T.C NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

T.C
NAMIK KEMAL ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
VEKTÖR METRİK UZAYLAR
İlker PEKSÖZ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
DANIŞMAN: YRD. DOÇ. DR. ERDAL BAYRAM
TEKİRDAĞ-2015
Her hakkı saklıdır
Yrd. Doç. Dr. Erdal BAYRAM ‘ın danışmanlığında İlker PEKSÖZ tarafından hazırlanan
“Vektör Metrik Uzaylar” isimli bu çalışma aşağıdaki jüri tarafından Matematik Anabilim Dalı
‘nda Yüksek Lisans tezi olarak oybirliği ile kabul edilmiştir.
Jüri Başkanı: Prof. Dr. Mahmut ERGÜT
İmza:
Üye: Yrd. Doç. Dr. Yasin ÜNLÜTÜRK
İmza:
Üye: Yrd. Doç. Dr. Erdal BAYRAM
İmza:
Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu adına
Prof. Dr. Fatih KONUKCU
Enstitü Müdürü
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
VEKTÖR METRİK UZAYLAR
İlker PEKSÖZ
Namık Kemal Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Erdal BAYRAM
Bu tez çalışmasında yakın zamanlarda tanımlanan ve metrik uzayların bir
genelleştirmesi olan vektör metrik uzaylar kavramı Çevik ve Altun (2009) ile Çevik (2014,
2015) çalışmaları temel alınarak incelenmiştir. Vektör metrik uzay kavramı ile klasik metrik
uzaylar arasındaki paralellikler ve farklılıklar ortaya konmuş, konuyla ilgili ön bilgiler bir
araya getirilmiş, kanıtlardaki boşluklar doldurularak gerekli bilgiler verilmiş ve bazı sonuçlar
elde edilmiştir.
Anahtar Kelimeler: Vektör değerli metrikler, Sıralı vektör uzayları, Riesz uzayları.
2015, 56 sayfa
i
ABSTRACT
Msc. Thesis
VECTOR METRİC SPACES
İlker PEKSÖZ
Namik Kemal University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
Supervisor: Asst. Prof. Erdal BAYRAM
In this thesis work, the concept of vector metric spaces which has been defined
recently, and is generalization of metric spaces are studied on the basis of studies by Çevik
and Altun (2009) and Çevik (2014, 2015). While definitions and theorems about the subject
are reviewed, parallelism and differences between metric spaces and vector metric spaces are
revealed, and gaps in proofs are filled by providing the necessary knowledge in an attempt to
obtain some results.
Keywords: Vector valued metrics, Ordered vector spaces, Riesz spaces.
2015, 50 pages
ii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET……………………………………………….……………………………………..….i
ABSTRACT……………………………….……………………………….….………….....ii
İÇİNDEKİLER……………………………….……………………………….….……..….iii
SİMGE LİSTESİ ……………………………….…………………………….…….…....…iv
1.GİRİŞ …………………………………...……………...………………………….….....…1
2. TEMEL KAVRAMLAR VE SONUÇLAR..…………...……………………..………..5
3. VEKTÖR METRİK UZAYLAR ……………………………….……..……..………..11
3.1 Temel kavramlar ve Özellikler………………..…………………..…………...…………11
3.2 Vektör Metrik Uzaylarda Sınırlılık ve Yoğun Kümeler………………………………….17
3.3 Vektör Metrik Uzaylarda Sıra Tamlık …………………………………………………...21
4. VEKTÖR METRİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK………………………………....26
4.1 Vektörel Süreklilik ve Topolojik Süreklilik ……………………….……....………….....26
4.2. Sürekli Fonksiyonların Genişlemeleri…………………………………………………...40
4.3. Vektörel Sürekli Fonksiyon Uzayları…………………………………………………...43
5. KAYNAKLAR …………………………………….……………………………………49
ÖZGEÇMİŞ…………………………………………………………………………………50
iii
SİMGE LİSTESİ
dizisi azalan ve infumumu 0 dır.
elemanıdır
elemanı değildir
küçük eşittir
iv
1.
GİRİŞ
Genel anlamda metrik kavramı, üzerinde hiçbir yapı olmasına gerek olmayan boş
kümeden farklı bir kümeden reel sayılara giden bir fonksiyondur. Çok öncelerden beri geniş
bir uygulama alanı olan metrik uzayların bazı genelleştirilmeleri vardır. Örneğin Menger
uzayı, Fuzzy uzayı, K-metrik uzaylar, koni metrik uzaylar gibi. Zabreiko (1997) tarafından
tanımlanan K-metrik uzaylarda metrik fonksiyonu reel sayılar yerine sıralı bir Banach
uzayında değer alır. Aynı şekilde, Huang ve Zhang (2007) tarafından tanımlanan koni metrik
uzaylardaki metrik fonksiyonu bir koni ile sıralanan Banach uzayında değer alır. Ancak
Huang ve Zhang, Banach uzayının sıra yapısının getirdiği koninin iç noktaları yardımıyla
yakınsaklığı tanımlamış ve teoriyi ilerletmiştir. Bu tanımlama ile birlikte, metrik uzaylarda
bilinen sonuçlara paralel sonuçlar elde edilmiş ve bu sonuçlar sabit nokta teoremlerine
uygulanmıştır.
E bir Banach uzayı ve P  E olsun. Eğer,
i.
P kapalı, P   ve P  0
ii.
a, b  0 olacak biçimde a, b 
iii.
x  P ve  x  P için x  0
ve x, y  P için ax  by  P
ise P ‘ye E ‘nin bir konisidir denir.
P  E bir koni olmak üzere “ x  y  y  x  P ” şeklinde tanımlı  bağıntısı, P
üzerinde bir kısmi sıralama bağıntısıdır. Ayrıca,
x  y ve x  y  x  y
x
y  y  xP
tanımlamaları kullanılır. x, y  E için 0  x  y iken x  K y eşitsizliğini sağlayacak
biçimde bir K  0 sayısı varsa P  E ’ye bir normal koni denir. Üstteki eşitsizliğini sağlayan
en küçük K pozitif sayısına da P ’nin normal sabiti denir. Eğer P ’de ki her artan ve üstten
sınırlı her dizi yakınsak ise P ’ye düzenli koni denir.
1
1.1. Tanım
E bir Banach uzayı, P bir kon ve int P   olsun. X boştan farklı bir küme ve
d : X  X  E fonksiyon olmak üzere x, y, z  X için
d1)
0  d  x, y   0 ve d  x, y   0  x  y
d2)
d  x, y   d  y, x 
d3)
d  x, y   d  x, z   d  y, z 
şartlarını sağlayan d fonksiyonuna X üzerinde bir koni metrik fonksiyonu,  X , d , E  uzayına
koni metrik uzayı denir. Dizilerin yakınsaklığı, Cauchy dizisi olma durumu, tamlık vb.
özellikler klasik metrik uzaylarda verildiği gibi verilebilir.
Koni metrik uzaylar klasik metrik uzayların bir genelleştirmesi gibi görünse de,
aslında koni metrik uzayların klasik metrik uzaylardan çok farklı olmadığı, yani koni metrik
uzayların metriklenebilir topolojik uzaylar olduğu Khani ve Pourmahdian (2011) ile Ercan ve
Çağlar (2014) ‘ın çalışmalarından görülebilir.
 X , E, K , d 
koni metrik uzay olmak üzere, B
yuvarlarının oluşturduğu
B  x, r  : x  X ,0
 x, r    y  X : d  x, y 
r açık
r sıralı kümesi X üzerinde tanımlı temel
topolojidir. Khani ve Pourmadhian (2011) bu topolojiyi koni metrik topoloji olarak
adlandırmış ve bu topolojinin metriklenebilir olduğunu göstermiştir. Aynı sonuç Ercan (2014)
tarafından farklı bir teknik ile aşağıda verildiği şekilde elde edilmiştir.
3.11. Tanım
E sıralı vektör uzayı olmak üzere x  E için x  e olacak biçimde bir  
varsa e  E
elemanı sıra birim olarak adlandırılır. E ‘nin sıra birimlerinin kümesini ou  E  ile
göstereceğiz.
ou  E   ou  E   ou  E  ve
 0,   ou  E   ou  E  özelliklerinin
yukarıdaki tanımdan açıktır. E sıralı vektör uzayında her bir y  E için
sağlandığı
x  y iken x  0 ise
E’ye Arşimedyan sıralı vektör uzayı denir. E sıralı vektör uzayında her bir   0 ve x, y  E
için  x  y   x iken x  0 ise E ’ye hemen hemen Arşimedyan sıralı vektör uzayı denir.
2
Tanımlardan açıktır ki, her Arşimedyan sıralı vektör uzayı hemen hemen Arşimedyan
sıralı vektör uzayıdır.
3.13. Teorem
 E , K , 
sıralı topolojik vektör uzay olmak üzere aşağıdaki özellikler denktir.
i)
e  int  K 
ii)
 e, e sıfırın komşuluğudur.
3.14. Teorem
  X , E sıralı vektör uzayı, K bir koni olmak üzere e  int  K  olsun. d : X  X  K koni
metrik fonksiyonu olmak üzere d : X  X 

, d  x, y   inf  : d  x, y   e şeklinde
tanımlı d verilsin. Bu durumda aşağıdakiler sağlanır.
i)
d koni metrik ise d metriktir.
ii)
Eğer d : X  X 

metrik ise d   olacak şekilde bir  : X  X  K koni metriği
vardır.
iii)
 X , E, K , d  Arşimedyan
koni metrik uzay ise,
 X , E, K , d 
koni metrik topolojisi
 X , d  metrik uzayın topolojisidir.
Diğer taraftan Çağlar ve Ercan (2014) sıra birim metrik uzaylar ile ilgili çalışmasında
koni metrik uzay kavramında reel Banach uzay yerine ou  E    olacak biçimde E sıralı
vektör uzayları almıştır. Üstelik,
 E , K , 
sıralı topolojik vektör uzay olduğunda,
int  E    ou  K  sağlanacağından her bir koni metrik uzay aslında sıra birim metrik uzaydır.
Fakat bu tanımlamalara baktığımızda metrik fonksiyonunun değer aldığı Banach
uzayının veya sıralı topolojik vektör uzayının içinin boş kümeden farklı olması kısıtlamasını
görürüz. Halbuki bir uzayda sıra birim olmak zorunda değil ve bir konun içinin boş kümeden
farklı olması zorunluluğu yoktur. Örneğin, sonsuz boyutlu AL-uzaylarının ( 0  p   olmak
p
üzere L  0,1 gibi) pozitif konunun içi boş kümedir. Diğer taraftan, yukarıda bahsedilen
3
genelleştirmelerde metrik fonksiyonunun değer aldığı uzay üzerinde topolojik bir yapıya
gereksinim duyulmuştur.
Cevik ve Altun (2009) tarafından tanımlanan ve metrik fonksiyonunun herhangi bir
topolojik yapıya gerek duymayan Riesz uzay değerli olduğu vektör metrik uzaylar bu tez
çalışmasının konusu olmuştur. İkinci bölümde esas çalışma konumuz olan vektör metrik
uzaylarda kullandığımız Riesz uzayları temel özellikleri ve örnekleri üzerinde durulmuş
ayrıca bildiğimiz metrik uzaylar ve özelliklerine yer verilmiştir. Üçüncü bölümde metrik
uzayların bir genellemesi olan ve esas çalışma konumuz vektör metrik uzaylar tanımlanmış,
örnekler verilmiş ve sağladığı temel özellikler kanıtlanmıştır. Ayrıca sınırlılık kavramı ve
vektör metrik uzayların tam olma özellikleri ve tamlaştırılması bu bölümde yer almaktadır.
Dördüncü bölümde ise vektör metrik uzaylarda süreklilik kavramlarına yer verilmiş topolojik
süreklilik ve vektörel süreklilik üzerinde durulmuş ve bu iki kavram arasındaki ilişkiler ortaya
konulmuştur. Sürekli fonksiyonların bazı genişleme durumları verilmiş ve vektörel sürekli
fonksiyonların uzayının bir Riesz uzayı olduğu kanıtlanmıştır. Ayrıca bu bölümde vektör
metrik uzaylarda kompaktlık kavramı ele alınmıştır.
4
2. TEMEL KAVRAMLAR VE SONUÇLAR
Bu tez çalışmasında ele alınan vektör metrik uzaylarının klasik metrik uzaylardan
ayıran kavram, sıralı vektör örgüleri de denilen, Riesz uzaylarıdır. Riesz uzayları teorisindeki
ilk sonuçlar, F. Riesz, H. Freudenthal ve L.V. Kontorovitch ‘in birbirlerinden bağımsız olarak
ve farklı konularda yaptığı çalışmalar ile elde edilmiştir. Sonrasında ise günümüze değin
birçok matematikçi bu sıralı vektör uzayları ile önemli katkılar sağlamıştır. Uygulama
alanında örnek vermek gerekirse, ekonomi teorisinde kullanılan bir çok uzay Riesz
uzaylarıdır.
Bu bölümde çalışma boyunca kullanılacak temel tanımlar ve bazı önermeler
verilmiştir.
2.1. Tanım
E gerçel vektör uzayı üzerinde “  ” bir sıralama bağıntısı olsun. Her x, y  E olmak üzere,
z  E için x  y  x  z  y  z
  ,   0 için x  y   x   y
koşulları sağlanıyorsa, E uzayına sıralı vektör uzayı denir.
E sıralı vektör uzayının x  0 özelliğini sağlayan x elemanına pozitiftir denir ve E’nin
tüm pozitif elemanlarının kümesi E  ile gösterilir.
2.2. Tanım
E sıralı vektör uzayı olmak üzere her
x, y  E
için
x  y  sup x, y  E
ve
x  y  inf x, y  E ise E uzayına sıralı vektör örgüsü veya Riesz uzayı denir.
,  işlemlerine örgü işlemleri denir. E Riesz uzayı ve G  E alt vektör uzayı olmak üzere
x, y  G iken x  y  G ise yani G örgü işlemlerine göre kapalı ise G ’ye Riesz alt uzayı
denir.
2.3. Örnek
Aşağıda Riesz uzayı ile ilgili bazı örnekler verilmiştir.
1.
x   x1 , x2 ,..., xn  , y   y1 , y2 ,..., yn  
n
5
olmak üzere
“ x  y  i  1, 2,..., n için xi  yi sıralaması” ve x  y   x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn  ile
x  y   x1  y1 , x2  y2 ,..., xn  yn  örgü işlemlerine göre
2.
Bilindiği üzere reel terimli sıfıra yakınsak dizilerin kümesi c0 , yakınsak dizilerin
kümesi c , ve 1  p   olmak üzere
p
bir Riesz uzayıdır.
n
 c0  c 

 xn  ,  yn   E
ilişkisi vardır.
olmak
üzere
p


  xn n1 

E  c0 , c


p
:  x    dizi uzayları arasında
n 1

veya 1  p   olmak üzere
”  xn    yn   n 
xn  yn ”
için
p
olsun.
sıralaması
ve
 xn    yn    xn  yn  ile  xn    yn    xn  yn  örgü işlemlerine göre E bir Riesz uzayıdır.
Riesz uzaylarının sık kullanılan tipik örnekleri fonksiyon uzaylarıdır.
3.
X 
olmak
üzere
f , g B X   f : X 
f , sınırlı ,
olsun.
f  g  x  X için f  x   g  x  şeklinde tanımlı  sıralamasına göre B  X  bir sıralı
kümedir. Örgü işlemleri
 f  g x   maks


 f x , g x 
ile
f
 g x   min
  f x , g x 
xX
xX
şeklinde tanımlansın. f , g  B  X  olduğundan x  X için
olacak biçimde M f , M g 

sayıları vardır. Dolayısıyla
f  x   M f ve g  x   M g
f  g  x   M f  M g olur.
Buradan da f  g  B  X  elde edilir. Benzer şekilde f  g  B  X  olduğundan B  X 
Riesz uzayıdır.
Üstte fonksiyonlar için verilen sıralama ve örgü işlemlerine göre bazı Riesz uzayı
olabilen fonksiyon sınıfları şunlardır.
a.
R X , X üzerindeki gerçel değerli fonksiyonların uzayı.
b.
C(X), X topolojik uzayı üzerindeki gerçel değerli sürekli fonksiyonların uzayı.
c.
Cb (X) , X topolojik uzayı üzerindeki sınırlı ve sürekli gerçel değerli fonksiyonların
uzayı.
d.
0  p   ve (X, , ) ölçüm uzayı olmak üzere, gerçel değerli μ -ölçülebilir ve
f
p
dμ
koşulunu sağlayan fonksiyonların uzayı Lp (μ)
X
e.
(X, Σ,μ) ölçüm uzayı olmak üzere, gerçel değerli μ -ölçülebilir ve hemen hemen her
6
yerde sınırlı fonksiyonların uzayı L (μ) .
f.
Ω bir topolojik uzay olmak üzere C      f :  
f sınırlı .
Bu çalışmada bundan sonra aksi belirtilmedikçe fonksiyon uzaylarında aynı sıralama
ve aynı işlemler düşünülenecektir.
Sıralı vektör uzayı olup Riesz uzayı olamayan bazı örnekler aşağıda verilmiştir.
1.
X sonsuz elemanlı bir küme olmak üzere    A  X : A sonlu ve cardA  2n, n 

olsun. A  a1 , a2 , a3 , a4  ve B  a4 , a5   için A  B  A B  a4   elde edilir.
Dolayısıyla  ,   bir örgü değildir.
2.
C1 0,1   f : 0,1 
f , sürekli, diferansellenebilir fonksiyon uzayını alalım.
f , g  C1 0,1 olmak üzere, f  g  x  X
için f  x   g  x  ,  sıralamasına göre
C1 0,1 bir sıralı vektör uzayıdır. Fakat aşağıda göreceğimiz bir örnek ile Riesz uzayı
değildir. f  x   x , g  x   1  x ,şeklinde tanımlı f , g  C1 0,1 fonksiyonlarını seçelim.
C1 0,1 fonksiyon uzayı

1  x,
f g
 x,


 x,
ve f  g  
1
1  x,
 x 1

2
0 x
1
2
0 x
1
2
1
 x 1
2
ile
tanımlı örgü işlemlerine göre kapalı değildir. dolayısıyla C1 0,1 uzayı Riesz uzayı değildir.
2.4. Tanım
E bir Riesz uzayı olmak üzere, her x  E için x  x  0 elemanına x ’in pozitif kısmı,
x   x  0 elemanına x ’in negatif kısmı ve x  x    x  elemanına x ’in modülü denir.
Tanımlardan hareketle her bir x  E için x  x   x  , x  x   x  ve x  x  0
sağlanır. Ayrıca, E Riesz uzayında keyfi x,y,z elemanları için aşağıdaki özellikler sağlanır.ve
x  y     x     y 
x  y     x     y 
7
x y 
1
x  y  x  y 
2
x y 
1
x  y  x  y 
2
Yukarıda verilen eşitlikler yardımıyla aşağıdaki sonuçlar kolayca elde edilebilir.
 E sıralı vektör uzayının Riesz uzayı olması için gerekli ve yeterli koşul x  E için
x  E olmasıdır.
 x  y   x  y   x  y
 x   y  z   x  y   x  z
 x   y  z   x  y   x  z
   0 için   x  y    x    y    x  y    x    y 
2.5. Önerme
E Riesz uzayı ve A  E alt küme olsun. Eğer sup  A varsa, aşağıdaki özellikler sağlanır.
i.
inf   A vardır ve inf   A   sup  A ’dır.
ii.
x  A  x  a a  A olmak üzere sup  x  A vardır ve sup  x  A  x  sup  A
olarak yazılabilir.
iii.
Her bir   0 için  A   a a  A ise sup  A    sup A olarak yazılabilir.
2.6. Tanım
E Riesz uzayında, I indeks kümesi için
 x 
bir ağ olsun. Her  ,   I için x  x ve
x  x koşullarını sağlayan bir   I varsa  x  ağı yukarı yönlendirilmiştir denir ve
 x  
şeklinde gösterilir.  x   ve sup  x   x ise  x   x ile gösterilir. Benzer şekilde
her  ,   I için x  x ve x  x koşullarını sağlayan bir   I varsa  x  ağı aşağı
yönlendirilmiştir denir ve  x   şeklinde gösterilir.  x   ve inf  x   x ise  x   x ile
gösterilir.
8
2.7. Tanım
E bir Riesz uzayı olmak üzere, x  y koşulunu sağlayan x, y  E elemanları ile tanımlanan
 x, y   z  E : x  z  y
kümesine sıralı aralık denir. E uzayının bir A alt kümesi bir sıralı
aralık tarafından kapsanıyorsa, A kümesine sıra sınırlı küme denir.
2.8. Tanım
E Riesz uzayında her bir x  E  ve n 
için n1 x  0 ise E ye Arşimedyan Riesz uzayı
denir.
2.9. Örnek
2
koordinat sıralama ile Arşimedyan fakat sözlük (lexicographical) sıralama ile Arşimedyan
değildir.
2.10.Teorem
E Riesz uzayının Arşimedyan olması için gerek ve yeter koşul nv  u, n 

koşulunu
sağlayan u, v  E  için v  0 olmasıdır.

Kanıt: (⇒)E Riesz uzayı Arşimedyan olsun n 
u  E  ve E Arşimedyan olduğundan
1
için nv  u  v  u  0 yazılabilir.
n
1
u  0 olur. v  0 olmalıdır. Diğer taraftan v  E 
n
yani v  0 olduğundan (ters simetri özelliğinden) v  0 olur.
  x  E 

0, n1 x n 
Dolayısıyla
keyfi

1
x  E
n
seçelim
 kümesi
olduğundan
n 

1
x0
n
için
olur.
için bir alt sınırdır. Bu kümenin keyfi bir alt sınırı y olsun.
n 

, n1 x  0, n1 x  y
da u  y  0  n1 x, u  y  0  0, u  E  ve n 
sağlanır.

için nu  x elde edilir. Hipotezden

u  0 olmalıdır. Yani y  0  0 olur. Dolayısıyla y  0 , inf n1 x n 
Dolayısıyla E Arşimedyandır.
9
Buradan

0
bulunur.
2.11. Tanım
E Riesz uzayının her sıra sınırlı kümesinin E içinde bir supremumu ve infimumu varsa E
uzayına Dedekind tam uzay denir. Benzer olarak, sıra sınırlı sayılabilir her kümenin E içinde
bir supremumu ve infimumu varsa E uzayına  -Dedekind tam uzay denir.
2.12. Örnek
1  p   olmak üzere ℓp uzayları Dedekind tam uzaylardır.
2.13. Örnek
C  0,1 uzayı Dedekind tam değildir çünkü C  0,1 de tanımlı aşağıdaki  f n  fonksiyon dizisi
üstten
fonksiyonu ile sınırlı olmasına rağmen supremumu C  0,1 uzayına ait değildir.
1 1

,0  x  
1
2 n

1 1 1
1
 
f n  x   n  x   ,   x 
2 2 n
2
 

1
,  x 1
0
2


1
sup f n  f  x   
0

ve
,0  x 
1
2
1
,  x 1
2
0  f n  1 ve f n  C 0,1 olmasına rağmen sup f n  C 0,1 olduğundan C  0,1 uzayı
Dedekind tam Riesz uzayı değildir.
2.14. Tanım
E bir Riesz uzay,  xn   E bir dizi ve x  E olsun.
a.
n 
için xn  x  an  0 olacak biçimde  an   E dizisi varsa  xn  dizisi x e
o
 x şeklinde gösterilir.
sıra yakınsaktır denir.  xn  
b.
n, m 
için xn  xm  an  0 olacak biçimde  an   E dizisi varsa  xn  dizisine
sıra Cauchy dizisi denir.
c.
Y  X olmak üzere n 
için xn  x  an  0 olacak biçimde  an   E dizisi var
iken x  Y ise Y  X sıra kapalıdır.
10
3.
VEKTÖR METRİK UZAYLAR
Birinci bölümde söz edildiği üzere metrik uzayların birçok genelleştirilmesi vardır.
Bunlardan bazıları birbirini gerektirdiği gibi, bazıları ise aslında klasik metrik uzaylara
homeomorftur. Klasik metrik fonksiyonu reel değerli bir fonksiyondur. Reel sayılar kümesi
tam sıralı bir küme olduğu için sıralama ile ilgili bir işlem yapmak kolaydır. Bu bölümde
tanımlayacağımız vektör metrik uzaylarda ise metrik fonksiyonu, reel sayılar yerine bir Riesz
uzayında değerler alır. Şimdiye kadar tanımlanan genelleştirilmiş metrik uzaylarda, metrik
fonksiyonunun değer aldığı küme üzerinde bir topolojik yapıya ihtiyaç duyuldu. Vektör
metrik uzaylarda ise böyle bir zorunluluk yoktur. Bu bölüm Çevik ve Altun (2009) ve Çevik
(2015) çalışmaları temel alınarak oluşturulmuştur.
3.1.
Temel kavramlar ve Özellikler
3.1.1 Tanım
E bir Riesz uzay ve X
boştan farklı bir küme olsun. d : X  X  E fonksiyonu
x, y, z  X için
Vm1
d  x, y   0  x  y
Vm2
d  x, y   d  x, z   d  y, z 
şartlarını sağlıyorsa, d fonksiyonuna X üzerinde vektör metrik fonksiyon,  X , d , E  üçlüsüne
de vektör metrik uzay denir.
Klasik metrik uzaylarda metrik fonksiyonu dört şart sağlaması gerekirken vektör
metrik uzaylarda yukarıda verdiğimiz iki şartın sağlanması yeterlidir. Çünkü pozitiflik ve
simetri bu iki aksiyomdan çıkarılır. Aşağıdaki teorem bunu verir.
3.1.2 Teorem
 X , d , E  vektör metrik uzay olmak üzere
i.
x, y, z, w  X için aşağıdakiler sağlanır.
d  x, y   0
11
ii.
d  x, y   d  y, x 
iii.
d  x, z   d  y, z   d  x, y 
iv.
d  x, z   d  y, w  d  x, y   d  z, w
Kanıt:
x, y, z, w  X olsun.
i.
Vm2 ile d  x, x   d  x, z   d  x, z   0  2d  x, z   0  d  x, z 
ii.
Vm2 ile d  x, y   d  x, x   d  y, x   d  x, y   d  y, x  .
Benzer şekilde, d  y, x   d  y, y   d  x, y   d  y, x   d  x, y  elde edilir. Dolayısıyla,
d  x, y   d  y, x  olduğu görülür.
iii.
Her bir x, y, z  X için Vm2 gereği d  x, z   d  x, y   d  z, y  olur. Dolayısıyla
d  x, z   d  z, y   d  x, y 
sağlanır.
Benzer
d  y, z   d  z, x   d  x, y 
olur.
Bu
d  x, z   d  z, y  , d  y, z   d  x, z 
şekilde,
d  y, z   d  y, x   d  z , x 
d  x, y   E
ise
ise
elemanının
kümesi için bir üst sınır olduğunu gösterir. Dolayısıyla,
d  x, z   d  z, y   d  x, y  elde edilir.
iv.
Her bir
Dolayısıyla,
x, y, z, w  X
için Vm2 ise d  x, z   d  x, y   d  y, w  d  w, z 
d  x, z   d  y, w  d  x, y   d  w, z 
sağlanır.
olur.
Benzer
şekilde,
d  y, w  d  x, z   d  x, y   d  w, z 
olur. Bu
d  y, w  d  y, x   d  x, z   d  z, w
ise
ise  d  x, y   d  w, z    E elemanının
 d  x, z   d  y, w ,  d  y, w  d  x, z  kümesi için
bir üst sınır olduğunu gösterir. O halde,
 d  x, z  - d  y, w   d  y, w  d  x, z   d  x, y   d  w, z 
olacağından, d  x, z   d  y, w  d  x, y   d  z, w elde edilir.
Vektör metrik uzaylar için aşağıdaki örnekler verilebilir.
12
3.1.3. Örnek
E bir Riesz uzay olmak üzere d : E  E  E, d  x, y   x  y şeklinde tanımlı fonksiyon E
üzerinde bir vektör metrik olduğundan  E, d , E  vektör metrik uzaydır. Benzer şekilde E. reel
Banach örgüsünün kompleksleştirilmesi EC üzerinde d : EC  EC  EC , d  xC , yC   xC  yC
bir vektör metrik tanımlar.
3.1.4. Örnek
E
i.
2
koordinat sıralama ile bir Riesz uzayıdır.  ,  pozitif reel sayılar olmak üzere,
d:
2

2
 E, d   x1 , y1  ,  x2 , y2     x1  x2 ,  y1  y2
üzerinde bir vektör metrik tanımladığından
2
fonksiyon


şeklinde
tanımlı

bir vektör
şeklinde
tanımlı
2
, d,
2
metrik uzaydır.
ii.
d:
2

fonksiyon
2
2
 , d   x1 , y1  ,  x2 , y2     x1  x2   y1  y2
2
üzerinde bir vektör metrik,

2
, d,
 vektör metrik uzaydır.
sözlük (lexicographical) sıralama ile bir Riesz uzayı olduğundan yukarıdaki
örnekler yeniden düzenlenebilir. Fakat,
2
‘nin bu sıralamaya göre Arşimedyan olmadığı
unutulmamalıdır.
3.1.5 Örnek
E ve F Riesz uzaylar olmak üzere, “  e1 , f1    e2 , f 2   e1  e2 ve f1  f 2 ” şeklinde tanımlı
koordinat sıralama ile
EF
bir Riesz uzayıdır.
için, d :  E  F    E  F    E  F 
,
a   e1 , f1  , b   e2 , f 2   E  F
d  a, b   a  b   e1  e2 , f1  f 2

ile tanımlı d
fonksiyonu bir vektör metriktir.
3.1.6 Örnek
 X , d , E  ve  X ,  , F  vektör metrik uzaylar olmak üzere
 x, y     x, y    d  x, y  ,   x, y  
x, y  X için  : X  X  E  F
ile tanımlı  çift vektör metriktir.
13
3.1.7 Örnek
Genellersek
 X , d1, E1  ,  X , d2 E2  ,...,  X , di , Ei 
n
d : X  X   Ei
i 1
vektör metrik uzaylar olmak üzere
 x, y   d  x, y    d1  x, y  , d2  x, y  ,..., dn  x, y 
ile
tanımlı
d
fonksiyonu vektör metriktir.
3.1.8 Örnek
E bir Riesz uzay, k sonlu bir sayı ve i=1,2,...,k olmak üzere  X i , di , E  vektör metrik uzaylar
olsun. X  X1  X 2  ...  X k kartezyen çarpım kümesi üzerinde farklı vektör metrikler
tanımlanabilir. x   x1 , x2 ,..., xk  , y   y1 , y2 ,..., yk   X için,
k
d1 : X  X  E , d1  x, y    di  xi , yi 
i 1
d : X  X  E, d  x, y   sup d  xi , yi  i  1, 2,..., k 
şeklinde tanımlanan d1 ve d  fonksiyonları X kartezyen çarpım üzerinde vektör metriktir.
1 1
  1 olmak üzere Krivine fonksiyonel
p q
Eğer E bir Banach örgüsü ve 1  p, q  ,
hesabı ile,
1
p p
 k
k
d p  x, y      di  xi , yi     sup  ai di  xi , yi  :  a1 , a2 ,..., ak  
 i 1

 i 1
1
ise
p p
 k
   di  xi , yi     E olur
 i 1

k
k

q
,  ai  1
i 1

1
ve
p p
 k
d p : X  X  E , d p  x, y      di  xi , yi   
 i 1

fonksiyonu X üzerinde vektör metrik tanımlar.
Klasik metrik uzaylarda metrik fonksiyonu reel değerli olduğu için bu metrik
uzaylardaki yakınsaklık, Cauchy dizisi kavramları reel sayıların alışılmış metriğine göre
tanımlanır. Vektör metrik uzaylarda ise metrik Riesz uzay değerli olduğu için bu kavramlar
Riesz uzayının sıra yapısına göre tanımlanması gerekir.
14
3.1.9 Tanım
 X , d , E  vektör metrik uzay,  xn   X bir dizi ve x  X olsun.
i.
n 
için d  xn , x   an  0 olacak biçimde  an   E dizisi varsa  xn  dizisi x
elemanına vektörel yakınsak veya E-yakınsak denir ve
d ,E
x
 xn  
şeklinde
gösterilir.
ii.
n, p 
için d ( xn , xn p )  an  0 olacak biçimde  an   E dizisi varsa
 xn 
dizisine E-Cauchy dizisi denir.
iii.
 X , d , E  vektör metrik uzayındaki her E- Cauchy dizisi X uzayında yakınsak ise
 X , d , E  vektör metrik uzayına E-tam uzay denir.
iv.
 X , d , E  vektör metrik uzay ve X in boştan farklı bir alt kümesi Y olsun.   xn   Y
d ,E
x iken x  Y ise Y kümesine E-kapalı küme denir.
ve  xn  
3.1.10 Teorem
d ,E
x ise aşağıdaki sonuçlara ulaşabiliriz.
 X , d , E  vektör metrik uzay  xn   X ve  xn  
i.
d ,E
x
 xn  
d ,E
y ise x  y dir.
ve  xn  
ii.
d ,E
x
 xn  
ise  xn  ’in her alt dizisi de x elemanına E- yakınsaktır.
iii.
d ,E
x
 xn  
d ,E
o
y ise d  xn , yn  
 d  x, y 
ve  yn  
Kanıt:
i.
Kabul edelim ki x  y için
d ,E
x
 xn  
ve
d ,E
y
 xn  
olsun. n 
için
d  xn , x   an  0 ve d  xn , y   bn  0 olacak biçimde  an   E  ve  bn   E  dizileri vardır.
n 
için d  x, y   d  x, xn   d  y, yn   an  bn ve
sağlanır.
15
 an  bn   0 olduğundan
x y
ii.
d ,E
xn 
x ise n 
için d  xn , x   an  0 olacak biçimde  an   E dizisi
  alt dizisi ve n 
vardır. Dolayısıyla herhangi bir xnk


için d xnk , x  an sağlanır. Bu ise
d ,E
xnk 
x olduğunu gösterir.
iii.
d ,E
x
 xn  
ve
d ,E
y
 yn  
ise
n 
için
d  xn , x   an  0
ve
d  yn , y   bn  0 olacak biçimde  an   E  ve  bn   E  dizileri vardır. Teorem 3.1.2.(iv)
ile n 
için d  xn , yn   d  x, y   d  xn , x   d  yn , y   an  bn elde edilir.  an  bn   0
o
 d  x, y  olduğu görülür.
olduğundan d  xn , yn  
Bilindiği üzere her metrik uzay bir topolojik uzaydır. Vektör metriklerde de paralel
tanımlamalar ile topoloji elde edilebilir. İlk olarak metrik topolojide temel öneme sahip yuvar
kavramını vektör metrik uzaylarda verelim.
3.1.11 Tanım
 X , d , E  vektör metrik uzay, x  X ve r  E  için
a.
B  x, r    y  X d  x, y 
r şeklinde tanımlanan kümeye x merkezli r yarıçaplı açık
yuvar denir.
b.
A  X olmak üzere, eğer x  A için r  0, r  E bulunabilir ve B  x, r   A
sağlanıyorsa, A kümesine açık küme denir. Tüm açık alt kümelerin ailesini d,E ile
gösterelim.
   A  X x  A için r  0, r  E  var dır öyle ki B  x, r   A  P  X  ailesi X
üzerinde bir topolojidir. Açıktır ki , X  olur. U ,V  olsun. U  ise x U için
B  x, r1   U olacak biçimde r1  0, r1  E  vardır. V  ise x V için B  x, r2   V olacak
biçimde r2  0, r2  E  vardır. r  min r1 , r2  olmak üzere B  x, r   U V elde edilir. Son
olarak her i  I için U i   ise her x U i için B  x, ri   U i olacak biçimde ri  0, ri  E 
vardır, dolayısıyla r  min ri  , i  I olmak üzere B  x, r  
16
U i elde edilir. Kolayca
iI


gösterilebilir ki B  x, r  : x  X , r  E  ailesi bir topoloji tabanıdır. Ayrıca metrik uzaylarda
olduğu gibi kolayca gösterilebilir ki, vektör metrik uzaylar Hausdorff uzaylardır.
3.1.12 Önerme
 X , d, E
vektör metrik uzay ve a  X olsun. Her bir x  B  a, r  için öyle bir q  E , q  0
vardır ki B  x, q   B  a, r  olur. Yani her açık yuvar açıktır.
Kanıt:
x  B  a, r  ve q  r  d  a, x   0 olsun. Herhangi bir y  B  x, q  alalım. Bu durumda,
d  y, a   d  y, x   d  x, a   q  d  x, a   r
olur.
Yani
y  B  a, r 
olacağından
B  p,    B  a, r  içindeliği elde edilir.
3.2.
Vektör Metrik Uzaylarda Sınırlılık ve Yoğun Kümeler
3.2.1 Tanım
 X , d, E
vektör metrik uzay A  X ve A   olsun. sup{d  x, y  x , y  A} değeri varsa bu
supremum değerine A kümesinin E- çapı denir.
x, y  A için d  x, y   a olacak şekilde E Riesz uzayında a  0 sayısı varsa A kümesine
E-sınırlı küme denir. Diğer bir deyişle A kümesinin çapı sonlu ise A kümesi E-sınırlıdır.
3.2.2 Önerme
 X , d, E
vektör metrik uzay A  X ve x0  X olsun. Eğer A’nın elemanlarının x0 ‘a olan
mesafeleri sınırlıysa, o zaman bu özellik x0 yerine X ’in her elemanı için geçerlidir. Ayrıca bu
durumda her a, b  A için d  a, b   r eşitsizliğini sağlayan bir r  E, r  0 elemanı vardır.
Kanıt:
a  A ve r  E için d  a, x0   r olsun. x1 , X ’in herhangi bir elemanı olmak üzere a  A
için, d  a, x1   d  a, x0   d  x0 , x1     d  x0 , x1  olur. Demek ki A’nın elemanlarının x1 ‘e
17
olan uzaklığı   d  x0 , x1  sayısından büyük olamaz. Diğer taraftan, a ile b, A ’nın herhangi
iki elemanı ise, d  a, b   d  a, x0   d  x0 , b   2 olur. Yani istenen için r  2 almak
yeterlidir.
3.2.3 Teorem
 X , d , E  vektör metrik uzay olmak üzere aşağıdaki özellikler sağlanır.
a.
Her E-yakınsak dizi E-Cauchy dizisidir.
b.
Her E-Cauchy dizisi E- sınırlıdır.
c.
 xn 
 
E-Cauchy dizisi ve xnk
 
d ,E
d ,E
x
alt dizi olmak üzere xnk 
x ise  xn  
dir.
 xn  ,  yn 
d.
E- Cauchy dizileri ise  d  xn , yn   o-Cauchy dizisidir.
Kanıt:
d ,E
xn 
x  n 
a.
için d  xn , xn p   d  xn , x   d  xn p , x   an  an p  2an  0 olduğundan
vardır. n, p 
 xn 
için d  xn , x   an  0 olacak biçimde  an   E dizisi
E-Cauchy dizisidir.
b.
 xn 
 an   E dizisi vardır. n, p 
c.
 xn 
n, p 
E-Cauchy dizisi ise
için d  xn , xn p   an  0 olacak biçimde
için d  xn , xn p   a1 ise  xn  dizisi E-sınırlıdır.
E- Cauchy dizisi ise
n, p 
için d  xn , xn p   an  0 olacak biçimde
d ,E
 an   E dizisi vardır. Diğer taraftan  xnk  
x ise n, p 


için nk  n  p olmak
üzere d xnk , x = d  xn p , x   bn  0 olacak biçimde  bn   E dizisi vardır. n, p 
için
d ,E
x elde
d  xn , x   d  xn , xn p   d  xn p , x   an  bn p   an  bn   0 olacağından  xn  
edilir.
d.
 xn 
E-Cauchy dizisi ise n, p 
için
18
d  xn , xn p   an  0 olacak biçimde
 an   E dizisi vardır.  yn  E-Cauchy dizisi ise n, p 
için d  yn , yn p   bn  0 olacak
biçimde  bn   E dizisi vardır.
n, p 
için
d  xn , yn   d  xn p , yn p   d  xn , xn p   d  yn , yn p   an  0  bn  0
sağlanır. Buradan  d  xn , yn   E ‘de o-Cauchy dizisidir.
Metrik uzaylarda yoğun kümeler önemlidir. Çünkü metrik uzayın herhangi bir
noktasına yoğun bir kümenin noktaları ile yaklaşılabilir. Dolayısıyla sürekli fonksiyonların
bazı özellikleri gibi, uzayın tamamı yerine bu yoğun kümelerle iş yapmak daha avantajlı
olabilir.
3.2.4 Tanım
 X , d , E  vektör metrik uzay olmak üzere
a.
x  X ve r  E, r  0 için B  x, r   Y     x  ise Y  X , X uzayında d,E
yoğundur denir.
b.
d ,E
x  X için  xn   Y dizisi vardır öyle ki  xn  
x sağlanıyorsa Y  X , X
uzayında E-yoğundur denir.
3.2.5 Önerme
 X , d , E  vektör metrik uzay, Y  X ve E Arşimedian Riesz uzayı olsun. Eğer
Y  d , E  yoğun ise Y E-yoğundur.
Baire teoremini oluşturmak için vektör metrik topolojinin bazı özelliklerini
kullanacağız. Aşağıdaki sonuç Cantor arakesit teoreminin vektör metrik uzaylardaki
versiyonudur.
3.2.6 Teorem
 X , d , E  E-tam vektör metrik uzayı ve E-Dedekind tam olsun. Eğer E’nin boştan farklı Ekapalı alt kümelerinin azalan bir dizisinin X’teki çaplarının limiti sıfır ise bu dizinin arakesiti
tek bir noktadan oluşur.
19
Kanıt:
E-tam vektör metrik uzayının boştan farklı E-kapalı alt kümelerinin azalan bir dizisi  Fn 
olsun. Kabul edelim ki E-dedekind tam ve limn d  Fn   0 olsun. F 

Fn olmak üzere
n 1
için d  x, y   d  Fn  sağlanacağından d  x, y   0 olur. Dolayısıyla
x, y  F ise n 
x  y elde edilir. Şimdi F kümesinin boştan farklı olduğunu gösterelim. Her bir n 
kümesinden bir xn elemanı seçelim. Bu şekilde oluşturulan
 xn  dizisi,
için Fn
n, p 
için
d  xn , xn p   d  Fn  sağlanacağından bir E-Cauchy dizisidir.
d ,E
X E-tam olduğundan xn 
x olacak biçimde bir tek x  X vardır.  Fn  dizisi
azalan, her bir Fn kümesi E-kapalı ve xn p  Fn olduğundan her bir n 
için x  Fn olur.
Dolayısıyla x  F olacağından F   ’dir.
Açık ve yoğun kümelerin oluşturduğu dizilerin arakesitlerinin yine yoğun olduğu
topolojik uzaylar Baire uzayları olarak adlandırılır. Örneğin her tam metrik uzay ve lokal
kompakt Hausdorff uzaylar Baire uzaylarıdır.
Şimdi vektör metrik uzaylar için Baire teoremini verelim.
3.2.7 Teorem
 X , d , E  E-tam vektör metrik uzay ve E Riesz uzayı Arşimedyan ve Dedekind tam ise X bir
Baire uzayıdır.
Kanıt:
X, E-tam vektör metrik uzay ve E-Arşimedian olsun. X’in  d , E  yoğun açık alt kümelerinin
bir dizisi
 An  ve
A

An olsun. x  X ve r  0 seçelim. A1  d , E  yoğun ve açık
n 1
olduğundan B  y1 , r1   B  x, r 
Benzer olarak
A2
A1 olacak biçimde y1  X ve 0  r1  a , a  E vardır.
 d , E  yoğun ve açık olduğundan B  y1 , r1 
dolayısıyla B  y2 , r2   B  y1 , r1 
A2 olacak biçimde y2  X ve 0  r2 
20
A2  
‘dir,
a
vardır. Bu işlemi
2
için B  yn1 , rn1   B  yn , rn 
devam ettirdiğimizde Her bir n 
An1  B  yn , rn  ve rn 
a
n
olacak
biçimde

 yn   X ile
0  rn ,
 rn   E dizileri vardır. Böylece Cantor arakesit teoremiyle
B  yn , rn  kümesinin tek noktadan oluştuğunu elde ederiz.
B  yn , rn   B  x, r 
A
n 1
n 1
kapsamasından B  x, r 
3.3.

A   olduğunu görürüz.
Vektör Metrik Uzaylarda Sıra Tamlık
Klasik metrik uzaylarda yapılan ispatlara benzer şekilde
uzayının E-tam olduğu gösterilebilir. Yani tam olmayan
 Xˆ , dˆ, E 
 X , d, E
vektör metrik
vektör metrik E-tam
 Xˆ , dˆ, E  vektör metrik uzayının yoğun bir alt kümesine izometriktir. Bu durumda,  Xˆ , dˆ, E 
vektör metrik uzayına,
 X , d, E
vektör metrik uzayının E-tamlaması denir. Bu tamlama
izometriler altında tektir.
3.3.1. Tanım
 X , d, E
ve
Y ,  , F  vektör
metrik uzaylar x, y  X
için d  x, y     i  x  , i  y  
koşulunu sağlayan i : X  Y fonksiyonuna E-izometridir denir. Ek olarak i örten ise
 X , d , E  , Y ,  , F  vektör metrik uzayları E-izometriktir denir.
i izometri fonksiyonunun birebir olduğu kolayca görülebilir. i  x   i  y  olsun. Bu
durumda   i  x  , i  y    0 olur ki vektör metrik uzay tanımından d  x, y   0 ve dolayısıyla
x  y elde edilir. Bu da bize i fonksiyonunun birebir olduğunu verir.
E, sıra tam Riesz uzay olsun.  xn  ,  yn  X de E-Cauchy dizileri olmak üzere X ‘de
“  xn 
o
0 ”
 yn   d  xn , yn  
0
Gerçekten, 0  d  xn , xn  
o
şeklinde tanımlanan bağıntı bir denklik bağıntısıdır.
ise
o
d  yn , xn   d  xn , yn  
 0 ise  xn 
 xn   yn 
 yn 
iken
21
olacağından
 yn   xn 
yansıma
özelliği,
olduğundan simetri özelliği,
o
0  d  xn , zn   d  xn , yn   d  yn , zn  
 0 eşitsizliğinden
 xn   zn 
 xn   yn 
ve
 yn   zn 
iken
olduğundan geçişme özelliğinin sağlandığını görürüz. Dolayısıyla bu bağıntı
ayrık denklik sınıfları oluşturur. Bu denklik sınıflarını xˆ, yˆ ,... ile gösterelim. Yani
xˆ 

 xˆ

 x   X   y   xˆ için d  x , y   0
o
n
yˆ   ve
n
n
n
olmak
üzere
Xˆ   xˆ x  X 
olsun.

xˆ  Xˆ 
xˆXˆ

X̂ üzerinde dˆ : Xˆ  Xˆ  E, xˆ, yˆ  Xˆ için d  xˆ, yˆ   o  lim d  xn , yn  fonksiyonunu
tanımlayalım.  xn  ve
 yn  E-Cauchy dizileri için d  xn , yn  dizisi E ‘de Cauchy dizisi ve E
o
 x olacak biçimde bir tek x  E vardır. Bu
Riesz uzayı E-sıra tam olduğundan d  xn , yn  
ise
d̂ ’nın
anlamlı
olduğunu
d  xn , yn   d  xn , zn   d  yn , zn 
ve
verir.
 xn  ,  zn   xˆ ve
 yn   yˆ
d  zn , yn   d  zn , xn   d  yn , xn 
d  xn , yn   d  yn , zn  elde edilir. Bu ise d̂
’nın
olsun.
eşitsizliklerinden
xˆ, yˆ denklik sınıflarından alınan
 xn  ,  yn  temsilci dizilerinden bağımsız olduğunu gösterir. Diğer taraftan limitin tekliğinden
d̂ iyi tanımlıdır.
3.3.2 Teorem


E sıra tam Riesz uzayı olmak üzere  X , d , E  vektör metrik uzayı ise Xˆ , dˆ , E vektör metrik
uzayıdır.
Kanıt:
Vm1. xˆ, yˆ  Xˆ için  xn   xˆ ve
 yn   yˆ olmak üzere,
o
dˆ  xˆ, yˆ   0  o  lim d  xn , yn   0  d  xn , yn  
 0   xn    yn   xˆ  yˆ
Vm2. xˆ, yˆ , zˆ  Xˆ için  xn   xˆ,  yn   yˆ ve
 zn   zˆ olmak üzere,
d  xn , yn   d  xn , zn   d  yn , zn   o  lim d  xn , yn   o  lim d  xn , zn   o  lim d  yn , zn 
olduğundan dˆ  xˆ, yˆ   dˆ  xˆ, zˆ   dˆ  yˆ , zˆ  elde edilir.
22
Diğer taraftan, i : X  Xˆ , i  x    x, x,... şeklinde tanımlanan dönüşüm ile  X , d , E 
ve
i  X  , dˆ, E 
vektör
metrik
uzayları
Gerçekten,
E-izometriktir.
dˆ  i  x  , i  y    dˆ   x, x,... ,  y, y,...   o  lim d  x, y   d  x, y  sağlanır.
3.3.3 Lemma
E sıra tam Riesz uzayı olmak üzere

 X , d, E


vektör metrik uzayı ise i  X  , dˆ , E vektör

metrik uzayı Xˆ , dˆ , E içinde E-yoğundur.
Kanıt:
x̂  Xˆ olsun.  xn   xˆ E-Cauchy dizisini alalım. Bir n0 
 
denklik sınıfı olan i xn0  i  X  elemanını düşünelim.



için xn0 , xn0 ,... ile üretilmiş
 xn  ,
X ‘de E-Cauchy dizisi


için d xn0 , xn0  p  an  0 olacak biçimde  an   E dizisi vardır.
olduğundan p 
elemanı için n  n0  p olacak biçimde p 
Diğer taraftan n 
  



vardır. O halde

dˆ i xn0 , xˆ  o  lim d xn0 , xn  o  lim d xn0 , xn  p  an0 elde edilir. Dolayısıyla k 
dˆ , E
xˆ olur.
için dˆ  i  xk  , xˆ   an  0 olduğundan i  xn  
3.3.4. Teorem
E sıra tam Riesz uzayı olmak üzere  X , d , E  vektör metrik uzayı tarafından üretilen E-tam


vektör metrik uzayı Xˆ , dˆ , E izometriler altında tektir.
Kanıt:


Öncelikle Xˆ , dˆ , E E-tam olduğunu görelim.  xˆn   Xˆ bir E-Cauchy dizisi olsun. i  X  , Xˆ
da E-yoğun olduğundan her bir  xˆn   Xˆ için i  yn   i  X  vardır ve dˆ  i  yn  , xˆn   an  0
olacak
biçimde

 an   E
dizisi
vardır.

Diğer
taraftan

n, p 
için

d  yn , yn p   dˆ i  yn  , i  yn p   dˆ i  yn  , xˆn   dˆ  xˆn , xˆn p   dˆ xˆn p , i  yn p   3an  0 olur.
Bu da bize
 yn 
dizisinin X ’de E-Cauchy dizisi olduğunu verir. i : X  Xˆ dönüşümü
23
izometri
yˆ 
i  yn  , Xˆ
olduğundan
’da
 z    y   yˆ için d  z , y   0 
o
n
n
n
n
 yn 
o
dˆ  i  yn  , yˆ   dˆ  yn , yn ,... , yn , yn ,...  
0
n 
E-Cauchy
 i  yn 
dizisi
olmak
üzere
d ,E
i  yn  
yˆ
ˆ
sağlanacağından
olur.
olur.
elemanı için dˆ  yˆ , xˆn   dˆ  yˆ , i  yn    dˆ i  yn  , xˆn  eşitsizliği geçerlidir. Buradan
dˆ  yˆ , xˆn   dˆ  yˆ , i  yn    dˆ  i  yn  , xˆn   an  bn
an  E, bn  E dizileri vardır. Her bir

an  0, bn  0
ve
 xˆn   Xˆ
olacak
biçimde
Cauchy dizisi için ŷ  Xˆ
vardır

dˆ , E
xˆn 
yˆ olur. O halde Xˆ , dˆ , E E-tam vektör metriktir.
Son olarak
 Xˆ , dˆ, E 
tamlamasının izometriler altında tek olduğunu gösterelim.
J : X  X E-izometri ve J  X  , X da E-yoğun olacak biçimde başka bir E-tam vektör
 X , d , E  olsun.  Xˆ , dˆ, E 
metrik uzay
ve
 X , d , E  tamlamalarının
izometrik denk
tamlamalar olduğunu görelim. x  X için h0 : i  X   J  X  , h0  i  x    j  x  dönüşümünü
tanımlayalım. Açıktır ki i  X  ve J  X  E-izometriktir. x, y  X için J, E-izometri


olduğundan d h0  i  x   , h0  i  y    d  j  x  , j  y    dˆ  i  x  , i  y   olur. Buradan i  X  ve
j  X  E-izometriktir. z  j  X  için x  X vardır öyle ki z  j  x   h0  i  x   ve i  x   Xˆ
yani z  j  X  için i  x   i  X  vardır ve h0  i  x    z dir. Buradan h0 örtendir.
y  i  X 
için x  X vardır öyle ki y  i  x  J iyi tanımlı olduğundan x  X için
j  x   X ve y  i  x  için h0  y   X . Buradan h0 anlamlıdır. y1 , y2  i  X  ve y1  y2
olsun.
y1  i  x1  , y2  i  x2  olacak biçimde x1 , x2  X
i  x1   i  x2 
ise
x1  x2 j
vardır. i birebir olduğundan
iyi
tanımlı
j  x1   j  x2   h0 i  x1    h0 i  x2    h0  y1   h0  y2  Bu da h0
olduğundan
fonksiyonunun iyi
dˆ , E
ˆ ’da E-yoğun olduğundan i  x  
xˆ
tanımlı olduğunu verir. x̂  Xˆ olsun i  X  , X
n
olacak
biçimde
i  xn   i  X  E-Cauchy
dizisi
vardır. h0
E-izometri
olduğundan
d ,E
h0  i  xn    j  xn  X da E-Cauchy dizisi vardır. ve X E-tam olduğundan j  xn  
x
olacak
biçimde
x  X vardır.
h : Xˆ  X , h  xˆ   x
24
olarak
tanımlayalım.
xˆ, yˆ  Xˆ
dˆ , E
dˆ , E
ˆ ’da E-yoğun olduğundan i  x  
olsun i  X  , X
xˆ ve i  yn  
yˆ olacak biçimde
n
i  xn  , i  yn   i  X  E-Cauchy dizileri vardır.  xn  ,  yn  X de E-Cauchy dizileri dolayısıyla
j  xn  , j  yn  j  X  de E-Cauchy dizileridir. X E-tam olduğundan x, y  X vardır öyle ki
d ,E
d ,E
d ,E
d ,E
j  xn  
x, j  yn  
y sağlanır. O halde j  xn  
h  xˆ  , j  yn  
h  yˆ  elde
edilir. Dolayısıyla,

d  h  xˆ  , h  yˆ    o  lim d  j  xn  , j  yn    o  lim d h0  i  xn   , h0  i  yn  



 o  lim dˆ  i  xn   ,  i  yn    dˆ  xˆ, yˆ 
olur. Yani h metrik koruyandır. x  X
seçelim
j  X  , X ’da E-yoğun olduğundan
d ,E
j  xn  
x olacak biçimde j  xn   j  X  E-Cauchy dizisi vardır. i  X  , j  X  E-
izometrik olduğundan i  xn 
d ,E
i  xn  
xˆ
ˆ
olacak
X̂ da E-Cauchy dizisidir.O halde
biçimde
d ,E
h  i  xn   
h  xˆ  olur. n 
x̂  Xˆ elemanı
vardır. h
X̂
tam olduğu için
E-izometrik
olduğundan
için d  x, h  xˆ    d  x, j  xn    d  j  xn  , h  xˆ    an  bn
olacak biçimde E ‘de  an   0,  bn   0 dizileri vardır. Dolayısıyla, x  h  xˆ  olur.
25
VEKTÖR METRİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK
4.
Bu bölümde vektör metrik uzayları üzerinde tanımlı fonksiyonların sürekliliği
incelenecektir. Metrik uzaylardaki süreklilik kavramından daha genel olan süreklilik çeşitleri
ile vektör metrik uzaylarda karşılaşmamız doğal olacaktır. Çünkü vektör metrik uzaylarda
tanımlanan sürelilik bir topolojik özelliğinden ziyade Riesz uzayının sıra yapısı ile ilgilidir.
Aşağıda verilen tanımlar metrik uzaylardaki sırasıyla süreklilik ve dizisel süreklilik
tanımlarına benzerdir. Ayrıca sürekli fonksiyonların genişlemeleri, sürekli fonksiyonlar
uzayları ve vektör metriklerde kompaktlık bu bölümde yer almıştır. Bu bölüm Çevik (2014)
ve Petre (2012) çalışmaları esas alınmıştır.
4.1.
Vektörel Süreklilik ve Topolojik Süreklilik
4.1.1 Tanım

 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar, f : X  Y bir fonksiyon ve x  X
olsun. b  0 , b  F için d  x, y   a olduğunda   f  x  , f  y    b olacak şekilde
a  0 , a  E varsa, f fonksiyonu, x  X noktasında topolojik süreklidir denir.
Eğer f fonksiyonu X kümesinin her noktasında topolojik sürekli ise f fonksiyonu X
uzayında topolojik süreklidir denir.

d ,E
x
 xn  
olacak
biçimdeki
  xn   X
dizisi
için
 ,F
f  xn  

 f  x  sağlanıyorsa f fonksiyonu x  X noktasında vektörel süreklidir
denir. Eğer f fonksiyonu X kümesinin her noktasında vektörel sürekli ise f fonksiyonu
X uzayında vektörel süreklidir denir.
Aşağıdaki teorem vektörel süreklilik ile topolojik süreklilik arasındaki ilişkiyi verir.
4.1.2 Teorem
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar ve F Arşimedyan olsun. f : X  Y topolojik
sürekli ise vektörel süreklidir.
26
Kanıt:
f, X üzerinde topolojik sürekli olduğundan, b  0 , b  F için d  x, y   a olduğunda
  f  x  , f  y    b olacak şekilde a  a  b, y   E vardır. Yani f topolojik sürekli
olduğundan n 
ve
1
1



b  F  için bn  bn  b, xn   E vardır ve d  xn , x   bn  E iken
n
n

  f  xn  , f  x    b  0
1
n
  f  xn  , f  x    b
1
n
sağlanır.
O
halde
d  xn , x   an  bn  an  0
sağlanır. F Arşimedyan olduğundan
1
b0
n
iken
olur. Buradan
d ,E
 ,F
x  X iken f  xn  

 f  x   Y sağlandığından f vektörel süreklidir.
da  xn  
4.1.3 Teorem
 X , d, E
ve
Y ,  , F 
vektör metrik uzaylar ve
f : X  Y fonksiyon olmak üzere
aşağıdakiler sağlanır.
a.
F Riesz uzayı   Dedekind tam ve f vektörel sürekli ise d  xn , x   0 iken
  f  xn  , f  x    0 olur.
b.
E Riesz uzayı   Dedekind tam ve d  xn , x   0 iken   f  xn  , f  x    0 ise f
vektörel süreklidir.
c.
E ve F Riesz uzayları   Dedekind tam olsun. f ’in vektörel sürekli olması için
gerekli ve yeterli koşul d  xn , x   0 iken   f  xn  , f  x    0 olmasıdır
Kanıt:
a.
d  xn , x   0 olduğundan
olduğundan
d ,E
x
 xn  
d ,E
x
 xn  
iken
sağlanır. Dolayısıyla, f vektörel sürekli
 ,F
f  xn  

 f  x
  f  xn  , f  x    bn  0 olacak biçimde
 bn   F
olur.
Yani,
n 
için
dizisi vardır. F   Dedekind tam
olduğundan, alttan sınırlı her alt kümesi F içinde bir infumuma sahiptir. Yani
  f  xn  , f  x    0 sağlanır.
b.
E
  Dedekind
tam
ve
d  xn , x   0
27
iken
  f  xn  , f  x    0
olsun.
d ,E
 ,F
x iken f  xn  

 f  x  yazılabilir. Bu da bize f ‘in
için  xn  
Buradan n 
vektörel sürekli olduğunu gösterir.
c.
d ,E
x iken
E ve F   Dedekind tam olsun. f : X  Y vektörel sürekli ise  xn  
 ,F
f  xn  

 f  x  olur. Yani d  xn , x   an olacak biçimde
 an   0  E dizisi
var iken
  f  xn  , f  x    bn olacak biçimde  bn   0  F dizisi vardır. E ve F   Dedekind tam
olduğundan alttan sınırlı her alt kümenin bir infumumu vardır. Dolayısıyla d  xn , x   0 iken
  f  xn  , f  x    0
sağlanır.
Şimdi aşağıdaki vektör metrikler ile tanımladığımız metrik fonksiyonunun vektörel
sürekli olduklarını gösterelim.
4.1.4 Örnek
 X , d, E
vektör metrik uzay olsun.
z   x1 , y1  , w   x2 , y2   X  X
olmak üzere


d :  X  X    X  X   E , d  z, w  d  x1 , x2   d  y1 , y2  fonksiyonu ile X  X , d , E ve,
x, y  E olmak üzere d E : E  E  E , d E  x, y   x  y

 E, d E , E 
vektör metrik uzaydır.

Buna göre d : X  X , d , E   E, d E , E  fonksiyonu vektörel sürekli olduğunu gösterelim.
 zn    xn , yn   X  X
durumda
n 
d ,E
z olsun. Bu
dizisi ve z   x, y   X  X elemanı için zn 
için
d  zn , z   an  0
d  zn , z   d  xn , x   d  yn , y   an  0
sağlanır. Ayrıca
olacak
olduğundan
biçimde
 an   E
dizisi
vardır.
d  xn , x   an  0 ve d  yn , y   an  0
d  xn , yn   d  x, y   d  xn , x   d  yn , y   2an  0
olduğundan benzer
dE , E
 d  z  olduğunu verir.
olarak d  zn   d  z   2an  0 yazılabilir. Bu ise bize d  zn  
4.1.5 Tanım
 X , d, E
vektör metrik uzay ve X in boştan farklı bir alt kümesi Y olsun.   xn   Y ve
d ,E
x
 xn  
iken x  Y ise Y kümesine E-kapalı küme denir.
4.1.6 Teorem
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar ve f : X  Y vektörel sürekli fonksiyon olsun.
28
Bu durumda, B  Y F - kapalı alt küme ise f 1  B   X , E  kapalıdır.
Kanıt:
 xn  
f 1  B  ve
d ,E
x
 xn  
olsun. f vektörel sürekli olduğundan
d ,E
x
 xn  
ise
 ,F
f  xn  

 f  x  sağlanır. B  Y , F  kapalı ve f  xn   B olduğundan f  x   B ,
dolayısıyla x  f 1  B  elde edilir. Yani f 1  B   X E  kapalıdır.
E bir Riesz uzay, k sonlu bir sayı ve i=1,2,...,k olmak üzere  X i , di , E  vektör metrik
uzaylar olsun. X  X1  X 2  ...  X k kartezyen çarpım kümesi üzerinde farklı vektör metrikler
tanımlanabilir. x   x1 , x2 ,..., xk  , y   y1 , y2 ,..., yk   X için,
k
d1 : X  X  E , d1  x, y    di  xi , yi 
i 1
d : X  X  E, d  x, y   sup d  xi , yi  i  1, 2,..., k 
şeklinde tanımlanan d1 ve d  fonksiyonları X kartezyen çarpım üzerinde vektör metriktir.
1 1
  1 olmak üzere Krivine fonksiyonel
p q
Eğer E bir Banach örgüsü ve 1  p, q  ,
hesabı ile
1
p p
 k
k
d p  x, y      di  xi , yi     sup  ai di  xi , yi  :  a1 , a2 ,..., ak  
 i 1

 i 1
1
k
k

q
,  ai  1 ise
i 1

1
p p
p p
 k
 k
olur
ve
d
x
,
y

E
d
:
X

X

E
,
d
x
,
y







p
p
 i i i 
   di  xi , yi    fonksiyonu X
 i 1

 i 1

üzerinde vektör metrik tanımlar.
E
ve
F
iki
Riesz
uzay
ise
 e1 , f1  ,  e2 , f2   E  F
olmak
üzere  e1 , f1    e2 , f 2   e1  e2 , f1  f 2 sıralaması ile E  F ‘de bir Riesz uzaydır. Diğer
taraftan,
d EF :  E  F    E  F    E  F  , d EF   e1 , f1  ,  e2 , f 2     e1  e2 , f1  f 2

fonksiyonu E  F üzerinde bir vektör metrik tanımlar. Bu metrik çift mutlak değer vektör
metriği olarak adlandırılır. Bu metriğin biraz daha genel halini şu şekilde tanımlayabiliriz.
29
Kabul edelim ki
 X , d, E
ve
 X , , F 
vektör metrik uzaylar olsun. Bu durumda
 : X  X  E  F ,   x, y    d  x, y  ,   x, y   bir vektör metriktir.
Bölüm 3.1 de verilen vektör metrik örneklerini kullanarak bazı vektörel süreklilik
örnekleri verelim.
4.1.7 Örnek
 X , d, E
ve
 X , , F 
g :  X , , F    F , dF , F 
vektör
vektörel
metrik
sürekli
uzaylar, f :  X , d , E    E, d E , E 
ve
üzere, x  X
için
fonksiyonlar
olmak
h :  X ,  , E  F    E  F , d EF , E  F  , h  x    f  x  , g  x   fonksiyonunun vektörel sürekli
olduğunu gösterelim. kabul edelim ki
 ,EF
xn 
 x olsun Buradan n 
için
  xn , x    d  xn , x  ,   xn , x     an , bn   0 olacak biçimde  an , bn   E  F dizisi vardır. Bu
d ,E
ise bize d  xn , x   an  0 ve   xn , x   bn  0 olduğunu verir. O halde xn  x ve
 ,F
xn 

 x sağlanır.
ve
g
dF , F
 g  x  ’dir.
ve g  xn  
vektörel
sürekli
olduğundan
dE , E
f  xn  
 f  x
d E  f  xn  , f  x    f  xn   f  x   cn  0
Buradan
ve d F  g  xn  , g  x    g  xn   g  x   d n  0 olacak biçimde
 cn  ,  dn   E
dizileri vardır.
Dolayısıyla,
d EF  h  xn  , h  x    d EF
 f  x  , g  x  ,  f  x  , g  x    f  x   f  x  , g  x   g  x    c , d
n
n
n
n
n
d EF , EF
 h  x  elde edilir.
sağlanır.  cn , dn   E  F .olduğundan h  xn  
4.1.8 Örnek
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar olsun. z   x1 , y1  , w   x2 , y2   X  Y olmak
üzere  :  X  Y    X  Y   E  F ,   z, w   d  x1 , x2  ,   y1 , y2   bir vektör metriktir.
Dolayısıyla,  X  Y ,  , E  F  vektör metrik uzaydır (Çarpım vektör metrik).  X  Y ,  , E  F 
vektör metrik uzayı göz önüne alalım. X  Y üzerinde tanımlı, sırasıyla X ve Y değerli,
projeksiyon
operatörler
olmak
üzere
Px : X  Y  X , Px  x, y   x
Py : X  Y  Y , Py  x, y   y ile tanımlı projeksiyon dönüşümleri vektörel süreklidir.
30
ve
n
0
4.1.9 Teorem
Herhangi bir vektör metrik uzay
fonksiyonunun
vektörel
 Z , , G 
sürekli
Px : X  Y  X , Px  x, y   x
olmak üzere, f :  Z ,  , G    X  Y ,  , E  F 
olması
için
gerekli
Py : X  Y  Y , Py  x, y   y
ve
ve
ile
yeterli
tanımlı
koşul,
projeksiyon
dönüşümleri olmak üzere Px f ve Py f fonksiyonlarının vektörel sürekli olmasıdır.
Kanıt:

f vektörel sürekli olsun.
 zn   Z
 ,G
dizisi ve z  Z elemanı için zn 
z ise
 , E F
f  zn    xn , yn  
 f  z    x, y  sağlanır. Bu durumda n 
olacak biçimde
olacak
 Px
 an   G
dizisi var iken.   f  zn  , f  z       xn , yn  ,  x, y     bn , cn   0
 bn , cn   E  F
biçimde
için   zn , z   an  0
dizisi
vardır.
Böylece
 ,G
zn 
z
iken
dE , E
dF , F
f  zn   xn 
 x ve  Py f   zn   yn 
 y sağlanır.
   Px f ve Py f
fonksiyonları vektörel sürekli olsun.  zn   Z dizisi ve z  Z elemanı
dE , E
 ,G
 x ve  Py
z ise  Px f  zn   xn 
için zn 
durumda
n 
için
  zn , z   an  0
dF , F
f   zn   yn 
 y sağlanır. Bu
olacak
biçimde
 an   G
dizisi
var
iken.   f  zn  , f  z       xn , yn  ,  x, y     bn , cn   0 olacak biçimde  bn , cn   E  F dizisi
vardır.
P
y
Böylece
 ,G
zn 
z
iken
 Px
dE , E
f  zn   xn 
x
ve
f :  X , d , E    E, d E , E 
ve
dF , F
f   zn   yn 
 y sağlanır.
4.1.10 Örnek
 X , d, E
ve
Y ,  , E 
g : Y ,  , E    E , d E , E 
vektör
metrik
vektörel
uzaylar,
sürekli
h :  X  Y ,  , E  E    E, d E , E  , h  x, y   f  x   g  y 
fonksiyonlar
olsun.
şeklinde tanımlı h fonksiyonu
 , E E
  x, y   X  Y sağlansın. Bu
vektörel sürekli olduğunu gösterelim.  xn , yn   X  Y 
durumda n 
 an , bn   E  E
için    xn , yn  ,  x, y     d  xn , x  ,   yn , y     an , bn   0 olacak biçimde
d ,E
 ,E
dizisi vardır. Dolayısıyla, xn  x ve yn  y sağlanır. f ve g
31
dE , E
dE , E
 f  x  ve g  yn  
 g  y  sağlanır. O halde,
vektörel sürekli olduğundan f  xn  
f  xn   f  x   cn  0 ve g  yn   g  y   d n  0 yazılabilir. Dolayısıyla,

d E  h  xn , yn  , h  x, y    d E f  xn   g  yn  , f  x   g  y 

 f  xn   g  yn   f  x   g  y   f  xn   g  yn   g  y   f  x 
 f  xn   g  yn   g  y   f  x   f  xn   f  x   g  yn   g  y    cn , d n   0
dE , E
 h  x, y  yazılabileceğinden h fonksiyonu vektörel
elde edilir. Buradan da, h  xn , yn  
süreklidir.
4.1.11.Örnek
 X , d, E
Y ,  , F  vektör
ve
g : Y ,  , F    F , d F , F  vektörel
metrik
sürekli
h :  X  Y ,  , E  F    E  F , d E F , E  F 
uzaylar,
fonksiyonlar
f :  X , d , E    E, d E , E  .ve
olsun.
  x, y   X  Y için
 x, y   h  x, y    f  x  , g  y  
şeklinde tanımlı
 , E F
  x, y   X  Y sağlansın. Her bir
h fonksiyonu vektörel süreklidir.  xn , yn   X  Y 
için
n
 an , bn   E  F
vektörel
   xn , yn  ,  x, y     d  xn , x  ,   yn , y     an , bn   0
olacak
d ,E
 ,F
 y sağlanır. f ve g
dizisi vardır. Dolayısıyla, xn  x ve yn 
sürekli
dE , E
f  xn  
 f  x
olduğundan
dF , F
 g  y
ve g  yn  
Buradan f  xn   f  x   cn  0 ve g  yn   g  y   d n  0 olacak şekilde
d EF  h  xn , yn  , h  x, y    d EF
 f  x  , g  y  ,  f  x  , g  y 
n
n

 f  xn   f  x  , g  yn   g  y    cn , d n   0
elde edilir.
Yukarıda verilen örnekler göz önüne alındığında aşağıdaki sonuçlara ulaşılır.
32
sağlanır.
 cn , dn   E  F
dizisi vardır. Dolayısıyla,

biçimde
4.1.12 Sonuç
a.
f :  X , d , E   Y , , G  ve g :  X ,  , F    Z ,  , H  vektörel sürekli fonksiyonlar
olmak üzere h :  X ,  , E  F   Y  Z ,  , G  H  , h  x    f  x  , g  x   fonksiyonu
vektörel süreklidir.
b.
G bir Riesz uzay ve f :  X , d , E    G, dG , G  ve g : Y ,  , F   G, dG , G  vektörel
sürekli
fonksiyonlar
olmak
üzere,
h :  X  Y ,  , E  F    G, dG , G   x, y   h  x, y   f  x   g  y  şeklinde tanımlı h
fonksiyonu vektörel süreklidir.
c.
G ile H birer Riesz uzayları ve f :  X , d , E    Z , , G  ile g : Y ,  , F   W ,  , H 
vektörel
sürekli
fonksiyonlar
olsun.
Bu
durumda,
h :  X  Y ,  , E  F    Z W ,  , G  H  , h  x, y    f  x  , g  y   şeklinde tanımlı h
fonksiyonu vektörel süreklidir.
Kanıt:
a.
Kabul
edelim
 ,EF
xn 
x
ki
olsun
n 
Buradan
için
  xn , x    d  xn , x  ,   xn , x     an , bn   0 olacak biçimde  an , bn   E  F dizisi vardır. Bu
d ,E
ise bize d  xn , x   an  0 ve   xn , x   bn  0 olduğunu verir. O halde xn  x ve
 ,F
xn 

 x sağlanır.
ve
g
vektörel
sürekli
olduğundan
 ,Z
g  x  ’dir. Buradan   f  xn  , f  x    cn  0
ve g  xn  
olacak
biçimde
 cn   G,  dn   H
dizileri
 ,Y
f  xn  
f  x
ve   g  xn  , g  x    dn  0
vardır.
Dolayısıyla,
  h  xn  , h  x       f  xn  , g  xn   ,  f  x  , g  x      cn , d n   0
 ,GH
 h  x
 cn , dn   G  H .olduğundan h  xn  
b.
 , E F
  x, y   X  Y
 xn , yn   X  Y 
sağlanır.
elde edilir.
sağlansın.
Bu
durumda
n 
için
   xn , yn  ,  x, y     d  xn , x  ,   yn , y     an , bn   0 olacak biçimde  an , bn   E  F dizisi
d ,E
 ,F
 y sağlanır. f ve g vektörel sürekli olduğundan
vardır. Dolayısıyla, xn  x ve yn 
33
dG ,G
dG ,G
f  xn  
 f  x  ve g  yn  
 g  y  sağlanır. O halde, f  xn   f  x   cn  0 ve
g  yn   g  y   d n  0 yazılabilir. Dolayısıyla,

dG  h  xn , yn  , h  x, y    dG f  xn   g  yn  , f  x   g  y 

f  xn   g  yn   f  x   g  y  

f  xn   g  yn   g  y   f  x 
 f  xn   g  yn   g  y   f  x   f  xn   f  x   g  yn   g  y    cn , d n   0
dG ,G
 h  x, y  yazılabileceğinden h fonksiyonu vektörel
elde edilir. Buradan da, h  xn , yn  
süreklidir.
c.
 , E F
  x, y   X  Y
 xn , yn   X  Y 
sağlansın.
Her
bir
n
için
   xn , yn  ,  x, y     d  xn , x  ,   yn , y     an , bn   0 olacak biçimde  an , bn   E  F dizisi
d ,E
 ,F
 y sağlanır. f ve g vektörel sürekli olduğundan
vardır. Dolayısıyla, xn  x ve yn 
 ,G
 ,H
f  xn  
f  x  ve g  yn  

 g  y  sağlanır. Buradan   f  xn  , f  x    cn  0 ve
  g  yn  , g  y    dn  0
olacak şekilde
 cn , dn   G  H
dizisi vardır. Dolayısıyla,
  h  xn , yn  , h  x, y       f  xn  , g  yn   ,  f  x  , g  y      cn , d n   0 elde edilir.
4.1.13 Teorem
 X Y , , E  F 
çarpım vektör metrik uzayı olmak üzere,  zn    xn , yn   X  Y dizisi ve
 ,EF
d ,E
 z olması için gerekli ve yeterli koşul xn 
x
z   x, y   X  Y elemanı için zn 
 ,F
 y olmasıdır.
ve yn 
Kanıt:
Kabul
edelim
ki
 ,EF
zn 
z
olsun.
Bu
  zn , z      xn , yn  ,  x, y     d  xn , x  ,   yn , y     an , bn   0
 an , bn   E  F
n 
durumda n 
olacak
dizisi vardır. O halde çarpım uzayı üzerindeki sıralama gereği,
d ,E
 ,F
y
için d  xn , x   an  0 ve   yn , y   bn  0  xn  x ve yn 
34
için
biçimde
sağlanacağından istenilen görülür.
Aşağıdaki teorem bir fonksiyonun vektörel sürekliliği ile grafiğinin kapalılığı
arasındaki ilişkiyi verir.
4.1.14 Teorem
 X , d, E
Gf 
ve
 X , , F 
vektör metrik uzaylar, f : X  Y fonksiyon olsun. f ‘in grafiği
 x, f  x  x  X  için aşağıdakiler sağlanır.
 X Y , , E  F 
a.
vektör metrik uzayında G f ‘in E  F  kapalı olması için gerekli ve
d ,E
 ,F

 y olacak biçimdeki her bir
yeterli koşul xn  x ve f  xn  
 xn   X
dizisi için y  f  x  olmasıdır.
b.
f vektörel sürekli ise G f , E  F  kapalıdır.
c.
f fonksiyonu x0  X noktasında vektörel sürekli ise h : X  G f , h  x    x, f  x  
fonksiyonu da x0  X noktasında vektörel süreklidir.
Kanıt:
a.
E  F  kapalı,
Kabul edelim ki G f ,
 xn   X
dizisi için
d ,E
xn 
x ve
 ,F
 , E F
f  xn  

 y olsun. 4.1.13 Teorem ile  xn , f  xn   
  x, y  olur. G f , E  F  kapalı
ve
 x, y   G f
olduğundan y  f  x  elde edilir. Tersine, zn   xn , f  xn    G f dizisi için
 , E F
zn 
 z   x, y   X  Y
sağlansın.
Yine
4.1.13
Teorem
ile
d ,E
xn 
x
ve
 ,F
f  xn  

 y olur. Hipotez gereği y  f  x  olacağından z  G f elde edilir. Yani G f
kapalıdır.
Metrik uzaylarda denk metrikler aynı topolojiyi üretirler. Dolayısıyla yakınsaklık
özdeştir. Vektör metrik uzaylarda ise durum biraz farklıdır.
4.1.15 Tanım
X üzerinde tanımlı E-değerli vektör metrik d ve F-değerli vektör metrik  olsun. Her bir
 xn   X
d ,E
 ,F
x gerek ve yeterli şart xn 

 x ise d ve
dizisi ve x  X elemanı için xn 
35
 metriklerine  E , F  -denk vektör metrikler denir.
4.1.16 Önerme
X üzerinde tanımlı E-değerli iki vektör metrik d ve  için aşağıdaki önermeler denktir.
1.
için  d  x, y     x, y    d  x, y  olacak biçimde  ,  
x, y  X
pozitif
sayıları vardır.
2.
x, y  X için   x, y   T  d  x, y   ve d  x, y   S    x, y   olacak biçimde pozitif
ve   sıra sürekli S , T : E  E operatörleri vardır.
Kanıt.
1  2 kabul edelim ki 1 sağlansın. a  E için T  a    a ve S  a    1a Şeklinde tanımlı
T ve S operatörler pozitif   sıra süreklidirler. Dolayısıyla kabulümüzden x, y  X için
  x, y    .d  x, y  yazılabilir. Yani,
  x, y   T  d  x, y  
sağlanır.
Benzer
şekilde
x, y  X için  d  x, y     x, y  olduğundan d  x, y    1  x, y  sağlanır, dolayısıyla
d  x, y   S    x, y   elde edilir.
2 1
Kabul
edelim
ki
2
sağlansın.
x, y  X
için
  x, y   T  d  x, y  
ve
d  x, y   S    x, y   olacak biçimde pozitif ve   sıra sürekli S , T : E  E operatörleri
olsun. T operatörü   sıra sürekli olduğundan sıra sınırlıdır ve T  d  x, y     d  x, y 
olacak biçimde bir  
pozitif sayısı vardır. Dolayısıyla   x, y   T  d  x, y     d  x, y 
olduğu
operatörü
görülür.
S
S    x, y     1  x, y 
  sıra
sürekli
olduğundan
sıra
sınırlıdır.
olacak biçimde bir   pozitif sayısı vardır. Dolayısıyla
d  x, y   S    x, y     1  x, y  sağlanacağından  d  x, y     x, y  olduğu görülür.
4.1.17 Sonuç
 X , d, E
ve
 X ,  , F  vektör
metrik
uzaylar
olsun.
Eğer
x, y  X
için
  x, y   T  d  x, y   ve d  x, y   S    x, y   olacak biçimde pozitif ve   sıra sürekli
T : E  F , S : F  E operatörleri varsa d ile 
36
 E, F  denk vektör metriklerdir.
4.1.18 Örnek
2
üzerinde tanımlı alışılmış sıralamayı düşünürsek aşağıdaki örnekleri verebiliriz.
1. b, c  0 ve a, b  c  0 olacak
a, b, c  sayıları
biçimde
ve   x, y    b x  y , c x  y  şeklinde tanımlı d ve  ile
metrik
S:
2
uzaylar
x, y 
olur.
için


vektör
; T  x   a 1  bx, cx 
ve
, d,

T:
d  x, y   a x  y
için
2

ve

, ,
2
 ; S  x, y   ab1 x şeklinde tanımlı T ve S operatörleri pozitif ve   sıra süreklidir.
x, y 
için,
  x, y    b x  y , c x  y   a 1  ba x  y , ca x  y   a 1 bd  x, y  , cd  x, y    T  d  x, y  
ve d  x, y   a x  y  ab1b x  y  S  b x  y , c x  y   S    x, y   sağlanacağından bir
önceki sonuç gereği d ile  vektör metrikleri
2. x   x1 , x2  , y   y1 , y2  
2
ve
üzerinde
a, b, c, e  0

reel
d  x, y   a x1  y1  b x2  y2 ve   x, y    c x1  y1 , e x2  y2
ve
S:

2
2
, ,
2

vektör
metrik
 ; S  x, y   ac1 x  be1 y
uzaylardır.
şeklinde
2
,
T:
tanımlı

 denktir.
sayıları
için
tanımlı
 fonksiyonları ile 
2
2
, d,
; T  x    ca 1 x, eb1 x 
operatörler
pozitif

ve
  sıra
ve
süreklidirler.
  x, y    c x1  y1 , e x2  y2    ca 1  a x1  y1  b x2  y2  , eb 1  a x1  y1  b x2  y2

 T  a x1  y1  b x2  y2   T  d  x, y  
olur. Diğer taraftan,
d  x, y   a x1  y1  b x2  y2   ac 1c x1  y1  be1e x2  y2   S  c x1  y1 , e x2  y2
ise d  x, y   S    x, y   sağlanır. Bu ise bize

üzerinde denk olduğunu verir.
37
,
2
 değerli d , 

vektör metriklerinin
2
Benzer şekilde,
:
2

2
x   x1 , x2  , y   y1 , y2  
2
ve
 ,   x, y   max a x1  y1 , b x2  y2 
a, b  0
fonksiyonu ile
reel sayıları için

2

, ,
vektör
metrik uzaydır. Eğer max a x1  y1 , b x2  y2   a x1  y1 ise,
  x, y    c x1  y1 , e x2  y2    ca 1a x1  y1 , eb 1a x1  y1   T  a x1  y1 


 T max a x1  y1 , b x2  y2   T   x, y  
olur. Eğer max a x1  y1 , b x2  y2   b x2  y2 ise,
  x, y    c x1  y1 , e x2  y2    ca 1b x2  y2 , eb 1b x2  y2   T b x2  y2



 T max a x1  y1 , b x2  y2   T   x, y  
olur. Yani,   x, y   T   x, y   sağlanır. Diğer taraftan
  x, y   max a x1  y1 , b x2  y2   a x1  y1  b x2  y2   ac 1c x1  y1  be 1e x2  y2

 S  c x1  y1 , e x2  y2   S    x, y  
sağlanır. Dolayısıyla, d , vektör metrikleri
2
üzerinde
Diğer taraftan; S operatörünü farklı olarak S :
şeklinde tanımlarsak  , 
vektör metriklerinin de

2
2
,
 denktir.
 ; S  x, y   max ac 1 x, be1 y
üzerinde denk
2

,
2

olduğunu
görebiliriz. Açıktır ki S pozitif ve   sıra sürekli operatördür. x   x1 , x2  , y   y1 , y2  
ve a, b, c, e 

2
için.   x, y   T   x, y   olduğu gösterildi.
  x, y   max a x1  y1 , b x2  y2   max ac 1c x1  y1 , be 1e x2  y2 
 S  c x1  y1 , e x2  y2   S    x, y  
sağlanır. x   x1 , x2  , y   y1 , y2  
2
ve a, b, c, e 

için.   x, y   T   x, y   olduğu
önceden gösterildiğinden istenen elde edilmiş olur.
Şimdi de iki vektör metrik uzay arasında tanımlı izometri kavramını verelim.
38
4.1.19 Tanım
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar, f : X  Y fonksiyon olmak üzere,
i.
x, y  X için Tf  d  x, y      f  x  , f  y  
ii.
a  E için T f  a   0 iken a  0
şartlarını sağlayan T f : E  F lineer operatörü varsa f fonksiyonuna vektör izometri denir.
Eğer
f
örten
Y ,  , T  E  vektör
f
ve
Tf
operatörü
örgü
homomorfizmi
ise,
 X , d, E
ve
metrik uzaylarına vektör izometriktir denir. Tanımdan kolayca
görülebileceği gibi, vektör izometri birebir fonksiyonlar için vektörel uzaklığı koruyan birebir
fonksiyondur.
4.1.20 Örnek
x, y 
b, c  0 ve a, b  c  0
ve
 , d  x, y   a x  y
d: 
ve
a, b, c 
için
,   x, y    b x  y , c x  y 
şeklinde
olacak
: 

tanımlı fonksiyonlar vektör metrik tanımlar.
2
TI :
biçimdeki

2
; TI  x   a 1  bx, cx 
lineer
dönüşümü için,
i.
TI  d  x, y    TI  a x  y   a 1  ba x  y , ca x  y   b x  y , c x  y     I  x  , I  y  
ii.
TI  x   0  a 1  bx, cx   0  x  0
sağlandığından I :  , d ,
dolayı

, d,

ile

   , ,
,  , TI 
2
 özdeşlik fonksiyonu bir vektör izometridir. Bundan
   x, y  : cx  by; x, y  
vektör metrik uzayları vektör
izometriktir.
4.1.21 Tanım
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar olmak üzere f : X  Y fonksiyonu birebir,
vektörel sürekli ve f  X  üzerinde vektörel sürekli bir terse sahipse, f fonksiyonuna vektör
39
 X , d, E
homeomorfizm denir. Ek olarak f örten ise
ve Y ,  , F  vektör metrik uzayları
vektör homeomorfiktir denir.
Açıktır ki vektör homeomorfizmler dizilerin vektörel yakınsaklığını koruduğu için
vektör homeomorfizmler ile kapalı kümelerin ilişkisi aşağıdaki gibi verilebilir.
4.1.22 Teorem
Örten vektör homeomorfizmler vektörel kapalı kümeleri korur.
Kanıt:
 X , d, E
ve
 X , , F 
vektör metrik uzaylar,
f : X  Y vektör homeomorfizm ve
A  X , E  kapalı alt küme olsun. f 1 vektörel sürekli olduğundan Teorem 4.1.6 gereği
A  X , E  kapalı alt kümesi için f  A   f 1 
1
 A  Y ,
E  kapalıdır.
Aşağıdaki örnek vektör homeomorfizm ile vektörel denklik arasındaki ilişkiyi
örneklendirir.
4.1.23 Örnek :
 X , d, E
ve  X ,  , F  X vektör metrik uzaylar olmak üzere d ile  ,  E , F  -denk olsun.
I : X  X birim fonksiyonu ile
 X , d, E
ve
 X , , F 
vektör homeomorftur. Diğer
taraftan, f : X  Y fonksiyonu ile  X , d , E  ve Y ,  , F  vektör homeomorf ise x, y  X
için  : X  X  F ,   x, y     f  x  , f  y   şeklinde tanımlı vektör metrik ile d ,  E , F  denk vektör metriklerdir.
4.2.
Sürekli Fonksiyonların Genişlemeleri
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar A  X ve f : A  Y vektörel sürekli
fonksiyon olsun. x  A için f  x   g  x  eşitliğini sağlayan g : X  Y fonksiyonuna f ‘in
X üzerine bir genişlemesi denir. Böyle bir genişleme her zaman bulunabilir. Önemli olan f
fonksiyonunun aynı özelliklere sahip bir genişlemesinin bulunup bulunmamasıdır.
40
4.2.1 Teorem
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar ve f , g : X  Y vektörel sürekli fonksiyonlar
olmak üzere, x  X : f  x   g  x   X kümesi E-kapalıdır.
Kanıt: Kabul edelim ki B  x  X : f  x   g  x  ve seçilen bir
d ,E
xn 
x
sağlansın.
f
ve
g
vektörel
sürekli
 xn   B
olduğundan
dizisi için
n  için
  f  x  , g  x      f  x  , f  xn      f  xn  , g  xn      g  xn  , g  x     an  bn   0
olacak biçimde
 an   E
 bn   F
ve
f  xn   g  xn  olduğundan
dizileri vardır. Buradan her bir n 
f  x   g  x  sağlanır. Dolayısıyla
x  B , yani
için
B X
E-kapalıdır.
4.2.2 Sonuç
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar, f , g : X  Y vektörel sürekli fonksiyonlar
olmak üzere x  X : f  x   g  x   X kümesi X ‘de E-yoğun ise f  g dir.
Kanıt:
x  X : f  x   g  x   X
kümesi X ‘de E-yoğun olduğundan x x  X : f  x   g  x 
d ,E
x sağlanır. f ve g
elemanı için  xn   x  X : f  x   g  x  dizisi vardır öyle ki xn 
 ,F
 ,F
f  xn  
f  x  ve g  xn  
 g  x
fonksiyonları vektörel sürekli olduğundan
yazılabilir. x x  X : f  x   g  x  elemanı için
 ,F
f  xn   g  xn  
 f  x  g  x
olduğundan f  g .
4.2.3. Tanım
 X , d, E
a.
ile Y ,  , F  vektör metrik uzaylar ve f : X  Y fonksiyon olsun.
x, y  X
ve
b0
olacak
biçimdeki
b  F için
d  x, y   a
iken
  f  x  , f  y    b olacak şekilde a  E, a  0 varsa f fonksiyonuna topolojik düzgün
süreklidir denir. Burada a  E yalnızca b  F elemanına bağlı olarak bulunur.
41
b.
 xn   X ,
Her bir
E-Cauchy dizisi için
f  xn   Y , F-Cauchy dizisi ise f
fonksiyonuna vektörel düzgün süreklidir denir.
4.2.4. Teorem
 X , d, E
ile
Y ,  , F 
vektör metrik uzayları ve F Arşimedyan Riesz uzayı olsun.
f : X  Y fonksiyonu topolojik düzgün sürekli ise vektörel düzgün süreklidir.
Kanıt:
 xn   X
Kabul edelim ki
dizisi E-Cauchy dizisi olsun. O halde n, p 
için
1
1 
bn  bn  b   E vardır öyle ki d  xn , xn p   bn iken  f  xn  , f  xn p   b sağlanır.
n
n 

cn  an  bn  E

olmak

üzere
n, p 
için

d  xn , xn p   an  cn
sağlandığında
 f  xn  , f  xn p   b sağlanır. Diğer taraftan, F Arşimedyan olduğundan
1
n
Buradan f  xn   Y dizisinin F-Cauchy dizisi olduğu görülür. Bu ise f
1
b  0 ‘dır.
n
fonksiyonunun
vektörel düzgün sürekli olduğunu gösterir.
4.2.5. Örnek
a.
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar, T f : E  F pozitif ve   sıra sürekli
operatör ise f : X  Y vektör izometri fonksiyonu vektörel düzgün süreklidir.
b.
 X , d, E
vektör metrik uzayında bir y  X elemanı için f y : X  E, f y  x   d  x, y 
şeklinde tanımlı f y fonksiyonu vektörel düzgün süreklidir.
c.
E Dedekind tam Riesz uzayı olmak üzere
kümesi
A X
 X , d, E
olsun.
vektör metrik uzayının bir alt
x  X
için
f A : X  E, f A  x   d  x, A  inf d  x, y  : y  A şeklinde tanımlı f A fonksiyonu
vektörel düzgün süreklidir.
Aşağıdaki teorem vektör metrik uzaylar arasında tanımlı fonksiyonların genişlemeleri
ile ilgili bazı özellikleri kanıtlar.
42
4.2.6. Teorem
 X , d, E
vektör metrik uzay, A  X E-yoğun alt küme, Y ,  , F  F-tam vektör metrik uzay
ve F Arşimedyan olsun. Bu durumda, f : A  Y topolojik düzgün sürekli fonksiyonunun X
‘in tamamına bir tek vektörel sürekli genişlemesi f : X  Y vardır.
Kanıt:
d ,E
x  X olsun. A  X E-yoğun alt küme olduğundan  xn   A dizisi vardır ve xn 
x
olur. f topolojik düzgün sürekli ise vektörel düzgün sürekli olacağından f  xn  F ‘de Cauchy
dizisidir.
F
tam
olduğundan
 ,F
f  xn  
y
y  Y vardır. g : X  Y , g  x   y şeklinde tanımlı fonksiyon f
olacak
biçimde
bir
‘in X üzerine genişlemesi
olsun. g ’nin seçimi  xn  dizisinin seçiminden bağımsız olduğundan g iyi tanımlıdır. Şimdi g
‘nin X üzerinde topolojik düzgün sürekli olduğunu gösterelim. f topolojik düzgün sürekli
olduğundan x, y  A ve a  0 olacak biçimdeki a  F için d  x, y   b olduğunda
d ,E
d ,E
  f  x  , f  y    a olacak şekilde b  E, b  0 vardır. xn 
x ve yn 
y olacak
biçimde
 xn  ,  yn   A
o
 d  x, y  sağlanır. Diğer
dizilerini seçelim. O halde d  xn , yn  
taraftan n  n0 için d  xn , yn   b olduğunda   f  x  , f  y    a olacak şekilde n0 
vardır. f vektörel düzgün sürekli olduğundan f  xn  , f  yn   Y F- Cauchy dizileridir. Y,Ftam
olduğundan
fonksiyonunun
 ,F
 ,F
f  xn  
 u, f  yn  
v
tanımından
g  x  u
olacak
ve
u, y  Y vardır.g
biçimde
g  y  v
dir.
O
halde
o
  g  xn  , g  yn   
   g  x  , g  y   Bundan dolayı   g  x  , g  y    b elde edilir. g
fonksiyonu X üzerinde topolojik düzgün süreklidir.
4.3.
Vektörel Sürekli Fonksiyon Uzayları
Bu bölüm şimdiye kadar özelliklerini gördüğümüz vektör metrikleri arasında tanımlı
vektörel sürekli ve topolojik sürekli tüm fonksiyonların oluşturduğu sınıfın Riesz uzay
olduğunu göstermeyi amaçlamaktadır.
43
4.3.1. Tanım
Y ,  , F 
vektör metrik uzay X boştan farklı bir küme olsun. Her bir n 
şeklinde tanımlı fonksiyonların oluşturduğu
 fn 
için f n : X  Y
fonksiyon dizisini düşünelim. f : X  Y
bir fonksiyon olmak üzere, her bir x  X için   f n  x  , f  x    an olacak biçimde bir
an  0  F dizisi varsa  f n  fonksiyon dizisi f fonksiyonuna düzgün F-yakınsaktır denir.
4.3.2. Teorem
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar, vektörel sürekli fonksiyonların oluşturduğu
 fn   Y X
fonksiyon dizisi bir f  Y X fonksiyonuna düzgün F-yakınsak ise f
vektörel
sürekli fonksiyondur.
d ,E
x olsun.
Kanıt: Kabul edelim ki  xn   X ve xn 
F-yakınsak olduğundan n 
dizisi vardır. Diğer taraftan k 
d ,F
f
 fn  
yakınsaması düzgün
için   f n  x  , f  x    an olacak biçimde
 an   0  F
için f k fonksiyonları vektörel sürekli olduğundan için
  f k  xn  , f k  x    bn olacak biçimde  bn   0  F dizisi vardır. Burada k  n alınırsa
  f  xn  , f  x      f  xn  , f n  xn      f  x  , f n  x      f n  xn  , f n  x     2an  bn   0 ol
 ,F

 f  x  elde edilir.
duğundan f  xn  
 X , d, E
vektör metrik uzay A  X ve A   olsun. sup{d  x, y  x , y  A} değeri
varsa bu supremum değerine A kümesinin E- çapı denir. x, y  A için d  x, y   a olacak
şekilde E Riesz uzayında a  0 sayısı varsa A kümesine E-sınırlı küme denir. Diğer bir
deyişle A kümesinin çapı sonlu ise A kümesi E-sınırlıdır. Kolayca görüleceği üzere E
Dedekind tam ise E’nin her E-sınırlı alt kümesi bir E-çapa sahiptir.
4.3.3. Tanım
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar olmak üzere, f : X  Y fonksiyonu X ’in E-
sınırlı alt kümelerini Y ’nin F-sınırlı alt kümelerine götürüyorsa f fonksiyonuna vektörel
sınırlıdır denir.
44
4.3.4. Teorem
 X , d, E
ve
Y ,  , F 
vektör
metrik
uzaylar
olmak
üzere x, y  X
için
  f  x  , f  y    T  d  x, y   olacak biçimde bir T : E  F pozitif operatörü var ise
f : X  Y fonksiyonu vektörel sınırlıdır.
Kanıt:
x, y  X
T :E F
için
pozitif
operatör
olduğundan
  f  x  , f  y    T  d  x, y    T  a   b sağlanır. Yani x, y  A için   f  x  , f  y    b
olacak biçimde b  F  elemanı vardır. Her bir A  X E-sınırlı kümesi için f  A F-sınırlı
olduğundan f vektörel sınırlıdır.
 X , d, E
vektör
metrik
uzay
ve
F
bir
Riesz
uzay
olmak
üzere
Cv  X , F    f :  X , d , E   F f vektörel sürekli
Ct  X , F    f :  X , d , E   F f topolojik sürekli
kümelerini tanımlayalım. Burada sözü edilen vektörel ve topolojik süreklilik kavramlarında, F
üzerinde tanımlı  : F  F  F ,   x, y   x  y vektör metrik düşünülecektir. Önceden
gösterildiği üzere Ct  X , F   Cv  X , F  sağlanır.
4.3.5. Teorem
Fonksiyonlar arasında tanımlı alışıldık sıralamaya göre Cv  X , F  ve Ct  X , F  Riesz
uzaylarıdır.
Kanıt:
F
F
d ,E
f , g  Cv  X , F  seçelim. xn 
 f  x  ve g  xn  
 g  x  olur.
x ise f  xn  
Dolayısıyla, için  skaları için
uzayıdır. Diğer taraftan,
 f   g  xn    f   g  x 
f , g  Cv  X , F 
ve
olur. Yani, Cv  X , F  vektör
d ,E
x X
 xn  
olacak biçimdeki
o
  xn   X dizisi için F üzerinde alınan vektör metrik yüzünden f  xn  
 f  x  ve
o
g  xn  
 g  x  sağlanır.
Dolayısıyla,
45
o
f n  gn 
 f  g ,olduğundan
o
  f  g  x 
 f  g  xn  
sağlanır. Benzer olarak
o
  f  g  x 
 f  g  xn  
sağlanır.
Bu ise Cv  X , F    f :  X , d , E   F f vektörel sürekli ‘nın bir Riesz uzayı olduğunu
gösterir.
Şimdi de Ct  X , F    f :  X , d , E   F f topolojik sürekli uzayının Riesz uzayı
olduğunu gösterelim. f , g  Ct  X , F  seçelim. b  0 , b  F için d  x, y   a1 olduğunda
1
f  x   f  y   b olacak şekilde
2
a1  0 , a1  E , ve benzer şekilde
d  x, y   a2
1
olduğunda g  x   g  y   b olacak şekilde a2  0 , a2  E vardır. a1  a2  a olmak
2
üzere d  x, y   a olduğunda
0   f  g  x    f  g  y   f  x   f  y   g  x   g  y 
 f  x  f  y  g  x  g  y  b
olacak biçimde a  0 , a  E elemanı vardır. Bu ise f  g  Ct  X , F  olduğunu gösterir.
f  Ct  X , F  ise b  0 , b  F ve her bir   0 skaları için d  x, y   a1 olduğunda
f  x  f  y    b
olacak
 f  x    f  y   
a1  0 , a1  E
şekilde
vardır.
Dolayısıyla,
f  x   f  y   b sağlanacak biçimde a  0 , a  E vardır. Bu
ise,  f  Ct  X , F  olduğunu gösterir. Cv  X , F    f :  X , d , E   F f vektörel sürekli bir
vektör uzayıdır. Şimdi de Ct  X , F    f :  X , d , E   F f topolojik sürekli uzayının Riesz
uzayı olduğunu görelim.
a1  a2  a
olmak
üzere
d  x, y   a
olduğunda
0   f  g  x    f  g  y   f  x   f  y   g  x   g  y   b
a  0 , a  E elemanı var olduğundan
Birkhoff
olacak
eşitsizliğinden
biçimde
f  g  Ct  X , F  elde edilir. Benzer olarak
f  g  Ct  X , F  olduğu kolayca görülür.
x, y  X için
f  x   f  y   T  d  x, y   olacak biçimde bir T : E  F pozitif
operatörünün var olduğu f fonksiyonlarının kümesini Cv0  X , F  şeklinde gösterelim.
46
Birkhoff eşitsizliğinden açıktır ki Cv0  X , F  , Cv  X , F  ’nin Riesz alt uzayıdır. Üstelik,
gösterildiği üzere her bir f  Cv0  X , F  fonksiyonu vektörel sınırlıdır.
4.3.6. Sonuç
 X , d, E
vektör
metrik
uzay
ve
F
bir
Riesz
uzay
olmak
üzere,
Cv0  X , F  d : Cv0  X , F   Cv0  X , F   F , d  f , g   sup xX f  x   g  x  F-değerli düzgün
metrik ile bir vektör metrik uzaydır.
Kanıt:
Vm1. x  X , f , g  Cv0  X , F  için d  f , g   0  sup xX f  x   g  x   0  x  X
için f  x   g  x   0  x  X için f  x   g  x   f  g .
Vm2. x  X ve f , g , h  Cv0  X , F  için
f  x   g  x   f  x   h  x   h  x   g  x   sup f  x   h  x   h  x   g  x 
 sup f  x   h  x   sup h  x   g  x 
sağlanır.
Dolayısıyla,
sup xX f  x   g  x   sup xX f  x   h  x   sup xX g  x   h  x 
olması için gerekli ve yeterli şart d  f , g   d  f , h   d  g , h  sağlanmasıdır.
Kompakt kümeler sonlu kümeler gibi davrandığından önemli avantajlar sağlar. Vektör
metrik uzaylarda metrik uzaylarda olduğu gibi paralel sonuçlar elde edilebilir. Fakat bu
bölümü ilgilendiren vektörel süreklilikle ilişkisini veren bir sonucu vermekle yetineceğiz.
Tanım:
 X , d, E
vektör metrik uzay A  X olsun. A alt kümesinin her açık örtüsünün sonlu bir alt
örtüsü varsa A kümesine kompakt küme denir. Özel olarak X ’in her açık örtüsünün sonlu bir
alt örtüsü varsa  X , d , E  vektör metrik uzayına kompakt uzay denir.
47
Teorem:
 X , d, E
ve Y ,  , F  vektör metrik uzaylar ve f : X  Y vektörel sürekli bir fonksiyon
olsun. Eğer K  X kompakt bir alt küme ise f  K   Y alt kümesi de kompakttır.
Kanıt:
Vi iI ,
f  K  ’nın
açık
bir
örtüsü
olsun.
f K  
Yani
Vi
sağlanır.
iI


K  f 1  f  K    f 1  Vi  
f 1 Vi  sağlanacağından
 iI  iI
 f V  
1
i
ailesi K’ nın bir
örtüsü olduğu elde edilir. f vektörel sürekli olduğundan, her i için f 1 Vi  açık bir kümedir
ve
bu
aile
 
K  f 1 Vi1
K’nın
...
bir
örtüsü
olur.
Dolayısıyla,
 
K
kompakt
olduğundan
f 1 Vin içindeliğini sağlayan sonlu sayıda i1 ,..., in  I vardır. O halde,
  
f  K   f f 1 Vi1
  
1
= f f Vi1
= Vi1
açık
...
...
 
f 1 Vin
  
f f 1 Vin
... Vin
olur. Bu ise f  K  kümesinin kompakt olduğunu gösterir.
48
5. KAYNAKLAR
Aliprantis C D, Border K C (1999). Infinite Dimensional Analysis. Springer-Verlag, 703s,
Berlin.
Aliprantis C D, Burkinshaw O (2006). Positive Operators. Springer, 367s, Dordrecht.
Aliprantis C D, Tourky R (2007), Cones and Duality. AMS, 574s, Providence.
Çağlar M, Ercan Z (2014). Order-Unit-Metric Spaces. Positivity. 18: 557-565.
Çevik C, Altun I (2009). Vector Metric Spaces and Some Properties. Topol. Methods
Nonlinear Anal., 34(2): 375-382.
Çevik C (2014). On Continuity Functions Between Vector Metric Spaces. J. Funct. Spaces.
Art.ID 753969: 6pp.
Çevik C (2015). Completion of Vector Metric Spaces. G.U. Journal of Science. 28(1): 69-73.
Ercan Z. (2014). On the End of the Cone Metric Spaces. Topology and its Applications. 166:
10-14.
Huang L G, Zhang X (2007). Cone Metric Spaces and Fixed Poind Theorems of Contractive
Mappings. J.Math.Anal.Appl. 332: 1468-1476.
Jankovic S, Kadelburg Z, Radenovic S (2011). On Cone Metric Spaces: A survey. Nonlinear
Analysis. 74:2591-2601.
Khani M, Pourmahdian M (2011). On the Metrizability of Cone Metric Spaces. Topology
and its Applications. 158: 190-193.
Petre I R (2012). Operatorial Inclusion by Fixed Point Technique in Vector Metric Spaces.
PhD. Thesis. University of Babeş-Bolyai, Faculty of Mathematics and Computer
Science. Cluj-Napoca.
Nesin A. (2012). Analiz IV . Nesin Yayıncılık A.Ş., 215p, İstanbul.
Zaanen A C (1983). Riesz Space II. North-Holland, 720s, Amsterdam.
Zabreiko P P (1997). K-metric and K-normed Linear Spaces. Collect. Math. 48: 825-859.
49
ÖZGEÇMİŞ
İlker Peksöz 27/01/1975 Tekirdağ doğumlu olup, 1992 yılında Kepirtepe Anadolu
Öğretmen lisesinden ve 1998 yılında da Balıkesir Üniversitesi Necatibey Eğitim Fakültesi
matematik öğretmenliği bölümünden mezun olmuştur. Mezuniyetinden sonra çeşitli eğitim
kurumlarında eğiticilik hayatına devam etmiş ve 2008 yılında ise Milli Eğitim Bakanlığı ‘nda
öğretmen olarak göreve atanmıştır. Halen Çorlu ilçesi Şahinler Orta Okulunda matematik
Öğretmeni olarak görev yapmaktadır.
50