Rassal Değişken

Rassal Değişken
S örnek uzayı içindeki her bir basit olayı yalnız bir gerçel (reel)
değere dönüştüren fonksiyona rassal değişken adı verilir. Şu halde
rassal değişken bir fonksiyon olup örnek uzayından gerçel sayı
kümesine bir dönüşüm sağlar.
X: S
AЄR
Diğer bir ifadeyle rassal değişken deney sonuçlanmadan alacağı
değer kestirilemeyen, ancak deney yapıldıktan sonra aldığı
değerler gözlemlene bilen değişkene denir. Rassal değişkenleri
isimlendirmek için X, Y, Z gibi büyük harfler kullanılır.
Örnek:
•Bir futbol takımının yapacağı bir maçta atacağı gol sayısı
•Bir para ile yapılan 10 atışta gelecek yazı sayısı
•Bir beyaz eşya mağazasında herhangi bir günde satılan buzdolabı
sayısı
•Bir Şeker fabrikasında herhangi bir günde üretilen şeker miktarı
•Bir dolmuşun üniversite kampüsüne geliş süresi
• Örnek: Bir para ile yapılan 3 atış deneyinde örnek uzayını
oluşturarak yazı sayısı rassal değişkenini belirleyiniz.
Örnek uzay
X: Yazı sayısı
TTT TTY TYT YTT TYY YTY YYT YYY
0
1
1
1
2
2
2
3
• Örnek: Bir kutuda bulunan 5 Mavi 10 Kırmızı toptan
rasgele 3 top çekildiğinde kırmızı top sayısı rassal
değişkenini oluşturunuz.
Örnek uzay
MMM MMK MKM KMM MKK KMK KKM KKK
X: Kırmızı top sa
0
1
1
1
2
2
2
3
• Örnek: bir takımın yapacağı 2 maçta örnek uzayı ve
kazanacağı maç sayısı rassal değişkenini oluşturunuz.
Örnek uzay
MM
MB
BM
BB
MG
GM
BG
Kazandığı maç
0
0
0
0
1
1
1
GB GG
1
2
Kesikli ve Sürekli rassal değişkenler
• Kesikli rassal değişken: Bir değişken sonlu sayıda ya da
sayılabilir sonlu sayıda değerler alıyorsa bu değişkene kesikli
rassal değişken adı verilir. Kısaca rassal değişken aldığı
değerler tam sayılarla / tam değerlerle ifade edilebilen
değişkenlerdir.
• Örnek:
• Herhangi bir ailedeki çocuk sayısı,
• Herhangi bir işletmede çalışan işçi sayısı,
• İşletmede üretilen parça sayısı,
• Polikliniğe gelen hasta sayısı,
• İşletmedeki arızalı makine sayısı,
• Bir öğrencinin test sınavındaki doğru cevap sayısı,
• Bir paranın 10 kez atılışında tura sayısı,
• Okul kantininde belli bir günde satılan çay sayısı
• Örnek: Sonsuz sayıdaki bir mamul yığınından rassal olarak mamuller
seçiliyor. bozuk mamule rastlanana kadar seçim devam edecektir.
Rassal değişken ilk bozuk mamule rastlanana kadar seçilen mamul
sayısı olmak üzere şöyle yazılabilir.
Deney
Seçilen mamul sayısı
(X)
B
1
SB
2
SSB
3
SSSB
4
SSSSB
5
SSSSSB
6
…
.
…
.
• Yukarıdaki deney sonsuz sayıda yapılabilir, ancak örnek uzayı sayılabilir
sayıda sonuç içerir. Dolayısıyla rassal değişken kesiklidir.
Sürekli rassal değişken: Bir rassal değişkenin aldığı değerler
tam sayılarla / tam değerlerle ifade edilmeyip bir değerler
aralığı şeklinde ifade edilebiliyorsa bu değişkene sürekli rassal
değişken adı verilir. Sürekli rassal değişkenin belli bir değeri
tam olarak alması imkansızdır. Bu sebeple sürekli rassal
değişkene ait değerler bir aralıkla ifade edilirler.
Örnek:
• Herhangi bir kişinin ağırlığı,
• Bir aracın belli bir andaki hızı,
• Bir aracın belli bir gündeki tükettiği yakıt miktarı,
• Bir işletmenin ürettiği kumaş miktarı,
• Bir mamulün üretim süresi,
• 1 metreküp havadaki karbon monoksit miktarı,
• Konutlarda tüketilen su miktarı vs.
Kesikli rassal değişkenin olasılık dağılımları
• X ile gösterilen kesikli rassal bir değişkenin aldığı değerler
x1,x2,x3,….
ise değişkenin bu değerlerden sadece birini alma
olasılığı
f(x)= P(X=x) şeklinde yazılabilir ve X in olasılık
yoğunluk veya olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır.
• Örnek: Bir para ile yapılan 5 atış deneyinde yazı sayısı rassal
değişkenini ve olasılık dağılımını yazınız.
• Çözüm:
• Mümkün hal sayısı 2n = 25 = 32
• Uygun haller:
• 0 yazı, 5 tura 5C0 = 1
• 1 yazı, 4 tura 5C1 = 5
• 2 yazı, 3 tura 5C2 = 10
• 3 yazı, 2 tura 5C3 = 10
• 4 yazı, 1 tura 5C4 = 5
• 5 yazı, 0 tura 5C5 = 1
Yazı sayısı
Uygun hal
sayısı
Olasılık
0 yazı
1
1/32
1 yazı
5
5/32
2 yazı
10
10/32
10
10/32
4 yazı
5
5/32
5 yazı
1
1/32
Toplam
32
1
3 yazı
Mümkün
hal sayısı
32
Olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf)
• Bir kesikli değişkene ait fonksiyon aşağıdaki iki şartı
sağlıyorsa olasılık fonksiyonu ya da olasılık yoğunluk
fonksiyonu olarak adlandırılır.
• 1) f(xi)  0 olmalıdır. Rassal değişkenin tanım aralığındaki
herhangi bir değeri alma olasılığı sıfırdan küçük olamaz.
• 2) Σf(xi) = 1 olmalıdır. Rassal değişkenin tanım aralığındaki
bütün değerleri alma olasılığı 1 dir. Yani rassal değişkene
ait değerlerin olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.
• Bir para ile yapılan 5 atış deneyi için yukarıdaki iki şart
yerine geldiğinden yazı sayısı rassal değişkenine ait olan
fonksiyon kesikli bir olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
• Bir para ile yapılan 5 atış deneyinde (n=5) yazı
sayısı rassal değişkeni için olasılık yoğunlu
fonksiyonu (oyf) şöyle yazılır.



f ( x)  


5 
 
 x
5
2
0
x  0,1,2,3,4,5
diger haller
Olasılık dağılım fonksiyonu (odf)
• Olasılık dağılım fonksiyonu kısaca kümülatif (birikimli,
eklenik) olasılık yoğunluk fonksiyonu demektir. Kesikli bir
rassal değişkenin belli bir değere eşit ya da küçük olma
olasılığını veren fonksiyondur.
• X kesikli rassal değişkeninin dağılım fonksiyonu F(x) ile
gösterilir ve şöyle ifade edilir.
F ( x) 

f (t )
tx
• Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) ile gösterilir ve bireysel
olasılıkları gösterir. Olasılık dağılım fonksiyonu ise F(x) ile
gösterilir ve x’e eşit ya da küçük değişken değerlerinin
olasılıkları toplamını verir.
• Eğer X sadece sınırlı sayıda değerler alıyorsa , bu durumda dağılım
fonksiyonu ya da kümülatif yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şeklide
yazılabilir.
0
 f (x )
1

 f ( x1 )  f ( x2 )
F ( x)
.................
.................

 f ( x1 )  f ( x2 )  ....  f ( xn )  1
0  x  x1
x1  x  x2
x 2  x  x3
xn  x  
• Örnek: Bir para ile yapılan 5 atış deneyinde yazı gelme
sayısı rassal değişkeni için olasılık dağılım fonksiyonunu
belirleyiniz.
0
1

 32
1
5
6

 
 32 32 32
1
5 10 16




32 32 32 32
F ( x)
 1  5  10  10  26
 32 32 32 32 32
1
5 10 10 5 31
    

 32 32 32 32 32 32
1
5 10 10 5
1





1

 32 32 32 32 32 32
1
x 0
x0
x 1
x2
x3
x4
x5
x5
• Örnek: Bir beyaz eşya mağazasında günlük buzdolabı
satışları için aşağıdaki fonksiyon elde edilmiştir.
• a) Fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için k ne
olmalıdır?
• b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu açık olarak gösteriniz.
• c) Olasılık dağılım fonksiyonunu gösteriniz.
 k
 2
f ( x)   x
 0
x  1,2,3,4
diger haller
• Çözüm: a) Bilindiği gibi bir fonksiyonun olasılık fonksiyonu
olabilmesi için iki şartın yerine gelmesi gerekiyordu.
• 1. şart f(xi)  0 olup yukarıdaki fonksiyonda k>0 olursa bu
şart yerine gelmiş olur.
• 2. şart Σ f(xi) = 1 olması idi. Fonksiyonun bu şartı yerine
getirebilmesi k’nın alacağı değere bağlıdır.

k k
k
k
f ( xi )  1  2  2  2  2  1
1 2 3 4
k k k k
   1
1 4 9 16
144k  36k  16k  9k
1
144
205k
144
1 k 
olur.
144
205
• Olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf)
 144

f ( x)   205 x 2

 0
x  1,2,3,4
diger haller
• b) Olasılık yoğunluk fonksiyonunun açık gösterimi (oyf)
144
 205

 36
 205
 16
f ( x)
 205
 9
 205

0

x 1
x2
x 3
x4
diger
• c) Olasılık dağılım fonksiyonu (odf)
0
144

 205
180

 205
F ( x) 
196
 205
 205

 205
1
x 1
x 1
x2
x 3
x 4
x 4
Sürekli olasılık fonksiyonları
• X değişkeni (-∞;+ ∞) aralığında tanımlanmış bir sürekli rassal
değişken olsun. Aşağıdaki şartları sağlayan f(x) olasılık fonksiyonu
X sürekli rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu olarak tanımlanır.
• 1) f(x)  0

• 2)
 f ( x)dx  1

• Sürekli bir rassal değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri
tam olarak alma olasılığı sıfırdır. Bu durumda
• P(a≤ X ≤b) = P(a<X<b) = P(a ≤ X<b) = P(a<X ≤ b) olur.
b
•
P(a  X  b)  P(a  X  b)   f ( x)dx
a
şeklinde hesaplanır.
• f(x) fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonu (oyf) olarak
adlandırılır. F(x) ile gösterilen fonksiyon dağılım fonksiyonu
(odf) olup olasılık yoğunluk fonksiyonunun eklenik (kümülatif)
halidir. Buna göre dağılım fonksiyonu (odf) şöyle ifade edilir.
x
F ( x)  P (u  x) 
 f (u )du

• Dağılım fonksiyonu (odf) bilindiği
fonksiyonu (oyf) şöyle ifade edilir.
taktirde
yoğunluk
dF ( x)
f ( x) 
dx
• Bu durumda X rassal değişkeninin (a;b) aralığında olma
olasılığı şöyle yazılabilir.
b
P(a  X  b)   f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
• Örnek: Aşağıda bir yoğunluk fonksiyonu verilmiştir
 kx3

f ( x)   5
0

0 x5
diger
• a) Yukarıdaki fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için
k ne olmalıdır?
• b) P(X>3) olasılığını bulunuz.
• c) Olasılık dağılım fonksiyonunu elde ediniz.
• d) P(2<X<4) olasılığını hesaplayınız
• e) Medyanı bulunuz.
• Çözüm: a) Fonksiyonun oyf olabilmesi için iki şart gereklidir.
• 1. şart f(x)  0 olup k>0 için bu şart sağlanır.
• 2. şart ise fonksiyonun tanım aralığındaki integralinin 1’e eşit
olmasıdır. Bunu şöyle yapabiliriz.
5
kx3
0 5 dx  1 olmalidir
kx 4
20
5
0
625k
20
4
 1
1 k 

20
625 125
• Şu halde olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle yazılır.
 4x3

f ( x)   625
0

0 x5
diger
• b)
• c)
•
5
3
5
4
4x
x
P( X  3)  
dx 
625
625
3
x
3
3
4
4u
u
F ( x)  
du 
625
625
0
625  81 544


 0,87
625
625
x
0
x

625
Olasılık dağılım fonksiyonu (odf)
0
 4
x
F ( x)  
 625
1
x0
x5
x5
4
• d) P(2  x  4)  F (4)  F (2) olur
44  24 256  16
240

 P(2  x  4) 
 0,38
625
625
625
• Veya
4
3
4
4x
x
P(2  x  4)  
dx 
625
625
2
4
2
240

625
• e) Medyan
Med
Medyan 

0
3
4
4x
x
 0,5 
625
625
med
 0,5
0
Med 4
 0,5  Med 4  312,5  Medyan  4,2
625