Genelle¸stirilmi¸s Fourier Serileri

Bölüm
4
Genelleştirilmiş Fourier Serileri
Daha önce ilk kez Bölüm 3.6’da değişkenlere ayırma yöntemiyle elde edilen çözümleri sin r x ve cos r x olan, fakat buradaki r sayısının tamsayı olmadığı bir sınır değer problemiyle karşılaşmıştık. Bu durumda da Bölüm 2’de geliştirdiğimiz
Fourier serileri teorisini kullanamamıştık. Böyle bir problemle Fourier de karşılaşmış, ele aldığı ısı yayılımı problemi için trigonometrik fonksiyonların yeterli olamayacağını görmüş ve başka tür fonksiyonlar kullanmıştır, bu fonksiyonlara günümüzde Bessel fonksiyonları diyoruz. Benzer bir sorunla Ecole Polytecnique’den
Simeon Deniz Poisson (1781-1840) da karşılaşmış ve Fourier’in kullandığı Bessel
fonksiyonlarını da içeren daha genel bir fonksiyon türü kullanmıştır.
1820’li yıllarda Fourier’in etrafında bulunmuş olan, Dirichlet ve Liouville’nin
de içindiğe bulunduğu bir grup genç matematikçiden biri olan Jacques Charles
François Sturm (1803-1855) Fourier’in ısı iletimi konusundaki çalışmalarından etkilenmiş ve bu alanda çalışmaya başlamıştır. Sturm’un başlattığı ve Liouville’nin
de katkıda bulunduğu bu çalışmaların sonuçlarına bugün Sturm-Liouville teorisi
diyoruz. Bu teori yukarıdaki paragrafta bahsedilen sorunu çözen, aynı zamanda
hem Fourier’in hem de Poisson’un çözümlerini kapsayan genel bir teoridir. Biz bu
bölümde bu teoriyi kullanarak, daha önceki bölümlerde karşılaştığımız ve Fourier
serilerinin yetersiz kaldığı ısı iletim problemlerinin çözümlerini elde edeceğiz. Bu
çözümler, terimleri özel durumlarda trigonometrik fonksiyonlar olan ama genelde
öyle olması gerekmeyen sonsuz seriler olacaklar, bunlara genelleştirilmiş Fourier
serileri diyoruz.
4.1 Sturm-Liouville Problemleri
Şimdi P , Q ve R sürekli, R sıfır olmayan fonksiyonlar olmak üzere
u t = Pu xx Ru x +Qu
denklemini ele alalım, dikkat edilirse bu denklem Bölüm 3’te ele aldığımız tüm
denklemleri içerir. Eğer bu denklemin u(x, t ) = X (x)T (t ) biçiminde bir çözümü69
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
70
nün var olduğunu varsayarsak
X T 0 = P X 00 T + R X 0 T +Q X T
denklemine, buradan da ∏ bir sabit olmak üzere
T 0 P X 00 + R X 0
=
+Q = °∏
T
X
eşitliğine varırız. Bundan elde edilecek iki denklemden biri olan
P X 00 + R X 0 + (∏ +Q)X = 0
denklemi üzerinde yoğunlaşacağız. Bu denklemde P > 0 kabul edeceğiz, aksi durumda denklemi °1 ile çarparak P > 0 olmasını sağlayabiliriz. Bu denklemi daha
kolay araştırmak için önce denklemi P ile bölüp
p := e
R
R/P
fonksiyonuyla çarparsak
p X 00 + p
R 0 p
X + (∏ +Q)X = 0
P
P
denklemini elde ederiz. Diğer yandan p 0 = p(R/P ) olduğunu gözlemlersek ve
q := °
pQ
P
ve r :=
p
P
olarak tanımlarsak, p > 0 ve r > 0 olmak üzere
(p X 0 )0 + (∏r ° q)X = 0
(4.1.1)
denklemine varmış oluruz. Bu bölümde aşağıdaki problemi araştıracağız.
[a, b] aralığında p ve r fonksiyonları sürekli olsun. Ayrıca (a, b) aralığında p
fonksiyonu sürekli türevlenebilir ve p ile r fonksiyonları pozitif değerli olsun. ∏ bir
sabit olmak üzere (4.1.1) denkleminin aşağıdaki iki koşulu sağlayan X : [a, b] ! R
çözümlerinin bulunması problemine Sturm-Liouville problemi denir:
1. Eğer p(a) > 0 ise,
a 1 X (a) ° b 1 X 0 (a) = 0
(4.1.2)
eşitliği sağlanacak şekilde, ikisi birden sıfır olmayan a 1 ve b 1 sabitleri vardır.
2. Eğer p(b) > 0 ise,
a 2 X (b) + b 2 X 0 (b) = 0
(4.1.3)
eşitliği sağlanacak şekilde, ikisi birden sıfır olmayan a 2 ve b 2 sabitleri vardır.
Bu şartlarla birlikte problem oldukça genel bir hal alır, tek uç noktada sınır
koşullarına sahip problemler dahi içerilmektedir ve sabitler üzerinde çok az varsayım vardır. İleride vereceğimiz teoremlerde gerekli ilave koşulları kullanacağız.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.1. Sturm-Liouville Problemleri
71
Tanım 4.1.1 İlgili Sturm-Liouville probleminin [a, b] aralığında X 6¥ 0 çözümünü
üreten her ∏ değerine problemin bir özdeğeri denir. İlgili X çözümüne de bir özfonksiyon denir.
Örnek 4.1.1
x 2 X 00 + x X 0 + ∏X = 0
denklemi ile
X 0 (1) = 0 ve X (b) = 0, b > 1
uç nokta koşullarını ele alalım. Bu durumda P = x 2 , R = x ve Q ¥ 0 olduğundan
p =e
R dx
x
= x,
1
x
r=
ve q ¥ 0
olup problem (4.1.1) biçiminde
(x X 0 )0 + ∏x X = 0
X 0 (1) = 0
X (b) = 0
olarak yazılabilir. Bu denklem bir Euler diferensiyel denklemi olduğundan çözümünü elde etmek için x := e s dönüşümü yapmalıyız. Y (s) := X (e s ) olarak tanımlarsak
Y 0 (s) = X 0 (e s )e s ve Y 00 (s) = X 00 (e s )(e s )2 + X 0 (e s )e s
olacağından elimizdeki problem (yukarıdaki ikinci eşitliğin sağ tarafı x 2 X 00 + x X 0
ifadesidir)
Y 00 + ∏Y = 0
Y 0 (0) = 0
Y (ln b) = 0
haline gelir.
∏ < 0 ise genel çözüm, A ve B keyfi sabitler olmak üzere
Y (s) = Ae
p
°∏ s
p
°∏ s
+ B e°
biçimindedir. Sınır koşulları uygulanırsa
A °pB = 0
Ae
°∏ ln b
p
°∏ ln b
+ B e°
=0
denklem sistemi elde edilir ki bu sistemin A ve B için reel çözümü olmadığı açıktır. ∏ = 0 durumunda ise sadece Y ¥ 0 çözümü vardır ve bu da bir özfonksiyon
değildir.
Eğer ∏ > 0 ise genel çözüm
p
p
Y (s) = A sin ∏ s + B cos ∏ s
72
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
biçimindedir.
İlk sınır koşulu uygulanırsa A = 0 olduğu görülür dolayısıyla Y (s) =
p
B cos ∏ s olur. Şimdi de bunda ikinci sınır koşulu uygulanırsa, özfonksiyon elde
edebilmek için B 6= 0 olması gerektiğinden
p
cos( ∏ ln b) = 0
eşitliğine varılır. Buradan aradığımız ∏ değerleri bulunur ve sonuç olarak n 2 N
için problemin özdeğerleri
(2n ° 1)2 º2
∏n =
4 ln2 b
olarak, ve bunlara karşılık gelen özfonksiyonlar da
µ
∂
2n ° 1
X n (x) = Yn (ln x) = cos
º ln x
2 ln b
olarak bulunmuş olur.
Örnek 4.1.2 a, h > 0 olmak üzere (0, a) aralığında
X 00 + ∏X = 0
hX (0) ° X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
Sturm-Liouville problemini ele alalım. Bir önceki örnekte olduğu gibi aşikar olmayan çözümlerin sadece ∏ > 0 durumunda, A ve B keyfi sabitler olmak üzere
p
p
X (x) = A sin ∏ x + B cos ∏ x
biçiminde olduğu kolaylıkla görülür. Bu durumda sınır koşulları gereği
p
hB ° A ∏ = 0
p
p
A cos ∏ a ° B sin ∏ a = 0
olur. Bu ilk eşitlikten hem A’nın hem de B ’nin sıfır olamayacağı anlaşılır, çünkü
biri sıfır olursa diğeri p
de sıfır olacak ve aşikar çözüme ulaşılacaktır. Bundan ve
ikinci eşitlikten de cos ∏ a 6= 0 olduğu anlaşılır (çünkü sinüs ve kosinüsün ortak
sıfırları yoktur). Böylece özdeğerler
p
h
tan ∏ a = p
∏
denkleminin çözümü
polan ∏ sayılarıdır. Her bir ∏n özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon da, B = A( ∏n /h) olduğunu kullanarak
p
p
p
p
∏n
cos ∏n (a ° x)
X n (x) = sin ∏n x +
cos ∏n x =
p
h
sin ∏n a
olarak elde edilir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.2. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar
73
4.2 Özdeğerler ve Özfonksiyonlar
Şimdi daha önce Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz dokuz sorudan birkaçına cevap arayacağız. Bu araştırmada aşağıdaki Lemma sıklıkla bize kolaylık sağlayacak.
Lemma 4.2.1 X 1 ve X 2 fonksiyonları bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonları olsunlar. Bu durumda
(i) eğer p(a) > 0 ise
X 2 (a) = C X 1 (a) ve
X 20 (a) = C X 10 (a)
olacak şekilde bir C sabiti vardır,
(ii) eğer p(b) > 0 ise
X 2 (b) = C X 1 (b) ve
X 20 (b) = C X 10 (b)
olacak şekilde bir C sabiti vardır.
İspat Eğer p(a) > 0 ise (4.1.2) eşitliği gereği
a 1 X 1 (a) ° b 1 X 10 (a) = 0
a 1 X 2 (a) ° b 1 X 20 (a) = 0
denklem sistemi elde edilir. Bu durumda
a 1 X 1 (a) = b 1 X 10 (a)
a 1 X 2 (a) = b 1 X 20 (a)
olduğundan bu sistemin a 1 ve b 1 için çözümünün olması için ikinci satırın birincinin sabit katı olması gerekir. Bu da (i) şıkkını kanıtlar, diğer şık da aynı şekilde
kanıtlanır.
Á
Aşağıdaki teorem 1823 yılında Poisson tarafından keşfedilmiştir ve Bölüm 3.9’da
verdiğimiz (v) sorusuna cevap verir.
Teorem 4.2.1 X 1 ve X 2 fonksiyonları (4.1.1) Sturm-Liouville probleminin farklı ∏1
ve ∏2 özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonları iseler
Zb
a
r X1 X2 = 0
olur.
İspat
(p X 10 )0 + (∏1 r ° q)X 1 = 0
(p X 20 )0 + (∏2 r ° q)X 2 = 0
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
74
eşitlikleri sırasıyla X 2 ve X 1 ile çarpılıp taraf tarafa çıkartılırsa
£
§0
(∏1 ° ∏2)r X 1 X 2 = X 1 (p X 20 )0 ° X 2 (p X 10 )0 = p(X 1 X 20 ° X 1 X 20 )
eşitliğine varılır (son eşitlik kolaylıkla doğrulanailir). Buradaki tüm fonksiyonlar
integrallenebilir olduğundan
Zb
£
§
£
§
(∏1 °∏2 )
r X 1 X 2 = p(b) X 1 (b)X 20 (b) ° X 2 (b)X 10 (b) °p(a) X 1 (a)X 20 (a) ° X 2 (a)X 10 (a)
a
eşitliği sağlanır. Lemma 4.2.1 gereği bu eşitliğin sağ tarafı sıfır olacaktır, böylece
∏1 6= ∏2 olduğundan istenen elde edilmiş olur.
Á
Tanım 4.2.1 İntegrallenebilir herhangi iki X 1 ve X 2 fonksiyonu için eğer
Zb
r X1 X2 = 0
a
oluyorsa bu iki fonksiyona (a, b) aralığında r ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir denir.
Yani yukarıda Teorem 4.2.1 ile Sturm-Liouville probleminin farklı özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonların r ağırlık fonksiyonuna göre (a, b) aralığında
ortogonal olduğu kanıtlandı. Sıradaki teorem ile de en az bir sınır koşulu verilmişse her özdeğere karşılık tek bir özfonksiyonun karşılık geldiğini (sabitle çarpım
hariç) kanıtlayacağız.
Ama buna geçmeden önce not etmemiz gereken önemli bir nokta var. SturmLioville teroeminin ∏ ve bunun eşleniği olan ∏ özdeğerlerini ele alırsak, ki bunlara
karşılık gelen özfonksiyonların X ve X olacağı Sturm-Liouville denklemi ve kompleks sayıların eşlenik özellikleri kullanılarak kolayca gösterilebilir, yukarıdaki ispatta olduğu gibi
Zb
Zb
(∏ ° ∏)
r X X = (∏ ° ∏)
r |X |2 = 0
a
a
eşitliğine ulaşırız. Yani bunun sonucu olarak Sturm-Liouville probleminin bir özfonksiyonu varsa buna karşılık gelen özdeğer bir reel sayı olmalıdır, bu da daha
önce ortaya koyduğumuz sorulardan birine cevap verir (soru ii).
Teorem 4.2.2 p(a) + p(b) > 0 olsun. Eğer X 1 ve X 2 fonksiyonları Sturm-Liouville
probleminin bir ∏ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyonlar ise, X 2 = C X 1 olacak
şekilde bir C sabiti vardır.
İspat p(a) > 0 ve C sabiti Lemma 4.2.1-(i) ile verilen sabit olsun, bu durumda
¡ := X 2 °C X 1
fonksiyonu da, çözümlerin bir lineer kombinasyonu olduğundan, bir çözümdür.
Ayrıca bu çözüm (4.1.2) gereği
¡(a) = ¡0 (a) = 0
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.2. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar
75
başlangıç koşullarını sağlar. Fakat diferensiyel denklemler teorisinden biliyoruz ki
bu (4.1.1) denkleminin x = a noktasında hem kendisi hem de türevi sıfır olan tek
çözümü ¡ ¥ 0 fonksiyonudur (çözümün tekliği gereği). Eğer p(b) > 0 ise de kanıt
benzerdir.
Á
Yukarıdaki teorem p(a) = p(b) = 0 ise yani her iki sınır koşulu da verilmemişse
geçerli değildir. Ayrıca q üzerinde bazı ek koşullarla özdeğerlerin pozitif olduklarını kanıtlayabiliriz.
Teorem 4.2.3 [a, b] aralığında q fonksiyonu sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun. İlaveten
(i) p(a) > 0 ise a 1 , b 1 ∏ 0 olsun,
(ii) p(b) > 0 ise a 2 , b 2 ∏ 0 olsun.
Bu durumda Sturm-Liouville probleminin her özdeğeri için ∏ ∏ 0 olur. Ayrıca ∏ = 0
sayısının bir özdeğer olması için gerek ve yeter koşul q ¥ 0 ve p(a)a 1 = p(b)a 2 = 0
olmasıdır, bu durumda da karşılık gelen özfonksiyon sabittir.
İspat ∏ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon X olsun. (4.1.1) denklemini X ile
çarpıp düzenlersek
∏r X 2 = q X 2 ° (p X 0 )0 X
elde edilir ve integrasyonla
∏
Zb
a
2
rX =
Zb
a
2
qX °
Zb
a
0 0
(p X ) X =
Zb
eşitliğine varılır. Şimdi
a
Øb Zb
Ø
qX °pX X Ø +
p(X 0 )2
2
0
a
a
(4.2.1)
Øb
Ø
°p X 0 X Ø = p(a)X 0 (a)X (a) ° p(b)X 0 (b)X (b)
a
teriminin negatif olmayacağını gösterelim. (4.1.2) gereği b 1 > 0 ise
X 0 (a) =
a1
X (a)
b1
olur. Eğer p(a) = 0 ise b 1 = 0 olsa bile p(a)X 0 (a)X (a) = 0 olduğu da açıktır. Sonuç olarak (i) hipotezi gereği her durumda p(a)X 0 (a)X (a) ∏ 0 eşitsizliği sağlanır.
Benzer şekilde p(b)X 0 (b)X (b) ∑ 0 olduğu da gözterilebilir. Böylece (a, b) aralığında
p, r > 0 ve q ∏ 0 olduğundan (4.2.1) gereği ∏ ∏ 0 olduğu sonucuna varılır.
Eğer ∏ = 0 bir özdeğer ise (4.1.2) eşitliğinden q ¥ X 0 ¥ 0 olup X fonksiyonunun sabit olduğu görülür. X 6¥ 0 olduğundan (4.1.2) gereği a 1 = 0 olmalıdır yani
p(a)a 1 = 0. Ayrıca p(a) = 0 ise p(a)a 1 = 0 olacağı açıktır. p(a) > 0 ise de benzer
şekilde p(b)a 2 = 0 olduğu da görülür. Tersine, eğer q ¥ 0 ve p(a)a 1 = p(b)a 2 = 0
ise, (4.1.1)-(4.1.3) sınır değer probleminin (p X 0 )0 + ∏r X = 0 denklemi ve X 0 (a) = 0
ve X 0 (b) = 0 sınır koşullarından meydana gelmesi mümkündür. Bu problemin ise
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
76
∏ = 0 için özdeş olarak sıfır olmayan sabit bir çözümü vardır, yani ∏ = 0 bir özdeğerdir.
Á
Bir Sturm-Liouville problemi, q negatif bir fonksiyon ise veya a 1 b 1 ∑ 0 ise elbette negatif özdeğerlere sahip olabilir.
Örnek 4.2.1 aşağıdaki Sturm-Liouville probleminin ∏ = °1 için sıfırdan farklı sabit bir çözümünün olduğu açıktır, yani ∏ = °1 sayısı bir özdeğerdir.
X 00 + (∏ + 1)X = 0
X 0 (a) = 0
X 0 (b) = 0
Böylece Bölüm 3.9’da oartaya koyduğumuz sorulardan (ii), (iv), (v) ve (vii)’nin
ilk eşitsizliği olumlu olarak cevaplanmış oldu.
4.3 Özdeğerlerin Varlığı
Öncelikle değişkenlere ayırma yönteminin tamamen uygulanabilir olduğu SturmLiouville problemlerini diğerlerinden ayırmak için bir gruplama yapacağız.
Tanım 4.3.1 Eğer p(a) > 0, p(b) > 0 ise, q fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ise ve
a 1 , a 2 , b 1 , b 2 sayıları negatif değil ise bu durumda ilgili Sturm-Liouville problemine
düzgün bir Sturm-Liouville problemi denir, düzgün olmayan problemlere de tekil
(singüler) problemler denir.
Yukarıdaki tanıma göre (4.1.2) ve (4.1.3) koşulları sağlanırsa problem düzgündür.
Örnek 4.3.1 [°1, 1] aralığında hiçbir sınır koşulu verilmemiş olan
[(1 ° x 2 )X 0 ]0 + ∏X = 0
Sturm-Liouville problemi singüler bir problemdir, çünkü p(x) = 1 ° x 2 fonksiyonu
x = ±1 noktalarında sıfır olur.
Örnek 4.3.2 (a, b) aralığında tanımlanan
≥
¥
2
(x X 0 )0 + ∏x ° nx X = 0
X (a) = 0
X (b) = 0
Sturm-Liouville problemi a > 0 için düzgündür. Fakat a = 0 ise x = a noktasında
hem p fonksiyonu sıfır olacağından, hem de q fonksiyonu süreksiz olacağından
problem singülerdir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
77
Uygulamalarda aşağıda tanımlayacağımız tipten problemlerle çok sık karşılaşılır.
Tanım 4.3.2 Eğer p(a) > 0 ise (4.1.1) denkleminin
X (a) = X (b) ve
X 0 (a) = X 0 (b)
koşullarını sağlayan bir X : [a, b] ! R çözümünün bulunması problemine bir periyodik Sturm-Liouville problemi denir.
Örnek 4.3.3 George William Hill (1838-1914) tarafından ayın hareketleri incelenirken kullanılan ve Hill denklemi olarak adlandırılan
X 00 + (∏ ° q)X = 0
denklemi
X (0) = X (º) ve
X 0 (0) = X 0 (º)
sınır koşullarıyla verilirse (0, º) aralığında periyodik bir Sturm-Liouville problemi
olur.
Uygulamaların önemli bir kısmında düzgün Sturm-Liouville problemleri karşımıza çıkar ve bu tip problemleri çalışmak singüler olanlara göre daha kolaydır,
bu bölümün geri kalan kısmında sadece düzgün problemlerle ilgileneceğiz. Singüler problemler için literatürde Claude Hugo Hermann Weyl (1885-1955) tarafından
ayrıca bir teori geliştirilmiştir.
İkinci mertebeden diferensiyel denklemleri çalışırken denklemi birinci mertebeden bir sisteme çevirmek genellikle kolaylık sağlar. (4.1.1) denkleminde Y :=
p X 0 tanımını yaparsak birinci mertebeden
1
Y
p
X0
=
Y0
= (q ° ∏r )X
(4.3.1)
(4.3.2)
diferensiyel denklem sistemine ulaşırız.
Bu denklem sistemindeki araştırmamıza şu soruyla başlayacağız: Acaba özfonksiyonların sıfırları var mı? Bu soru oldukça anlamlı bir sorudur, çünkü bir çok
uygulamada sınır koşulları sıfır noktasında verilir, yani özfonksiyonun sıfırı bulunuyorsa problemin çözümü var olabilir.
Bazı durumlarda problemi kutupsal koordinatlara taşımak işleri kolaylaştırabilir. 1926 yılında Heinz Prüfer (1896-1934) alışılmışın dışında olan X = R sin µ ve
Y = R cos µ eşitliklerini sağlayan R ve µ koordinatlarını seçmiştir. Bu yüzden
X = R sin µ ve p X 0 = R cos µ
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
78
dönüşümlerine günümüzde Prüfer dönüşümleri diyoruz. Bu dönüşümleri (4.3.1)
ve (4.3.2) eşitliklerine uygularsak
R 0 sin µ + Rµ 0 cos µ
=
1
R cos µ
p
(4.3.3)
R 0 cos µ ° Rµ 0 sin µ
= (q ° ∏r )R sin µ
(4.3.4)
eşitliklerini elde ederiz. (4.3.3) eşitliğini sin µ ile (4.3.4) eşitliğini de cos µ ile çarpıp
bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak
µ
∂
R 1
0
R =
+ q ° ∏r sin 2µ
(4.3.5)
2 p
eşitliğine varırız. Benzer şekilde (4.3.3) eşitliğini cos µ ile (4.3.4) eşitliğini de sin µ
ile çarpıp taraf tarafa çıkarırsak
µ0 =
1
cos2 µ + (∏r ° q) sin2 µ
p
(4.3.6)
eşitliğine varırız. Dikkat edilirse (4.3.6) eşitliği R’den bağımsızdır, dolayısıyla her
∏ sayısı ve herhangi bir Æ 2 R sayısı için bu denklemin µ∏ (a) = Æ koşulunu sağlayan tek bir µ∏ çözümü vardır. Şimdi bu çözümü (4.3.5) eşitliğinde yerine yazarsak,
F ∏ := 12 (1/p + q ° ∏r ) olarak tanımlayarak, sabit bir ∏ için R ∏ çözümünün
R ∏ (x) = R ∏ (a)e
Rx
a
F ∏ (s) sin 2µ∏ (s)d s
biçiminde olduğunu görürüz. Burada dikkat edelim, eğer ∏ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon X ∏ ise, R(a) 6= 0 olacaktır, çünkü aksi durumda
0 = R ∏2 (a) = X ∏2 (a) = Y∏2 (a) = X ∏2 (a) + p 2 (a)[X ∏0 (a)]2
olurdu ve bu da X ∏ (a) = X ∏0 (a) = 0 olmasını gerektirir ki bu durumda da X ∏ ¥ 0
olurdu. Sonuç olarak her x için R ∏ > 0 olacaktır ve X ∏ = R ∏ sin µ∏ çömünün sıfırlarının olması için gerek ve yeter koşul bazı k tamsayıları için µ∏ = kº olmasıdır.
Özfonksiyonların sıfırlarını çalışmaya devam etmek için önce özdeğerlerin ve
özfonksiyonların varlığını kanıtlamamız gerekir. Bunun için Sturm’un mukayese
teoreminin bir versiyonu olan aşağıda vereceğimiz sonuç oldukça önemlidir.
Lemma 4.3.1 [a, b] aralığında p, q, r fonksiyonları sürekli, p fonksiyonu pozitif
değerli ve sürekli türevlenebilir olsun. Ayrıca µ∏1 ve µ∏2 ile (4.3.6) denkleminin sırasıyla ∏ = ∏1 ve ∏ = ∏2 değerlerine karşılık gelen çözümleri olsunlar. Bu durumda
eğer ∏1 < ∏2 ve µ∏1 (a) ∑ µ∏2 ise (a, b] aralığında µ∏1 < µ∏2 eşitsizliği sağlanır.
İspat Öncelikle sadelik açısından
! := µ∏2 ° µ∏1
µ
∂
1 sin2 µ∏2 ° sin2 µ∏1
f := ∏1 r ° q °
p
µ∏2 ° µ∏1
g
:= (∏2 ° ∏1 )r sin2 µ∏1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
79
tanımlarını yapalım. (4.3.6) denklemini kullanarak
!0
1
(cos2 µ∏2 ° cos2 µ∏1 ) + (∏2 r ° q) sin2 µ∏2 ° (∏1 r ° q) sin2 µ∏1
p
1
=
(° sin2 µ∏2 + sin2 µ∏1 ) + (∏2 r ° q) sin2 µ∏2 ° (∏1 r ° q) sin2 µ∏1
p
µ
∂
1
= ∏1 r ° q °
(sin2 µ∏2 ° sin2 µ∏1 ) + (∏2 ° ∏1 )r sin2 µ∏2
p
= f !+g
=
eşitliğini elde ederiz. Diğer yandan ortalama değer teoremi gereği
sin2 µ∏2 ° sin2 µ∏1 = (sin 2µ)(µ∏2 ° µ∏1 )
eşitliği sağlanacak şekilde bir µ 2 (µ∏1 , µ∏2 ) sayısı vardır. Bundan dolayı herhangi
bir x 2 [a, b] için µ∏2 ° µ∏1 = 0 olsa bile bu noktada f fonksiyonunun limiti vardır.
Yani sonuç olarak f fonksiyonu [a, b] aralığında ya süreklidir, ya da sürekli olarak
genişletilebilir. Böylece !0 = f ! + g lineer denklemi çözülürse her x ∏ a için
!(x) = e
Rx
a
f
∑Zx
a
g (s)e °
Rs
a
f
d s + !(a)
∏
çözümü elde edilir. Şimdi, g ’nin tanımı gereği g 6¥ 0 olmalıdır, çünkü aksi durumda
bazı k tamsayıları için µ∏2 = kº olur ki bu da (4.3.6) denklemi ile çelişir. Böylece
[a, x] alt aralığında g > 0 olur. Bundan ve !(a) ∏ 0 olmasından dolayı, yukarıdaki
son eşitlikten !(x) > 0 olur, x keyfi olduğundan [a, b] aralığında ! > 0 elde edilir ki
istenendir.
Á
Aşağıdaki sonuçla şimdi özdeğerlerin ve özfonksiyonlarının varlığını kanıtlayacağız. Sturm’un yöntemi yerine Prüfer’in metodunu kullanacağız.
Teorem 4.3.1 Düzgün bir Sturm-Liouville probleminin sonsuz sayıda özdeğeri vardır. Ayrıca
(i) bu özdeğerler ∏1 < ∏2 < · · · < ∏n < · · · biçiminde artan bir dizi oluşturur,
(ii) ∏n özdeğerine karşılık gelen X n özfonksiyonunun (a, b) aralığında tam olarak (n ° 1) tane sıfırı vardır ve bunlar basit sıfırlardır.
İspat İspatı özet olarak vereceğiz, bazı teknik detayları okuyucuya bırakacağız.
Eğer µ∏ fonksiyonu (4.3.6) denkleminin bir çözümü ise bu durumda ∏ sayısı (4.1.1)(4.1.3) Sturm-Liouville probleminin bir özdeğeri ve X ∏ = R ∏ sin µ∏ fonksiyonu da
buna karşılık gelen özfonksiyon olur. Eğer X ∏ fonksiyonu (4.1.2) ve (4.1.3) koşullarını sağlıyorsa
∑
∏
b1
0 = a 1 X ∏ (a) ° b 1 X ∏0 (a) = R ∏ (a) a 1 sin µ∏ (a) °
cos µ∏ (a)
p(a)
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
80
ve
0 = a 2 X ∏ (b) ° b 2 X ∏0 (b) = R ∏ (b)
∑
∏
b2
a 2 sin µ∏ (b) °
cos µ∏ (a)
p(b)
eşitlikleri geçerlidir. Bundan dolayı x = a noktasındaki koşulun sağlanması için
(4.3.6) denkleminin µ∏ çözümü; a 1 = 0 ise Æ = º/2 ve a 1 6= 0 ise
0∑Æ<
º
2
ve
tan Æ =
b1
∏0
a 1 p(a)
olmak üzere µ∏ (a) = Æ eşitliğini sağlamalıdır (bunu dğrulayın). Benzer şekilde diğer sınır koşulunun sağlanması için bu çözümü; a 2 = 0 ise Ø = º/2 ve a 2 6= 0 ise
º
< Ø ∑ º ve
2
tan Ø = °
b2
∑0
a 1 p(b)
olamak üzere µ∏ (b) = Ø + (n ° 1)º eşitliğini sağlamalıdır, n bir doğal sayıdır (bunu
doğrulayın).
Adi diferensiyel denklemler teorisinden µ∏ (b)’nin ∏’ya göre sürekli olduğunu
ve Lemma 4.3.1 gereği bu fonksiyonun ∏’ya göre kesin artan olduğunu biliyoruz.
Bu durumda eğer µ∏ (b) < º/2 olacak şekilde bir ∏ varsa ve ∏ ! 1 için µ∏ (b) ! 1
ise bu durumda her n 2 N için
µ∏n (b) = Ø + (n ° 1)º
ve ∏n < ∏n+1 olur, böylece (i) kanıtlanır. (Yukarıdaki iddialar doğrudur, kanıtlayın.)
Şimdi diğer önermeyi kanıtlayalım. Bir X n = R ∏n sin ∏n özfonksiyonunun bir
(a, b) aralığında bir sıfırının olması için gerek yeter koşul µ∏n = kº olacak şekilde
bir k tamsayısının var olmasıydı, bu durumda da (4.3.6) eşitliği gereği bu aralıkta
µ∏0 (x) > 0 olacağından µ∏n fonksiyonu (a, b) aralığındaki her değeri sadece bir kez
n
alır (monotonluk gereği). Diğer yandan, 0 < Ø ∑ º olduğundan
(n ° 1)º < µ∏n (b) = Ø + (n ° 1)º ∑ nº
ve 0 ∑ µ∏n (a) ∑ º/2 olduğundan µ∏n fonksiyonu (a, b) aralığında k = 1, 2, . . . , n ° 1
olmak üzere kº değerlerini sadece birer kez alır, yani n ° 1 tane sıfır vardır. Ayrıca
eğer µ∏n (x) = kº ise
p(x)X n0 (x) = Yn (x) = R ∏n (x) cos µ∏n (x) 6= 0
olduğundan bu sıfırlar basittir.
Á
Elbette bir özfonksiyon x = a ve x = b noktalarında ilave sıfırlara sahip olabilir.
Örnek 4.3.4 Eğer a > 0 ise daha önce Bölüm 1.4’te
X 00 + ∏X = 0
X (0) = 0, X (a) = 0
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
81
Sturm-Liouville probleminin özdeğerlerinin ve bunlara karşılık gelen özfonksiyonlarının
n 2 º2
nº
∏n =
, X n (x) = sin
x
a2
a
olduğunu göstermiştik. Görüldüğü gibi n ∏ 2 ise özfonksiyonun (0, a) aralığında
k = 1, 2, . . . , n ° 1 olmak üzere x k := ka/n noktalarındadır. Ayrıca x = 0 ve x = a
noktalarında da sıfır vardır.
Örnek 4.3.5 Eğer a > 0 ise daha önce Bölüm 3.4’ten
X 00 + ∏X = 0
X 0 (0) = 0, X 0 (a) = 0
probleminin özdeğerlerinin
∏1 = 0 ve ∏n =
(n ° 1)2 º2
, n>1
a2
ve karşılık gelen özfonksiyonlarının
X 1 ¥ 1 ve X n (x) = cos
(n ° 1)º
x
a
olduğunu biliyoruz. Çözümün sıfırları
x k :=
(2k ° 1)a
,
2(n ° 1)
k = 1, 2, . . . , n ° 1
noktalarındadır, ayrıca uç noktalarda ilave sıfırlar yoktur.
Örnek 4.3.6 Pozitif a ve h sabitleri için [0, a] aralığında
X 00 + ∏X = 0
hX (0) ° X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
Sturm-Liouville problemini ele alalım. Örnek 4.1.2’den ∏ = ∏n özdeğerlerinin
p
h
tan ∏ a = p
∏
denkleminin kökleri olduğunu ve karşılık gelen özfonksiyonların da
p
cos ∏n (a ° x)
X n (x) =
p
sin ∏n a
olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı gibi özdeğerler pozitif artan
bir dizi oluşturur. Bu durumda n°inci özdeğer için
(n ° 1)º p
(2n ° 1)º
< ∏n <
a
2a
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
82
Şekil 4.1: Sırasıyla Örnek 4.3.4 ve Örnek 4.3.5’de verilen özfonksiyonlarının n = 10
ve a = 5 için grafiği
eşitsizliği geçerlidir.
X 1 özfonksiyonunun (0, a) aralığında hiç sıfırı yoktur, gerçekten 0 < x < a ve
p
0 < ∏1 < º/2a eşitsizliklerinden
0<
p
º
∏1 (a ° x) <
2
eşitsizliği elde edilebilir.
p
Fakat n > 1 için (0, a) aralığında, ∏n (a ° x) ifadesini º/2’nin tek tamsayı katı
yapan
(2k ° 1)º
x k := a ° p
, k = 1, 2, . . . , n ° 1
2 ∏n
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
83
Şekil 4.2: Yukarıdaki örnekte verilen özdeğerleri gösterir, a = 3 ve h = 5 alınmıştır.
noktalarında X n özfonksiyonunun sıfırları vardır. Diğer yandan, x k ifadesi k’ya
göre azalandır, x 1/2 = a ve
p
2a ∏n + º
k=
için x k = 0
2º
p
şeklindedir yukarıda verdiğimiz ∏n ’nın aralığını belirten eşitsizlik göz önüne
alındığında bu k değerinin n°1/2 ile n arasında olduğu anlaşılır. Dolayısıyla yukarıda verdiğimiz x k sayılarını (0, a) aralığında bırakan k sayıları sadece k = 1, 2, . . . , n°
1 sayılarıdır, yani X n özfonksiyonunun (0, a) aralığında tam olarak n ° 1 tane sıfırı
vardır.
Sıradaki vereceğimiz teorem Liouville tarafından kanıtlanmıştır ve bize özdeğerlerin dağılımı hakkında bilgi verir. Ayrıca daha önce ortaya koyduğumuz dokuz
sorudan birine cevap verir.
Teorem 4.3.2 (4.1.1)-(4.1.3) ile verilen düzgün Sturm-Liouville probleminin özdeğerler dizisi {∏n } olsun, bu durumda
n ! 1 için
∏n
!1
n
olur.
İspat Teorem 4.3.1 ile, yeterince büyün n > 1 sayıları için µ∏n fonksiyonunun kesin artan olduğunu ve (a, b) aralığında µ∏n (x k ) = kº olacak şekilde tam olarak n °1
tane x 1 < x 2 < · · · < x n°1 noktalarının var olduğunu kanıtladık.
Şimdi h ile µ∏n fonksiyonunun tersini gösterirsek, º ∑ µ ∑ (n ° 1)º için geçerli
olan µ = µ∏n (h(µ)) eşitliğinin türevini alırsak 1 = µ∏0 (h(µ)) h 0 (µ) eşitliğini elde eden
riz. Buradan da
Z(n°1)º
Z(n°1)º
1
0
b ° a > x n°1 ° x 1 = h [(n ° 1)º] ° h(º) =
h (µ) d µ =
dµ
0
µ
(h(µ))
º
º
∏
n
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
84
eşitsizliğinin sağlandığı görülür. Eğer p m , q m ve r M ile [a, b] aralığında sırasıyla p
ve q fonksiyonlarının minimum değerleri ile r fonksiyonunun maksimum değerini gösterelim, µ∏n (h(µ)) = µ olduğunu hatırlayıp (4.3.6) eşitliğini kullanırsak
µ∏0 n (h(µ)) ∑
1
cos2 µ + (∏n r M ° q m ) sin2 µ
pm
eşitsizliğini gözlemleriz. Bu eşitliğin sol tarafı º°periyodik olduğundan son iki eşitsizlikten
Zº
1
b ° a > (n ° 2)
dµ
1
2
2
0 p cos µ + (∏n r M ° q m ) sin µ
m
sonucuna varılır. Bir integral tablosu kullanarak
Zº
1
0
s 2 cos2 µ + t 2 sin2 µ
dµ =
º
st
olduğunu görürüz, yani
p
º(n ° 2) p m
b°a > q
=p
1
∏n r M ° q m
p m (∏n r M ° q m )
º(n ° 2)
eşitsizliğine varırız. Buradan da yeterince büyük ∏n sayıları için
∏n >
q n ≥ º ¥2 p m
+
(n ° 2)2
rM
b ° a rM
olduğu sonucuna varırız ki bu durumda n ! 1 için ∏n /n ! 1 olduğu açıktır.
Á
Örnek 4.3.7 Daha önce ele aldığımız 4.3.4-4.3.6 örneklerindeki özdeğerlerin
∏n ∏
º2 (n ° 1)2
a2
eşitsizliğini sağladıkları açıktır, yani n ! 1 için ∏n /n ! 1 olduğu açıktır.
Şimdiye kadar yaptığımız araştırmalarda, Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz
soruların (vi) ve (ix) hariç hepsini olumlu olarak cevapladık. Sıradaki bölümde bu
kalan soruları da cevaplayacağız.
4.4 Genelleştirilmiş Fourier Serileri
Sturm-Liouville problemi üzerine buraya kadar elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak Liouville, keyfi bir f : [a, b] ! R fonksiyonunu düzgün bir Sturm-Liouville probleminin X n özfonksiyonlarının serisi olarak yazma problemini ele aldı. Yani problem
1
X
f =
cn X n
n=1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
85
eşitliği sağlanacak şekilde c n sabitlerinin bulunması problemidir. Daha önce Fourier katsayılarını belirlerken yaptığımız gibi yukarıdaki eşitliğin geçerli olduğunu
ve serinin hem kendisinin hem de r X m ile çarpılmış halinin terim terim integrallenebilidğini varsayarsak
Zb
a
r f Xm =
1
X
n=1
cn
Zb
a
r Xn Xm
eşitliğini elde edebiliriz. Teorem 4.2.1 gereği buradan da
Rb
olduğu sonucuna varırız.
r f Xn
c n = aRb
2
a Xn
Tanım 4.4.1 f : [a, b] ! R integrallenebilir bir fonksiyon ve X n de (4.1.1)-(4.1.3)
düzgün Sturm-Liouville probleminin n°inci özfonksiyonu olsun. Bu durumda yukarıdaki eşitlikle tanımlanan c n sabitlerine f fonksiyonunun X n ’e göre Fourier katP
sayıları denir, 1
n=1 c n X n serisine de f fonksiyonunun X n ’e göre Fourier serisi denir.
Yukarıda tanımlanan katsayı ve seriye literatürde Genelleştirilmiş Fourier katsayıları ve serileri de denilmektedir.
f fonksiyonunun genelleştirilmiş Fourier katsayılarının X n özfonksiyonuna bağlı
olduğu unutulmamalıdır. Fakat dikkat edilirse C n sabitleri keyfi olmak üzere X n
özfonksiyonları yerine C n X n yazılırsa ilgili Fourier katsayıları değişse de Fourier
serisi değişmeyecektir. Bu nedenle aşağıda açıklayacağımız normalleştirme işlemi
çok kullanışlıdır.
c n katsayısının tanımında paydada bulunan ifadenin kare kökünü kX n kr ile
(r = 1 ise kısaca kX k ile) gösteririz. Bu durumda
Yn :=
Xn
kX n kr
olarak tanımlanan fonksiyonlara normalleştirilmiş özfonksiyonlar denir, bu fonksiyonlar için kYn kr = 1 olacağından ilgili Fourier katsayıları
cn =
Zb
a
r f Yn
biçiminde olur.
Yukarıda tanımlanan genelleştirilmiş Fourier serisinin ilgili fonksiyona yakınsak olduğunun eksik bir ispatını Liouville vermişti, iki kez türevlenebilen ve ilgili sınır koşullarını sağlayan fonksiyonlar için yakınsaklığın doğru ve eksiksiz bir
ispatını 1898 yılında Vladimir Andreevich Steklov (1864-1926) vermiştir. Bundan
bağımsız olarak ve tamamen farklı bir yöntemle, bazı kısıtlamalar altında yakınsaklığı 1904 yılında Davit Hilbert (1862-1942) de kanıtlamıştır, fakat bundan bir
86
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
yıl sonra Hilbert’in bir öğrencisi olan Erhardt Schimdt (1876-1959) bu kısıtlamaların gereksiz olduğunu göstermiştir. Bu kısıtlamalar kaldırılarak, parçalı sürekli
bir fonksiyonun genelleştirilmiş Fourier serisinin yakınsaklığı ilk kez tam ve doğru
olarak 1904 yılunda Julius Carl Chr. Adolph Kneser (1862-1930) tarafından verilmiştir. Bu sonucu Heine’nin düzgün yakınsaklık sonucu ile birleştirerek aşağıda
ispatsız olarak veriyoruz.
Teorem 4.4.1 f ve f 0 fonksiyonları [a, b] aralığında parçalı sürekli olsunlar. Bu
durumda f fonksiyonunun (4.1.1)-(4.1.3) düzgün Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarına göre Fourier serisi her x 2 (a, b) için
§
1£
f (x+) + f (x°)
2
değerine yakınsar. Ayrıca ek olarak f fonksiyonu sürekli ve
a 1 f (a) ° b 1 f 0 (a) = 0
a 2 f (b) + b 2 f 0 (b) = 0
sınır koşullarını sağlarsa, bu durumda seri [a, b] aralığında f fonksiyonuna mutlak ve düzgün olarak yakınsar.
Örnek 4.4.1 K bir sabit olmak üzere f (x) := K x fonksiyonunun Örnek 4.3.6 ile
verilen
X 00 + ∏X = 0
hX (0) ° X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
Sturm-Liouville
pprobleminin
p özfonksiyonlarına göre Fourier serisini bulalım. Özdeğerlerin tan ∏n a = h/ ∏n eşitliğini sağladığını ve özfonksiyonların da
p
cos ∏n (a ° x)
X n (x) =
p
sin ∏n a
biçiminde olduğunu göstermiştik. Bu durumda f fonksiyonunun X n özfonksiyonlarına göre Fourier katsayıları
Ra
K x X n (x) d x
c n = 0Ra 2
0 X n (x) d x
ile bulunur. Doğrudan hesaplamalarla
Za
Za
p
1
x X n (x) d x =
x cos ∏n (x ° a) d x
p
0
sin ∏n a 0
"
#
p
p
Za
x sin ∏n (a ° x) ØØa
sin ∏n (a ° x)
1
=
dx
Ø °
p
p
p
0
0
sin ∏n a
∏n
∏n
p
cos ∏n (a ° x) ØØa
1
=
Ø
p
∏n
0
sin ∏n a
p
1 ° cos ∏n a
=
p
∏n sin ∏n a
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
ve
Za
0
X n2 (x) d x
=
=
=
=
elde edilir. Böylece
cn =
olup
sin2
87
1
p
∏n a
Za
0
cos2
p
∏n (a ° x) d x
p
∏n (a ° x)
dx
2
2
sin
∏n a 0
"
#
p
sin 2 ∏n (a ° x) ØØa
1
a+
Ø
p
p
0
2 sin2 ∏n a
2 ∏n
p
p
2a ∏n + sin 2 ∏n a
p
p
4 ∏n sin2 ∏n a
1
p
Za
1 + cos 2
p
p
∏n a(1 ° cos ∏n a)
p
p
2a∏n + ∏n sin 2 ∏n a
4K sin
p
p
1 ° cos ∏n a
f (x) ª 4k
cos ∏n (a ° x)
p
p
n=1 2a∏n + ∏n sin 2 ∏n a
sonucuna varılır.
1
X
Teorem 4.4.1 ile, Bölüm 3.7’de ele aldığımız genel bir sınır değer problemi için
Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz dokuz sorudan (vi) sorusunu olumlu olarak cevaplamış olduk. Son olarak, eğer ∏1 = 0 ise Teorem 4.2.3 gereği a 1 = a 2 = 0 ve X 1
özfonksiyonu sabit olur. Fakat bu durumda, r ¥ c olmak üzere
Ra
µZa
∂
Za
c( f °U )X 1
X1
c 1 = 0 Ra
=
c
f
°
cU
2
kX 1 k2c 0
0
0 c X1
olur ve bu da, a 1 = a 2 = 0 olduğu zaman denge durumu çözümünün inşa edilmesindeki koşullar gereği, sıfıra eşittir. Böylece (ix) sorusu da olumlu olarak cevaplanmış oldu, dolayısıyla aşağıdaki teorem elde edildi.
Teorem 4.4.2 D kümesi; c, ∑, q, f fonksiyonları ve a, a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 sabitleri
Bölüm 3.7 ile tanımlandığı gibi olsun. Bu durumda
cu t = (∑u x )x + q
a 1 u(0, t ) ° b 1 u x (0, t ) = c 1 ,
a 2 u(a, t ) + b 2 u x (a, t ) = c 2 ,
u(x, 0) = f (x),
(x, t ) 2 D için
t ∏ 0 için
t ∏ 0 için
0 ∑ x ∑ a için
sınır değer problemi Hadamard anlamında iyi tanımlıdır. Ayrıca eğer U fonksiyonu
bu problemin denge durumu çözümüyse; ∏n ile X n
(∑X 0 )0 + ∏c X = 0
a 1 X (0) ° b 1 X 0 (0) = 0
a 2 X (a) + b 2 X 0 (a) = 0
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
88
düzgün Sturm-Liouville probleminin özdeğerleri ve karşılık gelen özfonksiyonlarıysa; ve c n de f °U fonksiyonunun X n ’e göre n°inci Fourier katsayısıysa, bu durumda
1
X
c n e °∏n t X n (x)
n=1
serisi t ! 1 için v(x, t ) ! 0 ve u = U + v koşullarını sağlayan bir v : D ! R fonksiyonuna yakınsar (buradaki u fonksiyonu yukarıdaki sınır değer probleminin çözümüdür).
Bu bölümde düzgün Sturm-Liouville problemleri için özdeğerlerin ve özfonksiyonların varlığını kanıtladık. Fakat bu özdeğer ve özfonksiyonların nasıl hesaplanacağı da ayrı bir problemdir, çünkü (4.1.1) diferensiyel denklemini çok özel durumlar haricinde (Euler tipi bir denklem olması veya sabit katsayılı olması gibi)
çözemiyoruz. Yine de özdeğerlerin yaklaşık olarak belirlenmesi için bazı yöntemler mevcut, bunlardan bir tanesini ispatsız olarak vererek bu bölümü kapatıyoruz.
Teorem 4.4.3 D f ile kendisi sürekli ve ikinci mertebeden türevi parçalı sürekli olan,
ayrıca a 1 f (a) ° b 1 f 0 (a) = 0 ile a 2 f (b) + b 2 f 0 (b) = 0 eşitliklerini sağlayan tüm f
fonksiyonlarının kümesini gösterelim. Bu durumda (4.1.1)-(4.1.3) düzgün SturmLiouville probleminin ilk özdeğeri olan ∏1 sayısı
Rb
[q f ° (p f 0 )0 ] f
R( f ) := a
k f k2r
ile tanımlanan R( f ) ifadesinin D f kümesi üzerindeki minimum değeridir, ve bu
minimum değer f = X 1 ’de oluşur.
Örnek 4.4.2 Teorem 4.4.3 sonucunu kullanmak için R( f ) ifadesinin minimumunun hesaplanması gerekir, bunun için matematikte bazı yöntemler mevcuttur fakat bunlar konumuzun dışındadır. Şimdi biz sadece verilen koşulları sağlayan bir
f fonksiyonu için R( f ) ifadesini hesaplayacağız, elde edeceğimiz değer ∏1 için bir
üst sınır olacaktır. Ayrıca, ilgili minimum değer f = X 1 için oluşacağından ve Teorem 4.3.1 gereği (a, b) aralığında X 1 özfonksiyonunun hiç sıfırı olmadığından, gerekli minimum değerine yaklaşık bir değer elde etmek için bu aralıkta sıfırı olmayan bir f fonksiyonu seçmek mantıklı görünüyor.
Şimdi
X 00 + ∏X = 0
X (0) = 0
X (10) = 0
probleminin ilk özdeğerinin ∏ = º2 /100 olduğunu biliyoruz. Bunu yukarıdaki teoremle doğrulamak için f (x) := x(10 ° x) seçelim, bu fonksiyon ilgili sınır koşullarını sağlar ve (0, 10) aralığında sıfırı yoktur. Bu durumda
R10
R10
° 0 f 00 f
(20x ° 2x 2 )d x
R( f ) = R10
= R010
= 0.1
2
2 2
0 f
0 (10x ° x ) d x
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
elde edilir, bu da º2 /100 değerine oldukça yakın bir değerdir.
89