turev[1] - Akyavuz

BÖLÜM 4

4- TÜREV KAVRAMI
Tanım
4-y =TÜREV
KAVRAMI
f (x) fonksiyonunda
x değişkeni
y + ∆y = f ( x + ∆x)
∆y = f ( x + ∆x) − y
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x)
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
=
∆x
∆x
∆x artımını alırken y de ∆y kadar artsın.
( y = f ( x))
∆y
dy
oranının ∆x → 0 giderken limiti varsa buna f (x) in türevi denir ve f ′( x), y ′,
∆x
dx
ile gösterilir.
f ′( x) = lim
∆x → 0
f ( x + ∆x) − f ( x)
∆x
∆x = h
alınırsa
f ′( x) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
ifadesine türevin genel
h
tanımı denir.
Örnek
f ( x) = x 2 − 5 x + 7 ifadesinin türevini alınız.
Çözüm
f ( x + h) − f ( x )
( x + h) 2 − 5( x + h) + 7 − ( x 2 − 5 x + 7)
= lim
h →0
h →0
h
h
2
2
2
x + 2 xh + h − 5 x − 5h + 7 − x + 5 x − 7
f ′( x) = lim
h →0
h
h(2 x + h − 5)
f ′( x) = lim
= lim(2 x + h − 5) = 2 x − 5
h →0
h →0
h
f ′( x) = lim
Örnek
f ( x) =
1
fonksiyonunun türevini alınız.
x
1
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Çözüm
1
1
−
f ( x + h) − f ( x )
f ′( x) = lim
= lim x + h x
h →0
h→0
h
h
x − ( x + h)
x−x−h
= lim
h → 0 hx ( x + h)
h → 0 hx ( x + h)
f ′( x) = lim
−h
−1
= 2
h → 0 hx ( x + h)
x
f ′( x) = lim
Örnek
f ( x) = x ise f ′( x) = ?
Çözüm
f ( x + h) − f ( x )
x+h − x
= lim
h →0
h→0
h
h
x+h − x
x+h + x
f ′( x) = lim
⋅
h →0
h
x+h + x
x+h−x
h
= lim
f ′( x) = lim
→
h → 0 h( x + h +
h
0
x
h( x + h + x
1
f ′( x) =
2 x
f ′( x) = lim
Örnek
f ( x) = x ise f ′( x) = ?
Çözüm
f ( x + h) − f ( x)
x+h−x
= lim
h →0
h→0
h
h
h
f ′( x) = lim = 1
h →0 h
f ′( x) = lim
2
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Kural
f ( x ) = x n (n ∈ R ) ise f ′( x) = nx n −1 dır.
Örnekler
1. f ( x) = x 3 ise f ′( x) = 3x 3−1 = 3 x 2
2. f ( x ) = x 7 ise f ′( x) = 7 x 6
1
ise f ′( x) = ?
x6
3. f ( x) =
f ( x) = x −6
f ′( x) = −6 x −6 −1 = −6 x −7 =
4. f ( x) =
−6
x7
1
−1
= x −1 ise f ′( x) = −1x −1−1 = −1x − 2 = 2
x
x
1
5. f ( x) = x = x 2 ise f ′( x) =
3
5
1
1
1 2 −1 1 − 2
1
x = x =
2
2
2 x
3
3 −1 3
6. f ( x) = x = x ise f ′( x) = x 5 = x
5
5
5
7. f ( x) =
3
1
x
=x
−1
2
−2
5
1
=
− 1 − 2 −1 − 1
ise f ′( x) =
x
x
=
2
2
8. f ( x) = x 10 ise f ′( x) = 10 x 9
3
3
55 x 2
−3
2
=
−1
2 x3
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
4-1 Türev İle İlgili Teoremler
Teorem-1 Sabit bir fonksiyonun türevi sıfırdır.
f ( x) = c ise f ′( x) = 0
Örnekler
1. f ( x) = 8 ise f ′( x) = 0
2. f ( x) = −5 ise f ′( x) = 0
Teorem-2 Sabitle çarpılmış bir fonksiyonun türevi, türevi ile sabitin çarpımına
eşittir.
y = kf (x) ise y ′ = k . f ′( x)
Örnekler
1. y = 5x 2 ise y ' = 5.( x 2 ) ′ = 5.2 x = 10 x
2. y =
2
= 2.x −3 ise
3
x
y ′ = 2.( x −3 ) ′
y ′ = 2.(−3.x − 4 ) =
−6
x4
Teorem-3 Sonlu sayıda fonksiyonun toplamının türevi, türevleri toplamına eşittir.
y = f ( x) µ g ( x) µ h( x) µ Κ µ r ( x) ise
y ′ = f ′( x) µ g ′( x) µ h ′( x) µ Κ µ r ′( x) dır.
Örnek
y = x 3 − 5 x 2 + 2 ise
y ′ = 3x 2 − 10 x + 0 = 3x 2 − 10 x
4
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Teorem-4 İki fonksiyonun çarpımının türevi, birincinin türevi çarpı ikinci artı
ikincinin türevi çarpı birinciye eşittir.
( f ( x).g ( x)) ′ = f ′( x).g ( x) + g ′( x). f ( x)
(u.v) ′ = u ′v + v ′u
buna göre;
y = f ( x).g ( x).h( x) ise
y ′ = f ′( x).g ( x).h( x) + g ′( x). f ( x).h( x) + h ′( x). f ( x).g ( x)
Örnek
y = f ( x) = x 2 sin x ise u = x 2
y = u.v
v = sin x
y ′ = u ′v + v ′u den
f ′( x) = 2 x. sin x + cos x.x 2
f ′( x) = 2 x sin x + x 2 cos x
Teorem-5 İki fonksiyonun bölümünün türevi, payın türevi çarpı payda eksi
paydanın türevi çarpı pay bölü paydanın karesidir.
y=
u
v
y′ =
u ′v − v ′u
v2
′
 f ( x) 
f ′( x).g ( x) − g ′( x). f ( x)
 g ( x)  =
g 2 ( x)


5
MATEMATİK-II
Örnekler
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
1. f ( x) =
1
0.x − 1.1 − 1
ise f ′( x) =
= 2
x
x2
x
2. f ( x) =
1.(1 − x) − (−1)(1 + x) 1 − x + 1 + x
1+ x
2
=
=
ise f ′( x) =
2
2
1− x
(1 − x )
(1 − x ) 2
(1 − x)
3. f ( x ) =
sin x
cos x.x − 1. sin x x cos x − sin x
ise f ′( x) =
=
x
x2
x2
x 2 − 5 ln x
4. f ( x) =
x+3
ise
f ′( x) =
(2 x − cos x)( x + 3) − 1.( x 2 − sin x)
dır.
( x + 3) 2
4-2 TÜREV ALMA KURALLARI
4-2-1 Bileşke Fonksiyonun Türevi
y = ( fog )( x) = f ( g ( x)) ise
u = g (x)
y′ =
y = f (u ) olmak üzere
dy dy du
=
.
= f ′(u ).u ′
dx du dx
ifadesine zincir kuralı denir.
Örnek
y = un
(u = f ( x))
y ′ = n.u n −1 .u ′
Örnek
y = ( x 2 + 1) 6
u = x2 +1
y = u6
u' = 2x
y ′ = 6u 5 .u 1
y ′ = 6.( x 2 + 1) 5 .2 x
6
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
y = f ( x) = 1 − x 2 ise f ′( x) = ?
u ′ = 0 − 2x
u =1− x2
y= u =u
1
2
y′ =
1
2 u
.u ′ =
1(−2 x)
2 1− x
y′ =
2
−x
1 − x2
4-2-2 Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
1.
y = sin x ise y ′ = cos x idi,
u = g (x) ise y = sin u
y ′ = cos u.u ′
Örnek
y = sin x 3 ise y ′ = 3x 2 cos x 3
u = x3
u ′ = 3x 2
Örnek
y = sin x ise y ′ =
1
2 x
cos x
Örnek
y = sin ax
u = ax
ise y ′ = a cos ax
u′ = a
Örnek
y = sin 2 x = (sin x) 2 = u 2
u = sin x
7
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
u ′ = cos x
y ′ = 2u.u ′
y ′ = 2 sin x. cos x
y ′ = sin 2 x
Örnek
1
y = 3 sin x = 3 u = u 3
u = sin x
u ′ = cos x
y′ =
1
3
3 sin 2 x
y = cos x ise y ′ = − sin x idi,
2.
u = g (x)
y = cos u ise
y ′ = −u ′ sin u dır.
Örnek
y = cos 5 x
u = 5x
⇒
u′ = 5
y ′ = −5 sin 5 x
Örnek
y = cos
u=
1
x
1
1
1
ise y ′ = −(− 2 ) sin
x
x
x
⇒
u′ = −
1
x2
⇒
y′ =
8
1
1
sin
2
x
x
MATEMATİK-II
3.
y = tan x =
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
sin x
ise bölümün türevinden
cos x
y ′ = 1 + tan 2 x =
u = g (x)
1
= sec 2 x
cos 2 x
y = tan u ise
u′
= sec 2 u.u ′
2
cos x
y ′ = (1 + tan 2 u ).u ′ =
Örnek
y = tan x 5 ise u = x 5
y ′ = (1 + tan 2 x 5 ).5 x 4 =
4.
y = cot x =
u ′ = 5x 4
5x 4
= 5 x 4 . sec 2 x 5
2
5
cos x
cos x
ise
sin x
y ′ = −(1 + cot 2 x).u ′ =
u = g (x)
y = cot u ise
y ′ = −(1 + cot 2 u ).u ′ =
5.
y = sec x =
y′ =
− u′
= − cos ec 2 x
sin 2 u
− u′
= − cos ec 2 u.u ′
2
sin u
1
0. cos x + sin x.1
ise y ′ =
cos x
cos 2 x
sin x
1 sin x
.
=
2
cos x cos x cos x
y ′ = sec x. tan x
u = g (x)
y = secu ise
y ′ = sec u. tan u.u ′
9
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
y = sec 3x ise
u′ = 3
u = 3x
y ′ = sec 3x. tan 3x.3
6.
y = cos ecx =
y ′ = − cos ecx. cot x
1
cos x
⇒
ise y ′ = −
sin x
sin 2 x
u = g (x)
y = cos ecu ise y ′ = − cos ecu. cot u.u ′
4-2-3 Kapalı Fonksiyonlar ve Türevi
f ( x, y ) = 0 şeklindeki bir fonksiyon y’yi x’in bir kapalı fonksiyonu olarak tanımlar.
Böyle fonksiyonları değişkenlerden birine göre çözerek (Ör: y = f(x)) bazen açık
fonksiyon haline getirmek mümkündür. Bazı hallerde ise bu mümkün olmayabilir.
Örneğin;
x 2 + y 2 − r 2 = 0 denklemi
y = r 2 − x 2 , y = − r 2 − x 2 fonksiyonlarını kapalı olarak tanımlar.
y 5 − y − sin x = 0, y − x +
x
sin y = 0 fonksiyonları açık fonksiyon haline
4
getirilemezler. Kapalı fonksiyonlar açık fonksiyon ( y = f ( x)) haline getirilmeden de
türevleri hesaplanabilir. Bu türev iki yolla yapılır.
1.
2.
y′ = − f x
f
y
( x , y)
( x , y)
Kapalı fonksiyonda her iki tarafın türevi alınıp y ′ ni çekeriz.
10
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
y′ = ?
x2 + y2 − r 2 = 0
f ( x , y) = x 2 + y 2 − r 2 = 0
1.Yol:
f
x
f
= 2x
y′ = − f x = −
f
y
y
= 2y
' dır.
2x
x
=−
2y
y
2.Yol:
d 2
( x + y 2 − r 2 = 0)
dx
2 x + 2 yy ′ = 0
2 yy ′ = −2 x
x
y′ = −
y
y = y ( x)
Örnek
y6 − y − x3 = 0
d
( y 6 − y − x 3 = 0)
dx
6 y 5 . y ′ − y ′ − 3x 2 = 0
y ′(6 y 5 − 1) = 3 x 2
y′ =
3x 2
6y5 −1
Örnek
d 2
( x y − xy 3 + sin( x + y ) = 0)
dx
y ′ = 2 xy. + y ′x 2 − 1y 3 − 3 y 2 y 1 + cos( x + y ).(1 + y ′) = 0
denkleminden y ′ çözümlenir.
11
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
4-2-4 Yüksek Mertebeden Türevler
y = f (x) fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında türevlenebilen bir fonksiyon olsun. f ′(x)
türev fonksiyonu yine x’e göre türevi alındığında f(x)’in ikinci mertebeden türevi
elde edilir ve y ′′, f ′′( x),
d2y
ile gösterilir.
dx 2
d
( f ′( x)) = f ′′( x)
dx
İkinci mertebeden türevin, x’e göre türevi alındığında f(x)’in 3. mertebeden türevi
bulunur.
d
d3y
( f ′′( x)) = f ′′′( x) = y ′′′ = 3 ile gösterilir.
dx
dx
Bu şekilde devam ile f(x) ’in(n-1)’inci mertebeden türevinin, x’e göre türevi
Alındığında f(x)’in n’inci mertebeden türevi bulunur ve
dny
d
( f ( n −1) ( x)) = f ( n ) ( x) = y ( n ) = n ile gösterilir.
dx
dx
y n ≠ y (n )
Örnek
f ( x) = x 6 ise f
f ′( x) = 6 x 5
( x) = ?
f
f ′′( x) = 5.6 x 4
f ′′′( x) = 6.5.4 x
( n)
( 4)
f
3
( x) = 6.5.4.3x 2
( x) = 6.5.4.3.2 x
( 5)
f
(6)
f
( x) = 6.5.4.3.2.1 = 6!
(n)
( x) = 0
Genel olarak f ( x) = x n ise f
( n)
n>6
( x) = n!
12
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
1
ise f
x
1
f ′( x ) = − 2
x
2
f ′′( x ) = 3
x
6
f ′′′( x ) = − 4
x
24
f ( 4) (x ) = 5
x
120
f (5) ( x ) = − 6
x
720
f (6) (x ) = 7
x
Μ Μ
f ( x) =
f
(n)
( n)
( x) = ?
(−1) n .n!
(x) =
x n +1
Örnek
f ( x) = sin x ise f
( n)
( x) = ?
f ′( x) = cos x
f ′′( x) = − sin x
f ′′′( x) = − cos x
f
( 4)
(8 )
( x) = sin x
Μ
(4k )
( x) = sin x
f
f
( x) = sin x = f ( x)
f
( n)
n
x
r
r = 0 ise
r = 1 ise
r = 2 ise
f
f
f
( x) i bulmak için n, 4’ e bölünür ve kalana göre;
4
x
( x) =
( n)
( x) =
( n)
( x) =
( n)
0≤r ≤3
olmalıdır.
f ( x) = sin x
f ′( x) = cos x
f ′′( x) = − sin x
13
MATEMATİK-II
r = 3 ise
f
( n)
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
( x) = f ′′′( x) = − cos x
π
genel olarak f ( n ) ( x) = sin( x + n ) dır.
2
Not: Eğer y = sin ax olsaydı yukarıdaki eşitliklerin önüne a n gelecekti.
4-2-5 Kapalı Fonksiyonlarda Yüksek Mertebeden Türevler
f ( x, y ) = 0 kapalı fonksiyonundan y ′ yü elde etmiştik. İkinci ve daha yüksek
mertebeden türevleri hesaplanabilir ancak karşılaşılan y ′ yerine ilk başta bulunan
değeri yazılmalıdır.
Örnek
x 2 + y 2 = 12 ise y ′′′ = ?
d 2
( x + y 2 = 12)
dx
−x
2 x + 2 yy′ = 0
ise y ′ =
y
x
1.y − y′x
−x
y′ = −( ) ⇒ y′′ = −(
)
y′ =
2
y
y
y
−x
y−(
).x
(x 2 + y2 )
y
′
′
y = −(
)=−
y3
y2
x
36(− )
2
12
(−3y y′) 36 y′
y
y′′ = − 3 = −12.
= 4 =
6
4
y
y
y
y
y ′′′ = −
36 x
y5
Örnek
y = sin( x + y ) ise y ′′ = ?
d
( y = sin( x + y ))
dx
y ′ = cos( x + y ).(1 + y ′)
cos( x + y )
y′ =
1 − cos( x + y )
14
MATEMATİK-II
y ′′ =
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
[− (1 + y ′) sin( x + y)](1 − cos( x + y)) − (1 + y ′) sin( x + y) cos( x + y)
y ′′ = −
(1 − cos( x + y )) 2
sin( x + y )
[1 − cos( x + y )]3
Örnek
b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 ise y ′′ = ?
2b 2 x + 2a 2 yy ′ = 0
y′ = −
b2 x
a2 y
y ′′ = −
a 2b 4
b4
=
−
a4 y3
a2 y3
4-3 Türevin Geometrik Tanımı
y = f (x) eğrisinin herhangi bir p ( x 0 , y 0 ) noktasındaki teğeti;
y − y 0 = m( x − x 0 )
genel doğru denkleminden kolayca bulunabilir. Teğetin eğimi;
m = f ′( x 0 )
olup teğetin denklemi;
y − y 0 = f ′( x 0)( x − x 0 ) dır.
Normal doğrusu teğete dik olduğundan;
mT .m N = −1
olup normal doğrunun eğimi;
1
mN = −
f ′( x 0 )
15
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
dolayısıyla normal doğrunun denklemi;
y − y0 = −
1
( x − x0 )
f ′( x0 )
Örnek
f ( x) = x 2 − 3x + 5 fonksiyonun grafiğine (-1,9) noktasında teğet olan doğrunun
denklemini bulunuz.
y − y 0 = m( x − x 0 )
y − 9 = m( x + 1)
y − 9 = −5( x + 1)
m = f (′x 0)
f ′( x) = 2 x − 3
f ′(−1) = −5 = mT
teğet denklemi;
y = −5 x + 4
4-4 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar ve Türevleri
y = arcsin x fonksiyonu
1.
y = sin x fonksiyonu [−
π π
, ] aralığında sürekli ve artan bir fonksiyon olup
2 2
x ≤ 1 için tanımlı;
y = arcsin x ile gösterilen bir ters fonksiyona sahiptir.
y = arcsin x ⇔ x = sin y,−
π
π
≤ y≤
2
2
Örnek
arcsin
1 π
3π
= , arcsin − 1 =
, arcsin 0 = 0 dır.
2 6
2
Türevi:
y = arcsin x ise x = sin y
16
MATEMATİK-II
d
( x = sin y )
dx
1 = cos y. y ′
y′ =
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
sin y = x
1
1
=
cos y
1− x2
1− x2
u = g ( x)
y′ =
y = arcsin u ise
u′
bulunur.
1− u2
2
y = arccosx fonksiyonu
y = cos x fonksiyonu (0, π ) aralığında sürekli ve azalan bir fonksiyon olup. x ≤ 1 için
tanımlı y = arccos x ile gösterilen bir ters fonksiyona sahiptir.
y = arccos x ise x = cos y 0 ≤ y ≤ π dir.
Örnek
arccos1 = 0
ar cos 0 =
π
, arccos(−1) = π
2
Örnek
cos(2 arccos x ) = ?
= cos 2α
= 2 cos 2 α − 1 = 2 x 2 − 1
α = arccos x olsun
x = cos y
türevi
y = arccos x ise x = cos y
y′ = −
1
1− x
2
dir. . u = f ( x )
y = arccosu ise y ′ =
17
− u′
1− u2
dir.
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
y = arccos
y′ =
3x
ise
4
− u′
y′ = ?
u=
1 − 42
3x
3
u′ =
4
4
y′ =
−
3
4
 3x 
1−  
 4
2
=−
3
16 − 9 x 2
Örnek
arcsin x + arccos x toplamını bulunuz.
f ( x ) = arcsin x + arccos x dersek f ( x ), x ≤ 1 için tanımlıdır ve (-1,1) aralığında türeve
sahiptir.
1
f ′( x ) =
+
−1
= 0 olduğunda f(x) sabittir.
1− x
1− x2
O halde x ne olursa olsun f(x) hep aynı sabittir.
2
π π
=
2 2
1
1 π π π
ise arcsin + arccos = + =
2
2 6 3 2
x = 0 ise arcsin 0 + arccos 0 = 0 +
1
2
o halde
x=
arcsin x + arccos x =
3
π
dir.
2
y = arctanx fonksiyonu
 −π π 
,  açık aralığında sürekli bir fonksiyon olan y = tan x fonksiyonu x ∈ R için

 2 2
tanımlı y = arctan x ile gösterilen bir ters fonksiyona sahiptir.
y = arctan x ⇔ x = tan y
−π
π
<y<
2
2
Örnek
arctan 1 =
π
4
arctan 3 =
π
dür.
3
18
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
sin (2 arctan x ) = ?
α = arctan x ise
x = tan α
1+ x
sin (2 arctan x ) = sin 2α = 2 sin α cos α
sin α =
2
x
cos α =
1
x
1+ x
1
=
1+ x2
türevi
y = arctan x ⇒ x = tan y
d
(x = tan y )
dx
1 = 1 + tan 2 y Ι
1
1
y′ =
=
2
1 + tan y 1 + x 2
u = f (x )
(
)
y = arctan u ise
y′ =
u′
1+ u2
y = arctan x 2 ise
y′ =
2x
1+ x4
Örnek
Örnek
y = arctan
1 − cos x
1 + cos x
ise y ′ =
1
2
Örnek
1
(x ≠ 0)
x
fonksiyon x ≠ 0 için süreklidir.
y = arctan x + arctan
y′ =
1
−1
+
= 0 olduğunda y sabittir.
2
1+ x
1+ x2
x =1
x = −1
2x
1+ x
2x
=
1+ x2
2
1 π π π
arctan 1 + arctan = + =
1 4 4 2
19
2
.
1
1+ x2
MATEMATİK-II
arctan − 1 + arctan
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
1
−π −π −π
=
−
=
4
4
2
−1
o halde
1 π
=
x 2
1
π
x < 0 için arctan x + arctan = − dir.
x
2
x > 0 için arctan x + arctan
4-5 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Türevi
1
⋅ log a e
x
1
f ′( x ) = dir.
x
′
u
y′ =
u
f ( x ) = log a x
ise
f ′( x ) =
f ( x ) = log e x = ln x
ise
u = g ( x ), y = ln u
ise
1) y = ln 2 x
ise
y′ =
1
x
2) y = ln ax
ise
y′ =
1
x
3) y = ln(sin x)
ise
y′ =
cos x
= cot x
sin x
4) y = ln(cos x)
ise
y′ =
− sin x
= − tan x
cos x
1
ln x ise
4
y′ =
1 1
1
⋅ =
4 x 4x
Örnek
1
4
5) y = ln x = ln x =
4
6) y = ln 2 x
1 − cos x
1 + cos x
7) y = ln
8) y = ln
1
x
ise
y ′ = 2 ln x ⋅
ise
y′ =
ise
y′ = −
20
1
sin x
1
x
1
x
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
4-6 f(x) = ax Üstel fonksiyonunun türevi
f ( x) = a x (a > 0, a ≠ 1) ise
f ′( x ) = a x ⋅ ln a
u = g (x )
ise
y = a u ⇒ y ′ = a u ⋅ ln a ⋅ u ′
Örnek
y = 10 5− x
2
ise
y′ = ?
u = 5 − x2
y = 10 4
u ′ = −2 x
y ′ = 10 4 ⋅ ln 10 ⋅ u ′ = 10 5− x ⋅ ln 10 ⋅ (− 2 x )
2
4-7 f(x) = ex fonksiyonunun türevi
y = e x ise y ′ = e x
u = g (x )
y = eu
ise
y′ = eu ⋅ u′
Örnek
2
1) y = e x
2) y = e sin x
3) y = e
1− x
1+ x
ise
ise
1 ı − 1

u = ,u = 2 
x
x 

x
5) f ( x ) = e
6) f ( x ) = e ax
f ′( x ) = ae ax
−2
1− x
1+ x
ise
y′ =
ise
⋅  −1
y′ = e x ⋅  2 
x 
1
4) y = e x
2
y′ = e x ⋅ 2x
y ′ = e sin x ⋅ cos x
(1 + x )2
e
1
ise
ise
f (n ) (x ) = e x
f (n ) (x ) = a n e ax
f ′′( x ) = a 2 e ax
21
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
4-8 TÜREVİN UYGULAMALARI
4-8-1 Artan ve Azalan Fonksiyonlar
Değişken ile aynı yönde değişen fonksiyonlara artan fonksiyon, ters yönde değişen
fonksiyonlara azalan fonksiyon denir.
Teorem
y = f ( x ) fonksiyonu [a, b] aralığında artan bir fonksiyon ise bu aralıkta
f ′( x ) > 0 ,azalan bir fonksiyon ise bu aralıkta f ′( x ) < 0 dır. Bunun tersine olarak
y = f ( x ) fonksiyonu ; türevin pozitif olduğu aralıkta artan, negatif olduğu aralıkta
azalan dır.
f ′( x ) > 0
ise
f ( x ) artan
f ′( x ) < 0
ise
f ( x ) azalan
Örnek
f ( x ) = x 2 − 2 x + 5 fonksiyonunun artan ve azalan aralığını bulunuz.
f ′( x ) = 2 x − 2 = 2( x − 1)
x >1
için
f ′( x ) > 0
artan
(1, ∞ )
x <1
için
f ′( x ) < 0
azalan (− ∞,1)
Örnek
f ( x ) = 2 x + sin x fonksiyonu artan ve azalan olduğu aralığı bulun.
f ′( x ) = 2 + cos x
− 1 ≤ sin x ≤ 1
− 1 ≤ cos x ≤ 1
olduğundan f ′( x ) her yerde pozitif ve dolayısıyla
f(x) her yerde artandır.
22
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
4-8-2 Maksimum ve Minimum Değerler
y
y
y = f (x )
0
a
m
b
f (x )
x
0
a
n
b
x
Y= f(x) fonksiyonunu göz önüne alalım. Eğer f (m) değeri, (a,b)aralığındaki tüm f(x)
değerlerinden büyük ise (yani f(m) > f(x) ,f(m) değerine maximum değer, (m, f (m ))
noktasında da maximum nokta denir. Eğer f(n) değeri bu aralıktaki tüm f(x)
değerlerinden küçük ise ( f (n ) < f ( x )) f (n ) değerine minimum değer, (n, f (n ))
noktasına minimum nokta denir.
Bir y= f(x) fonksiyonunun grafiğinde (m, f (m )) noktası maximum nokta ise bu noktada
fonksiyon artma halinden azalma haline geçecektir ki bu noktada türev (+)
değerlerden (-) değerlere geçecektir. Dolayısıyla bu noktada türev sıfırdır.
f ′(m ) = 0
Benzer olarak
(n, f (n)) noktası minimum nokta ise
f ′(n ) = 0 olacaktır.
Bir fonksiyonun maximum, minimum noktalarına Extramum noktaları denir. Bir
fonksiyonun max-min noktalarını bulmak için
1)
f ′( x ) türevi alınır.
2)
f ′( x ) = 0 yapan x k değerleri bulunarak (x k , f ( x k )) kritik noktalar bulunur.
3)
f ′′( x ) alınır ve kritik noktalara bakılır.
 max eğğer

f ′′( xk ) = ne max ne min eğğer
 min eğğer

f ıı ( xk ) < 0
f(x k ) = 0
f(x k ) > 0
23
ise
ise
ise
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
f ( x ) = x 2 − 4 x + 5 fonksiyonlarının max,min noktalarını bulun.
f ′( x ) = 2 x − 4
2x − 4 = 0
(2,1)
x=2
f (2 ) = 1
f ′′( x ) = 2 > 0 ⇒ (2,1) noktasında (minimum)
kritik nokta
Örnek
f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0 ) parabolünün max,min noktaya sahip olması için
a,b,c katsayıları ne olmalı.
f ′′( x ) = 2ax + b
2ax + b = 0
−b
x=
2a
a < 0
f ′′( x ) = 2a = 
a > 0
−b
f
 = t olsun
 2a 
−b 
, t  kritik nokta

 2a 
ise maksimum
ise minimum
Örnek
f ( x ) = x 3 − 3x fonksiyonunun extramum noktalarını bulunuz.
f ′( x ) = 3 x 2 − 3
3x − 3 = 0
2
3x 2 = 3
x = µ1
f (1) = −2
f (− 1) = 2
(1,−2)  kritik
(− 1,2) noktalar
24
f ′′( x ) = 6 x
(1,−2) ⇒ f ′′(1) = 6 > 0 min
(− 1,+2) ⇒ f ′′(− 1) = −6 < 0 max
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
f ( x ) = sin x + cos x fonksiyonunun max, min noktalarını bulunuz.
f ′( x ) = cos x − sin x
cos x − sin x = 0
sin x = cos x ⇔ x1 =
π
+ 2kπ
4
5π
+ 2kπ
4
2
2
π 
f =
+
= 2
2
2
4
x2 =
2
2
π 
f =−
−
=− 2
2
2
4
π
 ,
4
 5π
 ,
 4
 
2 
 
 Kritik Noktalar

2

f ′′( x ) = − sin x − cos x
π

π 
 , 2  ⇒ f ′′  = − 2 < 0
4

4
 5π

 5π 
 ,− 2  ⇒ f ′′  = 2 > 0
 4

 4 
max
min
Örnek
Öyle iki sayı bulunki toplamları 10 çarpımları maksimum olsun.
Çözüm
1. sayı= x olsun
2. sayı= 10-x olur
f ( x ) = x ⋅ (10 − x ) = 10 x − x 2
f ′( x ) = 10 − 2 x
10 − 2 x = 0
x=5
f ′′( x ) = −2 < 0
max.
10 − x = 5 o halde sayılar 5,5 dir.
25
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
4-9 GRAFİK ÇİZİMİ
y = f ( x ) denklemi ile verilmiş bir eğriyi çizmek için önce fonksiyonun değişimini
incelemek gerekir. Bu da genel olarak fonksiyonun artan ve azalan olduğu aralıkları
belirlemek demektir.
Bunlara göre y = f (x) fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki adımlar
uygulanır.
1) y = f ( x ) in tanım aralığı belirtilir.
2) Maksimum minimum noktalarına bakılır.
3) OX ve OY eksenlerini kestiği noktalar belirlenir.
4) x,y ‘yi içeren değişim tablosu çizilir.
5) Gerekirse birkaç keyfi nokta bulunur.
6) Grafik çizilir.
Not
P( x )
şeklinde bir rasyonel fonksiyon ise yukarıdaki adımlardan önce
Q( x )
asimptotlarına bakılır. Asimptotlar 3 ayrılır.
Eğer y = f (x ) =
1) Yatay asimptot
2) Düşey asimptot
3) Eğik asimptot
1)Yatay Asimptot:
P(x )
y = lim
= c ise y = c doğrusu yatay asimptottur.
x →∞ Q ( x )
2) Düşey Asimptot:
Paydayı sıfır yapan x değerleridir.
Not
Q( x ) = 0 ⇒ x değerleri fonksiyonun grafiği düşey asimptotu kesemez.
3) Eğik Asimptot:
Eğer payın derecesi, paydanın derecesinden 1 fazla ise; eğik asimptota bakılır. Eğik
asimptot y = mx + n doğrudur.
P(x )
, n = lim[ f ( x ) − mx ]
x →∞ x ⋅ Q ( x )
x →∞
m = lim
26
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
f (x ) =
2x 2 + 5
fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
x2 −1
y
2x + 5
=2
x2 −1
x2 −1 = 0
2- Düşey Asimptot
x = µ1
3- Eğik asimptot yok.
1- Yatay Asimptot
2
y = lim
2
x →∞
x
−1
0
x = −1
1
x =1
Örnek
f ( x ) = − x 2 + x + 2 parabolünü çizin.
f(x)
fonksiyonu her yerde tanımlıdır.
1 1
9
1
f =− + +2=
4 2
4
2
1 9
Kritik nokta
 , 
2 4
f ′( x ) = −2 x + 1
− 2x + 1 = 0
1
x=
2
f ′′( x ) = −2 < 0 maximum
x = 0 için y = 2
(0, 2) de OY eksenini keser.
y = 0 için − x 2 + x + 2 = 0
x2 − x − 2 = 0
x1 = −1
(-1,0), (2,0) OX eksenini keser.
x2 = 2
y
f ′( x )
f (x )
x − ∞ −1
1
2
2
2 +∞
9
4
1 9
 , 
2 4
10
−1
-∞
0
9/4
0
2
1 1
2
-∞
27
x
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
f ( x ) = x 2 − x 3 eğrisini çizin.
f (x)
her yerde tanımlıdır. O halde ekstremum noktaları:
f ′( x ) = 2 x − 3 x 2
f (0) = 0
2 x − 3x = 0
x(2 − 3x ) = 0
4
2 4 8
f = −
=
 3  9 27 27
(0,0) ,  2 , 4  kritik noktalar.
 3 27 
2
2
3
f ′′( x ) = 2 − 6 x
f ′′(0) = 2 > 0 minimum
2
2 4 
2
 ,  f ′′  = 2 − 6 ⋅ = −2 < 0 maksimum
3
 3 27 
3
x=0
x=
x=0
x −x =0
2
y=0
için
x=0
(0,0)
y=0
için
3
x 2 (1 − x ) = 0
(0,0) , (1,0)
x =1
y
f ′( x )
f (x )
x −∞
+∞
0
0
2
3
4/27
1
0
+∞
2 4 
 , 
 3 27 
1
1
0
-∞
28
2
3
y = f (x )
x
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
x+2
eğrisini çizin.
x −1
Yatay asimptot
x+2
y = lim
=1 y =1
x →∞ x − 1
Düşey asimptot
x −1 = 0
x =1
1 ⋅ ( x − 1) − 1 ⋅ ( x + 2)
−3
=
f ′( x ) =
2
(x − 1)
(x − 1)2
−3
= 0 den x yok,kritik nokta yok,max, min yok.
(x − 1)2
(0,−2) ’da OY eksenini keser
x = 0 için
y = −2
x+2
y = 0 için
= 0 , x = −2 (− 2,0) ’da OX eksenini keser
x −1
x = 2 için
y = 4 (2,4)
1 
1
x = −3 için
y=
 − 3, 
4 
4
f (x ) =
y
y =1
1
x
(− 2,0)
0
1
(0,−2)
x =1
29
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
Örnek
1
eğrisini çizin.
x −1
1Yatay asimptot
1
y = lim 2
=0
x →∞ x − 1
y=0
(OX ekseni)
2Düşey asimptot
x2 −1 = 0
x = µ1
Max. Min
− 2x
f ′( x ) =
2
x2 −1
− 2x
= 0 x = 0 f (0) = −1 (0,−1) kritik nokta
2
x2 −1
f (x ) =
2
(
(
)
f ′′( x ) =
(0,−1)
)
(
) ( )
(x − 1)
− 2 x 2 − 1 − 2 x 2 − 1 ⋅ 2 x ⋅ (− 2 x )
2
4
f ′′(0) = −2 < 0 max
x=0
için y = −1 (0,−1)
y=0
için x yok (OX eksenini kesmez)
1
x = 2 için y =
3
1
x = −2
için y =
3
y
x
0
(0,−1)
x = −1
30
x =1
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
ALIŞTIRMALAR
1) y = x 3 − 12 x + 4 eğrisinin hangi noktasındaki teğeti y = 15 x + 3 doğrusuna
paraleldir?
2) x 3 + y 3 − xy − 7 = 0 eğrisinin (1,2 ) noktasındaki teğetinin eğimini bulun.
3) f ( x ) =
4x + 5
fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralık nedir?
2x + 3
4) f ( x ) = x 3 +
5)
f (x ) = x +
6) f ( x ) =
48
fonksiyonunun max, min noktalarını bulunuz.
x
4
eğrisini çiziniz.
x−5
2x − 3
eğrisini çiziniz.
x +1
7) f ( x ) = sin 2 3x
ise
f ′( x ) = ?
8) 2 x − 5 y + 10 = 0
ise
y′ = ?
9) x 3 + x 2 y + y 2 = 0
ise
y′ = ?
10) 4 x 2 + y 2 = 15
ise
y ′′ = ?
11) f ( x ) = ln 3 x
ise
f (n ) ( x ) = ?
12) f ( x ) = arctan(3 x − 1)
ise
f ′( x ) = ?
13) f ( x ) = e 7 x
ise
f ′( x ) = ?
31
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
TEST (TÜREV)
1) f ( x ) = sin
A)
1
4
2
x
2
B)
π
f '( ) = ?
6
ise
1
2
C)
3
2
D) −
1
4
E) −
1
2
Cevap A.
2) f ( x ) = 2cos 4 x + 3sin 2 x
A) 1
ise
B) 0
π
f '( ) = ?
4
C)-1
D) 2
E)-2
Cevap B.
3) f ( x ) = cos 2 x − 2cos x
ise
A)1
C)0
2
B)2
π 
f ' =?
3
D)3
E)-1
Cevap C.
4) f ( x ) =
A) 3
sin x
cos 2 x
π 
f ' =?
4
ise
B) 2
C)
3 2
2
D) 3 2
E)
2
2
Cevap D.
5) f ( x ) = 2sin x + 8cos x +
A) 8 3
B) 3
tan x
2cot anx
ise
C)3
D)2
π 
f ' =?
3
E)1
Cevap E.
32
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
ise
π 
f ' =?
3
C) 4 3
D) 2 +
6) f ( x ) = tan x + ln(cos x )
A) 4 −
3
B) 3
E) 3 +
3
3
Cevap A.
7) f ( x ) = arctan x
A)
1
3
B)
f ' (1) = ?
ise
1
2
C)
1
4
D)
2
3
E)
3
2
Cevap B.
8) f ( x ) = ln(sin x )
A)
1
2
B)
π 
f ' =?
6
ise
3
2
C) 3
D)
1
3
E) 2 3
Cevap C.
9) f ( x ) =
1
sin 2 x
A)2
B) 4 3
π 
f ' =?
3
ise
D) −
C) 2 3
8 3
9
E) −
6
3
Cevap D.
10) f ( x ) =
A)
1
4
sin x
B) 2 3
ise
π 
f ' =?
6
C) 6
D)
3
2
E)
6
4
Cevap E.
33
MATEMATİK-II
11) f ( x ) = sin x ⋅ cos x
A)-
1
2
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
'
π 
=?
3
ise f 
B)- 3
3
2
C)-
E) 3
D)1
Cevap A.
12) f ( x ) = cos (2 x )
3
A)2
B)-
π 
f ' =?
8
ise
3 2
2
C)-
2
2
D)-
2 3
3
E) 3
Cevap B.
13) f ( x ) = e
A)-
cos x
3
2
B)
π 
f ' =?
3
ise
3
e
3e
2
C)-
D) e 3
E)
3e
2
Cevap C.
14) f ( x ) =
ln(sin x)
x
A)-1
π 
f ' =?
2
ise
B)1
C)
1
D)0
π
E)
1
π2
Cevap D.
15) f ( x ) = (sin x )
 ln 2 + 3 
⋅
 2 
A) 
cos x
( )
2
3
 5π 
f ' =?
 6 
ise
B)
ln 2
3
C)
ln 2
2
D)
3
2
E)
1− 3
2
Cevap A.
34
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
16) f ( x ) = x + tan x
ise
f ' ( x) = ?
A)1 + tan x
B) 2 + tan x
2
C) tan x
17) f ( x ) = sin x ⋅ cos x
2
A)1
2
E)0
Cevap B.
π 
f ' =?
4
ise
B)2
D) cot x
C)0
D)-1
E)-2
Cevap C.
18) f ( x ) = (sin x + cos x )
A)sinx
B)cosx
2
f ' ( x) = ?
ise
C)cos2x
D)2cos2x
E)2sin2x
Cevap D.
19) f ( x ) =
A) − 3
cos 2 x
sin 3 x
ise
B) 3
π 
f ' =?
6
C) 3
D)
3
3
E) 0
Cevap A.
20) f ( x ) =
A) −4
1
cos 2 x
B) 0
π 
f ' =?
4
ise
C) 4
D)
1
4
E) 2
Cevap C.
21) y = e 2 x eğrisinin (0, 1) noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
A) y =2x+1
B) y =2x – 1 C) y =-2x – 1
D) y =4x+1
E) x+y=0
CEVAP : A
35
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
22) f ( x) = x 2 + ln x fonksiyonunun gösterdiği eğrinin x =1 apsisli noktasındaki
teğetinin denklemi nedir?
A) y = −3 x + 1 B) y = 3 x
C) y = 3 x − 2
D) y = 4x - 3
E) y = 3 x + 4
CEVAP : C
23) f ( x) = 3x − 4 x + 5 fonksiyonunun minimum noktasının apsisi nedir?
1
3
2
A) 3
B) 0
C)
D)
E)
2
2
3
2
CEVAP : E
24. f ( x) = 3 x − x fonksiyonunun türevi ( f ′(x) ) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 −
1
B)
3
2 x
1
E) 3 −
x
2 x
D) 3 − x 2
25. f ( x) = 3 − x − e
2
3x
C) 3 + x
CEVAP : A
fonksiyonunun türevi, f ′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 − 2 x + e 3 x
B) − 2 x − e 3 x
C) − 2 x − 3e 3 x
D) − 2 x + 3e 3 x
E) 2 x − 3xe 2 x
CEVAP : C
26. f ( x) = x 2 + e − x + x −1 fonksiyonunun türevi f ′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2 x − e − x - 2x 2
B) 2x - e -x − x −2
C) 2 x − e − x + x 2
D) 2x + e- x − x − 2
E) 2x + e- x − x
CEVAP : B
27. f ( x) = 2− x fonksiyonunun f ′(x) türevi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2− x ln 2
B) − 2− x ln 2
D) − 2− x
E) 2− x ln 4
C) 2 − x
CEVAP : B
36
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
28. f ( x) = 3x fonksiyonunun türevi f ′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3x 2
B) 3x
D) 3x ln3
E) ln32
C) ln3x
CEVAP : D
29. y =
x
x −1
y′ = ?
,
-1
(x - 1)2
x +1
D)
(x - 1)2
A)
B)
2x
(x - 1)2
C) x − 1
E) 0
CEVAP : A
x
− e− x + x ,
2
30. f ( x) =
A) 0
D)
C) 1 +
B) 1
1
−e
2
f ′( x) değeri kaçtır?
1
e
E) e
CEVAP : C
y=
31.
A)
1
2
x + ln x
B) 2
fonksiyonunun x =4 noktasındaki türev değeri nedir?
C) 4
D) ln 2
E) 2 − ln 2
CEVAP : A
x +1
fonksiyonunun x =2 noktasındaki
x −1
Türevi nedir?
32. f ( x) =
A) 1
B)
1
2
C) 0
D) − 1
E) − 2
CEVAP : E
33. y = f ( x) = x 2 − e 2 x olduğuna göre, bu fonksiyonun ikinci
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y′′ = 0
B) y′′ = 2 + e 2 x C) y′′ = 2 + 4e 2 x
D) y′′ = 2 − e 2 x
türevi
f ′′(x)
E) y′′ = 2 − 4e 2 x
CEVAP : E
37
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
34. f ( x) = 3 + ln 2 x fonksiyonunun ikinci türevi f ′′(x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) − x
B) − x 2
C) −
1
x
D) −
1
x2
E) − 2 ln x
CEVAP : D
35. f ( x) = x 3 − 12 x fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) (− 2,2)
D) (− 2,0)
B) (0,12)
E) (0, ∞ )
C) (0,2)
CEVAP : A
36. y = 27 x − x 3 fonksiyonunun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) (− 3,3)
B) (− 3,0 )
D) (3,+∞ )
E) (− ∞,−3)
C) (0,−3)
CEVAP : A
37. f ( x) =
2 x − 5x − 7
fonksiyonunun düşey
3x + 4
2
asimptotu
aşağıdakilerden
hangisidir?
A) x = −
D) x =
4
3
1
2
B) x = −
E) x =
7
4
C) x = −
5
3
2
3
CEVAP : A
1 − 2x
fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?
2x + 1
1
A) y = 1
B) y = 0
C) y =
2
D) y = −1
E) y = −2
CEVAP : D
38. f ( x) =
38
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
39. y = x( x − 1)( x + 2 ) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisine benzer
A)
B)
y
y
1
-2
-2
-1
1
1 x
0
-1
C)
0
x
D)
y
y
1
-2
2
1
-1
0
1
-2
0
x
x
E)
y
1
-2
0
x
CEVAP : A
40. f ( x) = x( x − 1)( x − 2 ) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
y
x
-2
-1
x
1
0
2
0
C)
D)
y
y
2
0
-1
1
x
2
0
x
1
E)
y
0
x
CEVAP : B
39
MATEMATİK-II
Abdullayeva, Çetin, Taşkın
41.
y
1
0
x
Yukarıdaki grafiğe göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)(0,1) maksimum noktasidir.
B) x = −1 bir dusey asimptottur.
C) x = +1 bir dusey asimptottur.
D) x = 0 bir dusey asimptottur.
E) y = 0 bir yatay asimptottur.
CEVAP : D
42.
y
2
-2
2
x
0
Yukarıdaki Şekle göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) (0,2) yerel minimum noktadir.
B) x = 2 dusey asimptottur.
C) y = 0 bir yatay asimptottur.
D) Fonksiyon x = −2 noktasında tanımlı degildir.
E) Egri daima azalandir.
CEVAP : E
40