logaritma ünite 2. ünite 2. ünite 2. ünite 2. ünit

LOGARİTMA
ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
2. ÜNİTE
Üstel Fonksiyon ve Logaritma Fonksiyonu
1.
Kazanım
: Üstel fonksiyonu oluşturur, tanım ve görüntü kümesini açıklar.
2.
Kazanım
: Üstel fonksiyonların birebir ve örten olduğunu gösterir.
3.
Kazanım
: Logaritma fonksiyonunu üstel fonksiyonunun tersi olarak kurar.
4.
Kazanım
: Onluk logaritma fonksiyonunu ve doğal logaritma fonksiyonunu açıklar.
5.
Kazanım
: Logaritma fonksiyonunun özelliklerini gösterir ve uygulamalar yapar.
Üslü ve Logaritmik Denklemler ve Eşitsizlikler
1.
Kazanım
: Üslü ve logaritmik denklem ve eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulur.
2. ÜNİT
LOGARİTMA
ÜSTEL FONKSİYON
9. sınıfta üslü ifadeler ve özelliklerini öğrenmiştik. Bu özellikleri bir kez daha hatırlayalım.
a, b ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R olmak üzere,
®
ax.ay = ax+y
®
ax.bx = (a.b)x
® (ax)y = axy
®
ax
= ax – y
ay
®
ax
a x
=b l
b
bx
®
a –x =
1
ax
Şimdi de üstel fonksiyonu tanımlayalım.
a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonuna, tabanı “a” olan üstel fonksiyon denir.
1 x
f(x) = 2x , g(x) = (v2)x ve h(x) = c m fonksiyonlarının her biri, birer üstel fonksiyondur.
3
Bu fonksiyonlardan f(x) = y = 2x fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım.
f(x) = y = 2x fonksiyonu için x e bazı değerler verip, y değerlerini bulalım.
y
x = –2
için,
y = 2–2 =
1
4
x = –1
için,
y = 2–1 =
1
2
x=0
için,
y = 20 = 1
x=1
için,
y = 21 = 2
x=2
için,
y = 22 = 4 olur.
4
2
1
O halde, y = 2x fonksiyonunun grafiği c –2,
1/2
1/4
Ð2
Ð1
0
1
2
x
1
1
m , c –1, m , (0, 1), (1, 2) ve (2, 4) noktalarından geçmektedir.
4
2
Reel sayıların tümünü y = 2x fonksiyonunda yerine yazıp y değerlerini bularak düzlemde işaretleseydik yukarıdaki grafiği elde ederdik. Bu grafiği incelediğimizde;
®
∀ x ∈ R için , y = 2x > 0 olduğunu görürüz.
®
x değerleri büyüdükçe, y değerlerinin büyüdüğünü görürüz.
O halde, f(x) = 2x fonksiyonu artan bir fonksiyondur.
®
x e verilen farklı değerlerin fonksiyondaki görüntüleri de farklıdır.
Yani, ∀ x1, x2 ∈ R , x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) dir. O halde , f(x) = 2x fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
®
∀ y ∈ R+ için , 2x = y eşitliğini sağlayan bir x değeri vardır. O halde, f(x) = 2x örten fonksiyondur.
82
Logaritma
1 x
f(x) = y = c m
2
fonksiyonunu ele alıp, bu fonksiyonun grafiğini çizerek özelliklerini araştıralım.
1 –2
x = –2 için, y = c m = 4
2
y
4
1 –1
x = –1 için, y = c m = 2
2
1 0
x = 0 için, y = c m = 1
2
2
1
1 1 1
x = 1 için, y = c m =
2
2
2
1
1
x = 2 için, y = c m =
2
4
1/2
1/4
Ð2
Ð1
0
1
x
2
olur.
1
1
1 x
O halde, y = c m fonksiyonunun grafiği, (–2, 4), (–1, 2), (0, 1), c 1, m , c 2, m noktalarından geçmektedir.
2
4
2
Bulduğumuz bu grafiği incelediğimizde;
®
1 x
∀ x ∈ R için y = c m > 0 olduğunu görürüz.
2
®
x değerleri büyüdükçe, y değerlerinin küçüldüğünü görürüz.
1 x
O halde, f(x) = c m fonksiyonu azalan fonksiyondur.
2
®
1 x
∀ x1, x2 ∈ R , x1 ≠ x2 için f(x1) ≠ f(x2) dir. f(x) = c m fonksiyonu bire bir fonksiyondur.
2
®
1 x
1 x
∀ y ∈ R+ için c m = y eşitliğini sağalayan bir x değeri vardır. O halde, f(x) = c m
2
2
örten fonksiyondur.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonu
®
a > 1 için artan fonksiyon, 0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
®
f(x) = ax fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Üstel fonksiyonların özellikleri yardımıyla bir çok denklemin çözüm kümesini elde edebileceğimizi biliyoruz.
Aşağıda bu denklemlere bazı örnekler verilmiştir.
®
2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4
®
4x–1 = 16. 2 x ⇒ 22(x–1) = 24.2 2 ⇒ 22x–2 = 2
®
2x + 2x+1 + 2x–1 = 28 ⇒ 2x + 2x.2 + 2x.
x
4+ x
2
⇒ 2x – 2 = 4 + x ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 4
2
2
7
1
= 28 ⇒ 2x. = 28 ⇒ 2x = 8 ⇒ 2x = 23 ⇒ x = 3
2
2
Ancak 2x = 5 , 3x = 23 , 5x–1 = 16 gibi denklemleri sağlayan x değerlerini üslü ifadelerin kuralları yardımıyla bulamayız. Bu tür denklemlerin çözüm kümelerini bulmak için yeni bir fonksiyon olan logaritma fonksiyonunu
tanımlayacağız.
83
Logaritma
LOGARİTMA FONKSİYONU
f: R → R+ , a ∈ R+ – {1} için f(x) = ax fonksiyonunun bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu öğrendik. O halde
bu fonksiyonun ters fonksiyonu vardır.
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, f: R → R+ , f(x) = ax fonksiyonunun ters fonksiyonuna, a tabanına göre logaritma
fonksiyonu denir. f: R+ → R , f(x) = logax biçiminde gösterilir.
Bu tanıma göre, y = ax ⇔ x = logay dir.
R
f : ax
Yandaki şema incelendiğinde, üstel fonksiyonun
verilen belli bir tabana “üs koyma” işlemi,
logaritma fonksiyonunun ise verilen belli bir tabana
R+
†stel fonksiyon
x=f Ð1(y)
göre “üs indirme” işlemi olduğu söylenebilir.
f Ð1: logax
y=f(x)
Logaritma
fonksiyonu
y = logax eşitliğini, “y eşittir a tabanına göre logaritma x” biçiminde okuruz. Bu eşitlikte,
®
x sayısının pozitif gerçek sayı
®
a sayısının 1 den farklı bir pozitif gerçek sayı
®
y sayısının bir gerçek sayı olduğuna dikkat ediniz.
Örneğin, log216 ifadesinin değerini, “2 sayısının hangi üssü 16 dır?” biçiminde düşünerek bulabiliriz.
Bu durumda, 24 = 16 olduğundan log216 = 4 sonucuna ulaşabiliriz.
Benzer şekilde,
log327 = x eşitliğini sağlayan x değerini bulmak için, “3 sayısının hangi üssü 27 dir?” sorusuna cevap bul-
malıyız. 33 = 27 olduğundan log327 = 3 olur.
Bu durumu daha sade olarak ab = c ⇔ b = logac biçiminde ifade edebiliriz. Örneğin,
24 = 16 ⇔ log216 = 4 , 32 = 9 ⇔ log39 = 2 ,
103 = 1000 ⇔ log101000 = 3 ,
ÖRNEK 1
ÖRNEK 2
Aşağıda bazı logaritmalı ifadeler, üstel biçimde yazılmıştır. İnceleyiniz.
®
log2x = 5
⇔ x = 25 = 32
®
log5x = 1
⇔ x = 51 = 5
®
log7x = 0
⇔ x = 70 = 1
®
log2x =
®
log
84
log3(log2x) = 1
eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
Çözüm
1
2
x = 4 ⇔ x = ^ 3h = 9
4
3
2–3 = 1 ⇔ log2 1 = –3 tür.
8
8
Çözüm
Logaritma
ÖRNEK 3
ÖRNEK 6
Aşağıda ab = c ⇔ logac = b eşitliğinden yararlanıla-
log4[13 + log2(x – 1)] = 2
rak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanıla-
eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
rak yazılmıştır. İnceleyiniz.
Çözüm
Çözüm
®
2x = 3
⇔ log23 = x
®
3x = 5
⇔ log35 = x
®
2x–1 = 10 ⇔ log210 = x – 1
⇔ x = 1 + log210
®
5x+2 = 2
⇔ log52 = x + 2
⇔ x = (log52) – 2 olur.
ÖRNEK 4
f(x) = log2(x – 3)
olduğuna göre, f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
ÖRNEK 7
Çözüm
ESEN YAYINLARI
f(x) = 3x–1 ise f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 5
f(x) = 2[log3(x + 1)] – 1
olduğuna göre, f–1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 8
f(x) = 23x–1 ise f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
85
Logaritma
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN EN GENİŞ TANIM
ÖRNEK 12
KÜMESİNİ BULMA
f(x) = log2–x(x2 – x – 12) fonksiyonunun en geniş ta-
f(x) = logax fonksiyonunda a ∈ R+ – {1} ve x ∈ R+
nım kümesini bulunuz.
olduğundan bu fonksiyonun en geniş tanım kümesini
bulurken, a > 0 , x > 0 ve a ≠ 1 koşullarını birlikte
Çözüm
sağlayan aralıklar bulunur.
ÖRNEK 9
f(x) = log3(x – 4) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 10
f(x) = log2(9 – x2) fonksiyonunun en geniş tanım küÇözüm
ESEN YAYINLARI
mesini bulunuz.
ÖRNEK 13
f(x) = log(x2 – 2mx + 4) fonksiyonu ∀ x ∈ R için tanımlı bir fonksiyon ise m nin değer aralığını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 11
f(x) = log4 –x(x – 1) fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm
86
Logaritma
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
ÖRNEK 14
f(x) = log3(x2 – 9) + logx c
5–x
m
x+3
fonksiyonunun en geniş tanım kümesini bulunuz.
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna, onluk
ONLUK LOGARİTMA FONKSİYONU
logaritma fonksiyonu denir.
f(x) = log10x
Çözüm
veya
f(x) = logx
biçiminde gös-
terilir.
ÖRNEK 15
Aşağıda ab = c ⇔ logac = b eşitliğinden yararlanılarak üstel biçimde verilmiş ifadeler logaritma kullanılarak yazılmıştır. İnceleyiniz.
® 100 = 1
® 101 = 10
® 102 = 100
⇔ log10100 = 2
® 103 = 1000
⇔ log101000 = 3
® 10–1 = 1
10
® 10–2 =
1
100
ETKİNLİK
Okyanus coğrafyası (oşinografi) alanındaki araştırmalar sonucunda, plajın eğimi ile üzerindeki kum taneciklerinin büyüklüğü arasındaki ilişkiyi ortaya çıkarmıştır.
Plajın eğimi: m , Kum taneciklerinin ortalama çapı: d mm olmak üzere,
m = 0,159 + 0,118.logd
bağıntısı vardır.
Örneğin, kum taneciklerinin ortalama çapı: 0,2 mm olan bir plajın eğimini hesap makinesi yardımıyla
m = 0,159 + 0,118.log(0,2) ≅ 0,159 + 0,118.(–0,299) ≅ 0,159 – 0,035 ≅ 0,124 bulunur.
Benzer şekilde işlem yaparak aşağıdaki tabloyu siz doldurunuz.
Çap (d)
Kum türü
0,08 mm
‹nce kum
0,6 mm
Kal›n kum
1 mm
Çok iri taneli kum
5 mm
Çak›l
Plaj›n e¤imi (m)
87
Logaritma
DOĞAL LOGARİTMA FONKSİYONU
e Sayısı
Bir çok bilim dalında ve mühendisliklerde yaygın olarak kullanılan e sayısı da π sayısı gibi irrasyonel bir sayıdır. Bu sayıyı kimin bulduğu tam bilinmesede Euler’in bulduğu kabul edilmektedir. Dolayısıyla e, Euler Sayısı
olarak adlandırılmıştır.
Euler c 1 +
1 x
m ifadesinin, x sonsuz büyüdüğünde 2,718281828459...... sayısına yaklaştığını tespit etmiş ve
x
bu sayıyı virgülden sonraki 23 ondalığa kadar hesaplamıştır.
Hesap makinesi yardımıyla doldurulan aşağıdaki iki tabloyu inceleyiniz.
x
x
⎛ 1⎞ x
⎜⎜ 1+ ⎟⎟
⎝ x⎠
x
10
2,59374246
–10
2,867971991
100
2,704813829
–100
2,731999026
1000
2,716923932
–1000
2,719642216
1 000 000
2,718282031
–1 000 000
2,718281758
1 000 000 000
2,718281827
–1 000 000 000
2,718281827
⎛
⎜⎜ 1+
⎝
1⎞
⎟⎟
x⎠
Bu iki tabloda, x sayısının alacağı çok büyük pozitif ve çok küçük negatif değerler için c 1 +
1 x
m ifadesinin bir
x
sayıya yaklaştığı görülmektedir. Bu sayı e sayısı olup
e = 2,718281828459045235360287471..... dir.
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna, doğal logaritma fonksiyonu denir.
f(x) = logex veya f(x) = lnx biçiminde gösterilir.
Leonhard Euler (1707 - 1783) İsviçre’li matemmatikçi ve fizikçi.
18. Yüzyıl’ın en önemli ve tüm zamanların önde gelen matematikçilerinden biri kabul edilmektedir.
Euler matematiğin neredeyse bütün dallarında çalışmıştır. Temel
analiz, grafik teorisi ve şu anda inşaat, elektrik ve havacılık mühendisliklerine temel teşkil eden matematiğin fiziksel uygulamalarının bir çoğunun kurucusu olmuştur.
88
ALIŞTIRMALAR – 1
1.
4.
x
–2
–1
0
1
Aşağıdaki eşitliklerin her birinde x değerini bulunuz.
2
a.
2x = 1
32
b.
3x–1 = 3v3
c.
2x – 2x+1 + 2x–1 = –1
d.
2x + 2x + 2x + 2x = 2x.2x.2x
e.
2x + 2x – 1 + 2x + 1 7
=
5
4x + 4x + 1
f.
32x – 9x–1 = 24
y = 3x
Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz noktaları analitik düzlemde işaretleyerek
+
x
f: R → R , f(x) = 3 fonksiyonunun grafiğini elde
ediniz.
2.
x
Ð2
Ð1
0
1
2
Yukarıdaki tabloyu doldurarak elde ettiğiniz noktaları analitik düzlemde işaretleyerek
1 x
f : R → R , f(x) = c m fonksiyonunun grafiğini
3
elde ediniz.
+
3.
a ∈ R+ – {1}, y ∈ R+ ve x ∈ R olmak üzere aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara
ESEN YAYINLARI
⎛ 1⎞ x
y = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 3⎠
5.
Aşağıdaki logaritmalı ifadelerin her birini, üstel biçimde yazıp x değerlerini bulunuz.
a.
log3x = 4
b.
log2x = 2
c.
log8x = 1
d.
log 1 x = 9
2
D yanlış olanlar için Y yazınız.
f(x) = ax fonksiyonu bire bir dir.
e.
log
f.
log5 1 = –2
x
g.
log 1
2
x=6
f(x) = ax fonksiyonu örten değildir.
a > 1 için, f(x) = ax artan bir fonksiyondur.
0 < a < 1 için, f(x) = ax azalan bir fonksiyondur.
3
2
= –1
x
89
Logaritma
6.
11. Aşağıdaki üstel ifadelerin her birini logaritma kul-
log2(log3x) = 2 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
7.
lanarak yazıp x değerlerini bulunuz.
log3[log2(log4x)] = 0 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
a.
3x = 2
b.
5x–1 = 3
c.
10x+2 = 4
d.
21–x = 5
12. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksi8.
yonlarını bulunuz.
log3[25 + log2(2x – 1)] = 3 eşitliğini sağlayan x
değerini bulunuz.
log[log2(lnx)] = 0 eşitliğini sağlayan x değerini
bulunuz.
ESEN YAYINLARI
9.
a.
f(x) = 2x+2
b.
f(x) = 31–x
c.
f(x) = 52x–5
d.
f(x) = 1 + 2x–1
13. Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
10. Aşağıdaki fonksiyonların her birinin ters fonksiyonlarını bulunuz.
a.
f(x) = log3x
b.
f(x) = log2(x + 1)
c.
d.
90
a.
f(x) = log8(x – 1)
b.
f(x) = log4(x + 2)
c.
f(x) = log(16 – x2)
d.
f(x) = logx(x – 5)
e.
f(x) = log5–x(x – 2)
f.
f(x) = logx(x2 – 8x – 9)
f(x) = 1 – log3(x – 2)
f(x) = 1 + 2log(x – 1)
Logaritma
LOGARİTMA FONKSİYONUNUN ÖZELLİKLERİ
ÖRNEK 18
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, logaa = 1 dir.
a1 = a ⇔ logaa = 1 bulunur.
ÖRNEK 16
®
log22 = 1
®
log10 = log1010 = 1
®
lne = logee = 1 dir.
®
log24 = log222 = 2.log22 = 2.1 = 2
®
log3 1 = log33–2 = –2log33 = –2.1 = –2
9
®
logc10 = log 10 2 = 1 log10 = 1 .1 =
2
2
®
log1000 = log103 = 3.log10 = 3.1 = 3
®
a ∈ R+ – {1} olmak üzere, loga1 = 0 dır.
ESEN YAYINLARI
a0 = 1 ⇔ loga1 = 0 bulunur.
ÖRNEK 17
®
log31 = 0
®
log1 = 0
®
ln1 = 0
®
log
2
log3
2–
9
= log3 3
3
®
lne3 = 3.lne = 3.1 = 3
®
ln
3–
e3
= lne
e
= log3 3 2 =
= lne 2 =
log33 =
.lne =
a ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R+ olmak üzere,
loga(x.y) = logax + logay dir.
logax = k ve logay = p olsun.
1 = 0 dır.
logax = k ⇒ x = ak ve logay = p ⇒ y = ap olup
x ∈ R+ , a ∈ R+ – {1} ve n ∈ R
olmak üzere, logaxn = n.logax tir.
x.y = ak.ap ⇒ x.y = ak+p bulunur.
x.y = ak+p ⇒ loga(x.y) = k + p
logaxn = k ve n.logax = p olsun.
⇒ loga(x.y) = logax + logay olur.
logaxn = k ⇒ xn = ak ..... (I)
n.logax = p ⇒ logax =
p
n
p
⇒ x = an
⇒ xn = ap ..... (II)
I ve II eşitliklerinden
xn = ak
xn = ap
ÖRNEK 19
log2 = x ve log3 = y ise log12 nin x ve y cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
4 ⇒ ak = ap ⇒ k = p dir.
k = p ⇒ logaxn = n.logax bulunur.
91
Logaritma
ÖRNEK 20
ÖRNEK 24
loga = 2 , logb = 4 ve logc = 3 ise log(a.vb.c2) ifa-
ln2 = x ise ln8e2 ifadesinin eşitini bulunuz.
desinin eşitini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
a ∈ R+ – {1} ve x, y ∈ R+ olmak üzere,
loga
x
= logax – logay dir.
y
logax = k ve logay = p olsun.
logax = k ⇒ x = ak
logay = p ⇒ y = ap olacağından
ÖRNEK 21
x ak
=
= ak–p dir.
y ap
log2 + 2log3 + log5 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
x
= ak–p ⇒ loga x = k – p
y
y
⇒ loga x = logax – logay olur.
y
ÖRNEK 25
log2 = x ise log5 in x cinsinden değerini bulunuz.
ÖRNEK 22
Çözüm
logabca + logabcb + logabcc ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
log5 = 1 – log2 , log2 = 1 – log5
ÖRNEK 26
ÖRNEK 23
log122 + log128 + log129 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
92
log2 = x , log3 = y ve log7 = z ise log
eşitini bulunuz.
Çözüm
24
ifadesinin
49
Logaritma
ÖRNEK 27
logx – 2logy +
ÖRNEK 31
1
logz – logt
2
log23 = x , log25 = y ve log27 = z ise log2420 ifadesinin eşitini bulunuz.
ifadesini tek bir logaritma altında yazınız.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 28
logx = a , logy = b ve logz = c ise
log
Taban Değiştirme Kuralı
x2
ifadesinin eşitini bulunuz.
y z
a, c ∈ R+ – {1} ve b ∈ R+ olmak üzere,
Çözüm
ESEN YAYINLARI
logab =
ÖRNEK 29
log c b
log c a
dir.
logab = k ve logca = p olsun.
logab = k ⇒ ak = b
logca = p ⇒ cp = a
cp = a ⇒ (cp)k = ak ⇒ cp.k = b olur.
cp.k = b ⇒ logcb = p.k ⇒ logcb = logca.logab
1 + log3 – log2 ifadesinin eşitini bulunuz.
⇒ logab =
Çözüm
log c b
log c a
bulunur.
ÖRNEK 32
log23 = x ise log1218 ifadesinin eşitini bulunuz.
ÖRNEK 30
Çözüm
2 – log23 + log215 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
93
Logaritma
ÖRNEK 33
a, b ∈ R+ – {1} olmak üzere,
log1872 = x ise log23 ifadesinin x cinsinden değe-
logab =
rini bulunuz.
1
dır.
log b a
Çözüm
Taban değiştirme özelliğine göre,
logab =
log b b
1
=
log b a log b a
bulunur.
ÖRNEK 36
1
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
+
log 4 6 log 9 6
ÖRNEK 34
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
log34 =
log 2 4 log 4 In4
=
=
log 2 3 log 3 In3
log5 =
log 3 5
log 7 5
In5
=
=
log 3 10 log 7 10 In10
ln7 =
log 5 7 log 7
=
log 5 e log e
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 37
1
1
1
ifadesinin eşitini bulunuz.
+
+
log 2 70 log 7 70 log 5 70
Çözüm
ÖRNEK 38
1
1+
ÖRNEK 35
log 3 In2
ifadesinin eşitini bulunuz.
+
log 6 In6
Çözüm
94
1
log 2 3
Çözüm
ifadesinin eşitini bulunuz.
Logaritma
logab = log xbx ve logab = log n
a ∈ R+ – {1} , b ∈ R+ ve n ∈ R
olmak üzere, log nb =
a
a
1
logab dir.
n
log a b
log a b
=
log nb =
log a a n n. log a a
a
® log nbm =
a
b dir.
ÖRNEK 40
Taban değiştirme özelliğine göre,
=
n
a
log a b 1
= log a b olur.
n
n
m
logab
n
®
log49 = log
®
log827 = log
®
logv23 = log
®
log
5
3 = log
a, b, c, ... p, k ∈ R+ – {1} olmak üzere,
logab.logbc.logcd ... logpk = logak dır.
ÖRNEK 39
®
®
log42 = log 22 =
2
logv39 = log
log
1 3
2
3
1/2
log22 =
logab.logbc.logcd ... logpk
.1 =
ESEN YAYINLARI
®
=
log b log c log d … log k
·
·
log a log b log c log p
=
log k
= logak bulunur.
log a
4
= log
2
ÖRNEK 41
log23.log35.log516 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
®
log0,2 5v5 = log
ÖRNEK 42
log25.logv5 49.log7 v2 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
®
log 4
9
27
= log
8
–
95
Logaritma
ÖRNEK 43
ÖRNEK 45
log23 = a ve log35 = b ise log12 ifadesinin a ve
b cinsinden değerini bulunuz.
Çözüm
®
2log23 = 3
®
23log2a = 2log2a = a3
®
2log425 = 2logv4 c25 = 2log25 = 5
®
10log3 = 3
®
eln5 = 5
®
101+log2 = 101.10log2 = 10.2 = 20
®
e1–ln3 = e1.e–ln3 = e.eln3 = e.3–1 =
®
2 In2 = 2 log
3
–1
1
logv3 4 = a ve log29 = b ise logab4 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 44
a, b, c ∈ R+ – {1} olmak üzere,
alogbc = clogba dir.
logbc.logba = logba.logbc
logbalogbc = logbclogba
alogbc = clogba bulunur.
ÖRNEK 45
2log3x + xlog32 = 8 ise x değerini bulunuz.
Çözüm
a ∈ R+ – {1} ve b ∈ R+ olmak üzere,
alogab = b dir.
alogab = x ⇒ logab = logax
⇒ b = x olur.
O halde, b = alogab elde edilir.
96
Logaritma
ÖRNEK 46
ÖRNEK 49
f(x) = log2(x – 1) ise f –1(x) fonksiyonunun eşitini bu-
f(x) = 2x–3 ise f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
lunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 47
ÖRNEK 50
f(x) = 2log(3x – 1) + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
f(x) = 102x–1 ise f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 51
f(x) = 2ex–1 + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 48
f(x) = ln(x – 3) fonksiyonunun tersini bulunuz.
Çözüm
97
Logaritma
ÖRNEK 52
ÖRNEK 55
f(x) = 2log3(x – 1) + 1 ise f –1(5) ifadesinin eşitini
f(x) = 6 + log3x ise (fof)(27) kaça eşittir?
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 53
f(x) = 2.32x–1 + 1 olmak üzere,
f –1(7) ifadesinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 56
f(x) = log3x ve (fog)(x) = 2x olduğuna göre,
g–1(81) nedir?
Çözüm
ÖRNEK 54
f(x) = ln(2x + n) ve f –1(–1) =
olduğuna göre, n kaçtır?
Çözüm
98
1
2
ALIŞTIRMALAR – 2
1.
3.
Aşağıdaki ifadelerden her birini sonuçlandırınız.
a. log216 + log v3 + log
3
nin x ve y cinsinden değerlerini bulunuz.
1
10
a. log18
b. log2 2 – log55v5
4
c. lnve + ln
b. log0,24
1
– lne
e2
d. log10 – log
c. log3600
1
+ log1000
10
d. log75
e. log0,1 + log0,001 – log100
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş kutulara D yanlış olanlar için Y yazınız.
e. log
ESEN YAYINLARI
2.
log2 = x ve log3 = y ise aşağıdakilerin her biri-
4.
log(x + y) = logx.logy
16
27
log2[log3(5 – log25625)]
ifadesinin eşitini bulunuz.
log(x.y) = logx + logy
x
log c m = logx – logy
y
log x
= logx – logy
log y
5.
2log25 + 4log2v3 + 2 ifadesini tek bir logaritma
cinsinden yazınız.
n
logx = n.logx
logx.yn = n.logx.y
(logx)n = n.logx
6.
log2(a.b) = 12 ve log2
a
= 4 ise a + b kaçtır?
b
99
Logaritma
7.
13. Aşağıdaki işlemlerin her birini sonuçlandırınız.
log23 = x ise log1854 ifadesinin x cinsinden değerini bulunuz.
a. 2log23
b. 4log25
c. 3log92
8.
logaba.logba2 = 16 ise a kaçtır?
d. 101–log3
e. eln5
f. e1+ln2
9.
logv2v6.logv3v2.logv6 3 81
ifadesinin eşiti kaçtır?
ESEN YAYINLARI
14. 2log4(x+1) = v5 ise x kaçtır?
10. log2 = 0,30103 ise log625 in değerini bulunuz.
15. log215! = a ise log216! ifadesinin a cinsinden
değerini bulunuz.
11. log5 = a ise log 0, 0004 ifadesinin eşitini bulunuz.
1
+ log 2 + log 3 + ..... + log 99
3
4
100
2
ifadesinin eşiti kaçtır?
16. log
12. log34.log45.logv5x = 2 ise x kaçtır?
100
Logaritma
17. 3
2–
1 log x
9
4
=
23. f(x) = 2 + log3x ise (fof)(3) kaçtır?
9 ise x kaçtır?
4
3 + log 2 (x – 1)
2
bulunuz.
24. f(x) =
a
b
18. 2 = 3
ise log1627 ifadesinin a ve b cinsin-
den değerini bulunuz.
19. log23 = a ise log6
2
ifadesinin a cinsinden de3
ise f –1(x) fonksiyonunu
25. f(x) = 2 + ex–1 ve g(x) = 2 – lnx ise
ğerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
(fog–1)(2) kaçtır?
20. eln(2x–2) = log2(1 + log327)
26. f(x) = ln(ex – 1) ise f –1(x) fonksiyonunu bulunuz.
eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
27. log35 = x ise log81125 ifadesinin x cinsinden
x–2
21. f(x) = e
–1
2
ise f (e ) kaçtır?
değerini bulunuz.
28. f(x) = log2(x + 1) ve g(x) = log3(3 – x) ise
–1
22. f(x) = 2 – log2(3 – x) ise f (–1) kaçtır?
(gof –1)(0) kaçtır?
101
Logaritma
Bir Gerçek Sayının Logaritmasının Hangi İki
Ardışık Tam Sayı Arasında Olduğunu Bulma
ÖRNEK 57
Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık tam sayı arasında olduğunu bulunuz.
a. log240
b. log3142
c. ln4
d. log170
e. log1257
f. log0,004
g. log0,0032
h. log0,000102
ESEN YAYINLARI
Çözüm
Bu sonuçlara göre,
®
1 den büyük bir sayının onluk logaritması pozitiftir.
®
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması
negatiftir.
®
1 den büyük bir sayının onluk logaritmasının tam
kısmı, sayının tam kısmının 1 eksiğine eşittir.
102
Logaritma
®
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk logaritması,
ÖRNEK 59
ondalık yazılışta, sıfırdan farklı ilk rakamın solun-
log2 = 0,30103 ise 220 sayısının kaç basamaklı bir
daki sıfır sayısının 1 eksiğinin negatif işaretlisidir.
sayı olduğunu bulunuz.
Bu sonuçlara göre doldurulmuş aşağıdaki tablo-
Çözüm
yu inceleyiniz.
Onluk say›n›n
logaritmas›
Onluk logaritman›n
tam k›sm›
log4
0
log12
1
log937
2
log756,23
2
log1457
3
log10021,361
4
log0,0216
–1
log0,00010321
–3
log0,01010203
–1
ÖRNEK 60
log2 = 0,30103 ise 4040 sayısı kaç basamaklı bir
sayıdır?
Bu tablodan aşağıdaki sonuçlara da ulaşabiliriz.
®
ESEN YAYINLARI
Çözüm
1 den büyük bir sayının tam kısmının kaç basamaklı olduğunu bulmak için sayının logaritması
alınır ve çıkan sayının tam kısmına 1 eklenir.
®
0 ile 1 arasındaki bir sayının onluk gösterimindeki sıfırdan farklı ilk rakamının solunda kaç sıfır olduğunu bulmak için sayının logaritması alınır ve
çıkan sayının mutlak değerinin tam kısmına 1 eklenir.
ÖRNEK 61
log2 = 0,30103 ise log80 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 58
logx = 26,123 ise x sayısı, 26 + 1 = 27 basamaklı bir sayıdır.
logx = 253,246 ise x sayısı 253 + 1 = 254 basamaklı bir sayıdır.
103
Logaritma
ÖRNEK 62
f(x) = logax fonksiyonu
log27,5 = a ise log0,275 ifadesinin a cinsinden de-
a > 1 için artan fonksiyon
ğerini bulunuz.
0 < a < 1 için azalan fonksiyondur.
Çözüm
ÖRNEK 65
a = log22 , b = log24 , c = log28
sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm
ÖRNEK 63
log2 = 0,30103 ise log0,004 ifadesinin eşitini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 66
a = log 1 2 , b = log 1 4 ,
2
ÖRNEK 64
log2 = 0,30103 ise log250 ifadesinin eşitini bulunuz.
Çözüm
104
2
sayılarını karşılaştırınız.
Çözüm
c = log 1 8
2
Logaritma
ÖRNEK 67
ÖRNEK 70
a = log 4 , b = log 3 ve c = log 5
3
4
6
a = log25 , b = log215 ve c = log210 sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 68
ÖRNEK 71
a = log 1 7 , b = log 1 42 ve c = log 1 18
3
3
a = log16125 , b = logv2 25 ve c = log 1
3
arasındaki sıralamayı bulunuz.
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
2
1
sayıları
25
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 69
a = log76 , b = log45 ve c = log310
sayıları arasındaki sıralamayı bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 72
a < b ve a ile b ardışık tam sayılardır.
a < log 1 60 < b olduğuna göre, a + b kaçtır?
3
Çözüm
105
Logaritma
ÜSTEL FONKSİYON VE LOGARİTMA FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
Bir f(x) fonksiyonu ile bu fonksiyonun tersi olan f –1(x) fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir. Buna göre, f(x) = ax fonksiyonu ile f –1(x) = logax fonksiyonlarının grafikleri y = x doğrusuna göre simet-
rik olur. f(x) = ax fonksiyonu ile ilgili özellikleri bir kez daha hatırlayalım.
f(x) = ax fonksiyonunda,
y
a > 1 iken
y=ax
x
®
f(x) = a fonksiyonu artandır.
®
∀ x ∈ R için f(x) = ax > 0 dır.
®
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 noktasından geçer.
1
x
0
x
Bu bilgiler ışığında, f(x) = a fonksiyonunun
a > 1 iken grafiği yandaki gibidir.
0 < a < 1 iken
y
y=ax
x
®
f(x) = a fonksiyonu azalandır.
®
∀ x ∈ R için f(x) = ax > 0 dır.
®
x = 0 için y = f(0) = a0 = 1 dir.
1
Yani f(x) in grafiği (0, 1) noktasından geçer.
x
0
Bu bilgiler ışığında, f(x) = ax fonksiyonunun
0 < a < 1 iken grafiği yandaki gibidir.
Elde ettiğimiz bu iki grafiğin de y = x doğrusuna göre simetriklerini çizersek f(x) = logax fonksiyonunun grafiğini elde ederiz.
y
y
y=ax
y=x
y=logax
y=x
y=logax
1
1
0
1
a > 1 için
106
x
y=ax
0
1
0 < a < 1 için
x
Logaritma
ÖRNEK 73
ÖRNEK 75
1 x
f(x) = c m – 2
2
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 74
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
f(x) = 2x–1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f(x) = 2x + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
Pratik Yol
c > 0 olmak üzere,
y = f(x) + c fonksiyonunun grafiği;
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin y ekseni üzerinde
c kadar kaydırılmışıdır.
y
y = f(x) + c
y = f(x)
c
0
c
y = f(x) – c
x
107
Logaritma
ÖRNEK 76
ÖRNEK 78
y = 2x fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak,
f(x) = log2(x – 1) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y = 2x + 2 , y = 2x + 1 , y = 2x – 1 ve y = 2x – 2
Çözüm
fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
y
y=2x+2
y=2x+1
y=2x
3
2
y=2xÐ1
1
y=2xÐ2
0
x
Ð1
ÖRNEK 77
f(x) = log 1 (x + 4) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ESEN YAYINLARI
2
Çözüm
ÖRNEK 79
f(x) = ln(x – e) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
108
Logaritma
Pratik Yol
ÖRNEK 81
y
c > 0 olmak üzere,
y = a + logb(x – c)
y = f(x – c) fonksiyonunun grafiği;
y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin x ekseni üzerinde
2
c kadar kaydırılmışıdır.
y
0
1
2
5
x
y = f(x + c)
y = f(x)
f(x) = a + logb(x – c) fonksiyonunun grafiği yukarıdaki
y = f(x – c)
gibidir. Buna göre f(9) değerini bulunuz.
Çözüm
x
c
ESEN YAYINLARI
c
ÖRNEK 80
y = log2x fonksiyonunun grafiğinden yararlanarak,
y = log2(x – 2) , y = log2(x – 1) , y = log2(x + 1) ve
y = log2(x + 2) fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
İnceleyiniz.
y
y=log2(x+2)
y=log2(x+1)
y=log2x
y=log2(x–1)
y=log2(x–2)
–1
0
1
2
3
x
109
Logaritma
ÜSTEL DENKLEMLER
x
x
ÖRNEK 84
x
2 =4, 3 –9 +2=0
ex + 3e–x – 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bu-
ex – e2x = 0 , 4x – 2x – 12 = 0
lunuz.
biçimindeki denklemler üstel denklemlerdir. Bu tür
Çözüm
denklemler genellikle değişken dönüştürülüp 2. dereceden denklem elde edilerek çözülür.
ÖRNEK 82
4x – 2x – 12 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
LOGARİTMALI DENKLEMLER
Verilen logaritmalı denklemler
logaf(x) = b biçiminde ise
®
logaf(x) = b ⇒ f(x) = ab olacağından
f(x) = ab denklemi çözülür.
ÖRNEK 83
®
logaf(x) = logag(x) biçiminde ise
f(x) = g(x) denklemi çözülür.
e2x – ex – 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulu-
(f(x) > 0 , g(x) > 0 dır.)
nuz.
Çözüm
ÖRNEK 85
log3(2x – 1) = 2 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
110
Logaritma
ÖRNEK 86
ÖRNEK 89
log2(x – 1) + log2(x + 5) = 4 denkleminin çözüm kü-
ln[ 2 – log2(x – 1) ] = 0 denkleminin çözüm kümesi-
mesini bulunuz.
ni bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 87
log(x+1)(4x + 1) = 2 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
ÖRNEK 90
Çözüm
ESEN YAYINLARI
log2x + logx2 = 2 denkleminin çözüm kümesini bu-
ÖRNEK 88
lunuz.
Çözüm
ÖRNEK 91
log(x + 8) – log(x – 1) = 1 denkleminin çözüm küme-
2logx + xlog2 = 8 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
sini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
111
Logaritma
ÖRNEK 92
ÖRNEK 95
3
10log3x – eln(x+7) = 2log8x
2lnx + 21–lnx = 3 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
denklemini sağlayan x de-
ğerini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 93
2
ÖRNEK 96
4
(log2x) – log2x + 3 = 0 denkleminin çözüm küme-
3logx = 2log3 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
sini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 97
xlogx = 100x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 94
(lnx)2 – lnx2 – 3 = 0 denkleminin çözüm kümesini
bulunuz.
Çözüm
112
Logaritma
ÖRNEK 98
ÖRNEK 100
xlog2x = 4x denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Inx – In x = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 99
log2(x + 2) – logv2 (x – 1) = 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 101
lnx – 3 = 4logxe denkleminin kökler toplamını bulunuz.
Çözüm
113
Logaritma
ÖRNEK 102
exlna.exlnb =
ÖRNEK 105
2
xlog2x + 2(log2x) – 32 = 0 denkleminin çözüm küme-
ab eşitliğini sağlayan x değerini bu-
lunuz.
sini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 103
log3(2x + 4) = log35 + xlog32 eşitliğini sağlayan x değerini bulunuz.
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 104
x
log2(2 – 4) + x – 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
114
ÖRNEK 106
xlnx = e6+lnx denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ETKİNLİK
Türkiye’nin 1990 ve 2000 yıllarında yapılan genel nüfus sayımlarına göre nüfusu aşağıdaki gibi tespit edilmiştir.
Say›m Tarihi
Nüfus
21.10.1990
56.473.035
22.10.2000
67.844.903
Bu verilerle yıllık nüfus artış hızının yaklaşık % 1,85 olduğu sonucu çıkarılabilir. 2000 yılından sonraki herhangi
bir t yılındaki N nüfusu N(t) = 67,8.e0,0185.t milyon kişi biçiminde modellenebilir.
Bu bağıntıyı kullanarak hesap makinesi yardımıyla
®
Türkiye’nin 2010 yılındaki nüfusunu bulunuz.
t = 2010 – 2000 = 10
N(10) = 67,8.e0,0185.10 = 67,8.e0,185 = 67,8.(1,203) = 81,6 olur.
O halde Türkiye’nin 2010 yılındaki nüfusu 81 600 000 kişidir.
®
Türkiye’nin nüfusunun 100 000 000 kişiye ulaşacağı yılı bulunuz.
67,8.e0,0185.t = 100 ⇒ e0,0185.t = 1,474926 ⇒ lne0,0185.t = ln(1,474926)
⇒ 0,0185.t = 0,388608
⇒ t ≅ 21
2000 + 21 = 2021 bulunur. O halde, Türkiye’nin nüfusu 2021 yılı içinde 100 000 000 kişi olacaktır.
115
Logaritma
ÜSLÜ EŞİTSİZLİKLER
a
f(x)
g(x)
>a
ÖRNEK 110
eşitsizliği çözülürken
®
a > 1 ise f(x) > g(x) eşitsizliği çözülür.
2 2x + 1
9 – 2x – 1
eşitsizliğinin çözüm kümesini
>c m
c m
3
4
®
0 < a < 1 ise f(x) < g(x) eşitsizliği çözülür.
bulunuz.
Çözüm
ÖRNEK 107
24x–1 > 4x–2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
3 x – 2 2 2x – 1
eşitsizliğinin çözüm kümesini bu≤c m
c m
2
3
lunuz.
Çözüm
ESEN YAYINLARI
ÖRNEK 108
LOGARİTMALI EŞİTSİZLİKLER
logaf(x) < b eşitsizliği çözülürken
®
a > 1 ise,
f(x) < ab
f(x) > 0
®
} sistemi çözülür.
0 < a < 1 ise,
f(x) > ab
f(x) > 0
} sistemi çözülür.
ÖRNEK 111
ÖRNEK 109
3 2x – 1
3 x+2
eşitsizliğinin çözüm kümesini bu>c m
c m
4
4
lunuz.
Çözüm
116
log2(x – 1) < 3 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm
Logaritma
ÖRNEK 112
ÖRNEK 115
log3(x – 2) ≥ log34 eşitsizliğinin çözüm kümesini bu-
1 < log2(3x – 1) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini
lunuz.
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
ÖRNEK 116
ÖRNEK 113
log 1 (x – 2) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
1 < log 1 (2x – 1) < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini
Çözüm
bulalım.
2
2
ESEN YAYINLARI
Çözüm
ÖRNEK 117
ÖRNEK 114
log 1 (2x – 1) < log 1 (x – 2) eşitsizliğinin çözüm küme2
sini bulunuz.
log4(x2 – 9) ≤ 2 eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
2
Çözüm
Çözüm
117
ALIŞTIRMALAR – 3
1.
3.
Aşağıdaki ifadelerin hangi iki ardışık sayı arasında olduğunu bulunuz.
a.
b.
c.
log2 = 0,30103 ise
a.
2400 kaç basamaklıdır?
b.
2010 kaç basamaklıdır?
c.
400100 kaç basamaklıdır?
log270
log3210
log5612
4.
log7 = 0,8451 ise
ln8
a.
750 kaç basamaklıdır?
e.
log1987
b.
4920 kaç basamaklıdır?
f.
log0,0003
c.
49040 kaç basamaklıdır?
g.
log4,23
ESEN YAYINLARI
d.
5.
Aşağıdaki sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
h.
2.
log19,93
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlar için boş ku-
a.
x = log210 , y = log25 , z = log240
b.
x = log 1 100 , y = log 1 22 , z = log 1 56
3
3
tuya D yanlış olanlar için Y yazınız.
logx = 2341,23 ise x , 3 basamaklıdır.
c.
x = log78 , y = log9 , z = log310
d.
x = log
logy = 12,314 ise x , 13 basamaklıdır.
logz = 196,8 ise z , 195 basamaklıdır.
logt = 1,134 ise t , 2 basamaklıdır.
118
13
11
15
, y = log
, z = log
11
9
13
3
Logaritma
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
7.
logx = 4,4272 ise logvx ifadesinin eşitini bulunuz.
a.
y = 2x–1
b.
y = 3x+1 + 1
8.
logx = –1,2412 ve logy = 2,1215 ise log(x2.y3)
ifadesinin eşitini bulunuz.
c.
y = 2–x – 3
9.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
d.
e.
y = log3x
y = log 1 (x – 1)
2
f.
a.
9x – 3x+1 – 10 = 0
b.
6.e2x – 11ex + 3 = 0
c.
e2–ln2x = x
d.
16x + 4x = 12
ESEN YAYINLARI
6.
y = log(x – 2)
g.
y = ln(x + e)
h.
y = log4(x + 2)
119
Logaritma
10. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulu-
11. Aşağıdaki eşitsizliklerin çözüm kümelerini bulu-
nuz.
nuz.
a.
log2(x – 1) – log2(x – 2) = 2
a.
2x–1 <
b.
log3(x – 2) + log3(x – 4) = 1
b.
3 x –1
4 2x – 1
≥c m
c m
4
3
c.
4x–1 < 2x+2
d.
4 x+2
27 x – 1
>c m
c m
9
8
e.
log2(x – 3) ≤ 1
f.
log 1 (2x – 6) ≥ 2
d.
e.
f.
log(x + 1) – log(x – 2) = logx – log(x – 1)
2
log2 (x + 1) + log2(x + 1) = 6
elnx = 7x – 12
log2x = logx2
2
log 2 x = 2 – log2x
g.
h.
xlog6x = 36x
i.
lnx – 3logxe = 2
logx
3+2logx
j.
x
= 10
k.
log2
3
120
ESEN YAYINLARI
c.
1
2 2x – 3
x = log 3
x
2
g.
|log3(x – 2)| ≤ 3
h.
1 ≤ log3(x – 1) ≤ 2
i.
log2 x – log2x3 < 10
j.
2 ≤ log 1 (x – 1) < 4
2
2
TEST – 1
1.
log2(3x – 1) = 3 ise x kaçtır?
A) 1
2.
B) 2
C) 3
5.
D) 4
E) 5
log3
1
= –2 ise x kaçtır?
x
A) 3
B) 6
C) 8
D) 9
E) 27
2x = 5 ise x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) log52
B) log2
D) log510
6.
C) log5
log4 = x ise log5 in x cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E) log25
A)
1– x
2
x –1
2
C)
x–2
2
E) 2 – x
ESEN YAYINLARI
D)
B) 2 – x
2
3.
logx9 = 2 ise x kaçtır?
A) v2
B) v3
C) 2
D) 3
E) 6
7.
ln(1 + lnx) = 1 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) e1–e
4.
B) ee
C) ee–1
D) e–e
E) e
log23 + log4x = log165 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
5
2
B)
D)
5
8
5
3
C)
E)
5
9
5
6
8.
ln[ 1 + log3(2 – log2x)] = 0 eşitliğini sağlayan x
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
125
Logaritma
9.
f(x) = 2log(x – 1) olmak üzere,
13.
–1
f (x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
10 x
A)
B)
D) 2 10 x
10 x –1
A) 1
E) 2 10 x + 1
10. f(x) = 2x+1 – 3 olmak üzere,
B) log2(x + 3)
C) log2(x – 3)
D) log2 c
C) 3
D) 4
E) 5
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1, 3)
B) (1, 2)
D) [1, 2)
x–3
m
2
C) (1, 3) – {2}
E) (0, 2) – {1}
x–2
m
3
ESEN YAYINLARI
E) log2 c
B) 2
14. f(x) = logx–1(3 – x) fonksiyonunun en geniş tanım
f –1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
x+3
A) log2 c
m
2
ifadesinin eşiti aşa-
ğıdakilerden hangisidir?
10 x + 1
C)
1
1
2
+
+
log 2 6 log 9 36 log 6 6
15. log2(x + 2) + log2(x – 1) = 2 denkleminin çözüm
kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
11. logx = 346,123 ise x sayısı kaç basamaklıdır?
A) 2
B) 3
C) 345
D) 346
A) {–3, 2}
E) 347
D) {3}
12. a = log78 , b = log9 ve c = log524 olmak üzere,
aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) b < c < a
B) b < a < c
D) a < b < c
1.C
2.E
126
3.D
4.E
A) –2
7.C
8.C
E) {4}
lamı kaçtır?
C) a < c < b
6.B
C) {2}
16. 4x + 1 = 21–x denkleminin gerçek köklerinin top-
E) c < a < b
5.D
B) {–2, 3}
9.C
10.A
B) –1
11.E
12.B
C) 0
13.B
D) 1
14.C
E) 2
15.C
16.C
TEST – 4
1.
5.
log2[ log3(4x – 1)] = 0 eşitliğini sağlayan x değeri
ğıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
2
C) 3
2
B) 1
log52 = x ise log25 in x cinsinden değeri aşa-
D) 2
A)
E) 3
2
x+1
D)
2.
log(x.y) = 2log
1
x+2
2
x –1
C)
E)
1
x –1
x –1
x+1
x
ise logyx ifadesinin eşiti
y
6.
aşağıdakileden hangisidir?
A) 1
3
B)
B) 1
2
C) 1
D) 2
x = log524 , y = log637 , z = log78
sayıları arasındaki sıralama aşağıdakilerden
E) 3
hangisidir?
A) z < x < y
B) z < y < x
E) x < y < z
ESEN YAYINLARI
D) y < z < x
C) y < x < z
3.
^ 2 hlog 4 (3 + log 2 32)
den hangisidir?
A)
4
8
B)
8
8
ifadesinin eşiti aşağıdakiler-
C) 2v2
D)
3
4
E) 2
7.
log2 = 0,30103 ise 2020 sayısı kaç basamaklıdır?
A) 25
4.
B) 26
C) 27
D) 28
E) 29
logaba = x ise logba ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x
x –1
D)
B)
x
1+x
1+x
x
C)
E)
x
1– x
1– x
x
8.
log3(x – 2) – log3(x + 4) = –1 ise logx5x kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
131
Logaritma
9.
3x – 31–x = 2 denkleminin kökler çarpımı kaçtır?
A) –3
B) –1
C) 1
D) 2
3x + 1
2x + 1
lerden hangisidir?
13. log52 = x ise
E) 3
A) log4020
ifadesinin eşiti aşağıdaki-
B) log3020
D) log2030
C) log4030
E) log2040
10. log2x + logx2 = 24 denkleminin kökler çarpımı
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 10
–4
–3
B) 10
C) 10
14. |1 – log2x| < 2 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağı-
–2
D) 10
2
dakilerden hangisidir?
3
E) 10
A) c
1
, 4m
2
B) (2, 4)
11. ln2e = 1 + elnx eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) ln2
B) ln3
C) ln5
D) ln6
ESEN YAYINLARI
D) c
1
, 8m
2
C) (2, 8)
E) c
1 1
, m
4 2
15. 3logx2 + 2logx3 = 16 ise x kaçtır?
A) v3
B)
3
3
C) v2
D)
3
y
y=logax
3
12. f: R → (– ∞, 2) , f(x) = 2 – 2.32x–1 fonksiyonu için
0
f –1(x) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2–x
2
B)
C)
1
2–x
E
;1 – log 3
2
2
E)
1
2–x
E
;1 + log 3
2
2
1.B
2.E
132
3.A
4.E
1
x
8
1
x
:1 – log 3 D
2
2
D) 1 – log3
2–x
2
f(x) = logax fonksiyonunun grafiği yukarıdaki gi-
bidir. Buna göre f –1(4) kaçtır?
A) 4
5.A
E) v6
E) ln10
16.
A) 1 + log3
2
6.A
7.C
8.A
9.C
10.C
B) 8
11.A
C) 12
12.E
13.E
D) 16
14.D
E) 32
15.B
16.D
TEST – 5
1.
log
2
5.
3 = a ve log34 = b ise logab16 ifadesinin
sayı kaçtır?
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) 0
2.
B) 1
C) 2
log4125 sayısından küçük olan en büyük tam
D) 3
A) 1
E) 4
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
log6! = a ve log7! = b ise a + b ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A) log9!
6.
B) log10!
D) log12!
2
a log 1 16 k + ^log 3
2
C) log11!
4
4 h2 ifadesinin eşiti aşağı-
dakilerden hangisidir?
E) log13!
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
ESEN YAYINLARI
A) 8
3.
log35 = x ise log15375 ifadesinin x cinsinden
7.
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A)
3x + 2
x+1
D)
4.
B) 3x + 1
x+1
3x + 1
x+2
E)
C)
1
e
C) e
8.
D) e2
3
2 2
A) 11
24
2x + 3
x+2
4
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
B) 1
2
C) 13
24
D) 7
12
E) 1
4
3logx = 2 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
x aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B)
4
hangisidir?
2x + 3
x+1
ln(x.y) = 4 ve ln x = 2 ise
y
A) 1
log2
E) e3
A) 2log32
D) 2
B) 10log23
log 10
3
C) 10log210
log3
E) 2
133
Logaritma
9.
f(x) = logx–2 c
13. logx + lnx = lnex eşitliğini sağlayan x değeri
x–5
m fonksiyonunun tanım kümesi
x+2
aşağıdakilerden hangisidir?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) (–∞, –2)
A) 1
B) (–2, 5)
D) (2, 5)
B) e
C) 2
E) 10
D) 2e
C) (5, ∞)
E) (2, ∞)
14. xlog2x = 4x eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
A) 7
2
C) 9
2
B) 4
E) 11
2
D) 5
10. log3150 < x < log2150 olmak üzere,
x
in alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı
kaçtır?
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
15. f(x – 1) = 2 + loga(x + 3) fonksiyonunda f(1) = 3
ESEN YAYINLARI
ise f –1(4) kaçtır?
11. log6 = 0,7781 ise 360100 sayısı kaç basamaklı
A) 22
B) 21
16.
C) 20
D) 18
y
y=logax
bir sayıdır?
A) 254
E) 16
y=logbx
B) 255
C) 256
D) 257
E) 258
x
0
y=logcx
Şekildeki grafiği çizilen fonksiyonlara göre a, b
ve c arasındaki doğru sıralanış aşağıdakilerden
hangisidir?
12. log2(x + 2) – log23 = 1 ise log4x kaçtır?
A) 1
2
1.C
2.B
134
B) 1
3.B
C) 3
2
4.E
D) 2
5.C
6.D
A) c < b < a
E) 4
7.A
B) b < a < c
D) b < c < a
8.D
9.C
10.D
11.C
12.B
C) c < a < b
E) a < b < c
13.E
14.C
15.B
16.C
TEST – 8
1.
log(x+1)(x2 – 5) = 1 ise logx(x + 6) kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
5.
log32 = x ve log53 = y ise log6 ifadesinin x ve
y cinsinden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
E) 5
A)
xy + y
xy + 1
D)
2.
B)
xy – x
xy + 1
xy + y
xy – 1
E)
C)
xy + x
xy – 1
xy + y
xy – x
a = lnx ve b = logx ise a sayısı , b sayısının
kaç katıdır?
A) 10
B) loge
D) e
6.
C) 10e
E) ln10
x
= 2 – logx denkleminin çö100
züm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
(log10x – 1)log
A) {10}
C) '
B) {100}
1
, 100 1
10
E) '
1
, 10 1
100
ESEN YAYINLARI
D) '
1
, 10 1
10
3.
ln(lnx) + lnx = 2 + ln2 eşitliğini sağlayan x değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) e
B) 2e
C) e2
D) 2e2
E) 4e
7.
log229 = x ise x aşağıdaki aralıkların hangisinde
bulunur?
A) (6, 7)
B) (5, 6)
D) (3, 4)
4.
x = 2log34 ve y = 4log32 ise logxy ifadesinin eşiti
kaçtır?
A) –2
8.
C) (4, 5)
E) (2, 3)
loga2 = logb4 ise logaba2 – logabb2 ifadesinin
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
A) –1
B) –
2
3
C) 2
3
D) 1
E)
3
2
139
Logaritma
13. logxxy + logxyx = logxy ise log(x2.y) ifadesinin
3
9.
log b + c.logab = 3 ise a c + 2 ifadesinin eşiti
eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
va
aşağıdakilerden hangisidir?
A) b
B)
1
b
log 5 x
log 2 3
=
log 4 5 log 3 16
10.
C)
A) 0
1
b2
D) b2
eşitliğini sağlayan x değeri
B) 25
C) 26
C) 2
D) 27
E) 28
A) 0,69897
∀ x ∈ R için tanımlı olduğuna göre
m nin değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
D) (0, – 4)
C) (0, 2)
ESEN YAYINLARI
11. f(x) = log2(x2 – mx + 1) fonksiyonu
B) (–2, 0)
B) 1,69897
E) –1,30103
den hangisine eşit olabilir?
E) (–2, 2)
y
C) –0,30103
15. x = logy2 ve 20 < y < 400 ise x aşağıdakiler-
A) 5
12.
E) 4
1
ifadesinin eşiti
2
aşağıdakilerden hangisidir?
D) –0,69897
A) (– 4, 0)
D) 3
14. log20 = 1,30103 ise log
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 24
B) 1
E) vb
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
y=loga(x+b)
3
16. ABC üçgeninde
0
1
|AB| = log2 cm
x
10
A
log6
log2
|AC| = log6 cm
|BC| = log3x cm ise
f(x) = loga(x + b) fonksiyonunun grafiği yukarıda-
1.B
2.E
140
B) 1
3.C
C) 3
2
4.D
D) 2
5.A
6.D
A) (1, 3)
E) 5
2
7.C
B) (0, 3)
D) (2, 5)
8.B
C
x in değer aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
ki gibidir. Buna göre f(4) kaçtır?
A) 1
2
log3x
B
9.A
10.E
11.E
12.C
C) (0, 4)
E) (1, 4)
13.A
14.C
15.A
16.E
TEST – 9
1.
5.
logx + log5 = 1 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
2.
log(cotx) = 0 ise x in en küçük radyan ölçüsü
B) 2
C) 4
D) 5
E) 10
A)
r
6
B)
r
4
C)
r
3
D)
r
2
E)
3r
4
x ∈ R olmak üzere,
logx < 0 olması için x aşağıdaki aralıkların hangisinde değer almalıdır?
A) (–∞, –1)
B) (–∞, 0)
D) (0, 1)
6.
C) (–1, 0)
log2a = log 1 b olduğuna göre,
2
E) (1, ∞)
log(a.b) nin değeri nedir?
B) 1
C) 1
2
D) 1
4
E) 0
ESEN YAYINLARI
A) 2
3.
log(x + 1) – logx = 2 denkleminin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
1
A) ' 1
99
1
B) ' 1
9
1
D) ' 1
2
4.
1
C) ' 1
3
a 25
A) 10
A) v5
8.
nin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
B) 102
C) 122
D) 104
log10(log232) = log100x olduğuna göre,
x in değeri nedir?
E) {1}
loga = 1,44 olduğuna göre,
9
7.
E) 124
B) 5
C) 25
D) 125
E) 625
xlog32 – (vx + 1)log92 = 0 denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2
3
B) 1
2
C) 1
D) 2
E) 3
141
Logaritma
9.
2n = a ve loga162 = n2 olduğuna göre,
13. log2ex = lnxn olduğuna göre,
n kaçtır?
A) 1
n aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
A) log2ee
D)
10. g(f(x)) = f(x + 1) ve f(x) = lnx ise
B) ln2e
1
In2
C) 2 + ln2
E) log2e
14. x = log2 1 , y = log3 1 , z = log4 1
9
25
5
g(g(lnx)) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ln(x + 1)x+2
B) ln(x + 1)x
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi
C) lnx
D) ln(x + 1)
doğrudur?
E) ln(x + 2)
A) z < y < x
B) z < x < y
C) y < x < z
E) x < z < y
ESEN YAYINLARI
D) x < y < z
11. log20 – log(x – 1) = 1 denkleminin kökü aşağıda-
15. ln2x – lnx2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
kilerden hangisidir?
A) 3
2
B) 2
A) Ø
C) 5
2
D) 3
E) 4
3
(b )
1.B
2.D
142
B) 1
2
3.A
C) 8
9
4.D
D) 4
3
5.B
6.E
E) {1, e }
16. an = bm olduğuna göre, n kesri aşağıdakilerden
m
hangisine eşittir?
a2 ifadesinin değeri kaçtır?
A) 4
9
2
D) {1, e}
12. a3 = b4 olduğuna göre,
log
C) {e2}
B) {1}
A) log(a.b)
E) 9
8
7.C
B) logab
D) log(a + b)
8.C
9.B
10.E
11.D
12.C
E) ln
13.A
a
b
14.D
C) logba
15.E
16.B
ÜNİVERSİTEYE GİRİŞ SINAV SORULARI
1.
1981 – ÖYS
5.
y = log7 1 ve x = 75 ise y nin değeri nedir?
x
A) –5
B) –
1
5
C) 1
5
D) 5
1985 – ÖYS
log35 = a olduğuna göre log515 ifadesinin değeri nedir?
E) 7
A)
1
a –1
D)
2.
1982 – ÖYS
(log 2) 2 +
6.
1 2
c log m ifadesinin değeri nedir?
2
A) 0
B) logv2
1
D) log c m
2
B)
a
a –1
a
a+1
C)
E)
a –1
a
a+1
a
1986 – ÖYS
log1656 = a , log2 = b , log3 = c olduğuna göre
log23 ün değeri nedir?
1
C) v2 log c m
2
E) v2 log2
A) a – 2b – 3c
B) a – 3b – 2c
C) a – b – 3c
D) a – 2b – c
ESEN YAYINLARI
E) a – b – c
3.
7.
1983 – ÖYS
log(a + b) = loga + logb olduğuna göre
logac = x , logbc = y olduğuna göre x in a, b, y
b nin a türünden değeri nedir?
türünden değeri aşağıdakilerden hangisidir?
log b a
log a b
B)
C)
A) logaby
y
y
D) y.logba
A)
1984 – ÖYS
log2(log10x) = 3 eşitliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 102
B) 103
C) 106
D) 108
E) 109
B) a + 1
a
a
a+1
D) a – 1
a
E) y.logab
8.
4.
1987 – ÖYS
C)
E)
a
a –1
a+1
a –1
1987 – ÖYS
x
ln(xy) = 2a , ln c m = 2b olduğuna göre
y
x in değeri nedir?
A) ea+b
D) e
B) eb–a
–(a+b)
C) ea–b
E) e
ab
143
Logaritma
9.
1988 – ÖSS
1
logx + 2log = log8 – 2logx denkleminin çözüx
mü nedir?
A) 10
B) 8
C) 6
D) 4
12. 1988 – ÖYS
log2 = 0,301 , log3 = 0,477 olduğuna göre,
log360 ın değeri kaç olur?
A) 2,731
E) 2
B) 2,556
D) 1,987
C) 3,043
E) 1,865
10. 1988 – ÖYS
lna = p olarak verildiğine göre, loga2 aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ploge
B) 2ploge
C) plog2e
p
E) loge
2
e
D) plog
2
13. 1989 – ÖSS
a5 = b olduğuna göre, logba3 kaçtır?
A) 2
y = log 1 x in grafiği hangisi olabilir?
3
A)
B)
y
C) 15
D) 3
5
E) 5
3
ESEN YAYINLARI
11. 1988 – ÖYS
B) 8
y
1
0
1
x
x
0
14. 1989 – ÖYS
logx + log(3x + 2) = 0 denklemini sağlayan değer
nedir?
C)
D)
y
y
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
1
x
0
E)
0
1
x
y
15. 1990 – ÖYS
0
x
log7(2x – 7) – log7(x – 2) = 0 olduğuna göre,
log5x in değeri nedir?
A) 0
144
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Logaritma
16. 1991 – ÖYS
20. 1994 – ÖYS
f(x) = log2x , (gof)(x) = x + 2 olduğuna göre,
log35 = a olduğuna göre, log925 in değeri nedir?
A) a
B) 2a
D) a
2
C) a2
g(x) aşağıdakilerden hangisidir?
E) va
A) 2x
B) 2x – 1
D) 2x + 2
C) 2x + 1
E) 2x – 2
21. 1995 – ÖYS
17. 1992 – ÖYS
4 log 3 x
27
denklemini sağlayan x değe= log 3
log 3 9
x
log53 + log5a = 1 olduğuna göre, a kaçtır?
A) 3
B) 2
D) 5
3
C) 1
E) 4
3
ri kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 6
E) 9
ESEN YAYINLARI
A) 1
22. 1996 – ÖYS
18. 1993 – ÖYS
loga9 = 4 , log3a = b olduğuna göre,
log102 = a , log103 = b olduğuna göre,
a.b çarpımı kaçtır?
log1072 nin a ve b türünden değeri aşağıdaki-
A) v2
D)
3
2
B) v3
E)
2
3
C) 2v3
lerden hangisidir?
A) 2b – 3a
B) 3a – b
D) 3a + 2b
C) 3a – 2b
E) 2a + 3b
19. 1994 – ÖYS
log3(9.3x+3) = 3x + 1 denkleminin çözüm kümesi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) {–1, 1}
D) {1}
B) {0, 2}
log2(2log3(3log4(x + 2) ) ) = 1 olduğuna göre
C) {0}
E) {2}
23. 1997 – ÖYS
x kaçtır?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
145
Logaritma
24. 1998 – ÖYS
3
6
12
+
+
log 4 24 log 2 24 log 4 3 24
28. 2009 – ÖSS
y
f(x)=logax
işleminin sonucu kaçtır?
1
A) 1
B) 3
C) 6
D) 8
E) 12
0
x
1
3
Yukarıda logax fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f c f c
25. 2006 – ÖSS
f:c
–1
, 3 m → R fonksiyonu
3
A) –3
1
mm değeri kaçtır?
27
B) –1
C) 1
D) 2
E) 3
f(x) = log3(3x + 1)
ile tanımlanıyor.
Buna göre, ters fonksiyonu belirten f –1(x) aşağıdakilerden hangisidir?
x
A) f (x) = 3
log35 = a
x
B) f (x) = 3 + 1
C) f –1(x) = log(3x + 1)
E) f –1(x) =
29. 2010 – LYS
–1
D) f –1(x) =
3x
–1
3
x3 + 1
3
olduğuna göre, log515 in değeri kaçtır?
ESEN YAYINLARI
–1
A)
a
a +1
B)
D)
a +1
a
a+3
a
C)
E)
a
a+3
4a
3
30. 2010 – LYS
26. 2007 – ÖSS
1
1
+
log 2 6 log 3 6
log2(log3(5x + 6)) = 2
olduğuna göre x kaçtır?
A) 6
B) 8
C) 9
ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
D) 15
E) 18
A)
1
3
B) 1
D) log62
C) 2
E) log63
27. 2008 – ÖSS
31. 2010 – LYS
log49 + log2(a – 3) < 4
eşitsizliğini sağlayan kaç tane a tam sayısı vardır?
A) 3
146
0 ≤ log2(x – 5) ≤ 2
eşitsizliklerini sağlayan kaç tane x tam sayısı
vardır?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Logaritma
32. 2010 – LYS
34. 2012 – LYS
1 den farklı a, b, c pozitif gerçel sayıları için,
1
logab =
2
log23x + log4x2 = 2
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
logac = 3
A)
b2
olduğuna göre, log b d
n ifadesinin değeri
c a
kaçtır?
A)
3
2
B)
5
2
C)
5
3
D) – 6
lerden hangisidir?
C) 3 – 2t
E) 3t – 2
3
3
C)
E)
5 2
2
2 3
3
35. 2012 – LYS
1
2x =
5
ESEN YAYINLARI
olduğuna göre, x in t türünden eşiti aşağıdaki-
D) 2.3t –1
3 2
2
E) –5
log9(x2 + 2x + 1) = t , (x > –1)
B) 3t –1
B)
D)
33. 2011 – LYS
A) 3t – 1
2
2
3y =
1
4
olduğuna göre, x.y çarpımının değeri kaçtır?
A)
ln 3
ln 2
B)
D)
ln 25
ln 3
ln 15
ln 2
C)
E)
ln 5
ln 4
ln 5
ln 6
147