GEOMETR K TOPOLOJ

GEOMETRK TOPOLOJ
Prof. Dr. smet KARACA
Ders Notlar
çindekiler
1
EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN (SMOOTH) FONKSYONLAR
2
3
4
5
n
1.1
R
de Tanjant(Te§et) Vektörleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2
Yönlü Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.3
Türev
11
1.4
Vektör Alanlar
1.5
Türev Cinsinden Vektör Alanlar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
ALTERNE K-LNEER FONKSYON
14
2.1
Dual Uzaylar
14
2.2
Çoklu Lineer Fonksiyonlar
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.3
k-Lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permütasyon Hareketi . . . . .
16
2.4
Simetrik ve Alterne Operatörleri . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.5
Tensör Çarpm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.6
D³ Çarpm
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.7
D³ Çarpmn Birle³me Özelli§i
2.8
k-E³vektör Bazlar
Rn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
19
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
ÜZERNDE DFERANSYEL FORMLAR
Bir fonksiyonun diferansiyeli
23
3.1
Diferansiyel 1-form,
. . . . . . .
23
3.2
Diferansiyel k-formlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3
D³ Türev (Exterior Derivation)
25
3.4
Kapal Formlar ve Tam Formlar . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.5
Vektör Analiz Uygulamalar
27
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topolojik Manifoldlar
31
4.1
Haritalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2
Smooth Manifold
33
4.3
Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler . . . . . . . . . . . .
33
4.4
Ksmi Türevler
35
4.5
Ters Fonksiyon Teoremi
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
36
4.6
Bölüm Uzaylar
4.7
Açk Denklik Ba§nts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.8
Tanjant Uzay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.9
Bir Dönü³ümün Diferansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Zincir Kural
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.12 Bir Manifolda ait E§ri
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
4.13 E§riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab . . . . . . . . . . . . .
43
4.14 Rank, Kritik ve Regüler Nokta . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.15 Alt Manifoldlar
46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
48
. . . . . . . . . . . . .
49
Rank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.19 Sabit Rank Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.20 Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion) . . . . . . . . .
52
4.17 Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi
4.18
4.21
C ∞ -Dönü³ümlerin
C
∞
-Dönü³ümlerin Görüntüleri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.22 Alt Manifoldlar çine
4.23
6
7
40
41
4.11 Tanjant Uzay Bazlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.16 Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi
5
37
R3
C ∞ -Dönü³ümler .
53
. . . . . . . . . . . . .
56
deki Yüzeylerin Te§et Düzlemi . . . . . . . . . . . . . . . .
57
YÜZEYLER
60
5.1
Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces)
. . . . . . . . . . . . . . .
60
5.2
Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces) . . . . . . . . . . . . . .
61
5.3
Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces)
62
. . . . . . . . . . . . . .
YÜZEYLERN SINIFLANDIRILMASI
63
6.1
Ba§ntl Toplam(Connected Sum veya Topolojik Toplam)
. .
63
6.2
Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas . . . . . . . . . . . . . .
64
6.3
Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi
. . . . . . . . . . . . .
64
6.4
Euler Karakteristi§i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
6.5
Yüzeyler Cebiri
71
6.6
Ekli Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
6.7
Al³trmalar
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TOPOLOJK GRUPLAR, GRUP HAREKET, LE GRUPLARI
75
7.1
Topolo jik Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
7.2
Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
7.3
Lie Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
7.4
Lie Cebirleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
7.5
Al³trmalar
88
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
8
9
SMPLEKSLER
90
8.1
Ane Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
8.2
Simpleksler Kompleksi
99
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SMPLEKSKER HOMOLOJ GRUPLARI
107
9.1
Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i
. . . . . . . . . . 117
9.2
Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü
9.3
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.4
Borsuk-Ulam Teoremi
. . . . . . . . . . . . . . . 120
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10 D܇ÜM TEORS
124
10.1 Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar
10.2 Ambient zotopik
. . . . . . . . . . . . . . . . 125
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
10.3 Alexander Polinomu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10.4 Skein Ba§nts
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.5 Jones Polinomu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
10.6 Aynalar VE Dü§üm Kodlamas
10.6.1
Dü§üm Kodlamas
10.7 Dü§üm Toplamlar
10.8 DNA'ya Ksa Bak³
10.9 Tangle
. . . . . . . . . . . . . . . . . 150
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
10.10Tangle ³lemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.114-Plat
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.12Tangle Denklemlerinin Çözümü
. . . . . . . . . . . . . . . . . 159
10.13Özel Bölgeli Rekombimasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.14Tangle Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.15Örnek
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3
“ekil Listesi
5.1
Küre 0-kulpludur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.2
Tor 1-kulpludur
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.3
2-kulplu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.4
g-kulplu
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1-çapraz yüzeydir. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
5.5
6.1
RP
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
6.2
RP 2 # RP 2 ≈ Kb
6.3
Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi
6.4
Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . .
65
6.5
Küpün üçgenle³tirilmesi
65
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kürenin üçgenle³tirilmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
RP 2 # T . . . . .
RP 2 # RP 2 . . . .
RP 2 # RP 2 # RP 2
S 1 #S 1 . . . . . . .
6.11 Koni dönü³ümü
64
64
66
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.13 Silindir dönü³ümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
6.12 Süspansiyon
10.1 trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü
. . . . . . . . . . 126
10.2 hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri . . . . . . . 127
10.3 uygun çaprazlama-kötü çaprazlama
10.4
41
ve
31
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
10.5 Dü§ümsüz - Sol Trefoil - Sa§ Trefoil
10.6 “ekil-8 dü§ümü
10.7
. . . . . . . . . . . . . . . 127
. . . . . . . . . . . . . . 131
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
ε = −1
ε = +1
10.8 zincirleme says +2
. . . . . . . . . . 133
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
10.9 Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10.104-plat çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4
Bölüm 1
EUCLID UZAYINDA DÜZGÜN
(SMOOTH) FONKSYONLAR
f : U −→ R fonksiyonu
∂ f
var ve bu ksmi
tüm mertebeden j ≤ k için ksmi türevleri
∂xi1 ∂xi2 ...∂xij
k
türevler p noktasnda sürekli ise f 'ye p noktasnda C
fonksiyonu denir.
k
∞
E§er f : U −→ R k ≥ 0 için C -fonksiyonu ise f 'ye C -fonksiyonu denir.
Tanm 1.0.1.
k
negatif olmayan bir tamsay olsun.
j
Örnek 1.0.1. 1.
1
f : R −→ R, x 7−→ f (x) = x 3
0
f (x) =
1 −2
x 3,
3
1. mertebeden türevi var fakat
dolaysyla türev mevcut de§ildir.
f, C
0
0
noktasnda sürekli de§il
-fonksiyonudur fakat
C 1 -fonksiyonu
de§ildir.
2.
Z
x
g : R −→ R, x 7−→ g(x) =
f (t)dt =
0
1
3
0
Z
x
1
t 3 dt
0
1
g (x) = f (x) = x g , C -fonksiyonudur.
∞
3. R üzerindeki polinom, sinüs, kosinüs, üstel fonksiyonlar C -fonksiyonudur.
Tanm 1.0.2. Bir fonksiyonu
p
noktasnn kom³ulu§unda bu fonksiyonun
Taylor serisine e³it ise (yani bir fonksiyon Taylor serisine açlabiliyorsa)
f 'ye (p ∈ R) p
noktasnda analitiktir denir.
Çok de§i³kenli fonksiyonun Taylor serisi:
f (x) = f (p) +
X ∂f
1 X ∂ 2f
(xi − pi ) +
(xi − pi )(xj − pj ) + ...
∂x
2!
∂x
∂x
i
i
j
i
i,j
5
Tek de§i³kenli fonksiyonun Taylor serisi:
0
f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) +
Örnek 1.0.2. i) Bir analitik fonksiyon
1 00
f (x0 )(x − x0 )2 + ...
2!
C ∞ -fonksiyonudur
çünkü yaknsak
kuvvet serisi (yani Taylor serisi) terim terim türevlenebilirdir.
∞
X
x3 x5
x2n+1
+
− ... =
(−1)2n+1
3!
5!
(2n + 1)!
n=0
∞
X
x2 x4
x2n
g(x) = cosx = 1 −
+
− ... =
(−1)2n
2!
4!
(2n)!
n=0
f (x) = sinx = x −
1.
2.
ii)
C ∞ -fonksiyonu
( 1 de§ildir.
analitik olmak zorunda
−x
e
f (x) =
f
fonksiyonunun
0
,
0 ,
noktasndaki türevleri
Taylor serisine e³it de§ildir. Böylece
C ∞ -fonksiyonu
f
x>0
x≤0
f (k) (0) = 0
dr. Bu durumda
f
analitik de§ildir.
Taylor serisine e³it olmad§ndan
C ∞ -fonksiyonlar
için Taylor Teoremini ifade edelim.
S ⊂ Rn ve p ∈ S olsun. Her x ∈ S için p'den x'e giden
parças S içinde kalyorsa S alt kümesine p noktasna göre
Tanm 1.0.3.
bir do§ru
yldz ³eklindedir (yldz konveks) denir.
Lemma 1.0.1. (Taylor Teoremi)
C
∞
f , Rn
e ait
p
noktasna göre yldz ³eklinde
-fonksiyonu olsun. O zaman
f (x) = f (p)+
n
X
U
gi (x)(xi −pi ),
açk alt kümesi üzerinde
(gi (p) =
i=1
olacak ³ekilde
p
noktasnn kom³ulu§unda
6
C ∞ -fonksiyonu gi (x)
∂f (p)
)
∂xi
vardr.
U , p noktasna göre yldz ³eklinde bir açk altküme olsun. O
x ∈ U için, p + t(x − p) ∈ U dur. t ∈ [0, 1] için f (p + t(x − p)) nin
spat :
zaman
ksmi türevini belirleyelim.
X
∂f
∂
f (p + t(x − p)) =
(xi − pi )
(p + t(x − p))
∂t
∂xi
i
Z
0
1
∂
f (p + t(x − p))dt =
∂t
1
Z
0
X
∂f
(xi − pi )
(p + t(x − p))dt
∂x
i
i
Z
X
f (x) − f (p) =
(xi − pi )
0
i
1
Z
gi (x) =
0
olsun.
1
∂f (p + t(x − p))
dt
∂xi
∂f
(p + t(x − p))dt
∂xi
gi (x), C ∞ -fonksiyonudur.
X
(xi − pi )gi
f (x) − f (p) =
i
f (x) = f (p) +
X
(xi − pi )gi
i
Z
gi (p) =
0
x=1
Özel olarak
ve
p=0
f (x) = f (0) + x.f1 (x)
fi (x) = fi (0) + x.fi+1 (x)
1
∂f (p)
∂f (p)
dt =
∂xi
∂xi
olsun.
f1 C ∞ -fonksiyon)
∞
(fi , fi+1 C
-fonksiyon)
(
f (x) = f (0) + x.(f1 (0) + x.f2 (x))
= f (0) + x.f1 (0) + x2 .f2 (x)
= f (0) + x.f1 (0) + x2 .[f2 (0) + x.f3 (x)]
= f (0) + x.f1 (0) + x2 .f2 (0) + x3 .f3 (x)
.
.
.
= f (0) + x.f1 (0) + x2 .f2 (0) + ... + xi .fi (0) + xi+1 .fi+1 (x)
7
fk (0) =
1 (k)
f (0)
k!
alrsak
f
fonksiyonunun Taylor serisini elde ederiz.
ALI“TIRMALAR
1.
x=0
noktasnda
C2
C3
olan fakat
h : R −→ R
olmayan bir
fonksiy-
onu bulunuz.
2.
f (x), R
de
( 1
e− x , x > 0
f (x) =
0, x≤0
³eklinde tanmlansn.
a)
x>0
ve
k≥0
polinomlar için
y
için tümevarmla
f (k) (x)
yani
f
in
ekseninde
k.
türevinin
2k
dereceli baz
1
1
p2k ( )e− x
x
p2k (y)
formunda
oldu§unu gösteriniz.
b)
f
in
R
üzerinde
C ∞ -fonksiyon
oldu§unu ve her
k≥0
için
f (k) (0) = 0
oldu§unu gösteriniz.
3.
(−1, 1)
açk aral§nn reel saylar kümesi
R
ye dieomork oldu§unu
gösteriniz.
4.
f : R2 −→ R C ∞ -fonksiyon
f (x, y) = f (0, 0)+
ise
∂f
∂f
(0, 0)x+ (0, 0)y +x2 f11 (x, y)+xyf12 (x, y)+
∂x
∂y
y 2 f22 (x, y)
olacak ³ekilde
R2
de
f11 , f12
ve
f22 C ∞ -fonksiyonlarnn
var oldu§unu
ispatlaynz.
5.
f : R2 −→ R f (0, 0) = 0
olmak üzere
f , C ∞ -fonksiyon

 f (t, tu)
, t 6= 0
g(t, u) =
t

0 , t=0
8
olsun.
ile tanmlansn.
(t, u) ∈ R2
için
g(t, u)
nun
C ∞ -fonksiyon
oldu§unu ispat-
laynz.
6.
f : R −→ R,
dönü³üm oldu§unu
1.1
R3
Rn
f (x) = x3 ³eklinde tanmlansn. f in
−1
∞
fakat f
in C
olmad§n gösteriniz.
bijektif
C ∞-
de Tanjant(Te§et) Vektörleri
de bir noktadaki vektörü cebirsel olarak


v1
v =  v2 
v3
veya geometrik olarak
³eklinde ifade etmekteyiz.
Tanm 1.1.1.
p
noktasndaki bir vektör,
p
noktasn içeren tanjant (te§et)
düzleminde bulunuyorsa bu vektöre bir yüzeyin
(te§etidir) denir.
9
p
noktasnda tanjantdr
1.2
Yönlü Türev
Tp (Rn ), Rn
e ait
p
noktasndaki tanjant uzayn göstersin.
Tp (Rn )
nin ele-
manlarna tanjant vektörü denir.
Tanm 1.2.1.
p = (p1 , p2 , ..., pn )
noktasndan geçen ve
v = (v1 , ..., vn )
vek-
törü do§rultusundaki do§runun parametrik denklemi c(t) = (p1 + tv1 , ..., pn +
tvn ) olsun. f C ∞ -fonksiyonu ve v p'de tanjant vektörü olsun.
d
f (c(t)) − f (p)
= f (c(t)) |t=0
t→0
t
dt
Dv f = lim
ifadesine
f 'nin
yönlü türevi denir.
Zincir kuralndan,
n
n
X
X
∂f
dci (0) ∂f
.
(p) =
(p)vi
Dv f =
dt ∂xi
∂xi
i=1
i=1
U , p noktasnn kom³ulu§u ve f : U −→ R C ∞ -fonksiyonu
olsun. f |W = g |W olacak ³ekilde p ∈ W ⊂ U ∩ V açk kümesi mevcut ise
(f, U ), (g, V )'ye denktir denir.
Tanm 1.2.2.
Not 1.2.1. Bu ba§nt bir denklik ba§ntsdr.
(f, U ) nun denklik snfna f 'nin p noktasndaki germi denir.
Cp∞ (Rn ) C ∞ -fonksiyonu p noktasndaki tüm germlerin kümesini göstersin.
Tanm 1.2.3.
Örnek 1.2.1.
f (x) =
1 + x + x2 + x3 + ...
(−1, 1)
1
1−x
(x ∈ R − {1})
,
ve
g(x) =
açk aral§nda bu iki fonksiyon ayn germe sahiptir fakat bu aral§n
d³nda ayn germe sahip olamazlar.
Tanm 1.2.4.
A, K
cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özel-
likleri sa§layan
µ : A × A −→ A,
(a, b) 7−→ µ(a, b) = a × b
i³lemi ile birlikte
A'ya
bir
cebirdir denir.
a, b, c ∈ A, r ∈ K ,
1) (a × b) × c = a × (b × c)
(birle³meli)
2) (a + b) × c = a × c + b × c
a × (b + c) = a × b + a × c
3) r.(a × b) = (ra) × b = a × (rb)
10
(da§lmal)
1.3
Türev
Tanm 1.3.1.
W
V , W, K
cismi üzerinde birer vektör uzay olsun.
dönü³ümü a³a§da verilen özellikleri sa§lyorsa
L'ye
L : V −→
lineer dönü³üm
denir.
1)
2)
u, v ∈ V için L(u + v) = L(u) + L(v)
u ∈ V , r ∈ K için L(ru) = rL(u)
Dv : Cp∞ −→ R, f 7−→ Dv (f )
vektör uzay dönü³ümüdür. (
Cp∞ , R :vektör
uzay)
Dv
lineer ve Leibniz kuraln sa§lar.
Dv (f.g) = Dv (f ).g(p) + f (p)Dv (g)
Tanm 1.3.2. Leibniz kuraln sa§layan lineer dönü³üm
türev dönü³ümü denir.
Dp (Rn ) :
Ödev:
Cp∞
n
Dp (R )
türev dönü³ümlerinin kümesi vektör uzaydr.
un vektör uzay oldu§unu gösteriniz.
X
i
lineer oldu§undan
Teorem 1.3.1.
spat:
ye
ile gösterilir.
φ : Tp (Rn ) −→ Dp (Rn ), v 7−→ φ(v) = Dv =
Dv
D : Cp∞ −→ Rn
φ
φ
vi
∂
|p
∂xi
de lineerdir.
bir izomorzmdir.
v ∈ Tp (Rn )
φ(v) = Dv = 0
için
0 = Dv (xj ) =
X
i
vi
olsun.
X j
∂
|p xj =
vi δi = vj ⇒ v = 0
∂xi
i
(
1, i = j
δij =
0, i =
6 j
⇒ φ
D p
injektiftir.
noktasndaki türevi,
(f, U )
da
Cp∞
11
daki bir germi temsil etsin. Taylor
teoreminden,
f (x) = f (p)+
n
X
gi (x)(xi −pi ),
(gi (p) =
i=1
p
olacak ³ekilde
C ∞ -fonksiyonu gi (x)
noktasnn kom³ulu§unda
D
E³itli§in her iki tarafna
X
Dxi gi (p) +
X
i
X
=
1.4
(pi − pi )Dgi (x)
i
Dxi
i
D = Dv
∂f
(p)
∂xi
v = (Dx1 , Dx2 , ..., Dxn ) ∈ Tp (Rn )
ve
vardr.
dönü³ümünü uygulayalm.
Df (x) =
Böylece
∂f
|p )
∂xi
bulunur.
Vektör Alanlar
U , Rn
Tanm 1.4.1.
de açk alt küme olsun.
Xp
deki tanjant vektörüne
U 'daki
e³leme yapan fonksiyona
her noktay
U
Tp (Rn )
üzerindeki vektör
alan denir.
Tp (Rn )
Tanjant vektör uzaynn
Xp =
X
ai (p)
nin bazlar
∂
|p
∂xi
(∗)
{
∂
|p }
∂xi
dir. Dolaysyla
p∈V
olarak ifade edebiliriz.
Tanm 1.4.2.
(∗)
C ∞ -fonksiyonu
ise vektör alan
Örnek 1.4.1.
ifadesindeki katsay fonksiyonlar ai (p), U
üzerinde
Xp , U üzerinde C ∞ -fonksiyonudur.
p = (x, y)
olsun. Vektör alan
y
∂
x
∂
Xp = − p
.
+p
.
2
2
2
2
x + y ∂x
x + y ∂y
1.5
Türev Cinsinden Vektör Alanlar
U , Rn de
Ayrca f , U
açk alt küme
üzerinde
Xf (p) =
C
X
i
∞
ve
X
de
U
üzerinde
C ∞ -vektör
-fonksiyonu olsun.
ai (p)
∂f (p)
∂xi
⇒
Xf =
X
i
12
ai
∂f
∂xi
alan olsun.
C ∞ (U ) −→ C ∞ (U ), f 7−→ Xf . Burada Xf , U
X C ∞ -vektör
Önerme 1.5.1.
(Xf )g + f (Xg)
C ∞ -fonksiyonudur.
f, g C ∞ -fonksiyonu
alan,
X(f g) =
olsun.
dir.
p∈U
spat :
üzerinde
için
Xp
Leibniz kuraln sa§lar.
Xp (f g) = Xp (f )g + f Xp (g)
U
daki tüm
p
ler için söyleyebildi§imiz için genel olarak
X(f g) = X(f )g + f X(g)
yazabiliriz.
ALI“TIRMALAR
X=x
1.
∂
∂
+y
∂x
∂y
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2
vektör alan ve
üzerinde
R
bir fonksiyon olsun.
Xf
2.
i hesaplaynz.
Cp∞
uzaynda toplama, çarpma ve skaler ile çarpma i³lemlerini tanm-
laynz. Ayrca
Cp∞
uzaynda toplama i³leminin de§i³meli oldu§unu ispat-
laynz.
3.
p ∈ Rn
noktas için
D
ve
D
0
türevler olsun ve
c ∈ R
(skaler)
olsun. spatlaynz ki
a)
b)
0
D + D toplam da p nin türevidir.
cD skaler ile çarpm da p nin türevidir.
A bir K cismi üzerinde cebir olsun. D1 ve D2 , A nn
D1 ◦ D2 nin A nn bir türevi olmas gerekmedi§ini ( D1 = 0
iken D1 ◦ D2 , A nn türevidir. ), fakat D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 in
4.
nn bir türevi oldu§unu gösteriniz.
13
türevleri iken
D2 = 0
zaman A
veya
her
Bölüm 2
ALTERNE K-LNEER
FONKSYON
2.1
Dual Uzaylar
Tanm 2.1.1.
V, W R
cismi üzerinde vektör uzay olmak üzere
Hom(V, W ) = {f |f : V −→ W lineer}
V
olsun.
nin duali
V ∗ = Hom(V, R) = {f |f : V −→ R lineer}
V∗
n elemanlarna e³vektör (kovektör) denir.
V
sonlu boyutlu vektör uzay ve
V 'deki
her
v
{e1 , e2 , ..., en } V 'de
eleman bu bazlarn lineer kombinasyonu olarak tek türlü
ifade edilebilir. Yani
v=
n
X
vi ei ,
vi ∈ R
i=1
αi : V −→ R, v 7−→ αi (v) = vi
X
X
αi (v) = αi (
vj ej ) =
vj αi (ej )
j
j
(
1, i = j
αi (ej ) =
0, i =
6 j
Önerme 2.1.1.
bir baz olsun.
α1 , α2 , ..., αn
V∗
için bazdr.
14
spat:
∗
f ∈V
ve
v=
n
X
vi ei ∈ V
olsun.
i=1
n
n
n
X
X
X
f (v) = f (
vi ei ) =
vi f (ei ) =
αi (v)f (ei )
i=1
i=1
f=
n
X
i=1
f (ei )αi
i=1
α1 , α2 , ..., αn
ci ∈ R
V
∗
gerer.
olmak üzere
n
X
ci α i = 0
olsun.
i=1
0=
n
X
ci αi (ej )αi =
i=1
α1 , α2 , ..., αn
n
X
ci δji = cj
j = 1, ..., n
i=1
lineer ba§mszdr.
Sonuç 2.1.1. Sonlu boyutlu vektör uzaynn duali de sonludur.
Örnek 2.1.1.
e1 , e2 , ..., en V
vektör uzaynn baz olsun.
v∈V
tek türlü
yazlr. Yani
v=
n
X
bi (v).ei
bi (v) ∈ R
i=1
α1 , α2 , ..., αn V
∗
n baz ve
e1 , e2 , ..., en
nin dual baz olsun.
n
n
n
X
X
X
αi (v) = αi (
bj (v).ej ) =
bi (v)αi (ej ) =
bi (v)δji = bi (v)
j=1
{b1 , ..., bn }
2.2
j=1
koordinat fonksiyonlar,
j=1
{e1 , ..., en }
bazna dualdir.
Çoklu Lineer Fonksiyonlar
V k = V ×V ×...×V (k-tane) olsun. f : V k −→ R
özellikleri sa§lyorsa, f 'ye k -lineer denir.
Tanm 2.2.1.
a³a§daki
fonksiyonu
f (v1 , v2 , ..., avj + bωj , vj+1 , ..., vk ) = af (v1 , v2 , ..., vj , vj+1 , ..., vk )
+ bf (v1 , v2 , ..., ωj , vj+1 , ..., vk )
V
k -lineer fonksiyona ayn zamanda V üzerinde k -tensör de
LK (V ), V üzerindeki tüm k -tensörlerin vektör uzayn göstersin.
üzerindeki
denir.
15
Tanm 2.2.2.
1) Tüm
f : V k −→ R k -lineer
σ ∈ Sk
fonksiyon olsun.
(simetrik grup) için
f (vσ(1) , vσ(2) , ..., vσ(n) ) = f (v1 , v2 , ..., vn )
f 'ye simetrik
σ ∈ Sk için
e³itli§i varsa,
2) Tüm
fonksiyon denir.
f (vσ(1) , vσ(2) , ..., vσ(n) ) = Sgn(σ)f (v1 , v2 , ..., vn )
e³itli§i varsa,
f 'ye
Örnek 2.2.1. 1)
alterne fonksiyon denir.
n
n
f : R × R −→ R,
(v, ω) 7−→ f (v, ω) = v.ω =
n
X
vi ωi
i=1
³eklinde tanml fonksiyon simetriktir.
2)
f :Rn × Rn × ... × Rn −→ R
(v1 , v2 , ..., vn ) 7−→ g(v1 , v2 , ..., vn ) = det(v1 , ..., vn )
³eklinde tanml fonksiyon alternedir.
2.3
k-Lineer Fonksiyonlar Üzerinde Permütasyon Hareketi
f, V
üzerinde
k -lineer, σ ∈ Sk
olsun.
(σ.f )(v1 , v2 , ..., vk ) = f (vσ(1) , vσ(2) , ..., vσ(k) ).
Sonuç 2.3.1. 1)
2)
f
alternedir
Lemma 2.3.1.
f
⇔
⇔ Tüm σ ∈ Sk için σ.f = f
σ ∈ Sk için σ · f = Sgn(σ)f .
simetriktir
Tüm
σ, τ ∈ Sk
ve
f, V
üzerinde
k -lineer
olsun.
τ · (σ · f ) = (τ σ)f.
spat:
τ · (σ · f )(v1 , v2 , ..., vk ) = σ · f (vτ (1) , vτ (2) , ..., vτ (k) )
= f (vτ (σ(1)) , vτ (σ(2)) , ..., vτ (σ(k)) )
= (τ σ) · f (v1 , v2 , ..., vk ).
16
Tanm 2.3.1.
G
bir grup ve
X
bir küme olsun.
G × X −→ X, (σ, x) 7−→ σ · x
dönü³ümü a³a§daki özellikleri sa§lyorsa,
G
X
grubu
kümesi üzerinde
soldan hareket ediyor denir.
τ, σ ∈ G ve x ∈ X için τ · (σ · x) = (τ · σ) · x
1 ∈ G ve x ∈ X için 1 · x = x
1) Tüm
2)
2.4
Simetrik ve Alterne Operatörleri
f, V X
üzerinde k -lineer olsun.
Sf (v1 , v2 , ..., vk ) =
σf (vσ(1) , vσ(2) , ..., vσ(k) )
Tanm 2.4.1.
1)
ise
S
ise
A ya
ye simetrik operatör
σ∈Sk
denir.
2)
Af (v1 , v2 , ..., vk ) =
X
Sgn(σ)σf (v1 , v2 , ..., vk )
alterne operatör
σ∈Sk
denir.
Önerme 2.4.1. 1)
2)
Af
2)
σ ∈ Sk
Sf
simetriktir.
alternedir.
spat: 1) Ödev
olsun.
τ (Af ) =
X
Sgn(σ) τ (σf ) =
σ∈Sk
= Sgn(τ )
X
Sgn(σ)(τ σ)f
σ∈Sk
X
Sgn(σ)σf
σ∈Sk
= Sgn(τ )Af
Sonuç
2.3.1
den
Af
alternedir.
f , V üzerinde alterne k -lineer fonksiyon olsun. Af = k!f
X
X
Af =
Sgn(σ)σf =
Sgn(σ)Sgn(σ)f = k!f .
Lemma 2.4.1.
spat:
σ∈Sk
σ∈Sk
17
2.5
Tensör Çarpm
f , V üzerinde k -lineer fonksiyon, g , V
f ve g nin tensör çarpm
üzerinde
l-lineer fonksiyon olsun.
(f ⊗ g)(v1 , , ..., vk+l ) = f (v1 , v2 , ..., vk )f (vk+1 , vk+2 , ..., vk+l )
³eklinde tanmlanr.
Örnek 2.5.1.
n
n
<, >: R × R −→ R,
(v, ω) 7−→< v, ω >=
n
X
vi ωi
i=1
v=
n
X
vi ei
ω=
i=1
< v, ω >=
n
X
vi ωi =
i=1
n
X
ωi ei
i=1
n
X
n
X
αi (v)αi (ω) =
(αi ⊗ αi )(v, ω)
i=1
<, >=
i=1
∞
X
(αi ⊗ αi )
i=1
2.6
f
ve
D³ Çarpm
g, V
üzerinde çoklu lineer fonksiyonlar olsun.
f ∈ Ak (V ), g ∈ Al (V )
için
f ∧g =
1
A(f ⊗ g)
k!.l!
³eklinde tanmlanan çarpma d³ (wedge-exterior) çarpm denir.
f ∧g(v1 , v2 , ..., vk , vk+1 , ..., vk+l ) =
1 X
Sgn(σ) f (vσ(1) , ..., vσ(k) ) g(vσ(k+1) , ..., vσ(k+l) )
k!.l! σ∈S
k+l
Önerme 2.6.1. D³ çarpm de§i³meli de§ildir; yani
için
kl
f ∧ g = (−1) g ∧ f
spat:
f ∈ Ak (V ), g ∈ Al (V )
dir.
τ ∈ Sk+l
1
2
...
l
l + 1 l + 2 ... l + k
τ=
k + 1 k + 2 ... k + l
1
2
...
k
18
σ(1)+ = σ(τ (k + 1)) σ(2) = σ(τ (l + 2)) ... σ(k) = σ(τ (l + k))
(v1 , ..., vk+l ) ∈ V olsun.
X
A(f ⊗ g)(v1 , ..., vk+l ) =
Sgn(σ) f (vσ(1) , ..., vσ(k) ) g(vσ(k+1) , ..., vσ(k+l) )
σ∈Sk+l
=
X
Sgn(σ) f (vσ(τ (l+1)) , ..., vσ(τ (l+k)) ) g(vσ(τ (1)) , ..., vσ(τ (l)) )
σ∈Sk+l
X
= Sgn(τ )
Sgn(σ) g(vστ (1) , ..., vστ (l) ) f (vστ (l+1) , ..., vστ (l+k) )
σ∈Sk+l
= Sgn(τ ) A(g ⊗ f ) (v1 , ..., vk+l )
1
1
.A(f ⊗ g) =
Sgn(τ ).A(g ⊗ f )
k!.l!
k!.l!
1
.(−1)kl .A(g ⊗ f )
=
k!.l!
= (−1)kl g ∧ f.
f ∧g =
Sonuç 2.6.1.
k
tek say olmak üzere
f, V
üzerinde
k -e³vektör
ise
f ∧f =0
dr.
spat:
2.7
f ∧f = (−1)k.k f ∧f = −f ∧f ⇒ 2f ∧f = 0 ⇒ f ∧f = 0.
D³ Çarpmn Birle³me Özelli§i
Lemma 2.7.1.
f, V
üzerinde
k -lineer, g , V
üzerinde
l-lineer
fonksiy-
onlar olsun.
1)
2)
A(A(f ) ⊗ g) = k!.A(f ⊗ g)
A(f ⊗ A(g)) = l!.A(f ⊗ g)
spat: Ödev.
f , V üzerinde k -lineer, g , V
m-lineer fonksiyonlar olsun.
Önerme 2.7.1.
V
üzerinde
(f ∧ g) ∧ h = f ∧ (g ∧ h)
19
üzerinde
l-lineer
ve
h,
spat:
1
1
1
A((f ∧ g) ⊗ h) =
A(A(f ⊗ g) ⊗ h)
(k + l)!.m!
(k + l)!.m! k!.l!
1
1
=
.(k + l)! A((f ⊗ g) ⊗ h)
(k + l)!.m! k!.l!
1
=
A((f ⊗ g) ⊗ h)
k!.l!.m!
(f ∧ g) ∧ h =
1
1
1
A(f ⊗ (g ∧ h)) =
A(f ⊗ (g ⊗ h))
k!.(l + m)!
k!.(l + m)! l!.m!
1
1
(l + m)! A(f ⊗ (g ⊗ h))
=
k!.(l + m)! l!.m!
1
=
A(f ⊗ (g ⊗ h))
k!.l!.m!
f ∧ (g ∧ h) =
Tensör çarpm birle³meli oldu§undan istenilen sonuç elde edilir.
Sonuç 2.7.1. Bir önceki önermenin hipotezi altnda
f ∧g∧h=
1
A(f ⊗ g ⊗ h)
k!.l!.m!
dir.
Önerme 2.7.2.
α1 , α2 , ..., αk , V
üzerinde lineer ve



(α1 ∧α2 ∧· · ·∧αk )(v1 , v2 , ..., vk ) = det[αi (vj )] = 


v1 , v2 , ..., vk ∈ V
olsun.
α1 (v1 ) α1 (v2 ) ... α1 (vk )
α2 (v2 ) α2 (v2 ) ... α2 (vk )
:
:
αk (v1 ) αk (v2 ) ... αk (vk )
spat: Bir önceki sonuçtan,
(α1 ∧ α2 ∧ ... ∧ αk )(v1 , v2 , ..., vk ) = A(α1 ⊗ α2 ⊗ ... ⊗ αk )(v1 , v2 , ..., vk )
X
=
Sgn(σ)α1 (vσ(1) )...αk (vσ(k) )
σ∈Sk
= det(αi (vj )).
20






2.8
k-E³vektör Bazlar
{e1 , e2 , ..., en }, V
vektör uzaynn baz ve
{α1 , ..., αn }, V ∗
e³vektör
uzaynn baz olsun.
I = (i1 , ..., ik ) (i1 < i2 < ... < ik ) indeks olmak üzere
alterne k -lineer αI , Ak (V ) uzay için bir bazdr.
X
X
spat: cI ∈ R için
cI αI = 0 olsun. 0 =
cI αI (ej ) = cj
j =
1, 2, ..., k
X
⇒ αI lineer ba§mszdr. f ∈ Ak (V ) olsun. f =
f (eI )αI oldu§unu
Önerme 2.8.1.
gösterelim.
g=
X
g(ej ) =
f (eI )αI
X
olsun.
f (eI ).αI (ej ) =
Sonuç 2.8.1. 1)
X
V n-boyutlu
f (eI ).δjI = f (ej )
⇒
vektör uzay olsun.
g=f =
Ak (V )
X
uzay
f (eI ).αI .
n
k
boyut-
ludur.
2)
k > dimV
ise
Ak (V ) = 0
dr.
spat: 1) Ödev.
2)
αi1 ∧ αi2 ∧ ... ∧ αik
daki en az iki çarpm ayn oldu§undan
αi1 ∧ αi2 ∧ ... ∧ αik = 0.
ALI“TIRMALAR
1.
Vektör uzay
V
üzerinde bir
k -tensör ω
nn alterne olmas için gerek
ve yeter ko³ul ard³k herhangi iki vektör yer de§i³tirdi§i zaman
ω(..., vi+1 , vi , ...) = −ω(..., vi , vi+1 , ...)
olmasdr. Gösteriniz.
2.
V üzerinde bir k -tensör ω nn
v1 , ..., vk vektörlerinden herhangi iki
Vektör uzay
ve yeter ³art
21
alterne olmas için gerek
vektör birbirine e³it iken
ω(v1 , ..., vk ) = 0
olmasdr. Gösteriniz.
V bir vektör uzay olsun. a, b ∈ R, f ∈ Ak (V )
af ∧ bg = (ab)f ∧ g oldu§unu gösteriniz.
3.
4.
ω, V
k -e³vektör
vektör uzay üzerinde bir
olsun.
ve
V
g ∈ Al (V )
de,
uj =
k
X
için
aji vi ,
j=1
j = 1, ..., k
2 tane u1 , ..., uk
A = [aji ] k × k matris
³eklinde verilmi³
kümesini kabul edelim.
ve
v1 , ..., vk
vektörlerinin
olsun.
ω(u1 , ..., uk ) = (detA) ω(v1 , ..., vk )
oldu§unu gösteriniz.
5.
α1 , ..., αk ; V
1-e³vektörler
vektör uzaynda
olmas için gerek ve yeter ³art
V
∗
dual uzaynda
α1 ∧ ... ∧ αk 6= 0
α1 , ..., αk vektörlerinin
olsun.
lineer ba§msz olmasdr. Gösteriniz.
V vektör uzaynda, α sfrdan farkl bir 1-e³vektör
w bir k -e³vektör olsun. α ∧ ω = 0 olmas için gerek ve yeter ³art τ , V
(k − 1)-e³vektör olmak üzere ω = α ∧ τ olmasdr. Gösteriniz.
6. Sonlu boyutlu
22
ve
de
Bölüm 3
Rn ÜZERNDE DFERANSYEL
FORMLAR
Diferansiyel formlar,
R3 'deki vektör analiz teoremlerinin birle³tirilmesini
sa§layan bir yoldur.
3.1
Diferansiyel 1-form,
Bir fonksiyonun difer-
ansiyeli
Tanm 3.1.1.
p
noktasndaki
Rn nin kotanjant uzay Tp (Rn )
Tp∗ (Rn ) ile gösterilir. Tp∗ (Rn )
tanjant uza-
yn duali olarak tanmlanr ve
nin eleman
n
Tp (R ) tanjant uzay üzerindeki e³vektör veya lineer fonksiyoneldir.
f : U −→ R bir C ∞ -fonksiyonu olsun. p ∈ U , Xp ∈ Tp (U )
(df )p (Xp ) = Xp f ³eklinde tanmlanr.
Tanm 3.1.2.
için 1-form
(x1 , x2 , ..., xn ) Rn de standart koordinatlar olsun. Her bir
p ∈ Rn noktasnda {(dx1 )p , ..., (dxn )p }, Tp∗ (Rn ) kotanjant uzay için bir
∂
∂
|p , ...,
|p }
bazdr. Ayn zamanda bu baz tanjant uzaynn baz olan {
∂x1
∂xn
Önerme 3.1.1.
baznn dualidir.
spat:
(dxi )p (
Önerme 3.1.2.
∂
∂
|p ) =
|p xi = δji .
∂xj
∂xj
f : U −→ R, Rn
e ait
fonksiyonu olsun. O zaman
23
U
açk alt kümesi üzerinde
C ∞-
df =
X ∂f
dxi .
∂xi
i
spat:
Bir önceki önermeden,
(df )p =
X
ai (p)(dxi )p
ai (p), p
(
nok-
tasna ba§l bir sabittir.)
df =
df (
X
ai dxi
X
X
∂
∂
)=
ai dxi (
)=
ai δji = aj
∂xj
∂xj
Di§er taraftan
df (
∂
∂f
)=
∂xj
∂xi
Dolaysyla
df =
X ∂f
dxi
∂xi
i
bulunur.
Örnek 3.1.1.
Xp ∈ Tp (Rn )
tanjant vektörü, standart bazlarn lineer kombi-
nasyonudur. Yani
Xp =
X
bi (Xp )
i
3.2
∂f
|p
∂xi
bi (Xp ) = (dxi )p (Xp )
Diferansiyel k-formlar
Rn nin açk alt kümesi U üzerinde k -formu U 'daki p elen
mann, Tp (R ) tanjant vektör uzay üzerindeki alterne k -lineer fonksiyona
n
e³leme yapan bir fonksiyondur. Yani ωp ∈ Ak (Tp (R )) dir.
Tanm 3.2.1.
Not 3.2.1.
A1 (Tp (Rn )) = Tp∗ (Rn )
ilmi³idir.
Ak (Tp (Rn )) nin baz;
oldu§undan
k -form, 1-formun genelle³tir-
1 ≤ i1 < i2 < ... < ik ≤ n
ve
aI : U −→ R
X
aI (p)dxI (p)
(katsay
fonksiyonu) olmak üzere
dxI |p = dxi1 |p ∧... ∧ dxik |p
ωp =
aI , U üzerinde C ∞ -fonksiyonu
Ω (U ) = U üzerindeki C ∞ k -formlarn
Tanm 3.2.2. E§er tüm katsay fonksiyonlar
ise
k -form ω , C
∞
snfndandr.
k
olu³turdu§u vektör uzaydr.
24
Not 3.2.2. 1)
U
üzerinde
0-form, U 'daki
her noktay,
elemanna e³leme yapan bir dönü³ümdür. Yani
0-formlar,
A0 (Tp (Rn )) = R
U üzerinde bir
fonksiyondur.
k
∞
2) Ω (U ), R üzerinde vektör uzaydr ve C (U ) üzerinde de modüldür.
L
n
∗
k
3) Ω (U ) =
R üzerinde bir cebirdir. Bu cebir birle³meli olup
k=0 Ω (U )
de§i³meli de§ildir.
Örnek 3.2.1.
(x, y, z) ∈ R3
olsun.
R3
üzerinde
C ∞ 1-formlar
a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz
C ∞ 2-formlar
a(x, y, z)dy ∧ dz + b(x, y, z)dx ∧ dz + c(x, y, z)dx ∧ dy
C ∞ 3-formlar
a(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz
olur.
3.3
D³ Türev (Exterior Derivation)
Tanm 3.3.1. Bir
C ∞ -fonksiyonu f ∈ C ∞ (U ) d³
X ∂f
df =
dxi ∈ Ω1 (U )
∂xi
türevi
³eklinde tanmlanr.
Tanm 3.3.2.
ω=
X
aI dxI ∈ Ωk (U )
ise
I
dw =
X
daI ∧ dxI =
I
Örnek 3.3.1.
ω = f dx + gdy
ω , R3
üzerinde
X X ∂aI
(
) ∧ dxI ∈ Ωk+1 (U ).
∂x
j
I
J
1-form
olsun. Yani
ise
dw = df ∧dx+dg∧dy = (fx dx+fy dy)∧dx+(gx dx+gy dy)∧dy = (gx −fy )dx∧dy
L∞
k
Tanm 3.3.3. 1) A, K cismi üzerinde bir cebir olsun. A =
ve
k=0 A
k
l
k+l
A ×AL
−→ A
çarpm ile birlikte A'ya graded cebir denir.
∞
k
2) A =
A
graded
cebir olsun. D : A −→ A
k -lineer dönü³ümü
k=0
D(ω.τ ) = Dω.τ + (−1)k ω.D(τ )
özelli§ini sa§lyorsa, anti türev dönü³ümü denir.
derecesi
m
dir.)
25
(D : Ak −→ Ak+m , D'nin
Önerme 3.3.1. i)
d : Ω∗ (U ) −→ Ω∗ (U ) 1. dereceden anti türev dönü³ümüdür.
Yani
d(ω ∧ τ ) = dω ∧ τ + (−1)deg(ω) ω ∧ dτ
d2 = 0
∞
iii) f ∈ C (U )
ii)
spat: i)
X ∈ χ(U ), df (X) = X(f ).
ve
ω = f dxI
ve
τ = gdxJ
olsun.
d(ω∧τ ) = d(f dxI ∧gdxJ ) = d(f gdxI ∧dxJ ) =
=
X ∂f g
∂xi
dxi ∧dxI ∧dxJ
X ∂g
X ∂f
dxi ∧ dxI ∧ gdxJ +
f
dxi ∧ dxI ∧ dxJ
∂xi
∂xi
= dw ∧ τ + (−1)k ω ∧ dτ
ω = f dxI
ii)
olsun.
X ∂f
d2 (ω) = d2 (f dxI ) = d(d(f dxI )) = d(
dxi ∧ dxI )
∂xi
X ∂ 2f
=
dxi ∧ dxj ∧ dxI
∂xi xj
i,j
i = j
için
dxi ∧ dxj = 0
simetriktir.
iii)
X=
X
ai
∂
∂xi
oldu§undan
i 6= j
için
∂ 2f
∂xi xj
X ∂f
X ∂
X ∂f
dxj )(
ai
)=
.ai = Xf.
∂xj
∂xi
∂xi
D : Ω∗ (U ) −→ Ω∗ (U )
antitürev ise D = d
Önerme 3.3.2.
D =0
∞
ii) f ∈ C (U )
dr.
olsun.
df (X) = (
dereceden
2
d2 = 0
a³a§daki özellikleri sa§layan 1.
i)
spat:
U
oldu§undan
ve
X ∈ χ(U ), Df (X) = X(f )
üzerindeki her k -form, f dxi1 ∧...∧dxik gibi terimlerin toplam
k -form üzerinde D = d oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
D(f dxi1 ∧ ... ∧ dxik ) = D(f Dxi1 ∧ ... ∧ Dxik ) = Df ∧ Dxi1 ∧ ... ∧ Dxik
= df ∧ dxi1 ∧ ... ∧ dxik
= d(f dxi1 ∧ ... ∧ dxik ).
26
3.4
Kapal Formlar ve Tam Formlar
Tanm 3.4.1. 1)
ω, U
üzerinde
k -form
olsun.
dω = 0
ise
ω 'ya
kapal
form denir.
2)
U
üzerinde
ω = dτ
(k − 1)-form τ
olacak ³ekilde
varsa,
ω 'ya
tam
form denir.
d2 = 0
Not 3.4.1. Her tam form kapaldr çünkü
dr.
dk : V k −→ V k+1 (dk+1 ◦ dk = 0)
lineer dönü³ümleri ile
k ∞
birlikte (V )k=0 vektör uzay kolleksiyonuna diferansiyel kompleksi veya e³zincir kompleksi denir.
Tanm 3.4.2.
U , Rn de açk alt küme olsun. D³ türev d, Ω∗ (U ) vektör uzayn
kompleksine dönü³türür. (k = 0, ...
dk : Ωk (U ) −→ Ωk+1 (U ))
Not 3.4.2.
e³-zincir
Bu e³-zincir kompleksine de Rham Kompleksi diyece§iz.
dk−1
d
k
Ω0 (U ) −→ Ω1 (U ) −→ ... −→ Ωk (U ) −→
Ωk+1 (U ) −→ ...
Kerd'nin elemanlardr.
Imd'nin elemanlardr. De
i) Kapal formlar, de Rham Kompleksi için
ii) Tam formlar, de Rham Kompleksi için
Rham
kohomolojisi,
H n (Ω∗ (U )) =
3.5
Kerdn
Imdn−1
Vektör Analiz Uygulamalar
Diferansiyel form teorisi,
R3
üzerindeki vektör analizine ait teoremleri tek
çat altnda toplar. Vektör de§erli fonksiyon ayn zamanda vektör alandr.
{Skaler
de§erli fonksiyonlar
Grad
} −→ {Vektör
{Vektör
de§erli fonksiyonlar
{Vektör
de§erli fonksiyonlar
 ∂


 ∂x
P
 ∂


Curlf = Q = 
 ∂y

R
∂
∂z
Curl
} −→ {Vektör
Div
} −→ {Skaler


fx
Gradf =  fy 
fz
de§erli fonksiyonlar
}
de§erli fonksiyonlar
de§erli fonksiyonlar
}
}


 
 

∂
P
Ry − Qz

× Q  =  −(Rx − Pz )  =  ∂x


P
R
Qx − Py
27
∂
∂y
Q

∂
∂z 
R


P
div  Q  = Px + Qy + Rz
R
2)
Curl(gradf ) = 0.

3) Bir vektör alan
F,
Önerme 3.5.1. 1)

P
div(Curl  Q ) = 0.
R
bir skaler de§erli fonksiyon
f
nin gradyantdr. Yani
F = grad(f ) ⇔ Curl(F ) = 0.
Not 3.5.1. 1)
R3
1-form dx, dy, dz


P
P dx + Qdy + Rdz ⇔  Q 
R
üzerindeki her
onudur. Yani
2) Benzer ³ekilde
R3
üzerindeki
nin lineer kombinasy-
2-formlar


P
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy ⇔  Q 
R
3)
0-form f 'nin
d³ türevi
df = fx dx + fy dy + fz dz = Gradf
4)
1-formun
d³ türevi
d(P dx+Qdy+Rdz) = (Ry −Qz )dy∧dz −(Rx −Pz )dz ∧dx+(Qx −Py )dx∧dy

 

P
Ry − Qz
↔ Curl  Q  =  −(Rx − Pz ) 
R
Qx − Py
5)
2-formun
d³ türevi
d(P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy) = (Px + Qy + Rz )dx ∧ dy ∧ dz


P
↔ div  Q  = Px + Qy + Rz
R
28
Not 3.5.2.
f 'nin
R3
üzerindeki
< P, Q, R >
C ∞ -fonksiyon
df = P dx + Qdy + Rdz
vektör alannn
gradyenti olmas için gerek ve yeter ³art
olmasdr.
U = R3 − {z-ekseni}
Örnek 3.5.1.
CurlF = 0 fakat F , U
Yani F 6= Gradf .
Z
üzerindeki
−
C
x2
F =< −
x2
y
x
, 2
, 0>
2
+ y x + y2
C ∞ -fonksiyon f 'nin gradyenti de§ildir.
x
y
dx + 2
dy = 0
2
+y
x + y2
C = {(x, y) ∈ R2 | x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π}
Z
Z
2π
−ydx + xdy =
C
Z
− sin td(cos t) + cos td(sin t) =
Z0 2π
=
2π
(sin2 t + cos2 t)dt
0
dt = 2π
0
ω = dτ
y
x
dx + 2
dy
2
+y
x + y2
³ekilde bir τ yoktur.
ω =−
1-form
olacak
x2
H k (U ) =
Tanm 3.5.1.
³eklinde tanmlanan ifadeye
kapal fakat tam de§ildir.
dω = 0
U daki kapali k − f ormlar
U daki tam k − f ormlar
U 'nun
de Rham kohomolojisi denir.
ALI“TIRMALAR
1.
w = zdx − dz 1-form
w(X)
ve
dw
ve
X =y
∂
∂
+x ,
∂x
∂y
yi hesaplaynz.
29
R3
de vektör alan olsun.
R2 de standart koordinatlar r
⇒ dx, dy, dx ∧ dy = ?
2.
3.
α , R3
oldu§unu
ve
θ
olsun.
x = r. cos θ
ve
y = r. sin θ
1-form; β , R3 de 2-form olsun. O zaman
α = a1 dx1 + a2 dx2 + a3 dx3
β = b1 dx2 ∧ dx3 + b2 dx3 ∧ dx1 + b3 dx1 ∧ dx2
gösteriniz. Ayrca α ∧ β hesaplaynz.
de
R3 deki α = a1 dx+a2 dy+a3 dz 1-e³vektörünü Vα =< a1 , a2 , a3 > ³eklinde
3
gösterebiliriz. Yine R deki γ = c1 dy∧dz+c2 dz∧dx+c3 dx∧dy 2-e³vektörünü
Vγ =< c1 , c2 , c3 > olarak gösterebiliriz. O halde, α = a1 dx + a2 dy + a3 dz
ve β = b1 dx + b2 dy + b3 dz
⇒ Vα∧β = Vα × Vβ e³itli§inin gerçeklendi§ini
4.
gösteriniz.
V vektör uzaynda w bir k -e³vektör ve v ∈ V , v ile w nn iç çarpm
ise ıv w ³eklinde tanml (ıv w)(v2 , ..., vk ) = w(v, v2 , ..., vk ) her v2 , ..., vk ∈ V
(k − 1)-e³vektördür. E§er α1 , ..., αk V
5.
de
1-e³vektörler
ise ispatlaynz ki
ıv (α1 ∧ ... ∧ αk ) =
k
X
(−1)i+1 αi (v)α1 ∧
i=1
... ∧ αbi ∧ ... ∧ αk
Burada
αbi
dr.
nin anlam
αi
nin d³ çarpma dahil edilmemesidir.
6. 5. sorudaki ayn ³artlar sa§lanmak üzere ispatlaynz ki,
a)
b)
ıv ◦ ıv = 0
w ∈ Ak (V )
ve
τ ∈ Al (V )
için
ıv∧τ = ıv ∧ τ + (−1)k w ∧ ıτ
30
dr.
Bölüm 4
Topolojik Manifoldlar
Tanm 4.0.2.
M
topolojik uzay a³a§daki özellikleri sa§lyorsa
M 'ye topolo-
jik manifold denir.
M
1)
Hausdor
2) kinci saylabilir uzay
3)
Rn
U
2)
Rn nin her açk alt
2
G = {(x, y) ∈ R2 | y = x 3 } ⊂ R2
3)
M = R × {0} ∪ {0} × R
4)
S n , n-manifolddur.(Hem ba§lantl hem
Kb, M b, T or, RP 2 , S 2 , 2-manifolddur.
5)
noktasnn
kom³ulu§u vardr.
Örnek 4.0.2. 1)
M,
p∈M
nin açk alt kümesine homeomorf olacak ³ekilde her
kümesi bir manifolddur.
kümesi bir topolojik manifolddur.
topolo jik manifold de§ildir.
eksenlerdir.
kompakt)
Hausdor ve ikinci saylabilir uzaydr çünkü
31
M
R2
Hausdor ve ikinci
saylabilir uzay olup bunlar kaltsal özelliklerdir. Fakat
R2
M
deki açklar ile
nin açklar homeomorf de§ildir.
Özellikler 4.0.1.
1. Bir n-manifoldun açk alt kümesi bir n-manifolddur.
2.
M
m-manifold ve
N
n-manifold ise
M × N (m + n)-manifolddur.
3. Bir n-manifold ya ba§lantl ya da ba§lantsz, ya kompakt ya da kompakt de§ildir.
4. Her n-manifold yerel kompakttr.
4.1
Haritalar
Tanm 4.1.1. Bir topolojik manifolduna ait
(U, φ)
ikilisine bir harita veya
koordinat kom³ulu§u veya koordinat sistemi denir. Bir topolojik manifoldunun
(U, φ)
ve
(V, ψ)
gibi iki tane haritas olsun. E§er
ψ ◦ φ−1 : φ(U ∩ V ) −→ ψ(U ∩ V )
dönü³ümleri
C ∞ -fonksiyonu
φ ◦ ψ −1 : ψ(U ∩ V ) −→ φ(U ∩ V )
ise bu iki harita
C ∞ -uyumludur
denir.
φ, ψ
fonksiyonlarna transitive fonksiyonlar denir.
yerel Euclid uzay olsun. M üzerindeki
∞
olacak ³ekilde C -haritalar kolleksiyonudur. Yani
Tanm 4.1.2.
[
Uα
M
C ∞ -atlas M =
{(Uα , φα )}.
α
Not 4.1.1.
C ∞ -uyumlu haritalar, yansmal, simetrik fakat geçi³meli de§ildir.
Lemma 4.1.1.
(V, ψ), (W, σ)
{(Uα , φα )}, yerel Euclid uzay üzerinde atlas olsun. ki harita
({(Uα , φα )}) atlasna göre uyumlu ise her ikisi birbirine
uyumludur.
32
4.2
Smooth Manifold
M
bir topolojik manifold olsun. Maksimum atlas ile birlikte
∞
manifolduna smooth veya C -manifoldu denir. Maksimum atlasa M
Tanm 4.2.1.
M
manifoldu üzerindeki diferansiyellenebilir yap denir.
Not 4.2.1.
M
manifoldunun
Hausdor, ikinci saylabilir ve
Örnek 4.2.1. 1)
M
U ⊂ Rn
Rn
C ∞ olmas için gerek ve yeter
C ∞ -atlasa sahip olmasdr.
³art
M
nin
bir smooth manifolddur.
V açk alt kümesi smooth manifolddur.
f : U −→ Rn C ∞ -fonksiyonu Gf = {(x, f (x)) ∈ U × Rm
2) Bir
manifoldunun
3)
açk
φ : Gf −→ U, (x, f (x)) 7−→ x
1 × f : U −→ Gf , x 7−→ (x, f (x))
1 × f süreklidir. Gf bir smooth manifolddur.
2
n2
4) GL(n, R) = {A ∈ R
| detA 6= 0}
det : Rn −→ R süreklidir.
2
GL(n, R) de Rn de açk alt küme oldu§undan (2) den GL(n, R) bir smooth
φ
ve
manifolddur.
1
S = {(x, y) ∈ R2 | x2 +y 2 = 1} birim çemberi de bir smooth manifolddur.
6) M ve N smooth manifold ise M × N de smooth manifolddur.
5)
ALI“TIRMALAR
1.
R3
deki saçl kürenin
q
da yerel Öklid olmad§n gösteriniz. Böylece saçl
küre topolojik manifold olamaz.
M bir topolojik m-manifold, N bir topolojik n-manifold ise gösteriniz ki
M × N de topolojik (m + n)-manifolddur.
2.
4.3
Manifold Üzerindeki Smooth Dönü³ümler
Tanm 4.3.1.
p∈M
olsun.
M
Rn
bir smooth manifold olsun.
nin açk alt kümesi
33
φ(U )
f : M −→ R
bir dönü³üm ve
−1
üzerinde tanml olan
f ◦φ
dönü³ümü
ait
(U, φ)
φ(p)
C ∞ -fonksiyonu olacak ³ekilde M 'nin atlasna
f 'ye p noktasnda C ∞ veya smooth dönü³üm
noktasnda
haritas varsa,
denir.
f,
M 'nin
her noktasnda
C ∞ -fonksiyonu
ise
f,
M
üzerinde
C ∞-
fonksiyonudur denir.
F : N −→ M bir dönü³üm ve h, M üzerinde bir fonksiyon
F tarafndan geri çekilim (pull back) dönü³ümü h ◦ F 'dir.
Tanm 4.3.2.
olsun.
h'nin
N , n-boyutlu ve M m-boyutlu manifold olsun. Ayrca F :
p ∈ N olsun. ψ ◦ φ−1 : Rn −→ Rm dönü³ümü φ(p)
noktasnda C -fonksiyonu olacak ³ekilde N 'de (U, φ) haritas ve M 'de
(V, ψ) haritas varsa, F 'ye p ∈ N noktasnda C ∞ -dönü³ümüdür denir.
Tanm 4.3.3.
N −→ M
ve
∞
F : N −→ M dönü³ümü N 'nin her noktasnda C ∞ ∞
dönü³ümü ise F 'ye N üzerinde C -dönü³ümü denir.
∞
2) F : N −→ M bijektif, kendisi ve tersi C -dönü³ümü ise F 'ye dieoTanm 4.3.4. 1)
morzmdir denir.
34
F : N −→ M ve G : M −→ P C ∞ -dönü³ümleri ise
G ◦ F : N −→ P C ∞ -dönü³ümdür.
n
2) U , M manifoldun açk alt kümesi olsun. F : U −→ F (U ) ⊂ R
dieomorzm ise (U, F ), M 'nin bir atlasnda haritadr.
Önerme 4.3.1. 1)
4.4
Ksmi Türevler
Tanm 4.4.1.
C
∞
(U, φ)
-fonksiyonu olsun.
bir harita,
f 'nin
f,
m-boyutlu
M
manifoldu üzerinde
ksmi türevi;
∂f
∂(f ◦ φ−1 )
∂
|p f =
(p) =
(φ(p))
∂xi
∂xi
∂ri
ri
ler standart koordinatlar ve
Önerme 4.4.1.
∂xi
= δji
∂xj
φ'nin n
(U, (x1 , ..., xn ))
bir
M
bile³eni
(x1 , ..., xn )
e sahiptir.
manifoldu üzerinde harita olsun.
dir.
spat:
p∈U
olsun.
∂xi
∂
∂
∂
(p) =
|φ(p) xi ◦ φ−1 =
|φ(p) (ri ◦ φ) ◦ φ−1 =
|φ(p) ri = δji .
∂xj
∂rj
∂rj
∂rj
ALI“TIRMALAR
1.
Rn
de her U aç§ topolojik n-manifolddur. Gösteriniz.
2. Birinci sorudan hareketle bir topolo jik n-manifoldun her açk altkümesi
de (alt uzay topolo jisine göre) topolo jik n-manifold olabilir mi? Yorumlaynz.
3.
S2
topolo jik 2-manifold dur . Gösteriniz.
4.
S1
topolo jik 1-manifolddur . Gösteriniz.
5. X topolojik uzay kompakt, Hausdor ve yerel homeomork ise X uzaynn saylabilir baz vardr (yani X ikinci saylabilir uzaydr). Gösteriniz. Buradan hareketle
I = [0, 1]
olabilir mi? Yorumlaynz.
35
kapal aral§ topolo jik 1-manifold
6. M bir topolojik m-manifold , N bir topolojik n- manifold ise gösteriniz
M ×N
ki
de topolojik
(m + n)
- manifolddur . (Yani manifoldlarn
kartezyen çarpm da manifolddur).
7.
X = S1 × I
silindirin topolojik 2 -manifold oldu§unu gösteriniz. (Yol
gösterme : 4,5,6 nc sorulardan yararlannz.)
8.
RP 2 reel projektif düzleminin topolojik 2-manifold oldu§unu gösteriniz.
9.
S2
10.
diferensiyellenebilir manifolddur. Gösteriniz.
RP 1
ve
S1
dieomork midirler? Açklaynz.
θ
(yol gösterme :
eiθ 7−→ [ei 2 ]
)
4.5
Ters Fonksiyon Teoremi
U , Rn
nin açk alt kümesi olsun.
nin bir açk alt kümesine
f = (f1 , ..., fn ) : U −→ Rn U 'dan Rn
n
dieomorzm olsun. (U, f ), R
deki diferansiyel-
lenebilir yapy tayin eden maximal atlasn elemandr.
U , Rn nin açk alt kümesi f = (f1 , ..., fn ) : U −→ Rn smooth
olsun. p noktasnn kom³ulu§unda f 'nin smooth tersi varsa, f 'ye
∂fi
matrisine f 'nin Jacoyerel tersinirdir denir. Ksmi türevler
∂rj
Tanm 4.5.1.
dönü³üm
p ∈ U 'da
bien matrisi denir.
f : W −→ Rn , R
C ∞ -dönü³üm olsun. p ∈ W
Teorem 4.5.1. (Ters Fonksiyon Teoremi):
kümesi
p
W
üzerinde tanml ve
nin açk alt
için
f 'nin,
noktasnda yerel tersinir olmas için gerek ve yeter ³art Jacobien determi-
nantnn sfrdan farkl olmasdr.
ALI“TIRMALAR
F : M −→ N dönü³ümünün p ∈ N de C ∞ oldu§unu kabul edelim.
0
0
0
(U , φ ) N nin bir atlasndaki p yi içeren herhangi bir harita ve (V , ψ ) M
0
nin bir atlasndaki F (p) yi içeren herhangi bir harita ise o zaman ψ ◦ F ◦
0 −1
0
(φ ) in φ (p) de C ∞ oldu§unu gösteriniz.
1.
0
F : N −→ M ve G : M −→ P C ∞ -dönü³ümler
∞
bile³kesinin de C
-dönü³üm oldu§unu ispatlaynz.
2.
3.
M , m-boyutlu
N , n-boyutlu
ise
manifold olmak üzere
36
G ◦ F : N −→ P
f : M −→ N
C ∞ -dönü³ümü olmas için gerek ve yeter ³art M nin atlasndaki her (U, φ) haritas ve N nin atlasndaki her (V, ψ) haritas için
ψ ◦ f ◦ φ−1 bile³kesinin φ(f −1 (V ) ∩ U ) üzerinde C ∞ -dönü³ümü olmasdr.
dönü³ümünün
Gösteriniz.
4.
M
f : M −→ R
nin atlasndaki her
üzerinde
C ∞ -dönü³ümü olmas için gerek ve yeter ³art
(U, φ) haritas için f ◦ φ−1 fonksiyonunun φ(U )
dönü³ümünün
C ∞ -dönü³ümü
olmasdr. Gösteriniz.
GL(n, R) = {A ∈ Rn×n | detA 6= 0}
grup GL(n, R) nin matris çarpm altnda
5.
4.6
∼, S
nun
bir Lie grup oldu§unu gösteriniz.
Bölüm Uzaylar
üzerinde bir denklik ba§nts olsun.
π : S −→ S/ ∼
U
³eklinde tanmlanan genel lineer
S/ ∼
x 7−→ [x]
da açk olmas için gerek ve yeter ³art
π −1 (U )
nun
S 'de
açk
olmasdr.
τ = {U ⊂ S/ ∼ | π −1 (U ), S 0 de açk}
τ , S/ ∼ üzerinde bir topolojidir. (S/ ∼, τ )
ya bölüm topolojik uzay denir.
−
f ([p]) = f (p)
−
Önerme 4.6.1.
f : S/ ∼−→ Y
−
spat:
(⇒) f
⇔ f : S −→ Y
sürekli
−
sürekli olsun.
süreklidir.
−
f = f ◦π
ve
π
f
ile
sürekli oldu§undan
süreklidir.
(⇐) f
sürekli olsun.
V ⊂Y
açk olsun.
−−1
f −1 (V ) = π −1 ◦ f
f −1 (V ), S
−−1
(V ) = π −1 (f
37
de açktr.
(V ))
f
−−1
π
bölüm dönü³ümü oldu§undan
f
−
(V )
açktr. O halde
f
süreklidir.
−
f : I/ ∼−→ S 1
Önerme 4.6.2.
spat:
S 1 ⊂ R2
fonksiyonu homeomorzmadr.
Hausdor uzaydr.
I = [0, 1]
kompakttr. Kompakt
uzaylarn sürekli bir fonksiyon altndaki görüntüsü kompakttr. Yani
I/ ∼
kompakttr.
f : I −→ S 1
x 7−→ f (x) = e2πix
−
−
f ([x]) = f (x)
Önerme 4.6.3.
S 'de
³eklinde tanmlansn.
f
S/ ∼
p∈S
Hausdor ise
nin bijektif oldu§u açktr.
noktasnn denklik snf
[p]
kapaldr.
4.7
Açk Denklik Ba§nts
Tanm 4.7.1.
π : S −→ S/ ∼
dönü³ümü açk ise
S
üzerindeki
∼
ba§nts
açktr denir.
³art
S
S
üzerindeki denklik ba§ntsnn açk olmas için gerek ve yeter
[
−1
üzerindeki U
aç§ için π (π(U )) =
[x] kümesinin açk
Not 4.7.1.
x∈U
olmasdr.
π : R −→ R/ ∼ (−1 ∼ 1) dönü³ümü açk dönü³üm
V = (−2, 0), R'de açktr. π −1 (π(V )) = (−2, 0) ∪ {−1} R'de açk
Örnek 4.7.1.
Teorem 4.7.1.
S/ ∼
∼, S
⇔
Hausdortur
de§ildir.
de§ildir.
üzerinde açk denklik ba§nts olsun.
denklik ba§ntsnn gra§i
G∼ S × S 'de
kapaldr.
(⇒) S/ ∼ Hausdor olsun. G∼ , S × S 'de kapal oldu§unu
S × S − G∼ nn açk oldu§unu göstermemiz yeterlidir.
(x, y) ∈ S × S − G∼ olsun. x 6∼ y yani [x] 6= [y] dir. S/ ∼ Hausdor
oldu§undan U[x] ∩ V[y] = ∅ olacak ³ekilde [x]'in U[x] ve [y]'nin V[y] aç§
spat:
gösterece§iz. Yani
vardr.
π −1 (U[x] ) = U
π −1 (V[y] ) = V
U × V açktr. S × S − G∼ açktr. G∼ kapaldr.
(⇐) G∼ kapal olsun. Yani S ×S −G∼ açktr. O zaman (x, y) ∈ S ×S −G∼
38
(x, y) ∈ U × V var öyleki U × V ⊂ S × S − G∼ dr. U 'nun hiçbir elV 'nin elemanna denk de§ildir. Yani π(U ) ∩ π(V ) = ∅. π(U ) ve
π(V ), S/ ∼'da açk çünkü π bölüm dönü³ümü [x] 6= [y] dir.
[x] ∈ U[x] = π(U ) ve [y] ∈ V[y] = π(V ) ve U[x] ∩ V[y] = ∅ ⇒ S/ ∼
için
eman,
Hausdortur.
∼, S
Teorem 4.7.2.
S −→ S/ ∼ bölüm
S/ ∼ nn bazdr.
Sonuç 4.7.1.
S/ ∼
ise
∼,
π :
{π(Bα )},
üzerinde açk denklik ba§nts olsun. Ayrca
dönü³ümü olsun.
β = {Bα }, S 'nin
ikinci saylabilir uzay
S
baz ise
üzerinde açk denklik ba§nts
da ikinci saylabilir uzaydr.
ALI“TIRMALAR
F : R2 −→ R3
1.
dönü³üm olsun.
(u, v, ω) = F (x, y) = (x, y, xy) ³eklinde tanml
∂
∂
∂
de§erini
,
ve
nin lineer kombinasyonu
∂u ∂v
∂ω
dönü³ümü
∂
F∗ ( )
∂y
olarak hesaplaynz.
F : R2 −→ R2
u
cos α − sin α
u
= (u, v) = F (x, y) =
=
v
sin α cos α
v
α
2.
sabit bir reel say olsun ve
³eklinde tanmlansn.
a
x
3.
∂
∂
+x ,
∂x
∂y
R2
üzerinde vektör alan olsun.
∂
∂
+b
∂u
∂v
F∗ (X) = a
ise
X = −y
ve
b
ve
y , R2
yi;
x, y
ve
α
l terimler ³eklinde bulunuz.
de standart koordinatlar ve
U = R2 − {(x, 0) : x ≥ 0}
açk küme olsun.
U
nun kutup koordinatlar
x = r cos θ
y = r sin θ, r > 0, 0 < θ < 2π
için
∂
∂r
4.
ve
∂
∂θ
∂
∂x
y;
p = (x, y) R2
∂
∂y
ve
cinsinden yaznz.
de bir nokta olsun. O zaman
cp (t) =
cos 2t − sin 2t
sin 2t cos 2t
39
x
y
,
t∈R
R2
de ba³langç noktal bir e§ridir.
4.8
0
cp (0)
hz vektörünü hesaplaynz.
Tanjant Uzay
Rn de verilen bir noktadaki tanjant vektörünü tanmlam³tk. “imdi daha
genelini tanmlayaca§z.
Tanm 4.8.1.
M
manifoldunun
p
noktasndaki tanjant vektörü,
D(f.g) = Df.g + f.Dg
olacak ³ekilde
D : Cp∞ −→ R
p ∈ M deki
denir. Tp (M )
lineer dönü³ümüdür.
vektörlerin olu³turdu§u uzaya da tanjant vektör uzay
tanjant
ile gös-
terilir.
U , p ∈ M noktasn içeren bir açk alt küme olsun. U 'daki
C ∞ -fonksiyonlarn germ cebiri Cp∞ (U ) ile Cp∞ (M ) ayndr.
Not 4.8.1.
4.9
Bir Dönü³ümün Diferansiyeli
f : N −→ M C ∞ -dönü³ümü olsun. F , p ∈ N noktasnda
uzaylar lineer dönü³üm üretir. Fp noktasndaki tanjant vektör
F∗ : Tp (N ) −→ TF (p) (M ),
Xp ∈ Tp (N )
ise
Örnek 4.9.1.
bazlar
F∗ (Tp (N )), TF (p) (M )'de
F : Rn −→ Rm ,
∂
∂
, ...,
∂y1
∂ym
Rn
tanjant
Xp 7−→ F∗ (Xp )
tanjant vektörüdür.
nin bazlar
∂
∂
, ...,
∂x1
∂xn
ve
Rm
dir.
F∗ : Tp (Rn ) −→ TF (p) (Rm ),
X
∂
∂
∂
|p 7−→ F∗ (
|p ) =
akj
|F (p)
∂xi
∂xi
∂yk
40
nin
Fi = yi ◦ F
olsun.
X
X
X
∂
∂Fi
∂
∂
∂
|p yi ◦F =
(p) = F∗ (
|p ) =
akj
|F (p) =
akj
|F (p) yi =
akj δki = aij
∂xj
∂xj
∂xi
∂yk
∂yk
Bu da
F 'nin p
noktasndaki türev Jacobien matrisidir. Böylece manifold-
lar arasndaki dönü³ümlerin türevi, Euclid uzaylar arasndaki dönü³ümler
türevinin genelle³tirilmi³idir.
4.10
Zincir Kural
F : N −→ M
ve
G : M −→ P C ∞ -dönü³ümleri
ve
p∈N
olsun.
G
F
∗
∗
TG◦F (p) (P )
TF (p) (M ) −→
Tp (N ) −→
Önerme 4.10.1.
F : N −→ M
ve
G : M −→ P
C ∞ -dönü³ümleri
ve
p ∈ N olsun. O zaman
(G ◦ F )∗ = G∗ ◦ F∗ dir.
spat:
G ◦ F : N −→ P
(G ◦ F )∗ : Tp (N ) −→ TG◦F (p) (P ),
Xp ∈ Tp (N )
ve
f , G(F (p))
Xp 7−→ (G ◦ F )∗ (Xp )(f ) = Xp (f ◦ G ◦ F )
noktasnda
C ∞ -fonksiyon
olsun.
(G ◦ F )∗ (Xp )(f ) = Xp (f ◦ G ◦ F )
(G∗ ◦ F∗ )(Xp )(f ) = G∗ (F∗ (Xp ))(f ) = F∗ (Xp )(f ◦ G) = Xp (f ◦ G ◦ F )
Not 4.10.1.
1M : M −→ M
Tp M −→ Tp M
birim dönü³ümün diferansiyeli
birim dönü³ümüdür. Çünkü
(1M )∗ (Xp )f = Xp (f ◦ 1M ) = Xp f
dir.
Sonuç 4.10.1.
F : N −→ M
dieomorzm ve
p∈M
F∗ : Tp (N ) −→ TF (p) M
vektör uzay izomorzmasdr.
41
olsun.
1Tp (M ) :
spat: F : N −→ M dieomorzm olsun. O zaman G ◦ F = 1N ve
F ◦G = 1M olacak ³ekilde G : M −→ N diferansiyellenebilir C ∞ -dönü³ümü
vardr.
(G ◦ F )∗ = (1N )∗ ⇒ G∗ ◦ F∗ = 1Tp N ⇒ F∗ injektiftir.
(F ◦ G)∗ = (1M )∗ ⇒ F∗ ◦ G∗ = 1TF (p) M ⇒ F∗ sürjektiftir.
Sonuç 4.10.2.
U ⊆ Rn
aç§
V ⊆ Rm
aç§na dieomork ise
n=m
dir.
F : U ⊆ Rn −→ V ⊆ Rm dieomorzm olsun. Bir önceki sonuçtan
F∗ : Tp U −→ TF (p) V izomorzmdir. Daha önceden biliyoruz ki Tp U ' Rn
ve
TF (p) V ' Rm dir. Dolaysyla
spat:
(Rn ) = boyut(Rm ) ⇒ n = m.
boyut
4.11
Tanjant Uzay Bazlar
(U, φ), p ∈ M
noktasnn koordinat kom³ulu§u olsun.
∂
∂
|p f =
|φ(p) f ◦ φ−1 ∈ R
∂xi
∂ri
φ : U −→ Rn
dieomorzm oldu§undan
φ∗ : Tp U ⊂ Tp M −→ Tφ(p) Rn
izomorzmadr.
Önerme 4.11.1.
(U, φ), p ∈ M
φ∗ (
noktasnn haritas olsun.
∂
∂
|p ) =
|φ(p)
∂xi
∂ri
dir.
spat:
∞
f ∈ Cφ(p)
(R)
olsun.
∂
∂
∂
∂
|p )(f ) =
(f ◦ φ) =
|φ(p) f ◦ φ ◦ φ−1 =
|φ(p) (f ).
∂xi
∂xi
∂ri
∂ri
∂
∂
sonuç olarak φ∗ (
|p ) =
|φ(p) dir.
∂xi
∂ri
φ∗ (
Yani
Önerme 4.11.2.
(U, φ), p
noktasn içeren bir harita olsun.
uzaynn,
∂
∂
∂
|p ,
|p , ...,
|p
∂x1 ∂x2
∂xn
formunda bazlar vardr.
42
Tp M
tanjant
4.12
Bir Manifolda ait E§ri
Tanm 4.12.1. Bir manifolda ait
c
e§risinin
t ∈ (a, b)
zamanndaki hz vektörü
dc
d
(t) = c∗ ( ) ∈ Tc0 (t) M.
dt
t
0
c (t) =
Örnek 4.12.1.
C ∞ -e§risi c : (a, b) −→ M C ∞ -fonksiyondur.
c : R −→ R2 , t 7−→ c(t) = (t2 , t3 )
0
c (t) = a.
∂
∂
+ b.
∂x
∂y
∂
∂
d
d
d
0
+ b. ).x = c (t).x ⇒ a = c∗ ( )x = (x ◦ c) = (t2 ) = 2t
∂x
∂y
dt
dt
dt
∂
∂
d
d
d
0
b = (a. + b. ).y = c (t).y ⇒ b = c∗ ( )y = (y ◦ c) = (t3 ) = 3t2
∂x
∂y
dt
dt
dt
∂
∂
0
c (t) = 2t.
+ 3t2 .
∂x
∂y
a = (a.
bulunur.
Önerme 4.12.1.
c : (a, b) −→ M
bir e§ri
(U, x1 , ..., xn ) c(t)
civarnda bir
harita olsun. O zaman
n
X
∂
0
|p .
c (t) =
(cj ) (t)
∂xj
j=1
0
Böylece
Tc(t)
uzaynn
{
∂
|p }
∂xj
bazna göre hz vektörü



c (t) = 


0
0
c1 (t)
0
c2 (t)
:
:
0
cn (t)






sütun vektörü ile ifade edilir.
4.13
E§riler Kullanlarak Diferansiyel Hesab
F : N −→ M C ∞ -dönü³üm, p ∈ N ve Xp ∈ Tp N olsun.
ba³layp (c(0) = p) ve ba³langç noktasndaki hz vektörü Xp
Önerme 4.13.1.
c, p ∈ N
de
olan bir e§ri ise
F∗,p (Xp ) =
d
|0 F ◦ c(t)
dt
43
dir.
spat:
c, c(0) = p
ve
0
c (0) = Xp
özelliklerine sahip olsun.
F∗,p : Tp N −→ TF (p) M,
Xp 7−→ F∗,p (Xp )
0
F∗,p (Xp ) = F∗,p (c (0)) = F∗,p ◦ c∗,p (
= (F ◦ c)∗,p (
=
Örnek 4.13.1.
d
|0 )
dt
d
|0 (F ◦ c(t)).
dt
g , GL(n, R)'de
bir matris ve
Lg : GL(n, R) −→ GL(n, R),
2
GL(n, R), Rn
olsun.
d
|0 )
dt
B 7−→ Lg (B) = gB
nin açk altkümesi oldu§undan,
2
Tg (GL(n, R) ' Rn
dir.
2
X ∈ TI (GL(n, R) = Rn
(lg )∗,I (X) =
4.14
için
d
d
0
|0 lg ◦ c(t) = |0 g(c(t)) = gc (t) = gX.
dt
dt
Rank, Kritik ve Regüler Nokta
Tanm 4.14.1.
V, W sonlu vektör uzaylar olmak
L(V ) alt uzaynn boyutudur.
üzere
L : V −→ W
dönü³ümünün rank
Not 4.14.1.
L'nin
rank
L, V
A'nn
ve
W 'nn
A matrisi ile ifade edilirse
L(V ), A'nn sütun uzaydr.
bazlarna göre
rank ile ayndr. Çünkü
f : N −→ M C ∞ -dönü³üm olsun. f 'nin p
: Tp N −→ Tf (p) M diferansiyelinin rankdr.
Tanm 4.14.2.
rank
f∗,p
noktasndaki
Not 4.14.2. 1) Diferansiyel Jacobien matrisi ile ifade edildi§inden




rkf (p) = rk 


∂f1
∂f1
|p ...
|p
∂x1
∂xn
:
:
:
:
∂fn
∂fn
|p ...
|p
∂xn
∂xn







2) Bir dönü³ümün diferansiyeli koordinat haritasndan ba§msz oldu§undan
rank da ba§mszdr.
44
Tanm 4.14.3. 1)
noktas
f 'nin
f∗,p : Tp N −→ Tf (p) M
diferansiyeli sürjektif de§ilse,
p
kritik noktasdr.
f∗,p diferansiyeli sürjektif ise p noktas f 'nin regüler noktasdr.
3) p noktas kritik noktann görüntüsü ise p'ye kritik de§er denir. Di§er
halde p'ye regüler de§er denir.
2)
Önerme 4.14.1.
p
f : M −→ R
nin kritik nokta olmas için gerek ve yeter ³art
haritasna göre tüm ksmi türevlerin
spat:
p'yi
∂f
(p) = 0
∂xj
j = 1, ..., n
olmasdr.
f∗,p : Tp N −→ Tf (p) R ' R diferansiyeli
∂f
∂f
...
∂x1
∂xn
matrisi ile ifade edilir.
f∗,p
p ∈ M olsun.
içeren (U, x1 , ..., xn )
reel de§erli fonksiyon olsun.
f∗,p nin görüntüsü R'nin lineer alt uzaydr. Dolaysyla
f∗,p sfr veya sürjektif
nin boyutu sfr veya birdir. Bir ba³ka deyi³le
dönü³ümüdür.
f∗,p
sürjektif olamaz
⇔
tüm türevler
∂f
(p) = 0
∂xi
ALI“TIRMALAR
1.
Hangi
2.
c
de§erleri
x, y, z, w; R4
f : R2 −→ R, (x, y) 7−→ f (x, y) = x3 − 6xy + y 2
−1
için f
(c), R2 nin regüler alt manifoldudur ?
de standart koordinatlar olsun.
R4
de
x5 + y 5 + z 5 + w 5 = 1
denkleminin çözüm kümesi bir manifold mudur ? Açklaynz.
3.
denklem sisteminin çözüm
x3 + y 3 + z 3 = 1 ve z = xy
3
∞
kümesi R
de bir C
manifold
mudur ? Açk-
laynz.
f : R2 −→ R smooth fonksiyonunun G(f ) = {(x, y, f (x, y)) ∈ R3 }
3
gra§inin R ün bir regüler alt manifoldu oldu§unu gösteriniz.
4.
45
4.15
Alt Manifoldlar
Bu bölümde bir manifoldun regüler alt manifoldunu tantaca§z. Ayrca Ters
Fonksiyon Teoreminden, manifoldlar arasndaki
C ∞ -dönü³ümü
altnda ters
görüntü kümesinin regüler alt manifold oldu§unu belirleyen kriterleri vermektedir.
N
p∈S
Tanm 4.15.1.
olsun. Her
bir manifold olmak üzere
için,
U ∩V
yok olmas ile tanmlanacak ³ekilde
koordinat kom³ulu§u varsa,
denir. Burada
bilinmelidir.
U ∩S
(n − k)
S
S , N 'nin
koordinat fonksiyonlarnn
N
nin atlasna ait
alt kümesine
k
p
bir alt kümesi
(n − k)
noktasnn
snn
(U, φ)
boyutlu regüler alt manifold
koordinat fonksiyonlarnn
xk+1 , xk+2 , ..., xn
N 'deki bu tür haritaya S 'ye göre adopte
φ = (x1 , x2 , ..., xk , 0, 0, ..., 0) dr.
oldu§u
edilmi³ harita denir.
üzerinde
φS : U ∩ S −→ Rk
φS = φ|U ∩S = (x1 , x2 , ..., xk )
S , n-boyutlu N manifoldunun k -boyutlu
(n − k)'ya N 'deki S 'nin e³-boyutu denir.
Tanm 4.15.2.
ifoldu olsun.
Not 4.15.1. 1) Topolojik uzay olarak,
N 'nin
regüler alt man-
regüler alt manifoldunun alt
uzay topolojisine sahip olmas istenilir.
2) Alt Manifold ifadesi daima regüler alt manifold anlamnda olacaktr.
S = (−1, 1) xy -düzleminde (R2 )
U = (−1, 1) × (−1, 1)
Örnek 4.15.1.
regüler alt manifolddur.
U ∩ S = S (U, φ) S 'ye göre adopte edilmi³ haritadr. V = (−2, 0) × (−1, 1)
46
(V, ψ) S 'ye
göre adopte edilmi³ harita de§ildir.
1
Γ = {(x, y) ∈ R2 | y = sin( )
x
{(0, y) ∈ R2 | − 1 < y < 1}
Örnek 4.15.2.
S = Γ∪I
olup
S , R2
kom³ulu§u sonsuz çoklukta
noktalarnda
U , S 'den
0 < x < 1}
nin regüler alt manifoldu de§ildir. Çünkü
noktasn içeren adopte edilmi³ harita yoktur.
U
ve
S
ile kesi³ir.
I =
p ∈ I
p noktasnn yeterince küçük
(1, sin 1), (0, 1), (0, −1) uç
farkldr.
S , N manifoldunun regüler alt manifoldu ve U =
{(U, φ)}, S 'yi örten N 'nin adopte edilmi³ kolleksiyonu olsun. O zaman
{(U ∩ S, φS )} S için bir atlastr. Dolaysyla regüler alt manifoldu bir manifolddur. E§er N , n-boyutlu ve S 'de n − k koordinatlar yok edilerek
tanmlanm³ ise dimS = k dr.
Önerme 4.15.1.
spat:
(U, φ) = (U, x1 , ..., xn )
(V, ψ) = (V, y1 , ..., yn )
adopte edilmi³ iki harita olsun. Bu iki haritann kesi³ti§ini varsayalm.
U ∩V ∩S
için
φ(p) = (x1 , x2 , ..., xk , 0, ..., 0)
ψ(p) = (y1 , y2 , ..., yk , 0, ..., 0)
47
p∈
Yani
φS (p) = (x1 , x2 , ..., xk )
ψS (p) = (y1 , y2 , ..., yk )
Dolaysyla
ψS ◦ (φS )−1 = (x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., yk )
(y1 , y2 , ..., yk ) C ∞ -fonksiyonlar oldu§undan ψS ◦ φ−1
C ∞ -fonksiyonudur.
S
∞
Böylece {(U ∩ S, φS )} atlasndaki iki harita C
-uyumludur.
{U ∩ S}U ∈U ,
S 'nin
açk örtüsü oldu§undan
4.16
{(U ∩ S, φS )}, S 'nin
atlasdr.
Fonksiyonu Sfrlayan Elemanlarn Kümesi
c ∈ M noktasnn f : N −→ M dönü³ümü altnda
ters görüntü kümesi f
(c) = {p ∈ N | f (p) = 0}. Özel olarak f : N −→ Rm
−1
ise
Z(f4.16.1.
) = f (0) kümesine f 'nin sfr kümesi denir.
Örnek
Tanm 4.16.1. Bir
−1
f : R3 −→ R, (x, y, z) 7−→ f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1
f −1 (0) = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 = 1}
∂f
∂f
∂f
= 2x
= 2y
= 2z
∂x
∂y
∂z
Bunlar sfra e³itlersek f 'nin kritik noktas (0, 0, 0) bulunur. (0, 0, 0) ∈
/ S 2.
Kürenin tüm noktalar f nin regüler noktalardr. Di§er taraftan (0, 0, 0)
∂f
f 'nin regüler noktas de§ildir. p ∈ S 2 noktasnda
(p) = 2x|p 6= 0 olsun.
∂x
3
3
(f, y, z) : R −→ R dönü³ümünün Jacobien matrisi


∂f ∂f ∂f


∂f ∂f ∂f
 ∂x ∂y ∂z 
 



∂x ∂y ∂z 

 ∂y ∂y ∂y  


 


A=
= 0
1
0 
 ∂x ∂y ∂z  

 




 ∂z ∂z ∂z 
0
0
1
∂x
detA|p =
∂f
|p 6= 0.
∂x
∂y
∂z
Ters fonksiyon teoreminden,
(Up , f, y, z) R3
deki bir
p ∈ R3 noktasnn bir Up kom³ulu§u vardr. Birinci
2
koordinat sfr alrsak (yani f = 0 ) Up ∩S
tanmldr. Böylece (Up , f, y, z),
S 2 ye göre adopte edilmi³ haritadr ve (Up ∩ S 2 , y, z), S 2 nin bir haritasdr.
atlasa ait olacak ³ekilde
48
Teorem 4.16.1.
olsun.
c∈R
1-e³-boyutlu
N
f : N −→ R C ∞ -fonksiyonu
−1
görüntü kümesi f
(c), N 'nin
bir manifold olmak üzere
noktasnn
f
altndaki ters
regüler alt manifoldudur.
f fonksiyonunu f −c ile de§i³tirirsek c = 0 varsayabiliriz. p ∈ S
p, f 'nin regüler noktas oldu§undan p'yi içeren (U, x1 , ..., xn ) bir
∂f
|p 6= 0 dr.
vardr öyleki
∂xi
spat:
olsun.
harita
∂f
|p 6= 0
∂x1
olsun.
(f, x2 , ..., xn ) : U −→ Rn
C ∞ -fonksiyonudur.
Üstelik
Jacobien matrisi
∂f
 ∂x1


 ∂x

2

A =  ∂x1
 :

 :

 ∂xn
∂x1

detA|p =
∂f
∂x2
∂x2
∂x2
∂xn
∂x2

∂f

...
∂f
∂xn 
 
  ∂x1
∂x2 
 
...
  0
∂xn  = 
 
:
 
 
  :
∂xn 
0
...
∂xn

∂f
∂f
...
∂x2
∂xn 



1 ... 0 

: 

: 
0 ... 1
∂f
|p 6= 0.
∂x1
(f, x2 , ..., xn ) koordinat sistemi olacak ³ekilde
p noktasnn Up kom³ulu§u vardr. f = 0 olmal. Up ∩ S 'nin f altndaki
ters görüntüsü tanmldr. Dolaysyla (Up , f, x2 , ..., xn ) adopte edilmi³ haritadr. Böylece S , N 'de n − 1 boyutlu regüler alt manifolddur.
Ters fonksiyon teoreminden,
4.17
Regüler Ters Görüntü Kümesi Teoremi
N n-boyutlu manifold
m
olsun. c ∈ R
noktasnn f
Teorem 4.17.1.
fonksiyonu
nin
n−m
f : N −→ Rm C ∞ ters görüntü kümesi, N
olmak üzere
altndaki
boyutlu regüler alt manifoldudur.
spat: Ödev.
Lemma 4.17.1.
(U, x1 , ..., xn )
f : N −→ Rm C ∞ -fonksiyon
spat:
S = f −1 (0)
olsun.
koordinat haritasna göre Jacobien matrisinin determinant
p nin bir kom³ulu§unda N nin adopte edilmi³
xj1 , ..., xjm nin f1 , ..., fm ile de§i³tirilebilir.
sfrdan farkl ise
elde etmek için
ve
Ödev.
49
haritasn
N , n-boyutlu, M m-boyutlu manf : N −→ M C ∞ -dönü³üm olsun. c ∈ M elemannn
−1
görüntü kümesi f
(c), N nin n − m boyutlu regüler alt
Teorem 4.17.2. (Regüler Ters Görüntü) :
ifoldlar olmak üzere
f
altndaki ters
manifoldudur.
spat: Ödev.
Örnek 4.17.1.
x3 + y 3 + z 3 = 1
denkleminin çözüm kümesi
S , 2-boyutlu
manifolddur.
S = {(x, y, z) ∈ R3 | x3 + y 3 + z 3 = 1}
f : R3 −→ R
(x, y, z) 7−→ f (x, y, z) = x3 + y 3 + z 3
f
∂f
= 3y 2
∂y
∂f
= 3x2
∂x
S = f −1 ({1})
∂f
= 3z 2
∂z
(0, 0, 0) olur. Fakat (0, 0, 0) ∈
/ S . O halde Regüler Ters
f −1 ({1}) = S , R3 ün regüler alt manifoldudur.
nin kritik noktas
Görüntü teoreminden,
Örnek 4.17.2.
x3 + y 3 + z 3 = 1
denklem sisteminin çözüm kümesi
F : R3 −→ R2
S = F −1 ((1, 0))
alalm.
kritik noktas
F
ün regüler alt manifoldudur.
nin Jacobien matrisi
ux uy uz
vx vy vz
(x, y, z)
2
3x 3y 2 =0
1
1 2
3x 3z 2 =0
1
1 2
3y 3z 2 =0
1
1 x+y+z = 0
R3
(x, y, z) 7−→ F (x, y, z) = (x3 + y 3 + z 3 , x + y + z)
F 'nin
x+y+z =0
oldu§undan
=
3x2 3y 2 3z 2
1
1
1
dir.
⇒
3x2 − 3y 2 = 0
⇒
y = ∓x
⇒
3x2 − 3z 2 = 0
⇒
z = ∓x
⇒
3y 2 − 3z 2 = 0
⇒
z = ∓y
(x, y, z) = (0, 0, 0)
bulunur.
S
kümesi
regüler alt manifoldudur.
S = {(x, y, z) ∈ R3 | x3 + y 3 + z 3 = 1 ve x + y + z = 0}
50
R3
ün
C ∞-Dönü³ümlerin
4.18
Rank
f : N −→ M C ∞ -dönü³ümünün p ∈ N noktasndaki rank,
f 'nin p noktasndaki diferansiyelinin rankdr. BoyN = n boyM = m
olsun. f 'nin maksimal rank varsa 3 durum mevcuttur:
i) n = m ise f p noktasnda yerel dieomorzmdir.
ii) n ≤ m ise maksimal rank n ve f immersiyon (batrma) dr.
iii) n ≥ m ise maksimal rank m ve f submersiyon (daldrma) dr.
Tanm 4.18.1.
4.19
Sabit Rank Teoremi
f : N −→ M C ∞ -dönü³ümü
olsun.
c∈M
için
f −1 (c)
nin bir manifold
oldu§unu göstermek istiyoruz. Regüler ters görüntü teoremini uygulamak için
f −1 (c) nin her noktasnda f∗
Teorem 4.19.1.
N −→ M
var olsun.
N
diferansiyeli maksimum ranka sahip olmaldr.
n-boyutlu ve M m-boyutlu manifoldlar
p ∈ N noktasnn kom³ulu§unda k
dönü³ümünün
φ(p)
olsun.
f :
sabit rank
noktasnn bir kom³ulu§unda
ψ ◦ f ◦ φ−1 (r1 , ..., rn ) = (r1 , ..., rk , 0, ..., 0)
M 'de (V, ψ)
olacak ³ekilde
Teorem 4.19.2.
f
dönü³ümü
−1
N 'de (U, φ)
haritas vardr.
C ∞ -dönü³ümü ve c ∈ M olsun. f
−1
kom³ulu§unda k sabit rankna sahip ise f
(c),
f : N −→ M
(c)
N 'nin k -e³boyutlu
spat:
haritas ve
nin
regüler alt manifoldudur.
p ∈ f −1 (c)
olsun. Sabit rank teoreminden,
ψ ◦ f ◦ φ−1 (r1 , r2 , ..., rn ) = (r1 , r2 , ..., rk , 0, ..., 0)
f (p) = c ∈ M noktasnn (V, ψ) haritas ve p ∈ N
(U, φ) haritas vardr. 0 noktasnn ψ ◦ f ◦ φ−1 altndaki ters
kümesi r1 , r2 , ..., rk koordinatlar yok edilerek tanmlanr.
olacak ³ekilde
noktasnn
görüntü
φ(f −1 (c)) = φ(f −1 (ψ −1 (0))) = (ψ ◦ f ◦ φ−1 )−1 (0)
f −1 (c) nin φ altndaki görüntü kümesi (ψ ◦ f ◦ φ−1 )−1 (0)
U 'daki c ∈ M nin f altndaki ters görüntü kümesi f −1 (c) nin,
oldu§undan
kümesidir.
N 'de
regüler alt manifoldu oldu§unu verir.
51
Örnek 4.19.1.
O(n, R), GL(n, R)
nin regüler alt manifoldudur.
f : GL(n, R) −→ GL(n, R),
A 7−→ f (A) = AT A
I birim matris olmak üzere, f −1 (I) = O(n, R)
O(n, R), GL(n, R) nin regüler alt manifoldudur.
4.20
Batrma(Immersion) ve Daldrma(Submersion)
f : N −→ M C ∞ -dönü³ümü
p ∈ N için f∗,p : Tp N −→ Tf (p) M
olsun.
Tanm 4.20.1.
1) Her
dir. Bir önceki teoremden
injektif ise
f 'ye
batrmadr
denir.
2) Her
p∈N
için
f∗,p : Tp N −→ Tf (p) M
sürjektif ise
f 'ye
daldrmadr
denir.
f : N −→ M C ∞ -dönü³ümü ve (U, x1 , ..., xn ) p ∈ N noktasnn haritas ve (V, y1 , ..., ym ) f (p) ∈ M noktasnn haritas olsun. fi = yi ◦ f
alalm. f∗,p dönü³ümü


∂f1
∂f1
...
 ∂x1
∂xn 


: 
 :
A=

: 
 :
 ∂f
∂fm 
m
...
∂x1
∂xn
matrisi ile gösterilebilir. Bu durumda
1)
2)
f∗,p
f∗,p
injektif
sürjektif
⇔ n ≤ m ve rankA = n
⇔ n ≥ m ve rankA = m
N , n-boyutlu manifold, M m-boyutlu manifold olsun.
∞
1) f : N −→ M C -dönü³ümü p ∈ N noktasnda batrma (immersiyon)
ise f fonksiyonu p noktasnn kom³ulu§unda sabit rank n vardr.
2) f
p ∈ N noktasnda daldrma (submersiyon) ise f fonksiyonu p ∈ N
noktasnn kom³ulu§unda sabit rank m vardr.
Önerme 4.20.1.
Teorem 4.20.1. (Daldrma Teoremi)
N , n-boyutlu manifold, M m-boyutlu
manifold olsun.
1)
f : N −→ M
fonksiyonu
p∈N
noktasnda batrma ise
kom³ulu§unda
ψ ◦ f ◦ φ−1 (r1 , r2 , ..., rn ) = (r1 , r2 , ..., rn )
52
φ(p)
noktasnn
(U, φ) ve (V, ψ) haritalar vardr.
f : N −→ M fonksiyonu p ∈ N noktasnda
olacak ³ekilde
2)
daldrma ise
φ(p)
nok-
tasnn kom³ulu§unda
ψ ◦ f ◦ φ−1 (r1 , ..., rm , rm+1 , ..., rn ) = (r1 , ..., rm )
olacak ³ekilde
(U, φ)
Sonuç 4.20.1.
ve
(V, ψ)
f : N −→ M
haritalar vardr.
daldrmas açk dönü³ümdür.
W , N 'de açk olsun. f (p) ∈ f (W ) olsun. Daldrma Teoreminden,
f yerel pro jeksiyondur. Projeksiyon açk dönü³üm oldu§undan
f (U ), M 'de açk olacak ³ekilde p ∈ W noktasnn U açk kom³ulu§u vardr.
f (p) ∈ f (U ) ⊂ f (W ) bulunur. Böylece f (W ), M 'de açktr. f : N −→ M
spat:
daldrmas açk dönü³ümdür.
4.21
C ∞-Dönü³ümlerin
Örnek 4.21.1. 1)
f
injektif fakat
f : R −→ R2 ,
Görüntüleri
t 7−→ f (t) = (t2 , t3 )
f∗,0 : T0 (R −→ T0 (R2 )
injektif de§ildir. Dolaysyla
batrma de§ildir.
2)
g : R −→ R2 ,
t 7−→ g(t) = (t2 − 1, t3 − t)
53
f
g
injektif de§il fakat
g∗,0 : T0 (R −→ T0 (R2 )
injektiftir.
3)
f : N −→ M
injektif ve batrmadr fakat
Tanm 4.21.1.
f : N −→ M C ∞ -dönü³ümü
f 'ye gömme-yataklama (embedding)
1) f injektif batrmadr.
2) f (N ), N 'ye homeomorftur.
Örnek 4.21.2.
(cos t, sin 2t)
f (R), R'ye
homemorf de§ildir.
olsun. A³a§dakiler mevcut ise
denir.
π
π
f : (− , 3 ) −→ R2 ,
2
2
54
t 7−→ f (t) =
f
injektif ve batrmadr. Dolaysyla
manifolddur. Fakat
2
R
f 'nin
görüntüsü
R2
de batrlm³ alt
nin alt uzay olarak ³ekil sekiz manifold de§ildir. “ekil
sekiz, injektif batrma olan
π π
g : (− , 3 ) −→ R2 , t 7−→ g(t) = (cos t, − sin 2t)
2
2
dir.
Teorem 4.21.1.
M 'nin
f : N −→ M
ye gömme-yataklama (embedding) ise
f (N ),
regüler alt manifoldudur.
p ∈ N olsun. Daldrma Teoreminden p noktasnn kom³ulu§unda (U, x1 , x2 , ..., xn ) yerel koordinat ve f (p) noktasnn kom³ulu§unda
(V, y1 , y2 , ..., ym ) yerel koordinat vardr öyleki
spat:
f : U −→ V,
(x1 , x2 , ..., xn ) 7−→ f (x1 , x2 , ..., xn ) = (x1 , x2 , ..., xn , 0, ..., 0)
yn+1 , yn+2 , ..., ym lerin yok edilmesiyle f (U ), V 'de tanmldr. Bu tek ba³na
f (N )'nin regüler alt manifold oldu§unu göstermez. Çünkü V ∩f (N ), f (U )'yu
kapsamaktadr. V 'ye ait f (p) noktasnn kom³ulu§unda, f (N ) n−m koordinatlarn yok edilmesiyle tanmlanr. f (N ), N 'ye homeomorf oldu§undan,
0
f (U ), N 'de açktr. Alt uzay topolo jisinden, V ∩ f (N ) = f (U ) olacak
0
0
0
³ekilde M 'de V aç§ vardr. V ∩ V de V ∩ V ∩ f (N ) = V ∩ f (U ) = f (U )
dur.
f (U ), yn+1 , yn+2 , ..., ym lerin yok edilmesiyle tanmlanr. Böylece (U ∩
V , y1 , ..., ym ) f (N )'ye ait f (p) noktasn içeren adopte edilmi³ haritadr.
f (p), f (N )'nin key noktas oldu§undan f (N ), M 'de regüler alt manifold0
dur.
Teorem 4.21.2.
p 7−→ i(p) = p
N , M 'nin
regüler alt manifoldu olsun.
³eklindeki dönü³üm gömmesidir.
55
i : N −→ M ,
spat: Regüler manifoldun alt uzay topolojisi ve
i(N ) nin alt uzay topolo-
jisi var oldu§undan
i : N −→ i(N )
bir homeomorzmadr. Dolaysyla
lama oldu§unu göstermemiz gerekiyor.
p∈N
olsun.
i : N −→ M
M 'nin adopte
yatakedilmi³
haritas
(V, y1 , y2 , ..., yn , yn+1 , ..., ym )
seçelim öyleki
V ∩ N , yn+1 , ..., ym
i : N −→ i(N ) ⊂ N,
nin sfr kümesidir.
(y1 , y2 , ..., yn ) 7−→ i(y1 , y2 , ..., yn ) = (y1 , y2 , ..., yn , 0, ..., 0)
kapsama dönü³ümü yataklamadr.
4.22
Alt Manifoldlar çine
f : N −→ M , f (N ), S ⊂ M
∼
C ∞-Dönü³ümler
alt kümesinde olacak ³ekilde bir
f : N −→ S dönü³ümü C ∞ -dönü³üm müdür ?
Cevap: S nin regüler alt manifold veya M nin batrma
C ∞ -dönü³ümü
olsun.
alt manifoldu olup
olmamasna ba§ldr.
Örnek 4.22.1.
S , R2
de ³ekil sekiz ve
g
tarafndan olu³turulan batrma
alt manifold yaps var olsun.
f : I −→ R2 ,
g : I −→ R2 ,
t 7−→ f (t) = (cos t, sin 2t)
t 7−→ f (t) = (cos t, − sin 2t)
∼
f (I) ⊂ S
∼
f
C
∞
oldu§undan
C ∞ -dönü³ümü f , f : I −→ S
yi olu³turur. Fakat
-dönü³ümü de§ildir.
Teorem 4.22.1.
S , M 'nin
F : N −→ M C ∞ -dönü³ümü
regüler alt manifoldu ise
∼
ve
F (N ) ⊂ S ⊂ M
F : N −→ S C
∞
olsun.
-dönü³ümüdür.
p ∈ N olsun. Ayrca dimN = n dimM = m dimS = s
olsun. F (p) ∈ S ⊂ M
alalm. S ,
M 'nin regüler alt manifoldu oldu§undan F (p) civarnda M 'ye ait (V, ψ) = (V, y1 , y2 , ..., ym ) adopte edilmi³
(uyarlanm³) koordinat haritas vardr öyleki S ∩ V , ys+1 , ys+2 , ..., ym üzerinde sfr kümesidir. F
sürekli oldu§undan,
F (U ) ⊂ V olacak ³ekilde
spat:
56
(U, φ) = (U, x1 , x2 , ..., xn )
koordinat haritasn seçebiliriz.
F (U ) ⊂ V ∩ S
öyleki
ψ ◦ F ◦ φ−1 (x1 , x2 , ..., xn ) = (y1 , y2 , ..., ys , 0, ..., 0)
ve
∼
ψS ◦ F ◦ φ−1 (x1 , x2 , ..., xn ) = (y1 , y2 , ..., ys )
∼
dir.
F, U
üzerinde
C ∞ -dönü³ümüdür.
µ : GL(n, R) × GL(n, R) −→ GL(n, R),
C ∞ -dönü³ümüdür.
(A, B) 7−→ A.B
Örnek 4.22.2.
A = (aij )
B = (bij )
n
X
A.B = (
aik bkj )
k=1
aik
bkj
ve
koordinatlar
C
∞
-fonksiyonlardr.
∼
µ : SL(n, R) × SL(n, R) −→ SL(n, R),
(A, B) 7−→ A.B
C ∞ -dönü³ümüdür fakat (aij )1≤i≤n koordinat sistemi de§ildir.
SL(n, R)×SL(n, R), GL(n, R)×GL(n, R) nin regüler alt manifoldu oldu§undan
i : SL(n, R) × SL(n, R) −→ GL(n, R) × GL(n, R)
C ∞ -dönü³ümdür. µ ◦ i C ∞ -dönü³ümdür.
µ ◦ i : SL(n, R) × SL(n, R) −→ GL(n, R)
ve
∼
µ : SL(n, R) × SL(n, R) −→ SL(n, R)
C ∞ -dönü³ümdür.
R3
4.23
deki Yüzeylerin Te§et Düzlemi
f (x1 , x2 , x3 ) R3
de kritik noktalar olmayan reel de§erli fonksiyon olsun.
Regüler Ters Görüntü Teoreminden;
halde
3
i : N −→ R
3
Tp (R )
v =
X
vi
∂
∂xi
ün regüler alt manifoldudur. O
gömme (yataklama) dr. Dolaysyla
dönü³ümü injektiftir.
oruz.
N , R3
Tp (N )
N 'nin
i∗,p : Tp (N ) −→
te§et düzlem denklemini bulmak istiy-
de bir vektör olsun.
57
Tp R3 ' R3
oldu§undan,
v 'yi
R3
de
(v1 , v2 , v3 )
0
c(t), c(0) = p ve c (0) = (v1 , v2 , v3 )
olsun. c(t), N 'de oldu§undan f (c(t)) = 0
olarak belirtebiliriz.
özelliklerine sahip
N 'de
bir e§ri
dr. Zincir kuralndan
3
0=
t=0
X ∂f
d
0
f (c(t)) =
(c(t))(ci ) (t)
dt
∂xi
i=1
için ifadeyi yeniden yazarsak;
3
3
X
X
∂f
∂f
0
0=
(c(0))(ci ) (0) =
(p)vi
∂xi
∂xi
i=1
i=1
vi = xi − pi
alrsak
3
X
∂f
(p)(xi − pi ) = 0
∂xi
i=1
te§et düzlemidir.
Örnek 4.23.1.
f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 1
küresinin
p = (a, b, c)
noktasn-
daki te§et düzlemin denklemini belirleyiniz.
∂f
= 2y
∂y
∂f
= 2x
∂x
p = (a, b, c)
∂f
= 2z
∂z
noktasnda
∂f
|p = 2a
∂x
∂f
|p = 2b
∂y
∂f
|p = 2c
∂z
∂f
∂f
∂f
|p (x − a) +
|p (y − b) +
|p (z − c) = 0
∂x
∂y
∂z
2a(x − a) + 2b(y − b) + 2c(z − c) = 0
ax + by + cz = 0
bulunur.
ALI“TIRMALAR
1.
n
n+1
S ⊂ R
birim küresi
n+1
X
(xi )2 = 1
i=1
noktas için
58
³eklinde tanmlansn.
p ∈ Sn
Xp =
n+1
X
ai
i=1
∂
|p ∈ Tp (Rn+1 )
∂x
nin,
Sn
p
e
noktasnda tanjant olmas için
gerek ve yeter ³art
n+1
X
ai p i = 0
olmasdr. Gösteriniz.
i=1
2.
N
kompakt manifold olmak üzere
f : M −→ Rm C ∞ -dönü³ümünün
bir
kritik noktas var oldu§unu gösteriniz.
S 2 nin üst
u(a, b, c) = a
φ = (u, v) koordinat dönü³ümü vardr öyleki
v(a, b, c) = b dir. O zaman S 2 de herhangi bir p = (a, b, c)
∂
∂
|p ve
|p , S 2 nin tanjant vektörleridir.
üst yar küre noktasnda
∂u
∂v
i : S 2 −→ R3 kapsama dönü³ümü ve x, y, z ler R3 de standart koordinatlar
∂
∂
2
olsun. i∗ : Tp S
−→ Tp R3 diferansiyeli
|p ve
|p yi Tp R3 e ta³r.
∂u
∂v
3.
yar küresi için
ve
Böylece
i∗ (
∂
∂
∂
∂
|p ) = α1 |p +β1 |p +γ1 |p
∂u
∂x
∂y
∂z
olacak ³ekildeki
4.
ise
αi , βi , γi
i∗ (
∂
∂
∂
∂
|p ) = α2 |p +β2 |p +γ2 |p
∂v
∂x
∂y
∂z
sabitlerini tespit ediniz.
f : N −→ M 1 − 1 immersion (injektif batrma) olsun. N
f (N )'nin M 'nin regüler altmanifoldu oldu§unu gösteriniz.
f : [0, 2π] −→ R2
5.
³eklinde tanmlanm³
f
,
kompakt
x 7−→ f (x) = (cos 2x, − sin x)
fonksiyonunun batrma olup olmad§n inceleyiniz.
g : R −→ S 1 × S 1 , x 7−→ g(x) = (e2πiαx , e2πiβx )
6.
³eklinde tanmlanm³
(NOT:
7.
i = 1, 2
ve
α
β
g
fonksiyonunun batrma olup olmad§n inceleyiniz.
irrasyonel saydr.)
φ : R3 −→ R2 , (x, y, z) 7−→ φ(x, y, z) = (y − z, x)
dönü³ümünün daldrma (submersion) olup olmad§n belirleyiniz.
8.
U = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y 2 + z 2 > 0} olsun.
φ : U ⊂ R3 −→ R, (x, y, z) 7−→ φ(x, y, z) = x2 + y 2 +
z2
dönü³ümünün daldrma (submersion) olup olmad§n belirleyiniz.
59
Bölüm 5
YÜZEYLER
Tanm 5.0.1. Kompakt, ba§lantl 2-manifolda bir yüzey denir.
Örnek 5.0.2. Silindir, paraboloid,kürenin kulplar çkartlarak elde edilen
yüzey.
5.1
Kulplu Yüzeyler(Handled Surfaces)
“ekil
5.1:
Küre
0-
“ekil
kulpludur
5.2:
Tor
1-
kulpludur
.......
“ekil 5.3: 2-kulplu
“ekil 5.4: g-kulplu
60
Tanm 5.1.1.
5.2
Sg
ailesinin g-inci elemanna
g
genuslu yüzey denir.
Çapraz Yüzeyler(Cross Cap Surfaces)
.
.
.
.
.
“ekil 5.5:
Tanm 5.2.1.
C1 , C2 , ..., Cg
RP 2
1-çapraz yüzeydir.
ailesinin g-inci elemanna
61
g
çapraz yüzey denir.
5.3
Yönlü Yüzeyler(Orientable Surfaces)
Tanm 5.3.1.
1.
2.
S
bir yüzey olsun.
S
ye ait her kapal e§ri yönünü koruyorsa
S
S
yüzeyi üzerinde yönü de§i³tiren en az bir kapal e§ri varsa
ye yönlü yüzey denir
S
ye yönlü
olmayan yüzey denir
Örnek 5.3.1.
S 2 ,T ,
silindir yönlü yüzeylerdir.
Kb, M b, RP 2
yüzeylerdir.
1.
T ≈ S 1 xS 1
2.
T = {(x, y, z) ∈ R3 : [(x2 + y 2 ) 2 − 2]2 + z 2 = 1} ⊂ R3
1
62
yönlü olmayan
Bölüm 6
YÜZEYLERN
SINIFLANDIRILMASI
6.1
Ba§ntl Toplam(Connected Sum veya Topolojik Toplam)
Tanm 6.1.1.
S1
ve
S2
iki yüzey olsun. Bu iki yüzeyden birer disk çkartlsn
ve çkartlan ksmda bu iki yüzeyin yap³trlmasyla elde edilen yeni yüzeye
S1
ve
S2
nin ba§lantl toplam denir.
Örnek 6.1.1.
S2 ] S2 ≈ S2
“ekil 6.1:
Özellikler 6.1.1.
2.
1.
S1 # S2 ≈ S2 # S1
(S1 # S2 ) # S3 ≈ S1 # (S2 # S3 )
3. ki yönlü yüzeyin ba§lantl toplam yine yönlü yüzeydir.
4.
S1
ve
S2
herhangi biri yönlü de§ilse
63
S1 # S2
yönlü de§ildir.
6.2
Kompakt Yüzeylerin Snandrlmas
Teorem 6.2.1. Bir kompakt yüzey ya küreye ya tora ya da
Kb
RP 2 # RP 2 ≈
ya homeomorfdur.
b
a
a
b
“ekil 6.2:
RP 2 # RP 2 ≈ Kb
π1 (Kb) = {ha, bi : aba−1 b = 1}
π1 (RP 2 ) = {ha, bi : abab = 1}
6.3
Kompakt Yüzeylerin Üçgenle³tirilmesi
S kompakt yüzey olsun. S nin üçgenle³tirilmesi S yi kaplayan
{T0 , T1 , . . . , Tn } kapal alt kümelerinin sonlu ailesini içerir öyle ki Ti ler R2
Tanm 6.3.1.
deki kapal üçgenlere homeomorfdur.
Örnek 6.3.1. endörnek
1. Torun üçgenle³tirilmesi
b
1
2
3
1
4
a
4
5
6
8
9
7
1
7
2
3
1
“ekil 6.3: Torun iki farkl üçgenle³tirilmesi
Kareyi üçgenle³tiriyoruz. Farkl ³ekillerde üçgenle³tirebiliriz.
(a) ve (b) durumuda torun üçgenle³tirilmesidir. Yapt§mz üçgenle³tirme
ile sadece sonraki i³lemlerimiz de§i³ecektir.
64
2. Projektif düzlemin herhangi bir üçgenle³tirilmesi
1
2
3
1
5
4
4
5
1
3
2
1
“ekil 6.4: Projektif düzlemin üçgenle³tirilmesi
3. Küpün herhangi bir üçgenle³tirilmesi
f
a
b
b
a
f
e
e
c
d
g
c
d
g
“ekil 6.5: Küpün üçgenle³tirilmesi
Not 6.3.1. Kompakt yüzeyin üçgenle³tirilmesi a³a§daki iki özellikelli§i
sa§lar;
(a) Üçgenle³tirmenin her kenar iki üçgenin kenardr
(b)
ϑ,
üçgenle³tirmenin bir kö³esi olsun.ϑ kö³eli üçgenler mevcuttur
öyle ki bu üçgenlerin ortak kenarlar vardr.
65
4. Kürenin herhangi bir üçgenle³tirilmesi
3
2
1
5
1
4
6
2
3
“ekil 6.6: Kürenin üçgenle³tirilmesi
Lemma 6.3.1. Tor ve projektif düzlemin ba§lantl toplam üç projektif
düzlemin ba§lantl toplamna homeomorfdur.
RP 2 # T ≈ RP 2 # RP 2 # RP 2
RP’2# T
a
c
c
b
a
b
b
a
c
c
a
b
“ekil 6.7:
RP 2 # T
66
a
a
a
a
a
b
a
b
#
“ekil 6.8:
RP 2 # RP 2
b
b
b
a
c
c
a
a
c
RP2 # RP2 # RP2
RP 2 # RP 2 # RP 2
“ekil 6.9:
6.4
Euler Karakteristi§i
Euler karakteristi§i, kö³eleri, kenarlar ve yüzeyleri sayarak elde edilir.
Bu nedenle hücre(cell) kompleksi üzerinde duraca§z.
Tanm 6.4.1.
n-hücreyi,
içinin
n-diske
homeomorf olan bir topolojik
nesne olarak tanmlanabilir.
Örnek 6.4.1.
(b)
(c)
1-hücre
2-hücre
0-hücre
(a)
(kenar), içi
(yüz), içi
R
2
R
(kö³e) bir noktadr.
de bir açk aral§a homeomorftur.
de bir açk diske homeomorftur.
Tanm 6.4.2. Hücre Kompleksi, hücrelerin içi ikili baznda ayrk
ve snrlar boyutu dü³ük olan hücrelerin birle³imi olan yani
1-hücre, 2-hücre
hücrelerin birle³imi olarak tanmlayabiliriz.
Not 6.4.1. Bir hücre kompleks, bi
kompleksine,
0-hücre,
M 'nin
M
yüzeyine homeomorf ise bu hücre
hücre ayr³m denir.
Örnek 6.4.2. A³a§da yüzeylerin hücre ayr³m verilmi³tir; Buraya
³ekil yaplacak
Tanm 6.4.3. Bir
M 'nin
M
yüzeyinin
v
kö³esi,
e
Euler karakteristi§i
χ(M ) = v − e + f
³eklinde tanmlanr.
67
kenar ve
f
yüzeyi varsa
Örnek 6.4.3.
(a)
S2
küre yüzeyinin
2
1
kö³esi,
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(S 2 ) = v − e + f = 2 − 1 + 1 = 2.
(b)
T
Tor yüzeyinin
1
kö³esi,
2
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(T ) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0.
(c)
2T
iki Tor yüzeyinin
1
kö³esi,
4
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(2T ) = v − e + f = 1 − 4 + 1 = −2.
(d)
RP 2
projektif düzlemin
1
kö³esi,
1
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(RP 2 ) = v − e + f = 1 − 1 + 1 = 1.
(e)
Kb
Klein “isesinin
1
kö³esi,
2
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(Kb) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0.
(f )
Mb
Möbiüs ³eridinin
1
kö³esi,
2
kenar ve
1
yüzeyi oldu§undan
χ(Kb) = v − e + f = 1 − 2 + 1 = 0.
Not 6.4.2.
(a)
χ(Kb) = 0 = χ(T ) olmasna ra§men Kb ve T
homeomorf yüzeyler
de§ildir.
(b)
Kb ≈ RP 2 # RP 2
oldu§undan
χ(Kb) = χ(RP 2 # RP 2 )
dir.
Teorem 6.4.1.
χ(M1 #M2 ) = χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2.
spat.
M1
yüzeyinin kö³e says
v1
olan
2n1 -gen
ile temsil edilsin. Bu
durumda
χ(M ) = v1 − n1 + 1.
M2
yüzeyinin kö³e says
v2
olan
2n2 -gen ile temsil edilsin. Bu durumda
χ(M ) = v2 − n2 + 1.
68
M1 # M2 yüzeyinin kö³e says v1 + v2 − 1
2(n1 + n2 )-gen ile temsil edilir.
ve kenar says
n1 + n2
olan
χ(M1 # M2 ) = v1 + v2 − 1 − (n1 + n2 ) + 1
= v1 − n1 + 1 + v2 − n2 + 1 − 2
= χ(M1 ) + χ(M2 ) − 2.
Not 6.4.3.
S2
kulpsuz yüzey oldu§undan
S 2 = 0T
dir.
Sonuç 6.4.1.
(a)
n≥0
(b)
m≥1
için
için
χ(nT ) = 2 − 2n.
χ(RP 2 ) = 2 − m.
spat.
(a)
n = 0 için 0T = S 2 oldu§undan χ(S 2 ) = 2 dir. n = 1 için χ(T ) =
0 dir. n = 2 için χ(2T ) = −2. n − 1 için do§ru olsun. Yani
χ((n − 1)T ) = χ(T # T # · · · # T ) = 2 − 2(n − 1) olsun. Yani
χ(nT ) = χ((n − 1)T # T ) = χ((n − 1)T ) + χ(T ) − 2
= 2 − 2(n − 1) − 0 − 2 = 2 − 2n.
(b) Birinci ksmda oldu§u gibi
Teorem 6.4.2.
M
m
(6.1)
(6.2)
üzerinde tümevarmla ispatlanr.
herhangi bir yüzey olsun.
χ(M ), M 'nin hücre ayr³m
seçiminden ba§mszdr.
Sonuç 6.4.2. A³a§daki önermeler Denktir;
(a)
M1
(b)
χ(M1 ) = χ(M2 )
yüzeyi
M2
yüzeyine homeomorftur.
ve
M1 , M2
nin her ikisi oriyantel veya her ikisi
oriyantel de§ildir.
1) ⇒ 2) : h : M1 −→ M2 homeomorzma olsun. h, M1 'in hücre
ayr³mn M2 nin hücre ayr³mna ta³d§ndan χ(M1 ) = χ(M2 ) dir.
Ayrca oriyantellik bir topolojik özellik oldu§undan M1 yüzeyi oriyantel
ise M2 de oriyanteldir.
spat.
69
2) ⇒ 1) :
kinci önerme mevcut olsun.
M1
yüzeyinin
M2
yüzeyine
homeomorf oldu§unu gösterce§iz. Bunun yüzeylerin oriyantel olma ve
oriyantel olmama durumlarna göre ispatlayaca§z.
1 : M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel olsun.
M2 = n2 T dir. χ(M1 ) = χ(M2 ) oldu§undan
Durum
n1 T
ve
2 − 2n1 = 2 − 2n2
Dolasyla
M1 ≈ n1 T = n2 T ≈ M2
O zaman
M =
⇒ n1 = n2 .
dir.
2: M1 ve M2 nin her ikiside oriyantel olmasn. O zaman M =
m1 RP ve M2 = m2 RP 2 dir. χ(M1 ) = χ(M2 ) oldu§undan
Durum
2
2 − m1 = 2 − m2
Dolasyla
M1 ≈ M2
Örnek 6.4.4.
⇒ m1 = m2 .
dir
KB # RP 2 ,
T # RP 2 ,
lerinin homeomorf olduklarn gösterelim.
70
RP 2 # RP 2 # RP 2
yüzey-
6.5
Yüzeyler Cebiri
Verilen kompakt yüzey kelime ile belirtilebilir. Kelime ve devir kuraln
kullanarak kompakt yüzeyin düzlem modeli in³a edilir.
a
a
a
a
a
#
a
“ekil 6.10:
Örnek 6.5.1.
S 1 #S 1
T # Kb # Rp2
T ⊕ Kb ⊕ Rp2 :acd−1 eec−1 d−1 ba−1 b−1
Teorem 6.5.1. (Pozisyon Devir Kural) Bir kompakt yüzey
M
ke-
limesi ile belirtilsin.
(a)
M = AB
(b)
M ∼ M −1
ise
M ∼ BA
(Çember Kural)
(Flip Kural)
Teorem 6.5.2. (Küre Devir Kural)
yüzeyi belirtsin. (A ve
B
M = Axx−1 B
bir kompakt
den en az biri bo³tan farkl) O zaman
kompakt yüzeyi belirtir ve
M ∼ AB
AB
bu
dir.
Örnek 6.5.2. Küre için;
M = af g −1 e−1 b−1 bec−1 cgdd−1 f −1 a−1 ∼ af g −1 e−1 egf −1 a−1
∼ af g −1 gf −1 a−1 ∼ af f −1 a−1 ∼ aa−1 = S 2
M bir kompakt
M ∼ AxCBx−1 D dir.
Teorem 6.5.3. (Silindir Devir Kural)
kelime ve
−1
M = AxBCx D
ise
yüzey için
Örnek 6.5.3.
M = abca−1 b−1 c−1 = a(bc)a−1 b−1 c−1 ∼ a(cb)a−1 b−1 c−1
= acba−1 b−1 c−1 = ac(ba−1 b−1 )c−1
∼ ac(a−1 b−1 b)c−1 ∼ aca−1 c−1 = T
Not 6.5.1.
S 2 = aa−1 , T = aba−1 b−1 , Rp2 = aa, Kb = aba−1 b
71
Teorem 6.5.4. (Mobius “erit Devir Kural) Bir kompakt yüzeyi
belirten kelime
M
ve
M = AxBxC
ise
M ∼ AxxB −1 C
dir.
Örnek 6.5.4.
(a)
M = abca−1 b−1 c ∼ abccba ∼ ccabba ∼ ccaabb = Rp2 Rp2 Rp2 =
3Rp2
(b)
Kb = aba−1 b ∼ abba ∼ aabb = Rp2 Rp2 = 2Rp2
(c)
T Rp2 = aba−1 b−1 cc ∼ a−1 b−1 (cca)b ∼ a−1 b−1 cacb
∼ a−1 b−1 cca−1 b ∼ a−1 b−1 a−1 bcc ∼ bab−1 a(cc) = KbRp2
6.6
Ekli Uzaylar
Tanm 6.6.1. A, X in alt uzay ve
Ayrca
∀x ∈ A
bölüm uzayna
için
X
in
x
Y
f :A→Y
sürekli fonksiyon olsun.
X∪Y
∼ f (x) ba§nts tanimlansn. x∼f
= X ∪f Y
(x)
uzayna eklenmesi denir.
Örnekler:
(a)
X = [0, 1] = Y, A = {0, 1}
f : {0, 1} → [0, 1]
x → f (x) =
(b)
1
2
X = [0, 1]x[0, 1] = Y, A = {0}x[0, 1] ∪ {1}x[0, 1]
f :A→Y
1
(s, t) → f (s, t) = ( , t)
2
(c) Koni
(d) Süspansiyon
72
Xx{1}
XxI
“ekil 6.11: Koni dönü³ümü
Xx{0}
Xx{1}
“ekil 6.12: Süspansiyon
(e) Mapping Silindir
XxI
Y
“ekil 6.13: Silindir dönü³ümü
6.7
Al³trmalar
(a)
T ] S2 ≈ T
(b)
Rp2 ] Rp2 ≈ Kb
(c)
T ]Rp2 ≈ 3Rp2
oldu§unu ³ekille gösteriniz.
oldu§unu ³ekil çizerek gösteriniz.
oldu§unu uygun indirgeme kurallarnn kullanarak
ispat ediniz.
(d) n tane
Rp2
nin ba§lantl toplam 2n kenarl poligonla temsil edilir
ve bu toplamn yüzey cebiri ise
a1 a1 a2 a2 · · · an an
³eklindedir.
(yol gösterme : ispat n üzerinden tümevarmla yaplacaktr. )
73
(e) Uygun indirgeme i³lemlerinden yararlanarak
−1 −1 −1
acb a c b
abc−1 b−1 a−1 c−1
ve
yüzeylerinin orientable yüzey olup olmadklarn in-
celeyiniz.
(f )
] ba§lantl toplam i³lemi komutatif midir? Birle³meli midir? Birim
eleman var mdr? Ters eleman var mdr? Sonucu yorumlaynz.
(g)
b−1 a−1 c−1 c−1 ba yüzeyi ile x−1 x−1 y −1 y −1 z −1 z −1 yüzeyi ayn yüzeyin
cebirsel gösterimi olabilir mi? Açklaynz. (yol gösterme : indirgeme
methodlarn kullannz.)
(h)
2T ] Rp2 ≈ 5Rp2
oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : 3üncü soru-
dan yararlannz.)
(i) x bir kenar ; P , Q ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.Uygun
bir x1 kenar için ;
xxP −1 Q ≈ x1 P x1 Q
dir. “ekil çizerek ispatlaynz.
(j) x bir kenar , P , Q, R ler de kenarlarn dizilerini temsil etsin.
Uygun bir x1 kenar için
xP Qx−1 R ≈ x1 QP x−1
1 R
dir. “ekil çizerek ispatlaynz.
(k) A³a§daki kelimelerin hangi yüzeyi belirtti§ini bulunuz.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
abcba−1 c
abec−1 ba−1 cd−1 ed
ab−1 cedef a−1 bc−1 d−1 f
aba−1 cdb−1 c−1 d−1
ab−1 c−1 a−1 cb
abc−1 bca
abcb−1 dc−1 d−1 a−1
74
Bölüm 7
TOPOLOJK GRUPLAR,
GRUP HAREKET, LE
GRUPLARI
7.1
Topolo jik Gruplar
Tanm 7.1.1.
(G, τ )
topolojik uzay ve
özellikellikler mevcut ise;
(a)
(b)
(G, τ, .)
(G, .)
bir grup olsun. A³a§daki
üçlüsüne topolojik grup denir.
f : G × G −→ G
(x, y) 7→ f (x, y) = x.y
g:G→G
−1
Örnek 7.1.1.
(R, τs )bir
i.
x 7→ x
(a)
sürekli fonksiyon
sürekli fonksiyon
(R, τs , +)
bir topolojik guptur.
topolojik uzay ve
(R, +)bir
gruptur.
f : R×R −→ R (x, y) 7→ f (x, y) = x+y = π1 (x, y)+π2 (x, y)
zdü³üm fonksiyonlar sürekli oldu§undan toplamlar da süreklidir.
ii.
g:R→R
x 7→ g(x) = −x = (−1).x = a.I(x)
Sürekli fonksiyonun sabit bir say ile çarpm sürekli oldu§undan
(b)
(G, .)
g
süreklidir.
bir grup olsun.
G
üzerinde diskret topoloji alrsak
(G, τd , .)
bir topolojik gruptur.(G, τd )bir topolojik uzaydr.
i.
ii.
f : G × G → G (x, y) 7→ f (x, y) = x.y
g : G → G x 7→ g(x) = x−1
(G, τd ) den alnan her açk (G × G,τd xτd )
ca§ndan f ve g süreklidir.
75
uzaynda açk ola-
(c)
R∗ = R − {0}, (R∗ , τs , .) bir topolojik guptur. (R∗ , .)
(R∗ , τs ), (R, τs ) nin altuzay topolojisidir.
i.
ii.
(d)
bir grup ve
f : R∗ × R∗ → R∗ (x, y) 7→ f (x, y) = x.y = π1 (x, y).π2 (x, y)
1
g : R∗ → R∗ x 7→ g(x) = x−1 = x1 = I(x)
,
I(x) 6= 0
f ve g süreklidir.
(S 1 , τ, .)
bir topolojik gruptur. τ = τs × τs , . : C deki çarpma
(S 1 , τ ) topolojik uzay ve (S 1 , .) bir gruptur.
i³lemidir.
i.
ii.
f : S 1 ×S 1 → S 1 (z1 , z2 ) 7→ f (z1 , z2 ) = z1 .z2 = π1 (z1 , z2 ).π2 (z1 , z2 )
z̄
= z̄ = e−iθ =
g : S 1 → S 1 z 7→ g(z) = z −1 = z1 = |z|
(cos θ, − sin θ)
f ve g süreklidir.
(e) Banach ve Hilbert uzaylar birer topolojik gruptur.
Banach uzay normlu tam vektör uzaydr. Vektör uzay oldu§undan grup yaps vardr. Norm tarafndan üretilen topolojiye sahiptir.
i.
ii.
(f )
f : B xB → B (x, y) 7→ f (x, y) = x + y
g : B → B x 7→ g(x) = −x
f ve g süreklidir.
C∗ = C−{(0, 0)}, (C∗ , τ, .) bir topolojik gruptur.(. : C deki çarpma)
Önerme 7.1.1. ki topolojik grubun kartezyen çarpm topolojik grup-
tur.
(G1 , τ1 , .), (G2 , τ2 , ∗) topolojik gruplar ise (G1 ×G2 , τ1 ×τ2 , o) topolo-
jik gruptur.
spat.
(G1 , τ1 , .)
topolojik grup oldu§undan
f1 : G1 × G1 → G1 (x, y) 7→ f1 (x, y) = x.y
ve
g1 : G1 → G1 x 7→ g1 (x) = x−1
süreklidir.
(G2 , τ2 , ∗)
topolojik grup oldu§undan
f2 : G2 × G2 → G2 (x, y) 7→ f2 (x, y) = x ∗ y
ve
g2 : G2 → G2
x 7→ g2 (x) = x−1
süreklidir.
f = f1 × f2 : G1 × G1 × G2 × G2 −→ G1 × G2
76
((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) 7→ f1 × f2 ((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) = (x1 .y1 , x2 ∗ y2 )
f1
ve
f2
sürekli oldu§undan
f
fonksiyonu süreklidir.
g = g1 × g2 : G1 × G2 −→ G1 × G2
(x1 , x2 ) 7→ g1 × g2 (x1 , x2 ) = (g1 (x1 ), g2 (x2 )) = (x1 −1 , x2 −1 )
g1
ve
g2
sürekli oldu§undan
Ödev:(G1
× G2 , τ1 × τ2 )
g
fonksiyonu süreklidir.
(G1 × G2 , o)
nin topolojik uzay,
nin grup
oldu§unu gösteriniz.
Örnek 7.1.2.
(a)
(Rn , τ, +)
(b)
(T, τ, .)
topolojik gruptur. (τ : Çarpm topolojisi)
T ≈ S 1 xS 1
topolojik gruptur.
dir.
(S 1 , τ1 , .)
ve
(S 1 , τ2 , +)
topolojik gruplardr.
(c)
GL(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA 6= 0}
matris çarpmna göre grup
yaps te³kil eder.
(d)
SL(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA = 1}
(e)
O(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA 6= 0, AT A = I = AAT }
özel lineer gruptur.
ortogonal
gruptur.
(f )
SO(n, R) = {A ∈ Mnxn : detA = 1, AT A = I = AAT }
özel
ortogonal gruptur.
SL(n, R), O(n, R), SO(n, R), GL(n, R)
Önerme 7.1.2.
(G, τ, .)
nin alt gruplardr.
H , G nin bir alt grubu
H grubu G nin bir topolojik alt
bir topolojik grup ve
olsun. Alt uzay topolojisi ile donatlan
grubudur.
Tanm 7.1.2.
olsun.
H
(G, τ, .)
bir topolojik grup ve
açk (kapal) alt küme ise
Örnek 7.1.3.
GL(n, R)
nin
H
H, G
nin bir alt grubu
ya açk (kapal) altgrup denir.
SL(n, R), O(n, R), SO(n, R)
alt gruplar
kapal alt gruplardr.
det : Mnxn → R
fonksiyonu süreklidir.
oldu§undan
SL(n, R)
{1} ⊂ R
A 7→ detA
kapals için
det−1 ({1}) = SL(n, R)
kapaldr.
t : Mnxn → Mnxn
77
A 7→ t(A) = AAT = I
fonksiyonu süreklidir.
dan
O(n, R)
I ⊂ Mnxn
kapals için
t−1 (I) = O(n, R) oldu§un-
oldu§undan
SO(n, R)
kapaldr.
SO(n, R) = SL(n, R) ∩ O(n, R)
Örnek 7.1.4.
(Z, τd , +), (R, τd , +)
kapaldr.
nn topolojik alt grubudur.
Uyar:Topolojik gruplarda izomorzma teoremleri a³a§daki önerme
geçerli oldu§unda geçerlidir.
"f
:G→H
homeomorzma olsun.
G/Kerf ' Imf
dr
⇔ f : G → Imf
açk dönü³ümdür."
G bir topolojik grup ve g ∈ G olsun. Lg : G → G,
Lg (x) = g.x fonksiyonuna homeomorzmann sol öteleme
denir. Rg : G → G, ∀x ∈ G için Rg (x) = x.g fonksiyonuna
Tanm 7.1.3.
∀x ∈ G
için
fonksiyonu
da homeomorzmann sa§ öteleme fonksiyonu denir.
Teorem 7.1.1.
spat.
G
Lg
ve
Rg
bir homeomorzmdir.
Lg : G → G, ∀x ∈ G
Lg (x) = g.x
için
fonksiyonunu ele alalm.
topolojik grup oldu§undan
f : G × G −→ G (g, x) 7→ f (g, x) = g.x
fonksiyonu süreklidir.
Lg (x) = f |{g}xG
oldu§undan
Lg
fonksiyonu sürek-
lidir.
Lg (x1 ) = Lg (x2 ) ⇒ g.x1 = g.x2 ⇒ g −1 (g.x1 ) = g −1 (g.x2 ) ⇒ x1 = x2
dolasyla
Lg ,
1−1
dir.
∀y ∈ G
için
x = g −1 .y ∈ G
oldu§undan
Lg
örtendir.
(Lg )−1 = Lg−1
oldu§unu iddia ediyoruz. Gerçektende
Lg−1 oLg (x) = g −1 (g.x) = x = I(x)
Lg oLg−1 (x) = g(g −1 .x) = x = I(x)
Lg−1 : G → G, ∀x ∈ G için Lg−1 (x) = g −1 .x fonksiyonunu verilsin.
(Lg )−1 = f |{g−1 ×G} oldu§undan (Lg )−1 = Lg−1 fonksiyonu süreklidir.
dir.
Benzer ³ekilde
Rg
Sonuç 7.1.1.
G
Rg (U ), G
nin de homeomorzm oldu§u gösterilebilir.
topolojik grup,
g ∈G
de açk alt kümelerdir.
78
ve
U, G
de açk ise
Lg (U )
ve
Tanm 7.1.4.
A
ve
B, G
topolojik grubunun iki alt kümesi olsun.
(a)
A.B = {x.y : x ∈ A, y ∈ B}
(b)
x.A = {x}.A = {x.a : a ∈ A}
(c)
A−1 = {a−1 : a ∈ A}
(d)
A = A−1
ise
A
ya
G
de simetriktir denir.
G topolojik grup, F, U, P ⊂ G ve F kapal, U açk, P
−1
−1
key bir küme, g ∈ G olsun. F g, gF, F
kapal kümelerdir. U P, P U, U
Teorem 7.1.2.
açk kümelerdir.
Lg : G → G, ∀x ∈ G için Lg (x) = g.x ve Rg : G → G,
∀x ∈ G için Rg (x) = x.g dönü³ümleri homeomorzmdir. F kapal ise
Lg (F ) = g.F ve Rg (F ) = F.g kümeleri de Lg ve Rg homeomorzma
−1
oldu§undan kapaldr. f : G → G, ∀x ∈ G için f (x) = x
fonksiyonu
−1
homeomorzmdir. F kapal oldu§undan f (F ) = F
de f homeomorzma oldu§undan kapaldr. U açk oldu§undan Lg (U ) ve Rg (U ) açktr.
[
[
UP =
U.g (g ∈ P ) ve PU =
g.U (g ∈ P)
spat.
f (U ) = U −1
kümeleri açktr.
U
açk oldu§undan
Önerme 7.1.3.
G
bir topolojik grup olsun.
(a)
G
(b)
H , G nin topolojik alt grubu ise H
nin açk topolojik alt grubu
H
de açktr.
ayn zamanda kapaldr.
da
G nin topolojik alt grubudur.
spat.
(a)
H, G
H = H oldu§unu göstermeliyiz. Her zaman H ⊂ H . . . (1) olur. p ∈ H olsun. p.H , p
nin bir kom³ulu§u oldu§undan p.H ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda
p.h1 = h2 olacak ³ekilde h1 , h2 ∈ H vardr. O halde p ∈ H dr.
H ⊂ H . . . (2) elde edilir. (1) ve (2) den H = H olur. Bu da H n
nin açk topolojik alt grubu olsun.
kapal oldu§unu ifade eder.
(b)
H, G
nin topolojik alt grubu olsun.
oldu§unu göstermek için
x−1 ∈ H
∀x, y ∈ H
oldu§unu göstermeliyiz.
79
H
n
için
G nin topolojik alt grubu
x.y ∈ H ve ∀x ∈ H için
i.
∀x, y ∈ H
W x.y nin kom³ulu§u olsun. U.V ⊂ W olax ∈ U , y ∈ V kom³uluklar vardr. x ∈ H ise
U ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda h1 ∈ U ∩ H vardr. Benzer
³ekilde y ∈ H ise V ∩ H 6= ∅ olur. Bu durumda h2 ∈ V ∩ H
vardr. h1 .h2 ∈ U.V ve h1 .h2 ∈ H ise U.V ∩ H 6= ∅ olur. Bu
durumda W ∩ H 6= ∅ elde edilir. Buradan x.y ∈ H bulunur.
x ∈ H olsun. x in her U kom³ulu§u için U ∩ H 6= ∅ dr.
U −1 = {x−1 : x ∈ H} ve U −1 ∩ H 6= ∅ oldu§undan x−1 ∈ H
olsun.
cak ³ekilde
ii.
olur.
H
bir topolojik alt grupdur.
Önerme 7.1.4.
(a)
V
nin
G
G
bir topolojik grup olsun.
de açk (kapal) olmas için gerek ve yeter ³art
V −1 'in G
de açk (kapal) omlasdr.
(b)
e∈U
olmak üzere
olacak ³ekilde
V
U, G
V = V −1
e ∈ V dir
de açk olsun.
açk kümesi vardr ve
ve
V ·V ⊂U
spat.
(a)
f : G −→ G g 7→ f (g) = g −1 dönü³ümü homeomorzm
f ◦ f = 1G oldu§unda sonuç kolayca elde edilir.
(b)
p : G × G −→ G dönü³ümü sürekli oldu§undan p−1 (U ), G × G de
−1
açk ve (e, e) ∈ p (U ) dir. Dolasyla, V1 · V2 ⊂ U olacak ³ekilde
V1 ve V2 açklar var ve e ∈ V1 , e ∈ V2 dir. Bir önceki ksmdan,
V1−1 , V2−1 açktr. Böylece V = V1 ∩ V2 ∩ V1−1 ∩ V2−1 ayn zamanda
−1
açktr. e ∈ V ve V = V
, V · V ⊂ V1 · V2 ⊂ U dir.
Lemma 7.1.1.
ve
G bir topolojik grup olsun. G nin Housdor olmas için
{e} nin kapal olasdr.
gerek ve yeter ³art
spat.
{e}
(⇒) G Housdor olsun. Her tek noktal küme kapal oldu§undan
kapaldr.
(⇐) {e} kapal olsun. Her g
e 6= g nin ayrk
açklarnn var oldu§unu
ve g ∈
/ U olacak ³ekilde
−1
bir U açk vardr. Bir önceki önermenin ikinci bölümünden, V = V
ve V · V ⊂ U olacak ³ekilde V açk kümesi vardr ve e ∈ V dir. “imdi
g ∈ gV dir. V ∩ gV nin bo³ oldu§unu iddia ediyoruz. h ∈ V ∩ gV
oldu§unu varsyalm. O zaman h = gh1 , h1 ∈ V dir. Dolasyla, g =
hh−1 ∈ V · V ⊂ U olur. Bu bir çeli³kidir.
Lg ({e}) = g
gösterecegiz. e ∈ U
için
80
kapaldr.
Teorem 7.1.3.
G
bir topolojik grup olmak üzere a³a§dakiler denktir:
(a)
G, T0 -uzaydr.
(b)
G, T1 -uzaydr.
(c)
G, T2 -uzaydr.
Teorem 7.1.4.
G
topolojik grubu regülerdir.
spat. A³a§daki aksiyomu sa§layan
X
topolojik uzayna regüler uzay
denir;
x∈
/ F için ∃F ⊂ U açk, ∃x ⊂ V açk : U ∩ V = ∅."
F kapal ve e ∈
/ F olsun. Bu durumda e ∈ G/F dir. G topolojik grup
−1
oldu§undan V
V ⊂ G/F olacak ³ekilde e nin V kom³ulu§u vardr.
V −1 V ∩ F = ∅ ⇒ V ∩ V.F = ∅. Böylece U = V.F dir ve sonuçta G
"F
⊂X
kapal,
regülerdir.
Not 7.1.1. Bir topolojik grubun bölüm grubu topolojik grup olmak
zorunda de§ildir. Normal alt grup ise topolojik gruptur.
G
Teorem 7.1.5.
(a)
bir topolojik grup,
ϕ : G → G/N sürekli
N, G
nin normal alt grubu olsun.
ve açk homomorzmadr.
(b) Bölüm topolojisi ile donatlan
G/N
topolojik gruptur.
spat.
(a)
ϕ : G → G/N
bölüm dönü³ümü oldu§undan süreklidir.
U ⊂ G
açk olsun.
ϕ−1 (ϕ(U )) = {x : x ∈ U N = U } = U N
açktr.
ϕ
sürekli oldu§undan
açk oldu§undan
(b)
ϕ
ϕ(U )
da açktr.
U
açk iken
ϕ(U )
açk dönü³ümdür.
ψ : G/N ×G/N → G/N (x, y) 7→ x.y −1 dönü³ümü sürekli midir?
x.y −1 elemannn açk kom³ulu§u W olsun. ϕ−1 (W ), G de açktr
−1
ve x.y
∈ ϕ−1 (W ) dur. G topolojik grup oldu§undan
x.y −1 ∈ U V −1 ⊂ ϕ−1 (W )
olacak ³ekilde
x ∈ U, y ∈ V
kom³uluklar vardr.
x.y −1 ∈ ϕ(U )[ϕ(V )]−1 ⊂ ϕ(ϕ−1 (W )) = W
81
dr.ϕ açk dönü³üm oldu§undan
ϕ(U )
ve
[ϕ−1 (V )]−1 = ϕ(V −1 )
de
açktr.
ψ −1 (W ) = {(x, y) : x ∈ ϕ(U ), y ∈ ϕ(V −1 )},
ψ
süreklidir.
Tanm 7.1.5.
G
ve
K
iki topolojik grup olsun.
f : G −→ K dön³ümü
G ve K Topolo jik
hem grup izmorzmi hemde homeomorzme ise
olarak izomorftur denir. Böyle dön³üme de topolo jik izomorzma
denir.
Örnek 7.1.5.
ve
G
G = K = (R, +)
K üzerinde standart topoloji
1 : (R, +, τd ) −→ (R, +, τs ) birim
grup ve
üzerinde diskrit topoloji olsun.
dön³ümü sürekli, izomorzmdir fakat tersi sürekli olmad§ndan bu dön³üm
topolojik izomorzma de§ildir.
G herhangibir topolojik grup ve g ∈ G olmak üzere π :
h 7→ π(h) = ghg −1 dönü³ümü bir topolojik izomorzmadr.
Örnek 7.1.6.
G −→ G
K Housdor olmak üzere π : G −→ K
Ker(π) G'nin kapal, normal altgrubudur.
Not 7.1.2.
zma ise
π : G −→ K
Önerme 7.1.5.
homorzmas
e de sürekli ise π
π : G −→ K homorzmas e de sürekli
U aç§ için π −1 (U ), G de açktr.
spat.
e
nin
W,
“imdi
K
π(U ) ∩ W
da açk olsun.
sürekli homomor-
süreklidir.
olsun O zaman
bo³ küme ise
K
daki
π −1 (W )
bo³
π(g) = k olacak ³ekilde
g ∈ G bir elemann var oldu§unu varsayalm. Böylece k −1 W , K daki
e nin bir açk kom³ulu§udur. Dolasyla π −1 (k −1 W ) açktr. Bu nedenle
π −1 (W ) = gπ −1 (k −1 W ) açktr.
küme olcaktr ve dolasyla açktr. Bu nedenle
π : G −→ K sürekli homomorzma
π̃ : G/H −→ K bir sürekli homomorzmadr.
Önerme 7.1.6.
olsun.
Önerme 7.1.7.
Kerπ
olsun.
π
π : G −→ K
ve
H = Kerπ
sürekli örten homomorzma ve
bir açk dönü³üm ise
π̃ : G/H −→ K
H =
bir topolojik
izomorzmadr.
spat.
π̃
nn tersnin sürekli oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
Buda
π̃
G/H
açk ise
nn açk olmasna denktir.
−1
gerek ve yeter ³art V = q (U ),
π̃(U ) = π(V ), K
U
G
nun
da açk olmas için
de açk olmasdr. Böylece
da açktr.
82
G/H
U,
t 7→ π(t) = e2πit ³eklinde tanml
dönü³üm sürekli homomorzma ve Kerπ = Z . Önermeden, π̃ : R/Z −→
S 1 bir topolojik izomorzmadr.
Örnek 7.1.7.
Teorem 7.1.6.
π(R, +) −→ S 1
GL(n)
bir topolojik gruptur.
M , nxn tipindeki reel de§i³kenli matrislerin kümesi
M ⊂ R , A = (aij ) olarak alalm. A = (aij ) matrisini
spat.
olsun.
A∈
n2
(a11 , a12 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , an1 , an2 , . . . , ann ) ∈ Rn
2
formunda dü³ünebiliriz.
f :M ×M →M
(A, B) 7→ f (A, B) = A.B
f fonksiyonu süreklidir.PÇünkü A = (aij ), B =
f (A, B) = A.B nin ij−inci bile³eni nk=1 aik bkj = cij dir.
³eklinde tanimlanan
(bij )
ise
πij : M → R (a1n , . . . , ann ) 7→ πij (a1n , . . . , ann ) = aij
fonksiyonu süreklidir.
f
ve
πij
fonksiyonlar sürekli oldu§undan
πij of : M × M → R
(A, B) 7→ πij of (A, B) = cij
GL(n) ⊂ M alalm. GL(n) için altuzay topolojisi
πij ◦ f dönü³ümleri sürekli oldu§undan
fonksiyonu süreklidir.
olu³turulur.
πij
ve
f : GL(n) × GL(n) −→ GL(n)
dönü³ümü süreklidir.
Adj(A)
g : GL(n) → GL(n)
ve
Aij
dönü³ümleri sürekli oldu§undan
A 7→ g(A) = A−1 =
dönü³ümü süreklidir. Burada
silip
detA
(A, B) 7→ f (A, B) = A.B
Adjoint(A), A
1
.Adjoint(A)
detA
matrisinin
aij
elemann
kofaktörünü yazp ve elde edilen matrisin transpozesinialmak
suretiyle elde edilen matristir.
GL(n) kompakt de§ildir.
spat. f : M → R, f (A) = detA fonksiyonu süreklidir. {0} ⊂ R
2
−1
de kapal, R − {0} ⊂ R de açk f
(R − {0}) = GL(n) ⊂ Rn açkn
tr. Henri-Borel teoremine göre A ⊂ R nin kompakt olmas için
gerek ve yeter ³art A nn snrl ve kapal olmasdr. Bu durumda
GL(n) kompakt de§ildir.
Özellikler 7.1.1.
(a)
83
(b)
GL(n)
ba§lantl de§ildir.
K = {A ∈ GL(n) : detA > 0}, L = {A ∈ GL(n) : detA <
0}, f : M → R için f −1 ((0, ∞)) = K , f −1 ((−∞, 0)) = L dir.
GL(n) = K ∪ L, K ∩ L = ∅ dir. Bu durumda GL(n) ba§lantl
spat.
de§ildir.
(c)
O(n)
SO(n)
ve
kapal alt gruplar
GL(n)
nin kompakt alt gru-
plardr.
P
A ∈ O(n) için A.ATP= I , 1 ≤ i, k ≤ n, nj=1 aij akj = δik
n
ve fik : M → R, fik (A) =
j=1 aij akj = δik olsun. {0}, {1} ⊂ R
−1
−1
kapallar için fik ({0}) ve fii ({1}) 1 ≤ i ≤ n kümeleri kapaldr.
Bu kümelerin arakesiti O(n) yi verir. Buradan da O(n) nin kapal
spat.
oldu§unu söyleyebiliriz.
A.AT = I ⇒ det(A.AT ) = detI = 1 ⇒ detA.detAT = 1
⇒ (detA)2 = 1 ⇒ |aij | < 1.
O halde
O(n)
snrldr.
O(n)
kapal ve snrl oldu§undan
O(n)
kompakttr.
SO(n), O(n)
in kapal alt kümesidir. Kompakt uzaylarn kapal alt
uzaylar da kompakt oldu§undan
(d)
SO(2) ≈ S
1
f
1
a −b
∀
∈ SO(2)
b a
f : SO(2) → S ,
a −b
= a + ib ∈ S 1
b a
Teorem 7.1.7.
X
X→Y
bijektif ise
O halde
f
7.2
kompakttr.
dir.
spat.
SO(n)
olsun.
kompakt,
f
Y
f,
için
1-1 ve örtendir.
Hausdor uzay olmak üzere
f :
homeomorzmadr."
homeomorzmdir.
Grup Hareketi ve Orbit Uzaylar
G bir topolojik grup ve X bir topolojik uzay olsun. A³a§mevcut ise G, X üzerinde (soldan) hareket ediyor denir.
Tanm 7.2.1.
dakiler
(a)
GxX → X dönü³ümü
(g, x) → gx
(b)
∀g, h ∈ G, ∀x ∈ X
süreklidir.
için
hg(x) = h(g(x))
84
dir.
(c)
e∈G
ve
∀x ∈ X
için
ex = x
dir.
Tanm 7.2.2.
(a)
O(x) = {gx : g ∈ G}
(b)
Gx = {g ∈ G | gx = x}
kümesine
x
elemann orbiti denir.
kümesine
x
elemann stablizer grubu
denir.
(c) Herhangi
G'nin X
(d) Bir
x
x, y ∈ X
gx = y
için
olacak ³ekilde bir
g ∈ G
varsa
üzerindeki harakete transitiidir denir
için
gx = x
g = e
iken
oluyorsa,
G'nin X
üzerindeki
harakete serbest (yada yar-regüler) denir.
(e)
G'nin X
üzerindeki haraketi hem transitii hemde serbest ise bu
harakete regülerdir denir
Örnek 7.2.1.
(a)
Z × R → R (n, x) 7→ n + x
O(x) = {n + x : n ∈ Z} = R/Z ≈ S 1 ⇒ O(x) = S 1
(b)
Z2 × S 1 → S 1 (−1, x) 7→ −x (1, x) 7→ x
O(x) = {−x, x} = S n /Z2 ≈ Rpn ⇒ O(x) = Rpn
(c)
α : R × R −→ R
β : R × R −→ R
(x, y) 7→ (x + 1, y)
(x, y) 7→ (1 − x, y + 1)
olmak üzere α ve β dönü³üm³eri tatafndan üretilen grup
G, R2 üzerinde hareket etmektedir. Yani
G × R2 −→ R2
(α, z) 7→ α(z)
(β, z) 7→ β(z).
Dolasyla orbit uzay
(d)
Z×Z
grubu,
R×R
O(x) = R2 /G ≈ Kb
üzerinde hareket eder.
Z2 × R2 −→ R2
(m, z) 7→ m + z.
Dolasyla orbit uzay
O(x) = R2 /Z2 ≈ S 1 × S 1 ≈ T
85
G olsun.
(e)
(x − 3)2 + z 2 = 1 çemberinin z -ekseni etrafnda dönmesiyle elde
edilen yüzey T torudur.
α1 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (x, −y, −z) olmak üzere G1 grubu α1
tarafndan üretilen bir grup olsun.
α2 : R3 −→ R3
(x, y, z) 7→ (−x, −y, z)
olmak üzere
G2
grubu
α2
tarafndan üretilen bir grup olsun.
α3 : R3 −→ R3 (x, y, z) 7→ (−x, −y, −z) olmak üzere G3 grubu
α3 tarafndan üretilen bir grup olsun.
3
Her i = 1, 2, 3 için Gi gruplarnn R üzerinde hareketleri vardr.
3
2
Orbit uzaylar R /G1 ≈ S ,
R3 /G2 ≈ T R3 /G1 ≈ Kb
G, Housdor topoljik uzay X
Gx , x elemanndaki stablizer grubunu göstermek
Teorem 7.2.1. Kompakt topolojik grup
üzerinde hareket etsin.
üzere
φ : G/Gx −→ O(x)
gGx 7→ gx
³eklinde tanmlanan dönü³üm bir homeomorzmadr.
spat. Dönü³ümün sadece bijektif oldu§unu göstermemiz yeterlidir.
φ(g1 Gx ) = φ(g2 G)
olsun. Bu durumda
g1 x = g2 x
ve böylece
g1−1 g2 ∈ Gx
dir. Dolasyla
g1 Gx = g2 G
yani
φ
injektiftir. sürjektiik kolayca gösterilece§inden ödevdir.
7.3
Lie Gruplar
Tanm 7.3.1.
lu§u
Rn
M
Hausdor topolojik uzayna ait her noktann kom³u-
ye homeomorf ise
Tanm 7.3.2.
M
M
ye n-topolojik manifold denir.
Hausdor ve 2. saylabilir topolojik uzay olsun. A³a§-
daki özellikelliklere sahip dönü³ümler koleksiyonu ile birlikte
M
uzayna
smooth n-manifold (diferansiyellenebilir n-manifold) denir.
(a)
U ⊂ M , V ⊂ Rn
açk kümeler olmak üzere
φ:U →V
homeomorzmdir. (Bu dönü³ümlere harita denir.
(b)
x ∈ M, φ
nin tanim kümesinde olmaldr.
86
dönü³ümü
(c)
φ : U → U 0 ve ψ : V → V 0 haritalar için φ ∩ ψ −1 : ψ(U ∩ V ) →
φ(U ∩ V ), C ∞ snfndadr. (Bu dönü³üm her mertebeden sürekli
ksmi türevlere sahiptir.
(d) Harita koleksiyonu maksimal olacaktr.
Tanm 7.3.3.
harita
ϕ ve N
M
ve
N
iki smooth n-manifold olsun. M üzerindeki
ψ için ψ of oφ−1 smooth ise f : M → N
üzerindeki harita
dönü³ümüne smooth dönü³üm denir.
Tanm 7.3.4.
G
diferensiyellenebilir manifold ve
G
bir grup olsun.
E§er
αG : G × G −→ G
(g, h) 7→ αG (g, h) = g.h−1
dönü³ümü diferensiyellenebilir ise
G
ye lie grup denir.
Not 7.3.1. Baz kitaplarda bu tanim ³u ³ekilde verilir;
lenebilir manifold ve
(a)
(b)
G × G −→ G
G −→ G
G
diferensiyel-
bir grup olsun.
(g, h) 7→ g.h diferensiyellenebilir
g 7→ g
G
−1
diferensiyellenebilir
ise
G
ve
ye lie grup denir.
Örnek 7.3.1.
(a)
Rn
bir lie gruptur. Çünkü
Rn
bir diferensiyellenebilir manifold ve
dönü³ümü
αRn : Rn × Rn −→ Rn (x, y) 7→ αRn (x, y) = x − y
diferensiyellenebilirdir.
(b)
GL(n, R), SL(n, R), SO(n, R), O(n, R)
(c)
nxn
tipindeki üst üçgen matrislerin kümesi bir lie gruptur.
(d) Exceptional lie gruplar:
(e)
birer lie gruptur.
S 0, S 1, S 3
G2 , F4 , E6 , E7 , E8
dir.
bunun üzerine bölüm yaps olu³turuyoruz. “öyle ki
mutlak de§eri 1 olan reel saylar, kompleks saylar, quaternion ...
S 0 = RN, S 1 = R2 N, S 3 = R4 N sadece bunlar lie gruplardr.
(f ) Heisenberg gruplar lie gruptur.
(g) Lorentz gruplar lie gruptur.
(h)
U (1)xSU (2)xSU (3)
lie gruptur.
(i) Metaplectic grup bir lie gruptur.
Lemma 7.3.1.
87
(a) ki lie grubunun çarpm da lie gruptur.
(b) Lie grubunun kapal alt grubu lie gruptur.
(c) Lie grubunun kapal normal alt grubu ile olu³turulan bölüm grubu
bir lie gruptur.
(d) Ba§lantl lie grubunun evrensel örtüsü lie gruptur.
Lie Gruplarnn Snandrlmas:
(a) Cebirsel özellik (Basit, Yar basit, Çözülür, Nilpotent, Abel)
(b) Ba§lantllk
(c) Kompaktlk
7.4
Lie Cebirleri
Tanm 7.4.1.
k
karakteristi§i sfr olan bir cisim olmak üzere
A
bu
cisim üzerinde bir vektör uzay olsun. A³a§daki özellikleri sa§layan
i³lem
[, ] : A × A −→ A (x, y) 7→ [x, y]
ile birlikte
A
vektör uzayna Lie Cebiri denir;
(a)
∀x ∈ A
(b)
∀x, y, z ∈ A
için,
Örnek 7.4.1.
(a)
[x, x] = 0.
için,
[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0.
[A, B] = 0
Rn
bir
GL(n, R)
bir
olmak üzere bu i³lem ile birlikte
Lie cebiridir.
(b)
[A, B] = AB − BA
olmak üzere bu i³lem ile birlikte
Lie cebiridir.
(c)
X, M
üzereinde tanml diferansiyellenebilir fonksiyonlarn kümesi
olsun.
[X, Y ] = XY −Y X
Tanm 7.4.2.
i³lemine göre bu küme bir Lie cebiridir.
A ve B Lie cebirleri olamk üzere ϕ([x, y]) = [ϕ(x), ϕ(y)]
ϕ : A −→ B morzmine Lie cebir morzmi denir
özelli§ini sa§layan
7.5
(a)
Al³trmalar
G indiskret topolo ji ile donatlm³ bir grup ise gösteriniz ki G bir
topolo jik gruptur.
88
(b) Bir G topolo jik grubunun alt uzay topolo jisi ile donatlm³ tüm
altgruplar da topolojik grup olur mu? Açklaynz.
(c)
G = (Z2 , +) toplamsal grubunun üzerinde τG = {∅, {0}, G} topolojisi tanmlanm³ olsun. G bir topolojik grup olur mu? Açklaynz.
(d) G topolojik grup ve
Rg (h) = hg
g ∈G
olsun.
³eklinde tanml
Rg
Rg : G −→ G
ve
∀h ∈ G
için
dönü³ümünün bir homeomorzm
oldu§unu gösteriniz.
(e) G bir topolojik grup ve
için
f (h) = ghg −1
g ∈ G
olsun.
f : G −→ G
ve
∀h ∈ G
bir topolo jik izomorzmdir. Gösteriniz. (yol
gösterme : f nin bir grup homomorzmas ve homeomorzm oldu§unu
görünüz.)
(f )
G = (R, τdisk , +) ve K = (R, τs , +) olsun. G ve K nn birer topolojik grup oldu§unu gösterin. Bu iki uzay topolojik olarak izomork
olur mu? Açklaynz.
(S 1 , τS 1 , ·) nin
1
bir topolo jik grup oldu§unu gösterin. f : (R, τS , +) −→ (S , τS 1 , ·)
(R,+) ∼
2πit
dönü³ümü ∀t ∈ R için f (t) = e
³eklinde tanml³ansn.
=
Z
1
S , · topolo jik izomorzm oldu§unu gösteriniz. (yol gösterme : Kerf
·
(g) " " kompleks saylarda çarpma i³lemini göstersin.
= Z oldu§unu görünüz ve birinci izomorzma teoremini gerçekleyiniz.)
89
Bölüm 8
SMPLEKSLER
8.1
Ane Uzaylar
Tanm 8.1.1.
A
oluyorsa
A'ya
Tanm 8.1.2.
için
x
ve
y
A bir küme olsun. ∀x, y ∈ A, t ∈ [0, 1] için (1−t)x+ty ∈
konveks küme denir.
A, Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun. ∀ farkl x, y ∈ A
A'da bulunuyorsa A' ya ane
tarafndan olu³turulan do§ru
alt küme denir.
Not 8.1.1.
(a) Ane alt kümeler konvekstir.
(b) Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir.
Teorem 8.1.1.
olsun. O zaman
{Xj }j∈J
T
j∈J Xj
,
Rn
e ait konveks (ane) alt kümeler ailesi
konveks alt uzaydr.
spat:
x, y ∈
\
Xj
(x 6= y)
j∈J
∀j ∈ J için x, y ∈ Xj 'dir. ∀j ∈ J için Xj ler konveks alt küme
oldu§undan; ∀j ∈ J için (1 − t)x + ty ∈ Xj 'dir. O halde (1 − t)x + ty ∈
T
j∈J Xj 'dir.
olsun.
Tanm 8.1.3.
X, Rn 'in
bir alt kümesi olsun.
konveks kümelerin arakesitine
Tanm 8.1.4.
X 'in
X 'i
içeren
Rn 'e
ait tüm
konveks hull'u denir.
• p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , pm nok-
talarnn ane kombinasyonu
x = t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
m
X
i=1
90
ti = 1
³eklinde tanmlanr.
• p0 , p1 , . . . , pm
onudur öyleki
noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasy-
ti ≥ 0, i = 0, . . . m'dir.
t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
m
X
Yani
ti = 1 ve ti ≥ 0,
i = 0, . . . , m.
i=1
Örnek 8.1.1.
x, y
noktalarnn konveks kombinasyonu
(1 − t)x + ty,
t ∈ [0, 1]
formundadr.
p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , pm noktarafndan gerilen [p0 , . . . , pm ] konveks küme, p0 , . . . , pm nokta-
Teorem 8.1.2.
talar
larnn konveks kombinasyonlarn kümesidir.
spat:
S,
tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin.
S = [p0 , p1 , . . . , pm ] e³itli§ini göstermemiz gerekir. lk önce [p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂
S oldu§unu gösterelim. Bunun için S 'nin p0 , . . . , pm noktalarn içeren
konveks küme oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
• tj = 1
ve di§eleri için
tj = 0
olsun. Bu durumda;
m
X
t0 p0 + · · · + tj pj + · · · + tm pm ;
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, ..., m
i=0
ve dolasyla
⇒ ∀j
için
pj ∈ S .
•
α=
m
X
ai p i ,
β=
i=0
(1 − t)α + tβ ∈ S
m
X
bi p i ∈ S
(ai , bi ≥ 0;
X
ai = 1;
X
bi = 1) olsun.
i=0
oldu§unu iddia ediyoruz.
(1−t)α+tβ = (1−t)
m
X
ai pi +t
i=0
m
X
i=0
91
bi p i =
m
X
i=0
((1−t)ai +tbi )pi ∈ S
çünkü
m
m
X
X
(1 − t)ai + tbi = (1 − t)
bi = 1,
i=0
i=1
Bunun sonucunda
[p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂ S .
S ⊂ [p0 , p1 , . . . , pm ]
X,
p0 , . . . , p m
ba§ntsn gösterelim.
noktalarn içeren bir konveks küme ise
üzerinde tümevarm ile
• m=0
için
• m>0
olsun.
S⊂X
m ≥ 0
oldu§unu gösterelim.
S = p0 'dr.
ti ≥ 0
ve
Pm
p = p0
P
= 1 ise p = m
i=0 ti pi X e
t0 6= 1 oldu§unu varsayabiliriz. Aksi
i=0 ti
ait olup olmad§n görelim.
halde
(1 − t)ai + tbi ≥ 0.
olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm
hipotezinden
t2
tm
t1
p1 +
p2 + · · · +
pm ∈ X
1 − t0
1 − t0
1 − t0
q=
p = t0 p0 + (1 − t0 )q ∈ X
S ⊂ X 'dir.
ve böylece
Sonuç olarak
S = [p0 , . . . , pm ]
Sonuç 8.1.1.
çünkü
X
konvekstir. Dolasyla
e³itli§ini elde ederiz.
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
noktalar olsun.
{p0 , ..., pm }
noktalarnn gerdi§i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu
içerir.
Tanm 8.1.5.
Rn 'de {p0 , . . . , pm }
noktalarnn sral kümesini ele
alalm.
{p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 } kümesi Rn vektör uzaynn lineer
ba§msz alt uzay ise {p0 , p1 , . . . , pm } sral kümesine an ba§mszdr denir.
Not 8.1.2. (a)
Rn 'nin
lineer ba§msz alt kümesi an ba§msz
kümedir. Tersi do§ru de§ildir çünkü orijin ile birlikte lineer
ba§msz küme ane ba§mszdr.
(b) Tek noktal küme
üzere
p i − p0
{p0 }
an ba§mszdr çünkü
formunda noktalar yok ve
ba§mszdr.
92
φ
i 6= 0
olmak
bo³ kümesi lineer
(c)
p1 −p0 6= 0 olmas durumunda {p0 , p1 } kümesi an ba§mszdr
.
(d)
{p0 , p1 , p2 , }
noktalar ayn do§ru üzerinde de§ilse
{p0 , p1 , p2 }
an ba§mszdr.
(e)
{p0 , p1 , p2 , p3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de§ilse {p0 , p1 , p2 , p3 }
an ba§mszdr.
Teorem 8.1.3.
{p0 , . . . , pm }, Rn 'de sral küme olsun. A³a§dak-
iler denktir:
(a)
(b)
{p0 , . . . , pm } an ba§mszdr.
{s0 , . . . , sm } ⊂ R kümesi
m
X
m
X
si pi = 0 ve
i=0
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
(c)
si = 0
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
A, {p0 , . . . , pm } tarafndan gerilen an küme olmak üzere ∀x ∈
A eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
t i pi
m
X
ve
i=0
Teorem 8.1.4.
{p0 , . . . , pm },
ti = 1.
i=0
Rn 'de
sral küme olsun. A³a§dakiler
denktir:
(a)
{p0 , . . . , pm }
(b)
{s0 , . . . , sm } ⊂ R
an ba§mszdr.
kümesi
m
X
si pi = 0 ve
i=0
A, {p0 , . . . , pm }
si = 0
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
(c)
m
X
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
tarafndan gerilen an küme olmak üzere
∀x ∈ A
eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
t i pi
i=0
spat 8.1.1.
R
kümesi
ve
m
X
ti = 1.
i=0
1) ⇒ 2) : {p0 , p1 , ..., pm } an ba§msz olsun. {s0 , ..., sm } ⊂
m
X
si pi = 0 ve
i=0
m
X
i=0
93
si = 0
e³itsizliklerini sa§lasn.
m
X
si pi =
i=0
i = 1, . . . , m
m
X
m
m
X
X
si pi − (
si )p0 =
si (pi − p0 ) = 0
i=0
i=0
i=0
pi − p0 lineer ba§msz çünkü {p0 , . . . , pm }
s1 = s2 = · · · = sm = 0'dr.
için
sz. O halde;
m
X
an ba§m-
si = 0
i=0
oldu§undan
2) ⇒ 3) :
s0 = 0'dr.
x ∈ A alalm.
5.1.1
Sonuç
x ∈ A eleman
x ∈ A elemann tek
den dolay
kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece
ane
türlü
ifade edildi§ni gösterelim.
x=
m
X
m
X
t i pi ,
i=0
ve
x=
m
X
ti = 1
i=0
t0i pi ,
i=0
m
X
t0i = 1
i=0
oldu§unu varsayalm.
m
X
ti pi =
i=0
m
X
t0i pi ⇒
i=0
3) ⇒ 1) :
∀x ∈ A
m
X
(ti − t0i )pi = 0 ⇒ ∀i, ti − t0i = 0 ⇒ ∀i, ti = t0i .
i=0
eleman
{p0 , p1 , ..., pm }
noktalarnn an kombi-
{po , . . . , pm }
{p1 − p0 , p2 −
nasyonu olarak tek türlü ifade edildi§ini varsayalm. Yani
kümesinin an ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Yani;
p0 , . . . , pm − p0 } lineer ba§msz oldu§unu göstermeliyiz.
Varsayalm ki {p1 − p0 , . . . , pm − p0 } lineer ba§ml olsun.
m
X
O halde;
ri (pi − p0 ) = 0
i=0
iken
ri
pj ∈ A
(hepsi sfr de§il) vardr.
rj 6= 0
ise
pj = 1.pj
94
olsun.
rj = 1
alalm.
pj = −
X
ri pi + (
i6=j
pj
X
ri + 1)p0
i6=j
iki türlü ifade edilemeyece§inden çeli³ki.
O halde
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
{p0 , . . . , pm }
Sonuç 8.1.2.
lineer ba§mszdr.
sral küme olsun. An ba§mszlk bu kü-
menin bir özellikelli§idir.
{a1 , . . . , ak }, Rn 'de bir küme olsun. Bu kümenin (n+1)
ba§msz küme olu³turuyorsa, {a1 , . . . , ak } kümesi genel
Tanm 8.1.6.
eleman an
pozisyondadr denir.
Not 8.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli§i
{a1 , a2 , . . . , ak }, Rn 'de
• n = 1
{ai , aj }
için
n
saysna ba§ldr.
genel pozisyon olsun.
an ba§msz olmaldr. Yani tüm noktalar
farkl olmal.
• n=2
için üç nokta kolineer olmamaldr.
• n=3
için dört nokta kodüzlem olmamaldr.
Teorem 8.1.5.
∀k ≥ 0
için
Rn
Euclid uzay genel pozisyonda
k
tane
noktas vardr.
Tanm 8.1.7.
A'da bu alt
5.1.3'den
Rn 'de
{p0 , p1 , . . . , pm },
an ba§msz alt küme olsun.
küme tarafndan gerilen bir an küme olsun.
x=
m
X
ti pi ,
i=0
m
X
x∈A
ise teo
ti = 1.
i=0
(t0 , t1 , . . . , tm ), (m+1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinat
denir.
p0
p1
t0 = t1 =
1
2
p2
JJ
J
t0
"J
b
b "
"
"b
J
b
b J
""
b
b
J
"
p0
= t1 = t2 = 13 ,
p1
95
x = 13 (p0 + p1 + p2 )
p3
p2
"
"
"
""
""
"
p0
x = 14 (p0 + p1 + p2 + pj )
p1
1
Genel hali: m+1 (p0
+ · · · + pm ) = x
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de an ba§msz alt küme olsun. Bu
alt küme tarafndan gerilen konveks kümeye m-simpleks denir. [p0 , p1 , . . . , pm ]
ile gösterilir (pi 'ler kö³eler olarak adlandrlr).
Tanm 8.1.8.
Teorem 8.1.6.
m-simpleksinin
x=
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. Bu durumda [p0 , . . . , pm ]
x eleman;
her
m
X
ti pi ,
i=0
m
X
ti ≥ 0,
ti = 1,
i = 0, . . . , m
i=0
formunda tek türlü yazlr.
Tanm 8.1.9.
{p0 , p1 , . . . , pm }
an ba§msz olsun.
[p0 , . . . , pm ]
m-
simpleksinin baricentrik koordinat;
1
(p0 + p1 + · · · + pm ).
m+1
(t0 = t1 = · · · = tm =
1
)
m+1
Not 8.1.4. Barisentrik sözcü§ü a§rlk anlamanda barys yunanca ke-
limesinde gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a§rlk merkezi anlamndadr
Örnek 8.1.2.
• [p0 ]
barisentrik'i kendisidir.
1
(p + p1 )'dir.
2 0
[p0 , p1 , p2 ] 2-simpleksinin barisentrik'i 31 (p0 + p1 + p2 )'dir.
ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1 olmak üzere {e0 , e1 , . . . , en }
• [p0 , p1 ] 1-simpleksinin
•
•
an ba§mszdr.
barisentrik'i
[e0 , e1 , . . . , en ],
x=
n
X
i=0
96
ti ei
formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir.
[e0 , e1 , . . . , en ]'in
(t0 , t1 , . . . , tn )'dir.
p0 = (0, 0, 0, 0 . . . ) = e0 ,
p1 = (1, 0, 0, 0 . . . ) = e1 ,
p2 = (0, 1, 0, 0 . . . ) = e2 ,
p3 = (0, 0, 1, 0, . . . ) = e3 ,
......
barisentrik koordinat
6
v
a
aa
aa v Tanm
v
8.1.10. [p0 , p1 , . . . , pm ] bir
koordinatlar
pozitif olan
m-simpleks olsun. Tüm barisentrik
m-simplekse ait noktalrn kümesine açk k -
simpleks denir.
• Rn
Örnek 8.1.3.
bir açk
• Rn
e ait
p0 , p 1
noktalarn olu³turdu§u açk aralk
1-simplekstir.
e ait
p0 , p 1 , p 1
noktalarn olu³turdu§u üçgenin içi açk
2-
simplekstir.
Tanm 8.1.11.
[p0 , p1 , . . . , pm ]
bir
m-simpleks olsun. pi
noktasnn ters
yüzü
m
X
[p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm ] = {
t j pj
|
j=0
m
X
tj = 1,
tj ≥ 0}.
j=0
[p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde
tanmlanr.
s
0-simplekste
p0 'in
tersyüzü kendisi
p0
1-simplekste p1 'in
p0
tersyüzü
p1
97
p0 'dr.
p2
@
@
@
@
2-simplekste p2 'nin
@
p0
ters yüzü
p 0 p1
do§ru parças
p1
p3
@
@
@
@
p0 H H
@ 3-simplekste p0 'nin ters yüzü [p1 , p2 , p3 ] 2-simplekstir
p2
HH H
p1
Not 8.1.5.
(b)
(a) Bir
ii.
iii.
tane yüzü vardr.
[p0 , p1 , . . . , pm ] simpleksinin k -yüzü, k + 1
bir k -simplekstir.
S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ]
Teorem 8.1.7.
i.
m-simpleksin, m + 1
u, v ∈ S
ise
kö³e tarafndan gerilen
ile gösterilsin.
ku − vk ≤ Sup ku − pi k.
diam S = Sup kpi − pj k.
b, S 'nin
barisentrik'i ise
kb − pi k ≤
n
n+1
diam S.
spat:
i.
v=
n
X
ti pi ,
i=0
n
X
ti = 1,
i = 0, . . . , n olsun.
i=0
ku − vk = ku −
n
X
ti pi k = k(
i=0
=k
ti ≥ 0,
n
X
i=0
n
X
≤(
ti (u − pi )k ≤
n
X
i=0
n
X
ti )u −
n
X
kti (u − pi )k =
i=0
ti )Sup ku − pi k = Sup ku − pi k
i=0
ii.
ti pi k
i=0
Teoremin i ksmndan ve çap tanmndan,
ku − pi k ≤ Sup kpj − pi k0 dir.
98
n
X
i=0
ti ku − pi k
iii.
b=
1
n+1
Pn
j=0
pj
oldu§undan
n
1 X
kb − pi k = k
pj − pi k
n + 1 j=0
n
n
1 X
1 X
=k
pj −
pi k
n + 1 j=0
n + 1 j=0
n
1 X
=k
(pj − pi )k
n + 1 j=0
n
Tanm
1 X
≤
Sup kpj − pi k (i = j iken, kpj − pi k)
n + 1 j=0
n
n
≤
Sup kpj − pi k =
diam S
n+1
n+1
8.1.12. {p0 , . . . , pm } kümesi an ba§msz ve A, bu noktalarn
gerdi§i an küme olsun. An dönü³üm
T : A −→ R
k
m
X
m
m
X
X
t i pi −
7 → T(
t i pi ) =
ti T (pi ).
i=0
i=0
özelli§ini sa§layan bir fonksiyondur.
i=0
T 'nin S = [p0 , . . . , pm ]'ye
kst-
lan³ yine bir an dönü³ümdür.
Not 8.1.6.
(a) An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombi-
nasyonu korur.
(b) An dönü³üm, an ba§msz küme üzerinde ald§ de§erle belirlenebilir.
(c)
p0 , . . . , p m
noktalarnn bary centric koordinatn tekli§i bu tür
T
dönü³ümlerin varl§n gösterir.
[p0 , . . . , pm ] m-simpleks, [q0 , . . . , qn ] n simpleks ve
f : {p0 , . . . , pm } −→ [q0 , . . . , qn ] bir fonksiyon olsun. T (pi ) = f (pi ) olacak ³ekilde bir tek T : [p0 , . . . , pm ] −→ [q0 , . . . , qn ] dönü³ümü mevcuttur.
P
Pm
Y.G:
T( m
i=0 ti pi ) =
i=0 tf (pi )
Teorem 8.1.8.
8.2
Simpleksler Kompleksi
S = [v0 , v1 , . . . , vq ] q-simpleks olsun. Bu
V er(S) = {v0 , . . . , vq } ile gösterilsin.
kümesi
99
simplekslerin kö³elerinin
Tanm 8.2.1.
ne
S
S
V er(S 0 ) ⊂ V er(S) ise S 0
V er(S 0 ) ( V er(S) ise S 0 ne S
bir simpleks olsun. E§er
simpleksinin yüzü denir. E§er
simpleksinin has yüzü denir.
Tanm 8.2.2. Sonlu simpleksler kompleksi
K
a³a§daki özellikellikleri
sa§layan sonlu simpleksler kolleksiyonudur.
i.
ii.
s∈K
ise
s, t ∈ K
s
nin yüzü de
K
ya aittir.
ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki
simpleksin ortak yüzüdür.
K bo³ k§me ise K nn boyutu
simpleksler kompleksi K da m-simpleks var olacak ³ekilde
tam say ise K nn boyutu m dir.
Tanm 8.2.3. Bir simpleksler kompleksi
−1 dir. Bir
m en büyük
Örnek 8.2.1.
p0 = (0, 0, 0),
p1 = (1, 0, 0),
p2 = (1, 2, 0),
p3 =
(2, 3, 4)
p3
6
p0
@
R
@
@
@ p2
p1 Bu üçgen prizmann snrlar bir simpleksler kompleksi olu³turur.
~ 0-simpleksler:
σ10 = p0 , σ20 = p1 ,
σ30 = p2 ,
σ40 = p3
~ 1-simpleksler:
σ11 =< p0 , p1 >, σ21 =< p0 , p2 >,
p1 , p2 >,
σ51 =< p1 , p3 >, σ61 =< p2 , p3 >
~ 2-simpleksler:
σ12 =< p0 , p1 , p2 >,
σ42 =< p0 , p1 , p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ22 =< P1 , P2 , P3 >,
~ 3-simpleksler:
σ13 =< p0 , p1 , p2 , p3 >
100
σ41 =<
σ32 =< p0 , p2 , p3 >,
v5
Örnek 8.2.2.
v0
[v1 , v2 ] ∩ [v3 , v5 ] = [v3 ] → v3
JJ v
3
JH
J HH
H
H
J
→
v1
v2
→
v5
JJ
v
J3
J
J
v1J
JJ
v0
v2
ortak yüz de§ildir.
simpleksler kompleksi de§il.
v4
simpleksler kompleksi de§il.
v1 , v3
ortak yüz de§il.
v4
Tanm 8.2.4.
(a)
K
bir simpleksler kompleksi olsun.
K 'nn geometrik
reallizasyonu(underlying uzay)
| K |=
[
s
s∈K
n
³eklinde tanimlanr. (K, R 'in alt uzay)
(b)
h :| K |→ X homeomorzma olacak
³ekilde simpleksler kompleksi K varsa X 'e polihedron(polyhedron)
denir. (K, h) ikilisine X 'in üçgenle³tirilmesi(triangulation) denir.
X
topolojik uzay verilsin.
• (K),
Not 8.2.1.
• s, K 'da
•
Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr.
| s |= s'dir.
bir simpleks ise
Simpleksler kompleksi
K
simplekslerden olu³an sonlu küme iken
nn geometrik realizasyonu
•
geometrik realizasyonu
|K|
|K|,
K
Euclid uzaynn bir alt uzaydr.
noktalar do§ru parçalar, üçgen dü-
zlemler, üçgen prizma(teterahedron) içerir.
Örnek 8.2.3.
ilsin.
X
X = {(cos θ, sin θ) ∈ R2 | 0 ≤ θ ≤ π/2}
³eklinde ver-
polihedrondur.
Herhangi bir
1-sim§leks [p0 , p1 ]
olsun. Simpleksler kompleksi
K = {[p0 ], [p1 ], [p0 , p1 ]},
|K| −→ X bir homemorzmadr. Simpleksler kompleksi L = {[p0 ], [p1 ], [p2 ][p0 , p1 ], [p1 , p2 ]}, X 'in bir ba³ka
üçgenle³tirilmi³idir çünkü |L| −→ X bir homemorzmadr.
X 'in
üçgenle³tirilmi³idir çünkü
101
Örnek 8.2.4.
2
4 ={
2
X
ti vi
2
X
|
i=0
ti = 1,
ti ≥ 0,
i = 0, 1, 2}
i=0
2-simpleks (42 ⊂ Rn ) K = 42 standart 2-simpleksindeki
0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun.
standart
tüm
v2
K = {[v0 ], [v1 ], [v2 ], [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v1 , v2 ]}
@
@
@
@
@
v0
v1
2 − simpleks
K
K
simpleksler kompleksin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa§lar.
nn geometrik realizasyonu üçgen olacaktr.
v2
L : |K| =
v0
@ −→
@
X = S1
v1
homeorzmas var.
O halde çember polihedrondur.
n-Boyutlu simpleksler kompleksi K olsun. Her bir r (0 ≤
K r , simpleksler kompleksi K 'ya ait boyutu r den küçük
Tanm 8.2.5.
r ≤ n)
için,
veya e³it olan tüm simplekslerin kümesini göstersin. Simpleksler komr
r
pleksi K ye K nn iskeleti(skeleton) denir. Böylece |K |, |K| nn altpolihedrondur.
3-Simpleks [p0 , p1 , p2 , p3 ] in tüm yüzeylerini içereni K
0
0
ile gösterelim. K , K nn 2-boyutlu iskeleti olarak alalm. Böylece K ,
0
2
[p0 , p1 , p2 , p3 ] in has yüzeylerini içerir. Dolasyla |K |, S ye homeo2
morftur. Bu da bize S nin bir polihedron oldu§unu gösterir.
Örnek 8.2.5.
K ve L iki simpleksler kompleksi olsun.{p0 , p1 , . . . , pq }
K 'da bir simpleksi gererken {ϕ(p0 ), ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pq )} noktabir simpleksi gerecek ³ekilde tanimlanan ϕ : K → L fonksiy-
Tanm 8.2.6.
noktalar,
lar
L'de
ona simpleksler dönü³üm denir.
Tanm 8.2.7.
L,
K
K
ve
L
iki simpleksler kompleksi olmak üzere
daki kö³eler ile
L
ϕ : K −→
ϕ' ye K
deki kö³eler arasnda bijektif ise
102
L
ve
arasbda bir izmorzm denir.
K
ve
L
ye de izmork simpleksler
kompleksi denir.
Önerme 8.2.1. Simpleksler dönü³ümün birle³imide simpleksler dönü³ümüdür.
spat: spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr
Tanm 8.2.8.
simpleksin alt
Örnegin, bir
∀i
ti > 0 olacak ³ekilde
◦
kümesine P 'nin içi denir. P
için
0-simpleksin
Pm
i=1 ti pi noktalrna ait
ile gösterilir.
içi kendisidir. Ayrca bir dijital
P
m-simpleks
açk simplekslerin ayrk birle³imi oldu§u gözlenmelidir.
Tanm 8.2.9.
zaman
p
K
bir
m-simpleksler
kompleksi ve
p ∈ V er(K)
olsun. O
nin yldz
st(p) = ∪S ◦
³eklinde tanmlanr. Burada
K
Tanm 8.2.10.
S∈K
ve
p ∈ V er(K).
bir simpleksler kompleksi olsun.
dimK = sup{dim(s)}.
s∈K
Teorem 8.2.1.
|L|
K
ve
homeomorzm ise
L iki simpleksler kompleksi olsun. E§er f : |K| →
dimK = dimL'dir.
Tanm 8.2.11. Bir simpleksler kompleksi
K
x = p0 , y = pm olacak ³ekilde
var ise K ya ba§lantldr denir.
için,
dizisi
Not 8.2.2.
1)
•
•
Simpleksler kompleksi
ba§lantl iken
K
0
K
K
olsun. Kö³eler çifti
da
x, y ∈
[pi , pi+1 ] 1-simpleksler
K nn r-boyutlu iskeletsi K r (r ≥
ba§lantl de§ildir.
Küre, Möbius ³eridi, Projektif düzlem, ve Tor gibi yüzeylerin üçgenle³tirilmesi ba§lantldr.
K ve L iki simpleksler kompleksi olmak üzere ϕ :
K −→ L simpleksler dönü³ümü ve f : |K| −→ |L| sürekli dönü³üm
olsun. K nn her kö³esi p için
Tanm 8.2.12.
f (st(p)) ⊂ st(ϕ(p))
ise
f
ye
ϕ
dönü³ümünün simpleksler yakla³m denir.
Önerme 8.2.2.
ϕ
simpleksler dönü³ümünün yakla³m
103
f
olsun.
• f
süreklidir.
• f
homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art
ϕ
izomorzmdir.
• f1 : |K| −→ |L| fonksiyonu ϕ1 : K −→ L dönü³ümünün yakla³m ve f2 : |L| −→ |M | fonksiyonu ϕ2 : L −→ M simpleksler
dönü³ümün yakla³m ise f2 ◦ f1 : |K| −→ |M |,
ϕ2 ◦ ϕ1 'in simpleksler yakla³m fonksiyonudur.
spat 8.2.1. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
ya ait kö³eler kümesi {p0 , p1 , . . . , pm },
K da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art ∩m
i=0 st(pi ) 6= 0
olmasdr.
Önerme 8.2.3. Simpleksler kompleksi
K
spat 8.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Tanm 8.2.13. Bir simpleksler kompleksi
K
nn ³ebekesi veya a§(mesh),
mesh(K) = max{diam(S) | S, K 0 da bir simpleks}
³eklinde tanmlanr ve
Not 8.2.3. Bir
mesh(K)
0-boyutlu
ile gösterilir.
simpleksler kompleksi
K
nn ³ebeksi,
0 = mesh(K) = mesh(K 0 ) = mesh(K 1 ) = · · ·
Lemma 8.2.1. Bir pozitif boyutlu simpleks
S
nin kö³eleri
v, w
olmak
üzere
diam(S) = kv − wk dir.
spat 8.2.3. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
K
Teorem 8.2.2. Pozitif boyutlu simpleksler komplesi
olmak üzere
lim mesh(K r ) = 0 dir.
r→∞
K
spat 8.2.4. Simpleksler komplesi
ile
K
nn boyutu
n
olsun. lk önce
K0
nn ³ebekelrini kar³la³tralm:
Simpleksler komplesi
yüzü olsun.
τ
K
iki simples
σ
ve
τ
alalm ve
nun barisentri§i
m
1 X
τ=
pi
m + 1 i=0
104
olsun.
σ, τ
nun bir has
kτ − σk ≤ kτ − pk (p, τ 0 nun bir kö³esi)
m
m
1 X
1 X
=k
pi − pk ≤
kpi − pk
m + 1 i=0
m + 1 i=0
1
m
m · mesh(K) =
mesh(K).
m+1
m+1
m
mesh(K). Bu i³lelemleri tekrarlayarak
mesh(K 1 ) ≤ m+1
≤
Böylece
t§mzda
mesh(K r ) ≤ (
Dolasyla
m r
limr→∞ ( m+1
) = 0.
m r
) mesh(K)
m+1
yap-
olur.
Buda istedi§imiz sonuca götürür.
K ve L olmak üzere ϕ : K −→ L
f : kKk −→ kLk sürekli dönü³üm olsun.
r
homotop olacak ³ekilde φ : K −→ L simpleksler
Teorem 8.2.3. Simpleksler Kompleks
simpleksler dönü³ümü ve
Sürekli dönü³üm
f
ye
dönü³ümü vardr.
spat 8.2.5. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
ALI“TIRMALAR
1. f : |K| −→ X sürekli olmas için gerek ve yeter ³art ∀σ ∈ K için
f |σ sürekli olmasdr. Gösteriniz.
2. L, K 'nn bir alt kompleksi olsun. L'nin polytopu |L|, |K| nn
kapal alt uzaydr. E§er σ ∈ K ise, |K| nn bir kapal altuzaydr.
Gösteriniz.
3.
|K|
polihedronu, Hausdor uzay mdr ? Kompakt uzay mdr ?
Açklaynz.
4. Simpleksler kolleksiyonu
gerek ve yeter ³art hem
olmas hem de
K 'ya
K
K 'ya
nn simpleksler kompleksi olmas için
ait bir simpleksin her yüzünün
K
da
ait farkl simpleksler çiftinin ayrk içlere sahip
olmasdr. Gösteriniz.
5. ki simpleksler dönü³ümün bile³kesi simpleksler dönü³üm olur mu ?
Açklaynz.
(0)
f :K
−→ L(0)
bijektif dönü³üm ve K 'nn kö³eleri v0 , ..., vn nin
K 'ya ait bir simpleksi germesi için gerek ve yeter ³art f (v0 ), ..., f (vn )
nin L'ye ait bir simpleksi germesidir. f 'nin indirgedi§i dönü³üm g :
|K| −→ |L| bir homeomorzmdir. Gösteriniz.
6.
7. Simpleksler kompleksi olmayan kompleks örne§i veriniz.
B 2 bir konveks küme midir ? Açklaynz.
9. ∆n , n-simpleksi ve simpleksin yüzlerini içeren simpleksler kompleksi
8.
105
olmak üzere
K,
K , ∆n
sonlu simpleks ise
simpleksler kompleksinin
bir alt kompleksine izomorftur. Gösteriniz.
S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ] ile gösterilsin. u, v ∈ S ise ku−vk ≤
Sup ku − pi k oldu§unu gösteriniz.
11. S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ] ile gösterilsin. b, S 'nin barisenn
trik'i ise kb − pi k ≤ n+1 diam S oldu§unu gösteriniz.
n
12. R nin her A an alt kümesi, bir sonlu küme tarafndan gerilir.
10.
Gösteriniz.
13. Her an dönü³üm süreklidir. Gösteriniz.
T : Rn −→ Rk bir an dönü³üm olsun. λ : Rn −→ Rk
k
dönü³üm ve y0 ∈ R
sabit olmak üzere T (x) = λ(x) + y0
14.
bir lineer
dr. Gös-
teriniz.
15. Herhangi iki
16.
{p0 , ..., pm }
m-simpleksin
homeomork oldu§unu gösteriniz.
an ba§msz ve
b,
barisentrik olsun.
∀i
kümesi an ba§msz olur mu ? Açklaynz.
17.
st(v)
18. Bir
için
{b, p0 , ..., pbi , ..., pm }
yol ba§lantl olur mu ? Açklaynz.
p ∈ Rm
noktasnn,
olmas için gerek ve yeter ³art
∆(a0 , a1 , ..., an ) simpleksinin kö³esi
∆(a0 , a1 , ..., an )\{p} nin konveks ol-
masdr. Gösteriniz.
K1
K1 ∩ K2
20. |K|
19.
K2 , K 'nn simpleksler altkompleksleri ise K1 ∪ K2 ve
de K nn simpleksler altkompleksleri olur mu ? Gösteriniz.
polihedronunun ba§lantl olmas için gerek ve yeter ³art K
ve
nn ba§lantl olmasdr. Gösteriniz.
21. Simpleksler kompleksi
K
ya ait kö³eler kümesi
{p0 , p1 , . . . , pm }, K
∩m
i=0 st(pi ) 6= 0
da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art
olmasdr.
106
Bölüm 9
SMPLEKSKER HOMOLOJ
GRUPLARI
Tanm 9.0.14.
K
oriented simpleksler kompleksi olsun.
•
Zq (K) = Ker∂q
(9.1)
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q (< p0 , . . . , pq >) = 0}
(9.2)
grubuna q-devir grubu denir.
•
Bq (K) = Im∂q+1
(9.3)
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q+1 (< p0 , . . . , pq+1 >) =< p0 , p1 , . . . , pq >}
(9.4)
grubuna q-snr grubu denir.
Teorem
6.2.2
den a³a§daki sonuçu söyleyebiriz.
Lemma 9.0.2.
Bq (K) ⊂ Zq (K) ⊂ Cq (K)'dr.
Tanm 9.0.15.
K, m boyutlu bir simpleksler kompleksi olsun. Hq (K) =
q . boyutta simpleksler homoloji grubu denir.
Zq (K)
bölüm grubuna
Bq (K)
Teorem 9.0.4.
(a)
K=∅
ise
H0 (K) = 0'dir.
107
(b)
K = {x0 }
bir 0-simpleks ise
q≥1
Hq (K) = 0,
spat:
(a)
K=∅
olsun.
C0 (K) = 0,
C1 (K) = 0,
∂
∂
C2 (K) = 0;
∂
Ci (K) = 0
i≥3
∂
0 →4 C3 (K) →3 C2 (K) →2 C1 (K) →1 C0 (K) → 0
Z0 (K) = Ker ∂0 = 0
H0 (K) =
Dolasyla
(b)
K = {x0 }
B0 (K) = Im ∂1 = 0.
∼
= {0}.
Z0 (K)
B0 (K)
olsun.
C0 (K) =< x0 >∼
= Z,
ve
Ci (K) = {0} i ≥ 1.
Buradan a³a§daki ksa diziyi elde ederiz;
∂
∂
0 →1 C0 (K) →0 0.
Bu diziden hemen a³a§dakini elde edeiz;
Z0 (K) = Ker ∂0 = C0 (K) ' Z,
Sonuç olarak
Teorem 9.0.5.
B0 (K) = Im ∂1 = {0}.
H0 (K) ∼
= Z.
f : X −→ Y
homeomorf ise
f∗ : Hq (X) → Hq (Y )
izomorftur.
spat: Okuyucuya braklm³tr.
Örnek 9.0.6. Klein “i³esi
1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks ( [a], [b], [c]),
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Böylece
Klein ³i³esinde,
ve
2
tane
C0 (Kb) ∼
= Z,
Di§er taraftan
q ≥ 3
C1 (Kb) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
Cq (Kb) ∼
= {0}
C2 (Kb) ∼
= Z ⊕ Z.
dir. A³a§daki ksa diziyi
elde edriz;
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (Kb) −→
C1 (Kb) −→
C0 (Kb) −→
0
108
Bu ksa diziden hemen
Ker ∂0 = C0 (Kb) ∼
=Z
ve
Im ∂3 = {0}
e³itlik-
lerini elde ederiz.
∀ p U + q L ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a − b + c) + q (−c − a + b)
= −(p + q) a + (q − p) (b − c)
O halde
2a
2Z ⊕ Z
dir.
(9.5)
(9.6)
(9.7)
b − a − c elemanlar Im ∂2 yi üretir. Buradan; Im ∂2 ∼
=
“imdi ∂2 nin çekirde§ini tespit edelim.
ve
∂2 (pU + qL) = 0
olsun. O zaman
−(p + q) a + (q − p) (b − c) = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
Ker ∂2 ∼
= {0} dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (Kb)
Böylece
için
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v)
=0
elde edilir. Bu durumda
Ker ∂1 ∼
= Z⊕Z⊕Z
ve
109
(9.9)
(9.10)
Im ∂1 ∼
= {0}
Sonuç olarak Klein “i³esinin simpleksler homoloji grubu;


q = 0,
Z,
Hq (KB) = Z2 ⊕ Z, q = 1


0,
q 6= 0, 1.
(9.8)
dir.
Örnek 9.0.7. Tor
1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c]),
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Dlasyla
Torda,
tane
C0 (T ) ∼
= Z,
Di§er taraftan
q≥3
C1 (T ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
∂
Bu ksa
Cq (T ) ∼
= {0}
∂
ve
2
C2 (T ) ∼
=Z⊕Z
dir.
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (T ) −→
C1 (T ) −→
C0 (T ) −→
0
diziden hemen Ker ∂0 = C0 (T ) ∼
= Z ve Im ∂3 ∼
= {0}
olduk-
larnz görürüz.
∀pU + qL ∈ C2 (T )
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= (p − q) (c − a − b)
Im ∂2 ∼
= Z olur. “imdi ∂2
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman
O halde
(9.11)
(9.12)
(9.13)
(9.14)
nin çekirde§ini hesaplayalm.
(p − q) (c − a − b) = 0 =⇒ p = q.
Ker ∂2 ∼
= Z dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T ) için
Böylece
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v)
=0
110
(9.15)
(9.16)
(9.17)
elde edilir.
O zaman
Ker ∂1 = C1 (T ) ∼
= Z⊕Z⊕Z
ve
Im ∂1 ∼
= {0}
görürüz. Sonuç olarak Tor'un simpleksler homoloji grubu;

Z,



Z ⊕ Z,
Hq (T ) =

Z,



0,
111
q
q
q
q
= 0,
=1
=2
6= 0, 1, 2.
oldu§unu
Örnek 9.0.8. Reel Projektif Düzlem
2
Reel Projektif Düzleminde,
([a],
simpleks
[b], [c]),
ve
tane 0-simpleks
2
tane
([v],
2-simpleks
[w]), 3
[L])
([U ],
tane
1-
vardr.
Dolasyla
C0 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z,
Di§er taraftan
q≥3
C1 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
Cq (RP 2 ) ∼
= {0}
∂
∂
C2 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z
dir.
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (T ) −→
C1 (T ) −→
C0 (T ) −→
0
2
diziden hemen Ker ∂0 = C0 (RP ) ∼
= {0}
= Z ⊕ Z ve Im ∂3 ∼
Bu ksa
olduklarnz görürüz.
∀pU + qL ∈ C2 (RP 2 )
için,
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a + b + c) + q (−a + b − c)
= −a (p + q) + b (p + q) + c (p − q)
= (p + q) (b − a) + (p − q) c
Im ∂2
∼
Im∂2 = 2Z⊕Z
O halde
in üreteçleri,
2(b − a)
ve
−a − c + b
oldu§unu rahatlkla söyleyebiliriz. “imdi
(9.18)
(9.19)
(9.20)
(9.21)
dir. Buradan
∂2
nin çekird-
e§ini hesaplayalm.
∂2 (pU + qL) = 0
(p + q) (b − a) + (p − q) c = 0
(p + q) (b − a) + (p − q) c = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
112
(9.22)
(9.23)
Ker ∂2 = {0}
O halde
dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T )
için,
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (w − v) + r2 (w − v) + r3 (v − v)
= (w − v) (r1 + r2 ).
O zaman
Im ∂1 'in
Im ∂1 ∼
=Z
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0 olsun.
üreteçi bir tanedir. Yani
çekirde§ini tespit edelim.
(w − v) (r1 − r2 ) = 0
Böylece
Ker ∂1 ∼
= Z⊕Z
=⇒
dir.
(9.24)
(9.25)
(9.26)
Im ∂1 'in
O zaman
r1 = −r2 .
olur. Sonuç olarak Reel Projektif Düzlemin
simpleksler homoloji grubu;


Z,
2
Hq (RP ) = Z2 ,


0,
q = 0,
q=1
q 6= 0, 1.
Örnek 9.0.9. Möbiüs “eridi
2 tane 0-simpleks
grubu
C0 (M b)
[x], [y]
var.
Bunlar baz kabul eden serbest abel
ile gösterelim. Biz baz 2 tane olan serbest abel grubun
Z ⊕ Z oldu§unu biliyoruz ve bu serbest abel grupta çal³mak bizim için
daha al³agelmi³ oldu§undan C0 (M b) ' Z ⊕ Z alyoruz. Bu mantkla
n tane k-simpleksi baz kabul eden serbest abel grubunu Ck (M b) ile
gösterece§iz ve ona izomorf olan n tane Z nin direkt toplamn olan
serbest abel grubunda çal³aca§z.
[α], [β], [δ], [γ] var. O halde C1 (M b) ' Z⊕Z⊕Z⊕Z
[U ], [L] var. O halde C2 (M b) ' Z ⊕ Z
Cq (M b) ' {0} dir.
4 tane 1-simpleks
2 tane 2-simpleks
Ve
q≥3
için
... −→ 0 −→ C2 (M b) −→ C1 (M b) −→ C0 (M b) −→ 0
113
Burada;
Ker∂0 = C0 (M b) ' Z ⊕ Z
ve
Im∂3 = {0}
oldu§u açktr.
∂2 : C2 (M b) −→ C1 (M b)
p, q ∈ Z
homomorzmasn ele alalm.
ve
∀ p[U ] + q[L] ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (p[U ] + q[L]) = p ∂2 [U ] + q ∂2 [L] = p (−α − β + γ) + q (−α − γ + δ)
= −(p + q) α − p β + qδ + (p − q)γ
O zaman önce Im∂2 yi hesaplayalm. −(p+q) = ω1 , −p = ω2 , q = ω3 ,
p−q = ω4 diyelim ω4 = −ω2 −ω3 ve ω1 = ω2 −ω3 ³eklinde yazlabiliyor.
Im∂2 = {ω1 α+ω2 β+ω2 δ+ω4 γ} = {(ω2 −ω3 )α+ω2 β+ω3 δ+(−ω2 −ω3 )γ}
= {ω2 (−α + β − γ) + ω3 (−α + δ − γ)} ' Z ⊕ Z
( Bu durumda
C1 (M b)
de geriye sadece 2 baz kalr. Baz iki olan ve
çal³labilecek en kolay serbest grup
Z⊕Z
oldu§undan
Im∂2 ' Z ⊕ Z
dir.)
“imdi
Ker∂2
yi hesaplayalm:
∂2 (pU +qL) = 0 olsun. Bu durumda = −(p+q) α−p β+qδ+(p−q)γ = 0
dr. Ker∂2 ≤ C2 (M b) serbest altgrubu oldu§undan lineer ba§mszdr.
O halde −p − q = 0 −p = 0 q = 0 p − q = 0 olur. Buradan p = q = 0
dr. Ker∂2 = 0 dr.
∂1 : C1 (M b) −→ C0 (M b)
homomorzmasn ele alalm.
r4 [γ] ∈ C1 (M b)
∀r1 , r2 , r3 r4 ∈ Z ve ∀r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] +
için
∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = r1 ∂1 ([α]) + r2 ∂1 ([β]) + r3 ∂1 ([δ]) +
r4 ∂1 ([γ]) = r1 (y − x) + r2 (x − y) + r3 (y − x) + r4 (x − x) =
(r1 − r2 + r3 )(y − x) + r4 (x − x) elde edilir.
Ker∂2 yi hesaplayalm. ∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = 0 olsun. O
zaman (r1 −r2 +r3 )(y−x)+r4 (x−x) = 0 dr. Yine lineer ba§mszlktan
r1 − r2 + r3 = 0 ve r4 ∈ Z dir. r2 = r1 + r3 ³eklinde yazlabildi§inden
r1 , r3 , r4 katsaylar kalr. O zaman Ker∂2 ' Z ⊕ Z ⊕ Z dir.
Im∂1 yi hesaplayalm. ∂1 (r1 [α]+r2 [β]+r3 [δ]+r4 [γ]) = (r1 −r2 +r3 )(y −
x) + r4 (x − x) = r(y − x) olur. Yani Im∂1 = {r(y − x) r ∈ Z} ' Z dir.
114
Artk Möbiüs “eridinin homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz.
H0 (M b) =
H1 (M b) =
Ker∂1
Im∂2
H2 (M b) =
p0 = (0, 0, 0),
'Z
'Z⊕Z
Ker∂2
Im∂3
Hq (M b) = {0}
Örnek 9.0.10.
Ker∂0
Im∂1
= {0}
q≥3
dir.
p1 = (1, 0, 0),
p2 = (1, 2, 0),
p3 =
(2, 3, 4)
P3
6
P0
@
R
@
@
@ P2
P1 σ10 =< p0 >,
σ20 =< p1 >,
σ11 =< p0 , p1 >,
σ51 =< p1 , p3 >,
σ30 =< p2 >,
σ21 =< p0 , p2 >,
σ61 =< p2 , p3 >
σ40 =< p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ41 =< p1 , p2 >
σ12 =< p0 , p1 , p2 >, σ22 =< p1 , p2 , p3 >, σ32 =< p0 , p2 , p3 >, σ42 =<
p0 , p1 , p3 >
C0 (K) =< σ10 > ⊕ < σ20 > ⊕ < σ30 > ⊕ < σ40 >' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z ∼
= Z4
C1 (K) =< σ11 > ⊕ < σ21 > ⊕ < σ31 > ⊕ < σ41 > ⊕ < σ51 > ⊕ <
σ61 >∼
= Z6
115
C2 (K) =< σ12 > ⊕ < σ22 > ⊕ < σ32 > ⊕ < σ42 >∼
= Z4
C3 (K) =< σ13 >∼
=Z
Ci (K) = 0 i ≥ 4
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (K) −→
C1 (K) −→
C0 (K) −→
0
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
Z4 −→
Z6 −→
Z4 −→
0
Z0 (K) = Ker ∂0 = C0 (K) ∼
= Z4
B0 (K) = Im ∂1
(9.27)
0
0
0
0
= {a1 < σ1 > +a2 < σ2 > +a3 < σ3 > +a4 < σ4 >| a1 + a2 + a3 + a4 = 0}
(9.28)
∼
= Z3
(Üreteç says
3)
(9.29)
Dolasyla sfrnc boyutta homoloji grubu;
H0 (K) =
Z0 (K) ∼ Z4 ∼
= 3 =Z
B0 (K)
Z
Hatrlatma:
∂i (< p0 , p1 , . . . , pm >) =
m
X
(−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm >
i=0
∂1 (σ11 ) = p1 − p0
∂1 (σ21 ) = p2 − p0
∂1 (σ31 ) = p3 − p0
∂1 (σ41 ) = p2 − p1
∂1 (σ51 ) = p3 − p1
∂1 (σ61 ) = p3 − p2
116
(9.30)
(9.31)
(9.32)
(9.33)
(9.34)
(9.35)
∂1
snr homomorzmasnn matrisi;


−1 −1 −1 0
0
0
 1
0
0 −1 −1 0 


 0
1
0
1
0 −1 
0
0
1
0
1
1
∂2 (σ12 ) =< p1 , p2
∂2 (σ22 ) =< p2 , p3
∂2 (σ32 ) =< p2 , p3
∂2 (σ42 ) =< p1 , p3
> − < p0 , p2
> − < p1 , p3
> − < p0 , p3
> − < p0 , p3
> + < p0 , p1
> + < p1 , p2
> + < p0 , p2
> + < p0 , p1
>
>
>
>
(9.36)
(9.37)
(9.38)
(9.39)
(9.40)
∂2
snr homomorzmasnn matrisi;




⇒




1
0
0
1
−1 0
1
0 

0
0 −1 −1 

1
1
0
0 

0 −1 0
1 
0
1
1
0
Verilen piramidin homoloji grubu;
(
Z, q = 0, 2
Hq (K) =
0, q 6= 0, 2.
9.1
Simpleksler Kompleksin Euler Karak-
teristi§i
(K, f ), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V , kö³eler(0-simpleksler)
saysn, E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler)
saysn gösterüzere Euler formulü nün
V −E+F =2
oldu§unu biliyoruz. “imdi bunu genelle³tirelim;
117
Tanm 9.1.1. K , m-boyutlu simpleksler kompleksi olsun. q ≥ 0 için
αq , K 'daki q-simpleksler kompleksinin says olsun. K simpleksler kom-
pleksinin Euler karakteristi§i:
χ(K) =
m
X
(−1)q αq
q=0
³eklinde tanmlanr.
Teorem 9.1.1.
K,
m-boyutlu oriyantal simpleksler kompleksi olsun.
m
X
χ(K) =
(−1)q rank(Hq (K)).
q=0
spat:
A³a§daki zincir kompleksini ele alalm;
∂m+1
∂m−1
∂
∂
∂
m
1
0
0 −→ Cm (K) −→
Cm−1 (K) −→ · · · −→
C0 (K) −→
0.
Her
q
için
Cq (K)
rank
αq
olan serbest abel grupttur.
Hq (K) =
Zq (K)
Bq (K)
oldu§undan
rankHq (K) = rankZq (K) − rankBq (K)
Im∂m+1 = 0
oldu§undan
Bm (K) = 0
dir. Her
q≥0
için
∂q
0 −→ Zq (K) −→ Cq (K) −→ Bq−1 (K) −→ 0
tam dizisi vardr.
αq = rank Cq (K) = rank Zq (K) + rank Bq−1 (K)
χ(K) =
m
X
q=0
q
(−1) αq (K) =
m
X
(−1)q (rank Zq (K) + rank Bq−1 (K))
q=0
(9.41)
=
m
X
(−1)q rank Zq (K) +
q=0
m
X
(−1)q rank Bq−1 (K))
q=0
118
(9.42)
B−1 (K) = 0 = Bm (K)
χ(K) =
m
X
oldu§undan
(−1)q rank Zq (K) +
q=0
=
m
X
m
X
(−1)q+1 rank Bq (K)
(9.43)
q=0
(−1)q (rank Zq (K) − rank Bq (K))
(9.44)
(−1)q rank Hq (K).
(9.45)
q=0
=
m
X
q=0
Örnek 9.1.1.
2
Hi (S ) =
Z, i = 0, 2
0, i =
6 0, 2

i = 0, 2
 Z,L
Z
Z, i = 1
Hi (T ) =

0,
i 6= 0, 1, 2

i=0
 Z,L
Z
Z2 , i = 1
Hi (Kb) =

0,
i 6= 0, 1
Hi (M b) =
2
Hi (D ) =
1
Z, i = 0
0, i =
6 0
Hi (S ) =
1
Hi (S × I) =
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1

 Z, i = 0
Z2 , i = 1
Hi (RP 2 ) =

0, i 6= 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Yukardaki Homoloji gruplarn kullanarak Euler karakteristi§ini hesaplayabiliriz;
χ(S 2 ) =
∞
X
(−1)i rank Hq (S 2 )
(9.46)
q=0
= (−1)0 rank S 2 (T ) + (−1)1 rank H1 (S 2 ) + (−1)2 rank H2 (S 2 ) + . . .
(9.47)
= 1 − 0 + 1 + 0 + 0 + ... = 2
119
(9.48)
χ(T ) =
∞
X
(−1)q rank Hq (T )
(9.49)
q=0
= (−1)0 rank H0 (T ) + (−1)1 rank H1 (T ) + (−1)2 rank H2 (T ) + . . .
(9.50)
= 1 + (−1).2 + 1 = 0
(9.51)
∞
X
χ(RP ) =
(−1)q rank Hq (RP 2 )
2
(9.52)
q=0
= (−1)0 rank H0 (RP 2 ) + (−1)1 rank H1 (RP 2 ) + (−1)2 rank H2 (RP 2 ) + . . .
(9.53)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0
χ(Kb) =
∞
X
(9.54)
(−1)q rank Hq (Kb)
(9.55)
q=0
= (−1)0 rank H0 (Kb) + (−1)1 rank H1 (Kb) + (−1)2 rank H2 (Kb) + . . .
(9.56)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0
9.2
(9.57)
Homolo ji ve Simpleksler Dönü³ümü
ϕ : K −→ L simpleksler dönü³üm olsun. ϕ, ∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ e³itli§ini
do§rulayan ϕ : Cq (K) −→ Cq (L) lineer dönü³ümü üretti§ini biliyoruz.
[c] = c + Bq (K), Hq (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c ∈ Zq (K)
dir yani ∂(c) = 0 ve böylece ∂ ◦ ϕ∗ (c) = ϕ∗ ◦ ∂(c) = 0 oldu§undan
ϕ∗ (c) ∈ Zq (L) dir.
c − c0 ∈ Bq (K) ise bir u ∈ Cq+1 (K) için ϕ∗ (c − c0 ) = ϕ∗ (∂(u)) =
∂(ϕ∗ (u)) dir. Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) = ϕ∗ (c0 ) + Bq (L). Dolasyla
H(ϕ) : Hq (K) −→ Hq (L)
Tanm 9.2.1.
c+Bq (K) 7−→ H(ϕ)(c+Bq (K)) = ϕ∗ (c)+Bq (L).
ϕ, ψ : K −→ L
iki simpleksler dönü³üm olsun. Her
q
için
∂q+1 ◦ h + h ◦ ∂q = ϕ∗ − ψ∗
e³itli§ini do§rulayan
ve
ψ
h : Cq (K) −→ Cq+1 (L)
lineer dön³ümü varsa
dönü³ümleri zincir homotoptur denir.
120
ϕ
Teorem 9.2.1.
ϕ
ve
ψ
arasnda bir zincir homotopi varsa
H(ϕ) = H(ψ).
spat:
[c] = c + Bq (K) ∈ Hq (K)
olsun.
∂q+1 ◦ h(c) + h ◦ ∂q (c) = ϕ∗ (c) − ψ∗ (c).
∂q (c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) − ψ∗ (c) = ∂ ◦ h(c) ∈ Bq (L).
Bq (L) = ψ∗ (c) + Bq (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]).
Yani
ϕ∗ (c) +
ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm olsun. Herσ ∈ K simpleksi için, ϕ(σ)∪ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa
Tanm 9.2.2.
hangi bir
ϕ, ψ
dönü³ümleri kontgious dur denir
ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler
tüm q için Hq (ϕ) = Hq (ψ) dir.
Sonuç 9.2.1.
kontgious ise
dönü³üm ve
ϕ, ψ
ye
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
9.3
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
Cebirsel Topolojide en önemli sabit nokta teoremi, 1884-1972 yllar
arasnda ya³am³ Solomon Lefschetz tarafndan bulunan Lefschetz sabit
nokta teoremidir.
Tanm 9.3.1.
X
kompakt polihedron olmak üzere
dönü³üm olsun. Ayrca
h : |K| −→ X , X
olsun.
λ(f ) =
f : X −→ X
sürekli
in üçgenle³tirilmi³ dönü³ümü
n
X
(−1)q tr(h−1 ◦ f ◦ h)∗
q=0
−1
³eklinde tanmlanan sayya Lefschetz says denir. (Burada (h
◦
−1
f ◦ h)∗ homomorzmas h ◦ f ◦ h : |K| −→ |K| dön³ümü tarafndan
indirgenmi³ homomorzmadr.)
Teorem 9.3.1. Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
hedron olsun.
ise
f
λ(f ) 6= 0
olacak ³ekilde
nin sabit noktas vardr.
121
f : X −→ X
X
kompakt poli-
bir sürekli dönü³üm
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Sonuç 9.3.1.
X −→ X
X
büzülebilir kompakt polihedron olsun. O zaman
f :
nin bir sabit noktas vardr.
spat:
X
büzülebilir olmas durumunda
Hq (X) =


Z,
q=0


q 6= 0.
0,
f∗ : H0 (X) −→ H0 (X) birim homomorzλ(f ) = 1 6= 0. Lefschetz Sabit Nokta Teoreminden f
ndirgenmi³ homomorzm
masdr. Dolasyla
nin bir sabit noktas vardr.
f : S n −→ S n bir sürekl dönü³üm ise λ(f ) = 1 +
(−1) deg (f ). E§er deg (f ) 6= ±1 ise f nin sabit noktas vardr.
Sonuç 9.3.2.
n
spat:
n
Hq (S ) =


Z,
q = 0, n


0,
q 6= 0, n.
n
n
oldu§unu biliyoruz. f∗ : H0 (S ) −→ H0 (S ) dönü³ümü birim dönü³ümdür.
n
n
Ayrca f∗ : Hn (S ) −→ Hn (S ) dön³ümünün trace(izi), f nin derece-
sine e³ittir. Böylece
λ(f ) = 1 + (−1)n deg (f ).
kinci ksmda hemen birinci ksmdan elde edilir.
9.4
Borsuk-Ulam Teoremi
Borsuk-Ulam Teoreminin bir sonucu olarak a³a§daki teoremi verbiliriz:
Teorem 9.4.1.
Sn
üzerindeki antipodal noktalarn,
f : S n −→ Rn
sürekli dönü³ümü altnda görüntüleri ayndr.
Sonuç 9.4.1.
n≥1
için
S n , Rn
122
nin içine gömülemez.
Sonuç 9.4.2.
m 6= n
Rm , Rn
ise
ne homemorf olamaz.
spat:
m > n olsun. f : Rm −→ Rn nin homemorzma oldu§unu varsayalm.
S n ⊂ Rm dir ve f : S n −→ Rn sürekli ve injektir, yani f gömme
dönü³ümüdür. Buda bir önceki sonuç ile çeli³ir.
Teorem 9.4.2.
dönü³üm olsun.
f : S n −→ S n antipodal noktalar koruyan
f nin Lefschetz says λ(f ) bir çift saydr.
bir sürekli
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Teorem 9.4.3.
n≥1
için
bir sürekli dönü³üm olsun.
f : S n −→ S n antipodal noktalar
O zaman deg f tek tamsydr.
koruyan
spat:
Sonuç
6.6.2
den
saydr. Böylece
λ(f ) = 1 + (−1)n degf .
degf tek tamsaydr.
Teorem
Teorem 9.4.4. Borsuk-Ulam Teoremi
tipodal noktalar koruyan
f :S
m
−→ S
n
6.7.2
m>n
den
λ(f )
bir çift
olsun. O zaman an-
sürekli dönü³ümü yoktur.
spat:
Antipodal noktalar koruyan f :
n
oldu§unu varsayalm. i : S −→
S m −→ S n sürekli dönü³ümünün var
S m kapsama dönü³ümü olmak üzere
i ◦ f : S m −→ S m
bile³keside antipodal noktalar korur. Teorem
tamsaysdr. Di§er taraftan
(i ◦ f )∗
deg i ◦ f tek
oldu§undan deg i ◦ f
6.7.3
sfr dönü³üm
den
sfrdr. Bu bir çeli³kidir.
f : S n −→ Rn antipodal nokatalar koruyan bir süreklü
n
olsun. f (x) = 0 olacak ³ekilde bir nokta x ∈ S vardr.
Sonuç 9.4.3.
dönü³üm
spat:
∀x ∈ S n
için
f 6= 0
oldu§unu varsayalm.
g :S n −→ S n−1
x 7−→ g(x) =
g
(9.58)
f ()x
||f (x)||
(9.59)
dönü³ümü sürekli ve antipodal noktalar koruyan dönü³ümdür. Bu da
Borsuk-Ulam Teoremi'ne göre çeli³ir.
123
Bölüm 10
D܇ÜM TEORS
Elimize küp ³eklinde bir kutu alalm ve kutunun etrafna be³ metre
uzunlu§unda bir ipi hediye paketlermi³iz gibi ba§layp uclarini yapi³tiralim. Daha sonra bu ipi yava³ça kutunun etrafndan çkaralm. Elde
etti§imiz ³ekil bir trefoil (yonca yapra§) olacaktr. Ayn i³lemi be³ metre de§ilde yirmi metre uzunlu§unda ve daha kaln bir iple yapsaydk
yine bir trefoil elde etmi³ olacaktk.
Yani dü§üm teorisinin topolojinn bir alt dal olarak incelenmesinin sebebi de budur.
Dü§üm teorisinin tarihinin ba³langc tam olarak bilinmesede ilk olarak
Gauss'un ilgilendigi dü³ünülmektedir ancak bu konuyla ciddi manada
ilk olarak ilgilenen Amerikali ünlü matematikci Alexandar olmustur.
Alexander dü§üm teorisinin 3-boyutlu topolojide ne kadar önemli oldu§unu
göstermi³tir.Daha sonra Alman matematikçi Seifert 1920 de çal³t§ bu
124
konunun önemini pekçok ki³inin anlamasn sa§lam³tr. Ayrca cebirsel
geometri ile dü§üm teorisinin ili³kisi bu dönemde Almanya'da yaplan
çal³malarda ortaya konulmu³tur.
Asl büyük ilerlemeler ikinci dünya sava³ srasnda Amerika'da yaplan
ara³trmalarla sa§lanm³tr. Amerika'daki bu geli³melerin etkisi zamanla
Japonya'ya da sçram³ ve burada da dü§üm teorisi ile ilgili büyük
atlmlar gerçekle³tirilmi³tir. 1970 de ise periyodik dönü³ümlerle alakal
Smith tahmininin çözümünden dolay dü§üm teorisinin cebirsel say
teorisi ile ba§lantsnn olabilece§i farkedildi.
1980 lere gelindi§inde ise Jones'un epochal dü§ümlerini ke³ ile dü§üm
teorisi topoloji ba³l§ altndan çkp matematiksel zi§e ta³nm³tr.
dü§üm teorisi devaml olarak geli³ti§i içinde pekçok bilimdal ile olan
ili³kisi zamanla ortaya çkacaktr. Matematiksel biyoloji, mekanik ve
kimyann da pekçok alanndaki i³levselli§i zamanla ortaya konulmu³tur.
Günümüzde ise dü§üm graf dü§üm teorisinin uygulamalarnda oldukça
önemli bir yer tutar. Özellikle dü§üm teorisinin kimyaya uygulamalarnda
dü§üm graar önemli bir araçtr. Spatial (uzaysal)graar olarak adlandrlan ve düzlemsel graardan biraz farkl olan bu graf kavram
bu alanda önemli bir araçtr. Bu yüzyln ba³ndan beri ise bu alanda
çal³an baz kimyaclar dü§üm veya halkalar içeren yap formülü ile
suni molekül sentezlemeye ilgi göstermi³lerdir. Frisch ve Wassermann
(1961) bir halkay (Hopf Halkas) ihtiva eden yap formülü ile bir molekülü
sentezlemeyi ba³ardlar (Murasugi 1996). Bir dü§ümün yapsal formülü
ile bir molekülü sentezleme i³lemi baz kimyaclar tarafndan sürdürülmü³tür
ve moleküller bu ilginç yap formülü ile sentezlenmi³tir. Walba (1985)
molekülün yapsal formülünü elde etmek için kullanlan i³lemde, yapsal
formül olarak bir dü§ümün yapsn kullanr, Mobiüs merdivenli (
M3 -
graf ) bir molekül sentezlemeyi ba³arr (Murasugi 1996). Bu olay molekül
topolo jisinin do§masna yol açm³tr.
Bir molekülün yapsal formülü,moleküldeki atomlara kar³lk gelen ve
kenarlar,kö³eler, kovalent ba§lar yardmyla atomlar arasndaki veri
kombinasyonunu ifade eden bir graf olarak tanmlanabilir.
10.1
Dü§ümler, Zincirler, Diya§ramlar
Dü§ümü formel olarak tanmlarken smooth(düzgün) dü§üm ve poligonal dü§üm olarak ikiye ayrabiliriz.
Tanm 10.1.1. (Dü§üm ve Zincir)
125
(a) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn alt kümesine
dü§üm denir.
(b) Birçok ayrk (kesi³meyen) dü§ümlerin birle³imine zincir denir.
(c) ki zincir 3 boyutlu uzayda izotopik ise bu iki zincir denktir denir.
“ekil 10.1: trefoil dü§ümü- sekiz dü§ümü -kare dü§ümü
Tanm 10.1.2.
(b) Bir zincir
(a)
Birim çembere denk olan dü§üme dü§ümsüz denir.
{(x, y, i)|x2 + y 2 = 1i = 1, 2, ..., n} kümesine denk ise bu
zincire n-bile³enli zincir olmayan denir.
126
“ekil 10.2: hoph zinciri- whitehead zinciri - borromean zinciri
Not 10.1.1. ki dü§üm ya da iki zincir düzlemde ayn diyagrama sahip
iseler bunlar denktir.
“ekil 10.3: uygun çaprazlama-kötü çaprazlama
Tanm 10.1.3.
R3
de kendini kesmeyen poligonal do§rulara poligonal
dü§üm denir.
Tanm 10.1.4. Diferansiyeli sfra e³it olmayan sonsuz bir diferansiyellenebilir gömülme
altnda,
R3
deki çemberin görüntüsü olarak tanmlanan dü§ümlere ise
127
smooth dü§üm denir.
Biz genel olarak dü§ümün smooth tanmn kullanaca§z.
“ekil 10.4:
41
Tanm 10.1.5. Ki ler dü§üm ve i
K1
S
K2
S
...
S
Kn ⊂ R3
ve
6=
31
j için
olacak ³ekildeki
Tanm 10.1.6. n bile³enli bir
L
L
Ki
T
Kj = ∅
iken
L =
alt uzayna zincir denir.
zincirinin bile³en saysn comp(L)=n
ile gösterilir.
comp(L)=1 olan bir zincir ise bir dü§üme kar³lk gelir.
Tanm 10.1.7. Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir.
R3
deki
zincirlerin regüler diyagramn elde etmek için
R2 ={(x1 , x2 , 0) ∈ R3 | xi ∈ R}
deki görüntü resmi alnr. i³te bu diya-
gramlarn ³u ³ekilde ifade edilir.
R2
deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan gös-
terilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yay a³a§dan geçer.
Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin
verilmez.
Tanm 10.1.8. Yönlü bir zincir herbir bile³en boyunca bir yön seçerek
zincire kar³lk gelen diyagramda oklarla göstererek elde edilir. Böylelikle iki çe³it çaprazlama elde etmi³ oluruz:
128
Tanm 10.1.9. Yönlü bir diyagramn kvrm ³u ³ekilde bulunur:
P
ω(D)= caprazlamalar
çaprazlama i³aretleri
Örnek 10.1.1.
Not 10.1.2. Tüm yönleri de§i³tirmek kvrm de§i³tirmez yani yönlü
olmayan bir dü§üm diyagramnn kvrm iyi tanmldr.
Tanm 10.1.10. Yönlü bir D diyagramnn bile³enlerinin
C1 , C2 , . . . , Cn
oldu§unu varsayalm.
i 6= j
olmak ko³ulu ile
Ci
ile
Cj
nin zincirlenme says a³a§daki ³ekilde
tanmlanr:
129
lk(Ci , Cj ) =
1
2
P
Ci ileCj nincaprazlamalari çaprazlama i³aretleri
D nin zincirlenme says ise:
lk(D) =
P
0≤i≤j≤n
lk(Ci , Cj )
Örnek 10.1.2.
130
10.2
Ambient zotopik
Tanm 10.2.1.
A
ve
B
; bir
X
topolo jik uzaynn iki alt kümesi
olsun. E§er a³a§daki üç ko³ulu sa§layan bir
A
sürekli dönü³ümü mevcut ise "
(a)
∀t ∈ [0, 1]
(b)
h0 X
(c)
h1 (A) = B
için
ve
ht : X −→ X
B
h : X × [0, 1] −→ X
ambient izotopiktir"
denir:
homeomorzmadr.
üzerinde birim dönü³ümdür.
Tanm 10.2.2. Bir topolo jik
(a) Dü§üm
R3
K
dü§ümünün denk 3 tanmn verelim.
de sonlu sayda kenarl kapal poligonal e§ridir.
(b) Birim çembere homeomorf olan 3 boyutlu uzayn altkümesine "dü§üm"
denir.
(c)
df
6= 0
f : S 1 −→ R3 injektif smooth dönü³üm öyleki dθ
3
zaman Imf = K ⊂ R
altuzayna "dü§üm" denir.
Uyar 10.2.1. Dü§ümler
R3
olsun. O
de bir boyutlu ob jelerdir. Bu yüzden
kalnlklar yoktur.
“ekil 10.5: Dü§ümsüz - Sol Trefoil - Sa§ Trefoil
“ekil 10.6: “ekil-8 dü§ümü
{Ki }ni=1 ler R3 de dü§ümlerin sonlu saydaki koleksiyonu ve L = K1 ∪ ... ∪ Kn olsun. E§er i 6= j için Ki ∩ Kj = ∅
oluyorsa L ye zincir denir. Buradaki n tamsaysna L zincirinin
bile³eni denir ve compL = n ile gösterilir. comp(L) = 1 olan bir
Tanm 10.2.3.
(a)
zincir ise bir dü§üme kar³lk gelir.
131
(b) ki zincir birbirine ambient izotopik ise bu iki zincir denktir denir.
Tanm 10.2.4. Dü§ümün düzleme izdü³ümüne "diyagram" denir. Yaylardan ve çaprazlamalardan olu³ur. Diyagramlar dü§üm ve zincirlerin
özellikleri üzerinde çal³mamz sa§lar.
Uyar 10.2.2. E§er düzlemde bir dü§ümü kesmeden deforme edebilirsek dü§üm de§i³mez.
Zincirler diyagramlar yardmyla incelenir.
R3
deki zincirlerin regüler
diyagramn elde etmek için,
R2 ={(x1 , x2 , 0) ∈ R3 | xi ∈ R}
R2
deki görüntü resmi alnr.
deki bir diyagram yaylarn ve çaprazlamalarn says tarafndan
gösterilir. Bir çaprazlamada bir yay yukardan geçerken di§er iki yay
a³a§dan geçer.
Bir diyagramda a³a§daki çaprazlama hareketlerinin yaplmasna izin
verilmez.
Orientasyon; bir zincirin (veya dü§ümün) her bile³eni üzerinde yönün
tayin edilmesidir. Verilen bu yöne ba§l olarak zincirin çaprazlamalarna
132
+1 ve -1 olmak üzere iki farkl i³aret atanr. E§er bir çaprazlamada
alttan geçen yayn yönü sa§dan sola do§ru ise buna "sa§ el kuralna
sahiptir" denir ve o çaprazlamann i³areti
ε = +1
olarak kabul edilir.
E§er bir çaprazlamada alttan geçen yayn yönü soldan sa§a do§ru ise
buna "sol el kuralna sahiptir" denir ve o çaprazlamann i³areti
ε = −1
olarak kabul edilir.
“ekil 10.7:
ε = −1
ε = +1
Tanm 10.2.5. Reidemeister hareketi bir dü§üm diyagram üzerinde
herhangi bir de§i³ikli§e sebep olmadan yaplan hareketlerdir.
R0 :
Diyagramn homotopisi yay ve çaprazlamalarn in³asn de§i³tirir
yani örne§in yaylar büzer ya da açar fakat yönünü de§i³tirmez:
Diyagramn etkilenen ksmlar yalnzca a³a§daki hareketlerle meydana
gelir.
R1 :
R2 :
R3 :
133
Teorem 10.2.1. (Reidemeister Teoremi)
Uzayda iki dü§üm ambient izotopi ile birbirine deforme edilebilir
⇐⇒
bu iki dü§ümün diyagramlar Reidemeister ile birbirine dönü³türülebilir.
Uyar 10.2.3. Reidemeister Teoremi, iki dü§ümün ayn olup olmad§n
belirlerken bize kaç defa Reidemeister hareketi yapmamz gerekti§ini
belirtmez. Reidemeister hareketi iki dü§ümün ayn olup olmad§n belirlemek için yeterli de§ildir.
Bir dü§ümün diyagramndan ba§msz olarak sa§lad§ özelliklere ihtiyacmz var. Dü§ümün diyagram temsilinden ba§msz olana bu özelliklere "dü§üm invaryant" denir. Dü§üm invaryant Reidemeister hareketi
altnda de§i³mez.
Tanm 10.2.6. ki bile³ene sahip yönlü bir zincirin her iki bile³eninince olu³an çaprazlamalarnn i³aretlerinin toplam o zincirin "zincirleme saysn" verir. ki bile³enli bir zincirin zincirleme says Reidemeister hareketleri altnda korunur. Yani invaryanttr.
Renklendirme
Tanm 10.2.7. Bir dü§ümün her yay a³a§daki iki ³art sa§layan
üç renkten birine e³leme yaplyorsa bu dü§üme "renklendirilebilirdir"
denir :
(a) En az iki renk kullanlacak
(b) Herhangi bir çaprazlama iki renkten olu³urken diyagramn tümü
üç renkten olu³acak.
134
“ekil 10.8: zincirleme says +2
“imdi a³a§daki dü§ümlerin renklendirilebilir olup olmadklarn inceleyelim;
135
Dü§ümsüz, renklendirme ko³ullarndan ilkini sa§lamad§ndan renklendirilebilir
de§ildir.
Sol trefoil renklendirmenin 2 ko³ulunu da sa§lad§ndan renklendirilebilirdir.
“ekil-8 dü§ümü, renklendirme ko³ullarndan ikincisini sa§lamad§ndan
renklendirilebilir de§ildir.
Bir dü§üm diyagramnn renklendirilebilirli§i dü§üm tipinin de§i³mez
(invaryant) özelli§idir.
10.3
Alexander Polinomu
Bir dü§üm diyagramn ele alalm. Çaprazlamalar
da
a1 , ...an
x1 , ..., xn
ve yaylar
ile gösterelim. Ayrca bu dü§üme bir yönlendirme (orien-
tasyon) belirleyelim. Bu dü§üm boyunca hareket etti§imizde üç türlü
geçi³ olacaktr;
(a) Çaprazlamadaki üst geçiti
1−t
ile;
t
ile;
(b) Sol tarafndaki alt geçit yayn
(c) Sa§ tarafndaki alt geçit yayn
−1
ile
gösterelim.
Örne§in bir orientasyona sahip sa§ trefoil dü§ümünü ele alalm;
Bu diyagramn çaprazlamalar ve yaylarnn matrisini olu³turalm; Buradaki matrisin herhangi bir satr veya sütun toplam
0
olmaldr.
“imdi bu matrisin herhangi bir satr veya sütunu silinerek determinant
alnr.
Elde edilen bu polinom trefoilin Alexander polinomudur. Burada dikkat
edilecek husus polinomda sabit terim bulunmal ve ba³katsay pozitif
tutulmaldr. E§er hesaplanan polinomda sabit terim yoksa bu polinom
t−n
gibi bir ifade ile çarplarak sabit terim elde edilir. E§er ba³katsay
136
137
negatif ise polinom eksi parantezine alnmaldr.
“imdi a³a§daki yönlendirilmi³ dü§ümün Alexander polinomunu hesaplayalm;
Bu dü§ümün çaprazlama-yay matrisini olu³turalm.
Herhangi bir satr veya sütunun 0 oldu§unu gözlemleyelim ve istedi§imiz key bir satur veya sütununu silip determinantn hesaplayalm;
Elde etti§imiz polinomumuzun sabit terimi yok ve ba³katsays negatiftir.
O zaman polinomu
−t−1
ile çarparsak;
138
−t−1 (−2t3 + 3t2 − 2t) = 2t2 −
3t + 2
polinomu bü dü§ümün Alexander polinomudur.
Teorem 10.3.1. Alexander Polinomu, dü§üm diyagramndaki yay
veya çaprazlama indeksine ba§l de§ildir.
spat 10.3.1. Çaprazlama indeksleri arasndaki de§i³im satrlar etkiler. Ayn durum yay indeksleri arasndaki arasndaki de§i³im sütunlar
etkileyecektir. Dolaysyla bu matrisin determinant
±1
kadar de§i³e-
cektir. Alexander polinomunun sabit terimi olmas için de
±tk
katsays
ile çarplacaktr. Bu durumda her iki matrisin de Alexander polinomu
ayndr.
Teorem 10.3.2.
(a) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisin-
den çkartlm³ sütundan ba§msz;
(b) Alexander polinomu çaprazlama / yay matrisinden çkartlm³ satrdan ba§mszdr.
Teorem 10.3.3. Orientasyona sahip bir dü§ümün Alexander polinomu
Reidemeister hareketleri altnda de§i³mezdir.
10.4
Skein Ba§nts
Önceki bölümde Alexander polinomunu
±tp
ile çarparak polinomun
pozitif sabit terime sahi olmasn sa§lam³tk. “imdi ise bir
a1 t + a0
an , a0 6= 0
Alexander polinomunu
Ve bu elde etti§imiz yeni polinomu
139
4
n/2
±t
an tn + ... +
ile çarpaca§z.
ile gösterece§iz. Burada
140
(a) Pozitif dereceli terimin katsays ile negatif dereceli terimin katsays
çak³yorsa
4(t−1 ) = 4(t)
dir.
(b) Birden fazla bile³eni olna zincir için
4(1) = 0
Örne§in sol el çaprazlamal Hopf zincirinin
4
alaca§z.
polinomunu hesaplay-
alm. Önce Alexander polinomunu hesaplamamz gerekiyor:
t1 − 1 dir. 4 polino−n/2
munu elde etmemiz için Alexander polinomunu ±t
ile çarpmamz
1
−1/2
gerekiyordu. O zaman biz de t − 1 polinomunu ±t
ile çarparsak
4 = t1/2 − t−1/2 polinomunu elde etmi³ oluruz.
Buradan Hopf zincirinin Alexander polinomu
Tanm 10.4.1. “imdi Skein ba§ntsn verelim. Bir orientasyona sahip
zincirin önceden sabitlenen bir çaprazlamas için
may;
L−
sol el çaprazlamay;
L0
L+
sa§ el çaprazla-
da o çaprazlamay ihmal etti§imizi
göstersin.Alexander polinomlar için Skein ba§nts a³a§daki gibidir:
Örne§in bir önceki Hopf zincirinin Skein ba§ntsn hesaplayalm. Burada
L−
sol el çaprazlamasn
x1
L+
zaman x1
çaprazlamay sa§ el çaprazlamas
süz elde etmi³ oluruz. O
çaprazlamas olarak alalm.
141
x1
deki
yaparsak içiçe geçmi³ iki dü§ümdeki sa§ el çaprazlamasnn
4
polinomu
4(L+ ) = 0
x1 deki çaprazlamay L0 elemine edersek
4(L0 ) = 1 olur. Böylece Skein ba§ntsn
dr.
dü§ümsüz elde ederiz ve
yazarsak;
4(L− ) = 4(L+ ) + (t1/2 − t−1/2 ) 4 (L0 )
= 0 + (t1/2 − t−1/2 )1
= (t1/2 − t−1/2 )
Örnek 10.4.1. A³a§daki polinomu Skein ba§nts yardmyla hesaplaynz.
Dü§ümsüzün
4
polinomunun 0 oldu§unu biliyoruz. Hopf zincirinin
Skein ba§ntsndan da yararlanarak;
142
Örnek 10.4.2. A³a§daki polinomu Skein ba§nts yardmyla hesaplaynz.
10.5
Jones Polinomu
Bir zincirin diyagramnn Kauman bracket polinomu; tamsay kuvvetli
A de§i³keni ile a³a§daki üç kuralla hesaplanr:
Birinci kural a³ikar zincirin(dü§ümsüz) polinomunu verir. kinci kural
a³ikar zincir ile bir zincirin ayrk birle³iminin polinomunu verir.Üçüncü
kural ise çaprazlamay ortadan kaldran ba§nty verir.
143
Örnek 10.5.1. A³a§daki dü§ümün bracket polinomunu hesaplaynz.
Öncelikle 3üncü kural sonra da 1inci ve 2inci kural uygulayalm:
Teorem 10.5.1. Bracket polinomu Reidemeister hareketleri altnda
de§i³mezdir.(invaryanttr)
144
R3 ün korundu§unu görelim. 3üncü kural uygulayalm:
R1 in korundu§unu görelim. Yine 3 üncü kural uygulayalm:
145
R2 nin korundu§unu görelim:
Tanm 10.5.1. Bir
L
zincirinin regüler projeksiyonunun kvranma
says (writhe); o zincirdeki sa§ el çaprazlamalarndan sol el çaprazlamalarn çkartarak elde edilir ve bu say
ω(L)
notasyonu ile gösterilir.
Örne§in a³a§daki zincirin kvranma saysn hesaplayalm;
146
Burada sa§ el çaprazlamalarnn says 2; sol el çaprazlamalarnn says
ise 4 oldu§undan
ω(L) = 2 − 4 = −2
dir.
Bracket polinomunun Reidemeiater hareketleri ile korundu§unun ispat ederken gördük ki sa§ ve sol el çaprazlamay ortadan kaldran
R1
−3
−A çarpann ortaya çkarmaktadr.
−3ω(L)
Böylece Bracket polinomunu (−A)
ile çarparsak R1 hareketinin
etkisini ortadan kaldrr. Ancak kvranma kavram R2 ve R3 nin bracket
hareketi Bracket polinomundaki
polinomundaki etkisini ortadan kaldramaz. Bunun analizi ö§renciye
al³trma olarak braklm³tr.
Böylece
X(L) = (−A)−3ω(L) hLi polinomu zincir tipinin invaryant (de§i³mezi)
dr. Bir dü§üm için orientasyonun yönü seçimden ba§msz olmasna
ra§men birden fazla bile³ene sahip bir zincirin kvranma says bile³enlerin yönlerinin seçimine ba§l olacaktr.
Tanm 10.5.2.
−1/4
A=t
L zincirinin V (L) Jones polinomu, X(L) polinomunda
almakla elde edilir.
Örne§in önceki al³trmamzda sol trefoilin Bracket polinomunu hesaplam³tk
ve bu polinomun
A7 − A3 − A−5
oldu§unu görmü³tük. Burada tüm
çaprazlamalarn sol el çaprazlamas oldu§undan
ω(K) = −3
tür.
X(K) = (−A)−3ω(L) hKi = (−A)−9 (A7 −A3 −A−5 ) = −A1 6+A1 2+A4
−1/4
−4
elde edilir. A = t
alnrsa V (K) = −t
+ t−3 + t−1 Jones polinomu
hesaplam³ olur.
Bracket polinomunda Skein ba§ntsn kullanarak da Jones polinomunu
hesaplayabiliriz.
Teorem 10.5.2.
L+ , L−
ve
L0
yönlü bir zincirin 3 diyagram olsun
öyleki zincirin sabit bir çaprazlamasnda
sol el çaprazlamasnn ve
L0
L+
sa§ el çaprazlamasnn,
L−
da o çaprazlamann yok edilmi³ halinin
diyagram olsun. O zaman bu yönlü zincirin Jones polinomu Skein
ba§ntsn sa§lar;
t−1 V (L+ ) − tV (L− ) + (t−1/2 − t1/2 )V (L0 ) = 0
147
spat:
Örnek 10.5.2.
Önceki teoremi de kullanarak sol trefoil dü§ümünün Jones polinomunu
hesaplayalm: Öncelikle dü§ümsüzün (trivial dü§ümün) Jones polinomunun
1
oldu§unu gözlemleyelim;
148
“imdi de iki bile³enli trivial zincirin Jones polinomunu hesaplayalm;
Bu nedenle;
elde edilir. Böylece;
Jones polinomu için verdi§imiz Skein ba§ntsnda
V (L− )
yi çekersek;
sol trefoil dü§ümünün Jones polinomu böylelikle hesaplanm³ olur.
149
10.6
Aynalar VE Dü§üm Kodlamas
L bir zincir ve M ⊂ R3 bir an düzlemi olsun. L
m(L), M deki yansmasndan elde edilir.
nin
ayna görüntüsü,
Önerme 10.6.1. Ayna i³lemi izotopi snar üzerinde etkilidir ve aynann seçimine ba§l de§ildir.
Önerme 10.6.2.
mL nin diyagram L nin diyagramndaki tüm çapra-
zlamalar de§i³tirilerek bulunur.
Tanm 10.6.1. E§er bir zincir aynadaki yansmasna denk ise achiral
dir denir. Aksi halde ise
chiral
olarak adlandrlr.
Dü§üm tablosundaki achiraller
41 , 63 , 83 , 89 , 812 , 817 , 818
dir.
31
ise chi-
raldir.
Tanm 10.6.2.
K
yönlü bir dü§üm olsun ve
yönünü göstersin. E§er
K
ve
r(K)
izotopik
Tabloda tersinir olmayan tek dü§üm
10.6.1
817
r(K) da K nn belirlenmi³
ise K tersinirdir.
dir.
Dü§üm Kodlamas
Bir gölgenin bir zincire ait çaprazlama bilgileri ele alnmadan çizilen
diyagram oldu§unu hatrlyoruz
Önerme 10.6.3. Tek bile³enli bir gölge, yönsüz de§i³en(alternating)
bir tek dü§üm belirtir.
ispat
Gölge etrafnda çaprazlama bilgilerine uyarak a³a§, yukar, a³a§, . . . ³eklinde
yürüyelim. Bunu i³e yarad§n görebilmek içinbir satranç tahtas seçelim ve yürümeye ba³larken siyah ksmn solumuza alalm siyah-beyaz
³eklinde yürümeye devam ettikçe yukar, a³a§ yürüdü§ümüzü görece§iz.
150
Not 10.6.1. Tablonun sadece son üç eleman de§i³meyendir (not alrternating). Bunlar;
819 , 820 , 821 dir. Bir gölge verilsin ve bunun etrafnda
ard³k olarak çaprazlama numaralarn yürüyelim. “imdi ³öyle bir fonksiyon
elde ederiz;
f
de§i³meli ise;
f : teksayilar → cif tsayilar
burada tek saylar alt kesi³imlere, çift saylar ise üst kesi³imlere kar³lk
gelir.
f (1), f (2), f (3), . . . dizisi bize gölgeyi verir.
Örne§in; 31 dü§ümü 4, 6, 2 dizisi tarafndan
belirlenir.
Ayn dizinin farkl gölgeleri farkl diziler verir.
10.7
K1
ve
Dü§üm Toplamlar
K2
gibi iki dü§ümün ba§lantl toplam her iki dü§ümden birer
küçük daire dilimi çkarlup meydana gelen dört bitim noktas birbirini
kesmeyen iki yeni e§ri parças ile birle³tirilerek elde edilir, sonuç olarak
K = K1 ]K2
³eklinde bir çift dü§ümdür.
Tanm 10.7.1. E§er a³ikar olmayan
izomorf de§il ise
K
ya
asal dü§üm
L
ve
M
dü§ümleri için
K , L]M
denir. Dü§üm tablosu yalnzca asal
dü§ümleri gösterir.
D
Tanm 10.7.2. Bir
bunlarn saysnada
dü§ümünün diyagramnda üst geçi³lere
köprü says n
Tanm 10.7.3. Bir
K
köprü
verir.
dü§ümünün köprü says
b(K) K ya
ait diya-
gramlarda elde edilen köprü saylarnn minimumuna e³ittir.
E§er
K
bir unknot ise
Not 10.7.1.
b(K) = 1
85 , 810 , 815
olur.
hariç olmak üzere dü§üm tablosundaki tüm
dü§ümler 2-köprülü dü§ümlerdir. Bu hariç olan dü§ümler 3-köprülü
dü§ümlerdir. Ancak 3-köprülü dü§ümler tam olarak snandrlamam³tr.
151
10.8
DNA'ya Ksa Bak³
Son yllarda moleküler biyolo jide pekçok geli³meler meydana gelmi³tir.
Bu geli³melerin bir ksmda matemati§in moleküler biyolojiye uygulanmas ile gerçekle³mi³tir. Özellikle dü§üm teorisi DNA rekombinasyonu
için oldukça güzel bir yol verir. DNA ile matemati§n ili³kisi 1950 lerde
dublex DNA nn sarmal Crick-Watson yapsn ke³ ile ba³lam³tr. Bir
matematik modeli olan Özel-Bölgeli Rekombinasyon Tangel Modeli ilk
olarak De Witt Sumners tarafndan tantlm³tr.
Bu ksmda ise asl amacmz dü§üm teorisinin DNA rekombinasyonuna
uygulanmasnn detaylarn vermek olacaktr. DNA nn hücre çekirde§i içerisinde bulunan çok uzun ve ince moleküller oldu§unu biliyoruz.
Bu moleküller canlnn hayati özelliklerini ta³yan ve biyolo jik bilginin
nesilden nesile aktarlmasn sa§layan DNA molekülü bulunur. nsan
DNA s 3.2 milyar yap ta³ndan olu³an bir bilgi hazinesi, bir kitaptr.
Bu kitaptaki hareri yan yana dizecek olursak, biner sayfalk 10.000
kitaptaki bilgiye denk gelir.
Bir insann trilyonlara yakn hücrelerinin hepsinin çekirdi§inde bulunan DNA çok sk bir ³ekilde kendi etrafnda dolanm³tr ve bu ³ekliyle
bir yuma§ andrr . DNA molekülü yumak halinden çkarlp bir ipli§e
dönü³türüldü§ünde, bu DNA nn uzunlu§u binbe³yüz cm ye yakndr.
Bu 1.5 metrelik ³erit
10−6
metre çekirdek içinde bulunur. Bu da DNA
nn neden çekirdek içinde karma³k ve dü§ümlenmi³ bir ³ekilde bu-
152
lunu§unu bize açklamaktadr.
DNA'y gözümüzde canlandrrsak çok uzun iki ³eridin milyonlarca kez
birbirine geçmi³, dü§ümlenmi³ ve ardarda pekçok kez sarmalanm³ bir
halde oldu§unu dü³ünebiliriz. Ancak replikasyon ve translasyon i³lemlerinin uygulanmas e§er DNA dü§ümlenmi³ ve karma³k olmasndansa,
düzenli bir ³ekilde sralanm³ ise daha kolaydr. Enzimler ise dü§ümleri ince ³eritler ³eklinde böler ve bunlar daha düzgün bir hale gelecek
³ekilde ³eritleri tekrar ba§lar.
Topolojik ilkeleri kullanarak DNA nn dü§üm çözme i³lemini daha
iyi anlayabiliriz. Çünkü DNA replikasyon ve translasyon i³lemlerini
gerçekle³tirebilmek için hzlca kendi dü§ümlü yapsn çözmelidir. Ve
bu aslnda topolo jik bir problemdir. Dü§üm teorisi ara³trmaclara DNA
paketlemesi ile ilgili olarak nitel bir tahminden çok nicel bir de§er
verir ve dü§üm teorisi sayesinde bilimadamlar DNA nn bu dü§üm
çözülme i³lemleri srasnda hangi enzimlerin kullanld§n anlamasn
sa§lar. ³te bu noktada DNA nn ifadesinde oldukça önemli olan tangle
kavram devreye girecektir.
10.9
B
bir
Tangle
3 küre, t ise B
içine gömülmü³ yönsüz yay çifti olsun. Bu yay çift-
lerinin dört bitim noktas ise kürenin ekvator noktalarndadr (KB, KD,
GB, GD).Bir tangle,
(B, t) çiftidir. Bir tangle diyagram
ise tangle n ek-
vator düzlemine yanstlmas ile elde edilir. Diyagram üzerindeki bitim
noktalarn KB, KD, GB, GD olarak i³aretleyece§iz.
Rasyonel tangle
ise bitim noktalarnn kaydrlmas ile a³ikar tangle a dönü³türülebilen
153
tangle lardr. Rasyonel tangle lar DNA larn yaps ile benzerlik gösterir ve bu sebeple bizim asl odak noktamz olacaktr. VE bu yolla
dönü³türülemeyen tangle lar da vardr bunlarda
dü§ümlenmi³ tangle
asal tangle
ve
yerel
yaplardr.
“ekil 10.9: Tangle Örnekleri a.Rasyonel b.A³ikar c.Asal d.Yerel Dü§ümlenmi³
Her rasyonel tangle
(a1 , a2 , . . . , an ), ai ∈ Z, ∀i
vektörü tarafndan olu³-
turulur. Ve biz bu vektör yardmyla tangle diyagramn çizebiliriz: lk
olarak KB, KD, GB, GD noktalar i³aretlenmi³ bir çember ile ba³layalm ve yaylar ³ekilde görüldü§ü gibi çizelim. E§er n çift ise alt ksmdan ba³larz(GB ve GD) ve
(e§er
a1
a1
says kadar yarm kaydrma yaparz
pozitif ise sa§-el kaydrmas,
a1
negatif ise sol-el kaydrmas
yaparz.).Daha sonra diyagramn KB-KD ksmnda
a−2
kadar yarm
kaydrma yaparz. Daha sonra tekrar alt ksma dönüp ayn i³lemleri
yapmaya devam ederiz. E§er n tek say ise sa§ taraftan ba³lar ve i³lemi
daha önceki gibi uygulamaya devam ederiz. Örne§in
(2, 1, 2)
rasyonel
tangle diyagramn a³a§daki gibi çizeriz.
Her tamsayl vektör
β
rasyonel saysna e³it olan sürekli bir kesir ³ekα
linde ifade edilebilir. E§er T tangle (a1 , a2 , . . . , an )
vektörleri tarafn-
dan ifade ediliyorsa sürekli kesir
an +
1
an−1 +
1
an−2 +...+ a1
=
β
α
1
³eklinde bulunur.
β
rasyonel says T tangle nn kesri olarak adlandrlr.
α
154
Teorem 10.9.1. ki tangle izotopiktir ancak ve ancak ayn kesirlere
sahiplerse.
E§er iki tangledan biri e§er bitim noktalar hareket edilmeksizin herhangi bir ³erit koparlmadan ya da bir ³erit di§erinin üzerinden geçmeden di§erine dönü³türülebiliyorsa bunlar denk olur. Ve bu teorem sayesinde
aslnda tangle kesrinin tanglen özelliklerini belirlemede ne kadar önemli
oldu§unu anlayabiliyoruz.
Yukarda bir vektörden tangle kesrinin nasl elde edildi§ini görmü³tük
benzer ³ekilde tangle kesri sayesinde vektörü de elde edebiliriz:
β
1
= an +
1
α
an−1 + an−2 +...+
1
a1
Tabiki bu yolla farkl vektörlerde elde edebiliriz. Örne§in;
ve
(2, 2, 1)
(3, −2, 2)
7
vektörlerinin her ikisi de
kesrini verir. Fakat burada iki
5
vekörde ayn tangle' belirtir. Ayrca tüm rasyonel tangle Conway sembolü olarak adlandrlan bir tek kanonik vektör tarafndan ifade edilebilir.
Bir (a1 , a2 , . . . , an ) vektörü kanonik formda ise her 1 ≤ i ≤ n − 1 için
|a1 | > 1, ai 6= 0 ve tüm sfrdan farkl ifadeler ayn i³arete sahiptir.
Yukardaki örne§imizin Conway sembolü (2, 2, 1) dir.
Teorem 10.9.2.
kesri ile rasyonel
β
α
∈ Q ∪ 01 = ∞ (α ∈ N ∪ 0, β ∈ Z ve obeb(α, β) = 1)
tangle'lar kümesi arasnda 1 − 1 e³leme vardr.Tangle
kesirleri ve vektör notasyonlarna ek olarak tangle'lar matris olarak da
ifade edilebilirler. Bu tangle'lar
2 × 2lik matrisler cinsinden ifade edilir,
³öyleki:
u v0
v u0
Örnek 10.9.1.
β
α
=
=
23
17
1 a2k
0 1
= 1+
1
a2k−1
1
2+
1
1+ 1
5
0
1
...
= (5, 1, 2, 1)
1 0
a1 1
nin matris olarak
ifadesi a³a§daki ³ekildedir
u v0
v u0
10.10
=
1 1
0 1
1 0
2 1
1 1
0 1
1 0
5 1
=
23 4
17 3
Tangle ³lemleri
Tanm 10.10.1. A ve B tangle'lar verilsin bu iki tangle'n toplam
A+B
bir tangle'n KD ve GD bitim noktalarnn di§er tangle'n KB
ve GB bitim noktalarna srasyla eklenmesi ile elde edilir.
155
Tanm 10.10.2. Bir T tangle'nn pay kapanmas olarak bilinen,
N (T ),
i³lemi KB ve KD bitim noktalarnn birle³tirilmesi ve GB ve GD bitim
noktalarnn birle³tirilmesi ile elde edilir.
Tanm 10.10.3. Bir T tangle'nn payda kapanmas olarak bilinen,
D(T ),
i³lemi KB ve GB bitim noktalar birle³tirilmesi ve KD ve GD
bitim noktalarnn birle³tirilmesi sonucu elde edilir.
Örnek 10.10.1. Tangle i³lemleri birlikte de kullanlabilir.
(1)) = h3i i³lemi sonucu elde edilen dü§üm trefoil yani 31
(2, 0) ise Hopf zinciridir.
156
N ((2, 0) +
dir. Buradaki
Yani bu
N (A + B) = K
i³lemi sonucunda elde edilen
K
bir dü§ümdür.
Ayrca iki rasyonel tangle'n toplam her zaman bir rasyonel tangle ver-
meyebilir. ³te tam bu noktada i³lemi nasl yürüyece§ini dü³ünebiliriz;
fakat iki rasyonel tangle'n toplamnn pay kapanmas 4-plat isimli bir
dü§üm verir ve bu DNA modellemesinde oldukça önemli bir konudur.
10.11
4-Plat
Bir 4-plat dört ³eridin örülmesi ve bitim noktalarnn a³a§daki ³ekilde gösterildi§i gibi ba§lanmas ile elde edilen dü§ümdür. 4-plat ler
genelde 2-köprülü yasa rasyonel dü§ümler olarak bilinir. Sekizden daha
az çaprazlamas olan tüm asal dü§ümler ve yediden daha az çaprazlamal iki bile³enli asal zincirler 4-plattir. 4-plat dü§ümler tpk rasyonel
tangle'lar gibi tamsayl vektörlerce ifade edilebilir. 4-plat vektörü tek
sayda bile³eni olan vektörlerdir ³öyle ki;
hc1 , . . . , c2k+1 i her i için ci ≥ 1
dir ve ve buradaki her tamsay bile³eni ³eritler bir yarm kaydrmay
temsil eder. Yani rasyonel tangle'lara oldu§u gibi vektörler 4-plat diyagram çizmek için de kullanlabilir. Bunu yaparken ³u yolu izleriz: dört
³eritle ba³larz ardndan ortadaki lifde
ardndan en üstteki iki lifde
c1
kadar yarm kaydrma yaparz
c2 kadar yarm kaydrma yaparz daha sonra
da yine ortadaki iki ³erite ayn i³lemi uygularz ve bu i³leme vektördeki
tüm tamsayl bile³enleri bitirinceye kadar devam ederiz. Son olarak
bitim noktalarn ³ekilde gösterildi§i gibi birle³tirelim.
4-plat'in bu ³eklinde ifade edilmesine Conway sembolü denir ve 4plat'in minimal diyagramna denk gelir.
Teorem 10.11.1. ki 4-plat e³ittir ancak ve ancak ayn conway sembollerine sahiplerdir ya da e§er biri di§erinin tam olarak tersi olan bir
Conway sembolüne sahipse yani birinin Conway sembolü
iken di§erinin Conway sembolü
hc2k+1 , . . . , c1 i
157
hc1 , . . . , c2k+1 i
³eklinde olur.
“ekil 10.10: 4-plat çizimi
Not 10.11.1. Conway sembolü
0 < β < α
olmak üzere
β
rasyonel
α
saysnn hesaplanmasnda kullanlr.
1
β
=
1
α
c1 + c2 +...
³eklinde hesaplanr.4-plat
β
says
α
Teorem 10.11.2. ki 4-plat
b(α, β)
b(α, β)
ve
olarak gösterilir.
b(α, β)
denktir ancak ve ancak
±1
β ≡ β(modα)
b(17, 5),b(17, 7) 4-plat'leri incelersek b(17, 5) (3, 2, 2)e, b(17, 7)
de (2, 23)e kar³lk gelir. Sonuç olarak bu iki 4-plat'in denk olduklar
−1
görülür. Zaten 17 = 17 ve 5
≡ 7(mod17) olmasndan da denk oldukα=α
ve
Örne§in;
lar kolayca görülebilir.
Rasyonel saylarn kullanm bakmndan rasyonel tangle ve 4-plat ler
oldukça benzerdir. E§er verilen
0 < αβ < 1 aral§nda
b(α, β) 4-plat'ini verir ve
β
rasyonel says
α
β
rasyonel tangel'nn payda kapan³
α
β
β
e§er verilen
says
≥ 1 aral§nda ise αβ rasyonel tangle'nn pay
α
α
ise
kapan³ ise b(β, −α) 4-plat'ini verir. Herhangi bir x tamsays için
D((d1 , . . . , d2k+1 , x)) = hd1 , . . . , d2k+1 i ve N ((d1 , . . . , d2k+1 , x, 0)) = h−d1 , . . . , −d2k+1 i
olur. Daha öncede bahsetti§miz gibi iki rasyonel tangle'n toplamnn
pay kapan³ bir 4-plat idi. Bir sonraki teoremimiz ise rasyonel tangle'larn pay kapan³ ile elde edilen rasyonel dü§ümlerin denkli§i ile
ilgili bilgi verecek.
p0
p
ve 0 indirgenmi³ kesirleri ile verilen iki rasyonel
q
q
p
p0
tangle alalm. E§er N ( ) ve N ( 0 ) tangle'larn pay kapanmas sonucu
q
q
Teorem 10.11.3.
elde edilen rasyonel dü§ümler olmak üzere bu dü§ümler birbirlerine
0
N ( pq ) ve N ( pq0 ) topolo jik olarak denktir ancak ve ancak
≡ q 0 (modp) oluyorsa.
kar³lk geliyorsa
p = p0
ve
q ±1
158
10.12
Tangle Denklemlerinin Çözümü
K
N (A + B) = K
Daha önceki bölümlerde de gördü§ümüz gibi tangle denklemleri
dü§üm ya da zincir,
A
ve
B
tangle olmak üzere
³eklindeki denklemlerdi. ³te bu demklemlerin çözümü enzim mekanizmalarn daha iyi anlamamz için yardmc olacaktr.
Lemma 10.12.1. ki rasyonel tangle
A1 =
N (A1 + A2 ) i³lemi b(α, β) ³eklinde bir 4-plat
α2 β1 | olur ve β a³a§daki gibi tanmlanr:
A2 = αβ22 verilsin.
tanmlar ve α = |α1 β2 +
β1
ve
α1
(a)
α=0
ise
β = 1;
(b)
α=1
ise
β = 1;
(c)
α > 1 ise β ³u ³ekilde elde edilir: 0 < β < α ve σ = sign(α1 β2 +
α2 β1 ) ve α20 ve β20 nin αβ22 tangle'nn 2. sütunun bile³enleri oldu§u
0
0
yerde β ≡ σ(α1 α2 + β1 β2 )(modα) ³eklinde bulunur.
A1 = 2 ve A2 = 23
olarak alalm. α = |1×23+17×2| =
17
β
23
Örnek8.1 de
= 17 tangle'nn matrisini bulmu³tuk ve a³a§α
Örnek 10.12.1.
57
olur.
daki gibiydi:
u v0
v u0
=
1 1
0 1
1 0
2 1
1 1
0 1
1 0
5 1
=
23 4
17 3
α20 ve β20 de§erlerini bulabiliriz. β = (1×4+2×3)(mod57) = 10
hesaplanr. Sonuç olarak i³lemin sonucu N (A1 + A2 ) = b(57, 10)
buradan
olarak
bulunur.
A=
β
α
= (a1 , . . . , a2n ) bir rasyonel tangle ve K =
hc1 , c2 , . . . , c2k+1 i bir 4-plat olsun. N (X + A) = K 6= h0i denkleminin rasyonel tangle çözümü: r herhangi bir tamsay olmak üzere X =
(c1 , . . . , c2k+1 , r, −a1 , . . . , −a2n ) ya da X = (c2k+1 , . . . , c1 , r, −a1 , . . . , −a2n )
Teorem 10.12.1.
olur.
E§er
K = h0i
ise
X = (−a1 , −a2 , . . . , −a2n )
tek çözümdür.
A1 ve A2 iki farkl rasyonel tangle ve K1 ve K2
N (X + A1 ) = K1 ve N (X + A2 ) = K2 denklemlerinin
Teorem 10.12.2.
de
4-plat olsun.
en
fazla iki farkl rasyonel tangle çözümü vardr.
spat
159
A2 = αβ22 , K1 = b(α, β) ve K2 = b(α0 , β 0 ) olsun.
0
Lemma11.1 den α = |vβ1 + α1 u| ve α
= |vβ2 + α2 u| olarak buu
= −u
lunur. (u, v)-düzleminde bu denklemler iki paralel çifti belirtir.
v
−v
X =
u
,
v
A1 =
β1
,
α1
oldu§undan bu dört nokta bu denklem sistemi için en fazla iki farkl
rasyonel tangle belirtir.
Örnek 10.12.2.
A1 =
1
,
3
A2 =
5
, K1
17
= b(5, 3) ve K2 = b(29, 17) olsun.
|v + 3u| = 5
|5v + 17u| = 29
Bu denklem sisteminin çözümü:
v + 3u = 5
5v + 17u = −29
buradan
X = − 27
86
çözümünü elde ederiz. Bir di§er çözüm de:
v + 3u = 5
5v + 17u = −29
buradan da
X = − 27
86
10.13
Özel Bölgeli Rekombimasyon
bulunur.
Deoksiribonükleik asit (DNA)
hücre çekirde§i içinde skca paketlenmi³
uzun ve ince moleküllerdir. Dubleks DNA iki ³eritten meydan gelir.
Ve bu ikili ³erit iki ³eker fosfat zinciri molekülün d³ ksmn olu³tururken, hidro jen ba§l yass baz çiftleribunlar ba§lar. DNA yapsndaki
dört baz A-adenin, G-guanin, C-sitozin ve T-timin dir. Ve bunlar birbirine hidro jen ba§larla ba§lanr. A yalnzca T ile, C ise yalnzca G ile
ba§lanr. ³te bu yapya DNA'nn ikili sarmal yaps denir. Bir satrdaki hareri okuyarak di§er satra gelecek olan hareri tahmin edebiliriz. ³te okunan bu tek ³eride DNA'nn genetik dizisi denir. DNA
sarmal ³ekilde sa§-el kuralna göre yarm kvrlma yapar. Bu her yarm
kvrlmaya
supercoil
denir. Daha öncede bahsetti§miz gibi DNA bir-
takm hayati enzim aksiyonlar sayesinde topolojik olarak i³letilir. Bu
enzimatik aksiyonlardan biriside Spesik-Bölgeli Rekombinasyondur.
160
Spesik-Bölgeli Rekombinasyon bir DNA blo§unun molekül üzerinde
bir pozisyondan di§erine ta³nmasdr. Rekombinasyon ise yeniden düzenleme, gen regülasyonu, kontrol numarasnn kopyalanmas ve genin tedavisi için kullanlr. Bu uygulama
recombinase
asl enzim tarafndan
yaplr. DNA'nn genetik dizisinin küçük bir parças recombinase tarafndan etkilenmi³ olursa bu parçaya
rekombinasyon bölgesi
denir. Ayn
moplekül ya da farkl molekül üzerindeki bölge çifti bir enzim tarafndan ba§lanr. Bu reaksiyon a³amasna
leri ve enzim ise
molekülüne
sinaptik kompleks tir.
substrat
sinapsis
denir. DNA molekül-
Rekombinasyondan önceki DNA
ve rekombinasyondan sonra ise
product
denir. En-
zim DNA'ya ba§land§nda DNA'nn iki tarafn da krar ve son ksmlarn farkl ³ekilde birbiriyle rekombine eder. Rekombinasyon bölgeleri
DNA ³eridindeki bazlara göre yön alrlar.
Enzim DNA'ya ba§lanrken rekombinasyon olay birden fazla kez gerçekle³ebilir.
10.14
Tangle Modeli
1980 de DeWitt Sumners tarafndan tantlan tangle modelin amac
rekombinasyon srasnda olan olaylarn matematiksel olarak ifade edilmesidir. Bu sayede, DNA ürün ve substratnn topolojik ve geometrik
olarak enzimin neler yapt§n ifade edebiliriz. Elektron mikrograarnda
DNA lierinin birbiri etrafnda doland§ görülebilir. 4-plat ve rasyonel
tangle'lar kvrlan ³eritlerden meydana geldi§inden bunlar DNA modellemesi için oldukça uygun adaylardr. Tangle'n tanmn hatrlarsak
t'nin yönsüz yay çifti ve B nin 3-küre oldu§u yerde B içine gömülmü³
(B, t)
çifti idi. Bir tangle enzim-DNA kompleksinin modellemesinde
kullanlabilir ³öyle ki; enzim 3-küre ve iki rekombinasyon bölgesi de
iki ³erit olacak ³ekilde. Rekombinasyon olaynn en çok gözlenen ürünü
ise 4-plattir, bu oldukça akla yatkndr çünkü 4-plat ile enzim-DNA
kompleksini modelleyebilir ve de§i³iklikleri tangle denklemleri ile ifade
edebiliriz. Ancak enzim mekanizmasn tangle model ile ifade etmeden
önce bir kaç varsaym yapmalyz. lk varsaymmz enzim-DNA kompleksini tangle'larn toplam olarak ifade edece§iz. E enzim,
Ob
DNA
nn enzime ba§lanan ksm ve P de reaksiyon srasnda de§i³en ksm
olsun. O nedenle enzim-DNA kompleksini
E = Ob + P
³eklinde ifade
edebiliriz. Tabii ki ayn zamanda enzime ba§l olmayan bir DNA'ya da
ihtiyacmz olacak. ³te DNA'nn bu ³eklinin de tangle ile ifadesi de
olacak. “imdi ise
N (Of + Ob + P ) = K0
161
Of
tangle denklemini l-elde ederiz
ve bu bize substrat molekülünü verir. kinci varsaymmz ise rekombinasyon P bölge tangle'nn rekombinasyon tarafndan döndürüldükten
sonra ki halini ise R recombinant tangle' ile ifade edelim. Bu varsaym
ile bir rekombinasyon ile P bölge tangle' R recombinant tangle'na
dönü³ür. A³a§da ise rekombinasyon dönü³ünden sonraki modeli ifade
edelim:
N (Of + Ob + P ) = K0
N (Of + Ob + R) = K1
(substrat)
(product)
Ayrca ³unu da unutmamalyz ki; rekombinasyon mekanizmas sabittir, substrat geometrisi ve topolojisinden ba§mszdr. Bu demektir ki;
e§re tüm substrat molekülleri ayn dü§üm tipinde ise
Of , Ob ,
P ve
R tangle'lar bir olaydan di§erine de§i³mez. E§er substrat molekülleri
farkl tipte dü§ümler ise yalnzca
Of
tangle' de§i³ir. Yalnz bu durumda
göz önünde bulundurmamz gereken tek istisna bölge yönlendirmesidir.
Son varsaymmz tangle denklem sistemini tarafndan verilen processive rekombinasyon modeli:
N (O + P ) = K0
N (O + R) = K1
O = Of + Ob
ve O,P ve R bilinmiyorsa
(substrat)
(birinci dönü³ sonucu ortaya çkan ürün)
..
..
..
N (O + nR) = Kn
(n. dönü³ sonucu ortaya çkan ürün)
ortaya çkar.
10.15
Örnek
2002 ylnda Mariel Vazquez ve De Witt Sumners Gin spesik-bölgeli
rekombiinasyonu analiz edebilmek için tangle modeli kullandlar. Bu
böl§mde onlarn bulu³larndan bahsedece§iz. Bu tangle modelin spesikbölgeli rekombinasyon için kullanld§ yalnzca bir örnektir. Gin,Mu
adl bir bakteriyofaj tarafndan kodlanan bir spesik-bölgeli rekombinasyon i³lemidir. Bakteriyofa j, bakterileri etkileyen virüslerdir. Faj
genomu gix L ve gix R olarak adlandrlan iki rekombinasyon bölgesine
sahiptir. Biri DNA'ya ba§lanr ve Gin her iki taraf da krar, bitim noktalarn yönlendirir ve bunlar birle³tirir. Gin, çift ba§lanma srasnda
birden daha fazla rekombinasyon meydana getiren processive rekombinassyon ile etki gerçekle³tirir. Gin rekombinasyonun dü§ümsüz substrat molekülü üzerindeki tangle analizinin sonuçlar ters olarak gix
bölgelerinde a³a§daki gibi tekrar edilir:
162
K0 = h1i (dü§ümsüz)
K1 = h1i (dü§ümsüz)
K2 = h3i = 31 (trefoil dü§ümü)
K3 = h2, 1, 1i = 41 (8-gür dü§ümü)
K4 = h2, 2, 1i (5-twist dü§ümü)
2004 ylnda De Witt Sumners ve Mariel Vazquez yukardaki dört denklemin çözümünü veren bir sonuç ke³fetti ve tam olarak be³inci denklemi tahmin ettiler.
Teorem 10.15.1. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için
çözümü olan
(O, R)
(a)
N (O + P ) = h1i =dü§ümsüz
(b)
N (O + R) = h1i =
(c)
N (O + R + R) = h3i =trefoil dü§ümü
ya ((−2, 0), 1) ya da ((4,1),(-1))dir. Ayrca
(d)
ise
dü§ümsüz
N (O + R + R + R) = h2, 1, 1i =8-gür
(O, R) = ((−2, 0), (1))
e§er
dü§ümü
³eklinde bir tek çözüm vardr.
Biz burada O ve R nin rasyonelli§ini kontrol etmedik bunun yerine
tangle denkleminin nasl çözüldü§ünü inceledik.Daha önce verilen bir
A1 = αβ11 ve A2 = αβ22 gibi iki rasyonel tangle verildi§inde
α = |α1 β2 + α2 β1 | alnd§nda N (A1 + A2 ) ³eklinde ve b(α, β) 4-plat'in
e³it oldu§unu bulmu³tuk. Yukarda verilen (2) ve (3) denklemlerinden
lemmada
a³a§daki sistemi elde edebiliriz:
|u + rv| = 1
|yu + 2rv| = 3
u,r,v bilinmeyen de§erlerdir.
( uv , r) sral ikilisi için on farkl çözüm elde
(O, R) tangle çifti için on farkl çözüm elde ederiz. Bu
çözümler ((−2, 0), (1), ((1), (−2)), ((5), (−4)), ((−2, −2), (2)), ((4, 1), (−1))
edebiliriz. Böylece
ve bunlarn ayna yansmalardr. Bir sonraki teorem yardmyla bu
sonuçlarn bir ksmn eleyebiliriz.
Teorem 10.15.2. Bir sonraki teoremde verilen
(1), (2), (3)
denklem-
lerinde verilen tangle'lar ters olarak tekrar edilen bölgeli Gin rekombinasyonundan gelirler. Ve bunlar a³a§da verdi§imiz özellikleri sa§lar:
O ≈ (0, 0), R ≈ (1), P ≈ (0).
163
O ≈ (0, 0)
oldu§undan ve integral tangle (0),(1) ile e³li§i oldu§undan
O integral tangle' için elde edilen sonuçlar yok sayabiliriz. Ek olarak,
R ≈ (1) ise integral tangle'lar (0) e³li§ine sahip olmasndan dolay
R = (2) çözümünden de kurtulabiliriz. Ayn zamanda (3) denkleminin
e§er
dü§üm ürünü chiral oldu§undan ayna yansmalarn da yok sayabiliriz.
Böylece yalnzca iki çözümümüz kalr ve bunlardan da yalnz birisi (4)
denklemini sa§lar.
Bu tangle analizinin ³§nda Sumners ve Vazquez Gin gix bölgeleri
ile bir substrata etki etti§inde herbir rekombinasyona kar³lk gelen
dönü³te enzim mekanizmas substrata bir pozitif çaprazlama ekler.
Teorem 10.15.3. A³a§daki denklem sisteminin O,P,R tangel'lar için
çözümü olan
(O, R)
(a)
N (O + P ) = h1i =dü§ümsüz
(b)
N (O + R) = h3i =trefoil
(c)
N (O + R + R) = h1, 2, 2h=(-5)twist dü§ümü
ya ((−2, 0), (2)) yada ((2, 1, 1, 2), (−2)) olur Bunna
(d)
dü§ümü
N (O + R + R + R) = h1, 4, 2i =(-7)twist
ise (O, R) = ((−2, 0), (2)) olur ve
(e) her
n≥4
içi
N (O + nR) =-(2n+1)twist
ek olarak e§er
dü§ümü
dü§ümü olur.
Bu örnekte tangle model Gin mekanizmasnn yapsnn matematiksel
olarak gösterimi için kullanld. Ve sonuç olarak bu bize gösterir ki; ters
olarak tekrarlanan rekombinasyon bölgeleri tangle'a
deyi³le
(+2)
R = (+1)
(1) ekler ba³ka bir
R =
olur. Direk olarak tekrarlanan bölgelerde ise
olur.
164
ALI“TIRMALAR
(a) A³a§daki zincirlerin zincirleme saylarn belirleyiniz. Bu zincirlerden hangileri a³ikar olmayan zincirlerdir? Açklaynz.
(b) Hopf, Borromean ve Whitehead zincirlerine bir yön tayin ediniz ve
zincirleme saylarn hesaplaynz. Bu zincirlerden hangileri a³ikar
olmayan zincirlerdir? Açklaynz.
(c) a) “ekilde verilen Möbiüs ³eridinin snr e§risi ile merkez do§rusunun zincirleme saysn hesaplaynz. b) Gösteriniz ki
R3
de sol-el
Möbiüs ³eridini sa§-el Möbiüs ³eridine deforme edebilecek bir ambient isotopy yoktur.
c) Gösteriniz ki üç yar-burulmal Möbiüs ³eridinin tek yar-burulmal
Möbiüs ³eridine deforme edilemez.
165
(d) 5 çaprazlamaya sahip 2 dü§üm tipi bulunmaktadr ve a³a§da gösterilmi³tir. Bu iki dü§ümün de üç renklendirilebilir olmad§n gösteriniz.
(e) 6 çaprazlamaya sahip 3 temel dü§üm tipi bulunmaktadr ve a³a§da
gösterilmi³tir. Bu dü§ümlerin hangilerinin üç renklendirilebilir oldu§unu
belirleyiniz.
(f ) a) Trefoil dü§ümünün diyagramnn 6 farkl yolla üç renklendirilebilece§ini gösteriniz.
b) Yukardaki "granny" dü§ümü iki trefoil dü§ümünün birbirine
ba§lanmas ile edilir. Bu dü§ümün diyagramnn 24 farkl yolla üç
renklendirilebilece§ini gösteriniz.
(g) “ekil-sekiz dü§ümünün Alexander polinomunu hesaplaynz.
166
(h) Derste Alexander polinomunu hesaplad§mz a³a§daki dü§ümün
çaprazlama-yay matrisinde farkl bir satr ve sütunu sildi§imizde
Alexander polinomunun de§i³meyece§ini gerçekleyiniz.
(i) A³a§daki yönlendirilmi³ dü§üm diyagramnn çaprazlamalarnn
ve bölgelerinin indislerini belirleyiniz.
(j) a) A³a§daki dü§ümün Alexander polinomunun
−2t + 2 oldu§unu
görünüz. b) Bu dü§ümün e§rilerinden birinin yönünü de§i³tiriniz.
Gösteriniz ki 4 tane sol el çaprazlamaya sahip bu zincirin Alexander polinomu
−t3 + t2 − t + 1
167
dir.
(k) Hopf zincirinin
4 polinomunu hesaplam³tk. Yine ayn ³ekilde x2
çaprazlamasna sol el çaprazlamas uygulanrsa Skein ba§ntsndan
4 = t1/2 − t−1/2
elde edilece§ini gösteriniz.
(l) Yine ayn Hopf zincirinin
4
polinomunu hesaplamadaki ³ekli ele
alalm. Hopf zincirinin e§rilerinden birinin yönünü de§i³tirelim
böylece iki çaprazlama da sa§ el çaprazlamas olsun. O zaman
Skein ba§ntsndan
4 = −t1/2 + t−1/2
elde edilir. Gösteriniz.
(m) a) “ekil-8 dü§ümünün bir sa§ el çaprazlamasna Skein ba§nts
4
uygulayarak
polinomunu hesaplaynz. b) “ekil-8 dü§ümünün
4 polinomunu hesaplaynz. c) Bu iki sonucun bu dü§ümün −2t+2 Alexanbir sol el çaprazlamasna Skein ba§nts uygulayarak
der polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
4
polinomunu hesaplaynz. Elde etti§iniz sonucun bu zincirin −t +
t2 − t + 1 Alexander polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(n) a) 10 uncu sorudaki zincirin Skein ba§ntsndan yararlanarak
3
b) Yine ayn ³ekli ele alalm. Bu sefer a³a§ya bakan okun yönünü
yukarya do§ru çevirerek
4
polinomunu hesaplayalm. Elde et-
ti§iniz sonucun bu yönlendirimi³ dü§ümün
−t3 + t2 − t + 1 Alexan-
der polinomu ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(o) A³a§daki zincirin sol el çaprazlamasna sahip en üst çaprazlamasna Skein ba§ntsn uygulayarak
Bu sonucun
−1
2t − 3 + 2t
ile uyumlu oldu§unu gerçekleyiniz.
(p) Üç tane sa§-el çaprazlamasna sahip
polinomunun
t + t3 − t−4
4 polinomunu hesaplaynz.
K
Trefoil dü§ümünün Jones
oldu§unu gösteriniz.Buradan hareketle
trefoil dü§ümünün aynadaki görüntüsüne denk olamayaca§ sonucuna varnz.
(q) a)
Zincirleme says
+1
olan bir Hopf zincirinin Jones polino-
168
munu hesaplaynz. b)
Zincirleme says
−1
olan bir Hopf zin-
cirinin Jones polinomunu hesaplaynz.
(r) 4 üncü sorudaki 5 çaprazlamal iki dü§ümün Jones polinomlarn
hesaplaynz.
169
Kaynakça
[1] Colin C. Adams, The Knot Book: An Elemantery In-
roduction to Mathematical Theory of Knots, American
Mathematical Society, 2004.
[2] Colin Adams and Robert Franzosa, Introduction to Topol-
ogy, Pearson Prentice Hall Inc., 2008.
[3] Glen
E.
Bredon,
Topology
and
Geometry,
Springer-
Verlag, New York, 1993.
[4] Stephan C. Carlson, Topology of Surfaces, Knots, and
Manifolds, John Wiley & Sons, Inc, 2001
[5] Fred H. Croom, Basic Concepts of Algebraic Topology,
Springer-Verlag, New York, 1978.
[6] Sue E. Goodman, Beginning Topology, American Mathematical Society, 2009.
[7] William S. Massey, A Basic Course in Algebraic Topol-
ogy, Springer-Verlag, New York, 1991.
[8] John McCleary A First Course in Topology, American
Mathematical Society, 2006.
[9] Robert Messer and Philip Stran, Topology Now!, The
Mathematical Association of America, 2006.
[10] James
R.
Munkres,
Elements
of
Algebraic
Topology,
Springer-Verlag, New York, 1984.
[11] Joseph J. Rotman An Introduction to Algebraic Topology,
Springer-Verlag, New York, 1998.
[12] Brian Sanderson, Lecture Notes (Knot Theory MA3F2),
2006.
[13] Loring W. Tu, An Introduction to Manifolds, SpringerVerlag, New York 2008.
170