Kartezyen birim vektörler

VEKTÖRLER
KT
YRD.DOÇ.DR. KAMİLE TOSUN FELEKOĞLU
1
Mekanik olayları ölçmekte ya da değerlendirmekte
kullanılan matematiksel büyüklükler:
• Skaler büyüklük: sadece bir sayısal değeri
tanımlamakta kullanılır, pozitif veya negatif
olabilir. Kütle, hacim ve uzunluk statikte sıkça
kullanılan skalerlerdir.
• Vektörel büyüklük: Şiddet, doğrultu ve yön ile
belirtilen fiziksel bir büyüklüktür. Kuvvet,
moment, konum vektörel birer büyüklüktür.
Vektör, yönlenmiş bir doğru parçasıyla temsil
edilir.
KT
2
• Vektörün, doğrultusunu bir doğru, yönünü bir ok,
şiddetini de okun boyu belirler.

A
• Vektörler harfin üzerine kısa bir ok çizilerek gösterilir.
• Bu şekilde gösterilen vektörün şiddeti “A” ile ifade edilir.
KT
3
Vektörel İşlemler
• Vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü
• bir vektörün bir skalerle çarpımı veya bölümü, yine aynı
vektör doğrultusunda yeni bir vektör verir. Bu vektörün
şiddeti, skaler ile mevcut vektörün şiddetinin çarpımına
eşittir
KT
4
Vektörlerin Toplamı
• Vektörler paralelkenar ilkesi kullanılarak birbiriyle
toplanır. A ve B vektörleri başlangıç noktalarında
birleştirilir. Her bir vektörün ucundan diğer vektöre çizilen
paralel doğrular paralelkenarı oluşturur. R bileşkesi A ve
B’nin başlangıcından doğruların kesiştiği noktaya çizilen
doğrudur. R bileşkesi paralelkenarın köşegenidir.
  
R  A B
KT
5
Vektörlerin Toplamı
• A ve B vektörlerini paralelkenar ilkesinin özel bir
uygulaması olan “üçgen ilkesi”ne göre de toplayabiliriz.
• A vektörünün ucuna B vektörü eklenir, A’nın başlangıcı
ile B’nin ucu birleştirilir ve R bileşke vektör elde edilir.
Vektör toplamı komutatif’tir,
vektörler herhangi bir
KT
sırada toplanabilir.
    
R  A B  B  A
6
Vektörlerin Toplamı
• A ve B vektörü aynı etki çizgisine sahipse
paralelkenar kuralı cebirsel (skaler)
toplama indirgenir.
• R= A+B (şiddetlerin toplamı)
KT
7
Vektör Çıkarması
• A ve B vektörlerinin çıkarılması için paralelkenar veya üçgen kuralı
kullanılabilir. A ve B vektörleri arasındaki fark bileşke vektörü:
  

R  A  B  A  ( B)
• Vektör toplamı için uygulanan kurallar vektör çıkarması için de
kullanılmaktadır.
KT
8
Kuvvetlerin Vektörel Toplamı
• Kuvvetler, belli bir büyüklük, doğrultu ve yöne
sahiptir ve vektörel bir büyüklük olduğu için
paralelkenar kuralına göre toplanır.
• Statikteki iki genel problem:
– Bileşenlerden bileşke kuvvet bulmak
– Bilinen bir kuvveti bileşenlerine ayırmak
KT
9
Bir kuvvetin bileşenlerine ayrılması
• Bir noktaya etkiyen bir tek vektör yerine aynı etkiyi
yapacak iki veya daha fazla vektör koymak
mümkündür.Bunlara vektörün bileşenleri denir. Bu
bileşenleri bulabilmek için:
– İki bileşenden düzlemde biri, uzayda ise üç bileşenden ikisi
bilinmelidir.
– Bileşenlerin tesir çizgileri bilinmelidir.
KT
10
İkiden fazla kuvvetin toplanması
• İkiden fazla kuvvet toplanacaksa, bileşke kuvveti bulmak
için paralelkenar kuralı birden fazla uygulanabilir.
KT

 

FR  ( F1  F2 )  F3
11
Analizde izlenecek yol
• Paralelkenar kuralı
• Trigonometri
KT
12
Örnek 1
• F1 ve F2 kuvvetlerinin
bileşkesini ve yönünü
bulunuz.
• Çözüm:
KT
13
Örnek 1
• Kosinüs teoremi’nden:
• Sinüs teoreminden:
KT
14
Örnek 2
• Bu iki kuvvetin bileşkesinin y
ekseni üzerinde olması için F
kuvvetinin şiddetini bulunuz.
200 N
200 N
KT

F
200 N

Sin 60 Sin 45

F  245 N

FR
200 N

Sin 75 Sin 45

FR  273 N
200 N
15
Örnek 3
• 600N’luk kuvveti u ve v
eksenlerinde
bileşenlerine ayırınız.
600 N
KT
16
600 N
Fu
600 N

sin 120 sin 30
Fv
600 N

sin 30 sin 30
Fu  1039 N
Fv  600 N
Örnek 4
F2 kuvvetinin şiddetini, yönünü
ve bileşke kuvveti bulunuz.
(bileşke kuvvet x ekseni
üzerinde, F2 kuvveti ise
minimum şiddette olsun)
Düzlemsel kuvvetlerin toplanması
(Kartezyen Koordinatlar)
• Eğer bir kuvvet x ve y eksenlerindeki bileşenlerine
ayrılırsa, bu bileşenlere “kartezyen bileşenler” denir.
• x ve y eksenleri pozitif ve negatif yönler belirttiklerinden,
bir kuvvetin dik bileşenlerinin büyüklüğü ve yönü cebirsel
skalerlerle ifade edilebilir.
Skaler gösterim:
Fx  F . cos 
Fy  F . sin 
KT
19
• F vektörünün yönü,  açısı yerine küçük eğim üçgeni ile de
gösterilebilir.
a
Fx  F ( ) veya
c
b
Fy  F ( ) veya
c
Fx a

F c
Fy b

F c
• Fy vektörünün yönü negatif y ekseninde olduğundan y
bileşeni negatiftir, bu nedenle hesaplamalarda (-) işareti
kullanılmalıdır.
KT
20
Kartezyen vektör gösterimi
• Bir kuvvetin bileşenleri,
kartezyen birim vektörler
cinsinden ifade edilebilir.
x ve y eksenlerinin
doğrultularını belirtmek
için sırasıyla i ve j
kartezyen birim vektörleri
kullanılır. Bu vektörler,
boyutsuz birim
uzunluktadır ve yönleri
(ok ucu), pozitif veya
negatif x ve y eksenini
işaret etmesine bağlı
olarak, artı veya eksi
işareti ile gösterilir.
KT

F  Fx iˆ  Fy ˆj
21
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri
• Bir kuvvetin bileşenlerini göstermede kullanılan iki
yöntem de çok sayıda düzlemsel kuvvetin bileşkesini
belirlemek için de kullanılabilir. Bunun için, her bir kuvvet
önce x ve y bileşenlerine ayrılır ve sonra karşılıklı
bileşenler aynı doğru üzerinde bulunduklarından skaler
cebir kullanılarak toplanır.

F1  F1x iˆ  F1 y ˆj

F2   F2 x iˆ  F2 y ˆj

F3  F3 x iˆ  F3 y ˆj
KT
22
Aynı düzlemdeki kuvvetlerin bileşkeleri

  
FR  F1  F2  F3
VEKTÖREL TOPLAM

FR  F1x iˆ  F1 y ˆj  F2 xiˆ  F2 y ˆj  F3 x iˆ  F3 y ˆj
 ( F1x  F2 x  F3 x )iˆ  ( F1 y  F2 y  F3 y ) ˆj
 FRx iˆ  FRy ˆj
SKALER TOPLAM
FRx  F1x  F2 x  F3 x
FRy  F1 y  F2 y  F3 y
KT
23
İkiden fazla kuvvetin toplanması
FRx   Fx
FRy   Fy
KT
• Herhangi bir sayıda düzlemsel kuvvetin
bileşkesinin x ve y bileşenleri, bütün
kuvvetlerin x ve y bileşenlerinin cebirsel
toplamıyla bulunabilir.
24
FRx   Fx
FRy   Fy
• Bileşkenin bileşenleri belirlendikten sonra, şekildeki gibi,
x ve y eksenleri boyunca çizilebilir. Bileşke kuvvet vektör
toplamından belirlenebilir. Bileşkenin büyüklüğü ve yönü
ise şu şekilde bulunabilir.
FR  F
  tan
KT
1
2
Rx
F
2
Ry
FRy
FRx
25
Örnek 5:
• Şekilde gösterilen
kuvvetlerin bileşkesini
birim vektörleri
kullanarak bulunuz
KT
26
F1x  200. sin 30  100 N
F1 y  200. cos 30  173 N
F2 x
12

F2 x  240 N
260 N 13
F2 y
5

F2 y  100 N
260 N 13

F1   100iˆ  173 ˆj N

F2  240iˆ  100 ˆj N

 
FR  F1  F2
 140iˆ  73 ˆj N
KT






27
Örnek 6
• Etkiyen kuvvetlerin
bileşkesinin y ekseni
boyunca olması ve
şiddetinin de 800 N
olması için F1 kuvvetinin
şiddetini,  açısının ne
olması gerektiğini
bulunuz
KT
28
Örnek 7
• Şekilde gösterilen
kuvvetlerin bileşkesini
bulunuz
ÇÖZÜM 1:
ÇÖZÜM 2:
Kartezyen Vektörler
• Vektör işlemleri, üç boyutlu problemlerin
çözümüne uygulanırken vektörler kartezyen
vektör formunda ifade edilirse işlem basitleşir.
• Sağ El Koordinat Sistemi:
– Vektör cebri işlemlerinde
sağ el koordinat sistemi
kullanılacaktır.
KT
34
Bir vektörün kartezyen bileşenleri
• Bir A vektörünün x, y, z koordinat
eksenlerinde bileşenleri olabilir.
Paralelkenar kuralını iki kez ard
arda uygulayarak;
 
A  A  Az
 

A  Ax  Ay
 


A  Ax  Ay  Az
KT
35
Kartezyen birim vektörler
• Üç boyutlu uzayda, i, j, k kartezyen birim
vektörleri sırasıyla x, y, z eksenlerinin
doğrultusunu göstermek için kullanılır. Şekilde
verilen vektörler, pozitif birim vektörlerdir.
KT
36
Kartezyen vektör gösterimi
• Vektörleri kartezyen
bileşenler cinsinden
yazmak önemli bir
avantaj sağlar. Her bir
bileşen vektörün şiddeti
ve yönünü belirtir.

A  Axiˆ  Ay ˆj  Az kˆ
KT
37
Kartezyen vektörün büyüklüğü
• Kartezyen vektör
formunda ifade edilen bir
A vektörünün şiddetini
bulmak için:
A'  Ax 2  Ay
A  A'  Az
2
2
2
A  Ax  Ay  Az
2
KT
2
2
38
Kartezyen vektörün yönleri
• A vektörünün doğrultusu,
A’nın başlangıç noktası ve bu
noktada yer alan pozitif x, y, z
eksenleri arasında ölçülen
(alfa), (beta), (gama)
doğrultu açıları ile tanımlanır.
Bu açılar 0 ile 180
arasındadır.
• ,  ve ’yı belirlemek için
A’nın x, y, z eksenleri
üzerindeki izdüşümleri
kullanılır.
KT
39
Yön kosinüsleri
Ax
cos  
A
KT
cos  
Ay
A
Az
cos  
A
40
• A vektörünün doğrultu kosinüslerini elde etmenin kolay
bir yolu, A doğrultusunda bir birim vektör oluşturmaktır.


A Ax ˆ Ay ˆ Az ˆ
uA  
i
j k
A A
A
A
A
cos   x
A
cos  
Ay
A
cos  
Az
A
A  Ax  Ay  Az
2
2
2

u A  cos  iˆ  cos  ˆj  cos  kˆ
uA’nın büyüklüğü 1 olduğundan;
cos   cos   cos   1
2
2
2


A  Au A
 A cos  iˆ  A cos  ˆj  A cos  kˆ
 A iˆ  A ˆj  A kˆ
x
KT
y
z
** Eğer bir vektörün
şiddeti ve yön
kosinüsleri biliniyorsa,
A vektörü kartezyen
koordinatlarda ifade
edilebilir.
41
Kartezyen vektörlerin toplanması
KT
42
Örnek 8
F kuvvetini kartezyen vektör
olarak ifade ediniz.
cos 2   cos 2   cos 2   1
Fx (+x) yönünde
olduğu için  60°
olmalı
KT
43
Örnek 9
• F kuvvetini
kartezyen vektör
olarak ifade ediniz
ve F kuvvetinin yön
kosinüslerini
bulunuz
KT
44
  
F  F ' Fz
  
F '  Fx  Fy
Pozisyon (Konum) Vektörleri
• Pozisyon vektörü uzaydaki herhangi iki nokta arasında
yönelen bir kartezyen kuvvet vektörünü formüle etmek
açısından önemlidir.
• r pozisyon vektörü, bir noktanın uzaydaki konumunu
diğer bir noktaya göre belirleyen sabit bir vektördür.

r  x iˆ  y ˆj  z kˆ
KT
47
• Daha genel bir halde, pozisyon vektörü uzaydaki
A noktasından B noktasına da yönelebilir.
Vektör toplamı
KT
48
• r konum vektörü, i, j, k bileşenleri, vektörün
başlangıcının koordinatları A (xA, yA, zA), ucuna
karşı gelen koordinatlardan B (xB, yB, zB)
çıkartılarak bulunabilir.
• Ayrıca, bu üç
bileşenin
uç
uca eklenmesi
r’yi verir. A’dan
başlıyarak B’ye
ulaşılıyor.
KT
49
• A ve B noktalarının, oluşturulan koordinat sistemine göre
koordinatları biliniyorsa, A’dan B’ye giden pozisyon
vektörü bulunabilir ve bu yöndeki birim vektör kolaylıkla
elde edilir:

r : A' dan B' ye

 r
u
; birim vektör
r
Bu birim vektörün bileşenleri , 
ve  yönlerini vermektedir.

u A  cos  iˆ  cos  ˆj  cos  kˆ
KT
50
Bir doğru boyunca yönelen kuvvet vektörü
• Üç boyutlu statik
problemlerinde, bir
kuvvetin doğrultusu
genellikle etki
çizgisinin geçtiği iki
nokta ile belirlenir.
Şekildeki F kuvveti
buna bir örnektir.
Doğrultusu A’dan B’ye
olan F kuvveti
kartezyen vektör
şeklinde ifade
edilebilir.
KT
51
Bir doğru boyunca yönelen veya iki nokta arasında uzanan
kuvvet vektörü
ANALİZDE İZLENECEK YOL
F, A noktasından B noktasına uzanan bir
doğru boyunca etkiyorsa aşağıdaki şekilde
kartezyen vektör formunda ifade edilebilir:
Konum Vektörü: A’dan B’ye yönelen
konum r vektörü belirlenir ve r büyüklüğü
hesaplanır.
Birim Vektör: Hem r hem de F’nin
doğrultusu ve yönünü tanımlayan u=r/r
birim vektörü belirlenir.
Kuvvet Vektörü: F büyüklüğü ve u
doğrultusu birleştirilerek yani F=Fu ile F
belirlenir.
KT
52
Örnek 10
• Şekilde gösterilen
çatı, AB ve AC
zincirleriyle
taşınmaktadır. A
noktasına etki eden
bileşke kuvveti
kartezyen vektör
olarak ifade edin.
KT
53
A (0,0,4)
B (4,0,0)
C (4,2,0)
KT
54
Örnek 11
• A noktasına etki eden
kuvveti kartezyen
vektör olarak ifade
edin.
KT
55
Nokta (Skaler) Çarpım
• Statikte bazen iki doğru arasındaki açının, veya bir
kuvvetin bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin
bulunması gerekir. İki boyutlu problemlerde trigonometri
ile çözülebilir, ancak 3 boyutluda çözüm için vektör
yöntemleri uygulanmalıdır.
• Skaler çarpım, iki vektörün çarpımı için özel bir
yöntemdir.
• A ve B vektörlerinin skaler çarpımı, AB şeklinde yazılır
ve A skaler çarpım B diye okunur. A ve B’nin
büyüklükleri ile iki vektör arasındaki açının kosinüsünün
çarpımı olarak tanımlanır.
 
A  B  A  B cos 
0    180
o
o
57
• Bu çarpıma skaler çarpım veya nokta çarpım da
denir. Bu işlemin kuralları :
– Değişme özelliği (komütatiflik )
– Skaler ile çarpım
– Dağılma kuralı (distributiflik)
   
A B  B  A
 
  

a( A  B)  (aA)  B  A  (aB)
  
 
 
A  ( B  D)  ( A  B)  ( A  D)
58
Kartezyen vektör formülasyonu
Formülünü kullanarak kartezyen
 
vektörlerin çarpımını bulmak
A  B  A  B cos  birim
için kullanılabilir.
Örneğin: iˆ  iˆ  (1)(1) cos 0o  1
ˆj  ˆj  1
kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  (1)(1) cos 90o  0
iˆ  kˆ  0
kˆ  ˆj  0
59
Uygulamalar1
• Skaler çarpımın mekanikte iki önemli uygulama
alanı vardır:
– 1) İki vektör veya kesişen doğrular arasındaki açı
 
A  B  A  B cos 
60
Uygulamalar 2
• 2) Bir vektörün bir doğruya paralel ve dik bileşenlerinin
bulunması:
Aa: a-a doğrultusundaki A vektörünün bileşeni. A’nın izdüşümü de denir.
a-a’nın doğrultusu ua birim vektörüyle belirlenmişse, Aa vektörünün şiddeti
skaler çarpımla bulunabilir.
 
Aa  A  ua
(ua  1)
 Au a cos   A cos 
 
Aa  A  ua şeklinde bulunur .
61
• A vektörünün dik bileşeni:
 


 


A  A  Aa  A  A  Aa  A  ( A cos  )ua
 


1 A  u a
  A  A sin  veya
  cos 

A


A  A2  Aa ' den bulunur .
2
62
ÖRNEK 12
Şekilde verilen
F kuvvetinin
AB çubuğuna
paralel ve dik
bileşenlerini
bulunuz.
A (0; 0; 0)
B (2; 6; 3)

rB  2iˆ  6 ˆj  3kˆ
63

iˆ  iˆ  (1)(1) cos 0o  1
ˆj  ˆj  1
kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  (1)(1) cos 90o  0
iˆ  kˆ  0
kˆ  ˆj  0
64