MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji

MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Buraya kadar, maddesel noktanın hareketinin incelenmesinde hareket denklemleri
kullanılmıştır. Yani, kütle sabit olduğundan, önce dış kuvvetin cisme kazandırdığı ivme
hesaplanmakta daha sonra kinematik denklemler kullanılarak yer değiştirme, hız vb.
parametreler belirlenebiliyordu. Şimdi, hareket denklemi ile kinematik bağıntılar
birleştirilerek yeni bir yöntem elde edilecektir. Gerçekten iş ve enerji yöntemi, kuvvet, hız
ve yer değiştirme arasındaki ilişkileri doğrudan ortaya koyan oldukça kullanışlı bir
yöntemdir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Bir kuvvetin işi: Mekanikte, bir kuvvet doğrultusu boyunca yer
değiştirme meydana getirirse iş yapar. Şekilde, kuvveti etkisi altında,
yörüngesi boyunca hareket etmekte olan partikülün pozisyonu
vektörü ile tanımlanır. Partikülün yörüngesinde hareketi esnasında,
pozisyonuna geldiğinde
= − yer değiştirmesini yapar.
nin
büyüklüğü, yörünge üzerindeki
diferansiyel parçası ile gösterilir.
kuvveti ile
arasındaki açı
ise, F kuvvetinin yaptığı iş skaler
büyüklük olarak,
=
=
Diğer bir ifadeyle, işi yapan kuvvetin teğetsel bileşendir. Eğer kuvvet
sabit bir noktaya etki etmekteyse, yer değiştirme oluşmayacağından
yapılan iş sıfırdır. SI birim sisteminde, iş büyüklüğü
dür.
'luk kuvvet, doğrultusu boyunca
hareket ederse, 1
joule
=
lük iş yapmış olur. Görünüm olarak bir kuvvetin
momentine benzemekte ise de her hangi bir benzerlik yoktur. Moment
vektörel bir büyüklük iken iş skaler bir büyüklüktür.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Değişken kuvvetin işi: Maddesel nokta, üzerinde
hareket ettiği yörünge yer değiştirip
den
ye veya
den
ye yer değiştirme yaparsa,
kuvvetinin
yaptığı iş integrasyon ile belirlenir. Eğer, kuvvet yer
değiştirmenin bir fonksiyonu = ( ) ise,
=
=
kuvvetin iş yapan bileşeninin, yani
değişkenine göre grafiği çizilirse,
den
altında kalan alana karşılık gelir.
nın
ye eğri
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Doğrusal bir hat boyunca sabit kuvvetin işi: İş yapan
kuvvetin büyüklüğü sabit ve yörünge doğrusal bir hat
ise, nin teğetsel bileşeni
ve partikül
den
ye yer değiştirmişse yapılan iş, dikdörtgen alana
eşittir.
=
=
−
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Ağırlığın işi: Partikül yörüngesi üzerinde hareket etmekte iken yukarı
doğru
den
ye yer değiştirmişse, herhangi bir anda pozisyonu,
=
+
+
şeklinde ifade edilebilir. Ağırlık
=∫
=∫
=∫ −
=−
−
=−
olup
+
=−
+
−
=− ∆
Burada, ağırlık kuvvetinin yönü daima aşağı doğrudur. Yer değiştirme yukarı doğru olduğundan,
iki terimin çarpımı olan iş yine negatif olacaktır. Partikülün yer değiştirmesinin aşağı doğru
olması halinde ise, yapılan iş pozitif olacaktır. Çünkü kuvvet ve deplasman aynı yönde olacaktır.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Yay kuvvetinin işi: Nominal boyuna göre
kadar yer
değiştirmiş lineer elastik yayda oluşan kuvvet
=
dir.
Burada
yay direngenliğidir. Eğer yay, uzama veya kısalma
şeklinde doğru
den
ye uzama veya kısalma şeklinde yer
değiştirmiş ise, her iki durumda da kuvvet ve deplasman aynı
yönde olduğundan
yay kuvvetinin yaptığı iş, pozitif olacak ve
büyüklüğü
=
=
=
=
Bu ifade,
=
−
−
doğrusu altındaki trapez alana eşittir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Eğer, maddesel nokta bir yay ile birleştirilmiş ise,
yay kuvveti partiküle zıt yönde etki edecektir. Bu
durumda, ister uzama, ister kısalma olsun
yay
kuvvetinin yaptığı iş negatif olacaktır.
=−
−
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
İş ve enerji prensibi: Sabit referans eksen takımına göre, yörüngesi
üzerinde konumu olan kütleli partikül, bileşkesi
= ∑ olan dış
kuvvetlerin etkisi altındadır. Partikül için ∑ =
hareket denklemi
yazılabilir. Eğer Partikül yörünge üzerinde
yer değiştirmesi yaparsa,
bu kuvvetin yaptığı iş;
∑
=
Normal ve teğetsel koordinatlar kullanılarak ∑ kuvveti bileşenlerine
ayrılabilir. dr yer değiştirme vektörünün büyüklüğü
olarak
gösterilirse
∑
=∑
=∑
Diğer bir ifade ile kuvvetin teğetsel bileşeni iş yapmaktadır. Partikül
normal doğrultuda yer değiştirme yapamadığından normal bileşen iş
yapamaz.
=
olduğundan yukarıdaki denklem
∑
=∑
=
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
∑
=∑
=
Başlangıç sınır şartları =
ve = , son sınır şartları
edilirek
=
kinematik denklemine uyarlanırsa,
∑∫
=
ve
=
olarak kabul
=∫
∑∫
=
∑
−
=
∑
−
=
−
Denklemin sol tarafı, parçacığın 1 den 2 ye yer değiştirmesi esnasında üzerine etki eden
bütün kuvvetlerin yaptığı iştir. Denklemin sağ tarafı ise, sırasıyla, partikülün son ve ilk
kinetik enerjilerini göstermektedir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Bu terimler pozitif skaler büyüklüklerdir. Çünkü parçacığın hızının doğrultusuna bağlı değildir. İş
ve enerji denklemi alışılmış formda;
+∑
=
Bu denklem, parçacığın ilk pozisyonundan son pozisyonuna hareket ederken dış kuvvetlerin yaptığı
iş toplamının, partikülün kinetik enerjisindeki değişmeye eşit olduğunu ifade eder. Kuvvet, hız ve
yer değiştirme içeren problemlerin çözümünde kolaylık sağlar. Örneğin, bir partikülün ilk hızı
biliniyor ve partiküle etkiyen bütün kuvvetlerin yaptığı iş hesaplanıyorsa partikülün son hızı
bu
denklem kullanılarak doğrudan hesaplanabilir. Bunun yerine
nin hesabında hareket denklemi
kuılanırsa iki adım gereklidir. İlk olarak ∑ =
uygulanarak
hesaplanır. İkinci adımda ise
=
kullanılarak
hesaplanır.
İş-Enerji prensibinin partiküle etkiyen normal kuvvetlerin hesabında kullanılamayacağına dikkat
ediniz. Bu durumda ∑
=
ifadesi kullanılmalıdır. Eğri yörüngelerde normal kuvvetlerin
büyüklükleri hızın fonksiyonudur. Bu yüzden ilk olarak iş ve enerji denklemini kullanarak hızı
hesaplamak ve ardından normal kuvveti hesaplamak için hesaplanan bu büyüklüğü ∑
denkleminde yerine koymak daha kolay olabilir.
=
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Kaymanın Neden Olduğu Sürtünmenin Yaptığı İş: İş ve enerji denkleminin kullanılmasında
dikkatli bir uygulama gerektiren özel bir durumda, sürtünmenin varlığında, bir cismin diğer bir
cismin yüzeyi üzerinde kaydığı durumlardır.
Şekilde gösterildiği gibi, pürüzlü bir yüzey üzerinde mesafesi kadar ötelenen bir bloğu göz
önüne alalım. Eğer uygulanan kuvveti sadece
bileşke sürtünme kuvvetini dengelerse, denge
nedeniyle olan bir sabit hızı korunur ve iş ve enerji denkleminin aşağıdaki şekilde uygulanması
beklenir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Başlangıç pozisyonunda, cisim hızına sahiptir. Bu anda cismin kinetik enerjisi
dir. Cisme
hareketi doğrultusunda, dış kuvveti yer değiştirmesi boyunca etki etmektedir. Yani sisteme
işi
verilmiştir. Ancak, yer değiştirmesi boyunca, =
sürtünme kuvveti harekete ters yönde cisme
etki etmektedir. Son durumda, cismin hızı ile harekete devam etmesi,
kinetik enerjisine sahip
olduğunu göstermektedir. Bu cisim için iş ve enerji prensibi şu şekilde yazılır.
+
−
=
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Güç: Birim zamanda yapılan iş olarak tanımlanır. Güç bir makine veya motorun iş yapabilme
kapasitesidir. Belirli bir işi yapmak gerekli motor gücünün belirlenmesi önemlidir. Zira, aynı işi
yapabilmek için, gerekli güç miktarı sabit olup motor küçüldükçe çalışma zamanı uzayacak, aksi
halde kısalacaktır. P
sembolü ile tanımlanan güç ifadesi,
=
=
=
veya
=
=
=
⁄ veya ⁄ Watt ile
Güç, (Kuvvet-hız veya Moment-açısal hız) parametrelerinden belirlenir.
ifade edilir. Watt küçük bir büyüklük olduğundan kilo Watt (
) ile ölçülür. Bazen de, Beygir gücü
BB (Buhar Beygiri) ile ifade edilir.
⁄
=
.
=
= .
⁄
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Verim: Makineden alınan işin, makineye verilen işe oranıdır. Diğer bir ifade ile, makinenin ürettiği
yararlı gücün, makineye verilen güce oranıdır.  ile sembolize edilir.
ş
ş
=
ü
=
ğ
üç
üç
Verim, oranı ifade ettiğinden boyutsuz olup, daima birden küçüktür. Zira, tüm makinelerde, hareketli
elemanların sürtünmelerinden dolayı kayıplar olacaktır. Bu kayıplar genellikle ısı enerjisi şeklindedir.
Sistemde oluşan enerji kayıpları, mekanik kayıplar, elektrik enerjisi kayıpları, termal kayıplar olarak
ifade edilmişlerse, toplam verim;

=


MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Konservatif Kuvvetler: Partikülün bir pozisyondan başka bir pozisyona hareketi esnasında, etki eden
kuvvetlerin yapmış oldukları iş yörüngeden bağımsız ise, bu tür kuvvetlere konservatif kuvvetler
denmektedir. Mekanikte, parçacığın ağırlık kuvveti ve elastik yaya etki eden kuvvet, sıklıkla
karşılaşılan konservatif kuvvetlerdir.
Ağırlık: Partikülün ağırlığının yaptığı iş yörüngeden bağımsız olup, sadece partikülün düşey yer
değiştirmesine bağlıdır. Bu yer değiştirme ∆ , yukarı doğru pozitif olacak şekilde
=−
∆
Elastik Yay: Bir partiküle etki eden yay kuvvetinin yaptığı iş, partikülün yörüngesinden bağımsız
olup, yayın uzama veya kısalma miktarına bağlıdır. Yay pozisyonundan
pozisyonuna uzaması
veya kısalması durumunda
= −(
−
)
Sürtünme: Sürtünme kuvvetlerinin yaptığı iş yörüngeye bağlıdır. Yer değiştirme miktarı büyüdükçe
sürtünme kuvvetinin yapacağı iş artacaktır. Sonuç olarak, sürtünme kuvvetleri konservatif değildir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Potansiyel Enerji: Belirli bir referansa göre, partikülün konumundan dolayı sahip olduğu
enerji olarak tanımlanabilir. Bir kuvvetin hareket etmesi halinde yapabileceği işi gösteren
kavramdır. Potansiyelin iş yapabilme kabiliyeti olarak da ifade edilebilir. Bir konservatif
kuvvetin verilen konumdan referans çizgisine hareketi esnasında yapacağı iş miktarının bir
ölçüsüdür. Mekanikte, hem gravitasyona (ağırlık) hem de elastik bir yaya bağlı olarak çıkan
potansiyel enerji oldukça önemlidir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Yer çekiminin potansiyel enerjisi: Seçilen referansa
göre, partikül kadar yukarıda ise,
ağırlığının
pozisyonundan dolayı sahip olacağı enerji,
pozitiftir. Çünkü, partikül referansa doğru hareket
ederse, pozitif iş yapar. Referansa göre
kadar
aşağıda ise,
ağırlığının pozisyonundan dolayı
sahip olacağı enerji,
negatiftir. Referans çizgisi
üzerinde ise,
sıfırdır. Genel olarak,
yukarı
doğru pozitif alınırsa, partikülün
ağırlığının
potansiyel enerjisi
=
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Elastik potansiyel enerji: Elastik yay nominal
pozisyonundan s kadar uzatılır veya kısaltılır ise, elastik
yayda depolanan potansiyel enerji
=+
ifadesi ile verilir ve daima pozitiftir. Şekil değiştirmiş
pozisyonda (uzama veya kısalma), yay, her zaman
nominal boyuna dönmek isteyeceğinden, yay kuvveti
partikül üzerinde daima iş yapma kapasitesine sahiptir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Enerjinin korunumu: Bir parçacığın üzerine konservatif ve konservatif olmayan kuvvetler bir arada
etkirse, işin konservatif kuvvetler tarafından yapılan kısmı, potansiyel enerjilerindeki fark cinsinden,
yani ∑
=
−
şeklinde yazılabilir. Sonuç olarak, iş ve enerji ilkesi
+
+ ∑
=
+
olarak yazılabilir. Burada, kons-olma parçacık üzerine etkiyen konservatif olmayan kuvvetlerin işini
göstermektedir. Eğer cisme sadece konservatif kuvvetler uygulanırsa, bu terim sıfırdır olacağından
+
=
+
Bu denklem, mekanik enerjinin korunumu nu ifade eder. Hareket esnasında parçacığın kinetik ve
potansiyel enerjilerinin toplamının sabit kaldığını göstermektedir. Bunun olması için, kinetik enerji
potansiyel enerjiye ve tersine, potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşebilmelidir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Örneğin, W ağırlıklı bir top yerin (sıfır düzeyi) üstünde bir h
yüksekliğinden
düşürülürse,
topun
potansiyel
enerjisi
bırakılmadan hemen önce maksimumken kinetik enerjisi sıfırdır.
Topun başlangıçtaki toplam mekanik enerjisi
=
+
=
+
=
⁄ mesafesi kadar düştüğünde, hızı
Top
=
+
⁄ =
kullanılarak,
=
olarak elde edilebilir.
durumda, topun orta yükseklikteki enerjisi
=
+
=
+
=
Yere çarpmadan hemen önce, topun potansiyel enerjisi sıfırken hızı
=
dir. Burada topun toplam enerjisi
=
+
=
+
+
=
−
Buna
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İş - Enerji
Yere değdiğinde topun bir miktar deforme olacağına, zeminin yeterince sert olması durumunda
yüzeyden geri sıçrayacağına ve ilk bırakıldığı yüksekliğinden daha az olan yeni bir yüksekliğine
ulaşacağına dikkat edilmelidir. Hava direnci ihmal edilirse, yükseklikteki farkın nedeni, çarpışma
sırasında ortaya çıkan enerji kaybıdır =
−
. Bu kayıp, gürültüye, top ve yerin yerel
deformasyonuna ve ısıya neden olur.
İş – Enerji (ÖRNEK)
3 kg lık kayıcı burç
dan serbest bırakıldığında, ihmal
edilebilir bir sürtünme ile dairesel çubuk üzerinde
kaymaktadır. Burca bağlanmış olan yay
/
direngenliğe sahip olup nominal boyu .
dir. Kayar
burcun hareketi esnasında, B den geçtiği andaki hızını
hesaplayınız.
ÇÖZÜM:
Referans çizgisi A dan geçen yatay eksen olacak şekilde seçilebilir.
Potansiyel enerji. Sistemde, burcun ağırlığı ve yay kuvveti iş yapma potansiyeline sahiptir. Sürtünme kuvvetleri
ihmal edilmiştir. Çubuk ile burcun temas noktalarında ortaya çıkan tepki kuvvetleri sabit noktaya etki
etmelerinden dolayı iş yapmazlar.
Kayıcı burç, B de iken yayın boyu
=
.
+ .
= .
Uzama miktarları ise,
= .
ve A da iken
−
= .
ve
= .
= .
dir.
−
= .
.
İş – Enerji (ÖRNEK)
İş ve Enerji Eşitliği: Başlangıçta, burç durmakta olduğundan kinetik enerjisi yoktur. Ağırlık kuvveti
ve yay kuvvetinin potansiyel enerjisi B kinetik enerjiye dönüşecektir. Ağırlık kuvveti ile yer değiştirme
aynı yöndedir. Yay hem uzamış halde hem de kısalmış halde negatif iş yapar. Sistem üzerinde A ve B
arasında İş ve Enerji eşitliği yazılırsa,
+
+
.
⁄
−
.
−
=
−
−
⁄
−
= .
.
⁄
=
− .
=
İş – Enerji (ÖRNEK)
kütleli pürüzsüz
burcu, düşey şaft üzerine kayabilecek şekilde yerleştiriliyor. Burç
konumundayken yay nominal boyunda olduğuna göre, durmakta iken serbest bırakılan yayın =
olduğu anda burcun hızını belirleyiniz.
İş – Enerji (ÖRNEK)
Potansiyel Enerji. Daha uygun olacağından, referans
başlangıç çizgisi
den geçecek şekilde kabul edildi.
Burç ′ iken, referans çizgisinin altında olduğu için
= −(
gravitasyonel potansiyel enerji,
elastik potansiyel enerji ise,
) ,
=
Burada,
= .
olup şekil üzerinde hesap edildiği
gibi yaydaki uzama miktarıdır.
İş – Enerji (ÖRNEK)
Enerjinin Korunumu.
+
+
+
=
=
=
+
+
⁄
+
= .
−(
.
)
− ( .
)
⁄
Bu problem, hareket denklemi veya iş ve enerji ilkesi
kullanılarak çözülebilir. Bu yöntemlerin her ikisinde de yay
kuvvetinin büyüklük ve doğrultusunun değişiminin hesaba
katılması gerektiğine dikkat edilmelidir. Ancak, yukarıdaki
çözüm yöntemi daha pratiktir, çünkü hesaplamalar sadece
yolun ilk ve son noktalarında hesaplanan veriye bağlıdır.
İş – Enerji (ÖRNEK)
Sürtünme kuvvetleri ihmal edilecek büyüklükte olan
kütleli A kayıcısı eğimli kılavuz içinde hareket
⁄ olay yay bağlanmış olup A daki pozisyonda, .
etmektedir. Kayıcıya, direngenliği
uzamış
durumdadır. Kabloyla, direnci ihmal edilen makaraya
sabit kuvvet uygulanmaktadır. Şekilde
verilen pozisyonda, serbest bırakılan
kayıcısının
den geçtiği andaki hızını hesaplayınız.
ÇÖZÜM: Kayıcı uzamayan kablo ile kayıcıya bağlanmıştır.
kuvvet
.
mesafe boyunca etkili olduğundan iş yapacaktır. Burç
dikey eksende hareket yaptığından, ağırlık kuvveti iş yapacaktır. Yay
başlangıçta .
uzama yönünde boy değiştirmiş iken .
daha
uzayacaktır. Kayıcının serbest bırakıldığı nokta referans alınırsa,
+
+∑
. − .
−
−
=
−
.
.
= .
−
−
−
⁄
=
.
− .
=
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: (İmpuls ve Momentum)
Bu bölümde, maddesel noktanın hareket analizinde üçüncü bir alternatif yaklaşım olan impuls ve momentum
prensibi ele alınacaktır. Kuvvet, hız, kütle ve zaman arasındaki ilişkileri ifade eden bu yöntem, bahsedilen
parametrelerin belirlenmesinde doğrudan çözüm sağlayacağından oldukça kullanışlı olacaktır. kütleli maddesel
nokta, kuvvetine maruzsa, Newton'un ikinci kanunu (hareket denklemi) uygulanırsa,
∑
=
=
Burada, ve referans atalet sistemine göre ölçülen ivme ve hız büyüklüklerdir. Sınır şartları =
= de =
olacak şekilde seçilirse,
∫
∫
=
=
de
=
ve
∫
−
Bu denkleme lineer impuls ve momentum ilkesi denir. Bunun hareket denkleminin zamana göre integrasyonu
olduğu görülebilir. Parçacığın, başlangıç hızının bilindiği ve üzerine etki eden kuvvetlerin sabit olduğu ya da
zamanın fonksiyonu olarak ifade edildiği durumda, belirli bir zaman aralığı sonundaki
hızını doğrudan elde
edilmesine imkan sağlar.
hareket denklemi kullanılarak belirlenecek olursa, Önce,
=
hareket
⁄ kullanılarak
denkleminden belirlenir. Daha sonra, kinematik denklemler =
belirlenir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: (İmpuls ve Momentum)
Lineer İmpuls: = ∫
integrali lineer impuls olarak tanımlanır. Bu terim, kuvvetin, uygulandığı
zaman aralığı boyunca etkisini ölçen vektörel bir büyüklüktür. Zaman pozitif bir skaler olduğundan,
impuls vektörü kuvvetle aynı doğrultudadır. Büyüklüğü kuvvet- zaman
veya
/ ile ölçülür.
Kuvvet zamanın bir fonksiyonu olarak tanımlanmışsa, integralin doğrudan hesaplanmasıyla impuls,
belirlenebilir.
kuvveti
−
zaman aralığında sabit bir doğrultuda etki ederse, = ∫
impulsunun büyüklüğü deneysel olarak zamana göre kuvvet eğrisinin altındaki taralı alanla gösterilir.
Ancak, kuvvetin büyüklüğü ve doğrultusu sabitse, sonuç impuls, şekilde gösterilen dikdörtgen alanı
ifade eden, = ∫
=
−
halini alır.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: (İmpuls ve Momentum)
Lineer Momentum:
formundaki iki vektörün her biri parçacığın lineer momentumu olarak tanımlanır.
pozitif bir skaler olduğundan, lineer momentum vektörü, ile aynı doğrultuya sahiptir. Büyüklüğü kütle-hız,
/ ile ölçülür.
Lineer İmpuls ve Momentum Prensibi: Mühendislik çalışmalarında, yukarıda verilen denklemin bir başka ifade
ediliş tarzı da
+∫
=
Bu ifade tarzı, ikinci kanunun Newton tarafından ilk ifade edilme şeklidir. Gerçekten, maddesel noktaya etki
eden kuvvetinin, maddesel noktanın momentumundaki değişim hızına eşit olduğu görülmektedir.
MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: (İmpuls ve Momentum)
Parçacığın
deki ilk momentumu ile
−
zaman aralığında parçacığa uygulanan tüm
impulsların vektörel toplamı, parçacığın
deki son momentumuna eşdeğerdir. İfade edilen durum,
impuls ve momentum diyagramları üzerinde grafiksel olarak gösterilmiştir. Parçacığın,
ilk ve
son momentumunun doğrultu ve büyüklüğünü gösteren, sembolik şekilleridir. Serbest-cisim
diyagramına benzer şekilde, impuls diyagramı ∫
yörünge üzerinde bir ara noktada etki eden
bütün impulsları gösteren, parçacığın sembolik şeklidir.
Vektörel olarak ifade edilen impuls ve momentum prensibi ifadesi, skaler olarak , ,
cinsinden yazılabilir.
+∫
=
+∫
=
+∫
=
bileşenleri
ÖRNEK