sE. - SABİS

BÖLÜM 3
ELEKTRİKSEL POTANSİYEL
3.1. ELEKTRİKSEL POTANSİYEL VE POTANSİYEL FARKI
Bir E elektrostatik alanı içine bir q0 yükü konulduğunda, bu deneme yükü üzerine
etkiyen korunumlu elektriksel kuvvet q0E’dir. Sonsuz küçük bir ds yerdeğiştirmesi için,
deneme yükü üzerine q0E elektriksel kuvveti tarafından yapılan iş
dW = F.ds = q0E.ds
olur. Korunumlu kuvvet tarafından yapılan iş potansiyel enerjideki dU değişiminin negatifine
eşittir:
dU = - q0E.ds
Deneme yükünün A ve B noktaları arasında yerdeğiştirmesi halinde potansiyel enerji değişimi
B
∆U = UB – UA = - q 0 ∫ E.ds
A
ile verilir. q0E kuvveti korunumlu olduğundan, bu integral A ve B noktaları arasında alınan
yola bağlı değildir.
A ve B noktaları arasındaki VB-VA potansiyel farkı, potansiyel enerji değişiminin q0
deneme yüküne bölümü olarak tanımlanır:
B
U − UA
VB – VA = B
= - ∫ E.ds
q0
A
Potansiyel enerji skaler bir büyüklük olduğundan elektriksel potansiyelde skalerdir. VB – VA
potansiyel farkı, kinetik enerjide bir değişme olmaksızın bir deneme yükünü bir dış etken
tarafından A’dan B’ye götürmek için birim yük başına yapılması gereken işe eşittir.
1
Elektrik alanı oluşturan yüklerden sonsuz uzaklıktaki bir noktanın potansiyelini sıfır
alırsak (VA = 0) herhangi bir P noktasındaki potansiyel
P
VP = - ∫ E.ds
∞
olur. Potansiyel farkı, birim yük başına enerji olduğundan SI’daki birimi Coulomb başına
Joule olarak adlandırılan Volt (V)’dur.
1 V = 1 J/C
Yani, 1 V’luk potansiyel farkı boyunca 1 C’luk yükü götürmek için yapılması gereken iş
1 J’dur. Ayrıca potansiyel farkı elektrik alanla uzaklık birimlerinin çarpımına eşittir.
1V=1
N
.m
C
1 V büyüklüğündeki potansiyel farkı boyunca hareket eden bir elektronun kazandığı enerji
1 elektronvolt olarak adlandırılır.
1 eV = 1,6.10-19 C.V = 1,6.10-19 J
2
3.2. DÜZGÜN BİR ELEKTRİK ALANINDAKİ POTANSİYEL FARKLARI
Şekildeki gibi x ekseni boyunca yönelmiş düzgün bir elektrik alanında, elektrik alan
çizgilerine paralel, d uzaklığı ile birbirinden ayrılmış olan A ve B gibi iki nokta arasındaki
potansiyel fark
B
B
VB − VA = − ∫ E.ds = − ∫ Edscos0
A
E
A
B
B
A
VB − VA = − ∫ Eds
A
d
olur. E sabit olduğundan
B
∆V = VB − VA = − E ∫ ds = -Ed
Şekil 2. 1. E düzgün elektrik alanı içinde yüklü
bir parçacığın A’dan B’ye hareketi.
A
elde edilir. Bu ifadedeki – işareti, B noktasının A noktasından daha düşük potansiyelde
olmasından kaynaklanır (VB<VA).
q0 deneme yükü A’dan B’ye gittiğinden potansiyel enerjisindeki değişme
∆U = q0∆V = -q0Ed
olur. Eğer q0 pozitifse ∆U negatif olmaktadır. Bu, bir pozitif yük elektrik alan doğrultusunda
hareket ederse, elektriksel potansiyel enerji kaybeder anlamındadır. Kaybettiği potansiyel
enerji kadar q0E elektriksel kuvvetinden kaynaklanan kinetik enerji kazanır.
Öte yandan, q0 negatifse ∆U pozitif olur. Yani, potansiyel enerji kazanır. O halde, bir
negatif yük E elektrik alanı içinde durgun halden serbest bırakılırsa elektrik alana zıt
doğrultuda ivmelenir.
Şekildeki
durumda,
A
ve
B
E
noktaları arasındaki yerdeğiştirme vektörü
B
d
d ile gösterilirse potansiyel fark
A
B
B
A
A
θ
C
∆V = VB − VA = − ∫ E.ds = − E ∫ ds
Şekil 3.2. Elektrik alanında B noktası A
noktasından daha düşük, B ve C noktaları aynı
potansiyeldedir.
∆V = VB − VA = −E.d = −Edcosθ
olur.
3
Potansiyel enerjideki değişim ise
∆U = q0∆V = -q0E.d
ile verilir.
Sonuç olarak, düzgün bir elektrik alana dik olan düzlem üzerindeki tüm noktalarda
potansiyel aynıdır. Bu durum, VB-VA’nın VC-VA’ya eşit olmasından kolayca görülür. O halde
VB = VC’dir. Böyle aynı potansiyele sahip olan noktaların oluşturduğu herhangi bir yüzeye eş
potansiyel yüzey denir.
Örnek: Şekildeki düzgün elektrik alan negatif y ekseni doğrultusunda ve 325 V/m
şiddetindedir. A noktasının koordinatları (-0,2;-0,3) m ve B noktasının koordinatları
(0,4;0,5) m’dir. Kesikli çizgileri kullanarak VB-VA potansiyelini hesaplayınız.
Çözüm:
y
B
VB − VA = − ∫ E.ds
C
A
C
B
A
C
B
VB − VA = − ∫ E.ds − ∫ E.ds
0,5
0,4
-0,3
-0,2
VB − VA = − ∫ Edycos180 −
0,5
VB − VA =
x
∫ Edxcos90
A
E
0,5
∫ Edy = E.y −0,3
-0,3
VB − VA = 325.0,8
VB − VA = 260 V
4
3.3. ELEKTRİKSEL POTANSİYEL ve NOKTASAL YÜKLERİN
OLUŞTURDUĞU POTANSİYEL ENERJİ
Şekildeki gibi yalıtılmış pozitif bir
noktasal q yükü, bulunduğu yerden dışarı
doğru ışınsal olarak bir elektriksel alan
meydana getirir. Yükten r uzaklıkta bir
noktada
elektriksel
potansiyel
farkını
bulmak için
B
VB − VA = − ∫ E.ds
A
ile
işe
başlarız.
Noktasal
yükün
oluşturduğu elektrik alanı E =
kq
rˆ ile
r2
Şekil 3.3. Bir q nokta yükünden kaynaklanan
A ve B noktaları arasındaki potansiyel fark.
verilir.
E.ds =
kq
rˆ.ds
r2
cosθ =
rˆ.ds = r̂ . ds . cos θ
dr
ds
⇒
dr = dscosθ
rˆ.ds = ds cos θ = dr
E.ds =
kq
dr
r2
rB
VB − VA = − ∫ k
rA
B
⎛1 B
dr
q
⎜
kq
kq
dr
=
−
=
∫ r2
⎜r r
r2
rA
⎝ A
r
r
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛1
1 ⎞
VB − VA = kq⎜⎜ − ⎟⎟
⎝ rB rA ⎠
Görüldüğü gibi integral A ve B noktaları arasındaki yoldan bağımsızdır. Ayrıca A ve
B noktaları arasındaki potansiyel farkı yalnızca rA ve rB koordinatlarına bağlıdır. rA=∞’da
referans potansiyelini sıfır seçersek, bir noktasal yükün kendinden herhangi bir r uzaklığında
oluşturduğu potansiyeli V = k
q
olarak buluruz. Buradan, r yarıçaplı bir küre yüzeyi üzerinde
r
V potansiyelinin sabit olduğunu söyleyebiliriz.
5
İki veya daha fazla yükün bir P noktasında oluşturduğu toplam potansiyel, her bir
yükün bu noktada oluşturduğu potansiyellerin toplamıdır:
V = k∑
i
qi
ri
Bir P noktasında, q1 yükü nedeniyle oluşan potansiyel V1 ise, ikinci bir q2 yükünü sonsuzdan
P noktasına ivmelendirmeden getirmek için yapılması gereken iş q2V1 ile verilir. Parçacıklar
arasındaki uzaklık r12 iken, bu iş sitemin potansiyel enerjisine eşittir.
U = q 2 V1 = k
q 1q 2
r12
Yükler aynı işaretli ise U pozitiftir. O halde iki yükten birini diğerinin yanına getirmek için
sistem üzerinde pozitif bir iş yapılmalıdır. Aksine yükler zıt işaretli ise, kuvvet çekici U
negatif olur. Yani farklı işaretli yükleri birbirine yaklaştırmak için negatif iş yapmak gerekir.
Sistemde ikiden fazla yük varsa toplam potansiyel enerji, her bir yük çifti için U’nun
ayrı ayrı hesaplanması ve sonuçların cebirsel olarak toplanmasıyla bulunur. Örneğin üç yük
için
q2
⎛q q
qq
q q ⎞
U = k ⎜⎜ 1 2 + 1 3 + 2 3 ⎟⎟
r13
r23 ⎠
⎝ r12
r12
r23
olur.
q1
r13
q3
Şekil 3.4. Üç noktasal yük sisteminin potansiyel enerjisi
6
Örnek: 2,8 µC’luk bir yük, y ekseni üzerinde y = 0,8 m’de ve -4,6 µC’luk bir yükte
orijinde bulunmaktadır. (0,4;0) m noktasında net elektriksel potansiyeli hesaplayınız.
y
Çözüm:
q
q
V=k 1 +k 2
r1
r2
0,8 m
⎛ 2,8.10 -6 - 4,6.10 -6 ⎞
⎟
V = 9.10 9 ⎜⎜
+
⎟
0,89
0,4
⎝
⎠
(
V = 9.10 9 3,15.10 -6 − 11,5.10 -6
2,8 µC
0,89 m
)
-4,6 µC
V = -7,5.104 V
x
0,4 m
3.4. SÜREKİ YÜK DAĞILIMININ OLUŞTURDUĞU ELEKTRİKSEL
POTANSİYEL
Sürekli yük dağılımının oluşturduğu elektriksel potansiyel iki yolla bulunabilir:
1. Yük dağılımı biliniyorsa, çok küçük bir
dq yük elemanının oluşturduğu potansiyel
dq
bir noktasal yük gibidir. Bunun bir P
P
noktasında oluşturduğu dV potansiyeli
dV = k
r
Şekil 3.5. Sürekli yük dağılımının bir P
noktasında oluşturduğu elektriksel potansiyel.
dq
r
ile verilir. P noktasındaki toplam potansiyel ise, yük dağılımının bütün elemanlarının
katkısının içermesi için integral alarak bulunur.
V = k∫
dq
r
2. Yük dağılımı yüksek bir simetriye sahipse, önce verilen bir noktadaki E elektrik alanını
Gauss yasası yardımıyla hesaplarız. Sonra bu elektrik alan değerini
B
VB − VA = − ∫ E.ds
A
ifadesinde yerine yazarak iki nokta arasındaki potansiyel farkı buluruz. Bundan sonra
herhangi bir uygun noktada V’yi sıfır alırız.
7
Örnek (1.yol): Birim yüzeyindeki yük yoğunluğu σ, yarıçapı a olan düzgün
yüklenmiş bir diskin ekseni boyunca elektriksel potansiyeli bulunuz.
Çözüm:
dq
dV = k 2
(x + r 2 )1/2
a
dq = σdA = σ2πrdr
dA = 2πrdr
a
V = ∫k
0
dq
r
dr
σ2πrdr
(x 2 + r 2 )1/2
a
2rdr
2 1/2
0 (x + r )
V = kσπ∫
x2+r2 = u
2
2rdr = du
a
du
1/2
0 u
V = kσπ∫
(
a
⎛
V = kσπ⎛⎜ 2u 1/2 ⎞⎟ = 2kσπ⎜⎜ x 2 + r 2
0
⎝
⎠
⎝
(
V = 2πkσ⎛⎜ x 2 + a 2
⎝
)
1/ 2
)
⎞
⎟⎟
0⎠
1/2 a
− x ⎞⎟
⎠
8
(x2+r2)1/2
x
P
Örnek (2.yol): Düzgün dağılmış pozitif yük yoğunluğuna sahip toplam yükü Q olan R
yarıçaplı izole edilmiş bir kürenin
a) r = ∞’da potansiyeli sıfır alarak dışındaki bir noktada, yani r>R’de
b) içindeki bir noktada, yani r<R’de elektriksel potansiyelini bulunuz.
Gauss küresi
Çözüm:
a) Φ C = ∫ E.dA = ∫ EdA =
q iç
R
ε0
r
Gauss yüzeyi olarak kürenin yüzeyini seçersek ∫ dA = 4πr olur.
2
E ∫ dA =
q iç
⇒
ε0
E.4πr2 =
E =k
Q
ε0
Q
r2
⎛1 r ⎞
dr
⎟
VB = − ∫ E r dr = -kQ ∫ 2 = kQ⎜
⎟
⎜
r
∞
∞r
⎝ ∞⎠
r
r
VB = k
Q
r
(r>R için)
VC = k
Q
R
(r=R için)
b) Φ C = ∫ E.dA = ∫ EdA =
Q
q iç
Gauss küresi
ε0
r
4
qiç = ρV′ = ρ( πr3)
3
E ∫ dA =
q iç
ε0
B
C
R
⇒
⎛4
⎞
ρ⎜ πr 3 ⎟
3
⎠
E.4πr2 = ⎝
ε0
E=
1 ρr
3 ε0
E =k
ρ=
Qr
R3
9
Q
Q
=
V 43 πR 3
r
kQ
kQ ⎛⎜ r 2
VD − VC = − ∫ E r dr = - 3 ∫ rdr = - 3
R R
R ⎜ 2
R
⎝
r
VD − VC =
(
kQ
R2 − r2
3
2R
⎞
⎟
⎟
R⎠
r
)
kQ kQr 2
VD − VC =
−
2R 2R 3
VC = k
Q
R
kQ kQ kQr 2
VD =
+
−
R 2R 2R 3
VD =
kQ ⎛
r2 ⎞
⎜3 −
⎟
2R ⎜⎝
R 2 ⎟⎠
(r<R için)
3.5. ELEKTRİKSEL POTANSİYELDEN E’NİN ELDE EDİLMESİ
Aralarında ds uzaklığı ulunan iki nokta arasındaki potansiyel farkı
dV = - E.ds
ile verilir. Eğer elektrik alanın sadece Ex bileşeni varsa E.ds = Exdx olur.
dV = - Exdx
⇒
Ex = −
dV
dx
Yani, elektrik alan bir koordinata göre potansiyelin türevinin negatifine eşittir.
Yük dağılımı küresel simetriye sahipse, yani yük yoğunluğu yalnızca çapsal r
uzaklığına bağlı ise E.ds = Erdr olur.
dV = - Erdr
⇒
Er = −
dV
dr
Bu durumda V, yalnızca r’nin fonksiyonudur. Bu da eşpotansiyel yüzeylerin elektrik alan
çizgilerine dik olduğu fikri ile uyumludur.
10
Genel olarak elektriksel potansiyel V(x,y,z) şeklinde üç koordinatın fonksiyonu
olduğundan Ex, Ey, Ez elektrik alan bileşenleri
Ex = −
∂V
∂x
Ey = −
∂V
∂y
Ez = −
∂V
∂z
Olur. Vektörel olarak bu ifade
E = -∇V
ile gösterilir.
Örnek: Uzayın belirli bir bölgesindeki elektriksel potansiyel V = 3x2y – 4xz – 5y2 V
olarak veriliyor. Bütün uzaklıkları metre alarak (1,0,2) noktasındaki
a) elektriksel potansiyeli
b) elektrik alanın bileşenlerini bulunuz.
Çözüm:
a)
V = 3x2y – 4xz – 5y2 V
(1,0,2) m
V = 3.1.0 – 4.1.2 – 5.0 V
V = -8 V
b)
Ex = −
∂V
= -6xy + 4z = -6.1.0 + 4.2 = 8 V/m
∂x
Ey = −
∂V
= -3x2 + 10y = -3.1 + 10.0 = -3 V/m
∂y
Ez = −
∂V
= 4x = 4.1 = 4 V/m
∂z
11
3.6. YÜKLÜ BİR İLETKENİN POTANSİYELİ
Yüklü bir iletkenin yüzeyi üzerinde A ve B
noktalarını birleştiren yol boyunca E her
ds
zaman
yerdeğiştirmesine
diktir.
arasındaki
potansiyel
+
+
+
+
Dolayısıyla E.ds = 0 olur. O halde A ve B
noktaları
+
+
+
farkı
+
+
sıfırdır.
+
A
B
E
Şekil 3.6. Rasgele biçimde pozitif yüklü bir
iletken
B
VB − VA = − ∫ E.ds = 0
⇒
VB = VA
A
Buna göre, denge durumunda yüklü bir iletkenin yüzeyinin her yerinde V potansiyeli sabittir.
Yani, denge durumundaki herhangi bir yüklü iletkenin yüzeyi, eşpotansiyel yüzeydir. Ayrıca,
iletkenin içindeki elektrik alan sıfır olduğundan iletkenin içindeki her yerde potansiyel sabit
ve yüzeydeki değerine eşittir.
Problemler
1. 4,2.105 m/s’lik bir ilk hızı olan elektronu durdurmak için ne kadarlık bir potansiyel farkı
gerekir?
Çözüm:
∆K = q∆V
- 12 mv 02 = q∆V
⇒
∆V = −
mv 02
2q
(
9,11.10 -31. 4,2.10 5
∆V = −
2.1,6.10 -19
)
2
∆V = -0,502
2. Bir proton düzgün bir elektrik alan bölgesinde hareket ediyor. Proton, elektrik alan yönüne
paralel 2 cm’lik bir yerdeğiştirme yaptığında, 5.10-18 J’luk kinetik enerji artışına sahip oluyor.
Elektrik alan şiddeti ne kadardır?
Çözüm:
12
∆K = q∆V
∆K = qEd
⇒
E=
∆K
qd
E=
5.10 -18
1,6.10 -19.0,02
E = 1,56.103 N/C
3. Şekildeki gibi iki tane 2 µC’luk yük ve orijinde q = 1,28.10-18 C’luk pozitif bir deneme
yükü veriliyor.
a) İki tane 2 µC’luk yükün q yükü üzerine uyguladığı net kuvvet nedir?
b) İki tane 2 µC’luk yükün orijinde oluşturduğu V potansiyeli ne kadardır?
y
2 µC
2 µC
q
x
0
- 0,8 m
0,8 m
Çözüm:
a) Yükler eşit ve simetrik olduğundan ΣF = 0 olur.
b) V = k
q
q
q
2.10 −6
+ k = 2k = 2.9.10 9
= 4 ,5.10 3 V
r
r
r
0 ,8
4. Dört tane yük şekildeki gibi bir dikdörtgenin köşelerine yerleştirilmiştir. İki tane 4 µC’luk
yükü yerlerinden ayırarak sonsuza götürmek için ne kadarlık bir enerji harcanır?
q2 = 8 µC
Çözüm:
+
qq
q 1q 2
qq
+k 1 3 +k 1 4
r12
r13
r14
⎛ 4.8.10
∆U1 = 9.10 9 ⎜⎜
⎝ 0,03
−12
+
4.4.10
−12
45.10
-2
+
−12
4.2.10
0,06
⎞
⎟
⎟
⎠
∆U1 = 12,95 J
4 µC’luk yükün diğerini sonsuza götürmek için ∆U2:
13
q3 =4 µC
+
45 cm
4 µC’luk yükün birini sonsuza götürmek için ∆U1:
∆U1 = k
6 cm
3 cm
+
+
q1 = 4 µC
q4 = 2 µC
∆U 2 = k
q 3q 4
q q
+k 3 2
r34
r32
⎛ 4.2.10 −12 4.8.10 −12
∆U 2 = 9.10 9 ⎜⎜
+
0,03
0,06
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
∆U2 = 7,2 J
∆U = ∆U1 + ∆U2 = 20,15 J
6. R yarıçaplı düzgün yüklü yalıtkanın içindeki elektriksel potansiyel V =
dışındaki potansiyel V =
kQ ⎛
r2
⎜3 −
2R ⎜⎝
R2
⎞
⎟,
⎟
⎠
kQ
ifadeleriyle veriliyor. Kürenin içinde ve dışında elektrik alan
r
ifadelerini bulunuz.
Çözüm:
Kürenin içinde;
V=
kQ ⎛
r2
⎜3 −
2R ⎜⎝
R2
Kürenin dışında;
V=
kQ
r
⎞
⎟
⎟
⎠
14
Er = −
dV kQr
= 3
dr
R
Er = −
dV kQ
= 2
dr
r