saü mühendislik fakültesi inşaat mühendisliği bölümü

SAÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ İNŞAAT MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ
İSTATİSTİK DERS NOTLARI
KONU8: NORMAL DAĞILIM
Sürekli İhtimal Dağılımı
NORMAL DAĞILIM
Sürekli rastlantı değişkenlerinin alabileceği reel sayı aralıklarına ihtimaller bağlamak için
kullanılan özel bir yoldur. Bu ihtimaller, normal eğri denilen özel bir eğri yardımıyla belirtilir
ve standart normal rastlantı değişkeni denilen özel bir cinste bir rastlantı değişkenine bağlanır.
İstatistik analizlerde en çok kullanılan ve diğer ihtimal dağılımlarına göre en önemli olan
dağılım NORMAL dağılımdır. Normal dağılım eğrisi çan şeklinde, tek maksimumlu ve
simetrik bir yapıya sahiptir.
NORMAL DAĞILIMIN özellikleri
1.
2.
3.
4.
Normal dağılım y eksenine göre simetriktir asimetri ölçüsü (α3) sıfırdır.
Normal dağılım ortalaması µ ve standart sapması ϭ ile tanımlanır.
Ortalama, medyan ve mod normal eğrinin tepe noktasının bulunduğu yerdedir.
Normal eğri altında kalan alanlar, tesadüfi değişken için ihtmalleri gösterir. Eğri
altında kalan toplam alanın değeri 1 dir. (0.50 si ortalamanın sağında, 0.50 si ise
solunda)
NORMAL DAĞILIMın özellikleri
5. Standar
Standartt sapma, normal eğrinin geniş
genişliğ
liğini
(değ
değişkenlik)
kenlik) belirler:
belirler: Standart sapma bü
büyüdükçe
eğrinin bası
basıklığı
klığı artar.
artar.
 = 15
 = 25
x
23
6. Ortalama negatif, sıfır veya pozitif herhangi bir sayısal değeri alabilir.
NORMAL DAĞILIMın özellikleri
7. Asimetrisi

Bası
Basıklığı
klığı
α4= 3 ise NORMAL
α4<3 ise BASIK
α4> ise SİVRİ
As = 0 ise seri simetriktir
As  0 ise seri sağa çarpık
As  0 ise seri sola çarpık
| As | > 0.50 ise Asimetri kuvvetli
Teorik sınırlar:
-3 < As < +3
0.50
0.50

-∞
Tesadü
Tesadüfi
Tesadüfi
değ
değişkenin
değişkenin
alt sı
sınırı
sınırı

+∞
xi
Tesadü
Tesadüfi
Tesadüfi
değ
değişkenin
değişkenin
ü
st sı
sınırı
üst
sınırı
Normal
dağı
dağıllım
dağılım
ortalaması
ortalaması
25
1.Tesadüfi değişken değerlerinin 68.26% i Ortalamadan ± 1 standart sapma
gösteren aralıkta bulunur.
2. Tesadüfi değişken değerlerinin 95.44% ü Ortalamadan ± 2 standart sapma
gösteren aralıkta bulunur.
3. Tesadüfi değişken değerlerinin 99.72% i Ortalamadan ± 3 standart sapma
gösteren aralıkta bulunur.
99.72%
95.44%
68.26%
 – 3
 – 2
 – 1

 + 1
 + 3
x
 + 2
29
NORMAL DAĞILIM fonksiyonu
2
f(x) =
1
√ 2π
_ (X- )
2
. e 2
f(x) = Normal Eğri fonksiyonu
 = Ana kütle Standard Sapması
 = 3.14159
e = 2.71828
x = Tesadüfi değişkenin değeri (- < x < )
 = Ana kütle Ortalaması
31
STANDART NORMAL DAĞILIM
Normal dağılıma sahip tesadüfi bir değişkenin ortalaması (µ= 0) ve standart sapması (ϭ =1)
ise bu dağılım, standard normal ihtimal dağılımı olarak adlandırılır.
Standart normal tesadüfi değişken: Elverişli değerleri -∞ ile +∞ arasındaki reel sayılar olan
bir x tesadüfi değişken için eşitliği aşağıda verilen normal eğri ile x ekseni arasında a dan b ye
kadar kalan alana değerce eşit ihtimaller, a dan b ye kadar olan sayılar aralığına bağlanırsa, bu
x değişkenine standart normal tesadüfi değişken denir.
ÖZELLİKLERİ veya normal dağılımdan farkları
1. Standart Normal dağılımın ortalaması (µ= 0) ve standart sapması (ϭ =1) dir.
Normal dağılımda Standart sapma, normal eğrinin genişliğini
(değişkenlik) belirler, Standart sapma büyüdükçe eğrinin basıklığı artar.
Normal dağılımın Ortalaması negatif, sıfır veya pozitif herhangi bir
sayısal değeri alabilir.
2. Standart normal dağılımda z=0 ve y= 1/√2π koordinatlı nokta eğrinin en yüksek noktasıdır.
STANDART NORMAL DAĞILIM
Standard Normal Dağılıma Dönüştürme
Standard normal tesadüfi değişkeni belirtmek için
z harfi kullanılır.
z=0 ve y= 1/√2π koordinatlı nokta eğrinin en yüksek noktasıdır
y
y (z=0; y=1/√2π)

0
z
38
STANDART NORMAL DAĞILIM
Standard Normal Dağılıma Dönüştürme
2
-(X- )
f(x) =
1
√ 2π
z
2
. e 2
x

Yukarıdaki normal dağılım fonksiyonunda (x- µ) /ϭ yerine z
kullanılır ve standart sapması ϭ=1 olduğu dikkate alınırsa veya
Yukarıdaki eşitlikte doğrudan ϭ=1, µ=0 konulursa bilinen normal
dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekli alır:
39
STANDART NORMAL DAĞILIM fonksiyonu
Standard Normal Dağılıma Dönüştürme
-(z2)
y=
1
√ 2π
z
x

.e 2
y = Normal Eğri fonksiyonu
 = 3.14159
e = 2.71828
z = Tesadüfi değişkenin değeri (- < x < )
40
Standard Normal Dağılım
z=
Normal
D
ağıl
ğılım
Dağılım
X-

Standard Normal
D
ağıl
ğılım
Dağılım
= 1


X
= 0
Z
42
STANDART NORMAL DAĞILIM HESABI (alanların / ihtimallerin hesabı)
Mesela: Ortalaması µ=5, standart sapması ϭ=10 olan bir normal dağılımı, x in 6.2 değeri için
standartlaştırma ve ihtimal hesabı: (x = 6.2
µ=5 ϭ=10)
1. işlem: Önce verilen x için z bulunur
z= (x-µ)/ ϭ z=(6.2 -5 )/10 = 0.12
2. İşlem: Normal dağılım alan tablosundan hesaplanan z ye karşılık gelen alan başka bir
ifade ile ihtimal aşağıdaki şekilde bulunur:
Z nin (0.1) lik kısmı tablonun birinci kırmızı sütundan bulunur, (0.02) lik kısmı tablonun ilk
kırmızı satırından bulunur; ilgili satır ve sütunun kesiştiği hücredeki değer hesaplanması
gereken ALAN VEYA İHTİMAL değeridir.
Tablo yardımıyla ihtimalin Bulunması
Standard Normal ihtimal Tablosu
Tablosu
((tablonun
tablonun bir kı
ısmı
kkısmı)
smı)
Z
.00
.01
Taralı alan
hesaplanıyor
=1
.02
0.0 .0000 .0040 .0080
0.0478
0.1 .0398 .0438 .0478
0.2 .0793 .0832 .0871
= 0 .12 Z
0.3 .1179 .1217 .1255
53
Tablo yardımıyla
ihtimalin Bulunması
X -  6.2 - 5
=
= 0.1 2
Z= 
10
0.1 2
Z = 0.1
Z
0.0
0.1
0.2
0.3
0.00
0.00
0.0 21
0.02
0.02
0.0000
0.0040
0.0080
0.0398
0.0438
0.0478
0.0793
0.0832
0.0871
0.1179
0.1217
0.1255
54
 SAYISAL ÖRNEK:
Bir ampül fabrikasında üretilen ampullerin dayanma süresi, ortalam = 800 saat ve
standart sapması= 40 saat ile normal dağılım göstersin.
Herhangi bir ampulün:
 800 - 880 saat arasında dayanma ihtimali
 720 - 800 saat arasında dayanma ihtimali nedir?
ÇÖZÜM: 800-880 saat için
Çözüm 1a
800-880 saat arasında dayanma ihtimali?
P(800≤X≤880)=?
1. Önce
µ=800
ϭ=40
X1=800 ve X2=880 için z1 ve z2 hesaplanır
z1 =
z2 =
X1 - 

X2 - 

=
800800-800
=0
40
Z1= 0.00
=
880880-800
=2
40
Z2=2.00
56
Çözüm 1a
2. Z1 ve Z2 ye karşılık gelen ihtimal değerleri tablodan
bulunur.
P(800≤X≤880)=?
Z1=0.00
Z2=2.00
=800
X=880
Z1=0
Z2=2
z
0,0
0,1
0,2
.
.
2,0
2,1
için tablo değ
değeri:
0,00
0,0000
0,0398
0,0793
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,4773 0,4778
0,4821 0,4826
0.0000
için tablo değ
değeri: 0.4773
57
ÇÖZÜM: 720-800 saat için
Çözüm 1b
720-800 saat arasında dayanma ihtimali
P(720 ≤ X ≤ 800)=?
X=720
 = 800
Z=-2
z=
X1 - 

0
=
Xİ
Zİ
720720-800
= -2
40
z
0,0
0,1
0,2
.
.
2,0
2,1
0,00
0,0000
0,0398
0,0793
0,01
0,0040
0,0438
0,0832
0,4773 0,4778
0,4821 0,4826
P(720≤X≤800)=0,4773
59