matematik - Açık Öğretim Daire Başkanlığı

ORTAOGRETIM
MATEMATİK
10
DERS KİTABI
i Eğilim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığının 16.12.2014 tarih ve 106 sayılı kararı
ile 2015 - 2016 öğretim yılından itibaren 5 (beş) yıl süreyle ders kitabı olarak kabul edilmiştir.
Fevzi ÖZKAN
Ya yı n cı lı k A n o n im Şirketi
Tevfikbey M ahallesi Kaynak Sokak Nu.: 8 / C
Sefaköy - Küçükçekm ece / İSTANBUL
Tel.: 0212 639 39 1 2 - 4 3
Belgeç: 0212 540 73 93
Bu kitabın her hakkı saklıdır ve " FCM YAYINCILIK A.Ş." ye aittir. İçindeki şekil,
yazı, metin ve grafikler, yayın evinin izni olmadan alınamaz; fotokopi, teksir, film
şeklinde ve başka hiçbir şekilde çoğaltılamaz, basılamaz ve yayımlanamaz.
EDİTÖR
Turgut Erel
DİL UZMANI
Nedime Özcan Arıkdal
ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME UZMANI
Esra Eminoğlu Özmercan
PROGRAM GELİŞTİRME UZMANI
Coşkun Küçüktepe
REHBERLİK GELİŞİM UZMANI
Nihat Akbaş
GÖRSEL TASARIM UZMANI
Vuslat M erve Özkan
ISBN
978-605-61581-2-4
BASKI YERİ VE YILI
Ankara, 2016
Özgün Matbaacılık San. ve Tic. A.Ş
Tel: 0(312) 645 19 10
2
o
İstiklâl Marşı
Korkma, sönmez bu şafaklarda yüzen al sancak;
Sönmeden yurdumun üstünde tüten en son ocak.
O benim milletimin yıldızıdır, parlayacak;
O benimdir, o benim milletimindir ancak.
Bastığın yerleri toprak diyerek geçme, tanı:
Düşün altındaki binlerce kefensiz yatanı.
Sen şehit oğlusun, incitme, yazıktır, atanı:
Verme, dünyaları alsan da bu cennet vatanı.
Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilâl!
Kahraman ırkıma bir gül! Ne bu şiddet, bu celâl?
Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helâl.
Hakkıdır Hakk’ a tapan milletimin istiklâl.
Kim bu cennet vatanın uğruna olmaz ki feda?
Şüheda fışkıracak toprağı sıksan, şüheda!
Cânı, cânânı, bütün varımı alsın da Huda,
Etmesin tek vatanımdan beni dünyada cüda.
Ben ezelden beridir hür yaşadım, hür yaşarım.
Hangi çılgın bana zincir vuracakmış? Şaşarım!
Kükremiş sel gibiyim, bendimi çiğner, aşarım.
Yırtarım dağları, enginlere sığmam, taşarım.
Ruhumun senden İlâhî, şudur ancak emeli:
Değmesin mabedimin göğsüne nâmahrem eli.
Bu ezanlar -ki şehadetleri dinin temeliEbedî yurdumun üstünde benim inlemeli.
Garbın âfâkını sarmışsa çelik zırhlı duvar,
Benim iman dolu göğsüm gibi serhaddim var.
Ulusun, korkma! Nasıl böyle bir imanı boğar,
Medeniyyet dediğin tek dişi kalmış canavar?
O zaman vecd ile bin secde eder -varsa- taşım,
Her cerîhamdan İlâhî, boşanıp kanlı yaşım,
Fışkırır ruh-ı mücerret gibi yerden na’ şım;
O zaman yükselerek arşa değer belki başım.
Arkadaş, yurduma alçakları uğratma sakın;
Siper et gövdeni, dursun bu hayâsızca akın.
Doğacaktır sana va’ dettiği günler Hakk’ ın;
Kim bilir, belki yarın, belki yarından da yakın
Dalgalan sen de şafaklar gibi ey şanlı hilâl!
Olsun artık dökülen kanlarımın hepsi helâl.
Ebediyyen sana yok, ırkıma yok izmihlâl;
Hakkıdır hür yaşamış bayrağımın hürriyyet;
Hakkıdır Hakk’ a tapan milletimin istiklâl!
Mehmet Âkif Ersoy
3
Gençliğe Hitabe
Ey Türk gençliği! Birinci vazifen, Türk istiklâlini, Türk Cumhuriyetini,
ilelebet muhafaza ve müdafaa etmektir.
Mevcudiyetinin ve istikbalinin yegâne temeli budur. Bu temel,
senin en kıymetli hazinendir. İstikbalde dahi, seni bu hazineden
mahrum etmek isteyecek dâhilî ve hâricî bedhahların olacaktır.
Bir gün, istiklâl ve cumhuriyeti müdafaa mecburiyetine düşersen,
vazifeye atılmak için, içinde bulunacağın vaziyetin imkân ve şeraitini
düşünmeyeceksin! Bu imkân ve şerait, çok namüsait bir mahiyette
tezahür edebilir. İstiklâl ve cumhuriyetine kastedecek düşmanlar,
bütün dünyada emsali görülmemiş bir galibiyetin mümessili olabilirler.
Cebren ve hile ile aziz vatanın bütün kaleleri zapt edilmiş, bütün
tersanelerine girilmiş, bütün orduları dağıtılmış ve memleketin her
köşesi bilfiil işgal edilmiş olabilir. Bütün bu şeraitten daha elîm ve
daha vahim olmak üzere, memleketin dâhilinde iktidara sahip olanlar
gaflet ve dalâlet ve hattâ hıyanet içinde bulunabilirler. Hattâ bu iktidar
sahipleri şahsî menfaatlerini, müstevlîlerin siyasî emelleriyle tevhit
edebilirler. Millet, fakr u zaruret içinde harap ve bîtap düşmüş olabilir.
Ey Türk istikbalinin evlâdı! İşte, bu ahval ve şerait içinde dahi
vazifen, Türk istiklâl ve cumhuriyetini kurtarmaktır. Muhtaç olduğun
kudret, damarlarındaki asil kanda mevcuttur.
Mustafa Kemal Atatürk
4
MUSTAFA KEMAL ATATÜRK
5
İÇİNDEKİLER
ORGANİZASYON ŞEMASI..................................................................................................................... 9
I. BÖLÜM: VERİ, SAYMA VE OLASILIK
1. ÜNİTE: SAYMA.............................................................................................................................. 11
10.1.1. SIRALAMA VE SEÇME................................................................................................... 12
10.1.1.1. Olayların Gerçekleşme Sayısını Toplama ve Çarpma Prensiplerini Kullanarak
Hesaplama..................................................................................................................... 12
10.1.1.2. Sınırsız Sayıda Tekrarlayan Nesnelerin Dizilişlerini (Permütasyolarını)
Örneklerle Açıklama...................................................................................................... 15
10.1.1.3. n Elemanlı Bir Kümenin r Tane Elemanın Kaç Farklı Şekilde Seçilip
Sıralanabileceğini Hesaplama..................................................................................... 17
10.1.1.4. n Elemanlı Bir Kümenin r Tane Elemanın Kaç Farklı Şekilde Seçilebileceğini
Hesaplama ..................................................................................................................... 19
10.1.1.5. Pascal Özdeşliğini Gösterme ve Pascal Üçgenini Oluşturma...................................24
10.1.1.6. Binom Teoremini Açıklama ve Açılımdaki Kat Sayıları Pascal Üçgeni
ile İlişkilendirme............................................................................................................. 27
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları...................................................................................................29
2. ÜNİTE: OLASILIK........................................................................................................................ 30
10.2.1. KOŞULLU O LA S ILIK ......................................................................................................31
10.2.1.1. Koşullu Olasılığı Örneklerle Açıklama......................................................................... 31
10.2.1.2. Bağımlı ve Bağımsız Olayları Örneklerle Açıklama; Gerçekleşme Olasılıklarını
Hesaplama..................................................................................................................... 36
10.2.1.3. Bileşik Olayların Olasılıklarını Hesaplama.................................................................. 39
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları.................................................................................................. 43
II. BÖLÜM: SAYILAR VE CEBİR
3. ÜNİTE: FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALARI............................................44
10.3.1. FONKSİYOLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL Ö ZELLİKLERİ.............................45
10.3.1.1. Bir Fonksiyonun Grafiğinden, Simetri Dönüşümleri Yardımı İle Yeni Fonksiyon
Grafikleri Çizm e..............................................................................................................45
10.3.1.2. Gerçek Sayılar Kümesinde Tanımlı f ve g Fonksiyonlarını Kullanarak
f + g, f - g, f . g ve — Fonksiyonlarını Elde Etme...................................................... 58
10.3.2. İKİ FONKSİYONUN BİLEŞKESİ VE BİR FONKSİYONUN TERSİ...........................61
10.3.2.1. Fonksiyonlarda Bileşke İşlemi.................................................................................... 61
10.3.2.2. Bir Fonksiyonun Bileşke İşlemine Göre Tersinin Olması İçin Gerçek ve
Yeterli Şartları Belirleme, Verilen Bir Fonksiyonun Tersini Bulma............................67
6
10.3.3. FONKSİYONLARLA İLGİLİ UYGULAMALAR.............................................................77
10.3.3.1. İki Miktar (Nicelik) Arasındaki İlişkiyi Fonksiyon Kavramı İle Açıklama ve
Problem Çözümünde Fonksiyonun Grafik ve Tablo Temsilini Kullanma................. 77
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları.................................................................................................. 86
III. BÖLÜM: GEOMETRİ
4. ÜNİTE: ANALİTİK GEOMETRİ................................................................................................... 90
10.4.1. DOĞRUNUN ANALİTİK İNCELENMESİ..................................................................... 91
10.4.1.1. Analitik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklığı Veren Bağıntıyı Bulma ve
Uygulama Yapm a.......................................................................................................... 91
10.4.1.2. Bir Doğru Parçasını Belli Oranda (İçten veya Dıştan) Bölen Noktaların
Koordinatlarını Hesaplama..........................................................................................93
10.4.1.3. Analitik Düzlemde Bir Doğrunun Denklemini Oluşturma ve Denklemi Verilen
İki Doğrunun Birbirine Göre Durumlarını İnceleme.................................................. 100
10.4.1.4. Bir Noktanın Bir doğruya Olan Uzaklığını Açıklama ve Uygulama Yapma..............111
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları................................................................................................ 113
5. ÜNİTE: DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER.............................................................................. 115
10.5.1. DÖRTGENLER VE ÖZELLİKLERİ.............................................................................. 116
10.5.1.1. Dörtgenin Temel Elemanları ve Özellikleri............................................................... 116
10.5.2.
ÖZEL DÖRTGENLER................................................................................................. 122
10.5.2.1. Yamuk, Paralelkenar, Dikdörtgen, Eşkenar Dörtgen, Kare ve Deltoid İle
İlgili Açı, Kenar ve Köşegen Özellikleri.....................................................................122
10.5.2.2. Yamuk, Paralelkenar, Dikdörtgen, Eşkenar Dörtgen, Kare ve Deltoidin
Alan Bağıntıları........................................................................................................... 148
10.5.2.3. Dörtgenlerin Alan Bağıntılarını Modelleme ve Problem Çözmede Kullanma...... 166
10.5.3. ÇOKGENLER...............................................................................................................168
10.5.3.1. Çokgenleri Açıklama, İç ve Dış Açılarının Ölçülerini Hesaplama........................... 168
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları................................................................................................ 173
IV. BÖLÜM: SAYILAR VE CEBİR
6. ÜNİTE: İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLAR..........................................177
10.6.1. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER.................................... 178
10.6.1.1. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemlerin Çözümü........................................178
10.6.1.2. i = T-1 Olmak Üzere Bir Karmaşık Sayının, a+ bi (a, b e ffi) Biçimindeki
İfadesi.......................................................................................................................... 184
10.6.1.3. İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki
İlişkiler.......................................................................................................................... 195
10.6.2.
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ.................................... 200
10.6.2.1. İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyonun Grafiğinin Çizimi.............................200
10.6.2.2. İkinci Derece Denklem ve Fonksiyonlarla modellenebilen Problemler ve
Çözümleri.................................................................................................................... 216
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları................................................................................................ 220
7
7. ÜNİTE: POLİNOMLAR...............................................................................................................222
10.7.1. POLİNOM KAVRAMI VE POLİNOMLARLA İŞLEMLER...........................................223
10.7.1.1. Gerçek Kat Sayılı ve Bir Değişkenli Polinom.............................................................223
10.7.1.2. Polinomlarla Yapılan Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri...................228
10.7.1.3. Bir P(x) Polinomunun Q(x) = x - a Polinomuna Bölünmesinden Elde Edilen Kalanı
Bulma............................................................................................................................235
10.7.1.4. Kat Sayıları Tam Sayı ve En yüksek Dereceli Terimin Kat Sayısı 1 Olan
Polinomların Tam Sayı Sıfırlarının, Sabit Terimin Çarpanları Arasında
Olduğunu Gösterme.................................................................................................... 239
10.7.2. POLİNOMLARDA ÇARPANLARA AYIRMA...............................................................242
10.7.2.1. Gerçek Kat Sayılı Bir Polinomun Çarpanlara Ayrılm ası.......................................... 242
10.7.3. POLİNOM VE RASYONEL DENKLEMLERİN ÇÖZÜM KÜMELERİ....................... 255
10.7.3.1. Rasyonel İfadeler ve Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi...................................... 255
10.7.3.2. Polinom ve Rasyonel Denklemlerle İlgili Uygulamalar............................................ 260
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları.................................................................................................264
V. BÖLÜM: GEOMETRİ
8. ÜNİTE ÇEMBER VE DAİRE...................................................................................................... 266
10.8.1. ÇEMBERİN TEMEL ELEMANLARI..............................................................................267
10.8.1.1. Çemberlerde Teğet, Kiriş, Çap ve Yay Kavramları...................................................267
10.8.1.2. Çemberde Kirişin Özellikleri....................................................................................... 269
10.8.2. ÇEMBERDE A Ç ILA R ...................................................................................................272
10.8.2.1. Bir Çemberde Merkez, Çevre, İç Dış ve Teğet - Kiriş Açıların Ölçüleri ve
Gördükleri Yayların Ölçüleri İle İlişkileri..................................................................... 272
10.8.3. ÇEMBERDE TEĞET...................................................................................................... 280
10.8.3.1. Çemberde Teğetin Özellikleri..................................................................................... 280
10.8.4. DAİRENİN ÇEVRESİ VE ALANI................................................................................... 284
10.8.4.1. Dairenin Çevresinin Uzunluğunu ve Alanını Veren Bağıntılar.................................284
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları................................................................................................. 290
9. ÜNİTE: GEOMETRİK CİSİMLER...............................................................................................292
10.9.1. KATI CİSİMLERİN YÜZEY ALANLARI VE HACİMLERİ......................................... 293
10.9.1.1. Dik Prizma ve Dik Piramitlerin Yüzey Alan ve Hacim Bağıntıları............................ 293
10.9.1.2. Dik Dairesel Silindir ve Dik Dairesel Koninin Yüzey Alanı ve Hacim Bağıntıları...302
10.9.1.3. Küre, Küre Yüzeyinin Alanı ve Kürenin Hacim Bağıntısı......................................... 308
10.9.1.4. Katı Cisimlerin Yüzey Alan ve Hacim Bağıntılarını Modelleme ve Problem
Çözmede Kullanma..................................................................................................... 310
Ünite Sonu Değerlendirme Soruları.................................................................................................314
Cevap Anahtarı....................................................................................................................... 316
Sözlük...................................................................................................................................... 318
İşaretler.................................................................................................................................... 319
Kaynakça................................................................................................................................. 320
8
DÖ RTG ENLER VE ÇO KG ENLER
Yapılan arkeolojik kazılarda bulunan İlk Çağlara ait çömleklerde geometrik süslemeler g
rülmektedir. Nil Vadisi'nde yapılan kazılarda bulunan papirüslerden Mısırlıların Nil Nehri'n
ması ile kaybolan tarla sınırlarını belirlemek için birçok yöntem geliştirdikleri, Fırat Vadisi'nde
H e r ü n ite n in
(Mezopotamya) bulunan kitabelerden (çivi yazısı ile yazılm ış ve fırınlanmış kil tabletlerinden)
b ir is m i v a r d ı r .
Babillilerin geometrinin birçok özelliklerini bildikleri, üçgensel ve dörtgensel bölge biçimindeki
arazilerin alanlarını buldukları anlaşılmıştır.
Geometrinin anlatımlarını ilk ispatlayan Miletoslu Thales olm uştu
0). Geometrinin
bazı teoremleri hâlâ onun adını taşır. Geometrinin sistemli ve kesin k
Ö
III. yüzyılda
İskenderiyeli Eukleides (Öklid) tarafından gerçekleştirilmiştir. Öklid'in “
r” adlı eserinde
işlenen konular günümüzdeki geometri kitaplarında da yer almıştır. 1 9 k a d a r Öklid ge­
ometrisinden başka bir geometri öğretimine rastlanmamıştır. Bu yüzyıl
en geometrinin
kapsamı genişlemiş ve kendi içinde farklı dallara ayrılmıştır.
Geometrinin Tarihsel Ge/işimi - Güitekin Buzkan (Ege Üniversitesi, Merkez Kütüph
matematik bölümü kitaplığı).
Ü n ite
k o n u s u
ö z g e ç m iş
h a k k ın d a
k ıs a
b ilg i v e y a
v a rd ır.
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Dörtgenin temel elemanlarını ve özelliklerini, dörtgenin iç ve dış açılarının ölçüleri to p­
lamını, dörtgenin alanını, dışbükey ve içbükey dörtgen kavramlarını iğreneceğiz.
Ü n ite
. Özel dörtgenlerden; yamuk, dik ve ikizkenar yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen,
dikdörtgen, kare, deltoid ile ilgili açı, kenar ve köşegen özelliklerini öğreneceğiz.
ö ğ r e n m e
. Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidin alan bağlantılarını
oluşturmayı ve uygulama yapmayı öğreneceğiz.
İ ç e r is in d e
a la n la r ı
ö ğ r e n e c e ğ im
iz
a lt
v a rd ır.
. Dörtgenlerin alan bağıntılarını modelleme ve problem çözmede kullanmayı öğreneceğiz.
. Çokgenlerden düzgün çokgenleri açıklamayı ve iç ve dış açılarının ölçülerini hesapla­
mayı öğreneceğiz.
10.5.1. D ÖRTG EN LER VE ÖZELLİKLERİ
Ü n it e
b a ş lık la r ı
iç e r is in d e
y e r
a la n
k o n u la r ın
40.5.1.1. DÖRTGENİN TEMEL ELEMANLARI VE ÖZELLİKLERİ
v a rd ır.
'
BİLGİ --------------------------
Herhangi üç doğrusal olmayan dört noktayı birleştiren dört doğru parçasından oluşan kapalı şekle
dörtgen denir.
Bir dörtgenin; açılarına, köşelerine ve kenarlarına dörtgenin temel elemanları denir.
Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C, D noktaları verilsin.
[AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçalarının birleşimine ABCD dörtgeni denir.
ABCD D örtgeninin Özellikleri
Yandaki şekilde:
B ö lü m le r e
b a ş lık la r ı
a it
k a z a n ım la r ın
1. A, B, C, D noktaları dörtgenin köşeleridir.
2. [AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçaları dörtgenin
kenarlarıdır. Bu kenarların uzunlukları; IABI = a,
v a rd ır.
IBCI = b, ICDI = c, IDAI = d'dir.
__ 3. BAD, CBA_1 DCB_ve CDA dörtgenin iç açıları,
CBF , DCG , ADH ve BAL da dış açılarıdır.
4. [AB] He [CD] ve [BC]_ile [AD] kenarları karşılıklı
kenarlar, A ile C ve B ile D karşılıklı açılardır.
Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren [AC] ve [BD] doğru parçaı, dörtgenin köşegenleridir. Bu köşegenlerin uzunlukları; IACI = e,
IBDI = I ile gösterilir.
Ö
v e
ğ r e n e c e ğ in iz
m e ra k ın ız ı
a ç ık la m a la r ,
k a z a n ım
ç e k e c e k
s o r u la r
v b .
a
Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgene dışbükey
dörtgen; herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgene
de içbükey dörtgen denir. Yandaki şekil içbükey bir dörtgendir.
ilg
r e s im le r ,
Yandaki dörtgenlerden birincisi dışbükey,
ikinsincisi de içbükey dörtgendir. Bu dörtgenle­
rin 4 kenarı, 4 köşesi ve 4 iç açısı vardır.
v a rd ır.
Dışbükey dörtgenin köşegenleri dörtgenin iç
bölgesinde, içbükey dörtgenin köşegenlerinden
biri üçgenin dış bölgesindedir. Köşegenler dört­
genin yardımcı elemanıdır.
Dışbükey dörtgen
Bu kitapta dörtgen denilince dışbükey dörtgen anlaşılacaktır. Konu incelenişlerinde sadece dış­
bükey dörtgenler incelenecektir.
Bir Dörtgenin İç ve Dış Açılarının Ölçüleri Toplamı
^ BİLGİ
Ö ğ r e n e c e ğ in iz
b ilg ile r
k a z a n ım
la
ilg ili
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360° ve dış açılarının ölçüleri toplamı 360°’dir.
v a rd ır.
u
Bir dörtgenin köşegenlerinden biri çizilirse dörtgen iki üçgene ayrılır.
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan, dörtgenin iç açıları
toplamı 2 .180° = 360°”dir.
A
9
f ETKİNLİK
Araç ve Gereç: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
• Dosya kâğıdına bir ABCD dörtgeni çiziniz. Bu dörtgenin dış bölgesinde bir E noktası alınız.
• E noktasından dörtgenin kenarlarına paralel ışınlar çiziniz.
• Kenarları aynı yönde paralel olan açıların ölçüleri eşit midir?
• Köşeleri E olan açılardan dörtgenin dış açılarına eş olanları belirleyiniz.
• Eş açıların ölçüleri de eşit ise dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamının kaç derece olduğunu
söyleyiniz.
B ilg iy i
k e n d in iz e
u y g u la y a b ile c e ğ in iz
v e y a
y a p a b ile c e ğ in iz
a r k a d a ş la r ı n ı z la
ç a lış m a la r
v a rd ır .
ALIŞTIRMALAR ---------------------------------------------------------------
— ~JK\J f
1.
g ru p
k e n d i
IR’ den IR’ye f(x) = x 2 + x + 1, g(x) = x - 1 fonksiyonları veriliyor. Aşağıdaki fonksiyonları bulunuz.
a. f + g
b. f - g
f
c. f . g
Ö ğ r e n d iğ in iz
ilg ili u y g u la m a
2.
f, g : İR ^
İR, f(x) = — 3 * + 2, g(x) = x - 4 fonksiyonları veriliyor. f, g, f + g ve f - g fonksıyon-
d e ğ iş ik
tip te
k a z a n ım la
y a p a b ile c e ğ in iz
s o r u la r
v a rd ır.
larının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çiziniz.
3.
f: A ^ Z , f = {(a, -1 ), (b, 3), (c, 4), (d,
6 )}
ve g: A ^ Z , g = {(a, 2), (b, 4), (c, -3 ), (d, 0)} ise
3f(b) + 4g(c) işleminin sonucunu bulunuz.
4.
IR’ den IR’ ye f(x) = 3x + 2 ve g(x) = - x + 3 fonksiyonları için (f . g)(2) aşağıdakilerden hangisidir?
A. -
B. 0
8
C.
8
D. 16
E. 40
UNITE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
Bir torba içinde aynı büyüklükte 6 mavi, 5 beyaz bilye vardır. Bu torbadan art arda 2 bilye çekiliyor.
a. Çekilen bilyelerin ikisinin de mavi olma olasılığ ı..............................................
. Çekilen bilyelerin birinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı ............................
. İlk çekilen bilyenin mavi, ikincinin beyaz olma olaslığı...................................
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
Bir torbada 4 beyaz, 5 mavi, 6 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye torbaya atılmamak koşulu ile tor­
badan rastgele art arda 3 bilye çekiliyor.
T a m a m la d ığ ın ız
ü n ite d e k i
t ip te
h e r
s o r u la r
b ir
ü n ite
ile
k a z a n ım a
a it
ilg ili
a. Çekilen 3 bilyenin 3'ünün de kırmızı olma olasılığı -91'dir. Q
o
b. İlk ikisinin mavi ve üçüncüsünün kırmızı olma olasılığı -91'dir. Q
d e ğ iş ik
c.
v a rd ır .
2
sinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı -9
1
'dir. Q
ç. 3 bilyeden birinin mavi olma olasılığı -9-5'dir.
3. 2. soruda verilenlere göre,
a. 3 bilyeden en az birinin mavi olma olasılığını bulunuz.
b. Bilyelerin farklı renkte olma olasılığını bulunuz.
4.
Bir çorap üretim atölyesindeki iki makineden I. si çoraplarını %60'ını, II. si de %40'ını üretmektedir.
I. makinenin ürettiği çorapların % 6 'sı, II. makinenin ürettiği çorapların % 4'ü defolu çıkmaktadır.
Rastgele seçilen bir çorabın defolu olduğu biliniyor. Bu çorabı I. makinenin üretmiş olma olasılığını
bulunuz.
5.
Bir torbada her çifti ayrı renkte
turma olasılığı kaçtır?
6.
Bir torbada eşit sayıda mavi ve beyaz bilye vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere art arda
14
çekilen iki bilyenin ikisinin de mavi olma olasılığı — olduğuna göre, ilk durumda torbadaki bilye
sayısı kaçtır?
8
çift çorap vardır. Bu torbadan rastgele alınan 2 çorabın bir çift oluş­
C. T5T
A. 36
7.
C. 28
D. 20
e. i
E. 18
Bir kutuda bulunan 10 tebeşirin 3 'ü kırmızıdır. Bu kutudan arka arkaya gelişigüzel 2 tebeşir alınıyor.
Bu iki tebeşirin ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A. —
15
8.
B. 31
D. T 6 T
B. —
12
C. —
9
D. —
10
E. —
15
Bir torbada üzerlerinde 1, 2,2, 3 yazılı 4 kart, ikinci bir torbada da üzerlerinde 1, 1, 2, 2, 2, 3 yazılı
kart vardır. Her iki torbadan birer kart çekiliyor. Kartlardaki sayıların aynı olma olasılığını bulunuz.
6
10
Giriş
Saymanın en ilkel sistemi “çentik atma” olarak bilinen sistemdir. İlk çağlar­
da, avcıların avladıkları hayvanların sayısını çentik atarak belirledikleri, kaya­
lara çizdikleri resim ve çentiklerden anlaşılmıştır.
Basketbol oyununda da takımların ve oyuncuların yaptıkları basketler çete­
le tutularak ta belirlenir.
Bu sayma işlemine “ bire b ir eşleme yoluyla sayma prensibi” denir.
Günümüzde, yoldan geçen araçlar, stadyuma giren seyirciler, banliyö tren­
lerine binen yolcular nasıl sayılmaktadır? Açıklayınız.
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Olayların gerçekleşme sayısını toplama ve çarpma prensiplerini kullanarak hesapla­
mayı,
2. n tane nesnenin dizilişlerini (permütasyonlarını) örneklerle açıklamayı,
3. n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde sıralanabileceğini,
4. n elemanlı bir kümenin r tane elemanının kaç farklı şekilde seçileceğini,
5. Kombinasyon kavramının aşağıdaki temel özelliklerini:
• C(n, r) = C(n, n - r)
• C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2n
• n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2n olduğunu,
6. Pascal özdeşliğini göstermeyi ve Pascal üçgenini oluşturmayı,
7. Binom teoremini ve Binom açılımındaki katsayıları Pascal üçgeni ile ilişkilendirmeyi
öğreneceğiz.
11
10.1.1. S IR A LA M A VE SEÇM E
10.1.1.1. OLAYLARIN GERÇEKLEŞME SAYISINI TOPLAMA VE ÇARPMA PRENSİPLERİNİ
KULLANARAK HESAPLAMA
Sayma
Bir kümenin eleman sayısı, kümenin elemanları ile 1’ den başlayarak ardışık doğal sayılar arasında
bire bir eşleme kurularak bulunabilir. Bu sayma işlemine eşleme ile sayma denir.
Bir deneyin olası sonuçlarını tek tek saymanın dışında sayma prensipleri de vardır.
Toplama Prensibi ile Sayma
—
C
b I l g İ -------------------------------------------------------------------
Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun. s(AUB) = s(A) + s(B)’dir. Sonlu ve ayrık iki kümenin birleşi­
minin eleman sayısını bu şekilde bulmaya toplam a prensibi ile sayma denir.
ÖRNEK
Bir kitaplık rafında bulunan 5 roman ve 2 hikâye kitabı arasın­
dan, 1 roman veya 1 hikâye kitabının kaç farklı biçimde alınabilece­
ğini bulalım.
Çözüm
Romanların kümesi R = {R 1, R2, R3, R4, R5} ^ s(R) = 5’tir.
Hikâye kitaplarının kümesi H = {H 1, H2} ^ s(H) = 2’dir.
s(RUH) = s(R) + s(H) = 5 + 2 = 7’dir. Bu kitaplık rafından, 1 roman veya 1 hikâye kitabı 7 farklı bi­
çimde alınabilir.
Çarpma Prensibi ile Sayma
=
BİLsi
-------------------------------------------------------------------
• Her birinin eleman sayısı n olan m tane ayrık kümenin birleşiminin eleman sayısı n . m’ dir.
• Bir işlem n1 farklı şekilde, bu işlemi takip eden işlem n2 farklı şekilde, ... ve r’ nci işlem de nr farklı
şekilde elde ediliyorsa bu işlemlerin tamamının elde ediliş sayısı n1 . n2 ....... nr’dir. Bu prensibe
çarpma prensibi ile sayma ya da çarpmanın tem el ilkesi denir.
ÖRNEK
Yukarıdaki örnekte sözü edilen kitaplık rafından 1 roman ve 1 hikâye kitabınının kaç farklı biçimde
alınabileceğini bulalım.
Çözüm
s(R) = 5 ve s(H) = 2 olduğundan, kitaplık rafından 1 roman ve 1 hikâye kitabı,
s(R) . s(H) = 5 . 2 = 10 farklı biçimde alınabilir.
ÖRNEK
Bir çiçekçi bir demetinde 6 gül bulunan demetlerden bir günde 15 demet satmıştır. Çiçekçinin bir
günde sattığı gül sayısını bulalım.
Çözüm
Bir demette 6 gül varsa 15 demetteki gül sayısı 6 . 15 = 90’ dır. O halde çiçekçi bir günde 90 gül
satmıştır.
12
ÖRNEK
A kentinden B kentine 2, B kentinden C kentine de 3 farklı yolla gidiliyorsa A kentinden B kentine
uğramak şartıyla C kentine kaç farklı yoldan gidilebileceğini bulalım.
Çözüm
A ile B arasındaki yolları a, b; B ile C arasındaki yolları da c,
d, e olarak adlandıralım: A ile B arasındaki yolların kümesi {a, b},
B ile C arasındaki yolların kümesi de { c, d, e} olsun. A’ dan B’ye
uğramak şartıyla C’ye gitmek isteyen bir kişinin seçebileceği yolla­
rın sayısı { a, b} kümesi ile { c, e, d } kümesinin eleman sayılarının
çarpımı kadardır. Yani 2 . 3 = 6’dır.
Bu yolların seçimi yanda ağaç diyagramı ile gösterilmiş ve
yollar sıralı ikili olarak yazılmıştır. İnceleyiniz.
c
1. yol: (a, c)
d
2. yol: (a, d)
e
3. yol: (a, e)
c
4. yol: (b, c)
d
5. yol: (b, d)
e
6. yol: (b, e)
ÖRNEK
A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } kümesinin elemanları ile üç basamaklı;
a. Kaç sayı,
b. Rakamları farklı kaç sayı,
c. 500’den büyük kaç tek sayı yazılabileceğini bulalım.
Çözüm
c.
y
z
•
•
•
6
6
6
x tt
tt
z
b.
x
y
a.
•
•
•
6
5
4
x
y
z
•
•
•
2
6
3
Koşula uyan sayılar yazılırken; tablodaki x yerine 6, y yerine 6 ve z yerine de 6
rakam yazılabilir. Çarpma yoluyla sayma prensibine göre 6 . 6 . 6 = 216 tane 3
basamaklı sayı yazılabilir.
Koşula uyan sayılar yazılırken; tablodaki x yerine 6 rakam arasından biri, y yerine
kalan 5 rakamdan biri, z yerine de kalan 4 rakamdan biri yazılır. Çarpma yoluyla
sayma prensibine göre, 6 . 5 . 4 = 120 tane rakamları farklı 3 basamaklı sayı
yazılabilir.
Bir sayının tek sayı olması için birler basamağındaki rakamın tek olması gerekir.
Koşula uyan sayılar yazılırken; z yerine 1, 3, 5 rakamlarından biri, x yerine 5, 6
rakamlarınadan biri, y yerine de 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamlarından biri yazılır.
Buna göre, 2 . 6 . 3 = 36 tane 3 basamaklı 500’ den büyük tek sayı yazılabilir.
ÖRNEK
Yandaki araç plakasının I. bölmesindeki kutulara il kodu, II. bölmesindeki kutulara alfabemizdeki 29 harf arasından belirlenen 23 harf, III. bölmedeki
kutulardan ilkine 0 gelmemek koşulu ile rakamlar yazılacaktır. Bu koşula göre,
kaç plaka oluşturulabileceğini bulalım.
I
□ □
□ □
III
□□□
Çözüm
İl kodu tüm plakalarda olacağından, I. bölme içine tek seçim yapılır. II. bölmedeki kutulardan her
birine 23 harften biri gelecektir. III. bölmedeki ilk kutuya 0 gelmiyeceğine göre 9 rakamdan biri yazılır.
Diğer kutulara da 10 rakamdan biri yazılır. Çarpma yoluyla sayma ilkesine göre, koşula uyan bir ile ait
plaka sayısı: 1.23.23.9.10.10. = 476 100’dür.
81 ilimize ait plaka sayısı da 81 . 476 100 = 38 564 100 olur.
13
ÖRNEK
6 farklı kitap bir kitaplık rafına yan yana konulacaktır. Bu kitaplar kitaplık rafına;
a. Kaç farklı biçimde,
b. Belli iki kitap yan yana gelme koşulu ile kaç farklı biçimde dizilir?
Çözüm
a
b
c
d
e
1
olsun.
a. Raftaki sıra
a yerine 6 farklı kitaptan biri, b yerine kalan 5 kitaptan biri, c yerine kalan 4 kitaptan biri, ..., f yerine
de sona kalan 1 kitap konulur.
O hâlde, çarpma yoluyla sayma prensibine göre, 6 kitap yan yana
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 farklı biçiminde dizilir.
b.
Belli iki kitap yan yana geldiğinde, bu iki kitap tek kitap olarak
kabul edilir. Bu durumda 5 kitap varmış gibi işlem yapılır.
5 kitap yan yana 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 farklı biçimde dizilir.
Belli olan kitaplar A ve B olsun. Bu iki kitap birbirinden ayrılmayacağına göre, AB ya da BA gibi dizilir.
O hâlde, belli iki kitap yan yana gelme koşulu ile 6 kitap bir rafta
2 . 120 = 240 farklı biçimde dizilir.
=
ETKİNLİK ---------------------------------------------------------------------------------
Araç ve Gereç: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem,
a ve b harfleri; x, y, z rakamlarını göstermek üzere bir evrak çantasına
şifre yapılacaktır.
• Bu şifre için yandaki tabloyu dosya kâğıdına çiziniz.
I
• I. bölmedeki her kare için alfabemizdeki ilk 10 harften birisi,
II. bölmeye de x yerine 0 gelmemek koşulu ile x, y ve z yerine ra­
kamlar yazılacaktır.
x
y
z
• Verilen koşullara göre kaç farklı şifre oluşturabileceğinizi bulunuz.
ALIŞTIRM ALAR
1.
Bir sınıfta 32 öğrenci vardır. Bu sınıftan önce bir başkan, sonra bir başkan yardımcısı seçiminin
kaç değişik biçimde yapılabileceğini bulunuz.
2. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanlarıyla rakamları farklı ve dört basamaklı;
a. Kaç sayı yazılır?
b. Kaç tek sayı yazılır?
ç. 5 ile bölünebilen kaç sayı yazılır?
c. Kaç çift sayı yazılır?
d. 25 ile bölünebilen kaç sayı yazılır?
3. A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine de 2 farklı yol vardır. Bir kimse her se­
ferinde B kentinden geçmek koşulu ile
a. A’dan C’ye kaç değişik şekilde gidebilir?
b. A’dan C’ye kaç değişik şekilde gidip dönebilir?
4. 24 kişilik bir sınıftan önce bir başkan, sonra bir başkan yardımcısı, sonra da laboratuvar sorum­
lusu seçilecektir. Bu seçimin kaç değişik biçimde yapılabileceğini bulunuz.
5.
Rakamlar kümesinin elemanları ile 3 basamaklı sayılar yazılacaktır. Bir rakamı bir kez kullanmak
koşulu ile kaç çift sayı yazılır?
14
10.1.1.2. SINIRSIZ SAYIDA TEKRARLAYAN NESNELERİN DİZİLİŞLERİNİ
(PERMÜTASYONLARINI) ÖRNEKLERLE AÇIKLAMA
246
426
462
642
624
6
t1
6
t1
2
t1
2
4
Okul numaram 246’ dır. Numaramdaki ra­
kamların yerlerini değiştirerek oluşturdu­
4
ğum sayıları ağaç diyagramı ile gösterdim.
\
/
\
Bu sayıların her biri {2, 4, 6} kümesinin bir
permütasyonudur.
n Elemanlı Bir Kümenin n 'li Permütasyonları
A
BİLGİ
Bir A kümesinin elemanlarının farklı dizilişlerinin her biri A kümesinin bir permütasyonudur.
s(A) = n ise A kümesinin n’ li permütasyonlarının sayısı P(n, n) ile gösterilir.
ÖRNEK
4 kişinin dizilmiş 4 sandalyeye kaç değişik şekilde oturabileceklerini bulalım.
Çözüm
3
1. sandalyeye 4 kişi 4 farklı şekilde,
2. sandalyeye kalan 3 kişi 3 farklı şekilde,
3. sandalyeye kalan 2 kişi 2 farklı şekilde ve
4. sandalyeye de kalan 1 kişi oturur.
Çarpma yoluyla sayma prensibine göre 4 kişi­
nin 4 sandalyeye farklı oturuşlarının sayısı,
4 . 3 . 2 . 1 = 24
bulunur. Bu da 4 elemanlı bir kümenin 4’ lü permütasyonlarının sayısıdır. Bu sayı P(4.4) ile ifade edilir.
P(4,4) = 4 . 3 . 2 . 1’ dir.
1’ den 4’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımının gösterimi 4! şeklindedir. Bu ifade “4 faktöriyel”
biçiminde okunur. 4! = 1 . 2 . 3 . 4’tür.
Faktöriyel Kavramı
BİLGİ
----------------------------------
■ İN' olmak üzere, 1’ den n’ye kadar olan ardışık doğal sayıların çarpımına n faktöriyel denir ve
n! ile gösterilir.
n! = 1 . 2 . 3 ............. (n - 1) . n’ dir.
1! = 1 ve 0! = 1 olarak tanımlanır.
ÖRNEKLER
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120’dir.
7!
8! = 1.2.3.4.5.6.7.8 = 7! . 8’dir.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 10.9! ve
n! = n(n - 1) (n - 2)! biçiminde yazılabilir.
15
ÖRNEK
KALEM kelimesinde, harflerin yerlerini değiştirerek anlamlı ya da anlamsız kaç kelime yazılabile­
ceğini bulalım.
Çözüm
“ KALEM” kelimesinde 5 farklı harf vardır. Bu harflerin oluşturduğu
a
b
c
d
e
5
4
3
2
1
küme {K, A, L, E, M}’dir.
Yandaki tabloda a yerine bu kümedeki 5 harften biri, b yerine kalan 4 harften biri, c yerine kalan 3 harften biri, d yerine kalan 2 harften
biri ve e yerine de kalan harf yazılır. Çarpma yoluyla sayma prensibine göre, yazılabilecek kelime
sayısı 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120’ dir.
Bu sayı 5 elemanlı bir kümenin 5’ li permütasyonlarının sayısıdır. P(5, 5) = 5! şeklinde yazılır.
ÖRNEK
Her rakam aynı büyüklükteki kartlara yazılarak bir torbaya konuyor. Bu torbadan çekilen bir kart
tekrar torbaya konmak koşulu ile 3 kez kart çekilirse kaç farklı diziliş olacağını bulalım.
Çözüm
Rakamların sayısı 10 olduğundan, her rakamı çekmek için 10 farklı yol vardır. Çekiliş sayısı 3 oldu­
ğundan, çarpma yoluyla sayma prensibine göre, 10 . 10 . 10 = 103 farklı şekilde diziliş oluşur.
O hâlde, n çeşit nesne ile oluşturulabilecek r’ li dizilişlerin sayısı nr dir.
ÖRNEK
3 mektup 4 değişik posta kutusundan postalanacaktır.
a. Her mektup farklı posta kutusundan postalandığında,
b. Mektupların farklı posta kutusundan postalanma zorunluluğu yoksa, bu 3 mektubun kaç değişik
biçimde postalanabileceğini bulalım.
Çözüm
a. Her mektup farklı posta kutusundan postalanırsa, 1. mektup 4 farklı kutudan birine, 2. mektup ka­
lan 3 kutudan birine ve 3. mektup da kalan 2 kutudan birine atılır. Buna göre, her mektup farklı kutulara
atılmak koşulu ile 3 mektup 4 . 3 . 2 = 24 değişik biçimde postalanır.
b. Mektupların farklı kutulara konulma zorunluluğu yoksa 3 mektup herhangi bir kutuya birlikte ko­
nulabilir. Bu durumda 1. mektup için 4 değişik kutu, 2. mektup için 4 değişik kutu ve 3. mektup için de 4
değişik kutu kullanılabilir. Buna göre 3 mektup 4 . 4 . 4 = 43 = 64 değişik biçimde postalanır.
ÖRNEK
3
farklı roman, 3 farklı hikâye ve 2 farklı şiir kitabının bir rafa kaç değişik şekilde dizilebileceğini ve
romanlar bir arada olmak koşulu ile kaç değişik biçimde dizilebileceğini bulalım.
Çözüm
• Kitapların sayısı 3 + 3 + 2 = 8’dir. 8 kitabın bir rafta farklı dizilişlerinin sayısı P(8,8) = 8!’dir.
• Romanlar bir arada olduğunda, romanlar 1 kitap kabul edilir. Bu durumda kitap sayısı 1 + 3 + 2 = 6
olur. 6 kitabın farklı dizilişlerinin sayısı P(6, 6) = 6!’ dir. Romanların da kendi aralarında farklı dizilişle­
rinin sayısı P(3, 3) = 3!’ dir. Buna göre romanlar bir arada olmak koşulu ile bu kitapların farklı diziliş­
lerinin sayısı 6! 3! = 720 . 6 = 4320’ dir.
16
10.1.1.3. n ELEMANLI BİR KÜMENİN r TANE ELEMANININ KAÇ FARKLI ŞEKİLDE
SEÇİLİP SIRALANABİLECEĞİNİ HESAPLAMA
Kitaplık raflarındaki kitapların ve telefon tellerine konmuş kırlangıçların konumu sıralı bir diziliştir.
n elemanlı bir kümenin, r < n olmak üzere, birbirinden farklı r tane elemanlarından oluşan sıralı
r’ lilerinden her birine, n elemanlı b ir kümenin r’ li b ir perm ütasyonu denir ve r’ li permütasyon sa­
yısı P(n, r) ile gösterilir.
=
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
---------------------------------------------------------
s(A) = n ve r < n olmak üzere, A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısının,
n!
P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1) ya da P(n, r) = ----------- olduğunu gösterelim.
(n - r)!
Verilen: s(A) = n ve r < n’dir.
n!
İstenen: P(n, r) = n(n - 1) (n - 2) ... (n - r + 1) = --------------’ dir.
(n - r)!
İspat
X2
X3
xr
• A kümesinin r’ li permütasyonlarını (
) ile gösterelim:
î ’ t ’ t ’
n
n- 1
n- 2
’ t
n -( r-1)
x 1 yerine A kümesinin n tane elemanı, n farklı şekilde yazılabilir.
X2 yerine de A kümesinin elemanlarından biri x 1 yerine yazıldıktan sonra geri kalan n - 1 elema­
nı n - 1 farklı şekilde yazılabilir.
Benzer şekilde işleme devam edilirse xr yerine de A kümesinin kalan n - (r - 1) tane elemanı
n -( r-1) = (n - r + 1) farklı şekilde yazılabilir.
Ohâlde, A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı, çarpma yoluyla sayma prensibine göre;
P(n, r) = n(n-1)(n-2) ... (n-r+1)
işlemi ile bulunur.
• P(n, r) = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) eşitliğinin sağ tarafını (n-r)! ile çarpalım ve bölelim:
P(n r) = n(n -1)(n -2) ... (n -r+ 1)(n -r)!
= ( ^ ( n - M ) . . . 3. 2. 1]
(n-r)!
n(n-1)(n-2) ... (n-r+1)(n-r)(n-r-1) ... 3.2.1
n!
(n-r)!
(n-r)!
olur.
n!
O hâlde, s(A) = n ise A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P(n,
’ dir.
3(n, r) = ---------(n-r)!
n!
n!
Özel olarak r = n ^ P(n, n) = ----------- = ------(0! = 1 olarak tanımlanır.)
(n-n)!
0!
P(n, n) = n(n-1)(n-2) ... 3.2.1’ dir.
n!
------= n!’dir.
1
17
ÖRNEK
A = {a, b, c, d, e} kümesinin 3’ lü permütasyonlarının sayısını bulalım.
Çözüm
A kümesinin 3 lü bir permütasyonu, A kümesinin 3 elemanının farklı sıralanışlarından biridir.
Bu sıralanışı yanda çizilen kutularda gösterelim.
s(A) = 5 olduğundan A kümesinin elemanları;
1
2
□
1. kutuya 5 farklı, 2. kutuya kalan 4 eleman 4 farklı, 3. kutuya da kalan 3
eleman 3 farklı şekilde yerleştirilir.
3
□
5
4
□
3
Çarpma yoluyla sayma prensibine göre, 5 elemanın 3’ lü permütasyonlarının sayısı, 5.4.3 = 60’tır.
Bu yazılış, P(5, 3) = 5.4.3 şeklinde ifade edilir.
O hâlde, n > 3 ^ P(n, 3) = n(n - 1)(n - 2) ve
n > r ^ P(n, r) = n(n - 1)(n - 2) ... (n - r + 1) olur.
Ayrıca,
n!
P(n, r) = --------- ifadesinde n = 5 ve r = 3 yazılırsa
(n - r)!
5!
5!
5.4.3.2!
P(5, 3) = ----------- = -------= --------------- = 5.4.3 = 60 bulunur.
(5 - 3)!
2!
2!
ÖRNEK
P(n, 2) = 56 ise n değerini bulalım.
Çözüm
n!
n(n - 1)(n - 2)!
.
P(n, 2) = ----------- = —-------- - ------- - = n(n - 1) = n2 - n olur.
(n - 2)!
(n - 2)!
n2 - n = 56
^ n2 - n - 56 = 0
(n + 7)(n - 8) = 0 ^ n = -7 veya n =8’dir. n e N+ olduğundan,
n = 8 bulunur.
ÖRNEK
8 atletin katıldığı 100 metre yarışında altın, gümüş ve bronz madalyanın kaç farklı şekilde dağıtıla­
bileceğini bulalım.
Çözüm
n = 8 ve r = 3 ^ P(8,3) = 8. 7. 6 = 336 bulunur.
Madalyalar 8 atlet arasında 336 farklı biçimde dağıtılabilir.
ÖRNEK
A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin 3’ lü permütasyonlarının kaç tanesinde 7 bulunur?
Çözüm
A = {1, 3, 5, 7, 9} kümesinin 3’ lüpermütasyonlarınınsayısıs(A) = 5 olduğundan,
P(5, 3) = 5 .
4 . 3 = 60’tır.
A kümesinden 7 yi çıkarırsak {1, 3, 5, 9} kümesinin 3’ lü permütasyonlarının sayısı da
P(4, 3) = 4 . 3 . 2 = 24 olur. Buna göre, A kümesinin 3’ lü permütasyonlarının,
P(5, 3) - P(4, 3) = 60 - 24 = 36 tanesinde 7 bulunur.
18
—
.fl
A L IŞ T IR M A L A R ---------------------------------------------------------------
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Her çocuğa bir oyuncak verilmek koşuluyla 5 farklı oyuncak 5 ç o cu ğ a ..............................
değişik biçimde dağıtılır.
b. P(n + 1, 4) = 10 . P(n, 2) ^ n = .......................
c. "BARIŞ” kelimesinin harfleri ile AR ile başlayan anlamlı ya da anlam sız................................
kelime yazılır.
2. 3 kız ile 4 erkek öğrenci, erkekler arka sırada ve kızlar ön sırada olmak üzere kaç değişik fotoğraf
çektirirler?
A. 48
B. 72
C. 96
D. 120
E. 144
3.
T = { A, B, C, O, E, F } kümesinin 5’ li permütasyonlarından kaç tanesinde A bulunur?
4.
Aşağıdaki ifadelerde n değerini bulunuz.
a. P(n, 2) = 42
b. 6. P(n, 2) = P(n, 3)
c. P(n, 4) = 6 . P(n, 3)
5. AralarındaTülin ve Erkan’ ın bulunduğu 6 kişi sinemaya gidiyorlar. Bu 6 kişi sinema salonundaki
koltuk sırasında;
a. Kaç değişik biçimde oturabilirler?
b. Tülin ile Erkan yan yana oturmak koşulu ile kaç değişik
biçimde oturabilirler?
c. Tülin ile Erkan yan yana oturmamak koşulu ile kaç değişik biçimde oturabilirler?
6. Alfabedeki harfleri kullanarak anlamlı ya da anlamsız 4 harfli kaç kelime yazılabilir?
7. Galatasaray ile Fenerbahçe’ nin maç yaptığı bir stad önünde sıralı dikilmiş 7 bayrak’direğine 4 FB
ve 3 GS bayrağı kaç farklı biçimde asılabilir?
1. s(A) = n ise A kümesinin r’ li (r ^ n ) permütasyonlarının sayısı P(n, r); r’ li kombinasyonlarının
sayısı da C(n, r) ile gösterilir.
2. A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı r’ li kombinasyonlarının sayısının r! katıdır.
P(n, r) = r! . C(n, r) olur.
19
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
---------------------------------------------------------
n elemanlı bir A kümesinin r’ li kombinasyonlarının sayısı C(n, r) = -------------- ’dir.
r! . (n - r)!
n!
Verilen: s(A) = n ve P(n, r) = ------------ ’dir.
(n - r)!
n!
İstenen: C(n, r) = -------------r! (n - r)!
İspat: A = {a 1; a2, ..., ar, ar+1, ...,an} kümesinin bir alt kümesi B = {a 1; a2, a3, ..., ar} olsun. B
kümesi A kümesinin r’ li kombinasyonudur. s(B) = r olduğundan, B kümesinin r! tane r’ li permütasyonu vardır.
O
hâlde, A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı olan P(n, r) ile r’ li kombinasyonlarının sayısı
olan C(n, r) arasında, C(n, r) . r! = P(n, r) eşitliği yazılır.
n!
P(n, r)
(n - r)!
n!
Bu eşitlikten, C(n, r) = ----------- = ----------- = ---------------bulunur.
r!
r!
r!(n - r)!
AÇIKLAMA
• A kümesinin r’ li kombinasyonlarının sayısı r’ li alt kümelerinin sayısıdır.
• A kümesinin r’ li bir kombinasyonundaki r tane elemanın yazılışında sıranın önemi yoktur.
• A kümesinin r’ li permütasyonunda sıralanışının önemi vardır.
• Permütasyonda sıralı diziliş, kombinasyonda seçim söz konusudur.
• C(n, r) ifadesi ' n ) şeklinde de yazılır.
ÖRNEK
Tülin 7 yakın arkadaşı arasından 4’ ünü evine davet etmek istiyor.
a. Tülin’ in 4 arkadaşını kaç farklı şekilde seçebileceğini,
b. Arkadaşlarından ikisinin beraber olmak istememesi hâlinde Tülin’ in bu 4 arkadaşını kaç farklı
şekilde seçebileceğini bulalım.
Çözüm
a. Tülin 4 arkadaşını, C(7, 4) = 4 ^ 7! 4)! =
= 7
T = 35 farklı biçimde seçebilir.
b. Beraber olmak istemeyen 2 kişiyi gruptan çıkarırsa geri kalanlar arasından 4 kişi C(5, 4) kadar
farklı seçebilir. Ayrıca bu 5 kişi arasından seçerek elde edilen 3’ lü gruplara 2 kişiden biri çağrılabilir.
Buna göre, seçim sayısı,
5!
C(5, 4 ) + 2 • C( 5 3) = « Î R ! + 2
5!
5 4!
5 4 3!
TT+ 2
ıdb İ
y r=
M
= 5 + 2 . 10 = 5 + 20 = 25 bulunur.
20
ÖRNEK
Bayramda karşılaşan 7 kişi arasında kaç tokalaşma olabileceğini bulalım.
Çözüm
Tokalaşma 2 kişi arasında olur. O hâlde tokalaşma sayısı 7 ele­
manlı bir kümenin 2’ li kombinasyonlarının sayısı kadardır.
n = 7 ve r = 2
n\
n!
r! (n - r)!
7!
7 . 6 . 5!
2! (7 - 2)!
2 . 5!
= 21 olur.
7 kişi arasında yapılabilecek tokalaşma sayısı 21’dir.
ÖRNEK
5’ i kırmızı, 7’ si beyaz olan güller arasından 3’ ü beyaz, 2’ si kırmızı
olan bir gül demetinin kaç farklı biçimde oluşturulabileceğini bulalım.
Çözüm
• Kırmızı güller { K1, K2, K3, K4, K5 } ise bu kümeden
{ K1, K2 }, {K 1, K3}, ... gibi seçilen ikişerli güllerin sayısı
(2 ) = 10’ dur. ©
• Beyaz güller {B 1, B2, ..., B7} ise bu kümeden {B 1, B2, B3},
{B 1, B2, B4}, ... gibi seçilen üçerli güllerin sayısı ( 7 ) = 35’tir. ( 2)
ve ( 2 )’den 2’ si kırmızı ve 3’ ü beyaz olan { K1, K2, B1, B2, B3}, ... gibi gül demetlerinin sayısı, çarp­
ma yoluyla sayma prensibine göre, (2 ) .( 7 ) = 10 . 35 = 350 bulunur.
ÖRNEK
Bir düzlemde 8 farklı nokta veriliyor. Buna göre;
a. Herhangi üçü doğrusal olmayan bu 8 nokta kaç doğru parçası belirtir?
b. Herhangi üçü doğrusal olmayan bu 8 nokta kaç üçgen belirtir?
Çözüm
Noktaların kümesi, N = { A, B, C, D, E, F, G, H } olsun.
a. Farklı iki noktadan bir doğru geçtiğinden, bu noktalar ikişer ikişer birleştirilirse [AB], [AC], ..., [GH]
gibi doğru parçaları oluşur. Bu doğru parçalarının sayısı, C(8, 2) kadardır.
8!
8 . 7 . 6!
C(8, 2) = ------------------ = ------------------ = 28 bulunur.
2! (8 - 2)!
2 . 6!
b. Bir düzlemin doğrusal olmayan farklı 3 noktası ikişer ikişer birleştirilirse bir üçgen meydana gelir.
Verilen noktalardan da ABC, ..., FGH gibi üçgenler oluşturulur. Bu üçgenlerin sayısı, C(8, 3) kadardır.
8!
8 .7 . 6 . 5!
C(8, 3) = ------------------ = ------------------- = 56 bulunur.
3! (8 - 3)!
3. 2 . 5!
21
ÖRNEK
5 usta ve 4 işçi arasından en az 2’si işçi olan 5 kişilik bir ekibin kaç farklı şekilde seçilebileceğini
bulalım.
Çözüm
Seçilecek ekiplerin her birinde en az 2 işçi olacağından ekipler; 2’ si işçi olanlar, 3’ ü işçi olanlar ve
4’ ü işçi olanlar şeklinde seçilir.
Buna göre;
2’ si işçi olan 5 kişilik ekip sayısı (4 ) ( 5
( 2 ) '( 3 ),
4 5
3’ ü işçi olan 5 kişilik ekip sayısı ( ).( ) ve
3 2
4 5
4’ ü işçi olan 5 kişilik ekip sayısı ( ). ( ’ dir
4 1
5
4 5
3 ) + (m .(
Koşula uygun ekip sayısı;
(31 2
6 . 10 + 4 . 10 + 1 . 5 = 60 + 40 + 5 = 105 bulunur.
ÖRNEK
Düzlemde birbirine paralel 5 doğru ile bu paralel doğruları kesen ve birbirine paralel 3 doğru verili­
yor. Bu doğruların kaç paralelkenar oluşturduğunu bulalım.
Çözüm
Şekle göre, d1 // d2 // d3 // d4 // d5 ve
k1 // k2 // k3 tür.
kn
Bir paralelkenar oluşturmak için d 1, d2, d3, d4, d5 doğruları arasından 2, k1, k2, k3 doğruları arasın­
dan da 2 doğru seçmek gerekir. Çünkü şekildeki paralelkenarlardan herhangi birinin karşılıklı iki kenarı
d 1, d2, d3, d4, d5 doğrularından ikisi üzerinde ise diğer karşılıklı iki kenarı da k1, k2, k3 doğrularından ikisi
üzerindedir. Buna göre, şekildeki paralelkenar sayısı,
C(5, 2) . C(3, 2) = 10 . 3 = 30 bulunur.
ÖRNEK
C(n, r) = C(n, n - r) olduğunu gösterelim.
Çözüm
n!
= a olsun.
C (n r) = ( " ) = r!(n - r)!
C(n' n
1
n!
n!
= a’ dır.
r) " ‘ n - r ) " (n - r) ! [ n - ( n - r)]! ~ (n - r)!r!
© ve © den, C(n, r) = C(n, n - r) ve ‘ n ) = ( n - r ) olduğu görülür.
O hâlde, eleman sayısı n olan bir küme için
0 ) = ( n - 0 ) = ( n ) , ( n ) = ( n - 1 ) , (2 ) = ( n - 2 ) .......( : ) = <n - r K
22
ÖRNEK
s(A) = 20 ise A kümesinin 18’ li kombinasyonlarının sayısını bulalım.
Çözüm
20
20
20
( n ) = ( n - r ) oldu9 undan- (1 8 j = i 2 0 - 18 > = ( 7 1’d if‘
20 \
2 1
20!
2!(20 - 2)!
10
20.19.>8!
= 190 bulunur.
1 .2 -1 8 Î
ÖRNEK
Bir öğrenci bir vazoda bulunan 6 gül arasından 1 veya daha fazla gülü seçerek öğretmenine vermek
istiyor. Öğrencinin bu seçimi kaç farklı şekilde yapabileceğini bulalım.
Çözüm
Gül sayısı 6 olduğundan, farklı seçme işlemlerinin sayısı, 6 elemanlı kümenin 1, 2, 3, 4, 5 ve 6
elemanlı alt kümelerinin sayıları toplamı olur. Güllerin oluşturduğu kümenin alt küme sayısı 26 = 64
olduğundan, öğrenci;
1 >+ ( 6 >+ (3 >+ (4 >+ (6 >+ ( 6 > = 2 6-1 = 64 - 1 = 63 farklı seçim yapabilir.
Bu örnekten kombinasyonla ilgili aşağıdaki özellikleri yazabiliriz.
0 >+(6 >+( 2 >+( 6 >+( 4 >+( 5 >+( 6 >
=
ve ( 6 > = ( 6 > = 1 ( 6 > = ( 5 > = 6
2 ) = ( 4 ) = 15 ve ( 6 ) = 20 olduğundan 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64’tür.
0 > + ( n > + ( n > +•••+ ( n - , > + ( n > = - -
A L IŞ T IR M A L A R ---------------------------------------------------------------
1 . Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. ("3*> + ( 12> = .... b. 5 (2> = 3 (3> ^ n = ....
c. ( 10> değeri r = .... için en büyüktür.
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. 9 basketbolcu arasından 5 kişilik bir takım 126 farklı şekilde şeçilir. Q
b. 9 basketbolcu arasından kaptan değişmemek koşulu ile 5 kişilik bir takım 60 farklı şekilde
seçilir. Q
c. 5 erkek 7 kız öğrenci arasından üçü erkek öğrenci olmak koşuluyla 5 kişilik bir ekip 210 farklı
şekilde seçilir. Q
23
3.
Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan 11 nokta veriliyor. Buna göre;
a. Bu noktalar kaç doğru belirtir?
b. Bu noktalar kaç üçgen belirtir?
c. Bu noktalarla birer köşeleri ortak olan kaç üçgen oluşturulabilir?
4. Bir çember üzerinde 10 nokta alınıyor. Köşeleri bu noktalardan 4’ ü olan kaç dörtgen çizilebilir?
5. Bir öğrenci 10 soruluk bir sınavda 8 soruya cevap verecektir. Bu öğrencinin ilk 3 soruya cevap
vermesi zorunlu olduğuna göre, cevap vereceği soruları kaç farklı biçimdeseçebilir?
6.
Bir düzlemde 6 paralel doğru ile bu doğruları kesen vebirbirine
doğruların oluşturduğu şekilde kaç paralelkenar vardır?
paralel 4 doğru veriliyor. Bu
7.
Bir düzlemde bulunan 8 doğrudan 4’ ü birbirine paraleldir. Bu doğrular en fazla kaç noktada
kesişir?
8.
P(n, 1) + C(n, 1) + C(n, 2) = 20 ise P(n, 3) kaçtır?
9.
7.C(n, 2) = 3.C(n, 3) ise n kaçtır?
10. 5’ i kırmızı olan 8 gül arasından en az biri kırmızı olmak koşulu ile 3 gül kaç değişik biçimde seçilir?
11. Bir tebeşir kutusunda 5 beyaz 4 kırmızı tebeşir vardır. Bu kutudan 3’ ü beyaz ve 2’si kırmızı 5
tebeşir kaç farklı şekilde seçilir?
12.
Bir sağlık ocağında 3 doktor 4 hemşire vardır. Doktor ve hemşirelerden oluşan 4 kişilik bir ekibin
kaç tanesinde en az bir doktor vardır?
13. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanları ile yazılan rakamları farklı 5 basamaklı sayı­
lardan kaç tanesinin rakamlarının ikisi çift 3’ ü tek olduğunu bulunuz.
10.1.1.5. PASCAL ÖZDEŞLİĞİ VE PASCAL ÜÇGENİNİ OLUŞTURMA
Pascal özdeşliği veya “ Pascal üçgeni” olarak isimlendirilen konu ve kavramlar, Pascal’dan önce arala­
rında Ömer Hayyam’ ın da bulunduğu Hint, Çin ve İslam medeniyetindeki matematikçi ve düşünürler tarafın­
dan ele alınmıştır.
ÖMER HA YYAM (1016-1123)
,
Selçuklu devrinin tanınmış âlim ve şairi Havyam 'm asıl adı Ebüıl
Feth İbrahim Gıyasedin el Hayvamî ’dir.
Nişabur 'da dünyaya gelen Havyam , öğrenimini de doğduğu şehirde
yapmıştır.
Ömer Havyam , Grek , H ind ve kendisinden önceki İslâm matematik­
çilerinin çözemedikleri cebir denklemlerini sistemli metodlarla çözmüş ,
cebir , astronomi , fizik , meteoroloji ve felsefeyle ilgili değerli eserler
yazmıştır.
Havyam , şiir ve edebiyat dünyasında ne kadar ünlüyse, ilim alemin­
de de ondan daha fazla şöhrete lâyıktır. Çünkü o, cebirde ders kitapla­
rına geçecek kadar açık bir şekilde denklemleri sınıflandırarak özellikle ikinci derece denklemlerin
çözümünü açıklamıştır. Selçuklu Sultanı Meikşah tarafından Rey Rasathanesi ’ne davet olunmuş
“Takvim-i Celâlî” diğer adıyla “Zic-i M elik Şahî” (Melikşah adına astronomik tablolar)yi hazırla­
mıştır. Hayyam, meslektaşlarıyla fik ir alışverişinde bulunmaktan haz duyan ve onlardan faydalan­
maya çalışan ilmi kişiliğe sahip olmuştur.
Cebir, geometri, astronomi konularında çalışmaları olan H ayyam ’ın 1 0 ’dan fazla eseri vardır.
Cebire ait Arapça metni Fransızca tercümesi ile 1851’de Woepcke tarafından P a ris’te yayımlanmıştır.
(Göker, Lütfi, Matematik Tarihi ve Türk İslam matematikçilerin yeri, MEB yayınevi, İstanbul, 1997).
24
Pascal Üçgeni
x + y iki terimlisinin sıfırıncı kuvvetinden başlanılarak sıra ile kuvvetleri alınıp özdeşleri aşağıda
gösterilmiştir. Ayrıca, her açılımdaki terimlerin katsayıları da gösterilmiş ve katsayılarla bir üçgen oluş­
turulmuştur. Bu üçgen Pascal üçgenidir.
(x + y)0 = 1
1
(x + y)1 = x + y
1
1
(x + y)2 = x2 + 2xy + y2
1 2
1
3
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
1
(x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
1 5
(x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
(x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 +y6
4
1
6
6
10
15
1
4
10
20
1
1
5
15
6
1
AÇIKLAMA
Pascal üçgeninde;
1. Her satırın ilk ve son terimleri 1’dir.
2. Her satırda baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimler aynıdır.
3. Bir üst satırın komşu iki teriminin toplamı, alt satırdaki bu iki terim arasındaki terimi oluşturur.
ÖRNEK
(x + y)5 açılımını Pascal üçgeni yardımı ile bulalım.
Çözüm
x + y iki terimlisinin herhangi bir kuvvetinde x’ in üsleri birer azalırken y’ nin üsleri birer artar. Buna
göre
(x + y)5 = • x5 + • x4 y + • x3 y2 + • x2 y3 + • x y4 + • y5 tir.
Bu açılımda • yerine, Pascal üçgenindeki (x + y)5 açılımının katsayıları (1, 5, 10, 10, 5, 1) sıra ile
yazılırsa
x5 + 5x4y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5xy4 + y5 bulunur.
n ¥ N için (x + y)n açılımı,
/
™ n n n1
n(n-1)
2 n (n -1 )(n -2 ) n-3 3
n(n-1) 2 n2 n n1
n ..
(x + y)n = xn + — xn-1 y + — — — xn-2 y2 + ----- —— ----- xn-3 y3 + ... +— — — x2 yn-2 + — xyn-1 + yn dir.
v y/
1
y
1.2
y
1.2.3
1.2
y
1 y
y
Bu açılımda;
1. Her terimde x ile y’ nin üslerinin toplamı n olur.
2. x’ in üsleri birer azalırken y’ nin üsleri birer artar.
3. Baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimlerin katsayıları aynıdır.
4. Katsayılar toplamı x = y = 1 için (1 + 1)n = 2n olur.
ab
5. Terimlerden biri axb yc ise bu terimden sonra gelen terimin katsayısı " c + y olur (Baştan r. terimin
katsayısı aynı terimdeki x’ in üssü ile çarpılır; bulunan çarpım aynı terimdeki y’ nin üssünün 1 fazlasına
bölünürse bu terimden sonra gelen yani baştan (r + 1)’ inci terimin katsayısı bulunur.).
25
ÖRNEK
(x + y)n açılımının ilk dört terimini yazalım.
Çözüm
(x + y)n = 1. xn y0 + ★ xn-1 y + ^ x n-2 y2 + ★ xn-3 y3 + ... + ^ x 2 yn-2 + ^ x yn-1 + 1 . x0 yn açılı­
mında, yukarıdaki açıklamaya göre,
• 1. terimin katsayısı: 1
• 2. terimin katsayısı: 1.
• 3. terimin katsayısı: 1.
=n
n-1 = n(n-1) ve
1' 2
1.2
. . . . . .
H n n-1 n-2
n(n-1)(n-2)D
• 4. terimin katsayısı: 1. — .—— .— — = ------— —------ ’tür.Buna göre;
y
1 2 3 1.2.3
a
/
™
n n ı
n(n-1) n 22 n (n-1) (n-2)
n-3 3
• (x +y)n = xn+ n.xn-1 y + — — — xn-2 . y2 + -----1_2_ 3-x n-3 y3
+-.
ÖRNEK
(x + 2)6 açılımını Pascal üçgeni yardımı ile bulalım.
Çözüm
(x + 2)6 = -*x6 + -*x5 . 2 + -*x4.22 + ★x3.23 + -*x2.24 + -*x.25 + -*2 6 dır. Bu açılımda ★ yerine,
Pascal üçgenindeki (x + y)6 açılımının katsayılarını (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1) sıra ile yazalım.
(x + 2)6 = 1 . x6 + 6 . x5 . 2 + 15 . x4 . 4 + 20 . x3 . 8 + 15 . x2 . 16 + 6 . x . 32 + 1 . 64
= x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64 bulunur.
1. Aşağıdaki ifadelerin özdeşlerini Pascal üçgeninden yararlanarak bulunuz.
a. (2x-y)4
b. (x + 2y)5
c. (x + y)6
ç. (x - 1)6
2. x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 4 = (x + 1)n + m ise m + n kaçtır?
BLAİSE PASCAL (1623 - 1662)
Ünlü Fransız matematikçidir. Küçük yaşlarda matematikle ilgilenmiş 14 yaşına gelince ilmi tar­
tışmalara kabul edilmiştir. Bu tartışmaların yapısı, Fransız İlimler Akademisi’ ni doğurmuştur.
Pascal, Fermat ile olasılıklar kuramını kurarak yeni bir matematik konusunu ortaya çıkarmışlar­
dır. Pascal kendi adıyla anılan Pascal üçgenini oluşturmuştur. Pascal üçgeni, Binom açılımındaki
katsayıları bulmaya yarar. Pascal’ ın bu üçgeni olasılıklar kuramında da kullanılır.
Bilim Tarihi - Prof. Saraç, Celal - M EB Yayınevi 1983.
26
10.1.1.6. BİNOM TEOREMİNİ AÇIKLAMA VE AÇILIMDAKİ KATSAYILARI PASCAL
ÜÇGENİ İLE İLİŞKİLENDİRME
Uçurtmamım kuyru­
ğunda hangi iki terimin
kaçıncı kuvvetinin
açılımındaki terimler
yazılıdır?
—
J l
İNCELEYEREK ö ğ r e n e l i m
-------------------------
Binom teorem i: x, y e fR ve n e [N olmak üzere;
(x + y)n = ( n) xn + ( n) xn-1 y + ... + ( n) xn-r yr + ... + ( ^
) xyn-1 + ( n) yn dir.
İspat: (x + y)n açılımını Pascal özdeşliğine göre ifadesini yazalım.
(x + y)n = 1. xn y0 + ★ xn-1 y + ^ x n-2 y2 +...+ ★ x yn-1 + 1 . x0 yn dir.
Pascal üçgeninden, ★ yerlerine yazılacak katsayıların sıra ile 1, n,
olduğunu biliyoruz.
n\
n(n-1)
/m
1.2
3/
n (n-1)
n (n-1) (n-2)
1.2
1.2.3
n (n-1) (n-2)
-, ... olduğundan bu açılım;
1.2.3
n-2 y2
y2 +
. ... + ( n) xn-r yr + ... + ( n- 1) xyn" i
(x + y)n = (0 ) x" + ( n) xn-1 y + (2 ) xn-2
biçiminde yazılır.
Bu açılımda;
Her terimde x ve y’ nin üsleri toplamı n olur.
Terim sayısı n + 1’ dir.
n
Baştan (r + 1) inci terim ( r ) xn-r yr dir. Bu terime genel terim de denir.
Katsayıları ( n), (n ),(2),..., ( n), . ..,( n) ’dir. Bu ifadelere Binom katsayıları denir.
Baştan ve sondan aynı uzaklıktaki terimlerin katsayıları Pascal üçgeninin satırlarında olduğu gibi
aynıdır.
Katsayılar toplamı x = y = 1 yazılarak bulunur.
n
n
n
x = y = 1 ^ (1 + 1)n = ( ) + ( )1+ ( )■
0
1
2 + ."+ ( n-1 1+
= 2n dir.
ÖRNEK
(x -2 y )8 açılımında x2 y6 lı terimin katsayısını bulalım.
Çözüm
Verilen açılımda, n = 8 ve y’ nin kuvveti 6’dır. Bu terim baştan yedinci terimdir. Pascal üçgenine
göre, bu terim
8 (8 - 1) (8 - 2) (8 - 3) (8 - 4) (8 - 5)
1.2.3.4.5.6
27
. x2 . (-2y)6 şeklinde yazılır. Buradan,
8 7 6 5 4 3
' _ J
* . x2 . 64 . y6 = 1792 x2y6 bulunur.
1 .2 .3 .4 .5 .6
"
"
ÖRNEK
1 \9
x +— - ) açılımında sabit terim varsa bu terimi bulalım.
x2
Çözüm
/
1 \9
Cx +— 2 j açılımında sabit terim varsa bu terim k . x0 = k’dir.
k . x0 terimi k . xp . (x-2)r = k . xp - 2r şeklinde yazılabilir (r, p e İN).
Bu terimde p - 2r = 0 ^ p = 2r dir. p + r = 9 ^ 2r + r = 9 ve
r = 3’tür.
r = 3 ^ p = 2r = 2 . 3 = 6 ve k . x0 = k . x6 . (x-2)3 = k . x6 . x - 6 = k .x0 = k olur.
Bu terim baştan 4. terimdir. Pascal üçgenine göre,
„
n=9^
9(9 - 1)(9 - 2)9 3 . 8 4 . 7
n/iuı
„ ------ = ------- . .
= 84 bulunur.
1. 2. 3
1. 2 . 3
1 \9
x +— 2 j açılımında sabit terim vardır. Bu terim k = 84’tür.
x2
—
1.
ALIŞTIRM ALAR
Aşağıdaki
noktalı yerleri doldurunuz.
a. Cx + -x-j açılımında baştan 3. terim ....
b. (x-y)n açılımında terimlerden biri kx5 y2 ise
c. (3x - y)5 açılımında katsayılar toplamı ....
n = .....,
k = ..
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a.
(x- 1)8 açılımında ortadaki terim 70x4 tür.
b. (x - 2)11 açılımında 11 terim vardır. Q
c. ^2x3 + y j
açılımında sabit terim 112’ dir. Q
3.
(x - 2)10 açılımında x6 lı terimin katsayısını bulunuz.
4.
(a - 2b)9 açılımında baştan 7. terimi bulunuz.
5.
(2x -y )9 açılımında 2. terimi bulunuz.
6.
(mx -2 y)6 açılımında katsayılar toplamı 216ise m kaçtır?
A. -2
B. 2C.4
28
D. 5
E. 6
ÜNİTE S O N U DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile yazılan rakamları farklı dört basamaklı sayılar­
dan ................tanesi 4 000’den büyüktür.
b. Birbirinden farklı; 3 matematik, 3 fizik ve 2 kimya kitabı, aynı türden kitaplar bir arada olmak
koşulu ile bir ra fa ..............değişik şekilde dizilir.
c. (2x - 3y)20 açılımında katsayılar toplam ı...............
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. P(n + 1, 2) = 6 ise n = 2’dir.
b. ^x2 + y >
açılımında sabit terim yoktur. Q
c. A = {K, L, M, N} kümesinden 2; B = {A, E, İ, U, Ü} kümesinden 3
harf seçilerek
birbirindenfarklı
anlamlı ya da anlamsız 5 harfli 4800 kelime yazılır. Q
3.
P(n, 5) = 20 . P(n, 3) ise n değeri kaçtır?
A. 5
4.
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
Bir düzlemde 8 nokta veriliyor. Bu noktalardan 4’ ü doğrusal ise bu 8 noktanın kaç üçgen belirttiğini
bulunuz.
5.
/ 3
1 \ 10
(x 3 + —açılımında sabit terim kaçtır?
A . 90
6.
8.
E. 210
B. 40
C. 36
D. 32
E. 30
D. 6
E. 5
1 \8
^x +— -> açılımında ortadaki terimi bulunuz.
8 .(n > = P(n,3) ise n kaçtır?
B. 8
C. 7
Bir okulda 3’ ü bayan 7 matematik öğretmeni vardır. Bu 7 matemetik öğretmeni arasından oluşturu­
lan 4 kişilik sınav komisyonlarından kaç tanesinde en az bir bayan öğretmen vardır?
A. 34
10.
D . 180
t ?
A. 9
9.
C . 120
Bir sınavda sorulan 8 sorudan 5 ine cevap verilmesi isteniyor. İlk üç sorudan en az ikisinecevap
vermek koşulu ile 5 soru kaç farklı biçimde seçilir?
A. 48
7.
B . 110
B. 36
C. 40
D. 42
E. 48
Bir kalem kutusunda 5’ i tükenmez olmak üzere, 12 kalem vardır. Bu kutudan en az biri tükenmez
kalem olmak koşulu ile 3 kalem kaç farklı şekilde seçilebilir?
A . 220
B . 210
C . 185
29
D . 180
E. 175
r
Olasılığın Tarihçesi
Önceleri gelecekte ne olacağını tahmin etme (gaipten haber verme), doğa
olaylarını yorumlama ve şans oyunları gibi olaylar olan olasılığın, olasılık kuramı
olarak matematikte yerini alması 17. yüzyılın ortalarına rastlar.
Blaise Pascal (1623 - 1662) kendisine sorulan bir şans oyunu sorusunu çöz­
mekle yetinmeyip bu konuda çalışmış ve çalışmalarını çağdaşı Pierre de Fermat
(1601-1665) ile mektuplaşarak paylaşmıştır. Sonunda matematiğin önemli bir
dalı olan olasılık kuramını ortaya çıkarmıştır. Böylece, olasılık, şans oyunlarını
uygulama alanını aşarak bilim, ekonomi, spor, bankacılık, sigortacılık, endüstri
ve kalite kontrol gibi birçok alanda kullanılmaya başlanmıştır.
Hollandalı Matematikçi Christiaan Huygens (1629 - 1695),
Fransız Matematikçi Pierre - Simon Lablace (1749 - 1827),
İngiliz Matematikçi Augustus De Morgan (1806 - 1871),
Rus Matematikçi Andrei Andreyevich Markov (1856 - 1922), olasılık kuramı­
nı geliştiren ünlü matematikçilerdir.*
*
[(Mantık, Matematik ve Felsefe, IV. Ulusal Sempozyumu Foça, 5, 8 Eylül
2006), Olasılığın Temelleri (Timur Karacay - Başkent Üniversitesi)]
f
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Koşullu olasılığı örneklerle açıklamayı öğreneceğiz.
2. Bağımlı ve bağımsız olayları örneklerle açıklamayı öğreneceğiz.
3. Bileşik olayların olasıklarını hesaplamayı öğreneceğiz.
30
C vl
10.2.1. KOŞULLU OLASILIK
10.2.1.1. KOŞULLU OLASILIĞI ÖRNEKLERLE AÇIKLAMA
A
BİLGİ
Bir örnek uzayında iki olay A ve B olsun. A olayının çıkanları B olayının çıkanlarına bağlı ise bu
olaylara, bağımlı olaylar denir. B olayına bağlı A olayının olasılığına da A olayının koşullu ola­
sılığı denir. Bu olasılık P(A\B) biçiminde yazılır.
P(A n B ) ;
P(B) > 0 ve A nB t 0 için B koşuluna bağlı A’ nın olasılığı P(A\B) =
’dir (Şekil - 1).
P(B)
B, A’ nın bir alt kümesi ise BnA = B’dir. B’ nin olduğu zaman A da olur.
P(A\B) =
P (A n B)
P(B)
P(B)
P(B)
= 1 ’dir (Şekil - 2).
A ve B ayrıksa A nB = 0 ’ dir.
P(A\B) =
P(A n B)
P(B)
o
p
(B)
= 0’dır (Şekil - 3).
E
AnB = B
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
İki zarın atılması deneyinde, zarlarda gelen sayıların toplamı 6 olduğu bilindiğine göre zarlardan
birinde 2 gelme olasılığını bulalım.
Bu deneyde, örnek uzay E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6} x { 1, 2, 3, 4, 5, 6} ve s(E) = 36’ dır.
Zarlarda gelen sayıların toplamının 6 olması B; zarların birinde 2 gelmesi olayı da Aolsun.
B = {(1, 5), (5, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 3)},
A = {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (1, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} ve AnB = {(2, 4), (4, 2)}
olduğundan,
P(AnB) = ■2 , P(B) = -5 r
36
36
2
P(A\B) =
P(A n B)
P(B)
36"
“ _5_
ÖRNEK
2 36 _ 2
36 . 5
5 ir.
36
Bir sınıftaki öğrencilerden 15’ i mandolin, 8’ i flüt ve 5’ i de hem mandolin hem flüt çalmasını bil­
mektedir. Bu sınıftan rastgele bir öğrenci seçiliyor.
a. Bu öğrenci mandolin çalıyorsa, flüt de çalma olasılığını bulalım.
b. Bu öğrenci flüt çalıyorsa mandolini de çalma olasılığını bulalım.
Çözüm
a. Mandolin çalan öğrenciler M, flüt çalan öğrenciler F olsun.
e
F
M
s(M) = 15 , s(F) = 8 ve s(MnF) = 5’tir.
Mandolin çalan öğrencinin flüt de çalma olasılığı;
31
3
_5_
18
5
18
1 ....
(
15 " 1 8 ' 15 " 3 Ur'
18
FlUt çalan öğrencinin mandolin çalma olasılığı;
P(F n M)
)"
P(M)
"
_5_
D/nüvm
P(F + M)
18
5
18
5 ,
b. p(M\ F) = - p ^ F p = x
= i ğ . i f = -8 dir'
18
Teorem: E bir örnek uzay, AcE, BcE, P(B) > 0 ve A nB * 0 için A’ nın B koşullu olasılığı,
s(A n B)
E
P(AXB) = “ İ K İ T ^
s (A n B)
İspat: Şekle göre, P (A n B) = —— — ve P (B )=
s (E)
s (A n B)
P(A n B)
P(A\B) =
P(B)
’
s (E)
v '
s(B)
P(A\B) =
s (E)
s(B)
s (E)
ÖRNEK
21 kişilik bir’turist kafilesinde 14 kişi İngilizce, 10 kişi Almanca, 6 kişi de her iki dili bilmektedir. Bu
kafileden rastgele seçilen bir kişinin İngilizce bildiği biliniyor. Bu kişinin Almanca da bilen biri olma ola­
sılığını bulalım.
Çözüm
İngilizce bilenler kUmesi İ, Almanca bilenler kUmesi A olsun.
s(İ) = 14, s(A) = 10 ve s(İnA) = 6 olduğundan,
A olayının İ koşullu olasılığı;
P(A\İ) =
P(İnA) ______
s(İnA)
6
3
v
' = — = — bulunur.
P(İ) " s(İ) " 14
ÖRNEK
40 kişilik bir sınıftaki öğrencilere hafta sonun­
da okulda matematik kursunun açılmasını isteyip
İsteyen (A)
İstemeyen (B)
Toplam
Kız (K)
5
13
18
bir öğrencinin erkek olduğu biliniyor. Bu öğrencinin
Erkek (E)
10
12
22
kursa katılmak isteyen bir öğrenci olma olasılığını
Toplam
15
25
40
istemedikleri sorulmuş ve yandaki tabloda verilen
sonuçlar elde edilmiştir. Bu sınıftan rastgele seçilen
bulalım.
Çözüm
Aradığımız olasılık P(A\E) koşullu olasılığıdır.
s(S) = 40, s(AnE) = 10 , P(E) = 4 0 , P(AnE) = ^4|0
P(A\E) =
P(A n E)
P(E)
40
22
40
İ0
40
40
22
22
11
32
’ dir.
ÖRNEK
2
1
E örnek uzayında iki olay A ve B’dir. P(Bı) = — , P(AnB) = — ise A’ nın B koşullu olasılığını
[P(A\B)] bulalım.
Çözüm
T
2
2 3
P (A n B ) 4 1 5 5
P(B') = 2 ^ P(B) = 1 - 2 = 4 ’tir. P(A\B) = vn /r,x ’ = - 4 = - 1 . ^ =
v ’
5
v ’
5
5
P(B)
^3
4
Olasılıkta Çarpım Kuralı
Teorem
bulunur.
3
12
5
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) > 0, P(B) > 0 ise P(A ve B) = P(A). P(A\B)’dır.
İspat
P(A n B)
B olayının A koşullu olasılığı, P(B\A) = — p - ^ — ’dır.
Bu eşitlikten, P(AnB) = P(A) . (B\A) elde edilir.
O hâlde, P(A ve B) = P(A) . P(B\A) olur.
ÖRNEK
Bir torbada 7’ si beyaz 4’ ü siyah olmak üzere, 11 bilye vardır. Bu torbadan rastgele iki bilye çekiliyor.
a. Çekilen iki bilyenin de beyaz olma olasılığını bulalım.
b. Çekilen bilyelerden birinin beyaz, diğerinin siyah olma olasılığını bulalım.
Çözüm
a.
I. Yol: Bilyeler teker teker çekildiğinde, ilk çekilişte beyaz bilye çekme olayı A ise s(A) = 7 ve
örnek uzay s(E) = 7 + 4 = 11 olduğundan
s(A)
7
P(A) = ^
= T T ’dirİkinci çekilişte de beyaz bilye çekme olayı B ise s(B) = 7 - 1 = 6 ve örnek uzay da E1 ise
s(E1) = 11 - 1 = 10’ dur. Bu durum da B’ nin A koşullu olasılığı, P(B\A) =
s (B)
6 3
) = —— = — olur.
s (E 1)
10 5
İki çekilişte de beyaz bilye çekilme olayının olasılığı,
P(A ve B) = P(A) ■P(RA) = T T T 0 = 1 - 1 = l H olur.
II.
Yol: Torbadaki bilye sayısı 7 + 4 = 11’ dir. Bu torbadan iki bilye çekileceğinden, örnek uzayın
eleman sayısı s(E) = (
) ’ dir. {B 1, B2, B3, B4, B5, B6, B7} kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı
2 ) ’ dir. O hâlde çekilen iki bilyenin ikisinin de beyaz olma olasılığı
(2)
7
16
2 = 4 2. _ 2 _ = 21 ’tir
10
2 110
55
b.
I Yol: Birinci bilyenin beyaz olma olasılığı P(A) = T ı ’dir. İkinci bilyenin siyah olması olayı C
olsun. C’ nin A koşullu olasılığı,
P(C\A) = ■10’dur. Buna göre,
P(A ve C )= P(A) . P(CXA) = t t
4
= "ît
İ
=
İr»
33
Birinci çekilişte siyah,ikinci çekilişte
beyaz olma
olasılığı da,
4 7
28
14
P(S ve B) =——■— = — — = — olduğundan, torbadan çekilen iki bilyenin birinin beyaz birinin siyah
11 10
110
55
olma olasılığı, bulunan olasılıkların toplamına eşittir.
14
55
14
55
28
bulunur.
55
II. Yol: Çekilen bilyelerin biri beyaz, diğeri siyah istendiğinden, 7 beyaz bilyeden 1 bilye ( 1 j farklı
biçimde, 4 siyah bilyeden 1 bilye ( 4 j farklı biçimde seçilir. Biri beyaz diğeri siyah olan ikili bilyelerin sayısı
7 j .( 1 j olur. Tüm ikili bilyelerin sayısı (
olma olasılığı:
7 4
1 1
j olduğundan, çekilen iki bilyenin birinin beyaz diğerinin siyah
74
28 . .
— = — bulunur.
55
55
( )
ÖRNEK
İki torbadan birine 1'den 9'a kadar, ikincisine de 1'den 6'ya kadar rakamlar kartlara yazılarak konu­
luyor. Bu torbalardan biri rastgele seçiliyor.
a. Seçilen torbalardan alınan kartta tek sayı olma olasılığını bulalım.
b. Çekilen karttaki sayı tek ise bu kartın 1. torbadan çekilmiş olma olasılığını bulalım.
Çözüm
a.
Çekilen karttaki sayının tek olma
olayı A olsun.
I. Yol
• 1. torbanın seçilme olayı B ise
1
P(B) = j ’ dir.
5
1. torbadaki 9 sayının 5 tanesi tek sayı olduğundan, A’ nın B koşullu olasılığı P(A\B) = — ’ dur.
9
P(AnB) = P(B) . P(A\B) =
= A
’ dir.
• II. torbanın seçilme olayı C ise P(C) = -1 ’dir.
3
• II. torbadaki 6 sayının 3 tanesi tek sayı olduğundan A’ nın C koşullu olasılığı P(A\C) = — ’dır.
P(AnC) = P(C) . P(A\C) = ^ - 3 = - 3 = | ’tür.
A olayının olasılığı bulunan olasılıkların toplamıdır.
P(A) = P(AnB) + P(AnC) = P(B) . P(A\B) + P(C) . P(A\C)
=1 A + 1 3 = A . + 1
= 2 9
2 6
18
4
10 + 9
19 . .
= —— bulunur.
36
36
34
II. Yol
Ağaç diyagramı ile olasılığı hesaplayalım.
Tek ya da çift sayı
olma olasılıkları
1 5
2 9
1 1.
2'6
19.
36
Yukarıdaki diyagramda, torbaların seçilme, çekilen karttaki sayının tek ya da çift olma olasılıkları
dalların Uzerlerine yazılmıştır.
1 5
5
• T’ye l’den geçerek ulaşmada dallardaki olasılıkların çarpımı
= 1 8 ’ dir.
• T’ye ll’ den geçerek ulaşmada dallardaki olasılıkların çarpımı
1
3
1
= -4 ’tür.
• A olayının olasılığı da P(A) = -1 -5 + -1 -3 =
+ 1 = -1 9 bulunur.
2 9
2 6
18
4
36
b. Çekilen tek sayının I. torbadan çekilme olasılığı P(l) olsun.
P(A n B)
=
P(A n B) + P(A n C) =
1 5
2 9
—
= 1 8 1 = _5_ 36^
1 _3_ = 19 = 18 19
2
2 '6
36
1 0 bulunur.
19
ALIŞTIRM ALAR
1.
3
1
E örnek uzayında iki olay A ve B’dir. P(A') = 7 , P(AnB) = — ise P(B\A)’ nı bulunuz.
2.
10 - A sınıfında 12 kız 28 erkek, 10 - B sınıfında 16 kız 24 erkek öğrenci vardır. Rastgele seçilen
bir öğrenci kız ise bu öğrencinin 10 - A sınıfından seçilmiş olma olasılığını bulunuz.
3.
Bir çift zar atılıyor. Zarlardan herhangi birinin 5 geldiği bilindiğine göre zarlarda okunan sayıların
toplamının 8 ya da daha bUyUk olma olasılığını bulunuz.
4.
Bir torbada 4 mavi, 5 kırmızı; ikinci bir torbada 4 kırmızı 5 mavi bilye vardır.
a. 1. torbadan bir bilye alınıp rengine bakılmadan 2. torbaya atılıyor. Daha sonra 2. torbadan bir
bilye çekiliyor. Bu bilyenin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
b. 1. torbadan bir bilye çekilip ikinci torbaya atılıyor. Daha sonra ikinci torbadan bir bilye çekilip
birinci torbaya atılıyor. Buna göre sonuçta ilk durumu elde etme olasılığını bulunuz.
35
10.2.1.2. BAĞIMLI VE BAĞIMSIZ OLAYLARI ÖRNEKLERLE AÇIKLAMA; GERÇEKLEŞME
OLASILIKLARINI HESAPLAMA
E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. P(A) > 0, P(B) > 0 için B olayının gerçekleşip gerçekleşmemesinin A olayının gerçekleşmesi olasılığına bir etkisi yoksa A ve B olaylarına bağımsız olaylar denir.
in celeyer ek ö ğ r e n e lim
Bir madenî parayı iki kez üst üste attığımızda 1. atışta paranın yazı gelmesi olayı A; ikinci atışta
da paranın yazı gelmesi olayı B olsun. 1. atışta paranın yazı gelmesi ikinci atışta da paranın yazı
gelmesini etkilemez. Bu deneyde A ve B olayları bağımsız olaylardır. Bu olayların olasılıkları
P(A) = -1 ve P(B) = 2 'dir.
Koşullu olasılıkta çarpım prensibine göre, P(APı B) = P(A) . P(B\A) olduğunu biliyoruz. A ve B
olayları bağımsız olduğunda,
P(B\A) = P(B) ve P(A\B) = P(A) dır.
O hâlde, P(APı B) = P(A) . P(B/A) = P(A) . P(B) olur.
Bu deneyin örnek uzayı E = {YY, YT, TY, TT}'dir. Örnek uzayı Venn şeması ile olasılıkları da
ağaç diyagramı ile gösterelim.
Y ^ YY ^ 4 -.-1 = -v’tür.
2 2
E
T ^ YT
T
Y
•
Y
Y
•
Y ^ TY
T
T
•
Y
T
•
T ^ TT
P(A ve B) = P(A) . P(B) = 1 - 2 = j 't ü r .
ÖRNEK
Bir zar ile bir madenî para birlikte atılıyor. Zarın 6 ve paranın tura gelme olasılığını bulalım.
Çözüm
Paranın tura gelmesi ile zarın 6 gelmesi olayları bağımsız iki olaydır.
Zarın 6 gelmesi olayı A ise P(A) = -6- ve
paranın tura gelmesi olayı B ise P(B) = -1 ’dir.
P(AHB) = P(A) . P(B) = -6-.-2 =
bulunur.
36
ÖRNEK
Bir pil kutusundaki piller arasında 2 kalem pil vardır. Bu kalem pillerden herhangi birinin bitik olma
jsılığı -t1 -’tir. Her iki pilin de bitik olma olasılığını bulalım.
25
Çözüm
Bu deneyde 1. pilin bitik olması olayı A; 2. pilin bitik olma olayı da B olsun. P(A) = — ve P(B) = — ’tir.
25
25
A ve B olayları bağımsız olduğundan,
P(A n B) = P(A) . P(B) =
v
’
w w
= 0,0016’dır.
25 25
100 100
10 000
Bağımlı Olaylar
d f * BİLGİ
Bir E örnek uzayında iki olay A ve B olsun. A olayının gerçekleşmesi B olayının gerçekleşmesini
etkiliyorsa, A ile B olaylarına bağımlı olaylar; B olayının da A olayına bağlı olay denir.
ÖRNEK
Bir torbada, 5 beyaz 4 siyah bilye vardır. Torbaya geri atmama koşulu ile arka arkaya çekilen iki
bilyeden birincisinin beyaz ikincisinin de siyah olma olasılığını bulalım.
Çözüm
5
İlk çekilen bilyenin beyaz olması olayı A ise P(A) = Tr’dur.
9
4
İkinci çekilen bilyenin siyah olma olayı B ise torbada 8 bilye kaldığından,P(B) = —’dir. Buna göre,
8
P(AnB) = P(A) . P(B) = - I --4 = I "-1 = ^ ’ dir.
v
’
v ’
v ’
9 8
9 2
18
Bu deneydeki olaylardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini etkilediğinden bu olaylar
bağımlı olaylardır.
Eğer ilk çekilen bilye torbaya atılarak ikinci bilye çekilseydi olaylar bağımlı değil, bağımsız olurdu.
5 4
20
Bu durumda çekilen bilyelerin birinin beyaz diğerinin siyah olmasının olasılığı da — .— = — olurdu.
ÖRNEK
1
2
İki kişiden l . ’ nin hedefi vurma olasılığı — , 2.’ nin hedefi vurma olasılığı —’dir. Bu kişiler hedefe atış
3
7
yaptıklarında hedefin vurulma olasılığını bulalım.
Çözüm
1
2
l . ’ nin hedefi vurma olayı A ise P(A) = — , 2.’ nin hedefi vurma olayı B ise P(B) = —’dir. Hedefe atış
3
7
yapıldığında hedefin vurulma olasılığı P(AUB)’ dir.
l . ’ nin hedefi vurma olayı, 2 .’ nin hedefi vurma olayından bağımsızdır.
P(AnB) = P(A) . P(B)’ dir.
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB) = P(A) + P(B) - P(A) . P(B)
=
12
7 + 6 + (-2)
11
1 2
+ ^ — ' "t " = ------- ^ -------= ^ r bulunur.
3 +7 3 7
21
21
(7) (3)
37
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kağıdı, bir madenî para, bir zar, kalem.
• Madenî parayı ve zarı ayrı ayrı atınız. Para atma deneyinde paranın yazı gelme olayı A, zar atma
deneyinde de zarın 2 gelme olayı B olsun.
• P(A), P(B) ve P(A) . P(B) değerlerini bulunuz.
• Madenî para ile zarı birlikte atınız. Bu deneyin örnek uzayını liste yöntemi ile yazınız.
• P(AnB) olasılığını bulunuz.
• P(AnB) ile P(A) . P(B) sonuçlarını karşılaştırınız.
• A ile B olayları bağımsız mı?
—
1.
A L IŞ T IR M A L A R ----------------------------------------------------------------
İki tebeşir kutusundan l. sinde 3’ U kırmızı 8 tebeşir, ll. sinde 2’ si kırmızı 5 tebeşir vardır. Rast­
gele seçilen bir kutudan bir tebeşir alınıyor. Buna göre;
a. Alınan tebeşirin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
b. Alınan tebeşir kırmızı ise bu tebeşirin l. kutudan alınmış olma olasılığını bulunuz.
2.
10 kişilik bir’turist grubundaki’turistlerin 3’ U Alman’dır. Bu gruptan seçilen 3 kişinin Alman olma­
ma olasılığını bulunuz.
3.
Bir sınıfta 18 erkek ve 8 kız öğrenci vardır. Bu sınıftan 3 öğrenci art arda seçiliyor. Bu öğrenci­
lerin ilk ikisinin erkek, UçUncUsUnUn kız olma olasılığını bulunuz.
4.
3
1
İki avcıdan l.’ nin hedefi vurma olasılığı —, ll.’ nin hedefi vurma olasılığı da —’ dir. Bu avcılar
hedefe atış yaptıklarında hedefin vurulma olasılığını bulunuz.
5.
3
5
Ayşe’ nin sınavı kazanma olasılığı — , Tülin’ in sınavı kazanma olasılığı —’ dir. Buna göre;
8
7
a. En az birinin sınavı kazanma olasılığını bulunuz.
b. Yalnız TUlin’ in sınavı kazanma olasılığını bulunuz.
6.
Üç kalem kutusundan 1. sinde 2 kırmızı, 3 mavi; 2. sinde 3 kırmızı, 1 mavi; 3. sUnde 1 kırmızı,
4 mavi kalem vardır. Bu kalem kutularından biri seçiliyor ve içinden bir kalem alınıyor. Alınan
kalemin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
7.
Bir zar art arda iki kez atılıyor. Birincisinde gelen sayının ikincide gelen sayıdan bUyUk olma
olasılığını bulunuz.
8.
İki torbadan 1. sinde 3 kırmızı, 2 mavi ve 5 beyaz bilye vardır. 2. torbada 2 kırmızı, 3 beyaz
bilye vardır. Bir zar atılıyor. Atılan zarda 3 ten kUçUk gelirse 2. torbadan, 2’ den bUyUk gelirse 1.
torbadan bir bilye çekiliyor. Çekilen bilyenin kırmızı olma olasılığını bulunuz.
38
10.2.1.3. BİLEŞİK OLAYLARIN OLASILIKLARINI HESAPLAMA
Menüye göre;
Izgara, ayran ve yemek
sonu yiyeceklerden birini seç­
me olasılığım kaçtır?
MENÜ
Yiyecek
İçecek
Yemek Sonu
Yiyecek
Izgara
Ayran
Dondurma
Pide
Meyve Suyu
Meyve
Pizza
-
Kurabiye
BİLGİ
Bir deneyde bir ya da daha çok çıktının kümesi bir olaydır.
Bir deneyin sadece bir çıktısının kümesi basit olay; birden çok çıktısından oluşan küme de bileşik olaydır.
Örneğin, bir zar atma deneyinde 2 gelmesi basit olay, tek sayı gelmesi bileşik bir olaydır.
ÖRNEK
Bir grup insana organ naklini destekleyip desteklemedikleri hakkında görüşleri sorulduğunda, bir
kısmı desteklediğini bir kısmı da karşı olduğunu belirtiyor. Bu gruptan iki kişiye organ nakli ile ilgili görü­
şü sorulduğunda oluşan durumları Venn şeması ve ağaç diyagramı ile gösterelim. Basit ve bileşik birer
olay yazalım.
Çözüm
Organ naklini destekleyen D, karşı çıkan da K olayı olsun.
Örnek uzayı Venn şeması ile olasılıkları da ağaç diyagramı ile gösterelim.
D^
E
DD
K K
K
•D •
D
D K
•D •
K^
DK
D^
KD
K^
KK
Bu deneyde A = {DD} olayı basit,
B = {DK, KD} olayı da bileşik bir
olaydır.
Ayran
Izgara
ÖRNEK
Yukarıda verilen menüye göre seçenekler yanda
ağaç diyagramı ile gösterilmiştir.
Diyagrama göre; Izgara, ayran, yemek sonu yi­
yeceklerden birinin seçilmesinin olasılığı:
1.1.3
18
3 = —
1 ^’dır.
—
18
6
Meyve
Suyu
Ayran
Pide
Meyve
Suyu
Ayran
Pizza
39
Meyve
Suyu
Dondurma
Meyve
Kurabiye
Dondurma
Meyve
Kurabiye
Dondurma
Meyve
Kurabiye
Dondurma
Meyve
Kurabiye
Dondurma
Meyve
Kurabiye
Dondurma
Meyve
Kurabiye
ÖRNEK
Murat ve Cem 100 metre yarışı yapıyorlar. Murat’ ın yarışı kazanma olasılığı % 60, Cem’ in yarışı
kazanma olasılığı da % 40’tır. Bu kişiler 2 kez yarışıyorlar. Birinci yarışı Murat’ ın, ikinci yarışı da Cem’ in
kazanma olasılığını bulalım.
Çözüm
Murat ve Cem’ in yarışı kazanma olasılıkları; P(M) =
- = 3 ve P(C) = -i4 0 - - -İ-’tir.
100
100
M
M
Yandaki ağaç diyagramına göre,
C
P(m + C) - f f
P(M n C) = P(M) . P(C)
3 2 _ 6 ...
" 5 5
25 ir.
M
C
C
ÖRNEK
İlaçların yan etkileri olduğu gibi bazı ilaçların da insanlarda alerji yapma özellikleri vardır. Bir A ila­
cının bir hastada alerji yapma olasığılı -T0 ’ dur. Bu ilaç üç hastaya verildiğinde;
a. Olası durumları ağaç diyagramı ile gösterelim.
b. Üç hastada da alerji yapma olayı A ise P(A) değerini bulalım.
c. A' olayının olasılığını bulalım.
Çözüm
a. Hastalar Ht H2, H3 olsun. Aşağıdaki diyagramda noktalı yerleri doldurunuz.
I. Hasta (Ht )
I. Hasta (H2)
. Hasta (H3)
P(Ht H2, H3)
1C
1 1 1
1010'10
1
1000
P(Ht H2' H3 = - " r T r - n 0 = -Î0 0 0
10
729
P(H' t H'2, H'3) = - 0 - - 0 - 0 =
10 10 10
1000
b. p(A) = P(Hj n H2 n H3) = p(H") . p(H2) . p(H3) =
1 1 1
999
1
1
c. P(A)
'
olduğundan,
= 1-P(A)
= 1 - 1000
' „ v ’ = „1000
0
. P(A')
\ 1
\ >
40
-
1
’dir.
1000
999
„ ’ dir.
1000
ÖRNEK
Bir torbaya 1’den 12’ye kadar doğal sayılar aynı bUyUklUkteki kartlara yazılarak konuluyor. Bu tor­
badan rastgele bir kart çekiliyor.
a. Çekilen karttaki sayının 7’den bUyUk veya tek sayı olma olasılığını,
b. 7’den bUyUk veya 4’ten kUçUk bir sayı olma olasılığını,
c. 7’den bUyUk ve 4’ten kUçUk bir sayı olma olasılığını bulalım.
Çözüm
a. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9, 10, 11, 12} ^ s(E) = 12’ dir. Sayının 7’ den bUyUk olma olayı
A ise A = {8 , 9, 10, 11, 12} ve s(A) = 5’tir.
Sayının tek olma olayı B ise B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} ve s(B) = 6’ dır.
A nB = {9, 11} ve s(AnB) = 2’ dir.
P(A) = 152 , P(B) = -12 ve P(AnB) = 122 olduğundan,
P(AUB) = P(A) + P(B)
- P(AnB)
5 6
" 12 + 12
2
12 "
9
3
12 " 4
Ur'
b. Sayının 4’ten kUçUk bir sayı olma olayı C ise C = {1, 2, 3} ve s(C) = 3’ tUr.
A nC = 0 ’ dir. P(C) = -32 ve P(AnC) = 0’ dır.
P(AUC) = P(A) + P(C) - P(AnC) = -A - + - 3
- 0 = 12 = f
’ tUr.
c. 7’ den bUyUk ve 4’ ten kUçUk sayılar aynı anda oluşmaz.
A nC = 0 olduğundan, P(AnC) = 0’ dır.
ÖRNEK
Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır. Bu sınıfta kızların 7’si ve erkeklerin 8’ i FB’ lidir. Bu
sınıftan bir öğrenci rastgele seçiliyor. Seçilen öğrencinin kız veya FB li olma olasılığını bulalım.
Çözüm
Örnek uzay S ise s(S) = s(K) + s(E) = 12 + 18 = 30’ dur.
Seçilen öğrencinin kız olma olayı A ise s(A) = s(K) = 12’ dir.
Seçilen öğrencinin FB li olma olayı B ise s(B) = 7 + 8 = 15’ tir.
Aradığımız olasılık
P(A) =
,
AUB olayının olasılığıdır.
P(B) =
ve
P(AnB) = ■30 olduğundan,
P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AnB) = #
+f
- W
= §
= Ti ’“ r'
ÖRNEK
İki madeni para ile iki zar birlikte atılıyor. Paraların farklı, zarların aynı gelme olasılığını bulalım.
Çözüm
2
• Paraların farklı gelme olayı A ise P(A) = — ’tUr.
• Zarların aynı gelme olayı B ise P(B) = -36 ’ dır.
36
A ve B olayları bağımsızdır.
P(AnB) = P(A) . P(B) = - | . ^ 6 = ^ 2 ’dir.
41
A yrık İki Olayın Bileşik Olasılığı
Ayrık iki olayın bileşik olasılığı 0 (sıfır)’dır.
ÖRNEK
Bora ve arkadaşlarının hafta sonunda spor salonunda maç yapmak için okul idaresine yaptıkları
başvuruya ait iki olay:
A = Maç yapma başvurusunun kabul edilmesi,
B = Maç yapma başvurusunun kabul edilmemesi,
olsun. A ve B olayları ayrık olaylardır. A ve B olayının olasılığı P(A ve B) = 0’dır.
ÖRNEK
Bir zar atma deneyinde, A olayı tek sayılar ve B olayı da çift sayılar olsun.
E
A = {1, 3, 5}, B = {2, 4, 6}’ dır.
A ve B olayları ayrık olaylardır.
A ve B olayları birbirinin dışındadır.
A nB = 0 olduğundan P(AnB) = P(A ve B) = 0’dır.
—
1.
AnB = 0
A L I Ş T I R MA L A R ---------------------------------------------------------------
Erkek ve kadınlardan oluşan 100 kişinin Avrupa Birliğine (AB) girip girmeme konusundaki gö­
rüşleri sorulmuş ve sonuçlar aşağıdaki tabloda belirtilmiştir.
Tablo: AB’ye Girip Girmeme Konusundaki Görüşler
Cinsiyet
Destekliyor
Karşı Çıkıyor
Çekimser
Toplam
Kadın
37
5
8
50
Erkek
35
10
5
50
Toplam
72
15
13
100
Yukarıdaki tabloya göre aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. AB’ye karşı çıkanların olasılığı......................................................................................
b. AB’ye girmeyi destekleyen kadınların olasılığı...........................................................................
c. AB’ye girmeye karşı çıkan veya çekimser olanların olasılığı....................................................
2.
Bir tebeşir kutusunda 5’ i beyaz, 3’ ü kırmızı 8 tebeşir vardır. Bu tebeşir kutusundan rastgele
alınan iki tebeşirin ikisinin de beyaz olma olasılığını bulunuz.
3.
Turistik eşya satılan bir mağazanın sorumlusu, mağazasında satılmak üzere A, B ve C köylerin­
deki kadınlara parça iş yaptırıyor. Mağaza kayıtlarına göre ayda A köyünden 150, B köyünden
200 ve C köyünden de 100 parça yapılmış eşya alınıyor. Alınan ürünler mağazanın deposuna
konulurken A, B ve C köylerinde yaptırılan parça işlerin sırasıyla %4, %2 ve %5 inin defolu çık­
tığı tespit ediliyor. Bu depodan rastgele alınan bir parça işin;
a. Defolu çıkma olasılığını,
b. Sağlam çıkma olasılığını,
c. Eğer defolu ise bu parça işin A köyünde yaptırılmış olma olasılığını,
ç. Eğer sağlam ise bu parça işin A köyünde yaptırılmış olma olasılığını bulunuz.
4.
Bir çift zar atılıyor. Zarlarda gelen sayıların her ikisinin de tek sayı olduğu bilindiğine göre, gelen
sayıların toplamının 6 olma olasılığını bulunuz.
42
ÜNİTE S O N U DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
Bir torba içinde aynı büyüklükte 6 mavi, 5 beyaz bilye vardır. Bu torbadan art arda 2 bilye çekiliyor.
a. Çekilen bilyelerin ikisinin de mavi olma olasılığı .............................................
b. Çekilen bilyelerin birinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı ............................
c. İlk çekilen bilyenin mavi, ikincinin beyaz olma o laslığı..................................
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
Bir torbada 4 beyaz, 5 mavi, 6 kırmızı bilye vardır. Çekilen bilye torbaya atılmamak koşulu ile tor­
badan rastgele art arda 3 bilye çekiliyor.
4
a. Çekilen 3 bilyenin 3’ ünün de kırmızı olma olasılığı — ’dir.
3
b. İlk ikisinin mavi ve üçüncüsünün kırmızı olma olasılığı — ’ dir. Q
c. 2 sinin mavi, birinin beyaz olma olasılığı -J1 ’dir. Q
45
ç. 3 bilyeden birinin mavi olma olasılığı — ’ dir. |_
3. 2. soruda verilenlere göre,
a. 3 bilyeden en az birinin mavi olma olasılığını bulunuz.
b. Bilyelerin farklı renkte olma olasılığını bulunuz.
4.
Bir çorap üretim atölyesindeki iki makineden I. si çoraplarını %60’ ını, II. si de %40’ ını üretmektedir.
I. makinenin ürettiği çorapların % 6’sı, II. makinenin ürettiği çorapların %4’ ü defolu çıkmaktadır.
Rastgele seçilen bir çorabın defolu olduğu biliniyor. Bu çorabı I. makinenin üretmiş olma olasılığını
bulunuz.
5.
Bir torbada her çifti ayrı renkte 8 çift çorap vardır. Bu torbadan rastgele alınan 2 çorabın bir çift oluş­
turma olasılığı kaçtır?
A. 1
8
B. 1
4
C. —
15
D. —
16
E. —
3
6. Bir torbada eşit sayıda mavi ve beyaz bilye vardır. Bu torbadan geri konulmamak üzere art arda
4
çekilen iki bilyenin ikisinin de mavi olma olasılığı ^ 7 olduğuna göre, ilk durumda torbadaki bilye
sayısı kaçtır?
A. 34
7.
B. 30
C. 28
D. 20
E. 18
Bir kutuda bulunan 10 tebeşirin 3’ ü kırmızıdır. Bu kutudan arka arkaya gelişigüzel 2 tebeşir alınıyor.
Bu iki tebeşirin ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?
A. —
15
B. —
12
C. —
9
D. —
10
E. —
15
8. Bir torbada üzerlerinde 1, 2, 2, 3 yazılı 4 kart, ikinci bir torbada da üzerlerinde 1, 1, 2, 2, 2, 3 yazılı
6 kart vardır. Her iki torbadan birer kart çekiliyor. Kartlardaki sayıların aynı olma olasılığını bulunuz.
43
II. BOLUM: SAYILAR VE CEBİR
FONKSİYONLARLA İŞLEMLER VE UYGULAMALAR
F o n ksiyo n la rın Tarihsel G e lişim i
Fonksiyonlar, 17. yüzyıldan beri matematiğin dallarından biri olarak yerini almıştır. Fonksiyon, ku­
ralının bir denklemle, değişkeninin farklı değerlerine karşılık gelen değerlerinin tabloda gösterimiyle
ve analitik düzlemde de göze hitap eden temsili ile ifade edilir.
Fonksiyonlarla ilgilenen matematikçiler; Alman Filozofu Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716),
İsviçreli Matematikçi Leonhard Euler (1707 - 1783), Alman Matematikçi Carl Fredric Gaus (1777 1855), Alman Matematikçi, Bernhard Riemann (1826 - 1866)'dır. Fonksiyonlar teorisi ile ilgili önemli
kitaplardan biri Fransız Matematikçi C. Jordan'ın (1838 - 1922). Analiz Kursu; diğeri İtalyan Matema­
tikçi U. Dini'nin (1845 - 1918) Reel Değişkenli Fonksiyonlar Teorisinin Esasları kitabıdır. Bu kitapla
1878 yılında fonksiyonlar teorisi serbest bilim dalı olarak ayrılmıştır. O günden bu güne matematikte
bu müfredat kabul edilmiştir.*
* (Kastamonu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi Eğitim Dergisi 2006)
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Bir fonksiyonun grafiğinden simetri dönüşümleri yardımı ile yeni fonksiyon grafikleri çiz­
meyi, tek ve çift fonksiyonların tanımlarını, bu tür fonksiyonların hem cebirsel ifadesi
hem de grafiğinin simetri özelliklerini ve geometri yazılım programları ile ilgili bilgi ve
iletişim teknolojilerinden yararlanmayı öğreneceğiz.
2. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonlarını kullanarak f + g, f - g, f . g ve
"~g" fonksiyonlarını elde etmeyi, elde edilen f + g, f - g, fonksiyonları ile başlangıçtaki
f ve g fonksiyonlarını karşılaştırarak incelemeyi ve ilişkileri grafiksel olarak açıklamayı
öğreneceğiz.
3. Fonksiyonlarda bileşke işlemini açıklamayı, bileşke işleminin cebirsel ve grafik göste­
rimlerini, fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliğinin olduğunu, değişme özelli­
ğinin olmadığını, öğreneceğiz.
4. Bir fonksiyonun bileşke işlemine göre tersinin olması için gerekli ve yeterli şartları belir­
lemeyi, bir fonksiyonun tersini bulmayı, grafiği verilen bire bir ve örten fonksiyonun gra­
fiğini çizmeyi, bir fonksiyonun tersinin grafiğinin y = x doğrusuna göre simetrik olduğunu
göstermeyi öğreneceğiz.
5. Fonksiyonlarla ilgili uygulamalar yapmayı öğreneceğiz. Grafiğin x ve y eksenlerini kes­
tiği noktaları, fonksiyonun pozitif, negatif, artan ve azalan olduğu aralıkları belirlemeyi,
grafik veya tablo ile verilen bir fonksiyonun belli bir aralıktaki ortalama değişim hızını
hesaplamayı öğreneceğiz.
44
CD
10.3.1. FONKSİYONLARIN SİMETRİLERİ VE CEBİRSEL ÖZELLİKLERİ
1 0 .3 .1.1 b i r f o n k s i y o n u n g r a f i g i n d e n , s i m e t r i d ö n ü ş ü m l e r i y a r d I M I i l e
YENİ FONKSİYON GRAFİKLERİ ÇİZME
Satranç oyununu bilmiyorsanız, öğreniniz. Bu oyunda kalenin hareketi bir ötelemedir.
y = f(x) = x n (n E Z ) Biçim indeki Fonksiyonun y = f(x ) + b Dönüşümünün Grafiği
BİLGİ
—
f : R ^ R, f(x) = xn + b fonksiyonunun grafiği, y = f(x)= xn fonksiyonunun grafiğinin y ekseninin
pozitif yönde b br ötelenmiş biçimidir (b > 0).
Verilen f fonksiyonunda (x, y) yerine (x, y - b) yazılırsa f fonksiyonunun y ekseninin pozitif yönünde;
(x, y + b) yazılırsa, y ekseninin negatif yönünde b br ötelenmişinin kuralı bulunur.
ÖRNEK
f : R ^ R, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için
y = f(x) + 2 dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
Çözüm
• y = f(x) + 2 ^ y - 2 = f(x)’tir. y = f(x) kuralında y yerine y - 2 gelmiştir. Bu da f fonksiyonunun
grafiğinin y ekseninin pozitif yönünde 2 br ötelenmesidir.
Aşağıdaki 1. şekilde, f(x) = x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin pozitif yönünde
2 br ötelenmiştir. 2. şekilde, f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin pozitif yö­
nünde 2 br ötelenmiştir. 3. şekilde de f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve grafik y ekseninin pozitif
yönünde 2 br ötelenmiştir. İnceleyiniz.
ÖRNEK
f : R ^ R, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için
y = f(x) - 1 dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
Çözüm
• y = f(x) - 1 ^ y + 1 = f(x)’tir. y = f(x) kuralında y yerine y + 1 gelmiştir. Bu da f fonksiyonunun gra­
fiğinin y ekseninin negatif yönünde 1 br ötelenmesidir.
45
Aşağıdaki 1. şekilde, f(x) = x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin negatif yönünde
1 br ötelenmiştir. 2. şekilde, f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik y ekseninin negatif yö­
nünde 1 br ötelenmiştir. 3. şekilde de f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve grafik y ekseninin negatif
yönünde 1 br ötelenmiştir. İnceleyiniz.
y = f(x) = x n (n £ Z ) Biçim indeki Fonksiyonun y = f(x - a) Dönüşümünün Grafiği
• f : [R —» [R, y = f(x - a) = (x - a)n fonksiyonunun grafiği, y = f(x) = xn fonksiyonunun grafiğinin x
ekseninin pozitif yönünde a br ötelenmişidir (a > 0).
• Verilen f fonksiyonunda (x, y) yerine (x - a, y) yazılırsa f fonksiyonunun x ekseninin pozitif yönünde;
(x + a, y) yazılırsa x ekseninin negatif yönünde a br ötelenmişinin kuralı bulunur.
ÖRNEK
f : ^ ffi, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için
y = f(x - 2) ve dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
Çözüm
f : ^ ffi, y = f(x) = xnfonksiyonunda x yerine x - 2 yazıldığında f fonksiyonunun x ekseninin pozitif
yönünde 2 br ötelenmişi elde edilir.
Aşağıdaki 1. şekilde, f(x) = x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin pozitif yönünde
2 br ötelenmiştir. 2. şekilde, f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin pozitif yö­
nünde 2 br ötelenmiştir. 3. şekilde de f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve çizilen grafik x ekseninin
pozitif yönünde 2 br ötelenmiştir. İnceleyiniz.
46
ÖRNEK
f : R ^ R, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonlan veriliyor. Bu fonksiyonlar için
y = f(x + 1) ve dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
Çözüm
• y = f(x) = xn fonksiyonunda x yerine x + 1 yazıldığında, f fonksiyonun x ekseninin negatif yönünde 1
br ötelenmişinin kuralı elde edilir.
Aşağıdaki 1. şekilde, f(x) = x fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin negatif yönünde
1 br ötelenmiştir. 2. şekilde, f(x) = x2 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve bu grafik x ekseninin negatif yö­
nünde 1 br ötelenmiştir. 3. şekilde de f(x) = x3 fonksiyonunun grafiği çizilmiş ve çizilen grafik x ekseninin
negatif yönünde 1 br ötelenmiştir. İnceleyiniz.
"-y = f(x + 1) = (x + 1)3
y = f(x) = x3
y = f(x ) = x n (n e Z ) Biçim indeki Fonksiyonun y = k . f(x) ve y = f(k . x) Dönüşümünün
Grafiği
f : R ^ R, y = f(x) = xn, (n e Z ) fonksiyonu ile k e R verildiğinde, y = k . f(x) ve y = f(k . x) dö­
nüşümünün grafiğini çizmek için y = f(x) kuralında;
a. k . f(x) işlemi yapılır. Sonra y = k . f (x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
b. x yerine k . x yazılarak f(k . x) bulunur. Sonra y = f(k . x) fonksiyonunun grafiği çizilir.
ÖRNEK
y = f(x) = x ve y = f(x) = x2 fonksiyonları veriliyor. Bu fonksiyonlar için y = 2f(x) ve y = f(2x) dönü­
şümlerinin grafiklerini çizelim.
Çözüm
a. y = f(x) = x ^ y = 2.f(x) = 2 . x = 2x ve y = f(2x) = 2x’tir.
b. y = f(x) = x2 ^ y = 2.f(x) = 2 . x2 = 2x2 ve y = f(2x) = (2x)2 = 4x2 dir.
Aşağıdaki 1. şekilde, y = x ve y = 2x fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. 2. şekilde, y = x2 ve y = 2x2
fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir. 3. şekilde de y = x2 ve y = 4x2 fonksiyonlarının grafikleri çizilmiştir.
İnceleyiniz.
Y
Y
1
47
Y
ÖRNEK
3
y = f(x) = — x + 3 fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir. Bu
fonksiyon için aşağıdaki dönüşümlerin grafiklerini çizelim.
a. y = f(x) + 1
b. y = f(x + 1)
Çözüm
a.
y = f(x) + 1 dönüşümü, f fonksiyonunun grafiğinin y ekseninin
pozitif yönünde 1 br ötelenmişidir.
Yandaki grafiği inceleyiniz.
|AA'| = 1 br ve İAA'İ * |BBı|’ dür.
B(-2, 0) ve B '(--8 , 0)’ dır.
3
y = f(x) + 1 = (-|- x + 3) + 1
=—x +3 + 1
2
= — x + 4’tür.
2
b.
y = f(x + 1) dönüşümü, f fonksiyonunun grafiğinin x
ekseninin negatif yönünde 1 br ötelenmişidir. Yandaki grafiği
inceleyiniz.
Y
|BBıı| = 1 br ve |BBıı| * |AAı| dür. A(0, 3) ve Aı(0, - 9 ) ’dır.
y = f(x + 1)
X
=y
(x + 1) + 3
3
3
„3 9
= — x + — + 3 = — x + — ’ dir.
2
2
2
2
ÖRNEK
Yanda grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için y = f(x - 1) dönüşü­
münün grafiğini çizelim.
Çözüm
y = f(x) kuralında x yerine x - 1 geldiğinden y = f(x)’ in grafiği
x ekseninin pozitif yönünde 1 br ötelenecektir. Verilen grafik yandaki
şekilde x ekseninin pozitif yönünde 1 br ötelenerek çizilmiştir. İncele­
yiniz.
48
Y
A
Simetri
Analitik düzlemde bir noktanın eksenlere ve orijine göre si­
metrisini hatırlayalım.
Aı(-x, y)
A(x, y)
Analitik düzlemde I. bölgede bulunan bir A(x, y) noktasının;
•
y eksenine göre simetrisi Aı(-x, y),
•
x eksenine göre simetrisi Aıı(x, -y ) ve
•
Başlangıç noktasına (orijine) göre simetrisi Am ( - x, - y) nok­
tasıdır.
-►X
0
Aııı(-x, -y)
Aıı(x, -y)
y = f(x ) = x n (n E Z ) Biçim indeki Fonksiyonun y = - f(x ) = - x n Dönüşümünün Grafiği
• f : fR —»■fR, y = -f(x) => - y = f(x)’tir. y = f(x) fonksiyonunda y yerine - y, x yerine x gelmiştir, y = -f(x)
fonksiyonunun grafiği, f fonksiyonunun grafiğinin x eksenine göre simetriğidir.
• Bir f fonksiyonunda (x, y) yerine (x, - y) yazılırsa f fonksiyonunun x eksenine göre simetriğinin
kuralı bulunur.
ÖRNEK
R ^
R, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor.
Bu fonksiyonların y = -f(x) = - x, y = - f(x) = - x2 ve y = - f(x) = - x3 dönüşümlerinin grafiklerini
çizelim.
Çözüm
Aşağıdaki 1. şekilde, y = f(x) = x fonksiyonu ile bu fonksiyonun y = - f(x) = - x dönüşümünün; 2.
şekilde, y = f(x) = x2 fonksiyonu ile bu fonksiyonunun y = - f(x) = - x2 dönüşümünün; 3. şekilde de
y = f(x) = x3 fonksiyonu ile bu fonksiyonun y = - f(x) = - x 3 dönüşümünün grafikleri çizilmiştir. İnceleyiniz.
Y
Y
49
y = f(x) = x n (n £ Z ) Biçim indeki Fonksiyonun y = f(-x ) Dönüşümünün Grafiği
BİLGİ
• f: ^
y = f(-x) ^ y = f(x) kuralında x yerine -x ; y yerine de y geldiğinden, y = f(-x) = (-x )n
fonksiyonunun grafiği, y = f(x) = x2 fonksiyonunun grafiğinin y eksenine göre simetriğidir.
• Bir f fonksiyonunda (x, y) yerine (-x, y) yazılırsa f fonksiyonunun y eksenine göre simetriğinin
kuralı bulunur.
ÖRNEK
f:
^ ffi, y = f(x) = x, y = f(x) = x2 ve y = f(x) = x3 fonksiyonları veriliyor.
Bu fonksiyonların y = f ( - x) dönüşümlerinin grafiklerini çizelim.
Çözüm
y = f(x) = x ^ y = f(-x) = (-x) = -x, y = f(x) = x2 ^ y = f(-x) = (-x)2 = x2 dir.
y = f(x) = x3 ^ y = f(-x) = (-x)3 = - x 3 tür.
Aşağıdaki 1. şekilde, y = f(x) = x ile bu fonksiyonun y = f(-x) = - x dönüşümünün; 2. şekilde,
y = f(x) = x2 fonksiyonu ile bu fonksiyonun y = f(-x) = (-x)2 = x2 dönüşümünün; 3. şekilde de
y = f(x) = x3 fonksiyonu ile bu fonksiyonun y = f(-x) = (-x)3 = - x 3 dönüşümünün grafiği çizilmiştir. İnce­
leyiniz.
Y
3
Y
A
50
Y
ÖRNEK
y = f(x) = x + 2 fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
Bu fonksiyon için aşağıdaki dönüşümlerin grafiklerini
çizelim.
a. y = —f(x)
b. y = f(—x)
X
Çözüm
Y
a.
y = -f(x) dönüşümü, f fonksiyonunun grafiğinin x
eksenine göre simetriğidir.
Yandaki grafiği inceleyiniz.
y =x +2^ y- x =2
1
X
y = f(x) ^ - y = f(x) = x + 2
^ - y- x =2
2
1 ve 2 yi karşılaştıralım.
2 de (x, y) yerine (x, - y) gelmiştir.
b.
y = f(-x) dönüşümü, f fonksiyonunun grafiğinin y
Y
eksenine göre simetriğidir.
Yandaki grafiği inceleyiniz.
y = f(x) = x + 2’ dir. 1
y = f(-x) = - x + 2’dir. 2
X
2 de (x, y) yerine (-x, y) gelmiştir.
ÖRNEK
2
f : R ^ R, y = f(x) = — x + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiğinin,
3
a. x eksenine göre simetriğini,
b. y eksenine göre simetriğini,
c. Orijine göre simetriğini bulalım ve analitik düzlemde gösterelim.
Çözüm
a.
A(x, y) noktasının x eksenine göre simetriği Aı(x, -y ) olduğundan, y = f(x) fonksiyonunun x ekse­
nine göre simetriği bulunurken x yerine x; y yerine - y yazılır.
2
x eksenine
y = 13 x + 2 --------------------- ; ■y = — x + 2 ve
3
göre simetriği
y = - — x - 2’ dir.
51
b.
A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği Aı(-x, y) olduğundan, y = f(x) fonksiyonunun y ekse­
nine göre simetriği bulunurken x yerine -x ; y yerine y yazılır.
2
.
y eksenine
2 , , _
y = 3 x + 2 --------------------- >- y = — (-x) + 2 ve
3
göre simetriği
3
y = - — x + 2’dir.
Y
Yandaki grafiği inceleyiniz.
c.
A(x, y) noktasının orijine göre simetriği Aı(-x, -y ) olduğundan, y = f(x) fonksiyonunun orijine göre
simetriği bulunurken x yerine -x ; y yerine de - y yazılır.
2
„
orijine göre
. .
2 , . _
y = 3 x + 2 ------------ 2-------► (-y) = - (-x) + 2
3
simetriği
3
-y = -
3
x+2
Y
y = — x - 2’dir.
Yandaki grafiği inceleyiniz.
52
Tek ve Ç ift F o n ksiyo n la r
BİLGİ
--------------
: : R ^ R, f fonksiyonu her x e R için
f(—x) = f(x) ^ f çift fonksiyondur. f(-x) = -f(x) ^ f tek fonksiyondur.
Çift fonksiyonlar y eksenine göre; tek fonksiyonlar da başlangıç noktasına (orijine) göre simet­
riktir.
ÖRNEK
f : Z ^ Z, y = f(x) = xn fonksiyonu veriliyor. n e {-1, 1, 2, 3, 4} için elde edilen fonksiyonların çift ya
da tek olup olmadığını, simetri özelliklerini inceleyelim ve grafiğini çizelim.
Çözüm
a. n = -1 ^ y = f(x) = x -1 = -1 ve
f(—x) = - -1 = -f(x) olduğundan f fonksiyonu tek fonksiyondur.
f(-x) = -f(x) dönüşümünde (x, y) yerine (-x, -y ) geldiğinden, y = -1 fonksiyonu başlangıç noktasına
(orijine) göre simetriktir.
Y
A
-1
X
B'
a1
b.
n = 1 ^ y = f(x) = xn = x ve
f(-x) = - x = -f(x) olduğundan,
f fonksiyonu tek fonksiyondur.
f(-x) = -f(x) dönüşümünde (x, y) yerine (-x, -y ) geldiğinden y = x fonksiyonu orijine göre simetriktir.
Yandaki grafikte A ile
a 1,
B ile B' orijine göre simetriktir.
Y
y =x
i
d.
-
2-1
1
A
0 1 2
-1
/ A' -2
B1
53
B
A
c. n = 2 ^ y = f(x) = xn = x2 ve
f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x) olduğundan,
f fonksiyonu çift fonksiyondur.
Y
A
f(-x ) = f(x) = y dönüşümünde (x, y) yerine (-x, y) geldiğinden,
y = x2 fonksiyonu y eksenine göre simetriktir. A ile
a 1,
4
b 1*
B ile B1nokta­
y = x2
B
larının y eksenine göre simetrik olduğunu fark ettiniz mi?
ç. n = 3 ^ y = f(x) = xn = x3 ve
a 1*
-a
-2 -1 0
1 2
X
f(-x) = (-x 3) = - x 3 = f(x) olduğundan,
f fonksiyonu tek fonksiyondur.
y = x3 fonksiyonunun grafiği başlangıç noktasına (orijine) göre simetriktir.
Aşağıdaki
1 . grafiği inceleyiniz. A ile
a1
ve B ile B1 noktalarının orijine göre simetrik olduğunu
görünüz.
d. n = 4 ^ y = f(x) = xn = x4 ve f(-x) = (-x)4 = x4 = f(x) olduğundan, f fonksiyonu çift fonksiyondur.
y = x4 fonksiyonunun grafiği y eksenine göre simetriktir. Aşağıdaki 2 . grafiği inceleyiniz. A ile
B ile B1noktalarının y eksenine göre simetrik olduğunu görünüz.
Y
A
8
1
Y
•A
16 A
Aı
A
y = x3
■B
-2 -1 0
1 2
B1.
y=x
X
B
Aı
-2 -1 0
-8
54
B
1 2
X
a 1;
ÖRNEK
f : [-6, n] ^ R, f(x) = x2 + (m - 3)x + 4 fonksiyonu çift fonksiyon ise n ve m değerlerini bulalım.
Çözüm
f çift fonksiyon ise f(-6) = f(6) olacağından, n = 6’dır.
f çift fonksiyon ise y = f(x) kuralında x in tek kuvvetli terimi bulunmaz. Bu nedenle x li terimin kat
sayısı olan m - 3 = 0 olmalıdır.
m - 3 =0 ^
m = 3’tür.
Ayrıca, f(-x) = f(x) ise
^ (-x)2 + (m - 3 )(- x) + 4 = x2 + (m - 3)x + 4
^ x2 + (-m + 3) x + 4= x2+ (m - 3)x + 4’tür.
Bu eşitlikten - m + 3 = m - 3
-2 m = - 6 ^ m = 3 bulunur.
ÖRNEK
Aşağıda verilen fonksiyonların tek ya da çift olup olmadıklarını ve simetri özelliklerini inceleyelim.
a. f(x) = 5x2 + 2
b. f(x) = 2x3 - 5x
c. f(x) = x - 3
Çözüm
a. f(x) = 5x2 + 2 fonksiyonu için f(-x) = 5(-x)2 + 2
= 5x2 + 2
= f(x) olduğundan f fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(-x) = f(x) = y dönüşümünde (x, y) yerine (-x, y) geldiğinden f fonksiyonu y eksenine göre simet­
riktir.
b. f(x) = 2x3 - 5x fonksiyonu için f(-x) = 2(-x)3 -5 (-x )
= -2 x 3 + 5x’tir.
1
f(x) = 2x3 - 5x ^ -f(x) = -(2 x3 - 5x)
= -2 x 3 + 5x’tir.
2
1
ve 2 ’ den f(-x) = -f(x) olduğundan, f fonksiyonu tek fonksiyondur. f(-x) = - y dönüşümünde
(x, y) yerine (-x, -y ) geldiğinden f fonksiyonu başlangıç noktasına (orijine) göre simetriktir.
c. f(x) = x - 3 fonksiyonu için f(-x) = (-x) - 3
= - x - 3’tür.
-f(x) = -(x - 3) = - x + 3’tür.
f( - x) * f(x) ve f( - x) * -f(x) olduğundan f fonksiyonu çift fonksiyon değildir. f fonksiyonu tek fonksi­
yon da değildir.
55
—
AÇIKLAMA
Günümüzde bilgi ve iletişim teknolojileri hızla gelişmektedir. Bunun sonucu olarak da eğitim ve
öğretimle ilgili programların ve yazılımların alternatifleri de çoğalmakta ve programların uygulanması
da kolaylaşmaktadır.
Her öğrenci hesap makinesini yerinde ve etkin kullanmayı bilmesi gerektiği gibi bilgisayarı da
yerinde ve etkin kullanmasını öğrenmelidir. Temel düzeyde bilgisayar bilgisine sahip olmak; bilgi­
sayardan, uygun bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanmayı kolaylaştırır.
Dinamik geometri yazılımları ile çalışmalar yapma becerisini kazanmak için bilgisayarınızda üc­
retsiz olarak erişilebilen bir yazılım programının indirilmiş ve kurulmuş olması gerekir. Bunun için;
Öğretmeninize danışın.
• (www.ankarageogebra.org) ardesinden ya da “ geogebra ile matematik öğretimi” yazarak internete
giriniz.
“ [PDF] İlköğretim ve Ortaöğretim Matematik Öğretmenleri için...” * sayfasını tıklayınız. Açılan
sayfalarda, kitabın 2 ve 3. bölümlerini okuduktan sonra 4. bölümdeki etkinlik örneklerini inceleyiniz.
(*Kabaca, T., Aktümen, M., Aksoy, Y. ve Bulut, M., (2010). Geogebra ile Matematik Eğitimi; İs­
tanbul Kültür Üniversitesi Yayınları.)
= j f ETKİNLİK
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dinamik matematik / geometri yazılımı yardımı ile verilen bir fonksiyonun grafiğini çizelim.
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem, Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
• Geogebra yazılım programını açınız. Sağdaki perspektifler penceresinden “ cebir ve grafik” seçe­
neğini tıklayınız. Alttaki giriş bölümüne “y = x” yazarak “ enter” tuşuna tıklayınız. Cebir bölümünde
a : y = x doğrusal denklemi; grafik bölümünde de bu fonksiyonunun grafiği çizilmiş olur.
• Araç çubuğundaki üzerinde ok bulunan düğmeyi tıkladıktan sonra grafik üzerindeki bir noktayı
tıklayınız ve parmağınızı
kaldırmadan grafiği sağa ya da sola hareket ettiriniz. Grafiği (0, 2)
noktasına getirdiğinizde, cebir bölümde a : y = x + 2 denklemi oluşur. Böylece y = x verilmiş iken
y = x + 2’yi çizmiş oldunuz. Yani verilen fonksiyonunun grafiğini y ekseninin pozitif yönünde 2 br
ötelemiş oldunuz. Bu grafiği silmeden giriş bölümüne yeni bir fonksiyon yazarak “ enter” tuşuna
tıklarsanız, aynı koordinat sisteminde grafiğini çizmiş olursunuz.
• Çizdiğiniz grafiği silerek benzer şekilde, giriş bölümüne aşağıda verilen fonksiyonları sıra ile yaza­
rak grafiklerini çizdiriniz.
y = 2x , y = 2x + 1 , y = 3x - 2 , y = x2 , y = x2 + 2, y = x2 - 1, y = x3 ve y = x3 - x
• Aynı çizimleri dosya kâğıdına siz de çiziniz. Hangi fonksiyonların çift ya da tek fonksiyon olduğunu
belirtiniz.
56
ALIŞTIRMALAR
1.
Y
4
Yanda y = f(x) = - x + 1 fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Verilen
bu fonksiyona göre aşağıdaki dönüşümlerin grafiklerini çiziniz.
a. y = f(x) + 2
2.
b.
f(x) = x2 + 2
b.
f(x) = x2 - 1
b. f(x) = -2 x + 2
c. f(x)
= x2
R ’den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y = f(x + 2) ve y = f(x - 2) dönüşümlerini bu­
lunuz ve grafiklerini çiziniz.
a.
6.
*-X
R ’den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y = f(x) -2 , y = f(x) + 2dönüşümlerini bulunuz
ve grafiklerini çiziniz.
a. f(x) = 2x + 4
5.
ç) y = f(-x)
R ’den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların k = -2 ve k = 3 için y = k . f(x) dönüşümleri ile
elde edilen fonksiyonlarını bulunuz.
a. f(x) = 2x - 5
4.
c. y = -f(x)
R ’den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y = f(x) + 1, y = f(x - 1) ve y = f(-x) dönüşüm­
leri ile elde edilen fonksiyonlarını bulunuz.
a. f(x) = 3x - 2
3.
b. y = f(x + 3)
f(x) = -2 x - 4
b. f(x) = 3x - 3
c. f(x) = x2
R ’den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların y = -f(x) ve y = f(-x) dönüşümlerini bulunuz
ve grafiklerini çiziniz.
a. f(x) = 3x + 6
b. f(x) = -2 x + 4
c. f(x) = x2 + 1
Y
7.
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Verilen f fonksiyonu
için y = f(x - 2) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
8.
Yanda y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Verilen f fonksiyo­
Y
nun için y = f(x) + 1 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
9.
R ’den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların tek veya çift
fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.
a. f(x) = 2x3 - x
b. f(x) = x4 -3 x 2 + 2
c. f(x) = x2 + 2x + 3
57
10.3.1.2 GERÇEK SAYILAR KÜMESİNDE T A N IM L I f ve g FO NKSİYO NLARINI
K U LLA N A R A K f + g, f - g, f . g ve f
9
FO NKSİYO NLAR IN I ELDE ETME
BİLGİ
• Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f ve g fonksiyonları için;
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
b. (f - g)(x) = f(x) - g(x)
c. (f . g)(x) = f(x) . g(x)
ç. (-1 ) (x) = 1 ^ ’tir (g(x) * 0)
g
g(x)
• A c R, B c R ve f :A ^
tanımlıdır.
R, g : B ^
R ise f + g, f - g, f . g ve — fonksiyonları A n B ’den R ’ye
g
ÖRNEK
R ^ R, f(x) = x2 - x ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. f + g, f - g, f . g, —
fonksiyonlarını bulalım.
g
ve
2f - 3g
Çözüm
Aşağıda verilen fonksiyonların toplamları, farkları, çarpımları ve bölümleri ile elde edilen fonksiyon­
lar bulunmuştur. İnceleyiniz.
• (f + g) (x) = f(x) + g(x) = (x2 - x) + (x + 1) = x2 - x + x + 1 = x2 + 1’dir.
• (f - g) (x) = f(x) - g(x) = (x2 - x) - (x + 1) = x2 - x - x - 1 = x2 - 2x - 1’ dir.
• (f . g) (x) = f(x) . g(x) = (x2 - x) . (x + 1) = x3 + x2 - x2 - x = x3 - x’tir.
• (2f - 3g)x = 2(f(x)) - 3(g(x)) = 2(x2 - x) - 3(x + 1)
= 2x2 - 2x - 3x - 3 = 2x2 - 5x - 3’tür.
ÖRNEK
f : A ^ R, g : B ^ R tanımlı f ve g fonksiyonları liste yöntemi ile f = {(-2, 3), (0, -1 ), (1, 0), (2, 3)},
g = {(0, -3), (2, 1), (5, 7)} olarak veriliyor.
f + 2g ve f . g fonksiyonlarını liste yöntemi ile yazalım.
Çözüm
f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri, A = {-2, 0, 1, 2}, B = {0, 2, 5} ve A nB = {0, 2}’ dir.
(f + 2g) : A n B ^ R, tanımlı olduğundan,
(f + 2g)(0) = f(0) + 2g(0) = (-1) + 2(-3) = -1 - 6 = - 7 ve
(f + 2g)(2) = f(2) + 2g(2) = (3) + 2(1) = 3 + 2 = 5 ise f + 2g ={(0, -7), (2,5)}’dir
f . g : A n B ^ R tanımlı olduğundan,
(f. g)(0) = f(0) . g(0) = (-1) . (-3) = 3,
(f . g) (2) = f(2) . g(2) = 3 . 1 = 3’tür.
f . g = {(0,3), (2, 3)} bulunur.
58
ÖRNEK
5
[-8, 8] ^ R tanımlı f(x) = x - 1 ve g(x) = - —- x - 2 fonksiyonları veriliyor. f + g fonksiyonunu bulalım
8
ve f, g, f + g fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim.
Çözüm
• (f + g)(x) = f(x) + g(x) = (x - 1) + (- -5 x - 2) = x - 1 - y x - 2 = - 8 x - 3’tür.
• f fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar (0, -1 ), (1,0),
g fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar (0, -2), ( - — , 0) ve
5
f + g fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar (0, -3), (8, 0)’dır.
• x = -8 ^ f ( - 8) = -8 - 1 = -9 ve g(-8) = - - 5 . (-8) -2 = 3’tür. f(-8) + g(-8) = -9 + 3 = - 6 ’dır.
•
•
(f+ g)(-8) = “~ ( - 8 ) - 3 = - 6 ’dır.
8
5
x = 8 ^ f(8) = 8 - 1 = 7 ve g(8) = ------ . 8 - 2 = - 7 ’ dir. f(8) + g(8) = 7 + (-7) = 0’ dır.
3
8
(f + g)(8) = — . 8 - 3 = 0’dır.
8
3
x = 0 ^ f(0) = -1 , g(0) = -2 ve f(0) + g(0) = (-1) + (-2) = - 3 ’tür. (f + g)(0) = — . 0 - 3 = - 3 ’tür.
8
Aşağıdaki grafiklerin çizimlerini inceleyiniz.
ÖRNEK
2
4
^ ffi, f(x) = — x + 2, g(x) = ------ x + 4 fonksiyonlan veriliyor. f, g, f + g ve f - g fonksiyon3
3
larının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim.
f ,g:
Çözüm
(f + g)(x) = ( y x + 2) + ( - -3-x + 4) = - -~ x + 6 ve
(f - g)(x) = ( y x + 2) - ( - -|-x + 4) = 2x - 2’ dir.
f(x)
0
f(0) = 2
3
f(3) = 4
g(x)
(f + g)(x)
(f - g)(x)
4
0
II
II
§g
( sg
(
x
(f + g)(0) = 6
(f - g)(0) = -2
(f + g)(3) =4
(f - g)(3) = 4
(f + g) n (f - g) = {A} ise A e f’ dir.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
ffi’den ffi’ye tanımlı f(x) = 2x2 + 1, g(x) = x3 - x, h(x) = x2 + 2, k(x) = 2x3 - 3x, t(x) = x ve n(x) = 3
fonksiyonları veriliyor.
Verilen fonksiyonların tek veya çift olma durumlarını belirtiniz.
İki çift fonksiyonun çarpımı ve bölümü ile elde edilen fonksiyonların çift fonksiyon olup olmadığını
tartışınız.
İki tek fonksiyonun çarpımı ve bölümü ile elde edilen fonksiyonun çift fonksiyon olup olmadığını
tartışınız.
Bir çift fonksiyon ile bir tek fonksiyonun çarpımının nasıl bir fonksiyon olduğunu belirtiniz.
İki çift fonksiyonun toplamını, iki tek fonksiyonun toplamını bulunuz. Elde ettiğiniz fonksiyonların
nasıl bir fonksiyon olduğunu belirtiniz.
ALIŞTIRMALAR
1.
f, g :
^ ffi, f(x) = x2 + x + 1, g(x) = x - 1 fonksiyonları veriliyor. Aşağıdaki fonksiyonları bulunuz.
a. f + g
b. f - g
c. f . g
ç.
f
2.
f, g :
^ ffi, f(x) = ------ x + 2, g(x) = x - 4 fonksiyonları veriliyor. f, g, f + g ve f - g fonksiyon3
larının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çiziniz.
3.
f : A ^ Z , f = {(a, -1), (b, 3), (c, 4), (d, 6)} ve g : A ^ Z, g = {(a, 2), (b, 4), (c, -3), (d, 0)} ise
3f(b) + 4g(c) işleminin sonucunu bulunuz.
4.
f, g :
A. - 8
^ ffi, f(x) = 3x + 2 ve g(x) = - x + 3 fonksiyonları için (f . g)(2) aşağıdakilerden hangisidir?
B. 0
C. 8
D. 16
60
E. 40
CE
10.3.2. İKİ FO NKSİYONUN BİLEŞKESİ VE BİR FONKSİYONUN TERSİ
10.3.2.1. FONKSİYONLARDA BİLEŞKE İŞLEMİ
A
C
f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu olan gof fonksiyonu
yanda şema ile gösterilmiştir. Şemaya göre;
z = g(y) = g(f(x)) ile tanımlı z fonksiyonu f ile g’ nin bileşkesi olan
gof fonksiyonudur.
gof
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
1.
f ve g fonksiyonlarının bileşkesi art arta iki işlem yapan makine gibidir. Aşağıdaki fonksiyon ma­
kinelerini inceleyelim. x girdisi f makinesinden g = f(x) olarak; y = f(x) girdisi de g makinesinden
z = g(y) olarak çıkmıştır.
çıktı
girdi
y = f(x)
g makinesinden elde edilen z fonksiyonu
z = g(y) = g(f(x)) ile tanımlı ve f ile g nin bileş­
kesi olan gof fonksiyonudur.
girdi
X
2.
y = f(x)
y
—►
f
g
çıktı
girdi
z = g(y)
z = g(y)
Bir bileşke fonksiyonuna ait fonksiyon makinesinin kuralı gof olsun. Bu makinede girdi buğday­
dır. Buğdayı x ile buğdaydan elde edilen una ait fonksiyonu f ile undan elde edilen hamura ait
fonksiyonu g ile ve hamurdan elde edilen ekmek sayısına ait fonksiyonu da h gösterelim.
a. f(x) = — , g(x) = — ise gof fonksiyonunu bulalım.
10
3
b. h(x) = 5x ise h o gof fonksiyonunu bulalım.
Buğday
x
c. 20 kg buğdaydan kaç ekmek elde edildiğini bulalım.
I
.. 9x
5.
a. (gof)(x) = g(f(x)) = g ^ ) = — 3^
f(x) = un
= y d ir .
=
un
I
g(un) = hamur
b. ho(gof) = h(gof) = h(— ) = 15x ’ dir.
2
2
9x
9 . 20
c. x = 20 ^ f(x) = — = --------- = 18’dir.
10
10
20 kg buğdaydan 18 kg un elde edilir.
x = 18
I
hamur
5x 5 . 18
g(x) = — = ---------= 30’dur.
3 3
18 kg undan 30 kg hamur elde edilir.
x = 30 ^ h(x) = 5x = 5 . 30 = 150’ dir.
30 kg hamurdan 150 ekmek elde edilir.
, 15x
„
15 . 20
Ayrıca (hogof)(x) =
^ (hogof)(20) = ------- 2—
(hogof)(20) = ? ^
20
f
-► 18
f x ) = -9x
v ' 10
g
-► 30
61
= 150 ve
h
150’ dir.
'g(x) =-5x
BİLGİ
::A
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
• 13 g : B
C olmak üzere, g o f: A
C, (gof)(x) = g(f(x)) biçiminde tanımlanmış gof fonk­
siyonuna f ve g fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu denir.
ÖRNEK
A = {-2, 0, 1, 2}, B = {-5, -3 , -1 , 1, 3} ve C = {1, 2, 4, 10, 26} kümeleri ile f : A ^
B, f(x) = 2x - 1,
g : B ^ C, g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor. f ve g fonksiyonlarını şema ile gösterelim. gof fonksiyo­
nunu ve (gof)(-2) değerini bulalım.
Çözüm
f : A ^ B, f(x) = 2x - 1 için;
B
g: B >C, g(x) = x2 + 1 için;
g(-5) = 26,
g(-3) = 10,
g(-1) = 2 ,
g(1) = 2 ,
g(3) = 10’ dur.
f
-2 ■
f
f(—2 ) ----- g----- ► g(f(-2)) = 26
-► f(x )------g----- ► g(f(x)) = z yazabiliriz. Bu da A’dan C’ye z = g(f(x)) kuralı ile tanımlı bir
fonksiyondur. Bu fonksiyon, f ile g’ nin bileşke fonksiyonudur ve gof ile gösterilir.
gof : A ^ C, (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x - 1) = (2x -1 )2 + 1 = 4x2 - 4x + 2’dir.
(gof)(x) = 4x2 - 4x + 2 ^ (gof)(-2) = 4(-2)2-4 (-2 ) + 2 = 16 + 8 + 2 = 26’ dır.
F o n ksiyo n la rd a B ileşke İş le m in in Ö z e llik le ri
Değişme Özelliği
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem.
ffi’ den ffi’ye tanımlı f(x) = ax + b, g(x) = mx + n gibi iki fonksiyon yazınız.
Yazdığınız fonksiyonlarla fog ve gof bileşke fonksiyonlarını bulunuz.
fog ile gof fonksiyonlarını karşılaştırınız.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliğinin olmadığını fark ettiniz mi?
62
ÖRNEK
f : Z ^ Z , f(x) = 3x - 2, g : Z ^ Z , g(x) = 5x + 3 fonksiyonları veriliyor. gof ve fog bileşke fonksi­
yonlarını bulalım ve karşılaştıralım.
Çözüm
(gof)(x) = g(f(x)) = g(3x - 2) = 5(3x - 2) + 3 = 15x - 10 + 3 = 15x - 7’ dir. 1
(fog)(x) = f(g(x)) = f(5x + 3) = 3(5x + 3) - 2 = 15x + 9 - 2 = 15x + 7’dir. 2
1 ve 2 den, 15x - 7 * 15x + 7 olduğundan, gof * fog olduğu görülür.
BİLGİ
Fonksiyonlar arasında bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
^
tanımlı f ve g fonksiyonları için fog * g o f’dir.
Birleşme Özelliği
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem.
ffi’den ffi’ye tanımlı f(x) = ax + b, g(x) = mx + n ve h(x) = px + r gibi üç fonksiyon yazınız.
fog bileşke fonksiyonunu bulunuz. fog fonksiyonu ile h fonksiyonun bileşkesi olan (fog)oh bileşke
fonksiyonu bulunuz.
goh bileşke fonksiyonunu bulunuz. f fonksiyonu ile goh fonksiyonunun bileşkesi olan fo(goh) bileş­
ke fonksiyonunu da bulunuz.
(fog)oh ile fo(goh) bileşke fonksiyonlarını karşılaştırınız.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliğinin varlığını fark ettiniz mi?
ÖRNEK
f, g, h :
^ ffi, f(x) = 3x - 1, g(x) = x + 1 ve h(x) = 2x - 1 fonksiyonları veriliyor.
a. [(fog)oh](x) fonksiyonunun kuralını bulalım.
b. [fo(goh)](x) fonksiyonunun kuralını bulalım.
c. (fogoh)(- 2) değerini bulalım.
Çözüm
a. [(fog)oh] (x) = (fog)(x) o h(x)
b. [fo(goh)] (x) = f(x) o (goh)(x)
= f(g(x)) o (2x -1 )
= (3x - 1) o g(2x -
= [3(x + 1) - 1] o (2x - 1)
= (3x - 1) o (2x - 1 + 1)
= (3x + 2) o (2x - 1)
= (3x - 1) o (2x)
= 3(2x - 1) + 2
= 3(2x) - 1
= 6x - 3 + 2 = 6x - 1’ dir.
= 6x - 1’ dir.
a ve b’den [(fog)oh](x) = [fo(goh)](x) olduğu görülür.
c. (fogoh)(x) = 6x - 1 ^ (fogoh)(-2) = 6 . (-2) - 1 = -1 2 - 1 = -1 3 ’tür. Ayrıca,
- 2 ----- h----- ► -5 ------g----- ► -4 ------f------► - 13 ^ (fogoh)(-2) = -1 3 bulunur.
63
1)
—
i ğ ’ BİLGİ
--------------------------------------------------------------
• Fonksiyonlar arasında bileşke işleminin birleşme özelliği vardır.
• R ^ R tanımlı f, g ve h fonksiyonları için (fog)oh = fo(goh)’dir.
ÖRNEK
f, g, h : R ^ R, f(x) = 2x - 3, g(x) = x - 1 ve h(x) = x2 fonksiyonları veriliyor. (fog)oh ve fo(goh) bileşke
fonksiyonlarını bulalım.
Çözüm
•
(fog)(x) = f(g(x)) = f(x - 1) = 2(x - 1) - 3 = 2x - 2 - 3 = 2x - 5 ve
[(fog)oh](x) = (fog)(x) o(h(x)) = (2x - 5) o (x2) = 2x2 - 5 ’tir. 1
•
(goh)(x) = g(h(x)) = g(x2) = x2 - 1 ve
[fo(goh)](x) = f(x) o (goh)(x) = (2x - 3) o (x2 - 1) = 2(x2 - 1) - 3
= 2x2 - 2 - 3 = 2x2 - 5 ’tir. 2
1 ve
2 den, (fog)oh = fo(goh) olduğu görülür.
ÖRNEK
h: A ^
B, g : B ^
C ve f : C ^
D tanımlı f, g ve h fonksiyonları arasındaki fo(goh) ve (fog)oh
işlemini şema ile gösterelim.
Çözüm
A
A
A
fo(goh)
C
C
C
D•B
C
64
(fog)oh
Bir Fonksiyonun Birim (Özdeş) Fonksiyonla Bileşkesi
R de tanımlı f ve I fonksiyonları için;
• (foI)(x) = f(I(x)) = f(x) ve (Iof)(x) = I(f(x)) = f(x)’tir.
• foI = Iof = f olduğundan, I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim fonksiyonudur.
ÖRNEK
f, I : R ^ R, f(x) = 2x - 5, I(x) = x fonksiyonları veriliyor. foI ve Iof fonksiyonlarını bulalım.
Çözüm
(foI)(x) = f(I(x)) = 2 . x - 5 = 2x - 5, (Iof)(x) = I(fx)) = I(2x - 5) = 2x - 5 bulunur.
foI = Iof = f olduğu görülür.
ÖRNEK
Yanda verilen f fonksiyonunun grafiğine göre;
Y
a. f(0), f(-2), f(4) değerlerini bulalım.
b. (fofof)(a) = -5 ise a değerini bulalım.
Çözüm
a. Grafiğe göre, f(0) = -5 , f(-2) = 0, f(4) = - 2 ’ dir.
b. (fofof)(a) = f(f(f(a)) = - 5 ^ f(f(a) = 0 olmalıdır.
f(f(a)) = 0 ^ f(a) = -2 ve f(a) = -2 ^ a = 4’tür
ÖRNEK
Y
Yanda verilen g ve gof fonksiyonlarının grafiklerine göre f(1) değe­
rini bulalım.
Çözüm
Grafiğe göre, g(-3) = 0’dır.
(gof)(1) = 0 ^ g(f(1)) = 0
I
^ g(-3) = 0 ^ f(1) = - 3 ’tür.
Y
ÖRNEK
Yanda verilen f ve g fonksiyonlarının grafiklerine göre (fog)(4) de
ğerini bulalım.
Çözüm
Grafiğe göre, g(4) = 0 ve (fog)(4) = f(g(4)) = f(0) = 2’ dir.
65
ÖRNEK
3
4
R, f(x) = ----- x + 3 ve g(x) = — x + 4 fonksiyonları veriliyor.
2
3
a. f, g ve fog fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çizelim.
f, g : R ^
b. (fog)(2) değerini bulalım.
Çözüm
3
a. f(x) = - —x + 3 fonksiyonunun grafiği eksenleri (0, 3), (2,0) nok4
talarında; g(x) = —x + 4 fonksiyonunun grafiği de eksenleri (0, 4), (-3, 0)
3
noktalarında keser.
(fog)(x) = f(g(x)) = f(-|-x + 4) = - y (-3 x + 4) + 3 = -2 x - 3’tür.
(fog)(x) = -2 x - 3 fonksiyonu eksenleri (0, -3 ) ve (--2 , 0) noktala­
rında keser. Yanda f, g ve fog fonksiyonlarının grafikleri aynı koordinat
sisteminde çizilmiştir. İnceleyiniz.
b. (fog)(2)= -2 . 2 - 3 = - 4 - 3 = - 7 bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1.
f, g : R ^
R, f(x) = 3x - 2 ve g(x) = x2 + 4 fonksiyonları veriliyor. fog ve gof fonksiyonlarını
bulunuz.
2.
3x - 1
f, g : R ^ R, f(x) = --------- ve g(x) = - 2x + 3 fonksiyonları veriliyor. gof fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
A. 3x + 4
B. 4x + 3
C. -3 x + 4
D. 3x - 4
E. 7x + 6
3.
f, g : R ^
R, f(x) = 6x - 7 ve g(x) = mx + — fonksiyonları veriliyor. (gof)(x) = x ise m kaçtır?
6
4.
f, g : R ^ R, f, g ve h fonksiyonları için f(x) = x2, g(x) = 2x - 1 ve h(x) = x -1 ise aşağıda isteni­
lenleri bulunuz.
a. (fog)(x)
b. (hog)(x)
c. (gof)(-2 )
ç. (foh)(4)
d. (gofoh)(4)
Y
5.
Yanda f ve g fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Grafiğe göre;
a. (fofof)(1) değerini bulunuz.
b. (fogof)(3) değerini bulunuz.
6. f, g : R ^ R, f(x) = 3x + 1 ve g(x) = 3x - 2 fonksiyonları veriliyor. (fog)(a + 1) = 22 ise a sayısı
aşağıdakilerden hangisidir?
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
66
E. 3
10.3.2.2. BİR FONKSİYONUN BİLEŞKE İŞLEMİNE GÖRE TERSİNİN O LM A S I İÇİN GEREKLİ
VE YETERLİ ŞARTLARI BELİRLEME, VERİLEN BİR FONKSİYONUN TERSİNİ B U LM A
Bileşke İşlemine Göre Bir Fonksiyonun Tersi
BİLGİ
__________________________________________________________________________
f : A ^ B, bire bir ve örten fonksiyon ise f fonksiyonunun ters fonksiyonu vardır ve bu fonksiyon f-1
ile gösterilir.
f
f : A ^ B, bire bir ve örten ise f(x) = y ^ f-1(y) =x’tir.
Her x e A için (f-1of)(x) = f-1(f(x)) = f-1(y) = x ve x e A olduğundan
f-1of fonksiyonu A kümesinde birim fonksiyondur. f-1of = I a olur.
Her y e B için (fof-1)y = f(f-1(y)) = f(f(x)) = y ve y e B olduğundan
fof-1 = I b olur.
A = B ^ f-1 of = fof-1 ve A * B f -1of * fof-1 olur.
f-1
Her (x, y) e f ^ (y, x) e f-1 ve (f -1)-1 = f olur.
ÖRNEK
Yanda, f : A ^
f
A
B tanımlı f(x) = - x + 1 fonksiyonu şema ile
B
gösterilmiştir.
f -1of = fof-1 olduğunu gösterelim.
Çözüm
• (f-1of)(-2) = f -1(f(-2)) = f -1 (3) = - 2 ’dir.
Benzer şekilde diğer görüntüler de bulunursa
(f-1of)(A) = I A’dır. 1
f-1
• (fof-1)(-2) = f(f-1(-2)) = f(3) = - 2 ’ dir.
Diğer görüntüler de bulunursa (fof-1)(B) = B = I B’dir. @
1 ve 2 den, A = B ^ fof -1 = f -1of = I a olur.
ÖRNEK
A = {-1, 0, 1}, B = {-5, -2 , 1} kümeleri ile f : A ^ B, f(x) = 3x - 2 fonksiyonu veriliyor. fof-1 ile f-1of
fonksiyonlarını şema ile göstererek karşılaştıralım.
Çözüm
B
- 5• \
ı - 2•
\
1• /
A
f -1
(
B
f-^ J
- 5 •
• -1 \
fof-1 = I b
H ° f = Ia
Yukarıdaki şemaları inceleyelim. A * B ^ f -1of * fof-1 olduğunu fark ettiniz mi?
67
SONUÇLAR
1. f, R ’ den R ’ye tanımlı ise f—1of = fof-1
= I ’ dır.
2. f, A’ dan B’ye tanımlı ve bire bir örten
ise
a. A = B ^ fof-1 = f—1of = I a ve
b. A * B ^ fof-1* f-1of’ dir. Bu durumda, f-1 of =I a ve fof-1= iB’ dir.
V e rile n F o n ksiyo n u n Tersini B ulm a
• A’dan B’ye tanımlı bir f fonksiyonu bire bir örten ise f-1 kuralı, B’den A’ya tanımlı bir fonksiyondur.
• f : A ^ B, bire bir ve örten fonksiyon ise f-1 : B ^ A, bire bir ve örten fonksiyondur.
a ¥ A için f(a) = b ^ f-1(b) = a ve (a, b) ¥ f ^ (b, a) ¥ f-1’dir.
x- b
• f : R ^ R, a, b ¥ R ve a * 0 için f(x) = ax + b ^ f-1(x) = -------’dır.
a
= | £
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
----------------------------------------------------------
A = {-2, -1 , 0, 1, 2}, B = {-2, -1 , 1, 3, 4, 5, 7}, C = {-3, -1 , 1, 3, 5} ve D = {1, 2, 5} kümeleri ile
f:A ^
B, f(x) = 2x + 3, h : A ^ C, h(x) = 2x + 1 ve g : A ^
D, g(x) = x2 + 1 fonksiyonları veriliyor.
Bu fonksiyonların tersi olan kuralların da bir fonksiyon olup olmadığını belirtelim.
Verilen fonksiyonları şema ile gösterelim:
a. f : A ^ B, f(x) = 2x + 3
b. h : A ^ C, h(x) = 2x + 1
f(x) = 2x + 3
A
f
c. g : A ^ D, g(x) = x2 + 1
h(x) = 2x + 1
B
A
h
C
g(x) =x2 + 1
A
g
D
a. f : A ^ B, fonksiyonu bire bir fakat örten değildir.
f-1 : B ^ A, f-1 kuralı bir fonksiyon değildir. Çünkü 4 ¥ B’ nin A dagörüntüsüyoktur.
b. h : A ^ C, h fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyondur.
h-1 : C ^ A, h-1 kuralı da bire bir ve örten fonksiyondur.
c. g : A ^ D, g fonksiyonu bire bir değil fakat örten fonksiyondur.g-1
değildir. Çünkü 2 ¥ D’ nin A da iki farklı görüntüsü vardır.
:D ^
A kuralı fonksiyon
O hâlde, verilen bir fonksiyon bire bir ve örten bir fonksiyon ise bu fonksiyonun tersi de bir fonk­
siyondur.
68
ÖRNEK
f:R ^
R, f(x) = 2x - 3 fonksiyonu veriliyor. f-1 kuralını bulalım. Bu kuralın Z ’ den Z ’ye tanımlı
bir fonksiyon olup olmadığını belirtelim.
Çözüm
f(x) = 2x - 3 = y ^ 2x = y + 3
x = y 2 3 ’ dir. Tanım kümesinin elemanları x ile gösterildiğinden, x = y 2 3
x+3
ifadesi f-1(x) = —2— biçiminde yazılır. f-1 kuralı IR’ den IR’ye tanımlı bir fonksiyondur.
x+3
Verilen f(x) = 2x - 3 fonksiyonu Z ’den Z ’ye tanımlı olsaydı f-1(x) = —2— kuralı bir fonksiyon olmazy+3
-2+3 1
1
dı. Çünkü x = ^ — eşitliğinde, y = -2 ^ x = — 2— = ~~^’dir. - y ^ Z olduğundan, değerkümesindeki
-2 e Z sayısı tanım kümesine ait bir elemanın görüntüsü değildir. Yani f(Z) * Z ’ dir. f-1kuralı Z
^
Z
tanımlı bir fonksiyon değildir.
ÖRNEK
A = {0, 1, 2, 3} B = {1, 3, 5, 7} kümeleri ile f : A ^
B, f(x) = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor.
a. f, f-1 ve (f -1)-1 kümelerini liste yöntemi ile gösterelim.
b. f-1 ve f fonksiyonunu şema ile gösterelim ve bu fonksiyonların grafiklerini aynı koordinat düzle­
minde çizelim.
c. f-1 fonksiyonunun kuralını bulalım.
Çözüm
a. f : A ^ B, f(x) = 2x + 1 ise:
• x = 0 için f(0) = 2 . 0 + 1 = 1,
• x = 1 için f(1) = 2 .1 + 1
• x = 2 için f(2) = 2 . 2 + 1 = 5,
• x = 3 için f(3) = 2 .3 + 1 = 7’ dir.
f = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} ,
f-1 = {(1,0), (3, 1), (5, 2), (7, 3)} ve
(f-1)-1 = {(0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)} = f’dir. O hâlde, (f-1)-1 = f’ dir.
b.
f
Y
69
= 3,
Yukarıda f ve f-1 fonksiyonlarının şeması ve aynı koordinat düzleminde de grafikleri gösterilmiştir.
(a, b) ¥ f iken (b, a) ¥ f-1 olduğundan, f ve f-1 in grafikleri, denklemi y = x olan doğruya göre simetriktir.
c. f(x) = y ^ f-1 (y) = x olduğunu biliyoruz. Verilen fonksiyonlardan, x’ i y türünden bulalım:
y = 2x + 1^ x = y 2 1 ve (x = f-1 (y)) ^ f-1 (y) = y 2 1 olur.
Fonksiyonlarda tanım kümesinin elemanları x ile ifade edildiğinden f-1 fonksiyonu için de değişken
x ve x in f-1 fonksiyonuna göre görüntüsü y ile gösterilirse,
x- 1
y = f-1 (x) = ------- olur. Bu da f fonksiyonunun ters fonksiyonudur.
ÖRNEK
2x - 3
,
f : A ^ B, bire bir ve örten f(x) = 4-5- fonksiyonu veriliyor. f 1 fonksiyonunun kuralını bulalım.
Çözüm
y = f(x) ^ x = f- 1(y) olduğundan, y’ nin f-1 fonksiyonuna göre görüntüsü olan x’ i y türünden bulalım:
2x - 3
y = 4^—5 ^ y(4x - 5) = 2x - 3
^ 4yx - 5y = 2x - 3
^ 4yx - 2x = 5y - 3
^ x(4y - 2) = 5y - 3
5y - 3
.|
5y - 3,
^ x = —------^ f '(y) = —------ ’dir.
4y - 2
y
4y - 2
f-1 fonksiyonu için değişken x ve x’ in f-1 fonksiyonuna göre görüntüsü y ile gösterilirse,
5x - 3
y = f- 1(x) = 4-----2 olur. Bu da f fonksiyonunun tersidir.
5
Verilen f fonksiyonunda en geniş tanım kümesi, A = R - {— } ve
en geniş değer kümesi de
1
5
1
B = R - { — }’dir. Çünkü x = — f fonksiyonunu; x = — de f-1 fonksiyonunu tanımsız yapar.
d
a
ax + b
-1
-d x + b
O hâlde, f : R - {--} ^ R - {— }, f(x) = -----------------------------------^ f- 1(x) = -’ dır.
c
c
cx + d
cx - a
ÖRNEK
3
3x + 1
f : R - {-2 } ^ R - {— }, f(x) = —----- — veriliyor. f- 1(4) değerini bulalım.
Çözüm
I. Yol
-
,
3x + 1
. -4 x + 1
, 1, ^ -4 . 4 + 1
- 15
f(x) = --------------------------- ^ f-1 (x) = ------ ve f-1 (4) = = —— = - 3 ’tür.
w
2x + 4
w
2x - 3
w 2 .4 - 3
5
II. Yol
3a + 1
f-1 (4) = a ^ f(a) = 4 tür. Buna göre, f(a) = ----------= 4 olmalıdır.
2a + 4
4(2a + 4) = 3a + 1 ^ a = -3 tür. Buradan, a = f- 1(4) = -3 bulunur.
70
İki Fonksiyonun Bileşkesinin Tersi
BİLGİ
İki fonksiyonun bileşkesinin ters fonksiyonu, bu fonksiyonların ters fonksiyonlarının bileşkesidir.
fog fonksiyonunun tersi, (fog)-1 = g-1o f-1 fonksiyonudur.
ÖRNEK
f, g : ^ ffi, f(x) = 5x - 3 ve g(x) = 4x + 2 fonksiyonları veriliyor. (fog)-1 ve g-1o f-1 fonksiyonlarının
kurallarını bulalım ve karşılaştıralım.
Çözüm
(fog)(x) = f(g(x)) = f(4x + 2) = 5(4x + 2) - 3 = 20x + 7 ve (fog)-1(x)) = ^ ^ Ğ ^ ’dir. ©
f(x) = 5x - 3 ^ f-1 (x) = ^ + 8 ve g(x) = 4x + 2 ^ g-1 (x) =
5
4
x+3 2
tür.
(g-1 o f -1)(x) = g-1(f-1(x)) = g- ^ - ^ - 3 ) =
2
----- = - ^ f " ’ ^ .
O hâlde, © ve @ den, (fog)-1 = g-1 o f -1 olduğu görülür.
Ayrıca;
• A’dan B’ye tanımlı bire bir ve örten f ve g fonksiyonları için
(fog)-1 = g-1o f-1 ^ (fog)o(g-1 o f -1) = I olmalıdır. Buna göre,
(fog)o(g-1o f-1) = fo(gog-1)of-1 (bileşke işleminin birleşme özelliği)
= folof-1(gog-1 = I ve I birim fonksiyon)
= fof-1 = I bulunur.
• O hâlde, (fog)-1 = g-1o f-1’ dir.
A’dan B’ye tanımlı bire bir ve örten f, g, h fonksiyonlar için
• (f-1 oh)-1 = h-1o(f-1)-1 = h-1o f,
• (g-1 o f -1)-1 = (f-1)-1o(g-1)-1 = fog ve
• (fogoh-1)-1 = (h-1)-1 o(fog)-1 = hog-1of-1’dir.
ÖRNEK
ffi’ den ffi’ye bire bir ve örten f, g, k fonksiyonları için fog = k ise f = kog-1 ve g = f -1ok olduğunu
gösterelim.
Çözüm
fog = k ^ (fog)og-1 = kog-1 (bileşke işlemi tanımı)
fo(gog-1) = kog-1
(birleşme özelliği)
I
Benzer yolu izleyerek
fog = k ^ f-1o fog = f-1o k
(f-1of = I)
(f-1of)og = f-1ok
fol = kog-1 (I etkisiz fonksiyon)
f = kog 1 bulunur.
iog = f-1 o k
(log = g)
g = f-1 o k bulunur.
71
ÖRNEK
f, g : R ^
bulalım.
R, f(x) = 6x - 2 ve (fog)(x) = 4x + 3 fonksiyonlan veriliyor. g fonksiyonunun kuralını
Çözüm
I. Yol: (fog)(x) = 4x + 3 ^ f(g(x)) = 4x + 3
6g(x) - 2 = 4x + 3
6g(x) = 4x + 3 + 2 ^ g(x) =
4x + 5
6
bulunur.
II. Yol: f-1(x) = x + 2 ve fog = k ^ g = f-1ok olduğundan,
6
k(x) = 4x + 3 ^ g(x) = (f-1ok)(x) = f-1(k(x)) ve
-1
4x + 3 + 2 4x + 5
g(x) = f 1(4x + 3) = -------------- = ----------bulunur.
6
6
ÖRNEK
f:R ^
R, f(2x + 3) = 5x - 2 veriliyor. f-1(8) değerini bulalım.
Çözüm
I. Yol: f(a) = b ^ f-1(b) = a’dır. f(2x + 3) = 5x - 2 ^ f-1(5x - 2) = 2x + 3’tür.
f-1(8) değeri istendiğinden 5x - 2 = 8 olmalıdır. Bu denklemin çözümünden x = 2 bulunur.
x = 2 ^ f-1(5 . 2 - 2) = 2 . 2 + 3 ^ f-1(8) = 4 + 3 = 7 bulunur.
II. Yol: fog = k ise f = kog-1’dir. g(x) = 2x + 3 ise g-1(x) = x
3 ’ dir.
f(2x + 3) = 5x - 2 ^ f(x) = (kog-1)(x) = k(g-1(x))’tir.
,_1/Q, 2 . 8 + 19 16 + 19
35
------ = ------ = 7 bulunur.
(8) = ---------------------------5
5
5
5
t
G ra fiğ i V e rile n B ire B ir ve Ö rte n F o n ksiyo n u n T ersinin G ra fiğ i
BİLGİ
A c B c R ve A’dan B’ye bire bir ve örten olan f fonksiyonunun grafiğinin y = x doğrusuna
göre simetriği, f fonksiyonunun tersinin (f-1 in) grafiğidir.
ÖRNEK
Y
Yanda R ’ den R ’ye tanımlı f fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f fonk­
siyonunun tersinin grafiğini çizelim.
Çözüm
Verilen f fonksiyonu doğrusal fonksiyondur. Grafiğin eksenleri kestiği
noktalar A(0, 4) ve B(-2, 0)’dır. Bu noktaların y = x doğrusuna göre simet­
rilerini bulalım ve analitik düzlemde gösterelim.
72
Y
A(0, 4) y = x >- D(4, 0) ve
B(-2, 0) y = x *- C(0, -2 )’ dir.
Yandaki şekilde, CD doğrusu AB doğrusunun y = x
doğrusuna göre simetriğidir. CD doğrusu f fonksiyonu­
nun tersi olan f -1 fonksiyonunun grafiğidir. İnceleyiniz.
Y
ÖRNEK
D = [1, 4], E = [-3, 2] ve D’den E’ye tanımlı f fonksiyonunun grafiği
yanda verilmiştir. f fonksiyonunun tersinin grafiğini çizelim.
Çözüm
Grafiğe göre; A(4, 2), B(2, 0) ve C(1, -3 ) noktaları f’ nin elemanı
olduğundan, Aı(2, 4), Bı(0, 2) ve Cı(-3, 1) noktaları f -1 fonksiyonunun
a1
f-1
elemanı olur. f fonksiyonunun y = x doğrusuna göre simetriği olan f -1
fonksiyonunun grafiği yandaki şekilde çizilmiştir. İnceleyiniz.
^ y =x
A
4
B1
1B
0 2
-3
-3
4 ^ /x
C
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan, “ Cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız. Giriş bölü­
müne, x - 3y + 6 = 0 doğrusal denklemini yazınız ve “enter” tuşunu tıklayınız. Giriş bölümüne,
y = x denklemini de yazarak “enter” tuşunu tıklayınız. Cebir penceresinde a : x - 3y = - 6, b : y = x
denklemleri; grafik penceresinde de bu doğrusal denklemlerin grafikleri çizilmiş olur.
düğmesinden, “ Doğruda yansıt” seçeneğini tıkladıktan sonra önce x - 3y = - 6 doğrusunun
S
grafiğini sonra y = x doğrusunun grafiğini tıklayınız. Grafik penceresinde x - 3y = - 6 doğrusunun
y = x doğrusuna göre simetriği olan 3x - 1y = 6 doğrusunun grafiği çizildiğini gördünüz mü?
x
a : x - 3y + 6 = 0 doğrusu, f(x) = — + 2 fonksiyonu; aı : 3x - 1y = 6 doğrusu da; f-1(x) = 3x - 6
3
fonksiyonu olduğunu fark ettiniz mi?
düğmesinden, “ Nokta” seçeneğini tıkladıktan sonra a doğrusu üzerinde herhangi bir noktayı
tıklayınız. Sonra
düğmesinden “ Doğruda yansıt” seçeneğini tıklayınız. Sonra A noktasını
daha sonra da y = x doğrusunu tıklayınız. A ve
a 1 noktalarının
koordinatlarını karşılaştırınız. Bu
noktalar hangi fonksiyonunun üzerinde ve hangi doğruya göre simetrik olduğunu belirtiniz.
73
ojJ
T İL
ALIŞTIRMALAR
1.
f : R ^ R, f(x) = 3x - 7 fonksiyonunun ters fonksiyonunun kuralını
bulunuz.
2.
f, g : R ^ R, f(x) = 2x + 5 ve g(x) = - x + 4 fonksiyonları veriliyor.Aşağıdakilerden hangisi yan­
lıştır?
A. g-1(x) = - x + 4B. f-1(1) = -2
C. g-1(3) = 1
D. g(3) = 1 E. g-1(x) = x - 4
3. f : R ^
R, f(x) = ax + 4 ile g : R ^
R, g(x) = 3x - b fonksiyonları veriliyor. f -1(x) = g-1 (x) ise
a . b kaçtır?
A. -1 2
B. -6
C. 9
d.
12
E. 18
4. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
□
□
□
a. f : A ^ B, f(x) = mx + n , f(1) = -6 ve f -1(3) = 10 ise m = 5’tir
2x - 3
b. f(3x - 1) = ax - 5 ve f -1(2) = 7 ise a = 5’tir.
c. f : R - ' ■6 1 ^ R - {n} ve f(x) = 4x + 3 ise n = 4 ’tir.
15 J
5x —6
5
5. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. f, g : R ^ R, f(x) = 3x - 2 ve g(x) = x2 + 4 fonksiyonları veriliyor. (fog)(-1) = ...
b. f : R ^ R, f(x) = 3x - 7 fonksiyonu veriliyor. (fof)(a) = 8 ise a = ...
c. fog : R ^ R, (fog)(x) = 5x + 4 ve f(x) = x - 7 ise g(x) = ...
6. f, g : R ^ R, f(x) = - 3x + 5 ve g(x) = 2x - 3 ise (f-1og)-1(-2 )’ nin değeri aşağıdakilerden han­
gisidir?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
7.
f : A ^ B, f(x) = 3x - 5 veriliyor. f(A) = {-8, -5 , 1, 4} ise A tanımkümesini elemanlarıile yazınız.
8.
f : R ^ R, f(x) = 3x - 2 ise f-1(2x - 3) ifadesini bulunuz.
9.
f : R ^ R, f(x + 2) = 2x - c veriliyor. f(1) = 4 ise c kaçtır?
10.f, g : R ^ R, f(x) = -2 x + 3 ve g(x) = 3x - 2 fonksiyonları veriliyor.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
74
g-1(a) +
f-1(1) =f(-1) + g(-1)
11. f : R - { A } ^ R - ( A j , T(x) =
— 5 ise f-1 fonksiyonunun kuralını bulunuz.
ax + 3
12. f : A ^ B, f(x) = ---------- bire bir ve örten fonksiyonu veriliyor. f(x) = f-1 (x) ise a kaçtır?
5x - 2
A. -3
B. -2
C. 2
D. 3
E. 5
13. f, g : R ^ R, f(x) = -2 x 2 + 9 ve g(x) = x + 3 fonksiyonları veriliyor. (fog-1)(x) = ax2 + bx + c ise
a + b + c aşağıdakilerden hangisidir?
A. - 1
B. 1
C. 5
D. 19
E. 23
14. f :R — {3} ^ R - {7}, f(x) = 5x + 4 + 2 fonksiyonu veriliyor. f-1(9) un değerini bulunuz.
x- 3
15. f : R ^ R, f(2x - 5) = 8x + 4 ise f fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A. 16x - 36
B. 16x + 44
D. 4x + 24
E. 4x - 24
C. 4x - 16
16. f : R ^ R, f(4x - 3) = 3 - 4x ve f-1 (n + 2) = 10 ise n kaçtır?
A. -1 2
B. -1 0
C. 8
D. 10
E. 12
17. f : R ^ R, f(x) = 2x - 4 ve f -1(A) = [-1, 4) ise f(A) kümesinin eşiti olan sayı aralığını bulunuz.
3x - 1
18. f(x) = ---------- ve g(x) = -2 x + 3 olduğuna göre, fog-1 fonksiyonunu bulunuz.
19. f ve g fonksiyonlarının gra­
Y
fikleri yanda verilmiştir.
a. (gogog)(n) = 2 ise
n kaçtır?
b. (gof-1)(m) = - 4 ise
m + n kaçtır?
20. f : R ^ R, f(x) = 2x + 5 fonksiyonu için (fofofof-1)(x)’ i bulunuz.
75
Y
21. f : R ^ R, f(x) = 3x - 2 fonksiyonu veriliyor. f(4x) fonksiyonunu f(x) cinsinden bulunuz.
22. f-1(A) = [-3, 6) ve f(x) = 2x - 1 ise f(A) aşağıdakilerden hangisidir?
A. [-13, 23)
B. [-15, 21)
C. [6, -3 )
D. (-7, 11]
E. [-7, 11)
Y
23. R ’den R ’ye tanımlı f, g fonksiyonlarından f’ nin grafiği yanda
verilmiştir. g(x) = - 1 x + 1 ve (fofof)(m) = -2 , (fog-1)(n) = 5
ise m - n kaçtır ?
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 8
24. f : A ^ B, f(2x - 3) = x + 2 veriliyor. f(5) + f(15) toplamını bulunuz.
x- 1
2x - 1
25. f : A ^ B, f(x + 1) = ----------ise f(x - 1) in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
x+3
A 2x - 5
x+1
b
2x - 3
x+1
c
2x - 5
x+2
d
2x - 3
x+2
e
2x - 2
x+2
26. f : A ^ B, bire bir ve örten fonksiyondur. f(x + 3) = 2x + a fonksiyonunda f(a) + f -1 (a) = 12 oldu­
ğuna göre f(1) kaçtır?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
x+3
27. f : R ^ R , f(x) = — - — ise x in hangi değeri için f(x) = f-1 (x) olur?
A. 1
B. 2
C. 3
D. —
3
3
E. —
28. f : A ^ B, bire bir ve örten fonksiyondur. f(x) = x + a ve t-1 (3) = 2 ise f(0) kaçtır?
2x + 1
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
E. 14
3x - 2
29. f : R — {a} ^ R - {b}, bire bir ve örten fonksiyondur. f(x) = ---------- ise a + b kaçtır?
2x + 1
A. -2
B. - 3
2
C. -1
2
D. —
E. 1
x
30. Geogebra yazılım programı yazılımı ile y = 2x + 4, y = y - 2 ve y = x fonksiyonlarının gra­
fiklerini aynı koordinat sisteminde gösteriniz.
76
10.3.3. FONKSİYONLARLA İLGİLİ U Y G U L A M A LA R
10.3.3.1. İK İ M İKTAR (NİCELİK) A R A S IN D A K İ İLİŞKİYİ FONKSİYON K A V R A M I İLE
A Ç IK L A M A VE PROBLEM ÇÖZMEDE FONKSİYONUN GRAFİK VE TABLO TE M S İLİN İ
K U L LA N M A
y = f(x) = ax + b Fonksiyonunun G rafikleri ile İlg ili Uygulamalar
• y = f(x) = ax + b fonksiyonu doğrusal fonksiyondur. a, b e
ve sabit sayılardır.
• Bu doğrusal fonksiyonun grafiğinin eksenleri kestiği noktalar A(0, b), B (-— , 0)’dır.
ÖRNEK
İçinde bir miktar su bulunan bir varile bir muslukla su dolduruluyor.
Bu varildeki suyun yüksekliğinin zamana göre değişimi yandaki grafikte
gösterilmiştir. Kaç saniye sonra varildeki suyun yüksekliği 70 cm olur?
Çözüm
Şekildeki grafiğin denklemi y = ax + b olsun. Grafik üzerindeki
A(0, 10), B(2, 20) noktaları bu denklemi sağlar.
A(0, 10) ^ 1 0 = a . 0 + b ve b = 10’ dur.
B(2, 20) ^ 20 = a . 2 + 10 ve a = 5’tir.
y = ax + b = 5x + 10 bulunur. t saniye sonra suyun yüksekliği 70 cm oluyorsa,
x = t için 70 = 5t + 10 ondan, 5t = 70 - 10 = 60 ve t = 6 0 = 12’ dir.
5
12 saniye sonra varildeki suyun yüksekliği 70 cm olur.
ÖRNEK
Şekildeki, A ve B ağaçlarının boylarının yıllara göre değişimi gösterilmiştir.
Bu değişime göre kaçıncı yılda ağaçların boyları farkının 4 metre olacağını
bulalım.
Çözüm
Boylardaki değişimi gösteren grafikler doğrusaldır. Bu doğruların denk­
lemini veren fonksiyonlar y = ax + b biçimindedir.
A ağacının boyunun değişim fonksiyonu f(x) = m1x + 1,
B ağacının boyunun değişim fonksiyonu g(x) = m2x + 2’ dir.
D(2, 3) noktası bu fonksiyonların denklemlerini sağlar.
D(2, 3) ve f(x) = m1x + 2 ^ 3 = m1 . 2 + 1 den, m1 = 1 ve f(x) = x + 1’ dir.
g(x) = m2x + 1 ^ 3 = m2.2 + 2 den, m2 = - 1 ve g(x) = - 1 x + 2’ dir.
x yıl sonra boyları farkı 4 m olduğundan,
f(x) - g(x) = 4 ^ (x + 1) - (— x + 2) = 4 ^ x + 1 — —x - 2 = 4
2
2
^ 2x + 2 - x - 4 = 8 ^ x = 10 yıl bulunur.
77
ÖRNEK
Yandaki grafik bir hareketlinin hızının zamana göre değişimini gös­
termektedir. Grafiğe göre kaçıncı saniyede hareketlinin hızının 10 m/sn.
olduğunu bulalım.
Çözüm
Grafik, y = ax + b biçiminde bir fonksiyona aittir.
y = ax + b denklemi B(0, 2) ve A(2, 3) noktaları sağlar.
B(0, 2) ^ y = a . 0 + b ^ b = 2’dir.
^ y = — x + 2 bulunur.
2
A(2, 3) ^ 3 = a . 2 + 2 ^ a = — dir.
2
Ayrıca, yandaki şekle göre doğrunun eğimi
a = tana = — dir.
2 ’
Grafiğin y eksenini kestiği nokta da (0, 2) olduğundan,
y = ax + b = — x + 2 olur.
2
t saniye sonra hız y = 10 m/sn. olduğuna göre,
y = 1 x + 2 ^ 10 = — t + 2
2
2
20 = t + 4 ^ t = 16 bulunur.
ÖRNEK
Bir fıçı su ile doludur. Bu fıçının içindeki su, dibindeki bir
musluk tarafından boşaltılacaktır. Yandaki grafikte, suyun
musluk tarafından boşaltılmasının zamana göre değişimi
verilmiştir. Grafiğe göre kaç saniye sonra fıçıda 18 litre su
kalacağını bulalım.
Çözüm
Şekildeki grafik, denklemi y = ax + b olan fonksiyona
aittir. Grafik üzerindeki A(0, 30) ve B(50, 0) noktaları denklemi sağlar.
A(0, 30) ^ 30 = a . 0 + b ^ b = 30’dur.
B(50, 0) ^ 0 = a . 50 + b ve a = - - ^ = - -3 0 = - A ’tir.
50
50
5
y = ax + b = - — x + 30 bulunur.
5
Fıçıda 18 litre su kaldığında geçen süre x saniye olsun.
y = - — x + 30 ^ 18 = - — x + 30
5
5
^ 90 = -3 x + 150 ^ 3x = 150 - 90
3x = 60
x = 20’ dir.
20 saniye sonra fıçıda 18 litre su kalır.
78
Y
ÖRNEK
İçinde bir miktar su bulunan depoya, tekrar su ilave edilecektir.
Y
Depoya ilave edilen suyun miktarının zamana göre değişimi yan­
daki grafikte gösterilmiştir. Bu su deposu 12 saatte dolduğuna göre,
depoya ilave edilen suyun kaç m3 olduğunu bulalım.
Çözüm
Grafiğin denklemi y = ax + b olsun. Bu denklemi
B(0, 5) ve A(4, 8) noktaları sağlar.
B(0, 5) ^ 5 = a . 0 + b ^ b = 5’tir.
A(4, 8) ^ 8 = a . 4 + 5 ^ a = - ^ ’tür.
4
Fonksiyonun denklemi y = — x + 5’tir.
4
Depo 12 saatte dolduğuna göre,
y = — x + 5 ^ y = — . 12 + 5 = 9 + 5 = 14 m3 tür.
4
4
Depoda 5 m3 su olduğundan, ilave edilen su 14 - 5 = 9 m3 tür.
A rta n ve A zalan F o n ksiyo n la r
b il g i
[a, b] c [R ve f : [a, b] —* fR, f fonksiyonu verildiğinde;
1. Her x 1, x2 ¥ [a, b] için x 1 < x2 ^ f(x1) < f(x2) oluyorsa f fonksiyonu [a, b] nda artan bir fonksiyondur.
2. Her x 1, x2 ¥ [a, b] için x 1 < x2 ^ f(x1) > f(x2) oluyorsa f fonksiyonu [a, b] nda azalan bir fonksiyon­
dur.
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM
1.
Yanda, A = [a, c]’ ndan R ’ye tanımlı bir f fonksiyo-
Y
A
nunun grafiği verilmiştir.
teğet
İ
B /T
Grafiğe göre;
• [a, b] c A ve her x 1, x2 ¥ [a, b] için
x 1 < x2 ^ f(x1) < f(x2) olduğundan f fonksiyonu
f(x1)
[a, b] nda artan fonksiyondur.
• x 1 < x2 ^ x2 - x 1 > 0 ve f(x1) < f(x2) ise
x2 b
f(x2) - f(x1) > 0’dır.
►X
O hâlde,
her x 1, x2 ¥ [a, b] için f(x2) _ x(x1) > 0 ^ f, [a, b]’ nda artandır.
x2 - x 1
Şekle göre, A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) olduğundan
— xx l_ değeri AB doğrusunun eğimidir.
x2 - x 1
Bu eğim, f’ nin eğrisine çizilen ve AB doğrusuna (kesenine) paralel olan teğetin eğimidir.
79
Sembolik ifadeyle, grafik veya tablo ile verilen bir fonksiyonun belli bir aralıktaki
ortalama değişim hızı (kesenin eğimi) f(x2) - f(x ı) ile hesaplanır.
x0 - x <
2.
Yandaki grafikte, [b, c] c A ve her x 1 x2 ¥ [b, c] için
x 1 < x2 ^ f(x1) > f(x2) olduğundan, f fonksiyonu
[b, c] nda azalan fonksiyondur.
Grafiğe göre,
x 1 < x2 ^ x2 - x 1 > 0 ve f(x1) > f(x2) ^
f(x2) - f(x1) < 0’dır.
O hâlde, her x 1, x2 ¥ [b, c] için f(x2) - f(x1) < 0 ise
x2 - x 1
f fonksiyonu [b, c] aralığında azalan bir fonksiyon­
dur. Şekle göre, A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)) olduğun­
dan f(x2)— f(x1) değeri AB doğrusunun eğimidir.
x2 - x 1
• Bu eğim, f fonksiyonunun eğrisine çizilen ve AB doğrusuna paralel olan teğetin eğimidir.
Bir fonksiyonun belli bir aralıktaki her noktasından eğrisine çizilen teğetin eğimi
pozitif ise fonksiyon bu aralıkta artan; negatif ise fonksiyon bu aralıkta azalan­
dır.
3.
Bir önceki sayfadaki ve yukarıdaki şekilde f fonksiyonunun grafiği incelendiğinde, f fonksiyonu
(a, b)’ nda artan ve (b, c) nda azalan olduğundan, T(b, f(b)) noktası f fonksiyonunun maksimum
noktasıdır.
Y
Y
[a, b] nda azalandır.
2. grafikte, her x 1, x2 ¥ [b, c] için x 1 < x2 ^ f(x1) < f(x2) olduğundan f fonksiyonu [b, c]’ nda artandır.
f fonksiyonu [a, b] nda azalan, [b, c]’ nda artan olduğundan,
T(b, f(b)) noktası f fonksiyonunun m inim um noktasıdır.
80
5. R ’den R ’ye y = f(x) = ax + b fonksiyonu verilsin.
Bu fonksiyonun kuralı bir doğru denklemidir. Bu
denklemde a değeri y = ax + b doğrusunun eğimidir.
Bu eğim doğrunun grafiğinin x ekseni ile pozitif yönde
yaptığı açının tanjantıdır ve doğru üzerindeki A(x1,y 1),
y2 - y 1f(x2) -f(x 1)
B(x2, y2) noktaları için a =
bulunur.
x
2
x
2
ile
x
a > 0 ise x değerlerinin artmasıyla y değerleri de ar­
tar. Yani x 1 < x2 için f(x1) < f(x2)’ dir. O hâlde, fonksi­
yon artandır. Yandaki 1. grafiği inceleyiniz.
a < 0 için x değerlerinin artmasıyla y değerleri azalır.
x 1 < x2 için f(x1) > f(x2) olur. O hâlde, fonksiyon aza­
landır. Yandaki 2. grafiği inceleyiniz.
F o n ksiyo n u n P o z itif ve N e g a tif O ld u ğ u A ra lık la r
Yanda [a, d]’ ndan R ’ye tanımlı bir f fonksiyonunun
grafiği verilmiştir.
Grafiğe göre,
•
•
f fonksiyonunun pozitif olduğu aralıklar [(a, b) ile
(c, d)]’dır. Yani [(a, b) U (c, d)]’dir. Bu aralıklarda f
fonksiyonunun grafiği x ekseninin üstündedir. Yani
f fonksiyonu pozitif değerler alır.
X
f fonksiyonunun negatif olduğu aralık ise (b, c)’ dır.
Bu aralıkta f fonksiyonunun grafiği x ekseninin al­
tındadır. Yani f fonksiyonu negatif değerler alır.
ÖRNEK
R ^ R , tanımlı f fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. f fonksiyonunun pozitif ve negatif olduğu
aralıkları yazalım.
81
Çözüm
•
f fonksiyonunun pozitif olduğu aralıklar, f fonksiyonunun grafiğinin x ekseninin üstünde kalan kısım­
larına ait aralıklardır. Verilen grafiğe göre, bu aralıklar ( - °°, - 4), (-1, 5) ve (5, ») dur. O hâlde, bu
aralıkların birleşimi olan
A = ( - ~, - 4) U (-1, 5) U (5, ~)
kümesi f fonksiyonunun pozitif olduğu aralıkların birleşimidir.
•
f fonksiyonunun negatif olduğu aralıklar, f fonksiyonunun grafiğinin x ekseninin altında kalan kısımla­
rın aralıklarıdır. Verilen grafiğe göre, (- 4, -1 ) aralığı f fonksiyonunun negatif olduğu aralıktır.
ÖRNEK
R ’ den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların artan veya azalan olma durumlarını belirtelim ve
fonksiyonların grafikleri olan doğruların eğimlerini bulalım.
a. f : R ^ R, y =f(x) = — x + 2
3
b. f : R ^ R, y =f(x) = -3 x + 4
Çözüm
a. x’ in bazı değerleri için y değerlerini bulup tabloda gösterelim:
x
f(x) = -yx+2
x
x
-3
T(-3) = - y (-3) + 2 = 0
y
< x , < xn
-3
0 ^
0
3
2 ^
4
f(xO < f(*2) < f(x3)
0
T(0) =
3
f(3) = — . 3 + 2 = 4
3
.0 +2 =2
Her x 1, x2 ¥ R ve x 1 < x2 için f(x1) < f(x2) olduğundan, f R ’de artandır. Aşağıdaki grafiği inceleyiniz.
2 x + 2 = ax + b ise doğrunun
2
f(x) = —
eğimi a = — ’tür.
Ayrıca, x 1 = -3 ve x2 = 0 için
a=
f(xO - f(x2)
x1 - x2
0- 2
-3 - 0
Y
-2
-3
— ’tür.
Doğrusal fonksiyonlarda, ortalama değişim hızı
sabittir. y = ax + b fonksiyonu için ortalama değişim
hızı a değerine eşittir. Yani doğrunun eğimi a’ dır.
82
b. x in bazı değerleri için y değerlerini bulalım ve tablo üzerinde gösterelim.
x
f(x) = -3x + 4
-1
f(-1) = -3(-1)+ 4 = 7
0
f(0) = -3 . 0 + 4 = 4
1
f(1) = -3 . 1 + 4 = 1
x 1 < x2 < x3
x
...
y
...
-1
0
1
...
7 ^ 4 ^ 1 ...
f(x1) > f(x2) > f(x3)
Her x 1, X2 ¥ R ve x 1 < X2 için f(x1) > f(x2)
Doğrunun eğimi a =
olduğundan, f R’de azalandır.
f(xı) - f(x2)
7 - 43
= - 3 ’tür.
-1
- 1 -0
ÖRNEK
f : R ^ R, f(x) = (x - 2)2 fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
Bu fonksiyonun artan ve azalan olduğu sayı kümelerini belirte­
lim.
y = (x - 2)2
Çözüm
f(x) = (x - 2)2 fonksiyonunda x ¥ {-1, 0, 1, 2, 3, 4} için y değerlerini
bulalım ve tablolar üzerinde gösterelim.
1
+-X
x
f(x) = (x - 2)2
-1 < 0 ^ f(-1) = 9 > f(0) = 4,
-1
f(-1) = (-1 - 2)2 = 9
0 < 1 ^ f(0) = 4 > f(1) = 1,
0
f(0) = (0 - 2)2 = 4
1 < 2 ^ f(1) = 1 > f(2) = 0,
1
f(1) = (1 - 2)2 = 1
2 < 3 ^ f(2) = 0 < f(3) = 1 ve
2
f(2) = (2 - 2)2 = 0
3 < 4 ^ f(3) = 1 < f(4) = 4’tür.
3
f(3) = (3 - 2)2 = 1
4
f(4) = (4 - 2)2 = 4
A
B
x
...
- 1
0
1
y
...
N» 9
4
1
Nı
x artarken y azalmış
2
3
4
0
1
4
x artarken y de artmış
Yukarıdaki 2. tabloya göre;
• A = {x: x < 2, x ¥ R}, x 1, x2 ¥ A ve x 1 < x2 için f(x1) > f(x2) olduğundan,
f fonksiyonu A kümesinde azalandır.
• B = {x: x > 2, x ¥ R}, x 1, x2 ¥ B ve x 1 < x2 için f(x1) < f(x2) olduğundan,
f fonksiyonu B kümesinde artandır.
• y’ nin en küçük değeri 0’dır. Bu değer fonksiyonun minimum değeridir.
• Grafiğin eksenleri kestiği noktalar (0, 4) ve (2, 0) noktasıdır.
83
ÖRNEK
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonların artan veya azalan olduğu aralıkları belirtelim.
a.
Y
b.
Y
a. f(x) = x + 2 fonksiyonunda her x 1; X|¥ R ve x 1< X| için x 1 + 2 < X| + 2 yani
f(x1) < f(x|) olduğundan, bu fonksiyon R de artan bir fonksiyondur.
b. f(x) = 2 - x fonksiyonunda her x 1, x | ¥ R ve x 1 < x | için 2 - x 1 > 2 - x | yani
f(x1) > f(x|) olduğundan, bu fonksiyon R de azalan bir fonksiyondur.
c. f(x) = 2x fonksiyonunda her x 1, x2 ¥ R ve x 1 < x2 için 2x1 < 2x2 yani
f(x1) < f(x|) olduğundan, bu fonksiyon R de artan bir fonksiyondur.
ÖRNEK
f : R+ ^
R, y = f(x) = — fonksiyonunun grafiği yanda verilmiştir.
Y
f fonksiyonunun artan veya azalan bir fonksiyon olup olmadığını be
lirtelim.
Çözüm
x ¥ {1, 2, 4} için y değerlerini bulalım ve tablo üzerinde göstere►
lim.
f(x) = -2
v' x
1
f(1) = -2 = 2
2
f(2) =
4
=1
f(4) = T = 2
2
2
Her x 1, x | ¥ R+ ve x 1 < x | için — > —
x
x
azalan bir fonksiyondur.
1
2
3
x
<
2
x
<
x1
x
x
...
1
y
...
2 N
2
4
...
1
1
...
2
X
f(xO > f(x|) > f(x3)
yani
84
2
f(x1) > f(x|) olduğundan, f(x) = — fonksiyonu
x
ÖRNEK
3x — 9
f, g : R ^ R, f(x) = —— — ve g(x + 3) = 4x + 6 fonksiyonları veriliyor. (f-1og)(3) değerini bulalım.
Çözüm
(f-1og)(3) = f -1(g(3)) olduğundan, önce g(3) değerini bulalım:
g(x + 3) = 4x + 6 ^ g(x) = 4(x - 3) + 6 = 4x - 12 + 6 = 4x - 6’dır.
g(3) = 4 . 3 - 6 = 12 - 6 = 6 bulunur.
f(x) =
3x - 9
x- 2
x 2x - 9
f 1(x) = ------ — ’tür.
x- 3
g(3) = 6 ^ f -1(g(3)) = f -1 (6) =
2 .6 -9
6- 3
12 - 9
3
= 1 ’dir.
Y
ÖRNEK
Şekilde f fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
a. AB keseninin eğimini bulalım.
b. (fofof)(n) = 7 ise n değerini bulalım.
Çözüm
a. A(-4, 3) ve B(-1, 5) ise AB keseninin eğimi
mAB =
f(x 1) - f(x 2)
f ( - 4) - f ( - 1)
3- 5
x 1 - x2
- 4 - ( - 1)
- 4+ 1
b f(f(f(n))) = 7,
“ İZ_____
f f ( n ) ) = 0,
1
----------------^ f(n ) = 5,
Z -------------- > n = - 1 ’dir.
ALIŞTIRMALAR
1.
Y
k Kâr(Lira)
Bir tüccar x kg lık mal satışında y lira kâr etmektedir. x ile y arasındaki
bağıntının grafiği şekilde verilmiştir. y’ nin negatif değeri zararı gösterdi­
Mal(kg
ğine göre tüccarın kâr edebilmesi için tam sayı ile ifade edilen en az kaç
kg lık mal satması gerektiğini bulunuz.
2.
Yandaki grafikte, bir fabrikadan satılan mal miktarı ile gelir ve gider arasındaki ilişki gösterilmiştir. Buna göre 20 ton satış yapılırsa kâr kaç br
olur?
Y
4
3
►X
mal (ton)
3.
f : R ^ R, f(x) = x2 - 7x + 10 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiğini A(3, n), B(6, t) nok­
talarında kesen doğrunun eğimini bulunuz.
85
ÜNİTE S O N U DEĞERLENDİRM E SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. f : R ^ R , f(3x + 2) = 5x - 6 ise f-1(-1) = .........
b. f, g : R ^ R, f(x) = x + 3 ve (fog)(x) = 2x + 1 ise g(x) = .........
c. f(x) = 3x + 4 ve g(x) = 4x + 1 ise (f-1og)3) = .........
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. f fonksiyonu verildiğinde, y = f(x) + 3 dönüşümü, f fonksiyonunun grafiğinin
y ekseninin pozitif yönde 3 br ötelenmiş biçimidir.
Q
b. f(x) = x - 3 ve (gof)(x) = 2x + 2 ise g(x) = 2x + 5’tir.
Q
c. f : R+ ^ R+, f(x) = x4 ise f-1(16) = 2’dir.
□
x+1
3. y = f(x) = x - 3 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun ve y = f(-x) dönüşümünün grafiğini aynı koor­
dinat sisteminde çiziniz.
4.
R ’ den R ’ye f(x) = 2x - 4 ve g(x) = - x + 2 fonksiyonları veriliyor. f, g ve f + g’ nin grafiğini aynı
koordinat sisteminde çiziniz.
5. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri tek, hangileri çift fonksiyondur?
a. f : [-2, 2] ^ R , f(x) = 1 - x2
ç. f : R ^
b. f : R ^ R , f(x) = 2c. f : R ^ R , f(x) = x3 - 2x
R , f(x) = x2 + |x| + 3d. f : R ^ R , f(x) = x2 - x + 4
6. f, g : R ^ R, f(x) = 3x - 8, g(x) = -2 x + 5 fonksiyonları veriliyor. fog ve gof fonksiyonlarını bulunuz.
7. f ve g bire bir ve örten iki fonksiyondur. (g-1of)(x) = 5x - 8 ve f-1(3) = 2 ise g(2) değerini bulunuz.
8.
f(x) = 3x +1, (g o f)(x) = 9x2 + 6x + 1 ise g fonksiyonunu bulunuz.
9.
f(x) = 3x +1, (f o g)(x) = 9x2 + 6x + 1 ise g fonksiyonunu bulunuz.
10. f(x + 1) = 3x + 2 ise aşağıdakilerden hangisi tek fonksiyondur?
A. y = f(x)
B. y = f(x) + 2
C. y = f(x) + 1
D. y = -f(x)
11. Aşağıda kuralları verilen fonksiyonlardan hangisi çift fonksiyondur?
A. f(x) = 2x + 3
D. f(x) = 2x2 - 4x
B. f(x) = x2 + 2x + 1
C. f(x) = x2 + 3
E. f(x) = x3 + x2
86
E. y = 1 - f(x)
Y
12. Yanda grafiği verilen f fonksiyonu için (f o f o f)(n) = 4 ise
n değeri kaçtır?
A. -1
B. 0
D .4
E .5
C. 3
13. Bir tüccar x liraya aldığı malı y liraya satmaktadır. x ile y arasında y = 5x - 450 bağıntısı vardır. Sa­
tılan bir maldan elde edilen kârın o malın maliyetinden az olması için maliyet fiyatı (tam sayı olarak)
en çok kaç lira olur?
14. f ve g fonksiyonları bire bir ve örten iki fonksiyondur. (g-1of)(x) = 5x - 12 ve f-1(6) = 4 ise g(8) değeri
kaçtır?
A. 5
B. 6
C. 7
d.
8
E. 9
15. f doğrusal fonksiyondur. f(3) = 5 ve f(5) = 3 olduğuna göre, (f o f) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A. 3x + 5
B. - x
C. - x + 8
D. x
E. x + 16
16. f(x) = x2 + 2x, (g o f)(x) = 3x2 + 6x + 1 olduğuna göre, g(-1) kaçtır?
A. 3
B. 2
C. 1
D. -1
E. -2
17. f(x) = x2 + 2x, (f o g)(x) = x2 - 4x + 3 olduğuna göre, g fonksiyonunun kurallarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A. x + 2
B. x + 1
C. x - 3
D. x -1
E. x
18. Şekildeki grafik, bir cismin sıcaklığının zamana bağlı olarak de­
ğişimini göstermektedir. Kaçıncı dakikada cismin sıcaklığı 15°C
olur?
A
19. Şekilde, A ve B araçlarının zamanla aldığı yolların değişimi gö­
rülmektedir. Buna göre, ikisinin harekete başlamasından 6 saat
sonra A aracı B aracının kaç km uzağına gitmiş olur?
A. 10
B. 15
D. 25
E. 30
C. 20
87
20. Yanda verilen grafiklere göre, aşağıda­
kileri hesaplayınız.
Y
Y
a. (f o g)(2)
b. (gof)(4)
c.
(g o f)(0)
(f o g)(0)
Y
21. R ’den R ’ye tanımlı f ve g fonksi­
yonlarının grafikleri yanda veril­
miştir. (f-1og)(0) = a değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A. -2
B. -1
D. 1
E. 2
-► X
C. 0
22. f : R ^ R, f(x) = — x - 4 ise aşağıdakilerden hangisi f 1 fonksiyonunun kuralıdır?
3
3
A. — x + 4
-3 x
B .----- + 4
3x + 12
d . ----------
E. 3x + 6
5x - 2
23. f : R - {n} ^ R -{5 }, f(x) = --------- fonksiyonu veriliyor. f(x) = f 1(x) ise n kaçtır?
x- n
A. -5
B. -2
D. 2
C.
E. 5
24. Z ^ Z , tanımlı aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin tersi Z ’den Z ’ye bir fonksiyondur?
A. f(x) = 2x + 3
B. f(x) = 2x
D. f(x) = x + 2
E. f(x) = 3x + 6
C. f(x) = -2 x + 1
3x - 2
25. f : A ^ B bire bir ve örten f fonksiyonu, f(x) = ---------ise f 1 fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden
2x + 1
hangisidir?
A.
3x - 2
2x - 1
B.
-x + 2
2x - 3
C.
-x - 2
2x + 3
D.
x+2
3 - 2x
E.
-x + 2
-2 x - 3
26. f : R ^ R, f(x) = 2x-3 ve f(x + 4) = 64 ise x kaçtır?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
27. f : R ^ R, f(x) = - x + 6 ise fof = f-1 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
A. -3
B. -2
C. 3
D. 4
88
E. 6
28. f : R ^ R, f(5x - 9) = 3x - 4 ise f-1(5) kaçtır?
A. -1
B. 1
C. 5
D. 6
E. 11
29. f, g : R ^ R, f ve g fonksiyonları için f(x - 2) = 6x - 5 ve g(x) = -3 x + 2 ise (fog-1)(-4) ifadesinin
değeri kaçtır?
A. 6
B. 7
C. 14
D. 15
E. 19
30. f, g : R ^ R, f ve g fonksiyonları için (gof-1)(x) = 8x - 6, f(5) = 2 ise g-1(10) kaçtır?
A. 2
B. 4
31. f, g 0 R ^
kaçtır?
C. 5
D. 6
E. 8
R, f ve g fonksiyonları için f(x) = 3x - n, g(x) = 4x + 5 ve (fog)(x) - (gof)(x) = 22 ise n
A. - 6
B. -3
C. 3
D. 4
E. 5
32. f, g : R ^ R, f(x) = 3x, g(x) = x - 3 fonksiyonları veriliyor. (fog)(x) in f(x) cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A. M
27
B. 4f(x)
C. T(x)
9
D. 3f(x)
E. 9f(x)
33. f(x) = ax + b fonksiyonu için f(1) = 2 ve f(2) = 1 ise f(3) kaçtır?
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
E. 2
34. f, g : R ^ R, f(x) = -3 x + 5, g(x) = - x + 2, (fog- 1 )(a) = 11 ise a kaçtır?
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
E. 1
35. f, g : R ^ R, f(x) = 3x + 6, (gof)(x) = 6x + 4 ise g-1 (-2) kaçtır?
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
E. -4
36. f, g : R ^ R, f ve g fonksiyonları:
2 - x, x < -1 ise
f(x) =
8,
x > -1 ise
biçiminde tanımlanıyor. Buna göre
A. 8
B. 16
x2, x > 1 ise
-2 x + 3, x < 1 ise
f(—14)
g (8)
V(1^ + 7(2)" toplamı kaçtır?
C. 24
D. 36
E. 72
37. f :R ^ R. f(x) = x2 - 6x + 5 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiğini A(2, y 1), B(6, y2) noktala­
rında kesen doğrunun eğimini bulunuz.
89
v
III . BÖLÜM: GEOMETRİ
ANALİTİK GEOMETRİ
Giriş
Batılı matematikçiler, analitik geometriyi; Fransız matematikçi ve filozofu
Rene Descartes (1596 - 1650) ile başlatır.* Oysa Descartes’ten yaklaşık 1000
yıl önce yazılmış matematik kitaplarında analitik geometri ile ilgili konular vardır.
Descartes’ten önce Harezmi (780 - 850) bazı ikinci derece denklemle­
rin geometrik yolla çözümünü yapmıştır. Descartes’ten 600 yıl önce de Ömer
Hayyam'ın (1016 - 1123) analitik geometri ile ilgili problemlerin gometrik yolla
çözüm yollarını ortaya koyduğu ve bazı cebir problemlerini de geometrik yolla
çözdüğü bilinmektedir.
Günümüzde matematiğin bir dalı olarak yerini alan analitik geometriyi en
çok da kadastro mühendisleri kullanır.
Başlangıcı dik koordinat sistemi olan analitik geometrinin günlük hayatta
uygulanmasına aşağıdaki örnekler verilebilir:
• Tiyatro salonunda, biletlerin belirttiği koltuk numaralarına karşılık gelen
yeri bulma,
• Amiral battı oyunu,
• Haritalarda bir ülkenin bir kentinin yerini belirtme, enlemi ve boylamı bili­
nen bir kentin yerini bulma ... gibi.
•
(Descartes Hayatı ve Eserleri - 1963 - M EB Basım evi)
Matematik Tarihi ve Türk İslam Matematikçilerinin Yeri - Göker, Lütfi M EB Yayınevi 1997.
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Analitik düzlemi, iki nokta arasındaki uzaklığı bulmayı öğreneceğiz.
2. Bir doğru parçasını belli oranda (içten veya dıştan) bölen noktaların koordinatlarını bul­
mayı, bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmayı, bir üçgenin ağırlık
merkezinin koordinatlarını bulmayı öğreneceğiz.
3. Analitik düzlemde doğrunun denklemini oluşturmayı, bir doğrunun eğimini ve eğim açı­
sını, iki noktası verilen doğrunun denklemini ya da eğimi ile bir noktası verilen doğru­
nun denklemini oluşturmayı, eksenlere paralel doğruların denklemlerini, iki doğrunun
birbirine göre konumlarını, bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanmayı öğreneceğiz.
4. Bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını bulmayı ve uygulamalar yapmayı öğreneceğiz.
L
90
V
10.4.1. D O Ğ R U N U N ANALİTİK INCELLENMESI
10.4.1.1. ANALİTİK DÜZLEMDE IKI NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIĞI VEREN BAĞINTIYI
BULMA VE UYGULAMA YAPMA
Radar ekranının bir analitik düzlem olduğunu biliyor musunuz?
Türkiye haritasını inceleyerek bulunduğunuz ilin hangi enlem
ve boylamda olduğunu söyleyiniz.
A n a litik Düzlem
BİLGİ
Sıfır sayısına karşılık gelen noktalarında birbirine dik olan iki sayı doğrusunun (ekseninin) oluştur­
duğu sisteme düzlemde d ik koordinat sistem i; üzerinde koordinat sistemi bulunan düzleme de
analitik düzlem denir.
Koordinat sisteminde, üzerinde apsislerin gösterildiği doğruya apsisler ekseni; ordinatların göste­
rildiği doğruya da ordinatlar ekseni denir. Apsisler ekseni üzerindeki noktalar (x, 0), ordinatlar ek­
seni üzerindeki noktalar (0 , y) biçimindedir. O(0 , 0) noktasına da başlangıç noktası (orijin) denir.
ay
ÖRNEK
Analitik düzlemde A(2,3) noktasını gösterelim.
A (2,3)
3
Çözüm
Analitik düzlemde A(2,3) noktasının yeri, x ekseni üzerindeki (2,0)
noktasından x eksenine, y ekseni üzerindeki (0,3) noktasından y ekseni­
ne çizilen dikmelerin kesim noktasındadır.
-►X
2
0
AY
ÖRNEK
Köşelerinin koordinatları A(-1, 3), B(-4, -1 ) ve C(2, -2 ) olan ABC
üçgeni yandaki analitik düzlemde gösterilmiştir. İnceleyiniz.
A(-1,3)
3
+-X
C(2,-2)
A n a litik Düzlemde Bölgeler
Koordinat sitemini oluşturan eksenler, analitik düzlemi 4 böl­
geye ayırır. Analitik düzlemde verilen bir A(x,y) noktasının koordi­
natları;
•
x > 0 ve y > 0 ^ A noktası, I. bölgede,
•
x < 0 ve y > 0 ^ A noktası, II. bölgede,
•
x < 0 ve y < 0 ^ A noktası, III. bölgede,
•
x > 0 ve y < 0 ^ A noktası, IV. bölgededir.
AY
II. Bölge
x<0
y>0
I. Bölge
x>0
y>0
-►X
0
III. Bölge
x<0
y<0
91
IV. Bölge
x>0
y<0
ÖRNEK
A(n - 5, 3) ve B (- 4, n + 2) noktaları analitik düzlemin aynı bölgesinde ise n’ nin alabileceği tam sayı
değerlerini bulalım.
Çözüm
A ve B noktaları analitik düzlemde aynı bölgede ise bu noktaların koordinatlarının işaretleri aynıdır.
A noktasının ordinatı 3 > 0 ve B noktasının ordinatı
n + 2 > 0 ’dır. 1
B noktasının apsisi - 4 < 0 ve A noktasının apsisi n - 5 < 0 ’ dır. 2
1 ve 2 den, n > - 2 ve n < 5 ^ -2 < n < 5 olur.
n ¥ { - 1, 0, 1, 2, 3, 4}’tür.
A n a litik Düzlemde İki Nokta Arasındaki Uzaklık
A
Yanda sayı doğrusu üzerindeki noktalardan;
C
O
C noktasının başlangıç noktasına olan uzaklığının
|OC| = |x| ve
A ile B arsındaki uzaklığın da |AB| = |b - a| = |a - b| = b - a > 0 olduğunu hatırlayalım.
—
i
e t k in lik
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
AY
1. Bir koordinat sistemi çiziniz. Bu koordinat sisteminde, A(x1, y 1) ve
B(X2, y2) noktalarını yandaki şekilde görüldüğü gibi gösteriniz.
• Şekildeki ABC dik üçgenini oluşturarak |BıCı| ve |A"CM|’ nu veren ifade­
lerini yazınız.
• |BıCı| = |BC| ve |AMC"| = |AC| olduğuna göre, ABC dik üçgeninde Pisagor
teoremini uygulayarak |AB|’ nu veren bağıntıyı yazınız.
a1
1
y1
y2
0
A(x1,y1)
C
c1
1
B(X2,y2)
x2
- ^ X
2. A(7,6) , B(3,3) için |AB|’ nu bulunuz.
ÖRNEK
Analitik düzlemde A(3, 5), B(7, 1) noktaları veriliyor. Bu
noktalar arasındaki uzaklığı bulalım.
Analitik düzlemde uç noktaları
A(x1, y 1), B(x2, y2) olan [AB]’ nın
uzunluğu,
Çözüm
IABI = 7 ( x 1 - x 2) 2 + (y1 - y 2) 2 ile
A(3, 5), B(7, 1) ^ IABI = 7(3 - 7) 2 + (5 - 1) 2
bulunur.
= V16 + 16 = -/32 = 4 ^2 br’dir.
ÖRNEK
A(-3, 4), B(5, n) ve IABI = 10 br ise n değerini bulalım.
Çözüm
IABI = 7 ( - 3 - 5) 2 + (4 - n) 2 = 10 ^
64 + (4 - n)2 = 100
(4 - n)2 = 100 - 64 = 36
4 - n = + 6 ^ n1 = -2
92
veya n2 = 10’dur.
10.4.1.2. BİR DOĞRU PARÇASINI BELLİ ORANDA (İÇTEN VEYA DIŞTAN) BÖLEN
NOKTALARIN KOORDİNATLARINI HESAPLAMA
Uç Noktalarının Koordinatları Verilen Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları
At
BİLGİ
Analitik düzlemde uç noktaları; A(x1, y 1), B(x2, y2) olan [AB]’ nın orta noktası,
C(Xq, yo) ise x q —
X1 + x2
yi + y2> H .
2
ve y Q- — 2— dir.
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
Uç noktaları A(x1, y 1), B(x2, y2) olan [AB]’ nın orta noktası D(xq, yQ) olsun.
|y
Şekle göre,
IBDI =
IDAI^ ADE = DBC’ dir (A.K.A.).
IBCI =
IDEI^ xq - x2 = x 1 - xq
x 1 + x2
2Xq = Xi + X2^ Xq = — 2— ’dir.
IDCI =
IAEI^ yQ - y2 = y 1 - yQ ve
^X
y 1+ y 2
2yo = yi + y2 ^ yo = — 2— ’dir.
/X 1+ x 2 y 1+ y 2 \
O hâlde, D(xq, yQ) = D (----- -----, — - — ) bulunur.
ÖRNEK
A(4, - 5), B(2, 1) ve [AB]’ nın orta noktası D(xq, yQ) ise
xq +
yQ değerini bulalım.
Çözüm
xq =
Q
D(xQ,yo)
1-------- tf----------- 1----------- ti-------- 1
A(4, -5)
xq +
X1 + X2
2
_ y 1+ y 2
y0 _
o
B(2, 1)
4+ 2
2
o
6
2
3,
- 5 + 1- 4
o = - 2 ’ dir.
yQ= 3 + (-2) = 1 bulunur.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan, “ Cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız. Giriş bölü­
müne A _ (a, b) gibi bir nokta yazarak “enter” tuşunu tıklayınız. Benzer şekilde bir B noktası da
yazınız.
den,
düğmesinden, “ Doğru parçası” seçeneğini tıklayarak [AB] çiziniz. A
düğmesin-
“ uzaklık veya uzunluk” seçeneğini sonra [AB]’ nı tıklayarak |AB|’ nu bulunuz.
düğmesinden, “ Orta nokta veya merkez” seçeneğini sonra [AB]’ nı tıklayarak [AB]’ nın orta
noktasını (C) bulunuz. Doğru parçası çizimi yardımı ile [AC]’ nı tekrar çizdiriniz, ‘j v “ uzaklık veya
1
uzunluk” seçeneğini tıklayarak |AC|’ nı bulunuz. |AC| _ — . |AB| olduğunu görünüz.
93
ÖRNEK
A(-2, 5), B(2, 3), C(a, b) noktaları doğrusal ve IABI = IBCI ise C noktasının koordinatlarını bulalım.
Çözüm
I. Yol
A, B, C noktaları doğrusal ve IABI = IBCI ise B noktası [AC]’ nın orta noktasıdır.
A(-2, 5)
B(2, 3)
II
2=
C(a, b)
IABI = IBCI
II
3=
2„+ a ^ a = 6 ve
2
5+ b
2
b = 1’ dir. C(6, 1) bulunur.
II. Yol
Verilen noktaları analitik düzlemde gösterelim:
1. şekilde, j AB7 = |A'B^ = k’ dir (Tales toremi 1).
9
|BC|
|BıCı|
IABI = IBCI ^ k = 1’ dir. A’dan B’ye apsisler arasın­
daki değişim kaç br ise B’den C’ye de aynıdır. Bu durum
ordinatlar için de geçerlidir. 2. şekli inceleyelim. A’dan B’ye
apsisler arasındaki değişim 4 br artmış B’den C’ye de 4 br ar­
tar. a = 2 + 4 = 6’dır. Ordinatlarda da A’dan B’ye 2 br azalmış,
B’den C’ye de 2 br azalır. b = 3 - 2 = 1 bulunur. Bu yol, si­
metri konusunda ve bir doğru parçasını verilen bir oranda
bölen noktanın koordinatlarının bulunmasında kolaylık sağ­
lar. Burada A ile C noktaları B noktasına göre simetriktir.
4 br artmış
A(-2, 5)
4 br artar
B(2, 3)
ti-------- 1-—---- H-
2 br azalmış
C(a, b)
2 br azalır
ÖRNEK
Köşelerinin koordinatları; A(-1, -3), B(6, 2), C(9, 13) ve D(a, b) olan ABCD dörtgeni bir paralelkenar
ise D noktasının koordinatlarını bulalım.
Çözüm
Bir paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
ABCD paralelkenar ise IEAI = IECI ve IEBI = IEDI’dur. E(x0, y0) ise
IAEI = IECI ^ x0 =
- 1
9
.
—= 4
- 3 + 13
y 0 = — 5— = 5 t ir .
IEBI = IEDI ^ x0 = - ^ y 6- = 4 ^ a = 2 ve
y0 = b ^ 2 = 5 ^ b = 8’ dir. D(2, 8) bulunur.
Uç Noktalarının Koordinatları Verilen Bir Doğru Parçasını, Verilen Bir Oranda (İçten veya
Dıştan) Bölen Noktanın Koordinatlarını Bulma
İNCELEYEREK ö ğ r e n e l i m
---------------------------------------------------------
Uc noktalarının koordinatları; A(x1, y 1), B(x2, y2) olan [AB]’ nı k (k ¥ R) oranında içten ve dıştan
bölen noktalarının koordinatlarını bulalım.
94
1.
AB doğru parçasını, k oranında içten bölen nokta C(x, y)
ve A, B, C noktalarının x ekseni üzerindeki dik iz düşüm­
leri A', B', C' olsun.
CAD ~ BCE ’ dir (A. A. A. benzerlik teoremi).
IACI
IADI
Bu benzerlikten, -jC ğf = fCET = k ’ dir.
►X
IADI = Ia' C I = x - x 1 ve ICEI = IC B'I = x2 - x’tir.
IADI
ICEI
x - x1
x - x = k & x - x 1 = k(x2 - x)’dir.
x - x 1 = kx2 - kx
x 1 + kx2
2 ’dir.
x + kx = kx2 + x 1 ^ x (1 + k) = x 1 + kx2 ^ x = —1
+k
kx „
ky2
- - k-y-2- bulunur. O hâlde, C(x, y) ^ C
olur. k = 1
Benzer biçimde, y = -y-1- +
1+k
/ x 1+ x 2 y 1+ y 2 \
ise C noktası doğru parçasının orta noktası olur. Bu durumda, C(x, y) = C (— - — , — - — ) ’dir.
2. AB doğru parçasını, k oranında dıştan bölen nokta
D(x0, y0) olsun. Şekle göre,
IDAI
IDBI
IGAI
IFBI
D(x0,y0)
ID'A'I
= k ’dir.
ID' B' I
ID 'A 'I
x "0 - xx 1
ID 'B 'I
x0 - x 2
= k ^ x0 - x 1 = kx0 - kx2
-;G
x0 - kx0 = x 1 - kx2
|D U x
x0 (1 - k) = x 1 - kx2
x 1 - kx2
xn =
x 1 - kx2 y 1 - ky2
y 1 - ky2
y0 =
Benzer biçimde,
1- k
dir. O hâlde, D(x0, y0) ^ D
1- k
1- k
1- k
olur.
ÖRNEK
IACI
1
IDAI
1
Uç noktaları; A(1, 8), B(-9, 12) olan [AB] veriliyor.
= 3 oranında içten bölen C, -Ioğr = 3 ora­
nında dıştan bölen D noktasının koordinatlarını bulalım.
Çözüm
a. I. Yol
C(x,y) ve k = 1 ise
x 1 + kx2
x= ~ mr~ =
1+ i
( - 9)
.+ 1
3
- 2
3
—
=3
y 1 + ky 2
8 + 3 -12
2 ve y= - r+ ^ = — t
3
C(x, y) = C (- -3 , 9) bulunur.
95
12
=
9’ d
T = 9dur.
3
II. Yol
B(-9, 12)
Verilen noktaları analitik düzlemde gösterelim.
IACI = k = 1 & IACI = IA'C'I =
1- x
ICBI
3 & ICBIIC'B'I
x - ( - 9)
Y
=
3
C(x, y)
A(1, 8)
3(1-x) - x + 9
3 - 3x - x + 9
- 4x - 6
C'
X0
6
3-’dir.
x- —- =- —
-4
2
A — wX
1
• Benzer şekilde, C noktasının ordinatı bulunur.
• C noktasının ordinatını vektörel yolla bulalım.
IACI ile CB aynı doğrultulu ve aynı yönlüdür.
IACI - k. ICBI (k > 0) ve
ICBI
= k & y -8 = 1 ^
12 - y
3
3y - 24 - 12 - y ^ 4y - 36
y
y
y - 9’ dur.
O hâlde, C(x, y) - C ( - —,9 ) bulunur.
III. Yol: C noktasının koordinatlarını orantı yoluyla bulalım.
n
3n
IACI
ICBI
1
IACI - n ve ICBI - 3n alınabilir.
B(-9, 12)
C(x, y)
A(1, 8)
10
Apsisler arasında 4n için 10 br azalma olmuş, n için — br azalmaolur. Anoktasınınapsisi
- .
~
14
h 10
4 -1 0 - 6
ğundan, C noktasının apsisi x = 1 — — = — 4— = - 4 - = - —’dir.
1 oldu­
3 , ..
Ordinatlar arasında 4n için 4 br artma olmuş, n için 1 br artma olur. Anoktasının ordinatı8 olduğun­
dan, C noktasının ordinatı y - 8 + 1 - 9 olur. C ( - - 2 , 9 j bulunur.
b. [AB]’ nı -ID A - - ^ oranında dıştan bölen nokta D(x0, yQ) olsun.
I. Yol
D(x0, yQ) noktasının koordinatlarını formülle bulalım.
x =
0
x 1 kx2
1
3 . ( 9)
1 -k
1+ 3
=_ _
. , k y2
. y Q= _y 1_
= 6 d ır.
A(1, 8)
B(-9, 12)
8 3 12
8 -4
'- 3
II. Yol: DA - k. DB (k > 0) olduğundan,
IDAI
1 -x o
1
= — ^ 3 -3 x 0 - -9 - xQ
'o ^
9 xo
3
IDBI
IDAI
IDBI
8
-2 x 0
o - -1 2 ^ x'oQ- 6 ve
yo
1
.= - ^ 24 - 3yo - 12 - yo
12- y o
3
-2y0 - -1 2 ^ yQ- 6’ dır. D(x0, yQ) - D(6, 6) bulunur.
96
D(xq, yo)
= 6’dır.
III. Yol
Orantı ile çözüm
IDBI
= -1 = - n ^ IDAI = n, IDBI = 3n ve IABI = 2n’ dir.
3
3n
B(-9, 12) 2n
A(1, 8)
n
D(Xo, Yq)
3n
Apsisler arasında; 2n için 10 birim azalma olmuş;
n için 5 birim azalma olur.
Buna göre, x0 - 5 = 1 ^ x0 = 6’ dır.
Ordinatlar arasında; 2n için 4 birim artma olmuş;
n için 2 birim artma olur.
Buna göre, y0 + 2 = 8 ^ y0 = 6’ dır.
O hâlde, D(x0, y0) = D(6, 6) bulunur.
ÖRNEK
A(1, 10)
Şekildeki ABC üçgeninde, A ve B köşelerinin koordinatları;
A(1, 10), C(15, -1 1 )’ dir. B açısının açıortayının [AC] kenarını
IABI
3
kestiği nokta D ve ı g c = 4 ise D noktasının apsisini bulalım.
Çözüm
I. Yol
[BD] açıortay ise, jD C = TBCT’dir. (açıortay teoremi).
IABI
IBCI
■jğCr = 3 tür. IADI = x - 1 ve IDCI = 15 - x’tir.
IADI
IDCI
ise
x- 1
15 - x
_3_
4
4x - 4 = 45 - 3x
7x = 49 ^ x = 7 bulunur.
A(1,10)
II. Yol
IADI = 3n, IDCI = 4n ise IACI = 7n’ dir.
Apsisler arasındaki değişme,
14
7n de 14 birim ise 3n de — . 3 = 6 birimdir.
Buna göre, x = 1 + 6 = 7 bulunur.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kağıdı, cetvel, kalem.
A(9, 10)
Yaşları 16 ve 24 olan iki kardeş yanda planı verilen üçgensel
bölge şeklindeki arsayı yaşları ile doğru orantılı olarak pay­
laşmak istiyorlar.
Paylaşma sonucunda arsalarının ortak kenarının [BC] üze­
rindeki noktasının koordinatlarını bulunuz.
Bu arsanın AEF üçgensel bölgesi yeşil alan olarak bırakılıIAEI
3
yor. [EF] // [BC] ve -jE B f = 5 ise E noktasının koordinatla­
rını bulunuz.
97
B(1, 2)
0
C(11, 2)
-►X
Üçgenin A ğırlık Merkezinin Koordinatları
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM —
Teorem: Köşelerinin koordinatlan A(x1; y 1), B(x2, y?) ve C(x3, y3) olan ABC üçgeninin ağırlık
x 1 + x2 + x 3
merkezi G(x, y) ise x =
ve y =
y i + y ? + y3
’tür.
İspat
A(x1, y1)
[BC]’ nın orta noktası D(x0, y0) olsun.
x0 =
x2 + x3
ve y0
IADI = Va
y?+ y3 „ .
’dir.
[AD] kenarortay olduğundan,
IGDI
= 2 = 2 ’ dir.
1
B(x2, y2)
D(x0, y0)
C(x3, y3)
[AD]’ nı 2 oranında içten bölen nokta G(x, y) ise
x 1 + k.x0
x2 + x3
x 1+ 2 “ 2
1+ k
1+ 2
x=
y 2 + y3
y 1 + k.y0
y 1 + 2 .2
y = — r —.— = --------r —
1+k
1+ 2
x 1+ x 2 + x 3
ve
y 1+ y 2 + y 3
-------- ’tür.
ÖRNEK
Köşelerinin koordinatları; A(3, 0), B(-2, -4 ) ve C(5,-8) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin ko­
ordinatlarını bulalım.
Çözüm
ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(x, y) olsun. A(3, 0), B(-2, -4 ) ve C(5, - 8) ise
x 1 + x 2 + x 33 + ( - 2) + 5
6
x = ----------------- = --------- --------- = — = 2 ve
3
3
3
y 1 + y 2 + y30 + ( - 4) + ( - 8)
- 12
y = --------3--------= ------------ 3----------- = —— = - 4 ’tür. G(x, y) = G (2,-4) bulunur.
3
3
3
ÖRNEK
Ağırlık merkezinin koordinatları G(2, 7) olan ABC üçgeninin köşelerinin koordinatlarının toplamını
bulalım.
Çözüm
G(2, 7) = G(x, y) ve
x 1+ x2 + x3
x = -------- 3-= 2 ^ x 1 + x2 + x3 = 6,
y 1 + y 2 + y3
y = -------- 3-= 7 ^ y 1 + y2 + y3 = 21’dir.
ABC üçgeninin köşelerinin koordinatlarının toplamı
bulunur.
98
(x1+ x2 + x3) + (y1 + y2 + y3) = 6 + 21 = 27
A LIŞTIRM ALAR
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. A(2, 1), B(5, 7) ise IABI = ..........
b. A(-3, 4), B(1, 2), C(x, y) noktaları doğrusal ve IABI = IBCI ise x + y = ..........
c. Köşelerinin koordinatları; A(2, 7), B (-6, 3), C(10, 3) olan ABC üçgeninin [AB] ve [AC] kenarla­
rının orta noktaları D ve E ise IDEI = ..........
2.
Aşağıdaki noktalar arasındaki uzaklıkları ve oluşturdukları doğru parçalarının orta noktalarının
koordinatlarını bulunuz.
a. A(2, 1), B (-6, 7)
b. C(-1, 4), D(0, 6)
c. E(0, -3 ), F(3, 0)
3.
A(-2, 4), B(5, -4), C(x, y) ve D(3, 1) noktaları bir paralelkenarın köşeleri ise C noktasının koor­
dinatlarını bulunuz.
4.
Köşelerinin koordinatları; A( -3 , 0), B(2, -2), C(4, 4) olan ABC üçgeninin ağırlık merkezinin ko­
ordinatlarını bulunuz.
5.
Bir ABC üçgeninde C(4, 8)’ dir. [BC]’ nın orta noktası D(1, 5) ve üçgenin ağırlık merkezi G(0, 6)
ise A ve B köşelerinin koordinatlarını bulunuz.
6.
A(3, 0), B(6, 4), C(-1, 3) noktalarının bir dik üçgenin köşeleri olduğunu gösteriniz.
7.
Kenarlarının orta noktaları sıra ile; D(0, 2), E (- 1, 5), F(- 3 ,- 4) olan ABC üçgeninin köşelerinin
koordinatlarını bulunuz.
8.
IACI
1
A(2, -4), B(7, 5) ise AB doğru parçasını — — = — oranında içten bölen C noktasının koordinatICBI
4
ları aşağıdakilerden hangisidir?
E. (3, 5)
9.
ICAI
2
A(-3,2), B(5, 8) ise [AB]’ nı —— = — oranında dıştan bölen C noktasının apsisi kaçtır?
ICBI
3
A. -21
B. -19
C. -15
D. -10
E. -5
A(-7, 16)
10.
Şekilde; B(-2, 6), A(-7, 16), D(x, y) ve [CD] açıortaydır.
IACI
IBCI
2 .
. . „
= — ise x + y kaçtır?
3
y
y
C
B(-2, 6)
A(11, 10)
11. Şekilde; IAFI = IFDIve IBDI = IDCI’dir.C(2, -5), A(11, 10)
ise E noktasının kordinatlarını bulunuz.
B
99
4H-------^
D
C (2, -5)
10.4.1.3 ANALİTİK DÜZLEMDE BİR DOĞRUNUN
DENKLEMİNİ OLUŞTURMA VE
DENKLEMİ VERİLEN İKİ DOĞRUNUN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARINI İNCELEME
Eğim
Yollarda sürücüleri uyarmak için kullanılan trafik levhalarından biri yanda veril­
miştir.
Levhadaki gösterimde yolun düz olmadığı ve eğiminin de
20
1
—— = — olduğu belirtilmektedir.
100
5
a
Yandaki şekilde, yol çizgisinin A, B noktaları ara­
sını hipotenüs kabul eden bir dik üçgen oluşturul­
muştur. Yolun bu noktaları arasındaki eğimi dikey
uzunluğun yatay uzunluğa oranıdır.
Yolun eğimi AB doğrusunun da eğimi olur.
yatay uzunluk (IBCI)
IA C I,
yolun eğimi = fB C f’d'r-
Bir Doğrunun Eğimi ve Eğim Açısı
At
BİLGİ
Bir doğrunun, x ekseni ile pozitif yönde yaptığı açıya eğim açısı; bu açının tanjantına da doğru­
nun eğimi denir ve eğim m ile gösterilir.
Bir doğrunun eğim açısı a ve 0° < a < 90° ^ tan a = m > 0’dır.
90° < a < 180° ^ tan a = m < 0’dır. Eğim açılarının ölçüleri 0° ile 90° arasında olan doğruların
eğimleri pozitif, eğim açılarının ölçüleri 90° ile 180° arasında olan doğruların eğimleri de negatif bir
gerçek sayıdır.
Bir doğrunun eğim açısının ölçüsü [0°, 180°] ndadır. Şekilde
d 1 doğrusunun eğim açısının ölçüsü a, d2 doğrusunun eğim açı­
sının ölçüsü de p’dır.
Y
d 1 doğrusunun eğimi, m1= tana,
d2 doğrusunun eğimi, m2 = tanp’dır.
Bir doğrunun eğim açısının ölçüsü biliniyorsa bu doğrunun
eğimi de bulunabilir. Ancak [0°, 180°] nda bulunan açıların tri­
gonometrik oranları bilinmelidir. 9. sınıftan [0°, 180°] ndaki özel
açıların trigonometrik oranlarını hatırlayalım.
ÖRNEK
Eğim açılarının ölçüleri sıra ile 30°, 45°, 60° olan d 1, d2, d3 doğrularının eğimlerini yazalım.
Çözüm
d 1, d2, d3 doğrularının eğimleri sıra ile m1, m2, m3 olsun.
tan 30° =olduğundan , m1 =
=^3 ,
V3
V3
3
tan 45° = 1 olduğundan, m2 = 1 ve
tan 60° =olduğundan, m3 = •/Ğ ’tür.
100
ÖRNEK
Eğim açılarının ölçüleri; 90°, 120° ve 135° olan şekildeki
doğruların eğimlerini yazalım.
Çözüm
d 1, d2, d3 doğrularının eğimleri sıra ile m1, m2, m3 olsun.
tan 90° tanımsız olduğundan, m1 tanımsızdır. d 1 doğrusunun
eğimi olan m1 reel sayı olarak yazılamaz.
tan 120° = -tan 60° = - ^ v e m2 = - ^ ,
tan 135° = -tan 45° = -1 ve m3 = - 1 ’dir.
İki Noktası Verilen Doğrunun Eğimi
a-3
b il g i
Bir d doğrusunun farklı iki noktası A(x1, y 1), B(x2, y2) ve d doğrusunun eğim açısının ö
d doğrusunun eğimi,
y2
m = tan a =
ya da m =
x 1- x 2
y2
1
a ise
dir.
x2 - x 1
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
Y
Şekilde; A(x1, y 1), B(x2, y2) ve d doğrusunun
eğim açısı a ’dır. ABC dik üçgeninde, IACI = y 1 - y2
ve IBCI = x 1 - x2’dir.
IACI
y 1- y 2
m = md = tana =
bulunur.
IBCI
x 1- x 2
Örneğin; K(2, -3), L(1, 1) ise bu noktalardan ge­
çen doğrunun eğimi;
y1- y2
m*. =
KL x„-x,.
_-3 -1 = _-4 = - 4 tur.
ÖRNEK
Aşağıdaki koordinat sistemlerinde grafikleri ve iki noktaları verilen d, k ve t doğrularının eğimleri bu­
lunmuştur. İnceleyiniz.
Y k
Y
Y >k
3
d
1
B.
- 3
2
A
e
O
E
C
1
Y
--- >► X
0
D e
2
E
Y
---^ X
4
2
2
G
o
k
m ==tane
IAO I
" IOB I
1
tür
3
m
tane
ICEI
" IDEI
101
2
2
1’di r.
-4
ik
3
F
P
3
-1
1
0
Y
---> X
1
I
m = tane =tan (180° - e)
2
= - tanB - IEGI
tür.
IGFI
3
ÖRNEK
A(-3, 2), B(1, 4), C(3, n) noktaları doğrusal ise n değerini bulalım.
Çözüm
A, B, C noktaları doğrusal ise mAB = mBc’ dir.
mAB =
y 1 - y2
- 3-
x 1- x 2
y2 - y3
mnn =
BC xx 1
1 -- xx 2
2
© ve 0
4- n
1- 3
4- n
dir. 2
- 2
4-n
den, mAB = mBC ^ İ =
8 - 2n = -2 ve n = 5’tir.
Doğrunun Denklemi
a-3
b il g i
Bir doğru üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (x, y) ise x ile y arasındaki birinci derece­
den, ax + by + c = 0 ya da y = mx + n biçimindeki bağıntılara doğru denklem i denir.
ax +by + c = 0 denklemine doğrunun genel denklem i denir.
a
c
/a
c
\
ax +by +c = 0 ^ y = - ^ x - — = mx + n’ dir ( - — = m ,-— = n j .
y = mx + n denklemiyle verilen doğrunun eğimi, x in kat sayısı olan m’dir.
a
ax + by + c = 0 denklemiyle verilen doğrunun eğimi, m = —b ’ dir.
Eğimi ve Bir Noktası Verilen Doğrunun Denklemi
Bir d doğrusu ile üzerinde bir A(x1; y.,) noktaları verilsin,
Y
d doğrusunun eğim açısı a ve üzerinde ikinci bir nokta
B(x, y) olsun.
Şekildeki BAD dik üçgeninde ,
IBDI = y - y 1, IADI = x - x 1 ve
-
IBDI
y - yı
.
v ..
tana = —— = = m ^ y - y 1 = m(x - x 1)’ dir.
IADI
x - x1
y y1
v
v
y - y 1 = m(x - x 1) eşitliğine eğimi ve bir noktası verilen doğrunun denklem i denir.
ÖRNEK
A(-2, 3) noktasından geçen ve eğimi m = 4 olan doğrunun denklemini yazalım.
Çözüm
A(-2, 3) ve m = 4 ^ y - y 1 = m(x - x 1)
y - 3 = 4(x + 2)
y - 3 = 4x +8 ^ y = 4x + 11 olur. Bu denklem,
-4 x + y - 11 = 0 ya da 4x - y + 11 = 0 biçiminde de ifade edilir.
102
=
i
e t k in lik
Araç ve Gereçler: Dosya kağıdı, cetvel, kalem.
Bulunduğunuz ilde taksilerin taksimetre açılış ücretini ve her km için ödenecek ücreti öğreniniz.
Taksiyle gidilen yolu x ve ödenen ücreti y ile gösteriniz.
x ile y arasındaki bağıntıyı yazınız.
Bu bağıntının grafiğini çiziniz.
Bu doğrunun x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açının tanjantını bulunuz.
Bulduğunuz bu değer ile bağıntıdaki x in kat sayısı arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
İki Noktası Verilen Doğrunun Denklemi
BİLGİ
x - x„
y -y 1
A(x1, y 1), B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun denklemi — - — = — - —
y 1 y 2x 1 x 2
ile
i bulunur.
A(x1, y 1), B(x2, y2) noktalarından geçen d doğrusu üzerinde, üçüncü bir nokta, C(x, y) olsun. Bu
noktalar doğrusal olduğundan,
Y
• mAC = mABdir.
y - y1
y 1 - y2
• mAC _ ------------ ve mAB = ------------- dir. Bu eşitliklerden,
x- x
y - y1
-L- elde edilir. Bu bağıntıya, iki noktası
Ko
verilen doğrunun denklemi denir.
y 1 - y2
C(x, y)
^B(x2, y2)
A(x1, y1)
X
0
Ayrıca, A(x1, y 1), B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun denklemi, y - y 1 = m(x - x 1) bağıntısı
ile bulunur. Bunun için önce bu noktalardan geçen doğrunun eğimini bulmak gerekir.
_ y 1 - y2 dir. Eğimi ve bir noktası verilen AB doğrusunun denklemi,
m = mAB =
y 1 - y2
y - y 1 _ —— -v- - (x - x 1) olur.
ÖRNEK
A(3, - 4), B (- 4, 1) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazalım.
Çözüm
I. Yol
y - y1
x - x.
y 1- y 2 = x 1 - x 2
y -(-4 )
- 4- 1
x- 3
3 - ( - 4)
7(y + 4) _ -5 (x - 3)
7y + 28 _ - 5x + 15 ^ 5x + 7y + 13 _ 0 bulunur.
y 1 - y2
Ayrıca, mAB _ x - V = O / A ^= —
3 - ( - 4)
7
1
- 4 - 1- 5.
^ y - ( - 4) = - T (x - 3)
7y + 28 _ -5 x + 15
5x + 7y + 13 _ 0 bulunur.
103
5,
II. Yol
Aradığımız denklem, y = mx + n olsun. A(3, - 4) ve B (- 4, 1) noktaları bu denklemi sağlar.
A(3, - 4) ^ - 4 = 3m + n
B (- 4, 1) ^ 1 = -4m + n
Bu denklem sisteminin çözümünden, m = - y
ve n = —y - bulunur.
5
13
y = mx + n ^ y = - y x — 7 - ya da 5x + 7y + 13 = 0 bulunur.
ÖRNEK
Eksenleri A(a, 0), B(0, b) noktalarında kesen doğrunun denklemlerini yazalım.
Çözüm
x- a
x a
a
-a-
0- b
a-0
B
v
Cü
-y-b-
x- a
II
- y
y-1 - y2
y- 0
Y
k
a
T + * = 1
A
a
x
i
d
f
= 1 bulunur.
w.X
W
0
*
ÖRNEK
Yanda grafiği verilen doğrunun denklemini yazalım.
Y
Çözüm
x y
x
y
— + f - = 1 ^ 4 - + 4 = 1 ve 4x + 3y
a b
3
4
4x+ 3y -
= 12
X
12 = 0 bulunur.
Doğrunun denklemi y = mx + n şeklindedir.
x = 0 ^ y = n = 4 ve m = tana = - tanp = —— olduğundan,
3
4
y = mx + n = - — x + 4 ten, 4 + 3y = -4 x + 12 ^ 4x + 3y - 12 = 0 bulunur.
3
Eksenlere Paralel Doğruların (Özel Doğruların) Denklemleri
x eksenine paralel doğruların denklem leri:
Y
x eksenine paralel olan bir doğru üzerindeki her noktanın x eksenine
olan uzaklıkları aynıdır. Bu koşula uygun iki nokta A(x1, b), B(x2, b) ise;
AB doğrusu x eksenine paralel olduğundan, eğim açısının öl­
çüsü a = 0° dir.
tan0° = 0 ve m = 0’ dır.
y - y 1 = m(x - x 1) ^ y - b = 0 (x -x 1) ^ y = b bulunur.
b = 0 ^ y = 0 olur. y = 0 , x eksenin denklemidir.
104
ÖRNEK
Y
A(-2, 3) noktasından geçen ve x eksenine paralel olan d
doğrusunun denklemini yazalım.
Çözüm
d // OX olduğundan, md = 0’dır. y - y 1 = m(x - x 1)
y - 3 = 0(x + 2)
y - 3 = 0 ^ y = 3 bulunur.
y eksenine paralel olan doğruların denklem leri:
Y
y eksenine paralel olan bir doğrunun her noktası, y eksenine aynı
uzaklıktadır. Bu doğrunun eğim açısının ölçüsü 90° dir. tan 90° tanımsız
olduğundan, bu doğrunun eğimi de tanımsızdır.
A(a, y 1), B(x, y) noktaları için, mAB = m =
y - y1
a
x a
Bu ifade tanımsız ise x - a = 0 olmalıdır.
O hâlde, x = a, y eksenine paralel olan bir doğrunun denklemidir.
Ayrıca, a = 0 ^ x = 0’dır.
x = 0, y ekseninin denklem idir.
ÖRNEK
A(1, 4) noktasından geçen ve y eksenine paralel olan
doğrunun denklemi x = 1’dir.
4
A(1,4)
0
1
-►X
■<---- x = 1
=
ETKİNLİK --------------------------------------------------------------------------------
Araç ve Gereçler: Kareli dosya kâğıdı, cetvel, kalem. Geogebra yazılım programı kurulu bilgisa­
yar.
• Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan, “ Cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız.
a. Giriş bölümüne y = 2 yazarak “enter” tuşunu tıklayınız. Benzer şekilde,
y = - 3 ve y = 4 fonksiyonlarını yazarak grafiklerini çizdiriniz. Bu grafikler hangi eksene para­
leldir?
b. Giriş bölümüne sıra ile x = 2, x = -3 ve x = 4 fonksiyonlarını yazarak grafiklerini çizdiriniz. Bu
grafikler hangi eksene paraleldir?
c. Giriş bölümüne sırası ile y = x + 1 , y = x + 2 fonksiyonlarını ve y= -2 x + 3, y = -2 x + 5 fonksi­
yonlarını yazarak grafiklerini çizdiriniz. Bu grafiklerin birbirine göre konumunu belirtiniz.
ç. Çizimini yaptırdığınız fonksiyonların grafiklerini kareli dosya kâğıdına da çiziniz. Birbirine para­
lel olan doğruları belirtiniz.
105
İki Doğrunun B irbirine Göre Konumları
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
Denklemleri; a.x + b.y +c. = 0 ve a2x + b2y + C2 = 0 olan d. ve d2 doğruları verildiğinde, doğ­
ruların kesim noktalarının varlığı aşağıdaki gibi araştırılabilir:
1.
a2
ise doğrular çakışıktır.
2
Yani, aynı doğrudur. Denklem sistemini sağlayan sonsuz sayıdaki
noktalar doğrusaldır. Doğrulardan birinin grafiği çözüm kümesidir.
2.
a.
b.
c.
— = — ! — ise doğrular birbirine paraleldir.
a2
b2
C2
d.
//
d2
ise
denklem
sisteminin çözüm kümesi, Ç = 0 ’ dir.
•M
d. // d2
3.
m. = m2 dir. Bu koşula paralellik şartı denir.
►X
aı
bı
— ! — ise bu iki doğru A gibi bir noktada kesişir.
a2
b2
Bu nokta denklem sisteminin ortak çözümü ile bulu­
nur.
d. n d2 = {A}’dır. iki doğrunun kesim noktasından ge­
çen doğrular, bir doğru demeti oluşturur.
Doğru demetinin denklemi, k e R için
(a.x + b.y + c.) + k(a2x + b2y + c2) = 0’ dır.
4.
Verilen doğrular birbirine dik olabilir. Yandaki şekle göre,
d. 1 d2 ve doğruların eğim açıları a ve p’ dır.
d 1 doğrusunun eğimi, m. = tan a;
d2 doğrusunun eğimi, m2 = tan p’dır.
IACI . _
IABI
. _
tan a = ___ _ tan 0 = ___ ve tan a . tan 0 =
IA B I’
IACI
IACI
IABI
IABI
IACI
0 + p = 180° ve tan 0 = - tanp’dır. tan 0’ nın eşiti 1 de yerine yazılırsa
tan a . (-tan p) = 1 ve tan a . tan p = -1 olur. Buradan, m. . m2 = -1 olduğu görülür.
m ı . m 2 = -1 ^ d i 1 d 2 ’ dir. Bu bağıntıya iki doğrunun d ik lik şartı denir.
Eğimleri çarpımı -1 olan doğrulardan birinin eğimi, diğerinin eğiminin çarpma işlemine göre tersi­
nin ters işaretlisine eşittir.
m.. m2 = -1 ^ m . = ■
.
’ dir.
m2
106
ÖRNEK
Aşağıda verilen doğru denklemlerinin grafiklerini dinamik geometri yazılım programı yardımıyla çi­
zelim.
a. - 2x + y - 2 = 0
b. -2 x + y - 3 = 0
c. -4 x + 2y - 6 = 0
ç. x + y - 5 = 0
Çözüm
Geogebra yazılım programını açalım. Açılan sayfanın sağındaki perspektif penceresindeki “ Cebir
ve grafik” seçeneğini tıklayalım. Giriş bölümüne;
- 2x + y - 2 = 0 yazıp “ enter” tuşunu tıklarsak
a : - 2x + y = 2 doğrusunun grafiğini çizmiş oluruz.
a
9
a
a
a: -2x +y = 2
b: -2x + y = 3
c -2x +y =3
d: x +y =5
a A =(1,4)
Benzer biçimde, giriş bölümüne sıra ile
-2 x + y - 3 = 0, -4 x + 2y - 6 = 0 ve x + y - 5 = 0
yazarsak,
b : -2 x + y = 3 doğrusunun,
/
c : -4 x + 2y = 6 doğrusunun ve
:
Input:
0
^
d : x + y = 5 doğrusunun grafiği çizilir. Çizilen grafikleri inceleyelim:
a ile b doğrularının eğimleri eşit olduğundan a // b’dir.
b ile c doğrularının denklemlerinde, kat sayıların karşılıklı oranlarıbirbirine eşittir
/ —2
1
—3 \
(— 4 = — = — ^ j .
O hâlde b ile c doğruları çakışıktır. a // b // c yazılır.
d doğrusu ile diğer
doğruların eğimleri farklı olduğundanbudoğrularkesişir. ddoğrusuile diğer doğ­
ruların kesim noktalarını bulabiliriz.
düğmesini tıkladıktan sonra, doğruların kesim noktalarını tıklarsak a n d = {A} ve b n d = {B}
ise cebir penceresinde A = (1, 4), B = (0,68, 4,36) noktaları görülür.
ÖRNEK
d 1... 6x + ny + 4 = 0 ve d2... kx - 3y + 2 = 0 doğruları veriliyor.
a. d 1 = d2 ^ n + k kaçtır?
b. n = 2 ve d 1 // d2 ^ k kaçtır?
Çözüm
a. d 1 = d2 ^
1
2
k
-3
= 4 olmalıdır. Bu orantıdan,
2
2n = -1 2 ^ n = - 6 ve 4k = 12 ^ k = 3 tür.
n + k = - 6 + 3 = -3 bulunur.
b. n = 2 ^ d1... 6x + 2y + 4 = 0’dır. d1 // d2 ^ m1 = m2’dir.
m1 = —6
o = -3
ve m0
2 = o tür.
o = -3 ^ k = -9 bulunur.
ÖRNEK
A(3, -4 ) noktasından geçen ve d 1... 2x -3 y + 4 = 0 doğrusuna paralel olan d2 doğrusunun denk­
lemini yazalım.
107
Çözüm
d 1 // d2 ^
A(3, -4 ) ^
2
m ^ _ m ^ ’dir. d 1... 2x - 3y + 4 _ 0 ^ m ^ _ -3 _ m ^ olur.
d2 doğrusunun denklemi y - y 1 _ m (x-x1)
y + 4 _ f (x - 3)
3y + 12 _ 2x - 6 ^ -2 x + 3y + 18 _ 0 bulunur.
ÖRNEK
A(3, -1 ) noktasından geçen ve d 1... 2x - 5y - 3 _ 0 doğrusuna dik olan d2 doğrusunun denklemini
yazalım.
Çözüm
Eğimleri çarpımı -1 olan doğrular birbirine diktir.
2
d 1... 2x - 5y - 3 _ 0 doğrusunun eğimi m1_ —’tir. m1 . m2_ -1 ^
2
5
5
. m2 _ -1 ^ m2 _ - 2 ’ dir.
A(3, -1 ) ^ d2 doğrusunundenklemi y - y 1 _ m2 (x - x 1)
y + 1 _ - f ( x - 3)
2y + 2 _ -5 x + 15 ^
5x +
2y - 13_ 0 bulunur.
ÖRNEK
d 1...2x - 3y - 5 _ 0, d2... x + 2y - 6 _ 0 doğruları veriliyor. d 1 n d2 _ {A} ise A noktasının koordinat­
larını bulalım.
Çözüm
Doğruların kesim noktası, denklemlerinin oluşturduğu denklem sisteminin çözüm kümesidir. Denk­
lem sistemini yok etme yöntemi ile çözelim.
2x - 3y _ 5
2x - 3y _ 5
-7 y _ - 7
-2 /x + 2y _ 6
x + 2y _ 6
-2 x - 4y _ -1 2 J ^
y _ 1’dir.x +2
d 1 n d2 _ {(4, 1)} ^ A(4, 1)’dir.
A noktasının koordinatlarını dinamik geometri yazılım programı yardımı ile bulalım.
•
Geogebra yazılım programını açalım. Sağdaki “cebir ve grafik” seçeneğini tıklayalım.
•
Giriş bölümüne, 2x - 3y - 5 _ 0 yazarak a : 2x - 3y _ 5 doğrusunun; x + 2y - 6 _ 0 yazarak
b : x + 2y _ 6 doğrusunun grafiğini çizelim.
0
düğmesinden, “ nokta” seçeneğini tıkladıktan sonra doğruların kesim noktasını tıklayalım. Cebir
penceresinde doğruların kesim noktası görünür. Bu nokta da A(4,1) noktasıdır.
ÖRNEK
Denklemleri; ax - 3y + 2 _ 0 ve 3x + 5y - 1 _ 0 olan doğrular veriliyor. Bu doğrular birbirine dik
ise a değerini bulalım.
108
.1_ 6^ x _
Çözüm
a
3
ax - 3y + 2 = 0 ^ m1 = — tür. 3x + 5y - 1 = 0 ^ m2 = —5 ’tir.
3
5
Doğrular birbirine dik ve m1 . m2 = -1 olduğundan,
a -3
—
= -1 ^ -3 a = -1 5 ten,
3 5
a = 5 bulunur.
ÖRNEK
Bir doğru demetinin denklemi (m + 1)x + (m - 1)y + m + 5 = 0 olarak veriliyor.
a. Bu doğruların geçtiği sabit noktayı bulalım.
b. Bu doğrulardan biri ax + y + 1 = 0 doğrusu ise a sayısını bulalım.
ÇÖZÜM
a. I. Yol
me
olduğundan verilen denklemden,
m = 1 ^ 2x + 0 + 1 + 5 = 0 ^ x = - 3 ve
m = -1 ^ 0 - 2y - 1 + 5 = 0 ^ y = 2’dir.
Doğruların geçtiği sabit nokta, A(-3, 2) bulunur.
II. Yol
(m + 1)x + (m - 1)y + m + 5 = 0 denklemi,
mx + x + my - y + m + 5 = 0 ve
(x - y + 5) + m(x + y + 1) = 0 şeklinde yazılabilir. Buradan elde edilen
x- y+5=0
denklem sisteminin çözümünden, Ç = {(-3, 2)} bulunur.
x +y + 1=0
b. A(-3, 2) noktası ax + y + 1= 0denklemini
A(-3, 2) ^ a . (-3) + 2 + 1= 0 ve
sağlar.
-3 a = -3 ten,
a = 1 bulunur.
ÖRNEK
Denklemi ax + by + c = 0 olan doğrular için a + b + c = 0 ise bu doğrular sabit bir noktadan geçer.
Bu sabit noktanın koordinatlarını bulalım.
ÇÖZÜM
ax + by + c = 0 denkleminden a + b + c = 0 toplamını çıkaralım.
ax + by + c = 0
+ a + b + c=0
ax - a + by - b = 0 ^
a(x - 1) + b(y - 1) = 0 ’dır.
Bu eşitliğin sağlanabilmesi için x - 1 = 0 ve y - 1 = 0 olmalıdır.
x- 1=0 ^
x = 1 ve y - 1 = 0 ^
y = 1 ’ dir. O hâlde, aradığımız nokta (1, 1) noktasıdır.
Uygulama: Koşula uyan (a + b + c = 0) doğru denklemleri yazarak (1, 1) noktasının denklemleri
sağladığını görünüz. Ayrıca dinamik geometri yazılımı ile seçtiğiniz doğruların grafiklerini çizdiriniz. Doğ­
rulara ait grafiklerin (1, 1) noktasından geçtiğini görünüz.
109
i
o t B i iİ
1.
ALIŞTIRM ALAR
Aşağıda verilen noktalardan geçen doğruların eğimlerini bulunuz.
a. A(2, 1), B(-2, 0)
2.
c. K(-1, -2), L(2, 1)
A(3, -5), B(-1, 2), C(-4, n) noktaları doğrusal ise n kaçtır?
A.3
3.
b. B(-3, 4), E(0,5)
B. -1 7
4
C. 5
D. -Ş 4
E. -3 1
4
Aşağıda, eğimi ve bir noktası verilen doğruların denklemlerini yazınız.
a. A(-2, 3), m = -5
b. B(1, 0), m = 2
c. D(3, - 4), m= -2
4.
A(1, 3) noktasından geçen ve eğim açısının ölçüsü 60° olan doğrunun denklemini yazınız.
5.
Aşağıda denklemleri verilen doğruların eğimlerini bulunuz.
a. -2 x + 3y + 4 = 0
6.
b. 4x - 5y + 6 = 0
c. y - 4x = 0
ç. y = 4
Aşağıda verilen noktalardan geçen doğruların denklemlerini yazınınız.
a. A(2, 4), B(0, 2)
b. D(3, 5), E(-2, 1)
c. K(1, 1), L(0, 0)
7.
A(-3, 5) noktasından geçen, 2x - y + 5 = 0 denklemi ile verilen doğruya paralel olan doğrunun
denklemini yazınız.
8.
A(2, -1 ) nokt asından geçen, x - 2y + 1 = 0 denk lemi ile veri len doğruya dik olan doğrunun
denklemini yazınız.
9.
Denklemleri; (a + 1)x - 5y + 6 = 0, 5x + 2y - 1 = 0 olan doğrular birbirine paralel ise a kaçtır?
- 27
A. -= + 2
10.
2
25
B. - = = -
Denklemleri; 2x - 3y - 7 = 0,
geçiyorsa a kaçtır?
A. 3
B. 4
C. - 12
D. -9
E. -7
x + y - 1 = 0 ve ax + 2y - 8 = 0 olan doğrular aynı noktadan
C. 5
D. 6
E. 7
11.
Denklemleri; x - y + 2 = 0, 2x + y - 5 = 0 olan doğruların kesişim noktasını grafikle gösteriniz.
12.
Kenarlarının denklemi; x + 2y - 9 = 0, 2x - y + 2 = 0, y = - 3 olan üçgenin köşelerinin koor­
dinatlarını bulunuz.
13.
(m + 1)x + (m - 1) y + m + 5 = 0 denklemleriyle verilen doğrular aşağıdaki hangi noktadan geçer?
A.
(3, 2)
B. (1, 2)
C. (-3, 1)
D. (3, - 2)
14. Yandaki grafik, A ve B fidanlarının boylarının aylara göre
değişimini gösteriyor. 20. ayda fidanların boylarının toplamı
kaç cm olur?
110
E. (-3, 2)
10.4.1.4 BİR NOKTANIN BİR DOĞRUYA OLAN UZAKLIĞI AÇIKLAMA VE UYGULAMA
YAPMA
BİLGİ
lax1 + by1 + cl
dir.
A(x1, y 1) noktasının ax + by + c = 0 doğrusuna olan uzaklığı d ise d =
■/a2 + b2
in celeyer ek ö ğ r en e lim
Y A(x1,y1)
Bir A(x1; y 1) noktası ile bir k doğrusu verilsin.
[AH] l k çizelim. A noktasının k doğrusuna olan uzaklığı
d = IAHI dur.
k
a H
B(x,y)
k... ax + by + c = 0 doğrusunun eğimi m = - - a = tan a ’dır.
Şekildeki ABH dik üçgeninde,
cos a = T S İ -
-►X
A'
IAHI = IABI . cos a ve
IABI = IAAıI - IBA'I = y 1 - y'dir.
x = x 1 — ax1 + by + c = 0 ve by = - c - ax1 — y =
-c-ax 1
dir.
a
IAHI = (y1- y) . cos a
I
- c - ax
= y 1---------b—
/ a2 + b2
by1 + c + ax1
.
b
cos a :
b
ax1 + by1 + c
— ’dir.
a2 + b2
a2
+
b2
/
a2 + b2
Iax1 + by1 + cI
d = IAHI > 0 olduğundan, d = ----— olur.
a2
+
b2
v
Doğru denklemi y = mx + n biçiminde verilirse A noktasının mx - y + n = 0 doğrusuna olan uzaklığı
Imx1- y 1 + nI
d = -----1 1
olur.
1 + m2
ÖRNEK
A(2, 4) noktasının 4x - 3y - 6 = 0 doğrusuna olan uzaklığını bulalım.
Çözüm
A(x1, y1) = A(2, 4)
4x - 3y - 6 = 0
I4x1- 3 y 1 - 6I
I4 .2 - 3 .4 - 6I
I8 - 12 - 6I
10
-----= ------ ,
— = ------ 1= ----- = -= - = 2 br’dir.
d = y 42 + (- 3) 2
V 16 + 9v255
ÖRNEK
Bir ABC üçgeninde, A(3, -2 ) ve [BC]’ nı kapsayan doğrunun denklemi y = 2x + 7 ise ha uzunluğunu
bulalım.
Çözüm
A(x1, y1) = A(3,-2)
2x - y + 7 = 0
d = h„ =
Imx1- V1 + nI = 12 .3 -(-2 ) + 7I = I6 + 2 + 7I
-J1 + 2 2
\ / 1 + m2
+ 4
= 15 = J 5 / 5 =
l/5
111
5
br’d ir.
ÖRNEK
A(2, -1 ) noktasının, -3 x + 4y + k = 0 doğrusuna olan uzaklığı 3 br ise k değerini bulalım.
Çözüm
d=
I-3x + 4y + kİ
I-3.2 + 4.(-1) + kİ
7 (-3 )2 + 42
■J9 + 16
|- 6- 4 + kİ
= 3 & I-10 + kI = 15’tir.
I-10+kI=15 ^ -1 0 + k = + 15’tir.
-1 0 + k = 15 ^ k1 = 25 ve
-1 0 + k = -1 5 ^ k2 = - 5 ’tir.
Paralel İki Doğru Arasındaki En Kısa Uzaklık
A
BİLGİ
Birbirlerine paralel ve denklemleri; ax + by + c 1 = 0, ax + by +C2 = 0 olan doğrular arasındaki en
Ic1- c 2I
— ’ dir.
V a2 + b2
kısa uzaklık d =
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
Birbirine paralel olan ax + by + c 1 = 0, ax + by + C2 = 0 doğrularından birinin üzerinde A(x1, y 1)
noktasını alalım.
A(x1, y 1) ^ ax1 + by1 + c1 = 0 ve ax1 + by1 = - c 1’ dir.
A(x1, y 1) noktasının ax + by + c2 = 0 doğrusuna olan uzaklığı
| ax1 + by1 + c2 1
d = IAHI = ------------ ---------- ’dir. ax1 + by1 yerine - c 1 yazılırsa
/ a2 + b2
- c 1 + c2 |
d=
I c2 c 1
bulunur.
\/a 2 + b27 a2 + b2
ÖRNEK
Denklemleri; 6x - 8y + 12 = 0, 3x - 4y - 4 = 0 olan doğrular arasındaki en kısa uzaklığı bulalım.
Çözüm
6x -8 y + 12 = 0 ^ 2(3x - 4y + 6) = 0 ve 3x - 4y + 6 = 0 olur.
3
Doğruların eğimleri m1 = m2= — olduğundan doğrular birbirine paraleldir.
3x - 4y + 6 = 0
3x - 4y - 4 = 0
d=
lc 1 c2I
6-(-4)1
U2+b2 ^9 + 16
10
= - ¥ - = 2 br bulunur.
5
112
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kağıdı, cetvel, kalem.
• Dosya kâğıdına kesişen iki doğru çiziniz.
• Bu doğruların oluşturduğu açılardan birinin açıortayını çiziniz.
• Bu açıortay üzerinde bir A noktası alarak A noktasının doğrulara olan uzaklıklarını çizerek gös­
teriniz.
• Bu uzaklıklar birbirine eşit midir?
• Doğruların denklemleri; a1x + b1y + c 1 = 0 , a2x + b2y + c2 = 0 ve A(x, y) noktasının verilen doğ­
rulara olan uzaklıkları IABI = IACI = d ise bu eşitliği kullanarak açıortayların denklemlerini yazınız.
• Denklemleri; x + y -1 = 0,
lemlerini yazınız.
— jg
jÛ
x - 7y + 3 = 0 olan doğruların oluşturduğu açıların açıortay denk­
A L I? ™ M A L A R
--------------------------------------------------------------------------------
1.
A(3, -2 ) noktasının
2.
x + 2y - 8 = 0
sisini bulunuz.
3.
3x + 2y - 12 = 0 doğrusu ile A(5, 3) noktası veriliyor. Verilen doğrunun eksenleri kestiği noktalar
B, C ise köşeleri A, B ve C olan ABC üçgeninin alanı kaç br2 dir?
A. 8
6x - 8y + 10 = 0 doğrusuna olan uzaklığı bulunuz.
doğrusu üzerinde bulunan ve başlangıç noktasına en yakın olan noktanın ap­
B. 9
C. 10
D. 273
E.
4.
4x + 3y + 17 = 0, 4x + 3y - 13 = 0
bulunuz.
doğruları veriliyor. Bu doğrular arasındaki en kısa uzaklığı
5.
x + 2y - 5 = 0, 2x - y + 4 = 0 doğrularının oluşturduğu açıların açıortay denklemlerini bulunuz.
ÜNİTE SO N U DEĞERLENDİRM E SORULARI
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. (-3, 2), B(0, n) ve IABI = 3^10 ise n1 = ..... , n2 = ......
b. A(a + 2, -3), B(-5, b - 2), C(3, 5) noktaları doğrusal ve
IABI = IBCI ise a + b = .....
c. Denklemi 2x + by - 3 = 0 olan doğru, A(-3, 2) noktasından geçtiğine göre b = .....
2.
Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
a. A(2,3), C(6, -1 )’dir. AC doğru parçasının x eksenini kestiği nokta B(5, 0)’ dır.
b. A(2, 5), B(-1, 4), C(0, 4), D(n, 3) noktaları veriliyor. AB // CD ise n = - 3 ’tür.
c. x - y + 2 = 0, 2x + y -5 = 0 doğrularının kesim noktası A(1, - 3 )’tür. Q
ç. Denklemleri; ax + 8y + 2 = 0, 2x
3.
+ ay - 1 = 0 olan doğruların ortak noktaları yoksa a = 4’tür. Q
Köşelerinin koordinatları A(1, 6), B(-3, 4), C(7, 2) olan ABC üçgeni veriliyor.
a. [AD] kenar ortay uzunluğunu bulunuz.
b. [BC]’ nı kapsayan doğrunun denklemini yazınız.
c. [AH] 1 [BC] ise IAHI = ha uzunluğunu bulunuz.
113
4.
A(2, -3), B(3, 1), C(5, a) noktaları doğrusal ise “ a” değerini bulunuz.
5.
Denklemleri; 2x + (b - 1)y - 4 _ 0, 3x - 4y - 1 _ 0 olan doğrular birbirine dik ise b kaçtır?
A. 1
6.
D.
E. 3
B. -1
D. 2
C. 1
E. 3
Denklemi (n - 2)x + y - 3 _ 0 olan doğru denklemi x - 2 _ 0 olan doğruya dik ise n kaçtır?
A. 1
8.
C. 2
Denklemi (m -3 )x + (m + 1)y - m + 1 _ 0 olan doğru demetine ait doğrulardan birinin denklemi
ax + y - 1 _ 0 ise a kaçtır?
A. -2
7.
B.
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
3x + by + 2 _ 0 ve ax + 6y + 4 _ 0 denklemleri aynı doğrunun denklemi ise a + b kaçtır?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 9
E. 10
9.
2
A(2, -3 ) noktasından geçen ve uç noktaları; B(2, -5 ) ve C(7, 10) olan [BC]’ nı k _ — oranında içten
bölen doğrunun denklemini yazınız.
10.
A(-3, 1), B(1, -4 ) noktalarından geçen doğrunun denklemini yazınız.
11.
Yandaki grafik, limonata yapmak için hazırlanan şekerli sudaki şeker-su
değişimini göstermektedir. Grafiğe göre, 1400 gramlık bir karışımda,
kaç gram şeker vardır?
Y
A Şeker (g)
10
60
12.
----- *.X
Su (g)
B(3, 3), C(5, -7 ) ise [BC]’ nın orta dikmesinin denkleminini yazınız.
IDBI
2
13. A(-2, 3), B(1, 5) noktaları veriliyor. [AB]’ nı -jDAf = 3 oranında dıştan bölen D noktasının koordi­
natlarını bulunuz.
14.
Y
Bir mağazada x TL’ye alınan bir mal y TL’ye satılmaktadır. x ile y
arasındaki doğrusal denklemin grafiği şekilde verilmiştir. Buna göre,
% 25 kârla satılan malın alış fiyatı kaç liradır?
Satış fiyatı
(lira)
d
40
0
-70
15.
Alış fiyatı
(lira)
C(a, -5 ) noktası A(2, 3), B(3, -1 ) noktalarından geçen doğrunun
üzerinde ise a kaçtır?
A. -1
16.
-► X
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
Denklemi, 4x + 3y + 2 _ 0 olan d doğrusuna 3 br uzaklıkta bulunan noktaların kümesini (geometrik
yerini) bulunuz.
114
D Ö RTG ENLER VE Ç O KG E N LER
Yapılan arkeolojik kazılarda bulunan İlk Çağlara ait çömleklerde geometrik süslemeler gö­
rülmektedir. Nil Vadisi'nde yapılan kazılarda bulunan papirüslerden Mısırlıların Nil Nehri'nin taş­
ması ile kaybolan tarla sınırlarını belirlemek için birçok yöntem geliştirdikleri, Fırat Vadisi'nde
(Mezopotamya) bulunan kitabelerden (çivi yazısı ile yazılmış ve fırınlanmış kil tabletlerinden)
Babillilerin geometrinin birçok özelliklerini bildikleri, üçgensel ve dörtgensel bölge biçimindeki
arazilerin alanlarını buldukları anlaşılmıştır.
Geometrinin anlatımlarını ilk ispatlayan Miletoslu Thales olmuştur (MÖ 600). Geometrinin
bazı teoremleri hâlâ onun adını taşır. Geometrinin sistemli ve kesin kuruluşu MÖ III. yüzyılda
İskenderiyeli Eukleides (Öklid) tarafından gerçekleştirilmiştir. Öklid'in “ Elemanlar” adlı eserinde
işlenen konular günümüzdeki geometri kitaplarında da yer almıştır. 19. yüzyıla kadar Öklid ge­
ometrisinden başka bir geometri öğretimine rastlanmamıştır. Bu yüzyıldan itibaren geometrinin
kapsamı genişlemiş ve kendi içinde farklı dallara ayrılmıştır.
Geometrinin Tarihsel Gelişimi - Gültekin Buzkan (Ege Üniversitesi, Merkez Kütüphanesi
matematik bölümü kitaplığı).
----------------------------------------------------------------------------------------------------
I
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Dörtgenin temel elemanlarını ve özelliklerini, dörtgenin iç ve dış açılarının ölçüleri top­
lamını, dörtgenin alanını, dışbükey ve içbükey dörtgen kavramlarını öğreneceğiz.
2 . Özel dörtgenlerden; yamuk, dik ve ikizkenar yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen,
dikdörtgen, kare, deltoid ile ilgili açı, kenar ve köşegen özelliklerini öğreneceğiz.
3. Yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen, dikdörtgen, kare ve deltoidin alan bağlantılarını
oluşturmayı ve uygulama yapmayı öğreneceğiz.
4. Dörtgenlerin alan bağıntılarını modelleme ve problem çözmede kullanmayı öğreneceğiz.
5. Çokgenlerden düzgün çokgenleri açıklamayı ve iç ve dış açılarının ölçülerini hesapla­
mayı öğreneceğiz.
115
ÖZ]
10.5.1. DÖ RTGENLER VE ÖZELLİKLERİ
10.5.1.1. DÖRTGENİN TEMEL ELEM ANLARI VE ÖZELLİKLERİ
BİLGİ
•
Herhangi üç doğrusal olmayan dört noktayı birleştiren dört doğru parçasından oluşan kapalı şekle
dörtgen denir.
•
Bir dörtgenin; açılarına, köşelerine ve kenarlarına dörtgenin temel elemanları denir.
•
Bir düzlemde herhangi üçü doğrusal olmayan A, B, C, D noktaları verilsin.
[AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçalarının birleşimine ABCD dörtgeni denir.
ABCD D örtgeninin Özellikleri
Yandaki şekilde;
1. A, B, C, D noktaları dörtgenin köşeleridir.
2. [AB], [BC], [CD], [DA] doğru parçaları dörtgenin
kenarlarıdır. Bu kenarların uzunlukları; IABI = a,
IBCI = b, ICDI = c, IDAI = d’dir.
__ 3. B A D , CBA__, DCB_ve CDA dörtgenin iç açıları,
CBF , DCG , ADH ve BAL da dış açılarıdır.
4. [AB] jle [CD] ve [BC]_ ile [AD] kenarları karşılıklı
kenarlar, A ile C ve B ile D karşılıklı açılardır.
5. Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren [AC] ve [BD] doğru parça­
ları, dörtgenin köşegenleridir. Bu köşegenlerin uzunlukları; IACI = e,
IBDI = f ile gösterilir.
C
Her bir iç açısının ölçüsü 180° den küçük olan dörtgene dışbükey
dörtgen; herhangi bir iç açısının ölçüsü 180° den büyük olan dörtgene
de içbükey dörtgen denir. Yandaki şekil içbükey bir dörtgendir.
Yandaki dörtgenlerden birincisi dışbükey,
ikinsincisi de içbükey dörtgendir. Bu dörtgenle­
rin 4 kenarı, 4 köşesi ve 4 iç açısı vardır.
Dışbükey dörtgenin köşegenleri dörtgenin iç
bölgesinde, içbükey dörtgenin köşegenlerinden
biri üçgenin dış bölgesindedir. Köşegenler dört­
genin yardımcı elemanıdır.
Bu kitapta dörtgen denilince dışbükey dörtgen anlaşılacaktır. Konu incelenişlerinde sadece dış­
bükey dörtgenler incelenecektir.
Bir D örtgenin İç ve Dış Açılarının Ölçüleri Toplamı
D
C
Bir dörtgenin köşegenlerinden biri çizilirse dörtgen iki üçgene ayrılır.
Üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 180° olduğundan, dörtgenin iç açıları
toplamı 2 .180° = 360° dir.
A
116
ÖRNEK
D
Yanda verilen ABCD dörtgeninde; m(A) = 75°, m(B) = 65° ve
C
m(C) = 85° ise m(D)’ nü bulalım.
Çözüm
Dörtgenin iç açıları ölçüleri toplamı 360° olduğundan
B
75° + 65° + 85° + x = 360° ^ x = 360° -2 2 5 ° = 135° dir.
ETKİNLİK
Araç ve Gereç: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
• Dosya kâğıdına bir ABCD dörtgeni çiziniz. Bu dörtgenin dış bölgesinde bir E noktası alınız.
• E noktasından dörtgenin kenarlarına paralel ışınlar çiziniz.
• Kenarları aynı yönde paralel olan açıların ölçüleri eşit midir?
• Köşeleri E olan açılardan dörtgenin dış açılarına eş olanları belirleyiniz.
• Eş açıların ölçüleri de eşit ise dörtgenin dış açılarının ölçüleri toplamının kaç derece olduğunu
söyleyiniz.
D ö rtg e n le rle İ lg ili T e o re m le r
= 9 ®
1
İNCELEYEREK
---------------------------------------
ö ğ r e n e l im
Bir dörtgende komşu iki iç açının açıortaylarının kesim noktasında
oluşan açının ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri toplamının yarısına eşittir.
Verilen: ABCD dörtgeninde A ve B açılarının açıortayları [AE] ve
[BE]’ dır.
İstenen: m(AEB) = y = m(C) + m(D)’ dir.
A
B
İspat: EAB üçgeninde; m(EAB) = a, m(EBA) = n ise
m(AEB) = x = 180° - (a + n) ve a + n = m(A) + m(B) olduğundan,
x =
m(A) + m(B) + m(C) + m(D)
m(A) + m(B)
/ m(A) + m(B) + m(C) + m(D)
x = m(C) + m(D) bulunur.
2
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilenlere göre AEB açısının ölçüsünü bulalım.
Çözüm
m(C) = 180° - 30° = 150° ise
/irç m(D) + m(C)
86° + 150°
m(AEB) = x = —
— — = ------ ^
236°
117
= 118° dir.
= 180
°
)
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM ---------------------------------------------------------
2 . Bir dörtgende karşılıklı iki iç açının açıortaylarının kesim noktasında oluşan açılardan dar açının
ölçüsü, diğer iki iç açının ölçüleri farkının yarısının mutlak değerine eşittir.
C
Verilen: A ve C açılarının açıortayları [AE] ve [CE]’ dır.
a a^\
i *
lm(B) - m(D)|
İstenen: m(AEF) = y = —
— ^ - ’dır.
E
D
y
İspat: EAF üçgeninde;
x„
y>x
A
—
m(C)
m(AFE) = z = m(B) + — 2— ’dir (dış açı).
m(AEF) = y = 180° - (x + z) =
m(A) + m(B) + m(C) + m(D)
/ m(A)
vz
F
+ m(B) +
B
m(C)
m (A f + m(B) + m ^C + m(D) - m ^ T - 2m(B) - m(C^
2
x _
m(D) _ m(B)
bulunur. Açı ölçüsü negatif değer olamayaca-
- ^
lm(D) - m(B)|
ğından, m(AEF) = y = —
ol ur.
ÖRNEK
Yanda verilen şekilde, [BE], [DE] açıortay, m(C) = 130° ve
C
/s
m(A) = 70° ise DEF açısının ölçüsünü bulalım.
Çözüm
.
|m(A) - m(C)|
|70° - 130°|
m(DEF) = y = —
_ -------- ----------_
60°
_ 30° dir.
A
=
^J
B
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM ---------------------------------------------------------
3.
Köşegenleri birbirine dik olan bir dörtgendeki karşılıklı iki kenarın uzunluklarının karelerinin
toplamı, diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
d
\c
Verilen: ABCD dörtgeninde, [AC] 1 [BD]’dır.
^
A
İstenen: |AB|2 + |DC|2 = |BC|2 + |AD|2 dir.
İspat: Pisagor Teoremi'ne göre;
EAB dik üçgeninde, a2 _ x2
+ y2 ve
ECD dik üçgeninde, c2 = z2
+ t2 dir. Bu eşitliklerini taraf tarafa toplayalım.
a2 + c2 = x2 + y2 + z2 + t2 dir. 1
EBC dik üçgeninde, b2 _ y2
+ z2 ve
EDA dik üçgeninde, d2 = x2
+ t2 dir. Bu eşitlikleri taraf tarafa toplayalım.
b2 + d2 = y2 + z2 + x2 + t2 dir. 2
1 ve 2 den, a2 + c2 = b2 + d2 ya da |AB|2 + |DC|2 = |BC|2 + |AD|2 olur.
118
t
x
E
z \
C
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen TV anteninin bulunduğu direğe, direğin yıkılma­
ması için kalaslarla destek yapılmıştır.
Uzunluğu bilinmeyen kalasın uzunluğunu bulalım.
Çözüm
Anten
direğinin ve kalasların oluşturduğu üçgenlerin benzerini çizerek
harflendirelim.
[AH]’ nın uzantısında IHDI = IHEI alırsak köşegenleri birbirine dik olan
A
ABEC dörtgeni meydana gelir.
IABI2 + IECI2 = IBEI2 + IACI2,
IDCI = IECI = x ve IBDI = IBEI = 3 olduğundan,
52 + x2 = 32 + 72
x2 = 9 + 49 - 25 ^ x2 = 33 ^ x = •/ĞĞ = 5,74 m bulunur.
&
=
I™
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM ------------------------------------------------------------
Ho'Ma-v: bir ABCD dörtgeninin, köşegen uzunlukları IACI = e, IBDI = f ve [AC] ile [BD] arasındaki
açılardan birinin ölçüsü a ise A(ABCD) = e.f.sina olduğunu gösterelim.
Verilenler: ABCD dörtgeninde köşegenlerin kesim noktası, E, IACI = e, IBDI = f ve m(AEB) = a ’dır.
İstenen: A(ABCD) = -1 - . e . f . sina’dır.
İspat: IAEI = x, IBEI = y, ICEI = z ve IDEI = t olsun.
Şekle göre a + p = 180° ve sina = sinp olduğundan,
A(EAB) = - 1 . x . y . sina
A(EBC) = -2- . y . z . sina
B
A(ECD) = -2- . z . t . sina
A(EAD) = -2- . x . t . sina
A(ABCD) = -2 - . sina . (x . y + y . z + z . t + x . t)
= -1
. sina . [y(x + z) + t(x + z)] = -1 - . sina . (x + z) . (y + t) = -11 - . e . f . sina ’dır.
ÖRNEK
Şekildeki ABCD dörtgeninde, m(BEC) = 45° ve |AC| = 8 cm,
|DB| = 6 cm ise A(ABCD)’ nı bulalım.
Çözüm
A(ABCD) = -2- . |AC| . |BD| . sin(BEC)
1
= -2_ . 8 . 6 . sin45° = 24 . ^
/2
= 12/ 2 cm2 dir.
119
B
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen ABCD dörtgeninde; A(EAB) = 12 br2,
A(EBC) = 16 br2, A(ECD)= 8 br2 ise ABCD dörtgeninin alanını
bulalım.
Çözüm
Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanlarının oranı taban uzunluk­
A
larının oranına eşittir. Şekle göre,
A(ADE)
= |DE| ^ _ x^ = |DE|
IDE|;dir ^
^
A(AEB)
A(CDE)
= |DE| ^
^
|EB|
12
1 ve 2 den, - ^ = - 8 - ^ 16 . x = 12 . 8 ^
12
16
B
= |DE|>dir @
|EB|A(CEB)|EB|16 |EB|
x = -9 6 = 6 br2 dir.
16
A(ABCD) = 12 + 16 + 6 + 8 = 42 br2 bulunur.
Bu örnekten aşağıdaki kuralı yazabiliriz.
m
q
A(EAB) = m, A(EBC) = n, A(ECD) = p ve A(EDA) = q ise — = — ve m . p = n . q’dur.
n
p
ÖRNEK
Yandaki ABCD dörtgeninde [AC] ± [BDj’dir. |AC| = 12 cm,
|BD| = 8 cm ise A(ABCD)’ nı bulalım.
Çözüm
C
A(ABCD) = — . e . f . sina’dır. a = 90° ve sin90° = 1'dir.
2
1
6
A(ABCD) = — . 12 . 8 . sin90° = 6 . 8 . 1 = 48 cm2 bulunur.
2
ÖRNEK
Yandaki dörtgende, köşegenlerin orta noktaları P ve Q ise
a2 + b2 + c2 + d2 = 4 IPQI2 + e2 + f2 olduğunu gösterelim.
Çözüm
Köşegenlerin orta noktaları P, Q ise [PB], ABC; [PD], DAC ve [PQ]
da PBD üçgenlerinin kenarortayı olur. Bu üçgenlerde kenarortay bağın­
IACI = e , IBDI = f
2
a
ABC üçgeninde, b2 + c2 = 2u? + —
olduğunu hatırlayalım.
'
a
2
IACI2
IACI2
ABC nde, a2 + b2 = 2 IPBI2 + ■IA C -, ©
DAC nde, c2 + d2 = 2 IPDI2 +
ve
2
tılarını yazalım.
PBD nde, IPBI2 + IPDI2 = 2 IPQI2 + ^BDI2’dir. (D
2
1 ve 2 den, a2 + b2 + c2 + d2 = 2(IPBI2 + IPDI2) + IACI2 dir.
4
3 ü 4 te yerine yazalım:
a2 + b2 + c2 + d2 = 2 (2 IPQI2 + i ^ ^ 2) + IACI2
= 4 . IPQI2 + IBDI2 + IACI2 = 4 . IPQI2 + f 2 + e2 bulunur.
120
ALIŞTIRMALAR
1.
Yandaki şekilde [AF] ile [BF] açıortay, m(AFB) = 80° ve
m(C) = 100° ise m(EDA) = x
2.
A. 60
B. 80
D . 110
E . 120
kaç derecedir?
C. 100
Yandaki şekilde [AC] ± [BD],IADI = 5 cm, IDCI = 8 cm,
IDEI = 4 cm ve IEBI = 2 cm ise
x, y, z ve t uzunluklarını bulunuz.
C
3.
Yandaki şekilde [BE] ve [DE] ait oldukları açıların açıortaylarıdır
m(A) = 140° ve m(C) = 80° ise m(DEB) kaç derecedir?
4.
Köşelerinin koordinatları A (—3, 4), B(7, —2), C(9, 6), D(1, 8) olan ABCD dörtgeninin kenarları­
nın orta noktaları; K, L, M, N ise KLMN dörtgeninin çevresinin uzunluğunu bulunuz. Bulduğunuz
çevre uzunluğunu, |AC| + |BD| toplamı ile karşılaştırınız.
5.
Yanda verilen şekilde, IEDI = 4 cm, IAEI = 2 cm ve
IECI = IEBI = IBCI = 6 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A . 2373
B . 1573
D . 1873
E. 1673
C
D
C .2073
6 cm
A
B
6.
7.
Yanda verilen ABCD dörtgeninde n + p + r = 250° ise
m(D) = x kaç derecedir?
A. 120
B. 110
D. 85
E. 70
D
C
\r
D4
C. 95
■A
A
Köşelerinin koordinatları; A(-4, 3), B(5, 1), C(2, 7) ve D(-7, 9) olan ABCD dörtgeninin ağırlık
merkezinin koordinatlarını bulunuz (Bir dörtgenin ağırlık merkezi, köşegenlerinin oluşturduğu
üçgenlerin ağırlık merkezlerini köşe kabul eden dörtgenin köşegenlerinin kesim noktasıdır.).
121
ÖZ]
10.5.2. ÖZEL DÖ RTGENLER
Fotoğraflardaki çağdaş mima­
riye uygun yapılarda ve zemin
döşemelerinde kullanılan özel
dörtgensel bölgeleri inceleyiniz.
10.5.2.1. Ya m u k , Pa r a l e l k e n a r , DİKDÖRTGEN,
İLGİLİ AÇı, KENAR VE KÖŞEGEN ÖZELLİKLERİ
eşkenar
DÖRTGEN, Ka r e VE DELTOİD İLE
Yamuk ve Özellikleri
BİLGİ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------D
C
En az iki kenarı paralel olan dörtgene yam uk denir.
ABCD yamuğunda, [AB] // [CD]’dır.
m(A) + m(D) = 180°, m(B) + m(C) = 180°’dir.
B
A
D
Yamuğun paralel olan kenarları yamuğun tabanlarıdır.
C
Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar
yam uk denir.
İkizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri eşittir.
A
D
İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir.
İkizkenar yamuk
C
B
Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa d ik yam uk denir.
IZL
A
Dik yamuk
B
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
1.
d1// d2 doğrularını çizelim. d1 üzerinde D, C noktalarını, d2 üzerinde de A, B noktalarını alalım.
[AD] ve [BC]’ nı çizerek ABCD dörtgenini oluşturalım. d1// d2 olduğundan, [AB] // [DC]’dır ve ABCD
dörtgeni bir yamuktur.
c
C
D üst taban C
1
orta taban
h
2
H
a
B
►
A
Alt taban
B
1. şekilde; [DH] ± [AB] olduğundan, [DH] yüksekliktir. IDHI = h, IABI = a, IBCI = b, ICDI = c ve
IDAI = d ile gösterilir.
2. şekilde; IDEI = IEAI, ICFI = IFBI olduğundan, [EF] orta tabandır.
122
2.
Bir yamukta orta taban, tabanlara paralel ve uzunluğu da taban uzunluklarının toplamının
yarısına eşittir.
Verilen: ABCD bir yamuk ve [EF] orta tabandır.
İstenen: [EF] // [AB] // [DC] ve |EF| = - ^ ^ ’dir.
İspat: ABCD yamuğunda [AC] köşegenini ve [AD] nın
orta noktasından, [EX // [DC] çizelim. [EX, [AC] ve
A
[BC]’ nın ortasından geçer (Bir üçgende, bir kenarın
B
orta noktasından ikinci bir kenara çizilen paralel doğru
üçüncü kenarın ortasından geçer.).
|AE| = |ED| ve |BF| = |FC| olduğundan [EF] orta tabandır.
Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası üçüncü kenara paralel ve uzun­
lukça, üçüncü kenar uzunluğunun yarısına eşittir. O hâlde,
A d C nde, |EK| =
ve [EK] // [DC], CAB nde, |KF| = -2- ve [KF] // [AB]’dır.
|EK| + |KF| =|EF| = - 2 + -2 - = - ^ + 2 ve [EF] // [AB] // [DC] olur.
3.
Bir yamukta orta tabanın köşegenler arasında kalan parçasının uzunluğunun, taban uzunlukla­
rının farkının yarısına eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: ABCD yamuğunda; [EF] orta tabanı, [AC] ve [BD] köşegenlerini K ve L noktalarında kesiyor.
İstenen: IKLI = -a—Ç’ dir.
C
İspat: E orta nokta ve [EL] // [AB] olduğundan,
DEL ~ DAB’ dir (A.A.) benzerlik teoremi. Buradan,
J f^ =m
^
IABI
IDAI
m
a
=2 ^
2
IELI = J L ’ dir.
2
A
AEK ~ ADC’ dir (A.A.) benzerlik teoremi. Buradan,
IDCI
IADI
^
JEKİ = - 1 ^
c
2
IEKI = — dir.
2
IKLI = IELI - IEKI olduğundan, IKLI = -2- - - 2 =
bulunur.
ÖRNEK
D
Yandaki ABCD yamuğunda, [EF] orta taban ve[AC] ile [BD]
c
C
köşegenlerdir. IEFI = 11 cm ve IKLI = 3 cm ise IABI’ nubulalım.
K
[EF] orta taban ve [KL] orta tabanın köşegenler arasında kalan
parçası olduğundan,
IEFI = a 2 c = 11 ^ a + c = 22 cm ve 1
IKLI = a - c = 3 ^ a - c = 6 cm’dir.
1) ve
\F
E/
Çözüm
A
2
2 ’den, 2a = 28 ^ a = 14 cm bulunur.
123
L
B
ÖRNEK
Yandaki şekilde, ABCD yamuk, m(A) = 50°, m(B) = 80°,
IBCI = 6 cm ve IDCI = 4 cm ise lABI’ nu bulalım.
D
4 cm
C
D
4 cm
C
Çözüm
[CE] // [AD] çizelim.
AECD paralelkenar olduğundan,
IDCI = IAEI = 4 cm, m(BEC) = m(A) = 50° dir.
m(B) = 80° ve m(BEC) = 50° ^ m(C2) = 50° dir.
m(BEC) = m(C2) = 50° olduğundan, CEB üçgeni ikizkenar
üçgendir.
cm
IEBI = IBCI = 6 cm ve IABI = IBEI + IEAI = 6 + 4 = 10 cm
bulunur.
A
4 cm
6 cm
E
B
BİLGİ
Köşegenleri birbirine dik olan bir dik yamukta yükseklik h, paralel olan kenarların uzunlukları a
ve c ise h2 = a . c ’dir.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
D
Köşegenleri birbirine dik olan dik yamukta, yüksekliğin
c
C
karesinin, taban uzunlukları çarpımına eşit olduğunu gös­
terelim.
Verilen: ABCD yamuğunda köşegenler birbirine diktir.
F
İstenen: h2 = a . c’ dir.
A
B
İspat: Yamuğun köşegenleri birbirine diktir. Bu yamukta [DF] // [AC] çizelim. Birbirine paralel
doğrulardan birine dik olan bir doğru diğerine de dik olacağından, [BD] ± [AC] ^ [BD] ± [DF] olur.
Paralel doğrular arasında kalan paralel doğru parçaları birbirine eştir.
[DC] e [FA] ^ IFAI = IDCI = c’dir.
DFB dik üçgeninde, Öklid’ in yükseklik bağıntısını yazalım.
IDAI = h ^ h2 = IFAI . IABI = IDCI . IABI = c . a bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki ABCD dik yamuğunda [AC] 1 [DB], IABI = 9 cm, IDCI = 4 cm
ise yamuğun yüksekliğini bulalım.
Çözüm
[DE] // [AC] çizilirse, EACD paralelkenar (|DC| = |EA| = 4 cm) [BD] 1 [AC]
olduğundan, [ED] 1 [BD] olur. Çünkü para Iel doğru Iardan birine dik olan bir
doğru, diğerine de diktir. Buradan, DEB üçgeninin dik üçgen olduğu görülür.
124
DEB dik üçgeninde,
IDAI2 = IEAI . IABI (Öklid bağıntısı)
d2 = 4 . 9 = 36
d = 6 cm bulunur.
|CH| = |AD| = d = h = 6 cm’ dir.
■AV
BİLGİ
Köşegenleri birbirlerine dik olan ikizkenar yamukta yükseklik, taban uzunluklarının aritmetik
ortalamasıdır.
ÖRNEK
Köşegenleri birbirine dik olan ABCD ikizkenar yamuğunda yük­
sekliğin, taban uzunlukları toplamının yarısına eşit olduğunu göste­
relim.
c
2
D
C
Çözüm
EAB ve ECD ikizkenar dik üçgenler ve IELI = - 2 ve
IEKI = — olduğundan,
h = IKLI = IELI + IEKI =
2
2
= a + c bulunur.
2
ÖRNEK
D
Bir ikizkenar yamukta; IABI = 11 br, IBCI = ICDI = IDAI = 5 br
ise bu yamuğun yüksekliğini bulalım.
Çözüm
[DH] 1 [AB] ve [CE] 1 [AB] çizelim.
DHEC dikdörtgeninde, IDCI = IHEI = 5 br olur.
DAH . CBE ve IAHI = IEBI = 3 br’ dir.
2 2
DAH dik üçgeninde, h = 5
32 = 25 - 9 = 16 ^ h = 4 br’dir.
ÖRNEK
D
/S
/s
Yandaki şekilde, ABCD bir yamuk ve A ile D’ nın açıortayla­
/s
/s
rının kesim noktası E; C ile B’ nın açıortaylarının kesim noktası
da F’dir. IADI = 6 cm, IDCI = 4 cm, IBCI = 8 cm ve IABI = 14 cm
ise IEFI’ nun kaç cm olduğunu bulalım.
125
4 cm
5 br
C
Çözüm
Yandaki şekli inceleyiniz.
Ar a
v .
t 3 cm ^
m(A)+ m(D) = 180° olduğundan,
hr
a + n = 90° ve m(AED) = 90° dir.
n F \n
<
IELI = IEKI olur.
B
}^
L
IEHI = IEKI
x%
4 cm X N
o/n
E noktası açıortay üzerindedir.
IEHI = IELI
/
Buradan, E noktasının orta taban üzerinde olduğu anlaşılır. Orta taban [MN] ise [EM], EAD dik üç­
geninin hipotenüsüne ait kenarortayı olur.
IEMI = 1 . IADI = — . 6 = 3 cm, IFNI = -1- . 8 = 4 cm ve
2
2
2
IMNI = a + c = 14 + 4 = 9 cm ^
IEFI = 9 - (3 + 4) = 2 cm bulunur.
D in a m ik G e o m e tri Yazılım P ro g ra m ı İle İ lg ili U y g u la m a la r
E T K İN L İK
Araç ve Gereçler: Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
1. Bir yamukta orta taban uzunluğunun, taban uzunlukları toplamının yarısına eşit olduğunu göstere­
lim.
• Geogebra yazılım programını açınız. Açılan sayfanın sağındaki “geometri” seçeneğini tıklayınız.
Üstteki araç çubuğunun altındaki kareli kâğıt (
M
) simgesini tıklayınız.
düğmesinden “doğru parçası” seçeneğini tıklayarak, doğru parçaları ile ABCD yamuğu
çiziniz.
düğmesinden, “orta nokta veya merkez” seçeneğini tıkladıktan sonra yamuğun
paralel olmayan kenarlarını tıklayınız. Bulunan noktalar E ve F olsun. [EF] bu yamuğun orta
tabanıdır.
düğmesindeki “ uzaklık veya uzunluk” seçeneğini tıkladıktan sonra; [AB], [CD] ve [EF]’ nı
tıklayarak |AB|, |CD| ve |EF|’ nu bulunuz. Bu uzunlukları karşılaştırınız. |EF|’ nun |AB| ile |CD|’ nun
toplamının yarısına eşit olduğunu fark ettiniz mi?
/s
/s
2. ABCD ([AB] // [CD]) yamuğunda, A ve D’ nın açıortaylarının orta taban üzerinde kesiştiğini göste­
relim.
• Geogebra yazılım programını açınız.
• Yukarıdaki sırayı takip ederek bir ABCD yamuğunu ve bu yamuğun orta tabanını çiziniz
([AB] // [CD]).
r a
düğmesinden,
“ açıortay” seçeneğini tıkladıktan sonra A’ nın kenarlarını ve D’ nın
/s
/s
kenarlarını tıklayınız. A ve D’ nın açortaylarının [EF] üzeride kesiştiklerini gördünüz mü?
126
Açıortayların kesim noktası K olsun. K noktasının tabanlara olan uzaklıkları |KL| ve |KN| ise bu
uzunlukları
düğmesindeki, “ uzaklık veya uzunluk” seçeneğini ‘JT--"! tıklayarak bulunuz ve
|KL| = |KN| = -h olduğunu görünüz.
S
düğmesinden “ açı” seçeneğini tıkladıktan sonra AKD’ nın kenarlarını tıklayınız.
m(AKD) = 90° olduğunu gördünüz mü? Benzer şekilde, B ve C’ nın da açıortaylarını çiziniz.
Y am ukla İ lg ili T e o re m le r
=
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM ----------------------------------------------------------
Bir ABCD ([AB] // [CD]) yamuğunda, paralel olan kenar uzunlukları a ve c olmak üzere köşegen2.a.c
olduğunu
lerin kesim noktasından tabanlara çizilen paralel doğru parçasının uzunluğunun
a+c
gösterelim.
Verilen: ABCD yamuğunda, [AC] n [BD] = {O} ve [EF] // [AB], [EF] // [DC]’ dır.
İstenen: IEFI =
a+c
’ dir.
İspat:
I. Yol
[DC] // [EF] // [AB] ^
|OE|
= — + — ise |OE| = - ^ - ^ ve
a
c
a+c
1O Ft = - + — ise |OF| = - ^ ’dir.
|OF|
a
c
a+c
|OE| = |OF| ^ |EF| = 2 . IOEI = 2 .
a+c
= 2 . a . c olur.
a+c
II. Yol
|AC|
OCD ~ OAB (A.A. benzerlik teoremi) ^ -|°CT = — ^
v
’
IOA|
a
|OC| + |OA| = c + a (orantı özelliği)
|OA|
a v
|AC|
ACD ~ AOE (A.A. benzerlik teoremi) ^
1 ve 2 den,
|OE|
2IOEI = IEFI = 2 .
IACI = _ c _
’dir.
IAOI IOEI
J + -Ç ^ |o e | = - 3 ^ ’dir.
a+c
a+c
= 2 . a . c bulunur.
a+c
ÖRNEK
Şekildeki ABCD yamuğunda; IABI = 8 cm, IDCI = 4 cm’ dir.
[EF] // [AB] ise IEFI’ nu bulalım.
127
a+c
2
dır.
1
Çözüm
I.
Yol: ABCD yamuğunda köşegenlerin kesim noktasından tabanlara çizilen paralel doğru par­
çası [EF]’ dır.
IEFI =
2 .a .c
a+c
2.8.4
8+4
IEFI _
II. Yol: [OE] // [AB] ^
^
64
12
+ - 1 ve [OF] // [AB] ^ - O p = 4 " + T r ’dir
1 _ -1 + -1 = ^ - 2- = -5 - ^
------IOEI
8
4
8
8
IOEI = IOFI ve IEFI = 2IOEI = 2.
=
16 br’dir.
IOEI =
3
br’dir.
= -16- br bulunur.
g| İNCELEYEREK ÖĞRENELİM ---------------------------------------------------[31' ABCD ([AB] // [CD]) yamuğunda, IABI = a, IDCI = c, IEFI = h, köşegenlerin kesim noktası O
ve [OE] l [AB], [OF] l [DC] ise IOEI = —a— h ve IOFI = —c— . h olduğunu gösterelim.
a+c
a+c
Verilen: ABCD yamuğunda, [AC] n [BD] = {O} ,
[OE] l [AB] ve [OF] l [DC]’ dır.
FC
İstenen: IOEI = —a— h ve IOFI = —— . h’dir.
a+c
a+c
İspat:
ODF ~ OBE (A.A. benzerlik teoremi) ^
IODI _ IOFI
dir.
IOBI IOEI
ODC ~ OBA (A.A. benzerlik teoremi) ^ -!°Dİ = — ’dır.
IOBI
a
h
1 ve 2 den,
IOFI
IOEI
IOEI
a
^
IOFI
IOEI + IOFI
1
(2)
IOFI + IOEI = c + a (orantı özelliği)
IOEI
a v
h
=
^ IOEI = - a — ve
IOEI
a+c
c
IOFI = - i ^ ’dir.
a+c
a+c
h
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen ABCD yamuğunda köşegenlerin
kesim noktası O ve [OF] l [DC], [OE] l [AB]’ dır.
IABI _ 6 cm, IDCI _ 3 cm ve h _ 4 cm ise IOEI ve IOFI’ nu
bulalım.
Çözüm
ABCD yamuğunda köşegenlerin kesim noktası O ve [OF] l [DC],
[OE] l [AB] ise, IOFI = —
. h ve IOEI = — ^— . h’dir.
a+c
a+c
IOFI _
6+3
- . 4 = -1 2 = -4 - br ve IOEI =
6 . 4 _ 24 _ _8 _ br’ dir.
6+3
128
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki cümlelerde noktalı yerleri uygun kelimelerle doldurunuz.
a. Karşılıklı kenarlarından sadece ikisi paralel olan dörtgene.................................denir.
b. Yamuğun paralel kenarlarına..................... denir.
c. Bir yamukta orta tabanın köşegenler arasında kalan parçasının uzunluğu, taban uzun­
lukları ................................................................ eşittir.
2.
3.
Aşağıdaki cümlelerden doğru olanlara “ D” , yanlış olanlara “ Y” yazınız.
a.
Bir ikizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri eşittir.
b.
Bir yamukta tabanın bir yan kenarla oluşturduğu iç açıların ölçüleri toplamı 90° dir.
Q
c.
Yan kenarlarından biri tabanlarına dik olan yamuğa dik yamuk denir.
Q
ç.
Bir yamukta orta taban uzunluğu, alt ve üst taban uzunlukları toplamına eşittir.
Q
Yandaki şekilde; ABCD yamuk, [CF], [BF] açıortay ve
[EF] // [AB]’dır. IABI = 10 br, IBCI = 8 br ve IDCI = 4 br ise
lEFI’ nu bulunuz.
4.
Yanda, bir kapının arkasına çakılan ahşap dilmelerden bazılarının
uzunlukları verilmiştir. Bu kapının taban kenarının uzunluğunu bulunuz.
5.
Yandaki şekilde verilen dik yamukta köşegenler birbirine diktir
D
3 cm
C
IABI = 12 cm ve IDCI = 3 cm ise IADI kaç cm’ dir?
A. 273
B . 373
D. 5
E .6
C. 4
A
6.
Şekildeki ABC üçgeninin ağırlık merkezi G noktasıdır. G
noktasının d doğrusuna olan uzaklığı |GH| = 4 cm ise ABC
üçgeninin köşelerinin d doğrusuna olan uzaklıkları toplamını
bulunuz.
7.
[AB] // [CD] olan ABCD ikizkenar yamuğunda, |AC| = e = 8 ve b = 6 ise a . c değerini bulunuz.
129
8 . Yandaki şekilde; ABCD yamuk, IEDI = IEAI, ICFI = IFBI,
D 4 cm C
IDCI = 4 cm ve IABI = 10 cm ise, IKLI kaç cm’dir?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
E. 7
9. Yandaki şekilde; ABCD yamuk, [AC] ± [BD] , IACI = 8 cm,
IBDI = 15 cm ise, a + c kaç cm’dir?
A. 13
B. 17
C. 19
D. 20
E. 23
10. Yandaki şekilde verilen ABCD yamuğunda, [EF] orta tabandır.
[AK] ve [BK] açıortay, IABI = 9 cm ve ABFE yamuğunun çevresinin
uzunluğu 21 cm ise, ABCD yamuğunun çevresinin uzunluğu kaç
cm’dir?
A. 18
B. 20
C. 21
D. 24
E. 27
D C
11. Yandaki şekilde; ABCD ikizkenar yamuk, [BE] açıortay ve
[BE] 1 [AD]’dır.
IDCI = 2 br ve yamuğun çevresinin uzunluğu 2u = 28 br ise
IDEI = x kaç birimdir?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 2
E. 4
12. Yanda resmi verilen taburede kullanılan çıtaların uzunlukları
üzerlerine yazılmıştır. Bu taburenin oturma yeri karesel bölgedir.
a. Çıtaların oluşturduğu dörtgenlerin nasıl bir dörtgen olduğunu
belirtiniz.
60 cm
b. Ayaklarının orta noktalarını birleştiren çıtalardan birinin uzunlu­
ğunu bulunuz.
13. Bir ABCD ikizkenar yamuğunda |AB| = 11 br, |BC| = |CD| = |AD| = 5 br
ise bu ikizkenar yamuğun yüksekliğini bulunuz.
D 4 cm C
14. Yandaki şekilde, ABCD bir yamuk ve [AB] // [EF] // [KL]’ dır.
|DK| = |KE| = |EA|, |DC| = 4 cm ve |AB| = 10 cm ise x + y kaç
cm’dir?
A. 10
B. 12
C. 14
D. 15
130
E. 16
P a ralelke n ar ve Ö z e llik le ri
*A*>
BİLGİ
---------------------------------------------------------------------------------------
Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene paralelkenar denir. Paralelkenarda komşu açılar bir­
birinin bütünleridir.
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM
1.
Bir paralelkenarda karşılıklı kenarlarının uzunluklarının eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: ABCD paralelkenardır.
İstenen: IABI = ICDI ve IBCI = IADI’dir.
İspat: Paralelkenarın [AC] köşegenini çizelim:
/s
/s
/s
/s
A1 e C1 (iç ters açılar), A2 e C2 (iç ters açılar)
[AC] e [CA] (öz eşlik)
Buna göre, ABC e CDA’ dir (A.K.A. eşlik teoremi).
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar eş olduğundan;
[AB] e [CD] ise IABI = ICDI veya a = c, [BC] e [DA] ise IBCI = IDAI veya b = d ’ dir.
2.
Bir paralelkenarda köşegenlerin birbirini ortaladığını gösterelim.
Verilen: ABCD paralelkenar ve köşegenlerin kesim noktası O dur.
İstenen: IOAI = IOCI ve IOBI = IODI dur.
İspat: Paralelkenarın köşegenlerini çizelim:
A1 e C1 (iç ters açılar), B2 e D2 (iç ters açılar)
[AB] e [CD] olduğundan,
A
a
B
OAB e OCD’dir (A.K.A. eşlik teoremi).
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar eş olduğundan;
[OA] e [OC] veya IOAI = IOCI , [OB] e [OD] veya IOBI = IODI olur.
3.
Bir paralelkenarda komşu açıların açıortaylarının birbirine dik olduğunu gösterelim.
Verilen: ABCD dörtgeni bir paralelkenar ve [AE], [BE] açıortaydır.
İstenen: [AE] ± [BE]’dır.
D
İspat: ABCD paralelkenarında, m(A) + m(B) = 180° dir.
[AE] ve [BE] açıortay olduğundan,
2n + 2r = 180° ^ n + r = 90° ve
EAB nde, x + n + r = 180° ^ x + 90° = 180° ^ x = 90° dir.
O hâlde, [AE] ± [BE] ’dır.
131
C
ÖRNEK
Herhangi bir dörtgende kenarların orta noktalarının bir paralelkenarın köşeleri olduğunu gösterelim.
Çözüm
Verilen: ABCD dörtgeninde; K, L, M, N kenarların orta noktalarıdır.
İstenen: K, L, M, N noktaları bir paralelkenarın köşeleridir.
İspat: ABC üçgeninde, [KL] // [AC] ve IKLI = - 2 - . lACI’dur.
1
Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçası
üçüncü kenara paralel ve uzunlukça yarısına eşittir.
ADC üçgeninde, [MN] // [AC] ve IMNI = - 2 - . lACI’dur.
2
1 ve 2 den, [MN] // [KL] ve IMNI = IKLI olduğu görülür.
ABD üçgeninde, [NK] // [BD] ve INKI = - 2 . . IBDI’ dur.
CDB üçgeninde, [ML] // [BD] ve IMLI =
IBDI’dur.
3
4
3 ve 4 ten, [NK] // [ML] ve INKI = IMLI olur.
O hâlde, KLMN dörtgeni bir paralelkenardır ve K, L, M, N noktaları da bu paralelkenarın köşeleridir.
D 4 cm E
ÖRNEK
C
Yandaki şekilde verilen ABCD, bir paralelkenar ve [BE] açıortay­
dır. IADI = 6 cm, IDEI = 4 cm ise, ABCD para lelkenarının çevresinin
uzunluğunu bulalım.
Çözüm
m(ABE) = m(BEC) = a ’dır (iç ters açılar).
CEB nde, ICEI = ICBI = 6 cm’dir.
IDCI = IDEI + IECI = 4 + 6 = 10 cm,
a = c = 10 cm ve b = d = 6 cm ise,
2u = 2(a + b) = 2(10 + 6) = 32 cm bulunur.
ÖRNEK
D
C
Yandaki ABCD dörtgeni, bir paralelkenar, IEFI = 3 cm ve
IFGI = 9 cm ise IDEI = x kaç cm’dir?
Çözüm
EDA ~ EFC (A.A.A. benzerlik teoremi) ise -|EDf = if A r ’dir. ©
|EF|
|EC|
EGA ~ EdC (A.A.A. benzerlik teoremi) ise -jED- = y ^ ’dir. ®
© ve ® den, - S - = -jED- ^ IEDI2 = IEFI . IEGI
x2 = 3 . (3 + 9) ^ x2 = 36 ^ x = IDEI = 6 cm bulunur.
132
A
G
D
ÖRNEK
E
C
1
Yanda verilen ABCD, bir paralelkenar, IDEI = — IDCI ve IDBI = 30 cm
ise IFBI kaç cm’ dir?
Çözüm
IDEI = k ^ IECI = 3k, IABI = 4k olur. IFBI = x ^ IFDI = 30 - x'tir.
|FD|
|ED|
---- x------ = 4 ^ ^ x = 120 - 4x ^ 5x = 120
30 - x
k
x = 24 cm bulunur.
ÖRNEK
ABCD paralelkenarsal bölgenin dışında bir d doğrusu alınıyor. Paralelkenarın köşelerinin d doğru­
suna olan uzaklıkları sıra ile x, y, z ve t ise x + z = y + t olduğunu gösterelim.
Çözüm
ABCD paralelkenarının köşegenlerinin kesim noktası E ve E nok­
tasının d doğrusuna olan uzaklığı |EH| olsun.
Şekle göre AAıCıC ve DDıBıB dörtgenleri birer yamuktur.
|AE| = |EC| ve |DE| = |EB| olduğundan [EH] bu yamukların orta tabanı­
dır.
AAıCıC yamuğunda, |EH| =
x+z
dir. 1
DDıBıB yamuğunda, |EH| = ± 2 - ’dir. 2
1 ve 2 ’ den x 2 z =
^ x + z = t + y olduğu görülür.
ETKİNLİK
Araç ve Gereç: Kareli kâğıt, cetvel, kalem ve geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
1.
Kareli kâğıda bir koordinat sistemi çiziniz.
• Bu sistemde köşelerinin koordinatları A(-4, 2), B(3, 4), C(5, 10) ve D(-2, 8) olan dörtgense!
bölgeyi oluşturunuz. Bu dörtgensel bölgenin karşılıklı kenar uzunluklarını, kenarlarını taşıyan
doğruların eğimlerini bularak karşılaştırınız.
• Köşegenlerin kesim noktasını ve bu noktanın köşelere olan uzaklıklarını bularak karşılaştırınız.
• Elde ettiğiniz sonuçlara göre ABCD dörtgeninin bir paralelkenar olup olmadığını açıklayınız.
2. Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan “ Cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız. Giriş bölü­
müne A = (-4, 2) yazınız ve “enter” tuşunu tıklayınız. Benzer şekilde, giriş bölümüne; B = (0, 2),
C = (4, 6) ve D = (0, 6) noktalarını da yazınız.
M
düğmesini tıklayarak, doğru parçaları yardımı ile ABCD dörtgeni çiziniz.
J uzunluk ölçme düğmesini tıklayarak ABCD dörtgeninin kenar uzunluklarını bulunuz. ABCD
dörtgenin bir paralelkenar olduğunuz fark ettiniz mi?
133
3. 2. maddede çizimini yaptığınız dörtgeni
«$*■ düğmesindeki “sil” seçeneğini tıkladıktan sonra
siliniz. Ya da geogebra yazılım programını yeniden açınız. Sağdan “ Cebir ve grafik” seçeneğini
tıkladıktan sonra giriş bölümüne sıra ile A = (-4, -2), B = (6, -4 ), C = (8, 10) ve D = (-2, 8) nok­
talarını yazarak grafik bölümünde ABCD dörtgenini çiziniz.
düğmesinden, “ Orta nokta veya
merkez” seçeneğini tıkladıktan sonra ABCD dörtgeninin kenarlarını tıklayarak orta noktalarını
bulunuz. Orta noktaları köşe kabul eden EFGH dörtgenini çiziniz. Uzunluk ölçme düğmesini tıkla­
yarak bu dörtgenin kenar uzunluklarını bulunuz. EFGH dörtgeni nasıl bir dörtgendir?
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki cümlelerde noktalı yerleri uygun kelimelerle tamamlayınız.
a. Karşılıklı kenarları paralel olan dörtgene................... denir.
b. Bir paralelkenarda karşılıklı.................. v e .....................eştir.
c. Bir paralelkenarda köşegenler birbirini.............................
ç. Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları........................ köşeleridir.
2.
Yandaki şekilde; ABCD paralelkenar,
[AE]
D
C
1 d, [DF] 1 d, [CL] 1 d, [BK] 1 d ve IAEI = 4 br,
IDFI = 8 br,IBKI = 2 br ise, ICLI = x kaç birimdir?
A. 6
B. 5
C. —
2
D. 4
E. 3
A
4
d
3.
E
Yandaki şekilde, ABCD paralelkenar, [AE] açıortay,
E
m(B) = 66° ise, FEC’ nın ölçüsü kaç derecedir?
A. 66B. 64
C. 60
D. 57
E. 56
A
C
E
Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenar, IDEI = IECI ve
D
4.
B
IBEI = 12 cm ise, IEKI kaç cm’dir?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
K /
E. 8
A
B
D
5.
C
Yandaki şekilde, ABCD paralelkenar, [BE] ve [CE] açıortaydır.
E
IBE I = 3 cm, ICE I = 4 cm ise, E noktasının [AB] na uzaklığını
bulunuz.
A
134
D
6.
C
Yandaki şekilde, ABCD paralelkenar ve m(B) = 120° dir.
IABI = 8 cm, IBFI = IDEI = 2IEAI = 4 cm ise,
IEFI kaç cm’ dir?
A
7.
B
Analitik düzlemde, A(m, n), B(-1, -3), C(3, 5) ve D(2, 6) noktaları bir paralelkenarın köşeleri ise
m + n kaçtır?
A. - 6
8.
8 cm
B. -4
C. -2
D. 4
E. 6
Bir ABCD paralelkenarında a = 6 br, b = 4 br ise e2 + f2 toplamını bulunuz.
D ik d ö rtg e n ve Ö z e llik le ri
af-r>
BİLGİ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Acı la/rc: a" biri dik açı olan paralelkenara dikdörtgen denir. Paralelkenarın özellikleri, dikdörtgen
için de geçerlidir. Bir dikdörtgende köşegenler birbirine eştir.
ÖRNEK
Bir dikdörtgenle bir paralelkenar
arasındaki benzerlikleri ve farklılıkları
belirtelim.
Çözüm
• ABCD dikdörtgen ve KLMN paralel­
kenardır. Her iki dörtgende, karşılıklı kenarlar birbirine paralel ve eştir. Her iki dörtgende köşegenler
birbirini ortalar. Dikdörtgende köşegenler birbirine eş, paralelkenarda eş değildir. Paralelkenarda kar­
şılıklı açıların ölçüleri birbirine eşittir. Dikdörtgende her açının ölçüsü birbirine eşit ve 90° dir.
• Köşegenlerin kesim noktası E ise dikdörtgende;
EAB s ECD, EBC s EDA ve paralelkenarda;
EKL s EMN, ELM s ENK’dir.
Her iki dörtgende köşegenlerin kesim noktası, ağırlık merkezi ve simetri merkezidir.
ÖRNEK
D
C
Yandaki ABCD dikdörtgeninde, E ve F orta noktalar ise,
|AP|
oranını bulalım.
|PE|
Çözüm
[FN] // [AB] çizelim. IDEI = IECI = 2n olsun.
ABCE yamuğunda [FN] orta taban ve
IFNI =
IECI + IABI
2n + 4n
C
= 3n olur.
PED ~ PNF (A.A.A. benzerlik teoremi) olduğundan,
F
■IDEI =
= — ve IANI = INEI = 5k ise,
INFI
IPNI
3k
A
JAP- = I * = 4 bulunur.
IPEI
2k
135
4n
B
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgen ve m(AOE) = 66° dir.
D
C
IBOI = IEBI ise BOC’ nın ölçüsünü bulalım.
Çözüm
ABCD dikdörtgen olduğundan, IOAI = IOBI ve
m(OAB) = m(OBA) = a ’ dır.
A
D
IOBI = IEBI ve m(E) = m(EoB) = n’dir.
a
a
OEB nde, 2n + a = 180° ve n = a + 66° dir.
2n + a = 180° ^ 2(a + 66°) + a = 180°
O x
2a + 132° + a = 180°
3a = 180° - 132° = 48°
66° n
n
E
a
A
a = 16° dir.
4
a
x = 2 a = 2 . 16 = 32° bulunur.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Teorem : Bir dikdörtgenin iç bölgesinde ya da dış bölgesinde alınan bir E noktasının köşelere olan
uzaklıkları |EA|, |EB|, |EC| ve |ED| ise |EA|2 + |EC|2 = |EB|2 + |ED|2 dir.
Verilen: ABCD dikdörtgeninin iç bölgesinde ya da dış bölgesinde herhangi bir nokta E’dir.
İstenen: IEAI2 + IECI2 = IEBI2 + IEDI2 dir.
İspat: Dikdörtgenin iç bölgesinde alınan herhangi bir E noktasından kenarlara dikmeler çizelim.
z
IAEI2 = x2 + t2 , IECI2 = y2 + z2 ve
E
y
aT
1
t
IEBI2 = t2 + y2, IEDI2 = z2 + x2 ve
IEBI2 + IEDI2 = x2 + y2 + z2 + t2 ’dir.
y
/
IAEI2 + IECI2 = x2 + y2 + z2 + t2 ’dir.
x
D
F
Oluşan dik üçgenlerden;
2
A
1 ve 2 den, IEAI2 + IECI2 = IEBI2 + IEDI2 olur.
E noktasının dış bölgede olma durumu için ispatı da siz yapınız.
ÖRNEK
Yanda verilen ABCD dikdörtgeninde; IDEI
IEAI = 2 / Î Ö cm ise IECI = x kaç cm’ dir?
Çözüm
IEAI2 + IECI2 = IDEI2 + IEBI2 olduğundan,
( 2 /ÎĞ )2 + x2 = 42 + 72
x2 = 16 + 49 - 40
x2 = 25
x = 5 cm bulunur.
136
t
x
t
y
B
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: kareli kâğıt, açıölçer, kalem, geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
I. Analitik düzlemde köşe Ierinin koordinatları; A(-2, -5), B(6, -1), C(3, 5) ve D(-5, 1) olandörtgeni
çiziniz. Bu dörtgenin karşılıklı kenar uzunluklarını bularak sonuçları karşılaştırınız.
•
İç açıl a rının ölçü le ri ni ölçerek bulduğu nuz so nuç Ia rı açık Iayınız.
•
Kenarlarının eğimlerini bularak bu eğimleri karşılaştırınız. Karşılıklı
kenarların paralelolupolma­
dığını açıklayınız. Köşegenlerinin uzunluklarını bularak bu uzunlukların eşit olup olmadığını söy­
leyiniz.
• Köşegenlerin kesim noktasının köşelere olan uzaklıklarını bularak bu uzunlukların eşit olup olma­
dığını söyleyiniz.
• Bu dörtgenin paralelkenarla farklı veya benzer özelliklerini söyleyiniz.
• Bu dörtgenin nasıl adlandırıldığını söyleyiniz.
II. Aynı dörtgeni yazılım programı ile de çiziniz. Açılarının ölçülerini ve kenar uzunluklarını bulunuz.
ALIŞTIRMALAR
1.
Yandaki şekilde, ABCD dikdörtgen ve [AC], [BD] köşegendir.
m(FEC) = 105° ve IEFI = IFDI ise, m(DEA) = x kaç derecedir?
A. 25
B. 30
C. 45
D. 50
E. 60
A
2.
Şekilde, |AB| = 9 birim, |KL| = 4 birim, |BN| = 7 birimdir.
B
9
A
[AB] // [CD] // [EF] // [KL] // [MN] ve
[AC] // [DE] // [FL] // [KM] // [BN]
C
3.
B. 34
C. 36
D. 38
E. 40
M
N
Yandaki şekilde verilenlere göre, ABCD dikdörtgeninin çevresinin
uzunluğunu bulunuz.
A
4.
7
F
L
E K 4
ise şeklin çevresinin uzunluğu kaç birimdir?
A. 31
D
Yandaki şekilde ABCD dikdörtgen ve a = IBEI = 2b ise,
D
B
E
C
m(DAE)’ nü bulunuz.
b
A
137
a
B
5.
D
Yandaki şekilde ABCD dikdörtgen, IEAI = 2VĞ" cm,
C
IEBI = 5 cm ve IEDI = 6 cm ise, IECI = x kaç cm’dir?
A. 43
6.
B. 7
C. 3VĞ"
D. 2-15”
E. 8
Köşelerinin koordinatları; A(5, - 6), B(7, -3), C(-2, 3), D(-4, 0) olan ABCD dörtgeni veriliyor.
ABCD dörtgeninin dikdörtgen olduğunu gösteriniz. Çevresinin uzunluğu ve köşegen uzunlukla­
rını bulunuz.
Eşkenar D ö rtg e n ve Ö z e llik le ri
*A£>
BİLGİ
----------------------------------------------------------------------------
Kî ;--a' uzunlukları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir.
Eşkenar dörtgende köşegenler birbirine diktir.
Köşegenleri birbirini dik ortalayan paralelkenar, eşkenar dörtgendir.
Köşegenleri iç açıların açıortayı olan paralelkenar, eşkenar dörtgendir.
Eşkenar dörtgen, paralelkenar ve yamuğun özelliklerini sağlar.
=
1.
| J
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM ---------------------------------------------
Bir eşkenar dörtgende; köşegenlerin birbirini dik kestiğini, ortaladığını ve
iç açıların açıortayı olduklarını gösterelim.
Verilen: ABCD eşkenar dörtgendir.
İstenen: Köşegenler, birbirini dik ortalar ve iç açıların açıortaylarıdır.
İspat:
BCA ikizkenar üçgeninde, [BO] kenarortayını çizelim. Bu kenarortay
hem açıortay hem de [AC] kenarının orta dikmesidir. m(ABO) = m(CBO) = a
olur. Aynı durum; ADC, ABD, DBC ikizkenar üçgenleri için de gösterilir.
IACI
e
IBD|
[AC] 1 [BD] ve IOAI = IOCI =
1 = -£■ , IOBI = IODI = 1------L=
1
J 1 J
2
2
2
O hâlde, eşkenar dörtgenin köşegenleri, birbirini dik ortalar ve iç
2.
Bir paralelkenarda köşegenler birbirine dik ise bu paralelke­
narın eşkenar dörtgen olduğunu gösterelim.
Verilen: ABCD paralelkenar ve [AC] 1 [BD]’dır.
İstenen: ABCD eşkenar dörtgendir.
138
B
f
’dir.
2
açıların açıortaylarıdır.
f
İfadeler
Gerekçeler
1. ABCD dörtgeni paralelkenardır.
1. Verilen
2. IECI = IEAI, IEBI = IEDI
2. Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar.
3. [AC] 1 [BD]
3. Verilen
4. AEB . AED . CED . CEB
4. K.A.K. eşlik teoremi
5. IABI = IBCI = ICDI = IADI
5. Eşkenar dörtgen tanımı
ÖRNEK
C
D
Yandaki şekilde, EBCD eşkenar dörtgen ve ABCD ikizkenar yamuktur.
IABI = IBDI ise DEB nın ölçüsünü bulalım.
Çözüm
EBCD eşkenar dörtgen olduğundan, [BD] açıortaydır.
m(EBD) = m(EDB) = n’ dir.
ABCD ikizkenar yamuk olduğundan, IBCI = IADI ve m(B) = m(A) = 2n’dir.
IBAI = IBDI ^ m(A) = m(ADB) = 2n ve m(ADE) = n’ dir.
DAE nde, n + 2n + 2n = 5n = 180° ^ n = 36° dir.
x = n + 2n = 3n = 3 . 36 = 108° bulunur.
ÖRNEK
Yandaki şekilde, ABCD eşkenar dörtgen, BEC eşkenar üçgen
ve IACI = 8V3~cm’dir. Buna göre;
D
C
a. AECD yamuğunun çevresinin uzunluğunu bulalım.
b. CDE’ nın ölçüsünü bulalım.
Çözüm
a. ABCD eşkenar dörtgen ve CBE üçgeni eşkenar
D
a
C
olduğundan, IABI = IBEI = IECI = ICDI = IDAI = a’dır.
[CH] 1 [BE] çizelim.
CAH dik üçgeni; 30°, 60°, 90° dik üçgenidir.
IACI = 8^3 cm ^ ICHI = 4^3 cm ve
ICHI = aV3 = 4^3 ^ a = 8 cm’dir.
AECD yamuğunun çevresinin uzunluğu,
16 + 8 + 8 + 8 = 40 cm bulunur.
b. CBE üçgeni eşkenar olduğundan, m(CBA) = 120° dir.
/s
ABCD eşkenar dörtgen olduğundan, m(A) = 60° ise
m(C) = 60° dir.
CDE ikizkenar üçgeninde,
2x + 120° = 180° ^ 2x = 60° ve x = 30° bulunur.
139
D
C
ÖRNEK
Yandaki şekilde ABCD eşkenar dörtgen, [CD] 1 [AE],
A
D
IBCI = ICEI ve ICFI = 6 cm ise m(B) kaç derecedir?
Çözüm
C
[CD] 1 [AE] ise [AB] 1 [AE]’dır.
ECF ~ EBA ^
|EB|
ö
|AB|
- ^ = -A _
2x
|AB|
IABI = 12 cm ve
IBCI = ICEI = IABI = 12 cm ise IBEI = 12 + 12 = 24 cm’dir.
ABE dik üçgen, IABI = 12 cm ve IBEI = 24 cm ise
m(AEC) = 30° ve (Dik üçgende 30° lik açının karşısındaki dik kenarın uzunluğu hipotenüsün yarı­
sına eşittir.)
m(ABC) = 60° bulunur.
=j[ ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kâğıt, kalem, pergel, iletki ve cetvel.
I.
•
|AC| = 4 cm olan [AC]’ nı çiziniz. Pergelinizin açıklığını 4 cm’ den büyük açarak A ve C merkezli iki
yay çiziniz. Yayların kesim noktaları B ve D olsun.
•
[AB], [BC], [CD] ve [DA]’ nı çiziniz. ABCD dörtgeninin kenar uzunluklarını ölçerek eşit olup olma­
dığını açıklayınız.
•
ABCD dörtgeninin iç açılarının ölçülerini iletkinizle ölçerek aralarındaki ilişkiyi açıklayınız.
•
Dörtgenin köşegenlerini çiziniz. Bu köşegenlerin köşelerdeki açılarının açıortayı olup olmadığını
ve birbirine dik olup olmadığını açıklayınız.
•
ABCD dörtgeninin nasıl bir dörtgen olduğunu açıklayınız.
II.
•
Dosya kâğıdına herhangi bir ABC (|AB| = |AC|) ikizkenar üçgeni çiziniz.
•
Bu üçgende [AB], [AC] ve [BC]’ nın orta noktaları sıra ile E, F ve D olsun.
•
E ve F noktalarını [BC]’ nın orta noktasına birleştiriniz.
•
Bir üçgende iki kenarın orta noktalarını birleştiren doğru parçasının uzunluğu, üçgenin üçüncü
kenarının uzunluğunun yarısına eşittir. Buna göre, AEDF dörtgeninin kenar uzunluklarını, [AB] ve
[AC] kenarlarının uzunlukları ile karşılaştırınız.
•
AEDF dörtgenlerinin eşkenar dörtgen olduğunu fark ettiniz mi?
140
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki cümlelerde noktalı yerleri uygun kelimelerle doldurunuz.
a. Kenar uzunlukları eşit olan paralelkenara...............................denir.
b. Eşkenar dörtgende köşegenler birbirini..........................ortalar.
c. Eşkenar dörtgende köşegenler.......................................
2.
Köşegenlerinin koordinatları; A(1, 2), B(7, 0), C(5, 6) ve
D(-1, 8) olan dörtgenin eşkenar dörtgen olduğunu gösteri­
niz ve çevresinin uzunluğunu bulunuz.
3.
Aşağıdaki ifadelerden doğru olanların yanına “ D” , yanlış olanların yanına “Y” yazınız.
a. Eşkenar dörtgen, yamuğun özelliklerini sağlar.
d
b. Eşkenar dörtgenin merkezi kenarlarına aynı uzaklıkta değildir.
d
c. Eşkenar dörtgende kenarların orta noktaları bir dikdörtgenin köşeleridir.
4.
Yandaki şekilde, ABCD eşkenar dörtgendir. m(D) = 120°,
H
C
IABI = 16 cm ve [BH] 1 [DC] ise IBHI = x kaç cm’ dir?
A. 4
B. 473
C. 8
D. 873
E. 9
D
5.
Yandaki şekilde verilen ABCD, eşkenar dörtgendir. [AH] 1 [BC] ve
IEAI = IEBI ise DEA açısının ölçüsü kaç derecedir?
A. 30
B. 36
C. 45
D. 50
141
E. 60
C
Kare ve Ö z e llik le ri
aAD
BİLGİ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------K t u z u n l u k l a r ı eşit olan dikdörtgene kare denir.
Kare, dikdörtgen ve eşkenar dörtgenin özelliklerini sağlar.
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM ------------------------------------------------------------------------------Bir karede köşegenlerin iç açıların açıortayları olduğunu ve uzunluklarının birbirine eşit olduğunu
gösterelim.
D
a
C
Verilen: ABCD dörtgeni bir karedir. [AC] ve [BD] köşegenlerdir.
İstenen: IACI = IBDI ve [AC] ile [BD] iç açıların açıortayıdır.
İspat: ABCD dörtgeni kare olduğundan,
a
IABI = IBCI = ICDI = IDAI = a ’dır.
[AC] ve [BD] köşegenlerini çizelim.
CDA ^ DAB ^ ABC a BCD’ dir (K.A.K. eşlik aksiyomu).
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar eş olduğundan, ICAI = IDBI ’ dir.
EAB a EAD a ECB a ECD’dir (K.K.K. eşlik teoremi).
O hâlde,
A a A,, C a C2 olduğundan, [AC] açıortaydır.
Benzer şekilde [BD]’ nın da açıortay olduğu görülür.
ÖRNEK
D
C
ABCD karesinde, [AD] kenarının orta noktası E’dir. Kare içinde
IFEI = IFBI = IFCI olacak biçimde bir F noktası alınıyor. IABI = 8 cm ise,
IFBI = x kaç cm’dir?
Çözüm
[EF]’ nın uzantısının [BC]’ nı kestiği nokta K ise, IEKI = IABI = 8 cm’dir.
IEFI = x ^ IFKI = 8 - x’tir.
FKB dik üçgeninde, IFBI2 = IFKI2 + IBKI2
x2 = (8 - x)2 + 42 = 64 - 16x + x2 + 16
16x = 80 ^ x = 5 cm bulunur.
ÖRNEK
D
Yanda verilen ABCD kare ve [CF], ACB açısının açıortayıdır.
|AB| = a, IOEI = x ise IEBI = IBFI = V2x ve IAFI = 2x olduğunu
gösterelim.
142
C
Çözüm
D
m(BFE) = 45° + a (dış açı) ve m(FEB) = 45° + a ’ dır (dış açı).
C
Taban açılarının ölçüleri eşit olan BEF üçgeni, ikizkenar üçgendir.
. IOEI
IOCI
BCO nde, ___ = ___ ^
IEBI
IBCI
a/ 2
2
—— (açıortay teoremi)
IBEI
^ IBEI =
. x ^ IBEI = V2x ve
V2
IBEI = IBFI = V2x olur.
^
.
IFAI
IACI
CAB nde, t= t = ___ ^
IFBI
IBCI
\/2
IAFI
y2x
a
(açıortay teoremi)
^ IAFI = 2x bulunur.
ÖRNEK
D
C
D
C
Yandaki şekilde ABCD ve DEFG birer kare ve m(DGC) = 70° ise,
m(FEA) kaç derecedir?
Çözüm
m(EDA) = p, m(CDG) = a, m(GDA) = n olsun.
a + n = 90°
p + n = 90°
IEDI = IDGI
a =p
^ EDA ^ GDC (K.A.K. eşlik aksiyomu) ise,
IADI = IDCI
m(DGC) = m(DEA) = 70° ve
m(FEA) = 90° - 70° = 20° bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1.
D
Yandaki şekilde verilen ABCD kare,
IDEI = 3 / 2 cm ve IECI = 5 cm ise IABI kaç cm’ dir?
A. 6
2.
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
Uzunluğu bilinmeyen bir tel kesilerek alanlarının toplamı 29 cm2
ve ortak kenarlarında tek sıra tel olan şekildeki gibi kareler oluş­
turuluyor. Bu telin uzunluğu kaç cm’dir?
A. 28
B. 30
D. 36
E. 40
C. 32
143
C
3.
D
Yandaki şekilde verilen ABCD bir karedir. ICBI = 6 cm ve ACB açısının
C
açıortayı, [AB]’ nı E noktasında kesiyorsa IACI - IBEI kaç cm’ dir?
4.
Köşelerinin koordinatları; A(-3, 1), B(-1, -3), C(3, -1 ) ve D(m, n) olan dörtgen kare ise m + n
kaçtır?
D
5.
5 cm
C
Yandaki şekilde verilen ABCD bir kare, IDBI = IBEI ve IDCI = 5 cm
ise IECI kaç cm’dir?
A. 15
B. 5<f5
C. 10
D. 5 /Ğ
E. 5 / 7
E
D e lto id ve Ö z e llik le ri
*A£>
= %
BİLGİ
Köşegenlerinden biri, iki ikizkenar üçgenin ortak tabanı olan dörtgene deltoid denir.
• Deltoid, köşegenlerinden birine göre simetriktir.
• Kare ve eşkenar dörtgen özel birer deltoiddir.
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM
D
Yandaki ABCD dörtgeninde DAC ile BCA tabanları ortak iki ikizkenar üçgen
olduğundan, bu dörtgen bir deltoiddir. ABCD deltoidinde;
|BA| = |BC| veya a = b, |DA| = |DC| veya c = d’dir.
[AC] A [BD] ve |OA| —|OC| dir. [BD] köşegeni dörtgenin simetri ekseni ve açıortayıdır.
a
C
m(B1) —m(B2) ve m(D1) —m(D2)’dir.
ÖRNEK
D
Bir deltoidde, köşegen uzunlukları; IACI —10 cm, IBDI —24 cm’ dir. Bu deltoidin kenarlarının orta noktaları sıra ile K, L, M, N ise KLMN dörtgeninin köşegen
uzunluklarını bulalım.
M
Çözüm
M, N, K, L noktaları; kenarların orta noktaları olduğundan;
[NK] // [BD] ise, INKI —-2 . IBDI —y . 24 —12 cm ve
[KL] // [AC] ise, IKLI —-1 . IACI —-1 . 10 —5 cm ’ dir.
144
A
F
C
[AC] l [BD] olduğundan, [NK] l [AC]’tir (Paralel doğrulardan birine dik olan doğru diğerine de diktir.).
[AC] l [BD] olduğundan, [NM] l [BD]’tir. Buradan, KLMN dörtgeninin dikdörtgen olduğu görülür.
NKL dik üçgeninde, INLI2 = INKI2 + IKLI2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ^
INLI = 13 cm bulunur.
NKLM dikdörtgen olduğundan diğer köşegen uzunluğu da 13 cm’dir.
A
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen deltoidde; IAEI = IEDI, [FE] // [AB],
m(AEF) = 120°, IEDI = 5 cm ve IBCI = 5^2 cm ise, IFCI kaç cm’dir?
Çözüm
m (FİD ) = 180° - m(FEA) = 180° - 120° = 60° dir.
[AB] // [FE] ^ m(BÂD) = 60° ve
[AC] köşegenini çizersek m(FAE) = 60° : 2 = 30° olur.
A
AFD dik üçgeninde 30° lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu,
IFDI = IADI : 2 = 10 : 2 = 5 cm’ dir.
FCD dik üçgeninde, IFCI2 + IFDI2 = ICDI2 ^ IFCI2 + 52 = ( 5 / 2 )2
^ IFCI2 = 50 - 25 = 25
^ IFCI = 5 cm’dir.
ÖRNEK
D
Yandaki uçurtmada kullanılan köşegen çıtaları birbirine dik ve
uzunlukları IACI = 60 cm, IDBI = 90 cm’dir. IAEI = IECI, IADI = 50 cm ise
uçurtmanın çevresindeki iplerin uzunlukları toplamını bulalım.
A
Çözüm
1
IAEI = IECI = — . 60 = 30 cm’ dir.
2
[AC] 1 [BD] ve IADI = 50 cm ise IDEI = 40 cm ve IDCI = 50 cm’dir.
IDEI = 40 cm ^ IEBI = 90 - 40 = 50 cm’ dir.
[BE] 1 [AC] ve IAEI = IECI olduğundan BCA ikizkenar olur. DAC
de ikizkenar olduğundan ABCD dörtgeni bir deltoiddir.
IABI2 = IEAI2 + IEBI2 = 302 + 502 = 900 + 2500 = 3400 ^ IABI = IBCI = 1 0 / 3 4 cm’ dir.
Çevresinin uzunluğu da 2u = 2 . 50 + 2 . 1 0 ^3 4 = (100 + 2 0 ^ 3 4 ) cm’ dir.
ALIŞTIRMALAR
1.
Köşelerinin koordinatları; A (-4 , -3 ), B(3, 1), C(2, 6) ve D (-3, 5) olan ABCD dörtgeni veriliyor.
Bu dörtgenin deltoid olduğunu gösteririz.
145
2.
3.
Selim, şekildeki gibi bir uçurtma yapıyor. Uçurtmasının parçalanmaması için
50 cm’den biraz büyük bir çıtayı iki farklı parçaya ayırarak [AD] ve [BC] çıtala­
rının orta noktalarından ve köşegenlerin kesim noktasından geçecek biçimde
bağlıyor. IOEI + IOFI = n + m > 50 ise deltoid şeklindeki bu uçurtmanın kenar
çıtalarının uzunlukları toplamının en küçük tam sayı değeri kaç cm olur?
Bir deltoidin kenarlarının orta noktaları nasıl bir dörtgenin köşeleridir?
A. Deltoid
4.
D
B. Kare
C. Dikdörtgen
D. Yamuk
E. Eşkenar dörtgen
A
Yandaki şekilde, ABC eşkenar üçgendir. IBFI = 2 cm, [FE] // [BC] ve
IBDI = IDCI = 4 cm ise;
a. AFDE dörtgeninin deltoid olduğunu gösteriniz.
b. AFDE dörtgeninin çevresinin uzunluğunu bulunuz.
5.
C
Yandaki şekilde, ABCD bir deltoiddir. m(A) = 90°, IABI = 4 br ve
IBCI = 472 br ise ADC’ nın ölçüsünü bulunuz.
6.
Köşegen uzunlukları IACI = 10 cm, IBDI = 17 cm ve m(B) = 90°
olan deltoidin çevresinin uzunluğunu bulunuz.
7.
Yandaki sandalda yelken, yarım deltoid şeklindedir. Bu yelkende
kullanılan ahşap kısımların uzunlukları üzerlerinde yazılıdır. Buna
göre bu yelkende kullanılan ipin uzunluğunu bulunuz.
2m
\ V l, 5 r a
2,5 m
8.
Bir kare içine bir deltoid çiziniz ve çizimi nasıl yaptığınızı açıkla­
yınız.
Y am uk, Paralelkenar, Eşkenar D ö rtg e n , D ik d ö rtg e n , Kare ve D e lto id A ra s ın d a k i
H iy e ra rş ik İliş k ile r
*A£>
BİLGİ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Do,tJ0,’İ0' karşılıklı kenar çiftlerinin paralel olup olmamasına göre sınıflandırılır.
146
Dörtgen
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
•
Yukarıdaki Venn şemasına göre;
1. Dik yamuk ve ikizkenar yamuk, yamuğun özelliklerini sağladığından, yamuğun alt kümesi olarak
gösterilmiştir.
2. Dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve kare; paralelkenarın özelliklerini sağlar.
3. Kare ve eşkenar dörtgen, birer deltoiddir.
4. Yamuk, paralelkenar, dikdörtgen, kare ve eşkenar dörtgende en az karşılıklı iki kenar paraleldir.
Deltoidin ise paralel olan kenarları yoktur.
5. Kare ile eşkenar dörtgenin benzer ve farklı özelliklerini belirtelim.
Benzer özellikler: Her ikisinin de dört kenar uzunluğu kendi aralarında birbirine eşittir.
Her ikisinin de köşegenleri birbirine dik ve açıortaydır.
Farklı özellikler: Karede iç açıların ölçüleri birbirine eşit ve 90° dir. Eşkenar dörtgende ise karşılıklı
açıların ölçüleri eşittir. Karede köşegenler eşit, eşkenar dörtgende ise farklı uzunluktadır.
6. Paralelkenar ile yamuğun benzer ve farklı yönlerini belirtelim.
Yamukta karşılıklı iki kenar, paralelkenarda karşılıklı kenar çiftleri paraleldir.
Paralelkenarda karşılıklı kenar uzunlukları eşit, yamukta ise farklıdır (İkizkenar yamukta paralel
olmayan kenarlar eşit uzunluktadır.).
Paralelkenar ve yamukta (ikizkenar yamuk hariç) köşegen uzunlukları eşit değildir.
ETKİNLİK
Dinamik geometri yazılımını kullanarak dörtgenler arasındaki hiyerarşik ilişkileri gösterelim.
Geogebra yazılım programını açınız. Sağdaki “geometri” seçeneğini ve araç çubuğu altındaki
“ kareli kâğıt” (
)simgesini tıklayınız.
Açılan sayfa üzerinde doğru parçaları ile yamuk, dik yamuk, ikizkenar yamuk, paralelkenar, dik­
dörtgen, eşkenar dörtgen, kare ve deltoid çiziniz.
Yazılımın açı ölçme (
aracı yardımıyla ve uzunluk ölçme ( j j v | ) aracı yardımıyla, yukarıdaki
inceleyelimde açıklanan dörtgenler arasındaki hiyerarşik ilişkileri gösteriniz
147
10.5.2.2. Y AM U K , PARALELKENAR, DİKDÖRTGEN, EŞKENAR DÖRTGEN, KARE VE
DELTOİDİN A L A N BAĞ IN TILAR I
Yamuğun Alan Bağıntısı
*A£>
BİLGİ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
[311 yamuğun alanı taban uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
k**>
= 9»
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
Bir yamuğun alanının, paralel olan kenarların uzunlukları toplamının yarısı ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğunu gösterelim.
D
c
C
Verilen: ABCD ([AB] // [CD]) yamuğunda tabanlar
IABI = a, ICDI = c ve yükseklik h’ dir.
İstenen: A(ABCD) = a +, c . h’dir.
İspat: ABCD yamuğunda [BD] köşegenini çizelim.
A
ABCD yamuğun alanı, DAB ve BCD üçgenlerinin alanları
toplamına eşittir. Yamuğun yüksekliği bu üçgenlerin de yüksekliği olur. O hâlde;
A(ABCD) = A(DAB) + A(BCD)
A(ABCD) =
^
A(ABCD) =
Orta taban uzunluğu IEFI =
-• h bulunur.
olduğundan A(ABCD) = IEFI . h olarak da ifade edilir.
ÖRNEK
Yandaki hamur teknesinin yüzlerinden hangilerinin nasıl bir yamuk ol­
duğunu belirtelim ve bu yamuklardan birinin alanını bulalım.
D'
80 cm
h
Çözüm
d
3 0 cm
Şekilde; IAAıI = IBBıI = ICCıI = IDDıI ve [AB] // [AıBı], [DC] // [DıCı]
olduğundan ABBıAı ile DCCıDı dörtgenleri birer ikizkenar yamuktur.
| | _ (I AıBı I + 1AB I). I BH I
A (A B B A ) =
A
60 cm
B
(80 + 60).30
= 140 . 15 = 2 100 cm2 dir.
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
I. Verilen: ABCD yamuğunda köşegenlerin kesim noktası E ve
D
c
C
A(DEA) = m, A(EAB) = q, A(EBC) = n,
A(CED) = p’ dir.
İstenen: A(ABCD) = (Vp + Vq)2 ’dir.
İspat: A(CAB) = A(DAB)’ dir (taban ve yükseklikleri eşit).
q + n = q + m ^ m = n olur.
148
A
a
B 'y / // ^
/
\
B
/
A(EDA)
A(EAB)
1 ve
m
q
|DE |
|EB I
A(EDC)
1
n
A(ECB)
|DE
|EB I
den, m = -2- = ^ m . n = p . q dur.
q n
m = n olduğundan, m . n = n . n = n2 = p . q ^ n = /p .q dur.
A(ABCD) = m + q + n + p = q + 2n + p = q + 2 /p q + p = ( / p + / q )2 bulunur.
D
M
C
II. Verilen: ABCD yamuğunun kenarların orta noktaları;
' s '' "
K, L, M, N’dir.
İstenen: KLMN dörtgeni paralelkenardır ve
A(KLMN) = -1 . A(ABCD)’dir.
İspat:
B
A
-jA N p 'jAK^ = "2 ^ A n k ~ A d b (K.A.K. benzerlik teoremi) ve [NK] // [DB]’dır.
1
tÇ M ! = -JÇU- = 1 ^ C m l ~ C db (K.A.K. benzerlik teoremi) ve [ML] // [DB]’ dır. 2
ICDI
ICBI
2
v
1 ve 2 ’den [NK] // [ML] bulunur.
D M
-*■
[AC] köşegenini çizersek K.A.K. benzerlik teoreminden,
C
DNM ~ DAC ve BKL ~ BAC olur.
[NM] // [AC] ve [KL] // [AC] olduğundan [NM] // [KL]’dir.
[NK] // [ML] ve [MN] // [KL] olduğundan KLMN dörtgeni
A
paralelkenardır.
D /—
M ?•—
N ve L noktalarını birleştirirsek [DC] // [NL] // [AB] olur.
a+ c
h
A—
!—
KLMN paralelkenar olduğundan A(KLN) = A(MNL)’dir.
—
lN Ll' ~2
A(KLMN) = 2 . A(KLN) = 2 .
2
B
K
n
1 (a + c).h
.......... —
N\ L
JK
h
2
/ -------------- t ii----------------A
------------- l i f --------------- --
B
(INLI = ^
)
= -2 . A(ABCD) bulunur.
C
III. Verilen: ABCD yamuğunda [AB] // [CD] ve IDEI = IEAI’tir.
1
İstenen: A(EBC) = 2 . A(ABCD)’ dir.
İspat: A(EBC) = A(ABCD) - [ A(AEB) + A(EDC) ]
(a + c).h
2
ı a _h
f
2
_h\
c'2 I
(a + c).h
2
A
a.h + c-h
4
4
(a + c).h
2
(a + c).h
4
2.(a + c).h - (a + c).h
(a + c).h
1 (a + c).h
i
— ----------------------- -— = ---------— = — •---------— = — A(ABCD)’ dir.
4
4
2
2
2
149
h
2
ÖRNEK
Köşelerin koordinatları; A (-2 , 7), B(2, 3) ve C(5, 4) olan ABC üçgeninin alanını bulalım.
Çözüm
Verilen üçgeni analitik düzlemde gösterelim. Şekle göre; ABC
ı
Y
yamuklarının alanları toplamının çıkarılmasıyla bulunur.
A(ABc ) = A(AAıCıC) - [A(AAıBıB) + A(BBıCıC)]
İAA'j + jCC'j
. İA'C'İ - [
2
.7
2
L 2
İAA'İ + İBB'İ
ı j . İa ib i İ + İBBıj + İCCıj ■. iBıcıi
iB'C'j ]
2
2
. 4 + 3 + 4 . 3İ = 77 - (40 + 21)
2
J 2
2
2
77 - 40 - 21 16 0 , 2 ,.
= -------------------- = — = 8 br2 dir.
2
2
Yukarıdaki yamukların alanları üçgenin köşelerinin koordinları cinsinden yazılabilir.
İAA'j + İBB1
(yi + y?)
A(x1, y 1), B(x2, y2) ve C(X3, y3) ise A(AA'B'B) =
(x2 - x 1)’dir.
2
2
Benzer şekilde diğer yamukların alanları da bulunur. Bulunan ifadeler yukarıdaki eşitlikte yerlerine
1
yazılırsa A(ABC) = — i x 1(y2 - y3) + x2(y3 - y 1) + x3(y1 - y2)j elde edilir. Bu bağıntıya göre;
1
2
1
1
A(ABC) = — i - 2 (3 - 4) + 2 (4 - 7) + 5 ( 7 - 3)| = — i 2 - 6 + 20| = — . 16 = 8 br2 bulunur.
2
2
2
------ W
AÇIKLAMA
1. Köşelerinin koordinatları A(x1; y.,), B(x2, y2) ve C(x3, y3) olan
ABC üçgeninin alanı,
A(ABC) = — jx1(y2 - y3) + x2(y3 - y 1) + x3(y1- y2)i’dir.
2
2. Bu bağıntı pratik olarak yazılırken verilen noktalar bir çember
üzerinde gösterilir. Noktalardan biri seçilir. Bu noktanın apsisi ile
diğer ardışık iki noktanın ordinatları farkı çarpılır. İşleme ok yönünde
devam edilir.
3. Köşelerinin koordinatları verilen bir dörtgenin alanı, dörtgenin köşegenlerinden biri çizilerek elde
edilen iki üçgenin alanları toplamı ile bulunur.
ÖRNEK
Köşelerinin koordinatları A(-1, 4), B(-3, -1 ) ve C(3, 3) olan ABC üçgeninin alanını bulalım.
Çözüm
I. Yol: A(x1, y 1) = A (-1, 4), B(x2, y2) = B(-3, -1 ) ve C(x3, y3) = C(3, 3) ise
A(ABC) =
1
x 1(y2 - y3) + x2 (y3 - y 0 + x3(y1 - y2)
-1 (-1 - 3) - 3 (3 - 4) + 3(4 + 1)
150
22
4 + 3 + 15 = —— = 11 br2 bulunur.
2
II.
Yol: B noktasından x eksenine paralel bir doğru çizelim.
ABD dik üçgeni ile ADEC dik yamuğunu oluşturalım.
Yandaki şekle göre,
Y
ik
A(-1, 4)
A(ABC) —[A(AB d ) + A(ADEC)] - A(CB e )
= ( 2” _5 +
o)
. 4) - ( 6” _4 )
2
2
H
2
0
—(5 + 18) - 12 —23 - 12 —11 br2 dir.
B(-3, - 1)
D
-1
w \f\
E
III. Yol: Verilen üçgeni analitik düzlemde gösterelim.
BC doğrusunun denklemini, |BC|’ nu ve A noktasının [BC]’ na olan uzaklığını bulalım.
mBC
y 1y2
- 1- 3
- 4
2
= — tü r.
x 1- x2
- 2 - 3- 6
y - y 1 —mBC(x - X1) ve
y + 1 —— (x + 3) ^ 3y + 3 —2x + 6
3
^ -2 x + 3y - 3 —0’dır.
|ax + by + c|
A(-1, 4) ^ |AH| — '
' = ----- v
\/a 2 + b2
V ( - 2) 2 + 32
|BC| —<J(x1 - x2) 2 +
I - 2 ( - 1) + 3 . 4 - 3\ |2 + 12 - 3\ 11
- = -—
' = - 4 ^ ve
■J4 + 9
/Î3
(y1- y2) 2 — ( - 3 - 3) 2 + ( - 1 - 3) 2 — 736 + 16 —V^2 —2^13 br’dir.
A(ABC) —1 . |BC| . |AH| —1 . 2713 .
—11 br2 bulunur.
2
2
V13
IV. Yol: Yazılım programı yardımıyla istenilen alanı bulalım.
Geogebra yazılım programını açalım. Geometri
seçeneğini tıkladıktan sonra üstten
simgelerini tıklayarak çizim sayfasını oluşturalım.
düğmesinden çokgen seçeneğini tıkladıktan
sonra köşeleri A(-1, 4), B(-3, -1 ) ve C(3, 3) olan
ABC üçgenini çizelim.
Sayfanın sağ kenarının ortasındaki
sim-
gesini tıkladıktan sonra perspektiflerden “ Cebir”
seçeneğini tıklayalım.
düğmesinden de “ Alan” seçeneğini tıkladıktan sonra çizilen üçgenin iç bölgesine tıkladığımızda, ABC üçgeninin alanı şekil üzerinde yazılır.
151
D
ÖRNEK
C
Şekildeki yamukta; A(EDC) = 2 cm2, A(EAB) = 18 cm2 ise ABCD
yamuğunun alanını bulalım.
Çözüm
B
I. Yol : ABCD yamuğunda, A(EDC) = p, A(EAB) = q ve
A(ECB) = A(EDA) = n ^ n =
olduğundan
p = 2 cm2, q = 18 cm2 ^ n = V2.18 = -3 6 = 6 cm2 dir.
A(ABCD) = 2n + p + q = 2 . 6 + 2 + 18 = 12 + 20 = 32 cm2 dir.
a (E d c ) = k2
â (e a b )
2 2
1
1
k2 = — = — ve k = — ’tür.
18
9
3
|ED| = — ve |ED| = x
|EB|
3
B
A
II. Yol : ECD ~ EAB’ dir (A.A. benzerlik kuralı).
D
C
|EB| = 3x’tir.
A(EDC) = p ^ A(ECB) = A(EDA) = 3p ve A(EAB) = 9p olur.
B
A
p = 2 cm2 ^ A(ABCD) = 16p = 16 . 2 = 32 cm2 bulunur.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan “ Geometri” seçeneğini tıklayınız.
tıklayınız.
simgesini de
düğmesinden “ Çokgen” seçeneğini tıkladıktan sonra köşeleri kareli kâğıdın çizgi­
lerinin kesim noktasında olacak biçimde bir yamuk çiziniz.
düğmesinden, “Alan” seçeneğini
tıkladıktan sonra çizdiğiniz yamuğun iç bölgesini tıklayınız. A(ABCD) kaç br2 dir?
ABCD yamuğunun alanını, yamuğun alanı formülünü kullanarakta bulunuz.
ALIŞTIRMALAR
1.
D
A
Yanda verilen ABCD yamuğuna göre aşağıdaki cümleler­
den doğru olanlara “ D” , yanlış olanlara “ Y” yazınız.
a. Yamuğun alanı, x ve y alanları bilinirse bulunur.
b. x ile z alanları birbirine eşittir.
c. t ile y alanları birbirine eşittir.
B
C
ç. Yükseklikleri eşit olan üçgenler ABC ile DBC’dir. □
2.
YC
Köşelerinin koordinatları A (-6, -3), B(4, -1), C(1, 4) ve
D(-4, 3) olan ABCD yamuğu veriliyor .
D
a. |AB| ve |DC|’ nu bulunuz.
b. [AB]’ nın denklemini bulunuz.
O
B
c. D noktasının [AB] na olan uzaklığını bulunuz.
ç. ABCD yamuğunun alanını bulunuz.
A
152
\ w
3. Yandaki şekilde; ABCD dik yamuk, [DE] açıortay,
IADI = 10 cm, IDCI = 7 cm ve IEBI = 3 cm ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
A. 96
B. 80
D. 64
C. 70
E. 60
4. Yandaki şekilde, ABCD ikizkenar yamuk,
D
IBDI = 4 7 3 br, m(CDB) = 30° ve m(B1) = m(B2) ise A(ABCD)
kaç br2 dir?
A. 32
B . 2473
D. 1273
E. 9
C
C . 1673
5. Yandaki şekilde verilen ABCD yamuğunda; A(ECD) = 3 cm2,
A(EBC) = 6 cm2 ise ABCD yamuğunun alanını bulunuz.
6. Yandaki şekilde, köşelerinin koordinatları verilen dört­
Y
I
D(5, 6) ,0(7, 6)
gen yamuk ise;
a. Bu yamuğun alanını bulunuz.
y
b. ICEI = IEBI, [EF] 1 [AD] ve IADI = y, IEFI = x ise
A(ABCD) = x . y olduğunu gösteriniz.
F /"
A
E
x
A(2, 2)
B(11, 2)
WX
c. A(EDA) kaç br2 dir?
0
7. ABCD yamuğunda ([DC] // [AB]), [BC]’ nın orta noktası
E ve [EH] 1 [AD]’tir. IEHI = 8 cm ve IADI = 6 cm ise A(ABCD)’ nin kaç cm2 olduğunu bulunuz.
D
C
8. Yandaki şekilde, ABCD yamuk, E ve F orta noktalardır.
A(KEF) = 40 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A. 60
B. 80
D. 120
E. 160
C. 108
D
9. Yandaki şekilde verilen ABCD yamuk ve [MN] // [AB]’dir.
IMNI = x, IDCI = c, IABI = a, A(ABNM) = A(MNCD) ise
2x2 = a2+ c2 olduğunu gösteriniz.
153
c
C
P aralelke n arın a la n B ağıntısı
BİLGİ
Bir paralelkenarın alanı, bir kenarın uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
&
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM
C
ABCD paralelkenarında m(A) = 0, |DH| = ha ve
|DE| = hb ise A(ABCD) = a.ha = b.hb ve
A(ABCD) = |AB| . |AD| . sin0 olduğunu gösterelim.
a
ABD ^ CDB (K.K.K. eşlik teoremi) olduğundan,
A(ABD) = A(CDB) ve
A(ABCD) = A(ABD) + A(CDB) = 2 . A(ABD) olur.
1
a.ha
A(ABD) = -2a . ha ^ A(ABCD) = 2. - ğ — = a . ha’dır.
Benzer şekilde A(ABCD) = b . hb bulunur.
Ayrıca, A(DAB) = - 1 . |AD| . |AB| sin0’dır.
A(ABCD) = 2 . A(AdB) = 2 . 1 . |AD| . |BD| . sin0 = |AD| . |AB| . sin0’ dır.
ÖRNEK
D
Şekildeki paralelkenarda |AB| = 8 cm, ha = 6 cm, |BC| = 4 cm’dir.
A(ABCD) ve hb değerini bulalım.
C
Çözüm
A(ABCD) = |AB| . ha = 8 . 6 = 48 cm2 dir.
A(ABCD) = |AB| . ha = |BC| . hb ^ 8 . 6 = 4 . hb
48 = 4 hb => hb = 12 cm’dir.
BİLGİ
C
Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenarında [AF] 1 [BE] ve IAFI = x,
IBEI = y ise A(ABCD) = IBEI. IAFI = x . y’ dir.
A
ÖRNEK
Bir ABCD paralelkenarının [DC] kenarı üzerindeki herhangi bir nokta E’dir. [BF] 1 [AE], IAEI = 6 cm
ve IBFI = 4 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
Şekildeki ABCD paralelkenarında [BE]’ nı çizelim.
IBFI.IEAI
4.6
A(EAB) =
= 12 cm2 dir.
2
2
A(EAB) = -1 A(ABCD) ^ A(ABCD) = 2 . A(EAB) = 2 . 12 = 24 cm2 dir.
EAB ile ABCD paralelkenarının taban ve yükseklikleri aynıdır.
A(EAB) = |AB . h ve A(ABCD) = |AB| . h’ dir.
154
E
C
İNCELEYEREK ö ğ r e n e l i m
--------------------------
M
C
1. ABCD paralelkenarının iç bölgesinde alınan herhangi bir E
noktasından kenarlara çizilen paralellerin paralelkenariçinde
oluştur­
duğu paralelkenarların alanları n, p, m ve q ^ n .m = p . qolduğunu
A
gösterelim.
Verilen: Paralelkenarın iç bölgesinden alınan bir noktadan kenarlara paralel doğrular çiziliyor.
Paralelkenar içinde meydana gelen alan parçaları n, p, m ve q dur.
İstenen: n . m = p . q’dur.
D
M y C
İspat: [CF] 1 [NF] ve [CH] 1 [AH] çizelim.
IAKI = x, IKBI = y, ICFI = z, IFHI = t olsun.
n = x . t, p = y . t,
N/
x
E/ y
m = y . z ve q = x . z ise
n . m = x . t . y . z ve p . q = y . t . x . z olduğundan
A
n . m = p . q’ dur.
2. ABCD paralelkenarının iç bölgesinde alınan herhangi bir nokta E noktasının köşelere birleştirilmesiyle oluşan üçgenlerin alanları, A(EAB) = p, A(EBC) = m, A(ECD) = q ve A(EDA) = n ise
m + n = p + q olduğunu gösterelim.
İspat: E noktasından paralelkenarın kenarlarına
[NL] // [AB] ve [KM] // [BC] çizelim:
D
C
A(ABLN) = 2 . A(EAB) = 2p
A(ABCD) = 2p + 2q ve
A(NLCD) = 2 . A(ECD) = 2q J
A(AKMD) = 2 . A(EDA) = 2n '
A(ABCD) = 2n + 2m’dir.
A(KBCM) = 2 . A(EBC) = 2m
A
Buradan 2p + 2q = 2n + 2m ^ p + q = n + m eşitliği elde edilir.
ÖRNEK
D
F
C
Yandaki şekilde verilen ABCD bir paralelkenardır.
IEBI = IDFI = 1 . IABI, ICPI = IARI = 1 . IBCI ve
4
4
A(ABCD) = 100 cm2 ise A(KLMN) kaç cm2 ’dir?
Çözüm
CFM ~ CDN (A.A.) ^
DRN ~ DAK (A.A.) ^
İCFİ
jFMj
_3_
İCDİ
İDNİ
4
9k
ve
12k
İDRİ
İDNİ
İDAİ
İDKİ
3_
4
12k ,
dır.
16k
IDNI = 12k ise IDKI = 16k , INKI = IDKI - IDNI = 4k’dir.
p
a
IFMI = IKEI = 9k ve IDEI = IDNI + INKI + IKEI = 12k + 4k + 9k = 25k olur.
4
4 1
1
2
A(KLMN) = ■25. A(EBFD) = -2 5 . 4 A(ABCD) = - 5 . 100 = 4 cm2 dir.
155
E n B
ÖRNEK
D
E
F
C
D
E
F
C
Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenar, E ve F, [DC] kenarı üze­
rinde herhangi iki noktadır. A(KAB) = 10 cm2 ise boyalı bölgelerin alanları­
nın toplamını bulalım.
Çözüm
ABFE yamuk ve A(AKE) = A(BKF) = m’dir.
A(â İB ) = m + p = -1 A(ABCD) ©
x + y + m + z = -1 A(ABCD) (D
1) ve 2 den, x + y + z + m = m + p olur. Buradan, boyalı bölgelerin
alanlarının toplamı x + y + z = p = 10 cm2 bulunur.
A
BİLGİ
Herhangi bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanı, verilen dörtge­
nin alanının yarısına eşittir.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM ----------------------------------------------------------
Bir dörtgenin kenarlarının orta noktalarını köşe kabul eden dörtgenin alanının, verilen dörtgenin
alanının yarısına eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: ABCD dörtgeninde K, L, M ve N noktaları kenarların orta noktalarıdır.
İstenen: A(KLMN) =
1
C
. A(ABCD)’dir.
İspat: [BD] köşegenini çizelim:
ABD üçgeninde K ve N, kenarların orta noktaları olduğundan
IAKI _ IANI . =
_ 1 ^
IABI
IADI
2
AKN ~ ABD ve [NK] // [DB]’dır.
1 J 1 J
A
K
B
CDB üçgeninde M ve L, kenarların orta noktaları olduğundan,
ICDI
ICBI
= -1 ^
2
CML ~ CDB ve [ML] // [DB]’ dır.
ı j ı j
KEFN ve FELM dörtgenleri paralelkenardır.
A(AKN) = n ^ A(KEFN) = 2n olur (Taban ve yükseklikleri eşittir.).
Benzer üçgenlerin alanlarının oranı benzerlik oranının karesine eşittir.
AKN ~ ABD ve k =
IABI
= -1- ^
2
A(AKN) = k2 = A . = J L ’dir (n, m e R+).
A(ABD)
4
4n
Benzer şekilde, A(CML) = m ^ A(FELM) = 2m ve A(CDB) = 4m’dir.
A(ABCD) = 4n + 4m ve A(KLMN) = 2n + 2m’ dir. Buradan, A(KLMN) = -2- . A(ABCD)
O hâlde A
olduğu görülür.
156
ÖRNEK
Şekilde; ABCD yamuk, AECD paralelkenardır.
D
C
D
C
5 . A(KBC) = 2 . A(AEKD) ve A(KBC) + A(AEKD) = 42 cm2 ise
KEB’ nin alanını bulalım.
A
Çözüm
[DE]’ nı çizelim. EBCD dörtgeni de yamuk olduğundan
A(KBC) = A(KDE) = 2n ise A(AEKD) = 5n ve A(AED) = 3n olur.
AECD paralelkenar olduğundan A(AED) = 3n ise A(DEC) = 3n ve
A(DKC) = n olur. A(KEB) = x olsun.
A(KBC) + A(AEKD) = 2n + 5n = 42 cm2 ^ n = 6 cm2 dir.
E
A
B
Şekle göre n . x = 2n . 2 n ^ x = 4n = 4. 6 = 24 cm2 bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1.
Yanda veri Ien para Ielkenarda [RG] // [AB] ve [FH] // [BC]’ dir. A(AFKR) = m, A(FBGK) = p,
A(RKHD) = q ve A(KGCH) = n ise aşağıdaki ifadelerden doğru olanlara “ D” , yan Iış olanlara “Y”
yazınız.
D
H c
a. A(ABCD) = a . ha’ dır.
E
b.
A(ABCD) = |AB| . |CD| . sine
c.
m . n = p . q ’dur.
ç.
q + n = m + p ’dir.
r/
/e
A
d
L
ha
©
®
/©
/
E
F B
----- ►
a
D
3.
K// ş /p/
/
/ G
/
/
C
Yandaki ABCD paralelkenarında; [AE], [BE] açıortay, IDCI = 16 cm ve
IAFI = IBFI ise IEFI’ nun kaç cm olduğunu bulunuz.
B
157
4.
D
Yandaki şekilde; ABCD paralelkenar, [CE] açıortay,
9 cm
C
[EF] 1 [AD], IDCI = 9 cm, IEBI = 6 cm ve
IEFI = 2 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A
5.
D
Şekilde, ABCD paralelkenardır.
C
A(ABCD) = 120 cm2, ICHI = 5 cm ve [CH] 1 [BE] ise IEBI = x
kaç cm’dir?
B. 20
D . 26
E. 30
C. 24
Yandaki şekilde, ABCD paralelkenardır.
m2 ise A(DOFE) kaç cm2 dir?
IDEI = 4IECI ve A(ABCD) = 120 cm2
B. 25
D. 27
E. 28
C. 26
7. Yanda verilen ABCD paralelkenarında, A(3, 2), B(8, 2),
C(11, 6) ve D(6, 6) ise
a. A(ABCD ) kaç br2 dir?
Y
k
D(6,6)
E
6
)
A. 24
co
6
)
C
(
6.
A. 18
F
x
b. E(9, 6) ve [AE] 1 [BF] ise IBFI = x kaç br’ dir?
c. IBFI . IAEI değerini bulunuz.
A(3,2)
B(8,2)
W
O
8. Yanda verilen paralelkenarda 2IAEI = IEBI,
3IBFI = ICFI ve A(ABCD) = 240 cm2 ise A(DKC) kaç cm2 dir?
A. 40
B. 48
D. 60
E. 70
C. 50
9. Yandaki şekilde; ABCD paralelkenar, IEDI = IEAI,
[KL] 1 [AB]’tir. IFLI = 3 br, IKCI = 8 br ise A(KFC) kaç br2 dir?
A. 18
B. 20
D. 32
E. 36
C. 24
10. Şekilde, ABCD paralelkenar ve B açısının açıortayı
[BE]’dır. ICFI
2 ve paralelkenarın çevresinin uzunlu­
ğu 40 cm ise IBCI kaç cm’ dir?
A. 5
B. 6
D. 8
E. 9
C. 7
158
D
K
8
C
11. Köşelerinin koordinatları; A(-2, 2), B(4, 0), C(7, 10) ve
D(-4, 6) olan ABCD dörtgeninin kenarlarının orta noktaları
K, L, M, N’dir. Verilenlere göre aşağıdaki noktalı yerleri dol­
durunuz.
a. KL doğrusunun denklem i.................................
b. |MH| = .................................
c. A(KLMN) = .................................
ç. A(ABCD) = .................................
D ik d ö rtg e n in A la n B ağıntısı
BİLGİ
D
ABCD dikdörtgeni aynı zamanda bir paralelkenar olduğundan
A(ABCD) = |AB| . |AD| . sin0’dır.
aJ
0 = 90° ve sin 90° = 1 olduğundan A(ABCD) = |AB| . |AD|’ dir.
,0
A
ÖRNEK
Yanda verilen ABCD dikdörtgen, [DE] ± [AC], IAEI = 4 cm
Lı
C
B
D
C
ve IECI = 9 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
DAC dik üçgeninde, IDEI2 = 4 . 9 = 36 ^ IDEI = 6 cm ve
A(DAC) = -6 1 3 = 39 cm2 dir.
A(ABCD) = 2 . A(DAC) = 2 . 39 = 78 cm2 bulunur.
ÖRNEK
D
C
Şekilde ABCD dikdörtgen, IDEI = 2 br, IFBI = 3 br,
S„
'1
9
— = —— ve IABI = 12 br ise ICFI = x ve IEFI = y değerlerini
S2
11
x
bulalım.
Çözüm
ICFI = x ve IADI = IBCI = 3 + x ^ IAEI = x + 1’dir.
A(ABFE) =
(3-
1) .12
D
= 24 + 6x = S2 ve
(2 + xh .12
A(DEFC) = ------ ^ -----= 12 + 6x = S ’dir.
1
2
12 + 6x _ _9
---- ^
^ 132 + 66x _ 216 + 54x
11
24 + 6x _ 11
S,
54x _ 21 6
132 ^ 12x _ 84
[EN] // [DC] çizelim. ICNI _ 2 br ve INFI _ x - 2 _ 7 - 2 _ 5 br olur.
ENF nde, y2 _ 52 + 122 _ 25 + 144 _ 169 ^ y _ IEFI _ 13 br’ dir.
159
C
ALIŞTIRMALAR
1.
D
Yanda verilen ABCD dikdörtgeninde IDEI = 2 cm,
E
C
m(AEB) = 90°, IBCI = 4 cm ise ABCD dikdörtgeninin alanı
kaç cm2 dir?
A. 16
B. 20
C. 32
E. 40
D. 36
B
A
2.
Şekildeki ABCD dikdörtgeninde, m = 5 br2, n = 8 br2, p = 12br2 ise
q kaç br2 dir?
D
C
q
m
A
3.
p
n
B
Köşelerinin koordinatları A(-2, -2 ) B(8, 2), C(6,7) ve D(-4, 3) olan ABCD dörtgeni veriliyor.
Bu dörtgenin dikdörtgen olduğunu gösteriniz. Alanını ve çevresinin uzunluğunu bulunuz.
Eşkenar Dörtgenin alan Bağıntısı
BİLGİ
ABCD eşkenar dörtgeninin köşegenlerinin uzunlukları |AC| = e, |BD| = f ve yüksekef
A
liği |AH| = ha ise A(ABCD) = — ve A(ABCD) = a . ha’ dır.
2
ÖRNEK
Yanda verilen ABCD eşkenar dörtgeninin çevresinin uzunluğu
D
1 6 /1 0 cm ve IDBI = 3 . IACI ise A(ABCD)’ nı bulalım.
Çözüm
IACI = 2x dersek IDBI = 3 . 2x = 6x, IECI = x ve IDEI = 3x olur.
C
IDCI = 16
= 4\/TÖ cm’dir. DEC dik üçgeninde,
IECI2 + IEDI2 = IDCI2 ^ x2 + (3x)2 = ( 4 / Î Ö ) 2 ^ x2 + 9x2 = 160
^ 10x2 = 160 ^ x2 = 16 ^ x = 4’tür.
x = 4 ^ IACI = 2 . x = 2 . 4 = 8 cm, IDBI = 6 . 4 = 24 cm ve
A(ABCD) =
IDBI .IACI
2
2
2 4 8 = 96 cm2 dir.
ÖRNEK
Yandaki şekilde ABCD eşkenar dörtgen, [EF] 1 [BC], IBFI = 4 cm ve
IFCI = 9 cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
D
Çözüm
Eşkenar dörtgende köşegenler dik kesiştiğinden BEC dik üçgendir. BEC dik
üçgeninde IEFI2 = IBFI . IFCI = 4 . 9 = 36 ise IEFI = 6 cm ve
1
1
A(ABCD) = 4 . A(EBC) = 4 . 2 . IEFI . IBCI = 4 . 2 . 6 . 13 = 156 cm2 dir.
160
ÖRNEK
A
D
Şekilde verilen ABCD eşkenar dörtgeninde [BE] ile [CE] açıortay,
3IFCI —IBCI ve A(EFC) —12 cm2 ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
IFCI —n ise, IBCI —3 . n’dir. Buradan,
A(BCE) —3 . A(EFC) —3 . 12 —36 cm2 bulunur.
[CE] ve [BE] açıortay olduğundan E noktası köşegenlerin orta noktası olur.
A(ABE) —A(BCE) —A(CED) —A(DEA) olduğundan,
A(ABCD) —4 . A(BCE) —4 . 36 —144 cm2 dir.
ÖRNEK
D
E
C
D
E
C
Yandaki şekilde, ABCD eşkenar dörtgendir. E e [DC], F e [AB] ve
boyalı bölgelerin alanları toplamı 20 cm2 ise EKFL dörtgeninin alanını
bulalım.
Çözüm
[EF]’ nı çizelim:
AFED ve FBCE yamuk olduğundan
A(DAK) —m ^ A(EKF) —m ve A(CLB) —n ^ A(EFL) —n’dir.
Boyalı bölgelerin alanlarının toplamı m + n —20 cm olduğundan
A(EKFL) —m + n —20 cm2 bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1.
Köşegen uzunlukları IACI —x - 2 ve IBDI —x olan eşkenar dörtgenin alanı 24 br2 ise çevresinin
uzunluğu kaç br’dir?
A. 36
B. 32
C. 28
D. 24
E. 20
D
2.
A. 3273
D.
3.
C
Yanda verilen ABCD eşkenar dörtgeninde IDFI —IFAI,
m(DEF) —60° ve IEFI —4 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
1673
B . 2473
C .2073
A
E . 1273
Yanda verilen eşkenar dörtgende [AH] 1 [DC],
IABI —10 cm ve IAHI —6 cm ise boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A. 60
B. 48
D. 30
E. 24
A
C. 36
10 cm
161
C
4.
Köşelerinin koordinatları; A(m, n), B(1, -1), C(2,7) ve
D(-5, 3) olan ABCD dörtgeni eşkenar dörtgen ise;
a. m + n kaçtır?
b. A(ABCD) kaç br2 dir?
5.
Yandaki şekilde ABCD eşkenar dörtgendir. [EF] 1 [AB] ve
IEBI = IDFI = 3 cm, IFCI = 12 cm ise
A(ABCD) kaç cm2 dir?
D
6.
Yandaki şekilde ABCD eşkenar dörtgendir. [BE] 1 [DE],
[BA] açıortay ve IAEI = 2 cm ise;
a. IBDI kaç cm’dir?
b. ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?
D
7.
Yandaki şekilde ABCD eşkenar dörtgen, [DE] 1 [AB],
A(ABCD) = 24 cm2 ve IACI = 8 cm ise
IDEI = h kaç cm’ dir?
K arenin A la n B ağıntısı
162
C
ÖRNEK
A(ABCD) = 25 cm2 ise A(AEFC) kaç cm2 dir?
Çözüm
IBCI = a ve IAEI = IACI = a / 2 ’dir.
A
B E
A(ABCD) = a2 = 25 cm2 olduğundan
A(AEFC) = ICBI . IAEI = a . a 1/2 = a2/ 2 = 251/2 cm2 bulunur.
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen ABCD kare, IABI = IBFI = a,
ICEI = IEBI ve IEFI =
D
a
C
cm ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
Çözüm
İC D s İB F 1 dir (K.A.K. eşlik teoremi).
2
a
ICDI = IBFI = a ve IEBI =
ise
2
EBF dik üçgeninde, IEBI2 + IBFI2 = IEFI2
^4- + a2 = (Z 5 )2 ^ 5a2 = 20 ^ a2 = 4 ve A(ABCD) = 4 cm2 dir.
ALIŞTIRMALAR
1.
Hangi dörtgenin kenarlarının orta noktaları bir karenin köşeleridir?
A. Yamuk
2.
B. Dikdörtgen
C. Paralelkenar
D. Kare
E. Eşkenar dörtgen
Analitik düzlemde köşelerinin koordinat Iarı A(11, 5), B(7, 8), C(4, y), D(x, 1) olan ABCD karesi
veriliyor. Buna göre aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. A(ABCD) = .........
b. x + y = .........
A
3.
Yandaki şekilde; ABC bir dik üçgen, DEFG kare, IAFI = 4 br ve
IBGI = 9 br ise A(DEFG) kaç br2 dir?
B
4.
Yanda verilen karelere göre;
(J)
D
C
a. I. şekilde, [AE] açıortay ve
|BE| = 72 br ise A(ABCD) kare kaç br2 dir?
E
b. II. şekilde; m(AEB) = 60° ve
72
IEAI = 6 br ise A(ABCD) kaç br2 dir?
A
163
B
D
C
5. Yandaki şekilde; ABCD bir kare, IAEI = IABI ve A(ABE) = 24 br ise
A(ABCD) kaç br2 dir?
6. ABCD karesinin [BC] kenarı y = 2x + 8 doğrusu üzerinde ve
B
C
D
C
A(-5, 3) ise A(ABCD) kaç br2 dir?
7. Yandaki şekilde, ABCD bir karedir. m(ABE) = 15° ve
IBEI = 6 br ise, A(ABCD) kaç br2 dir?
A. 36
B. 49
C. 54
D. 56
E. 64
A
D
a
B
E
C
8. Yandaki şekilde ABCD bir karedir. IACI = 12^2 cm,
IDEI = IECI ve [EF] 1 [AC] ise A(EAF) kaçtır?
A(ABCD)
A
9. Şekilde ABCD kare, EBC bir dik üçgendir.
B
D
C
A(ABCD) = 289 cm2 ve A(EBC) = 38 cm2 ise
E
EBC üçgeninin çevresinin uzunluğu kaç cm’ dir?
A. 30
B. 32
C. 36
D. 38
E. 40
A
D
B
C
10. Yandaki şekilde, ABCD bir karedir. IBKI = 6^2 cm ve
m(DKB) = 22,5° ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
A. 30
B. 36
C. 48
D. 64
E. 72
A
D e lto id in A la n B ağıntısı
164
B 6 / 2 cm
K
ÖRNEK
Şekilde verilen ABCD deltoidinde [BC] 1 [BA], IACI = 8 ^ 2 cm
ve IDEI = 2IBEI ise deltoidin çevresinin uzunluğunu(2u) bulalım.
D
Çözüm
IABI = IBCI = x dersek ABC ikizkenar dik üçgeninde
IABI2 + IBCI2 = IACI2 ^ x2 + x2 = (872)2
^
2x2 = 128 ^ x2 = 64 ^ x = 8 cm ve
|AEI = IECI = IBEI = 472 cm’ dir. IDEI = 2 . IBEI ^ IDEI = 2 . 472 = 872 cm’ dir.
ECD dik üçgeninde ICDI2 = IECI2 + IEDI2
= (472)2 + (872)2 = 32 + 128 = 160 ^
ICDI = •v/TĞĞ = 4710 cm’dir.
Buradan 2u = (2 . 4710 + 2 . 8) cm = (8710 + 16) cm bulunur.
ÖRNEK
Yanda verilen analitik düzlemde m(OAB) = 90° dir. A(2, 4)
noktasının x eksenine göre yansıması a 1 ise OAıBA dörtgeninin
deltoid olduğunu gösterelim ve alanını bulalım.
Çözüm
A noktasının x eksenine göre yansıması a 1noktası ise
IAOI = IOAıI, IABI = IAıBI ve AOAıB bir deltoiddir.
AOB dik üçgeninde,
IAHI2 = IOHI . IHBI ^ 42 = 2 . IHBI ve IHBI = 8 br’ dir.
IOBI = IOHI + IHBI = 2 + 8 = 10 br,
IAAıI = 2 . IAHI = 2 . 4 = 8 br’ dir.
A(AOA'B) = IA A 2 IOBI = -6-.J0 = 40 bf2 d ir.
ALIŞTIRMALAR
C
1.
2.
Yandaki şekilde ABCD bir deltoiddir. [CF] 1 [BF], [AE] 1 IDEI
ve IABI = 6 br, IDCI = 12 br, ICFI = 8 br ise aşağıdaki noktalı
yerleri doldurunuz.
a. IAEI = ........
b. A(ABCD) = ........
E.
Köşegen uzunlukları 10 cm ve 20 cm olan bir deltoid veriliyor.
a. Bu deltoidin alanını bulunuz.
b. Kenarlarının orta noktalarının oluşturduğu dörtgenin alanını bulunuz.
165
8
10.5.2.3 DÖRTGENLERİN ALAN
KULLANMA
BAĞINTILARINI MODELLEME VE PROBLEM ÇÖZMEDE
ÖRNEK
Yanda verilen şekildeki kilim üzerinde eşkenar dörtgen
motifleri vardır. Bu kilimin boyutları 180 cm, 135 cm ise eşke­
nar dörtgenlerden birinin alanını bulalım.
Çözüm
Eşkenar dörtgenlerden biri KLMN olsun.
IKMI =
. 135 = 4 5 cm, İN Lİ = -1 .180 = 60cm dir.
3
, ,,,,
| KM | . | NL |
45.60
.r
..nen
2
A(KLMN) = --------2--------- = — 2— = 45 30 = 1350 cm2 dir.
3
ÖRNEK
Yanda verilen şekildeki dikdörtgen, bir masanın yüzeyidir. Bu
dikdörtgenin kenarların orta noktaları şekildeki gibi köşelere bir­
leştiriliyor. Meydana gelen bölgeler, kırmızı ve mavi renkli el işi
kâğıtlarla kaplanıyor.
Ortada meydana gelen paralelkenarın alanı 10 br2 ise dikdört­
C
genin alanını bulalım.
Çözüm
ICF I
ICBI
IBKI
IBAI
1
2
1
2
IFMI
1
k
--------= — = — ’dır.
IBLI 2
2k
IBLI
1
2k ,
dır.
2
IBKI
4k
E
A
AKE = CMF ve |FM| = |EK| = k ’ dir.
A(KLMN) = -5- . A(BFDE) = 2
. - 2 . A(ABCD) = 10 br2 olduğunda
A(ABCD) = 50 br2 bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki kapı yüzeyindeki dörtgen bir deltoiddir. Bu deltoidin bulunduğu dik­
dörtgenin kenar uzunlukları 120 cm ve 210 cm ise deltoidin alanını bulalım.
Çözüm
Kapının kenarları bu deltoidin köşegenlerine paraleldir.
Deltoidin alanı (A), deltoidin bulunduğu kapı yüzeyinin alanının yarısına eşittir.
1
2
Buna göre A = — . 120 . 210 = 60 . 210 = 12 600 cm2 bulunur.
166
F
ÖRNEK
Bir evin bahçesindeki çiçekliklerin arasına beton dökülerek yol
yapılacaktır. Uzunlukları 60 cm olan 3 çıta ile şekildeki gibi bir kalıp
yapılarak yandaki gibi beton dökülüyor. Yapılan yolda oluşan dörtgen­
lerden birinin çevresinin uzunluğunu ve alanını bulalım.
60 cm
Çözüm
Çıtalarla oluşturulan kalıp eşkenar üçgendir. Şekilde meydana ge­
len dörtgenler eşkenar dörtgendir. Bu dörtgenlerden birinin çevresinin
uzunluğu 4 . 60 = 240 cm’dir.
Alanı da 2 . 602 . 73 = 3 600 . 73 = 1 800 . 1,73 - 3 214 cm2 dir.
(73 = 1,73)
ÖRNEK
Bir banyonun zeminin, boyutları 3 m ve 4,5 m olan
dikdörtgendir. Bu zemin, kenar uzunluğu 15 cm olan
karesel bölge biçimindeki seramikle kaplanacaktır. Bu
zeminin tamamı kaplandığında kaç tane seramik kulla­
nıldığını bulalım.
4,5 m
15 cm
3m
Çözüm
Banyonun zemin boyutları 15 cm’ nin katıdır. Kap­
lamada boşluk kalmaz.
Zeminin alanı
_ 300450
Seramik sayısı = ■
= 20.30 = 600 ’dür.
Bir seramiğin alanı
y S .y S
ALIŞTIRMALAR
1.
Kenar uzunlukları 60 m, 90 m olan dikdörtgensel bölge şeklindeki bir
futbol sahası en büyük alanlı ve birbirine eş kare biçimindeki çimlerle
kaplanacaktır. Bu saha için istenilen koşula uygun kaç tane kare çim
parçası oluşturulur?
2.
Yandaki şekilde verilen döşemede ki birbirine eş deltoidlerin
köşeleri ile kareli kâğıttaki küçük karelerin köşeleri aynı nok­
talardır. Kareli kağıttaki küçük karelerin bir kenarının uzunluğu
6 br’ dir;
a. Mavi bölgelerin alanlarının toplamını bulunuz.
b. Şekildeki deltoidlerin kenarlarını oluşturan doğru parçaları­
nın uzunluklarının toplamını bulunuz.
3.
Uzunluğu 50 cm olan bir telin uç noktaları birleştirilerek ke"_
nar uzunlukları birer tam sayı olan kaç tane dikdörtgen oluşturu­
labilir?
4.
50 cm
28 m
Yanda bir arsa planının taslağı verilmiştir. Bu arsa üzerinde kır­
mızı renkli bölgeye inşaat yapılacaktır. Şekilde verilenlere göre in­
şaat yapılacak bölgenin çevresinin uzunluğunu ve alanını bulunuz.
36 m
167
ÖZ]
10.5.3. ÇO KGENLER
Geometrik şekiller sadece üçgenler ve dörtgenlerle sınırlı değildir. Üçgen ve dörtgenlerle çokgenler
de oluşturulabilir.
10.5.3.1. ÇOKGENLERİ A Ç IK L A M A , İÇ VE DıŞ A Ç ıLA R ıN ıN Ö LÇüLERİNİ HESAPLAM A
A BİLGİ
n > 3 ve n e N+ olmak üzere, bir düzlemin birbirinden farklı A 1; A2, A3, ..., An noktaları ile [A1 A2],
[A2 A3], ..., [An A1] biçiminde oluşturulan doğru parçalarının; uç noktaları dışında ortak noktaları yoksa
ve uç noktaları ortak olanlar doğrusal değilse bu doğru parçalarının birleşimine çokgen denir.
•
A 1, A2, A3, ..., An noktalarına çokgenin köşeleri; [A1 A2], [A2 A3], ..., [An A 1] doğru parçalarına
çokgenin kenarları denir.
•
Kenarlarını kapsayan doğruların hiçbiri çokgeni kesmiyorsa böyle çokgene dışbükey çokgen;
bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere içbükey çokgen denir. Aksi söylenme­
dikçe çokgen denilince dışbükey çokgen kastedilir.
•
n kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n—2) . 180° ve dış açılarının ölçüleri toplamı
da 360° dir.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Bir çokgende kenarların belirttiği açılara çokgenin açıları (iç
açıları); aynı köşeden geçen ve bir kenarın uzantısıyla diğer
D
kenarın oluşturduğu açıya da çokgenin dış açısı denir. Yan­
daki şekilde ABC iç, CBK da dış açıdır.
Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılır. Kenar sayısı 5
olan çokgene beşgen; kenar sayısı 7 olan çokgene yedigen
denir.
Bir çokgende ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru
parçasına çokgenin bir köşegeni denir. Yukarıdaki ABCDE
şegenidir.
n > 3 ve n e N+ olmak üzere kenar sayısı n olan bir dışbükey
çokgende:
1. Bir köşeden çizilen köşegenleri ile (n — 2) tane üçgen
oluşturulur.
Yandaki yedigende A köşesinden çizilen köşegenlerle
7 — 2 = 5 tane üçgen oluşmuştur.
C
2 . İç açılarının ölçüleri toplamı, bir köşesinden çizilen köşegenleri ile oluşturulan üçgenlerin iç
açılarının ölçüleri toplamıdır. Bu toplam (n — 2) . 180° dir.
3. Bir köşesinde, bir iç açı ile dış açı komşu bütünler olduğundan n kenarlı çokgenin iç ve dış açı­
larının ölçüleri toplamı n . 180° dir.
4. Dış açıların ölçüleri toplamı n.180° — (n — 2).180° = 180°. n — 180°.n + 2.180° = 360° dir.
Bir dışbükey çokgende dış açıların ölçüleri toplam ı 360° dir.
168
ÖRNEK
11 kenarlı çokgenin iç açılarının ölçülerinin toplamını bulalım.
Çözüm
n = 11 olduğundan bu çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı,
(n - 2) . 180° = ( 1 1 - 2) . 180° = 9. 180° = 1 620° bulunur.
ÖRNEK
Bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 1 440° ise bu çokgenin kenar sayısını bulalım.
Çözüm
Kenar sayısı n olan dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı;
(n - 2) . 180° olduğundan (n - 2) . 180° = 1 440° dir. Buradan,
1 800°
180n - 360° = 1440° ^ n =
= 10 bulunur.
180°
D ü zg ü n Ç o kg e n le r
Doğada bazı bitkilerin çiçek yapraklarının uç noktaları bir düzgün beşgenin köşeleridir (bamya çiçe­
ği). Arıların yaptıkları bal peteklerindeki petek gözlerinin kesitleri de bir düzgün altıgendir. Kurutulmuş
bir deniz yıldızı bir kâğıt üzerine konarak kollarının uç noktaları işaretlenir ve bu noktalar birleştirilirse
düzgün bir beşgen meydana gelir.
BİLGİ
Kenar uzunlukları ve iç açılarının ölçüleri eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.
Eşkenar üçgen ve kare birer düzgün çokgendir. Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen düzgün çokgen
değildir.
— H
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM
------------------------------------------------------------------------------
Düzgün Çokgenin Özellikleri:
•
Düzgün çokgenin köşeleri bir çember üzerindedir.
•
Düzgün çokgenin kenarları bir çemberin eş kirişleridir.
•
n kenarlı bir düzgün çokgenin köşeleri merkezine birleştirilirse n tane birbirine eş ikizkenar üçgen
meydana gelir.
(n—2) . 180°
n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü p ise p = ----------n
360°
n kenarlı düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü a ise a = -------’dir.
n
Yandaki şekil düzgün beşgen olduğundan n = 5’tir.
•
•
•
a = 72° ve p = 108° dir.
•
Düzgün çokgende kenarların orta dikmeleri merkezden geçer.
169
ÖRNEK
Bir iç açısının ölçüsü 160° olan düzgün bir çokgenin kenar sayısını bulalım.
Çözüm
I. Yol
n kenarlı bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü;
P = (n—2) ■180 = 160° ^ (n - 2) . 180° = 160° . n
n
180° . n - 360° = 1 6 0 ° .n
2 0 ° . n = 360°
n = 18 bulunur.
II. Yol
Düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsü 160° ise dış açısının ölçüsü 180° — 160° = 20° dir.
360° 360°
Kenar sayısı n = ------ = ------- = 18 bulunur.
a
20°
ÖRNEK
D
Yandaki şekilde ABCDE çokgeni bir düzgün beşgendir.
a. Bu düzgün beşgenin bir iç açısının ve bir dış açısının ölçüsünü
bulalım.
b.
C
DAB’ nin ikizkenar olduğunu gösterelim ve tepe açısının ölçüsü­
nü bulalım.
Çözüm
a. Şekilde AED iç; AEF da bir dış açıdır.
36
m (AİD ) = P = (n—2) . 180° = (5 - 2 ) . *fl°° = 3.36° = 108° dir.
n
5.
D
m(AEF) = a = 180° — P = 180° — 108° = 72° dir.
360° 360°
(a = ------ = ------- = 72° dir.)
n 5
b. EAD - CDB’ dir (K.A.K eşlik kuralı).
|AD| = |DB| olduğundan DAB ikizkenardır.
EAD ile CDB’ nin taban açılarının ölçüleri 36° ve DAB’ nin taban
açılarının ölçüleri de 72° dir. DAB’ nin tepe açısının ölçüsü de
x = 180° — (72° + 72°) = 180° — 144° = 36° ya da x = 108° — (36° + 36°) = 108° — 72° = 36° dir.
ÖRNEK
Bir düzgün beşgende köşegenlerin oluşturduğu yıldızın köşelerindeki açıların ölçülerinin toplamını
bulalım.
170
Çözüm
D
Düzgün beşgende köşegen uzunlukları birbirine eşittir.
Şekildeki düzgün beşgende eş kenarları köşegen olan üçgenlerden;
DAB - EBC e ACD - BDE - CEA’ dir.
C
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar eş olduğundan,
m(D1) = m(E1) = m(A1) = m(B1) = m(C1) = 36° ve
yıldızın köşelerindeki açıların ölçüleri toplamı 5 . 36° = 180° dir.
O
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen ABCDE düzgün beşgen ise
C
DFE açısının ölçüsünü bulalım.
Çözüm
Düzgün beşgende bir iç açının ölçüsü,
(5 - 2).180°
P=
D
= 3 . 36° = 108° dir.
C
CDB ve DEC ikizkenar üçgenler olduğundan;
m(CDF) = m(CBF) = 36°, m (İC D ) = m (D İC ) = 36° ve
FDC üçgeninde x = 36° + 36° = 72° bulunur.
ÖRNEK
Bir kenarının uzunluğu a br olan ABCDEF düzgün altıgeni veriliyor. Bu düzgün altıgenin;
a. Bir iç ve bir dış açısının ölçüsünü bulalım.
b. Alanını veren bağıntıyı yazalım.
Çözüm
a.
Düzgün altıgenin köşeleri bir çember üzerinde olduğundan
merkezinden geçen köşegenler aynı zamanda birer çaptır.
|AD| = 2r = 2a’ dır.
Merkezden geçen köşegenler açıortaydır. Bu köşegenler altıgen
içinde birbirine eş 6 eşkenar üçgen oluşturur.
Eşkenar üçgenlerin açılarının ölçüleri yazılırsa düzgün altıgenin bir iç
açısının ölçüsünün 120°, bir dış açısının ölçüsünün de 60° olduğu görülür.
b. Şekildeki AOB ’ nde [OH] ± [AB] çizilirse OAH dik üçgeni 30°, 60°,
90° dik üçgeni olur.
a
,aV3 _
Bu üçgende |OA| = r = a, |AH| = — ; |OH| = h =
2
2
A(ABCDEF) = S = 6 . A(OAB) = 6 .
a2V3
4
A
a2V3~
ve A(OAB) =
tür.
4
3a2V 3
dir.
2
171
E
D
ALIŞTIRMALAR
1.
15 kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulunuz.
2.
Hangi dışbükey çokgenlerin köşegen uzunlukları birbirine eşittir?
3.
Bir düzgün çokgenin bir dış açısının ölçüsü en çok kaç derece olur?
4.Bir dışbükey çokgenin iki iç açısının ölçüleri 110° ve 140° dir. Bu çokgenin diğer iç açıların ölçü­
leri birbirine eşit ve yüz otuzar dereceyse kenar sayısı kaçtır?
L
K
5.
Yandaki şekilde ABCDEF düzgün altıgen, EDKL ve MNFE kare
ise m(LFE) kaç derecedir?
A. 10
6.
B. 12
C . 15
D . 18
E .20
C
Mert, uzunlukları a br ve b br olan çıta Iar Ia şekildeki gibi çevresi
düzgün çokgen olan bir uçurtma yapmak istiyor.
a. Mert, bu uçurtma için uzunl ukları a ve b br olan çıtalardan kaçar
tane kullanır?
b. Mert’ in yaptığı uçurtmanın çevresi kaç kenarlı bir düzgün çok­
gendir?
c. Mert, uçurtmasında çift kat Iı renk Ii kâğıt kul Ianmıştır. a = 30 cm
ise Mert'in kullandığı kâğıt en az kaç cm dir?
7.
Bir düzgün altıgenin, kenar doğrularının oluşturduğu yıldızın köşesindeki açının ölçüsü kaç de­
recedir?
A. 72
8.
9.
B. 60
C. 45
D. 40
E. 36
Yandaki şekilde, ABCDEF düzgün altıgen içine KLMNP düzgün
beşgeni çizilmiştir. ENP s DNM ise aşağıdaki noktalı yerleri dol­
durunuz.
a. x =
b. y =
b. z =
ç. t = .
Yılmaz Bey yazlıklarının bahçesine kenar duvarının genişliği
40 cm ve düzgün alI ıgen biçiminde olan yandaki gibi bir havuz
yaptırıyor. Bu havuzun köşelerinden birine 1,6 m uzaklığa su ata­
bilen bir fıskiye yerleştiriyor. Fıskiyenin fırlattığı su havuzun tam
ortasına düştüğüne göre;
a. Havuzun iç ve dış çevresinin uzunluğunu bulunuz.
b. Havuzun bahçede kapladığı alanı bulunuz.
c. Çiçek saksılarının konulduğu bölgenin alanını bulunuz.
172
C
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI
1.
Aşağıdaki cümlelerden doğru olanlara “ D” , yanlış olanlara “Y” yazınız.
a. İkizkenar yamukta paralel olmayan kenarlar eşit uzunluktadır.
b. Açılarından biri dik olan paralelkenar, dikdörtgendir.
c. Paralelkenar, dikdörtgene ait tüm özellikleri taşır.
ç. Dokuzgenin iç açılarının ölçülerinin toplamı 1260° dir.
□
d. Her dörtgen bir yamuktur.
2.
Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan noktalı yerleri uygun kelimelerle tamamlayınız.
a. Kenar uzunlukları eşit olan dikdörtgene....................................
b. Köşegenlerinden biri, iki ikizkenar üçgenin tabanı olan dörtgene.........................denir.
c. Bir iç açısının ölçüsü 170° olan düzgün çokgen...............kenarlıdır.
3.
D 2 cm C
Yandaki şekilde ABCD dik yamuktur.
m (DİA) = 90°, IDCI = 2 cm,
IABI = 9 cm ve IECI = 3IEBI ise
IEBI = x kaç cm’ dir?
A. /Ğ
B. 2 /Ğ
C. 2
D. 3
E. 3^2
4.
Yandaki şekilde verilen ABCD ikizkenar yamuk, [BE] açıortay ve
[BE] 1 [AD]’ dır. IDCI = 3 cm ve yamuğun çevre uzunluğu 30 cm
ise A(ABCD) kaç cm2 dir?
5.
Yandaki şekilde ABCD paralelkenar,
D 3 cm C
D
C
IDEI = 8 birim ve IEFI = 4 birim ise
IFNI = x kaç birimdir?
A. 8
6.
B. 9
C. 10
D. 12
E. 16
Yandaki şekilde ABCD paralelkenar, E ve F orta noktalardır.
A(ABCD) = 96 cm2 ise A(CKF) kaç cm2 dir?
7.
Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenar, IODI = IOBI,
[OE] 1 [AB], [DF] 1 [BC],
IOEI = 2 cm, IDFI = 6 cm ve
m(A) = 30° ise, A(ABCD) kaç cm2 dir?
173
C
8.
Kenar uzunlukları; |KL| _ 12 br, |LM| _ 673 br olan dikdörtgenin
içine, köşeleri dikdörtgenin kenarları üzerinde olan bir düzgün altı­
gen çiziliyor. Düzgün altıgenin alanının dikdörtgenin alanına oranı
kaçtır?
B.
C.
D.
E.
9. Yandaki şekilde ABCD dikdörtgen,
m(AEB) _ m(CEB) _ 75° ve IAEI _ 6 cm ise dikdörtgenin çev­
re uzunluğu kaç cm’ dir?
A. 15
B . 18
D. 6 + 6 / 6
E. 12 + 6 /3
D
E
C
C. 20
A
D
10. Yandaki şekilde; ABCD paralelkenar,
E
C
IFBI _ 3IDFI ve A(FBCE) _ 44 br2 ise
A(ABCD) kaç br2 dir?
A. 96
B. 88
C. 84
D. 72
E. 66
A
D
C
11. Yandaki şekilde vejijen ABCD kare ve D, B, E noktaları doğrusaldır.
IAEI _ IBDI ise m(AED) = x kaç derecedir?
E
12. Yandaki şekilde verilen ABCD kare, BKC dik üçgendir. IKCI _ 6 cm,
IBKI _ 8 cm ve [DL] 1 [BK] ise IDLI kaç cm’dir?
A. 9
B. 10
C. 12
D. 14
E. 16
13. Yandaki şekilde verilen ABCD kare, IANI _ 20 cm, IDEI _ IECI ve
IBFI
2
........
, 0
ise IFNI kaç cm’ dir?
IBCI
5
A. 4
B. 5
C. 2 / 5
D. 6
E. 8
174
D
C
14. Yandaki şekilde, ABCD deltoiddir. IABI = 12 br,
IBCI = 6 br, [AB] 1 [BC] ve [CD] 1 [AE] ise DCE üçgeninin çevresinin
uzunluğu kaç birimdir?
A. 18
B. 20
C. 22
D. 24
E. 28
B
6
C
E
15. Köşegen uzunlukları 6 cm ve 14 cm olan deltoidin alanını bulunuz.
16. Aşağıda verilen soruların cevaplarını yandaki tabloda verilen
değerlerle eşleyiniz.
I
II
III
IV
V
42
24
12
16
20
D 8 cm C
a. Yandaki şekilde verilen ABCD yamuğunda köşegenlerin kesim
noktasından tabanlara çizilen paralel doğru; [AD]’ nı M, [BC]’ nı
N nokt asında kesiyor. IABI = 24 cm, IDCI = 8 cm ise, IMNI kaç
cm’ dir?
A
24 cm
B
F
b. Yandaki şekilde verilen ABCD paralelkenar, [AE] açıortaydır.
IBCI = 5 cm ve ICFI = 2 cm olduğuna göre paralelkenarın çevre­
sinin uzunluğu kaç cm’ dir?
c. Yandaki şekilde verilen ABCD yamuk, AKCD ve LBCD paralelke­
D
4
C
nardır. IABI = 10 br, ICDI = 4 br ve A(EKL) = 2 br2 ise A(ABCD) kaç
br2 dir?
10
D
ç. Yandaki şekilde; ABCD kare, [OE] ± [OF] ve IABI = 8 cm ise A(OECF)
kaç cm2 dir?
175
F
C
D
E
C
17. Yandaki şekilde; ABCD kare, ICEI = 2IDEI, IBKI = 2IEKI ve IABI = 9 cm ise
A(AKED) kaç cm2 dir?
18. Köşegen uzunlukları 10 cm ve 24 cm olan eşkenar dörtgenin;
a. Çevresinin uzunluğunu bulunuz.
b. Alanını bulunuz.
C
19. Şekildeki ABCD deltoidinde m(BAC) = 24° ve
m(ACD) = 42° ise m(ABC) kaç derecedir?
A. 110
B. 112
D. 116
E. 120
C. 114
B
20. Şekildeki düzgün beşgen ile düzgün altıgenin birer kenarları
ortak ise m(ABC) kaç derecedir?
A. 110
B. 114
D. 120
E. 144
C. 116
PROJE
Projenin Konusu: Yaşamak istediğiniz evin planını yapma.
Projenin Amacı: Planlı yaşam koşullarını kavratmak.
Projenin Hazırlık Basamakları
1. Yaşamak istediğiniz evin planını tasarlayın.
2. Apartman dairesi mi yoksa müstakil bir ev mi istiyorsunuz?
3. Tasarladığınız ev çok katlı mı, yoksa tek katlı mı olacak?
4. Oda sayısı hakkında ne düşünüyorsunuz?
5. Yaşamak istediğiniz evin planını yapınız.
6. Yaşamak istediğiniz evin planını bahçesi ile birlikte çiziniz.
7. Yanda dört kenarının uzunluğu verilmiş arsanın alanını
hesaplayınız.
8. Planını yapacağınız
yerleştirebilirsiniz?
evden
bu
arsa
içine
kaç tane
9. Bu arsa alanlarını en verimli kullanmak koşulu ile kaç adet
bahçeli ev yapabileceğinizi belirtiniz.
10. Arsaya bitişik olarak gösterilen sit ve yeşil alanların ne anla­
ma geldiğini açıklayınız.
11. Yapılacak evlerin depreme dayanıklı olması için neler yapılması gerektiğini açıklayan
raporunuzu hazırlayınız ve arkadaşlarınıza sununuz.
Projenin Sunumu
Topladığınız bilgileri ve araştırma sonuçlarınızı sınfta arkadaşlarınıza sunum yaparak
anlatınız.
176
IV. BÖLÜM: SAYILAR VE CEBİR
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER VE
FONKSİYONLAR
Tarihsel Gelişim
Denklemler konusunda en eski yazılı belge, üzerinde çeşitli birinci de­
receden denklemlerin çözümü bulunan Mısırlı Ahmes’ in çalışması Rhind
Papirüsüdür. IX. yüzyılda yaşayan ve cebir alanında ilk defa eser yazan
Harezmî, (780 - 850) Türk bilginidir. Harezmî, ilk defa, birinci ve ikinci dere­
ceden denklemleri analitik metotla; bir bilinmeyenli denklemleri de cebirsel
ve geometrik metotla çözmenin kural ve yöntemlerini tespit etti. Matematikte
ilk kez sıfır rakamını kullanan Harezmî, cebir bilimini metodik ve sistematik
olarak ortaya koydu. Kendisinden önceki cebire ait konuları yine ilk kez “ce­
bir” adı altında sistemleştirdi.
Harezmfnin bu kitabı 16. yüzyılda Avrupa üniversitelerinde ders kitabı
olarak okutulmuştur.
Denklemleri derecelerine ve katsayılarına göre sınıflandıran ilk mate­
matikçi Ömer Hayyam’dır. Bugün ikinci dereceden denklemlerin çözümünde
kullandığımız yöntemler 16. yüzyılın sonlarında bulunmuş, bilinmeyen çok­
luklar yerine x, y gibi harfler kullanılmıştır.
Matematik Tarihi ve’türk İslam Matematikçilerinin Yeri - Göker, Lütfi M EB Yayınevi 1997.
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri çözmeyi, köklerini veren formülü oluş­
turmayı ve gerçek köklerin varlığını diskriminantın işaretine göre incelemeyi öğrene­
ceğiz.
2. Karmaşık sayılar kümesini, karmaşık sayılarda toplama, çarpma ve bölme işlemle­
rini ve özelliklerini, karmaşık kökleri olan gerçek katsayılı denklemlerin çözümleriyle
ilgili uygulamalar yapmayı, sanal köklerin birbirinin eşleniği olduğunu göstermeyi öğ­
reneceğiz.
3. İkinci dereceden bir bilinmeyenli denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki ilişkileri
incelemeyi ve uygulamalar yapmayı öğreneceğiz.
4. İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonunun grafiğinin; tepe noktasını, eksenleri
kestiği noktaları, simetri eksenini bulmayı ve grafiğini çizmeyi öğreneceğiz.
•
y = a(x - r)2 + k ve y = a(x - x 1) (x - X2) şekilde verilen foksiyonlarıın grafiği çizmeyi
ve uygulamalar yapmayı öğreneceğiz.
5. İkinci dereceden denklem ve fonksiyonlarla modellenebilen problemleri çözmeyi, bil­
gi ve iletişim teknolojilerinden faydalanmayı öğreneceğiz.
177
J
ÖZ]
10.6.1. i k i n c i d e r e c e d e n b i r b i l i n m e y e n l i d e n k l e m l e r
10.6.1.1. Ik İn c I d e r e c e d e n b Ir b i l i n m e y e n l i d e n k l e m l e r i n ç ö z ü m ü
A BİLGİ
ax2 + bx + c = 0 denklemine ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem; a * O için a, b ve c gerçek
sayılarına da denklemin katsayıları denir.
Denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri; köklerin oluşturduğu kümeye de denklem in [R
deki çözüm kümesi denir.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
---------------------------------------------------------
fProblemlerin çözüm yöntemlerinden biri olan denklemini kurarak çözme işleminde kurulan denk­
lem birinci dereceden olmayabilir. Aşağıdaki problemi denklemini kurarak çözelim.
Problem: İki istasyon arasındaki uzaklık 120 km’ dir. İki trenden birincisi bu yolu diğerinden 36
dakika daha az bir sürede gidiyor. Bu trenin hızı da diğerinin hızından 10 km/sa. daha fazla ise tren­
lerin hızlarının saatte kaç km olduğunu bulalım:
120 km
A ---------------- ----------------------------------- 'B
I. trenin hızı V 1 = x km/sa. ise
V,
II. trenin hızı V2 = x - 10 km/sa.’dir.
V2
120
120
İki istasyon arasını I. tren t! = —— saatte, II. tren de t2 =
saatte alır.
x
x-10
120 120 = 3^
t2 - <1 = 36- -60
x
5
x-10
120x-120 (x-10)
x(x-10)
40
3
5
3 x (x - 10) = 5 . 1 *° (x - x + 10)
x2 - 10x - 2000 = 0
denklemi elde edilir. Bu denklem ikinci dereceden bir bilinmeyenli ax2 + bx + c = 0 biçiminde bir denk­
lemdir. Bu denklemin katsayıları; a = 1, b = -1 0 ve c = - 2000’dir. Bu denklemi sağlayan değerler
varsa bu değerler farklı yollarla bulunabilir.
x2 - 10x - 2000 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak çözelim:
x2 - 10x - 2000 = 0 — (x + 40)(x - 50) = 0
4 0 . -50
x + 40 = 0 veya x - 50 = 0
x 1 = - 40 veya x2 = 50’ dir.
Denklemin çözüm kümesi Ç = { - 40, 50 }’ dir.
I. trenin hızı V 1 = 50 km/sa. ve II. trenin hızı V2 = 50 - 10 = 40 km/sa. bulunur.
= t£
AÇIKLAMA
ax2 + bx + c = 0 denkleminin çözüm kümesi, ax2 + bx + c ifadesi (tam kare ve iki kare farkına ait
özdeşlikler kullanılarak) çarpanlarına ayrılarak bulunabilir.
b 2
x2 + bx = - c biçiminde yazılır. Eşitliğin her iki yanına (— j eklenir. Bu durumda eşitliğin sol tarafın­
da bir tam kare olur. x 2 + bx + ( 4- ^ = - c + ( 4
b 2
b2
x + — j = - c + — ’tür. Eşitliğin sağ tarafı
b2
b2
-c + — > 0 ise denklemin R ’ de çözümü vardır. - c + — < 0 ise denklemin R ’ de çözümü yoktur.
178
ÖRNEK
x2 + 5x + 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
I. Yol: Verilen denklemi çarpanlara ayırma yöntemi ile çözelim:
x2 + 5x + 6 = 0 ^ (x + 2)(x + 3) = 0
A
2 .3
x + 2 = 0 veya x + 3 = 0 ^ x 1 = -2
veya x2 = -3 ^ Ç = { -2 , -3 } bulunur.
II. Yol: Tam kareye tamamlama yöntemi ile çözüm kümesini bulalım:
x2 + 5x + 6 = 0 ^ x2 + 5x = - 6’dır. x2 + 5x + (-2) = - 6 + (-5-) = 4 = ("1) olur.
( x + 5 )2 = ( i )2
, 5 1
x + —=
2
x+
2
x+ f
1
, 5 _1 . ..
= — ve x + — = +—’ dir.
2
2
2
15
-4
—• x . = —
= - — = -2
2 1
22
2
= - - 1 • x 2 = --1 - 5 =
2
2
2 2
ve
^ = - 3 ’tür. Ç = { -2 , -3 } bulunur.
2
v 1
1
III. Yol: Verilen denklemi, iki kare farkına dönüştürerek çözüm kümesini bulalım:
Verilen denklemde, ortadaki terimin yarısının karesini ekleyip çıkaralım.
x2 + 5x + 6 = 0 — x2 + 5x + (- | )2 - (- | )2 + 6 = 0
-
(x + ! )2 - f
+ 6 = ( x + f )2 - j
=0
- ( x + 2 - 1 )(x + 2 + 2 ) - 0
= (x + 2) (x + 3) = 0 — x 1 = - 2 veya x2 = - 3’tür.
ÖRNEK
x2 + 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
x2 + 2x + 5 = 0 ^ x2 + 2x = -5
• x2 + 2x + (f )2 = - 5 + (f )2
•
(x + 1)2 = -5 + 1 = - 4’tür.
Bu durum çelişkilidir. (x + 1)2 > 0’dır. Öyleyse verilen denklemin ffi’de çözüm kümesi 0 ’dir.
ÖRNEK
2x2 + 5x -1 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
I. Yol: Verilen denklemi çarpanlarına ayıralım:
(2x) + 5x -1 2 = (2x - 3) (x + 4) = 0 ^ 2x - 3 = 0 veya x + 4 = 0
I
2x
I
-3
x
— * - (2x - 3)
4 — ► (x + 4)
2x = 3
3
veya x = -4 ve x 1 = — , x2 = - 4’tür.
J
ç = { - 4 , - | bulunur.
8x - 3x = 5x
179
II. Yol: Verilen denklemi iki kare farkına dönüştürerek çözelim:
5
/ 5 1\
2x2 + 5x - 12 = 0 ^ x2 + — x - 6 = 0’dır. Ortadaki terimin yarısının (— .—j karesini ekleyip çıka­
ralım.
x2 + ^
6 + (f j 2 - (f j2 = 0
2 5
25 25 „
_
/ , 5 \2
121
_
x2 + —x + ——- —— - 6 = 0 ^ (x + — ) —
= 0 ve
2
16 16
\
4)
16
x + f )2 - ( $ j 2 = 0 -
( x + 4 - 1 1 )(x + f + 1 1 ) = 0
^ (x - ■ f) (x + 4) = 0 ^ x, = 6 = - |
veya x2 = - 4’tür.
Ç = { - 4 , - | J bulunur.
III. Yol: Tam kareye tamamlama yöntemi ile çözüm kümesini siz bulunuz.
A L IŞ T IR M A L A R --------------------------------------------------------------
—
1.
2.
Aşağıdaki denklemlerin
çözüm kümelerini çarpanlarına ayırarak bulunuz.
a. x2 - 11x + 28 = 0
b. x2 + 10x + 24 = 0
Aşağıdaki denklemlerin
çözüm kümelerini iki kare farkına dönüştürerek bulunuz.
a. x2 - 11x + 21 = 0
b. x2 + 10x + 9 = 0
c. 3x2 - 5x + 2 = 0
c. 5x2 - 9x - 2 = 0
İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemin Köklerini Veren Formül ve Denklemin Diskriminantı
ax2 + bx + c = 0 ^ a ( x2 + -b x + ) = 0
a"
a,
(a * 0)
\2 / h x 2
x2 + ^ + l b )2_ (
)2 + İL = 0
a
\ 2 a / \ 2az
a
x + ± - f - J î 2- i a L = o
2a j
4a2
2
b \2 / Vb 2- 4ac
= 0 olur. Buradan,
( x + £ j2
2IaI
_
ı , b/ b 2- 4 a c / ( , b , / b 2- 4ac ,
a > 0 ^ (x + 2 a -------- 2a
/ (x + 2 a +
2a
b - / b 2- 4ac W
2a
n
.
,
1= 0 (IaI = a)
, b W b2- 4ac
2a
= 0’dır. @
n
f
b / b2- 4ac P , b , / b2- 4ac | n , ,
.,
a < 0 ^ lx + — ----- 0 . .
Ilx+ ^ - +
'
1= 0 ’dır. (lal = -a )
2a
2(-a ) / \
2a
2 (-a)
b W b2- 4ac \ (
2a
, b -Z b 2- 4ac
2a
= 0’dır. (2>
1
ve 2 ’de elde edilen denklemlerin çözüm kümeleri aynıdır. Buna göre, ax2 + bx + c = 0 denk­
leminin a, b, c e
için çözüm kümesi
180
b
b2- 4ac
.
-b W b2- 4ac
x +------------- ----- ---- = 0 ^ x , = --------------------- ve
2a
1
2a
b W b2- 4ac
.
-b - \/b 2- 4 a c ,
x +------------- ----- ---- = 0 ^ x 0 = --------- ------------’ dir.
2a
2
2a
_ ) - b ^ / b 2- 4ac - b W b2- 4 a c 1.
Ç = ) --------- ------------,---------------------- 1 bulunur.
2a
2a
Denklemin kökleri x 12 = —b + ^b^
=
C
biçiminde de yazılır.
AÇIKLAMA
1. ax2 + bx + c = O denkleminin çözüm kümesini veren bağıntıda (formülde) b2 - 4ac ifadesine
denklemin diskrim inantı denir ve A ile gösterilir.
2. A = b2 - 4ac > 0 ise denklemin iki farklı gerçek kökü vardır. Bu kökler
-b -/9
-b +Ja
x-, = — z--------------------------- , x 0 = ---- --------- ’ dır.
1
2a
2
2a
3. A = b2 - 4ac =0 ise denklemin kökleri birbirine eşittir. Çakışık iki kök vardır. Bu kökler
b
x ı = x2 = - 2a dır.
4. A = b2 - 4ac < 0 ise denklemin gerçek kökleri yoktur. Denklemin ffi’de çözüm kümesi boş kü­
medir. Ç = 0 ’ dir.
ÖRNEK
x2 + 4x - 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
x2 + 4x - 5 = 0 denkleminde katsayılar; a = 1, b =4 ve c = - 5 ’tir.
A = b2 - 4ac = 42 - 4 . 1 (-5)
= 16 + 20 = 36’ dır.
A > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçek
-b -/9
2a
- 4 -v^36
2.1
-4-6
köküvardır. Bu kökler;
- 10
2 2
„
x* = — z------= — -T-,------ = — z— = —z— = - 5 ve
1
- b + \[~9
- 4 + - j 36
-4 + 6 2
n
, c .,ıı_ı
x 0 = ----- ------ = ------ — ----- = — - — = — = 1’ dir. Ç = { -5 , 1 } bulunur.
2
2a
2.1
2
2
v 1
1
ÖRNEK
3x2 + 5x - 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
3x2 + 5x - 2 = 0 denkleminde katsayılar; a = 3, b = 5, c = - 2 ’dir.
A = b2 -4ac = (52) - 4 . 3 (-2) = 25 + 24 = 49’ dur.
A > 0 olduğundan denklemin farklı iki gerçek
-b -/9
-5 -ı/4 9
x1=
2a
^ “ 2 (3 r =
nur.
x2 =
2
b+ ^
2a
= —5 + f 4
2.3
=~
=
köküvardır. Bu kökler;
- 5 - 7 -1 2 _
= -2 ve
- 5 C+ 7 = -§■ = " ^ ’tür. Denklemin çözüm kümesi Ç = ' -2 ,-1 } bulu6
6
3
v
'
3}
181
ÖRNEK
4x2 - 12x + 9 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
4x2 - 12x + 9 = 0 denkleminin katsayıları; a = 4, b = -12, c = 9’ dur.
A = b2 - 4ac = (-12)2 - 4 . 4 . 9
= 144 - 144 = 0 olduğundan x 1 = X2’ dir. Kökler çakışıktır.
-b
- ( - 12)
12
3
x ı = x2 = 2 ? = - w = t = 2 dif.
Denklemin çözüm kümesi Ç = ' -2J bulunur.
ÖRNEK
(m + 2)x2 + (2m - 3)x + 2 - 4m = 0 denkleminin köklerinden biri x 1 = 2 ise diğer kökünü bulalım.
Çözüm
Denklemin köklerinden biri x 1 = 2 ise bu kök, denklemi sağlar.
x = 2 için (m + 2) . 22 + (2m - 3) . 2 + 2 - 4m = 0
4m + 8 + 4m - 6 + 2 - 4m = 0
4m = - 4 ^ m = - 1 ’ dir.
m = -1 için (-1 + 2)x2 + [2 . (-1) -3 ]x + 2 - 4 . (-1) = 0
x2 - 5x + 6 = 0
(x - 2) (x-3) = 0’ dır
Denklemin ikinci kökü x - 3 = 0’ dan x2 = 3 bulunur.
ÖRNEK
(m - 2)x2 - 2mx + 3m = 0 denkleminin birbirine eşit iki gerçek kökü varsa m’ nin alacağı değerleri
bulalım.
Çözüm
Denklemin kökleri birbirine eşit (çakışık) yani x 1 = X2 ise A = 0 olmalıdır.
a = m - 2, b = - 2m ve c = 3m’dir
A = b2 - 4ac = (-2m )2 - 4(m - 2) . 3m
= 4m2 - 12m2 + 24m = -8 m 2 + 24m
= -8m (m - 3) = 0 ^ m1 = 0 veya m2 = 3’tür.
ÖRNEK
x2+ (b - 2a)x - 2ab = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
A = (b - 2a)2 - 4. 1. (-2ab) = b2 - 4ab + 4a2
= b2 + 4ab + 4a2
+
8ab
=
(b + 2a)2 > 0’ dır.
- ( b - 2 a ) + J (b + 2a)2
-b + 2a + (b + 2a)
x 1,2 = --------------- 2--------------- = ------------- 2------------ den’
-b + 2 a - b - 2 a
2
x , = -----------------------=
1
-2b
-b + 2a + b + 2a
4a
_ , ,
„ = - b ’dir. x 0 = ----------- ------------ = —— = 2a’dır.
2
2
2
2
Denklemin çözüm kümesi Ç = {-b, 2a} bulunur.
182
W F T k İN IT K
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
• Dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutunun şekli yanda verilmiştir. Bu
kutunun benzerini dosya kâğıdına çiziniz.
/
/
• Ayrıtlarının uzunlukları şekilde gösterilen bu kutunun hacmi 240 cm3 ise
kutunun hacmini veren bağıntıyı yazınız.
x +1
• Bulduğunuz bağıntıyı ax2 + bx + c = 0 biçiminde yazınız.
• Yazdığınız denklemin katsayılarını belirtiniz.
4 cm
• Denklemin çözüm kümesini ve kutunun ayrıt uzunluklarını bulunuz.
x- 3
ALIŞTIRM ALAR
1. Aşağıda verilen denklemlerin hangileri ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
a.
2a2x - 5 = 0
b. x2 - 1 = 0
d. x2 + 1
c. x3 - 8
ç. x2 - 2x-1 + 4 = 0
e. x2 + 3x - 10 = 0
2. Aşağıdaki tabloda verilen denklemleri çözünüz ve tablodaki boş yerleri doldurunuz.
Denklem
a
b
c
A = b2 - 4ac
Birinci kök (x1)
İkinci kök (x2)
x2 + 5x - 14 = 0
9x2 + 6x + 1 = 0
3x2 - 5x = 0
-2 x 2 - 6 = 0
- x 2 + 6x + 2 = 0
2x2 + 10 = 0
2x2 + 5x - 3 = 0
3. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
a. (m + 1)x2 - 3mx + 5 - 7m = 0 denkleminin köklerinden biri x 1 = -2 ise X2 = 13’tür. d
b. (m + 2)x2 - 3(m - 1) x + 9 = 0 denkleminde x 1 = X2 ise m1 = 7, m2 = - 1’dir.
c. x2 - (n-1)x - n = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = { - 1, n}’ dir.
4.
(m - 1)x2 + 2mx - 3 - 9m = 0 denkleminde x 1 = 3 ise x2 kaçtır?
A. -7
B. -3
C. 3
D. 4
5.
(m + 2)x2 - 3mx + 8 = 0 denkleminin köklerinden biri x 1 = 1 ise X2 kaçtır?
6.
9x2 + (2m + 2)x + m -1 = 0 denkleminde A = 0 ise m kaçtır?
7.
(m + 1)x2 - 6mx + m = 0 denkleminde m’ nin hangi değerleri için kökler çakışıktır?
8. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x2 - 4mx + 4m2 - n2 = 0
c. x2 - (a + 2)x + 2a = 0
b. x2 - (b + 3a)x + 3ab =0
ç. x2 - (2m - 3n)x - 6mn = 0
183
E. 7
10.6.1.2. i
=
7-1
OLMAK ÜZERE BİR KARMAŞIK SAYININ
a + bi
(a, b ¥ İR)
BİÇİMİNDEKİ İFADESİ
x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım:
x2 + 4 = 0 ^ x2 = - 4 ve x = + 7 -4 ’tür. 7 -4 ^ R olduğundan bu denklemin R ’de çözüm kümesi
0 ’dir.
Bu denklemde a = 1, b = 0 ve c = 4 olduğundan A = b2 - 4ac = 0 - 4 . 1. 4 = -1 6 < 0’ dır.
İkinci dereceden bir denklemde A < 0 ise denklemi sağlayan x değerlerini ve gerçek sayılar küme­
sini de kapsayan yeni bir sayı kümesine gereksinim vardır. Bu küme karmaşık sayılar kümesidir. 7 -4
sayısı karmaşık sayılar kümesinin bir elemanıdır.
- 4 = 4 . (-1) ^ 7 -4 =
4.(-1) = 747 7 -1 = 2 7 -1 ’ dir. 7 -1 = i ile gösterilir. Buna göre 7 -4 =2i’ dir.
Denklemin çözüm kümesi Ç = {-2i, 2i} olur.
—
t f BİLsi ----------------------------------------------------------------------------------------------
• a, b e R ve i2 = -1 olmak üzere a + bi biçimindeki sayılara karmaşık sayıdenir.
• 7 -1 sanal sayısına sanal sayı birim i denir ve 7 -1 = i ile gösterilir.
• Bir karmaşık sayı z ve karmaşık sayılar kümesi de € ile gösterilir.
• € = { z: z = a + bi ve a , b e R }’dir.
• z = a + bi karmaşık sayısında a sayısına z sayısının gerçek kısmı
(Re(z) = a); b sayısına da
sanal (imajiner) kısmı (İm (z) = b) denir.
• Her gerçek sayı sanal kısmı sıfır olan bir karmaşık sayıdır.
• Karmaşık sayılar kümesi gerçek sayılar kümesini kapsar (R c €).
ÖRNEK
Aşağıda verilen karmaşık sayların gerçek ve sanal kısımlarını belirtelim.
a. z 1 = 2 - 3i
b. z2 = 3 + ^ i
ç.
d.
z4 = 7-8
c. z3 = 2
+ 73
z5 = 4
Çözüm
a. z 1 = 2 - 3i sayısının gerçek kısmı Re(z1) = 2 ve sanal kısmıda İm(z1) = - 3 ’tür.
b. z2 = 3 + 72i ^ Re(z2) = 3, İm(z2) = 72’dir.
c. z3 = 2 + 73 ^ R e ^ ) = 2 + 73, İm ^ ) = 0’dır.
ç. z4 =7-8 ^ 7 -8 = 78 . 7 -1 = 272i’ dir. Re (z4) = 0,
d. z5 = 4 ^ Re(z5) = 4, İm(z5) = 0’dır.
184
İm(z4)= 272’dir.
Karmaşık Sayıların A n a litik Düzlemde Gösterimi
Karmaşık sayılar ile analitik düzlemin noktaları bire bir eş­
lenebilir. Bu eşlemede z = a + bi sayısına (a, b) noktası karşılık
gelir. Çünkü z = a + bi sayısında Re(z) = a ve İm(z) = b olup
YA
(ffie(z), İm(z)) = (a, b) İkilisidir. Bu ikili yandaki analitik düzlemde
A noktası olarak gösterilmiştir. Karmaşık sayının reel kısmının
gösterildiği x eksenine reel eksen; sanal kısmının gösterildiği y
eksenine de sanal eksen denir.
b
sanal
eksen
A(a, b)
z = a + bi
ö-----a reel
eksen
0
ÖRNEK
YA
Aşağıdaki sayılar yanda düzlemde gösterilmiştir.
İnceleyiniz.
a. z 1 = - 4 + i
b. z2 = 2 - 4i
c. zg = 3 + 2i
ç. z4 = 4i
d. z5 = 4
e. z6 = -3 - 3i
4 z4 = 4i
2
z
tzg = 3 + 2i
1
-3
0
c C olduğundan gerçek sayılar kümesi; karmaşık sa­
yılar kümesinin bir alt kümesine bire bir eşlenebilir.
z6 = - 3 - 3i
1
3
-3
-4
z2 = 2 - 4i
Karmaşık Sayıların Eşitliği
A
BİLGİ
z A- a + bi, z2 = c + di karmaşık sayılarında a = c ve b = d ise z 1 = z2’dir.
ÖRNEK
z 1= n + 3 - 2i, z2 = 5 + (m + 3)i karmaşık sayıları için z 1= z2 ise m + n değerini bulalım.
Çözüm
z 1 = z2 ^ n + 3 = 5 ve m + 3 = - 2 ’ dir.
n + 3 = 5 ^ n = 2 ve m + 3 = - 2 ^ m = - 5 ’tir.
m + n = -5 + 2 = -3 bulunur.
ÖRNEK
3x - 2yi - i - 6 = 0 ise (x, y) ikisini bulalım.
Çözüm
3x - 2yi - i - 6 = 0 ifadesi 3x - 6 - 2yi - i = 0
(3x - 6) + (-2y - 1)i = 0 + 0i biçiminde yazılır.
Buradan 3x - 6 = 0 ^ x = 2 ve -2 y - 1 = 0 ^ y = —2 ’dir.
(x, y) = C2, —1 1 bulunur.
185
z5
-►X
4
Bir Karmaşık Sayının Eşleniği
BİLGİ
YA
z = a + bi karmaşık sayısının sanal kısmının işaretini değiştirerek elde
edilen a - bi karmaşık sayısına, a + bi sayısının eşleniği denir ve z = a - bi
biçiminde gösterilir.
b
z sayısı ile z’ nin eşleniğinin karmaşık düzlemdeki görüntüleri x ekse­
nine göre simetriktir.
A
z = a + D!
a
-► X
: a - bi
ÖRNEK
• z 1 = 2 + 3i karmaşık sayısının eşleniği z = 2 - 3i’ dir.
• z2 = 3 - i karmaşık sayısının eşleniği z2 = 3 + i’dir.
• z3 = -2 - 2i ^ z3 = -2 + 2i’ dir.
• z4 = 5 ^ z4 = 5 ve z5 = i ^ z5 = 0 + i ^ z5 = - i ’dir.
Kökleri Sanal Olan Gerçek Katsayılı İkinci Dereceden Denklemin Çözüm Kümesi
=
i
e t k in lik
A raç ve G ereçler: Dosya kâğıdı, kalem.
x2 + 4x + 7 = 0 denklemde A değerini bulunuz.
A < 0 ise denklemin sanal köklerini yazınız.
Bu kökler birbirinin eşleniği mi?
ax2 + bx + c = 0 denkleminde A < 0 ise denklemin sanal köklerinin birbirinin eşleniği olduğunu
fark ettiniz mi?
ÖRNEK
x2 - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
x2 - 2x + 5 = 0 denkleminde A = b2 - 4ac = (-2)2 - 4 . 1 . 5 = 4 - 20 = - 16 ve
A < 0 olduğundan bu denklemin gerçek sayılar kümesinde çözüm kümesi 0 ’dir.
-b + / Â
- ( - 2) + / - 1 6
2+/ÎĞV-T
2 + 4i
x., = -----r ------ = ----------itt--------- = ----------~
~
~
1
2a
2.1
2
2
-b -/9
2a
x 0 = ---- ^
2
2 - a/ —16
2
2 -4i
2
2(1 + 2i)
----- = 1 + 2i’ dir.
2
2(1-2i)
---- = 1 -2 i’ dir.
2
Denklemin çözüm kümesi Ç = {1 - 2i, 1 + 2i} bulunur.
a,
b, c ¥
olm ak üzere, ax2 + bx + c = 0
sanal kökleri b irb irin in eşleniğidir.
-b
2a
ikinci derece denklem inde A < 0 ise denklemin
/ —9 . -b / —9 .
x 0 = —--------— i’ dir.
2a
2 2a
2a
x< = ^ — + ^ — i,
1
Yani köklerden biri x 1 = m + ni ise diğer kök X2 = m - ni olur.
186
ÖRNEK
x2 + 4x + 8 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
I. Yol
Verilen denklemi iki kare farkına dönüştürerek çözüm kümesini bulalım.
x2 + 4x + 8 = 0 denklemine ortadaki terimin yarısının karesini ekleyip çıkaralım.
x2 + 4x + (2)2 - (2)2 + 8 = 0
x2 + 4x + 4 - 4 +8 = (x + 2)2 + 4 = 0 denklemi iki kare farkı değildir. (x + 2)2 = - 4 denkleminin R ’ de
çözüm kümesi 0 ’dir. Fakat bu denklemin karmaşık sayılarda çözüm kümesi vardır.
(x + 2)2 = - 4 —x + 2 = + 7 -4
(7 -4 = 74 . 7-1 = 2i)
x = -2 + 2i
ve
x 1 = -2 + 2i,
x2 = -2 - 2i ’ dir.
Denklemin çözüm kümesi Ç = { - 2 - 2i, -2 + 2i} bulunur.
II. Yol
Verilen denklemde, A = b2 - 4 . a . c = 42 - 4 . 1 . 8 = 16 - 32 - 16 < 0’dır.
A < 0 olduğundan bu denklemin R ’ de çözüm kümesi 0 ’dir. / . 3 = / ? 6 = - 4i’dir.
-b + J Â
- 4 + 4i
„
- 4 - 4i
„
x = ---- 2a---- — xı = ---- 2---- = - 2 + 2i, x2 = -----2---- = - 2 - 2i’ dir.
İ nin Kuvvetleri
tA
BİLGİ
Sanal birimin herhangi bir kuvveti bulunurken sanal birimin kuvveti 4 ile bölünür, elde edilen kalan
sanal birime kuvvet olarak yazılıp işleme devam edilir.
(i)4 = i2 .i2 = (-1) (-1) = 1 olduğundan, i4n = 1’ dir.
i4n+1 = i4 i _ i
j4n+2_ i4n i2 _ i2 _ - 1
i4n+3= i4n i3= i3 = i2 j __i’dir
ÖRNEK
Aşağıdaki sayıları hesaplayalım.
a. i48
b. i53c.
i62 ç. i75
Çözüm
a. 48 = 4 . 12 + 0 olduğundan i48 = 0 = 1’ dir.
b. 53 = 4 . 13 + 1 olduğundan i53 = 1 = i’dir.
c. 62 = 4 . 15 + 2 olduğundan i62 = 2 = - 1 ’ dir.
ç. 75 = 4 . 18 + 3 olduğundan i75 = 3 = - i ’dir.
ÖRNEK
3i5 + 4i6 - 5i10 + 6i15 = a + bi ise a + b toplamını bulalım.
i5 = i4.i = i,
i6 = i6 = i4.i2 = -1 ,
i10 = i8.i2 = -1 , i15 = i12.i3= - i ’ dir.
3i5 + 4i6 - 5i10 + 6i5 = 3(i) + 4(-1) - 5(-1) + 6(-i)
= 3i - 4 + 5 - 6i = 1 - 3i olur ve
187
1 - 3i = a + bi — a+ b = 1 + (-3) = -2 bulunur.
j—
A L I Ş T I R MA L A R --------------------------------------------------------
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. z 1 = 3i sayısında ffie(z 1) = ... ve İm(z1) = ...
b. 7 -9 + 10 + 7 -1 6 = a + bi ise a + b = ...
c. ffie(z2) = 73, İm(z2) = -7 3 ise z2 = ...
2.
Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. z3 = 5 - 72’ i sayısında İm (z3) = -7 2 ’ dir.
b. T - ^ - 7 - 2 7 + 2 = z ^ z = 2 + 573 i’dir. □
c. z = -3 + 2i ^ z = -3 - 2i’ dir.
3.
Aşağıdaki sayıları karmaşık düzlemde gösteriniz.
a. z 1 = 1 -2 i b. z2 = - 4c. z3 = 5 -7 2 i
4.
Aşağıdaki karmaşık sayıların gerçek ve sanal kısımlarını yazınız.
a. z 1 = 3i
5.
ç. z4 = i
b. z2 = - 4c.
ç. z4 = 2 + -3 i
2 3
Aşağıdaki sayıları a + bi biçiminde yazınız.
a. 7 8 + 7 - 18 + 7 = 8 + / Î 8
6.
z3 = 5 - 72i
b. 7 -2 5 + 7 - 5 . 7 - 5 + 736
z 1 = (a + b) -i, z2 = 7 + (a - b)i ve z 1 = z2 ise a . b kaçtır?
A. -1 2
B. 6
C. 8
D. 10
E. 12
7. Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x2 -4 x + 13 = 0
b. x2 + 3 = 0
c. x2 + 2x + 10 = 0
8. Aşağıdaki ifadelerin eşitlerini en sade şekilde bulunuz.
a.
9.
i80
b. i50
c.
i33
ç. i + i2 + i3 + i4 + i5 + .... + i22 +i23
Aşağıdaki sayıların eşleniklerini yazınız.
a. z 1 = 3 + 2i
b. z2 = - 2 -3 i c. z3 = 4
ç. z4 = i
10. z 1 = a + 2 -3i, z2 = 5 + (b -1 )i karmaşık sayıları veriliyor. z 1 = z2 ise a + b değerini bulunuz.
188
Karmaşık Sayılarda İşlemler
Toplama İşlemi
=
C
BİLGİ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
z 1 = a + bi, z2 = c + di ise (a + c) + (b + d)i karmaşık sayısına z 1 ile z2 karmaşık sayıların toplam ı
denir.
Karmaşık Sayılarda Toplama İşleminin Özellikleri
1. Kapalılık
z 1 = a + bi, Z2 = c + di karmaşık sayıları için
z 1 + z2 =
(a + c) +(b + d)i’ dir. Bu sayı da bir karmaşık sayıdır.
O hâlde her z 1, z2¥ € için z 1 + z2 ¥ C’dir.
Karmaşık sayılar kümesi toplama işlemine göre kapalıdır.
2. Değişme özeliği
z 1 = a + bi, Z2 = c + di karmaşık sayıları için
z 1 + z2 =
(a + bi) +(c + di) = (a + c) + (b + d)i (toplama işleminin
tanımı)
= (c + a) + (d + b)i (gerçek sayılarda toplama işleminin değişme özelliği)
= (c + a) + (di + bi) (çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma
özelliği)
= (c + di) + (a + bi) = z2 + z 1 olur.
Her z 1, z2 ¥ € için z 1 + z2 = z2 + z 1’ dir. O hâlde karmaşık sayılar kümesinde toplama işlem inin
değişm e özelliği vardır.
3. Birleşme Özelliği
z 1 = a + bi, z2 = c + di ve z3 = p + qi olsun.
z 1 + (z2 + z3) = (a + bi) + [(c + di) + (p + qi)] = (a + bi) + [(c + p) + (d + q)i]
= [a + (c + p)] + [b + (d + q)]i
= [(a + c) + p ] + [(b + d ) + q)]i
= [(a + c) + (b + d) i] + (p + qi)
= (z1 + z2) + z3 olur.
Her z 1, z2, z3 ¥ € için z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3’tür. O hâlde karmaşık sayılar kümesinde top­
lama işleminin birleşm e özelliği vardır.
4. Toplama İşlemine Göre Birim (Etkisiz) Eleman
0 = 0 + 0i olduğundan, 0 e C’dir. Her z = a + bi karmaşık sayısı için
z + 0 = (a + bi) + (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi = z,
0 + z = (0 + 0i) + (a + bi) = (0 + a) + (0 + b)i = a + bi = z’dir.
Her z ¥ € için z + 0 = 0 + z = z’dir. O hâlde toplama işleminin etkisiz elemanı 0 + 0i = 0 karmaşık sayısıdır.
5. Ters Eleman
z = a + bi ise - z = - a - bi’ dir.
z + (-z) = (a + bi) + (-a -b i) = (a-a) + (b -b )i = 0 + 0i = 0’ dır.
-z + z = (-a -b i) = (-a + a) + (-b + b)i = 0 + 0i = 0’dır.
Buradan, z + (-z) = -z + z = 0 olur. z = a + bi ile - z = - a -b i karmaşık sayıları toplama işlemine göre
birbirinin tersidir.
z karmaşık sayısının toplama işlemine göre tersi - z ’dir. Örneğin; z = 2 - 3i sayısının toplama işle­
mine göre tersi, -z = -2 + 3i’dir.
189
ÖRNEK
z 1 = 6 + 2i, z2 = -2 + 3i karmaşık sayıları veriliyor. z 1 - z2 işlemini yapalım.
Çözüm
z 1 - z2 = (6 + 2i) - (-2 + 3i) = (6 + 2i) + (2 - 3i) = 6 + 2i + 2 - 3i = 8 - i bulunur.
Karmaşık Sayılarda Çarpma İşlemi
—
C
B i L G İ -------------------------------------------------------------------------------------
z 1 = a + bi, z2 = c + di ise z 1 . z2 = (a + b i) . (c + di) = (ac -bd) + (ad + bc)i’ dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapalım.
a. (1 + 4i)(2 + i)
b. (2 - 6i)(5 - 2i)
c. (4 - 3i)(4 + 3i)
Çözüm
a. (1 + 4i)(2 + i) = 2 + i + 8i + 4i2
= 2 + 9i - 4 = 2 + 9i ’dir.
b. (2 - 6i)(5
- 2i) = 10 - 4i - 30i + 12i2
(i2 = - 1)
= 10 - 34i + 12(-1) = 10 - 34i - 12 = - 2 - 34i
c. (4 + 3i)(4 - 3i) = 16 - 12i + 12i - 9i2
= 16 - 9(-1) = 16 + 9 = 25’tir.
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemleri yapalım.
a. (1 + i)2
b. (1 - i)2
c. (1 + i)6
ç. (1 - i)7
d. (2 + 2i)8
Çözüm
a.
(1 + i)2=
1 + 2i + i2 = 1 + 2i - 1 = 2i’ dir.
b.
(1 - i)2=
1 - 2i + i2 = 1 - 2i - 1 = -2 i’ dir.
c.
(1 + i)6=
[(1 + i)2]3 = (2i)3 = 23 . i3 = 8(-i) = - 8 i’dir.
ç.
(1 - i)7=
[(1 - i)2]3 . (1 - i) = (-2i)3 . (1 - i)
= -8 (-i) (1 - i) = 8i - 8i2 = 8 + 8i’dir.
d. (2 +2i)8= [2
(1 + i)]8 = 28 (1 + i)8 = 28 . [(1 + i)2 ]4
= 28 . (2i)4 = 28 . 24 . i4 = 2 12 dir.
ÖRNEK
z = a + bi karmaşık sayısı için z . z işlemini yapalım.
Çözüm
z = a + bi ^ z = a - bi’ dir.
z . z = (a + bi) (a - bi) = a2 - abi + abi - b2 i2 = a2 - b2 . (-1) = a2 + b2 dir.
190
Karmaşık Sayılarda Çarpma İşleminin Özellikleri
1. Kapalılık Özelliği
Her z 1, z2 ¥ € için z1 . z2 ¥ C’ dir.
İki karmaşık sayının çarpımı yine bir karmaşık sayı olduğundan karmaşık sayılar kümesi çarpma
işlemine göre kapalıdır.
z 1 = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları için
z 1 . z2 = (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i bir karmaşık sayıdır.
2. Değişme Özelliği
Her z 1, z2 ¥ € için z1 . z2 = Z2 . z 1’ dir.
Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin değişme özelliği vardır.
z 1 = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları için
z 1 . z2 = (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i ve
z2 . z 1 = (c + di) . (a + bi) = (ac - bd) + (ad + bc)i olduğundan
z 1 . z2 = z2 . z1 ’dir.
3. Birleşme Özelliği
Her z 1, z2, z3 ¥ € için z 1 . (z2 . z3) = (z1 . z2) . z3’tür.
Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin birleşm e özelliği vardır.
z 1 = a + bi, z2 = c + di ve Z3 = p + qi olsun.
z 1 .(z2 . z3)
= (a + bi) [(cp - dq) + (cq + dp)i]
= [a(cp - dq) - b(cq + dp)] + [a(cq + dp) + b(cp - dq)]i
= [acp - adq - bcq - bdp] + [acq + adp+ bcp - bdq]i
= [(ac + bd)p - (ad + bc)q] + [(ac -bd)q + (ad + bc)p]i
= [(a + bi) . (c +di)] . (p + qi)
= (z1 . z2) . z3 olur. O hâlde
z 1 . (z2 . z3) = (z1 . z2) . z3 ’tür.
4. Birim (Etkisiz) Eleman
z, 1 ¥ € için z . 1 = 1 . z = z’ dir.
Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı 1 = 1 + 0i sayısıdır.
z = a + bi ve 1 = 1 + 0i
için
z . 1 = (a + bi) . (1 + 0 i)
= ( a . 1 - b . 0 ) + (a . 0 + b . 1)i (çarpma işlemi tanımı)
= a + bi = z’ dir.
5. Ters Eleman
z karmaşık sayının çarpma işlemine göre tersi z-1 ve z . z-1 = z-1 . z = 1’ dir.
z = a + bi ve z-1 = x + yi olsun. Karmaşık sayıların eşitliğinden yararlanarak z-1 sayısını bulalım.
z . z-1 = 1 ^ (a + bi) (x + yi) = (ax - by) + (ay + bx)i = 1 + 0i’ dir.
1
0
191
ax - by = 1
a / ax - by = 1
a2x - aby = a
bx + ay = 0
b / bx + ay = 0
+ b2x + aby = 0
(a2 + b2) x = a ^ x = — ----- - ’ dir.
a2 + b2
Aynı denklem sisteminden y = ----- —b—- elde edilir. Bu değerler z-1 de yerine yazılırsa
a2 + b2
z-1 = x + yi = — —- — —b—- i bulunur. Buna göre z-1 e C’dir.
a2 + b2 a2 + b2
ÖRNEK
z = 3 + 2i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersini bulalım ve z . z-1 = 1 olduğunu gösterelim.
Çözüm
z = 3 + 2i sayısının çarpma işlemine göre tersi z-1 = x + yi olsun.
z . z-1 = 1 ^ (3 + 2i) (x + yi) = (3x - 2y) + (2x + 3y)i = 1 + 0i’ dir.
3x - 2y = 1 |
2x + 3y = 0
3 / 3x - 2y = 1 1
9x - 6y = 3
2 / 2x + 3y = 0
+ 4x + 6y = 0
3
13x = 3 ^ x = —
2
ve y = - u ’tür.
3 2
z-1 = x + yi = — - ı ^ i bulunur.
1
3
2 A
9
6 . 6 .
4 .2
9
4
9+ 4
,.
z . z_1 = (3 + 2,)( l 3 - İ 3 ' ) = İ 3 - İ 3 ' + İ 3 ' - - İ 3 i = 1 3 + İ 3 = “ Ü T = 1 d lr
6. Çarpma İşlem inin Toplama İşlemi Üzerine Dağılma Özelliği
z 1, z2, z3 e C ve z 1 = a + bi, z2 = c + di, z3= e + fi olsun.
z 1 . (z2 + z3) = (a + bi) [(c + di) + (e + fi)]
= (a + bi) [ (c + e) + (d
+ f)i]
= (ac + ae - bd - bf) + (bc + be + ad +af)i’ dir. 1
z 1 . z2 + z 1 . z3 = (a + bi) (c + di) + (a + bi) (e + fi)
= (ac - bd) + (ad + bc)i + (ae - bf) + (af + be)i
= (ac - bd + ae -b f) + (ad + bc + af + be)i’dir.
2
1 ve 2 ’den z 1 . (z2 + z3) = z1 . z2 + z 1 . z3 olduğundankarrmaşık sayılarda çarpma işleminin top­
lama işlemi üzerine soldan dağılma özelliği vardır. Sağdan dağılma özelliğinin varlığını da siz gösteriniz
[(z2 + z3) . z1 = z2 . z1 + z3 . z1].
Karmaşık sayılar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
ÖRNEK
z 1 = 2 - 5i, z2 = 1 - i ve z3 = -3 + 2i ise z 1 (z2 + z3) işleminin sonucu bulalım.
Çözüm
z 1 = 2 - 5i, z2 = 1 - i ve z3 = -3 + 2i olduğuna göre,
z1 (z2 + za) = (2 - 5i)[(1 - i) + (-3 + 2i)]
= (2 - 5i)(1 - i - 3 + 2i) = (2 - 5i) (-2 + i)
= - 4 + 2i + 10i - 5i2
= - 4 + 12i - 5(-1) = 1 + 12i bulunur.
192
=
i
e t k in lik
A raç ve G ereçler: Dosya kâğıdı, kalem.
z1 ve z2 gibi iki karmaşık sayı yazınız.
1. z 1 sayısı için - z 1 z1 ve -z., sayılarını yazınız.
2. z 1 + z2 ve z1 + Z2 işlemlerini yapınız ve karşılaştırınız.
3. z 1 . z2
ve z1 . Z2
işlemlerinin sonuçlarını bulunuz.
4. Yukarıda 2 ve 3. maddelerdeki işlemlerden elde ettiğiniz sonuçlara göre yazılan eşitliklerin her
z 1, z2 ¥ € için yazılıp yazılamayacağını tartışınız.
Karmaşık Sayılarda Bölme İşlemi
BİLGİ
z 1, z2 ¥ € ve z2 t 0 için z 1 . z- 2 = z 1 . -1
karmaşık sayısına z 1 karmaşık sayısının z2 karmaşık
2
z1
sayısına bölüm ü denir. Bu bölüm — veya z 1 : z2 biçiminde gösterilir.
z2
z 1 = a + bi ve z2 = c + di ise — = a + bi ’ dir. Bu ifadenin pay ve paydasını z2 = c - di ile çarpalım:
z2 c + di
z1
—
z2
(a + bi)(c —di)
(ac + bd) + (b c -a d )i
ac + b d , b c - a d . . .
= e-TT-,------ r r = ------------^------;;---------- = ^
+
^
i
bulunur.
(c + d i)(c - d i)
c2 + d 2
c2 + d2
c2 + d2
ÖRNEK
z 1 = 3 + 4i ve Z2 = 2 - 3i ise z 1 : z2 işlemini yapalım.
Çözüm
f l = 3 + 4i = (3 + 4i) (2 + 3i)
z 1 :z 2 = z2
2 - 3 i (2 - 3 i) (2 + 3i)
6 + 9i + 8i + 12i2
6 + 17i -1 2
6
17.
= ---------4 T 9 -------------------- = --13--= - ^ + ^
olur.
ÖRNEK
z1 2
z 1 = 1 + 3i, Z2 = 2 - i ve z = e— O ise lm(z) değerini bulalım.
Çözüm
z
, 1 + 3 i\2
1 2 -i
(1 + 3i) (2 + i) l2
(2 - i)(2 + i) .
2+ i + 6i + 3i2 !2
4+ 1
/- 1 + 7i \2
48 _ t 4 i
25
25i
14
olduğundan lm(z) = _ — ’tir
25
193
1 - 14i + 49i2
25
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem.
z1 ve z2 gibi iki karmaşık sayı yazınız. Bu sayıları kullanarak
z1
z2
I. — ve —
z2
z1
işlemlerini yapınız.
z1 \
z1
—i ve z - işlemlerini yapınız ve elde ettiğiniz sonuçları karşılaştırınız.
' 2 '
nmi
/t
2
ALIŞTIRM ALAR
1 . Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. z1 = 1 - 3i, z2 = 3 + 5i ise z 1 + z2= .............
b. (a + 2b) + (a - 2)i = b + 3i ise a = .............ve b = .............
c. z1 = 2 - 2i, z2= -3 + 3i ise z1- z2 = ................
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D", yanlışsa “Y” yazınız.
a. z1 = 2 - 3i, z2 = 3 + 5i ise z 1 . z2 = 21 + i’dir. O
b. i + (i)2 + (i)3 + (i)4= 2i’dir.
c. a + 3 + 5bi = 7 - 15i ise a + b = 1’dir.
3. 3i4n+3 - 4i8n+2 + 5i12n+1 işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A. 8 +2i
B. -4 + 2i
C. -4 - 2i
D. 4 + 2i
E. 4 - 2i
4. z 1 = 1 + 2i ve z2 = 2 + 3i karmaşık sayılar veriliyor. Aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. z1 + z2
b. z 1 - z2
c. z 1 . z2
ç. z 1 :
z2
5. Aşağıdaki karmaşık sayıları a + bi biçiminde yazınız.
_
a.
6.
1- i
un
i9
--------- ----------- t
1+ i
_
3 - 2i
b. 2 - r c . ------- :—
i
_
ç.
v
i
1-i
Re(z) = -7 3 ve İm(z) = 73 olan karmaşık sayıyı yazınız.
7. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını a + bi biçiminde bulunuz.
a. (5-2i) + (-3 + 4i)
b. (2 - 5i) - (1 - i) - (-3 + i)
ç. -i(1 + 2i) - 2(1 + i)
d. (-1 - 3i) (2 + i)
f. (1 - i) (1 + i) (1 - 2i)
g. (2 - i)3
c. 4i (2i - 3)
e. (73 - 2i)2
h. (2 - 2i)4
8. Aşağıdaki karmaşık sayıların mutlak değerini bulunuz.
a. z = 5 - 12i
b. z = (1 - 2i) (2 + i)
c. z = j 3 2j
9. z - (1 + i) = z . (2 + 3i) eşitliğini sağlayan z sayısını bulunuz.
10. z + 5i = i . z + 1 eşitliğini sağlayan z sayısını bulunuz.
11. z = 2 - 3i sayısının çarpma işlemine göre tersini bulunuz.
194
ç. z = (1 - 73 i)2
10.6.1.3. İKİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMİN KÖKLERİ İLE
KATSAYILARI ARASINDAKİ İLİŞKİLER
tABİLGİ
ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri x 1; x2 ise x 1 + x2 = - ^
ve x 1 . x2 = -C’ dır.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
0
—b —/ 9
—b + - / a
ax2 + bx + c = 0 denkleminde; x 1 = ----- 2a----- ve x 2 = ----- 2a----- olduğundan
—
b —/ a —b + J a —b — / a — b + / a
—2b
b
x< + x 0 = ----- -------+ ------ -------= ------------- -------------- = — — = —— ve
1
2
2a
2a
2a
2a
a
x ı .x2 = e—b —
J . | —b
o = (—b — 9 ) ( - b + J 9 )
( A _ b2 - 4ac)
b2 — a
b2 — (b2 —4ac)
b2 — b2 + 4ac
4ac
c, ,
= ------ -------------------------------------------------------= — t = _ ’dır.
4a2
4a2
4a2
4a2
a
ÖRNEK
5x2 - 4x - 3 = 0 denklemi veriliyor. Bu denklemin kökleri x 1; x2 ise x 1 + x2 ve x 1 . x2 işlemlerinin
sayısal değerlerini bulalım.
Çözüm
5x2 - 4x - 3 = 0 denkleminde; a = 5, b = - 4 ve c = - 3’tür.
b
—4 4
c
—3
3 ,..
x 1 + x 2 = —— = — — = — ve x 1.x2 = — = —^ = —~^ ’tir.
1
2
a
5 5
1 2 a 5
5
ÖRNEK
2x2 - 4x + 3 = 0 denklemi veriliyor. Bu denklemin kökleri x 1, x2 ise aşağıdaki işlemleri hesaplayalım.
a. x 1 + x2
b. x 1. x2
c. -1- + -1*1
2
ç. (x1 - 8) (x2 - 8)
Çözüm
2x2 - 4x + 3 = 0 denkleminde; a = 2, b = - 4 ve c = 3’tür.
b
—4
.
c
3,. .
1 , 1
x2 + x 1
2
4,...
a. x 1 + x2 = ----- = — — = 2 ’dir.b. x 1 . x2 = — = —’dir. c . ----------- 1
------= ----------------------------’lur.
1
2
a
2
1 2 a
2
x 1 x2
x 1.x2
3
3
ç. (x1 - 8) (x2- 8) = x 1.x2 - 8x1 - 8x2 + 64
2
= x 1 . x2 - 8 (x1 + x2) + 64 = 3
— — 8 .2 + 64 = 3
— — 16 + 64 = 9
—9
2
2
2
ÖRNEK
5
(m + 2) x2 -2m x - 5 = 0 denkleminde x 1 + x2 = — ise m değerini bulalım.
Çözüm
(m + 2)x2 -
2mx
_- ^ = 5
x1 + x2 _ a = 2 ^
- 5=
0denkleminde a =m+2,b = -2m ve c = - 5 ’tir.
—2m = 5
m+ 2 = 2
5m + 10 _ 4m ^ 5m - 4m _ -1 0 ^ m _ -1 0 bulunur.
195
bulunur.
ÖRNEK
3
(m -3 )x2 - 9x + 2m - 7 = 0 denkleminde x 1 . x2 = — ise m değerini bulalım.
Çözüm
Verilen denklemde a = m - 3 , b = - 9 ve c = 2m - 7 ’ dir.
=
x1 . x2 = a = 2 ^
2m - 7 _ 3
m- 3 = 2
4m -1 4 = 3m -9 ^ 4m -3 m = - 9 + 14
m = 5 bulunur.
ÖRNEK
(4m + 1)x2 + (m - 2)x - 1 = 0 denkleminin kökleri simetrik (mutlak değerleri eşit) ise m’yi ve denk­
lemin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
(4m + 1)x2 + (m - 2)x - 1 = 0 denkleminin simetrik iki kökü varsa
x 1 = - x 2 yani x 1 + x2 = 0’dır.
b
m- 2
_
x 1 + x2 = -------------------------------- = 1
2
a
4m + 1
1
--- —= 0 ^ m * - — ve m = 2’ dir.
4
m = 2 için (4 . 2 + 1)x2 + (2 - 2)x - 1= 0
9x2 - 1 = 0 ^ x 1 = -3-, x 2 = - -3 ’tür.
3
3
Denklemin çözüm kümesi Ç = ' - 4-,-;r} bulunur.
33
ÖRNEK
1 1 5
------= — ise m’ nin alacağı değeri bulalım.
(m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 denkleminde----- 1
x1
x2 3
Çözüm
,
^ ^
.
2m
m+ 1,
(m - 1)x2 - 2mx + m + 1 = 0 ^ x 1 + x2 = -------— ve x, .x0 = -------- ’dir.
I 2
m- 1
1 2 m- 1
1 , 1
5
x 1+ x 2
5
.
----- 1
------= — ^ --------------= — ’tür. m * 1, m * -1 için
x 1 x2 3
x 1.x2
3
2m
m- 1 5
m+ 1
3
m- 1
2m
5
„
■= — ^ 6m = 5m + 5
m+ 1
3
m = 5’tir.
ÖRNEK
x2 -m x + 10 = 0 denkleminde Ix1 - x2İ = 3 ise m değerini bulalım.
Çözüm
- b + VA
- b - VA
,
x1 = ----- ------- , x 0 = ------ ------- ^ I:
1
2a
2
2a
x2İ =
- b+ /
2a
a
- b- / A
2a
2 /—
2a
^ — >d
dır.
IaI
x2 - mx + 10 = 0 denkleminde A = (-m )2 - 4 . 1 . 10 = m2 - 40 ^ 7 A = \/m 2 - 40 ’tır.
/ —
Ix1- x2I = 3 ^ y — =
i
2
- 40 = 3 ^ m2 - 40 = 9 ve m2 = 49 ^ m = + 7 bulunur.
196
Kökleri Verilen İkinci Dereceden Denklemi Oluşturma
— C BİLGİ -------------------------------------------------------------Çözüm kümesi Ç = {x1; x2} olan ikinci dereceden denklem x2 - (x1 + x2)x + x 1.x2 = 0 biçiminde
oluşturulur.
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
---------------------------------------------------------
b
c
• ax2 + bx + c = 0 denkleminde x 1 + x2 = - — ve x 1 . x2 = — olduğunu biliyoruz.
Verilen denklemin her iki tarafını a ilebölelim;
b
c
b
c
ax2 + bx + c= 0 ^ x2 + —x + — = 0 olur.Bu denklemde — ve — yerlerine denklemin kökleri
a
a
a
a
cinsinden eşitlerini yazalım.
b c
x2 + — xx ++ —
— = 0 ^ x2 - (x1+ x2)x + x 1 . x2 = 0 elde edilir. O hâlde, kökleri x 1ve x2 olan ikinci
a a
dereceden denklem x2- (x1 + x2)x + x 1. x2 = 0 biçiminde oluşturulur.
ÖRNEK
Kökleri x 1 = 4 ve X2 = -3 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazalım.
Çözüm
x 1 = 4 ve X2 = -3 ^ x 1 + x2 = 4 +
(-3) =
1 ve x 1 . x2 = 4 . (-3) = -1 2 ’dir.
x2 - (x1 + x2) x + x 1 . x2 = 0 ^ x2
- (1) . x + (-12) = 0
x2 - x - 12 = 0’ dır.
ÖRNEK
Kökleri x 1 = 5 -73, X2 = 5 + 73 olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazalım.
Çözüm
x 1 + x2 —(5 —73 ) + (5 + 73) —5 —73 + 5 + 73 —10 ve
x 1 . x2 —(5 - 73) (5 + 73)
—25 +
x2 - (x1 + x2) x + x 1 . x2 — 0 ^ x2
573 -
573 - 3 —22’ dir.
- 10x
+ 22 —0 bulunur.
ÖRNEK
2x2 + 3x -2 —0 denkleminin kökleri x 1 ve x2’dir. Kökleri x 1 + 4, x2 + 4 olan denklemi yazalım.
Çözüm
Yazılacak denklemin kökleri a —x 1 + 4, p —x2 + 4 olsun.
Kökleri a ve p olan ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem x2 - (a + p)x + a . p —0 biçimindedir.
b
3
c
2x2 + 3x -2 —0 denkleminde x 1 + x2 —----- = — ve x, .x0 = — = -1 ’ dir.
1 2
a
2
1 2
a
a —x 1 + 4 ve p —X2 + 4 ise a + p ve a . p değerlerini bulalım.
197
a + p = (x1 + 4) + (x2 + 4) = x 1 + x2 + 8 = - f— + 8
8== —
13 ve
. p = (x1 + 4) . (x2 + 4) = x 1 . x2 + 4x1 + 4x2 + 16
= x 1 . x2 + 4(x1 + x2) + 16 = -1 + 4( - ^ ) + 16 = -1 - 6 + 16 = 9’dur.
x2 -( a + p) x + a . p = 0 ^ x2 - (^
)x + 9 = 0 ve 2x2 - 13x + 18 = 0 bulunur.
ÖRNEK
x2 + 3x - 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x2’dir. Kökleri a = 3x1 + 5, p = 3x2 + 5 olan denklemi yazalım.
Çözüm
x2 + 3x - 1=0 denkleminde x 1 + x2 = -3 ,
x 1 . x2 = - 1 ’dir.
a + p = (3x1+ 5 ) + (3x2 + 5) = 3(x1 + x2) + 10 = 3 (—3) + 10 = 1
dir.
a . p = (3x1 + 5) (3x2 + 5) = 9x1x2 + 15x1 + 15x2 +25
= 9x1x2 + 15(x1 + x2) + 25
= 9(-1) + 15(-3) + 25 = -9 - 45 + 25 = -2 9 ’dur.
x2 - (a + p) x + a . p = 0 ^ x2 - x - 29 = 0 bulunur.
L ALIŞTIRM ALAR
1. Aşağıda verilen denklemlere göre noktalı yerleri doldurunuz.
a. 3x2 + 2x -1 = 0
denkleminde; x 1+ x2= ...........ve x 1 . x2 =
b. 4x2 - 5x - 3 = 0
denkleminde; x 1+ x2= ............ve x 1 . x2 = .
c. 2x2 + 7x + 3 = 0
denkleminde; x 1+ x2= ............ve x 1 . x2 = .
ç. 5x2 - x - 1 = 0 denkleminde; x 1 + x2= ............ ve x 1 . x2 = .
2. x2 + 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x 1, x2’ dir. Denklemin köklerini bulmadan aşağıda verilen
ifadelerin değerlerini hesaplayınız.
x1
x2
a. x2 x2 + x 1 x f b. (x1 + 2) (x2 + 2)
c.ç. 5x 1x2 - 4x1 - 4x2
3. 2x2 + x - 1 = 0 denkleminin kökleri x 1, x2 ise — 1------- 1
-----1—
1 2
2x1- 4
A. - 1
2
B. - 3
2
C. 1
işleminin sonucu kaçtır?
2x2- 4 yv
D. 1
2
E. 2
4. Toplamları 12, çarpımları 35 olan iki sayıyı bulmak için kurulan denklemi yazınız ve sayıları bu­
lunuz.
5. Aşağıda çözüm kümeleri verilen ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemleri yazınız.
a. {-2, 7}
b. {-4, -1 }
d. {1 - 7 3 1 + 73 >
e. j f , £ }
c. {0, 3}
f.
2
V 3 ’ /5
198
ç. {5}
+J3
6.
3x2 - 5x - 2 = 0 denkleminin kökleri x 1, x2’ dir.
1 2
denklemi yazınız.
Kökleri; a =— ve 6= — olan ikinci dereceden
x1
p
x2
7. 5x2 + 3x - 2 = 0 denkleminin kökleri x 1, x2’dir. Kökleri a = 5x1 ve 6 = 5x2 olan ikinci dereceden
denklemi yazınız.
8.
10x2 + x - 2 = 0 denkleminin kökleri x 1, x2’ dir. Kökleri a = 2x1 -1 ve 6 = 2x2 - 1 olan ikinci de­
receden denklemi yazınız.
9. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. mx2 - (m-1)x - 6 = 0 denkleminde x 1 + x2 = -1 ise m = ......
b. 3mx2 - x - m + 3 = 0 denkleminde — + — = -1 ise m = ......
x 1 x2
c. x2 + mx - 2m - 1 = 0 denkleminde Ix1 - x2İ = 4 ise m = ......
10.
Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y”
yazınız.
a. (m + 1)x2 - x - 5m - 1 = 0 denkleminde x 1 . x2 = - 3 ise m = 1’dir. Q
3
b. x2 - (2m - 3)x - 3m = 0 denkleminde kökler simetrik ise m = —’ dir. Q
c. x2 - (m + 3)x + 3m = 0 denkleminde x 1 = X2 ise m = 2’dir. ^
11. x2 - 2mx + 3m + 1 = 0 denkleminde köklerinin geometrik ortası ^ x 1^
j, köklerinin aritmetik ortası
/ x 1+ x 2 \
4
^— 2— ) ’ nın —’ i ise m değerini bulunuz.
12.
x2 + (m + 1)x - 5m = 0 ve x2 + mx - 4m = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak ise m’ nin alacağı
değerleri bulunuz.
13. x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 denkleminin kökleri arasında 5(x1 + x2) = 2x1.x2 bağıntısı varsa m kaçtır?
A. -1 0
14.
B. -9
C. 7
D. 8
E. 9
x2 - 3x + m = 0 ve x2 + x + m - 2 = 0 denklemleri veriliyor. Birinci denklemin köklerinden biri,
ikinci denklemin köklerinden birinin 2 katı ise m değerini bulunuz.
199
H
10.6.2.
İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİ
Birinci dereceden y = ax + b biçimindeki fonksiyonların grafikleri bir doğru; İkinci dereceden
f(x) = ax2 + bx + c biçimindeki fonksiyonların grafikleri de bir eğridir (paraboldür).
Aşağıdaki resimlerde görülen köprü kemerinin eğrisi de uydu iletişimini sağlayan çanak antenin
merkezinden geçen kesitine ait eğri de bir paraboldür.
Yanda ABD’ nin Missouri şehrinde bulunan ve gökku­
şağının benzeri olan bir anıt görüyorsunuz. Bu anıt parabo­
lik bir yapıdır. Bu anıtın kemer eğrisi bir paraboldür.
. J \ ililir
Hî.ı
' t *1 ’ « |
fi
.l;
10.6.2.1. İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONLAR VE GRAFİKLERİNİN ÇİZİMİ
İkinci Dereceden Bir Değişkenli Fonksiyon
•d
BİLGİ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
a, b, c e \R ve a * 0 olmak üzere,
f : \R ^ ffi, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonuna ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyon denir.
ÖRNEK
2
f(x) = (n - 3)xn -7 + 4x + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun n’ nin hangi değeri için ikinci dere­
ceden bir fonksiyon olacağını bulalım.
Çözüm
2
Verilen fonksiyon f(x) = (n - 3)xn -7 + 4x + 2 = ax2 + bx + c biçiminde ise n - 3 = a * 0 ve n2 - 7 = 2
olmalıdır.
n2 - 7 = 2 ^ n2 = 9 ve n = + 3’tür.
n = 3 ^ f(x) = (3 - 3) x9-7 + 4x + 2 = 4x + 2 ve
n = -3 ^ f(x) = (-3 -3 )x9-7 + 4x + 2 = -6 x 2 + 4x + 2 bulunur.
Buna göre verilen fonksiyon n = -3 için ikinci dereceden, n = 3 için birinci dereceden bir fonksiyon-
200
İkinci Dereceden Bir Değişkenli Foksiyonun G rafiğinin Tepe Noktası, Eksenleri Kestiği Noktalar
ve Simetri Ekseni
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun G rafiğinin Tepe Noktası
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
f(x) = ax2 + bx + c = a (x 2 + —x + —
AY
YA
y = ax2 + bx + c
=a
2 . b . / b \2
x
a x ( 2a)
T(r, k)
V V
- ► X -------- ,
/ b x2
( 2a
T(r, k)
b \2
2a
=a
4ac — b2
4a 2
b 2 4ac — b2
= a| x + —
+ ----- -------- ’dır.
1
2am
4a
b
4ac_b2
>2a = - r ve — 4a— = k alınırsa verilen fonksiyon, f(x) = a(x - r)2 + k şeklinde ifade edilir.
Bu fonksiyonda x = - — = r için f (r) = k =
4ac — b2
dır.
4a
x = r için elde edilen (r, f(r)) = (r, k) noktası fonksiyonun tepe noktasıdır.
T(r, k) = T(r, f(r)) = T ( _ A 4ac — b2 °’ dır.
2a
4a
a > 0 ^ a(x _ r)2 > 0 olduğundan f(r) = k fonksiyonun en küçük değeridir.
a < 0 ^ a(x _ r)2 < 0 olduğundan f(r) = k fonksiyonun en büyük değeridir.
ÖRNEK
f(x) = - x 2 + 8x + 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun tepe noktasını bulalım.
Çözüm
b 4ac — b2
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiğinin tepe noktası T(r,k) = T( —— , — — — l’dır.
I. Yol
a = - 1, b = 8 , c = 2 olduğundan
b
8
r = _ ^ — = _ ^ , „, = 4
2a
2.(_1)
ve
4ac — b2 4.(_1).2 —82
_8 — 64_72
k = ----- -------= ------- ~ —----- = ------- — = — — = 18’ dir.
4a
4. (_1)
_4
_4
Fonksiyonun tepe noktası T(r, k) = T(4, 18) bulunur.
Verilen fonksiyonda a = -1 < 0 olduğundan k = 18 fonksiyonun en büyük değeridir.
201
-►X
II. Yol
Verilen fonksiyonu f(x) = a(x - r)2 + k biçiminde yazalım:
f(x) = - x 2 + 8x + 2 = -(x 2 - 8x -2 ) = -(x 2 - 8x + 16 - 16 - 2)
= - (x-4)2 + 18 = a(x - r)2 + k eşitliğinden
T(r, k) = T(4, 18) bulunur.
ÖRNEK
f(x) = x2 - 6x + 9 fonksiyonun tepe noktasını bulalım.
Çözüm
f(x) = x2 - 6x + 9 = (x - 3)2’ dir. f(x) = (x - 3)2 = a(x - r)2 + k ise
a = 1 > 0, r = 3 ve k = 0’dır. T(r, k) = T(3, 0) bulunur.
Fonksiyonun en küçük değeri f(r) = k = 0’dır.
ÖRNEK
Yandaki grafik, avcıların atış antrenmanlarında kullan­
dıkları bir hedefin aldığı yolu göstermektedir. Hedefin atıldı­
Hedefin
düştüğü
nokta
ğı nokta orijin ve hedefin aldığı yolun denklemi de
y = x - -80 x2 olduğuna göre;
a. Avcı tarafından vurulamayan bir hedefin yere düştü­
Hedefin atıldığı
nokta
ğü noktanın fırlatma noktasına olan uzaklığını bulalım.
►X
b. Fırlatılan hedefin yerden en fazla ne kadar yüksel­
diğini bulalım.
Çözüm
a. y = f(x) = x - -1 x2 fonksiyonunda x = 0 ^ f(0) = 0'dır.
80
y = 0 ^ x— 1—x 2 = 0 ve x ( 80 x ) = 0 denkleminden x 1 = 0, x2 = 80 bulunur.
*
80
V 80 /
1
2
Buna göre vurulamayan hedefin düştüğü A noktasının fırlatma noktasına olan uzaklığı 80 br'dir.
b. Tepe noktası T(r, k) ^ r =
2a
= --------- 1 _
1
2( 8 0 )
1
= 40’tır.
1
40
k = f(r) = f(40) = 40 - -80 402
= 40 - -ztt . 1 600 = 40 - 20 = 20’dir.
80
Buna göre hedef yerden 20 br yükselmiştir.
202
f(x) = ax2 + bx + c Fonksiyonunun G rafiğinin Eksenleri Kestiği N oktalar ve Simetri Ekseni
=
I
E T K İN L İK -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem.
a.
f(x) = x2 - 4x - 12 fonksiyonunun eksenleri kestiği noktaları ve simetri ekseninin denklemini
bulalım.
• x = 0 için f(0) değerini bulunuz. (0,f(0)) noktası, f fonksiyonunun grafiğinin hangi ekseni kestiği
noktadır?
• y = 0 için x2 - 4x - 12 = 0 denkleminin köklerini bulunuz. Denklemin kökleri x 1 ve x2 ise (x1, 0),
(x2, 0) noktaları, f fonksiyonunun grafiğinin hangi ekseni kestiği noktalardır?
x 1+ x 2
Denkleminin kökleri x 1 , x2 iken x 1 + x2 değerini,
• Koordinat sistemi üzerinde; (x1, 0), (x2, 0) ve
b
ve - "2a = r değerini bulunuz.
(r1, 0) noktalarını gösteriniz. (x1, 0) ile (x2, 0)
noktasının (r, 0) noktasına göre simetrik olup olmadığını belirtiniz.
• x = r=-
2a
doğrusunun, f fonksiyonunun grafiğinin (parabolün) simetri ekseni olduğunu fark
ettiniz mi?
b.
Benzer şekilde, f(x) = x2 - 4x + 4 ve f(x) = x2 + 2x + 6 fonksiyonlarının eksenleri kestiği nok­
taları ve simetri eksenlerinin denklemlerini bulunuz.
ÖRNEK
f:R ^
R, f(x) = x2 + 6x - 1 fonksiyonu verili­
yor.
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun
grafiğinin simetri ekseni x = - -2^
a.
f fonksiyonunun grafiğinin eksenleri kestiği
doğrusudur.
noktaları ve simetri ekseninin denklemini bulalım.
b. x = -2 için A(-2, n) noktasının x = r doğrusu­
na göre simetriği olan a 1noktasının f fonksiyonunu sağladığınıgösterelim.
Çözüm
a. f(x) = x2 + 6x - 1 fonksiyonunda,
• x = 0 ^ f(0) = - 1 ’ dir. (0, -1 ) noktası f fonksiyonun grafiğinin y eksenini kestiği noktadır.
y = 0 ^ x2 + 6x -1 = 0 ve A = b2 -4ac = 62 - 4 . 1. (-1) = 36 +
4 = 40,
-b
-6 - 7 4 0
-6 - 2 / ^
n
^
-6 + 2 /1 0
n ,
x = -----z------ = ------— ----- = -------— ------ = -3 - V 10 ve x 0 = -------- -------- = - 3 + 710
2.1
2.1
2a
Grafiğin x eksenini kestiği noktalar; (-3 -710, 0) ve (-3 + 710, 0)’ dır.
•r=
2a
= - - 6 - = - 3 ’tür. x = -3 doğrusu simetri eksenidir.
2.1
a
b. x = -2 ^ f(-2) = (-2)2 + 6 . (-2) + 1 = 4 - 12 - 1 = - 9 ’ dur.
A(-2, -9 ) noktası f fonksiyonunun elemanıdır. Bu nokta f fonksiyonu­
nun grafiği üzerindedir.
Bu noktanın x = -3 doğrusuna göre simetriğini bulalım:
203
dur.
1 azalır
Yandaki açıklamaya göre A(-2, -9 ) noktası­
nın x = - 3 doğrusuna göre simetriği A'(-4, -9 ) nok­
tasıdır.
x
sı-
1 azalmış
x = -3
A'(-4, -9)
A(-2, -9)
x = - 4 için f(-4) = (-4 )2 + 6(-4) -1
değişmez
= 16 - 24 - 1 = - 9 ’ dur.
O hâlde. A '(- 4, - 9) noktası f fonksiyonunun grafiği üzerindedir.
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
1. Yandaki köprü modelini dosya kâğıdına çiziniz.
Köprünün 1. ayağını y ekseni, yolu da x ekseni
kabul edip bir koordinat sistemi çiziniz.
Bu durumda, köprü üzerindeki kemer çizgisinin
x2
denklemi f(x) = x - — fonksiyonun grafiği ola­
rak kabul edilirse;
a. Köprü ayakları arasındaki uzaklığı bulunuz.
b. Kemerin tepe noktasının yola olan uzaklığını bulunuz
1. f :
^
2. f :ffi ^
f(x) = 2x2 - 6x + 3 fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.
f(x) = -3 x 2 - 12x + 4 fonksiyonunun en büyük değerini bulunuz.
3. Aşağıdaki tabloda boş yerleri doldurunuz.
Grafiğin eksenleri kestiği noktalar
Fonksiyon
f(x) = ax2 + bx + c
Tepe noktası
Simetri
ekseni
T, n
b 4ac-b2 \
T(r.k) = T i - 2a, 4a 1
b
x = r = ——
2a
f(x) = 2x2 + 4x + 2
f(x) =-3x2 + 4x + 2
f(x) = 2x2 + 4x
f(x) = 5x2 + 10
f(x) = 4x2
f(x) = 3(x-2)2
f(x) = 2(x + 1)2 + 3
f(x) = (x - 2) (x + 3)
f(x) = x2 - 4
204
y eksenini
kestiği nokta
x eksenini
kestiği noktalar
(0, y)
(xv 0), (x2, 0)
İkinci Dereceden Fonksiyonların G rafiklerinin Çizimi
=
C
BİLGİ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Analitik düzlemde, f= {(x, y): y= ax2 + bx + c, a, b, c, x G [R ve a * 0} kümesinin elemanlarına kar­
şılık gelen noktaların kümesine f fonksiyonunun grafiği; ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyonların
grafiklerine de parabol denir.
• Çay bardağına konulan şekerin erimesi için yapılan karıştırmada çay bardağındaki çayın aldığı
şekil (çayın konumu) bir parabol eğirisinin ekseni etrafında dönmesi ile oluşan şeklin benzeridir.
• Aşağıdaki 1. şekilde topun; 2. şekilde de hortumdan çıkan suyun izlediği yollar birer parabol par­
çasıdır.
Parabol parçası
Parabol parçası
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
---------------------------------------------------------
y = ax2 + bx + c, y = a(x - r)2 + k ve y = a(x - x 1) (x - X2) şeklinde verilen ikinci dereceden fonk­
siyonların grafikleri çizilirken aşağıdaki işlemler sıra ile yapılır.
1. Grafiğin tepe noktası bulunur.
2. Grafiğin eksenleri kestiği noktalar bulunur.
3. Değişim tablosu yapılır. Tablonun yatay çizgisinin üst kısmı sayı doğrusu olarak alınır. Bu sayı
doğrusunun sol uç noktası eksi sonsuz ( - »); sağ uç noktası da artı sonsuz (+ ») simgeleri ile be­
lirtilir. Bulunan özel noktalar bu tablo üzerinde gösterilir. Fonksiyondaki değişimler (artan ve azalan
olduğu bölgeler) tablo üzerinde f ya da ^ biçiminde oklarla belirtilir.
4. Simetri ekseninin denklemi bulunur.
5. Fonksiyonun grafiği a’ nın işaretine göre y ekseninin “ +” ya da “- ” tarafından başlanarak özel
b
noktalardan geçirilip x = r = ---------doğrusuna göre (simetri eksenine göre) simetrik çizilir.
2a
I.
^ ffi, f(x) = ax2 + bx + c Biçimindeki Fonksiyonların Grafikleri
ÖRNEK
f:
^ ffi, f(x) = x2 + 2x - 3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
Verilen fonksiyonun grafiğini çizmek için yukarıda belirtilenleri sıra ile yapalım.
205
1. Tepe noktasının koordinatları:
b
2
T (r, k) = T(r, f(r))’dir. r = = -1 ve
2a
2 1
k = f(r) = f(-1) = (-1)2 + 2 . (-1) -3 = 1 - 2 - 3 = - 4 ’tür. T(-1, -4 ) bulunur.
2. Eksenleri kestiği noktalar:
x = 0 ^ f(0) = - 3’tür. Parabol y eksenini (0, -3 ) noktasında keser.
y = 0 ^ x2 + 2x - 3 = 0
(x - 1) (x + 3) = 0 ^ x 1 = 1 veya x2 = - 3’tür.
Y
Parabol x eksenini (-3, 0), (1, 0) noktalarında keser.
3. Değişim tablosu:
■TO -3
x
y = f(x) + TO 0
1
\
-4
Tepe
noktası
1
+ TO
0
+ to
4. Simetri ekseni x = -1 doğrusudur.
5. Grafiğin çizimi yanda yapılmıştır. İnceleyiniz.
ÖRNEK
f : R ^ R, f(x) = - x 2 + 4x + 5 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
f : R ^ R, f(x) = - x 2 + 4x + 5 fonksiyonunda;
1. Tepe noktasının koordinatları:
b
4
2a
2(-1)
= 2 ve k = f(2) = - (2)2 + 4 . 2 + 5 = - 4 + 8 + 5 = 9’dur.
T(r, k) = T(2, 9) bulunur.
2. Eksenleri kestiği noktalar:
x = 0 ^ f(0) = 5’tir. Parabol y eksenini (0, 5) noktasında keser.
y = 0 ^ - x 2 + 4x + 5 = 0 ^
Y
-(x 2 - 4x - 5) = - (x + 1) (x - 5) = 0
x 1 = -1 veya x2 = 5’tir.
Parabolün x eksenini kestiği noktalar (-1, 0), (5, 0)’dır.
3. Değişim tablosu:
y = f(x) -
to
-1
2
to
0
9
^
5
+ to
0
— 00
Tepe
noktası
4. Simetri ekseni x = 2 doğrusudur.
5. Grafiğin çizimi yanda yapılmıştır. İnceleyiniz.
II. R ^ R, f(x) = ax2 Biçimindeki Fonksiyonların Grafiği
y = ax2 fonksiyonunda b = c = 0 olduğundan tepe noktası T(0, 0) ve simetri ekseni denklemi x = 0
olan doğrudur. Yani y eksenidir.
206
ÖRNEK
a.
Aşağıda y = x2, y = 2x2 ve y = -1x2 fonksiyonlarının grafikleri aynı koordinat sisteminde çizilmiş­
tir. İnceleyiniz.
f(x) = ax2 fonksiyonunda a > 0 için a sayısı artarak değişirse parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
Azalarak değişirse parabolün kolları y ekseninden uzaklaşır.
1
b. y = - x 2, y = -3 x 2, y = ---------- x2 fonksiyonlarının grafikleri de aşağıda aynı koordinat sisteminde
2
çizilmiştir. İnceleyiniz.
Y
x
—w
-1
y = -x 2
—w
—1 ^ 0
—1 ^4. —w
y = -3x2
—w ^
—3
0
—3 ^ —w
1 2
y = -----x
4
—w ^ —
4
0
0
Tepe
noktası
—1
+w
1
---4
—w
f(x) = ax2 fonksiyonunda a < 0 için a sayısı artarak değişirse parabolün kolları y ekseninden uzak­
laşır. Azalarak değişirse parabolün kolları y eksenine yaklaşır.
III. R ^
R, f(x) = ax2 + c Biçimindeki Fonksiyonların Grafikleri
• y = ax2 + c fonksiyonunda b = 0 olduğundan tepe noktası T(0, c)’dir.
• Simetri ekseni y eksenidir.
• Parabol y eksenini T(0, c) noktasında keser.
ÖRNEK
R ’ den R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çizelim.
a. y = 2x2 + 1
b. y = - x 2 + 2
Çözüm
a. • y = 2x2 + 1 fonksiyonunda tepe noktası T(0, 1)’dir.
• x = 0 ^ y = 1’dir. Fonksiyonun grafiği y eksenini (0, 1) noktasından keser.
• y = 0 ^ 2x2 + 1 = 0 denkleminin gerçek kökleri yoktur. Fonksiyonun grafiği x eksenini kesmez.
Simetri ekseni y eksenidir.
207
Y
x
y = 2x2 + 1
_ ro
0
+ ro
+ ro
1
+ ro
Tepe
noktası
b. • y = - x 2 + 2 fonksiyonunda tepe noktası T(0, 2)’ dir.
• x = 0 ^ y = 2’dir. Grafik y eksenini (0, 2) noktasından keser.
• y = 0 ^ - x 2 + 2 = 0 denkleminden, x 1 = - ^ , x2 = ^
noktasından keser. Simetri ekseni y eksenidir.
bulunur. Grafik x eksenini ( - ^ , 0), ( ^ , 0)
Y
ÖRNEK
ffi’den ffi’ye y = x2 + 3x fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
y = x2 + 3x fonksiyonunda a = 1, b = 3 ve c = 0’dır.
Tepe noktasının koordinatları
k=
b
3
3
2a
2 .1
2
4ac _ b2
0_ 9
9
4a
4 .1
4
T | —2 , —9
1 2’ 4
-’tür.
Grafiğin y eksenini kestiği nokta,
x = 0 için y = 0 ^ 0(0, 0)’dır.
Grafiğin x eksenini kestiği noktalar,
y = 0 için x2 + 3x = 0 ^ x(x + 3) = 0 ve
x = 0 veya x = - 3 ’tür. 0(0, 0), A(-3, 0)’dır.
x
y = f(x) = x2 + 3x
_ ro
_3
+ ro
0
3
2
0
9
0 ^
_ 4
Tepe noktası
208
+ ro
+ ro
V. R ^ R, f(x) = a(x - r)2 Biçimindeki Fonksiyonların Grafikleri
ÖRNEK
R ^ R ’ye tanımlı aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çizelim.
a. f(x) = 2(x - 1)2
b. f(x) = - (x + 2)2
Çözüm
f(x) = a(x - r)2 biçimindeki fonksiyonların tepe noktaları x ekseni üzerindedir. Eğrileri x eksenine
teğet olup tepe noktaları T(r, 0)’ dır.
a. y = 2(x - 1)2 fonksiyonunda, T(r, k)= T(1, 0)’dır.
G rafiğin eksenleri kestiği noktalar
x = 0 ^ y = 2(0 - 1)2 = 2’dir. Grafik y eksenini A(0, 2) noktasında keser.
y = 0 için 2(x - 1)2 = 0 denkleminin kökleri x 1 = X2 = 1’dir.
Grafik x eksenine (1, 0) noktasından teğettir. Bu nokta, parabolün tepe noktasıdır. Aşağıda değişim
tablosu yapılmış ve grafiği çizilmiştir.
x
- TO
y = f(x)
+ TO
^
0
1
+ TO
2
0
Tepe
noktası
+ to
b.
y = f(x) = - (x + 2)2 fonksiyonu a seçeneğinde verilen fonksiyonun benzeridir. Bu fonksiyon da
a < 0’ dır. Aşağıda bu fonksiyonun değişim tablosu yapılmış ve grafiği çizilmiştir.
AY
x
— 00
y = f(x)
— 00
0
S
X
+ TO
0
Tepe
noktası
A(0, -4)
y = -( x + 2)2
VI. R ^ R, f(x) = a(x - r)2+ k Biçimindeki Fonksiyonların Grafikleri
ÖRNEK
R ^ R ’ye tanımlı aşağıda verilen fonksiyonların grafiklerini çizelim.
a. f(x) = (x - 2)2 + 4
b. f(x) = - 2(x + 1)2 + 8
Çözüm
a. f(x) = (x - 2)2 + 4 fonksiyonunda T(r, k) = T(2, 4)’tür.
x = 0 ^ y = (0 - 2)2 + 4 = 4 + 4 = 8’dir. Grafik y eksenini A(0, 8) noktasında keser.
y = 0 ^ (x - 2)2 + 4 = 0’ dır. Bu denklemin [R’de çözüm kümesi 0 ’ dir.
Grafik x eksenini kesmez.
Aşağıda değişim tablosu yapılmış ve yanda grafiği çizilmiştir.
y = f(x)
TO
0
2
+ TO
+ to
8
4
Tepe
noktası
+ TO
209
^ X
b. f(x) = -2 (x + 1)2+8 = a(x - r) 2 + k fonksiyonunda T(r, k) = T(-1, 8)’dir.
• x = 0 ^ y = -2(0 + 1)2 + 8 = -2 + 8 = 6’dır. Grafik y eksenini A(0, 6) noktasından keser.
• y = 0 ^ -2 (x + 1)2 + 8 = 0 ^ -2 x 2 -4 x + 6 = 0’dır.
Bu denklemin kökleri; -2 (x 2 + 2x -3 ) = 0 ^ (x + 3) (x - 1) = 0 ^ x 1= -3 veya x2 = 1’ dir. Grafik
x eksenini (-3, 0) ve (1, 0) noktalarında keser.
Aşağıda değişim tablosu yapılmış ve yanda grafiği çizilmiştir.
x
y = f(x)
- ~
0
-1
0
1
8
6
0
-
Tepe
noktası
VII. R ^ R, f(x) = (x - x 1) (x - x2 ) Biçimindeki Fonksiyonların Grafikleri
ÖRNEK
R ’den R ’ye f(x) = (x + 3) (x - 2) fonksiyonunun grafiğini çizelim.
Çözüm
f(x) = (x - 3) ( x + 2) fonksiyonunda:
• x = 0 ^ f(0) = (0 + 3) (0 - 2) = - 6 ’dır. Grafiğin y eksenini kestiği nokta (0, -6 )’dır.
• y = 0 ^ (x + 3) (x - 2) = 0 ve x 1 = -3 veya x2 = 2’ dir. Grafik x eksenini (-3, 0) ve (2, 0) noktalarında keser.
b _ x 1+ x 2 _ - 3 + 2
_ - f d , k _ f( - 2 ) _ ( - * + 3 ) ( - j - 2 ) _
2a _
2
_
2
_ - f '. C ,
Çizimi
^
$ H E T K İN L İK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem, Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
1. Geogebra yazılım programını açınız. Açılan sayfanın sağında perspektifler başlığı altındaki
“cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız. Sayfanın altındaki giriş bölümüne a = 1 yazıp “enter” tuşunu
tıklayınız. Aynı işlemi b = 1 ve c = 1 yazarak yapınız.
210
• Cebir penceresinde oluşan a = 1, b = 1 ve c = 1 ifadelerinin önlerindeki “o” simgelerini sıra ile
tıklayınız. Her tıklamada grafik bölümünde sürgüler oluşacaktır.
• Üstteki araç çubuğu bölümünde üzerinde ok bulunan ilk düğmeyi tıkladıktan sonra sıra ile sürgü­
ler üzerine gelerek tıklayınız ve her sürgüyü sağa kaydırınız.
• Giriş bölümünü tıklayarak “ a*xA2 + b*x + c” cebirsel ifadesini yazacağız.
• Giriş bölümüne a yazıp ? tuşunu tıklayınız. x yazıp büyük harf seçeneğini basarak 3’ ü iki kez
tıklayınız. x’ in üzerinde oluşan AA simgelerinden birini silip 2 yazınız. Sonra + b* x + c ifadesini
yazarak “enter” tuşunu tıklayınız. Cebir penceresinde yazılı olan f(x) = 1x2 + 1x + 1 fonksiyonunun
grafiğini çizmiş oldunuz.
• Araç çubuğundaki üzerinde ok bulunan düğmeyi tıkladıktan sonra, sürgüler üzerindeki noktaları
tıklayarak her sürgüyü sağa ya da sola kaydırdığınızda cebir penceresindeki denklem hem de
parabol eğrisi dinamik olarak değişir.
•
c = 0 olduğunda grafik nereden geçiyor.
•
b = 0 olduğunda nasıl bir fonksiyon elde ettiniz?
•
Hangi durumlarda parabol x eksenini kesiyor ya
da kesmiyor?
•
Parabolün x eksenini kestiği noktaların f(x) = 0
denkleminin kökleri olduğunu hatırlayınız. Cebir
penceresinde gördüğünüz cebirsel değişiklikleri
çizim alanında da görünüz.
•
Parabol x eksenine teğet olduğunda oluşturduğu­
nuz denklemde b2 - 4ac ifadesini hesaplayınız.
•
a < 0 içinde uygulamalar yapınız.
•
a = 1,
b = 4 ve c = 4 olduğunda oluşan grafiğidosya kâğıdına da çiziniz. Ayı bulunuz.
2. Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan, “cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız.
• Giriş bölümüne aşağıda verilen fonksiyonları sıra ile yazıp “ enter” tuşunu tıklayarak grafiklerini
çiziniz.
•
Her grafiğin eksenleri kestiği noktaları belirtiniz.
a. y = x2 - 4
b. y = x2 + x - 6
ç. y = x2 - 4x + 4
d. y = - x 2 + 2
c. y = x2 + 2
e. y = 2x2 - x - 6
ALIŞTIRM ALAR
1.
R’den R’ye tanımlı, aşağıda verilen foksiyonların grafiklerini çiziniz.
a. y = -3 x + 2
b. y = -1 x 2
c. y = -3 x 2
ç. y = x2 - 1
d. y = x2 + 1
e. y = -2 x 2 + 3
f. y = (x - 1)2
g. y = (x + 1)2
h. y = -(x - 2)2
ı. y = (x + 1)2 - 2
i. y = 2(x - 2)2 + 3
j. y = -2(x - 1)2 + 4
k. y = x2 - 4x + 3
l. y = x2 + 2x + 4
m. y = - x 2 - 2x + 1
211
G rafiği Üzerinde Tepe Noktası İle Herhangi Bir Noktası Verilen İkinci Dereceden Fonksiyonu
Oluşturma
ÖRNEK
Tepe noktası T(1, -4 ) olan ve A(4, 5) noktasından geçen ikinci dereceden fonksiyonun denklemini
yazalım.
Çözüm
Tepe noktası T(r, k) olan parabolün denklemi;
y = f(x) = a(x - r)2 + k’dir.
T(1, - 4) ^ f(x) = a(x -1 )2 - 4’tür.
Parabol A(4, 5) noktasından geçtiğinden bu nokta parabolün denklemini sağlar.
f(4) = 5’tir. A(4.5) ^ 5 = a(4 - 1)2 - 4
5
= a . 9 - 4 ^ 9a = 9 dan. a = 1’dir.
f(x) = a(x - 1)2 - 4 = 1 . (x - 1)2 - 4 = x2 - 2x
+ 1- 4
= x2 - 2x - 3 bulunur.
ÖRNEK
Denklemi. f(x) = (m + 2)x2 - 2mx + m - 4 olan parabol x eksenine teğet ise m’ nin değerini ve tepe
noktasının koordinatlarını bulalım.
Çözüm
Parabolün tepe noktası x ekseni üzerinde ise T(r, k) = T(r, 0) ve f(x) = 0 denkleminde A = 0 olmalıdır.
(m + 2)x2 - 2mx + m - 4 = 0 denkleminde;
A = b2 - 4ac = (-2m )2 - 4(m + 2) (m - 4)
= 4m2 -4 (m 2 - 2m - 8) = 4m2 - 4m2 + 8m + 32
= 8m + 32’dir.
A = 0 ^ 8m + 32 = 0 dan. m = - 4 bulunur.
m = -4 ^ f(x) = (-4 + 2)x2 - 2(-4)x - 4 - 4
f(x) = -2 x 2 + 8x - 8
f(x) = -2 (x2 - 4x + 4) = -2 (x - 2)2’ dir.
Bu fonksiyon f(x) = a(x - r)2 biçiminde olduğundan T(r, k) = T(2. 0)’dır.
G rafiği Verilen İkinci Dereceden Denklemin Cebirsel İfadesi
ÖRNEK
Yanda grafiği verilen fonksiyonun (parabolün) denklemini yazalım.
Çözüm
Yanda grafiği verilen fonksiyonun tepe noktası ile grafiğin y eksenini kestiği
nokta verilmiştir. Bu fonksiyonun denklemi;
A(0, 3)
y = f(x) = a(x - r)2 + k biçimindedir.
♦►X
T(r, k) = T(1 .5) ^ y = a(x - 1)2 + 5’tir.
A(0. 3) noktası parabolün üzerinde olduğundan bu nokta y = a(x - 1)2 + 5
denklemini sağlar. x = 0 için y = 3’tür.
3 = a(0 - 1)2 + 5 ^ 3 = a + 5 ten. a = - 2 ’dir. Burdan.
f(x) = -2 (x - 1)2 + 5 ya da f(x) = -2 (x2 - 2x +1)+5 = -2 x 2+4x-2+5
= -2 x 2 + 4x + 3 bulunur.
212
ÖRNEK
Şekilde, f(x) = x2 - 4x + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir. IABI = 10 ise
c’ nin değerini bulalım.
Çözüm
I. Yol
f(x) = x2 - 4x + c ise r = — — = 2’dir.
2a
_b_
r=
= 2
x 1 + x2 = 4’tür. 1
2a
IABI = 10 ^ Ix1l + x2 = 10’ dur. Yani - x 1 + x2 = 10 olur. 2
1
ve 2 denkleminin ortak çözümünden x 1 = -3 , x2 = 7 bulunur. Buna göre A(-3, 0) ve B(7, 0)’ dır.
Bu noktalar fonksiyonun denklemini sağlar.
A(-3, 0) ^ 0 = (-3)2 - 4(-3) + c den, c = -21 bulunur.
II. Yol
/a
IABI = Ix2 _ x 1I = ^r r r = 10 ^
lal
J 16 — 4c
,
1
= 10
^ 16 - 4c = 100
-4 c = 100 - 16 = 84 ^ c= -21 bulunur.
ÖRNEK
y = f(x) = (m - 3)x2 + (m _ 2)x + m _ 1 fonksiyonu veriliyor. A(_2, 3) noktası bu fonksiyonun grafiği
üzerinde ise m değerini ve fonksiyonun denklemini bulalım.
Çözüm
A(_2, 3) noktası verilen fonksiyonunun denklemini sağlar.
A(-2, 3) ^ 3 = (m - 3)(-2)2 + (m _ 2) . (_2) + m _ 1
3 = 4m - 12 - 2m + 4 + m - 1
3
= 3m - 9 ^ 3m = 12 ve
m = 4’tür.
m = 4 ^ y = (4 - 3)x2 + (4 - 2)x + 4 - 1 = x2 + 2x + 3 bulunur.
Birisi y Ekseni Üzerinde Olmak Üzere Üç Noktadan Geçen İkinci Dereceden Fonksiyonu
Oluşturma
ÖRNEK
A(_3, 7), B(0, _8) ve C(3, _5) noktalarından geçen parabolün denklemini yazalım.
Çözüm
Parabolün denklemi y = ax2 + bx + c ise A, B ve C noktaları bu denklemleri sağlar.
A(-3, 7) ^ 7 = a . (-3)2 + b . (-3) + c ^ 9a - 3b + c = 7’dir. 1
B(0, -8 ) ^ -8 = a . 0 + b . 0 + c ^ c = - 8 ’dir.
C(3, -5 ) ^ -5 = a .(3)2 + b . 3 + c ^ 9a + 3b + c = - 5 ’tir. 2
c = -8 değerini 1 ve 2 denklemlerinde yerine yazalım.
c = -8 ^ 9a - 3b -8 = 7
9a + 3b - 8 = -5
^
9a -3 b = 15
^
9a + 3b = 3
18a = 18 ^ a = 1’dir.
a = 1 ^ 9 . 1 + 3b = 3 ^ 3b = 3 - 9 = -6 ^ b = - 2 ’dir.
f(x) = ax2 + bx + c = 1 . x2 - 2x - 8 = x2 _ 2x _ 8 bulunur.
213
ÖRNEK
Yanda grafiği verilen ve A(-3, 0), B(1, 0), C(0, -3 ) noktalarından geçen
parabolün denklemini bulalım.
Çözüm
A
-3 \
Parabolün eksenleri kestiği noktalar belli olduğundan fonksiyonun
denklemi
y = a(x - n) (x - m) biçiminde yazılabilir.
T
Şekle göre, n = x 1 = -3 , m = X2 = 1 olduğundan y = a(x + 3)(x - 1) biçimindedir. (0, -3 ) noktası grafik
üzerinde olduğundan bu nokta parabol denklemini sağlar.
-3 = a(0 + 3) (0 - 1) den, -3 = -3a ^ a = 1’dir.
Buna göre parabolün denklemi f(x) = 1 . (x + 3) (x - 1) veya f(x) = x2 + 2x - 3 bulunur.
=
F
e t k in lik
Araç ve Gereçler: Dosya kağıdı, cetvel, kalem, Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
x2
x2
1. y = — - x + 5 ile y = — — + x + 5 fonksiyonlarının grafiklerini aynı koordinat sisteminde çiziniz.
İki parabolün arasında kalan bölgeyi boyayarak bir logo oluşturunuz.
2. Geogebra yazılım programını açınız. Sağdan, “cebir ve grafik” seçeneğini tıklayınız. Giriş böx2
x2
x2
lümüne sıra ile y = —— x + 5, y = — + x + 5 ve y = — — + 5 fonksiyonlarını yazarak grafiklerini
8
8
8
aynı koordinat sisteminde çizdiriniz.
Aynı fonksiyonların grafiklerini dosya kâğıdına da çiziniz. Paraboller arasında kalan bölgeleri bo­
yayarak bir logo oluşurunuz.
=
A L IŞ T IR M A L A R ----------------------------------------------------------------
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Tepe noktası T(-2, -3 ) olan ve A(0, 1) noktasından geçen parabolün denklem i.............
b. y = x2 - (3m - 1)x + 5 parabolün tepe noktasının apsisi 4 ise m = .............
c. y = x2 - 8x - 5 fonksiyonun simetri ekseninin denklemi x = .............
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
a. y = x2 + mx + n parabolü A(1, -6), B(2, -4 ) noktalarından geçiyorsa m . n = 6’dır. Q
b. y = x2 - 4x + 6 fonksiyonun simetri ekseni parabolü (2, 1) noktasından keser. O
c. y = (m - 1)x2 - (m - 3)x - 5m -1 fonksiyonun grafiğini A(-1, 10) noktasından geçiyorsa m = -5 ’tir.
3. Aşağıda grafikleri verilen parabollerin denklemlerini noktalı yerlere yazınız.
214
4.
Eksenleri; A(0, 2), B(1, 0) ve C(2, 0) noktalarında kesen parabolün denklemini yazınız.
5. Aşağıdaki parabol grafiklerinde a ve t değerlerini noktalı yerlere yazınız.
AY
b.
y = a(x + 1)(x - 3)
a = .....
3
-► X
y = a(x + 4)(x - 1)
a = ........
►X
6. y =
a.
b.
c.
3x2 - (m - 2)x - 4m - 2 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiği;
m’ nin hangideğeri için orijinden geçer?
m’ nin hangideğeri için x eksenini x = - 2 ’ de keser?
m’ nin hangideğeri için y eksenini y = 6’ da keser?
7. Aşağıda değişim tablosu verilen parabolü analitik düzlemde gösteriniz ve f(3) değerini bulunuz.
x
(x)
=
y
8.
- TO
0
+ TO
8
+ TO
4
Tepe noktası
+ TO
Denklemleri, y= x2 + 4x + c ve y = x2 - 2x + 5 olan fonksiyonlar veriliyor. Bu fonksiyonların tepe
noktaları arasındaki uzaklık 3 birim ise c kaçtır?
A. 6
9.
^
2
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
D = {(x, y): x G [R, -5 < x < 1, y = x2 + 2x - 8} kümesini analitik düzlemde gösteriniz.
10. Denklemi, y = x2 + 6x + 2m - 1 olan parabolün tepe noktası x ekseni üzerinde ise m kaçtır?
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
11. Yanda, (3, 0) noktasından geçen ve tepe noktası T(1, - 4) olan
f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
a + b + c kaçtır?
12.
Denklemi, y = ax2 + 8x + c olan parabolün grafiği yanda verilmiştir. Buna
göre a + c kaçtır?
*-X
A. -1 4
B. -1 3
D. 11
E. 12
C. -12
13. Yanda, f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
a + r + k kaçtır?
A. -2
B. -1
D. 1
E. 2
*>X
C. 0
T(r, k)
14. Denklemi, f(x) = - x 2 - 2x + 3 olan parabol ile denklemi f(x) = x - 1 olan doğrunun kesim noktaları
varsa bulunuz.
15. f : A ^ R , f(x) = x2 + 2x - 3 fonksiyonu veriliyor. A = [-4, 0] ise f(A) kümesini analitik düzlemde
gösteriniz ve fonksiyonun en küçük ve en büyük değerini bulunuz.
215
10.6.2.2. İKİNCİ DERECEDEN DENKLEM VE FONKSİYONLARLA MODELLENEBILEN
PROBLEMLER VE ÇÖZÜMLERİ
Bazı problemlerin kurulan denklemleri ikinci dereceden olabilir. Denklemleri ikinci dereceden olan
problemlere örnekler verelim.
ÖRNEK
Bir ticarethanede satılan bir malın maliyeti 10 lira
iken, satış sorumlusu bu malın satış fiyatı (x) ile, satılan
mal miktarı (m) arasında m = -20x + 600 bağıntısını ku­
ruyor.
a. Satış fiyatı üzerinden kazanç denklemini yazalım.
b. Kazancın en fazla olması için satış fiyatının kaç
lira olması gerektiğini bulalım.
c. Kazanç denkleminin belirttiği fonksiyonun grafi­
ğini çizelim.
ç. Satış ve kazancın durumunu inceleyelim.
Çözüm
a. Birim maliyeti 10 lira olan malın satışından yapılan kâr t lira ise t = x - 10 ve kazanç denklemi
y = m . t olur. m = -20x + 600 ve t = x - 10 olduğundan,
y = m . t = (-20x + 600)(x - 10)
= -2 0 x2 + 200x + 600x - 6 000
= -2 0 x2 + 800x - 6 000 bulunur.
b. y = -2 0 x2 + 800x - 6 000 denklemi, ikinci dereceden bir değişkenli fonksiyondur. Bu fonksiyon­
da a = -2 0 < 0 olduğundan fonksiyonun en büyük değeri vardır. Bu değer fonksiyonun tepe noktasının
ordinatlarıdır.
T , ,,
b
800
T(r, k) ve r = - — = - — — ——
2a
2 .( - 20)
20’ dir.
Kazancın en yüksek olması için malın satış fiyatı 20 lira olmalıdır.
c. y = -2 0 x2 + 800x - 6 000 fonksiyonunda;
r = 20 ^ k = f(20) = -2 0 . 202 + 800 . 20 - 6 000
= -8 000 + 16 000 - 6 000
= - 14 000 + 16 000 = 2 000’ dir.
Tepe noktası T(20, 2 000) bulunur.
Eksenleri kestiği noktalar:
x = 0 ^ y = - 6 000
y = 0 ^ -2 0 x2 + 800x - 6 000 = 0
-2 0 (x2 - 40x + 300) = 0
(x - 10) (x - 30) = 0 ^ x 1 = 10 veya x2 = 30’dur.
Grafik x eksenini (10, 0), (30, 0) noktalarından keser. Grafik yukarıda çizilmiştir.
216
-► X
ç. Satış fiyatına göre kazanç durumu aşağıdaki gibi oluşur.
• 10 < x < 30 aralığında olduğunda: Kazanç vardır.
• x = 20 olduğunda: Kazanç en yüksektir.
• 10 < x < 20 olduğunda: Satılan mal miktarı artar.
• 20 < x < 30 olduğunda: Satılan mal miktarı azalır.
• x > 30 olduğunda: Malı alan yoktur.
• x < 10 olduğunda: Kazanç yoktur. Zarar olur.
ÖRNEK
Televizyon ekranının büyüklüğü, ekranın köşegen uzunluğu ile ifade
edilir.
Şekildeki televizyonun eni boyundan 16 cm fazladır. Bu televizyon 80
ekran ise kenar uzunluklarını ve eninin boyuna oranını bulalım.
Çözüm
Televizyonun eni x ise boyu x + 16’ dır.
Şekle göre, (x + 16)2 + x2 = 802
x2 + 32x + 256 + x2 = 6400
x
2x2 + 32x + 256 - 6400 = 0
2x2 + 32x - 6144 = 0 ^ x2 + 16x - 3072 = 0’ dır.
A = b2 - 4ac = 162 - 4 . 1 . (-3072) = 256 + 12 288 = 12 544
x 1,2 x -
- 16 W 1 2 5 4 4
2.1
-1 6 + 1 1 2
- 1 6 + 112
^ x1—
2
2
—48 ve
-1 6 - 112
—- 64 ’tür.
2
Televizyonun boyu 48 cm ve eni 48 + 16 —64 cm’dir.
64
4
Eninin boyuna oranı da —— = — ’tür.
48
3
ÖRNEK
Bir sayının 4 fazlası ile 2 eksiğinin çarpımının en az kaç olacağını bulalım ve grafikle gösterelim.
Çözüm
Aradığımız sayı x olsun.
x in 4 fazlası ile 2 eksiğinin çarpımı y ise
y —(x + 4)(x - 2) —x2 - 2x + 4x - 8
—x2 + 2x - 8’ dir.
Bu fonksiyonun en küçük değeri x sayısının 4 fazlası ile 2 ek­
siğinin çarpımının en küçük değeridir. Bu değer tepe noktasının or­
dinatıdır.
r —-1 ^ k —f(-1) —(-1)2 + 2 (-1) -8
—1 - 2 - 8
—- 9’ dur.
217
ÖRNEK
Bir grup sporcu, pikniğe gitmek için eşit ücret ödeyerek 280 liraya bir minibüs tutuyor. Bu gezi gru­
buna 4 kişi daha katılınca kişi başına ödenen minibüs ücreti ilk ücretten 8 lira az olduğuna göre ilk grup
kaç kişidir?
Çözüm
İlk gruptaki geziye katılanların sayısı: x olsun.
Kişi başına minübüse ilk ödenen ücret:
280
liradır.
Kişi sayısı x + 4 olduğundan kişi başına ödenen ücret:
280
lira olur.
^
280 280
„
280(x + 4) - 280x
Denklem :--------------- - = 8 & ----------;------ ---------= 8
x+ 4
x(x + 4)
^ 8x (x + 4) = 280 (x +4 - x)
^ 8x2 + 32x - 4 . 2 . 140 = 0
^ x2 + 4x - 140 = 0 ^ (x - 10) (x + 14) = 0
^ x 1 = 10 veya x2 = -1 4 ’tür.
İlk gruptaki kişi sayısı 10'dur.
ÖRNEK
Eni boyundan 6 cm uzun olan dikdörtgensel bölge şeklindeki bir kartonun her köşesinden kenar
uzunluğu 4 cm olan 4 karesel bölge kesiliyor. Kalan bölge ile üstü açık ve hacmi 864 cm3 olan bir dik­
dörtgenler prizması yapılıyor. Bu dikdörtgensel bölge şeklindeki kartonun kenar uzunluklarını bulalım.
Çözüm
• Kartonun kısa kenarının uzunluğu x cm ise uzun kenarı­
nın uzunluğu x + 6 cm’ dir.
• Kartonun köşelerinden kenar uzunluğu 4 cm olan kareler
çıkarılınca kısa kenarın uzunluğu x - 8 cm; uzun kenarın
uzunluğu da x + 6 - 8 = x - 2 cm olur.
x- 8
x- 2
• Yapılan dikdörtgenler prizmasının hacmi V olsun.
_E t
-x + 6-
►
V = (x - 8) (x - 2) . 4 = 864
V = (x2 - 2
x
-8
x
+ 16) . 4 = 4 . 216 ^ x 2 - 10x + 1 6 -2 1 6 = 0 ve
x2 - 1 0 x - 200 = 0 => (x + 10) (x - 20) = 0 => x 1 = -1 0 veya x2 = 20’ dir.
Kartonun kısa kenarı 20 cm, uzun kenarı da 20 + 6 = 26 cm’dir.
ÖRNEK
Ali ile Mehmet’ in yaşlarının kareleri toplamı 244, çarpımları da 120 ise yaşları farkını bulalım.
Çözüm
Ali’ nin yaşı x 1 ve Mehmet’ in yaşı x2 olsun.
x2+ x | = 244 ve x 1. x2 = 120’dir.
(x1 + x2)2 = x2 + 2x1 x2 + x2 = x2 + x2 + 2x ^ 2
= 244 + 2 . 120 = 244 + 240 = 484’tür.
218
4 cm
x- 8
(x1 + x2)2 = 484 ^ x 1 + x2 = -J484 = 22’dir.
x 1 + x2 = 22
ve
x 1 . x2 = 120 ^ x2 - 22x + 120 = 0 denklemi yazılır.
x2 - 22x + 120 = 0 ^ (x - 10) (x - 12) = 0 ^ x 1 = 10 veya x2 = 12’ dir.
Ali ile Mehmet’ in yaşları 12 ve 10 ise yaşları farkı 12 - 10 = 2’ dir.
ALIŞTIRM ALAR
1. f : (0, 3) ——
f(x) = x2 - 4x - 5 fonksiyonu veriliyor. Görüntü kümesini bulunuz ve analitik düz­
lemde gösteriniz.
a
2. Yanda karesel ve dikdörtgensel arsa­
b
ların şekilleri verilmiştir. Bu arsaların
alanları; s1, s2 ve s3’tür.
a
b
b
b
s1 + s2 = 7 400 m2 ve
s3 = 3 500 m2 ise
dikdörtgensel bölgenin kenar uzunluklarını bulunuz.
3.
Bir dik üçgende hipotenüse ait yükseklik, hipotenüsten ayırdığı parçaların birinden 2 cm büyük,
diğerinden de 3 cm küçüktür. Buna göre, bu dik üçgenin yüksekliği kaç cm’ dir?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
E. 9
4. Ardışık iki tek sayının kareleri farkı 120 ise bu sayıların toplamını bulunuz.
5.
İki katının bir fazlası ile 3 eksiğinin çarpımı 22 olan doğal sayıyı bulunuz.
6.
Kenar uzunlukları birer tam sayı olan bir dik üçgenin, bir dik kenarının uzunluğu 13 cm’ dir. Bu dik
üçgenin çevresinin uzunluğunu bulunuz.
7. A ve B kentleri arasında sabit hızla giden bir tren, bir kırmızı ışıkta 32 dakika duruyor. Bu tren
kaybettiği süreyi geri kalan 160 km'lik yolda sabit hızla gidişini 10 km/sa artırılarak kapatıyor. Bu
trenin bu kentler arasındaki sabit hızı saatte kaç km'dir?
8.
Denklemi y = x2 - 5x + 6 olan parabol ile denklemi y = x + n olan doğru veriliyor. n e R için para­
bol ile doğrunun kesim noktaları A ve B ise [AB]’ nın orta noktalarının geometrik yerini bulunuz.
9. f(x) = x2 - 2(m - 1)x + 2m - 1 fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiği olan parabolün tepe
noktasının konumunu (geometrik yerini) bulunuz.
10. Yanda, bir kenarı şehir içinden geçen derenin kenarına çakı­
şık arsanın şekli verilmiştir. Bu arsanın diğer 3 kenarı 216 m
uzunluğunda 2 sıra telle çevrilidir. Bu arsanın alanının en fazla
kaç m2 olduğunu ve dereden 12 m uzaklığa konut yapmak için
ayrılan kısmının alanını bulunuz.
219
ÜNİTE S O N U Ö LÇ M E DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. x2 + x _ m2 - m = 0 denkleminin çözüm kümesi Ç = { ....... , ......... }’dir.
b. 3x2 + 5x - 2 = 0 denkleminde x 1 + x 2 = ................. ve x 1 . x 2 = .............
c. 6x2 - x - 1 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x2’dir. Kökleri a = 6x 1 + 1, p = 6x2 + 1 olan ikinci dere­
ceden denklem .............
ç. f(x) = x2 _ 4x + p _ 2 fonksiyonunun en küçük değeri 4 ise p = .....................
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa karşısına “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. 9x2 + (2m + 2)x + m - 1 = 0 denkleminde x 1 = x 2 ise m1 = 2 veya m2 = 5’tir.
O
b. mx2 + (2 - m)x - 2 = 0 denkleminde, köklerden biri x 1 = 2 ise m = 1’dir.
Q
c. 3x2 - (m - 2)x - 7 = 0 denkleminde, x 1 + x2 = — ise m = 4’tür.
ç. x2 - 10x + m - 1 = 0 denkleminde x 1 . x2 = 4 ise m = 5’tir.
Q
3. Aşağıdaki soruların cevaplarını yandaki tabloda verilen
değerlerle eşleştiriniz.
I
II
III
IV
V
_2
2
3
4
6
a. x2 + (m + 1) x - 4m = 0 denkleminde 3(x1 + x2) = x 1 . x 2 ise m kaçtır?
O
1 1 5
------= — ise m kaçtır?
b. x2 +(1 - m) x + 2 = 0 denkleminde----- 1
x 1 x2
2
4.
c. mx2 - mx - 5m - 2 = 0 denkleminde x 1 = 3 ise X2 kaçtır?
^
ç. f(x) = -2 x 2 _ 4x + m _3 fonksiyonunun tepe noktasının ordinatı 3 ise m kaçtır?
O
m * 0 için mx2 + (2 - m)x - 2 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
5. x2 - 5mx + 3m + 1 = 0 denkleminde x 2 = 4x1 ise m değerini bulunuz.
6.
x2 + 3mx - 7n + 1 = 0 denkleminin kökleri x2 -(m - 1)x + 1 - n = 0 denkleminin köklerinin üçer katı
ise m + n değerini bulunuz.
x
7. Yanda değişim tablosu verilen parabolün
=
y
denklemini yazınız.
_ 8
x1
_1
0
_8
0
3
k. 1
Tepe noktası
220
x2
+ 8
0
_8
8.
x2 - x - m = 0 ve x2 - 5x + 3m = 0 denklemlerinin birer kökleri ortak ise m değerini bulunuz.
9.
x2 + px + 12 = 0 denkleminin kökleri x 1 ve x2’dir. Ix1 - x2İ = 1 ise p kaçtır?
10. z 1 = 3 - 2i ve z2 = 2 + 4i ise Re(z1 . z2) değerini bulunuz.
11. Köklerinden biri 2 - 3i olan gerçek katsayılı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemi yazınız.
kaçtır?
A. -7
B. -6
D. 1
E. 7
C. -1
13. Yanda, y = ax2 + bx + c parabolünün grafiği verilmiştir. IOAI = 7IOBI ise
A noktasının apsisi kaçtır?
A. -5
B. -6
D. -8
E. -9
C. -7
14. Denklemi, f(x) = -3 x 2 - (m + 1)x + p olan parabolünün simetri ekseni; denklemi, x = 1 olan doğru­
dur. f fonksiyonunun en büyük değeri 27 ise parabolün x ekseni üzerinde ayırdığı kirişin uzunluğu
kaç birimdir?
A. 4
15.
B. 5
C. 6
D. 7
E. 8
Şekilde bir kitap fuarında kurulan çadırın ön yüzü
görülüyor. Bu çadırın giriş kısmındaki parabol mox2
delinin denklemi f(x) = x - — ise çadırın tepe nokta­
sının zemine olan uzaklığı kaç br’dir?
16.
Çevre uzunluğu 24 cm olan dikdörtgensel bölgelerin en büyüğünün alanını bulunuz.
221
I
7. Ü N İT E
T arihsel G elişim
•
El - Harezmî (780 - 850), “ Cebir ve Denklem Hesabı” adlı eserinde polinomlardan söz et­
miş ve ikinci dereceden bir polinom denklemin köklerini bulmak için yapılması gerekenleri
açıklamıştır.
•
Ömer Hayyam da (1040 - 1122), parabol ve çemberi kestirerek 3. dereceden bir polinom
denklemin çözümü için geometrik bir yöntem geliştirmiştir.
(Matematik Tarihi ve’türk İslam Matematikçilerinin Yeri - Göker, Lütfi - M EB Yayınları 1997)
r
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Polinom kavramı ve polinomlarla yapılan işlemlerden:
•
Gerçek katsayılı bir değişkenli polinom kavramını açıklamayı, sabit polinomu, sı­
fır polinomunu ve iki polinomun eşitliğini açıklamayı, polinomların özel bir fonksiyon’türü olarak ele alınabileceğini göstermeyi öğreneceğiz.
•
Polinomlarla toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerini yapmayı öğreneceğiz.
•
Bir p(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesinden elde edilen kalanı bulmayı
öğreneceğiz.
•
Katsayıları tam sayı ve en yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan polinomların
tam sayı sıfırlarının, sabit terimin çarpanları arasında olacağını örneklerle göster­
meyi öğreneceğiz.
2. Polinomlarda çarpanlara ayırma yöntemlerinden:
•
Bir polinomu ortak çarpan parantezine alma yöntemi ile çarpanlara ayırmayı,
•
Tam kare, iki kare farkı, iki terim toplamının ve farkının küpü, iki terimin küplerinin
toplamı ve farkına ait özellikleri kullanarak çarpanlara ayırma uygulamaları yapma­
•
•
yı,
Bir polinoma terim ekleyerek veya polinomdan terim çıkararak çarpanlara ayırma
uygulamaları yapmayı,
Değişken değiştirme yöntemi ile polinomlarda çarpanlara ayırma uygulamaları
yapmayı öğreneceğiz.
3. Polinom ve rasyonel denklemlerden:
•
Rasyonel ifade kavramını örneklerle açıklamayı ve rasyonel ifadelerin sadeleşti­
rilmesi ile ilgili uygulamalar yapmayı,
•
Polinom ve rasyonel denklemlerle ilgili uygulamalar yapmayı, çözümlerin grafikler
yardımıyla yorumlanmasında bilgi ve iletişim teknolojilerinden yararlanmayı öğre­
neceğiz.
V sss*
222
(A
10.7.1. PO LIN O M K AVRAM I VE P O LIN O M LA R LA İLGİLİ İŞLEMLER
10.7.1.1. GERÇEK KATSAYILI VE BİR DEĞİŞKENLİ PO LINO M
Yanda planı verilen evin salonu ile 2 odasının
parkeleri değişecektir. Parke döşenecek yerlerin
alanları toplamı A(x) ise A(x) ifadesini x'in azalan
ya da çoğalan kuvvetlerine göre yazarsam elde
x+1
ettiğim çok terimli bir polinom olur.
Bu polinom özel bir
fonksiyon mudur?
3
A(x)
A
BİLGİ
x bir değişken a0, a1, a2, ..., an ¥ R ve n ¥ N olmak üzere;
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + arxr+ ... + a 1x + a0
biçimindeki ifadeye gerçek ve b ir değişkenli polinom denir.
P o lin o m u n Derecesi, K atsayıları ve s a b it T e rim i
A-3
BİLGİ
P(x) = anxn + axn-1 + ... + arxr + ... + a1x + a0 polinomunda;
1. anxn, an-1xn-1, ..., arxr, ..., a1x, a0 ifadelerine polinom un terim leri; an,an-1, ..., ar,..., a1, a0
gerçek sayılarına polinom un katsayıları ve a0 sayısına polinom un sabit terim i denir.
2. Derecesi en büyük olan terimin katsayısına baş katsayı; derecesine de polinom un derecesi
denir ve bu derece der[P(x)] ile gösterilir.
3. Tek değişkenli bir polinom, değişkenin azalan ya da çoğalankuvvetlerine göre yazılır.
4. Bir polinomda katsayısı sıfır olan terim yazılmaz.
— JNL İNCELEYEREK
ö ğ r e n e l im
---------------------------------------------------
f bx) - 2x4-6 x 3 + 3x-7 ifadesi verilsin.
Bu ifadede katsayılar gerçek sayı, değişkenin kuvvetleri doğal sayı olduğundan bu ifade bir polinomdur. Bu polinomun;
• Derecesi, der[P(x)] = 4’tür.
• Baş katsayısı 2x4 teriminin katsayısı olan 2’dir.
• Verilen polinom P(x) = 2x4-6 x 3 + 0x2 + 3x1-7 x 0 biçiminde yazılırsa x2 li terimin katsayısı 0
• Sabit terimi - 7 ’ dir. Bu terimde x in kuvveti 0’dır.
• Katsayıları toplamı x = 1 için P(1) değeridir.
• P(1) = 2 - 6 + 3 - 7 = - 8 bulunur.
• P(0) = 2 . 0 - 6 . 0 + 3 . 0 - 7 = - 7
• Polinomlar özel bir fonksiyon türü olarak ele alınabilir.
223
P(x) polinomunda P(0) de­
ğeri polinomun sabit terimi,
P(1) değeri de polinomun
katsayıları toplamıdır.
ÖRNEK
P(x - 2) = x3 - 5x2 + 4x + 8 ise P(1) değerini bulalım.
Çözüm
I. Yol
x - 2 = 1 ^ x = 3’tür.
x = 3 için P(3 - 2) = (3)3 - 5 . (3)2 + 4 . 3 + 8
P(1) = 27 - 45 + 12 + 8 = 2 bulunur.
II. Yol
f(x) = x - 2 ^ f-1 (x) = x + 2’dir. P(x - 2) polinomunda x yerine x + 2 yazarsak P(x) elde edilir.
P(x + 2 - 2) = P(x) = (x + 2)3 - 5(x + 2)2 + 4(x + 2) + 8’dir.
x = 1 ^ P(1) = (1 + 2)3 - 5(1 + 2)2 + 4(1 + 2) + 8
P(1) = 27 - 45 + 12 + 8 = 2 bulunur.
ÖRNEK
Aşağıda verilen ifadelerden polinom olanları belirtelim.
2
a. B(x) = x4 + 5x-3 + x2 + 2
b. C(x) = 2x3 + x 3 - 5
c. D(x) = 3x5 + 2x2 - 4
Çözüm
2
—
2
• B(x) ifadesindeki 5x-3 teriminde - 3 £ N ve C(x) ifadesindeki x 3 teriminde -3 £ N ’dir. a ve b seçe­
neklerinde verilen ifadeler polinom tanımına uymadığından bu ifadeler polinom değildir.
• c seçeneğinde verilen D(x) ifadesi bir polinomdur.
ÖRNEK
10
P(x) = 5x2 - 2 xn+ı + 3xn - 5 ifadesi bir polinom ise bu polinomun derecesini bulalım.
Çözüm
P(x) bir polinom ise
n+1
¥ n ve (n - 5) e N olmalıdır.
• —
e N ^ (n + 1) e { 1, 2, 5, 10} ve n e {0, 1, 4, 9} olur. 1
n+1
• (n - 5) e N ^ n > 5 ve N e {5, 6,7, ...} olur. 2
1 ve 2 ’ den n = 9 bulunur.
10
n = 9 ^ P(x) = 5x2 - 2x9+1 + 3x 9 - 5 = 5x2 - 2x + 3x4 = 3x4 + 5x2 - 2x’tir. der[P(x)] = 4’tür.
S a b it P o lin o m , S ıfır P o lin o m u ve İk i P o lin o m u n E şitliğ i
Sabit Polinom
=
C
BİLGİ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bir P(x) = a0 polinomunda a0 * 0 ise P(x) polinomuna sabit polinom denir.
• Sabit polinomun derecesi 0 (sıfır)’dır.
224
ÖRNEK
P(x) = 3 polinomunda P(1) ve P(4) değerlerini bulalım.
Çözüm
P(x) = 3 ^ P(1) = 3 ve P(4) = 3’tür.
ÖRNEK
P(x) = (m + 2)x3 + (3 -n )x 2 + (d - 4)x + 2d + 1 polinomu sabit polinom ise m + n + d değerini ve P(x)
polinomunu bulalım.
Çözüm
Verilen polinom sabit polinom ise m + 2 = 0, 3 - n = 0, d - 4 = 0 ve P(x) = a0 = 2d + 1’dir.
m + 2 = 0 ^ m = - 2’ dir. '
3 - n = 0 ^ n = 3’tür.
■ m + n + d = - 2 + 3 + 4 = 5’tir.
d - 4 = 0 ^ d = 4’tür.
,
a0 = 2d + 1 = 2 . 4 + 1 = 8 + 1 = 9^ P(x) =9 bulunur.
Sıfır Polinomu
krt
BİLGİ
P(x) = a0 polinomunda a0 = 0 ise P(x) polinomuna sıfır polinom u denir.
P(x) = 0 polinomunun derecesi yoktur. Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir.
ÖRNEK
P(x) = (a + 1)x3 + (b -2 )x2 + cx + d - 2 polinomu sıfır polinomu ise a + b + c + d değerini bulalım.
Çözüm
P(x) = 0 ise P(x) polinomunun her birinin katsayısı sıfırdır.
a + 1 = 0 ^ a = - 1’dir. '
b - 2 = 0 ^ b = 2’dir.
a + b + c + d = - 1 + 2 + 0 + 2 = 3’tür.
İki Polinomun Eşitliği
b İ l g İ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin katsayıları karşılıklı olarak eşit olan polinomlara eşit
polinom lar denir.
ÖRNEK
P(x) = (a - 2)x3 - 5x + 8 ile Q(x) = 7x3 + (b + 3)x2 + (c -1 )x + d - 2 polinomları veriliyor. P(x) = Q(x)
ise a + b + c + d değerini bulalım ve P(x) polinomunu yazalım.
225
Çözüm
P(x) = Q(x) ise her iki polinomun aynı derecedeki terimlerinin katsayıları eşit olmalıdır. Bunagöre,
(a - 2)x3 + 0x2 - 5x + 8 = 7x3 + (b + 3)x2 + (c - 1)x + d - 2 eşitliğinden,
a - 2 = 7 ^ a = 9’ dur.
0 = b + 3 ^ b = - 3 ’tür.
-5 = c - 1 ^ c = - 4 ’tür.
8 = d - 2 ^ d = 10’ dur. a + b + c + d = 9 + (-3) + (-4) + 10 = 12 bulunur.
a = 9 ^ P(x) = (9 - 2)x3 - 5x + 8 = 7x3 - 5x + 8’dir.
ÖRNEK
Bir P(x) polinomunun, tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı T(1); çift terimli terimlerinin katsa­
yıları toplamı Ç(1) ise
Ç(1) = P(1) + P(——
2
Çözüm
ve T(1) =
2
P(1)— P( 1)
olduğunu gösterelim.
P(x) = a3 + bx2 + cx + d polinomunda, ax3 ile cx tek dereceli; bx2 ile dx0 çift dereceliterimlerdir. Bu
polinomda x = 1 ve x = - 1 için P(1) ve P (- 1) değerlerini bulalım:
x = 1 ^ P(1) = a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = T(1) + Ç(1)’ dir. 1
x = - 1 ^ P (- 1) = - a + b - c + d = (b + d) - (a + c) = Ç(1) - T(1)’ dir. 2
-
1 ve 2 ’yi taraf tarafa toplayalım ve çıkaralım. P(1) + P(-1) = 2 . Ç(1) ^ Ç(1) = P(1) + P( 1) ve
2
P(1) - P (- 1)
P(1) - P(-1) = 2 . T(1) ^ T(1) = — ^ *— — bulunur.
2
ÖRNEK
P(x) = (x2 - 3)4 . (x + 2)3 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun çift dereceli ve tek dereceli terimleri­
nin katsayılarının toplamlarını bulalım.
Çözüm
P(x) = (x2 - 3)4 . (x + 2)3 ^ P(1) = (12 - 3)4 . (1 + 2)3 = ( - 2)4 . (3)3 = 16 . 27 = 432 ve
P(-1) = (1 - 3)4 . (-1 + 2)3 = (-2)4 . 13 = 16 . 1 = 16’dır.
Ç0 ) = P(1) + P(~ 1 = 432 + 16 = İ 4 İ = 224, T(1) = P(1) ~ P(~ 1) = 432 - 16 = İ H
2
2
2
2
2
2
= 208’dir.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler : Dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
Dosya kâğıdına aşağıdaki tabloyu çiziniz. Tablolardaki boş yerleri uygun şekilde tamamlayınız.
Polinom
Derecesi
Baş
katsayısı
P(x) = 4x3 - 5x2 + x -2
R(x) = x7 + x - 5
x)
II
xro
+
2
Q(x) = V3"x - V 2x2
B(x) = 6x - 1
D(x) = -3 x 4 + 5x3 - 2x2 + 7x + 3
N(x) = 1
226
Sabit
terimi
Katsayılarının toplamı
ALIŞTIRMALAR
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. P(x) = x4 - 3x2 + 7 ise P(V2) = ...
b. P(x) = 3 - ax2 + 4x5 polinomunun katsayıları toplamı: ...
c. P(x) = (a - 1)x3 + (b + 2)x2 - cx + d - 1 polinomu sıfır polinomu ise a + b + c + d = ...
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. P(x) = x3 - 2x2 + 5x - 5 ise P(x2) polinomunun derecesi 5’tir.
b. P(x) = (m - n)x2 + 8x + c, Q(x) = 6x2 + (m + n)x + 6 - 2c polinomları veriliyor
P(x) = Q(x) ise m . n . c = 14’tür.
c. P(x) = (a + 3)x2 + (b - 1)x + a - 2 polinomu sabit polinom ise polinomun
sabit terimi - 5 ’tir.
3.
15
P(x) = 2 xn+7 + 5 xn-6 + 7 ifadesi polinom ise P(x) polinomunun derecesi kaçtır?
A. 0
4.
B. 1
C. 2
D. 3
E. 4
P(x - 1) = (x + 3) . Q(x - 2)’ dir. P(x) polinomunun katsayıları toplamı 10 ise Q(x) polinomunun
sabit terimi kaçtır?
A. -1
5.
□
B. 0
C. 1
D. 2
E. 3
P(x) = x2 - 3x - 5 ise aşağıdakileri hesaplayınız.
a. P(1)
b. P(0)
c. P(-x)
ç. P(x -1)
6. P(x) = 5x3 + 7x2 + 3x - 9 ise aşağıdakileri hesaplayınız.
a. P(-2)
7.
b. P(-1)
c. P(1)
ç. P(2x)
P(x + 2) = x3 + 5x2 - 7x + 9 ise aşağıdakileri hesaplayınız.
a. P(3)
b. P(-1)
c. P(-2)
ç. P(x)
8. P(x) = (x4 - x - 3)3 polinomunun tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı kaçtır?
A. -2 7
9.
B. -1 3
C. -1
D. 13
E. 27
P(x) = (x3 + 1)3 (x - 3)4 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz.
10. P(x) = (x2 + x + 1)5 + (2x - 1)5 polinomu veriliyor. Bu polinomun tek dereceli ve çift dereceli
terimlerinin katsayıları toplamını ayrı ayrı bulunuz.
227
10.7.1.2. P O LİN O M LA R LA YAPILAN TO P LA M A , ÇIK AR M A , Ç AR PM A VE BÖLME
İŞLEMLERİ
Polinomlarla yapılan Toplama ve çıkarma İşlemleri
BİLGİ
• Polinomlar arasında toplama işlemi yapılırken benzer terimler kendi aralarında toplanır.
• Aynı değişkenli iki terimde katsayılar aynı veya farklı, değişkenlerinin dereceleri de aynı ise bu
terimler benzer terimlerdir.
• P(x) polinomunun bir terimi arxr, Q(x) polinomunun bir terimi de brxr ise bu terimler benzer terim­
lerdir. Bu terimlerin toplamı, arxr + brxr = (ar + br) . xr dir. Bu terim P(x) + Q(x) polinomunun bir
terimidir.
• P(x) - Q(x) = P(x) + [-Q(x)] polinomu da P(x) ile Q(x) polinomları arasında yapılan çıkarma işlemidir.
ÖRNEK
N
M
Dörtgensel bölge biçiminde olan ve yanda krokisi verilen ar­
sanın içinden bir yol geçmiştir. Arsanın alanı S = 40x2 + 10x, yol
geçtikten sonra kalan arsa parçalarının alanları A = 15x2 + 16x + 4,
B = 3x2 - x + 2 olarak modellendiğine göre arsanın yola giden kıs­
mının alanının ifadesini yazalım. x = 10 br için arsanın yola giden
kısmının kaç br2 olduğunu bulalım.
Çözüm
Şekle göre, arsanın yola giden kısmının alanı C ise C = S - (A + B)’dir. Bu alanların polinom olarak
ifadeleri C(x), S(x), A(x) ve B(x) ise
C(x) = S(x) - [A(x) + B(x)]
= (40x2 + 10x) - [(15x2 + 16x + 4) + (3x2 - x + 2)]
= 40x2 + 10x - (15x2 + 16x + 4 + 3x2 - x + 2)
= 40x2 + 10x - 15x2 - 16x - 4 - 3x2 + x - 2 = 22x2 - 5x - 6 bulunur.
x = 10 ^ C(10) = 22 . 102 - 5 . 10 - 6 = 2 200 - 50 - 6 = 2 144 br2 dir.
ÖRNEK
P(x) = 2x3 - 7x2 - 3x + 4, Q(x) = 5x2 + 3x - 2 polinomları veriliyor. Aşağıda istenen cebirsel işlemleri
yapalım.
a. P(x) + Q(x)
b. P(x) - Q(x)
c. 3P(x) - 2Q(x)
Çözüm
P(x) = 2x3 - 7x2 - 3x + 4
a. P(x) + Q(x) = (2x3 - 7x2 - 3x + 4) + (5x2 + 3x - 2)
= 2x3 - 7x2 - 3x + 4 + 5x2 + 3x - 2
ya da
= 2x3 + (-7 + 5)x2 + (- 3 + 3) x + (4 - 2)
P(x) + Q(x) = 2x3 - 2x2 + 2’dir.
= 2x3 - 2x2 + 2’dir.
P(x) = 2x3 - 7x2 - 3x + 4
b. P(x) - Q(x) = (2x3 - 7x2 - 3x + 4) - (5x2 + 3x - 2)
= 2x3 - 7x2 - 3x + 4 - 5x2 - 3x + 2
= 2x3 + (-7 - 5)x2 + (- 3 - 3) x + (4 + 2)
+ Q(x) =5x2 + 3x - 2
ya da
+ Q(x) =+ 5x2 + 3x ± 2
P(x) - Q(x) = 2x3 - 12x2 - 6x + 6’dır.
= 2x3 - 12x2 - 6x + 6’dır.
c. 3P(x) - 2Q(x) = 3(2x3 -7 x 2 - 3x + 4) - 2(5x2 + 3x - 2) = 6x3 - 21x2 - 9x + 12 - 10x2 - 6x + 4
= 6x3 + (-21 -10)x2 + (-9 - 6)x + (12 + 4) = 6x3 -31x2 - 15x + 16’dır.
228
ÖRNEK
P(x - 1) + P(x + 1) = 4x2 - 6x + 6 ise P(x) polinomunu bulalım.
Çözüm
P(x) = a2 + bx + c ^ P(x - 1) = a(x - 1)2 +b(x - 1) + c = a(x2 - 2x + 1) + bx - b + c
= ax2 - 2ax + a + bx - b + c’dir. 1
P(x + 1) = a(x + 1)2 + b(x +1) + c = a(x2 + 2x + 1) + bx + b +
c
= ax2 + 2ax + a + bx + b + c’dir. 2
1ve 2 den, P(x -1 ) + P(x + 1) = 2ax2 + 2bx
+ 2a + 2c
4x2 - 6x+ 6 = 2ax2 + 2bx + 2a+ 2c olur.
2a = 4 ^ a
2a + 2c = 6
= 2 ve 2b = - 6 ^ b = - 3 ’tür.
^ 2. 2 + 2c = 6 dan, c = 1’dir. Buna göre
P(x) = ax2 + bx + c = 2x2 -3 x + 1 bulunur.
P o lin o m la rla Y apılan Ç arpm a İş le m i
b I lg İ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
P(x) . Q(x) işlemi yapılırken, P(x) polinomunun her terimi Q(x) polinomunun her terimi ile çarpılır.
Elde edilen sonuçların cebirsel toplamı değişkenin azalan ya da artan derecelerine göre sıralanarak
yazılır.
anxn ile bmxm terimlerinin çarpımı anxn . bmxm = an . bm . xn+m dir.
Sıfırdan farklı, P(x) ve Q(x) polinomları için
der[P(x)] = a, der[Q(x)] = b ise der[P(x) . Q(x)] = a + b’ dir.
ÖRNEK
P(x) = x2 + 2, Q(x) = x3 - 2x + 3 polinomları veriliyor. P(x) . Q(x) = R(x) ise R(x) polinomunu ve
derecesini bulalım.
Çözüm
P(x) = x2 + 2
^ P(x) . Q(x) = (x2 + 2) . (x3 - 2x + 3)
Q(x) = x3 - 2x + 3
= x2(x3 - 2x + 3) + 2(x3 - 2x + 3)
(dağılma özelliği)
= x5 -2 x 3 + 3x2 + 2x3 - 4x + 6
(benzer terimlerin toplamı)
= x5 + 3x2 - 4x + 6’dır.
P(x) = x5 + 3x2 - 4x + 6 ve der[R(x)] = 5’tir.
ÖRNEK
d1
Şekildeki dikdörtgenler prizması, boyutları 4x + 1, x + 4 ve
(x - 2) cm olan bir altın külçedir.
a1
c1
/ \
b1 x-2
a. Bu külçenin hacmini veren polinom modelini yazalım.
İD
b. x = 6 için altın külçenin hacmini bulalım.
C
*
s
c. Özgül ağırlığı 19,3 gr/cm3 olan bu altın külçenin ağırlığını
bulalım.
229
A
4x + 1
Çözüm
a. Hacmin ifadesi olan polinom V(x) olsun. Hacim = |AB| . |BC| . |CC'|
V(x) = (4x + 1) . (x + 4) . (x - 2)
V(x) = (4x2 + 16x + x + 4) . (x - 2)
= (4x2 + 17x + 4) . (x - 2)
= 4x3 + 17x2 + 4x - 8x2 - 34x - 8 =4x3 + 9x2 - 30x - 8’dir.
= 4x3 + 9x2 - 30x - 8’ dir.
b. x = 6 ^ V(6) = 4 . (6)3 + 9 . (6)2 - 30 . 6 - 8
= 4 . 216 + 9 . 36 - 180 - 8 = 864 + 324 - 188 = 1000’dir.
c. Külçenin hacmi 1000 cm3 ve özgül ağırlığı 19,3 gr/cm3 ise ağırlığı
1000 . 19,3 = 19 300 gr = 19,3 kg bulunur.
ÖRNEK
P(x) ve Q(x) polinomları için der[P(x) . Q(x)] = 8 ve der[P(x) . Q2(x)] = 11 ise P(x) polinomunun de­
recesini bulalım.
Çözüm
der[P(x)] = a, der[Q(x)] = b ^ der[P(x) . Q(x)] = a + b = 8’dir. 1
Q2(x) = Q(x) . Q(x) ve der[Q2(x)] = b + b = 2b’dir.
der[P(x) . Q2(x)] = a + 2b = 11 olur. 2
1
ile 2
den,
2a + 2b = 16
+ a + 2b = + 11
a = 5’tir. a = 5’tir. der[P(x)] = 5 bulunur.
ÖRNEK
P(x) = x4 + x3 - 7x2 + mx + n, B(x) = x2 + bx + c, Q(x) = x2 - 3x + 2 polinomları veriliyor.
P(x) = B(x) . Q(x) ise m ve n değerlerini bulalım.
Çözüm
P(x) = B(x) . Q(x)
x4 + x3 - 7x2 + mx + n = (x2 + bx + c)(x2 - 3x + 2)
= x4 - 3x3 + 2x2 + bx3 - 3bx2+ 2bx + cx2 - 3cx + 2c
= x4 + (-3 + b)x3 + (2 -3 b + c)x2+ (2b - 3c)x
+ 2c olur.
Birbirine eşit olan polinomların aynı dereceli terimlerinin katsayıları eşit olduğundan,
-3 + b = 1 ^ b = 4,
2 - 3b+ c = -7 ^ 2 - 3 . 4 + c = -7 ^ c = 3,
2b - 3c = m ^ 2 .4 - 3 . 3 = m ^ m = -1 ve
2c = n ^ 2 . 3 = n ^ n = 6 bulunur.
ÖRNEK
P(x) = 2x + 3, Q(x) = x2 + x - 2 polinomları veriliyor. P2(x), Q2(x) ve P3(x) polinomlarını bulalım.
230
Çözüm
P2(x) = P(x) . P(x) = (2x + 3)(2x + 3) = 4x2 + 6x + 6x + 9 = 4x2 + 12x + 9’dur.
Q2(x) = Q(x) . Q(x) = (x2 + x - 2)(x2 + x - 2)
= x4 + x3 - 2x2 + x3 + x2 - 2x - 2x2 - 2x +
4=
x4+ 2x3- 3x2 - 4x + 4 ve
P3(x) = P2(x) . P(x) = (4x2 + 12x + 9) (2x + 3)
= 8x3 + 12x2 + 24x2 + 36x + 18x + 27
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27 bulunur.
ÖRNEK
P(x) = 4x3 + 3x2 + x - 7, Q(x) = x2 - 2x + 3 polinomları veriliyor P(x). Q(x) işleminde, x3 lü terimin
katsayısını bulalım.
Çözüm
P(x) . Q(x) işleminde, çarpma işlemini yapmadan, çarpıldıklarında x3 lü terim oluşturan terimleri
oklarla göstererek çarpımlarını bulalım:
t
İ
(4x3 + 3x2+ x - 7) . (x2 - 2x + 3)
4__ f
işleminde x3 lü terim ax3
olsun. Oklara göre;
f I
4x3 . 3 = 12x3
3x2 . (-2x) = - 6x3
> 12x3 - 6x3 + x3 = 7x3 = ax3 ^ a = 7’dir.
x . x2 = x3
P o lin o m la rla Y apılan B ölm e İşle m i
BİLGİ
1. der[P(x) > der[Q(x)] ve Q(x) * 0 olmak üzere P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölümü;
P(x) Q(x)
B(x) . Q(x) B(x)
P(x) = B(x) . Q(x) + K(x)’tir.
K(x)
2. P(x)= Q(x) . B(x) + K(x) eşitliğine bölme eşitliğ i denir.
K(x) = 0 ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünüyor denir.
der[K(x)] < der[Q(x)] ve der[P(x)] = der[B(x)] + der[Q(x)]’tir.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Yanda resmi verilen dikdörtgenler prizması şeklindeki kutunun hacmi
V = x3 - 3x2 - 3x + 10, yüksekliği h = x - 2’dir.
Bu kutunun taban alanını veren polinom modelini bulalım.
Kutunun taban alanı G ise V = G . h’ dir.
V =G .h^ G=
V
h
x3 - 3x2 - 3x + 10
-------------------------- ’dir.
x- 2
231
Bölme işlemi yapılırken:
a. Bölen ve bölünenin terimleri azalan derecelerine göre yazılır.
b. Bölünenin en büyük dereceli terimi, bölenin en büyük dereceli terimine bölünür.
c. Bulunan bölüm bölenle çarpılır, elde edilen çarpım bölünenden çıkarılır.
ç. Kalanın derecesi, bölenin derecesinden küçük oluncaya kadar bölme işlemine aynı yön­
temle devam edilir.
x3 - 3x2 - 3x + 10 = P(x) ve x - 2 = Q(x) ise P(x) : Q(x) işlemi aşağıda yapılmıştır. İnceleyiniz.
x3- 3x2 - 3x + 10
x3 ± 2x2
x- 2
2
x
x- 5
x2 - 3x + 10
Sıra ile yapılan işlemler:
x3
1.
_ x2
2. x2(x - 2) I x3 - 2x2
± x2 + 2x
-5 x + 10
3. P(x) - (x3 - 2x2) = P(x) + (-x 3 + 2x2)
± 5x + 10
I - x
0
4.
Bölüm : B(x) = x2 - x - 5 ve
Kalan : K(x) = 0’ dır.
-
= -x
3x + 10
x2
5. -x(x - 2) = - x 2 + 2x
6. (-x 2 -3 x + 10) - (-x 2 + 2x) = -5 x + 10
P(x) = B(x) . Q(x) + K(x)
P(x) = (x2 - x - 5) (x - 2)’dir.
7.
= -5
8 . -5 (x - 2) = -5 x + 10
9. (-5x + 10) - (-5x + 10) = 0
Yukarıdaki bölme işleminde; P(x) polinomuna bölünen, Q(x) polinomuna bölen, B(x) polinomuna P(x) polinomunun Q(x) polinomuna bölünmesiyle elde edilen bölüm denir. Bölme işleminde
kalan sıfır (K(x) = 0) olduğundan bu bölmeye kalansız bölme denir. Bu durumda B(x) ve Q(x)
polinomları P(x) polinomunun bir çarpanıdır.
ÖRNEK
P(x) = 2x4 - 3x2 + 5x + 6 polinomunu Q(x) = x2 - 3x + 2 polinomuna bölelim. Bölüm ve kalanı bu­
lalım .
Çözüm
2x4 - 3x2 + 5x + 6
+ 2x4 ± 6x3 + 4 x 2
x2 - 3x + 2
B(x) _ 2x2 + 6x + 11 ve
2x2 + 6x + 11
K(x) _ 26x - 16’ dır.
6x3 - 7x2 + 5x + 6
+ 6x3 ± 1 8 x2 + 12x
11x2 - 7x + 6
+ 11x2 ± 33x + 2 2
26x - 16
2x4 - 3x2 + 5x + 6 _ (x2 - 3x + 2) (2x2 + 6x + 11)
bölünen
bölen
bölüm
+
26x - 16
kalan
Kalan polinomunun derecesi, bölen polinomunun derecesinden küçük olduğundan bölme işlemine
devam edilemez.
232
ÖRNEK
P(x) . Q(x) polinomunun derecesi 12, P(x) polinomunun derecesi 4 olduğuna göre P(x) - Q(x) poQ(x)
linomunun derecesini bulalım.
Çözüm
der[P(x)] = a, der[Q(x)] = b olsun.
der[P(x) . Q(x)] = a + b = 12 ve der P(x) = a - b = 4’tür.
Q(x)
a + b = 12
a- b= 4
2a = 16’dan, a = 8 ve b = 4 bulunur.
der[P(x) - Q(x)] = der[P(x)] = 8’ dir.
e t k in l ik
P(x) . Q(x)
der[P(x) . Q(x)]
P(x) + Q(x)
der[P(x) + Q(x)]
2
ST
ı_
<D
■u
Polinom
der[Q(x)]
Araç ve Gereçler: dosya kâğıdı, cetvel, kalem.
Aşağıdaki tabloları dosya kâğıdına çiziniz.
Tablolardaki boş alanları uygun şekilde tamamlayınız.
Toplam ve çarpım polinomların dereceleri ile verilen polinomların dereceleri arasında nasıl bir
ilişki olduğunu açıklayınız.
Bölme işleminde, bölünen, bölen, bölüm ve kalan polinomların dereceleri arasında nasıl bir ilişki
olduğunu açıklayınız.
P(x) = 5x3 + 3
Q(x) = 3x - 4x2
P(x) = x4 - x
Q(x) = x6 - x
P(x) = x2 - x - 1
Q(x) = x9 + x
Bölme İşlemi
Bölünen
Bölen
Bölüm
2x2 - 3x + 5 x - 2
3x3 - 7 x + 1
x4 - 3x x + 2
233
Kalan
Bölünenin
Derecesi
Bölümün
Derecesi
Kalanın
Derecesi
1.
P(x) = x3 - 4x2 + 7x + 1, Q(x) = 3x2 - 5x + 6 ise aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. P(x) + Q(x)
2.
b. P(x) - Q(x)
c. x . Q(x) - 3 . P(x)
P(x) = 2x3 - 3x + 4, Q(x) = x3 + x2 - 3x + 1, R(x) = x4 - x3 - x ise aşağıdaki işlemleri yapınız.
a. R(x) - [Q(x) - P(x)]
b. x. P(x) - R(x)
c. [x . Q(x) - R(x)] - P(x)
3. Aşağıdaki çarpma işlemlerini yapınız.
a. 5x3 . 4x2
b. -5(3x3 - 2x2 - x - 1)
ç. (x - 1)(x2 + x + 1)
d. (x2 - 2x - 1)(x2 - 3x -5 )
4. der[P(x)] = 4, der[(P(x) . Q(x)] = 11
A. 5
B. 6
c.
e.
(x - 3)(x + 3)
(x - 3)(2x - 1)(2x + 3)
ise der[Q(x)] kaçtır?
C. 7
D. 8
E. 9
5. Aşağıdaki ifadelerde noktalı yerleri doldurunuz.
a. P(x) = 7x3 + 5x2 - 6x - 11 polinomu için P(1) + P(-1) = ....
b. P(x) = 5x3 - x + 1, Q(x) = x3 + x - 1 ise der[P(x) . Q(x)] = ....
c. P(x - 1) = x3 - x2 - x - 1 ise P (- 1) = ....
ç. P(x - 1) = 3x2 - 7x2+ 4, Q(x) = 2x - 1 ise (P o Q)(x) = ....
6. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
a. P(5x - 3) = 5x3 + x2 - 4x - 3 ise P(2) = - 1 ’dir.
b. P(x - 1) = (3x + 2) . B(x - 2) ve B(x) polinomunun sabit terimi 5 ise P(x)
polinomunun katsayıları toplamı 0’dır.
c. P(x) = (x2 - mx + 3)(4 - 5x - x3) polinomunun katsayıları toplamı 10 ise m = 9’dur
7.
□
(5x3 - 3x2 + 2x + 1)(x4 - 4x3 - x2 + 3x) işlemi yapıldığında x5 li terimin katsayısı kaçtır?
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10
8. P(x - 2) + P(x + 2) = 4x ise P(4) - P(-4) kaçtır?
A. 16
9.
B. 15
C. 14
D. 12
E. 10
6
_n_
P(x) = (x2 + x) n (x3 - x - 1) 2 ise P(x) in derecesi en çok kaçtır?
10. 2x4 - 5x3 - 7x2 + 6x - 5 + P(x) = x5 - x4 + x3 - x2 + x - 1 ise P(x) polinomunu bulunuz.
11. P(x) = ax2 + bx + c ve P(x + 2) + P(x - 2) = 6x2 - 4x + 2 ise P(x) polinomunu bulunuz.
12. P(x) = x3 - x2 + x - 1 ise aşağıdakileri hesaplayınız.
a. P (V 2- 1)
b. P(x - 1)c. P(x2)
234
ç. P(2x)d.
P(VĞ)
13. Aşağıdaki bölme işleminde bölüm ve kalanı bulunuz.
a. (5x3 - 2x2 - 7x + 8) : (x - 3)
b. (3x3 - 7x2 + 7x - 4) : (3x - 4)
c. x4 - 2x2 - 5x + 6) : (x2 - x + 3)
ç. (x3 - y3) : (x - y)
d. (x5 - 1) : (x - 1)
e. (x6 - 1) : (x2 - 1)
f. (x3 - 1) : (x - 1)
g. (x5 + 32) : (x + 2)
14. P(x) ve Q(x) polinomları için der[P(x) . Q(x)] = 10 ve der[P(x) : Q(x)] = 4 ise P(x) polinomunun
derecesini bulunuz.
10.7.1.3. BİR P(x) P O LİN O M U N U N Q (x) = x - a P O LİN O M U N A BÖ LÜNM ESİNDEN ELDE
EDİLEN K A LA N I B U LM A
BİLGİ
Bir P(x) polinomunun x - a ile bölünmesinden elde edilen kalan, P(x) polinomunda x yerine a
yazılarak bulunan P(a) değeridir.
x = a için P(a) = 0 ise x = a sayısına, P(x) = 0 polinom denkleminin b ir kökü (sıfırı) denir.
x = a için P(a) = 0 ^ x - a, P(x) polinomunun bir çarpanıdır.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
1. P(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 polinomunun Q(x) = x - 2 ile bölünmesinden elde edilen kalanı bölme
işlemi yapmadan bulalım.
P(x) x - 2
B(x) ^ P(x) = B(x) . (x - 2) + K(x)’tir (bölme eşitliği).
K(x)
Q(x) = x - 2 = 0 ^ x = 2’ dir. x = 2 değerini P(x) polinomunda ve bölme eşitliğinde yerine yazalım:
P(x) = x3 - 5x2 + 8x - 4 ^ P(2) = 23 - 5 . 22 + 8 . 2 - 4 = 8 - 20 + 16 - 4 = 0’ dır. 1
P(x) = B(x) . (x - 2) + K(x) ^ P(2) = P(2) = B(2) (2 - 2) + K(2) = K(2)’ dir. 2
1 ve 2 ’den P(2) = K(2) = 0’ dır.
O
0
hâlde, P(x) polinomunun x - 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan sıfırdır. P(2) = 0 oldu­
ğundan, (x - 2) polinomu P(x) polinomunun bir çarpanı ve x = 2'den P(x) = 0 polinom denkleminin
bir köküdür.
2.
P(x) = 2x3 + 7x2 + 3x - 9 polinomunun Q(x) = x + 2 polinomuna bölünmesiyle elde edilen kalanı
bölme işlemini yapmadan bulalım:
P(x) lx + 2
... B(x) ^ P(x) = B(x) . (x + 2) + K(x)’tir (bölme eşitliği).
K(X)
Q(x) = x + 2 = 0 ^ x = - 2 ’ dir. x = -2 değerini P(x) polinomunda ve bölme eşitliğinde yerine yazalım:
P(x) = 2x3 + 7x2 + 3x - 9 ^ P(-2)
= 2 . (-2 )3 + 7(-2)2 + 3(-2) - 9
= 2 . ( - 8) + 7 . 4 - 6 - 9 = -1 6 + 28 - 15 = - 3 ’tür. 1
235
P(x) = B(x) . (x + 2) + K(x) ^ P(-2) = B(-2) . (2 - 2) + K(-2) = K (-2)’dir.
1 ve 2 ’den P(-2) = K(-2) = -3 bulunur.
ÖRNEK
P(x) = x5 - 2x3 + ax - 7 polinomunun x + 1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 5 ise a gerçek
sayısını bulalım.
Çözüm
x + 1 = 0 ^ x = - 1’dir. P(x) polinomunun x + 1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 5 ise P(-1) = 5’tir.
P (-1) = ( - 1)5 - 2 (-1 )3 + a(-1) - 7 = 5
-1 + 2 - a - 7 = 5
- a = 5 + 6 ^ a = -11 bulunur.
ÖRNEK
P(x) = x4 - 5x3 + 7x - n polinomu x - 1 ile tam bölünebiliyorsa n değerini bulalım.
Çözüm
P(x) polinomu (x - 1) ile tam bölünebiliyorsa kalan sıfırdır.
x - 1 = 0 ^ x = 1 ve P(1) = k = 0 olmalıdır.
k = P(1) = 0 ^ P(1) = (1)4 - 5(1)3 + 7(1) - n = 0
1 - 5 + 7 - n = 0 - n = -3
ÖRNEK
n = 3 bulunur.
P(2x + 1) = x3 - 5x2 + mx + 6 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun (x - 3) ile bölünmesinden elde
edilen kalan 8 ise m değerini bulalım.
Çözüm
P(x) = (x - 3) . Q(x) + 8 ve x = 3 için P(3) = 8’dir.
2x + 1 = 3 ^ x = 1’dir. x = 1 için P(2x + 1) in değerini bulalım:
x = 1 ^ P(2 . 1 + 1) = (1)3 - 5(1)3 + m(1) + 6
P(3) = 1 - 5 + m + 6 = m + 2’dir.
P(3) = 8 ^ m + 2 = 8 den,
m = 6 bulunur.
ÖRNEK
P(x) = x5 + ax4 - 3x2 + bx - 5 polinomunun (x + 1) (x - 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan
K(x) = 5x - 9 ise a . b değerini bulalım.
Çözüm
P(x)
= (x+ 1) (x - 1) . Q(x) + K(x) ve K(x) = 5x
- 9’ dur.
x = 1 içinP(1) = K(1) ^ K(1) = 5 . 1 - 9 = 5 - 9
= - 4 ’tür.
x = -1 için P(-1)=K (- 1) ^ K(-1) = 5 . (-1) - 9 = -5 - 9 = -1 4 ’tür.
P(x) = x5 + ax4 - 3x2+ bx - 5 olduğundan,
P(1) = 1 + a - 3 + b - 5 = - 4
^ a + b = 3’tür.
1
P(-1) = -1 + a - 3 - b - 5 = -1 4 ^ a - b = - 5 ’tir. 2
1
ve 2 den, a = -1 ve b = 4 bulunur.
a . b = (-1) . 4 = - 4 ’tür.
236
ÖRNEK
P(x) = x3 + mx + n polinomu, x2 + 5x - 1 polinomu ile tam bölünebiliyorsa m + n değerini bulalım.
Çözüm
I. Yol
P(x) polinomu x2 + 5x - 1 polinomu ile tam bölünebiliyorsa bölüm (x + a) biçimindedir.
P(x) = x3 + mx + n = (x2 + 5x - 1) (x + a) olur.
= x3 + ax2 + 5x2 + 5ax - x - a = x3 +
(a +5)x2 +(5a- 1)x- a olur.
Polinomların eşitliğinden a + 5 = 0 ^ a= -5'tir.
5a - 1 = m ^ m = 5 . (-5) -1 = -2 5 - 1 = -26,
n = -a ^ n = -(-5 ) = 5’tir.
m + n = -2 6 + 5 = -21 bulunur.
II. Yol
P(x) = x3 + mx + n polinomunun x2 + 5x - 1 ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için
x2 + 5x - 1= 0 ^ x2 = -5 x + 1 olduğundan,
x2 yerine -5 x + 1 yazılır.
P(x) = x3 + mx + n = x2 . x + mx + n’ dir. x2 yerine -5 x + 1 yazalım:
K(x) = (-5x + 1) . x + mx + n = -5 x 2 + x + mx + n
= -5 (-5 x + 1) + x + mx + n
= 25x - 5 + x + mx + n = (26+ m)x +(n -
5) = 0’dır.
K(x) = 0 ve sıfır polinomunda her terimin katsayısı sıfır olduğundan,
26 + m = 0 ^ m = - 26 1
m + n = -21 bulunur.
n- 5 =0^ n=5
III. Yol
x3 + mx + n
x2 + 5x - 1
+ x3 + 5x2 ± x
x- 5
K(x) = (26 + m)x + n - 5 ve K(x) = 0 olduğundan,
K(x) = 0 ^ 26 + m = 0 ve n - 5 = 0’ dır.
- 5x2 + (m + 1)x + n
26 + m = 0 ^ m = -2 6 ’dır.
± 5x2 ± 25x + 5
n - 5 = 0 ^ n = 5’tir.
(26 + m)x + n - 5
<________ _________ J
m + n = -21 bulunur.
K(x)
ÖRNEK
der[P(x2) . Q(x)] = 14 ve der
4P3(x)
. Q3(x ).
= 3 ise [3P(x) + 4Q(x)] polinomunun derecesini bulalım.
Çözüm
der[P(x)] = a ^ der[P(x2)] = 2a, der[P3(x)] = 3a ve der[3P(x)] = a’dır.
der[Q(x)] = b ^ der[Q3(x)] = 3b ve der [4Q3(x)] = 3b’dir.
der[P(x2) . Q(x)] = 2a + b = 14 ve der!" 4P (x) = 3a - 3b = 3’tür.
L Q3(x) J
3/2a + b = 14
6a + 3b = 42
3a - 3b = 3
3a - 3b = 3
9a = 45
der[P(x)] > der[Q(x)] olduğundan,
der[3P(x) + 4Q(x)] = der[P(x)] = a = 5 bulunur.
237
a = 5 ve b = 4’tür.
ÖRNEK
P(x) = x9 - 5x7 + 6x4 - x3 + 7x - 10 polinomunun x2 - 2 ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulalım.
Çözüm
P(x) polinomu x2 - a ile bölündüğünde; bölüm B(x), kalan K(x) ise P(x) = (x2 - a). B(x) + K(x) yazı­
labilir. (x2 - a). B(x) + K(x) ifadesinde x2 yerine a yazılırsa K(x) kalanı elde edilir. Buna göre P(x) polino­
munun x2 - a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için x2 yerine a yazılır.
P(x) = x9 - 5x7 + 6x4 - x3 + 7x - 10 polinomunu x2 nin kuvvetleri biçiminde yazalım:
P(x) = (x2)4 . x - 5(x2)3 . x + 6(x2)2 - x2 . x + 7x - 10 olur. P(x) polinomunun x2 - 2 ile bölünmesinden
elde edilen kalan, x2 yerine 2 yazılarak bulunur.
Kalan : K(x) = (2)4 . x - 5(2)3 . x + 6(2)2 - (2) . x + 7x - 10
= 16x - 40x + 24 - 2x + 7x - 10 ^ K(x) = -19x + 14’tür.
Bir P(x) polinomunun;
1. x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalan, x2 yerine -a,
2. x2 - a ile bölünmesinden elde edilen kalan, x2 yerine a,
yazılarak bulunur.
ÖRNEK
P(x) = x 12 + x8 + 3x6 - 2ax2 + 4 polinomu x2 + 2 ile tam bölünebiliyorsa a’ nın alacağı değeri bu­
lalım.
Çözüm
I. Yol
P(x) polinomunu x2 nin kuvvetleri biçiminde yazalım.
P(x) = (x2)6 + (x2)4 + 3.(x2)3 - 2a.x2 + 4 olur.
x2 + 2 = 0 ^
x2 = - 2’ dir. P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan, x2 yerine
- 2 yazılarak bulunur.
P(x) polinomu x2 + 2 ile tam bölündüğünden kalan polinomu K(x) = 0’dır.
K(x) = (- 2)6 + ( - 2)4 + 3 (- 2)3 - 2a . ( - 2) + 4 = 0
64 + 16 - 24 + 4a + 4 = 0
4a = - 60 ^ a = - 15 bulunur.
II. Yol
x2 + 2 = 0 ^ x2 = - 2 ve x = + 7-2 = + 72 i’ dir.
P(x) = x 12 + x8 + 3x6 - 2ax2 + 4
ve x = 72 i ise
P(72 i) = (72 i) 12 + (72 i)8 + 3(72 i)6 - 2a(72 i)2 + 4
= 26 . i12 + 24 . i8 + 3.23 . i6 - 2a . 2 . i2 + 4(i12 = 1, i8 = 1, i6 = -1 , i2 = -1)
= 64.1 + 16.1 + 24.(-1) -4 a (-1 )+ 4
= 64 + 16 - 24 + 4a + 4
= 60 + 4a = 0 ^ 4a = - 60 ve a = - 15 bulunur.
238
10.7.1.4. KATSAYILARI TA M SAYI VE EN YÜKSEK DERECELİ TE R İM İN KATSAYISI
1 O LAN P O LİN O M LA R IN TA M SAYI SIFIRLARININ, SABİT TE R İM İN çA R P A N LA R I
A R A S IN D A O LDUĞ UNU GÖSTERME
ETKİNLİK
P(x) _ x2 - x - 6 polinomunda; P(-1), P(-2), P(-3), P(2) ve P(3) değerlerini bulunuz.
x’ in hangi tam sayı değerleri için p(x) _ 0 ’ dır.
P(x) _ 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz. Bulduğunuz köklerle P(x) polinomunun sabit teri­
minin çarpanlarını ve P(x)’ i sıfır yapan x tam sayılarını karşılaştırınız.
P(x) _ 0 denkleminin köklerinin P(x) polinomunun sabit teriminin çarpanları arasında olduğunu
fark ettiniz mi?
P(x) = anxn + an _1xn _1 + ... + arxr + ... + a2x2 + a.,x + a0 polinomunda an = 1 ve diğer katsayılar
birer tam sayı iken x 1 ¥ Z için P(x1) _ 0 ise x 1 tam sayısı a0 sabit teriminin bir çarpanıdır.
ÖRNEK
P(x) _ x4 - x3 - 7x2 + x + 6 polinomu veriliyor. P(1), P(-1), P(-2) ve P(3) değerlerini bulalım.
Çözüm
x! _ 1 ^ P(1) _ (1)4 - (1)3 - 7(1)2 + 1 + 6 _ 1 - 1 - 7 + 1 + 6 _ 8 - 8 _ 0,
x2 _ -1 ^ P(-1) _ (-1 )4 - ( - 1 )3 - 7 (-1 )2 + (-1) + 6 _ 1 + 1 - 7 - 1 + 6 _ 8 - 8 _ 0,
x3 _ -2 ^ P(-2) _ (-2 )4 - (-2 )3 - 7 (-2 )2 + (-2) + 6 _ 16 + 8 - 28 - 2 + 6 _ 30 - 30 _ 0 ve
x4 _ 3 ^ P(3) _ (3)4 - (3)3 - 7(3)2 + (3) + 6 _ 81 - 27 - 63 + 3 + 6 _ 90 - 90 _ 0’ dır.
P(1) _ 0, P(-1) _ 0, P(-2) _ 0 ve P(3) _ 0 ve (1) . (-1) . (-2) . (3) _ 6 olduğundan, P(x) polinomu­
nun tam sayı sıfırları (P(x) _ 0 denkleminin kökleri) a0 _ 6 teriminin çarpanları arasındadır.
ÖRNEK
P(x) _ x3 - 5x2 + ax + b polinomu (x + 1) (x - 3) çarpımı ile tam bölünebiliyorsa a + b değerini bu­
lalım.
Çözüm
P(x) polinomunun (x + 1) (x - 3) çarpımı ile tam bölünebilmesi için (x + 1) ve (x - 3) ile tam bölün­
mesi gerekir. Buna göre,
P(x) _ x3 - 5x2 + ax + b _ (x + 1) (x - 3) . Q(x) _ (x + 1) . B(x) _ (x - 3) . T(x) yazılır.
x + 1 _ 0 ^ x _ -1 ve P(-1) _ 0,
x - 3 _ 0 ^ x _ 3 ve P(3) _ 0 olmalıdır.
P(x) _ x3 - 5x2 + ax + b ve
P(-1) _ (-1 )3 - 5 . (-1 )2 + a(-1) + b _ 0 ^
-1 - 5 - a + b _ 0 ve -a + b _ 6’dır. 1
P(3) _ 33 - 5 . 32 + a . 3 + b _ 0 ^ 27 - 45 + 3a + b _ 0 ve 3a + b _ 18’dir. 2
1 ve 2 den, -a + b _ 6
+ 3a + b — + 18
-
4a _ -1 2 ^ a _ 3 ve -a + b _ 6 dan, -3 + b _ 6 ^ b _ 9’dur.
a + b _ 3 + 9 _ 12 bulunur.
239
ALIŞTIRMALAR ------------------------------------------------------------------1. P(x) polinomunun x2 - 3x + 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan 5x - 3 ise P(x) polinomunun
(x - 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?
2.
P(x) polinomunun x - 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan 7, 2x + 1 ile bölünmesinden elde
edilen kalan 2 ise P(x) polinomunun (x - 2) (2x + 1) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz.
3. Aşağıdaki ifadelerde noktalı yerleri doldurunuz.
a. P(x) = x4 - ax2 - 5x + 6 polinomunun x + 1 ile bölünmesinden elde edilen kalan k1, x + 2 ile
bölünmesinden elde edilen kalan k2’ dir. k2 = 2k1 ise a = ....
b. P(x) ve Q(x) polinomları için
P(x)
= B(x) polinomunun derecesi 1’dir.
Q(x)
P(x) . Q3(x) polinomunun derecesi 17, ise der[P(2x)] = ....
c. P(x) = x2 - ax + b polinomu, (x - 2)2 ile tam bölünebiliyorsa a . b =
4.
P(x) = x3 + mx2 +nx - 12 polinomunun çarpanlarından biri x2 + x + 3 ise m . n kaçtır?
A. -3
B. -2
C. 1
D. 2
E. 3
5. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. P(x) = (x2 - 3x - 1) . Q(x - 1) + 5x + 2 polinomu veriliyor. P(x) in katsayıları
toplamı - 8 ise Q(x) in sabit terimi 5’tir.
b. (x + 2) P(x) + x + m = x2 - 3x + 5 ise P(x) polinomunun x + 1 ile bölümünden
elde edilen kalan - 6’dır.
c. P(x) . Q(x) polinomunun derecesi 12,
P(x)
= B(x) polinomunun derecesi 2 ise
□
Q(x)
Q2(x) + P(x) polinomunun derecisi 10’dur.
3x + P(x + 3)
6 . ------------------- = 3x2 - x - 1 veriliyor. P(x) polinomunun x - 4 ile bölünmesinden elde edilen
Q(2 -x)
kalan 6 ise Q(x) polinomunun katsayıları toplamı kaçtır?
A. 10
7.
B. 9
C. 8
D. 7
E. 6
P(x) = 2x3 - 5x2 + nx + 6 polinomunun x - 1 ve x + 2 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar
birbirine eşit ise n kaçtır?
A. - 11
B. - 10
C. 8
D. 9
E. 11
8. Şekildeki kristal üçgen dik prizmanın hacmi V = x3 + 7x2 + 7x - 15 cm3 tür.
Bu ışık prizmasının yüksekliği h = x + 5 olduğuna göre taban alanını ifade
eden polinomu bulunuz.
9. (x - 2) . P(x + 2) = x3 - 2x2 - 4x + 8 ise P(x) polinomunu bulunuz.
10.
P(x - 2) - P(x + 2) = x3 ise
P(-4)
kaçtır?
P(4)
A. - 1
B. 0
D. 2
C. 1
240
E. 3
11. P(x - 2) = (x + 4)2 . Q(x -1 )’dir. P(x) polinomunun x + 4 ile bölünmesinden elde edilen kalan -20
ise Q(x) polinomunun x + 3 ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?
A. -5
B. -4
C. -3
D. 4
E. 5
12. P(x - 3) polinomunun x + 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan -1 , P(2x + 1) polinomunun x - 1
ile bölünmesinden elde edilen kalan 7 ise P(x) polinomunun x2 + 2x - 15 ile bölünmesinden elde
edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A. 2x
B. 2x + 1
C. - 2x - 1
D. x + 4
E. -2
13. P(x + 1) = x3 - 3x2 + 3x + 3 ise P(V2 + 2) kaçtır?
A. 2(V2"+ 1)
B. 2V2"+ 4
C. 4(V2 + 1)
D. 8
E. 12
14. P(x) polinomunun x - 2 ile bölünmesinden elde edilen bölüm B(x) ve kalan 7’dir. B(x) polinomu­
nun x + 1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 3 ise P(x) polinomunun x2 - x - 2 ile bölünmesin­
den elde edilen kalan aşağıdakilerden hangisidir?
A. 3x + 1
15. x4 - 4x3 - 2x2
A. 9
B. 3x - 1
C. 7x + 3
D. 3x + 7
E. 10
+ mx + n = (x2 + ax + b)2 ise m + n kaçtır?
B. 12
C. 15
D. 21
E. 24
16. P(x) = x3 + mx2 + nx + 18 polinomu, x2 - 6x + 9 ile tam bölünebildiğine göre m + n kaçtır?
A. - 8
17.
B. -7
P(x + 2) = (x2 - 7x - 4) . B(x + 1)
C. 5
D. 6
E. 7
+ 5x - 3 polinomu veriliyor. P(x) polinomununkatsayıları top­
lamı 12 ise B(x) polinomunun sabit terimi kaçtır?
A. -3
B. 0
C. 3
D. 4
E. 5
18. P(x) = x 12 + 3x9 - 2ax6 - x3 - 10 polinomu, x3 + 2 ile tam bölünebiliyorsa a kaçtır?
A. -2
B. -1
C. 2
D. 3
E. 4
19. Bir Q(x) polinomu için (x2 + 1) . Q(x) + mx + n = 4x9 - 5x7 + x5 - 2x2 + 3 ise m . n kaçtır?
A. -4 0
20.
B. -1 0
P(x) = (x - 6)2n + 1 + (x + 6)n + 2 .
C. 8
D. 40
E. 50
9P + 1 polinomu veriliyor. P(x) polinomunun(x- 3) ile tam bö-
lünebilmesi için n ile p arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
A. n = p
B. n = p + 1
C. n = 2p
D. n + p = 1
E. 2n = p
21. P(x) = (2x2 + x - 2)5 hesaplanırsa çift dereceli terimlerin katsayıları toplamı kaç olur?
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
241
E. 2
10.7.2. P O LİN O M LA R D A ç A R P A N L A R A AYIRM A
10.7.2.1. GERçEK KAT s AYILI BİR P O LİN O M U N çA R P A N LA R IN A A Y R ILM A s I
—
C
b İ l g İ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
• R(x) = P (x). Q(x) ise P(x) ve Q(x) polinomlarına, R(x) polinomunun çarpanları; R(x) polinomuna da
çarpanlarına ayrılabilen polinom denir.
• Bir polinomun iki ya da daha çok polinomun çarpımı biçiminde yazma işlemine bu polinomu çarpan­
larına ayırma denir.
ç a rp a n la ra A y ırm a y ö n te m le ri
O rtak çarpan Parantezine Alma
—
C
B i L G İ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bir polinomun ya da bir cebirsel ifadenin terimlerinde ortak çarpanlar varsa ortak çarpanların en
küçük üstlerinin çarpımı, bu polinomun her teriminin bir ortak çarpanıdır. Bu polinom ya da cebir­
sel ifade çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliğinden yararlanarak çarpanlarına
ayrılır.
ÖRNEK
• a(2 + ...) = 2a + ab işleminde noktalı yere b; ...(x - 2y) = 3x - 6y işleminde de noktalı yere 3 yazılır.
• 9a2 + 6a ifadesinin 9a2 terimi
larına ayrılır.
9a2 = 3 . 3 . a . a ve
6a terimi de
6a = 2 . 3 . a şeklinde çarpan­
Bu terimlerin ortak çarpanları 3 ve a olduğundan 9a2 + 6a ifadesi 3a parantezine alınabilir.
9a2 + 6a = 3a(3a + 2) olur.
ÖRNEK
15ax2y - 12axy2 + 3axy cebirsel ifadesini çarpanlarına ayıralım.
Çözüm
15ax2y - 12axy2 + 3axy ifadesinin her teriminde bulunan ortak çarpan 3axy’dir.
Bu ifade 3axy parantezine alınabilir.
15ax2y - 12axy2 + 3axy = 3axy(5x - 4y + 1) olur.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a. x4 - 5x2b. 8x3y - 20x4y2 - 4x2y3
c. x(a + 2) + y(a + 2)
ç. x(a - b) - a + bd. a(x - y) + b(y - x)
e. 4xn - 8x2n - 12x3n
Çözüm
a.
x4 - 5x2 = x2(x2 - 5)’tir.
b. 8x3y - 20x4y2 - 4x2y3 = 4x2y(2x - 5x2y - y2)’ dir.
c.
x(a + 2) + y(a + 2) = (a + 2)(x + y)’ dir.
ç.
x(a - b) - a + b = x(a - b) - (a - b)
= (a - b) (x - 1)’dir.
242
d. a(x - y) + b(y - x) = a(x - y) - b(x - y)
= (x - y) (a - b)’dir.
[y - x = - (x - y)]
e. 4xn - 8x2n - 12x3n = 4 . xn - 2 . 4 . xn . xn - 3 . 4xn . x2n
= 4xn(1 - 2xn - 3x2n)’ dir.
Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma
—
t f
BİLGİ
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Verilen polinom ya da bir cebirsel ifadenin her teriminde ortak çarpan yoksa ortak çarpanı olan
terimler kendi aralarında gruplandırılır. Her grup, parantez içindeki ifadeleri aynı olacak biçimde
çarpanlarına ayrılır. Sonra gruplar ortak çarpan parantezine alınır.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım
a. x2 - x - y + xy
b. x2 + (a - b)x - ab
c. m3 + m2 - m - 1
ç. x (1 + y2) - y(1 + x2)
d. (xy + ab)2 + (ax - by)2
e. mx2 + nxy + px + mxy + ny2 + py
Çözüm
a.
x2 - x - y + xy = (x2 - x) + (xy - y)
= x(x - 1) + y(x - 1) = (x - 1) (x + y)’ dir.
b.
x2 + (a - b)x - ab = x2 + ax - bx - ab
= x(x + a) - b(x + a) = (x + a)
c.
(x - b)’dir.
m3+ m2 - m - 1 = (m3 + m2) - (m + 1)
= m2(m + 1) - (m + 1)
= (m + 1) (m2 - 1) = (m + 1) (m - 1) (m + 1)’ dir.
ç. x (1 + y2) - y (1 + x2) = x + xy2 -
y - yx2
= (xy2 - yx2) + (x - y)
= xy(y - x) - 1(y - x) = (y - x) (xy - 1)’ dir.
d.
(xy + ab)2 + (ax - by)2 = x2y2 + 2xyab + a2b2 + a2x2 - 2xyab+ b2y2
= (x2y2 + a2x2) + (a2b2 + b2y2)
= x2(y2+a2) + b2(a2 + y2) = (a2 + y2)(x2 + b2)’ dir.
e.
mx2+ nxy + px + mxy + ny2 + py = (mx2 + mxy) + (nxy + ny2) + (px + py)
= mx(x + y) + ny(x + y) +
= (x + y) (mx + ny + p)’dir.
243
p(x+ y)
1.
2.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. 16x3 + 12x2 - 4x
b. 2x(x - 3y) + 2y(x - 3y) - x + 3y
c. 14x3y2 - 21x4y3 + 28xy2
ç. (2a - 3x)(3c - 2d) + (3c - 2d) (a + 2x)
d. 3x(a + b) - 4y(a + b)
e. (a - b)2(c - a) - (a - c)2(a - b)
f. 2a(x - y) - x + y
g. x(b + c) - b - c
h. x(a + b) + y(b + a)
ı. (a + b)2 - (a + b)
i. b(x + y) - c(y + x)
j. 3a(a2 - b) - 2b(b - a2)
k. 3m(a - b) + 2n(b - a)
l. x - y - a(y - x)
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. 2a3 + 3a2 + 2a + 3
b. x2 + 5ax - 2xy - 10ay
c. abc + mnbc - ay - mny
ç. mn(x2 + y2) + xy(m2 + n2)
d. ab + cb - ad - cd
e. (ab + cd)2 + (ac - bd)2
f. x(x - y + x2y) - 1
g. 2a2 - 5a - 6ab + 15b
h. x2 - 1 - xa - a
ı. a3 - a2 - a + 1
i. xy2 - 1 + x - y2
j. x2 - cx - dx + cd
k. 1 + c2 + cd + c3d
l. 1 + x2y2 - x2 - y2
m. b(c2 - 1) + c(b2 - 1)
n. x2y2 + ay - y3 - ax2
o. x3 + y - x2y - x
p. 1 + x(x + y + x2y)
Tam Kare (a + b)2, İk i Kare Farkı (a2 - b2), İki Terimin Toplamının ve Farkının Küpü (a + b)3,
İk i Terimin Küplerinin Toplamı ve Farkına (a3 + b3) A it Özdeşlikleri Kullanarak çarpanlara
Ayırma
=
•
BİLs i
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bir eşitlik, eşitlikte bulunan değişkenin her değeri için sağlanıyorsa bu eşitlik, bir ö zde şliktir.
Eşitlik değişkenin özel değeri ya da özel değerleri için sağlanıyorsa bu eşitlik de bir denklem ­
dir.
•
(x - 1)2 - 1 = x2 - 2x eşitliği bir özdeşlik; x2 + 2x = 15 eşitliği bir denklemdir.
244
Tam Kare Özdeşliği
j—
•
C BİLGİ
_
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
İki terimli bir ifadenin karesi; birinci terimin karesi, birinci terim ile ikinci terimin çarpımının iki katı
ve ikinci terimin karesinin cebirsel toplamıdır.
• (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ^ a2 + b2 = (a + b)2 -
2ab ve
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ^ a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab’ dir.
• (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc’ dir.
ÖRNEK
Aşağıda verilen ifadelerin özdeşlerini yazalım.
a. (x - 5)2
b. (3x + 1)2
Çözüm
a. (x - 5)2 = (x)2 + 2 . x . ( -5 ) + (- 5)2
= x2 - 10x + 25
ve
b. (3x + 1)2 = (3x)2 + 2 . 3x . 1 + (1)2
= 9x2 + 6x + 1’ dir.
ÖRNEK
x2 + 3x + k ifadesi bir tam kare ise k gerçek sayısını bulalım.
Çözüm
x2 + 3x + k ifadesi bir tam kare ise bu ifade,
3
x2 + 3x + k = (x)2 + 2 . x . — + (Vk )2 biçiminde yazılır.
Bu yazılışa göre
x2 + 3x + k = (x + — )2 = x2 + 3x + — olur.
2
4
O hâlde, k = — ’tür.
4
ÖRNEK
a + b + c = 9 ve ab + ac + bc = 26 ise
a2 + b2 + c2 değerini bulalım.
Çözüm
a + b + c = 9 ^ (a + b + c)2 = 92 ve
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 81
a2+ b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 81
a2 + b2 + c2 + 2 . 26 = 81
a2 + b2 + c2 = 81 - 52 = 29 bulunur.
Tam Kare Özdeşliğinden yararlanarak çarpanlara Ayırma
—
C BiLGİ
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Verilen bir üç terimli, bir iki terimlinin karesinin özdeşi ise çarpanlarına ayrılabilir.
245
ÖRNEK
Aşağıda verilen ifadelerin bir tam kare olduğunu gösterelim ve tam kare özdeşliğine göre çarpan­
larına ayıralım.
x 1
b. x2 -------+ —
2
16
a. 25x2 - 10x + 1
Çözüm
a. 25x2 - 10x + 1 ifadesi, iki terimlinin karesi tanımına uygun olduğundan bir tam karedir.
1
1
1
(5x)2
12
2 . 5x . 1
25x2 - 10 x + 1 _ (5x - 1)2
_ (5x - 1) (5x - 1)’dir.
x 1
b. x2 + — + 1 6
(x)2
ifadesi, iki terimlinin karesi tanımına uygun olduğundan bir tam karedir.
1 (1 )2
2.x.(1) (4 J
x2 + — + - 1 - _ (x + — )2 _ (x + — ) (x + — )’tür.
2
16
v
4
v
4
4
ÖRNEK
1
1
3x + — _ 5 ise 9x2 + —2 ifadesinin değerini bulalım.
Çözüm
I. Yol: a2 + b2 _ (a + b)2 - 2ab özdeşliğinden,
9x2 + 4 t _ (3x + —)2 - 2 . 3x . — _ 52 - 2 . 3 _ 25 - 6 _ 19 bulunur.
x2
x
x
II. Yol: 3x + — _ 5 ^ (3x + — )2 _ 52
x
x
1
1
1
9x2 + 2 . 3x . — + — _ 25 ^ 9x2 + — _ 25 - 6 _ 19 bulunur.
x
x2
x2
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. x2 - 14x + 49
ç. 2 5 a2 - 15ab + 9b2
f. 2a2b - 4ab + 2b
2.
b. x2
x2 - x + -4 x2
x 4 1
d. — + — + —
4
3
9
g. (x - 3)2 - 12 (x - 3) - 36
25x2 + 7x + c _ (5x + n)2 ise c değerini bulunuz.
246
c. 2m2 + 4m + 2
1 2
1
e. —~z +------- I zr
a2 ab b2
İki Kare Farkı Özdeşliği
BİLGİ
İki terimin toplam ve farkının çarpımı ile elde edilen ifade, iki kare farkıdır.
ÖRNEKLER
(2x - 1) (2x + 1) = (2x)2 - (1)2 = 4x2 - 1’dir.
(3x - 5y) (3x + 5y) = (3x)2 - (5y)2 = 9x2 - 25y2 dir.
(75 - 72) (75 + 72) = (75)2 - (72)2 = 5 - 2 = 3’tür.
ÖRNEK
Toplamları 11, farkları 7 olan iki sayının kareleri farkını bulalım.
Çözüm
Sayılar x ve y ise x + y = 11 ve x - y = 7’dir.
(x + y) (x - y) = 11.7 ^ x2 - y2 = 77 bulunur.
İki Kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma
tA
BİLGİ
İki terimli iki kare farkı, terimlerinin kareköklerinin toplamının ve farkının çarpımı şeklinde yazıla­
rak çarpanlarına ayrılır.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a. 295 - x2
ç. 9(x - 2)2 -
b. (x - 3)2 -2 5
c. (2a +b)2 - (a - 3b)2
16(x + 1)2d. x2 - 6x + 9 - y2
Çözüm
a. A - J L = ( i - 1 (3 + I V t , .
25 x2 ^5 x ' ' 5
x'
b. (x - 3)2 -2 5 = [(x - 3) - 5] [(x - 3)
+ 5] = (x - 3 - 5) (x- 3+ 5) =(x - 8)(x + 2)’dir.
c. (2a + b)2 - (a - 3b)2 = [(2a + b) - (a - 3b)] [(2a + b) +(a - 3b)]
= (2a + b - a + 3b)(2a + b + a - 3b) = (a + 4b)(3a - 2b)’ dir.
ç. 9(x- 2)2 - 16(x + 1)2 = [3(x - 2) - 4(x + 1)] [3(x - 2) + 4(x + 1)]
= (3x - 6 - 4x - 4)(3x - 6 + 4x + 4) = (-x - 10)(7x - 2)’dir.
d. x2 - 6x + 9 - y2 = (x - 3)2 - y2 = [(x - 3) - y] [(x - 3) + y]
= (x - 3 - y) (x - 3 + y) = (x - y - 3) (x + y - 3)’tür.
ÖRNEK
7632 - 237 2
. .
. . .
------------------ işleminin sonucunu bulalım.
5.26
Çözüm
7632 - 237 2
(763 - 237) (763 + 237)526.1000
------------------ = -----------2
2 = 103 . 102 = 105 bulunur.
5.26
526 . 10-2
526 . 10-2
247
,
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. 16x2 - 1
b. 3x2 - 12
c. (a + b)2 - 9
ç. (x + 1)2 - (y - 1)2
d. 4(x - y)2 - 25
e. 9(x + 3)2 - (y - 1)2
f. x4 - 1
g. (x2 + y2 - a2)2 - 4x2y2
h. 25 - (x - 4)2
ı. 1 - (x + y)2
i. x3 - 4x
j. x - 4x(y - 1)2
k. (a - b)2 - 36
l. 4x5 - x3
m ■(x + ^ ), 2 - ( v■
4
4x - 33 2
n. (a2 - a - 8)2 - 4(2a - 1)2
2.
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
a.
1012 - 992
b.
512 - 492
3.
422 + 302
232 - 142
a = 992 ise 97 . 101 işleminin sonucunu a’türünden bulunuz.
4.
x2 + -1
= 4 ise (x + — ) değerini bulunuz.
5.
2x + — = —
2x
4
6.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
ise 22x + - 2 - değerini bulunuz.
22x
a. a2 - b2 - 6b - 9
b. x2 - y2 - a2 - 2ay
c. a2 - b2 - 4a + 4b
ç. x2 - y2 - 1 - 2y
d. x(x - 3) - y(y - 3)
e. a2 - 2ab + b2 - 16
f. (x2 - 3x - 1)2 - 9
g. x2 - 4x + 4 - y2 - 2by - b2
h. x2 - 2x + 1 - y2 + 6y - 9
ı. (3a - 5) (5a + 3) - (a + 4)(6a - 10)
i. x2 + 6x + 9 - a2
j. x2 - 2x + 1 - y2
k. a2 - x2 + 4xy - 4y2
l. m2 - 2m + 1 - a2 + 2ab - b2
m. 4a2 - 25b2 + 2a + 5b
n. x4 + y4 - 18x2y2
o. x3 - 2x2 - 5x + 6
p. 2x3 - 3x2 - 3x + 2
r. x2 - y2 - 10y - 25
s. x2 - y2 - x2z2 + 2xyz
ş. x3 + y - x2y - x
t. 1 - a2 - b2 + 2ab
u. a2 - (2b - 3c)a - 6bc
ü. x2 + xy - 2y2 + x - y
v. (a2 + 3a + 1)2 - (2a + 3)2
y. ax - 2y - bx + by + 2x - ay
248
İk i T e rim in T o p la m ın ın ve Farkının K üpü Ö zd e şliğ i
= | |
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM ----------------------------------------------------------
İki terimlinin küpü, kendisinin kendisi ile 3 kez çarpımı ile bulunur.
(x + y)3 = (x + y) (x + y) (x + y) = (x + y) (x + y)2
= (x + y) (x2 + 2xy + y2)
= x3 + 2x2y + xy2 + yx2 + 2xy2 + y3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 tür.
İki terimli bir ifadenin küpünü alma işlemi; birinci terimin küpü, birinci terimin karesi ile ikinci terimin
çarpımının üç katı, ikinci terimin karesi ile birinci terimin çarpımının üç katı ve ikinci terimin küpünün
cebirsel toplamı olarak ifade edilir.
• (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 özdeşliğinde y yerine - y yazılırsa
[(x + (-y)]3 = x3 + 3x2(-y) + 3x(-y)2 + (-y)3
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3 elde edilir. Bu da iki terimin farkının küpüdür.
• (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3,
= x3 + y3 + 3xy(x + y) ^ x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y)’dir.
• (x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
= x3 - y3 - 3xy(x - y) ^ x3 - y3 = (x - y)3 + 3xy(x - y)’ dir.
ÖRNEK
Aşağıdaki küp alma işlemini yapalım.
a. (x - 2)3
b. (2x + 3)3
Çözüm
a. (x - 2)3 = x3 + 3 . x2 . (-2) + 3 . x . (-2)2 + (-2)3
= x3 - 6x2 + 12x - 8’ dir.
b. (2x + 3)3 = (2x)3 + 3. (2x)2 . 3 + 3 .2x . 32 + 33
= 8x3 + 36x2 + 54x + 27’ dir.
ÖRNEK
P(x) = x3 - 3x2 + 3x + 4 - 3V3" ise P(V3~+ 1) in değerini bulalım.
Çözüm
(x - 1)3 = x3 - 3x2 + 3x - 1 olduğundan, P(x) = (x - 1)3 + 5 - 3V3"şeklinde yazılır.
x = V3"+1 ^ P(Vâ" + 1) = [V3 + 1 - 1]3 + 5 - 3V3"= (V3)3 + 5 - 3 V3
= 3^3" + 5 - 3^3" = 5 bulunur.
ÖRNEK
x3 + y3 = 91 ve x + y = 7 ise x . y değerini bulalım.
Çözüm
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y) ^ 91 = 73 - 3xy . 7
^ 21xy = 343 - 91 = 252 ^ xy =
249
252
= 12’dir.
İki Terimin Küplerinin Toplamı ve Farkına Ait Özdeşlikler
İn c eleyerek
ö ğ r enelİm
------------------------------------------------------------------------
İki terimlinin küpü özdeşliğinden elde ettiğiniz eşitliklerden aşağıdaki özdeşlikleri yazabiliriz.
x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy (x + y)
= (x + y) [(x + y)2 - 3xy]= (x + y) (x2 + 2xy + y2 - 3xy)
= (x + y) (x2 - xy + y2) bulunur.
x3 - y3 = (x - y)3 + 3xy (x - y)
= (x - y) [(x - y)2 + 3xy] = (x - y) (x2 - 2xy + y2 + 3xy)
= (x - y) (x2 + xy + y2) bulunur.
Bu özdeşliklere iki küp toplamının ya da farkının özdeşi denir.
İk i Küp T o plam ı ya da Farkı Ö zd e ş liğ in d e n y a ra rla n a ra k ç a rp a n la ra A yırm a
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a. x3 - 27y3
ç. 8a3 - 125b3
b. 8a3 + 1
d. (a + b)3 + 8
c. x3 - 1
e. 125x - 64x4
Çözüm
a. x3 - 27y3 = (x)3 - (3y)3 = (x - 3y)[(x)2 + x . (3y) + (3y)2] = (x - 3y)(x2 + 3xy + 9y2)’ dir.
b. 8a3 + 1 = (2a)3 + 13 = (2a + 1) [(2a)2 - 2a . 1 + 12] = (2a + 1)(4a2 - 2a + 1)’dir.
c. x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1)’dir.
ç. 8a3 - 125 b3 = (2a - 5b) [(2a)2 + 2a . 5b + (5b)2] = (2a - 5b)(4a2 + 10ab + 25b2]’ dir.
d. (a + b)3 + 8 = [(a + b) + 2] . [(a + b)2 - (a + b) . 2 + 22] = (a + b + 2)[(a + b)2 - 2(a + b) +4]’tür.
e. 125x - 64x4 = x[53 - (4x)3] = x(5 - 4x)(25 + 20x + 16x2)’ dir.
ÖRNEK
2a + — = 6 ise 2a - — ve 8a3 - -1
a
a
ifadesinin değerini bulalım.
a3
Çözüm
2a + — = 6 ^ (2a + — )2 = 62 ^ 4a2 + 4 + 1 = 36 ^ 4a2 + 1 = 36 - 4 = 32’dir.
a
a
a2
a2
(2a - — )2 = 4a2 - 4 + — =4a2 + — - 4 = 32 - 4= 28’ dir.
a
a2
a2
(2a - — )2 = 28 ^ 2a - — = +V28 = + 2V7 ’dir.
a
a
8a3 - — = (2a - — )3 + 3 . 2a . — (2a - — )’dır.
a3
aaa
2a - — = 2 V 7 ^ 8a3 - —ğ = (2V7)3 + 3 . 2 . 2V7 = 56V7 + 12^7= 68V7" bulunur.
a
a
2a - — = -2 V 7 ^ 8a3 - —ğ = ( - 2V7)3 + 3 . 2 (-2 V 7 ) = -5 6 V 7 - 12V7 = -6 8 V7"bulunur.
a
a
250
ALIŞTIRMALAR
1.
2.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. x3 - 8
b. 3y3 + 81
c. x2 + x5
ç. 64a4 + a
d. x4 - x
e. 8x3 - 125y3
f. (x + y)3 - 27
g. 8 - (a- b)3
h. x4 + 27x
ı. 64x6 - —
27
k. x3y3 - 1
i. 1 - (x + y)3
j. 27x4 + 8y3x
l. 7x3y3 - 56
m . 3 x 4 + 3x
Özdeşliklerinden yararlanarak aşağıdaki alıştırmalarda istenenleri bulunuz.
a. a + — = 4 ise a2 + 1 kaçtır?
a
a2
b. a + — = 3 ise a3 + \ kaçtır?
a
a3
c. x - — = 2 ise x2 + -1 kaçtır?
x
x2
ç. x - y = 5 ve x . y = 4 ise x2 + y2 kaçtır?
d. x + y = 3 ve x . y = 2 ise x2 + y2 kaçtır?
e. x2 + y2 = 10 ve x + y = 3 ise x . y kaçtır?
f. x + y = 4 ve x . y = 3 ise x3 + y3 kaçtır?
g. x - y = 2 ve x . y = 3 ise x3 - y3 kaçtır?
h. 2x + — = 3 ise 8x3 + 1 kaçtır?
x
x3
ı. x2 + y2 = 17 ve x . y = 4 ise x3 + y3 kaçtır?
x3 - y3
: (x2 - y2) ifadesinin sonucunu bulunuz.
3.
x = 3,581, y = 6, 419 ise
4.
x2 - y2 + 6x + 6y
x + y = 8 ise ----- ------------- -—
x2 - (y - 6)2
5.
Çevresinin uzunluğu 46 cm ve köşegen uzunluğu 17 cm olan dikdörtgenin alanı kaç cm2 dir?
A. 72
6.
B. 96
x2 + xy + y2
ifadesinin değeri kaçtır?
C. 108
D. 120
E. 144
P(x - 2) = x3 - 3x2 + 3x - 5 ise P(3V5~- 1) değerini bulunuz.
B ir P o lin o m a B ir T e rim E kle yip ç ık a ra ra k ç a rp a n la ra A yırm a
=
C
BİLGİ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bir polinoma terim ekleyip çıkararak çarpanlara ayırmada, verilen polinomu iki kare farkına dönüş­
türebilecek uygun bir terim eklenir ve çıkarılır.
ÖRNEK
Aşağıdaki polinomları terim ekleyip çıkararak çarpanlarına ayıralım.
a. P(x) = x2 + 6x + 8
b. P(x) = 9x4 - 7x2 + 1c.P(x)=
251
x3 + 3x2 + 3x + 2
Çözüm
a. P(x) = x2 + 6x + 8 polinomuna 1 sayısını ekleyip çıkaralım.
P(x) = x2 +
6x + 8 + 1 - 1 = x2 + 6x + 9 - 1
= (x + 3)2 - 12
= [(x + 3) - 1 [(x + 3) + 1 = (x + 3 - 1) (x + 3 + 1)
= (x + 2) (x + 4) ve
P(x) polinomu, P(x) = (x + 2) (x + 4) şeklinde çarpanlarına ayrılmış olur.
b. P(x) = 9x4 - 7x2 + 1 polinomuna x2 yi ekleyip çıkaralım.
P(x) = 9x4 - 7x2 + 1 + x2 - x2
= 9x4 - 6x2 + 1 - x2
= (3x2 - 1)2 - x2 = [(3x2 - 1) -x] [(3x2 - 1) + x]
= (3x2 - 1 - x) (3x2 - 1 + x) ve
P(x) polinomu P(x) = (3x2 - x - 1)(3x2 + x - 1) şeklinde çarpanlarına ayrılmış olur.
c. P(x) = x3 +3x2 + 3x + 2 polinomuna 1 sayısını çıkarıp ekleyelim.
P(x) = x3+ 3x2 + 3x + 2 - 1 + 1 = x3 + 3x2 + 3x + 1 + 1 = (x + 1)3 + 13 ve
P(x) polinomu iki küp toplamı olduğundan,
P(x) = (x + 1)3 + 13 = [(x + 1)
+ 1 [(x + 1)2 - (x + 1) . 1 + 12]
= (x + 1 + 1) (x2 + 2x + 1 - x - 1 + 1) = (x + 2) (x2 + x + 1) şeklinde çarpanla­
rına ayrılmış olur.
ÖRNEK
Aşağıdaki polinomları terim ekleyip çıkararak çarpanlarına ayıralım.
a. a4 + a2b2 + b4
b. x4 + 4y4
Çözüm
a. a4 + a2b2 + b4 ifadesine
a2b2 terimini ekleyip çıkaralım.
a4 + a2b2 + b4 + a2b2 - a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 - a2b2
= (a2 + b2)2 - (ab)2 = (a2 + b2 -ab) (a2 + b2 + ab) olur.
b. x4 + 4y4 ifadesine 4x2y2 terimini ekleyip çıkaralım:
x4 + 4y4 + 4x2y2 - 4x2y2 =
x4 + 4x2y2 + 4y4 - 4x2y2
=(x2 + 2y2)2 - (2xy)2 = (x2 + 2y2 - 2xy) (x2 +
2y2 + 2xy) olur.
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki ifadeleri (terim ekleyip çıkarma yöntemi ile) çarpanlarına ayırınız.
a. x2 + 4x - 5
b. x2 - 8x + 7
c. x2 - 10x + 21
ç. x4 - 6x2 + 1
d. a4 + a2 + 1
e. 16x4 - 9x2 + 1
f. 4y4 - 13y2 + 1
ı. x6 + 6x3 + 5
2.
g. x4 - 10x2 + 16
i. x4 + x2 + 25
h. 64x4 + 1
j. x4 + 64
Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırınız.
a. P(x) = x3 - 6x2 + 12x + 9
b. Q(x) = x3 + 9x2 + 27x + 28
252
x2 + bx + c ve ax2 + bx + c Biçimindeki İfadelerin Çarpanlara Ayrılması
=
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM ---------------------------------------------------------
x2' + bx + c ifadesinin çarpanları x + n ve x + m ise
x2 + bx + c _ (x + n) (x + m) _ x2 + mx + nx + mn _ x2 + (m + n)x + mn olur.
Polinomların eşitliğinden m + n _ b ve n . m _ c’dir.
Toplamları ve çarpımları bilinen sayılar bulunur.
İlk ve son terimin çarpanları aşağıdaki gibi yazılır. Oklarla gösterilen terimlerin çarpımlarının topla­
mı ortadaki terimi vermelidir.
x2 + bx + c
x
x
n ^ (x + n)
m ^ (x + m)
x2 + bx + c _ (x + n) (x + m) yazılır.
mx + nx _ (m + n)x _ bx
•
ax2 + bx + c ifadesinin çarpanları (mx + n) ve (px + r) ise
ax2 + bx + c _ (mx + n) (px + r) _ mpx2 + mrx + npx + nr _ mpx2 + (mr + np)x + nr olur.
Polinomların eşitliğinden; m . p _ a, m . r + n . p _ b v e n . r _ c’ dir. Bu eşitliklerden m, n, p ve r
bulunur.
İlk ve son terimin çarpanları aşağıdaki gibi yazılır. Oklarla gösterilen terimlerin çarpımlarının topla­
mı ortadaki terimi vermelidir.
ax2 + bx + c
mx ^ . ^ ^ n ^ (mx + n)
px
r ^ (px + r)
ax2 + bx + c _ (mx + n) (px + r) yazılır.
mrx + pnx _ bx
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a. x2 + 9x + 14
b. 2x2 - 5x - 12
Çözüm
a. x2 + 9x + 14 ifadesi aşağıdaki yollarla çarpanlarına ayrılabilir.
I. Yol
İ
t
x2 + 9x + 14 _ x2 + (m + n)x + m . n ^ x2 + 9x + 14 _ (x + 2) (x + 7)’dir.
A
—
■
------------- *
2 + 7 2 .7
II. Yol
İki kare farkı haline getirme
x2 + 9x
+ 14 _ x2 + 9x + 14 + (-2)2 - (-2)2 _ (x + "~)2 + 14 - “ 1 _ (x + -9 )2 - (“2 )2
_ (x + "2“ - f ) (x + "2" + | " ) _ (x + 2) (x + 7) olur.
III. Yol
Ortadaki terim iki terimin toplamı şeklinde yazılarak ortak çarpan parantezine alma işlemi yapılır.
x2 + 9x + 14 ifadesinde 9x terimini 9x _ 2x + 7x biçiminde yazalım:
x2 + 9x
+ 14 _ x2 + 2x + 7x + 14 _ x(x + 2) + 7(x + 2) _ (x + 2) (x +7) olur.
253
b.
2x2 - 5x - 12 ifadesi de arka sayfada verilen yollarla çarpanlarına ayrılabilir.
I. Yol
2 x 2 - 5x - 12
(2x + 3)
(x - 4)
2x2 - 5x - 12 = (2x + 3) (x - 4)
-8 x + 3x = -5 x
II.Yol
2x2 - 5x - 12 = 2x2 - 8x + 3x - 12 = 2x(x - 4) + 3(x - 4) = (x - 4) (2x + 3)’tür.
—
1.
2.
ALI ŞTI RMALAR --------------------------------------------Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. x2 + 4x - 21
b. x2 - 2x - 15
c. x2
ç. x2 + 3x - 10
d. x2 + 17x + 60
e. x2 + 10x + 24
f. x2 - 5x - 14
g. x2 + 5x + 6
h. x2 + 9x + 8
x- 6
Aşağıdaki polinomları çarpanlarına ayırınız.
a.
5x2 - 9x - 2
b. 5x2 + 3x - 8
c. 9x2 - 17 - 2
ç. 2x2 + 17x + 35
d. 3x2 - 5x + 2
e. 2x2 + 5x - 3
f. 12x2 - 16x - 35
g. 3x2 + 13x + 4
h. 4x2 - 4xy - 3y2
D eğişken D e ğ iş tirm e ile Ç arpanlara A yırm a
A
BİLGİ
Değişken değiştirme yönteminde, verilen ifadedeki değişkenin ya da belli bir ifadenin yerine yeni bir
değişken yazılarak verilen ifade sade hâle getirilir. Sade hâle gelmiş ifade çarpanlarına ayrılır. Bulu­
nan çarpanlardaki değişken yerine eşitleri yazılır.
ÖRNEK
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayıralım.
a. x4 + 7x2 + 10
b. (a - b)2 - 2(a - b) - 15c.
52x + 5x - 6
Çözüm
a. x4 + 7x2 + 10 ifadesinde x2 yerine t yazalım.
x4 + 7x2 + 10 = t2 + 7t + 10 = (t + 2) (t + 5) =(x2 + 2) (x2 + 5) olur.
A
2 .5
b. Verilen ifadede (a - b) yerine t yazalım.
(a - b)2 - 2 (a - b) - 15 = t2 - 2t - 15 = (t - 5) (t + 3) = (a - b - 5) (a - b + 3) olur.
A
- 5 .3
c. 52x + 5x - 6 ifadesinde 52x = (5x)2’dir. 5x yerine t yazalım (5x = t).
(5x)2 + 5x _ 6 = ,2 + t - 6 = (t - 2)(t + 3)= (5x - 2)(5x + 3) 0,u,
- 2 .3
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a. (x + y)2 - 7(x + y) + 12
b. (x2 - 3x)2 - 2(x2 - 3x) - 8
ç. 3(a + 1)2 - 20(a + 1) - 63
d. x6 + 6x3 + 5
254
c. y4 - 4y2 - 5
e. 6x4 + x2 - 1
10.7.3. PO LIN O M VE R A sY O N EL DENKLEM LERİN ç O Z U M KÜMELERİ
o
10.7.3.1. RA s YONEL İFADELER VE RA s YONEL İFADELERİN sADELEŞTİRİLMEsİ
ÖRNEK
x3 + x
x2 - 1
ve -------- ifadeleri birer rasyonel ifadedir. Vx2 + 1 ve
x+1
x- 1
ifade değildir.
x+1
x
Rasyonel İfadelerin sadeleştirilmesi
ÖRNEK
(x + 1)2 - 9
rasyonel ifadesini sadeleştirelim.
x2 - 5x + 6
Çözüm
(x
+1)2- 9 = [(x + 1) - 3] [(x + 1) +
x2 - 5x + 6
3]
(x - 2) (x - 3)
= (x -2)(x + 4) = x + 4 olur
(x - 2)(x - 3)
x- 3
ÖRNEK
Aşağıda verilen ifadeleri sadeleştirelim.
a. 3x3y - 18x2y2 + 27xy3
6x2y2 - 54y4
c.
x3 - 8
x2y2 + 2xy2 + 4y2
d. 25 - (x - 2)2
14 + 5x - x2
b. a3 + a2 - a - 1
a3 + a2 + a + 1
ç.
x3m - y3m
xm - ym
e. x(x - y + x2y) - 1
3x2 - 3
255
Vx2 + 1 ■
ifadesi rasyonel
x
Çözüm
a.
3x3y - 18x2y2 + 27xy3 _ 3xy(x2 - 6xy + 9y2)
6x2y2 - 54y4
6y2(x2 - 9y2)
_ x(x - 3y)(x - 3y)
2y(x - 3y) (x + 3y)
_ x(x - 3y) ,d,r.
2y(x + 3y)
b.
a3 + a2 - a - 1 _ a2 (a + 1) - (a + 1) _ (a + 1) (a2 - 1)
a3 + a2 + a + 1a2 (a + 1) + (a + 1)
(a + 1) (a2 + 1)
- a2 - 1 'dir.
a2 + 1
x3 - 8
(x - 2) (x2 + 2x + 4)
x2y2 + 2xy2 + 4y2
y2(x2 + 2x + 4)
c.
- ü - 2_,dir.
y
ç.
x3m - y3m _
xm - ym
(xm)3 - (ym)3
xm - ym
_ (xm - ym)(x2m + xm ym +y2m)
xm - ym
_ x2m + xmym + y2m dir.
d . 25 - (x - 2)2 _ [5 - (x - 2)] [5 + (x - 2)]
14 + 5x - x2
(2 + x) (7 - x)
_ (7 - x) (3 + x) _ (x + 3) ,di
dir.
(2 + x) (7 - x) (x + 2)
e.
x(x - y + x2y) - 1 _ x2 - xy + x3y - 1
3x2 - 3
3(x2 - 1)
_ x2 (1 + xy) - (1+xy)
3(x2 - 1)
_ (1 + xy)(x2 - 1) _ xy + 1 ,tür.
3(x2 - 1)
3
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki ifadeleri çarpanlarına ayırınız.
a.
x2 - 4
b.
x2 - x - 6
ç x2 + 3xy - 4y2
y2 - x2
f 3x3y - 3xy3
x2 - xy
d.
x4 - 4
2
x - x
c
2x2 - 7x + 3
x2 + 4x - 32
e . ------------------xy - 4y
(2x - 6)2
(a + b)2 - c2
(a + b - c)2
256
a2 + 7a - 8
a2 + 16a + 64
h
6a2 - 13ab + 6b2
4a2 - 9b2
(
x2 - (x + y)2
i
(x + y)2 - y2
2.
x2 + 3x - 10
a4 - 9a2
a4 - a3 - 6a2
j
xy - 2x + 5y - 10
xy - 2x - 5y + 10
ifadesi sadeleştiriliyorsa m e Z+ sayısını bulunuz.
x2 + mx - 5
Rasyonel İfa d e le rd e T o plam a ve ç ık a rm a İş le m le ri İle İ lg ili U y g u la m a la r
ÖRNEK
— 1-------------- 1------ + — —— işlemini yapalım.
x2 + x
x2 - x
x2 - 1
Çözüm
1
1
2x
1
1
2x
■+ -----------= ------------------------------ + x2 - x
x2 - 1
x (x + 1)
x (x - 1)
(x - 1) (x + 1)
(x - 1)
(x + 1)
(x)
x2 + x
1 . (x - 1) - (x + 1) + 2x . x _ x - 1 - x - 1 + 2x2
x(x -1)(x + 1)
x(x -1)(x + 1)
-2 + 2x2
x(x -1)(x + 1)
_ 2(x2 - 1)
x(x2 -1)
=—
x
bulunur.
ÖRNEK
3x + 6
12
x2 - x - 6
x2 - 2x - 3
işlemini yapalım.
Çözüm
3x + 6
12
x2 - x - 6x2 - 2x - 3
_
3(x + 2)
(x + 2)(x - 3)
12
(x + 1)(x - 3)
3
12
(x - 3)
(x + 1) (x - 3)
(x + 1)
(1)
3(x + 1) - 12
3x + 3 - 12
(x + 1) (x - 3)
(x + 1) (x - 3)
3(x - 3)
3
_ -------------- -— _ --------(x + 1) (x - 3)
x+1
257
bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
x- y
y- x
z- x
a .------ i - + - i ------ + --------xy
yz
zx
b. - L _ +
x- 1
c. _ L _ + _ L _ + — 1
x2 - xy x2 + xy x2 - y2
d.
5y
1
+
+
x - 3y x2 - xy - 6y2
x + 2y
2
x2 + 3x + 2
x2 + 4x + 3
2
e.
-
2x2 - x - 1
2
2
+ ____ 2_
f. x2 + 2x - 3
x2 + x - 6
x2 - 3x + 2
2.
1
ç.
1
1
__ 1
x
g.
1
2
x2 + x - 2
5b
a - 3ba2 - ab - 6b2
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
x
a.
x- 1
c. x _
2x2
y
+ ________ 2____
b ____1 +-Ü1- X
JL
»
y
x
y
x2
x + 1 x2 - 1
a- b , y _
ise x + y + z + x . y . z değerini bulunuz.
b- c ,z _
ÖRNEK
10
rasyonel ifadesini basit kesirlerin toplamı biçiminde yazalım.
2x2 - x - 3
Çözüm
J 0 ____
10_ A+B_ A(x+1)+B(2x- 3)_ A
2x2 - x - 3
(2x - 3)(x + 1)
(x + 1)
2x - 3
x + 1(2x- 3)(x+1)(2x- 3)(x+1)
(2x -3 )
0 . x + 10
(A + 2B)x + A - 3B .
...
,
--------------------- _ —---------- ----------------- olur. Buradan,
(2x - 3)(x + 1)
(2x - 3)(x + 1)
A + 2B _ 0
■A _ 4, B _ -2 bulunur. Öyleyse
A - 3B _ 10
10
4
2
2x2 - x - 3
2x - 3
x+1
olur.
Rasyonel İfa d e le rd e ç a rp m a ve B ö lm e İş le m le ri İle İ lg ili U y g u la m a la r
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemleri yapalım.
x2 - 2x
a . ________ ____________
2x2 - 14x x2 + 5 x - 14
x2 - 49. x2 - x - 12
(x - 2)2 - 4
b. —ö------------------------o-------: ----------o---------x3 +2x2 - 3x
x3 - x
258
Çözüm
x2 - 2x
x2 - 49
x(x - 2) (x - 7)(x + 7) 1
a-----ö------------- ö------------- = -----------------------------------=— bulunur.
2x2 - 14x x2 + 5 x - 14
2x(x - 7) (x - 2)(x + 7) 2
b
x2 - x - 12
(x - 2)2 - 4
x3 +2x2 - 3x
x3 - x
(x + 3) (x - 4)
x(x2 +2x - 3)
x(x2 - 1)
[(x - 2) - 2] [(x - 2) + 2]
(X'+"3)(X'-4)
x
( x ^ 1 )(x + 1)
x(x - 1)(x + 3)
(x - 4) x
X+ 1
= ------- bulunur.
x
ÖRNEK
ı
a4 - 8aa2 + 2a + 1 \ a2 + 2a + 4 . .
. .
.
----------------. ------------------J : ----------------- işlemini yapalım.
a2 - 4a - 5
a3 - a2 - 2a
a- 5
Çözüm
^
a4 - 8aa2 + 2a + 1 j : a2 + 2a + 4 =
a2 - 4a - 5
a3 - a2 - 2a
a- 5
a(a3 - 8)
(a + 1)2
(a + 1)(a - 5)
a- 5
a(a2 - a - 2)a2 + 2a + 4
= a ( a - 2) (a ^ + ^ a T ^ ) (a-+1 )
(a + 1)(a - 5)
(a-+T)
a(a + 1)(a - 2)
( a - - 5)
(a2 + 2a + 4)
= 1 bulunur.
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki işlemleri yapınız ve sonucu en sade biçimde yazınız.
2
>. ex + 1
c.
x2 - 2x
■
)
:
x2 - 1
x- 1
a- 1
x2 - x - 12x2 - 5x + 4
x2 - 1
x2 + 4x + 3
a2 + b2
---------- + a
d.
_ ! +±
b a
2.
b fa + 2
a2 - b2
e.
b2 - 1 : b2 + 2b - 3
a2 - 4
a2 - 3a + 2
4x2 - 1 x2 - 2x + 1
x2 + x
x2 - 1
2x2 - x
4x + 2
a2 - 5a + 6
a- 2
a
a2 - 3a
a3 - b3
Aşağıdaki işlemleri yapınız.
1
7
6
a. (■x2 + x - 12
■
)
:
x2 + 2x - 8x2 - 5x + 6
b. [
259
1
1
(x - y) (x - z)
(y - z) (x - y)
■] . (z2 - y2)
10.7.3.2 P O LİN O M VE RAsYONEL DENKLEMLERLE İLGİLİ U Y G U LAM ALAR
Polinom Denklemler
— £
b İ l g İ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P(x) polinomu en az birinci dereceden olmak üzere P(x) = 0 eşitliğine polinom denklem i denir.
ÖRNEK
Aşağıdaki polinom denklemlerinin çözüm kümesini bulalım.
a. x3 - x _ 0
b. (x - 5)2 - 16 _ 0
c. x3 - x 2 -4 x + 4 _ 0
Çözüm
a. x3 - x _ 0 ^ x(x2 - 1) _ x(x - 1) (x + 1) _ 0’ dır.
x _ 0 veya x - 1 _ 0 veya x + 1 _ 0 ^ x1 _ 0, x2 _
1ve x3 _ - 1’ dir.
Denklemin çözüm kümesi Ç _ { - 1, 0, 1} bulunur.
b. (x - 5)2 - 16 _ 0 ^ [(x - 5) - 4)(x - 5 + 4) _ 0
^ (x - 5 - 4) (x - 5 + 4) _ 0
^ (x - 9) (x - 1) _ 0 ^ x1 _ 9 veya x2_ 1’ dir.
Denklemin çözüm kümesi Ç _ {9, 1} bulunur.
c. x3 - x2 - 4x + 4 _ 0 ^ x2(x - 1) - 4(x - 1) _ 0
^ (x - 1) (x2 - 4) _ 0 ^ x1 _ 1, x2 _ -2 , x3 _ 2’ dir.
Denklemin çözüm kümesi Ç _ { - 2, 1, 2} bulunur.
ÖRNEK
(x3 - x)(x - 2)3 (x + 3)4 _ 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
Verilen denklem P(x) . Q(x) . R(x) _ 0 biçimindedir.
P(x) . Q(x) _ 0 ^ P(x) _ 0 veya Q(x) _ 0’ dır.
(x3 - x) (x - 2)3 (x + 3)4 _ 0 ^ x3 - x _ 0, (x - 2)3 _ 0 ve (x + 3)4 _ 0’ dır.
• x3 - x _ 0 ^ x(x2 - 1) _ x(x - 1) (x + 1) _ 0 ^ x1 _ 0, x2 _ 1 ve x3 _ - 1 ’ dir.
• (x - 2)3 _ 0 ^ (x - 2) (x - 2) (x - 2) _ 0 ve x4 _ x5 _ x6 _ 2’ dir.
• (x + 3)4 _ 0 ^ (x + 3) (x + 3) (x + 3) (x + 3) _ 0 ve x7 _ x8 _ x9 _ x10 _ - 3 ’ tür.
2 sayısı denklemin 3 katlı; - 3 sayısı da denklemin 4 katlı bir köküdür.
Denklemin çözüm kümesi Ç _ { - 3, -1 , 0, 1, 2} bulunur.
1, 3, 5, ... katlı kökler kısaca tek katlı kök;
2, 4, 6, ... katlı kökler de çift katlı kök olarak
ifade edilir.
260
ÖRNEK
9x4 - 13x2 + 4 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm
9x4 - 13x2 + 4 = 0 denkleminde x2 = t olsun.
x2 = t ^ 9(x2)2 - 13x2 + 4 = 0 denklemi 9t2 - 13t + 4 = 0 olur.
9t2 - 13t + 4 = 0 ^ (9t - 4) (t - 1) = 0 ^ 9t - 4 = 0
4
t1= —
veya t - 1 = 0
veya t2 = 1’dir.
t2 = 1 = x2 ^ x3 = - 1 , x4 = 1’dir.
-
2 2
Denklemin çözüm kümesi Ç = { - 1 , — ,1} bulunur.
3 3
Rasyonel D e n k le m le r
b İ l g İ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------• [3(x ) Q(x) birer polinom ve Q(x) * 0 olmak üzere,
= 0 biçimindeki denklemlere rasyonel
denklem ler denir.
Q(x)
• Rasyonel denklemin çözüm kümesi bulunurken payın kökleri bulunur. Bulunan değerler arasın­
da paydayı sıfır yapan değerler varsa bu değerler çözüm kümesine alınmaz.
ÖRNEK
x2 - x - 6
----------------= 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
x2 - 9
Çözüm
x - x - 6 = 0 ^ x2 - x - 6 = 0 ve x2 - 9 t 0’ dır.
x2 - 9
x2 - 9 t 0 ise x t 3 ve x t - 3 ’tür.
x2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 ^ x - 3 = 0 veya x + 2 = 0
x 1 = 3 veya x2 = - 2 ’ dir.
Buradan denklemin çözüm kümesi Ç = {-2 } bulunur.
ÖRNEK
x 2 5 2x 3
------- + — = ----------- denkleminin çözüm kümesini bulalım.
x - 3 x x2 - 3x
Çözüm
— + _5_ = 2x - 3
3
x
x2 - 3x
^
x- 2
+5 - 2x - 3 _ 0 ^
x- 3
x
x(x - 3)
x
x- 3
(1)
x . (x - 2) + 5 . (x - 3) - 1 . (2x - 3) _ 0
x(x - 3)
x2 - 2x + 5x - 15 - 2x + 3
x2 + x - 12
-------------------------------------- = 0 ^ -----------------= 0’ dır.
x(x - 3)
x(x - 3)
261
x(x - 3) * 0 için x2 + x - 12 _ 0 olmalıdır.
x(x - 3) * 0 ^ x * 0 ve x * 3’tür.
x2 + x - 12 _ 0
(x - 3)(x + 4) _ 0 ve
x - 3_ 0 veya x + 4 _ 0 ^ x _ 3 veya x2 _ - 4 ’tür.
Denklemin çözüm kümesi Ç _ {-4 } bulunur.
ÖRNEK
5
3
x- 6
4
denkleminin çözüm kümesini bulalım.
x+2
x- 3
3
_ _4_ ^
x+2
x- 3
Çözüm
5
_
x- 6
5- 3_ 4_ 0
x- 6
(x + 2) (x - 3)
x+2
(x - 6) (x - 3)
x- 3
(x - 6) (x + 2)
5(x + 2)(x -3 ) - 3(x - 6)(x - 3) - 4(x - 6)(x + 2) _ 0
(x - 6)(x + 2)(x - 3)
5(x2 - x - 6) - 3(x2 - 9x + 18) - 4(x2 - 4x - 12) _ 0
(x - 6)(x + 2)(x - 3)
5x2 -5 x - 30 - 3x2 + 27x - 54 - 4x2 + 16x + 48
_0
(x - 6)(x + 2)(x - 3)
-2 x 2 + 38x - 36
_ 0 ve
(x - 6)(x + 2)(x - 3)
x * 6, x * -2 ve x * 3 için -2 x 2 + 38x - 36 _ 0’dır.
-2 (x 2 - 19x + 18) _ 0 ^ x2 - 19x + 18 _ (x - 1)(x - 18) _ 0
x - 1 _ 0 veya x - 18 _ 0 ^ x 1 _ 1 veya x2 _ 18’dir.
Ç _ {1, 18} bulunur.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Dosya kâğıdı, kalem, Geogebra yazılım programı kurulu bilgisayar.
Dinamik geometri yazılım programlarından yararlanarak, polinom denklemlerin çözümünü grafik­
ler yardımıyla gösterelim ve yorumlayalım.
Geogebra yazılım programını açınız. Sağdaki “cebir ve grafik” seçeneğini tıkladıktan sonra, giriş
bölümüne a _ 1 yazıp “enter” tuşunu tıklayınız. Benzer şekilde b _ 1, c _ 1 ve d _ 1 yazınız.
Cebir bölümünde değişkenlerin önlerindeki “o” simgelerini tıklayarak sürgüleri oluşturunuz. Araç
çubuğundaki oku tıkladıktan sonra sürgüleri grafik bölümünün sağına taşıyınız.
262
• Giriş bölümüne, parabol grafiğinin çizimindeki etkinlikteki gibi
a*xA3 + b*xA2 + c*x + d
yazıp “enter” tuşunu tıklayınız. f(x) = x3 + x2 + x + 1 fonksiyonunun grafiğini çizmiş oldunuz. Şimdi
sürgüler üzerindeki noktaları hareket ettirerek, a = 1, b = -1 , c = - 4 ve d = 4 durumuna getiri­
niz. Cebir bölümünde f(x) = x3 - x2 - 4x + 4 ve grafik bölümünde de f fonksiyonunun grafiğinin
çizilmiş oluştuğunu görünüz.
• Grafiğin eksenleri hangi noktalarda kestiğini belir­
tiniz.
• Grafiğin x eksenini kestiği noktalardaki x değerleri
hangi denklemin kökleridir?
• Dosya kâğıdına f(x) = x3 - x2 - 4x + 4 fonksiyo­
nunu yazınız. Bu fonksiyon bir polinom olduğuna
göre f(x) = 0 denkleminin köklerini aşağıdaki işle­
me devam ederek bulunuz.
f(x) = 0
^ x3 - x2 - 4x + 4 = 0
^
x2(x - 1) - 4(x - 1) = (x - 1)(x2 - 4) = 0
^
x - 1 = 0 veya x2 - 4 = 0
• Denkleminin kökleri ile grafiğin x eksenini kestiği noktaları karşılaştırınız.
• Benzer uygulamalar yaparak yazılım programlarını kullanma becerinizi geliştiriniz.
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
a. x2 - 6x - 7 = 0
ç. x3 - x2 - 9x + 9 = 0
f. x3 - 2x2 - x + 2 = 0
2.
b. x4 - 5x2 + 4 = 0
d. (x + 2)2 - 9(2 - x)2 = 0
g. x3 - x = 6(x - 1)
c. x3 + 3x2 - 4x - 12 = 0
e. (x2 - 4) - (x + 2)(x - 5) = 0
h. (x4 - 16)(x3 + 1) = 0
Aşağıdaki denklemlerin çözüm kümelerini bulunuz.
„
a.
3x2 - 8x + 4
_
=0
x2 - x - 2
b. x3 - x2 - 12x = 0
x2 + 2x - 3
„ x3 - 5x2 - 4x + 20 n
. x2 + 6x + 7
2
ç . ------ ;-------------------= 0 d. — --------------+ -------- ---------- = 0
x2 + 7x + 10
x2 - 4x - 5
x+1 x- 5
263
c. x4 - 5x2 + 4 = 0
x2 + x - 2
3x +7x- 5_
e. — ---------- - - —------------ = 0
x2 - x - 6 x2 - 4x + 3
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. P(x) = x3 - 4x2 - 3x - 2 ise P(-2) = ...
b. P(x) = (m - 2)x3 - (n + 2)x2 - p + 2 ve P(x) sıfır polinomu ise m + n + p = ...
c. P(x) polinomunun x - 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan 4 ve x + 3 ile bölünmesinden elde
edilen kalan -11 ise P(x) polinomunun (x -2 ) (x + 3) ile bölünmesinden elde edilen ka la n ........
2.
Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. P(x) = (x2 + 1)5 . (x - 3)5 polinomunun katsayıları toplamı 210 dur.
b. P(x) = x3 - ax2 + 3x - 5 polinomunun x + 2 ile bölünmesinden elde edilen
kalan -11 ise a = - 2’dir.
□
c. 3x + mx - 20 ifadesinin sadeleşmiş biçimi 3x + 5 ise m = - 7 ’dir.
x2 - x - 12
x+3
3.
Aşağıdaki soruların cevaplarını yandaki tabloda
verilen değerlerle eşleştiriniz.
□ a. x +
x
= 5 ise x3 +
x3
I
II
III
IV
V
49
33
64
110
6
ifadesinin değeri kaçtır?
b. P(x) . Q(x) polinomunun derecesi 10 ve
munun derecesi kaçtır?
Q(x)
polinomunun derecesi 2 ise P(x) + Q(x) polino-
c. x + yz = 12, y + zx = 15, z + xy = 20 ve x + y + z = 11 ise x2 + y2 + z2 kaçtır?
ç. x - y = 5 ve x . y = 4 ise x2 + y2 kaçtır?
4.
8
P(x) = 2xn-3 + x n+1 + 7’dir. P(x) bir polinom ise P(x) polinomunun derecesi en çok kaçtır?
A. 2
5.
B. 3
C. 4
D. 5
E.
7
P(x) polinomunun x2 + 3x - 10 ile bölünmesinden elde edilen kalan 2x - 7 ise P(x) polinomunun
x - 2 ile bölünmesinden elde edilen kalan kaçtır?
A. -7
6.
B. -3
C. 2
D. 3
E.
7
P(x - 2) polinomunun x + 1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 9, P(3x - 2) polinomunun x - 2 ile
bölünmesinden elde edilen kalan -5 ise P(x) polinomunun x2 - x - 12 ile bölünmesinden elde edilen
kalanı bulunuz.
7.
P(x) = x3 - 3x2 + 3x + 4 ise P(3V 2 + 1) kaçtır?
A. 2
8.
B. 5
C. 6
D. 7
E.
9
1 + 2 1 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 işleminin sonucu kaçtır?
A. 201
B. 251
C. 255
D. 511
264
E. 1023
9.
m4 + m2 + 1 ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir?
A. m2 - m + 1
B. m - 1
C. m + 1
D. m2 + 1E. m2 - m - 1
10. P(x) _ 2x4 - 5x3 + ax2 + bx - 4 ve Q(x) _ (x2 + mx + n)(2x2 - 3x - 1) polinomları veriliyor.
P(x) _ Q(x) ise a+ b değerini bulunuz.
11. P(x) _ ax3 - 4x2 + bx + 4 polinomu (x + 2)(x - 1) ile kalansız bölünebiliyorsa a + b değerini bulu­
nuz.
12. der[P(x2) . Q(x)] _ 16 ve der[ 3P(x) ] _ 1 olduğuna göre der[P(x) + 5Q(x)] kaçtır?
Q3(x)
x3 - 8
x2 - 3x - 18
A. x
x3 - 6x2
x2 + 5x - 14
B. m - 1
x2 + 10x + 21
D. —
x
C. 1
E. x2
14. P(x - 2) _ x3 - 5x2 - 7x + 4 ise P(x) polinomunun x + 3 ile bölünmesinden elde edilen kalanı
bulunuz.
15. P(x) _ x3 + 7x2 + ax - 3 polinomunun x + 1 ve x - 1 ile bölünmesinden elde edilen kalanlar eşit ise
a kaçtır?
16. (3x4 - 2x3 - x2 + 4x + 5)(x5 - 5x4 + 2x3 - 7x2 + 6x - 3) çarpma işlemi yapılırsa x7 li terimin katsayısı
kaç olur?
17. 4x4 - 12x3 + 25x2 + ax + 16 ifadesi bir tam kare ise a kaçtır?
18. P(x) polinomunun x + 3 ile bölünmesinden elde edilen kalan - 8, 3x - 1 ile bölünmesinden elde
edilen kalan 2 ise P(x) polinomunun (x + 3)(3x - 1) ile bölünmesinden elde edilen kalan aşağıdaki­
lerden hangisidir?
A. 3x - 3
B. 2x - 1
C. 2x + 1
D. 3x + 1
E. 3x - 1
19. Bir P(x) polinomu için 3x3 - 2x2 - cx + 8 _ (x - 2) . P(x) + 4 olduğuna göre P(x) polinomunun kat­
sayıları toplamı kaçtır?
A. 5
20.
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
x + 7x— 9--------- 1— _ — 3— denkleminin çözüm kümesi hangisidir?
x2 + 5x - 14
x- 2 x+7
A. {2, -7 }
B. {2, -5 }
C. {-5, 7}
D. {-5 }
E. 0
21. x4 - 10x2 + 9 _ 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
x2 + x + 1
A
B
C
:. ------------------_ ------ + -------+ -------- ise A.B.C kaçtır?
x2 (x - 1)
x2
x
x- 1
A. -1 2
B. -6
C. 6
D. 10
265
E. 12
ÇEM BER VE DAİRE
Tarihsel G elişim
MÖ 3500 yıllarına ait tekerlekli bir kızağı resmeden Sümer piktogramı bulunmuştur*. Çember
ve daire şekli, ay ve güneş gibi gökyüzü cisimlerinde de gözlemlenmiştir. Çemberin çevresinin
uzunluğu ile çapının arasındaki oran yaklaşık 3,142857... olarak hesaplamış ve Yunan alfabesinin
bir harfi olan n sembolü ile gösterilmiştir.
1737 yılında İsviçreli matematikçi Leonhard Euler, dairenin çevresinin, çapına oranını hesaplar­
ken bu sembolü kullanmış ve Euler’ den sonra da tüm matematikçiler bu sembolün kullanımında
birlik sağlamışlardır. * (İsviçreli Matematikçi Leonhard Euler’ in hayatı).
“Süm er ka lıntıları nerede bulunuyor He ilg ili g ö rse lle r.”
Logar kapaklarının neden
daire biçiminde yapıldıklarını
hiç düşündünüz mü?
Tekerlek fikri muhtemelen kütüklerin kolayca
yuvarlanarak taşınması amacıyla kullanılmasın­
dan doğmuşt ur. Bi Iinen en eski tekerlekler, bir
kazık üzerine geçirilmiş üç tahta diskten oluşur.
Radar
dalgalarının
dairesel bir hareket yap­
tığını biliyor musunuz?
NELER ÖĞRENECEĞİZ?
1. Çemberi, çemberin temel elemanlarını açıklamayı,
2. Bir çember ile bir doğrunun birbirine göre durumlarını,
3. Çemberde kiriş özelliklerini göstermeyi,
4. Bir çemberde merkez, çevre, iç, dış ve teğet - kiriş açıları açıklamayı, bu açıların öl­
çüleri ile gördükleri yayların ölçülerini ilişkilendirmeyi, eş kirişlerin veparalel kirişlerin
ayırdığı yay parçalarının eş olduğunu göstermeyi, sinüs teoreminin çevrel çember ile
ilişkisini,
5. Çemberde teğetin özelliklerini, çemberin dışındaki bir noktadan çizilen teğet parça­
larının ait olduğunu göstermeyi,
6. Dairenin çevresini ve alanını veren bağıntıları oluşturmayı, daire diliminin alanını
hesaplamayı ve uygulamalar yapmayı öğreneceğiz.
266
J
1 0 .8 .1 . Ç E M B E R İN T E M E L E L E M A N L A R I
10.8.1.1. ÇEMBERDE TEĞET, KİRİŞ, ÇAP VE YAY K AVR AM LAR I
A
BİLGİ
Bir çember, merkezi ve yarıçapı ile bellidir.
Bir çemberde; merkez, yarıçap, kiriş, kesen, yay ve teğet çemberin temel elemanlarıdır.
Çember
Düzlemde, sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulanan noktaların kümesine (geometrik yerine) çem­
ber denir. Sabit noktaya çemberin merkezi, çemberin herhangi bir noktasını merkeze birleştiren doğru
parçasına çemberin yarıçapı denir. Merkezi O yarıçapı r olan çember Ç(O, r) şeklinde gösterilir. Yan­
daki şekilde, |OA| = |OD| = |OE| = r’dir.
K iriş
Çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına kiriş denir. Şekilde [BC] ve [GF] çemberin
kirişleridir.
Çap
Çemberin merkezinden geçen kirişe çap denir. Şekilde [AD] çemberin bir çapıdır ve |AD| = 2r’ dir.
kesen ---------- F
Yay
Çemberin bir parçasına yay denir. Şekilde BNC çemberin bir
yayıdır.
Kesen
Çemberi farklı iki noktada kesen doğruya çem berin b ir ke­
seni denir. Yukarıdaki şekilde k doğrusu çemberin bir kesenidir.
k n Ç = {G, F}’dir.
Teğet
Çemberle kesişim (arakesit) kümesi bir ve yalnız bir nokta olan doğ­
ruya çemberin teğeti denir. Şekilde, Ç n d = {A} ve d doğrusu çembe­
rin bir teğetidir.
ÖRNEK
Yandaki bisiklet tekerleğinde, tekerleğin hangi parçalarının tekerlek çem­
berinin bir elemanına örnek olabileceğini belirtelim.
ÇÖZÜM
• Tekerleğin merkezi, çemberinin merkezidir.
• Tekerleğin çevresinin uzunluğu, çemberinin çevresinin uzunluğudur.
• Tekerleğin merkezini jantına bağlayan teller, çemberinin yarıçapıdır.
• İki telin uç noktalarını birleştiren tel, çemberinin bir kirişidir.
267
B ir Ç e m b er ile B ir D o ğ ru n u n B irb irin e G öre D u ru m la rı
BİLGİ
----------------------------------------------------------------
A y ı düzlemde (O, r) çemberi ile bir k doğrusu verilsin. Çemberin merkezinden [OH] ± k çizelim.
Çember merkezinin k doğrusuna olan uzaklığı |OH| = d olsun. Aşağıdaki şekillere göre,
d > r ise k doğrusu çemberi kesmez. Ç n k = 0 ’ dir (Şekil 1).
d = r ise k doğrusu çembere teğettir. Ç n k = {H}’ dir (Şekil 2).
d < r ise k doğrusu çemberi farklı iki noktada keser. Ç n k = {A, B}’ dir (Şekil 3).
Ç e m b e rin Yayları
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Şekildeki çemberde KL keseni çemberi iki yaya ayırmıştır. Bu
X
yaylar birbirine eş değildir. Bu yaylar üzerinde birer nokta X ve Y ol­
sun. Bu yaylardan, KXL na küçük yay, KYL’ na da büyük yay denir.
• m(KXL) * m(KYL) ve m(KXL) < 180°, m(KYL) > 180° dir.
Y
• Şekildeki O merkezli çemberde;
m(AOB) = m(DOC) ve m(BOC) = m(DOA)’ dır (ters açılar).
eş yaylar
Ölçüleri eşit olan merkez açıların gördükleri yayların ölçüleri de
eşittir. m(AD) = m(BC) = a ve |BC| = |AD|’ dır.
Bir çemberde ölçüleri eşit olan iki yaya eş yaylar, bir noktaları
komşu
ortak olan iki yaya da komşu yaylar denir.
yaylar
• BCD, BC ile CD’ nin birleşimidir.
m(BCD) = m(BC) + m(CD) = a + p ve |BCD| = |BC| + |CD| olur.
D
ÖRNEK
Şekildeki O merkezli çemberde; m(DOB) = 40°, m(AOB) = 44° ise
AB’ nın ölçüsünü, bu yayı 180° ye tamamlayan geniş açının ölçüsünü ve
AD’ nın ölçüsünü bulalım.
Çözüm
m(AOB) = 44° ^ m(AB) = 44° dir. AOB’ nın bütünleyeni AOC’dır.
m(AOC) = 180° - 44° = 136° ve m(CA) = 136° dir.
m(AOD) = 44° + 40° = 84° ^ m(AD) = 84° dir. Ayrıca,
m(AD) = m(AB) + m(DB) = 44° + 40° = 84° olarak da bulunur.
268
ALIŞTIRMALAR
1.
Aşağıdaki noktalı yerlere; kiriş, çap, çember, yarıçap, Ç(O, r), yay, 2r, simetri, merkez ve ke­
sen ifadelerinden uygun olanını yazınız.
a. Bir düzlemde sabit noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların küm esine................ denir.
b. Çemberin herhangi bir noktasını merkeze birleştiren doğru parçasına çem berin................
c. Bir çemberin farklı iki noktasını birleştiren doğru parçasına.............denir.
ç. Bir çemberin merkezinden geçen kirişine...................... denir.
d. Çember üzerinde alınan farklı iki nokta arasındaki çember parçasına................denir.
e. Bir çemberi farklı iki noktada kesen doğruya, çemberin b ir ..................... denir.
2.
Yandaki şekilde verilen at arabası tekerleğinde ahşap dilmelerin bazı
bağlantı noktaları harflendirilmiştir. Tekerlek çemberine göre;
a. Hangi dilme parçaları yarıçaptır?
b. Hangi dilme parçaları kiriştir?
c. Çembere ait iki yay, iki merkez açı ve iki çevre açı yazınız.
10.8.1.2 ÇEMBERDE KIR IŞIN IN ÖZELLİKLERİ
BİLGİ
Bir çemberin merkezi herhangi iki kirişine eşit uzaklıkta ise bu kirişler birbirine eştir.
Bir çemberde, eş kirişlerin orta noktaları merkeze eşit uzaklıktadır.
• Bir çemberde bir kirişin orta dikmesi, merkezden geçer.
• Bir çemberde bir kirişin orta noktasını merkeze birleştiren doğru kirişe diktir.
• Bir çemberde çap, simetri eksenidir.
• Bir çemberde eş kirişlerin yayları da eştir.
• Bir çemberde, farklı iki kirişten uzunluğu büyük olan merkeze daha yakındır.
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
1.
Bir çemberde bir kirişe dik olan bir çapın, kirişi ve kiriş ile belirlenen yayların her birini iki eşit par­
çaya böldüğünü gösterelim.
Verilen: O merkezli çemberde [CD] çapı, [AB] kirişine E noktasında diktir.
İstenen: IAEI = IEBI ve IADI = IDBI, IACI = IBCI’dur.
İspat: OAB ikizkenar üçgen, [CD] çap ve [CD] ± [AB] olduğundan,
[OE] kenarortay ve IAEI = IEBI’ dir.
/s
/s
[OE] açıortay olduğundan O1 a O2 ve bu açıların gördüğü yaylar eştir.
IADI = IDBI ve IACI = IBCI olur.
O hâlde, çemberin çapı olan [CD] çemberin simetri eksenidir.
269
C
2. Bir çemberde eş kirişlerin merkeze olan uzaklıklarının eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: O merkezli çemberde eş iki kiriş [AB], [CD] ve bu kirişlerin mer­
keze olan uzaklıkları IOEI ve IOFI’ dur.
A
İstenen: IOEI = IOFI’ dur.
İspat: [OE] 1 [AB] ve [OF] 1 [DC] çizelim.
OAB ile OCD üçgenleri birbirine eş iki ikizkenar üçgendir. [OE] ve [OF]
bu üçgenlerin tabanlarına ait yüksekliklerdir. Eş üçgenlerde karşılıklı ele­
manlar eş olacağından [OE] a [OF] ve IOEI = IOFI’ dur.
B
3. Bir çemberde, farklı iki kirişten uzunluğu büyük olan merkeze daha yakın olduğunu gösterelim.
Verilen: O merkezli çemberde, farklı iki kiriş [AB], [CD] ve bu kirişlerin merkeze olan uzaklıkları
sıra ile |OE| ve |OF|’ dur.
B
İstenen: |AB| > |CD| ^ |OE| < |OF|’ dur.
7 " \D
İspat: OEA ile OFC dik üçgendir.
|AB| > |CD|
M
= |AE| > İCDL = |FC|,
|AE|2 > |FC|2
r2
|OE|2 > r2 - |OF|2 :
|OF|2 > |OE|2
|OF| > |OE| olduğu görülür.
ÖRNEK
Yanda bir metal paranın çevresi ile silindir şeklindeki bir su
bardağının taban çevresi çizilmiştir. Cisimlerin taban çevreleri olan
çemberlerin merkezlerini bulalım.
Çözüm
Yandaki her iki çemberde birbirine paralel olmayan ikişer kiriş
çizelim. Pergel ve cetvel yardımı ile kirişlerin orta dikmeleri çizildi­
ğinde bir kirişin orta dikmesi merkezden geçtiğinden kirişlerin ke­
sim noktaları çemberlerin merkezleri olur.
ÖRNEK
Yarıçap uzunluğu r = 6 cm olan bir çemberin merkezinden 2 cm uzaklıktaki kirişinin uzunluğunu
bulalım.
Çözüm
Merkezden kirişe çizilen dikme, kirişi ortalar. Buna göre,
IAHI = IHBI, IOHI = 2 cm, IOBI = 6 cm ve OHB üçgeni dik üçgen olduğundan,
IHBI2 = 62 - 22 = 36 - 4 = 32
IHBI = 4V2"cm’dir.
IABI = 2IHBI olduğundan, IABI = 8V2~cm bulunur.
ÖRNEK
O merkezli bir çemberde, [AB] ve [CD] kirişlerinin orta noktalarının merkeze olan uzaklıkları eşit ve
x cm’ dir. IABI = 3x - 2 ve ICDI = 2x + 4 ise bu çemberin yarıçap uzunluğunu bulalım.
270
Çözüm
IOHI = IOEI ^
IABI = ICDI
3x - 2 = 2x + 4
3x - 2x = 4 + 2 ^ x = 6 cm’dir.
IABI = 3x - 2 = 3 . 6 - 2 = 16 cm ^ IAHI = 8 cm’dir.
OHA dik üçgeninde,
r2 = IOHI2 + IAHI2
r2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100 ^ r = 10 cm bulunur.
ÖRNEK
Şekildeki çemberde, [AB] // [CD]’dir. Bu paralel krişler arasında kalan AC ile
BD’ nın birbirine eş olduğunu gösterelim.
Çözüm
Çember merkezinden kirişlere dik bir d doğrusu çizelim. d doğrusu kirişleri or­
talar ve çemberin simetri eksenidir. AC ve BD d doğrusuna göre simetrik olduğun­
dan, AC s BD ve m(AC) = m(BD) olur. Ayrıca, ABCD dörtgeni ikizkenar yamuktur.
|AC| = |BD| olduğundan |AC| = |BD| ve AC s BD olduğu görülür.
O hâlde, paralel kirişlerin arasında kalan yay parçaları birbirine eştir.
ÖRNEK
Şekildeki O merkezli çemberin [AB] kirişi üzerinde C noktası alınmıştır.
|AC| = 2 br ve |CB| = 8 br ise C noktasından geçen en kısa kirişin uzunluğunu
bulalım.
Çözüm
C noktasından geçen en kısa kiriş C noktasından geçen çapa dik olan kiriştir.
Şekle göre, [MN] çap ve [MN] ± [DE] ise |DC| = |CE| = x’tir.
A
A
/S
M
/S
A ile E aynı yayı gördüklerinden, A s E ve
/S
/S
A
A
D ile B aynı yayı gördüklerinden, D s B’tir.
|CD|
|CA|
CDA ~ CBE’dir (A.A.). Bu benzerlikten,
=
|CB|
|CE|
^ x2 = 16 ve x = 4 br’ dir.
8 x
|DE| = 2x = 2 . 4 = 8 br bulunur.
A L IŞ T IR M A L A R
1.
Bir çemberin iki kirişi |AB| = 7x - 5, |CD| = 3x + 7’dir. |AB| = |CD| ve r = 10 cm ise çember
merkezinin [AB] na olan uzaklığını bulunuz.
2.
Nermin, mutfaklarındaki bir konserve kutusunun taban çev­
resini defterine çiziyor. Sonra yandaki şekilde görüldüğü gibi
çizdiği çemberin bir [AB] kirişini ve bu kirişe ortasında dik olan
[DC]’ nı çiziyor. Yaptığı ölçümlerde IABI = 12 cm, IDCI = 2 cm
olduğuna göre bu kutunun taban yarıçapının uzunluğunu bu­
lunuz.
3.
r = 13 cm olan çember içine taban uzunlukları 24 cm ve 10 cm olan bir yamuk çiziliyor. Bu ya­
muğun alanını bulunuz.
4.
O merkezli ve R yarıçaplı bir çemberin iç bölgesinde bir A noktası alınıyor. A noktasından geçen
kirişlerin en küçüğünün A noktasından geçen çapa dik olan kiriş olduğunu gösteriniz.
271
J
1 0 .8 .2 . Ç E M B E R D E A Ç IL A R
10.8.2.1. BİR ÇEMBERDE MERKEZ, ÇEVRE, İÇ, DIŞ VE TEĞET - KİRİŞ A Ç ILA R IN ÖLÇÜLERİ
VE GÖRDÜKLERİ YAYLARIN ÖLÇÜLERİ İLE İLİşKİLERİ
BILGI
1. Merkez Açı
Köşesi bir çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberi iki noktada
kesen açıya merkez açı denir.
• Şekilde gösterilen AOB açısı, çemberin bir merkez açısıdır.
• Bu açının ışınları arasında kalan ADB yayına, bu merkez açının gördüğü yay denir.
e/
^ ____
/
V
^
O.
*
)a
____
İD
J
A
^
• m(AOB) = m(ADB) = a ve m(BEA) = 360° - a ’ dır.
• Merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
A
2. Çevre Açı
]
Köşesi çember üzerinde olan ve ışınları çemberi diğer iki noktada kesen
açıya çevre açı denir.
B
\
J
Bir çemberde bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına
eşittir.
0
^ İ N C E L E Y E R E K Ö Ğ R E N E L İM
1. Bir çemberde iki küçük yayın eş olması için yeterli koşulun, bu yay­
ların merkez açılarının eş olması gerektiğini gösterelim.
Verilen: O merkezli çemberde AB s CD’dır.
C ____
u
B
D/ C
İstenen: AOB s COD’ dır.
\
İspat: Bir çemberde eş yayların uç noktalarını birleştiren kirişler eştir.
V
\
O
/
J
AB s CD ^ [AB] s [CD] ve [OD] s [OC] s [OB] s [OA] olduğundan,
—
^
AOB s COD’dir (K.K.K. eşlik teoremi).
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar eş olacağından, AOB s DOC’ dır.
Şimdi de DOC s AOB ^ CD s AB olduğunu benzer şekilde gösterelim
[OB] s [OC], [OA] s [OD] ve AOB s DOC olduğundan, AOB s COD’dir (K.A.K. eşlik teoremi).
Eş üçgenlerde karşılıklı elemanlar eş olduğundan, [CD] s [AB] olur. Bir çemberde eş kirişlerin
gördüğü yaylar eş olduğundan, C d s AB olur.
2. Bir çemberde bir çevre açının ölçüsünün aynı yayı gören merkez açı­
A
nın ölçüsünün yarısına eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: O merkezli çemberde, aynı yayı gören (BDC’ nı gören) BAC çev­
re, BOC’ da merkez açıdır.
_
ı^BlDC)
İstenen: m(BAC) = — - — ’dir.
İspat: OAB, m(A1) = m(B) = n ^ m(BOD) = 2n’dir.
^
/
p
\
B
2p
2n
D
OAC ikizkenar üçgeninde, m(A2) = m(C) = p ^ m(COD) = 2p’ dir.
m(BOC) = 2n + 2p = 2(n + p) ve m(BAC) = n + p olduğundan, m(BAC) = 2 m(BOC) olur.
272
m(BOC)
Ayrıca, m(BOC) = m(BDC) olduğundan, m(BAC) =
2
m(BDC)
’ dir.
2
O hâlde, bir çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
SONUÇLAR
1. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri eşittir. Yandaki 1. şekilde,
/s
m(Bc)
m(D) = m(A) = — 2— ’ dir.
2. Eş çevre açıların gördüğü yaylar eştir.
Yandaki 2. şekilde, A s D ^ BC s EF ve |BC| = |EF| ^ m(A) = m(D)’ dir.
ÖRNEK
Yandaki şekilde verilen saat 09.00’ u göstermektedir. 4’ ün bulunduğu
nokta, 12 ve 9’ un bulunduğu noktalara birleştirilmiştir. Şekilde oluşturulan
açının ölçüsü a ise a ’ nın kaç derece olduğunu bulalım.
Çözüm
Akrep ile yelkovanın oluşturduğu açı, bir merkez açıdır. Yandaki şekle
göre, bu açının ölçüsü 90° dir. Ölçüsü a olan açı bir çevre açıdır ve merkez
açının gördüğü yayı görmektedir.
Merkez açı aynı yayı gören çevre açının 2 katı olduğundan,
90° = 2a ^ a = 45° dir.
ÖRNEK
Yandaki şekilde, m(BFC) = 70° ise m(BOC), m(BAC) ve m(CAE)’ nü bulalım.
Çözüm
m(BFC) = 70° ise m(BOC) = m(BFC) = 70° dir.
BAC çevre açıdır. m(BAC) = y = — . z = — . 70° = 35° dir.
2
2
F
Şekle göre, x + y = 180° ^ x = 180° - y = 180° - 35° = 145° dir.
ÖRNEK
/s
/s
Şekildeki O merkezli çemberde [BC] çaptır. Bu çapı gören A ve D’ nın
ölçülerini bulalım.
C
Çözüm
✓N
/S
v
• A ^ D’ dır. Çünkü her ikisi de BNC’ nı görmektedir.
• [BC] çap olduğundan, m(BNC) = 180° dir.
m(BNC)
180°
m(A) = m(D) = — ------ - = ----- = 90° dir.
2
2
O hâlde, bir çemberde çapı gören çevre açının ölçüsü 90° dir.
273
ÖRNEK
/S
/s
/s
/s
Şekildeki kirişler dörtgeninde m(D) = 126° ise m(B)’ nü ve A ile C’ nın ölçü­
leri toplamını bulalım.
Çözüm
a. Şekle göre, m(D) = m^ BC) ve m(B) = m(ADC) ’dir.
m(D) + m(B) = m(ABC) + m(ADC) = m(ABC) + m(ADC) = ^
2
2
2
2
m(D) + m(B) = 126° + x = 180° ^ x = 180° - 126° = 54° dir.
= 180°dir.
b. m(A) + m(C) = m(BCD) + m(DAB) = m(BCD) + m(DAB) = 360° =180° dir.
2
2
2
2
O hâlde, kirişler dörtgeninde karşılıklı açıların ölçüleri toplamı 180° dir.
T eğet - K iriş Açı
BİLGİ
------------------------------------------------------------------------------------
Kösesi çember üzerinde olan ve bir kenarı çemberin teğeti, öteki kenarı çemberin bir kirişi olan
açıya teğet-kiriş açı denir.
Bir teğet-kiriş açının ölçüsü, gördüğü (çemberden ayırdığı) yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
&
Bir teğet-kiriş açının ölçüsünün aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşit olduğunu
gösterelim.
Verilen: O merkezli çemberde BAT açısı teğet - kiriş açısıdır.
İstenen: m(BAT) = m(A ° B) ’ dir.
İspat: OAB ikizkenar üçgeninde [OH] 1 [AB] çizelim. BAT teğet-kiriş
açısının ölçüsü, O 1 açısının ölçüsüne eşittir (kenarları dik açılar).
[OH] 1 [AB], [OA] 1 [AT ve m (O ) = m(BAT) = a, m (O ) = m(O2) = 2a
olduğundan, m(AOB) = 2a ve m(BAT) = m(AOB) ’dir.
ÖRNEK
Şekildeki CBD teğet kiriş açıdır. m(BAC) = 48° ise CBD ve BOC açıla­
rının ölçülerinin kaç derece olduğunu bulalım.
Çözüm
Şekildeki BAC çevre açısının ölçüsü, gördüğü BFC yayının ölçüsünün
yarısına eşittir.
m(BAC) =
m(BFC) = 48° olduğundan, m(BFC) = 96° dir. Teğet kiriş
açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşit olduğundan,
m(CBD) = — m(BFC) = — . 96 = 48° dir.
2
2
O hâlde, aynı yayı gören teğet - kiriş açı ile çevre açıların ölçüleri eşittir.
Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan, m(BOC) = m(BFC) = 96° bulunur.
274
Iç Açı
İN C E L E Y E R E K Ö Ğ R E N E L İM
Köşe noktası çemberin iç bölgesinde olan bir açının ölçüsünün, gördüğü
yayların ölçüleri toplamının yarısına eşit olduğunu gösterelim.
F
Verilen: CEB çemberin bir iç açısı ve gördüğü yaylar, BNC ve DFA’ dır.
i x
m(DFA) + m(BNC)
İstenen: m(CEB) = — ------ — ---------- ’ dir.
PÜ D
İspat: EBD üçgeninde; m(CEB) = x olsun. x = a + p’ dır (dış açı).
m(DFA)
0 m(BNC) .. .
. ,
a = — ------ - ve p = — ------- - ’ dir(çevre açılar).
2
2
m(DFA) + m(BNC) . .
x = a + p = -----^ ^ b u l u n u r .
2
ÖRNEK
Şekilde, m(AKC) = 70°, m(DEA) = 170° ise m(BFC)’ nü bulalım.
Çözüm
B
m(AKD) = 180° - 70° = 110° dir.
m(AK D) =
m(DEA) + m(BFC)
^ 170° + m(BFC)
2
= 110°
2
^ 170° + m(BFC) = 220° ^ m(BFC) = 220° - 170° = 50° dir.
Köşesi çember dışında ve kenarları çemberi kesen veya teğet olan açıya çemberin dış açısı
denir.
sb
—
İN C E L E Y E R E K Ö Ğ R E N E L İM
-------------------------------------------------------------------------
Köşo noktası çemberin dış bölgesinde olan bir açının ölçüsünün, gördüğü yayların ölçüleri farkı­
nın yarısına eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: CAE çemberin bir dış açısı ve gördüğü yaylar CFE ve DNB’ dır.
İstenen: m(CAE) = m(CFE) - m(DNB) ’dir.
2
İspat: m(CAE) = y olsun. CDA üçgeninde a + y = p’dır (dış açı).
P = -1m(CFE), a = -2 m(DNB) ve
^
y = p - a olduğundan,
y
C
A
= m(CFE) - m(DNB) bulunur.
2
275
ÖRNEK
Yandaki şekilde; m(AC) = 130°, m(E) = 46° ise
m(BD)’ nü bulalım.
E
Çözüm
m(AC) - m(BD)
m(E) = ---------- 2---------130°
- x ^ 92° = 130° - x
46° = jo
y ---2
^ x = 130° - 92° ^ x = m(BD) = 38° bulunur.
ÖRNEK
Yandaki şekilde, [KL, [KM teğet ve m(K) = 36° ise
m(MNL)’ nü bulalım.
K
Çözüm
MKLO dörtgeninde, m(K) = 36° ^ m(MOL) = 180° - 36° = 144° ve
m(MOL) = m(MNL) = 144° dir.
ÖRNEK
Yandaki şekilde, O merkez ve [CD] çaptır. m(ABE) = 67° ise
m(AOD) = x kaç derecedir?
Çözüm
m(CBA) = 180° - 67° = 113°,
m(CDA) = 2 . 113° = 226° ve m(ABC) = 360° - 226° = 134° dir.
m(ABC) = 134° ^ m(AOC) = 134° dir.
m(AOD) = x = 180° - 134° = 46° bulunur.
ÖRNEK
Yanda verilen O merkezli çemberde, m(OAB) = 34° ve
m(OCB) = 62° ise m(ABC) = x kaç derecedir?
Çözüm
m(ABC) = x ^ m(ANC) = 2x
m(AOC) = y ^ m(ABC)= y ve
m(ABC) + m(ANC) = y + 2x = 360° ^ y = 360° - 2x’tir.
ABCO dörtgeninde,
34° + x + 62° + y = 360°
96° + x + 360° - 2x = 360° ^ x = 96° dir.
276
ÖRNEK
Yandaki şekilde; m(AFB) = 54°, m(BNE) = 168° ve It
ise m(ACB) = x kaç derecedir?
C
Çözüm
IABI = IADI ^ m(AB) = m(AD)’dir.
m(AB) = m(AD) = n, m(DE) = y olsun.
m(AFB) = 54° ^ m(AFD) = 180° - 54° = 126° dir.
m(AD) + m(BNE)
n + 168°
m(AFD) = — ^
^
_ -------------- = 126°
2
2
n + 168° = 2 . 126°
C
^ n = 252° - 168° = 84° dir.
m(AFB) = m(A§) + m(DE) = ü + y = 54°
2
2
84° + y = 2 . 54° ^ y = 108° - 84° = 24° dir.
m(ACB) = x = m(AB) - m (D E =
2
2
84° - 24°
2
60°
2
= 30° dir.
ÖRNEK
C
Şekilde, m(DCB) = 126° ve ise x’ i bulalım.
B
Çözüm
m(DAB) = 2 . m(DCB) = 2 . 126° = 252°
m(DAB) = m(D'A) + 180°
m(DAB) = 2x + 180° = 252°
2x = 252° - 180° ^ x = 36° bulunur.
ÖRNEK
Şekilde; [AD] açıortay, |AD| = 12 cm ve |DE| = 4 cm ise |BE|’ nu bulalım.
Çözüm
[AD] açıortay olduğundan, m(A1) = m(A2) dir.
m(EBC) = m(EAC)’ dir (aynı yayı gören açılar).
EBD ~ EAB’ dir (A.A. benzerlik kuralı).
|EB| _ |ED|
x _ 4
|EA| " |EB|
16 _ x
x2 _ 64 ^ x _ |EB| _ 8 cm’dir.
277
Sinüs T e o re m in in Ü çg e nin Çevrel Ç em ber Yarıçapı İle İliş k is i
Köşeleri, O merkezli ve R yarıçaplı bir çember üzerinde olan ABC üçgeni
çizelim.
A
Şekle göre, [CD] bu çemberin bir çapı ve m(CBD) = 90°’ dir (Çapı gören çevre
açı).
m(A) = m(D)’ dür (aynı yayı gören çevre açılar). DBC dik üçgeninde,
sinD = İ BC| = - a- ’dir. sinD = sinA = —— ve —— = 2R olur.
2R
sinA
|DC|
2R
= 2R bulunur.
sinA
sinB
sinC
ÖRNEK
/S
Bir ABC üçgeninde, m(A) = 30° ve a = 8 cm ise ABC üçgeninin çevrel çember yarıçapının uzunlu­
ğunu bulalım.
Çözüm
2R =
sinA
= 2R ^ 2R = - A - =
sin30
= 16 ^ R = 8 cm bulunur (sin30° = — ’dir.).
2
2
A L IŞ T IR M A L A R
1.
Aşağıdaki cümlelerde boş bırakılan yerleri uygun kelimelerle tamamlayınız.
a. Köşesi çember üzerinde olan ve ışınları çemberi diğer iki noktada kesen açıya
b. Merkez açının ölçüsü, aynı yayı gören çevre açının ölçüsünün.........................
c. Bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ö lçüleri.................
ç. Eş yayları gören merkez a çıla r....................
B
2.
Yandaki şekilde verilen M merkezli çemberde MABC paralelkenar ve
m(D) = 25° ise m(B) kaç derecedir?
3.
Yandaki şekilde verilen [AB ve [AC, O merkezli çemberin teğetle
ridir. m(A) = 54° ise m(OCB) = x kaç derecedir?
A. 27
B. 28
C. 30
D. 32
A
E. 36
A
4.
Yandaki şekilde verilenlere göre x kaç derecedir?
A. 40
B. 45
C. 50
D. 55
278
E. 60
5. Yandaki şekilde bir motorun krank mili görülüyor.
IOAI = 6 cm, IOBI = 20 cm’ dir.
B
a. m(OBA) = 20° olduğunda, OAB’ nın sinüsünü ve
IBAI’ nu bulunuz (Hesap makinesi kullanınız.).
b. m(OAB) = 90° olduğunda IBAI’ nu bulunuz.
7. Şekilde, m(A) = 40° ve m(CDF) = 72°
ise m(BCD) = x kaç derecedir?
A. 15
B. 16
C. 18
D. 20
E. 22
8. Şekilde, [ED] çap ve |DC| = |CB|’ dir. m(A) = 33° ise
m(BE) kaç derecedir?
A. 14
B. 15
C. 16
D. 20
D
E. 30
9. Yandaki şekilde verilenlere göre ADC açısının
ölçüsü kaç derecedir?
A
10. Yandaki şekilde, m(CDA) = 96° ve m(A) = 74° ise
m(E) = x kaç derecedir?
E
279
1 0 .8 .3 . Ç E M B E R D E TEĞET
10.8.3.1. ÇEMBERDE TEĞETİN ÖZELLİKLERİ
BİLGİ
Bir çemberle bir d doğrusunun kesişim kümesi {A} ise d doğrusuna çemberin bir teğeti A nokta­
sına teğetin değme noktası denir.
Teğet yarıçapa değme noktasında diktir.
Teğete değme noktasından çizilen dikme merkezden geçer.
Bir çembere, dışındaki bir A noktasından çizilen iki teğetin değme noktaları B ve C ise [AB] ve
[AC]’ na teğet parçaları denir.
1. Bir çemberde herhangi bir teğetin yarıçapa değme noktasında dik olduğunu gösterelim.
Verilen: d doğrusu O merkezli çembere B noktasında te­
ğettir.
İstenen: [OB] ± d’dir.
İspat: Bir Ç(O, r) çemberi ile bu çemberi kesmeyen bir
k doğrusu alalım. [OH] ± k çizelim. Çemberle OH doğru par­
çasının kesim noktası olan B noktasından d // k çizilirse,
d H Ç = {B} olur. Paralel doğrulardan birine dik olan bir doğru
diğerine de dik olduğundan, [OB] ± d’ dir.
2. Bir çembere, dışındaki bir noktadan çizilen teğet parça­
larının uzunluklarının birbirine eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: [AB ve [AC çembe re teğet ve değme noktalar ı
B, C’dir.
İstenen: IABI = lACI’dur.
İspat: Teğetlerin değme noktaları ve A noktası, çemberin
merkezi ile birleştirilirse iki dik üçgen oluşur.
A
Birer dik kenarları ile hipotenüsleri eş olan bu dik üçgenler
birbirine eştir.
ABO a ACO yazılır. Eş üçgenlerde karşılıklı kenarlar eş
olduğundan, IABI = IACI olur.
Ayrıca m(BAO) = m(CAO) ve m(BOA) = m(COA) ^ [AO] açıortaydır.
O
hâlde, çember dışındaki bir noktayı merkeze birleştiren doğru, bu noktadan çembere çizilen
teğetlerin oluşturduğu açının açıortayıdır.
3. İki çemberin dış ortak ve iç ortak teğet parçalarının birbirine eşit olduğunu gösterelim.
Verilen: M ve N merkezli çemberlerin dış ve iç ortak teğetleri
İstenen: a. [AB] ve [CD] ortak dış teğet ise |AB| = |CD|’dir.
b. [AB] ve [CD] ortak iç teğet ise |AB| = |CD|’ dir.
İspat: M ve N merkezli çemberlere E noktasından 1. şekilde dış ortak; 2. şekilde de iç ortak te­
ğetler çizilmiştir.
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının uzunlukları eşit olduğundan, şekil­
lerin altındaki eşitlikler yazılabilir.
280
1
A
E
N
M
C
IEAI = IECI
IEBI = IEDI
^ IEAI - IEBI = IECI - IEDI
IABI = ICDI’dur.
IEAI = IECI
IEBI = IEDI
^ IEAI + IEBI = IECI + IEDI
IABI = ICDI’ dur.
İç ya da dış teğet parçasının uzunluğu bulunurken küçük çemberin merkezinden ortak teğete
paralel çizilerek oluşturulan dikdörtgen ve dik üçgenden yararlanılır.
ÖRNEK
Yandaki şekilde; [CA], [CD] ve [BE], O merkezli çembere te­
ğettir. ICDI = 20 cm ise BEC üçgenin çevresinin uzunluğunu bu­
lalım.
C
Çözüm
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçalarının
uzunlukları eşit olduğundan,
ICAI = ICDI = 20 cm, IEFI = IEDI = x ve IBFI = IBAI = y’ dir.
BEC üçgeninin çevresinin uzunluğu, 2u = IEBI + IECI + ICBI
2u = x + y + (20 - x) + (20 - y) = 40 cm’dir.
ÖRNEK
Yanda, birbirine ekli iki demir çubukla çevresinden lehim­
lenmiş, dairesel logar kapağının şekli verilmiştir. Çubukların
bağlantı noktasının kapağın merkezine olan uzaklığı 1 m, kapak
dairesinin yarıçapı 60 cm ise çubukların bağlantı noktasının le­
himledikleri noktaya olan uzaklığını bulalım.
Çözüm
Demir çubuklar logar kapağına teğettir. Teğet yarıçapa değ­
me noktasında dik olduğundan, BAO üçgeni dik üçgendir. Bu üç­
gende, |AB|2 = x2 = 1002 - 602 = 10 000 - 3 600
= 6 400 ^
x = 80 cm’ dir.
Benzer şekilde |AC|’ da 80 cm bulunur.
ÖRNEK
Yandaki şekilde, [CA, O merkezli çembere teğettir. m(BAE) = 60°,
IBDI = 2r = 8 birim ve B, D, C noktaları doğrusal ise IACI’ nu bulalım.
281
B
C
Çözüm
[CA teğet olduğundan BAE açısı teğet - kiriş açıdır.
m(BAE) = m(BDA) = 60° dir (aynı yayı gören çevre açılar).
m(BAD) = 90°’dir (çapı gören çevre açı).
C
ABD üçgeni (30°, 60°, 90°) dik üçgen olduğundan,
IBDI = 8 br ^ IADI = 4 br ve IABI = 4 7 3 br’ dir.
[OA] l [CA ve m(AOC) = 60° olduğundan m(C) = 30° dir. Verilen şekle göre, ABC üçgeni ikizkenar
üçgendir. IABI = IACI = 473 birimdir.
D
ÖRNEK
Şekilde; [AD], [BC] ve [DC] çembere teğettir. IADI = 7 cm
ve IBCI = 3 cm ise IABI kaç cm’ dir?
C
Çözüm
I. Yol
IDAI = IDEI = 7 cm
B
^ IDCI = IDEI + IECI = 10 cm olur.
D
ICBI = ICEI = 3 cm
[CF] l [AD] çizilirse IFCI = IABI ve DFC üçgeni dik üçgen
7 cm
4 cm
E
olur.
3 cm
F ■^1 /
IDFI = 7 - 3 = 4 cm ve
IFCI2 = ICDI2 - IDFI2 = 102 - 42 = 100 - 16 = 84
^ IFCI = 2721 cm’dir.
C
3 cm
3 cm
AH
B
O
II. Yol
D
[AD], [BC], [DC] teğet iken
IBCI = x, IADI = y ise DOC dik üçgeninde (iç açıortaylar iç teğet
çemberinin merkezinden geçtiğinden)
r2 = x . y ve r = /X 7 y ' dir.
IABI = 2r = 2 . 7x7y = 2 .7 3 .7 = 2 V2T cm bulunur.
ÖRNEK
Teğetler dörtgeninde karşılıklı kenar uzunlukları toplamının birbirine eşit olduğunu ve alanının
da u . r olduğunu gösterelim.
Çözüm
Bir çembere dışındaki bir noktadan çizilen teğet parçaları birbirine eşittir. Şekle göre;
a=x +y
c=z+t
b=y +z
d=t+x
a+c=x +y +z+t
z C
1
7\ z
F----
'y /
A '\
^ b+d=x +y +z+t
H
1 ve 2 den, a + c = b + d bulunur.
A(ABCD) = A(OAB) + A(OBC) + A(OCD) + A(ODA)
A (ABCD) = a + b
2
2
+c
2
2
(
^
K
282
/
\
Af
\
\
/
r ---- /O' n
r
x
b
A(ABCD) = -2-(a + b + c + d) = -2• 2u = u • r bulunur.
r
\
A
r
E
y
\
y
B
ALIŞTIRMALAR
1.
Şekilde; [AB], [AC] teğet ve |OB| _ 6 cm, |AB| _ 6V3"
cm’ dir.
a. ABOC dörtgeninin çevresinin uzunluğunu bulunuz.
b. A’ nın ve BDC’ nın ölçüsünü bulunuz.
2.
Şekilde, ABCD yamuk ve ABED paralelkenardır. Yamuğun
kenarları, O merkezli çembere K, L, M ve N noktasında te­
ğettir.
D
M
a. ABCD teğetler dörtgeninin karşılıklı kenar uzunlukları top­
lamının eşit olduğunu gösteriniz.
b. |AB| _ 16 cm, |DC| _ 10 cm ise BEC üçgeninin çevresinin
uzunluğunu bulunuz.
A
3.
Şekildeki ABC üçgeninin iç teğet çemberi çizilmiştir.
m(C) _ 56°, m(FE) _ 108°, |AE| _ 4 br, |BF| _ 5 br ise aşa­
ğıdaki yerleri doldurunuz.
a. m(A ) _ ....
b. |AB| _
c. m(B ) _ ....
ç. m(FD ) _
A
4.
Birbirine dıştan teğet ve yarıçapları, r1, r2 olan iki çembe­
rin dış ortak teğet parçası [AB] ise IABI _ 2—r1.r2 olduğunu
gösteriniz.
5.
Yandaki şekilde r1, r2 yarıçaplı ve M, N merkezli çember­
lerin ortak iç teğeti AB doğrusudur. r1 _ 8 cm, r2 _ 4 cm ve
IABI _ 9 cm ise IMNI’ nu bulunuz.
6.
Şekilde, ABC üçgeninin iç teğet çemberi çizilmiştir.
|AB| _ 14 cm, |AC| _ 10 cm ve |BC| _ 16 cm ise |AE| kaç
cm’ dir?
A. 4
B. 5
D. 7
E. 10
C. 6
283
C
E
1 0 .8 .4 . D A IR E N IN ÇEVRESİ VE A L A N I
o
10.8.4.1. DAİRENİN ÇEVRESİNİN U zU N LU G U N U VE A L A N IN I VEREN BAĞ IN TILAR
dairenin Çevresinin Uzunluğu
&
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Verilen: Çapı 2r olan dairenin çevresinin uzunluğu Ç’ dir.
İstenen:
Dairenin çevresinin uzunluğu
Ç
Dairenin çap uzunluğu
2r
= n’ dir.
İspat: Bütün çemberler birbirine benzerdir. Benzer şekillerde karşılıklı uzunluklar orantılı oldu­
ğundan çemberlerin benzerlik oranı yarıçaplarının oranına eşittir.
Ç1
r1
Yarıçapları r1 ve r2 olan iki dairenin çevrelerinin uzunlukları Ç1 ve Ç2 ise — = — dir.
Ç2
2
2r
Ç1
Ç1
1
Ç2
1
1
2
Bu orantıdan, — = — ve — - = — orantıları yazılır.
2r
2r
2r
Ç2
Ç1
2r
Dairenin çevresinin uzunluğu
Dairenin çapının uzunluğu
= n’ dir.
n* sabit bir sayıdır. n = 3, 141... dir.
Ç
Çevresinin uzunluğu Ç, çapı 2 r olan bir çember için — = n ^ Ç = 2n . r’ dir.
22
2r
n « 3,14; n « — ya da n « 3 alınır.
r yarıçaplı bir çemberin OAB merkez açısının gördüğü yay uzunluğunu orantı yoluyla bulalım.
360° lik yay uzunluğu
2nr birim ise
a°l ik yay uz u nluğu
x b irim olur.
\B
D.O.
^
2nr . a
x . 360° = 2nr . a ^ x = |AB| = ------------ ’ dir.
360°
n : Bir dairenin çevresinin uzunluğunun çap uzunluğuna bölünmesiyle elde edilen sabit bir sayıdır. İsmini
Yunan’ca çevre kelimesinin ilk harfinden almıştır.
284
ÖRNEK
r = 9 cm olan bir çemberde IABI = 4n ise bu yayı gören herhangi bir çevre açının ölçüsünün kaç
derece olduğunu bulalım.
Çözüm
Önce bu yayı gören merkez açının ölçüsünü bulalım:
^
2n . r . a
2n .9 . a
IABI = -------- -— ^ -------- -— = 4 .n
360°
360°
2n . 9 . a = 360° . 4n ^ a = 80° dir.
Merkez açının ölçüsü, a = 80° ise bu açının gördüğü yayı gören çevre açının ölçüsü
80°
2
= 40° dir.
ÖRNEK
r = 10 cm olan bir çemberde, merkez açısı 144° olan yayın uzunluğunun kaç n cm olduğunu bulalım.
Çözüm
A
Aradığımız uzunluk |AB| olsun.
IABI =
2 . n . r .a
360
2 . n . 10 . 144°
360
288n
= 8 n cm bulunur.
36
ÖRNEK
Şekilde; m(DCB) = 20°, m(ABC) = 80° ve IACI + IBDI = 10 n ise çemberin
yarıçapının uzunluğunu bulalım.
Çözüm
m(BD) = 2 . 20° = 40° ve m(AC) = 2 . 80° = 160° dir.
m(DB) + m(AC) = 40° + 160° = 200° dir.
200° lik yay uzunluğu 10 n cm ise
360° lik yay uzunluğu x cm’dir. Bu orantıdan
x = 10 n . 360 = 18n ve
200°
Ç = 2nr = 18n ^ r = 9 cm bulunur.
ÖRNEK
Şekilde, IABI = r . V3"cm’ dir. Bu kirişin çemberden ayırdıc
nün kaç cm olduğunu bulalım.
Çözüm
Şekle göre, IABI = r . V3" ^ IDBI =
r . V3" cm olur.
2
3r2
r2
r
IODI2 = r2 - — = — ^ IODI = -----’dir. O hâlde,
4
4
2
ODB üçgeni (30°, 60°, 90°) dik üçgendir. m(B) = 30° ve
m(A) = m(B) = 30° olduğundan, m(AOB) = 120° bulunur.
m(AOB) = 120° ^ IANBI =
2 nr
cm olur.
285
ÖRNEK
Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 40, arka tekerleğinin çapı 160
cm’dir. Büyük tekerlek 10 tam dönme yaptığında ön tekerleğin kaç tam
dönme yaptığını bulalım.
Çözüm
Büyük tekerlek 10 tam dönme yaptığında,
10.27r.r1 = 10.2.7T.80 = 16007t cm yol alır.
Büyük tekerlek, küçük tekerlekte aynı yolu alacağından küçük tekerleğin
tam dönme (tur) sayısı x ise, x.2nr2 = 1600n ^ x = 1600n = 20’dir.
2.n.40
D a ire n in A la n ı
*A£>
H a
BİLGİ
Yarıçapı r olan dairenin alanı A = 7rr2 dir.
İNCELEYEREK Ö Ğ R E N E L İM
-------------------------------------------------------------------------------
Verilen : Yarıçapı r olan daire,
İstenen: A = nr2 dir.
İspat: Bir düzgün çokgenin kenarları, bir çemberin eş kirişleridir. Bir kenarının uzunluğu a olan n
kenarlı bir düzgün çokgenin çevresinin uzunluğu Ç = n . a’ dır. Bu çokgenin köşeleri merkezine birleştirilirse n tane birbirine eş ikizkenar üçgen oluşur. Bu ikizkenar üçgenlerin tabanlarına ait yükseklikleri,
düzgün çokgenin iç teğet çemberinin yarıçapıdır.
o
Yandaki şekilde, R yarıçaplı bir çemberin içine çizilmiş bir düzgün çok­
genin 2 kenarı gösterilmiştir.
IABI = IBCI = a, IOHI = r ve A(OAB) = -2 . a . r’dir.
Düzgün çokgenin alanı da S = n . A(OAB) = n . -2 .a . r = n . ^ . r = Ç r ’ dir.
Düzgün çokgenin kenar sayısı artarken çevresinin uzunluğu çemberin çevresinin uzunluğuna,
alanı da dairenin alanına yakın bir değer alır. n sayısı çok büyük olduğunda düzgün çokgenin alanı
ile dairenin alanı arasındaki fark çok küçük olur. n sonsuza yaklaşırken (n ^ ») dairenin alanı daireyi
sınırlayan çember içine çizilen düzgün çokgenin alanı ile aynı olur. Çevresinin uzunluğu Ç = 2n . r
olan dairenin alanı A = Ç . r = 2n . r . r = nr2 bulunur.
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: karton, kalem, cetvel ve makas.
Kartona yarıçapı 5 cm olan bir çember çiziniz.
Oluşan daireyi keserek kartondan çıkarınız.
18° lik merkez açılar ile daireyi 20 eş dilime ayırıp bu daire dilimlerinin yarısını boyayınız.
Boyalı dilimleri alt, diğer dilimleri üst taban olacak şekilde yerleştiriniz.
Oluşan şeklin hangi çokgensel bölgeye dönüştüğünü açıklayınız.
Bu çokgensel bölgenin yüksekliği ile dairenin yarıçapı arasındaki ilişkiyi, alt ve üst tabanlarının
uzunluklarının toplamı ile dairenin çevresinin uzunluğu arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Bu ilişkilerden yararlanarak dairenin alanına ait bağıntının çıkarılıp çıkarılamayacağını tartışınız.
286
ÖRNEK
Çevresi 8n cm olan dairenin alanını bulalım
Çözüm
Ç = 2nr = 8n cm ^ r = 4 cm’dir.
S = nr2 = n . 42 = 16n cm2 bulunur.
ÖRNEK
Bir kenarının uzunluğu a = 8 cm olan düzgün altıgenin alanını, çevrel çemberinin
ve iç teğet çemberinin sınırladığı dairelerin alanlarını bulalım.
Çözüm
Şekildeki OAB eşkenar üçgen olduğundan,
A(AOB) = -a2^ 3 = -64^ 3 = 16^3"cm2 dir.
4
4
Düzgün altıgenin alanı S1, çevrel çemberin ve iç teğet çemberinin sınırladığı alanlar da sıra ile S2
ve S3 olsun.
5 1 = 6. A(OAB) = 6 . 16VĞ"cm2 = 96V3"cm2 dir.
5 2 = nR2 = n . 82 = 64n cm2 dir.
5 3 = nr2 = n . (4VĞ)2 = 48n cm2 dir.
D aire D ilim in in (K esm esinin) A la nı
Bir çember yayı ile yayın uç noktalarını merkeze birleştiren iki yarıçapın sınırladığı bölgeye daire
kesmesi denir.
Yarıçapı r, merkez açısı a 0 olan bir daire diliminin alanı, Ad olsun.
a. Ad = nr2 . — ’tır.
b. a° lik yayın360
uzunluğu |AB|
= 2nr • a ’ dir.
360°
A _ nr2a _ 2 nr . a
r
**D
D 360°
360°
2
= |AB| . _L olur.
2
d a ire parçasının A la n ı
Çemberin bir kirişi ile bu kirişin çemberden ayırdığı yayın sınırladığı bölgeye
daire parçası denir. Bu alan AP ise;
AP = A d - A(AOB)’ dir. A(AOB) = - 1 - . r . r . sina =
ve
ap =
- r2 sina ’dir.
P 360°
2
d a ire H alkasının A la n ı
Yarıçap uzunlukları farklı, aynı merkezli iki çember arasındaki bölgeye halka denir . Bu alan AH ise
Ah = nr12- nr22 = n(r12 - r22) dir.
ODA nde, |AD|2 = x2 = r12 - r22 dir.
|AD| =
olduğundan,
A h = n . (r12 - r22) = n . |AD|2 = ^AB^ n’dir.
287
ÖRNEK
(M, 2 cm) ile (N, 6 cm) çemberleri dıştan teğettir. Bu çemberlerin ortak teğetlerinden biri [AB] ise
ortak teğet parçasının uzunluğu ile çemberler arasındaki alanı bulalım.
Çözüm
[CM] 1 [BN] çizelim. CNM dik üçgeninde, |MA| _ |BC| _ 2 cm,
|CN| _ 6 - 2 _ 4 cm ve |MN| _ 2 + 6 _ 8 cm olur.
CMN dik üçgeninde, |MN| _ 2 . |CN| olduğundan m(NMC) _ 30°
ve m(CNM) _ 60° dir. |CN| _ 4 cm ^ |MC| _ 4V3"cm ve
MCBA dikdörtgeninde |AB| _ |MC| _ 4V3"cm bulunur.
Taralı alan S olsun. MNBA dik yamuğunun alanından, küçük dairenin 120° lik, büyük dairenin
60° lik daire dilimlerinin alanları toplamı çıkarılırsa taralı alan bulunur.
S _ (2 + 6) . 4V3 - ( n . 22 . 120° + n . 62 . 60°) _ (16V3 - ^
2
360°
360°
cm2 dir.
3
ÖRNEK
Şekildeki ABC dik üçgeninde; [BC], [AC], [BA] çaplı yarım çember­
ler çizilmiştir.
S1 + S2 _ A(ABC) olduğunu gösterelim.
Çözüm
C
►
A(ABC) ile [AB], [AC] çaplı yarım dairelerin alanları toplamından,
[BC] çaplı yarım dairenin alanını çıkarırsak S1 + S2 bulunur.
nA
2
n . ( - f )2
s, + s 2 _ b .ç +
n . ( - f )2
+ .2 2
0
S1 + S2 _
+
S, + S2 _ —
_ A(ABC) olur.
8
+
8
8
2
+ — (b2 + c2 - a 2) (b2 + c2 _ a2)
8
A L IŞ T IR M A L A R
1.
Yandaki şekilde verilen O merkezli yarım çemberde;
IDCI _ 4VĞ" cm, m(DOC) _ 120° ise boyalı bölgelerin alanları
toplamını bulunuz.
2.
Yandaki şekilde IABI _ 6VĞ"cm, m(BAT) _ 60° ve [AT teğet ise
boyalı bölgenin alanını bulunuz.
288
d
A
B
3.
Ayşegül, cebindeki metal paraların çev­
relerini yanda verilen şekildeki gibi birbi­
rine teğet ve merkezleri de aynı doğrul- a
tuda olacak şekilde çiziyor. Sonra çizilen
çemberlerin aynı doğrultudaki çaplarının
uzunlukları toplamını IABI = 10 cm olarak
ölçüyor. Ayşegül'ün çizdiği bu çemberle­
rin çevrelerinin uzunluklarının toplamı kaç n cm’dir?
4.
Merkezleri arasındaki uzaklık 2 0 \/2 cm olan, 2 cm ve 22 cm yarıçaplı iki metal çemberi, şekildeki gibi gergin olarak saran ipin
uzunluğu kaç cm’dir (n = 3 alınız.)?
5.
Yandaki şekilde verilen çemberlerde, r1 = r2 = 6 cm ve
[DC] ortak teğet ise boyalı bölgenin alanını bulunuz.
6.
Yandaki şekilde verilen aynı merkezli iki çemberde, içtekinin
B
D
iki teğeti dıştaki çemberin kirişidir. m(EDF) = 60° ise, küçük
dairenin alanının, bu iki çember arasındaki halka alanına ora­
nı kaçtır?
A. 1
"B.1
r
3
1
. 4
7.
Yandaki şekilde; [AD], [DC] ve [BC], O merkezli yarım
çembere teğettir. IADI = 4 cm, IBCI = 9 cm ve [DO] ± [CO]
ise boyalı bölgelerin toplam alanı kaç cm2’ dir?
A. 6n
B. 9n
D. 16n
E. 18n
9 cm
E. i
C. 12n
C
8.
Yandaki şekilde, [AB] ve [AD] çaplı yarım çemberler
çizilmiştir. ABCD kare ve a = 6 cm ise aşağıdaki noktalı
yerleri doldurunuz.
2
a. Boyalı bölgenin alanı x = ..............cm dir.
2
b. y + z = ..............cm dir.
B
289
ÜNİTE SONU DEĞERLENDİRME SORULARI
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Bir çemberde bir çevre açının gördüğü yayın ölçüsü 54° ise bu yayı gören merkez açının ölçüsü
...............derecedir.
b. Uzunluğu 10n cm olan bir yayı gören çevre açının ölçüsü 40° ise bu çemberin çevresinin uzun­
luğu ................ n cm’ dir.
c. Köşeleri R yarıçaplı bir çember üzerinde bulunan karenin bir kenar uzunluğu a = k . R ise
k = ........
2.
Aşağıdaki cümlelerden doğru olanlara “ D” , yanlış olanlara “Y” yazınız.
a. Çevresinin uzunluğu Ç; yarıçapı r olan dairenin alanı -1
. Ç . r’ dir.
b. Merkez açısının ölçüsü 45° ve yarıçapı r = 4 cm olan daire diliminin alanı 2 . n cm2 dir.
c. Ölçüsü 80° olan teğet-kiriş açısının gördüğü yayı gören çevre açının ölçüsü 40° dir.
3.
Şekildeki O merkezli çemberde, |OD| = |DE| ve [AB] çaptır.
m(COD) = 24° ise m(COA) kaç derecedir?
4.
Şekilde |DC| = |CA| = |AB| = r ise m(ADC) kaç derecedir?
5.
Şekilde; [AC] açıortay, |AD| = 6, |CE| = 4 birim ise |CD| = x
kaç birimdir?
A. 2VĞ"
B. 2VĞ"
D. 2
6.
E.
C. 3
3
Şekildeki ABCD kare, D ve B merkezli çemberler de dıştan
teğet ise
oranı kaçtır?
|AC|
290
□
E
D
7.
Şekilde, IABI = 2r = 20 cm ve IBCI = 8 cm’dir. m(DCB) = 90° ve
[CB] teğet ise ICDI = x kaç cm’ dir?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
C
8. Şekildeki çember; ABCD karesinin bir kenarına teğettir. Karenin iki
köşesi de çember üzerindedir. IADI = a ise — oranı kaçtır?
a
5V2"
_5_
_2_
D.
E. 3V3
B. _3_
A.
C.
4
8
3
E
B
9.
Şekilde IACI - IBDI = 4n cm ve m(BED) = 40° ise çemberin
yarıçapı kaç cm’dir?
E
C
D
10. Yandaki şekilde verilen ABCD dikdörtgen, A merkezli çeyrek dai­
re ile N merkezli yarım daire dıştan teğettir. IABI = 24 cm ve
IBCI = 16 cm olduğuna göre boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?
A
11. Yandaki şekilde verilen [AC] çaplı çember içine [AB] ve [BC] çaplı yarım
çemberler çizilmiştir. IABI = 8 cm, IBCI = 4 cm olduğuna göre boyalı böl­
genin alanının boyalı olmayan bölgenin alanına oranı kaçtır?
E
N
B
C
12. Aşağıdaki şekilde, taban yarıçapları eşit ve r br olan üçer tomruk tel halatlarla iki farklı şekilde
bağlanmıştır. Bağlamlar arasındaki uzaklık farkının kaç br olduğunu bulunuz.
291
r
. . .
GOMETRİK CİSİMLER
Geometri çok eski çağlardan beri vardır. Geometri bilgilerini ilk kullanan­
lar Eski Mısırlılar olmuştur. Eski Yunanlıların da geometriyi Eski Mısır’dan
öğrendikleri bilinmektedir.
Mısırlıların üç boyutlu cisim­
lerden; silindir, koni, prizma ve
kesik piramidin yüzey alanını ve
hacmini hesaplamayı bildikleri,
bulunan papirüslerden anlaşıl­
mıştır. Mısırlıların Firavunları
için yaptıkları piramitler ve lahitler üç boyutlu cisimlerdir.
M ısır ve M ezopotam yalılarda M atem atik, A stronom i ve Tıp, Ord. Prof. Dr.
A ydın Sayılı -T ü rk Tarih Kurum u Basım evi, A nkara 1966.
292
10.9.1. KATI CİSİMLERİN YÜZEY A LA N LA R I VE HACİMLERİ
C D
10.9.1.1 DİK PRİZMA VE DİK PİRAMİTLERİN YÜZEY ALAN VE HACİM BAĞINTILARI
Prizm atik Yüzey
Uzayda, düzlemsel bir çokgen ile çokgen düzlemine paralel
olmayan bir k doğrusu alalım. Çokgenin kenarlarından birini ke­
sen ve k doğrusuna paralel olan d doğrusunu çizelim. d doğru­
su çokgenin kenarlarına dayanarak ilk konumuna paralel olarak
kaydırılırsa, oluşan yüzeye prizm atik yüzey; hareketli doğruya da
prizm atik yüzeyin ana doğrusu denir.
Yandaki şekilde, ABC üçgensel bölgesinin kenarlarına dayana­
rak hareket eden ve k doğrusuna paralel olan d doğrusu prizmatik
yüzey oluşmuştur. İnceleyiniz.
Prizma
A
BİLGİ
Bir prizmatik yüzey birbirine paralel iki paralel düzlemle kesilirse bu düzlemler arasında kalan ka­
palı cisme prizma denir.
= 9®
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
---------------------------------------------------------
Birbirine paralel P ve E düzlemleri içinde, birbirlerine eş iki çokgen çizelim. Bu çokgenlerin tüm
noktaları karşılıklı birleştirilirse elde edilen cisim prizma olur.
Yandaki şekilde çokgen olarak
beşgen seçilmiştir.
• Prizmanın altını ve üstünü oluşturan
çokgenlere prizmanın tabanları,
• Prizmanın taban kenarlarına taban
ayrıtları,
• Tabanların karşılıklı köşe noktaları­
nı birleştiren doğru parçalarına ya­
nal ayrıtlar,
• İki yanal ayrıt arasında kalan ve bir
tabanın, kenar sayısı kadar olan paralelkenarsal bölgelere yanal yüz­
ler,
• İki taban arasındaki uzaklık prizma­
nın yüksekliğidir (|KL| = h).
• Prizmalar, tabanlarını oluşturan
çokgenlere göre adlandırılır. Örneğin; tabanı üçgen olan prizmaya üçgen prizma; tabanı beşgen
olan prizmaya beşgen prizma denir.
BİLGİ
Yanal ayrıtları taban düzlemine dik olan prizmaya dik prizma denir.
Dik prizmanın yanal ayrıtları dik prizmanın yüksekliğidir.
Dik prizmanın yanal yüzleri dikdörtgendir.
Tabanı üçgen olan dik prizmaya üçgen dik prizma; tabanı beşgen olan
dik prizmaya beşgen dik prizma denir.
293
Düzgün Prizma
tA
BİLGİ
F
E
Tabanları düzgün çokgen olan dik prizmalara düzgün
prizma denir.
Düzgün prizmada; yan yüzler dikdörtgendir.
Tabanların merkezlerini birleştiren doğru eksendir. Yanal ayrıt­
lar yüksekliktir.
Yukarıdaki şekil düzgün altıgen dik prizmadır. Bu prizmada
[OO'] eksendir. Tabanlar düzgün altıgendir. Düzgün çokgenlerin kö-
Düzgün altıgen dik pnzma
şeleri bir çember üzerinde olduğundan IOBI = R ve [OH] ± [BC] ^ IOHI = r’dir.
Özel Dik Prizmalar
D ikdörtgenler Prizması
Tabanları dikdörtgen olan dik prizmaya dikdörtgenler
c
B
\
A‘f
D
prizması denir.
C
a
IBDI = / a 2 + b2 ve IBD'I = \/a 2 + b2 + c2 ’ dir.
Dikdörtgenler prizması
d1
Küp
c1
\
Bütün ayrıtları eşit uzunlukta olan dikdörtgenler prizma­
sına küp denir.
V ? /
a
\
C
D
IBDI = aV2 ve IBD'I = aV3 ’tür.
B
Küp
ÖRNEK
G
Yandaki dik prizma bir kalem kutusunun modelidir. Bu prizmanın ayrıt
uzunlukları; IABI = 2 cm, IBCI = 6 cm ve IEAI = 15 cm’dir. Bu kalemkutusunun
B köşesinden H köşesine prizma yüzeyinden giden bir karıncanın aldığı en
kısa yolun uzunluğunu bulalım.
E
Çözüm
C
Kalem kutusunun yan yüzünün açınımı aşağıda çizilmiştir. Bu şekle
göre karıncanın aldığı en kısa yol [BH]’ nın uzunluğudur.
IBHI2 = IHDI2 + IDBI2 = 152 + 82
= 225 + 64
= 289’dur.
IBHI = 7289= 17 cm bulunur.
294
A
6 cm
2 cm
/
Dik Prizma Yanal ve Yüzey Alanı
= t|[
BİLGİ
-------
• Dik prizmanın yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ile yüksekliğin çarpımına eşittir.
• Dik prizmanın yüzey alanı, yanal alanı ile taban alanlarının toplamına eşittir.
in celeyer ek ö ğ r e n e lim
Yanda, üçgen dik
prizma ve açınımı ve­
rilmiştir. Açınıma gö­
re, prizmanın yanal B
yüzeyi 3 tane dikdört­
genden oluşmuştur.
Dik prizmanın yanal
a1
a1
c1
c1
A
A
b
C
B
c
b
A
alanı bu dikdörtgen­
lerin alanları toplamı­
na eşittir.
a1
C
B
Y> = a . h + b . h + c . h
= h (a + b + c) = h . Ç’ dir (Ç = a + b + c).
Prizmanın taban alanı G, yanal alanı Y> ve yüzey alanı S olsun. Prizmada alt ve üst taban alanları
birbirine eşit olduğundan,
S = 2 . G + Y> ya da S = 2 . G + h . Ç’ dir.
Ayrıtları a, b ve c olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı
S = 2 (a. b + a . c + b . c)’dir.
Ayrıtı a olan küpün yüzey alanı S = 6 a2’dir.
D ik Prizmanın Hacim Bağıtısı
tA
BİLGİ
Dik prizmanın hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
Ayrıtı a olan küpün hacmi V= a . a. a = a3 tür.
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM ------------
Yandaki dik prizma biçimindeki kutunun içine hacmi
1 br3 olan birim küplerden kaç tane yerleştirebileceğimi­
zi hesaplayalım. a = 6 br, b = 4 br c = 5 br’dir.
Kutunun tabanına 4 .6 = 24 tane birim küp yerleştirilmiştir.
Kutunun tamamı 5 . 24 = 120 tane birim küple dolar.
Dik prizmanın hacmi,V = 6 . 4 . 5 = 120 br3 tür.
Örneğimizdeki dikdörtgenler prizmasının taban ala­
nı a . b ve yüksekliği de c olduğundan hacmi,
V = (a . b) . c’dir.
Prizmanın taban alanı G, yüksekliği h, hacmi V ise
V = taban alanı x yükseklik ya da V = G . h’ dir.
295
ÖRNEK
A
Şekildeki dik üçgen dik prizmanın taban ayrıtlarının uzunlukları; IABI = 8 cm,
IACI = 15 cm’dir. Bu prizmanın yüksekliği 10 cm ise taban alanını, yüzey alanı­
nın ve hacminin kaç cm3 olduğunu bulalım.
B
Çözüm
r. ■
4^
ı
IABI.IACI
__
2
Prizmanın taban alanı, G = -------------= 60 cm2 ve
B
C
ABC dik üçgeninde, IBCI2 = 82 + 152 ^ |BC| = 7 64 + 225 = -]289 = 17 cm’dir.
Taban çevresinin uzunluğu, Ç = 17 + 15 +8 = 40 cm’dir.
Ya = h . Ç = 10 . 40 = 400 cm2 dir.
S = 2G + Ya = 2 . 60 + 400 = 120 + 400 = 520 cm2 dir.
Hacmi, V = G . h = 60 . 10 = 600 cm3 bulunur.
ÖRNEK
C
Taban ayrıtları a = 8 cm, b = 6 cm ve
a1
k = 2^29 cm olan dikdörtgenler prizmasının,
c
C
b= 6cm
yüksekliğini ve hacmini bulalım.
a= 8cm
Çözüm
k = 7 a 2 + b2 + c2
2 /2 9 = 7 8 2 + 62 + c2 ^ 2V^9 = •!64 + 36 + c2 ^ 2 /2 9 = \Z100 + c2 dir.
Eşitliğin iki tarafının karesini alalım: 4. 29 = 100 + c2
116 = 100 + c2 ^
Prizmanın yüksekliği, h = c = 4 cm ve
c2 = 116 - 100 ^
c2 = 16 ^ c = 4 cm’dir.
V = a . b . c = 8 . 6 . 4 = 192 cm3 bulunur.
ALIŞTIRM ALAR
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Farklı üç yüzünün alanları 6 cm2, 9 cm2 ve 24 cm2 olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı
cm2’ dir.
b. Hacmi 80 cm3 olan dik prizmanın taban alanı 16 cm2 ise yüksekliği...............cm’dir.
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” yanlışsa “Y” yazınınz.
a. Bir küpün ayırt uzunlukları 2 katına çıkarılırsa yüzey alanı 8 kat artar. Q
b. Bir dik prizmanın tabanı ikizkenar dik üçgendir. Bu prizmanın yanal ayrıtının uzunluğu 10 cm,
tabanının bir dik kenarının uzunluğu 6 cm ise hacmi 180 cm3’ tür.
c. Yüzey alanı 252 cm2 olan dikdörtgenler prizmasının ayrıtları 1, 2, 4 sayıları ile orantılı ise
hacmi 216 cm3 tür.
3. Tabanının bir kenarının uzunluğu 4 cm olan düzgün altıgen dik prizmanın hacmi 360 cm3 ise
yüksekliğini bulunuz.
296
4.
Bir küpün yüzey alanı 54 cm2 dir. İkinci bir küpün hacmi bu küpün hacminin 8 katı ise ikinci küpün
yüzey alanı kaç cm2 dir?
A . 108
B . 162
C .216
D .270
E. 324
5. Tabanı ABCD yamuğu olan bir dik prizmanın yüksekliği 20 cm, taban kenarlarının uzunlukları;
a = 10 cm, b = 8 cm, c = 4 cm, d = 6 cm’dir. Bu prizmanın yanal alanı kaç cm2 dir?
6. Tabanının dik kenarları 9 cm, 12 cm ve hacmi 360 cm3 olan dik üçgen dik prizmanın yüksekliğini
bulunuz.
7. Ayrıt uzunlukları; 6 cm, 10 cm ve 30 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki tuğlalarla bir küp
yapılacaktır. Bu tuğlalardan en az kaç tanesi ile bir küp yapılır?
A. 10
B. 12
C. 15
D. 18
E. 30
8. Yanda resmi verilen dikdörtgenler prizması
şeklindeki akvaryumun taban kenarları 80 cm
ve 50 cm’ dir. Yüksekliği 40 cm olan bu akvar­
yum içindeki suyun yüksekliği 30 cm ise akvar­
yum içindeki suyun hacminin kaç cm3 olduğu­
nu bulunuz.
Piram itler
Mısır piramitleri yeryüzündeki anıt mezarların en eskileri ve en bü­
yükleridir. Bunların en haşmetlisi olan Keops Piramidi dış görünüşü ile
de “ Dünyanın Birinci Harikası” olma niteliğine hak kazanmıştır. Pira­
mitler, firavunun mumyası ile hepsi birbirinden değerli eşsiz nitelikteki
sanat eserlerini; kral, kraliçe, prens heykellerini ve bu eşsiz hazineleri
saklamak için yapılmıştır.
" i ’ BİLGİ
------------------------------------------------------------------------------
Bir çokgenin düzlemi dışındaki T noktası ile çokgenin kenarları üzerindeki noktalarından geçen
doğruların oluşturduğu yüzeye prim idal yüzey; oluşan üçgenlerle çokgenin sınırladığı cisme de
piram it denir.
jr f b
j = ü
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM --------
• Piramitler, prizmalarda olduğu gibi tabanlarındaki
çokgenin kenar sayısına göre adlandırılır. Örne­
ğin, tabanı üçgen olan piramide üçgen piram it
denir.
• Çokgene piram idin tabanı,
• Çokgen düzleminin dışındaki T noktasına pira­
midin tepe noktası,
• Tabanının bir köşesi ile T noktasının belirttiği
doğru parçasına piramidin yanal ayrıtı,
• T noktasından çokgenin bulunduğu düzleme indi­
rilen dikme parçasına piramidin yüksekliği denir.
• Tepe noktası T, tabanı ABCD dörtgeni olan pira­
mit (T, ABCD) biçiminde gösterilir.
• Tepe noktasından bir yan yüzün tabanına indiri­
len dikme bu yan yüze ait yüksekliktir.
• [TE] l [BC] olduğundan, [TE], TBC yüzüne ait
yüksekliktir.
297
T
Dik Piramit
Tepe noktası ve çokgenin ağırlık merkezinden
T
geçen doğru, çokgenin düzlemine dik ise piramide
d ik piram it denir.
Düzgün Piramit
Tabanı düzgün çokgen olan dik piramide düz­
gün piram it denir.
C
• Düzgün piramitte, yan yüzler birbirine eş olan
ikizkenar üçgenlerdir.
• Düzgün piramitte yanal ayrıt uzunlukları birbi­
rine eşittir.
• Düzgün piramitte yanal yüz yüksekliklerinin
uzunlukları birbirine eşittir.
Düzgün Pramidin Alanı
a-3
b il g i
Düzgün piramidin yanal alanı, taban çevresinin uzunluğu ile yanal yüz yüksekliğinin çarpımının
yarısına eşittir.
Tabanı n kenarlı düzgün çokgen olan piramidin yanal alanı, yan yüzleri oluşturan n tane ikizkenar
üçgenin alanları toplamına eşittir.
T
Taban ayrıtı a ise taban çevresi Ç = n . a’ dır. Şekle göre,
TAB = TBC = TCD = ... olduğundan,
A(TA b ) = A(TBC) = A(T c D) = . . ’ dir.
ICDI = a, IT m = h' olsun.
A(TCD) =
ICDI ITH'I
a hı ,
dir.
A
Y a = n. A(TCD) =
D
Ç hı ...
- —2— ’ dir.
Şeklimizdeki piramit düzgün beşgen olduğundan,
B
a
C
\/
5a . hı ,
Ya = ----- 2------ dir.
Taban alanı G, yanal alanı Ya, taban çevresi Ç = n . a olan düzgün piramidin yüzey alanı;
S = G + Ya = G + -—2 T -- ’dir.
Piramidin yüzey alanı, taban alanı ile yanal alanının toplamına eşittir.
Taban alanı G, yanal alanı Y a olan piramidin yüzey alanı S = G + Y a dır.
298
Pramidin Hacmi
i#
BİLGİ
Bir piramidin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.
Taban alanı G, yüksekliği h olan piramidin hacmi V = -3 . G. h’ dir.
3
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
LL
7
F
E
LL
ABCDEF üçgen dik prizmasını, aşağıdaki gibi keserek üç tane üçgen piramide ayıralım. Bu pira­
mitler; (B, DEF), (F, ABD), (F, ABC) olsun.
A
A
A
Prizmanın tabanları birbiriB
/ \
ne eş (ABC = DEF) olduğun­
dan
(B, DEF) üçgen piramidi ile
C
C
B
B
\
\
(F, ABC) üçgen piramidin taban
\'
alanları ve yükseklikleri eşit­
h
h
D
tir. Öyleyse bu piramitlerin ha­
D
D
'
^F
mF
N \ f fcimleride birbirin
m^s ---------BED = DAB’ dir. Tepe noktaları F olan (F, BED) piramidi ile (F, ABD) piramidinin taban alanları
ve yükseklikleri eşit olduğundan bu piramitlerin de hacimleri birbirine eşittir. Bu durumda ABCDEF
prizması aynı hacimli, (F, DBE), (F, DAB), (F, ABC) üçgen piramitlerine ayrılmış olur.
ABCDEF prizmasının hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşit olduğundan (B, DEF)
piramidinin hacmi de bu prizmanın hacminin üçte birine eşit olur. ABCDEF prizmasının hacmi V,
(B, DEF) piramidinin hacmi V 1 ise V 1 = - 3 . V =
3
3
. G. h olur.
ÖRNEK
Tabanının ayrıtı 10 cm ve yan yüz yüksekliğinin uzunluğu 13 cm olan kare dik piramidin taban ala­
nını, yanal alanını, yüzey alanını ve hacmini bulalım.
T
Çözüm
Taban alanı G = a2 = 102 = 100 cm2 dir.
Yandaki piramitte; ITKI = 13 cm, IABI = 10 cm’dir.
[TK] 1 [BC] çizilirse THK dik üçgeninde, IHKI = 5 cm o
dan,
ITKI2 = ITHI2 + IHKI2 ^ 132 = ITHI2 + 52
ITHI2 = 169 - 25 = 144
ITHI = 12 cm bulunur.
Y a = 4 . A(ABC) = 4 .
10.13
= 260 cm2 ve
S = G + Ya = 100 + 260 = 360 cm2 dir.
Piramidin hacmi, V = — . G . h =
3
3
. 100 . 12 = 400 cm3 bulunur.
299
ETKİNLİK
Araç ve Gereçler: Cisimler kutusundan alınmış taban alanları ve yükseklikleri eşit cam ya da
pilastik piramit ve prizma şeklinde iki kap.
• Cisimler kutusundan aldığınız piramit şeklindeki kabı su ile doldurunuz. Bu suyu prizma şeklindeki
kabın içine dökünüz. Bu işlemi kaç kez yaptığınızda prizma tamamen doluyor? Prizmanın hacmi
ile piramidin hacmi arasında nasıl bir ilişki olduğunu açıklayınız.
• Piramidin hacim bağıntısını oluşturunuz.
Düzgün D ört Yüzlü
a-3
b il g i
Dört yüzü birbirine eş eşkenar üçgen olan piramide düzgün dört yüzlü denir.
Bir ayrıtının uzunluğu a br olan düzgün dört yüzlünün yüzey alanı S = a273 ve hacmi V =
’dir.
!/ 2
12
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Düzgün dört yüzlünün yüzleri birbirine eş eşkenar üçgendir. Kenar uzunluğu a br olan eşkenar
2 /„33
a2
üçgenin alanı
olduğundan, bir ayrıtı a br olan düzgün dört
T
yüzlünün;
Bir yüzünün alanı G =
a2 / 3
Yüzey alanı S = 4 . G = 4 .
!/ 3
A
C
= a2 73 ve
Hacmi V = -3 . G . h’dir. Yandaki şekilde,
IAEI = a Ş - , IAHI = 2 IAEI = 2 .
2
3
3
2
=- #
3
TAH dik üçgeninde, ITHI2 = ITAI2 - IAHI2 = a2 -
B
’tür.
3a 2
6a2
a /6 ,...
ITHI = — — ’tür.
..
1 _ .
1 a2 / 3 a / 6
a3 / 2
V = — .G.h = — .— -— . „ = —
bulunur.
3
3
4
3
12
ÖRNEK
Ayrıtı 6 cm olan düzgün dört yüzlünün yüzey alanını ve hacmini bulalım.
Çözüm
Düzgün dört yüzlünün tabanı eşkenar üçgen olduğundan taban alanı
G=
a{ 3 = 6 { 3
4
4
= 36/ ^ = 9 /3 " cm2 dir. Yüzey alanı, S = 4 . G = 4 . 973 = 3673 cm2 dir.
4
a/ 6
6 /6
Ayrıtı a = 6 cm olan düzgün dört yüzlünün yüksekliği h = — — = —- — = 2 / 6 cm’dir.
3
3
Hacmi; V = -^.G.h = -1 .9 / 3 . 2 / 6 = 6 /1 8 = 6 .3 /2 = 1 8 /2 cm3 bulunur.
3
3
A
„ a3 / 2
63 / 2 6 .6 .6 /2
HO ^
3u ,
Ayrıca, V =
——— = ——— = — —— =
18V2cm3
12
12
12
300
bulunur.
T
ÖRNEK
Yüksekliği 9 cm olan bir piramidin tabanı, bir kenarının uzunluğu
6 cm olan karedir. Bu piramit tepe noktasına 3 cm uzaklıkta, tabanına
paralel olan bir düzlemle kesiliyor. Meydana gelen kesik piramidin hac­
mini bulalım.
Çözüm
I. Yol: (T, AıBıCıDı) piramidinin hacmi V1, taban alanı G1ve yüksek­
liği ITHıI = h'= 3 cm olsun.
(T, ABCD) piramidinin hacmi V, yüksekliği ITHI = h = 9 cm ve kesik
piramidin hacmi de Vk olsun. Yandaki şekle göre;
TA'H' ~ TAH ve
ITAıI
ITAI
TA'B' ~ TAB ve
ITA'I
ITAI
1 ve 2 den,
IA'B'I
IABI
ITHıI
h
ITHI = —
h = — ’ dur. 1
IA'B'I
W
’*
h'
h
2
IA'B'I
3
—— =
6
9
IA'B'I = 2 cm’dir.
A(ABCD) = G = 62 = 36 cm2, A(AıBıCıDı) = G' = 22 = 4 cm2 dir.
• V = — . G . h = — . 36 . 9 = 108 cm3 tür.
3
3
V. = — . G' . h' = - - . 4 . 3 = 4 cm3 tür.
1 3
3
Vk = V - V1 = 108 - 4 = 104 cm3 bulunur.
G'
II. Yol: A(A'B'CıDı) = G1, A(ABCD) = G ve A'B'C'D' ~ ABCD) ^
g
l \ A 'B mn2
_ [ , AB ■ > dir.
1 „ ı ,_ı
IA'B'I
h1 G1
- I-A-B- I- " h ^ Ğ T =
V1
V
(*
V1 _
ve
V
)2
V 1 _ | ' h' )3 _
V 1 + Vk v h >
3 3
(9 !
(
_
~Ğ^~ h _
1- F
)
Y
_ İ T 1
olur.
t Gh
1
27
k k
ALIŞTIRM ALAR
1. Şekildeki kare düzgün piramitte, IABI = 8 br, ITAI = 4^10 br ise aşağıdaki
noktalı yerleri doldurunuz.
a. A(TBC) = .................
b. Yanal alanı: Y a = ..............
c. Yüzey alanı: S = ............
ç. Hacmi: V= .......................
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
T
C
A
8 br
B
a. Taban ayrıt uzunluğu 16 cm olan bir kare düzgün piramidin yüzey alanı 576 cm2 ise bu kare
düzgün piramidin hacmi 512 cm3 tür. O
b. Hacmi 112 cm3 olan bir kesik piramidin alt tabanının alanı 24 cm2 ve üst tabanının alanı
6 cm2 ise bu kesik piramidin yüksekliği 8 cm’ dir. O
c. Yüksekliği 2^6 cm olan düzgün dört yüzlünün yüzey alanı 36^3 cm2 ve hacmi 18^2 cm3 tür.
ç. Yüzey alanı 144 cm2 ve taban ayrıtı 8 cm olan düzgün kare piramidin hacmi 400 cm3 tür.
301
3.
Düzgün kare kesik piramitte alt ve üst taban ayrıtlarının uzunlukları; a = 12 cm, aı = 6 cm’dir. Bu
kesik piramidin yüksekliği h = 4 cm olduğuna göre hacmi kaç cm3 tür?
A. 112
B . 168
C .216
E. 336
D. 308
T
4. Şekildeki (T, ABC) piramidinde [TA] l [AB], [TA] l [AC] ve [BC] l [AC]’dir.
/s
m(B) = 30° ve IABI = 6 cm ise piramidin hacmi kaç cm3 tür?
A. 673
D. 2473
B . 18
E. 36
C . 1273
B
C
10.9.1.2 DİK DAİRESEL SİLİNDİR VE DİK DAİRESEL KONİNİN HACİM BAĞINTILARI
S ilindir
• Yandaki resimde gördüğünüz akaryakıt tankı nasıl bir cisimdir?
• Su borularının ve soba borularının yüzeyleri nasıl yüzeylerdir?
• Yandaki bayrak direğinde, bayrağa bağlı ip, bayrak direğinin dış yü­
züne paraleldir. Bu ip, direk yüzüne dayanarak ve ilk konumuna gelinceye
kadar direğe paralel olarak kaydırılırsa ipin oluşturduğu (süpürdüğü) yüzeye
s ilin d irik yüzey; hareketli ipe de silindirik yüzeyin ana doğrusu denir.
Dik Dairesel Silindir
BİLGİ
—
------------------------------------------------------------------------------------
Bir dairesel silindirde ana doğrular taban düzlemine dikse bu silindire d ik dairesel s ilin d ir denir.
= 9®
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
Dik dairesel silindirin
tabanları daire, yan yüze­
yinin açık şekli de dikdört­
gendir.
Yandaki silindirin açık
şeklinde, dikdörtgenin kı­
sa kenarı silindirin yük­
sekliğine, uzun kenarı
silindirin taban çevresine
eşittir.
Dik Dairesel S ilin d irin Yüzey Alanı
Yukarıdaki şekilde, dik dairesel silindirin taban dairesinin yarıçapı r; yüksekliği h’ dir. Bu silindirin:
Taban çevresinin uzunluğu: Ç = 2nr,
Taban alanı
: G = nr2,
Yanal alanı
: YA = 2nr . h ve
Yüzey alanı
: S = 2 G + YA = 2nr2 + 2nr
.
h’dir.
Dik silindirin yüzey alanı, taban alanları ile yanalalanının toplamına eşittir.
302
ÖRNEK
Bir boyacı, boya yaparken silindir biçiminde bir rulo kullan­
maktadır. Rulonun yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 25 cm’ dir. Boyacı
ruloyu boyaya batırıp duvar üzerinde aynı hizada 8 tur attırdığında
kaç cm2 lik alanı boyamış olur?
Çözüm
Rulonun yanal alanı, 2 . n . r . h = 2 . n . 6 . 25 = 300 n cm2
olduğundan 8 turda 8 . 300n = 2 400n cm2 lik alan boyanır.
Dik Dairesel S ilindirin Hacmi
A-V
b il g i
Taban yarıçapı r, yüksekliği h olan bir dik dairesel silindirin hacmi V = 7rr2. h’ dir.
= 9®
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM ------------------
Yanda oyun hamurundan yapılmış bir dik dairesel silindir
görüyorsunuz. Bu silindir, şekilde görüldüğü gibi eş dilimlere
ayrılmıştır.
Bu dilimler 3. şekilde, prizmaya benzeyecek şekilde yer­
leştirilmiştir. Bu silindirden elde edilen eş dilimlerin sayısı art­
tırıldığında oluşan cisim prizmaya dönüşür.
Prizmanın hacmi: “V = taban alanı x yükseklik” olduğun­
dan, silindirin hacmi de “taban alanı x yükseklik” olur.
O hâlde, silindirin hacmi V = G . h = nr2. h’dir.
ÖRNEK
Tabanının yarıçapı r = 20 cm ve yüksekliği h = 70 cm olan dik silindir biçimindeki
bir bidon kaç litre su alır?
Çözüm
70 cm
Dik dairesel silindirin hacmi, V = n . r2 . h = n . 202 . 70 = 28 000 n cm3 tür.
Bidondaki su, bidonun hacmi kadardır. Öyleyse bidondaki su miktarı
28 000 n cm3 = 28 n dm3 = 28 n L’dir.
20 cm
ÖRNEK
Yanal alanı 120n cm2, yüksekliğinin uzunluğu 10 cm olan dik dairesel silindirin hacmini bulalım.
Çözüm
Yanal alanı, Ya = 2 n r . h = 120 n
2. n. r. 10 = 120 n ^
r = 6 cm’dir.
Hacim, V = n. r2 . h = n . 62 . 10 = 360 n cm3 bulunur.
303
ALIŞTIRM ALAR
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Yanal alanı 24n cm2 olan bir dik dairesel silindirin hacmi 36n cm3 ise busilindirin yüksekliği
.................... cm’ dir.
b. İç çapı 10 cm, dış çapı 12 cm ve yüksekliği 40 cm olan dik dairesel silindir biçimindeki bir
borunun dolgu kısmının hacm i.................. n cm3 tür.
2.
Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
a. Yanal alanları eşit iki silindirin hacimleri oranı — ’ dir. Q
r2
b. Bir ayrıtının uzunluğu 6 cm olan bir küpün iç silindirinin hacminin, dış silindirinin hacmine
oranı -1 ’tür. Q
c. Dik dairesel silindirin yüzey alan bağıntısı S = nr2 + 2nr.h’dir. Q
3.
Taban yarıçapı 10 cm ve yüksekliği 20 cm olan bir dik silindirin dışına, kare düzgün prizma çi­
ziliyor. Yüzleri silindire teğet olan bu prizmanın hacminin, silindirin hacmine oranı kaçtır (n = 3
alınız.)?
C. 2
" I
D. !
E. 3
4. Yanal alanı 240 cm2, yüzey alanı 340 cm2 olan bir dik silindirin yüksekliğinin, taban yarıçapına
oranı kaçtır?
A. 2.1
5.
B. 2, 4
C. 2, 5
D. 2, 6
E. 2, 8
Bir ABCD dikdörtgeninde; IABI = 12 cm, IBCI = 8 cm’ dir. Bu dikdörtgen önce [AB], sonra [BC]
kenarı etrafında 360° döndürülüyor. Meydana gelen silindirlerin alanlarının oranını ve hacimleri­
nin oranını bulunuz.
Dik Dairesel Koni ve Dik Dairesel Koninin Yüzey Alanı ve Hacim Bağlantıları
Konik Yüzey
Kapalı bir C eğrisi ile bu eğrinin düzlemi dışında bir T noktası verilsin.
T noktasından geçen ve C eğrisine dayanarak hareket eden bir doğrunun
oluşturduğu yüzeye, konik yüzey denir.
ana
doğru
T noktasına tepe ya da tepe noktası, C eğrisine taban eğrisi, tepe nok­
tasını taban eğrisinin bir noktasına birleştiren doğruya da ana doğru denir.
\
aA?
''
taban eğrisi
BİLGİ
Konik yüzeyle sınırlı bölgeye koni denir.
Taban eğrisi bir çember olan (tabanı daire olan) ve yüksekliği taban dairesinin merkezinden ge­
çen koniye d ik dairesel koni denir.
Koni tabanının merkezinden ve koninin tepe noktasından geçen doğruya koninin ekseni denir.
304
İNCELEYEREK ÖĞRENELİM
T
Dik dairesel koninin özellikleri:
1. Dik dairesel koninin tepe noktasının tabanına olan uzaklığı koninin
yüksekliğidir.
2. Dik dairesel konide yükseklik eksendir. Bu eksen, koninin sim et­
ri eksenidir.
3. Dik dairesel konide tepe noktasını taban çevresinin bir noktasına
birleştiren doğru parçası koninin ana doğrusudur.
B
4. Ana doğrularının uzunlukları birbirine eşittir.
ITAI = ITCI = ITBI = a’dır.
5. Dik dairesel koninin ekseninden geçen bir düzlemle kesiti, bir ikizkenar üçgendir. Yandaki şekilde
TAB üçgeni ikizkenar üçgendir.
Dik Dairesel Koninin Yüzey Alanı
M
BİLGİ
Taban yarıçapı r, ana doğrusu a olan dik dairesel koninin;
T
Taban alanı: G = n r2’dir.
Dik dairesel koniyi, taban kenar sayısı sonsuz olan özel bir düzgün
piramit olarak tanımlayabiliriz. Bu durumda, piramit için ifade edilen,
alan ve hacim bağıntıları koni için de geçerli olur. Buna göre düzgün
piramidin yanal alanı, taban çevresi ile yan yüz yüksekliğinin çarpımı­
nın yarısına eşit olduğundan taban yarıçapı r, ana doğrusunun uzun­
luğu a olan bir dik dairesel koninin yanal alanı da
B
..
2.n.r.a
, ,
Y a = — - — =n . r . a’dır.
A
2
Yüzey alanı: S = G + Ya = n r2 + n . r . a = nr (r + a)’ dır.
Bir dik dairesel koninin açınımı incelenirse dönel koninin yanal alanının, yarıçapı a olan bir daire
diliminin alanına eşit olduğu görülür.
T
Yandaki daire diliminin alanı, koninin yanal alanıdır. Şekle göre,
A d = Ya =
’dir. Bu bağlantıyı,
n a 2. a 2n.a.a a . . . . ,
.
Y a = ----------= ------------— biçiminde yazalım.
A
360°
3600 2
B
2 n a a = IABI ve IABI = 2nr olduğundan,
3600
Y a = IABI . — olur. Burdan,
A
2
Ya = 2 n .r . — = n . r . a bulunur.
305
Dik dairesel koninin yüzey alanı da
S = G + Ya = n . r2. + n . r . a
= n . r . (r + a)’dır.
Dik Dairesel Koninin Hacmi
BİLGİ
--------------------------------------------------------------------
• Dik dairesel koninin hacmi, taban alanı ile yüksekliğinin çarpımının üçte birine eşittir.
1
nl r2 h
• Yarı çapı r, yüksekliği h olan koninin hacmi; V = — .G.h = — 3 —’tür.
3
3
Yandaki şekiller, taban yarıçapları ve yükseklikleri eşit koni ve
silindir biçimindeki kaplara aittir. Koninin tabanı, silindirin üst tabanı
açıktır. Bu cisimler, cisimler kutusunda vardır. Koni biçimindeki kap
su ile doldurulup silindir biçimindeki kap içine dökülürse silindir biçi­
mindeki kabın 3. kezde dolduğu görülür. Buradan taban çapları ve
yükseklikleri eşit olan silindirin hacminin koninin hacminin 3 katı ol­
duğu görülür. Buna göre,
Silindirinhacmi
nr2.h
Koninin hacmi = V =
= -1 .nr2.h = -^.G.h olur.
3
3
ÖRNEK
Yarıçapı a = 5 cm olan bir daireden merkez açısının ölçüsü 216° olan daire dilimini alalım. Bu daire
dilimiyle oluşturulacak koninin yanal alanını, yüzey alanını ve hacmini bulalım.
Çözüm
T
Oluşturulan koninin yanal alanı, 216° lik daire
diliminin alanına eşittir.
A
ad
-
n . a2 . a
360°
n . 52 . 216°
- 15n cm2 ve Ad - Ya - 15n cm2 dir.
360°
Koninin taban dairesinin çevresinin uzunluğu, 2nr - ICDAl’dur.
ICDAI -
2 n .a . \
360c
2 n .5 .2 1 6 °
360c
2 . n .5 .6 .3 6 °
- 6n ve 2nr - 6n ^ r - 3 cm’ dir.
10.36c
G = nr2 - n . 32 - 9n cm2’dir.
• S = G + Ya - 9n + 15n - 24n cm2 dir.
TOA dik üçgeninde, ITOI2 - h2 - 52 - 32 - 25 - 9 - 16 ^ h - 4 cm’ dir.
V = -^.G.h = -1 .9n . 4 - 12n cm3 tür.
3
3
306
ÖRNEK
Taban Iarı [AB] ve [CD] olan ABCD yamuğunda; IABI = 24 cm, IBCI = 20 cm, IDCI = 3 cm, IADI = 13
cm’dir. Bu yamuk, uzun kenarı etrafında 360° döndürüldüğünde elde edilen cismin hacmini ve alanını bulalım.
Çözüm
D 3 cm C
ABCD yamuğu [AB] tabanı etrafında 360° döndürüldü­
ğünde oluşan cisim, bir dik si Iindir ile iki dönel koninin bir leşimidir.
Bu cismin hacmi, dik silindir ile dönel konilerin hacimleri
toplamıdır. Dik silindirin hacmi V1, konilerin hacimleri de
V3 olsun.
B
Şekle göre, |AE| = x, |EF| = 3 cm ve |FB| = 21 - x’tir.
h2 = 132 - x2 = 202 - (21 - x)2 olur.
Buradan IAEI = x = 5 cm, h = 12 cm ve
IFBI = 21 - 5 = 16 cm bulunur.
V = V, + V2 + V3
V = n . 122 . 3 +
3
. 122 . 5 + 1 n . 122 . 16
3
= 432n + 240n + 768n = 1440n cm3 tür.
Cismin tüm alanı, dik silindirin ve konilerin yanal alanları toplamına eşittir.
S = 2nr . h + n . r . a^ + n . r . a2 = 2 . n .12 . 3 + n . 12 . 13 + n . 12 .
20
= 72n + 156n+ 240n = 468n cm2 bulunur.
—
ALIŞTIRM ALAR
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Bir dönel koni, tabanına paralel üç düzlemle kesilerek yükseklikleri eşit dört parçaya ayrılıyor.
Tepeden itibaren birinci parça hacminin, ikinci parça hacmine o ra n ı.................
b. Dik kenar uzunlukları; 8 cm ve 6 cm olan bir dik üçgen, hipotenüsü etrafında 360° döndürü­
lürse oluşan cismin h acm i................. cm3 tür.
2.
Bir dik koninin yanal alanı, taban alanının 4 katıdır. Bu koninin açık şeklinde oluşan daire diliminin
merkez açısının ölçüsü kaç derecedir?
A. 45
B. 60
C. 75
D. 90
E. 120
D 2 cm C
3.
ABCD dik yamuğunda; IABI = 4 cm, IDCI = 2 cm, IADI = 3 cm ve
m(A) = 90° dir. Bu yamuk [AD] kenarı etrafında 360° döndürülüyor.
Meydana gelen cismin hacmi kaç cm3’tür?
A .14n
B. 21n
D .35n
E.42n
C. 28n
4. Merkez açısının ölçüsü 120° olan bir daire diliminin alanı 192n cm2 dir. Bu dilimden yapılabile­
cek dik koninin hacmi en çok kaç cm3 olur?
5. Yanda, ucu dik koni şeklinde açılmış yuvarlak bir
kurşun kalem görüyorsunuz. Verilenlere göre bu Ç[_
kurşun kalemin hacmini bulunuz (n = 3).
307
1 cm
-12 cm6 mm
10.9.1.3. KURE, KURE YÜZEYİNİN A LA N I VE KÜRENİN HACIM
BAĞINTISI
Dünyamız hangi geometrik cisme benzemektedir?
Dünyamızın yüzey alanını ve hacmini hangi bilgilerle bulabiliriz?
A
BİLGİ
Uzayda, sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine (geometrik yerine) küre
yüzeyi; küre yüzeyi ile sınırlanan cisme de küre denir. Sabit noktaya, kürenin merkezi; sabit
uzunluğa da kürenin yarıçapı denir.
Bir küre yüzeyinin bir düzlemle kesiti bir çember, kürenin bir düzlemle kesiti de bir dairedir.
Yarıçapı R olan bir kürenin yüzey alanı S = 4nR2 dir.
Yarıçapı R olan bir kürenin hacmi V = — n R3 tür.
İNCELEYEREK Ö ĞRENELİM
----------------------
Yandaki şekil, O merkezli R yarıçaplı (O, R) bir küredir. Küre
üzerinde herhangi iki nokta B ve C ise IOBI = IOCI = R’ dir. BC
doğru parçası da kürenin bir kirişidir. Bir kürenin
merkezinden
geçen kirişe kürenin çapı denir. Şekilde, AB doğru parçası küre­
nin bir çapıdır ve IABI = 2R’dir.
O
merkezli R yarıçaplı küreyi bir P düzlemi ile keselim. Küre
merkezinin P düzlemine olan uzaklığı IOOıI = d ve OO 1D dik üç­
geninden,
IOıDI = / R2- d 2 dir.
Bir kürenin merkezinden geçen bir düzlemle kesitine, kürenin
en büyük dairesi denir.
Bir kürenin en büyük dairesinin çevresine, kürenin en büyük
çemberi denir.
Kürenin Yüzey Alanı
• Hacimler takımından bir kürenin ya da bir futbol topunun yüzey alanını bulalım.
• Futbol topunun yüzeyi de bir küre yüzeyidir.
• Kürenin ya da futbol topunun en büyük dairesinin çapına eşit çap uzunluğuna sahip bir çemberi,
kâğıda çizelim.
• Oluşan daireyi kâğıttan keserek çıkaralım.
• Bu daireyi 8 eş dilime bölelim ve her dilimi aşağıdaki gibi keserek çıkaralım.
• Bu dilimleri top yüzeyine yapıştıralım.
• Bu dilimler futbol topunun (kürenin) - l ’ ini kapatır.
• O hâlde, kürenin en büyük dairesinin alanı nR2
olduğundan, kürenin yüzey alanı S = 4nR2 bu­
lunur.
308
Kürenin Hacmi
f
Yüksekliği ve taban çapı, kürenin büyük
çemberinin çapı ile aynı olacak şekilde bir
silindir ve bir küre alalım (hacimler takımı).
Üzeri delik bu kürenin içini kumla dolduralım.
A/.-
'
r
Kumu, üstü açık silindirin içine boşaltalım.
2r
Silindirin hacim bağıntısı ile kürenin hacim
bağıntısı arasındaki ilişkiyi bulalım.
Kürenin hacmi V 1, silindirin hacmi V2 ise V 1
V
ile V2 arasındaki ilişki « - = - - olduğu görülür. Buradan, V 1 = -3-. V2 olur.
Silindirin hacmi V2 = G . h = nr2 . 2r = 2nr3 ve
2
2
4
V! = -jj-V 2 = -3-. 2nr3 = - - n r 3 bulunur.
ÖRNEK
Yarıçapı r = 5 cm olan kürenin yüzey alanı ve hacmini bulalım.
Çözüm
• S = 4nR2 = 4 . n . 52 = 4 . n . 25 = 100n
cm2 dir.
./
4
ı-jn 4
—n ^
500n
3 ...
• V = — nR3= — . n . 53 = — . n . 125 =— - — cm3 tür.
3
3
3
3
ÖRNEK
Bir küre içine, yüksekliği 16 cm ve hacmi 576 n cm3 olan bir dik silindir yerleştiriliyor. Silindirin taban
çevreleri küre yüzeyine içten teğet olduğuna göre kürenin yarıçap uzunluğunu bulalım.
Çözüm
Silindirinhacmi,
V = n . r2 . h
576n = n . r2 . 16 ^ r2 = -576 = 36
16
r = 6 cm’dir.
OHB nden, R2 = 82 + 62 = 100 ^ R = 10 cm bulunur.
ÖRNEK
Bir küre, merkezinden 6 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Kesit alanı 64n cm2 ise kürenin en
büyük dairesinin alanını ve hacmini bulalım.
Çözüm
Kürenin bir düzlemle kesiti bir dairedir. Kesit alanı 64n cm2 olduğundan, n r2 = 64n ^ r = 8 cm’dir.
OOıB dik üçgeninden,
R2 = IOOıI2 + IOıBI2
R2 = 62 + 82 = 36 + 64 ^ R = 10 cm bulunur.
En büyük dairesinin alanı, nR2 = n . 102 = 100n cm2 dir.
4
3
4
3 4 000
3
Hacmi, V = — n R3 = — n . 103 = -------n cm3 tür.
3
3
3
309
ALIŞTIRM ALAR
1.
Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Bir küre, merkezinden 5 cm uzaklıkta bir düzlemle kesiliyor. Kesit alanı 144n cm2 ise bu kürenin yüzey alanı
cm2 dir.
b. Bir kürenin çap uzunluğu a cm, ikinci bir kürenin yarıçap uzunluğu da 4a cm’dir. Bu kürelerin
hacimlerinin o ra n ı..................
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “ Y” yazınız.
a. Hacmi, sayısal olarak alanının 4 katına eşit bir kürenin yarıçap uzunluğu 3 cm’ dir. ^
b. Bir kürenin, merkezinden 4 cm uzaklıktaki kesitinin çevresinin uzunluğu 6n cm olduğuna göre
bu kürenin yarıçap uzunluğu 5 cm’dir. Q
c. İki kürenin hacimlerinin oranı, yarıçaplarının küplerinin oranına eşittir. O
3.
Bir kenarının uzunluğu 20 cm olan bir tahta küp yontularak en büyük hacimli bir küre elde ediliyor.
Bu kürenin hacmini ve alanını bulunuz.
4. Yarıçap uzunluğu 6 cm olan bir madenî küre eritilerek 8 eşit küre hâlinde dökülüyor. Bu küreler­
den birinin yarıçap uzunluğu kaç cm’ dir?
A. 1
5.
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Birbirine eşit 27 kürenin tüm yüzeyleri 3 kutu boya ile boyanabilmektedir. Hacmi, bu kürelerin ha­
cimleri toplamına eşit olan daha büyük bir kürenin yüzeyini boyamak için kaç kutu boya gerekir?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
10.9.1.4. KATI CİSİMLERİN YÜZEY ALAN VE HACİM BAĞINTILARINI MODELLEME VE
PROBLEM ÇÖZMEDE KULLANMA
ÖRNEK
Küp biçimindeki yandaki tahta bloktan küçük bir küp şeklin­
deki parça alınmıştır. IEFI = 7 cm, IBEI = 13 cm ise kalan bloğun
hacminin kaç cm3 olduğunu bulalım.
Çözüm
(Yukarıdaki şekli bir daha çizelim.)
D'
c1
A
x
B
EB'B nde:
IEBI2 = IBB'I2 + IEB'I2
132 = x2 + (x - 7)2
169 = x2 + x2 - 14x + 49
120 = 2x2 - 14x
2x2 - 14x - 120 = 0
x2 - 7x - 60 = 0 ^ (x - 12) (x + 5) = 0
C
A
x
B
Küpün hacmi: V 1= 12 . 12 . 12 = 1728 cm3
1
Ayrılan küpün hacmi: V2= 7 . 7 . 7 = 343 cm3
Kalan parçanın hacmi: 1728 - 343 = 1385 cm3 olur.
310
xx
x
-12
-1
2
+5
-12x + 5x = -7x
x = 12 V x = - 5 ’tir.
IBB'I = x = 12 cm’ dir.
ÖRNEK
Yanda Bora ve Mert’ in evde kullandıkları su bar­
dakları görülüyor. Bora’ nın su bardağının tabanı düz­
gün altıgen, Mert’ inki de iki katlı silindir şeklindedir. Her
ikisinin bardaklarının kaçar cm3 su aldıklarını bulalım
10 cm
(n = 3).
6 cm
3 cm
7 cm
Çözüm
5
1. bardağın hacmi, V! = G . h = 6 . ( 2 5)— ^
3
2
10
4 cm
2,5 cm
= 15. 6,25 .1,7 = 159 cm3’ dür.
2. bardağın hacmi, V2 = n . r12 . h1 + n . r| . h2
= 3 . 22 . 7 + 3 . 32 . 3
= 3 . 4 . 7 + 3 . 9 . 3 = 84 + 81
= 165 cm3 dür
ÖRNEK
Yanda bir peynir halkası görülüyor.
a. Bu peynirden kaç derecelik dilim kesilmiştir?
b. Kesilen kısmın hacmini bulalım (n = 3).
Çözüm
a. Kesilen kısım, 360° - 300° = 60° lik dilimdir.
b. Kesilen kısım, tüm peynirin ——’ idir.
Kesilen kısmın hacmi = nr2 . h . = 3 . 202 . 12 . ——
6
= 3.400.2 = 2 400 cm3 tür.
ÖRNEK
Şekilde, tahtadan yapılmış bir kare dik prizma görülüyor. Bu prizma yon­
tularak en büyük hacimli dik silindir hâline getiriliyor. Yontma esnasında atı­
lan tahta kısmın hacmi kaç cm3’tür (n = 3)?
Çözüm
Atılan kısmın hacmi V olsun. Silindirin çapı prizmanın taban ayrıtına
eşittir (2r = 10 cm). Prizmanın hacmi V1, silindirin hacmi V2 olsun.
V = V! —V2 = G . h —nr2 . h
= 102 . 20 —3 . 52 . 20
= 2000 —1500 = 500 cm3 tür.
ÖRNEK
İç çapının uzun Iuğu 4 cm, dış çapının uzun Iuğu 6 cm ve yüksekliği 25 cm olan dik da iresel silindir
biçimindeki bir borunun dolgu kısmının alanını ve hacmini bulalım.
311
Çözüm
Borunun, iç ve dış yarıçaplarını bulalım.
Dış yarıçapının uzunluğu,
2r1 = 6 cm ^ r1 = 3 cm’ dir.
İç yarıçapının uzunluğu,
2r2 = 4 cm ^ r2 = 2 cm’ dir.
Dolgu kısmının toplam alanı;
25 cm
S = 2 . (nr12 - nr22) + 2nr1h + 2nr2h
S = 2n . (32 - 22) + 2n . 25(3 + 2)
= 2 n . 5 + 2 n .25 . 5
= 10n + 250n = 260n cm2 bulunur.
Dolgu kısmının hacmi;
V = V 1 - V2 = n . r12 . h - n . r22. h = n . 32 . 25 - n . 22 . 25
= 25n . (9 - 4)
= 125n cm3 tür.
ÖRNEK
Metin, evlerindeki su kovasının hacmini bulmak istiyor.
Metin’ in yaptığı ölçümlerine göre şekildeki su kovasının hacmi
kaç cm3 tür (n = 3)?
Çözüm
TDC ~ TAB’dir. Bu benzerlikten,
ITAI
ITDI
IABI
IDCI
x
x + 30
10
20
• 20x = 10x + 300
10x = 300 ^ x = 30 cm’dir.
1
V = V! - V2 = 1 . n . r2 . h ------- n . r22 . h2
-3
3
= 1 . 3 . 202 . 60 - - - . 3 . 102 . 30
-3
3
= 24 000 - 3000 = 21 000 cm3 tür.
ÖRNEK
Yarıçapı 6 cm olan güllenin hacmini ve alanını n = 3 için bulalım.
Çözüm
Gülle küresel bir cisimdir. Bu güllenin yarıçapı r = 6 cm’ dir.
güllenin hacmi,
V = - - . n. r3 = — . 3. 63 = 4 . 216 = 864 cm3 tür.
3
3
güllenin alanı,
S = 4nr2 = 4 . 3 . 62 = 12.36 = 432 cm2 dir.
ÖRNEK
Yarıçapı 12 cm olan yarım kürenin ve çeyrek küre diliminin yüzey alanlarını bulalım.
312
Çözüm
Yarıçapı r olan kürenin yüzey alanı 4nr2 ve en büyük dairesinin alanı nr2 dir.
Yarım kürenin yüzey alanı - -1 . 4 n. r2 + n r2 - 2. n . 122 + n . 122 - 2 . n . 144 + n . 144
- 432n cm2 dir.
Çeyrek küre diliminin yüzey alanı - n . 122 + 1 . n . 122 + 1 .n . 122
2
2
- n . 144 + 1 . n . 144 + 2 . K . 144
2
2
- 144n + 72n + 72n - 288n cm2 dir
ALIŞTIRM ALAR
1. Şekilde, dikdörtgen biçiminde meyilli bir arsanın planı veril­
miştir. Bu arsa, toprağı kazılarak yatay bir ABCD dikdörtgeni
şekline getiriliyor.
IADI - 20 m, IDFI - 25 m ve IBEI - 7 m ise
F
E
D
a. Arsanın kaç m2 küçüldüğünü bulunuz.
b. Kazılan toprağın kaç m3 olduğunu bulunuz.
20 m
10 cm
2. Yanda bir kablo makarasının boş hâlini görüyorsunuz. Bu makara­
da kablonun sarıldığı boşluğun hacmini bulunuz (n = 3).
80 cm
10 cm
3. Uzunluğu 6 m olan bir su borusunun iç silindirinin çapı 8 cm, dış silindirinin çapı 10 cm olduğuna
göre bu boru için kullanılan metal kaç n cm3 tür?
A. 2 700
B. 3 600
C. 5 400
D. 6 000
4. Şekildeki tahtadan yapılmış dikdörtgenler prizmasından [PQ]
çaplı yarım silindir oyularak çıkarılıyor. IABI - 8 cm, IBCI - 4 cm,
ICDI - 10 cm, IPQI - 6 cm olduğuna göre prizmanın kalan kıs­
mının hacmi kaç cm3 tür (n - 3 alınız.)?
E. 7 200
A
D
C
5. Ayrıtı arı; 20 cm, 20 cm ve 50 cm olan şekildeki su te­
nekesinin içinde bir miktar su vardır. Bu tenekenin içine
ayrıt Iarı; 15 cm, 8 cm ve 10 cm olan dikdörtgen ler priz­
ması şeklindeki bir tuğla bırakılıyor. Tuğla suya batınca
tenekedeki su bir miktar yükseliyor. Suyun ilk seviyesin­
den kaç cm yükseldiğini bulunuz.
313
50 cm
20
2 cm
20 cm
15 cm
] 10 cm
8 cm
6. Kadastro teknisyenleri arazide ölçüm yaparken arazi üzerinde belirli
noktalara betonla yerleştirdikleri nirengi taşlarından biri yanda görülü­
yor. Bu taşın alt ve üst tabanları birer kare ve alanları 400 cm2, 900 cm2
dir. Bu taşın yüksekliği 60 cm ise bu taş için kaç dm3 harç kullanılmıştır?
7. Şekildeki paket içinde, paketin her yüzüne içten teğet olan bir basket
topu vardır.
a. Basket topunun hacmini bulunuz.
b. Kutunun bir köşesinin basket topuna olan en kısa uzaklığını bu­
lunuz.
ÜNİTE S O N U DEĞERLENDİRME SORULARI
1. Aşağıdaki noktalı yerleri doldurunuz.
a. Dik prizmanın yanal yü zle ri...................................’dir.
b. Her ayrıtı a br olan üçgen piramidin yüzey a la n ı....................
c. Taban yarıçapı 1 cm küçüldüğünde hacmi 240 cm3 azalan ve yüksekliği 10 cm olan silindirin taban
yarıçapı................. cm’ dir (n = 3 alınız.).
2. Aşağıdaki ifadeler doğruysa “ D” , yanlışsa “Y” yazınız.
a. Boyutları; 16, 40, 72 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutu içine en büyük hacimli
küplerden 90 tane yerleştirilebilir. Q
b. Bir küpün ayrıt uzunluğu 3 katına çıkarılırsa yüzey alanı 9 kat artar. Q
c. Taban çapı 14 cm, yüksekliği 24 cm olan dik koninin ana doğrusunun uzunluğu 25 cm’dir. Q
ç. Merkezinden 2 cm uzaklıkta bir düzlemle kesilen kürenin kesit çevresinin uzunluğu12 n cm ise
kürenin yarıçapı 6 cm’dir. Q
3. Aşağıdaki soruların cevaplarını yandaki tabloda
verilen değerlerle eşleyiniz.
I
II
III
IV
V
216
90
128
56
288
a. Bir kare dik prizmanın hacmi 96 cm3, yanal yüz alanı 96 cm2 ise bu prizmanın yüzey alanı kaç
cm2 dir?
5
b. Bir dik koninin yanal alanının taban alanına oranı — ise bu koninin yanal alanını oluşturan daire
diliminin merkez açısının ölçüsü kaç derecedir? O
c. Bir küre merkezinden 3 cm uzak Iıkta bir düz lem le kesiliyor. Kesit alanı 27n cm2 ise bu kürenin
hacmi kaç n cm3 tür? Q
ç. Bir dik silindirin yanal alanı sayıca hacmine eşittir. Yüksekliği 12 cm olan bu silindirin tüm alanı
kaç n cm2 dir? ^
314
4.
Tabanı ABCD eşkenar dörtgeni olan bir dik prizmanın taban köşegenleri; IBDI = 16 cm, IACI = 20 cm’dir.
Bu prizmanın yüksekliği 10 cm ise hacmi kaç cm3 tür?
A. 1 600
5.
B. 2 000
C. 2 400
D. 3 260E.4800
Düzgün kare piramidin taban alanı, bir yan yüzünün alanına eşittir. Bu piramidin cisim yüksekliği
30 cm ise hacmi kaç cm3 tür?
A. 1 600
B. 1 800
C. 2 200
D. 2 400
E. 2 500
C
6. Şekildeki dikdörtgenler prizmasında |AB| = 12 cm, |BC| = 9 cm ve
İBD'İ = 17 cm ise |AAı| kaç cm’ dir?
7.
B. 7
D. 9
E. 10
C. 8
D
C
bI \
9
A. 6
B1
A
A
a= 12 cm
B
İçinde bir miktar su bulunan ve taban yarıçapı 12 cm olan dik silindir içine metal bir küp atıldığında,
12
su yüzeyi — cm yükseliyor. Suya tamamen batan bu küpün hacmi kaç cm3 tür?
A. 123
B. 93
C. 83
D. 63
E. 43
8. Şekildeki dik üçgen, [BC] kenarı etrafında 360° döndürülürse
elde edilen cismin hacmi kaç n cm3 olur?
A. 2 400
B. 1 640
D. 1 440
E. 1 200
C. 1 500
B
9.
Şekildeki dik konide, [CD] // [AB] ve 3ICDI = 2IABI’ dir. Kesik koninin
hacmi 76n cm3 ise koninin hacmi kaç n cm3 tür?
A. 81
B . 96
D. 120
E. 144
9 cm
H
16 cm
T
C. 108
B
10. Alanı 384 cm2 ve taban ayrıt uzunluğu 12 cm olan düzgün kare piramidin hacmi kaç cm3 tür?
A . 1152
B . 576
C .384
D .360
E. 304
11. Yanal alanı 56 n cm2 ve ana doğrusunun uzun Iuğu 7 cm olan bir dik koninin taban çevresinin
uzunluğu kaç n cm’ dir?
A. 12
B. 14
C. 15
315
D. 16
E. 18
CEVAP AN AH TAR I
1. ÜNİTE
2. ÜNİTE
1. a. 360
b. 432
,
3
1 a. 1 1
1. a. 5
c. 1 2. a. D
„ 6
3
b. 11 c . 11
b. 2x-2
c. 3
3. D
7. 56
b. D c. Y
2. a. D b. Y
c. D ç. D
3.
4. 52
8. D
5. E
9. A
6. B
10. C
67
24
3. a. ğT b . 9 1
9
4. 19b
5. A
6. E
8. -1 ­
8
7. E
4.
Y
Y
y = f(x)
2. a. D b. Y
c. D ç. Y
2
-t—---- ■---—K X
0
-3
f
\ v
0—
3
— *
/2\
x
f+g
~3^ —y = f(-x)
/
y
/
g
-4
/
3. ÜNİTE
5. a, b, ç çift, c tek fonksiyondur.
6. (fog)(x) = - 6x + 7, (gof)(x) = - 6x + 21
7. g(2) = 3
8. g(x) = x2
9. g(x) = 3x2 + 2x 10. C
11. C
12. A
13. 149
14. B
15. D
16. E
17. C
18. 14
19. C
b. 0
1
c. — L
2
21. D
22. D
23. E
24. D
25. D
26. D
27. C
28. D
29. E
30. C
31. D
32. A
33. C
34. B
35. B
36. C
37. 2
3
20. a. —
2
1. a. n1= 11, n2= -7
b. a + b = -1 2
4. ÜNİTE
c. b = —
2
2. a. Y b. D
c. Y ç. D
1. a. D b. D c. Y
ç. D d. Y
5. ÜNİTE 2. a. kare denir.
b. deltoid
c. 36
1. a. {-m -1 , m}
6. ÜNİTE
5 2
b. - 5 , - 2
3
3
ç. 10
3. a. 710
b. x + 5y -1 7 - 0 c. 14
4. 9
5. D
726
6. C
7. B
8. D 9. y - 2x - 7
10. 5x + 4y + 11 - 0
11. 200 12. - x + 5y + 14 - 0 13. D(7,9)
14. 140
15. E
16. 4x + 3y + 17 - 0, 4x + 3y - 13 - 0
3. A
10. A
4. 2873~
11. 30°
16. a. III
18. a. 52
5. D
12. D
b. II
c. I
b. 120
6. 8
7. 48
8. B
13. A
14. D
15. 42
ç. IV
19. C
17. 27
20. B
4. {- 2 - , -1 }
5. m, = - 1 , m2 =1
6. - f m
4
2
7. y - -2 x 2 - 4x + 1
8. m1 = 0, m2 = 2 9. + 7
c. x2 + 3x - 4 = 0
10. 14
2. a. D b. Y c. Y ç. D
3. a. III b. V c. I ç. IV 14. C
11. x2 - 4x + 13 - 0
15. 6
316
16. 36
12. A
13. C
9. B
1. a. -2 0
b. 2 c. 3x - 2 2. a. Y
b. D c. D
3. a. IV
b. V
c. I ç. II
7. ÜNİTE
4. C
11. 0
19. A
5. B
12. 7
20. D
6. -2 x + 3
13. A
14. 5
20. {-3, -1, 1, 3}
1. a. 54
b. 45
c. 72
2. a. D
b. D
c. Y
8. ÜNİTE
7. D
15. -1
21. C
3. 117°
8. C
12. 2r
4. 15°
9. 9
8. C
16. 15
22. C
9. A
17. -2 4
5. D
10. -1
18. D
6. 72 - 1
10. 324 -72n
7. D
11. —
2
1. a. dikdörtgen
9. ÜNİTE
b. a273 br2
c. 128
2. a. D b. D c. D ç. Y 4. A
3. a. III b. I c. V ç. IV 8. E
317
5. D
9. C
6. C
10. C
7. A
11. D
SÖ ZLÜK
analitik düzlem
: Üzerinde koordinat sistemi yerleştirilmiş düzlem.
bilgisayar
: Önceden verilen bir programa göre birçok aritmetik ve mantık işlemlerini
otomatik olarak yapan bir veri işleyicisi.
çizgilik
: Çizgi çizmeye yarar tahta “cetvel parçası”.
doğrusal
: (1) Yalnız bir boyutlu olan.
(2) Bir doğru üzerinde olan veya bu özelliği koruyan matematiksel ifade.
formül
: Bir ya da birçok niceliğe bağlı bulunan bir niceliğin hesaplanmasına
yarayan cebirsel anlatım.
gider
: Bir iş için harcanan para, masraf.
kapsamak
: Sınırlarının içine almak.
kâr
: Alışveriş işlerinin sağladığı para kazancı.
nesne
: “Kişi” ya da “kimse” ile anlatılan varlıkların dışında kalan ve ağırlığı ile
kütlesi olan her türlü varlık, şey, obje.
olasılık
: Bir olayın olmasının ya da olmamasının matematiksel olarak basit bir kesirle
gösterilmesi.
örüntü
: Sayı, nesne veya şekillerin dizilişindeki düzen.
piktogram
: Bir eşyayı, bir objeyi, bir yeri, bir işleyişi ve bir kavramı resmetme yoluyla
temsil eden sembol.
proje
: Önceden belirlenmiş bir süre içerisinde değişim yaratmayı hedefleyen,
birbiriyle ilişkili amaç ve hedefleri olan, uygulanması sonucunda çeşitli
ürünlerin elde edildiği çalışma.
sembol
: Duyularla ifade edilemeyen bir şeyi belirten somut nesne veya işaret.
strateji
: Bir amaca varmak için eylem birliği sağlama düzenleme sanatı.
318
İŞ A R E TLE R
R R ’den R ’ye f fonksiyonu
N + sayma sayıları kümesi
f: R ^
N
doğal sayılar kümesi
lal
mutlak değer a
Z
tam sayılar kümesi
a< b
a küçüktür b
Q
rasyonel sayılar kümesi
a> b
a büyüktür b
a<b
a küçük veya eşittir b
[AB]
AB doğru parçası
IABI
AB doğru parçasının uzunluğu
A
A açısı
m(A)
A açısının ölçüsü
ABC
ABC üçgeni
A(ABC)
ABC üçgeninin alanı
P(A)
Bir A olayının olasılığı
R
gerçek sayılar kümesi
eşittir
yaklaşık
*
eşit değildir
^
ancak ve ancak
e
elemanıdır
0
boş küme
319
KAYNAKÇA
1. Ardley Joe, Buruma John, Cody Mike, Doly Tom, Tomlinson Paula,
M athem atics Today Year 9 Second Edition, MC Graw-Hill Book Company, Australia, 1994.
2. Bergmann Hans, Bergman Uwe, Training M athem atics, 9. Schuljahr Stutgart, 2005.
3. Durel, C. V., School C ertificate Algebra, London, 1962.
4. Durel, C. V., A. N ew G eom etry F or Schools London G. Bell and Sons, Ltd. 1965.
5. T. C. Millî Eğitim Bakanlığı Talim ve Terbiye Kurulu Başkanlığı, O rtaöğretim 9, 10, 11 ve 12.
S ınıflar M atem atik D ersi Öğretim Program ı, Ankara, 2013.
6. Kitap içerisinde kullanılan tüm görsel resim ve fotoğraflar yayınevimizin arşivinden kullanılmıştır.
320