BATMAN ANADOLU LİSESİ ORTAOKULLAR ARASI 1. MATEMATİK

BATMAN ANADOLU LİSESİ
ORTAOKULLAR ARASI
1. MATEMATİK OLİMPİYATI
SORULARI
1. CAB ve EFD eş üçgenlerdir.
AC  x  y  z , BC  x  8z ,
AB  z  6 , EF  3 ,
DF  2 y  z , DE  y  2 olduğuna göre x  y  z toplamının değeri kaçtır?
3
3
3
a) 36
b) 40
c) 48
d) 57
e) Hiçbiri
çözüm:
. CAB ve EFD eş üçgenler olduğundan AC  EF , AB  FD , BC  DE
dir. Bu
eşitliklerden x  y  z  3 , z  6  2 y  z , x  8 z  y  2 olup denklemler çözülürse x  2 ,
y  4 , z  1 dir. x3  y3  z 3  (2)3  43  13  57 bulunur. Cevap d
2. (k  1)  (k  2)  (k  3)  ...  (k  19) toplamının bir tam kare olmasını sağlayan en küçük
iki k pozitif tamsayı değerinin toplamı kaçtır?
a) 75
b) 66
c) 59
d) 48
e) Hiçbiri
çözüm:
(k  1)  (k  2)  (k  3)  ...  (k  19)  n2 olsun. 19k  190  n 2 olup 19(k  10)  n2 yazılır.
Son eşitlikte sol tarafın tam kare olması için k  10  19  m2 şeklinde olmalıdır. m  1 için
k  9 , n  19 en küçük değeri bulunur. 19 dan sonraki en küçük değeri bulalım. m  2 için
k  66 , n  38 bulunur. Bu k sayılarının toplamı 9  66  75 dir. Cevap a
3. Kenar uzunluğu 1 birim olan karenin köşelerinden eş ikizkenar dik üçgenler kesilerek bir
düzgün sekizgen elde ediliyor. Düzgün sekizgenin alanı kaç birim karedir?
2 2
2
b)
c) 2  1
d) 4 2  5
e) Hiçbiri
3
3
çözüm:
Eş ikizkenar üçgenlerin dik kenar uzunlukları x olsun. Düzgün sekizgenin alanı 1  2x 2 olur.
Ayrıca düzgün sekizgenin bir kenarı, kesilen dik üçgenin hipotenüsüne eşit olduğundan
2 2
bulunur. O halde düzgün sekizgenin alanı:
1  2 x  2 x olur. Bu eşitlikten x 
2
2 2 2
1  2 x 2  1  2(
)  2 2  2 birim kare bulunur. Cevap e
2
a)
4. Bir tane 1, bir tane 2 ve istenildiği kadar 0 rakamı kullanılarak yazılabilecek 1010 dan
küçük sayıların kaç tanesi bir tam sayının karesine eşittir?
a) 0
b) 1
c) 1000
e) Hiçbiri
d) 3000
çözüm:
Oluşturacağımız sayıların rakamları toplamı daima 3 tür. Bu sayı bir tam sayının karesine eşit
ise bu tam kare sayı 9 ile bölüne bilmelidir. Fakat bu mümkün olmadığından istenen şartları
sağlayan sayı yoktur. Cevap a
5. a ve b birbirinden farklı asal sayılar olsun. aaa ve bbb üç basamaklı sayılar olmak üzere
(aaa  bbb)2 çarpımının asal olmayan tüm bölenlerinin toplamı 48 ise, a·b kaçtır?
a) 6
b)10
c) 15
d) 35
e) 55
çözüm:
Bir sayının asal olmayan tüm bölenlerin toplamı 48 ise asal bölenlerinin toplamı 48 dir.
(aaa  bbb)2 = a 2  b 2  32  372 olduğundan a + b = 8 dir. O halde a  b  3  5  15 . Cevap c
6. Aşağıdaki şekilde A noktasında bulunan bir kişi, çizgiler üstünde hareket ederek ve geçilen
bir noktadan tekrar geçilmemesi şartıyla B noktasına yürüyecektir. Bu kişi kaç farklı yol takip
edebilir?
B
A
Çözüm:
Genel olarak A ile B arasındaki dikdörtgenin n dilime ayrılması durumunda gidilebilecek
farklı yolların sayısının 2 n dir. Problemde n  13 dilim olduğundan 213  8192 farklı yol
vardır. Bunu ispat edelim.
Üst yoldaki iki nokta arasında kalan doğru parçalarını a1 , a2 , … , a13 ile, alt yoldaki iki nokta
arasında kalan doğru parçalarını b1 , b2 , … , b13 ile gösterelim. A dan B ye gitmek için
a1, b1 , a2 , b2  ,
… , a13 , b13 kümelerinin her birinden birer eleman seçmeliyiz. Bu ise
213  8192 yolla yapılabilir.
a1 a2
a13
A
B
b1 b2
b13
7. ABCDE düzgün beşgeninde A noktasından CD doğrusuna inen dikme ayağı F, B
noktasından DE doğrusuna inen dikme ayağı G olsun. AF ile BG nin kesişim noktası H dir.
Alan( ABH )
 x ise, x =?
Alan( FDGH )
Çözüm:
Alan( ABCF ) ve Alan( BCDG ) , beşgenin alanının yarısına eşit olduğundan aşağıdaki şekle
S
göre S1  S3  S2  S3 olup x  1  1 dir.
S2
A
S1
B
E
H
S3
C
G
S2
F
D
8. x 2  8 x  2 y  16 ve y 2  4 y  2 x  10 denklemlerinin sağlayan x, y reel sayıları için
x  y kaç farklı değer alabilir?
Çözüm:
Denklemleri taraf tarafa toplayıp düzenlersek
2
2
x 2  10 x  25  y 2  2 y  1  0   x  5    y  1  0  x  5, y  1 olup x  y tek değer
alır.
8
a
7


eşitsizliğini sağlayan her bir a
15 a  b 13
değerleri için en fazla iki tane b değeri bulunabiliyor. Buna göre a nın alabileceği en büyük
değerin rakamları toplamı nedir?
9. a ve b birer pozitif tam sayı olmak üzere,
Çözüm:
8
a
7
13 a  b 15
6
b
7
6 b 7
6a
7a




b

 1  1  1    
15 a  b 13
7
a
8
7
a
8
7 a 8
7
8
7 a 6a
 6a 7 a 

3
eşitsizliğini elde ederiz.  ,  aralığında en az iki tam sayı olması için
8
7
7 8 
a
 3  a ≤ 168 elde ederiz. a = 168 için 144  b  147 olur. Yani b nin en az iki
olmalıdır.
56
çözümü vardır. 168 in rakamları toplamı 15 tir.
10. x, y, z asal sayılar ve z  x3  2 x 2 y  2 xy 2  y3 ise, z nin alabileceği kaç farklı değer
vardır?
Çözüm:
Verilen ifadeyi
z  x3  2 x 2 y  2 xy 2  y3  ( x3  y 3 )  (2 x 2 y  2 xy 2 )  ( x  y)( x 2  xy  y 2 )  2 xy( x  y)
şeklinde düzenlersek z  ( x  y)( x 2  3xy  y 2 ) olur. x, y, z asal sayılar olduğundan
z  x 2  3xy  y 2
1 x y
olmalıdır. Aralarındaki fark 1 olan asal sayılar yalnızca 3 ve 2 dir. Dolayısıyla x  3, y  2
elde edilir. Bu değerler kullanılarak z nin tek değeri z  31 olarak bulunur.
BAŞARILAR DİLERİZ.