BELİRSİZLİK HALİNDE M-H

BELİRSİZLİK HALİNDE M-H-K ANALİZLERİ
Yönetim kararlarının hepsinde ortak olan nokta ileriye dönük
olmalarıdır. Gelecek ise belirsizdir. Bu nedenle analizlerde, gelecekteki
koşulların genellikle tahmin edilebildiği varsayımından hareket etmek
zorunluluğu ile karşılaşmaktayız.
Bu suretle belirsizlik hali analize dahil edilmektedir. Halbuki,
belirsizlik halinin analizlerde göz önüne alınmaması bu analizlerden sağlanacak
yararı büyük ölçüde azaltabilir.
İşletme yönetiminin A ve B mamullerinin üretiminde karar vermesi
gerektiğinde işletme yönetimi A ve B mamulleri arasında kayıtsız mı kalacaktır?
Bu iki mamule ait satış tahminleri kesin değilse, bu soruya olumsuz cevap
vermek gerekir. Satış tahminleri belirsiz olduğu sürece bu mamullere ilişkin
oransal rizikoların analizde göz önünde tutulması, alınacak kararlar üzerinde
olumlu etki yapacaktır. İşte, bu kesimde Maliyet-Hacim-kar analizlerine
istatistiksel olasılık teorisinin uygulanması suretiyle bu analizlerin daha yararlı
bir hale nasıl getirebileceği incelenecektir.
Alınacak kararlar üzerinde rol oynayacak etkenler, satış fiyatı,
b,irim değişken maliyet, toplam sabit maliyet ve her bir mamulün beklenen satış
hacimleridir. Karar almayı gerektiren bu tür problemlerde bu dört etkenin hepsi
belirsiz olabilmektedir. Ancak beklenen satış miktarına oranla satış fiyatları ve
maliyetler oldukça belirli bulunabilir. Böyle bir durumda yönetici bu etkenleri
kesin olarak alıp, analizleri beklenen satışlar üzerinden yapabilir ki, böyle bir
tutum analizleri oldukça kolaylaştıracaktır. Bu yöntemde bu yolu izleyecek ve
satış hacmi dışındaki etkenleri biliyor kabul edeceğiz.
Satış hacmi tesadüfi bir değişken olarak ele alınmıştır. İstatistikte
tesadüfi değişken, miktarı bilinmeyen herhangi bir değişkendir. Örnekte diğer
değişkenler bilindiğine göre, alınacak kararın doğruluğu tesadüfi değişken olan
satış hacimlerine bağlıdır. Belirsizlik halini göz önünde bulunduran karar
şekillerinden biri ise, tesadüfi değişkenin alabileceği çeşitli değerlere ilişkin
olasılıkların tahminidir. Böyle bir tahmin sübjektif olasılık dağılımı adını alır.
Bundan sonra yapılacak iş, en yüksek beklenen değere sahip olan alternatifin
seçilmesidir. Aşağıdaki örnekte görebiliriz.
A ve B Mamullerinin olasılık dağılımı:
Olay:
Talep edilen
birimler
P (A):
A mamulü olasılık
dağılımı
50000
100000
200000
300000
400000
500000
P(B)
B mamulü olasılık
dağılımı
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
0,1
0,1
0,1
0,2
0,4
0,1
1,0
1,0
(olasılık dağılımları toplamlarının 1 olduğuna dikkat etmemiz gerekiyor)
Tesadüfi değişken olan her mamule ilişkin satış hacimlerinin beklenen
değerleri, bu satış hacimlerinin hizalarındaki olasılıklara çarpılması suretiyle
bulunur. Diğer bir deyişle beklenen değer ağırlıklı bir ortalamadır. A ve B
mamullerinin beklenen değerleri şu şekilde hesaplanır.
A ve B mamulleri için beklenen satış değerleri:
Talep
(1)
50.000
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
P(A)
(2)
(1*2)
-
-
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
10.000
40.000
120.000
80.000
50.000
Beklenen değer
(B.D.)
300.000 birim
P(B)
(3)
0,1
0,1
0,1
0,2
0,4
0,1
(1*3)
5.000
10.000
20.000
60.000
160.000
50.000
350.000 birim
Her bir talep düzeyine tekabül eden olasılılar A ve B mamullerinin
benzeri mamullere ait geçmişteki talep durumlarından yararlanılarak
saptanabileceği gibi, geçmişe ait talep verilerinin mevcut olmaması halinde
tamamen sübjektif olarak de belirlenebilir. Bu son durumda bile beklenen değer
yaklaşımı yararlı sonuçlar verebilmektedir. Zira hiç olmazsa satış tahminlerinde
bulunan kimsenin kendi tahminlerinin ne derecede kesin olduğunu açığa
vurması olanağı sağlanmış olmaktadır.
Şimdi her iki mamul için beklenen satış değerlerinin aşağıdaki
şekilde olduğunu düşünelim.
Talep
100.000
200.000
300.000
400.000
500.000
P(A)
0,1
0,2
0,4
0,2
0,1
B.D.(A)
10.000
40.000
120.000
80.000
50.000
1,0
Beklenen Değer
P(B)
1,0
-
B.D.(B)
300.000
-
1,0
300.000
300.000
Tablodan da görüldüğü gibi her iki mamul için beklenen satış
değerleri birbirine eşittir. Bu durumda beklenen değerden hareket etmek hatalı
olur. A mamul satışları 0,1 olasılıkla 100.000 olabilmektedir ki, bu durumda
işletme 20.000.000.000.-(200.000*100.000-40.000.000.000.) zarar edecektir.
Öte yandan bu mamul için satışların 300.000 birimin üzerinde olması 0,3
olasılığa sahiptir ve dolayısıyla A mamulünün B mamulünden daha fazla kar
getirme olasılığı bulunmaktadır. Bu durumda alınacak karar işletme yönetiminin
tutucu (B mamulü) veya serüvenci (A mamulü) oluşuna göre değişecektir.
Daha önce beklenen değerin ağırlıklı bir ortalama olduğu
belirtilmişti. Bu ortalama önemli olmakla birlikte, ortalamanın çevresindeki
dağılım da, yukarıda ki son tabloda görüldüğü gibi, aynı derecede önemlidir.
Ortalama çevresindeki dağılımın sayısal ölçümü ise, istatistikte çok kullanılan
standart sapmadır.
NORMAL DAĞILIM
İstatistikte binom, poisson ve normal sürekli dağılımları mevcuttur.
Burada hem en yaygın kullanılan dağılım olması, hem de hesaplama
şekillerinin çok daha kolay bulunması nedeniyle normal dağılım
incelenmektedir.
Normal dağılım; çan şeklinde simetrik ve sürekli bir eğri olup, bu
eğrinin altında kalan alan 1’e eşittir. Bu eğri dağılım ortalamasında en
yüksek değerine ulaşır ve altındaki alanın yarısı ortalamanın bir yanında,
diğer yarısı da öteki yanında bulunur. Normal dağılım eğrisini aşağıdaki
şekilde göstermek mümkündür.
Standart sapma
ortalama
Yatay eksende tesadüfü değişkenin (beklenen satışlar) değerleri
gösterilir. Herhangi bir normal olasılık dağılımı kolayca saptanabilir. Bunun için
ortalama ve standart sapmanın bilinmesi yeterlidir. Standart sapma ortalama
çevresindeki dağılımın bir ölçüsüdür. Her normal dağılım eğrisinin altındaki
alan 1’e eşit olmakla birlikte, bir normal dağılım diğerinden daha geniş bir
bölgeye yayılmış olabilir. Örneğin, aşağıdaki iki normal dağılım altındaki
alanlar ve ortalamalar birbirine eşittir.
Bu iki dağılımı birbirinden standart sapmaları ayırmaktadır.
Standart sapma büyüdükçe,normal dağılım genişler. Standart sapma bir alan
değil, bir uzaklık ölçüsüdür.
Kesikli yerine sürekli bir dağılım kullanıldığı zaman, belirli bir
değerin ortaya çıkması olasılığı grafikten okunamaz olasılıklar dağılım eğrisinin
altında kalan alanla ifade edildiğinden, örneğin 100.000 birimlik talep olasılığı
değil de 99.000-101.000 arasındaki talep olasılığı söz konusudur. Çünkü birinci
halde bir alan mevcut değildir.
Örneğin bir işletmede pazarlama yöneticisi gelecek aydaki ortalama
satışların 10.000 birim olacağını tahmin etmektedir. Bir sonraki sayfada ilgili
normal dağılım grafiği gösterilmiştir.
Bu grafikten şu sonuçlar çıkabilir:
1. Gerçek satışların, 10.000-11.000 birim arasında bulunması
olasılığı % 20 dır. Bu, “C” alanında görülmektedir. Eğrinin
simetrik olması nedeniyle satışların 9000-10.000 birim arasında
kalması olasılığı da % 20 dır. (B) alanı.
2. Gerçek satışların 11.000’den fazla olması olasılığı % 30’dur.
(D) alanı
3. Satışların 9.000 birimden fazla olma olasılığı % 70’dir. (B+C+D
alanları)
Normal dağılımın diğer bir özelliği de, dağılım eğrisinin altında
kalan alanın yaklaşık olarak % 50’sinin ortalamadan her iki yöne
doğru % 67 standart sapma uzaklıkları bulunması, alanın % 68
kadarının 1 standart sapması içinde bulunması ve % 95’ininde
1,96 standart sapma içerisinde kalmasıdır. Örneğin bir sonraki
sayfadaki taranmış alan toplam alanın % 68’idir:
Aşağıdaki alan ise toplam alanın % 50’sidir.
Normal dağılım olasılıkları, bu amaçla düzenlenmiş bir tablodan
öğrenilebilir. Tabloda normal dağılım grafiğinde ortalamanın sağ yanını temsil
etmektedir. Tablo tesadüfü değişkenin “ortalama + 0,35 standart sapma”
değerinden daha fazla bir değer alma olasılığı 0,3632 (% 36,32)’dir. Yine
tesadüfi değişkenin ortalamadan bir standart sapma fazla olan değerden daha
yüksek bir değer olma olasılığı 0,1587 (% 15,87)’dir.
Normal dağılım eğrisi altında kalan alan :
P (tesadüfü değişken > ortalama + “x” standart sapma)
X
0,00
0,1
0,3
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,5
2,0
0,4602
0,3821
0,3085
0,2743
0,2420
0,2119
0,1841
0,1587
0,1375
0,0688
0,0228
0,05
0,4404
0,3632
0,2912
0,2578
0,2266
0,1977
0,1711
0,1469
0,1251
0,0606
0,0202
Daha önce verilen örneği tablodan yararlanarak tekrar inceleyelim:
Dağılım ortalaması 10.000 birim, satışların 11.000 birimden fazla olması
olasılığı (D) alanı 0,30 idi. Yukarıdaki tabloyu incelersek, bir tesadüfi
değişkenin ortalama + 0,5 standart sapmadan daha fazla bir değere sahip olması
olasılığının 0,3085 olduğunu görürüz. Dolayısıyla 11.000-10.000 birim aşağı
yukarı 0,5 standart sapmaya karşılık demektir. Burada 1 standart sapma = 2.000
birim sonucunu çıkartabiliriz.
Standart sapmanın 2.000 birim olduğu bilinince, buradan hareketle
d alanını | P (satışlar > 11.000 | hesaplayabiliriz. Tablo bize ortalama + X
standart sapmadan daha büyük değerlerin olasılığını verdiğine göre X’i şu
şekilde hesaplayabiliriz:
Gerçek Satışlar – Ortalama Satışlar
X=
Standart Sapma
11.000-10.000
X=
= 0,50 standart sapma
2.000
Satışların 11.000’den fazla olması olasılığı ise tabloda 0,5 standart
sapmaya tekabül eden 0,3085 veya yuvarlak olarak % 30’dur ki, bu D alanıdır.
Normal dağılım eğrisi simetrik olduğundan yukarıdaki tabloyu
ortalamanın sol yanı içinde kullanmak mümkündür. Örneğin, satışların 9.000
birimden fazla olması olasılığı şu şekilde bulunabilir: Satışların 9.000 birimden
az olma olasılığı, 11.000 olma olasılığı ile aynıydı ve dolayısıyla 0,30’dur
(tabloda 0,3085). Eğrinin altındaki alan 1’e eşit olduğundan
P (Satışlar > 9.000) = 1- P (Satışlar < 9.000)
P (Satışlar > 9.000) = 1- 0,30 = 0,70
Satışların 9.000 – 10.000 arasında olma olasılığı ise:
P (9.000 < Satışlar < 10.000) =
1- P (Satışlar > 10.000 – P (satışlar < 9.000) = 1- 0,50 – 0,30 = 0,20
NORMAL DAĞILIM VE M-H-K ANALİZLERİ
Analizde satış hacmi bir tesadüfi değişken olarak alınmıştır.
Diyelim ki, analizin yapıldığı işletme tek tip kızartma makinesi imal
etmekte ve birimini 2.500.000 TL’ den satmaktadır. Toplam sabit giderler
56.000.000.000 TL birim başına değişken giderler ise 1.250.000 TL’ dır.
Bu durumda başa baş noktası (BBN)
56.000.000.000
BBN =
= 44.800 Birim
2.500.000 – 1.250.000
olacaktır. Şimdi satış yöneticisinin beklenen ortalama satış
hacminin 48.000 birim olacağını ve gerçek satışların bu miktarın altında veya
üzerinde olma şansının olduğunu tahmin ettiğini düşünelim. Satış yöneticisi aynı
zamanda gerçek satışların 2/3 (0,667) olasılıkla beklenen ortalama etrafında her
iki yönde 5.000’er birimlik bir değişim aralığı içerisinde bulunacağını
düşünmektedir. Bu iki sübjektif tahminler normal bir olasılık dağılımı şekline
dönüşebilir. Bu normal dağılım ortalaması B (S) = 51.000 birim standart
sapması ise 5.000 birimdir. Bu dağılama ait eğri bir sonraki sayfadadır.
DEDE SEN OLMASAN BEN YANMIŞIM
Bu grafikte; örneğin, satış hacminin başa baş noktasından (44.800)
birim fazla olma olasılığı, eğrinin altındaki taranmış alana eşittir.
Olasılık dağılımı eğrisi aşağıdaki şekilde bir hacim - kar grafiği
üzerinde de gösterilebilir.
DEDE SEN BİZİM HERŞEYİMİZSİN
Satış fiyatı birim başına değişken giderler c-ve sabit giderlerin
kesinlikle bilindiği varsayılırsa, beklenen kar aşağıdaki şekilde bulunur.
B (K) = B(S) (f-b) – a
B(K) = 51.000 ( 2.500.000 TL – 1.250.000 TL) – 56.000.000.000
B(K) = 7.750.000.000 TL
Burada:
B(K) = Beklenen Kar
B(S) = Beklenen Satışlar anlamında kullanılmıştır.
Kar ile satış hacmi arasında doğrudan bir ilişki bulunduğuna ve
yönetimin asıl ilgisi ulaşılacak kar düzeyi olduğuna göre, yukarıdaki grafiği
sadece karları gösterecek şekilde düzenlemek daha yararlı olur. Bu durumda
yatay eksen kar düzeylerini, normal dağılım eğrisi ise kar olasılıklarını
gösterecektir. Eğrinin çizilebilmesi için beklenen ortalama kar ve kara ilişkin
standart sapma miktarlarını bilmek gerekir. Beklenen ortalama kar yukarıda
7.750.000.000 TL olarak hesaplanmıştır. Önceki eğrinin satışlara ait standart
sapması 5.000 birimdi. Bu sapmayı katkı payı ile çarpmak suretiyle kara ilişkin
standart sapmayı buluruz.
Standart sapma = 5.000 * 1.250.000 = 6.250.000.000
Şimdi kara ilişkin normal dağılım eğrisini çizebiliriz:
Şimdi de yukarıdaki olasılık dağılımına göre ve daha önce
verdiğimiz “Normal Dağılım Eğrisi Altında Kalan Alan” tablosunu kullanarak
aşağıdaki olasılıkları hesaplayalım
1.) Zarar etmeme olasılığı: Bu, karların sıfırdan büyük olması
olasılığıdır ve sıfır kar noktasının sağ tarafındaki alana eşittir.
Eğrinin tümünün altındaki alan 1 olduğundan, zarar etmeme
olasılığı P(K>0), “1 – zarar etme olasılığı | P (k<0) | ” şeklinde
hesaplanabilir.
Dağılım simetrik olduğundan, yukarıda adı geçen tablo ortalamanın
sol yanı içinde kullanılır. Hangi noktada zararın başladığı standart
sapma türünden şu şekilde hesaplanır.
Ortalama Kar – Gerçek Kar
X=
Standart Sapma
7.750.000.000 - 0
X=
= 1,24
6.250.000.000
Demek ki, ortalamanın 1,24 standart sapma kadar solundan itibaren
işletme zarar etmeye başlamakta ve daha sola gidildikçe zararlar artmaktadır.
Şimdi karların sıfırdan küçük olması olasılığını tablodan bulabiliriz:
P (K < Ortalamadan 1,24 standart sapma ) = 0,135
Dolayısıyla zarar etmeme olasılığı :
P (K > 0 ) = 1- 0,135 = 0.865
2.) 2.000.000.000 TL’ dan fazla bir kar sağlama olasılığı:
Yukarıdaki şekilde hesaplanabilir.
7.750.000.000-2.000.000.000
P (K > 2.000.000.000 ) = 1- P (K<
6.250.000.000
= 1- P(K< ortalama 0.9)
= 1- 0,1841 = 0,816
3.) 3.000.000.000 TL’ den fazla bir zarara uğrama olasılığı:
7.750.000.000 – (- 3.000.000.000 )
P( Z > 3.000.000.000 ) = P (Z >
6.250.000.000
= P ( Z > Ortalama 1,7)
= 0,022
İşletme yöneticisi herhangi bir mamul hakkında karar verirken bu
analizden yararlanabilecektir. Yönetici başa baş satış hacminin 44.800
birim, beklenen satışların 51.000 birim ve beklenen karın 7.750.000.000
TL olduğu bilinmekle birlikte aşağıda özet olarak verilen bilgilerde karar
almada yardımcı olacaktır.
1. Başa baş noktasına ulaşabilme olasılığı % 86,5’ dır.
2. En azından 2.000.000.000 TL kar sağlama olasılığı % 81,6’ dır.
3. 3.000.000.000 TL veya daha fazla bir zarara uğrama olasılığı %
2,2’ dır.
Eğer yönetici bu mamulü başka mamullerle karşılaştırmakta ise,
yukarıdaki analiz şekli oransal başa baş noktalarının ve beklenen karların
olduğu kadar, her bir mamul için söz konusu olan rizikoların
karşılaştırılmasını da mümkün kılacaktır. Pek tabidir ki, mamuller
arasında yapılacak bir seçimde işletme yönetiminin rizikoya karşı tutumu
önemli bir etken olacaktır.
Aynı tür analiz bir mamule ait çeşitli satış fiyatları arasında bir
tercih yapmak gerektiği ve talebin belirsiz olduğu durumlarda da
kullanabilir.