Açısal Momentum

Fizik 101: Ders 20
Ajanda

 = I konusunda yorumlar

Bir sistemin açısal momentumu için genel ifade

Kayan kiriş örneği

Açısal momentum vektörü
 Bisiklet tekeri ve döner iskemle

Jiroskobik hareket

Hareketli dönme hakkında yorum
Ders 20, Soru 1
Açısal Momentum

Dönen iki disk aynı açısal momentuma sahipken disk 1, disk 2den
daha çok kinetik enerjiye sahiptir.
 Hangisinin eylemsizlik momenti daha büyüktür??
(a) disk 1
(b) disk 2
(c) veri yetersiz
Ders 20, Soru 1
Çözüm
1 2
1
1
K  I   I 2  2  L2
2
2I
2I
(L = I kullanarak)
L ikisinde de aynı ise en büyük I ya sahip olanın kinetik enerjisi en
az olacaktır.
L  I1 1
L  I2  2
1
2
I1
disk 1
<
I2
disk 2
 = I eşitliği ne zaman geçersiz ?
Anımsatma:

dL
dt
Rotasyonun anlaşılmasında bu en temel denklemdir.

Eğer L = I yazarsak:

τ DIŞ 
dL d  I 
dI
d
dI
 I 
I


dt
dt
dt
dt
dt
τ DIŞ  Iα
dI
ω
dt
Eylemsizlik momenti değişirse  = I denklemi geçersizdir!
 = I eşitliği ne zaman geçersiz ?
τ DIŞ  Iα
dI
ω
dt
Farzı muhal DIŞ = 0 :
I 
dI
0
dt

dI
I dt
Ancak bu durumda dış tork olmadan açısal ivme  vardır!
Örnek...


Eğer düzgün dairesel hareket yapan bir hokey topunun
eylemsizlik momenti değişirse, topa açısal ivme etki
edecektir.
Yarıçapını değiştirmek eylemsizlik momentini
değiştirecek ama hiç bir tork meydana gelmez, zira
kuvvet radyal yöndedir. (yani rx F = 0)
I1 > I2
1
2
2 > 1
Top dış tork olmadan ivmelenir!!
Tekrar: Açısal Momentum


τ DIŞ
dL burada

dt
L r p
Dışardan etki eden tork yoksa:
ve
τ DIŞ  r  FDIŞ
τ DIŞ 
dL
0
dt
Toplam açısal momentum korunur!


Bu bir vektör denklemidir.
Her bir bileşeni için geçerlidir.
Tekrar...


Genel olarak sabit bir (z) ekseni etrafında dönen bir
cisim için LZ = I  yazabiliriz!
Açısal momentumun LZ sağ el kuralı ile verilir.
z
LZ  I 

Tekrar...



Serbestçe hareket eden bir parçacık herhangi bir eksen
etrafında belirli bir açısal momentuma sahiptir.
Parçacığa dışardan bir tork etki etmiyorsa açısal
momentumu korunur.
Aşağıda verilen örnekte L nin yönü z ekseni boyuncadır
ve büyüklüğü LZ = pd = mvd ile verilir!
y
x
d
m v
Ders 20, Soru 2
Rotasyon

Sürtünmesiz yatay bir masada, bir hokey topu masanın ortasından
geçirilen bir ipe bağlı olarak sabit bir uzaklıkta (yarıçapta) düzgün
dairesel hareket yapmaktadır. Eğer ipi çekip yarıçap yarısına
düşerse topun açısal momentumu hangi faktörle artar?
(a) 2
(b) 4

(c) 8
Ders 20, Soru 2
Çözüm

İp dönme merkezindeki bir delikten çekildiğinden tork
yoktur, dolayısıyla açısal momentum korunur.
2
L1 = I11 = mR21
=
mR21 = m
1
1 = 2
4
m
R
1
L2 = I22 = m  R  2
2
1 2
R 2
4
2 =41
m
R/2
2
Bir sistemin açısal momentumu için
genel bir ifade:

Bir parçacıklar sistemi için açısal momentum:
L   ri  pi   m i ri  v i
i

i
Konum ve hızı KM ne göre ifade edersek:
ri = Rkm + ri*
Burada ri* ve v*i KM gözlem
çerçevesinde konum ve hız.
vi = Vkm + v*i
r*
Rcm
r
Bir sistemin açısal momentumu için
genel bir ifade...

Yerine koyarsak: L   R km  r *i   m i Vkm  v *i 
i
Açarsak:
L   R km  m i Vkm   R km  m i v *i  r *i m i Vkm   r *i m i v *i
i
i
i
i
Sadeleştirirsek:
L  R km  M top Vkm
Lkm

 


 R km   m i v *i     m i r *i   Vkm   r *i m i v *i

  i
i

 i

=MV*km
= 0
=MR*km
= 0
L*
Bir sistemin açısal momentumu için
genel bir ifade...

Sonuç olarak elde ettiğimiz ifade
Burada
L KM  R KM  PKM
L = Lkm+ L*
KM’nin açısal momentumu!
ve L* KM etrafındaki açısal momentum.

Bir sistemin verilen bir eksene göre açısal
momentumu, bu eksene göre KMnin açısal momentumu
ve kütle merkezinden gecen bir eksene göre açısal
momentumun toplamına eşittir.
Bir sistemin açısal momentumu için
genel bir ifade...


Gösterdik ki: L = Lkm+ L*
Bunun resmi:
y
Orijin (eksen)
x
d
m,I
KM
L  I kˆ
*

KM etrafında dönmeden dolayı
v
LKM  mvd kˆ
KMzinin hareketinden dolayı
Örnek 1

Uzunluğu d ve kütlesi m1 olan bir çubuk sürtünmesiz
bir yüzeyde şekilde gösterildiği gibi vo hızı ile
dönmeden kaymaktadır. Durgun halde bulunan m2,
kütleli bir blok çubuk kayarken ucuna takılır.
 Blok çubuk sisteminin son durumdaki açısal hızı F
nedir?
vo
d
F
m2 m1
Önce (tepe bakışı)
km
sonra(tepe bakışı)
Örnek 1

Orijini bloğun çarpışmadan önceki konumunda seçelim.
KMnin çarpışmadan önceki y-pozisyonunu
belirleyebiliriz.
y
vo
d/2
x
m1
Önce (tepe bakış)
Örnek 1...

Açısal momentumun z bileşenini (0,ykm) noktası etrafında
almak en uygunudur. Çubuk dönmediğinden çarpışmadan
önceki açısal momentum tamamen çubuğun KM
hareketinden dolayıdır.
y
vo
d/2
ykm
x
m1
Önce (tepe bakış)
d y
2 km
Örnek 1...

Çarpışmadan sonra, (0,ykm) noktası etrafında açısal
momentumun z bileşeni çubuk+blok sisteminin KM
etrafındaki dönmesinden dolayıdır.
LZ , f  L
*
Z, f
L
km
Z, f
0
 I km F
y
Ikm
vF
F
(0,ykm)
x
sonra (tepe bakış)
Örnek 1...

Sistemin KM etrafındaki eylemsizlik momentini Ikm
bilmeliyiz.
d/2
d/2 - ykm
m1
Çubuğun KM
Sistemin KM
ykm
m2
Örnek 1...

Açısal momentum korunumunu kullanarak:
ve Ikm ve ykm için yerine koyarsak
Ikm
vF
F
m1vo d 
m1 
1 

F 
2 I km  m1  m2 
y
ykm
x
sonra (tepe bakış)
Örnek 1...

Farzedelim ki: m1 = 2m2 = 2m
I km
1
 md 2
3
önce
F 
vo
d
sonra
vo
Ikm
d
F
m
2m
km
Açısal momentum bir vektördür!
Bisiklet tekerleğini döndermek

Bir öğrenci dönebilen bir tabureye oturur ve eline
aldığı bisiklet tekerini yatay olarak döndürür. Sonra
dönme eksenini 180o döndürdüğünde kendisinin de
dönmeye başladığını görür.
 Sizce ne oluyor?
Bisiklet tekerleği döndürmek...

Öğrenci tabure sistemine etki eden dış tork
olmadığından açısal momentum korunur.
 Önce: LI= LW,I
 Sonra: LF = LW,F + LS
LS
LW,I
LW,I = LW,F + LS
LW,F
Ders 20, Soru 2
Rotasyon

Dönebilen bir taburede oturan öğrenci başlangıçta durgun ve elinde
şekil (1)deki gibi dönen bir bisiklet tekeri tutmaktadır. Sonra
tekerin dönme eksenini şekil (2)deki gibi değiştirir. Son adımda geri
çevirir şekil (3)teki gibi döndürür. Kendi dönmesi nasıldır?
(a) dönmez
(b) 2 katlanır
(c) aynı kalır
??
(1)
(2)
(3)
Ders 20, Soru 2
Çözüm
LNET
LW
[1]
LNET
LW
[2]
LS
LNET
LW
[3]
Dönmez!
Jiroskop Hareketi:


Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü
farz edelim.
Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur? ?
destek
g

eksen
Jiroskop Hareketi...


Aşağıda verilen jiroskop düzeneğini döndürdüğümüzü
farz edelim.
Eğer sağdaki destek çekilirse ne olur?

Jiroskop düşmez!!

g
eksen
Jiroskop Hareketi...


... Dönme ekseni etrafında presesyon hareketi yapar!
Bu olayı açısal momentum ve de tork kullanılarak
anlayabiliriz.

eksen
Jiroskop Hareketi...


Dönme ekseni etrafında torkun büyüklüğü:  = mgd.
Sağ eli kuralını kullanarak torkun yönünü bu anda
sayfadan dışa buluruz.
 Bu anda açısal momentumdaki değişimde sayfadan dışa
doğru olmalıdır.
d
dL

dt
L

mg
eksen
Jiroskop Hareketi...

Jiroskop’a tepeden bakarsak:

dt zamanında açısal momentumun büyüklüğü dL = Ld.

Dolayısıyla
dL
d
L
 L
dt
dt
Burada  “presesyon frekansıdır”
L(t)
dL
d

L(t+dt)
Tepe bakış
eksen
Jiroskop Hareketi...




dL

 L
dt


L

Bu örnekte,  = mgd ve L = I:
mgd
I
Presesyonun yönünü bulmak için sağ el kuralını uygularız
ve buradan  ve dL/dt yönüde bulunur.
d

L

mg
pivot