K*NC* DERECEDEN DENKLEMLER, E**TS*ZL

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
***KAZANIMLAR: 1. İkinci dereceden bir
bilinmeyenli denklemlerin köklerini ve
çözüm kümesini belirler.
A. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ
DENKLEMİN ÇÖZÜMÜ:
1. Çarpanlarına Ayırarak Çözme:
2. İkinci dereceden bir bilinmeyenli
denklemlerin köklerini veren bağıntıyı
gösterir ve köklerin varlığını diskriminantın
işaretine göre belirler.
Denklem çarpanlarına ayrıldıktan
sonra her bir çarpan ayrı ayrı sıfıra
eşitlenerek kökler bulunur. Çözüm kümesi
oluşturulur.
SÜRE: 4 Ders Saati
2.1.
İKİNCİ
DERECEDEN
BİLİNMEYENLİ DENKLEM:
a , b , c
ve
a0
olmak
ax 2  bx  c  0
biçimindeki
önermelere
ikinci
dereceden
bilinmeyenli denklem denir.
ÖR3: 2 x 2  5 x  3  0 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
C: {3/2 , 1}
BİR
üzere,
açık
bir
denkleminin çözüm
C: {0 , 4}
ÖR5: 2 x 2  18  0
kümesini bulunuz.
denkleminin çözüm
C: {-3 , 3}
ÖR6: x 2  ax  6  0 denkleminin çözüm
kümesi {b, 2} olduğuna göre, a+b toplamı
kaçtır?
C: 8
Bu açık önermeyi doğrulayan (eğer
varsa) x reel sayılarına denklemin kökleri ve
köklerin oluşturduğu kümeye de denklemin
çözüm kümesi denir. Denklemin kökü yoksa
çözüm kümesi ∅ dir. a, b, c reel sayılarına ise
denklemin katsayıları denir.
ve
ÖR4: x 2  4 x  0
kümesini bulunuz.
ÖR7: 4 x 2  1  4 x
kümesini bulunuz.
ÖR8:
Buna göre aşağıda verilen denklem
katsayılarını
inceleyelim.
denkleminin çözüm
C: {1/2}
olmak
üzere,
denkleminin
çözüm
m
x 2  mx  2m2  0
kümesini bulunuz.
C: {-m , 2m}
2. Tam Kare Yaparak Çözme:
2 x 2  4 x  6  0 denklemi adım adım tam
kare yapılarak çözüm kümesinin Ç.K={1, -3}
olduğu bulunur.
ÖR1:
3a  5 x 2  7 x  13  0
ÖR9: x 2  4 x  9  0 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
C: { }
denkleminin ikinci dereceden bir denklem
olması için a ne olmalıdır?
ÖR2:  m  n  2 x
n 3
ÖR10: x 2  6 x  3  0 denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
 3x 1  0

denkleminin ikinci dereceden bir denklem
olması için m kaç olamaz?
C: 3
ENGİN ÇEVİK
C: 3  2 3 ,  3  2 3
1
[email protected]

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
3. Genel Çözüm:
***KAZANIMLAR: 3. İkinci dereceden bir
denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki
ax 2  bx  c  0 denkleminde b 2  4ac
ifadesine denklemin diskriminantı (ayıracı)
denir ve ∆ ile gösterilir.
bağıntıları gösterir.
4. Parametre içeren ikinci dereceden bir
a. ∆>0 ise denklemin birbirinden farklı
x1 ve x2 gibi iki reel kökü vardır.
denklemin, verilen koşullara uygun olacak
şekilde parametresini bulur.
b  
b  
ve x2 
dır.
x1 
2a
2a
SÜRE: 4 Ders Saati
b. ∆=0 ise denklemin birbirine eşit
(çakışık) iki reel kökü vardır.
x1  x2 
B.
b
dır.
2a
KÖKLER
İLE
KAT
SAYILAR
ARASINDAKİ BAĞINTILAR:
ax 2  bx  c  0
c. ∆<0
ise
olduğundan,

denklemin reel kökleri yoktur.
(Çözüm kümesi ∅ dir.)
denkleminde
  b 2  4ac  0
olmak
üzere,
b  b2  4ac
b  b2  4ac
ve x2 
2a
2a
ÖR11: x  5 x  3  0 denkleminin çözüm
x1 
kümesini bulunuz.
olduğunu biliyoruz. Şimdi bu kökler ile a, b,
2
c
ÖR12: x 2  6 x  9  0 denkleminin çözüm
katsayıları
arasında
bazı
bağıntılar
kuralım.
kümesini bulunuz.
1) x1  x2  
ÖR13: x  3 x  5  0 denkleminin çözüm
2
b
a
c
a
kümesini bulunuz.
2) x1.x2 
ÖR14: x 2  2 x  k  1  0 denkleminin eşit
3)
1 1
b
 
x1 x2
c
4)
x1  x 2 
iki reel kökü olması için k kaç olmalıdır?
ÖR15:
2x  x  m 1  0
2
denkleminin
farklı iki reel kökünün olması için m ne
b 2  2ac
5) x  x 
a2
2
1
olmalıdır?
2
2
6) x13  x23 
C: m< 9/8
3abc  b3
a3
bağıntıları
elde edilir.
*ÖR16:  m 1 x  4 x  2  0 denkleminin
2
farklı iki reel kökü olduğuna göre, m nin
NOT: Bu bağıntılardan birkaçının
ispatı yapılır ve diğerleri öğrencilere
ödev olarak verilir.
değer aralığını bulunuz.
C: (-∞,3)\{1}
ENGİN ÇEVİK

a
2
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
ÖR17:
Aşağıdaki
tabloyu
inceleyiniz.
**ÖR24:
x 2   m  3 x  5  0
x 2   m  3 x  13  0
denklemlerinin birer kökü ortak olduğuna
göre, m kaçtır?
C: -5/3
***KAZANIMLAR: 5. Kökleri verilen ikinci
dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazar.
6. İkinci dereceden bir bilinmeyenli bir
denkleme dönüştürülebilen denklemlerin
çözüm kümesini bulur.
SÜRE: 4 Ders Saati
ÖR18: x 2  4 x  1  0 denkleminin kökleri
C. KÖKLERİ BİLİNEN İKİNCİ DERECE
DENKLEMİNİ KURMAK:
x1 ve x2 olmak üzere, x1.x  x .x2 kaçtır?
2
2
2
1
Bir kökü x1 reel sayısı olan herhangi
C: 4
bir polinom denklemde,  x  x1  polinomu
x2  6x  k 1  0
denkleminin
kökleri x1 ve x2 olmak üzere, x1  x2  2 ise
ÖR19:
k kaçtır?
ÖR20:
çarpan olarak bulunur. Söz gelimi, P  x   0
bir polinom denklem ve 4 ile -3 sayıları bu
C: 9
x 2  mx  27  0
denklemin köklerinden ikisi ise P  x 
denkleminin
polinomunun bir çarpanı  x  4  , bir diğer
kökleri x1 ve x2 olmak üzere, x1  x22 ise m
kaçtır?
çarpanı da  x  3 olur. Öyleyse kökleri x1
C: -6
ve x2 olan ikinci derece bir polinom
*ÖR21: x 2  7 x  1  0 denkleminin kökleri
x1 ve x2 dir. Buna göre,
kaçtır?
denklem yazmak istersek bu denklem;
x1  x2 toplamı
 x  x1  x  x2   0
C: 3
işlemi yapılırsa;
NOT: Kökleri x1 ve x2 olan ikinci dereceden
x2   x1  x2  .x  x1.x2  0  x2  Tx  Ç  0
bir bilinmeyenli bir denklemin simetrik iki
kökü varsa x1   x2 yani x1  x2  0 dır.
ÖR22:
denklemi elde edilir.
 m 1 x2   2m  3 x  4  0
denkleminin simetrik iki kökü varsa m
kaçtır?
C: -3/2
ÖR25: Aşağıda çözüm kümeleri verilen
ikinci dereceden denklemleri yazınız.
*ÖR23: x2   m  3 x  1  0 denkleminin
a)
köklerinin farkı
değerlerini alır?
b) 
 3, 1
5

2
21 ise m hangi tamsayı
C: {2,-8}
c)
ENGİN ÇEVİK
şeklindedir. Çarpma
3
1
2, 1 
2

[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
NOT: Rasyonel katsayılı ikinci dereceden bir
3x
4 x2
denkleminin
 2
x 1 x  2x 1
 1 1
çözüm kümesini bulunuz.
C:   , 
 2 3
ÖR30:
bilinmeyenli denklemin bir kökü a  b ise
diğeri a  b dir.
***OPSİYONEL: Eğer kökler irrasyonel ve
2) Değişken
Değiştirilerek
Çözülebilen Denklemler:
birbirlerinin eşleniği ise bu denklemde
katsayılar
olarak;
rasyonel
olmayabilir.
x1  3  2
ve
Örnek
İkinci dereceden daha yüksek dereceli
denklemlerde benzer ifadeler, yeniden
adlandırılarak ikinci dereceye dönüştürülür
ve çözüm kümesi bulunur.
x2  3  2
alınırsa, x 2  2 3x  1  0 elde edilir.
ÖR26: Köklerinden biri  3  1 olan
rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi
C: x 2  2 x  2  0
yazınız.
derece
denkleminin
4 x  2 x1  24  0
denkleminin
C: 2
çözüm kümesini bulunuz.
x1 ve x2 dir. Buna göre, kökleri 2 x1  1 ve
ikinci
x 4  7 x 2  12  0
ÖR31:
çözüm kümesini bulunuz.
ÖR32:
ÖR27: x 2  3 x  7  0 denkleminin kökleri
2 x2  1 olan
1
x  5 .x   6 denkleminin
0
4
ÖR33:
denklemi
C: 16,81
çözüm kümesini bulunuz.
C: x  4 x  33  0
kurunuz.
2
3) Köklü Denklemler:
D.
İKİNCİ
DERECE
DENKLEMİNE
DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN DENKLEMLER:
Bilinmeyenin
kök
içinde
olduğu
denklemlere köklü denklemler denir. Köklü
1) Polinomların
Çarpımı
veya
Bölümü
Biçiminde
Verilen
Denklemler:
denklemlerin çözümünde, denklem önce
kökten kurtarılır. Elde edilen denklemin
P  x  .Q  x   0  P  x   0  Q  x   0
çözüm kümesi bulunur. Bulunan köklerin
P  x
kontrol edilmelidir.
Q  x
verilen
 0  P  x  0  Q  x  0
ÖR34:
ÖR28:
x  2 x  3x  0
3
2
çözüm kümesini bulunuz.
denkleminin
denklemi
sağlayıp
2x  3  4  x  2
çözüm kümesini bulunuz.
C: 3,0,1
ÖR35:
x2  5x  6
ÖR29:
 0 denkleminin çözüm
x2  4
kümesini bulunuz.
C: 3
3x  1  x  1  2
çözüm kümesini bulunuz.
ÖR36:
sağlamadığı
denkleminin
C: 11
denkleminin
C: 8
x  3x  2  2 denklemin çözüm
kümesini bulunuz.
ENGİN ÇEVİK
4
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
4) Mutlak Değerli Denklemler:
x 
x 0
için

 f  x , f  x  0
f  x  

 f  x  , f  x   0
kümesine de denklemin çözüm kümesi
denir.
ve
İkinci dereceden iki bilinmeyenli bir
denklem ile birinci dereceden veya başka
ikinci dereceden iki bilinmeyenli bir
denklemden
oluşan
sisteme,
ikinci
dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi
denir.
dır.
Mutlak değerli denklemleri çözmek için
mutlak değer içindeki ifadenin hangi
aralıkta pozitif hangi aralıkta negatif olacağı
belirlenir.
Mutlak
değer
işareti
kaldırıldıktan sonra denklem çözülür.
ÖR36:
2
3
ÖR37:
 4
 3


C:  ,10 
C:
denklemini sağlayan x ile y nin toplamı
kaçtır?
C: 1,1, 2
***KAZANIMLAR: 7. İkinci dereceden iki
bilinmeyenli denklem sistemlerini açıklar ve
ikinci dereceden bir bilinmeyenli denkleme
dönüştürülebilen ikinci dereceden iki
bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm
kümesini bulur.
olmak
ENGİN ÇEVİK
reel
sayı
 xy   4 x  5
2
x  y 1
x3  y 3  7
2 x 2  y 2  19
ÖR44:
üzere,
denklem
denklem sisteminin
x2  y 2  8
denklem sisteminin
çözüm kümesini bulunuz.
denklemlere
ikinci
dereceden
iki
bilinmeyenli denklem denir. Bu denklemi
 x, y 
2
çözüm kümesini bulunuz.
ax 2  by 2  cxy  dx  ey  f  0 şeklindeki
sağlayan
x
ÖR43:
ve a, b, c sayılarından en
farklı
x  y 1
sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
E. İKİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ
DENKLEM SİSTEMLERİ:
sıfırdan
C: -4
ÖR42:
SÜRE: 2 Ders Saati
ikisi
3,1
x 2  y 2  2 x  6 y  10  0
ÖR41:
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
az
denklem
x y 2
sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
x2  4 x  4  x2  2 x  0
a, b, c, d , e, f 
C: 8
x 2  y 2  x  y  12
ÖR40:
7 denkleminin
çözüm kümesini bulunuz.
ÖR38:


C:  , 4 
2 x  3 x 
olduğuna göre,
x 2  y 2  96
 x  y  toplamı kaçtır?
2 x  3  x  1denkleminin çözüm
kümesini bulunuz.
x  y  12
ÖR39:
C:
3,1 , 3, 1 ,  3,1 ,  3, 1
ikililerinin
5
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
***KAZANIMLAR: 1. 𝑎𝑥 + 𝑏 iki terimlisinin
işaretini inceler ve tabloda gösterir, birinci
dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin
çözüm kümesini bulur.
2. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 üç terimlisinin işaretini
inceler ve tabloda gösterir, ikinci dereceden
bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm
kümesini bulur.
c)
 3x  9  .  2  x   0
d)
 4  3x  x  2   0
 x  3
e) 2 
f)
1 x 1

x
x
x
x 1
1 
x 1
x 1
SÜRE: 4 Ders Saati
ax2+bx+c NİN İŞARETİ:
2.2. BİRİNCİ VEYA İKİNCİ DERECEDEN
BİR BİLİNMEYENLİ EŞİTSİZLİLER:
y  ax 2  bx  c nin görüntü kümesinin
işareti, a katsayısına ve ∆ ya bağlıdır.
a, b, c reel sayılar, a  0 olmak üzere;
ax  b  0 , ax  b  0 , ax  b  0 , ax  b  0
şeklindeki açık önermelerin her birine,
birinci
dereceden
bir
bilinmeyenli
eşitsizlikler denir.
ax 2  bx  c  0
,
ax 2  bx  c  0 ,
ax 2  bx  c  0
,
ax 2  bx  c  0
i. ∆>0 durumunda;
x
x
y=ax+b
ÖR45:
x
x1=x2=-b/a
∞
a ile aynı
a ile aynı
o
işaretli
işaretli
o
-∞
y=ax2+bx+c
b
a
-
Aşağıdaki
o
eşitsizliklerin
∞
a ile aynı işaretli
ÖR46:  x 2  5 x  6  0 eşitsizliğinin çözüm
a ile aynı
işaretli
kümesini bulunuz.
C:  , 6  1,  
ÖR47: x 2  2 x  5  0 eşitsizliğinin çözüm
çözüm
kümesini bulunuz.
kümelerini bulunuz.
C:  ,  
a) 3x  9  0
ÖR48:
b) 20  4 x  0
çözüm kümesini bulunuz.
ENGİN ÇEVİK
o
∞
a ile aynı
işaretli
iii. ∆<0 durumunda;
a  0 olmak üzere,
a ile zıt
işaretli
x2
-∞
y=ax2+bx+c
ax+b NİN İŞARETİ:
x
x1
a ile aynı
a ile zıt
işaretli o işaretli
ii. ∆=0 durumunda;
şeklindeki açık önermelerin her birine ikinci
dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler
denir. Bir eşitsizliği sağlayan reel sayılar
kümesine, bu eşitsizliğin çözüm kümesi
denir.
ax  b  0  x  
-∞
y=ax2+bx+c
6
4 x 2  12 x  9  0
eşitsizliğinin
C:
3
 
2
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
***KAZANIMLAR: 3. Birinci veya ikinci
dereceden polinomların çarpımı veya
bölümü biçiminde verilen eşitsizliklerin
çözüm kümesini bulur.
2)
eşitsizliğinin daima doğru olması
için,
SÜRE: 4 Ders Saati
ÖR49:
eşitsizliği
için gerçeklendiğine göre, m
x 
değerlerinin bulunduğu aralık nedir?
ŞEKLİNDEKİ
ifadesi x  için daima negatif olduğuna
göre, m nin bulunduğu aralığı bulunuz.
2
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
ÖR50:
 2  x   x 2  x  30 
x 1
 0 eşitsizliğini
gerçekleyen kaç tamsayı vardır?
x
ÖR51:
2
 x  6   x  1
x2  4x  3
 25  x   x
2
 1
2
x3  8
EŞİTSİZLİK SİSTEMLERİ:
Birden
C: 9
 0 eşitsizliğinin
x2  2 x  3
kesişim kümesi eşitsizlik sisteminin çözüm
kümesidir.
 0 eşitsizliğinin
ÖR56:

x 2  x  12  0 
a) 2

x  7 x  10  0 

2
0
eşitsizliğinin
C:  4, 2 
b) 2  x 2  5 x  4  10
DAİMA DOĞRU OLAN EŞİTSİZLİKLER:
m4
0
m2
c)
5m
0
m2
f  x   ax  bx  c  0
2
eşitsizliğinin daima doğru olması
x 
için gerçeklenmesi  için,
a  0 ve   0 koşullarının birlikte
sağlanması gerekir.
ENGİN ÇEVİK
Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin
çözüm kümelerini bulunuz.
çözüm kümesini bulunuz. C:  , 3  3
1)
oluşturduğu
ayrı ayrı bulunur. Bulunan aralıkların
C:  2,1
C:  , 5   2,5
1  x  .  x  3
eşitsizliğin
sistemindeki her eşitsizliğin çözüm aralığı
çözüm kümesini bulunuz.
ÖR53:
fazla
sisteme, eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik
2
çözüm kümesini bulunuz.
ÖR52:
 x2   4m  2 x  3m2  m 1
ÖR55:
 x  1 .  2 x  8    x  1
koşullarının
x 2  5 x  3m  1  0
ÖR54:
BÖLÜM
a  0 ve   0
birlikte sağlanması gerekir.
4. Birinci veya ikinci dereceden eşitsizlik
sistemlerinin çözüm kümesini bulur.
ÇARPIM
VE
EŞİTSİZLİKLER:
f  x   ax2  bx  c  0





C:  4,5 
7
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
***KAZANIMLAR: 5. İkinci dereceden bir
bilinmeyenli bir denklemi çözmeden
köklerinin varlığını ve işaretini belirler.
ÖR59:
9 x2  6 2 x  2  0 denklemini
çözmeden köklerini inceleyiniz.
6 x 2  25 x  14  0
ÖR60:
denklemini
çözmeden köklerini inceleyiniz.
6. Parametre içeren ikinci dereceden bir
bilinmeyenli bir denklemin köklerinin
varlığını ve işaretini parametrenin alacağı
değerlere göre tablo üzerinde belirler.
ÖR61: 5 x  3x 2  0 denklemini çözmeden
köklerini inceleyiniz.
SÜRE: 4 Ders Saati
 a  2 x2  2ax  a  3  0
ÖR62:
2.3 KÖKLERİN VARLIĞI VE İŞARETİ:
denkleminin pozitif iki reel kökü olduğuna
göre, a nın en geniş aralığını bulunuz.
ax 2  bx  c  0 denkleminin kökleri x1 ve
m
 m  2  x 2  2mx  m3  27  0
x2 olsun.   b 2  4ac olmak üzere, bu
ÖR63:
denklemin çözüm kümesini bulmadan,
köklerin işareti ile ilgili aşağıdaki yorumları
yapabiliriz.
denkleminin ters işaretli iki reel kökü
olduğuna göre, m nin en geniş aralığını
2
C:  , 1   2,3
bulunuz.
***KAZANIMLAR: 1. İkinci dereceden
fonksiyonu açıklar ve en küçük ya da en
büyük değerini hesaplar.
2. İkinci dereceden bir fonksiyonun
grafiğinin (parabolün) tepe noktasını,
eksenleri kestiği noktaları ve simetri
eksenini bulur, fonksiyonun değişim
tablosunu düzenler ve grafiğini çizer.
3. Grafiği üzerinde tepe noktası ile herhangi
bir noktası ya da herhangi üç noktası verilen
ikinci dereceden fonksiyonu bulur.
SÜRE: 14 Ders Saati
2.4 BİR DEĞİŞKENLİ İKİNCİ DERECE
FONKSİYONU VE GRAFİĞİ:
a , b, c 
f:
x2  2 x  3  0
ÖR57:
denklemini
çözmeden köklerini inceleyiniz.
a0
olmak
üzere,
, f  x   ax  bx  c biçiminde
2
tanımlanan
f
fonksiyonlarına
ikinci
dereceden bir bilinmeyenli fonksiyonlar
denir. Bu fonksiyonların grafiklerine ise
parabol adı verilir.
3 x 2  x  1  0
ÖR58:
denklemini
çözmeden köklerini inceleyiniz.
ENGİN ÇEVİK

ve
8
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
1. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐚𝐱 𝟐
Grafiği:
c) h  x   2 x 2
Fonksiyonunun
d) t  x   3x 2
a  0 ise değişim tablosu;
NOT: y  ax 2 parabolünde;
a
arttıkça
parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
Şeklinde olup x 
2. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐜
Fonksiyonunun Grafiği:
için y  ax  0 dır.
2
Parabolün kolları yukarı doğru olup, tepe
y  ax 2 fonksiyonunun grafiğini y ekseni
noktası da O  0,0  dır.
üzerinde c kadar kaydırırsak y  ax 2  c
fonksiyonunun grafiğini elde ederiz. O
halde, y  ax 2  c fonksiyonunun grafiğinin
tepe noktası T  0, c  dir.
a  0 ise değişim tablosu;
Şeklinde olup x 
için y  ax 2  0 dır.
ÖR65: y  2 x 2  1 fonksiyonunun grafiğini
Parabolün kolları aşağı doğru olup, tepe
çiziniz.
noktası da O  0,0  dır.
ÖR66: y   x 2  2 fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
3. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐚𝐱 𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜
Fonksiyonunun Grafiği:
f:
f  x   2x
y  f  x   ax2  bx  c
için
a) Parabolün kollarının yönü tespit
edilir.
a  0 ise kolları yukarı doğrudur.
a  0 ise kolları aşağı doğrudur.
2
b) g  x   3x 2
ENGİN ÇEVİK
,
parabolünün grafiğini çizebilmek
aşağıdaki işlemler yapılmalıdır.
ÖR64: Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini
çiziniz.
a)

9
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
b) Parabolün tepe noktası bulunur.
ÖR67:
y  ax  bx  c parabolünün tepe
çiziniz.
2
noktası
T  r, k 
b
r
2a
olmak
üzere,
4ac  b
ve k  f  r  
4a
ÖR68:
2
ÖR69:
ÖR70:
eksenini  0,c  noktasında keser.
Burada,
x
eksenini
parabol
x
eksenine
ÖR71:
teğettir.
  0 ise parabol x eksenini farklı
iki noktada keser.
ÖR72:
parabolünü
f  x   2x2  3x  m 1
f  x   3x2   2m  1 x  2
f  x    x2  2x  m  4
parabolünün alabildiği en büyük değer 4 ise
m kaçtır?
C: 7
Bulunan bu noktalar birleştirilirse parabol
çizilmiş olur.
4. 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝐚(𝐱 − 𝐫)𝟐 + 𝐤
Fonksiyonunun Grafiği:
Parabolün en büyük ya da en küçük değerini
aldığı noktaya parabolün tepe noktası denir
y  ax  r  k
2
ve T  r , k  ile gösterilir.
parabolünün
tepe
noktası T  r , k  dır.
ÖR73:
y  2  x  1  2
2
fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
b
Parabol x  r yani x  
doğrusuna
2a
ÖR74:
göre simetriktir. Yani
x  r doğrusu
parabolün simetri eksenidir.
ENGİN ÇEVİK
f  x   x2  2x  3
parabolünün simetri ekseni x  2 doğrusu
olduğuna göre, m kaçtır?
C: -13/2
kesmez.
  0 ise
parabolünü
fonksiyonunun grafiği x eksenine teğet ise m
kaçtır?
C: 17/8
olur.
parabol
f  x    x2  4x  4
çiziniz.
x  0  f  0  c olup parabol y
  0 ise
parabolünü
çiziniz.
dır.
c) Parabolün eksenleri kestiği noktalar
bulunur.
y  0  ax2  bx  c  0
f  x   x2  2x  3
y    x  1  4
2
fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
10
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
Grafiği
Verilen
Denklemini Bulma:
Bir
Parabolün
c) Yandaki
parabolün
tepe noktası
T(3,-3)
olduğuna göre,
kuralını
bulunuz.
d)
1. Eksenleri kestiği noktaları verilen
parabolün denklemini bulmak için,
f  x   a.  x  x1  . x  x2 
 0,c 
noktası
bu
yazılır.
denklemde
sağlatılarak a katsayısı da bulunur.
e)
2. Tepe noktası ile herhangi bir noktası
verilen
parabolün
denklemi,
f  x   a.  x  r   k
2
şeklindedir.
Verilen  0,c  noktası bu denklemde
sağlatılarak a katsayısı da bulunur.
Üç
Noktası
Verilen
Denklemini Bulma:
Parabolün
P  x   ax2  bx  c parabolünün üç noktası
bilinirse a, b, c katsayıları bulunabilir.
Verilen
üç
nokta:
ÖR75:
Aşağıda
grafikleri
fonksiyonların kurallarını bulunuz.
verilen
a)
A  x1 , y1  , B  x2 , y2  , C  x3 , y3 
ise
noktalar parabolde
bulunabilir
yazılarak
veya
yerine
bu
P  x   a0  a1  x  x1   a2  x  x1  x  x2 
şeklinde yazılarak a0 , a1 , a2 katsayılarını
bulabiliriz.
ÖR76:
b)
Grafiği A  2,1 , B  1,10 , C  3,6 
noktalarından
geçen
ikinci
fonksiyonun kuralını bulunuz.
ENGİN ÇEVİK
11
derece
[email protected]
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER, EŞİTSİZLİKLER 2010
ve FONKSİYONLAR
ÖR77: Grafiği A  3,5 , B  2, 10  , C  4, 2 
noktalarından
geçen
ikinci
fonksiyonun kuralını bulunuz.
a) Parabolü farklı iki noktada kestiğine
göre,
b) Parabole teğet olduğuna göre,
c) Parabolü kesmediğine göre, m
parametresinin alabileceği değerleri
bulunuz.
derece
BİR PARABOL İLE BİR DOĞRUNUN
BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI:
İKİ BİLİNMEYENLİ
GRAFİKLE ÇÖZÜMÜ:
y  ax 2  bx  c parabolü ile y  mx  n
doğrusunun denklemleri ortak çözülürse,
EŞİTSİZLİKLERİN
y  ax 2  bx  c 
2
  ax  bx  c  mx  n
y  mx  n

 ax 2   b  m  x  c  n  0
olur. Bu denklemde;
I.
  0 ise doğru, parabolü farklı iki
II.
III.
noktada keser.
  0 ise doğru, parabole teğettir.
  0 ise doğru ile parabolün ortak
noktası yoktur. Yani kesişmezler.
ÖR82:
Aşağıdaki
eşitsizliklerin
çözüm
kümelerini analitik düzlemde gösteriniz.
ÖR78:
y  x2
y  x2  2x  4
parabolü
doğrusunun
varsa
ile
a) y  x 2
kesim
noktalarını bulunuz.
b) y   x 2  1
ÖR79: Denklemi, y  mx  1 olan doğru;
c)
denklemi y  4 x  x 2 olan parabole teğet
ÖR83: Aşağıdaki eşitsizlik sistemlerinin
ise m sayısını bulunuz.
çözüm kümelerini bulunuz.
y  x 2  x  m  1 parabolü ile
y  2 x  m doğrusu iki noktada kesişiyorsa
ÖR80:
a)
13 

C:  , 
8

m nedir?
b)
y  x  4 x  2 olan
parabol ile denklemi, y  mx  3 olan bir d
ÖR81:
Denklemi,
2
c)
doğrusu veriliyor. d doğrusu;
ENGİN ÇEVİK
y  x2  x
12
y  2x  2
y  x2  2x  3
y  2  2x
y   x2  x  6
y   x2  2x  3
y  x2  x
[email protected]