asal sayılar
advertisement
ASAL SAYILAR - BÖLÜNEBİLME ASAL SAYILAR Kendisinden ve 1 den başka böleni olmayan 1 den büyük doğal sayılara ASAL sayı denir. Seninle 20 ye kadar olan doğal sayılardaki asal sayıları bulalım. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Asal olmayanların üzerine ‘X’ işareti koy. *0 ve 1 asal değiller çünkü asal sayılar 1 den büyüktür. *4,6,8,10,12,14,16,18,20 sayıları çift olduklarından 2 ile bölünürler. *9 ve 15 sayıları 3 ile tam bölünüyor. Geriye kalan 2,3,5,7,11,13,17,19 sayıları ASAL dır. ASALLARDAN SADECE 2 ÇİFT SAYIDIR Şimdi de senden 20 den 40 a kadar olan asalları bulmanı istiyorum 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 Sen de yukarıda yaptığımız gibi teker teker araştır.Asal olmayanların üzerine ‘X’ işareti koy. ÖRNEK 10 ile 20 arasındaki en küçük ile en büyük asalın çarpımı kaçtır? ÖRNEK 30 ile 40 arasındaki asal sayıların toplamı kaçtır? 40 ARALARINDA ASAL SAYILAR İki veya daha fazla sayının 1 den başka ortak böleni yoksa bu sayılar ARALARINDA ASALdır. *8 ile 15 i araştıralım 8 in bölenleri 1 2 4 8 1 3 5 15 15 in bölenleri 8 ile 15 ARALARINDA ASALdır. *20 ile 27 yi araştıralım 20 nin bölenleri 1 2 4 5 27 nin bölenleri 3 9 27 1 20 ile 27 ARALARINDA ASALdır Sen de aşağıdaki ikilileri araştır. *9 ile 25 *6 ile 15 *10 ile 21 *1 ile 24 *3 ile 18 1 den başka ortak yok 10 20 1 den başka ortak yok BÖLÜNEBİLME KURALLARI Sayılarda bölme işlemini biliyorsun. Bölme işleminde her zaman bir de kalan olur. Eğer kalan 0 olursa TAM BÖLÜNDÜ deriz. İşte bu bölümde bazı sayılara bölme işlemi yapmadan kalan olup olmayacağını söylemeyi öğreneceğiz. Örneğin 7893 sayısı 9 ile tam olarak bölünebilirmi? Tam bölünmüyorsa kalan kaçtır? Öğreneceğimiz kurallar : 2 3 4 5 6 8 9 10 sayılarıyla bölünebilme 2 İLE BÖLÜNEBİLME Tüm çift sayılar 2 ile tam bölünür. 2 ile bölümde kalan ya 0 (tam bölünme) ya da 1 olur çift sayılar tam bölünür teklerde kalan 1 dir, 1250 , 114 , 34978 sayıları 2 ile TAM BÖLÜNÜR 0 , 2, 24 , 458 1 , 17 , 59 , 111 , 2879 , 45157 sayıları 2 ile bölününce 1 KALANı verir ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 127a dört basamaklı sayısı, ‘a’ yerine hangi rakamları yazarsan 2 ile tam bölünür? ÇÖZÜM 2 ile bölünen sayılar çift sayılardır. Dolayısıyla a yerine 0,2,4,6,8 rakamları yazılabilir. Cevap : 0,2,4,6,8 2-) 2548a sayısı iki ile bölününce kalan 1 oluyor. ‘a’ yerine gelebilecek değerler toplamı nedir? ÇÖZÜM 2 ile bölününce 1 kalanı veren sayılar tek sayılardır. ‘a’ yerine 1,3,5,7,9 rakamları gelebilir. Cevap : 1,3,5,7,9 3-) Aşağıdakilerin 2 ile bölümünden kalanları bul. 2548 11456 1331 19789 27 ÇÖZÜM 2548 11456 1331 19789 27 çift sayıdır iki ile tam bölünür. çift sayıdır iki ile tam bölünür. tek sayıdır kalan 1. tek sayıdır kalan 1. tek sayıdır kalan 1. 3 İLE BÖLÜNEBİLME Rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 veya 3’ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür. Rakamlar toplamı 3’ün katı ise TAM BÖLÜNÜR. Rakamlar toplamı 3’ün katından 1 fazla ise KALAN 1 Rakamlar toplamı 3’ün katından 2 fazla ise KALAN 2 Aşağıdakileri iyi incele, 3785 3+7+8+5 = 23 8244 55555555 8+2+4+4 = 18 2+3 = 5 son toplam 5 , 3’ün katından 2 fazla olduğu için KALAN 2 1+8 = 9 9 , 3’ün katı olduğundan KALAN 0 8 tane 5 in toplamı 8x5=40 son toplam 4 KALAN 1 Dikkat et tek basamaklı bir sayı bulana kadar toplamaya devam ettim. En son toplamın 3 ile bölümünden kalan sayının 3 ile bölümünden kalanı verir. 4+0=4 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) aşağıdakilerin 3 ile bölümünden kalanları bul 275 449 12375 456988 ÇÖZÜM 275 449 12375 456988 2+7+5 = 14 4+4+9 = 17 1+2+3+7+5 = 18 4+5+6+9+8+8=40 1+4 = 5 1+7 = 8 1+8=9 4+0=4 KALAN 2 KALAN 2 TAM BÖLÜNÜR KALAN 1 2-) 21a5 dört basamaklı sayısı 3 ile tam bölünebilen bir sayıdır ise ‘a’ yerine hangi rakamlar gelebilir? ÇÖZÜM 2+1+a+5 topamı 3 ün katı olmalı 8+a 3’ün katı olması için olması için a= 1,4,7 olabilir. (a nın değerleri arasında 3 fark olduğuna dikkat et) Cevap : 1,4,7 3-) 78a8 dört basamaklın sayısının 3 ile bölümünden kalan 1 ise a yerine hangi rakamlar gelebilir? ÇÖZÜM 7+8+a+8 3 ün katından 1 fazla olmalı 23+a 3 ün katından 1 fazla buna göre a= 2,5,8 olabilir. Cevap : 2,5,8 4 İLE BÖLÜNEBİLME sayı kaç basamaklı olursa olsun son iki basamağı 4 ile bölünüyorsa sayının tamamı da 4 ile tam bölünür. Son iki basamağı ‘00’ olan sayılar 4 ile TAM BÖLÜNÜR. 12500 , 9400 , 28000 ,.... gibi 2740 4574 2542 3700 13755 37511 2533 40, 4 ile tam bölünür 74 , 4 ile bölününce KALAN 2 42 , 4 ile bölününce KALAN 2 00 , 4 ile tam bölünür. 55 , 4 ile bölümünden KALAN 3 11 , 4 ile bölümünden KALAN 3 33 , 4 ile bölümünden KALAN 1 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 814a sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için ‘a’ kaç olmalı? ÇÖZÜM Son iki basamağı 4a 4’ün katı olmalı. 40 44 sayıları 4 ün katıdır. a= 0,4,8 olur. Aralarında 4 fark 48 olduğuna dikkat et!!! Cevap : 0,4,8, 2-) 45a2 sayısı 4 ile tam bölünüyor. ‘a’ yerine gelebilecek rakamlar nelerdir? ÇÖZÜM Son iki basamak a2 4’ün katı olmalı. Sana burada pratik bir yöntem göstereceğim. a2 de a yerine ilk yazabileceğim değerin 1 olduğunu biliyorum 20 sayısının da 4 ün katı olduğunu biliyorum.buradan; 12 +20 32 +20 52 +20 72 +20 92 Sonuç olarak a yerine ilk yazılan tek ise diğerleri de tek olur. Cevap : 1,3,5,7,9 3-) 10a4 dört basamaklı sayısı 4 ile tam bölünüyor. Buna göre ‘a’ yerine hangi rakamlar gelebilir? ÇÖZÜM Son iki basamak a4 sayısının 4 ‘ün katı olması için ‘a’ yerine ilk yazılabilecek sayı ‘0’ dır. Yukarıdaki çözümdeki yöntemi uygularsak; 04 +20 24 +20 44 +20 64 +20 84 Sonuç olarak a yerine ilk yazılan çift ise diğerleri de çift olur. Cevap : 0,2,4,6,8 5 İLE BÖLÜNEBİLME Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür. Birler basamağı 0 dan veya 5 ten kaç fazlaysa kalan da fazla olan sayıdır. 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 5 ‘ e tam bölünür 5 ‘e bölümünden kalan 1 5 ‘e bölümünden kalan 2 5 ‘e bölümünden kalan 3 5 ‘e bölümünden kalan 4 5 ‘ e tam bölünür 5 ‘e bölümünden kalan 1 5 ‘e bölümünden kalan 2 5 ‘e bölümünden kalan 3 5 ‘e bölümünden kalan 4 ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 275a sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için ‘a’ yerine hangi rakamlar gelmeli? ÇÖZÜM 275a nın 5 ile tam bölünmesi için birler basamağının 0 veya 5 olması gerekir. a nın değerleri 0 ve 5 Cevap : 0,5 2-) 1714a beş basamaklı sayısı 5 ile bölününce kalan 3 oluyor. Buna göre ‘a’ yerine gelebilecek değerler nedir? ÇÖZÜM 5 ile bölümünden kalan 3 ise birler basamağı 0 dan ya da 5 ten 3 fazla olmalı. a=3,8 olabilir. Cevap : 3,8 3-) 449a , 5 ile bölününce 4 kalanını veren dört basamaklı bir tek sayıdır. ‘a’ yerine gelecek rakam nedir? ÇÖZÜM 5 ile bölününce 4 kalanını vermesi için birler basamağı 4 ya da 9 olmalı. Sayı tek sayı olduğundan ; a= 9 olur Cevap :9 4-) 9758a sayısı 5 ile bölününce 3 kalanı veren bir çift sayıdır. ‘a’ yerine yazılacak rakam nedir? ÇÖZÜM 5 ile bölününce 3 kalanı veren sayının birler basamağı 3 ya da 8 dir. Sayı çift olduğundan cevap 8 olur. Cevap :8 6 İLE BÖLÜNEBİLME Daha önce bir doğal sayının 2 ve 3 ile bölünüp bölünemediğini araştırdık. 6=2x3 olduğundan bir sayının 6 ya tam bölünebilmesi için aynı anda 2 ve 3 ile tanm bölünmesi gerekir. 2 ye tam bölünmeli 6 ya tam bölünebilmesi için (çift sayı) 3 e tam bölünmeli (rakamları toplamı 3 ün katı) 12576 çift sayı 2 ile TAM BÖLÜNÜR. 1+2+5+7+6=21 toplamı 3 ‘ün katı 3 ile TAM BÖLÜNÜR. 12576 sayısı 6 ile TAM BÖLÜNÜR. 77864 çift sayı 2 ile TAM BÖLÜNÜR. 7+7+8+6+4=32 toplamı 3 ‘ün katı değil 3 ile TAM BÖLÜNMEZ. 77864 sayısı 6 ile TAM BÖLÜNMEZ ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 57a üç basamaklı sayısı 6 ile tam bölünüyor. Buna göre ‘a’ yerine gelebilecek rakamlar nedir? ÇÖZÜM 2 ile bölünebilmesi için a=0,2,4,6,8 den biri olmalı 57a 3 ile bölünebilmesi için 5+7+a=3.k olmalı. a=0,3,6,9 ikisininde ortak ortak olan 0,6 rakamlarını yazabilirsin Cevap :0,6 2-) 258a4 beş basamaklı sayısı 6 ile tam bölünüyor. ‘a’ yerine yazılabilecek rakamlar toplamı kaçtır? ÇÖZÜM 258a4 Çift olduğundan 2 ye tam bölünür. 2+5+8+a+4=3.k olmalı. 19+a=3.k Cevap : 2,5,8 a=2,5,8 olabilir. 8 İLE BÖLÜNEBİLME Son 3 basamağı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür. Son 3 basamağı ‘000’ olan sayılar 8 ile TAM BÖLÜNÜR. 154000 , 97000, 34000,.... gibi. 124658 658 600+56+2 şeklinde yazarsan 8 in katından 2 fazla olduğunu görürsün. KALAN 2 olur. 97297 297 280+16+1 şeklinde yazarsan 8 in katından 1 fazla olduğunu görürsün. KALAN 1 olur 155775 775 720+48+7 şeklinde yazarsan 8 in katından 7 fazla olduğunu görürsün. KALAN 7 olur Bildiğim en yakın 8 in katından başlayıp 8 in katları ekleyerek istediğim sayıya ulaşırım. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 7520a sayısı 8 ile tam bölünüyorsa a yerine yazabileceğin rakamlar nelerdir? ÇÖZÜM Son üç basamak 20a 8 in katı olmalı. 200 sayısının 8 e bölündüğünü biliyorsun. O halde a=0 veya 8 eklersen a=8 olabilir. Cevap : 0,8 2-) 75a48 sayısı 8 ile tam bölünüyorsa a yerine hangi rakamlar gelebilir? ÇÖZÜM Son 3 basamak a48 de 48 sayısı 8 in katı . a48 a00+48 şeklinde yazabilirsin. Burada a00 ın 8 in katı olması gerekir. 000 200 a00 400 600 800 şeklinde değerler alabilir. a = 0,2,4,6,8, Cevap : 0,2,4,6,8 9 İLE BÖLÜNEBİLME Sayının rakamları toplamı 9 un katı ise sayı 9 ile tam bölünür. Rakamlar toplamı 9 un katından kaç fazlaysa kalan da o olur Aşağıdakileri birlikte inceleyelim. 2751 2+7+5+1=15 98758 9+8+7+5+8=37 754 7+5+4=16 777777777 1+5=6 toplamı 9 un katı değil. KALAN 6 3+7=10 1+0=1 son toplam 1 olduğundan KALAN 1 1+6=7 toplamı 9un katı değil KALAN 7 9 tane 7 toplamı 9x7=63 6+3=9 son toplam 9 un katı. Sayı 9 a TAM BÖLÜNÜR Dikkat et tek basamaklı bir sayı bulana kadar toplamaya devam ettim.en son toplam da her zaman kalanı verir. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 25a74 dört basamaklı sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için a yerine hangi rakam gelmelidir? ÇÖZÜM 2+5+a+7+4=9.k olmalı. 18+a = 9.k olması için a=0 veya a=9 yazabilirsin. Cevap : 0,9 2-) 4571a beş basamaklı sayısı 9 ile bölününce 1 kalanı veriyor. Buna göre a kaçtır? ÇÖZÜM 4+5+7+1+a = 9.k+1 kalan 1 olduğundan toplam da 9 un katından 1 fazla olur. 17+a= 9.k+1 16+a=9.k olması için a=2 olmalı Cevap : 2 3-) 9945a35 yedi basamaklı sayısı 9 ile bölününce kalan 7 oluyor. ‘a’ nın alacağı değer kaçtır? ÇÖZÜM 9+9+4+5+a+3+5 = 9.k+7 olmalı. 35+a = 9.k+7 28+a = 9.k olması için a=8 yazmalısın. Cevap : 8 10 İLE BÖLÜNEBİLME Birler basamağı 0 olan sayı 10 a tam bölünür. Birler basamağı 0 dan farklı ise 10 ile bölümden kalan birler basamağındaki rakam olur. Aşağıdakilerin 10 ile bölümünden kalanları bulalım. 3752 kalan 2 15789 kalan 9 8273 kalan 3 16795 kalan 5 125020 kalan 0 (tam bölünür) 5946 kalan 6 NOT Bir sayının 100 ile bölümünden kalan son iki basamağındaki sayıdır 21548 78302 100 ile bölümünden kalan 48 dir. 100 ile bölümünden kalan 2 dir. 1000 , 10000 , 100000 , .......... gibi sayılarla bölümden kalanların nasıl bulunacağını tahmin ettin mi? Arkadaşlarına da sor bakalım aynı yanıtları buldunuz mu? ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER 1-) 27a sayısı 10 ile tam bölünüyorsa a yerine hangi rakam gelmeli? ÇÖZÜM 11 ile tam bölünen sayıların birler basamağı 0 olur. a=0 olur. Cevap : 0 2-) 475a sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 ise a kaçtır? ÇÖZÜM Sayının 10 ile bölümünden kalan birler basamağındaki rakamdır. Yani ki a= 7 olmalı. Cevap : 7 3-) 5491 sayısından en az kaç çıkarırsan sayının 10 ile bölümünden kalan 6 olur? ÇÖZÜM Kalanın 6 olması için sayının birler basamağının 6 olması gerek. Sayıdan 5 çıkarınca 5491 – 5 = 5486 elde edersin ki o zaman kalan 6 olur. Cevap : 5 ÇÖZÜMLÜ SORULAR 1-) 9 ile 24 arasındaki sayma sayılarından, 2 ile bölünebilenlerin oluşturduğu kümeyi yazınız. 2-) 562a sayısının 3’e bölünebilmesi için a yerine gelebilecek rakamların toplamını bulunuz. 3-) 132a4 beş basamaklı sayısının 4 ile tam olarak bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek rakamlar nelerdir? 4-) 4584k sayısının 5 ile bölündüğünde kalan 1’ dir. Buna göre k’ nın alabileceği değerleri bulunuz. 5-) 41a3 doğal sayısının 9 a kalansız bölünebilmesi için a yerine yazılacak rakam hangisidir? 6-) 650 472 sayısının 3 ‘ e bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir? 7-) 5a42 dört basamaklı doğal sayısının 3 ile kalansız bölünebilmesi a yerine yazılabilecek rakamların kümesi nedir? 8-) 264 738 sayısının 5 ile bölünmesinden kalan kaçtır? 9-) 67 844 sayısının 9 a bölünmesinden kalan m ve 5 e bölünmesinden kalan n ise , m+n kaçtır? 10-) 378a dört basamaklı bir sayıdır. Bu sayının hem 2’ ye hem de 5’ e bölünebilmesi için a kaç olmalıdir? 11-) 12a sayısının 2,3,5 sayılarına tam bölünebilmesi için a yerine yazılabilecek rakamların kümesini yazınız. 12-) 2ab sayısının 10 ile bölümünden kalan 7 dir. Bu sayı 9 ile tam bölünebildiğine göre a+b’ nin alabileceği en büyük değer kaçtır? 5. 2. 12. 6. 10. 435 , 1554 , 1017 , 3267 , 4092 , 58480 , sayılarından hangileri, 3333 a) 2 ile tam bölünür? ............................................................................ b) 3 ile tam bölünür? ............................................................................ c) 4 ile tam bölünür? ............................................................................ d) 5 ile tam bölünür? ............................................................................ e) 6 ile tam bölünür? ............................................................................ f) 8 ile tam bölünür? ............................................................................ g) 9 ile tam bölünür? ............................................................................ h) 10 ile tam bölünür? ............................................................................
