vector mechanıcs for engıneers: statıcs

Seventh Edition
VECTOR MECHANICS FOR
ENGINEERS: STATICS
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
Ders Notu:
Hayri ACAR
İstanbul Teknik Üniveristesi
5. Yayılı Kuvvetler:
Sentroid ve Ağırlık
Merkezi
Tel: 285 31 46 / 116
E-mail: [email protected]
Web: http://atlas.cc.itu.edu.tr/~acarh
© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Giriş
2 Boyutlu Cisimin Ağırlık Merkezi
Alan ve Eğrilerin Sentroidi ve Birinci Momentleri
Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi
Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi
Bileşik Levhalar ve Alanları
İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi
Pappus-Guldinus Teoremleri
Kirişlerde Yayılı Yükler
Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi: Hacimin Sentroidi
Belirli Şekillerin Sentroidi
Üç Boyutlu Bileşik Cisimler
Giriş
• Dünya, cisimi oluşturan her parçacığa yerçekimi kuvveti
uygular. Bu kuvvetler tek bir bileşke kuvvete dönüştürülebilir.
Bu kuvvet cisimin ağırlığıdır ve cisimin ağırlık merkezine etkir.
• Bir alanın sentroidi bir cisimin ağırlık merkezinin benzeridir.
Sentroidin yeri alanın birinci momenti kavramı ile belirlenir.
• Üç boyutlu dönel simetrik cisimlerin yüzey alanlarının ve
hacimlerinin hesaplanmasında Pappus-Guldinus teoremi
kullanılır.
İki Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi
• Bir levhanın ağırlık merkezi
y eksenine göre moment
∑M
y
; x W = ∑ x ∆W
= ∫ x dW
• Bir telin ağırlık merkezi
x eksenine göre moment
∑M
x
;
yW = ∑ y ∆W
= ∫ y dW
Alanların ve Eğrilerin Sentroidi ve
Birinci Momentleri
• Bir alanın sentroidi
t: kalınlık
Yandan görünüş
W = γ ( At )
yoğunluk
hacim
dW = γ (tdA)
x W = ∫ x dW
x (γAt ) = ∫ x (γt )dA
x A = ∫ x dA = Qy
= y eksenine göre birinci moment
yW = ∫ y dW
y (γAt ) = ∫ y (γt )dA
yA = ∫ y dA = Qx
= x eksenine göre birinci moment
• Bir eğrinin sentroidi
Telin kesit alanı
a
W = γ (La )
yoğunluk
hacim
dW = γ (adL)
x W = ∫ x dW
yW = ∫ y dW
x (γ La ) = ∫ x (γ a )dL
y (γ La ) = ∫ y (γ a )dL
x L = ∫ x dL
yL = ∫ y dL
Alanların ve Eğrilerin Birinci Momenti
• Bir alan düşünelim ve bu alan için BB′ ekseni
çizilsin. Eğer her P noktası için bir P′ noktası
varsa ve BB′ ekseni PP′ doğrusunu dik olarak
kesip iki eşit parçaya ayırıyorsa bu alan BB′
eksenine göre simetriktir denir
• Alanın bu simetri eksenine göre birinci momenti
sıfırdır.
• Eğer bir alan simetri çizgisi içeriyorsa, alanın
sentroidi bu eksen üzerindedir.
• Eğer bir alan iki simetri çizgisi içeriyorsa, alanın
sentroidi bu çizgilerin kesişme noktasındadır.
• Alan içinde seçilen (x,y) koordinatındaki dA
elemanı için (-x,-y) koordinatında eş alanlı dA′
elemanı varsa bu alan eksen merkezine göre
simetriktir denir.
• Bir alanın sentroidi ile simetri merkezi aynıdır.
Belirli Şekil Alanlarının Sentroidi
Şekil
Üçgen alanı
Çeyrek daire
alanı
Yarım daire
alanı
Çeyrek elips
alanı
Yarım elips alanı
Yarım parabol
alanı
Parabol alanı
Alan
Parabol parçası
Parabol parçası
(genel)
Daire dilimi
Belirli Şekil Eğrilerinin Sentroidi
Şekil
Çeyrek daire
yayı
Yarım daire
yayı
Daire yayı
Uzunluk
Bileşik Plakalar ve Alanlar
• Bileşik plakalar
X ∑W = ∑ x W
Y ∑W = ∑ y W
• Bileşik alanlar
X ∑ A = ∑ xA
Y ∑ A = ∑ yA
Örnek 5.1
Çözüm:
• Alanı üçgen, dikdörtgen, yarım daire ve
dairesel boşluk olmak üzere parçalara
ayırın.
• Belirlenen eksenlere göre alanların
birinci momentlerini hesaplayın.
Şekilde gösterilen düzlemsel alanın
x ve y eksenlerine göre birinci
momentlerini hesaplayınız.
Sentroidinin yerini bulunuz.
• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve
yarım daire elemanların birinci
momentlerini bulun. Dairesel boşluğun
alanını toplam alandan ve momentini
toplam momentten çıkarın.
• Birinci momentleri toplam alana bölerek
sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
Eleman
Dikdörtgen
Üçgen
Yarım daire
Daire
• Toplam alanı ve üçgen, dikdörtgen ve
yarım daire elemanların birinci
momentlerini bulun. Dairesel boşluğun
alanını toplam alandan ve momentini
toplam momentten çıkarın.
Q x = +506.2 × 103 mm 3
Q y = +757.7 × 103 mm 3
• Birinci momentleri toplam alana bölerek
sentroidin koordinatlarını hesaplayınız.
x A + 757.7 × 103 mm 3
∑
X =
=
∑ A 13.828 × 103 mm 2
X = 54.8 mm
y A + 506.2 × 103 mm 3
∑
Y =
=
∑ A 13.828 ×103 mm 2
Y = 36.6 mm
İntegral ile Sentroidin Belirlenmesi
x A = ∫ xdA = ∫∫ x dxdy = ∫ xel dA
yA = ∫ y dA = ∫∫ y dxdy = ∫ yel dA
• dA elemanı ince bir dikdörtgen veya şerit
olarak kabul edilirse tek integral ile çözüm
yapılabilir.
x A = ∫ xel dA
x A = ∫ xel dA
yA = ∫ yel dA
a+x
[ (a − x )dx]
2
yA = ∫ yel dA
= ∫ x ( ydx )
y
= ∫ ( ydx )
2
=∫
= ∫ y [(a − x )dx ]
x A = ∫ xel dA
=∫
2r
1

cosθ  r 2 dθ 
3
2

yA = ∫ yel dA
=∫
2r
1

sin θ  r 2 dθ 
3
2

Örnek 5.4
Çözüm:
• k sabitini belirleyiniz.
• Toplam alanı bulunuz.
• Düşey ve yatay şeritleri
kullanarak tek integral ile
birinci momentleri
bulunuz.
Şekildeki parabolic
sentroidini
direk integral ile hesaplayınız.
• Sentroidin koordinatlarını
hesaplayınız.
• k katsayısının belirlenmesi:
y = k x2
b
b = k a2 ⇒ k = 2
a
a
b
y = 2 x 2 or x = 1 2 y1 2
a
b
• Toplam alanın bulunması:
A = ∫ dA
a
 b x3 
b 2
= ∫ y dx = ∫ 2 x dx =  2 
 a 3  0
0a
ab
=
3
a
• Düşey şerit kullanarak tek integral ile birinci
momentlerinin bulunması:
a
 b

Q y = ∫ xel dA = ∫ xydx = ∫ x 2 x 2 dx

0 a
a
 b x4 
a 2b
= 2
 =
4
 a 4  0
2
a
y
1 b

Q x = ∫ yel dA = ∫ ydx = ∫  2 x 2  dx
2

02a
a
 b 2 x5 
ab 2
= 4  =
 2a 5  0 10
• Yatay şerit kullanarak tek integral ile birinci
momentlerinin bulunması:
b 2
a+x
a − x2
(a − x )dy = ∫
Q y = ∫ xel dA = ∫
dy
2
2
0
1 b  2 a 2
= ∫ a −
2 0 
b
2

a
b
y dy =

4

a


Q x = ∫ yel dA = ∫ y (a − x )dy = ∫ y a − 1 2 y1 2 dy


b
a 3 2
ab 2

= ∫  ay − 1 2 y dy =
10

b
0
b
• Sentroid koordinatların belirlenmesi:
xA = Q y
ab a 2b
=
x
3
4
3
x= a
4
yA = Q x
ab ab 2
=
y
3
10
3
y= b
10
Pappus-Guldinus Teoremleri
(Ι)
Küre yüzeyi
Koni yüzeyi
Halka yüzeyi
• Düzlemsel bir eğrinin sabit bir eksen etrafında
döndürülmesi ile dönel yüzey elde edilir.
dA = 2π ydL
⇒ A = ∫ 2πydL = 2π ∫ ydL
⇒ A = 2πyL
• Dönel yüzeyin alanı, eğrinin uzunluğu ile
döndürülme sırasında eğrinin sentroidinin
katettiği mesafenin çarpımına eşittir.
(ΙΙ)
Dolu küre
Dolu koni
Dolu halka
• Düzlemsel bir alanın sabit bir eksen etrafında
döndürülmesi ile dönel hacim elde edilir.
dV = 2πydA
⇒ V = ∫ 2πydA
⇒ V = 2π y A
• Dönel yüzeyin hacmi, düzlemsel
alan ile döndürülme sırasında
alanın sentroidinin katettiği
mesafenin çarpımına eşittir.
Örnek 5.7
0.8 m
m = ρV
W = mg
Çözüm:
Kasnağın dış çapı 0.8 m dir ve kesit
alanı şekildeki gibidir. Kasnak çelikten
yapılmıştır. Kasnağın kütlesini ve
ağırlığını bulunuz.
ρçelik = 7.85 ×103 kg m3
• Pappus-Guldinus teoremini
uygulayarak kesit alanından
hacim bulunur.
• Yoğunluk ve yerçekimi
ivmesi ile çarparak kütle
ve ağırlık bulunur.
• Pappus-Guldinus teoremini
uygulayarak kesit alanından
hacim bulunur.
400 mm
• Yoğunluk ve yerçekimi
ivmesi ile çarparak kütle
ve ağırlık bulunur.
Alan,
350 mm
Sentroidin katettiği
mesafe, mm
mm2
Hacim, mm3
Kasnak hacmi, mm3 =
(
3
m = ρV = 7.85 × 10 kg m
(
3
)(
)
3
 −9 3
7.65 × 10 mm 10 m mm 


W = mg = (60.0 kg ) 9.81 m s 2
6
)
3
m = 60.0 kg
W = 589 N
Kirişlerde Yayılı Yükler
Yük
= 10
00 N
/m
• Yayılı yük birim uzunluk başına düşen yükün çizimi ile gösterilir, w (N/m) .
dW = wdx
= dA
L
W = ∫ wdx = ∫ dA = A
0
• Toplam yük, yük eğrisinin altında kalan alana eşittir.
(OP)W = ∫ xdW
L
(OP)A = ∫ xdA = xA
0
• Yayılı yük, şiddeti yükleme eğrisi altında kalan
alana eşit ve alanın sentroidine etkiyen bileşke
kuvvet ile gösterilebilir.
Örnek 5.9
Çözüm:
• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük
eğrisinin altında kalan alana eşittir.
• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük
eğrisi altında kalan alanın
sentroidinden geçer.
Bir kiriş şekildeki gibi bir yayılı yükün
etkisi altındadır.
Eşdeğer bileşke
kuvveti ve mesnet noktalarındaki tepki
kuvvetlerini bulunuz.
• Tepki kuvvetleri kenarlara göre
moment dengesinden hesaplanır.
• Bileşke kuvvetin şiddeti, yük
eğrisinin altında kalan alana eşittir.
F =∑A
X∑A= ∑xA
Eleman
Üçgen I
Üçgen II
F = 18.0 kN
• Bileşke kuvvetin tesir çizgisi yük
eğrisi altında kalan alanın
sentroidinden geçer.
63 kN ⋅ m
X =
18 kN
X = 3.5 m
Alternatif çözüm:
wA = 1500 N/m
B
wB = 4500 N/m − 1500 N/m = 3000 N/m
A
xA = 3 m
xB =
Eleman
Dikdörtgen
Üçgen
Alan(kN)
9
9
Toplam
18.00
sentroid (x)
2
(6 m) = 4 m
3
x (m)
3
4
x*Alan (kN-m)
27
36
63.00
3.50 m
• Tepki kuvvetleri kenarlara göre
moment dengesinden hesaplanır.
∑ M A = 0 : B y (6 m ) − (18 kN )(3.5 m ) = 0
B y = 10.5 kN
Bx=0
Ay
By
∑ M B = 0 : − Ay (6 m ) + (18 kN )(6 m − 3.5 m ) = 0
Ay = 7.5 kN
Üç Boyutlu Cisimlerin Ağırlık Merkezi:
Hacimin Sentroidi
• Ağırlık merkezi: G
r
r
− W j = ∑ (− ∆W j )
W = ∫ dW
[
• Kartezyen eksenlere göre momentler:
x W = ∫ xdW
]
r
r
r
r
rG × (− W j ) = ∑ r × (− ∆W j )
r
r
r
r
rGW × (− j ) = (∑ r ∆W )× (− j )
r
r
rGW = ∫ r dW
yW = ∫ ydW
z W = ∫ zdW
• Homojen cisimler için:
W = γ V ve dW = γ dV
x V = ∫ xdV
yV = ∫ ydV
z V = ∫ zdV
Belirli Üç Boyutlu Şekillerin Sentroidi
Şekil
Yarım küre
Dönel yarım
elipsoid
Dönel
paraboloid
Hacim
Koni
Piramit
Üç Boyutlu Bileşik Cisimler
2.5 cm
4.5 cm
• Ağırlık merkezine etkiyen bileşke ağırlık
kuvvetinin eksenlere göre momenti, her
elemanın ağırlığının eksenlere göre
momentlerinin toplamına eşittir.
0.5 cm
2 cm
Y ∑ W = ∑ yW
1 cm
1 cm
Z ∑W = ∑ z W
2 cm
0.5 cm
4.5 cm
1 cm
• Homojen cisimler için, W = γ V ve dW = γ dV
2 cm
X ∑V = ∑ x V
1 cm çaplı
2 cm
X ∑W = ∑ x W
Y ∑ V = ∑ yV
Z ∑V = ∑ z V
Örnek 5.12
Çözüm:
2.5 cm
4.5 cm
0.5 cm
2 cm
1 cm
• Makine elemanını, bir dikdörtgen,
bir çeyrek daire ve 1 cm çaplı iki
delik olarak oluşturabiliriz.
4.5 cm
1 cm
2 cm
2 cm
0.5 cm
1 cm
1 cm çaplı
Çelik makine elemanının ağırlık
merkezini belirleyiniz. Her deliğin
çapı 1 cm dir.
2 cm
ΙV
X ∑V = ∑ x V
ΙΙ
2.5 cm
Ι
4.5 cm
0.5 cm
ΙΙΙ
2 cm
Y ∑ V = ∑ yV
Z ∑V = ∑ z V
1 cm
1 cm
2 cm
0.5 cm
2 cm
cm
1 cm
0.5 cm
2.25 cm
0.25 cm
cm
1 cm
1 cm
0.5 cm
2 cm
0.25 cm
cm3
cm
cm
cm
cm4
cm4
1.5
cm
cm4
cm
cm3
cm
X = ∑ xV
ΙV
Ι
cm
cm4
cm4
cm4
∑V = (3.08 cm ) (5.286 cm )
4
3
ΙΙ
X = 0.577 cm.
2.5 cm
4.5 cm
0.5 cm
ΙΙΙ
2 cm
Y = ∑ yV
(
4
V
=
−
5.047
cm
∑
) (5.286 cm )
3
Y = 0.577 cm.
1 cm
1 cm
2 cm
0.5 cm
1 cm
Z = ∑ zV
(
4
V
=
1
.618
cm
∑
) (5.286 cm )
3
Z = 0.577 cm.
Sıvı Altındaki Yüzeylere Gelen Kuvvetler
Durağan bir sıvı içinde yer alan bir cisim üzerinde sıvının ağırlığı nedeniyle
basınç oluşur. Bu basınç hidrostatik basınç olarak tanımlanır.
PA = P0 + (γ .h)
N
 m2 
 
Basınç derinliğin bir fonksiyonudur
ve derinlikle lineer olarak değişir.
Kuvvet hesaplanırken dikdörtgen
alan için düşünülür.
F ( y ) = P. A
Bileşke kuvvet:
[N ]
1
R = [(γ .h).w].h
2
Genişlik için kuvvet
PA: mutlak basınç
P0: referans basınç
γ : sıvının özgül ağırlığı
h : sıvı içindeki derinlik
w
P0
R
γγd.h
Örnek
d=5 m
3m
3mx4m en ve boyundaki kapak şekildeki gibi su duvarının altına
yerleştirilmiştir. Su tarafından kapağa uygulanan kuvvetin şiddetini
ve uygulama noktasını bulunuz. (γ =1000 kg/m3)
Su tarafından duvara
uygulanan kuvvet
4m
Su tarafından kapağa
uygulanan kuvvet
2m
d=5 m
d=5 m
d=5 m
3m
3m
3m
P2 m = γd = (1000kg / m 3 )(2m) = 2000kg / m 2 = 203.9 N / m 2
F2 m = Pw = (203.9 N / m 2 )(4m) = 815.6 N / m
P5 m = γd = (1000kg / m 3 )(5m) = 509.7 N / m 2
F5 m = Pw = (509.7 N / m 2 )(4m) = 2038.8 N / m
Bileşke kuvvet
y
815.6 N/m
3m
1
d=5 m
2
x
2038.8 N/m
X ∑ F = ∑ xF
F1 = (815.6 N / m)(3m) = 2446.8 N
1
y1 = (3m) = 1.5m
2
1
F2 = ([2038.8 − 815.6]N / m)(3m)
2
= 1834.8 N
1
y2 = (3m) = 1m
3
ALAN
Dikdörtgen
Üçgen
KUVVET
2446.8
1834.8
Toplam
4281.60
sentroid (x)
x
1.5
1
x.KUVVET
3670.2
1834.8
5505.00
1.29 m
Toplam kuvvet 4281.6 N’dur ve tabandan 1.29 m yukarıdadır.
Yüzey belirli bir açıya sahipse kuvvetin bulunması:
SCD
Basıncın oluşturduğu kuvvete ilave olarak
üstte kalan sıvı ağırlığı da düşünülmelidir.
Sıvı ağırlığı dışındaki kuvvet
dağılımı şu şekildedir:
Su kütlesi için
SCD
Kullanılan yüzey lineer
olmayan bir yüzeyse: