KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA HARDY

T.C.
DİCLE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA
HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
Fatma İÇER
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
DİYARBAKIR
Haziran 2013 TEŞEKKÜR
Çalışmamın her alanında bana değerli vaktini ayırıp beni yönlendiren, sabır ve anlayışını
esirgemeyen, bana güç veren tez danışmanım Doç. Dr. Aziz HARMAN’ a,aramızda olduğu süre
boyunca tecrübelerini bizim ile paylaşan ve bize yakın ilgi gösteren Prof. Dr. Farman MAMADOV’a,
bana çalışmam boyunca verdiği destek ve yaptığı rehberlikten dolayı M. Özgür KELEŞ’e ve aileme
teşekkür ederim.
i İÇİNDEKİLER
TEŞEKKÜR ................................................................................................................................... i
İÇİNDEKİLER.............................................................................................................................. ii
ÖZET .............................................................................................................................................. v
ABSTRACT ................................................................................................................................... vi
ŞEKİL LİSTESİ…………………………………………………………………………………. vi
1. GİRİŞ ......................................................................................................................................... 1
2. TEMEL TANIM VE TEOREMLER...................................................................................... 3
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.1.4
2.1.5
2.1.6
2.1.7
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4
2.2.5
2.2.6
2.2.7
2.3
2.3.1.
2.3.2.
2.3.1
2.4
2.4.1
2.4.2
2.4.3
2.4.4
2.4.5
2.4.6
2.4.7
2.4.8
2.5
2.5.1
2.5.2
2.5.3
Küme ve yuvar kavramları................................................................................................. 3
İç nokta ............................................................................................................................... 3
Açık küme .......................................................................................................................... 3
Kapalı küme ....................................................................................................................... 3
Kümenin kapanışı ............................................................................................................... 3
Yoğun küme ....................................................................................................................... 3
Kümelerin sınırlılığı ........................................................................................................... 3
Yuvarlar .............................................................................................................................. 4
Metrik ve Metrik Uzay Kavramları ................................................................................... 4
Metrik ................................................................................................................................. 4
Metrik Uzay........................................................................................................................ 4
Kompakt Küme .................................................................................................................. 5
Metrik Uzayda Yakınsama ve Cauchy Dizisi .................................................................... 5
Tam Metrik Uzay ............................................................................................................... 6
Metrik uzayın tamlaması………………………………………………………………….6
Denk Metrikler……………………………………………………………………………6
Vektör uzayı ....................................................................................................................... 7
Vektör alt Uzayı ................................................................................................................. 8
Lineer Bağımlılık…………………………………………………………………………8
Sıfır Uzayı
…………………………………………………………………………...9
Normlu Uzaylar ................................................................................................................. 9
Norm ve normlu uzay ......................................................................................................... 9
Denk normlar...................................................................................................................... 10
Zayıf yakınsaklık ve Kuvvetli Yakınsaklık ........................................................................ 10
Mutlak Yakınsaklık ............................................................................................................ 10
Banach Uzayı ..................................................................................................................... 11
Sınırlılık.............................................................................................................................. 11
Süreklilik ve Düzgün Süreklilik ......................................................................................... 11
Mutlak Süreklilik................................................................................................................ 12
İç çarpım ve İç Çarpım Uzayları ........................................................................................ 12
İç Çarpım ........................................................................................................................... 12
İç Çarpım Uzayı ................................................................................................................. 12
Hilbert Uzayı ...................................................................................................................... 12
ii 2.5.4
2.5.5
2.6
2.6.1
2.6.2
2.6.3
2.7
2.7.1
2.7.2
2.7.3
2.7.4
2.7.5
2.7.6
2.7.7
2.8
2.9
2.9.1
2.9.2
2.9.3
2.9.4
2.9.5
2.9.6
Adjoint Operatörü…………………………………………………………………………13
Kompact Uzay…………………………………………………………………………….13
Operatör kavramı .............................................................................................................. 14
Operatör ............................................................................................................................. 14
Ters operatör ...................................................................................................................... 14
Lineer Fonksiyonel………………………………………………………………………..14
Ölçüm ve Lebesgue Ölçümü ............................................................................................... 15
Ölçü .................................................................................................................................... 15
Dış Ölçü.............................................................................................................................. 15
σ -cebir .............................................................................................................................. 15
Borel Fonksiyonu ............................................................................................................... 16
Kümenin açık örtüsü………………………………………………………………………16
Lebesgue Ölçümü ............................................................................................................... 17
Lebesgue Ölçülebilir Küme................................................................................................ 18
Riemann İntegrali .............................................................................................................. 19
Lebesgue İntegrali.............................................................................................................. 21
Fubini Teoremi ................................................................................................................... 25
Fatou Lemma...................................................................................................................... 26
Beppo- Levi Teoremi ......................................................................................................... 26
Levi Teoremi ...................................................................................................................... 26
Monoton Yakınsaklık Teoremi .......................................................................................... 27
Lebesgue Yakınsaklık Teoremi .......................................................................................... 27
2.9.7
2.9.8
2.9.9
2.9.10
2.9.11
Lp ’de Yakınsaklık ............................................................................................................. 27
Lebesgue Sınırlı Yakınsaklık Teoremi ............................................................................... 27
Ölçüsel Yakınsaklık ........................................................................................................... 28
Riesz-Fisher Teoremi ......................................................................................................... 28
Lebesgue İntegrali ve Riemann İntegrali Arasındaki İlişki ................................................ 29
2.10
Stieltjes İntegrali…………………………………………………………………..……...30
2.11
Bazı Önemli Eşitsizlikler.................................................................................................... 31
2.11.1 Young Eşitsizliği ................................................................................................................. 31
2.11.2 Cauchy Eşitsizliği ................................................................................................................ 31
2.11.3 Cauchy-Schwartz Eşitsizliği................................................................................................ 32
3. KLASİK LEBESGUE UZAYLARI........................................................................................ 33
3.1
L p (0, ∞) Lebesgue Uzayı ................................................................................................... 33
3.2
L p ( a, b) Lebesgue uzayının temel özellikleri .................................................................... 34
3.3
3.4
3.5
3.6
Hölder Eşitsizliği ................................................................................................................ 34
Minkowski Eşitsizliği ......................................................................................................... 34
İntegraller için Minkowski Eşitsizliği ................................................................................. 34
3.7
Lp nin Duali ........................................................................................................................ 35
Ağırlıklı Lebesgue Uzayı .................................................................................................... 35
iii 4. Lp UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI.............................................. 37
4.1.
Kesikli Hardy Operatörü ..................................................................................................... 37
4.2.
Sürekli Hardy Operatörü ..................................................................................................... 37
4.3.
Hardy Eşitsizliğinin Diferansiyel Formu............................................................................. 38
4.4.
Hardy Ortalama (averaging) Operatörü............................................................................... 40
4.5.
N Boyutlu Hardy Operatörü ................................................................................................ 41
4.6.
Teoremler ............................................................................................................................ 42
5. SONUÇ VE ÖNERİLER .......................................................................................................... 63
6. KAYNAKLAR ........................................................................................................................... 65
ÖZGEÇMİŞ
iv ÖZET
KLASİK LEBESGUE UZAYLARINDA
HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Fatma ÇAPA
DİCLE ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
2013
Bu tezin giriş bölümünden sonra ikinci bölümünde analizde önemli bir yeri olan fonksiyonel
ve reel analizin temel kavramlarından; küme ve yuvar kavramları, metrik ve metrik uzay, vektör uzayı,
normlu uzay, iç çarpım ve iç çarpım uzayı, operatör, ölçüm, Riemann ve Lebesgue integralleri gibi tez
konusu ile alakalı temel kavramlar açıklanmıştır. Üçüncü bölümde p > 1 olmak üzere ,
∞
⎧
L(p0,∞ ) = ⎨ f ölçülebilir;∫ f
0
⎩
p
x
⎫
dx < ∞ ⎬ ile tanımlanan Klasik Lebesgue uzayında; H ( f ) = ∫ f ( t ) dt
0
⎭
ile gösterilen Hardy operatörü, duali ve Lp uzayının özellikleri tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde
1 1
+ = 1 olmak üzere, 1 < p ≤ q ≤ ∞ ve 1 ≤ q < p < ∞ durumlarında
p q
v ( x ) Hf ( x )
Lq( 0 ,∞ )
≤ C w( x) f ( x)
L(p0 ,∞ )
ağırlıklı Hardy operatörünün sınırlılığı araştırılmıştır. Ayrıca
β x −1
üst fonksiyonu ( 0,l ) aralığında azalan iken x ( ) Hf
L(p0,l )
≤C x
β ( x)
f ( x)
L(p0 ,l )
eşitsizliğinin
sağlanması için β ( x ) fonksiyonunun sıfırın bir komşuluğunda Lipschitz –Dini koşulunu sağlaması
gerektiği gösterilmiştir.
v ABSTRACT
THEBOUNDEDNESS OF HARDY OPERATOR IN CLASSICAL LEBESGUE SPACES
MASTER THESIS
Fatma ÇAPA
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY OF DICLE
2013
In the second section of this thesis after the introduction we give basic concepts in
functional analysis and real analysis and some important concepts which are necessary for the
purpose of this thesis such as sets and neighborhoods, metric and metric spaces, vector spaces,
normed spaces, inner products and inner product spaces, operators, measure, Riemann and
x
Lebesgue integrals. In the third section, we introduce the Hardy operator H ( f ) = ∫ f ( t ) dt in
0
∞
⎧
the classical Lebesgue Space L(p0,∞ ) = ⎨ f measurable;∫ f
0
⎩
of
p
⎫
dx < ∞ ⎬ its dual and the properties
⎭
Lp space. In the fourth section the boundedness of weighted Hardy operator
v ( x ) Hf ( x )
Lq( 0 ,∞ )
≤ C w( x) f ( x)
L(p0 ,∞ )
where
1 1
+ = 1 and 1 < p ≤ q ≤ ∞ ve 1 ≤ q < p < ∞ is
p q
investigated. Furthermore, when the upper function is decreasing in the interval (0,l) we show
that the inequality x β ( x )−1 Hf
L(p0,l )
≤C x
β ( x)
f ( x)
L(p0 ,l )
holds only when the function β ( x )
satisfies the Lipschits-Dini property in a neighborhood of zero.
vi ŞEKİL LİSTESİ
Şekil No
Sayfa
Şekil.2.8.1 Riemann integralinin geometrik yorumu
20
Şekil.2.9.1 Lebesgue integralinin geometrik yorumu
21
vii FATMA İÇER
1.GİRİŞ
1920’de am  0 ve bn  0 olmak üzere


m 1
n 1


ambn
serisi yakınsaktır
n 1 m 1 m  n
 am2   ve  bn2   ise 
ifadesi ile özdeş olan ve
1/2
1/2
ambn
  2    2



  am    bn 
n 1 m 1 m  n
 m1   n1 


ile gösterilen Hilbert eşitsizliğini daha basit bir şekilde ispatlamak için 19.y.y. başlarında
araştırmalara başlayan G.H. Hardy, süreklilik durumunda a  0 için
2

1 x

f
t
dt
dx

4
f 2  x dx




a  x a

a


eşitsizliğini ispatlamış ve günümüze kadar yapılan çok sayıda bilimsel çalışmaya temel
oluşturmuştur.
)aralığında tanımlı negatif olmayan p-integrallenebilir bir
ve fonksiyonu; (
) aralığında integrallenebilirdir
fonksiyon olmak üzere ; fonksiyonu
için herhangi (
ve
p
1 x

 p 
f
t
dt



 dx  

0  x 0
 p 1 


p 
 f  x  dx
p
0
eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğin ilk ağırlıklı halini tüm negatif olmayan ölçülebilir f


 en iyi sabitiyle,
 p   1 
fonksiyonları p  1 ve   p  1 için 
p
1 x
 

p 
0  x 0 f t  dt  x dx   p    1 

p
p 
 f  x
p 
x dx
0


p
 en iyi sabiti ile
  1 p 
şeklinde ifade eden Hardy; p  1 ve   p  1 için 
p

1
 

p 
p 
f
t
dt
x
dx


  f  x  x dx
0  x x   
  1 p  0

dual eşitsizliğini elde etmiştir.
1
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
p  1, f ( x)  0 ve f p ,  0,   da integrallenebilir olması durumunda ;
p
1 x

 p 
0  x 0 f t  dt  dx   p  1 

p 
 f  x  dx
p
0
eşitsizliği Hardy eşitsizliğinin orjinal formu olarak bilinir.
Hardy eşitsizliğinin bir çok alanda uygulaması bulunmaktadır.Adi diferansiyel
denklemler teorisi,Sturm-Liouville problemleri,fonksiyonel analiz,kompleks
fonksiyonlar teorisi uygulama alanlarının başlıcalarındandır. Hardy eşitsizliği ile ilgili
olarak bir çok kitap yazılmıştır.. Günümüzde Hardy operatörü ve eşitsizlikleri ilgili
çalışmalar devam etmektedir.
2
FATMA İÇER
1. TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Bu bölümde, sabit üstlü Hardy eşitsizliğinin sınırlılığı incelenirken gerekli olacak
temel ölçüm teorisi ve fonksiyonel analiz kavramları ve ilgili bazı eşitsizlikler
tanıtılacaktır.
2.1.
2.1.1
Küme ve yuvar kavramları:
İç nokta: x0  A noktası için  x : x  x0     A olacak biçimde bir   0
o
sayısı varsa x0 ’a A ’ nın bir iç noktası denir ve A ’ nın bütün iç noktalarının kümesi A ile
gösterilir.
2.1.2
biçimde bir
Açık Küme: Her bir x0  A noktası için  x : x  x0     A olacak
  0 sayısı varsa (yani A ’ nın her noktası bir iç nokta ise) A ’ya bir açık kümedir
denir.
2.1.3
Kapalı Küme: A  M ve M \ A kümesi açık küme ise, A kümesine kapalı
küme denir.
2.1.4
Kümenin Kapanışı: A  M ve x0  M olmak üzere x0 ’ın   0
komşuluğunda A kümesinin en az bir elemanı varsa x0 ’a A ’nın kapanış noktasıdır
denir.(yığılma noktası)
2.1.5
Yoğun Küme: A  M ise A ’ya( M içinde) yoğundur denir. Eğer A hiç iç
o
noktaya sahip değil ise(yani Y ’nin kapanışının içi boş ise, başka bir yazılışla A   ise ) A ,
M içinde hiçbir yerde yoğun değildir denir.
2.1.6
Kümelerin sınırlılığı: A 
olmak üzere, x  A için x  a olacak şekilde
bir a reel sayısı varsa, A kümesine alttan sınırlıdır denir, a reel sayısına da A ’nın alt sınırı
denir. Alttan sınırlı bir A kümesinin alt sınırlarının en büyüğüne A kümesinin en büyük alt
sınırı veya infimumu denir ve inf A ile gösterilir. Benzer şekilde x  A için x  b olacak
şekilde b
varsa A kümesine üstten sınırlıdır, b reel sayısına da A ’nın üst sınırı
denir.Üstten sınırlı bir A kümesinin üst sınırının en küçüğüne A kümesinin en küçük üst sınırı
veya supremumu denir ve sup A ile gösterilir.Alttan ve üstten sınırlı olan kümeye kısaca sınırlı
3
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
küme denir.Yani, x, y  A için , d  x, y   c olacak şekilde bir c  0 sayısı varsa A
kümesi sınırlıdır ifadesini kullanırız.
2.1.7 Yuvarlar: M 
olsun. Herhangi x0  M noktası ve herhangi r  0 sayısı
için ,
Br ( x0 )   y  M : y  x0  r
kümesine x0 merkezli r yarıçaplı açık yuvar (açık top)
Br  x0    y  M : y  x0  r
kümesine x0 merkezli r yarıçaplı kapalı yuvar (kapalı top) ve
Sr ( x0 )   y  M : y  x0  r
kümesine x0 merkezli r yarıçaplı küre yüzeyi (sphere) denir. Eğer r  1 ve x0  0 ise B1 (0)
kümesine açık birim yuvar ve B1  0 kümesine kapalı birim yuvar adı verilir
Br  x0  , Br  x0  ve Sr  x0  gösterimleri için sırasıyla B  x0 ; r  , B  x0 ; r  ve S  x0 ; r 
gösterimleri de kullanılır.
2.2
Metrik ve Metrik Uzay kavramları
2.2.1. Metrik:Bir M kümesi üzerinde tanımlı, her x, y, z  M için
a) d ( x, y)  0;
b) d ( x, y)  0  x  y
c) d ( x, y)  d ( y, x);
d) d ( x, z)  d ( x, y)  d ( y, z)
özelliklerini sağlayan d : M  M 
2.2.2
(üçgen eşitsizliği)
fonksiyonuna metrik denir.
Metrik uzay:Eğer d, M üzerinde bir metrik ise o zaman (M , d ) çiftine bir
metrik uzay denir. Verilen herhangi bir M kümesi ( M kümesi bir elemanlı bir küme
4
FATMA İÇER
olmadıkça) birden çok metriğe sahip olabilir. Genellikle hangi metriğin kullanıldığı açık olarak
biliniyorsa “ ( M , d ) metrik uzayı” yerine “ M metrik uzayı” yazılır.
(M , d ) bir metrik uzay ve A, B; M ’nin boş olmayan alt kümeleri olsun. A ’nın B ’ye
uzaklığı d ( A, B) = inf d ( x, y) : x  A, y  B dir. Her bir x  M için x ’in A ’ ya,uzaklığı
d ( x, A) = inf d ( x, y) : y  A dir.Her bir x  M için d ( x, A)  d ( y, A)  d ( x, y) olduğu
ve buradan x  d ( x, A) fonksiyonunun M üzerinde sürekli olduğu kolayca görülebilir.
Örnek 2.2.1 Herhangi bir k  1 tamsayısı için ,
1/2
 k
2
d 2  x, y     x j  y j 
 j 1

İle tanımlı d2 : F  F 
k
k
fonksiyonu F k üzerinde bir metriktir. Bu metrik F k üzerinde
standart metrik olarak adlandırılır.
2.2.3 Kompakt Küme: (M , d ) bir metrik uzayı olsun. Bir A  M kümesindeki her  xn 
dizisi A ’ nın bir elemanına yakınsayan bir alt diziye sahipse A ’ya bir kompakt küme denir.
Bir A  M kümesi verildiğinde A kapanışı kompakt ise A ’ya relatif (göreceli) kompakt
denir.
2.2.4
Metrik uzayda yakınsama: Eğer  xn  , M kümesinde bir dizi ise  xn  `e (M , d )
metrik uzayında bir dizidir denir. ( M , d ) metrik uzayında bir dizi  xn  olsun.
a) x  M olmak üzere her
biçimde bir N 
  0 sayısına karşılık her n  N için, d ( x, xn )   olacak
varsa,  xn  dizisi x  M ye yakınsar (yada  xn  dizisi yakınsaktır) denir.
Bu durumda
lim xn  x veya xn  x
n 
yazılır.
b) her
  0 sayısına karşılık her m, n  N için
d ( xm , xn )  
5
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
olacak biçimde bir N 
varsa  xn  dizisine bir Cauchy dizisi denir.
Reel sayıların bir dizisinin yakınsaklığının fikrini kullanarak yukarıdaki tanımların
sırasıyla
n   için d ( x, xn )  0
ve
m, n  N için d ( xm , xn )  0
ifadelerinin denk oldukları görülür.
Teorem 2.2.1  xn  , (M , d ) metrik uzayında yakınsak bir dizi olsun. O zaman
a)
x  lim xn limiti tektir.
b)
 xn  ’ nin herhangi bir alt dizisi de
n 
x ’e yakınsar ve  xn  bir Cauchy dizisidir.
2.2.5 Tam Metrik Uzay: (M , d ) metrik uzayında ki her Cauchy dizisi bu uzaydaki bir
elemana yakınsıyorsa, bu uzaya tamdır denir.
2.2.6 Metrik Uzayın Tamlaması: ( X , d ) bir metrik uzay olmak üzere bir ( X  , d  ) metrik
uzayı aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa ( X , d ) metrik uzayının tamlamasıdır denir.
a) X : X  ın bir alt uzayıdır.
b) X  tamdır.
c) X , X  içinde yoğundur..( X  ’ ın her noktası , X içindeki bir dizinin limitidir.)




Örnek 2.2.2 Lp  a, b , d p uzayı C  a, b , d p uzayının tamlamasıdır,
2.2.7 Denk Metrikler: d1 ve d2 aynı X kümesi üzerindeki metrikler olmak üzere x, y  X
için
c1d1  x, y   d2  x, y   c2 d1  x, y 
olacak şekilde c1 ve c2 sabitleri varsa d1 ve d 2 metriklerine denktirler denir.
6
FATMA İÇER
Örnek 2.2.3:
n
de
n
d1  x, y    xi  yi
i 1
1/ 2
2
 n

d 2  x, y      xi  yi  
 i 1

d   x, y   max xi  yi
1 x  n
metrikleri denktir.
2.3 Vektör Uzayı
Tanım 2.3.1 V boş olmayan bir küme olsun. Her x, y  V ve  F için V V  V
şeklinde tanımlı
 : ( x, y)  x  y
fonksiyonu (işlemi) ve F V  V şeklinde tanımlı
 : ( , x)    x
fonksiyonu (işlemi) aşağıdaki aksiyomları sağlarsa V kümesine F üzerinde bir vektör uzayı
denir.(   x yerine kısaca  x yazarız.)
Her  ,   F ve her x, y, z  V için ,
a) x  y  y  x ,
b) x  ( y  z )  ( x  y)  z;
c) x  0  x olacak şekilde ( x den bağımsız)bir tek 0  V vardır;
d) x  ( x)  0 olacak şekilde bir tek  x  V vardır;
e) 1x  x olacak şekilde bir tek 1V vardır.
f)  ( x)  ( ) x
g)  ( x  y)   x   y, .
7
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
h) (   )x   x   x
Eğer F 
(yada F 
)ise, V ’ye reel (yada kompleks) vektör uzayı, F ’ nin
elemanlarına skaler ve V ’ nin elemanlarına vektör denir. x  y işlemine vektör toplamı,  x
işlemine skaler çarpım denir. Vektör uzayları ile ilgili bir çok sonuç reel ve kompleks uzayların
her ikisi içinde geçerlidir. Bu nedenle eğer uzayın tipi reel veya kompleks şeklinde kesin olarak
belirtilmemişse vektör uzayı terimini kullanırız. Vektör uzayı yerine bazen “lineer uzay” veya
“doğrusal uzay” terimleri de kullanılır. Eğer V bir vektör uzayı , x V , A, B  V ve  F
ise
x  A   x  a : a  A ,
A  B  a  b : a  A, b  B
A
  a : a  A
notasyonları kullanılır.
2.3.1 Vektör Alt Uzayı: V bir vektör uzayı ve   U  V olsun. Eğer U ’ nun kendisi bir
vektör uzayı (vektör toplamı ve skaler çarpım V deki ile aynı olmak üzere) ise U ’ya V ’nin
lineer alt uzayı(veya lineer manifold, vektör alt uzayı)denir. Bu tanım her  ,   F ve
x, y  U için,
 x   y U
olmak koşulu ile denktir.(Bu alt uzay testi olarak bilinir.)
2.3.2 Lineer Bağımlılık: V bir vektör uzay, k  1 için v  v1 ,......, vk   V sonlu bir
küme ve A  V boş kümeden farklı rastgele seçilen bir küme olsun.
a) Skalerlerin herhangi bir 1 ,......,  k  kümesi için , v ’ nin elemanlarının bir lineer
kombinasyonu
k
1v1  ...   k vk   i vi V
i 1
şeklinde bir vektördür.
8
FATMA İÇER
b) 1v1  ...   k vk  0  1   2  ...   k  0
gerektirmesi doğru ise , v ’ye “lineer bağımsız” denir. i  1, 2,..., k için  i ’lerden en az biri
sıfırdan farklı iken eşitlik sağlanıyorsa , v ’ye lineer bağımlıdır denir.
c) Eğer A ’ nın sonlu her alt kümesi lineer bağımsız ise A ’ya lineer bağımsızdır denir.
A lineer bağımsız değil ise A ’ya lineer bağımlıdır denir.
2.3.3 Sıfır Uzayı: V ,W vektör uzayları ve T  L(V ,W ) { V ’den W ’ye lineer
dönüşümlerin kümesi} olsun.
a)
T ’nin görüntü kümesi Im T  T (V ) alt uzayıdır, T ’nin rankı
r (T )  dim(Im T ) sayısıdır.
b)
T ’ nin kerneli (çekirdeği) ( T ’ nin sıfır uzayı olarak ta söylenir.)
ker T  x  V : T ( x)  0  T 1 0 alt uzayıdır ve T nin sıfırlılığı A sayısıdır. r( T ) rankı
ve n( T ) sıfırlılığı  değerine sahip olabilir.
c)
r( T ) sonlu ise T sonlu ranka sahiptir denir; yani bir sonlu ranka sahip lineer
bir dönüşüm görüntü kümesi sonlu boyutlu olan bir lineer dönüşümdür. r( T ) =  ise , T
sonsuz ranka sahiptir denir.
2.4 Normlu Uzaylar:
2.4.1 Norm ve Normlu Uzay: X , F üzerinde bir vektör uzayı olsun. X üzerinde bir norm
aşağıdaki özellikleri sağlayan bir  : X 
dönüşümüdür. Her x, y  X ve her
a) x  0;
b) x  0 ancak ve ancak x  0;
c)  x   x ;
d) x  y  x  y
9
  F için,
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
üzerinde bir  normu tanımlanmış olan bir X vektör uzayına normlu vektöruzay ya da
sadece normlu uzay adı verilir ve ( X ,  ) ile gösterilir. X bir normlu uzay ise x  1
eşitliğini sağlayan bir x  X vektörüne birim vektör adı verilir.
2.4.2 Denk Normlar: Bir X vektör uzayı üzerinde  ve  ' normları tanımlı olsun. Eğer
her x  X için
m x  x M x
'
olacak biçimde m, M  0 sayıları varsa  ' normu  normuna denktir denir.
2.4.3 Zayıf Yakınsaklık ve Kuvvetli Yakınsaklık: X bir vektör uzay olsun. X içindeki
bir  xn  dizisi, eğer her f  X için
f ( xn )  f ( x)
yani lim f ( xn )  f ( x) özelliğini sağlarsa  xn  dizisi x  X ’e zayıf yakınsar (yada zayıf
n 
olarak yakınsaktır) denir ve x  X elemanına  xn  dizisinin zayıf limiti denir.
Bir ( X ,  ) normlu uzayı için norm içinde
xn   x 
xn  x  0  n   
ile verilen yakınsaklığı kuvvetli yakınsaklık olarak adlandırırız.
2.4.4 Mutlak Yakınsak Seri: X bir normlu vektör uzay ve  xk  , X içinde bir dizi olsun.
Her pozitif n tamsayısı için
n
sn   xk
k 1

e dizinin n inci kısmi toplamı adı verilir. Eğer X içinde lim sn varsa
n 

olduğu söylenir ve kısaca
x
k 1
k
  olarak gösterilir ve bu durumda
10
x
k 1
k
serisinin yakınsak
FATMA İÇER

x
k 1
k
 lim sn
n 
olarak yazılır.

Eğer X içindeki bir

 xk  dizisi için 
xk serisi
k 1
içinde yakınsak ise
x
k
k 1
serisi mutlak yakınsaktır denir.
2.4.5 Banach Uzayı:  X ,   normlu uzayı olsun.Bu uzaydanalınan her Cauchy dizisi norma

göre yakınsak ise, yani X , 
 uzayı tamsa, bu normlu uzaya bir Banach uzayı denir.(Bir
normlu vektör uzayı ,normdan indirgenen metriğe göre tam ise ,bir Banach uzayı olarak
adlandırılır.)
Tanım 2.4.1 X bir Banach uzayı ve X * da duali olsun.Bu durumda X * ’in duali  X *   X **
*
olarak tanımlayabiliriz. Eğer X **  X ise bu durumda X ’ e refleksivdir denir.
2.4.6 Sınırlılık: ( X ,  ) bir Banach uzayı olsun ve bir f :
Eğer f fonksiyonu
 X fonksiyonu verilsin.
düzleminin tamamı üzerinde analitik ise f ’ye tam integral veya entire
fonksiyon denir. Eğer M  0 sabiti ve her z 
için f ( z )  M ise f ’ye
üzerinde
sınırlıdır denir.

2.4.7 Süreklilik ve Düzgün Süreklilik: X , .
X
 ve Y , .  normlu vektör uzayları ve
Y
f : X  Y bir fonksiyon olsun.
a) x  X olsun. Eğer her y  X için, her   0 sayısına karşılık
x y
olacak biçimde bir
X
   f ( x)  f ( y ) Y  
  0 varsa , f ’ ye x noktasında süreklidir denir(yani δ sayısı hem x  X
’e hem de ε’a bağlı olabilir).
b) Eğer f fonksiyonu X ’in her noktasında sürekli ise , f ( X üzerinde) süreklidir
denir.
11
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
c) Eğer her
  0 sayısına karşılık her x, y  X için ,
x y
X
   f ( x)  f ( y ) Y  
olacak biçimde sadece  ’a bağlı bir
  0 varsa , f e ( X üzerinde) düzgün süreklidir denir
2.4.8 Mutlak süreklilik: f ( x) ,  a, b aralığında tanımlı bir fonksiyon olsun.


verildiğinde,  a, b aralığının sonlu sayıdaki her  x1 , x2  ,  x2 , x3  ,...,  xn1 , xn 
ayrık alt aralıkları için;
n
 x x
i 1
i
i 1
n
    f ( xi )  f ( xi 1 )  
i 1
olacak biçimde en az bir    ( )  0 sayısı bulunabiliyorsa , f fonksiyonuna  a, b aralığında
mutlak sürekli fonksiyon denir.
2.5 İç çarpım ve iç çarpım uzayları
2.5.1 İç çarpım: X bir reel vektör uzayları olsun. X üzerinde bir iç çarpım aşağıdaki
özellikleri sağlayan bir .,. : X  X  fonksiyonudur.
Her x, y, z  X ve her  ,  
için
a)
x, x  0;
b)
x, x  0  x  0;
c)
 x   y, z   x, z   y, z ;
d)
x, y  y, x .
2.5.2 İç çarpım uzayı: X bir kompleks veya reel vektör uzay olmak üzere , .,. , X

üzerinde bir iç çarpım ise X , .,.
 ikilisine bir iç çarpım uzayı adı verilir.
2.5.3 Hilbert Uzayı: Bir iç çarpım uzayı, iç çarpımın indirgediği normdan indirgenen
metriğe göre tam ise, bu uzaya bir Hilbert uzayı adı verilir.
R n de kare integrallenebilen fonksiyonların sınıfı bir Hilbert uzayıdır.
12
FATMA İÇER
L2 
n

2


f , g  L2 
L2 
n

   f  x  :  f  x  dx   


n
n
 için
f , g  g , f   f .gdx , f , f  f
2
L2
 
n
 , ayrılabilir tam bir vektör uzayıdır.
Aşağıdaki özellikleri sağlayan H kümesine Hilbert uzayı denir.
1. H ,
veya
üzerinde bir vektör uzayıdır.
2.sabitlenmiş g  H için f  f , g , H üzerinden lineerdir. f , g  g , f
f  H için f , f  f
2
0
3. f  0  f  0
4.
f , g  f . g Schwartz eşitsizliği f , g  H için f  g  f  g
5. d  f , g   f  g metriğine göre H tam sayıdır.
6. H ayrılabilirdir.

2
Örnek 2.5.1 l ,
 bir Hilbert uzayıdır.
2.5.4 Adjoint Operatörü: T : H  H sınırlı bir lineer dönüşüm olsun. H üzerinde sınırlı
T  lineer dönüşümü
1. Tf , g  f , T  g
2. T  T 
3. T    T

özelliklerini sağlıyorsa T  : H  H lineer T operatörünün Adjoint operatörüdür. T   T ise
T  a T ’nin self Adjoint operatörü denir.
2.5.5 Kompakt Uzay: H bir Hilbert uzayı ve X  H olsun. Eğer X ’deki her  f n 
dizisinin X ’teki bir elemana yakınsayan
 f  gibi bir alt dizisi varsa X
nk
kompakttır denir.
Sonlu boyutlu Euclid uzayındaki kapalı ve sınırlı her küme kompacttır.
13
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Sonsuz boyutlu bir uzayın bu özelliği yoktur.
2.6 Operatör ve Fonksiyonel:
2.6.1 Operatör: V ve W ,aynı F skaler cismi üzerinde vektör uzayları olsun.Bir
T : V  W dönüşümü, her  ,   F ve x, y V için ,
T ( x   y)  T ( x)  T ( y)
özelliğini sağlarsa veya buna denk olarak her
 F ve x, y V için
T ( x  y)  T ( x)  T ( y) ve T ( x)  T ( x)
özelliğini sağlarsa T ’ye bir lineer dönüşüm adı verilir.
H1 , H 2 iki Hilbert uzayı olmak üzere, eğer  ,  
skalerleri ve ff , g  H1 için ,
T  f   g   T  f    T  g  koşulu sağlanıyorsa T : H1  H dönüşümüne
Lineer operatör denir.
Tf 
H2
C f

Burada T  inf C : Tf
H1
H2
olacak şekilde C  0 varsa T ye sınırlı operatör denir.
C f
H1

veya sup
f
H1
1
Tf
f
H2
 C dir.
H1
Lineer dönüşüm aynı zamanda sürekli (bu nedenle sınırlı) ise bu durumda lineer
dönüşüm yerine lineer operatör veya kısaca operatör ifadesi kullanılır.
2.6.2 Ters Operatör: X bir normlu vektör uzay ve X üzerinde sınırlı operatörlerin
kümesi B  X  olmak üzere , T  B( X ) için, ST  I  TS olacak şekilde S  B( X ) varsa
T ye terslenebilirdir denir.Bu durumda S operatörüne T operatörünün tersi denir ve T -1 ile
gösterilir. Eğer koşullar sağlanmıyorsa o zaman bu dönüşüme terslenemez denir.
2.6.3 Lineer Fonksiyonel: H Hilbert uzayından skalerler kümesine tanımlı l dönüşümüne
bir fonksiyonel denir.
f  H , lf  C f olacak şekilde C  0 varsa l ye H üzerinde sınırlı lineer
fonksiyonel denir.
Ayrıca T : V  F lineer dönüşümüne de lineer fonksiyonel denir.(Soykan 2008)
14
FATMA İÇER
2.7 Ölçüm, Lebesgue ölçümü ve Ölçülebilir Fonksiyonlar:
2.7.1 Ölçü: U , X ’in alt kümelerinin bir sınıfı omak üzere ,  X ,U  ölçülebilir uzayında
 :U 
fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa  fonksiyonuna U üzerinde bir
ölçüdür denir.
b)
 ()  0
A U için  ( A)  0
c)
i  için, Ai U ve i  j için Ai
a)

Aj  , olmak üzere
 
Ai     ( Ai )
 i 1  i 1


dir.
 X ,U ,   üçlüsünede bir ölçüm uzayı denir.
2.7.2 Dış ölçü: X bir küme , P( X ), X ’in tüm alt kümelerinin kümesi (kuvvet kümesi)
olmak üzere;  : P( X ) 

fonksiyonu
a)
  ()  0
b)
E  p( X ) için   ( E )  0
c)


A  B  X için  ( A)   ( B)
d)
n  N için An  P( X ) olduğunda

 
An      ( An )
 n 1  n 1
 

özelliklerini sağlıyorsa  fonksiyonuna X üzerinde bir dış ölçü denir.

2.7.3
U ya bir
cebir Bir X kümesinin alt kümelerinin bir U sınıfı aşağıdaki özellikleri sağlarsa ,
cebir denir.
15
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
a) X U
b)S U için, X \ S  S ' U ;

c)n  1, 2,... için Si U iken,
Si  U
n 1
2.7.4 Borel fonksiyonu: B( R k ) Borel cebirine göre ölçülebilen bir fonksiyona Borel
ölçülebilir fonksiyon veya Borel fonksiyonu adı verilir.

2.7.5Kümenin Açık Örtüsü:Sonlu veya sayılabilir sonsuz sayıda  j   p j , q j  , j  J

açık aralıklar ailesi verilsin. Eğer bu aralıkların tümünün birleşimi E kümesini kapsıyorsa ,yani
 j ise  j : j  J  ailesine E kümesinin açık örtüsü veya örtüsü denir. J sonlu ise,
E
J
sonlu örtü denir.

j
: j  J  açık aralıklarının uzunluklarının toplamı ,   q j  p j   0 dır. E
jJ
kümesinin bütün açık örtülerinin kümesi alttan sınırlı olup infimumu,yani en büyük alt sınırı
inf   q j  p j  vardır. Bir tek E kümesine bağlı olan en büyük alt sınıra , E ’ nin dış öşçüsü
jJ
denir. m E ile gösterilir. Bu tanımdan
  0 için E ’ nin öyle bir  j : j  J  örtüsü vardır ki,
m E    q j  p j   m E   dır.
jJ
S   0,1 kapalı aralığının uzunluğu ile S içindeki E c tümleyeninin dış ölçüsünün farkına E ’

nin iç ölçüsü denir. m E  1  m E ile gösterilir.
c
Herhangi bir kümenin iç ve dış ölçüleri negatif olamaz.
İç ölçüsü dış ölçüden büyük olamaz.
E1  E ise m E1  m E ve m E1  mE dir.
Tanım 2.7.1Eğer E kümesinin iç ve dış ölçüleri eşit ise , E ’ ye Lebesgue anlamında
ölçülebilir küme denir. m  E   m  E   m  E  ile gösterilir.
E ölçülebilir ise , E c ölçülebilirdir. Yani
m  E   m  E   1  m  E  ve
c
m  E c   1  m  E  olduğundan m  E   m  E   1  m E c   m  E c   m E c  dir.
Sonlu veya sayılabilir sonsuz elemanlı kümeler ölçülebilirdir ve ölçümü sıfırdır.
16
FATMA İÇER
0,1 aralığındaki irrasyonel sayıların kümesi ölçülebilir olup ölçümü 1 dir.
Açık bir küme ölçülebilirdir.
Tanım 2.7.2 Bir E kümesinin dış ölçümü E ’yi kapsayan bütün açık kümeler için
m  E   inf L  O  ile tanımlıdır.
Bir E kümesinin iç ölçümü E ’nin kapsadığı bütün kapalı
kümeleri için
m  E   sup L  C  ile tanımlıdır.
   ise E ’ye ölçülebilirdir
Bütün T kümeleri için m T   m Tn  E    m Tn E c
denir. m  E   m  E  ye E ’nin ölçümü denir. E ’nin m E  m  E  dış ölçümüne Lebesgue
ölçümü denir.
Eğer I bir aralık ise m  I   L  I 
Eğer O bir açık küme ise m  O   L  O 
bir kapalı küme ise m  C   L  C  dir.
Eğer
Açık veya kapalı kümelerin sayılabilir birleşimine veya kesimine Borel kümelerinin
sınıfı denir.
Örnek 2.7.1 Reel sayıların a1 , a2 , a3 ,... elemanlarından oluşan bir E kümesi için, bu
noktaları sırasıyla bulunduran açık kümelerin (aralıkların) uzunlukları
m  E  

2


2
2


3
2
 
,
2 2
2
,

23
,... ise
 ...   ,  yeterince küçük olduğundan z  0 ve m  E   0
olur.(Harman 2012)
2.7.6. Lebesgue ölçümü:
içinde bir U L -cebiri ve U L üzerinde bir  L ölçümü vardır öyle
ki, herhangi sonlu I   a, b aralığı için, I U L ve L ( I )  l ( I ) dır. Bu uzay içinde ölçümü 0
olan kümeler kesinlikle aşağıdaki özellikleri sağlayan A kümeleridir.
Herhangi
  0 için I j  , j  1, 2,..., aralıklarının bir dizisi vardır öyle ki ,
A

j 1

I j ve  l ( I j )  
j 1
17
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
dır. Bu ölçüm Lebesgue ölçümü adını alır ve U L içindeki kümelere Lebesgue ölçülebilirdir
denir.(Soykan 2008)
2.7.7 Lebesgue ölçülebilir küme: A 
kümesi için;
   A     A E      A E c 
eşitliği gerçekleşiyorsa E 
c
ve E 
\ E olmak üzere E kümesine (Lebesgue)ölçülebilir

küme ya da  ’ye göre ölçülebilir küme denir.
Aşağıdaki özelliklere dikkat etmekte fayda vardır;
a)Kümenin ölçülebilirliğini göstermek için
   A     A
E     A
E' 
koşulunun sağlandığını göstermek yeterlidir.
b)   ( E )  0 ise, E kümesi ölçülebilirdir.
c) E1 ve E2 ölçülebilir ise, E1
E2 kümesi de ölçülebilirdir.
d) E1 ve E2 ölçülebilir ise, E1
E2 kümesi de ölçülebilirdir.
e) A 
herhangi bir küme olmak üzere E1 , E2 ,..., En ölçülebilir kümelerin sonlu bir
dizisi için

 n
Ei      *  A
 i 1   i 1

  A 

n
Ei 
dir.
c
f) E kümesi ölçülebilirse E kümesi de ölçülebilirdir.
g) a 
için  a,   ölçülebilirdir.
18
FATMA İÇER
Tanım 2.9.2 f ,ölçülebilir bir E kümesi üzerinde tanımlı reel değerli bir fonksiyon olmak
üzere , k 


için x  E : f  x   k kümesi ölçülebilir ise, f ' e ölçülebilir fonksiyon
denir.
E   a, b olmak üzere f  x   x : x  E fonksiyonu ölçülebilirdir.
Bir A kümesi için
1, x  A
0, x  A
A  
şeklinde tanımlanan  A fonksiyonuna A kümesinin karakteristik fonksiyonu denir.  A
fonksiyonunun ölçülebilir olması için gerek ve yeter koşul A ’nın ölçülebilir olmasıdır.(Balcı
2009)
Ayrıca f ,kapalı E kümesinde sürekli ise ölçülebilirdir.
Tanım 3.1.2 E ölçülebilir bir küme ve f  x  bu küme üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun.
Eğer her c 

sayısı için f  x   c olan x  E noktalarının kümesi E  f  x   c 

ölçülebilir ise f  x  ’e Lebesgue ölçülebilir ya da sadece ölçülebilir fonksiyon denir. Bu


tanımdan ve E kümesinin ölçülebilir olmasından faydalanarak, E  f  x   c  ,
 E  f  x   c   ,  E  f  x   c   kümelerinden herhangi birinin her c 

sayısı için

ölçülebilir olmasının E  f  x   c  ile eşdeğer olduğunu söyleyebiliriz.(Murray 1990)
2.8.
Riemann İntegrali: a, b reel sayılar ve a  b olmak üzere f :  a, b 
sınırlı bir
reel fonksiyon olsun. a  x0  x1  x2 ...  xn  b olmak üzere sonlu bir P   x0 , x1 , x2 ,..., xn 
kümesine  a, b nin bir parçalanışı denir. Bu P parçalanışı, her i  n için xi  xi  xi 1
M i  sup f ( x)
xi1  x  xi
ve
mi  inf f ( x)
xi1  x  xi
19
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
olmak üzere sırasıyla üst ve alt Riemann toplamları adı verilen
n
U ( P, f )   M i xi
i 1
ve
n
L( P, f )   mi xi
i 1
toplamlarını verir.
Üst Riemann toplamları dizisi azalan, alt Riemann toplamları dizisi ise artan olup
b
bunların p  0 veya n   için limitleri sırasıyla

a
b
f ve

b

b

f ile gösterilir. f = f
a
a
a
olduğunda , f fonksiyonu  a, b  ’da Riemann integrallenebilirdir denir ve bu genel olarak
b
 f ( x)dx ile gösterilir.
a
Şekil 2.8.1:Riemann integralinin Geometrik yorumu
20
FATMA İÇER
Tanım 2.8.1 f ,  a, b da tanımlı bir fonksiyon olsun. a  x0  x1  ...  xn  b noktalarından
oluşan p   x0 , x1 ,...xn  parçalanışı için,
n
  f  x   f  x   M
i 1
i
i 1
olacak şekilde bir M sayısı varsa, f ’e  a, b da değişimi veya varyasyonu sınırlı fonksiyon
denir.
xi , x j   a, b için,
f  xi   f  x j   L xi  x j
olacak şekilde L sabiti varsa f Lipschitz koşulunu sağlar denir. Lipschitz koşulunu sağlayan
her fonksiyon varyasyonu sınırlıdır.
2.9.
Lebesgue İntegrali: f  x  ,  a, b aralığında sınırlı ve ölçülebilir olsun.
Farz edelim ki   f  x    olan  ,  sayıları var. (  ,  ) aralığında y1 , y2 ,..., yn1
değerlerini   y0  y1  y2  ...  yn1  yn   olacak şekilde seçip aralığı n alt aralığa
bölelim.Bu noktalar şekildede görüldüğü gibi geometrik olarak y eksenindeki noktalara
karşılık gelmektedir.
Şekil 2.9.1:Lebesgue İntegralinin Geometrik Yorumu
21
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Ek  k  1, 2,..., n  , yk 1  f  x   yk olan tüm x ’lerin kümesi yani;
Ek  x : yk 1  f  x   yk  , k  1, 2,..., n olsun.
f  x  ölçülebilir olduğundan bu kümelerde ölçülebilirdir ve kolayca görülebileceği gibi
ayrıktır.
n
n
k 1
k 1
S   yk .  Ek  ve s   yk 1.  Ek  şeklinde tanımlanan üst ve alt toplamları göz önünde
bulunduralım. Parçalanmayı çeşitlendirerek S ve s’nin farklı değerlerinin kümesini elde
ederiz.Mümkün olan tüm parçalanmalar için I  inf S ve J  sup s olsun.Her zaman var olan
bu değerler f ( x) fonksiyonunun  a, b  aralığındaki alt ve üst Lebesgue integralleri olarak
adlandırılır ve I 
b
b
a
a
 f ( x)dx, J   f ( x)dx ile gösterilir.
Eğer I  J ise f ( x) fonksiyonu  a, b  aralığında Lebesgue integrallenebilirdir denir
b
ve bu değer
 f ( x)dx ile gösterilir. S azalan s artan olup bunların
p  max yn   0 veya
a
n   iken limit değerleri sırasıyla I ve J dir.
Tanım 2.9.1Eğer E üzerinde f ’e düzgün yakınsayan integrallenebilir basit fonksiyonların
bir
 f n  dizisi varsa ölçülebilir
f fonksiyonuna E kümesi üzerinden integrallenebilir veya
toplanabilir denir.
lim  f n  x d    f  x d  limitine f in E üzerinden Lebesgue integrali denir.
n 
E
E
n 1
Tanım2.9.3 S   y : mE  yi  f  yi 1  Lebesgue toplamının   0 için limitine f in E
i 1
kümesindeki Lebesgue anlamındaki integrali denir.
 L   f  x dx veya  f  x  dx ile gösterilir.
E
E
Burada f ölçülebilir E kümesi üzerinde tanımlı sınırlı ve ölçülebilir bir fonksiyon
olup , m  f  x   M , oy ekseni üzerindeki  m, M  kapalı aralığı  yi  , İ  0,1, 2,..., n
ayırım noktaları yardımıyla parçalara bölünür, m  y0  y1  ...  yn  M ,   max yi 1  yi
iken , S 
n 1
 y mE  y
i 0
i
i
 f  yi 1  toplamı Lebesgue anlamında integral toplamıdır.
22
FATMA İÇER
mE  yi  f  yi 1  değeri , E kümesinin yi  f  yi 1 eşitsizliğini sağlayan kısmının
ölçümüdür. E , yi  f  yi 1 olan X noktalarının kümesidir.
n 1
n 1
1. lim  yi mE  yi  f  yi 1   lim  yi  mE  yi 1  f   mE  yi  f  
 0
 0
i 0
i 1
n 1
M
i 0
m
 lim  yi  g  yi 1   g  yi   
 0
2. Eğer mE ise
 ydg  y  dir.
 f  x  dx  0 dır.
E
3. Eğer E kümesinde tanımlanmış f ve g fonksiyonları için m  f  g   0 ise
 f dx   gdx dir.
E
E
4. f  x  fonksiyon  a, b da Riemann integrallenebilir ise Lebesgue anlamında
integrallenebilir.
b
b
a
a
 L   f  x  dx   R   f  x dx

  lim f  x  dx   f  x  dx
a
a
b
5. lim f n  x   f  x  ise lim f n  x dx 
n 
n 
6. E  E1
E2 ve E1
E2   ise
b
n 
n
E
 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
E
E1
E2
7. f  x  sınırlı ve ölçülebilir bir fonksiyon ise
a)  f  x  dx  C  f  x 
E
E
b)  Cdx  C.m  E 
E
c)m  E   0 ise
 f  x  dx  0 dır.
E
d ) Eğer A  f  x   B ise A.m  E    f  x dx  B.m  E  dır.
E
e) Eğer E  E1
E2 ve E1
dir.
E2   ise
23
dir.
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
 f  x dx   f  x dx   f  x dx, E ‘ler
E
E1
E2
ikişer ikişer ayrık ve E 
i
Ei   f  x  dx    f  x dx dır.
i
E
Ei
f )   f  x   g  x dx ise , f  x dx   g  x dx dir.
E
E
E
g ) Eğer f ve g sınırlı ve ölçülebilir ise ,  f  x .g  x  dx   dir.
E
h) f  x   g  x    f  x dx   g  x  dx dir.
E
E
k ) f , E de sınırlı va ölçülebilir ise,
 f  x  dx   f  x  dx dir.
E
E
l ) E de h.h.h(hemen hemen her) yerde f  x   g  x  ise
 f  x    g  x dx dir.
E
E
b
Örnek 2.9.1 C bir sabit olmak üzere  C  C  b  a 
a
3
5
1;0  x  3 5
f  x  
  f  x dx   1dx   4dx  3  8  5
4;3  x  5
0
0
3
Tanım2.9.4 f  x   0 sınırsız ve ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere , p bir doğal sayı ise
 f  x  ; f  x   p koşulunu sağlayan bütün x  E ler için
 f  x   p  
; f  x   p koşulunu sağlayan bütün x  E ler için
 p
şeklindeki  f  x   fonksiyonu her p için sınırlı ve ölçülebilir olacağından Lebesgue
p
integrallenebilir ve f  x  in E üzerinden Lebesgue integrali
 f  x dx  lim   f  x 
p 
E
p
dx
E
şeklinde tanımlanabilir. Bu limit negatif olmayan bir sayı veya sonsuz olabilir, sonlu olan bu
limite ise f  x  in E üzerinden Lebesgue integrali denir.
Eğer f  x   0 ise f  x  in Lebesgue integrali,
 f  x dx   f  x  dx olarak
E
tanımlanabilir.
24
E
FATMA İÇER
 f  x  ; f  x   0, x  E için
; f  x   0, x  E için
0

Genel olarak , f  x   
 f  x  ; f  x   0, x  E için
f   x  
; f  x   0, x  E için
0
ise f

ve f  birlikte negatif değildir. f  x   f   x   f   x  olacağından ,
 f  x dx   f  x dx   f  x dx olur.

E

E
E
Eğer f  x   0 ise ,  a,   sınırsız aralığında Lebesgue integrali ,

b
 f  x dx  lim  f  x  dx ile tanımlıdır. f  x  keyfi işaretli ise
b 
a


a


a
a
f  x dx   f   x    f   x dx dir.
a
f  x  , E üzerinde integrallenebilirdir.  f  x  mutlak integrallenebilirdir. E nin
sınırlılığına veya sınırsızlığına bakmaksızın
 f  x  dx   f  x  dx dir.
E
8
Örnek 2.9.2 
0
E
dx
integralini hesaplarken,
x
3
1
1
 1
;
f
x

p
,

p

x



3 x
3
p3
x

 f  x   p  
 p ;x< 1

p3

1
8

0
dx

3
x
p3
8
 pdx   x
0

 1
 3 2
 p  3  0  x3
p
 2
1
3
1
p3

1

1
3 2
3

6

p

lim
x
dx  6 
p  
p2
2
0
Örnek 2.9.3 f  x  
8
1
p3
 8  13 
  x dx 
0

1
 L1  0,8 fakat f  x   L3 0,8
x
3
25
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
içinde aralık olsunlar ve k: E  F 
2.9.1 Fubini Teoremi: E ve F ,
fonksiyonu
L1  E  F  ’ye ait olsun. O zaman
a) Hemen hemen her(h.h.h) s  E için t  k (s, t ), L ( F ) ’nin bir elemanını tanımlar.
1
b)
s   k ( s, t )dt , L1 ( E ) ’nin bir elemanını tanımlar.
F
c) Hemen hemen her t  F için s  k (s, t ), L ( E ) ’nin bir elemanını tanımlar.
1

1
d) t  k ( s, t )ds, L ( F ) ’nin bir elemanını tanımlar.
E
e)




  k (s, t )dt  ds    k (s, t )ds  dt  
E
F
F
k (s, t )dsdt.
E F
E
Fubini teoreminin temel pratik kullanılışı (e) parçasıdır.
2.9.2 Fatou Lemması: ( X , A,  ) bir ölçü uzayı ve ( f n ) de  de negatif olmayan
ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi ise lim inf f n  x  İntegrallenebilirdir ve
n 
 lim inf
X
n 
f n d   lim inf
n 
 f d
n
X
dır.

2.9.3 Beppo-Levi Teoremi: ( X ,U ,  ) bir ölçü uzayı ve  f k ölçülebilir fonksiyonların
k 1

bir serisi olsun.Bu taktirde  f k serisi her X için yakınsak ve
k 1


k 1 X
f k sonlu ise

  
f
d



k 
X  
 fk d 
k 1
k 1 X

dır.
2.9.4 Levi Teoremi:  f n  ,ölçülebilir bir  
n
kümesi üzerinde Lebesgue ölçülebilir
fonksiyonların bir dizisi, öyleki h.h.h x  için f1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f n ( x)  f n1 ( x)  ... ve
 f ( x)dx   olsun. Bu durumda h.h.h x  için
1

fonksiyonu integrallenebilirdir ve
26
f ( x)  lim f n ( x) limiti vardır, f
n 
FATMA İÇER
 lim f ( x)dx  lim  f ( x)dx   f  x  dx

n 
n
n 
n


olur.
2.9.5 Monoton Yakınsaklık Teoremi:  X ,U ,   bir ölçüm uzayı ve  f n 1 negatif

olmayan ölçülebilir bir fonksiyonlar dizisi olsun. Eğer genel terimi f n olan monoton artan dizi
f fonksiyonuna yakınsar yani her X için f n  f ise
lim  f n ( X )d    fd 
n 
X
X
dır.
2.9.6 Lebesgue Yakınsaklık Teoremi: ( X , A,  ) bir ölçü uzayı, g : X  0, 
integrallenebilen bir fonksiyon ve f , f1 , f 2 ..... de X üzerinde A  ölçülebilir  ,  
değerli fonksiyonlar olsun. Eğer hemen hemen her x için
a) lim f n ( x)  f ( x)
n 
b) n  N için f n ( x)  g ( x)
ise f ve f n fonksiyonları integrallenebilirdir ve
lim  f n d    f d 
x
x
dir.
2.9.7
Lp de Yakınsaklık: f n ve f fonksiyonları  uzayının elemanları olsun. ( f n ) dizisi
f fonksiyonuna p-inci mertebeden ortalama yakınsaktır    0 için n0 
n  n0 için
öyle ki
f n  f   dir.Bu yakınsaklık çeşidine Lp ’de yakınsaklık denir. Burada p  1
olup
fn  f
p

   fn  f
x
1/ p
p

d 

dir. Buna göre ( f n ) dizisi f fonksiyonuna Lp de yakınsaktır  lim f n  f
n 
27
p
0
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
2.9.8 Lebesgue Sınırlı Yakınsaklık Teoremi: ( X , A,  ) bir ölçüm uzayı olsun.
 fn  , X
üzerinde (kompleks )ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olsun ve her x  X için
f ( x)  lim f n ( x)
n 
tanımlı olsun. Eğer f n ( x)  g ( x) (n  1, 2,3,...; x  X )
olacak şekilde bir g  L ( X ) fonksiyonu varsa o zaman f  L ( X ) dir ve
1
1
lim  f n  f d   0
n 
X
dır ve
lim  f n d    fd 
n 
X
X
dır.
2.9.9 Ölçüsel Yakınsaklık: ( X , A,  ) bir ölçü uzayı , f n ve f ’ler X üzerinde tanımlı ,
reel değerli ve A –ölçülebilir fonksiyonlar olsun. ( f n ) dizisi f fonksiyonuna ölçüsel
yakınsaktır    0 için,
lim 
n 
x  X :

f n ( x)  f ( x)     0
dır.
Bu tanıma göre verilen bir dizinin yakınsaklığı tanımlanan ölçüye bağlıdır. Ölçü
değişince yakınsaklık bozulabilir.Eğer ( f n ) dizisi f fonksiyonuna  ölçüsüne göre yakınsak

ise bu,
 fn   f
biçiminde gösterilir.
2.9.10 Riesz-Fisher Teoremi:  X , A,   bir ölçü uzayı ve 1  p   olsun. Lp ( X , A,  )
uzayı
f
p

 f
X
1/ p
p

d 

28
FATMA İÇER
normu altında tamdır.(Balcı 2009)
2.9.11 Lebesgue İntegrali ile Riemann İntegrali Arasındaki İlişki
f , bir  a, b  da Riemann integrallenebilir ise bu aralıkta Lebesgue anlamında da
integrallenebilir, bunun tersi genelde doğru değildir.
Riemann integrallenebilir fonksiyonlar, oldukça katı olan süreklilik koşulu altında
tanımlı iken Lebesgue integrallenebilir fonksiyonlar, süreklilik yerine ölçülebilirlik koşulu
altında tanımlıdır. Lebesgue integrali daha geniş bir fonksiyon sınıfına uygulanabilir.
Riemann integrali sadece sınırlı fonksiyonlar için tanımlı iken Lebesgue integrali ,hem
sınırlı hem de sınırsız fonksiyonlar için tanımlıdır.
Lebesgue yakınsaklık teoreminden integral işareti altında limit alma, ölçülebilir
fonksiyonlar yardımıyla mümkün iken, Riemann integralinde bu durum sürekliliği bozabilir.
Eğer f ,  a, b da Riemann integrallenebilir ve bu iki integralin değeri aynıdır.
b
 R 
a
 b

f  x dx   L  f  x  dx    fd   dir. Burada E   a, b ve   Lebesgue
 a
 E
ölçüsüdür.

sin x
dx  ,  ,   da Lebesgue integrali ıraksaktır.
x



sin x
dx   , f in improper(has olmayan) Riemann integrali vardır.
x


Riemann integrali ölçülebilir fonksiyonlar için kullanılamaz. Örneğin İrrasyonel
noktalarda sıfır, rasyonel noktalarda bir olan Dirichlet fonksiyonu ölçülebilirdir. Bu
fonksiyonun Riemann anlamında integrali yoktur.Yani Riemann integrali ölçülebilir
fonksiyonlar için pek de kullanışlı değildir.Bunun nedeni Riemann integralinin tanımından
kaynaklanmaktadır.Bir f fonksiyonunun Riemann integralinin olması için f ’nin tanım
aralığında sürekli olması ya da süreksiz olduğu noktalar kümesinin sayılabilir sonsuzlukta
elemana sahip olması gerekir.Yani f ,integrallenme bölgesinde sınırlı salınımlı
olmalıdır.Sınırlı fonksiyonlarında Riemann anlamında integrallenebilmesi için gerek ve yeter
şart süreksiz olduğu noktaların kümesinin ölçümünün sıfır olmasıdır. Lebesgue integralinde ise
Riemann integralinin tersine X noktalarının X ekseni üzerindeki yakınlıkları ile değil
fonksiyonların değerinin bu noktalardaki yakınlıkları ile ilgilidir. Ayrıca Lebesgue integrali
herhangi bir ölçüm uzayında tanımlanabilir ama Riemann integrali için bu geçerli değildir.
29
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
Aşağıdaki özelliklere dikkat etmekte de fayda vardır;
a)
f Riemann anlamında integrallenebilir ancak ve ancak f ,  a, b kapalı aralığının
hemen hemen her noktasında süreklidir.
b) f Riemann anlamında integrallenebiliyorsa Lebesgue anlamında da integrallenebilirdir
ve her iki integral birbirine eşittir.
2.10 Stieltjes integrali
Stieltjes integrali, Riemann integralinin genişletilmesidir. f  x  ve   x  ,  a, b da
tanımlı sınırlı fonksiyonlar ve p   x0 , x1 ,..., xn  de  a, b aralığının bir parçalanışı olsun.
a  x0  x1  ...  xi 1  xi  ...  xn  b için
n
  xi ,  i    f  i    xi     xi 1  :  i   xi 1 , xi 
i 1
toplamına Stieltjes toplamı denir. Eğer keyfi seçilen
  0 , her p parçalanışı ve  i noktaları
için   p    iken I     olacak şekilde       0 bulunabiliyorsa   p   0 iken
  xi ,  i  ile verilen toplamın limiti I dir denir.
Tanım2.10.1 Eğer   p   0 iken   xi ,  i  toplamının sonlu bir I limiti varsa , f  x 
fonksiyonuna ,   x  fonksiyonuna göre  a, b da Stieltjes anlamında integrallenebilirdir denir.
b
I   f  x d  x 
a
ile gösterilir.   x   x  c (c sabit) alınarak Riemann toplamı ve integrali elde edilir.   x 
monoton artandır.
  xi     xi     xi 1   0 : i  1, 2,3,..., n
n
n
i 1
i 1
S   M i   x  , s   mi i ; M i  Sup
x xi1 , xi 
 f  x  , m 
i
inf
x xi1 , xi 
 f  x 
Her bir p parçalanışı için s  p     xi ,  i   S  p 
Stieltjes anlamında s alt toplar dizisi artan, S üst toplamlar dizisi azalandır.
s  p   I*  I *  S  p  olup I*  sup s  p  , I *  inf S  p  , lim s  p   I* , lim S  p   I 
p
p
dır.
30
 0
  p  0
FATMA İÇER
Teorem 2.10.1 f ,  a, b da Riemann anlamında integrallenebilir ve   x  Lipschitz koşulunu
sağlıyorsa f  x  fonksiyonu   x  fonksiyonuna göre Stieltjes anlamında integrallenebilirdir.
2.11
Bazı önemli eşitsizlikler:
2.11.1 Young Eşitsizliği:  : 0,   
,sürekli, monoton artan,  (0)  0 ve
lim  (u )   , özelliklerine sahip bir fonksiyon ve  1   olsun. x 
u 
x
için
x
( x)     u  du,
  x    (u )du
0
0
denirse, her a, b  0,   için
a.b  (a)   (b)
dir. Eşitlik sadece b   (a) olması halinde geçerlidir.
  u   u p 1 alındığında,
1 1
  1 için
p q
a.b 
a p bq

p q
olur. Bu da Young Eşitsizliği olarak bilinir.
2.11.2 Cauchy Eşitsizliği: X  ( x1 , x2 ,..., xn ) ve Y  ( y1 , y2 ,..., yn ) reel veya kompleks
sayılar olmak üzere ,
n

i 1
1/ 2
 n
2
X iYi    xi 
 i 1

veya
n
 XY
i 1
i i
 X 2. Y
1/ 2
 n
2
  yi 
 i 1

2
31
2
TEMEL TANIM VE TEOREMLER
dır.
2.11.3 Cauchy-Schwartz Eşitsizliği: X bir iç çarpım uzayı ve x, y  X olsun.
O zaman
 x, y 
2
dir. Eşitlik sağlanır ancak ve ancak bazı
 x, x y, y
  F için y   x  0 dır. (Balcı 2009)
32
FATMA İÇER
3.KLASİK LEBESGUE UZAYLARI
 X , A,   bir ölçü uzayı olsun. 0  p   olmak üzere,

Lp  f  M  X , A : f
p

 L  X , A,  
kümesine p .kuvvetten integrallenebilen fonksiyonlar sınıfı denir.
Yukarıdaki tanıma göre L1  L dir,zira f ’nin integrallenebilir olması ile f ’nin
integrallenebilir olması aynı şeydir. f  Lp olsun.  
integrallenebilir olduğunda  . f
p
p
ise  f  Lp dir,çünkü f
de integrallenebilirdir. Dolayısıyla  f
p
p
integrallenebilir.Ayrıca f , g  Lp ise,

f  g   f  g   2.maks  f , g 
p
p

p

 2p f
p
g
p

olacağından f  g intregrallenebilir ve dolayısıyla f  g  Lp olur.Şu halde Lp kümesi
p
bir vektör uzayıdır.
Lp de p  1 olmak üzere , norm
f
p

 f
X
1/ p
p

dx 

ile tanımlıdır.
3.1
Lp (0, ) Lebesgue Uzayı:

Lp (0, )  { f :  0,    ; f ölçülebilir,  f  x  dx  }
0
ile tanımlıdır.
33
p
3. KLASİK LEBESGUE UZAYLARI
3.2
Lp (0, ) Lebesgue uzayının temel özellikleri:
Lp (0, ) Tam bir normlu uzaydır(Banach Uzayı).Burada norm
a)
1/ p
f
L p  0, 


p
   f  x  dx 
0

ile tanımlıdır.
1 1
  1 olmak üzere Lp ' (0, ) uzayıdır.
p p'
b)
Lp (0, ) uzayının duali
c)
Lp (0, ) uzayı reflexivdir(dualinin duali kendisidir).
d)
Lp (0, ) uzayı bir vektör uzayıdır.
e)
Bu uzaydaki düzgün fonksiyonlar C
  0,   her yerde yoğundur.

 
f  Lp (0,) için   j  C   0,   vardır öyleki j   için, f   j
Lp (0, )
dır.
3.3
Hölder Eşitsizliği: p  1,
1 1
  1 olsun. f  Lp , g  Lq ise f .g  L1 .Ve
p q
f .g 1  f
p
. g
q
dir.
3.4
Minkowski Eşitsizliği: Eğer p  1, f , g  Lp ise f  g  Lp dir ve
f g
p
 f
p
 g
q
dir. (Balcı 2009)
3.5
İntegraller için Minkowski eşitsizliği:
d
 K  x, y  dy
c
d
Lr  a ,b 
  K ., y 
c
34
dy dir.
Lr  a ,b 
0
FATMA İÇER
Yani,
1/ r
r
bd


    K  x, y  dy  dx 
ac




1/ r
b

    K r  x, y  dx  dy
ca

d
r=1 için eşitlik Fubini teoremine dönüşür.
3.6
Ağırlıklı Lebesgue Uzayı: 0  p   ve w,  a, b  üzerinde ağırlıklı fonksiyon olmak
üzere Lp  a, b; w  Lp  w ile gösterilen ağırlıklı Lebesgue uzayı,  a, b  üzerinde ölçülebilir
bütün f  f  x  fonksiyonlarından oluşur. Öyle ki,
1/ p
b

p
f p , w :   f ( x) w( x)dx 
a

f
, w
 ;
0 p
: ess sup f ( x)  
a  x b
dır.(Kufner 2007)
3.7
Lp ( w)' nin Duali: 1  p   olmak üzere Lp ( w) ağırlıklı Lebesgue uzayının duali iç
çarpım ile tanımlıdır. Öyle ki;
b
 g , f   g ( x) f ( x)dx : f  Lp ( w)
a
dir. q 
p
, wˆ  w1 q olmak üzere ( Lp (w))*  Lq ' (w1q ) dir.
p 1
b
 g , f    g ( x) w1/ p ( x) f ( w) w1/ p ( x)dx
a
1/ q
1/ p
b
 b

q
p
   g ( x) w q / p ( x)dx    f ( x) w( x) dx 
a
 a

 f
p,w
dir. (Hölder Eşitsizliğinden)
H Hardy operatörü, H ise eşlenik Hardy operatörü olmak üzere ,
p  q ', q  p ', v  w1q ' , w  v1 p ' alınarak
35
. g
q , w1q
3. KLASİK LEBESGUE UZAYLARI
H : Lp (v)  Lq ( w);
1 q '
( H )  H : L (w
*
q'
1  p, q  
)  L (v1 p ' )
p'
bulunur.Fubini teoreminden ise;
b
x
b
b
a
a
a
t
 g , Hf   g ( x)  f (t )dtdx   f (t )  g ( x)dxdt =  f , Hg 
elde edilir. (Kufner 2007)
36
FATMA İÇER
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
4.1
Kesikli Hardy Operatörü
 an  negatif olmayan terimli bir dizi ve
p
1 n
  p 

 n  ak    p  1 
n 1 
k 1
 

N
p
p  1 olmak üzere ,
N
a
p
n
n 1
Klasik Hardy eşitsizliğinin kesikli formu olarak bilinir. Burada
1 n
 ak  H  an  kesikli Hardy
n k 1
operatörüdür ve ağırlıklı hali ise ,
q
1/ p
n
 

 
p
v
a

C


n
k


  wn an 
 n 1 k 1 
 n 1

dir.
4.2
Sürekli Hardy Operatörü
x
 a, b  üzerinde f fonksiyonları için tanımlı H operatörü Hf ( x)   f (t )dt ile tanımlı olup
a
b

bu integral veya Hardy operatörü olarak bilinir. Bunun dual operatörü H f ( x) 
 f (t )dt dir.
x
H : Lwp  a, b   Lqv  a, b  süreklidir ve Hf
q ,v
 C p ,q f
p,w
ve g
q ,v
C g'
p,w
dir.
K  x, t  ,  a, b    a, b  üzerinde tanımlanmış bir kernel olmak üzere
x
 Kf  ( x)   K  x, t  f (t )dt şeklindeki operatöre Voltera operatörü denir.Hardy operatörü
a
bu operatörün özel halidir. (Kufner 2007)
37
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
Hardy Eşitsizliğinin Diferansiyel Formu
4.3
K
için K  1 inci mertebeden mutlak sürekli bütün fonksiyonların kümesi AC K 1
olsun.
Her g  AC 0 için g (a)  0 veya g (b)  0 başlangıç koşullarını sağlayan g
fonksiyonları tarafından sağlanan
1/ q
b

q
  g ( x) v( x)dx 
a

1/ p
b

p
 C   g ' ( x) w( x)dx 
a

eşitsizlik, Differansiyel Hardy eşitsizliği olarak bilinir. Bu durumda g '( x)
p,w
  olup
x
g ( x)   f (t )dt  H  f ( x) 
a
veya
b
g ( x)   f (t )dt  H ( f ( x))
x
dir.
g
q ,v
C g
p,w
 1  p  q   için
1/ q
1/ p '
b
 a

sup   v q (t )dt    w1 p ' (t )dt 
1 p  q  x

 x

dir.
Bazı yazarların çalışmalarında (modiffied) değiştirilmiş ağırlık Hardy operatörü olarak
adlandırılan
x
H ( f ( x)) : v( x)  f (t ) w(t ) de kullanılarak H ( f ( x)) q  C f ( x)
a
1/ q
1/ p '
b q
  x p'

1  p  q   için sağlanır  sup   v (t )dt    w (t )dt 
a  x b x

 a


1/ r
r/q
r/ p'
 b b

  x p'

q
p  q için sağlanır     v (t )dt    w (t )dt  dx 
 a x

 a



b
  dur.
Benzer durum H ( f ( x)  v( x)  f (t ) w(t )dt operatörü için geçerlidir.
x
38
p
eşitsizliği
FATMA İÇER
g ( x)  H ( f ( x)) için g (a)  0 ve g '( x)  f ( x)
g ( x)  H ( f ( x)) için g (b)  0 ve g '( x)  f ( x)
alındığında, H ve H operatörlerin ağırlıklı Lebesgue uzayları arasında sınırlılığı görülür.
 a, b    0,   ise f
 0 ve v, w ağırlıklı fonksiyonları için ağırlıklı Hardy eşitsizliği,
1/ q
q
 x


    f (t )dt  v( x)dx 
00




1/ p


 C   f p ( x)w( x)dx 
0

ve g (0)  0 ile 1  p  q   için
1/ q
 x

q
   g ( x) v( x)dx 
0 0

1/ p


p
 C   g '( x) w( x)dx 
0

eşitsizliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli koşul
1/ q
1/ p '

 x

sup   v(t )dt    w(t )1 p ' dt 
x 0
x
 0


dur.  a, b    ,   ise,
1/ q
q
 x


    f (t )dt  v( x)dx 
   




1/ p
 p

 C   f ( x) w( x)dx 
 

eşitsizliğinin negatif olmayan f fonksiyonları tarafından sağlanması için gerekli ve yeterli
koşul
1/ q
1/ p '

 x

sup   v(t )dt    w(t )1 p ' dt 
x
x
  


dur.
de 1  p   olmak üzere
 1
  2 x


x

x
p
p

 p   p

f (t )dt dx  
  f ( x)dx

 p  1  

eşitsizliği;
p
1 x

 p 
0  x 0 f (t )dt  dx   p  1 

39
p 
f
0
p
( x)dx
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
eşitsizliğine karşılık gelir.
1 x

1 x

lim   f 1/ p (t )dt   exp   ln f (t )dt 
p  x
 0

x0

olarak verilen f ’nin geometrik ortalaması ve Klasik Hardy eşitsizliğinde f yerine f 1/ p
alındığında
p



 1 x 1/ p

1 x

p
0  x 0 f (t )dt  dx  p  1 0 f ( x)dx  0 exp  x 0 ln f (t )  dx  e0 f ( x)dx

Şeklinde Knopp eşitsizliği olarak bilinen eşitsizlik bulunur.
Benzer limit yöntemiyle Klasik Hardy eşitsizliğinin kesikli hali olan ve Carleman
eşitsizliği olarak bilinen


n 1

n
a1.a2 ...an  e an
n 1
eşitsizliği bulunur. (Kufner 2007, Opic ve Kufner 1990)
Ayrıca ağırlıklı Hardy eşitsizliğinin sağlanması ,

p
J ( y )    y '( x)  w( x)  y ( x) p v( x) dx


0
fonksiyoneli için
d 
 dy

 w  x   ( x) 
dx 
 dx

p 1

p 1
  w( x) y ( x)  0

Euler-Lagrange genel lineer olmayan adi diferansiyel denkleminin bir pozitif y
çözümünün varlığına eşdeğerdir. (Muckenhoupt 1972),(Opic ve Kufner 1990)
4.4
Hardy Ortalama (averaging) operatörü:
1
x
 H a f  ( x) :  f (t )dt
x
0
aritmetik ortalama operatörü olarak bilinir. f ’nin geometrik ortalama operatörü ise
1 x

G  f  ( x) : exp   ln f (t )dt  ; f  0
x0

olarak bilinir. G( f )( x)  ( H a f )( x) dir.(Kufner 2007)
40
FATMA İÇER
N Boyutlu Hardy Operatörü
4.5.
X
n
için B( x)   y 
n
: y  x  yuvarının hacmi B( x) olmak üzere, H N ile gösterilen N
boyutlu Hardy operatörü,
1
B( x)
 H N f  ( x) 

f ( y )dy, x 
n
B( x)
ile tanımlı olup

n
 p 
 H N f  ( x) dx  

 p 1 
p

p
f ( x) dx;1  p  
p
n
eşitsizliği N boyutlu Hardy eşitsizliğidir.
v, w N boyutlu ağırlıklar ve 1  p  q   için
1/ q


q
   H N f  ( x) v( x)dx 
 n


 C


1/ p

n

f ( x) w( x)dx 


p
eşitsizliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli koşul

sup 
x n 

1/ q
n

v( y ). y
q
/ B( x)
1/ p '

dy 




 C   w1 p ' ( y )dy 


 B( x)


dur.

1<p< için
n
 p 
p
H N f ( x) dx  

 p 1 
p

p
f ( x) dx,
n
p
 p 
eşitsizliği c  
 en iyi sabiti ile sağlanır. 1  p  q   için
 p 1 



1/ q

n

H N f ( x) v( x)dx 


q

 c


1/ p

n

f ( x) w( x)dx 


p
dir ancak ve ancak
 
 
 n 
 

v(t )dt 


n
/ B( x)

r/q


  w(t )1 p ' dt 
 B( x)



r/ p'
1/ r

w( x)1 p ' dx 


41
  dır.(Kufner 2007)
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
4.6. Teoremler
Teorem 1 : v, w ağırlık fonksiyonları olmak üzere,
1/ q


q
   Gf  ( x)v( x)dx 
0

1/ p


 C   f p ( x) w( x)dx 
0

(1)
eşitsizliğinin bütün negatif olmayan f fonksiyonları tarafından sağlanması için gerekli ve
yeterli koşul
i)0  p  q   iken
 t   1  q / p

 t 1/ p  
sup   G 
v
(
x
)

t  0  0   w( x)  


(2)
ii)0  q  p   iken
r/q
q/ p
 x
   1  q / p 




1
1
 

G
dt  G 
  dx   
   x    w(t )  

w
(
x
)


0
0

  
 

(3)
Dur.(Person ve ark. 2002)
x y
 H 2 f  ( x, y)   f  s, t  dtds
(4)
a a
iki boyutlu Hardy operatörü olarak bilinir.
v, w;  0,     0,   üzerinde ağırlık fonksiyonları olmak üzere
1/ q
 

q
   H 2 f   x, y  v  x, y  dxdy 
0 0


 C   f
0 0
1/ p
p

 x, y  w  x, y  dydx 

(5)
eşitsizliğinin 1  p  q   ve negatif olmayan bütün f  x, y  fonksiyonları tarafından
sağlanması için gerekli ve yeterli koşul
1/ q


sup   v  s, t  dtds 

x  0, y  0  x y


1/ p '
 x y 1 p '

  w  s, t  dtds 
0 0


dur.(Muckenhoupt 1972)
42
(6)
FATMA İÇER
Teorem 2: p  1,
r 1
 1 için,.
p
1/ p
p
  1 x
 
r
  x   f  t  dt  dx 
0 x 0
 

1/ p



p 
p r

   f  t  t dt 
 p  r 1   0

(7)
dir.
İspat:
t  xs ile t  s için dt  xds ve 0  s  1 olduğundan
1/ p
1/ p
p
  1 x
 
r
  x   f  t  dt  dx 
0 x 0
 

p

x
 
r p
   x   f  t  dt  dx 
0
0
 

1/ p
p

1
 p 
r p
   x   f  xs  ds  x dx 
0

0



1/ p
p
  1
 
r
   x   f  xs  ds  dx 
0 0
 

1

 f ( xs)ds
0
Lp ( x r ; 0,   )
(İntegraller için minkowski eşitsizliği)
1

0
1/ p

t 1 
    f p (t )   dx 

 s  s 
00
1
1
 s
0
1/ p
 p

f ( xs )
ds     f ( xs ) x r dx 
00

L p ( x r ; 0,   )
1


r 1
p
r
1/ p
 p r 
  f (t )t dt 
0

ds
ds
 x  t için

 xs  t ise
 dx  s 1dt

0  t  






1/ p


p 
p
r
ds 
  f (t )t dt 
p  r 1  0

(Kufner 2007)
Teorem 3 :
1  p  q   ve
x

B  sup   w1 p ' (t )dt 
a  x b  a

1/ p
1/ q
q
x
 t 1 p '  
  v(t )   w ds  dt 
a
a
 

olmak üzere, negatif olmayan f fonksiyonlarının
43
(8)
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
1/ q
q
b  x


    f (t )dt  v( x)dx 
 a  a


1/ p
b p

 C   f ( x) w( x)dx 
a

(9)
şeklindeki Hardy eşitsizliğini sağlaması için gerekli ve yeterli koşul,
B   ve B  C  p ' B dir.
(10)
x

Burada , W ( x)  w1 p (t )dt dir.
1
a
İspat:
Gereklilik:
(9) eşitsizliğinin C   bir sabit ile bütün f  0 fonksiyonları için sağlandığını kabul edelim.
t  (a, b) keyfi bir sabit ft ( x)  ( a,t ) ( x)w1 p ' ( x) olmak üzere ,(9) eşitsizliğinin sol yanı ,
1/ q
q
b  x


    f (t )dt  v( x)dx 
 a  a


1/ q
q
q
b x
t  x





    f (t )dt  v( x)dx     f (t )dt  v( x)dx 
 a  a

t a


(11)
şeklinde yazılabileceğinden ve (10)’nun doğruluğunun kabulünden ,
1/ q
q
t  x


1 p '
    w ( s)ds  v( x)dx 
 a  a


1/ p
 t 1 p '

 C   w ( x)dx 
a


1/ q
t q

  W ( x)v( x)dx 
a

 C.W 1/ p (t )  B  C  
(12)
bulunur.
Yeterlilik:
(9) eşitsizliğinin duali, aynı C sabiti ile g  0 için,
1/ p '
p
bb


  g (t )dt  w1 p ' ( x)dx 
 a  x




'
1/ q '
b

 C   g q ' ( x)v1q ' ( x)dx 
a

yazılabilir.
Kısmi integrasyon ve Hölder eşitsizliğinden,
44
(13)
FATMA İÇER
p'
b b
b



J :    g (t )dt  w1 p ' ( x)dx  p '    g (t )dt 
ax
ax


b
b

= p ' g ( x )v
(1 q ') / q '
a
b

( x)   g (t )dt 
x

1/ q '
b

 p '   g q ' ( x)v1q ' ( x) 
a

b

h( x) :   g (t )dt 
x

b

J1     g (t )dt 
ax

b
p ' 1
p ' 1
x

g ( x)   w1 p ' (t )dt  dx
a

 x 1 p '
 ( q '1) / q '
( x)dx
  w (t )dt  v
a

1/ q
q ( p ' 1) x
q
b  b


 1 p '

    g (t )dt 

w
(
t
)
dt
v
(
x
)
dx


 a  x


a

q ( p ' 1)
q ( p ' 1)
olmak üzere Fubini teoremini uygularsak,
q
 x 1 p '

  w (t )dt  v( x)dx
a

q
b
 x 1 p '

  h( x)   w (t )dt  v( x)dx   h( x)W q ( x)v( x)dx
a
a
a

b
b b
    h '(t ) dtW q ( x)v( x)dx
a x
b t
b
t
a a
a
a
    h '(t )W q ( x)v( x) dxdt    h '(t )   v( x)W q ( x)dxdt
1/ q
B W
1/ p
x

q
  v(t )W (t )dt 
a

ise
 x 1 p '

B   v(t )W (t )dt   w (t )dt 
a
a

x
q
q / p
q
(14)
olacağından ,
t

J  B   h '(t )   w1 p ' ( x)dx 
a
a

b
q/ p
q
(15)
bulunur. Minkowski integral eşitsizliğinden sağ yanın integrali kestirilerek ,
b b

p/q
J1  B     h '(t )dt  w1 p ' ( x)dx 
a x

q/ p
q
45
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
b

 B   h p / q ( x) w1 p ' ( x)dx 
a

q/ p
q
( p ' 1) p
bb


q
 B     g (t )dt 
w( x)1 p ' dx 
ax




p'
bb


q
 B     g (t )dt  w( x)1 p ' dx 
ax




q/ p
q/ p
 Bq J q / p
1/ q '
J
1/ p '
b

 p ' B   g q ' ( x)v1q ' ( x)dx 
a

(16)
Dual eşitsizlikten , C  p ' B bulunur.(Kufner ve Person 2003)
x
1 1 1
Teorem 4: 0  q  p   , p  1 ,   , W ( x) : =  w1 p ' (t )dt için
r q p
a
1/ r
r/q
bt


q
B      v( s)W ( s)ds  W  r / q (t )dW (t ) 
aa




(17)
olmak üzere,negatif olmayan bütün f fonksiyonlarının 1 ile verilen Hardy eşitsizliğini
sağlaması için gerekli ve yeterli koşul B   dur ve Hardy eşitsizliğindeki C sabiti,
qp 1/ r ( p ')1/ q ' r 1/ r ' 21/ q B  C  q1/ q p ' B
(18)
eşitsizliğini sağlar.
İspat:
Yeterlilik:
q
x

J :    f (t )dt  v( x)dx
aa

b
q
x

    f (t )dt  v( x)W q ( x)W  q ( x)dx
aa

b
46
FATMA İÇER
q
b
x

 q    f (t )dt  v( x)W q ( x)  W  q 1 ( s )dW (s )dx
aa
x

b
b
 qW
 q 1
a
q
sx


( s)     f (t )dt  v( x)W q ( x)dx  dW ( s )
aa




q
 s
  s



 q    f (t )dt  W  q ( s)    v( x)W q ( x)dx W 1 ( s)  dW ( s)
  a

a 


 a
b
Burada x  s için
x
s
a
a
 
ve Fubini teoremi kullanılmıştır.
p  p r
ve   
parametreleri ile Hölder eşitsizliği uygularsak,
q  q  q'
p
bs
 dW ( s) 

J  q     f (t )dt 
q
aa

W
(
s
)



q/ p
Bq
(19)
dur. Bir önceki teoremden ,
1/ p
p
bs
 dW ( s) 
    f (t )dt 

p
aa

W
(
s
)



1/ p
b

 p '   f p ( s) w( s)ds 
a

yazılabilir. Böylece , C  q
1/ q
(20)
p ' B   ile (10) eşitsizliği sağlanmış olur.
Gereklilik:
C   ile (10) eşitsizliğinin sağlandığını kabul edelim.(18)deki alt sınır ,
1/ r
r/q
bb


B0      v(t )dt  W r / q ' ( x)dW ( x) 
ax




olmak üzere C  q1/ q ( p ')1/ q '
1 p '
Bunun için , w
(21)
q
B0 olduğunu göstereceğiz.
r
( x)   ( x) olsun ve 0  v1  v , 0  w  w1 , v1 ve 1 ( x)  w11 p ' ( x)
integrallenebilir fonksiyonlar olsun. Ayrıca ,
47
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
1/ r
r /q
 b b


B     v1 (t )dt  W1r / q ' ( x)dV1 ( x) 
 a x


1/ r
r/q
bb


1 p '
W1 ( x)   w1 (t )dt    1 (t )dt ile B1 :     v1 (t )dt  W1r / q ' ( x)dW1 ( x) 
ax

a
a



x
t
olmak üzere eğer,
b

f ( x)    v1 (t )dt 
x

x

a
r / pq
b

f (t )dt    v1 (t )dt 
x

b

p 'q 

  v1 (t )dt 
r x

r / pq
x

   1 (t )dt 
a

r / pq '
r / pq x
 1 ( x) şeklinde bir
t


(
s
)
ds


1
a  a

x

   1 ( s)ds 
a

r / pq '
 1 (t )dt
r / p'q
Kısmi integrasyon , son kestirim ve (9) eşitsizliğinden ,
1/ q
p 'q  q 
 
r  p'
B1r / q
1/ q
r/ p
r / p'
 b  p ' q q  b

 x


v
(
t
)
dt

(
t
)
dt
v
(
x
)
dx
=

  1

1
 a  r   x 1

 a



1/ q
q
b  x



    f (t )dt  v1 ( x)dx 
 a  a


1/ q
q
b  x



    f  t  dt  v( x)dx 
 a  a


1/ p
b p

 C   f ( x) w( x)dx 
a

1/ p
r /q
r/q'
bb

 x


 C    v1 (t )dt     1 (t )dt   11 p ( x) 1p dx 
ax

 a



1/ p
r/q
r /q'
bb

 x

 C     v1 (t )dt     1 (t )dt   1 ( x)dx 
ax

 a



48
fonksiyonu seçersek,
FATMA İÇER
1/ p
r/q
r /q'
 b b

 x


 C    v1 (t )dt     1 (t )dt   1 ( x)dx 
 a x

 a



1/ p
r/q
bb


'
 C     v1 (t )dt  W1r / q dW1 ( x) 
ax




 CB1r / p
(22)
bulunur.
1/ r
1/ q
Böylece , q
1/ q '
( p ')
q
1/ q  p 
B1  c elde edilir. (18)’in alt sınırının B   2q   
r
r
B0
olduğunu göstermek için ,
x q
 x

B     W (t )d    v( s )ds  


aa
 t

b
r/q
r
W  r / q ( x)dW ( x)
ve
x x


 x

J1   W (t )d    v( s)ds   q    v( s)ds W q 1 (t )dW (t )
a t
a

 t

x
q
q
 x
 q 1 2 p   q / 2 p
 q    v( s)ds W
(t ) W
(t )dW (t )

a 

 t
x
'
r r p
ve   
parametreleri ile Hölder eşitsizliğinden,
q q q
r/q

q r
xx

 q 1


2 p q

J1  q     v( s)ds  W (t )
dW (t ) 
at




q/r
x

1/ 2
  W (t ) dW (t ) 
a

q/ p
yazılabilir. Fubini teoreminden,
r/q

q r
xb

 q 1


2 p q


 . W r / 2 p r / q ( x)dW ( x)
v
(
s
)
ds
W
dW
(
t
)


a  a  t




b
B q
r
r/q
2
r/ p
b

a  t v(s)ds 
b
q
r/q
2
r/ p
r/q
W
r r

q' 2p
b
(t ) .
W
r r

2p q
t
49
( x)dW ( x)dW (t )
(23)
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
r
q
q p.2
=
r
r
p 1 b
b

v
(
s
)
ds


a  t

r/q
r
q'
W (t )dW (t )
r

 2q  q . p
r
B0 r
(24)
bulunur.(Kufner ve Person 2003)
Teorem 5: 1  p  q   ve s  (1, p) olmak üzere, eğer
1/ q
q
 x


    f (t )dt  v( x)dx 
00




1/ p


 C   f p ( x) w( x)dx 
0

(25)
eşitsizliği sağlanması için:
A( s, p, q)  sup W (t )
1/ q
q
( ps )


dx 
  v( x)W ( x) p
t



s 1
p
t 0

(26)
t

dır.Burada W (t )  w( x)1 p ' dx , eğer C en iyi sabit ise ,
0



sup 
1 s  p 



1
p
 p 
1



p
'
p

s


p

1



A( s, p, q)


p
 A( s, p, q)  C  1inf
s p p  s


p 
1 
 
ps
s  1 
p
(27)
dır.
İspat: f p ( x)w( x)  g ( x) alındığında (26) eşitsizliği:
1
q
1/ p
1
1
 x
q



p
p
  g (t ) w(t ) dt  v( x)dx   C  g ( x)dx 


 0  0

0




şeklinde yazılabilir.
1 p '
DW (t )  w(t )
1
 w(t )
p
p 1
 w(t )
1
p 1
 w(t )

dır. (Hölder ve Minkowski eşitsizliğinden)
1/ q
q
1
1
 x



  g (t ) p w(t ) p dt  v( x)dx 

 0  0




50
p'
p
(28)
FATMA İÇER
1/ q
q
1
s 1
s 1
1
  x




p
p
p
p
=     g (t ) W (t ) .W (t )
w(t ) dt  v( x)dx 

 0  0




1/ q
q/ p'
q/ p
s 1
p'
  x


.p'


 x
s

1
p
p

    g (t )W (t )dt    W (t )
w(t ) dt  v( x)dx 
0

0  0

 



1/ p '
 p 1 


 ps
1/ q
q/ p
ps q
  x

.

s 1
    g (t )W (t )dt  W ( x) p 1 p ' v( x)dx 
 0  0


1



p
p
1/ p '  
ps

q
.
q


p 1  

s 1
p
( x)v( x)dx  dt 
   g (t )W (t )   W

ps
t

0



1/ p '
 p 1 


 ps
1/ p


A( s, p, q)   g (t )dt 
0

(29)
bulunur. Böylece (27)’nin sağ yanındaki sabit ile (28) ve (26) denklemleri sağlanır.
p
 p 
s
1 p '
s
1 p '
g ( x)  
 W (t ) w( x)  (0,t ) ( x)  W ( x) w( x) (t , ) ( x)
 ps
test fonksiyonu seçildiğinde,(26) ve dolayısıyla (28)’ in sağlandığını kabul edelim. Burada t
pozitif bir sabit sayıdır.
1/ p


  g (t )dt 
0

1/ p

 t  p p

s
1 p '
  
W
(
t
)
w
(
x
)
dx

W ( x)  s w( x)1 p ' dx 


 0  p  s 

t
1/ p
 p p

1
 
W (t )1 s 
W (t )1 s 

 p  s 

1 s


(30)
ve
1/ q
q
s
s
 t 
x





p
1 p '
1 p '
p
p
  

W
(
t
)
w
(
y
)
dy

W
(
y
)
w
(
y
)
dy
v
(
x
)
dx

t

 t  0  p  s 




1/ q
 s
   p q

1  q
 p

 
W
(
x
)
v
(
x
)
dx
 t  p  s 



(31)
İfadesi (30)’un sol yanından küçüktür. Böylece (28) den
51
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
1/ q
 s


1 
 p
 p 

v( x)dx 

   W ( x)
 p  s  t



q
p
 p  p 
1 


  
 
s  1 
 p  s  p  s 
1/ p
 p p
1 

 C 


 p  s 

s

1


1/ p
W (t )
s 1
p
W (t )
1 s
p

1/ q
 s


1  q
  W ( x) p  v( x)dx 
t



C
(32)
veya özdeş olarak ,
1/ p
p


 p 






 ps
p


 p   1 
 ps
s  1 


W (t )
s 1
p
1/ q
 ps 



q
  W ( x) p  v( x)dx 
t



C
(33)
Böylece (27)’nin sol yanı kestirilmiş oldu.(Kufner ve Person 2003)
Lemma 1 : 1  p  q   ve v, w  W (a, b) olmak üzere,
1/ q
b

BL (a, b, v, w, p, q)  sup   v(t )dt 
a  x b x


1/ p '
 x 1 p '

  w (t )dt 
a

(34)
ve
b
  v(t )dt  V ( x) ve
x
x
w
1 p '
a

(t )dt  W ( x) olmak üzere sup V 1/ q .W 1/ p '   
a  x b

(35)
ise,
1/ q
q
b

  Hf ( x) v( x)dx 
a



eşitsizliği her Hf  x  
1/ p
p
b

 C   f ( x) w( x)dx 
a



(36)
x
 f t  dt  AC
L
(a, b) için sağlar ve CL en iyi sabiti
a
1/ q

q
CL   1  
p'

1/ p '

p'
1  
q

BL kestirimini sağlar.
 CL  K (q, p).BL 
İspat: BL   olduğunu kabul edelim. Bu durumda s  1 sabit olmak üzere,
t
1/ p ' s
t  (a, b) için  w( y )
a
1 p '
t

dy   olacağından , h(t )    w1 p ' ( y )dy 
a

52
fonksiyonu
FATMA İÇER
t  (a, b) için 0  h(t )   olur. f  M  (a, b) olsun. Hölder eşitsizliğinden,
x
x
a
a
Hf  x    f (t )dt   f (t )w(t )1/ p h(t )w(t ) 1/ p h(t ) 1 dt
1/ p
x

   f p (t ) w(t )h p  t  dt 
a

1/ p '
p'

 x p'

p
h
(
t
)
w
(
t
)
dt 

a



(37)
yazılabilir. Ayrıca,
x
h
p'
1 p '
(t ) w(t )
a
 t 1 p '

dt     w ( y )dy 
aa

x
x

s  1 p '

  w ( y )dy 
s 1 a

s 1
s

1/ s
w(t )1 p ' dt
s
h( x)( s 1) p '
s 1
(38)
olduğundan,
q
b  x


    f (t )dt  v( x)dx 
 a  a


p/q
 s 


 s 1
p/ p'
q/ p
b  x


p
p
    f (t ) w(t )h (t )dt  h s 1q ( x)v( x)dx 
 a  a


[(integraller için Minkowski eşitsizliğinden) ,  M   a, b  ve r 
1/ r
r
b

x

  ( x)   ( y)dy  dx 
a

a



q
b  x


    f (t )dt  v( x)dx 
 a  a


 s 


 s 1
(39)
p
için
q
1/ r
b

  ( y)   ( x)dx 


a
y

b
p/q
p/q
p/ p' b

a
dy ]
 b ( s 1) q

f (t ) w(t )h (t )   h
( x)v( x)dx 
t

p
p
p/q
dt
(40)
bulunur. BL sayısının tanımından,
h( s 1) q ( x)  h s ( x)( s 1) q / s
b

 BL ( s 1) q / s   v( y)dy 
x

 ( s 1)
s
olup ,
b
h
( s 1) q
( x)v( x)dx  BL
b

v
(
y
)
dy


t  x

( s 1) q b
s
t
 sBL
( s 1)
q
s
1
1
s
v( x)dx
1/ s
b

  v( y )dy 
t


53
(41)
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
 b ( s 1) q

( x)v( x)dx 
 h
t

 s p / q BL
( s 1)
p
s
p/q
s
p/q
BL
( s 1) p / s
1/ p '
 t


1 p '
 BL   w ( y )dy 

  a


1/ q
q
bx


    f (t )dt  v( x)dx 
aa




b

  v( y )dy 
t

p / qs
p/s
 s p / q BL p h  p (t ) 
1/ p
1/ p '
 s 


 s 1
1/ q
s
b

BL   f p (t ) w(t )h p (t )h  p (t )dt 
a

1/ p
b

 g ( s) BL   f p (t ) w(t )dt 
a

(42)
1/ p '
 s 

 s 1
Burada, g ( s)  s1/ q 
sabittir. inf g ( s)  g (1 
s 1
q
)  k (q, p) alındığında
p'
1/ q
q
bx


    f (t )dt  v( x)dx 
aa




ve s  1 keyfi
1/ p
b

 k (q, p) BL   f p (t ) w(t )dt 
a

(43)
bulunur.(Kufner ve Person 2003, Kufner ve Opic 1990)
Teorem 6 : 1  p  q   reel sayılar ve v, w :
n
 0,   pozitif ölçülebilir ağırlık
fonksiyonları ve a>0 için

 w
1
p 1
 L1  B  0, a   , v( x)  L1

n
/ B  0, a   , v(0)  , w()   koşullarını
sağlamak üzere, herhangi bir f  0 için






n 
  y
1/ q
q



f  y  dy  v( x)dx 
n


: y  x


1/ p


p
 C    f  x   w( x)dx 
 n



(44)
eşitsizliği sağlanır ancak ve ancak
C pq

 sup 
t 0 

1



p 1
v  x  dx    w( x)
dx 


  B (0,t )
n
/ B (0,t )


q / p'
54
 , C
C pq1/ q
dır.
(45)
FATMA İÇER
İspat:(yeterlilik) : F ( x) 
 y

n
f ( y )dy olmak üzere , F ( x) bir radyal fonksiyondur.
:yx

F ( x )  F ( x) ve F (t ) tek reel değişkenli bir fonksiyon olsun. Herhangi bir
   0, limsup F ( x)  için ve t    için F (t )   olacak şekilde    0 gibi bir minimal


t 

vardır.  
f ( x)dx ise Hölder eşitsizliğinden
   x  2 

1





v
(
x
)
dx

v
(
x
)
dx
.
f
(
x
)
dx








x  2 
 x  2 
     x  2 

q
(46)
yeterlilikten
V .W
q/ p
 C pq 


1 
 q   v( x)dx  .  
f p ( x) w( x)dx 
    x 

  x  2 
2
 


C pq 
p
 q  
f  x  w  x  dx 

     x  2 


q/ p
(47)

F x
2

 q 
F x
q


v
x
dx
d


v
x

x
d

dx
,
0









0  x 
0 n

2
 2


=
 v( x) 
n



= 
0
 x
0
F x
2
q
d  q dx  2
q/ p '
q/ p
x   2  x : F  x   2  0   
1
q
p'



.   w( x) p dx 
   x 

2
 



  F  x   v( x)dx
n
 q
d 
v
(
x
)
dx


n
:F ( x )  2 

55
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
dq 
f
= C pq  q  
     x  2 
0


f
= qC pq   

0    F x 2

p

 x  w  x  dx 


p
 x  w  x  dx 

q/ p
q/ p
d
p/q
 


F ( x)
 

d 
 qC pq    
f p ( x) w( x)dx 

 n  F ( x)  


  2



 qC pq ln 2   f p ( x) w( x)dx 
 n



(Minkowski eşitsizliğinden )

q/ p
q/ p
(48)

bulunur. Böylece eşitsizlik , C  2q.qC pq ln 2

1/ q
sabiti ile sağlanmış olur.
Gereklilik:





1/ q
q



n f  y  dy  v( x)dx 

: y  x



n 
  y

C  f
 n

eşitsizliği f  0 için doğru olsun. ft ( x)  w( x)
1/ p
p


 x  w( x)dx 

1
p 1
(49)
 B (0,t ) ( x) : t  0 test fonksiyonu için de
eşitsizlik sağlanır. Yani,
 
 
 n 
  y
1/ q

n
w y
1

p 1
:yx
q



 B (0,t )  y  dy v  x  dx 




1/ q




1
1
 




p 1
p 1
v( x)dx  .   w( x)
dx  .   w( x)
dx 



  B (0,t )
n
/ B (0,t )
  B (0,t )

 




1
 


p 1

v
(
x
)
dx
.
w
(
x
)
dx





  B (0,
n
/ B (0,t )

  t)
1/ q
1
1
p
C
56
1/ p
p



 C   w  x  p 1  B (0,t ) ( x)w( x)dx 
 n




1
p
C
FATMA İÇER

 sup 
t 0 

1



p 1

v
(
x
)
dx
.
w
(
x
)
dx 




  B (0,t )
n
/ B (0,t )


q/ p '

(50)
bulunur.
Sonuç: Eğer yukarıdaki eşitsizlik , 0  a  b   olmak üzere f ( x)  a x b  x  test
fonksiyonu için sağlanıyorsa,
1/ q
q





v( x)   f (t )dt  dx 
 B (0, x )

 B (0,b )/ B (0, a )





1/ p


p
 C
w
(
x
)
f
(
x
)
dx

/ B(0,a)


B
(0,
b
)


(51)
dir. Burada,
C
1




p 1
sup 
v
(
x
)
dx
w
(
x
)
dx






a  x b  B (0,b )/ B (0, a )

 B (0, x )/ B (0,a )

q/ p '
(52)
dir.(Harman ve Mamedov 2009)
Teorem 7:
i) Eğer 1  p  q   ise
1/ q
q
bx


    f  t  dt  v  x  dx 
aa




b
 C f
a
1/ p

 x  w  x  dx 

p
(53)
eşitsizliğini  a, b  da ölçülebilir negatif olmayan f  x  fonksiyonlarının sağlaması için gerekli
ve yeterli koşul
1/ p'
1/ q
b
 x

1 p '
A : Sup   v  t  dt    w  t  dt 
x a ,b  x

 a


(54)
dir. Ayrıca C en iyi sabiti 1  p   için
1/ p
1/ q
A  C  min  p1/ p .  p '  , q1/ q .  q ' 

'
'
A


(55)
dır. p  1 için , C  A dır.
ii) Eğer 1  q  p   ise(53)in sağlanması için gerekli ve yeterli koşul
57
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
1/ r
r /q
r/ p
bb

 x

1 p'
1 p '

A1 :    v  t  dt    w  t  dt  w  x  dx 
ax

 a



'

(56)
dır.
1/ q'
 pq
Ayrıca, 

 p 
A1  C   p ' 
1/ pp'
q1/ q A1 dir.
iii) Eğer 0  q  1  p   ise (53)ün sağlanması için gerekli ve yeterli koşul
1/ r
r/ p
r/ p
bb

 x

1 p'

A2 :    v  t  dt    w  t  dt  v  x  dx 
ax

 a



'
 
dır.Ayrıca q1/ p A2  C  p '
1/ r

(57)
q1/ p A2 dir.
iv) Eğer 0  q  1  p ise (53)ün sağlanması için gerekli ve yeterli koşul
1
1
q / 1 q 
 b b
q
1 
A3 :     v  t  dt w  x  
v  x  dx   

 a x




(58)
Burada w  x   ess inf w  t  dir.Ayrıca,
a t  x
q 1  q  A3  C  1  q 
11/ q
A3
(59)
(Kufner 2007)
Teorem 8 :  an  ,  vn  ve  wn  pozitif terimli diziler olmak üzere,
1/ q
q
   n
 
    ak  vn 
 n 1  k 1  


1/ p
 

 C   anp wn 
 n1

(60)
Ağırlıklı kesikli Hardy eşitsizliği
i) 1  p  q   için sağlanır ancak ve ancak
58
FATMA İÇER
1/ p'
1/ q
' 
    n
A1 : sup   vk    w1k p 
n  k  n
  k 1


(61)
veya
' 
 n
A2  sup   w1k p 
n  k 1

1/ p
1/ q
 n  k 1 p' q 
  vk   wm  
 k 1  m1
 


(62)
veya


A3  sup   vk 
n  k  n


1/ q'
p
 

' 

  w1k p   vm 
 k n
 mk 

1/ p'




'

(63)
dur.
ii) 0  p  1, p  q   için sağlanır ancak ve ancak
1/ q
  
A4 : sup   vk 
n  k  n

wn1/ p  
iii) 1  p  , 0  q  p,
(64)
1 1 1
  için sağlanır ancak ve ancak
r q p
r/ p
   r / p  n
1 p' 
A5 :   vn   vk    wk 
n 1 

  k n   k 1

'




dır.
(65)
dir.
(66)
iv) q  p  1 için sağlanır ancak ve ancak
q

q 

1 q


A6 :   vn   vk  max wkq 1   
  k n  1k n

n 1 



v) 0  q  1  p  ,
1 1 1
  için sağlanır ancak ve ancak
r q p
1/ r
r/ p
    r / q  n

'
1 p' 
A7 :     vk    wk  w1k p 
 n 1  k n   k 1




'

59
dir
(67)
p
4. L UZAYINDA HARDY OPERATÖRÜNÜN SINIRLILIĞI
.(Kufner ve ark. 2007)
ve  :  0, l  
Teorem 9: p 
lim   x     0  ve   0   1 
x 0
fonksiyonu  0,   aralığında azalan ,
1
olsun.
p
x
Hf  x    f  t  dt olmak üzere , x
  x  1
Hf
0
L : 0,l 
p
C x
  x
f
Lp ; 0,l 
eşitsizliğinin
sağlanması için   x  fonksiyonunun
1
1

   g  x  : g  2 x   g  x  ln  C , 0  x   koşulunun sağlaması gerekir.
x
2

İspat: k  ,  k   4 k ve f k  x   x

  x

  x  1
Ip x
2 k
 
fk  x  
k
Ip x
H  fk  x 
1
   x
p
 
k ,2 k

 x
, x   0, l  için
p
2 k
   x   1p   t  
1
 t .t
 dt   t dt  ln 2  1 olur.
k



p
p
4 k
   x 1 2 k  1p    x  
   x 1 2 k  1p   t  
  x
dt  dx
dt  dx    x
t
t




3 k 
k
0
k


l
p
p
4 k
   x 1 2 k  1p    2 k  
   x 1 1 1p    2 k  
. k
  x
dt  dx  C1   x
 dx
t



3

3 k 
k


k

4 k
p
   x 1 1 1p    2 k  
 C1   x
.x
 dx

3 k 

4 k
 C1
4 k
x
   x    2 k  p 1
dx  C2 .
   3 k     2 k  p
k
 C2e
p   2 k     2 k  ln
1
k
  için    olması
3 k
gerekir.
(61) de ki A1 (54) deki A ya,(65) deki A5 (56) da ki A1 ’e, (67) deki A7 (57) deki A2 ye ve (66)
da ki A6 (58) de ki A3 ‘e karşılık gelir.
60
FATMA İÇER
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
x
v ve w ağırlık fonksiyonları olmak üzere Hf ( x)   f (t )dt ile tanımlı Hardy
a
operatörünün sınırlılığı ve Hardy eşitsizliğinin sağlanması için gerekli ve yeterli koşullar
incelenmiş, bu şartlar altında Hardy operatörünün sınırlılığı gösterilmiştir.
ve  :  0, l  
İspatı verilen , p 
lim   x    0  ve
x 0
x
  x  1
Hf
L : 0, l 
p
C x
1
  0  1 
p
  x
f
Lp ; 0, l 
fonksiyonu  0,   aralığında azalan,
x
olsun.
Hf  x    f  t  dt
olmak
üzere,
0
eşitsizliğinin sağlanması için   x  fonksiyonunun
1
1

koşulunun
sağlaması
gerektiği
   g  x  : g  2 x   g  x  ln  C , 0  x  
x
2

gösterilmiştir. Bununla birlikte   x  üst fonksiyonu sıfırın bir komşuluğunda Lipschitz-Dini
koşulunu sağlamazsa operatör sınırsız olacak şekilde bir fonksiyon dizisinin bulunabileceği
incelenebilir. p ve q, x'in fonksiyonları iken Ağırlıklı Hardy operatörünün sınırlılığı
araştırılabilir.
Ayrıca matematiğin yanında ekonomi ve mühendislik gibi dallarda kullanılan Hardy
eşitsizliğinin farklı dallarda kullanılıp kullanılmayacağı bir araştırma konusu olabilir.
61
5. SONUÇ VE ÖNERİLER
62
FATMA İÇER
6. KAYNAKLAR
Alois Kufner and Lars-Eric Persson, (2003).Weighted inequalities of Hardy Type,
World Scientific Publishing Co.,Singapore/New Jersey/London/Hong Kong,376 pp.
Alois Kufner ,Lech Maligranda and Lars-Eric Persson ,(2007).The Hardy inequality
About its history and Some Related Results, pilsen
Alois Kufner ,Oldrich John and Svatopluk Fucik ,(2007).Function Spaces,Prague,
Academia publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences
Aziz Harman (2012)on necessary for the Variable exponent Hardy inequality Research
Article,Journal of Function Spaces and Applications 385925 6 pages
Aziz Harman and Farman Mamedov (2010) on Boundedness of Weighted Hardy
Operator in
and Reqularity Condition. Journal of inequality and Applications
837951-14 pages. Resarch Article
B.Muckenhoupt,(1972).Hardy’s inequality with weights,studia Math.44/31-38
B.Opic and A.Kufner Hardy –type Inequalities ,Pitman Research Notes in Mathematics
219,Longman Scientific and Technical Harlow,1990A
Balcı Mustafa,(2009).Reel Analiz,Balcı Yayınları,Ankara,141 syf.
Farman I.Mamedov and Aziz Harman,(2009). on a weighted inequality of Hardy type in
spaces
Journal of Mat.An. and Appl. 353 / 521-530
Farman I.Mamedov and Aziz Harman ,(2010).On a Hardy Type General Weighted
Inequalty in Spaces
integr. Equ.Oper. Theory 66/ 565-592
G.H.Hardy, J.E Littlewood and G.
́
,(1952).Inequalities,2nd ed. Cambridge
unv.press.(first ed. 1934)
G.H.Hardy ,(1920).Not on a theorem of Hilbert,Math.Z.6/314-317
G.H.Hardy,J.E.Littlewod and G.Polya ,(1964).Inequalities,Cambridge at the university
pres 1964
G.Sinnamon and V.D.Stepanov,(19 August 1994).The Weighted Hardy inequality,New
Proofs and the casep=1,J.London Math.soc.54(1)89-101
H.P.Heining ,(1979/80).Variations of Hardy’s inequality, Real Anal. Exchange 5/61-81
H.P.Heinig and Stepanov V.D. ,(1993).Weighted Hardy inequality for increasing
functions ,studia Math.45,104-116
J.E.Mitrinovi ́ ,J.E.Pe ́ ari ́ and A.M.Fink,(1991).Inequalities Involving Functions and
Their integrals and Derivatives,Kluwer Academic publishers Group,MR.93m:26036
K.Andersen and H.Heining ,(1983).Weighted Norm Inequalities For Certain Integral
Operators,SIAM J.Math Anal.14,834-844
63
6. KAYNAKLAR
Murray R.Spiegel.(1990).Theory and Problems Of Real Variables Schaum`s outline
series.
Muckenhoupt B.,(1972).Hardy’s inequality with weights,studia Math.44/31-38
Persson,L.E.and Stepanıw V.D,(2002).Weighted integral inequalities with the
geometrik mean operator J.inequality and Appl. 7(5),727-746
P.Gurka,(1984).Generalized Hardy ineguality, ̃ asopies p ̃ st. Mat.109/194-203
P.R.Beesack, (1961)Hardy inequality and its extensions,pasific J.Math.11/39-61
R.Mashiyev.B.Çekiç,F.I.Mamedov and S.Oğraş,(2007).Hardy’s İnequality in powertype weighted Lp (.) spaces.J.Math.Anal.Appl.334(1) 289/298
Sawyer,(1985).E.Weighted inequalities fort he two-dimensional Hardy operator,Studia
Math,82(1),1-16
Sever Yurdal,2006.Çift dizi ve seri uzayları üzerine,İnönü üniversitesi Fen Bilimleri
Enstitüsü Yükseklisans tezi
Soykan Yüksel ,(Ekim 2008),Fonksiyonel Analiz,Ankara,Nobel Yayın Dağ.Tic.Ltd.Şti.
Stepanov V.D., (1994).Weighted norm inequalities of Hardy type for a class of integral
operators,J.London Math.soc.50/105-120
Tuncel Altan , Haziran 2007.Lebesgue İntegrali ve bazı istatistiksel
uygulamaları,Kırıkkale Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü,Yüksek Lisans Tezi.
64
ÖZGEÇMİŞ
1978 yılında Bismil de doğdum. İlköğretimi 1984-1989 yılları arasında Gaziantep Ahmet
Çelebi İlköğretim okulunda, ortaöğretimi 1989-1996 yılları arasında Gaziantep Anadolu Lisesinde,
yükseköğretimi 1997-2001yılları arasında Dicle Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik bölümünde
okudum. İMKB Kayapınar Lisesinde müdür yardımcısı olarak çalışmaktayım. Evli ve 2 çocuk
annesiyim.
65