Fonksiyonlar

T I M U R K A R A Ç A Y- H A Y D A R E Ş - İ B R A H I M İ B R A H I M O Ğ L U
CALCULUS
S E Ç K I N YAY I N C I L I K
Copyright © 2017 Timur Karaçay-Haydar Eş-İbrahim İbrahimoğlu
B U K I TA P B A Ş K E N T Ü N I V E R S I T E S I N D E H A Z I R L A N M I Ş T I R .
ANKARA
Büyün hakları saklıdır. Yazarların izni alınmaksızın, bu kitabın tamamı vaya bir kısmı elektronik, mekanik, fotokopi veya
başka bir yolla çoğaltılamaz, kopyalanamaz, basılamaz, internet ve bilgisayar ortamında tutulamaz. Bu konuda TELİF
HAKLARI YASASI HÜKÜMLERİ geçerlidir.
Birinci baskı, Eylül 2017
Contents
Fonksiyonlar
9
Fonksiyonların Bileşkesi
Polinomlar
19
31
Polinomlarda Bölme
55
Polinomlaarın Çarpanlara Ayrılması
Rasyonel Fonksiyonlar
Logaritma
119
Üstel Fonksiyonlar
Limit
163
Süreklilik
193
Türev
197
Index
227
93
147
75
7
Cumhuriyeti kuranlara adanmıştır.
Fonksiyonlar
Fonksiyon Kavramı
Fonksiyon kavramı, çağdaş bilim ve tekniğin çok önemli araçlarından
birisidir. Fonksiyon, bağıntının özel bir türüdür. Bu bölümde, fonksiyon
kavramını ayrıntılarıyla inceleyeceğiz.
Tanım: Boş olmayan X ve Y kümeleri ile bir f ⊂ X × Y bağıntısı verilsin.
Her x ∈ X için (x, y) ∈ f olan bir ve yalnızca bir tane y ∈ Y ögesi varsa, f
bağıntısına, X den Y ye bir fonksiyondur, denilir.
Fonksiyonlar, genellikle, f , g , h, ... gibi küçük harflerle gösterilir.
Bir f bağıntısının fonksiyon olduğunu belirtmek için, f ⊂ X × Y yerine
f : X ⇒Y
ya da
f
X ⇒Y
(1)
simgeleri ve
(x, y) ∈ f ,
xf y
yerine,
y = f (x) ,
f :x⇒y,
f
x⇒y
simgelerinden birisi kullanılır. Bu derste, çoğunlukla,
y = f (x)
(2)
simgesini kullanacağız. Bu simgeler, x öğesinin, f bağıntısıyla, y ye
eşlendiğini belirtir.
Bazı kaynaklar, f ye X kümesinden Y kümesine bir dönüşüm (resim)
der.
f : X ⇒ Y fonksiyonu için;
X kümesine, tanım kümesi,
Y kümesine, değer kümesi,
x öğesine, bağımsız değişken,
y öğesine, bağımlı değişken (görüntü, resim) ,
A ⊂ X için f (A) = {y | y = f (x), x ∈ A } ⊂ Y kümesine, A nın f altındaki
görüntü kümesi, denilir.
f : X ⇒ Y fonksiyonunun belirli olması için, y = f (x) bağıntısının
verilmiş olması gerekir. Bunun verilmesi demek, x ∈ X öğesinin f fonksiyonu altında hangi y ∈ Y öğesine eşlendiğinin belirli kılınması demektir.
Örnek
X = {−2, −1, 0, 1, 2} ve Y = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10} olmak üzere, f : X ⇒ Y
fonksiyonunu y = f (x) = x 2 bağıntısı ile tanımlayalım.
Verilen f bağıntısı (kuralı), x ⇒ x 2 dir; yani, x değişkeni, f altında x 2
ye eşlenecektir.
10
CALCULUS
X tanım kümesinin, f altındaki görüntüsü, f (X ) = {0, 1, 4} kümesidir.
Görüldüğü gibi, tanım kümesinin görüntüsü bütün değer kümesini
örtmeyebilir.
Fonksiyon tanımını, yeni simgelerle ifade etmek uygun olacaktır.
Tanım: Boş olmayan X ve Y kümeleri ile bir f ⊂ X × Y bağıntısı verilsin.
f nin bir fonksiyon olması için gerekli ve yeterli koşul, aşağıdaki iki
özeliğin sağlanmasıdır.
F1. Her x ∈ X öğesinin Y içinde bir görüntüsü vardır.
F2. Her x ∈ X öğesinin Y içinde ancak bir tane görüntüsü vardır.
Bu iki özelik, fonksiyonu belirleyen niteliklerdir. O nedenle, bunları,
matematiksel simgelerle ifade etmek uygun olacaktır. Çünkü, bir çok
problemin çözümünde, sözlü ifadeler yerine, matematiksel simgeleri
kullanacağız.
Aşağıdaki ifade çiftleri, fonksiyon tanımına denktirler:
F 1. (x ∈ X ) ⇒ ∃y(y ∈ Y )(y = f (x))
F 2. (x 1 = x 2 ) ⇒ (y 1 = y 2 )
ya da, tanım ve değer kümelerinin apaçık belli olduğu zamanlarda,
F 1. ∀x∃y(y = f (x))
F 2. (y 1 6= y 2 ) ⇒ (x 1 6= x 2 )
yazılabilir.
Fonksiyonun Grafiği
Bir f : X ⇒ Y fonksiyonu bir bağıntıdır. Bu bağıntının grafiği, fonksiyonun da grafiğidir.
f nin grafiğini, g r a f ( f ) simgesiyle göstereceğiz.
Bu derste ele alacağımız fonksiyonlar, çoğunlukla, gerçek sayıların
bir alt kümesinden gerçek sayılara tanımlı olacaktır. Dolayısıyla, bu
fonksiyonların grafikleri, analitik düzlemde yer alacaktır.
Bir fonksiyonun belirli olması demek, tanım bölgesinin, değer bölgesinin ve eşleme kuralının bilinmesi demektir; yani,
f : X ⇒Y,
y = f (x)
nin bilinmesi demektir.
Bazan, fonksiyon verilirken, yalnızca y = f (x) eşleme bağıntısı (kuralı)
verilir; tanım ve değer bölgesi belirtilmez. Bu durumlarda, fonksiyonun X
tanım bölgesi y = f (x) bağıntısını anlamlı kılan bütün x gerçek sayılarıdır.
Y değer bölgesi olarak bütün R gerçek sayılar kümesi alınabileceği gibi,
Y = {y | y = f (x), x ∈ X } kümesi de alınabilir. Pratikte, değer bölgesini
mümkün olduğunca küçük seçmek kolaylık sağlayabilir.
Bağıntılarda söylediğimiz gibi, f : X ⇒ Y ,
y = f (x) fonksiyonu
tanımlandığında, bunun grafiği kesinkes belirli olur.
Tersine olarak, grafiği verilen fonksiyon da kesinkes belirlidir. Bu nedenle, yeri geldiğinde, f ile g r a f ( f ) simgelerini eş anlanda kullanabiliriz.
f : X ⇒Y,
y = f (x) fonksiyonunun grafiği,
g r a f ( f ) = {(x, y) | y = f (x)}
kümesidir. Tabii,
gr a f (f ) ⊂ X ×Y
FONKSIYONLAR
dır. Grafik kavramı, bağıntılarda incelendiği için, bu kesimi, aşağıdaki
özeliği söyleyerek kapatabiliriz.
Önerme: Bir fonksiyonun analitik düzlemdeki grafiği, düşey doğrularla
en çok birer noktada kesişir.
Uygulamalar
1. X = {1, 2, 5, 9} ve Y = {a, b, c, d , e} veriliyor. Aşağıdaki bağıntılardan
hangileri fonksiyondur? Nedenleriyle açıklayınız.
(a) β1 = {(1, a), (2, b), (5, c), (9, d )}
(b) β2 = {(1, a), (2, b), (5, c), (5, d ), (9, b), (9, d )}
(c) β3 = {(1, b), (5, a), (9, d )}
(d) β4 = {(1, d ), (2, d ), (5, d ), (9, d )}
(e) β5 = {(1, c), (1, d ), (2, b), (5, a), (5, c), (9, a)}
2. Yukarıdaki bağıntıların herbirisinin grafiğini çiziniz. Fonksiyon
olanların grafiklerinin, düşey doğrularla ençok bir noktada kesiştiğini
görünüz.
3. X = {−2, −1, 0, 3, 5} ve Y = {−10, −7, −5, −3, 1, 2, 3, 4, 10} kümeleri ile
f : X ⇒Y,
f (x) = 2x − 3 fonksiyonu veriliyor.
(a) f fonksiyonunun tanım bölgesini yazınız.
(b) f fonksiyonunun değer bölgesini yazınız.
(c) −1 öğesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız.
(d) A = {−1, 0, 5} kümesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız.
(e) X kümesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız.
4. X = {1, 2, 3, 4}, Y = {1, 2, 3, 4, 7} kümeleri veriliyor. X den Y ye β = {(x, y) | y = x + 1}
bağıntısının grafiğini çiziniz. Bir fonksiyon olup olmadığını inceleyiniz.
5. f = {(1, a), (2, b), (3, c)} veriliyor.
(a) f nin grafiğini çiziniz.
(b) f nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
(c) f nin tanım bölgesini yazınız.
(d) f nin değer bölgesini yazınız.
(e) Tanım bölgesinin, f altındaki görüntüsünü yazınız.
6. f = {(−2, −1), (−1, −1), (0, 1), (1, 1), (2, 3)}
bağıntısı veriliyor.
(a) f nin grafiğini çiziniz.
(b) Grafiği kullanarak, f nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
(c) f nin X tanım bölgesini yazınız.
(d) f nin Y değer bölgesini yazınız.
(e) n( f ) ile n(X ) nicelik sayılarını bulunuz.
11
12
CALCULUS
7. X = {1, 2, 3, 4}, Y = {u, v, x, y, z} kümeleri veriliyor. Aşağıdaki bağıntıların grafiklerini çiziniz. Hangilerinin fonksiyon olduğunu belirleyiniz.
(a) f = {(1, x), (2, x), (2, y), (4, z)}
(b) g = {(1, y), (2, y), (3, t ), (4, z)}
(c) h = {(1, y), (2, z), (3, x), (4, t )}
(d) k = {(1, y), (2, y), (3, y), (4, y)}
8. Yukarıdaki fonksiyonların ok diyagramlarını çiziniz.
9. Ok diyagramı verilen fonksiyonu,
tanım bölgesini, değer bölgesini ve
y = f (x) eşleme kuralını belirleyerek, tanımlayınız.
10. Aşağıdaki fonksiyonların tanım ve değer bölgelerini bulunuz.
(a)
y = −2x + 5
(b)
y=
(c)
y = x2
(d)
y = |x|
p
y= x
(e)
1
x−1
11. Her fonksiyonun bir bağıntı olduğunu, ama her bağıntının fonksiyon
olmadığını gösteren örnekler veriniz.
Eşit Fonksiyonlar
Her kümede olduğu gibi, fonksiyonlardan oluşan bir küme üzerinde
eşitlik kavramı vardır.
Tanım Tanım kümeleri ve tanım kümelerine ait her noktadaki görüntüleri aynı olan iki fonksiyon eşittir.
Bunu, simgelerle yazarsak, şöyle diyebiliriz:
X ve Y boş olmayan iki küme ve f : X ⇒ Y1 , g : X ⇒ Y2 iki fonksiyon
olsun.
∀x ∈ X
için
f (x) = g (x)
oluyorsa, “ f ile g birbirine eşittir," denilir ve bu eşitlik,
f =g
biçiminde yazılır. Bu eşitliğin tanımında, fonksiyonların değer bölgelerinin eşit olması koşulu gerekli değildir; çünkü, görüntü kümeleri
eşittir: f (X ) = g (X ). İstenirse, ortak değer bölgesi olarak, ortak görüntü
kümeleri ya da = Y1 ∩ Y2 seçilebilir. Bu seçim, fonksiyonların niteliklerinde
bir değişiklik yapmayacaktır.
Örnek X = {−1, 0, 1}, Y1 = {−1, 0, 1, 2}, Y2 = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 5, } kümeleri
ile f : X ⇒ Y1 , f (x) = x ve g : X ⇒ Y2 , g (x) = x 3 fonksiyonlarının eşit
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
FONKSIYONLAR
a. Tanım bölgeleri eşittir.
b. Tanım bölgelerine ait noktalarda, fonksiyonların aldığı değerler de,
aşağıda görüldüğü gibi, karşılıklı olarak birbirlerine eşittir.
f (−1) = −1 f (0) = 0 f (1) = 1
g (−1) = −1 g (0) = 0 g (1) = 1
O halde, f = g dir. İstersek, her iki fonksiyonun tanım bölgesi
olarak, ortak görüntü kümesi olan Y = {−1, 0, 1} kümesini alabiliriz.
Bu seçim, fonksiyonların niteliğini değiştirmez. Ama, tanım bölgelerini
değiştirirsek, fonksiyonların nitelikleri değişir. Örneğin, f nin tanım
bölgesine 2 noktasını katarsak, fonksiyonların eşitliği bozulur: f 6= g .
Fonksiyon Türleri
İçine Fonksiyon
Görüntü kümesi, değer bölgesinin bir has alt kümesi
olduğunda, fonksiyon içine bir fonksiyon’dur. Bunu simgelerle ifade
edersek,
f : X ⇒ Y için, f (X ) 6= Y
ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesi içine bir fonksiyondur, diyeceğiz.
Örten Fonksiyon
Görüntü kümesi, değer bölgesine eşit olduğunda,
fonksiyon örten bir fonksiyon’dur. Bunu simgelerle ifade edersek,
f : X ⇒ Y için, f (X ) = Y
ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesi üzerine (örten) bir fonksiyondur,
diyeceğiz.
Bire Bir Fonksiyon
Tanım bölgesindeki farklı öğelere eşlenen fonksiyon
değerleri de farklı ise, fonksiyon bire bir fonksiyon’dur.
Bunu simgelerle ifade edersek,
f : X ⇒ Y için, (x 1 6= x 2 ) ⇒ f (x 1 ) 6= f (x 2 )
ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesine tanımlı bire bir fonksiyondur,
diyeceğiz.
Bire Bir İçine Fonksiyon
Bire bir ve içine olma niteliklerine sahip
fonksiyondur.
Bire Bir Örten Fonksiyon
Bire bir ve örten olma niteliklerine sahip
fonksiyondur.
Sabit Fonksiyon
Görüntü kümesi bir tek noktadan oluşan fonksiyon.
Bunu simgelerle ifade edersek,
f : X ⇒ Y için,∃∗ c(c ∈ Y )(x ∈ X ⇒ f (x) = c
ise, f foksiyonu X kümesinden {c} kümesi üzerine sabit bir fonksiyondur,
diyeceğiz.
13
14
CALCULUS
Sıfır Fonksiyon
Görüntü kümesi 0 olan sabit fonksiyon.
Bunu simgelerle ifade edersek,
f : X ⇒ Y için, (x ∈ X ⇒ f (x) = 0)
ise, f foksiyonu X kümesinden {0} kümesi üzerine bir sıfır fonksiyondur,
diyeceğiz.
Gömme (Özdeşlik, Birim) Fonksiyonu
Tanım bölgesindeki her öğeyi
kendisine eşleyen fonksiyon.
Bunu simgelerle ifade edersek, X ⊂ Y olmak üzere,
f : X ⇒ Y için, (x ∈ X ⇒ f (x) = x)
ise, f foksiyonu X kümesinden Y kümesi içine bir gömme (özdeşlik,
birim) fonksiyonudur, diyeceğiz. X ⊂ Y olduğunda gömme terimini;
X = Y olduğunda ise, çoğunlukla, özdeşlik ya da birim terimini kullanırız.
Örnekler
1. X = {0, 1, 2, 3} kümesinden Y = {−7, −4, 1, 6, 11, 15} kümesine tanımlı
olan y = 5x − 4 fonksiyonu içine bir fonksiyondur; çünkü f (X ) =
{−4, 1, 6, 11} görüntü kümesi Y değer bölgesinin bir has alt kümesidir.
Bu fonksiyon, aynı zamanda, bire birdir. Dolayısıyla, bire bir içine bir
fonksiyondur.
2. X = {0, 1, 2, 3} kümesinden Y = {−4, 1, 6, 11} kümesine tanımlı olan
y = 5x − 4 fonksiyonu örten bir fonksiyondur; çünkü f (X ) = {−4, 1, 6, 11}
görüntü kümesi Y değer bölgesine eşittir.
Bu fonksiyon, aynı zamanda, bire birdir. Dolayısıyla, bire bir örten bir
fonksiyondur. Buradan anlaşıldığı gibi, bire bir içine bir fonksiyonun
değer bölgesini görüntü kümesine daraltarak örten bir fonksiyon elde
edebiliriz. Bu işlem, fonksiyonun niteliğini değiştirmez.
3. X = {−2, −1, 0, 1, 2}, olmak üzere,
f : X ⇒ X,
f (x) = x
fonksiyonu, özdeşlik (birim) fonksiyondur.
4. N doğal sayılar kümesinden Q rasyonel sayılar kümesine tanımlı
olan
f : N ⇒ Q,
f (x) = x
fonksiyonu, bir gömme fonksiyonudur. Her r doğal sayısının
r
1
biçi-
minde bir rasyonel sayı olarak algılanmasını sağlar.
5. X = [2, 3) ve Y = {0, 1, 2, 3, 4} olmak üzere,
f + : X ⇒Y,
f + (x) = (x sayısının tam kısmı)
biçiminde tanımlanan fonksiyon, [2, 3) aralığındaki her x gerçek
sayısını {2} kümesi üzerine resmeder: (x ∈ X ⇒ f + (x) = 2). Öyleyse, f + ,
sabit bir fonsiyondur.
FONKSIYONLAR
15
6. X = (−1, 0] ve Y = {0, 1, 2, 3, 4} olmak üzere,
f − : X ⇒ Y , f − (x) = k, [(k ∈ Z ) ∧ (x l eqk < x + 1)]
biçiminde tanımlanan fonksiyon, (−1, 0] aralığındaki her x gerçek
sayısını {0} kümesi üzerine resmeder:
(x ∈ X ⇒ f − (x) = 0
Öyleyse, f − , bir sıfır fonsiyondur.
Eşgüçlü Kümeler
1
A ve B boş olmayan iki küme olsun. Eğer, A kümesinden B küme-
1
Tanım
sine bire bir örten bir f : A ⇒ B fonksiyon varsa, A ile B kümelerine
eşgüçlüdür, denilir ve
A∼
=B
simgesiyle gösterilir.
Bu durumda, f fonksiyonu, A nın öğelerini B nin öğelerine bire bir
eşliyor, diyeceğiz.
A ∼ B olması demek, bu kümelerin nicelik sayılarının eşit olması
demektir:
n(A) = n(B )
Bir Fonksiyonun Tersi
Bir f : A ⇒ B fonksiyonun tersi, f −1 ters bağıntısıdır:
f −1 = {(y, x) | (x, y) ∈ f }
f −1 ters bağıntısı, bazan bir fonksiyon olabilir; ama çoğunlukla bir
fonksiyon değildir.
Eğer f −1 bağıntısı bir fonksiyon ise, buna f ’nin ters fonksiyonu denilir.
Ters fonksiyon (varsa) B den A ya tanımlıdır:
f −1 : B ⇒ A
2
2
Gerçekten,
(x, y) ∈ f ⇒ (y, x) ∈ f −1
Ters fonksiyonunun varolması için
gerekli ve yeterli koşul, f : A ⇒ B
fonksiyonunun bire bir ve örten olmasıdır.
bağıntısından,
y = f (x) ⇒ x = f −1 (y)
yazılabilir.
Sonlu Küme ve Sonsuz Küme
3
3
4
5
Örnek 0.1.
Bir has alt kümesine eşgüçlü olan
kümeye sonsuz küme denilir.
4
Sonsuz olmayan küme, sonlu bir
kümedir.
5
Sonlu bir küme, hiç bir has alt kümesine
eşgüçlü olamaz.
16
CALCULUS
Negatif olmayan çift sayılar kümesini T ile gösterelim: T = {0, 2, 4, 6, . . .}
dır ve bu küme N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} Doğal Sayılar Kümesi’nin bir has alt
kümesidir.
f :N ⇒T ,
f (n) = 2n}
fonksiyonu, bire bir ve örtendir. Gerçekten,
(m 6= n)
r ∈T
⇒
(2m 6= 2n)
⇒
( f (m) 6= f (n))
⇒
f (bire birdir)
⇒
∃n(n ∈ N )(r = 2n)
⇒
f (n) = 2n
⇒
f (n) = r
⇒
f (örtendir)
olur. O halde, N ∼
= T dir. O halde, Doğal Sayılar Kümesi sonsuz bir
kümedir.
Sonlu bir kümenin her alt kümesi sonludur.
Sonsuz bir kümenin her üst kümesi sonsuzdur.
Sayılabilir Sonsuz Kümeler
Doğal sayılar kümesine eşgüçlü bir küme, sayılabilir sonsuz bir küme’dir.
Sayılabilir sonsuz bazı kümeler:
a. N Doğal Sayılar Kümesi,
b. Tek doğal sayılar kümesi,
c. Çift doğal sayılar kümesi,
d. Z Tam Sayılar Kümesi,
e. Q Rasyonel Sayılar Kümesi.
sayılabilir sonsuz kümelerdir. R gerçek sayılar kümesi ise sayılamayan
sonsuz bir kümedir.
Sayılamaz Sonsuz Kümeler
Sonsuz ama sayılabilir olmayan küme.
Örneğin, R Gerçek Sayılar Kümesi, sayılamaz sonsuz bir kümedir.
Alıştırmalar
1. f : {−1, 1, 2, 5} ⇒ {−5, −1, 1, 2, 5, 6} fonsiyonu y = f (x) = x bağıntısı ile
veriliyor. f nin türünü belirtiniz.
2. f (x) = 3x − 1 bağıntısı ile tanımlanan f : {−1, 0, 1, 3} ⇒ {−4, −1, 2, 8}
fonksiyonunun türünü belirtiniz.
3. X = {1, 2, 3, 4}, Y = {a, b, c, d } veriliyor. X × Y nin alt kümesi olan
aşağıdaki bağıntıların türlerini belirtiniz.
FONKSIYONLAR
(a) β1 = {(1, a), (2, b), (2, c), (3, a)}
(b) β2 = {(1, a), (2, c), (3, b)}
(c) β3 = {(1, b), (2, c), (3, a), (4, b), (3, c)}
(d) β4 = {(1, b), (2, d ), (3, c), (4, c)}
(e) β5 = {(1, c), (2, a), (3, b), (4, d )}
4. f (x) = x 2 + 1 bağıntısı ile tanımlanan f : {−1, 2, 3} ⇒ {−3, 1, 2, 5, 10}
fonsiyonunun türünü belirtiniz.
5. f (x) = 2x 2 − 1 bağıntısı ile tanımlı f : {−3, −1, 0} ⇒ {−3, −1, 0, 1, 2, 17}
fonsiyonunun türünü belirtiniz.
6. f (x) = x 2 + 3 bağıntısı bir fonksiyon tanımlıyor mu? Neden? Tanımlıyorsa, tanım bölgesini ve değer bölgesini belirleyiniz
7. Aşağıdaki bağıntıların tanımlı olduğu kartezyen çarpımları bulunuz.
Bağıntıların grafiklerini çiziniz. Türlerini belirtiniz.
β1 = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
β2 = {(a, 1), (a, 2), (b, 3), (c, 3), (d , 3)}
β3 = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (d , 1)}
β4 = {(1, a), (2, a), (3, a)
β5 = {(1, a), (2, b), (3, c), (2, t )
8. g (x) = 2x 2 + 1 kuralı ile tanımlı f : {−2, −1, 0, 1} ⇒ {−1, 1, 5} fonksiyonunun türünü belirleyiniz. Grafiğini çiziniz.
9. Aşağıdaki bağıntıları belirleyiniz.
(a) β1 = {(a, x), (b, z), (c, z), (d , t )}
(b) β2 = {(a, y), (b, y), (c, y), (d , y)}
(c) β3 = {(a, z), (b, x), (c, y), (d , z)}
(d) β4 = {(y, a), (y, b), (y, c), (z, d )}
(e) β5 = {(x, a), (x, b), (x, c), (x, d )}
10. f (x) = x − 3 fonksiyonu ile A = {−2, −1, 0, 1, 2} kümesi veriliyor.
f : A ⇒ B nin bire bir ve örten olması için, B ne olmalıdır?
11. A = {a, b, c, d }, B = {x, y, z, t } kümeleri veriliyor. A dan B ye tanımlı
olan aşağıdaki türlerde fonksiyonlar belirleyiniz. Öğelerini listeleyiniz.
(a) f : A ⇒ B içine fonksiyon,
(b) g : A ⇒ B bire bir ve örten fonksiyon,
(c) h : A ⇒ B sabit fonksiyon,
(d) s : A ⇒ B sıfır fonksiyon,
(e) t : B ⇒ A ters fonksiyon,
17
18
CALCULUS
12. Grafiği aşağıda verilen fonksiyonun öğelerini listeleyiniz. Tanım ve
değer bölgelerini yazınız.
13. Ok diyagramı aşağıda verilen fonksiyonun öğelerini listeleyiniz.
Tanım ve değer bölgelerini yazınız.
14. f : N ⇒ N fonksiyonu f (x) = (a − 3)x + 2 − b bağıntısı ile veriliyor. f
nin bir özdeşlik fonksiyonu olması için, a ve b ne olmalıdır?
15. f : N ⇒ N fonksiyonu f (x) = (a − 5)x + 3 − b bağıntısı ile veriliyor. f
nin sıfır fonksiyon olması için, a ve b ne olmalıdır?
16. f : N ⇒ N fonksiyonu f (x) = (a − 1)x + 4 + b bağıntısı ile veriliyor. f
nin sabit bir fonksiyon olması için, a ve b ne olmalıdır?
17. f (x) =
x+1
x−1
bağıntısının bir fonksiyon belirleyip belirlemediğini
saptayınız. Belirliyorsa, fonksiyonun tanım ve değer bölgelerini
yazınız.
18. A = {a, b, c, d } olmak üzere f (x) = x kuralı ile tanımlı f : A ⇒ A
fonksiyonunun türünü belirleyiniz. Grafiğini çiziniz.
19. ni c(A) = n ve ni c(B ) = m ise, A kümesinden B kümesine kaç tane
bire bir fonksiyon vardır?
20. Aşağıda ok diyagramı verilen fonksiyonun türünü belirleyiniz.
Grafiğini çiziniz.
Fonksiyonların Bileşkesi
Bileşke Fonksiyon Kavramı
f : R ⇒ R;
f : x ⇒ 2x
fonksiyonu ile
g : R ⇒ R;
g : y ⇒ y +1
fonksiyonlarını, arka arkaya uygularsak, bir x öğesinin görüntüsünü
x
f
⇒
2x
g
⇒
2x + 1
biçiminde yazabiliriz.
Bu olgu bileşke fonksiyonunun temelidir. Bir fonksiyonun görüntüsüne başka bir fonksiyonu uygulamak; onun görüntüsüne de başka bir
fonksiyonu uygulamak, . . .
Bileşke Fonksiyon
Tanım: f : A ⇒ B örten bir fonksiyon olsun ve g : B ⇒ C fonksiyonu
verilsin.
h : A ⇒ C;
(x ∈ A ⇒ h(x) = z = g ( f (x))
(1)
fonksiyonuna, f ile g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denilir ve
h=g◦f
biçiminde gösterilir. Bunu ‘‘ g bileşke f " diye okuyacağız. g ◦ f yazılışında
sıra önemlidir: Önce f fonksiyonu, sonra g fonksiyonu uygulanacak
demektir. Tabii,
g ◦ f : A ⇒C
dir. (1) ifadesini, bağıntı gösterimleri ile de ifade edebiliriz:
Tanım: f : A ⇒ B örten bir fonksiyon olsun ve g : B ⇒ C fonksiyonu
verilsin.
(x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g
⇒
(x, z) ∈ g ◦ f
(3)
20
CALCULUS
fonksiyonu, f ile g fonksiyonunun bileşkesidir.
(g ◦ f ) : A ⇒ C ,
(g ◦ f )(x) = g ( f (x))
olur.
Bileşke İşleminin Özelikleri
R den R ye tanımlı fonksiyonlardan oluşan bir F fonksiyonlar kümesini
düşünelim. Bileşke, F üzerinde tanımlı ikili bir işlemdir. Öyleyse, işlem
için öğrendiğimiz özeliklerin hangilerinin sağlanıp, hangilerinin sağlanmadığını araştırabiliriz.
Gerekiz tekrardan sakınmak için, bundan böyle, g ◦ f yazdığımızda, f
nin örten olduğunu; h ◦ g ◦ f yazdığımız da da f ile g nin örten olduğunu
varsayacağız. Fonksiyonların sayısal değerlerinin verildiği yerler bunun
dışındadır.
Yer Değişim Özeliği
Bileşke işlemi yer değişim özeliğini sağlamaz.
Bunu bir örnek üzerinde görebiliriz.
R den R ye f (x) = 2x ve g (y) = y + 7 fonksiyonları verilsin. g ◦ f ve f ◦ g
fonksiyonlarını ayrı ayrı yazalım:
(g ◦ f )(x)
( f ◦ g )(x)
=
g ( f (x)) ( bileşke tanımı)
=
g (2x)
(f
nin kuralı)
=
(2x) + 7 (g
nin kuralı)
=
2x + 7
=
f (g (x)) ( bileşke tanımı)
=
f (x + 7) (g
nin kuralı)
=
2(x + 7) ( f
nin kuralı)
=
2x + 14
bulunur. Dolayısıyla,
( f ◦ g )(x) = 2x + 14
(g ◦ f )(x) = 2x + 7
)
⇒ ( f ◦ g )(x) 6= (g ◦ f )(x)
olur. O halde,
f ◦ g 6= g ◦ f
dir.
Uyarı: Bazı özel hallerde, f ◦ g = g ◦ f eşitliği sağlanabilir; ancak bu genel
eşitsizlik kuralını bozmaz.
Birleşme Özeliği
F O N K S I Y O N L A R I N B I L E Ş K E S I
Fonksiyonlar kümesi üzerinde bileşke işleminin birleşme özeliği
vardır.
f ⇒ B,
g : B ⇒ C,
h :C ⇒D
fonksiyonlarından ilk ikisi örten ise,
[h ◦ (g ◦ f )](x)
=
h[(g ◦ f )(x)]
=
h[g ( f (x))]
=
(h ◦ g )( f (x))
=
h[g ( f (x))]
ve
[(h ◦ g ) ◦ f ](x)
olur. Yani,
[h ◦ (g ◦ f )](x) = [(h ◦ g ) ◦ f ](x) = h[g ( f (x))]
eşitliği vardır.
O halde fonksiyonlar kümesi üzerinde bileşke işleminin birleşme
özeliği vardır.
Sadeliği sağlamak için, parantezleri kaldırıp,
f ◦ (g ◦ h) = ( f ◦ g ) ◦ h = f ◦ g ◦ h
yazabiliriz.
Birim Fonksiyon
Önerme:
A kümesinden kendisine tanımlı fonksiyonlar kümesi içindeki özdeşlik fonksiyonu, bileşke işlemine göre birim öğedir.
İspat:
A boş olmayan bir küme olmak üzere,
I : A ⇒ A,
I (x) = x
(4)
fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon demiştik. Herhangi bir f : A ⇒ A
fonksiyonu ile I özdeşlik fonksiyonunun bileşkesini düşünelim.
(I ◦ f )(x)
=
I ( f (x))
=
f (x)
=
f (I (x))
=
f (x)
ve
( f ◦ I )(x)
dir. O halde
f ◦I = I ◦ f = f
olur. Bu istenen eşitliktir.
Bileşke İşlemine Göre Bir Fonksiyonun Tersi
(5)
21
22
CALCULUS
Bir f : A ⇒ B fonksiyonunu bir bağıntı olarak düşündüğümüzde,
f
−1
ters bağıntısının bir fonksiyon olmayabileceğini biliyoruz. Ayrıca,
f −1 ters bağıntısının bir fonksiyon olması için, f nin bire bir ve örten
olmasının gerekli ve yeterli olduğunu da söylemiştik.
Bunları, simgelerle yeniden ifade edersek, şöyle diyebiliriz:
Önerme:
f −1 = {(y, x) | y ∈ B ∧ x ∈ A}
ters bağıntısının bir fonsiyon olması için gerekli ve yeterli koşul
f = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B }
fonksiyonunun bire bir ve örten olmasıdır.
Bu durumda , f −1 de bire bir örten bir fonsiyondur:
f : A ⇒ B,
f (x) = y
f −1 : B ⇒ A,
⇒
f −1 (y) = x
(6)
A ve B kümeleri üzerinde tanımlı birim fonksiyonlar
olsun.
( f ◦ f −1 )(y)
IA : A ⇒ A ,
I A (x) = x
IB : B ⇒ B
I B (y) = y
,
=
f ( f −1 (y))
(bileşke tanımı)
=
f (x)
( f −1 (y) = x)
=
y
( f (x) = y)
=
I B (y)
(I B (y) = y)
eşitliğinden,
f ◦ f −1 = I B
yazabiliriz. Benzer olarak,
( f −1 ◦ f )(x) = f −1 ( f (x))
−1
( bileşke tanımı)
=
f
=
x
( f −1 (y) = x)
=
I A (x)
(I A (x) = x)
(y)
( f (x) = y)
eşitliğinden,
f −1 ◦ f = I A
çıkar.
Özel olarak, A = B ise, I A = I B = I yazabiliriz ve bu durumda, yukarıdaki iki eşitliği birleştirerek,
f ◦ f −1 = f −1 ◦ f = I
eşitliğine ulaşırız.
Buraya kadar yaptıklarımızdan şu sonucu çıkarabiliriz:
Önerme:
f −1 var olduğunda, bileşke işlemine göre, f fonksiyonunun tersi f −1
fonksiyonudur.
Uyarı:
F O N K S I Y O N L A R I N B I L E Ş K E S I
A 6= B olduğunda, daima,
f ◦ f −1 6= f −1 ◦ f
dir.
Uyarı:
Bir f fonksiyonunu veren bağıntıyı yazarken, bağımlı ve bağımsız
değişken olarak kullandığımız harfler, fonksiyonun niteliğini değiştirmez.
Dolayısıyla, farklı bağımsız değişkenler kullanarak,
y = f (x) = f (t ) = f (s) = · · ·
yazabileceğimiz gibi, farklı bağımlı değişkenler de kullanarak
f (t ) = y = u = v = x, · · ·
yazabiliriz.
f verilmişken f −1 ters fonksiyonunu ya da f −1 verilmişken f fonksiyonunu bulmak için, gerektiğinde x ile y nin rollerini değiştirerek,
y = f (x)
y = f −1 (x)
⇒
⇒
x = f −1 (y)
(7)
x = f (y)
(8)
gerektirmelerini kullanırız.
Uyarı:
Burada ele alacağımız fonksiyonlar, aksi söylenmedikçe, R nin bir alt
kümesinden R nin bir alt kümesine tanımlı varsayılacaktır. Dolayısıyla,
tanım bölgesi belirtilmeden y = f (x) bağıntısıyla verilen bir f fonksiyonunun tanım bölgesi, f (x) değerlerinin var olduğu bütün x öğelerinin
oluşturduğu kümedir. Tabii, f nin görüntü kümesi belirlenince, değer
kümesi de belirlenmiş olacaktır.
Örnekler
1. g r a f ( f ) = {1, c)(2, b), (3, a), (4, d )} ve g r a f (g ) = {(a, 1), (b, 3), (c, 4), (d , 2)}
veriliyor. Grafikleri çiziniz. g ◦ f ile f ◦ g bileşke fonksiyonlarını yazınız.
Bileşke fonksiyonların niteliklerini ortaya çıkarınız.
Çözüm: Grafikler yukarıda çizilmiştir. A = {1, 2, 3, 4} ve B = {a, b, c, d }
olmak üzere,
f : A ⇒ B,
f (1) = c, f (2) = b, f (3) = a, f (4) = d
g : B ⇒ A,
g (a) = 1, g (b) = 3, g (c) = 4, g (d ) = 2
23
24
CALCULUS
dir. Her ikisi bire bir ve örtendir. Dolayısıyla, her ikisinin ters fonksiyonları vardır:
g r a f ( f −1 ) = {(a, 3), (b, 2), (c, 1), (d , 4)}
g r a f (g −1 ) = {(1, a), (2, d ), (3, b), (4, c)}
Bileşke fonksiyonların tanımları aşağıda verilmiştir:
g ◦ f : A ⇒ A,
g ◦ f (1) = 4, g ◦ f (2) = 3, g ◦ f (3) = 1, g ◦ f (4) = 2
f ◦ g : B ⇒ B,
f ◦ g (a) = c, f ◦ g (b) = a, f ◦ g (c) = d , f ◦ g (d ) = b
2. y = f (x) = 3x + 1 fonksiyonunun, mümkün olan en büyük tanım bölgesini bulunuz. Değer bölgesini belirleyiniz. varsa, ters fonksiyonunu
bulunuz.
Çözüm: y = f (x) = 3x + 1 bağıntısı her gerçek x için anlamlıdır.
Dolayısıyla, f nin tanım bölgesi R dir.
(x 1 6= x 2 ) ⇒ ( f (x 1 ) 6= f (x 2 )) ⇒ (y 1 6= y 2 )
olduğundan, fonksiyon bire birdir. Her y ∈ R için,
¶
y −1
y −1
f
= 3·
+1 = y
3
3
µ
olduğundan, f : R ⇒ R örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla, f nin
ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonu bulmak için (8) bağıntısını
kullanabiliriz:
y = f −1 (x)
⇒
x = f (y)
⇒
x = 3y + 1
x −1
y=
3
x −1
−1
f (x) =
3
⇒
⇒
3. a 6= 0 ile b sabit gerçek sayılar olmak üzere,
y = ax + b
fonksiyonunun, mümkün olan en büyük tanım bölgesini bulunuz.
Değer bölgesini belirleyiniz. varsa, ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki sayısal örnekte yaptıklarımızın benzerini tekrarlayabiliriz. y = f (x) = ax + b bağıntısı her gerçek x için anlamlıdır.
Dolayısıyla, f nin tanım bölgesi R dir.
(x 1 6= x 2 ) ⇒ ( f (x 1 ) 6= f (x 2 )) ⇒ (y 1 6= y 2 )
olduğundan, fonksiyon bire birdir. Her y ∈ R için,
µ
f
¶
y −b
y −b
= 3·
+1 = y
a
a
F O N K S I Y O N L A R I N B I L E Ş K E S I
olduğundan, f : R ⇒ R örten bir fonksiyondur. Dolayısıyla, f nin
ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonu bulmak için (8) bağıntısını
kullanabiliriz:
y = f −1 (x)
⇒
x = f (y)
⇒
x = ay +b
x −b
y=
a
x −b
f −1 (x) =
a
⇒
⇒
O halde,
f (x) = ax + b
⇒
f −1 (x) =
x −b
a
dir.
4. a, b, c, d sabit gerçek sayılar olmak üzere,
ax + b
cx + d
fonksiyonunun, mümkün olan en büyük tanım bölgesini bulunuz.
y = f (x) =
Değer bölgesini belirleyiniz. varsa, ters fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm: Verilen y = f (x) bağıntısı, paydanın sıfır olmadığı her gerçek
x için anlamlıdır. Dolayısıyla, f nin tanım bölgesi c x + d 6= 0 ⇒ x 6 − dc
olan gerçek sayılar kümesidir.
f (x 1 ) = f (x 2 )
⇒
ax 1 + b ax 2 + b
=
c x1 + d c x2 + d
(ax 1 + b)(c x 2 + d ) = (c x 1 + d )(ax 2 + b)
⇒
ad x 1 + bc x 2 = bc x 1 + ad x 2
⇒
ad = bc
⇒
dir. Buradan şunu söyleyebiliriz:
1. Durum: Eğer ad = bc ise, verilen fonksiyon, f (x) =
fonksiyonudur.
Görüntü kümesi, tek öğeli { ac } kümesidir.
a
c
sabit
Fonksiyonun
tersi yoktur.
2. Durum: Eğer ad 6= bc ise, verilen fonksiyon, bire birdir. Görüntü
kümesi üzerinde, ters fonksiyonu vardır. Ters fonksiyonu bulmak için
(8) bağıntısını kullanabiliriz:
y = f −1 (x)
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
x = f (y)
ay +b
x=
cy +d
x(c y + d ) = a y + d
−d x + b
y=
cx − a
−d x + b
f −1 (x) =
cx − a
O halde, ad 6= bc olduğunda,
f (x) =
ax + b
cx + d
⇒
f −1 (x) =
−d x + b
cx − a
olur. Buradan, görüntü kümesinin c x − a 6= 0 ⇒ x 6=
a
c
koşulunu
sağlayan gerçek x sayılarının oluşturduğu küme olduğu görülür.
25
26
CALCULUS
5. A = {1, 2, 3} v4 B = {1, 6, 11} kümeleri ile f : A ⇒ B ,
f (x) = 5x − 4
fonksiyonu veriliyor.
(a) f fonksiyonunun bire bir olduğunu gösteriniz.
(b) f −1 ters fonksiyonunu bulunuz.
(c) f ◦ f −1 ile f −1 ◦ f bileşke fonksiyonlarını bulunuz.
Çözüm:
f (1) = 1,
f (2) = 6,
f (3) = 11
eşlemelerinden, f nin bire bir ve örten olduğu görülüyor. Ters fonksiyonu bulmak için, (8) bağıntısını kullanalım:
y = f −1 (x)
⇒
x = f (y)
⇒
x = 5y − 4
⇒
x + 4 = 5y
x +4
y=
5
⇒
Öyleyse,
f (x) = 5x − 4
⇒
f −1 (x) =
x +4
5
dir.
f −1 ◦ f = I A : A ⇒ A,
(x ∈ A ⇒ I A (x) = x
f ◦ f −1 = I B : B ⇒ B ,
(y ∈ B ⇒ I B (y) = y
olduğu apaçıktır.
Alıştırmalar
1. Bire bir ve örten her fonksiyonun tersinin tersi, kendisine eşittir; yani,
( f −1 )−1 = f
eşitliği vardır. Gösteriniz.
2. f ile g fonksiyonlarının grafikleri,
g r a f ( f ) = {(a, 4), (b, 3), (c, 1), (d , 2)} ve
g r a f (g ) = {(1, b), (2, d ), (3, a), (4, c)}
olsun.
(a) f fonksiyonunun tanım ve değer bölgelerini yazınız.
(b) g fonksiyonunun tanım ve değer bölgelerini yazınız.
(c) f fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu gösteriniz.
(d) g fonksiyonunun bire bir ve örten olduğunu gösteriniz.
(e) f fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
(f ) g fonksiyonunun ters fonksiyonunu bulunuz.
(g) f −1 ◦ f bileşkesini belirleyiniz.
F O N K S I Y O N L A R I N B I L E Ş K E S I
(h) f ◦ f −1 bileşkesini belirleyiniz.
(i) g −1 ◦ g bileşkesini belirleyiniz.
(j) g ◦ g −1 bileşkesini belirleyiniz.
(k) g ◦ f bileşkesini belirleyiniz.
(l) f ◦ g bileşkesini belirleyiniz.
(m) (g ◦ f )−1 ters fonksiyonunu belirleyiniz.
(n) f −1 ◦ g −1 bileşke fonksiyonunu belirleyiniz.
(o) (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 eşitliğini gösteriniz.
3. A = {−2, −1, 0, 1, 2} kümesi veriliyor. f : A ⇒ B , f (x) = 3x −1 ve g : B ⇒ C ,
g (x) = 2x + 5 bire bir ve örten fonksiyonları tanımlanıyor.
(a) B ve C kümelerini bulunuz.
(b) g ◦ f : A ⇒ C fonksiyonunu belirleyiniz.
(c) f , g , g ◦ f fonksiyonlarının grafiklerini çiziniz.
4. Her f : A ⇒ A örten bir fonksiyonu ise, kısalığı sağlamak için, ardışık
bileşkeler,
f2=f ◦f,
f3=f ◦f ◦f,
f 4 = f ◦ f ◦ f ◦ f ···
biçiminde üstel ifadelerle gösterilir. f : R ⇒ R, f (x) = −x + 5 fonksiyonu veriliyor. I birim fomksiyon olmak üzere,
I = f 2 = f 2 = f 4 = f 6 = ···
olduğunu gösteriniz.
5. f −1 (x) = 2x + 3 veriliyor. f fonksiyonunu belirleyiniz.
6. f : R ⇒ R, f (x) = x − 5 fonksiyonu için f 4 (x) = 0 eşitliğini sağlayan x
sayısını bulunuz.
7. A = {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3} ve B = {0, 1, 4, 9} kümeleri veriliyor. f : A ⇒
B,
f (x) = x 2 fonksiyonunun tersi var mıdır? Neden?
8. A = {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesi ile f : A ⇒ B , f (x) = 5x − 1 bağıntısı
veriliyor.
(a) f nin bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
(b) f nin mümkün olan en büyük tanım bölgesini ve değer bölgesini
belirleyiniz.
(c) f nin bire bir ve örten bir fonksiyon olduğunu gösteriniz.
(d) f −1 ters fonksiyonunu belirleyiniz.
(e) f ◦ f −1 6= f −1 ◦ f olduğunu örneklerle gösteriniz.
9. f (x) = 3x + 1 ve g (x) = 2x fonksiyonları veriliyor.
(a) f ile g nin mümkün olan en büyük tanım bölgelerini ve değer
bölgelerini belirleyiniz.
(b) g ◦ f bileşke fonksiyonunu belirleyiniz.
27
28
CALCULUS
(c) f ◦ g bileşke fonksiyonunu belirleyiniz.
(d) g ◦ f 6= f ◦ g olduğunu gösteriniz.
(e) f −1 ters fonksiyonunu belirleyiniz.
(f ) g −1 ters fonksiyonunu belirleyiniz.
(g) f ◦ f −1 6= f −1 ◦ f olduğunu örneklerle gösteriniz.
(h) (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 olduğunu örneklerle gösteriniz.
10. f (x) = 3x + 1 fonksiyonu ile B = {1, 7, 10} kümesi veriliyor. f −1 (B )
kümesini bulunuz.
11. f (x) = −2x + 1, g (x) = x − 2 fonksiyonları veriliyor.
(a) f ile g nin terslerini bulunuz.
(b) ( f ◦ g )−1 = g −1 ◦ f −1 olduğunu örneklerle gösteriniz.
(c) f ◦ g 6= g ◦ f olduğunu örneklerle gösteriniz.
12. f (x) = x 2 bağıntısı veriliyor.
(a) f bir fonksiyon mudur?
(b) Fonksiyon ise, en büyük tanım bölgesini belirleyiniz.
(c) Görüntü kümesini yazınız.
(d) Ters fonksiyonu var mıdır?
(e) Tanım bölgesini, A = {x|x ≥ 0, x ∈ R} kümesine daraltılırsa, f −1
ters fonksiyonu var olur mu? Varsa kimdir?
13. f (x) = 3x + 1 ile g (x) =
x−1
3
fonksiyonlarının birbirlerinin tersi
olduklarını gösteriniz.
14. f (x) = x 3 ile g (x) =
p
3
x fonksiyonlarının birbirlerinin tersi olduklarını
gösteriniz.
15. f (x) = x 3 + 1 fonksiyonunun tersini bulunuz.
p
16. f (x) = 2 3 x + 5 fonksiyonunun tersini bulunuz.
17. f (x) =
1
x−1
fonksiyonunun en büyük tanım bölgesini belirleyiniz.
Ters fonksiyonunun olup olmadığını araştırınız.
18. f (x) = x1 , (x 6= 0) fonksiyonunun tersinin kendisi ne eşit olduğunu;
yani, f (x) = f −1 (x), (x 6= 0) eşitliğinin varlığını gösteriniz.
19. f (x) = (x − 3)3 fonksiyonunun tersini bulunuz.
20. f (x) = −x + 3, g (x) = x + 1, h(x) = 3x + 2 fonksiyonları veriliyor.
f ◦ (g ◦ h) = ( f ◦ g ) ◦ h olduğunu gösteniniz.
21. f (x) = ax + 1 ve f −1 (x) = f (x) ise f −1 (1) kaçtır?
22. f (x) =
ax+2
3x−1
ve f −1 (x) = f (x) ise f −1 (1) kaçtır?
23. f (x) =
3x−1
2x−4
fonksiyonunun en büyük tanım kümesini ve varsa ters
fonksiyonunu bulunuz.
24. f (x) = (x + 1) · f (x − 1) ve f (1) = 5 ise f (4) kaçtır?
F O N K S I Y O N L A R I N B I L E Ş K E S I
25. f : A ⇒ B fonksiyonu veriliyor. f (x) = (x − 1) · f (x + 1) ve f (5) = 5 ise
f (2) kaçtır?
26. f (x) = 2x + 1 ve g ◦ f (x) = 6x − 2 ise g (x) nedir?
27. g (x) = 3x − 2 ve g ◦ f (x) = 2x ise f (x nedir?
28. f (x − 2) = 3x + 1 ve A = {−1, 0, 1} ise f (A) ve f −1 (A) nedir?
29. f (3x − 1) = x 2 − 3 ise f (x) nedir?
30. f (x) = 3x + r ve f −1 (3) = 1 ise r kaçtır?
31. A = {−1, 1, 3} ve f (x) = 2x + 1 ise f −1 (A) nedir?
32. f (x) =
3x − 1
ise f −1 (x) nedir?
x −3
33. A = {1, 2, 3} kümesinden kendisine tanımlı bire bir ve örten her
fonksiyon, A nın bir permütasyonudur. Bir permütasyonu göstermek
için, aşağıdaki gibi matrisler kullanılır. Bunun anlamı şudur: Üst
satırdaki her öğe, kendi düşey sütununa karşılık gelen alt satırdaki
öğeye eşlenir.
(a) A nın bütün permütasyonlarının aşağıdaki fonksiyonlardan
oluşan P = { f 1 , f 2 , f 3 , f 4 , f 5 , f 6 } kümesi olduğunu gösteriniz.
(b) Bu permütasyonlar arasında, birbirlerinin tersi olanları belirleyiniz.
(c) Permütasyonların bileşke işlemine göre kapalı olduğunu gösteriniz.
(d) Bileşke işleminin yer değişim özeliğinin olmadığını gösteriniz.
(e) Bileşke işleminin tablosunu yapınız ve özeliklerini inceleyiniz.
(f ) (P , ◦) sistemi bir grup mudur? Neden?
Ã
!
Ã
!
Ã
1 2 3
1 2 3
f1 =
, f2 =
, f3 =
1 2 3
1 3 2
Ã
!
Ã
!
Ã
1 2 3
1 2 3
f4 =
, f5 =
, f6 =
2 3 1
3 1 2
1
2
3
2
1
3
1
2
3
3
2
1
!
!
olarak veriliyor. ◦ (bileşke) işlemi, a,ağıdaki gibi tanımlanır:
Ã
! Ã
! Ã
!
1 2 3
1 2 3
1 2 3
f2 ◦ f3 =
◦
=
= f5
1 3 2
2 1 3
3 1 2
34. Yukarıdaki tanımlara göre, ( f 3 ◦ f 5 )−1 hangi permütasyona eşittir?
35. Yukarıdaki tanımlara göre, ( f 5−1 ◦ f 3−1 )−1 hangi permütasyona eşittir?
36. f : A ⇒ B , f (x) = ax − 2 fonksiyonu veriliyor.
f (2x + 1) − 2 f (x) = 5 ise a ∈ R yi ve f 2 (x + 1) ifadesini bulunuz.
37. f (x) = −2x + 5 fonksiyonu veriliyor. f (−10x + 3) = f (−2x) + f (x − 1)
önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
38. R ⇒ R, f (x) = 2x+3, g (x) = 4x−7 fonksiyonları veriliyor. 2.( f ◦ g )(x) − (g ◦ f )(x) + f (x) + 4 = 0
önermesinin doğruluk kümesini bulunuz.
29
30
CALCULUS
39. f (x − 1) = x1 , ve g (x − 1) =
x
x+1
ise, f −1 ◦ g (3) kaç olur?
40. f (x) = 2x + 1 ve g ◦ f (x) = 6x + 2 ise g nedir?
41. f : R ⇒ R fonksiyonu, f (x − 1) = 3x + 4 eşitliğini sağlıyorsa, f −1 (7)
kaçtır?
42. f : R ⇒ R fonksiyonu, f (2x + 5) = 15x + 4 eşitliğini sağlıyorsa, f (9)
kaçtır?
43. f (x) = 4x + 2 ve (g −1 ◦ f )(x) = 3x + 2 ise g (x) nedir?
µ
¶
2x − 1
x −1
44. f
=
ise f −1 (2) nedir?
3x + 1
x −2
45. a ile b sıfırdan farklı sabitler olmak üzere, f (ax + b) =
a
bx
ise f (0)
kaçtır?
46. f x) = ax + b ve f −1 (5) = 2 ise 4a + 2b kaçtır?
47. f (x) = x 2 ve g (x) = 3x + 2 olduğuna göre ( f −1 ◦ g )−1 bileşkesini
belirleyiniz.
48. f : R 2 ⇒ R fonksiyonu, f (x, y) = 2x − 5y + 3 bağıntısı ile veriliyor.
f (1, y) = 0 eşitliğini sağlayan y değerini bulunuz.
Polinomlar
Polinom Kavramı
Polinomlar, yalnız Matematikte değil, başka bilim dallarında da karşılaşılan
bir çok problemin çözümünde etkili bir araçtır.
Polinom kavramı, farklı soyut biçimleriyle incelenebilir. Ama, bu
derste, katsayıların ve belirsizlerin gerçek sayılar olması durumunu ele
alacağız. Gene de, biraz genel bir tanım vermekte yarar olabilir.
a 0 , a 1 , · · · , a n−1 , a n bir H halkasından seçilmiş ögeler, n bir doğal sayı
ve x belirsiz (tanımsız) olmak üzere,
p(x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n−1 x + a n x n
(1)
biçimindeki ifadelerden her birisi, bir belirsizli bir polinomdur.
Tanımı daha belirgin kılmak istersek, (1) ifadesine, x belirsizine göre,
H üzerinde bir polinomdur diyoruz. Buna göre, H yerine Z konulursa,
(1) ifadesi tamsayı katsayılı, bir belirsizli bir polinom olur. H yerine Q
konulursa, (1) ifadesi rasyonel sayı katsayılı, bir belirsizli bir polinom
olur. H yerine R konulursa, (1) ifadesi gerçek katsayılı bir belirsizli bir
polinom olur. Polinomları büyük ya da küçük harflerle temsil edebiliriz.
Buna göre, P (x) ya da p(x) simgeleri kullanılabilir.
Bir Belirsizli Polinomlar
Polinomun genel tanımını vermeden önce polinomu ve onunla ilgili bazı
kavramları bir örnek üzerinde açıklamak daha uygun olacaktır.
p
3x 5 − 12x 2 + 7x − 9
ifadesi bir polinomdur. Fonksiyonlarda olduğu gibi, polinomları da birer
harf ile temsil ederiz. Yukarıdaki polinomu p(x) ile temsil edersek,
p
p(x) = 3x 5 − 12x 2 + 7x − 9
(1)
yazabiliriz. şimdilik x simgesinin bir gerçek değişkeni temsil ettiğini;
yani x in R içinde gezgin bir öge olduğunu varsayalım. Bu polinomun
terimleri
3x 5 , −12x 2 ,
p
7x, −9
dur. Bu terimler, x değişkenine göre, 5, 2, 1, 0 ıncı derecedendirler (kuvvettendirler). En yüksek dereceli terim 3x 5 dir. Polinomun derecesi, en
yüksek dereceli teriminin derecesine eşittir. Dolayısıyla, söz konusu
32
CALCULUS
polinomun derecesi 5 dir. Terimlerin katsayıları, sırasıyla, 3, −12,
p
7, −9
gerçek sayılarıdır. En yüksek dereceli terimin katsayısı, polinomun
başkatsayısı’dır. Ohalde (2) polinomunun başkatsayısı 3 dür.
Terimler R içindeki çarpma işlemine göre anlamlıdır. Terimlerin
toplanması ya da çıkarılması da aynı şekilde anlamlıdır. Bu demektir ki,
(2) polinomu gerçek sayılar kümesi içinde tanımlıdır ve x değişkenine
belirli bir değer verilip, polinomun içerdiği çarpma, toplama ve çıkarma
işlemleri yapılırsa bir gerçek sayı bulunur. Bu sayı, x için seçilen değere
karşılık polinomun aldığı değerdir. Başka bir deyişle, (2) ifadesi bir
cebirsel yapı içinde anlamlı bir ifadedir.
şimdi (1) polinomu için söylediklerimizi genelleştirmeye ve soyutlamaya çalışalım. Dikkat edersek, yukarıdaki tanımda R yerine , toplama ve
çarpma işlemlerine kapalı olan bir cebirsel yapı alabiliriz. x değişkenini
de şimdilik belirtilmeyen bir kümeden seçebiliriz. Bu nedenle, ait olduğu
küme belirtilmediği zaman, x nesnesine değişken demeyecek, belirsiz
diyeceğiz.
Tanım 0.2. (1) biçimindeki ifadelerden her birisi bir polinomdur.
Katsayı
P (x) polinomunda a n , a n−1 , · · · , a 1 , a 0 ögelerinden her birisi.
Terim
a n x n , a n−1 x n−1 , · · · , a 1 x, a 0 ifadelerinden her birisi.
Derece
Bir a m x m terimi için, x in kuvveti olan m ∈ N doğal sayısı. p(x)
polinomu için, polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük
olanın derecesi. p(x) polinomunun derecesi d er [p(x)] ile gösterilir.
Başkatsayı
Polinomdaki en yüksek dereceli terimin katsayısı.
Sıfır Polinomu
Bütün katsayıları 0 olan polinom.
a n = a n−1 = · · · = a 1 = a 0 = 0
ise p(x) polinomu sıfır polinomudur. O(x) ile gösterilir.
Sabit Polinom
Sabit terimi dışındaki bütün katsayıları 0 olan polinom.
a n = a n−1 = · · · = a 2 = a 1 = 0 ve a 0 6= 0 ise, p(x) polinomu sabit bir
polinomdur.
Sıfır polinomun derecesi tanımsızdır. Sabit polinomun derecesi
sıfırdır.
Örnekler:
1. p(x) = 7x 5 − 3x 4 + x 3 + 21x 2 − 8x + 12 polinomunun derecesini,
katsayılarını, terim sayısını, sabit terimini, başkatsayısını yazınız.
• d er [P (x)] = 5
• Katsayıları: 7, −3, 1, 21, −8, 12
• Terim sayısı: 6
• Sabit terimi: 12
POLINOMLAR
• Baş katsayısı: 7
dır.
2. p(x) = −5x 4 + 34 x 3 + 8x − 5 polinomunun derecesini, başkatsayısını,
terim sayısını, sabit terimini ve katsayılarını yazınız.
• d er [p(x)] = 4
• Baş katsayısı: −5
• Terim sayısı: 4
• Sabit terimi:-5
• p(x) polinomunun ikinci dereceden teriminin katsayısı sıfırdır. Bu
polinom p(x) = −5x 4 + 43 x 3 + 0x 2 + 8x − 5 biçiminde yazılabilir.
Dolayısıyla, p(x) polinomunun katsayıları −5, 34 , 0, 8, −5
dir.
2
3. f (x) = 13x 3 + 4x 3 + 21 ifadesi bir polinom mudur? Neden?
Değildir; çünkü bir polinomda her terimin üssü bir doğal sayıdır. Oysa
2
4x 3 terimindeki x, belirsizinin üssü bir doğal sayı değildir.
4. p(x) = (2m − 1)x 2 + (n + 2)x + r polinomunun sıfır polinomu olması için
2m − 1 = 0, n + 2 = 0, r = 0
m, n, r sayıları ne olmalıdır?
m = − 12 ,
n = −2,
r =0
5. p(x) = ax 7 +(5b+1)x 3 +(2c−3)x 2 +8 polinomunun sabit polinom olması
a = 0, 5b + 1 = 0, 2c − 3 = 0
için a, b, c nin alacağı değerler ne olmalıdır?
a = 0, b = − 15 ,
c = 23
Çok Belirsizli Polinomlar
x, y ve z belirsiz öğeler olmak üzere
1. p(x, y) = 9x 7 y 2 − 15x 3 y 4 + 2x 2 − 5y + 14
2. q(x, y) = −3x y + 2x 4 y 3 − 5y 7
3. r (x, y, z) = 6 − 11x y z 2 + 4x 2 z 9 − 3x y 4 + 12x 4 y z 3
biçimindeki ifadelerden her birisine çok belirsizli bir polinom denilir.
Bunlardan ilk ikisi iki belirsizli, sonuncusu ise üç belirsizli polinomlardır.
Genel tanımını şöyle yapabiliriz.
H bir halka, x ve y belirsiz iki öge, a r k ∈ H ve r , k ∈ N olmak üzere,
a r k x r y k biçimindeki terimlerin sonlu bir toplamına iki belirsizli polinom denilir. İkiden çok belirsizi olan polinomlar da benzer biçimde
tanımlanır.
a r k x r y k biçimindeki ifadelerin her birisi polinomun bir terimidir. Bu
terimin derecesi r + k dır; yani içerdiği belirsizlerin kuvvetleri toplamıdır.
Aynı terimin katsayısı ise a r k dır. En yüksek dereceli terimin derecesi
polinomun da derecesidir.
Örnekler
1. p(x,y) polinomunun iki belirsizi, 5 terimi vardır. Derecesi 9 dur.
33
34
CALCULUS
2. q(x,y) polinomunun iki belirsizi, 3 terimi vardır. Derecesi 7 dir. Bu
polinomun 7 inci dereceden iki terimi vardır.
3. r(x,y,z) polinomunun üç belirsizi, 5 terimi vardır. Derecesi 11 dir.
Belirsizleri aynı olan ve aynı belirsizlerin, karşılıklı olarak, üsleri aynı
olan terimlere benzer terimler denilir. Benzer terimlerin katsayıları farklı
olabilir.
Örnekler:
−17x 3
ile 5x 3
5x 7 y 4
ile x 7 y 4
benzer terimlerdir. Ama
8x 2 y 3
ile 18x 3 y 2
benzer olmayan terimlerdir.
Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama
Polinomlarla ilgili işlemlerin kolay yapılabilmesi için polinomlar, belirsizlerinin kuvvetlerine göre artan ya da azalan sırada düzenlenebilir. Bu
alışkanlığı edinmek için, polinomları bu biçimde düzenlenmiş olarak
yazacağız. Örneğin,
−3 + 2x + 6x 2 − 17x 4 − 8x 9
12x 7 + 4x 5 − 7x 4 + 15x 3 + 2x − 4
polinomlarından birincisi x belirsizinin artan kuvvetlerine göre, ikincisi
ise azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiştir.
Çok belirsizli polinomlar, istenen bir belirsizinin kuvvetlerine göre
artan ya da azalan sırada düzenlenebilir. Örneğin,
7x 2 y 3 z − 18x 3 y 2 z 2 + 5x 4 y 5 z 6 + x 5 − 14z 7 − 4
polinomu x belirsizinin artan kuvvetlerine göre düzenlenirse
−4 − 14z 7 + 7x 2 y 3 z − 18x 3 y 2 z 2 + 5x 4 y 5 z 6 + x 5
olur. z belirsizinin azalan kuvvetlerine göre düzenlenirse
−14z 7 + 5x 4 y 5 z 6 − 18x 3 y 2 z 2 + 7x 2 y 3 z + x 5 − 4
olur.
İki Polinomun Eşitliği
İki polinomun eşit olması için gerekli ve yeterli koşul derecelerinin
aynı ve benzer terimlerinin, karşılıklı olarak birbirlerine eşit olmasıdır. Bir
belirsizli polinomlar için eşitlik şu anlama gelir:
P (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n−1 x n−1 + a n x n
ve
Q(x) = b 0 + b 1 x + · · · + b m−1 x m−1 + b m x m
POLINOMLAR
polinomları verilsin.
P (x) = Q(x) ⇒ m = n ∧ (a 0 = b 0 ,
a1 = b1 , · · · ,
an = bm )
dir.
Örnekler:
1. P (x) = (a +1)x 2 +5x +2b −1 ve Q(x) = (15−a)x 3 +(c −1)x 2 +(2d +1)x −3
polinomlarının eşit olması için a, b, c, d hangi değerleri almalıdır?
Bu iki polinomun eşit olması için, benzer terimlerinin katsayıları eşit
olmalıdır. O halde,
15 − a =
0
⇒ a = 15
a +1 =
c −1
⇒ c = 17
2d + 1 =
5
⇒d =2
2b − 1 =
−3
⇒b=2
çıkar.
2.
P (x)
=
(3 − a)x 5 − 3x 3 + bx 2 + 9
Q(x)
=
(b − 1)x 4 + (2c + 5)x 3 − 5d x 2 + 2e − 1
polinomlarının eşit olması için a, b, c, d , e hangi değerleri almalıdır?
Yukarıdaki düşünüşle,
3−a =
0
⇒a =3
b −1 =
0
⇒b=1
2c + 5 =
−3
b=
−5d
2e − 1 =
9
⇒ c = −4
1
⇒d =−
5
⇒e =5
olması gerektiği görülür.
3. P (x) = 14x 3 + 5x 2 + 11, ve
Q(x) = 14x 3 − 2x 2 + 11 polinomları eşit
midir?
Hayır. Çünkü; P (x) polinomunda x 2 ’li terimin katsayısı 5, Q(x) polinomunda x 2 ’li terimin katsayısı -2 dir. Ohalde, P (x) 6= Q(x) dir.
Uygulamalar
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri birer polinomdur?
a) f (x) =
x 2 +1
x3
c) h(x) = 33x 3 − 52 x 2 + 7
3
b) g (x) = 4x 3 + 12x 4 − 51
p
d) s(x) = 6x 6 − 8x 3 + 35 x + 15
2. Aşağıdaki polinomların terim sayılarını, derecelerini, katsayılarını ve
baş katsayısını yazınız.
a) P (x) = 4x 3 − 32 x 2 + 5x − 3
b) Q(x) = 3 − 3x 3
c) R(x) = 32 x 3 − 31 x 2 + 41
d) S(x) = −4 + 17 x + 14x 2 − 65x 3 + 17x 4
35
36
CALCULUS
k+1
3. P (x) = x k−1 + 12 x 2 − 3 ifadesinin beşinci dereceden bir polinom
belirtmesi için k ne olmalıdır?
4. P (x) = 5x 3 + (a + 1)x 2 + d
ve
Q(x) = (b − 1)x 3 − 3x 2 − (2c − 3)x + 12 polinomlarının eşit olması için
a, b, c, d ne olmalıdır?
5. −3 + (5c − 1)x 2 + 3x 3 + 2x 4 = (3d − 1)x 4 + (2e − 3)x 3 + 14 x 2 + 5 f + 2
eşitliğinin sağlanabilmesi için c, d , e, f nin alacağı değerler nelerdir.
6. P (x) =
p
7 7−r 2
) + 2x r −2 − 9 ifadesinin bir polinom olabilmesi için r
3 (x
nin alacağı değerler kümesini bulunuz.
Polinomlar Kümesi Üzerinde İşlemler
Sayı kümeleri üzerinde yaptığımız toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemlerinin benzerlerini polinomlar kümesi üzerinde de yapabiliriz. Bu
işlemleri, önce bir belirsizli polinomlar üzerinde tanımlayacağız.
Tanım 0.3. x belirsizine göre, bir H halkası üzerinde oluşturulabilecek
bütün polinomların kümesini
R [x]
ile gösterelim.
Uyarı 0.4. Polinomlar kümesi üzerinde yapılan işlemlerin sağladığı
özelikleri örnekler üzerinde açıklamakla yetinecek; genel ispatlarını
vermeyeceğiz. Ayrıca, özel olarak, x belirsizinin R kümesinden seçildiğini
ve H halkasının Q Rasyonel Sayılar Halkası olduğunu varsayabiliriz.
Toplama
İki polinom toplanırken benzer terimler bir araya getirilip toplanır ve
benzer olmayanlar aynen alınır.
n > m olmak üzere,
P (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n−1 x n−1 + a n x n
ve
Q(x) = b 0 + b 1 x + · · · + b m−1 x m−1 + b m x m
polinomlarının toplamı, aşağıdaki eşitlikle tanımlanır:
P (x) +Q(x)
=
(a 0 + b 0 ) + (a 1 + b 1 )x + · · · + (a k + b k )x k + · · · +
(a m + b m )x m + a m+1 x m+1 + · · · + a n x n
Örnek
P (x) = x 5 − 73 x 4 + 5x 2 − 4,
Q(x) = −9x 5 + 52 x 3 − 7x 2 + 6 polinomlarının
toplamı
P (x) +Q(x)
=
=
7
5
[1 + (−9)]x 5 + (− + 0)x 4 + (0 + )x 3
3
2
+[5 + (−7)]x 2 + (−4 + 6)
7
5
−8x 5 − x 4 + + x 3 − 2x 2 + 2
3
2
POLINOMLAR
olur. Buradan görüldüğü gibi, iki polinomun toplamı gene bir polinomdur. Dolayısıyla, polinomlar kümesi toplama işlemine kapalıdır. Bunu bir
kural olarak ifade edebiliriz:
Lemma 0.5. R [x] kümesi üzerinde + işlemi tanımlıdır.
Şimdi, toplama işleminin yer değişme özeliğine sahip olduğunu
yukarıdaki örnek üzerinde gösterelim.
µ
¶
µ
¶
7
5
5
4
Q(x) + P (x) = (−9 + 1)x +
+0 x +
+ 0 x 3 + (5 − 7)x 2 + (6 − 4)
3
2
7
5
= −8x 5 − x 4 + x 3 − 2x 2 + 2
3
2
olur. Bunu genelleştirerek, şu kuralı söyleyebiliriz:
Lemma 0.6. R [x] kümesi üzerinde + işlemi yer değişme özeliğine sahiptir;
yani, her P (x),Q(x) polinom çifti için
P (x) +Q(x) = Q(x) + P (x)
eşitliği sağlanır.
Toplama işleminin birleşme özeliğine sahip olduğunu aşağıdaki örnek
üzerinde görelim: P (x) = −3x 3 + 5x − 7,
Q(x) = x 2 − 5x + 3,
R(x) = x − 2
polinomlarının toplamını bulmak için, sayılarda olduğu gibi birleşme
özeliğini kullanacağız:
=
[P (x) +Q(x)] + R(x)
£
¤
(−3 + 0)x 3 + (0 + 1)x 2 + (5 − 5)x + (−7 + 3) + (x − 2)
=
(−3x 3 + x 2 + 0x − 4) + (x − 2)
=
−3x 3 + x 2 + x − 6
olur. Benzer biçimde,
P (x) + [Q(x) + R(x)]
=
(−3x 3 + 5x − 7) + [(1 + 0)x 2
+(−5 + 1)x + (3 − 2)]
=
−3x 3 + x 2 + x − 6
bulunur. O halde,
Lemma 0.7. R [x] kümesi üzerinde + işlemi birleşme özeliğine sahiptir;
yani, her P (x),Q(x), R(x) polinomları için
[P (x) +Q(x)] + R(x) = P (x) + [Q(x) + R(x)]
eşitliği sağlanır.
şimdi R [x] kümesi üzerinde, sıfır polinomunun, + işlemine göre
birim öğe olduğunu göstereceğiz. Sıfır polinomu, bütün katsayıları
sıfır olan polinomdur. Bunu O(x) simgesiyle gösterelim. O(x) = 0 ile
P (x) = 3x 4 − 3x 3 + 2x + 5 polinomlarını toplarsak;
O(x) + P (x)
=
(0 + 3)x 4 + [0 + (−3)]x 3 + (0 + 2)x + (0 + 5)
=
3x 4 − 3x 3 + 2x + 5
=
P (x)
37
38
CALCULUS
P (x) + O(x)
=
(3 + 0)x 4 + (−3 + 0)x 3 + (2 + 0)x + (5 + 0)
=
3x 4 − 3x 3 + 2x + 5
=
P (x)
çıkar. Bu iki eşitliği genelleştirerek şu kuralı yazabiliriz:
Lemma 0.8. R [x] kümesindeki O(x) = 0 (sıfır) polinomu, + işlemine göre
birim öğedir; yani her P (x) polinomu için
[O(x) + P (x)] = P (x) + O(x)]
eşitliği sağlanır.
Son olarak, R [x] kümesindeki her P (x) polinomunun + işlemine göre
tersinin −P (x) olduğunu göstereceğiz.
P (x) = a 0 + a 1 x + · · · + a n−1 x n−1 + a n x n
polinomu için, −P (x) polinomu
−P (x)
=
−[a 0 + a 1 x + · · · + a n−1 x n−1 + a n x n ]
=
−a 0 − a 1 x − · · · − a n−1 x n−1 − a n x n
biçiminde tanımlanır ve + işlemine göre, P (x) polinomunun tersi adını
alır. Gerçekten,
P (x) + (−P (x)) = [a 0 + (−a 0 )] + [a 1 + (−a 1 )]x + · · · + [a n + (−a n )]x n = 0
olur. O halde, şu kuralı yazabiliriz:
Lemma 0.9. R [x] kümesindeki bir P (x) polinomunun, + işlemine göre tersi,
−P (x) polinomudur.
Yukarıda söylenen beş kural bir araya getirilirse, polinomlar kümesinin,
toplama işlemine göre değişmeli bir grup olduğunu ifade edebiliriz:
Theorem 0.10. (R [x] , +) değişmeli bir gruptur.
Uygulamalar
1. Aşağıdaki polinomları toplayınız.
P (x) = 3x 4 − 7x 2 + 4x − 5
3
2
Q(x) = −x 4 + 1
P (x) = −4x + 5x + 6
Q(x) = −8x 5 + 2x 3 − x 2
P (x) = x 7 + 5x 6 − 11x 3 + 4
Q(x) = 12x 7 + 4x 5 − 15x 2 + x + 1
P (x) = − 43 x 4 + 5x 2 + 6x
P (x) = 23 x 4 − 12 x 3 + 15 x + 43
P (x) = (3x 4 − 5x 3 + 52 x 2 + 13
Q(x) = −3x 4 + 21x 3 − x 2 + 8
Q(x) = 2x 2 − 1
Q(x) = 10x 5 − x 3 + 6x 2 − 2x + 3
2. İki polinomun toplamının derecesinin, derecesi büyük olan polinomun derecesine eşit veya ondan küçük olduğunu gösteriniz.
3. İki polinomun toplamının derecesi, derecesi büyük olan polinomun
derecesine ne zaman eşit olur?
4. İki polinomun toplamının derecesi, derecesi büyük olan polinomun
derecesinden ne zaman küçük olur?
5. −P (x) polinomunun tersinin P (x) olduğunu örneklerle sağlayınız.
POLINOMLAR
Çıkarma
P (x) ve Q(x) polinomları R [x] kümesinden alınan iki polinom ise, bunların farkı,
P (x) −Q(x) = P (x) + [−Q(x)]
eşitliği ile tanımlanır.
Lemma 0.11. R [x] kümesi çıkarma işlemine kapalıdır.
Gerçekten, R [x] bir grup olduğundan, P (x),Q(x) ∈ R [x] ise,
(P (x) + [−Q(x)]) ∈ R [x]
olacağını biliyoruz. O halde, yukarıdaki eşitliğin sol yanı da aynı kümeye
ait olacaktır; yani, [P (x) −Q(x)] ∈ R [x] dir.
Örnek 0.12.
P (x) = x 5 − 3x 3 − 2x + 1,
P (x) −Q(x)
Q(x) = 2x 5 − x 3 + 6 polinomları için
=
P (x) + [−Q(x)]
=
(x 5 − 3x 3 − 2x + 1) − (2x 5 − x 3 + 6)
=
(1 − 2)x 5 + (−3 + 1)x 3 + (−2 + 0)x + (1 − 6)
=
−x 5 − 2x 3 − 2x − 5
olur.
Lemma 0.13. Çıkarma işlemi yer değiştirme özeliğine sahip değildir.
(R [x] , +) grubunda, sıfırdan farklı bir polinomun tersi kendisine eşit
değildir. O halde,
P (x) −Q(x) = −[Q(x) − P (x)] 6= [Q(x) − P (x)]
yazabiliriz. Bu ise
P (x) −Q(x) 6= [Q(x) − P (x)]
demektir. Bunu bir örnek üzerinde gösterelim:
P (x) = 4x 7 − 2x 2 − x + 6,
P (x) −Q(x)
=
Q(x) = 3x 6 − 5x 3 + 2x − 4 polinomları için,
(4 − 0)x 7 + (0 − 3)x 6 + (0 − 0)x 5 + (0 − 0)x 4
+(0 + 5)x 3 + (−2 − 0)x 2 + (−1 − 2)x + (6 + 4)
Q(x) − P (x)
=
4x 7 − 3x 6 + 5x 3 − 2x 2 − 3x + 10
=
(0 − 4)x 7 + (3 − 0)x 6 + (0 − 0)x 5 + (0 − 0)x 4
+(−5 − 0)x 3 + (0 + 2)x 2 + (2 + 1)x + (−4 − 6)
=
−4x 7 + 3x 6 − 5x 3 + 2x 2 + 3x − 10
Buradan görüldüğü gibi, P (x)−Q(x) ile Q(x)−P (x) polinomları, + işlemine
göre birbirlerinin tersidirler.
İki polinomu toplarken, benzer terimleri aynı sütuna gelecek biçimde,
polinomların birisini ötekinin altına yazmak, benzer terimlerin toplanmasını kolaylaştırabilir. Çıkarma işlemi için de aynı iş yapılabilir:
P (x) = x 4
- 3x 2
- x
+ 7
∓Q(x) =
P (x) −Q(x) =
x
4
∓
7x 3
−
3
7x
∓
−
2x 2
x
2
−
x
∓
2
−
5
39
40
CALCULUS
Uygulamalar
t
1. Aşağıdaki polinomların farklarını bulunuz.
P (x) = −5x 5 − 17x 2 + x + 1
5
3
Q(x) = −2x 4 − 3x 2 -7
P (x) = −x + 5x + 3
Q(x) = −8x 4 + 2x 3 − x + 3
P (x) = 3x 3 + 5x 2 − x + 4
Q(x) = 2x 4 + 4x 3 − 5x 2 − x − 4
P (x) = x − 43 x 3 + 35x 2 + x − 2
P (x) = 5x 5 − 23 x 4 + x 3 + 15 x + 45
P (x) = (2x 5 − 6x 3 + 13 x 2 + 23
Q(x) = 3x 4 + 2x 3 − 3x − 3
4
Q(x) = 3x 3 − 3
Q(x) = x 4 − x 3 + 2x 2 + 7x − 1
2. İki polinomun farkının derecesinin, derecesi büyük olan polinomun
derecesine eşit veya ondan küçük olduğunu gösteriniz.
3. İki polinomun farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun
derecesine ne zaman eşit olur?
4. İki polinomun farkının derecesi, derecesi büyük olan polinomun
derecesinden ne zaman küçük olur?
5. P (x) − Q(x) polinomunun + işlemine göre tersinin Q(x) − P (x)
olduğunu, örneklerle sağlayınız.
Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her teriminin diğerinin her terimi ile
ayrı ayrı çarpımlarından oluşan bütün terimlerin cebirsel toplamıdır.
Çarpımı yazarken, terimlerin derecelerine göre, artan ya da azalan
sırada dizilmesi, işlemleri kolaylaştırır.
P (x) ile Q(x) polinomlarının çarpımını P (x).Q(x) ya da P (x)Q(x)
simgeleriyle göstereceğiz.
P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + · · · + a n−1 x n−1 + a n x n
Q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + · · · + b m−1 x m−1 + b m x m
polinomlarını verilsin. Yukarıda söylendiği gibi, Q(x) in her terimini P (x)
in her terimi ile çarpalım. Sonra, benzer terimleri bir araya getirelim ve
onları x in artan derecelerine göre sıralayalım. Aşağıdaki eşitliği elde
ederiz:
P (x).Q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 + · · ·
Örnek P (x) = x 2 − 4x + 3 ve Q(x) = 2x − 3x 4 − x 5 polinomlarının çarpımı
P (x).Q(x)
=
(x 2 − 4x + 3)(2x − 3x 4 − x 5 )
=
2x 3 − 3x 6 − x 7 − 8x 2 + 12x 5 + 4x 6 + 6x − 9x 4 − 3x 5
=
−x 7 + x 6 + 9x 5 − 9x 4 + 2x 3 − 8x 2 + 6x
Yukarıdaki çarpma tanımında ve örnekte görüldüğü üzere, iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur. O halde, şu özeliği söyleyebiliriz.
POLINOMLAR
Lemma 0.14. Polinomlar kümesi, çarpma işlemine göre kapalıdır.
Ayrıca, çarpımın derecesi, çarpanların derecelerinin toplamına eşittir:
d er [P (x).Q(x)] = d er [P (x)] + d er [Q(x)]
Örneğin, yukarıdaki örnekte
d er [P (x)] = 5,
d er [Q(x)]) = 2 ve d er [P (x).Q(x)] = 7
dir.
Toplama ve çıkarma işlemleri için yaptığımız gibi, çarpma işlemini de
polinomları alt alta yazarak yapabiliriz. Örneğin,
P (x)
= 2x 4 − 3x + 1
Q(x)
=
2x 2 + x
2x 5 − 3x 2 + x
P (x).Q(x)
olur.
=
+ 4x
6
6
− 6x 3 + 2x 2
4x + 2x 5 − 6x 3 − x 2 + x
şimdi, polinomlar kümesi üzerinde çarpma işleminin yer değiştirme,
birleşme ve toplama işlemi üzerine dağılma özeliklerine sahip olduğunu
örnekler üzerinde gösterelim.
P (x) = x 2 + 3x − 2,
Q(x) = −x 2 − 5x + 1
polinomları için
P (x).Q(x)
Q(x).P (x)
=
(x 2 + 3x − 2)(−x 2 − 5x + 1)
=
−x 4 − 8x 3 − 12x 2 + 13x − 2
=
(−x 2 − 5x + 1)(x 2 + 3x − 2)
=
−x 4 − 8x 3 − 12x 2 + 13x − 2
olduğu kolayca görülür. Bunu genel olarak ifade edersek;
Lemma 0.15. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işlemi yer değişim
özeliğine sahiptir; yani, P (x),Q(x) herhangi iki polinom ise
P (x).Q(x) = Q(x).P (x)
eşitliği sağlanır.
P (x) = 5x 2 + 6x + 1
Q(x) = −2x 2 + 3x − 2
S(x) = x + 1
polinomlarının çarpımını, sayılarda olduğu gibi, birleşme özeliğinden
yararlanarak yapabiliriz.
[P (x).Q(x)]R(x)
P (x)[Q(x).R(x)]
=
[(5x 2 + 6x + 1)(−2x 2 + 3x − 2)](x + 1)
=
[−10x 4 + 3x 3 + 6x 2 − 9x − 2](x + 1)
=
−10x 5 − 7x 4 + 9x 3 − 3x 2 − 11x − 2
=
(−2x 2 + 3x − 2)[(5x 2 + 6x + 1)(x + 1)]
=
(−2x 2 + 3x − 2)[5x 3 + 11x + 7x + 1]
=
−10x 5 − 7x 4 + 9x 3 − 3x 2 − 11x − 2
olur. Genel olarak, şu kural geçerlidir:
41
42
CALCULUS
Lemma 0.16. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işlemi birleşme
özeliğine sahiptir; yani, P (x),Q(x), R(x) herhangi üç polinom ise
[P (x).Q(x)]R(x) = P (x)[Q(x).R(x)]
eşitliği sağlanır.
P (x) = x 2 − 2
Q(x) = x 2 − 2x + 1
R(x) = 2x 3 + 3x 2 − 4
polinomları için aşağıdaki işlemleri yapalım.
P (x)[Q(x) + R(x)]
=
(x 2 − 2)[(x 2 − 2x + 1) + (2x 3 + 3x 2 − 4)]
=
(x 2 − 2)(x 2 − 2x + 1) + (x 2 − 2)(2x 3 + 3x 2 − 4)
=
(x 4 − 2x 3 + x 2 − 2x 2 + 4x − 2)
+(2x 5 + 3x 4 − 4x 2 − 4x 3 − 6x 2 + 8)
=
P (x)[Q(x) + R(x)]
2x 5 + 4x 4 − 6x 3 − 11x 2 + 4x + 6
=
(x 2 − 2)[(x 2 − 2x + 1) + (2x 3 + 3x 2 − 4)]
=
(x 2 − 2)[x 2 − 2x + 1 + 2x 3 + 3x 2 − 4
=
(x 2 − 2)[2x 3 + 4x 2 − 2x − 3]
=
2x 5 + 4x 4 − 6x 3 − 11x 2 + 4x + 6
olur. Genel olarak, şu kural geçerlidir:
Lemma 0.17. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işleminin, toplama
işlemi üzerine dağılma özeliği vardır; yani P (x),Q(x), R(x) herhangi üç
polinom ise
P (x)[Q(x) + R(x)] = P (x).Q(x) + P (x).R(x)
eşitliği sağlanır.
Benzer yolla,
[Q(x) + R(x)]P (x) = Q(x)P (x) + R(x)P (x)
olduğu kolayca gösterilebilir. Bu son iki eşitlik, sırasıyla, çarpma işleminin, toplama işlemi üzerine soldan ve sağdan dağılma özeliği diye bilinir.
Sayı İle (Skalerle) Çarpma
Bir polinomu bir sayı ile çarpmak demek, polinomun her terimini o sayı
ile çarpmak demektir. Bunu biçimsel olarak şöyle tanımlayalım:
Tanım 0.18. α bir sabit sayı ise,
P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0
polinomunun α sabiti ile çarpımı
αP (x)
=
α(a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0 )
=
α(a n x n ) + α(a n−1 x n−1 ) + · · ·
+α(a 1 x) + α(a 0 )
=
eşitliği ile tanımlanır.
αa n x n + αa n−1 x n−1 + · · · + αa 1 x + αa 0
POLINOMLAR
Burada,
α(a k x k ) = αa k x k = (αa k )x k
olduğuna dikkat ediniz.
Örnek
P (x) = −4x 5 + 5x 3 − 12 polinomunu −3 ile çarpalım:
(−3)P (x)
=
(−3)(−4x 5 ) + (−3)(5x 3 ) + (−3)(−12)
=
12x 5 − 15x 3 + 36
Uyarı 0.19. Yukarıdaki tanımda, α sayısını sabit bir polinom olarak
düşünürsek, bir polinomun sayı ile (skalerle) çarpımı, iki polinomun
çarpımının özel bir durumu olur.
Gerçekten, S(x) = α dersek,
α P (x) = S(x).P (x)
yazabiliriz.
Polinomlar kümesi üzerinde tanımladığımız işlemlerin sağladığı
özelikleri derlersek, aşağıdaki iki teoremi söyleyebiliriz.
Theorem 0.20.
1. Polinomlar kümesi toplama işlemine göre değişmeli bir gruptur.
2. Polinomlar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
3. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin birleşme özeliği vardır.
4. Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine
(sağdan ve soldan) dağılma özeliği vardır.
Theorem 0.21. Polinomlar kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre
bir halka’dır.
Uygulamalar
1. Aşağıdaki polinomları birbirleriyle çarpınız..
P (x) = x 2 − 2x − 3
Q(x) = x 2 + 3x − 2
P (x) = 2x 4 + x 2 − 1
Q(x) = x 3 − 1
3
2
P (x) = x + 3x + 3x − 4
Q(x) = 7x 5 + 2x 3 + 1
P (x) = −4x 4 − 7x 3 − x + 4
Q(x) = x 5 + 9x 3 + 3x 2 + x + 2
P (x) = 3x + 43 x 2 + x − 2
P (x) = x 4 − 34 x 3 + x 2 + 51 x
P (x) = (−4x 5 + 3x 4 + 31 x 2 + 23
P (x) = 23 x 4 − 12 x 3 + 51 x + 43
3
Q(x) = −2x 7 − 2x 4 − 3x − 3
4
P (x) = 5x + 2x − 3
Q(x) = x 2 − 4
Q(x) = −2x 3 + 2x 2 + x − 1
Q(x) = 2x 2 − 1
Q(x) = x 3 − 1
2. İki polinomun çarpımının derecesinin, çarpanların derecelerinin
çarpımına eşit olduğunu, örneklerle gösteriniz.
3. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işleminin yer değişim ve birleşim özeliklerine sahip olduğunu örnekler üzerinde gösteriniz.
4. Polinomlar kümesi üzerinde, çarpma işleminin toplama işlemi
üzerine soldan ve sağdan dağılma özeliğine sahip olduğunu örnekler
üzerinde gösteriniz.
43
44
CALCULUS
Başlıca Özdeşlikler
Bir polinomun ya da, daha genel olarak, bir cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılması demek, çarpımları sözkonusu cebirsel ifadeye eşit olan
terimlerin bulunması demektir. 1 den farklı çarpanı olmayan polinomlara asal polinom denilir. Bazan, verilen bir polinomu asal çarpanlarına
ayırmak, onunla yapılan işlemleri kolaylaştırır. Benzer olarak, bir cebirsel ifadeyi, kendisinden daha basit yapıda olan çarpanlarına ayırmak,
işlemlerde kolaylık sağlar.
Aşağıda verilen eşitlikler, cebirsel ifadeleri çarpanlara ayırmak için
kullanılan başlıca bağıntılardır. Bu eşitlikler, kullanılan sabit ya da
değişkenlerin bütün değerleri için geçerlidir. Dolayısıyla, bunlara özdeşlik denilir.
Aşağıdaki özdeşliklerde yer alan harflerin, gerçek sayılar kümesinden
seçildiği varsayılacaktır.
• İki Terim Toplamının Karesi
(a + b)2
=
(a + b)(a + b)
=
a(a + b) + b(a + b)
=
a 2 + ab + ab + b 2
=
a 2 + 2ab + b 2
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
1.
(17)2
2.
=
(15 + 2)2
=
(15)2 + 2.15.2 + 22
=
225 + 60 + 4
=
289
p
5 p 2 25 10 3
( + 3) =
+
+3
3
9
3
3.
(2x + 4y)2 = 4x 2 + 8x y + 16y 2
• İki Terimin Farkının Karesi
(a − b)2
=
(a − b)(a − b)
=
a(a − b) − b(a − b)
=
a 2 − ab − ab + b 2
=
a 2 − 2ab + b 2
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
POLINOMLAR
1.
(19)2
=
(20 − 1)2
=
(20)2 − 2.20.1 + (−1)2
=
400 − 40 + 1
=
361
2.
(−14)2
=
(1 − 15)2
=
1 − 2.1.15 + (15)2
=
1 − 30 + 225
=
196
3.
[(2x + 3y) − z]2
=
(2x + 3y)2 − 2.(2x + 3y).z + z 2
=
4x 2 + 9y 2 + z 2 + 12x y − 4xz − 6y z
İki Terimin Toplamı İle Farkının Çarpımı
(a + b)(a − b)
=
a(a − b) + b(a − b)
=
a 2 − ab + ab − b 2
=
a2 − b2
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
• 1.
64x 2 − 25y 2 = (8x + 5y)(8x − 5y)
2.
14.16
=
(15 − 1)(15 + 1)
=
(15)2 − 12
=
225 − 1
=
224
3.
(x 8 − y 8 )
=
(x 4 )2 − (y 4 )2
=
(x 4 + y 4 )(x 4 − y 4 )
=
(x 4 + y 4 )(x 2 + y 2 )(x 2 − y 2 )
=
(x 4 + y 4 )(x 2 + y 2 )(x + y)(x − y)
4.
µ
3
2
p a2 + p b
3
2
¶µ
2
3
p a2 − p b
3
2
¶
=
=
4 4 9 2
a − b
2
3
4
2a − 3b 2
45
46
CALCULUS
5.
(x − 3b)2 − (3b − a)2
=
(x − 3b − 3b + a)(x − 3b + 3b − a)
=
(x − 6b + a)(x − a)
• Üç Terim Toplamının Karesi
(a + b + c)2
=
(a + b + c)(a + b + c)
=
a(a + b + c) + b(a + b + c) + c(a + b + c)
=
a 2 + ab + ac + ab + b 2 + bc + ac + bc + c 2
=
a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
1.
(a + b + 1)2 − (a − b + 1)2 + (a + b − 1)2 − (a − b − 1)2
=
[(a + b + 1)2 − (a − b + 1)2 ] + [(a + b − 1)2 − (a − b − 1)2 ]
=
[(a + b + 1) − (a − b + 1)][(a + b + 1) + (a − b + 1)]
+[(a + b − 1) − (a − b + 1)][(a + b − 1) + (a − b − 1)]
=
(2b)(2a + 2) + (2b)(2a − 2)
=
2b[(2a + 2) + (2a − 2)]
=
8ab
2.
4(x − 3y)2 − (x − 3y)2 + 5(x − 3y)2
=
[2(x − 3y) − (x − 3y)][2(x − 3y) + (x − 3y)]
+5(x − 3y)2
=
[(x − 3y)][3(x − 3y)] + 5(x − 3y)2
=
3(x − 3y)2 + 5(x − 3y)2
=
8(x − 3y)2
(x 3 − 21 x 2 − x)2 ifadesinin açılımını bulalım:
=
=
· µ
¶¸2
1
2
x x − x −1
2
µ
¶
1
1
1
x 2 x 4 + x 2 + 1 + 2x 2 (− x) − 2x 2 + 2(− x)(−1)
4
2
2
7
x6 − x5 − x4 + x3 + x2
4
POLINOMLAR
İki Terim Toplamının Küpü
(a + b)3
=
(a + b)(a + b)2
=
(a + b)(a 2 + 2ab + b 2 )
=
a(a 2 + 2ab + b 2 ) + b(a 2 + 2ab + b 2 )
=
a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3
=
a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
• 1.
(17)3
=
(16 + 1)3
=
(16 + 1)((16)2 + 2.16.1 + 12 )
=
17(256 + 32 + 1)
=
17.289
=
4913
2.
(a 2 x + 2b y 2 )3
=
(a 2 x)3 + 3(a 2 x)2 .(2b y 2 ) + 3(a 2 x).(2b y 2 )2 + (2b y 2 )3
=
a 6 x 3 + 6a 4 bx 2 y 2 + 12a 2 b 2 x y 4 + 8b 3 y 6
• İki Terim Farkının Küpü
(a − b)3
=
(a − b)(a − b)2
=
(a − b)(a 2 − 2ab + b 2 )
=
a(a 2 − 2ab + b 2 ) − b(a 2 − 2ab + b 2 )
=
a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3
=
a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
1.
(24)3
=
(25 − 1)3
=
(25 − 1)((25)2 + 2.25.(−1) + (−1)2 )
=
24(225 − 50 + 1)
=
24.576
=
13824
2.
p
p
( 3 x − 3 y)3
=
=
p
p p
p p
p
( 3 x)3 − 3( 3 x)2 3 y + 3( 3 x)( 3 y)2 − ( 3 y)3
q
q
3
3
x − 3 x2 y + 3 x y 2 − y
47
48
CALCULUS
• İki Küp Toplamı
(a + b)(a 2 − ab + b 2 )
=
a(a 2 − ab + b 2 ) + b(a 2 − ab + b 2 )
=
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3
=
a3 + b3
Eşitliğin sağ ve solundaki ifadeler yer değiştirirse;
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
olur.
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
1.
8x 3 + 64y 6 = (2x + 4y 2 )(4x 2 − 8x y 2 + 16y 4 )
2.
27a 6 + 343y 3 = (3a 2 )3 + (7y)3 = (3a 2 + 7y)(9a 4 − 21a 2 y + 49y 2 )
3.
(a + 2b)(a 2 − 2ab + 4b 2 ) = x 3 + 8y 3
4.
(x + y)
=
=
p
p
p
p
p
( 3 x + 3 y)(( 3 x)2 − ( 3 x y) + ( 3 y)2
q
p
p
p
p
3
3
( 3 x + 3 y)(( x 2 − ( 3 x y) + y 2
• İki Küp Farkı
(a − b)(a 2 + ab + b 2 )
=
a(a 2 + ab + b 2 ) − b(a 2 + ab + b 2 )
=
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3
=
a3 − b3
Eşitliğin sağ ve solundaki ifadeler yer değiştirirse;
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
olur.
Örnekler:
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz.
1.
1000 − 512x 3
=
((10)3 − 29 x 3
=
((10)3 − (23 x)3
=
(10 − 8x)(100 + 80x + 64x 2 )
=
8(5 − 4x)(25 + 20x + 16x 2 )
POLINOMLAR
2.
27a 3 − 125b 3
=
((3a)3 − (5b)3
=
(3a − 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 )
3.
x 18 − y 15
=
(x 6 )3 − (y 5 )3
=
(x 6 − y 5 )(x 12 + x 6 y 5 + y 10 )
4.
(3a)3 − (2b)3
=
(3a − 2b)(9a 2 + 6ab + 4b 2 )
İki Terimlinin Kuvvetleri
(a+b) iki terimli bir cebirsel ifadedir. şimdi bunun doğal sayı kuvvetlerini düşünelim. Çarpma işleminin birleşme özeliğini kullanarak, şu
eşitlikleri kolayca bulabiliriz:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a + b)4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b4
(a + b)5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5
(a + b)6 = a 6 + 6a 5 b + 15a 4 b 2 + 20a 3 b 3 + 15a 2 b 4 + 6ab 5 + b 6
···
Bu işleme, istediğimiz kadar devam edebiliriz. şimdi, verilen bir n
doğal sayısı için genel formülü yazalım:
Theorem 0.22. Binom Teoremi
n doğal bir sayı, a ile b gerçek sayılar ise,
(a + b)n = a n +
n n−1
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3
a
b+
a
b +
a
b +···+
1
1.2
1·2·3
n(n − 1) 2 n−2 n n−1
a b
+ ab
+ bn
1.2
1
eşitliği sağlanır.
n doğal sayısı verilmişken, bağıntıyı ispat etmek için (a+b) terimini
kendisiyle n kez çarpmak yetecektir. ( Burada sabit bir n seçiliyor. Her n
için ispat, tümevarımla yapılır.)
Bu eşitliğin sağındaki ifadeye (a + b)n iki terimlisinin açılımı ya da
binom açılımı denilir. Bu açılımda, terimlerin katsayılarına da binom
katsayıları diyeceğiz. Katsayıların yazılışını kısaltmak için, a n−r b r
teriminin katsayısını
Ã
C (n, r ),
C n,r ,
n
r
!
49
50
CALCULUS
simgelerinden birisiyle göstereceğiz. Buna göre, (r + 1) inci terimin binom
katsayısı,
Ã
C (n, r ) = C n,r =
n
r
!
=
1.2.3 · · · n
[1.2.3 · · · (n − r )][1.2.3 · · · r ]
=
n(n − 1) · · · (n − r + 1)
1.2.3 · · · r
eşitlikleri ile tanımlıdır. Binom açılımında kullanacağımız bu simgelerde
uyum sağlamak için, aşağıdaki eşitlikleri, tanım olarak alacağız.
C (n, 0) = 1,
C (n, n) = 1
Bu simgeleri kullanırsak, Binom açılımını daha kısa ve daha anlaşılır
biçimde yazabiliriz:
n doğal bir sayı, a ile b gerçek sayılar ise
Ã
!
Ã
!
Ã
!
n
n
n
n
n
n−1
(a + b) =
a +
a
b +···+
ab n−1 + b n
0
1
n −1
eşitliği sağlanır.
(a + b)r açılımındaki terimlerin katsayılarını, bulundukları konumu
bozmadan yazarsak, aşağıdaki tabloyu elde ederiz.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
···
1 C (n − 1, 1) · · ·C (1, n − 1) 1
···
Binom katsayılarının oluşturduğu bu tabloya Pascal Üçgeni denilir.
n inci kuvvetten binom açılımında şu özelikler sağlanır:
1. (n + 1) tane terimi vardır.
2. Her terimde a ve b nin üslerinin toplamı n dir; yani her terimin
derecesi n dir.
3. Açılımın ilk terimi a n = C (n, 0)a n b 0 ve son terimi b n = C (n, n)a 0 b n
dir.
4. Soldan sağa doğru, a nın kuvvetleri birer azalırken, b nin kuvvetleri
birer artar.
5. İlk ve son terimlerin katsayıları 1 dir.
6. Bir terimin katsayısı biliniyor ise; bu terimin katsayısı a’nın üssü ile
çarpılır ve b nin üssünün bir fazlasına bölünürse, verilen terimden
sonra gelen terimin katsayısı bulunur.
POLINOMLAR
7. Baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimlerin katsayıları aynıdır.
Dikkat ederseniz, Pascal üçgeninde, şu özelikleri göreceksiniz:
1. Her satırdaki ilk ve son katsayılar 1 dir.
2. Bir katsayı, üst satırda, sol üstünde ve sağ üstünde yer alan sayıların
ortasından geçen düşey sütuna yazılır.
3. Bir katsayı, üst satırda, sol üstünde ve sağ üstünde yer alan sayıların
toplamıdır.
Binom Teoreminin, her n doğal sayısı ve her a, b gerçek sayıları için
sağlandığını söyledik. Bu genel kural yeterlidir; ancak, sayının birisi
negatif, öteki pozitif olduğunda, binom teoreminin aldığı biçimi bilmek
pratik kolaylık sağlar.
(a − b) = [a + (−b)]
eşitliğinden yararlanarak, (a − b) nin kuvvetlerini, Binom Teoreminden
çıkarabiliriz. Gerçekten, b yerine −b = [(−1)b] koyar; yukarıda söylediğimiz
gibi, ardışık çarpmaları yaparsak, aşağıdaki eşitliği elde edebiliriz.
Verilen her n doğal sayısı için,
(a − b)n = a n −
n n−1
n(n − 1) n−2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3
a
b+
a
b −
a
b +···+
1
1.2
1·2·3
(−1)n−2
n
n(n − 1) 2 n−2
a b
+ (−1)n−1 ab n−1 + (−1)n b n
1.2
1
eşitliği sağlanır. Bu formülü, binom simgelerini kullanarak da yazabiliriz:
(a − b)n = C (n, 0)a n −C (n, 1)a n−1 b +C (n, 2)a n−2 b 2 −C (n, 3)a n−3 b 3 + · · · +
(−1)n−2C (n, n − 2)a 2 b n−2 + (−1)n−1C (n, n − 1)ab n−1 + (−1)n C (n, n)b n
Örnekler:
1. (x + y)6 ifadesinin açılımını Binom Teoremini kullanarak bulunuz.
(x + y)6
=
=
6
6.5 4 2 6.5.4 3 3
x y +
x y
x5 + x5 y +
1
1.2
11.2.3
6.5.4.3 2 4 6.5.4.3.2 5 6.5.4.3.2.1 6
+
x y +
xy
y
1.2.3.4
1.2.3.4.5
1.2.3.4.5.6
x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6x y 5 + y 6
olur.
2. (x + y)6 ifadesinin açılımını Pascal Üçgenini kullanarak bulunuz.
n = 6 için, katsayıları, Pascal üçgeninden seçelim. Katsayıların,
sırasıyla, 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 olduğunu görürüz. O halde, hemen,
(x + y)6 = x 6 + 6x 5 y + 15x 4 y 2 + 20x 3 y 3 + 15x 2 y 4 + 6x y 5 + y 6
yazabiliriz. Buradan anlaşıldığı gibi, Pascal üçgeni, binom açılımının
katsayılarının bulunmasında kolaylık sağlar.
51
52
CALCULUS
3. (x + y)7 nin binom açılımında x 3 çarpanı içeren terimin binom
katsayısını bulalım:
Üsler toplamı 7 olacağına göre, binom açılımında x 3 y 4 = x 7−4 .y 4
ifadesinin katsayısını bulacağız. O halde,
C (3, 4) =
7.6.5.4
= 35
1.2.3.4
olur.
4. (x − 3y)21 in binom açılımında beşinci terimi bulalım:
Binom açılımında, soldan sağa doğru, ilk beş terimin katsayıları;
C (21, 0), C (21, 1), C (21, 2), C (21, 3), C (21, 4)
olur. O halde, C (21, 4) ün değerini bulmalıyız.
C (21, 4) =
21.20.19.18
= 5985
1.2.3.4
dir. Artık, açılımın beşinci terimini yazabiliriz:
C (21, 4)x 21−4 (−3y)4 = 5985.(−3)4 x 17 y 4 = 484785x 17 y 4 .
(a n + b n ) ve (a n − b n ) İfadelerinin Çarpanları
Daha önce iki kare ya da küpün toplam ve farklarını veren özdeşlikleri
elde etmiştik. şimdi, verilen bir n doğal sayısı için, (a n + b n ) ve (a n − b n )
ifadelerini çarpanlarına ayırmaya yarayan eşitlikleri vereceğiz.
Yukarıda söylediğimiz gibi, ardışık çarpmalar yapılarak, ∀n ∈ N + için;
(a − b)(a n−1 + a n−2 b + a n−3 b 2 + · · · + ab n−2 + b n−1 ) = a n − b n
ve
n ∈ N + ve n tek ise,
(a + b)(a n−1 − a n−2 b + a n−3 b 2 − · · · − ab n−2 + b n−1 ) = a n + b n
eşitlikleri çıkarılabilir.
Alıştırmalar
1. p(x) = 7x 5 − 3x 4 + 2x 3 − 5x 2 − x + 1 ve q(x) = 2x 4 + x 3 − 3x 2 − x − 1
polinomları veriliyor. Aşağıdaki polinomları bulunuz.
a) p(x) + q(x)
b) p(x) − 2q(x)
c) p(x) · q(x)
d) 3p(x) − q(x)
e) 2P (x) + (x − 1)q(x)
f ) xp(x) − x 2 q(x)
2. Aşağıdaki çarpımları bulunuz.
a) (x + 3)(x 5 − 2x 2 + 1)
b) (x − 1)(2x 3 − 5x − 4)
c) (2x 2 + 4x − 6)(3x 2 + 8x + 4)
d) (9x 4 − 12x 3 − x)(x 3 − x 2 − 5x)
e) (3x − 1)(2x − 5)(x 2 − 2x + 1)
POLINOMLAR
3. p(x) = x 5 − 4x 3 + x 2 − x − 1 polinomu verildiğine göre,
(x 2 − 1)p(x) + p(1)
polinomunu bulunuz.
4. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan p(x) ve q(x) polinomlarını bulunuz.
a) 2x 7 + 14x 3 + 5x 2 − 15 + P (x) = 7x 7 + 2x 5 − 11x 3 + 9x − 1
b) 3x 5 + 2x 3 + 12x − 3 +Q(x) = 5x 6 + 4x 3 − 5x 2 + 15x − 3
5. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan p(x) ve q(x) polinomlarını bulunuz.
a) 3x 4 − x 3 + 8x − 3 = (x − 3)p(x)
b) −4x 5 − 6x 3 + 3x − 4 = (x − 2)q(x)
6. p(x) = x 4 − 4x 2 + x − 1 polinomu veriliyor. p polinomunun istenen
değerlerini hesaplayınız.
a) p(x − 1)
p
b) p(1 + 2)
p
c) p(1 − 5)
d) p(x − x − 2 )
1
7. Aşağıdaki kareleri açınız.
¡
¢2
a) 52 x − y
b)
³
p ¢2
¡p
3x + 5y
d)
¡5
2
+ 43 y 2
e) (3x − 4y)2
f)
¡3
2
1 2
− 16
y
³ 1
´
1 2
g) 2x 3 − x − 3
h)
c)
2
1
3x + y
7x
8x
³p
´2
3
x −x2
¢2
¢2
´2
8. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
p
p
p ¢
¡p
a) 5x + 3y)( 5x − 3y
¡
¢
b) 12 x + 34 y)( 34 y − 21 x
¡ 3r
¢
c) 2x + 5x −2r )(2x 3r − 5x −3r
£
¤
d) (x 2 + x − 1) x 2 − (x − 1)
¡1
¢
e) 2 a + b)( 14 a 2 − 12 ab + b 2
³p
p
p ´
p
p
3
3
3
f)
2a − b)( 4x 2 + 3 2x y + 3 y 2
g) (xp3 − x 2 + x)2
h) (
3
4
3
p1
2 x − 2 y)
i) ( ba + ba )5
2
2
j) (a 3 − b 3 )6
9. İki sayının toplamı ya da farkı biçiminde yazarak, aşağıdaki sayıların
karelerini bulunuz.
a) (17)2
b) (101)2
c) (61)2
d) (−45)2
e) (−39)2
f ) (−79)2
10. Aşağıdaki sayıları iki sayının toplamı ile farkı biçiminde yazarak,
çarpımı bulunuz.
14.16,
19.21,
49.51,
69.71
53
Polinomlarda Bölme
Polinomlar Bölme İşlemine Kapalı Değildir!
Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesi işlemi, bir tamsayının
bir başka tamsayıya bölünmesi işlemine çok benzer.
Tamsayılar Kümesinin bölme işlemine kapalı olmayışı, Rasyonel
Sayılar Kümesine genişlemeyi nasıl zorunlu kılmışsa, Polinomlar
Kümesinin de bölme işlemine kapalı olmayışı, Rasyonel Fonksiyonlar
Kümesi’ne genişlemeyi zorunlu kılmıştır.
Bu genişlemeler, bilgi üreten araçlarımızı çoğaltmıştır.
Bu bölümde, Polinomlar Kümesi üzerinde bölme işlemini ayrıntılarıyla inceleyeceğiz.
Örnek
8x 6 − 4x 4 − x 3 + 1 polinomunu 2x 2 − x − 1 polinomuna bölmek için,
sırasıyla, aşağıdaki adımları izleyiniz. 8x 6 − 4x 4 − x 3 + 1 polinomuna
bölünen polinom, 2x 2 − x − 1 polinomuna bölen polinom diyeceğiz.
1.Adım: Bölünen ve bölen polinomları, x in azalan kuvvetlerine göre
sıralayınız. Sıralanmış polinomları, sayıları bölmede kullanılan bölme
tablosuna benzer bir tabloya yerleştiriniz.
8x 6 − 4x 4 − x 3 + 1
| 2x 2 − x − 1
∓8x 6 ± 4x 5 ± 4x 4
| 4x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1
±
———————————
4x 5 − x 3 + 1
±4x 5 ± 2x 4 ± 2x 3
±
———————————
2x 4 + x 3 + 1
∓2x 4 ± x 3 ± x 2
±
——————————–
2x 3 + x 2 + 1
∓2x 3 ± x 2 ± x
±
——————————–
2x 2 + x + 1
∓2x 2 ± x ± 1
±
——————————–
2x + 2
2.Adım: Bölünenin ilk terimi olan (8x 6 ) yı elde etmek için, bölenin ilk
56
CALCULUS
terimi olan (2x 2 ) yi neyle çarpmak gerektiğini bulunuz. (2x 2 )(4x 4 ) = 8x 6
olduğuna göre, aradığımız çarpan 4x 4 dür. Tabloda bölüme ayrılan yere
4x 4 yazınız. Bu, bölüm polinomunun ilk terimi olacaktır.
3.Adım: 4x 4 ile bölen polinomu çarpınız; çarpımın terimlerini bölünenin altına yazınız. Bunu yaparken, benzer terimleri alt alta getirmek,
işlemleri kolaylaştırır. Yazdığınız satırın altına, tablodaki gibi, bir çıkarma
çizgisi çekiniz. Sonra, ilk iki satırdaki polinomların farkını çizginin altına
yazınız. Bunun için, ikinci satırdaki terimlerin işaretlerini değiştirip, ilk
iki satırı toplamak kolaylık sağlar. Neden?
4.Adım: Çizginin altına yazdığınız polinoma, birinci fark diyelim. Bu
polinomun derecesine bakınız. Derecesi, bölenin derecesinden küçükse,
bölme işlemi bitmiştir. Değilse, bölme işlemine devam edilecektir.
Örneğimizde, birinci fark polinomu 4x 5 − x 3 + 1 dir. Bunun derecesi,
bölenin derecesinden büyük olduğuna göre, bölme işlemi bitmemiştir.
5.Adım: Birinci fark dediğimiz 4x 5 − x 3 + 1 polinomuna, 2.Adım’daki
yöntemi uygulayarak, bölümün ikinci terimini bulunuz. 4x 5 terimini
elde etmek için 2x 2 yi 2x 3 ile çarpmak gerektiğini göreceksiniz. O halde,
bölümün ikinci terimi 2x 3 olacaktır.
6.Adım: 2x 3 ile bölen polinomu çarparak, birinci farkın altına yazınız.
3.Adım’da yaptıklarınıza benzer olarak, üçüncü ve dördüncü satırdaki
polinomların farkının 2x 4 + x 3 + 1 olduğunu görünüz. Buna ikinci fark
polinomu diyeceğiz.
7.Adım: İkinci fark polinomu için, 4. , 5. , ve 6.Adım’da söylenenlerin
benzerlerini tekrarlayarak üçüncü fark polinomunun 2x 3 + x 2 +1 olduğunu
görünüz.
8. ve 9.Adım: Yukarıdaki işlemleri tekrar ederek, dördüncü farkın 2x 2 +x+1
ve beşinci farkın 2x + 2 olduğunu görünüz.
10.Adım: Beşinci fark polinomunun derecesi, bölenin derecesinden
küçük olduğundan, bölme işlemi bitmiştir. Bu sonuncu farka; yani, 2x + 2
polinomuna, kalan polinom diyeceğiz.
Sağlama: Yapılan bölme işleminin doğruluğunu sağlamak istersek,
sayılardaki bölme işleminin sağlanmasına benzer bir yöntem izleyebiliriz:
(Bölünen) = (Bölen)(Bölüm) + (Kalan)
bağıntısı, polinomlar için de geçerlidir. Yukarıdaki örneğimizde,
Bölünen = P (x) = 8x 6 − 4x 4 − x 3 + 1
Bölen
=
Q(x)
=
2x 2 − x − 1
Bölüm
=
B (x)
=
4x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1
=
K (x)
=
2x + 2
Kalan
olduğundan,
8x 6 − 4x 4 − x 3 + 1 =
¡ 2
¢¡
¢
2x − x − 1 4x 4 + 2x 3 + x 2 + x + 1 + (2x + 2)
yazabiliriz. Eşitliğin sağındaki işlemleri yaparak, soldaki ve sağdaki
polinomların eşit olduklarını görünüz.
şimdi, polinomlar kümesi üzerinde bölme işlemini daha genel olarak
tanımlayabiliriz.
P (x) ile Q(x) polinomları d er [P (x)] ≥ d er [Q(x)] ve Q(x) 6= 0 koşullarını
POLINOMLARDA BÖLME
sağlasın. d er [K (x)] < d er [Q(x)] olmak üzere,
P (x) = Q(x).B (x) + K (x)
(1)
eşitliğini sağlayan B (x) ve K (x) polinomlarının bulunması sürecine,
P (x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesi diyeceğiz. Ayrıca, (1)
eşitliğindeki;
P (x) polinomuna,
bölünen,
Q(x) polinomuna,
bölen,
B (x) polinomuna,
bölüm ,
K (x) polinomuna,
kalan,
denilir. (1) bağıntısını, bir bölme tablosu biçiminde de gösterebiliriz:
P (x) Q(x)
−
B (x).Q(x)
B (x)
K (x)
Bu bölme işleminde K (x) = 0 ise, (1) eşitliği,
P (x) = Q(x).B (x)
biçimini, bölme tablosu ise,
P (x)
−
B (x).Q(x)
Q(x)
B (x)
0
biçimini alır. Bu durumda, P (x) polinomu Q(x) polinomuna tam
bölünüyor denilir. P (x) polinomu, Q(x) ile B (x) polinomlarının çarpımı
olduğu için,
d er [(P (x)] = d er [Q(x)] + d er [B (x)]
eşitliği sağlanır.
Bir polinomun başka bir polinoma bölünmesi işleminin, bir tamsayının başka bir tamsayıya bölünmesi işlemine benzediğini söylemiş
ve bu işlemin nasıl yapıldığını, bir örnek üzerinde açıklamıştık. Orada
yapılan açıklamaları genelleştirirsek, bölme işleminde izlenecek adımları
sıralayabiliriz:
• Bölünen ve bölen polinomlar, x belirsizinin azalan kuvvetlerine göre
sıralanır.
• Bölen polinomun baş terimiyle çarpıldığında, bölünen polinomun baş
terimini veren terim bulunur; bölümün baş terimi olarak yazılır.
• Bölümün baş terimi, bölen polinom ile çarpılır. Bu çarpım, bölünen
polinomun altına yazılır. Bunu yazarken, aynı dereceli terimlerin alt
alta getirilmesi işlem kolaylığı sağlayabilir.
• Bu çarpım polinom, bölünen polinomdan çıkarılarak, bulunan fark,
çizilen bir çıkarma çizgisinin altına yazılır.
• Yukarıda elde edilen farkın derecesi, bölenin derecesinden küçükse,
bölme işlemi biter. Sözkonusu fark, bölme işleminin kalanı olur.
57
58
CALCULUS
• Yukarıda elde edilen farkın derecesi, bölenin derecesinden büyük
ya da ona eşitse, yukarıdaki adımlar, kalan fark polinomun derecesi,
bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar sürdürülür.
Örnekler:
1. Aşağıdaki bölme işleminin her adımını açıklayınız.
3x 4 − 5x 3 − 5x 2 + 39x − 45
∓3x 4 ± 6x 3 ∓ 9x 2
|x 2 − 2x + 3
|3x 2 + x − 12
±
———————————
x 3 − 14x 2 + 39x − 45
∓x 3 ± 2x 2 ∓ 3x
±
———————————
−12x 2 + 36x − 45
±12x 2 ∓ 24x ± 36
±
——————————–
12x − 9
olduğundan,
3x 4 − 5x 3 − 5x 2 + 39x − 45 =
¡ 2
¢¡
¢
x − 2x + 3 3x 2 + x − 12 + (12x − 9)
yazabiliriz.
2. Aşağıdaki bölme işleminin her adımını açıklayınız.
6x 4 − x 3 − 6x 2 + 7x − 3
4
3
∓6x ∓ 3x ± 6x
2
|2x 2 + x − 2
|3x 2 − 2x + 1
±
———————————
−4x 3 + 7x − 3
±4x 3 ± 2x 2 ∓ 4x
±
———————————
2x 2 + 3x − 3
∓2x 2 ∓ x ± 2
±
——————————–
2x − 1
olduğundan,
6x 4 − x 3 − 6x 2 + 7x − 3 =
¡ 2
¢¡
¢
2x − 2x + 1 3x 2 − 2x + 1 + (2x − 112x − 9)
yazabiliriz.
3. P (x) = x 3 − x 2 + c x + 3 polinomu Q(x) = x 2 + x − 1 polinomuna
bölündüğünde kalanın K (x) = 5x + 1 olması için c ne olmalıdır?
Çözüm: Bölen ile bölümün dereceleri toplamı bölünenin derecesine eşittir. O halde, bölünenin derecesi ile bölenin derecesi farkı,
POLINOMLARDA BÖLME
bölümün derecesini verecektir. Dolayısıyla, bölüm polinom birinci
derecedendir. B (x) = ax + b diyelim.
x3 − x2 + c x + 3 =
¡ 2
¢
x + x − 1 (ax + b) + (5x + 1)
yazabiliriz. Eşitliğin sağ yanındaki işlemleri yaparsak;
x3 − x2 + c x + 3
¡
¢
= ax 3 + bx 2 + ax 2 + bx − ax − b + 5x + 1
¡
¢
= ax 3 + (a + b)x 2 + (b − a + 5)x + (1 − b)
olur. Soldaki ve sağdaki polinomların eşit olması için, benzer terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. O halde
a = 1, a + b = −1, (b − a + 5) = c, 1 − b = 3
olacaktır. Bu eşitliklerden
a = 1,
b = −2,
c =2
bulunur.
Uygulamalar
1. Aşağıdaki eşitliklerden yararlanarak, bölünen, bölen, bölüm ve
kalan polinomları belirleyiniz. Bölme tablosunu kullanarak, bölme
işlemlerini yapınız.
(a)
7
15
7
8x 5 + 3x 4 − x 2 − x + =
4
4
¶ µ
¶
µ4
¡ 2
¢
7 2 1115
11
11
18
3
2x − x − 1 4x + x +
x+
+
x+
2
4
4
4
4
(b)
2x 5 − x 4 − 6x 3 + 2x 2 + 5x + 3 =
¡ 2
¢¡
¢
2x + 3x x 3 − 2x 2 + 1 + (2x + 3)
2. P (x) = 2x 4 − 9x 3 + px 2 + q x + 10 polinomunun Q(x) = x 2 − 3x + 2
polinomuna tam bölünebilmesi için p ve q ne olmalıdır?
3. n pozitif bir tamsayı ise, x 2n − y 2n ifadesini (x n − y n ) ifadesine bölünüz.
4. n pozitif bir tamsayı ise, x 2n − y 2n ifadesini (x 2 − y 2 ) ifadesine bölünüz.
Polinomlar Kümesi Bölme İşlemine Kapalı Değildir
Tamsayılar kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığını söylemiştik.
Bunun anlamı şudur:
Bir tamsayının başka bir tamsayıya bölümü, bir tamsayı olmayabilir.
Örneğin,
75
3
= 25 olduğundan, bölüm bir tamsayıdır. Ama,
tamsayı değildir.
3
75 ,
bir
59
60
CALCULUS
Benzer olgu, polinomlar kümesi için de geçerlidir. Bir polinomun
başka bir polinoma bölümü, bazan bir polinom olur, bazan da olmaz.
Bunu birer örnekle gösterelim.
Örnekler
(a) x 2 − 3x + 2 polinomu x − 2 polinomuna tam olarak bölünür; bölüm
x − 1, kalan 0 dır.
(b) P (x) = 3x 4 −7x 2 −1 polinomunun Q(x) = x 2 −3 polinomuna bölümü
bir polinom değildir; çünkü, bölme işleminde kalan 5 dir; dolayısıyla,
P (x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünemez.
O halde, polinomlar kümesi, bölme işlemine göre kapalı değildir.
Rasyonel İfadeler
Bir P (x) polinomunun, bir Q(x) 6= 0 polinomuna bölümünü, sayılarda
olduğu gibi
P (x)
Q(x)
oranıyla göstereceğiz. Bu oran bir polinom olmayabilir. Bu, yeni bir
cebirsel ifadedir. Bu tür ifadelere, rasyonel fonksiyonlar (ifadeler) diyoruz.
Özel olarak, Q(x) = 1 alırsak, yukarıdaki oran,
P (x)
= P (x)
1
biçimini alır. Dolayısıyla, her P (x) polinomu bir rasyonel fonksiyondur.
Başka bir deyişle, rasyonel fonksiyonlar kümesi, polinomlar kümesini
kapsayan daha büyük bir kümedir. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinin
yapısını ileride inceleyeceğiz.
Örnekler
1. 3x 5 − 7x 2 + x − 4 polinomunu,
biçiminde yazabiliriz.
2.
3x 5 − 7x 2 + x − 4
rasyonel foksiyonu
1
−2x 4 + x 3 + 8x 2 − 5
rasyonel fonksiyonu bir polinoma dönüşebilir;
x +1
4
3
çünkü −2x + x + 8x 2 − 5 polinomu x + 1 polinomuna tam bölünür.
Bölüm −2x 3 + 3x 2 + 5x − 5 polinomudur.
3.
3x 3 − 4x + 2
rasyonel fonksiyonu bir polinom değildir; çünkü paydaki
x +3
polinom, paydadaki polinoma tam bölünemez:
3x 3 − 4x + 2
67
= 3x 2 − 9x + 23 −
x +3
x +3
4. P (x) = x 2 ve Q(x) = 5x 7 polinomlarını düşünelim.
P (x)
x2
1
1
= 7 = 5 = x −5
Q(x) 5x
5x
5
dir. x in üssü negatif olduğundan, P (x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümü bir polinom değildir.
Bölme Algoritması
f (x) ile g (x) herhangi iki polinom, g (x) 6= 0 ise, d er [r (x)] < d er [g (x)]
koşulunu ve
f (x) = g (x).b(x) + r (x)
eşitliğini sağlayan b(x), r (x) polinomları vardır ve bunlar biriciktirler.
POLINOMLARDA BÖLME
Örnek 0.23.
f (x) = 2x 4 −3x 3 + x 2 + x −2 ve g (x) = x 2 −3x +2 polinomları için, bölme
algoritmasını sağlayan b(x) ve r (x) polinomlarını bulunuz.
f (x) = g (x).b(x) + r (x)
eşitliğinin solundaki ve sağındaki polinomlarının dereceleri ve benzer
terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. g (x) in derecesi 2 dir. d er [r (x)] <
d er [g (x)] olacağından, r (x) in derecesi ya 1 ya da 0 olmalıdır. O halde,
r (x) = mx + n diyebiliriz. Öte yandan, g (x)b(x) çarpımının derecesi,
f (x) in derecesine eşit olmalıdır. Öyleyse, b(x) ikinci dereceden bir
polinomdur. Bunu b(x) = ax 2 + bx + c biçiminde gösterelim. Bunları,
yukarıdaki eşitlikte yerlerine yazarsak,
2x 4 − 3x 3 + x 2 + x − 2
=
(x 2 − 3x + 2).b(x) + r (x)
=
(x 2 − 3x + 2)(ax 2 + bx + c) + (mx + n)
=
ax 4 + (−3a + b)x 3 + (2a − 3b + c)x 2
+(2b − 3c + m)x + (2c + n)
olur. Benzer terimlerin katsayılarını eşitlersek,
a = 2, (−3a + b) = −3, (2a − 3b + c) = 1, (2b − 3c + m) = 1, (2c + n) = −2
denklemlerini elde ederiz. Bunların çözümü yapılırsa,
a = 2, b = 3, c = 6, m = 13, n = −14
çıkar. Bulunan katsayılar yerlerine konulursa,
b(x) = 2x 2 + 3x + 6,
r (x) = 13x − 14
olur.
Bunları, bölme algoritmasında yerlerine koyarak,
2x 4 − 3x 3 + x 2 + x − 2 = (x 2 − 3x + 2)(2x 2 + 3x + 6) + (13x − 14)
eşitliğinin sağlandığını görünüz.
Kalan Teoremi: Bir P (x) polinomunun (x − a) ile bölünmesinden elde
edilen kalan, polinomda x yerine a değeri yazılarak elde edilen P (a)
gerçek sayısına eşittir.
P (x) polinomunun x − a ile bölünmesi işleminde bölüm B (x), kalan
K (x) olsun. Bölen polinom (x − a) dır ve birinci dereceden bir polinomdur.
Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük olacağına göre, K (x)
polinomunun derecesi sıfırdır. O halde, K (x) ya bir sabittir ya da sıfırdır.
O halde,
P (x) = (x − a).B (x) + K
yazabiliriz.
(2) eşitliğinde x yerine a konulursa.
P (a) = (a − a)Q(a) + K ⇒ P (a) = K
olur. Bu, istenen sonuçtur.
(2)
61
62
CALCULUS
Çarpan Teoremi
Theorem 0.24. Çarpan Teoremi: P (x) polinomunun, (x − a) ya tam
bölünebilmesi için gerekli ve yeterli koşul P (a) = 0 olmasıdır.
Örnekler:
1. f (x) = 2x + 1,
g (x) = 2x 3 − x 2 − 1 polinomları verildiğine göre
f (x) = g (x).b(x) + r (x)
Bölme Algoritması’nı sağlayan b(x) ile r (x) polinomlarını bulunuz.
Çözüm: r (x) in derecesi g (x) in derecesinden küçük olacağından
r (x) = mx 2 + nx + p biçimindedir. Öte yandan. g (x) ile b(x) in
çarpımının derecesi, f (x) in derecesinden büyük olamaz. O halde,
b(x) = 0 olmak zorundadır. Öyleyse,
2x + 1 = (2x 3 − x 2 − 1)(0) + mx 2 + nx + p = mx 2 + nx + p
olur. Soldaki ve sağdaki polinomların eşit olabilmesi için, benzer
terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. Buradan
m = 0,
n = 2,
p =1
bulunur. Bunlar yerlerine yazılırsa,
b(x) = 0,
r (x) = 2x + 1
olduğu görülür.
2. P (x) = x 3 + 2x 2 − 2x + 3 polinomunun x − 1 ile bölünürse kalan ne olur?
Çözüm:
x −1 = 0 ⇒ x = 1
ve
P (1) = 1 + 2 − 2 + 3 = 4 = K
bulunur.
3. P (x) = 2x 3 + x 2 + c x − 3 polinomunun x + 1 polinomuna tam
bölünebilmesi için c ne olmalıdır?
Çözüm: P (x) polinomunun x + 1 ile tam bölünebilmesi için kalan sıfır
olmalıdır. Bunu simgelerle gösterirsek,
x + 1 = 0 ⇒ x = −1
için,
K = P (−1) = 0
olması gerektiği görülür. O halde,
2.(−1)3 + (−1)2 + c(−1) − 3 = 0
olmalıdır.
⇒
−2 + 1 − c − 3 = 0
⇒
c = −4
POLINOMLARDA BÖLME
4. P (t ) = t 3 − bt − 5 polinomu t + 1 polinomuna bölündüğünde kalan 3
ise, t − 1 ile bölündüğünde kalan ne olur?
Çözüm: Kalan 3 olduğuna göre
P (−1) = 3
⇒
(−1)3 − (b(−1) − 5 = 3
⇒
−1 + b − 5 = 3
⇒
b=9
olmalıdır. O halde, P (t ) = t 3 − 9t − 5 dir. Bunun t − 1 ile bölünmesinden
çıkacak kalan
K = P (1) = 13 − 9.1 − 5 = −13
olacaktır.
5. a bir gerçek sayı ve n tek bir tamsayı ise x + a nın x n + a n polinomunu
tam böldüğünü gösteriniz.
Çözüm: P (x) polinomunda x = −a konulursa, n tek olduğundan,
K = P (−a) = (−a)n + a n = −a n + a n = 0
çıkar.
6. P (x) = x 4 + ax 2 + (3a + 1)x + 4a − 5 polinomu x − 2 polinomuna
bölündüğünde elde edilen kalan, x − 1 ile bölündüğünde elde edilen
kalana eşit ise, a nedir?
Çözüm:
P (2)
=
P (1)
2 + a.2 + (3a + 1).2 + 4a − 5
=
1 + a + (3a + 1) + 4a − 5
16 + 4a + 6a + 4a + 2 − 5
=
1 + a + 3a + 1 + 4a − 5
14a + 13
=
8a − 3
4
2
çıkar. Buradan,
14a − 8a = −3 − 13 ⇒ 6a = −16 ⇒ a = −
8
3
bulunur.
Uygulamalar
1. P (x) = 5x 4 − 2x 3 + x + 5 polinomunun x − 2 ile bölünmesinden elde
edilen kalan nedir?
2. P (x) = ax 3 + 3x 2 − 5x + 12 polinomunun x + 3 ile tam bölünebilmesi
için a ne olmalıdır?
3. P (x) = x 4 + c x 2 + 3x + d polinomunun x − 1 ile bölünmesindeki kalanın
2 ve x − 2 ile bölünmesindeki kalanın 17 olması için c ve d ne olmalıdır?
4. P (x) = ax 3 − 5x + 2 polinomu x + 1 ile bölündüğünde, kalan 3 ise, a
nedir?
63
64
CALCULUS
5. P (x) = x 4 + c x 3 − 4x 2 + 10x + d polinomunun (x − 1)2 ile tam
bölünebilmesi için c ve d ne olmalıdır?
Bir Polinomun ax + b İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bunu Kalan Teoremi’nin bir sonucu olarak çıkarabiliriz. Bir P (x)
polinomunun ax + b ile bölünmesinden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan
K olsun. ax + b = a(x + ba ),
P (x)
a.Q(x) = Q 1 (x) eşitliklerini kullanırsak,
=
=
=
=
(ax + b).Q(x) + K
b
a(x + )Q(x) + K
a
b
(x + ) [a.Q(x)] + K
a
b
(x + )Q 1 (x) + K
a
yazabiliriz. Öyleyse, Kalan Teoremi gereğince, P (x) polinomunda x
yerine − ba konulursa kalan bulunur. Bu ise,
¶
µ
b
=K
P −
a
demektir. O halde, Kalan Teoremi’ni aşağıdaki biçimde de söyleyebiliriz:
Lemma 0.25.
³ ´ Bir P (x) polinomunun ax + b ile bölünmesinden elde edilen
kalan, P − ba dir.
Örnekler:
1. P (x) = −9x 3 − 6x 2 − x + 2 polinomunun 3x + 2 ile bölünmesinden elde
edilen kalanı bulunuz.
Çözüm: Kalan Teoremi gereğince,
3x + 2 = 0 ⇒ x = −
2
3
ve
µ
¶
2
K =P −
3
⇒
⇒
⇒
⇒
2
2
2
K = (−9).(− )3 − 6(− )2 − (− ) + 2
3
3
3
−8
4
2
K = (−9)(
) − 6( ) − (− ) + 2
27
9
3
8 8 2
K = − + +2
3 3 3
8
3
olur.
2. P (x) = 25x 3 + 5c x 2 − x − 1 polinomunun 5x − 2 ile bölünebilmesi için c
ne olmalıdır?
Çözüm:
5x − 2 = 0 ⇒ x =
olur. O halde, P (x) polinomunda x yerine
2
K = P( ) = 0
5
2
5
2
5
koyarak,
POLINOMLARDA BÖLME
eşitliğini sağlayan c sayısını bulmalıyız.
2
P( ) = 0
5
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
2
2
2
25.( )3 + 5c( )2 − − 1 = 0
5
5
5
8
4
2
25.(
) + 5c( ) − − 1 = 0
125
25
5
8
4c
2
( )+( )− −1 = 0
5
5
5
1 4c
+
=0
5
5
1
c =−
4
bulunur.
Uygulamalar
• 1. P (x) = ax 3 − x 2 − 3x + 2 polinomunun 3x − 2 ile bölünebilmesi için a
ne olmalıdır?
2. 2x + 1 polinomunun P (x) = 2x 3 + x 2 + c x − 3 polinomunu tam
bölmesi için c ne olmalıdır?
3. P (x) = 2x 3 + 5x 2 + 3x − 3 polinomu 2x − 1 ile bölünüyor. Bölümü ve
kalanı bulunuz.
4. 2x 3 +5x 2 +ax−3 polinomunun 2x−1 polinomuna tam bölünebilmesi
için a ne olmalıdır?
H
orner Yöntemi ile Bölme
Bir polinomun (x − a) ya da (ax + b) biçimindeki birinci dereceden bir
polinoma bölünmesi işleminin kolay yapılmasını sağlayan bir yöntemdir.
Bu yöntemi aşağıdaki örnekler ile açıklayacağız.
Alıştırmalar
1. P (x) = 6x 5 + x 4 + 3x 2 − x − 12 polinomunun (x − 2) ile bölünmesinden
elde edilecek bölümü ve kalanı bulunuz.
Çözüm: Aşağıdaki adımları, sırasıyla izleyeceğiz:
2. Bölünen polinomun katsayıları x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır.
Polinomda varolmayan dereceler için, katsayılar 0 olarak yazılır:
6,
1,
0,
3,
−1,
−12
Katsayılar, aşağıdaki gibi bir tabloya yerleştirilir.
6
1
0
3
-1
-12
3. Tablodaki düşey çizginin soluna, bölenin kökü (böleni sıfır yapan sayı)
yazılır. Örneğimizde, bu kök, x − 2 = 0 ⇒ x = 2 dir.
2
6
1
0
3
-1
-12
65
66
CALCULUS
4. Bölünen polinomun baş katsayısı olan 6, tabloda görüldüğü gibi
çizginin altına indirilir.
2
6
1
0
3
-1
-12
6
5. 2 ile 6 çarpılır, çıkan 12 sayısı, 1 in altına yazılır.
6. 12 ile 1 ile toplanır, çıkan 13 sayısı 12’nin altına yazılır.
2
6
1
0
3
-1
-12
12
6
13
7. 2 ile 13 çarpılır, çıkan 26 sayısı 0 katsayısının altına yazılır. 0 ile 26
toplanır; çıkan 26 sayısı 26 nın altına yazılır.
8. İşleme böyle devam edilirse, aşağıdaki tablo elde edilir.
2
6
6
1
0
3
−1
-12
12
26
52
110
218
13
26
55
109 ∥
206
Sonuçta elde edilen tablonun alt satırındaki ilk beş sayı, sırasıyla,
bölümün katsayılarıdır. En sağdaki 206 sayısı ise kalandır. Buna göre,
Bölüm
:
B (x) = 6x 4 + 13x 3 + 26x 2 + 55x + 109
Kalan
:
K = 206
olur. O halde,
6x 5 + x 4 + 3x 2 − x − 12
= (x − 2)(13x 4 + 13x 3 + 26x 2 + 55x + 109) + 206
yazılabilir.
9. P (x) = 3x 4 −8x 3 +3x 2 +2x +5 polinomunun (3x +1) ile bölünmesinden
elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
Polinomun katsayıları 3, −8, 3, 2, 5 dir. Öte yandan, bölenin kökü,
1
1
3x + 1 = 3(x + ) = 0 ⇒ x = −
3
3
dür. şimdi, bölüm ve kalanın katsayılarını bulmak için, Horner yöntemini uygulayalım:
− 13
3
3
−8
3
2
5
−1
3
−2
0
−9
6
0∥
5
Buradan, bölme algoritması uyarınca,
p(x)
=
1
(x + )(3x 3 − 9x 2 + 6x) + 5
3
=
1
3(x + )(x 3 − 3x 2 + 2x) + 5
3
=
(3x + 1)(x 3 − 3x 2 + 2x) + 5
POLINOMLARDA BÖLME
yazabiliriz. Demek ki, alt satırdaki ilk dört sayıyı, bölenin baş katsayısı
olan 3 ile bölersek, bölümün katsayıları olarak, 1, −3, 2, 0 sayılarını
buluruz. Kalan ise, satırın sonundaki 5 sayısıdır. Öyleyse, bölüm
B (x) = x 3 − 3x 2 + 2x
dir. Dolayısıyla,
3x 4 − 8x 3 + 3x 2 + 2x + 5 = (3x + 1)(x 3 − 3x 2 + 2x) + 5
eşitliği sağlanır.
Bir Polinomun (x−a)(x−b) İle Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Problemi örnekler üzerinde düşünelim.
1. P (x) = x 4 − x 3 + c x 2 + d x − 6 polinomunun (x − 1)(x + 3) çarpımı ile tam
bölünebilmesi için c ve d ne olmalıdır?
Çözüm: P (x) polinomunun (x − 1)(x + 3) ile tam bölünebilmesi için,
önce P (x) polinomu x − 1 ile tam bölünmelidir. Sonra, bu bölme işleminden elde edilen Q(x) bölüm polinomu da x + 3 ile tam bölünebilmelidir.
P (x) polinomunu x − 1 ile bölmek için, Horner yöntemini kullanalım.
1
1
1
−1
c
d
−6
1
0
c
c +d
0
c
c +d ∥
c +d −6
Q(x) = x 3 + c x + (c + d ) dir. Tam bölünebilme
olduğundan, bölüm:
koşulu, kalanın 0 olmasını gerektirir. O halde
c +d −6 = 0
olmalıdır. şimdi de, elde ettiğimiz Q(x) bölümünü x + 3 ile bölelim.
−3
1
1
c
0
c +d
−3
9
−3
c +9 ∥
−3c − 27
−2c + d − 27
Son satırdaki ilk üç sayı, B (x) bölümünün katsayılarıdır. Sonuncusu
kalandır. Q(x) polinomunun (x + 3) ile tam bölünebilmesi için, kalan
sıfır olmalıdır. O halde,
−2c + d − 27 = 0
olacaktır. Bunu ve yukarıdaki koşulu bir arada çözersek,
c = −7,
d = 13
çıkar. Öyleyse,
Q(x) = x 3 − 7x + 6, B (x) = x 2 − 3x + 2, K (x) = 0
dır. Buradan,
x 4 − x 3 + c x 2 + d x − 6 = (x − 1)(x + 3)(x 2 − 3x + 2)
eşitliği yazılabilir.
67
68
CALCULUS
2. P (x) = 2x 4 − 7x 3 + c x 2 + d x − 4 polinomunun x 2 − 5x + 4 ile tam
bölünebilmesi için c ve d ne olmalıdır?
Bölen polinomu, Q(x) = x 2 − 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) biçiminde çarpanlarına ayıralım. Artık, yukarıdaki yöntemi uygulayabiliriz. P (x) polinomunu x − 1 ile bölmek için, Horner yöntemini kullanalım.
1
c
d
2
−7
2
−5
c −5
c +d −5
2
−5
c −5
c +d −5 ∥
c +d −9
−4
olduğundan, bölüm:
S(x) = 2x 3 − 5x 2 + (c − 5)x + (c + d − 5)
dir. Tam bölünebilme koşulu, kalanın 0 olmasını gerektirir. O halde
c +d −9 = 0
olmalıdır. şimdi de, elde ettiğimiz S(x) bölümünü x − 4 ile bölelim.
4
2
2
−5
c −5
8
12
3
c +7 ∥
c +d −5
4c + 28
5c + d + 23
Son satırdaki ilk üç sayı, B (x) bölümünün katsayılarıdır. Sonuncusu
kalandır. S(x) polinomunun (x − 4) ile tam bölünebilmesi için, kalan
sıfır olmalıdır. O halde,
5c + d + 23 = 0
olacaktır. Bunu ve yukarıdaki koşulu bir arada çözersek,
c = −8,
d = 17
çıkar. Öyleyse,
S(x) = 2x 3 − 7x 2 − 8x + 17, B (x) = 2x 2 + 3x − 1, K (x) = 0
dır. Buradan,
2x 4 − 7x 3 − 8x 2 + 17x + −4 = (x − 1)(x − 4)(2x 2 + 3x − 1)
eşitliği yazılabilir.
3. Bir P (x) polinomunun (2x −1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 2 ve
(x − 2) ile bölünmesinden elde edilen kalan 5 ise, (x − 2)(2x − 1) çarpımı
ile bölünmesinden elde edilen kalan nedir?
Çözüm: P (x) in (x − 2)(2x − 1) ile bölününce, kalan ençok birinci
dereceden bir polinomdur. Buna K (x) = c x + d diyelim. Bölüm Q(x)
olmak üzere,
P (x) = (x − 2)(2x − 1)Q(x) + c x + d
eşitliğini yazabiliriz. Buradan,
µ ¶
1
P
=2⇒
2
P (2) = 5 ⇒
+c
µ ¶
1
+d = 2
2
2c + d = 5
POLINOMLARDA BÖLME
yazabiliriz. Bu eşitliklerden, c = 2,
d = 1 çıkar. Öyleyse, aradığımız
kalan 2x + 1 dir.
4. P (x) = ax 3 −bx 2 −9x +18 polinomunun (x −2)(x +3) ile tam bölünmesi
için, a ve b ne olmalıdır?
Çözüm: P (x) polinomu hem x − 2 hem de x − 3 ile tam bölünürse,
çarpımları ile de tam bölünür. O halde,
x −2 = 0 ⇒ x = 2
için,
P (2) = K = 0
⇒
8a − 4b − 18 + 18 = 0
⇒
2a − b = 0
⇒
2a = b
ve
x −3 = 0 ⇒ x = 3
için,
P (3) = K = 0
⇒
27a − 9b − 27 + 18 = 0
⇒
27a − 9b − 9 = 0
olur. Bu son eşitlikte, öncekinden elde edilen b = 2a bağıntısı kullanılırsa,
27a − 9(2a) − 9 = 0 ⇒ 9a = 9 ⇒ a = 1
b = 2a ⇒ b = 2.1 ⇒ b = 2
bulunur.
5. P (t ) = t 5 − 6t 3 − 3t + 2 polinomu Q(t ) = (t − 2)(t + 2) ile bölünüyor.
Bölme işlemini yapmadan, elde edilen kalanı bulunuz.
Çözüm: Q(t ) = (t − 2)(t + 2) = t 2 − 4 olduğundan, bölenin derecesi
2 dir. Dolayısıyla, ya kalanın derecesi 1 dir ya da kalan bir sabittir.
K (t ) = at + b diyelim.
P (2)
=
−20
⇒
2a + b
=
−20
P (1)
=
24
⇒
−2a + b
=
−24
olur. Sağdaki iki eşitlikten a = −11,
b = 2 bulunur. O halde, kalan,
K (t ) = −11t + 2 dir.
Aynı sonucu, verilen polinomda, t 2 yerine 4 koyarak da elde edebiliriz.
Gerçekten,
P (t ) = t 5 − 6t 3 − 3t + 2 = (t 2 )2 .t − 6t 2 .t − 3t + 2
eşitliğinin sağ yanı, t 2 = 4 konumuyla, K (t ) = −11t + 2 kalanını verir.
6. Q(x) = x 2 −2x −3 polinomunun P (x) = x 4 + px 3 + q x 2 +3x polinomunu
tam bölmesi için p ve q ne olmalıdır?
69
70
CALCULUS
Çözüm: Q(x) = x 2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1) olduğundan, P (x) polinomu
hem x − 3 ile hem de x − 1 ile tam bölünmelidir. Öyleyse, Kalan Teoremi
gereğince,
P (3) = 0
P (1) = 0
⇒
34 + 33 p + 32 q + 3.3 = 0
⇒
81 + 27p + 9q + 9 = 0
⇒
27p + 9q + 9 = 0
⇒
(−1)4 + (−1)3 p + (−1)2 q + 3(−1) = 0
⇒
1−p +q −3 = 0
⇒
−p + q − 2 = 0
çıkar. Buradan, p = −3,
q = −1 bulunur.
Uygulamalar
1. (x − 1)(x + 2) çarpımının P (x) = x 4 + x 3 + c x 2 + d x − 2 polinomunu tam
bölmesi için c ve d ne olmalıdır?
2. Bir P (x) polinomunun (x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 6;
(x − 2) ile bölünmesinden elde edilen kalan -3 ise, P (x) polinomunun
(2x − 1)(2x + 1) çarpımına bölünmesinden elde edilen kalan nedir?
3. Bir P (x) polinomunun (2x − 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan
1; (2x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan -1 ise, (2x − 1)(2x + 1)
çarpımına bölünmesinden elde edilen kalan nedir?
4. Bir P (x) = (x 3 − c x 2 + d x + 5)4 polinomunun katsayıları toplamı 3 dür.
Polinom (2x − 2) ile bölündüğünde kalan ne olur?
5. p(x) = x 3 − ax 2 − 2x + 4 polinomu x + 1 ve x − 2 ile bölündüğünde
kalanlar, sırasıyla, K 1 ve K 2 dir. K 2 = 2K 1 olması için a kaç olmalıdır?
Bir Polinomun (x 2 ± a), (x 3 ± a) ve (x 4 ± a) İle Bölünmesinden Elde
Edilen Kalanlar
Bu problemlerde değişken değiştirmek kolaylık sağlar. Bunu örnekler
üzerinde görelim.
Örnekler:
1. P (x) = x 27 − 2x 18 + 4 polinomu x 3 + 1 polinomuna bölünürse kalan ne
olur?
Çözüm: Bu tür problemlerde değişken değiştirmek uygun olur. x 3 = t
dersek, verilen polinomu
P (x) = (x 3 )9 − 2(x 3 )6 + 4 = t 9 − 2t 6 + 4 = Q(t )
biçiminde yazabiliriz. Ayrıca x 3 + 1 = t + 1 olduğuna göre,
Q(−1) = K = (−1)9 − 2(−1)6 + 4 = 1
olur.
POLINOMLARDA BÖLME
2. P (x) = 4x 8 − 2x 6 − 2x 2 + 3 polinomunun (x 2 − 2) ile bölünmesinden elde
edilen kalanı bulunuz.
x2 − 2 = 0 ⇒ x2 = 2
olur.
P (x) polinomunu x 2 nin kuvvetlerine göre düzenleyelim.
P (x) = 4(x 2 )4 − 2(x 2 )3 − 2x 2 + 3
tür.
P (x) polinomunun (x 2 − 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı
bulmak için P (x) polinomunda x 2 yerine 2 yazılır.
K
=
4(2)4 − 2(2)3 − 2(2) + 3
=
4.16 − 2.8 − 4 + 3
=
47
bulunur.
3. P (x) = x 7 + 2x 5 − x 4 + 1 polinomunun (x 3 + 2) ile bölünmesinden elde
edilen kalanı bulalım.
x 3 + 2 = 0 ⇒ x 3 = −2
olur. Polinom,
P (x) = (x 3 )2 .x + 2(x 3 ).x 2 − x 3 .x + 1
biçiminde düzenlenip, kalanı bulmak için, x 3 yerine -2 yazmak yetecektir.
K (x)
=
(−2)2 .x + 2.(−2)x 2 − (−2)x + 1
=
−4x 2 + 6x + 1
4. Bir P (x) polinomunun (x − a)(x − b) çarpımına bölünmesinde, bölme
işlemini yapmadan bölümü ve kalanı bulunuz.
Çözüm: P (x) polinomunun x − a ile bölünmesinden elde edilen bölüm
Q(x), kalan K 1 olsun. Bölme Algoritması gereğince,
P (x) = (x − a)Q(x) + K 1
(∗)
dir. Aynı düşünüşle, Q(x) polinomunun (x − b) ye bölünmesinden çıkan
bölüm B (x), kalan K 2 ise, Bölüm eşitliği,
Q(x) = (x − b)B (x) + K 2
olur. Bu değer, (*) eşitliğinde yerine yazalırsa,
P (x)
=
(x − a)[(x − b)B (x) + K 2 ] + K 1
=
(x − a)(x − b)B (x) + (x − a)K 2 + K 1
olur. Bu son eşitlik şu anlama gelir: P (x) polinomunun (x − a)(x − b)
çarpımı ile bölünmesinden elde edilecek bölüm B (x), kalan ise,
K (x) = (x − a)K 2 + K 1
dir.
71
72
CALCULUS
Alıştırmalar
1. −3x 3 + x 2 + 2x − 2 + x polinomunu −3x + x 2 + 2 polinomuna bölünüz.
2. 3x 5 + 19x 4 − 25x 3 + 50x 2 − 28x + 16 polinomunu x 3 + 7x 2 − 5x + 4
polinomuna bölünüz.
3. x 3 − x 2 + 5x + 4 polinomunu x 2 − 2x − 1 polinomuna bölünüz.
4. 2x 4 +12x 3 +61x 2 +5x −4 polinomunu 2x 2 −7x +5 polinomuna bölünüz.
5. 16x 3 + 4x 2 − 6 polinomunu 4x 2 − 2x + 1 polinomuna bölünüz.
6. P (x) = 7x 5 −4x 4 −13x 3 +2x −1 polinomunun (x −2) ile bölünmesinden
elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.
7. P (x) = x 3 + x + q polinomunun x + 2 ile tam bölünebilmesi için q ne
olmalıdır?
8. P (x) = 2x 4 − 3x 3 + 22x − 15 polinomunun (x + 2)(x − 3) çarpımı ile
bölünmesinden elde edilen kalanı, bölme işlemi yapmadan bulunuz.
9. 3x 4 + 5x 3 + 2x 2 − 3x + 2 polinomu x 3 + x 2 − 1 ile bölündüğünde, kalan 4
ise, bölüm nedir?
10. P (x) = x 4 +3x 2 +mx+n polinomunun x 2 +5x+1 ile tam bölünebilmesi
için m ve n nin alacağı değerleri bulunuz.
11. x 7 + 1 polinomunu x − 1 polinomuna bölünüz.
12. P (x) = x 6 +2x 4 −2x 2 −3 polinomunun (x 2 +3) ile bölünmesinden elde
edilen kalanı bulunuz.
13. 2x + 1 polinomunun, ax 3 − x 2 + x + 1 polinomunu tam bölmesi için a
ne olmalıdır?
14. P (x) = ax 3 − x 2 − 5x + 2 polinomunun (3x − 2) ile bölünebilmesi için a
ne olmalıdır?
15. P (x) = (x + 4)3 − (x + 3)n+1 − 3 polinomu x + 4 ile bölününce kalan 2 ise
n ne olmalıdır?
16. Bir P (x) polinomu x + 1 ile bölününce kalan −8 dir. Bir Q(x + 1)
polinomu x + 2 ile bölündüğünde kalan 3 dür. P (x) + x 4 .Q(x) polinomu
x + 1 ile bölününce kalan ne olur?
17. P (x) = x 3 − c x 2 − 2x + 4 polinomu x + 1 ile bölünürse kalan K 1 , x − 2 ile
bölünürse kalan K 2 dir. 2k 1 = K 2 olması içim c ne olmalıdır?
18. (x − 1)P (x + 1) = x 3 + x − 2 ise, P (x) nedir?
19. x 3 + 1 polinomunun P (x) = 2x 6 + c x 3 + 5 polinomunu tam bölebilmesi
için, c ne olmalıdır?
20. p(x) = x 3 + 5x 2 + 5x + 27 polinomu q(x) ile bölündüğünde bölüm x + 5
ise, kalan nedir?
POLINOMLARDA BÖLME
21. P (x) polinomunun, Q(x) = x 2 − 2x + 3 polinomuna bölünmesinden
elde edilen bölüm B (x) = 4x 2 + 4x − 1 ve kalan K (x) = 5x − 1 ise, P (x)
polinomunu nedir?
22. P (x) = 5x 4 + 4x 3 − 6x + 4 polinomunun (x − 2) ile bölünmesinden elde
edilecek kalanı, bölme işlemini yapmadan bulunuz.
23. P (x) = 2x 3 − mx 2 + 3x − 1 polinomunun (x − 3) ile bölünebilmesi için
m ne olmadır?
24. P (x) = x 4 + ax 2 + (3a + 1)x + 2a − 5 polinomunun (x − 2) ile bölünmesinden kalan, (x − 1) ile bölünmesinden kalana eşit ise, m nedir?
25. P (x) = −x 3 + 3x 2 + mx + n polinomunun x + 3 e bölünmesinden kalan
49 ve x − 5 e bölünmesinden kalan -39 ise, m ve n nin değerini bulunuz.
26. Bir P (x) polinomunun (x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 23,
(x −4) ile bölünmesinden elde edilen kalan 3 ise, (x +1)(x −4) çarpımına
bölünmesinden elde edilecek kalanı bulunuz.
27. Bir P (x) polinomunun (3x − 4) ile bölünmesinden elde edilen kalan
2, (x − 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan 1 ise, (3x − 4)(x − 1)
çarpımına bölünmesinden elde edilecek kalanı bulunuz.
28. Bir P (x) polinomunun (2x − 1)(3x + 2) çarpımına bölünmesinden elde
edilen kalan (7x − 11) dir. Bu polinomun (3x + 2) ile bölünmesinden
elde edilen kalanı bulunuz.
29. P (x) = x 5 − 6x 3 − 3x + 2 polinomunun (x − 2)(x + 2) çarpımına bölünmesinden elde edilecek kalanı, bölme işlemi yapmadan bulunuz.
30. P (x) = 3x 3 + 5x 2 + 2ax + 1 polinomunun x − 1 ile tam bölünebilmesi
için a ne olmalıdır?
31. P (2x + 4) = mx 3 − 6x 2 + 8 ise, P (x) polinomunun x − 2 ye tam
bölünebilmesi için m ne olmalıdır?
32. P (x) = x 4 − 2x 2 + ax − 1 polinomunun x − 2 ve x + 1 ile bölünmesinden
elde edilen kalanlar aynı ise, a nedir?
p
33. x 24 − 3x 16 + x 8 − 2 polinomunu x 4 − 2 polinomuna bölünüz.
34. x 3 +(mm +1)x 2 +(n +2)x −64 ifadesinin bir tam küp olması için, m ile
n arasında nasıl bir bağıntı olmalıdır? (a − 2 + c)10 açılımında katsayılar
toplamı ne olur?
35. P (x) = x 3 − 4x 2 + mx + n polinomunun (x 2 − x) ile bölümünden elde
edilen kalan 3x + 2 ise, m.n kaçtır?
36. 2x −3r + x 3 − 1 polinomu, r nin hangi değerleri için, x + 1 ile tam
bölünebilir?
37. P (x) = x 15 + x 10 −3x 7 −8x 6 + x 5 − x 2 +9 polinomunu x 3 −2 ile bölünüz.
38. Bir P (x) polinomunun Q(x) ile bölümü x 2 − 1 ise, Q(x) in derecesi en
az kaç olmalıdır?
73
74
CALCULUS
39. P (x) = x 4r +2 −2x 4r +1 +3x 2 −2x+1 polinomunun x 2 +1 ile bölümünden
kalan nedir? P (x) polinomunun x − 1 ile bölünmesinden kalan 3; x + 3
ile bölünmesinden kalan −17 dir. (x − 1)((x + 3) ile bölünmesinden
kalan ne olur?
40. P (x + 3) = 2x 3 − x 2 + 2x − 1 veriliyor. P (x + 2) polinomu x − 2 ile
bölünürse, kalan nedir?
Polinomlaarın Çarpanlara Ayrılması
Karmaşıkları Basite İndirgemek!
Polinomların çarpanlara ayrılması, tamsayıların çarpanlara ayrılmasına
benzer. Örneğin,
192 = 3.64,
192 = 3.4.16,
192 = 2.3.32
ifadeleri, 192 nin farklı çarpanlara ayrılışıdırlar. Bu farklılıkları ortadan
kaldırmak için, tamsayıları asal çarpanlarına ayırırız. 192 tamsayısını asal
çarpanlarına ayırırsak,
192 = 2.2.2.2.2.2.3 = 26 .3
olur. Asal çarpanlara ayrılış tektir ve her tamsayıya uygulanabilir.
Benzer uygulamayı polinomlar için yapacağız.
6
6
Bir P (x) polinomu bir Q(x) polinomuna bölündüğünde, bölüm B (x)
ve kalan K (x) ise,
P (x) = Q(x).B (x) + K (x)
eşitliğinin varlığını biliyoruz. Bu eşitlikte, kalan sıfır ise, P (x) polinomu
Q(x) polinomuna tam olarak bölünür ve yukarıdaki bölme eşitliği,
P (x) = Q(x).B (x)
biçimini alır. Sağ taraf, P (x) in çarpanlara ayrılmışıdır. Bu eşitlikteki Q(x)
ile B (x) polinomlarına P (x) polinomunun çarpanları, P (x) polinomuna
da çarpanlara ayrılan polinom denilir.
Örnekler
1) x 2 − 10x + 21 = (x − 3)(x − 7)
2) 2x 3 + 5x 2 + 3x − 3 = (2x − 1)(x 2 + 3x + 3)
3) 2x 5 − x 4 − 6x 3 + 2x 2 + 3x = x(2x + 3)(x 3 − 2x 2 + 1)
4) x 2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
5) x 2 − 25 + 3(x + 5) = (x − 2)(x + 5)
Bir polinomun yukarıdaki gibi çarpanlara ayrılması tek bir biçimde
olmayabilir. Öyleyse, tamsayılarda olduğu gibi, çarpanlara ayırmanın
tek bir biçimde olacağı bir kavramı geliştirmeliyiz. Bunu yapabilmek
için, tamsayılar kümesinde asal sayıların oynadığı role benzer bir rolü,
polinomlar kümesinde oynayacak ögeler tanımlamalıyız. Asal sayı, 1 den
farklı tamsayı çarpanı olmayan sayıdır. Bunun benzerini polinomlar için
tanımlamak zor olmayacaktır.
Bir polinomun çarpanlara ayrılması,
birden fazla polinomun çarpımı olarak
ifade edilmesidir.
76
CALCULUS
İndirgenemeyen Polinom
Sabit olmayan polinomların çarpımı olarak yazılamayan bir polinoma
indirgenemeyen polinom denilir.
Örnekler Aşağıdaki polinomlar, sabit olmayan polinomların çarpımı
olarak yazılamazlar; dolayısıyla, indirgenemeyen birer polinomdur.
1) 2x − 7
2) 5x + 10
3) x 2 + 1
4) x 2 + x + 64
5) 2x 2 − 3x + 23
Asal Polinom
7
Baş katsayısı 1 olan indirgenemeyen polinom asal polinomdur.
7
Örnekler
x 2 + 3,
x 2 − x + 2,
x 2 − x + 41,
x4 + 5
ebob ve ekok
Polinomlar için ebob ve ekok kavramları tamsayılardakine çok benzer.
Tam katsayılı iki ya da daha çok polinomu tam bölen bir polinom, söz
konusu polinomlar için bir ortak bölendir (çarpandır). Ortak bölenler
arasında, derecesi ve başkatsayısı en büyük olan polinom, sözkonusu
polinomlar için, en büyük ortak bölen (ebob)’dir. p(x) ve q(x) polinomlarının en büyük ortak böleni ebob(p(x), q(x)) simgesiyle gösterilir.
Tam katsayılı iki ya da daha çok polinoma tam bölünen bir polinom,
söz konusu polinomlar için bir ortak kat’dır. Ortak katlar arasında, derecesi ve başkatsayısı en küçük olan polinom, sözkonusu polinomlar için,
en küçük ortak kat (ekok)’dır. p(x) ve q(x) polinomlarının en küçük ortak
katı ekok(p(x), q(x)) simgesiyle gösterilir.
Bir polinomun terimleri için ebob ve ekok tanımları, polinomun
terimleri ayrı ayrı birer polinom imiş gibi düşünülerek, yukarıdaki
tanımlardan çıkarılır.
Sabit polinomlar için, bu kavramlar, tamsayılar için verilen tanımlarına indirgenmiş olur.
1 sayısından başka ortak bölenleri (çarpanları) olmayan cebirsel
ifadelere, aralarında asaldır, denilir.
İki ya da daha çok polinomun ebob’i, indirgenemez ortak çarpanların
en küçük üslülerinin çarpımına eşittir.
İki ya da daha çok polinomun ekok’ı, indirgenemez ortak çarpanların
en büyük üslüleri ile ortak olmayanların hepsinin çarpımına eşittir.
Aralarında asal iki polinomun ekok, bu polinomların çarpımıdır.
Örnekler
Örnek 0.26. (a) p(x) = 3x 3 + 6x 2 + 3x ve q(x) = 5x 2 − 5 polinomlarının
ebob’i ile ekok’nı bulunuz.
Bu polinomları asal çarpanlarına ayıralım: p(x) = 3x(x + 1)2 ve
q(x) = 5(x + 1)(x − 1) olduğundan,
ebob(p(x), q(x)) = (x + 1)
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
ekok(p(x), q(x)) = 3.5x((x − 1)(x + 1)2
Örnek 0.27. p(x) = 9x 3 − 3x 2 − 8x + 4 ve q(x) = 4x 4 − 12x 2 − 8x polinomlarının ebob’i ile ekok’nı bulunuz.
Bu polinomları indirgenemez çarpanlarına ayıralım: p(x) = (x + 1)(3x − 2)2
ve q(x) = 22 x(x + 1)2 (x − 2) olduğundan,
ebob(p(x), q(x)) = (x + 1)
ekok(p(x), q(x)) = 22 x(x − 2)(x + 1)2 (3x − 2)2
Örnek 0.28. p(x) = 18x 2 − 3x ve q(x) = 25x − 5 polinomlarının ebob’i ile
ekok’nı bulunuz.
Bu polinomları indirgenemez çarpanlarına ayıralım: p(x) = 3x(6x − 1)
ve q(x) = 5(5x − 1) olduğundan,
ebob(p(x), q(x)) = 1
ekok(p(x), q(x)) = 3.5(5x − 1)(6x − 1)
olur.
Gruplama (Paranteze Alma)
Birden çok terimi olan bir cebirsel ifadede, bazı terimleri bir bütün
olarak işlemlere sokmak istediğimizde, o terimleri bir araya getirip
ortak parantez içine yazarız. Ortak parantez olarak , (),[],{} çiftlerinden
herhangi birisini kullanabiliriz.
Terimleri gruplandırarak paranteze alırken, şu kurallar uygulanır:
1. Parantezin önüne + ya da - simgeleri konulabilir.
2. Parantezin önünde + simgesi varsa, paranteze giren terimler, kendi
işaretleriyle alınır; yani + lar + işaretiyle, - ler - işaretiyle yazılırlar.
3. Parantezin önünde - simgesi varsa, paranteze giren terimler, kendi
işaretlerinin tersiyle alınır; yani + lar - işaretiyle, - ler + işaretiyle
yazılırlar. Başka bir deyişle, parantezin önüne - simgesini koymak,
parantez içindeki terimleri -1 ile çarpmak demektir.
Örneğin, 7a 3 b 4 x 2 y − 3a 5 b 3 x 2 y 5 − 6bbx 4 y 2 + 8a 2 x 4 y 5 − 3x y ifadesinde
birinci ve dördüncü terimleri bir arada gruplamak istersek,
−3a 5 b 3 x 2 y 5 − 6bbx 4 y 2 − 3x y + (7a 3 b 4 x 2 y + 8a 2 x 4 y 5 )
biçiminde yazabiliriz. Burada, parantezin önüne - koyacak olursak,
ifademiz,
−3a 5 b 3 x 2 y 5 − 6bbx 4 y 2 − 3x y − (−7a 3 b 4 x 2 y − 8a 2 x 4 y 5 )
biçimini alır.
Gruplamada, gerekirse, iç-içe parantezler kullanılabilir. İç-içe parantez kullanılırken de, yukarıda söylenen işaret kuralına uyulur. İçteki her
parantez, bir terim imiş gibi işlem görür.
Grubun Bozulması (Parantez Açma)
Parantezlerin kaldırılarak, grubun bozulması işlemi, gruplamanın tersidir:
77
78
CALCULUS
1. İç içe parantezler varsa, önce en içteki açılır; sonra, sırasıyla dışa
doğru gidilir.
2. Parantezin önünde + simgesi varsa, terimler, parantezden kendi
işaretleriyle çıkarılır.
3. Parantezin önünde - simgesi varsa, terimler, parantezden çıkarılırken
işaretleri değiştirilir.
4. Parantezin önünde 1 den farklı bir çarpan varsa, çarpma işleminin,
toplama işlemi üzerine dağılması kuralı uygulanır.
Cebirsel İfadeleri Çarpanlara Ayırma Yöntemleri
Cebirsel ifadeleri çarpanlara ayıran genel bir yöntem yoktur. Dolayısıyla,
şimdiye kadar öğrendiğimiz gruplama, dağılma, üs alma işlemleri
yanında özdeşlikleri de kullanarak, verilen ifadeyi çarpanlarına ayırmaya çalışırız. Gene de, teorik olarak çarpanları olduğu bilinse bile,
pratikte cebirsel ifadelerin büyük çoğunluğunu çarpanlarına ayıramayız.
Bu derste, polinomları (daha genel olarak, cebirsel ifadeleri) çarpanlarına ayırmak için, aşağıda verilen basit yöntemleri ele alacağız.
Ortak Çarpan Parantezine Alma
Polinomun terimlerinin ebob’i varsa, terimler ebob parantezine alınır.
Örnekler:
1. 16x 2 y 3 z 4 − 24x 3 y 2 z 3 − 8x y z polinomunu çarpanlarına ayırınız.
Çözüm: 8x y z terimi, polinomun her terimini böler; yani bir ortak
bölendir. Ayrıca, derecesi bundan büyük olan başka ortak bölen
yoktur. O halde, 8x y z, polinomun terimlerinin ebob dir. Öyleyse,
16x 2 y 3 z 4 − 24x 3 y 2 z 3 − 8x y z
16x 2 y 3 z 4 24x 3 y 2 z 3 8x y z
−
−
)
8x y z
8x y z
8x y z
=
8x y z(
=
8x y z(2x y 2 z 3 − 3x 2 y z 2 − 1)
olur.
2. (2x + y)(x − 3) + (3 − x)(x − y) ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Çözüm:
(2x + y)(x − 3) + (3 − x)(x − y)
olur.
=
(2x + y)(x − 3) − (x − 3)(x − y)
=
(x − 3)(x + 2y)
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
3. (ax + b y)3 + (ax + b y)2 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
(ax + b y)3 + (ax + b y)2
=
(ax + b y)(ax + b y)2 + (ax + b y)2
£
¤
(ax + b y)2 (ax + b y) + 1
=
(ax + b y)2 (ax + b y + 1)
=
Uygulamalar
1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
(a) 3.23 + 12.23 − 9.23
(b) x 5 + 13 x 5 − 72 x 5 + 3x 5
(c) 3a p−q + a p−q + 35 a p−q − 4a p−q − 43 a p−q
(d)
6 x−y
7a
x−y
+ 35a x−y + 65a x−y − 34a x−y
− 2a x−y + 15a x−y − 101
7 − 14a
(e) 2a 2 y 3 − 4a 3 y 5 − 3a 2 y 4 + a 3 y 2
2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
(a) 2a x b y − 12a x b y + 35 a x b y − a x b y + 13a x b y
(b) 12(a + b)x − 45 (a + b)x − 5 32 (a + b)x − 5 · 23 (a + b)x
(c) (a − b)(5x + y − 1) + (a − b)(3x + 7y + 6) − (b − a)(x − y + 2)
(d) (a + b + 1)2 − (a − b + 1)2 + (a + b − 1)2 − (a − b − 1)2
(e) 4(a + b)x 2 y 3 + 8(a + b)x 3 y 2 − 12(a + b)x 2 y 2
Cebirsel İfadeleri Gruplayarak Çarpanlara Ayırma
Verilen cebirsel ifadenin bütün terimlerinin ortak bir böleni yoksa, hepsini bir ortak çarpan parantezine alma olanağı olamaz. Böyle olduğunda,
bütün terimler yerine, bazı terimlerinin ortak çarpanları olup olmadığına
bakılır. Varsa, söz konusu terimlerden bir grup yapılır. Uygun gruplamaların olası olduğu cebirsel ifadelerde, dağılma ve yer değiştirme
kurallarından yararlanıp, ifadeyi çarpanlara ayırabiliriz. Bunu örnekler
üzerinde inceleyelim.
Örnekler:
1. x y + 2x + 3y + 6 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Aşağıda her adımda yapılan işlemleri açıklayınız.
x y + 2x + 3y + 6
=
(x y + 2x) + (3y + 6)
=
x(y + 2) + 3(y + 2)
=
(x + 3)(y + 2)
Aynı sonuca başka bir gruplama ile de ulaşabiliriz:
x y + 2x + 3y + 6
=
(x y + 3y) + (2x + 6)
=
y(x + 3) + 2(x + 3)
=
(x + 3)(y + 2)
79
80
CALCULUS
2. ax 2 − ax y − ax + bx − b y − b polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
ax 2 − ax y − ax + bx − b y − b
=
(ax 2 − ax y − ax) + (bx − b y − b)
=
ax(x − y − 1) + b(x − y − 1)
=
(ax + b)((x − y − 1)
3. 4t (s 2 + 1) + s(16 + t 2 ) polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Verilen polinomun terimleri arasında ortak böleni olanlar
yoktur. Ortak bölen bulabilmek umuduyla, önce, parantezleri açalım.
Sonra gruplama yapmayı deneyelim:
4t (s 2 + 1) + s(16 + t 2 )
=
4t s 2 + 4t + 16s + st 2
=
(4t s 2 + 4t ) + (16s + st 2 )
=
4s(st + 4) + t (st + 4)
=
(4s + t )((st + 4)
4. 64a 3 b 3 x y 2 z − 16a 5 b 3 x y 2 z + 32a 2 b 3 x y 2 z − 16a 3 b 3 x y 2 z ifadesini
gruplayarak çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
64a 3 b 3 x y 2 z − 16a 5 b 3 x y 2 z + 32a 2 b 3 x y 2 z − 16a 3 b 3 x y 2 z
=
16abx y 2 z[4a 2 b 2 − a 4 b 2 + 2ab 2 − a 2 b 2 ]
=
16abx y 2 z[(4a 2 b 2 − a 4 b 2 ) + b(2ab − a 2 b)]
=
16abx y 2 z[(2ab − a 2 b)(2ab + a 2 b) + b(2ab − a 2 b)]
=
16abx y 2 z[(2ab − a 2 b)(2ab + a 2 b + b)]
=
16abx y 2 z[(2ab − a 2 b)(a + 1)2 b]
=
16a 2 b 3 x y 2 z(2 − a)(1 + a)2
5. (a 2 − b 2 )(ab − b 2 ) − (a − b)2 (a 2 + ab) ifadesini gruplayarak çarpanlara
ayırınız.
Çözüm:
(a 2 − b 2 )(ab − b 2 ) − (a − b)2 (a 2 + ab)
=
b(a 2 − b 2 )(a − b) − a(a + b)(a − b)2
£
¤
(a − b) b(a 2 − b 2 ) − a(a 2 − b 2 )
=
(a − b)(a 2 − b 2 )(b − a)
=
−(a − b)(a 2 − b 2 )
=
−(a − b)2 (a + b)
=
Uygulamalar
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
a) 9ab 2 − 3a 2 b − 6a 2 b 2
2 2 2
3 2 2
3
b) 3ax + 5a y − 2az
3
2
c) a b c − a b c − a bc + a bc
2
2
4
e) x − 2x − 5x − 3x
3
d) 12x 3 + 16x 4 + 4x 2
3
f) a 2 bc − ab 2 c + abc 2
h) 6x 4 y − 15x 3 y 2 − 9x y 3
g) ab − 3a y + 2bx − 6x y
3
i) 2x − 1 − 2x + x
2
j) 15p 3 q 2 − 5p 2 q 3 + 10pq 4
Özdeşlikler
Özdeşliklerden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
Bazan, verilen polinomun bütün terimleri ya da bzı terimleri, bir
özdeşliğin terimleri olabilir. Bu durumlarda, ilgili özdeşlik kullanılarak,
polinom çarpanlara ayrılabilir.
Tam Kare Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
Verilen polinomun bütün terimleri ya da gruplandırılacak bazı terimleri,
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(a − b)2 = a 2 − 2ab + b 2
özdeşliklerinin sağ yanına benzerse, onları, sol yandaki tam kare çarpanı
haline getirebiliriz. şimdi, bunu örneklerle gösterelim.
Örnekler:
1. 4x 2 − 4x + 1 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
4x 2 − 4x + 1 = (2x − 1)2
olduğu hemen görülür.
2. a 6 x 4 − 6a 3 x 2 + 9 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
a 6 x 4 − 6a 3 x 2 + 9 = (a 3 x 2 )2 − 2.(a 3 x 2 ).3 + 32 = (a 3 x 2 − 3)2
olur.
3. 0, 32 + 0, 16x + 2x 2 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
0, 32 + 0, 16x + 2x 2
=
2(0, 16 + 0, 8x + x 2 )
=
2(0, 4 + x)2
4. x 2k y 2k − 12x k y k + 36 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
x 2k y 2k − 12x k y k + 36 = (x k y k )2 − 2.x k y k .6 + 62 = (x k y k − 6)2
olur.
81
82
CALCULUS
Uygulamalar
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
1. 9x 2 + 12x + 4
2. 27x 4 y − 72x 3 y 2 + 48x 2 y 3
3.
4
4 2
9 2
25 x − 5 x y + 9 y
4. 16x 4 y 2 − 24x 2 y + 9
5. a 4r − 8a 2r + 16
6. a 2r b 2r − 10a r b r + 25
7. 49a 2n + 14a n + 1
8. a 6 b 4 − 6a 3 b 2 + 9
9. 45a 3 b 3 − 30a 2 b 2 (x − 3) + 5ab(x − 3)2
10. 0, 09 + 0, 6a 2 + a 4
11. 25a 2 b 2 − 30ab + 9
12. (a − b − 1)2 + 2(a − b − 1)(b + 1) + (b + 1)
İki Kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
Verilen polinomun bütün terimleri ya da gruplandırılacak bazı terimleri,
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)
özdeşliğinin sağ yanına benzerse, onları, sol yandaki iki kare farkı haline
getirebiliriz. şimdi, bunu örneklerle gösterelim.
Örnekler:
1. 25x 2 − 9 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
25x 2 − 9 = (5x)2 − 32 = (5x − 3)(5x + 3)
olur.
2. x 2 − 0, 0196 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
x 2 − 0, 0196 = x 2 − (0, 14)2 = (x − 0, 14)(x + 0, 14)
olur.
p
p
x 6 − y 6 polinomunu çarpanlara ayırınız.
3.
Çözüm:
p
x6 −
q
y6
=
=
olur.
³p
x3
·³p
´2
−
µq
y3
¶2
´ µq ¶¸ ·³p ´ µq ¶¸
x3 −
y3
x3 +
y3
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
4.
4 2
16 2
81 x − 25 x
polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
4 2 16 2
x −
y
81
25
=
=
µ ¶2
µ ¶2
2
4
x2 −
y2
9
5
µ
¶µ
¶
2
4
2
4
x− y
x+ y
9
5
9
5
olur.
5. x 2k − y 2k polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
x 2k − y 2k = (x k )2 − (y k )2 = (x k − y k )(x k + y k )
olur.
4 2 16
6.
a −
polinomunu çarpanlara ayırınız.
81
25
Çözüm:
µ ¶2
µ ¶2
4 2 16
1
2
a −
= 4 a −4
81
25
9
5
·µ ¶ µ ¶¸ ·µ ¶ µ ¶¸
1
2
1
2
= 4
a +
a −
9
5
9
5
Uygulamalar
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
1)a 4 − 16
2) a 2 − 49 x 2
9
a2
− b42
2) 7a 2 − 175
4)
5) (x − y)2 − (x + y)2
6) a 4 − 25b 8
7) x 2r − y 2r
8) a 2 − 0, 0625
9) a 8 − b 8
10) (2x − 1)2 − 9(x − 1)2
Özdeşlikleri Kullanma
İki Küp Toplamı ya da Farkı Özdeşliklerinden Yararlanarak
Çarpanlara Ayırma
Verilen polinomun bütün terimleri ya da gruplandırılacak bazı terimleri,
a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
özdeşliklerinin sağ yanına benzerse, onları, sol yandaki iki küp farkı ya da
toplamı haline getirebiliriz. şimdi, bunu örneklerle gösterelim.
Örnekler:
1. 64 − x 3 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
64 − x 3 = 43 − x 3 = (4 − x)(16 + 4x + x 2 )
olur.
83
84
CALCULUS
2. 27x 3 + 0, 008 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
27x 3 + 0, 008 = (3x)3 + (0, 2)3 = (3x + 0, 2)(9x 2 − 0, 6x + 0, 04)
olur.
3. x 3n − y 3n polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
x 3n − y 3n
=
=
=
(x n )3 − (y n )3
¡
¢
(x n − y n ) (x n )2 + x n y n + (y n )2
¢
¡
(x n − y n ) x 2n + x n y n + y 2n
olur.
4. 27x 3 + 64y 3 polinomunu çarpanlarına ayıralım.
125x 3 + 8y 3
=
(5x)3 + (2y)3
=
(5x + 2y)[(5x)2 − (5x).(2y) + (2y)2 ]
=
(5x + 2y)(25x 2 − 10x y + 4y 2 )
olur.
Uygulamalar
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
1) 27a 6 − 64
2) x 3 + 1
3) 81a 3 − 125
4) x 3 − 1
5) a 3n − 1
6) (a − b)3 + b 3
7) a 3n − b 3n
8) 1 − 8(a + b)9
9) a 6 + b 6
10) x 6 − y 6
ax 2 + bx + c Biçimindeki Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Bu türdeki polinomların kökleri bilinince, çarpanlara ayırmanın çok
kolay olduğunu ileride göreceğiz. Burada, pratik bir yöntemi göstereceğiz.
Gene, ileride göreceğimiz bir kuralı ispatsız olarak ifade etmek yararlı
olacaktır:
ax 2 + bx + c polinomunun çarpanlara ayrılabilmesi için, b 2 − 4ac ≥ 0
olmalıdır.
şimdi pratik yöntemimizi geliştirelim. İki ayrı durum vardır.
a = 1 Durumu: Önce x 2 + bx + c biçimindeki Polinomları ele alalım.
İkinci dereceden olan bu polinom, sabit olmayan çarpanlara ayrılabiliyorsa, çarpanları birinci dereceden olmak zorundadır. Baş katsayısı da 1
olduğuna göre, çarpanlar (varsa), (x + p), (x + q) biçimindedirler. O halde,
(x + p)(x + q) = x 2 + (p + q)x + pq = x 2 + bx + c
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
olmalıdır. Benzer terimlerin katsayılarını eşitlersek,
b = p + q,
c = pq
(∗)
çıkar. Öyleyse, toplamları b ye ve çarpımları c ye eşit olacak şekilde p, q
sayılarını bulursak, x 2 + bx + c polinomunun (x + p)(x + q) biçimindeki
çarpanlarını bulmuş oluruz. p, q için rasyonel çözümler c nin tam bölenleri olmalıdır. Neden? şimdi, problemi örnekler üzerinde inceleyelim.
Örnekler:
1. x 2 − x − 6 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Toplamları -1, çarpımları -6 olan p, q sayılarını, sınamayanılma yöntemiyle bulabiliriz. Çarpımları -6 olacağına göre, rasyonel
çözümler -6 nın tam bölenleri olmalıdır. Bu bölenleri denersek,
(−3).2 = −6,
−3 + 2 = −1
olduğunu görürüz. O halde,
x 2 − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
olur.
2. x 2 + 5x + 4 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: 4 ün bölenlerini deneyerek 1.4 = 4,
1 + 4 = 5 olduğunu
görebiliriz. O halde,
x 2 + 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
olur.
a 6= 1 Durumu:
¶
µ
b
c
ax 2 + bx + c = a x 2 + x +
a
a
eşitliğinden yararlanarak, yukarıda yapıldığı gibi, önce
x2 +
b
c
x+
a
a
polinomunu çarpanlara ayırırız. Eğer, bu polinomun çarpanları varsa,
(x + p)(x + q) = x 2 + (p + q)x + pq = x 2 +
b
c
x+
a
a
(∗∗)
yazılabilir. Bu eşitliğin her tarafını a ile çarparsak,
a(x + p)(x + q) = ax 2 + a(p + q)x + apq = ax 2 + bx + c
çıkar. a = 1 durumuna benzeterek, a 6= 1 durumu için de (**) eşitliğinden
yararlanarak p, q sayılarını bulabiliriz. Toplamları
b
a
p, q sayılarını arayacağız.
Örnekler:
1. 6x 2 − x − 1 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Verilen polinomu,
µ
¶
1
1
6x 2 − x − 1 = 6 x 2 − x −
6
6
ve çarpımları
c
a
olan
85
86
CALCULUS
biçiminde yazabiliriz. şimdi, sağ yandaki,
¶
µ
1
1
x2 − x −
6
6
polinomunu çarpanlara ayıralım. Bu polinomun baş katsayısı 1
olduğundan, önceki yöntemi uygulayabiliriz.
1
p +q =− ,
6
p.q = −
1
6
bağıntılarını sağlayan p, q sayılarını, sınama-yanılma yöntemiyle
arayacağız. Bunu yaparken, p ile q nun, − 61 nın bölenleri olması
gerektiğini unutmayacağız. Denemelerimiz sonunda, p = − 21 ,
q=
1
3
olduğunu buluruz. Buradan,
µ
¶µ
¶ µ
¶
1
1
1
1
(x + q)(x + p) = x +
x−
= x2 − x −
3
2
6
6
yazabiliriz. şimdi, bu eşitliğin her iki yanını 6 ile çarparsak,
¶µ
¶
µ
1
1
x−
6(x + q)(x + p) = 6 x +
3
2
¶
µ
1
1
= 6 x2 − x −
6
6
=
6x 2 − x − 1
2. 4x 2 + 12x + 5 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Yukarıda sölediklerimize göre, aşağıdaki işlemleri yapabiliriz:
µ
¶
5
2
2
4x + 12x + 5 = 4 x + 3x +
4
eşitliğinin sağ yanındaki parantezin içini çarpanlara ayırmak için,
q + p = 3.
q.p =
5
4
bağıntılarını sağlayan q, p sayılarını bulmalıyız. Bu sayılar,
bölenleri olduğundan, sınama-yanılma yöntemiyle, q =
5
2,
sayılarının istenen koşulları sağladığı görülebilir. Gerçekten,
µ
¶
5
1
4(x + q)(x + p) = 4 x + )(x +
2
2
=
4x 2 + 12x + 5
dir.
Uygulamalar
1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) x 2 + x + 2
b) x 2 − x − 2
c) x 2 + 2x + 3
d) x 2 − 2x − 3
e) x 2 + 3x + 4
f ) 3x 2 − 3x − 4
g) x 2 + 3x + 4
h) x 2 − 3x − 4
i) x 2 − 4x − 5
j) x 2 + 4x + 5
5
4
ün
p=
1
2
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 3a 2 + 8a + 5
b) 3x 2 + x − 2
c) 5x 2 + 7x + 2
d) 5x 2 + 3x − 2
e) 2x 2 + 3x + 1
f) 2x 2 + 3x − 2
g) 2x 2 + 7x + 6
h) 2x 2 + x − 1
i) 7x 2 + 9x + 2
j) 7x 2 − 5x − 2
x n + y n veya x n − y n Biçimindeki Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Bu türlerde, önce n üssüne bakarız. Eğer n üssü, 2 ya da 3 ün bir katı
ise, iki karenin ya da iki küpün toplamı ya da farkı biçimine dönüştürülebilirler. Bu özelikler yoksa, bu tür polinomların çarpanlara ayrılmasında
aşağıdaki özdeşlikler kullanılır.
Her n tamsayısı için,
x n − y n = (x − y)(x n−1 + x n−2 y + x n−3 y 2 + · · · + x 2 y n−3 + x y n−2 + y n−1 )
dir. n tek bir tamsayı ise
x n + y n = (x + y)(x n−1 − x n−2 y + x n−3 y 2 − · · · + x 2 y n−3 − x y n−2 + y n−1 )
dir.
Örnekler
1. x 15 − y 15 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Terimlerin ortak üssü 15 tir ve 3 ün katıdır. Dolayısıyla iki küp
farkına dönüştürebiliriz:
x 15 − y 15
=
=
=
=
¢
(x 5 )3 − (y 5 )3
¡ 5
¢¡
¢
(x ) − (y 5 ) (x 5 )2 + x 5 y 5 + (y 5 )2
¡ 5
¢¡
¢
(x ) − (y 5 ) (x 5 )2 + x 5 y 5 + (y 5 )2
¡ 5
¢¡
¢
(x ) − (y 5 ) x 10 + x 5 y 5 + y 10
¡
olur.
2. 512a 3 b 3 + 729d 3 e 3 x 3 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Verilen polinomu iki küp toplamı biçimine dönüştürebiliriz:
512a 3 b 3 + 729d 3 e 3 x 3
=
=
=
¡
¢
(8ab)3 − (9d ex)3
¡
¢
((8ab) − (9d ex)) (8ab)2 + 8ab.9d ex + (9d ex)2
¡
¢
(8ab − 9d ex) 64a 2 b 2 + 72abd ex + 81d 2 e 2 x 2
olur.
3. x 5 + y 5 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm: Ortak üs olan 5 sayısı ne 2 nin ne de 3 ün bir katıdır. Dolayısıyla,
iki karenin ya da küpün toplam ya da farkına dönüştürülemez. Ama,
87
88
CALCULUS
üs tek olduğu için x n + y n ifadesi için yukarıda yazılan özdeşlik kullanılabilir:
x5 + y 5
=
¡
¢¡
¢
x + y x4 − x3 y + x2 y 2 − x y 3 + y 4
olur.
4. 16a 4 − x 4 y 4 polinomunu çarpanlara ayırınız.
Çözüm:
16xa 4 − x 4 y 4
=
(4a 2 )2 − (x 2 y 2 )2
=
(4a 2 − x 2 y 2 )(4a 2 + x 2 y 2 )
=
(2a − x y)(2a + x y)(4a 2 + x 2 y 2 )
=
(2a − x y)(2a + x y)(4a 2 + x 2 y 2 )
olur.
Uygulamalar
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 1 + a 3
b) a 12 − 1
c) a 8 − 256
d) x 3n + 1
e) 27 + x 6 y 6
f) a 7 120 − 1
g) a 3 x 8 − y 3
h) a 13 − 1
i) x 11 + y 11
j) a 15 − b 15
Ekleme-Çıkarma Yolu ile Çarpanlara Ayırma
Uygun bir terim eklenir ve çıkarılırsa, bazı polinomlar, bir özdeşliğe
dönüştürülebilir.
Örnek
16a 4 + y 4 − a 2 y 2 polinomunu çarpanlarına ayırınız.
16a 4 + y 4 − a 2 y 2
=
16a 4 + 8a 2 y 2 + y 4 − 8a 2 y 2 − a 2 y 2
|
{z
} |
{z
}
=
(16a 4 + 8a 2 y 2 + y 4 ) − (9a 2 y 2 )
=
(4a 2 + y 2 )2 − (3a y)2
=
(4a 2 − 3a y + y 2 )(4a 2 + 3a y + y 2 )
=
(a − y)(4a − y)(a + y)(4a + y)
olur.
Örnekler:
1. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
¤
(a + b)2 − 25 £
(b − 5)2 − a 2
2
2
(a + 5) − b
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
Çözüm:
=
=
¤
(a + b)2 − 25 £
(b − 5)2 − a 2
2
2
(a + 5) − b
[(a + b) − 5] [(a + b) + 5] [(b − 5) − a] [(b − 5) + a]
[(a + 5) − b] [(a + 5) + b]
−(a + b − 5)2
2. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
x n−2 (x 2 − 2x + 1)
x n (1 − x)
Çözüm:
=
x n−2 (x 2 − 2x + 1)
x n (1 − x)
n−2
x
(x − 1)2
n
x (1 − x)
=
(1 − x)x n−2 x −n
=
(1 − x)x −2
1−x
x2
=
3. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
3x 4 + 6x 3 − 3x 2 − 6x
x 4 + 2x 3 − x 2 − 2x
Çözüm:
3x 4 + 6x 3 − 3x 2 − 6x
x 4 + 2x 3 − x 2 − 2x
=
x(x − 1)(x + 1).3.(x + 2)
(x + 1)(x − 1).x.(x + 2)
=
3
4. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
(x − y)2 (z − x) + (x − z)2 (x − y)
Çözüm:
(x − y)2 (z − x) + (x − z)2 (x − y)
=
£
¤
(x − y) (x − y)(z − x) + (x − z)2
£
¤
(x − y)(x − z) (x − y) + (z − x)
=
(x − y)(x − z)(z − y)
=
5. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
x 2 − x1
x − x12
:
x − x1
1
x
−1
89
90
CALCULUS
Çözüm:
x 2 − x1
x − x12
=
=
=
x 2 − x1
x − x12
:
.
x − x1
1
x −1
1
x −1
x − x1
2
x3 − 1 x
1−x x
3
x x − 1 x x2 − 1
−x
−
x +1
6. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
µ
¶
1
a
a2 − 1
.
−
+1
4a
a −1 a +1
Çözüm:
µ
¶
a2 − 1
1
a
.
−
+1
4a
a −1 a +1
µ
¶
a2 − 1 a + 1 − a2 + a + a2 − 1
.
4a
a2 − 1
2a
4a
1
2
=
=
=
7. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
µ
a −b −
a 2 + 2ab + b 2
a −b
¶µ
b a
−
a b
¶
Çözüm:
µ
a −b −
a 2 + 2ab + b 2
a −b
¶µ
b a
−
a b
(a − b)2 − (a + b)2 b 2 − a 2
.
a −b
ab
4(a + b)
=
=
8. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
µ
¶ ·
µ ¶−1 ¸
b −1
b
2a +
(2a)−1 +
a
a
Çözüm:
=
=
=
µ
¶ ·
µ ¶−1 ¸
b −1
b
2a +
(2a)−1 +
a
a
·
¸
a
1
a
+
2a 2 + b 2a b
a
2a 2 + b
1
2b
·
2a 2 + b
2ab
¶
P O L I N O M L A A R I N Ç A R PA N L A R A AY R I L M A S I
9. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
1 + x12
Ã
1−
!
1
x2
1−
2
x 2 − 2x + 1
Çözüm:
Ã
1−
1 + x12
1−

1 −
=
!
1
x2
x 2 +1
x2
x 2 −1
x2


2
x 2 − 2x + 1
2
x 2 − 2x + 1
−4
=
(x 2 − 1)(x − 1)2
10. Aşağıdaki ifadeyi sadeleştiriniz.
¡
¢2
x y − y2
x y − y2
: ¡
¢2
x2 − x y
x2 − x y
Çözüm:
¡
¢2
x y − y2
x y − y2
: ¡
¢2
x2 − x y
x2 − x y
=
=
y(x − y) x 2 (x − y)2
·
x(x − y) y 2 (x − y)2
x
y
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) a 4 + 4
b) 4a 4 + 1
c) 9x 4 − 12x 2 y 2 + 3y 2
d) x 6 − 2x 3 y 3
e) 8x 9 − 4x 6 + 2x 2 + 7
f ) 9x 4 + 12x 2 y 2
g) 18a 4 − 26a 2 b 2 + 8b 4
h) 8x 3 − 4ax 2 + 2a 2 x
i) a 8 + x 4 − 2
j) a 8 + b 8 + a 4 b 4
2. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) 15x 3 y 4 − 25x 2 y 3 z 2
b) a 2 − b 2 − c 2 + 2bc
c) a 3 − 3a 2 − 4a − 12
d) x 6 + 7x 3 − 8
e) (a 2 + 4a)2 − 2(a 2 + 4a) − 15
f ) ax − 6b y − 3a y + 2bx
g) x 2 − 2x y + y 2 − a 2 + 2ab − b 2
h) 1 − x 2n + a − ax n
i) x 3 + y 3 − x 2 + x y − y 2
j) 4a 4 − 29a 2 b 2 + 25b 4
91
92
CALCULUS
3. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) a 4 + 3a 2 + 4
b) (a 2 − 1) + 4(a + 1) + (a + 1)2
c) x 2 − y 2 + 4x − 4y
d) 2x 2 y 3 − 4x 3 y 5 − 3x 2 y 4 + x 3 y 2
e) (a − 1)2 − (a − 1)4
f) (2a − 3)(3x − 2y) − (5a + 1)(3x − 2y) − 4x + 6y
g) x 4 − y 4
h) ax + 3x − a − 3 − x 3 + x 2
i) a 3 b 4 − a 2 b 5
j) 64 − 9a 2 + 24ab − 16b 2
4. Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a) a 7 + b 7
b) 3x 3 − 13x 2 + 13x − 3
c) (x 2 + 3x − 10)2 − (x 2 + 2x − 8)2
d) 12 − 4x 3 − 3y 2 + x 3 y
e) 16 + 14x y − x 2 − 49y 2
f) (a + b)2 − 4a 2 b 2
g) 2x 3 − 6ax 2 − 6a 2 x + 18a 3
h) 3x 5 − 2ax 4 − 3a 4 x + 2a 5
i) x 2n y 2n − 25
j) x 3 − y 3 − x 2 + y 2
5. 2x 3 + 3x 2 + a y + b polinomunun iki çarpanı x + 1 ve x − 1 ise, üçüncü
çarpan nedir?
6. x 3 + y 3 + ax y + 64 polinomunun bir çarpanı x + y + 4 ise, öteki çarpanı
nedir?
7. x 3 − 2x 2 − 5x + y polinomunun x − 1 ile tam bölünebilmesi için y ne
olmalıdır?
8. x 2 − y 2 ile x 2 + x y − 2y 2 polinomlarının ekok ’nı bulunuz.
9. x 4 − ax 2 + 36 polinomu x − 2 ile tam bölünüyor. Polinomu çarpanlarına
ayırınız.
10. Aşağıdaki polinomların ekok ile ebob nini bulunuz.
x2,
3x 3 y,
4x 4 y 3
11. Aşağıdaki polinomların ekok ile ebob nini bulunuz.
p(x, y)
=
x 3 − 9x y 2
q(x, y)
=
2x 3 + 6x 2 y
r (x, y)
=
4x 2 + 24x y + 36y 2
s(x, y)
=
x + 3y
Rasyonel Fonksiyonlar
Polinomlar Yetmez!
Bölme işlemine kapalı olmadığı için, Polinomlar Kümesi’ni genişleterek,
içinde bölme işlemi yapılabilen Rasyonel Fonksiyonlar kümesini elde
ediyoruz. Bu genişleme, Tamsayılar Kümesi’nden Rasyonel Sayılar
Kümesi’ne geçişe benzer. Zaten, şimdiye kadar, rasyonel ifadelerle işlemler yapmayı iyice öğrendik. Bu bölümde, bildiklerimizi bir araya getirerek,
Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi’nin yapısını ortaya koyacağız.
P (x),Q(x) gerçek katsayılı iki polinom olsun. Her a ∈ R için, P (a) ve
Q(a) birer gerçek sayıdır. Dolayısıyla, Q(a) 6= 0 ise,
P (a)
Q(a)
oranı bir rasyonel
sayıdır. Şimdi bunu, değişkenin mümkün bütün değerlerine yayabiliriz.
Tanım: P (x),Q(x) gerçek katsayılı iki polinom ise,
f :x⇒
P (x)
,
Q(x)
Q(x) 6= 0
(1)
fonksiyonuna bir rasyonel fonksiyon, denir. Fonksiyonun tanım bölgesi,
A = {x | x ∈ R, Q(x) 6= 0}
(2)
P (x)
Q(x)
(3)
kümesidir.
biçimindeki ifadelere, bazan, rasyonel ifadeler de denilir. Böyle bir ifadeyi
gördüğümüzde, gereksiz tekrardan sakınmak için, P (x) ile Q(x) in gerçek
katsayılı iki polinom olduğunu; x ∈ R ve Q(x) 6= 0 koşulunun sağlandığını
kabul edeceğiz.
Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi üzerinde, eşitlik bağıntısı ile toplama,
çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin tanımlarını, Rasyonel Sayılar
Kümesinde yaptıklarımıza benzer olarak yapabiliriz.
Rasyonel Fonksiyonların Eşitliği
Rasyonel fonksiyonlarının eşitliği aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:
P (x) R(x)
=
⇒ P (x) · S(x) = Q(x) · R(x)
Q(x) S(x)
(4)
Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi Üzerinde İşlemler
P (x), Q(x), S(x) ve R(x) polinomları verilsin. Her x = a sabit değeri için,
Rasyonel Sayılar Kümesinde,
P (a) S(a)
+
,
Q(a) R(a)
P (a) S(a)
−
,
Q(a) R(a)
P (a) S(a)
·
,
Q(a) R(a)
P (a) S(a)
:
Q(a) R(a)
94
CALCULUS
tanımlıdır. Bu işlemlerin, ortak tanım bölgesindeki her x için geçerli
olduğunu düşünürsek, rasyonel fonksiyonlar kümesi üzerindeki toplama,
çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini aşağıdaki gibi tanımlayabiliriz.
Toplama
P (x) R(x) P (x) · S(x) +Q(x) · R(x)
+
=
Q(x) S(x)
Q(x) · S(x)
Çıkarma
P (x) R(x) P (x) · S(x) −Q(x) · R(x)
−
=
Q(x) S(x)
Q(x) · S(x)
Çarpma
P (x) R(x) P (x) · R(x)
·
=
Q(x) S(x) Q(x) · S(x)
Bölme
P (x) R(x) P (x) S(x)
:
=
·
Q(x) S(x) Q(x) R(x)
Rasyonel Sayılar Kümesinde olan özeliklerin benzerleri Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde de vardır.
Rasyonel Fonksiyonlar Kümesinde,
1.
P (x)
Q(x)
rasyonel fonksiyonunun, toplama işlemine göre tersi, aşağıdaki
denk ifadelerden birisidir.
−
P (x)
P (x) −P (x)
=
=
Q(x)
Q(x)
−Q(x)
2. Toplama işlemine göre birim öğe O(x) ≡ 0 (sıfır) polinomudur.
3. Çarpma işlemine göre birim öğe, u(x) ≡ 1 sabit polinomudur.
4. e(x) = x özdeşlik polinomunun çarpma işlemine göre tersi
dir.
1
= x −1
x
5. Bir P (x) polinomunun çarpma işlemine göre tersi,
[P (x)]−1 =
1
P (x)
(5)
dir. Bu fonksiyon, P (x) 6= 0 koşulunu sağlayan x değerleri için tanımlıdır.
6. Bir
P (x)
Q(x)
polinomunun çarpma işlemine göre tersi,
·
¸
Q(x)
P (x) −1
1
=
=
P (x)
Q(x)
P (x)
(6)
Q(x)
dir. Bu fonksiyon, P (x) 6= 0 koşulunu sağlayan x değerleri için tanımlıdır.
7. Çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özeliği vardır.
Önerme
1. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi + işlemine göre Yer Değişimli bir
Gruptur.
2. Rasyonel Fonksiyonlar Kümesi, toplama ve çarpma işlemlerine göre bir
cisimdir.
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
Bir rasyonel fonksiyonun pay ve paydası bir polinom ile çarpılırsa,
ifadenin tanımlı olduğu yerde, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir
rasyonel fonksiyon elde edilir:
P (x) P (x).T (x)
=
,
Q(x) Q(x).T (x)
Q(x).T (x) 6= 0.
RASYONEL FONKSIYONLAR
1.
P (x)
P (x).T (x)
ifadesi,
ifadesinin sadeleşmişi (kısaltılmışı)’dır.
Q(x)
Q(x).T (x)
2.
P (x).T (x)
P (x)
ifadesi,
ifadesinin genişletilmişi dir.
Q(x).T (x)
Q(x)
3. 0 ile bölme tanımsız olduğundan, kısaltma ya da genişletme yapılırken,
T (x) 6= 0 kabulü ihmal edilemez.
Örnekler
1.
x +4
x +5
(∗)
rasyonel fonksiyonu x 6= −5 koşulunu sağlayan her gerçek x sayısı için
tanımlıdır. Şimdi bunun pay ve paydasını T (x) = (x − 4) ile çarparsak,
x 2 − 16
(x − 4)(x + 5)
(∗∗)
olur. Ortaya çıkan (**) rasyonel fonksiyonu x = −5 ve x = 4 için
tanımsızdır. Tanım bölgeleri farklı olduğundan, verilen (*) ifadesine
denk değildir.
Tersine olarak, x = −5 ve x = 4 için tanımsız olan (**) ifadesinin pay ve
paydası T (x) = (x − 4) ile bölünürse (*) bulunur. Gene, tanım bölgesi
değiştiği için, verilene denk olmayan bir rasyonel fonksiyon ortaya
çıkmış olur.
2. Ancak, şunu söyleyebiliriz: x 6= 4 için (*) ve (**) rasyonel fonksiyonları
birbirine eşittir.
Bu nedenle, verilen bir rasyonel ifadenin sadeleştirilmesi ya da
genişletilmesi işlemlerinin, pay ve payda ile çarpılan (bölünen) T (x)
polinomunun sıfır olmadığı yerlerde geçerli olduğu kabul edilecektir.
Örnekler
Aşağıdaki sadeleştirmeleri inceleyiniz. Herbirinin geçerli olmadığı
yerleri belirleyiniz.
95
96
CALCULUS
x 2 + 5x + 6
x 2 + 6x + 9
=
=
a −2 + 2a −1 b −1 − 8b −2
a −2 b −1 + 4a −1 b −2
¢2
a −1 + b −1 − 9b −2
¡
¢
a −1 b −1 a −1 + 4b −1
¡ −1
¢
(a − 2b −1 )(a −1 + 4b −1 )
¡
¢
a −1 b −1 a −1 + 4b −1
¡
=
=
=
=
=
=
x 2 + 5x + 6
x2 − 4
(x + 2)(x + 3)
(x + 3)2
x +2
x +3
=
=
=
a −1 − 2b −1
a −1 b −1
−2b −1
a −1
+
a −1 b −1 a −1 b −1
−2
1
+
b −1 a −1
b − 2a
(x + 2)(x + 3)
(x − 2)(x + 2)
(x + 2)(x + 3)
(x − 2)(x + 2)
x +3
x −2
Uygulamalar
Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz.
x 2 − 3x − 10
x 3 − 4x
6a y + 4y + 3a + 2
b)
8a y + 2y + 4a + 1
a)
(x − 1)(x 2 + 3x + 2)
x2 − 1
·
(x + 1)(x 2 − 2x + 1) 3(x + 1)(x + 2)
x 2 − 5x y + 4y 2
d) 2
x − 3x y − 4y 2
c)
(2x 2 − 98)(x 3 + 4x 2 − 21x)
2(x + 7)2 (x 3 − 10x 2 + 21x)
(a 3 − b 3 )(a 3 − ab 2 )
f)
a 3 + a 2 b + ab 2
e)
x2 − a2 + x − a
x 2 + 2x + 1 − a 2
2ax − x + 6a − 3
h)
4ax − 2x + 10a − 5
Uyarı: Rasyonel fonksiyonlarla işlem yaparken, rasyonel sayılardaki
g)
işlem yöntemlerinin benzerlerini kullanınız.
RASYONEL FONKSIYONLAR
1. Verilen rasyonel ifadelerin her birisinin pay ve paydalarını çarpanlarına ayırıp, mümkün olan sadeleştirmeleri yapınız.
2. Toplama ve çıkarma işlemleri için, rasyonel ifadelerin paydalarının
ekok nı bulunuz. Terimleri genişleterek, ekok ortak paydasına alınız.
Sonra toplama ya da çıkarma formülünü uygulayınız.
3. Çarpma ve bölme işlemi için, doğrudan formülleri uygulayınız.
4. İşlemlerden sonra ortaya çıkan sonucu en sade biçime getiriniz.
Örnekler
1. Aşağıdaki işlemi inceleyiniz.
2
1
4
+
−
2 + a 2 − a 4 − a2
=
2(2 − a)
2+a
4
+
−
(2 − a)(2 + a) (2 − a)(2 + a) (4 − a 2 )
=
4 − 2a
2+a
4
+
−
(4 − a 2 ) (4 − a 2 ) (4 − a 2 )
=
4 − 2a + 2 + a − 4
(4 − a 2 )
=
1
(2 + a)
2. Aşağıdaki çarpma işlemini inceleyiniz.
µ
¶ µ 2
¶ µ
¶
x 2 − 2x − 8
x + 2x − 15
x +1
·
·
x 2 − 2x − 3
x −4
x 2 + 7x + 10
µ
¶ µ
¶ µ
¶
(x − 4)(x + 2)
(x − 3)(x + 5)
(x + 1)
·
·
(x − 3)(x + 1)
(x − 4)
(x + 2)(x + 5)
µ
(x − 4)(x + 2)((x − 3)(x + 5)(x + 1)
(x − 3)(x + 1)(x − 4)(x + 2)(x + 5)
=
=
=
1
1
=
1
¶
3. Aşağıdaki bölme işlemini inceleyiniz.
µ
¶ µ 2
¶
2x 2 − x − 28
4x + 16x + 7
:
3x 2 − x − 2
3x 2 + 11x + 6
µ
¶ µ
¶
(x − 4)(2x + 7)
(2x + 1)(2x + 7)
:
(x − 1)(3x + 2)
(x + 3)(3x + 2)
µ
¶ µ
¶
(x − 4)(2x + 7)
(x + 3)(3x + 2)
·
(x − 1)(3x + 2)
(2x + 1)(2x + 7)
=
=
=
(
(x − 4)(x + 3)
(x − 1)(2x + 1)
97
98
CALCULUS
Basit Kesirlere Ayırma
Verilen bir rasyonel fonksiyonu, paydası indirgenemez rasyonel ifadelerin
toplamı olarak yazmak, işlemlerde çok kolaylık sağlar. Şimdi, bu işin nasıl
yapıldığını inceleyeceğiz.
Tanım 0.29. a, b, c, A, B ,C gerçek sayılar, m, n sayma sayıları ve ax 2 +bx+c
indirgenemez bir polinom olmak üzere
A
(ax + b)m
ve
B x +C
(ax 2 + bx + c)n
biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir.
Örnek 0.30.
17
,
(5x − 2)3
−2x + 5
,
3x 2 + x + 3
p
5
3
7x 2 + 2
rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir; ama
2
,
3x 2 − 10x + 8
4x 3 − 3
,
x2 − 9
8x − 1
(x − 15)(x + 6)
rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir.
Payının derecesi, paydasının derecesinden küçük olan rasyonel
fonksiyonların, basit kesirlerin toplamı olarak yazılabileceğini örneklerle
göstereceğiz.
Örnek 0.31.
1.
5
(x + 1)(x − 2)
≡
A
B
+
(x + 1) (x − 2)
≡
A(x − 2) + B (x + 1)
(x + 1)(x − 2)
≡
Ax − 2A + B x + B
(x + 1)(x − 2)
≡
(A + B )x − 2A + B
(x + 1)(x − 2)
bu iki rasyonel ifadenin denk olması için,
5 = (A + B )x − 2A + B
olmalıdır. Buradan da,
A +B = 0
−2A + B = 5
)
⇒
A +B = 0
−2A + (−A) = 5
)
5
A=−
3
⇒
5
B=
3
bulunur. Bunlar, yukarıda yerlerine yazılırsa
µ
¶
1 −5
5
5
=
+
(x + 1)(x − 2) 3 x + 1 x − 2
çıkar.
RASYONEL FONKSIYONLAR
2.
3x − 1
x 2 (x 2 + x + 2)
≡
Cx +D
A B
+
+
x x2 x2 + x + 2
≡
Ax(x 2 + x + 2) + B (x 2 + x + 2) + x 2 (C x + D)
x 2 (x 2 + x + 2)
≡
(A +C )x 3 + (A + B + D)x 2 + (2A + B )x + 2B
x 2 (x 2 + x + 2)
Bu denkliğin sağlanabilmesi için,
3x − 1 = (A +C )x 3 + (A + B + D)x 2 + (2A + B )x + 2B
olmalıdır. Buradan,


A +C = 0 


A +B +D = 0 
2A + B = 3 



2B = −1 
A = 7/4
⇒
B = −1/2
C = −7/4
D = −5/4
bulunur. Buradan, aşağıdaki eşitlik yazılır.
3x − 1
2
x (x 2 + x + 2)
=
=
7
4
x
+
−1
2
x2
5
7
− x−
4
4
+ 2
x +x +2
7
1
7x + 5
−
−
4x 2x 2 4(x 2 + x + 2
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki toplama ve çıkarma işlemlerini yapınız.
x +4
2x + 5
3
−
+
2x − 4 x 2 − x − 2 4
x
6
1
(b) 2
+
−
x − 16 4 − x x − 4
2
x −3
(c) 3 +
− 2
3x + 6 x − 4
1
1
1
2
1 1
(d)
( 2 + 2 )+
( + )
2
3
(x + y) x
y
(x + y) x y
(a)
x
x2 + y 2
y
+ 2 2 +
x−y
y x
x+y
2x
3x
3
(f )
+
− 2
1 − 2x 2x + 1 4x − 1
(e)
2. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
x 2 + 11x + 18 x 2 + 8x + 12 −1 x 2 + 2x − 15
·( 2
) · 2
x 2 + 4x − 5
x − 6x − 7
x − 7x − 8
3x 2 − 27 x 2 + 3x 2x − 4
(b) 2
·
.
x +x −6
6
x −3
12 + x − x 2 x + 2 3 + 2x − x 2
(c)
· 2
·
9 − x2
x + x 8 + 2x − x 2
x 2 + 4x + 3 35 + 2x − x 2 x 2 − 9x + 8
(d) 2
·
·
x − 8x + 7 x 2 − 7x − 8 x 2 + 8x + 15
(a)
99
100
CALCULUS
(e)
2x 2 − x − 3 x 2 − 1 1 − 3x − 4x 2
·
·
4x 2 − 5x + 1 (x + 1)2 3 − 5x + 2x 2
(f )
x 2 + 5x y
x 2 + 5x y + 4y 2
·
x y + 4y 2
x 2 + 6x y + 5y 2
(g)
30 − 11x + x 2 x 2 − 3x
x2 − 9
·
·
(
)−1
9x − 6x 2 + x 3 25 − x 2 x 2 + 2x − 15
3. Aşağıdaki bölme işlemlerini yapınız.
ax + 2a y − bx − 2b y a 2 + ab − b 2
: 2
x 2 + x y − 2y 2
x − 2x y + y 2
(a)
1
(b) ( x
+x +2
1
x2
):(
1 + x13
1 − x1 + x12
)
10x 2 − 13x − 3 5x 2 − 9x − 2
: 2
2x 2 − x − 3
3x + 2x − 1
(c)
(d) (
x2 + y 2
x2 − y 2
+ y) : (
+ y)
x−y
x+y
(e) (1 −
13 12
1 12
− ) : (3 +
+ 2)
x x2
x
x
4. Aşağıdaki polinomların ebob ve ekok larını bulunuz.
(a) x 2 − 3x y − 4y 2 , 3x y − x 2 + 4y 2
(b) 18x 4 + 15x 3 y − 12x 2 y 2 ,
(c) 51x 2 y 3 z 2 ,
54x 2 − 45x y + 9y 2
68x 4 y 2 z
(d) 3x 4 − 3x 3 − 6x 2 ,
(e) 4x 3 − 4x 2 ,
6x 4 − 24x 3 + 24x 2
4x 5 − 24x 4 + 20x 3
5. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan A, B sayılarını bulunuz.
a)
4
(x−3)(x+1)
b)
3x+5
x 2 +x−30
=
=
A
x−3
A
x−5
B
+ x+1
B
+ x+6
6. Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde yazınız.
−2x
x+12
a) 4x 2 +4x−21
b) x 2 −4x−32
c)
4x 2 −9x+18
x 3 −27
d)
11x+1
x 3 +3x−x 2 −1
e)
2x 2 +5x−2
x 3 −3x 2 +2x
f)
x 2 −11x−12
3x 3 −6x 2 −3x
1 
2

x2  ·
h) 1 −
 2
1
x − 2x + 1
1− 2
x

g)
x y−y 2
x 2 −x y
2 2
:
(x y − y )
(x 2 − x y)2
Rasyonel Denklemler
P
olinomlarda ekok ve ebob
1+
RASYONEL FONKSIYONLAR
Tanım 0.32. P (x) ve Q(x) en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere,
P (x) ve Q(x) polinomlarının her ikisiyle de tam bölünebilen en küçük
dereceli (en az birinci dereceden)bir polinoma, bu iki polinomun en
küçük ortak katı (ekok) denir ve
ekok[P (x),Q(x)]
biçiminde gösterilir.
Polinomlarda ekok, sayılardakine benzer biçimde bulunur. Bunun
için ilk önce verilen polinomlar asal çarpanlarına ayrılır. Ortak asal
çarpanlardan derecesi en büyük olanlarla ortak olmayanların tümünün
çarpımı EKOK’u verir.
Örnek 0.33.
1. P (x) = 12x 4 y 2 z,
Q(x) = 24x 5 y 2 z 3 polinomlarının EKOK’nu
bulalım.
P (x) = 22 3x 4 y 2 z
Q(x) = 23 .3x 5 y 2 z 3
olduğundan,
E K OK [P (x),Q(x)] = 23 3x 5 y 2 z 3
olur.
2. P (x) = (x − 1)(x 2 + x − 2),
Q(x) = (x 2 − 1)(x + 2),
T (x) = (x 2 + 4x + 4)(x − 1)
polinomlarının ekok’nu bulalım.
Verilen polinomları,
P (x) = (x − 1)(x 2 + x − 2) = (x − 1)(x − 1)(x + 2) = (x − 1)2 (x + 2)
Q(x) = (x 2 − 1)(x + 2) = (x − 1)(x + 1)(x + 2)
T (x) = (x 2 + 4x + 4)(x − 1) = (x + 2)2 (x − 1)
biçiminde asal çarpanlarına ayıralım.
E K OK [P (x),Q(x), T (x)] = (x − 1)2 (x + 1)(x + 2)2
olur.
Alıştırmalar
Aşağıdaki polinomların EKOK’nu bulunuz.
1. 6x 2 y 3 , 4x 3 y
2. x 2 − 1, x 3 − 1
3. 4x 2 y, 6x y 2 , 8x y
4. 3 + x, x 2 − 9, 3 − x
5. x + 1, (x − 1)2 , x 2 − 1
6. 16x y 2 − x 5 y 2 , y x 3 − 8y
7. x 2 − 3x y − 4y 2 , 3x y − x 2 + 4y 2
Tanım: P (x) ve Q(x) en az birinci dereceden iki polinom olmak üzere,
P (x) ve Q(x) polinomlarının her ikisini de tam bölebilen en büyük
dereceli bir polinoma (en az birinci dereceden) bu iki polinomun en
101
102
CALCULUS
büyük ortak böleni (EBOB) denir ve E BOB [P (x),Q(x)] biçiminde gösterilir.
Polinomlarda EBOB bulunurken ilkönce verilen polinomlar asal
çarpanlarına ayrılır; ortak asal çarpanlardan derecesi en küçük olanların
çarpımı EBOB’u verir.
Örnek 0.34.
1. P (x) = 6x 4 y 2 z,
Q(x) = 18x 3 y 3 ,
T (x) = 24x 4 y 3 z 2 polinomlarının
EBOB’nu bulalım.
Verilen polinomları,
P (x)
=
6x 4 y 2 z = 2.3x 4 y 2 z
Q(x)
=
18x 3 y 3 = 2.32 x 3 y 3
T (x)
=
24x 4 y 3 z 2 = 23 .3x 4 y 3 z 2
biçiminde asal çarpanlarına ayıralım.
E BOB [P (x),Q(x), T (x)] = 2.3x 3 y 2
olur.
2. P (x, y) = 4x 3 y − 20x 2 y 2 + 24x y 3 ,
Q(x, y) = 2x 4 − 2x 3 y − 12x 2 y 2
polinomlarının EBOB’nu bulalım.
P (x, y)
Q(x, y)
=
4x 3 y − 20x 2 y 2 + 24x y 3
=
4x y(x 2 − 5x y + 6y 2 )
=
22 x y(x − 2y)(x − 3y)
=
2x 4 − 2x 3 y − 12x 2 y 2
=
2x 2 (x 2 − x y − 6y 2 )
=
2x 2 (x + 2y)(x − 3y)
E BOB [P (x, y),Q(x, y)] = 2x(x − 3y)
olur.
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki polinomların ebob’ni bulunuz.
a) −6x 4 y 2 ,
−16x 3 y 4
2 3 2
68x 4 y 2 z
b) 51x y z ,
2
4
2x 2 − 2x 4
c) −22x , 14x ,
d) 4x 3 − 4x 2 ,
4x 5 − 24x 4 + 20x 3
2
−5x 2 − 35x − 60
e) 10x + 30x,
f ) 3 + 2x, 4x 2 − 9,
3 − 2x
2. Aşağıdaki polinomların ekok ve ebob’u bulunuz.
a) 42x 2 y 2 z 4 ,
5
4
65x 4 y 2 z 2
8
b) x + x ,
x − x6
c) 3x + x 2 ,
6 + 2x
d) 3x 4 − 3x 3 − 6x 2 ,
6x 4 − 24x 3 + 24x 2
e) 18x 4 + 15x 3 y − 12x 2 y 2 ,
54x 2 − 45x y + 9y 2
RASYONEL FONKSIYONLAR
f ) x 2 y 2 − y 4 , 2x 2 − 2y 2 ,
2
2
x4 − y 4
2
g) (2x − 3y) , 4x − 9y , 4x 2 − 6x y
h) 6x 2 − 6x, 4x 2 − 24x + 20, 2x 3 − 4x 2 + 2x
rasyonel İfadeler
Polinomlar kümesinin bölme işlemine kapalı olmadığını söylemiştik.
Dolayısıyla, bu kümeyi genişleterek içinde bölme işlemi yapılabilen bir
matematiksel yapı kurmak gerekir. Bu işin sağlam matematiksel yöntemlerle yapılması mümkündür. Ancak, bu işler bu kitabın kapsamı
dışındadır. Bu nedenle, burada konuyu sezgisel olarak ele alacak ve iki
polinomun birbirine oranı (bölümü) biçimin de olan nesneleri tanımlayacağız. Daha sonra, bu nesnelerden oluşan küme üzerinde toplama,
çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini tanımlayacağız.
Tanım 0.35. P (x),Q(x) gerçek katsayılı iki polinom ve Q(x) 6= 0 olmak
üzere,
P (x)
Q(x)
biçimindeki ifadelere rasyonel ifadeler denir.
Rasyonel ifadeler kümesi, rasyonel sayılar kümesine benzer biçimde.
(+) ve (·) işlemlerine göre bir cisim oluşturur. Bu cisme rasyonel ifadeler
cismi denir. Rasyonel ifadelerde toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
işlemleri rasyonel sayılardakine benzer biçimde yapılır.
x ∈ R alınırsa Q(x) i sıfır yapan gerçek sayıların dışında
P (x)
Q(x)
de bir
gerçek sayı olur. Bu nedenle,
P (x)
x ∈ R için F (x) = Q(x)
ile tanımlı F bağıntısı, R nin bir alt kümesinden R
ye bir fonksiyon tanımlar.
Rasyonel ifadeler cisminde
1
1
1
= x −1 , 2 = x −2 , 3 = x −3 , · · ·
x
x
x
olacağı için x in negatif kuvvetleri de vardır. x in tamsayı kuvvetlerinin
çarpımı ve toplamı, reel sayıların tamsayı kuvvetlerinde olduğu gibi
yapılır.
Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi
P (x)
Q(x)
gibi rasyonel bir ifadenin pay ve paydası T (x) 6= 0 polinomu ile
çarpılırsa, verilen rasyonel ifadeye denk yeni bir rasyonel ifade elde edilir.
Yani,
P (x) P (x).T (x)
=
Q(x) Q(x).T (x)
dir. Burada,
P(x)
Q(x)
P(x).T(x)
Q(x).T(x) rasyonel ifadesinin sadeleşmiş
P(x).T(x)
P(x)
Q(x).T(x) rasyonel ifadesinede Q(x) rasyonel ifadesinin
rasyonel ifadesine
(kısaltılmış) biçimi,
genişletilmişi denir.
P(x)
Q(x)
biçimindeki rasyonel ifadeleri sadeleştirirken x elemanını belirsiz
(tanımsız) kabul ediyoruz. Eğer x ∈ R alırsak bazı x gerçek değerleri için
bu sadeleştirme yapılamaz.
Örneğin,
x 2 −9
x−3
rasyonel ifadesi
(x−3)(x+3)
x−3
biçiminde yazılabilir. Burada
x = 3 için x − 3 = 0 olduğundan x − 3 ile sadeleştirme yapılamaz.
103
104
CALCULUS
x 6= 3 için
x 2 − 9 (x − 3)(x + 3)
=
= x +3
x −3
x −3
olur.
Örnek 0.36.
1.
x 5 −x 4 −6x 3
x 3 −2x 2 −3x
rasyonel ifadesini sadeleştirelim.
x 3 (x 2 − x − 6) x.x 2 (x + 2)(x − 3) x 2 (x + 2)
x 5 − x 4 − 6x 3
=
=
=
x 3 − 2x 2 − 3x x(x 2 − 2x − 3)
x(x + 1)(x − 3)
x +1
bulunur.
2.
10x 3 −4x 2 +15x−6
5x−2
rasyonel ifadesini sadeleştirelim.
10x 3 − 4x 2 + 15x − 6
5x − 2
(10x 3 − 4x 2 ) + (15x − 6)
5x − 2
2x 2 (5x − 2) + 3(5x − 2)
5x − 2
(5x − 2)(2x 2 + 3)
5x − 2
2x 2 + 3
=
=
=
=
olur.
3.
4x 2 +17x y−15y 2
16x 2 −9y 2
rasyonel ifadesini sadeleştirelim.
4x 2 + 17x y − 15y 2
16x 2 − 9y 2
(4x − 3y)(x + 5y)
(4x − 3y)(4x + 3y)
x + 5y
4x + 3y
=
=
olur.
4.
x 2 −mx+2
x 2 −4x+3
rasyonel ifadesi sadeleştirilebildiğine göre m ∈ Z nedir?
Verilen polinom,
x 2 − mx + 2
x 2 − mx + 2
=
2
x − −4x + 3 (x − 1)(x − 3)
biçiminde yazılabilir. Bu rasyonel ifadenin sadeleştirilebilmesi için
P (x) = x 2 − mx + 2 polinomunun (x − 1) veya (x − 3) ile tam bölünmesi
gerekir. Yani P (x) polinomunun x − 1 veya x − 3 ile bölünmesinden elde
edilecek kalan sıfır olmalıdır. Buna göre,
P (1) = 0
⇒
1−m +2 = 0
⇒
m=3
⇒
9 − 3m + 2 = 0
11
m=
6∈ Z
3
veya
P (3) = 0
⇒
dir.
RASYONEL FONKSIYONLAR
Alıştırmalar
Aşağıdaki rasyonel ifadeleri sadeleştiriniz.
ax 2 + 2ax + a
x 2 − 6x + 9
2)
1)
3
x − 9x
a + bx + b + ax
1 + x 3 + 3x 2 + 3x
x 2 − 5x y + 4y 2
3)
4)
x 2 y + 2x y + y
x 2 − 3x y − 4y 2
27x 3 − 1
(x 3 − y 3 )(x 3 − x y 2 )
5) 2
6)
3x + 5x − 2
x3 + x2 y + x y 2
(2x 2 − 98)(x 3 + 4x 2 − 21x)
x 2 + y 2 − 1 + 2x y
8)
7)
2
2
1 − x − 2y + y
2(x + 7)2 (x 3 − 10x 2 + 21x)
9)
(250 − 2x 3 )(x 2 + 25)
x 4 − 625
10)
x 6 − 64
(x 2 − 4)(x 2 − 2x + 4)
x 4 − 2x 3 − 5x + 5
x2 + x + 2
12)
32x 5 + 1
2x + 1
11)
xm − y m
x 4 − 5x 2 + 4
14)
x 2m − y 2m
x 3 − 2x 2 − 5x + 6
Rasyonel İfadelerin Toplamı
13)
Tanım:
P (x)
Q(x)
ve
R(x)
S(x)
rasyonel ifadelerinin toplamı,
P (x) R(x) P (x).S(x) +Q(x).R(x)
+
=
Q(x) S(x)
Q(x).S(x)
biçiminde tanımlanır.
Paydaları farklı rasyonel ifadelerin toplamında yapılması gerekli
işlemleri aşağıdaki biçimde sıralayabiliriz.
1. Rasyonel ifadelerin pay ve paydalarındaki polinomlar çarpanlarına
ayrılır. Varsa gerekli sadeleştirme yapılır.
2. Rasyonel ifadelerin paydalarındaki polinomların EKOK u bulunur.
3. Her rasyonel ifade, paydası EKOK olacak biçimde genişletilir. Böylece,
verilen rasyonel ifadelerin paydaları eşitlenmiş olur.
4. Payların toplamı paya, ortak paydada paydaya yazılır.
5. Bulunan sonuç en sade biçime getirilir.
Örnek 0.37.
1.
1
x 2 −x−6
1
1
+ x−2
+ x 2 −5x+6
toplamını bulalım.
105
106
CALCULUS
1
1
1
+
+
x 2 − x − 6 x − 2 x 2 − 5x + 6
1
=
(x−3)(x+2)
+
(x − 2)
=
1
x−2
(x − 3)(x + 2)
+
1
(x−2)(x−3)
(x + 2)
(x − 2)
(x − 3)(x + 2)
+
(x − 2)(x − 3)(x + 2) (x − 2)(x − 3)(x + 2)
(x + 2)
+
(x − 2)(x − 3)(x + 2)
=
(x − 2) + (x − 3)(x + 2) + (x + 2)
(x − 2)(x − 3)(x + 2)
=
x − 2 + x 2 + 2x − 3x − 6 + x + 2
(x − 2)(x − 3)(x + 2)
=
x2 + x − 6
(x − 2)(x − 3)(x + 2)
(x − 2)(x + 3)
(x − 2)(x − 3)(x + 2)
x +3
(x − 3)(x + 2)
=
=
olur.
2.
4x 2
x 2 −y 2
x+y
x−y
+ x−y − x+y toplamını bulalım:
4x 2
x+y x−y
+
−
x2 − y 2 x − y x + y
=
4x 2
x+y
x−y
+
−
(x−y)
(x+y)
(x − y)(x + y)
(x + y) (x − y)
=
4x 2
(x + y)2
(x − y)2
+
−
(x − y)(x + y) (x − y)(x + y) (x − y)(x + y)
=
4x 2 + (x + y)2 − (x − y)2
(x − y)(x + y)
=
4x 2 + x 2 + 2x y + y 2 − x 2 + 2x y − y 2
(x − y)(x + y)
=
4x 2 + 4x y
(x − y)(x + y)
=
4x(x + y)
(x − y)(x + y)
olur.
Alıştırmalar
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
4x
x−y
RASYONEL FONKSIYONLAR
1)
2x
1
− 2
x + y x − y2
2)
3)
1
4
2
+
−
x + 2 2 − x 4 − x2
4)
3
−
x2 − x
2
x2 + x − 2
5x
x 2 + 4x + 3
−
3x − 6
x 2 + 6x + 9
1
x +2
5
−
−
x + 5 x − 5 25 − x 2
1
2x
1
+
+
6) 2
x + 2x y + y 2 x 2 − 2x y + y 2 x 3 − x y 2
5)
Rasyonel İfadelerin Çarpımı
Tanım:
P (x)
Q(x)
ve
R(x)
S(x)
rasyonel ifadelerinin çarpımı,
P (x) R(x) P (x).R(x)
.
=
Q(x) S(x) Q(x).S(x)
biçiminde tanımlanır.
Rasyonel ifadelerin çarpımında, her rasyonel ifadenin pay ve paydası
çarpanlarına ayrılarak sadeleştirmeler yapıldıktan sonra paylar çarpılarak
paya, paydalar çarpılarak paydaya yazılır.
Örnek 0.38.
1.
x 2 +5x+6
y2
y
· x+2 çarpımını bulalım.
x 2 + 5x + 6
y
·
y2
x +2
(x + 2)(x + 3)
y
·
yy
(x + 2)
x +3
y
=
=
bulunur.
1
1
2. (4x + x+1
).(2x + 1 − 2x+1
) işlemini yapalım.
(4x +
1
1
) · (2x + 1 −
)
x +1
2x + 1
=
4x(x + 1) + 1 (2x + 1)2 − 1
·
x +1
2x + 1
=
4x 2 + 4x + 1 4x 2 + 4x + 1 − 1
·
x +1
2x + 1
=
(2x + 1)2 4x 2 + 4x
·
x +1
2x + 1
=
(2x + 1)2 4x(x + 1)
·
x +1
2x + 1
=
4x(2x + 1)
olur.
Rasyonel İfadelerde Bölme
R(x)
R(x)
P (x)
S(x) iki rasyonel ifade ve S(x) 6= 0 olmak üzere, Q(x)
rasyonel ifadesinin R(x)
S(x) rasyonel ifadesine bölümü
Tanım:
P (x)
Q(x)
ile
P (x) R(x) P (x) R(x) −1 P (x).S(x)
:
=
.[
] =
Q(x) S(x) Q(x) S(x)
Q(x).R(x)
biçiminde tanımlanır.
Rasyonel ifadelerin bölümünde,
107
108
CALCULUS
1. Verilen rasyonel ifadelerin pay ve paydaları çarpanlarına ayrılır.
2. Birinci rasyonel ifade, ikinci rasyonel ifadenin çarpma işlemine göre
tersi ile çarpılır.
3. Gerekli sadeleştirmeler yapıldıktan sonra, paylar çarpılarak paya,
paydalar çarpılarak paydaya yazılır.
Örnek 0.39.
1.
x 2 −9
x 2 −6x+9
:
3x+9
7x−21
işlemini yapalım:
x2 − 9
3x + 9
:
2
x − 6x + 9 7x − 21
=
(x − 3)(x + 3) 3(x + 3)
:
(x − 3)(x − 3) 7(x − 3)
=
(x − 3)(x + 3) 7(x − 3)
·
(x − 3)(x − 3) 3(x + 3)
=
7
3
çıkar.
2.
x
x+3
:
3x 2
3x+9
·x
2 +4x+3
x 2 −9
işlemini yapalım.
x
3x 2 x 2 + 4x + 3
:
·
x + 3 3x + 9
x2 − 9
=
=
=
x
3x + 9 x 2 + 4x + 3
·
·
x + 3 3x 2
x2 − 9
3(x + 3) (x + 1)(x + 3)
x
·
·
x +3
3xx
(x − 3)(x + 3)
x +1
x(x − 3)
olur.
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki işlemleri yapınız. Sonucu en sade biçimde yazınız.
(x + 3)2 3x + 9
x 2 + 3x
x3
a)
:
b)
:
x3
x2
x 2 + 2x − 3 2x − 2
c)
x 2 − 7x + 10 (x − 5)2
:
x 2 + 3x − 10 3x + 15
d)
x 2 − x − 20 x 2 + 7x + 12
:
x 2 − 7x + 10 x 2 + 9x + 8
e)
4x 2 − 4
x 2 + 3x + 2
:
x 2 − 3x + 2 x 2 − 2x − 3
f)
6x 2 − x − 2
4x 2 − 1
:
12x 2 + 5x − 2 8x 2 − 6x + 1
10x 2 − 13x − 3 5x 2 − 9x − 2
1 12
13 12
: 2
h) (1 − − 2 ) : (3 +
+ 2)
2x 2 − x − 3
3x + 2x − 1
x x
x
x
2.Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız.
3 x2 − 4
3x 2 + 9x
x
a)
.
b)
·
3
x +2
9
9x
(x + 3)2
g)
c)
3
x 2 − 2x
.
x2 + x − 6
3x + 6
d)
4x 2 − 25
3x 2
· 2
2
(2x + 5) 6x − 15x
3.Aşağıdaki işlemleri yapıp, sonucu en sade biçimde yazınız.
2x 2 − x − 28 3x 2 + 11x + 6
a)
·
3x 2 − x − 2 4x 2 + 16x + 7
RASYONEL FONKSIYONLAR
3x 2 − 27 x 2 + 3x 2x − 4
·
.
x2 + x − 6
6
x −3
2
x + 2 3 + 2x − x 2
12 + x − x
· 2
·
c)
9 − x2
x + x 8 + 2x − x 2
x 2 + 4x + 3 35 + 2x − x 2 x 2 − 9x + 8
d) 2
·
·
x − 8x + 7 x 2 − 7x − 8 x 2 + 8x + 15
4. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
x +4
2x + 5
3
a)
−
+
2x − 4 x 2 − x − 2 4
x
6
1
b) 2
+
−
x − 16 4 − x x − 4
2
x −3
c) 3 +
− 2
3x + 6 x − 4
3x 2
x
x−y
+
+ 2
d) 2
2
3
3
x −y
x +y
x − x y + y2
y
x
x2 + y 2
+
e)
+
x − y y 2 − x2 x + y
2x
3x
3
f)
+
− 2
1 − 2x 2x + 1 4x − 1
2x 2 − x − 3 x 2 − 1 1 − 3x − 4x 2
·
·
g) 2
4x − 5x + 1 (x + 1)2 3 − 5x + 2x 2
2
2
2
x + 5x y
x + 5x y + 4y
· 2
h)
x y + 4y 2
x + 6x y + 5y 2
ax + 2a y − bx − 2b y a 2 + ab − b 2
i)
: 2
x 2 + x y − 2y 2
x − 2x y + y 2
2x 2 − 18 8x 2 + 4x − 24
:
j) 2
x + 6x − 7
x2 − 1
2
x + 9x 2x 2 + 2x
x +2
k) 2
. 2
:
x − 3x x + 6x − 7 x − 3
4x 2
12x 2
2x 2
l)
: 2
·
2x − y 4x − y 2 6x 2 − 3x y
x2 − 9
30 − 11x + x 2 x 2 − 3x
·
·
(
)−1
m)
9x − 6x 2 + x 3 25 − x 2 x 2 + 2x − 15
x 2 + 11x + 18 x 2 + 8x + 12 −1 x 2 + 2x − 15
n) 2
·( 2
) · 2
x + 4x − 5
x − 6x − 7
x − 7x − 8
5 −1
7x + 2
)(x − 3 −
)
o) (2 − 2
x −1
x +1
3
x
p) (4 + 2
)−1 (1 +
)
x −1
x −1
2
2
2
2
x +y
x −y
r) (
+ y) : (
+ y)
x−y
x+y
3
x
1
) : (1 + 2
)
s) (1 − x + x 2 −
x +1
x −1
1
1
1
2
1 1
t)
( + )+
( + )
(x + y)2 x 2 y 2
(x + y)3 x y
1
1 + x13
+x +2
u) ( x 1
):(
)
1 − x1 + x12
x2
b)
Polinom Denklemler
Tanım 0.40. Sıfır polinomundan farklı bir P (x) polinomunu sıfır yapan
(varsa) her x gerçek sayısına, P (x) polinomunun kökü, P (x) = 0 koşuluna da bir polinom denklem denir. P (x) polinomunun köklerine aynı
zamanda P (x) = 0 denkleminin kökleri denir.
Bir polinom denklemin bütün köklerini (varsa) bulmak için yapılan
işleme denklemi çözme, bütün köklerden oluşan kümeye de denklemin
çözüm (doğruluk) kümesi denir. Çözüm kümeleri eşit olan denklemlere
109
110
CALCULUS
de denk denklemler adı verilir.
Birinci Dereceden PolinomDenklemlerin Çözümü
a, b ∈ R ve a 6= 0 olmak üzere,
ax + b = 0
biçimindeki polinom denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemler denir.
ax + b = 0 (a 6= 0) denkleminin çözüm kümesini bulalım:
ax + b = 0
⇒
ax + b + (−b) = 0 + (−b)
⇒
ax + 0 = −b
⇒
ax = −b
1
1
.ax = (−b)
a
a
b
x =−
a
b
{− }
a
⇒
⇒
Ç
=
Örnek 0.41.
1. 6x − 3(x + 1) = x + 1 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
6x − 3(x + 1) = x + 1
Ç
2.
4x
15
− 2x−1
10 =
1
2
⇒
6x − 3x − 3 = x + 1
⇒
3x − 3 = x + 1
⇒
3x − x = 1 + 3
⇒
2x = 4
⇒
x =2
=
{2}
denkleminin çözüm kümesini bulalım:
4x 2x − 1 1
−
=
15
10
2
⇒
4x 2x − 1
1
−
) = 30 · ( )
15
10
2
4x
2x − 1
30( ) − 30(
) = 15
15
10
8x − 6x + 3 = 15
⇒
2x = 15 − 3
⇒
2x = 12
=
{6}
⇒
⇒
Ç
30(
3. 3ax + 5b = 3bx + 5a denkleminin çözüm kümesini bulalım:
3ax + 5b = 3bx + 5a
⇒
3ax − 3bx = 5a − 5b
⇒
3(a − b)x = 5(a − b)
5
x=
(a − b 6= 0)
3
5
{ }
3
⇒
Ç
=
RASYONEL FONKSIYONLAR
4. 2x 3 − 4x 2 − 8x + 16 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
2x 3 − 4x 2 − 8x + 16 = 0
Ç
⇒
(2x 3 − 4x 2 ) − (8x − 16) = 0
⇒
2x 2 (x − 2) − 8(x − 2) = 0
⇒
(x − 2)(2x 2 − 8) = 0
⇒
2(x − 2)(x 2 − 4) = 0
⇒
2(x − 2)(x − 2)(x + 2) = 0
⇒
2(x − 2)2 (x + 2) = 0
⇒
x −2 = 0∨x +2 = 0
⇒
x = 2 ∨ x = −2
=
{−2, 2}
ab
5. x 2 − a+b
2 x + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
x2 −
a +b
ab
x+
=0
2
4
⇒
4x 2 − 2(a + b)x + ab = 0
⇒
(2x − a)(2x − b) = 0
⇒
2x − a = 0 ∨ 2x − b = 0
a
b
x = ∨x =
2
2
a b
{ , }
2 2
⇒
Ç
=
olur.
Alıştırmalar
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
1) 7x + 3 = 17
2) −2 + 5x = 93
3) 7x − 11 + 2x + 8 = 96
4) 13 − 5x − 1 − 2x = −44
5) 8 − (7 − x) = 33
6) 4x − (3 + 2x) = 17
7) 5(x + 3) − 4(x + 2) − 2 = 1
8) 60 − 2[(37 + 2x) − 3] = −20
9) 6[x − 2(2x + 1) − 3] + 3(5 + 4x) + 7x = 0
10) x 2 + 15(x − 2) = 3[2(x − 5) + 3x] + x 2
11) 2x(x + 5) = −4(x + 5)
12) (2x − 3)(x − 5)2 = 9(x − 5)
13) 4(x − 1)2 = 8(x − 1)
14) x 3 − x 2 − x + 1 = 0
15) 4x 3 + 4x 2 − x − 1 = 0
16) 9x 3 − 18x 2 − x + 2 = 0
p
p
p
p
17) x 3 + 6 = 150 − x 27
p
p
p
p
3
3
3
3
18) 250 − x 32 = 4x 3 − 2
p
p
p
3
3
3
19) x + 3 x = 7 − 27x
20)
x−1
2
+ x−1
6 =
5
3
111
112
CALCULUS
21)
22)
23)
24)
2x+1
3x+2
1
7 + 5 = 5
4x−1
1
4x+3
6 − 9 = 2
3x−5
5x−29
+ 4x
2 +
5
15 = 0
3x+2
6x+53
2x−15
12 − 9 + 36 = 0
25) 4(| x | −1) − 2 | x | −19 = 1
26) 2 | x | −(| x | −3) = 9
27) | 2x |= 4x + 5
28) ax − bx − a 2 + b 2 = 2a − 2b
29) ax − a + 3x − 3 = a 3 + 3a 2
30) 6ax − 4x = 3a 2 − 5a + 2
31) (2x + 14)(2 − 4a) = (2x + 18)(3 − 4a)
32) 15 − [6x(2 + a) − (5x − 3)(2 − a)] = (x − 2)(3 − 4a) − 7ax
33) 6[5 − (6x − 2)(5 + 3a)] = 3[15ax − 5(8x − 2a)] − 153ax − 54x
34)
35)
36)
37)
38)
39)
40)
abx
abx
m+n
m + n = mn
mx
1
m
x
cd + a + ad + c = 0
2x+4a
4b+2x
+ 4(a+b)
a
ab =
b
x−2ab
x−2b
2
2ab + 2b = a
x−2a
x
1−2a
a−1 + a−a 2 = a
x−a
x−b
2ab
a−b + a+b + a 2 −b 2 = 0
x+15
x−6
7a−9
a+1 − a−1 − a 2 −1 = 0
+ 4x
a
Rasyonel Denklemler
Tanım: P (x),Q(x) iki polinom, Q(x) 6= 0 ve x ∈ R olmak üzere,
P (x)
Q(x)
biçimindeki her ifadeye rasyonel fonksiyon denir.
P (x)
=0
Q(x)
koşuluna bir rasyonel denklem, bu koşulu sağlayan x gerçek sayılarına
(varsa) rasyonel denklemin kökleri denir.
Rasyonel denklemler çözülürken payın kökleri bulunur. Bunlar
arasından paydayı sıfır yapanlar rasyonel denklemin çözüm kümesine
dahil edilmezler. Yani,
P (x)
= 0 ⇒ P (x) = 0 ∧Q(x) 6= 0
Q(x)
olur.
Örnek 0.42.
1.
3
x+2
− 23 =
x
x+2
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
3
2
x
− =
x +2 3 x +2
⇒
3
2
x
− −
=0
x +2 3 x +2
9 − 2(x + 2) − 3x
=0
3(x + 2)
5 − 5x
=0
3(x + 2)
5 − 5x = 0 ∧ 3(x + 2) 6= 0
⇒
x = 1 ∧ x 6= −2
=
{1}
⇒
⇒
⇒
Ç
RASYONEL FONKSIYONLAR
olur.
2.
x
x+1
x+1
− x−4
=
5
x 2 −3x−4
denklemini çözelim.
x
x +1
5
−
=
x + 1 x − 4 x 2 − 3x − 4
⇒
x
x +1
5
−
−
=0
x + 1 x − 4 x 2 − 3x − 4
x
x +1
5
−
−
=0
x + 1 x − 4 (x + 1)(x − 4)
x(x − 4) − (x + 1)2 − 5
=0
(x + 1)(x − 4)
−6x − 6
=0
(x + 1)(x − 4)
−6x − 6 = 0 ∧ (x + 1)(x − 4) 6= 0
⇒
x = −1 ∧ [x 6= −1 ∧ x 6= 4]
=
{ }
⇒
⇒
⇒
⇒
Ç
olur.
3.
2a
x+1
+b =
2b
x+1
+ a denkleminin çözüm kümesini bulalım:
2a
2b
+b =
+a
x +1
x +1
⇒
2a
2b
−
= a −b
x +1 x +1
2(a − b)
= a −b
x +1
2
= 1 (a 6= b)
x +1
x +1 = 2
⇒
x =1
=
{1}
⇒
⇒
⇒
Ç
olur.
Alıştırmalar
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
6
x + 13
3
1) +
= 2
x x −1 x −x
4x + 13 3
2)
=
3x + 1
4
x +3
x −3
2x
+ 2
=
3) 2
x − 1 x − x x2 + x
1
3
2
4) +
=
x x + 1 3x 2 + 3x
2
x
x2 + 4
5)
−
= 2
x +2 2−x x −4
x + 3 3x + 1 1 − 5x
6)
+
=
3 − x x2 − 9
x +3
2x
15 − 32x 2
3x
7)
=
+
2x − 3
4x 2 − 9
2x + 3
5
2
4
8)
−
=
x + 5 x − 3 15 − 2x − x 2
3x + 2 3x − 1 5(x + 3)
9)
−
=
2x − 1 2x + 1 4x 2 − 1
2
x
x
2x + 1
10)
+
=
x − 3 x 2 − 7x + 12
x −4
x
x 2 − 2x + 2
x
11)
−
=
x + 1 x 2 − 2x − 3 3 − x
113
114
CALCULUS
12)
x −2
x2 − x − 6
=
1
x2 − 4
+
3
2x + 4
12
3
=
x2 − 4 x − 2
x −4
4x − 1
2x + 7
=
−
2x 2 + 5x − 3 4x 2 + 13x + 3 8x 2 − 2x − 1
2x
3x
3x + 2
=
−
2x 2 + 5x + 2 3x 2 + 7x + 2 6x 2 + 5x + 1
1
7x + 8
12
+ 2
= 3
x − 2 x − 2x + 4 x − 8
3x 2 − 13 3x 2 + 3 8x 2 − 12x + 4
=
+ 2
x −3
x +1
x − 2x − 3
2
2
a −b a −b
=
x
ax + b
2x 2
(a + b)2 x(x + b)
+
=
+x
a+x
a+x
x +a
(2x + 2a)(a − x) 2x − 4a 8x − 4a
=
−
(a + 3x)(2x − a)
2x − a
2a + 6x
a
x
a
+
=
−1
x a−x a−x
x −a
x −b
=
a + 2b − x b + 2a − x
1 + bx 3 + bx 2b(x + 1)2
−
=
a−x
a+x
a2 − x2
2
2a
4x
4a 2 b − 2ab 2
−
=
2a − 2b 2a + 2b
a2 − b2
(2x + 6a)(x + 9b) 2b + 6x 8x − 4a
=
−
(3b + x)(x − a)
x −a
6b + 2x
c +x
x −b
1
2ax
−
= +
x(a − b) x(a + b) x a 2 − b 2
x − 3c 2 2b 2 c(15c 2 + 13b 2 ) c
x + b2
+
=
− (11c + x) +
2b
x
2bx
x
2b
2
2
2
a −x
=
1
1
3
a +x
b
a −b
a
+
=
x −a b −x x +a −b
a
2x
4a 2
+
= 2
x − a x − 2a x − 3ax + 2a 2
13) 1 +
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
Rasyonel İfadelerin Basit Kesirlerin Toplamı Olarak Yazılması
Tanım 0.43. a, b, c, A, B ,C ∈ R, m, n ∈ N+ ve ax 2 + bx + c asal bir polinom
ise,
A
(ax + b)m
ve
B x +C
(ax 2 + bx + c)n
biçimindeki rasyonel fonksiyonlara basit kesir denir.
Buna göre,
4
,
(3x + 2)5
4x + 5
,
x2 + x + 2
p
3
2
x2 + 1
rasyonel fonksiyonları birer basit kesirdir.
3
,
x 2 − 2x − 3
5x 2 − 3
,
x4 − 4
5x − 4
(x − a)(x − b)
rasyonel fonksiyonları birer basit kesir değildir.
Theorem 0.44. a)
P (x)
Q(x)
indirgenemez rasyonel bir fonksiyon,
b) d er [P (x)] < d er [Q(x)], c) Q(x) polinomu aralarında asal M (x), N (x)
polinomlarının çarpımı,
RASYONEL FONKSIYONLAR
ise,
P (x)
Q(x)
rasyonel fonksiyonu
A(x) B (x)
M (x) , N (x)
indirgenemez rasyonel kesirlerinin
toplamı olarak yazılabilir.
Bu bölümde yukarıdaki teoremin bazı uygulamalarını göreceğiz.
Örnek 0.45.
1.
12
(x−2)(x+2)
rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım.
12
(x − 2)(x + 2)
=
=
=
=
A
B
+
(x − 2) (x + 2)
A(x + 2) + B (x − 2)
(x − 2)(x + 2)
Ax + 2A + B x − 2B
(x − 2)(x + 2)
(A + B )x + 2A − 2B
(x − 2)(x + 2)
bu iki rasyonel ifadenin denk olması için,
12 = (A + B )x + 2A − 2B
olmalıdır. Buradan da,
)
A +B = 0
2A − 2B = 12
A +B = 0
⇒
A −B = 6
)
⇒
A=3
B = −3
bulunur. Buna göre,
12
3
3
=
−
(x − 2)(x + 2) x − 2 x + 2
olur.
2.
5x−3
3x 2 −10x+8
rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım.
3x 2 − 10x + 8 = (3x − 4)(x − 2)
dir.
5x − 3
(3x − 4)(x − 2)
=
=
5x − 3
=
A
B
+
3x − 4 x − 2
A(x − 2) + B (3x − 4)
(3x − 4)(x − 2)
A(x − 2) + B (3x − 4)
İki polinom özdeş ise, ∀x ∈ R için doğrulanır.
x = 2 için;
5.2 − 3 = A(2 − 2) + B (3.2 − 4) ⇒ B =
x=
4
3
7
2
için;
4
4
4
11
5. − 3 = A( − 2) + B (3. − 4) ⇒ A = −
3
3
3
2
bulunur. Buna göre,
7
11
5x − 3
= 2 − 2
3x 2 − 10x + 8 3x − 4 x − 2
115
116
CALCULUS
olur.
Not: Yukarıda x ler belirlenirken verilen rasyonel ifadenin paydasını
sıfır yapan değerler tercih edilecektir.
3.
2x+7
8x 2 −2x−1
rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı olarak yazalım.
8x 2 − 2x − 1 = (4x + 1)(2x − 1)
dir.
A
B
2x + 7
=
+
(4x + 1)(2x − 1) 4x + 1 (2x − 1)
(1)
biçiminde yazılabilir.
A’yı bulmak için,
a) A nın paydasının kökü bulunur:
4x + 1 = 0 ⇒ x = −
1
4
b) (1) eşitliğinin birinci yanından A nın paydası atılırsa,
edilir. Bu rasyonel ifadenin x
= − 14
2x+7
2x−1
ifadesi elde
için aldığı değer A yı verir:
2(− 14 ) + 7
1
13
x =− ⇒ A=
=−
4
3
2(− 14 ) − 1
Aynı biçimde B yi bulalım.
2x − 1 = 0 ⇒ x =
x=
1
2
2.( 1 ) + 7 8
1
=
⇒ B = 12
2
4( 2 ) + 1 3
olur. Buna göre,
8
− 13
2x + 7
3
=
+ 3
(4x + 1)(2x − 1) 4x + 1 2x − 1
olur.
Not. Paydanın gerçek kökleri yoksa yukarıdaki kural geçerli değildir.
4.
5x+2
x 3 +2x
rasyonel ifadesini basit kesirlere ayıralım.
x 3 + 2x = x(x 2 + 2)
dir.
5x + 2
x(x 2 + 2)
=
=
=
A B x +C
+ 2
x
x +2
Ax 2 + 2A + B x 2 +C x
x(x 2 + 2)
(A + B )x 2 +C x + 2A
x(x 2 + 2)
veya
5x + 2 = (A + B )x 2 +C x + 2A
olur. Buradan da,
RASYONEL FONKSIYONLAR

A +B = 0 
A=1

⇒ B = −1
C =5


2A = 2
C =5
bulunur. Buna göre,
1 −x + 5
5x + 2
= +
x(x 2 + 2) x x 2 + 2
olur.
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki eşitliklerde A, B nin alacağı değerleri bulunuz.
a)
b)
4
A
B
(x+1)(x+4) = x+1 + x+4
2x+11
B
A
+ x+3
= x−2
x 2 +x−6
2. Aşağıdaki rasyonel ifadeleri basit kesirlerin toplamı biçiminde
yazınız.
3x
a) 4x 2 −16x+15
b)
4x−1
x 2 +13x+3
c)
2x 2 −x+3
x 3 −8
d)
1−3x
x 3 +x−x 2 −1
e)
2x 2 +3x−2
x 3 −x 2 −2x
f)
2x 2 −7x+3
x 3 −2x 2 −x+2
117
Logaritma
Daha önce üslü ve köklü ifadeleri ve bunlarla yapılan işlemleri öğrendiniz.
Örneğin,
24
=
2.2.2.2
4
=
16
2
veya
p
4
16
=
p
4
=
2
=
2
24
4/4
buluruz. Bu örneklerdeki 2’ye taban, 4’e üs (kuvvet), 24 e üslü ifade ve
16’ya üslü ifadenin değeri denir. Taban ve üs belli iken değeri bulma
işlemine üssünü (kuvvetini) alma; değer ve üs belli iken tabanı bulma
işlemine de kök alma işlemi demiştik.
Şimdi de taban ve değer belli iken üssü (kuvveti) bulma işlemini ele
alacağız. Bunun için önce üstel fonksiyonu açıklayalım.
Üstel Fonksiyon
Üslü ifadelerde p, q ∈ Q ve a, b ∈ R+ olmak üzere;
a p a q = a p+q
ap
= a p−q
aq
(a p )q = a p.q
a
ap
( )p = p
b
b
(a.b)p = a p .b p
1
1
( )p = p = a −p
a
a
a 6= 0 için a 0 = 1
olduğunu anımsayınız.
Görüldüğü gibi pozitif bir sayının rasyonel
üstlerini biliyoruz; ama
p
irrasyonel üstlerini bilmiyoruz, yani a
3
ya da a π değerlerini şu ana
kadar tanımlamış değiliz. Bu eksikliği gidermek için, herhangi bir a(a 6= 1)
pozitif gerçek sayısı için
f : Q ⇒ R+
f (r ) = a r
(1)
biçiminde tanımlanan f fonksiyonunun tanım bölgesinin Q dan R ye
genişletilmesi gerekir. Bu genişlemenin nasıl yapıldığı konusu bu dersin
kapsamı dışındadır. Ancak, sezgisel olarak apaçık olan şu özeliklerin
sağlandığını söyleyebiliriz: (1) fonksiyonunun Q dan R ye olan doğal
genişlemesi, her a ∈ R+ ve a 6= 1 için
f : R ⇒ R+
f (x) = a x
(2)
120
CALCULUS
biçiminde tanımlanır. Bu fonksiyon (1) fonksiyonunun sağladığı bütün
özelikleri R üzerinde sağlar; yani a, b ∈ R+ , a 6= 1, b 6= 1 ve x, y ∈ R için
aşağıdaki özelikler vardır:
a x .a y = a x+y
(ab)x = a x b x
a
ax
( )x = x
b
b
(a x ) y = a x y
ax
= a x−y
ay
1
1
( )x = x = a −x
a
a
Genişleme fonksiyonunun geometrik yorumunu şöyle yapabiliriz: (1)
fonksiyonunun grafiğinde analitik düzlemde irrasyonel apsislere karşılık
gelen boşluklar vardır. (2) genişleme fonksiyonunun grafiği bu boşlukları
duldurur ve ortaya sürekli düzgün bir eğri çıkar.
Bu şekilde tanımlanan (2) genişleme fonksiyonuna üstel fonksiyon
denilir. Şimdi üstel fonksiyonun grafiğini düşünelim. a > 1 ise f (x) = a x
fonksiyonunun değeri, x değişkeni arttıkça artar; x değişkeni azaldıkça
azalır. x = 0 iken a x = a 0 = 1 olur. Fonksiyonun değişim tablosu ve grafiği
aşağıda gösterilmiştir.
x
−∞
0
a
8
a > 1 için y = a x fonksiyonunun grafiği
x
0
%
1
+∞
%
+∞
8
Eğer 0 < a < 1 ise, x değişkeni artarken, f (x) = a x fonksiyonunun
değeri azalır. Buna göre fonksiyonun değişim tablosu ve grafiği aşağıdaki
gibi olur.
−∞
x
a
9
0 < a < 1 için y =
a x fonksiyonunun grafiği
x
+∞
0
+∞
1
0
9
Örnek 0.46.
x ∈ R olmak üzere aşağıdaki kurallar ile verilen fonksiyonlar birer üstel
fonksiyondur. Bunların grafiklerini çizmeyi deneyiniz.
1
f x) = ( )x
2
p
y = ( 7)x
h(x) = 10x
Teorem: Üstel fonksiyon bire bir örten bir fonksiyondur.
İspat: f : R ⇒ R+ , f (x) = a x kuralı ile verilen üstel fonksiyon için şu
özelikler sağlanır:
1. ∀x 1 , x 2 ∈ R için a x1 6= a x2 dir; yani fonksiyon bire birdir.
2. ∀y ∈ R+ için y = a x eşitliğini sağlayan bir tek x ∈ R sayısı vardır; yani
fonksiyon örtendir.
O halde f : R ⇒ R+ , f (x) = a x fonksiyonu bire bir ve örtendir.
Logaritma Fonksiyonu
Üstel fonksiyon bire bir ve örten olduğundan, ters fonksiyonu vardır
Üstel fonksiyonunun ters fonksiyonuna logaritma fonksiyonu denilir.
Logaritma fonksiyonu,
f (x) = loga x
simgelerinden birisiyle gösterilir.
veya
y = loga x
LOGARITMA
Ters fonksiyon tanımına göre
y = loga x ⇒ x = a y
olduğu apaçıktır.
y = loga x fonksiyonunda y ∈ R sayısına x ∈ R+ sayısının a tabanına
göre logaritması denir ve "y eşit a tabanına göre logaritma x" diye
okunur.
Bundan sonra loga x yazdığımızda, a’nın 1’den farklı pozitif bir gerçek
sayı olduğu varsayılacaktır.
Örnek 0.47.
1. 16’nın 2 tabanına göre logaritmasını bulalım.
log2 16 = y
⇒
2 y = 16
⇒
2 y = 24
⇒
y =4
bulunur.
2. 3 tabanına göre logaritması 4 olan sayıyı bulalım.
log3 x = 4
⇒
x = 34
⇒
x = 81
bulunur.
3.
1
81
in 3 tabanına göre logaritmasını bulalım.
log3
1
=y
81
⇒
1
=y
34
log3 3−4 = y
⇒
3−4 = 3 y
⇒
y = −4
⇒
log3
bulunur.
4. 0,25’in hangi tabana göre logaritmasının -2 olduğunu bulalım.
loga 0, 25 = −2
⇒
0, 25 = a −2
1
= a −2
4
2−2 = a −2
⇒
a =2
⇒
⇒
bulunur.
Logaritma Fonksiyonunun Grafiği
Bir fonksiyon ile ters fonksiyonunun grafiklerinin y = x doğrusuna
göre simetrik olduğunu biliyoruz. Bundan yararlanarak, y = loga x
fonksiyonunun grafiğini y = a x üstel fonksiyonunun grafiğinden kolayca
elde edebiliriz.
121
122
CALCULUS
1. Durum: a > 1 ise
2. Durum: 0 < a < 1 ise
Onluk Logaritma Fonksiyonu
Tabanı 10 olan logaritma fonksiyonuna onluk logaritma fonksiyonu
veya bayağı logaritma fonksiyonu denir ve kısaca, log biçiminde gösterilir; yani
log10 : R+ ⇒ R, f (x) = y = log10 x = log x
tir. Herhangi bir karışıklığa meydan vermedikçe log10 yerine log kullanacağız.
Kullandığımız sayı sisteminin tabanının 10 olması, onluk logaritma
fonksiyonuyla yapılan işlemleri kolaylaştırır.
10’un tamsayı kuvvetlerinin 10 tabanına göre logaritmalarını yazalım:
log 10 = y ⇒ 10 = 10 y ⇒ y = 1,
log
1
= y ⇒ 10−1 = 10 y ⇒ y = −1,
10
log 100 = y ⇒ 102 = 10 y ⇒ y = 2,
log
1
= y ⇒ 10−2 = 10 y ⇒ y = −2
100
Yukarıdaki verilere ait tabloyu hazırlayalım.
x
· · · 10−3 10−2 10−1 100 101
102
103
···
log x · · ·
-3
-2
-1
0
1
2
3
···
y = 10x ve y = log x fonksiyonlarının grafiklerini aynı analitik düzlem
üzerinde çiziniz.
e sayısı: Yaklaşık bir değeri 2,71828182845 olan irrasyonel sayıdır.
Bilimsel hesaplarda çok kullanılır. Birbirine denk değişik yollarla tanımlanabilir. Ancak bu tanımların ayrıntısına girmeyeceğiz.
LOGARITMA
Doğal Logaritma Fonksiyonu
Tabanı e olan logaritma fonksiyonuna doğal logaritma fonksiyonu denir
ve ln biçiminde gösterilir; yani loge = l n dir.
Buna göre,
loge : R+ ⇒ R, f (x) = y = loge x = ln x
olur.
Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri
Teorem: 1’den farklı ∀a ∈ R+ sayısının a tabanına göre logaritması 1’dir;
yani
∀a ∈ R+ − {1} için
loga a = 1
olur.
İspat:
∀a ∈ R+ − {1} için a 1 = a olduğunu biliyoruz. O halde, logaritma
fonksiyonu tanımından,
a 1 = a ⇒ loga a = 1
çıkar.
Örnek 0.48.
log5 5 = 1,
log 10 = 1,
ln e = 1
olduğu kolayca bulunur.
Theorem 0.49. 1’in her tabana göre logaritması sıfırdır; yani
∀a ∈ R+ − {1} için
loga 1 = 0
olur.
İspat: Tabanı sıfırdan farklı ve üssü sıfır olan sayıların 1’e eşit
olduğunu biliyoruz. Öyleyse, logaritma fonksiyonu tanımından,
a 0 = 1 ⇒ loga 1 = 0
bulunur.
Theorem 0.50. Pozitif iki gerçek sayının çarpımının herhangi bir a
tabanına göre logaritması, bu sayıların a tabanına göre logaritmaları
toplamına eşittir; yani
∀x, y ∈ R+
için
loga (x y) = loga x + loga y
olur.
İspat:
loga x = p,
loga y = q
123
124
CALCULUS
olsun. Buradan şunları yazabiliriz.
x = ap ,
y = aq
x.y = a p a q
x.y = a p+q
loga (x y) = p + q
p ve q yerine değerlerini yazarsak,
loga (x.y) = loga x + loga y
bulunur.
Örnek 0.51.
1. log 400 = log 16.25 = log 16 + log 25
2. ln 7.11 = ln 7 + ln 11
3. logp7 17.8 = logp7 17 + logp7 8
4. log 25 + log 40 = log(25.40) = log 1000 = log 103 = 3
5. log3 (2x − 1) + log3 5 = log3 25 olduğuna göre x’in değerini bulalım.
log3 (2x − 1) + log3 5 = log3 25
⇒
log3 [[2x − 1).5] = log3 25
⇒
(2x − 1)5 = 25
⇒
10x − 5 = 25
⇒
x =3
bulunur.
Theorem 0.52. Her t ∈ R ve her x ∈ Ra için
loga x t = t loga x
eşitliği sağlanır.
İspat:
u = loga x t ve v = t loga x diyelim. Birinci eşitlik x t = a u eşitliğine
denktir. İkinci eşitlik ise
v
= loga x
t
biçiminde yazılabilir ki bu da
x = a v/t ⇒ x t = a v
demektir. Öyleyse
au = av
olmalıdır. Bunun olabilmesi için de
u = v,
yani
loga x t = t loga x
olmalıdır.
Özel olarak m, n, p ∈ N ve (m 6= 0) ise
1. loga x n = n loga x
1
−n
= −n loga x
n = loga x
xp
p
p
m
p
loga x = loga x m = m loga x
2. loga
3.
olduğu görülür.
LOGARITMA
Örnek 0.53.
1.
1
x ’in
a tabanına göre logaritmasını bulalım.
loga
1
= loga x −1 = − loga x
x
olur.
2. log
q
3
1
108
nin değerini bulalım.
1
1
log p
= log 8/3
3
8
10
10
=
=
=
log 10−8/3
8
− log 10
3
8
−
3
bulunur.
Theorem 0.54. Pozitif iki gerçek sayının bölümünün a tabanına göre
logaritması; aynı tabana göre bölünenin logaritması ile bölenin logaritmasının farkına eşittir; yani
loga
x
= loga x − loga y
y
eşitliği sağlanır.
İspat:
loga x = u
x = au
y = av
)
⇒
⇒
⇒
⇒
ve
loga y = v
olsun.
x au
=
y av
x
= a u−v ”logaritma tanımından”
y
x
loga = u − v ”u ve v’nin değerlerini yazalım”
y
x
loga = loga x − loga y
y
bulunur.
Örnek 0.55.
1.
p
p
log7 343 − log7 7
=
p
343
log7 p
7
r
343
log7
7
p
log7 49
=
log7 7
=
1
=
=
bulunur.
125
126
CALCULUS
2. f (x) = log5 x ise f ( x52 ) + 2 f (x) ifadesinin değerini bulalım.
f(
5
) + 2 f (x)
x2
=
5
) + 2 log5 x
x2
log5 5 − log5 x 2 + 2 log5 x
=
1 − 2 log5 x + 2 log5 x
=
1
=
log5 (
bulunur.
3. log
p
y 2 z3
’ü
x4
x, y ve z nin logaritmaları türünden bulalım.
p
y 2 z3
log
x4
p
=
log y 2
=
log y 2 + log z 3/2 − log x 4
3
2 log y + log z − 4 log x
2
=
z 3 − log x 4
bulunur.
1
2
4.
p
log a − log a · b + log b ifadesini sadeleştirelim.
p
1
log a − log ab + log b
2
=
log a 1/2 − log a 1/2 b 1/2 + log b
=
+ log b
a 1/2 b 1/2
1
log 1/2 + log b
b
1
log 1/2 .b
b
log
=
=
a 1/2
1
log b 1− 2
p
log b
=
=
bulunur.
Taban Değiştirme Kuralı
Theorem 0.56. a 6= 1, b 6= 1 ve a, b, c ∈ R+ olmak üzere,
loga b. logb c = loga c
dir.
İspat:
loga b = x ve logb c = y olsun.
a x = b ⇒ (a x ) y = b y
by = c
)
⇒ a x y = c ⇒ x y = loga c
olur. x ve y yerine değerlerini yazarsak,
loga b. logb c = loga c
LOGARITMA
bulunur. Bu eşitlikten
logb c =
loga c
loga b
elde edilir. Bu eşitliğe taban değiştirme kuralı denir.
Örnek 0.57.
1. log x = log e ln x olduğunu gösterelim.
log e ln x = log10 e. loge x
eşitliğinde taban değiştirme kuralı uygulanırsa
log e ln x = log x
bulunur.
2. ln x = log x ln 10 olduğunu gösterelim:
ln 10. log x = loge 10. log10 x
eşitliğinde taban değiştirme kuralı uygulanırsa
ln 10. log x = loge x
ln 10. log x = ln x
bulunur.
3. loga b. logb a = 1 olduğunu gösterelim: Taban değiştirme kuralından
loga b. logb a = loga a
loga b logb a = 1
bulunur.
Theorem 0.58. a, x ∈ R + − {1} olmak üzere, loga x =
1
logx a
dır.
İspat:
loga x = y ve logx a = z olsun. Logaritma fonksiyonunun tanımından
yararlanılarak
x = ay
a = xz
)
⇒ x = (x z ) y
⇒
y.z = logx x = 1
⇒
loga x. logx a = 1
1
loga x =
logx a
⇒
eşitliği bulunur.
Örnek 0.59.
log3 x = logx 3 ise x’in değerini bulalım.
log3 x = logx 3
1
log3 x
⇒
log3 x =
⇒
(log3 x)2 = 1
(
⇒
bulunur.
log3 x = ±1 ⇒
log3 x = 1 ⇒ x 1 = 3
log3 x = −1 ⇒ x 2 = 3−1 =
1
3
127
128
CALCULUS
Theorem 0.60. a ∈ R+ \ {1}, b ∈ R+ ve m, n ∈ R, m 6= 0 olmak üzere,
loga m b n =
n
loga b
m
dir.
İspat:
loga m b n = x olsun. Logaritma fonksiyonu tanımından yararlanarak,
b n = (a m )x
⇒
b n = (a x )m
⇒
b = ax n
m
x = loga b
n
n
x=
loga b
m
n
loga b
loga m b n =
m
⇒
⇒
⇒
m
eşitliğini buluruz.
Örnek 0.61.
1. log23 45 ifadesinin değerini bulalım.
log23 45 =
5
log2 4
3
=
=
=
5
log2 22
3
5
.2
3
10
3
bulunur.
2. log(x + 5) = log x + log 6 ise x’in değerini bulalım.
log(x + 5)
=
log x + log 6
log(x + 5)
=
log 6x
x +5
=
6x
5x
=
5
x
=
1
bulunur.
Alıtırmalar
1. Aşağıdaki eşitlikleri logaritma kullanarak yazınız.
1
1
a) 24 = 16
b) 4− 2 = 12
c) 0, 005 = 200
1
1
d) 81 4 = 3 e) 3−5 = 343
f ) 0, 25 = 14
2. Aşağıda verilen eşitlikleri üslü biçimde yazınız.
a) log2 16 = 4 b) log3 27 = 3
c) log0,5 0, 25 = 2
1
d) log2 32 = 5 e) log3 343
= −5 f) log4 2 = 12
3. Aşağıda verilen ifadelerin değerini bulunuz.
p
a) log9 27
b) log8 12
c) loga a 7
d) loga a 5
e) logp5 125
i) logp2 32
f) loga a 5
3
j) log 27
p
g) log3 3 3
p
k) log3 9
h) loga 1
p
l) log 1 1
2
LOGARITMA
4. Aşağıdaki ifadelerde x’i bulunuz.
a) log3 x = 7
c) log 4 x = − 23
b) log5 x = 2
9
5. log7 [log3 (ln x)] = 0 ise x’i bulunuz.
6. f (x) = log(x 2 + 16) − log(x − 4)’ün
r qtanımlı olması için x kaç olmalıdır?
p p
3
7. log5 a = 8 olduğuna göre x = a a a a ’nın değeri nedir?
8. 62 log6 x + 7log7 2x − 2 = 0 denkleminin çözüm kümesi nedir?
9. a, b, c ∈ R + olmak üzere aşağıda verilen ifadeleri a, b ve c’nin
logaritmaları türünden hesaplayınız.
a) log
p
a5c
b2
b) log
p p
5
a b2
c
c) log
10. Aşağıdaki ifadeleri sadeleştiriniz.
p
ab 2 3 c
p
3
abc
p
3
a) log 9 + log 5 + log 16
b) 12 log 4 + 3 log 7 − log 10
p
11. logpx y = logx y olduğunu gösteriniz.
12. f (x) = e 2x + 3 ise f −1 (x)’i bulunuz.
Logaritma Fonksiyonunun değişimi
Logaritma fonksiyonunun grafiğini üstel fonksiyon yardımıyla çizmiştik.
şimdi bu fonksiyonun ne zaman artan ve ne zaman azalan olduğunu
araştıralım.
Theorem 0.62. a > 1 için f (x) = loga x artan bir fonksiyondur.
İspat:
∀x 1 , x 2 ∈ R+
için, x 1 > x 2 ⇒ loga x 1 > loga x 2
önermesinin doğru olduğunu göstermek, teoremi ispatlamak için yeterlidir. loga x 1 = u ve loga x 2 = v olsun.
loga x 1 = u ⇒ x 1 = a u
loga x 2 = v ⇒ x 2 = a v
dir. Diğer taraftan, a > 1 olduğundan
x1 > x2 ⇒ a u > a v ⇒
u
v
>
↓
⇒
loga x 1
↓
>
loga x 2
bulunur.
Theorem 0.63. 0 < a < 1 için f (x) = loga x azalan bir fonksiyondur.
İspat:
∀x 1 , x 2 ∈ R+
için, x 1 > x 2 ⇒ loga x 1 < loga x 2
önermesinin doğru olduğunu göstermek yeterlidir.
loga x 1 = u
ve
loga x 2 = v
olsun.
loga x 1 = u ⇒ x 1 = a u
loga x 2 = v ⇒ x 2 = a v
dir. Diğer taraftan 0 < a < 1 olduğundan
x1 > x2 ⇒ a u > a v ⇒
u
<
↓
⇒
loga x 1
v
↓
<
loga x 2
129
130
CALCULUS
bulunur.
Logaritma Fonksiyonunun Grafiği
y = a x ve y = loga x fonksiyonları birbirinin tersi olduğundan grafikleri
de y = x doğrusuna göre simetriktir.
A) a > 1 için y = a x üstel fonksiyonu ∀x ∈ R için, tanımlı, artan ve
y ∈ R+ dir.
y = a x ve y = loga x fonksiyonlarının grafiğini aynı analitik düzlemde
çizelim.
Yandaki grafiği dikkatle inceleyecek olursak,
1’den büyük sayıların logaritmaları pozitiftir.
a > 1 ve x > 1 için
loga x > 0
1’in her tabana göre logaritması sıfırdır.
a > 1 için
loga 1 = 0
0 ile 1 arasındaki sayıların logaritması negatiftir.
a > 1 ve 0 < x < 1 ⇒ loga x < 0
a tabanına göre a’nın logaritması 1’dir.
x = a için loga a = 1
x sıfıra doğru küçülürken loga x sınırsız olarak küçülür. Yani, O y
ekseni loga x’ fonksiyonunun grafiğinin asimptotudur.
Logaritma fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan ∀z ∈ R+ için
y = loga z olacak biçimde bir tek y ∈ R vardır. Yani, loga x in grafiği y = z
doğrusunu yalnız bir noktada keser.
B) 0 < a < 1 için y = a x ve y = loga x fonksiyonlarının grafiklerini aynı
analitik düzlemde çizelim.
Yandaki grafiği dikkatle inceleyecek olursak, 0 ile 1 arasındaki sayıların
logaritmaları pozitiftir.
0 < a < 1 ve 0 < x < 1 ⇒ loga x > 0
1’in her tabana göre logaritması
sıfırdır.
0 < a < 1 ⇒ loga 1 = 0
1’den büyük sayıların logaritmaları negatiftir.
0 < a < 1 ve x > 1 ⇒ loga x < 0
a tabanına göre, a’nın logaritması 1’dir.
0 < a < 1 için
loga a = 1
x sıfıra doğru küçülürken loga x sınırsız olarak büyür. Yani, O y ekseni
loga x fonksiyonunun grafiğinin asimptotudur.
LOGARITMA
Logaritma fonksiyonu bire bir ve örten olduğundan ∀z ∈ R+ için
y = loga z olacak biçimde bir tek y ∈ R vardır. Yani, y = z doğrusu loga x
fonksiyonunu yalnız bir noktada keser.
Alıştırmalar
1. y = log3 x fonksiyonunun grafiğini analitik düzlemde çiziniz. Grafikten
yararlanarak aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
a) Hangi sayıların logaritması pozitiftir.
b) Hangi sayıların logaritması sıfırdır.
c) Hangi sayıların logaritması negatiftir.
d) Hangi sayıların logaritması 1’dir.
2. y = log1/2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. Grafikten yararlanarak
1.sorunun a, b, c ve d şıklarındaki soruları bu fonksiyon için cevaplayınız.
3. Aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
a) y = log3 (x − 2)
b) y = log1/2 (x − 2)
4. Grafiği aşağıdaki şekilde verilen fonksiyonu yazınız.
5. y = f (x) fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. f (9)’un değerini bulunuz.
6. [0, π] aralığında y = log(cos x)’in tanım kümesini bulunuz.
7. y = log(x − 5) fonksiyonunun tanım bölgesini bulunuz.
On tabanına Göre Logaritma
Onluk logaritmalar bazı hesaplamaları yapmakta kolaylık sağladığı
için 1’den 10.000’e kadar olan gerçek sayılara ait logaritma cetvelleri
hazırlanmıştır. Bu cetvellerin bazıları kesir kısmını 4, bazıları 5 ve bazıları
da 7 basamağa kadar vermektedir.
Cetvellerdeki logaritmalar ileri matematiksel yöntemlerde yapılan
hesaplamalar sonucu elde edilmiş yaklaşık değerlerdir.
Bu bölümde, sayıların logaritmalarını bulmak için logaritma tablosunun nasıl kullanılacağını öğreneceğiz.
p ∈ R için log 10p = p. log 10 = p.1 = p
olduğunu biliyoruz. Bu eşitlikten yararlanarak aşağıdaki sonuçları
çıkarırız.
1. 10’un tamsayı kuvvetlerinin logaritması tamsayıdır.
Örnek 0.64.
log 102 = 2,
log 10−2 = −2,
log 103 = 3, · · ·
log 10−3 = −3, · · ·
Bu örnekleri çoğaltarak aşağıdaki tabloyu düzenleyelim:
· · · 10−3 10−2 10−1 100 101 102 · · ·
x
log x · · ·
-3
-2
-1
0
1
2
···
2. 10’nun rasyonal bir kuvvetinin logaritması rasyonel sayıdır. Neden?
Örnek 0.65.
p
p
3
5
5
log 1000 = log 103 = log 103/5 =
5
131
132
CALCULUS
tir.
3. 10’un irrasyonel bir kuvvetinin logaritması irrasyonel bir sayıdır.
Neden?
Örnek 0.66.
log 10
p
2
=
p
2
dir. Her a sayısı
a = 10k (s),
1 ≤ s < 10, k ∈ Z
biçiminde yazılabilir. Buna a sayısının bilimsel (üstel) yazılışı denilir.
Bu yazılışı kullanarak
log a
=
log 10k + log s
=
k + log s
yazılabilir. Bu son eşitlikte k sayısına log a’nın karakteristiği (giz değeri),
log s sayısına da mantisi (onlu parçası) denilir.
Örnek 0.67.
a = 649, 2 sayısının üstel yazılışı
649, 2 = 102 × 6, 492
biçimindedir. Dolayısıyla, logaritma cetvelinden
log(649, 2)
=
log 102 + log(6, 492)
=
2 + 0, 81231
yazılabilir. Demek ki, log(649, 2) sayısının karakteristiği 2, mantisi 0,81231
dir.
10
Her a gerçek sayısının logaritmasının
mantisi 1’den küçük pozitif bir sayıdır.
10
a = 10k (s),
1 ≤ s < 10, k ∈ Z
biçiminde idi. log fonksiyonu artan bir fonksiyon; log 1 = 0 ve log 10 = 1
olduğundan
0 ≤ log s < 1
olacağı açıktır.
Bir sayının logaritmasının karakteristiği bir tam sayıdır. 1’den küçük
sayıların logaritmalarının karakteristikleri pozitif olmayan birer tam sayı;
1’den büyük sayılarınki ise birer doğal sayıdır.
11
1’den büyük sayıların logaritmaları
11
Onluk logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan;
a) Bir basamaklı sayıların logaritmaları 0 ile 1 arasındadır ve karakteristikleri 0’dır.
Bir basamaklı her x sayısının üstel biçimin x = 100 (x) tir. Dolayısıyla,
1 ≤ x < 10 ⇒ 0 ≤ log x < 1
olur.
LOGARITMA
Örnek 0.68.
log 2 = log 100 (2) = 0 + 30103
olur.
b) İki basamaklı sayıların logaritmaları 1 ile 2 arasındadır ve karakteristikleri 1’dir.
İki basamaklı her x sayısının üstel biçimi x = 101 (s) dir. Dolayısıyla,
10 ≤ x < 100
⇒
log 10 ≤ log x < log 102
⇒
1 ≤ log 101 (s) < 2
⇒
1 ≤ 1 + log s < 2
dir.
Örnek 0.69.
log 18 = log 101 (1, 8)
=
1 + log(1, 8)
=
1 + 0, 25527
dir.
c) Üç basamaklı sayıların logaritmaları 2 ile 3 arasındadır karakteristikleri 2’dir.
Üç basamaklı her x sayısının üstel biçimi x = 102 (s) dir. O halde,
100 ≤ x < 1000
⇒
log 102 ≤ log x < log 103
⇒
2 ≤ log 102 (s) < 3
⇒
2 ≤ 2 + log s < 3
olur.
Örnek 0.70.
log 200 = log 102 (2) = 2 + 0, 30103
d) Dört basamaklı sayıların logaritması 3 ile 4 arasında ve tam kısmı 3’tür.
1000 ≤ x < 10.000 ⇒ 3 ≤ log x < 4
Örnek 0.71.
log 1000 = 3
tür.
Yukarıdaki örnekler dikkatle incelenirse şu sonuç görülür: 1’den büyük
bir gerçek sayının logaritmasının tam kısmı, bu sayının tam kısmındaki
basamak sayısının bir eksiğine eşit olan tamsayıdır.
Örnek 0.72.
133
134
CALCULUS
1. Aşağıdaki sayıların logaritmalarının tam kısımlarını bulalım.
1, 7234 ⇒ log 1, 7234 = 0, · · ·
172, 34 ⇒ log 172, 34 = 2, · · ·
17, 234 ⇒ log 17, 234 = 1, · · ·
1723, 4 ⇒ log 1723, 4 = 3, · · ·
2. log 6570 = 3, 81757 olduğuna göre bu sayının onda, yüzde ve binde
birinin (657; 65,7 ve 6,57’nin) logaritmalarını hesaplayalım.
log 6570 = 3, 81757 olduğuna göre,
log
6570
= log 6570 − log 10 = 3, 81757 − 1 = 2, 81757
10
6570
= log 6570 − log 102 = 3, 81757 − 2 = 1, 81757
102
6570
log
= log 6570 − log 103 = 3, 81757 − 3 = 0, 81757
103
bulunur. Yukarıda örneklerde logaritmaların kesir kısımlarının aynı
log
olduğunu görünüz. Logaritması alınan sayılarda ise rakamlar ve sıralanışı
aynı, sadece virgülün yeri değişiyor. Yani sayıların her biri diğerlerinin
10,100 veya 1000 katı ya da 10’da 100’de veya 1000’de biridir.
Theorem 0.73. Farklı iki sayının yazılışında rakamlar ve sıralanışı
aynı fakat virgülün yeri farklı ise bu sayıların logaritmalarının farkı bir
tamsayıdır.
İspat:
Farklı iki sayı x ile y ve m pozitif tamsayı olmak üzere,
x = 10m y
olsun.
x = 10m y
⇒
log x = log 10m y
⇒
log x = log 10m + log y
⇒
log x = m log 10 + log y
⇒
log x − log y = m log 10
⇒
log x − log y = m
bulunur.
Örnek 0.74.
657 ve 6,57 sayılarının logaritmaları farkını bulalım.
log 657 − log 6, 57 = 2, 81757 − 0, 81757
log 657 − log 6, 57 = 2
bulunur.
1’den Küçük Pozitif Sayıların Logaritmaları
Eğer düzenleme yapılmasaydı,
log 0, 657 = log
657
= log 657 − log 103 = 2, 81757 − 3
1000
LOGARITMA
log 0, 657 = −0, 18243
olacaktı. Ancak yapılan düzenlemeyle,
log 0, 657 = −1 + 0, 81757 = 1, 81757
biçiminde yazılır. Dikkat ederseniz -1’in önündeki ”-” işareti 1’in üzerine
alınarak 1 biçimine çevrilmiştir. 1, 81757 yazılışında ”-” işareti tam kısma
aittir. Kesir kısmı daima pozitiftir.
Bu yazılışlarda logaritmanın tam ve kesir kısımları ayrı ayrı adlandırılır.
Örnek 0.75.
1. log 657ve log 0, 657 sayılarının karakteristiklerini ve mantislerini
bulalım:
log 657
=
2, 81757 =
2
|{z}
K ar akt er i st i k
log 0, 657
=
+ 0, 81757
| {z }
M ant i s
z}|{ z }| {
1, 81757 = −1 + 0, 81757
2. log 6, 57 = 0, 81757 olduğuna göre aşağıdaki sayıların logaritmalarını
bulalım:
a) 0, 657
Çözümler:
a) log 0, 657
b) log 0, 0657
c) log 0, 00657
b) 0, 0657
c) 0, 00657
= log 6,57
10
= log 6, 57 − log 10
= 0, 81757 − 1
= 1, 81757
= log 6,57
102
= log 6, 57 − log 102
= 0, 81757 − 2
= 2, 81757
= log 6,57
103
= log 6, 57 − log 103
= 0, 81757 − 3
= 3, 81757
bulunur.
Yukarıda logaritması alınan sayılarda, ondalık virgülünün sağındaki
sıfırların sayısıyla, logaritmaların karekteristikleri arasındaki ilişkiyi
bulmaya çalışınız.
0 ile 1 arasındaki bir sayının logaritmasının karekteristiği, bu sayının
ondalık virgülünün sağında, sıfırdan farklı ilk rakama kadar olan sıfırların
sayısından bir fazlasının negatif işaretlisidir.
Örnek:
Aşağıda verilen, birden küçük pozitif sayıların logaritmalarının karekteristiklerini bulalım:
a) 0,0040
b) 0,05100
c) 0,00051
a. log 0, 00 40 = 3, . . . ve karekteristiği -3,
|{z}
3 t ane
b. log 0, 0 5100 = 2, . . . ve karekteristiği -2,
|{z}
2 t ane
c. log 0, 000 51 = 4, . . . ve karekteristiği -4,
| {z }
4 t ane
d. log 0, 10001 = 1, . . . ve karekteristiği -1
|{z}
1 t ane
olur.
d) 0,10001
135
136
CALCULUS
Logaritma Cetvellerinin Kullanılması
Pozitif bir gerçek sayının logaritması, karekteristik ve mantis olmak
üzere iki kısımdan oluşuyordu. Bir sayı verildiğinde logaritmasının tam
kısmını; yani karekteristiğini kolayca bulabiliriz. Ancak kesir kısmını
yani mantisini kolayca hesaplayıp yazamayız. Bunun için düzenlenmiş
logaritma cetvellerinden yararlanırız.
Logaritma cetvelinde bir örnek sayfa inceleyiniz. Bazı logaritma
cetvelinin mantisleri (kesir kısmı) 5 basamaklıdır. Cetvellerde mantis
kısmı için virgül kullanılmaz ve karekteristikler verilmez. Bunları doğru
olarak belirlemek kullanıcıya düşer.
Cetvelden iki türlü yararlanırız:
Verilen Bir Sayının Logaritmasının Bulunması
Önce verilen sayının, ondalık virgülünü de dikkate alarak, logaritmasının
karekteristiğini, yukarıda anlatılan yöntemle bulup yazdıktan sonra
sağına bir virgül koyarız. Sonra virgülü dikkate almadan, sayıyı cetvelin
S sütunundan bulup karşılığı olan mantisi virgülün sağına yazarız.
Kitabımızdaki cetvelde sayının üç basamağı S sütununda; varsa 4’üncü
basamak öteki sütunlardan birisindedir.
Örnek 0.76.
1. log 6789 sayısını bulalım.
Logaritması alınan sayının tam kısmı 4 basamaklı olduğundan logaritmanın karekteristiği 3’tür.
log 6789 = 3, . . .
Şimdi logaritmanın mantisini cetvelden okuyalım. 678’i S sütunundan
bulup buna karşılık gelen 0 sütunundan 5 basamaklı mantisin ilk iki
basamağı olan 83 ’ü okuruz. Sonra 6789 un son basamağındaki 9’u
kendi sütunundan bulup, 678 in bulunduğu satır ile 9 un bulunduğu
sütununun kesim noktasında yer alan mantisin son üç basamağı olan
181 i okuruz: Aranan logaritma
log 6789 = 3, 83181
olacaktır.
2. log 69, 98’i bulalım.
Sayının tam kısmı 2 basamaklı olduğundan,
log 69, 98 = 1, . . .
olur. 6998 sayısının mantisini cetvelden okursak 84497 olduğunu
görürüz. O halde,
log 69, 98 = 1, 84497
bulunur.
LOGARITMA
3. log 0, 0068’i bulalım.
Sayıda virgülün sağında sıfırdan farklı ilk rakama kadar olan sıfır sayısı
2 olduğundan, logaritmanın karekteristiği -3’tür. Mantise gelince, S
sütununda 68 olmadığı için 680’in mantisini (68’in mantisi ile aynıdır)
okuruz. Bu da 83251’dir.
Karekteristik ve mantisi yerine yazarak,
log 0, 0068 = 3, 83251
bulunur.
Logaritma Cetvelinde Olmayan Sayıların Logaritmaları
Küçük aralıklarda logaritma eğrisine, eğrinin iki ucunu birleştiren doğru
parçası ile yaklaşabiliriz. Bu yaklaşıma doğrusal yaklaşım denilir ve
teknik hesaplamalarda çok kullanılır.
[a, b] aralığındaki logaritma eğrisi şekilde görüldüğü gibi olsun. AB
doğru parçasını çizelim. a < c < b olmak üzere a ve b sayılarının logaritma cetvelinde yer aldığını; ama c sayısının cetvelde olmadığını
varsayalım. Apsisi a, b, c olan noktalardan Ox−eksenine çıkılan dikmeler
eğriyi, sırasıyla, A, B ,C noktalarında kesiyor olsun. Ayrıca C den geçen
dikme AB doğrusunu D noktasında, AH doğrusunu da E noktasında
kessin.
Bulmak istediğimiz log c sayısının gerçek değeri C noktasının ordinatına eşittir. Bu değer tabloda olmadığı zaman, onun yerine D noktasının ordinatını yaklaşık değer olarak koyacağız. [a, b] aralığı çok küçük
olduğunda, bu yaklaşımı yapmakla yapılan hata çok küçük olacaktır.
Şimdi x =| DE | uzunluğunu hesaplayalım. AE D ve AH B dik üçgenlerinin benzerliğinden
c −a
b−a
=
x
log b − log a
orantısı yazılabilir. Buradan x bilinmeyeni çözülürse
x = (log b − log a)
c −a
b−a
bulunur. Öyleyse,
log c ' log a + x
yaklaşım formülünü elde ederiz.
137
138
CALCULUS
Örnek 0.77.
log 67614 sayısını bulalım:
Cetvelde bu sayı mevcut değildir. O halde cetvelde varolan ve bu
sayıdan ilk küçük ve ilk büyük olan iki sayıyı saptayıp; logaritmalarını
okumalıyız. Birler basamağı 0 olan 67610 ve 67620 sayıları istediğimiz iki
sayıdır. Bunların logaritmalarını cetvelden yazıp uygun orantıyı kurarsak,
istenen logaritmanın yaklaşık değerini bulabiliriz.
log 67610 = 4, 83001
)
log 67620 = 4, 83008
⇒ F = 0, 00007
bulunur.
"001" sayısının üstündeki yıldız, mantisin ilk iki basamağının, tabloda
bir sonraki değere eşit olduğunu gösterir; yani tablodaki 82 değil, 83
sayısı alınacaktır.
Logaritma fonksiyonu artan bir fonksiyon olduğundan
log 67610 < log 67614 < log 67620
eşitsizliği vardır. log 67614 ile log 67610 arasındaki fark 0,00007’nin
4
10 ’u
kadar olacağından,
0, 00007 ×
4
= 0, 000028
10
log 67614 = 4, 83001 + 0, 000028
log 67614 = 4, 830038
bulunur.
Bu tür örneklerde fark hesaplarını yapmaktan kurtulmanın bir yolu
vardır. Logaritma tablolarında, her sayfaya, o sayfadaki sayılar ve mantisler arasında oluşabilecek farkları gösteren cetvelcikler yerleştirilmiştir.
Bu cetvelcikler yardımıyla, orantı için gerekli değerler pratik olarak
hesaplanır.
Örnek: log 0, 66123 değerini hesaplayalım:
66123 sayısı cetvelde yoktur. Bunun bir alt ve bir üstündeki sayılar
66120 ve 66130 dur.
log 0, 66120 = 1, 82033
log 0, 66130 = 1, 82040
)
⇒ F = 0, 00007
dir. 3 sayısının karşılığı olan mantis (F ) cetvelciğinde 2,1’dir. Sayılar
arasındaki gerçek farkın 3 değil, 0,00003 olduğu düşünülürse, buna
karşılık gelen mantisin de 0,000021 olacağı ortaya çıkar. Dolayısıyla,
log 66120
0, 00003fark
=
1, 82033
−→
0, 000021
log 66123 = 1, 820351
bulunur.
LOGARITMA
Logaritması Verilen Bir Sayının Bulunması
log x = y ise x sayısına y sayısının antilogaritması denilir. Başka bir
deyişle, antilogaritma, logaritma fonksiyonunun ters fonksiyonudur.
Dolayısıyla,
y = log x ⇐⇒ x = 10 y
eşitliğinden yararlanabiliriz. Antilogaritmayı bulmak demek, y logaritması biliniyorken, x sayısını bulmak demektir. Bu iş için gene logaritma cetvelinden yararlanacağız.
Verilen bir logaritmanın antilogaritmasını bulmak için, önce sayının
tamsayı kısmının kaç basamaktan oluştuğu saptanır. Bu saptama, logaritmanın bilinen kurallarından kolayca yapılır. Sonra, varsa, verilen
mantis cetvelden bulunur. Onun karşısına gelen sayı seçilir ve ondalık
virgülünün yeri işaretlenir. Eğer verilen logaritma cetvelde yoksa, mantisin bir küçüğü ile bir büyüğü seçilir; doğrusal yaklaşımla istenen antilogaritma bulunur. Verilen karekteristik dikkate alınarak antilogaritmanın
ondalık virgülünün yeri belirlenir.
Örnek 0.78.
1. log x = 4, 81994 ise x’i bulalım.
Verilen logaritmanın karakteristiği 4 olduğuna göre x’in tam kısmının
basamak sayısı 5’tir.
Şimdi, verilen logaritmanın mantisinin ilk iki basamağı olan 81 i
cetvelden bulalım. Onu bulduktan sonra, mantisin son üç basamağı
olan 994 ü arayalım. Verilen mantis cetvelde aynen vardır.Cetvelde
buna karşılık gelen sayı aranan antilogaritmadır. Bu sayının, soldan
sağa doğru ilk dört basamağı 6606’dır. Halbuki, verilen karekteristiğe
göre antilogaritmanın tam kısmı 5 basamaklı olmalıdır. Ohalde, bu
sayının sonuna bir 0 ilave ederek,
log x = 4, 81994 ⇒ x = 66060
yazabiliriz.
2. log x = 2, 84308 ise x sayısını bulalım:
Cetvelde 84305 mantisinin karşılığı olan sayı 6967 dir.
Verilen logaritmanın karekteristiği 2 olduğundan, antilogaritmada
ondalık virgülün sağında bir tane 0 varolacaktır; yani
log x = 2, 84308 ⇒ x = 0, 06967
dir.
3. log x = 2, 84308 ise x’i bulalım:
Verilen logaritmanın mantisi cetvelde yoktur. Verilen mantise en yakın
iki mantis 84305 ve 84311 ile bunlara karşılık gelen ve karekteristiği 2
olan sayılar sırasıyla 696,7 ve 696,8’dir.
log 696, 7 = 2, 84305
log 696, 8 = 2, 84311
)
⇒ F = 0, 00006
139
140
CALCULUS
den
log 696, 7 = 2, 84305
)
log x = 2, 84308
⇒ F = 0, 00003
yazılabilir.
Mantis 0,00006 fark ettiğinde logaritma 0, 1 fark ederse
mantis 0,00003 fark ettiğinde logaritma 0, 1 × 36 fark eder.
O halde,
x
=
696, 7 + 0, 1 ×
x
=
696, 7 + 0, 05
x
=
696, 75
3
6
bulunur.
Kologaritma
x ∈ R+ olmak üzere
1
x
gerçek sayısının logaritmasına x’in kologaritması
denir ve co log x biçiminde gösterilir.
Theorem 0.79. ∀x ∈ R + için co log x = − log x tir.
İspat: Tanıma göre,
co log x
=
co log x
=
1
= log 1 − log x = 0 − log x
x
− log x
log
olur.
Örnek:
log x = 3, 81352 ise co log x’i hesaplayalım:
co log x = − log x
=
−3, 81358
=
−3 + (−0, 81358)
=
−3 + (−1 + 1) + (−0, 81358)
=
−4 + 0, 18642
=
4, 18642
Onluk Logaritma ile ilgili Uygulamalar
Logaritma kullanılarak çarpma, bölme, üs ya da kök alma işlemlerini
içeren ağır hesaplar kolayca yapılabilir.
Örnek 0.80.
1. log x = 2.83251, log y = 0, 82930 olduğuna göre logaritma cetveli
yardımıyla x, y ve x.y sayılarını bulalım.
Logaritma cetvelinden,
log x = 2, 83251 ⇒ x = 680
log y = 0, 82930 ⇒ y = 6, 75
LOGARITMA
bulunur. Çarpımın logaritması, çarpanların logaritması toplamı
olduğundan,
log x.y = log x + log y = 2, 83251 + 0, 82930 = 3, 66181
bulunur. Herhangi bir logaritma cetvelinden mantisi 66181 olan sayı
hesaplanabilir ve
log x.y = 3, 66181 ⇒ x.y = 4590
bulunur.
2. x =
x=
651,2
69,8 sayısını hesaplayalım.
651,2
69,8 eşitliğinin her iki tarafının logaritmasını alalım:
log x = log
651, 2
69, 8
log x = log 651, 2 − log 69, 8
⇒
⇒ log x = 2, 81371 − 1, 84386
⇒ log x = 0, 96985
Logaritması 0,96985 olan sayı cetvelden,
x = 9, 3292
olarak bulunur.
3.
p
5
6, 81 sayısını hesaplayalım:
p
x = 5 6, 81 eşitliğinin her iki tarafının logaritmasını alırsak,
p
5
log x
=
log
log x
=
log x
=
log x
=
log x
=
log(6, 81)1/5
1
log(6, 81)
5
1
(0, 83315)
5
0, 16663
6, 81
bulunur. Logaritması 0,16663 olan sayıyının
x = 1, 4678
olduğu, herhangi bir logaritma cetvelinden kolayca görülür.
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki sayıların logaritmalarının karekteristiklerini bulunuz.
a) 0,00105
c) 12,01032
b) 0,10303
d) 120,10010
2. log x = 3, 81291 ve log y = 2, 81291 olduğuna göre,
a) 10m < x < 10m+1 eşitsizliğini sağlayan m sayısını,
b) 10n < y < 10n+1 eşitsizliğini sağlayan n sayısını,
c) x’in y’nin kaç katı olduğunu bulunuz.
141
142
CALCULUS
3. Logaritma cetvelinde aynen bulunmayan,
a) 65125 sayısının logaritmasını,
b) Logaritması 0,83062 olan sayıyı
bulunuz.
4. Aşağıda verilen eşitliklerdeki bilinmeyenleri bulunuz.
a) log x = 2, 82995
b) log y = 1, 84036
c) log u = 0, 82079
d) log v = 0, 08221
5. Aşağıda verilen kologaritmaları bulunuz.
a) co log 6, 812
b) co log 0, 661
6. Alanı 147cm 2 olan dairenin yarıçap uzunluğunu logaritma yardımıyla
bulunuz.
7. log2 3 = x, log3 5 = y ve 13 log p
3 3 = z olduğuna göre x, y ve z’yi büyük3
lük sırasına koyunuz.
8. log p
3 a ve a =
3
1
p
5
27
ise a’yi bulalım.
9. log 12 = x ve log 3 = y ise log 27
4 ’ü x ve y cinsinden bulunuz.
q
10. 3 (log1/2 4)2 + logp3 9 ifadesi neye eşittir?
p
3
11. l og 1300 = 3, 11394 ise log 169’u bulunuz.
12. log5 (ln x) = log 1 e 2 eşitliğini sağlayan x’i e cinsinden bulunuz.
15
13.
log a
log0,0001 a
ifadesinin değerini bulunuz.
14. f (x) = log2 x ve g (x) = 8x için ( f ◦ g −1 )(x) = 3 ise x’i bulunuz.
15. f (x) = log2 (x + 1) ve g (x) = 2x için (g ◦ f −1 )(2)’yi bulunuz.
p
16. log p
3
0,5 a = log p1 . log 1 y. log y 0, 5 ifadesini sadeleştiriniz.
3x
8
Üslü denklemler
2x + 1 = 0, x 2 + 2x + 1 = 0 . . . gibi eşitliklere denklem denildiğini biliyoruz.
2x+1 = 1, 3x
2 −x
= 9, . . . da olduğu gibi üssünde bilinmeyen eşitlikler için
ne söyleyebiliriz?
İçinde bilinmeyenin üs olarak bulunduğu denklemlere üslü denklemler ve denklemleri doğrulayan (sağlayan) gerçek sayıların kümesine de bu
denklemin çözüm kümesi denilir.
Örnekler:
1. 2x+1 = 2 denklemini çözelim:
2x+1 = 1
⇒
2x+1 = 20
"üstel fonksiyonlar bire bir olduğundan"
⇒
x +1 = 0
⇒
x = −1
⇒
Ç = {−1}
LOGARITMA
bulunur.
2. 3x
2 −x
= 9 denklemini çözelim.
3x
2 −x
=8
2 −x
⇒
3x
⇒
x2 − x = 2
⇒
x2 − x − 2 = 0
= 32
(
(x + 1)(x − 2) = 0 ⇒
⇒
x + 1 = 0 ⇒ x 1 = −1
x − 2 = 0 ⇒ x2 = 2
Ç = {−1, 2}
bulunur.
3. e x−1 = 1 denklemini çözelim.
e x−1 = 1
ln e x−1 = ln 1
⇒
"eşitliğin iki yanının doğal logaritmasını alalım".
⇒
(x − 1) ln e = ln 1
⇒
x −1 = 0
⇒
x =1
Ç = {1}
bulunur.
4. −4 + 3e −x + e x =
−4 + 3e
−x
x
+e =
−1
ex
−1
ex
denklemini çözelim.
Denkleminin her iki yanını e x ile çarparsak,
−4 + 3e −x + e x =
−1
ex
⇒
−4.e x + 3e −x .e x + e x .e x =
⇒
−4e x + 3 + e 2x = −1
⇒
t 2 − 4t + 4 = 0
⇒
(t − 2)2 = 0
⇒
t =2
⇒
ex = 2
−1 x
.e
ex
"e x = t "
"iki tarafın doğal logaritmasını alalım".
5. ( 51x )x =
1
625
⇒
x ln e = ln 2
⇒
x = ln 2 = 0, 30103
⇒
Ç = {ln 2} veya Ç = {0, 30103}
denklemini çözelim:
(
1 x
1
) =
5x
625
⇒
(5−x )x = 5−4
⇒
5−x = 5−4
⇒
x2 = 4
⇒
x = ±2
2
Ç = {−2, +2}
143
144
CALCULUS
bulunur.
logaritmalı denklemler
Bir denklemin içinde bilinmeyenin logaritması varsa bu tür denklemlere
logaritmalı denklem ve denklemi doğrulayan gerçek sayıların kümesine
de denklemin çözüm kümesi denir.
Örnekler:
1. log8 x =
1
3
denklemini aşağıdaki iki yolla çözebiliriz:
log8 x =
1
3
⇒
⇒
⇒
=
log x 1
=
log 8 3
1
log x = log 8
3
log x = log 81/3
p
3
x = 8=2
log8 x =
log8 x
=
x
=
x
=
1
3
81/3
p
3
23
x
=
2
Ç
=
{2}
Ç = {2}
bulunur. Her iki yoldan da aynı sonuca ulaşılmaktadır.
2. log(x − 1) + log(x − 2) = log 2 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
log(x − 1) + log(x − 2) = log 2
⇒
log(x − 1)(x − 2) = log 2
⇒
(x − 1)(x − 2) = 2
⇒
x 2 − 3x + 2 − 2 = 0
⇒
x 2 − 3x = 0
(
⇒
x(x − 3) = 0 ⇒
x =0
x −3 = 0
olur. x = 0 denklemde logaritması alınan sayıları negatif yapacağından
kök olamaz. O halde
x − 3 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ Ç = {3}
elde edilir.
3. log3 (x 2 − 1) = log3 (x − 1) + 1 denklemini çözelim.
log3 (x 2 − 1) = log3 (x − 1) + 1
⇒
log3 (x 2 − 1) − log3 (x − 1) = 1
⇒
x2 − 1
=1
x −1
(x − 1)(x + 1)
log3
=1
(x − 1)
log3 (x + 1) = 1
⇒
log3 (x + 1) = log3 3
⇒
x +1 = 3
⇒
x =2
⇒
⇒
log3
Ç = {2}
bulunur.
LOGARITMA
Alıştırmalar
Aşağıda verilen denklemleri çözünüz. [1]
a) 2x
1.
2 −1
=8
c) e x + e −x = 1
2
e) log x − log x = 1
b) 27x =
p
3
d) log5 x + log25 9 = 1
f) log3 x + log3 (x − 8) = 2
2. log3 x.y = 4
log3
x
y
= 2 ise x ve y’yi bulunuz.
3. 5x − 4 =
−3
5x
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
p
p
4. log x − 1 + log x + 1 =
1
2
denklemini çözünüz.
5. Yandaki şekilde verilen ABC Üçgeninin
alanı log3 2x olabilmesi için x ne olmalıdır?
6. (64)x − 3.4x + 2 = 0 denkleminin çözÜm
kÜmesini bulunuz.
145
Üstel Fonksiyonlar
a ∈ R, m ∈ Z+ olmak üzere,
m
|a.a.a
{z· · · a} = a
m
dir. a
m
t ane
de a nın taban, m nin üs olduğunu biliyorsunuz.
∀a ∈ R \ {0} için a 1 = a ve a 0 = 1 dir.
00 ın tanımlanmadığına dikkat ediniz.
Çarpmanın tanımından dolayı pozitif bir a sayısının bütün kuvvetlerinin pozitif, negatif bir a sayısının çift kuvvetlerinin pozitif, tek kuvvetlerinin negatif olacağını unutmayınız.
Buna göre,
∀m ∈ Z+ ve a > 0 için, a m > 0,
∀n ∈ Z+ , m = 2n − 1, a < 0 için, a m = a 2n−1 < 0,
∀n ∈ Z+ , m = 2n, a < 0 için, a m = a 2n > 0 dır.
Örnekler:
1) 34 = 3.3.3.3 = 81
2) 35 = 3.3.3.3.3 = 243
3) (−2)4 = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16
4) (−2)5 = (−2)(−2)(−2)(−2)(−2) = −32
5) 71 = 7 ve (−6)1 = −6
6) 70 = 1 ve (− 35 )0 = 1 dir.
Üslü İfadelerin Özelikleri:
∀a, b ∈ R \ {0} ve m, n ∈ Z+
için,
1) a m .a n = a m+n
2) (a m )n = a m.n
3) (a.b)m = a m .b m
m
4) ( ba )m = ba m
am
5) n = a m−n dir.
a
4. özeliğin doğru olduğunu gösterelim:
a
( )m
b
=
a a a
a
. . ···
b
b}
|b b {z
m
=
=
olur.
(Kuvvet tanımı)
t ane
a.a.a · · · a
b.b.b · · · b
am
bm
( Çarpma tanımı)
( Kuvvet tanımı)
148
CALCULUS
am
= a m−n ifadesini m > n, m = n, m < n durumlarına
an
göre ayrı ayrı inceleyelim. (a ∈ R, m, n ∈ Z+ , a 6= 0).
5. özelikteki
a) m > n olsun. ∃p ∈ Z+ için m = n + p dir.
am
an
a n+p
(m = n + p)
an
a n .a p
(a n+p = a n .a p )
=
an
=
= ap
= a m−n
olur.
Örneğin,
27
24
=
=
=
24+3
24
24 .23
24
3
2
olur. Aynı örneği,
27
= 27−4 = 23
24
biçiminde de çözebiliriz.
b) m = n için, bir yandan
am am
= m =1
an
a
olur. Öte yandan, m = n hali için kuralı uygularsak,
am
= a m−n
an
a0
=
(m = n ⇒ m − n = 0 dır)
bulunur. O halde, m = n için,
(
am
= 1 ve
an
am
= a0) ⇒ a0 = 1
an
sonucu çıkar.
c. m < n olsun. ∃q ∈ Z+ , m + q = n dir.
am
an
=
=
=
=
olur.
am
(n = m + q)
a m+q
m
a
(a m+q = a m .a q )
m
a .a q
1
aq
1
n−m
a
ÜSTEL FONKSIYONLAR
m < n hali için kuralı uygularsak,
am
= a m−n = a −q
an
(m + q = n ⇒ m − n = −q)
olur.
O halde m < n (m + q = n, q ∈ Z+ ) için,
am
an
=
1
aq
ve
am
an
= a −q ) ⇒ a −q =
1
aq
olduğu görülür.
Gerçek sayıların pozitif kuvvetleri için var olan tüm özelikler, negatif
kuvvetleri için de geçerlidir.
Buna göre,
∀a, b ∈ R \ {0} ve m, n ∈ Z+ için,
1) a −m .a −n = a −(m+n)
2) (a −m )−n = a (−m).(−n) = a m.n
3) (a.b)−m = (a −m )(b −m )
a
a −m
4) ( )−m = −m
b
b
a −m
−m+n
5) −n = a
= a n−m
a
olur.
Bu özeliklerden üçüncüyü burada ispatlayalım. Diğerlerinin ispatını
öğrencilere bırakıyoruz.
a, b ∈ R \ {0} ve m, n ∈ Z+ için,
(a.b)−m
=
1
(a.b)m
(a.b = x
ve x −m =
1
)
xm
1
a m .b m
=
(m > 0 için (a.b)m = a m .b m )
1 1
.
am bm
=
( çarpma tanımı)
a −m .b −m
=
bulunur.
Örnekler:
1
25
(−2).(−3)
1. 2−3 .2−2 = 2−5 =
2. (2
−2 −3
)
=2
=
1
32
6
= 2 = 64
1
3. (2.3) = 6 = 4
6
3 −4 3−4 24
2
4. ( ) = −4 = 4 = ( )4
2
2
3
3
1
1
4−7
(−7)−(−3)
−7+3
5. −3 = 4
=4
= 4−4 = 4 =
4
4
256
Tabanları ve üsleri aynı olan üslü ifadelere benzer üslü ifadeler denir.
−4
−4
Üslü ifadelerle yapılan toplama ve çıkarma işlemleri benzer terimler
arasında yapılır.
Örnekler:
1. 3a 4 + 5a 2 b 3 + 5a 4 + 2a 2 b 3 = 8a 4 + 7a 2 b 3
(
1
= x −m )
xm
149
150
CALCULUS
2. 7x 3 − 4y 3 + 3x 2 y − 2x 3 + 2y 3 − x 2 y = 5x 3 − 2y 3 + 2x 2 y
3.
1 − x 1 − x2 1 − x
+ m−1 − m−2
xm
x
x
=
=
=
1 − x + x(1 − x 2 ) − x 2 (1 − x)
xm
1 − x + x − x3 − x2 + x3
xm
2
1−x
xm
4.
1 − 2x 2 x 2 − x x + 1
2 + x x2 + x 1 − x2
−
+
]
:
[
−
+
]=
x5
x4
x3
x6
x7
x8
1 − 2x 2 − x(x 2 − x) + x 2 (x + 1)
2x 2 + x 3 − x 3 − x 2 + 1 − x 2
[
]
:
[
]
x5
x8
2
3
2
3
2
2
3
3
2
2
1 − 2x − x + x + x + x 2x + x − x − x + 1 − x
:
x5
x8
1 1
:
x5 x8
1 x8
.
x5 1
x3
[
=
=
=
=
=
5.
a + 1 1 − a 4 a − 1 3 − a2 2
− 5 ] :[ 8 +
]
a6
a
a
a9
a + 1 − a(1 − a) 4 a(a − 1) + 3 − a 2 2
[
] :[
]
a6
a9
2
2
2
a +1−a +a 4 a −a +3−a 2
[
] :[
]
a6
a9
(1 + a 2 )4 (3 − a)2
:
a 24
a 18
2 4
(1 + a )
a 18
·
a 24
(3 − a)2
2 4
(1 + a )
a 6 (3 − a)2
[
=
=
=
=
=
olur.
Alıştırmalar
1. a, b, c ∈ R \ {0},
m, n ∈ N+ için aşağıdaki ifadeleri en kısa biçime
getiriniz. Üslerini pozitif yapınız.
a) (−3−1 )−2
b) [(420)0 .5−2 ]−1
c) 2−3 + 3−2
d) (23−m .34−m .2m+2 .3m+1 )4
e) a m+2 .b m−1 .a 3−m b 6−m
f ) (−2a)(ab 2 )(−5ac 2 ) + (−a 2 )(2ab)(4bc 2 )
g) (5a 2 )(−3ab 2 )(b 2 ) − (3a)(2a 2 b)(b 3 )
ÜSTEL FONKSIYONLAR
h) (5ab 2 )(−3a 3 b)(c 2 ) + (8ac)(3bc)(a 3 b 2 )
ı) (−2a 3 )2 (ab 2 c) − (−a 2 )2 (abc)(−a 2 b)
i) ( 31 a 2 b)4 (−9ab 2 )2 − (3ab)2 ( 19 a 2 b 2 )(a 3 b 2 )2
j) ( 32 ab 2 )3 (−9a 2 b)2 − (ab 2 )2 (2ab)3 (5a 2 b)
k) a 4 (3a + 2) + 2a 2 (a 3 − 2a 2 )
l) a m (a n + 1) − a m+n
m) a n (a 2 + 2) − a n+1 (a + 2)
n) a n (a 2 − 2a) + a 2 (a n + a n−1 )
2. Aşağıdaki ifadelerde a, b, c ∈ R \ {0} dır. Bu ifadelerin her birinin üslerini
pozitif yaparak ifadeleri en kısa biçime getiriniz.
a)
a −2 b 3
a 3 b −2
b)
4a −3 bc −2
6a −1 b −1 c
c)
(ab 2 )2 (ab)−1
a2b
d)
(−2)−3 a −2 b
4−1 ab −1
e)
(a 2 b −1 )3
(a −3 b 2 )2
f)
a −3 b −2 c −5
a 0 b −4 c −2
g)
(2a)−2 b 3
a 3 b −2
h)
4a −3 b −2 c 4
2−2 ab 4 c −2
i)
a 3 b −2 c 0
a −1 bc −2
j)
5−1 a −2 b 4 c −4
20 ab −1 c −3
k)
(a + b)−1
a −1 + b −1
l) (
2a −2 −2
)
b3
n)
(ab)3
(a 2 b −1 )2
m)
o)
a −2 + b −2
(ab)−2
2−n .82n+1 .162n
43n
3. Aşağıdaki ifadelerde a, b, c, d ∈ R \ {0}, m, n ∈ N+ dır. Gerekli işlemleri
yaparak ifadeleri en kısa biçime getiriniz. Üslerini pozitif yapınız.
a m−3 .b m+3
a −2 b 2
: 3−m 4−m
2
5
a b
a
.b
(36a 2 b 3 )2 (12bc)4 71ab
b)
.
− 2
(9c 2 )3 (8ab 3 )3
c
a)
12a 2 b 3 24a 3 c 2 2 c −2 b 11
) :(
) −
16c 2
8b 4
32c 8
2
3
12a b 3 16a b 2 4
3ab 3 −4
[(−
)
:
(
)
]
.(−
)
9cd 2
9c 2 d
2c 3 d 4
18a 2 b 3 5 24ab 2 3 −2 a 3 b 3
ab 4 3 3
[( 2
) :(
)
]
.[(
)
:
(
) ]
c d
cd 2
c2
12cd 4
2b 2
b 2 −2
9ab 2 3
a2
(−
) .[(− 3 )3 ]2 .[(− 2 )3 ]5 .(
)
4
2b
3a
27a
2 3 32
433
[ 2 + 3 + 4] : 2
3
2
6 .4
c) (
d)
e)
f)
g)
151
152
CALCULUS
h)
1−a 4
a5
i)
1
a5 b2
j)
1+a
an b
2
+ 1+2a
− 1−a
a −1
a3
2
b−1
a−b
+ aa−b
3 b3 − a2 b4 − a3 b4
2−n n−2
−1
+ aan−1−b
− aa 2 bbn−1 + a
b2
1−n b n−3
ab n
Köklü İfadeler
(−3)2 = 9 ve (3)2 = 9
(−2)2 = 4 ve (2)2 = 4
1
1
1
1
(− )2 =
ve ( )2 =
2
4
2
4
gibi örnekleri istediğimiz kadar çoğaltabiliriz. Karesi 9 olan biri -3 diğeri
3 olmak üzere iki tane gerçek sayı vardır ve bunlar toplamaya göre
birbirinin tersidir.
Karesi -9 olan bir gerçek sayı bulabilir misiniz?
x 2 − 9 = 0 denkleminin R deki çözüm kümesi Ç = {−3, 3} tür.
x 2 + 9 = 0 denkleminin R deki çözüm kümesi Ç = {} tur. Niçin?
Tanım: a ∈ R+ olmak üzere karesi a ya eşit olan iki tane gerçek sayı
p
vardır. Bunların pozitif olanına a nın pozitif karekökü denir ve a biçip
minde gösterilir. Negatif olanına a nın negatif karekökü denir ve − a
biçiminde gösterilir.
Buna göre,
p
9 = 3,
p
9 un negatif karekökü − 9 = −3 tür.
9 un pozitif karekökü
0 (sıfır) ın bir tek karekökü vardır ve
p
0 = 0 dır.
p
p
a ∈ R+ sayısının pozitif ve negatif karekökleri olan − a ve a sayıları
toplamaya göre birbirinin tersidir. Negatif sayıların karekökünün tanımsız olduğunu unutmayınız.
a ∈ R+
için, x 2 = a
⇒
⇒
p
p
x =− a∨x = a
p p
Ç = {− a, a}
Örneğin,
x2 −
1
=0
4
⇒
x2 =
1
4
r
r
1
1
⇒ x =−
∨x =
4
4
1
1
⇒ x =− ∨x =
2
2
1 1
⇒ Ç = {− , }
2 2
p
Bir a ∈ R+ sayısının karekökü denilince, a nın a > 0 pozitif karekökü
düşünülmelidir.
∀x ∈ R için x 2 ≥ 0 olduğunu gözönüne alırsak
p
x2 > 0 ∧ − x2 < 0
p
x = 0 için, x 2 = 0 ⇒ x 2 = 0
x 6= 0 için, x 2 > 0 ⇒
dır. Buna göre,
p
M AT E M AT I K
(
∀x ∈ R için,
p
x2
=
x,
x ≥0
i se
−x,
x <0
i se
x,
x ≥0
i se
−x,
x <0
i se
olur.
(
∀x ∈ R için,
| x |=
olduğunu anımsayarak, ∀x ∈ R için,
p
x2 =| x |
yazabiliriz.
Örnekler:
p
1. 32 =| 3 |= 3
p
2. (−3)2 =| −3 |= −(−3) = 3
p
3. 02 =| 0 |= 0 dır.
Teorem: a, b ∈ R,
a ≥ 0,
b ≥ 0 için,
p
p p
a.b = a. b
dir.
İspat. a ≥ 0 ve b ≥ 0 sayıları için, x 2 = a, y 2 = b koşuluna uygun
x ≥ 0, y ≥ 0 gerçek sayıları vardır.
x2 = a ∧ y 2 = b
⇒
x 2 .y 2 = a.b
⇒
(x.y)2 = a.b
p
x.y = a.b
⇒
(1)
dir. Diğer taraftan,
x2 = a ∧ y 2 = b
p
a∧y = b
p p
x.y = a. b
x=
⇒
⇒
p
(2)
dir. (1) ve (2) den,
x.y =
p
a.b ∧ x.y =
p
p p
p p
a. b ⇒ a.b = a. b
bulunur.
Teorem: a, b ∈ R, a ≥ 0, b > 0 için,
r
p
a
a
=p
b
b
dir.
İspat: a ≥ 0,
x ≥ 0,
b > 0 sayıları için, x 2 = a,
y 2 = b olacak biçimde
y > 0 gerçek sayıları vardır.
x2 = a
∧
y2 = b
⇒
⇒
⇒
x2 a
=
y2 b
x
a
( )2 =
y
b
r
x
a
=
y
b
(1)
1
153
154
CALCULUS
olur. Diğer taraftan,
x2 = a
y2 = b
∧
⇒
⇒
x=
p
a ∧
p
x
a
=p
y
b
y=
p
b
(2)
dir.
(1) ve (2) eşitliklerinden,
x
=
y
r
a
b
∧
r
p
p
a
a
a
x
=p ⇒
=p
y
b
b
b
bulunur.
Örnekler:
1.
)
p
p
p p
p
4.9 = 36 = 6
p p
p
⇒ 4.9 = 4. 9
4.9 = 4. 9 = 2.3 = 6
p
p
p p
p
2. 50 = 25.2 = 25. 2 = 5 2
p
p
p
p
p
p
p
p
3. 2 + 8 + 18 − 32 = 2 + 4.2 + 9.2 − 16.2
p
p p
p p
p p
2 + 4. 2 + 9. 2 − 16. 2
p
p
p
p
2+2 2+3 2−4 2
=
p
p
= 6 2−4 2
p
= 2 2
q
q
q
25.2
49.2
= 9.2
4 +
4 −
4
=
4.
q
9
2
+
q
25
2
−
q
49
2
p p
p p
p p
9. 2
25. 2
49. 2
+
−
p
p
p
4
4
4
p
p
p
3. 2 5 2 7 2
+
−
2
2
2
p
2
2
=
=
=
a, x ∈ R+ ve x 2 = a olsun.
x2 = a ⇒ x =
p
a
olduğunu biliyoruz. Bunu,
x=
yazabiliriz. Buradan
bulunur.
a > 0 için
p
p
a
⇒
p
x 2 = ( a)2
⇒
x2 = a
p
( a)2 = a
a 2 =| a |= a ⇒
p
(a > 0)
a 2 = a olur.
O halde, ∀a ∈ R için,
+
p
p
( a)2 = a2 = a
M AT E M AT I K
bulunur.
İkinci basamaktan kuvvet için çıkardığımız bu kuralı ∀n ∈ N için
genelleştirirsek;
∀a ∈ R+
ve ∀n ∈ N için,
p n p
( a) = an
yazılabilir.
Tanım: a, b ∈ R \ 0 olmak üzere, a + b ve a − b ifadeleri, birbirlerinin
toplamsal eşleniğidirler.
Eşlenik iki ifadenin çarpımını bulalım:
(a + b)(a − b)
=
a 2 − ab + ab − b 2
=
a2 − b2
olur.
Çözülmüş Örnekler:
1.
p p
p
p
( 3 − 2)( 3 + 2)
=
p
p
( 3)2 − ( 2)2
=
3−2
=
1
p
p
p
3
3 5
3 5
3 5
=
2. p = p p = p
5
5
5. 5 ( 5)2
3.
2
p
p
5− 3
=
=
=
=
p
p
2( 5 + 3)
p
p p
p
( 5 − 3)( 5 + 3)
p
p
2( 5 + 3)
p
p
( 5)2 − ( 3)2
p
p
2( 5 + 3)
2
p
p
5+ 3
4.
p
[ ab.
r
r
ac p
]: c
b
ab.
=
ac p
: c
b
=
p
(a 2 c) : c
=
p
a2
=
a
(a, b, c ∈ R+ )
5. a, b ∈ R+ ve a 2 > b için,
q
p
a+ b=
olduğunu gösterelim.
s
s
p
p
a + a2 − b
a − a2 − b
+
2
2
p
Bu
doğrusolduğunu göstermek için, a + b nin karekökünün
s eşitliğin
p
p
a + a2 − b
a − a2 − b
x=
+
olduğunu göstermeliyiz.
2
2
1
155
156
CALCULUS
q
p
p
a + b = x ⇒ x2 = a + b
olmalıdır.
s
p
p
a + a2 − b
a − a2 − b 2
[
+
]
2
2
s
s
p
p
p
p
a + a2 − b a − a2 − b
a + a2 − b
a − a2 − b
+
+ 2.
.
2
2
2
2
s
2a
a 2 − (a 2 − b)
+ 2.
2
4
s
b
a + 2.
4
p
a+ b
s
x2
=
=
=
=
=
p
p
a + b = x2 ⇒ a + b = [
s
s
p
p
a + a2 − b
a − a2 − b 2
+
]
2
2
veya
q
p
a+ b=
s
s
p
p
a + a2 − b
a − a2 − b
+
2
2
bulunur.
Alıştırmalar
1. Aşağıdaki ifadeleri en sadephale getiriniz.
p p p
80
a) 15. 3. 5
f) p
r r
p5
4
12
7
b)
.
g) p
3
4
63
r
r
p
12 3
5
9
c)
.2
h) p
4r 27
r9 r20
1
3
5
d) 5 . 1
ı) 6
4
r7
r
p 18
1
4 1
3
72
e)
.
i) p
2 15 3 20
2 6
2. Aşağıdaki ifadeleri en sade biçimde yazınız.
p
p
p
1p
a) 50 + 5 2
b)
48 + 3 75
4
r
p
p
1p
2
c) 3 63 +
28
d) 10 −
5
5
r
p
p
p
1p
1
e) 2 150 −
96
f ) 3 3 − 2 12 + 4
8
r 3
r
p
p
p
p
1
1
g) 8 10 − 3 40 + 5
h) 2 2 − 32 + 2
10
r
r
r2
p
p
2
5 p
2
ı) 11
+5
− 160
i) 2 54 + 96 − 9
3
r
r 5 r 2
r
2
5 1p
2
5 p
j) 8
+
−
+6
− 160
40
k) 15
r 5 r2 2
r5 r 2
p
3
4 1p
3
8
l)
+7
−
75
m) 2
+
− 4 24
4
3
6
8
3
r
r
5
12 1 p
n) 3
+
−
60
12
5
3
M AT E M AT I K
3. Aşağıdaki işlemleri yaparak sonucu en kısa hale getiriniz.
p
p
p
p
a) (2 + 3)(2 − 3)
ı) (5 5 − 1)(2 5 + 2)
p p
p
p
p p
p
p
b) ( 3 − 2)( 3 + 2) i) (6 2 + 4 6)( 2 − 2 6)
p
p p
p
p
p
p
p
c) ( 5 − 7)( 5 + 7) j) (3 5 + 10)(2 5 − 4 10)
p
p
p p
p
p
k) (3 2 + 5)( 2 + 2 5)
d) (2 7 + 1)( 7 − 2)
p
p
p
p
p
p
e) (3 5 − 1)(2 5 + 2)
l) (4 3 + 2 6)(5 3 + 7 6)
4. Aşağıdaki işlemleri yaparak sonucu en kısa hale getiriniz.
p
p
b) (3 − 7)2
a) (1 + 2)2
s
s
a2 a2
b2 b2
c)
+
d)
+
64 p
36 p
9
25
p
p
e) (7 7 + 3)(2 7 − 3)
5. Aşağıdaki
rasyonel yapınız.
p
p kesirlerin paydalarını
5− 3
10
h)
a) p
p
2 +p 10
p2 p
5+ 2
2 5 − 10
ı)
b)
p
p
3− 2
p5
3+ 7
7
c)
i) p
p
1− p
7
2p 5 +p
1
5−2 6
6− 5
d)
j) p
p
p
3+ 6
5+2 6
6. Aşağıdaki
yapınız.
p kesirlerinppaydalarını
p
prasyonel
p
2− 8
5− 3
3+ 5
a)
b) p
p
p −p
p
3+ 5
3− 5
1+ 2
1
1
3
1
+p
c) p
d)
p +p
7−1
2+ 2
2 − 2p 2
p
p
2
5
2− 3
e) p
f) [ p + 3] : [ p ]
5−3
3
3
7. Aşağıdaki ifadelerde geçen harflerin hepsi pozitif gerçek sayılardır.
İfadelerin paydalarını rasyonel yaparak her birini en kısa biçimde
yazınız.
p
p
5 x3 + x
a)
p
x
p
p
y − 5 y3
b)
p
y
p
x
c) p
− x −1
x −1p
p
x− y
d) p
p
2 x −3 y
p
a− 5
e)
p
a +2 5
p
p
p
p
x+ y
x− y
+
f) p
p
p
p
x− y
x+ y
6
g)
(3 − x > 0)
p
3− 3−x
−2(a 2 − x 2 ) p 2
h) p
+ a + x2
a2 + x2
p
ı)
i) p
x − p1x
p
1− x
p
x
3
a +2+2
1
j) p
p
7+ 2−1
1
k) p
p
p
7p
+ 5+ 2
p
7+ 3− 2
l)
p
p
7− p
3− p
2
4− 5+ 2
m)
p
p
4+ 5+ 2
1
n) q
p
p
5+ 3+ 2
1
o) q
p
p
7+ 5+ 3
8. a, b ∈ R+ , a 2 − b > 0 olmak üzere,
1
157
158
CALCULUS
q
p
a− b=
s
s
p
p
a + a2 − b
a − a2 − b
−
2
2
eşitliğinin doğru olduğunu gösteriniz.
Gerçek Sayıların Kuvvetleri
x, a ∈ R+ ve n ∈ N+ için x n = a ise, x’e a’nın n inci kuvvetten kökü, denir
p
ve x = n a ya da x = a 1/n biçiminde yazılır.
Buna göre x, a ∈ R+ , n ∈ N+ için,
xn = a ⇒ x =
dir. Buradan,
p
n
1
a=an
p
p
1
1
n
( n a)n = (a n )n = a = (a n ) n = a n
bulunur.
Örnek 0.81.
p
4 = 41/2 = 2
p
p
3
3
2. 23 = 8 ⇒ 8 = 23 = (23 )1/3 = 2
p
p
4
4
3. 34 = 81 ⇒ 81 = 34 = (34 )1/4 = 3
p
p
5 5
5
4. 35 = 243 ⇒ r
243 = r
3 = (35 )1/5 = 3
1
1
1 6
1
1
1
6
6
5. ( ) =
⇒
= ( )6 = [( )6 ]1/6 =
2
64
64
2
2
2
olur. Özel olarak, ikinci kuvvetten köke karekök denildiğini ve kök
1. 22 = 4 ⇒
kuvveti olan 2’nin yazılmadığını biliyorsunuz.
Üçüncü kuvvetten köke küpkök denir.
Örneğin, 8’in küpkökü 2’dir.
p
Yukarıda n a ifadesi ∀n ∈ N+ ve a ∈ R+ için tanımlanmıştır. Eğer n tek
p
n
sayı ise b ∈ R− için de b tanımlıdır.
Örnek 0.82.
p
3
−8 = −2
p
5
5
2. (−3) = −243 ⇒ q−243 = −3
1. (−2)3 = −8 ⇒
1
3. (− 21 )7 = − 128
⇒
7
1
− 128
= − 21
olur.
∀x ∈ R ve n = 2k ∈ N+ için x n = x 2k ≥ 0 olduğundan negatif sayıların
çift kuvvetten kökü R de tanımsızdır.
p
p
p
4
6
Örneğin, −16, −9, −64 ifadeleri R de tanımsızdırlar. Bunlar
gerçek sayı değildirler.
Theorem 0.83. a, b ∈ R+ , m, n, p ∈ N+ olmak üzere,
p
n
dır.
ap =
p
m.n
a mp
p
p p
n
n
2.
a.b = n a. b
r
p
n
a
a
3. n
= p
n
b
b
p
p
p
m n
4.
a = m.n a
1.
M AT E M AT I K
p
p
n
İspat: Bu teoremin ispatında a ∈ R+ , n ∈ N+ için, ( n a)n = a n = a
eşitliğinden faydalanacağız.
1. a ∈ R+ , m, n, p ∈ N+ için,
p
n
( a p )m.n
(
p
mn
a mp )mn
=
p
n
[( a p )n ]m
=
[a p ]m
=
a mp
=
a mp
dır.
p
n
( a p )mn = a mp
∧
p
mn
(
a mp )mn = a mp
p
p
n
mn
ap =
a mp
olduğundan,
bulunur.
4.
q
(
m
(
dır.
q
(
m
p
n
p
n
p
mn
a)mn
a)mn
=
q
m p
n
[(
a)m ]n
p
[ n a]n
=
a
=
a
=
p
∧ ( mn a)mn = a
q
p
m p
n
a = mn a
a)mn = a
olduğundan,
bulunur. 2. ve 3.nün ispatı öğrencilere bırakılmıştır.
Örnek 0.84.
1.
p
256
12
=
=
=
=
p
28
p
4.3
24.2
p
3
22
p
3
4
12
2.
p
4
48
=
=
=
p
4
16.3
p
p
4
4
24 . 3
p
4
2. 3
3.
r
3
27
4
=
=
=
=
r
27.2
4.2
s
33 .2
23
3
3
p
3 3
3 .2
p
3 3
2
p
3
3. 2
2
1
159
160
CALCULUS
4.
q
3
p
144
=
=
=
5.
p
1
16 = 16 2 = 4,
p
6
144
p
6
122
p
3
12
p
1
6
7 = 76
p
1
3
5 = 53 ,
olur.
n tek (k ∈ N+ , n = 2k − 1) ise a ∈ R− için
p
1
n = 2k − 1 ve a ∈ R− için, n a = a n olur.
p
1
1
3
6. q−8 = (−8) 3 = [(−2)3 ] 3 = −2
1
5
1 51
1
= (− 32
) = [(− 21 )5 ] 5 = − 12
7. − 32
p
1
7
8. −15 = (−15) 7
p
n
a tanımlı olduğundan,
Tanım: a ∈ R+ , m, n ∈ N+ olmak üzere,
m
1
(a n )m = a n
dir.
p
n
p
p
1
n
a = a n ve ( n a)m = a m olduğundan
p
p
1
m
n
a m = ( n a)m = (a n )m = a n
olur.
1
dır.
a
1
1
1
n ∈ N+ için (a −1 )n = ( )n = n ve a −n = n olduğundan
a
a
a
a 6= 0 için a −1 =
a −m = (a −1 )m
olur.
Theorem 0.85. a, b ∈ R+ ve p, q ∈ Q için,
1. a p .a q = a p+q
2. (a p )q = a p.q
3. (a.b)p = a p .b p
a
ap
4. ( )p = p
b
b
1
1
5. ( )p = p = a −p
a
a
dir.
İspat: 1, 2 ve 5 ’inci bağıntıları ispatlayalım. m, n, r , s ∈ N+ , E BOB (m, n) =
1, E BOB (r , s) = 1 ve p =
m
n,
q=
r
s
alalım.
1.
a p .a q
m
r
=
a n .a s
p
p
n
s
am ar
p
p
ns
ns
a ms . a nr
p
ns
a ms .a nr
p
ns
a ms+nr
=
a
=
a n +s
=
a p+q
=
=
=
=
ms+nr
ns
m
r
M AT E M AT I K
2.
(a p )q
m
r
=
(a n ) s
q
p
s
n
( a m )r
q
s p
n
a mr
p
ns
a mr
=
a ns
=
a n .s
=
a p.q
=
=
=
mr
m r
5.
1
ap
=
=
=
=
=
=
1
m
an
1
p
n
am
p
n m
1
p
n
am
r
1
n
( )m
a
1 m
( )n
a
1
( )p
a
dir. Diğer yandan,
a −p
=
a −1.p
=
(a −1 )p
1
( )p
a
=
1
1
olduğundan ( )p = p = a −p bulunur.
a
a
3. ve 4. eşitliklerin ispatı, öğrencilere bırakılmıştır.
Örnek 0.86.
1. 2x+3 .42x+5 = 1 açık önermesinin doğruluk kümesini bulalım.
2x+3 .42x+5 = 1
⇒
2x+3 .(22 )2x+5 = 20
⇒
2x+3 .22(2x+5) = 20
⇒
2x+3+4x+10 = 20
⇒
25x+13 = 20
⇒
5x + 13 = 0
13
x =−
5
13
Ç = {− }
5
⇒
⇒
2.
p
3
(2x + 1)m+7 .(2x + 1)8−m =
değerini bulalım.
q
4
(4x−7)23
(4x−7)3
önermesini sağlayan x
1
161
162
CALCULUS
s
p
3
(2x + 1)m+7 .(2x + 1)8−m
4
=
⇒
p
p
3
4
(2x + 1)m+7+8−m = (4x − 7)23−3
p
p
4
3
(2x + 1)15 = (4x − 7)20
⇒
(2x + 1)5 = (4x − 7)5
⇒
2x + 1 = 4x − 7
⇒
2x = 8
⇒
x =4
⇒
3.
p
3
(4x − 7)23
(4x − 7)3
p
abx 4 . a 3 b 5 x
p
4
a5b3 x5
(a, b, x ∈ R+ )
ifadesini sadeleştirelim.
p
3
p
abx 4 . a 3 b 5 x
p
4
a5b3 x5
p
p
12
a 4 b 4 x 16 . a 18 .b 30 .x 6
p
12
a 15 .b 9 .x 15
s
4 4 16 a 18 .b 30 .x 6
12 a b x
a 15 .b 9 .x 15
p
12
a 4+18−15 .b 4+30−9 .x 16+6−15
p
12
a 7 .b 25 .x 7
12
=
=
=
=
4.
2a
a
5.
+
1
4
p
5 p
3
3a
a
5
4
1
2
a 10 .
−
p
3 p
4a
a
3
2
3
4
a9 +
1
5
1
3
3
= 2.a 1− 4 + 3a 4 − 2 − 4a 2 − 4
4−1
4
+ 3.a
5−2
4
=
2a
=
2a 4 + 3.a 4 − 4.a 4
=
a4
3
3
− 4a
6−3
4
3
3
pp p
pp pp
p
p
4
3
15
6
4
3
b 3 . a 5 = a 10 . a 9 +
b3.
a5
p
p
p
8
6
b3. a5
=
p
3
=
a 3 .a 2 + a 6 .b 8
=
a 3 + 2 + a 6 .b 8
=
a
=
a 6 (a 3 + b 8 )
a2.
2
2
13
6
5
a3 +
3
5
3
5
5
3
3
+ a 6 .b 8
4
3
3
Limit
Soldan ve Sağdan Yaklaşım
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşıma
soldan yaklaşım denir ve x → a − biçiminde gösterilir.
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yak-
Figure 1: Limit simgesi
laşıma sağdan yaklaşım denir ve a → a + biçiminde gösterilir.
Fonksiyonun Limiti
Limit kavramını Şekil ?? üzerinde açıklayalım:
Soldan Limit
Grafiği verilen y = f (x) fonksiyonu için, apsisleri; x = a nın solunda
yer alan ve giderek a ya yaklaşan A(a, y 1 ), B (b, y 2 ),C (c, y 3 ), D(d , y 4 ), · · ·
Figure 2: Limit Yaklaşımı
noktalarını göz önüne alalım:
Bu noktaların apsisleri olan a, b, c, d , · · · giderek a ya yaklaşıyor. Bu
sırada,
f (a) = y 1 , f (b) = y 2 , f (c) = y 3 , f (d ) = y 4 , . . . ordinatları da giderek K ye
yaklaşır. Bu eylem, simgesel olarak,
lim f (x) = K
x→a −
(2)
biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f (x) fonksiyonunun x = a daki
soldan limitinin b olduğudur.
Sağdan Limit
Yukarıdakine benzer şekilde, apsisleri x = a nın sağında yer alan ve
giderek a ya yaklaşan
E (e, y 8 ), F ( f , y 7 ),G(g , y 6 ), H (h, y 5 ), . . . noktalarını göz önüne alalım.
e, f , g , h, · · · apsisleri sağdan a ya yaklaşırken, f (e) = y 5 , f ( f ) =
y 6 , f (g ) = y 7 , f (h) = y 8 , . . . ordinatları giderek M ye yaklaşır.
Bu durum simgesel olarak,
lim f (x) = M
x→a +
biçiminde gösterilir. Bunun anlamı f (x) fonksiyonunun x = a daki
sağdan limitinin M olduğudur.
(3)
164
CALCULUS
Limit
Tanım 0.87. f (x) fonksiyonunun x = a noktasında soldan ve sağdan
limitleri var ve birbirlerine eşit iseler, fonksiyonun x = a da limiti vardır ve
x = a noktasındaki limiti M = K ortak değeridir.
Bu durum simgesel olarak,
lim f (x) = L
x→a
(4)
biçiminde gösterilir.
Bunun anlamı şudur: x = a daki sağ limit ve sol limit değerleri birbirlerine eşittir ve onların ortak değeri fonksiyonun x = a noktasındaki
limitidir.
f (x) fonksiyonunun x = a daki soldan limiti sağdan limitine eşit
değilse fonksiyonun x = a noktasında limiti yoktur. Tabii, sol ve sağ
limitlerden birisi yoksa, eşitlik olamayacağı için, fonksiyonun o naktada
limiti zaten olamaz.
Uç Noktalarda Limit
Genel olarak, fonksiyonun soldan (2) ve sağdan (3) limitleri var ve birbirlerine eşitseler, fonksiyonun x = a noktasında limiti vardır, denilir. Sol ve
sağ limitlerin ortak değeri fonksiyonun limitidir.
Figure 3: Uç Noktalarda Limit
Varsa, fonksiyonun limitini (3)rlimit) biçiminde göstereceğiz.
Bazen incelenecek fonksiyon bütün mat hbbR yerine sınırlı bir aralıkta tanımlı olabilir. Böyle durumlarda fonksiyonun uç noktalarına
ancak tek yönden yaklaşılabilir. O nedenle, uç noktalarda limit ve sürekliliği ancak tek yönlü yaklaşımla tanımlayabiliriz.
f fonksiyonu [a, b) aralığında tanımlı ve değerleri [c, d ) aralığında
olsun. Bu fonksiyon için (a, f (a)) noktası bir uç noktadır. x değişkeni a
noktasına ancak sağdan yaklaşabilir. Dolayısıyla, f fonksiyonunun x = a
noktasında sağdan limiti varsa, bu limit değerini f fonksiyonunun x = a
noktasındaki limit değeri olarak kabul edeceğiz.
Örneğimizde, x = b noktasında fonksiyon tanımlı değildir, ama soldan
limiti olabilir. varsa soldan limit, f nin limiti olarak kabul edilir. Tabii,
fonksiyon x = b noktasında tanımlı olmadığından, bu noktada fonksiyon
sürekli olamaz. Bazı hallerde, kaldırılabilir süreksizliği var olabilir.
Özetle, uç noktalardaki limit ve süreklilik araştırılırken, yalnızca
fonksiyonun tanımlı olduğu aralığın var olan tarafından tek yönlü limit
alınır.
Fonksiyonun bir noktada limitinin olması için, o noktada tanımlı
olması zorunlu değildir. Bu durumda, varsa soldan (2) ve sağdan (3) limitlerinin varlığından söz edilebilir. Sol ya da sağ limitlerden birisi yoksa ya
da var oldukları halde eşit değilseler, fonksiyonun x = a noktasında limiti
yoktur.
LIMIT
Karl Weierstrass’ın Tanımı
λ > 0 ve u gerçel sayılar olmak üzere (u − λ, u + λ) aralığına u’nun λ
komşuluğu (u − λ) ∪ (u + λ) kümesine de u’nun λ delik komşuluğu denilir.
Burada delik komşuluk terimi, aralığın ortasındaki u noktasının kümeye
ait olmadığı anlamına gelir.
x değişkeni a’ya yaklaşırken f (x) değerleri L’ye yaklaşıyorsa, f fonksiyonunun x = a noktasında limiti vardır ve bu limit L’dir denir. Bu tanım
fiziksel bir algı yaratır, ama matematiğin istediği kesinliği vermez. Çünkü
"yaklaşım" eylemi iyi tanımlı değildir. Onu herkesin aynı şekilde anlayacağı kesinliğe eriştirmek gerekiyor.
Karl Weierstrass limiti şöyle tanımladı:
Tanım 0.88. f fonksiyonunun x = a noktasında limitinin olması için
gerekli ve yeterli koşul, ∀² > 0 sayısına karşılık, x değişkeni a’nın delik δ
komşuluğunda iken f (x) değeri L’nin ² komşuluğunda olacak biçimde bir
δ > 0 sayısının varlığıdır.
Buna bazen limitin (², δ) ile ifadesi denilir. Bu tanımın koşullarını
şöyle açıklayabiliriz:
L’nin her (L − ², L + ²) komşuluğuna karşılık, x ∈ (a − δ) ∪ (a + δ)
olduğunda f (x) ∈ (L − ², L + ²) olacak biçimde a’nın bir (a − δ) ∪ (a + δ)
delik komşuluğu vardır:
|x − a| < δ ⇒ | f (x) − L|, (x 6= a)
Limit tanımını, çoğunlukla, söylediklerimizi özetleyen şu simgesel
biçemiyle kullanırız:
Tanım 0.89.
lim f (x) = L
x→a
¡
¢
⇔ (∀² > 0)(∃δ > 0) 0 < |x − a| < δ) ⇒ | f (x) − L| < ²
Bu tanımda f fonksiyonunun x = a noktasında tanımlı olup olmaması
önemli değildir. f (a) hiç tanımlı olmayabilir, f (a) 6= L ya da f (a) = L
olabilir.
Örnekler:
1.
lim λx = λa
(5)
p(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0
(6)
x→a
dır.
2.
polinomonun limiti her a noktasında vardır ve
lim p(x) = p(a)
x→a
dır.
(7)
165
166
CALCULUS
3. p(x) ve q(x) iki polinom ise q(a) 6= 0 olduğunda
lim
x→a
p(x) p(a)
=
q(x) q(a)
(8)
dır.
4.
2x
x +1
fonksiyonunun x ssonsuza giderken limitini yaklaşık değerlerle
f (x) =
gösterelim:
f (100) = 1.9802
f (1000) = 1.9980
f (10000) = 1.9998
Buradan görüldüğü gibi, x → +∞ iken fonksiyon değerleri 2 ye sınırsız
yaklaşıyor.
5.



−x,


f (x) = 2,



x + 2,
Figure 4: Limit var; fonksiyon değeri var
x < −1
x = −1
x > −1
Şekil ??’den sezilebileceği gibi,
lim x → −1 f (x) = 1 = L
olur. f fonksiyonu x = −1 noktasında tanımlıdır ve f (−1) = 2 dir. Bu
değer fonksiyonun L = 1 limit değerine eşit değildir.
Limit Kuralları
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M
x→c
olsun.
Theorem 0.90.
λ bir sabit sayı ise
lim λ = λ
x→c
dır.
Theorem 0.91.
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M
x→c
(9)
LIMIT
ise
lim f (x) ± g (x) = lim f (x) ± lim g (x) = L ± M
x→c
x→c
x→c
(10)
olur.
Theorem 0.92.
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M
x→c
ise
lim f (x).g (x) = (lim f (x).(lim g (x)) = L.M
x→c
x→c
x→c
(11)
olur.
Theorem 0.93.
lim f (x) = L
x→c
lim g (x) = M 6= 0
x→c
ise
lim
x→c
L
f (x) limx→c f (x)
=
=
g (x) limx→c g (x) M
(12)
olur.
Theorem 0.94.
lim f (x) = L
x→c
ve λ bir sabit ise
lim λ f (x) = λ(lim f (x)) = λL
x→c
x→c
olur.
Theorem 0.95.
n ∈ N ve
lim f (x) = L
x→c
ise
lim
³
q
2n+1
x→c
´
f (x) =
q
2n+1
lim f (x)
x→c
ve a nın bir komşuluğunda a ≥ 0 ise
lim
x→c
olur.
Theorem 0.96.
³ q
2n
´
q
f (x) = 2n lim f (x)
x→c
(13)
167
168
CALCULUS
n ∈ N ve
lim f (x) = L
x→c
ve ise
³
´n
lim [ f (x)]n = lim f (x) = L n
x→c
x→c
(14)
olur.
Theorem 0.97.
λ ∈ R ve
lim f (x) = L
x→c
ve ise
lim [λ f (x) ] = λ(limx→c f (x)) = λL
x→c
olur.
Özetlersek, limit için şu eşitlikleri yazabiliriz:
lim λ = λ
x→c
lim f (x) ± g (x) = L ± M
x→c
lim f (x).g (x) = L.M
x→c
lim
x→c
L
f (x)
=
(M 6= 0)
g (x) M
lim λ f (x) = λL
x→c
Theorem 0.98.
sin(x)
x
1 − cos(x)
lim
x→0
x
sin(x)
lim
x→∞
x
cos(x)
lim
x→∞
x
lim
x→0
=1
=0
=0
=0
Örnek 0.99.
Polinom:
1. (7) kuralı gereğince, her n ∈ (N ) için
lim λx n = λa n
x→a
olur.
2. Gene (7) kuralına göre,
lim (5x 3 − 7x + 3) = 1
x→1
olur.
(15)
LIMIT
Çarpanlara Ayırma
1. Bazen
0
0
belirsizliği oluştuğunda, mümkünse pay ve payda çarpanlara
ayrılır. Varsa kısaltmalar yapılarak belirizlik yokedilebilir.
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
= lim
= lim x + 1 = 2
x→1 x − 1
x→1
x→1
x −1
lim
2.
(x − 1)(x + 2)
x 2 + 2x − 3
= lim
= lim x + 2 = 4
x→1
x→1
x→1
x −1
x −1
lim
3.
p
p
3− x
3− x
lim
= lim
p
p
x→9 9 − x
x→9 (3 − x)(3 + x)
¶
µ
1
= lim
p
x→9 (3 + x
1
=
6
4.
lim
x→3
1
x
− 13
x −3
= lim
3−x
3x
x −3
¶
µ
1
= lim −
x→3
3x
1
=−
9
x→3
5.
lim
x→1
1
1
=
=0
(x − 1)4 ∞
6.
(x + 3)(2x − 1)
2x − 1 −3 3
2x 2 + 5x − 3
= lim
= lim
=
=
x→−1 (x + 3)(x − 1)
x→−1 x − 1
x→−1 (x 2 + 2x − 3)
−2 2
lim
7.
x 4 [(2 + x32 + x14 ] 2 1
2x 4 − 3x 2 + 1
=
lim
= =
x→∞ (6x 4 + x 3 − 3x)
x→∞ x 4 [6 + 1 + −3 ]
6 3
3
x
lim
x
Rasyonelleştirme
1. Bazen köklü ifadelerde pay ve payda uygun çarpanlarla çarpılarak
belirsizlik yok edilebilir.
169
170
CALCULUS
p
p
p
p p
p
4+h − 4
4+h − 4 4+h + 4
= lim
.p
p
h→0
h→0
h
h
4+h + 4
³p
´2 ¡p ¢2
4+h − 4
³p
= lim
p ´
h→0 h
4+h + 4
lim
= lim
h→0
(4 + h) − 4
³p
p ´
h 4+h + 4
h
³p
p ´
h→0 h
4+h + 4
= lim
1
= p
2 4
=
1
4
2. Yukarıdaki ifadeyi daha genel olarak düzenleyebiliriz:
p
lim
h→0
p
p
p p
p
a +h − a
a +h − a a +h + a
= lim
.p
p
h→0
h
h
a +h + a
´2 ¡p ¢
³p
2
a +h − a
³p
= lim
p ´
h→0 h
a +h + a
(a + h) − a
³p
p ´
h→0 h
a +h + a
= lim
h
= lim
h→0
h
³p
p ´
a +h + a
1
= p
2 a
3.
Ãp
p !
3x − 3 x
= lim
lim
x→3
x→3
x −3
à p p p
!
p
3 x( x − 3)
= p
p p
p
( x − 3)( x + 3)
3
= p
2 3
p
3
=
2
4.
p
3
8+h −2
lim
= x 3 = 8 + h değişken değiştirimi yapılırsa
h→0
h
x −2
= lim 3
x→2 x − 23
x −2
= lim
h→2 (x − 2)(x 2 + 2x + 4)
1
= lim 2
h→2 (x + 2x + 4)
1
=
(4 + 4 + 4)
1
=
12
LIMIT
171
Sonsuzdaki Limit
x bağımsız değişkeni x → −∞ ya da x → +∞ iken f (x), f (x) − g (x) ya da
f (x)
g (x) ,
f (x)g (x) fonksiyonlarının yaklaştığı değerdir. Bu türlerde,
a
∞
0 ∞
,
, , λδ , ,
, ∞ − ∞, 0∞ , ∞0 , 1∞
∞
a
0 ∞
durumları oluşabilir. İlk üç durmda ifade belirli sayılır: Birinci durum da
limit 0, ikinci durumda ∞, üçüncü durumda λδ olur. Sonraki durumlar
belirsiz ifadeler diye adlandırılır. Bu tür ifadelerin limitlerini bulmak için
genel geçerliği olan yöntem yoktur. Her probem için uygun çözüm yolları
aranır. Çoğunlukla kullanılan yöntemler şunlardır:
1. Rasyonel ifadelerde limit:



p(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + . . . + a 1 x + a 0


q(x) = b m x n + b m−1 x m−1 + . . . + b 1 x + b 0



 f (x) = p(x)
q(x)
verilmiş ise,
lim
x→0
p(x) p(0) a 0
=
=
q(x) q(0) b 0
ve


∞,


n > m,
p(x)
an
= b , n=m
lim
m
x→∞ q(x)



0,
n<m
Rasyonel Fonksiyonlarda Limit
1. Örneğin,
lim
x→±∞
1
1
1
=
=
=0
x (limx→±∞ x ±∞
olur.
2.
4x 3 − 2x 2 + 1
lim
= lim
x→±∞
x→±∞
3x 3 − 5
= lim
4x 3 −2x 2 +1
x3
3x 3 −5
x3
4x 3
x3
2
− 2x
+ x13
x3
3x 3
− x53
x3
4 − x2 + x13
= lim
x→±∞ 3 − 5
x3
x→±∞
4−0+0
3−0
4
=
3
=
olur.
Figure 5: Sonsuza Giden Limit
172
CALCULUS
3.
1+2+3+...+n
= lim
x→∞
x→∞
n2
lim
= lim
x→∞
= lim
n(n+1)
2
n2
n(n + 1)
2n 2
1 + n1
x→∞
2
1
=
2
olur.
4.
µ
lim
x→−∞
Ã
!
¶
3x
x(3 − 2
2x
= lim
−
x→−∞ x(1 − 1 )(1 + 1
x −1 x +1
x
x
olur.
5.
¶
µ
x +1
x 1
lim
= lim
+
x→∞ x
x→∞ x
x
= lim 1 + lim
x→∞
x→∞
1
x
= 1+0 = 1
olur.
Sonsuzda Limitin Olmadığı Durum
1.
x2 + x − 1
lim
= lim
x→±∞ 2x + 5
x→±∞
= lim
2x 2 +x−1
x2
2x+5
x2
x2
x2
+ xx2 − x12
2x
+ x52
x2
1 − x1 + x12
= lim
2
5
x→±∞
x − x2
x→±∞
1+0−0
0+0
1
=
0
=
=∞
olur.
LIMIT
Köklü İfadelerin Sonsuzdaki Limiti
1.
p
p
lim
6: Sonlu Limit
x→±∞
x2 + 1
= lim
x→±∞
x +1
x 2 +1
x
x+1
x
q
x 2 +1
x2
x+1
x
= lim
x→±∞
q
= lim
1 + x12
1 + x1
1+0−0
=
0+0
x→±∞
= ±∞
olur.
2.
lim (x 3 + 3x − 2) = 23 + 3.2 − 2 = 12
x→2
3.
lim
x→3
4.
1
1
= = ±∞
2x − 6 0
x2 − 4
(x − 2)(x + 2)
= lim
= lim (x + 2) = 4
x→2 x − 2
x→2
x→2
(x − 2)
lim
5. Aşağıdaki problemde
0
0
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
sağdakidaki işlemeleri yapalım:
¢ ¡p
¢
¡p
x −2
x +2
x −2
¡p
¢
lim
= lim
x→4 4 − x
x→2 (4 − x)
x +2
¢
¡p
= lim (4 − x) x + 2
p
x→4
=
6. Aşağıdaki problemde
∞
∞
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
sağdakidaki işlemeleri yapalım:
2 + x1
2x + 1
= lim
x→∞ x − 3
x→2 1 − 3
x
lim
=
2+0
1−0
=2
7. Aşağıdaki problemde
5
0
tanımsızlığı vardır. Tanımsızlık yokedilemez,
limit −∞ olur.
lim
x→0−
8.
Örnek 0.100.
5 − 2x
= −∞
3x
µ
¶
1
1
1
lim
−p
p
h→0 h
x
x +h
173
174
CALCULUS
1.
3.
5.
9.
x3 − 8
x→2 x − 2
2.
lim
2x 2 + 7x − 4
x→2
4x − 2
lim
x 3 − 4x
x→2 x 3 − 2x 2
|x|
7.
lim
+
x→0 x
4.
x 3 − 4x
x→2 x 3 − 2x 2
|x|
8.
lim
x→0− x
lim
6.
lim (1 − e 1/x )
10.
x→0+
x3 + 1
x→2 x + 1
3x + 15
lim 2
x→2 x − 25
lim
lim
lim (10−x )
x→∞
Grafiği Şekil 7 gibi olan f fonksiyonu
1. x = −4 noktasında tanımlı değildir.
2. limx→−4− f (x) = 2 = limx→−4+ f (x) olduğundan limit var ve değri 2 dir.
3. Fonksiyon değeri olmadığında x = −4 noktasında fonksiyon süreksizdir.
4. x = 1 noktasında limx→1− f (x) = −2 ve lim x → 1+ f (x) = 4 olduğundan
limit sol ve sağ limitler birbirlerinden farklıdır. Dolayısıyla limit yoktur
ve fonksiyon x = 1 noktasında süreksizdir.
5. x = 6 noktasında fonksiyon tanımlıdır ve f (6) = 2 dir. Oysa bu noktada
limx→6− f (x) = 5 = limx→6+ f (x) olduğundan, sağ ve sol limitler var
ve birbirlerine eşittir. Fonksiyonun limiti 5 ortak değeridir. Ama bu
noktada f (6) 6= 5 olduğundan fonksiyon süreksizdir.
1. Grafiği Şekil ?? gibi olan f fonksiyonu,
Figure 7: Sonsuza Giden Limit
(a) x = −1 noktasında sol ve sağ limitleri var ve farklı olduğu için,
fonksiyon sıçrayan bir süreksizliğe sahiptir. Sol limit 1, sağ limit 2
dir.
(b) x = 1 noktasında sğ ve sol limitler eşittir ve ortak değerleri olan 2
fonksiyonun limitidir. Bu noktada fonksiyon değeri f (1) = 3 olarak
tanımlanmıştır. Limit değeri fonksiyon değerinden farklı olduğu
için fonksiyon x = 1 noktasında süreksizdir.
(c) x = 2 noktasında sol limit 3, sağ limit −i n f t y olmaktadır. Bu
noktada sağ limit yok sayılır. Dolayısıyla fonksiyonun limiti yoktur,
fonksiyon süreksizdir.
2. Grafiği Şekil ?? gibi olan f fonksiyonu için,
(a) x = −2 noktasında sol ve sağ limitler var, birbirlerinden farklıdır,
Figure 8: Sonsuza Giden Limit
Fonksiyonun x = −2 noktasında limiti yoktur.
(b) f (−2) = 2 tanımlıdır.
(c) Limit olmadığı için fonksiyon x = −2 noktasında süreksizdir.
3. Grafiği Şekil ?? gibi olan f fonksiyonu için,
(a) x = 2 noktasında fonksiyon tanımsızdır.
Figure 9: Sıçrama noktası
LIMIT
175
(b) x = 2 noktasında sol ve sağ limitler var ve birbirleine eşittir.
Dolayısıyla limit var.
(c) x = 2 noktasında fonksiyon tanımsız olduğu için süreksizdir.
4. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) =
1
x
fonksiyonu için,
(a) f (0) tanımlı değildir. [Analiz sonsuz değerleri incelemez.]
(b) limx→0−
1
x
= −∞ ve limx→0+
1
x
= +∞ olduğundan sol ve sağ
limitler yoktur. Dolayısıyla fonksiyonun limiti yoktur.
(c) Limiti olmadığı için fonksiyon süreksizdir.
Figure 10: Sıçrama noktası
5. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) f (a tanımsızdır.
(b) sol ve sağ limitler var ve ortak değerleri A ya eşittir.
(c) Fonksiyon tanımsız olduğu için x = a noktasında süreksizdir.
Figure 11: Sıçrama noktası
6. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = 3 noktasında sol limiti l 1 sağ limiti l 2 dir. Bu
değerler farklı olduğu için limit yoktur.
(b) Limiti olmadığı için x = 3 noktasında fonksiyon süreksizdir.
Figure 12: Sıçrama noktası
7. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu
değerler eşittir.
(b) Limiti var ve için f (a) = L noktasında fonksiyon süreklidir.
Figure 13: Sıçrama noktası
8. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu
değerler eşittir.
Figure 14: Sıçrama noktası
(b) Limiti var ama için f (a) = m değerinden farklı olduğu için
fonksiyon süreksizdir.
9. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) fonksiyonu için,
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti L sağ limiti L dir. Bu
Figure 15: Sıçrama noktası
değerler eşittir.
(b) Limiti var ama için f (a) = L eşitliği olduğu için fonksiyon süreklidir.
10. Grafiği Şekil ?? gibi olan f (x) fonksiyonu için,
Figure 16: Sıçrama noktası
(a) fonksiyonun x = a noktasında sol limiti −∞ sağ limiti +∞ dir.sol
ve sağ limitler yoktur
(b) Fonksiyon bu noktada süreksizdir.
Figure 17: Sıçrama noktası
176
CALCULUS
Belisiz Şekiller
Aşağıdaki örneklerde 00 ,
∞
∞,
∞ − ∞, 0.∞, 00 , 1∞ , ∞0 belirsiz şekilleri
için limit bulma yöntemleri açıklanmıştır.
Bu tür problemlerin çözümü için izlenen genel yöntem, verilen
fonksiyon üzerinde, fonksiyon değerini değiştirmeyen uygun işlemler
yaparak belirsizliği yoketmektir.
1. Aşağıdaki problemde
0
0
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
3
x = 8 + h değişken değiştirimini yapalım: h → 0 iken x → 2 olduğunu
düşününüz.
p
p
3
3
8+h −2
x3 − 2
lim
= lim 3
x→∞
x→2 x − 8
h
x −2
= lim 3
x→2 x − 8
x −2
= lim
x→2 (x − 2)(x 2 + 2x + 4
1
= lim 2
x→2 (x + 2x + 4
1
=
(4 + 4 + 4)
1
=
12
2. Aşağıdaki problemde
0
0
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
paydanın eşleniği ile çarpalım:
p
p
t( 4+ t + 4− t)
lim p
= lim p
p
p
p
p
t →0 4 + t − 4 − t
t →0 ( 4 + t − 4 − t )(( 4 + t + 4 − t )
p
p
t( 4+ t + 4− t)
= lim
x→0 (4 + t ) − (4 − t )
p
p
t( 4+ t + 4− t)
= lim
x→0
2t
4
=
2
t
=2
3. Aşağıdaki problemde
∞
∞
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
pay ve paydayı en yüksek dereceli x’in parantezine alarak mümkün
kısaltmaları yapıyoruz:
¡
¢
x 4 − x7
4x − 7
³
´
lim
= lim
x→∞ 3x 2 + 4x − 3
x→∞ 2
x 3+ 4 − 3
x
7
x
x2
4−
³
´
x→∞
x 3 + x4 − x32
= lim
=
4
∞
=0
LIMIT
4. Aşağıdaki problemde 0.∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi düzenleyip köklü ifadenin eşleniği ile çarpalım:
p
µ
¶
1
1
1− 1+x
lim p
− 1 . = lim p
x→0
x x→0 x 1 + x
1+x
p
p
(1 − 1 + x)(1 + 1 + x)
= lim
p
p
x→0 x 1 + x(1 + 1 + x)
1 − (1 + x)
= lim p
p
x→0 x 1 + x(1 + 1 + x)
−1
= lim p
p
x→0 1 + x(1 + 1 + x)
−1
=
1(1 + 1)
1
=−
2
5. Aşağıdaki problemde 1∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi düzenleyip Teorem 0.96’yi uygulanabilir hale getirelim:
¶
µ
³ x ´2x
x + 1 −2x
= lim
x→∞ 1 + x
x→∞
x
¶ ¸
·µ
1 x −2
= lim 1 +
x→∞
x
lim
= e2
=
6. Aşağıdaki problemde
−∞
−∞
=
∞
∞
1
e2
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek
için ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim:
lim p
x→−∞
x
x2 + 1
= lim q
x→−∞
= lim p
x→−∞
= lim
x→−∞
x 2 (1 + x12 )
x
q
x 2 1 + x12
x
q
|x| 1 + x12
= lim q
x→−∞
= lim q
x→−∞
x
x
|x|
1 + x12
−1
1 + x12
, (x < 0)
= −1
7. Aşağıdaki problemde
∞
∞
belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi aşağıdaki gibi düzenleyelim:
177
178
CALCULUS
lim p
x→+∞
x
x2 + 1
= lim q
x→−∞
= lim p
x→+∞
= lim
x→+∞
x
x 2 (1 + x12 )
x
q
x 2 1 + x12
x
q
|x| 1 + x12
= lim q
x→+∞
= lim q
x→+∞
x
|x|
1 + x12
+1
1 + x12
, (x > 0)
= +1
8. Aşağıdaki problemde 1∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi düzenleyip Teorem 0.96’yi uygulanabilir hale getirelim:
¶
µ
³ x ´2x
x + 1 −2x
= lim
x→∞ 1 + x
x→∞
x
¶ ¸
·µ
1 x −2
= lim 1 +
x→∞
x
lim
= e2
=
1
e2
9. Aşağıdaki problemde ∞ − ∞ belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek
için ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:
L = lim f (x)
x→∞
p
= lim x 2 + 8x − 3 − (x + 2)
x→∞
³p
´ ³p
´
x 2 + 8x − 3 − (x + 2)
x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
= lim
p
x→∞
x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
2
2
x + 8x − 3 − x − 4x − 4
= lim p
x→∞
x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
4x − 7
= lim p
x→∞ x 2 + 8x − 3 + (x + 2)
x(4 + x7 )
= ³q
´
x
1 + x8 − x32 + 1 + x2
=
4
2
=2
10. Aşağıdaki problemde 00 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:
LIMIT
µ
L = lim
x→∞
1
x −2
¶1
x
1
1
= lim e x l n x−2
x→∞
=e
limx→∞
1
l n x−2
1
x
limx→∞
1
x−2
−1
x2
=e
=e
(L’hospital kuralı)
−∞
=0
11. Aşağıdaki problemde ∞0 belirsizliği vardır. Belirsizliği yoketmek için
ifadeyi aşağıdaki şekilde düzenleyelim:
1
L = lim (x) x
x→∞
1
= lim e x l nx
x→∞
= e limx→∞
= e limx→∞
=e
l nx
x
1
x
1
(L’hospital kuralı)
0
=1
12.
x 2 + 5x + 6
(x + 2)(x + 3)
= lim
x→2
x→2
x +2
x +2
lim
= lim (x + 3)
x→2
=5
Trigonometrik Fonksiyonlar
1. Trigonometrik fonksiyon içeren ifadelerin limitlerini alırken, bazen
uygun değişken değiştirimi ya da trigonometrik fonksiyonların yerine
denk ifadeleri koyma çözüme götürebilir.
sin x
=1
x→0 x
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
ÙA ise 0 < x <
x açısı radyan cinsinden M
π
2
iken sin x < x < tan x
olduğunu şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz:
179
180
CALCULUS
sin x
x
tan x
<
<
sin x sin x sin x
sin x
1
x
<
=
⇒1<
sin x sin x. cos x cos x
sin x < x < tan x ⇒
Son eşits,zliklerde limx→0 iken cendere kuralını uygularsak,
lim
x→0
1
x
= 1 ⇒ lim
=1
x→0 sin x
cos x
sin x
⇒ lim
=1
x→0 x
çıkar.
2.
lim
x→0
sin 5x
=5
x
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
µ
lim
x→0
¶
µ
¶
sin 5x
sin 5x
= lim 5
x→0
x
5x
¶
µ
sin 5x
= 5.1
= 5 lim
x→0
5x
=5
3.
lim
x→0
sin(ax) a
=
bx
b
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
¶µ
¶
µ
sin(ax)
ax
sin(ax)
a
lim
= .1
= lim
x→0
x→0
x→0 bx
bx
ax
b
a
=
b
lim
4.
lim
x→0
tan(ax)
=1
ax
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
µ
¶
tan(ax)
sin(ax)
1
= lim
= 1.1
x→0
x→0
ax
ax cos(ax)
lim
=1
5.
tan(ax) a
=
x→0 tan(bx)
b
lim
LIMIT
olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
¶ Ã
µ
tan(ax)
ax
. lim
lim
= lim
x→0
x→0 tan(bx)
x→0 bx
=
6.
tan(ax)
ax
tan(bx)
bx
!
a
b
t sin(t )
= −2
x→0 cos(t ) − 1
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Paydanın eşleniği ile çarpılıp
bölünürse,
t sin(t )
t sin t (cos t + 1)
=
cos(t ) − 1 (cos t − 1)(cos t + 1)
t sin t (cos t + 1)
=
− sin2 (t )
t
=−
(cos t + 1)
sin t
olur. Buradan limit alınırsa,
·
¶¸ ·
¸
µ
t sin(t )
t
= lim −
. lim (cos(t ) + 1) = (−1).2
x→0
x→0
cos(t ) − 1
sin(t )
= −2
çıkar.
7.
cos ax − cos bx) b 2 − a 2
=
x→0
x2
2
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
cos ax − cos bx) 1 2
1
1 4 6
= (b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
x2
2
24
720
olur. Buradan limit alınırsa,
lim
x→0
cos ax − cos bx)
x2
·
¸
¡ 6¢
1 2
1 2 4
1 4 6
2
4
6
= lim (b − a ) + x (a − b ) +
x (b − a ) + O x
x→0 2
24
720
=
çıkar.
b2 − a2
2
181
182
CALCULUS
8.
e x − 1)
=1
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
e x − 1)
x x2 x3
x4
x5
= 1+ +
+
+
+
+ +O x 6
x
2
6
24 120 720
olur. Buradan limit alınırsa,
e x − 1)
x→0
x
lim
·
¸
¡ ¢
x x2 x3
x4
x5
= lim 1 + +
+
+
+
+ +O x 6
x→0
2
6
24 120 720
=1
çıkar.
9.
e −ax − e −bx
= a +b
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
e −ax − e −bx
1
1
1
= (a + b) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3 + x 3 (a 4 − b 4 )
x
2
6
24
¡ ¢
1 4 5
1 5 6
+
x (a + b 5 ) +
x (a − b 6 ) + O x 6
120
720
olur. Buradan limit alınırsa,
e −ax − e −bx
=
x→0
x
·
¸
1
1
lim (a + b) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3
x→0
2
6
·
¸
¡ ¢
1 3 4
1
1
+ lim
x (a − b 4 ) +
x 4 (a 5 + b 5 ) +
x 5 (a 6 − b 6 ) + O x 6
x→0 24
120
720
lim
=b−a
çıkar.
10.
p
p
p
x −3
( x − 3)( x + 3)
lim
= lim
p
x→9 |x − 9|
x→9 |x − 9|( x + 9)
x −9
= lim
p
x→9 |x − 9|( x + 9)

x−9

p
x >9
= lim (x−9)( x+9)
x−9
x→9 −
p
x <9
(x−9)( x+9)
=±
1
6
limit yok, ama sol ve sağ limitler var.
LIMIT
11.
6x 2 − x + 5
x→∞ −2x 2 + 3x
lim
= lim
5
x 2 (6 + −1
x + x2 )
x→∞
=
x 2 (−2 + x3 )
6
= −3
−2
çıkar.
12.
lim
x→∞
2x − 5
3x 2 + 2x − 4
= lim
x→∞
=
x(2 − x5 )
x 2 (3 + x2 − x42 )
2
=0
∞
çıkar.
13.
lim
x→∞
−x 3 + 5x 2 − 2
2x 2 − x + 4
= lim
x→∞
=
x 3 (−1 + x5 − x23 )
x 2 (2 − x1 + x42 )
∞
=∞
2
çıkar.
14.
lim
x→∞
p
x 2 + 4x − 2 − (x − 1)
x 2 + 4x − 2 − (x − 1)2
= lim p
x→∞ x 2 + 4x − 2 + (x − 1)
6x − 3
= lim p
x→∞ x 2 + 4x − 2 + (x − 1)
x(6 − x3 )
= lim q
x→∞
x( 1 + x4 − x22 )
=
çıkar.
6
=6
1
183
184
CALCULUS
15.
µ
¶
1
−1 .
lim p
x
1+x
1
x→0
!
p
1− 1+x 1
= lim
.
p
x→0
x
1+x
Ã
!
p
1− 1+x
1
= lim
.p
x→0
x
1+x
µ
¶
1−1−x
1
= lim
.p
x→0
x
1+x
µ
¶
¶ µ
−x
1
= lim
. lim p
x→0 x
x→0 1 + x
1
= −1 + p
2
Ã
çıkar.
16.
x 2 + 2x − 3
x→0
x −1
lim
= lim
x→0
(x − 1)(x + 3)
(x − 1)
=4
çıkar.
17.
lim (3x − 1) ln(
x→∞
x +4
)
x +1
= lim
x+4
)
ln( x+1
x→∞
1
(3x−1)
−3(3x − 1)2
x→∞ −3(x + 4)(x + 1)
= lim
=9
çıkar.
18.
x +4
L = lim (3x − 1) ln
x→∞
x +1
µ
¶(3x−1)
x +4
= lim ln
x→∞
x +1
µ
u(x) =
x+4
x+1
¶
ve v(x) = 3x − 1 diyelim.
lim u(x).v(x) = λ =⇒ lim (1 + u(x))v(x) = e λ
x→∞
x→∞
sonucunu kullanarak
µ
L = lim (3x − 1) ln
x→∞
µ
= lim ln
x→∞
=9
çıkar.
x +4
x +1
x +4
x +1
¶(3x−1)
¶
LIMIT
19.
2x 3 + 16
x→−2 x 2 − 4x − 12
2(x 3 + 23 )
= lim
x→−2 (x + 2)(x − 6)
2(x + 2)(x 2 − 2x + 4)
= lim
x→−2
(x + 2)(x − 6)
2(x 2 − 2x + 4)
= lim
x→−2
(x − 6)
24
=
−8
L = lim
= −3
çıkar.
20.
p
2 − 6x−
lim
x→1 x 2 − 1
p
p
(2 − 6x − 2)(2 + 6x − 2)
= lim
p
x→1
(x 2 − 1)(2 + 6x − 2)
(4 − (6x − 2))
= lim
p
x→1 (x − 1)(x + 1)(2 + 6x − 2)
−6
=
(8)
3
=−
4
çıkar.
21. Aşağıdaki limit bulunurken
1
L = lim u(x) = 0 =⇒ lim u(x) u(x) = e
x→0
x→0
= lim u(x)v(x) = lim u(x)limx→0 v(x)
x→0
x→0
eşitlikleri kullanılmıştır.
¡
¢1
L = lim e x + x x
x→0
1
³
x ´x
= lim e x (1 + x )
x→0
e
1
³
x ´x
= lim e 1 + x
x→0
e
"
# 1x
ex
³
x ´x e
= e lim 1 + x
x→0
e
1
#
"
e x limx→0 e x
³
x ´x
= e lim 1 + x
x→0
e
= e.e 1
= e2
çıkar.
22. u = u(x) ile v = v(x) fonksiyonları sürekli türetilebilir ve limx→∞ u(x).v(x) =
λ ise
185
186
CALCULUS
lim (1 + u(x))v(x) = e λ
x→∞
bağıntısı vardır.
Kanıt: Limiti alınacak ifadenin doğal logaritmasını alırsak,
ln f (x) = v(x) ln (1 + u(x))
=
ln(1 + u(x)
1
v(x)
olur. x → ∞ iken yukarıdaki ifade
0
0
belirsiz biçimini alır. O halde
l’Hospital Kuralı uygulanabilir:
lim ln f (x) = lim ln [1 + u(x)]v(x)
x→∞
x→∞
= lim v(x). ln [1 + u(x)]
x→∞
= lim
ln[1 + u(x)]
x→∞
1
v(x)
u 0 (x)
[1+u(x)]
= lim −v 0 (x)
x→∞
v 2 (x)
p
p
p
x −3
( x − 3)( x + 3)
lim
= lim
p
x→9 |x − 9|
x→9 |x − 9|( x + 9)
x −9
= lim
p
x→9 |x − 9|( x + 9)

x−9

p
x >9
= lim (x−9)( x+9)
x−9
x→9 −
p
x <9
(x−9)( x+9)
=±
1
6
limit yok, ama sol ve sağ limitler var.
23.
25x 2 − 64
(5x − 8)(5x + 8
= lim
x→1.6 5x − 8
x→1.6
5x − 8
lim
= lim (5x + 8) = 16
x→1.6
24.
x 2 − 2x + 1
3
= lim
= lim (−3) = −3
x→0 x 2 + 2x − 1
x→0 −1
x→0
lim
25.
(x + 4)(x 2 − 4x + 16)
x 3 + 64
= lim
x→−4 x + 4
x→−4
x +4
lim
= lim (x 2 − 4x + 16) = 48
x→−4
LIMIT
26.
x 3 − 2x 2 − 4x + 8
(x + 4)(x 2 − 4)
= lim
4
2
x→2 x − 8x + 16
x→2
(x 2 − 4)2
1
1
= lim
=
x→2 x + 2
4
lim
27.
(1 + x)5 − (1 + 5x)
x→0
x2 + x5
L = lim
⇒ (1 + x)5 − (1 + 5x) = 1 + 5x + 10x 2 + 10x 3 + 5x 4 + x 5 − 1 − 5x
⇒ 10x 2 + 10x 3 + 5x 4 + x 5
x 2 (10 + 10x + 5x 2 + x 3 )
x→0
x 2 (1 + x 3 )
(10 + 10x + 5x 2 + x 3 )
= lim
x→0
(1 + x 3 )
(10 + 0 + 0 + 0)
= lim
x→0
(1 + 0)
= lim
= 10
28.
x −2
x2 − 4
(x − 2))
= lim
x→2 (x − 2)(x + 2)
L = lim
x→2
= lim (x + 2)
x→2
29.
sin2 x
x→0
x
µ
¶
sin x
= lim
sin x
x→0
x
µ
¶µ
¶
sin x
= lim
lim sin x
x→0 x
x→0
L = lim
= (1).(0) = 0
30.
sin2 x
x→0 x 2
µ
¶
sin x sin x
= lim
x→0
x
x
µ
¶µ
¶
sin x
sin x
= lim
lim
x→0 x
x→0 x
L = lim
= (1).(1) = 1
=4
187
188
CALCULUS
31.
µ
¶
1
x→ 6 1 + t an 2 x


1

= limπ 
2
x→ 6 1 + sin x
cos2 x
¶
µ
cos2 x
= limπ
x→ 6 cos2 x + sin2 x
à p !2
3
=
2
L = limπ
=
3
4
32.
¡
¢
L = limπ 2 sec2 x − 1
x→ 4
µ
2
−1
x→ 4 cos2 x
Ã
!
2 − 21
= limπ
1
¶
= limπ
x→ 4
µ
3/2
=
1/2
2
¶
=3
33.
L = limπ (cot x + csc x)
x→ 3
cos x
1
+
sin x
x→ 3 sin x
µ
¶
cos x + 1
= limπ
sin x
x→ 3
µ
¶
3/2
= p 2
3
p
= 3
µ
= limπ
34.
µ
µ ¶¶
1
L = lim x sin
x→0
x
¯
µ ¶¯
¯
1 ¯¯
≤ lim ¯¯x sin
x→0
x ¯
≤ lim (|x|)
x→0
=0
¶
LIMIT
35. L = limn→∞
p
n
x = 1 olduğunu gösretiniz.
¡p
¢
n
x
³ 1´
= lim x n
x→∞
³
´
1
= x limx→∞ n
L = lim
n→∞
= x0
=1
36. L = limn→0 sinx x = 1 olduğunu gösretiniz.
Çözüm: Trigoometrik oran ve uzunluklarla çözüm yapılabilir. Ama
L’Hospital kuralı en kolayıdır:
sin x
x
cos x
= lim
n→0 1
L = lim
n→0
= lim cos x
n→0
=1
olur.
x
37. L = limn→0 1−cos
= 0 olduğunu gösretiniz.
x
Çözüm: Trigoometride yarım açı formülleri ile doğrudan çözüm
yapılabilir. Ama L’Hospital kuralı en kolayıdır:
1 − cos x
x
sin x
= lim
n→0 1
L = lim
n→0
= lim sin x
n→0
=0
olur.
38. L = limn→0 e
x −1
x
= 1 olduğunu gösretiniz.
Çözüm: e x seriye açılarak çözüm yapılabilir. Ama L’Hospital kuralı en
kolayıdır:
ex − 1
n→0
x
ex
= lim
n→0 1
L = lim
= lim e x
n→0
= e0
olur.
39. L = limn→1
¡ x−1 ¢
ln x
= 1 olduğunu gösretiniz.
=1
189
190
CALCULUS
Çözüm: Ama L’Hospital kuralı en kolayıdır:
µ
¶
x −1
L = lim
n→1 ln x
à !
1
= lim 1
n→1
x
= lim x
n→1
=1
olur.
40. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
x2 − 4
n→2 x − 2
(x − 2)(x + 2)
= lim
n→2
x −2
L = lim
= lim x + 2
n→2
=4
olur.
41. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
p
L = lim
n→4
x −2
4−x
p
= lim
x −2
p
(2 − x)(2 + x)
p
= lim [−(2 + x)]
n→4
p
n→4
= −4
olur.
42. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
sin 3x
x
µ
¶
cos 3x
= lim 3
n→0
1
L = lim
n→0
= lim (3 cos 3x)
n→0
=3
olur.
43. Aşağıdaki limiti hesaplayınız.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
1 − cos x
x2
µ
¶
− sin x
= lim 3
n→0
2x
³ − cos x ´
= lim 3
n→0
2
1
=
2
L = lim
n→0
olur.
LIMIT
44. limx→0
³
e −ax −e −bx
x
´
= b − a olduğunu gösterinz.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
!
Ã
e −ax − e −bx
L = lim
x→0
x
Ã
!
−ae −ax − (−b)e −bx
= lim
x→0
1
µ
¶
0
−ae − (−b)e −0
= lim
x→0
1
=b−a
olur.
45. limx→0
³
a x −b x
x
´
= ln ab olduğunu gösterinz.
Çözüm: L’Hospital kuralı en kolayıdır:
µ
L = lim
x→0
ax − bx
x
¶
Ã
!
e x ln a − e x ln b
= lim
x→0
x
Ã
!
ln ae x ln a − ln be x ln b
= lim
x→0
1
= lim (ln ae 0 − ln be 0 )
x→0
= ln a − ln b
a
= ln
b
olur.
191
Süreklilik
Tanım 0.101. f fonksiyon x = a noktasında tanımlı ve
lim f (x) = f (a)
x→a
ise f fonksiyonu x = a noktasında sürekli’dir.
Tanım 0.102. Fonksiyonun sürekli olmadığı noktalarda fonsiyona
süreksiz’dir denilir.
I aralığının her noktasında sürekli olan fonksiyona I aralığı üzerinde
sürekli fonksiyondur denilir.
Sürekliliği, limittekine benzer olarak ², δ ile tanımlamak çoğunlukla
kullanılan bir yoldur:
Tanım 0.103. Her ² > 0 sayısına karşılık
|x − a| < δ =⇒ | f (x) − f (a)| < ²
(16)
olacak biçimde bir δ > 0 sayısı varsa, f fonksiyonu x = a noktasında
süreklidir.
Theorem 0.104.
p(x) = a n x n + a n−1 x n−1 + · · · + a 1 x + a 0
(17)
polinomu her a ∈ R noktasında süreklidir ve
lim p(x) = p(a)
(18)
x→a
olur.
Theorem 0.105. a noktasını içeren bir açık aralıktaki her x noktası için
h(x) ≤ f (x) ≤ g (x) ve lim h(x) = L = lim g (x) ise
x→a
x→a
lim f (x) = L
x→a
olur.
Theorem 0.106. a noktasını içeren bir açık aralıktaki her x noktasında
|g (x)| sınırlı ve
lim f (x) = 0 ise
¡
¢
lim f (x).g (x) = 0
x→a
x→a
194
CALCULUS
olur.
Theorem 0.107.
µ
¶
1
1+ ) = e
x→+∞
x
lim
olur.
Theorem 0.108.
lim f (x) = 0 ,
x→+∞
lim g (x) = +∞ ve
x→+∞
lim
¡
¢
f (x)g (x) = λ ise
lim
¡
1 + f (x)
x→+∞
x→+∞
¢g (x)
= eλ
olur.
Çözümlü Problemler
Süreklilik problemlerini çözerken, çoğunlukla, Tanım 0.103 tanımı yerine,
limit ve süreklilik özeliklerini kullanırız. Başka bir deyişle, fonksiyonun
x = a noktasında L limitinin olup olmadığına, L limiti varsa f (a) = L
olup olmadığı araştırılır. f (a) tanımsız ise, zaten limit olamaz, dolayısıyla
fonksiyon süreksiz olur. Bu kuralları uygularken şunları aklımızda tutmalıyız:
1. Polinomlar her yerde süreklidir.
2. Rasyonel fonksiyonlar, paydanın sıfır olmadığı yerlerde süreklidir.
3. Üslü ifadeler her yerde süreklidir.
p
n
u biçimindeki ifadelerde n çift ise u ≥ 0 olmalıdır.
p
p
2n+1
2n
u 2n = u,
u 2n+1 = a
5. u ≥ 0 ise
4.
6. u ≤ 0 ise
p
un = u
2n
7. sinus ve cosinus fonksiyonları her yerde süreklidir.
8. Trigonometrik ifadeler, paydanın sıfır olmadığı yerlerde süreklidir.
1. f (x) = x 2 fonksiyonu her noktada süreklidir.
Rasgele bir x = a ∈ R noktası seçelim. Fonksiyonun x = a noktasında
tanımlı ve değerinin f (a) olduğunu biliyoruz. Herhangi bir ² > 0sayısı
verilsin.
Tanım 0.103 uyarınca, her ² > 0 sayısına karşılık
|x − a| < δ =⇒ | f (x) − f (a)| < ²
(19)
olacak biçimde bir δ > 0 sayısı olduğunu göstermeliyiz.
|(x − a)(x + a)| < ² =⇒ |x 2 − a 2 | < ²
(20)
SÜREKLILIK
olduğunu düşünerek,
|(x − a)| < 1 =⇒ −1 < x − a < +1
(21)
terimlere 2a eklersek eşitsizlikler bozulmaz
2a − 1 < x + a < 2a + 1
(22)
|(x − a)| < 1 =⇒ |(x − a)||(x + a)| < (2a + 1)|x − a|
(23)
yazılabilir. Buradan
çıkar. Buradan da,
(2a + 1)|x − a| < 1 ∧ |(x − a)| < 1 =⇒ |x 2 − a 2 | < ²
(24)
olur ki bu (19) bağıntısının sağlanması demektir.
2.
f (x) =
x2 − 4
x −2
(25)
fonksiyonunun x = 2 noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz.
Çözüm: grafikten de görüldüğü gibi
lim−
x→2
x2 − 4 x2 − 4
=
f r ac(x − 2)(x + 2)x − 2
x −2
x −2
x2 − 4
=
(x + 2) = 4
x −2
(26)
(27)
olur. x = 2 noktasında f (x) fonksiyonunun limiti vardır, ama f (2)
tanımlı değildir. Dolayısıyla fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir.
1
3. y = 2 x fonksiyonu için
1
lim− 2 x = 0,
x→0
1
lim 2 x = ∞
x→0+
olduğundan, fonksiyon x = 0 noktasında süreksizdir.
4.
f (x) =
3x + 9
x2 − 9
(28)
fonksiyonunun x = −3 noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz.
lim
x→−3
3x + 9
= lim f r ac3(x + 3)(x − 3)(x + 3)
x 2 − 9 x→−3
= f r ac3x − 3 = −
1
2
(29)
olur. x = −3 noktasında f (x) fonksiyonunun limiti vardır, ama f (−3)
tanımlı değildir. Dolayısıyla fonksiyon x = −3 noktasında süreksizdir.
5.
f (x) =
x2 − 4
x −2
(30)
195
196
CALCULUS
fonksiyonunun x = 2 noktasında süreksiz olduğunu gösteriniz..
Çözüm: grafikten de görüldüğü gibi
lim−
x→2
x2 − 4 x2 − 4
=
f r ac(x − 2)(x + 2)x − 2
x −2
x −2
x2 − 4
=
(x + 2) = 4
x −2
(31)
(32)
olur. x = 2 noktasında f (x) fonksiyonunun limiti vardır, ama f (2)
tanımlı değildir. Dolayısıyla fonksiyon x = 2 noktasında süreksizdir.

 si nx , x 6= 0
x
f (x) =
1,
x =0
fonksiyonunun x = 1 noktasında sürekli olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
lim
x→0
si nx
=1
x
(33)
olduğunu biliyoruz. Tanımdan x = 0 noktasında f (0) = 1 verilmiştir. O
halde fonksiyon değeri vardır ve limite eşittir. Öyleyse fonksiyon x = 0
noktasında süreklidir.
Uyarı 0.109. Fonksiyon f (x) =
si nx
x
biçiminde tanımlanmış olsaydır,
f (0) tanımlı olmaz, dolayısyla fonksiyon x = 0 noktasında süreksiz
olurdu.
Alıştırmalar
1.

2x, x < 2
f (x) =
x 2 , x ≥ 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve aşağıdaki limitleri bulunuz.
(a) limx→2− f (x)
(b) limx→2+ f (x)
(c) limx→2 f (x)
(d) l i m x→1 f (x)
2.



x 3 − 1,
x <0


f (x) = 0,
x =0



p x + 1 − 2 x > 0
fonksiyonunun grafiğini çiziniz ve aşağıdaki limitleri bulunuz.
(a) limx→0− f (x) = limx→0− x 3 − 1 = −1
p
(b) limx→0+ f (x) = limx→0+ x + 1 = −1
(c) limx→0 f (x) = −1
(d) l i m x→−1 f (x) limx→−1 x 3 − 1 = −2
p
(e) l i m x→3 f (x) limx→3 x + 1 = 0
Türev
Tanım 0.110. y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x 0 ∈ (a, b)
olsun.
y 0 = f 0 (x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
(34)
limiti varsa, bu limit değeri f fonksiyonunun x = x 0 noktasındaki türevidir.
y = f (x) fonksiyonunun türevi,
y 0 , f 0 (x 0 ),
d f (x 0 ) d
,
f (x), D x f (x), D x y,
dx
dx
simgelerinden biriyle gösterilir.
Tanım 0.110’de h bir gerçel sayıdır. h → 0 olabilmesi için, h sayısı 0
sayısına soldan ya da sağdan istenildiği kadar yakın olabilir. Uygulamada
h sayısının çok küçük bir sayı olduğunu kabul etmek bir kısıtlama getirmez. x değişkeninin sola ya da sağa doğru istenildiği kadar küçük bir
hareketi, h = ∆x olmak üzere x + ∆x ile gösterilir.
h = ∆x alınırsa Tanım 0.110 şöyle de yazılabilir:
y 0 |x=x0 = f 0 (x 0 ) = lim
∆x→0
f (x 0 + ∆x) − f (x 0 )
∆x
(35)
Bir Aralıkta Türetilebilme
x 0 noktası için yapılan türev tanımını her x ∈ (a, b) noktasına yaymak
isteyelim. ∆x = h konumuyla, türevi
y 0 = f 0 (x) = lim
∆x→0
f (x + ∆x) − f (x)
∆x
(36)
biçiminde yazabiliriz. Bazen ∆x = x − x 0 konularak, türev
f 0 (x) = lim
x 0 →x
f (x) − f (x 0 )
(x − x 0 )
(37)
biçiminde de yazılabilir.
Tanım 0.111. (a, b) aralığındaki her x noktsı için 36 ya da ona denk olan
37 sağlanıyorsa, f fonksiyonu (a, b) aralığında türetilebilir (differentiable)
bir fonksiyondur.
198
CALCULUS
Soldan ve sağdan türev
Soldan ve sağdan limitler gibi soldan ve sağdan türevler de tanımlanabilir:
Tanım 0.112.
f 0 (x − ) = f 0 (x − 0) = lim−
h→0
f (x + h) − f (x)
h
değerine f fonksiyonunun soldan türevi,
Tanım 0.113.
f 0 (x + ) = f 0 (x + 0) = lim
h→0+
f (x + h) − f (x)
h
eğerine f fonksiyonunun sağdan türevi denilir.
x noktasında f fonksiyonunun türevinin olması için, o noktada soldan
ve sağdan türevlerinin var ve birbirlerine eşit olması gerekir.
Parçalı Türevlenebilme
Parçalı Süreklilik
Bir (a, b) aralığında incelenen fonkiyon, aralığın bazı noktalarında süreksiz olabilir. Süreksizlik noktaları c,d,e, . . . ise, fonksiyonu (a, c), (c, d ), (d , e), . . .
alt aralıklarında inceleriz.
Tanım 0.114. f fonksiyonu söz konusu alt aralıklarının her birinde sürekli
ise, f fonksiyonuna parçalı süreklidir, denilir.
Parçalı Türetilebilme
Tanım 0.115. Parçalı sürekli olduğu her aralıkta türevlenen fonksiyona
parçalı türetilebilir (sectional differentiable) fonksiyon denilir.
Diferensiyel
y = f (x) fonksiyonu (a, b) aralığında tanımlı ve x ∈ (a, b) noktasına
verilen bir ∆x artmasıyla elde edilen
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
(38)
değerine x’in ∆x artmasına karşılık gelen fonksiyon artması denilir.
(Tabii, her iki artım negatif yönde de olabilir.)
f fonksiyonu (a, b) aralığında sürekli, türetilebilir ve birinci türevi
sürekli ise,
y0 =
dy
= f 0 (x)
dx
(39)
eşitliğini
d y = f 0 (x)d x
(40)
TÜREV
biçiminde yazabiliriz. (40) ifadesine f fonksiyonunun diferensiyeli
denilir. Bu ifadede ∆x = d x değerlerinin istenildiği kadar küçük ama
0’dan farklı olduğunu unutmayacağız.
Diferensiyeli bazı sayıların yaklaşık değerlerini bulmak için kullanabiliriz. Bunun için, önce yaklaşık değeri verecek bir formül oluşturalım.
∆y = f (x + ∆x) − f (x)
(41)
olduğunu düşünerek (40) ifadesini
f (x + ∆x) ≈ f 0 (x)∆x + f (x)
(42)
biçiminde yazalım. Bu istenen yaklaşık değerleri verecektir.
p
Örnek 1: 28 sayısının yaklaşık değerini bulalım. 28 sayısına en
yakın olarak karekökünü tam bildiğimiz sayı 25 dir. O halde x = 25 ve
∆x = 28 − 25 = 3 alarak (42) ifadesini
p
p
1
28 ≈ p .(3) + 25
2 25
biçiminde yazabiliriz. Buradan
p
1
3
28 ≈
.(3) + 5 =
+ 5 = 0.3 + 5 = 5.3
2.5
10
bulunur.
Örnek 2:
p
p
3
21 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = 3 x fonksiy-
onunu kullanabiliriz. 21 sayısına en yakın olarak küp kökünü tam
bildiğimiz sayı 27 dir. O halde x = 27 ve ∆x = 21 − 27 = −6 alarak, (42)
ifadesini
p
p
¡
¢0
3
3
21 ≈ x 1/3 .(−6) + 27
¢
1¡
= 27(1/3)−1 .(−6) + 3
3
1
= 27−2/3 .(−6) + 3
3
1
.(−6) + 3
= p
3
3 272
1
=
.(−6) + 3
3.3.3
= 2, 778
bulunur.
Örnek 3:
p
p
98 sayısının yaklaşık değerini bulmak için y = x fonksiy-
onunu kullanabiliriz. 98 sayısına en yakın olarak kare kökünü tam
bildiğimiz sayı 100 dür. O halde x = 100 ve ∆x = 98 − 100 = −2 alarak, (42)
199
200
CALCULUS
ifadesini
p
p
¡
¢0
98 ≈ x 1/2 .(−2) + 100
¢
1¡
= x (1/2)−1 .(−2) + 10
2
1
= 100−1/2 .(−2) + 10
2
1
.(−2) + 10
= p
2 100
1
=
.(−2) + 10
2.10
≈ 9.7
bulunur.
Genel olarak, ∆y 6= d y dir. Ancak, verilen koşullar altında ∆x = d x çok
küçük kılındığında ∆y → d y olduğu varsayılabilir.
Diferensiyel kavramı x değişkeni için de ifade edebilir. Özel olarak, y =
f (x) = x alınırsa ∆x = d x ifadesine x değişkeninin diferensiyeli diyebiliriz.
Tabii, d x’in küçük olaması d y’nin de küçük olmasını gerektirmez. (36) ile
(38) eşitliklerinden hareketle
dy
f (x + ∆x) − f (x)
= f 0 (x) = lim
∆x→0
dx
∆x
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
(43)
(44)
yazabiliriz. Burada şuna dikkat etmeliyiz. d x ile d y ifadeleri ∆x → 0
iken elde edilen değerler değildir. Çünkü d x ile d y ifadeleri 0 değilken
yukarıdaki limitler 0 olabilir.
Türev Kuralları
Theorem 0.116.
1. Sabit fonksiyonun türevi 0’dır: her x için y = f (x) = c ise
y0 =
df
(c) = 0
dx
olur.
2. Her n ∈ N için y = x n fonksiyonunun türevi y 0 = nx n−1 dir.
3. Her c sabiti için y = c f (x) fonksiyonunun türevi y 0 = c f 0 (x) dir.
4. y = f (x) ± g (x) için y 0 = f 0 (x) ± g 0 (x)’dir.
5. y = f (x).g (x) için y 0 = f 0 (x).g (x) + f (x).g 0 (x)’dir.
6. y = g o f (x) = g ( f (x)) için y 0 = g 0 ( f (x)). f 0 (x)’dir.
7.
y=
dir.
f (x)
f 0 (x).g (x) − g 0 (x)i f (x)
=⇒ y 0 =
¡
¢2
g (x)
g (x)
TÜREV
Özel Fonksiyonların Türevleri
Ters Fonksiyonun Türevi
y = f (x) ise x = f −1 f (y) bağıntısından
1
dy
= dx
dx
(45)
dy
bağıntısı elde edilir.
Zincir Kuralı
¡
¢
f (x) ile g (x) türetilebilie iki fonksiyon ve y = F (x) = f og (x) = f g (x) ise
y0 =
¡
¢
d
(F (x)) = f 0 g (x) g 0 (x)
dx
(46)
olduğunu gösteriniz.
F (x + ∆x) − F (x)
∆x
µ
¶
∆y
= lim
∆x→0 ∆x
µ
¶
∆y ∆u
= lim
.
∆x→0 ∆u ∆x
¶ µ
¶
µ
∆u
∆y
. lim
= lim
∆x→0 ∆x
∆x→0 ∆u
d y du
=
du dx
y 0 = lim
∆x→0
= f 0 (u).g 0 (x)
= f 0 (g (x)).g 0 (x)
Parametrik Fonksiyonun Türevi
x = g (u) ve y = f (t ) fonksiyonları türetilebilir ve f (x) fonksiyonunun
t = f −1 ters fonksiyonu sürekli türetilebilir ise,
y0 =
=
dy d f
=
=
dx dg
df
dt
dg
dt
f 0 (t )
g 0 (t )
(47)
(48)
olur.
Türev kurallarının benzerleri diferensiyeller için de uygulanabilir:
¡
¢
d f (x) + g (x) = d f (x) + d g (x)
= f 0 (x)d x + g 0 (x)d x
¡
¢
= f 0 (x) + g 0 (x) d x
(49)
(50)
201
202
CALCULUS
¡
¢
d f (x).g (x) = f (x).d g (x) + d f 0 (x).g (x)
= f (x).d g (x) + g (x)d f (x)
¡
¢
= f (x).g 0 (x) + g (x) f 0 (x) d x
(51)
(52)
y = ex
y0 =
d ¡ x¢
e = ex
dx
(53)
olduğunu gösteriniz.
e x+h − e x
h→0
h
Ã
!
x h
e (e − 1)
= lim
h→0
h
!
Ã
(e h − 1)
x
= e lim
h→0
h
y 0 = lim
l’Hopital
= e x .1
= ex
Logaritma Fonksiyonunun Türevi
y = ln x
d
1
(ln x) =
dx
x
(54)
olduğunu gösteriniz.
y = ln x fonksiyonunun türevini bulmak için
µ
¶x
h h
lim 1 +
=e
h→0
x
eşitliğini kullanacağız. Türev tanımında logaritma farkları için bilinen
eşitliği kullanırsak,
µ
¶
ln(x + h) − ln x 1
x +h
= . ln
h
h
x
µ
¶
1 x
h
= . . ln 1 +
x h
x
µ
¶x
1
h h
= . ln 1 +
x
x
Buradan limite geçersek,
logaritmaların farklı
x ile çarp ve böl
kuvvetin logaritması
TÜREV
ln(x + h) − ln x
h
¶x
µ
h h
1
= lim . ln 1 +
h→0 x
x
"
µ
¶x #
h h
1
= . ln lim 1 +
h→0
x
x
y 0 = lim
h→0
1
1
. ln e = .1
x
x
1
=
x
=
olur.
y = ax
y0 =
d ¡ x¢
a = a x . ln a
dx
(55)
olduğunu gösteriniz
a x+h − a x
h→0
h
!
Ã
x h
a (a − 1)
= lim
h→0
h
Ã
!
(a h − 1)
= a x lim
h→0
h
Ã
!
(e h ln a − 1)
x
= a lim
h→0
h
Ã
!
ln a.e h ln a
x
= a lim
h→0
1
y 0 = lim
l’Hopital
= a x . ln a
y = loga x
y = loga x fonksiyonunun türevi, y =
l nx
ln a
ile (54) eşitliklerinden, kolayca
hesaplanabilir:
y = l og a x ⇐⇒ y =
l nx
ln a
bağıntısı kullanılırsa
µ
¶
d l nx
d x ln a
1
=
x.l nx
y0 =
çıkar.
Köklü İfadelerin Türevi
y=
p
x fonksiyonunun türevini değişik yöntemlerle bulabiliriz:
203
204
CALCULUS
Türev tanımından:
y0 =
d p
x
dx Ã
p
p !
x +h − x
= lim
h→0
h
à p
p
p
p !
( x + h − x).( x + h + x)
= lim
p
p
h→0
h( x + h + x)
µ
¶
x +h −x
= lim
p
p
h→0 h( x + h + x)
µ
¶
h
= lim
p
p
h→0 h( x + h + x)
µ
¶
1
= lim p
p
h→0
x +h + x
1
= p
2 x
çıkar.
Üstel Fonksiyonun Türevinden :
1
1
d ³ 1´
1 1
1
x 2 = ( )x 2 −1 = ( )x − 2 =
1
dx
2
2
2x 2
1
= p
2 x
y0 =
Ters Fonksiyonunun Türevinden :
y=
p
x =⇒ x = y 2
bağıntısından
dx
dy
1
dy
1
= 2y =⇒
=
=⇒
= p
dy
dx
2y
dx
2 x
çıkar.
Üstel Fonksiyonun Türevi
u = u(x) olmak üzere y = f (x) = e u(x) fonksiyonunun türevi:
dy
du
= e u(x)
dx
dx
(56)
u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = a u(x) fonksiyonunun türevi:
du
dy
= a u(x) . ln a.
dx
dx
(57)
u = u(x) olmak üzere y = f (x) = l og e (u(x)) fonksiyonunun türevi:
dy
d
1 du
=
l og e (u(x)) =
dx dx
u dx
(58)
u = u(x), a > 0 olmak üzere y = f (x) = l og a (u(x)) fonksiyonunun
türevi:
dy
d
l og a e d u
=
l og a (u(x)) =
dx dx
u dx
(59)
TÜREV
Alıştırmalar
1. f (x) = x 3 fonksiyonu için
d
dx
f (x) türevini bulunuz.
Çözüm: Türev tanımı uygulanırsa uygulanırsa
d 3
f (x + ∆x) − f (x)
x = lim
∆x→0
dx
∆x
x 3 + 3x 2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3 − x 3
= lim
∆x→0
∆x
3x 2 ∆x + 3x(∆x)2 + (∆x)3
= lim
∆x→0
∆x
3x 2
= lim
∆x→0 1
= 3x 2
2.
y = 2x 3 − 4x 2 + 3x − 5
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki 1,2 ve 4.kural uygulanırsa
y 0 = (2x 4 )0 − (4x 2 )0 + (3x)0 − (5)0
= 2(x 3 )0 − 4(x 2 )0 + 3(x)0 − 0
= 2.3x 3−1 − 4.2x 2−1 + 3.1
= 6x 2 − 8x + 3
bulunur.
3.
p
y = f (x) = ( x + 2x)(4x 2 − 1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa,
p
1
f 0 (x) = ( p + 2)(4x 2 − 1) + x + 2x)(8x)
2 x
p
p
p
(1 + 2.2 x)(4x 2 − 1) + 2 x 8x( x + 2x)
=
p
2 x
p
(4x 2 − 1 + 16x 5/2 − 4 x + −4x + 16x 2 + 32x 5/2
=
p
2 x
=
48x 5/2 + 20x 2 − 4x 1/2 − 1
p
2 x
4.
y = f (x) = (x 2 + l n(x + 1)(4x 2 − 1)
fonksiyonunun birinci ve ikinci basamaktan türevlerini bulunuz.
205
206
CALCULUS
Çözüm: Çarpımın türevi kuralı uygulanırsa,
f 0 (x) = (x 2 )0 .l n(x + 1) + x 2 (l n(x + 1))0
1
.(x + 1)0
x +1
1
= 2x.l n(x + 1) + x 2
.1
x +1
x2
= 2x.l n(x + 1) +
x +1
= 2x.l n(x + 1) + x 2
f 00 (x) = (2x.l n(x + 1))0 +
µ
x2
x +1
¶0
1
2x.(x + 1) − x 2 .1
.1 +
x +1
(x + 1)2
2
2x
x + 2x
= 2.l n(x + 1) +
+
x + 1 (x + 1)2
= 2l n(x + 1) + 2x
Örnek 0.117. 1.
f (x) = (x − 1)4
Figure 19: Sıçrama noktası
(60)
3
f (x) =
x
x −1
(61)
f (x) = (3x + 1)101
µ
¶
1 − x 11
f (x) =
1+x
x
f (x) =
2
(1 + x) (1 − x)2
p
f (x) = x 1 − x 2
r
x +1
f (x) =
x −1
Figure 20: Sıçrama noktası
(62)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
Figure 21: Sıçrama noktası
l’Hôpital Kuralı
Theorem 0.118. f ile g türetilebilir ve
lim
Figure 22: Sıçrama noktası
x→c
f (c) 0
=
g (c) 0
ya da lim
x→c
f (c) ∞
=
g (c) ∞
belirsizlikleri oluşuyorsa
lim
x→c
f (x)
f 0 (x)
= lim 0
g (x) x→c g (x)
eşitliği vardır.
Figure 23: Sıçrama noktası
L’Hôpital Kuralı uygulamada limit bulmayı çok kolaylaştırır.
TÜREV
Örnek 1:
lim
x→0
sin x
cos x
= lim
=1
x→0 1
x
Örnek 2:
lim
x→0
sin(2x)
2 cos(2x)
= lim
sin(3x) x→0 3 cos(3x)
2.1
=
3.1
2
=
3
Örnek 3: Bu problemde L’Hôpital Kuralını art arda iki kez uyguluyoruz.
¶
µ
¶
2x + 2
x 2 + 2x − 8
= lim
lim
x→2 4x + 2
x→2 2x 2 + 2x − 12
µ ¶
2
= lim
x→2 4
2
=
4
1
=
2
µ
Örnek 4: a ∈ R ise;
µ
lim
x→0
¶
µ ax ¶
ae
e ax − 1
= lim
x→0
x
1
³a´
= lim
x→0 1
=a
olur.
Örnek 5: a ∈ R ise;
µ
lim
x→0
¶
µ ax ¶
e ax − 1
ae
= lim
x→0
x
1
³a´
= lim
x→0 1
=a
olur.
Örnek 6:
µ
lim
x→0
¶
µ
¶
cos x − 1
si nx
= lim
x→0
x
1
µ ¶
0
= lim
x→0 1
=0
olur.
Örnek 7:
à !
¶
x −1
1
lim
= lim 1
x→1 ln x
x→1
x
µ
= lim (x)
x→1
=1
207
208
CALCULUS
Örnek 8: Bazı problemlerde 0.∞ belirsizliği 0/0 ya da ∞/i n f t y belirsizliklerine dönüştürülerek L’Hôpital Kuralı uygulanabilir.
!
Ã
ln x
lim (x ln x) = lim
1
x→0+
x→0+
Ã
= lim
x→0+
x
1
x
−1
x2
!
= lim (−x)
x→0+
=0
Örnek 9: Bazı problemlerde ∞ − ∞ belirsizliği 0/0 ya da ∞/i n f t y
belirsizliklerine dönüştürülerek L’Hôpital Kuralı uygulanabilir.
Ã
!
ln x
lim (x ln x) = lim
1
x→0+
x→0+
Ã
= lim
x→0+
x
1
x
−1
x2
!
= lim (−x)
x→0+
=0
¶
µ
1 − cos x
x − sin x
= lim
lim
x→0
x→0
x3
3x 2
µ
¶
− sin x
= lim
x→0
6x
³ − cos x ´
= lim
x→0
6
1
=
6
Örnek 10:
lim x 3 ln x = lim
x→0
ln x
1
x3
1
= lim x3
x→0 −
x4
3
x→0
= lim −
x→0
x
3
=0
Örnek 11:
µ
¶
x − sin x
1 − cos x
lim
= lim
x→0
x→0
x3
3x 2
¶
µ
− sin x
= lim
x→0
6x
³ − cos x ´
= lim
x→0
6
1
=
6
TÜREV
Örnek 12:
lim x 3 ln x = lim
ln x
1
x3
1
= lim x3
x→0 −
x4
3
x→0
x→0
= lim −
x→0
x
3
=0
Örnek 13:
3x − 2x
3x ln 3 − 2x ln 2
= lim
x→0
x→0
x
1
lim
= lim ln 3 − ln 2
x→0
= ln
3
2
Örnek 13:
x3
x→∞ e 2x
3x 2
= lim
x→∞ 2e 2x
6x
= lim
x→∞ 4e 2x
6
= lim
x→∞ 8e 2x
lim x 3 e −2x = lim
x→∞
=0
Örnek 13:
lim (sin x)1/ ln x = e
x→0+
olduğunu gösteriniz.
lim (sin x)1/ ln x = lim e
x→0+
ln(sin x)
ln x
x→0+
h
limx→0+
=e
ln(sin x)
ln x
i
·
limx→0+
cos x
sin x)
1
x
¸
=e
£
limx→0+
x cos x
sin x
¤
=e
£
limx→0+
cos x−x sin x
cos x
=e
= e1
=e
¤
209
210
CALCULUS
Problemler
1.
y = t anx
3.
y = sec2x
3
2.
y = cot 5x
4.
y = c sc6x
5.
y = c sc(x − 1)
6.
y = t an(x 2 − 3x
7.
y = cot (x 2 − x)
8.
9.
3
12.
13.
y = sec (x − 3)
p
y = t an 2 x 2 − 2x
p
y = cot 2 x 4 − x + 2x
y = c sc6x
p
y = c sc 2 x 2 + 4x
p
3
y = cot 3 x 3 − 3x
14.
y = sec 3 (x 3 + 3) + x
15.
y = c sc 2 (3x) + 5x
16.
y = 2x + t an 3 (x + 1)
17.
y = xt an 2 (x 2 − x)
p
y = x 2 sec 2 x 2 + 6x
18.
y = x 2 cot 3 (2x − 5)
p
y = xsec 4 x 2 + 6x
11.
19.
2
10.
20.
Çözümlü Problemler
1.
¶
µ
16t an 3 (x)
d
1
=
d x 1 − sin4 (x)
(cos(2x) − 3)2
olduğunu gösteriniz
2.
¢ 1
d ¡ x/2
e sin(ax) = e x/2 (sin(ax) + 2a cos(ax)) +C
dx
2
olduğunu gösteriniz
3.
d ¡ x¢
x = x x (ln x + 1) +C
dx
olduğunu gösteriniz
4.
lim x 2 ln x = lim
x→0+
x→0+
ln x
= lim (ln x + 1) +C
1/x 2 x→0+
olduğunu gösteriniz
Zor Limit Problemleri
0 ∞
0, ∞,
∞ − ∞, 1∞ , ∞0 , 0.∞ gibi belirsiz ifadelerin limitlerini bulmak
için genel geçerli bir yöntem yoktur. Çoğunlukla şu eylemlerden birisini
yaparız:
1. Değişken değiştirimi
2. Trigonometrik fonksiyonları yarım açı vb. formülleri kullanarak denk
ifadelerle değiştirme,
3. Mümkünse cendere teoremini uygulama
4. Limiti alınacak fonksiyonu ilgili noktada taylor serisine açma
TÜREV
Bu yöntenler bazı fonksiyonlar için zor işlemleri gerektirebilir. Ama
l’Hôpital Kuralı işlemleri çok basitleştirir. Aşağıdaki örneklerin bazılarında
önce ilk üç yöntemden birisi uygulanmış, sonra l’Hôpital Kuralı ile aynı
işlem tekrarlanmıştır. Örneklerden de görüldüğü gibi, l’Hôpital Kuralı
limit bulmak için çok elverişli bir yöntemdir.
1.
sin x
=1
x→0 x
lim
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm :
ÙA ise 0 < x <
x açısı radyan cinsinden M
π
2
iken sin x < x < tan x
olduğunu şekilden görebiliyoruz. Bu eşitsizliklerden şunları yazabiliriz:
sin x
x
tan x
<
<
sin x sin x sin x
sin x
1
x
<
=
⇒1<
sin x sin x. cos x cos x
sin x < x < tan x ⇒
Son eşits,zliklerde limx→0 iken cendere kuralını uygularsak,
1
x
= 1 ⇒ lim
=1
x→0 cos x
x→0 sin x
sin x
⇒ lim
=1
x→0 x
lim
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
sin x
cos x 1
= lim
= =1
x→0 1
x
1
2.
lim
x→0
sin 3x
=3
x
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm:
sin 3x
sin 3x
= lim 3
x→0
x→0
x
3x
sin 3x
= lim 3
x→0
3x
lim
=3
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
sin 3x
3 cos 3x 3
= lim
= =3
x→0
x
1
1
211
212
CALCULUS
3.
lim
x→0
1 − cos x 1
=
x2
2
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm:
"
¡
¢#
1 − cos2 (x/2) − sin2 (x/2)
1 − cos x
= lim
lim
x→0
x→0
x2
x2
· 2
¸
1 sin (x/2)
1
= lim
= .1
x→0 2
(x/2)2
2
1
=
2
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
1 − cos x
sin x
= lim
2
x→0
x→0 2x
x
cos x
= lim
x→0 2
1
=
2
lim
4.
1 − cos x
=0
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1.Çözüm:
£
¤
1 − cos2 (x/2) − sin2 (x/2)
1 − cos x
lim
= lim
x→0
x→0
x
x
·
¸
2 sin2 (x/2)
= lim
x→0
x
·
¸ ·
¸
sin(x/2)
= lim sin(x/2) . lim
x→0
x→0 (x/2)
= 0.1
=0
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
1 − cos x
sin x
= lim
x→0
x→0 1
x
0
= =0
1
lim
5.
lim (x − 3) csc(πx) = −
x→3
1
π
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 3 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
TÜREV
x −3
sin(πx)
¡
¢
1 1
7
31
= − − π(x − 3)2 −
(π)3 (x − 3)4 −
(π)5 (x − 3)6 + O (x − 3)7
π 6
360
15120
(x − 3) csc(πx) =
olur. Buradan limit alınırsa,
¸
·
¢
¡
1 1
7
31
lim (x − 3) csc(πx) = lim − − π(x − 3)2 −
π(x − 3)4 −
(π)5 (x − 3)6 + O (x − 3)7
x→3
x→0
π 6
360
15120
1
=−
π
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
x −3
sin(πx)
1
= lim
x→0 π cos(πx)
1
=− =0
π
lim (x − 3) csc(πx) = lim
x→3
x→0
6.
lim
x→0
sin x − x
1
=−
x3
6
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
1
sin x − x
x2
x4
=− +
−
+ O x6
3
x
6 120 5040
olur. Buradan limit alınırsa,
·
¸
¡ 6¢
sin x − x
1
x2
x4
=
lim
−
+
−
+
O
x
x→0
x→0
x3
6 120 5040
1
=−
6
lim
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
7.
sin x − x
cos x − 1
= lim
x→0
x3
3x 2
− sin x
= lim
x→0 6x
− cos x
= lim
x→0
6
1
=−
6
cos ax − cos bx) b 2 − a 2
=
x→0
x2
2
lim
213
214
CALCULUS
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
1
1 4 6
cos ax − cos bx) 1 2
= (b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
2
x
2
24
720
olur. Buradan limit alınırsa,
lim
x→0
cos ax − cos bx)
x2
·
= lim
x→0
=
¸
¡ ¢
1
1 4 6
1 2
(b − a 2 ) + x 2 (a 4 − b 4 ) +
x (b − a 6 ) + O x 6
2
24
720
b2 − a2
2
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
lim
x→0
−a sin(ax) + b sin(bx)
cos ax − cos bx)
= lim
2
x→0
x
2x
−a 2 cos(ax) + b 2 cos(bx)
= lim
x→0
2
−a 2 + b 2
= lim
x→0
2
b2 − a2
=
2
8.
e x − 1)
=1
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
¡ ¢
e x − 1)
x x2 x3
x4
x5
= 1+ +
+
+
+
+ +O x 6
x
2
6
24 120 720
olur. Buradan limit alınırsa,
e x − 1)
x→0
x
lim
·
¸
¡ ¢
x x2 x3
x4
x5
= lim 1 + +
+
+
+
+ +O x 6
x→0
2
6
24 120 720
=1
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
e x − 1)
ex
= lim
x→0
x→0 1
x
e0
=
1
lim
=1
TÜREV
9.
e −ax − e −bx
= a +b
x→0
x
lim
olduğunu gösteriniz.
1. Çözüm: İfadede
0
0
belirsizliği vardır. Fonksiyon x = 0 komşuluğunda
Taylor serisine açılırsa,
e −ax − e −bx
1
1
1
= (b − a) + x(a 2 − b 2 ) + x 2 (a 3 + b 3 + x 3 (a 4 − b 4 )
x
2
6
24
¡ ¢
1 4 5
1 5 6
+
x (a + b 5 ) +
x (a − b 6 ) + O x 6
120
720
olur. Buradan limit alınırsa,
e −ax − e −bx
=
x→0
x
·
¸
1
1 2 3
2
2
3
lim (b − a) + x(a − b ) + x (a + b
x→0
2
6
¸
·
¡ ¢
1
1
1 3 4
x (a − b 4 ) +
x 4 (a 5 + b 5 ) +
x 5 (a 6 − b 6 ) + O x 6
+ lim
x→0 24
120
720
lim
=b−a
çıkar.
2.Çözüm : (l’Hôpital Kuralı)
e −ax − e −bx
−ae ax + be −bx
= lim
x→0
x→0
x
1
b−a
=
1
lim
=b−a
10.
f (x) =
3+x
3−x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
(3 − x) − (−1)(3 + x)
3 − x2
6
=
3 − x2
f 0 (x) =
11.
f (x) =
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm:
p
(2x − 1)
215
216
CALCULUS
1
2
f 0 (x) = (2x − 1) 2 −1
2
1
=
1
(2x − 1) 2
1
=p
(2x − 1)
1
f 0 (9) =
3
12.

x sin( 1 ), x 6= 0
x
f (x) =
0,
x =0
fonksiyonu
(a) x = 0 noktasında sürekli midir?
(b) x = 0 noktasında türetilebilir mi?
Çözüm:
(a)
1
lim |x sin( )| ≤ lim |x|
x→0
x
x→0
=0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında limiti vardır.
(b)
f (0 + h) − f (0)
h→0
h
h sin( h1 ) − 0
= lim
h→0
h
1
= lim sin( )
h→0
h
f 0 (0) = lim
l i mi t yok
O halde f fonksiyonunun x = 0 noktasınada türevi yoktur.
13.
f (x) = |x|
fonksiyonu için
(a) x = 0 noktasında limit var mıdır?
(b) x = 0 noktasında sürekli midir?
(c) x = 0 noktasında türetilebilir mi?
(d) f fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
TÜREV
(a) Sağ ve sol limitlere bakalım:
lim |x| = lim− (−x) = 0
x→0−
x→0
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında soldan limiti vardır.
lim |x| = lim (+x) = 0
x→0+
x→0+
olduğundan f fonksiyonunun x = 0 noktasında sağdan limiti vardır.
Soldan ve sağdan limitler eşit olduğundan, f fonksiyonunun x = 0
noktasında limiti vardır ve bu limit L = 0 dır.
(b) f (0) tanımlı ve limite eşit olduğundan; yani f (0) = 0 = L olduğundan, fonksiyon x = 0 noktasında süreklidir.
(c) Sol ve sağ türevlere bakalım:
f (0 + h) − f (0)
h
−h
= lim−
h→0 h
h
= − lim−
h→0 h
f −0 (0) = lim−
h→0
= −1
ve
f (0 + h) − f (0)
h
h
= lim
h→0+ h
f +0 (0) = lim
h→0+
= − lim 1
h→0+
= +1
olur. Sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit olmadığından , f
fonksiyonunun x = 0 noktasında türevi yoktur.
(d) f (x) = |x| fonksiyonunungrafiği Şekil deki gibidir.
Alıştırmalar
Örnek 0.119.
f (x) = 3x −2 − 5x −3 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak,
f 0 (x) = (−2)3x −2−1 − (−3)5x −3−1
= −6x −3 + 15x −4
=
bulunur.
Örnek 0.120.
−6 15
+
x3 x4
217
218
CALCULUS
f (x) =
1
x
+ x22 + x33 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üstel fonksiyon türevi olarak,
f 0 (x) =
¢
d ¡ −1
x + 2x −2 + 3x −3
dx
= (−1)x −1−1 + (−2)2x −2−1 + (−3)3x −3−1
=
−1 −4 −9
+ 3 + 4
x2
x
x
bulunur.
Örnek 0.121.
f (x) = (1 − x 2 )(2 − x 2 ) fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Parantezleri açıp problemi bir polinomun türevinin alınması
haline getitebiliriz.
f 0 (x) =
¢
d ¡ 4
−x + x 2 + 2
dx
= (−4)x 4−1 + (2)x 2−1 + 0
= −4x 3 + 2x
olur.
Örnek 0.122.
f (x) = (1 − x −5 )2 fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Üsttleri düzenleyip üstel fonksiyonun türev formülünü
uygulayabiliriz.
d
dx
d
=
dx
¡
¢
(1 − x −5 )2
f 0 (x) =
¡
¢
(1 − 2x −5 + x −10
= 0 − (−2)(−5)x −5−1 + (−10)x −10−1
= 5x −6 − 10x −11
=
5
10
−
x 6 x 11
olur.
Örnek 0.123.
f (x) =
1
(1+x)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
µ
¶
d
1
f (x) =
d x (1 + x)
0.(1 + x) − 1.1
=
(1 + x)2
−1
=
(1 + x)2
0
olur.
Örnek 0.124.
TÜREV
f (x) =
x 3 −1
(x 3 +1)
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
f 0 (x) =
µ 3
¶
d
x −1
d x (x 3 + 1)
3x 2 (x 3 + 1) − 3x 2 (x 3 − 1)
(x 3 + 1)2
2
−6x
= 3
(x + 1)2
=
olur.
Örnek 0.125.
f (x) = tan x fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
d
(tan x)
dx µ
¶
d sin x
=
d x cos x
¶
µ
(sin x)0 (cos x) − (cos x)0 (sin x)
=
(cos x)2
¶
µ
(cos x)(cos x) − (− sin x)(sin x)
=
(cos x)2
µ
¶
2
cos x + sin2 x
=
cos2 x
f 0 (x) =
= 1 + tan2 x
=
1
cos2 x
= sec2 x
olur. Son üç eşitlik tan x fonksiyonunu içeren ifadelerde türev alırken
kullanılabilir.
Örnek 0.126.
f (x) =
sin x
x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
Çözüm Bir bölümün türev formülünü uygulayabiliriz.
µ
¶
d sin x
f (x) =
dx
x
µ
¶
(sin x)0 (x) − (x)0 (sin x)
=
x2
x cos x − sin x
=
x2
0
olur.
Teğet
y = f (x) eğrisi üzerinde sabit bir P (a, f (a) noktası ile eğri üzerinde gezen
bir Q(x, f (x)) noktası alalım. PQ kirişine, kısaca t doğrusu diyelim. PQ
doğrusu yatay eksene dik olmasın. O zaman t doğrusunun eğimini
219
220
CALCULUS
bulabiliriz. Sözkonusu eğimi m t ile gösterelim. m t eğimi t doğrusu ile
yatay eksen arasında oluşan α açısının tanjantıdır. O halde,
m t = tan α =
y −b
f (x) − f (a)
=
x −a
x −a
(68)
olur. Şimdi Q noktasını P noktasına yaklaştıralım. Tabii, Q noktası
hep P noktasının aynı tarafında kalmayabilir. Dolayısıyla t doğrusunun eğimi bazen pozitif, bazen negatif olabilir. Q → P iken x → a olacağı düşünülürse, limit konumunda, yani Q noktası P noktası üzerine
geldiğinde, (limit varsa) t doğrusu eğriye P noktasında teğet olacaktır.
Teğetin eğimine m dersek,
lim m t = m
(69)
x→a
olacağı görülür. Öte yandan, 68 ifadesinin sağ yanının x → a iken limiti
f 0 (a) dır; yani
m = lim
x→a
f (x) − f (a)
y −b
= lim
x − a x→a
x −a
= f 0 (a)
(70)
olur. Buradan şu kuralı çıkarabiliriz:
Theorem 0.127. y= f(x) fonksiyonu x = a noktasında türetilebiliyorsa,
eğrinin P (a, f (a) noktasındaki teğeti yatay eksene dik değilse, eğimi
m = f 0 (a) = lim
x→a
f (x) − f (a)
x −a
(71)
bağıntısı ile belirlenir.
Teğet Ox eksenine dik ise eğriyi ancak bir nokada keseceğinden,
yukarıda söylendiği gibi t doğrusu üzerinde bir PQ kirişi oluşamaz. Bu
durumda,
Theorem 0.128. y= f(x) fonksiyonu sürekli ve x = a noktasında türetilebiliyorsa, eğrinin P (a, f (a) noktasındaki teğetinin eğimi
lim
x→a
f (x) − f (a)
f (x) − f (a)
= +∞ ya da lim
= −∞
x→a
x −a
x −a
(72)
bağıntılarından birisini sağlar.
Ancak, 72 koşulu sol ve sağ dn yaklaşoldığına teğetin dilkiği için
yeterlidir, ama yeterli değildir. Gerçekten,
y = f (x) = x 2/3
eğrisi için x = 0 noktasında soldan ve sağdan limit alındığında 72 limitleri
vardır. Ama eğri x = 0 noktasında türetilemez. Dolayısıyla söz konusu
noktada teğeti yoktur. Gerçekten
x 2/3 − 0
= lim−
x→0
x→0
x −0
2/3
x
−
0
f +0 (0) = lim
= lim
x→0+ x − 0
x→0+
f −0 (0) = lim−
x 2/3
= −1
x
x 2/3
= +1
x
(73)
(74)
TÜREV
olur.
Öte yandan y = f (x) = |x| fonksiyonu için, x = 0 noktasında soldan türev −1, sağdan türev +1 dir; yani türev yoktur. Dolayısıyla x = 0
noktasında teğeti yoktur. Gerçekten,
|x|
|x| − |0|
= lim−
= −1
x→0 x
x −0
|x| − |0|
|x|
f +0 (0) = lim
= lim
= +1
x→0+ x − 0
x→0+ x
f −0 (0) = lim−
x→0
(75)
(76)
olduğundan sol ve sağ türevler var ama birbirlerine eşit değildir.
Doğru deklemleri
İki noktası bilinen ya da bir noktası ile eğimi bilinen doğruların denklemlerini yazabiliriz.
P (a, b) ile Q(c, d ) noktalarından geçen doğrunun eğimi, ∠QP H
açısının tanjantı olduğuna göre,
m = tan α =
d −b
c −a
(77)
olacaktır. Şimdi PQ doğrusu üzerinde gezgin bir T(x,y) noktası alırsak, PT
nin eğiminin de aynı olacağını düşünerek
m = tan α =
d −b y −b
=
c −a
x −a
(78)
yazabiliriz. T(x,y) noktası PQ doğrusu üzerindeki bütün noktaları
taradığına göre P (a, b) ile Q(c, d ) noktalarından geçen doğrunun denklemi
y −b d −b
=
,
x −a c −a
(a 6= c)
eşitliğini sağlayan T (x, y) noktalarının oluşturduğu doğrudur. Buna denk
olarak,
y −b =
d −b
(x − a)
c −a
(79)
yazılabilir.
Örnek 0.129.
P (2, 5) ile Q(6, −3) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.
Çözüm:
y −b d −b
=
(x − a)
x −a c −a
(80)
⇒ y − 5 = −2(x − 2)
(81)
⇒ y = −2x + 9
(82)
Örnek 0.130.
P (4, 1) noktasından geçen ve eğimi m = − 52 olan doğrunun denklemini
yazınız.
221
222
CALCULUS
Çözüm:
2
y −1
=−
x −4
5
(83)
⇒ 2x + 5y = 13
(84)
2x 9
⇒y =−
+
5
5
(85)
P (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi,
y = mx + b
(86)
dir. Bunu görmek için 79 formülünde eşitliğin hemen sağındak oranın
doğrunun m eğimine eşit olduğunu düşünmek yetecektir.
Doğrunun Genel Denklemi
Doğrunun genel denklemi
ax + b y + c = 0
(87)
biçimindedir. Buradan eksenlerl kesişim noktalarının koordinatları
x = − ac , y = 0 ve x = 0, y = − bc olur. Bu noktalardan geçen doğrunun
denklemi
a
c
y =− x−
b
b
(88)
olarak yazılabilir.
Teğetin Denklemi
Bir P (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denkleminin
y = m(x − a) + b olduğunu biliyoruz. O halde P (a, f (a) noktasındaki
teğetin denklemi,
y = f 0 (a)(x − a) + f (a)
(89)
olur.
Örnek 0.131.
Bir doğrunun her noktasındaki teğetinin kendisi ile çakıştığını gösteriniz.
Çözüm: a eğim, ve b bir sayı olmak üzere Ox eksenine dik olmayan
her doğru y = ax + b biçiminde bir denkleme sahiptir. 89 bağıntısına göre
teğetin denklemini yazarsak, y = ax + b olduğunu görürüz.
Örnek 0.132.
y = f (x) = x 2 parabolünün x = 0 noktasındaki teğetinin denklemini
yazınız.
Çözüm: f 0 (0) = 2.0 = 0 olduğundan, x = 0 noktasındaki teğeti y =
0(x − 0) + 0 = 0 olacaktır. O halde teğet Ox eksenidir.
Örnek 0.133.
TÜREV
y = f (x) = x 2 parabolünün x = 1 noktasındaki teğetinin denklemini
yazınız.
Çözüm: f 0 (−1) = 2.(−1) = −2 olduğundan, x = 0 noktasındaki teğeti
y = −2(x − 1) + 0 = −2x − 1 olacaktır.
Örnek 0.134.
x
3x+2
y = f (x) =
eğrisinin x = −2 noktasındaki teğetinin denklemini
yazınız.
Çözüm: f 0 (21) = 21 ol d u ğund an olduğundan, x = −2 noktasındaki
teğetin eğimi,
m = lim
−2+h
3(−2+h y)+2
− 21
(90)
h
−4 + 2h − (−6 + 3h + 2)
= lim
h→0
2(−6 + 3h + 2)h
−1
= lim
h→0 2(−4 + 3h)
1
=
8
h→0
(91)
(92)
(93)
Problemler
1. Aşağıdaki fonksiyonların karşılatında belirilen noktalarındaki teğetlerini bulunuz.
Fonksiyon
1.
2.
3.
4.
5.
Nokta
y = 3x − 1,
Yanıt
(1, 2),
y = 3x − 1
2
(2, 3),
y = 8x − 13
2
(1, 1),
y =1
3
(x = −2),
y = 12x + 24
(x = 3),
2x + 27y = 1
y = 2x − 5,
y = 2x − 2x + 2,
y = 2x + 8x,
1
,
x2
p
y = x + 1,
y=
(x = 3),
x − 4y = −5
7.
2x
y=
,
x +2
(x = 2),
x − 4y = −2
8.
y = x2,
(x = a),
y = 2ax − a 2
9.
y=
6.
10.
11.
3
p ,
1+ x
p
y = |x|,
y = (x + 2)
3/5
(4, 1),
(x = 0),
,
(x = −2),
y=
4 x
−
3 12
türev yok
x = −2
2.
p
 x,
x ≥0
y = f (x) =
p
− −x, x < 0,
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız.
(Yanıt: x=0 )
223
224
CALCULUS
Normal
Tanım 0.135. y = f (x) eğrisinin P (a, f (a)) noktasındaki normali, P
noktasından geçen ve P noktasındaki teğete dik olan doğrudur.
1
Teğetin eğimi m ise, ona dik olan normalin eğimi − m
olacağından, bir
noktadan geçen ve eğimi bilinen doğru olarak yazılabilirAnımsayacağınız
gibi (a, b) noktasından geçen ve eğimi m olan doğrunun denklemi
y − b = m(x − a) dır. O halde, P noktasından geçen normalin denklemi
y − f (a) =
olur.
1
(x − a)
f 0 (a)
(94)
Bibliography
[1] Peter Mratin Jones. Logarithms 1. Kindle Edition, 2017.
Index
derivative, 197, 198
diferensiyel, 198
differentiable, 197
parçalı türetilebilme, 198
parçalı türev, 198
sol türev, 197
sağ türev, 197
sec:differential, 198
sectional derivative, 198
türetilebilme, 197
türev, 197
türev kuralları, 200