ileri düzey matematik Özet 11. Sınıf

11. Sınıf
ileri düzey matematik
ÖZET
Yazar Özyaşar Elyıldırım
Sevgili Öğrenciler,
Bu özet kitap, okul müfredatına uygun olarak hazırlanmıştır. Kitaptaki konular, ders kitabınızla uyumlu olarak sıralanmış ve açıklanmıştır.
Özet kitabımızın hazırlanış amacı, sizleri yoğun ve boğucu ayrıntılarla dolu
yardımcı kaynaklardan kurtarmaktır. İhtiyacınız olan her bilgiyi öz ve anlaşılır olarak kitabımızda bulacaksınız. Uzun konu anlatımları yok, gereksiz
bilgi yığınları yok, yorucu ayrıntılar yok. Doyurucu, eksiksiz ama yormayan
bir kitap bu. Tam ihtiyaç duyduğunuz bir kaynak.
Yayın Yönetmeni Vedat Aydoğan
Editör Tufan Şahin
Yayın Koordinatörü Yusuf Doğan
Dağıtım Sorumlusu Metin Keskin
Redaksiyon Tuncay Birinci
Kapak ve Düzenleme Deltakitap
larla belirttik. Bazı konuKonu anlatımlarında çok önemli noktaları
ları daha anlaşılır görsellere çevirdik. Ünite sonlarında tarama testlerine
yer verdik. Kendinizi sınamanız için dört yazılı sınav ve iki deneme sınavı
koyduk. Ayrıca üniversite giriş sınavlarına hazırlanmanız amacıyla, konu
anlatımlarının içine sık sık çözümlü YGS-LYS soruları yerleştirdik.
Y.S. No 16479
Kitaptaki tüm yazılı ve test-deneme sorularının ayrıntılı çözümleri
www.deltakitap.comda yer almaktadır.
Hatay Sokak 17/B Kızılay / ANKARA
Derslerinizde ve tüm sınavlarınızda yararlı olacağını umar, başarılar dileriz.
F +90 312 433 17 76
Delta Kültür Yayınevi
Eylül 2016
ISBN 978-605-9716-07-9
Baskı - Cilt Altan Özyurt Matbaacılık
T +90 312 433 17 72
[email protected]
www.deltakitap.com
2016 ©
Bu kitabın bütün basım, yayın hakları Delta Kültür Basım Yayın Dağıtım Kırtasiye Ltd. Şti'ne aittir.
Yayınevinin yazılı izni olmadan tamamı veya bir kısmı mekanik, elektronik, fotokopi ve benzeri yöntemlerle
kopya edilemez, çoğaltılamaz, basılamaz, yayımlanamaz ve dağıtılamaz.
1. DÖNEM 1. YAZILI SINAVI (SAYFA 22)
1.p ∨ q ≡ 0 , r ∨ qʹ ≡ 1
p ≡ 0, q ≡ 0 r ∨ 1 ≡ 1
p ≡ 1, qʹ ≡ 1 r ≡ 0
pʹ ≡ 0, q ≡ 0 rʹ ≡ 1
(pʹ ⇒ r) ∨ (rʹ ⇔ q)
≡ (0 ⇒ 0) ∨ (1 ⇔ 0)
≡1∨0
≡ 1 bulunur.
4.
–
A
4
B
3
B>4
A = 3.B + 4
A = 3 . 11 + 4
= 37 bulunur.
–
B
5
6
C
B=6.C+5
B nin en küçük olması
için C = 1 alalım.
B=6.1+5
= 11
Yanıt: (1)
Yanıt: (37)
5. A = 53276 → 5 + 3 + 2 + 7 + 6 sayısının 9 ile bölüp⇒q≡1
ve
p∨q≡1
münden kalan 5'tir.
B = 95081 → 9 + 5 + 0 + 8 + 1 sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir.
A = 9 . k1 + 5 (k1, k2 ∈ Z)
B = 9 . k2 + 5
p ≡ 1, q ≡ 1
p ⇒ 1, q ≡ 1
p ≡ 0, q ≡ 1
p ≡ 1, q ≡ 0
p ≡ 0, q ≡ 0
p ≡ 1, q ≡ 0
p ≡ 0, q ≡ 1
p ≡ 0, q ≡ 1
Her üç önermeyi sağlayan değer
p ≡ 0, q ≡ 1 dir.
pʹ ≡ 1, qʹ ≡ 0
(p ⇔ qʹ) ∧ (q ⇒ p)
≡ (0 ⇔ 0) ∧ (1 ⇒ 0)
≡1∧0
≡ 0 bulunur.
www.deltakitap.com
2.p ∨ q ≡ 1,
A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3 = (A + B)3
= (5 + 5)3
= (10)3
3
= ^ 9 + 1h
= 1 bulunur.
Yanıt: (1)
Yanıt: (0)
6.
3.(p ⇒ p) ⇒ (qʹ ⇒ q)
≡ 1 ⇒ q
(qʹ ≡ 0 ise q ≡ 1)
≡ q
qʹ ≡ 1 ise q ≡ 0
0⇒1≡1
1 ⇒ 0 ≡ 0 dolayısıyla
qʹ ⇒ q ≡ q dur.
Yanıt: (q)
–
189
x
y
bölme işlemine göre x > 9 olmalıdır.
9
189 = x . y + 9 ⇒ x . y = 180
180 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı A ise
180 2
⇒ 180 = 22 . 32 . 51
90 2
A = (2 + 1) (2 + 1) (1 + 1)
45 3
=3.3.2
15 3
= 18
5 5
1
x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9 olamaz.
18 – 7 = 11 tane x değeri vardır.
Yanıt: (11)
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
9. x, y ∈ N
2
2
7. 71 – 37 – 51
p
=
=
=
=
=
=
=
5x + 64y+3 ≡ 2 (mod 7)
^71 – 37 h^ 71 + 37 h – 51
5x ≡ a (mod 7)
p
34.108 – 51
p
2.17.3.36 – 51
p
51.72 – 51
p
51. ^72 – 1 h
p
51.71
p
3.17.71 ! Z
p
64y+3 ≡ 6 (mod 7) olsun.
mod 7'ye göre 6 ≡ –1 ve 4y + 3 tek doğal sayı olduğundan
64y+3 ≡ (–1)4y+3 (mod 7)
≡ –1 (mod 7)
64y+3 ≡ –1 (mod 7) ile 5X ≡ 3 (mod 7) denkliğini sağlayan x değerini bulalım.
5 ≡ 5 (mod 7)
52 ≡ 4 (mod 7)
olması için p = 3, 17, 71 olmalıdır.
3 + 17 + 71 = 91 bulunur.
53 ≡ 6 (mod 7)
54 ≡ 2 (mod 7)
Yanıt: (91)
55 ≡ 3 (mod 7)
54y+3 ≡ –1 (mod 7)
55 + 64y+3 ≡ 2 (mod 7)
denkliğini sağlayan en küçük x değeri 5'tir.
www.deltakitap.com
Yanıt: (5)
10.Her deneme sınavı arasında 3 gün var. 1. denemeyi
8. OBEB (180, 42) = ?
180 = 42 . 4 + 12
42 = 12 . 3 + 6
12 = 6 . 2
OBEB(180,42) = 6 bulunur.
Yanıt: (6)
Delta Kültür Yayınevi
çözüyor. 14. deneme için
13 . 3 = 39 gün geçmelidir.
39 ≡ 4 (mod 7)
Cuma Cumartesi Pazar Pazartesi Salı
0
1
2
3
4
Yanıt: (Salı)
1. DÖNEM 2. YAZILI SORULARI (SAYFA 49)
1. ` x j – x – 2 = 0
x+1
x+1
3.mx2 + (2m + 1)x + 1 – 2m = 0
2
x1 < 0 < x2 ve |x1| < |x2| olduğundan
x = t olsun.
x+1
t2 – t – 2 = 0
(t – 2) (t + 1) = 0
t–2=0 v t+1=0
t=2
t = –1
x =2
x+1
x = 2x + 2
x = –2
Ç.K. = $ –2, – 1 .
2
i) x1 + x2 > 0
x 1 + x 2 = – 2m + 1 > 0 & 2m + 1 < 0
m
m
–
1
2
m
ii) x1 . x2 =
<0
m
–1
2
m
0
x = –1
x+1
x = –x – 1
2x = –1
x=–1
2
ve
2m + 1
m
ii) x1 . x2 < 0’dır.
+
–
1 – 2m
m
1
2
+
–
+
–
(i) ve (ii) den ` – 1 , 0 j veya – 1 < m < 0 bulunur.
2
2
Yanıt: – 1 < m < 0
2
www.deltakitap.com
Yanıt: $ –2, – 1 .
2
4. x – 1 ≤
x
2.x2 – |2x – 2| – 1 = 0
x 2 – 2x + 1 = 0,
x ≥ 1 ise
x – 2x – 2 – 1 = 0 ) 2
x + 2x – 3 = 0, x < 1 ise
2
i) x2 – 2x + 1 = 0
(x – 1)2 = 0
x–1=0
x1 = 1
x –1 – x ≤ 0
x
x–1
^ x–1 h – x 2
≤0
x^x – 1h
ii) x + 2x – 3 = 0
(x – 3)(x + 1) = 0
x–3=0 v
x+1=0
x1 = 3
x2 = –1
x < 1 olduğundan x2 = –1 alınır.
Ç.K. = {–1, 1}
2
^x – 1h
2
^xh
x 2 – 2x + 1 – x 2
≤0
x ^x – 1h
–2x + 1 ≤ 0
x ^x – 1h
x
–2x + 1
x(x – 1)
Yanıt: {–1, 1}
x
x –1
1
2
0
+
–
1
+
–
Ç.K. = (0, 1 B , ^1, 3h
2
Yanıt: (0, 1 B , ^1, 3h
2
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
5. |x – 2| . |x – 4| = 4 – x
|(x – 2) (x – 4)| = 4 – x
(x – 2) (x – 4) = 4 – x v
2
2
. cos 35° +
. sin 35°
2
2
cos 2x = cos 45° . cos 35° + sin 45° . sin 35°
cos 2x = cos(45° – 35°)
cos 2x = cos 10°
2x = 10° ⇒ x = 5° bulunur.
8. cos 2x =
(x – 2) (x – 4) = –(4 – x)
(x – 2) (x – 4) + (x – 4) = 0
(x – 4) (x – 2 + 1) = 0
(x – 4)(x – 1) = 0
(x – 2) (x – 4) – (x – 4) = 0
x – 4 = 0 v x – 1 = 0 (x – 4) (x – 2 – 1) = 0
x1 = 4
x2 = 1 (x – 4)(x – 3) = 0
x–4=0vx–3=0
x1 = 4
x2 = 3
|x2 – 6x + 8| = 4 – x
x = 1, 3, 4 denklemi sağladığından
1 + 3 + 4 = 8 bulunur.
9.
D
a
2
sin 2 x – cos 2 x =
1 – cos 2 x – cos 2 x =
1 – 2 cos 2 x =
cos x = 1 bulunur.
4
2
Yanıt: ` 1 j
4
7. cos10° = x
1
10°
cos 80°
=
tan 80° + tan 10°
x
1 – x2
1
x + 1 – x2
x
1 – x2
2
= 2 1– x 2 2
^
x + 1– x h
x ^1 – x 2h
=
=
^1 – x 2 h2 .x
2
x 2 + ^1 – x 2h
^1 – x 2 h2 .x
^x 2 – 1 h2 .x
olur.
2
4h = 4
^
x + 1 – 2x + x
x – x2 + 1
2
Delta Kültür Yayınevi
F
80°
1–x2
x
b
2
6
B
x + a + b = 90°
cot x = tan(a + b)
= tan a + tan b
1– tan a . tan b
3+2
5
= 6 6 = 6 = 1 bulunur.
5
3 2
1– .
6
6 6
www.deltakitap.com
sin x – cos x =
cos x
sin x
sin 2 x – cos 2 x =
cos x . sin x
C
F
6. 0 < x < r
tan x – cot x =
3
4
A
1
sin 2x
1
2 sin x . cos x
1
2 sin x . cos x
1
2
1
2
1
2
E
6
Yanıt: (8)
3
Yanıt: (1)
10.2 . cos 2x = 3 . tan 2x
2 . cos 2x = 3 . sin 2x
cos 2x
2 . cos2 2x = 3 sin 2x
2(1 – sin2 2x) = 3 . sin2x
2sin2 2x + 3sin2x – 2 = 0
2sin2x
–1
sin2x
2
(2sin2x – 1)(sin2x + 2) = 0
2sin2x – 1 = 0
v
sin2x + 2 = 0
sin2x = 1
sin2x = –2
2
–1 ≤ sin2x ≤1 olduğundan
sin2x = –2 olamaz.
r
0 ≤ x ≤ & 0 ≤ 2x ≤ r olur.
2
sin2x = 1 ise 2x = r v 2x = 5r
2
6
6
x1 = r
12
r
5
r
x1 + x2 =
+
12 12
= 6r
12
= r bulunur.
2
x 2 = 5r
2
Yanıt: ` r j
2
2. DÖNEM 1. YAZILI SINAVI (SAYFA 68)
1.
1 + 1 = 8,
cos 2 x sin 2 x
^sin 2 xh
4. log x x = a
0 ≤ x ≤ 2r
0 ≤ 2x ≤ 4r
^cos 2 xh
sin 2 x + cos 2 x = 8
sin 2 x. cos 2 x
2 . 4 sin 2 x. cos 2 x = 1
2 ^2 sin x . cos x h2 = 1
2 . sin 2 2x = 1
sin 2 2x = 1
2
log x x – log x y = 1
a
1
1 – = log x y
a
log x y = a – 1 & log y x = a
a
a –1
log y y =
x
3r , 2x = 5r , 2x = 7r ,
4
4
4
7
3r
5
r
x4 = r
x3 =
8
8
8
2x = r + 2r, 2x = 3r + 2r,
4
4
9
r
11
r
x5 =
x6 =
8
8
2x = 7r + 2r,
4
15
r
x8 =
8
x
2.
y = 2cos2x
r
4
r
2
3r
4
p
2
0
–2
0
1
y
x
1
=
log y y – log y x
=
log y
1
a
a –1
1
=
a –1– a
a –1
2x = 5r + 2r,
4
13
r
x7 =
8
0
1
1–
= 1 – a bulunur.
Yanıt: (1 – a)
www.deltakitap.com
2x = r , 2x =
4
r
x1 =
x2 =
8
x
log x x = 1
y a
sin 2x = ± 1
2
log y y = ?
y
y
2
5. log3 = x ve log5 = y
π
2
O
π
4
3π
4
π
x
log 3 x
= & log 5 3 = x
log 5 y
y
log 75 375 = log 75 ^5.75 h
= log 75 5 + log 75 75
–2
3.x2 – mx + n(m – 1) = 0
sina + cosa = m (kökler toplamı)
sina . cosa = n . (m – 1) (kökler çarpımı)
(sina + cosa)2 = m2
sin2a + 2sina . cosa + cos2a = m2
1 + 2 . n(m – 1) = m2
2n (m – 1) = m2 – 1
^ m–1 h^m + 1 h
n=
2. ^m–1 h
m
+
1 bulunur.
=
2
=
1
+1
log 5 75
=
1
+1
log 5 ^3.5 2 h
=
1
+1
log 5 3 + log 5 5 2
1 +1
x +2
y
y
=
+ 1
1
x + 2y
=
^x + 2yh
3y + x
=
bulunur.
x+y
Yanıt: ` m + 1 j
2
Yanıt: c
3y + x
m
x+y
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
Z
] n + 1,
] 2n + 3,
9. a n = [
] 3n + 1,
] n + 5,
\
2
6. f ^xh = ln c x + 2x–3 m
x–2
x 2 + 2x – 3 > 0
x–2
(x2 + 2x – 3) = (x + 3) (x – 1) = 0
x1 = –3 v x2 = 1
x–2=0
x = 2 (paydanın kökü)
x
–3
x + 2x – 3
2
–1
–
+
–
n / 0 (mod 4) ise
n / 1 ^mod 4 h ise
n / 2 (mod 4) ise
n / 3 (mod 4) ise
8 ≡ 0(mod 4)
9 ≡ 1(mod 4)
14
≡ 2(mod 4)
23
≡ 3(mod 4)
a8 + a9 + a14 – a23
= (8 + 1)+(2 . 9 + 3)+(3 . 14 + 1) – (23 + 5)
= 9 + 21 + 43 – 28
= 45 bulunur.
2
+
x–2
Ç.K. (–3, –1) U (2, ∞)
Yanıt: (45)
Yanıt: (–3, –1) U (2, ∞)
7.x2 – 5x + log^m + 1h ^m 2 + 2h = 50
(m + 1)2 = m2 + 2
m 2 + 2m + 1 = m 2 + 2
m = 1 bulunur.
2
Yanıt: ` 1 j
2
www.deltakitap.com
x1 . x2 = log^m + 1h ^m 2 + 2 h
2 = log^m + 1h ^m 2 + 2 h
8. a n = 3n + 4 > 3
2n – 5
3n + 4 – 3
1
2n–5
^2n – 5h
>0
10. 2x + a, x + 4 ve 2 + 3a
3n + 4 – 6n + 15 > 0
2n – 5
–3n + 19 > 0
2n – 5
–3n + 19 = 0
n = 19
3
2n – 5 = 0
n = 5 paydanın köküdür.
2
–3n + 19
–
19
3
5
2
n
+
–
n = 3, 4, 5, 6
4 tane terim vardır.
x+a = 4
x – 3 a = –2
4x = 10
x = 5 dir.
2
x – a = 5 – 3 = 1 bulunur.
2 2
Yanıt: (1)
Yanıt: (4)
Delta Kültür Yayınevi
3/
5 +a = 4
2
a = 3 dir.
2
2n – 5
5 < n < 19
2
3
hem aritmetik hem de geometrik dizinin elemanları
ise sabit dizidir.
2x + a = x + 4 = 2 + 3a
2x + a = x + 4,
x + 4 = 2 + 3a
x + a = 4
x – 3a = –2
2. DÖNEM 2. YAZILI SINAVI (SAYFA 77)
1.
cos 2 ^x + 45° h 1
=
cos 2 x – sin 2 x 3
2
4. ^a nh = c 2n + 5n + 13 m
n+2
^ cos ^x + 45° hh2
= 1
^cos x – sin x h^ cos x + sin x h 3
^ cos x . cos 45° + sin x . sin 45° h2
= 1
3
^ cos x – sin x h . ^ cos x + sin x h
2
c cos x. 2 – sin x . 2 m
2
2
= 1
^ cos x – sin x h^ cos x + sin x h 3
1 ^cos x– sin x h2
2
= 1
^cos x - sin x h^ cos x + sin x h 3
2n2 + 5n + 13 n + 2
2n + 1
– 2n2 + 4n
n + 13
– n+2
11
2n 2 + 5n + 13 = 2n + 1 + 11
n+2
n+2
n + 2 = 11
n=9
1 tanedir.
3(cosx – sinx) = 2(cosx + sinx)
3cosx – 3sinx = 2cosx + 2sinx
cosx = 5sinx
cos x = 5
sin x
cot x = 5 bulunur.
Yanıt: (1)
www.deltakitap.com
Yanıt: (5)
2. log3 = x
1
11
log ^11, 11 h = log f 11
p
99
9
= log c 100 m
9
= log 100 – log 9
= log 10 2 – log 3 2
= 2 log 10 – 2. log 3
= 2 – 2x
Yanıt: (2 – 2x)
n
5. S n = 2 6a n + a 1@
S 9 = 9 6a 9 + a 1@
2
2
18 =
log 3 15 + log 5 15
3.
log 3 5 . log 5 15
=
log 3 15
log 3 15 . log 5 15
+
a + a9
9
a + a 1@, c 1
= a 5 m & a 1 + a 9 = 2a 5
26 9
2
a9 + a1 = 4
2a5 = 4
a5 = 2 dir.
S 5 = 5 6a 5 + a 1@
2
= 5 62 + 4@
2
= 15 bulunur.
log 5 15
log 3 15. log 5 15
= log 15 5 + log 15 3
= log 15 15
= 1 bulunur.
Yanıt: (1)
Yanıt: (15)
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
6. A(2, 3) B(–1, 2) C(a, b)
8.
2 + ^–1 h + a 3 + 2 + b
m
,
3
3
Gc 1 + a , 5 + b m
3
3
a
+
1
G' c
+ 3, 5 + b – 2 m = G' ^5, 1 h
3
3
Gc
1 + a + 3 = 5,
3
1+a = 2
3
a=5
x=5
y
A(3,2)
D(7,2)
O
x
y = –2
B(3,–6)
5+b –2 = 2
3
5+b = 4
3
b=7
C(7,–6)
A(ABCD) = 8 . 4
= 32 br2
A(2, 3), B(–1, 2) ve C(5, 7) olur.
Yanıt: (32)
&h 1
A ^ABC
= –
2
–
–
=
=
=
=
1
2
1
2
1
2
9
2
B
2.2 + ^–1 h 7 + 5.3 – ^3 ^–1 h + 2.5 + 7.2 h
O
4 – 7 + 15 – ^–3 + 10 + 14 h
12 – 21
br 2 olur.
|OA|2 = 42 + 22
&
|OA| = 2 5 br, AOB bir kenarı 2 5 br olan eşkenar üçgendir.
2
& h = ^2 5 h . 3
A ^ABC
4
4 .5. 3
=
4
= 5 3 br 2 bulunur.
Yanıt: ^5 3 h
C(a,b)
3x – 2y + 5 = 0 doğrusu üzerinde bir nokta alalım.
y = 1 için 3x – 2 . 1 + 5 = 0
3x = –3
x = –1
B'nin A'ya göre yansıması
C(a,b) ise a + ^–1 h
= 1,
2
a = 3' tür.
1+b = 3
2
b = 5 ' tir.
3
C(3, 5) noktasından geçen eğimi
olan doğrunun
2
denklemi
y – 5 = 3 ^x – 3h
2
2y – 10 = 3x – 9
2y – 3x – 1 = 0 olur.
Yanıt: (2y – 3x – 1 = 0)
Delta Kültür Yayınevi
x
2
10.
y
A( 3, 5)
yı
2 3ı
x
H
2
30°
3x – 2y + 5 = 0
m= 3
2
A(1,3)
B(–1,1)
4 A(2,4)
60°
Yanıt: 9
2
7.
y
9.
+
+
+
www.deltakitap.com
2 3
–1 2
5 7
2 3
4
2
O
K
60°
60°
30°
3 L
x
30° – 60° – 90° üçgenlerde dikkate alırsak
|OH| = 4 br
|AH| = 2 3 br
A noktasının x'y' düzlemindeki koordinatları
A(4, 2 3 ) olur.
Yanıt: A ^4, 2 3 h
TARAMA TESTİ: MANTIK (SAYFA 9)
1.p ≡ 1,
q ≡ 1,
r≡0
pʹ ≡ 0
qʹ ≡ 0rʹ ≡ 1
I: pʹ ∨ q ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1
→D
II: p ∨ q ≡ 1 ∨ 1 ≡ 0
→Y
III: p ∧ rʹ ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1
→D
IV: p ⇒ q ≡ 1 ⇒ 1 ≡ 1 → D
V: p ⇔ qʹ ≡ 1 ⇔ 0 ≡ 0 → Y
VI: p ∨ (q ∧ r) ≡ 1 ∨ (1∧0)
≡1∨0
≡ 1
→D
a = 4, b = 2 olur.
(a, b) = (4, 2) bulunur.
5.(p ⇒ qʹ) ∨ r ≡ 0
p ⇒ qʹ ≡ 0, r ≡ 0
p ≡ 1,
qʹ ≡ 0,
r≡0
pʹ ≡ 0,
q ≡ 1,
rʹ ≡ 1
I: pʹ ⇒ r ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1
II: q ∧ r ≡ 1 ∧ 0 ≡ 0
III: p ⇔ q ≡ 1 ⇔ 1 ≡ 1
I ve III doğrudur.
Yanıt: E
Yanıt: D
6. 5 farklı önermenin 25 = 32 tane doğruluk değeri vardır.
1 , 0, 1, 0, 1
2.(p ⇒ rʹ)ʹ ∧ (r ∨ q) ≡ 1
3.(q ∨ (p ⇒ r)) ⇔ (p ∨ pʹ) ≡ 0
(q ∨ (p ⇒ r)) ⇔ 1 ≡ 0
q ∨ (p ⇒ r) ≡ 0
q ≡ 0, p ⇒ r ≡ 0
p ≡ 1, r = 0
p, q, r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla
1, 0, 0 bulunur.
Yanıt: A
www.deltakitap.com
(p ⇒ rʹ)ʹ ≡ 1 ,r ∨ q ≡ 1
p ⇒ rʹ ≡ 0
1∨q≡1
p ≡ 1, rʹ ≡ 0 q ≡ 0 dır.
r≡1
p, q, r önermelerinin doğruluk değerleri sırasıyla:
1, 0, 1 dir.
Yanıt: B
önermenin yarısı doğru yarısı yanlış olduğunda ilk
[1. –16.] satır içindedir.
1, 0 , 1, 1, 1
8 doğru 8 yanlış olduğundan
[9. – 16.] satır içindedir.
1, 0, 0 , 0, 1
4 doğru, 4 yanlış olacağından
[9. –12.] satır içerisindedir.
1. 0, 1, 0 , 1
2 doğru 2 yanlış gideceği için
[11. – 12.] satır içerisindedir.
1, 0, 1, 0 , 1
11. satır
II. yol
Önermelerin doğruluk tablosu yapılarak bulunur.
Yanıt: C
7.(p ∨ (q ⇒ pʹ)) ⇒ qʹ
4.(p ⇒ q) ∨ (q ⇒ p)
≡ (pʹ ∨ q) ∨ (qʹ ∨ p)
≡ (pʹ ∨ p) ∨ (qʹ ∨ q)
≡1∨1
≡ 1 bulunur.
Yanıt: E
≡ (p ∨ (qʹ ∨ pʹ) ⇒ qʹ
≡ ((qʹ ∨ pʹ) ∨ p) ⇒ qʹ
≡ (qʹ ∨ (pʹ ∨ p) ⇒ qʹ
≡ (qʹ ∨ 1) ⇒ qʹ
≡ 1 ⇒ qʹ
≡ qʹ
Yanıt: C
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
8.p ⇒ (q ∧ r) önermesinin karşıt tersi
13.(∀x, x2 + 4x – 2 < 0)ʹ
(q ∧ r)ʹ ⇒ pʹ
≡ {∃x, x2 + 4x – 2 ≥ 0} olmalıdır.
≡ qʹ ∨ rʹ ⇒ pʹ
Yanıt: A
Yanıt: A
9. A) p ∨ 0 ≡ p
B) pʹ ⇔ p ≡ 0
C) 1 ⇒ p ≡ p
D) p ∨ pʹ ≡ 1
E) p ∧ 1 ≡ p
14.[(∃x ∈ Q, x – x3 > 0) ⇒ (∀x ∈ N, x2 – x = 0)]ʹ
Yanıt: B
10.p: a + b = a + b ,
≡ [(∃x ∈ Q, x – x3 > 0)ʹ ∨ (∀x ∈ N, x2 – x= 0)]ʹ
≡ (∃x ∈ Q, x – x3 > 0) ∧ (∀x ∈ N, x2 – x = 0)ʹ
≡ (∃x ∈ Q, x – x3 > 0) ∧ (∃x ∈ N, x2 – x ≠ 0) bulunur.
Yanıt: B
p≡0
q≡1
q:
a.b = a . b ,
r:
–a . –b = a . b , r ≡ 0, rʹ ≡ 1
www.deltakitap.com
A) p ⇒ (q ∧ r) ≡ 0 ⇒ (1 ∧ 0)
≡1
B) p ∨ q ≡ 0 ∨ 1 ≡ 1
C) (p ∨ q) ∧ rʹ ≡ (0 ∨ 1) ∧ 1
≡1
D) (p ⇔ r) ∨ p ≡ (0 ⇔ 0) ∨ 0
≡1∨0
≡1
E) (q ⇒ r) ∨ r ≡ (1 ⇒ 0) ∨ 0
≡0∨0
≡0
15.(x2 + y2 = 1)ʹ ⇒ (x = 1 ∧ y = 1)ʹ
≡ (x2 + y2 = 1) v (x ≠ 1 v y ≠ 1)
≡ (x2 + y2 ≠ 1)ʹ ∨ (x ≠ 1 ∨ y ≠ 1)
(x2 + y2 ≠ 1) ⇒ (x ≠ 1 ∨ y ≠ 1)
bulunur.
Yanıt: E
Yanıt: E
11.(p ∨ q)ʹ ⇔ (pʹ Δ qʹ) ≡ 1
(p ∨ q)ʹ ≡ pʹ Δ qʹ olmalıdır.
pʹ ∧ qʹ ≡ pʹ ∧ qʹ
Dolayısıyla Δ, ∧ olmalıdır.
Yanıt: C
16.A) ∀x, x2 ≥ 0 olur.
B) ∃x, x2 – x < 0 doğrudur.
12.p: a = 0
1
–
+
D) ∃x, x2 + 2 < 0 mümkün değildir.
E) ∃x, x2 < 0 mümkün değildir.
II.a . b = 0 ise a = 0 ve b = 0
olmak zorunda değildir.
Yanıt: B
III.a2 + b2 = 0 ise a = 0 ve b = 0’dır.
Yanıt: A
Delta Kültür Yayınevi
0
+
C) ∀x, –x < 0 olmak zorunda değildir.
q: b = 0
I.a + b = 0 ise a = 0 ve b = 0
olmak zorunda değildir.
x
x2 – x
TARAMA TESTİ: BÖLÜNEBİLME VE MODÜLER ARİTMETİK (SAYFA 20)
1.
45
4. 3 x 4
n
k
–
45 = n . k + 5
40 = n . k
(k ∈ Z+)
3
1
40 = 2 . 5
40 sayısının pozitif bölenlerinin sayısı
= (3+1)(1+1) = 8 tanedir.
1 , 2 , 4 , 5 , 8, 10, 20, 40
8 + 10 + 20 + 40 = 78 bulunur.
olduğundan n > 5 olur.
5
sayısı 3, x ve 4 ile tam bölünürse
3x4
304 olursa sayılar 4 ile bölünür.
324
344
364
384
Bu sayılardan 3 ile tam bölünebilmeleri için rakamları toplamı 3 katı olan sayılar 324, 384'dır.
324, 2 ile tam bölünür.
384, 8 ile tam bölünür.
x’in alabileceği değerlerin toplamı 2 + 8 = 10 bulunur.
Yanıt: E
Yanıt: D
–
x
4
y
1
–
x = 4y + 1
x – 1 = 4y olur.
y x–1
3
2
y = 3x – 3 + 2
y = 3x – 1
y + 1 = 3x olur.
www.deltakitap.com
2.
` 1– 1 j . c 1 + 1 m
x
y
y+1
1
–
x
m
=`
j.c
x
y
4. y 3 . x
=
.
x
y
= 12 bulunur.
Yanıt: D
3.
A
5
x
x
6
a
–
A = 5x + 3 , x = 6a + 4 olur.
A = 5(6a + 4) + 3
A = 30a + 20 + 3
A = 30a + 15 + 8
A = 15(2a + 1) + 8
A = 15 . b + 8
(b ∈ Z+)
A sayısının 15 ile bölümünden kalan 8’dir.
3
–
4
x7yz = 50k2 + 30 + z olduğundan
x73z veya x78z'dir.
Bu sayılar 4 ile tam bölünebiliyorsa
x73z
x78z
2 6
0 4 8 olur.
x = 9, y = 8, x = 4 olduğunda toplam en çok olur.
x+y+z=9+8+4
= 21 bulunur.
Yanıt: C
6. 37! – 36! = 37.36!–36!
n
n
a ∈ Z+
5. x7yz = 10k1 + z
3
=
=
=
=
Yanıt: B
3
36!. ^37 – 1 h
3n
36!.36
3n
A . 3 17 .3 2 .2 2
3n
19
B.3 ! Z
3n
36 3
12 3
4
3
1
n en çok 19 olur.
Yanıt: E
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
7. x = 1234567
9. (36)55 + (29)55 ≡ x (mod 65)
A) x + 1 = 1234568
4
4
(–29)55 + 2955 ≡ 0 (mod 65)
68 = 4 . 17 olduğundan x + 1 ! N
4
x = 0 bulunur.
Yanıt: A
B) x – 2 = 1234565
5
5
1234565 sayısının birler basamağındaki rakam 5 olduğu için x – 2 ! N
5
C) x – 1 = 1234566
9
9
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 = 27
= 9.3 olduğundan
x – 1 ! N
9
10.ÖZYAŞARÖZYAŞAR...
D) x + 4 = 1234571
11
11
+– + – + – +
12 3 4 5 7 1 ⇒ (1 + 5 + 3 + 1) – (2 + 4 + 7) ≠ 11.k
www.deltakitap.com
olduğundan x + 4 ! N dir.
11
E) x + 5 = 1234572
6
6
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 2 = 24 ve x + 5
=3.8
sayısı çift sayı olduğundan
x + 5 ! N dir.
6
ÖZYAŞAR 7 harfli bir kelime olduğundan mod 7’ye
göre işlem yapmalıyız.
2017 ≡ 1 (mod 7)
2 017 7
14
288
61
56
57
56
1
Kalan 1 olduğunda aranan harf Ö’dür.
Yanıt: A
Yanıt: D
11.xyz = 4 (mod 9) ise x + y + z = 9k + 4
x2y5z⇒x+2+y+5+z=x+y+z+7
= 9k + 4 + 7
= 9k1 + 2
(k, k1 ∈ Z)
(x2y5z)2017 ≡ a (mod 9)
22017 ≡ a (mod 9)
21 ≡ 2 (mod 9)
22 ≡ 4 (mod 9)
2 ≡ 8 (mod 9)
3
8. EBOB(90, 306)
24 ≡ 7 (mod 9)
306 = 3 . 90 + 36
25 ≡ 5 (mod 9)
90 = 2 . 36 + 18
26 ≡ 1 (mod 9)
36 = 18 . 2 olduğundan
EBOB(90, 306) = 18 olur.
22017 ≡ 2 (mod 9) olur.
Yanıt: B
Delta Kültür Yayınevi
2 017 6
18
336
21
18
37
36
1
a = 2 bulunur.
Yanıt: B
12.225 + 325 + 425 + ... + 2425 ≡ x(mod 25)
15.9x ≡ 23x+2 (mod 7)
9x ≡ 23x. 22 (mod 7)
–1 ≡ x(mod 25)
9x ≡ (23)x . 4 (mod 7)
24 ≡ 24(mod 25)
↓
x = 24 bulunur.
9x ≡ (8)x . 4 (mod 7)
9x ≡ 1x . 4 (mod 7)
9x ≡ 4 (mod 7)
2 25 + 3 25 + ... + ^–3 h25 + ^–2 h25 + ^–1 h25 / x ^mod 5 h
Yanıt: E
(9 ≡ 2 (mod7))
2x ≡ 4 (mod 7) yapan x değerine bakalım.
21 ≡ 2 (mod 7)
22 ≡ 4 (mod 7)
23 ≡ 1 (mod 7)
Kuvvet periyodu 3’tür.
3 ile bölündüğünde 2 kalanını veren büyük iki basamaklı doğal sayı 98’dir.
13.20172017 ≡ x (mod 10) ise
7
≡ x (mod 10) ise
71 ≡ 7 (mod 10)
7 ≡ 9 (mod 10)
2
2 017
4
Yanıt: D
3
73 ≡ 3 (mod 10)
74 ≡ 1 (mod 10)
72017 ≡ 3 (mod 10) bulunur.
Yanıt: D
www.deltakitap.com
2017
14.0! ≡ 1
(0!)2016 ≡ 12016 ≡ 1 (mod 8)
1! ≡ 1
(1!)2016 ≡ 12016 ≡ 1 (mod 8)
16.36. nöbetini tutan hemşire 11. nöbeti için
(2!)2016 ≡ 22016 ≡ 0 (mod 8)
36 – 11 = 25 nöbet tutmuştur.
(3!)
25 . 4 = 100 geriye doğru gitmemiz gerekir.
2016
≡6
2016
≡ 0 (mod 8)
6 ≡ 6 (mod 8)
100 ≡ 2 (mod 7)
6 ≡ 4 (mod 8)
Pazar
2
1
2
6 ≡ 0 (mod 8)
3
4! ve sonraki sayılar
4!, 5!, 6! ... 2016! hepsi 8 ile tam bölünür.
Pazartesi
1
Salı
0
Yanıt: A
(0!)2016 + (1!)2016 + (2!)2016 + ... + (2016)2016 ≡ 2 (mod 8)
olur.
Yanıt: C
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
TARAMA TESTİ: DENKLEM VE EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ (SAYFA 31)
4. 1 – 4 . x–1 + 3 . x–2 = 0
1. ` 2x j – 4x – 3 = 0
x+1
x+1
2
2x = t olsun.
x+1
t2 – 2t – 3 = 0
(t – 3) (t + 1) = 0
t1 = 3 v t2 = –1
x–1 = t olsun.
x–2 = t2 dir.
1 – 4 . t + 3t2 = 0
3t2 – 4t + 1 = 0
(3t – 1) (t – 1) = 0
3t – 1 = 0 v t – 1 = 0
t=1
t= 1
3
1 =1
1 = 1
x
x 3
x=1
x=3
Ç.K. = {1, 3}
2x = 3 & 2x = 3x + 3
x+1
x = –3 tür.
2x = –1 & 2x = –x–1
x+1
x = – 1 tür.
3
Ç.K. = ' –3, – 1 1
3
Yanıt: E
Yanıt: A
5. x + x – 2 = 2
www.deltakitap.com
2. x – 2 x – 2 = 2
2
^x – 2 h2 = ^2 x – 2 h
x2 – 4x + 4 = 4(x – 2)
x2 – 4x + 4 = 4x – 8
x2 – 8x + 12 = 0
(x – 2) (x – 6) = 0
x–2=0 v x–6=0
x = 2
x=6
x = 2 ve x = 6 denklemi sağlar.
Ç.K. = {2, 6} olur.
Yanıt: E
^ x - 2 h = ^ 2 - x h2
x – 2 = 4 – 4x + x2
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x–3=0 v x–2=0
x1 = 3
x2 = 2
x1 = 3 için x + x – 2 = 2
3+ 3–2 = 2
4≠2
x2 = 2 denklemi sağlar.
Ç.K. = {2}
Yanıt: C
1
1
3. x 2 – x 4 – 2 = 0
1
x 4 = t olsun
1
x2
2
= t dir.
t2 – t – 2 = 0
(t – 2) (t + 1) = 0
t–2=0 v t+1=0
t = 2
t = –1
4 x = –1
4 x =2
v
x = 16
denklemini sağlayan x reel sayısı
yoktur.
Ç.K. = {16} olur.
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
6.2x2 + y = 10
x2 – y = 2
___________
3x2 = 12
x2 = 4
x1 = –2 v x2 = 2
x1 = –2 için (–2)2 – y = 2
y = 2’dir.
x2 = 2 için 22 – y = 2
y = 2’dir.
(–2, 2), (2, 2) olur.
2 + 2 = 4 bulunur.
Yanıt: E
7. |x + 2|2 – 4|x + 2| + 3 = 0
10.(x2 + 2x + 2) (x2 – 1) ≥ 0
x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1 > 0’dır.
Dolayısıyla x2 – 1 ≥ 0 işaretini inceleyelim.
x2 – 1 = 0
x=±1
x
–1
1
|x + 2| = t olsun.
t2 – 4t + 3 = 0
(t – 3) (t – 1) = 0
t–3=0 v t–1=0
t=3
t=1
|x + 2| = 3
|x + 2| = 1
x + 2 = –3 x + 2 = 3
x = –5
x=1
Ç.K. = {–5, –3, –1, 1}
x + 2 = –1
x = –3
x2 – 1
+
–
+
Ç.K.: (–∞, –1] ∪ [1, ∞)
veya
R – (–1, 1) dir
x+2=1
x = –1
Yanıt: A
Yanıt: B
x – 2 = 2a – 3
x2 + x – 6 x – 3 x + 1
{–3, –2, –1, 2, 3} kümesinin elemanlarından biri
denklemin kökü olduğuna göre,
x–2
= 2a – 3
^x + 3 h^ x–2 h x – 3 x + 1
x + 3 ≠ 0 , x – 2 ≠ 0 , x – 3 ≠ 0 ,
x ≠ –2
x≠2
x≠3
x = –2 denkleminin kökü olur.
x+1≠0
x ≠ –1
–2 – 2
= 2a – 3
–2 – 3 –2 + 1
^–2 h2 + ^–2 h –6
–4 = 2a – 3
–4 –5 –1
1 = 2a + 3
–5
1 – 3 = 2a & 2 . 5 = 2 a
–5
www.deltakitap.com
8.
11.Δ < 0 olmalıdır.
Katsayıların işareti
+ . + =+
+
^k + 2 h^ k + 5 h2
k –1
< 0
k+2=0
k+5=0
k = –2
k = –5 (Çift katlı kök)
k–1=0
k = 1 (Paydayı sıfır yapan kök)
k
(k+2) . (k+5)2
–5
+
–2
+
1
–
+
k–1
–2 < k < 1 ⇒ k'nın alabileceği
değerler –1, 0'dır.
Yanıt: B
a = 5 bulunur.
Yanıt: D
+
+
9.
^ x – 2 h2 . ^x + 1 h
x–2=0
x = 2 çift katlı kök
x+1=0
x = –1
1 – x = 0 (paydanın kökü)
x=1
(x–2) . (x + 1)
1– x
^–h
≤0
x
2
12.a < 0 ise x2 + ax + a – 2 = 0
–1
–
1
+
x 1 + x 2 = –a
1
= –a > 0
x1 . x2 = a – 2 < 0
1
Kökler ters işaretli ve kökler toplamı pozitif olduğundan
x1 < 0 < x2 ve |x1| < |x2| dir.
Yanıt: D
2
–
–
x–1
Ç.K. = (–∞, –1] ∪ (1, ∞)
Yanıt: E
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
13.
y
15.a . Δ < 0 ise
y = f(x)
y
a < 0 ise Δ > 0 olur
x
O
–4
O
x
3
y
x–2=0
x1 = 2
x
–4
1
–
^x–2 h^x–1 h
f ^xh
–
v
x
O
3
Yanıt: E
+
+
+
a > 0 ise Δ < 0 olur.
x –1 = 0
x2 = 1
2
–
+
(x – 2).(x – 1)
f(x)
^ x – 2 h^ x – 1 h = 0
x 2 –3x + 2 ≤ 0 f ^xh
+
–
+
+
Ç.K.=(–∞, –4) U [1, 2]
www.deltakitap.com
Yanıt: D
16.
14.x2 + x – 6 = 0
y
3
(x + 3) (x – 2) = 0
x+3=0 v
x–2=0
x1 = –3
x2 = 2
–1
x – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
2
x–4=0
x1 = 4
v
x +x–6
–3
x – 2x – 8
–2
+
2
2
–
+
3
x
y = f(x)
x+2=0
x2 = –2
x
2
O 1
4
+
–
+
Ç.K. = (2, 4] bulunur.
Yanıt: A
f(x) = a . (x + 1)(x – 3)
A(0, 3) noktası y = f(x) denklemini sağlar.
3 = a(0 + 1).(0 – 3)
a = –1’dir.
f(x) = –(x + 1)(x – 3) olur.
x = 1 için y = f(x) en büyük değeri alır.
f(1) = –(1+1)(1 – 3)
= –2 . (–2)
= 4 bulunur.
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
TARAMA TESTİ: Trigonometri (SAYFA 47)
1.
2017° 360°
2 160 –6
143°
–2017° = –6 . 360° + 143°
5.
1 + cos 50°
sin 65°. sin 25°
=
1 + 2 cos 2 25° –1
cos 25° sin 25°
=
2 cos 2 25°
cos 25° . sin 25°
Yanıt: D
= 2 cot 25° bulunur.
sin ` x + r j . sec ^x + r h
2
csc ` x + r j . cos ^r – x h
2
cos x .
=
Yanıt: E
1
cos ^x + r h
1
. ^– cos x h
–1
sin ` x + r j
2
1
– cos x
=
– 1
cos x
6. x = r & 18x = r olur.
= 1 bulunur.
=
= – 2 . cos 7x
1 2 sin x . cos x
2
=–
= –4 bulunur.
18
Yanıt: A
3. –1 ≤ cos 2a ≤ 1
–3 ≤ 3 cos 2a ≤ 3
0 ≤ |3 cos 2a|≤ 3
–4 ≤ |3 cos 2a| – 4 ≤ 3 – 4
–4 ≤ x ≤ –1 bulunur.
Ç.K. : [–4, –1] olur.
www.deltakitap.com
2.
cos 3x + cos 11x
sin x . cos x . cos 14x
2 cos ` 3x + 11x j . cos ` 3x–11x j
2
2
=
sin x . cos x . cos 14x
2 cos 7x. cos 4x
sin x . cos x . cos 14x
–1
4 . cos 7x
sin 2x
Yanıt: A
Yanıt: B
7.
D
a
b
4
E 2
K
x
4
b
4. x + y = r
6
(cosx + siny)2 + (sinx + cosy)2
= cos2x + 2cosx . siny + sin2y + sin2x + 2sinx . cosy +
cos2y
= cos2x + sin2x + sin2y + cos2y + 2(cosx.siny +
sinx . cosy)
= 1 + 1 + 2 . sin(x + y)
= 2 + 2 . sin r
6
1
=2+2.
2
= 3 bulunur.
Yanıt: C
A
C
3
a
F
1
B
x = a+b
tan x = tan ^a + b h
= tan a + tan b
1 – tan a . tan b
6+4
= 3 4
4
1– 6 .
3 4
= 2+1
1– 2
= –3 bulunur.
Yanıt: C
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
11. arc cot(3x + 1) = arctan 4
8. a + 4b = r
2
2 cos 2 ` 2b – r j . sin a – sin a
4
cos a. cos 4b
sin a ` 2 cos 2 ` 2b – r j –1 j
4
cos a . cos 4b
cos ` 4b – r j
2
=
cos a
=
sin 4b
cos x
= 1 bulunur.
=
cot(arccot(3x + 1) = cot(arctan 4)
3x + 1 = cot c arctan 4 m
1442
443
a
3x + 1 = 1
4
3x = 1 – 1
4
3x = – 3
4
1
x = – olur.
4
4
a
1
arctan 4 = a
tana = 4
1
cata =
4
Yanıt: C
Yanıt: D
9.
12. 0 < x < p
3
1
–
sin 10° cos 10°
^cos 10°h
4 sinx – 3 . cosx = 5
4
. sinx – 3 . cosx = 1
5
5
4
cosa =
olsun.
5
cosa . sinx – sina . cosx = 1
^sin 10°h
cos 10° – 3 sin 10°
sin 10°. cos 10°
cos 10° – sin 60° . sin 10°
cos 60°
=
sin 10° . cos 10°
cos 60°. cos 10° – sin 60° . sin 10°
cos 60°
=
sin 10°. cos 10°
cos ^ 60° + 10° h
1
2
=
1 . 2. sin 10°. cos 10°
2
2
= . cos 70°
1 . sin 20°
2
= 4 bulunur.
www.deltakitap.com
=
5
4
cos a = 4 ise
5
sin(x – a) = 1
x–a= r
2
r
x = a+
2
3
a
sin a = 3 olur.
5
sin x = sin ` a + r j
2
= cos a
= 4 bulunur.
5
Yanıt: D
Yanıt: E
13. f ^xh = 2. cos 5 ` 2x + r j + 3 sin 2 ` 3x + r j
4
6
144424443
T1
10. sin10° . sin50° . sin70°
= sin 10° . cos 40° . cos 20°
= 2 . cos 10° . sin 10°. cos 20°. cos 40°
2 cos 10°
2
.
sin
20
°
.
cos
20° . cos 40°
=
2 . 2. cos 10°
= 2 sin 40° . cos 40°
2.4. cos 10°
sin
80°
=
8 . cos 10°
= 1 bulunur.
8
T2
T1 = 2r = r
2
r
T2 =
3
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
144424443
f(x) fonksiyonunun periyodu T ise
T = OKEK ` r, r j
3
3
r
= OKEK c , r m
3 3
OKEK ^3r, r h 3r
=
=
3
3
= p bulunur.
Yanıt: D
14.3cos 2x ≡
x
0
r
4
r
2
3r
4
p
sin2x+1
1
2
1
0
1
16.
3 3
– cos 6x
2
3 3
2
3 cos 2x + cos 6x =
2 cos 2x + cos 2x + cos 6x =
3 3
2. cos 2x + 2. cos ` 2x + 6x j . cos ` 2x – 6x j =
2
2
2
2 cos 2x + 2 cos 4x . cos 2x =
2 cos 2x ^1 + cos 4x h =
2 cos 2x ^ 1 + 2 cos 2 2x – 1 h =
4 . cos 3 2x =
3 3
2
y
2
3 3
2
1
3 3
2
O
3 3
2
π
4
π
2
3π
4
π
x
Yanıt: E
3 3
2
3
3m
2
3
cos 2x =
2
0 < x < 3r & 0 < 2x < 3r aralığındaki köklere baka2
lım.
2x = r , 2x = 11r ve 2x = 13r
6
6
6
r
11
r
13
r
x=
, x=
x=
12
12
12
Yanıt: A
www.deltakitap.com
cos 3 2x = c
15.Sin22x – sin4x – 3cos22x = 0
Sin22x – 2sin2x . cos2x – 3cos22x = 0
Sin2x
+ cos2x
Sin2x
–3cos2x
(sin2x+cos2x) . (sin2x – 3cos2x) = 0
sin2x + cos2x = 0 v sin2x – 2cos2x = 0
sin2x = –cos2x
tan2x = –1
tan2x = 2
2x = 3r & x 1 = 3r
4
8
= 7r & x 2 = 7r
4
8
r
11
=
& x 3 = 11r
4
8
r
r
15
15
=
& x4 =
4
8
sin2x = 2cos2x
sin 2x = 2
cos 2x
Yanıt: C
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
TARAMA TESTİ: LOGARİTMA (SAYFA 59)
1. log217 = x ⇒ 21x = 7
^ 3.7 h = 7
x
x
1
x
1
5. f (x) = log 3 &
x
3 .7
= 7x
7
7x
3 x = 7 1–x
x+1
f ^3 a h .f –1 ` 1 j = 6
2
` log 3 a 3 j . 3 = 6
log 3 a 3 1/2 = 2
x
3
= 3 .x3
7 1–x
3
= 3 bulunur.
2
x = f –1 ` log x 3 j
1442443
1
2
log x 3 = 1
2
x 1/2 = 3
x=3
1
2 . log 3 = 2
3
a
1 = 2a
2
a = 1 bulunur.
4
Yanıt: B
Yanıt: A
2. log ` 2 j + log ` 3 j + ... + log c 100 m
1
2
2 3
100
log e . ...
o
1 2
99
= log100
= log102
= 2log10
= 2 bulunur.
6.
Yanıt: E
www.deltakitap.com
99
log 2 c 3 1 m + log 8 c 2 m = 1
b
a
1
log 2 e 1 o + log 8 2– log 8 b = 1
a3
1
log 2 a – 3 + log 2 3 2 1 – log 2 3 b 1 = 1
– 1 log 2 a + 1 log 2 2 – 1 log 2 b = 1
3
3
3
1
– ^log 2 a + log 2 b h = 1– 1
3
3
1
2
– ^log 2 ^a.b hh =
3
3
log 2 ^a.b h = –2
a . b = 2 –2
= 1 bulunur.
4
3. log215! = x
log216! = log2(16.15!)
= log216 + log215!
= log224 + log215!
=4.1+x
=x+4
Yanıt: E
Yanıt: D
7. a ≠ 1
4. log 2 ;log 3 ^1 + log 5 (23 + ahE = 0
1
644444
47
44444
48
log a c b m + ^log b a h2 = 1
a
log a b – log a a + ^log b a h2 = 1
log a b = t olsun.
log b a = 1 olur.
t
1
t –1+ 2 = 1
t
t3 – t2 + 1 = t2
64444744448
log 3 c 1 + log 5 (23 + a) m = 1
1 + log 5 ^ 23 + a h = 3
3
log 5 ^23 + a h = 3 – 1
log 5 ^23 + a h = 2
t 3 – 2t 2 + 1 = 0
5 2 = 23 + a
a = 2 bulunur.
t'lerin toplamı t1 + t2 + t3 = 2’dir.
Yanıt: E
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
8.
1
1
2 log 5 2 + 4 log 3 2
= 2 log 2 5 + 4 log 2 3
log 3
= 5 + ^2 2h 2
11.5 log x 2 + 2 log x 5 = 50
= 5 + ^2 log 2 3 h
= 5+9
5 log x 2 = 2 log x 5 olduğundan
2 . 5 log x 2 = 50
5 log x 2 = 25
5 log x 2 = 5 2
2
= 14 bulunur.
logx2 = 2 ⇒ x2 = 2
= 2 bulunur.
Yanıt: E
Ç.K. : { 2 }
Yanıt: E
9. log(x – 1) + log(x2 + x + 1) = log7
log[(x – 1) (x2 + x + 1)] = log7
log(x3 – 1) = log7
12.
x3 – 1 = 7
x =8
x3 = 23
x = 2 bulunur.
y
x=4
3
logax
logbx
O
www.deltakitap.com
Yanıt: A
x
1
logcx
logdx
Kolaylık olması için
x = 4 için
logax > logbx > logcx > logdx
loga4 > logb4 > logc4 > logd4
f(x) = log 2 ` 1 j tersini bulalım.
x
x = log 2 c 1 m
y
1 = 2x & y = 1
y
2x
f –1 (x) = 1x
2
a = 2, b = 1, c = 1 ve d = 1 alınabilir.
4
2
c < d < b < a olur.
g(f–1(a)) = ln2
13.x = log222
g c 1a m = ln 2
2
log c 1a m = ln 2
2
– log 2 a = ln 2
–a log 2 log e 2
=
log 2
log 2
2
–a = log e . log 210
–a = loge10
24 < 22 < 25
5
log224 < log222 < log22
4<x<5
y = log333
33 < 33 < 34
log 33 < log333 < log334
3
3<y<4
z = log444
42 < 44 < 43
log442 < log444 < log 43
4
2<z<3
z < y < x olur.
10.f(x) = log 2 ` 1 j ve g(x) = logx
x
(gof–1)(a) = ln2
Yanıt: B
a = –ln10 bulunur.
Yanıt: C
Yanıt: D
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
14.f ^xh = log
` 5–x j
x+1
^ 9x – x 2 h
16.|2 – log3x| ≤1
i) 5 – x ≠ 1 & 5 – x ≠ x + 1
x+1
4 ≠ 2x
x≠2
ii) 9x – x2 > 0
9x – x2 = 0
x(9 – x) = 0
x1 = 0 v 9 – x = 0
x2 = 9
x+1=0
x4 = –1 (paydanın kökü)
–1
5–x
x+1
0
–
9x – x
2
–
5
9
+
+
–
–
Ç.K. = (0, 5) – {2}
Yanıt: D
15.xlnx – 1 = e2
Eşitliğin her iki tarafının e tabanına göre logaritmasını alalım.
(lnx – 1) . lnx = lne2
lnx = t olsun.
(t – 1)t = 2
t2 – t – 2 = 0 ⇒ (t – 2) (t + 1) = 0
t–2=0 v t+1=0
t1 = 2
t2 = –1
lnx = 2
lnx = –1
logex = 2
logex = –1
2
e = x1
e–1 = x
x2 = 1
e
Ç.K. = ' 1 , e 2 1
e
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
www.deltakitap.com
x
–1 ≤ 2 – log3x ≤ 1
–1 – 2 ≤ –log3x ≤ 1 – 2
–3 ≤ –log3x ≤ –1
3 ≥ log3x ≥ 1
1 ≤ log3x ≤ 3
log33 ≤ log3x ≤ log33
3 ≤ x ≤ 27 bulunur.
3
Yanıt: E
iii) 5 – x > olmalıdır.
x+1
5–x =0&5–x=0
x+1
x3 = 5
TARAMA TESTİ: DİZİLER (SAYFA 66)
4. ^a nh = ` 2n + 1 j
n+2
1. A) (an) = (n – 3)! ... n – 3 ≥ 0
n≥3
n = 1,2 için (n – 3)! tanımlı değildir.
an = (n – 3)! dizi belirtmez.
B) an = log (16 – n2),
16 – n2 > 0, n ≥ 4 olduğunda tanımsız olur. Dizi
belirtmez
C) an = cotn°
n = 180° için tanımsız dizi belirtmez.
D) an = 22n + 5
n + 3n + 4
2
^ n 2 + 3n + 4 h = ` n + 3 j – 9 + 4
2
4
2
= `n + 3 j + 7
2
16
n = 1, 2, 3, 4, 5
a1 = 3
3
a2 = 5
4
a3 = 7
5
a4 = 9
6
a 5 = 11
7
3
a1 . a2 . a3 . a4 . a5 =
3 5 7 9 11
. . . .
3 4 5 6 7
2
Paydayı sıfır yapan n değeri doğal sayı olmadığından (an) bir dizidir.
= 33 bulunur.
8
1
1
=
n 2 + 5n – 6 ^n + 6 h^n – 1 h
n = 1 için tanımsız olur, dizi belirtmez.
Yanıt: E
E) a n =
n 2 – 4n – 5
2. ^a nh = c n 2 + n + 1 m
n 2 – 4n – 5 < 0
,
n2 + n + 1
www.deltakitap.com
Yanıt: D
6n ! N + için
∀ n ∈ N için n + n + 1 > 0 olduğundan
(+) n2 – 4n – 5 < 0 ifadesine bakalım.
(n – 5)(n + 1) ≤ 0
n–5=0 v n+1=0
n=5
n = –1
2
n
n2 - 4n - 5
–1
+
5.an+2 – an+1 = an, a12 + a15 = 24
n = 12 için a14 – a 13 = a 12
n = 13___________________
için –/a15 – a14 = a 13
2a14 – a15 = a12
a14 =
a 12 + a 15
2
24
=
2
= 12 bulunur.
Yanıt: B
5
–
+
n = 1, 2, 3, 4 için (an) dizisinin terimleri negatif olur.
Yanıt: C
3.(an) sabit dizi ise
a4 = a2 = a5 = k olsun.
k – 1 = k+2
2
3
3k – 3 = 2k + 4
3k – 2k = 7
k=7
a5 = 7 olur.
6.an+1 = an + 2n,
a1 = 3
n = 1 için a 2 = a 1 + 2 . 1
n = 2 için a 3 = a 2 + 2 . 2
n = 3 için a 4 = a 3 + 2 . 3
n = n – 1 için an = a n–1 + 2(n – 1)
_________________________
an = a1 + 2(1+2+3+ ... + n – 1)
2 ^n – 1 h .n
= 3+
2
Yanıt: E
= n2 – n + 3 olur.
Yanıt: D
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
7. S = n 6a + a @
n
n
2 1
,
S 9 = 9 . ^a 1 + a 9h
2
= 9 . 15
10.S9 – S7 = 12
a1 + a9
= a5
2
a1 + a9
= 15
2
= 135 bulunur.
S n = n 6a 1 + a n@
2
S 9 = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a 7 + a 8 + a 9
– S 7 = a 1 + a 2 + a 3 + ... + a 7
S9 – S7 = a8 + a9
Yanıt: D
12 = a 8 + a 9
S 16 = 16 6a 1 + a 16@
2
(a1 + a16 = a8 + a9 olduğundan)
S16 = 8. 12
= 96 bulunur.
Yanıt: D
8. x, 3, y aritmetik dizisinin ilk üç terimi ise
3=
x+y
2
x + y = 6'dır.
y, 2, x geometrik dizisinin ilk üç terimi ise
22 = x.y
x.y = 4'tür.
(x + y)2 = 62
x2 + 2xy + y2 = 36
x2 + y2 + 2 . 4 = 36
x2 + y2 = 28 bulunur.
11.a1 + a2 + a3 + a4 = 15
a5 + a6 + a7 + a8 = 240
a + a r + a r2 + a r3
1
Yanıt: A
9.(an) aritmetik dizi ve ortak farkı d olsun.
a4 + a7 = 42
a13 – a10 = 12
a5 = a4 + d ⇒ a4 = a5 – d
a7 = a5 + (7 – 5)d
= a5 + 2d
a13 = a5 + (13 – 5)d
= a5 + 8d
a10 = a5 + (10 – 5)d
= a5 + 5d
a4 + a7 = 42 ⇒ a5 – d + a5 + 2d = 42
a13 – a10 = a 5 + 8d – ^ a 5 + 5d h = 12
3d = 12
d = 4'tür.
1
1
a 1 ^1 + r + r 2 + r 3h
a 1 r 4 ^1 + r + r 2 + r 3h
= 15
240
= 1
16
4
4
` 1 j = ` 1 j & r = 2'dir.
r
2
a1 + a2 + a3 + a4 = 15
a1 + a1r + a1r2 + a1r3 = 15
a1 (1 + r + r2 + r3) = 15
a1 (1 + 2 + 22 + 23) = 15
a1 = 1’dir.
a3 = a1 . r2
= 1.22
= 4 bulunur.
Yanıt: B
12.a1 . (a1r) . (a1r2) ... (a1r6) = 1
2a5 + d = 42
2 . a5 + 4 = 42
2a5 = 38
a5 = 19 bulunur.
Yanıt: D
Delta Kültür Yayınevi
1
a 1 .r 4 + a 1 r 5 + a 1 r 6 + a 1 r 7
www.deltakitap.com
128
1
=
^a 1h
128
6^ 6 + 1 h
1 7
^a 1 h7 . r 2 = ` j
2
7
3.7
7
=`1j
^a 1h . r
2
7
7
^ a 1 .r 3 h = ` 1 j
2
a 1 .r 3 = 1
2
1
a 4 = bulunur.
2
7 . r 1 + 2 + ... + 6
Yanıt: B
13.
a4 + a9
= 27
a 7 + a 12
2
3
15.1 + 1 + 2 + 12 + 2 2 + 13 + 2 3 + ...
2
a4 + a9
= 27
a 4 .r 3 + a 9 .r 3
1 ^a 4 + a 9 h = 27
r 3 ^a 4 + a 9h
r3 = 1
27
r = 1 bulunur.
3
`1j
2
N1 + 1
www.deltakitap.com
14.
12 +
= 12 + 12.2 1 ;1 + 1 + c 1 m + c 1 m + ... + c 1 m E
3
3
3
3
3
3
3
2
3
N2 + 1
ve c 2 m
3
sıfıra yaklaşır.
= 1 +2. 1
1 3 1
2
3
3
2
= 2+ .
3 1
= 4 bulunur.
Yanıt: C
16.
4S
12 + 2 ;12. 1 + 12. 1 . 1 + 12. 1 . 1 . 1 + ...E
3
3 3
3 3 3
2
2
2
3
N2
2
3
N1
= 1 + 1 + ` 1 j + ` 1 j + ... ` 1 j + 2 + c 2 m + c 2 m + ... + c 2 m
2
2
2
2
3
3
3
3
N1 + 1
1– ` 1 j
2
N2
2
=
+ 2 c 1 + c 2 m + c 2 m + ... + c 2 m m
1
3
3
3
3
1–
2
N2 + 1
N1 + 1
1
1– c 2 m
1– ` j
3
2
2
=
+ .
3
1– 2
1– 1
2
3
N1 ve N2 yeteri derece büyüdüğünde
Yanıt: A
12 . 1 + ...
3
3
S
N
4S
S
S
S
4S
N+1
1– c 1 m
3
1
= 12 + 2. 12 . .
3
1– 1
3
N+1
1
N büyüdükçe c m
sıfıra yaklaşır.
3
4
4
= 12 + 8 . 3
2
= 24 m. bulunur.
En büyük üçgenin alanının 1 ü, takip eden eşkenar
4
üçgenin alanına eşitir.
12 3 1 12 3 1 1 12 3
+ .
+ . .
+ ...
4
4
4 4
4
4
=
=
Yanıt: B
=
=
=
2
3
N
3
. c 1 + 1 + ` 1 j + ` 1 j + ... + ` 1 j m
4
4
4
4
4
1 N+1
3 1– ` 4 j
.
4
1– 1
4
3 1
.
4
3
4
3 4
.
4 3
3 2
br bulunur.
3
Yanıt: A
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
TARAMA TESTİ: DÖNÜŞÜMLER (SAYFA 75)
1. A(3, 4) → A' (3 – 2, 4 + 3)
= A' (1, 7) bulunur.
4. y + 2x + 5 = 0 doğrusuna y = x göre simetriği
Yanıt: D
denklemde y yerine x ve x yerine y yazılır.
x + 2y + 5 = 0 olur.
Yanıt: A
2. 2x – y + 3 = 0 doğrusunun eğimi m ise m = 2'dir.
Doğru üzerinde bir nokta alalım.
x = 0 için 2 . 0 – y + 3 = 0
y = 3’tür.
A(0,3) olur. A noktasını 2 br sağa, 3 birim aşağı ötenirse A'(2, 0) noktası olur.
Eğimi m = 2 ve A'(2,0) noktasından geçen doğrunun
denklemi
y – 0 = 2(x – 2)
y = 2x – 4
y – 2x + 4 = 0 olur.
Yanıt: E
3.
y
6
H
3 β
D(0, 6)
6
α
C(6, 9)
α
B
β
O
3
x
A(3, 0)
5. A(–2, 1) noktasının x eksenine göre simetriği
www.deltakitap.com
A'(–2, –1)dir. ax + by – 6 = 0
–2a – b = 6 ... (*)
A(–2, 1) noktasının y eksenine göre simetriği
A''(2, 1)'dir.
bx – ay + 2 = 0
2b – a = –2 ... (**)
(*) ve (**) dan
–2(–2) – b = 6
4–b=6
b = –2’dir.
a + b = –4 bulunur.
2/–2a – b = 6
2b – a = –2
–5a = 10
a = –2'dir.
& , CHD
&,
DOA
Üçgenlerin eşliğinden |DH| = 3 br
|HC| = 6 br olduğundan C(6,9) dur.
k birim aşağı ötelensin.
C noktasının x eksenine olan uzaklığı 9 br’dir.
Yanıt: A
y
C'
6.
k
D'
OK
k
L
B'
A(2a + 3, b+2)
x
A'
k birim aşağı öteleme
A(D'KLC') = A(A'B'LK) olduğundan C' ve A' noktalarının x eksenine olan uzaklıkları eşittir ve k birimdir.
2k = 9 & k = 9 br olur.
2
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
x=1
B(1–a, a–1)
C(1, ?)
2a + 3 + 1– a = 1,
2
a+4 = 2
a = –2'dir.
b+2 = a –1
b + 2 = –2 – 1
b = –5'tir.
a + b = –2 – 5
= –7 bulunur.
Yanıt: B
7. A(1, 3) noktasının y = –x doğrusuna göre simetriği
10.A(2a – 2, 6) noktasının y eksenine göre yansıması
B(–3, –1) dir. B noktasının y = x doğrusuna göre simetriği C(–1, –3) tür.
AC = ^1 – ^–1 hh2 + ^3– ^–3 hh2
= 4 + 36
= 2 10 br bulunur.
B(–2a + 2, 6) noktası olur.
|–2a + 2| = 6 olmalıdır.
– 2a + 2 = –6 v –2a + 2 = 6
–2a = –8
–2a = 4
a = 4 tür.
a = –2’dir.
4 + (–2) = 2 bulunur.
Yanıt: C
Yanıt: D
11.
x
8. d1: 2x – 3y + 5 = 0
2 = –3 ≠ 5
–4
6
–3
doğrular paraleldir.
d1
d2
d3
L
x
Aı
4x – 6y + 10 = 0
–7
4x – 6y + 3 = 0
–7
4x – 6y – 4 = 0
d3 doğrusu –2x + 3y + 2 = 0’dır.
Yanıt: C
www.deltakitap.com
d2: –4x + 6y – 3 = 0
D
a
60°
60° a
C
Cı
a√3
30° °
30
Dı
30°
A
a√3
B
DL
= 1 olur.
LDl
12.
Yanıt: E
y
A
α
α
6
B(6, 3)
3
2α
O
B'
9.
x–y+7=0
A(–m, m+1)
C
B(–m–2, m+3)
C
C noktası [AB] orta noktasıdır ve
x – y + 7 = 0 doğrusunu sağlar.
x
3
ABC üçgenin AC doğrusuna göre yansıması AB'C
dir.
AB' doğrusunun eğimi
m AB' = – tan 2a
= – 2 tan a2
1 – tan a
2. 1
2
=–
2
1– ` 1 j
2
=– 1
3
4
4
= – bulunur.
3
= C ` –m–m–2 , m + 1 + m + 3 j
2
2
= C ^–m–1, m + 2 h
x–y+7=0
–m – 1 – (m + 2) + 7 = 0
–m – 1 – m – 2 + 7 = 0
–2m + 4 = 0
m = 2 bulunur.
Yanıt: D
Yanıt: A
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
13.
15.
y
6
C(0, 8)
8
8
B(6, 8)
2
C' βα K
a
B'
6
6
x
A(6,0)
6
O
&
&
BC
'K + BAO
a = 2 & a = 3 br dir.
2
6 8
x
B'
&
90°
CCl = 2r . 6 .
360°
2
Taralı alan = 6 . 8 – 3 .
2
2 2
= 45 br 2 bulunur.
2
A
2
&
CCl yarıçapı 6 br olan çember yayının uzunluğunun 1 'üne eşittir.
4
4
C'
4 2
A'
B(2, 4 2 )
C
β
O
y
4
= 3r br bulunur.
Yanıt: B
www.deltakitap.com
Yanıt: C
14.
C
√10
A(1,3)
√10
60° 30° √
10
O
16.
y
B
5
5
x
5
&
COB
dik üçgeninde pisagor bağıntısı yazılırsa
2
2
= ^ 10 h + ^ 10 h
= 10 + 10
= 20
BC = 2 5 br bulunur.
BC
A
C(–3, 4)
B
2
Yanıt: D
Yanıt: D
Delta Kültür Yayınevi
|AB| = 10 br bulunur.
1. DÖNEM SONU DENEME SINAVI (SAYFA 50)
1.p ≡ 1,
q' ≡ 1 ve r ≡ 1 olmak üzere,
p' ≡ 0
q ≡ 0
r' ≡ 0
I.
p' v q ≡ 0 v 0 ≡ 0
II.p v r ≡ 1 v 1 ≡ 0
III.q ⇒ r ≡ 0 ⇒ 1 ≡ 1
IV. q' ∧ r ≡ 1 ∧ 1 ≡ 1
V.q ⇔ r' ≡ 0⇔ 0 ≡ 1
3 tanesi doğrudur.
Yanıt: C
5. I:
p v p' ≡ 1
II: p ∧ p' ≡ 0
III: 1 v p ≡ 1
IV: p ⇔ p' ≡ 0
V: 0 ⇒ p' ≡ 1
I, III ve V doğru
Yanıt: C
6.(∀x, x2 = 4) v (∃x, x < 1)
2.p ⇒ (p ⇒ q')'
≡ p ⇒ (p' v q')'
≡ p' v ((p')' ∧ (q')')
≡ p' v (p ∧ q)
≡ (p' v p)∧(p' v q)
≡ 1 ∧ (p' v q)
= p' v q bulunur.
Yanıt: B
Yanıt: A
3.(p ⇒ q') v r ≡ 0
p ⇒ q' ≡ 0, r ≡ 0
p ≡ 1, q' ≡ 0 r' ≡ 1
p' ≡ 0, q ≡ 1
I:
p' ⇒ r ≡ 0 ⇒ 0 ≡ 1
II: p ∨ q' ≡ 1 ∨ 0 ≡ 1
III: p ⇔ q ≡ 1 ⇔ 1 ≡ 1
I, II ve III doğrudur.
Yanıt: E
www.deltakitap.com
≡ (∀x, x2 = 4)' ⇒ (∃x, x < 1)
önermesinin karşıt tersi
≡ (∃x, x < 1)' ⇒ ((∀x, x2 = 4)')'
≡ ((∃x, x < 1)')' v (∀x, x2 = 4)
≡ (∃x, x < 1) v (∀x, x2 = 4)
7.
–
x
3
y
12 – y
–
x
3
12 – y
y
i)
3 < y ve
ii) 3 < 12 – y
y<9
i ve ii'den 3 < y < 9 olur
y = 4, 5, 6, 7, 8
x = y(12 – y) + 3
y = 4 için x = 4 . 8 + 3 = 35
y = 5 için x = 5 . 7 + 3 = 38
y = 6 için x = 6 . 6 + 3 = 39
y = 7 için x = 5 . 7 + 3 = 38
y = 8 için x = 8 . 4 + 3 = 35
x = 35, 38, 39 olduğundan 3 farklı değer alır.
Yanıt: B
8.n ∈ N
4.(p ⇒ q)' v (p ∧ q)
–
A
32
n
n3
n3 < 32 olacağından n'nin alabileceği en büyük değer 3'tür.
A = 32 . n + n3
= 32 . 3 + 33
= 96 + 27
= 123 bulunur.
Yanıt: D
≡ (p' v q)' v (p ∧ q)
≡ ((p')' ∧ q') v (p ∧ q)
≡ (p ∧ q') v (p ∧ q)
≡ p ∧ (q' v q)
≡p∧1
≡ p bulunur.
Yanıt: C
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
12.a . b = 240
11
9. 16
⇒ 11 – 5 = 6
5
13
20
⇒ 13 – 7 = 6
7
m
24
n
m + n = 24 ve m – n = 6 olacak şekilde
m, n asal sayısı yoktur.
b = 240 , a, b ∈ Z olduğundan 240 sayısını tam böa
len sayıların sayısı kadar a tam sayısı vardır.
240 = 24 . 31 . 51
240 tam bölenlerinin sayısı
= 2 . (4 + 1) (1 + 1) (1 + 1)
=2.5.2.2
= 40 bulunur.
Yanıt: D
19
32
⇒ 19 – 7 = 6
13
23
40
⇒ 23 – 17 = 6
17
10.x ∈ Z+
EKOK(6, x) = EBOB(24, x)
olduğundan x, 6 ve tam katları ile 24'ü tam bölen
sayılar olmalıdır.
x = 6, 12, 24 olursa eşitlik sağlanır.
6 + 12 + 24 = 42 bulunur.
Yanıt: D
6
11.3 – 1 ! Z ve 4 < x < 32
x
sağlayan x sayılarını bulalım.
^ 3 3 h2 – 1 = ^ 3 3 – 1 h^3 3 + 1 h
= 26 . 28
= 2 . 13 . 2 2 .7
= 2 3 . 7 . 13
2 3 .7.13 ! Z olması için
x
x = 7, 8, 13, 14, 26, 28 olmalıdır.
x'lerin sayısı 6 tanedir.
Yanıt: C
Delta Kültür Yayınevi
www.deltakitap.com
Yanıt: C
13.x, y ∈ Z+
45 . x = y3
32 . 5 . x = y3
9
3 1 .5 2
x sayısını 31 . 52 olarak aldığımızda en küçük y tam
sayısını buluruz.
33 . 53 = y3
y3 = 153
y = 15 olur.
Yanıt: A
14.a, b ∈ Z+
16.ELYILDIRIMELYILDIRIM...
ELYILDIRIM 10 harfli bir kelime olduğuna göre,
2016 ≡ 6 (Mod 10)
ELYILDIRIM
Yanıt: B
^a + 1 h ! – a!
= 120
a . b!
^a + 1 h a! – a!
= 120
a . b!
a! ^a + 1 –1 h
= 120
a . b!
a! . a
= 120.b!
a
i) a! = 120 . b!
b = 0 olursa a! = 120 . 0!
= 5!
a = 5’tir.
a+b=5+0
= 5 olur.
ii) b = 1 olursa a! = 120 . 1!
= 5!
a = 5’tir.
a+b=5+1
= 6 olur.
iii) b = 119 olursa a! = 120 . 119!
= 120!
a = 120’dir.
a + b = 120 + 119
= 239 olur.
iv) b = 3 olursa
a! = 120 . 3!
= 5! . 6
= 6!
a = 6’dır.
a+b=6+3
= 9 olur.
a + b toplam 4 farklı değer alır.
www.deltakitap.com
2
17.` x j – 8 x + 15 = 0
x+2
x+2
Yanıt: D
x = t olsun.
x+2
t2 – 8t + 15 = 0
(t – 5)(t – 3) = 0
t–5=0 v t–3=0
t1 = 5
t=3
x = 5 & x = 5x + 10
x+2
x = – 5 tir.
2
x = 3 & x = 3x + 6
x+2
x = –3'tür.
Ç.K. = $ –3, –5 . bulunur.
2
Yanıt: D
18.m > 2 ise
15.2015
6
2017
2017
≡ x(mod 7)
≡ x(mod 7)
(–1)2017 ≡ –1(mod 7)
≡ 6(mod 7)
2 015 7
14
287
61
56
55
49
6
x = 6 bulunur.
Yanıt: E
(m – 2)x2 – 3mx + 3m – 6 = 0
olduğundan 0 < x1 < x2 olur.
– ^–3m h
m–2
= 3m > 0
m–2
x 1 . x 2 = 3m – 6 > 0
m–2
x1 + x2 =
Yanıt: A
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
21.A = 4 . cos(45° + x)
19.i) x + 1 ≥ 0
x
x – 2< 3
x
3
x–2– <0
x
x 2 – 2x – 3 < 0
x
+
x
1 ≥ 0 eşitsizliğinin a'sının işareti + = + dır.
i)
+
x
ii)
–1 ≤ cos(45° + x) ≤ 1
–4 ≤ 4cos(45° + x) ≤4
–4 ≤ A ≤ 4
A'nın alabileceği 9 tane tam sayı değeri vardır.
Yanıt: E
x+1=0
x = –1
x = 0 (paydanın kökü)
2
ii) x –2x–3 < 0 eşitsizliğinin a'sının işareti + = + dır.
+
x
^x – 3 h^x + 1 h
<0
x
x – 3 = 0,
x + 1 = 0 (payın kökü)
x=3
x = –1
x = 0 (paydanın kökü)
x
–1
0
x+1
x
+
–
x 2 –2x–3
x
–
+
22.0 < a < r < b < r olmak üzere,
2
A) tanb > cota yanlıştır.
tanb < 0 çünkü geniş açının tanjantı negatiftir,
cotx < 0, çünkü dar açının cotanjantı pozitif
tanb > cota yanlıştır.
3
+
–
+
Ç.K. = (–∞, –1) ∪ (0, 3) bulunur.
Yanıt: C
www.deltakitap.com
B)sinb > cosb doğru
geniş açının sinüsü pozitif geniş açının kosinüsü
negatif
C) cota > cosa doğru
Aynı dar açının kotenjantı, daima kosinüsünden büyüktür.
D) cota > tanb doğru
+
–
E) tana > sina
Aynı dar açının tanjantı daima sinüsünden büyüktür.
Yanıt: A
20.(4x2 – 1) (2x – 1) ≤ 0
(2x + 1) (2x – 1) (2x – 1) ≤ 0
(2x + 1) (2x – 1)2 ≤ 0
+
+
2x + 1 = 0
x= –1
2
2x – 1 = 0
x = 1 çift katlı kök
2
–1
2
x
(2x+1)(2x–1)2
–
23.1 + cos x
sin x
1
2
+
+
Ç.K. = (–3, – 1 B , $ 1 .
2
2
Yanıt: E
Delta Kültür Yayınevi
1 + 2 cos 2 x – 1
2
2 sin x . cos x
2
2
x
2 cos 2
2
=
= cot x bulunur.
2
2 sin x . cos x
2
2
=
Yanıt: B
24.
r
r
sin ^r – x h . cos ^–x h cos ` 2 + x j . sin ` x – 2 j
+
2. cos ^r + x h
2. sin ` 3r + x j
2
26. 7x = p
r
sin x. cos x – sin x ` – sin ` 2 – x jj
=
+
2. ^– cos x h
2. ^– cos x h
^– sin x h . ^– cos x h
= – sin x +
2
2 . ^– cos x h
cos x + cos 4x + cos 7x
1 + cos 3x + cos 6x
4x
= cos x + cos 7x + cos
1 + cos 3x + 2 cos 2 3x – 1
=
2. cos ` x + 7x j . cos ` x – 7x j + cos 4x
2
2
cos 3x + 2 cos 2 3x
= 2. cos 4x. cos 3x + cos 4x
cos 3x ^1 + 2 cos 3x h
= – sin x bulunur.
Yanıt: A
=
cos 4x ^2 cos 3x + 1h
cos 3x ^1 + 2. cos 3x h
–1
= –1 bulunur.
25.
www.deltakitap.com
Yanıt: B
A
2 45°
E
x
4
K
45°
B
6
C
α
4
D
x = a + 45 + 90°, ABC ikizkenar dik üçgen
cotx = cot(a + 45° + 90°)
= –tan(a + 45°)
= – tan a + tan 45°
1 – tan a . tan 45°
27. x ≠ 0
2
=–
Y
4 +1
10
5
arctanx = arc cot c 22 m
x
cot ^arctan x h = cot(arccot c 22 m )
1442
443
x
a
2
Y
1– 4 .1
10
5
7
=– 5
3
5
cot a = 22
x
1 = 2
x x2
=–7
3
x = 2'dir.
Yanıt: C
arctan x = a
tan a = x
cot a = 1
x
x
a
1
Yanıt: D
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
30.` r , 1 j, ` r , 0 j, ` 3r , –1 j, ^r, 0h
4
2
4
28. tan r = cos x– sin x
12
cos x + sin x
cos x c 1– sin x m
cos x
tan r =
12
cos x c 1 + sin x m
cos x
tan r . ^1 + tan x h = ^1 – tan x h
12
tan r + tan r . tan x = 1 – tan x
12
12
tan x + tan x . tan r = 1 – tan r
12
12
tan x ` 1 + tan r j = 1 – tan r
12
12
tan x =
=
1 – tan r
12
1 + tan r
12
tan r – tan r
4
12
1 + tan r . tan r
4
12
tan x = tan e r – r o
4
12
= tan r
6
x = r bulunur.
6
Yanıt: A
29. csc2x – 2cotx = 4
1 – 2 cos x = 4
sin x
sin 2 x
h
^
sinx
1 – 2 sin x . cos x = 4
sin 2 x
cos2x + sin2x – 2sinx . cosx = 4sin2x
3sin2x + 2sinx cosx – cos2x = 0
3sinx
–cosx
sinx +cosx
(3sinx – cosx)(sinx + cosx) = 0
3sinx – cosx = 0 v sinx + cosx = 0
3sinx = cosx
sinx = –cosx
sin x = 1 sin x = –1
cos x 3
cos x
tanx = –1
tan x = 1 3
1
x = arctan 3
x 1 = 3r v x 2 = 7r bulunur.
4
4
Yanıt: A
Delta Kültür Yayınevi
www.deltakitap.com
^3h
noktalarını sağlayan seçenekler çözümde kolaylık
sağlar. Sağlamayan seçenek devre dışı bırakılır. Bu
noktaları sağlayan f(x) = sin2x fonksiyonudur.
Yanıt: E
2. DÖNEM SONU DENEME SINAVI (SAYFA 78)
1. log 4 8 + log 27 9– ` log 5 25 + 10 – log 6 j
= log 2 2 3 + log 3 3 2 – c log
2
3
15
52
2
+ 10 log 10 6 m
–1
4.
1
1
1
+
+
1 + log 2 15 1 + log 3 10 1 + log 5 6
=
1
1
1
+
+
log 2 2 + log 2 15 log 3 3 + log 3 10 log 5 5 + log 5 6
=
1
1
1
+
+
log 2 ^2.15 h log 3 ^3.10h log 5 ^5.6 h
= 3 . log 2 2 + 2 log 3 3 – 2 log 5 5 + 6 –1
2
3
f1
p
2
= log 30 ^ 2.3.5h
= 3 .1 + 2 – e2 . 2 .1 + 1 o
2
3
1
6
^3h
^2h
^6h
^1h
= log 30 30
= 9 + 4 – 24 – 1
6
= 1 bulunur.
Yanıt: C
= –12
6
= –2 bulunur.
www.deltakitap.com
Yanıt: A
2. log a.b a = 4 ve log a.b b = x olsun
log a.b a + log a.b b = 4 + x
log a.b ^a.b h = 4 + x
1=4+x
x = –3 bulunur.
Yanıt: B
5. log x 3 = 3.a & x 3a = 3'tür.
log y 2 = a & y a = 2'dir.
log x.y 24 = log x.y ^2 3 .3 h
= log x.y ^y a h .x 3a
3
3.
= log x.y ^y.x h3a
log ` log b j
f c ac p
a log c
= 3a . log x.y x.y
= 3a bulunur.
= a log a ^log c bh
= log c b olur.
Yanıt: D
Yanıt: D
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
6.
x
2
–1
0
1
2
1
2
1
2
4
1
2
3
4
x
x2 + 2
ln ^x 2 + ln 2x h = ln ` x j
2
^2 + ln 2x h . ln x = ln x – ln 2
y
^ 2 + ln 2 + ln x h . ln x = ln x – ln 2
B
2. ln x + ln 2. ln x + ^ln x h2 = ln x – ln 2
^ln x h2 + ^ 1 + ln 2 h ln x + ln 2 = 0
^ln x + ln 2 h^ln x + 1 h = 0
A
x
O
x 2 + ln 2x = x
2
8.
lnx + ln2 = 0
v
lnx + 1 = 0
lnx = –ln2
lnx = – 1
lnx = ln2–1
logex = –1
x1 = 1 x = e–1
2
x 1 .x 2 = 1 . 1 x2 = 1
2 e
e
Çözüm kümesi; A ve B noktalarında kesiştiğine göre
2 elemanlıdır.
Yanıt: C
= 1 bulunur.
2e
Yanıt: A
www.deltakitap.com
9.
7.
1=
=
y
f(x) = ex – k
log 2 x . log 3 x . log 5 x = log 2 x . log 3 x + log 2 x. log 5 x
+ log 3 x. log 5 x
log 2 x. log 3 x
log 2 x . log 3 x . log 5 x
+
log 2 x . log 5 x
log 2 x . log 3 x. log 5 x
+
log 3 x . log 5 x
log 2 x. log 3 x . log 5 x
O
x
1 + 1 + 1
log 5 x log 3 x log 2 x
= log x 5 + log x 3 + log x 2
= log x ^2.3.5 h
1 = log x 30 & x = 30 olur.
Yanıt: D
x = 0 için f(0) = 0
e0 – k = 0 ⇒ k = 1’dir.
f(x) = ex – 1
f(ln3) = eln3 – 1 = 3 – 1
= 2 bulunur.
Yanıt: B
Delta Kültür Yayınevi
10. ln 8` log 1 ^x + 2h + 1 jB < 0
12.^a nh =
Payda en küçük olursa ifade en büyük olur.
an =
n = 2 için a2 = 1
1
en büyük terimi a2 = 1’dir.
2
i) x + 2 > 0 olmalıdır.
x > –2’dir.
ii) log 1 ^x + 2 h + 1 > 0
2
log 1 ^x + 2 h > –1
2
log 1 ^x + 2 h > – log 1 1
2
2 2
1
^^ n – 2 h2 + 1 h
Yanıt: D
log 1 ^x + 2 h > log 1 ^2 –1 h
–1
2
2
13.a n = log^n + 2h ^n + 1h
x+2<2
x < 0’dır.
a 1 = log 3 2
iii) ln ` log 1 ^x + 2 h + 1 j < 0
2
a 2 = log 4 3
ln ` log 1 ^x + 2 h + 1 j < ln 1
a 3 = log 5 4
2
log 1 ^x + 2 h + 1 < 1
h
2
a 14 = log 16 15
log 1 ^x + 2 h < 0
a 1 .a 2 .a 3 ...a 14 = log 3 2. log 4 3. log 5 4... log 16 15
2
log 1 ^x + 2 h < log 1 1
2
x+2 > 1
x > –1
i, ii, iii dikkate aldığımızda
–1 < x < 0 olur.
Yanıt: E
= log 16 2
www.deltakitap.com
2
1
n 2 – 4n + 5
= log 2 4 2 1
= 1 . log 2 2
4
= 1 bulunur.
4
Yanıt: C
14.^a nh = c an 2+ 3n + 6 m
2
2n + n + b
dizisi sabit bir dizi olduğuna göre
a = 3 = 6
2 1 b
a = 3
2 1
a = 6'dır.
11.
n–7≠0
n≠7
Dolayısıyla n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 olur.
Yanıt: C
b = 2'dir.
2
a n = 6n 2+ 3n + 6
2n + n + 2
=
an = n + 1
7–n
2
3
6
=
b
1
3 ^ 2n 2 + n + 2 h
2n 2 + n + 2
(an) = (3)
a5 = 3
a5 + a + b = 3 + 6 + 2
= 11 bulunur.
Yanıt: E
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
15.Dizinin ortak farkı d olsun.
18.a1 + a3 + a5 = 84
a2 + a4 + a6 = 168
a1 + a1 r2 + a1 r4
= 84
a 1 r + a 1 r 3 + a 1 r 5 168
a2 + a6
= a4 2
a2 + a6 = 2a4
a2 + a4 + a6 = 45 ⇒ 3a4 = 45
a1 ^ 1 + r2 + r4 h
a4 = 15’tir.
a3 + a7
= a5
2
a3 + a7 = 2a5
a3 + a5 + a7 = 63 ⇒ 3a5 = 63
a5 = 21’dir.
a5 – a4 = d
21 – 15 = d
d = 6’dır.
an = a4 + (n – 4) . d
= 15 + (n – 4) . 6
an = 6n – 9 bulunur.
a1 r^ 1 + r2 + r4 h
= 1
2
r = 2 olur.
a1 + a1r2 + a1r4 = 84
a1(1 + r2 + r4) = 84
a1(1 + 4 + 16) = 84
a1 = 4’tür.
4–1
a4 = a1 . r
= a1 . r3
= 4 . r3
= 4 . 23
= 32 bulunur.
Yanıt: A
Yanıt: B
S n = n 6a 1 + a n@
2
www.deltakitap.com
16.
S 11 = 11 6a 1 + a 11@,
2
2
22 =
11
a + a 11@
2 6 1
a 1 + a 11 = 4'tür.
a 1 + a 11
= a6
2
a 6 = 2'dir.
r2 = 2 . 3 ,
4
Alanların toplamı
19.r1 = 2,
S 6 = 6 6a 1 + a 6@
2
S 6 = 3 64 + 2@
= 18 olur.
r3 = 2. 3 . 3
4 4
2
2
2
= r2 2 + r. ` 2. 3 j + r ` 2. 3 . 3 j + ... + r ` 2 . 3 . 3 ... j
4
4 4
4 4
2
= r2 2 + r.2 2 . 9 + r.2 2 . c 9 m + ...
16
16
Yanıt: E
N
2
= 4r c 1 + 9 + c 9 m + ... + c 9 m m
16
16
16
17.(x2)2 = log 3 256. log 2 9
= log 3 2 8 . log 2 3 2
= 8 . 2 log 3 2 . log 2 3
N+1
1– c 9 m
16
= 4r.
1– 9
16
= 4r . 1
7
16
= 16 . log 3 3
x4 = 16 bulunur.
x = 2 bulunur.
Yanıt: A
Delta Kültür Yayınevi
N+1
N büyüdükçe c 9 m
sıfıra yaklaşır.
10
= 64 . r br2 bulunur.
7
Yanıt: E
20.log a , log (ar), log ^arh2, ... log (a.r n)
;
a
1
23.
>
a
B
3x–4y+8=0
2
d = a2 – a1
= log(a.r) – loga
= log a + log r – log a
= log r bulunur.
Yanıt: C
A(2, 1)
A noktasının doğruya olan uzaklığının 2 katı |AB|
uzunluğunu verir.
AB = 2.
y
21.
4
0
3
10
5
= 4 br olur.
6
x
Yanıt: D
A(3, –2)
22.
y
y
d
)
24.
,5
Yanıt: C
–4
A(ABCD) = 6 . 4
= 24 br2 bulunur.
B(
D –2
= 2.
www.deltakitap.com
–1
4
C(–1, 4)
3.2 – 4.1 + 8
3 2 + ^–4 h2
C(–1, 2)
A(3, 4)
A(2, –1)
A(3, 4)
B
B
C
O
C
O
x
x
&h
Ç ^ABC
en küçük olması için B ve C'den birini orijiny
de seçelim.
y
AC = 3 2 + 4 2
A(3, 4)
= 5 br
A(3, 4)
C
C
= C(–1, 2) olur.
AB eğimi m1, doğrunun eğimi m2 olsun.
AB ⊥ d olduğundan
m1 . m2 = –1
5 – ^–1 h
m1 =
–4 – 2
= 6
–6
B
B
C noktası [AB] orta noktasıdır.
5 + ^–1 h
m
C c –4 + 2 ,
2
2
= –1
x
x
ABC üçgeninde üçgen eşitsizliğinden
5 < |AB| + |BC| olur. |AB| + |BC| nin en küçük tam
sayı değeri 6 olur.
&h= 5+6
Ç ^ABC
= 11 br olur.
Yanıt: C
m1 . m2 = –1
(–1) . m2 = –1 ⇒ m2 = 1 olur.
C(–1, 2) noktasından geçen eğimi 1 olan doğrunun
denklemi d doğrusudur.
y – 2 = 1 . (x – (–1))
y–2=x+1
y – x – 3 = 0 bulunur.
Yanıt: A
11. Sınıf İleri Düzey Matematik Özet
25.d1 doğrusu 1 birim sağa ötelendiği nokta A(–1, 1)
28.
ise ötelenmeden önceki nokta A'(–2, 1)dir ve d1 üzerindedir. d2 doğrusu 2 birim aşağı ötelendiği nokta
A(–1, 1) ise ötelenmeden önceki nokta A''(–1, 3)tür.
ve d2 üzerindedir.
d1 : y = mx + n ⇒ 1 = –2m + n
d2 : y = nx + m ⇒ 3 = – n + m
4 = –m
m = –4’tür.
1 = –2(–4) + n
n = –7 dir.
m + n = –4 – 7
= –11 bulunur.
Yanıt: D
26.
B(7,2)
α
4
β
A'
√
y = 3 .x
3
15°
30°
L
3
& b BLA
&l
AHB
B(7,2) noktasını 3 birim sola, 4 birim aşağı ötelenirse B(7 – 3, 2 – 4) = A'(4, –2) dir.
Yanıt: E
29.
x
y=
r = 15° döndürüldüğünde elde edilen doğru y = x
12
doğrusu olur. Bu doğru üzerinde A(1, 1) noktasını
alalım. 1 birim sağa, 3 birim yukarı ötelediğimizde
elde edilen nokta A'(2, 4) olur.
Eğimi m = 1 ve A'(2, 4) noktasından geçen doğrunun
denklemi
y – 4 = 1 (x – 2)
y–4=x–2
y – x – 2 = 0 bulunur.
Yanıt: C
www.deltakitap.com
3
x doğrusunun orijin etrafında pozitif yönde
3
H
3
y
A
3
2
4
α
y=x
y
O
A(3,5)
2
30°15°
–1
O
–1
3
x
2
B
&
OAC
eşkenar üçgen olur
|CD| = |OA| = |OB| = 2 br bulunur.
Yanıt: B
30.
y
A
27.
D
2
15°
30°
60
60°
C
C
D
B E
y = ax
H
B
G
A
O
B
C
A(a,1)
60° a
60°
1
15°
H
O K
a
&
AOH
dik üçgeninde 75° için tan75° = a,
y = ax doğrusununda eğimi a’dır.
%
Dolayısıyla m ^LOA h = 60° dir.
%
m ^AOB h = 120° bulunur.
Delta Kültür Yayınevi
H
F
L
Yanıt: B
G
D
x
F
E
Düzgün sekizgenin pozitif yönde 135° döndürüldüğünde yeni köşelerini daire içerisinde gösterdik.
Kare BDFH karesi negatif yönde 90° döndürüldüğünde B köşesi H köşesine denk gelir, dolayısıyla H
noktasına denk gelen nokta E'dir.
Yanıt: C