Ankara Üniversitesi Açık Erişim Sistemi

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
SZASZ OPERATÖRLERİ VE BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM VE
DİFERENSİYEL ÖZELLİKLERİ
Murat YILMAZ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ANKARA
2004
Her hakkı saklıdır
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
SZASZ OPERATÖRLERİ VE BİR GENELLEŞMESİNİN YAKLAŞIM VE
DİFERENSİYEL ÖZELLİKLERİ
Murat YILMAZ
Ankara Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Ogün DOĞRU
Bu çalışmada Szasz operatörlerinin yaklaşım ve türev özellikleri incelenmiştir.
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır.
Birinci bölümde, lineer pozitif operatörler dizisinin tanımı verilmiş ve temel özellikleri
elde edilmiştir. Ayrıca Korovkin teoremi ispatıyla birlikte verilmiştir.
İkinci bölümde, Korovkin teoremi yardımıyla Szasz operatörleri ve genelleşmesinin
yaklaşım özellikleri elde edilmiştir. Szasz operatörleri için Voronowskaja teoremi
tipinde bir teorem de ispat edilmiştir.
Üçüncü bölümde, süreklilik modülü ve Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla Szasz
operatörleri ve genelleşmesinin f fonksiyonuna yaklaşım hızının tahmini yer almaktadır.
Ayrıca bu hesaplama Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar için de elde edilmiştir.
Son olarak dördüncü bölümde, Szasz operatörlerinin türevleri, bölünmüş farklar
yardımıyla elde edilmiştir.
2004, 46 sayfa
ANAHTAR KELİMELER: Lineer pozitif operatörler dizisi, Bernstein polinomu,
Szasz operatörleri, Korovkin teoremi, Voronowskaja teoremi, süreklilik modülü,
Peetre-K fonksiyoneli, Lipschitz sınıfı, bölünmüş farklar.
ABSTRACT
Master Thesis
APPROXIMATION AND DIFFERENTIABLE PROPERTIES OF SZASZ
OPERATORS AND ITS GENERALIZATION
Murat YILMAZ
Ankara University
Graduate School of Natural
and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Asst. Prof. Dr. Ogün DOĞRU
In this study, the approximation and derivative properties of Szasz operators are
investigated.
This thesis consists of four chapters.
In the first chapter, definition of sequence of linear positive operators is given and its
fundamental properties are obtained. Also, the Korovkin theorem is given jointly with
its proof.
In the second part, approximation properties of the Szasz operators and its
generalization are obtained with the help of Korovkin theorem. Morever a
Voronowskaja type theorem is also proven for Szasz operators.
In the third chapter is devoted to the estimation of speed of approximation of the Szasz
operators and its generalization to the function f with the help of modulus of continuity
and K functional of Peetre. In addition to this the estimation is also obtained for the
function in the Lipschitz class.
Finally in the fourth chapter, the derivatives of the Szasz operators are obtained via the
divided differences.
2004, 46 pages
Key Words: Sequences of linear positive operators, Bernstein polinomials, Szasz
operators, the Korovkin theorem, the Voronowskaja theorem, modulus
of continuity, Peetre's K-functionals, Lipschitz class, divided
differences.
TEŞEKKÜR
Bu çalışmamın ortaya çıkış sürecinde beni yönlendiren danışmanım Yrd. Doç. Dr. Ogün
DOĞRU (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi)’ya, her aşamada desteğini gördüğüm
sevgili eşim Ebru YILMAZ’a ve aileme teşekkürlerimi sunarım.
Murat YILMAZ
Ankara, Ocak 2004
İÇİNDEKİLER
ÖZET …………………………………………………………………………… i
ABSTRACT ……………………………………………………………………. ii
TEŞEKKÜR ……………………………………………………………………. iii
SİMGELER DİZİNİ …………………………………………………………… v
1. TEMEL KAVRAMLAR ………………………………………………… 1
1.1. Giriş……………………………………………………………………… 1
1.2. Lineer Pozitif Operatör Dizisi ………………………………………….. 1
1.2.1. Lineer pozitif operatörlerin özellikleri………………………………… 2
1.2.2. Lineer pozitif operatörlerin önemi ……………………………………. 4
1.3. Korovkin Teoremi ……………………………………………………… 10
2. SZSAZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ ……… 14
2.1. Szasz Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı …………………………… 14
2.2. Voronowskaja Teoremi ………………………………………………… 18
3. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI ………………….. 28
3.1. Süreklilik Modülü .……………………………………………………… 28
3.1.1. Süreklilik Modülünün Özellikleri …………………………………..… 29
3.2. Szasz Operatörlerinin Süreklilik Modülüyle Yaklaşım Hızı ……………. 31
3.3. Szasz Operatörlerinin Peetre - K Fonksiyoneli ile Yaklaşım Hızı ……… 35
3.4. Szasz Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlarla
Yaklaşım Hızı…………………………………………………………… 37
4. SZASZ OPERATÖRLERİNİN TÜREV ÖZELLİKLERİ …………… 41
4.1. Bölünmüş Farklar ……………………………………………………….. 41
4.2. Türevlerin Bölünmüş Farklarla İfadesi …………………………………. 43
KAYNAKLAR ………………………………………………………………….. 45
ÖZGEÇMİŞ ……………………………………………………………………... 46
SİMGELER DİZİNİ
An ( f ; x)
n ∈ IN olmak üzere bir operatör dizisi.
Bn ( f ; x )
Bernstein Polinomları.
C
Kompleks sayılar cümlesi.
C[ a , b ]
Bir [a,b] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli
fonksiyonların uzayı.
C 2 [a, b]
f , f ′, f ′′ ∈ C[a,b] olan fonksiyon uzayı.
f n (x)
n ∈ IN olmak üzere bir fonksiyon dizisi.
f n ( x) →
→ f ( x)
{ f n } fonksiyon dizisinin f fonksiyonuna düzgün yakınsaması.
IN
IN ={1,2,3,…} doğal sayılar cümlesi.
K ( f ;δ )
f fonksiyonunun Peetre’s K fonksiyoneli.
Lip M (α )
Lipschitz sınıfı fonksiyonları.
S n ( f ; x)
Szasz Operatörleri.
*
S n ( f ; x)
Genelleştirilmiş Szasz Operatörü.
[ x0 , x1 ,..., x p ; f ]
f fonksiyonunun x0 , x1 ,..., x p noktalarındaki p-yinci bölünmüş
farkı
ϕ n ,k ( x )
k-yıncı merkezi moment.
ω ( f ;δ )
f fonksiyonun süreklilik modülü.
.
.
C [ a ,b ]
C 2 [ a ,b ]
C[a,b] uzayındaki .
f
C 2 [ a ,b ]
= f
C [ a ,b ]
C [ a ,b ]
= maks . ile tanımlı olan norm.
a ≤ x ≤b
+ f ′ C [ a ,b ] + f ′′ C [ a ,b ] ile tanımlı olan norm.
KAYNAKLAR
Bleimann, G., Butzer, P.L. ,Hahn, L. 1980 A Bernstein-type operator approximating
continuous functions on the semi axis. Proc. Netherl. Acad. Sci. A83 Indag.
Math., 42; 255-262.
Butzer, P.L. and Berens, H. 1967. Semi-Groups of Operators and Approximation,
Springer.
Davis, J.P. 1963. Interpolation and Approximation. Blaisdell Publ. Co. Ginn and Co.
New York-Toronto- London.
Doğru, O.1997 On a Certain Family Linear Positive Operators. Tr. J. of. Math. 21; 173181.
Doğru, O. 2002. Weighted Approximation Properties of Szasz-type Operators. Intern.
Math. Journal, 2 (9); 889-895.
Hacısalihoğlu, H. and Hacıyev, A. 1995. Lineer Pozitif Operatör Dizilerinin
Yakınsaklığı. 1-94 Ankara.
Korovkin, P.P.1960.Linear Operators and Approximation Theory. Delhi.
Lorentz, G.G. 1953. Bernstein Polynomials. Toronto.
Popoviciu, T.1935. Sur l’appoximation des functions convexes d’ordre superieur,
Mathematica (Cluj) 10; 49-54
Szasz, O. 1950. Generalization of S. Bernstein’s Polynomials to the infinite interval.
Journ. of Resarch of the Nat. Bureau of Stand. 45; 239-245
ÖZGEÇMİŞ
1978 yılında Ankara’da doğdu. İlk, orta ve lise öğrenimini Ankara’da tamamladı. 1996
yılında girdiği Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü’nden 2001 yılında
Matematikçi ünvanıyla mezun oldu. Eylül 2001 den beri Ankara Üniversitesi Fen
Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı’nda Yüksek Lisans öğrenimine devam
etmektedir.
Halen T.C. Milli Eğitim Bakanlığı’nın, Ankara Kızılcahamam Lisesinde Matematik
Öğretmeni olarak görev yapmaktadır.
1. TEMEL KAVRAMLAR
1.1. Giriş
Bu bölümde öncelikle lineer pozitif operatörler tanıtılacak ve sağladığı temel özellikler
incelenecektir. Ayrıca daha sonraki bölümlerde kullanılacak olan bazı tanımlar
verilecek ve lineer pozitif operatörlerin önemine değinilecektir. Bernstein’ın
Weierstrass problemi için verdiği teorem ve Korovkin teoremi ifade ve ispat edilecektir.
1.2. Lineer Pozitif Operatör Dizisi
Bilindiği gibi fonksiyonu fonksiyona dönüştüren bağıntılara “operatör” denir.
Lineer operatör:
X ve Y fonksiyon uzayları olmak üzere;
A: X→Y
şeklindeki A operatörünü göz önüne alalım. Eğer her f , g ∈ X ve her α , β ∈ IR için:
A(αf + βg ) = αA( f ) + βA( g )
koşulu sağlanıyor ise o takdirde A operatörüne lineer operatör denir.
Operatörün pozitifliği:
Eğer bir A operatörü pozitif değerli fonksiyonu yine pozitif değerli bir fonksiyona
dönüştürüyor ise, yani;
f bir fonksiyon ve A bir operatör olmak üzere
f ≥ 0 iken A( f ; x) ≥ 0
oluyorsa A operatörüne pozitif operatör denir.
Hem lineerlik hem de pozitiflik şartlarını sağlayan operatörlere lineer pozitif
operatörler denir.
1
1.2.1. Lineer pozitif operatörlerin özellikleri
Lemma 1.2.1. Lineer pozitif operatörler monoton artandır. Yani;
f ≤ g ⇒ L( f ) ≤ L( g )
eşitsizliği sağlanır.
İspat: Kabul edelim ki f ≤ g olsun. Bu durumda g − f ≥ 0 olacağından ve L operatörü
pozitif olduğundan;
L( g − f ) ≥ 0
(1.2.1)
yazabiliriz. Diğer taraftan L operatörü lineer olduğundan;
L( g − f ) = L( g ) − L( f )
olup bunun (1.2.1) de kullanılmasıyla ispat tamamlanır.
Lemma 1.2.2. L bir lineer pozitif operatör ise o taktirde:
L( f ) ≤ L( f
)
eşitsizliği sağlanır.
İspat: Her hangi bir f fonksiyonu için
− f ≤ f ≤ f
(1.2.2)
dir. L operatörü lineer olduğundan Lemma 1.2.1’den dolayı monoton artandır. O halde
(1.2.2)’den;
L(− f ) ≤ L( f ) ≤ L( f )
(1.2.3)
yazabiliriz. L lineer olduğundan;
L(− f ) = − L( f )
dir. Bu son eşitliğin, (1.2.3)’de kullanılmasıyla;
− L( f ) ≤ L( f ) ≤ L( f )
elde edilir ki bu da ispatı tamamlar.
Şimdi daha sonraki bölümlerde kullanılacak temel tanımları verelim.
2
Tanım 1.2.1. n ∈ IN olmak üzere f n (x) ’e bir “fonksiyon dizisi” denir ve ( f n ) ile
gösterilir.
Tanım 1.2.2. n ∈ IN olmak üzere An ( f ; x) ’e bir “operatör dizisi” denir ve ( An ) ile
gösterilir.
Tanım 1.2.3. Kapalı bir [a,b] aralığı üzerinde tanımlı ve sürekli tüm reel değerli
fonksiyonlardan oluşan kümeye “ C[a, b] fonksiyon uzayı” denir. Bu uzaydaki norm:
f ( x)
C[ a ,b ]
= maks f ( x)
a ≤ x ≤b
şeklinde tanımlanır.
Gerçekten;
1.
Her f , g ∈ C[a, b] için f + g ∈ C[a, b]
2.
f , g ∈ C[a, b] için f + g = g + f
3.
f , g , h ∈ C[a, b] için ( f + g ) + h = f + ( g + h)
4.
Her f ∈ C[a, b] için en az bir θ vardır ki f + θ = θ + f = f
5.
Her f ∈ C[a, b] için en az bir f ' vardır ki f + f ' = f '+ f = θ
6.
Her f ∈ C[a, b] ve λ ∈ C için λf ∈ C
7.
Her f ∈ C[a, b] ve λ , μ ∈ C için (λμ ) f = λ ( μf )
8.
Her f ∈ C[a, b] için 1 f = f
9.
Her f ∈ C[a, b] ve λ , μ ∈ C için (λ + μ ) f = λf + μf
10.
f , g ∈ C[a, b] ve λ ∈ C için λ ( f + g ) = λf + λg
11.
Her f ∈ C[a, b] için f ≥ 0
12.
Her f ∈ C[a, b] için f = 0 ⇔ f = 0
13.
Her f ∈ C[a, b] ve her λ ∈ C için λf = λ f
14.
Her f , g ∈ C[a, b] için f + g ≤ f + g
koşulları sağlandığından C[a, b] Lineer Normlu Uzay dır.
3
Tanım 1.2.4.
Bir ( f n ) fonksiyonlar dizisinin f fonksiyonuna C[a, b] normunda
düzgün yakınsak olması her x ∈ [a, b] için
lim f n ( x) − f ( x)
C [ a ,b ]
n→∞
=0
yada daha açık olarak:
lim maks f n ( x) − f ( x) = 0
n →∞
a ≤ x ≤b
eşitliğinin sağlanmasıdır.
Düzgün yakınsama:
f n ( x) →
→ f ( x)
şeklinde gösterilir.
1.2.2. Lineer pozitif operatörlerin önemi
Alman Matematikçi Weierstrasse 1895 yılında sonlu aralıkta sürekli olan her
fonksiyona bu aralıkta yakınsayan bir polinomun varlığını ispatlamıştır. 1912 yılında ise
Rus Matematikçi S.N. Bernstein bu polinomun, x ∈ [0,1] için:
n
⎛ k ⎞⎛ n ⎞
Bn ( f ; x) = ∑ f ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
k = 0 ⎝ n ⎠⎝ k ⎠
(1.2.4)
şeklinde olduğunu ispatlamıştır, (Lorentz 1953).
Bernstein’ın bu ispatını vermeden önce kullanacağımız bazı ifadeleri ve ispatlarını
verelim.
Lemma 1.2.3. (1.2.4)’te tanımlanan Bernstein operatörleri için;
Bn (1; x) = 1
(1.2.5)
Bn (t ; x) = x
(1.2.6)
Bn (t 2 ; x) = x 2 +
x(1 − x)
n
(1.2.7)
dır.
4
İspat: Binom açılımından;
n
⎛n⎞
(a + b) n = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n − k
k =0 ⎝ k ⎠
olup, a = x ve b = 1 − x seçimiyle
Bn (1; x) = 1
bulunur.
İkinci olarak;
n
k ⎛ n⎞
Bn (t ; x) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
k =0 n ⎝ k ⎠
n
k
n!
x k (1 − x) n−k
k = 0 n ( n − k )!k!
=∑
n
k
n!
x k (1 − x) n−k
n
(
n
−
k
)!
k
!
k =1
=∑
(n − 1)!
x k (1 − x) n−k , (k → k + 1)
k =1 ( n − k )!( k − 1)!
n
=∑
n −1
(n − 1)!
x k (1 − x) n −k −1
(
n
−
k
−
1
)!
k
!
k =0
= x∑
n −1 n − 1
⎞ k
⎛
⎟⎟ x (1 − x) n−k −1
= x ∑ ⎜⎜
k
k =0 ⎝
⎠
olup, Binom açılımından;
Bn (t ; x) = x
bulunur.
Son olarak
k 2 ⎛ n⎞ k
⎜ ⎟ x (1 − x) n−k
2 ⎜ ⎟
k =0 n ⎝ k ⎠
n
Bn (t 2 ; x) = ∑
k2
n!
=∑ 2
x k (1 − x) n−k
k = 0 n ( n − k )!k!
n
5
k2
n!
x k (1 − x) n−k
2
n
(
n
−
k
)!
k
!
k =1
n
=∑
k
(n − 1)!
x k (1 − x) n−k
k =1 n ( n − k )!( k − 1)!
n
=∑
elde ederiz.
k k −1 1
=
+ olduğundan son eşitliği:
n
n
n
n
(n − 1)!
⎛ k −1 1 ⎞
Bn (t 2 ; x) = ∑ ⎜
x k (1 − x) n−k
+ ⎟
n ⎠ (n − k )!(k − 1)!
k =1 ⎝ n
şeklinde yazabiliriz. Böylece
n
k −1
(n − 1)!
1
(n − 1)!
k
n−k
Bn (t ; x) = ∑
x (1 − x) + ∑
x k (1 − x) n−k
k =1 n ( n − k )!( k − 1)!
k =1 n ( n − k )!( k − 1)!
n
2
n
k −1
(n − 1)!
1
(n − 1)!
x k (1 − x) n− k + ∑
x k (1 − x) n−k
k = 2 n ( n − k )!( k − 1)!
k =1 n ( n − k )!( k − 1)!
n
=∑
=
n
(n − 1)!
x 2 (n − 1) n
(n − 2)!
k −2
n−k x
x k −1 (1 − x) n −k
x
(
1
−
x
)
+
∑
∑
n k =1 (n − k )!(k − 1)!
n
k = 2 ( n − k )!(k − 2)!
=
x ⎛ n − 1⎞ k
x (n − 1) ⎛ n − 2 ⎞ k
⎟⎟ x (1 − x) n− k −1
⎟⎟ x (1 − x) n−k −2 + ∑ ⎜⎜
⎜⎜
∑
n k =0 ⎝ k ⎠
n
k =0 ⎝ k ⎠
( k →k + 2)
2
( k →k +1)
n−2
n −1
olup, Binom açılımından;
B n (t 2 ; x) = x 2 +
x(1 − x)
n
bulunur.
Tanım 1.2.5.
ϕ n , s ( x) = Ln ((t − x) s ; x ) , {s=0,1,2,...}
(1.2.8)
ile tanımlanan ifadelere ( Ln ) operatör dizisinin s-yinci merkezi momentleri denir.
6
Weierstrasse teoremi için Bernstein’ın ispatında sıfırıncı, birinci ve ikinci merkezi
momentler kullanılacaktır, (Lorentz 1953). Bu nedenle önce bunları hesaplayalım.
0-ıncı merkezi moment:
0
⎛⎛ k
⎞ ⎞
Bn ⎜ ⎜ − x ⎟ ; x ⎟ = Bn (1; x )
⎜⎝ n
⎠ ⎟⎠
⎝
olduğundan, (1.2.5)’ten;
ϕ n , 0 ( x) = 1
(1.2.9)
bulunur.
1-inci merkezi moment:
1
⎛⎛ k
⎞ ⎞ n ⎛k
⎞⎛ n ⎞
Bn ⎜ ⎜ − x ⎟ ; x ⎟ = ∑ ⎜ − x ⎟⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
⎜⎝ n
⎠ ⎟⎠ k =0 ⎝ n
⎠⎝ k ⎠
⎝
n
n
⎛ n⎞
k ⎛ n⎞
= ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n −k − x∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
k =0 n ⎝ k ⎠
k =0 ⎝ k ⎠
olduğundan (1.2.6) ve (1.2.5) ten;
ϕ n ,1 ( x) = 0
(1.2.10)
bulunur.
2-nci merkezi moment:
2
2
⎛⎛ k
⎞ ⎛ n⎞
⎞ ⎞ n ⎛k
Bn ⎜ ⎜ − x ⎟ ; x ⎟ = ∑ ⎜ − x ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
⎜⎝ n
⎠ ⎝ k⎠
⎠ ⎟⎠ k =0 ⎝ n
⎝
n
⎞⎛ n ⎞
⎛ k2
k
= ∑ ⎜⎜ 2 − 2 x + x 2 ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
n
k =0 ⎝ n
⎠⎝ k ⎠
n
n
⎛ n⎞
k 2 ⎛ n⎞ k
k ⎛ n⎞
= ∑ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n −k − 2 x ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n− k + x 2 ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
k =0 n ⎝ k ⎠
k =0 n ⎝ k ⎠
k =0 ⎝ k ⎠
n
olduğundan (1.2.7), (1.2.6) ve (1.2.5) ten;
7
2
2
⎛⎛ k
⎞ ⎞⎟ x (n − 1) x
⎜
Bn ⎜ − x ⎟ ; x =
+ − 2x 2 + x 2
⎟
⎜⎝ n
n
n
⎠ ⎠
⎝
= x2 −
=
x2 x
+ − 2x2 + x2
n n
x x2
−
n n
dir. O halde;
ϕ n , 2 ( x) =
x x2
−
n n
(1.2.11)
bulunur.
Teorem. 1.2.1. (S.N. Bernstein 1912) (1.2.4) ile tanımlı Bernstein operatörleri [0,1]
aralığında sürekli olan f fonksiyonuna aynı aralıkta düzgün yakınsar.
İspat: (1.2.4), (1.2.5) ve (1.2.6) dan;
Bn ( f ; x) − f ( x) =
=
∑
n
⎛ k ⎞⎛ n ⎞
⎝ ⎠
k =0
k
n
⎛ n⎞
(1 − x) n−k − f ( x)∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
k =0 ⎝ k ⎠
n
⎛ n⎞
⎛ k ⎞⎛ n ⎞
f ⎜ ⎟⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n− k −∑ f ( x)⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k
⎝ n ⎠⎝ k ⎠
k =0
⎝k⎠
n
k =0
=
n
∑ f ⎜⎝ n ⎟⎠⎜⎜ k ⎟⎟ x
⎛ ⎛k⎞
⎞⎛ n ⎞
∑ ⎜⎜⎝ f ⎜⎝ n ⎟⎠ − f ( x) ⎟⎟⎠⎜⎜ k ⎟⎟ x
k =0
⎝ ⎠
k
(1 − x) n−k
⎛ n⎞
bulunur. x ∈ [0,1] olduğundan ⎜⎜ ⎟⎟ x k ≥ 0 ve (1 − x) n −k ≥ 0 dır. Üçgen eşitsizliğinden;
⎝k⎠
n
⎛ n⎞
⎛k⎞
Bn ( f ; x) − f ( x) ≤ ∑ f ⎜ ⎟ − f ( x) ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n− k
⎝n⎠
k =0
⎝k⎠
≤
∑
k
− x ≤δ
n
⎛ n⎞
⎛k⎞
f ⎜ ⎟ − f ( x) ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k +
⎝n⎠
⎝k⎠
yazılabilir. f fonksiyonu sürekli olduğundan;
8
∑
k
− x >δ
n
⎛ n⎞
⎛k⎞
f ⎜ ⎟ − f ( x) ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n− k
⎝n⎠
⎝k⎠
k
⎛k⎞
− x ≤ δ iken f ⎜ ⎟ − f (x) < ε
n
⎝n⎠
dur. Öyleyse;
Bn ( f ; x) − f ( x) ≤ ε
⎛ n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n−k +
k
k
− x ≤δ ⎝ ⎠
∑
n
⎛ n⎞
⎛k⎞
f ⎜ ⎟ − f ( x) ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n− k
⎝n⎠
⎝k⎠
∑
k
− x >δ
n
elde edilir. f sınırlı olduğundan her x ∈ [0,1] için öyle bir M >0 vardır ki;
f ( x) < M
dir. O halde;
⎛k⎞
⎛k⎞
⇒ f ( x) − f ⎜ ⎟ < f ( x) + f ⎜ ⎟ < 2 M
⎝n⎠
⎝n⎠
yazılabilir. Böylece
Bn ( f ; x) − f ( x) ≤ ε
⎛ n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n−k + 2 M
k
k
− x ≤δ ⎝ ⎠
∑
n
n
⎛ n⎞
≤ ε ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ x k (1 − x) n−k + 2 M
k =0 ⎝ k ⎠
⎛ n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n−k
k
k
− x >δ ⎝ ⎠
∑
n
⎛ n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n−k
k
k
− x >δ ⎝ ⎠
∑
n
bulunur. (1.2.5)’ten
Bn ( f ; x) − f ( x) ≤ ε + 2M
⎛n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n − k
⎝k ⎠
k
− x >δ
∑
(1.2.12)
n
dır. Diğer taraftan
2
⎛k
⎞
⎜ − x⎟
k
⎝n
⎠ ≥1
− x > δ ise
2
n
δ
(1.2.13)
olup (1.2.13)’ü (1.2.12)’de kullanırsak;
2
Bn ( f ; x) − f ( x) ≤ ε + 2M
∑
k
− x >δ
n
⎛k
⎞
⎜ − x⎟
⎝n
⎠ ⎛⎜ n ⎞⎟ k
n−k
⎜ k ⎟ x (1 − x)
2
δ
⎝ ⎠
9
=ε +
≤ε +
2M
δ
2M
δ
2
∑
2
x−
k
>δ
n
⎞
⎛k
⎜ − x⎟
⎠
⎝n
n
⎛k
⎞
∑ ⎜⎝ n − x ⎟⎠
k =0
2
2
⎛n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n − k
⎝k ⎠
⎛n⎞ k
⎜⎜ ⎟⎟ x (1 − x) n − k
⎝k ⎠
yazabiliriz. Dolayısıyla (1.2.11) den,
Bn ( f ; x) − f ( x) ≤ ε +
≤ε +
elde edilir.
2M ⎡ x x 2 ⎤
−
δ 2 ⎢⎣ n n ⎥⎦
[
2M
x − x2
2
nδ
]
x ∈[0,1] olduğundan;
{
}
maks x − x 2 =
1
4
dür. O halde;
B n ( f ; x) − f ( x)
C [ a ,b ]
≤ε +
1 M
n 2δ 2
yazılabilir. Bu ise;
B n ( f ; x) − f ( x)
C [ a ,b ]
→ 0 , ( n → ∞)
olması demektir ki bu da ispatı tamamlar.
1953 yılında P.P. Korovkin sürekli fonksiyonların sonlu aralıkta lineer pozitif
operatörlerin yardımıyla yaklaştırılmasına ilişkin aşağıdaki teoremi vermiştir. Teorem
bu konudaki çalışmalara büyük katkı sağlamıştır, (Korovkin 1960).
1.3. P. P. Korovkin Teoremi (1953)
f ∈ C [a, b] ve tüm reel eksende
f ( x) < M f
(1.3.1)
olsun. Eğer Ln ( f ; x) lineer pozitif operatör dizisi her x ∈ [a, b] için:
10
i.
Ln ( 1;x ) →
→1
ii.
Ln ( t;x ) →
→ x
iii.
2
Ln ( t 2 ;x ) →
→ x
koşullarını sağlıyorsa bu durumda [ a,b ] de Ln ( f;x ) →
→ f ( x) dir.
İspat: Kabul edelim ki f ∈ C[a, b] olsun. Sürekli fonksiyonların tanımından dolayı
her pozitif ε sayısına karşılık öyle bir δ bulabiliriz ki:
t - x ≤δ
olduğunda;
f (t ) − f ( x) < ε
kalır. t - x > δ olduğunda ise (1.3.1) den ve üçgen eşitsizliğinden dolayı:
f (t ) − f ( x) ≤ f (t ) + f ( x) ≤ 2 M f
(1.3.2)
yazabiliriz. Diğer taraftan eğer;
t-x > δ ise
(t-x) 2
δ2
t-x
δ
> 1 olacağından;
>1
(1.3.3)
sağlanır.
(1.3.2) ve (1.3.3) den:
f (t ) − f ( x) ≤ 2M f ≤ 2M f
(t-x) 2
δ2
yazabiliriz. O halde;
t-x ≤ δ için f (t) - f ( x) < ε
t-x > δ için f (t) - f ( x) < 2M f
(t-x) 2
δ2
elde ettik. Dolayısıyla her t ∈ IR ve her x ∈ [a, b] için:
f (t ) − f ( x) < ε + 2M f
(t-x) 2
(1.3.4)
δ2
11
dir. Eğer i, ii, iii koşullarını sağlayan ( Ln ) operatör dizisinin,
lim Ln ( f (t );x)-f ( x)
n →∞
C[a, b]
=0
eşitliğini sağladığını gösterirsek ispat tamamlanır. Şimdi bunu gösterelim.
Lineerlikten:
Ln ( f (t ); x) - f ( x) = Ln ( f (t ); x) - f ( x) + Ln ( f ( x); x) - Ln ( f ( x); x)
= Ln ( f (t ); x) - Ln ( f ( x); x) + Ln ( f ( x); x) - f ( x)
= Ln (( f (t ) − f ( x)); x) + f ( x)(Ln (1; x) - 1)
dir. Burada üçgen eşitsizliğinin kullanılmasıyla
Ln (( f (t ); x) − f ( x) ≤ L n (( f (t ) − f ( x)); x) + f ( x) (Ln (1;x) - 1)
yazılabilir. Diğer taraftan Lineer pozitif operatörler monoton artan ve
( f (t ) − f ( x)) ≤ f (t ) − f ( x)
olduğundan;
Ln ( ( f (t ) − f ( x)); x) ≤ Ln ( f (t ) − f ( x) ; x)
olur. Operatör pozitif ve,
f (t ) − f ( x) ≥ 0
olduğundan;
Ln ( f (t ) − f ( x) ; x) = Ln ( f (t ) − f ( x) ; x)
dir. O halde;
Ln ( f (t );x) - f ( x) ≤ Ln ( f (t ) − f ( x) ; x) + f ( x) (Ln (1;x) - 1)
olduğunu göstermiş olduk. (1.3.1)den
Ln ( f (t );x) - f ( x) ≤ Ln ( f (t ) − f ( x) ; x) + M f (Ln (1;x) - 1)
yazılabilir.( Ln ) monoton artan olduğundan (1.3.4) ‘ün kullanılmasıyla;
Ln ( f (t );x) - f ( x) ≤ Ln ( ε +
2M f
δ
2
(t − x) 2 ; x) + M f (Ln (1;x) - 1)
bulunur. Diğer taraftan;
12
(1.3.5)
Ln ( ε +
2M f
δ
2
= ε Ln ( 1;x) +
= ε Ln ( 1;x) +
= ε Ln ( 1;x) +
= ε Ln ( 1;x) +
(t − x) 2 ; x) = Ln ( ε;x) + Ln (
2M f
δ2
2M f
δ2
2M f
δ2
2M f
δ2
2M f
δ2
(t-x) 2 ; x)
Ln ( t 2 - 2 xt + x 2 ;x)
[L ( t ;x)-x -x
2
2
2
n
[L ( t ;x)-x
2
+ 2 x 2 - 2 xLn (t;x) + x 2 Ln (1;x)
+ 2 x 2 - 2 xLn (t;x) + x 2 Ln (1;x) - x 2
2
n
[( L ( t ;x)-x ) + 2 x( x -L (t;x)) + x
2
]
2
n
n
2
]
( Ln (1;x) - 1)
]
yazabiliriz. Son bulduğumuz ifadenin (1.3.5)’de kullanılmasıyla;
Ln ( f (t ); x) − f ( x) ≤ ε Ln (1;x) +
2M f
δ
2
[( L (t ;x)-x ) + 2 x( x-L (t;x))
2
2
n
n
]
+ x 2 ( Ln (1;x) - 1) + M f (Ln (1;x) - 1)
(1.3.6)
elde edilir. (i), (ii) ve (iii) koşullarının (1.3.6) da kullanılmasıyla;
Ln ( f (t ); x) − f ( x) < ε
bulunur. O halde;
lim maks Ln ( f (t ); x) − f ( x) = 0
n → ∞ a ≤ x ≤b
dır. Bu da ispatı tamamlar.
Görüldüğü gibi (1.2.4)’de verilen Bernstein polinomu lineer pozitif bir operatör olup
Korovkin teoreminin koşullarını gerçekler. Dolayısıyla Korovkin teoremi bu konudaki
çalışmalara büyük katkı sağlamıştır. Çünkü verilen operatörün sadece 1, t ve t 2
ifadelerini sırasıyla 1, x ve x 2 ‘ye düzgün yakınsaması, sonlu aralıkta olan tüm sürekli
fonksiyonların bu operatör yardımıyla yaklaştırılmasını söylememize yeter.
13
2. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde Szasz operatörleri ve bir genelleşmesi tanıtılarak Korovkin Teoremi
yardımıyla yaklaşım özellikleri incelenecektir. Daha sonra Voronowskaja’nın Bernstein
polinomları için verdiği teorem ifade edilerek benzer bir teorem Szasz operatörleri için
ifade ve ispat edilecektir.
2.1.
Szasz Operatörlerinin Düzgün Yakınsaklığı
Tanım 2.1.1. (Szasz Operatörleri) Kabul edelim ki x ∈ [0, A] ve f ∈ C[0, A] olsun.
∞
⎛ k ⎞ (nx)
S n ( f ; x) = e −nx ∑ f ⎜ ⎟
k!
k =0 ⎝ n ⎠
k
(2.1.1)
şeklinde tanımlı olan lineer pozitif operatörlere Szasz operatörleri denir,[10].
Teorem 2.1.1. (2.1.1) ile verilen Szasz operatörleri A ∈ IR + olmak üzere [0,A] kapalı
aralığında sürekli ve tüm pozitif yarı eksende de sınırlı olan f fonksiyonuna bu aralıkta
düzgün yakınsar. Yani f ∈ C[0, A] ise;
S n ( f ; x) →
→ f ( x ) , x ∈ [0, A]
dir.
İspat: İspatı Korovkin teoremini kullanarak yapacağız. Bunun için öncelikle
S n ( f ; x) ’in lineer ve pozitif bir operatör olduğunu gösterelim.
Lineerlik:
∀ a, b∈ IR ve f , g ∈ C[0, A] için,
⎛ ⎛k⎞
⎛ k ⎞ ⎞ (nx)
S n ((af (t ) + bg (t ); x ) = e −nx ∑ ⎜⎜ af ⎜ ⎟ + bg ⎜ ⎟ ⎟⎟
∞
k =0
⎝
⎝n⎠
14
⎝ n ⎠ ⎠ k!
k
∞
∞
⎛ k ⎞ (nx)
⎛ k ⎞ (nx)
+ e −nx ∑ (bg )⎜ ⎟
= e − nx ∑ (af )⎜ ⎟
⎝ n ⎠ k!
⎝ n ⎠ k!
k =0
k =0
k
∞
∞
⎛ k ⎞ (nx)
⎛ k ⎞ (nx )
+ be − nx ∑ g ⎜ ⎟
= ae −nx ∑ f ⎜ ⎟
k!
k!
k =0 ⎝ n ⎠
k =0 ⎝ n ⎠
k
k
k
= aS n ( f (t ); x) + bS n ( g (t ); x)
olduğundan ( S n ) lineer bir operatördür.
Pozitiflik:
k = 0,1,2,..., n∈ IN
ve
x ∈ [0, A] için e −nx
nk k
x ≥0
k!
olduğundan f ≥ 0 ise
S n ( f ; x) ≥ 0
dır.
Korovkin teoremi gereğince;
i) S n (1; x) →
→1
ii) S n (t ; x) →
→x
2
iii) S n (t 2 ; x) →
→x
olduğunu gösterirsek S n ( f ; x) →
→ f ( x ) olduğu ispatlanmış olur. Şimdi bunları gösterelim.
∞
(i) S n (1; x) = e − nx ∑1
k =0
(nx) k
= e − nx e nx
k!
Yani,
S n (1; x) = 1
(2.1.2)
15
∞
k (nx) k
k!
k =0 n
(ii) S n (t ; x) = e −nx ∑
∞
k nk xk
k!
k =0 n
= e − nx ∑
∞
k nk xk
k!
k =1 n
= e − nx ∑
=e
− nx
= xe
n k −1 x k −1 x
, (k → k + 1)
∑
k =1 ( k − 1)!
∞
− nx
∞
nk xk
∑
k!
k =0
= xe − nx e nx
=x
Yani;
S n (t ; x) = x
(2.1.3)
(iii) S n (t ; x) = e
2
− nx
∞
k 2 (nx) k
∑
2
k!
k =0 n
∞
k 2 nk xk
2
k!
k =0 n
= e − nx ∑
=e
− nx
∞
k 2 nk xk
∑
2
k!
k =1 n
k n k −1 x k −1 x
k =1 n ( k − 1)!
∞
= e − nx ∑
k −1 k −1
∞
⎛ k −1 1 ⎞ n x x
= e − nx ∑ ⎜
+ ⎟
n ⎠ (k − 1)!
k =1 ⎝ n
16
⎛ ∞ k − 1 n k −1 x k −1 x ∞ 1 n k −1 x k −1 x ⎞
⎟⎟
+∑
= e − nx ⎜⎜ ∑
k =1 n ( k − 1)! ⎠
⎝ k =1 n (k − 1)!
⎛ ∞ k − 1 n k −1 x k −1 x ∞ 1 n k −1 x k −1 x ⎞
⎟⎟
= e − nx ⎜⎜ ∑
−∑
−
−
n
(
k
1
)!
n
(
k
1
)!
k
k
=
=
2
1
⎝
⎠
=e
−nx
⎛ ∞ k −2 k −2 2 ∞
⎞
⎜ n x x
1 n k −1 x k −1 x ⎟
−∑
⎜∑
⎟
−
n
(
k
1
)!
⎜ k =2 (k − 2)!
⎟
k =1
k →k + 2
k →k +1
⎝
⎠
⎛ ∞ nk xk x ∞ nk xk
= e − nx ⎜⎜ x 2 ∑
+ ∑
n k = 0 k!
⎝ k = 0 k!
= x 2 e − nx e nx +
= x2 +
x −nx nx
e e
n
x
n
Yani; S n (t 2 ; x) = x 2 +
olup,
⎞
⎟⎟
⎠
x
n
(2.1.4)
S n (t 2 ; x) = x 2 , (n → ∞)
elde ederiz. Dolayısıyla (i), (ii) ve (iii) şartları sağlandığından Korovkin teoremi
gereğince ∀ f ∈C[0, A] için [0,A] aralığında:
S n ( f ; x) →
→ f ( x ), ( n → ∞ )
bulunur.
Şimdi O. Doğru tarafından tanımlanan genelleştirilmiş Szasz operatörlerini hatırlatalım,
(Doğru 2002).
Tanım 2.1.2. h(n) > 0 olsun. lim h(n) = ∞ ve f ∈ C[0, A] için
n →∞
∞
⎛ k ⎞ ( h( n) x ) k
*
⎟⎟
S n ( f ; x) = e − h ( n ) x ∑ f ⎜⎜
k!
k =0
⎝ h( n) ⎠
(2.1.5)
şeklinde tanımlanan lineer pozitif operatörlere Genelleştirilmiş Szasz operatörleri denir.
17
Bu operatörlerde h(n)=n alınmasıyla Szasz operatörleri elde edilir. Genelleştirilmiş
Szasz operatörleri için:
S n* (1; x) = 1
S n* (t ; x) = x
S n* (t 2 ; x) = x 2 +
x
h( n)
olduğu benzer şekilde gösterilebilir. Dolayısıyla [0,A]’da Korovkin teoremi vasıtasıyla
aşağıdaki sonucu verebiliriz.
Sonuç 2.1.1. (2.1.5) ile tanımlı genelleştirilmiş Szasz operatörleri için
lim S n* ( f ; x) − f ( x)
n→∞
C [ 0, A]
=0
dır.
2.2. Voronowskaja Teoremi
E. Voronowskaja 1932 yılında, S.N. Bernstein tarafından (1.2.4) şeklinde tanımlanan
Bernstein polinomları için aşağıdaki teoremi ispatlamıştır, (Lorentz 1953).
Teorem 2.2.1. f fonksiyonu [0,1] aralığında sürekli ve (0,1) aralığında ikinci türeve
sahipse o takdirde;
lim n[ Bn ( f;x) − f ( x)] =
n →∞
(
)
1
x − x 2 f '' ( x)
2
(2.2.1)
eşitliği sağlanır.
Şimdi bu teoremin bir benzerini Szasz operatörleri için ifade ve ispat edelim. Daha önce
Birinci bölümde (1.2.8) ile tanımladığımız merkezi momentlerin Szasz operatörleri için
ifadelerini hesaplayalım.
18
Teorem 2.2.2. (1.2.8) ile tanımladığımız merkezi momentlerin ilk beşinin Szasz
operatörleri için eşitleri;
ϕ n, 0 ( x) = 1
ϕ n ,1 ( x) = 0
(2.2.2)
ϕ n , 2 ( x) =
x
n
(2.2.3)
ϕ n ,3 ( x) =
x
n2
(2.2.4)
ϕ n, 4 ( x) =
x 3x 2
+
n3 n2
(2.2.5)
şeklindedir.
İspat: Önce merkezi momentlerin ispatında kullanılacak: S n (1; x) , S n (t ; x) , S n (t 2 ; x) ,
S n (t 3 ; x) ve S n (t 4 ; x) ifadelerini hesaplayalım.
(2.1.2) den;
S n (1; x) =1
(2.1.3) den;
S n (t ; x) =x
(2.1.4) den;
S n (t 2 ; x) = x 2 +
x
n
yazabiliriz.
Benzer şekilde:
∞
k 3 (nx) k
3
k!
k =0 n
S n (t 3 ; x) = e −nx ∑
=e
− nx
∞
k 3 (nx) k
∑
3
k!
k =1 n
k 2 n k −1 x k −1
, ( k → k + 1)
2
(k − 1)!
k =1 n
∞
= xe −nx ∑
19
2
k
∞
⎛ k + 1 ⎞ (nx)
= xe −nx ∑ ⎜
⎟
k!
k =0 ⎝ n ⎠
2
k
∞
∞
⎛
2
k (nx) k 1 −nx ∞ (nx) k
⎛ k ⎞ (nx)
= x⎜ e −nx ∑ ⎜ ⎟
+ e −nx ∑
+ 2e ∑
⎜
n
k
!
n
n
k
!
n
k!
⎝
⎠
k
k
k =0
=
0
=
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
2
1
⎛
⎞
= x⎜ S n (t 2 ; x ) + S n (t ; x ) + 2 S n (1; x )⎟
n
n
⎝
⎠
bulunur. (2.1.4), (2.1.3) ve (2.1.2) den;
x 2
1 ⎞
⎛
S n (t 3 ; x) = x⎜ x 2 + + x + 2 ⎟
n n
n ⎠
⎝
olur. O halde;
S n (t 3 ; x) = x 3 +
3x 2 x
+ 2
n
n
(2.2.6)
yazabiliriz.
S n (t ; x) = e
4
=e
− nx
− nx
k 4 (nx) k
∑
4
k!
k =0 n
∞
k 4 (nx) k
∑
4
k!
k =1 n
∞
k 3 n k −1 x k −1
, ( k → k + 1)
3
(k − 1)!
k =1 n
∞
= xe − nx ∑
= xe
− nx
3
k
⎛ k + 1 ⎞ (nx)
⎜
⎟
∑
k!
k =0 ⎝ n ⎠
∞
3
2
k
k
∞
∞
∞
⎛
3
3
k (nx) k 1 −nx ∞ (nx) k
⎛ k ⎞ (nx)
⎛ k ⎞ (nx)
= x⎜ e −nx ∑ ⎜ ⎟
+ e −nx ∑ ⎜ ⎟
+ 2 e −nx ∑
+ 3e ∑
⎜
n
k
!
n
n
k
!
n
n
k
!
n
k!
⎠
⎝
⎠
⎝
k
0
k
0
k
0
k =0
=
=
=
⎝
3
3
1
⎛
⎞
= x⎜ S n (t 3 ; x ) + S n (t 2 ; x ) + 2 S n (t ; x ) + 3 S n (1; x )⎟
n
n
n
⎝
⎠
bulunur. (2.2.6), (2.1.4), (2.1.3) ve (2.1.2) den;
⎛
3x 2 x 3 ⎛ 2 x ⎞ 3
1⎞
S n (t 4 ; x) = x⎜⎜ x 3 +
+ 2 + ⎜ x + ⎟ + 2 x + 3 ⎟⎟
n
n⎝
n⎠ n
n
n ⎠
⎝
20
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛
3x 2 x 3x 2 3x 3x 1 ⎞
= x⎜⎜ x 3 +
+ 2+
+ 2 + 2 + 3 ⎟⎟
n
n
n
n
n
n ⎠
⎝
⎛
6x 2 7x 1 ⎞
= x⎜⎜ x 3 +
+ 2 + 3 ⎟⎟
n
n
n ⎠
⎝
olur. O halde;
6x3 7 x 2 x
S n (t ; x) = x +
+ 2 + 3
n
n
n
4
4
(2.2.7)
bulunur. Dolayısıyla;
Szasz Operatörlerinin Merkezi Momentleri:
0
⎞
⎛⎛ k
⎞
S n ⎜ ⎜ − x ⎟ ; x ⎟ = S n (1; x)
⎜⎝ n
⎠ ⎟⎠
⎝
olduğundan (2.1.2) den;
ϕ n , 0 ( x) = 1
dir.
1
k
∞
⎛⎛ k
⎛k
⎞ (nx)
⎞ ⎞⎟
⎜
S n ⎜ − x ⎟ ; x = e −nx ∑ ⎜ − x ⎟
⎜⎝ n
⎠ k!
⎠ ⎟⎠
k =0 ⎝ n
⎝
∞
∞
k (nx) k
(nx) k
− e −nx ∑ x
k!
k!
k =0 n
k =0
= e − nx ∑
∞
∞
k (nx) k
(nx) k
− xe −nx ∑
k!
k!
k =0 n
k =0
= e −nx ∑
= S n (t ; x) − xS n (1; x)
yazılabilir, (2.1.2) ve (2.1.3)’ten;
1
⎛⎛ k
⎞ ⎞⎟
⎜
Sn ⎜ − x ⎟ ; x = x - x
⎜⎝ n
⎠ ⎟⎠
⎝
olduğundan;
21
ϕ n ,1 ( x) = 0
dır.
2
2
k
∞
⎛⎛ k
⎞ (nx)
⎛k
⎞ ⎞⎟
− nx
⎜
Sn ⎜ − x ⎟ ; x = e ∑ ⎜ − x ⎟
⎜⎝ n
⎠ k!
⎠ ⎟⎠
k =0 ⎝ n
⎝
=e
− nx
∞
2
k
∞
∞
(nx) k
k (nx) k
⎛ k ⎞ (nx)
2 − nx
− nx
−
+
2
x
e
xe
⎟
⎜
∑
∑
∑
k!
k!
k!
k =0 ⎝ n ⎠
k =0 n
k =0
= S n (t 2 ; x) − 2 x x + x 2 S n (1; x)
olup, (2.1.2), (2.1.3) ve (2.1.4)’ten;
2
⎛⎛ k
⎞ ⎞⎟ 2 x
⎜
Sn ⎜ − x ⎟ ; x = x + − 2x2 + x2
⎜⎝ n
n
⎠ ⎟⎠
⎝
olduğundan;
ϕ n, 2 ( x) =
x
n
dir.
3
3
∞
⎛⎛ k
⎞
(nx) k
k
⎞
⎛
⎞
nx
−
Sn ⎜ ⎜ − x ⎟ ; x ⎟ = e ∑ ⎜ − x ⎟
⎜⎝ n
⎠ ⎟⎠
⎠ k!
k =0 ⎝ n
⎝
=e
− nx
∞
3
2
k
k
∞
∞
∞
(nx) k
k (nx) k
⎛ k ⎞ (nx)
⎛ k ⎞ (nx)
2 − nx
3 − nx
− nx
+
−
3
x
e
3
x
e
−
xe
⎟
⎜
⎟
⎜
∑
∑
∑
∑
k!
k!
k!
k!
k =0 ⎝ n ⎠
k =0 ⎝ n ⎠
k =0 n
k =0
( )
( )
= S n t 3 ; x − 3xS n t 2 ; x + 3x 2 S n (t ; x ) − x 3 S n (1; x )
yazılabilir, (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) ve (2.2.6)’dan;
3
⎛⎛ k
x⎞
3x 2 x
⎛
⎞ ⎞⎟
⎜
+ 2 − 3 x⎜ x 2 + ⎟ + 3 x 2 x − x 3
Sn ⎜ − x ⎟ ; x = x3 +
⎜⎝ n
n⎠
n
n
⎠ ⎟⎠
⎝
⎝
22
= x3 +
3x 2
3x 2 x
+ 2 − 3x 3 −
+ 3x 3 − x 3
n
n
n
olduğundan;
ϕ n ,3 ( x) =
x
n2
dir.
4
4
k
∞
⎛⎛ k
⎞ (nx)
⎛k
⎞ ⎞⎟
− nx
⎜
Sn ⎜ − x ⎟ ; x = e ∑ ⎜ − x ⎟
⎜⎝ n
⎠ ⎟⎠
⎠ k!
k =0 ⎝ n
⎝
=e
− nx
4
∞
3
2
k
k
k
∞
∞
⎛ k ⎞ (nx)
⎛ k ⎞ (nx)
⎛ k ⎞ (nx)
2 − nx
− nx
+ 6x e ∑⎜ ⎟
− 4 xe ∑ ⎜ ⎟
⎜ ⎟
∑
k!
k!
k!
k =0 ⎝ n ⎠
k =0 ⎝ n ⎠
k =0 ⎝ n ⎠
∞
∞
k (nx) k
(nx) k
+ x 4 e −nx ∑
k =0 n k!
k =0 k!
− 4 x 3 e −nx ∑
( )
( )
(
)
= S n t 4 ; x − 4 xS n t 3 ; x + 6 x 2 S n t 2 ; x − 4 x 3 S n (t ; x ) + x 4 S n (1; x )
yazılabilir. (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4), (2.2.6) ve (2.2.7)’den;
4
⎛⎛ k
⎛
6x3 7x 2 x
3x 2 x ⎞
x⎞
⎛
⎞ ⎞
+ 2 + 3 − 4 x⎜⎜ x 3 +
Sn ⎜ ⎜ − x ⎟ ; x ⎟ = x 4 +
+ 2 ⎟⎟ + 6 x 2 ⎜ x 2 + ⎟ − 4 x 3 x + x 4
⎜⎝ n
n
n ⎠
n
n
n
n⎠
⎠ ⎟⎠
⎝
⎝
⎝
= x4 +
6x3 7x 2 x
12 x 3 4 x 2
6x3
+ 2 + 3 − 4x 4 −
− 2 + 6x4 +
− 4x4 + x4
n
n
n
n
n
n
olduğundan;
ϕ n , 4 ( x) =
x 3x 2
+
n3 n 2
dir. Böylece ispat tamamlanır.
Teorem 2.2.3. f fonksiyonu [0,A] aralığında sınırlı ve (0,A) aralığının bir x noktasında
ikinci türevi mevcutsa o takdirde;
lim n[ S n ( f;x) − f ( x)] =
n →∞
1
x f '' ( x)
2
(2.2.8)
eşitliği sağlanır.
23
İspat: Bir f fonksiyonunun x noktasındaki Taylor açılımı:
f (t ) = f ( x) +
1
1
f ' ( x)(t − x) + f ' ' ( x)(t − x) 2 + Rn (t − x)
2!
1!
(2.2.9)
dir. Burada:
Rn (t − x) =
1
1
f ′′′( x)(t − x) 3 + f ( 4) ( x)(t − x) 4 + ...
4!
3!
olup buna Kalan Terim denir. (2.2.9) da; t =
ν
n
seçimiyle:
ν
ν
ν
ν
1
1
f ( ) = f ( x) + f ' ( x)( − x) + f ' ' ( x)( − x) 2 + Rn ( − x)
n
n
2!
n
n
1!
(2.2.10)
elde edilir. Ayrıca;
Rn (
ν
n
− x) = (
ν
n
− x) 2 η (
ν
n
− x)
yazılabilir. Burada Rn kalan terim ve n → ∞ için limiti 0’dır. Dolayısıyla sınırlıdır. O
halde, her h sayısı için bir H>0 vardır ki;
η ( h) ≤ H
(2.2.11)
yazılabilir.
Bu durumda (2.2.10) eşitliği:
ν
ν
ν
ν
ν
1
f ( ) = f ( x) + f ' ( x)( − x) + f ' ' ( x)( − x) 2 + ( − x) 2 η ( − x)
n
n
2
n
n
n
şeklinde yazılabilir. Her iki tarafı e − nx
∞
S n ( f ; x) = e − nx ∑ f (x )
k =0
+
(nx) k
ile çarpıp toplamını alırsak:
k!
∞
(nx) k
(nx) k
ν
+ e − nx ∑ f ′ ( x )( − x)
k!
k!
n
k =0
∞
(nx) k
(nx) k
ν
ν
ν
1 − nx ∞
+ e − nx ∑ η ( − x)( − x) 2
e ∑ f ′′ ( x )( − x) 2
k!
k!
n
n
2
n
k =0
k =0
∞
ν
(nx) k
(nx) k
+ f ′ ( x )e −nx ∑ ( − x)
k!
k!
k =0
k =0 n
∞
S n ( f ; x ) = f (x )e − nx ∑
+
∞
∞
(nx) k
(nx) k
ν
ν
ν
1
+ e − nx ∑ η ( − x)( − x) 2
f ′′ ( x ) e − nx ∑ ( − x) 2
k!
k!
n
n
2
k =0 n
k =0
k
∞
ν
ν
1
− nx
2 ( nx )
= f (x )S n (1; x) + f ′ ( x )ϕ n ,1 ( x) + f ′′ ( x )ϕ n , 2 ( x) + e ∑η ( − x)( − x)
k!
2
n
n
k =0
elde ederiz. (2.1.2), (2.2.2) ve (2.2.3) ün kullanılmasıyla;
24
∞
ν
ν
(nx) k
1x
f ′′ ( x ) + e −nx ∑η ( − x)( − x) 2
k!
2n
n
n
k =0
S n ( f ; x ) = f (x )+
(2.2.12)
elde edilir. Bu eşitliğin sağ tarafındaki ikinci ifadeyi:
− nx
I= e
ν
∞
ν
(nx) k
∑η ( n − x)( n − x) k!
ν =0
2
şeklinde gösterelim. Bu durumda;
I= e − nx
ν
∑
n
olur.
(nx) k
ν
ν
+ e − nx
η ( − x)( − x) 2
n
− x ≤δ
k!
n
ν
n
∑
− x >δ
(nx) k
ν
ν
(2.2.13)
η ( − x)( − x) 2
n
n
k!
ν
⎞
⎛ν
− x ≤ δ iken η ⎜ − x ⎟ ≤ ε dur . Bu ifade ve (2.2.11) ifadesi (2.2.13) de
n
⎠
⎝n
kullanılırsa:
∞
ν
I ≤ ε e −nx ∑ ( − x) 2
ν =0 n
ν
(nx) k
(nx) k
+ H e −nx ∑ ( − x) 2
k!
k!
n
ν
n
≤ ε ϕ n , 2 ( x) + H e
− nx
ν
n
∑
− x >δ
ν
− x >δ
(nx) k
( − x)
n
k!
2
olur. (2.2.3)’ün kullanılmasıyla:
x
(nx) k
ν
+ H e −nx ∑ ( − x) 2
n
n
k!
ν
I≤ε
n
(2.2.14)
− x >δ
bulunur. Şimdi;
J=
ν
n
∑
− x >δ
ν
( − x) 2
n
(nx) k
k!
diyelim.
2
⎛ν
⎞
⎜ − x⎟
ν
n
⎠ > 1 dir. O halde:
− x > δ ise ⎝
2
n
δ
2
J≤
ν
n
∑
− x >δ
⎞
⎛ν
⎜ − x⎟
k
⎠ (ν − x) 2 (nx)
⎝n
δ2
n
k!
yazabiliriz. Yani;
25
J≤
1
δ2
ν
n
∑
− x >δ
ν
( − x) 4
n
(nx) k
k!
dir. Bulduğumuz bu ifadeyi {ν = 0 dan ∞ ’a} genişletip (2.2.14) de kullanırsak;
k
x H −nx ∞ ν
4 ( nx )
I ≤ ε + 2 e ∑ ( − x)
n δ
k!
ν =0 n
≤ε
x H
+ ϕ n , 4 ( x)
n δ2
elde edilir. (2.2.5)’in kullanılmasıyla;
I≤ ε
x H ⎛ x 3x 2 ⎞
⎜
+
+ 2 ⎟⎟
n δ 2 ⎜⎝ n 3
n ⎠
=ε
x 1 H ⎛x
⎞
+ 2 2 ⎜ + 3x 2 ⎟
n n δ ⎝n
⎠
bulunur. x ∈ [0, A] olduğundan bu aralıktaki maksimum değeri A dır. O halde:
I≤ ε
A 1
+
n n2
⎡H ⎛A
2 ⎞⎤
⎢ δ 2 ⎜ n + 3 A ⎟⎥
⎠⎦
⎣ ⎝
≤ε
A 1
+
n n2
⎡H
2 ⎤
⎢⎣ δ 2 (A + 3 A )⎥⎦
=
1⎧
1 ⎫
⎨εA + B ⎬
n⎩
n ⎭
≤
C ⎧ 1⎫
⎨ε + ⎬
n ⎩ n⎭
şeklinde yazılabilir. Burada B =
H
δ
2
(A + 3A ) ve C= maks{A,B} dir.
2
1
n
ε n = maks {ε , } seçimiyle;
I=
1
O(ε n )
n
elde edilir. Bu ifadenin (2.2.12) de yerine yazılmasıyla:
S n ( f ; x) = f (x )+
1x
1
f ′′ ( x ) + O(ε n )
n
2n
S n ( f ; x) − f (x ) =
1x
1
f ′′ ( x ) + O(ε n )
2n
n
26
n[S n ( f ; x) − f ( x )] =
x
f ′′ ( x ) + O(ε n )
2
bulunur ki, (n → ∞) için ε n → 0 olduğundan, limit alınmasıyla (2.2.8) elde edilmiş
olur, bu da ispatı tamamlar.
27
3. SZASZ OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM HIZI
Yaklaşma hızı yaklaşımlar teorisinin önemli bir problemidir. Eğer; { f n (x)} herhangi bir
fonksiyon dizisi ve lim f n ( x) = 0 ise, bu durumda
n→∞
{ f n (x)} lere
sonsuz küçülen bir
fonksiyon dizisi denir.
Ln ( f ; x) keyfi bir lineer pozitif operatör dizisi olmak üzere
Ln ( f ; x) − f ( x)
olmasının Ln ( f ; x) in
C [ a ,b ]
→ 0 , (n → ∞)
f (x) ’e düzgün yaklaştığını, gösterdiğini birinci bölümde
belirtmiştik.
Yaklaşma hızı ise:
α n → 0 , (n → ∞) olmak üzere;
Ln ( f ; x) − f ( x) < cα n
olacak şekilde α n ‘lerin belirlenmesi ile hesaplanır.
Burada, α n ler Ln operatörü ve f fonksiyonuna bağlı olarak değişirler. Yaklaşımlar
teorisinde yaklaşma hızı problemi olarak adlandırılan bu hesaplamayı yapmak için bir
çok araç kullanılır. Biz bu hızı süreklilik modülü, Peetre K fonksiyoneli ve f nin
Lipschitz sınıfından olması durumda hesaplayacağız. Bu nedenle önce süreklilik
modülünün tanımını ve bazı özelliklerini ispatları ile birlikte verelim.
3.1. Süreklilik Modülü
f ∈ C[a, b] olsun. ∀δ > 0 için
ω ( f ; δ ) = sup f (t ) − f ( x)
x,t∈[a ,b ]
(3.1.1)
t − x ≤δ
ile tanımlanan ω ( f ; δ ) ifadesine f fonksiyonunun “Süreklilik Modülü” denir.
28
3.1.1. Süreklilik modülünün özellikleri
i.
ω ( f ;δ ) ≥ 0
ii.
δ 1 ≤ δ 2 ise ω ( f ; δ 1 ) ≤ ω ( f ; δ 2 )
iii.
m ∈ IN için ω ( f ; mδ ) ≤ mω ( f ; δ )
iv.
λ ∈ IR + için ω ( f ; λδ ) ≤ (λ + 1)ω ( f ; δ )
v.
lim ω ( f ; δ ) = 0
δ →0
vi.
f (t ) − f ( x) ≤ ω ( f ; t − x )
vii.
⎛ t−x
⎞
+ 1⎟⎟ω ( f ; δ )
f (t ) − f ( x) ≤ ⎜⎜
⎝ δ
⎠
İspatlar:
i.
Süreklilik modülü, tanımı gereğince bir mutlak değerin supremumu olduğundan
ispat açıktır.
ii.
δ 1 ≤ δ 2 için t − x ≤ δ 2 bölgesinin t − x ≤ δ 1 bölgesinden daha büyük olduğu
açıktır.Bölge büyüdükçe alınan supremum büyüyeceğinden ispat tamamlanır.
iii.
Süreklilik modülünün tanımından dolayı;
ω ( f ; mδ ) = sup f (t ) − f ( x)
x , t ∈[a , b ]
t − x ≤ mδ
yazabiliriz.
t − x ≤ mδ ⇒ x − mδ ≤ t ≤ x + mδ
olup , t = x + mh seçimiyle h ≤ δ
ve
ω ( f ; mδ ) = sup f ( x + mh) − f ( x)
x∈[a , b ]
h ≤δ
şeklinde yazılabilir. Diğer yandan,
m −1
sup f ( x + mh) − f ( x) = sup ∑ [ f ( x + (k + 1)h) − f ( x + kh)]
x∈[a ,b ] k = 0
x∈[a ,b ]
h ≤δ
h ≤δ
29
olup, sağ tarafa üçgen eşitsizliği uygularsak ;
m −1
sup f ( x + mh) − f ( x) ≤ ∑ sup f ( x + (k + 1)h) − f ( x + kh)
x∈[a , b ]
k = 0 x∈[a , b ]
h ≤δ
h ≤δ
≤ ω ( f ; δ ) + ... + ω ( f ; δ )
≤ mω ( f ; δ )
elde ederiz.
iv.
λ ∈ IR + sayısının tam kısmını [ λ ] ile gösterirsek bu durumda
[ λ ]< λ < [ λ ]+ 1
eşitsizliklerinin geçerli olduğu açıktır. Şimdi bu eşitsizliklerden ve (ii) özelliğinde ispat
ettiğimiz ω ( f ; δ ) nın azalmayan fonksiyon olmasını kullanarak,
ω ( f ; λδ ) ≤ ω ( f ; ([ λ ] + 1)δ )
eşitsizliği yazılabilir. [ λ ] pozitif bir tamsayı olduğundan üstteki eşitsizliğin sağ tarafına
(iii) özelliğini uygulayabiliriz. Bu durumda
ω ( f ; ([ λ ] + 1)δ ) ≤ ([ λ ] + 1)ω ( f ; δ )
eşitsizliğini elde ederiz. Ayrıca her λ ∈ IR + için
[ λ ]+ 1 < λ + 1
olduğunu hesaba katarsak;
ω ( f ; ([ λ ] + 1)δ ) ≤ (λ + 1)ω ( f ; δ )
eşitsizliği geçerli olur. Sonuç olarak;
ω ( f ; λδ ) ≤ (λ + 1)ω ( f ; δ )
yazılır ki, bu da ispatı tamamlar.
v.
t − x ≤ δ eşitsizliğindeki δ ’nın sıfıra yaklaşması t → x olması anlamına gelir. f
fonksiyonu sürekli olduğundan süreklilik tanımına göre t → x için f (t ) − f ( x) → 0
olduğundan ispatı açıktır.
30
vi.
ω ( f ; δ ) ifadesinde δ = t − x seçersek,
ω ( f ; t − x ) = sup f ( t ) − f ( x)
x∈[ a ,b ]
f (t ) − f ( x) lerin supremumu ω ( f ; t − x ) olacağından ispat
elde edilir. O halde
aşikardır.
vii.
(vi) den
⎛ t−x ⎞
δ ⎟⎟
f (t ) − f ( x) ≤ ω ⎜⎜ f ;
δ
⎝
⎠
yazabiliriz. Bu eşitsizlikte (iv) özelliği kullanılırsak:
⎛t−x
⎞
+ 1⎟⎟ω ( f ; δ )
f (t ) − f ( x) ≤ ⎜⎜
⎝ δ
⎠
bulunur ki bu da ispatı tamamlar.
3.2. Szasz Operatörlerinin Süreklilik Modülü ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda (2.1.1) de verilen Szasz operatörlerinin ve genelleşmesinin yaklaşma hızını
(3.1.1) de tanımlanan Süreklilik Modülü yardımıyla hesaplayacağız.
Teorem 3.2.1.
Eğer f ∈ C[0, A] ise Szasz operatörlerinin süreklilik modülüyle
yaklaşma hızı:
S n ( f ; x) − f ( x) C[0, A] ≤ (1 + A )ω ( f ;
1
)
n
olarak hesaplanır.
İspat: İspatı Popoviciu’nun tekniği ile yapacağız, (Popoviciu 1935).
S n ( f ; x) = e
− nx
∞
∑
k =0
⎛ k ⎞ (nx)
f⎜ ⎟
⎝ n ⎠ k!
k
olduğundan;
∞
(nx) k
k!
k =0
S n (1; x) = e − nx ∑
31
dir. Dolayısıyla lineerlikten;
∞
∞
(nx)
⎛ k ⎞ (nx)
S n ( f ; x) − f ( x) = e −nx ∑ f ⎜ ⎟
− f ( x)e − nx ∑
k!
k!
k =0 ⎝ n ⎠
k =0
k
=e
− nx
k
⎞ (nx) k
⎛ ⎛k⎞
⎜⎜ f ⎜ ⎟ − f ( x) ⎟⎟
∑
k =0 ⎝ ⎝ n ⎠
⎠ k!
∞
elde edilir.
(nx) k
≥0
k!
e − nx ≥ 0 ve
olduğunu ve üçgen eşitsizliğini kullanırsak;
∞
(nx) k
⎛k⎞
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ e − nx ∑ f ⎜ ⎟ − f ( x)
k!
⎝n⎠
k =0
elde edilir. Süreklilik modülünün (vii) özelliğinde t =
⎡
⎢
⎛k⎞
f ⎜ ⎟ − f ( x) ≤ ⎢
⎢
⎝n⎠
⎢
⎣
k
−x
n
δ
(3.2.1)
k
seçimiyle;
n
⎤
⎥
+1⎥ω ( f ;δ )
⎥
⎥
⎦
yazılabilir. Bunu (3.2.1) de
yerine yazarsak ve lineer pozitif operatörlerinin
monotonluğunu kullanılırsak;
⎡k
⎤
⎢ n−x
⎥
(nx) k
+ 1⎥ω ( f ; δ )
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ e − nx ∑ ⎢
δ
k!
⎥
k =0 ⎢
⎢
⎥
⎣
⎦
∞
∞
= e − nx ∑
k =0
k
−x
n
δ
ω ( f ;δ )
∞
(nx) k
(nx) k
+ e − nx ∑ ω ( f ; δ )
k!
k!
k =0
bulunur. Yani,
∞
∞
⎧1
k
(nx) k
(nx) k ⎫
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ ω ( f ;δ )⎨ e −nx ∑ − x
+ e −nx ∑
⎬
k!
k! ⎭
k =0 n
k =0
⎩δ
⎧ 1 − nx ∞ k
⎫
(nx) k
= ω ( f ;δ )⎨ e ∑ − x
+ S n (1; x)⎬
k!
k =0 n
⎩δ
⎭
32
(3.2.2)
elde
edilir.
(2.1.2)’nin
(3.2.2)
de
∞
⎧1
k
(nx) k ⎫
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ ω ( f ;δ )⎨ e − nx ∑ − x
+ 1⎬
k!
k =0 n
⎩δ
⎭
bulunur. Bu ifadede:
T =e
− nx
∞
∑
k =0
k
(nx) k
−x
denilirse;
n
k!
1
1
1
2 2
⎞ ⎛ (nx) k − nx ⎞ 2 ⎛ (nx) k − nx ⎞ 2
⎛k
⎜
T= ∑
e ⎟⎟
e ⎟⎟ ⎜⎜
− x ⎟ ⎜⎜
⎟ ⎝ k!
⎜
!
k
k =0 ⎝ n
⎠
⎠ ⎝
⎠
∞
1
1
2
⎛k
(nx) k − nx ⎞⎟ 2 ⎛ (nx) k − nx ⎞ 2
⎜
⎜
e ⎟⎟
e
=∑
−x
⎟ ⎜⎝ k!
⎜
k!
k =0 ⎝ n
⎠
⎠
∞
yazabiliriz. Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin uygulanmasıyla;
1
1
2
⎛ ∞ k
(nx) k − nx ⎞⎟ 2 ⎛ ∞ (nx) k − nx ⎞ 2
⎜
⎜
T≤ ∑ − x
e
e ⎟⎟
⎜ k =0 n
⎟ ⎜⎝ ∑
k!
⎠
⎝
⎠ k = 0 k!
1
2
1
⎛ ∞ k
(nx) k − nx ⎞⎟ 2
⎜
(
e
S n (1; x) ) 2
= ∑ −x
⎜ k =0 n
⎟
k!
⎝
⎠
olup (2.1.2) den;
1
2
⎛ ∞ k
(nx) k − nx ⎞⎟ 2
⎜
T≤ ∑ − x
e
⎜ k =0 n
⎟
k!
⎝
⎠
bulunur. Bunu (3.2.3) de yerine yazarsak ;
1
⎧
⎫
2
2
k
⎪ 1 ⎛⎜ ∞ k
(nx) − nx ⎞⎟ ⎪
+1
S n ( f ; x) − f ( x ) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨
e
∑ −x
⎟ ⎬
⎜
k!
⎪δ ⎝ k =0 n
⎠ ⎪
⎩
⎭
olur. Diğer yandan:
2
⎛k2
⎞
k
k
− x = ⎜⎜ 2 − 2 x + x 2 ⎟⎟
n
n
⎝n
⎠
olduğundan;
33
kullanılmasıyla:
(3.2.3)
⎧
k
2
k
⎪ 1 ⎛⎜ − nx ∞ ⎛ k
2 ⎞ ( nx )
⎜
⎟
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ ω ( f ; δ ) ⎨ ⎜ e ∑ ⎜ 2 − 2 x + x ⎟
n
k =0 ⎝ n
⎠ k!
⎪δ ⎝
⎩
1
⎫
⎞2
⎟ + 1⎪⎬
⎟
⎠
⎪
⎭
⎧
∞
∞
∞
k 2 (nx) k
k (nx) k
(nx) k
⎪1 ⎛
= ω ( f ; δ )⎨ ⎜⎜ e − nx ∑ 2
− 2 xe − nx ∑
+ x 2 e − nx ∑
k!
k!
k!
k =0 n
k =0 n
k =0
⎪δ ⎝
⎩
[
⎧1
= ω ( f ; δ )⎨ S n (t 2 ; x) − 2 xS n (t ; x) + x 2 S n (1; x)
⎩δ
]
1
2
1
⎫
⎞2 ⎪
⎟⎟ + 1⎬
⎠
⎪
⎭
⎫
+ 1⎬
⎭
yazabiliriz. Bu eşitlikte daha önce hesapladığımız (2.1.2), (2.1.3) ve (2.1.4)’ün
kullanılmasıyla;
1
⎧
⎫
1
x
⎪ ⎛
⎞2 ⎪
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ ω ( f ;δ )⎨ ⎜ x 2 + − 2 x.x + x 2 .1⎟ + 1⎬
n
⎠
⎪⎩ δ ⎝
⎪⎭
1
⎧
⎫
⎪1 ⎛ x ⎞2 ⎪
= ω ( f ; δ )⎨ ⎜ ⎟ + 1⎬
⎪⎩δ ⎝ n ⎠
⎪⎭
bulunur. x ∈ [0, A] olduğundan;
⎧ 12 ⎫
maks ⎨ x ⎬ = A
⎩ ⎭
dır. O halde:
⎡1 A ⎤
+ 1⎥
S n ( f ; x) − f ( x) C[0, A] ≤ ω ( f ; δ ) ⎢ .
⎣δ n
⎦
elde edilir. δ =
1
seçimiyle:
n
(
)
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ 1 + A ω ( f ;
1
)
n
bulunur.
(2.1.5)’te tanımlanan genelleştirilmiş Szasz operatörleri için benzer yol takip edilerek
aşağıdaki sonucu verebiliriz.
34
*
Sonuç 3.2.1. S n ( f ; x) için f ∈ C[0, A] olmak üzere;
(
)
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ 1 + A ω ( f ;
*
1
h( n )
)
dir.
1
Bu sonuçta görüldüğü gibi yaklaşım
h( n)
hızında olup bu hızı h(n) ‘in seçimiyle
kuvvetlendirebiliriz. Bu da yaklaşım hızını h(n) fonksiyonuna bağlı olarak
artırabileceğimizi gösterir.
3.3. Szasz Operatörlerinin Peetre-K Fonksiyoneli ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda; Szasz operatörlerinin ve genelleşmesinin Peetre-K fonksiyoneli yardımıyla
yaklaşım hızı incelenecektir. Bu nedenle öncelikle Peetre-K fonksiyonelinin tanımını
verelim, (Bleimann 1980, Butzer 1967).
Tanım 3.3.1. (Peetre-K fonksiyoneli) f ∈ C[0, A] ve δ ≥ 0 olmak üzere;
K ( f ;δ ) =
inf
{ f −g
g ∈C 2 [ 0 , A ]
C [ 0, A]
+δ g
C 2 [ 0, A]
}
ifadesine Peetre-K fonksiyoneli denir.
Teorem 3.3.1. Eğer f ∈C[0, A] ise:
S n ( f ; x ) − f ( x)
C 2 [ 0, A]
A⎞
⎛
≤ 2 K⎜ f ; ⎟
⎝ 4n ⎠
A⎞
⎛
dir. Burada K ⎜ f ; ⎟ Peetre-K fonksiyonelidir.
⎝ 4n ⎠
Önce bu ispatta kullanacağımız aşağıdaki Lemma’yı verelim.
35
Lemma 3.3.1. (İntegral Bağıntısı) g(x) fonksiyonu [0,A] aralığında ikinci basamaktan
sürekli türevlenebilir bir fonksiyon ise;
t
g (t ) − g ( x) = g ′( x)(t − x) + ∫ g ′′( s )(t − s )ds
(3.3.1)
x
eşitliği sağlanır.
İspat: İspatı kısmi integrasyon kullanarak yapacağız.
t − s = u ise − ds = du
g ′′( s)ds = dv ise g ′( s ) = v
dir. O halde;
t
t
∫ g ′′(s)(t − s)ds = (t − s) g ′(s) x + ∫ g ′(s)ds
t
x
x
= (t − s ) g ′( s ) x + g ( s ) x
t
t
= −(t − x) g ′( x) + g (t ) − g ( x)
yazabiliriz. Bu da ispatı tamamlar.
Şimdi teoremin ispatına geçelim.
İspat: (Teorem 3.3.1) ( S n ) Szasz operatörü (3.3.1) integral eşitliğine uygulanırsa;
S n ( g ; x) − g ( x) ≤ ϕ n ,1 ( x) g ′
C [ 0 , A]
+
1
ϕ n , 2 ( x) g ′′
2
C [ 0, A]
yazılabilir. (2.2.2) ve (2.2.3)’ten:
S n ( g ; x) − g ( x) ≤
1x
g ′′ C [ 0, A]
2n
bulunur.
g
c 2 [ 0, A]
= g
c[ 0 , A ]
+ g′
c[ 0 , A ]
+ g ′′
c[ 0 , A ]
olduğundan,
S n ( g ; x) − g ( x) ≤
1x
g
2n
(3.3.2)
C 2 [ 0, A]
elde edilir.Diğer taraftan;
S n ( f ; x) − f ( x) = S n ( f ; x) − f ( x) + S n ( g ; x) − S n ( g ; x ) + g ( x ) − g ( x )
36
şeklinde yazılabilir.
S n ( f ; x) − f ( x) = (S n ( f ; x) − S n ( g ; x) ) + (− f ( x) + g ( x) ) + (S n ( g ; x) − g ( x) )
diyebiliriz. Üçgen eşitsizliğinin uygulanmasıyla:
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ S n ( f − g ; x) + f ( x) − g ( x) + S n ( g ; x) − g ( x )
dır. ( S n ) lineer operatör olduğundan;
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ f − g
C [ 0, A]
S n (1; x) + f − g
C [ 0, A]
+ S n ( g ; x) − g ( x) (3.3.3)
olur. (3.3.3) de (2.1.2) ve (3.3.2) nin kullanılmasıyla;
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ 2 f − g
C [ 0. A ]
+
x
g
2n
C 2 [ 0, A]
elde edilir. O halde;
S n ( f ; x) − f ( x)
C [ 0, A]
≤2 f − g
C [ 0. A ]
+
A
g
2n
C 2 [ 0, A]
bulunur. Her iki taraftan g ∈ C 2 [0, A] üzerinden infimum alınırsa sol taraf g den
bağımsız olduğundan:
S n ( f ; x) − f ( x)
C 2 [ 0, A]
A⎞
⎛
≤ 2 K⎜ f ; ⎟
⎝ 4n ⎠
bulunur ve ispat tamamlanır.
3.4. Szasz Operatörlerinin Lipschitz Sınıfındaki Fonksiyonlar ile Yaklaşım Hızı
Bu kısımda Lipschitz sınıfındaki fonksiyonlar için Szasz operatörlerinin f(x)
fonksiyonlarına yaklaşma hızını hesaplayacağız. Bu nedenle önce Lipschitz sınıfından
fonksiyonların tanımını verelim.
Tanım 3.4.1. (Lipschitz Sınıfı fonksiyonlar): 0 < α ≤ 1 olmak üzere;
f (t ) − f ( x) ≤ M t − x
α
koşulunu sağlayan fonksiyonlar sınıfına Lipschitz sınıfı fonksiyonlar, M’ye de Lipschitz
sabiti denir ve f ∈ Lip M (α ) ile gösterilir.
37
Teorem 3.4.1. f ∈ Lip M (α ) , 0 < α ≤ 1 olmak üzere;
S n ( f ; x) − f ( x)
C [ 0, A]
α
⎛
⎜⎛ A ⎞ 2
= O⎜ ⎜ ⎟
⎜⎝ n ⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
dir.
İspat: S n (1; x) = e
− nx
∞
(nx )k
k =0
k!
∑
=1
olduğundan;
S n ( f ; x) − f ( x) = e
=e
− nx
− nx
∞
(nx )
⎛ k ⎞ (nx )
− nx
(
)
f
f
x
e
−
⎜
⎟
∑
∑
k!
k = 0 ⎝ n ⎠ k!
k =0
∞
k
⎛ ⎛k⎞
⎞ (nx )
⎜⎜ f ⎜ ⎟ − f ( x) ⎟⎟
∑
k =0 ⎝ ⎝ n ⎠
⎠ k!
∞
dir. e −nx ≥ 0 ve
(nx )k
k!
k
k
≥ 0 olduğu ve üçgen eşitsizliği dikkate alındığında;
∞
(nx )
⎛k⎞
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ e −nx ∑ f ⎜ ⎟ − f ( x)
k!
⎝n⎠
k =0
k
(3.4.1)
olur. Diğer taraftan;
f ∈ Lip M (α ) ⇒ f (t ) − f ( x) ≤ M t − x
dir. t =
α
k
seçimiyle;
n
k
⎛k⎞
f ⎜ ⎟ − f ( x) < M − x
n
⎝n⎠
α
yazabiliriz. Bu eşitsizlik (3.4.1)’de kullanılırsa;
∞
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ M ∑
k =0
elde edilir. p =
seçersek
2
α
ve q =
k
−x
n
α
⎛ − nx (nx )k ⎞
⎜e
⎟
⎜
⎟
k
!
⎝
⎠
2
2 −α
1 1
+ = 1 olur ve (3.4.2) den;
p q
38
1
(3.4.2)
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ M
∞
∑
k =0
k
−x
n
α
⎛ − nx (nx) k
⎜⎜ e
k!
⎝
α
⎞ 2 ⎛ − nx (nx) k
⎟⎟ ⎜⎜ e
k!
⎠ ⎝
α
2
⎛k
(nx) k
= M ∑ ⎜ − x e − nx
⎜
k!
k =0 ⎝ n
⎞ 2 ⎛ − nx (nx) k
⎟ ⎜e
⎟ ⎜⎝
k!
⎠
∞
⎞
⎟⎟
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
2 −α
2
2 −α
2
yazabiliriz. Bu son eşitlikte Cauchy-Schwartz eşitsizliğinin kullanılmasıyla;
α
2
k
⎛ ∞ k
− nx ( nx )
⎜
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ M ∑ − x e
⎜ k =0 n
k!
⎝
⎞ 2 ⎛ ∞ − nx (nx) k
⎟ ⎜∑e
⎟ ⎜⎝ k =0
k!
⎠
⎞
⎟⎟
⎠
2 −α
2
α
2
⎛ ∞ k
(nx) k
≤ M ⎜ ∑ − x e −nx
⎜ k =0 n
k!
⎝
2 −α
⎞2
⎟ (S n (1; x) ) 2
⎟
⎠
olur. (2.1.2)den;
2
⎛ ∞ k
(nx) k
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ M ⎜ ∑ − x e −nx
⎜ k =0 n
k!
⎝
α
⎞2
⎟
⎟
⎠
∞
⎛
⎛ k2
⎞ (nx) k
k
≤ M ⎜⎜ e −nx ∑ ⎜⎜ 2 − 2 x + x 2 ⎟⎟
n
k =0 ⎝ n
⎠ k!
⎝
α
⎞2
⎟
⎟
⎠
∞
∞
∞
⎛
k 2 (nx) k
k (nx) k
(nx) k
= M ⎜⎜ e − nx ∑ 2
− e − nx 2 x∑
+ e − nx x 2 ∑
k!
k!
k!
k =0 n
k =0 n
k =0
⎝
α
= M (S n (t 2 ; x) − 2 xS n (t ; x) + x 2 S n (1; x) ) 2
bulunur.(2.1.2), (2.1.3) ve (2.1.4)’ten
α
x
⎛
⎞2
S n ( f ; x) − f ( x) ≤ M ⎜ x 2 + − 2 x 2 + x 2 ⎟
n
⎝
⎠
α
⎛ x⎞2
=M⎜ ⎟
⎝n⎠
elde edilir. x ∈[0, A] olduğundan maks x = A dır. O halde:
0≤ x ≤ A
α
⎛ A⎞2
S n ( f ; x ) − f ( x ) C [ 0, A] ≤ M ⎜ ⎟
⎝n⎠
olur. Yani;
39
α
⎞2
⎟⎟
⎠
S n ( f ; x) − f ( x)
C [ 0, A]
α
⎛
⎜⎛ A ⎞ 2
= O⎜ ⎜ ⎟
⎜⎝ n ⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
bulunur ve ispat tamamlanır.
40
4. SZASZ OPERATÖRLERİNİN TÜREV ÖZELLİKLERİ
Bu bölümde bölünmüş farklar yardımıyla Szasz operatörlerinin türevlerine ilişkin
eşitlikler elde edilecektir. Öncelikle bölünmüş farkların tanımını verelim.
4.1. Bölünmüş Farklar
Tanım 4.1.1. (Bölünmüş Farklar)
Kabul edelim ki, f (x) sonlu bir [a,b] kapalı aralığında tanımlanmış bir fonksiyon
x0 , x1 , x2 ,... ler de x0 < x1 < x2 < ... olacak şekilde bu aralığın keyfi noktaları olsunlar. f
fonksiyonunun keyfi bir xk ; k = 0,1,2,... noktasındaki değerini [ xk ; f ] ile gösterelim.
Yani f ( xk ) = [ xk ; f ] olsun. Buna f fonksiyonunun sıfırıncı bölünmüş farkı denir.
Şimdi şu ifadeleri tanımlayalım:
[ x0 , x1 ; f ] =
f ( x1 ) − f ( x0 )
x1 − x0
ifadesine f fonksiyonunun birinci bölünmüş farkı,
[ x0 , x1 , x2 ; f ] =
[ x0 , x1 ; f ] − [ x1 , x2 ; f ]
x0 − x 2
ifadesine f fonksiyonunun ikinci bölünmüş farkı, bu şekilde devam edilirse;
[ x0 , x1 ,..., xn ; f ] =
[ x0 , x1 ,..., xn−1 ; f ] − [ x1 , x2 ,..., xn ; f ]
x0 − x n
ifadesine f fonksiyonunun n-yinci bölünmüş farkı, denir, (Davis 1963, Doğru 1997,
Hacısalihoğlu 1995).
Benzer şekilde;
x0 =
k
k +1
ve x1 =
seçimiyle;
n
n
41
k k +1
[ ,
; f ]=
n n
=
f(
f(
k
k +1
)− f ( )
n
n
k +1 k
−
n
n
k
k +1
)− f ( )
n
n
1
n
k ⎞
⎛ k +1
= n⎜ f (
) − f ( )⎟
n ⎠
n
⎝
bulunur. Yani;
k ⎞
k k +1
⎛ k +1
[ ,
; f ] = n⎜ f (
) − f ( )⎟
n ⎠
n
n n
⎝
(4.1.1)
elde edilir.
Yine benzer şekilde;
x0 =
k+p
k +1
k
, x1 =
, ..., x p =
seçimiyle:
n
n
n
k +1
k
; f ]−[ ; f ]
k ⎞
k k +1
⎛ k +1
n
[ ,
; f]= n
= n⎜ f (
) − f ( )⎟
k +1 k
n
n ⎠
n n
⎝
−
n
n
[
2 k k +1 k + 2
k k +1
k +1 k + 2
[ ,
,
; f]=[
,
; f ]−[ ,
;f]
n n
n
n
n n n
n
3 k k +1 k + 2 k + 3
k +1 k + 2 k + 3
k k +1 k + 2
[ ,
,
,
; f]=[
,
,
; f ]−[ ,
,
;f]
n n n
n
n
n
n
n
n n
n
…
p k k +1
k+p
k +1 k + 2
k+p
k k +1
k + p −1
[ ,
,...,
; f]=[
,
,...,
; f ]−[ ,
,...,
; f ] (4.1.2)
n n n
n
n
n
n
n n
n
elde edilir.
42
4.2. Türevlerin Bölünmüş Farklarla İfadeleri
Bu kısımda Szasz operatörlerinin türevlerini bölünmüş farklar yardımıyla ifade
edeceğiz.
Teorem 4.1.1. Szasz operatörleri için p>0 olmak üzere;
∞
k+p
(nx) k
dp
k k +1
− nx
=
S
(
f
;
x
)
p
!
e
[
,
,...,
;
f
]
∑
n
n
n
k!
dx p
k =0 n
dir.
İspat: İspatı tümevarım metoduyla yapacağız;
m = 1 için
∞
∞
d
k (nx) k
k n k k x k −1
+ e − nx ∑ f ( )
S n ( f ; x) = − n e − nx ∑ f ( )
dx
n k!
n
k!
k =0
k =0
dir. Dolayısıyla;
∞
∞
d
k (nx) k
k n k k x k −1
+ e − nx ∑ f ( )
S n ( f ; x) = − n e − nx ∑ f ( )
dx
n k!
n
k!
k =0
k =1
∞
∞
k (nx) k
k n k −1 x k −1
= −n e − nx ∑ f ( )
+ n e −nx ∑ f ( )
n k!
n (k − 1)!
k =1
k =0
( k →k +1)
= −n e
− nx
∞
k (nx) k
k + 1 (n x) k
− nx
f( )
)
+ ne ∑ f (
∑
n k!
n
k!
k =0
k =0
∞
∞
= n e − nx ∑ f (
k =0
∞
k + 1 (nx) k
k (n x) k
)
− n e −nx ∑ f ( )
n
k!
n k!
k =0
yazabiliriz. Bu ifadenin düzenlenmesiyle;
∞
d
k ⎞ (nx) k
⎛ k +1
− nx
) − f ( )⎟
S n ( f ; x) = n e ∑ ⎜ f (
n
n ⎠ k!
dx
k =0 ⎝
∞
k ⎞ (nx)
⎛ k +1
) − f ( )⎟
= e − nx ∑ n ⎜ f (
n
n ⎠ k!
⎝
k =0
k
elde edilir. (4.1.1)’i yukarıdaki eşitsizlikte yerine yazarsak;
43
∞
(nx) k
k k +1
d
;f]
S n ( f ; x) = e − nx ∑ [ ,
k!
n
dx
k =0 n
bulunur ki, böylece Szasz operatörlerinin birinci türevini, birinci bölünmüş farklar
yardımıyla elde etmiş oluruz.
m = p − 1 için doğru olduğunu kabul edelim. Yani;
∞
(nx) k
d p −1
k k +1
k + p −1
− nx
S n ( f ; x) = ( p − 1)!e ∑ [ ,
,...,
;f]
n
n
k!
dx p −1
k =0 n
ifadesi doğru olsun. Bu ifadeden türev alınırsa;
∞
⎞
⎧
d ⎛ d p −1
k k +1
k + p −1
n k x k −1k
⎜⎜ p −1 S n ( f ; x) ⎟⎟ = ( p − 1)!⎨e − nx ∑ [ ,
,...,
;f]
dx ⎝ dx
n
n
k!
k =0 n
⎠
⎩
∞
k k +1
k + p −1
(nx) k ⎫
,...,
;f]
− ne −nx ∑ [ ,
⎬
n
n
k! ⎭
k =0 n
⎧∞
k + p −1
k + p −1
(nx) k ⎫
k
n k −1 x k −1 ∞ k
⎪
= ( p − 1)! (ne )⎨∑ [ ,...,
−∑ [ ,...,
; f]
; f]
⎬
n
(k − 1)! k = 0 n
n
k! ⎭
⎪ k =1 n
( k → k +1)
⎩
k
∞
k + p −1
k+ p
k
⎞ (nx) ⎫
⎛ k +1
− nx ⎧
= ( p − 1)! (ne )⎨∑ ⎜ [
,...,
; f ] − [ ,...,
; f ]⎟
⎬
n
n
n
⎠ k! ⎭
⎩k = 0 ⎝ n
− nx
elde edilir. (4.1.2)’yi yerine yazarsak, m = p için;
∞
p ⎡ k k +1
k+p
− nx ⎧
S
(
f
;
x
)
(
p
1
)!
(
ne
)
,
,...,
;
=
−
⎨
∑
n
⎢
n
n
n
n
dx p
⎣
0
=
k
⎩
dp
= p! e
− nx
∞
k + p ⎤ (nx) k
⎡k k +1
∑ ⎢ , n ,..., n ; f ⎥⎦ k!
k =0 ⎣ n
bulunur. Bu da ispatı tamamlar.
44
k
⎤ (nx) ⎫
f⎥
⎬
⎦ k! ⎭