Partikülün kinetiği bahsinde, hız ve yer değiştirme içeren

KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji)
Partikülün kinetiği bahsinde, hız ve yer değiştirme içeren problemlerin iş ve enerji prensibini
kullanarak kolayca çözülebildiği söylenmişti. Ayrıca, kuvvet sistemi konservatif ise enerjinin
korunumu prensibinin kullanılabileceği ifade edilmişti. Bu bölümde, iş ve enerji metotlarını
düzlemsel hareket yapan rijit cisimlere uygulayacağız. İş ve enerji prensibine geçmeden önce,
rijit cismin öteleme, sabit bir eksen etrafında dönme ve genel düzlemsel hareket yaparken
sahip olduğu kinetik enerjiyi ifade eden denklemleri elde edeceğiz.
Kinetik Enerji:
Şekilde verilen − referans düzleminde hareket eden ince
bir levhayı göz önüne alalım. Levha üzerindeki herhangi bir
partikülünün kütlesi
, keyfi seçilen
noktasına göre
konum vektörü
ve hızı
olsun. partikülünün kinetik
enerjisi =
dir. Tüm cismin kinetik enerjisi, cismi
oluşturan tüm partiküllerin kinetik enerjileri toplamına eşit
olacaktır. Dolayısıyla, katı cismin kinetik enerjisi
=
=
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji)
hızı,
noktasını hızı
Burada,
×
⁄ =
dir.
=
+
=
−
=
cinsinden
=
+
+
×(
+
=
,
+
+
+
+
⁄
olarak yazılabilir.
=
ve
dır.
)
×
Şeklinde yeniden yazılabilir.
nin
vektörünün kendisi ile skaler çarpımından ( ∙
= ve ∙ =
dikkate alınarak) elde edilir.
=
=
−
−
+
+
+
+
Kinetik enerji ifadesinde yerine yazılırsa
+
+
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kinetik Enerji)
=
−
+
+
veya
=
−
+
+
Denklemdeki ilk integral cismin kütlesi
dir.
=∫
ve
=∫
olduğundan
ikinci üçüncü integraller, P referans noktasına göre, cismin kütle
merkezinin konumunu
belirtirler. Sonuncu integral ise, P den geçen eksene göre cismin kütle atalet momentini
gösterir.
=
−
+
+
keyfi seçilen referans noktası, kütle merkezi olarak seçilirse
=
+
Burada , kütle merkezinden geçen ve hareket düzlemine dik olan eksene göre cismin kütle
atalet momentidir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Ötelenme)
Ötelenme: Kütlesi
olan rijit cisim, doğrusal veya eğrisel ötelenme yapması halinde,
cisim dönme yapmayacağından = olacaktır. Bu durumda, cismin dönme kinetik
enerji sıfır olacaktır. Kinetik enerji ifadesi de
=
Burada
, verilen anda cismi kütle merkezinin hızının büyüklüğüdür.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Sabit Bir Eksen Etrafında Dönme)
Sabit Bir Eksen Etrafında Dönme: Bir rijit cismin
noktasından geçen sabit bir eksen etrafında öteleme
ve dönmeden doğan kinetik enerjisi
=
+
şeklinde verilmişti.
= ⁄
olduğu göz önüne
alınırsa bu kinetik enerji ifadesi
=
+
⁄
Paralel eksen teoreminden, parantez içindeki ifadenin cismin dan geçen eksene göre
kütle atalet momenti olduğu görülür.
= +
dir. Dolayısıyla kinetik enerji
⁄
ifadesi
=
Burada
, cismin O dan geçen eksene (dönme ekseni) göre kütle atalet momentidir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Genel Düzlemsel Hareket)
Genel Düzlemsel Hareket: Genel düzlemsel hareket
yapan katı cismin açısal hızı ve kütle merkezinin hızı
ise kinetik enerjisi
=
+
Burada, denklemin sağ tarafındaki birinci terim ötelemeden doğan kinetik enerjiyi
gösterirken ikinci terim dönmeden doğan kinetik enerjiyi gösterir. Enerji skaler bir
büyüklük olduğundan birbirine bağlı rijit cisimlerin toplam kinetik enerjisi, hareket
eden tüm parçaların kinetik enerjilerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla, böyle bir
sistemi kinetik enerjisi, her bir cismin hesaplanan kinetik enerjileri toplamı kadardır.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kuvvetin İşi)
Rijit Cisme Etkiyen Kuvvetlerin İşi: Rijit cismin genel düzlemsel hareketi, öteleme ve dönme
hareketinin bileşiminden oluşmaktadır. Bir kuvvetin yaptığı iş, sadece kuvvetin tatbik edildiği
noktanın hareketine bağlıdır. Cismin öteleme veya dönme hareketine bağlı değildir. Bir rijit
cisimle ilgili düzlemsel kinetik problemlerinde çeşitli tipten kuvvetlerle karşılaşılır. Bu
kuvvetlerin her birinin işi, parçacığın davranışının incelenmesinde sunulmuştur. Bunlar özetle
katı cisim için tekrarlanacaktır.
Değişken Kuvvetin İşi: Bir rijit cisim üzerine bir dış kuvveti
etkirse, cisim
yörüngesi boyunca hareket ettiği zaman,
şekilde verilen kuvvet tarafından yapılan iş
=∫
Burada , kuvvet vektörü ile diferansiyel yer değiştirmenin
arasındaki açıdır. Genellikle, integral işleminde kuvvetin
doğrultu ve büyüklüğünün değişimini hesaba katmak gerekir.
Sabit Kuvvetin İşi: Bir rijit cisim üzerine sabit
dış kuvveti
etki ederse, cisim kadar ötelenirken kuvvetin doğrultusu da
sabit kalırsa,
kuvvetinin yaptığı iş
=
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Ağırlığın İşi )
Ağırlığın İşi: Bir cismin ağırlığı, sadece, cismin kütle merkezi
bir ∆ düşey yer değiştirmesi yaptığı takdirde iş yapar. Bu yer
değiştirme yukarı doğru ise, iş negatiftir, çünkü ağırlık ve yer
değiştirme ters yönlüdür.
=− ∆
Bunun gibi, yer değiştirme aşağı doğru ise, iş pozitif olur.
Burada yükseklik aralığının değişiminin küçük olduğu
düşünülmekte olup gravitasyonun neden olduğu ağırlık
kuvvetinin sabit
kabul edilmiştir.
Yay Kuvvetinin İşi: Bir cisme elastik bir yay bağlanmışsa,
cisim üzerine etkiyen
=
yay kuvveti, yay
konumundan farklı bir
konumuna kadar uzama veya
kısalma yaparsa iş yapar. Her iki halde iş negatif olur, çünkü
cismin yer değiştirmesi daima kuvvetle ters yönlüdür, şekil
gösterilen durumda
> olmak üzere, yapılan iş
=−
−
Yayın
uzamamış
boyu s=0
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Yapmayan Kuvvetler)
İş Yapmayan Kuvvetler: Cisim yer değiştirdiğinde iş yapmayan kuvvetler de vardır. Bu
kuvvetler, ya cisim üzerindeki sabit noktalara veya yer değiştirmeye dik doğrultuda
etki ederler. Bir cismin etrafında döndüğü pimdeki tepki kuvvetleri, sabit bir yüzey
boyunca hareket eden cisme etkiyen normal tepki ve ağırlık merkezi yatay bir
düzlemde hareket eden cismin ağırlığı iş yapmayan kuvvetlerdir. Bir cisim pürüzlü bir
yüzey üzerinde kaymadan yuvarlanırken, cisim üzerine etkiyen
yuvarlanma direnç
kuvveti de iş yapmaz. Çünkü
herhangi bir
zaman aralığında, cisim üzerindeki
sıfır hızlı bir noktaya (Ani Dönme Merkezi, ADM) etki eder. Bu yüzden bu noktada
kuvvet tarafından yapılan iş sıfırdır.
A noktasının
yörüngesi
G noktasının
yörüngesi
Bu anda A noktası , , koordinat sisteminin orijinindedir. Yer değiştirmesi yatay olmayıp
düşeydir.
ardışık her bir parçacıkla sadece bir an temas edeceği için
nin işi sıfır olacaktır.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kuvvet Çiftinin veya Momentin İşi)
Kuvvet çiftinin aynı çizgi üzerinde olmayan eşit büyüklükte ve zıt yönlü bir çift
kuvvetten oluştuğunu hatırlayalım. Kuvvet çiftine maruz cisim dönme hareketi
yapıyorsa iş yapar. Bunu göstermek için,
=
momentine sahip bir kuvvet çiftine
maruz cismi göz önüne alalım.
Cismin herhangi bir genel diferansiyel yer değiştirmesinde öteleme ve dönme ayrı
olarak düşünülebilir. Cisim, kuvvetlerin etki çizgisi boyunca yer değiştirme bileşeni
olacak şekilde ötelendiği zaman, bir kuvvetin pozitif işini diğerinin negatif işi yok eder.
Şimdi, cismin, kuvvet çiftinin düzlemine dik olan ve düzlemi O noktasında kesen bir
eksen etrafında bir
diferansiyel dönmesini göz önüne alalım. Şekilde gösterildiği
gibi, her bir kuvvet, kuvvet doğrultusunda
= ⁄
yer değiştirmesine maruz
kalır. Dolayısıyla yapılan toplam iş
=
⁄
+
⁄
=
=
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (Kuvvet Çiftinin veya Momentin İşi)
=
⁄
⁄
+
=
=
Burada,
nın etki çizgisi momentin etki çizgisine paraleldir. Bu, genel düzlemsel
hareket için her zaman geçerlidir. Çünkü ve
hareket düzlemine diktir. ve
aynı yöndeyken bileşke iş pozitif, zıt yönde ise negatiftir. Düzlemde hareket eden
cisim,
değerinden
değerine kadar döndüğünde radyan cinsinden ölçülen açı
ise, kuvvet çiftinin yaptığı iş
=∫
momentinin büyüklüğü sabitse,
=
Buradaki iş,
ve
−
−
aynı yönde olmak koşuluyla pozitiftir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi)
İş Enerji Prensibi:
Partikül için iş ve enerji ilkesi daha önce elde edilmişti. Bir rijit cismin her bir parçacığına bu
ilke uygulanabilir. Enerji skaler olduğundan sonuçlar cebirsel olarak toplanarak rijit cisim için
iş ve enerji ilkesi elde edilir. Cismin ilk ve son kinetik enerjisi daha önceki çalışmalarda
formülle edilmiştir. Dış kuvvetler ve momentlerin yaptığı işi de biraz önce tarif edilmiştir.
Cisim rijit olduğundan, cismin iç kuvvetlerinin yaptığı iş dikkate alınmayacaktır. Bu kuvvetler
eşit, aynı doğru üzerindeki ters yönlü çiftler halinde bulunurlar. Bu yüzden cisim hareket
ettiğinde bir kuvvetin yaptığı iş diğerinin yaptığı işi tarafından yok edilir. Ayrıca, cisim rijit
olduğundan, bu kuvvetler arasında bir bağıl hareket oluşmaz, bu yüzden hiç iş yapılmaz. Buna
göre, bir rijit cisim için iş ve enerji ilkesi
+∑
=
Bu denklem, başlangıçtaki öteleme ve dönme kinetik enerjisi ile cismin üzerine etkiyen
bütün dış kuvvet ve momentlerin, cisim ilk konumundan son konumuna hareket
ederken yaptığı işlerin toplamının, cismın son öteleme ve dönme kinetik enerjisine eşit
olduğunu ifade eder.
Birkaç cisim mafsal bağlı, uzamaz kablolarla birbirine bağlı veya birbirleriyle temas
halindeyse, bu denklem bağlı cisimler sistemine de uygulanabilir.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi)
Enerjinin Korunumu: Bir rijit cisim üzerine etkiyen bir kuvvet sistemi sadece
konservatif kuvvetlerden oluşuyorsa, hareketin analizinde enerjinin korunumu
prensibi kullanılabilir, aksi takdirde analiz iş ve enerji ilkesi kullanılarak yapılır. Bu
prensibi uygulamak, genellikle daha kolaydır. Çünkü konservatif bir kuvvetin işi
yoldan bağımsızdır ve sadece cismin ilk ve son konumuna bağlıdır.
Ağırlığın Potansiyel Enerji: Bir cismin ağırlığının ağırlık merkezinde toplanmış
olduğu düşünüldüğünden, cismin gravitasyonel potansiyel enerjisi, ağırlık merkezinin
başlangıç çizgisinin altında veya üstünde olan uzaklığına göre belirlenir. Buna göre,
yukarı doğru pozitif olarak ölçülen − için, cismin gravitasyonel potansiyel enerjisi
=
Burada, potansiyel enerji
pozitif olduğu zaman pozitiftir, çünkü cisim başlangıç
çizgisine geri dönerken ağırlık pozitif iş yapma yeteneğine sahiptir. Bunun gibi, cisim
başlangıç çizgisinin altında −
bulunuyorsa, gravitasyonel potansiyel enerji
negatiftir. Çünkü, cisim başlangıç çizgisine geri dönerken ağırlık negatif iş yapar.
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi)
Elastik Yayın Potansiyel Enerji: Elastik bir yayın oluşturduğu kuvvet konservatif bir
kuvvettir. Elastik bir cisme bağlanan bir yay, şekil değiştirmemiş konumundan =
uzayarak veya sıkışarak son konumuna ulaştığı zaman, verdiği elastik potansiyel enerji
=+
Şekil değiştirmiş konumda, cisim üzerine etkiyen yay kuvveti, yay başlangıçtaki şekil
değiştirmemiş konumuna geri dönerken daima pozitif iş yapma kapasitesine sahiptir.
Enerjinin Korunumu: Bir cisim hem gravitasyonel hem elastik kuvvetlerin etkisinde ise,
genellikle toplam potansiyel enerji
=
+
cebirsel toplamı ile gösterilen bir
potansiyel fonksiyonu olarak ifade edilebilir. Burada,
nin ölçümü, cismin seçilen başlangıç çizgisine göre konumuna bağlıdır.
Konservatif kuvvetlerin işinin, potansiyel enerjilerdeki fark, yani, ∑
olduğu gerçeğinden hareketle, bir rijit cisim için iş ve enerji ilkesini
+
+ ∑
=
+
=
−
KATI CİSMİN DÜZLEMSEL KİNETİĞİ (İş Enerji Prensibi)
Burada, ∑
sürtünme gibi, cisim üzerine etkiyen konservatif olmayan
kuvvetlerin işini gösterir. Bu terim sıfırsa,
+
=
+
Bu ifade, cismin mekanik enerjisinin korunumu denklemidir. Cismin, bir konumdan diğer
konumuna hareket etmesi halinde potansiyel ve kinetik enerjileri toplamının, sabit
kalacağını ifade eder. Denklem, aynı zamanda pürüzsüz, mafsallı rijit cisimler, uzamaz
iplerle bağlı cisimler, birbiri içine girmiş cisimlerden oluşan sistemlere de uygulanabilir. Bu
durumda, temas noktalarında ortaya çıkan kuvvetler, aynı doğru üzerinde, eşit ve zıt yönlü
olduklarından analiz sonucunda birbirlerini yok edeceklerdir.
ÖRNEK
disk, merkezinden pimle bağlıdır. Diske, çevresine sarılı ipe uygulanan sabit =
kuvveti ve sabit
=
momenti etki etmektedir. Hesaplamalarda ipin kütlesini ihmal
ederek, başlangıçta durmakta olan diskin
/ açısal hıza erişinceye kadar kaç devir
yapması gerektiğini belirleyiniz.
ÇÖZÜM
Kinetik Enerji: Disk merkezinden pimle sabitlenmiş olduğundan dış kuvvetlerin etkisi ile
sadece sabit ekseni etrafında dönme hareketi yapacaktır. Diskin kinetik enerjisi, =
dir.
Burada,
=
kütle atalet momentidir. Disk başlangıçta hareketsiz olduğundan kinetik
enerjisi sıfırdır.
=
=
=
.
⁄
=
ÖRNEK
Serbest Cisim Diyagramı.
Diske etki eden dış kuvvetler, ağırlık ve reaksiyon kuvvetleri diyagramda gösterilir.
Sabitlenmiş noktaya etki eden ağırlık ve reaksiyon kuvvetleri
,
yer değiştirme
yapamadıkları için iş yapmazlar. İşi yapan Moment etkisi ve düşey kuvvetidir.
İş ve Enerji prensibi.
+∑
+
+
=
+
+
.
=
=
=
=
.
olduğu hatırlanırsa,
Serbest Cisim Diyagramı
=
.
= .
ÖRNEK
Basit resmi ve boyut ölçüleri şekilde verilen sistemde, dişli çarkların her biri
kütle
ve
atalet yarıçapına sahiptir.
düz dişli = da, aşağı doğru
/ hızla
hareket etmektedir. Düz dişlinim aşağı doğru düşey doğrultuda =
hareket
etmesi durumunda hızını hesaplayınız. Dişli çarklar kendi eksenleri etrafında,
serbestçe dönmektedirler.
ÖRNEK
ÇÖZÜM:
ve
dişli çarkların kütleri ve atalet
yarıçapları belirli olduğu için kütle atalet momentleri
=
=
ifadesinden hesaplanır. Katı cisimlerin
(düz dişli ve dişli çarklar) başlangıçtaki kinetik enerjileri
belirlidir. Düz dişli ağırlığından dolayı ikinci duruma
erişinceye kadar pozitif iş yapacaktır. Başlangıç durumu
ve =
hareket etmesi durumu arasında iş
enerji bağıntısı yazılırsa
+
+
+
.
.
+
+∑
=
+
=
.
.
.
+
=
+
= .
= .
/
+
.
⁄ .
ÖRNEK
Şekil sistemin başlangıçtaki durumunu göstermekte olup direngenliği =
/
olan yay nominal boyundadır.
kütleli
ve
elemanları,
kütleli ve de
mafsal bağlı dişlilerle birlikte hareket etmektedir. dişli merkezinden saat ibreleri tersi
°
dönme yönünde
=
moment uygulanırsa,
elemanının
döndüğü
pozisyondaki açısal hızını hesaplayınız. Dişli çark ve kolların
ve
dönme
merkezlerinden geçen eksenlere göre kütle atalet yarıçapları sırasıyla
ve
dir.
ÖRNEK
ÇÖZÜM: Başlangıçta durmakta olan sistemin kinetik
enerjisi sıfırdır. Dişli çarka uygulanan moment
sistemi harekete geçirecektir. Kolları birbirlerine
bağlayan yay ise hareketi engellemeye yöneliktir.
° olduğu pozisyonda dişliler ve kollar dönmekte
olduklarından kinetik enerjileri olacaktır.
Eşit büyüklükte olan kolların ağırlıklarının yaptıkları
iş AC yukarı iken AB ise aşağı doğru olduğu için
birbirlerini yok eder. A ve B dişlileri ile AC ve BD
kollarının dönme eksenlerine göre atalet yarıçapları
bilindiği için kütle atalet momentleri
=
ifadesinden belirlenebilir. Dişli ve kol ve aynı açısal
hıza
sahiptir.
ş =
° derece radyan cinsinden ⁄
Moment belirlidir.
olup momentin yaptığı iş
dan hesaplanır. Yay
başlangıçta uzamamış boyda olduğundan yaydaki
°
uzama miktarı
= .
olarak sistemin
pozisyonundan belirlenir. Dişli ve koldan ikişer tane
olduğuna dikkat etmek gerekir.
ÖRNEK
+∑
+
−
−
.
=
=
°
ş
=
. −
=
+
ş
.
= .
.
/
+
.
ÇÖZÜMLÜ
SORULAR
ÇÖZÜMLÜ
SORULAR
ÇÖZÜMLÜ
SORULAR
ÇÖZÜMLÜ
SORULAR