Document

Temel İstatistik Terimleri
ve Dağılımlar
Temel Tanımlar
 Her bilim kolunda olduğu gibi istatistik de
kendine ait terimler üretmiştir. Bunlardan belli
başlılarını ilerideki konuların anlaşılmasını
sağlamak üzere tanımlayalım:
 Yığın (Population): N gözlemden oluşan geniş
veri seti
Örnek: Yüksek Lisans Öğrencileri
Örneklem: Topluktan alınan n tane gözlemden
oluşmuş grup
Örnek: GYTE’deki Yüksek Lisans Öğrencileri
 Rasgele değişken: deneydeki bir sonraki
gözlemin değeri.
Temel tanımlar
 Yığını tanımlayan bir nicelikle örneklemi
tanımlayan bir nicelik birbirinden farklıdır.
 İstatistik: Yığını temsil ettiği düşünülen verileri
kullanarak hesaplanmış nicelikler
 Parametre: Yığınla özdeşleştirilen idealize
edilmiş nicelik. Parametreler direkt olarak
ölçülemezler ve bu nedenle istatistikle tahmin
edilirler. Parametreler Yunan harfleriyle
istatistikler ise Roma harfleriyle gösterilir.
Yığın ve Örneklem
Yığın
N: gözlem sayısı
Ortalama: m
Varyans: s2
Standard Sapma: s
Örneklem
n: gözlem sayısı
Ortalama: y
Varyans: s2
Standard Sapma: s
Yığın ve Örneklem
Yığın
Ortalama
yi
m
N
Örneklem
yi: gözlem
yi
y
n
Varyans (Değişke): belli bir gözlemin yığın ortalamasından
ne kadar farklı olduğunun ölçüsüdür.
Standard
sapma
s2 
 ( yi  m )
N
s
 ( yi  m )
N
2
2
Deneyi yapan, yığın
parametrelerini
örneklem istatistiği ile
elde edebilir.
2

(
y

y
)
i
s2 
n 1
 ( yi  y ) 2
s
n 1
Yığın ve Örneklem
varyans
Standard
sapma
 ( yi  y ) 2
s 
n 1
2
 ( yi  y ) 2
s
n 1
Bağımsızlık derecesi: n = n-1
varyansı hesaplarken ortalamanın
kullanılmasıyla bağımsızlık
derecesi n = n-1 olur.
Bağımsızlık derecesi: bir
parametrenin hesaplanmasında
kullanılan her bir bağımsız veri
sayısı
Bağımsız veri girdisinin azalmasıyla, hesaplanan s toplam gözlem
sayısının bir eksiğine bölündüğü için örneklemdeki sapma yığına
göre daha büyük olacaktır.
Ortalama ve Standard Sapma
 Verilen değerlerin ortalaması en az bir




daha fazla anlamlı basamakla
gösterilmelidir.
Standard sapma ise en az üç anlamlı
basamağa kadar hesaplanmalıdır.
Örnek: NO3 ölçümleri = 6.9, 7.8, 7.9,7.1
Ortalama = 7.42 mg/l
s = 0.499
Hassasiyet, Yanlılık ve Doğruluk
Verideki
saçılmanın
derecesi
Yanlılık ve
hassasiyetin
bir fonksiyonu
Sistematik
Hatalar
Gerçek
Değer
A
Y
H
A
Çok
Yüksek Yok
B
Az
Düşük
Yok
C
Çok
Düşük
Yok
D
Az
Yüksek Var
B
C
D
7.5
8.00
8.5
9
D
Yanlış ölçümler düşük hassasiyet ya da yanlılığa, veya bunların her ikisine de
sahip olan ölçümlerdir.
Yanlılık
 Yığın ortalamasının (m) 8 mg/l olduğunu
biliyorsak, yanlılık ölçüm sonuçlarının
ortalaması (y) ile 8 mg/l arasındaki farktır.
Yanlılık = y-m
 Yanlılık sistematik hataya işaret eder. Eğer
kaynağı tespit edilirse ortadan kaldırılabilir.
Soru: Daha fazla sayıda ölçüm yapmak
yanlılığı ortadan kaldırır mı?
Hassasiyet
 Tekrar edilen ölçümler arasındaki farklara
göre belirlenir. Ölçümler arası farklardan
kaynaklanan bu saçılmalar deneydeki
rasgele (deneysel) hatalar ile ilgilidir. Eğer
hassas bir ölçüm söz konusuysa bu
hatalar küçüktür. Hata miktarı daha fazla
sayıda ölçüm yapıp ortalaması alınarak
azaltılabilir.
 Soru: Deneysel hatalar tamamen ortadan
kaldırılabilir mi?
Deneysel Hatalar (gürültü)
 Gerçek değer m ve ölçülen değer yi ise
 Yi = m + ei
 ei: hata payı, gözlemlerdeki dalgalanma ya da
bir deneyden diğerine değişen fark. Bir yanlışlık,
yanlılık, bir gaf değil, istatistiksel ölçmenin
kaçınılamaz bir sonucudur.




Aletin durumu
Kullananın becerisi
Numune alma sırasındaki hatalar
Ortam şartlarındaki farklılıklar
Deneysel
hatanın
kaynakları
Normallik,Rastsallık ve Bağımsızlık
 Birçok istatistiksel işlemin dayandığı üç önemli
özellik
 Normallik
 Rastsallık
 Bağımsızlık
 Normallik: ölçümdeki hatalar normal olasılık
dağılımından gelir. Bu da hatanın bir çok nedeni
olduğu ama hiçbirinin diğerine baskın olmadığı
varsayımına dayanır. Her zaman olmamakla
birlikte çoğunlukla bu varsayım geçerlidir.
Rastsallık
 Rastsallık, bir yığına ait gözlemlerden
rasgele birinin çekilmesi durumunda,
yığındaki her bir elementin eşit çekilme
şansı olması demektir.
 Rastsallık terimi aksi söylenmediği
takdirde, genellikle yanlılık veya bir
korelasyon olmadığı anlamına gelir.
Ölçüm No
NO3 Kons
1
6.9
2
7.8
3
8.9
4
5.2
5
7.7
6
9.6
7
8.7
8
6.7
9
4.8
10
8
11
10.1
12
8.5
13
6.5
14
9.2
15
7.4
16
6.3
17
5.6
18
7.3
19
8.3
20
7.2
21
7.5
22
6.1
23
9.4
24
5.4
25
7.6
26
8.1
27
7.9
Örnek
Bir laboratuarın nitrat ölçüm işlemleri 8.0 mg/L lik olduğu
bilinen 27 numuneyi laboratuara gönderip ölçtürerek
değerlendiriliyor. Sürekli ve çok sayıda ölçümün
yapıldığı laboratuarda teknik elemanlar bunun bir
değerlendirme olduğunu bilmiyorlar.
Yığın: 8.0 mg/L lik konsantrasyona sahip olduğu bilinen
tüm örnekler
Örneklem: Yığından alınan 27 tane numune ölçümü
Örneklem Büyüklüğü: n = 27
SORU: Bu laboratuarda nitrat ölçümlerindeki hata
rastsal mıdır?
NO3 Kons
Fark
1
6.9
1.1
2
7.8
0.2
3
8.9
-0.9
4
5.2
2.8
5
7.7
0.3
6
9.6
-1.6
7
8.7
-0.7
8
6.7
1.3
9
4.8
3.2
10
8
0
11
10.1
-2.1
12
8.5
-0.5
13
6.5
1.5
14
9.2
-1.2
15
7.4
0.6
16
6.3
1.7
17
5.6
2.4
18
7.3
0.7
19
8.3
-0.3
20
7.2
0.8
21
7.5
0.5
22
6.1
1.9
23
9.4
-1.4
24
5.4
2.6
25
7.6
0.4
26
8.1
-0.1
27
7.9
0.1
Örnek,Devam
NO3 Kons
Fark (mg/l)
Ölçüm No
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
10
20
Ölçüm No
Şekilde görüldüğü gibi nitrat ölçümlerindeki
hatalar için rastsal diyebiliriz.
30
Örnek
 Ancak rastsallığın
Teknisyen B
2
Fark
kontrolünde deneye etki
eden tüm faktörler göz
önüne alınmalıdır.
Örneğin nitrat
örneklerinde deneyi
yapan kişilere göre veri
çizildiğinde şekildeki gibi
bir durum çıktığında
verilerin rastsallığından
söz edemeyiz.
0
-2
Teknisyen A
Bağımsızlık
 Bir dizi gözlemden bilinmeyen nedenlerden
deneysel hataların bir süre etkin olarak kaldığını
varsayalım. Öyle ki birinci gözlem y1 yüksekse
ikinci gözlem y2 de yüksek oluyor. Bu durumda
y1 ve y2 istatistiksel olarak bağımsız değildir. Bir
veri setinin bağımsız olmaması hesaplanan
varyans değerini önemli ölçüde bozar ve normal
ya da t dağılımına bağlı olarak yapılan çıkarımlar
hatalı olabilir.
Bağımsızlık, Örnek
 Soru: Verilen nitrat verilerinin bağımsız olup
olmadığı hakkında ne diyebilirsiniz?
nitrat kons(i-1)
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
12
nitrat kons (i)
Bu örnekte ölçümler birbirinden bağımsız görünüyor.
Bağımsızlık
 Çevresel veriler söz konusu olduğunda,- arıtma
tesisi giriş çıkış konsantrasyonları , ırmaktaki su
kalitesi değerleri gibi- bir ölçümün bir önceki
ölçüm değerinden etkilenmemesi mümkün
değildir. Çıkış kalitesi çok kötü ise bu bir süre
devam edecektir. O nedenle bu tip verileri
değerlendirirken otomatik olarak bağımsızdır
varsayımı yapılmamalıdır.
İstatistiksel Dağılımlar
Normal Dağılım
Deneysel hatalar yüzünden tekrar edilen ölçümler arasındaki fark genellikle
merkezi bir değerin çevresinde çan eğrisi şeklinde simetrik ve küçük sapmaların
büyük sapmalardan daha çok olduğu bir şekilde dağılır. Bu şekilde sürekli yığın
frekans dağılımına “Gauss” ya da “normal” dağılım denir. Normal dağılımın
Olasılık yoğunluğu fonksiyonu (PDF veya P(x)) aşağıdaki şekilde görülebilir.
N(ortalama,varyans)
N(m,s2):
N(52,144)
Standartlaştırılmış Normal Dağılım
Standartlaştırılmış normal
sapmalarla çalışmak daha
kolaylık sağlar. (veri Standard
sapma cinsinde yazılarak
orijinal ölçüm birimlerinden
bağımsız hale gelir.)
Normal
Dağılım
P(x)
z = (y-m)/s
N(0,1)
1. s ortalama değerden büküm noktasına olan uzaklık
2. Ortalama değerden bir standartlık sapmayı geçen pozitif bir
sapmanın olasılığı 0.1587 (0.00135+0.0214+0.1359) ya da 1/6, 2
s’yı geçme olasılığı 0.0228 (0.0135+0.0214) (1/40), 3 s’yı geçme
olasılığı 0.0013 (1/750)
Örnek
SORU 1: Standartlaştırılmış sapmanın 1.57’den büyük
olma olasılığı kaçtır? (Z tablosunu ve Excel’i kullanarak
bulun)
P(x)
z = 1.57
a = 0.0582 = % 5.82 (Tablodan)
Excel’de, a = 1-Normsdağ(z) = 1-0.9418 = 0.0582 = %5.82
Örnek
SORU 2: Verinin %10’unun üzerinde olacağı z değeri
kaçtır?
Eğrinin altındaki yeşille gösterilmiş alana karşılık gelen z
değerine tablodan ( a = 0.1) bakılır.
z = 1.28
(Excel’de, = normsters(1-olasılık)
= normsters(0.90) = 1.28
t dağılımı (Student’s t)
 Herhangi bir normal
değişkeni standartlaştırmak
için m ve s’yı bilmemiz
gerekir.
Ancak yığına ait standard sapma genellikle
bilinmediğinden s yerine s kullanılması artıdan
 z = (y-m)/s
bir hata devreye sokacak ve dağılım da buna
göre farklı olacaktır. İşte bu farklı dağılım
s=s
 t = (y-m)/s
1906’da William S. Gossett tarafından
bulundu ve 1908’de yayımlandı. İngiliz kimyacı
Dublin’de bir bira fabrikasında çalışıyordu.
Ticari sırları ortaya çıkarmamak için takma
isim “Student” ile yayımlandı. O nedenle bu
dağılım Student’s T dağılımı olarak bilinir.
t dağılımı (Student’s t)
 Student’s t dağılımının olasılık yoğunluk
fonksiyonu PDF :
 
G(n 21 )
PDF 
1
n
n G( 2 )

G( x)   t x1 e 1dt
0
 y = test değeri
 G = gama fonksiyonu
 n = serbestlik derecesi
y
2
n
 (n 1 )
2
t dağılımı
 Eğer örneklem büyüklüğü sonsuz ise (N 
) t dağılımı normal dağılıma eşittir.
 Eğer örneklem büyüklüğü küçük ise
kuyruklar daha yayılmış hale gelir ve t
değerleri kullanılır.
 t tablosunu kullanırken serbestlik derecesi
(n / sd) gerekir. (Tabloda df, degree of
freedom)
 n = N-1
t Dağılım Tablosu
df\p
0.40
0.25
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.0005
1
0.324920
1.000000
3.077684
6.313752
12.70620
31.82052
63.65674
636.6192
2
0.288675
0.816497
1.885618
2.919986
4.30265
6.96456
9.92484
31.5991
3
0.276671
0.764892
1.637744
2.353363
3.18245
4.54070
5.84091
12.9240
4
0.270722
0.740697
1.533206
2.131847
2.77645
3.74695
4.60409
8.6103
5
0.267181
0.726687
1.475884
2.015048
2.57058
3.36493
4.03214
6.8688
6
0.264835
0.717558
1.439756
1.943180
2.44691
3.14267
3.70743
5.9588
7
0.263167
0.711142
1.414924
1.894579
2.36462
2.99795
3.49948
5.4079
8
0.261921
0.706387
1.396815
1.859548
2.30600
2.89646
3.35539
5.0413
9
0.260955
0.702722
1.383029
1.833113
2.26216
2.82144
3.24984
4.7809
10
0.260185
0.699812
1.372184
1.812461
2.22814
2.76377
3.16927
4.5869
11
0.259556
0.697445
1.363430
1.795885
2.20099
2.71808
3.10581
4.4370
12
0.259033
0.695483
1.356217
1.782288
2.17881
2.68100
3.05454
4.3178
13
0.258591
0.693829
1.350171
1.770933
2.16037
2.65031
3.01228
4.2208
t Dağılım Tablosu
df\p
0.40
0.25
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.0005
15
0.257885
0.691197
1.340606
1.753050
2.13145
2.60248
2.94671
4.0728
16
0.257599
0.690132
1.336757
1.745884
2.11991
2.58349
2.92078
4.0150
17
0.257347
0.689195
1.333379
1.739607
2.10982
2.56693
2.89823
3.9651
18
0.257123
0.688364
1.330391
1.734064
2.10092
2.55238
2.87844
3.9216
19
0.256923
0.687621
1.327728
1.729133
2.09302
2.53948
2.86093
3.8834
20
0.256743
0.686954
1.325341
1.724718
2.08596
2.52798
2.84534
3.8495
21
0.256580
0.686352
1.323188
1.720743
2.07961
2.51765
2.83136
3.8193
22
0.256432
0.685805
1.321237
1.717144
2.07387
2.50832
2.81876
3.7921
23
0.256297
0.685306
1.319460
1.713872
2.06866
2.49987
2.80734
3.7676
24
0.256173
0.684850
1.317836
1.710882
2.06390
2.49216
2.79694
3.7454
25
0.256060
0.684430
1.316345
1.708141
2.05954
2.48511
2.78744
3.7251
inf
0.253347
0.674490
1.281552
1.644854
1.95996
2.32635
2.57583
3.2905
Örnek
 20 birimli bir örneklem için verinin %5’nin
büyük olacağı t değeri kaçtır? Normal
dağılımda karşılık gelen z değeri kaçtır?
 t = 1.724 (Tablo’dan).
Excel’de =tters (2*olasılık;Serbestlik
derecesi) = tters(0.1;19) = 1.729
 z = 1.64 (Tablo’dan)
Excel’de =normsters (1-olasılık) =
normsters(0.95) = 1.64
Ortalama ve Varyansın
(Değişkenin) Dağılımı
 Tüm istatistikler rastsal değişkenlerdir
ve bir ortalama ile bir değişke
değerine sahip bir olasılık dağılımı ile
tanımlanabilirler.
 Ortalamanın örnekleme dağılımını
incelemek için n birimli rastsal
örneklemleri aldığımızı varsayalım ve
her birinin ortalamasını hesaplayalım.
Ortalamanın Değişkesi
Yığın N
m,s2
n
n
y¯3
n
y¯1
n
y¯2
sy örneklem ortalamasının
(y¯) yığın ortalaması (m)
civarındaki yayılımını verir. s
ise örneklemdeki gözlemlerin
(y) m civarındaki yayılımını
verir.
y¯4
Bir çok farklı ortalama y değeri
elde ederiz ve olasılık dağılımı
şeklinde y dağılımını
çizebiliriz. Bu ortalamanın
örneklem dağılımını verir. Eğer
gözlemlerin (y) ortalama
civarındaki sapmaları rastsal
ve bağımsızsa o zaman y¯’nin
dağılımının ortalaması m ve
değişkesi s2/n olacaktır.
Ortalamanın varyansı: s2/n
Ortalamanın standart hatası: s/√n ≈ s/√n
Ortalamanın Değişkesi
Eğer ana dağılım normalse y¯’nin
dağılımı da normal olacak, normal
değilse y¯ dağılımı normale yakın
olacaktır. Ortalamanın
hesaplanmasında kullanılan birim
sayısı (n) arttıkça y¯nin dağılımı
normal dağılıma daha çok yaklaşır.
Yığın N
m,s2
n
y¯3
n
y¯1
n
y¯2
n
y¯4
Ortalaması m ve varyansı s2/n olan
dağılımı referans dağılım gibi alıp y¯
hakkında y¯’nin belli bir sayıdan
büyük ya da küçük olma ya da iki
sayı arasında olma olasılığının
değerlendirilmesi gibi istatistiksel
çıkarımlar yapmamızı sağlar.
Örnek
 27 adet nitrat numune ölçümünün
ortalaması 7.51 mg/l. s = 1.383.
 Ortalamanın standart hatası kaçtır?
sy = s/ √n=0.266 mg/l
Örneklemin ortalamasının değişkenliği,
örneklemdeki gözlemlerin değişkenliğinden
daha azdır.
Karşılaştırmalar
 Eğer yığın varyansı bilinmiyorsa, ki çoğunlukla
böyledir, normal dağılımı karşılaştıracağımız
referans dağılım olarak kullanamayız. Bunun
yerine sy yerine sy’yi yerleştirip t dağılımını
kullanırız.
 Örnek: Nitrat verisi (n=27) için y¯= 7.51 mg/l
m = 8 mg/l. Eğer gerçek ortalama 8 mg/l ise 7.51
gibi düşük bir ölçüm ortalaması çıkma olasılığı
nedir?
Örnek, devam
ym
t
s/ n
7.51  8
t
 1.842
1.383 / 27
n  27  1  26
Serbestlik derecesi 26, t değeri -1.842 için a değeri (yüzde) bulunabilir.
a= 0.05
t = -1.706
a= 0.025
t = -2.056
a= 0.01
t = -2.479
Bu değerlerin ara-değerlemesi
(interpolasyon) ile t = -1.842’e karşılık
gelen a değeri 0.04 veya %4 bulunur.
(Excel’de = TDAĞ(1.842;26;1) Yani 8
mg/l lik bir çözeltiden yollanan 27
ölçümün ortalamasının şans eseri 7.51
çıkma olasılığı %4 gibi küçük bir
olasılıktır.
a =%4
-3
-2
t dağılımı
m=8
-1.842
-1
0
1
2
3
Örnek
a =%4
-3
-2
t dağılımı
m=8
-1.842
-1
0
1
2
3
Nitrat ölçümlerin göz önüne alırsak
ölçüm işleminin gerçek değeri
altında değerler verecek şekilde
sistemli bir hataya, yanlılığa sahip
olduğu söylenebilir. Ya da yanlılık
değil de tamamen şans eseri öyle
olduğunu kabul edebiliriz.
 t referans dağılımı bir
olayın sırf şans eseri olma
olasılığını verir. Dağılımın
kuyruk bölgesine düşen
bir olay sıradışı olarak
düşünülebilir. Eğer olay
sıradışı bulunmuyorsa
buna “istatistiksel olarak
anlamlı” denir.
Anlamlılık Testleri ve Güvenlik
Aralığı
 İstatistiksel tümevarım: Bilinmeyen yığın
parametreleri hakkında deneysel veriye
dayanarak değerlendirme yapmak
 Diyelim ki gerçek yığın ortalamasının değerini
bilmiyoruz. Eğer nitrat numunesi ölçümlerinin
ortalamasını 7.51 bulduysak, yığının gerçek
ortalamasının 8.00 mg/l olma olasılığı nedir? Bu
değerlendirme için anlamlılık testleri ve güvenlik
aralığı kullanılan en yaygın iki metottur.
Anlamlılık Testleri
 1. Hipotez testi şeklinde olur:
 Hipotez testi için bir “sıfır hipotezi”, bir “alternatif
hipotez” ve bir de testin sonucunun belirleneceği
anlamlılık düzeyi değeri (a) ‘ya ihtiyaç vardır.
Test edilecek hipotez: Ho : m = 8 mg/l
Ho “sıfır hipotezi” veya “geçersizlik” hipotezi diye
adlandırılır.
Ha :m<8 veya m>8 (tek yönlü) veya
Ha: m≠8 (çift yönlü)
H: “alternatif hipotez”
Anlamlılık düzeyi: 0.05 (sıfır hipotezinin yanlışlıkla
reddedilme riski)
1. Hipotez Testleri, Örnek
 Nitrat ölçüm sonuçları için ortalamanın 8.0 mg/l
olduğunu a =0.05 düzeyinde test edin.
 Çözüm:
 Ho=m=8 mg/l
 Ha=m<8 mg/l (tek yönlü test)
 a=0.05
t
7.51  8
 1.842
1.383 / 27
 Hesaplanan t, a=0.05 yani %5 olma olasılığı olan t
istatistiğinden küçükse, Sıfır hipotezi reddedilecektir.
Serbestlik derecesi 26 için bu kritik t değeri tablodan
veya Excel’de bulunur.
 tk=t(26,0.05)=-1.706 (excel’de =tters(0.10;26))
 t<tk .
Hipotez Testleri, Örnek
 t<tk . -1.842<-1.706.
 Bu durumda alternatif hipotez lehine sıfır hipotezi
reddedilir. Yani ortalamasının 7.51 bulunduğu nitrat
ölçümlerinin ait olduğu yığının ortalamasının %5 riskle, 8
olmadığını söyleyebiliriz.
t dağılımı m
=8
a =%5
-3
-2
tk-1.706
-1
0
Hesaplanan t=-1.842
1
2
3
Çift Yönlü Test
 Ho : m = 8 mg/l
 Ha : m ≠ 8 mg/l (çift yönlü test)
 a=0.05.
Bu durumda t referans dağılımının hem negatif hem de
pozitif kuyruk alanları dikkate alınır. Simetriden dolayı bu
kuyruk alanları birbirine eşittir.
0.05/2 = 0.025.
Serbestlik derecesi 26 için kritik t değeri tablodan bulunur.
 tk=t(26,0.025)=±2.056 (excel’de =tters(0.05;26))
 t = ±1.842
 t>tk (-1.842>-2.056).
 Sıfır hipotezini reddetmek için yeterli kanıt yok.
Tek Yönlü
Çift Yönlü
t dağılımı m
=8
t dağılımı m
=8
a =%5
a =%2.5
tk-1.706
a =%2.5
tk-2.056
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Tek ve çift yönlü hipotez testleri sonuçları farklı çıkarımlar doğurdu, aynı ortalama,
aynı veri, aynı anlamlılık düzeyi ve aynı sıfır hipotezi kullanılmasına rağmen. Tek
fark alternatif hipotezdi, Ha. İstatistiksel olarak sıfır hipotezini reddetmek için için yile m arasındaki sapma çift yönlü testte tek yönlü teste göre daha fazla olmalıdır.
SORU: HANGİ TESTİ KULLANMALIYIZ?
Hangi Test?
 Genel olarak bir yanıtı yoktur. Problemin içeriği hangi
testin kullanılması gerektiğini belirler. Örneğin eğer
pozitif sapma bir sorun ama negatif sapma sorun değilse
tek yönlü test kullanılır.
 Örneğin yüksek değerler kanuna uygunluğu ihlal etmek
demek olduğu bir durumda uygunluğunu değerlendirmek
ya da verimliliği artırılması bir A maddesi eklediğinizdeki
durumu değerlendirmek için tek yönlü test diğer taraftan
örneğin A maddesinin verimliliği değiştirip
değiştirmediğine bakmak isterseniz çift yönlü testi
kullanabilirsiniz.
2. Güvenilirlik Aralığı
 Genellikle parametre değerinin hangi değerler
arasında kalacağını belirtmek daha
bilgilendiricidir.
y  ta / 2 s y < m < y  ta / 2 s y
a = 0.05 ise, yukarıdaki ifade bize gerçek
değerin %95 ihtimalle güvenilirlik aralığı
içinde olduğunu gösterir.
Örnek
 Nitrat ölçümleri için %95’lik güvenlik aralığını
hesaplayın.
m=8 mg/l
a=0.05
n=27
v=26
t(26,0.025)=-2.056
y  7.51
y  ta / 2 s y < m < y  ta / 2 s y
s y  0.266
t dağılımı
a =%2.5
tk-2.056
6.96 < m < 8.05
a =%2.5
7.0 7.25 7.5 7.75 8.0
8 mg/l bu aralığın içinde.
Özet
 Yığın: m,s,s2
 Örneklem, y¯,s
 Yığının parametreleri örneklemden elde edilen
istatistikler yardımıyla hesaplanır. İstatistikler
rastsal değişkenlerdir ve ortalaması ve varyansı
olan bir olasılık dağılımına sahiptirler.
 Tüm deneyler ölçüm hatasına sahiptirler.
Doğruluk hem yanlılığın hem de hassaslığın bir
fonksiyonudur. Bilimsel araştırmalarda istatistiğin
görevi hatayı nicelendirmek ve karar vermek
üzere veri kullanıldığında hatayı göz önüne
almaktır.
Özet
 Eğer normal ana dağılımın ortalaması m,
varyansı s2 ise örneklem ortalaması y¯,
ortalaması m ve varyansı s2 /n olan normal bir
dağılıma sahiptir. s2 bilinmiyorsa s2 ile tahmin
edilir ve t dağılımı kullanılır.
 Hipotez testleri istatistiksel tümevarım için
kullanılan bir yöntem olmakla birlikte basit bir
karşılaştırmayı bile gereksiz yere
karmaşıklaştırırlar. Güvenilirlik aralığı istatistiksel
olarak hipotez testlerinin karşılığı olup daha
basit ve anlaşılırdır. Yığın parametresinin
düşmesi gereken aralığı verir.