TÜREV f:(a, b) R ve xo (a, b) olmak üzere; lim x xo f x f xo x xo limiti bir gerçel sayı ise bu limite f fonksiyonunun xo daki türev’i denir. f’(xo) ile gösterilir. x = xo+h olarak alınırsa ; f ' ( xo ) lim h 0 f ( x o h) f ( x o ) olur. h f ( x o h) f ( x o ) f ' ( xo ) h 0 h f ( x o h) f ( x o ) lim f ' ( xo ) h 0 h lim UYARI: Fonksiyonun xo da türevinin olması için gerek ve yeter şart, soldan ve sağdan türevlerinin var ve eşit olmasıdır. c R ve x R için; f(x) = xn f(x)=c ise f’(x)=0 dır. f’(x) = n.xn-1 ise (cf(x))’ = cf’ (x) (f(x) g(x))’ = f’(x) g’(x) (f(x).g(x))’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x) ' f ( x) f ' ( x).g ( x) f ( x).g ' ( x) g ( x)2 g ( x) f g x' f ' g x.g ' ( x) f (y 1 ' o ) 1 f ( xo ) ' 181 ise F ( x, y) 0 x f (t ) ve y g (t ) Fx' dy ' dx Fy ise dy dy dt dx dx dt f ( x) sin x ise f ' ( x) cos x f ( x) cos x ise f ' ( x) sin x f ( x) tan x ise f ' ( x) 1 tan 2 x f ( x) cot x ise f ' ( x) (1 cot 2 x) f ( x) sec x ise f ' ( x) sec x. tan x f ( x) csc x ise f ' ( x) csc x. cot x f ( x) arcsin x ise f ' ( x) 1 1 x2 f ' ( x) f ( x) arccos x ise f ( x) arctan x ise f ' ( x) f ( x) arc cot x ise 1 1 x2 1 1 x2 1 f ' ( x) 1 x2 f ( x) a x ise f ' ( x) a x . ln a f ( x) e x ise f ' ( x) e x f ( x) log a x ise f ' ( x) 1 x. ln a f ( x) ln x ise f ' ( x) 1 x 182 Eġitlik, tablo ve grafiği kullanarak fonksiyonların istenen noktalarındaki TÜREVLERİNİ bulunuz. f(x) = x2-3x+1 h’(0)=1/2 , x g(x) g’(x) 0 3 -1 1 2 0 2 4 2 3 1 -3 4 0 3 5 4 -1 6 5 1 7 2 0 h’(3)=h’(4)=-2 h’(5)=6 , , h’(6)=-1 1. x=1 d g(3x-1)= dx 2. x=3 d g(x2-5)= dx 3. x=3 d g(10-2x)= dx 4. x=2 d 3 g (x)= dx 5. x=1 d 2 g (x)= dx 6. x=3 d g(f(x))= dx 7. x=2 d g(h(x))= dx 8. x=4 183 d g(h(x))= dx d h(g(x))= dx 9. x=4 d h(g(x))= dx 10. x=0 11. x=3 d g(x+h(x))= dx 12. x=2 d g(x2+h(x))= dx 13. x=2 d f(g(x))= dx 14. x=1 d f(x2+g(x))= dx 15. x=0 d g(x3+h(x))= dx 16. x=2 d f(x2+h(x))= dx 17. x=0 d g(sin x)= dx 18. x=4 d cos(g(x))= dx 19. x=5 d dx 20. x=4 g (x) = d g ( x) e = dx YANITLAR: 1. 6 2. 18 8. 2 9. 3/2 15. 0 16. 44 3. -6 4. 96 5. 0 6. 0 7. 0 13. 10 14. 6 10. 2 11. 1 12. 0 17. -1 18. 0 19. -1/4 20. 3 Aġağıdaki fonksiyonların türevlerini alınız. 1. x.sin x 2. x.cos x 3. x2sin x 4. x3sin x 5. x3cos x 6. sin x.cos x 7, (x2+3)sin x 8, 9. 1 sin x x 10. x.ex 11. x3.ln x 12. 1 x e x 13. sin x.sin x 14. cos x.cos x 15. ex.ex x cos x 184 16. x ( x 3 5) 17. 19. cos x x2 20. 22. sin x cos x 23. 25. 1 sin x x 26. 28. 31. 2 cos x x x sin x sin x x x2 3 x2 x7 x cos x sin x ex 29. x 32. x 2 3x 2 x5 18. sin x x3 21. x5 x3 24. x 8 x2 27. x 2 sin x 30. ln x x 1 33. sin(5x+2) 1 x 34. sin5(x2+3) 35. sin x 36. sin 37. cos4(3x-1) 38. cos(x3+7x) 39. cos x 40. cos7ex 41. tan x3 42. sin ex 43. sin(cosx) 44. cos 46. e sin x 47. e ( 7 x 1) 48. e x 49. e tan x 50. e ( x 51. ln(3x+7) 52. ln(x2+3) 53. ln(sin x) 54. ln( 2 55. ln(tan x) 56. ln(1+x2) 57. ln(7-cos x) 58. (5x+3)3 59. (4x-1)5 60. (3x+2)10 61. (x2+3)7 62. (ex+x)5 63. (2+sin x)5 1 x2 45. e (5 x 4) 1 2 ) 185 x) 64. (ex+cos x)8 67. 70. 65. (sin x+cos x)5 66. x2 5 68. 1 71. x 5 3 x 5 3x 3 ln x 2 sin x 69. 10 x 2 72. e x sin x YANITLAR: 1. x cos x sin x 2. x sin x cos x 3. x 2 cos x 2 x sin x 4. x 3 cos x 3x 2 sin x 5. x 3 sin x 3x 2 cos x 6. sin 2 x cos 2 x 7. ( x 2 3) cos x 2 x sin x 8. x sin x 9. 1 1 cos x 2 sin x x x 1 2 x cos x 10. xe x e x 1 x 1 x e 2e x x 11. x 2 3x 2 ln x 12. 13. 2 sin x. cos x 14. 2 sin x. cos x 15. 2e 2 x 16. x .3x 2 1 2 x ( x 3 5) 17. x cos x sin x x2 18. x 3 cos x 3x 2 sin x x6 19. x 2 sin x 2 x cos x x4 20. ( x 2)2 x ( x 2 3) ( x 2) 2 21. ( x 3) ( x 5) ( x 3) 2 22. cos 2 x sin x x cos 2 x 186 x 23. 1 2 x x ( x 7) 25. x cos x (1 sin x) x2 27. 2 sin x x cos x (2 sin x) 2 29. xe e x2 x sin x. 31. ( x 2) ( x 8) ( x 2) 2 24. x 26. 28. 30. sin 2 x cos 2 x sin 2 x 1 x ( sin x) (2 cos x) 2 x x 1 ln x x ( x 1) 2 ( x 1) 1 x cos x 2 x sin 2 x 33. 5. cos(5x 2) 35. cos x . 32. ( x 5)(2 x 3) ( x 2 3x 2) ( x 5) 2 34. 5. sin 4 ( x 2 3) cos( x 2 3).2 x 1 1 x 36. cos .( 2 x 37. 4 cos 3 (3x 1). sin(3x 1).3 39. sin x .( 1 2 x ) 1 ) x2 38. sin( x 3 7 x).(3x 2 7) 40. 7 cos 6 e x .( sin e x ).e x 41. sec 2 x 3 .3x 2 42. cos e x .e x 43. cos(cos x).( sin x) 44. sin 45. e (5 x 4) .5 46. e sin x . cos x 47. e ( 7 x 1) .7 48. e x .( 49. e tan x . sec 2 x 50. e x .2 x 1 2 187 1 2 .( 3 ) 2 x x 1 ) x2 51. 3 3x 7 52. 2x x 3 53. cos x sin x 54. 1 55. 1 . sec 2 x tan x 56. 57. sin x 7 cos x 58. 15.(5 x 3) 2 2 . 1 2 x 2 x 2x 1 x2 59. 20.(4 x 1) 4 60. 30.(3x 2) 9 61. 14 x.( x 2 3) 6 62. 5.(e x x) 4 (e x 1) 63. 5.(2 sin x) 4 . cos x 64. 8.(e x cos x) 7 (e x sin x) 65. 5.(sin x cos x) 4 (cos x sin x) 67. 69. 71. x x2 5 x 10 x 2 1 2 x 3 ln x 68. 70. 72. 188 66. cos x 2 2 sin x 5x 4 3 2 x 5 3x 3x 2 2( x 3 5) x 3 5 e x cos x 2 e x sin x ÖRNEK: f(x) = 3x2 fonksiyonunun a = 1 için türevi? f(a)=f(1)=3 f(a+h)=f(1+h)=3(1+h)2=3+6h+h2 f(a+h)-f(a)=6h+3h2 f (a h) f (a) 6h 3h 2 6 3h h h f ' (a) lim f ( a h) f ( a ) h f ' (1) lim f (1 h) f (1) lim (6 3h) 6 h 0 h h 0 h 0 f(x)=3x2 nin x=1 deki teğet denklemi : y = f’(a)(x-a) + f(a) y = 3+6(x-1) y=6x-3 ÖRNEK: f(x) = 5x2-2 fonksiyonunun a=1 için türevi? f(a)=f(1)=3 f(a+h)=f(1+h)=5(1+h)2-2=3+10h+5h2 f(a+h)-f(a)=10h+5h2 f (a h) f (a) 10h 5h 2 10 5h h h f ( a h) f ( a ) h f ' (a) lim h 0 f ' (1) lim h 0 f (1 h) f (1) lim (10 5h) 10 h 0 h f(x)=5x2-2 nin x=1 deki teğet denklemi : y = f’(a)(x-a) + f(a) y=3+10(x-1) , y=10x-7 189 ÖRNEK: f(x) = x2 fonksiyonunun a=2 için türevi ? f(a)=f(2)=4 f(a+h)=f(2+h)=(2+h)2=4+4h+h2 f(a+h)-f(a)=4h+h2 f ( a h) f ( a ) 4h h 2 4h h h f ' (a) lim f ( a h) f ( a ) h f ' (2) lim f (2 h) f (2) lim (4 h) 4 h 0 h h 0 h 0 f(x)=x2 nin x=2 deki teğet denklemi : y = f’(a)(x-a) + f(a) y=4(x-2)+4 y=4x-4 ÖRNEK: f(x) = 2 x fonksiyonunun x=3 için türevi ? f (a h) f (a) f (3 h) f (3) h h 6 2h 6 6 2h 6 . h 6 2h 6 f ' (3) lim h 0 6 2h 6 h 2 6 2h 6 f (3 h) f (3) 2 1 lim h 0 h 6 2h 6 6 ÖRNEK: x2 ; x rasyonel. 0 ; x irrasyonel f(x) = fonksiyonu için f’(0)=0 dır. 190 f ' ( x) lim h 0 f ( x h) f ( x ) h ÖRNEK: f(x) = x2 için f’(x) = ? f(x+h)-f(x) = (x+h)2-x2 = 2hx+h2 f ' ( x) lim h 0 f ( x h) f ( x ) lim (2 x h) 2 x h 0 h ÖRNEK: f(x) = 5x2-2 için f’(x) = ? f ( x h) f ( x) [5( x h) 2 2] (5 x 2 2) 10 x 5h 2 h h f ' ( x) lim h 0 f ( x h) f ( x ) lim (10 x 5h 2 ) 10 x h 0 h ÖRNEK: f(x) = 2x için f’(x) = ? f ( x h) f ( x ) h f ' ( x) lim h 0 2( x h) 2 x h 2 2 x 2h 2 x f ( x h) f ( x ) 2 1 lim h 0 h 2 x 2h 2 x 2x 191 ÖRNEK: f ( x) 3 x için f’(x) = ? 3( x h) 3x f ( x h) f ( x ) 3 h h 3x 3h 3x f ' ( x) lim h 0 f ( x h) f ( x ) 3 3 lim h 0 h 3x 3h 3x 2 3x ÖRNEK: f ( x) 1 x için f’(x) = ? f ( x h) f ( x ) 1 1 1 h h xh x f ' ( x) lim h 0 1 x x h( x x h) f ( x h) f ( x ) 1 lim h 0 h x x h( x x h) 1 2x x TEOREM: f fonksiyonunun tanım kümesinin bir a elemanı türevi bulunabiliyorsa , f fonksiyonu bu noktada süreklidir. SONUÇ: f fonksiyonu x = a noktasında sürekli değil ise , f fonksiyonunun x = a için türevi alınamaz. 192 ÖRNEK : x2 ; x 0 f(x) = x+1 ; x > 0 fonksiyonunun x=0 da türevli olmadığını gösteriniz. lim f ( x) lim x 2 0 f (0) x 0 x 0 lim f ( x) lim ( x 1) 1 f (0) x 0 x 0 lim f ( x) yoktur x0 f fonksiyonu x = 0 da sürekli değildir. x = 0 da sürekli olmayan f fonksiyonunun x = 0 da türevi alınamaz. SOLDAN VE SAĞDAN TÜREV: f ' ( x) lim f ( x h) f ( x ) h f ' ( x) lim f ( x h) f ( x ) h x 0 x 0 NOT: f fonksiyonunun sol (veya sağ) limitinden söz edilebilmesi için, fonksiyonun o noktanın solunda (veya sağında) tanımlı olması gerekir. TEOREM: f fonksiyonu açık arılıkta tanımlı ,bu aralıktaki bir x değeri için türevli olması için gerek ve yeter koşul ; bu noktada soldan ve sağdan türevlerinin var ve eşit olmasıdır. 193 ÖRNEK: f ( x) x fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevini araştırınız? f ' (0) lim f (0 h) f (0) h lim 1 h 0 h h f ' (0) lim f (0 h) f (0) h lim 1 h 0 h h h 0 h 0 f ' (0) 1 1 f ' (0) olduğundan f ' (0) yoktur. ÖRNEK: 0 ; x<0 x2 ; x0 f(x) = fonksiyonu için f’(0) = ? f (0 h) f (0) lim 0 0 h 0 h 0 h f ( x h) f ( x ) f ' (0) lim lim (2 x h) 0 h 0 h 0 h f ' (0) lim f ' (0) 0 f ' (0) olduğundan ÖRNEK: f ( x) x 2 3 f ' (0) 0 dır. fonksiyonunun x=0 noktasındaki türevini araştırınız? 2 3 f ( x h) f ( x) f (h) f (0) h 1 1 h h h h3 1 f _' (0) lim 1 h 0 h3 1 f ' (0) lim 1 h 0 h3 f ' (0) f ' (0) olduğundan 194 f ' (0) yoktur. ÖRNEK: f ( x) x 1 3 fonksiyonunun x=0 noktasındaki türevini araştırınız? 1 f (0 h) f (0) h3 1 f ' (0) lim lim lim 2 h 0 h 0 h h 0 h h3 1 f (0 h) f (0) h3 1 f ' (0) lim lim lim 2 h 0 h 0 h h 0 h h3 f ' (0) f ' (0) Hareketlinin doğru boyunca t zamanda aldığı yol s ile gösterildiğinde ; v(t ) ds v ' (t ) dt t anındaki HIZ’ı verir. ÖRNEK: dx 4 4x 3 dx , dx123 123x122 dx ds 5 5s 4 ds , dw10 10w 9 dw TEOREM: Bir açık aralıkta tanımlı ve bu aralıktaki x=a için türevli olan f ve g fonksiyonları için ; cf , f g , fonksiyonları da f g , x=a fg ve f g için türevlidir. 195 ( g ' (a) 0 ) (cf )' (a) cf ' (a) u f (x) için d (cu ) du dir. c dx dx ÖRNEK: d (4 x 6 ) dx 6 4 4(6 x 5 ) 24 x 5 dx dx d (21s 3 ) ds 3 21 21(3s 2 ) 63s 2 ds ds 5 d w4 4 4 5 dw 5 4w 3 5w 3 dw 4 dw 4 f g ( a) f ' ( a) g ' ( a) u f (x) ' ve v g (x) için: d du dv (u v) dx dx dx dir. ÖRNEK: d d d (3x 4 6 x 5 ) (3x 4 ) (6 x 5 ) dx dx dx 3 dx 4 dx 5 6 3(4 x 3 ) 6(5 x 4 ) 12 x 3 30 x 4 dx dx ( fg )' (a) f ' (a) g (a) f (a) g ' (a) u f (x) ve v g (x) için: 196 d du dv (uv) vu dx dx dx dir. ÖRNEK: d 3 x (2 x 9 12) = ? dx dx 3 d (2 x 9 12) x 3 (2 x 9 12) 3x 2 (2 x 9 12) x 3 (18 x 8 ) dx dx 11 2 11 6 x 36 x 18 x 24 x11 36 x 2 12 x 2 (2 x 9 3) ÖRNEK: y x12 (1 x 2 ) için dy ? dx dy d 12 dx12 d x (1 x 2 ) (1 x 2 ) x12 (1 x 2 ) dx dx dx dx 11 2 12 11 2 12 x (1 x ) x (2 x) 2 x (7 x 6) ' f f ' (a) g (a) f (a) g ' (a) (a) g (a)2 g u f (x) ve v g (x) için: du dv vu d u dx dx dx v v2 dir. ÖRNEK: d 3x 3 2 x ? dx 4 5 x 2 (9 x 2 2)(4 5 x 2 ) (3x 3 2 x)(10 x) 3x 2 (12 5 x 2 ) (4 5 x 2 ) 2 (4 5 x 2 ) 2 197 ÖRNEK: w s2 3s 4 2 için dw ? ds ds 2 d (3s 4 2) s 2 (3s 4 2) dw ds ds 4 ds (3s 2) 2 2s(3s 4 2) s 2 (12s 3 ) 2s(3s 4 2) (3s 4 2) 2 (3s 4 2) 2 ÖRNEK: d 7x6 ? dx 6 x 8 1 d 7x6 d (6 x 8 1) 7 x 6 (6 x 8 1) dx dx (6 x 8 1) 2 42 x 5 (6 x 8 1) 7 x 6 (48 x 7 ) 42 x 5 (2 x 8 1) (6 x 8 1) 2 (6 x 8 1) 2 r Q için ; dx r rx r 1 dir. dx ÖRNEK: 1 dx 3 3x 4 dx 1 2 ds 1 s ds 2 1 dx 2 1 2 x dx 2 3 2 7 3 4 dw 7 w3 dw 3 198 ÖRNEK: d 5 dx 4 20 5 20 x 5 5 4 dx x dx x ÖRNEK: 1 3 1 d d d 2 3 2 3 x x xx 2 x x x dx dx dx 2 2 ÖRNEK: 5 7 d 6 d 6 dx 2 15 6 15 x 2 3 5 2 dx x x dx 2 dx x x x ÖRNEK: 3 1 d x2 1 d x2 1 d 2 x x 2 dx dx x x x dx 1 3 3 2 1 2 3 1 x x x 2 2 2 2x x ÖRNEK: 1 1 2 x x 1 ( x 2 1)( x 2 ) 2 d x 1 2 2 dx x 1 ( x 1) 3 1 1 2 1 2 3 x x 2x 1 x x 2 2 x 2 2 2 2 ( x 1) ( x 1) 2x x 2x y f (x) fonksiyonu için ; dy f ' ( x) şeklinde gösteriliyordu. dx dy f ' ( x)dx ifadesine y’nin diferansiyeli 199 denir. y f (u) ve u g (x) dy dy du dx du dx u f (x) fonksiyonları için ; dir. ve r Q için ; du r du ru r 1 dx dx ÖRNEK: ise F ( x) ( x 2 1)10 F ' ( x) ? F ' ( x) 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 ÖRNEK: ise F ( x) (3x 3 x) 7 F ' ( x) ? F ' ( x) 7(3x 3 x) 6 (9 x 2 1) ÖRNEK: 1 ise F ( x) (3x 4 5 x) 2 F ' ( x) ? 1 F ' ( x) 1 (3x 4 5 x) 2 (12 x 3 5) 2 ÖRNEK: F ( x) f ( x 3 ) ise F ' ( x) ? F ' ( x) 3 x 2 f ' ( x 3 ) 200 dir. ÖRNEK: F ( x) f ( 1 ) x4 ise F ' ( x) 4 x 5 f ' ( F ' ( x) ? 1 ) x4 ÖRNEK: F ( x) g ( x) ise 6 F ' ( x) ? F ' ( x) 6g ( x) g ' ( x) 5 ÖRNEK: d (5 x 4 12 x 2 ) 3 3(5 x 4 12 x 2 ) 2 (20 x 3 24 x) dx ÖRNEK: 1 1 d 1 (3x 3 6 x) 2 (3x 3 6 x) 2 (9 x 2 6) dx 2 ÖRNEK: d (1 3x 3 )10 10(1 3x 3 ) 9 (9 x 2 ) 90 x 2 (1 3x 3 ) 9 dx ÖRNEK: d ds 3 1 ( s s 1) 4 3 4 7 d 4 3 ( s s 1) 4 ( s 4 s 1) 4 (4s 3 1) ds 4 ÖRNEK: d (4 x 2 1) 23 23(4 x 2 1) 22 (8 x) 184 x(4 x 2 1) 22 dx 201 ÖRNEK: d x 5 x ( ) 5 dx 1 x 1 x 4 1(1 x) 1.x 5x 4 2 (1 x) 6 (1 x) ÖRNEK: 1 d 3 d 3 x 1 3x 2 x (1 3x 2 ) 2 dx dx 1 1 3x 2 (4 x 2 1) 2 2 2 3 1 2 3x (1 3x ) x (1 3x ) 2 (6 x) 2 1 3x 2 ÖRNEK: 3 3 1 d 4 3 x (2 x 1) 2 4 x 3 (2 x 1) 2 x 4 (2 x 1) 2 (2) dx 2 3 x (11x 4) 2 x 1 ÖRNEK: 3 2 d w w d w 3 6 dw (3w 1) dw (3w 3 1) 6 1 3 3 2 w (3w 3 1) 6 w 2 (6)(3w 3 1) 5 (9w 2 ) 3 w (1 33w 3 ) 2 (3w 3 1)12 2(3w 3 1) 7 ÖRNEK: d ( s 1) 3 3( s 1) 2 (2s 1) 5 ( s 1) 3 (5)(2s 1) 4 (2) ds (2s 1) 5 (2s 1)10 ÖRNEK: d (3 cos x) 3 sin x dx ÖRNEK: d (5 sec t ) 5 sec t. tan t dt 202 ÖRNEK: y sin x eğrisinin x 3 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız? 1 mt f ' ( ) cos 3 3 2 3 P( , sin ) P( , ) 3 3 3 2 y 3 1 x 3 2 3 ÖRNEK: y tan x eğrisinin x 3 noktasındaki teğetinin denklemini yazınız? mt f ' ( ) sec 2 4 3 3 P( , tan ) P( , 3 ) 3 3 3 y 3 4( x 3 ) ÖRNEK: d tan x sec 2 x dx olduğunu kanıtlayınız? d d sin x cos x. cos x sin x( sin x) tan x dx dx cos x (cos x) 2 cos 2 x sin 2 x 1 sec 2 x 2 2 cos x cos x ÖRNEK: d 3 x sin x 3x 2 sin x x 3 cos x x 2 (3 sin x x cos x) dx 203 ÖRNEK: d sin 6 x 3 18 x 2 cos 6 x 3 dx ÖRNEK: d sin x 2 2 x cos x 2 dx ÖRNEK: d cos 3x 4 12 x 3 ( sin 3x 4 ) 12 x 3 sin 3x 4 dx ÖRNEK: d tan(sin x) (cos x) sec 2 (sin x) dx ÖRNEK: d d sin(tan 4 3 x 3 ) cos(tan 4 3 x 3 ) tan 4 3 x 3 dx dx cos(tan 4 3 x 3 )4 tan 3 3 x 3 d tan 3 x 3 dx cos(tan 4 3 x 3 )4 tan 3 3 x 3 . sec 2 3 x 3 d 3x 3 dx cos(tan 4 3 x 3 ).4 tan 3 3 x 3 . sec 2 3 x 3 .9 x 2 36 x 2 (sec 2 3 x 3 )(tan 3 3 x 3 ). cos(tan 4 3 x 3 ) 204 d du sin u cos u. dx dx d du cos u sin u. dx dx d du tan u sec 2 u. dx dx d du cot u csc 2 u. dx dx d du sec u sec u. tan u. dx dx d du csc u csc u. cot u. dx dx F ( x, y) 0 ise F' dy x' dx Fy dy dy dt x f (t ) ve y g (t ) ise dx dx dt ÖRNEK: f ( x) x 5 için ; f ' ( x) =? ve f '' ( x) =? f ( x) x 5 f ' ( x) 5 x 4 f '' ( x) 20 x 3 f ''' ( x) 60 x 2 f (5) ( x) 120 f ( 6) ( x) 0 ………… f ( n ) ( x) 0 n6 205 f ( 4) ( x) 120 x ÖRNEK: y sin 2 x y' 2 cos 2 x y' ' 4 sin 2 x y' ' ' 8 cos 2 x y ( 4) 16 cos 2 x y (5) 32 cos 2 x y ( 6) 64 sin 2 x y ( n ) 2 n sin(2 x y' n ) 2 dy dx y' ' d dy d 2 y dx dx dx 2 y' ' ' d d2y d3y dx dx 2 dx 3 y ( 4) y (n) n=1,2,3,4, …. d d3y d4y dx dx 3 dx 4 d d n 1 y d n y n 1 n dx dx dx ÖRNEK: y x 4 için ; dy 4x 3 , dx d2y 12x 2 , 2 dx d5y 0 , .... dx 5 206 d3y 24 x dx 3 d4y 24 , dx 4 ÖRNEK: y x için ; 2x 1 y' (1)(2 x 1) x(2) 1 (2 x 1) 2 2 (2 x 1) 2 (2 x 1) y' ' (2)(2 x 1) 3 (2) 4(2 x 1) 3 y' ' ' (4)(3)(2 x 1) 4 (2) 24(2 x 1) 4 ÖRNEK: x2 y2 1 y 1 x2 y 1 x2 , y 1 x2 , ( x 1 ) dy x dx 1 x2 ( x 1) dy x dx 1 x2 ( x 1) 1 3 dy 1 , 2 3 için , dx 3 1 dy 1 3 , için , 2 dx 3 3 dir. ÖRNEK: x10 2 xy y10 0 için y ? y ??????? dy ?????? dx 207 ÖRNEK: x2 y2 1 ise dy ? dx d 2 d1 (x y 2 ) dx dx 2x 2 y , dx 2 dy 2 0 dx dx , dy x dx y dy 0 dx 1 3 dy 1 , 2 3 için , dx 3 1 dy 1 3 , için , 2 dx 3 3 dir. ÖRNEK: x10 2 xy y10 0 ise dy ? dx d 10 d0 ( x 2 xy y 10 ) dx dx dx10 d 2 xy dy 10 0 dx dx dx 10 x 9 2(1. (5 y 9 x) dy dy dy x ) 10 y 9 0 dx dx dx dy 5x 9 y dx dy 5 x 9 y dx 5 y 9 x 208 ÖRNEK: x sin xy 1 ise dy ? dx d d1 x sin xy dx dx (1) sin xy x d sin xy 0 dx sin xy x cos xy. d xy 0 dx sin xy x cos xy (1. y x dy )0 dx sin xy xy cos xy x 2 cos xy. dy 0 dx dy sin xy xy cos xy dx x 2 cos xy ÖRNEK: x2 y2 1 4 9 ise dy ? dx d x 2 y 2 d1 dx 4 9 dx x 2 dy y 0 2 9 dx dy 9x dx 4y 209 ÖRNEK: x 2 y 7 x3 y 2 1 ise dy ? dx d 2 7 d1 (x y x3 y 2 ) dx dx 2 xy 7 x 2 7 y 6 dy 2 2 dy 3x y x 3 2 y 0 dx dx (7 x 2 y 6 2 x 3 y ) dy 3x 2 y 2 2 xy 7 dx dy x(7 y 5 2 x) dx y (3x 2 y 5 ) ÖRNEK: x 2 y 2 1 ise ; dy x dx y bulundu , d 2 y d dy d x (1) y xy ' y xy ' 2 2 dx dx dx y dx y y2 x y x 2 2 y y x 1 y2 y3 y3 y' ' y' ' ' 1 y3 olur. x dy ' ' d dy 3x ( y 3 ) 3 y 4 3 y 4 5 dx dx dx y y y' ' ' 3x y5 210 ÖRNEK: d dx sin y dx dx dy y' sec y dx sin y x ise ; cos y. dy 1 dx dy ' d dy sec y sec y. tan y sec y.tan y.sec y dx dx dx sec 2 y.tan y y' ' y' ' ' sec 2 y(3 sec 2 y 2) f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun. Bu fonksiyon xo (a, b) noktasında extremum değerini alıyorsa, bu nokta için türevi sıfırdır. ÖRNEK: f ( x) 3 4 x 3x 3 fonksiyonunu [-1 , 2] aralığında inceleyiniz? f ' ( x) 4 9 x 2 f ' ( x) 4 9 x 2 0 9x 2 4 x 2 4 2 x 9 3 f (1) 2 2 11 Yersel minimum. f ( ) 3 9 2 43 f( ) 3 9 Yersel (Mutlak) maksimum. f (2) 13 Mutlak minimum. 211 [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için; f(a) = f(b) ise f’(c) = 0 olacak şekilde c (a, b) vardır. [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için; f ' (c ) f (b) f (a) ba olacak şekilde c (a, b) vardır. [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için; x (a, b) de f ' ( x) 0 oluyorsa, fonksiyon [a, b] de sabit değerler alır. f ve g , [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli fonksiyonlar olsun. x (a, b) için f ' ( x) g ' ( x) ise x (a, b) için f ( x) g ( x) C dir. ÖRNEK: fonksiyonunu inceleyiniz? f ( x) x x1 , x2 R ve x1 x2 için ; f ( x1 ) x1 x2 f ( x2 ) olduğundan fonksiyon artan. ÖRNEK: f ( x) x 2 fonksiyonunu ( ,0) ve ( 0. ) aralıklarında inceleyiniz? ( 0. ) aralığında 0 x1 x2 olsun. f ( x2 ) f ( x1 ) x22 x12 ( x2 x1 )( x2 x1 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 ) olup fonksiyon bu aralıkta artandır. ( ,0) aralığında x1 x2 0 olsun. f ( x2 ) f ( x1 ) x x12 ( x2 x1 )( x2 x1 ) 0 2 2 f ( x2 ) f ( x1 ) olup fonksiyon bu aralıkta azalandır. 212 . f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun. x (a, b) de f ' ( x) 0 oluyorsa, fonksiyon bu aralıkta artandır. f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun. x (a, b) de f ' ( x) 0 oluyorsa, fonksiyon bu aralıkta azalandır. ÖRNEK: f ( x) x 4 8 x 2 2 fonksiyonunu inceleyiniz? f ' ( x) 4 x 3 16 x 4 x( x 2)( x 2) (,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan. (2,0) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. (0,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan. (2,) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. ÖRNEK: f ( x) x 3 ( x 2) 4 fonksiyonunu inceleyiniz. f ' ( x) 4 x 3 ( x 2) 4 x 3 (4)( x 2) 3 x 2 ( x 2) 3 (7 x 6) (,0) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. 6 (0, ) için 7 6 ( ,2) için 7 f ' ( x) 0 f ( x) artan. f ' ( x) 0 f ( x) azalan. (2,) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. 213 f fonksiyonunun kritik noktası x=c olsun. ( f ' (c) 0) c’den küçük değerler için f ' ( x) 0 , c’den büyük değerler için f ' ( x) 0 ise x=c de fonksiyon yerel maksimum yapar. c’den küçük değerler için f ' ( x) 0 , c’den büyük değerler için f ' ( x) 0 ise x=c de fonksiyon yerel minimum yapar. ÖRNEK: f ( x) x 4 8 x 2 2 fonksiyonunu inceleyiniz? f ' ( x) 4 x 3 16 x 4 x( x 2)( x 2) f ' (2) f ' (0) f ' (2) 0 x=-2 , x=0 , x=2 kritik noktalar. (,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan. x=-2 yerel minimum (2,0) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. x=0 yerel maksimum (0,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan. x=2 yerel minimum (2,) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. ÖRNEK: f ( x) x 3 ( x 2) 4 fonksiyonunu inceleyiniz. f ' ( x) 4 x 3 ( x 2) 4 x 3 (4)( x 2) 3 x 2 ( x 2) 3 (7 x 6) 6 f ' (0) f ' ( ) f ' (2) 0 7 6 x=0 , x= , x=2 kritik noktalar. 7 (,0) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. x=0 büküm noktası 6 6 (0, ) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. x= yerel maksimum. 7 7 6 ( ,2) için f ' ( x) 0 f ( x) azalan. x=2 yerel minimum. 7 (2,) için f ' ( x) 0 f ( x) artan. 214 Bir fonksiyon xo da türevli ise bu noktada süreklidir. f:(a, b) R fonksiyonu bu aralıkta artan ve türevli ise türevi pozitiftir. f:(a, b) R fonksiyonu bu aralıkta azalan ve türevli ise türevi negatiftir. Bir fonksiyonun xo noktasındaki türevi, grafiğine bu noktadan çizilen teğetin eğimidir. Bir hareketlinin t1 anındaki hızı, l (t) fonksiyonunun t1 deki türevidir. Bir hareketlinin t1 anındaki ivmesi, v(t) fonksiyonunun t1 deki türevidir. f:[a, b] R fonksiyonu bu aralıkta sürekli, (a, b) aralığında türevli olsun. Bu fonksiyon xo (a, b) noktasında extremum değerini alıyorsa, bu nokta için türevi sıfırdır. İkinci türevin pozitif olduğu aralıkta fonksiyonun grafiğinde eğrilik yukarıya doğrudur. (konveks) İkinci türevin negatif olduğu aralıkta fonksiyonun grafiğinde eğrilik aşağıya doğrudur. (konkav) Bir eğri parçasının üzerinde alınan bir nokta ile ayrılan parçalarının bükeylikleri farklı ise bu noktaya bükülme (dönüm) noktası denir. Bu noktada fonksiyonun ikinci türevi varsa sıfırdır. ROLLE TEOREMİ: [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için; f(a) = f(b) ise f’(c) = 0 olacak şekilde 215 c (a, b) vardır. ORTALAMA DEĞER TEOREMİ: [a, b] de sürekli, (a, b) de türevli f fonksiyonu için; f ' (c ) f (b) f (a) olacak şekilde c (a, b) vardır. ba L’HOSPİTAL TEOREMİ: lim f ( x) 0 veya ve x a lim x a f ( x) f ' ( x) lim ' g ( x) x a g ( x) lim g ( x) 0 veya x a dir. GRAFİK ÇİZİMİ: Tanım aralığı bulunur. Asimtotlar bulunur. f:R R için; lim f ( x) g ( x) 0 ise x g(x) eğrisine, f(x) in asimtotu denir. g(x) = c ise yatay asimtot. lim f ( x) ise x = a düşey asimtot. x a y x 2 ax b nin asimtotu y x Eksenleri kestiği noktalar bulunur. Türev alınır. Değişimi incelenir. Değişim tablosu çizilir. Tabloya bakılarak grafik çizilir. 216 a dir. 2 ise ÖRNEK: Bir doğru boyunca hareket eden noktanın t (saniye) zamanına bağlı olarak aldığı yol (metre) f(t)=t3 fonksiyonu ile verilmiştir. t 1,7 için ; Yolculuk boyunca ortalama hızı ? t=5. Saniyedeki hızı ? t=4. Saniyedeki ivmesi ? ÇÖZÜM: f (7) f (1) 343 1 57 m / sn 7 1 6 v f ' (5) 3t 2 3.5 2 75 m / sn vort. a f '' (4) 6t 6.4 24 m / sn 2 ÖRNEK: Aşağıdaki koşullarla belirli bir grafik çiziniz. I. II. lim f ( x) 0 x f ' (3) 0 ve yalnız x=3 için f’(x)=0 III. Tanımlı olduğu tüm x değerleri için f’’(x) > 0 ÇÖZÜM: 217 ÖRNEK: f(x) = sin x + cos x + ex f(999)(x) = ? ise ÇÖZÜM: f ' ( x) cos x sin x e x f '' ( x) sin x cos x e x f ''' ( x) cos x sin x e x f '''' ( x) sin x cos x e x f ( x) ………… f ( 4.2493) ( x) f ''' ( x) cox sin x e x ÖRNEK: n N için ; f(x) = xn ise f(n)(0) = ? ÇÖZÜM: f’(x) = n.xn-1 f’’(x) = n(n-1).xn-2 f’’’(x) = n(n-1)(n-2).xn-3 ………. f(n)(x) = n! olduğundan (n) f (0) = n! dir. ÖRNEK: f ( x) 1 x 2 eğrisinin x= 1 2 noktasındaki teğetinin denklemi? ÇÖZÜM: 1 2x mt f ' ( ) 2 2 1 x2 1 2 1 1 3 1 4 1 1 y f ( ) mt ( x ) 2 2 3 1 1 y x 2 2 3 218 ÖRNEK: Verilenlere göre lim b ? a 0 ÇÖZÜM: mt f ' (a) 2a mn 1 1 1 x a y a2 2a mt 2a x=0 için b= a 2 1 2 1 lim a 2 0 a 0 2 Aġağıdaki fonksiyonların TÜREVLERİNİ alınız : 1. y = (x3+7x-1)(5x+2) 2. y = x-2(4+3x-3) 3. y = x3ln x 3 2 4. y = 6 x tan x 5. y = 5x2+sin x.cos x 219 EN BÜYÜK – EN KÜÇÜK PROBLEMLERİ: 1. a ve b pozitif tamsayıları için; a+b=9 ise a2.b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır? A) 72 B) 81 C) 100 D) 108 E) 124 2. Şekildeki dikdörtgen biçimindeki tarla paralel üç çitle dört parçaya ayrılacaktır. Çevre ve arada kullanılan çitin toplam uzunluğu 500 m. olduğuna göre toplam alan en çok kaç metre kare olabilir? A) 5000 B) 5400 D)6250 3. C) 6000 E) 7500 48 metrekarelik malzemeden üstü açık, kare tabanlı bir prizma yapılacaktır. Hacmi en çok kaç metreküp olabilir? A) 24 4. B) 28 C) 32 D) 36 E) 40 3 metrekarelik malzemeden üstü açık silindir depo yapılacaktır. Hacmi en çok kaç metreküp olabilir? A) 1/2 B) 2/3 C) 1 220 D) 3/2 E) 2 5. Boyutları 3 m. ve 4 m. olan dikdörtgen şeklindeki bir levhanın köşelerinden eşit büyüklükte kareler kesilecektir. Kalan kısmın yanları yukarıya kıvrılarak üstü açık bir dikdörtgenler prizması yapılacaktır. Hacminin en büyük olması için kesilecek karelerin bir kenar uzunluğu kaç metre olmalıdır? A) 1/2 B) D) 6. 7 13 6 7 13 6 C) 2/3 E) 1 Analitik düzlemde (8/9 , 3) noktasından geçen doğrularla eksenlerin oluşturduğu dik üçgenlerden hipotenüs uzunluğu en küçük olanın alanı kaç birimkaredir? A) 6 7. B) 169/27 y x C) 55/9 D) 7 E) 6 3 eğrisi üzerinde A(4,0) noktasını en yakın (x;y) noktasının x apsisi kaçtır? A) 3 B) 7/2 C) 4 221 D) 9/2 E) 5 8. Hacmi 20 metreküp olan silindir şeklinde bir depo yapılacaktır. Taban ve tavanda kullanılacak malzemenin metrekaresi 10 YTL. , yan yüzde kullanılacak malzemenin metrekaresi 8 YTL. dir. Deponun en az paraya yapılabilmesi için yüksekliği kaç metre olmalıdır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 9. 1 km. genişliğindeki nehrin karşı kıyısında bulunan kişi , karşı kıyıda 1 km. uzakta bulunan evine gidecektir. Suda saatte 2 km. yüzebilen kişi , karada saatte 3 km. yürüyebilmektedir. En kısa zamanda eve ulaşabilmesi için karşı kıyıya hangi noktadan çıkmalıdır? A) 2 5 B) 1/2 C) 1 5 D) 1/4 E) 2/3 10. A) 2 B) 5/2 C) 3 222 D) 7/2 E) 4 11. Bir elma bahçesinde 50 ağaç bulunmakta ve her ağaçtan bir yılda 800 elma alınmaktadır. Bunlar dışında bahçeye ekilecek her ağaç için bahçedeki ağaçların yıllık üretimi 10 ar elma azalacaktır. Bahçeden en çok üretim yapılması istendiğinde bahçeye kaç ağaç dikilmelidir? A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20 12. y=8-x3 eğrisi üzerinde alınan A(x,y) noktası ve eksenlerle oluşturulan dikdörtgenin alanı en çok kaç birimkaredir? A) 6 13. B) 6 3 2 C) 6 2 D) 8 E) 10 Çevresi 12 cm. olan dikdörtgen şeklindeki levha bir kenarı etrafında döndürülerek dönel silindir oluşturuluyor. Oluşturulan silindirin hacmi en çok kaç cm3. olabilir? A) 24 B) 28 C) 32 223 D) 36 E) 40 14. Tabandan 10 m. yükseklikte bulunan , 20 m. uzunluktaki bir sinema perdesi duvardan kaç metre uzaklıktan en geniş açı altında izlenebilir? A) 10 2 15. B) 15 C) 5 10 D) 10 3 E) 20 Yarıçapı 2m. olan küre içine yerleştirilebilecek konilerden hacmi en büyük olanın yüksekliği kaç m. olmalıdır? A) 2 16. B) 8/3 C) 3 D) 10/3 E) 7/2 Eş kenar uzunlukları 4 cm. olan ikizkenar üçgenin alanını en büyük olması içinTepe açısının ölçüsü kaç derece olmalıdır? A) 60 17. B) 75 y 6 x 3 2 C) 90 D) 105 E) 120 eğrisinin teğetleri içinde eğimi en küçük olanın eğimi kaçtır? A) -1 18. B) -3/4 C) 0 D) 3/4 E) 1 P(x,0) noktasının , A(3,2) ve O(0,0) noktalarından uzaklıklarının karelerinin toplamı en küçük olduğu bilindiğine göre x kaçtır? A) 2/3 B) 1 C) 3/2 224 D) 2 E) 5/2 19. A noktasından Kuzeye doğru 60 km/s hızla ve B noktasından A ya doğru 90 km/s hızla aynı anda iki araç yola çıkıyor. AC AB ve |AB|=30 km. ise ; iki araç arasındaki uzaklık kaç saat sonra en az olacaktır? A) 1/4 B) 3/13 C) 2/5 D) 5/12 E) 7/15 20. Boyutları 6 cm. ve 12 cm. olan dikdörtgen şeklindeki kağıt EF doğrusu boyunca kıvrılarak B köşesi [AD] üzerine getiriliyor. |EF| nin en küçük değeri kaçtır? A) 7 B) 9 3 /2 C) 8 D) 5 2 E) 9 1.D 2.D 3.C 4.C 5.B 6.B 7.B 8.D 9.A 10.C 11.C 12.B 13.C 14.D 15.B 16.C 17.B 18.C 19.B 20.B 225 KONU TESTİ: 1.Bir doğru boyunca l t 3 4t 2 3t eşitliğine göre yol alan hareketlinin, harekete başladıktan sonra hızının sıfır olduğu andaki ivmesi nedir? A) -10 B) -1/3 2.Dikey olarak C) 0 D) 3 E) 10 50 m/sn ilk hız ile yukarıya fırlatılan bir cisim t saniye sonunda s = 50t-5t2 yüksekliğe ulaşıyor. Cismin ulaşabileceği en büyük yükseklik nedir? A) 5 B) 10 3.y = 2x3-3x2-12x+20 C) 50 D) 125 E) 150 eğrisi üzerinde eğriye teğet olan doğruların x eksenine paralel olduğu noktalardan birinin apsisi aşağıdakilerden hangisidir? A) 0 4.y = x2+c B) 1 C) 3/2 D) 2 E) 5/2 eğrisinin y = x doğrusuna teğet olması için c sabitinin değeri ne olmalıdır? A) 1/4 B) 1/2 5.y = ax2+bx+c C) 1 D) 2 E) 4 eğrisi (1, 2) noktasından geçiyor ve koordinat merkezinde y = x doğrusuna teğet oluyorsa b nin değeri nedir? A) -2 6.x2+y2=1 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2 çemberinin P (a, b) noktasındaki teğetinin eğimi nedir? A) a/b B) b/a C) –a/b 226 D) –b/a E) –ab 7. lim arctan x ? x x 0 A) 0 B) 1/2 8. lim x 3 x 2 10 x 39 ? x3 A) 16 B) 8 1 x2 9. y x 2 C) 1 D) 3/2 E) 2 C) 4 D) 2 E) 1 ( x 0 ) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 x 2 x3 B) 2 x D) 2 x 10. y x 3 1 2 2 x3 3 x C) 2 x 3 x 2 2x3 2 x E) fonksiyonunun türevi aşağıdakilerden hangisidir? A) 2 x 3 1 B) 6 x x 3 1 D) 6 x 2 x 3 1 11.x2+xy+y5=3 C) 6x 2 E) 9x 4 eğrisinin (1, 1) noktasındaki teğetinin eğimi nedir? A) -2 12. B) -1/2 C) 1 D) 2 E) 3 y x E) x 2 y 2 1 1 dy 1 ise ? dx x y A) x2 y2 B) y2 x2 C) x y 227 D) 13. x 2t 3 dy ? dx x3 B) 2 3 x2 D) E) x2 3 ve y t 2 1 ise A) 2x 3 C) 2 x3 14.A(0, 3) ve B(5, -2) noktalarını birleştiren doğru parçasının y c eğrisine teğet olması için c ne olmalıdır? x 1 A) 1 B) 2 15.y = x2 apsisi C) 3 D) 4 E) 5 eğrisi boyunca hareket eden bir hareketlinin x x 2t 2 t 1 denklemini sağlıyor. t 2 için dy ? dt A) 9/22 B) 22/9 2 16. y C) 9 D) 22 E) 198 eğrisinin x=10 noktasındaki teğetinin eğimi x 1 nedir? A) -27 B) -1/27 17. y ln sin x 18.y = x2 D) 1 E) 27 ise y’= ? A) . tan x D) C) 1/27 C) . sec x B) . cot x 2 . tan x E) 2 . cot x parabolü üzerindeki A(1, 1) noktasından parabole çizilen teğetin üzerinde, değme noktasından itibaren |AB|=1 birim olacak şekilde bir B noktası alınıyor. B nin ve A nın apsisleri farkı kaçtır? A) 1 5 B) 2 5 C) 228 1 5 D) 2 5 E) 1 19.y = 2x+2 doğrusunun, y = x3-6x2+9x+m eğrisinin simetri merkezinden geçtiği bilindiğine göre m=? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20. Yukarıda verilen f fonksiyonu için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur? 1. lim f ( x) 1 2. 4. lim f ( x) 1 5. x 0 x 1 lim f ( x) 1 3. lim f ( x) 1 6. lim f ( x) 0 x 0 x 1 f (0) 0 x 1 2 7. f(1)=0 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 ax 1 eğrisinin simetri merkezi bx c a (1, -2) olduğuna göre =? c 21. y A) -1/2 B) 1/2 C) -2 D) 2 E) 1 C) ln3 D) 2/3 E) 0 4 sin x 1 ? 22. lim x 0 8 tan x 1 A) 1/2 B) 2 1.E 2.D 3.D 4.A 5.D 6.C 7.C 8.C 9.B 10.D 11.B 12.B 13.B 14.D 15.E 16.B 17.B 18.A 19.D 20.E 21.C 22.E 229 ÇÖZÜMLÜ ALIĠTIRMALAR: 1. f ( x) 1 f ' ( x) ? x 1 2. f(x)=x2+1 eğrisinin (2,5) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız? 3. f ( x) 4 x 3 cos x f ' ( x) ? 4. f ( x) x e x eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız? 5. f ( x) 2 eğrisinin (5,0) noktasından geçen teğetinin x denklemini yazınız? 6. y 7. f ( x) e x . sin x f ' ' ( x) ? 8. f ( x) (9 x 2 ) 3 f ' ( x) ? 9. x f ( x) ln 2 f ' ( x) ? x 1 10. f ( x) x(1 sin 2 x) 3 f ' ( x) ? 2e x y' ? x2 1 2 11. x 3 y 3 2 xy 12. x 2 y 2 16 dy in (1,1) için değeri nedir? dx d2y ? dx 2 13. y (1 x) x 14. f ( x) arctan x f ' ( x) ? 1 dy ? dx 230 15. f ( x) kx sin x fonksiyonunun tersinin olması için k ne olmalıdır? 16. g(x)=x (x -4) 2 2 bulunuz? fonksiyonunun kritik noktalarını 17. f(x)=x -12x 3 fonksiyonunun [0,4] aralığındaki ekstremum noktalarını bulunuz? 18. f(x)=(x-1) (x+2) 2 inceleyiniz? fonksiyonunun değişimini 19. f(x)=sin x.cos x fonksiyonunun (0,2 ) aralığında değişimini inceleyiniz? 20. y=x-ln x fonksiyonunun değişimini inceleyiniz? 21. f(x)=2x -3x -12x 3 2 inceleyiniz? 22. f ( x) fonksiyonunun değişimini x3 grafiğinin asimptotlarını bulunuz? x2 1 23. Çarpımları 192 olan pozitif iki sayının toplamlarının en küçük değeri kaçtır? 24. Bir eşkenar üçgen ile bir karenin çevrelerinin toplamı 10 birimdir. Bu düzlemsel bölgelerin alanları toplamı en az kaç birimkaredir? 25. 231 ÇÖZÜMLER: 1. f ( x) 1 0( x 1) 1.1 1 f ' ( x) 2 x 1 ( x 1) ( x 1) 2 2. f(x)=x2+1 eğrisinin (2,5) noktasındaki teğetinin denklemini yazınız? f’(x)=2x , mt=f’(2)=2.2=4 y-5=4(x-2) , 4x-y-3=0 3. f ( x) 4 x 3 cos x f ' ( x) 4. f ( x) x e x eğrisinin (0,1) noktasındaki teğetinin 2 x 3 sin x denklemini yazınız? f’(x)=1+ex , y-1=2(x-0) , 5. f ( x) mt=f’(0)=1+e0=1+1=2 2x-y+1=0 2 eğrisinin (5,0) noktasından geçen teğetinin x denklemini yazınız? 2 , x2 2 2 y 2 ( x a) a a f ' ( x) mt f ' (a) 1 a2 2 4 x y 0 2 a a (5,0) noktasından geçiyorsa ; 2 4 .5 0 0 , 2 a a 8 8 , x y 0 25 5 6. y 7. f ( x) e x . sin x 10-4a=0 , a= 5 2 8x+25y-40=0 2e x ( x 2 1) 2 x.2e x 2e x y ' ( x 2 1) 2 x2 1 f ' ( x) e x . sin x e x . cos x e x (sin x cos x) f ' ' ( x) e x (sin x cos x) e x (cos x sin x) 2e x cos x 232 8. 2 f ( x) (9 x 2 ) 3 1 4x 2 f ' ( x) (9 x 2 ) 3 (2 x) 3 3 3 9 x2 9. x f ( x) ln 2 x 1 1.( x 2 1) 2 x.x x2 1 ( x 2 1) 2 f ' ( x) x x( x 2 1) 2 x 1 10. f ( x) x(1 sin 2 x) 3 f ' ( x) 1(1 sin 2 x) 3 x.3(1 sin 2 x) 2 (2 sin x. cos x) (1 sin 2 x) 2 (1 sin 2 x 3x. sin 2 x) 11. x 3 3x 2 3 y 2 y 3 2 xy dy in (1,1) için değeri nedir? dx dy dy 2 y 2x dx dx 3.12 3.12 dy dy 2.1 2.1 dx dx dy 1 dx d2y 12. x y 16 2 ? dx dy x dy 2x 2 y 0 dx dx y dy y x. x 1. y x. 2 d y y y2 x2 16 dx 3 2 2 2 3 dx y y y y 2 13. 2 1 x y (1 x) dy ? dx ln(1 x) x dy 1 .x 1. ln(1 x) dx 1 x y x2 ln y 1 dy ln(1 x) y dx x 2 x(1 x) 1 dy ln(1 x) (1 x) x dx x 2 x(1 x) 1 233 14. f ( x) arctan x f ' ( x) ? 1 1 2 x f ' ( x) 1 x 2 x (1 x) 15. f ( x) kx sin x fonksiyonunun tersinin olması için k ne olmalıdır? f(x) ‘in tersinin olabilmesi için ; bire-bir ve örten olmalıdır. bire-bir olması için ; daima azalan veya daima artan olması gerekir. Bunun içinde türevi x’in tüm değerleri için daima negatif veya daima pozitif olmalıdır. 1 cos x 1 olduğundan f ' ( x) k cos x k 1 f ' ( x) 0 , k 1 f ' 0 dır. k 1 olmalıdır. f ( x) kx sin x fonksiyonu tanımlı olduğu değerler için örtendir. 16. g(x)=x (x -4) 2 2 bulunuz? fonksiyonunun kritik noktalarını g’(x)=2x(x2-4)+x2(2x)=4x3-8x Türevi sıfır yapan değerler kritik noktalardır. g’(x)=4x3-8x=0 , 4x(x2-2)=0 x1=0 (0,0) , x2= 2 ( 2 ,-4) , x3= 2 ( 2 ,-4) noktaları kritik noktalardır. 17. f(x)=x -12x 3 fonksiyonunun [0,4] aralığındaki ekstremum noktalarını bulunuz? Yerel maksimum veya minimum noktalarında türevi sıfır olacağından ; f’(x)=3x2-12x=0 , 3x(x-4)=0 x1=0 , x2=4 kritik noktalardır. x<0 için f’(x) > 0 0 < x < 4 için f’(x) < 0 4<x için f’(x) > 0 olduğundan x=0 yerel maksimum (0,0) x=4 yerel minimum noktalarıdır. (4,16) UYARI: Bu noktalar aynı zamanda verilen aralık için mutlak maksimum ve minimum değerlerini verir. 234 18. f(x)=(x-1) (x+2) 2 inceleyiniz? fonksiyonunun değişimini x=0 için y=2 , y eksenini kestiği nokta . (x-1)2(x+2)=0 , x1,2=1 , x3=-2 x eksenini kestiği noktalar. ( x=1 de teğet ) f’(x)=2(x-1)(x+2)+(x-1)2=3(x-1)(x+1)=0 x1=1 ve x2=-1 kritik noktalar. x < -1 için f’(x) > 0 ARTAN x=-1 için f’(-1)=0 , f(-1)=4 maksimum. -1 < x < 1 için f’(x) < 0 AZALAN x=1 için f’(1)=0 , f(1)=0 minimum. 1 < x için f’(x) > 0 ARTAN f’’(x)=6x=0 x=0 x < 0 için f’’(x) < 0 x=0 için f’’(0)=0 X > 0 için f’’(x) > 0 konkav. dönüm noktası. konveks. 19. f(x)=sin x.cos x fonksiyonunun (0,2 ) aralığında değişimini inceleyiniz? f(x)=sinx.cosx= 1 sin 2 x 2 2x= ,2 ,3 sin2x=0 x= x eksenini kestiği noktalar. f’(x)=cos2x=0 x= 2x= 3 5 7 4 , 4 , 4 Konkav , 3 2 3 5 7 2 , 2 , 2 , 2 kritik noktalar. 4 Konveks Konkav f’’(x)=-2sin2x=0 2x= ,2 ,3 2 , , , x= 2 , , 3 2 235 Konveks dönüm noktaları . 20. y=x-ln x y’= 1 y’’= 1 0 x , fonksiyonunun değişimini inceleyiniz? x=1 kritik nokta 1 x2 x < 1 için f ' (1) 0 AZALAN f ' (1) 0 VE f ' ' (1) 0 yerel MİNİMUM. x > 1 için f ' (1) 0 ARTAN 21. f(x)=2x -3x -12x 3 2 inceleyiniz? fonksiyonunun değişimini f’(x)=6x2-6x-12=0 x2-x-2=0 , (x+1)(x-2)=0 , x1=-1 , x2=2 f’’(x)=12x-6=0 , x=1/2 Dönüm noktası f’(-1)=0 , f’’(-1)=-18<0 Maksimum f’(2)=0 , f’’(2)=18>0 Minimum 22. x3 f ( x) 2 grafiğinin asimptotlarını bulunuz? x 1 x2-1=0 , (x-1)(x+1)=0 , Düşey asimptotlar. f ( x) x1=1 , x2=-1 x3 x x 2 2 x 1 x 1 y=x Eğik asimptot. 23. Çarpımları 192 olan pozitif iki sayının toplamlarının en küçük değeri kaçtır? x.y=192 , T=x+y=x+ 192 x x= 8 3 , y= 8 3 y= 192 x 192 0 x2 T=x+y= 8 3 + 8 3 = 16 3 T’=1 236 24. Bir eşkenar üçgen ile bir karenin çevrelerinin toplamı 10 birimdir. Bu düzlemsel bölgelerin alanları toplamı en az kaç birimkaredir? 3a+4b=10 , b= 10 3a 4 a 2 3 10 3a 4 4 a 3 10 3a 3 T’= 2 0 2 4 4 90 2 T= a= 94 3 olmalıdır. 25. 237