dir.
2
6 3
O halde zarın 4'den büyük veya paranın yazı gelme olasılığı
P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B) = P(A) + P(B) - P(A) .P(B)
=
1 1 1 1 1 1 1
+ - . = + 3 2 3 2 3 2 6
=
4 2
bulunur.
=
6 3
Cevap:
2
3
çözüm
kavrama sorusu
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 olma olayı A,
paraların farklı olma olayı B olsun.
İki zar ile iki madeni para birlikte havaya atılıyor.
a) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 ve paraların farklı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
A={(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} ve P(A) =
b) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 veya
paraların farklı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
4
1
=
dur.
36 9
B={(Y,T), (T,Y)} ve P(B) = 2 = 1 dir.
4 2
a) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 ve paraların farklı olma olasılığı P(A Ç B) = P(A) .P(B) = 1 . 1 = 1
9 2 18
bulunur.
b) Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 9 veya paraların farklı olma olasığılı P(A ∪ B)=P(A)+P(B) – P(A).P(B)
P(A È B) =
1 1 1 1 10 5
+ - . =
= bulunur.
9 2 9 2 18 9
Cevap:
62
5
9
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor.
İki zar ile iki madeni para birlikte havaya atılıyor.
Zarın çift sayı gelmesi ve paranın yazı gelmesi olasılığı
kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların aynı ve paraların ikisinin tura gelmesi olasılığı kaçtır?
A)
1
8
soru 2
1
6
B)
C)
1
4
1
2
D)
E)
3
4
A)
1
24
soru 6
B)
1
6
1
4
C)
D)
5
12
11
24
E)
Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor.
İki zar ile iki madeni para birlikte havaya atılıyor.
Zarın 3'den küçük bir sayı gelmesi ve paranın tura gelmesi
olasılığı kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 6 ve paraların ikisinin yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
1
12
soru 3
B)
1
6
C)
1
4
D)
1
3
E)
2
3
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
5
9
soru 7
B)
5
18
C)
5
36
D)
5
72
E)
5
144
Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor.
İki zar ile iki madeni para birlikte havaya atılıyor.
Zarın asal sayı gelmesi veya paranın tura gelmesi olasılığı
kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların toplamının 5 veya paraların farklı gelmesi olasılığı kaçtır?
A)
1
6
soru 4
B)
1
4
C)
1
3
D)
3
4
E)
5
6
A)
1
18
soru 8
B)
1
6
C)
5
18
D)
1
2
E)
5
9
Bir zar ile bir madeni para birlikte havaya atılıyor.
İki zar ile iki madeni para birlikte havaya atılıyor.
Zarın 3 gelmesi veya paranın yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
Zarların üst yüzüne gelen sayıların çarpımlarının 6 veya
paraların ikisinin yazı gelmesi olasılığı kaçtır?
A)
3
4
1 – C
B)
7
12
2 – B
C)
1
4
D)
3 – D
1
6
E)
1
12
A)
4 – B
1
3
5 – A
63
B)
1
4
C)
6 – E
1
9
D)
1
12
7 – E
E)
1
36
8 – A
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Ayhan'ın üniversite sınavını kazanma olayı A, Sinem'in kazanma olayı S olsun. A ve S olayları bağımsız olaylar olduğundan
2 3 2
a) P(A Ç S) = P(A).P(S) = . = 3 5 5
Ayhan'ın üniversite sınavını kazanma olasılığı 2 , Sinem'in ise
3
3
dir.
5
a) Ayhan ve Sinem'in sınavı kazanma olasılığı kaçtır, bulunuz.
b) P(A È S) = P(A) + P(S) - P(A) . P(S) 2 3 2 3
= + - .
3 5 3 5
13 bulunur.
=
15
c) Sinem'in kazanamaması olasılığı
b) Ayhan veya Sinem'in sınavı kazanma olasılığı kaçtır, bulunuz.
c) Yalnız Ayhan'ın kazanma olasılığı kaçtır, bulunuz.
d) Sadece birinin kazanma olasılığı kaçtır, bulunuz.
3 2
=
dir. Yalnız Ayhan'ın kazanma5 5
sı yani Ayhan'ın kazanıp Sinem'in kazanamaması olasılığı
P(S ý ) = 1- P(S) = 1-
P(A Ç S ý ) = P(A) . P(S ý ) dir.
2 2
4
= . =
3 5 15
d) Ayhan'ın kazanamama olasılığı P(A ý ) = 1- P(A)
= 1-
2 1
= dür.
3 3
Sadece birinin kazanma olasılığı yani Ayhan kazanıp, Sinem
kazanamama veya Sinem'in kazanıp Ayhan'ın kazanamaması
olasılığı P(A Ç S ý ) + P(A ý Ç S) = P(A) . P(S ý ) + P(A ý ) . P(S)
2 2 1 3
7
= . + . =
bulunur.
3 5 3 5 15
çözüm
kavrama sorusu
Çağrı'nın hedefi vurma olayı Ç, Dilek'in hedefi vurma olayı D,
Figen'in vurma olayı F olsun. Ç, D ve F olayları bağımsız olaylar olduğundan
Çağrı, Dilek ve Figen adındaki üç genç okçuluk sporu yapmaktadır. Bu gençlerin hedefi vurma olasılıkları sırasıyla
2 3 1
, , dir. Üçü aynı anda hedefe atış yaptıklarında hedefin,
3 4 2
a) P(Ç ∩ D ∩ F)=P(Ç).P(D).P(F)
a) Üçü tarafından vurulma olasılığı kaçtır, bulunuz.
=
b) Yalnız Çağrı tarafından vurulma olasılığı kaçtır, bulunuz.
2 3 1 1
. . = bulunur.
3 4 2 4
b) Dilek'in hedefi vuramama olasılığı
P(D ý ) = 1- P(D) = 1-
c) Vurulma olasılığı kaçtır, bulunuz.
3 1
= dür.
4 4
Figen'in hedefi vuramama olasılığı
P(F ý ) = 1- P(F) = 1-
1 1
= dir.
2 2
Hedefin yalnız Çağrı tarafından vurulması yani Çağrı vurup,
Dilek ve Figen'in vuramama olasılığı
ı
ı
ı
ı
P(Ç ∩ D ∩ F )=P(Ç).P(D ).P(F )
2 1 1
1
. . =
bulunur.
3 4 2 12
c) Çağrı'nın hedefi vuramama olasılığı
2 1
P(Ç ý ) = 1- P(Ç) = 1- =
dür.
3 3
=
Hedefin vurulmasının gerçekleşmemesi yani üçününde hedefi
vuramama olasılığı P(Ç ý Ç Dý Ç F ý ) = P(Ç ý ) . P(Dý ) . P(F ý )
1 1 1
1
. . =
3 4 2 24
1
23
ı ı ı
=
O halde hedefin vurulma olasılığı P(Ç ∩ D ∩ F )= 124 24
bulunur.
=
64
Olasılık
soru 1
soru 5
3
Ali'nin üniversite sınavını kazanma olasılığı
, Burcu'nun ise
4
1
dür.
3
Göksel'in üniversite sınavını kazanma olasılığı
1
4
soru 2
B)
1
3
1
2
C)
D)
3
4
E)
5
6
A)
soru 3
B)
8
15
3
5
C)
D)
2
3
E)
11
15
Onur'un üniversite sınavını kazanma olasılığı 1 , Vahit'in ise
6
2
dür.
3
Yalnız Onur'un sınavı kazanma olasılığı kaçtır?
A)
1
36
B)
1
18
C)
1
9
D)
4
9
E)
A)
1 – A
1
3
2 – E
C)
13
30
D)
3 – B
1
2
E)
B)
1
24
E)
1
14
C)
2
7
8
21
D)
E)
3
7
1
30
soru 8
B)
1
12
D)
Sabri, Serdar ve Şahin adındaki üç genç okçuluk sporu
yapmaktadır. Bu gençlerin hedefi vurma olasılıkları sırasıyla
5
9
B)
1
20
C)
1
10
D)
3
20
E)
3
10
Ahmet, İsmail ve Mehmet'in bir matematik sorusunu çözme
1 2 3
, , dir.
3 5 4
Üçü aynı anda soruyu çözmeye başladıklarında sorunun
çözülmüş olma olasılığı kaçtır?
olasılıkları sırasıyla
Sadece birinin sınavı kazanma olasılığı kaçtır?
1
10
1
4
2 3 3
, , dir.
3 4 5
Üçü aynı anda hedefe atış yaptıklarında hedefin yalnız Şahin tarafından vurulma olasılığı kaçtır?
Çiğdem'in üniversite sınavını kazanma olasılığı 3 , Şahin'in ise
5
5 dır.
6
A)
C)
2
35
soru 7
A)
soru 4
1
3
B)
İpek, Esin ve Basriye adındaki üç genç okçuluk sporu yapmaktadır. Bu gençlerin hedefi vurma olasılıkları sırasıyla
5 4 3
, , dir.
6 5 7
Üçü aynı anda hedefe atış yaptıklarında hedefin üçü tarafından vurulma olasılığı kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
1
5
1
2
soru 6
Seval'in üniversite sınavını kazanma olasılığı 3 , Berrin'in ise
5
1
dür.
3
Seval veya Berrin'in sınavı kazanma olasılığı kaçtır?
A)
3
, Fidan'ın ise
4
2
dür.
3
Her ikisininde sınavı kazanmama olasılığı kaçtır?
Ali ve Burcu'nun sınavı kazanma olasılığı kaçtır?
A)
17
30
A)
4 – C
9
10
5 – D
65
B)
4
5
C)
6 – C
7
10
D)
7 – B
1
5
E)
1
10
8 – A
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 3 mavi, 4 kırmızı ve 2 sarı bilye
vardır. Çekilen bir bilye torbaya geri atılmamak şartıyla üç bilye
çekiliyor.
1. bilyenin mavi olma olasılığı:
3
9
2. bilyenin kırmızı olma olasılığı:
Birinci bilyenin mavi ikinci bilyenin kırmızı üçüncü bilyenin
sarı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
4
8
3. bilyenin sarı olma olasılığı: 2
7
Çekilen bilye torbaya geri atılmadığı için örneklem uzayın eleman sayısı her bilye çekilişinde 1 azaldı.
Uyarı
Genel çarpım kuralına göre
Torbadan çekilen bilyelerin geri atılmadığına dikkat
ediniz. Bu durumda torbadaki bilyelerin sayısı her
çekilişte bir azalacaktır.
3 4
.
9 8
¯ ¯
M K
.
2
1
bulunur.
=
7 21
¯
1
S
Cevap:
21
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 4 kırmızı, 5 beyaz bilye vardır. Çekilen bir bilye torbaya geri atılmamak şartıyla üç bilye çekiliyor.
Çekilen bilyelerin ilk ikisinin kırmızı üçüncünün beyaz olma
K K B
­ ­ ­
olasılığı, 4 . 3 . 5 = 5 bulunur.
9 8 7
42
Çekilen bilyelerin ilk ikisinin kırmızı üçüncünün beyaz olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Çekilen bilye torbaya geri atılmadığı için örneklem uzayın eleman sayısı her bilye çekilişinde 1 azaldı.
5
Cevap:
42
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 6 mavi, 4 sarı bilye vardır. Çekilen
bir bilye torbaya geri atılmak şartıyla iki bilye çekiliyor.
Çekilen bilye torbaya geri atıldığı için örneklem uzayın eleman
sayısı her iki çekilişte 10 dur.
Birincinin mavi ikincinin sarı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Çekilen bilyelerin ilkinin mavi, ikincinin sarı olma olasılığı
M S
­ ­
6 4
6
=
.
bulunur.
10 10 25
Uyarı
Torbadan çekilen bilyelerin geri atıldığına dikkat ediniz. Bu durumda torbadaki bilyelerin sayısı değişmeyecek ve sabit kalacaktır.
Cevap:
6
25
çözüm
kavrama sorusu
Bir torbada aynı büyüklükte 4 sarı, 6 kırmızı bilye vardır. Çekilen bir bilye torbaya geri atılmak şartıyla üç bilye çekiliyor.
Çekilen bilye torbaya geri atıldığı için örneklem uzayın eleman
sayısı her üç çekilişte 10 dur.
S S K
­ ­ ­
4 4 6
.
.
10 10 10
3!
Üç çekilişten ikisinin sarı birinin kırmızı (S, S, K) olduğu
2!
dizilişi olduğundan ikisinin sarı birinin kırmızı olma olasılığı
İkisinin sarı birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
4 4 6 3!
6
.
.
. =
bulunur.
10 10 10 2! 125
Cevap:
66
6
125
Olasılık
soru 1
soru 5
Bir torbada aynı büyüklükte 2 mavi, 3 kırmızı bilye vardır. Çekilen bir bilye geriye atılmamak şartıyla iki bilye çekiliyor.
Bir torbada aynı büyüklükte 2 mavi, 4 sarı bilye vardır. Çekilen
bir bilye torbaya geri atılmak şartıyla iki bilye çekiliyor.
Birinci bilyenin mavi, ikinci bilyenin kırmızı olma olasılığı
kaçtır?
Birincinin sarı, ikincinin mavi olma olasılığı kaçtır?
3
A)
20
soru 2
6
B)
25
3
C)
10
12
D)
25
A)
3
E)
5
4
15
soru 6
B)
2
9
C)
4
9
8
15
D)
E)
8
9
Bir torbada aynı büyüklükte 2 mavi, 3 kırmızı, 5 sarı bilye vardır.
Çekilen bir bilye geriye atılmamak şartıyla üç bilye çekiliyor.
Bir torbada aynı büyüklükte 2 mavi, 3 kırmızı, 4 sarı bilye vardır.
Çekilen bir bilye torbaya geri atılmak şartıyla üç bilye çekiliyor.
Birinci bilyenin sarı, ikinci bilyenin kırmızı üçüncü bilyenin
mavi olma olasılığı kaçtır?
Birincinin mavi, ikincinin kırmızı, üçüncünün sarı olma olasılığı kaçtır?
1
24
soru 3
B)
1
12
C)
1
8
D)
1
6
E)
1
4
A)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A)
16
81
soru 7
B)
11
243
C)
10
243
D)
1
21
E)
8
243
Bir torbada aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz bilye vardır. Çekilen bir bilye geriye atılmamak şartıyla üç bilye çekiliyor.
Bir torbada aynı büyüklükte 3 sarı, 2 kırmızı bilye vardır. Çekilen bir bilye geriye atılmak şartıyla iki bilye çekiliyor.
Çekilen bilyelerin ilk ikisinin kırmızı üçüncünün beyaz olma olasılığı kaçtır?
Birinin sarı diğerinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
3
A)
35
soru 4
4
B)
35
1
C)
7
6
D)
35
A)
12
E)
35
3
20
soru 8
B)
6
25
C)
3
10
D)
12
25
E)
3
5
Bir torbada aynı büyüklükte 5 beyaz, 3 kırmızı bilye vardır. Çekilen bir bilye geriye atılmamak şartıyla dört bilye çekiliyor.
Bir torbada aynı büyüklükte 4 sarı, 2 kırmızı bilye vardır. Çekilen bir bilye geriye atılmak şartıyla üç bilye çekiliyor.
İlk ikisinin beyaz, son ikisinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
İkisinin sarı birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A)
3
7
1 – C
B)
2
7
2 – A
C)
3
14
D)
3 – B
1
7
E)
1
14
A)
4 – E
4
27
5 – B
67
B)
1
5
C)
6 – E
1
3
D)
7 – D
4
9
E)
3
5
8 – D
Olasılık
çözüm
kavrama sorusu
A torbasında eşit büyüklükte 4 beyaz, 5 kırmızı, B torbasında
2 beyaz, 6 kırmızı top vardır.
A torbasından alınan top beyaz ise B torbasından kırmızı top
alınmış olmalı veya A torbasından alınan top kırmızı ise B torbasından alınan top kırmızı olmalıdır.
A torbasından bir top çekilip B torbasına atıldığında ve B
torbasından bir top çekildiğinde çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
A torbasından beyaz top ve B'den kırmızı top çekme olasılığı
4
6
4 6
.
= .
9 8 +1 9 9
A torbasından kırmızı top ve B'den kırmızı top çekme olasılığı
5 6 +1 5 7
.
= .
9 8 +1 9 9
O halde B torbasından çekilen topun kırmızı olma olasılığı
4 6 5 7 59
. + . =
bulunur.
9 9 9 9 81
Cevap:
59
81
çözüm
kavrama sorusu
A torbasında eşit büyüklükte 3 beyaz, 5 kırmızı, B torbasında
5 beyaz, 4 kırmızı top vardır. A torbasından bir top çekilip B
torbasına atılıyor.
Renk bakımından ilk durumu elde etmek için A'dan alınan top
beyaz ise B'den beyaz top alınmış olmalı veya A'dan alınan top
kırmızı ise B'den kırmızı top alınmış olmalıdır.
Sonra, B torbasından bir top çekilip A torbasına atıldığında renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır,
bulunuz.
A torbasından beyaz top ve B'den beyaz top çekme olasılığı
3 5 +1 3 6
= .
.
8 9 + 1 8 10
A torbasından kırmızı top ve B'den kırmızı top çekme olasılığı
5 4 +1 5 5
= .
.
8 9 + 1 8 10
O halde renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı
3 6
5 5
43
.
+ .
=
bulunur.
8 10 8 10 80
Cevap:
43
80
çözüm
kavrama sorusu
Bir A torbasında 2 beyaz, 3 kırmızı B torbasında ise 4 beyaz,
5 kırmızı top vardır. Bir zar havaya atılıyor, üst yüze 4 ten büyük bir sayı gelirse A torbasından, 5 ten küçük bir sayı gelirse
B torbasından bir top çekiliyor.
Topun beyaz olma olasılığı kaçtır, bulunuz.
Zarýn üst yüzüne
5, 6 gelme olasýlýðý
2
6
68
ve
A torbasýndan Zarýn üst yüzüne B torbasýndan
beyaz top + 1, 2, 3, 4 gelme ve beyaz top
gelme olasýlýðý
.
2
5
2
8
58
+
=
bulunur.
15 27 135
olasýlýðý
+
4
6
gelme olasýlýðý
.
4
9
Cevap:
58
135
Olasılık
soru 1
soru 5
soru 2
B)
12
35
C)
16
35
D)
37
70
E)
39
70
A)
10
21
soru 6
Son durumda kutular içerisinde eşit sayıda sarı ve mavi
top bulunma olasılığı kaçtır?
Yukarıda içindeki top sayıları verilen iki kutu vardır. I. kutudan
bir top çekilip II. kutuya atılıyor. Daha sonra II. kutudan bir top
çekilip I. kutuya atılıyor.
A torbasından bir top çekilip B torbasına atıldığında ve B
torbasından bir top çekildiğinde çekilen topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
6
35
Yukarıda içinde top sayıları verilen iki torba vardır.
A)
3
7
B)
C)
8
21
A)
soru 3
3
10
C)
13
40
D)
17
40
E)
19
40
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A torbasından bir top çekilip B torbasına atıldığında ve B
torbasından bir top çekildiğinde çekilen topun beyaz olma
olasılığı kaçtır?
B)
E)
5
21
Bir A torbasında 2 beyaz, 5 sarı, B torbasında ise 3 beyaz,
4 sarı top vardır. Bir zar havaya atılıyor, üst yüze 2'den büyük
sayı gelirse A torbasından, 3 ten küçük bir sayı gelirse B torbasından bir top çekiliyor.
Topun sarı olma olasılığı kaçtır?
1
8
1
3
Yukarıda içinde top sayıları verilen iki torba vardır.
A)
D)
29
42
soru 7
B)
2
3
27
42
C)
D)
10
21
E)
4
21
A torbasında eşit büyüklükte 2 beyaz, 3 kırmızı, B torbasında
4 beyaz, 2 kırmızı top vardır. A torbasından bir top çekilip B
torbasına atılıyor.
Bir A torbasında 2 sarı, 3 kırmızı, B torbasında ise 4 sarı, 1
kırmızı top vardır. Bir madeni para havaya atılıyor. Tura gelirse
A torbasından, yazı gelirse B torbasından bir top çekiliyor.
Sonra B torbasından bir top çekilip A torbasına atıldığında
renk bakımından ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
Topun kırmızı olma olasılığı kaçtır?
17
A)
35
soru 4
18
B)
35
19
C)
35
4
D)
7
A)
3
E)
5
1
5
soru 8
B)
B)
4
9
C)
5
9
D)
16
27
E)
2 – D
3 – C
D)
2
3
E)
4
5
Yukarıda içinde top sayıları verilen iki torba vardır.
Rastgele bir torba seçilip içinden bir top çekildiğinde çekilen topun sarı olma olasılığı kaçtır?
19
27
A)
1 – E
3
5
Sonra B torbasından bir top çekilip A torbasına atıldığında
ilk durumu elde etme olasılığı kaçtır?
1
9
C)
A torbasından eşit büyüklükte 2 beyaz, 4 kırmızı, B torbasından 3 beyaz, 5 kırmızı top vardır. A torbasından bir top çekilip
B torbasına atılıyor.
A)
2
5
4 – D
3
20
5 – C
69
B)
1
6
C)
6 – B
7
10
D)
7 – B
7
20
E)
1
2
8 – D
BİNOM AÇILIMI
OLASILIK
İSTATİSTİK
İSTATİSTİK
İSTATİSTİK
İstatistik
Belli konularda sayısal verileri toplamak bu verileri düzenlemek, analiz etmek ve doğru sonuçlar çıkarmak ile ilgilenen matematiğe
dayalı bilim dalına istatistik denir. İstatistik bilimi sosyoloji, biyoloji ve finans gibi bir çok dalda kullanılır ve bu konuda araştırmalar
yapan bilim adamları için ortak teknik ve yöntemler içerir.
İstatistik biliminde veri tabloları ve grafikler önemli araçlardır. Verilerin tasnifinde ve yorumlanmasında veri tabloları ve grafikler
kullanılır. Bu grafiklerden ilki sütun grafiğidir. Değişkenler arasında yapılan karşılaştırmaları görmek veya zaman içerisindeki değişimlerini incelemek için sütun grafikleri tercih edilir.
çözüm
kavrama sorusu
Aşağıda, bir sınıftaki beş öğrencinin Tarih dersi 1. yazılısından
aldıkları puanlar verilmiştir.
Öğrencilerin isimlerini yatay eksene yazılı notlarını dikey eksene eşit aralıklarla yerleştirelim.
Alýnan Notlar
Öğrenci
ismi
Ahmet
Mahmut
Erhan
Aysel
Dilara
1. Yazılı
Puanı
70
85
80
60
75
90
85
80
75
70
65
60
55
Yukarıdaki tabloda yer alan verileri sütun grafiği ile gösteriniz.
Öðrenciler
t
t
a
n
el
me mu Erha Ays Dilar
Ah Mah
çözüm
kavrama sorusu
Aşağıda bir basket takımının ilk beşinin yaşları verilmiştir.
Basketçi
No
1
Yaşı
24
2
3
22
4
20
30
Basketçi numaralarını yatay eksene, yaşlarını dikey eksene
eşit aralıklarla yerleştirelim.
5
27
Yukarıdaki tabloda yer alan verileri sütun grafiği ile gösteriniz.
çözüm
kavrama sorusu
Yukarıdaki grafikte verilen veriler değerlendirildiğinde aşağıdaki tablo elde edilir.
Yukarıdaki verilen grafiğe göre, öğrencilerin ağırlık tablosunu yapınız.
72
Öğrenciler
1
2
3
4
5
6
Ağırlıkları
(kg)
45
49
47
53
57
50
İstatistik
soru 1
soru 3
Ziyaretçi Sayýlarý
700
600
500
400
300
200
100
Otomobil galerisinin aylık satış rakamları tablosu.
Ay
Ocak Şubat Mart Nisan Mayıs Haziran
Satış Adetleri
8
10
11
10
6
13
Satış rakamlarını yansıtan grafik aşağıdakilerden hangisidir?


 



 


C)
 


D)
 


soru 2
B)
 


KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Gazeteler
A
Satış Adetleri
B
2
(milyon tane)
C
1,5
D
1,7
E
1,8
1,5
Maðazalar
E)
400
500
700
200
300
500
Mağaza
A
B
C
D
E
F
Ziyaretçi
Sayısı
400
600
300
200
300
500
Mağaza
A
B
C
D
E
F
Ziyaretçi
Sayısı
400
700
300
200
400
500
Mağaza
A
B
C
D
E
F
Ziyaretçi
Sayısı
400
700
300
300
200
500
Mağaza
A
B
C
D
E
F
Ziyaretçi
Sayısı
400
700
300
200
300
500
soru 4
Doðan Çocuk Sayýsý
B
C
D
E
F
Hastaneler
A) En çok çocuk F Hastanesinde doğmuştur.
C) En çok doğum olan iki hastanede doğan çocuk sayısı toplamı 55 dir.
D) En çok doğum olan hastane ile en az doğum olan hastanelerdeki fark 20 adettir.
F
B) En az çocuk C Hastanesinde doğmuştur.

1 – C


E
Yukarıda 6 farklı hastanede 1 ay içerisinde doğan çocuklarla
ilgili grafik verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
D
Ziyaretçi
Sayısı
A
E) En az doğum olan iki hastanede doğan çocuk sayısı toplamı 20 dir.


C
30
25
20
15
10
5
Yukarıdaki tabloya göre gazetelerin satış adetlerini gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
B
Yukarıdaki grafikte 6 adet mağazanın aylık ziyaretçi sayıları verilmiştir. Mağazaların aylık ziyaretçi sayıları tablosu
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
Mağaza
A
B
C
D
E
F
A
2 – A
3 – E
73
4 – D
İstatistik
Bir değişkenin zaman içerisindeki değişimini incelemek için veya bir değişkenin başka bir değişkene göre değişimini incelemek
için çizgi grafiği tercih edilir.
çözüm
kavrama sorusu
Bir hastanın her saat başında ölçülen nabız değerleri aşağıdaki tablodadır.
Nabız değerlerini dikey eksene, saatleri yatay eksene yazıp
tablodaki değerleri yerleştirelim.
Saat
1
2
3
4
5
Nabız
Değeri
70
75
75
80
80
Nabız değerlerini gösteren çizgi grafiğini çiziniz.
çözüm
kavrama sorusu
Yazılı notlarını dikey eksene, yazılı numaralarını yatay eksene
yazıp tablodaki değerleri yerleştirelim.
Bir öğrencinin yıl boyunca matematik dersinden yapılan 6 yazılı sınavdan aldığı sonuçlar aşağıdaki tablodadır.
Yazılar
1
2
3
4
5
6
Not
55
45
60
70
75
80
Yazılı notlarını gösteren çizgi grafiğini çiziniz.
çözüm
kavrama sorusu
Günler
Pazartesi
Salı
Çarşamba
Perşembe
Cuma
Cumartesi
Pazar
Bir çiftlikteki iki ayrı cins ineğin 1 hafta boyunca günlük verdikleri süt miktarları aşağıdaki tablodadır.
A cins inek
süt miktarı(kg)
15
17
18
20
18
19
20
B cins inek
süt miktarı(kg)
20
22
20
21
23
22
23









Günlük süt miktarlarını gösteren çizgi grafiğini çiziniz.
74
İstatistik
soru 1
soru 3
Burak ile Celil'in girdikleri 5 deneme sınavında yaptıkları net
sayıları aşağıdaki tablodadır.
Deneme
Sınavları
1
2
3
4
5
Burak
75
78
72
79
80
Celil
74
76
77
80
82
Burak ile Celil'in deneme sınavlarına göre net sayılarını
gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?

B)
C)
Yıllar
Ağaç
Sayısı
D)
Yıllar
Ağaç
Sayısı
E)
Yıllar
Ağaç
Sayısı
soru 4

Yıllar
Ağaç
Sayısı
Yıllar
Ağaç
Sayısı


A)
soru 2

KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI

Yukarıdaki grafikte bir okulun öğrencilerinin yıllara göre diktikleri ağaç sayıları verilmiştir. Öğrencilerin diktikleri ağaç sayılarını gösteren tablo aşağıdakilerden hangisidir?
2008 2009 2010 2011 2012 2013
80
90
75
85
95
2008 2009 2010 2011 2012 2013
80
90
75
85
75
95
2008 2009 2010 2011 2012 2013
80
90
85
80
85
95
2008 2009 2010 2011 2012 2013
80
85
90
75
85
95
2008 2009 2010 2011 2012 2013
80
90
85
75
85
90
85
Yukarıda bir ilçede yaşanan trafik kazalarının sayıları yıllara göre verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
Yukarıda bir fabrikada izine çıkan personelin aylara göre sayıları verilmiştir. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) En çok kaza 2008 yılında yaşanmıştır.
A) En çok izne çıkılan ay Hazirandır.
B) En az kaza 2012 yılında yaşanmıştır.
B) En az izine çıkılan ay Mayısdır.
C) Altı yılda toplam 140 kaza yaşanmıştır.
C) Son üç ayda 55 personel izine çıkmıştır.
D) En çok kaza yaşanan iki sene arasında 5 fark vardır.
D) İlk üç ayda 85 personel izine çıkmıştır.
E) 2008 yılındaki kaza sayısı 2013 yılındaki kaza sayısından
25 fazladır.
E) Altı ayda toplam 140 personel izine çıkmıştır.
1 – C
2 – A
3 – A
75
4 – B
İstatistik
Bir değişkenin bir bütün içerisindeki durumunu incelemek için daire grafiği tercih edilir.
çözüm
kavrama sorusu
Bir mağazada çalışan 5 elemanın bir ay içerisinde sattıkları
ürün sayısını gösteren tablo aşağıdadır.
İşçiler
Hami
Yasin
İsmet
Can
Mehmet
Sattıkları
Ürün Sayısı
20
36
44
46
34
Daire toplam 360° olduğundan, veriler grafiğe yerleştirilirken
orantı kurulur.
Toplam satılan ürün: 20+36+44+46+34=180 tane
180 tane
360°
1 tane
x .
360°
= 2° ise bir ürün 2° ye denk gelmektedir.
180°
Hami: 20 . 2°=40°
x=
Yukarıdaki tabloda yer alan verileri daire grafiği ile gösteriniz.
Yasin: 36 . 2°=72°
İsmet: 44 . 2°=88°
Can: 46 . 2°=92°
Mehmet: 34 . 2°=68°
değerleri dairede yerlerine yerleştirelim.
çözüm
kavrama sorusu
360°
Aþýrý hýz
70°
80°
72 kaza
1°
x .
72°
1
x=
= kaza
360° 5
120°
Hatalý 90°
Sollama
Aşırı hız: 120.
1
=24 kaza
5
Hatalı Sollama: 90.
1
=18 kaza
5
Dikkatsizlik: 70.
1
=14 kaza
5
Tedbirsizlik: 80.
1
=16 kaza
5
Tedbirsizlik
Dikkatsizlik
Yukarıda trafik kazalarının nedenleri ile ilgili bir grafik verilmiştir. Buna göre, yaşanan 72 kazanın nedenlerini grafiğe göre
bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
360°
1°
x .
540 adet
360° 2
x=
= adet
540° 3
150°+30°+45°+a+75°=360°
a=60°
D marka çikolata grafikte 60° derecelik daire dilimidir.
Bir süpermarkette satılan 540 adet çikolatanın markalara göre
dağılımı yukarıdaki grafikte verilmiştir. Buna göre, D marka çikolatanın kaç adet satıldığını bulunuz.
76
2
.60 = 40 adet D marka çikolata satılmıştır.
3
Cevap: 40
İstatistik
soru 1
soru 3
Bir öğrencinin girdiği sınavda yaptığı 45 doğru cevabın derslere göre dağılımı aşağıdaki gibidir.
Dersler
Matematik
Fizik
Kimya
Biyoloji
Doğru Cevap
Sayısı
20
7
10
8
Yanda bir beyaz eşya maEda
Recep
72°
39°
ğazasında satılan 120 a81°
det ürünün, hangi eleman60° 108°
lar tarafından satıldığını
Kübra
Tolga
gösteren grafik verilmiştir.
Buna göre, satış rakamları tablosu aşağıdakilerden hangisidir?
Tablodaki verileri gösteren daire grafiği çizildiğinde, biyoloji dersini gösteren daire diliminin açısının ölçüsü kaç
derecedir?
A) 56
B) 64
C) 72
D) 80
Gamze
A) Çalışan
Gamze
İsmi
E) 160
Satış
Adedi
24
B) Çalışan
Gamze
İsmi
Satış
Adedi
26
C) Çalışan
Gamze
İsmi
Satış
Adedi
Çocuk
Hastalıkları
Kulak Burun
Boğaz
(K.B.B)
Hasta Sayısı
Kardiyoloji
Bölüm
Dahiliye
Bir hastanenin çeşitli bölümlerine yatan hasta sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
40
20
25
5
Tablodaki verileri gösteren daire grafiği aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 100°
1 – B
2 – B
24
26
20
Eda
Kübra
25
20
Eda
Kübra
27
20
Eda
Kübra
30
20
Eda
Kübra
28
19
Tolga Recep
36
14
Tolga Recep
36
13
Tolga Recep
36
13
Tolga Recep
36
13
Tolga Recep
35
14
B) 400
C) 500
D) 600
E) 900
Bir markette satılan içe
ceklerin markalarına göre
satış miktarları yandaki
grafikte verilmiştir. Buna
göre, A marka ürünü
gösteren daire diliminin
grafikteki açısının ölçüsü kaç derecedir?

Satış
Adedi
soru 5
21
E) Çalışan
Gamze
İsmi
A) 300
Satış
Adedi
Kübra
Bir köyde yapılan muhtarlık
seçimlerinde adayların aldığı oyların dağılımı yandaki grafikte verilmiştir. Buna
göre, 1800 geçerli oydan
B adayı kaç oy almıştır?
24
D) Çalışan
Gamze
İsmi
soru 4
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 2
Eda
3 – C
77
B) 110°
C) 120°
4 – D
D) 130°
E) 150°
5 – A
İstatistik
Aritmetik Ortalama
Veri grubundaki verilerin toplamının veri sayısına bölünmesiyle elde edilen değere aritmetik ortalama denir. Aritmetik ortalama
bir merkezi eğilim ölçüsüdür.
n tane veri olan bir grupta aritmetik ortalama,
Aritmetik Ortalama=õ x=
x1 + x 2 + .... + xn
n
çözüm
kavrama sorusu
7, 6, 8, 10, 13, 15, 11
Verilerin Toplamı: 7+6+8+10+13+15+11=70
Yukarıdaki verilen veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır, bulunuz.
Veri Sayısı: 7
Aritmetik Ortalama:
Verilerin Toplamı
Veri Sayısı
=
70
= 10
7
Cevap: 10
çözüm
kavrama sorusu
Verilerin Toplamı: 6,8+7+7,1+7,2+6,9=35
Bir otomobilin 5 farklı sürüş denemesinde 100 km de harcadığı yakıt miktarları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
Sonuç No
1
2
3
4
5
100 km deki yakıt
tüketimi (Lt)
6,8
7
7,1
7,2
6,9
Veri Sayısı: 5
Aritmetik Ortalama:
Verilerin Toplamı
Veri Sayısı
=
35
= 7 litre
5
Cevap: 7
Otomobilin 100 km de ortalama yakıt tüketimini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Verilerin Toplamı: 1,4+1,6+1,5+1,2+1,3=7,0
Veri Sayısı: 5
Aritmetik Ortalama:


7,0
= 1,4
5
Cevap: 1,4
Bir hisse senedinin beş günlük değerlerinin gösterildiği grafik
yukarıdadır. Buna göre, hisse senedinin beş günlük ortalama değerini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
10, 14, 16, 18, 11, x
10 + 14 + 16 + 18 + 11+ x
= 14
6
69 + x
= 14
6
x+69=84
Aritmetik Ortalama:
Yukarıda verilen veri grubunun aritmetik ortalaması 14 olduğuna göre, x kaçtır?
x=15
Cevap: 15
78
İstatistik
soru 1
soru 5





3, 6, 4, 5, 8, 10, 6, 2, 7, 9
Yukarıda verilen veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
Yukarıdaki grafikte altı aylık enflasyon oranları verilmiştir. Buna
göre, aylık enflasyon ortalama kaçtır?
A) 1,4
soru 2
soru 6
(– 3), (– 6), (– 7), (– 2), 1, 5, 9, 11, 10
C) 3
D) 4
soru 3
D) 1,7
E) 1,8
E) 5
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
B) 2
C) 1,6
Yukarıda verilen veri grubunun aritmetik ortalaması kaçtır?
A) 1
B) 1,5
Yukarıda Tuğçe'nin girdiği sınavlarda yaptığı fizik dersi netlerinin grafiği verilmiştir.
Buna göre, Tuğçe'nin fizik dersinden ortalama net sayısı
kaçtır?
A) 5
B) 6
soru 7
C) 7
D) 8
E) 9
Futbolcu No
1
2
3
4
5
6
Yaşı
20
21
18
17
23
21
Yukarıda verilen veri grubunun aritmetik ortalaması 10 olduğuna göre, A kaçtır?
Yukarıdaki tabloda altı kişilik bir mini futbol takımındaki oyuncuların yaşları verilmiştir.
8, 13, 10, 11, A, 6, 9, 8
A) 10
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
Buna göre, takımın yaş ortalaması kaçtır?
A) 17
B) 18
soru 4
C) 19
D) 20
E) 21
soru 8
Öğrenci İsmi
Celil
Kilosu (kg)
56
Selay Kübra Merve
48
44
55
Yaş ortalaması 22,4 olan beş kişilik bir basket takımındaki
oyuncuların yaşları toplamı kaçtır?
Dila
42
Yukarıda beş kişilik bir öğrenci grubunun ağırlıklarının tablosu
verilmiştir.
A) 112
B) 114
C) 116
D) 118
E) 122
Buna göre, öğrenci grubunun ağırlık ortalaması kaç kg dır?
A) 48
1 – A
B) 49
2 – B
C) 50
D) 51
3 – D
E) 52
4 – B
5 – C
79
6 – C
7 – E
8 – A
İstatistik
En Büyük Değer, En Küçük Değer, Veri Açıklığı
Bir veri grubundaki en yüksek değere en büyük değer, en düşüğüne ise en küçük değer denir. En büyük değer ile en küçük
değer arasındaki farka veri açıklığı veya veri aralığı denir. Veri açıklığı bir merkezi yayılma ölçüsüdür.
çözüm
kavrama sorusu
6, 5, 2, 10, 8, 7, 7, 5
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım.
Yukarıdaki verilen veri grubunun en büyük, en küçük değerlerini ve veri açıklığını bulunuz.
2, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 10
En küçük değer= 2
En büyük değer= 10
Veri Açıklığı= En büyük değer – En küçük değer
=10 – 2
=8
Cevap: 8
Mod (Tepe Değeri)
Bir veri grubunda en çok tekrar eden veriye mod veya tepe değeri denir. Tekrar eden verilerin sayıları eşitse birden fazla mod
değeri var demektir. Tekrar eden veri yoksa mod değeri yoktur. Mod merkezi eğilim ölçüsü olup veri grubunun en tipik özelliğini
yansıtır.
çözüm
kavrama sorusu
1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9
Yukarıda verilen veri grubunun mod (tepe değeri) değerini
bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
1, 1, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 7, 9
Veri grubunda en çok tekrarlanan veri 4 olduğundan, veri grubunun mod'u 4 tür.
Cevap: 4
6, 8, 10, 10, 11, 13, 14, 14, 16
Yukarıda verilen veri grubunun mod (tepe değeri) değerini
bulunuz.
6, 8, 10, 10, 11, 13, 14, 14, 16
Veri grubunda 10 ve 14 ikişer kez tekrar ettiği için iki tane mod
değeri vardır.
Veri grubunun tepe değerleri 10 ve 14 tür.
Cevap: 10 ve 14
çözüm
kavrama sorusu
– 7, – 6, – 5, – 1, 0, 1, 2, 5, 6
Veri grubunda tekrar eden eleman olmadığından mod değeri
yoktur.
Cevap: Yoktur
Yukarıda verilen veri grubunun mod değerini bulunuz.
80
İstatistik
soru 1
soru 5
12, 7, 8, 7, 9, 11, 10, 9, 9
2, (– 3), (– 1), 0, 4, (– 2), 6, 7
Yukarıda verilen veri grubunun en küçük değeri kaçtır?
Yukarıda verilen veri grubunun veri açıklığı kaçtır?
A) 7
A) 6
soru 2
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
B) 7
soru 6
6, 11, 15, 7, A, B, 10, 13, 14
Yukarıda verilen veri grubunun en büyük değeri 16 ve en küçük değeri 5 olduğuna göre, A+B toplamı kaçtır?
C) 20
D) 21
7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 11, 13, 14, 14
1, 8, 7, 10, 9, 9, 6, 2, 4, 7
Yukarıda verilen veri grubunun veri açıklığı kaçtır?
B) 7
C) 8
D) 9
B) 10
soru 7
Yukarıda verilen veri grubunun mod değeri 38 olduğuna göre,
A kaçtır?
soru 8
13, 5, 6, 9, 11, 10, 9, 6, 7, A, 10
C) 14
B) 40
C) 44
D) 60
E) 72
Aşağıda verilen veri gruplarından hangisinin mod değeri
yoktur?
A aşağıdakilerden hangisi olabilir?
B) 13
E) 7
E) 10
Yukarıda verilen veri grubunun veri açıklığı 9 olduğuna göre,
A) 12
D) 8
45, 44, 40, 40, 38, 38, A, 60, 60, 72
A) 38
soru 4
C) 9
E) 22
A) 6
E) 10
Yukarıda verilen veri grubunun mod değeri kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
B) 19
D) 9
A) 11
A) 18
C) 8
A) 9, 11, 8, 7, 6, 7, 12, 10
D) 15
B) 13, 11, 10, 9, 14, 16, 17, 18
E) 16
C) 3, 4, 4, 5, 8, 10, 6, 3
D) 7, 5, 6, 4, 3, 2, 6, 1
E) 6, 14, 13, 10, 14, 12, 12
1 – A
2 – D
3 – D
4 – C
5 – E
81
6 – A
7 – A
8 – B
İstatistik
Medyan (Ortanca)
Büyükten küçüğe veya küçükten büyüğe sıralanmış bir veri grubunun tam ortasındaki veriye medyan (ortanca) denir. Medyan
veri grubunu iki eşit parçaya böler ve bir merkezi eğilim ölçüsüdür.
Veri grubundaki verilerin sayısı tek ise medyan tam ortadaki, veri, gruptaki verilerin sayısı çift ise ortadaki iki verinin aritmetik
ortalamasıdır.
çözüm
kavrama sorusu
5, 18, 11, 7, 8, 10, 4, 8, 16, 13, 5, 6, 10
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım,
Yukarıda verilen veri grubunun medyan (ortanca) değerini
bulunuz.
4, 5, 5, 6, 7, 8,123
8, 10, 10, 11, 13, 16, 18
ortadaki
terim
Veri grubunun medyanı 8 dir.
Cevap: 8
çözüm
kavrama sorusu
17, 21, 23, 18, 16, 19, 20, 20, 14, 16
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım,
Yukarıda verilen veri grubunun medyan (ortanca) değerini
bulunuz.
14, 16, 16, 17, 18, 19, 20, 20, 21, 23
14243
ortadaki
iki terim
Veri sayısı 10 (çift) olduğundan ortadaki iki terimin aritmetik
ortalamasını alırız.
18 + 19
Medyan:
= 18,5
2
Cevap: 18,5
Alt Çeyrek (Q1), Üst Çeyrek (Q3)
Küçükten büyüğe doğru sıralanmış veri grubunun medyanı alındığında veri grubu ikiye ayrılır. Solda kalan veri grubunun medyanına alt çeyrek (Q1), sağda kalan veri grubunun medyanına (Q3) üst çeyrek denir. Üst çeyrek değeri ile alt çeyrek değerinin
arasındaki farka çeyrekler açıklığı denir. Alt çeyrek ve üst çeyrek bulunurken medyan almadaki yöntemler kullanılır.
çözüm
kavrama sorusu
26, 28, 34, 27, 33, 35, 26, 30, 29, 30, 30
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım,
Yukarıda verilen veri grubunun alt çeyrek (Q1) ve üst çeyrek (Q3) değerlerini ve çeyrekler arası açıklığı bulunuz.
26, 26, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 33, 34, 35
123
ortadaki terim
Grubun medyanı 30 dur.
Solda kalan kısım
Sağda kalan kısım
1444442444443
1444442444443
26, 26, 27, 28, 29, 30, 30, 30, 33, 34, 35
↓
Medyan
26, 26, 27, 28, 29
↓
Medyan
Sol tarafın medyanı Alt çeyrek (Q1)=27
30, 30, 33, 34, 35
↓
Medyan
Sağ tarafın medyanı üst çeyrek (Q)=33
Çeyrekler arası açıklık= 33 – 27=6
82
İstatistik
soru 1
soru 5
1, 3, 4, 6, 3, 5, 4, 8, 9, 3, 5
Yukarıda verilen veri grubunun medyanı kaçtır?
A) 3
soru 2
B) 4
C) 5
23, 20, 21, 22, 22, 24, 26, 28, 27, 23, 25
Yukarıda verilen veri grubunun alt çeyrek (Q1) değeri kaçtır?
D) 6
E) 8
A) 20
soru 6
16, 13, 12, 12, 10, 17, 23, 21, 23, 18, 24, 20, 24
Yukarıda verilen veri grubunun medyanı kaçtır?
B) 17
C) 18
D) 20
B) 21
C) 22
D) 23
E) 27
6, 8, 8, 3, 2, 11, 10, 10, 17, 14, 15, 10, 16
Yukarıda verilen veri grubunun üst çeyrek (Q3) değeri kaçtır?
E) 21
A) 14,5
B) 15
C) 15,5
D) 16
E) 16,5
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
A) 16
soru 3
soru 7
36, 40, 41, 42, 42, 45, 48, 44, 44, 38
Yukarıda verilen veri grubunun medyanı kaçtır?
A) 40
soru 4
B) 40,5
C) 41
D) 41,5
Yukarıda verilen veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır?
E) 42
A) 2
1 – B
B) 3
soru 8
70, 68, 66, 72, 63, 67, 71, 69
Yukarıda verilen veri grubunun medyanı kaçtır?
A) 68
B) 68,5
2 – C
C) 69
D) 69,5
3 – E
83, 78, 86, 79, 80, 81, 84
C) 4
D) 5
E) 6
15, 14, 11, 12, 11, 18, 16, 20, 16
Yukarıda verilen veri grubunun çeyrekler açıklığı kaçtır?
E) 70
A) 3,5
4 – B
5 – C
83
B) 4
C) 4,5
6 – A
D) 5
7 – D
E) 5,5
8 – E
İstatistik
Kutu Grafiği
Veri grubundaki verilerin genişliğini ve yığılımını incelemek için kutu grafiği tercih edilir. Kutu grafiğinde veri grubunun; En büyük
değeri, alt çeyrek değeri, medyanı, üst çeyrek değeri ve en küçük değeri bulunarak grafikte yerleştirilir. Kutu grafiğinde kullanılan
bu beş değer, veri grubunun beş sayılı özeti olarakta isimlendirilir.
çözüm
kavrama sorusu
6, 5, 4, 5, 7, 8, 9, 9, 10, 7, 11
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım,
Yukarıda veri grubunun kutu grafiğini çiziniz.
4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11
↓
↓
↓
↓
↓
En küçük
Alt
değer çeyrek(Q1)
Medyan
Üst
En büyük
çeyrek(Q3) değer
Bu beş değeri grafikte yerleştirelim,
çözüm
kavrama sorusu
20, 23, 26, 20, 21, 21, 24, 28, 27, 26, 25, 23, 22
Verileri küçükten büyüğe doğru sıralayalım,
Yukarıda veri grubunun kutu grafiğini çiziniz.
20, 20, 21, 21, 22, 23, 23, 24, 25, 26, 26, 27, 28
↓
↓
↓
↓
↓
En küçük
değer
21 Alt
çeyrek
Medyan
26 Üst
çeyrek
En büyük
değer
Bu beş değeri grafikte yerleştirelim,
çözüm
kavrama sorusu
En küçük deðer
11–A
Medyan Q
3
Q1
En küçük
deðer
11–B
Yukarıdaki kutu grafiği 11A ve 11B sınıflarının 25 soruluk bir
sınavda yaptıkları doğru cevapları göstermektedir.
Q1
En büyük deðer
Medyan
Q3
En büyük
deðer
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
a)
Buna göre,
11A
11B
En küçük değer
2
7
b) Hangi sınıf daha çok doğru cevap yapmış, bulunuz.
Alt çeyrek Q1
5
10
c) Sınıfların doğru cevaplarının değişkenliğini bulunuz.
Medyan
8
11
a) Her iki sınıfın beş sayılı özetini bulunuz.
Üst çeyrek Q3
10
12
En büyük değer
14
16
b) Grafikte 11B sınıfının yığılımının 11A sınıfına göre daha
sağ tarafta olduğu görülüyor. Bu yüzden 11B sınıfının doğru cevapları genel olarak 11A sınıfından daha fazladır.
c) 11A sınıfının veri aralığı: 14 – 2=12
84
11B sınıfının veri aralığı: 16 – 7=9
olduğundan, 11A sınıfının doğru cevap sayıları daha değişkendir.
İstatistik
soru 1
soru 3
Mart ayı içerisinde 11 gün boyunca yapılan hava sıcaklıkları
ölçüm sonuçları aşağıdadır,
13, 10, 11, 9, 14, 8, 12, 13, 13, 11, 12
Yukarıdaki kutu grafiğine ait veriler için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
Bu verilere ait kutu grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) Veri grubunun veri açıklığı 25 dir.
B) Veri grubunun çeyrekler açıklığı 20 dir.
C) Veri grubunun medyanı 35 dir.
D) Veri grubunun alt çeyreği 30 dur.
E) Veri grubunun üst çeyreği 40 dır.
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 4
soru 2
A
Yukarıdaki kutu grafiğine ait veriler için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) Veri grubunun medyanı 150 dir.
B) Veri grubunun en büyük değeri 170 dir.
C) Veri grubunun en küçük değeri 130 dur.
D) Veri grubunun çeyrekler açıklığı 40 dır.
E) Veri grubunun üst çeyreği 160 dır.
Laboratuvar ortamında yaşayan 13 cins bakterinin ömürleri
aşağıdaki gibidir.
Cinsi
B
C
D
E
F
G
H
J
K
L
M
N
Ömür
20 20 24 30 22 24 25 26 26 29 29 27 25
(Gün)
soru 5
Bu verilere ait kutu grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Yukarıda A ve B futbol takımlarının bir sezonda yedikleri gol
verilerinin kutu grafiği verilmiştir. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
A) A takımının çeyrekler açıklığı 4 tür.
B) B takımının çeyrekler açıklığı 10 dur.
C) B takımı, A takımına göre genelde daha çok gol yemiştir.
D) A takımının gol yeme verileri daha değişkendir.
1 – E
2 – A
E) A takımının veri açıklığı 18 dir.
3 – B
85
4 – D
5 – B
İstatistik
Serpilme Grafiği
Veri grubundaki değişkenler arasındaki ilişkiyi göstermek için serpilme grafiği tercih edilir. Grafiği çizmek için değişkenlerden
biri yatay eksene, diğeri dikey eksene yerleştirilerek karşılıklı noktaların kesişimi alınır. Oluşan noktalar doğrusal ise iki değişken
arasında kuvvetli bir ilişki var demektir. Örneğin;
Noktalar doğrusal olduğundan kuvvetli Noktalar doğrusal olduğundan kuvvetli Noktalar dağınık ilişki yok
ilişki
ilişki
çözüm
kavrama sorusu
Verileri yatay ve dikey eksene yerleştirelim.
Aşağıdaki tabloda ailelerin kaç kişiden oluştukları ve mutfak
için harcadıkları aylık tutarlar araştırması sonuçları verilmiştir.
Ailelerin Nüfusu
1
2
3
4
5
6
Aylık Mutfak
Harcamaları(¨)
400
650
700
800
875
900
Aylýk mutfak harcamasý ()
900
850
800
750
700
650
600
550
500
450
400
Yukarıdaki verileri gösteren serpilme grafiğini çiziniz.
1
2
3
4
5
6
Aile nüfusu
Noktalar doğrusal olduğundan aile nüfusu ile mutfak harcamaları arasında kuvvetli bir ilişki vardır.
çözüm
kavrama sorusu
Yedi hastanede yapılan bir araştırmada kan grubu A (rh+) olan hastaların ve bunlar içerisinden kalp hastası olanların sayıları aşağıdaki tabloda verilmiştir.
A(rh+) kanlı
Hasta Sayısı
Kalp hastası
olanların sayısı
100 26 150 75
49
90
80
75
86
30
18
50
5
5
10
50
160
150
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
Yukarıdaki verileri gösteren serpilme grafiğini çiziniz.
A(rh+) Kana sahip hastalar
5 10152025303540455055606570758085
Kalp hastasý
sayýsý
Noktalar doğrusal olmadığından değişkenler arasında bir ilişki
yok. Yani A rh(+) kana sahip olanlar ile kalp hastaları arasında
bir ilişki saptanamamıştır.
86
İstatistik
soru 1
soru 3
Bir fabrikadaki işçiler oturdukları ilçelere göre sınıflandırılıp çalışma verimlilikleri hesaplandığında bu iki değişken arasında
kuvvetli bir ilişki tespit edilememiştir.
Bir araştırma kuruluşunun yaptığı araştırmaya göre ülkelerin
eğitime yaptıkları yatırımlar ile turizm gelirleri arasında pozitif
eğimli kuvvetli bir ilişki tespit edilmiştir.
Buna göre, bu iki değişkenin serpilme grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
Buna göre, bu iki değişkenin serpilme grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
soru 2
Bir okulda yapılan araştırmada öğrencilerin bilgisayar başında
geçirdikleri vakit ile yazılı notları arasında negatif eğimli doğrusal bir ilişki tespit edilmiştir.
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Buna göre, bu iki değişkenin serpilme grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
soru 4
Bir toplulukta spor yapan kişiler ile obez olan kişiler arasında bir araştırma yapıldığında beklenen serpilme grafiği
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
1 – E
2 – B
3 – A
87
4 – C
İstatistik
Standart Sapma
Veri grubunun homojenliğinin, ölçmenin güvenilirliğinin, veri değerlerinin yaygınlığının ölçülmesinde standart sapma kullanılır.
Standart sapma bir merkezi yayılma ölçüsü olup hesaplanırken aşağıdaki adımlar izlenir,
1. Veri grubunun aritmetik ortalaması hesaplanır.
2. Her bir verinin aritmetik ortalama ile farkı alınıp kareleri toplanır.
3. Bulunan toplam veri sayısının bir eksiğine bölünür ve bölümün karekökü alınır.
Veri grubu, x1, x2 x3 ..... xn ve aritmetik ortalamaları õ x ise,
n
Standart Sapma=
å (X - Xi )
i =1
n -1
çözüm
kavrama sorusu
5, 6, 4, 4, 4, 6, 6
1. Veri grubunun aritmetik ortalaması hesaplanır.
5 + 6 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 35
=
=5
7
7
2. Verilerin aritmetik ortalamadan farklarının kareleri toplamı
bulunur.
Yukarıda verilen veri grubunun standart sapmasını bulunuz.
X=
(5 – 5) =0 , (6 – 5) =1 , (4 – 5) =1
(4 – 5) =1 , (4 – 5) =1 , (6 – 5) =1
(6 – 5) =1
2
2
2
2
2
2
2
Toplam=0+1+1+1+1+1+1=6
2. Standart Sapma=
Serap'ın notlarının Standart Sapması:
Serap ile Ümran'ın matematik dersinden oldukları 5 sınavın
sonuçları aşağıdaki tablodadır.
Ümran
Cevap: 1
çözüm
kavrama sorusu
Serap
6
= 1=1
7 -1
60
50
30
60
40
70
70
60
60 + 30 + 40 + 70 + 50
= 50
5
Standart Sapma:
X=
50
70
Serap ile Ümran'ın notlarının standart sapmasını bulunuz.
=
(60 - 50)2 + (30 - 50)2 + (40 - 50)2 + (70 - 50)2 + (50 - 50)2
5 -1
=
102 + 202 + 102 + 202 + 02
=
4
1000
4
=ó250=5ò10
Ümran'ın notlarının Standart Sapması,
Y=
=
50 + 60 + 70 + 60 + 70
= 62
5
(50 - 62)2 + (60 - 62)2 + (70 - 62)2 + (60 - 62)2 + (70 - 62)2
5 -1
122 + 22 + 82 + 22 + 82
=
4
=ò70
=
280
4
S.Sümran=ò70<5ò10=SSserap
olduğundan, Ümran'ın notlarının fazla dağılmadığını daha tutarlı olduğunu söyleyebiliriz. Ancak Ümran'ın matematik dersinden Serap'a göre daha başarılı olduğunu söylemek için
standart sapma değerine bakmak yeterli değildir.
88
İstatistik
soru 1
soru 5
2, 3, 1, 1, 3, 3, 1
Yukarıdaki veri grubunun standart sapması kaçtır?
A) 0
soru 2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) ò10
soru 6
10, 20, 15, 10, 20
Yukarıdaki veri grubunun standart sapması kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
12, 11, 12, 13, 10, 14
Yukarıdaki veri grubunun standart sapması kaçtır?
B) ñ3
A) ñ2
C) 2
D) 3
B) ò15
C) ò17
D) ò18
E) ò21
1, 1, 1, 2, 2, 23
Yukarıdaki veri grubunun standart sapması kaçtır?
E) 2ñ3
B) ò74
A) ò70
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 3
1, 8, 10, 1, 4, 10, 1
Yukarıdaki veri grubunun standart sapması kaçtır?
A) 1
soru 7
C) ò78
D) ò79
E) ò83
Aşağıdaki veri gruplarından hangisinin standart sapması
en küçüktür?
A) 1, 7, 10, 6, 15, 2
B) 2, 11, 9, 3, 4
C) 12, 28, 10, 31, 40
D) 36, 35, 34, 35, 34
E) 43, 58, 16, 4, 26
soru 4
soru 8
94, 94, 95, 96, 96
Aşağıdaki veri gruplarından hangisinin standart sapması
en yüksektir?
Yukarıdaki veri grubunun standart sapması kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
A) 10, 11, 12, 12, 13
B) 1, 10, 17, 2, 3
C) 24, 24, 22, 22, 23
D) 53, 51, 54, 53, 50
E) 100, 101, 100, 101, 100
1 – B
2 – E
3 – A
4 – E
5 – D
89
6 – C
7 – D
8 – B
İstatistik
Standart Puan, Z Puanı, T Puanı
Verilerin, veri grubunun aritmetik ortalamasından farklarının standart sapma cinsinden belirtilmesine standart puan denir. Standart puanlar, z ve T puanlarıdır.
Z puanı=
Dönüştürülecek Puan – Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
=
X X
formülü ile bulunur.
SS
Herhangi bir puanın z puanına dönüştürülmesi ile alınan puanın ortalamanın ne kadar altında veya üstünde kaldığı hesaplanmış
olur. Z puanının sıfıra yakın çıkması ortalamaya yakın bir puan alındığı anlamına gelir. Z puanının negatif çıkması ortalamanın
altında kalındığını gösterir.
T puanı=10.z+50 formülü ile elde edilir. T puanının hesaplanması ile veriler standart sapması 10 ve ortalaması 50 olan puanlara
dönüştürülür.
çözüm
kavrama sorusu
Aşağıdaki tabloda, aynı sınıftaki Can ile Mehmet'in matematik
dersinden aldıkları sınav sonuçları ve sınıfla ilgili istatistikler
mevcuttur.
z=
Standart Sapma
65 - 45 20
zCan=
=
=2
10
10
Matematik Sınavı
Can
65
Mehmet
55
Sınıfın Aritmetik
Ortalaması
45
Sınıfın Standart
Sapması
10
Dönüştürülecek Puan – Aritmetik Ortalama
olduğundan
55 - 45 10
=
=1
10
10
Can'ın z puanı Mehmet'in z puanına göre daha büyük çıktığından, Can sınavdan ortalamanın daha üzerinde bir başarı elde
etmiştir ve Mehmet'e göre daha başarılı olmuştur diyebiliriz.
zMehmet=
T=10.z+50 olduğundan,
TCan=10.2+50=70
TMehmet=10.1+50=60 bulunur.
T puanları ile Can'ın 65 aldığı sınavın aslında sınıfa göre 70
puanlık bir not olduğu yorumunu yapabiliriz.
Can ile Mehmet'in z ve T puanlarını bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir laboratuvarda hastalık virüsü üzerine geliştirilen üç tip ilaç
hastalar üzerinde denenmiş ve hastaların iyileşme süreleri ile
ilgili istatistikler aşağıdaki tabloya yazılmıştır.
10 - 9 1
=
2
2
A ilacının z puanı, B ilacının z puanından daha düşük çıkmıştır.
A ilacının iyileşme süresi verisi ortalamanın altında kalmıştır.
Ancak iyileşme süresinin düşük çıkması ilaç için başarı olduğundan A ilacı B ilacına göre daha başarılıdır.
zB=
İyileşme Süreleri
A ilacı
7
B ilacı
10
Hasta Grubunun
Aritmetik Ortalaması
9
Hasta Grubunun
Standart Sapması
2
7 - 9 -2
=
= -1
2
2
zA=
A ilacının T puanı:
TA=10.(– 1)+50=40
B ilacının T puanı,
æ 1ö
TB=10. ççç ÷÷÷ +50=55
è2ø
90
İstatistik
soru 1
soru 5
Burak geometri dersi yazılısından 60 almıştır. Sınıfın aritmetik
ortalaması 50 ve standart sapması 5 olduğuna göre, Burak'ın
z puanı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
Beş farklı türde aracın 100 km deki yakıt tüketimleri ve ait oldukları türe ait istatistiki bilgiler aşağıdaki tablodadır.
Marka
100 km deki yakıt
tüketimi (Lt)
Aritmetik
Ortalama
Standart
Sapması
E) 6
A
B
C
D
E
7,6
6,3
4,2
9,1 10,8 7,6
7,3
6,4
2
2
10,3 8,4
1,2
0,6
2
Yakıt tüketimi açısından kendi sınıfındaki en başarılı araç
hangisidir?
A) A marka
B) B marka
soru 2
soru 6
B) 0,25
soru 3
C) 0,5
D) 0,75
E) 1
Kümesteki A cinsi bir tavuk ayda 24 yumurta yumurtlamaktadır. Kümesteki tüm tavukların aritmetik ortalaması 18 ve
standart sapması 3 olduğuna göre, A cinsi tavuğun z puanı
kaçtır?
A) 25
soru 7
B) 30
B) 2
soru 4
C) 3
D) 4
C) 35
D) 40
E) 45
Senem kimya dersi yazılışından 60 almıştır. Sınıfın aritmetik ortalaması 50 ve standart sapması 4 olduğuna göre, Senem'in
T oranı kaçtır?
A) 60
A) 1
E) E marka
Sait fizik dersi yazılısından 45 almıştır. Sınıfın aritmetik ortalaması 60 ve standart sapması 10 olduğuna göre, Sait'in T
puanı kaçtır?
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
Işıl üç adım atlamada 3 metre atlamıştır. Yarışmaya katılan
sporcuların aritmetik ortalaması 2,75 m ve standart sapması
0,5 olduğuna göre, Işıl'ın derecesinin z puanı kaçtır?
A) 0,2
D) D marka
C) C marka
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
E) 6
soru 8
Esra, Şeyma, Duygu, Oğulcan ve Mustafa farklı senelerde
üniversite sınavına girmişlerdir. Aldıkları puanlar ve girdikleri
senenin istatistikleri aşağıdaki tablodadır.
Esra Şeyma Duygu Oğulcan Mustafa
Puanı
350
350
350
350
350
Aritmetik
Ortalama
300
320
310
300
340
Standart
Sapma
20
40
10
10
5
Enflasyon oranı % 10 olan bir ülkenin bulunduğu ekonomik
birlik içerisindeki ülkelerin enflasyon aritmetik ortalaması
% 2,5 ve standart sapması 1,5 olduğuna göre, bu ülkenin
enflasyon yüzdesi T puanı kaçtır?
A) 50
B) 75
C) 80
D) 90
E) 100
Sınava girdiği yıl istatistikleri dikkate alınarak, en başarılı
öğrenci hangisidir?
A) Esra
1 – A
B) Şeyma
2 – C
C) Duygu
D) Oğulcan
3 – B
E) Mustafa
4 – D
5 – B
91
6 – C
7 – D
8 – E
İstatistik
çözüm
kavrama sorusu
Eray'ın sınıfının Matematik dersi 2. yazılı sınavı aritmetik ortalaması 43 ve standart sapması 4 tür. Eray'ın yazılı z puanı 3
olduğuna göre, yazılı notunu bulunuz.
z=
Dönüştürülecek Puan – Aritmetik Ortalama
Standart Sapma
X-X
z=
olduğundan,
S.S
X - 43
4
12=x – 43
3=
x=55 Eray'ın yazılı notudur.
Cevap: 55
çözüm
kavrama sorusu
Tolga'nın kimya dersinden aldığı sözlü notunun z puanı 2 den
büyüktür. Sınıfın aritmetik ortalaması 50 ve standart sapması
4 olduğuna göre, Tolga'nın notu en az kaç olabilir, bulunuz.
X X
olduğundan,
S.S
z>2 ve
=
X-X
>2
S.S
X - 50
>2
4
=x – 50>8
=x>58
=
Tolga'nın notu en az 59 dur.
Cevap: 59
çözüm
kavrama sorusu
Recep'in sınıfının analiz dersi vizesinin aritmetik ortalaması 25,
standart sapması 2 dir. Recep'in vize notunun T puanı 60 olduğuna göre, vize notu kaçtır, bulunuz.
T=10.z+50 olduğundan,
60=10.z+50
z=1
z=
x-x
olduğundan
S.S
x - 25
2
2=x – 25
1=
x=27 Recep'in vize notudur.
Cevap: 47
çözüm
kavrama sorusu
A marka bir ürünün kullanım yılı ile ilgili yapılan bir araştırmada
T puanı 55 den küçük çıkmıştır. Bu ürünle ilgili yapılan araştırmada aritmetik ortalama 8 ve standart sapma 1 olduğuna göre, ürünün kullanım süresi en fazla kaç yıl olabilir, bulunuz.
T=10.z+50
T<55 olduğundan
10z+50<55
10z<5
z<
1
dir.
2
z=
x-x
olduğundan,
S.S
x-8 1
<
1
2
2x – 16<1
92
2x<17
17
2
x=8 en büyük değeridir.
x<
Cevap: 8
İstatistik
soru 1
soru 5
Eda'nın
Tarih Notu
z puanı 2
Birinci ligde mücadele eden bir futbol takımının topladığı puanların z puanı 1 den büyük 4 ten küçüktür. Ligdeki takımların
aritmetik ortalaması 25 ve standart sapması 10 olduğuna göre, bu futbol takımının puan aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
Sınıfının Aritme- Sınıfının Stantik Ortalaması
dart Sapması
55
5
Yukarıdaki tabloda Eda'nın Tarih sınavına ait bilgiler verilmiştir.
Eda'nın tarih sınavı notu kaçtır?
A) 50
B) 55
D) 65
E) 70
8
6
Yukarıda futbol 1. liginde forvet oyuncularının attıkları gollerle
ilgili istatistiki bilgiler verilmiştir. Buna göre, Alex'in gol sayısı
kaçtır?
B) 32
C) 34
D) 36
E) 38
A) 47
soru 7
İrem'in satranç turnuvasında aldığı puanın z puanı 3 den büyüktür. Turnuvaya katılan tüm sporcuların aritmetik ortalaması
48 ve standart sapması 2 olduğuna göre, İrem'in puanı en
az kaçtır?
B) 48
soru 4
B) 56
C) 57
D) 58
soru 8
C) 53
D) 54
2 – B
3 – A
B) – 2
C) – 1
D) 0
E) 1
x marka bir makinenin günlük üretim adedinin T puanı 60 dan
büyüktür. Aynı tür makinelerin aritmetik ortalaması 15 ve standart sapması 2 olduğuna göre, x marka makinenin günlük
üretim adedi en az kaç adet olabilir?
E) 55
A) 17
1 – D
E) 52
E) 59
B) 52
D) 50
Yiğit'in bilgi yarışmasında aldığı puanın T puanı 50 den büyüktür. Buna göre, Yiğit'in yarışma z puanı aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
Serkan'ın coğrafya dersinden aldığı notun z puanı 0 dır. Sınıfın
aritmetik ortalaması 53 ve standart sapması 12 olduğuna göre, Serkan'ın sınav notu kaçtır?
A) 51
C) 49
A) – 3
A) 55
C) (35, 60)
E) (40, 70)
Gamze'nin sınıfının Biyoloji dersinden aldıkları notların aritmetik ortalaması 42 ve standart sapması 5 dir. Gamze'nin notunun T puanı 60 olduğuna göre, notu kaçtır?
Forvetlerin Gol Forvetlerin Gol
Aritmetik Orta- Standart Saplaması
ması
4
A) 30
D) (35, 65) soru 6
z puanı
B) (30, 60)
Alex'in
soru 3
A) (45, 55)
KARTEZYEN EĞİTİM YAYINLARI
soru 2
C) 60
4 – C
5 – D
93
B) 18
C) 19
6 – A
D) 20
7 – E
E) 21
8 – B