TRİGONOMETRİ 1

Pozitif yönlü AB yayında A ya yayın başlangıç noktası, B
ye yayın bitim noktası denir.
TRİGONOMETRİ 1
D. BİRİM ÇEMBER
I. AÇI, YÖNLÜ AÇI, YÖNLÜ YAY
Analitik düzlemde merkezi O(0, 0) (orijin) ve yarıçapı 1
A. AÇI
birim olan çembere birim (trigonometrik) çember denir.
Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşim kümesine
açı denir. Bu ışınlara açının kenarları, başlangıç noktasına
ise açının köşesi denir.
E. AÇI ÖLÇÜ BİRİMLERİ
Bir açının ölçüsünün büyüklüğünü veya küçüklüğünü
tanımlamak için, bir ölçü birimi tanımlanmalıdır. Açıyı
B. YÖNLÜ AÇI
Birim çemberin denklemi:
Bir açının kenarlarından birini, başlangıç kenarı; diğerini
bitim kenarı olarak aldığımızda elde edilen açıya yönlü
x2 + y2 = 1 dir.
açı denir.
Açılar adlandırılırken önce başlangıç, sonra bitim kenarı
yazılır.
Kural
ölçmek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek
demektir.
Açının köşesi etrafında, başlangıç kenarından bitim
kenarına iki türlü gidilebilir. Bunlardan biri saatin
dönme yönünün tersi, ikincisi ise saatin dönme yönünün
aynısıdır.
Genellikle iki birim kullanılır. Bunlar; derece ve
radyandır.
Saatin dönme yönünün; tersi olan yöne pozitif yön, aynı
1. Derece
olan yöne negatif yön denir.
Bir tam çember yayının 360 eş parçasından birini gören
merkez açının ölçüsüne 1 derece denir. Ve 1° ile
Açıların yönü ok yardımıyla belirlenir.
gösterilir.
C. YÖNLÜ YAYLAR
1°=60dk ve 1dk=60sn
O merkezli
1°=60’=3600’’ dır
çemberde
ile bu
açının iç bölgesindeki
noktaların kümesinin O
merkezli çemberle
kesişimi AB yayıdır. AB
ÖRNEK1
27853sn derece dakika ve saniye cinsinden yazınız.
yayı,
biçiminde
gösterilir.
ÖRNEK2
nın yönü olarak, AOB açısının yönü alınır.
m(A)= 37° 47’ 36’’
Şekildeki AOB açısının yönü pozitif olduğundan,
m(B)= 29° 57’ 46’’ ise m(A)+m(B)=?
da pozitif yönlüdür.
1
ÖRNEK3
Açının birimi ne olursa olsun, esas ölçü negatif
yönlü olamaz. Diğer bir ifadeyle esas ölçü [0°, 360°)
aralığındadır.
m(A)= 67° 25’ 16’’
m(B)= 29° 57’ 46’’ ise m(A)-m(B)=?
Derece cinsinden verilen pozitif açılarda, açı 360°
ye bölünür. Elde edilen kalan esas ölçüdür.
2. Radyan
Derece cinsinden verilen negatif yönlü açılarda,
açının mutlak değeri 360° ye bölünür; kalan 360° den
Yarıçap uzunluğuna eşit uzunluktaki bir yayı gören
çıkarılarak esas ölçü bulunur.
merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir.
Radyan cinsinden verilen açılarda açının içerisinden
Uyarı
2p nin katları atılır. Geriye kalan esas ölçüdür.
Birim çemberin çevresi 360° veya 2
radyan olduğu için, 360° = 2 radyan dır.
Radyan cinsinden verilen negatif yönlü açıların esas
ölçüsü bulunurken, verilen açı pozitif yönlü açı gibi
düşünülerek esas ölçü bulunur. Bulunan değer 2p den
çıkarılır.
Kural
Derece D ile radyan R ile gösterilirse,
nin esas ölçüsü aşağıdaki yolla da
bulunabilir. a sayısı b nin 2 katına bölünür. Kalan p nin
kat sayısı olarak paya yazılır payda aynen yazılır.
ÖRNEK4
a nın b nin 2 katına bölümünden kalan k ise
esas ölçüsü dir.
135 derece kaç radyandır.
ÖRNEK6
ÖRNEK5
5
6
1720
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
radyan kaç derecedir.
F. ESAS ÖLÇÜ
ÖRNEK7
olmak üzere, birim
çember üzerinde a açısı ile
a + 2k açısı aynı noktaya karşılık gelmektedir. Buna
-150
göre,
olmak üzere,
ölçüsü a + 2k olan açının esas ölçüsü a derecedir.
2
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
nin
II. TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLAR
A. KOSİNÜS FONKSİYONU
ÖRNEK8
Bir x reel sayısını cosx e dönüştüren fonksiyona kosinüs
-1950
fonksiyonu denir. Birim çember üzerinde P(x, y) noktası
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
ile eşlenen açı
olmak üzere, P noktasının
apsisine, a reel (gerçel) sayısının kosinüsü denir ve cosa
ile gösterilir.
x = cosa dır.
Kosinüs fonksiyonunun
ÖRNEK9
20
3
görüntü kümesi (aralığı),
[–1, 1] dir. Yani,
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
her
için,
–1  cos  1 dir.
ÖRNEK10
21

4
Şekilde,
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
x = cosa, y = sina
|OK| = sina ve
|OH| = cosa olduğuna göre, OHP dik üçgeninde;
|OH|2 + |PH|2 = 12
cos2a + sin2a = 1 dir.
  

2
cos   sin 
sin 2   sin 2   1
cos 2   cos 2   1
3
B. SİNÜS FONKSİYONU
ÖRNEK12
Bir x reel sayısını sinx e dönüştüren fonksiyona sinüs
fonksiyonu denir.
sin 2 (2 x  25)  cos2 ( x  10)  1 ise x dar
açısının ölçüsü kaç derecedir.
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen
açı
olsun. P noktasının ordinatına, a
ÖRNEK13
reel (gerçel) sayısının sinüsü denir ve sina ile gösterilir.
sin 2 (2 x  25)  sin2 ( x  10)  1 ise x dar
açısının ölçüsü kaç derecedir.
y = sina
C. TANJANT FONKSİYONU
Sinüs
fonksiyonunun
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen
görüntü kümesi
(aralığı), [–1, 1]
dir. Yani,
her  
açı
olsun. [OP nın x = 1 doğrusunu
kestiği T noktasının ordinatına, a reel (gerçel) sayısının
tanjantı denir ve tana ile gösterilir.
için,
–1  sin  1 dir.
x = 1 doğrusuna tanjant ekseni denir.
Sonuç
t = tana dır.
Şekilde,
A(1, 0) olduğundan, cos0° = 1 ve sin0° = 0 dır.
B(0, 1) olduğundan, cos90° = 0 ve sin90° = 1 dir.
C(–1, 0) olduğundan, cos180° = –1 ve sin180° = 0 dır.
D(0, –1) olduğundan, cos270° = 0 ve sin270° = –1 dir.
D. KOTANJANT FONKSİYONU
Birim çember üzerinde P(x, y) noktası ile eşlenen
ÖRNEK11
açı
olsun. [OP nın y = 1 doğrusunu
kestiği K noktasının apsisine, a reel (gerçel) sayısının
kotanjantı denir ve cota ile gösterilir.
sin 2 40  cos 2 ( x  10)  1 ise x dar açısının ölçüsü
kaç derecedir.
y = 1 doğrusuna kotanjant ekseni denir.
4
SIRA SİZDE
ÖRNEK16
200 derece kaç radyandır.
c = cota
ÖRNEK17
2
5
x y 
radyan kaç derecedir.

2
tan x.cot x  1
tan x.tan y  1
ÖRNEK18
cot x.cot y  1
37850sn derece dakika ve saniye cinsinden yazınız.
ÖRNEK14
ÖRNEK19
tan(2 x  20).cot( x  10)  1
ise x dar açısının
m(A)= 47° 27’ 35’’
ölçüsü kaç derecedir.
m(B)= 22° 17’ 45’’ ise m(A)+m(B)=?
ÖRNEK20
ÖRNEK15
tan( x  20).tan( x  10)  1
m(A)= 47° 25’ 12’’
ise x dar açısının
ölçüsü kaç derecedir.
m(B)= 22° 27’ 36’’ ise m(A)-m(B)=?
5
ÖRNEK21
-135
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
c = coseca
ÖRNEK22
s = seca
-2050
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
MATEMATİK’İM
Kural
ÖRNEK23
44
3
açısının esas ölçüsünü bulunuz.
Sonuç
cosecx ve secx in sonucu (–1, 1) aralığındaki sayılara
eşit olamaz.
ÖRNEK24

41
5
1 + tan2x = sec2x
açısının esas ölçüsünü bulunuz
1 + cot2x = cosec2x
E. KOSEKANT, SEKANT FONKSİYONU
ÖRNEK25
Birim çember üzerinde
üzere,
olmak
Aşağıdaki ifadelerin eşitini bulalım.
a) sin x.cot x  ?
P noktasındaki teğetin y eksenini kestiği noktanın
ordinatına, a reel (gerçel) sayısının kosekantı denir ve
csca ile ya da coseca gösterilir.
b)
P noktasındaki teğetin x eksenini kestiği noktanın
apsisine, a reel (gerçel) sayısının sekantı denir ve seca ile
gösterilir.
6
cos 2 x
 sin x  ?
1  sin x
Uyarı
c)
sec 2 x  tan 2 x  ?
cosa nın işaretinin sina nın işaretine bölümü cota nın
işaretini; sina nın işaretinin cosa nın işaretine bölümü tana
nın işaretini verir.
4. bölgede de tana ile cota nın işareti aynıdır.
d)
ÖRNEK26
(1  cot 2 x)sin x  ?
Aşağıdaki fonksiyonların işaretlerini bulunuz.
f)
g)
sin 23  cos 47
?
sin 43  cos 67
3
3

?
2
sec x cos ec 2 x
cos71
d) cot145
MATEMATİK’İM
e)
a)
sin x cos x

?
sec x cos ecx
b) sin85
e) cos
h)
sin( 
2
)
5
k)
sin( 
44
)
5
g)
c) tan102
5
4
f)
sin1547
l)
cos(
sin
ı)
2
5
tan(547)
32
)
3
F. DİK ÜÇGENDE DAR AÇILARIN
TRİGONOMETRİK ORANLARI
h)
2ta n 83  cot 27
1  ?
tan 63  2cot 7
Koordinat Sisteminde, Birim Çemberdeki Dört
Bölgeye Göre Kosinüs ve Sinüs Fonksiyonlarının
İşaretleri
BCA dik üçgeninde, aşağıdaki eşitlikleri yazabiliriz.
7
Ölçüleri toplamı 90° olan (tümler) iki açıdan birinin sinüsü,
diğerinin kosinüsüne; birinin tanjantı, diğerinin kotanjantına;
birinin sekantı, diğerinin kosekantına eşittir. Buna göre,
ÖRNEK27
3
 x  2
2
1
3
ise
cos x  ?
değerlerin çok iyi bilinmesi soruları daha hızlı çözmenizi sağlar.
ÖRNEK28
0 x
tan x 

2
1
3
Bazı dar açıların trigonometrik değerleri aşağıda verilmiştir. Bu
MATEMATİK’İM
sin x  
ise
x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere,
trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu
bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki
işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında
fonksiyonların adı farklı olur. Bu farklılık, sinüs
için kosinüs, kosinüs için sinüs, tanjant için
kotanjant, kotanjant için de tanjanttır.
cos x.sin x  ?
sin(180   ) cos(180   ) tan(180   )
cot(180   ) sin(360   ) cos(360   )
tan(360   ) cot(360   )
ÖRNEK29
sin x  cos x
2
sin x  cos x
ise
tan x  ?
ise
cot x  ?
x açısı; dar açı olarak kabul edilmek üzere,
trigonometrik değerin hangi bölgede olduğu
bulunur. Daha sonra, fonksiyonun o bölgedeki
işareti belirlenir. Eşitliğin iki tarafında
fonksiyonların adı aynı olur.
ÖRNEK30
sin x  cos x 2

sin x  cos x 3
sin(90   ) cos(90   ) tan(90   )
cot(90   ) sin(270   ) cos(270   )
tan(270   ) cot(270   )
8
3
  )   cos 
2
3
cos(   )   sin 
2
kural:
sin(

sin(   )  cos 
2
3
  )  cot 
2
3
co t(   )  tan 
2

tan(
cos(   )  sin 
2

tan(   )  cot 
2
sin(


sin(   )  cos 
2

cos(   )   sin 
2
MATEMATİK’İM
co t(   )  tan 
2
3
  )   cos 
2
cos(
tan(
3
  )  sin 
2
3
  )   cot 
2
co t(

tan(   )   cot 
2
3
  )   tan 
2
sin(2   )  sin( )   sin 

co t(   )   tan 
2
cos(2   )  cos( )  cos 
sin(   )  sin 
tan(2   )  tan( )   tan 
cos(   )   cos 
co t(2   )  cot( )   cot 
tan(   )   tan 
ÖRNEK31
co t(   )   cot 
 dar açı

2
sin(   ) 
ise cos  ?
sin(   )   sin 
2
3
cos(   )   cos 
tan(   )  tan 
ÖRNEK32
 dar açı
3
1
cos(   )  ise
co t(   )  cot 
2
9
3
tan   ?
ÖRNEK33
ÖRNEK37
 dar açı
3
tan(   )  2 ise
cos87cos27  sin87.sin 27  ?
2
cos  ?
ÖRNEK38
sin37cos23  sin 23.cos37  ?
TOPLAM FARK FORMÜLLERİ
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a
ÖRNEK39
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
cos122 sin122

?
sin 32 cos32
tan(a  b) 
tan a  tan b
1  tan a.tan b
tan(a  b) 
tan a  tan b
1  tan a.tan b
MATEMATİK’İM
cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
ÖRNEK34
YARIM AÇI FORMÜLLERİ
sin105  ?
sin 2a  2sin a.cos a
cos 2a  cos 2 a  sin 2 a
 2cos 2 a  1
ÖRNEK35
 1  2sin 2 a
cos75  ?
tan 2a 
ÖRNEK36
tan15  ?
10
2 tan a
1  tan 2 a
ÖRNEK44
ÖRNEK40
16x  
sin 40
?
cos 70
[
sin 6 x cos 6 x

]sin 4 x  ?
sin 2 x cos 2 x
ÖRNEK41
DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
MATEMATİK’İM
cos 40  1
?
sin 70
x y
x y
.cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2sin
.cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2co s
.co s
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2sin
.sin
2
2
sin x  sin y  2sin
ÖRNEK42
1  cos 20
?
sin 20
ÖRNEK45
sin75  sin15  ?
ÖRNEK46
ÖRNEK43
a
sin10  x

3
cos3a  cos5a
?
sin 3a  sin 5a
sin 25 cos 25

?
sin 5
cos5
11
ÖRNEK47
ÖRNEK50
cos a  cos3a  cos5a
?
sin a  sin 3a  sin 5a
2sin50.cos20  cos20  ?
ÖRNEK51
TERS DÖNÜŞÜM FORMÜLLERİ
1
sin( x  y)  sin( x  y)
2
1
cos x.cos y   cos( x  y )  co s( x  y ) 
2
1
sin x.sin y    co s( x  y )  co s( x  y ) 
2
sin x.cos y 
ÖRNEK48
MATEMATİK’İM
cos 25.cos 65
?
sin 50
ÖRNEK49
sin 75.cos15
?
sin 30
12
ÖRNEK52
ÖRNEK53
ÖRNEK56
ÖRNEK57
MATEMATİK’İM
ÖRNEK54
ÖRNEK58
ÖRNEK55
13
TRİGONOMETRİ 2
I. PERİYODİK FONKSİYONLAR
f, A kümesinden B kümesine tanımlı bir fonksiyon olsun.
f:A®B
olur.
Her x Î A için f(x + T) = f(x)
Kural
olacak şekilde sıfırdan farklı en az bir T reel sayısı varsa;
f fonksiyonuna periyodik fonksiyon, T ¹ 0 reel sayısına f
nin periyodu denir. Bu eşitliği gerçekleyen birden fazla T
a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak
üzere,
reel sayısı varsa, bunların pozitif olanlarının en küçüğüne
f fonksiyonunun esas periyodu denir.f(x) in esas periyodu
f(x) = a + b × tanm(cx + d)
T ise, k tam sayı olmak üzeref(x) in periyodu k × T dir.
g(x) = a + b × cotm(cx + d)
periyotları T olsun.
MATEMATİK’İM
TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
PERİYOTLARI
fonksiyonlarının esas
Bu durumda,
Kural
fonksiyonlarının esas periyodu,
g(x) ve h(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak
katına (e.k.o.k. una) eşittir.
olduğu için sinx, cosx, tanx ve cotx fonksiyonları
periyodiktir.
Uyarı
sinx ve cosx fonksiyonlarının periyodu 2kp, tanx ve cotx
fonksiyonlarının periyodu kp dir.
sinx ve cosx fonksiyonlarının esas periyodu (k = 1 için)
2p; tanx ve cotx fonksiyonlarının esas periyodu p dir.
Buradaki kesirleri en sade biçimde olmalıdır.
f(x) = h(x) × g(x) olmak üzere, f(x) in esas periyodu, h(x) ve
g(x) fonksiyonlarının esas periyotlarının en küçük ortak
katına (e.k.o.k. una) eşit olmayabilir.
Kural
a, b, c, d birer reel sayı ve m pozitif tam sayı olmak
üzere,
Eğer, f(x) = h(x) × g(x) in esas periyodu bulunacaksa, f(x) i
fonksiyonların toplamı biçiminde yazarız. Sonrada toplanan
fonksiyonların esas periyotlarının en küçük ortak katı alınır.
f(x) = a + b × sinm(cx + d)
g(x) = a + b × cosm(cx + d)
Yukarıdaki açıklamalar bölünen fonksiyonlar için de
geçerlidir.
fonksiyonlarının esas periyotları T olsun.
Bu durumda,
14
ÖRNEK59
II. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN
GRAFİKLERİ
f ( x)  sin 2 (3x  5) fonksiyonun esas
peryodunu bulunuz.
fonksiyonu bire bir
ve örtendir.
fonksiyonu bire bir
örtendir.
Trigonometrik fonksiyonların grafikleri çizilirken,
ÖRNEK60
1. Fonksiyonun esas periyodu bulunur.
f ( x)  sin 5 (2 x  5) fonksiyonun esas
2. Bulunan periyoda uygun bir aralık seçilir.
MATEMATİK’İM
peryodunu bulunuz.
3. Seçilen aralıkta fonksiyonun değişim tablosu yapılır.
Bunun için, fonksiyonun bazı özel reel sayılarda alacağı
değerlerin tablosu yapılır. Tabloda fonksiyonun aldığı
değer bir sonraki aldığı değerden küçük ise (aldığı değer
artmış ise) o aralığa
sembolünü yazarız. Eğer,
fonksiyonun aldığı değer bir sonraki aldığı değerden
büyük ise (aldığı değer azalmış ise) o aralığa
sembolünü yazarız.
4. Seçilen bir periyotluk aralıkta fonksiyonun grafiği
çizilir. Oluşan grafik, fonksiyonun periyodu aralığında
ÖRNEK61
tekrarlanacağı unutulmamalıdır.
f ( x)  sin 5 (2 x  5)  cos(3x  5)
fonksiyonun esas peryodunu bulunuz.
A. SİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.
ÖRNEK62
f ( x)  ta n 5 (2 x  5)  cot( x  5) fonksiyonun
esas peryodunu bulunuz.
15
ve
B. KOSİNÜS FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonu
bire bir ve örtendir.
fonksiyonunun grafiği aşağıda çizilmiştir.
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
C. TANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
III. TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLAR
fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.
MATEMATİK’İM
A. ARKSİNÜS FONKSİYONU
f(x) = sinx fonksiyonunun tanım aralığı
alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten
olur.
Bu durumda,
D. KOTANJANT FONKSİYONUNUN GRAFİĞİ
fonksiyonunun tersi,
f–1(x) = sin–1x veya f–1(x) = arcsinx
fonksiyonunun grafiği kesiksiz olarak çizilmiştir.
şeklinde gösterilir ve
Sonuç
16
B. ARKKOSİNÜS FONKSİYONU
f(x) = cosx fonksiyonunun tanım aralığı
[0, p] alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten olur. Bu
durumda,
f : [0, p] ® [–1, 1]
D. ARKKOTANJANT FONKSİYONU
f(x) = cosx
fonksiyonunun tersi,
f–1(x) = cos–1x veya f–1(x) = arccosx
fonksiyonu bire bir ve örtendir.
arccos : [–1, 1] ® [0, p] dir.
C. ARKTANJANT FONKSİYONU
MATEMATİK’İM
şeklinde gösterilir ve
fonksiyonuna cotx in ters fonksiyonu denir. Kotanjant
fonksiyonunun tersi,
f(x) = tanx fonksiyonunun tanım aralığı
şeklinde gösterilir.
alınırsa bu fonksiyon bire bir ve örten
olur.
Sonuç
Bu durumda,
Bir fonksiyonun ters fonksiyonunun ters
fonksiyonu fonksiyonun kendisine eşittir.
sin(arcsinx) = x tir.
cos(arccosx) = x tir.
fonksiyonunun tersi,
tan(arctanx) = x tir.
f–1(x) = tan–1x veya f–1(x) = arctanx
cot(arccotx) = x tir.
şeklinde gösterilir ve
17
Sonuç
q = arcsinx ise, x = sinq dır.
q = arccosx ise, x = cosq dır.
q = arctanx ise, x = tanq dır.
a2 = b2 + c2 – 2. b.c.cosA dır.
q = arccotx ise, x = cotq dır.
b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB dir.
c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosC dir.
C. ÜÇGENİN ALANI
IV. ÜÇGENDE TRİGONOMETRİK BAĞINTILAR
A. SİNÜS TEOREMİ
Kural
MATEMATİK’İM
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak
üzere,
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları a, b, c;
çevrel çemberinin yarıçapı R birim olmak üzere,
ÖRNEK63
B. KOSİNÜS TEOREMİ
ÖRNEK64
Kural
Bir ABC üçgeninin kenar uzunlukları; a, b, c olmak
üzere,
18
ÖRNEK66
ÖRNEK68
MATEMATİK’İM
ÖRNEK65
ÖRNEK69
ÖRNEK67
19
C noktası
ÖRNEK70
a  2k
D noktasına
a  2k
reel sayısı karşılık gelir.
Sonuç
cosx = cosa biçimindeki denklemlerin
çözüm kümesi:
ÖRNEK72
cos x  1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
ÖRNEK71
ÖRNEK73
cos x 
1
2
denkleminin
0, 2  aralığında çözüm
TRİGONOMETRİ 4
TRİGONOMETRİK DENKLEMLER
MATEMATİK’İM
kümesini bulunuz.
İçinde bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonları bulunan,
bilinmeyenin bazı değerleri için doğru olan eşitliklere,
trigonometrik denklemler denir. Denklemi sağlayan
değerlere, denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu
kümeye de çözüm kümesi denir. Çözüm kümesini
bulmak için yapılan işlemlere de denklemi çözme denir.
ÖRNEK74
cos 2 x 
A. cosx
= a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
3
2
denkleminin
çözüm kümesini bulunuz.
Kosinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki
görüntüleri C ve D noktaları olsun.
olur.
Bu durumda, cosx = a nın çözüm kümesi,
20
0, 2  aralığında
ÖRNEK75
cos 4 x 
ÖRNEK77
1
3
denkleminin
sin 2 x  sin x  2  0
0, 2  aralığında çözüm
denkleminin
0, 2 
aralığında çözüm kümesini bulunuz.
B. sinx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Sinüsü a olan reel sayıların, birim çemberdeki görüntüleri
C ve D noktaları olsun.
MATEMATİK’İM
kümesi kaç elemanlıdır?
C. tanx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
Tanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki
görüntüleri C ve E noktaları olsun.
olur.
olmak üzere,
C noktasına
a  2k ve
E noktasına
C noktası
  a  2k
a  2k
D noktasına
(  a)  2k
reel sayısı karşılık gelir.
Her iki açının da tanjant eksenindeki görüntüsü D
reel sayısı karşılık gelir.
noktasıdır.
Tanjant fonksiyonunun esas periyodu
tanx =a nın çözüm kümesi
ÖRNEK76
sin x 
1
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
2
21

olduğundan
ÖRNEK78
Uyarı
tan x  3 denkleminin çözüm kümesini
Bir trigonometrik denklemin herhangi bir aralıktaki
kökü istendiğinde, denklemin çözüm kümesi
bulunur. Daha sonra k yerine, … , –1, 0, 1, … tam
sayıları yazılarak kökler bulunur. Bu köklerden
verilen aralıkta olanları alınır.
bulunuz.
D. cotx = a DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜ
MATEMATİK’İM
Kotanjantı a olan reel sayıların, birim çemberdeki
görüntüleri C ve E noktaları olsun.
olmak üzere,
C noktasına,
a  2k
ve
E noktasına,
a  2k
reel sayısı karşılık
gelir.
Her iki açının da kotanjant eksenindeki görüntüsü D
noktasıdır.
Kotanjant fonksiyonunun esas periyodu p olduğundan
cotx = a nın çözüm kümesi,
ÖRNEK79
cot 3x  1 denkleminin 0, 2  aralığında çözüm
kümesini bulunuz.
22
23
24
25