Test 1`in Çözümleri Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları

17
4.
Test 1’in Çözümleri
1.
1
Kütle Çekimi ve Kepler Kanunları
Uydu Dünya’nın merkezinden r kadar uzaklıktaki yörüngesinde T periyodu ile dolanırken iki kütle
arasındaki çekim kuvveti, merkezcil kuvvet görevi
görür.
Fçekim = Fmerkezcil
M·m
4r r
G·
Bağıntıya göre, uydunun dolanım periyodu yalnızca uydunun kütlesine bağlı değildir.
= m·
m·3M
2·2r
2m·2M
E2 = G·
2·3r
E1
9
=
bulunur .
E2
8
E1 = G·
2
r2
m1 kütleli bir uydu m2 kütleli bir gezegenin çevresinde r yarıçaplı yörüngede dolanıyor olsun. Uydu
ile gezegen arasındaki bağlanma enerjisini veren
bağıntı;
m1 ·m2
Eb = G·
2r
dir. Her iki sisteme bu bağıntıyı uygulayalım.
T2
Cevap A dır.
Cevap B dir.
Uyduya yörüngede etki eden merkezcil kuvvet
çekim kuvvetine eşittir.
5.
biliriz. Buradan da;
v2
M·m
m r = m~2 r = G·
r2
olur. Bu bağıntılardan;
r3
Kepler’in III. kanunu olan,
= sabit ifadesini,
2
r3·f2 = Sabit şeklinde yaza- T
~2 = G·
rK3 · fK2 = rL3 · fL2
M
r3
yazabiliriz. Bağıntıya göre, açısal hız ile r uzaklığı ters orantılıdır. Bir başka ifade ile, uydu r1 uzaklığından r2 uzaklığına getirilirse açısal hızı artar.
2r
T
bağıntısına göre ω artınca T azalır. Kütlesi M olan
Dünya’nın merkezinden r kadar uzaklıkta dolanan
m kütleli uydu Dünya’ya
~=
Nihat Bilgin Yayıncılık©
2.
( 2 r ) 3 · fK2 = ( 3 r ) 3 · fL2
fK2
fL2
fK
fL
6.
M·m
2r
toplam enerjisi ile bağlıdır. (–) işaretinden dolayı r
küçülünce, toplam enerji de küçülür.
Etop = – G ·
=
=
27 r 3
8r3
3 3
2 2
bulunur .
Cevap D dir.
Newton’un genel çekim kanununa göre, ağırlık
kütlelerin çarpımı ile doğru, aralarındaki uzaklığın
karesi ile ters orantılıdır. Buna göre, ağırlık m ve M
ile doğru orantılı, r nin karesi ile ters orantılıdır.
Cevap E dir.
Cevap E dir.
3.
Dünya’nın kütlesi m1, uydunun kütlesi m2 olarak
alınırsa uydunun kinetik enerjisini veren bağıntı;
m1 ·m2
Ek = G·
2r
dir. Bu bağıntıyı A ve B uydularına ayrı ayrı uygularsak;
4m·M
2·3r
3m·M
Ek ( B ) = G·
2·4r
Ek ( A )
16
=
bulunur .
Ek ( B )
9
Ek ( A ) = G·
7.
Dünya-Ay sisteminin Güneş’e uzaklığının değişmediğini kabul edersek, Dünya’nın Güneş çevresindeki dolanma süresi değişmez.
Dünya Ay arasındaki uzaklık arttığı için;
m ay · m d ü nya
F=G·
r2
bağıntısına göre, çekim kuvveti azalır.
Periyotlar kanununa göre (
arttığı için periyot da artar.
Cevap C dir.
r3
T2
= s abit ) , uzaklık
Cevap B dir.
2
KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI
8.
Uydunun kinetik enerjisi;
1
m·M
mv 2 = G ·
2
2r
dir. Buradan;
11. Dünya’nın çekim alanı içinde ve Dünya’nın çevreside dolanan uyduların periyotları T1, T2, T3 arasında;
Ek =
M
v = G· r
bağıntısı elde edilir. Bu bağıntıya göre uyduların
çizgisel hızları eşittir.
2
Çizgisel hız ve yarıçaplar eşit olduğuna göre, açısal hızlar da eşittir.
r13
=
r23
=
r33
r3
=
8r3
=
27 r 3
= sabit
T12
T22
T32
bağıntısı vardır. Bu bağıntıya göre;
T12
T22
T32
yazabiliriz. Buradan T3 > T2 > T1 bulunur.
3m kütleli uydunun kütlesi büyük olduğu için kinetik enerjisi daha büyüktür.
Cevap A dır.
9.
Bir gezegenin çekim alanı, gezegenin üzerindeki birim kütleye uyguladığı çekim kuvveti olarak
tanımlanır. Çekim kanununa göre kütlesi M, yarıçapı R olan bir gezegenin üzerindeki birim kütleye
(m) e uyguladığı çekim kuvveti;
F = G·
M·m
R2
bağıntısı ile bulunur. Buradaki m birim kütle olup
sabit alınırsa;
g = G·
M
R2
bulunur. Buna göre;
gX = G·
2
2
1
1
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap E dir.
12. I. Uydunun oturtulduğu
yörüngesinde hareketini
sürdürebilmesi için, merkezcil kuvvetin, uydu ile
Dünya arasındaki çekim
kuvvetine eşit olması
gerekir.
uydu
r
m
M
Dünya
Dünyanın kütlesi M, uydunun kütlesi m olsun.
= 2 birim
v
Fçekim = Fmerkezcil
G·
M·m
v2
= m· r
r2
yazabiliriz. Bağıntıdan uydunun hızını yalnız bıra-
1
gY = G·
=
birim
4
22
1
gZ = G·
= 1 birim
12
v=
gX > gZ > gY bulunur.
bulunur. Buna göre, uydunun dolanım hızı kendi
kütlesinden bağımsızdır. Bir başka ifadeyle, X ve
Y uydularının çizgisel hızları eşit olur.
II. Merkezcil kuvveti veren bağıntı uydunun kütlesiyle doğru orantılıdır. Bu nedenle X uydusunun
merkezcil kuvveti Y ninkinden büyük olur.
III. Uydunun toplam enerjisi;
M·m
2r
dir. Bağıntının önündeki (–) işaretinden dolayı m
artınca Etop azalır.
kırsak;
Cevap D dir.
10. • Her gezegen, odaklarından birinde Güneş bulunan elips biçiminde bir yörünge üzerinde dolanır.
• Güneş’i gezegenle birleştiren yarıçap vektörü
eşit zaman aralıklarında eşit olanlar tarar.
Buna göre, gezegen 6S alanlı eliptik düzlemi 6t
sürede dolanır.
Cevap C dir.
M
G· r
Etop = – G ·
Cevap B dir.
KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI
3
13. Uydunun Dünya çevresindeki dönüşü için gerekli
merkezcil kuvvet, çekim kuvvetinden kaynaklanır.
16. Kütleleri m1 , m2 olan iki cismin merkezleri arasındaki uzaklık r olsun. Bu iki cisim birbirine;
F = G
r, uydunun Dünya merkezinden olan uzaklığı
olmak üzere;
r
= G·
r = G·
r2
kuvvetini uygular. Dünya ve çevresindeki cisimler
de aynı şekilde biribirini çeker.
Fmerkezcil = Fçekim
m uydu · v 2
Yarıçapı r olan Dünya, kendi yüzeyinde bulunan
bir cisme F kuvvetini uyguluyor olsun. Bu cisim
dünya merkezinden 2r uzaklığa götürüldüğünde
F
F
çekim kuvveti
, 3r uzaklığa götürüldüğünde
4
9
olur.
M d ü nya · m uydu
2
r
M d ü nya
v2
Uzaklık uydunun hızına dolayısıyla periyoduna,
Dünya’nın yarıçapına ve Dünya’nın kütlesine bağlıdır. Uydunun kütlesi uzaklığı etkilemez.
Cevap A dır.
Cevap D dir.
15.
v
R
Güneş
F
Güneş’in çevresinde eliptik bir yörüngede hareket
eden bir gezegen (veya kuyruklu yıldız) düşünün.
Gezegenin üzerine etki eden çekim kuvveti, daima
yarıçap vektörü boyuncadır ve Güneş’e doğru
yönelmiştir. Sabit bir noktaya veya ondan uzağa
doğru yönelmiş böyle bir kuvvet merkezi kuvvet
adını alır. Bu merkezi kuvvetten dolayı gezegenin
üzerine etkiyen tork ( F nin R ye paralel olmasından dolayı) sıfırdır. Yani;
x= F xR
τ = F . R . sin0° = 0
olur. Tork sıfır olduğundan açısal momentum korunur
Cevap C dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap A dır.
14. Haberleşme uyduları Dünya ile aynı periyotta dönerler. Bu nedenle açısal hızları aynıdır.
Dünya’nın ve uydunun dolandığı yörüngeler farklı olduğundan çizgisel hızları farklıdır. Dünya uyduyu hangi kuvvetle çekerse, uydu da Dünya’yı aynı
büyüklükteki kuvvetle çeker. Merkezcil kuvvet ile
çekim kuvveti büyüklük olarak aynıdır.
m1 .m2
4
KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI
3. Kütlesi m olan bir astronot, K gezegeninde tartıldğıında 600 N, L gezegeninde tartıldığında 2400
N geliyor. Ağırlık gezegenlerin çekim ivmesiyle doğru orantılı olduğundan
Test 2’nin Çözümleri
1.
R2
R1
L
G
K
gK =
K gezegeninin Güneş etrafındaki periyodu T, L nin3
ki
T olarak verilmiştir.
2
Kepplerin periyotlar kanunu;
R 31
T 21
R 32
=
bulunur. Soruda verilen bilgilerden hangilerinin kesinlikle doğru olduğunu soruyor. Kesinlik dediği için
gezegenlerin kütleleriyle yarıçaplarının oranını söyleyemeyiz.
= sabit
T 22
olduğundan K gezegeninin Güneş’e olan ortalama
uzaklığı L ninkinden daha küçük olduğu bulunur.
Verilenlerle gezegenlerin kütlelerini ve Güneş’e uyguladıkları kuvvetlerin büyüklüğü karşılaştırılamaz.
Yanıt B dir.
4. Dünya’nın merkezinden 2R uzaklıkta v
çizgisel hızıyla dolanan
uyduya uygulanan çekim kuvvetiyle merkezcil kuvvet birbirine eşittir. Dünya’nın kütlesi
m1 , uydunun kütlesi
m2 olmak üzere;
2. Kütlesi m, yarıçapı R olan bir gezegenin çekim ivmesi;
g = G·
m
Dünyanın çekim ivmesi g1 , gezegeninki g2 olmak
üzere;
m2
R
m1
G·
m1 · m2
( 3R ) 2
G·
m1
3R
= m2
v2
3R
= v2 & v =
G·
m1
3R
......... ( 1 )
bulunur. Dünya yüzeyinde çekim ivmesi ;
R2
8m
g = G·
( 2R ) 2
yazabiliriz. (2) numaralı bağıntı ile bulduğumuz m1
değerini (1) numaralı bağıntıda yerine yazarsak.
m
1
g1
1
g2 = 8
4
g2 = 2g
3R
G·
G·
v
Fç ekim = Fmerkezcil
R2
bağıntısı ile bulunur. G, evrensel çekim sabitidir.
g1
g2 =
1
g
4 L
Yanıt C dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
gK
600
g L = 2400
bulunur .
Yanıt B dir.
v=
m1
& m1 =
R2
g · R2
G
G
=
3R
g · R2
..... ( 2 )
G
1
g·R
3
bulunur.
Yanıt C dir.
5
KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI
5. Kütlesi m, yarıçapı R olan bir gezegen için çekim
ivmesi;
m
g = G·
R2
bağıntısıyla bulunur. Buna göre;
g1 = G ·
g2 = G ·
g3 = G ·
7. Dünya’nın çevresine yerleştirilen haberleşme uydularından yararlanabilmek için, uydunun hep aynı
bölgeyi görmesi gereklidir. Bunun için uydunun yörünge açısal hızı, Dünya’nın açısal hızına eşit olmalıdır. Aksi hâlde uydu ileri-geri kayacaktır.
9m
Yanıt B dir.
( 3R ) 2
4m
( 2R ) 2
16 m
( 4R ) 2
olup g1 = g2 = g3 tür. Üç gezegende çekim ivmesi
eşit olduğundan v0 hızıyla fırlatılan üç cismin çıkabileceği maksimum yükseklikler h1 = h2 = h3 olur.
Yanıt D dir.
6.
2h
h
x
2x
K gezegeninde
yeryüzünde
Nihat Bilgin Yayıncılık©
v0
v0
8. Güneş çevresinde çembersel hareket yapan gezegenlerin merkecil kuvvetleri çekim kuvvetinden kaynaklanır. Güneşin kütlesi M, gezegenlerinki sırasıyla m1 ve m2 olsun.
Yatay atış hareketi yapan bir cisme yatayda bir kuvvet etki etmez.
m1
v1
x
x = v0 · t1 & t1 = v
0
G
2x
2x = v0 · t2 & t2 = v
0
h=
1 2
gt
2 1
2h =
1 l 2
gt
2 2
1 l 2
gt
4 2
1 2
1
gt = gl t 22
2 1
4
R2
v 22
2
x
1
1
4x
= gl ·
g·
2
4
v 20
v 20
1
gl = g
2
R1
m 2 · v 22
h=
2
m 1 · v 21
9R
bulunur .
= G·
= G·
= G·
v2
R1=R
M · m1
R 21
R2=9R
m2
M
& v 21 = G ·
R
M · m2
R 22
M
( 9R )
v1
v 2 = 3 bulunur.
2
M
& v 22 = G ·
9R
Yanıt D dir.
Yanıt D dir.
6
KÜTLE ÇEKİMİ VE KEPLER KANUNLARI
11.Gözlemci Türksat uydusunu hareketsiz gördüğüne
göre; uydunun ve Dünya’nın açısal süratleri eşit olmalıdır. Bu durumda uydunun Dünya etrafındaki periyodu 24 saat olur. Ayrıca açısal süratler eşit olduğuna göre frekanslar da eşittir.
9.
v0
v0
h1
α
m
h2
α
m
Dünya’da
K gezegeninde
Yarıçapı R, özkütlesi d olan bir gezegende çekim
ivmesi;
4
rR · d
3
bağıntısıyla verilir. Bağıntıdaki R ve d nin dışındakiler sabitlerden oluşmaktadır. Buna göre Dünya’nın
çekim ivmesi g ise K gezegenininki de 4g olur.
Eğik atış hareketinde maksimum yükseklik;
h max =
g = G·
v 20 · sin 2 a
2g
bağıntısıyla verilir. Her iki şekilde de v0 ile a aynıdır. Buna göre;
1
2g
=
=4
h2
1
8g
h1
bulunur.
Yanıt C dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Yanıt E dir.
10.x = v0 · t1
& t1 = vx
0
& t2 = 2v x
2x = v0 · t2
İki cisim aynı yükseklikten atıldığına göre;
h1 = h2
0
1
1
g · t 21 = g K · t 22
2
2
x
2x
g ( v ) 2 = gK · ( v ) 2
0
0
g·
x2
v 20
= gK ·
gK =
1
g
4
4x2
v 20
bulunur .
Yanıt B dir.